T. of Bradwardine - Tractatus de Proportionibus - 1328 | L | +

27 Jun, 2026

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1 Il “Tractatus de Proportionibus” e la nascita della dinamica matematica

Il volume pubblicato nel 1961 dalla University of Wisconsin Press, frutto del lavoro di H. Lamar Crosby Jr., porta in luce uno dei testi più influenti della meccanica medievale: il Tractatus de Proportionibus di Thomas Bradwardine, altrimenti noto come De proportionibus velocitatum in motibus. L’edizione si inserisce in un progetto più ampio di recupero dei testi scientifici medievali, avviato dopo che “la riabilitazione della meccanica medievale, iniziata da Pierre Duhem all’inizio del secolo e portata avanti con successo dagli studi recenti di Annaliese Maier, ora si arena su un ostacolo principale: testi carenti o inadeguati” – (fr:2). Si trattava quindi di fornire un’edizione filologicamente fondata di un’opera che, come spiega Marshall Clagett nella Prefazione, “ha svolto un servizio cruciale per lo sviluppo della meccanica, poiché in essa troviamo la giunzione di due importanti tradizioni della meccanica, quella filosofica e quella matematica” – (fr:5).

Bradwardine, teologo e matematico attivo a Oxford all’inizio del Trecento, riuniva in sé l’eredità della scolastica aristotelica di Duns Scoto e Guglielmo di Ockham e la rinnovata tradizione matematica ellenistica, rappresentata in meccanica dal corpus statico dello pseudo-Jordanus e dall’opera cinematica Liber de motu di Gerardo di Bruxelles (cfr. fr:6-7). Fu proprio “un riesame su basi matematiche delle regole aristoteliche che mettevano in relazione le forze con le distanze e i tempi a stimolare la stesura del Trattato sulle proporzioni” – (fr:8). Il risultato di quel riesame fu una nuova formulazione matematica: “Bradwardine mise in relazione la velocità in modo esponenziale con il rapporto tra la forza e la resistenza che produce il movimento” – (fr:10). Lo fece “principalmente per salvare le regole di Aristotele da quelle che apparivano come incoerenze matematiche” – (fr:11).

La “legge” di Bradwardine non aveva alcun riscontro empirico neppure approssimativo (fr:12), ma la sua importanza storica è notevole: “sembra essere stato il primo tentativo di presentare un’equazione meccanica che rappresentasse cambiamenti istantanei piuttosto che cambiamenti compiuti, come quelli coinvolti nelle regole di Aristotele” – (fr:13). Essa mise in primo piano l’idea di velocità istantanea e portò a rapidi sviluppi nella cinematica a opera dei colleghi e allievi di Bradwardine al Merton College. In particolare, condusse a “una solida descrizione dell’accelerazione e a una celebre regola per rappresentare l’accelerazione uniforme mediante la sua velocità media, per quanto riguarda la distanza percorsa in un tempo dato” – (fr:15). Questa regola, forse già nota a Bradwardine stesso, fu espressa in molteplici forme durante gli anni Trenta e Quaranta del Trecento da William Heytesbury, Richard Swineshead e John Dumbleton (fr:16), e fu poi ripresa e applicata da Galileo al moto dei corpi in caduta (fr:17). Crosby avanza l’ipotesi che Dumbleton abbia interpretato la formulazione dinamica di Bradwardine in un modo non dissimile da Newton – ipotesi che Clagett dichiara di ritenere errata, pur invitando il lettore a esaminare le prove autonomamente (fr:19-20).

Il trattato ebbe vastissima diffusione europea per tutto il Quattrocento e divenne persino testo obbligatorio per la laurea triennale a Vienna e a Friburgo prima della fine del secolo (fr:18, 48). L’edizione di Crosby offre un testo latino criticamente ricostruito – poiché “il numero di manoscritti del testo era grande e rappresentava un vero problema per stabilire un testo affidabile” – affiancato dalla traduzione inglese, così da renderlo accessibile anche a chi non padroneggia il latino medievale (fr:22-23).

La parte introduttiva del volume tratteggia la figura di Bradwardine, di cui “si sa molto poco” – (fr:31). Nato probabilmente a Chichester intorno al 1290, lo troviamo nel 1325 come procuratore al Merton College di Oxford, coinvolto in una controversia municipale sul posizionamento di una gogna; “la gogna fu spostata entro quindici giorni” annota con ironico realismo il notaio dell’epoca (fr:38). La carriera ecclesiastica lo portò al seguito del re Edoardo III e del suo patrono, il vescovo bibliofilo Richard de Bury. Un’eco viva giunge dalla lettera scritta da Bradwardine nel luglio 1346 durante la campagna di Normandia: “Dovete sapere che il dodici di luglio facemmo un buon attacco a un certo porto normanno, chiamato ‘le Hoghes’, nei pressi di Barflete” – (fr:58). Eletto arcivescovo di Canterbury nel 1348, fu consacrato ad Avignone l’anno seguente, dove subì anche un’umiliazione orchestrata da Ugo cardinale di Tulle, fratello del papa, che “recò grande vergogna su di lui facendo entrare qualcuno a cavallo di un asino” – (fr:76). Tornato in Inghilterra per assumere la carica, Bradwardine morì di peste nera appena un mese dopo la consacrazione, il 26 agosto

L’eredità intellettuale sopravvisse alla peste e all’uomo. Bradwardine fu conosciuto come “Doctor profundus” e le sue opere scientifiche – Geometria speculativa, De quadratura circuli, Arithmetica speculativa, oltre al De proportionibus – furono stampate ripetutamente tra la fine del Quattrocento e il primo Cinquecento in città come Parigi, Venezia, Vienna, Valencia e Wittenberg (fr:84-86). Dell’unico trattato sui rapporti delle velocità si sono individuati trenta manoscritti sparsi, e si stima che almeno il doppio potesse esistere prima dell’avvento della stampa (fr:89-90). Questa tradizione manoscritta testimonia la stima di cui l’opera godette e rafforza la convinzione che il Tractatus de Proportionibus costituisca un anello imprescindibile nella catena che dal pensiero antico conduce alla rivoluzione scientifica moderna.

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2 Il De proportionibus nel contesto del XIV secolo: un’opera chiave tra opere dubbie e svolta scientifica

L’analisi rivela un elenco di opere attribuite a Bradwardine la cui esistenza è incerta, seguito da una netta rivendicazione del ruolo pionieristico del De proportionibus nel connettere matematica complessa e filosofia naturale, segnando una rottura con la tradizione antica e un progresso decisivo verso la scienza moderna.

Il testo presenta un quadro storico-critico che si sviluppa su due livelli. Da un lato, si registra un elenco di opere la cui attribuzione a Thomas Bradwardine è dubbia, poiché non ne sono stati rinvenuti manoscritti. Opere come le “Tabulae astronomicae” (fr:191), il “De sancta trinitate” (fr:193), i “Placita theologica” (fr:195), il “De praemio salvandorum” (fr:197), i “Sermones” (fr:199), le “Meditationes” (fr:201) e il “De quidditate peccati” (fr:203) sono menzionate da autori quali Savile, Fabricius, Pits, Hahn e Uberweg, ma la loro esistenza o attribuzione “must therefore remain a matter of some doubt” (fr:190). Questo elenco funge da premessa per evidenziare, per contrasto, la solida e documentata importanza di un’altra opera.

Il nucleo centrale del discorso si sposta infatti sulla “THE GENERAL SIGNIFICANCE OF THE DE PROPORTIONIBUS” (fr:206). L’analisi contesta la tradizionale svalutazione del XIV e XV secolo, secoli considerati “one of regretable decay after the high tide of the great thirteenth century” (fr:208) da una prospettiva teologica. Al contrario, si sottolinea come proprio nella prima metà del Trecento, e in un periodo ancora “largely unexplored” (fr:209), si sia verificato un progresso decisivo: “for the first time since antiquity, making real progress in the wedding of mathematics to natural philosophy” (fr:210).

Questo rinnovamento viene descritto come un fenomeno che coinvolge entrambe le sponde della Manica. Da un lato, gli studiosi inglesi del Merton College come Hentisberus, Dumbleton e Swineshead si concentravano su un “more strictly mathematical treatment of problems in physics” (fr:212). Dall’altro, a Parigi, Giovanni Buridano e Nicola Oresme adottavano approcci più filosofici e geometrici. Il testo critica aspramente la storiografia precedente, in particolare il lavoro di Duhem, reo di aver dato “scant treatment to achievements on the other side of the channel” (fr:214) per un malcelato orgoglio campanilistico verso l’Università di Parigi. Duhem viene accusato di aver ingiustamente dipinto gli inglesi come “unregenerate Aristotelians” immersi in “barren logic and theological quibbles” (fr:215), e di aver criticato Bradwardine “without much justification” (fr:216), ignorando i contributi centrali del De proportionibus.

I due contributi fondamentali dell’opera di Bradwardine vengono così identificati: “its employment of a complex mathematical function in the expression of a physical law and its clear distinction between velocity conceived as an instantaneous ‘quality’ of a motion and velocity conceived as total distance traversed per total time elapsed” (fr:216). È proprio la chiarificazione di quest’ultima distinzione e l’associazione della formula della dinamica con la velocità istantanea che condurrà “to the inevitable conclusion that constant forces produce constant accelerations rather than constant velocities” (fr:217). Su questa base, i successori di Bradwardine a Merton portarono a termine la deduzione della corretta legge cinematica per il moto uniformemente accelerato.

In conclusione, il De proportionibus viene elevato al rango di “one of the key works in the history of the development of modern science” (fr:219), poiché fu la prima opera ad annunciare una legge fisica generale la cui espressione richiedeva una matematica più sofisticata della semplice proporzionalità diretta, segnando un superamento definitivo della scienza antica, la quale, come nel caso dell’idrostatica, non aveva mai richiesto “mathematics more complex than that of simple functions, or direct proportionality” (fr:220).

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3 Il “De proportionibus” e la funzione logaritmica: un punto di svolta nella fisica matematica medievale

L’introduzione della funzione esponenziale come legge dinamica segnò il superamento del dibattito puramente dialettico e aprì la strada alla misura quantitativa dei processi fisici.

Il trattato di Thomas Bradwardine, De proportionibus, si colloca nel vivo della filosofia naturale trecentesca e rappresenta un momento di riorientamento radicale. Lo scritto muove da un assioma condiviso dalla Scolastica, ovvero che “motions and their velocities exhibit a proportional relationship” (fr:275), ma osserva subito che, nonostante lo studio delle proporzioni fosse logicamente implicato in quello delle velocità, “no one had as yet carried out the task” (fr:277). La ragione di tale lacuna va cercata nella quasi totale assenza di considerazioni matematiche nelle teorie del moto dei secoli precedenti, una carenza a cui Bradwardine intende porre rimedio fin dall’esposizione iniziale della natura delle proporzioni, fondata sull’Arithmetica di Boezio e sul commento a Euclide di Campano di Novara (fr:278).

Il nucleo problematico da cui il trattato prende le mosse è costituito dai due interrogativi sollevati dal commento di Averroè al “Testo 71” della Fisica aristotelica. Il primo riguarda la causa del carattere successivo del moto: se tale successione è attribuibile a un’opposizione tra potenza movente e resistenza, come si spiega il moto dei cieli, dove non si incontra resistenza? (fr:237). Sebbene gli scolastici distinguessero tra moto rettilineo sublunare e moto circolare celeste, essi erano propensi a credere che un unico principio dovesse spiegare la successione in entrambi i casi (fr:238). Il secondo problema tocca la corretta interpretazione del termine greco che indica la “proporzione”: “o. v gX.” o “o:y_{g” (fr:239‑240), cioè il tipo di funzione che lega velocità, forza e resistenza. Il vocabolo “proporzione”, oggi chiaro, aveva in antico un significato più ampio, potendo indicare tanto una funzione della differenza aritmetica quanto una funzione del rapporto o molte altre relazioni (fr:241‑242).

Nelle risposte a questi problemi si delineavano due posizioni opposte. Averroè, fedele all’impianto aristotelico, sosteneva che la durata temporale del moto celeste dovesse implicare la presenza di una resistenza reale opposta alle sfere (fr:244) e rifiutava la tesi che la velocità variasse con la differenza aritmetica tra forza e resistenza, poiché ciò avrebbe condotto alla conclusione non‑aristotelica che i moti nel vuoto sarebbero possibili e che i moti “naturali” non sarebbero affatto tali (fr:245‑246). Al contrario, il pensatore arabo Ibn Bājja (Avempace) partiva dai fenomeni celesti: poiché i corpi celesti si muovono a velocità determinate senza opporre resistenza apparente, ogni resistenza doveva essere intesa come un fattore che diminuisce una velocità assoluta già determinata (fr:249). Questa visione assolutista, di sapore platonico, riduceva la dinamica a una semplice equazione tra forza e velocità (fr:250). Essa fu accolta con favore da gran parte dei grandi nomi del XIII secolo – Tommaso d’Aquino, Ruggero Bacone, Pierre Jean Olivi, Duns Scoto – che mostrarono un completo “neglect of mathematical considerations” (fr:253‑254).

Bradwardine evita di affrontare in prima battuta il problema metafisico della causa del moto e preferisce concentrarsi direttamente sull’interpretazione della funzione dinamica in termini matematici che non contraddicano gli assiomi accettati fin dall’antichità (fr:255). Dopo aver dimostrato le aporie insite sia nella tesi di Avempace sia nella proporzionalità semplice (fr:257‑259), egli propone una relazione di tipo logaritmico: “V = logn” (fr:225), precisando che si deve evitare un uso anacronistico del termine (fr:226). L’introduzione di questa funzione esponenziale è di “considerable importance” (fr:229) perché fornisce uno strumento capace di esprimere fenomeni in cui la crescita è funzione della grandezza stessa e perché permette di superare i paradossi logici che bloccavano la fisica matematica del XIV secolo (fr:230‑231).

I cosiddetti Calculatores oxoniensi, per lo più Mertoniani, colsero immediatamente la potenza della funzione bradwardiniana e la applicarono non solo al moto uniformemente difforme (l’accelerazione), ma anche all’alterazione qualitativa, alla psicologia, all’etica e alla teologia (fr:232). Essi assumevano che, “wherever one quantity is definable in terms of a relation between two others, and there is no express reason to the contrary, it is taken for granted that Bradwardine’s function expresses the relation” (fr:233). Questo modo di procedere ribaltava completamente il trattamento dialettico dei problemi del moto che aveva caratterizzato il secolo precedente (fr:233).

Il significato storico dell’opera è duplice. Da un lato, essa porta avanti il compito di elaborare formule matematiche le cui conseguenze non contraddicano altre leggi o osservazioni, perseguendo la coerenza interna della fisica attraverso la matematica; dall’altro, introduce l’analisi matematica come strumento per la misura quantitativa dei processi fisici, preparando così la fisica moderna che Galileo avrebbe fondato sul connubio tra matematica e osservazione sperimentale (fr:263). Bradwardine usò la matematica per l’espressione sistematica di una teoria, Galileo la userà per la generalizzazione sistematica dell’osservazione (fr:264). Il trattato resta tuttavia “pre‑modern in its failure to extend or refine the empirical observations” (fr:256), limite che sarà superato solo più tardi.

Il De proportionibus si inserisce inoltre in un più ampio ritorno a un aristotelismo rigoroso, contrapposto al quasi‑platonismo dei predecessori (fr:265‑266). La preferenza per una spiegazione correlativa delle velocità e la cura con cui viene discussa la legittimità di esprimere correlazioni fisiche in termini matematici derivano direttamente dalla trattazione aristotelica della Fisica VII (fr:267). La stessa opera rivela le difficoltà tecniche del tempo: la mancanza di un simbolismo operativo costringe Bradwardine a usare ancora i “nomi” tramandati dalla tradizione boeziana, le cui “difficulties presented in attempting to render algebraic equations without the aid of operational symbols is abundantly illustrated throughout the course of Bradwardine’s treatise” (fr:286).

La parte iniziale del trattato (Capitolo I) distingue inoltre tra il significato generale e quello proprio e univoco di proporzione: in senso stretto una proporzione può sussistere solo tra quantità dello stesso genere e della stessa specie, di modo che non si può avere proporzione univoca fra un numero e una velocità, né fra moti di generi o specie differenti (fr:287‑299). Questa precisazione solleva immediatamente la domanda su come sia allora giustificabile una formulazione matematica del processo fisico (fr:300‑301), quesito la cui risposta viene rinviata alla sezione successiva del testo.

Il De proportionibus testimonia la creatività di un’epoca in cui, senza il sostegno della sperimentazione che il moderno ritiene indispensabile, videro la luce la teoria dell’impetus di Buridano, le discussioni di Oresme sulla rotazione terrestre e gli elementi di geometria coordinata, nonché la dimostrazione mertoniana della legge corretta dell’accelerazione uniforme (fr:262). In questo quadro, l’opera di Bradwardine non è soltanto un punto di svolta nello sviluppo delle scienze, ma anche un esempio eloquente di filosofia naturale scolastica in un periodo “richly creative” (fr:272‑273).

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4 L’ambiguità del termine duplum e la “denominazione” esponenziale nel De proportionibus di Bradwardine

La mancanza di una distinzione terminologica netta tra operazioni aritmetiche ed esponenziali rende l’interpretazione del trattato medievale un caso esemplare di come l’apparente vaghezza del linguaggio possa celare un preciso impianto concettuale.

Bradwardine introduce il problema delle proporzioni irrazionali attraverso il caso della diagonale del quadrato. L’autore parla di “half a double proportion” (medietas duplae proportionis) which, he says, is the proportion of the diagonal of a square to its side.” – (fr:307) [“metà di una proporzione doppia” (medietas duplae proportionis) che, egli dice, è la proporzione della diagonale di un quadrato al suo lato]. Tale proporzione, come si afferma subito dopo, “is not expressible as a single, simple proportion of integers but may be expressed by two such immediately denominated integra l pr� portions, the one being denominated by the other” – (fr:308) [non è esprimibile come una singola, semplice proporzione di interi, ma può essere espressa mediante due proporzioni intere immediatamente denominate, l’una essendo denominata dall’altra]. È proprio a questo punto che “for the first time in the De Proportionibus, we encounter roots and powers, and this is only the first of several cases in which a terminology, which to the modern reader must seem vague and ambiguous, poses an important problem of interpretation.” – (fr:309) [per la prima volta nel De proportionibus incontriamo radici e potenze, e questo è solo il primo di vari casi in cui una terminologia che al lettore moderno deve apparire vaga e ambigua pone un importante problema interpretativo].

L’operazione che permette di passare da una proporzione razionale a quella irrazionale della diagonale non è una moltiplicazione aritmetica, bensì un’elevazione a potenza o un’estrazione di radice. L’analisi chiarisce che “we must understand a proportion of two integers to be ‘denominated’ by another proportion, or number, in a geometric rather than arithmetic, exponential rather than factorial, sense.” – (fr:310) [dobbiamo intendere una proporzione di due interi come “denominata” da un’altra proporzione, o numero, in senso geometrico piuttosto che aritmetico, esponenziale piuttosto che fattoriale]. Infatti “the proportion cannot be multiplied by an integral arithmetical factor in order to yield that of the diagonal to the side of the square. It can be so multiplied, or denominated, by an exponential factor, however.” – (fr:311‑312) [la proporzione non può essere moltiplicata per un fattore aritmetico intero per dare quella della diagonale al lato del quadrato; può però essere così moltiplicata, o denominata, da un fattore esponenziale]. Di conseguenza, “the ‘denomination’ of one proportion by another is equivalent to raising it to a given power or extracting from it a given root.” – (fr:313) [la “denominazione” di una proporzione mediante un’altra equivale a elevarla a una data potenza o a estrarne una data radice]. La potenza corrisponde alla denominazione per una proporzione di “disuguaglianza maggiore”, “a proportion in which the denominator is 1 and the numerator is any integer greater than 1” – (fr:316) [una proporzione in cui il denominatore è 1 e il numeratore è un qualsiasi intero maggiore di 1], mentre la radice corrisponde alla denominazione per una proporzione di “disuguaglianza minore”, “a proportion in which the numerator is I and the denominator is any integer greater than l” – (fr:317) [una proporzione in cui il numeratore è 1 e il denominatore è un qualsiasi intero maggiore di 1].

Tuttavia, proprio questa “denominazione” si presta a un equivoco di fondo. “It is of considerable importance to realize that this denomination of one proportion by another … may be easily confused with simple arithmetic multiplication and division.” – (fr:318) [È di notevole importanza rendersi conto che questa denominazione di una proporzione mediante un’altra … può essere facilmente confusa con la semplice moltiplicazione e divisione aritmetica]. E infatti “Bradwardine, or at least the contemporary copyists of his treatise, fail to make a clear‑cut terminological distinction between these two processes, the one exponential and the other factorial.” – (fr:320) [Bradwardine, o almeno i copisti contemporanei del suo trattato, non riescono a fare una netta distinzione terminologica tra questi due processi, l’uno esponenziale e l’altro fattoriale].

Il caso più emblematico di tale ambiguità è il termine duplum. Da un lato “If A is said to be duplum B, it means ‘double’ or ‘twice’ in the sense that A = B + B, or 2B.” – (fr:322) [Se si dice che A è duplum B, significa “doppio” o “due volte” nel senso che A = B + B, ossia 2B]. Dall’altro, quando ci si riferisce a proporzioni, duplum assume il valore di “quadrato”. La situazione è sintetizzata dalla regola generale: “a factorial fraction or integer, as applied to integers, indicates arithmetic multiplication and, as applied to proportions, indicates the raising of that proportion to the given power, or the extraction from it of the given root.” – (fr:327) [una frazione o un intero fattoriale, applicati a interi, indicano moltiplicazione aritmetica e, applicati a proporzioni, indicano l’elevazione di quella proporzione alla data potenza, o l’estrazione da essa della data radice]. Bradwardine, non possedendo termini distinti, pagava lo scotto di una lingua in cui “the equivalent of both ‘square’ and ‘twice’ was duplum” – (fr:332) [l’equivalente sia di “quadrato” sia di “due volte” era duplum], creando così “an ever‑present danger” [un pericolo sempre presente].

Altri autori colsero il problema. “Campanus avoids this confusion by a circumlocution.” – (fr:328) [Campano evita questa confusione con una circonlocuzione]; anziché dire dupla ad, ricorre alla forma duplicata, anticipando il nostro uso del participio passato per l’elevazione al quadrato (fr:329). Al contrario, “Giovanni Marliani, an important Italian theorist in the century succeeding that of Bradwardine, may have fallen into this very pitfall of misinterpretation” – (fr:333) [Giovanni Marliani, un importante teorico italiano del secolo successivo a quello di Bradwardine, potrebbe essere caduto proprio in questa trappola interpretativa] nel tentativo di confutare la tesi principale del De proportionibus. Ciò nonostante, l’ambiguità non è irresolubile: “the context of argument, together with the axioms and theorems cited in support of the statement in question, provide sure criteria of choice between the two possible readings, simply on the internal grounds of supposing the author’s reasoning to be logically consistent.” – (fr:335) [il contesto argomentativo, insieme agli assiomi e ai teoremi citati a sostegno dell’affermazione in questione, forniscono criteri sicuri per la scelta tra le due possibili letture, semplicemente sul presupposto interno che il ragionamento dell’autore sia logicamente coerente].

Spostandosi sul piano della classificazione delle proporzioni, Bradwardine distingue razionali e irrazionali in base alla commensurabilità. “Rational proportions are only found in commensurable quantities (those quantities for which there exists an exact common measure in the form of an aliquot part, or factor).” – (fr:336) [Le proporzioni razionali si trovano solo in quantità commensurabili (quelle quantità per le quali esiste una misura comune esatta sotto forma di parte aliquota, o fattore)]. “Irrational proportions are found only in incommensurable quantities (i.e., those possessing no such aliquot factor, of which each would be an exact multiple).” – (fr:337) [Le proporzioni irrazionali si trovano solo in quantità incommensurabili (cioè quelle che non possiedono un tale fattore aliquota, di cui ciascuna sarebbe un multiplo esatto)]. La loro distribuzione tra le discipline è netta: “rational proportions are found in numbers and also in all other kinds of quantities … irrational proportions are not found in numbers (except ‘mediately’ as explained above) but are found in all other kinds of quantities.” – (fr:338) [le proporzioni razionali si trovano nei numeri e anche in tutti gli altri tipi di quantità … le proporzioni irrazionali non si trovano nei numeri (se non “mediatamente”, come spiegato sopra) ma si trovano in tutti gli altri tipi di quantità]. Ne deriva che le proporzioni razionali competono all’aritmetica e alle altre branche della matematica, mentre quelle irrazionali appartengono a tutte le branche tranne l’aritmetica. L’osservazione rivela quanto fosse ampia, nel pensiero di Bradwardine, l’estensione del termine “matematica”, includendo scienze esatte come la musica, che Boezio aveva già trattato in forma interamente matematica. Tale accezione, ricorda il testo, “is at least as old as Plato, who, in the Republic (VII, 521c‑531c; also Laws 817E), includes plane and solid geometry, astronomy and music in his classification of mathematical studies, as well as arithmetic.” – (fr:340) [è antica almeno quanto Platone, che nella Repubblica (VII, 521c‑531c; anche Leggi 817E) include geometria piana e solida, astronomia e musica nella sua classificazione degli studi matematici, oltre all’aritmetica].

La rimanente porzione del primo capitolo offre una descrizione minuziosa di vari tipi di proporzione generati dalla variazione e permutazione di non più di tre termini correlati, un passo che l’analisi giudica “both difficult to follow and also possesses a certain interest for the history of number theory” – (fr:342) [sia difficile da seguire, sia di un certo interesse per la storia della teoria dei numeri], e per il quale viene fornita una schematizzazione moderna.

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5 Proporzionalità e commensurabilità nel pensiero scientifico medievale

L’eredità di una tradizione che includeva sia i numeri che gli oggetti fisici nel concetto di quantità pose le basi per la fisica matematica.

Il trattato analizzato, dopo aver definito i nomi e i mezzi per generare le proporzioni in generale, si addentra in un aspetto cruciale: la proporzionalità, distinta dalla semplice proporzione. Mentre i termini come proportio o inaequalitas mantengono significati più ovvi (fr:372), la proporzionalità riguarda “certe serie specifiche di termini e le serie di proporzioni che possono essere costruite da quei termini, le quali possiedono, come serie, proprietà formali di interrelazione da cui si possono dedurre vari postulati e conclusioni” (fr:374). Essa si riferisce quindi agli aspetti formali di una serie e alle leggi deducibili di interrelazione tra i suoi termini.

Bradwardine si rifà all’Arithmetica, affermando che, dei dieci tipi di serie proporzionali discussi da Boezio, tre sono fondamentali: aritmetica, geometrica e armonica (fr:375).

• La serie aritmetica ha come caratteristica fondamentale “che le differenze aritmetiche tra i termini successivi sono uguali” (fr:376), come nelle serie 1, 2, 3 oppure 1, 4, 7, 10, dove la differenza è 3 (fr:378-379).
• La serie geometrica si distingue perché “le proporzioni tra termini successivi sono uguali” (fr:380), come nella serie 1, 2, 4, 8, dove 1/2 = 2/4 = 4/8 (fr:382-386).
• La serie armonica (esemplificata da 6, 4, 3) possiede la proprietà di uguaglianza della proporzione tra gli estremi e della proporzione tra le differenze dei termini: “6:3 = (6-4):(4-3)” (fr:387-389). A differenza delle prime due, le proporzioni armoniche sono limitate a tre termini (fr:390).

Un’analisi critica si concentra poi sui concetti di continuità e discontinuità. Le prime due tipologie di proporzione possono essere continue o discontinue, mentre la terza, quella armonica, può essere solo continua (fr:391). In una proporzionalità aritmetica, la continuità significa che “le differenze uguali possiedono termini comuni” (come in 3-2 = 2-1), mentre la discontinuità indica che non li possiedono (come in 6-4 = 3-1) (fr:392-393). Analogamente, nella proporzionalità geometrica, la continuità implica termini comuni (es. 4:2 = 2:1), la discontinuità no (fr:394-396).

