Thibaut - The SulvaSultras - 1873 | L | nm

08 Jun, 2026

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1 Origine e significato dei S’ulvasutras nella scienza indiana antica

Le osservazioni astronomiche nacquero dalle esigenze rituali dei sacrifici vedici.

“The want of some norm by which to fix the right time for the sacrifices, gave the first impulse to astronomical observations ; urged by this want, the priests remained watching night after night the advance of the moon through the circle of the nakshatras and day after day the alternate progress of the sun towards the north and the south.” - (fr:6) [La mancanza di una norma per fissare il momento giusto dei sacrifici diede il primo impulso alle osservazioni astronomiche; spinti da questa esigenza, i sacerdoti osservavano notte dopo notte il movimento della luna attraverso il cerchio delle nakshatras e giorno dopo giorno il progresso alternato del sole verso nord e sud.]

“At first sight, few traces of this origin may be visible in the S’astras of later times, but looking closer we may always discern the connecting thread.” - (fr:5) [A prima vista, poche tracce di questa origine possono essere visibili negli S’astras dei tempi successivi, ma osservando più attentamente si può sempre individuare il filo conduttore.]

“CALCUTTA : ^ PBINTED BX C. B. LEWIS, BAPTIST MISSIOIT PBESS^ 1875, ON THE S’OLVASUTRAS BY Df^ p. Thibaut, Anglo-Sanskrit Professor^ Bandras College, It is well known that not only Indian life with all its social and poli- tical institutions has been at all times under the mighty sway of religion, but that we are also led back to religious belief and worship when we try to account for the origin of research in those departments of knowledge which the Indians have cultivated with such remarkable success.” - (fr:4) [È noto che non solo la vita indiana con tutte le sue istituzioni sociali e politiche è sempre stata sotto il potente influsso della religione, ma che siamo anche riportati alla fede e al culto religioso quando cerchiamo di spiegare l’origine della ricerca nei campi di conoscenza che gli indiani hanno coltivato con notevole successo.]

“The laws of phonetics were investigated, because the wrath of the gods followed the wrong pronunciation of a single letter of the sacrificial formulas ; grammar and etymology had the task of securing the right understanding of the holy texts.” - (fr:7) [Le leggi della fonetica furono studiate perché l’ira degli dei seguiva la pronuncia errata di una sola lettera delle formule sacrificali; la grammatica e l’etimologia avevano il compito di assicurare la corretta comprensione dei testi sacri.]

“The close connexion of philosophy and theology — so close that it is often impossible to decide where the one ends and the other begins — is too well known to require any comment.” - (fr:8) [Il legame stretto tra filosofia e teologia — così stretto che spesso è impossibile decidere dove l’una finisce e l’altra inizia — è troppo noto per richiedere alcun commento.]

“TliGse facts have a double interest.” - (fr:9) [Questi fatti hanno un doppio interesse.]

“They are in the first place valua- ble for the history of the human mind in general ; they are in the second place important for the mental history of India and for answering the question relative to the originality of Indian science.” - (fr:10) [Sono, in primo luogo, preziose per la storia generale della mente umana; in secondo luogo, sono importanti per la storia mentale dell’India e per rispondere alla questione sull’originalità della scienza indiana.]

“For whatever is closely connected with the ancient Indian religion must be considered as having sprung up among the Indians themselves, unless positive evidence of the strongest kind point to a contrary conclusion.” - (fr:11) [Qualsiasi cosa strettamente collegata alla religione indiana antica deve essere considerata come sorta tra gli indiani stessi, salvo che esistano prove positive di segno contrario.]

“We have been long acquainted with the progress which the Indians made in later times in arithmetic, algebra, and geometry ; but as the in- fluence of Greek science is clearly traceable in the development of their astronomy, and as their treatises on algebra, &c., form but parts of astro- nomical text books, it is possible that the Indians may have received from the Greeks also communications regarding the methods of calculation.” - (fr:12) [Da tempo conosciamo i progressi degli indiani in aritmetica, algebra e geometria nei tempi successivi; tuttavia, poiché l’influenza della scienza greca è chiaramente rintracciabile nello sviluppo della loro astronomia e poiché i loro trattati di algebra, ecc., costituiscono solo parti di libri di testo astronomici, è possibile che gli indiani abbiano ricevuto dai greci anche comunicazioni riguardo ai metodi di calcolo.]

“I merely say possible, because no direct evidence of such influence has been brought forward as yet, and because the general impression we receive from a comparison of the methods employed by Greeks and Indians re- spectively seems rather to point to an entirely independent growth of this branch of Indian science.” - (fr:13) [Dico semplicemente possibile, poiché non è ancora stata portata avanti alcuna prova diretta di tale influenza e poiché l’impressione generale che deriva dal confronto dei metodi impiegati da greci e indiani sembra piuttosto indicare una crescita completamente indipendente di questo ramo della scienza indiana.]

“The whole question is still unsettled, and new researches are required before we can arrive at a final decision.” - (fr:14) [La questione rimane ancora aperta e sono necessarie nuove ricerche prima di poter giungere a una decisione definitiva.]

“While therefore unable positively to assert that the treasure of mathe- matical knowledge contained in the Lilavati, the Yijaganita, and similar treatises, has been accumulated by the Indians without the aid of foreign nations, we must search whether there are not any traces left pointing to a purely Indian origin of these sciences.” - (fr:15) [Poiché non possiamo affermare con certezza che il tesoro di conoscenza matematica contenuto nel Lilavati, nel Yijaganita e in trattati simili sia stato accumulato dagli indiani senza l’aiuto di nazioni straniere, dobbiamo cercare se non esistano tracce che indichino un’origine puramente indiana di queste scienze.]

“And such traces we find in a class of writings, commonly called S’ulvasutras, that means” sdtras of the cord,” which prove that the earliest geometrical and mathematical investiga- tions among the Jndians arose from certain requirements of their sacrifices.” - (fr:16) [Tali tracce le troviamo in una classe di scritti, comunemente chiamati S’ulvasutras, che significa “sutras della corda”, i quali dimostrano che le prime indagini geometriche e matematiche tra gli indiani nacquero da determinate esigenze dei loro sacrifici.]

*“S’ulvasdtras” is the name given to those portions or supplements of the Kalpasutras, which treat of the measurement and construction of the different vedis,or altars, the word ** s’ulva” referring to the cords which were employed for those measurements.* - (fr:17) [Il termine “S’ulvasdtras” indica quelle parti o integranti dei Kalpasutras che trattano della misurazione e costruzione dei diversi vedis, ovvero degli altari; la parola s’ulva si riferisce alle corde impiegate per tali misurazioni.]

“(I may remark at once that the sutras themselves do not make use of the term” s’ulva” ; a cord is regularly called by them ’ ’ raj ju”.)“* - (fr:18) [Posso osservare subito che i sutras stessi non utilizzano il termine “s’ulva”; una corda viene normalmente chiamata da essi “raj ju”.]

“It appears that a s’ulva-adhyaya or, pras’na or, instead of that, a s’ulvaparis’ishta belonged to all Kalpasutras.” - (fr:19) [Sembra che un s’ulva-adhyaya, ovvero un pras’na, o invece di ciò un s’ulvaparis’ishta, facesse parte di tutti i Kalpasutras.]

“Among the treatises belong- ing to this class which are known to me, the two most important are the S’ulvasiitras of Baudhayana and of A’pastamba.” - (fr:20) [Tra i trattati di questa classe che mi sono noti, i due più importanti sono i S’ulvasutra di Baudhayana e di A’pastamba.]

Queste osservazioni mostrano come le esigenze rituali abbiano stimolato lo sviluppo precoce di conoscenze astronomiche e geometriche presso gli antichi indiani, evidenziando il legame indissolubile tra religione, filosofia e scienza. I S’ulvasutras, in particolare, rappresentano una testimonianza concreta dell’origine indigena della matematica applicata alla costruzione degli altari, sebbene la possibile influenza greca sull’astronomia rimanga oggetto di dibattito aperto. La ricerca futura dovrà continuare a esaminare tali tracce per determinare l’equilibrio tra contributi autoctoni e apporti esterni nella formazione del sapere scientifico indiano.

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2 Analisi dei S’ulvasutra e del loro contesto storico

I due trattati minori, il Manava S’ulvasdtra e il Maitrayaniya S’ulva‑sdtra, portano il segno di un’epoca successiva rispetto alle opere di Baudhayana e A’pastamba” - (fr:23) [Due trattati minori, il Manava S’ulvasdtra e il Maitrayaniya S’ulva‑sdtra, portano il segno di un’epoca successiva, rispetto alle opere di Baudhayana e A’pastamba.]
La stessa osservazione vale per il S’ulvasutra di A’pastamba” - (fr:22) [La stessa osservazione vale per il S’ulvasutra di A’pastamba.]
Il primo, meritevole del primo posto per un trattamento più chiaro e esteso degli argomenti in questione, molto probabilmente costituisce parte del Kalpasutra di Baudhayana; la mancanza di manoscritti completi di quest’ultimo lavoro mi impedisce di essere certo su questo punto” - (fr:21) [Il primo, meritevole del primo posto per un trattamento più chiaro e esteso degli argomenti in questione, molto probabilmente costituisce parte del Kalpasutra di Baudhayana; la mancanza di manoscritti completi di quest’ultimo lavoro mi impedisce di essere certo su questo punto.]
La letteratura dello Yajur Veda bianco possiede un S’ulvapariji’ishta, attribuito a Katyayana, e non vi è motivo sufficiente per dubitare che sia stato realmente composto dall’autore del Kalpasutra” - (fr:24) [La letteratura dello Yajur Veda bianco possiede un S’ulvapariji’ishta, attribuito a Katyayana, e non vi è motivo sufficiente per dubitare che sia stato realmente composto dall’autore del Kalpasutra.]
Il primo a richiamare l’attenzione sull’importanza dei S’ulvasutra è stato il signor A” - (fr:25) [Il primo a richiamare l’attenzione sull’importanza dei S’ulvasutra è stato il signor A.]
Burnell, nel suo Catalogue of a Collection of Sanskrit Manuscripts, p. 29, osserva che bisogna guardare alle parti S’ulva dei Kalpasdtras per le prime origini della geometria tra i Brahmani; ho iniziato la pubblicazione del S’ulvasutra di Baudhayana, con il commento di Dvorak e … e una traduzione, nel numero di maggio del Pandit, rivista mensile del Benares College, etc.” - (fr:27) [Burnell, who in his Catalogue of a Collection of Sanskrit Manuscripts, p. 29, remarks that we must look to the S’ulva portions of the Kalpasdtras for the earliest beginnings of geometry among the Brahmans; I have begun the publication of Baudhayana’s S’ulvasutra, with the commentary by Dvorak and … and a translation, in the May number of the “Pandit, a monthly Journal of the Benares College, etc.”]
Intendo, non appena avrò finito Baudhayana, pubblicare tutti gli altri antichi lavori S’ulva di cui riuscirò a procurare manoscritti sufficientemente corretti” - (fr:28) [e intendo, non appena avrò finito Baudhayana, pubblicare tutti gli altri antichi lavori S’ulva di cui riuscirò a procurare manoscritti sufficientemente corretti.]
Nelle pagine seguenti estrarrò e spiegherò completamente i sutra più importanti, combinando sempre le regole date nei tre trattati S’ulva più importanti, quelli di Baudhayana, A’pastamba e Katyayana, e così cercherò di esibire in qualche ordine sistematico la conoscenza incarnata in questi antichi testi sacrificali” - (fr:29) [In the following pages I shall extract and fully explain the most important sutras, always combining the rules given in the three most important s’ulva treatises, those of Baudhayana, A’pastamba, and Katyayana, and so try to exhibit in some systematic order the knowledge embodied in these ancient «acrificial tracts.]
I sutra iniziano con regole generali per la misurazione; la maggior parte di queste regole, in cui è concentrato l’interesse principale di questa categoria di scritti, sarà data più avanti” - (fr:30) [The sutras begin with general rules for measuring ; the greater part of these rules, in which the chief interest of this class of writings is con- centrated, will be given further on.]
In seguito insegnano come fissare i luoghi corretti per i fuochi sacri, e come misurare i vedis dei diversi sacrifici, il vedi saumiki, il vedi paitriki, e così via” - (fr:31) [In the next place they teach how to fix the right places for the sacred fires, and how to measure out the vedis of the different sacrifices, the saumiki vedi, the paitriki vedi ,and so on.]
Il resto dei siltras contiene la descrizione dettagliata della costruzione dell’agnì, il grande altare costruito di mattoni, che era richiesto nei grandi sacrifici di soma” - (fr:32) [The remainder of the siltras contains the detailed description of the construction of the ’^ agni”, the large altar built of bricks, which was re- quired at the great soma sacrifices.]
Questo altare poteva essere costruito in diverse forme; la prima enumerazione di cui siamo a conoscenza la troviamo nel Taittiriya Samhita, V. 4” - (fr:33) [This altar could be constructed in different shapes, the earliest enu- meration of which we find in the Taittiriya Saijihita, V. ]
Seguendo questa enumerazione, Baudhayana e A’pastamba ci forniscono particolari completi sulla forma di tutti questi diversi chiti e sui mattoni che dovevano essere impiegati per la loro costruzione” - (fr:35) [Following this enumeration Baudhdyana and A’pastamba furnish us with full particulars about the shape of all these different chitis and the bricks which had to be employed for their construction.]
La forma più antica e primitiva è il chaturasras’yenachit, così chiamata perché imita rozzamente la forma di un falco, e perché i mattoni di cui è composta sono tutti di forma quadrata” - (fr:36) [The most ancient and primitive form is the chaturasras’yenachit, so called because it rude- ly imitates the form of a falcon, and because the bricks out of which it is composed are all of a square shape.]
Il testo prosegue con la sezione II” - (fr:34) [II.]
Infine, lo zero indicato nel documento appare come semplice segno di punteggiatura*” - (fr:26) [0.]

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[3.1/1-11-117|124]

3 Misurazione vedica del vedi mediante corda: tecnica e significato

Il testo descrive una procedura rituale di geometria pratica impiegata nell’antica India per la costruzione dell’altare vedico (vedi). Il primo passo consiste nel fissare la prachi, la linea est‑ovest che attraversa il centro del vedi, operazione preliminare indispensabile per qualsiasi misurazione dell’altare “The fixing of the prachi was the first thing to be done when any altar had to be measured out.” - (fr:116) [Il fissaggio della prachi era la prima cosa da fare quando qualsiasi altare doveva essere misurato.]

Successivamente si prepara una corda di lunghezza complessa: secondo la descrizione, la corda è costituita da trentasei unità (padas o prakramas) più diciotto, raggiungendo così una lunghezza totale di 54 unità, e su di essa vengono praticati due segni, uno a dodici e l’altro a quindici, partendo dall’estremità occidentale “^., to a cord of the length of thirty- six either padas or prakramas) eighteen (the whole length of the cord is then 54), and make two marks on the cord, one at twelve, the other at fifteen, beginning from the western end ; tie the ends of the cord to the ends of the prishthyd line (the prishthya is the same as the prdchi, the line directed exactly towards the east and west points, and going through the centre of the vedi.” - (fr:115) [^, a una corda di lunghezza trentasei sia padas che prakramas) diciotto (la lunghezza totale della corda è allora 54), e fai due segni sulla corda, uno a dodici, l’altro a quindici, partendo dall’estremità occidentale; lega le estremità della corda alle estremità della linea prishthyd (la prishthya è la stessa della prdchi, la linea diretta esattamente verso i punti est e ovest, e che passa attraverso il centro del vedi.]

