Vincenzo De Risi - IISF | L | +
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1 La storia del metodo assiomatico in una testimonianza di apertura
“Si ha un po’ l’impressione falsa, del tutto falsa, che il metodo assiomatico sia nato, in un certo senso già finito, come Atena da Zeus.”
L’avvio del ciclo di lezioni del professor Vincenzo De Risi, presentato presso un istituto napoletano, offre uno spaccato denso di temi scientifici e storici. Dopo i ringraziamenti di rito, l’oratore tratteggia con grande ampiezza il profilo intellettuale di De Risi, “studioso di Leibniz della geometria non euclidea, filosofo della scienza e storico della scienza” – (fr:3), e ne ricorda il forte legame con una figura centrale dell’istituto, Imre Toth, “punto di riferimento per gli studi non solo di matematica, di geometria, […] ma di mille altre cose” – (fr:4). Viene menzionata anche la sua esperienza come “borsista del Croce” – (fr:2), che segna un passaggio napoletano significativo.
Il tema annunciato è “la storia dell’assiomatica, la storia del metodo assiomatico” – (fr:12). De Risi lo presenta come uno dei più alti ideali del sapere occidentale: “l’idea che una scienza raggiunga il massimo della propria formulazione, della propria potenza conoscitiva quando è organizzata attraverso un sistema di principi primi e poi una serie di conseguenze, di teoremi che vengono tratti da questi principi” – (fr:13). Tale metodo, nato nell’antica Grecia con gli Elementi di Euclide – “il più antico trattato di matematica greca che ci sia rimasto” – (fr:14), ha poi attraversato ventitré o ventiquattro secoli, estendendosi dalla matematica (con assiomatizzazioni dell’analisi, della probabilità, della teoria dei gruppi e degli insiemi) fino alla fisica, alla linguistica strutturale, al diritto, alla teologia e alla filosofia. Vengono citati i Principia di Newton e le assiomatizzazioni moderne della meccanica quantistica e della relatività, mentre sul versante filosofico spicca “l’etica di Spinoza che in cinque libri parte appunto da una serie di definizioni e una serie di assiomi” – (fr:17). A ciò si accompagna una riflessione sulla natura dei principi primi, dal principio di non contraddizione discusso “da Aristotele fino a Severino” – (fr:17) al principio di ragion sufficiente in Leibniz.
Pur di fronte a questa imponente tradizione, lo storico si trova in imbarazzo perché “manca effettivamente una storia del metodo assiomatico, cioè manca una storia delle varie concezioni degli assiomi come si sono succedute nel corso dei secoli” – (fr:20). Si è così generata l’immagine fuorviante di un metodo nato già compiuto, come se “quello che Euclide intendeva per assioma è lo stesso di quello che intendeva Newton per assioma, lo stesso di quello che intendeva Einstein per assioma” – (fr:20), mentre in realtà l’epistemologia assiomatica è mutata molte volte. Al tempo stesso esiste una continuità operativa sorprendente, particolarmente visibile in matematica: “se voi prendete gli Elementi di Euclide, uno dei principi, il primo dei principi degli Elementi di Euclide è, per esempio, che per due punti passano una linea retta. Ora, quello stesso principio voi lo trovate anche nelle assiomatizzazioni della geometria contemporanea” – (fr:21-22), ad esempio nei fondamenti della geometria di Hilbert, dove i teoremi dimostrati sono gli stessi di Euclide. Questa tensione tra continuità d’uso e trasformazione del significato degli assiomi costituiva il cuore del corso, ridotto a due incontri a causa di uno sciopero – (fr:11) – e rivolto a un pubblico di giovani e meno giovani, come sottolineato nell’introduzione.
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2 Un commento antico alla geometria di Euclide: tra limiti fisici e confini del cosmo
Obiezioni apparentemente ingenue ai postulati euclidei, basate sull’impossibilità materiale di tracciare linee in presenza di ostacoli o oltre i confini di un cosmo finito, rivelano un contesto filosofico e pratico che spinse autori come Proclo a elaborare costruzioni geometriche alternative.