È qui che si introduce un passaggio cruciale del De proportionibus. La distinzione tra continuo e discontinuo solleva un problema di natura filosofica e fisica: “Come possono le proporzioni numeriche, composte di entità discrete, esprimere proporzioni fisiche, composte di entità continue?” (fr:398). E ancora: “Come può una proporzione di forze essere accuratamente messa in relazione con una proporzione di velocità, i cui termini devono appartenere a un genere differente?” (fr:399).

Alla prima domanda Bradwardine non dà una risposta diretta, appoggiandosi presumibilmente alla dottrina aristotelica per cui i continui sono numerabili, sebbene non numerati (fr:400). Per la seconda, si appella all’autorità dell’Epistola de proportione proportionalitate di Ahmad Ibn Yusuf, la quale sostiene che “sebbene la proporzionalità continua possa sussistere solo tra termini dello stesso genere (perché altrimenti non conterrebbe termini comuni), la proporzionalità discontinua può sussistere tra proporzioni di genere eterogeneo” (fr:402). L’esempio classico, tratto dalla scienza delle armoniche, chiarisce il concetto: “come è la proporzione tra le lunghezze di due corde vibranti, così è la proporzione tra i toni che esse, rispettivamente, producono” (fr:404). Allo stesso modo, aggiunge Bradwardine, “come è la proporzione tra due moti, così è la proporzione tra le loro rispettive velocità” (fr:405). La giustificazione di questa equazione risiede nel fatto che i lati dell’equazione rappresentano aspetti diversi dello stesso moto: uno esprime l’aspetto cinematico (tempo-distanza), l’altro quello dinamico (forza-resistenza) (fr:407).

Questo ragionamento riflette un’eredità intellettuale di fondamentale importanza storica. La tradizione che includeva numeri e oggetti fisici nel concetto di quantità, e annoverava musica e astronomia tra le scienze esatte, divenne “un potente impulso allo sviluppo di una fisica matematica: un’eredità verso la quale oggi abbiamo un grande debito” (fr:411). È significativo che Bradwardine consideri legittimo pensare alle proporzioni come composte da termini esistenziali, e che quindi il suo problema sia “giustificare l’equazione tra diversi generi di tali termini, piuttosto che giustificare (come il teorico contemporaneo spesso sente di dover fare) la commensurabilità dell’ideale matematico con la realtà fisica” (fr:412).

La prima parte del capitolo si conclude con la definizione di sei proprietà delle proporzioni geometriche, utili per l’argomentazione successiva (fr:413). Esse si basano sulle definizioni date da Campano nel Libro V di Euclide. Ad esempio, data la serie geometrica 8, 4, 2, 1 (fr:414), viene citata la permutata proportionalitas: poiché 8:2 = 4:1, allora “permutativamente” (scambiando il conseguente di una proporzione con l’antecedente dell’altra) si ottiene 8:4 = 2:1 (fr:416-418).

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6 La misteriosa fonte degli assiomi e gli otto teoremi nel De proportionibus di Bradwardine

L’analisi critica del trattato medievale sulle proporzioni rivela una struttura assiomatica che, per i primi tre principi, si discosta dall’Euclide tradizionale e chiama in causa un’opera perduta. Gli assiomi dal quarto all’ottavo, come si legge, “follow closely the indicated Propositions in Campanus’ Euclid, to which the text of the De P.rOP.ortionibus, itself, gives accurate reference” (fr:473) [seguono da vicino le proposizioni indicate nell’Euclide di Campano, a cui il testo del De proportionibus stesso fa preciso riferimento]. I primi tre, invece, “present something of a mystery” (fr:474) [costituiscono un mistero]. Essi infatti “are not contained in Euclid, in the form given by Bradwardine” (fr:475) [non sono contenuti in Euclide nella forma data da Bradwardine]. L’autore cita come fonte un’opera chiamata De proportionibus, attualmente sconosciuta. Per l’assioma 1, “being very simple and more a matter of definition than of mathematical postulation, it is, perhaps, not surprising that no authority is cited for it” (fr:476) [essendo molto semplice e più una questione di definizione che di postulato matematico, non sorprende forse che non venga citata alcuna autorità].

Gli assiomi 2 e 3 “correspond rather closely to Campanus’ Definitions 10 and 11, but have a generality not possessed by Euclid’s version” (fr:477) [corrispondono piuttosto fedelmente alle definizioni 10 e 11 di Campano, ma possiedono una generalità che manca alla versione euclidea]. Lo stesso Campano, commentando la Definizione 11, “explains Euclid’s failure to generalize the axiom beyond four terms by the fact that three dimensional solids, which represent a natural limit to geometric abstraction, are denominated by no more than four terms” (fr:478) [spiega la mancata generalizzazione dell’assioma oltre i quattro termini da parte di Euclide con il fatto che i solidi tridimensionali, limite naturale dell’astrazione geometrica, sono designati da non più di quattro termini]. Nel suo commentario Campano indicava quale sarebbe il risultato proiettando a “n” termini, ma Bradwardine “apparently was acquainted with some other work on the subject in which the general form of the axiom was directly expressed and which would, therefore, provide a more convenient reference” (fr:479) [sembra conoscesse un’altra opera sull’argomento in cui la forma generale dell’assioma era espressa direttamente e che, pertanto, offriva un riferimento più comodo].

“The eight theorems developed from the preceding axioms are as follows” (fr:480) [Gli otto teoremi sviluppati a partire dagli assiomi precedenti sono i seguenti].
Il Teorema I, in notazione simbolica, enuncia: “Given AB = … , then A/C = (A/B)²” (fr:481). La dimostrazione impiega l’assioma 1 e l’assioma Il Teorema II generalizza: “Given A/B = B/C = C/D = … then (if ‘n’ the series) A/M = (A/B)^(n-1)” (fr:485) [Data la serie A/B = B/C = C/D = … allora (se “n” è il numero di termini) A/M = (A/B)^(n-1)], estendendo il risultato con le definizioni di tripla, quadrupla ecc.

I teoremi successivi esplorano disuguaglianze. Teorema III: “Given A > 2B and B = 2C, then A/C < (A/B)²” (fr:487) [Dati A > 2B e B = 2C, allora A/C < (A/B)²]; la prova introduce un D tale che A/D = D/C e, tramite l’assioma 4 e l’assioma 5, giunge alla conclusione. Teorema IV: “Given A = 2B and B > 2C, then A/C < …” (fr:492) [Dati A = 2B e B > 2C, allora A/C < …]. Teorema V: “Given A < 2B and B = 2C, then A/C > (A/B)²” (fr:494) [Dati A < 2B e B = 2C, allora A/C > (A/B)²]. Teorema VI: “Given A = 2B and B < 2C, then A/C > …” (fr:496) [Dati A = 2B e B < 2C, allora A/C > …].

Il Teorema VII affronta il caso in cui “B > A” e giunge a una costruzione con proporzionali continui 4, 2, 1, mostrando che “1 = 2 (impossible)” (fr:504-506) [1 = 2 (impossibile)], rivelando così le condizioni di validità. Il Teorema VIII, per “A > B”, segue una dimostrazione analoga.

L’insieme dei frammenti testimonia come Bradwardine, pur radicato nella tradizione di Campano, attingesse a una fonte scomparsa – il De proportionibus – capace di fornire assiomi in forma pienamente generale. La limitazione euclidea ai quattro termini, giustificata con la tridimensionalità dei solidi, viene superata da un’astrazione che anticipa il trattamento algebrico delle proporzioni continue.

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7 La critica di Bradwardine alle teorie della velocità: autorità, ragione ed esperienza

Dopo aver citato passi di Aristotele e Averroè che potevano sostenere la teoria secondo cui “la proporzione delle velocità nei moti segue l’eccesso della forza del motore rispetto a quella del mosso” (fr:540), Bradwardine solleva sette argomenti distruttivi contro di essa. Nel procedere segue, come altrove, la pratica abituale di presentare prima gli argomenti che si appellano principalmente all’esigenza di un’interpretazione coerente delle «autorità», per poi aggiungerne altri che fanno appello in modo più autonomo alla ragione e all’esperienza (fr:541). Le confutazioni 1‑3 si basano direttamente su certi passi di Aristotele e Averroè, le confutazioni 4‑6 mettono in luce ulteriori conseguenze impossibili, e la confutazione 7 fa appello all’esperienza comune (fr:542).

Per semplicità diagrammatica, la teoria in discussione viene espressa dalla formula “kV = F – R”, dove F è la forza motrice, R la forza resistiva (o il mobile) e k una costante di conversione (fr:543). Da essa seguono immediatamente diverse contraddizioni con quanto affermato da Aristotele.

La prima confutazione mostra che, se F muove R per lo spazio S nel tempo T, allora ½F non muoverà R per S in T, ma solo per S/2 (fr:544‑545). Ciò contraddice l’enunciato di Aristotele secondo cui dimezzare sia la forza sia la resistenza lascia invariata la velocità (fr:546). La confutazione si regge sul terreno condiviso di un’interpretazione coerente di Aristotele (fr:548), e osservazioni come “dimezzare tanto le forze quanto le resistenze non cambia la velocità” erano ritenute tanto ovvie da fungere da assiomi per tutti (fr:549).

La seconda confutazione: se F muove R per S in T, due forze F+F non muoveranno due resistenze R+R per S in T, bensì per 2S, poiché 2kV = 2F – 2R (fr:551‑552). Anche questo contrasta con l’affermazione aristotelica che forze e resistenze combinate producono la medesima velocità (fr:553).

La terza confutazione discende dalla proporzione geometrica: dall’uguaglianza di proporzioni (ad esempio 6/3 = 2/1) non segue uguaglianza di velocità, perché manca uguaglianza degli eccessi (6–3 ≠ 2–1) (fr:555‑559). Non si può sostenere che Aristotele intendesse una proporzione «aritmetica» (uguaglianza di differenze), poiché le prime due confutazioni hanno già mostrato la falsità di tale interpretazione (fr:560‑563). Bradwardine cita anche gli argomenti di Averroè, il quale aveva del pari riconosciuto le incoerenze derivanti dall’ipotesi della proporzione aritmetica (fr:564‑566).

La quarta confutazione: dalla teoria seguirebbe che un corpo misto, dotato di resistenza interna, si muoverebbe più rapidamente in un pieno che nel vuoto (fr:568). Sia A un corpo misto che cade in un mezzo B, e C un corpo di terra pura la cui forza motrice è minore della forza risultante di A; si rarefà B fino a che C si muova in B con la stessa velocità con cui A si muove nel vuoto. Posto A nello stesso mezzo di C, esso si muoverà più velocemente, perché ha una forza risultante maggiore, e poiché C ora si muove in B con la velocità che A aveva nel vuoto, A si muoverà più rapidamente in questo pieno che nel vuoto (fr:569‑572). È impossibile specificare un mezzo a resistenza sufficientemente bassa senza eguagliare la forza risultante di A a quella del corpo semplice C (fr:573). Bradwardine stesso era consapevole di questo dilemma matematico, e conclude la quarta confutazione rilevando che Aristotele postula un aumento illimitato di velocità corrispondente a una diminuzione equivalente della resistenza del mezzo (fr:574). In ultima analisi, anche questa confutazione, come le precedenti, si fonda sulla dimostrazione dell’inconsistenza della teoria rispetto a un dictum di Aristotele, piuttosto che su un’impossibilità intrinseca (fr:575). Questo tipo di argomentazione tipizza l’atteggiamento scolastico verso Aristotele: non si pensava che il Filosofo avesse elaborato ogni dettaglio di tutte le sue teorie né che fosse infallibile a priori in ogni sua affermazione; si riteneva però che egli fosse essenzialmente corretto nella filosofia naturale e che la validità di una teoria contemporanea potesse essere verificata verificando se essa costituisse un’interpretazione coerente con le osservazioni di Aristotele, nei limiti di quelle osservazioni (fr:576‑578).

La quinta confutazione: se F–R < F’–R’, allora V < V’, il che è manifestamente falso (fr:580). Indicando con r la resistenza interna di un corpo e con m la resistenza del mezzo, si può porre F–r > F’–r’ e scegliere m tale che (F–r) – m = (F’–r’) – m’. Ne seguirebbero velocità uguali ma differenze disuguali, contro l’ipotesi (fr:581‑582).

La sesta confutazione: se F = 2R o F > 2R, la velocità non può essere raddoppiata in un altro mezzo, perché raddoppiare la differenza tra F e R darebbe F (la velocità limite quando R = 0); la forza in questione non può quindi muovere più velocemente di così, neppure attraverso il vuoto (fr:584‑586). Ciò era già risultato inconsistente con la posizione aristotelica nella quarta confutazione (fr:587).

La settima confutazione: poiché dalla teoria segue che, se F–R > F’–R’, allora V > V’, ne conseguirebbe che quanto maggiore è la differenza tra F e R tanto più rapido sarà il moto; dunque un uomo robusto, che supera la potenza di ciò che muove con un eccesso molto maggiore di quello con cui una mosca supera qualsiasi cosa essa muova, dovrebbe muoverlo più velocemente (fr:589). L’esperimento mostra facilmente che ciò è falso (fr:590). Bradwardine conclude perciò che la proporzione delle velocità non segue l’eccesso della potenza del motore sul mobile, e aggiunge che Aristotele e Averroè, dicendo che la velocità «segue» tale eccesso, intendevano semplicemente che il moto risulta da una proporzione di maggiore ineguaglianza nella quale F eccede necessariamente R (fr:591).

In seguito Bradwardine critica una seconda teoria, espressa come “kV = (F – R)/R” (fr:592). Nessuno dei teorici precedenti a Bradwardine che sono stati esaminati sviluppa compiutamente questa variante combinata delle Teorie I e III; dal trattamento assai cursorio che le viene accordato si potrebbe essere tentati di credere che nessuno l’avesse mai presa veramente sul serio (fr:593). La Teoria II è tuttavia suggerita dal Commento 36 di Averroè alla Fisica VII (citato da Bradwardine come sua autorità), e non poteva quindi essere trascurata da chi scrivesse un trattato sulla teoria della velocità (fr:594). È interessante notare che questa teoria fu infine ripresa seriamente da Giovanni Marliani nel XV secolo (fr:595).

La prima delle due confutazioni di Bradwardine contro questa concezione è assai ingegnosa: egli afferma che, se F–R = R, allora “nessun motore può muovere alcun mobile più velocemente o più lentamente di quel moto” (fr:597‑598). Ciò segue dal fatto che, per un teorema precedente, nessuna proporzione può essere maggiore o minore di una proporzione di uguaglianza, e se F–R = R, allora (F–R)/R è una proporzione di uguaglianza (fr:598). Al tempo stesso, il caso in cui F–R = R non sarebbe di equilibrio (poiché F supera R) e rappresenterebbe quindi una velocità determinata. In breve, se la Teoria II fosse vera, ogni cosa in movimento si muoverebbe con la stessa velocità (fr:599‑600). La seconda confutazione rileva che una forza motrice muove l’intero mobile con la sua intera forza e non mediante un eccesso di forza; pertanto, un moto e la sua velocità seguono primariamente ed essenzialmente la proporzione dell’intero motore all’intero mobile (fr:602). Bradwardine non sviluppa una grande confutazione di questa teoria: come teoria della proporzionalità aritmetica era già stata sufficientemente scossa nella critica alla Teoria I; come teoria della proporzionalità geometrica, era troppo poco sviluppata per meritare un trattamento speciale (fr:603‑604).

Infine, la Teoria III è quella che sembra più ovviamente implicata dal succinto trattamento di Aristotele: la teoria secondo cui la velocità è una funzione proporzionale diretta delle forze, ossia “kV = F/R” (fr:608‑610). Ostensibilmente, questa era la teoria sostenuta dai Peripatetici medievali (fr:611). Tuttavia, il fatto che la velocità debba essere una funzione semplice della proporzione di forze opposte conduce a certe incoerenze con altri assiomi aristotelici concernenti il moto, sulla base delle quali Bradwardine è costretto a rifiutare la teoria (fr:612). Delle due critiche generali sollevate contro la Teoria III, la prima è la mancanza di generalità, poiché essa impone che o F o R sia considerato costante per poter confrontare due velocità (fr:613). Tale critica potrebbe sembrare ingiustificata se la Teoria III è espressa accuratamente dalla formula kV = F/R (fr:614).

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8 La critica di Bradwardine alle teorie erronee sul moto e la fondazione matematica della dinamica

Frammenti tratti da un’analisi descrittiva e critica del De proportionibus di Thomas Bradwardine, dedicati alla confutazione delle teorie non aristoteliche del moto e all’illustrazione della propria legge della velocità.

Il testo esamina il modo in cui Bradwardine, nel suo trattato, smonta sistematicamente alcune teorie scorrette sul rapporto tra velocità, forza motrice e resistenza, preparando il terreno per la propria formulazione matematica. Un primo passaggio riguarda una seconda falsa conseguenza della Teoria II, che conduce a una palese violazione dell’assioma aristotelico del moto. La dinamica in questione implicherebbe che, fissata una forza motrice F e una resistenza R, si possa sempre trovare un multiplo n della resistenza tale da superare F, rendendo impossibile il movimento. Come osserva il testo:

“Since, however large F may be, it will be possi- ZR nR ble to posit n such that n R will be larger than F, this theory is seen to be a violation of the universally accepted Aristotelian axiom, that F must exceed R, if there is to be any motion.” – (fr:623) [Poiché, per quanto grande possa essere F, sarà possibile porre n tale che nR sia più grande di F, questa teoria appare come una violazione dell’assioma aristotelico universalmente accettato, secondo il quale F deve superare R perché vi sia movimento.]

La discussione prosegue con la Teoria III, di cui Bradwardine cerca di dimostrare che i predecessori – Aristotele, Averroè e l’autore del Tractatus de ponderibus – non intendevano affatto una relazione del tipo kV = R = T (con D distanza e T tempo). L’errore consisterebbe nel non aver riconosciuto che la velocità varia secondo la proporzione tra F e R, ovvero secondo la formula nV = F/R, che lo stesso Bradwardine adotterà come legge corretta:

“The remainder of his discussion of Theory III is concerned with an atten:1p� to show that Aristotle, Averroes and the author of the . Tractatus de ponder1 b us could not have meant that kV = R = T (D = distance , T = time), but that, instead, V varies as the proportion of FR or DT (1’ .e . , nV = RF ).” – (fr:631-633) [Il resto della sua discussione della Teoria III è dedicato al tentativo di mostrare che Aristotele, Averroè e l’autore del Tractatus de ponderibus non potevano aver inteso che kV = R = T (D = distanza, T = tempo), ma che invece V varia come la proporzione di F rispetto a R, ossia nV = F/R.]

Nonostante questa intuizione fosse già presente nei testi antichi, Bradwardine sottolinea che fino a quel momento nessuno l’aveva dimostrata facendo ricorso a princìpi matematici rigorosi:

“this is, of course, a prev1ew of Bradward1ne’s own theory, as it appears in Chapter III of the De P-rogortionibus, but he goes on to point out that, although Aristotle, Averroes, and the conclusion concerning velocities contained in the De gonderibus had pointed toward the nV = ; formula, no one had proved it by adducing mathemati cal princ iples.” – (fr:635-636) [questa è, naturalmente, un’anticipazione della teoria stessa di Bradwardine, come appare nel Capitolo III del De proportionibus, ma egli fa notare che, sebbene Aristotele, Averroè e la conclusione sulle velocità contenuta nel De ponderibus indicassero la formula nV = F/R, nessuno l’aveva dimostrata adducendo princìpi matematici.]

L’ultima posizione confutata, la Teoria IV, sostiene una visione radicalmente non matematica: le velocità non seguono né una proporzione tra forze né un eccesso aritmetico della forza motrice sulla resistenza, ma dipendono da una “relazione naturale tra motore e mosso”. Il testo riporta le tre obiezioni principali portate a sostegno di questa tesi. La prima si fonda sull’incorporeità della forza, che non avendo grandezza non potrebbe entrare in rapporti proporzionali:

“This view is supported, in the first place, by the contention that force is not a body, that it therefore has no magnitude, and that c onsequently it c annot be made proportional to anything.” – (fr:637) [Questa visione è sostenuta, in primo luogo, dall’affermazione che la forza non è un corpo, che quindi non ha grandezza e di conseguenza non può essere resa proporzionale a nulla.]

In secondo luogo si obietta che le forze motrice e resistiva appartengono a generi differenti e non sono confrontabili (“motive and resistive for c es are of different genera and thus cannot be compared”, fr:638). In terzo luogo, una proporzione di disuguaglianza richiederebbe di dividere la forza, cosa impossibile data la sua natura incorporea (“forces, being incorporeal , c annot be thus divided”, fr:639).

Bradwardine ribatte a queste obiezioni appoggiandosi anzitutto alle precisazioni sulla proporzionalità esposte nel Capitolo I. L’argomento più incisivo è l’analogia musicale: le altezze sonore non sono quantità corporee, eppure stanno tra loro in rapporti proporzionali definiti; l’esistenza stessa della scienza armonica basta a confutare l’obiezione:

“The very existence of the scienc e of harmonics is, therefore, taken as suffic ient disproof of this ob jec tion.” – (fr:641) [L’esistenza stessa della scienza armonica è, pertanto, considerata una confutazione sufficiente di questa obiezione.]

Inoltre, la Teoria IV ammette che il motore “domina” il mosso, e ogni dominanza deve esprimersi in una proporzione, come Aristotele e Averroè ribadiscono in molti luoghi. Dunque, in ogni caso esiste una proporzione tra forza motrice e resistenza. Gli argomenti a favore della Teoria IV sono, infine, confutabili anche su un piano logico: le forze non vengono dette proporzionali in modo univoco e proprio, ma solo equivoco e comune; quanto all’eccedenza, una cosa che supera un’altra non è divisa in sé in “eccesso” ed “ecceduto”, ma solo in rapporto a quell’altra cosa. Il brano si chiude con una notazione significativa: lo stesso Bradwardine, nella seconda confutazione della Teoria II, invoca il principio per cui le forze non vanno considerate come divise nella loro azione, mostrando la coerenza del suo impianto argomentativo.

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9 La legge dinamica di Bradwardine tra moto, vuoto e statica

Il trattato esplora la portata generale della legge delle velocità di Thomas Bradwardine, mostrando come essa ridefinisca il concetto di moto attraverso la combinazione di forze e si estenda dalla dinamica alla statica, superando l’obiezione aristotelica sul vuoto e affrontando la complessa natura dei corpi misti.

Il testo analizza le implicazioni di un teorema, il Teorema XII, all’interno della teoria del moto di Thomas Bradwardine. Il punto di partenza è la riformulazione della relazione tra velocità, forza motrice e resistenza. Invece di una semplice proporzionalità, la velocità è funzione di una proporzione di forze. Viene specificato che la velocità di un corpo in un mezzo con resistenza R non è rappresentata da una formula attesa, ma da un’altra relazione, indicata come “V = , and not V = (�” (fr:712). Di conseguenza, “coacting forces are to be added to each other rather than made proportionate; the resultant motive force is proportionate to the resultant resistive force” (fr:714) — “le forze co-agenti devono essere sommate l’una all’altra piuttosto che rese proporzionali; la forza motrice risultante è proporzionale alla forza resistiva risultante”.

Il Teorema XII stabilisce un caso particolare ma rivelatore: se la resistenza R è nulla, la velocità V è uguale a V’ solo se una certa condizione di equilibrio tra forze è soddisfatta. Con un ragionamento dimostrativo, si introduce una disuguaglianza: se la forza f è maggiore di f’, e il loro rapporto è bilanciato contro un altro, ne consegue che “f+r’ > r+f’” (fr:718-719). Questa relazione, che richiama il Teorema VIII del Capitolo I, porta a un movimento specifico, indicato con un simbolo di direzionalità: “f will move ?” (fr:721).

Il teorema viene poi contestualizzato storicamente. Esso non è un argomento a favore o contro l’esistenza del vuoto, un problema di secondaria importanza. “It serves, in fact, to point out the secondary importance of such a consideration” (fr:724) — “Serve, di fatto, a sottolineare l’importanza secondaria di una tale considerazione”. Bradwardine tratta l’argomento di Aristotele contro il vuoto non come una questione a sé, ma come un caso speciale di una teoria più generale: ciò che è essenziale per il moto è l’esistenza di un’opposizione tra forze motrici e resistive di qualsiasi tipo. Se un vuoto esistesse, un corpo misto con una forza preponderante si muoverebbe a una velocità determinata dalla proporzione di queste forze opposte, mentre corpi con opposizioni di forze equivalenti si muoverebbero con uguale velocità.

La parte successiva del teorema è giudicata particolarmente interessante per la connessione che stabilisce tra la legge generale delle velocità e la scienza medievale dei pesi. Sebbene in un vuoto corpi con forze motrici proporzionalmente equivalenti alle loro resistenze interne si muoverebbero con uguale velocità, in un contesto statico, su una bilancia, il corpo con la forza motrice maggiore scenderebbe. “Thus a theorem concerning statics is deduced from a law of motion which is essentially dynamic; the consideration of weight is introduced, and ‘work’ becomes related to velocity” (fr:730) — “Così un teorema riguardante la statica è dedotto da una legge del moto che è essenzialmente dinamica; viene introdotta la considerazione del peso, e il ‘lavoro’ viene messo in relazione con la velocità”. Questo risultato si basa su una forma ancor più generalizzata di combinazione delle forze, dove, nel caso specifico del movimento di una barra di bilancia, la forza motrice di un corpo viene sommata alla forza resistiva dell’altro. Ne consegue che i moti sono funzione di opposizioni risultanti di forze, che queste siano simili o dissimili, rendendo la distinzione tra forza motrice e resistiva relativa al caso specifico.

L’analisi introduce poi un’obiezione critica basata sulla concezione medievale di “corpi misti”. Questi erano comunemente concepiti come ciò che in termini moderni si chiamano composti chimici, ovvero non semplici agglomerati ma corpi omogenei il cui comportamento è determinato in qualche modo dalla risultanza delle loro sostanze elementari. Se i corpi misti sono concepiti come composti naturali, diventa altamente discutibile se possano propriamente possedere una “resistenza interna”. Se tale opposizione di forze non esistesse in atto, allora i due teoremi finali di Bradwardine fallirebbero per una premessa errata: “Without actual opposition of forces, all mixed bodies would move instantaneously in a void” (fr:741) — “Senza un’opposizione effettiva di forze, tutti i corpi misti si muoverebbero istantaneamente nel vuoto”.

Questa obiezione è giudicata troppo ovvia per essere stata trascurata. Si conclude quindi che Bradwardine concepiva i corpora mixta o come contenenti una distinzione in atto degli elementi componenti, oppure come semplici agglomerati di elementi diversi. Un’ulteriore obiezione sorge ipotizzando un composto di acqua e terra in caduta nel vuoto: Bradwardine sembrerebbe vedere i due componenti come opposti, generando una velocità determinata. Tuttavia, si chiarisce che se entrambi gli elementi tendono nella stessa direzione, e separatamente avrebbero velocità istantanea nel vuoto, allora l’intero composto si muoverebbe a velocità infinita e senza resistenza interna. La conclusione definitiva è che, in entrambi i teoremi, un corpo misto possiede una potentia resistiva solo quando il moto naturale di un componente è in direzione opposta a quella del componente designato come potentia motiva. Questa interpretazione non distorce il senso dei termini relativi motiva e resistiva e preserva la validità dei teoremi in questione.

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10 Velocità, proporzioni e forza nel De proportionibus di Bradwardine: un tentativo medievale di superare l’ambiguità aristotelica

Il capitolo IV del trattato esamina il moto circolare attraverso definizioni e assiomi geometrici, mentre propone una ridefinizione della velocità come massimo lineare percorso da un punto, chiarendo un equivoco aristotelico due secoli e mezzo prima di Galileo.

Il testo si apre con l’affermazione che il quarto capitolo del De RrO Rortionibus tratta i moti circolari partendo da una serie di definizioni e assiomi matematici (fr:766). Prima di giungere alla parte strettamente geometrica, l’analisi critica mette in luce un nodo concettuale che percorre l’intera opera: la distinzione tra «qualità» e «quantità» del moto. Tale distinzione, introdotta per risolvere l’obiezione che la relazione nV = RF non sia compatibile con V = DT (fr:764), viene applicata alle resistenze ma non ai corpi motori o alle forze. L’autore osserva che il trattamento di questa distinzione è «estremamente breve e non raggiunge una grande generalità di espressione» (fr:763), segnalando un punto di debolezza teorica.