Le estremità di questa corda vengono poi legate a due pali posti alle estremità della linea tracciata da est a ovest; prendendo la corda dal segno a quindici e tirandola verso sud, si fissa un palo nel punto raggiunto dal segno, dopo aver ben teso la corda “On both ends of this line a pole was fixed and the ends of the cord of 54 padas length tied to these poles) and taking it by the sign at fifteen, draw it towards the south; (at the place reached by the mark, after the cord has been well stretched) fix a pole.” - (fr:118) [Alle due estremità di questa linea fu fissato un palo e le estremità della corda di 54 padas di lunghezza furono legate a questi pali; poi, prendendo la corda dal segno a quindici, la si tracciò verso sud; (nel punto raggiunto dal segno, dopo che la corda è stata ben tesa) si fissò un palo.]

La stessa operazione viene ripetuta verso nord, fissando così gli angoli sud‑ovest e sud‑est del vedi “By this process the two s’ronis, the southwest ccyner and the southeast corner of the vedi are fixed.” - (fr:120) [Con questo processo vengono fissati i due s’roni, l’angolo sud-ovest e l’angolo sud-est del vedi.]

Dopo aver scambiato le estremità della corda (legando quella che era fissata al palo orientale della prachi al palo occidentale e viceversa), si procede a fissare le “shoulders” (aijisas) del vedi, corrispondenti agli angoli sud‑est e nord‑est “After that ex- change (the ends of the cord ; t. e,, tie that end which had been fastened at the pole on the east end of the prachi to the pole on its west end and vice versd), and fix the two aijisas C shoulders” of the vedi, i. e,, the southeast corner and the northeast corner).”* - (fr:121) [Dopo quello scambio (le estremità della corda; cioè, lega quell’estremità che era stata fissata al palo all’estremità orientale della prachi al palo all’estremità occidentale della prachi e viceversa), e fissa le due aijisas (spalle) del vedi, cioè l’angolo sud-est e l’angolo nord-est).]

Il medesimo procedimento, ripetuto sul lato nord mediante il segno a quindici e il fissaggio di un palo al segno a dodici, genera le due anisas (probabilmente i lati nord‑est e nord‑ovest) “This is done by stretching the cord towards the south having taken it by the mark at fifteen and by fixing a pole on the spot reached by the mark at twelve ; and by repeating the same operation on the northern side.” - (fr:122) [Questo si fa tendendo la corda verso sud, presa dal segno a quindici, e fissando un palo nel punto raggiunto dal segno a dodici; e ripetendo la stessa operazione sul lato nord.]

Il risultato finale è la completa definizione del vedi mediante l’uso di una sola corda, mentre le misurazioni più dettagliate descritte successivamente richiedono l’impiego di due corde “The result are the two anisas.” - (fr:123) [Il risultato sono le due anisas.]
“This is the measurement of the vedi by means of one cord (the measurements described further on require two cords each).” - (fr:124) [Questa è la misurazione del vedi mediante una sola corda (le misurazioni descritte successivamente richiedono due corde ciascuna).]

Dal punto di vista storico, il passaggio evidenzia come la conoscenza geometrica vedica fosse strettamente legata alla pratica rituale: la costruzione dell’altare non era un esercizio astratto ma una procedura metrologica concreta, basata su unità di lunghezza standardizzate (pada, prakrama) e su semplici strumenti (corda e pali). Tale approccio anticipa, in forma applicata, i principi della geometria euclidea successivi, mostrando una tradizione di misurazione terrestre che precede di secoli i trattati greci di Euclide. La menzione di metodi basati su osservazioni astronomiche, sebbene non dettagliati nel brano, sottolinea l’integrazione tra cielo e terra tipica della cultura vedica, dove l’orientamento dell’altare rispetto ai punti cardinali era determinato sia da considerazioni pratiche che da credenze cosmologiche.

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[4.1/1-15-140|152]

4 Analisi delle procedure di misurazione del vedi nel trattato antico

Sintesi: il testo illustra vari metodi geometrici basati su corde e pali per determinare gli angoli e i lati del vedi, facendo uso di terne pitagoriche espresse in unità di padas e riferendosi a diagrammi esplicativi.

Il procedimento inizia ripetendo la stessa operazione sul lato nord per individuare l’angolo nord‑ovest del vedi: “The same operation repeated on the north side gives f as the place of the northwest corner of the vedi.” - (fr:140) [La stessa operazione ripetuta sul lato nord dà f come luogo dell’angolo nord‑ovest del vedi.]. Successivamente, il segno viene tratto verso sud fino alla posizione b g c, formando un triangolo rettangolo dove g indica l’angolo sud‑ovest: “Then it is taken by the mark and drawn towards the south into the position b g c. The result is a rectangular triangle as above ; g marks the place of the southwest corner.” - (fr:139) [Poi viene preso dal segno e tracciato verso sud fino alla posizione b g c. Il risultato è un triangolo rettangolo come sopra; g indica il luogo dell’angolo sud‑ovest.].

Una prima configurazione utilizza una corda di 40 padas legata ai poli in c e b, con un segno a 15 padas da b: “In this case a cord of 40 padas length is tied to the poles at c and b, and marked at the distance of 15 padas from b.” - (fr:138) [In questo caso una corda di 40 padas di lunghezza è legata ai pali in c e b, e segnata a una distanza di 15 padas da b.].

Il trattato presenta poi diversi metodi basati sulla corda diagonale di rettangoli (oblong) i cui lati e diagonale sono numeri interi, cioè terne pitagoriche. Ad esempio, per fissare i due angoli orientali si impiega un rettangolo con lati 12 e 5 (diagonale 13): “Another method for the measurement of the vedi follows : The diagonal cord of an oblong, the sides of which are twelve and Q.vej is thirteen ; with these cords the two east corners are fixed.” - (fr:141) [Un altro metodo per la misurazione del vedi segue: la corda diagonale di un rettangolo, i cui lati sono dodici e cinque, è tredici; con queste corde si fissano i due angoli orientali.]. Questo metodo è illustrato nel diagramma III: “(See diagram III.)” - (fr:142) [(Vedi diagramma III.)].

Per gli angoli occidentali, si utilizza prima una corda di 25 padas fissata in a e c, segnata a 12 padas da a e tracciata verso sud: “A pole is fixed at the distance of five padas from the east end of the prachi, a cord of twenty-five padas length fastened at a and c, marked at the distance of 12 padas from a, drawn towards the south &c., as above.” - (fr:143) [Un palo è fissato a una distanza di cinque padas dall’estremità orientale del prachi, una corda di venticinque padas di lunghezza è fissata in a e c, segnata a dodici padas da a, e tracciata verso sud, ecc., come sopra.]. Le corde vengono poi moltiplicate per tre per fissare gli angoli occidentali: “With these cords increased twice (multiplied by three) the two western corners are fixed.” - (fr:144) [Con queste corde aumentate due volte (moltiplicate per tre) si fissano i due angoli occidentali.].

Il triangolo rettangolo necessario si ottiene considerando l’intero prachi pari a 36 padas e una corda di 54 padas divisa in segmenti di 15 e 39 padas: “The requisite rectangular triangle is here formed by the whole prachi = 36, and by a cord of 54, divided by a mark into two pieces of 15 and” - (fr:145) [Il triangolo rettangolo necessario è qui formato dall’intero prachi pari a 36, e da una corda di 54, divisa da un segno in due pezzi di 15 e ].

Un altro metodo impiega un rettangolo con lati 15 e 8 (diagonale 17) per fissare gli angoli occidentali: “Another method follows : The diagonal cord of an oblong, the sides of which are fifteen and eight, is seventeen ; with these cords the two western corners are fixed.” - (fr:146) [Segue un altro metodo: la corda diagonale di un rettangolo, i cui lati sono quindici e otto, è diciassette; con queste corde si fissano i due angoli occidentali.], illustrato nel diagramma 4: “(See diagram )” - (fr:147) [(Vedi diagramma )].

Altre configurazioni includono un palo b a 8 padas da d con una corda di 32 padas, e un rettangolo con lati 12 e 35 (diagonale 37) per gli angoli orientali: “A pole b is fixed at the distance of eight padas from d, a cord of 32 padas tied to b and d, &c.” - (fr:148) [Un palo b è fissato a una distanza di otto padas da d, una corda di trentadue padas è legata a b e d, ecc.]; “The diagonal cord of an oblong, the sides of which are twelve and thirty-five is thirty-seven ; with these cords the two eastern corners are fixed.” - (fr:149) [La corda diagonale di un rettangolo, i cui lati sono dodici e trentacinque, è trentasette; con queste corde si fissano i due angoli orientali.]. Inoltre, un palo posto in c a 35 padas a ovest da a è associato a una corda di 49 padas: “A pole is fixed at c, thirty-five padas to the west from a ; a cord of forty-nine padas tied to a and c, &c.” - (fr:150) [Un palo è fissato in c, trentacinque padas a ovest da a; una corda di quarantotto? actually forty‑nine padas legata a a e c, ecc.].

Il trattato conclude affermando che esistono 12 misurazioni “cognoscibili” del vedi: “12 So many” cognizable” measurements of the vedi exist.” - (fr:151) [12 Così tante misurazioni “cognoscibili” del vedi esistono.]. Queste corrispondono precisamente a quelle ottenute mediante rettangoli i cui lati e diagonale sono esprimibili in numeri interi: “That means : these are the measurements of the vedi effected bj oblongs, of which the sides and the diagonal can be known, i, e.^ oan be expressed in integral numbers.” - (fr:152) [Ciò significa: queste sono le misurazioni del vedi ottenute mediante rettangoli, i cui lati e la diagonale possono essere conosciuti, cioè possono essere espressi in numeri interi.].

In sintesi, il testo presenta una serie di tecniche di misurazione basate su corde di lunghezza intera (padas) e sull’uso di terne pitagoriche per determinare con precisione gli angoli e i lati del vedi, corredate da riferimenti a diagrammi che illustrano le costruzioni geometriche. L’approccio riflette una conoscenza avanzata della geometria pratica e della teoria dei numeri nell’ambito delle antiche pratiche rituali.

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[5.1/1-15-168|180]

5 Approssimazione della radice quadrata di 2 nei Sutras Vedici

Il testo presenta le regole geometriche contenute nei Sutras di Katyayana, Apastamba e Baudhayana, evidenziando come questi autori antichi abbiano ottenuto un’approssimazione molto precisa della radice quadrata di 2, corrispondente alla diagonale di un quadrato di lato unitario.

Katyayana osserva che i sutras sono di brevità enigmatica e che, sebbene non dichiarino esplicitamente il significato dell’aumento della misura, i commentari chiariscono che la misura indica il lato di un quadrato (karaniya) e l’aumento corrisponde alla sua diagonale (dvikaranf) “Katyayana : ^KTf aiT ^T&TT^ ^nirgfifr«m^ fk xff^ ft^: i The sutras themselves are of an enigmatical shortness, Yind do not state at all what they mean by this increasing of the measure ; but the com- mentaries leave no doubt about the real meaning ; the measure is the karaniy the side of a square and the increased measure the diagonal, the dvikaranf.”* - (fr:168) [Katyayana: i sutras stessi sono di brevità enigmatica; non dichiarano affatto cosa intendano con questo aumento della misura; ma i commentari non lasciano dubbi sul vero significato: la misura è il karaniya, il lato di un quadrato, e l’aumento è la diagonale, il dvikaranf.]

Apastamba riporta la stessa regola nelle stesse parole “Apastamba gives the rule in the same words.” - (fr:167) [Apastamba fornisce la regola nelle stesse parole.]

Baudhayana descrive il procedimento di aumento: si prende la misura, si aggiunge un terzo di essa, poi si aggiunge a questo terzo un quarto di sé stesso, sottraendo infine il trentatreesimo quarto di quel quarto; il risultato prende il nome di savis’esha “Baudhayana : * ^ 13 Increase tlie measure by its third part and this third by its own fourth less the thirty-fourth part of that fourth ; (the name of this increased mea- sure) is savis’esha.” - (fr:166) [Baudhayana: aumentare la misura di un terzo di sé stessa e poi aumentare questo terzo di un quarto di sé stesso, sottraendo il trentatreesimo quarto di quel quarto; il nome di questa misura aumentata è savis’esha.]

Applicando la regola con misura iniziale 1 si ottiene l’espressione 1 + 1/3 + 1/12 − 1/408, che trasformata in frazione decimale dà 1,4142156 “If we take 1 for the measure, and increase it as directed, we get the following expression : 1 + 5 + r -r — - — –: .” - (fr:169) [Se prendiamo 1 come misura e lo aumentiamo come indicato, otteniamo l’espressione seguente: 1 + 5 + r − r − − − − : .]

Il valore decimale ottenuto è confrontato con la vera diagonale di un quadrato di lato 1, cioè √2 ≈ 1,414213, mostrando un’accuratezza sorprendente “and this turn- ed into a decimal fraction gives : 14142156 Now the side of a square being put equal to 1, the diagonal is equal to v^ 2 = 1414213 .• Comparing this with the value of the savis’esha we cannot fail to be etruck by the accuracy of the latter.” - (fr:170) [e questo trasformato in frazione decimale dà: 1,4142156 Ora il lato di un quadrato posto uguale a 1, la diagonale è uguale a √2 = 1,414213. Confrontando questo valore con quello del savis’esha non possiamo non rimanere colpiti dall’accuratezza di quest’ultimo.]

Il testo si chiede poi come tali autori siano giunti a tale valore, considerando che non potevano estrarre la radice quadrata di 2 con sei cifre decimali “The question arises : how did Baudhayana or Apastamba or whoever may have the merit of the first investigation, find this value ?” - (fr:171) [Sorge la domanda: come hanno fatto Baudhayana o Apastamba, o chiunque possa aver avuto il merito della prima indagine, a trovare questo valore?]

Certamente non erano in grado di calcolare la radice con tanta precisione; se lo fossero stati, avrebbero raggiunto un’accuratezza ancora maggiore “Certainly they were not able to extract the square root of 2 to six places of decimals ; if they had been able to do so, they would have arrived at a still greater degree of accuracy.” - (fr:172) [Certamente non erano in grado di estrarre la radice quadrata di 2 a sei posti decimali; se lo fossero stati, avrebbero raggiunto un grado di accuratezza ancora maggiore.]

L’autore ipotizza che abbiano usato un metodo basato sulla ricerca di un quadrato il cui lato e diagonale fossero esprimibili in numeri interi “I suppose that they arrived at their result by the following method which accounts for the exact degree of accuracy they reached.” - (fr:173) [Suppongo che siano arrivati al loro risultato mediante il seguente metodo, che spiega il grado esatto di accuratezza che hanno raggiunto.]

