T. of Bradwardine - Tractatus de Proportionibus - 1328 | A | +
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1 Edizione critica del «Tractatus de proportionibus» di Thomas Bradwardine
Studio introduttivo, testo latino e traduzione inglese del trattato trecentesco sulle proporzioni delle velocità, con la biografia dell’autore, l’analisi della tradizione manoscritta e la discussione del suo contributo alla fisica matematica.
Il volume Thomas of Bradwardine: His Tractatus de Proportionibus, curato da H. Lamar Crosby Jr., è pubblicato dalla University of Wisconsin Press nel 1961 (seconda tiratura) e offre l’edizione critica del Tractatus proportionum seu de proportionibus velocitatum in motibus di Thomas Bradwardine. L’obiettivo è rendere disponibile un’opera la cui diffusione era limitata a manoscritti e alle rare copie delle prime edizioni a stampa di fine Quattrocento e inizio Cinquecento (“Il seguente testo del Tractatus de proportionibus di Thomas Bradwardine, basato sulla collazione di quattro manoscritti trecenteschi, è stato elaborato allo scopo di rendere disponibile al lettore moderno un’opera importante attualmente esistente solo in forma manoscritta e nelle copie relativamente rare delle edizioni tardo-quattrocentesche e primo-cinquecentesche” – fr:917). Dopo aver confrontato l’edizione parigina e quella veneziana, il curatore ha deciso di scartare le prime stampe a favore di una collazione dei migliori manoscritti superstiti, poiché le edizioni mostravano omissioni e passi mal ricostruiti a causa di fraintendimenti delle fonti manoscritte abbreviate (“L’edizione di Parigi […] presentava non solo un numero di omissioni minori pressoché uguale a quello riscontrabile nei singoli manoscritti, ma anche frequenti casi in cui le sue fonti manoscritte molto abbreviate erano state chiaramente fraintese, o passi […] che erano stati malamente ricostruiti” – fr:919). Dei trenta manoscritti del De proportionibus localizzati senza particolare difficoltà (“nel caso del De proportionibus stesso, la collocazione di trenta manoscritti ampiamente dispersi fu scoperta con poca fatica” – fr:88), l’edizione si fonda su quattro testimoni, tra cui il codice di Bruges, opera di un copista professionale, che manifesta errori di ripetizione tipici dello sguardo che perde di vista il punto del testo, accanto a quelli presenti nella copia vaticana (“il manoscritto di Bruges […] manifesta diversi errori di questo tipo in aggiunta a quelli contenuti nella copia vaticana” – fr:925). La politica editoriale adotta una trascrizione strettamente diplomatica, rinunciando a interventi congetturali, poiché la maggior parte dei manoscritti non era opera di professionisti e presentava trascuratezza nelle desinenze grammaticali, rendendo rischiosa qualsiasi discriminazione tra quanto il copista intendeva scrivere e quanto effettivamente tramandato (“le copie erano presumibilmente destinate principalmente all’uso privato del copista, vi era poca necessità di osservare un’accurata precisione nella registrazione delle terminazioni flessive corrette. […] la politica del presente editore è stata di registrare il più accuratamente possibile le lezioni dei manoscritti esattamente nella forma in cui appaiono stabilite” – fr:934).
L’introduzione ricostruisce la vita di Bradwardine attraverso notizie sparse e aneddoti contemporanei. Egli stesso dichiara di essere nato a Chichester (fr:31); durante il soggiorno a Oxford, dove compose tutti i suoi scritti (fr:41), tenne una famosa disputa con Giovanni Baconthorp sulla prescienza divina e la libertà del volere (fr:43). La sua fama teologica è testimoniata dalla citazione di Chaucer che lo accosta a Boezio e Agostino (fr:46), mentre il suo De causa Dei, terminato nel 1344, divenne un punto di riferimento per i teologi agostiniani e calvinisti (fr:42). Chiamato a Londra da Richard of Bury, il “dotto vescovo di Durham” la cui casa era così piena di libri che a stento si poteva entrare senza inciampare (fr:50), Bradwardine ottenne la cancelleria di St. Paul’s e un prebendato a Lincoln, prima di essere eletto arcivescovo di Canterbury. La convulsa elezione, confermata dal papa mentre già era stata fatta un’altra scelta (“in quel tempo il capitolo di Canterbury elesse ‘Magister Thomas Bradewardyn’ […] per la seconda volta […] e ancor prima che il papa venisse a sapere dell’elezione, conferì l’arcivescovado di Canterbury a Magister Thomas nel modo consueto” – fr:71), fu seguita dalla consacrazione ad Avignone il 19 luglio 1349, turbata dall’insulto del cardinale Hugo di Tulle che, durante il banchetto, fece entrare qualcuno a cavallo di un asino per schernirlo (“il giorno della consacrazione […] mentre l’arcivescovo [Thomas] era seduto a tavola, gli arrecò grande vergogna facendo entrare qualcuno a cavallo di un asino, cosa di cui il resto dei cardinali si compiacque malvagiamente” – fr:76). L’episodio riflette la tensione tra la corona inglese e il papato avignonese. Negli anni precedenti Bradwardine aveva seguito Edoardo III nelle campagne di Francia, dove si riteneva che la sua presenza favorisse le vittorie di Crécy, Calais e Neville’s Cross, e svolse funzioni di emissario di pace presso re Filippo (*fr:56).
Il nucleo scientifico dell’introduzione colloca il trattato nel solco della tradizione aristotelico-scolastica oxoniense accanto a Duns Scoto e Ockham (fr:6), ma sottolinea anche il debito verso la meccanica ellenistica rilanciata da Giordano Nemorario e dal Liber de motu* di Gerardo di Bruxelles (fr:7). Bradwardine vi dimostra matematicamente la fallacia delle precedenti teorie del moto, mostrando come la corretta manipolazione delle serie esponenziali risolva le obiezioni contro la proporzionalità tra velocità e rapporto tra forza e resistenza (fr:526). Questo sforzo rappresentò, per la prima volta dall’antichità, un reale progresso nell’unione di matematica e filosofia naturale (fr:210), innervando la successiva scuola dei “calculatores” di Merton, cui appartenne anche John Wyclif (fr:3015). L’eredità di una tradizione che includeva numero, oggetti fisici, musica e astronomia tra le scienze esatte fornì un impulso duraturo alla fisica matematica (“L’eredità di una tradizione che includeva sia il numero sia gli oggetti fisici nel concetto di quantità e includeva la musica e l’astronomia tra le scienze esatte divenne inevitabilmente un potente impulso allo sviluppo di una fisica matematica” – fr:411). Il volume presenta il testo latino con traduzione inglese a fronte (fr:30) e riconosce le difficoltà del trasporre in notazione moderna teorie espresse verbalmente, poiché la traduzione può talvolta distorcere il significato esatto dell’originale (fr:615). L’insieme si inserisce nel rinnovato interesse per la logica e la fisica del Trecento, un periodo ancora ampiamente inesplorato (*fr:209).