Questa difficoltà conduce direttamente al problema di mettere in relazione la forza con la distanza, cioè le funzioni dinamiche con quelle cinematiche, facendo emergere l’ambiguità presente nell’affermazione di Aristotele secondo cui il «peso» di un corpo è un fattore della sua velocità in caduta libera (fr:757). Il testo propone un’idea embrionale di «forza per unità di volume», essenzialmente affine al principio archimedeo della gravità specifica (noto agli scrittori medievali), la quale offre una base teorica per chiarire quell’ambiguità aristotelica circa due secoli e mezzo prima che Galileo, si narra, si spingesse a gettare oggetti dalla torre di Pisa (fr:765).

Dopo aver posto le premesse, il trattato enuncia una serie di definizioni e assiomi ricavati da Euclide e Archimede. Vengono definite le figure simili, i quadrati e i quadrilateri (fr:767) partendo rispettivamente dal primo, sesto e primo libro di Euclide (fr:767). Gli assiomi geometrici enumerati sono:

“All right angles are equal.” – (fr:769) (Euclide I, 770) “Of any two similar polygons, the proportion of areas equals the proportions of any two corresponding sides, squared.” – (fr:771) (Euclide VI, 772) “Of any two circles, the proportion of their areas equals the proportion of the squares of their diameters.” – (fr:773) (Euclide XII, 774) “Of any two circles, the proportion of their circumferences equals the proportion of their diameters.” – (fr:775) (Archimede De curvis superficiebus, Teorema V, in realtà III, 776) “Of any two spheres, the proportion of their volumes equals the proportion of their diameters, cubed.” – (fr:777) (Euclide XII, 778) “The surface of any sphere is equal to that of a rectangle whose opposite sides are equal to the diameter and greatest circumference of the sphere.” – (fr:779) (Archimede De curvis superficiebus, Teorema VIII, in realtà VI, 780-781)

Da queste premesse scaturiscono sei conclusioni che esprimono proporzioni tra cerchi e sfere:

“Of any two circles, the proportion of their areas equals the proportion of their diameters, squared.” – (fr:782) e analogamente con le circonferenze al quadrato (fr:784). Per le sfere, il rapporto tra i volumi è pari al cubo del rapporto tra le circonferenze massime (fr:786); il rapporto tra le superfici è pari al quadrato del rapporto tra i diametri (fr:788) e tra le circonferenze massime (fr:790); infine il rapporto tra i volumi è uguale al rapporto tra le superfici elevato alla potenza di 1½ (fr:792).

Nella seconda parte del capitolo, Bradwardine affronta ulteriormente il problema della relazione tra velocità pensata come funzione di una proporzione di forze e velocità come funzione di spazio e tempo, già trattata con la distinzione qualitativo-quantitativa al termine del capitolo III (fr:792). Egli respinge come falsa la prima ipotesi, secondo cui la proporzione tra le velocità uguaglia la proporzione tra i volumi descritti dai corpi mossi (fr:793). La falsità deriva dal fatto che, se fosse vera, un corpo qualsiasi si muoverebbe al doppio della velocità della sua metà, poiché descriverebbe un volume doppio (fr:794); e se il corpo intero percorresse un piede in un’ora e la metà ne percorresse mezzo, la teoria costringerebbe a supporre le due velocità uguali (fr:795). Una seconda teoria, che pone la proporzione delle velocità uguale al rapporto tra le superfici dei volumi contenuti, è rigettata per gli stessi motivi (fr:796).

La terza teoria, attribuita a Gerardo di Bruxelles nel suo De P-rOP-ortione motuum et magnitudinum, afferma che le velocità circolari sono proporzionali agli archi e alle aree descritte da un determinato raggio (fr:797). Bradwardine riconosce che questo, che è il più antico esempio noto di «velocità angolare», rappresenta un miglioramento rispetto alle teorie precedenti, ma vi obietta perché implicherebbe che qualsiasi parte del raggio in rotazione si muova alla stessa velocità del suo punto medio (fr:798). Se la citazione è corretta, l’obiezione appare condivisibile (fr:799): la velocità è una proprietà che appartiene ai corpi, e i corpi si muovono tanto rapidamente o lentamente quanto le loro parti (fr:800). Parlare di velocità media del raggio come uguale a quella del suo punto medio non giustifica che quella velocità valga per tutte le parti del raggio (fr:801). Inoltre, nei moti celesti, il punto medio del raggio terrestre non si troverebbe neppure all’interno del corpo di cui dovrebbe esprimere il moto (fr:802). Rimane tuttavia un dubbio interpretativo: non si può stabilire se Bradwardine abbia frainteso la teoria in questione (fr:803).

Tuttavia, coloro che più tardi adottarono la definizione bradwardiniana di velocità come massima raggiunta da una qualsiasi parte dell’oggetto, non esitarono ad abbinarla alla tesi che, quando la velocità varia nel tempo, la distanza totale percorsa equivale a quella che sarebbe coperta da un corpo che si muovesse uniformemente al grado medio di quella velocità (fr:804).

Posto dunque che la velocità circolare sia propriamente misurata dal moto del luogo della circonferenza, Bradwardine stabilisce tre assiomi fisici che integrano quelli geometrici precedenti (fr:805). Il primo recita:

“The velocity of any local motion is to be measured by the maximum distance traversed by any point of the moving object.” – (fr:806)

Il secondo:

“The proportion between the velocities of any two local motions equals the proportion between the maximum lines described by two points on the two mobilia.” – (fr:808)

Questi assiomi coronano il tentativo di ancorare la funzione dinamica a una quantità lineare massima, chiudendo il cerchio argomentativo aperto con la distinzione qualità/quantità e offrendo una definizione operativa della velocità che sarà ereditata da generazioni di pensatori medievali.

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11 L’eredità del Tractatus proportionum e la genesi della cinematica medievale

Il testo offre un’analisi approfondita del trattato di Thomas Bradwardine, De proportionibus, e del suo ruolo nello sviluppo della fisica matematica, muovendosi dalla teoria delle sfere elementali fino al dibattito storiografico sulla dinamica tardomedievale. L’opera è esaminata sia nei suoi contenuti specifici sia nel suo significato come snodo cruciale per la distinzione tra approccio qualitativo e quantitativo alla velocità e per la successiva elaborazione della cinematica del moto uniformemente accelerato.

La parte finale del trattato, dedicata alla dimensione delle sfere elementali, si fonda su tre assunzioni. La prima stabilisce che “i quattro elementi sono congiunti in continuità proporzionale” – (fr:829). La seconda afferma che “i quattro elementi occupano (o naturalmente dovrebbero occupare) l’intera sfera corruttibile, cioè la sublunare” – (fr:831-833). La terza, basata sull’autorità di Thabit ibn Qurra e di al-Farghani, fissa un dato empirico: il raggio della sfera corruttibile è pari a 33,3 volte il raggio terrestre (“Il raggio dell’intera sfera corruttibile è uguale a 33,3 volte il raggio della terra” – (fr:835-836)). Poiché Alfragano stima che il rapporto tra raggio della sfera lunare e raggio terrestre sia 33,3[3] e assegna alla terra un diametro di 500 miglia, il diametro dell’intera sfera sublunare risulta di 450 miglia. Bradwardine, tuttavia, “non si preoccupa di esprimere in miglia la distribuzione proporzionata degli elementi sublunari” – (fr:841). Utilizzando le proprietà delle serie proporzionali e i teoremi di geometria sferica preceduti nel testo, sviluppa quattro teoremi: la proporzione di un elemento maggiore rispetto al minore immediato è compresa tra 32:1 e 33:1; la proporzione tra la sfera del fuoco e le altre tre è maggiore di 31:1; la distanza della superficie esterna dell’aria dal centro della terra è compresa tra 10 e 11 raggi terrestri; un punto a metà tra la superficie interna dei cieli e il centro della terra si colloca molto al di sopra dell’aria.

L’applicazione della funzione geometrica a fenomeni così eterogenei assume un interesse storico specifico. Il testo osserva che “la cosa interessante non è tanto che questa particolare applicazione della funzione geometrica fosse fuori bersaglio, ma che l’istinto di Bradwardine nel cercare una tale applicazione sia risultato così drammaticamente giustificato nella storia della fisica matematica moderna” – (fr:826). Questa ricerca, pur nell’errore, esemplifica “quella perenne speranza del matematico-fisico di trovare applicazione per un tipo generale di funzione in fenomeni apparentemente del tutto diversi” – (fr:825).

L’aspetto più rilevante del trattato, tuttavia, riguarda il significato del termine velocitas. L’analisi critica evidenzia che Bradwardine opera una netta distinzione tra il significato “qualitativo” e quello “quantitativo” della velocità: “la proporzione di forza a resistenza è concepita come variabile con ciò che trova il suo corrispettivo moderno nel concetto di ‘velocità istantanea’” – (fr:856). La chiara distinzione tra i due significati “fornì un punto di partenza quanto mai fecondo per il lavoro della generazione seguente al Merton College” – (fr:852). La formula di Bradwardine, che lega velocità e rapporto forza/resistenza in modo logaritmico, si rivela erronea se applicata a tutte le forme di resistenza senza distinguere tra densità del mezzo, inerzia e peso. L’obiezione di Bradwardine contro una semplice proporzionalità aritmetica o geometrica rimane però valida nella misura in cui “a meno che non si faccia la riserva che la formula di Newton si applica solo alla ‘massa libera’ o all’‘inerzia’, segue l’impossibilità che una forza minore del peso di una data massa possa produrre un’accelerazione positiva su quella massa” – (fr:858).

La fecondità della distinzione qualitativa emerge nel lavoro di John Dumbleton. Questi inquadra le variazioni qualitative (come i gradi di calore o di velocità) fondandole su una base quantitativa. Ogni grandezza intensiva, proprio come una estensiva, possiede una latitudo, cioè un’ampiezza quantitativa che va da un grado zero fino a un massimo, ed è sommabile per parti. “Proprio come una distanza lineare, o ‘latitudine’, è equivalente alla somma delle parti in cui può essere divisa, così anche una latitudine qualitativa può essere divisa in parti di cui essa pure è la somma” – (fr:871). L’acquisizione di una qualità intensiva avviene per accumulazione successiva, a differenza dello spazio percorso che viene semplicemente lasciato alle spalle. Se ciò non fosse, “qualunque parte dell’intensione potesse essere prodotta da un dato agente in un dato tempo dovrebbe essere ricreata da zero dopo ciascuna parte e (essendo queste parti infinitamente divisibili) nessun cambiamento potrebbe mai aver luogo” – (fr:877).

Su queste premesse Dumbleton elabora la dinamica bradwardiniana. Poiché la velocità è intesa come grandezza intensiva, un rapporto costante forza/resistenza produce incrementi uguali di latitudine veloce in tempi uguali. “Se una data proporzione di forza a resistenza produce una data intensione, o ‘grado’, di velocità in un dato tempo, allora, se questa proporzione rimane costante, in un secondo tempo la velocità sarà raddoppiata, dopo il terzo triplicata, ecc.” – (fr:881). Pur non dichiarandolo esplicitamente in questa parte, Dumbleton giunge nel capitolo successivo a dimostrare la relazione tra tempo e distanza nel moto uniformemente accelerato: “la distanza percorsa in un qualsiasi moto in cui vi sia un’uniforme ‘intensione’ di velocità (da zero a un grado qualunque) deve essere uguale alla distanza che sarebbe percorsa da un corpo che si muovesse uniformemente a metà del grado terminale di quel moto accelerato” – (fr:886). In termini moderni, S = (v · t)/2, equivalente a S = ½ a t², e rappresenta uno dei primi tentativi riusciti di relazionare tempo e spazio nel moto uniformemente accelerato.

Il testo corregge alcune interpretazioni storiografiche. Contrariamente a quanto sostenuto da Pierre Duhem, la distinzione tra dinamica e cinematica non fu introdotta da Alberto di Sassonia, ma è già “sviluppata in modo del tutto chiaro nella risposta di Bradwardine alle possibili obiezioni contro la sua teoria; la relazione dinamica tra forza e resistenza è lì esplicitamente messa in rapporto con un tasso istantaneo, e questo significato di velocità è nettamente distinto dalla relazione cinematica tra tempo trascorso e distanza percorsa” – (fr:904). Rispetto alla tesi di Anneliese Maier, secondo cui la nozione di velocità come grandezza qualitativa avrebbe precluso il progresso nell’analisi quantitativa del moto, l’analisi mostra invece che “è proprio questo punto di vista che ha condotto direttamente a una corretta comprensione del rapporto tra dinamica e cinematica” – (fr:916). La teoria dell’impetus di Buridano, spesso vista come anticipazione dell’inerzia, appare piuttosto uno sviluppo della causalità per contatto aristotelica e, semmai, “se c’è qualcosa, è la cinematica mertoniana, che tratta la ‘velocità’ semplicemente come una qualità indotta in un corpo da una potenza agente e non implica la nozione di una qualche ‘forza’ aggiuntiva, a sembrare più vicina al punto di vista moderno” – (fr:898). La logica conclusione del percorso Bradwardine-Dumbleton non è che in assenza di forza non vi sia moto, ma che “in assenza di forza non vi sia accelerazione” – (fr:913).

L’ultima sezione del testo descrive i criteri editoriali del Tractatus proportionum. Il testo qui presentato si basa sulla collazione di quattro manoscritti del XIV secolo, scelti dopo aver scartato le edizioni a stampa cinque-seicentesche e numerosi altri testimoni. L’edizione di Parigi, ad esempio, “soffriva non solo di un numero di omissioni minori approssimativamente uguale a quello riscontrato nei singoli manoscritti, ma anche di frequenti casi in cui le fonti manoscritte altamente abbreviate erano state chiaramente lette male” – (fr:919). I quattro manoscritti fondamentali (Vaticano 176, Bruges 500, Bibliothèque Nationale 14576, Bodleiano 228) mostrano che i primi due formano un gruppo con frequenti concordanze in errori dovuti a sauts du même au même, mentre gli altri due appaiono indipendenti.

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12 La traduzione del Tractatus de proportionibus e le sue scelte linguistiche

Dalle note critiche emerge come la resa in inglese moderno dei termini tecnici latini medievali abbia richiesto soluzioni spesso imperfette, tra neologismi e ambiguità concettuali irrisolte.

Il lavoro si basa sul manoscritto “MS. Har le ian 26 7 , fo1 s .” (fr:1172) [MS. Harley 267, fols.] “2 2 8- 3 0 .” (fr:1173) [228-30], catalogato nel “Se e B r iti sh Mu s e um D e partm e nt o f Manu s criP-t s , Catalogue of the Har l e ian Manuscrip.!.§_ ( London , 1 8 0 8 ) , I , 1 0 1 .” (fr:1174) [British Museum, Department of Manuscripts, Catalogue of the Harleian Manuscripts (Londra, 1808), I, 101]. Il curatore dichiara che l’intento primario è stato “to prov i de for th e Engl ish- sp eaking r e ade r a s clear and flue nt a v e r s ion of th is wo r k a s po s s ibl e” (fr:1175) [fornire al lettore di lingua inglese una versione dell’opera quanto più chiara e scorrevole possibile]. A tal fine, punteggiatura e disposizione sono state scelte con questo obiettivo e, poiché esiste un testo latino per il confronto, “it has al s o s e emed pe rmis s ibl e to ma ke occa s ional departur e s f rom a s tyl e that i s fr e que ntl y ove rcumb rous to the mode r n taste” (fr:1176) [è sembrato lecito compiere occasionali scostamenti da uno stile che è di frequente eccessivamente macchinoso per il gusto moderno].

La traduzione dei termini tecnici ha presentato difficoltà particolari, adottando come unica politica generale quella di “att empti ng to gain as high a degr e e of inte l li- gib i l ity a s p o s s ib le” (fr:1177) [cercare di ottenere il più alto grado possibile di intelligibilità]. In mancanza di equivalenti inglesi per i termini matematici latini, la traduzione del Capitolo I ha dovuto ricorrere a “ne w a nd , it i s fea r e d , ra the r b a rba r o u s c o i na g e s” (fr:1178) [nuovi e, si teme, alquanto barbari conii]. Tuttavia, poiché quel primo capitolo è in gran parte dedicato alla loro definizione, il lettore non dovrebbe incontrare difficoltà particolari (cfr. fr:1179). Persino l’uso del termine “proporzione”, ad esempio, “is no longe r mi s l e a din g , if on e pa y s c l o s e atte nti o n t o th e ma nne r in whi c h it i s de fine d” (fr:1180) [non è più fuorviante se si presta attenzione al modo in cui è definito]. Altri termini, invece, hanno posto maggiori problemi.

Il termine “Mob ile” è stato considerato sufficientemente corrente da rimanere non tradotto o da essere reso come “the m o v e d” o “the m o v e d b o dy” (fr:1182) [“il mosso” o “il corpo mosso”]. “Ve l oc i ta s” è stato tradotto con “s p e e d” piuttosto che “ve loc ity” per evitare l’inferenza erronea che sia coinvolta una quantità vettoriale; “P o t e n tia” con “powe r” anziché “fo r c e”, poiché “is c o nc e i ve d mo s t funda me nta l l y a s a c apa c it y to do wo r k” (fr:1183) [è concepita nel modo più fondamentale come una capacità di compiere lavoro]. Rimangono comunque ambiguità rilevanti: la distinzione sviluppata nel De proportionibus tra velocità totale e istantanea ne è un esempio (cfr. fr:1184). Nonostante ciò, questi termini sono parsi i migliori disponibili e il lettore attento non dovrebbe incontrare nel comprenderli difficoltà maggiori di quante ne incontrerebbe con gli stessi termini latini (cfr. fr:1185). Per la verifica di altre opere citate nel testo, il curatore rimanda all’apparato critico dell’edizione latina (cfr. fr:1186).

Il testo latino del proemio e la conseguente traduzione inglese chiariscono scopo e architettura dell’opera. Il proemio si apre con la premessa che “Omne m motum s uc c e s s i vum a l te r i in v e loc ita te p r o po r ti o na r i c onti n gi t” (fr:1187) [Ogni moto successivo è proporzionabile a un altro rispetto alla velocità], quindi la filosofia naturale, che studia il moto, non deve ignorare la proporzione dei moti e delle loro velocità. Poiché la conoscenza di tale proporzione è “ne c e s s a r ia e t m ul t um diffi c il i s” (fr:1188) [necessaria e molto difficile] e non è mai stata esposta compiutamente in alcuna parte della filosofia, Bradwardine ha composto l’opera. Richiamando l’autorità di Boezio – “Qui s qu i s s c i e nti a s ma the mati c al e s pra e t e r m i s e rit , c on s tat e um omne m philo s o phiae pe rd idi s s e d o c tr ina m” (fr:1189) [Chiunque trascuri le scienze matematiche, è certo che perde ogni dottrina filosofica] – l’autore premette gli elementi matematici necessari per facilitare l’apprendimento.

L’opera è divisa in quattro capitoli (cfr. fr:1190-1202). Il primo capitolo espone le nozioni matematiche necessarie, tripartito in: definizioni e proprietà della proporzione; determinazione della proporzionalità; aggiunta di alcune supposizioni da cui si dimostrano conclusioni matematiche. Il secondo capitolo discute “quattu o r opinione s” (fr:1195) [quattro opinioni o sette] sorte intorno alla proporzione delle velocità nei moti. Il terzo capitolo manifesta la vera dottrina sulla proporzione delle velocità in relazione alle potenze dei moventi e dei motori. Il quarto tratta della proporzione delle velocità in rapporto alle quantità dei mobili e degli spazi percorsi, scendendo in particolare al moto circolare, e svelandovi “qua s da m la te ntia s” (fr:1202) [certi aspetti nascosti] riguardo alle proporzioni degli elementi. La traduzione inglese del proemio ribadisce: “Sin c e e a c h suc c e s s ive motion i s proportionable to another with r e spect to spe ed , natur al philo s ophy , which studie s motion , ought not to ignore the pr oportion of motion s and the ir spe ed s” (fr:1204) [Poiché ogni moto successivo è proporzionabile a un altro rispetto alla velocità, la filosofia naturale, che studia il moto, non deve ignorare la proporzione dei moti e delle loro velocità].

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13 La dottrina medievale delle proporzioni: senso, razionalità e classificazione infinita

Il capitolo iniziale del Tractatus Proportionum traccia una sistematica anatomìa dei rapporti quantitativi, ancorata alla distinzione tra senso generale e senso stretto, tra grandezze commensurabili e incommensurabili, fino a dispiegare una tassonomia delle proporzioni di disuguaglianza che si ramifica in infinite specie generate per composizione di multipli, superparticolari e superpartienti.

Il testo, presentato in edizione bilingue latino-inglese, si apre fissando il perimetro della nozione di proporzione. Si avverte subito che «Every proportion is to be taken either in the general or in the strict sense» (fr:1238) [Ogni proporzione va intesa o in senso generale o in senso stretto]. Nel senso generale essa «is found to exist between all things capable of being termed equal, greater, and lesser or similar, greater, and lesser» (fr:1239) [si riscontra tra tutte le cose che possono essere definite uguali, maggiori e minori o simili, maggiori e minori]; è, in sostanza, una relazione comparativa che si lascia definire come «the relation of one thing to another, with respect to that in which they are compared» (fr:1240) [la relazione di una cosa con un’altra rispetto a ciò in cui vengono paragonate]. L’accezione stretta, invece, circoscrive il campo alle quantità della medesima specie e costituisce il dominio proprio dell’aritmetica.

Il discrimine più caratterizzante, tuttavia, è quello tra proporzione razionale e irrazionale, che poggia sulla nozione di misura comune. Le quantità comunicanti o commensurabili sono quelle per cui «est una mensura communis, illarum quamlibet praecise mensurans: sicut linea bipedalis et linea tripedalis, quarum utramque linea pedalis praecise mensurat» (fr:1227) [esiste una misura comune che misura ciascuna di esse esattamente: come una linea di due piedi e una linea di tre piedi, ciascuna delle quali è misurata esattamente dalla linea di un piede]. Al contrario, le quantità incommensurabili o irrazionali sono «quibus non est aliqua mensura communis, quamlibet illarum praecise mensurans: cuiusmodi sunt diameter et costa quadrati» (fr:1228) [quelle per cui non esiste una misura comune che le misuri esattamente: di tal genere sono il diametro e il lato del quadrato]. Ecco dunque la celebre coppia geometrica del lato e della diagonale, già paradigma classico di incommensurabilità.

Da questo fondamento deriva la collocazione delle due proporzioni rispetto ai numeri e alle discipline matematiche: la proporzione razionale «reperitur in numeris et aliis quantitatibus quibuscumque» (fr:1229) [si trova nei numeri e in ogni altra quantità], mentre quella irrazionale «non in numeris, sed in omnibus aliis quantitatibus, potest esse» (fr:1229) [non può esistere nei numeri, ma può esistere in tutte le altre quantità]. Di conseguenza la proporzione razionale appartiene all’aritmetica e alle altre matematiche; quella irrazionale non è affare dell’aritmetica ma di tutte le altre branche (fr:1230). Il trattato esemplifica le proporzioni irrazionali con la radice quadrata del rapporto due a uno – la proporzione della diagonale al lato del quadrato – e con la radice quadrata del rapporto nove a otto, «which constitutes a musical half-tone» (fr:1242) [che costituisce un semitono musicale], mostrando così l’intreccio tra geometria e teoria musicale.

Entrando nel territorio dell’aritmetico, la proporzione propriamente detta viene bipartita in proporzione di uguaglianza e proporzione di disuguaglianza (fr:1231). La prima è «duarum quantitatum aequalium adinvicem habitudo» (fr:1232) [la relazione reciproca tra due quantità uguali]; la seconda, «duarum quantitatum inaequalium adinvicem habitudo» (fr:1233) [la relazione reciproca tra due quantità disuguali], si divide ulteriormente in maggiore disuguaglianza (relazione di una quantità maggiore a una minore) e minore disuguaglianza (relazione inversa). La specie della maggiore disuguaglianza – quella che il testo sviluppa analiticamente – possiede cinque forme (fr:1236): tre semplici (multipla, superparticolare, superpartiente) e due composte dalla prima assieme alle altre (multipla superparticolare e multipla superpartiente) (fr:1237, 1238).

La proporzione multipla è definita come «habitudo quantitatis maioris ad minorem, illam multotiens continentis» (fr:1252) [relazione di una quantità maggiore a una minore, quando la maggiore contiene quella minore un numero di volte]. Essa si suddivide all’infinito: se la maggiore contiene la minore due volte si ha la proporzione dupla, se tre volte tripla, e così via indefinitamente (fr:1254).

La proporzione superparticolare è invece la relazione in cui la quantità maggiore contiene la minore una volta e una sua parte aliquota. La parte aliquota – spiega il testo – è quella che, presa un certo numero di volte, ricostituisce esattamente l’intero; la parte non aliquota, come il due rispetto al cinque, non gode di questa proprietà (fr:1256‑1257). Anche questa proporzione dà luogo a infinite specie: se la maggiore contiene la minore più la sua metà si parla di sesquialtera o hemiolia (come 3 a 2), se più la terza parte di sesquiterzia (4 a 3), e così via «in infinitum, species producuntur» (fr:1260).

La proporzione superpartiente coinvolge la maggiore che contiene la minore una volta più più parti aliquote (non formanti un’unica parte aliquota). La sua ramificazione è triplice: varia secondo il numero delle parti (ad esempio due parti dà il superbipartiente), secondo la denominazione di quelle parti (terze, quarte, quinte…), e infine dalla mescolanza dei due criteri. Così se la maggiore contiene la minore una volta più due sue parti che sono terze dell’intero, si ottiene la proporzione superbipartiens tertias (5 a 3); se sono quinte, superbipartiens quintas (7 a 5); se contiene tre parti che sono quarte, si ha supertripartiens quartas (7 a 4) (fr:1264‑1270). Il processo non ha termine, e dalla combinazione di queste specie con quelle semplici si generano infinite altre forme come la multipla superparticolare e la multipla superpartiente, entrambe articolate in una infinità di suddivisioni basate sulla molteplicità e sulla superparticolarità/superpartienza (fr:1272‑1274).

Dal punto di vista storico, questo capitolo costituisce una nitida testimonianza dell’insegnamento matematico del tardo Medioevo, radicato nella tradizione boeziana e nella riflessione euclidea sulla commensurabilità. La minuziosa classificazione, condotta con strumenti logico‑combinatori, non risponde solo a un ideale enciclopedico: essa fornì il vocabolario e la cornice concettuale che saranno impiegati, di lì a poco, nelle analisi delle velocità e dei moti (si pensi alla legge del moto di Bradwardine) e nella teorica musicale. L’insistenza sull’infinità delle specie, generata dalla variazione del numero e della natura delle parti, rivela inoltre una tipica tensione medievale verso la padronanza razionale dell’infinito potenziale, già visibile nelle discussioni sulla divisione dei continui. La compresenza, infine, di esempi tratti dalla geometria del quadrato e dall’intervallo musicale del semitono mostra la permeabilità tra le discipline del quadrivio, in cui una medesima struttura proporzionale poteva illuminare tanto lo spazio quanto il suono.

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14 Le medietà e la proporzionalità nei trattati medievali: aritmetica, geometrica, armonica

L’estratto definisce le tre principali specie di proporzionalità – aritmetica, geometrica e armonica – distinguendo continuità e discontinuità, e fondandosi sull’autorità di Boezio, Euclide e Aḥmad ibn Yūsuf.

Il testo si apre dichiarando la necessità di tralasciare sette delle dieci classi di proporzionalità per concentrarsi sulle tre primarie. La proporzionalità, o medietà, non possiede una definizione generale a causa della sua molteplicità, ma è suddivisa in dieci modi, come già attestato nel secondo libro dell’Aritmetica di Boezio. “Ideo septem residuis praetermissis , tria prima membra remanent declaranda” – (fr:1348) [Perciò, tralasciate le rimanenti sette, restano da spiegare soltanto le prime tre classi]. Le tre specie sono indicate con i nomi di proporzionalità aritmetica, proporzionalità geometrica e proporzionalità armonica: “Quorum primum Proportionalitas seu medietas arithmetica appellatur ; secundum proportionalitas seu medietas geometrica appellatur ; tertium proportionalitas sive medietas harmonica nominatur” – (fr:1349) [La prima è chiamata proporzionalità o medietà aritmetica; la seconda proporzionalità o medietà geometrica; la terza proporzionalità o medietà armonica].

