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Stevin - De statica | L | plus

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[1.1/1-48-237|283]

1 La ricerca dell’ansa: esempi e procedimenti nella statica dei corpi composti

Un metodo graduale per determinare il punto di sospensione di un giogo caricato con pesi e colonne, fondato sulla proporzionalità inversa tra pesi e segmenti del braccio.

Il testo espone, attraverso una serie di esempi (Exemplum), come trovare l’ansa – il punto di sospensione – di un jugum (giogo) che regge pesi puntiformi e corpi estesi (colonne). Il procedimento cardine compare nel primo paradigma: dati un peso A di 3 libbre sospeso in C e un peso B di 1 libbra in D, il giogo CD deve essere diviso in modo che

“C D ita dividitor, ut majus segmentum quod minoris ponderis est pendulam diametrum verius, illam rationem habeat ad minus, quam majus pondus ad minus.” – (fr:239/p.15) [CD sia diviso in modo che il segmento maggiore, corrispondente al peso minore, stia verso il diametro pendulo, e abbia al minore la stessa ragione che il peso maggiore ha al minore]

e

“Sitque in E, ut quemadmodum 3 ib A, ad 1 ib B: sic fit ED, ad EC.” – (fr:240/p.15) [E sia in E, che come stanno 3 libbre in A a 1 libbra in B, così ED stia a EC].

La linea pendula per E viene dichiarata ansa (fr:241/p.15). Il principio è riconducibile alla definizione 9 dell’opera, come precisa la dimostrazione finale:

“Gravioris ponderis A, in primo paradigmate, ea est ratio ad levius B, que longioris radii E D ad breviorem E C. E F itaque per 9 definitionem anla erit.” – (fr:279/p.17) [Del peso più grave A, nel primo paradigma, la ragione al più leggero B è quella del raggio più lungo ED al più corto EC. EF pertanto, per la definizione 9, sarà l’ansa].

La PRAGMATIA (procedura pratica) per i casi complessi introduce la nozione di diametros pendula, la retta d’azione del peso di un corpo composto. Nel secondo esempio, una colonna ABCD di 6 libbre (divisa come nella prima proposizione) è sospesa insieme a un peso Y di 12 libbre appeso in Q. L’ansa si ricava dividendo il giogo TQ:

“Columnae pendula gravitatis diametrus est I T, ponderis vero Y est B Q, T Q jugum ita dirimedum cft,ut ejus segmenta rationem habeant, quareft inter iz ib Y, & o Ib columnae, breviusque segmentum ponderofioris Y diametrum verfus fit, qua* eft in X. ut N X anfa fit quaesita.” – (fr:246/p.15) [Il diametro pendulo della colonna sia IT, del peso Y sia BQ; il giogo TQ sia diviso in modo che i suoi segmenti abbiano la ragione che è tra 12 libbre di Y e 6 libbre della colonna (il testo reca “o” per un probabile errore di lettura da “6”), e il segmento più breve sia verso il diametro del peso più pesante Y, che è in X, così che NX sia l’ansa cercata].

Il terzo esempio, con colonna di 6 libbre e peso Y pure di 6 libbre, porta a una divisione equa del giogo TX:

“Columnf pendula diameter eft IT ponderis vero Y, N X, TX jugum ita parti-1 tum, ut segmenta rationem habeant 6 ib Y, ad 6 ib columnae,quod in V incidit, eritque VL anfa quaesita.” – (fr:254/p.15) [Il diametro pendulo della colonna è IT, del peso Y è NX; il giogo TX è diviso in modo che i segmenti abbiano la ragione di 6 libbre di Y a 6 libbre della colonna, il che cade in V, e VL sarà l’ansa cercata].

Una PRAGMATIA ALIVSMODI (fr:255-256/p.15) mostra come rielaborare la stessa costruzione considerando separatamente parti della colonna e utilizzando diametri penduli di pesi parziali.