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2 L’architrave matematica della dinamica medievale: il De proportionibus di Thomas Bradwardine
Dalle aporie di Averroè alla funzione logaritmica: come un trattato del Trecento trasformò la fisica aristotelica in scienza quantitativa.
All’inizio del XIV secolo, il commentatore Averroè, esaminando il cosiddetto “Testo 71” della Fisica di Aristotele, “aveva concentrato l’attenzione su certi apparenti paradossi implicati dalle scarne osservazioni di Aristotele concernenti la dinamica” (fr:234). Nella sua discussione criticò Ibn Bājja (Avempace), il quale sosteneva che la velocità varia con l’eccesso della forza sulla resistenza: se fosse così, “non ne seguirebbe che dimezzare la resistenza raddoppierebbe la velocità … e non solo ciò ci impegna alla conclusione anti-aristotelica che i moti nel vuoto sono possibili, ma anche che tutti i cosiddetti moti ‘naturali’ … non sono affatto naturali” (fr:246). Nonostante le obiezioni, “la maggior parte delle grandi figure del XIII secolo preferì decisamente le soluzioni assolutiste, piuttosto platoniche, suggerite da Ibn Bājja” (fr:253) – come Tommaso d’Aquino e Duns Scoto – “trascurando completamente le considerazioni matematiche” (fr:254).
Il punto di svolta è il De proportionibus di Thomas Bradwardine. Rifiutata la proporzionalità semplice, egli “riuscì a reinterpretare questa relazione in termini di una funzione logaritmica che soddisfacesse coerentemente le generalizzazioni empiriche accettate riguardo al moto e alla quiete” (fr:259). Grazie a ciò Bradwardine “riesce a dimostrare come teorema … l’impossibilità che un moto sorga da un equilibrio di forze” (fr:3373) e separa nettamente la velocità istantanea (dinamica) da quella cinematica: “la relazione dinamica della forza rispetto alla resistenza è lì esplicitamente relazionata a un tasso istantaneo”, distinto dalla “relazione cinematica del tempo trascorso per la distanza percorsa” (fr:904). L’opera segna così “un avanzamento significativo … nel compito di ottenere l’autocoerenza in fisica attraverso la matematica” e “prepara il terreno per la misura quantitativa dei processi fisici” (fr:263), pur rimanendo fedele a un approccio correlativo aristotelico (fr:266).
L’impianto getta luce anche sull’origine dell’impetus di Buridano. Pierre Duhem “trascura completamente la possibilità che la teoria dell’‘impetus’ di Buridano possa ben essere originata dal riconoscimento, da parte di Bradwardine e Dumbleton, che è la velocità istantanea a dover essere intesa come proporzionale a una proporzione di forza rispetto alla resistenza e che tale qualità, accumulandosi nel tempo, produrrà un moto accelerato” (fr:899). Egli attribuisce ad Alberto di Sassonia la distinzione dinamica/cinematica, ma il Tractatus proportionum di Alberto “dipende così chiaramente dal trattato di Bradwardine sia nell’organizzazione che nel contenuto” (fr:900). Parallelamente, “l’analisi cinematica efficace dell’accelerazione uniforme fu elaborata dai matematici-fisici del Merton College del tutto indipendentemente dall’ipotesi … dell’‘impetus’”, e la cinematica di Dumbleton “crebbe naturalmente dalle precedenti analisi dinamiche che furono riassunte e dotate di una chiara definizione matematica da Bradwardine” (fr:893). Il De proportionibus costituisce quindi “un punto di svolta nello sviluppo delle scienze” e un raro “esempio di filosofia naturale scolastica in un periodo del quale sopravvivono pochissimi testi facilmente accessibili” (fr:272).
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3 Il Tractatus de proportionibus di Thomas Bradwardine
Definizioni, classificazioni e assiomatica delle proporzioni; cinematica del moto locale e geometria delle sfere; calcolo dei rapporti tra gli elementi mediante proporzionali continui.
La trattazione si apre con la definizione di proporzione: “A proportion is the relation between two quantities of the same kind” – (fr:1240) [Una proporzione è la relazione tra due quantità della stessa specie]. Le proporzioni si distinguono in razionali e irrazionali. Quelle razionali sono immediatamente denominate da un numero e si trovano in quantità commensurabili e nei numeri, mentre quelle irrazionali non esistono tra numeri ma compaiono in tutte le altre specie di quantità – cfr. “Rational propor tions are found in number s and also in all other kinds of quantities (commensurable ones) ; ir rational propor tions are not found in numbers … but are found in all other kinds of quantities.” – (fr:338) [Le proporzioni razionali si trovano nei numeri e anche in tutti gli altri generi di quantità (commensurabili); le proporzioni irrazionali non si trovano nei numeri ma si trovano in tutti gli altri generi di quantità]. La denominazione geometrica di una proporzione mediante un’altra viene intesa come elevamento a potenza o estrazione di radice (fr:310, 327). Le specie comprendono multiplice, superparticolare, superparziente e multiplice superparziente (fr:373, 1325), e si definisce la proporzionalità eguale per serie di termini corrispondenti (fr:441).
Il moto è ricondotto alla proporzione di diseguaglianza maggiore: “Every motio n is :pro duce d b y� P-roportion of a gre ate r ine quality, and fro m e ve ry-P-ro porti on of gre ater ine qua l ity a m otion may arise” – (fr:1967) [Ogni moto è prodotto da una proporzione di diseguaglianza maggiore, e da ogni proporzione di diseguaglianza maggiore può sorgere un moto]. Nella cinematica delle circonferenze descritte uniformemente in tempi uguali, le velocità sono proporzionali alle circonferenze stesse (fr:816), mentre per cerchi che generano sfere la proporzione delle velocità eguaglia il quadrato della proporzione delle aree o delle velocità lineari (fr:818, 2311). La superficie di una sfera è uguale a quella di un rettangolo che ha per lati il diametro e la circonferenza massima (fr:779), e nel descrivere una sfera il punto terminale del diametro in moto traccia un cerchio maggiore di qualunque altro punto (fr:2307, 2313). Viene chiarita la relazione tra superfici simili, dove il rapporto è il quadrato del rapporto tra i lati corrispondenti, secondo il VI Libro degli Elementi di Euclide (fr:2164, 2170).
La parte conclusiva applica la teoria alla struttura dell’universo elementale. In base ai valori di Alfragano, si assumono quattro termini in proporzione continua che rappresentano i diametri o i raggi delle sfere degli elementi: “Corresponding, therefore, to the four elements, take these four terms , c ontinuously proportional … I , 32, 1024, 32768, the sum of whose first three terms is 1057 and repre sents the sphere c omposed of the lower elements.” – (fr:2404) [Corrispondenti, dunque, ai quattro elementi, si prendano questi quattro termini, continuamente proporzionali … I, 32, 1024, 32768, la cui somma dei primi tre termini è 1057 e rappresenta la sfera composta dagli elementi inferiori]. Con le frazioni di Alfragano la proporzione tra un elemento maggiore e quello immediatamente minore risulta di poco inferiore a 33 a 1 (fr:2394, 2399). Il quarto termine contiene la somma dei primi tre 31 volte più una frazione, sicché la proporzione tra la sfera del fuoco e il composto dei tre elementi restanti supera 31 a 1 (fr:2403, 2406). Le dimostrazioni si appoggiano a un apparato assiomatico e a teoremi precedenti, spesso citando Euclide e Campano, con puntuali osservazioni di Averroè sull’uso del Teorema I del V Libro degli Elementi (fr:1622).