La proporzionalità aritmetica consiste nell’uguaglianza delle differenze: “Prima est aequalitas differentiarum : scilicet , quando quarumlibet duarum quantitatum comparatarum adinvicem differentiae sunt aequales” – (fr:1350) [La prima è l’uguaglianza delle differenze, vale a dire quando le differenze di due quantità qualsiasi, confrontate fra loro, sono uguali]. Il testo offre l’esempio della terna tre, due, uno, dove le differenze (3-2 e 2-1) sono entrambe uno, e aggiunge che tale proprietà rientra nel dominio dell’aritmetica: “Et hoc arithmeticis pertinet” – (fr:1351).

La proporzionalità geometrica riguarda invece la similitudine o uguaglianza dei rapporti, secondo la definizione del V libro degli Elementi di Euclide: “Secunda autem quae geometricas speculationes concernit , quinto Elementorum Euclidis isto modo definitur : ’ Proportionalitas est similitudo proportionum’” – (fr:1352) [La seconda, che attiene alle speculazioni geometriche, è definita così nel quinto libro degli Elementi di Euclide: “La proporzionalità è la somiglianza delle proporzioni”]. L’esempio riportato è quattro, due, uno, dove il rapporto 4:2 è uguale a 2:1.

La definizione della proporzionalità armonica è data su tre termini, richiedendo l’uguaglianza o somiglianza tra il rapporto degli estremi e il rapporto delle differenze. “Tertia est , in tribus terminis , aequalitas seu similitudo proportionum extremorum et differentiarum ; quando , scilicet , in tribus terminis proportio primi ad ultimum est similis vel aequalis proportioni differentiae primi et medii ad differentiam medii et extremi” – (fr:1353) [La terza, in tre termini, è l’uguaglianza o somiglianza del rapporto degli estremi e delle differenze; quando cioè, in tre termini, il rapporto del primo all’ultimo è simile o uguale al rapporto della differenza fra primo e medio e della differenza fra medio ed estremo]. Con l’esempio sei, quattro, tre, si mostra che 6:3 è doppio e che la differenza 6-4 = 2 sta alla differenza 4-3 = 1 anch’essa in rapporto doppio: “Senarii enim ad ternarium est dupla proportio ; et binarii , quae est differentia sex et quattuor, ad unitatem , quae est differentia quattuor et tria , etiam dupla proportio reperitur” – (fr:1354).

Queste medietà differiscono anche per il numero di termini: le prime due richiedono almeno tre termini e non hanno un limite massimo, mentre la terza è sempre e solo costituita da tre termini. “Et differunt istae medietates abinvicem , quia duae primae in tribus terminis reperiuntur ad minus , sed nullus est maximus numerus terminorum in quo existunt . Tertia autem tantum in tribus terminis reperitur” – (fr:1355-1356) [E queste medietà differiscono fra loro perché le prime due si trovano in almeno tre termini, ma non esiste un numero massimo di termini in cui sussistano; la terza invece si trova soltanto in tre termini].

Un’altra differenza riguarda la possibilità di essere continue o discontinue. Le prime due possono presentarsi in entrambe le forme, mentre la terza è sempre continua: “In alio etiam differunt , quia primae duae possunt esse continuae et discontinuae , tertia autem semper continua reperitur” – (fr:1357). La continuità è esplicitata per ciascuna delle due prime medietà.

La medietà aritmetica continua è l’uguaglianza delle differenze collegata da un termine medio comune o da più termini medi comuni. L’esempio con un termine medio è come tre sta a due, così due sta a uno; con più termini come quattro sta a tre, così tre sta a due e due sta a uno. “Medietas autem arithmetica continua est aequalitas differentiarum per communem terminum medium , vel per communes terminos medias , copulata ; per unum terminum , ut sic dicendo : sicut tria ad duo , ita duo ad unum ; per plures sic : sicut quattuor ad tria , ita tria ad duo , et duo ad unum” – (fr:1359). La medietà aritmetica discontinua è invece l’uguaglianza delle differenze non unita da alcun termine comune: “Discontinua est aequalitas differentiarum per nullum terminum communem , nec communes terminos copulata : ut dicendo sicut sex ad quattuor, ita tria ad unum” – (fr:1360).

Anche la medietà geometrica si sdoppia. Quella continua è la somiglianza dei rapporti unita da un termine medio comune (come quattro sta a due come due sta a uno) o da più termini medi (otto sta a quattro come quattro sta a due e due sta a uno). “Geometrica vero medietas continua est similitudo proportionum per communem terminum medium , vel per communes terminos medias , copulata: per unum, ut sicut quattuor ad duo , ita duo ad unum : per plures, ut sicut octo ad quattuor, ita quattuor ad duo , et duo ad unum” – (fr:1361, 1376). La geometrica discontinua è invece la somiglianza dei rapporti senza alcun termine comune: “Discontinua autem est similitudo proportionum per nullum terminum communem nec aliquos terminos communes copulata : ut sicut sex ad tria , ita duo ad unum” – (fr:1377).

Il testo precisa che l’uso dei termini “continuo” e “discontinuo” per le medietà è derivato per traslato dalla quantità continua (le cui parti sono unite a un termine comune) e dalla quantità discreta (le cui parti non sono unite a un termine comune), come appare chiaro da quanto detto in precedenza. “Ista autem dicuntur de istis medietatibus non primo nec proprie, sed secundum transumptionem a quantitate continua (cuius partes ad communem terminum copulantur) et discreta (cuius partes ad nullum communem terminum coniunguntur)” – (fr:1378).

Un’ulteriore differenza riguarda il numero minimo di termini: la medietà continua può esistere con tre termini o più, mentre quella discontinua richiede almeno quattro termini. “Et haec etiam differunt , quia medietas continua in tribus terminis et quotlibet pluribus reperitur, discontinua vero in quattuor terminis ad minus et in quotlibet pluribus reperitur” – (fr:1379).

Una precisazione notevole è attribuita ad Aḥmad ibn Yūsuf (citato come Ametum filium Iosephi), nella sua epistola De Proportione et Proportionalitate. Secondo questo autore, nella proporzionalità continua tutti i termini devono appartenere allo stesso genere, mentre in quella discontinua o disgiunta alcuni termini possono essere di generi diversi. “Aliter autem et notabiliter differunt secundum Ametum filium Iosephi in epistula sua , De Proportione et Proportionalitate, in hoc quod in proportionalitate continua oportet omnes terminos in genere convenire, sed in discontinua sive disiuncta possunt aliqui termini in genere diversari” – (fr:1380). L’esempio musicale e fisico chiarisce il concetto: come una corda sta a un’altra corda, così il suono sta al suono; e come un motore sta a un motore, così la velocità di un moto sta alla velocità dell’altro moto. “Verbi gratia , sicut chorda ad chordam ita sonus ad sonum ; et sicut movens ad movens , ita velocitas unius motus ad velocitatem alterius motus” – (fr:1381).

Poiché i “proporzionali” sono detti in relazione alla proporzionalità, essi possono essere definiti in modo analogo (ma non univoco) mediante una definizione generale: “Proportionalia sunt quae in aliqua proportione conveniunt” – (fr:1382) [Sono proporzionali quelle grandezze che concordano in una qualche proporzione]. Poiché la proporzionalità si divide in dieci modi, e altrettanto fanno i proporzionali, le prime tre classi vengono così specificate:

• I proporzionali secondo la proporzionalità aritmetica sono quelli le cui differenze sono uguali: “proportionalia proportionalitate arithmetica sunt illa quorum differentiae sunt aequales” – (fr:1383).
• I proporzionali secondo la proporzionalità geometrica sono quelli le cui proporzioni sono uguali o simili, ovvero hanno una sola proporzione, come piace a Euclide: “Proportionalia autem proportionalitate geometrica sunt illa quorum proportiones sunt aequales vel similes, vel quorum est una proportio, ut placet Euclidi” – (fr:1384).
• I proporzionali secondo la proporzionalità armonica sono quelli in cui i rapporti degli estremi e delle differenze sono simili o uguali: “Proportionalia autem proportionalitate harmonica sunt illa quorum extremorum et differentiarum proportiones sunt similes seu aequales” – (fr:1385).

Da quanto esposto si evince anche che il ternario è il minimo numero di termini in cui si possa trovare proporzionalità, mentre non esiste un limite massimo. “Ex istis patet quod ternarius est paucissimus numerus terminorum in quibus proportionalitas reperitur, et quod nullus est maximus numerus terminorum in quibus existit” – (fr:1387).

Il testo introduce poi due specie particolari della proporzionalità geometrica. La prima è la proporzionalità “permutativa” (permutatim proportionalia), nella quale l’antecedente di una proporzione sta all’antecedente dell’altra come il conseguente di quella sta al conseguente dell’altra. L’esempio è la sequenza otto, quattro, due, uno, dove 8:4 = 2:1 e 8:2 = 4:1. “Permutatim Proportionalia Proportionalitate geometrica sunt illa quorum proportionalium proportionalitate geometrica , sicut antecedens unius proportionis ad antecedens alterius proportionis , sic consequens illius ad consequens alterius” – (fr:1388). La seconda è la proporzionalità “contraria” (econtrario proportionalia), in cui il conseguente di una proporzione sta al proprio antecedente come il conseguente dell’altra sta al proprio antecedente. Nell’esempio 8:4 = 2:1, si ha inversamente 4:8 = 1:2. “Econtrario Proportionalia Proportionalitate geometrica sunt illa quorum proportionalium proportionalitate geometrica , sicut consequens unius proportionis ad antecedens illius , ita reliquum consequens ad proprium antecedens” – (fr:1390).

Infine, vengono distinte le proporzionalità geometriche disgiunta (o semplice) e congiunta. La disgiunta è l’uguaglianza dei rapporti di ciascun antecedente singolarmente preso rispetto al proprio conseguente, come otto sta a quattro come due sta a uno. “Disiuncta sive simplex Proportionalitas geometrica est quorumlibet antecedentium separatim ad sua consequentia proportionum aequalitas; ut sicut octo ad quattuor, ita duo ad unum” – (fr:1403). La congiunta considera invece il rapporto di un antecedente con il proprio conseguente posto insieme, paragonato allo stesso rapporto per l’altra coppia: per esempio, otto e quattro stanno a quattro come due e uno stanno a uno. “Coniuncta Proportionalitas geometrica est quorumlibet antecedentium cum suis consequentibus, in disiuncta sive simplici proportionalitate, unius antecedentis illorum cum suo consequente ad idem consequens, et cuiuslibet alterius antecedentis illorum cum suo consequente ad proprium consequens, similitudo proportionum; ut sic ut octo et quattuor, ad quattuor, ita duo et unum ad unum” – (fr:1404).

Il testo, intessuto di latino scolastico e arricchito da riferimenti a Boezio, Euclide e Aḥmad ibn Yūsuf, testimonia la trasmissione medievale della dottrina classica delle proporzioni, con le sue distinzioni sottili e la sua capacità di applicarsi sia a grandezze geometriche sia a fenomeni fisici e musicali, come il rapporto tra corde e suoni.

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[15.1/1-34-1433|1464]

15 L’albero delle proporzioni: dal Tractatus Proportionum una scienza della quantità relativa

Il brano proviene da un trattato matematico medievale dedicato alla teoria delle proporzioni, probabilmente il Tractatus proportionum di Thomas Bradwardine. L’impianto espositivo è quello di un’opera assiomatico-deduttiva: si enunciano nove suppositiones (assiomi) e tre conclusiones (teoremi), ciascuna accompagnata da una dimostrazione ostensiva. La lingua oscilla tra latino e inglese, testimoniando una circolazione bilingue del testo e la presenza di glosse o traduzioni.

Il nucleo del trattato è la proporzione intesa come entità misurabile attraverso la sua denominatio (denominazione). Già il terzo assioma stabilisce la regola di composizione:

“The th ird i s that, g i ve n two or more inte rm e diate term s p l a c e d b e twe e n two e xtre m e s, the pro portion o f the fir s t to the la s t will b e th e pro du c t o f th e prop orti on s o f th e fir s t to th e s e c ond, th e s e c o n d to the th ird, the third to th e fo urth, and s o o n, to th e la s t te rm .” – (fr:1431) [Il terzo assioma è che, dati due o più termini intermedi posti tra due estremi, la proporzione del primo all’ultimo è il prodotto delle proporzioni del primo al secondo, del secondo al terzo, e così via fino all’ultimo termine].

Il quarto assioma tratta l’uguaglianza:

“The fo urth is th at, i f two equal qua ntiti e s are c o mpare d to a third, the y w i l l b e ar the s a m e pro porti o n to it and it to th e m .” – (fr:1433) [Il quarto è che, se due quantità uguali sono confrontate con una terza, avranno la stessa proporzione verso di essa ed essa verso di loro].

I due assiomi sono esplicitamente richiamati come Axioma 2 e Axioma 3 del De Proportionibus – (fr:1432). Seguono cinque ulteriori supposizioni che corrispondono ad altrettanti assiomi del Libro V di Euclide. La quinta governa la disuguaglianza:

“Quinta est ista: Si duae quantitates inaequales ad unam quantitatem proportionentur, maior quidem maiorem, minor vero minorem obtinebit proportionem; illius vero ad ambas, ad minorem quidem proportio maior, ad maiorem vero minor erit.” – (fr:1434) [La quinta è questa: se due quantità disuguali sono rapportate a una stessa quantità, la maggiore avrà una proporzione maggiore e la minore una minore; e la proporzione di quella quantità alle due sarà maggiore verso la minore e minore verso la maggiore].

La sesta è un principio di unicità:

“Sexta est ista: Si fuerit aliquarum quantitatum ad unam quantitatem proportio una, ipsas esse aequales, si vero unius ad eas una est proportio, aequales esse necesse est.” – (fr:1435) [La sesta è questa: se più quantità hanno la stessa proporzione verso una quantità, esse sono necessariamente uguali; e se una quantità ha la stessa proporzione verso di esse, devono anch’esse essere uguali].

La settima enuncia la proprietà permutativa:

“Septima est ista: Si fuerint quattuor quantitates proportionales, permutatim proportionales erunt.” – (fr:1436) [La settima è che se quattro quantità sono proporzionali, saranno proporzionali anche permutando i medi].

L’ottava riguarda la somma degli estremi:

“Octava est ista: Si fuerint quattuor quantitates proportionales et fuerit prima illarum maxima et ultima minima, primam et ultimam pariter acceptas ceteris duabus maiores esse necesse comprobantur.” – (fr:1437) [L’ottava è che se quattro quantità sono proporzionali e la prima è la massima e l’ultima la minima, la somma della prima e dell’ultima risulta necessariamente maggiore della somma delle altre due].

Il testo identifica queste cinque ultime supposizioni come gli assiomi 7, 8, 9, 16 e l’ultimo del Libro V di Euclide – (fr:1438) e la stessa identificazione ricorre in inglese: “Of the s e five latte r axiom s , the fi r s t i s Axiom 7 o f B oo k V o f Euc li d , the s e c ond i s Axiom 8 , the thi r d i s Axiom 9 , the fou r th i s Axiom 1 6 , and the fifth is the la s t axiom o f the b ook.” – (fr:1451).

Su queste basi si innestano tre teoremi che introducono le potenze della proporzione. Il Teorema I riguarda la duplicazione esatta:

“Prima conclusio: Si fuerit proportio maioris inaequalitatis primi ad secundum ut secundi ad tertium, erit proportio primi ad tertium praecise dupla ad proportionem primi ad secundum et secundi ad tertium.” – (fr:1439) [Prima conclusione: se la proporzione di maggiore disuguaglianza del primo al secondo è uguale a quella del secondo al terzo, la proporzione del primo al terzo sarà esattamente il doppio – quadrato – della proporzione del primo al secondo e del secondo al terzo].

La dimostrazione poggia sull’uguaglianza delle denominationes: “Eaedem vel similes sunt denominationes proportionum primi ad secundum et secundi ad tertium; igitur, per primam suppositionem, istae sunt aequales et, per secundam suppositionem, proportio primi ad tertium componitur praecise ex illis.” – (fr:1440) [Uguali o simili sono le denominazioni delle proporzioni del primo al secondo e del secondo al terzo; dunque, per il primo assioma, queste sono uguali e, per il secondo assioma, la proporzione del primo al terzo è esattamente composta da esse]. E quindi: “Igitur, per definitionem dupli, ista est praecise dupla ad utramque illarum.” – (fr:1441) [Pertanto, per la definizione di ‘doppio’, questa è esattamente il quadrato di entrambe].

Il Teorema II estende il principio alle potenze superiori:

“Si fuerint quattuor termini continue proportionales, proportio primi ad ultimum, cuiuslibet proportionis a licuiu s illorum terminorum ad proximum sequentem est tripla.” – (fr:1442) [Se quattro termini sono continuamente proporzionali, la proporzione del primo all’ultimo è il triplo – cubo – della proporzione di uno qualsiasi di essi al successivo]. Per cinque termini sarà il quadruplo, e così all’infinito, “ita quod semper denominatio proportionis sit unitate minor numero terminorum.” – (fr:1443) [così che la denominazione della proporzione sia sempre inferiore di un’unità rispetto al numero dei termini]. La dimostrazione richiama il primo e il terzo assioma insieme alle definizioni di “triplo”, “quadruplo” e così via – (fr:1444).

Il Teorema III introduce una disuguaglianza: se il primo termine è più che doppio del secondo e il secondo è esattamente doppio del terzo, la proporzione del primo al terzo è minore del quadrato della proporzione del primo al secondo. La costruzione è geometrico-letterale:

“Sit enim A primum maius quam duplum secundi, quod sit B, et sit B aequaliter duplum tertii, quod sit C, et sit B ad D sicut A ad B.” – (fr:1446) [Sia A un primo termine maggiore del doppio del secondo, che è B, e B sia esattamente il doppio del terzo, C, e sia B a D come A a B]. Per gli assiomi quarto e quinto, D non è né uguale né maggiore di C, dunque D è minore di C – (fr:1447). Ne segue che la proporzione A:D è maggiore di A:C, mentre per il Teorema I A:D è il quadrato di A:B, perciò la proporzione A:C è minore del quadrato. Lo stesso risultato è dimostrabile alternativamente inserendo C come medio tra gli estremi A e D e applicando la composizione delle proporzioni: “Tunc, per secundam suppositionem, proportio A ad D componitur ex proportionibus A ad C et C ad D.” – (fr:1464) [Allora, per il secondo assioma, la proporzione A:D è composta dalle proporzioni A:C e C:D], il che conduce alla medesima conclusione.

Dietro la veste tecnica di questo apparato assiomatico si cela un momento cruciale della matematica trecentesca: la proporzione è trattata non solo come relazione statica, ma come una grandezza quantificabile, dotata di una denominatio che ne consente la moltiplicazione e l’elevamento a potenza. Tale concezione, propria della scuola dei Calculatores di Oxford, fornirà gli strumenti per esprimere in forma quantitativa leggi fisiche – prima fra tutte la regola di Bradwardine sul rapporto tra velocità, potenza e resistenza – segnando un passaggio decisivo verso la matematizzazione della natura.

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[16.1/1-38-1501|1537]

16 La Dimostrazione dell’Incommensurabilità tra Proporzioni di Uguaglianza e Disuguaglianza

Ogni tentativo di assimilare una proporzione di disuguaglianza a una di uguaglianza conduce a contraddizioni logiche e assurdi matematici.

Il frammento costituisce una serrata dimostrazione per assurdo volta a provare l’impossibilità di stabilire una qualsiasi relazione di uguaglianza o di ordine tra una proporzione di uguaglianza e una proporzione di disuguaglianza maggiore. L’argomentazione si regge su un apparato di supposizioni e conclusioni preliminari, citate come fondamento dei passaggi logici.

Il principio cardine è un assioma di congruenza, indicato come sesta supposizione. La sua applicazione è immediata: se si assume per ipotesi che una proporzione di disuguaglianza maggiore e una di uguaglianza siano uguali, e si scopre che entrambe sono uguali a una medesima terza proporzione, allora ne deriverebbe l’assurda uguaglianza tra termini incommensurabili. Come afferma il testo, “Igitur, per sextam suppositionem, binarius et unitas sunt aequales.” - (fr:1500) [Pertanto, per la sesta supposizione, il due e l’unità sono uguali.], oppure, nella traduzione inglese, “Therefore (by Axiom 6) two equals one.” - (fr:1525) [Pertanto (per l’Assioma 6) due è uguale a uno.].

Il metodo espositivo procede per casi, negando ogni possibile relazione tra i due tipi di proporzioni.

L’impossibilità dell’uguaglianza. Si esplora l’ipotesi che una proporzione di disuguaglianza maggiore possa essere uguale a una proporzione di uguaglianza. L’autore costruisce un caso concreto con un esperimento mentale di manipolazione dei termini: “Detur igitur quod proportio aequalitatis sit dupla proportionis duplae, et capiatur proportio maioris inaequalitatis dupla ad proportionem duplam; quod fieri potest si ad maiorem duorum terminorum, quorum unus est duplus ad alium, accipiatur terminus duplus: sicut si ad binarium, qui est duplus unitati, capiatur terminus duplus, scilicet quaternarius.” - (fr:1504) [Si conceda dunque che la proporzione di uguaglianza sia doppia della proporzione dupla, e si prenda una proporzione di disuguaglianza maggiore che sia doppia rispetto alla proporzione dupla; ciò può essere fatto se per il maggiore di due termini, di cui uno è doppio dell’altro, si assume un termine doppio: come se rispetto al due, che è doppio dell’unità, si prenda un termine doppio, cioè il quattro.].

Procedendo per questa via e appellandosi a teoremi già dimostrati, si giunge a un’equivalenza impossibile. La proporzione del quattro all’uno risulta essere sia la proporzione quadrupla (doppia della dupla) sia, per ipotesi e per l’assioma, uguale alla proporzione di uguaglianza. La conclusione è lapidaria: “et per eandem, quadruplum alicuius et aequale eidem essent aequalia.” - (fr:1508) [e per la stessa, il quadruplo di qualcosa e ciò che è uguale a quel qualcosa sarebbero uguali.]. Nella versione inglese, il paradosso numerico è esplicitato con chiarezza: “and (by the same axiom) a quantity four times as great as another is equal to one that is equal to that other.” - (fr:1532) [e (per lo stesso assioma) una quantità quattro volte più grande di un’altra è uguale a una che è uguale a quell’altra.].

Da questo nucleo centrale, la prima conclusione viene generalizzata: “Now, since a similar argument can be constructed with respect to any other proportion of greater inequality, therefore no proportion of greater inequality is greater than a proportion of equality.” - (fr:1526) [Ora, poiché un argomento simile può essere costruito rispetto a qualsiasi altra proporzione di disuguaglianza maggiore, ne consegue che nessuna proporzione di disuguaglianza maggiore è maggiore di una proporzione di uguaglianza.].

L’impossibilità di una proporzione minore. Si nega anche la possibilità che la proporzione di disuguaglianza maggiore sia minore di quella di uguaglianza. L’argomento si basa sul comportamento dei multipli: se fosse minore, un suo moltiplicato dovrebbe eguagliare o superare la proporzione di uguaglianza. Ma, come osserva il testo, ciò è strutturalmente impossibile: “quod est falsum, quia quotienscumque proportio maioris inaequalitatis sumatur, semper maiorem proportionem inaequalitatis maioris constituit” - (fr:1510) [il che è falso, perché ogni volta che si somma una proporzione di disuguaglianza maggiore, si costituisce sempre una proporzione di disuguaglianza maggiore.]. La traduzione inglese ribadisce il concetto: “This is false for the reason that, whatever multiple be chosen, it will always be a proportion of greater inequality (as is clear from Theorems I and II).” - (fr:1534) [Questo è falso per la ragione che, qualunque multiplo venga scelto, esso sarà sempre una proporzione di disuguaglianza maggiore (come è chiaro dai Teoremi I e II).].

Simmetricamente, si dimostra che neppure la proporzione di uguaglianza può essere minore. La ragione risiede nella natura stessa dell’uguaglianza, che iterata non muta la sua essenza: “sed omnia in aequali proportione aequalitatis integre perseverant.” - (fr:1511) [ma tutte permangono integralmente in uguale proporzione di uguaglianza.]. L’inglese è più esplicito: “for, however many times equals are added to equals, the proportion of the first pair to the last is no greater than the proportion of the first to the second. Instead, they all remain unchanged as equal proportions of equality.” - (fr:1536-1537) [infatti, per quante volte si aggiungano uguali a uguali, la proporzione del primo all’ultimo non è maggiore della proporzione del primo al secondo. Invece, rimangono tutte invariate come proporzioni uguali di uguaglianza.].

Il trattato non trascura di confutare possibili obiezioni. La prima, che inserendo un termine medio diverso si possa alterare il rapporto, viene liquidata mostrando come la proporzione composta risultante sia comunque una proporzione di uguaglianza, rispetto alla quale sia la dupla che la subdupla sono minori (fr:1516-1518). La seconda obiezione, che tenta di introdurre una gerarchia tramite il confronto con un termine maggiore o minore, si infrange contro la quinta supposizione, la quale stabilisce che un termine maggiore ha una proporzione maggiore rispetto a un termine dato di quanto non abbia un termine uguale (fr:1513-1515).

Il testo, nella sua densità logica, testimonia lo sforzo tardo-medievale di formalizzare con estremo rigore la teoria delle proporzioni, individuando una barriera ontologica e matematica invalicabile tra il dominio dell’uguaglianza e quello della disuguaglianza, che nessuna operazione di somma o composizione può colmare.

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[17.1/1-37-1540|1574]

17 La confutazione delle opinioni erronee sulle proporzioni nel Tractatus Proportionum

Il testo propone una discussione serrata intorno alla teoria delle proporzioni, fondata sugli Elementi di Euclide ma sviluppata in direzione di una fisica matematica del moto. Dopo aver stabilito alcuni teoremi preliminari, l’autore si rivolge contro le “opinioni erronee” relative al rapporto tra potenza motrice e velocità, preannunciando così il nucleo dinamico del trattato.

Una prima sezione è dedicata a un teorema che nega ogni confronto diretto tra proporzioni di disuguaglianza maggiore e minore, e alle obiezioni che esso solleva. L’enunciato recita che “nessuna proporzione di disuguaglianza maggiore è maggiore o minore di una proporzione di disuguaglianza minore” – (fr:1547) [traduzione da “Nulla proportio maioris inaequalitatis aliqua proportione minoris inaequalitatis est maior vel minor”]. La dimostrazione procede per impossibile: “la dimostrerai, come la precedente, per impossibile, e condurrai l’avversario a questo impossibile: che una qualche proporzione di disuguaglianza maggiore e una qualche proporzione di disuguaglianza minore sono uguali, e di conseguenza che un termine maggiore e uno minore di un altro sono tra loro uguali” – (fr:1548) [traduzione da “Istam, sicut proximam, per impossibile demonstrabis…”].

Il testo presenta subito alcune obiezioni a questa posizione, costruite a partire dagli assiomi euclidei. Un primo gruppo di obiezioni, riportato in inglese, fa leva su quantità disuguali (C maggiore di B, D minore di B) per mostrare che l’assioma 5 renderebbe invalido il teorema (fr:1551-1553). Una seconda obiezione utilizza l’assioma 2 e termini uguali: “Siano A e C uguali e ciascuno sia il doppio di B. Allora, prendendo A e C come estremi, si interponga un termine, B, che ha una certa proporzione con ciascuno di essi. Pertanto (per l’Assioma 2) la proporzione di A a C è il prodotto delle proporzioni di A a B e di B a C. Poiché la proporzione di A a C è una proporzione di uguaglianza, ne segue che tanto la proporzione di due a uno quanto quella di uno a due sono minori di una proporzione di uguaglianza” – (fr:1554-1557) [traduzione da “Let A and C be equals… both the proportions of two to one and one to two are less than a proportion of equality”]. Ancora, si considerano tre termini uguali A, B, C; per l’assioma 2 la proporzione di A a C è il quadrato di quella di A a B, giungendo ad affermare che “una proporzione di uguaglianza è doppia di un’altra” – (fr:1562) [traduzione da “one proportion of equality is twice another”]. La stessa obiezione è riformulata in latino citando il quinto assioma degli Elementi: “Lo stesso si può argomentare per il quinto assioma degli Elementi di Euclide, che dice: ‘Quando tre quantità sono continuamente proporzionali, la proporzione della prima alla terza è detta duplicata rispetto alla proporzione della prima alla seconda.’ Ma A, B, C sono tre quantità continuamente proporzionali” – (fr:1540) [traduzione da “Idem potest argui per quintam Elementorum Euclidis…”.]; “dunque questa è doppia di entrambe” – (fr:1539) [traduzione da “Igitur ista est dupla utriusque istarum”]; e “così una proporzione di uguaglianza è doppia di un’altra proporzione di uguaglianza” – (fr:1541) [traduzione da “igitur una aequalitatis proportio alia proportione aequalitatis est dupla”].

