Vincenzo De Risi - IISF | L-bs5 | +

20 May, 2026

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1 Un percorso tra assiomi, continuità e storia: la lezione di Vincenzo De Risi

L’avvio di un ciclo di lezioni dedicato alla storia del metodo assiomatico svela la tensione tra l’immutabilità dei principi matematici e il mutare delle loro interpretazioni epistemologiche.

L’incontro, introdotto da un breve ritratto dello studioso, colloca il corso all’interno di una fitta rete di rapporti intellettuali che legano Napoli all’Istituto. Si ricorda come Vincenzo De Risi, già borsista del Croce – “una tappa napoletana sicuramente ha lasciato ha lasciato le sue le sue tracce e le sue memorie” – (fr:2), abbia coltivato interessi vastissimi, dallo studio di Leibniz e della geometria non euclidea fino alla filosofia e alla storia della scienza. Le sue pubblicazioni in inglese sulla “monadologia e su scritti, credo inediti di dei Libit databili al 2007-2008” – (fr:3) testimoniano una ricerca filologica e teorica profonda. Emerge inoltre un legame decisivo con “Imretot, che è stato un punto di riferimento per gli studi non solo di matematica, di geometria, […] ma di mille altre cose” – (fr:4), figura di raccordo che illumina anche l’attenzione per le diverse dimensioni del sapere, fino a toccare l’eredità della Shoah con un “libro sull’essere ebrei oggi che stampamo in istituto” – (fr:5).

Il cuore del testo si apre quando De Risi preannuncia il tema del corso: “la storia dell’asiomatica, della storia del metodo assiomatico” – (fr:12). Qui si condensa un’idea che percorre l’intero pensiero occidentale: “l’idea che una scienza raggiunga il massimo della della propria formulazione […] quando è organizzata attraverso un sistema di principi primi e poi una serie di di conseguenze, di teoremi che vengono tratti da questi principi” – (fr:13). Tale ideale, nato nell’antica Grecia con “gli elementi deoclide che sono il più antico trattato di matematica greca che ci sia rimasto, che si presenta come un sistema deduttivo a partire da principi, da assiomi” – (fr:14), ha informato gran parte della matematica per oltre ventitré secoli, estendendosi poi ben oltre la disciplina originaria.

Il metodo assiomatico, infatti, ha travalicato i confini della matematica: “tro[v]ate per esempio che i principi di Newton sono scritti con metodo assiomatico” – (fr:16), e lo stesso vale per la meccanica quantistica e la relatività; ha raggiunto la linguistica strutturale, il diritto, la teologia e, soprattutto, la filosofia. L’esempio più celebre è “l’etica di Spinoza che conoscete tutti che in cinque libri parte appunto da da una serie di definizioni e una serie di di assiomi da cui deduce poi tutto il resto della insomma della metafisica e dell’etica spinoziana” – (fr:17). Parallelamente, si è sviluppata una discussione ininterrotta sulla natura e l’origine dei principi primi, “del principio di non contraddizione […] da Aristotele fino fino a Severino” – (fr:17), o “del principio di ragione sufficiente in Libnis” – (fr:18).

Eppure, nonostante questa centralità millenaria, il relatore mette in luce un paradosso storiografico: “come storici siamo un pochino in imbarazzo perché manca effettivamente una storia del del metodo assiomatico, cioè cioè manca una storia delle varie concezioni degli assiomi come si sono succedute nel corso dei secoli” – (fr:20). L’impressione diffusa, del tutto falsa, è che “il metodo assiematico sia sia nato, insomma, in un certo senso già finito […] e e che quindi quello che Euclide intendeva per assioma è lo stesso di quello che intendeva Newton per assioma, lo stesso di quello che intendeva Einstein per asioma” – (fr:20). La realtà è che “l’epistemologia del pensiero assiematico è cambiata molte volte nel corso nel corso della storia” (fr:20).

A bilanciare questa discontinuità epistemologica sta però una straordinaria continuità nell’uso effettivo degli assiomi, resa evidente da un esempio lapidario: “se voi prendete eh gli elementi di euclide, uno dei principi il primo dei principi degli elementi di euclide è, per esempio, che per due punti passano una linea retta” – (fr:21). Quello stesso principio, osserva De Risi, “voi lo trovate anche nelle assiomatizzazioni della geometria contemporanea” – (fr:22), precisamente “come uno degli assiomi, dei fondamenti della geometria di Hilbert” – (fr:23). La persistenza del contenuto assiomatico convive così con il variare del significato ad esso attribuito, ed è proprio questa tensione a costituire l’oggetto vivo del corso, che le circostanze – “una è stata tagliata a causa dello sciopero di ieri” – (fr:11) – rendono ancora più prezioso.

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2 Le origini del metodo assiomatico: la lezione su Euclide

Il testo presenta il programma di due lezioni dedicate al metodo assiomatico, con un focus iniziale su Euclide. L’intento didattico è esplicitamente duplice: una prima lezione “intensiva” su Euclide e i suoi principi, e una seconda “estensiva” che intende ripercorrere l’evoluzione del concetto di assioma “da Euclide fino fino a Kant” – (fr:31). L’autore sottolinea subito la natura ancora aperta del tema, osservando che “resta moltissimo da fare” (fr:32), poiché né gli storici della scienza né quelli della filosofia lo hanno affrontato in modo approfondito. L’analisi minuziosa dei testi antichi, mostrata nella lezione intensiva, rappresenta un modello esportabile ad altri duemila anni di storia, operazione che tuttavia “richiede moltissimo tempo” (fr:33).

Il cuore dell’indagine storico-epistemologica è la “questione dell’origine del metodo assiomatico” (fr:34), cioè il momento in cui si è costituito e imposto l’ideale secondo cui una scienza perfetta debba poggiare su principi primi e dedurne conseguenze, ideale che ancora oggi condividiamo (cfr. fr:35). L’autore mette però in guardia da un’ovvietà apparente: “non è per niente ovvio che una scienza si debba organizzare secondo il metodo assiomatico e non è ovvio, in particolare che la matematica si debba organizzare secondo il metodo assiomatico” (fr:36).

L’ipotesi storiografica è chiara: l’idea di fondare una scienza su principi indimostrabili proviene dalla matematica, e “i filosofi l’hanno presa da lì” (fr:38). Tuttavia, il testo introduce un’ambivalenza significativa. Da un lato, la matematica è stata il bacino originario di questo modello; dall’altro, “la matematica non necessita di un metodo assiomatico” (fr:39): è possibile dimostrare un teorema come quello di Pitagora – “la somma dei due quadrati è uguale alla somma del quadrato sull’ipotenusa” (fr:39) – senza disporre già di un edificio assiomatico formale, ma semplicemente cercando di capire se un fatto è vero sempre e perché. Questa tensione tra origine storica e necessità intrinseca costituisce il nodo problematico attorno a cui ruota l’intera riflessione.

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3 Tradizioni matematiche pre-greche e la singolarità dell’assiomatizzazione greca

Molte culture matematiche antiche raggiunsero risultati avanzati senza mai formulare assiomi, sollevando il problema del perché proprio la matematica greca abbia intrapreso la via dell’assiomatizzazione.

Il discorso muove da una riflessione sulle origini del metodo assiomatico e mette in luce un dato spesso trascurato: nell’antichità prosperarono civiltà matematiche importanti e sviluppate, del tutto indipendenti dalla cultura greca e prive di collegamenti con essa. “Eh eh c’è qualche cosa di più sulle origini del metodo assiomatico, cioè che eh nell’antichità ci furono naturalmente molte altre culture matematiche importanti e sviluppate non greche e senza collegamenti con con la cultura greca.” (fr:45) Vengono ricordate, a titolo di esempio, la matematica babilonese – che solo in seguito ebbe qualche contatto con quella greca, ma si era sviluppata anteriormente –, la matematica indiana e la matematica cinese. “alla matematica babilonese che a un certo punto ebbe qualche collegamento con la matematica greca, ma che si era sviluppata precedentemente, la matematica indiana e la matematica cinese, per esempio.” (fr:46)

Tutte queste culture erano estremamente avanzate, eppure nessuna di esse presenta principi primi né pone assiomi. “Ora queste culture matematiche furono molto avanzate e nessuna di loro presenta principi primi, nessuna di loro pone assioni, diciamo, e e e queste culture hanno continuato ad essere sviluppate senza sostanzialmente fino all’incontro con la matematica greca o con la matematica occidentale, come la volete chiamare, e in particolare la cultura cinese.” (fr:47) Il caso cinese è emblematico: la sua matematica iniziò a incontrarsi con quella europea soltanto nel Settecento, epoca in cui era già molto sofisticata e del tutto priva di qualsiasi base assiomatica. “si è si è insomma la matematica cinese ha cominciato a incontrarsi con quella europea soltanto nel 1700 e nel 1700, come potete immaginare la matematica cinese era molto molto avanzata e del tutto priva di qualsiasi base assiomatica, quindi è completamente possibile, diciamo, fare matematica senza il che naturalmente pone pone ancora di più il problema, Ma perché a un certo punto la matematica greca è stata è stata assiomatizzata?” (fr:48) La vicenda della matematica cinese testimonia così la possibilità concreta di fare matematica senza un impianto assiomatico, e al tempo stesso rende ancora più urgente la domanda sul perché proprio la tradizione greca abbia imboccato quella strada.

A rafforzare questa prospettiva, si osserva come neppure nella pratica matematica odierna si risalga sempre agli assiomi per dimostrare un risultato: davanti a un teorema difficile, ad esempio in topologia, non si torna agli assiomi della disciplina ma si cerca piuttosto di capire come funzionano gli spazi coinvolti. “Insomma, se volete dimostrare un difficile teorema di topologia non è che andate a agli assiomi della topologia, insomma, semplicemente cercate di capire come stanno le cose, come funziona questo spazio, come funziona quest’altro spazio e così via.” (fr:44) In tal modo, tanto la storia delle matematiche extra-greche quanto il modo di procedere del matematico contemporaneo mostrano che l’assiomatizzazione non è una condizione indispensabile del pensiero matematico, rendendo la scelta greca un fenomeno singolare su cui interrogarsi.

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4 Dalla critica di Platone alla codifica aristotelica: una testimonianza sulla nascita del metodo assiomatico

La riflessione platonica e aristotelica sulle ipotesi matematiche dischiude la preistoria degli Elementi di Euclide, rivelando un modello condiviso piuttosto che una dipendenza diretta dai testi del Liceo.

Il brano delinea il sorgere del metodo assiomatico nella matematica greca a partire da una testimonianza negativa offerta da Platone. Questi descrive un modo di procedere che “presenta un quadro della matematica largamente simile a quello […] del working mathematician, […] che cerca effettivamente di dimostrare un teorema e per dimostrare un teorema pone certe ipotesi senza immaginarsi che quelle ipotesi siano vere senza dimostrazione o che siano principi primi” – (fr:58). Nella Repubblica, Platone critica però alcuni matematici del suo tempo che, rovesciando quell’atteggiamento operativo, “avevano cominciato a ritenere che queste ipotesi non potessero essere dimostrate, cosa che Platone ritiene essere un grave errore” – (fr:59). Secondo il filosofo, “non è così che si dovrebbe fare, […] si stanno sbagliando i matematici perché stanno prendendo alcune ipotesi, alcuni principi come se questi non si potessero ulteriormente dimostrare, non si potesse chiedere il perché di queste cose che è assurdo” – (fr:60).

Non sappiamo con certezza chi fossero i matematici a cui Platone allude, benché “il candidato generalmente indicato dagli storici della matematica è il platonico Eudosso, […] grande matematico e grande astronomo, […] parte dell’Accademia Platonica ed è stato anche il principale maestro […] di Aristotele” – (fr:62). Di Eudosso non possediamo trattati completi, ma “abbiamo una serie di testimonianze che ci dicono che alcuni trattati erano stati scritti da lui e […] è ragionevole immaginare in effetti che possa essere stato Eudosso stesso a introdurre per la prima volta questi principi” – (fr:63).

Il passo successivo è compiuto da Aristotele. Negli Analitici secondi, egli rovescia la critica del maestro: “la scienza deve fondarsi su principi primi non dimostrati e anzi indimostrabili, non è possibile fare altrimenti” – (fr:64). L’argomento è che senza primi principi le dimostrazioni o regredirebbero all’infinito o si avvolgerebbero in un circolo vizioso; “entrambi questi casi sono impossibili e quindi è necessario fermarsi a un certo punto” – (fr:65).