La complessità cresce con l’aggiunta di ulteriori pesi. Il quarto esempio (fr:260-264/p.16) considera ABCD Y come un unico peso di 12 libbre e introduce un peso Z di 24 libbre sospeso in R; il giogo RV viene diviso in ragione di 12 a 24:

“Diametros pendula poderis A B C D Y eft L V, cx i exemplo, ponderis autem Z, RE, RV itaque jugum in duo segmenta fecandum, ut ratio illorum fit 12 ABCD Y ad 24 Z.” (fr:263/p.16) [Il diametro pendulo del peso ABCD Y è LV (dal primo esempio), del peso Z è RE; RV è il giogo, da dividere in due segmenti in modo che il loro rapporto sia 12 (di ABCD Y) a 24 (di Z)]

e il segmento più breve viene orientato verso il peso più grave, ottenendo l’ansa SG (fr:264/p.16). Due ulteriori PRAGMATIA ALIVSMODI (fr:266-269/p.16) confermano il risultato aggregando diversamente i pesi (ABCD Z e Y) e sfruttando la proposizione terza.

Il quinto esempio (fr:272-276/p.16) raggiunge la massima articolazione: colonna ABCD di 6 libbre, Y di 6 libbre, Z di 24 libbre e un ulteriore peso Ai di 12 libbre appeso in Q. L’ansa si determina riprendendo il diametro pendulo SG ricavato nel quarto esempio e dividendo il giogo SQ in ragione di 36 libbre (colonna + Y + Z) a 12 libbre (Ai):

“Diametros pendula ABCD YZ eft SG, ex4exemplifententia, & AE, QB, S Qeft jugum in duo segmenta partiendum ut illorum ratio <…> est 36 tb columna cum Y & Z, ad 12 tb Ai; minus segmentum pendulam diametrum verius gravioris segmenti, quae incidit in T, ut TI anla sit quaesita.” – (fr:275/p.16) [Il diametro pendulo di ABCD YZ è SG (dal quarto esempio), e AE, QB; SQ è il giogo da dividere in due segmenti in modo che il loro rapporto sia di 36 libbre della colonna con Y e Z, a 12 libbre di Ai; il segmento minore sia verso il diametro pendulo del segmento più grave, che cade in T, così che TI sia l’ansa cercata].

Il passo si chiude con una proiezione generale: se si sospendessero da P ulteriori 24 libbre, l’ansa rimarrebbe SG, e così per qualunque altro peso aggiunto al giogo (fr:276/p.16), rivelando una piena consapevolezza dell’invarianza del centro di gravità complessivo.

La DEMONSTRATIO (fr:279/p.17) richiama il primo paradigma e la definizione 9, mentre le dimostrazioni degli esempi successivi vengono omesse per brevità (fr:280/p.17). L’annotazione finale (fr:283/p.17) precisa che l’aggiunta di pesi in punti adeguati non sposta l’ansa, consolidando il principio di equilibrio come proprietà globale del sistema.

Il brano, intessuto di latino e terminologia tecnica – jugum, ansa, diametros pendula, pragmatia – adotta un impianto didattico-sistematico tipico della meccanica tardo-rinascimentale. Il susseguirsi di esempi con figure ricche di lettere e il rinvio a proposizioni precedenti segnalano un’opera di ampio respiro, probabilmente uno dei trattati di statica che, da Stevin in poi, codificarono il principio della leva e la nozione di centro di gravità per corpi composti. L’insistenza sul “modo pratico” (PRAGMATIA) e la ricerca dell’ansa testimoniano l’esigenza di offrire procedure operative a costruttori e ingegneri, in un momento di transizione in cui la scienza del peso si emancipava dalle macchine semplici per diventare disciplina generale dell’equilibrio.

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2 Il comportamento di una colonna sospesa con pesi: un’analisi statica

Dato un punto di sospensione e due pesi applicati, si determina se l’asse della colonna si dispone orizzontalmente, mantiene una qualsiasi inclinazione o si ribalta, in base alla posizione del centro di gravità totale rispetto al punto di attacco.