A queste obiezioni il trattato risponde precisando l’interpretazione corretta degli assiomi euclidei. Quanto alla prima, “Euclide intende il quinto assioma per quantità disuguali confrontate a una terza nello stesso genere di proporzione, in modo che entrambe siano confrontate a quella o in proporzione di disuguaglianza maggiore o in proporzione di disuguaglianza minore” – (fr:1542) [traduzione da “Euclides intelligit quintam suppositionem de quantitatibus inaequalibus comparatis ad tertiam eodem genere proportionis…”]. Quanto alla seconda, “il secondo assioma si intende solo per quegli estremi e quel medio in cui il primo è disuguale al terzo e il medio è disuguale a entrambi” – (fr:1543) [traduzione da “secunda suppositio intelligitur de talibus extremis et medio, quorum primum est inaequale tertio, medium quoque utroque”]; “con lo stesso criterio si risponde alla terza” – (fr:1544). Alla quarta obiezione si replica che “Euclide intendeva solo quantità proporzionali nella proporzionalità di disuguaglianza maggiore” – (fr:1545) [traduzione da “Euclides intelligit tantum de quantitatibus proportionalibus proportionalitate inaequalitatis maioris”]. Con queste precisazioni, “cessa ogni obiezione” – (fr:1546) [traduzione da “Et sic cessat omnis obiectio”]; “così si risolvono tutte le obiezioni” – (fr:1567) [traduzione da “This disposes of all the objections”]. Il teorema VIII può quindi essere enunciato e dimostrato nella versione inglese come “nessuna proporzione di disuguaglianza maggiore è maggiore o minore di una di disuguaglianza minore” – (fr:1568), dimostrazione che conduce l’avversario all’impossibile conclusione che “termini maggiori e minori di un terzo termine siano uguali tra loro” – (fr:1569).

Dopo aver dichiarato sufficienti questi preliminari matematici – “queste cose bastino come premesse matematiche” – (fr:1549) / “a titolo di preliminari matematici, quanto precede sarà sufficiente” – (fr:1569) – il trattato introduce il Capitulum Secundum, volto a confutare le opinioni erronee per far risplendere la verità. La prima opinione respinta sostiene che “la proporzione delle velocità nei moti segue l’eccesso della potenza del motore rispetto alla potenza della cosa mossa” – (fr:1572) [traduzione da “proportionem velocitatum in motibus sequi excessum potentiae motoris ad potentiam rei motae”]. Questa tesi, ricavata da Aristotele e Averroè, afferma in breve che “ogni moto è secondo l’eccesso della potenza del motore sulla cosa mossa” – (fr:1573, citando Averroè, “Omnis motus est secundum excessum potentiae motoris super rem motam”). L’autore preannuncia che tale opinione “potrà essere distrutta in molti modi” – (fr:1574), lasciando intendere che il resto del trattato offrirà una critica sistematica della dinamica aristotelica fondata sul solo eccesso di potenza.

Il significato storico del brano risiede nella testimonianza di un momento cruciale della scienza tardomedievale: l’applicazione del linguaggio delle proporzioni al problema del moto e la ricerca di una formulazione matematica alternativa a quella aristotelica. Attraverso la discussione minuziosa degli assiomi euclidei e la risposta alle obiezioni, il testo mostra il metodo scolastico della quaestio applicato a questioni di filosofia naturale, e prepara il terreno per una teoria della velocità che non dipenda linearmente dal rapporto tra potenza e resistenza, segnando così un passo verso la cinematica moderna.

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[18.1/1-95-1595|1686]

18 La critica delle teorie erronee del moto nel Tractatus proportionum

Un trattato medievale mostra, attraverso serrati argomenti aristotelici, geometrici e sperimentali, che la velocità non può dipendere dal mero eccesso di potenza sulla resistenza né dall’eccesso rapportato, ma solo dalla proporzione geometrica tra le due forze.

Il testo proposto è tratto dal celebre Tractatus proportionum (o Tractatus de proportionibus velocitatum in motibus), composto nella prima metà del Trecento, probabilmente da Thomas Bradwardine, figura di spicco dei Calculatores oxoniensi. La sezione in esame ha un impianto prettamente confutativo: passa in rassegna tre opinioni erronee circa il rapporto tra velocità, potenza motrice e resistenza, demolendole con argomenti che spaziano dall’autorità aristotelica alla dimostrazione geometrica e all’esperienza quotidiana. L’obiettivo è preparare il terreno alla tesi corretta, secondo cui la proportio velocitatum obbedisce alla proporzione di maggiore disuguaglianza che lega l’intera potenza motrice all’intera resistenza.

La trattazione si apre confutando la prima teoria, quella che faceva dipendere la velocità dall’eccedenza assoluta della potenza del motore su quella del mosso. L’autore osserva che già Aristotele, nel VII libro della Fisica, aveva dimostrato che «se due motori separatamente muovono due mobili per spazi uguali in tempi uguali, quegli stessi due motori congiuntamente muoveranno i due mobili uniti attraverso uno spazio uguale in un tempo uguale a quello precedente» – (fr:1595) [“Si duo motores divisim moveant duo mobilia per aequalia spatia in aequali tempore, illi duo motores coniunctim movebunt illa duo mobilia coniuncta per aequale spatium in aequali tempore cum priori”]. Tale proposizione non può reggersi su una semplice uguaglianza di eccessi (proporzionalità aritmetica), perché in quel caso il motore composto eccederebbe il mobile composto di un eccesso doppio rispetto a quello del motore semplice, il che condurrebbe a velocità differenti, contraddicendo Aristotele. Dunque non si può sostenere che «Aristotele e Averroè, nei passi citati, intendano per “proporzione” o “analogia” la proporzionalità aritmetica, ossia l’uguaglianza degli eccessi, come alcuni hanno affermato» – (fr:1592) [“Nee potest dici quod Aristoteles et Averroes intelligunt … per proportionem seu analogiam, proportionalitatem arithmeticam seu aequalitatem excessuum”]. Averroè medesimo, commentando lo stesso luogo, precisa che si tratta di una proporzione identica «nel senso in cui i geometri la impiegano universalmente nelle dimostrazioni» – (fr:1602) [“sicut universaliter demonstrant geometri”]. La tesi viene quindi dimostrata geometricamente: come il motore intero sta alla metà del motore, così il mobile intero sta alla metà del mobile; permutando, il motore intero sta al mobile intero come la metà del motore sta alla metà del mobile – (fr:1603-1604). Lo strumento matematico invocato è il primo teorema del V libro degli Elementi di Euclide, che consente di affermare che la proporzione rimane la stessa nonostante la disuguaglianza degli eccessi.

Seguono cinque argomenti ulteriori (quarto, quinto, sexto, septimo) che mostrano le assurdità cui condurrebbe la dipendenza della velocità dal valore assoluto dell’eccesso. Il quarto argomento (fr:1609) immagina un corpo misto dotato di resistenza intrinseca: se la velocità dipendesse dall’eccesso di potenza sulla resistenza, allora, scegliendo opportunamente un mezzo rarefatto, si potrebbe far sì che un secondo corpo C, meno potente, si muova in quel mezzo alla stessa velocità con cui A si muove nel vuoto; immerso nello stesso mezzo, A dovrebbe allora muoversi più velocemente di C – perché il suo eccesso è maggiore – e quindi muoversi più rapidamente nel mezzo che nel vuoto. L’assurdo è palese e contrasta con la tesi, esposta nel IV libro della Fisica, che per rarefazione del mezzo si può ottenere qualsiasi velocità desiderata.

Il quinto argomento (fr:1618, 1644-1645) è di carattere empirico: se un uomo robusto eccede la resistenza di qualsiasi peso più di quanto un ragazzo o una mosca eccedano la propria, allora l’uomo dovrebbe sempre muovere il proprio carico più velocemente della mosca o del fanciullo; «vediamo invece che una mosca, portando un piccolo oggetto, vola molto velocemente, un fanciullo muove piuttosto sveltamente un piccolo corpo, mentre un uomo robusto, spostando un grande mobile che a stento riesce a muovere, lo fa molto lentamente» – (fr:1644) [“Videmus enim quod musca portando aliquod modicum velociter multum volat, et puer aliquod modicum velociter satis movet, et homo fortis unum magnum mobile (quod vix potest movere) movet valde tarde”]. L’esperienza smentisce quindi la teoria dell’eccesso.

Gli argomenti sesto e settimo completano il quadro: una pura quantità di terra che si muove in un mezzo con rapporto di eccesso doppio non potrebbe muoversi con velocità doppia in nessun altro mezzo, perché altrimenti l’intera potenza diventerebbe eccesso, rendendo impossibile, contro la Fisica IV, un’accelerazione illimitata del moto per rarefazione del mezzo (fr:1639, 1641-1642); e, ancora, se un motore eccedesse la propria resistenza più di quanto un altro motore ecceda la sua, il primo dovrebbe essere sempre più veloce, cosa contraddetta dalla comune esperienza quotidiana (fr:1642, 1656-1657).

Da tutte queste considerazioni l’autore trae una conclusione negativa: «la proporzione delle velocità nei moti non segue l’eccesso della potenza del motore su quella della cosa mossa» – (fr:1646) [“Proportio velocitatum in motibus non sequitur excessum potentiae motoris super potentiam rei motae”]. Tuttavia le affermazioni di Aristotele e Averroè, secondo cui la velocità segue l’“eccellenza” o l’“eccesso”, vanno intese non come differenza assoluta ma come «proporzione di maggiore disuguaglianza con cui la potenza del motore eccede quella della cosa mossa» – (fr:1647) [“proportionem maioris inaequalitatis qua potentia motoris excellit sive excedit potentiam rei motae”].

La pars secunda del capitolo esamina, per confutarla rapidamente, una seconda teoria erronea, che poneva la proporzione delle velocità in funzione della proporzione dell’eccesso della potenza motrice sulla resistenza, ossia del rapporto (P − R)/R. La critica si articola in due punti. Se l’eccesso eguaglia la potenza del mobile, il rapporto è 1 e nessun motore potrà mai imprimere una velocità diversa, perché «nessuna proporzione dell’eccesso può essere maggiore o minore di quella in cui l’eccesso del motore sta alla potenza del mobile» – (fr:1664) da [“nullius motoris proportio excessus suae potentiae ad potentiam rei motae potest esse maior vel minor”] (fr:1664). Inoltre il motore agisce primariamente con l’intera sua potenza, non con il residuo: «il motore muove primariamente il tutto con tutta la propria potenza, non attraverso l’eccesso della sua potenza» – (fr:1665) [“Movens primo movet totum per totam suam potentiam et non per excessum suae potentiae”]. Di conseguenza, la velocità segue essenzialmente il rapporto tra la potenza totale e la resistenza, non il rapporto dell’eccesso. La conclusione è netta: «la proporzione delle velocità non segue la proporzione dell’eccesso della potenza del motore sulla potenza della cosa mossa» – (fr:1667) [“Proportio velocitatum in motibus non sequitur proportionem excessus potentiae motoris super potentiam rei motae”].

Infine, la terza parte introduce la terza opinione erronea, la quale sosteneva che, a motore costante, la velocità variasse secondo la proporzione delle resistenze (inversamente) e, a resistenza costante, variasse secondo la proporzione dei motori (direttamente). L’autore si limita qui a elencare i passi aristotelici che sembrano fondarla: nel IV della Fisica (capitolo sul vuoto) si afferma che «per quanto l’aria è più sottile e più incorporea dell’acqua, tanto più velocemente A, cioè il mobile, si muoverà attraverso D [aria] che attraverso B [acqua]; … se l’aria è due volte più sottile, il corpo percorrerà B in un tempo doppio rispetto a quello richiesto per D» – (fr:1671-1672); nel I del De caelo si dice che gli effetti dell’agente si dividono proporzionalmente al tempo (fr:1674); e nel VII della Fisica che, se una data potenza muove un mobile per un certo spazio in un certo tempo, la stessa potenza muoverà metà del mobile per uno spazio doppio nello stesso tempo (fr:1685). La semplice elencazione di tali autorità, apparentemente favorevoli a un rapporto diretto tra velocità e proporzione di motori o di resistenze, prepara la successiva critica, che nel testo superstite non è però riportata.

Il valore storico di queste pagine è notevole. Esse documentano il passaggio, nella scienza medievale, da una concezione qualitativa del moto a una modellizzazione quantitativa fondata sulla teoria delle proporzioni. L’uso sistematico di Euclide, la rivendicazione della corretta esegesi di Aristotele e il ricorso all’esperienza quotidiana per falsificare le teorie rivali fanno del Tractatus proportionum un punto di snodo verso la cinematica moderna. Il rifiuto dell’eccesso assoluto e del rapporto dell’eccesso come misura della velocità porta Bradwardine a formulare la sua celebre “legge del moto”, dove la velocità cresce in proporzione aritmetica quando il rapporto forza/resistenza cresce in proporzione geometrica – un’intuizione che, pur matematicamente diversa dalle leggi galileiane, costituì un primo, rigoroso tentativo di descrivere il movimento in termini puramente quantitativi.

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[19.1/1-38-1698|1734]

19 La dottrina aristotelica delle proporzioni nel moto e la sua confutazione

Il testo espone e discute una teoria delle proporzioni tra potenza motrice, peso e velocità, corroborata da alcune affermazioni di Aristotele, per poi confutarla punto per punto.

Le premesse aristoteliche vengono tratte dalla Fisica e dal De Caelo per fondare l’idea che potenza e tempo siano legati da proporzione inversa, e che peso e velocità siano direttamente proporzionali. In chiusura del Libro VIII della Fisica, Aristotele afferma che una potenza doppia muove lo stesso mobile in metà tempo e, in generale, un potere maggiore agisce in un tempo inversamente proporzionale:

“A t the c l o s e o f B oo k VIII o f the Phys i c s , A r i s totle m aintai n s that a m o tive p o we r whi c h i s doub l e a n othe r s uc h powe r will m o ve the s ame m obile in h a lf the tim e r e qui r e d b y t he le s s e r powe r, and tha t , unive rs al ly, a m o t i v e p o we r g r e at e r than anothe r will m o v e the s ame m o b i l e whic h the s m alle r powe r move s in a time that is l e s s by c onve r s e p r opo r t i o n (tha t i s , that le s s t i m e i s r e qui r e d by th e l a r g e r p o we r and m o r e time by the l e s s e r po we r).” – (fr:1697) [Alla fine del Libro VIII della Fisica, Aristotele sostiene che una potenza motrice doppia rispetto a un’altra muoverà lo stesso mobile nella metà del tempo richiesto dalla potenza minore, e che, universalmente, una potenza motrice maggiore di un’altra muoverà lo stesso mobile in un tempo inversamente proporzionale (cioè, la potenza maggiore richiede meno tempo e la minore più tempo).]

Lo stesso principio è ribadito nel Libro I del De Caelo, a proposito dei gravi che cadono in tempi uguali percorrendo distanze uguali nello stesso mezzo:

“T he ‘ anal o g y’ (tha t i s , the p r o p o rti o n) b e twe e n the we i g h t s wi l l be the c o nt r a r y o f that b e twe e n the t im e s .” – (fr:1698) [«L’“analogia” (ossia la proporzione) fra i pesi sarà l’inverso di quella fra i tempi.»]

L’esempio numerico chiarisce: se un dato peso impiega un certo tempo, il peso doppio impiegherà metà tempo. Nel Libro III della stessa opera, Aristotele estende il ragionamento ai corpi dotati di gravità o leggerezza rettilinea: corpi di peso disuguale percorrono nello stesso mezzo e nello stesso tempo distanze proporzionali alle loro potenze (fr:1699). La teoria trova poi una formulazione compiuta nel Teorema I del De Ponderibus:

“The p r o p o r ti o n b e twe e n t h e s p e e d s o f de s c e nt o f a ny g i v e n he avy b o di e s i s the s a m e a s that b e twe e n th e ir r e s pe c tive we ight s :•” – (fr:1700) [«La proporzione fra le velocità di discesa di due corpi gravi qualsiasi è la stessa che intercorre fra i loro rispettivi pesi.»]

Su queste basi la posizione teorica si articola in due parti. La prima assume che se un motore possiede esattamente il doppio della potenza di un altro, può spostare lo stesso mobile per una quantità doppia, oppure spostare un mobile doppio per la stessa quantità; se potesse fare più del doppio avrebbe più del doppio della potenza, e se ne facesse meno ne avrebbe meno (fr:1700‑1701).

Il trattato passa quindi a confutare la teoria su due capi: insufficienza e conseguenze false.

L’insufficienza consiste nel fatto che la regola delle proporzioni riguarda solo i casi in cui il motore o il mobile sono identici o uguali, mentre tace completamente sui moti in cui variano entrambi:

“It i s in s uffic i e n t , b e c a u s e it do e s not de te r m i ne the p r o po r t i o n o f th e 98 T RA C T A T US PRO P OR T IONU M tum in motibus nisi in quibus est idem motor vel aequalis, seu idem mobile vel aequale.” – (fr:1703) [È insufficiente, perché non determina la proporzione dei moti se non in quelli in cui il motore è lo stesso o uguale, oppure il mobile è lo stesso o uguale.]

“De motibus autem ubi diversantur tam moventia quam mota, penitus nihil dieit .” – (fr:1704) [Ma riguardo ai moti in cui variano tanto i motori quanto i mossi, non dice assolutamente nulla.]

La confutazione per falsità si sviluppa invece attraverso un argomento logico e una verifica empirica. Si osserva che una data potenza motrice può muovere un mobile con una certa lentezza, ma anche con lentezza doppia; stando alla teoria, essa potrebbe allora muovere un mobile doppio (fr:1705‑1706). Poiché può muovere anche con lentezza quadrupla, potrà muovere un mobile quadruplo, e così all’infinito (fr:1707). Ne seguirebbe che qualsiasi potenza motrice sarebbe infinita (fr:1708). Simmetricamente, qualunque mobile potrebbe essere mosso con lentezza via via raddoppiabile, quindi da qualsiasi motore, anche di potenza via via dimezzata (fr:1709‑1711). In base a questa logica, ogni mobile potrebbe essere messo in moto da qualsiasi motore (fr:1711).

Per evitare l’obiezione che la lentezza non possa essere raddoppiata all’infinito, viene proposta una dimostrazione per mezzo di una sfera o di un cilindro rotante attorno a un asse fisso (fr:1712‑1713). In prossimità del polo della sfera o dell’asse del cilindro si ha una lentezza doppia rispetto a un valore A, cosa ben nota e di facile dimostrazione (fr:1714). Legando a quel punto una corda robusta e lunga, all’estremità della quale si appende un peso B, si ottiene che la lentezza del moto di B è doppia rispetto alla lentezza A, realizzando quanto si voleva provare (fr:1715). Contro eventuali cavilli si precisa che il moto di B non è accidentale né solo potenziale: possiede infatti un motore in atto, un mobile in atto, termini a quo e ad quem in atto, un tempo in atto e uno spazio (o luogo) percorso in atto (fr:1716‑1717). Né si può obiettare che il motore sia solo in potenza in quanto parte della sfera o del cilindro, perché è il tutto a muovere primariamente e la parte solo di conseguenza (fr:1718). Allo stesso modo, se un uomo tirasse il peso con la mano, lo muoverebbe accidentalmente attraverso una parte di sé, ma allora nessun moto provocato da un motore estrinseco sarebbe per sé o in atto, perché nessun motore esterno può applicarsi con tutto se stesso al mosso, ma solo secondo una parte (fr:1719‑1720).

La terza accusa di falsità viene dall’esperienza sensibile, che mostra il contrario della posizione teorica (fr:1721). Se un uomo muove a stento un peso con moto lentissimo, l’aggiunta di un secondo uomo produce un moto molto più che doppio in velocità (fr:1722). L’esempio più calzante è quello del peso sospeso a un asse girevole (come avviene negli orologi): il peso discendendo fa ruotare l’asse quasi impercettibilmente; se si sospende un peso uguale, la discesa e la rotazione diventano più che doppie in velocità, come constata con evidenza il senso (fr:1723).

In definitiva, il testo mostra come la dottrina proporzionale fondata su Aristotele, pur enunciando una correlazione apparentemente rigorosa fra potenza, peso, tempo e velocità, risulti inadeguata a descrivere il moto quando mutano motore e mobile, e venga smentita sia per via logica (aprendo all’infinità della potenza) sia mediante contro-esempi tratti dall’osservazione comune e dalla meccanica dell’orologio.

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[20.1/1-55-1811|1861]

20 La proporzione tra potenza motiva e resistiva nel Tractatus proportionum: la quarta teoria e la sua soluzione

Un estratto del Tractatus proportionum mette in luce la disputa medievale sull’esistenza di una proporzione tra potenze di natura diversa, risolta attraverso distinzioni terminologiche e il ricorso all’armonia musicale.

La sezione si apre con la formulazione di una quarta teoria:

“C HAPTE R TWO, PART FOUR [T H E OR Y IV ] A fo u r th th e o r y de c l a r e s th e r e to b e ne ithe r any_p r o po r tion no r any r e lation o f e xc e s s be twe e n mo tive and r e s i s tive 2o we r s .” – (fr:1808) [Capitolo due, parte quarta – Teoria IV. Una quarta teoria dichiara che non vi è né proporzione né relazione di eccesso tra le potenze motive e resistive.]

La giustificazione poggia sul carattere incorporeo delle potenze e sulla definizione di proporzione. Le potenze separate dal corpo non possono essere proporzionali, perché

“Mo r eove r, powe r s s e pa r ate fr om b o dy c a n ne ithe r be pr opo r tiona l s nor po ss e s s propor tional re lation s , s i nc e a propo r tion c an only b e be twe e n one m a g nit ude and a no the r.” – (fr:1811) [Inoltre, le potenze separate dal corpo non possono essere né proporzionali né possedere relazioni proporzionali, poiché una proporzione può esistere solo tra una grandezza e un’altra grandezza.]

Da ciò segue che nessuna potenza motrice può dirsi finita o infinita, maggiore o minore, né in alcun modo proporzionale alla potenza della cosa mossa, poiché non è un corpo ma una forma (fr:1811). Questa posizione si appoggia all’autorità di Averroè, il quale nel Commento 79 a Fisica VIII afferma che una potenza incorporea non è né finita né infinita, perché tali termini si applicano solo ai corpi (fr:1809). La teoria, inoltre, sostiene che il moto avvenga per una sorta di «dominio naturale» del motore sul mosso, anziché per una proporzione o un eccesso quantitativo:

“It hol d s tha t , in s te a d o f the r e b e ing s o me p r opor tion o r e xc e s s o f m otive powe r ove r thing m o v e d , m o ti on s ta ke plac e in a c c o r danc e with s o m e s o r t o f “natural dominanc e” of m ov e r ove r move d.” – (fr:1809) [Essa afferma che, invece di esserci una proporzione o un eccesso della potenza motrice sulla cosa mossa, i movimenti avvengono secondo una sorta di “dominio naturale” del motore sul mosso.]

Questo assunto è confermato dalla definizione di proporzione esposta nel Capitolo I: la proporzione è una comparazione di due cose dello stesso genere (fr:1812). Le potenze attiva e passiva, però, non appartengono allo stesso genere (fr:1813). Se fossero proporzionali, sarebbero comparabili (fr:1814), apparterrebbero esattamente alla medesima specie e avrebbero un soggetto o una sostanza della medesima specie (fr:1815), conseguenza falsa perché le potenze si dividono in attiva e passiva mediante differenze incompatibili, come un genere (fr:1816). Aristotele stesso, alla fine del VII libro della Fisica, esige che le cose confrontate siano della medesima specie individuale e prive di qualsiasi differenza:

“Physicorum , versus finem , ubi vult quod omnia quae debent ad invicem compa r ar i , tam subiectum sive substantia comparationis, quam illud seu illa in quo vel in quibus est comparatio, erunt eiusdem speciei individualis et differentiam nullam habentes.” – (fr:1817) [dove vuole che tutte le cose che devono essere confrontate tra loro, tanto il soggetto o sostanza del confronto quanto ciò o quegli aspetti in cui o nei quali avviene il confronto, siano della medesima specie individuale e non presentino alcuna differenza.]

Inoltre, se esistesse una proporzione, essa sarebbe di disuguaglianza maggiore, perché la potenza motrice dovrebbe eccedere quella della cosa mossa:

“Praeterea , si potentiae motivae esset aliqua proportio ad potentiam rei motae , illa esset proportio inaequalitatis maioris quia deberet excedere potentiam rei motae.” – (fr:1818) [Inoltre, se vi fosse una qualche proporzione della potenza motiva alla potenza della cosa mossa, essa sarebbe una proporzione di disuguaglianza maggiore, poiché dovrebbe eccedere la potenza della cosa mossa.]

Ogni cosa che eccede un’altra si divide in ciò che eccede e ciò che è ecceduto (Fisica IV, capitolo sul vuoto), perciò anche la potenza motrice sarebbe divisibile; ma le potenze motrici incorporee sono assolutamente indivisibili e, se corporee, possono essere minori per estensione della potenza del mosso (fr:1819-1820). Si aggiunga che l’eccesso di cui parla Aristotele nella Retorica I,7 non è solo quello quantitativo in senso stretto, ma riguarda l’eccedenza di una proprietà come la sottigliezza (fr:1821-1822).

A questo punto il testo introduce una confutazione decisiva, tratta dal dominio della musica. Se si nega la proporzione tra le potenze perché non sono quantità, per lo stesso motivo non vi sarebbe proporzione tra i suoni, e l’intera scienza musicale crollerebbe:

“Ista autem positio poterit reprobari , quia si inter potentias non esset p ropor tio (eo quod non sunt quantitates) eadem ratione nee inter voce s. Et tune totius musicae modulatio deperiret.” – (fr:1823) [Questa posizione, tuttavia, può essere confutata, perché se non vi fosse proporzione tra le potenze (perché non sono quantità), per la stessa ragione non vi sarebbe neppure tra i suoni. E allora l’intera scienza musicale andrebbe in rovina.]

Infatti gli intervalli musicali sono costituiti da precisi rapporti numerici: l’epogdoos o tono nella proporzione 9:8, il diatessaron 4:3, il diapente 3:2, il diapason (composto di diatessaron e diapente) nella proporzione doppia 2:1, il diapason con diapente nella tripla 3:1 e il doppio diapason nella quadrupla 4:1 (fr:1824; 1832-1834). Se i suoni ammettono proporzione, anche le potenze devono ammetterla. Ulteriori conferme vengono dai teoremi geometrici con cui Averroè nei Commenti 36 e 38 al VII libro della Fisica e nel Commento 65 al I libro del De caelo dimostra conclusioni sulla proporzione delle velocità (fr:1825-1828, 1835-1839). In quest’ultimo, per esempio, egli prova che “nessun infinito può muovere un finito” assumendo un secondo motore finito che stia al primo come la resistenza totale sta a una sua parte, e argomentando in modo permutativo sulla base della Definizione V.12 degli Elementi di Euclide, per concludere che il motore più grande muove l’intera resistenza in un tempo uguale a quello in cui il motore minore muove la parte e l’infinito muoverebbe il tutto (fr:1826-1828, 1837-1839). Queste argomentazioni presuppongono la legittimità di un confronto proporzionale tra potenze.