La codifica scritta di tale metodo giunge con Euclide, attivo un paio di generazioni dopo Aristotele. Gli Elementi, “13 libri diversi e 13 trattati diversi che Euclide ha, insomma, molto ragionevolmente raccolto insieme e in qualche modo uniformato” – (fr:67), vengono introdotti da una serie di principi primi. Le fonti antiche già indicavano che “alcuni di questi 13 libri degli elementi di Euclide fossero stati scritti da Eudosso oppure da Archita Pitagorico oppure da Teeto, il personaggio del dialogo di Platone o da altri ancora” – (fr:68). La coincidenza fa sì che i trattati raccolti da Euclide siano “quegli stessi trattati che Platone e Aristotele avevano sotto gli occhi quando testimoniavano prima e teorizzavano poi la nascita del metodo assiomatico” – (fr:69).

Non occorre supporre che Euclide avesse letto Aristotele; anzi, “sembra molto improbabile che lo facesse” – (fr:71). Dopo la morte di Aristotele, “la maggior parte delle opere di Aristotele furono perdute per un certo periodo, per cui sembra improbabile che Euclide potesse avere accesso alle opere aristoteliche e anche se avesse potuto non è detto naturalmente che gli sarebbero interessate” – (fr:72). Piuttosto, la convergenza si spiega immaginando “un modello comune, diciamo così, da cui Euclide trasse gli elementi e Aristotele trasse gli analitici” – (fr:73). In questo modo il testo ricostruisce, attraverso le testimonianze filosofiche e la tradizione matematica, il processo attraverso cui il metodo assiomatico si consolidò senza necessità di un rapporto diretto tra i due ambiti.

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5 I postulati di Euclide tra manoscritti e critica testuale

Il più antico testimone degli Elementi è di nove secoli posteriore a Euclide, e la tradizione indiretta lascia intravedere interventi sul corpo dei principi: almeno due dei postulati tramandati sarebbero aggiunte seriori.

Il testo discute la tradizione manoscritta dei postulati euclidei e la loro autenticità, mettendo in luce il lungo intervallo che separa Euclide dai testimoni superstiti. La più antica copia degli Elementi in nostro possesso risale a circa milleduecento anni dopo l’autore: “Eh, nota i manoscritti degli elementi sono il il più antico dei manoscritti degli elementi che noi abbiamo del secolo, quindi stiamo parlando di 1200 anni dopo Euclide” – (fr:91). Questo iato temporale rende incerto il dettaglio di ciò che Euclide effettivamente scrisse, anche perché i manoscritti oscillano nel numero dei postulati: “Questi postulati sono cinque o sei, a seconda dei manoscritti che andiamo a leggere degli elementi” – (fr:90). La fissazione di questi principi viene collocata nella forbice cronologica fra Aristotele ed Euclide, come momento di nascita non del metodo assiomatico in generale, ma di quelle specifiche assunzioni che ancora oggi fondano le assiomatizzazioni della geometria: “E quindi, diciamo, quelle due generazioni che passano fra Aristotele e Euclide segnerebbero la nascita di questi specifici principi, quindi non del metodo assiomatico in generale, ma di questi specifici principi che Euclide chiama postulati che però sono particolarmente importanti perché sono quelli che, come vi dicevo prima, noi troviamo ancora oggi alla base delle nostre assiomatizzazioni della geometria, più numerosi, corretti, un po’ cambiati, però insomma si tratta sostanzialmente della base assiomatica che ancora oggi noi utilizziamo nella geometria” – (fr:89).

Di fronte a una tradizione manoscritta così tarda, il testo osserva che “questi manoscritti ci danno indicazioni fino a un certo punto, naturalmente, di quello che potesse succedere quando Euclide scrive gli elementi” – (fr:92). Tuttavia la situazione non è del tutto priva di appigli: fonti intermedie citano sporadicamente singoli postulati, consentendo di concludere che la maggior parte di essi fosse già presente nell’originale, ma “non tutti” – (fr:93). Due casi sono esaminati nel dettaglio. Uno riguarda il principio secondo cui due rette non racchiudono uno spazio: “in particolare di questi sei principi ce n’è uno, quello che dice che due rette non racchiudono spazio, che è certamente spurio ed è stato certamente aggiunto più tardi” – (fr:94). L’altro è l’affermazione che tutti gli angoli retti sono uguali fra loro, sulla quale il giudizio corrente è diviso: “molti studiosi considerano autentico, ma che io ritengo esserci delle solide ragioni, diciamo, di tipo filologico e poi di tipo matematico, per ritenere che invece sia sia stato aggiunto anche esso dopo” – (fr:95-96). Il passo restituisce dunque un quadro di stratificazione testuale, in cui almeno due dei principi accreditati alla geometria euclidea potrebbero essere opera di mani successive, con ricadute sulla comprensione della base assiomatica originale.

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6 I postulati di Euclide: genesi di un sistema assiomatico

La ricostruzione storica degli Elementi di Euclide, come qui proposta, muove da un’ipotesi sulla struttura originaria dell’opera: “Se se vi fidate, diciamo, di questa ricostruzione, è ragionevole immaginare che Euclide abbia introdotto i suoi elementi con quattro principi, questi quattro postulati” - (fr:97). Questa premessa invita a considerare il nucleo assiomatico euclideo nella sua forma più arcaica e snella.

Il contenuto di quei principi fondanti viene enunciato in modo essenziale: “Ora questi quattro postulati, vedete, sono il eh che si possa condurre una retta da qualsiasi punto ad ogni altro punto, che una retta si possa prolungare e che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi raggio” - (fr:98). I primi tre — tracciare una retta tra due punti, prolungare un segmento e descrivere un cerchio — sono etichettati in modo specifico: “Questi primi tre postulati vengono detti normalmente postulati costruttivi” - (fr:99). La loro natura è operativa e riflette una prassi ben precisa del sapere greco, come chiarito subito dopo: “codificano una certa pratica nella matematica greca che era quella di disegnare in geometria con con riga e compasso” - (fr:100). Si noti la puntualizzazione sul livello di astrazione del testo euclideo, che non menziona mai esplicitamente lo strumento fisico: “lui non nomina, lui Euclide non mai il G Compasso perché lavora a un livello più astratto” - (fr:100).

L’attenzione si sposta poi sull’elemento più problematico e discusso della tradizione: “Il il famoso quinto postulato, che secondo me il quarto, perché il quarto è espurio, è quello delle parallele ed è ed è, come vedete, estremamente più lungo e convoluto” - (fr:101). Viene espressa qui una duplice considerazione critica: la convinzione che il quarto postulato tramandato sia spurio, e la netta percezione di una discontinuità stilistica e logica del postulato delle parallele, la cui formulazione è riportata integralmente: “Se se una retta venendo a cadere su due rette formangoli interni della stessa parte minore di due rette, le due rette prolungate limitatamente verranno incontrarsi da quella parte in cui gli angoli sono minori di due rette” - (fr:102). L’enunciato, con la sua sintassi complessa e l’ipotesi asimmetrica, segna il confine tra l’evidenza immediata dei postulati costruttivi e un principio che per secoli alimenterà il dibattito sulle geometrie non euclidee.

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7 L’irriducibilità dei postulati euclidei: origine dialettica e ruolo inferenziale

La questione centrale ruota attorno a un interrogativo storico: perché i matematici contemporanei di Euclide non tentarono di mettere in discussione il postulato delle parallele, “visto che era matematicamente fattibile e concettualmente, logicamente del tutto ovvio” - (fr:133)? La spiegazione più comune, che lo considerassero semplicemente ovvio ed evidente, viene respinta come insufficiente. Da un lato, il postulato non è affatto immediato; dall’altro, ci si riferisce a pensatori come Zenone o Crizia, abituati a negare persino il movimento o l’essere, e che di certo non si sarebbero arrestati di fronte a un principio solo apparentemente plausibile:

“E e naturalmente non ci possiamo molto accontentare della spiegazione che il postulato delle parallele era evidente e ovvio per tutti, per cui a nessuno è venuto in mente di metterlo in questione, sia perché il postulato delle parallele, come lo avete letto prima, non è particolarmente evidente, ma sia perché stiamo parlando comunque degli antichi greci, cioè di gente che negava che il movimento esiste oppure che l’essere c’è o o o cosa del genere, insomma, non non potete immaginarvi Zenone o Crizia che si fermavano davanti al postulato delle parallele, dicevano”Beh, però questo non lo possiamo proprio mettere in dubbio, eh, perché insomma, quindi ecco, serve una spiegazione evidentemente più più importante e più profonda del del perché questo non sia avvenuto” - (fr:134).

Per comprendere questa mancata messa in discussione occorre allora scavare nella nozione stessa di principio matematico: “Qualcosa che deve affondare un po’, se volete, nella concezione di postulato e di principio della matematica che aveva che aveva Euclide” - (fr:135). Vengono così avanzate due tesi complementari, che riguardano rispettivamente “l’origine dei postulati” e “il ruolo dei postulati” - (fr:137). La prima concerne “l’origine dialettica dei postulati”; la seconda introduce il concetto di “ruolo inferenziale dei postulati neader”, esplicitamente distinto dalla funzione che attribuiamo oggi agli assiomi:

“Eh eh la prima riguarda l’origine dialettica dei postulati più più precisamente che adesso che adesso vi vado vi vado a presentare e la seconda eh eh il ruolo che io ho chiamato il ruolo inferenziale dei postulati neader che è diverso da quello del degli assiomi contemporanei” - (fr:138).

Entrambe queste prospettive convergono nel mostrare quanto fossero radicalmente differenti, per Euclide e per i greci, i fondamenti della matematica e il modello stesso di scienza assiomatica:

“Tutte e due queste cose servono a effettivamente a mostrare come i principi della matematica per Euclide e per i greci erano molto molto molto diversi da come li intendiamo noi” - (fr:139). “E quindi a discesa che il l’ideale generale di scienza come disciplina fondata su assiomi era molto molto molto diversa da come lo intendiamo noi” - (fr:140).

Un dato di fatto significativo, riportato a sostegno della complessità della questione, è la penuria di fonti antiche sull’argomento: “Ora sull’origine dialettica, allora una prima cosa che si deve notare è che abbiamo, come scrivo qui, pochissime testimonianze antiche sui postulati di Euclide” - (fr:141). Tale scarsità documentale rende ancora più necessaria la ricostruzione di una concezione dei postulati che, anziché appartenere alla sfera dell’evidenza immediata, affondava le radici in una dialettica e in un ruolo inferenziale propri della matematica greca, lontani dalla moderna nozione di assioma.

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8 Il silenzio delle fonti antiche sui postulati di Euclide

Un’indagine sull’assenza di testimonianze dirette riguardo l’origine e la natura dei postulati euclidei, con l’eccezione problematica ma preziosa di una fonte tarda.

L’analisi si concentra su un paradosso storiografico: il silenzio quasi totale che avvolge i postulati di Euclide nelle fonti antiche. Se da un lato si riconosce che “il grosso della geometria si fonda su quei postulati qui” - (fr:142), dall’altro si constata con stupore che “nessuno ne parla prima di Euclide” - (fr:143), ipotizzando un loro inserimento postumo proprio da parte del matematico alessandrino. Questa assenza non riguarda solo l’epoca precedente, ma persiste anche in quella successiva: “nessuno ne parla dopo” - (fr:143). Leggendo i commentatori aristotelici, neoplatonici o i frammenti scettici, emerge che “nessuno parla dei postulati come se si trattasse di principi di qualche rilevanza o di qualche interesse” - (fr:144).

Esiste un’eccezione a questo silenzio, ma è dichiaratamente fragile. “C’è che io sappia in particolare un’unica fonte, un’unica testimonianza antica che parla dell’origine dei postulati” - (fr:146). La fonte è definita “pessima” - (fr:147) per la sua distanza temporale: si tratta di Simplicio, un commentatore aristotelico del VI secolo, quindi “900 anni dopo Eu[cli]de” - (fr:147). La testimonianza è ulteriormente mediata perché l’opera originale è perduta e ci è giunta “per frammenti da un matematico arabo che la leggeva, questo Alnaizzi” - (fr:147), rendendo il percorso della notizia “remotissimo” - (fr:147).

Nonostante le condizioni impongano “molta cautela, se non addirittura scetticismo” - (fr:148), la testimonianza non è priva di valore. Simplicio era un erudito che “guardava molti manoscritti antichi” - (fr:148), e alcuni suoi passi descrivono la diversa natura dei manoscritti degli Elementi, distinguendo tra “manoscritti più antichi fatti così, dei manoscritti più moderni fatti colì” - (fr:149). Ciò delinea la figura di un uomo “interessato” all’antichità classica e vissuto in un’epoca in cui “c’erano ancora questi testi e non erano andati perduti” - (fr:150). Un dato rilevante è che Simplicio aveva accesso diretto a una fonte primaria oggi perduta: “leggeva una famosa storia della matematica, per noi storia della matematica preeuclidea, scritta da Eudemo, il discepolo di Aristotele” - (fr:151). Quest’opera, scritta “nella generazione dopo Aristotele” - (fr:152), rappresenterebbe la chiave per la comprensione di tutto ciò che precedette Euclide, e la sua perdita è tanto più grave in quanto ci priva di una possibile spiegazione su un’origine che i commentatori aristotelici successivi tentavano solo di intuire, cercando di riscontrare nei testi del maestro “qualche cosa che assomiglia ai postulati” - (fr:145) per forzare un accordo tra le due autorità.