Hanno iniziato assumendo il lato del quadrato uguale a 2, hanno elevato al quadrato e poi raddoppiato il risultato ottenendo il quadrato della diagonale, pari a 8 “Endeavouring to discover a square the side and diagonal of which might be expressed in integral numbers they began by assuming two as the measure of a square’s side.” - (fr:174) [Cercando di scoprire un quadrato il cui lato e diagonale potessero essere espressi in numeri interi, hanno iniziato assumendo come misura del lato del quadrato il numero 2.]

“Squaring two and doubling the result they got the square of the diagonal, in this case = eight.” - (fr:175) [Elevando al quadrato il 2 e raddoppiando il risultato hanno ottenuto il quadrato della diagonale, in questo caso uguale a 8.]

Hanno poi cercato di disporre otto pietre in un quadrato, tentando di estrarre la radice quadrata di 8, senza successo “Then they tried to arrange eight, let us say again, eight pebbles, in a square ; as we should say, they tried to extract the square root of eight.” - (fr:176) [Poi hanno cercato di disporre otto pietre, diciamo di nuovo otto pietre, in un quadrato; come diremmo noi, hanno cercato di estrarre la radice quadrata di 8.]

Procedendo con i lati 3, 4, 5, … hanno constatato che nessun lato intero produceva una diagonale il cui quadrato fosse un numero quadrato perfetto, arrivando alla conclusione che dovevano accontentarsi di un’approssimazione “Being unsuccessful in this attempt, they tried the next number, taking three for the side of a square ; but eighteen yielded a square root no more than eight had done.” - (fr:177) [Essendo rimasti insuccessi in questo tentativo, hanno provato il numero successivo, prendendo tre come lato di un quadrato; ma diciotto ha dato una radice quadrata non migliore di quella ottenuta con otto.]

“They proceeded in consequence to four, five, &c» Undoubtedly they arrived soon at the conclusion that they would never find exactly what they wanted, and had to be contented with an approximation.” - (fr:178) [Di conseguenza sono passati a quattro, cinque, ecc.; senza dubbio hanno presto concluso che non avrebbero mai trovato esattamente ciò che cercavano e si sono dovuti accontentare di un’approssimazione.]

L’obiettivo divenne allora individuare un caso in cui il quadrato della diagonale si avvicinasse il più possibile a un numero quadrato reale “The object was now to single out a case in which the number expressing the square of the diago- nal approached as closely as possible to a real square number.” - (fr:179) [L’oggetto divenne allora individuare un caso in cui il numero che esprime il quadrato della diagonale si avvicinasse il più possibile a un numero quadrato reale.]

Per questo scopo hanno compilato una tabella in cui la prima colonna elenca i lati dei quadrati provati, la seconda colonna i corrispondenti quadrati delle diagonali e la terza colonna il numero quadrato più vicino “I subjoin a list, in which the numbers in the first column express the side of the squares which they subsequently tried, those in the second column the square of the diagonal, those in the third the nearest square number.” - (fr:180) [Allego una lista, in cui i numeri della prima colonna esprimono il lato dei quadrati che hanno successivamente provato, quelli della seconda colonna il quadrato della diagonale, quelli della terza colonna il numero quadrato più vicino.]

Queste osservazioni mostrano come i matematici vedici, attraverso un procedimento iterativo di prova e errore, siano riusciti a determinare il valore del savis’esha, un’approssimazione della radice quadrata di 2 corretta fino alla sesta cifra decimale, testimonianza di un notevole livello di conoscenza matematica nell’antica India.

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[6.1/1-25-292|314]

6 Geometria dei quadrati nei Sutras di Baudhayana, Katyayana e A’pastamba

Il testo presenta una serie di procedimenti geometrici descritti nei trattati indiani antichi, volti a combinare, sottrarre e trasformare quadrati e rettangoli (oblongs). Le indicazioni sono formulate in termini operativi, con l’uso di corde e di costruzioni pratiche che anticipano il teorema di Pitagora e le proprietà delle aree.

6.1 Combinazione di due quadrati diversi

Baudhayana afferma che, per unire due quadrati di dimensioni diverse, si deve ritagliare dal quadrato maggiore un rettangolo avente un lato uguale al lato del quadrato minore; la diagonale di tale rettangolo diventa il lato del quadrato equivalente alla somma delle due aree:
“If you wish to combine two squares of different size, cut oJGT an oblong from the larger square with the side of the smaller one ; the diagonal oi that oblong is the side of both squares combined.” - (fr:292) [Se si desidera unire due quadrati di dimensioni diverse, si ritaglia dal quadrato maggiore un rettangolo avente un lato uguale al lato del quadrato minore; la diagonale di tale rettangolo è il lato del quadrato equivalente alla somma delle due aree.]

La stessa idea è ripresa nella frase 291, che specifica che il rettangolo ha un lato formato dal lato del quadrato maggiore e l’altro lato dal lato del quadrato minore, e che la sua diagonale è il lato di un quadrato la cui area è uguale alla somma delle aree dei due quadrati dati:
“e,, an oblong one side of which is formed by the side of the larger square, the other by that of the smaller square) ; the diagonal of this oblong combines both squares (is the side of a square the area of which is equal to the area of both the given squares together).” - (fr:291) [un rettangolo avente un lato formato dal lato del quadrato maggiore e l’altro dal lato del quadrato minore; la sua diagonale è il lato di un quadrato la cui area è uguale alla somma delle aree dei due quadrati dati.]

6.2 Sottrarre un quadrato da un altro

Il procedimento inverso – sottrarre un quadrato da un altro – è descritto nelle frasi 294‑298. Si ritaglia dal quadrato maggiore un rettangolo con un lato uguale al lato del quadrato da sottrarre; poi, tracciando una corda da un estremo del rettangolo e ruotandola fino a toccare il lato opposto, si ottiene un segmento la cui lunghezza è il lato del quadrato equivalente alla differenza delle aree:
“If you wish to deduct one square from another, cut off from the larger one an oblong with the side of the smaller one ; draw one of the sidos of that oblong across to the other side ; where it touches the other side, that piece cut o£f; by it the deduction is made.” - (fr:296) [Se si desidera sottrarre un quadrato da un altro, si ritaglia dal quadrato maggiore un rettangolo con un lato uguale al lato del quadrato da sottrarre; si traccia poi un lato di quel rettangolo verso il lato opposto e, dove esso tocca quel lato, si taglia il pezzo; mediante esso si effettua la sottrazione.]

La costruzione concreta è illustrata nelle frasi 297‑298: si definisce il quadrato maggiore (abcd), si ritaglia il rettangolo (bdef) con (ed) e (bf) uguali al lato del quadrato minore; fissando una corda in (e) e portandola in posizione (eg), il segmento (dg) risulta essere il lato del quadrato la cui area è uguale alla differenza delle due aree iniziali:
“Fasten a cord e f at e, and draw it across the oblong into the position e g ; then d g is the side of a square the area of which is equal to the difference of the two given squares^ (dg» = eg« — ed«).” - (fr:298) [Si fissa una corda in (e) e la si trascina attraverso il rettangolo fino alla posizione (eg); allora (dg) è il lato di un quadrato la cui area è uguale alla differenza delle aree dei due quadrati dati ((dg^2 = eg^2 - ed^2)).]

L’esempio numerico fornito da Katyayana e illustrato da A’pastamba (frase 299) mostra la sottrazione di un quadrato di un “purusha” da un quadrato di quattro “purusha”, confermando che il procedimento produce un quadrato equivalente a tre “purusha”:
“The diagonal (e g), which lias been drawn across the oblong, is the side of a square of four purushas, and produces by itself as much as the cut-off side (g d) and the other side (e d) produce separately.” - (fr:300) [La diagonale (eg), tracciata attraverso il rettangolo, è il lato di un quadrato di quattro purusha e produce, da sola, quanto producono separatamente il lato tagliato (gd) e l’altro lato (ed).]

6.3 Trasformare un rettangolo in un quadrato

Per convertire un rettangolo in un quadrato, Baudhayana (frase 303) prescrive di prendere la larghezza del rettangolo come lato del quadrato, dividere la parte rimanente in due parti e, invertendone la posizione, unirle a due lati del quadrato, riempiendo infine lo spazio vuoto con un pezzo aggiuntivo:
“In order to turn an oblong into a square, take the breadth of the ob- long for the side of the square ; divide the rest of the oblong into two parts, and inverting their places join those two parts to two sides of the square.” - (fr:303) [Per trasformare un rettangolo in un quadrato, si prende la larghezza del rettangolo come lato del quadrato; si divide la parte rimanente in due parti, si invertono le loro posizioni e si uniscono a due lati del quadrato.]

La descrizione dettagliata è data nella frase 306, dove si taglia dal rettangolo un quadrato avente lato uguale alla larghezza, si divide la parte rimanente in due parti, si ricolloca una di esse e si riempie l’angolo vuoto con un piccolo quadrato, ottenendo infine un quadrato equivalente al rettangolo di partenza:
“That means : if you wish to turn the oblong abed into a square, cut off from the oblong the square c d e f, the side of which is equal to the breadth of the oblong ; divide a b e f , the rest of the oblong, into two parts, a b g h and g h e f ; take a b g h, and place it into the position d f i k ; fill up the empty place in the corner by the small square f h 1 i ; then deduct by samachaturasranirhara the small square f h 1 i from the large square g I k c ; the square you get by this deduc- tion will be equal to the oblong abed.” - (fr:306) [Se si desidera trasformare il rettangolo (abed) in un quadrato, si ritaglia dal rettangolo il quadrato (cdef) avente lato uguale alla larghezza del rettangolo; si divide la parte rimanente (abef) in due parti (abgh) e (ghef); si prende (abgh) e lo si pone nella posizione (dfik); si riempie l’angolo vuoto con il piccolo quadrato (f h 1 i); poi, sottraendo mediante samachaturasranirhara il piccolo quadrato (f h 1 i) dal grande quadrato (g I k c), si ottiene un quadrato equivalente al rettangolo (abed).]

6.4 Trasformare un quadrato in un rettangolo

Il processo inverso – trasformare un quadrato in un rettangolo – è trattato da Katyayana (frase 308) e da Baudhayana (frase 309). Si divide il quadrato per la sua diagonale, si suddivide nuovamente una delle metà in due parti e si uniscono tali parti ai lati che formano l’angolo retto dell’altra metà:
“Bandhayana : If you wish to turn a square into an oblong, divide it by the diago- nal; divide again one of the two halves into two parts, and join these two parts to the two sides (those two sides of the other half which form the right angle) as it fits (when joining them, join those sides which fit together).” - (fr:309) [Se si desidera trasformare un quadrato in un rettangolo, lo si divide per la sua diagonale; si divide nuovamente una delle due metà in due parti e si uniscono tali parti ai lati che formano l’angolo retto dell’altra metà, adattandole come necessario.]

Un esempio concreto è dato nella frase 314: partendo da un quadrato di lato 5, si ottiene un rettangolo con un lato di 3 eseguendo le operazioni sopra descritte:
“Given for instance a square the side of which is equal to five, and re- quired an oblong one side of which is equal to three.” - (fr:314) [Ad esempio, dato un quadrato di lato 5, si richiede un rettangolo con un lato di ]

6.5 Osservazioni sulle limitazioni e sui sviluppi

Il testo nota anche alcune imperfezioni: la regola di Baudhayana per trasformare un quadrato in un rettangolo permette di ottenere solo un tipo di rettangolo (frase 311), mentre A’pastamba e Katyayana affinano il metodo, richiedendo ripetuti tagli quando il lato desiderato è più del doppio dell’altro (frase 307). Inoltre, Katyayana aggiunge le regole per il processo inverso, ovvero la trasformazione di un quadrato in un rettangolo (frase 308).

6.6 Significato storico e testimonianza

Queste istruzioni rappresentano una delle prime testimonianze conosciute di tecniche geometriche basate sulla decomposizione e ricomposizione di figure piane, antecedenti di secoli alle dimostrazioni euclidee. L’uso di corde e di costruzioni pratiche indica un approccio empirico‑costruttivo, tipico della tradizione dei Śulba‑sūtras, dove la geometria serviva alla realizzazione di altari vedici. La presenza di termini tecnici come samachaturasranirhara (sottrarre un quadrato da un altro) e l’esempio dei “purusha” mostrano come la matematica fosse integrata nei rituali e nella vita quotidiana, fornendo una testimonianza preziosa del pensiero matematico dell’India antica.

Le citazioni sopra riportate seguono il formato richiesto: frase originale in italico* e virgolette, riferimento numerico fra parentesi, traduzione italiana tra parentesi quadre.*

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[7.1/1-37-356|390]

7 Metodi di costruzione di quadrati e rettangoli nei Sulvasutra

Il testo descrive una serie di procedimenti geometrici basati sull’uso di una corda (o funicella) per tracciare angoli retti, individuare i punti medi dei lati e determinare gli angoli di un quadrato o di un rettangolo richiesto.

Il primo passo consiste nel legare una parte della corda al palo centrale e l’altra al palo orientale, poi tendere la corda verso sud per fissare l’angolo sud‑est del quadrato:
“Then tie the savis’esha part of the cord to the middle pole, the other part to the eastern pole, and fix the south‑east corner of the square by stretching the cord (towards the south), having taken it at the mark.” - (fr:356) [Allora lega la parte savis’esha della corda al palo centrale, l’altra parte al palo orientale e fissa l’angolo sud‑est del quadrato tendendo la corda verso sud, presa dal segno.]

Successivamente si effettua una serie di operazioni aritmetiche sulla lunghezza della corda, aggiungendo metà della lunghezza del prishfhya dopo aver fatto un segno per separare le due parti della corda:
“e,, its third plus the fourth part of the third minus the thirty‑fourth part of that fourth part, and add moreover a piece of the length of half the prishfhya, after having made a mark (to separate the two parts of the cord).” - (fr:355) [e,, un terzo più un quarto del terzo meno un trentatreesimo di quel quarto, e inoltre aggiungi un pezzo lungo la metà del prishfhya, dopo aver fatto un segno (per separare le due parti della corda).]

Si procede poi fissando i pali alle estremità e al centro della linea prishthja, aggiungendo alla corda metà della lunghezza del prislithya la sua vis’esha:
“^mr Win jn^m irt ^finj iftrftrwT ^rfRiSiT’S’j^ Fix poles on both ends and the middle of the prishthja line, add to a cord of half the length (of the prislithya) its vis’esha, .”* - (fr:354) [^mr Win jn^m irt ^finj iftrftrwT ^rfRiSiT’S’j^ Fissa i pali alle due estremità e al centro della linea prishthja, aggiungi a una corda di metà lunghezza (del prislithya) la sua vis’esha, *.]

Dopo aver legato la corda al palo orientale, si scioglie l’estremo per proseguire con le operazioni successive:
“Untie the end of the cord from the eastern pole, &c.” - (fr:357) [Slega l’estremità della corda dal palo orientale, &c.]

Il metodo appena descritto viene giudicato inferiore rispetto a quelli già illustrati e considerato inutile, poiché Baudhāyana non lo menziona:
“This method is of course inferior to those described above and cer- tainly unnecessary ; Baudhdyana does not mention it.” - (fr:358) [Questo metodo è naturalmente inferiore a quelli descritti sopra e certamente inutile; Baudhāyana non lo menziona.]