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4 Proporzioni del moto e velocità istantanea: il Tractatus de proportionibus e la cinematica mertoniana
Dalla proporzione tra motore e mosso alla distinzione tra velocità qualitativa e quantitativa: il trattato di Bradwardine, le sue fonti e l’elaborazione del moto uniformemente accelerato.
Il Tractatus de proportionibus di Thomas Bradwardine rifiuta la proporzionalità diretta tra forza e velocità, affermando che il moto richiede una proporzione di maggiore ineguaglianza tra motore e mosso. “With the mover remaining constant, the proportion of the speeds of motions does not vary in accordance with the proportion of resistances, nor, with the resistance remaining constant, does it vary in accordance with the proportion of movers” – (fr:1754) [Con il motore costante, la proporzione delle velocità dei moti non varia secondo la proporzione delle resistenze, né, con resistenza costante, secondo la proporzione dei motori]. Poiché i moti sono relazionabili mediante una proporzione e il moto nasce da una proporzione di maggiore ineguaglianza, è impossibile un moto derivante da una proporzione di minore ineguaglianza. “Since any motion supposed to arise from a proportion of lesser inequality will not be proportionally relatable to one arising from a proportion of greater inequality, it is impossible for there to be such a motion” – (fr:689) [Poiché qualsiasi moto che si supponesse derivare da una proporzione di minore ineguaglianza non sarebbe proporzionalmente relazionabile a uno derivante da una proporzione di maggiore ineguaglianza, è impossibile che esista un tale moto].
La distinzione tra proportio e proportionalitas è centrale: la proporzionalità riguarda serie di termini e le loro proprietà formali. “Proportionality, as distinguished from what is simply called ‘proportions’, is concerned with certain specific series of terms and the series of proportions which may be constructed from those terms” – (fr:374) [La proporzionalità, distinta da ciò che è semplicemente chiamato “proporzioni”, riguarda certe serie specifiche di termini e le serie di proporzioni che possono essere costruite da quei termini]. Il termine proportio è più affine a “funzione” che a “proporzione”, poiché include l’uguaglianza di differenze aritmetiche oltre che di rapporti. “A careful examination of the meaning of this term shows it to be much more closely akin to that of the modern term, ‘function’, than to that of the term, ‘proportion’” – (fr:908) [Un attento esame del significato di questo termine mostra che è molto più vicino a quello del termine moderno “funzione” che a quello del termine “proporzione”].
Bradwardine reinterpreta le autorità aristoteliche: la maggiore velocità di un corpo nell’aria rispetto all’acqua dipende dalla maggiore proporzione del corpo all’aria, e non viceversa. “What Aristotle means is that, to whatever extent the proportion of air to a given body which moves through it is smaller than that of water to that same body (due to the greater thinness and incorporeality of air), to that extent the body will move faster through air than through water” – (fr:1756) [Ciò che Aristotele intende è che, nella misura in cui la proporzione dell’aria a un dato corpo che si muove in essa è minore di quella dell’acqua allo stesso corpo (a causa della maggiore sottigliezza e incorporeità dell’aria), in quella misura il corpo si muoverà più velocemente attraverso l’aria che attraverso l’acqua]. Anche il passo del De caelo sugli effetti divisi proporzionalmente al tempo è inteso nella stessa chiave. “It is held to undergo a greater and lesser effect, by the action of the same agent, in a longer and shorter time, and any such effects are divided proportionally to the time” – (fr:1756) [Si ritiene che un effetto maggiore e uno minore siano prodotti dall’azione dello stesso agente in un tempo più lungo e in uno più breve, e che tali effetti siano divisi proporzionalmente al tempo].
Le obiezioni investono la coerenza della teoria: da proporzioni uguali di motori a mobili possono risultare velocità disuguali; quando la proporzione di un motore al suo mobile è minore di quella di un altro, le velocità possono essere uguali; e ciò può accadere anche quando la proporzione è maggiore. “Secondly, it may be objected that three inconsistencies follow from the present theory: namely, that (1) from equal proportions of movers to mobilia there may, on occasion, result unequal speeds, that (2) when the proportion of one mover to its mobile is less than that of another mover to its mobile, the speeds may, on occasion, be equal, and that (3) this may also happen when the proportion is greater” – (fr:2022) [In secondo luogo, si può obiettare che dalla presente teoria seguono tre incongruenze: ossia che (1) da proporzioni uguali di motori a mobili possono talvolta risultare velocità disuguali, che (2) quando la proporzione di un motore al suo mobile è minore di quella di un altro motore al suo mobile, le velocità possono talvolta essere uguali, e che (3) ciò può accadere anche quando la proporzione è maggiore]. Inoltre, si contesta che potenze motrici separate dal corpo possano avere relazioni proporzionali, poiché la proporzione richiede grandezze. “Moreover, powers separate from body can neither be proportionals nor possess proportional relations, since a proportion can only be between one magnitude and another” – (fr:1811) [Inoltre, potenze separate dal corpo non possono essere né proporzionali né possedere relazioni proporzionali, poiché una proporzione può esistere solo tra una grandezza e un’altra]. Averroè, di conseguenza, nega che una potenza incorporea possa dirsi finita o infinita, e parla di una “dominanza naturale” del motore sul mosso. “Averroes … says that an incorporeal power is neither to be called finite nor infinite, because only bodies may be referred to in this way” – (fr:1809) [Averroè … afferma che una potenza incorporea non può essere detta né finita né infinita, perché solo i corpi possono essere riferiti in questo modo].
La svolta cinematica avviene con la distinzione tra velocità qualitativa (istantanea) e quantitativa (totale). Bradwardine correla la proporzione di forza a resistenza con la velocità istantanea. “Bradwardine’s conclusion, that a proportion of force to resistance must be understood as correlate with an instantaneous rate, rather than with the traversal of an extended distance in an extended time, was, of course, to be coupled with the standard assumption that constant causes produce constant effects” – (fr:894) [La conclusione di Bradwardine, che una proporzione di forza a resistenza debba essere intesa come correlata a una velocità istantanea piuttosto che all’attraversamento di una distanza estesa in un tempo esteso, andava naturalmente unita all’assunto comune che cause costanti producono effetti costanti]. Dumbleton sviluppa questa correlazione mostrando che una proporzione costante produce un’intensione uniforme della velocità — un moto uniformemente accelerato — e che la distanza percorsa è uguale a quella di un moto uniforme con metà della velocità terminale. “Dumbleton’s demonstration concerning this relationship centers on the thesis that the distance traversed in any motion in which there is a uniform ‘intension’ of velocity (commencing from zero and ending at any given degree) must be equal to the distance which would be traversed by a body moving uniformly at one half the terminal degree of that accelerated motion” – (fr:886) [La dimostrazione di Dumbleton riguardo a questa relazione si impernia sulla tesi che la distanza percorsa in un qualsiasi moto in cui vi sia un’“intensione” uniforme della velocità (che comincia da zero e termina a un qualsiasi grado dato) debba essere uguale alla distanza che sarebbe percorsa da un corpo che si muovesse uniformemente con metà del grado terminale di quel moto accelerato]. Tale approccio, più della teoria dell’impetus di Buridano, approssima la dinamica moderna. “It should at least be clear that it is their point of view, rather than that of the advocates of Buridan’s ‘impetus’ theory, which appears closer to the spirit of modern physics” – (fr:914) [Dovrebbe essere almeno chiaro che è il loro punto di vista, piuttosto che quello dei sostenitori della teoria dell’“impetus” di Buridano, a sembrare più vicino allo spirito della fisica moderna].