Dopo aver esposto le ragioni contrarie, il trattato perviene a una soluzione affermativa, fondata sulla distinzione tra proporzione in senso proprio (proprie) e proporzione in senso generale (communiter). Poiché la potenza motrice “domina” e, secondo Averroè in molti luoghi, eccede ed è di maggior potenza rispetto alla cosa mossa, è necessario che ciò avvenga secondo una qualche proporzione, intesa in modo proprio o comune:

“Igitur sicut dominatur et excedit et est maioris potentiae, sic oportet quad hoc sit secundum aliquam proportionem proprie communiterve acceptam.” – (fr:1842) [Dunque, come domina ed eccede ed è di maggior potenza, così è necessario che ciò avvenga secondo una qualche proporzione, intesa in senso proprio o comune.]

Aristotele e Averroè, del resto, suppongono in molti passi l’esistenza di una proporzione tra potenza del motore e potenza della cosa mossa (fr:1843). Si giunge così alla conclusione affermativa:

“Cuiuslibet potentiae motivae ad P-Otentiam resistivam rei motae aliqua P.roportio reP.eritur.” – (fr:1844) [Di qualunque potenza motiva rispetto alla potenza resistiva della cosa mossa si trova una qualche proporzione.]

Le obiezioni iniziali vengono sciolte grazie alla definizione di proporzione già data nel Capitolo I: la proporzione che si riscontra tra potenza motiva e resistiva non è proprie dicta, ma communiter intesa (fr:1845-1846). L’argomento sulla comparabilità è superato con una distinzione simile: il confronto può avvenire all’interno di un genere (come quando si dice “più virtuoso”, “più sapiente”) e persino nel genere generalissimo, poiché, ad esempio, la forma è «più sostanza» della materia e la sostanza è «più ente» dell’accidente (fr:1847-1850). Le autorità citate vanno intese come riferite alla comparazione in senso strettissimo, non a quella generale (fr:1848).

Anche l’argomento della divisibilità dell’eccesso va interpretato in due modi: l’eccesso in senso proprio si divide propriamente, ma l’eccesso in senso generale può essere ricondotto all’uguaglianza con l’ecceduto, oppure inteso in relazione all’azione, alla passione o alla resistenza (fr:1851-1858). Così, le potenze del motore e del mosso e le resistenze possono essere confrontate in qualsiasi modo secondo eccesso ed ecceduto (fr:1858). Un esempio chiarisce il concetto: se una potenza motiva è uguale a una potenza resistiva, quella stessa potenza motiva è doppia rispetto alla metà di quella resistiva, non perché possa muovere il doppio, ma perché la sua virtù è precisamente doppia (fr:1859, parte finale). In tal senso, una proporzione esiste, sebbene non quantitativa in senso stretto.

L’estratto mostra il procedimento tipico della disputa scolastica: una tesi negativa viene costruita su definizioni precise e sull’autorità di Aristotele e Averroè, quindi confutata attraverso un esempio tratto dalla musica e da teoremi geometrici, e infine risolta con la raffinata distinzione tra proprie e communiter. Questa soluzione permette di mantenere la validità della proporzione come legame matematico universale senza violare la differenza di genere tra le potenze, integrando fisica, logica e l’armonia del quadrivio in un quadro coerente.

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[21.1/1-29-1939|1967]

21 Il principio di proporzionalità e la dinamica del moto dei gravi

Il moto è governato esclusivamente da una proporzione di maggiore disuguaglianza tra motore e mosso, principio da cui discende la possibilità di manipolare la velocità di caduta dei corpi variando la densità del mezzo.

Il testo stabilisce le fondamenta di una dinamica basata sulla teoria delle proporzioni. Il punto di partenza è un assioma ritenuto auto-evidente, che enuncia la comparabilità universale dei moti: “Omnis motus eiusdem speciei secundum velox vel tardum possunt adinvicem comparari” - (fr:1941) [“Tutti i moti della stessa specie possono essere confrontati tra loro rispetto alla lentezza e alla velocità”]. Questo postulato è necessario per le dimostrazioni successive, come indicato anche nella versione inglese del trattato, dove è definito “All motions of the same species may be compared to each other with regard to slowness and fastness” - (fr:1965).

Su questa base, viene formulata una coppia di teoremi che definiscono la condizione necessaria per l’esistenza del moto. Il Teorema VIII (o VII, secondo la numerazione) esprime un principio negativo, affermando l’impossibilità del moto in assenza di un rapporto di forza specifico: “Ex nulla proportione aequalitatis vel minoris inaequalitatis motoris ad motum sequitur ullus motus” - (fr:1940) [“Da una proporzione di uguaglianza o di minore disuguaglianza del motore rispetto al mosso non segue alcun moto”]. La traduzione inglese conferma: “No motion follows from either a proportion of equality or of lesser inequality between mover and moved” - (fr:1963). La dimostrazione di questa prima parte si appoggia a teoremi precedenti, come specificato: “Hanc per primam tertii, et septimam et octavam primi, demonstrative concludes” - (fr:1941).

Il teorema successivo, il IX, enuncia la condizione positiva e sufficiente: “Omnis motus ex proportione maioris inaequalitatis producitur, et ex omni proportione maioris inaequalitatis fieri potest motus” - (fr:1942) [“Ogni moto è prodotto da una proporzione di maggiore disuguaglianza, e da ogni proporzione di maggiore disuguaglianza può aver origine un moto”]. La controparte inglese è: “Every motion is produced by a proportion of a greater inequality, and from every proportion of greater inequality a motion may arise” - (fr:1967). La struttura logica è chiara: la prima parte del teorema (“Prima pars huius”) è dimostrata tramite i teoremi I e VIII del terzo capitolo, coadiuvati dalla supposizione già menzionata (fr:1943). La seconda parte (“Secunda pars huius”) si basa sul concetto che qualsiasi eccesso del motore rispetto al mosso è sufficiente a produrre il moto, un principio dato per già dimostrato altrove.

Segue un’applicazione pratica di questi teoremi al problema della caduta dei gravi, che esplora la variabilità della velocità in un mezzo. L’enunciato di partenza è che un corpo più pesante di un altro, nello stesso mezzo, può scendere più lentamente, più velocemente o con uguale velocità: “Quantumcumque gravius alio in eodem media tardius et velocius illo et aequali velocitate potest descendere” - (fr:1947). Per dimostrarlo, si introduce un modello sperimentale con due corpi: un grave misto A, di peso qualsiasi, e un grave semplice B, di peso trascurabile (“B grave simplex ita parvi ponderis ut desideras”) (fr:1948). La manipolazione della densità del medium diventa lo strumento per alterare il rapporto tra la gravità del corpo e la sua resistenza totale, composta da una componente intrinseca e una estrinseca.

Il ragionamento procede per tre casi distinti, modulando la rarefazione o condensazione del mezzo: 1. Se il mezzo è rarefatto finché la proporzione di B rispetto ad esso è uguale o maggiore della proporzione tra la gravità di A e la sua leggerezza in quel mezzo, allora la gravità di A avrà una proporzione minore rispetto alla sua resistenza totale di quanta ne abbia B rispetto alla propria. Di conseguenza, “A tardius movetur quam B” - (fr:1951). 2. Al contrario, condensando il mezzo fino a rendere la proporzione di B rispetto ad esso minore della proporzione tra la gravità di A e la sua resistenza totale, si ottiene l’effetto opposto: “A movetur velocius quam B” - (fr:1953). 3. Infine, adattando il mezzo in modo che le due proporzioni siano uguali, “A et B aeque velociter movebuntur” - (fr:1955), ovvero si muoveranno con la stessa velocità.

Una seconda formulazione dello stesso principio introduce una velocità di riferimento C, che A avrebbe nel vuoto. Rarefacendo il mezzo finché B scende con velocità C o maggiore, si ottiene che A, posto nello stesso mezzo, scenderà più lentamente di B (fr:1956-1958). Da questa analisi deriva un corollario fondamentale che distingue le proprietà dei gravi semplici e misti. Si afferma che qualsiasi velocità e lentezza di un grave semplice, e qualsiasi lentezza di un grave misto, possono essere duplicate all’infinito attraverso la rarefazione e condensazione del mezzo. Tuttavia, si pone un limite preciso: “cuiuslibet gravis mixti quaelibet velocitas per subtiliationem medii geminari non potest” - (fr:1960), ovvero la velocità di un grave misto non può essere duplicata per rarefazione del mezzo. È questa l’unica asimmetria in un sistema altrimenti simmetrico, un dato di fatto che il testo si limita a registrare come conseguenza delle premesse (“Istud correlarium ex praedictis sufficienter constabit”) (fr:1961).

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[22.1/1-74-2065|2138]

22 Resoconto del testo sulle proporzioni, la resistenza e il moto del magnete

Il testo, tratto da un trattato medievale sulle proporzioni (verosimilmente il Tractatus proportionum), si addentra in due ordini di obiezioni contro la teoria del moto fondata sui rapporti tra potenze motrici e resistenze. La discussione mette in luce un’analisi sottile della resistenza, il comportamento del magnete e la divisibilità infinita delle proporzioni, mostrando l’applicazione del rigore matematico alla filosofia naturale.

La prima obiezione riguarda l’uguaglianza di resistenza tra una porzione d’aria e una di terra. Se due potenze divisorie esattamente uguali (C e D) agiscono rispettivamente su una quantità d’aria A e una di terra B, “C, quindi, produce un moto più veloce di D, poiché percorre una distanza maggiore in un tempo uguale” (fr. 2085) [traduzione da “C, therefore, produces a faster motion than does D, since it traverses a greater distance in an equal time”]. Di conseguenza, “A è di resistenza minore di B” (fr. 2086). L’argomento non può essere aggirato supponendo che C, nel tempo in cui D percorre l’intera B, attraversi una parte di A uguale a B, perché ciò implicherebbe che una parte di aria e una di terra hanno resistenze quantitativamente uguali e che l’intero A abbia resistenza assolutamente uguale a una sua parte: “ciò non può essere vero” (fr. 2089).

Per sciogliere la difficoltà, il testo distingue tre modi in cui si può dire che qualcosa possiede uguale resistenza: “qualitativamente, quantitativamente e in entrambi i sensi” (fr. 2090). L’uguaglianza qualitativa si tripartisce ulteriormente in “intrinseca, estrinseca e in entrambi i sensi” (fr. 2091), quest’ultima essendo l’uguaglianza assoluta. Sono intrinsecamente di uguale resistenza i corpi che, per densità, rarità e altre condizioni interne, si muovono con la stessa facilità; sono estrinsecamente uguali quelli che resistono per un aiuto esterno. Un corollario rilevante è che “è più difficile dividere o alterare una parte esistente nel tutto che una separata da esso” (fr. 2094). Applicando queste distinzioni, si chiarisce che una data porzione d’aria e una di terra possono essere “di uguale resistenza quantitativa, ma non qualitativamente intrinsecamente” (fr. 2095); possono tuttavia essere uguali qualitativamente in modo estrinseco, o congiuntamente. Resta quindi possibile che forze uguali dividano tali parti con velocità uguali, anche se non necessariamente in tempi uguali (fr. 2097), e che l’intero e la parte abbiano uguale resistenza (fr. 2098).

Una seconda, più ampia obiezione, investe il magnetismo. Secondo la teoria, “un magnete trarrebbe un piccolo pezzo di ferro più velocemente di uno grande” (fr. 2099), poiché la sua forza ha una proporzione maggiore rispetto al pezzo minore (fr. 2100). L’esperienza mostra tuttavia il contrario. Se un magnete con un ferro aderente si muove con velocità A, e poi si sostituisce il ferro con uno più piccolo, “quel secondo pezzo di ferro si muoverà ora con velocità A, poiché non precede il magnete né si separa da esso” (fr. 2120). L’obiezione che il ferro minore si muoverebbe più velocemente se non fosse frenato dal magnete viene respinta, perché in tal caso tenderebbe a separarsi; e se posto sulla superficie o in un foro del magnete, secondo la teoria si separerebbe, ma, già separato, vi ritornerebbe (fr. 2122). La soluzione si rifà ad Averroè (Commento 10 al VII libro della Fisica): “il magnete non trae effettivamente il ferro, ma quando il ferro ha ricevuto una certa ‘disposizione’ dal magnete, si muove verso di esso da sé” (fr. 2123). Contro l’ulteriore obiezione che nello stesso tempo il magnete altera più fortemente il ferro piccolo (fr. 2124-2125), si risponde che il ferro in tale disposizione non agisce secondo la sua massima potenza; se si trova a breve distanza dal magnete, si muove più velocemente di quando vi è congiunto, perché “il ferro cerca solo di unirsi ad esso” (fr. 2127), sia che il magnete sia fermo o in moto. Emerge qui un fatto sorprendente: “è altrettanto facile sollevare un magnete con un pezzo di ferro aderente (sotto, sopra o dentro) quanto sollevare il magnete da solo e senza il ferro” (fr. 2128). Il ferro non oppone resistenza al sollevamento né viene sollevato dal magnete, bensì si muove da sé con esso (fr. 2129-2130). Ne segue che “un magnete, con o senza il ferro, pesa lo stesso” (fr. 2131).

L’ultima obiezione si appunta sulla seconda parte del Teorema IX del capitolo. Se una data proporzione di motore a mosso è sufficiente a generare moto, lo è anche la sua metà, e così all’infinito (fr. 2132-2133); di conseguenza, qualunque eccesso nel rapporto di due a uno o più consentirebbe il movimento del corpo eccedente (fr. 2134). Inoltre, data una proporzione di mosso a motore, raddoppiandola all’infinito si potrebbe avere moto, il che contraddice il Teorema VIII (fr. 2135-2137). La risposta chiude il frammento con una puntualizzazione matematica precisa: “la proporzione di disuguaglianza maggiore può essere diminuita e dimezzata all’infinito, e tuttavia non raggiungerà mai la proporzione di uguaglianza, né perverrà all’uguaglianza di una qualche proporzione di disuguaglianza minore” (fr. 2138, tradotto dal latino). L’infinito dimezzamento non manda mai il rapporto nell’uguale o in un rapporto minore prefissato, salvando così la coerenza della teoria.

Nel complesso, il testo esibisce il tipico approccio dei calculatores ossoniensi: un’analisi logico-matematica dei fenomeni fisici che intreccia esperimenti mentali, definizioni rigorose e la manipolazione di proporzioni, gettando luce su concetti come resistenza, attrazione magnetica e infinito potenziale. La discussione sul magnetismo, in particolare, separa l’idea di attrazione diretta da quella di disposizione interna, anticipando prospettive che saranno sviluppate nel primo magnetismo moderno.

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[23.1/1-25-2156|2179]

23 Dalla Proporzione Generale alle Proprietà del Moto Circolare

La conclusione della trattazione generale sulle proporzioni di moto e la successiva introduzione dei fondamenti geometrici per lo studio del moto circolare.

L’estratto si colloca in un punto di transizione del trattato, chiudendo una discussione e gettando le basi per la sezione successiva. Si conclude innanzitutto la confutazione di alcune critiche relative alle proporzioni. La replica a tali obiezioni stabilisce un principio fondamentale: sebbene “una proporzione di maggiore disuguaglianza possa essere diminuita e dimezzata indefinitamente, tuttavia questa serie non raggiungerà mai una proporzione di uguaglianza né raggiungerà l’equivalenza a una proporzione di minore disuguaglianza” - (fr:2155) [the reply to these criticisms is that, although a proportion of greater inequality may be lessened and halved indefinitely, nevertheless this series will never reach a proportion of equality nor attain equivalence to a proportion of lesser inequality.]. La stessa sorte, precisa il testo, tocca all’operazione inversa, poiché “l’addizione e il raddoppiamento di una proporzione di minore disuguaglianza […] non può mai essere aumentata al punto in cui diventa uguale a una proporzione di uguaglianza o a una di maggiore disuguaglianza” - (fr:2156) [The same is true of the addition and doubling of a proportion of lesser inequality, for it can never be increased to the point at which it either becomes equal to a proportion of equality or to one of greater inequality.]. Queste conclusioni, ritenute evidenti sulla base dei teoremi già esposti, rendono le conseguenze delle critiche menzionate “da respingere” - (fr:2157) [consequences just drawn are, consequently, to be rejected.]. L’autore liquida quindi l’argomento come una trattazione sufficiente per le obiezioni più ovvie ai suoi teoremi introduttivi (fr:2158).

Conclusa la discussione generale, si entra nel vivo di un nuovo capitolo. L’argomento si sposta su un aspetto specifico: dopo aver “completato un trattamento generale della proporzione tra le velocità con cui i moti avvengono rispetto sia alle potenze motrici che a quelle resistenti” - (fr:2159) [Having completed a general treatment of the proportion between the speeds with which motions take place with respect to both moving and resisting powers.], si annuncia l’intenzione di “dimostrare certe proprietà peculiari alla proporzione delle velocità nei moti circolari rispetto alle quantità sia di moto che di intervallo percorso” - (fr:2159) [it remains to demonstrate certain properties peculiar to the proportion of speeds in circular motions with respect to quantities both of motion and of interval traversed.].

Per affrontare questa nuova analisi, l’autore ritiene “prima necessario cominciare ponendo certe definizioni e assiomi e, per mezzo di questi, sviluppare certi teoremi raramente incontrati in altre opere” - (fr:2160) [It is, however, first necessary to begin by setting down certain definitions and axioms and, by means of these, to develop certain theorems rarely encountered in other works.]. Le definizioni geometriche proposte sono basilari e tratte da Euclide: il quadrato come figura piana con lati uguali e angoli retti (fr:2162); le superfici simili, caratterizzate da angoli corrispondenti uguali e lati proporzionali (fr:2164); e un quadrangolo, definito come una figura piana rettangolare con solo i lati opposti uguali (fr:2166), in pratica un rettangolo.

Seguono gli assiomi e teoremi dati per veri, che formano l’apparato deduttivo per i ragionamenti successivi. Si stabilisce l’uguaglianza di tutti gli angoli retti (fr:2168). Viene poi introdotto il principio di proporzionalità per le aree: “La proporzione tra due qualsiasi superfici simili e multi-angolari è uguale al quadrato della proporzione tra due qualsiasi dei loro lati corrispondenti” - (fr:2170) [The proportion between any two similar, multi-angular surfaces is equal to the square of the proportion between any two of their respectively corresponding sides.]. Analogamente, per i cerchi si asserisce che la proporzione tra le loro aree è uguale al quadrato della proporzione tra i diametri (fr:2172, 2173), mentre “le proporzioni tra circonferenza e diametro di due cerchi qualsiasi sono uguali” - (fr:2175) [The proportions between circumference and diameter of any two circles are equal.]. L’ultimo assioma estende questa logica alle tre dimensioni, affermando che “La proporzione tra due sfere qualsiasi è uguale al cubo della proporzione tra i loro rispettivi diametri” - (fr:2178) [The proportion between any two spheres is equal to the cube of the proportion between their respective diameters.]. Quest’ultimo è identificato come il teorema finale del Libro XII degli Elementi di Euclide, mentre il principio sulla circonferenza è ricondotto a un diverso trattato, il De curvis superficiebus (fr:2176, 2179).

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[24.1/1-21-2181|2200]

24 Proporzioni di cerchi e sfere nel Tractatus proportionum

Una sequenza di teoremi sulle relazioni metriche di cerchi e sfere, fondata sull’VIII proposizione del De curvis superficiebus di Archimede e sviluppata con gli strumenti della teoria medievale delle proporzioni.

L’estratto si apre con il teorema archimedeo che eguaglia la superficie della sfera a un rettangolo di lati diametro e circonferenza massima:

“Cuiuslibet sphaerae superficies aequalis est quadrangulo qui sub lineis aequalibus diametri sphaerae et circumferentiae maximi circuli continetur.” – (fr:2180) [La superficie di qualsiasi sfera è uguale al quadrangolo contenuto sotto le linee uguali al diametro della sfera e alla circonferenza del cerchio massimo.]

Il riferimento alla fonte è immediato e dichiarato: “(Et hoc est octava Archimenidis De curvis superficiebus.)” – (fr:2181) [E questa è l’ottava di Archimede Sulle superfici curve.] Da qui si dipana una serie di proposizioni concatenate, sostenute da un reticolo di rimandi a definizioni e supposizioni già stabilite.

Le prime proposizioni riguardano i cerchi. Il rapporto fra le aree di due cerchi qualsiasi è espresso sia tramite i diametri sia tramite le circonferenze:

“Quorumlibet duorum circulorum est proportio unius ad reliquum proportio sui diametri ad diametrum alterius duplicata.” – (fr:2182) [Di due cerchi qualsiasi, il rapporto dell’uno all’altro è il rapporto del proprio diametro al diametro dell’altro duplicato.]

La dimostrazione (fr:2183‑2185) invita a costruire quadrati sui diametri dei cerchi A e B; la similitudine dei quadrati e la proporzionalità fra lati e diametri conducono al rapporto duplicato, che dimostra l’asserzione. In modo equivalente, il rapporto fra i cerchi è il rapporto duplicato delle loro circonferenze:

“Omnium duorum circulorum proportio unius ad alterum est suarum circumferentiarum eodem ordine proportio geminata.” – (fr:2186) [Di ogni due cerchi, il rapporto dell’uno all’altro è il rapporto delle loro circonferenze, nello stesso ordine, geminato (duplicato).] La conclusione – osserva l’autore – segue facilmente dalla precedente con l’aggiunta di alcune supposizioni (fr:2187).

Il trattato passa quindi alle sfere, distinguendo volume e superficie. Il rapporto fra i volumi si riconduce alle circonferenze massime:

“Omnium duarum sphaerarum proportio adinvicem demonstratur circumferentiarum suorum circulorum maximorum eodem ordine proportio triplicata.” – (fr:2188) [Di ogni due sfere, il rapporto reciproco è dimostrato essere il rapporto delle circonferenze dei loro cerchi massimi, nello stesso ordine, triplicato.]

La giustificazione si fonda sulla quinta e sulla quarta supposizione (fr:2189). Per le superfici sferiche vengono date due formulazioni parallele. La prima lega il rapporto delle superfici al rapporto duplicato dei diametri:

“Quarumlibet duarum sphaerarum, proportio superficiei unius ad superficiem reliquae, proportionis sui diametri ad diametrum alterius, ostenditur esse dupla.” – (fr:2190) [Di due sfere qualsiasi, il rapporto della superficie dell’una alla superficie dell’altra, del rapporto del proprio diametro al diametro dell’altra, si mostra essere duplicato.]

Per dimostrarlo si costruiscono, su ciascuna sfera, quadrangoli formati dalle linee uguali ai diametri e alle circonferenze massime; la loro similitudine viene stabilita attraverso definizioni e supposizioni precedenti (fr:2191‑2192). La seconda formulazione pone il rapporto delle superfici come duplicato del rapporto delle circonferenze massime:

“Omnium duarum sphaerarum proportio superficiei unius ad superficiem alterius, ad proportionem circumferentiae maximi circuli unius ad circumferentiam maximi circuli alterius, ostenditur fore dupla.” – (fr:2193) [Di ogni due sfere, il rapporto della superficie dell’una alla superficie dell’altra, rispetto al rapporto della circonferenza massima, si mostra essere duplicato.] Anche questo è un corollario diretto, ottenuto con l’ausilio di supposizioni (fr:2194).

Il vertice sintetico dell’estratto è la relazione fra volumi e superfici, che oggi riconosciamo pari all’esponente 3/2:

“Quarumlibet duarum sphaerarum proportio ad proportionem superficierum suarum eodem ordine sesquialtera comprobatur.” – (fr:2195) [Di due sfere qualsiasi, il rapporto (dei volumi) rispetto al rapporto delle loro superfici, nello stesso ordine, è comprovato essere sesquialtero (3:2).]

Il testo si conclude con un’esplicitazione simbolica. Date due sfere A e B, sia C il rapporto dei volumi, D il rapporto delle superfici ed E il rapporto dei diametri (fr:2196). Applicando i risultati raggiunti, D è il duplicato di E e C è il triplicato di E, cosicché la composizione interna dei rapporti diviene trasparente:

“Tunc (per quartam conclusionem huius) D est duplum E.” – (fr:2197) [Allora (per la quarta conclusione) D è il duplicato di E.]
“Ergo D continet praecise duo E.” – (fr:2198) [Dunque D contiene esattamente due E.]
“Et (per quintam suppositionem) C est triplum E.” – (fr:2199) [E (per la quinta supposizione) C è il triplicato di E.]
“Igitur C continet tripla E praecise.” – (fr:2200) [Pertanto C contiene esattamente tre E.]

L’uso dei termini duplum, triplum e la locuzione continet duo E (o tria E) mostrano la concezione compositiva della proporzionalità tipica della matematica tardomedievale: duplicare (o triplicare) un rapporto significa moltiplicarlo per sé stesso due (o tre) volte, di modo che il rapporto risultante “contiene” la radice un numero corrispondente di esemplari. L’insieme delle proposizioni testimonia la ricezione e l’elaborazione dell’opera archimedea entro il quadro della dottrina delle proporzioni, verosimilmente nel solco del Tractatus proportionum attribuito ad Alberto di Sassonia (XIV secolo), offrendo un esempio nitido dell’intreccio fra eredità classica e strumenti logico-matematici medievali.

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[25.1/1-35-2203|2235]

25 Proporzioni di cerchi, sfere e moto in un trattato scientifico medievale

Il testo, che unisce geometria e cinematica, proviene da un Tractatus proportionum di impianto scolastico. Dopo un breve passaggio sulla nozione di sesquialtero, espone una serie di teoremi su cerchi e sfere fondati sull’autorità di Archimede, per poi passare alla critica di un’opinione comune sul rapporto tra velocità e spazio nei moti locali.

Nella parte iniziale in latino si completa un ragionamento proporzionale: “Igitur C continet D semel et eius medietatem.” – (fr:2201) [Quindi C contiene D una volta e la sua metà.], perciò “Igitur (per definitionem sesquialteri) C est sesquialterum D. Et hoc est quod ostendere volebamus.” – (fr:2202) [Quindi (per la definizione di sesquialtero) C è sesquialtero di D. Ed è ciò che volevamo dimostrare.]. Questo enunciato, apparentemente isolato, è coerente con la dimostrazione del Teorema VI più avanti, nella quale il rapporto tra sfere è ricondotto alla potenza sesquialtera dei loro rapporti superficiali.

Il testo prosegue richiamando direttamente l’opera di Archimede: “The s ur fac e o f any_§ phe r e i s equi va l e nt to that o f a r e c tang l e who s e s i de s a r e e qual to the diame te r o f the s phe r e and to the c i rc um fe r e n c e o f i t s maximum c i r c l e .” – (fr:2204) [La superficie di una qualunque sfera è equivalente a quella di un rettangolo i cui lati sono uguali al diametro della sfera e alla circonferenza del suo cerchio massimo.], con la nota “(Thi s i s The o r e m VIII o f A r c hime de s’ De c ur vi s s upe r fic i e b u s . )” – (fr:2205) [(Questo è il Teorema VIII del De curvis superficiebus di Archimede.)]. Tale equivalenza funge da base per i successivi sei teoremi, tutti costruiti a cascata mediante definizioni e assiomi.

Teoremi I–VI su cerchi e sfere
Il Teorema I fissa un principio fondamentale: *“The pr o po r tion b e twe e n any two c i r c l e s i s equal to the _§_qua r e o f the pr opo r tion be twe en the i r r e s pe c tive dia m e te r s .” – (fr:2207) [La proporzione tra due cerchi qualsiasi è uguale al quadrato della proporzione tra i rispettivi diametri.]. La dimostrazione poggia su quadrati costruiti sui diametri, sulla loro similitudine e su alcuni assiomi di proporzionalità (fr:2208–2209). Il Teorema II esprime lo stesso rapporto mediante le circonferenze: “T h e pr opo r tion b e twe e n a ny two c i r c le s i s e qual t o the sgua r e o f the pr opo r tion b e twe e n the i r r e s pe c ti ve c i r c um fe r e nc e s .”* – (fr:2211) [La proporzione tra due cerchi qualsiasi è uguale al quadrato della proporzione tra le rispettive circonferenze.], dimostrato con l’aiuto del Teorema I.