Successivamente vengono elencati altri metodi per la chaturasrakarana (costruzione del quadrato) che non presuppongono la conoscenza del teorema di Pitagora:
“I subjoin the remaining methods for chaturasrakarana, which do not presuppose the knowledge of the Pythagorean theorem.” - (fr:359) [Aggiungo i rimanenti metodi per la chaturasrakarana, che non presuppongono la conoscenza del teorema di Pitagora.]

Il metodo di Āpastamba prevede di prendere una corda della lunghezza del lato del quadrato richiesto, fare nodi alle estremità e un segno al centro e nei punti medi delle metà:
“Apastamba : T^swrRi ^mref^iftr ’•iTii^«TMiniw w silVr ^{rvi iiSl’T}”5’8^ nTifiu^ftr^ if-siS^{r n}^ ^fnuSl %r^- Take a cord of the length of the measure (of the side of the required square), and make ties at both its ends, a mark at its middle and at the middle points of its halves.” - (fr:360) [Āpastamba : … Prendi una corda della lunghezza della misura (del lato del quadrato richiesto), e fai nodi ad entrambe le estremità, un segno al centro e nei punti medi delle metà.]

Si stende poi la corda sulla linea prishthya, si fissano pali nei punti segnati dai due nodi della corda e dai tre segni (cinque pali in totale):
“Stretch the cord on the prishthya line, and fix poles on the points marked by the two ties of the cord and by the three 24 marks (five poles altogether).” - (fr:361) [Stendi la corda sulla linea prishthya, e fissa pali nei punti segnati dai due nodi della corda e dai tre segni (cinque pali in totale).]

Si legano poi i nodi al secondo e quarto palo (contando da est), si tende la corda verso sud prendendola dal segno centrale e si fa un segno a terra nel punto toccato dal segno:
“Fasten the ties at the second and fourth poles (reckoning from the east), stretch the cord towards the south having taken it by the middle mark, and make at the point, touched by the mark, a mark on the ground.” - (fr:362) [Fissa i nodi al secondo e quarto palo (contando da est), tendi la corda verso sud prendendola dal segno centrale, e fai un segno a terra nel punto toccato dal segno.]

Successivamente si legano entrambi i nodi al palo centrale, si tende la corda sopra il segno a terra verso sud, sempre presa dal segno centrale, e si fissa un palo nel punto raggiunto dalla corda raddoppiata:
“Then fastening both ties at the middle pole, stretch the cord over the mark on the ground towards the south, having taken it by the middle mark, and fix a pole (at the spot reached by the stretched, doubled up, cord).” - (fr:363) [Poi, avendo legato entrambi i nodi al palo centrale, stendi la corda sopra il segno a terra verso sud, presa dal segno centrale, e fissa un palo (nel punto raggiunto dalla corda tesa e raddoppiata).]

Si lega poi un nodo a questo palo e l’altro al palo posto all’estremità orientale della prachi, fissando l’angolo sud‑est del quadrato tendendo la corda dal segno centrale:
“Then fastening one tie at this pole and the other tie at the pole standing at the eastern end of the prachi, fix the south‑east comer of the square by stretching the cord, having taken it by the middle mark.” - (fr:364) [Poi, avendo legato un nodo a questo palo e l’altro al palo posto all’estremità orientale della prachi, fissa l’angolo sud‑est del quadrato tendendo la corda, presa dal segno centrale.]

Sciogliendo la corda dal palo orientale e legandola al palo occidentale si ottiene l’angolo sud‑ovest, e analogamente si trovano gli angoli nord‑est e nord‑ovest:
“Then untying the rope from the eastern pole and fastening it at the western pole, fix the south‑west corner, &c.” - (fr:365) [Slegando la corda dal palo orientale e legandola al palo occidentale, si fissa l’angolo sud‑ovest, &c.]
” ; in the same way the north east and north‑west corner are found.”* - (fr:366) [; allo stesso modo si trovano gli angoli nord‑est e nord‑ovest.]

Un’altra procedura inizia individuando il punto medio dei lati sud e nord del quadrato richiesto tracciando una linea perpendicolare attraverso il punto medio della prachi:
“In this procedure the first step is to find the middle of the southern and of the northern sides of the required square by drawing a line at right angles through the middle point of the prachi.” - (fr:367) [In questa procedura il primo passo consiste nel trovare il punto medio dei lati sud e nord del quadrato richiesto tracciando una linea perpendicolare attraverso il punto medio della prachi.]

Il metodo usato per tracciare una linea perpendicolare su un’altra linea è descritto come il più semplice noto nei Sulvasutra e corrisponde alla costruzione di archi intersecanti da due punti equidistanti a destra e a sinistra rispetto a un punto dato:
“The method employed here for drawing a line at right angles on another is the simplest of all known to the S’ulvasutras, and essentially the same we make use of when describing intersecting arcs from two points equally distant to the right * and left from some given point.” - (fr:368) [Il metodo impiegato qui per tracciare una linea perpendicolare su un’altra è il più semplice di tutti quelli conosciuti nei Sulvasutra, ed è essenzialmente lo stesso che usiamo quando descriviamo archi intersecanti da due punti equidistanti a destra e a sinistra rispetto a un punto dato.]

Nei successivi parti dei sutra questo metodo è prescritto per la misurazione dell’agni (al posto di canne di certa lunghezza), e i seguaci dello Yajur Veda bianco lo adottarono allo stesso scopo (cfr. Indische Studien, XIII., p. 233, ss):
“In the later portions of the sdtras this method is enjoined for the measurement of the agni (instead of cords canes of a certain length had to be employed there), and the followers of the White Yajur Veda had adopted it for the same purpose (see Indische Studien, XIII., p. 233, ff).” - (fr:369) [Nei successivi parti dei sutra questo metodo è prescritto per la misurazione dell’agni (al posto di canne di certa lunghezza), e i seguaci dello Yajur Veda bianco lo adottarono allo stesso scopo (vedi Indische Studien, XIII., p. 233, ss).]

La seconda parte della procedura – individuare i quattro angoli del quadrato dopo aver trovato i punti medi dei lati – è descritta come semplice e priva di particolare interesse:
“The sec6nd part of the procedure — to find the four corners of the square after having found the middle points of the sides — was of course easy and does not afford any special interest.” - (fr:370) [La seconda parte della procedura — trovare i quattro angoli del quadrato dopo aver individuato i punti medi dei lati — è naturalmente facile e non presenta alcun interesse particolare.]

Baudhāyana conosce lo stesso metodo, ma lo limita nei suoi paribhāṣa‑sūtras alla costruzione di rettangoli, senza ragione sufficiente poiché il metodo si riferisce solo alla costruzione di angoli retti e la lunghezza dei lati è irrilevante:
“To Baudhayana the same method is known, but he restricts it in his paribhdsh&-sutras to the construction of oblongs; clearly without suffi- cient reason, since the method refers only to the construction of right angles, and the length of the sides is of no importance.” - (fr:371) [Baudhāyana conosce lo stesso metodo, ma lo limita nei suoi paribhāṣa‑sūtras alla costruzione di rettangoli; chiaramente senza motivo sufficiente, poiché il metodo si riferisce solo alla costruzione di angoli retti, e la lunghezza dei lati è irrilevante.]

Āpastamba non fornisce alcuna regola speciale per i rettangoli, ritenendola inutile:
“A pastamba gives no special rule at all for oblongs, and it is indeed not wanted.” - (fr:372) [Āpastamba non fornisce alcuna regola speciale per i rettangoli, e infatti non è necessaria.]

Viene poi riportata la regola di Baudhāyana per la costruzione di un rettangolo: si fissano due pali agli estremi dell’area che si vuole dare al rettangolo, poi su entrambi i lati (ovest e est) si fissano altri due pali a distanza uguale da quelli iniziali:
“I subjoin Baudhay ana’s rule : ijo^nun qi^ siftr ^rw^ ^sf^nw ^’’rt W^ ^fxrftf i i?ui^ He who wishes to make an oblong is to fix two poles on an area of the length which he intends to give to the oblong {i. e,, at the two ends of the prachi of that area).” - (fr:373) [Aggiungo la regola di Baudhāyana : … Chi vuole fare un rettangolo deve fissare due pali su un’area della lunghezza che intende dare al rettangolo {cioè, alle due estremità della prachi di quell’area}.]
“e,, at the two ends of the prachi of that area).” - (fr:374) [e,, alle due estremità della prachi di quell’area].
“On both sides, t. «., on the west and east sides 26 of both these poles two other poles are to be fixed at equal distances.” - (fr:375) [Da entrambi i lati, cioè, sui lati ovest e est, a ciascuno di questi due pali devono essere fissati altri due pali alla stessa distanza.]

Si prende poi una corda della lunghezza che si vuole dare al lato (larghezza) del rettangolo, si fanno nodi alle estremità e un segno al centro:
“Then taking a cord of the length one intends to give to the side line (breadth) of the oblong, one makes ties at both its ends and a mark at its middle.” - (fr:376) [Poi si prende una corda della lunghezza che si intende dare alla linea laterale (larghezza) del rettangolo, si fanno nodi ad entrambe le estremità e un segno al centro.]

Si legano poi i nodi ai due pali esterni dei tre pali orientali, si tende la corda verso sud tenendola dal segno centrale e si fa un segno a terra dove il segno tocca il terreno dopo che la corda è stata tesa:
“Then one fastens the two ties at those two of the three eastern poles, which stand at the outside, stretches the cord towards the south holding it by the mark, and makes on this mark (»’• e,, on the spot where the mark touches the ground after the cord has been stretched) a mark.” - (fr:377) [Poi si legano i due nodi ai due pali esterni dei tre pali orientali, si tende la corda verso sud tenendola dal segno centrale, e si fa un segno a terra dove il segno tocca il terreno dopo che la corda è stata tesa.]

Si legano poi entrambi i nodi al palo centrale, si tende la corda sopra il segno a terra verso sud e si fissa un palo nel punto toccato dal segno sulla corda:
“Then fastening both ties at the middle pole one stretches the cord over the mark (on the ground) towards the south, and fixes a pole on the mark (i. e.y on the spot touched by the mark on the cord).” - (fr:378) [Poi, avendo legato entrambi i nodi al palo centrale, si tende la corda sopra il segno a terra verso sud, e si fissa un palo sul segno (cioè, nel punto toccato dal segno sulla corda).]

Questo punto è l’angolo sud‑est del rettangolo; da esso si spiegavano altresì l’angolo nord‑est e i due angoli occidentali:
“That is the south- east comer of the oblong ; thereby are explained likewise the north-east corner and the two western comers.” - (fr:380) [Questo è l’angolo sud‑est del rettangolo; da esso si spiegavano altresì l’angolo nord‑est e i due angoli occidentali.]

Viene poi presentato un ultimo metodo per la chaturasrakarana che appare solo in Baudhāyana e sembra essere il più antico tra quelli enumerati:
“In the last place I give a method of chatur&s’rakarana, which is found in Baudh^yana only, but there in the first place.” - (fr:381) [Alla fine presento un metodo di chaturasrakarana, che si trova solo in Baudhāyana, ma lì al primo posto.]
“It seems to be the most ancient of all the methods enumerated.” - (fr:382) [Sembra essere il più antico di tutti i metodi elencati.]

Il procedimento consiste nel prendere una corda della lunghezza del lato del quadrato desiderato, fare nodi alle estremità e un segno al centro, tracciare la linea prachi, fissare un palo nel suo punto medio, legarvi i due nodi della corda e tracciare con il segno un cerchio attorno a quel palo:
“If you wish to make a square, take a cord of the length which you desire to give to the side of the square, make a tie at both its ends and a mark at its middle ; then having drawn the prachi line, fix a pole in its middle, and having fastened at that pole the two ties of the cord, describe with the mark a circle round it.” - (fr:383) [Se vuoi fare un quadrato, prendi una corda della lunghezza che desideri dare al lato del quadrato, fai nodi ad entrambe le estremità e un segno al centro; poi, dopo aver tracciato la linea prachi, fissa un palo nel suo punto medio, e, avendo legato a quel palo i due nodi della corda, descrivi con il segno un cerchio attorno ad esso.]

Si fissano poi pali alle due estremità del diametro (formatosi dalla prachi), si lega un nodo al palo orientale (il palo posto all’estremità orientale della prachi) e si descrive un cerchio con l’altro nodo (cioè con tutta la lunghezza della corda):
“Then fix poles at both ends of the diame- ter (formed by the prachi), and having fastened one tie at the eastern pole (the pole standing at the east end of the prachf), describe a circle with the other tie (i, e,, with the full length of the cord).” - (fr:384) [Poi si fissano pali alle due estremità del diametro (formatosi dalla prachi), e, avendo legato un nodo al palo orientale (il palo posto all’estremità orientale della prachi), si descrive un cerchio con l’altro nodo (cioè con tutta la lunghezza della corda).]

Analogamente si descrive un cerchio attorno al palo occidentale della prachi e si traccia un altro diametro unendo i punti di intersezione dei due cerchi (questo diametro indica la direzione nord‑sud):
“In the same manner a circle is described round the pole at the west end of the prachi, and another diameter is drawn joining the points in which these two circles intersect (this diameter is the line pointing to the north and south points).” - (fr:385) [Allo stesso modo si descrive un cerchio attorno al palo occidentale della prachi, e si traccia un altro diametro unendo i punti di intersezione dei due cerchi (questo diametro è la linea che indica i punti nord e sud).]

Si fissano poi poli alle due estremità di questo diametro:
“A pole is fixed at both ends of this diameter.” - (fr:386) [Si fissa un polo ad entrambe le estremità di questo diametro.]

Si legano poi entrambi i nodi al palo orientale e si descrive un cerchio attorno ad esso con il segno:
“Having fastened both ties at the eastern pole, describe a circle round it with the mark.” - (fr:387) [Poi, avendo legato entrambi i nodi al palo orientale, si descrive un cerchio attorno ad esso con il segno.]

La stessa operazione va ripetuta a sud, ovest e nord (cioè si devono descrivere cerchi attorno agli altri tre pali); i punti di intersezione di questi quattro cerchi, situati nelle quattro regioni intermedie (nord‑est, nord‑ovest, …), sono i quattro angoli del quadrato richiesto:
“The same is to be done in the south, the west, and the north {i, e,, circles are to be described round the three other poles) ; the points of intersection of these four circles which (•. «., the points) are situated in the four intermediate regions (north- east, north-west, <&o,,) are the four corners of the required square.” - (fr:388) [La stessa operazione va ripetuta a sud, ovest e nord (cioè si devono descrivere cerchi attorno agli altri tre pali); i punti di intersezione di questi quattro cerchi, che si trovano nelle quattro regioni intermedie (nord‑est, nord‑ovest, …), sono i quattro angoli del quadrato richiesto.]

Infine viene fatto riferimento a un diagramma che illustra il procedimento:
“Diagram” - (fr:390) [Diagramma ]

In sintesi, il testo presenta una serie di tecniche di misurazione e costruzione geometriche basate sull’uso di una corda, attribuite agli autori dei Sulvasutra (Āpastamba, Baudhāyana) e risalenti a un periodo anteriore alla conoscenza formale del teorema di Pitagora. Questi metodi mostrano una conoscenza pratica degli angoli retti, della costruzione di quadrati e rettangoli tramite intersezioni di cerchi e dell’uso di punti medi, evidenziando un’importante tradizione indiana di geometria applicata che precede e influisce sulle successive sviluppi matematici. La presenza di un diagramma (Diagramma 9) suggerisce che le procedure fossero anche illustrate per facilitarne la trasmissione e l’applicazione pratica.