Il testo affronta una questione di statica dei corpi rigidi: prevedere l’orientamento di una colonna sospesa a cui sono appesi due pesi, in funzione del rapporto tra il peso proprio della colonna e i pesi aggiunti. Il punto di sospensione H è fissato sotto il centro di gravità E della colonna, mentre i due pesi I e K sono applicati ai punti C e D. L’asse della colonna è indicato con LM, l’orizzonte con NO. La situazione è descritta attraverso una figura: “ABCD columna esto , se secta per gravitatis centrum E plano FG ad basin AD parallelo, H firmitudinis punctum infra centrum E” (fr. 431). Per risolvere il problema si traccia il diametro pendulo della gravità della colonna PQ passante per E, e quello dei pesi RS passante per il loro centro di gravità G; la retta EG funge da giogo (leva) del sistema: “jugum erit EG” (fr. 437).

Il nucleo della soluzione consiste nel dividere il segmento EG in un punto che rappresenta il centro di gravità complessivo, determinato dal rapporto inverso dei pesi. Si distinguono tre configurazioni esemplificate con valori numerici in libbre.

Il brano mostra un uso preciso della nozione di diametro pendulo della gravità – la retta verticale passante per il centro di massa – e della leva EG come strumento per combinare i contributi di peso. La varietà dei comportamenti (rotazione verso l’orizzontale, equilibrio indifferente, ribaltamento) dipende dalla posizione del centro di massa totale rispetto al punto di sospensione, un principio che anticipa le moderne discussioni sulla stabilità dell’equilibrio. L’insistenza su rapporti numerici semplici e su figure geometriche riflette il metodo dimostrativo della statica seicentesca, che cerca di coniugare costruzioni sintetiche e calcoli ponderali per ottenere previsioni verificabili.

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[3.1/1-38-460|496]

3 Il punto di fermezza di un sistema trave-pesi

“Datis, nota columna, notisque ponderibus inde suspensis: invenire firmitudinis punctum, in quo quemlibet datum situm servabit.” – (fr:461/p.24) [Dati una colonna nota e noti pesi da essa sospesi, trovare il punto di fermezza nel quale conserverà qualunque posizione data.]

Il testo appartiene a un trattato di statica che affronta, con linguaggio geometrico-proporzionale, la ricerca del punto di fermezza (firmitudinis punctum) per sistemi composti da una trave orizzontale (columna) e pesi sospesi. Il primo problema posto (Problema 6, Proposizione II) è appunto: data una colonna di peso noto e dati i pesi applicati a essa, determinare quel punto in cui il sistema rimane in equilibrio indifferente, ovvero mantiene qualunque posizione gli venga assegnata.

Una prima Nota chiarisce un caso semplice: “Si duorum aequalium ponderum, ut A, B, firmitudinis puncta in columna axe sint a centro E aequidistantia, ut in ista figura – dubium non est, quin E per secundam demonstrationis partem 10 propositionis, quaesitum sit punctum.” – (fr:463/p.24) [Se i punti di fermezza di due pesi uguali A, B sull’asse della colonna sono equidistanti dal centro E, come in figura, non c’è dubbio che E sia il punto cercato, per la seconda parte della dimostrazione della proposizione X.] L’autore aggiunge però che esiste un exemplum irregularis formae (fr:464/p.24), cioè situazioni non simmetriche che richiedono una trattazione più generale.

Una seconda Nota estende la regola: “Firmitudinis punctis ut C, D, duorum ponderum, item unso E, in una recta linea constitutis … si de illis suspensis ponderibus ad radios proportionalibus, E firmitudinis punctum nihilo minus manere certum est, in quo datum situm servabunt.” – (fr:466/p.24) [Qualora i punti di fermezza C, D di due pesi ed E giacciano su una stessa retta, e i pesi sospesi siano proporzionali ai raggi (ossia alle distanze), E rimane certamente il punto di fermezza nel quale manterranno la posizione data.] Il principio è dunque la proporzionalità tra pesi e bracci, pilastro della legge della leva.