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5 La proporzione delle velocità secondo il rapporto tra potenza motrice e resistenza
Dalle dottrine erronee dell’eccesso e del rapporto puramente naturale alla quinta teoria: la velocità varia con la proporzione geometrica tra le potenze.
La ricerca espone quattro teorie false contro cui si misura la dottrina corretta. La prima sostiene che la velocità dei moti vari come la differenza per cui la potenza motrice supera la resistenza del mobile. «la Proporzione tra le velocità con cui avvengono i moti varia secondo la differenza per cui la potenza del motore eccede la resistenza offerta dalla cosa mossa» – (fr:1580). Tale posizione conduce a conseguenze inaccettabili: se un motore muove un mobile per una data distanza in un dato tempo, la sua metà non sposterebbe metà del mobile per la stessa distanza nello stesso tempo, ma solo per metà distanza, perché l’eccesso si dimezzerebbe. «la conseguenza è chiara, perché se l’intero motore eccede l’intero mobile dell’intero eccesso, allora la metà del motore eccede la metà del mobile solo della metà di quell’eccesso» – (fr:1583). Eppure Aristotele, nel VII libro della Fisica, dimostra il contrario: «Se una data potenza muove un dato mobile per una data distanza in un dato tempo, la metà di quella potenza muoverà metà del mobile per una distanza uguale in un tempo uguale» – (fr:1584). L’errore sta nell’intendere la proporzione in senso aritmetico, come uguaglianza di differenze, mentre Aristotele e Averroè parlano di proporzionalità geometrica. «Né si può legittimamente sostenere che, nei passi citati, Aristotele e Averroè intendano per “proporzione” e “analogia” la proporzionalità aritmetica (cioè uguaglianza di differenze), come alcuni hanno preteso» – (fr:1600).
Una quarta teoria rifiuta ogni proporzione matematica e afferma che le velocità variano secondo una “relazione naturale” tra motore e mosso, poiché la forza non è un corpo, non ha grandezza e non può essere proporzionata a qualcosa. «Teoria IV. – La quarta teoria erronea assume una veduta non matematica della relazione fra velocità e forze, sostenendo che le velocità variano né come proporzione di forze né come eccesso aritmetico, ma secondo una “relazione naturale del motore al mosso”» – (fr:637). Simili obiezioni vengono sciolte distinguendo una proporzione in senso generico, non univoca. «le ragioni addotte a favore della presente teoria sono confutate grazie alla definizione di proporzione già data nel Capitolo I, poiché la proporzione che si trova fra potenza motrice e resistiva non è stretta ma solo generale» – (fr:1859). Inoltre, ciò che eccede qualcosa non è in sé diviso in eccesso ed ecceduto, ma solo in rapporto a quella cosa: «qualsiasi cosa che eccede un’altra non è in sé divisa in eccesso ed ecceduto, ma solo in confronto a quell’altra» – (fr:644).
Al fondo, la vera conoscenza propone una quinta teoria. «La vera conoscenza propone una quinta teoria, la quale afferma che la proporzione delle velocità dei moti varia secondo la proporzione della potenza del motore alla potenza della cosa mossa» – (fr:1885). È una proporzione di disuguaglianza maggiore, intesa geometricamente: il rapporto tra le velocità è uguale al rapporto tra le proporzioni delle potenze motrici alle resistenze. «La proporzione delle velocità dei moti varia secondo la proporzione delle forze motrici a quelle resistive, e viceversa. Ovvero: la proporzione delle proporzioni delle potenze motrici alle resistive è uguale alla proporzione delle rispettive velocità di moto, e viceversa. Ciò va inteso nel senso della proporzionalità geometrica» – (fr:1918). Averroè lo ribadisce in più luoghi: «La velocità propria di un dato moto varia con l’eccesso della potenza del motore su quella della cosa mossa» – (fr:1582). E ancora: «Se la proporzione è grande, la velocità sarà grande e il tempo breve, e viceversa» – (fr:1890). L’eccesso non è una differenza aritmetica, ma il rapporto stesso di maggiore disuguaglianza che la potenza motrice intrattiene col mobile. «Aristotele e Averroè, quando dicono che la velocità di un moto varia secondo la misura in cui la potenza del motore eccede o supera quella della cosa mossa, intendono per “eccellenza” o “eccesso” una proporzione di maggiore disuguaglianza» – (fr:1659).
La teoria trova conferma nel principio che non vi è proporzione tra il vuoto e una forza finita, perché una resistenza nulla sta in proporzione infinita rispetto a qualsiasi eccesso sopra l’uguaglianza. «come non può esservi moto nel vuoto, perché non c’è proporzione tra la resistenza zero del vuoto e una forza motrice positiva, per quanto piccola, così non può esservi una proporzione con cui una qualsiasi proporzione superi una proporzione di uguaglianza, poiché la proporzione di uguaglianza possiede una quantità zero di disuguaglianza, e ogni eccesso su di essa sarà in proporzione infinita» – (fr:513). Di conseguenza, un equilibrio di forze produce velocità nulla, e nessuno squilibrio ha proporzione con l’equilibrio. «finché le velocità variano secondo la “proporzione delle proporzioni” e non secondo un eccesso matematico, ne seguirebbe che un equilibrio di forze produce velocità zero, che nessuno squilibrio di forze sta in qualche proporzione con un equilibrio» – (fr:517). I teoremi dimostrano che se la forza originaria non è esattamente doppia della resistenza, il raddoppio della forza o il dimezzamento della resistenza non raddoppiano mai la velocità. «se la forza originaria che produce il moto non è esattamente doppia di quella della resistenza che muove, allora, sia che quella forza venga raddoppiata, sia che la resistenza venga dimezzata, le velocità non risulteranno in nessun caso raddoppiate» – (fr:674). Anche l’esempio di Bradwardine mostra che due uomini insieme muovono un peso a più del doppio della velocità del singolo, perché la proporzione del singolo motore alla resistenza non è due. «Se un uomo può a stento muovere un peso, due possono muoverlo più del doppio più velocemente. Un tale uomo non avrebbe un F che è doppio dell’R che egli muove, e di conseguenza, quando viene aiutato da un secondo uomo di uguale forza, i due insieme muoveranno la resistenza a più del doppio della velocità» – (fr:3368). La corretta proporzionalità geometrica unifica le testimonianze di Aristotele e Averroè, fondando la scienza del moto sulla relazione fra le potenze.