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9 Oltre l’astrazione: obiezioni fisiche alla geometria euclidea nell’antichità

Le critiche antiche a Euclide, apparentemente ingenue, rivelano una tensione tra lo spazio astratto dei postulati e i limiti del cosmo materiale, come il mare, i fiumi e la sfera delle stelle fisse.

Il brano analizza una serie di obiezioni che autori antichi muovevano ai postulati e alle costruzioni degli Elementi di Euclide, obiezioni incentrate sull’impossibilità pratica di tracciare linee rette a causa di ostacoli fisici. L’oratore nota come queste critiche, riportate da Simplicio e da altri, appaiano al lettore moderno “del tutto extratematica” e “naiv” (fr:168), ma siano in realtà numerose e meritino attenzione perché mostrano un modo di pensare lo spazio radicalmente diverso da quello della geometria differenziale odierna: “Lo spazio non è geodeticamente connesso, cioè non è possibile tracciare una linea che assomiglia ad una linea retta da punto a punto” (fr:166).

Tra gli esempi più elementari spicca l’impossibilità di tracciare una retta sulla superficie dell’acqua: “Quello che dice Simplio è certamente impossibile per me tracciare una linea retta sulla superficie del mare, quindi forse il il postulato di euclide è falso” (fr:167). Subito dopo si elencano situazioni analoghe: un fiume o una città che si frappongono tra due punti, così “non potete tracciare la linea perché c’è il fiume in mezzo” (fr:172). L’argomentazione si estende alla sfera celeste: “Sarebbe affrettato postulare che si possa tracciare una linea retta fra l’Ariete e la bilancia” (fr:174), poiché questi punti sono antipodali e “qualsiasi retta passerebbe attraverso la Terra e questo non si può fare” (fr:175).

La finitezza del cosmo è un altro cardine delle obiezioni. Alla possibilità di prolungare una retta all’infinito si risponde che “è impossibile estendere una linea illimitatamente all’infinito perché l’infinito non esiste” (fr:176); il pensiero sotteso è semplicemente che “il cosmo è finito” (fr:178) e “non si può tracciare una linea infinita perché a un certo punto uno arriva al limite del cielo” (fr:179). Lo stesso ragionamento si applica al quinto postulato: prolungando due rette “a un certo punto e finisce lo spazio perché toccate le stelle fisse, queste non si incontrano e quindi il postulato è falso” (fr:184). La citazione diretta chiarisce la mentalità: “Né si desidera che siano estese oltre la sfera delle stelle fisse” (fr:182), perché Euclide avrebbe parlato di prolungamento “con riferimento all’immaginazione in modo da non essere costretto a indicare una grandezza definita” (fr:181).

Anche costruzioni un tempo canoniche vengono messe in discussione. Alessandro di Afrodisia contesta il primo teorema di Euclide (costruzione del triangolo equilatero) nel caso in cui il segmento dato sia il diametro del cosmo: “è impossibile costruire un triangolo equilatero su di essa perché non c’è nulla fuori dal cosmo” (fr:186-187). Se AB è il diametro dell’universo, i cerchi ausiliari e il triangolo “finiscono fuori e quindi non c’è spazio per fare questa costruzione” (fr:194), rendendo inapplicabili il primo e il terzo postulato.

La parte più significativa riguarda Proclo, il quale nel suo commento al primo libro degli Elementi fornisce numerose costruzioni alternative che si rendono necessarie “per mancanza di spazio” (fr:198). Per esempio, nel tracciare una perpendicolare, qualcuno potrebbe obiettare che “non c’è spazio, non c’è luogo topos dall’altra parte della linea” (fr:200); la soluzione procliana evita di estendere il cerchio al di là della retta, proprio come nella geometria pratica un muro impedisce di tracciare la costruzione dall’altro lato: “Il muro vi impedisce di tracciare la perpendicolare” (fr:204). Analogamente, in Elementi I.5, la dimostrazione che il triangolo isoscele ha gli angoli alla base uguali viene discussa perché la costruzione “scende in giù oltre il triangolo” e “magari lì non c’è spazio” (fr:206).

Queste argomentazioni, che oggi suonano estranee alla matematica pura, rivelano una testimonianza storica preziosa: la geometria antica era profondamente ancorata a uno spazio fisico delimitato dalla sfera delle stelle fisse, e le critiche di Simplicio, Alessandro e Proclo testimoniano un dialogo vivo in cui il rigore euclideo doveva fare i conti con la tangibilità dei luoghi. Il discorso riporta che l’origine di alcune prove “siano nella geometria pratica” (fr:202), suggerendo un intreccio fra teoria e applicazione che anticipa per via negativa la moderna distinzione tra spazio matematico e mondo materiale.

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10 Ipotesi sul movente filosofico dei postulati euclidei

Il passo esplora la tesi secondo cui la struttura assiomatica degli Elementi di Euclide andrebbe compresa alla luce delle accese controversie filosofiche sviluppatesi ad Atene tra il IV e il III secolo a.C. L’autore premette l’incertezza cronologica, collocando Euclide «una o due generazioni dopo Aristotele», ovvero in un’epoca in cui le obiezioni alla geometria «è molto probabile che in quegli anni addirittura aumentassero» perché la generazione successiva ad Aristotele «è quella di Epicuro» (“Eh, ora se voi avete in mente questo ambiente culturale, eh eh eh noi non sappiamo, come vi ho detto, esattamente quando è vissuto l’Euclideo, ma immaginando che sia vissuto una o due generazioni dopo Aristotele, che è quello quello insomma le indicazioni migliori migliori che abbiamo, e insomma questo tipo di obiezioni è molto probabile che in quegli anni addirittura aumentassero, nel senso che la generazione dopo Aristotele è quella di Epicuro, quindi quindi Euclide può essere stato un contemporaneo di Epicuro, forse un contemporaneo un po’ più giovane di Epicuro, per esempio.” – fr:238).

A caratterizzare quel clima culturale sarebbero state due spinte convergenti: da un lato il materialismo integralista degli epicurei, che «si opponevano in toto alla matematica perché le linee sono fatte di atomi, quindi non sono infinitamente divisibili»; dall’altro lo scetticismo dell’Accademia platonica inaugurato da Arcesilao, unito al materialismo di Zenone di Cizio (fr:239). Davanti a sofisti, scettici ed epicurei che negavano la liceità stessa del procedere geometrico – «La geometria non si può fare, non puoi prolungare le linee, ci sono i fiumi, c’è il cosmo finito, ci sono gli atomi» (“Quindi, diciamo, è del tutto ragionevole immaginarsi che Euclide avesse davanti a sé un certo numero di persone, di filosofi, di sofisti, di scettici, di materialisti, di epicurei che gli dicevano ‘La geometria non si può fare, non puoi prolungare le linee, ci sono i fiumi, c’è il cosmo finito, ci sono gli atomi, non non che stai facendo?’” – fr:240) – Euclide avrebbe avvertito la necessità di blindare il discorso matematico mediante un nucleo di principi indubitabili.

L’ipotesi è espressa con cautela ipotetica: «è ragionevole quantomeno immaginare che Euclide abbia sentito la necessità di porre una serie di principi» (“E e quindi è ragionevole quantomeno immaginare che Euclide abbia sentito la necessità di porre una serie di principi per dire voi mi dovete concedere questo e e se mi concedete questo io vi faccio vedere che è vero il teorema di Pitagora, che la somma degli angoli interni sono 180° e così via.” – fr:241). Subito dopo, però, l’autore introduce un netto contrappunto storiografico: «gli storici della matematica oggi sono molto scettici sul fatto che si possa attribuire un qualsiasi colore filosofico euclide o un qualsiasi interesse filosofico euclide» (“Eh, questo lo dico, questo lo aggiungo per perché gli storici della matematica oggi sono molto scettici sul fatto che si possa attribuire un qualsiasi colore filosofico euclide o un qualsiasi interesse filosofico euclide.” – fr:242), per poi ribadire l’assenza totale di dati certi (“Ora, diciamo, non lo sappiamo, naturalmente non lo sappiamo, non abbiamo la minima idea.” – fr:243).

A rafforzare lo scetticismo viene osservato che i matematici ellenistici di poco posteriori, come Archimede e Apollonio, «non si interessavano di filosofia per niente, erano, diciamo così, puri matematici, tecnici» (“Dopo Euclide, quei matematici che conosciamo un po’ meglio, tipo Archimede e Apollonio, non si interessavano di filosofia per niente, erano, diciamo così, puri matematici, tecnici.” – fr:244). Eppure il caso di Euclide, secondo l’autore, resta distinto, perché alcune fonti lo dicono ateniese e quindi immerso quotidianamente nei dibattiti con Epicuro o con Arcesilao (“Noi non sappiamo, appunto, esattamente quando e come sia vissuto, però alcune fonti ci dicono che era di Atene, per esempio, mentre Archimede era di Siracusa, era Apollonio di di di insomma del l’Asia Minore, quindi viveva presumibilmente in mezzo a queste persone e quindi conosceva, insomma, parlava tutti i giorni con Epicuro o con Arces Sililao.” – fr:246). La testimonianza non scioglie l’ambiguità, ma la documenta come tensione irrisolta tra l’immagine di un Euclide puro tecnico e quella di un pensatore costretto a misurarsi con le negazioni filosofiche del suo tempo.

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[11.1/1-5-266|268]

11 Il problema della collocazione degli enti geometrici tra antichità e modernità

Il brano affronta la domanda ontologica su dove risiedano gli oggetti geometrici, una questione che si pone con forza quando la geometria non è ancora pensata come scienza dello spazio. In quel contesto, il problema acquista pieno spessore filosofico: “Quindi, diciamo, in questo contesto di una geometria che non è una geometria dello spazio, il il problema dove stanno gli oggetti geometrici è un problema vero, diciamo, dal punto di vista filosofico” (fr:265). Una risposta radicale nega ogni collocazione: “Non dice sono in uno spazio matematico, dice non sono da nessuna parte” (fr:264). La tradizione platonica offre invece l’iperuranio come dimora delle idee, mentre un’interpretazione più tarda sposta queste entità nell’immaginazione: “Stanno nell’iperuranio, sì, va bene, come dice Platone, oppure sono astratti, sono nell’immaginazione” (fr:266). A sviluppare la seconda via è soprattutto il neoplatonismo di Proclo, che elabora una vera e propria ontologia degli oggetti matematici collocandoli nella facoltà immaginativa: “Sapete che ci sono tutti i neoplatonici tardi, Proclo, soprattutto che parla di un’ontologia degli oggetti matematici nella facoltà dell’immaginazione” (fr:267).

Queste costruzioni filosofiche, benché assai articolate, perdono la loro necessità con il mutamento di prospettiva introdotto dalla modernità. A partire dal X secolo, la geometria viene concepita direttamente nello spazio, e il problema della localizzazione degli enti geometrici cessa di essere avvertito: “Però, insomma, queste sono risposte filosofiche molto articolate, diciamo, sono risposte filosofiche delle quali, in un certo senso, i moderni, a partire dal X secolo in poi, non sentono più veramente la necessità, perché per i moderni le figure geometriche sono nello spazio semplicemente non non non si pone non si pone il problema” (fr:268). Il testo testimonia così il passaggio da un’interrogazione metafisica sullo statuto degli oggetti matematici a un’assunzione spaziale non problematica, segnando l’abbandono di una tradizione filosofica millenaria.

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[12.1/1-15-276|289]

12 La costruzione ausiliaria e l’indipendenza delle verità geometriche

Un esempio didattico mostra come in Euclide la catasway – la costruzione ausiliaria ottenuta tramite i postulati – serva a rendere visibili figure non date, e come l’impossibilità materiale di tracciare tale costruzione non alteri la verità geometrica che si intende dimostrare.

