Thibaut - The SulvaSultras - 1873 | A | m
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1 Le origini geometriche e matematiche nei Śulvasūtra indiani
Tracce di un sapere pratico-religioso che fonda la scienza esatta.
Le frasi delineano un corpus di conoscenze geometriche e matematiche sviluppate nell’antica India, raccolte nei Śulvasūtra (“sūtra della corda”), testi rituali legati alla costruzione di altari sacrificali. Questi scritti, attribuiti a autori come Baudhāyana, Āpastamba e Kātyāyana, rappresentano le prime testimonianze di indagini geometriche in ambito indiano, motivate da esigenze cultuali: la precisione nella forma degli altari (quadrati, rettangoli, cerchi) era condizione per la validità del sacrificio. “Whenever a figure with right angles, square or oblong, had to be drawn on the ground, care had to be taken that the sides really stood at right angles on each other” - (fr:73).
Il sapere geometrico emerge come strumento pratico, non come disciplina teorica. I Śulvasūtra descrivono operazioni concrete — come la costruzione di angoli retti tramite corde (rajju) o la trasformazione di figure — usando una terminologia elementare e priva di astrazione: “Samachaturasra” is the term employed throughout in the S’ulvasutras to denote a square“ - (fr:85). La stessa nozione di quadrato (samachaturasra) o rettangolo (dīrghachaturasra) riflette un approccio empirico, dove i nomi derivano da proprietà osservabili (sama = uguale, dīrgha = lungo). “The geometrical proposition, the discovery of which the Greeks ascribed to Pythagoras, was known to the old acharyas, in its essence at least” - (fr:78), ma la sua formulazione resta legata a esigenze rituali, non a dimostrazioni formali.
L’evoluzione successiva della matematica indiana (es. nei trattati di Bhāskara o nella Līlāvatī) segna una rottura: la geometria diventa ancella dell’aritmetica e dell’algebra, perdendo il carattere costruttivo dei Śulvasūtra. “A geometrical truth interests the later Indian mathematicians but in so far as it furnishes them with convenient examples for their arithmetical and algebraic rules” - (fr:707). I commentatori dei Śulvasūtra stessi tradiscono questa tendenza, sostituendo costruzioni geometriche con calcoli numerici, talvolta inaccurati: “The commentators indeed make the most extended use of the saviśeṣa, calculating by means of it the diagonals wherever diagonals come into question; this proceeding, however, is not only useless, but positively wrong” - (fr:259).
L’antichità dei Śulvasūtra è attestata dalla loro semplicità e dalla mancanza di influenze esterne. “Clumsy and ungainly as these old sutras undoubtedly are, they have at least the advantage of dealing with geometrical operations in really geometrical terms” - (fr:701). L’assenza di termini astratti e la dipendenza da strumenti materiali (corde, mattoni) suggeriscono un’origine autoctona, indipendente da tradizioni greche o mesopotamiche. “For whatever is closely connected with the ancient Indian religion must be considered as having sprung up among the Indians themselves” - (fr:11). Tuttavia, la domanda sull’originalità della scienza indiana successiva rimane aperta: “While therefore unable positively to assert that the treasure of mathematical knowledge contained in the Lilavati […] has been accumulated by the Indians without the aid of foreign nations, we must search whether there are not any traces left pointing to a purely Indian origin” - (fr:15).
I Śulvasūtra rivelano anche limiti intrinseci: l’approssimazione nelle misure (“they had to be contented with an approximation” - fr:178), la mancanza di dimostrazioni rigorose (“the want of some proof which might establish a firm conviction of the truth” - fr:154), e la subordinazione della geometria a scopi pratici. “Theirs was not the disinterested love of research which distinguishes true science” - (fr:393). Ciononostante, questi testi rappresentano un ponte tra rituale e scienza, dove la necessità di precisione religiosa genera le prime regole geometriche.
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2 La geometria sacrificale nei Śulvasūtra indiani
Dalle regole per la costruzione degli altari vedici alle trasformazioni geometriche rituali.
I testi analizzati trattano i Śulvasūtra, porzioni dei Kalpasūtra dedicate alla misurazione e costruzione degli altari vedici (agni, chiti, vedi) mediante corde (śulva). Le fonti principali sono i trattati di Baudhāyana, Āpastamba e Kātyāyana, con riferimenti ai Brāhmaṇa e ai commentari successivi.