Il resoconto si concentra su una serie di obiezioni antiche rivolte ai postulati e alle costruzioni degli Elementi di Euclide. L’autore introduce l’argomento notando come, a una sensibilità moderna, le critiche riportate da Simplicio appaiano del tutto estranee al pensiero matematico formale. La reazione immediata è di considerarle “un’obiezione del tutto extratematica, diciamo, del tutto eh eh naiv, se volete, o comunque, insomma, che non c’entra niente con la matematica” - (fr:168). Tuttavia, la loro natura peculiare risiede proprio in questo apparente equivoco: “a noi sembrano stranissime, nel senso l’obiezione che per due punti non si può tracciare una retta a noi richiama subito appunto cose di geometria differenziale” - (fr:165), ma il loro fondamento non è astratto, bensì radicalmente concreto.
Il nucleo centrale di queste obiezioni nega la validità dei postulati geometrici sulla base di impossibilità pratiche e fisiche. L’atto di tracciare una linea retta è inteso in senso materiale, ed è così che diventa impossibile: “Lo spazio non è geodeticamente connesso, cioè non è possibile tracciare una linea che assomiglia ad una linea retta da punto a punto” - (fr:166). Gli esempi forniti sono di una concretezza elementare: “È impossibile tracciare una linea attraverso un fiume o in mezzo a una città” - (fr:170), poiché “Non potete tracciare la linea perché c’è il fiume in mezzo” - (fr:172). Allo stesso modo, il tentativo di congiungere due punti celesti è negato dalla presenza di un corpo fisico: “Laeta e la Bilancia sono ai punti eh antipodali del firmamento e quindi qualsiasi retta passerebbe attraverso la Terra e questo non non si può fare” - (fr:175).
Questa logica viene applicata sistematicamente ad altri postulati. L’idea di una linea estendibile all’infinito viene rigettata non per una “profonda concezione dell’infinito” - (fr:177), ma per un dato cosmologico: “stanno pensando semplicemente al fatto che il cosmo è finito” - (fr:178). Di conseguenza, “Non si può tracciare una linea infinita perché a un certo punto uno arriva al limite del cielo e quindi non non si può tracciare oltre” - (fr:179). Il V postulato viene criticato con lo stesso principio. L’obiezione riportata spiega che Euclide usò le parole “prolungate illimitatamente” “con riferimento all’immaginazione in modo da non essere costretto a indicare una grandezza definita delle linee” - (fr:181), ma tale prolungamento non deve superare i confini cosmici, “per evitare che nel tracciare le linee rette si stabilissero certi segmenti che non si incontrerebbero nello spazio assegnato dalle due linee” - (fr:183). Se le rette, per incontrarsi, devono superare la sfera delle stelle fisse, il postulato fallisce perché lì lo spazio finisce.
La conseguenza più significativa di questa impostazione è la messa in discussione della prima proposizione degli Elementi, la costruzione del triangolo equilatero. Viene citato un passo di Alessandro di Afrodisia, il quale osserva che “se il segmento sul quale occorre costruire il triangolo equilatero fosse il diametro del cosmo, è impossibile costruire un triangolo equilatero su di essa perché non c’è nulla” - (fr:186) “fuori dal cosmo” - (fr:187). In termini euclidei, se il segmento AB è il diametro dell’universo, i due cerchi tracciati con il terzo postulato “finiscono fuori e quindi non non c’è spazio per fare questa costruzione” - (fr:194), invalidando così il procedimento.
La testimonianza storica più rilevante di questa corrente di pensiero è il commentario di Proclo al primo libro degli Elementi. Il filosofo neoplatonico non si limita a registrare le obiezioni, ma offre un corpus di costruzioni alternative, rese necessarie “per mancanza di spazio” - (fr:198). Per tracciare una perpendicolare a una linea data, Proclo prende atto della critica secondo cui “non c’è spazio, non c’è luogo topos dall’altra parte della linea” - (fr:200) e propone una soluzione che evita di tracciare cerchi nel semipiano opposto. Questa esigenza di adattamento trova un corrispettivo concreto nella geometria pratica, dove un ostacolo fisico come un muro impedisce di operare dall’altro lato: “Se voi dovete tracciare una perpendicolare qui a questo muro… ovviamente non potete fare un cerchio dall’altra parte del muro, dovete fare la costruzione tutta da questo lato” - (fr:203). Allo stesso modo, Proclo offre soluzioni alternative per la proposizione 15, dove la costruzione euclidea di un triangolo isoscele che prolunga i lati verso il basso incontra l’obiezione: “ma magari lì non c’è spazio” - (fr:206).