Per le sfere, il Teorema III ne lega il rapporto al cubo delle circonferenze dei cerchi massimi: “The 2r opo r tion b e twe e n any two sphe r e s i s equal t o the c ub e o f the pr opo rti on b e tw e e n the c i r c umfe r enc e s of the i r r e s pe c tive maximum c i r c le s .” – (fr:2214) [La proporzione tra due sfere qualsiasi è uguale al cubo della proporzione tra le circonferenze dei loro rispettivi cerchi massimi.]. Il Teorema IV riporta il rapporto tra le superfici sferiche al quadrato del rapporto tra i diametri (fr:2217–2218) e il Teorema V lo esprime in funzione delle circonferenze massime (fr:2219–2220). Infine, il Teorema VI traduce il legame tra volume e superficie servendosi della potenza sesquialtera: “The pro po r tion b e twe e n a ny two s phe r e s i s e qua l t o th e 2r o po r ti o n b e twe e n the i r r e s p e c ti ve s u r fa c e s r a i s e d to the powe r o f ” s e s quia lte r a” [f-2] .” – (fr:2222) [La proporzione tra due sfere qualsiasi è uguale alla proporzione tra le rispettive superfici elevata alla potenza sesquialtera (3/2).]. La dimostrazione (fr:2223–2230) assume il rapporto D delle superfici come quadrato di quello dei diametri E; poiché D contiene E due volte e il rapporto dei volumi C contiene E tre volte, C contiene D alla potenza di uno e mezzo, e per definizione C è sesquialtero di D: “The r e fo7r e (by the de finition of ” s e squialt e r a” ) C 1 s ” s e s- uialte r a” D [i . e . D 3 2 ] , and thi s i s wha t we wi s he d to p r o v e .” – (fr:2228–2230) [Quindi (per la definizione di “sesquialtera”) C è sesquialtera a D (cioè D^3/2), ed è ciò che volevamo dimostrare.].

Seconda parte, capitolo quarto: proporzione delle velocità nei moti
Il passo successivo, in latino, introduce la discussione cinematica: “128 T RA C T A T US P RO PO R T IONUM SECUNDA PARS CA PITULI QUARTI Circa proportionem veloc itatum in motibus in comparatione ad 8 0 s pat ium , div e r s i s dive r s a v i d e nt u r .” – (fr:2231) [Trattato delle proporzioni, seconda parte, capitolo quarto: Riguardo alla proporzione delle velocità nei moti in confronto allo spazio, a diversi appaiono cose diverse.]. L’autore registra un’opinione diffusa: “Quib u s dam e ni m v i de t ur p r er por tionem motuum loc a lium in v e loc itate e s s e tamquam s patio rum s itual ium c o rpo r e o rum e o de m te mpo r e de s c ripto rum .” – (fr:2232) [Ad alcuni sembra infatti che la proporzione dei moti locali in velocità sia come quella degli spazi locali corporei descritti nel medesimo tempo.]. Tale posizione viene subito rigettata attraverso due contro-esempi.

Il primo mostra l’assurdità di ammettere che un intero e la sua metà manterrebbero la stessa proporzione: “Qua e r e dar­ g uitur de fa c i l i , quia t un e quo dl ib e t c o r pu s motum s ua m e di e tate i n duplo v e l o c i u s m ov e r e tu r .” – (fr:2233) [Il che si confuta facilmente, perché allora un qualunque corpo intero in moto si muoverebbe con velocità doppia rispetto alla propria metà.]. Il secondo conduce allo stesso paradosso quantitativo: se un corpo intero copre uno spazio di un piede in un’ora e un corpo suo submùltiplo (subduplo) copre uno spazio di lunghezza doppia nella stessa ora, i due corpi risulterebbero ugualmente veloci (fr:2234). Infine, il testo osserva che con quella regola non si potrebbe neppure confrontare il moto di un punto con quello di un corpo, perché gli spazi descritti non sono commensurabili: “Ne e e tiam tune po s s e t m otu s pun c t i n e e l ine a e in v e l o c itate a d motum c o rpo r i s c omparar i , quia ne e s patia ab e i s de s c r ipta in 90 qua ntitate c onve niunt .” – (fr:2235) [E neppure allora si potrebbe confrontare in velocità il moto di un punto in una linea col moto di un corpo, perché gli spazi da essi descritti non concordano in quantità.].

L’insieme rappresenta un documento coerente del metodo proporzionale medievale: i teoremi geometrici, appoggiati al peso di Archimede, esemplificano il calcolo dei rapporti di grandezze, mentre la critica al semplice proporzionalismo spazio-velocità prepara il terreno a dottrine cinematiche più raffinate come quella di Thomas Bradwardine, di cui il testo è una fonte diretta.

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[26.1/1-32-2263|2293]

26 La velocità massima e le proporzioni dei moti circolari nel Tractatus proportionum

Il testo espone una definizione rigorosa della velocità nel moto locale e, a partire da essa, deduce le proporzioni che governano i moti circolari uniformi. L’asse portante è che la velocità non va misurata sul corpo nella sua interezza né sul punto medio o più lento, bensì sul punto che descrive l’intervallo lineare più ampio. L’autore dichiara:

“It , the r e fo r e , s e e m s m o r e r e a s onabl e to s a y that the s ge e d o f l o c al motion i s to b e de te r mine d by the s pe e d o f the m o s t raP-i dl y: mo ving P-O int of the b o dy in qu e s tion , fo r s p e e d o f motion c o ns i s t s in a b o dy’ s t r a v e r s a l o f a g r e a t , unmoving inte r va l in a s ho r t tim e (whe the r that inte r va l be r e al or i m a g ine d).” – (fr:2272) [Sembra perciò più ragionevole affermare che la velocità del moto locale debba essere determinata dalla velocità del punto che si muove più rapidamente nel corpo in questione, poiché la velocità del moto consiste nell’attraversamento, da parte del corpo, di un grande intervallo immobile in un tempo breve (sia esso reale o immaginato).]

Questa concezione viene ribadita in modo equivalente:

“Put in anothe r way, s pe e d of m otion i s c on s titute d b y the fac t that a b o dy e ithe r t r av e r s e s , o r wo ul d tr ave r s e (if i t we r e matche d a g ains t that b o dy) a g r e at fi xe d s pa c e i n a s ho r t time .” – (fr:2273) [In altre parole, la velocità del moto è costituita dal fatto che un corpo o percorre, o percorrerebbe (se fosse confrontato con quel corpo) un grande spazio fisso in un tempo breve.]

L’esigenza di un intervallo immaginato nasce dal caso limite della sfera suprema, la cui superficie esterna non delimita alcuno spazio reale:

“(An imag ine d i nte r va l wo ul d b e r e quir e d in the c a s e o f the hi ghe s t s phe r e , whi c h , a t it s oute r s u r fa c e , do e s not m a r k off any s pa c e .” – (fr:2274) [(Un intervallo immaginato sarebbe richiesto nel caso della sfera suprema, la quale, alla sua superficie esterna, non demarca alcuno spazio.)]

Stabilito che l’intervallo di riferimento è lineare e non di volume né di superficie, si precisa che la velocità non va desunta dal minimo né dal medio, ma dal massimo tragitto lineare. Ciò conduce alla posizione di due principi assiomatici:

“It i s , the r e fo r e , line a r and , b e c a u s e the s p e e d o f l o c a l m otion i s to b e de te r m ine d b y neithe r the m i nimum no r the m e an of the i nte r val t r a ve r s e d (b ut , in s te a d , by the maxim um) the s e two pr inc ipl e s a r e to b e c on s ide r e d a s axiomatic : Axiom 1 .” – (fr:2276) [È, dunque, lineare e, poiché la velocità del moto locale non deve essere determinata né dal minimo né dal medio dell’intervallo percorso (ma, invece, dal massimo), questi due principi sono da considerare come assiomatici: Assioma ]

Assioma 1 – La velocità di qualsiasi moto locale è riferita al massimo intervallo lineare descritto da un punto del corpo in movimento:

“The s pe e d o f any lo c al mov e m e nt i s to b e und e r s tood a s r efe r r ing to the g r e a te s t line a r int e r va l d e s c r ib e d b y: any_ po int o f the b o d� in moti o n .” – (fr:2277) [La velocità di qualsiasi moto locale va intesa come riferita al massimo intervallo lineare descritto da un punto qualsiasi del corpo in movimento.]

Assioma 2 – La proporzione tra le velocità di due moti locali è uguale alla proporzione tra i massimi intervalli lineari descritti nello stesso tempo da due punti dei rispettivi corpi:

*“The pr opo r tion b e twe e n t h e s pe e d s o f a ny two l o c a l moti o n s i s equa l to t h e P-r opo r tion b e twe e n t h e g r e a te s t line a r inte r val s des c r ib e d , d u r ing the s a me time , __Qy two po int s o f the two bodie s in motio n , r e s pe c tive ly: .”* – (fr:2279) [La proporzione tra le velocità di due qualsiasi moti locali è uguale alla proporzione tra i massimi intervalli lineari descritti, nello stesso tempo, da due punti dei due corpi in movimento, rispettivamente.]

A questi due assiomi se ne aggiunge un terzo, mutuato dalla geometria della sfera:

“T o the s e two a thi r d may b e adde d : Axi o m 3 .” – (fr:2280) [A questi due se ne può aggiungere un terzo: Assioma ]
“O f the c i r c l e s c ontained in a s phe r e , that whi c h tran s e c t s the c e nte r i s la r g e r than the othe r s .” – (fr:2281) [Dei cerchi contenuti in una sfera, quello che passa per il centro è più grande degli altri.]
“(Thi s i s e vident by The o r e m V I , Chapte r I o f The o do s iu s’ De s pha e r i s .)” – (fr:2282) [(Ciò è evidente dal Teorema VI, Capitolo I del De sphaeris di Teodosio.)]

L’autore dichiara di servirsi di questi assiomi, unitamente a quanto già stabilito, per confutare alcune conclusioni di un autore precedente, pur concordando con molte altre e dimostrandole in modo più breve e agevole:

“B y the u s e o f the s e a xiom s , to g e the r with wha t ha s gone b e fo r e , we a r r ive at the oppo s ite of some of thi s autho r’ s theo r e m s ; b ut , in many the o re m s (whi c h we p r o v e muc h m o r e e a s ily and b r i e fly) we a g r e e with him .” – (fr:2283) [Mediante l’uso di questi assiomi, insieme con quanto precede, giungiamo all’opposto di alcuni teoremi di questo autore; ma, in molti teoremi (che dimostriamo molto più facilmente e brevemente) concordiamo con lui.]

26.1 I teoremi sulle proporzioni circolari

La parte propositiva si articola in tre teoremi, che applicano gli assiomi ai moti circolari uniformi.

Teorema I – Il rapporto tra le velocità con cui due punti descrivono circonferenze di cerchi nello stesso tempo è uguale al rapporto tra i diametri di quei cerchi.

“The pr opo r tion b e twe en the s pe e d s wi th whi c h any two point s uni fo r mly de s c ribe the c i r c u mfe r e nc e s of c i r c l e s in the sam e t i m e i s e qual to the pr o po r tion b e twe e n the diam e t e r s o f tho s e c i r c le s .” – (fr:2284) [La proporzione tra le velocità con cui due punti qualsiasi descrivono uniformemente le circonferenze di cerchi nello stesso tempo è uguale alla proporzione tra i diametri di quei cerchi.]

La dimostrazione si fonda sugli Assiomi 1 e 2, secondo cui le velocità e le circonferenze descritte sono proporzionali; invocando poi l’Assioma 4 e la definizione di proporzionali, si conclude il teorema (fr:2285). Ciò presuppone che le circonferenze siano già note come proporzionali ai diametri, nozione geometrica di base.

Teorema II – Il rapporto tra le velocità con cui due diametri o due raggi descrivono cerchi uniformemente nello stesso tempo è pari al rapporto tra i diametri o tra i raggi stessi.

“The pr opo r tion b e twe e n the s pe eds with whi c h any two dia m e te r s o r radii uni fo r mly de s c r ib e c i rc l e s in the s a m e t i m e is equa l to the pr opo r tion b e twe e n thei r diame te r s or radi i .” – (fr:2287) [La proporzione tra le velocità con cui due diametri o raggi qualsiasi descrivono uniformemente cerchi nello stesso tempo è uguale alla proporzione tra i loro diametri o raggi.]

La prima parte si prova con l’Assioma 1 e il teorema precedente; la seconda parte discende dal fatto, facilmente dimostrabile sulla base del Capitolo I, che le proporzioni tra diametri e raggi sono le stesse (fr:2288).

Teorema III – Ogni coppia di circonferenze di cerchi descritte uniformemente nello stesso tempo, sia che una ruoti su se stessa e l’altra percorra l’intera superficie di una sfera, risulta proporzionale alle rispettive velocità.

“Eve ry two c ir c ul a r c i r c um fe r e nc e s uni fo r mly de s c rib e d i n the s a m e t i m e (whe th e r i n a pla c e , o r d e s c ribing the s ur fa c e s o f 1 32 T R AC T AT US P RO PO R T IONUM desc ribentes sive unam in se et a liam per totam superfi c i e m spherae, suis veloc itatibus proport ionales ostendes .” – (fr:2290) [Ogni due circonferenze circolari descritte uniformemente nello stesso tempo (sia in un piano, sia descrivendo le superfici di una sfera), le mostrerai proporzionali alle loro velocità.]

Per chiarire la distinzione tra i due tipi di moto, il testo esemplifica:

“Circumferentia enim c irculi quaedam movetur in se, ut c irc um- 1 6 0 ferent i a aequinoctialis , et quaedam describit totam superfic iem spherae, ut c irc umferentia telluris .” – (fr:2291) [Infatti una certa circonferenza di cerchio si muove in se stessa, come la circonferenza equinoziale, e un’altra descrive l’intera superficie della sfera, come la circonferenza della terra.]

La prima parte del teorema si prova con gli Assiomi 1 e 2, la seconda si rende evidente con l’aggiunta che il punto che termina il diametro del moto della circonferenza che descrive la superficie sferica traccia un cerchio massimo maggiore di qualsiasi altro punto della stessa circonferenza (fr:2292‑2293).

Il brano costituisce una testimonianza esemplare della matematizzazione della cinematica nel XIV secolo: la velocità è trattata come grandezza lineare commisurabile attraverso rapporti, le proprietà geometriche della sfera (teodosiane) vengono integrate nella physica e il ricorso all’intervallo immaginato per la sfera ultima mostra la consapevolezza del problema di uno spazio assoluto di riferimento.

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[27.1/1-48-2357|2402]

27 La determinazione delle proporzioni elementari nel Tractatus proportionum

Il testo mostra come un autore medievale, combinando l’autorità di Alfonso e Thābit con la dottrina euclidea delle proporzioni continue, giunga a delimitare i rapporti volumetrici tra le sfere dei quattro elementi e la Terra.

Il brano appartiene a un trattato sulle proporzioni e affronta un problema cosmologico classico: stabilire in quale rapporto stiano fra loro le sfere degli elementi (terra, acqua, aria, fuoco) e la sfera terrestre. L’autore parte da un dato trasmesso senza dimostrazione da due autorità:

“Disregarding fractions, Thebit, the son of Chara, in his Preamble to the Almagest, agrees on the integers” – (fr:2356) [«Tralasciando le frazioni, Thābit ibn Qurra, nel suo Preambolo all’Almagesto, concorda sugli interi»]

“This is correct on the authority of Alpharganus, in the 21st of his Differentiae, where he claims that the shortest distance from the earth to the moon is related to the radius of the earth in the above proportion” – (fr:2355) [«Ciò è corretto sull’autorità di al-Farghānī, nel 21° capitolo delle sue Differentie, dove afferma che la minima distanza dalla Terra alla Luna sta al raggio terrestre nella suddetta proporzione»]

Tale proporzione è che il diametro dell’intera sfera corruttibile (il mondo sublunare) è, trascurando la frazione, 33 volte quello terrestre:

“The diameter of the entire corruptible sphere is, therefore, (neglecting the fraction) 33 times the diameter of the earth” – (fr:2359) [«Il diametro dell’intera sfera corruttibile è dunque, (trascurando la frazione), 33 volte il diametro della terra»]

Benché la cifra sia data senza dimostrazione, l’autore la ritiene comunque certa appoggiandosi al Libro V dell’opera di Thābit e al Libro V dell’Almagesto tolemaico (fr:2357). A partire da questo rapporto lineare, egli costruisce la corrispondente proporzione tra i volumi, utilizzando termini in progressione continua. Posto il diametro terrestre come unità e quello dell’intera sfera corruttibile come 33, si generano i termini 1, 33, 33² = 1089 e 33³ = Poiché quattro termini in proporzione continua (1, 33, 1089, 35937) danno come rapporto fra il primo e l’ultimo il cubo del rapporto fra il terzo e l’ultimo, l’autore conclude:

“Therefore (by Axiom 5 of the first part of this Chapter) the whole corruptible sphere contains the sphere of earth 35937 times” – (fr:2364) [«Pertanto (per l’Assioma 5 della prima parte di questo Capitolo) l’intera sfera corruttibile contiene la sfera della terra 937 volte»]

Questo valore (35.937 : 1) rappresenta la proporzione della somma dei quattro elementi rispetto alla sola sfera terrestre. La questione si sposta allora sulla ricerca di quattro termini in proporzione continua che, sommati, restituiscano tale rapporto complessivo e che abbiano come base la proporzione incognita fra ogni elemento e il successivo più piccolo. L’autore procede per tentativi controllati, una sorta di “caccia” (venandi) alla proporzione vera.

Il primo tentativo adotta il rapporto 32 : 1: la serie 1, 32, 1024, 32768 dà come somma 825. Il rapporto fra questa somma e il termine minimo 1 è inferiore a 937/1, perciò:

“The proportion of 32 to 1 is, therefore, less than the proportion of water to earth” – (fr:2371) [«La proporzione di 32 a 1 è, di conseguenza, minore della proporzione dell’acqua alla terra»]

Il secondo tentativo impiega la serie 1, 33, 1089, 35937, la cui somma è 060. Questa volta il rapporto fra la somma e il minimo è maggiore di quello richiesto (il testo latino chiarisce: “Huius autem termini sic collecti ad minimum praedictorum est maior proportio quam totius sphere corruptibilium ad spheram terrae” – fr:2373 [«Ora, la proporzione di questo termine così ottenuto rispetto al minimo dei suddetti è maggiore di quella dell’intera sfera corruttibile alla sfera terrestre»]). Dunque la proporzione cercata fra gli elementi è minore di 33 a 1:

“Proportio igitur 33 ad l est maior proportione unius elementorum ad proximum sibi minus ; et, licet Alphragani minutias computemus, proportionem elementorum praedictam nullatenus in integris excedemus” – (fr:2374) [«La proporzione di 33 a 1 è dunque maggiore della proporzione di un elemento a quello immediatamente inferiore; e, anche calcolando le frazioni di al-Farghānī, non supereremo mai la suddetta proporzione degli elementi in numeri interi»]

L’incastro viene perfezionato ricorrendo proprio alle frazioni di Alfonso. Infatti, secondo i dati precisi di quel dotto, il diametro della sfera corruttibile sta a quello terrestre non esattamente come 33 a 1, ma il termine massimo contiene il minimo “36926 et 296 ex 8000 partes eius” (fr:2376) [«36.926 e 296/8000 volte»]. Il rapporto esatto della somma dei quattro elementi al solo globo terrestre diventa quindi 926 + 296/8000 : 1, che è minore di 060 : 1 (fr:2378). Di conseguenza, anche quando si tien conto delle frazioni alfarganiane, la proporzione tra un elemento maggiore e il successivo minore è leggermente inferiore a 33 : 1 (fr:2379).

L’intero percorso probativo conduce a una conclusione espressa in forma di teorema:

“Igitur, secundum omnem sententiam est ista conclusio manifesta : Cuiuslibet elementi maioris ad proximum sibi minus proportio est maior proportione 32 ad 1 et minor quam 33 ad 1” – (fr:2380) [«Dunque, quale che sia il punto di vista, è manifesta questa conclusione: la proporzione di qualsiasi elemento maggiore a quello immediatamente minore è maggiore della proporzione di 32 a 1 e minore di 33 a 1»]

Nel testo inglese la stessa affermazione è rubricata come Theorem I (fr:2400‑2401). A questo risultato si collegano altri enunciati. Il Theorem II (fr:2402) – corrispondente alla proposizione latina “Proportio sphere ignis ad spheram compositam ex tribus elementis residuis est maior proportione 31 ad 1” (fr:2381) – mostra che la sfera del fuoco contiene il composto degli altri tre elementi più di 31 volte. La dimostrazione riutilizza i termini 1, 32, 1024, 32768: la somma dei primi tre (1057) rappresenta la sfera formata dagli elementi inferiori, mentre il quarto (32768) simboleggia il fuoco; effettuando la divisione si ottiene quoziente 31 con resto, ossia il fuoco contiene quel composto “trigesies et semel et amplius” (fr:2385).

Infine, l’autore applica le proporzioni trovate alla distanza della convessità dell’aria dal centro della Terra, ottenendo che essa è compresa tra 10 e 11 semidiametri terrestri:

“Distantia convexitatis aeris a centro terrae plus decies et minus undecies continet semidiametrum sphere terrae” – (fr:2388) [«La distanza della convessità dell’aria dal centro della terra contiene la semidiametro della sfera terrestre più di dieci e meno di undici volte»]

La ragione è che tale distanza è la metà del diametro della sfera composta dai tre elementi inferiori (A), e, ponendo il rapporto fra elementi come 32:1, il semidiametro di A supera di poco i 10 semidiametri terrestri (fr:2389‑2392). L’autore sottolinea la generalità del metodo: “secundum eundem modum venandi, cuiuslibet et quorumlibet elementorum proportio ad quodlibet et quaelibet eorumdem poterit deprehendi” (fr:2387 [«Con lo stesso metodo di caccia si potrà trovare la proporzione di un qualsiasi elemento a uno qualsiasi degli altri»]).

Il testo ha una chiara valenza di testimonianza storica. Esso mostra come la scienza medievale combinasse l’accoglimento di auctoritates antiche (al-Farghānī, Thābit, l’Almagesto) con una tecnica matematica rigorosa – la teoria euclidea delle proporzioni continue – per quantificare l’ordine cosmico aristotelico-tolemaico. Le delimitazioni numeriche non sono ottenute per misurazione diretta, ma attraverso un’argomentazione che fa leva sulla congruenza tra i numeri e la struttura fisica degli elementi, secondo una procedura che l’autore stesso chiama “venandi”, quasi un’indagine naturalistica algebricamente assistita.

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[28.1/1-44-2404|2446]

28 Il cosmo elementare e la sua misura: un’applicazione della teoria delle proporzioni

La grandezza delle sfere dei quattro elementi e la distanza dell’aria dalla Terra sono qui determinate mediante progressioni geometriche e proporzioni composte, in un procedimento che incarna il passaggio dalla cosmologia qualitativa a una fisica matematizzata di matrice scolastica.

Il punto di partenza è la rappresentazione dei quattro elementi – terra, acqua, aria e fuoco – con quattro termini in progressione continua secondo il rapporto in cui ciascun elemento contiene quello immediatamente inferiore. Se si assume tale rapporto maggiore di 32 a 1, si ottiene la sequenza: “I, 32, 1024, 32768” – (fr:2404). La somma dei primi tre termini, 1057, rappresenta la sfera composta dai tre elementi inferiori, mentre il quarto termine corrisponde alla sfera del fuoco. Dividendo quest’ultimo per la somma dei primi tre si ottiene il quoziente “31 + 1” – (fr:2405), frazione che indica quante volte la sfera ignea contiene l’insieme delle sfere inferiori.

Il Teorema III fissa un limite alla distanza della superficie esterna dell’aria dal centro della Terra. Chiamata A la sfera che comprende i tre elementi inferiori, tale distanza è “half the diameter of the sphere comprising the three lower elements” – (fr:2408) [metà del diametro della sfera comprendente i tre elementi inferiori]. L’obiettivo è mostrare che il raggio di A contiene il raggio terrestre più di 10 e meno di 11 volte.

Per il limite inferiore si riprende l’ipotesi che un elemento contenga il minore 32 volte: i tre termini “1, 32, 1024” – (fr:2411, 2428) danno una sfera A il cui volume è 1057 volte la sfera terrestre. Il rapporto tra i diametri è allora la radice cubica di 1057: “the cube root of this proportion (by Axiom 5 of this chapter) will be the proportion between the diameter A and the diameter of the earth” – (fr:2429) [la radice cubica di questa proporzione (per l’Assioma 5 di questo capitolo) sarà la proporzione tra il diametro A e il diametro della terra]. Per valutarla, si considera la progressione decupla “1, 10, 100, 1000” – (fr:2413, 2430), il cui rapporto estremo è il cubo di 10 a Poiché 1057 > 1000, la radice cubica di 1057 supera 10, e di conseguenza “the radius of A contains the radius of the earth more than 10 times” – (fr:2434) [il raggio di A contiene il raggio della terra più di 10 volte].

Per il limite superiore si suppone invece che un elemento contenga il minore 33 volte. I tre termini diventano “1, 33, 1089” – (fr:2419, 2436), con somma 1123, sicché il volume di A è 1123 volte la Terra. Si adotta ora la progressione undecupla “1, 11, 121, 1331” – (fr:2421, 2438), il cui rapporto estremo è il cubo di 11 a Essendo 1123 < 1331, la radice cubica di 1123 è minore di 11: “the proportion between the diameter of A and the diameter of earth (and, consequently, that between their radii) will be less than the proportion of 11 to 1” – (fr:2446) [la proporzione tra il diametro di A e il diametro della terra (e, di conseguenza, quella tra i loro raggi) sarà minore della proporzione di 11 a 1]. Le medesime conclusioni sono espresse nel corpo latino del testo: “Semidiameter igitur A plus decies continet semidiametrum spherae terrae” – (fr:2418) [Il semidiametro di A contiene dunque più di dieci volte il semidiametro della sfera terrestre] e “proportio diametri A ad diametrum terrae […] proportione undecupla minor erit” – (fr:2425) [la proporzione del diametro di A al diametro della terra sarà minore della proporzione undecupla].

Il metodo si generalizza infine a qualsiasi combinazione di elementi e alle loro distanze: “by the same method the proportions between any and all combinations of the elements can be worked out” – (fr:2407) [con lo stesso metodo si possono calcolare le proporzioni tra qualsiasi combinazione di elementi]. Una frase isolata ma suggestiva colloca il punto medio della distanza tra la concavità del cielo e il centro della terra ben al di sopra della sfera dell’aria: “Punctum medium distantiae concavitatis caeli a medio puncto terrae multum supra convexitatem aeris situatur” – (fr:2427) [Il punto medio della distanza della concavità del cielo dal centro della terra è situato molto sopra la convessità dell’aria], coerentemente con le proporzioni stabilite.

L’intero passo costituisce una testimonianza del tentativo medievale di saldare la fisica degli elementi di matrice aristotelica con l’aritmetica delle proporzioni, trasformando assunzioni cosmologiche in disuguaglianze quantitative stringenti.

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[29.1/1-78-2499|2574]

29 L’apparato critico di un trattato medievale sulle proporzioni e la sua trasmissione testuale

Uno sguardo alle varianti di copiatura svela la fluidità terminologica e le difficoltà di trasmissione di concetti matematici antichi.

Le note critiche, compilate a partire da sette manoscritti, offrono un frammento del lavoro editoriale condotto su un trattato scientifico dedicato alla classificazione delle proporzioni. Il testo copre un arco di pagine (66-74) in cui vengono definite e suddivise le specie dei rapporti numerici, dalla proporzione multipla a quella superparticolare e superpartiente, fino alle medietà armoniche. Lo studio delle varianti rivela sia la persistenza di un nucleo teorico stabile, sia le oscillazioni che ne hanno segnato la copiatura nel corso dei secoli.

Un primo nucleo di varianti riguarda la terminologia di base. La distinzione tra quantità commensurabili e misurabili, ad esempio, è attestata dallo scambio “c ommensurabilibus : mensurabilibus” (fr:2499) [commensurabili: misurabili], dove la forma più tecnica cede il passo a un termine generico. Allo stesso modo, il concetto di proporzione come habitudo (relazione) viene omesso in alcuni testimoni (“habitudo om.”, fr:2507), lasciando la definizione priva di un elemento essenziale. L’aggiunta di inaequalium da parte del manoscritto O (“O 4 1 ante inaequalium add.”, fr:2508) [O 41 prima di “ineguali” aggiunge] mostra la necessità sentita da alcuni copisti di esplicitare che si sta trattando delle proporzioni di disuguaglianza.