Il testo esamina la funzione della costruzione ausiliaria nella geometria euclidea, introdotta con il termine tecnico greco “catasway”, tradotto come “costruzione ausiliaria” (fr:275). Per illustrarla viene scelto il caso della dimostrazione che “in un triangolo iso gli angoli alla base sono uguali” (fr:277). Il procedimento descritto parte da un “triangolo di social che è dato” (fr:278) – un triangolo isoscele – e, applicando i postulati 1 e 2, estende le linee, individua punti e traccia nuove linee. L’intervento è sintetizzato così: “quello che fa Euclide è tramite il postulato 2 estende quelle linee, […] prende dei punti tramite il postulato uno, traccia delle altre linee fra punto a punto e quando ha fatto con i postulati questa costruzione ausiliaria qui, la parte in rosso è la costruzione ausiliaria” (fr:279). La figura così generata permette di considerare triangoli non presenti nell’originale: “tutto dalla costruzione ausiliaria fatta con i postulati gli serve per poter avere queste figure in più, questi triangoli che […] nell’originale triangolo di social non ci sono” (fr:281). La dimostrazione procede quindi confrontando triangoli, mostrando uguaglianze e operando sottrazioni di angoli fino a concludere l’uguaglianza cercata (cfr. fr:280).

Il nucleo più originale del brano emerge quando si oppone una difficoltà materiale all’estensione delle linee: la presenza di un fiume. “Ora se voi vi immaginate che questa costruzione non si possa fare perché c’è il fiume e quindi lui non non può estendere quelle lineere, che cosa ne possiamo che che conseguenza ne possiamo trarre?” (fr:282). La risposta distingue nettamente il piano fisico da quello geometrico: “l’unica cosa che succede se lì c’è un fiume è che io non posso dimostrare quella proprietà del triangolo di social, ma certamente la presenza di un fiume lì non fa sì che gli angoli alla base di un triangolo iscele siano diversi fra loro perché è semplicemente un fiume” (fr:284). Con una formulazione incisiva si afferma che “stiamo cambiando la geografia, ma non la geometria” (fr:285).

L’argomentazione considera poi altre possibili costruzioni: Euclide potrebbe “fare quell’altra costruzione all’interno e dimostrare che gli angoli […] sono uguali tracciando le linee dentro il triangolo perché qui c’è un fiume” (fr:286). Se anche un’ulteriore ostacolo – una città – precludesse ogni variante costruttiva, “se anche tutti i suoi tentativi fossero bloccati, resterebbe il fatto che gli angoli alla base del triangolo di Socciele sono uguali” (fr:288). La conclusione è che la verità geometrica non dipende dalla possibilità di eseguire un disegno: “non c’è niente che possa impedire, diciamo così, questo fatto” (fr:289).

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[13.1/1-6-294|295]

13 La natura strumentale dei postulati euclidei

Un’analisi della funzione originaria dei postulati di Euclide contrapposta all’interpretazione moderna degli assiomi.

Il testo distingue nettamente il significato che oggi attribuiamo agli assiomi geometrici dal ruolo che i postulati svolgevano effettivamente nel sistema di Euclide. Nella concezione moderna, gli assiomi sono presi come verità prime che descrivono l’essenza delle figure: “Gli assiomi per noi sono verità prime sulla geometria che ci dicono che le figure geometriche sono fatte così e così” – (fr:292). Essi pretendono di affermare come sono fatti i triangoli e gli altri enti geometrici (fr:291).

Il brano contesta la proiezione di questa idea sui postulati euclidei. L’esposizione, dal tono colloquiale che traspare da espressioni come “Eh, quindi, diciamo, il il punto è che…” (fr:290), chiarisce che “questi postulati di Euclide non stanno dando delle verità fondamentali sulla geometria” – proprio perché non raccontano la natura degli oggetti: “Non stanno dicendo come è fatta la geometria, come sono fatti, come sono fatti i triangoli” – (fr:291).

L’argomento centrale è che i postulati euclidei, differentemente dagli assiomi moderni, non esprimono alcuna proprietà intrinseca degli enti geometrici: “Quello che gli assiomi o meglio i postulati fanno per Euclide è non dire nulla sulla natura delle linee rette, dei cerchi o delle parallele” – (fr:293). La loro funzione è puramente operativa e dimostrativa: “non enunciano nessuno stato di cose, nessuno stato di fatto, non esprimono verità geometriche prime, ma sono strumenti per la dimostrazione” – (fr:294). In quest’ottica il postulato non dice come il mondo geometrico è fatto, ma permette di agire al suo interno: “io uso i postulati per tracciare quelle linee che poi mi consentiranno di fare quella dimostrazione” – (fr:295). L’intero passo testimonia quindi una rilettura storicamente avvertita dei fondamenti della geometria, in cui i postulati non fondano un’ontologia ma forniscono le regole costruttive del ragionamento geometrico.

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[14.1/1-5-339|342]

14 L’ultimo minuto di una narrazione compressa: matematica, filosofia e principi primi

Le frasi conclusive di una lezione pubblica annunciano per l’indomani una storia densa, intrecciata ai cardini del pensiero razionale, e si chiudono tra applausi e il riconoscimento di un ascolto riuscito anche per i meno esperti.

Il frammento restituisce il momento terminale di un incontro divulgativo, probabilmente una lezione o una conferenza a carattere scientifico. Il relatore sta riassumendo il senso della propria esposizione: “Ed è una storia che che riguarda i principi della matematica, ma che riguarda anche molti principi che non sono nella matematica, ma sono appunto i principi della filosofia, della teologia, il principio di non contraddizione, il principio di ragion sufficiente, eccetera.” – (fr:338). Emerge un intreccio disciplinare che colloca la matematica in un orizzonte più vasto, richiamando i fondamenti della logica classica e della metafisica (non contraddizione aristotelica, ragion sufficiente leibniziana) e sfiorando la teologia.

Subito dopo il parlante aggiunge: “E un un storia estremamente compressa, io cercherò di farvela domani.” – (fr:339). La scelta dell’aggettivo “compressa” suggerisce una sintesi densa, forse difficile da contenere nel tempo rimasto, e lascia intendere che l’incontro faccia parte di un ciclo (la promessa del “domani”). L’annuncio crea attesa per una narrazione che connetta saperi apparentemente distanti attraverso principi comuni.

Il prosieguo è scandito da un’indicazione temporale netta: “17:30, io mi fermo.” – (fr:340). Questa puntualità rivela un contesto organizzato con precisione (un festival, un seminario, un corso), in cui il rispetto dell’orario viene comunicato al pubblico come gesto di chiarezza e disciplina.

Segue il ringraziamento: “Molte grazie.” – (fr:341), subito accompagnato dall’applauso. L’ultima frase cattura l’intervento di un moderatore o di chi ha introdotto l’oratore: “[Applauso] E quindi se avete se avete domande e molte grazie naturalmente perché diciamo un un ascoltatore nudo e crudo è riuscito a seguire tutto.” – (fr:342). L’espressione “ascoltatore nudo e crudo” è una tessera linguistica insolita: indica qualcuno totalmente sprovvisto di preparazione, un profano puro e semplice, che tuttavia ha retto il discorso senza perdersi. Questo dettaglio valorizza l’efficacia comunicativa del relatore e la natura inclusiva dell’evento, probabilmente aperto a un pubblico generico.

La testimonianza, pur nella sua brevità, ha un duplice significato. In primo luogo documenta un modo di fare divulgazione che non separa la scienza esatta dai dibattiti fondazionali della filosofia e della teologia, ricordando che principi come la non contraddizione e la ragion sufficiente sono terreno comune a più tradizioni del pensiero. In secondo luogo, la formula dell’“ascoltatore nudo e crudo” consegna una piccola cronaca sociale: la riuscita di una comunicazione scientifica misurata sulla capacità di farsi seguire anche da chi era del tutto digiuno della materia, in un tempo in cui simili ponti tra discipline non erano scontati.

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[15.1/1-6-374|378]

15 I principi del ragionamento come fondamento dello spazio delle ragioni

Il testo analizzato delinea una distinzione fondamentale tra due tipi di principi, concentrandosi sulla natura e la funzione di quelli che governano il pensiero corretto. L’argomentazione si basa sull’identificazione di regole come il principio di non contraddizione e quello del terzo escluso, esplorandone il ruolo fondante per la logica e per la stessa possibilità di ragionare.

Viene innanzitutto evocato il legame storico tra questi principi e la logica classica: “Il principio di non contraddizione dovrebbe, secondo alcune letture fondare l’osilogistica aristotelica” (fr:373). Al medesimo ambito appartiene un’altra regola logica fondamentale, descritta come “il principio del terzo escluso dalla insomma la regola di inferenza della riduzione dell’surdo, ma appunto ma cominciare da una cosa falsa, arrivare alla contraddizione, quindi eh assumere il contrario” (fr:374).

La peculiarità di questi principi non risiede nel loro contenuto descrittivo, ma nella loro funzione normativa. Essi non descrivono una realtà oggettiva, bensì prescrivono le modalità di un ragionamento valido: “Quindi si tratta di principi che invece di dire come stanno le cose dicono qualche cosa sulla maniera in cui noi ragioniamo e e come si ragiona correttamente” (fr:375). Proprio per questa loro natura, non possono essere sottoposti allo stesso regime di giustificazione richiesto per una verità fattuale o geometrica. Come esemplifica il testo, la domanda “perché” è impropria se applicata ad essi: “Quindi non sono principi dei quali propriamente si possa chiedere ragione, così come se uno mi dicesse la somma degli angoli interni è 180°. Io li chiedo perché” (fr:376-377).

Il significato storico e filosofico di questa posizione emerge con chiarezza nella frase conclusiva. Tali principi non sono oggetti di dimostrazione, ma la condizione di possibilità di ogni dimostrazione e indagine razionale. Essi sono il fondamento che istituisce ciò che il testo definisce con un termine moderno: “Perché sono quei principi che consentono di chiedere perché in un certo senso, cioè che aprono quello che si chiama oggi lo spazio delle ragioni, cioè la la possibilità di di di ragionare in in primo luogo” (fr:378). Questa prospettiva permette di riconsiderare sotto una nuova luce anche i fondamenti di sistemi assiomatici antichi, suggerendo come le nozioni comuni di Euclide potessero già essere interpretate come regole del ragionamento e non come mere affermazioni sull’essere.

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[16.1/1-14-433|444]

16 La tesi di Szabó e il movimento nella geometria greca: tra dialettica e costruzione

Il problema dell’origine dei postulati euclidei e le due modalità con cui i matematici antichi impiegavano il movimento.

Il testo affronta il rapporto tra i paradossi di Zenone e la nascita dell’assiomatica euclidea, discutendo la tesi dello storico ungherese Árpád Szabó (qui Alpad Zabò) e soffermandosi sul ruolo del movimento nella matematica greca.

La proposta di Szabó sostiene che “i postulati e gli assiami dioplide sarebbero nati in risposta agli argomenti zenoniali, cioè agli argomenti eleatici” – (fr:432), ovvero che Euclide avrebbe formulato i propri principi per contrastare le aporie di Zenone, come quella di Achille e la tartaruga. Per andare contro Zenone, infatti, occorre “postulare alcune cose iniziali […] e di assumere alcuni principi” – (fr:433).

L’autore del testo giudica tale ricostruzione “una riposizione a fascinosa, ma […] credo falsa” – (fr:434) e ricorda che “quasi tutti gli storici della matematica oggi la ritengono falsa” – (fr:435). Pur riconoscendo che obiezioni dialettiche possano aver motivato Euclide, dubita che fossero di matrice eleatica, perché nessuna fonte antica menziona un simile legame. Al contrario, “noi troviamo tutte queste obiezioni fisiche e materialistiche, ma non troviamo nessuna obiezione ai posturati legata al agli argomenti aleatici” – (fr:436).

L’unico possibile indizio rintracciato è una “dimostrazione eh sofistica” – (fr:437) relativa al postulato delle parallele: due rette convergenti dovrebbero aumentare la propria vicinanza per infinitesimi successivi e non si incontrerebbero mai, perché “serve un tempo infinito, diciamo, prima prima che si raggiungano” – (fr:437). Si tratta di “l’unica traccia che ho trovato in tutti i testi antichi di un qualche riferimento possibile, diciamo, a agli argomenti eleatici” – (fr:438). La tesi di Szabó risulta perciò “estremamente congetturale” – (fr:439) e, mettendo insieme obiezioni antimatematiche e principi assiomatici, appare “un po’ povero” – (fr:440).

Spostando l’attenzione sulla questione del movimento, il testo osserva che nella matematica antica la sua presenza è “estremamente complicata” – (fr:441) e si manifesta in due forme distinte. La prima è la generazione di oggetti geometrici attraverso il moto: “per generare un cerchio io faccio quotare un segmento su uno dei suoi estremi e l’altro estremo traccia un cerchio e eh oppure insomma trascino un punto e e produco una linea” – (fr:443). La seconda è la sovrapposizione di figure per confrontarle – (fr:444). Restano quindi due modi, costruttivo-dinamico e comparativo, con cui Euclide e i matematici antichi integravano qualcosa di simile al movimento senza uscire dall’impianto statico della geometria.