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3 L’autoilluminazione degli assiomi: da Grossatesta a Tommaso, via una traduzione errata degli Analitici Secondi
La resa linguistica di un passo aristotelico innesca, nel pensiero medievale inglese, la teoria secondo cui i principi della scienza sono veri in virtù del solo significato dei termini e non dei fatti.
Il resoconto ripercorre la genesi medievale dell’idea secondo cui gli assiomi sarebbero giudizi analitici, autoevidenti e immediatamente conoscibili. Il punto di partenza è l’intuizione attribuita a Roberto Grossatesta («Grossatesta»), per il quale l’assioma non è privo di ragione ma possiede una ragione in se stesso, analogamente a Dio che non è senza causa ma è causa di sé: “così l’assioma non è eh privo di ragione, ma ha una ragione in se stessa” – (fr:521) [così l’assioma non è privo di ragione, ma ha una ragione in se stessa]; “Dio Dio non è senza causa, ma è invece causa di sé” – (fr:520) [Dio non è senza causa, ma è invece causa di sé]. Tale concezione trova uno sviluppo decisivo grazie a Robert Kilwardby (citato nel testo come “Killardby”, “Killerby”, “Kilord”), descritto come “uno degli studenti di grossa testa” – (fr:523) [uno degli studenti di Grossatesta].
Kilwardby sfruttò un errore di traduzione degli Analitici secondi di Aristotele. La versione alterata del testo faceva sì che vi si leggesse “che noi non solo sosteniamo che c’è scienza, ma anche che ci sono principi della scienza in quanto conosciamo i termini” – (fr:525) [che noi non solo sosteniamo che c’è scienza, ma anche che ci sono principi della scienza in quanto conosciamo i termini]. Questa frase, assente nell’originale aristotelico, veniva assunta da Kilwardby come giustificazione dell’idea di Grossatesta dell’autoilluminazione degli assiomi (fr:526). Egli interpretava il passo come un’affermazione secondo cui “noi conosciamo i principi della scienza perché conosciamo i termini, cioè le parole che compongono gli assiomi” – (fr:527) [noi conosciamo i principi della scienza perché conosciamo i termini, cioè le parole che compongono gli assiomi].
La conseguenza logica era radicale: “gli assiomi sono veri in base al solo significato delle parole, non perché ad essi corrispondano dei fatti” – (fr:528) [gli assiomi sono veri in base al solo significato delle parole, non perché ad essi corrispondano dei fatti]. Kilwardby lo illustrava con esempi di verità che non richiedono alcuna esperienza del mondo: “Se io dico che il cavallo bianco di Napoleone è bianco, non ho bisogno naturalmente di essere informato sul cavallo” – (fr:529) [Se io dico che il cavallo bianco di Napoleone è bianco, non ho bisogno di essere informato sul cavallo]; “se io dico che Luca, che è scapolo, non ha una moglie, non ho bisogno di conoscere Luca” – (fr:530) [se io dico che Luca, che è scapolo, non ha una moglie, non ho bisogno di conoscere Luca]. Si tratta di “verità che derivano semplicemente dal significato interno dei termini e che non rimandano a nessun fatto” – (fr:531) [verità che derivano semplicemente dal significato interno dei termini e che non rimandano a nessun fatto], e che perciò sono “immediatamente conosciute come vere e che non possono essere messe in dubbio” – (fr:532) [immediatamente conosciute come vere e che non possono essere messe in dubbio].