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6 Trattato sulle proporzioni (Tractatus proportionum)
Testo e varianti di un trattato matematico medievale, dalle definizioni euclidee alle applicazioni sugli elementi e le sfere celesti.
Il testo appartiene al Tractatus proportionum, un’opera che sviluppa una teoria delle proporzioni articolata in supposizioni e conclusioni. Le ultime cinque supposizioni sono esplicitamente identificate con le definizioni del quinto libro degli Elementi di Euclide: “Istarum quinque ultimarum suppositionum, prima est septima quinti Euclidis, secunda autem octava, tertia vero nona, quarta quidem sexta decima, quinta vero ultima est eiusdem” – (fr:1438) [Di queste cinque ultime supposizioni, la prima è la settima del quinto di Euclide, la seconda l’ottava, la terza la nona, la quarta la sedicesima, la quinta l’ultima dello stesso]. La prima conclusione stabilisce che, se tre termini sono tali che il rapporto di maggiore disuguaglianza del primo al secondo eguaglia quello del secondo al terzo, il rapporto del primo al terzo è esattamente doppio: “Prima conclusio: Si fuerit proportio maioris inaequalitatis primi ad secundum ut secundi ad tertium, erit proportio primi ad tertium praecise dupla ad proportionem primi ad secundum et secundi ad tertium” – (fr:1439) [Prima conclusione: se la proporzione di maggiore disuguaglianza del primo al secondo è come quella del secondo al terzo, la proporzione del primo al terzo sarà esattamente doppia della proporzione del primo al secondo e del secondo al terzo]. Altre conclusioni esaminano i casi in cui il primo termine è maggiore o minore del doppio del secondo, con il secondo in vari rapporti col terzo, determinando quando il rapporto totale risulti maggiore o minore del doppio (fr:1445, 1468, 1470, 1474). Per quattro termini in proporzione continua si afferma che il rapporto del primo all’ultimo è triplo di un qualsiasi rapporto intermedio (fr:1442). Una sezione tratta il comportamento di quantità diseguali proporzionate a una terza: “The fifth is that, if two unequal quantities are made proportionate to a third, the larger will bear a larger proportion to it and the smaller a smaller proportion; the proportion of that third quantity will be greater to a smaller quantity and lesser to a larger one” – (fr:1447) [La quinta è che, se due quantità diseguali vengono proporzionate a una terza, la maggiore avrà rispetto a essa una proporzione maggiore e la minore una proporzione minore; la proporzione di quella terza quantità sarà maggiore verso una quantità minore e minore verso una maggiore].
L’opera applica le proporzioni alla geometria: per due sfere qualsiasi, il rapporto delle superfici è doppio del rapporto dei diametri – “Quarumlibet duarum spherarum, proportio superficiei unius ad superficiem reliquae, proportionis sui diametri ad diametrum alterius, ostenditur esse dupla” – (fr:2190) [Per due sfere qualsiasi, la proporzione della superficie di una alla superficie dell’altra risulta doppia della proporzione del suo diametro al diametro dell’altra]; per i cerchi il rapporto è come i quadrati dei diametri (fr:2150) e il rapporto delle superfici di due sfere è doppio del rapporto delle circonferenze dei loro circoli massimi (fr:2193). Questi risultati si fondano su definizioni e supposizioni che richiamano la similitudine e la proporzionalità (fr:2183, 2191). Un ampio passaggio utilizza i minuti di Alfragano per concludere che il rapporto di un elemento maggiore al successivo minore è compreso tra 32:1 e 33:1, e che 33:1 è maggiore del rapporto tra due elementi consecutivi: “Cuiuslibet elementi maioris ad proximum sibi minus proportio est maior proportione 32 ad 1 et minor quam 33 ad 1” – (fr:2380) [La proporzione di un elemento maggiore al successivo minore è maggiore della proporzione 32 a 1 e minore di 33 a 1]. Si incontrano inoltre riferimenti alla cinematica, con menzione di velocità e loro confronti (fr:2900). L’apparato critico restituisce numerosissime varianti di manoscritti (sigle B, O, N, D, Q) che registrano alternative come dupla per duplata, tripla o triplus, e cifre divergenti quali 37060, 37860, 33768, 8000, 8026 (fr:2808, 2908, 2919, 2922, 2932). Il trattato unisce così la teoria euclidea delle proporzioni a indagini fisiche e astronomiche, tramandato in una tradizione testuale complessa.
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7 Teoria delle proporzioni e del moto in un trattato medievale
Edizione annotata di un testo scolastico che dalle definizioni di proporzionalità aritmetica e geometrica giunge all’analisi della resistenza e della velocità dei corpi.
Il testo tramanda un trattato medievale sulle proporzioni, corredato da un denso apparato di varianti manoscritte, come mostrano passi quali “N quod 1 90 es se : est N 19 1 in om .N V ARIAN T R E ADING S T O PA G E S 118 - 120” – (fr:2836) [N quod 1 90 es se, est N, in om. N, e altre lezioni]. La materia esposta muove dalla divisione della proporzionalità in dieci modi, dei quali si trattano i primi tre: “Et quia proportionalitas dividitur decem modis, et proportionalia similiter dividuntur, quorum tantum tres primi modi ad praesens sunt tractandi, igitur proportionalia proportionalitate arithmetica sunt illa quorum differentiae sunt aequales” – (fr:1383) [E poiché la proporzionalità si divide in dieci modi, e similmente i proporzionali, dei quali solo i primi tre modi sono da trattare al presente, i proporzionali secondo la proporzionalità aritmetica sono quelli le cui differenze sono uguali]. Il primo modo è appunto l’uguaglianza delle differenze, esemplificata da “ut tria, duo, unum” – (fr:1350) [come tre, due, uno]. Il secondo, geometrico, è definito “similitudo proportionum” – (fr:1352) [somiglianza delle proporzioni] e si applica a “ut quattuor, duo, unum” – (fr:1352) [come quattro, due, uno]. Il terzo modo riguarda l’uguaglianza delle proporzioni degli estremi e delle differenze, “ut sex, quattuor, tria” – (fr:1353) [come sei, quattro, tre]. Delle medietà continue, l’aritmetica unisce i termini per uguaglianza delle differenze “per unum terminum, ut sic dicendo: sicut tria ad duo, ita duo ad unum” – (fr:1359) [per un solo termine, come dire: come tre sta a due così due a uno], quella geometrica per uguaglianza dei rapporti “per unum, ut sicut quattuor ad duo, ita duo ad unum” – (fr:1376) [per uno, come quattro sta a due così due a uno]. Ulteriori forme di proporzionalità geometrica – permutata “sicut antecedens unius proportionis ad antecedens alterius proportionis, sic consequens illius ad consequens alterius” – (fr:1388) [come l’antecedente di una proporzione sta all’antecedente dell’altra, così il conseguente di quella sta al conseguente dell’altra], a rovescio “sicut quattuor ad octo, ita unum ad duo” – (fr:1390) [come quattro sta a otto, così uno a due], congiunta “ut sic ut octo et quattuor, ad quattuor, ita duo et unum ad unum” – (fr:1404) [così come otto e quattro sta a quattro, così due e uno a uno], eversa “ut sic ut octo et quattuor ad octo, ita duo et unum ad duo” – (fr:1405) [così come otto e quattro sta a otto, così due e uno a due], uguale “tria, duo, unum: sex, quattuor, duo … sicut tria ad unum, ita sex ad duo se habent” – (fr:1406) [tre, due, uno: sei, quattro, due … come tre sta a uno così sei sta a due] – vengono distinte con esempi numerici, mentre in generale i proporzionali sono “quae in aliqua proportione conveniunt” – (fr:1382) [ciò che conviene in una qualche proporzione].