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[17.1/1-9-448|453]

17 Il concetto di movimento nella geometria greca e la sua trasformazione nel Medioevo arabo

Il testo analizza la natura del movimento nella costruzione e nella sovrapposizione delle figure geometriche, mettendo in luce una fondamentale distinzione filosofica e operativa tra la tradizione euclidea e gli sviluppi successivi della matematica araba medievale.

Nelle fonti filosofiche greche, la generazione di enti matematici attraverso lo spostamento di punti non era concepita come un movimento locale. Aristotele la classificava piuttosto come un’alterazione di tipo “accrescimento e diminuzione, cioè un altro tipo di cambiamento che non richiede topos” – (fr:446). Si tratta, prosegue il testo, di una dynamis “che non richiede un luogo nel quale avviene, che crea, diciamo così, il proprio luogo nel momento in cui la figura viene prodotta” – (fr:447). A riprova di questa impostazione, viene citata la terminologia stessa: “sia i filosofi che i matematici effettivamente utilizzano […] altri termini, il principale dei quali è rusis, che vuol dire flusso, il flusso del punto, invece del movimento del punto, cioè non c’è una chinesis o una fora del punto, ma c’è solo un flusso” – (fr:448).

Questa concezione statica del flusso si riflette coerentemente nel metodo dimostrativo della sovrapposizione adottato da Euclide. L’operazione del “prendo un triangolo, un altro triangolo, gli metto uno sopra l’altro e vedo che cosa sta succedendo” – (fr:445) non implica mai uno spostamento reale. Il dato terminologico conferma tale lettura: “quando lui sovrappone figura non dice mai si muova il triangolo sopra l’altro triangolo, si dice semplicemente si sovrapponga nel due triangoli” – (fr:449). Il testo insiste sull’assenza di verbi di moto: “non c’è mai nessun verbo che sembra indicare una qualsiasi forma di movimento, ma semplicemente l’esserci di due triangoli uno sopra l’altro” – (fr:450). La ragione tecnica, benché più complessa da esporre, è stringente: Euclide non opera mai la sovrapposizione di una parte di una figura con un’altra parte della medesima figura, perché ciò richiederebbe un autentico spostamento. “E questo Euclide non lo fa mai” – (fr:451). L’unica modalità impiegata consiste nel prendere due figure intere e indipendenti – “un pentagono, poi hai un altro pentagono che non ha nessuna relazione col primo e li sovrappone” – (fr:452).

Una cesura storica si produce quando, nella matematica araba, la nozione di luogo (topos) inizia a essere affrontata in modo sistematico. “I matematici del Medioevo arabo, stiamo parlando del X-X secolo, cominciano a muovere le figure, a parlare di sovrapposizione tramite movimento” – (fr:453). In questa nuova cornice concettuale diventa possibile ciò che in Euclide era escluso: “un pezzo di una figura viene sovrapposto ad un altro pezzo […] della stessa figura quindi attraverso un effettivo movimento delle linee” – (fr:453). L’introduzione del moto reale conduce a un deciso ampliamento degli strumenti dimostrativi: i matematici arabi, grazie all’idea di un movimento effettivo inscritto in uno spazio, “riescono a dimostrare cose che non era riuscito a dimostrare, non poteva dimostrare perché in effetti serve questa maniera diversa di intendere il movimento figure” – (fr:453).

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[18.1/1-11-481|489]

18 L’incremento storico delle nozioni comuni euclidee e il caso degli angoli retti

Nei secoli le nozioni comuni degli Elementi aumentarono per colmare lacune dimostrative, dando luogo a un regime ibrido in cui alcuni assiomi erano essi stessi oggetto di dimostrazione.

Principi come «tutti gli angoli retti sono uguali» non sono inferenziali alla maniera della non contraddizione, né prescrivono costruzioni con riga e compasso. “Ora, naturalmente, principi di questo tipo non sono principi inferenziali come il principio di non contraddizione e non non indicano costruzioni con righe e compasso” – (fr:481). Dire che tutti gli angoli retti sono uguali è un’asserzione sul contenuto della geometria – “Cioè io dico che tutti gli angoli retti sono uguali, sto dicendo qualche cosa sul contenuto della geometria, diciamo qualche cosa proprio su come sono fatti gli angoli retti” – (fr:482) – e solleva immediatamente una richiesta di giustificazione: “Qual è la giustificazione che tu puoi dare che tutti gli angoli retti sono uguali?” – (fr:483).

Questi postulati, come quello sugli angoli retti o sull’impossibilità che due rette racchiudano spazio, furono probabilmente introdotti nelle edizioni degli Elementi proprio perché Euclide se ne serviva nelle dimostrazioni e si avvertì il bisogno di elencarli fra gli assiomi necessari: “quelli che vi ho indicato ieri come postulati che erano probabilmente spuriche […] furono probabilmente aggiunti precisamente perché Euclide utilizza a un certo punto queste premesse” – (fr:480).

Il caso degli angoli retti mostra un regime ibrido. Nell’antichità classica, Proclo forniva una dimostrazione della proposizione, cosicché essa non restava un principio primo assunto senza prova. “Nello specifico, nell’antichità classica, per esempio, per questa proposizione c’era una dimostrazione che Proclo riporta e quindi ci troviamo in un regime ibrido in cui alcune proposizioni vengono aggiunte come assiomi o come principi agli elementi di Euclide e altri matematici danno dimostrazioni di questi principi” – (fr:484). Di conseguenza per molti secoli mancò una visione unitaria dell’epistemologia assiomatica: “c’è un certo numero di secoli nei quali […] non si può intendere una visione unitaria dell’epistemologia della siomatica” – (fr:485). Fra gli autori che segnarono passaggi importanti sono citati Galeno, Boezio e altri della tarda antichità (fr:486), sebbene non si possa entrare nel dettaglio.

Il fenomeno centrale illustrato è l’aumento progressivo delle nozioni comuni nelle varie edizioni degli Elementi. “Queste sono le tre nozioni comuni di Euclide, quelle logiche, e queste sono alcune che si aggiungono e questo è uno schema cronologico dai tempi di Euclide o poco prima di Euclide fino all’alto Medioevo, fino al X secolo, su come nelle varie edizioni degli elementi di Euclide queste nozioni comuni aumentano” – (fr:488). Lo schema mostra che, mentre Aristotele (indicato come “l’Encita 1”) ne contava una soltanto, Euclide ne aveva tre: “Per cui all’inizio Aristotele l’Encita 1, Euclide ne ha tre” – (fr:489). Attraverso i secoli i matematici aggiungevano nuovi principi perché trovavano le dimostrazioni euclidee lacunose: “vari matematici o scienziati o filosofi aggiungono un certo numero di assiomi e di principi perché trovano che le dimostrazioni di Euclide sono lacunose qui o là e quindi aggiungono qualche principio” – (fr:479). L’insieme di queste integrazioni, sintetizzato nello schema citato, testimonia una prassi testuale ed epistemologica in continua trasformazione fino al X secolo.

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[19.1/1-9-506|511]

19 L’illuminazione divina e le metafore della conoscenza degli assiomi nel Medioevo

Due commentatori medievali affrontano il problema aristotelico della giustificazione degli assiomi ricorrendo a immagini teologiche: Grossatesta con la luce che rende visibili le cose colorate, Guglielmo di Alvernia con gli assiomi stessi come torce luminose.

Il testo restituisce un momento del dibattito medievale sulla teoria della scienza, sorto attorno alla questione di come si possano fondare gli enunciati primi su cui si regge ogni dimostrazione. Secondo l’impianto aristotelico, infatti, “le cause, diciamo, di Aristotele occorre dare ragione di qualsiasi cosa” – (fr:503), ma resta escluso “il principio di non contraddizione o del principio del testo escluso semplicemente perché, come abbiamo detto prima, questi sono, diciamo, quelli che aprono il concetto di ragione per la prima volta” – (fr:504). Per tutti gli altri assiomi, invece, si esige una motivazione. È qui che si inserisce “il problema dei maestri del X secolo” – (fr:505) – in realtà figure operanti nel XIII secolo, dato che vengono citati Roberto Grossatesta e Guglielmo di Alvernia –: “visto che noi abbracciamo questa teoria della scienza e Aristotele ci ha convinto che si deve chiedere perché di qualsiasi cosa e quindi dire fornire ragioni per qualsiasi enunciato, come facciamo a fornire ragioni per questi assiomi?” – (fr:505).

La risposta più arcaica che questi pensatori propongono è interamente teologica. “E la la la più antica soluzione che ci presentano questi maestri del del X secolo è, diciamo così, completamente o quasi completamente teologica e viene dal primo commento agli analitici secondi che fu scritto nel Medioevo da Roberto Grossatesta” – (fr:506). Grossatesta, filosofo inglese, afferma che conosciamo gli assiomi “attraverso una qualche forma di illuminazione divina” – (fr:506). Agli occhi degli storici della scienza questa giustificazione appare debole: “Ora, naturalmente, questa per noi storici della scienza, diciamo, non è una grande giustificazione” – (fr:507).

Tuttavia Grossatesta non si limita a invocare l’intervento divino. La sua posizione acquista spessore grazie a una serie di metafore visive. “Grossa Testa produce tutta una serie di metafore per spiegare come noi conosciamo gli ossioni e e dice per esempio che eh gli asiomi sono come le cose colorate” – (fr:508). “Nel momento in cui vengono raggiunte dalla luce immediatamente diventano visibili” – (fr:509). Quella luce è l’illuminazione divina; gli assiomi appaiono soltanto una volta che Dio, come condizione di possibilità, è dato. Nella similitudine, “quella luce sarebbe l’illuminazione divina e gli assiomi naturalmente sono sono quelli che appaiono semplicemente una volta che sia data la luce, cioè si ha dato Dio” – (fr:510).

Un contemporaneo di Grossatesta, Guglielmo di Alvernia, costruisce una metafora diversa, rovesciando il rapporto tra gli assiomi e la luce. Invece di essere oggetti che attendono di essere illuminati, “dice che gli assiomi sono come eh eh delle torce o delle cose che fanno luce” – (fr:511). Qui gli assiomi non sono più entità passive che si rendono visibili grazie a un agente esterno, ma sorgenti attive di luminosità propria. Lo scarto tra le due immagini mostra come, pur restando nell’alveo di una conoscenza garantita da Dio, il dibattito si articolasse in modelli epistemologici differenti, in cui gli assiomi potevano essere visti ora come realtà dipendenti dalla grazia illuminante, ora come principi dotati di una sorta di autoevidenza attiva.

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[20.1/1-26-521|545]

20 L’autoilluminazione degli assiomi e la nascita del giudizio analitico nella scolastica medievale

Il testo ricostruisce il percorso che, a partire da un’intuizione di Roberto Grossatesta e passando per un errore di traduzione di Aristotele, conduce alla formulazione medievale dell’analiticità degli assiomi, culminata nella sistemazione logica di Tommaso d’Aquino. L’idea di fondo è che gli assiomi non siano privi di fondamento ma posseggano una ragione tutta interna: “così l’assioma non è eh privo di ragione, ma ha una ragione in se stessa” – (fr:521). Tale autosufficienza è accostata al principio teologico secondo cui “Dio Dio non è senza causa, ma è invece causa di sé” – (fr:520).

La svolta cruciale avviene con Roberto Kilwardby, allievo di Grossatesta, il quale “sfruttava una una niente meno che un errore di traduzione degli analitici secondi per cercare di attribuire questa teoria ad Aristotele stesso” – (fr:523). La versione scorretta degli Analitici secondi lasciava intendere che “non solo sosteniamo che c’è scienza, ma anche che ci sono principi della scienza in quanto conosciamo i termini” – (fr:525). Kilwardby interpretò questo passo come una giustificazione per “l’idea di grossa testa dell’autoilluminazione degli assiomi” – (fr:526), ovvero la dottrina secondo cui conosciamo i principi della scienza perché conosciamo le parole che li compongono. Ne derivò la tesi che “gli assiomi sono veri in base al solo significato delle parole, non perché ad essi corrispondano dei fatti” – (fr:528). Gli esempi addotti – “il cavallo bianco di Napoleone è bianco” (fr:529) e “Luca, che è scapolo, non ha una moglie” (fr:530) – mostrano verità che “derivano semplicemente dal significato interno dei termini e che non rimandano a nessun fatto” – (fr:531), e che pertanto sono “immediatamente conosciute come vere e che non possono essere messe in dubbio” – (fr:532). Kilwardby precisa tuttavia che, sebbene i principi siano conosciuti attraverso i termini, “quei principi sono proposizionali, cioè sono le le i primi giudizi nei quali si articola una verità, mentre i termini di per sé, cioè le parole, non sono né vere né false” – (fr:536). È quindi corretto chiamare assiomi queste proposizioni, poiché “sono vere semplicemente perché noi conosciamo il significato dei termini” – (fr:537) e non in quanto dimostrate a partire da essi.