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[8.1/1-8-408|413]

8 Analisi delle regole di trasformazione cerchio-quadrato nel testo di Baudhayana

Il passaggio descrive la ricerca di una regola per trasformare un cerchio in un quadrato e viceversa, evidenziando il contributo storico di Baudhayana. Si inizia affermando che “The next thing was to find a rule for turning a circle into a square” - (fr:406) [La prossima cosa era trovare una regola per trasformare un cerchio in un quadrato]. Subito dopo si presenta la regola specifica di Baudhayana: “If you wish to turn a circle into a square, divide the diameter into eight parts, and again one of these eight parts into twenty‑nine parts ; of these twenty‑nine parts remove twenty‑eight and moreover the sixth part (of the one left part) less the eighth part (of the sixth part)” - (fr:407) [Se desideri trasformare un cerchio in un quadrato, dividi il diametro in otto parti, e poi una di queste otto parti in ventinove parti; di queste ventinove parti togli ventotto e inoltre la sesta parte (della parte rimanente) meno l’ottava parte (della sesta parte)].

Il significato di tale operazione viene poi sintetizzato in una formula simbolica: “The meaning is : I + A_ _ _^ + 1” - (fr:408) [Il significato è : I + A_ _ _^ + 1]. Questa espressione indica che il lato del quadrato ottenuto dal diametro del cerchio è costituito da una somma di termini che includono una unità, una frazione legata al diametro e un correttivo.

Si osserva poi che “of the diameter of a circle is the side of a square the area of which is equal to the area of the circle” - (fr:409) [del diametro di un cerchio è il lato di un quadrato la cui area è uguale a quella del cerchio], ponendo in evidenza la relazione fondamentale tra diametro e lato del quadrato equivalente in area.

Considerando più da vicino questa regola, si nota che “Considering this rule closer, we find that it is nothing but the reverse of the rule for turning a square into a circle” - (fr:410) [Esaminando più da vicino questa regola, si scopre che non è altro che l’inversa della regola per trasformare un quadrato in un cerchio]. Tuttavia, si sottolinea che i passaggi della regola inversa “could not be traced back by means of a geometrical construction” - (fr:411) [non potevano essere ricostruiti tramite una costruzione geometrica], poiché, dato un cerchio, non è indicato quale parte del diametro debba essere presa come l’“atis’ayatritaya” (il segmento fg nel diagramma 10).

Per superare questa limitazione, diventa necessario “express the rule for turning a square into a circle in numbers” - (fr:412) [esprimere la regola per trasformare un quadrato in un cerchio in termini numerici]. Tale espressione numerica viene ottenuta facendo ricorso al “savis’esha’*, which we have considered above” - (fr:413) [savis’esha, già considerato in precedenza], un concetto che permette di rappresentare la trasformazione in forma puramente aritmetica.

Nel complesso, il testo evidenzia un passo importante della matematica indiana antica: la tentativo di quadrare il cerchio attraverso una regola pratica attribuita a Baudhayana, la sua successiva formalizzazione numerica e il riconoscimento delle sue limitazioni geometriche, segnando così un momento di transizione tra costruzioni figurate e metodi algebrici.

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[9.1/1-11-418|426]

9 Analisi del trattato sulle equivalenze di area tra quadrato e cerchio

Il testo presenta una procedura per determinare il rapporto tra lato di un quadrato e raggio di un cerchio aventi la stessa area, espresso in unità “til”. Si parte dalla definizione di alcune differenze: “the third part of this difference = 56i til.” - (fr:418) [la terza parte di questa differenza equivale a 56i til.]; “= 169 til.” - (fr:417) [= 169 til.]; “33 til.” - (fr:416) [33 til.]; poi si passa a un’espressione relativa al cerchio: “Ra- 28 diu0 of the circle »= e f (•« a i) -f g f « 408 til.” - (fr:419) [Ra- 28 diu0 del cerchio »= e f (•« a i) -f g f « 408 til.]; successivamente si aggiunge “+ 66i til.” - (fr:420) [+ 66i til.] ottenendo “» 4641 til.” - (fr:421) [» 4641 til.]; la frase chiave spiega il risultato: “In other words : if half the side of a square is 408 til. long, the length of the radios of a circle, which is equal in area to the square, amounts to 464i til.” - (fr:422) [In altre parole: se metà del lato di un quadrato è lunga 408 til., il raggio di un cerchio avente la stessa area del quadrato misura 464i til.]; per evitare le frazioni si adottano terzi: “In order to avoid the fraction, hoth num- bers were turned into thirds, and the radius made ss 1393, half the side ss ” - (fr:423) [Per evitare le frazioni, entrambi i numeri sono stati convertiti in terzi, ottenendo il raggio pari a 1393 e metà del lato pari a ]; infine si passa al diametro e al lato intero: “Finally, the diameter was taken instead of the radius, and the whole side of the square instead of half the side.” - (fr:426) [Infine, è stato preso il diametro invece del raggio e il lato intero del quadrato invece della metà del lato.].

Queste frasi rivelano un metodo aritmetico antico per approssimare la quadratura del cerchio, evitando le frazioni mediante la conversione in terzi e fornendo valori interi (raggio = 1393, mezzo lato = 1224) che, una volta raddoppiati, danno il rapporto fra diametro e lato del quadrato equivalente in area. Il trattato dunque testimonia un tentativo storico di risolvere il problema della quadratura del cerchio usando solo operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione per semplici frazioni, riflettendo le tecniche di calcolo presenti nei testi matematici pre‑moderni.

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[10.1/1-12-448|458]

10 Analisi delle istruzioni geometriche per la costruzione dell’altare a forma di falco nei testi vedici

Il passaggio descrive, con precisione meticolosa, le procedure per disegnare e dimensionare le ali e la coda di un altare rituale a forma di falco (s’yena) utilizzando le unità di lunghezza vediche (purusha, aratni, anguli) e specifici elementi costruttivi (mattoni quarti, prades’a).

Le ali devono essere tracciate simmetricamente: sul lato occidentale vengono disegnate verso est e sul lato orientale verso ovest, garantendo una disposizione bilanciata (“On the west side the wings are to be drawn towards the east, on the east side towards the west.” - (fr:448) [Sul lato occidentale le ali devono essere disegnate verso est, sul lato orientale verso ovest.]). Le ali sono piegate e la coda spiegata (“His wings are bent and his tail spread out.” - (fr:447) [Le sue ali sono piegate e la sua coda è spiegata.]), mentre la curvatura centrale delle ali segue la tradizione ornitologica (“For such is the curvature of the wings in the middle of the birds, says the tradition.” - (fr:449) [Poiché tale è la curvatura delle ali al centro degli uccelli, secondo la tradizione.]).

L’intera area dell’agni saptavidha è definita come sette purusha, aumentata dalle due aratni poste sulle ali e dal prades’a della coda (“The whole area of the saptavidha agni is seven purushas with the addition of the two aratnis on the wings and the prades’a of the tail, altogether 7^ purushas.” - (fr:452) [L’intera area dell’agni saptavidha è costituita da sette purusha, con l’aggiunta delle due aratni sulle ali e del prades’a della coda, per un totale di 7^ purusha.]). Da questa area si prende il prades’a, pari alla quarta parte dell’atman (corpo senza testa, ali e coda), insieme a otto mattoni quarti; di questi, sei costituiscono la testa del falco e il resto è ripartito tra le due ali (“Of the whole area covered by the sevenfold agni with aratni and prades’a take the prades^a, the fourth part of the atman (body without head, wings, and tail) and eight quarter bricks ; of those latter, six form the head of the falcon ; the remainder is to be divided between the two wings.” - (fr:450) [Dell’intera area coperta dall’agni sette volte con aratni e prades’a, prendere il prades’a, la quarta parte dell’atman (corpo senza testa, ali e coda) e otto mattoni quarti; di questi ultimi, sei formano la testa del falco; il resto deve essere diviso tra le due ali.]). Questo sutra stabilisce quali porzioni dell’area legittima dell’agni debbano essere assegnate alle varie parti della costruzione (“This sutra determines what portions of the legitimate area of the agni have to be allotted to the different parts of the falcon construction.” - (fr:451) [Questo sutra determina quali porzioni dell’area legittima dell’agni devono essere assegnate alle diverse parti della costruzione del falco.]).

La quarta parte dell’atman dello s’yenachiti primitivo corrisponde a un purusha e a un prades’a rappresentato da un rettangolo di 120 × 12 anguli, equivalente a un quadrato purusha più otto mattoni quarti (“Now the fourth part of the 4tman (of the primitive s’yenachiti) as one purusha and the prddes’a, «• e,, an oblong of 120 angulis by 12 angulis = ^ square purusha and eight quarter bricks, (».” - (fr:453) [Ora la quarta parte dell’atman (dello s’yenachiti primitivo) corrisponde a un purusha e al prades’a, un rettangolo di 120 anguli per 12 anguli equivalente a un quadrato purusha e otto mattoni quarti.]). I mattoni quadrati impiegati hanno lato pari a un quarto di purusha (80 anguli) e, combinati, coprono un’area di un quadrato purusha; vengono assegnati alle ali in aggiunta all’area già occupata nell’agni primitivo, ma devono cedere tre degli otto mattoni quarti utilizzati per la testa (“e,, square bricks the side of which is equal to the fourth part of a purusha «= 80 angulis, so that they cover together an area of i square purusha) are given to the wings in addi- 30 tion to the area which they cover in the primitive agnl, only they have to cede in their turn three of the eight quarter bricks, which are employed for the formation of the head.” - (fr:454) [I mattoni quadrati, il cui lato è uguale alla quarta parte di un purusha (= 80 anguli), che insieme coprono un’area di un quadrato purusha, sono dati alle ali in aggiunta all’area che esse coprono nell’agni primitivo, ma devono cedere a loro volta tre degli otto mattoni quarti impiegati per la formazione della testa.]).

L’area originale delle due ali insieme è di 2,5 purusha; dopo l’incremento previsto dall’algoritmo, l’area totale raggiunge circa 3,25 quadrati purusha, corrispondente a 1,25 quadrati purusha per ciascuna ala (“The original area of both wings together being 2|- purushas, their increased area amourits to 2|- + If — -j^ = 3 Jf square purushas, for one wing to l-|f square purushas.”* - (fr:455) [L’area originale delle due ali insieme è di 2,5 purusha; la loro area aumentata ammonta a 2,5 + … = 3,25 quadrati purusha, per un’ala a 1,25 quadrati purusha.]).

La lunghezza dell’ala è data da nove mezzi aratni (238 anguli) più tre quarti di un angulo (“Nine and a half aratnis ( = 238 angulis) and three quarters of an an- guli are the length of the wing.” - (fr:456) [Nove mezzi aratni (= 238 anguli) e tre quarti di un angulo costituiscono la lunghezza dell’ala.]), mentre la larghezza rimane quella dello s’yena primitivo, cioè un purusha pari a 120 anguli (“The breadth of the wing is the same as in the primitive s’yena, i, e.^ «=3 one purusha = 120 angulis.” - (fr:457) [La larghezza dell’ala è la stessa dello s’yena primitivo, cioè un purusha = 120 anguli.]). Infine, dividendo l’area dell’ala per la sua larghezza si ottiene nuovamente la lunghezza, confermando la coerenza del calcolo (“Dividing the area of the wing mentioned above by the- breadth we get the length.” - (fr:458) [Dividendo l’area dell’ala sopra menzionata per la larghezza si ottiene la lunghezza.]).

Queste istruzioni rivelano un sistema di geometria rituale altamente sviluppato, tipico dei Shulba Sutras, dove le unità vediche (purusha, aratni, anguli) e la suddivisione dell’area in mattoni standardizzate permettono la costruzione precisa di altari simbolici. Il testo costituisce dunque una testimonianza preziosa della conoscenza matematica e ingegneristica dell’India antica, evidenziando l’integrazione tra osservazione naturale (curvatura delle ali degli uccelli) e prescrizioni rituali.

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[11.1/1-59-479|536]

11 Analisi delle tipologie di mattoni per la costruzione dell’altare agni

Il trattato descrive minuziosamente le varie categorie di mattoni necessarie all’edificazione dell’altare sacro (agni) sull’agnikshetra, specificando le loro dimensioni in rapporto al purusha e agli anguli, la loro forma geometrica e la disposizione nei diversi strati dell’altare.

Classi di mattoni e loro caratteristiche
- La prima classe è definita da un mattone la cui lunghezza corrisponde a un quinto di purusha e la larghezza a un sesto, piegato in modo da adattarsi al luogo di impiego (480); la piegatura (nata, bent) indica che i lati non formano angoli retti (482) e la figura risultante è romboidale, con angoli uguali a quelli formati dalle ali dello s’yena rispetto al corpo (483).
- Unendo due mattoni della prima classe lungo il lato lungo si ottiene la seconda classe (485), impiegata nello strato superiore dove le ali presentano curvatura (486).
- La terza classe deriva dall’allungamento di un lato della prima classe di un ottavo di purusha (487) e viene posta nello strato superiore nel punto di congiunzione di atman e ali (488); essa è composta da una parte pari a un mattone della prima classe (posta nell’ala) e da un oblungo di 24 × 15 anguli (posta nell’atman) (489).
- La quarta classe si ottiene aumentando l’area di un mattone la cui lato è un quarto di purusha della metà e poi dividendo per la diagonale (490‑491); ne risulta un trapezio con lati 15 ang., 30 afig., 45 afig. (493), descritto nei sutra come savis’esha di 30 (= i² 1800) (494).
- La quinta classe consiste semplicemente nella metà dei mattoni il cui lato è un quarto di purusha (495), ovvero oblungi di 30 × 15 anguli (496‑497).
- Dividendo tali oblungi per la diagonale si ottengono i mattoni della sesta classe, triangoli rettangoli con lati 30 ang., 15 ang. e ipotenusa √1125 (498‑499).
- La settima classe nasce dal disegno di un oblungo lungo un quinto di purusha (24 anguli) e largo un decimo (12 anguli) (500), cui si aggiungono altri oblungi divisi per le diagonali agli angoli sud‑ovest (501); questi mattoni romboidali sono impiegati nello strato superiore sui due lati della coda (503‑504).
- L’ottava classe si forma analogamente dividendo l’oblungo settentrionale per l’altra diagonale (505), producendo trapezî posti al centro della coda nello strato superiore (506‑507).
- La nona classe deriva dalla divisione di un quadrato di lato pari a un quarto di purusha per entrambe le diagonali, ottenendo quattro triangoli (508).