La proporzione in senso stretto si divide in “aequalitatis, quaedam inaequalitatis” – (fr:1231) [di uguaglianza e di disuguaglianza]. Nella disuguaglianza rientrano i generi multiplo “Si enim maior bis minorem contineat, duplex … si autem ter, triplex” – (fr:1254) [Se il maggiore contiene due volte il minore, doppia … se tre volte, tripla], superparticolare, come la sesquitertia “sicut quattuor ad tria se habent” – (fr:1259) [come quattro a tre], superparziente “habitudo quantitatis maioris ad minorem, illam semel et aliquot eius partes aliquotas continentis” – (fr:1261) [relazione della quantità maggiore alla minore, contenendola una volta e alcune sue parti aliquote], con le sottospecie superbiparziente terziario per “quinque ad tria” – (fr:1267) [cinque a tre] e superparziente quartario per “septem ad quattuor” – (fr:1270) [sette a quattro], e il multiplo superparticolare, divisibile all’infinito (fr:1272). Vengono menzionate anche proporzioni irrazionali, come la medietà del doppio “quae est proportio diametri ad costam” – (fr:1225) [che è la proporzione del diametro al lato] e del tono, e si distingue tra proporzione razionale “in numeris et aliis quantitatibus” – (fr:1229) [nei numeri e in altre quantità] e irrazionale “non in numeris, sed in omnibus aliis quantitatibus” – (fr:1229) [non nei numeri ma in tutte le altre quantità].
La sezione fisica applica questi strumenti al moto. Si afferma che un agente può avere la medesima proporzione qualitativa verso un tutto e verso una sua parte, benché quantitativamente no, perché le parti possono essere “aequalia in qualitate resistendi” – (fr:2041) [uguali nella qualità del resistere]. Quando gli agenti risultano proporzionali ai pazienti secondo la qualità “in virtute agendi” – (fr:2043) [nella capacità di agire], ne segue uguaglianza qualitativa dei moti (velocità e tardità); se la proporzionalità è quantitativa, l’uguaglianza riguarda la durata temporale del moto. Di conseguenza, le differenze di resistenza per qualità o quantità conducono a differenze corrispondenti nel tipo di moto: “sicut non differunt in qualitate resistendi sed in quantitate, sic nec motus per media differunt in qualitate motus (quae est velocitas et tarditas) sed in quantitate motus (quae est longitudo vel brevitas temporis)” – (fr:2042) [come non differiscono nella qualità del resistere ma nella quantità, così neppure i moti attraverso i mezzi differiscono nella qualità del moto (che è velocità e tardità) ma nella quantità del moto (che è la lunghezza o brevità del tempo)]. Un’obiezione che pretendeva di ricavare moti egualmente veloci dalla divisione dei corpi (fr:2067) è respinta, perché renderebbe uguali in resistenza semplice parti quantitativamente uguali di aria e terra, il che “non consonat veritati” – (fr:2067) [non è conforme al vero]. Si distingue poi tra resistenza qualitativa intrinseca ed estrinseca, osservando che “aliqua pars aeris et aliqua pars terrae sunt aequalis resistentiae quantitative, sed non qualitative intrinsece” – (fr:2075) [una parte d’aria e una parte di terra sono di resistenza uguale quantitativamente, ma non qualitativamente intrinsecamente]. Infine, la discussione sui moti equiveloci è esaminata anche tramite l’ipotesi di due motori che muovono due mobili separati e congiunti (fr:1577).
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8 Trattato sulle proporzioni e sulla dinamica aristotelica
Dalla specie delle proporzioni ai moti: uguaglianze, eccessi e la questione del motore primo.
Il testo classifica le specie della proporzione: il multiplo superparziente si divide in tre modi (Multipl ex super bipartiens, multiplex super tripartiens; … multiplex superbipartiens tertias vel multiplex superbitertias… – fr:1299) e la proporzione di disuguaglianza minore è il rapporto di una quantità minore a una maggiore, con specie denominate aggiungendo “sub‑” (submultiplo, subsuperparziale … – fr:1305). Aristotele, nel settimo della Fisica, afferma che se due potenze muovono separatamente due mobili per spazi uguali in tempi uguali, le potenze congiunte muoveranno i mobili congiunti per lo stesso spazio nello stesso tempo (Fal s ita s c on s e quenti s patet per A r i s tote l em , s eptimo Phy:s i c o rum … – fr:1588; … illi duo motores coniunctim movebunt illa duo mobilia coniuncta … – fr:1595). Contestando una lettura aritmetica, il trattato chiarisce che Aristotele e Averroè intendono la proporzionalità geometrica, non l’uguaglianza degli eccessi (Nee pote st dic i quo d Ari stotele s e t Ave r roe s inte lli gunt … pe r propo rtione m s eu analo giam , propo rtionalitatem a r ithmeticam … – fr:1592). Infatti, dalla somiglianza geometrica non segue una velocità uguale perché gli eccessi possono differire (T une e x pr opo rtione g e o m e t r i c a … non s e quitur a e qual i s v e lo c ita s mo tuum , quia n e e e xc e s s uum … – fr:1589).
Il potere doppio produce esattamente il doppio dell’effetto; se potesse fare più del doppio, sarebbe una potenza maggiore del doppio, se meno, minore (Nam s i s it p ra e c i s e duplae pote ntia e , pote st p ra e c i s e duplum fac e r e … – fr:1691). Il principio si trova anche nei Ponderi: «Tra qualunque grave c’è una proporzione di velocità nel discendere e di peso presa nello stesso ordine» (Ide m patet pe r p r imam c o nc lu s ione m De P-O nde ribu s , qua e s i c dic it … – fr:1690), e il quarto della Fisica suppone che gravi e leggeri disuguali si muovano in spazi uguali nello stesso mezzo con velocità proporzionale ai loro pesi (… g r avia et l e v ia div e r s a in quantitate … fe r antur pe r a e qual e s patium in e o de m m e dio v e lo c i u s et tar diu s s e c undum p ropo rtionem g ravium et le vium adinvic em … – fr:1687).