Le frasi descrivono le forme degli altari — falco (śyena), ruota (sārārathacakra), tartaruga, śmaśāna — e le regole per la loro realizzazione, incluse le dimensioni, i materiali (mattoni) e le trasformazioni geometriche. Il śmaśānaciti, ad esempio, richiedeva una superficie inclinata verso est (fr:679) e calcoli per mantenere invariato il volume (fr:681). La costruzione del falco era associata al desiderio di raggiungere il cielo: “Colui che desidera il paradiso, costruisca l’altare a forma di falco; poiché il falco è il miglior volatore tra gli uccelli” (fr:57, traduzione da fr:446).
I Śulvasūtra includono metodi per trasformare figure geometriche — quadrati in rettangoli (fr:308, fr:321), cerchi in quadrati (fr:391) — e per calcolare aree e diagonali. Baudhāyana e Āpastamba forniscono regole per combinare quadrati di dimensioni diverse (fr:289), mentre Kātyāyana semplifica le istruzioni (fr:351). Alcuni procedimenti, come la costruzione di angoli retti, erano applicati anche alla misurazione degli altari (fr:369). I commentatori interpretano i sūtra in modi divergenti, talvolta errati (fr:742, fr:736).
Le variazioni delle forme degli altari rispondevano a scopi rituali specifici, ma le regole di base — come l’area invariabile — rimanevano valide (fr:66). I testi citano anche la preparazione dei mattoni per le diverse chiti (fr:479) e la standardizzazione delle misure tra le scuole (fr:698). L’attenzione alla precisione geometrica è costante, anche in assenza di spiegazioni teoriche nei Brāhmaṇa (fr:698).
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3 La geometria sacra nei Śulvasūtra: misurazione e costruzione degli altari vedici
Metodi, unità di misura e calcoli per la disposizione rituale degli spazi sacrificali.
I Śulvasūtra definiscono le regole geometriche per la costruzione degli altari (vedi) utilizzati nei sacrifici vedici, in particolare quelli legati al soma e al pitṛyajña. Le frasi descrivono procedure pratiche basate sull’uso di corde (śulva) e pali per tracciare forme geometriche precise, come quadrati, rettangoli e triangoli rettangoli, con misure espresse in unità come pada, prakrama, aṅguli e tila. La mahāvedi (altare principale del sacrificio soma) ha dimensioni standardizzate: 30 pada sul lato ovest, 36 pada sulla linea est-ovest (prācī), e 24 pada sul lato est (fr:113). Per costruirla, si impiegano corde di lunghezza variabile, segnate in punti specifici per formare angoli retti o per delimitare i vertici dell’altare. Ad esempio, una corda di 24 pada viene piegata in modo da creare un triangolo rettangolo con lati 12, 16 e 20 pada (fr:135), mentre altre configurazioni utilizzano diagonali di rettangoli con lati 3-4, 5-12, 8-15 o 12-35 (fr:108, 141, 146, 149).
Le misure degli altari secondari derivano da frazioni della mahāvedi: la sautrāmaṇī vedi è un terzo della sua area, la paitrīkī vedi un nono (fr:74, 724). Per ottenere queste proporzioni, i testi prescrivono metodi di calcolo basati su radici quadrate e conversioni tra unità. Un esempio è la conversione di 972 pada quadrati in tila (1 aṅguli = 34 tila), con operazioni di moltiplicazione, estrazione di radice e divisione (fr:728). Le unità di misura sono definite con precisione: 1 aṅguli equivale a 8 yava (chicchi d’orzo) o 34 tila (semi di sesamo) (fr:260), e 1 pada a 12 aṅguli (fr:414). Le procedure includono anche la disposizione dei fuochi sacri e la marcatura dei vertici dell’altare tramite corde tese tra pali, come nel caso di una corda di 25 pada fissata a 5 pada dall’estremità est della prācī (fr:143). Il testo menziona infine l’uso di canne al posto delle corde in fasi successive dei rituali (fr:369).
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4 La geometria pratica nei testi vedici: trasformazioni di figure e calcolo delle aree
Metodi per convertire quadrati in rettangoli, rettangoli in quadrati e combinare aree attraverso costruzioni geometriche.