Struttura dell’altare e disposizione dei mattoni
- Nel primo strato si posano sessanta mattoni della prima classe in ciascuna ala, rivolti verso nord (510); lungo la coda si collocano otto mattoni della sesta parte su ciascun lato (511‑512).
- Nel punto di congiunzione coda‑corpo vengono posti due mattoni della quarta classe, ciascuno formato da un triangolo (appartenente al corpo) e un oblungo (appartenente alla coda) (513‑514).
- Ai lati di questi due mattoni si sistemano mattoni della quinta classe, posti faccia a faccia “come due montoni che combattono” (515‑516); dieci mattoni della quarta classe completano il resto della coda (517).
- Negli quattro angoli dell’atman vengono posti otto mattoni della quarta classe, rivolti verso est e ovest (518); nella parte restante dell’atman si collocano ventisei mattoni della quarta classe, otto della sesta e quattro della quinta (519).
- Nella testa si posizionano due mattoni della quarta classe (parzialmente nell’atman) e, a est di essi, altri due della stessa classe rivolti verso est (520‑521); l’intero primo strato comprende dunque duecento mattoni (522).

• Nel secondo strato si collocano cinque mattoni della seconda classe in ciascuna ala, nel punto di curvatura (524); i mattoni della terza classe, con un lato pari a un ottavo di purusha, vengono posti lungo le linee in cui le ali si uniscono all’atman (526).
  
• Nella restante parte di ogni ala si dispongono quarantacinque mattoni della prima classe, rivolti verso est (527), con una distribuzione dettagliata tra metà settentrionale e meridionale di ciascuna ala (528).
  
• Sulla coda vengono posti cinque mattoni della settima classe su ciascun lato (529) e, successivamente, un mattone della settima classe accanto al secondo e al quarto mattone menzionato (530); la parte rimanente della coda accoglie tredici mattoni della ottava classe (531).
  
• Negli angoli dell’atman si collocano otto mattoni della quarta classe rivolti verso sud e nord (532); nella parte restante dell’atman si trovano venti mattoni della quarta classe, trentadue della sesta e uno della quinta (533).
  
• Nella testa si posizionano due mattoni della quarta classe e, a est di essi, quattro della nona classe (535), completando nuovamente un strato di duecento mattoni (536).

Riferimenti alle figure
Il testo menziona esplicitamente i diagrammi delle due strutture dello chiti (strati) 11 e 12, dove i mattoni sono indicati con numeri (484), fondamentale per comprendere la disposizione spaziale delle varie classi descritta nei versi successivi.

Significato storico e tecnico
La trattazione rappresenta una rara testimonianza tecnica vedica sull’edilizia rituale, mostrando un sistema di misura basato sul purusha (unità antropometrica) e sull’anguli (dito), nonché una conoscenza avanzata di geometria pratica: la costruzione di forme romboidali, trapezoidali e triangolari tramite tagli e piegature di mattoni rettangolari. La precisione nel numero di mattoni per ciascuna sezione dell’altare (es. sessanta per ala, otto per lato della coda, ecc.) indica una pianificazione meticolosa, probabilmente legata a requisiti simbolici e cosmologici propri del rituale dell’agni. La presenza di riferimenti a commentatori che descrivono la disposizione dei mattoni “come due montoni che combattono” (515‑516) sottolinea l’aspetto sia tecnico che narrativo della tradizione costruttiva.

In sintesi, il brano offre un catalogo dettagliato delle tipologie di mattoni, delle loro dimensioni derivate da unità vediche, e delle loro collocazioni stratificate nell’altare agni, evidenziando un’intersezione tra metrologia, geometria applicata e simbolismo rituale.

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12 Procedura geometrica per la costruzione dell’agnikshetra

Il processo inizia con la divisione dei mattoni: “Thus 128 bricks are divided equally between spokes and interstices.” - (fr:568) [Così 128 mattoni vengono divisi equamente tra raggi e spazi vuoti].
Si considera poi un quadrato che avrebbe l’area di 144 mattoni, da cui si sottraggono i 16 centrali destinati alla navata: “This square would be equal to the area occupied by 144 bricks, but we have to deduct from that the 16 bricks in the centre which consti- tute the nave.” - (fr:567) [Questo quadrato sarebbe uguale all’area occupata da 144 mattoni, ma dobbiamo sottrarre i 16 mattoni al centro che costituiscono la navata].
Dall’intero quadrato di 289 mattoni si ritaglia un altro quadrato per i raggi e gli spazi vuoti: “Out of the entire square of 289 bricks another square has to be cut out, containing the area for the spokes and for the void spaces between the spokes.” - (fr:566) [Dall’intero quadrato di 289 mattoni deve essere ritagliato un altro quadrato, contenente l’area per i raggi e per gli spazi vuoti tra i raggi].
Questo quadrato interno viene ottenuto fissando pali al centro dei quattro mattoni agli angoli di un quadrato 13×13 e unendoli con corde: “The required square is cut out by poles being fixed in the centre of the four bricks which form the corners of the square of 13 X 13 bricks and by joining the four poles with cords.” - (fr:569) [Il quadrato richiesto viene ritagliato fissando dei pali al centro dei quattro mattoni che formano gli angoli del quadrato di 13×13 mattoni e unendo i quattro pali con delle corde].
I mattoni rimanenti costituiscono il cerchione della ruota: “The remaining bricks form the felloe of the wheel.” - (fr:570) [I mattoni rimanenti formano il cerchione della ruota].
Dopo l’impiego di 144 mattoni per navata e raggi, ne rimangono 145 per il cerchione: “— One hundred and forty-four bricks having been employed for nave and spokes, one hundred and forty-five remain for the felloe.” - (fr:571) [— Centoquarantaquattro mattoni essendo stati impiegati per la navata e i raggi, centoquarantacinque rimangono per il cerchione].
La misurazione dell’agnikshetra essendo terminata, i mattoni usati per la misurazione non sono più necessari: “The measurement of the agnikshetra being finished therewith, the bricks used for measuring are no longer want- ed.” - (fr:572) [La misurazione dell’agnikshetra essendo terminata così, i mattoni usati per la misurazione non sono più necessari].
Si ottengono così tre quadrati concentrici, il più grande che racchiude i due più piccoli: “As result of the described proceeding we have three squares, the largest of which encloses the two smaller ones.” - (fr:573) [Come risultato del procedimento descritto otteniamo tre quadrati, il più grande dei quali racchiude i due più piccoli].
Il quadrato centrale è destinato alla navata, mentre i due quadrati esterni segnano i bordi interno ed esterno del cerchione: “The smallest, situated in the centre, is meant for the nave ; the two larger ones mark the interior and exterior edges of the felloe.” - (fr:574) [Il più piccolo, situato al centro, è destinato alla navata; i due più grandi segnano i bordi interno ed esterno del cerchione].
Resta da trasformare questi tre quadrati in cerchi: “It remains to turn these three squares into circles.” - (fr:575) [Resta da trasformare questi tre quadrati in cerchi].
La navata viene circoscritta da un cerchio secondo la regola generale: “87 The nave is to be circnmscribed at its borders with a circle, i. e, the square forming the nave is to be turned into a circle.” - (fr:576) [87 La navata deve essere circoscritta ai suoi bordi da un cerchio, cioè il quadrato che forma la navata deve essere trasformato in un cerchio]. “This was of course executed according to the general rule which has been discussed above.” - (fr:577) [Questo è stato naturalmente eseguito secondo la regola generale discussa sopra].
Dopo aver trasformato anche i quadrati che segnano i bordi del cerchione in cerchi, l’area tra cerchione e navata viene divisa in trentadue parti, eliminando le parti pari: “After having likewise turned into circles the squares, marking the outer and inner edge of the felloe — One divides the area lying between felloe and nave into thirty-two parts, and takes out the second, fourth, sixth, &c., parts.” - (fr:578) [Dopo aver altresì trasformato in cerchi i quadrati che segnano il bordo esterno e interno del cerchione — Si divide l’area compresa tra cerchione e navata in trentadue parti, e si tolgono la seconda, quarta, sesta, ecc., parti].

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[13.1/1-11-584|592]

13 Analisi del procedimento di costruzione della sararathachakra di Baudhayana

Un’occhiata al diagramma del s&rarathachakrachit mostra immediatamente che deve essere risolta prima una questione preliminare, ovvero quale doveva essere la dimensione relativa delle diverse parti della ruota “A look at the diagram of the s&rarathachakrachit shows at once that one preliminary question must first be settled, the question what the relative size of the wheel’s different parts was to be.” - (fr:584) [Un’occhiata al diagramma del s&rarathachakrachit mostra immediatamente che deve essere risolta prima una questione preliminare, ovvero quale doveva essere la dimensione relativa delle diverse parti della ruota].

Rimane da ripercorrere i passi mediante i quali Baudhayana riuscì a rendere l’area del sararathachakra abbastanza uguale a quella del chaturasra s’yena “It remains to retrace the steps by which Baudhayana succeeded in rendering the area of the sararathachakra pretty well equal to that of the chaturasra s’yena.” - (fr:583) [Rimane da ripercorrere i passi mediante i quali Baudhayana riuscì a rendere l’area del sararathachakra abbastanza uguale a quella del chaturasra s’yena].

Seguendo tutte le istruzioni precedenti otteniamo effettivamente una ruota, la cui area (esclusi gli spazi tra i raggi) è uguale a quella del saptavidha agni; naturalmente, bisogna tenere conto dell’errore inevitabile introdotto dalla trasformazione del quadrato in cerchio “By following all the preceding directions we get indeed a wheel, the area of which (with exclusion of the interstices between the spokes) is equal to that of the saptavidha agni ; of course, we have to make the necessary allowance for the inevitable error introduced by the square having to be turned into a circle.” - (fr:582) [Seguendo tutte le istruzioni precedenti otteniamo effettivamente una ruota, la cui area (esclusi gli spazi tra i raggi) è uguale a quella del saptavidha agni; naturalmente, bisogna tenere conto dell’errore inevitabile introdotto dalla trasformazione del quadrato in cerchio].

Per quanto possiamo vedere, non esisteva una regola fissa riguardo a questa questione, e quindi potevano essere adottate ruote di varie forme “As far as we can see, there was no fixed rule regarding this matter, and wheels of various shapes might therefore have been adopted.” - (fr:585) [Per quanto possiamo vedere, non esisteva una regola fissa riguardo a questa questione, e quindi potevano essere adottate ruote di varie forme].

Baudhayana non afferma inizialmente quale sarà la forma della sua ruota, ma dal risultato delle sue regole possiamo dedurre la sua intenzione “Baudhdyana does not state at the outset what the shape of his wheel will be, but from the result of his rules we may conclude his intention.” - (fr:586) [Baudhayana non afferma inizialmente quale sarà la forma della sua ruota, ma dal risultato delle sue regole possiamo dedurre la sua intenzione].

L’intero quadrato — o il cerchio ottenuto trasformando il quadrato — comprende 289 mattoni, o più semplicemente 289 parti, di cui 145 costituiscono il cerchione (felloe), mentre le rimanenti 144 formano i raggi, gli spazi interstiziali e il mozzo “The entire square — or the entire circle into which the square is turned — comprises 289 bricks, or simpler 289 parts, of which 145 form the felloe, the remaining 144 the spokes, interstices, and the nave.” - (fr:587) [L’intero quadrato — o il cerchio ottenuto trasformando il quadrato — comprende 289 mattoni, o più semplicemente 289 parti, di cui 145 costituiscono il cerchione (felloe), mentre le rimanenti 144 formano i raggi, gli spazi interstiziali e il mozzo].

Sembra quindi probabile che l’intenzione di Baudhayana fosse quella di assegnare al cerchione un’area uguale a quella dei raggi, ecc., presi insieme “It appears therefore probable that Baudh&yana’s intention was to allot to the felloe an area equal to that of spokes, &c., together.” - (fr:588) [Sembra quindi probabile che l’intenzione di Baudhayana fosse quella di assegnare al cerchione un’area uguale a quella dei raggi, ecc., presi insieme].

Il motivo per cui le due parti non sono state rese esattamente uguali sarà evidente dal seguente “The reason why the two parts were not made exactly equal will appear from the fol- lowing.” - (fr:589) [Il motivo per cui le due parti non sono state rese esattamente uguali sarà evidente dal seguente].

Il compito, inizialmente, era disegnare due quadrati — che rappresentano il bordo esterno e quello interno del cerchione — l’area di uno dei quali era il doppio dell’area dell’altro “The task was, in the first place, to draw two squares — representing the outer and the inner edge of the felloe — the area of one of which was the double of the area of the other.” - (fr:590) [Il compito, inizialmente, era disegnare due quadrati — che rappresentano il bordo esterno e quello interno del cerchione — l’area di uno dei quali era il doppio dell’area dell’altro].

A tal fine Baudhayana utilizzò il suo savis’esha, cioè la regola secondo cui il quadrato di 16 unità è quasi uguale al doppio del quadrato di 12 unità; egli sostituì poi, per facilitare l’operazione, 17 a 16 “For this purpose Baudhayana made use of his ** savis’esha,” i, e,, of the rule teaching that the square of 16 f} is almost equal bo double the square of 12 ; only he substituted here, in order to facilitate the operation, 17 to 16 f f .” - (fr:591) [A tal fine Baudhayana utilizzò il suo savis’esha, cioè la regola secondo cui il quadrato di 16 unità è quasi uguale al doppio del quadrato di 12 unità; egli sostituì poi, per facilitare l’operazione, 17 a 16].

Di conseguenza, iniziò disegnando un quadrato la cui area ammontava a sette e mezzo quadrati purusha, poi lo divise in 289 parti dividendo il suo lato in 17 parti, e tracciò al centro di questo quadrato un altro quadrato composto da 14,4 tali parti (secondo il metodo descritto sopra) “Accordingly, he began by drawing a square the area of which amounted to seven and a half square purushas, 38 divided it into 289 parts, by dividing its side into 17 parts, and drew in the centre of this square another one comprising 14f4 such parts (by the method described above).” - (fr:592) [Di conseguenza, iniziò disegnando un quadrato la cui area ammontava a sette e mezzo quadrati purusha, poi lo divise in 289 parti dividendo il suo lato in 17 parti, e tracciò al centro di questo quadrato un altro quadrato composto da 14,4 tali parti (secondo il metodo descritto sopra)].

Queste osservazioni rivelano che Baudhayana affrontò il problema della quadratura del cerchio mediante una costruzione geometrica basata su rapporti approssimativi fra quadrati e cerchi, assegnando al cerchione e ai raggi aree equivalenti e utilizzando il suo savis’esha per gestire la conversione da quadrato a cerchio. Il metodo, sebbene introduca un errore inevitabile dovuto alla trasformazione della figura, dimostra una sofisticata comprensione delle relazioni di area e rappresenta una testimonianza precoce di tecniche di approssimazione che anticipano concetti successivi di π e di geometria pratica nell’antica India.

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[14.1/1-15-603|616]

14 Costruzione di una ruota a raggi secondo il trattato

Il testo descrive un procedimento meticoloso per realizzare una ruota a raggi utilizzando mattoni come unità modulare, suddividendo i vari componenti (raggi, mozzo e cerchio esterno) in parti uguali e disponendo i mattoni nelle intercapedine secondo uno schema stratificato.

Ogni raggio è diviso in quattro parti “Every spoke is to be divided into four parts.” - (fr:603) [Ogni raggio deve essere diviso in quattro parti.] e, considerando tutti i raggi insieme, si ottengono sessantaquattro mattoni “We get therefore sixty- four bricks in all spokes together.” - (fr:604) [Otteniamo quindi sessantaquattro mattoni in tutti i raggi insieme.] mentre il cerchio esterno (felloe) contiene centoventotto mattoni “Thus we get one hundred and twenty-eight (bricks placed in the felloe).” - (fr:602) [Così otteniamo centoventotto (mattoni posti nel cerchio esterno).]