Il trattato stabilisce i rapporti fra la proporzione di uguaglianza e quelle di disuguaglianza: la proporzione di uguaglianza non è minore di una proporzione di disuguaglianza maggiore, perché altrimenti, ripetuta un certo numero di volte, la eguaglierebbe o supererebbe, mentre ogni composizione di uguaglianze resta uguaglianza (Similite r pot e s t o ste ndi quo d p r opo rtio a e qualitati s non s it m ino r p r o po rtione ina e qualitat i s maio r i s , quia tune ali quotie n s s umpta i llam r e dde r e t v e l maio r e m … – fr:1511). Simmetricamente, nessuna proporzione di disuguaglianza minore è maggiore o minore di una proporzione di uguaglianza (N e e al i qua p r opo rtio mino r i s inae qualitati s , a l i qua p ro po r tione a e qual i tati s e s t maior v e l mino r … – fr:1512). Inoltre, comunque si ripeta una proporzione di disuguaglianza maggiore, genera sempre una disuguaglianza maggiore (… quotie n s c um que p ro po rtio maio r i s ina e qualita ti s s um atur, s e mp e r maio r e m p r o- po rtionem inae qualitati s maio r i s c on s tituit … – fr:1510).
Nel confronto tra pesi e discese, un commentatore pone due pesi disuguali e due linee disuguali che ne designano le discese, assumendo come dato dell’avversario che la proporzione del peso maggiore al minore sia maggiore di quella della linea maggiore alla minore (Nam unu s c om m e ntato r c apit duo ponde r a ina e qualia e t dua s l i ne a s inae qual e s … e t c apit p ri m o tam quam datum ab a dv e r s a r i o qua d p r op o r t io m a i o ri s ponde r i s a d m inu s e s t m a i o r p r opo r t i o n e m a i o r i s l ine a e ad m i n o r e m … – fr:1765). Da ciò l’argomentazione conclude che la proporzione del peso minore al maggiore è minore di quella della linea minore alla maggiore, il che rovescia il dato di partenza (Et e x ho c a r guit p r opo r t ione m m ino r i s p o nde r i s a d m a i u s … e s s e m ino r e m propo rtione mino r i s l ine ae ad maio r e m … – fr:1766). La replica precisa che il dato iniziale valeva solo per i due pesi particolari considerati, e quindi non rifiuta il caso inverso (s tu d aute m non obv iat , quo niam p r im o e rat datum maio r em e s s e p ropo rtion e m m aio ri s ponde ri s a d m inu s … e t huic non r epugnat s e d s e quitur c o nv e r s im e s s e propo rtionem m ino r em … – fr:1768), né si pretendeva l’universalità (S e d non e s t ita , qu ia non e r at … datum un i v e r s al i t e r … s e d s p e c ialite r, ” i s t o r u m duo r um ponde r um p r i u s a c c e pt o r um … – fr:1773).
La proporzione delle velocità segue la proporzione dei mezzi attraverso cui il moto avviene, così come il tempo maggiore corrisponde al mezzo più denso e il minore al più sottile (… p r o p o r tio ve l oc ita tum in m otib u s s e quitu r p r o p o r tionem m e di o r um , e t e tiam p r op o r tio tempo r um … s c il ic e t quo d maius te mp u s c o r r e s ponde t m otui pe r m e dium de n- s iu s … – fr:1673). Inoltre nessun motore può muovere un mobile più velocemente o più lentamente di quanto consenta la proporzione fra l’eccesso della sua potenza sulla resistenza (T une nullu s moto r pote s t move re ali quo d mobile v e loc i u s ne e ta r dius illo motu ; quia nulliu s moto ri s p r opo rtio e xc e s s u s s uae potentiae ad potentiam r e i mota e pote s t … e s s e maio r v e l mino r … – fr:1664).
In ambito cosmologico, se ogni elemento maggiore contiene il minore prossimo, disponendo tre termini in proporzione continua 1, 33, 1089 (la cui somma è 1123), la proporzione del maggiore al minore è minore di 33 a 1 (… ad in s ta r t r ium e l e m e nto r u m infe r i o r u m … di sponantur i sti tr e s te r mini c on- 3 1 5 tinue p r o po r tiona le s : 1 , 3 3 , 1 0 8 9 , qui c on g r e gati in unum 1 1 2 3 pe r fic iunt … – fr:2419). Ne segue che la proporzione tra la sfera A e la sfera terrestre è minore di 1123 a 1, mentre la proporzione 1331 a 1 la supera (C u m i g itur c uiu s lib e t e le me nti maio r i s p r o po r tio ad p r oxi m u m s ib i minu s e st mino r propo r tione 3 3 ad 1 , e t pe r c on s e que n s p r � 32 5 po r tio A ad s phe ram te r ra e e s t m i no r propo r tione 1 1 2 3 ad 1 , s e quitu r, a m ulto maio r i , p r o po r tione m 1 3 3 1 ad 1 pr oportione m A ad s phe r a m te r ra e t r an s c e nd e r e … – fr:2423). La proporzione dei diametri degli elementi, insieme alla spissitudine, può essere indagata secondo la stessa via (Et s e c undum eande m via m , c uiu s libe t e t quo rumlibe t e le mento r- urn dia me t r i e t diame t r o rum propo r tio … una c um s pi s s itudine … pote rit inve ni ri … – fr:2426). Per il moto circolare, il cerchio equinoziale si muove in proporzione sesquiterza più veloce del suo diametro; il semidiametro non si muove né più veloce né più lento né egualmente a un mobile privo di punti in quiete (Et tune c i r c ul u s a e quinoc tiali s move r e tur in s e s quite rtia p roportione v e l o c iu s s uo diam e t r o … s emidiamete r a e quino c tiali s non mo v e r e tur velo c i u s nee ta r dius n e e ae que v e l o c ite r c um al i quo mob i l i c ui u s nullu s p unc tu s qui e s- c it … – fr:2242).
L’opera si chiude dichiarando compiuta la dottrina sulla proporzione delle velocità nei moti, grazie al motore da cui tutti i moti procedono e per il quale non si trova alcuna proporzione verso il suo mobile (Pe r fe c tu m i gitur o pu s e s t de p r opo rtione ve l o c itatum in m otib u s c um illius motori s auxilio a quo motus c uncti proc edunt , c uius ad s uum mobil e nulla propo rtio r e p e r itur … – fr:2454).
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9 La velocità del moto tra eccesso di potenza e proporzione
Una critica medievale all’identificazione della velocità con il puro eccesso del motore sul mosso, fondata su Aristotele, Averroè e il ricorso all’esperienza.
Le considerazioni vertono sulla determinazione della velocità nel moto locale e nell’alterazione a partire dal rapporto tra potenza motrice e resistenza. Viene innanzitutto richiamata la posizione, tratta da Averroè e Aristotele, secondo cui “omnis motus est secundum excessum potentiae motoris super rem motam” e “velocitas propria unicuique motui sequitur excessum potentiae motoris super potentiam moti” (fr:1573), così come il passo del De caelo dove si afferma che “velocitas enim et tarditas non fit nisi secundum proportionem potentiae motoris ad potentiam rei motae; quanta igitur fuerit proportio maior, tanto magis motus erit velocior; et quanta proportio minor, tanto motus erit tardior” (fr:1879). L’interpretazione proposta intende tale excellentiam sive excessum come “proportionem maioris inaequalitatis qua potentia motoris excellit sive excedit potentiam rei motae” (fr:1647).