La teoria conobbe una certa diffusione “nel corso del X secolo” – (fr:538), indicazione cronologica palesemente incongrua rispetto ai personaggi citati (Kilwardby, Bacone, Alberto Magno, Tommaso), tutti operanti nel XIII secolo: si tratta verosimilmente di un lapsus per “XIII secolo”. Essa fu accolta da Ruggero Bacone e da Alberto Magno e, attraverso quest’ultimo, giunse a Tommaso d’Aquino. Tommaso la trasformò in “una teoria generale di quella che noi chiameremo oggi la analiticità degli assiomi, cioè l’idea che gli assiomi sono giudizi analitici” – (fr:538). Nella sua formulazione, le proposizioni note per sé, ovvero gli assiomi, sono “quelle che sono conosciute immediatamente appena i loro termini sono conosciuti, come si dice nel primo libro degli analitici” – (fr:541) – un rinvio che ancora dipendeva dalla traduzione errata. La condizione logica che egli delinea è che “il predicato è contenuto nella definizione del soggetto oppure il predicato è identico con il soggetto” – (fr:543). L’esempio classico – “l’uomo è razionale” – diventa così un assioma perché la definizione di uomo è “animale razionale”; dire “l’uomo è razionale” equivale a dire “l’animale razionale è razionale e questa proposizione è vera indipendentemente dal fatto che io conosca uomini o da come è fatto il mondo” – (fr:545). In questo modo, la tradizione che da Grossatesta conduce a Kilwardby riceve “una declinazione logica” – (fr:544) che anticipa nitidamente la moderna nozione di verità analitica.

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21 L’ideale analitico della scienza in Tommaso d’Aquino: assiomi, contraddizione e il problema del postulato delle parallele

La concezione tomista degli assiomi come proposizioni analitiche, la loro necessità logica e la difficoltà di ridurre a tale modello il quinto postulato di Euclide.

Il brano illustra una prospettiva epistemologica radicata nell’idea che un autentico principio scientifico debba essere una proposizione in cui il predicato è già compreso nella nozione del soggetto. “Ogni proposizione in cui il predicato è incluso nella nozione del soggetto è immediata e conosciuta per sé stessa” (fr:546). Ciò significa che un assioma, una volta chiariti i termini che lo compongono, non può che apparire vero. Il dubbio, infatti, deriva solo dall’ignoranza dei significati: “per esempio, che tutti gli angoli retti siano uguali, uno può avere qualche dubbio perché non sa che cosa significa esattamente angolo retto o l’uguaglianza degli angoli” (fr:550). Quando invece si fornisce una definizione precisa, “immediatamente risulta che tutti gli angoli retti sono uguali” (fr:552), perché si tratta di una proposizione analitica, nella quale “è possibile includere in qualche maniera il predicato nel concetto del soggetto” (fr:553).

Da questa concezione discendono conseguenze radicali. Tommaso d’Aquino deduce con sicurezza che “negare un assioma vuol dire produrre immediatamente una contraddizione” (fr:555), analogamente a chi pretendesse di affermare che l’animale razionale non è razionale. Dunque “qualsiasi negazione di un assioma produce una contraddizione e quindi gli assiomi di Euclide, per esempio, sono necessariamente veri nella misura in cui il predicato è contenuto nel soggetto di ciascuno di essi” (fr:556). Se si ammette la correttezza delle deduzioni degli Elementi, allora negare una qualsiasi proposizione della geometria euclidea conduce a contraddizione, rendendo l’intera matematica “necessariamente vera per logica” (fr:556). Lo stesso ideale si estende a ogni scienza capace di fondarsi su principi certi, come la filosofia naturale o l’etica. In tale quadro, neppure un miracolo potrebbe sovvertire una conclusione geometrica come il fatto che “un triangolo potrebbe avere la somma degli angoli interni diversa da due angoli retti” (fr:556-557).

Il testo evidenzia tuttavia un punto di tensione che assume un preciso significato storico. “Questo è quello che succede, vi ricordo, nelle geometrie non euclidee, negando il postulato delle parallele” (fr:558). Per Tommaso, che opera in un orizzonte epistemologico in cui tutto deve essere ricondotto all’analiticità, “il postulato delle parallele, l’assioma delle parallele è o dovrebbe essere una proposizione nella quale il predicato è contenuto nel soggetto” (fr:558). Ma stabilire che quella specifica proposizione sia effettivamente analitica “è ben difficile” (fr:559). Si tratta di una questione che l’Aquinate lascia ai matematici, proprio mentre i suoi contemporanei tentavano invano di dimostrare il quinto postulato a partire dagli altri assiomi. L’ideale scientifico rimane quello di una scienza completamente trasparente all’intelletto, dove “non c’è niente di non giustificato” (fr:562) e “di tutto si può offrire ragione, tutto si può spiegare” (fr:563). Le scienze dovrebbero essere “completamente trasparenti all’intelletto umano, non ci sono assunzioni gratuite” (fr:564), poiché “qualunque cosa io assumo sotto forma di assioma, in realtà è una proposizione analitica” (fr:565).

Il passo documenta così non solo la coerenza interna della dottrina tomista della scienza, ma anche il punto in cui essa urta contro una difficoltà concreta. L’esigenza che il postulato delle parallele si riveli analitico rappresenta una sfida che, rimasta irrisolta, contribuirà a incrinare la visione degli assiomi come verità logicamente necessarie e contenute nei soggetti, aprendo la strada alle geometrie non euclidee e a una nuova concezione dei fondamenti della matematica.

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22 La teoria medievale dell’analiticità degli assiomi e la sua persistenza oltre l’errore testuale

La convinzione che gli assiomi delle scienze umane fossero proposizioni analitiche, fondata su un’autorità aristotelica rivelatasi inesistente, plasmò l’intera epistemologia medievale e sopravvisse alla scoperta del fraintendimento filologico per la sua intrinseca forza persuasiva.

Il nucleo della questione risiede in una dottrina che Tommaso d’Aquino inserì in modo organico nel proprio sistema, attribuendole una funzione discriminatoria precisa. Al fondamento delle scienze umane stanno principi primi che possiedono una natura specifica: sono proposizioni analitiche, verità auto-evidenti del tipo “come dire appunto eh eh eh l’animale razionale è razionale” (fr:566). Si tratta di affermazioni che non richiedono alcuna assunzione esterna, come sottolinea il testo: “sono cose del tutto innegabili, quindi non non c’è nessun tipo di presupposizione nelle scienze” (fr:567). Questa concezione, in Tommaso, era “particolarmente significativa” (fr:568) non come fine a sé stessa, ma come strumento per tracciare un confine netto.

Il vero scopo dell’operazione tomista era distinguere il sapere umano dalla teologia. La scienza sacra, pur condividendo con le altre scienze l’impalcatura dimostrativa fatta di “silogismi” e “argomenti conclusivi” (fr:570), si fonda su premesse di genere radicalmente diverso. Mentre gli assiomi delle discipline umane sono analitici, quelli della teologia “non sono proposizioni analitiche, ma sono date per rivelazione” (fr:569). Il discrimine tra l’intero edificio del sapere umano e la scienza sacra “sta precisamente sul come sono fatti gli assiomi” (fr:570). Questa teoria, proprio per la sua funzione architettonica, “viene innestata in maniera profondissima all’interno del sistema di Tommaso che ne parla in tante sue opere e vi insiste come di un argomento particolarmente importante” (fr:571).

Il successo storico della dottrina fu totale e trasversale. Intorno al 1270 essa poteva contare sull’avallo di un duplice pilastro dell’autorità intellettuale: era attribuita ad Aristotele, “la massima autorità filosofica”, e sostenuta da Tommaso, “quella che si imponeva ormai come la massima autorità teologica” (fr:572). Il risultato fu un’accoglienza senza eccezioni: “Nei secoli successivi questa teoria venne accolta da tutti senza esclusioni” (fr:573). La sua forza non derivava solo dal principio d’autorità, ma anche dalla sua capacità di offrire “un concetto di scienza come conoscenza suprema priva di assunzioni che evidentemente piaceva molto ai filosofi” (fr:574). L’adesione fu universale e superò ogni confine di scuola: “viene accettata da tutti i domenicani come Tommaso, ma anche da tutti i francescani come Bonaventura da Magno Reggio o Hocam” (fr:574), dai tomisti, dagli scotisti (Scoto stesso l’accetta) e infine dai nominalisti come Ockham. In sintesi, “avete effettivamente tutta quanta la teoria e l’epistemologia medievale che si fonda su questa teoria e durante il Medioevo ma anche dopo il Medioevo” (fr:575).

La scoperta dell’errore filologico non ne decretò la fine. Quando nel Quattrocento le nuove traduzioni umanistiche di Aristotele resero evidente che “il passo aristotelico citato da Tommaso e da tutti questi autori era sbagliato, cioè era semplicemente qualche cosa che non c’era nel testo” (fr:576), alcuni umanisti iniziarono a criticare la teoria scolastica. Un esempio emblematico è quello di Agostino Nifo, che nel 1523 dedica parte dei suoi commenti a correggere l’errore con “una vera e propria lezione di grammatica” (fr:577), spiegando minuziosamente la natura del fraintendimento linguistico, come mostra il passaggio “quello è un pronome relativo al caso eccetera eccetera” (fr:578). Tuttavia, la reazione degli scolastici non fu di abbandono, bensì di ostinata difesa. La ragione ultima risiede in un giudizio di valore che prescindeva dal dato testuale: “questa teoria era troppo bella, troppo giusta, troppo valida secondo loro per essere abbandonata” (fr:579). La dottrina dell’analiticità degli assiomi si era ormai resa autonoma dalla sua presunta origine aristotelica, legittimata non più da un’autorità testuale ma dalla sua percepita necessità concettuale.

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23 Il tramonto dell’assioma analitico delle parallele: l’impresa di Saccheri e la sua eredità

“Tutti gli assiomi sono analiticamente veri, per cui il postulato delle parallele deve essere vero semplicemente perché deriva dal concetto di retta parallela.” (fr:611) – Una teoria epistemologica che non ha retto alla prova della storia.

Il brano offre una testimonianza di storia della scienza, rievocando una fase cruciale nel cammino che ha portato alle geometrie non euclidee. Il punto di partenza è il definitivo superamento di una concezione epistemologica: “Ora quella parte è caduta.” (fr:610). Il «parte» caduta è l’idea che tutti gli assiomi, e in particolare il postulato delle parallele, siano verità analitiche. Secondo quella teoria, “tutti gli assiomi sono analiticamente veri, per cui il postulato delle parallele deve essere vero semplicemente perché deriva dal concetto di retta parallela, di rette parallele.” (fr:611). L’assioma, dunque, non sarebbe stato un principio indipendente, ma una conseguenza necessaria della definizione stessa di parallelismo.

Questa premessa epistemologica generò un preciso programma scientifico: dimostrare l’assioma a partire dai concetti, oppure, per via indiretta, mostrare che la sua negazione conduce inevitabilmente a una contraddizione. Il programma era chiaro: “non è un asioma che si può negare e negare l’asioma delle parallele implica immediatamente produrre una contraddizione secondo questi signori.” (fr:613). Tuttavia la sua realizzazione si rivelò ostinatamente impervia: “questi signori provavano, provavano, provavano e ancora non riuscivano a dimostrare in particolare l’asioma delle parallele.” (fr:612).

L’incarnazione più nota di questo sforzo è il gesuita Giovanni Girolamo Saccheri. Collocato nello stesso ambiente intellettuale del matematico Cristoforo Clavio, da lui continuamente citato, Saccheri perseguì l’unica strada che l’epistemologia analitica lasciava aperta: “nega l’assioma delle parallele e cerca di mostrare che a un certo punto si arriva ad una contraddizione esplicita, perché l’epistemologia implica che debba essere necessariamente così.” (fr:614). Il suo lavoro, per quanto poi storicamente sfociato in una «dimostrazione» ritenuta illusoria, viene qui qualificato come “una teoria importante” (fr:615). Il testo, pur nella sua brevità, fissa così il momento in cui la fiducia in una geometria interamente analitica si scontra con la resistenza del reale, preparando il terreno alla scoperta che il postulato delle parallele può essere negato senza contraddizione.

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24 La dimenticanza e l’eccezione tedesca della teoria scolastica degli assiomi: lo scontro generazionale e la doppia risposta di Kant e Lambert

La teoria scolastica che vedeva gli assiomi come dimostrabili a partire dalle definizioni, abbandonata in Francia e Inghilterra, sopravvisse in Germania grazie ai manuali di Wolff, imponendo un confronto che condusse a due vie distinte verso il sintetico a priori.