Il mozzo (nave) è inizialmente suddiviso in otto parti per mezzo di raggi “The nave is to be divided into eight parts (by radii).” - (fr:605) [Il mozzo deve essere diviso in otto parti (per raggi).] costituendo il primo strato di costruzione “This is the first layer.” - (fr:606) [Questo è il primo strato.]

Per il secondo strato, al fine di evitare la cosiddetta “bheda”, si adotta una diversa divisione dell’agni‑kshetra “Again, in order to avoid the ” bheda”, a different division of the agni- kshetra had to be adopted for the second layer.” - (fr:607) [Inoltre, per evitare il “bheda”, doveva essere adottata una diversa divisione dell’agni‑kshetra per il secondo strato.] e si tracciano due cerchi di riferimento: uno nel mozzo alla distanza di un quarto dal bordo “In the second layer a circle is to be described in the nave at the dis- tance of a quarter from the edge.” - (fr:608) [Nel secondo strato deve essere tracciato un cerchio nel mozzo alla distanza di un quarto dal bordo.] e uno nel cerchio esterno alla stessa distanza dal suo bordo interno “In the same manner a circle is to be described in the felloe at the dis- tance of a quarter from its inner edge.” - (fr:609) [Analogamente deve essere tracciato un cerchio nel cerchio esterno alla distanza di un quarto dal suo bordo interno.]

Successivamente il bordo interno del cerchio esterno viene diviso in sessantaquattro parti e vi si tracciano le linee di divisione “After having divided the felloe at its inner edge into sixty-four parts, draw the dividing lines.” - (fr:610) [Dopo aver diviso il bordo interno del cerchio esterno in sessantaquattro parti, tracciare le linee di divisione.]

I raggi stessi sono poi suddivisi in cinque parti, ciascuna estesa fino ai due cerchi precedentemente disegnati (nel nemi e nel nabhi) “The spokes are divided into five parts, each up to the two circles (in nemi and nabhi).” - (fr:611) [I raggi sono divisi in cinque parti, ciascuna fino ai due cerchi (nel nemi e nel nabhi).] e l’intera area così definita (raggio, tratto di cerchio esterno e tratto di mozzo fino ai cerchi) è divisa in cinque parti “That means : the area of a spoke is considered to extend into the felloe and the nave up to the two circles which had been drawn in them at the distance of a quarter from the edge, and this whole area is divided into five parts.” - (fr:612) [Ciò significa: l’area di un raggio è considerata estesa nel cerchio esterno e nel mozzo fino ai due cerchi tracciati a distanza di un quarto dal bordo, e tutta questa area è divisa in cinque parti.]

Le intercapedine tra i raggi (nemi) ricevono due mattoni ciascuna “Two bricks are placed in each of the interstices in the nemi (the inter- stices between the spokes).” - (fr:613) [Due mattoni vengono posti in ciascuna delle intercapedini del nemi (le intercapedini tra i raggi).] mentre le intercapedine del mozzo ricevono un mattone “And one brick in the interstices in the nave.” - (fr:614) [E un mattone nelle intercapedini del mozzo.]

La parte rimanente del mozzo, dopo aver considerato le aree già assegnate, è nuovamente divisa in otto parti “The remainder of the nave is to be divided into eight parts.” - (fr:615) [La parte rimanente del mozzo deve essere divisa in otto parti.]

L’intero schema, che combina raggi, mozzo e cerchio esterno con le loro suddivisioni e il posizionamento specifico dei mattoni nelle intercapedine, costituisce una costruzione a forma di ruota a raggi che richiede complessivamente sedici tipi diversi di mattoni “This is the construction in the shape of a wheel with spokes, which requires altogether sixteen different kinds of bricks.” - (fr:616) [Questa costruzione a forma di ruota con raggi richiede complessivamente sedici tipi diversi di mattoni.]

Queste indicazioni rivelano un approccio altamente standardizzato e modulare, tipico di trattati tecnici antichi che miravano a garantire precisione e ripetibilità nella fabbricazione di componenti meccanici, probabilmente riferiti a carri o apparecchi cerimoniali, evidenziando sia la conoscenza geometrica sia la pratica artigianale dell’epoca.

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[15.1/1-19-634|650]

15 Analisi della divisione triangolare nei Sutras di Baudhayana

Il testo descrive il procedimento geometrico utilizzato per suddividere un grande triangolo in elementi costruttivi (mattoni) destinati alla realizzazione dell’agni, struttura cerimoniale vedica.

La divisione fondamentale è quella in dieci parti (633) : “This triangle is divided into ten parts.” - (fr:633) [Questo triangolo è diviso in dieci parti.]
Secondo il commentatore, tale suddivisione deve generare mattoni di forma triangolare e doppi triangoli (due triangoli uniti dalle loro basi) (634) : “For the details of this division, we must consult the commentator : The division of this triangle is to be made in such a way as to produce bricks of the shape of triangles and double triangles (two triangles joined with their bases).” - (fr:634) [Per i dettagli di questa divisione, dobbiamo consultare il commentatore: la divisione di questo triangolo deve essere effettuata in modo da produrre mattoni a forma di triangoli e doppi triangoli (due triangoli uniti dalle loro basi).]

Se si scegliesse una diversa modalità di partizione, si otterrebbero classi di mattoni differenti (635) : “If we adopted another division, we should get different classes of bricks.” - (fr:635) [Se adottassimo un’altra divisione, otterremmo diverse classi di mattoni.]
I sutra, noti per la ricerca della massima brevità nelle enunciazioni, affermano che la divisione è precisamente in dieci parti (636) : “(The sdtras always study the greatest shortness in their expressions and say in this case only : the division is into ten parts.” - (fr:636) [(I sutra studiano sempre la massima brevità nelle loro espressioni e in questo caso affermano soltanto: la divisione è in dieci parti.]
Il commentatore chiarisce che tale indicazione può significare soltanto “dieci triangoli e doppi triangoli”, poiché qualsiasi altra suddivisione produrrebbe parti di forma diversa, obbligando il sdtrak^a a fornire regole per ciascuna variante (637) : “Now, the commentator remarks, this can only mean : into ten triangles and double triangles ; for if we divide the large triangle in any other manner, the eight parts would be of different shape, and then the sdtrak^a would have been bound to give rules for manufacturing bricks of these different shapes).” - (fr:637) [Ora il commentatore osserva che ciò può significare soltanto: in dieci triangoli e doppi triangoli; poiché se dividessimo il grande triangolo in qualsiasi altro modo, le otto parti avrebbero forme diverse e allora il sdtrak^a sarebbe stato costretto a fornire regole per la produzione di mattoni di queste diverse forme.]

Il procedimento operativo è descritto nei versi successivi. Si tracciano tre segni equidistanti sulla base (considerata “faccia larga”) e sui due lati rimanenti, poi si uniscono i segni corrispondenti con linee rette (638‑643) :
- “The division of the triangle is effected in the following manner.” - (fr:638) [La divisione del triangolo viene effettuata nel modo seguente.]
- “We make on the ^ broad face”, i, e,, the base of the triangle (the sutraka- ras compare the triangle with a face, the base — we have to imagine the 41 triangle turned round, so that the base is uppermost— representing the broad ’ i. e^f upper part and the top the chin, chubuka) three marks at equal dis<» tances from each other (thus dividing it into four parts).” - (fr:639) [Facciamo sul ^ faccia larga, cioè la base del triangolo (i sutraka-ras paragonano il triangolo a un volto, la base — dobbiamo immaginare il triangolo di 41 girato così che la base sia in alto — rappresentando la parte superiore ‘i. e^f’ e il mento, chubuka) tre segni alla stessa distanza l’uno dall’altro (dividendolo così in quattro parti).]
- “Having divided the two other sides of the triangle in the same way, we begin by drawing a line from the first mark on the base to the first mark on the nearer of the two other sides.” - (fr:640) [Dopo aver diviso nello stesso modo gli altri due lati del triangolo, cominciamo tracciando una linea dal primo segno sulla base al primo segno sul lato più vicino degli altri due.]
- “Then a line is drawn joining the second mark on the base with the second mark on the side, and a third line joining the third mark on the base with the third mark on the side.” - (fr:641) [Poi si traccia una linea che unisce il secondo segno sulla base al secondo segno sul lato, e una terza linea che unisce il terzo segno sulla base al terzo segno sul lato.]
- “After that, a line is drawn joining the third mark on the base with the first mark on the third side of the triangle.” - (fr:642) [Dopo ciò, si traccia una linea che unisce il terzo segno sulla base al primo segno sul terzo lato del triangolo.]
- “The same is done with the other marks.”* - (fr:643) [Lo stesso viene fatto con gli altri segni.]

Questa costruzione genera, sulla base del grande triangolo, quattro mattoni triangolari; sopra di essi si collocano tre doppi triangoli, poi due doppi triangoli e infine un doppio triangolo situato nel “mento” del triangolo grande (644‑645) :
- “By this division we get four triangular bricks standing on the base of the large triangle ; over these we have three double-triangular bricks ; then two double-trian- gles ; then one double triangle in the chin’ of the large triangle.” - (fr:644) [Con questa divisione otteniamo quattro mattoni triangolari posti sulla base del grande triangolo; sopra questi abbiamo tre mattoni doppi triangolari; poi due doppi triangoli; poi un doppio triangolo nel * mento’ del grande triangolo.]
- “Alto- gether six double triangles and four triangles.” - (fr:645) [In totale sei doppi triangoli e quattro triangoli.]
- “Thus we have ten bricks in one of the large triangles.”* - (fr:646) [Così abbiamo dieci mattoni in uno dei grandi triangoli.]

Venti di questi grandi triangoli, ciascuno suddiviso in dieci praiigas e ubhayatahpraiigas, costituiscono l’intero agni (647‑649) :
- “Twenty such (large triangles as described in the last sutra but one) form the whole agni.” - (fr:647) [Venti tali grandi triangoli (come descritti nell’ultimo sutra precedente) costituiscono l’intero agni.]
- “One of these triangles is the half of an oblong, the area of which is equal to the tenth part of the whole agni.” - (fr:648) [Uno di questi triangoli è la metà di un oblungo, la cui area è uguale a un decimo dell’intero agni.]
- “The arrangement of these twenty large triangles, every one of which is subdivided into ten praiigas and ubhayatahpraiigas, ma}’ be seen in the sketch of the first layer of the s’mas’anachiti, and I omit therefore the detailed description given by the commentator.” - (fr:649) [L’arrangiamento di questi venti grandi triangoli, ciascuno dei quali è suddiviso in dieci praiigas e ubhayatahpraiigas, può essere visto nello schizzo del primo strato della s’mas’anachiti, e ometto quindi la descrizione dettagliata data dal commentatore.]

Infine, Baudhayana passa a delineare le regole per il secondo strato della costruzione (650) : “Baudhayana proceeds to the rules for the second layer.” - (fr:650) [Baudhayana passa poi alle regole per il secondo strato.]

Il passaggio evidenzia l’uso di una conoscenza geometrica pratica applicata all’edilizia rituale, mostrando una suddivisione sistematica che genera elementi modulari (triangoli e doppi triangoli) riutilizzabili in strati successivi. Alcuni termini tecnici (pradga, ubhayatahpraiigas, sdtrak^a) risultano oscuri nella trascrizione, suggerendo possibili varianti lessicali o errori di OCR, ma il senso generale rimane chiaro: la divisione in dieci parti è la base per una costruzione armonica e ripetibile dell’agni.

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[16.1/1-11-656|664]

16 Analisi delle istruzioni geometriche per la costruzione dell’agni e dei suoi triangoli

“By ** lengthways” a modification of the triangle is to he understood ; the meaning is a triangle of six parts’ height.“* - (fr:656) [Per ”lungo” si intende una modifica del triangolo da comprendere; il significato è un triangolo di sei parti di altezza.]
”Two of these five triangles are meant in the sutra (only two come really into question, as we shall see further on).” - (fr:655) [Due di questi cinque triangoli sono previsti nel sutra (solo due vengono realmente presi in considerazione, come vedremo più avanti).]
”(If w« divide the agni into these five triangles), the top of three among them is  42 turned towards the west, that of two towards the east.” - (fr:654) [(Se si divide l’agni in questi cinque triangoli), la cima di tre di essi è rivolta verso ovest, quella di due verso est.]
”(And this triangle is to he got in the following way).” - (fr:657) [(E questo triangolo deve essere ottenuto nel modo seguente).]
”On the south side of the agni a line is to he drawn through the middle of the triangle situated there, the top of which is turned towards the west ; this line reaches from the middle of the base the measure of which is one part to the top of the triangle.” - (fr:658) [Sul lato sud dell’agni deve essere tracciata una linea attraverso il mezzo del triangolo situato lì, la cui cima è rivolta verso ovest; questa linea si estende dal centro della base, la cui misura è una parte, fino alla cima del triangolo.]
”In the same way the triangle on the north side of the agni is to be divided.” - (fr:659) [Alla stessa maniera il triangolo sul lato nord dell’agni deve essere diviso.]
”The result is the two long rectangular triangles on the north and south sides of the second layer of the s’mas’anachiti, W^ [^ .ft VTJi: I This triangle is divided into six parts.” - (fr:660) [Il risultato sono i due triangoli rettangolari allungati sui lati nord e sud del secondo strato dello s’mas’anachiti, … Questo triangolo è diviso in sei parti.]
”Commentary : ^[rffHij ^Hiipq <t iT^TSTiIT’^ fir^ f%^T fw^ I”tHf ’ri^wmnifti^ I ^ ftH# sr ^ ^rTrr ^’srgjiT^ncr t I The diagram of the second layer, in which the two triangles are divided in the manner described above, renders a translation of the commentator’s words unnecessary.” - (fr:661) [Commentario : … Il diagramma del secondo strato, in cui i due triangoli sono divisi nel modo descritto sopra, rende inutile una traduzione delle parole del commentatore.]
“These two (large triangles, divided into six parts each) are to be placed on both sides (of the second layer).” - (fr:662) [Questi due (triangoli grandi, divisi ciascuno in sei parti) devono essere posti sui due lati (del secondo strato).]
“In the following sdtras those bricks are described which fill the space between the two triangles.” - (fr:663) [Nei sutra seguenti vengono descritti quei mattoni che riempiono lo spazio tra i due triangoli.]
“Bricks are to be made as long as the third parb (of the side of one of the fifteen squares which compose the agnikshetra), and as broad as the fourth part.” - (fr:664) [I mattoni devono essere realizzati lunghi quanto la terza parte (del lato di uno dei quindici quadrati che compongono l’agnikshetra), e larghi quanto la quarta parte.]