Il cuore del testo è la sistemazione delle proporzioni composte, ed è qui che si concentrano le maggiori incertezze testuali. L’apparato segnala esplicitamente che, per alcune linee, “a causa dell’incertezza nello stabilire il testo originale, sono fornite le varianti di tutti e sette i manoscritti” (fr:2525). In questi passi, la nomenclatura oscilla in modo significativo. Per la categoria del multiplex superparticulare, il copista di Q sostituisce sistematicamente superparticularis con superpartiens (“duplex superparticularis : duplex superpartiens Q”, fr:2531) [duplice superparticolare: duplice superpartiente Q], confondendo due generi distinti di rapporti (come 5:2 e 5:3). La medesima confusione si ripete per il termine semplice: “superpartiens: superparticularis Q” (fr:2511) [superpartiente: superparticolare Q].

Le combinazioni con i nomi delle unità frazionarie generano un’ampia varietà di lezioni. Nel caso del rapporto che eccede di due terzi, si trovano forme come “superbitertia: superbialterna Q, superbipartiens tertia” (fr:2522). La variante superbialterna è un probabile errore di lettura, mentre l’oscillazione tra superpartiens e superbipartiens (con il prefisso bi- che specifica il numeratore due) si incontra in più punti: “superpartienti s : superbipartienti s B” (fr:2541) [del superpartiente: del superbipartiente B]. Ciò indica che la distinzione tra la categoria generale e le sue sottospecie non era stata fissata in modo univoco. Un analogo slittamento si osserva per i numerali, dove “quartae : quattuor Q” (fr:2522) [quarte: quattro Q] trasforma un ordinale in un cardinale, stravolgendo il senso matematico.

Anche la sintassi con cui vengono espresse le proporzioni mostra varianti notevoli. La locuzione “dupla sesquialtera” è resa da un manoscritto come “duplex sesquialtera” (“du pla se squialtera : duplex se squialtera X”, fr:2534) [doppia sesquialtera: duplice sesquialtera X], e l’ordine delle componenti può invertirsi tra i testimoni. Queste differenze rispecchiano la mancanza di una formula standardizzata per descrivere rapporti come 2 + 1/2.

La sezione finale sulle proporzioni armoniche presenta varianti che sfumano il significato tecnico. Un manoscritto aggiunge una glossa esplicativa: “e s t i n t r ib u s te r m ini s : s c ili c e t ha r moni c a e s t N” (fr:2564) [è in tre termini: cioè armonica è N]. La definizione della proporzione armonica, basata sul rapporto tra le differenze dei termini, subisce un mutamento cruciale quando viene copiata come “differentiam medii et: ad differentiam medii et medii ad” (fr:2565), che modifica la costruzione sintattica e, di riflesso, la procedura di calcolo.

Questo insieme di varianti non è soltanto un elenco di errori meccanici. Rappresenta la testimonianza stratificata della ricezione medievale di un sapere matematico di origine tardo-antica. Le continue oscillazioni tra superpartiens, superbipartiens, superparticularis, e le aggiunte o omissioni di termini come autem (“poi”, fr:2510) o vero (“invero”, fr:2501), disegnano il profilo di un testo tecnico la cui complessità concettuale metteva alla prova la competenza dei copisti, rendendo l’edizione critica uno strumento indispensabile per avvicinarsi alla forma originaria del pensiero matematico che veicola.

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[30.1/1-64-2586|2647]

30 Un trattato medievale sulle proporzioni: conclusioni e varianti testuali

Un’edizione critica che ricostruisce una serie di conclusioni sulla proporzionalità geometrica, mostrando la terminologia matematica e le divergenze fra i manoscritti.

Il frammento restituisce un segmento di un trattato scientifico latino imperniato sulla teoria delle proporzioni, molto probabilmente un Tractatus de proportionibus di matrice tardomedievale. Il testo è organizzato in una catena di conclusiones numerate, ciascuna delle quali enuncia una proprietà delle proporzioni, con particolare attenzione alla proporzionalità geometrica. La forma è quella di un’esposizione scolastica, corredata da lettere (A, B, C, D) che designano grandezze messe in relazione. Numerose varianti manoscritte, segnalate dalle sigle dei testimoni, accompagnano ogni passo offrendo uno spaccato della trasmissione testuale.

Il principio ordinatore compare subito nel riferimento alla proportionalitas geometrica, definita come “sunt illa quorum proportionalium proportionalitate geometrica” – appartengono alla proporzionalità geometrica quei rapporti in cui si osserva proporzionalità geometrica (fr:2588). Il trattato distingue nettamente fra proporzioni di uguaglianza e proporzioni di disuguaglianza, e inizia con la “prima conclusio maioris inaequalitatis” (fr:2618), la prima conclusione relativa alla maggiore disuguaglianza. Le conclusioni successive precisano i legami fra i termini: la seconda stabilisce che “ad proximum sequentem est tripla” – la proporzione rispetto al termine immediatamente seguente è tripla (fr:2622); altre, come la terza e la quarta, trattano del doppio e del rapporto fra il primo e il terzo termine (“tertii … dupla”, fr:2631).

Un passaggio notevole riguarda la composizione delle proporzioni doppie: “proportio quadrupla est dupla proportionis duplae” – la proporzione quadrupla è il doppio della proporzione dupla (fr:2642). Qui la proporzione è intesa come quantità che può essere duplicata, rivelando una mentalità che quantifica i rapporti come enti a sé stanti. Il testo fa ricorso anche al principio euclideo che “aequale eidem aequalia” (cose uguali a una stessa sono uguali fra loro) applicato alle proporzioni (fr:2643).

La dimensione storica è accentuata dalla presenza di varianti derivate da diversi manoscritti, indicate con lettere come B, N, O, D, Q, che mostrano oscillazioni terminologiche (ad esempio proportionalitate vs. proportione, quotlibet vs. quorumlibet, dupla vs. duplae). L’esplicito rimando “V Euclidi … Quarta est ista” (fr:2604) ancora il discorso al libro V degli Elementi di Euclide, fonte canonica per la dottrina delle proporzioni nel Medioevo. L’insieme testimonia la vivace cultura matematica delle scuole tardomedievali, dove la terminologia delle proportiones costituiva lo strumento concettuale per affrontare problemi di fisica, cinematica e logica.

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[31.1/1-78-2689|2764]

31 Analisi della critica testuale e del dibattito medievale sul moto e la proporzionalità

Il testo consiste in un apparato critico di varianti, che testimonia il lavoro filologico su un commentario medievale alla fisica aristotelica, rivelando un sofisticato dibattito sulla proporzionalità tra potenza motrice, resistenza del mezzo e velocità.

Il contenuto frammentario, pur essendo materiale per un’edizione critica, permette di ricostruire un ragionamento compatto di natura fisico-matematica. Il testo di partenza è un commento a passi del De Caelo e del De generatione, come indicato dai riferimenti. Una citazione suggerisce il contesto: “De caelo” - (fr:2737). Il cuore del dibattito è una specifica opinio (opinione) sulla dinamica che viene esposta e poi confutata.

L’opinione in esame è fondata su un principio di stretta proporzionalità: viene supposto che un motore possa muovere qualsiasi mobile, purché la sottigliezza del mezzo sia incrementata in proporzione alla resistenza. L’esposizione di questa tesi emerge da diverse varianti: “huius opinionis supponit” - (fr:2728) [suppone di questa opinione]; “si media subtiliantur in eadem proportione qua excedit gravitas motoris gravitatem mobilis, quod consequenter movetur mobile” - (fr:2736) [se i mezzi sono assottigliati nella stessa proporzione con cui la gravità del motore eccede la gravità del mobile, allora il mobile sarà conseguentemente mosso]. L’idea è che, potenzialmente, “potest in infinitum medium subtiliari et excessus duplari” - (fr:2744) [il mezzo può essere assottigliato all’infinito e l’eccesso duplicato].

L’autore del commento passa poi a smontare questa posizione, considerandola “arguenda” - (fr:2740) [da confutare]. La critica si articola su più punti, evidenziando sia un’insufficientia (inadeguatezza) sia le consequentia (conseguenze) errate della teoria. Un primo problema sorge se si ammette la possibilità di un’illimitata rarefazione del mezzo: “sequeretur quod in vacuo posset fieri motus” - (fr:2712) [ne seguirebbe che nel vuoto potrebbe avvenire il moto], una conclusione paradossale e inaccettabile nella fisica aristotelica.

L’argomentazione più stringente è di natura sperimentale e logica. Viene introdotto un contro-esempio con l’azione di un uomo forte, sfidando la tesi che un motore maggiore possa muovere un peso proporzionalmente maggiore nello stesso tempo: “cuius contrarium declarat experimentum” - (fr:2724) [il cui contrario è dichiarato dall’esperienza]. L’esperienza mostra che un uomo forte non riesce a muovere un peso smisuratamente grande solo perché la sua forza è maggiore, confutando una diretta proporzionalità.

Il commento sviluppa una conclusione negativa che è un pilastro della dinamica aristotelica: “nulla est proportio motoris ad mobile quod non potest movere” - (fr:2762) [non c’è alcuna proporzione del motore rispetto al mobile che non può muovere]. Se non esiste una proporzione finita, il moto è impossibile, indipendentemente dalla sottigliezza del mezzo. Il testo rafforza il concetto con una formulazione generale: “Ex his ostenditur ista conclusio negativa: quod non oportet si aliquis motor est maior alio, quod possit movere maius mobile” - (fr:2724) [Da queste cose si mostra questa conclusione negativa: che non è necessario, se un motore è maggiore di un altro, che esso possa muovere un mobile maggiore].

Viene inoltre integrato il pensiero di Averroè, a sostegno di questa critica. Si cita il suo commento nel contesto del quarto capitolo: “Et in fine commenti 25 et ultimum vult Aristoteles” - (fr:2730) [E alla fine del commento 25 e ultimo, Aristotele vuole]. Un’altra sezione richiama direttamente il commentatore: “Commentator dicit… quod quanto aliqua moventia sunt fortioris virtutis, tanto movent velocius” - (fr:2761) [Il Commentatore dice… che quanto più alcuni moventi sono di virtù più forte, tanto più velocemente muovono], collegando la potenza alla velocità e non al semplice superamento di una resistenza sproporzionata.

La discussione culmina in un’analisi matematica degli eccessi. Si immagina un mobile con una resistenza doppia e un motore con una potenza doppia: non si ottiene un moto alla stessa velocità, come l’opinione criticata avrebbe predetto. L’analisi tecnica è condensata nel passo: “si excessus motoris ad suum mobile est aequalis excessui alterius motoris ad suum mobile, tunc aeque velociter movent, ita quia non erat aequalis excessus, non sequitur quod aeque velociter moveant” - (fr:2763) [se l’eccesso di un motore rispetto al suo mobile è uguale all’eccesso di un altro motore rispetto al suo mobile, allora muovono con uguale velocità, così poiché l’eccesso non era uguale, non segue che muovano con uguale velocità]. La proporzione deve considerare l’eccesso relativo, non solo la grandezza assoluta della potenza o della resistenza. Il testo ribadisce che la velocità dipende dalla proporzione tra potenza motrice e peso totale mosso, e che la mera sottigliezza del mezzo non può compensare una sproporzione fondamentale tra motore e mobile.

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[32.1/1-44-2820|2861]

32 Varianti testuali e ricostruzione filologica di un trattato sulla proporzionalità del moto

Il testo si presenta come un denso apparato di varianti manoscritte, relativo a un trattato scientifico incentrato sulle dinamiche del moto, della divisione e della proporzionalità tra agenti e pazienti. L’analisi di queste glosse permette di ricostruire non solo il contenuto dottrinale dell’opera originale, ma anche la sua trasmissione e le incertezze interpretative dei copisti.

L’opera affronta il problema della velocità di divisione e movimento. Una prima serie di varianti riguarda la sintassi e il lessico di un’argomentazione fondamentale: nei passi “BO vero 1 5 5 dividit : dividat B 1 56 i s tae om.” (fr:2820) e “D vero 1 5 5 et C: et sit C BO 1 5 5 ante m inor add.” (fr:2819), si discute se un elemento divida una quantità in parti, con differenze tra i manoscritti B e O rispetto a D. Il termine tempus viene usato in ablativo “tempore” nel manoscritto O, mentre altri codici riportano “pertran sit enim” o “pertransibit”, indicando un’oscillazione tra presente e futuro nella descrizione del processo temporale “tempus : tempore 0 1 5 7 - 5 8 pertran sit enim : et per- tran s ibit N 1 59 Iteru m : item N 1 59 manente : manife ste B 1 59-6 1 minoretur . . . secundum” (fr:2821).

Una sezione cruciale riguarda il moto comparato. In un primo caso, un soggetto A divide e si muove più velocemente che in un secondo caso, come indicato da “B tune A dividit et movetur velociu s quam in secundo ca su 16 1 Rur s u s : s ive BO 16 1 etia m : tune D 163 movetur : movebitur DO 162 -63 T une . . . ca s u om .” (fr:2824). La confusione tra secundo, primo e alio in “secundo : primo D , alio 0” (fr:2825) testimonia come la numerazione degli esempi potesse facilmente corrompersi.

Il trattato sviluppa poi un confronto di proporzionalità. In “proportionalia : proportionabilia B 1 8 1 ibi : in N, om.O 18 1 Et : ibi et Q , om.” (fr:2834) e “proportione : proportio .JiQ , ratione N 1 8 9 Non . . . aequale s om.ND” (fr:2835), si discute se grandezze siano ‘proporzionali’ o ‘proporzionabili’ e se si giunga a una conclusione di uguaglianza. L’omissione di “Non […] aequales” nei manoscritti N e D è un errore significativo che inverte il senso della frase, negando o affermando l’uguaglianza. Questa discussione si basa sul principio che la proporzione tra agente e paziente determina l’esito dell’azione, come si evince da “agendi: agentis 0 191 ad o m.N 192 sed . . . non: si quantitative BO, secundum quantitatem N 194 - 9 5 resistendi . . . qualitate o m.B” (fr:2836), dove B omette il concetto di resistenza qualitativa, alterando la completezza della teoria.

Un altro nucleo tematico è l’uguaglianza intrinseca nella virtù e nella quantità. I manoscritti divergono su come parti uguali in virtù dividano con velocità simile in un tempo uguale: “Divident : dividatur N , dividendi dividerent X , dividentur y_ 2 3 8 celerita te : velocita te Y, celeritati C 2 3 8 - 3 9 con s imili : con simile D 2 3 9 aequali : aequalita te Y.” (fr:2840). La distinzione tra intrinsece e in virtute in “Intrinsece: in virtute D 227 esse o m .BO 228 ae: et N, aut D 228 intrinsee as o m.BO” (fr:2836) mostra una tensione tra una qualità interna e una potenza attiva, concetto cardine per definire l’aequefacilis, la facilità d’azione.

Il testo contiene un interessante riferimento all’autorità di Averroè e a un esempio fisico concreto, quello della calamita e del ferro, usato per confutare o confermare una tesi: “cum Averroe : quad Averroe s BO 2 5 5 septimo : octavo 0 2 5 6 trahit : attrahit B O 2 5 6 - 5 7 cum . . . certam : cum praedictam suppo sitionem B O 2 5 7 suscipit : suscepit Q 2 5 7 - 5 8 movetur . . . tempore : mo vebitur ad illum quam idem magne s in aequa li tempore BO 2 5 7 illud : illum D 2 5 8 Idem om .” (fr:2849). La variante tra septimo e octavo (VII o VIII libro) e la differente descrizione del moto del ferro verso la calamita dimostrano come l’argomento dell’attrazione magnetica fosse centrale per discutere l’alterazione e il moto in un tempo uguale o disuguale. L’esempio si fa più specifico in “ferrum . . . magnum : tra­ heret ferrum parvum quam magnum .Q , traheret ferrum magnum quam parvum BO 2 4 3” (fr:2843), dove la versione Q inverte la dimensione del ferro attratto, creando un paradosso sulla capacità di un magnete piccolo di muovere un ferro grande.

La conclusione logica del trattato verte sul concetto di proporzionalità e infinito. Viene citato un capitulo de infinito, come indicato in “ND 1 76 capitulo de infinito” (fr:2832). Le varianti sull’azione proporzionale sono chiarissime quando si afferma che un motore può causare un moto senza fine solo se esiste una proporzione definita, come nella proporzione subduplae, che un manoscritto corrompe in quadruplae: “proportioni : proportioni s sive D , proportio 0 2 82 subduplae : quadruplae B” (fr:2861). Questo errore, da “metà” a “quadruplo”, ribalta completamente il rapporto matematico discusso. La variante finale “sine fine : in infinitum” (fr:2860) ribadisce l’orientamento dell’opera verso le condizioni limite del moto, dove la gerarchia tra proporzione del motore e resistenza del paziente determina la finitezza o l’infinità del processo.

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[33.1/1-38-2885|2920]

33 Proporzioni di velocità e testimonianza testuale in un trattato tardo-medievale sui moti locali

Il frammento analizza il rapporto tra le velocità di punti su circonferenze di diverso diametro, utilizzando un apparato critico di varianti manoscritte che rivela il metodo di lavoro e trasmissione del sapere scientifico.

Il testo si presenta come un’analisi dettagliata del moto di punti collocati su circonferenze di diverso raggio. Viene esaminata la relazione di proporzionalità tra lo spazio percorso e il tempo, con particolare attenzione alle conseguenze logiche che discendono da definizioni e supposizioni preliminari. Una conclusione fondamentale stabilisce che «N E x quo cum s ecunda definitione huiu s concluditur manife ste 6 3 s uppo s itione huiu s» — (fr:2883) [N dal che, con la seconda definizione di questo, si conclude manifestamente la supposizione di questo]. La dimostrazione si sviluppa per gradi attraverso figure e rapporti matematici, come si evince dal frammento: «. . dupla: invenitur dupla N, coniunctim fore duplex B, coniuncitur fore dupla 0» — (fr:2887) [. . doppia: si trova doppia N, congiuntamente sia doppia B, si congiunge sia doppia 0]. L’argomentazione è costruita su un principio di proporzionalità diretta tra velocità e diametro: «semidiametri circuli» — (fr:2894) [semidiametro del cerchio] è il termine tecnico utilizzato per indicare il raggio.

Il trattato procede per supposizioni, confutazioni e conclusioni dimostrative o ostensive. Un passaggio cruciale riguarda la velocità massima: «ideo velocissime» — (fr:2895) [perciò velocissimamente], concetto legato al punto che percorre lo spazio maggiore nello stesso tempo o lo stesso spazio in minor tempo. Il rapporto tra i moti viene espresso in termini come dupla (doppia) e sesquialtera, come indicato in: «se s quialteri : s e s quialterae N» — (fr:2889). La proporzione tra i moti di due punti su semidiametri diversi è oggetto di dimostrazione specifica: «proportio duplata : est duplicata BO» — (fr:2908) [proporzione duplicata: è duplicata BO]. Il testo distingue chiaramente tra moti locali uniformi e non, e tra punti che descrivono circonferenze in tempi uguali o diversi, con la precisazione che la velocità è «attenditur» (fr:2897) in base allo spazio percorso.

Significativa è la stratificazione del sapere testimonata dalle varianti e dai riferimenti esterni. L’autore cita autorità come Tolomeo e Thebit per avvalorare le proprie affermazioni sui diametri: un frammento menziona «Ptholemei : Tholomei N, potest haberi B O | Thebit : gebis B O» — (fr:2919). La discussione include anche misurazioni concrete delle dimensioni terrestri e celesti, come attesta il richiamo ad Alfragano: «Differentia : dicitur B, dictum Q, scilicet differentia D | ubi : igitur B | propiorem lunae : propinquitatem lineae B» — (fr:2917). La testimonianza si estende a proporzioni tra elementi naturali, con un esplicito rinvio al De Caelo: «Prima . . . textu: ut patet secundo Caelo, in com mento dicente , habet auctor quandam proportionem aquam ad terram ; et tertio De caelo, com mento 42, die it habent per se proportionaliter magnitudines consimilium partium satis, sci1icet e 1e men ta adinvice m» — (fr:2913).

Dal punto di vista storico e testimoniale, il testo è un documento eccezionale del lavoro filologico e scientifico. Le sigle N, B, O, D, Q indicano diversi manoscritti o edizioni confrontate da un curatore. Le annotazioni add. (aggiunge), om. (omette) e le varianti testuali rivelano un processo di collazione e correzione. Per esempio, «N circumferentiae 6 7 ante maximi add .» — (fr:2885) [N circonferenza 6 7 prima di massimo aggiunge] e «circumferentiae om .» — (fr:2904) [circonferenza omette] mostrano divergenze significative tra i testimoni. La frase «MS. X ista m partem capituli quarti non continet» — (fr:2915) [Il manoscritto X non contiene questa parte del quarto capitolo] attesta lacune materiali nella tradizione del testo, offrendo una testimonianza vivida della trasmissione imperfetta del sapere scientifico medievale.

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[34.1/1-28-3332|3358]

34 La controversa interpretazione della Teoria I del moto tra proporzione geometrica e differenza aritmetica

L’analisi critica di una formulazione attribuita ad Anneliese Maier mette in luce il rischio di fraintendere il lessico tecnico dei testi medievali e al contempo rivela la vivace indipendenza intellettuale di pensatori come Pierre Jean Olivi rispetto all’autorità aristotelica.

Il nucleo del brano ruota attorno alla corretta espressione matematica della cosiddetta Teoria I del moto, una delle dottrine discusse da Thomas Bradwardine nella sua opera. Il testo esordisce indicando quella che viene ritenuta l’interpretazione più fedele: “This theory would indicate fairly clearly the formulation: kV = F - R.” – (fr:3333) [Questa teoria indicherebbe in modo abbastanza chiaro la formulazione: kV = F - R.] Essa stabilisce che la velocità (V) è direttamente proporzionale alla differenza tra la forza motrice (F) e la resistenza (R), espressa mediante una costante (k).

Viene poi presentata la lettura alternativa di Anneliese Maier, la quale trasforma la relazione in un rapporto tra due stati: “Anneliese Maier […] interprets Theory I as V : V’ = (F - R) - (F’ - R’).” – (fr:3336) [Anneliese Maier […] interpreta la Teoria I come V : V’ = (F - R) - (F’ - R’).] Tuttavia, la formulazione esatta che il testo intende contestare è quella ribadita più avanti, ovvero “Once again issue must be taken with Miss Maier’s formulation: V : V’ = (F - R) : (F’ - R’).” – (fr:3350) [Ancora una volta bisogna contestare la formulazione della signorina Maier: V : V’ = (F - R) : (F’ - R’).] Si tratta quindi di una proporzione geometrica tra le velocità e gli eccessi di forza motrice.

L’obiezione principale a questa lettura si fonda su un’analisi terminologica precisa. L’autore osserva che, sebbene i testi parlino di una proporzione di velocità, lo fanno usando il plurale, mentre l’«eccesso» della potenza del motore sul mosso è menzionato al singolare: “Though this reading might seem, at first glance, to be supported by the fact that the texts speaks of a proportion of velocities but not explicitly of a proportion of forces, it is significant that velocities are spoken of in the plural, while the ‘excess’ of the power of mover over moved is spoken of in the singular.” – (fr:3337) [Sebbene questa lettura possa sembrare, a prima vista, supportata dal fatto che i testi parlano di una proporzione di velocità ma non esplicitamente di una proporzione di forze, è significativo che le velocità siano menzionate al plurale, mentre l’«eccesso» della potenza del motore sul mosso sia menzionato al singolare.] A ciò si aggiunge il chiarimento semantico sul sintagma tecnico sequi excessum, che non introduce un rapporto fra due eccessi, bensì esprime la variazione conforme a un unico eccesso: “‘Sequi excessum’ must mean ‘to vary in accordance with the excess’; that is, to be in equal proportion to.” – (fr:3338) [«Sequi excessum» deve significare «variare in accordo con l’eccesso»; cioè, essere in uguale proporzione ad esso.]

Il testo prende poi in esame un’ulteriore possibilità interpretativa, quella di una proporzione aritmetica anziché geometrica: “There might be some argument for supposing that an arithmetic, rather than a geometric, proportion is intended, but even in that case, the formula should read V - V’ = (F - R) - (F’ - R’) and not V : V’ = (F - R) - (F’ - R’).” – (fr:3339-3341) [Potrebbe esserci qualche argomento per supporre che si intenda una proporzione aritmetica, piuttosto che geometrica, ma anche in quel caso, la formula dovrebbe essere V - V’ = (F - R) - (F’ - R’) e non V : V’ = (F - R) - (F’ - R’).] Anche ammettendo questa ipotesi, la scrittura della Maier risulta incongruente, poiché mescola la notazione di rapporto con la differenza.

A conferma della bontà della propria esegesi, l’autore richiama la coerenza con l’interpretazione già fornita alla Teoria I: “It will be noticed that this interpretation is the same as that which we have given to Theory I.” – (fr:3351) [Si noterà che questa interpretazione è la stessa che abbiamo dato alla Teoria I.] La critica alla formulazione della studiosa si fa più stringente quando si esamina il testo di Bradwardine: “Not only does the meaning of ‘sequi proportionem’ appear to have been misread in the same way as before, but an examination of the text of Bradwardine’s first refutation of this theory clearly shows that the refutation does not follow (and is, in fact, meaningless) on the basis of Miss Maier’s formula.” – (fr:3352) [Non solo il significato di «sequi proportionem» sembra essere stato frainteso nello stesso modo di prima, ma un esame del testo della prima confutazione di questa teoria da parte di Bradwardine mostra chiaramente che la confutazione non segue (ed è, di fatto, priva di significato) sulla base della formula della signorina Maier.] Inoltre, una seconda obiezione avanzata da Bradwardine perderebbe di senso con l’impostazione della Maier, poiché in essa non si porrebbe nemmeno il problema di una resistenza proporzionale al solo residuo della forza motrice: “It should be noted that this second objection is also inapplicable, on the basis of Miss Maier’s formulation of the theory, since, according to her, there would be no question of resistance being made proportionate to only the remainder of motive force.” – (fr:3354) [Si dovrebbe notare che anche questa seconda obiezione è inapplicabile, sulla base della formulazione della teoria della signorina Maier, poiché, secondo lei, non si porrebbe la questione che la resistenza sia resa proporzionale solo al resto della forza motrice.]

Il brano si inserisce in un più ampio discorso storiografico volto a correggere l’immagine di un Medioevo intellettualmente uniforme e dogmatico. Ne è prova il richiamo alla figura di Pierre Jean Olivi, il cui atteggiamento verso Aristotele testimonia un’autentica libertà di giudizio: “Pierre Jean Olivi […] provides a nice illustration of that independent spirit which is such an important aspect of scholastic philosophy, and the following quotation shows anything but that slavish adherence to the teachings of Aristotle which has too often been wrongly supposed to have characterized all mediaeval thought.” – (fr:3346) [Pierre Jean Olivi […] fornisce un bell’esempio di quello spirito indipendente che è un aspetto così importante della filosofia scolastica, e la citazione seguente mostra tutt’altro che quell’adesione servile agli insegnamenti di Aristotele che troppo spesso è stata erroneamente ritenuta caratteristica di tutto il pensiero medievale.] La citazione diretta di Olivi è particolarmente eloquente: “Of those who followed Aristotle regarding theory of motion, Olivi writes: ‘It must be understood from the outset that Aristotle’s theory is unsound, although, enslaving their minds as though he were some god of theirs, they think this or any other argument of his the best, however sophistical, just because it has been set down and ’revealed’ by their god.’” – (fr:3349) [Di coloro che seguivano Aristotele riguardo alla teoria del moto, Olivi scrive: «Bisogna capire fin dall’inizio che la teoria di Aristotele è infondata, sebbene, rendendo schiave le loro menti come se egli fosse un qualche loro dio, essi pensano che questo o qualsiasi altro suo argomento sia il migliore, per quanto sofistico, solo perché è stato stabilito e ‘rivelato’ dal loro dio».]

Nel complesso, il testo non si limita a una puntuale disputa filologico-matematica sulla corretta trascrizione di una formula, ma offre uno spaccato del metodo scientifico bassomedievale, in cui l’esegesi del dettato aristotelico convive con la critica aperta, e la formalizzazione delle leggi del moto passa attraverso una sofisticata analisi dei rapporti tra forze, resistenze e velocità, anticipando temi che saranno centrali nella fisica moderna.

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