Tale opinione viene però dichiarata falsa: “Haec autem opinio debet redargui tamquam falsa” (fr:1649). A sostegno della confutazione si adduce un argomento tratto dall’esperienza: se la velocità seguisse direttamente l’eccesso, allora “quodcumque mobile fortis homo per maiorem excessum excederet quam debilior motor (sicut puer vel musca vel aliquid huiusmodi) excederet suum mobile, moveret et illud velocius” (fr:1642), ma si osserva invece che “musca portando aliquod modicum velociter multum volat, et puer aliquod modicum velociter satis movet, et homo fortis unum magnum mobile (quod vix potest movere) movet valde tarde” (fr:1644). Viene inoltre discussa l’interpretazione di passi come quello sulla divisione del mobile: “intelligit per ‘medietatem mobilis’ partem mobilis habentem ad illam potentiam motivam medietatem proportionis totius mobilis ad eandem” (fr:1751), precisando che non basta la proporzione del tutto alla parte per dedurre il raddoppio della velocità.
La riflessione si estende alla natura della potenza motiva, osservando che “nulla potentia motiva est finita vel infinita nec maior vel minor, nec aliquo modo proportionalis potentiae rei motae, quia omnis potentia motiva non est corpus, sed forma extensa in corpore vel a corpore separata” (fr:1796), con la conseguenza che “semper dupla potentia minoris potentiae potest movere duplum mobile mobili minoris potentiae per aequale spatium in aequali tempore” (fr:1790). Ritornano inoltre riferimenti alla proporzionalità degli elementi (fr:2913), alla sottiliazione del mezzo capace di variare la velocità indipendentemente dall’eccesso (fr:2711, fr:2714) e all’applicazione a casi come l’attrazione magnetica, dove “per dispositionem causatam in ferro a magnete, ferrum tantum appetit coniungi cum illo” (fr:2110). Sono infine impiegati argomenti tratti dal De caelo sull’impossibilità che un infinito muova un finito (fr:1826) e sulla proporzione permutata (fr:1827) per confermare la centralità di una proporzione intesa come relazione e non come mero eccesso.
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10 Il De proportionibus velocitatum in motibus di Tommaso Bradwardine
Manoscritti, edizioni a stampa e dottrina delle proporzioni nel movimento: i testimoni di un trattato cardine della fisica dei calculatores.
L’opera Explicit tractatus de proportionibus editus a magistro Thoma de Bradelbardin (fr:2456) [Finisce il trattato sulle proporzioni composto dal maestro Tommaso di Bradwardine], tràdita anche con il titolo Explicit tractatus de velocitate motus (fr:2942) [Finisce il trattato sulla velocità del movimento], è un testo del XIV secolo dedicato alla legge matematica che lega pesi e discese. Vi si precisa che non fu mai posta come universale la regola secondo cui «of any given unequal weights, the proportion of the larger to the smaller is in the proportion of their descents, taken in the same order» (fr:1788) [di due pesi disuguali qualsiasi, la proporzione del maggiore al minore è nella proporzione delle loro discese, prese nel medesimo ordine], ma soltanto per i due pesi prescelti. La relazione può essere uguale, maggiore o minore: «in the case of some weights, the proportion of the larger to the smaller is equal to that of their respective descents, in other … maior, et aliquorum minor» (fr:1788) [nel caso di alcuni pesi, la proporzione del maggiore al minore è uguale a quella delle rispettive discese, in altri maggiore, in altri minore]. L’esempio dei pesi di orologio chiarisce il principio: «to double a weight may more than double the speed of its descent» (fr:629) [raddoppiare un peso può più che raddoppiare la velocità della sua discesa].
Il trattato classifica le proporzioni secondo serie infinite: «double sesquialtern», «treble sesquitertian» (fr:1322) [doppia sesquialtera, tripla sesquitierza], «double superbipartient by thirds», «treble supertripartient by fourths» (fr:1330, 1329) [doppia superbipartiente per terzi, tripla supertripartiente per quarti], e distingue quantità «communicative» o «commensurabili», per le quali esiste una misura comune che le misura esattamente (fr:1244). Il ragionamento è condotto mediante commentatori che, dati due pesi disuguali e due linee che ne rappresentano le discese, suppongono che la proporzione del peso maggiore al minore sia maggiore di quella della linea più lunga alla più corta e ne deducono la proporzione contraria (fr:1780). Un altro commentatore aggiunge un secondo peso al minore affinché i due insieme eguaglino il maggiore, e pone che la discesa del peso aggiunto, da solo, sommata alla discesa del peso minore, uguagli la discesa del maggiore (fr:1783‑1784). Bradwardine attribuisce la dimostrazione a unus commentator, e la stessa prova è presente negli Elementa Jordani (fr:2956).
La tradizione manoscritta è complessa: sono note sette copie per le quali sono state registrate le varianti, ad esempio ai righi 97‑99, 108‑111 e 114‑119 (fr:2525). Le edizioni a stampa dell’Arithmetica speculativa, della Geometria speculativa, del De quadratura circuli e del De proportionibus videro la luce tra il 1495 e il 1536 a Parigi, Venezia, Vienna, Valencia e Wittenberg (fr:85). L’Arithmetica speculativa fu impressa da Guido Mercator a Parigi nel 1495 (fr:3175) e successivamente a Campo Gaillardo da Pedro Sanchez Cirvelo (fr:3179). La Geometria speculativa, «recolligens omnes conclusiones geometricas studentibus artium et philosophie aristotelis valde necessarias» (fr:3115) [raccogliendo tutte le conclusioni geometriche molto necessarie agli studenti delle arti e della filosofia aristotelica], fu pubblicata insieme al De quadratura circuli e venne in seguito dilatata dallo stesso Cirvelo (fr:3122). Un’Arithmetica practica segnalata da Thorndike e Kibre risulta invece essere il manoscritto Amploniano F375 (fr:3209).
Le fonti dottrinali del trattato includono le definizioni del quinto libro degli Elementa di Euclide – permutatim proportionalia, econtra rio proportionalia, disiuncta proportionalia, coniuncta proportionalitas, eversa proportionalitas, aequa proportionalitas (fr:3451‑3452, 3523) – e le opere di Aristotele e di Averroè (fr:3462). Al Liber de ponderibus attribuito a Jordanus Nemorarius, di cui esiste una versione genuina intitolata Elementa Jordani super demonstrationem ponderis (fr:2943), si aggiunge un commentario di metà Trecento (fr:2945). Al corpus appartiene infine un De proportionibus tramandato dal Vat. Lat. 1108 e attribuito a Euclide, ma ritenuto spurio per la discordanza dei numeri delle supposizioni con gli Elementa (fr:3452). La storiografia moderna, dagli studi di Anneliese Maier sui precursori di Galileo (fr:3271, 3428) alla monografia su Oresme (fr:3634), colloca Bradwardine al confine tra scolastica e scienza naturale. I suoi dati biografici – fu arcivescovo di Canterbury – sono documentati dall’Indiculus de successione archiepiscoporum Cantuariensium (fr:3070, 3648).
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