Le frasi descrivono procedure per manipolare figure geometriche, principalmente quadrati e rettangoli (oblong), con l’obiettivo di trasformarne la forma mantenendo l’area o combinandone più di una. Il testo cita regole attribuite a autori come Baudhāyana, Āpastamba e Kātyāyana, che forniscono istruzioni operative per operazioni come: - Convertire un rettangolo in un quadrato equivalente, tagliando porzioni della figura e ricomponendole (“take the breadth of the oblong for the side of the square; divide the rest of the oblong into two parts, and inverting their places join those two parts to two sides of the square” - fr:303). - Trasformare un quadrato in un rettangolo, dividendo la figura lungo la diagonale e riassemblando i pezzi (“divide it by the diagonal; divide again one of the two halves into two parts, and join these two parts to the two sides” - fr:309). - Combinare due quadrati di dimensioni diverse in uno solo, utilizzando la diagonale di un rettangolo costruito a partire dal lato del quadrato più piccolo (“cut off an oblong from the larger square with the side of the smaller one; the diagonal of that oblong is the side of both squares combined” - fr:292). - Costruire quadrati di area multipla di un quadrato dato, sfruttando la diagonale di rettangoli formati dal lato del quadrato originale e dalla diagonale stessa (“the diagonal of a square being the side of a square of double the size, was called dvikaraṇi” - fr:265; “by forming with this dvikaraṇi and the side of the square an oblong and drawing the diagonal of this oblong, they got the trikaraṇi” - fr:265).
Le procedure includono anche metodi per sottrarre un quadrato da un altro (“cut off from the larger one an oblong with the side of the smaller one; draw one of the sides of that oblong across to the other side; where it touches the other side, that piece cut off” - fr:296) e per approssimare la conversione tra cerchi e quadrati (“divide the diameter into eight parts, and again one of these eight parts into twenty-nine parts; of these twenty-nine parts remove twenty-eight and moreover the sixth part less the eighth part” - fr:407). Alcune frasi menzionano applicazioni pratiche, come la disposizione di mattoni per formare quadrati concentrici (“form at first in the middle of the agnikṣetra a small square with four bricks, then increase this square into a larger one of nine bricks” - fr:555) o la costruzione di altari con forme specifiche (“four of them combined into a large square form the ātman, or body of the bird, three are required for the two wings and the tail” - fr:64). Vengono citati termini tecnici come dvikaraṇi (diagonale di un quadrato, lato di un quadrato di area doppia), trikaraṇi (lato di un quadrato di area tripla) e pārśvamāni/tiryaṇmāni (lati lungo e corto di un rettangolo). Le istruzioni spesso prevedono l’uso di corde, pali e suddivisioni in unità più piccole per ottenere precisione nelle misure.
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5 La costruzione geometrica sacrificale nella tradizione vedica
Metodi e regole per tracciare forme rituali attraverso corde, pali e misure precise.
Il testo descrive procedure tecniche per la realizzazione di figure geometriche — principalmente quadrati, cerchi e triangoli rettangoli — utilizzate nella costruzione di altari vedici (vedi). Le operazioni si basano sull’uso di una corda (sūtra) come strumento di misurazione e tracciamento, fissata a pali (yūpa) e marcata in punti specifici per definire lunghezze e angoli. La prāci (o prāchī), una linea orientata est-ovest passante per il centro dell’area sacrificale, funge da riferimento primario.
Le istruzioni prevedono la divisione della corda in segmenti proporzionali (es. “una corda di 36 padas con due segni a 12 e 15” - fr:115) e la sua tensione tra pali per individuare punti chiave, come gli angoli di un quadrato (“fissare il polo sud-est tendendo la corda dal segno centrale” - fr:364). La conversione tra quadrati e cerchi avviene tramite regole geometriche: “disegnare un cerchio aggiungendo un terzo della parte di corda che eccede il quadrato” (fr:395), con riferimenti espliciti a formule come quella di Baudhāyana o Āpastamba (fr:399). I triangoli rettangoli, spesso con lati in proporzione 3:4:5 (“12, 16, 20 padas” - fr:135), servono a garantire angoli retti durante la costruzione.
Le misure sono espresse in unità come pada o purusha, e le operazioni includono la duplicazione della corda (“lunghezza doppia del lato del quadrato” - fr:331), la marcatura di punti intermedi (“segni alle metà e ai quarti” - fr:360), e la ripetizione simmetrica di passaggi sui quattro lati cardinali (“descrivere cerchi intorno ai quattro poli” - fr:388). Alcune frasi accennano a adattamenti dimensionali per terreni in pendenza (“se raggiunge il collo a est, arriva all’ombelico a ovest” - fr:677), suggerendo una pratica applicata a contesti reali.