Lo stesso Kilwardby precisava la natura proposizionale degli assiomi: “conosciamo i principi in quanto conosciamo i termini” – (fr:534) [conosciamo i principi in quanto conosciamo i termini], ma i principi restano tali perché sono proposizioni, cioè i primi giudizi in cui si articola una verità, mentre i termini “di per sé, cioè le parole, non sono né vere né false” – (fr:536) [di per sé, cioè le parole, non sono né vere né false]. Gli assiomi, dunque, non sono dimostrati a partire dai termini, ma sono “vere semplicemente perché noi conosciamo il significato dei termini” – (fr:537) [vere semplicemente perché noi conosciamo il significato dei termini].
La teoria di Kilwardby, stando al testo, “ebbe una certa circolazione nel corso del X secolo” – (fr:538) [ebbe una certa circolazione nel corso del X secolo]. Il dato merita una nota: la collocazione cronologica è palesemente un lapsus del parlato, poiché Kilwardby, Roger Bacon, Alberto Magno e Tommaso d’Aquino vissero tutti nel XIII secolo. Fu probabilmente attraverso Alberto Magno che l’idea raggiunse Tommaso, il quale la trasformò “in una teoria generale di quella che noi chiameremo oggi la analiticità degli assiomi, cioè l’idea che gli assiomi sono giudizi analitici” – (fr:538) [in una teoria generale di quella che noi chiameremo oggi la analiticità degli assiomi, cioè l’idea che gli assiomi sono giudizi analitici].
Tommaso riprese l’idea di Grossatesta che gli assiomi hanno la loro ragione in se stessi (fr:540) e la declinò in termini logici: “Le proposizioni note per se stesse, cioè gli assiomi, sono quelle che sono conosciute immediatamente appena i loro termini sono conosciuti, come si dice nel primo libro degli analitici” – (fr:541) [Le proposizioni note per se stesse, cioè gli assiomi, sono quelle che sono conosciute immediatamente appena i loro termini sono conosciuti]. Il richiamo aristotelico era ancora una volta quello veicolato dalla traduzione errata (fr:542). Tommaso aggiunse un criterio definitorio: “Questo succede nelle proposizioni nelle quali il predicato è contenuto nella definizione del soggetto oppure il predicato è identico con il soggetto” – (fr:543) [Questo succede nelle proposizioni nelle quali il predicato è contenuto nella definizione del soggetto oppure il predicato è identico con il soggetto]. Con ciò offriva una formulazione compiuta dell’analiticità: l’esempio portato è “l’uomo è razionale”: poiché la definizione di uomo è «animale razionale», la proposizione equivale a “l’animale razionale è razionale”, una verità indipendente dai fatti del mondo e fondata unicamente sul significato dei termini (fr:545).
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4 L’ideale della proposizione analitica e la trasparenza della scienza in Tommaso d’Aquino
La negazione di un assioma produce immediatamente una contraddizione perché, se il predicato è incluso nel soggetto, ogni scienza fondata su principi diventa interamente giustificabile e trasparente all’intelletto.
Il testo delinea una concezione epistemologica, attribuita a Tommaso d’Aquino, secondo la quale ogni proposizione in cui il predicato rientra nella nozione del soggetto è conosciuta di per sé e non richiede dimostrazione. Tale nozione è introdotta in modo netto: “Ogni proposizione in cui il predicato è incluso nella nozione del soggetto è immediata e conosciuta per sé stessa” – (fr:546). L’immediatezza è però condizionata dalla piena comprensione dei termini, cosicché chi non conosce il significato esatto di «angolo retto» o di «uguaglianza degli angoli» può dubitare che tutti gli angoli retti siano uguali (fr:550). Ma “quando viene data una definizione chiara di che cos’è un angolo retto” e dell’uguaglianza, “immediatamente risulta che tutti gli angoli retti sono uguali” – (fr:552), proposizione che si rivela analitica perché “è possibile includere in qualche maniera il predicato nel concetto del soggetto” – (fr:553).