Il testo ricostruisce la vicenda storica e filosofica della teoria degli assiomi della tradizione scolastica, in particolare l’idea che la loro verità si manifestasse non appena compresi i termini, ossia fossero dimostrabili attraverso brevi definizioni. L’episodio evocato all’inizio – un possibile scherzo o fraintendimento – vede un interlocutore, Connering, che “semplicemente non ha mai sentito parlare della teoria scolastica”, mentre Leibniz, “carico di tutta la tradizione scolastica”, gli risponde che “Tutti gli scolastici sono d’accordo che la verità degli assiomi diventa manifesta non appena sono compresi i termini, vale a dire che gli assiomi sono facilmente dimostrati attraverso una serie di brevi definizioni” – (fr:671). Si tratta di “uno scontro generazionale” – (fr:672) fra chi era ancora immerso in quella manualistica e chi, formatosi su edizioni moderne di Euclide prive di dimostrazioni degli assiomi, li considerava veri senza porsi il problema.

Ciò che accadde soprattutto nel Settecento, argomenta l’autore, fu che “la teoria scolastica fu, diciamo così, dimenticata o comunque messa un po’ da parte, senza che nuove teorie fossero prodotte, ma semplicemente che un certo numero di studiosi non fosse proprio più al corrente del fatto che questa teoria fosse esistita” – (fr:673). Vi fu tuttavia “una grande eccezione che nominavo prima, cioè la Germania” – (fr:674), che, più arretrata rispetto a Francia e Inghilterra, “continuava a produrre testi scolastici” – (fr:675), in particolare quelli di Wolff e della scuola wolffiana. “E quindi fino alla fine del 700 […] sostanzialmente tutti gli studenti tedeschi erano esposti alla teoria della analiticità degli assiomi” – (fr:676). Questa permanenza rese possibile “una risposta filosofica alla teoria” – (fr:677) che altrove non vi fu, perché scienziati francesi e inglesi non disponevano più di alcuna teoria al riguardo. Gli studiosi tedeschi, invece, possedevano “i loro manuali del liceo, diciamo, dell’università di Wolf che gli dicevano gli assiomi possono essere dimostrati” – (fr:678) e dovettero quindi confrontarsi con tale eredità. In questo quadro, intorno agli anni Sessanta del Settecento emersero due figure di oppositori della teoria scolastica e wolffiana: “Kant che è molto noto a tutti e Lambert” – (fr:678), meno celebre ma “molto bravo e molto impegnato su questo punto” – (fr:679).

L’obiezione comune a Wolff era che la sua filosofia super-definitoria faceva “derivare gli assiomi dalla definizione” e gli permetteva di “buttare dentro qualsiasi definizione gli servisse da questa agli assiomi, da questa ai teoremi e dimostrare qualsiasi cosa senza nessun contatto con la realtà” – (fr:680). Chi sostiene che la verità degli assiomi sia puramente semantica, osservano Lambert e Kant, riduce la conoscenza a “un grande gioco linguistico in cui uno inventa le definizioni che vuole e quindi fa teorie su quello che vuole, come vuole” – (fr:681), e occorre invece “tornare alle cose stesse” – (fr:682).

Lambert, in particolare, tra il 1761 e il 1764 scrive una serie di opere epistemologiche e nel 1766 una “teoria delle parallele” dedicata a dimostrare l’assioma delle parallele in base alle sue nuove teorie – (fr:684). Alleato di Kant contro l’analiticità degli assiomi e i wolffiani – (fr:685), propone una soluzione “completamente diversa rispetto a quella del trascendentalismo cantiano” – (fr:686). Mentre Kant inaugura la via del trascendentalismo e della costruzione, Lambert, a partire da questi scritti, dà avvio a un’altra tradizione che conduce al sintetico a priori “attraverso la riduzione eidetica, l’osservazione delle cose e la messa fra parentesi” – (fr:689), tradizione che giungerà fino alla fenomenologia di Husserl – (fr:687, 689-690). Il punto di partenza di Lambert è un atto filosofico di stampo empirista, che prende le mosse dal saggio di Locke: “ritiene che la conoscenza cominci dall’esperienza” – (fr:691). Il passo verso l’a priori consiste nel “considerare i dati esperienziali in se stessi, scollegati causalmente da tutto quello che c’è attorno e quindi vederli per come sono” – (fr:692). Così facendo “noi stiamo trasformando il dato dell’esperienza in un contenuto a priori che possiamo studiare in se stesso” – (fr:693), procedimento esemplificato con l’isolamento del colore marrone di un tavolo per farne oggetto di scienza – (fr:694).

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25 La riduzione eidetica e il fondamento a priori delle scienze in Lambert

L’esperienza fornisce solo l’occasione per rendere coscienti rappresentazioni pure che, una volta isolate, fondano scienze interamente a priori, dalla teoria dei colori alla meccanica, fino alla geometria – i cui assiomi e postulati non derivano da definizioni ma da una visione semplice ed euclidea dello spazio.

Il passaggio illustra il nucleo del procedimento che Lambert chiama, con una espressione resa qui in forma parlata, «riduzione identetica detta in maniera detta in maniera semplice» (fr:702) – probabilmente una resa orale di “riduzione eidetica”. Tale riduzione conduce a un contenuto rappresentativo che «diventa indipendente dall’esperienza» (fr:702). Il ruolo dell’esperienza, infatti, è solo quello di occasione: «l’esperienza provvede a noi soltanto l’occasione di esserne coscienti» (fr:700). Una volta raggiunta la coscienza di tali rappresentazioni, si spezza il legame di fondazione con l’esperienza, perché «la possibilità è già presente nella semplice rappresentazione» (fr:701).

Da qui discende un programma ambizioso: «osservando il mondo dell’esperienza noi possiamo ridurre in questa maniera le nostre rappresentazioni in una serie di rappresentazioni semplici le quali sono date completamente a priori … e costituiscono il fondamento di altrettante scienze puramente a priori» (fr:703). Lambert elenca tre esempi significativi: una teoria dei colori pura («una volta che noi abbiamo la rappresentazione pura dei colori, noi possiamo produrre una teoria dei colori in maniera puramente a priore», fr:704), una meccanica a priori a partire dalla rappresentazione di peso e moto (fr:705) e, soprattutto, la geometria come scienza dello spazio puro («quando noi abbiamo una rappresentazione pura del concetto di spazio o di estensione, noi possiamo produrre semplicemente una geometria», fr:706).

La descrizione della geometria è particolarmente densa. La rappresentazione dello spazio, pur essendo «tratta dall’esperienza», viene considerata «a prescindere di tutti i suoi legami con l’esperienza come una rappresentazione pura e a priori in se stesso» (fr:707). Da questa rappresentazione Lambert ricava una serie di assiomi e postulati che egli presenta, a suo dire, «in maniera semplice come essi sono, seguendo l’esempio di Euclide» (fr:707). Ed è proprio qui che si coglie un punto metodologico netto, volutamente in contrasto con altre sistemazioni: «gli assiomi ai postulati non sono tratti inizialmente dalle definizioni e per quanto io lo capisco non dovrebbero essere tratti dalle definizioni» (fr:708). L’impostazione rifiuta una fondazione meramente nominale, puntando a un accesso diretto alla rappresentazione pura.

Dal punto di vista storico, il frammento testimonia una fase in cui la riflessione sui fondamenti delle scienze cerca una via mediana tra empirismo e deduttivismo logico-formale. L’accento sulla riduzione a elementi semplici, colti con un’evidenza di tipo eidetico, mostra un’influenza razionalista che sarà rielaborata in seguito da Kant, ma con una marcata fiducia nella possibilità di scienze a priori costruite su singoli contenuti rappresentativi isolati. La forma orale e informale del testo (con esitazioni e interiezioni) suggerisce un contesto di lezione o di discussione, dove l’argomentazione non è fissata in forma accademica ma conserva la vivacità del pensiero in movimento.

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26 La riconfigurazione kantiana degli assiomi: dalla definizione alla sintesi a priori

Il testo analizza la posizione di Kant sulla natura degli assiomi geometrici, evidenziandone la distanza dalla tradizione scolastico-wolffiana e dalla contemporanea proposta di Lambert, per mostrare come tale concezione abbia aperto, insieme a quella lambertiana, la strada alle geometrie non euclidee.

Il discorso si concentra sulla specifica natura della sinteticità a priori degli assiomi nella filosofia di Kant, confrontandola con la posizione di Lambert. Entrambi rifiutano l’idea tradizionale che gli assiomi siano proposizioni analitiche, ma divergono nel percorso fondativo. La “posizione cantiana” è introdotta in contrapposizione a quella di Lambert, che viene descritta come “del tutto diversa” (fr:731). Mentre la via lambertiana, proseguita da altri matematici, conduceva alla negazione formale dell’assioma per verificare la coerenza di sistemi alternativi (fr:730), Kant mantiene un legame con la struttura scolastica del procedere logico, pur rivoluzionandone la natura interna.

L’elemento peculiare della dottrina kantiana risiede nell’affermazione che “gli assiomi sono proposizioni sintetiche a priori nel momento nella misura in cui sono immediatamente certi” (fr:732). Tuttavia, a differenza di una rottura totale, Kant “in parte accetta la teoria scolastica che il punto di partenza siano le definizioni e che gli assiomi vengano in un certo modo dopo le definizioni” (fr:733). Questa apparente continuità con la tradizione, per cui le definizioni sono “i primi concetti indimostrabili delle cose definite” (fr:734) e l’assioma è “una proposizione che viene immediatamente dalla definizione” (fr:736), viene completamente reinterpretata da un punto di vista dinamico.

Il fulcro del cambiamento kantiano non è l’ordine sequenziale, bensì la natura del passaggio: “quello che sta cambiando in Kant è che il passaggio fra la definizione e l’assioma non è concepito come un procedimento analitico, ma invece come un procedimento di costruzione sintetica” (fr:738). Il processo non è logico-deduttivo ma costruttivo-intuitivo. Data la definizione di una figura, come la linea retta, l’atto conoscitivo consiste nel “costruire la linea retta nell’intuizione pura come atto dell’immaginazione” (fr:739). È questo tracciare ideale, questo atto di “tracciare la linea retta” (fr:740), a manifestare sinteticamente una serie di proprietà non analiticamente deducibili dalla mera definizione. Si instaura così “una derivazione non analitica ma sintetica a priori degli assiomi a partire dalle definizioni” (fr:741).

La testimonianza storica del testo risiede nel mostrare le conseguenze di questa mossa filosofica. Separando l’assioma dalla definizione con un atto sintetico, viene meno il vincolo di non contraddittorietà analitica che legava i teoremi ai principi primi. Poiché “manca quel momento analitico che collega l’assioma e il teorema alla definizione di partenza” (fr:742), negare un teorema non implica più una contraddizione logica immediata. Sebbene Kant, a causa della sua filosofia dello spazio, non ritenesse possibili geometrie alternative (fr:743), la sua teoria, come quella di Lambert, “apre la possibilità affinché i filosofi e i matematici delle generazioni successive potessero effettivamente produrre delle geometrie non euclidee” (fr:744). Viene citato il caso del kantiano Maimon, che “parla della possibilità di geometrie alternative se la forma dell’intuizione fosse diversa” (fr:744).

Il testo traccia infine una genealogia filosofica, delineando una biforcazione cruciale originata negli anni Settanta e Ottanta del Settecento. Emergono “due diverse opzioni su sulla sintesi degli assiomi sulla non analiticità degli assiomi” (fr:746) che attraversano i secoli successivi. L’opzione di Lambert confluisce in Bolzano e poi in Husserl, mentre quella kantiana si ramifica nell’idealismo tedesco e nel neokantismo, arrivando fino a Nelson e influenzando indirettamente autori che, pur con esiti diversi, si interrogano sulla natura dell’intuizione geometrica, come Frege che “riteneva che in geometria c’era un’intuizione a priori dello spazio, esattamente come diceva Kant” (fr:747). Questa duplice eredità costituisce il “carburante” (fr:747) che alimenta le riconfigurazioni moderne e contemporanee del concetto di principio geometrico.

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27 Riflessioni conclusive sulla storicità degli assiomi e la storia della scienza

Il breve estratto cattura il momento di chiusura di una lezione o di un seminario, nel quale l’oratore condensa alcune tesi di fondo con un tono discorsivo ma carico di implicazioni storiografiche. Le frasi, pronunciate in rapida successione, non costituiscono un trattato sistematico, bensì una testimonianza dal vivo di un modo di pensare la scienza nel suo divenire.