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6 La costruzione rituale dell’altare a forma di falco nei testi vedici
Dettagli geometrici e disposizione dei mattoni per la realizzazione dello syena-chiti.
Le frasi descrivono la struttura e le modalità di costruzione di un altare sacrificale (agni) a forma di falco (syena), come prescritto nei testi vedici, in particolare nei Sutra. L’area complessiva è definita in termini di purusha (unità di misura antropomorfica), aratni (un quinto di purusha) e prades’a (un decimo di purusha), con una superficie totale di sette purusha più le aggiunte per ali e coda: “The whole area of the saptavidha agni is seven purushas with the addition of the two aratnis on the wings and the prades’a of the tail, altogether 7^ purushas” - (fr:452).
La forma base è quella di un falco stilizzato, con corpo (atman), testa, ali e coda, come indicato in “The most ancient and primitive form is the chaturasras’yenachit […] because it rude- ly imitates the form of a falcon” - (fr:36). Le varianti più elaborate, come lo syena vakrapaksha vyastapuchchha (falco con ali curve e coda spiegata), introducono modifiche geometriche per avvicinarsi alla silhouette reale dell’uccello: “A nearer approach to the real shape of a falcon […] is made in the s’yena vakrapaksha vyastapuchchha” - (fr:39).
I mattoni (bricks) sono di diverse tipologie, classificate per dimensioni e forma (quadrati, rettangolari, romboidali), e disposti secondo schemi precisi. Le misure sono espresse in anguli (unità di misura inferiore al purusha) e le proporzioni seguono regole fisse: ad esempio, “One class of bricks has the length of the fifth of a purusha, the breadth of a sixth” - (fr:480), mentre altri hanno lati pari a un quarto o un ottavo di purusha. La disposizione prevede strati sovrapposti, con mattoni collocati in punti specifici come le giunzioni tra corpo e ali (“at the place where atman and wings join” - fr:488) o tra corpo e coda (“At the place where the tail is joined to the body” - fr:513). Ogni ala è suddivisa in sezioni con un numero definito di mattoni: “Twenty-five in the southern half of the southern wing, twenty in its northern half” - (fr:528).
Le istruzioni includono anche la correzione di forme geometriche, come la trasformazione di un cerchio in quadrato tramite calcoli proporzionali: “If you wish to turn a circle into a square, divide the diameter into eight parts […]” - (fr:407). La costruzione richiede l’uso di corde per delimitare angoli e linee, come nel caso dei quattro angoli tagliati dell’altare: “Its four corners are cut off by four cords” - (fr:478). Il numero totale di mattoni è fisso (ad esempio, 225 per la forma base: “Two hundred and twenty-five of these bricks constitute the sevenfold agni” - fr:543), e la loro disposizione varia a seconda dello strato e della parte dell’altare, con indicazioni precise per testa, ali, coda e corpo.
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7 La costruzione geometrica dell’altare a forma di ruota nei Śulvasūtra
Dalla quadratura del cerchio alla suddivisione delle parti di una ruota sacrificale.
Le frasi descrivono la procedura per realizzare un altare (agni) a forma di ruota (rathachakrachit), con particolare attenzione alla disposizione geometrica dei suoi elementi: il mozzo (nave), i raggi (spokes) e il cerchione (felloe). Il processo parte dalla definizione di due quadrati concentrici, rappresentanti i bordi esterno e interno del cerchione, la cui area complessiva viene suddivisa in parti proporzionali. “The entire square — or the entire circle into which the square is turned — comprises 289 bricks, or simpler 289 parts, of which 145 form the felloe, the remaining 144 the spokes, interstices, and the nave” - (fr:587). La trasformazione dei quadrati in cerchi richiede calcoli precisi per mantenere l’equivalenza delle aree, come evidenziato da regole per la quadratura del cerchio: “If you wish to turn a square into a circle, stretch a cord from the centre towards one of the corners […] this line gives a circle exactly as large as the square” - (fr:399) [traduzione: “Se vuoi trasformare un quadrato in un cerchio, tendi una corda dal centro verso uno degli angoli […] questa linea disegna un cerchio esattamente grande quanto il quadrato”].