Da questo impianto derivano conseguenze dirompenti. La prima, già esplicitamente tratta da Tommaso, è che “negare un assioma vuol dire produrre immediatamente una contraddizione” – (fr:555), alla stregua di affermare che un animale razionale non sia razionale. Di qui discende la necessità logica degli assiomi della geometria euclidea: se il predicato è contenuto nel soggetto, negare un qualsiasi teorema degli Elementi – ammesse deduzioni corrette – conduce a una contraddizione, rendendo “tutta quanta la matematica […] necessariamente vera, per logica” – (fr:556). Tale rigore si estende a ogni scienza perfetta fondata su princìpi, compresa la filosofia naturale e l’etica, ovunque si riescano a individuare veri assiomi. In questa cornice, neppure un miracolo potrebbe contraddire le conclusioni della geometria, per esempio “che un triangolo potrebbe avere la somma degli angoli interni diversa da due angoli retti” – (fr:556-557), perché ciò, come accade nelle geometrie non euclidee, nega il postulato delle parallele.
Qui si apre però un’aporia. Tommaso assume che anche l’assioma delle parallele debba essere una proposizione in cui il predicato è incluso nel soggetto (fr:558), ma “riuscire a mostrare che effettivamente nel caso del postulato delle parallele il predicato è contenuto nel soggetto è ben difficile” – (fr:559). Si tratta di un compito che Tommaso lascia ai matematici, i quali, negli stessi anni, tentavano invano di dimostrare il postulato partendo dagli altri assiomi (fr:560). L’ideale scientifico resta tuttavia intatto: tutto deve essere dimostrato, tutto deve trovare giustificazione completa.
Questo ideale si ricollega, pur nella diversità della teoria, al programma aristotelico-euclideo: “La teoria è completamente diversa, però c’è comunque questa idea che non c’è niente di non giustificato all’interno di una scienza” – (fr:562). Le scienze diventano interamente trasparenti all’intelletto umano, senza assunzioni gratuite: “Di tutto si può offrire ragione, tutto si può spiegare” – (fr:563); “non ci sono assunzioni gratuite, non ci sono assunti perché è evidente o perché le cose stanno così” – (fr:564). Ogni assioma è, in ultima analisi, una proposizione analitica: “Qualunque cosa io assumo sotto forma di assioma, in realtà è una proposizione analitica” – (fr:565). La perfetta trasparenza del sapere e l’inclusione necessaria del predicato nel soggetto costituiscono così il fondamento di un edificio scientifico in cui nulla resta ingiustificato, anche se la distanza tra l’ideale e la pratica – come mostra il caso del postulato delle parallele – resta incolmabile senza un vero successo dimostrativo.
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5 Lo scontro sull’analiticità degli assiomi e l’eccezione tedesca: dalla scolastica a Lambert
Un episodio apparentemente minore rivela un contrasto generazionale sulla natura degli assiomi: “Forse lei stava scherzando quando lo ha detto” (fr:670) è il commento che segna l’incomprensione tra due mondi. Da un lato, Conring non aveva mai incontrato la teoria scolastica; dall’altro, Libnis (Leibniz) rispondeva appellandosi a una tradizione condivisa: “Tutti gli scolastici sono d’accordo che la verità degli assiomi diventa manifesta non appena sono compresi i termini, vale a dire che gli assiomi sono facilmente dimostrati attraverso una serie di eh brevi definizioni” (fr:671). Lo scontro, osserva l’autore, è tutto qui: “c’è l’imbness carico di tutta la tradizione scolastica che lavora su questa teoria e c’è Conoring che non è stato educato su questi manuali, apre delle edizioni moderne a degli elementi de Euclide nelle quali gli astriomi non sono dimostrati e li piglia per veri” (fr:672).
5.1 L’oblio della teoria scolastica e il ritardo tedesco
Il Settecento vide un progressivo abbandono della teoria dell’analiticità degli assiomi, più per ignoranza che per confutazione: “nel X secolo” (chiaramente un lapsus per XVIII) “la teoria scolastica fu, diciamo così, dimenticata o comunque messa un po’ da parte, senza che nuove teorie fossero prodotte, ma semplicemente che un certo numero di studiosi non fosse proprio più al corrente del fatto che questa teoria fosse esistita” (fr:673). Ci fu però un’eccezione significativa: la Germania. “la Germania che era più arretrata, permettetemmi questa cosa, rispetto alla Francia o all’Inghilterra o ad altre nazioni, eh continuava a produrre testi scolastici” (fr:674). I manuali di Wolff e dei suoi successori mantennero viva la tesi della dimostrabilità degli assiomi dalle definizioni, tanto che “fino alla fine del 700, anzi in realtà fino fino fino ai primi anni dell’, sostanzialmente tutti gli studenti tedeschi erano esposti alla teoria della della dell’analiticità degli assiomi” (fr:676).