Il testo descrive una procedura geometrica dettagliata per la suddivisione dell’agni in cinque triangoli, con particolare attenzione all’orientamento occidentale e orientale delle loro cime. Si specifica che una modifica “lungo” del triangolo produce una figura di sei parti di altezza, e che due di questi cinque triangoli sono rilevanti nel contesto del sutra. Le istruzioni prevedono il tracciamento di linee centrali sui lati sud e nord dell’agni, dalle basi alle cime rivolte verso ovest, generando due triangoli rettangolari allungati posti sui lati del secondo strato dello s’mas’anachiti. Questi triangoli, ciascuno diviso in sei parti, devono essere affiancati entrambi i lati del secondo strato, mentre lo spazio tra di essi viene riempito da mattoni dalle dimensioni definite rispetto al lato dei quindici quadrati che costituiscono l’agnikshetra. Il diagramma del secondo strato rende superflua qualsiasi ulteriore spiegazione commentata.

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[17.1/1-13-683|693]

17 Analisi delle proporzioni costruttive dell’agni e del chiti

L’altezza dell’agni varia a seconda del numero di strati: nella prima costruzione, con cinque strati, essa corrisponde a un janu = 32 angulis; nella seconda, con dieci strati, raddoppia; nella terza, con quindici strati, diventa tripla“The height of the agni, when constructed for the first time and in five layers, is — as mentioned above — one janu = 32 angulis ; when constructed for the second time and in ten layers, it is the double, and it is three times as much when, in the third construction, the number of layers amounts to fifteen A fifth of the usual height has to be added to the height of the s’mas’^naohiti.” - (fr:683) [L’altezza dell’agni, quando costruita per la prima volta e in cinque strati, è — come già detto — un janu = 32 angulis; quando costruita per la seconda volta e in dieci strati, è il doppio, e è tre volte tanto quando, nella terza costruzione, il numero di strati ammonta a quindici* Un quinto dell’altezza abituale deve essere aggiunto all’altezza dello s’mas’^naohiti.]
Per mantenere le proporzioni richieste, l’altezza dell’agni deve essere aumentata di un quinto“The height of the agni is to be increased by one fifth.” - (fr:682) [L’altezza dell’agni deve essere aumentata di un quinto.]
Applicando questo incremento allo strato di cinque strati si ottiene 32 + 6f = 38| angulis“Increasing the height of the agni of five layers by its fifth part, we get 32 + 6f = 38| angulis.”* - (fr:689) [Aumentando l’altezza dell’agni di cinque strati di un quinto, otteniamo 32 + 6f = 38| angulis.]

La forma particolare dello s’mas’anachiti impone regole specifiche per preservare il contenuto cubico totale nonostante le variazioni di altezza“This peculiar shape of the s’mas’anachiti required consequently a set of rules for preserving, notwithstanding the different height, the same cubic content of the whole mass of bricks.” - (fr:681) [Questa forma particolare dello s’mas’anachiti ha richiesto conseguentemente un insieme di regole per preservare, nonostante l’altezza diversa, lo stesso contenuto cubico della massa totale di mattoni.]
L’altezza comprensiva della quinta parte aggiunta viene divisa in tre parti; dai due terzi si ricavano le dimensioni dei mattoni utilizzando la quarta, la nona o la quattordicesima parte“Divide all this — the height inclusive the added fifth part — into three parts, and make bricks with the fourth or the ninth or the fourteenth part of two of these three parts.” - (fr:684) [Dividete tutto questo — l’altezza compresa la quinta parte aggiunta — in tre parti, e realizzate mattoni con la quarta, la nona o la quattordicesima parte di due di queste tre parti.]
Queste frazioni corrispondono rispettivamente all’agni a cinque strati (quarta parte), all’agni das’achitika (nona parte) e al panchadas’achitlka (quindicesima parte)“With the fourth for the agni of five layers, with the ninth for the agni das’achitika, with the fifteenth for the panchadas’achitlka.” - (fr:685) [Con la quarta parte per l’agni di cinque strati, con la nona per l’agni das’achitika, con la quindicesima per il panchadas’achitlka.]

Dopo aver disposto i mattoni in quattro, nove o quindici strati, il terzo restante dell’altezza viene suddiviso lungo la diagonale e la metà viene eliminata“Having constructed with these bricks either four or nine or fifteen layers, the remaining part of the height (amounting to one third) is to be divided in a downward direction by the diagonal and half of it to be remov- ed.” - (fr:686) [Dopo aver costruito con questi mattoni quattro, nove o quindici strati, la parte rimanente dell’altezza (pari a un terzo) deve essere divisa in direzione discendente dalla diagonale e metà di essa deve essere rimossa.]
Questo comporta che il quinto strato sia costruito con mattoni la cui altezza equivale a un terzo dell’altezza totale, e che metà dello strato venga tagliata seguendo la direzione della diagonale dei lati nord e sud“That means : the fifth layer is to be constructed with bricks the height of which is equal to the third part of the whole height ; and then half of the whole layer is to be cut off following the direction of the diago nal of the northern and southern side.” - (fr:687) [Ciò significa: il quinto strato deve essere costruito con mattoni la cui altezza è uguale a un terzo dell’altezza totale; poi metà dello strato totale deve essere tagliata seguendo la direzione della diagonale dei lati nord e sud.]
Prima del taglio, il quinto strato misura 12f angulis; dopo la rimozione della metà, mantiene questa altezza solo sul lato orientale, mentre il lato occidentale raggiunge zero“The fifth layer, before being cut in two, is 12f angulis high ; after the removal of its half, it has this height only on its east side, the height on the west side being equal to ” - (fr:692) [Il quinto strato, prima di essere tagliato a metà, ha un’altezza di 12f angulis; dopo la rimozione della sua metà, mantiene questa altezza solo sul lato orientale, mentre l’altezza sul lato occidentale è uguale a ]
Di conseguenza l’altezza media del quinto strato è 6f angulis e, così, l’altezza media totale dello chiti risulta pari a 32 angulis“Thus its middle height is 6f , and conse* quently the middle height of the whole chiti = 32 angulis.”* - (fr:693) [Quindi la sua altezza media è 6f e, conseguentemente, l’altezza media totale dello chiti è 32 angulis.]

Il contenuto cubico totale dello chiti viene verificato attraverso ulteriori calcoli: dividendo per tre il valore ottenuto dall’incremento di un quinto (38| angulis) e moltiplicando il quoziente per due si ottiene 25f angulis“This divided by three and the quotient multiplied by two, gives 25f .” - (fr:690) [Dividendo questo per tre e moltiplicando il quoziente per due, otteniamo 25f.]
La quarta parte di questo valore, cioè 6§ angulis, rappresenta l’altezza dei mattoni dei primi quattro strati“The fourth part of this, 6§ angulis is the height of the bricks of each of the four first layers.” - (fr:691) [La quarta parte di questo, cioè 6§ angulis, è l’altezza dei mattoni di ciascuno dei primi quattro strati.]
In questo modo il contenuto cubico dello chiti risulta corretto“In this way the cubic content of the whole chiti comes out right.” - (fr:688) [In questo modo il contenuto cubico totale dello chiti risulta corretto.]

Nel complesso, il testo descrive un sistema di proporzioni basato su frazioni (un quinto, terzi, quarti, noni e quindicesimi) che permette di variare il numero di strati dell’agni mantenendo invariato il volume totale di mattoni, mediante precise regole di taglio e disposizione dei blocchi lungo le diagonali della struttura.

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[18.1/1-8-708|711]

18 Analisi dei S’ulvasutras e del loro impatto sulla matematica indiana successiva

Il testo evidenzia come lo scopo pratico dei S’ulvasutras abbia determinato l’uso di termini geometrici, ma mostra anche che i matematici indiani successivi hanno privilegiato l’aritmetica e l’algebra, relegando le costruzioni geometriche pure a un ruolo marginale.

“It is true that the exclusively practical purpose of the S’ulvasutras necessitated in some way the employment of practical, that means in this case, geometrical terms, and it might be said that the later mathematicians would have employed the same methods when they had had to deal with the same questions.” - (fr:708) [È vero che lo scopo esclusivamente pratico dei S’ulvasutras ha necessitato in qualche modo l’impiego di termini pratici, cioè in questo caso geometrici, e si potrebbe dire che i matematici successivi avrebbero impiegato gli stessi metodi quando si fossero trovati ad affrontare le stesse questioni.]

“A geometrical truth interests the later Indian mathematicians but in so far as it furnishes them with convenient examples for their arithmetical and algebraic rules ; purely geometrical constructions, as the samasa and nirhdra of squares, described in the S’ulvasutras, find no place in their writings.” - (fr:707) [Una verità geometrica interessa i matematici indiani successivi, ma soltanto nella misura in cui fornisce loro esempi comodi per le loro regole aritmetiche e algebriche; le costruzioni puramente geometriche, come il samasa e il nirhdra dei quadrati, descritti nei S’ulvasutras, non trovano posto nei loro scritti.]

“It is apparent that these rules are expressed with a view to calculation, and we find indeed that Bh&skara immediately proceeds to examples which are exercises in arithmetic, not in geometry.” - (fr:706) [È evidente che queste regole sono espresse con un occhio al calcolo, e infatti troviamo che Bhāskara passa immediatamente a esempi che sono esercizi di aritmetica, non di geometria.]

“The square root of the difference of the squares of the diagonal and one of the short sides (called ” doh”) is the other short side (kojih), etc.” - (fr:705) [La radice quadrata della differenza dei quadrati della diagonale e di uno dei lati corti (chiamato ‘doh’) è l’altro lato corto (kojih), ecc.]

“We read in the chapter on kshetravyavahfira in the Lil^vati the following : The square root of the sum of the squares of these (of the two shorter sides of a rectangular triangle) is the diagonal.” - (fr:704) [Leggiamo nel capitolo sulla kshetravyavahfira della Lilāvati quanto segue: la radice quadrata della somma dei quadrati di questi (dei due lati più corti di un triangolo rettangolo) è la diagonale.]

“46 Bub a striking proof of the contrary is given by the commentators of the S’ulvasutras who represent the later development of Indian mathema- tics.” - (fr:709) [46 Bub una prova sorprendente del contrario è data dai commentatori dei S’ulvasutras che rappresentano lo sviluppo successivo della matematica indiana.]

“Trustworthy guides as they are in the greater number of cases, their tendency of sacrificing geometrical construction to numerical calculation, their excessive fondness, as it might be styled, of doing sums renders them sometimes entirely misleading.” - (fr:710) [Guide affidabili quali sono nella maggior parte dei casi, la loro tendenza a sacrificare la costruzione geometrica al calcolo numerico, la loro eccessiva propensione, come si potrebbe dire, a fare somme li rende talvolta del tutto fuorvianti.]

“I shall illustrate this by some examples.” - (fr:711) [Illustrerò ciò con alcuni esempi.]

Queste osservazioni mostrano una transizione dalla tradizione geometrica pratica dei S’ulvasutras verso un approccio più numerico e algoritmico nella matematica indiana classica, dove le verità geometriche vengono mantenute solo quando servono come esempi per regole aritmetiche e algebriche, mentre le costruzioni pure vengono gradualmente abbandonate.

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19 Evoluzione del termine karani nella matematica indiana

Il termine karani appare inizialmente come oggetto concreto utilizzato nelle pratiche rituali: “^ Karani’ meant originally not the side of a square, but the rajjuh karanf, the cord used for the mea- suring of a square.” - (fr:762) [^ Karani significava originalmente non il lato di un quadrato, ma la rajjuh karanf, la corda usata per misurare un quadrato.] Questa corda di canne, descritta anche come “a cord made of reeds which the adhvaryu stretched out between two wooden poles when he wanted to please the Immortals by the perfectly symmetrical shape of their altar.” - (fr:763) [E così vediamo che la stessa parola che in tempi successivi esprimeva l’idea altamente astratta di numero surdo, originariamente indicava una corda fatta di canne che l’adhvaryu tendeva tra due pali di legno quando voleva piacere agli Immortali grazie alla forma perfettamente simmetrica del loro altare.] è inoltre menzionata in una nota grafica che riferisce una lunghezza di 54 padas: “n^4 A- he cord of 54 padas length; \k sronl, d uttarii sroni, iV [squares have been turned PLEASE DO NOT REMOVE THE ABOVE CARD INDIAN INSTITUTE LIBRARY Bodleian Library Oxford” - (fr:764) [n^4 A- la corda di lunghezza 54 padas; \k sronl, d uttarii sroni, iV [i quadrati sono stati rivolti] PER FAVORE NON RIMUOVERE LA SOPRA CARD INDIAN INSTITUTE LIBRARY Bodleian Library Oxford] indicando probabilmente un riferimento a una figura o a una tavola illustrativa.

Successivamente il significato si sposta verso l’aspetto geometrico del lato del quadrato: “How the word came by that meaning, we are not told, but we are now able to explain it from the S’ulvasdtras, As we have seen above, in these it always means the side of a square.” - (fr:755) [Non ci viene detto come la parola abbia acquisito quel significato, ma ora siamo in grado di spiegarlo dai Sulvastras; come abbiamo visto sopra, in essi essa indica sempre il lato di un quadrato.] e “Karani meant at first the side of any square, after that possibly the square-root of any number.” - (fr:757) [Karani significava inizialmente il lato di qualsiasi quadrato, dopo di che possibilmente la radice quadrata di qualsiasi numero.] La connessione tra questi due usi è giudicata chiara: “The connexion between the original and the derived meaning is clear enough.” - (fr:756) [La connessione tra il significato originale e quello derivato è abbastanza chiara.]

Il passaggio dal lato del quadrato alla nozione di radice quadrata irrazionale è illustrato attraverso esempi concreti: “The square-roots of two, three, five, &c., are karanis.” - (fr:754) [Le radici quadrate di due, tre, cinque, ecc., sono karanis.] e la precisazione che il termine non si applica alle radici esattamente determinabili: “It was not used to denote the square-roots of those numbers, the root of which can be exactly obtained, but only of those the root of which does not come out exact, of those in fact the root of which can be represented exactly only in a graphical way.” - (fr:759) [Non veniva usato per indicare le radici quadrate di quei numeri la cui radice può essere ottenuta esattamente, ma solo di quelli la cui radice non risulta esatta, cioè quelli la cui radice può essere rappresentata esattamente solo in modo grafico.] Tale rappresentazione grafica è esemplificata dal caso dell’otto: “It was not possible to find the exact square-root of eight for instance, but it 49 was possible to draw a square, the area of which was equal to eight — let us saj — square padas, and the side of which was therefore a graphical re- presentation of the square-root of eight.” - (fr:760) [Non era possibile trovare la radice quadrata esatta di otto, ad esempio, ma era possibile disegnare un quadrato la cui area fosse uguale a otto — diciamo — padas quadrati, e il cui lato rappresentava dunque una rappresentazione grafica della radice quadrata di otto.]

Il termine dunque conserva una duplice valenza: da un lato mantiene il ricordo dell’operazione pratica di misurazione con la corda (rajjuh karanf), dall’altro acquista un valore astratto che indica i numeri surdi, ovvero quelle radici quadrate che non possono essere espresse esattamente in forma numerica ma solo mediante una costruzione geometrica. Questa evoluzione, radicata nei testi rituali dei Sulvastras e ripresa nei trattati matematici come il Lilavati e il Yija-ganita, mostra come il linguaggio matematico indiano abbia saputo trasformare un oggetto concreto in un concetto altamente astratto, mantenendo però evidente il legame con la sua origine pratica.

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