La ruota viene suddivisa in 32 parti, di cui 16 destinate ai raggi e altrettante agli spazi intermedi, con un rapporto fisso tra le aree: “The remaining bricks form the felloe of the wheel” - (fr:570) e “144 bricks having been employed for nave and spokes, one hundred and forty-five remain for the felloe” - (fr:571). Il mozzo e il cerchione sono ulteriormente delimitati da cerchi interni, tracciati a un quarto della distanza dai bordi: “In the second layer a circle is to be described in the nave at the distance of a quarter from the edge” - (fr:608). La costruzione prevede anche la correzione degli errori derivanti dalla conversione tra quadrati e cerchi, come nel caso della perdita di 64 parti su 289 durante la realizzazione degli spazi tra i raggi: “Sixty-four of two hundred and eighty-nine parts were lost in the act of cutting out the interstices of the spokes” - (fr:598).
L’altare assume due forme: una ruota massiccia senza raggi (simple rathachakrachit) e una più complessa con 16 raggi (sārarathachakrachit), quest’ultima composta da 16 tipi diversi di mattoni (bricks). La suddivisione delle aree segue criteri matematici, come la divisione del cerchione in 64 parti o la ripartizione dei raggi in cinque segmenti estesi fino ai cerchi interni: “The spokes are divided into five parts, each up to the two circles (in nemi and nabhi)” - (fr:611) [traduzione: “I raggi sono divisi in cinque parti, ciascuna fino ai due cerchi (nel cerchione e nel mozzo)”]. La precisione geometrica è funzionale a garantire che l’area complessiva della ruota corrisponda a quella dell’altare sacrificale (agnikshetra), come specificato in “By following all the preceding directions we get indeed a wheel, the area of which […] is equal to that of the saptavidha agni” - (fr:582).
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8 La geometria sacra nei Śulvasūtra indiani: costruzione degli altari vedici
Regole pratiche e dimostrazioni teoriche per la divisione di figure geometriche nei rituali di edificazione.
I testi analizzati trattano la geometria applicata alla costruzione degli altari vedici (agni), con particolare riferimento ai Śulvasūtra di Baudhāyana e Āpastamba. Le frasi descrivono metodi per dividere triangoli equilateri e rettangoli in parti uguali, utilizzando mattoni di forma triangolare o doppia (“double-triangles”). La suddivisione segue criteri precisi: ad esempio, un triangolo viene diviso in dieci parti (quattro triangoli singoli e sei doppi) per garantire uniformità nelle dimensioni dei mattoni (fr:633, fr:637, fr:645). La procedura prevede la marcatura di punti equidistanti sui lati e la tracciatura di linee interne, come nel caso della divisione in quattro parti della base (fr:639).
Centrali sono le proposizioni sulla diagonale di quadrati e rettangoli, equivalenti al teorema di Pitagora. Baudhāyana enuncia che “la corda tesa sulla diagonale di un quadrato produce un’area doppia” (fr:82), mentre Āpastamba fornisce esempi numerici per triangoli rettangoli (3-4-5, 5-12-13, 15-36-39) (fr:108, fr:145). La dimostrazione si basa sulla scomposizione di figure: un quadrato sulla diagonale è diviso in quattro triangoli, ciascuno pari alla metà del quadrato originale (fr:96). Questi principi servono a risolvere problemi pratici, come la conversione di oblungi in quadrati o la costruzione di triangoli equivalenti a figure date (fr:70, fr:321).
La costruzione degli altari (citi) richiede l’uso di mattoni di forme specifiche, disposti in strati alternati per evitare sovrapposizioni identiche (fr:53). Ogni strato è composto da 200 mattoni, con variazioni nella divisione dei triangoli: nel secondo strato, ad esempio, un triangolo viene diviso longitudinalmente in due parti uguali (fr:651), mentre in altri casi si adottano suddivisioni in sei parti (fr:660). Le istruzioni includono anche la disposizione spaziale delle figure, come la collocazione di triangoli con vertici orientati a est o ovest (fr:654, fr:658). La precisione geometrica è funzionale al rituale, dove la forma e la misura degli altari devono rispettare regole simboliche e matematiche.
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9 La costruzione rituale degli altari vedici: misure, proporzioni e stratificazione
Geometria sacra e calcolo delle dimensioni nell’architettura degli agni.