Questa persistenza generò un paradosso. In Francia o in Inghilterra l’assenza di una teoria portò gli scienziati a non porsi nemmeno il problema; “gli scienziati e i filosofi tedeschi che naturalmente erano in contatto con quelli francesi e quelli inglesi avevano d’altra parte il loro i loro manuali del liceo, diciamo, dell’università di Wolf che gli dicevano gli assiomi possono essere dimostrati e e questo, diciamo, in un certo senso richiese una una insomma una risposta alla teoria degli assire” (fr:678). Fu così che, proprio in Germania, si sviluppò una reazione filosofica alla dottrina dell’analiticità.
5.2 Kant e Lambert contro il “gioco linguistico” di Wolff
Negli anni Sessanta del Settecento, due figure si opposero frontalmente a Wolff: Kant e Lambert. La loro critica comune è netta: “quello che Lambert Kant obietta a Wolf sostanzialmente è che appunto ha prodotto una filosofia super definitoria in base alla quale con l’idea che gli assiomi derivano dalla definizione lui buttava dentro qualsiasi definizione gli servisse da questa agli assiomi, da questa ai teoremi e dimostrava qualsiasi cosa senza nessun contatto con la realtà” (fr:680). Se la verità degli assiomi è puramente semantica, l’intera conoscenza rischia di diventare un arbitrio definitorio. “quello che dicono Lambert e Kant è che quello in cui ci ha invpato questa teoria è sostanzialmente un grande gioco linguistico in cui uno inventa le definizioni che vuole e quindi fa teorie su quello che vuole, come vuole” (fr:681). Bisognava ritrovare un ancoraggio alla realtà: “Bisogna tornare alle cose stesse” (fr:682).
5.3 La via alternativa di Lambert: dal dato empirico all’a priori per riduzione
Mentre Kant costruiva il trascendentalismo e il sintetico a priori attraverso la costruzione, Lambert elaborò una strada del tutto diversa. “Insomma ha lo stesso problema di Kant, è alleato con Kant contro l’analiticità degli assiomi e i volfiani in generale. … la sua soluzione, tuttavia è completamente diversa rispetto a quella del trascendentalismo cantiano” (fr:685-686). Lambert inaugura una tradizione che conduce alla fenomenologia: “quello che fa Kant è cominciare una tradizione che arriva poi alla fenomenologia Husser … Naturalmente le due tradizioni si si incontrano … ma restano abbastanza separate” (fr:687-688). L’autore colloca l’inizio di questa seconda linea proprio negli scritti di Lambert degli anni Sessanta del Settecento: “E questa comincia effettivamente, io direi, con Lambert in questi scritti qui degli anni 60 del 700” (fr:690).
Il punto di partenza è empirista, lockiano: “ritiene che la conoscenza cominci dall’esperienza” (fr:691). Tuttavia Lambert compie un passo decisivo verso l’a priori: i dati dell’esperienza possono essere considerati in se stessi, isolati dai nessi causali, e così diventano oggetti di studio puramente concettuali. “Nel momento in cui noi li consideriamo in se stessi, noi stiamo trasformando il il dato dell’esperienza in un contenuto a priori che possiamo studiare in se stesso” (fr:693). L’esempio è concreto: “parto, diciamo, da vedere questo tavolo, isolo il colore marrone del tavolo e comincio a discutere, a pensare, a fare scienza sul colore marrone” (fr:694). Così, attraverso una sorta di riduzione eidetica ante litteram, Lambert ottiene i fondamenti per una scienza degli assiomi che non si esaurisce in un gioco definitorio, gettando un ponte tra empirismo e a priori che correrà parallelo al trascendentalismo kantiano.
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