La premessa immediata è un richiamo alla necessità di radicare ogni discorso sui fondamenti in una solida indagine storica: “Quindi ecco, di nuovo bisogna studiare la storia della siatica.” (fr:750). L’espressione “siatica”, con ogni probabilità una forma contratta o una svista orale per scienza, segnala il coinvolgimento diretto del parlante e, al tempo stesso, restituisce il sapore di un intervento non scritte. Subito prima, era stata espressa l’ampiezza del campo: “ci sono un sacco di cose, ci sono un sacco di cose da fare e e eh ecco eh eh è un campo ricco” (fr:751). Questa ricchezza viene subito declinata in una critica storiografica precisa: non si può “semplicemente sostenere che appunto gli assiomi di Euclide erano gli stessi degli assiomi di Hilbert, grosso modo.” (fr:751). L’avverbio “grosso modo” smaschera il rischio di appiattire su un’unica linea evolutiva due impalcature concettuali profondamente diverse, nate da esigenze e contesti epistemologici irriducibili.

La posta in gioco, tuttavia, non è soltanto tecnica. L’oratore la estende alla dimensione filosofica generale: “insomma, ci sono delle delle trasformazioni delle trasformazioni estremamente importanti ed estremamente connesse con tutto il resto dello sviluppo dell’epistemologia, della metafisica, della filosofia” (fr:752). La ripetizione “delle trasformazioni delle trasformazioni” non è casuale; sottolinea, in un parlato enfatico, il carattere stratificato dei mutamenti che investono i concetti scientifici e la loro intima saldatura con l’intera storia delle idee. In questo orizzonte, la distinzione euclideo-hilbertiana diventa un caso esemplare di una trasformazione che tocca l’essenza stessa del sapere dimostrativo e della sua giustificazione.

La dimensione testimoniale è rafforzata dall’andamento con cui il discorso si conclude: un pacato “Eh va bene.” (fr:749) e l’esplicito “E quindi va bene, niente, mi fermerei qui per le domande.” (fr:753). L’intero frammento documenta così non solo un contenuto – la rivendicazione della storicità degli assiomi e della necessità di una storia della scienza non riduttiva – ma anche uno stile didattico che mescola rigore concettuale e immediatezza colloquiale, offrendo uno spaccato di come la riflessione epistemologica venga trasmessa in contesti accademici contemporanei.

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28 La teoria della derivabilità degli assiomi: una epistemologia dimenticata della scienza moderna

La riscoperta di una teoria epistemologica comune a Galileo, Newton e Bernoulli, secondo cui gli assiomi derivano dalle definizioni, rappresenta una lacuna storiografica il cui riconoscimento potrebbe rinnovare gli studi di storia della scienza.

Il testo affronta una questione cruciale di epistemologia storica, segnalando l’esistenza di una teoria della scienza, a lungo trascurata, che accomuna pensatori inaspettati. Il nocciolo del discorso è la natura dei principi primi, gli assiomi, e il loro rapporto con le definizioni. Si osserva come, per uno studioso quale Larin, gli assiomi siano dimostrabili a partire dalle definizioni, una posizione che, sebbene nota ai suoi specialisti, è rimasta isolata. Allo stesso modo, qualche studioso di Bernoulli sa che per lui “gli assiomi sono derivabili dalle definizioni” (fr:761), ma la comunità degli storici della scienza nel suo complesso non ha mai operato una sintesi.

La peculiarità e l’importanza della scoperta stanno proprio nel riconoscere questa come una dottrina diffusa e non un’eccezione. È mancato “proprio nella comunità degli storici della scienza il momento in cui tutte queste informazioni si sono messe insieme e ci si è resi conto che guardate che tutte queste persone stanno sostenendo effettivamente che gli assiomi sono derivati dalle definizioni” (fr:761). L’enfasi sulla necessità di una visione d’insieme è l’elemento centrale della testimonianza. La sorpresa maggiore, ciò che rende il fatto “molto bello, è molto importante” (fr:760), è che a questa teoria partecipassero “anche autori così molto inaspettati come appunto Galileo” (fr:762).

Questa consapevolezza ha un significato storico dirompente perché sfida un pregiudizio storiografico radicato. Troppo spesso, infatti, gli storici proiettano sul passato una concezione moderna degli assiomi, ritenendo che “questi principi nominati da Galileo, da Newton, da e dagli altri siano, insomma, funzionino un po’ come i nostri assiomi e i nostri principi” (fr:762). La contraddizione evidenziata è netta: mentre oggi l’assioma è un punto di partenza indimostrato, per questi scienziati esisteva “una teoria chiarissima” (fr:763) che lo rendeva invece conseguenza logica di una definizione. Il riconoscimento di questa epistemologia alternativa, finora confinata a “studi individuali” (fr:760) su singoli autori, promette di “rinnovare un pochino alcuni studi di storia della scienza” (fr:762), colmando una lacuna interpretativa fondamentale.

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29 Differenza tra definizioni nominali e reali in Kant e l’incontro mancato con Lambert

“in Kante c’è anche tutta questa questione della differenza tra definizioni nominali, definizioni reali” – (fr:771)

Il discorso delinea il ruolo delle definizioni nella filosofia di Kant e il loro rapporto con il pensiero di Lambert, intrecciando aspetti teorici e una vicenda storico-filosofica. Viene chiarito che in Kant le definizioni occupano una posizione particolare: egli distingue tra definizioni nominali e definizioni reali. Le definizioni da cui si parte sono “meramente nominali, quindi semantiche, alla alla Wolf, che però non hanno un vero valore vero e proprio di definizione per Kant” (fr:772). La “mercante delle definizioni vera e propria è quella reale che viene alla fine” (fr:773) [la trascrizione lascia intendere che la vera definizione è quella reale, posta al termine del processo conoscitivo]. Di conseguenza, la definizione iniziale “non è una vera e propria definizione in senso cantiano” (fr:774).

Sul piano storico, il testo illumina la relazione tra Kant e Johann Heinrich Lambert. Negli anni Settanta del Settecento i due filosofi erano in corrispondenza: Lambert fu “il primo e il più importante dei filosofi che rispondono al saggio di Kant del 1770” (fr:781), l’opera in cui Kant gettava le basi della futura Critica della ragion pura sostenendo che spazio e tempo sono forme dell’intuizione a priori, ma senza ancora l’apparato critico completo. La loro discussione verteva proprio sul carattere a priori di spazio e tempo (fr:782). Secondo la testimonianza, “le obiezioni di Lambert del 70 del 71 sono quelle che hanno condotto Kanto ad abbandonare il primo saggio sulla priori spazio-tempo e a cominciare a strutturare tutto con le categorie” (fr:783). Kant intendeva dedicare la Critica a Lambert, ma questi morì nel 1777, quattro anni prima della pubblicazione dell’opera; Kant si rammaricò che non potesse leggerla (fr:783-784).

Emerge però una lacuna: non abbiamo dati sufficienti per sapere cosa Kant conoscesse delle opere di Lambert, poiché negli scritti kantiani questi temi non compaiono in modo esplicito. In particolare, “non parla per esempio della concezione degli assiomi che vengono prima delle definizioni di Lambert” (fr:785). Tale teoria, esposta con chiarezza soltanto nel Trattato sulle parallele, rimase inedita fino al 1786 – quando Kant aveva già scritto la prima edizione della Critica e stava lavorando alla seconda. È quindi “del tutto possibile che Kant non l’abbia letto e che non gli sia venuto a conoscenza” (fr:786). La conclusione è che “queste due teorie non si sono veramente incontrate nei loro autori nonostante loro si conoscessero e si fossero frequentati per un certo periodo” (fr:787). La vicenda assume così il valore di una testimonianza su come lo sviluppo di due linee di pensiero filosofico, pur nate in un dialogo diretto, sia rimasto in parte incompiuto per ragioni biografiche ed editoriali.

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30 Definizione nominale e reale nella matematica: costruzione e intuizione in prospettiva kantiana

La definizione reale mostra la possibilità dell’oggetto nell’intuizione, mentre quella nominale resta una semplice proposizione logica.

Il dialogo affronta la distinzione tra definizione nominale e reale nella matematica, collocando la riflessione su un piano storico-filosofico di chiara matrice kantiana. L’interlocutore riconosce che, a differenza delle scienze empiriche dove la definizione arriva al termine del processo conoscitivo, “per la matematica effettivamente si comincia dalle definizioni perché la matematica essendo una scienza dei priori non ha necessità di costruire le definizioni dopo, ma al contrario parte dalle definizioni” (fr:790). Tuttavia, non ogni punto di partenza è equivalente: “l’unica cosa che distingue una definizione nominale e una definizione reale in matematica è il fatto che con la definizione reale io posso costruire l’oggetto nell’intuizione di uno” (fr:791).

La tensione emerge nell’esempio del cerchio. La definizione come “luogo dei punti equidistanti da un punto dato” viene giudicata una definizione non reale, “perché non è immediatamente evidente che in tale luogo geometrico esista, cioè che esista un insieme di punti che sono più distanti da un punto” (fr:792). Manca cioè la garanzia costruttiva che l’oggetto descritto sia davvero possibile. Al contrario, la definizione che descrive il cerchio come “la figura tracciata dalla rotazione di un segmento che è fisso in un estremo, mentre l’altro estremo traccia il cerchio” (fr:793-794) è reale perché “mostra la possibilità di questa figura nello spazio, nella costruzione dello spazio” (fr:793). Qui la costruzione non è solo un metodo di verifica, ma la condizione stessa per conoscere proprietà che non sono implicite nella definizione puramente logica.

L’argomentazione rivela uno scetticismo di fondo sulla capacità della logica di esaurire il contenuto di una figura: “la definizione di partenza è troppo povera in ogni caso per contenere tutte le proprietà del cerchio”, e tali proprietà “vengono scoperte attraverso la sua costruzione” (fr:795). Il passo finale accosta questa visione a una più generale concezione kantiana della conoscenza delle leggi logiche, suggerendo che, come per il cerchio, anche per le strutture fondamentali del pensiero la costruzione o l’esibizione nell’intuizione giochi un ruolo inaggirabile. Il testo testimonia così una discussione filosofica internamente articolata sul ruolo della sintesi costruttiva in matematica, opponendo la ricchezza epistemica dell’atto costruttivo alla staticità della definizione meramente proposizionale.

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31 Un elogio della ricerca viva: testimonianza da una lezione

Un resoconto orale, colto al termine di un ciclo di lezioni, che definisce l’ethos di un’istituzione culturale attraverso l’elogio del lavoro accademico e l’invito a proseguirlo.

Il brano costituisce la trascrizione di un discorso di ringraziamento e chiusura, pronunciato al termine di un ciclo di due lezioni tenute dal professor De Riso. Si tratta di una testimonianza orale, il cui significato storico risiede nella capacità di catturare la missione dichiarata dell’Istituto Italiano per Studi Filosofici attraverso le parole di un suo rappresentante. Il valore non è quello di un trattato, ma di un documento che rivela la prassi e i principî che animano una specifica comunità di studiosi.

Il nucleo concettuale del discorso è la definizione di cosa costituisca un lavoro accademico di valore. L’oratore elogia l’attività del professor De Riso descrivendola come “veramente il compendio di un’attività in due mezze giornate, sottolineo, il compendio di un’attività di studio accurato e profondo e sotto certi aspetti ancora da completare” - (fr:817). Emerge qui un concetto peculiare: l’eccellenza del lavoro è definita non dalla sua completezza, ma dalla sua natura di sintesi densa (“compendio”) e dalla sua apertura verso futuri sviluppi (“ancora da completare”).

Questa idea viene immediatamente collegata all’identità stessa dell’istituzione. L’oratore afferma che tale attività è in piena sintonia con “quello che è stato lo spirito che ha promosso la nascita e la crescita dell’Istituto Italiano per Studi Filosofici” - (fr:818). Tale spirito viene poi esplicitato con una metafora culinaria di notevole efficacia: la missione è quella di “non presentare cose, insomma, è brutta l’espressione, riscaldate, ma presentare piatti nuovi ai giovani per la loro formazione, per stimolarli alla ricerca” - (fr:819). Il compito dell’Istituto è quindi duplice: offrire contenuti originali (“piatti nuovi”) a un pubblico specifico di “giovani” e “studiosi”, con il fine ultimo di “stimolarli alla ricerca”, mantenendo sempre aperto il cantiere del sapere, “lasciando aperto tutto quello che va lasciato aperto, il grande lavoro da portare avanti” - (fr:819).

Il significato testimoniale si consolida nella conclusione, dove l’elogio si trasforma in un rituale sociale. Il complimento, definito “il miglior complimento che io possa fare” - (fr:820), è veicolo di un esplicito invito a proseguire la collaborazione. Tale invito è esteso formalmente a nome di una comunità: “è un invito che faccio da parte degli studenti e degli studiosi, oltre che da parte mia come Istituto Italiano per filosofici” - (fr:823). L’ultima frase, la registrazione di un “[Applauso]” - (fr:825), non è accessoria ma completa il documento, trasformando una pura trascrizione testuale nella testimonianza di un evento sociale condiviso, in cui l’approvazione della comunità sancisce la riuscita dell’incontro e la validità dei principî enunciati.

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