Le frasi descrivono le regole per la costruzione degli altari vedici (agni o chiti), con particolare attenzione alle misure, alla stratificazione e alle variazioni dimensionali previste nei rituali. L’unità di base è il puruṣa (altezza di un uomo con le braccia alzate), equivalente a 32 aṅguli, usato per definire superfici quadrate (square puruṣa). La superficie iniziale dell’altare è di sette puruṣa e mezzo, da aumentare di un puruṣa quadrato a ogni ricostruzione successiva (fr:62, fr:712). Le dimensioni sono suddivise in parti frazionarie: il puruṣa viene diviso in quindici unità (fr:628, fr:722), e le aree sono calcolate tramite triangoli, trapezi o rettangoli (fr:653, fr:62).
La struttura è composta da strati (layers) di mattoni, generalmente cinque, dieci o quindici, con altezze variabili (fr:52, fr:683). L’altezza totale dipende dal numero di strati: un altare a cinque strati raggiunge un’altezza pari a un janu (32 aṅguli), raddoppiata per dieci strati e triplicata per quindici (fr:683). A ogni ricostruzione, l’altezza viene aumentata di un quinto (fr:689), e gli strati sono costruiti con mattoni di dimensioni specifiche, spesso tagliati diagonalmente nell’ultimo strato (fr:686, fr:687). Le proporzioni tra le parti devono rimanere inalterate anche con l’aumento delle dimensioni (fr:68).
Le misure sono espresse in aṅguli (1 puruṣa = 32 aṅguli) e calcolate con precisione: ad esempio, un puruṣa quadrato aggiuntivo corrisponde a 400 aṅguli quadrati (fr:716), e le superfici sono suddivise in frazioni per adattarsi alle forme geometriche richieste (fr:542, fr:598). Alcuni altari hanno forme specifiche, come la kurmachit (a forma di tartaruga, angolare o circolare) (fr:51) o il śyena (a forma di falco), con aree e proporzioni definite (fr:453, fr:455). Le regole includono anche la costruzione di aree ausiliarie, come le aratni (ali) e il prādeśa (coda), che modificano la superficie totale (fr:452, fr:468).
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10 Il concetto di karani e la misurazione geometrica nei Śulvasūtra
Dalla corda sacrificale alla radice irrazionale: l’evoluzione di un termine matematico nell’India vedica.
Il testo analizza il termine karani, inizialmente legato alla misurazione geometrica nei Śulvasūtra — testi antichi indiani dedicati alla costruzione di altari sacrificali. Originariamente, karani indicava la corda (rajju) usata per tracciare quadrati, come confermato da Katyāyana: “By the expressions: karani, karani of that (of any square) &c., we mean cords” - (fr:93). Il significato si estese poi alla “lato di un quadrato” e, in ambito matematico, alla radice quadrata di numeri irrazionali, definiti come quelli “of which when the square-root is to be taken, the root does not come out exact” - (fr:753).
I Śulvasūtra affrontano il problema di esprimere in numeri interi i lati e le diagonali di quadrati e rettangoli, cercando casi in cui il quadrato della diagonale si avvicini a un quadrato perfetto. Esempi citati includono le terne (3, 4, 5) — dove “3+6 being the double of 4” - (fr:343) — e i casi (8, 9), (50, 49), (288, 289), con quest’ultimo considerato il più favorevole per la precisione: “the last case being the most favourable, as it involves the largest numbers” - (fr:242). La regola del saviśeṣa, come quella di Baudhāyana (“Increase the measure by its third part and this third by its own fourth less the thirty-fourth part of that fourth”), serviva a calcolare diagonali approssimate, come nel caso di 16² ≈ 2 × 12², sostituendo 17 a 16 per semplificare i calcoli - (fr:591, fr:166).
La precisione geometrica prevaleva su quella numerica: i commentatori usavano il saviśeṣa per calcolare diagonali, ma “this proceeding […] is not only useless, but positively wrong, as in all such cases calculation cannot vie in accuracy with geometrical construction” - (fr:259). La rappresentazione grafica delle radici irrazionali — come la diagonale di un quadrato di area 8 — era preferita ai tentativi di espressione numerica esatta: “It was not possible to find the exact square-root of eight […] but it was possible to draw a square, the area of which was equal to eight” - (fr:760). Il termine karani finì per designare le radici irrazionali, come nei trattati successivi (Līlāvatī, Bījagaṇita), pur mantenendo traccia del suo uso originario nella costruzione degli altari, dove la simmetria era garanzia di efficacia rituale.
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