Il Datum del Problema 6 reca un esempio concreto: una colonna ABCD di 10 libbre, con centro di gravità in E, e due pesi sospesi da essa: “F 1 lb, H 4 lb” (fr:468/p.24). La Pragmatia (fr:470/p.25) prescrive di tracciare il giogo GI che unisce i punti di sospensione dei pesi, determinare i raggi KI e KG tramite la Proposizione 2 in modo che il loro rapporto sia pari a quello dei pesi (1 a 4), e quindi tagliare il segmento FK in L tale che “radius EL sit ad LK: quemadmodum 5 lb F & H ad 10 lb columnae” (fr:470/p.25) [il raggio EL stia a LK come 5 libbre, somma di F e H, stanno a 10 libbre della colonna]. Il punto L così ottenuto è il punctum firmitudinis che consente di mantenere qualunque orientamento; la dimostrazione è fornita dalla Proposizione 7 (fr:471/p.25).

Il Problema 7, Proposizione II sposta l’attenzione su una situazione diversa: “Datis, nota columna cum firmitudinis puncto, notis item ponderibus inde suspensis, quae axem horizonti parallelum servant: pondus invenire, quod optato columnae loco suspensum axem in dato situ servabit.” – (fr:475/p.25) [Dati una colonna nota con il suo punto di fermezza, e noti pesi da essa sospesi che mantengono l’asse parallelo all’orizzonte, trovare il peso che, sospeso in un punto desiderato della colonna, manterrà l’asse nella posizione data.] Qui non si cerca più un punto di equilibrio indifferente, ma il peso da aggiungere in un punto fissato D per conservare una specifica inclinazione dell’asse.

Il Datum (fr:477/p.25) introduce una colonna ABCD di 5 libbre, con punto di fermezza E e anla EF (una sorta di maniglia o appensione). Due pesi G e H di 3 libbre ciascuno tengono l’asse IK parallelo all’orizzonte LM. Si sceglie un punto D e si solleva l’asse (reso mobile in E) secondo uno schema illustrato nella seconda formula (fr:478/p.25). La Pragmatia (fr:483/p.26) prescrive di trovare, con la dottrina della Proposizione II, il punto di fermezza N per il quale l’asse terrebbe qualsiasi posizione; poi si traccia la perpendicolare EO che interseca ND in O. Il rapporto NO : OD risulta 1 : 2, cosicché dal punto D si sospende un peso P di 6 libbre. Il peso totale appeso insieme a colonna, G e H è di 12 libbre, in rapporto 1 a 2 con il peso P, e l’autore dichiara: “dico P 6 lb quaesitum pondus esse” – (fr:485/p.26). La dimostrazione (fr:487/p.26) invoca la legge della leva: “Gravius pondus 12 lb radii ON, illam rationem habet ad levius 6 lb radii OD, quam longior radius OD ad breviorem ON. igitur ex anfa EF situ aequipondia dependent per 1 proposit.” [Il peso più grave di 12 libbre, corrispondente al raggio ON, sta al peso più leggero di 6 libbre del raggio OD come il raggio più lungo OD sta al più breve ON; perciò essi sono in equilibrio attorno all’appensione EF per la Proposizione ] Di conseguenza l’asse IK mantiene la posizione voluta (fr:488/p.26).

Un secondo esempio non concluso (fr:492‑496) ripropone lo stesso problema con una colonna di 6 libbre, un’appensione con peso di 2 libbre, un altro peso di 1 libbra e il punto P desiderato, ribadendo il procedimento di sollevamento dell’asse secondo la seconda formula. Il brano termina con la domanda: “e P suspendendum pondus, quod axem LM in dato situ servet.” – (fr:496/p.26) [da P si dovrà sospendere il peso che mantenga l’asse LM nella posizione data].

Il lessico – columna, anfa, jugum, radius, firmitudinis punctum – e la struttura per Data/Qvaesitum/Pragmatia rimandano a una trattazione cinquecentesca della statica, verosimilmente legata all’opera di Simon Stevin (tradotta in latino da Willebrord Snellius). Il testo documenta un momento in cui l’equilibrio dei corpi estesi era indagato con metodi geometrici ancora vicini al modello archimedeo, ma già orientati a calcolare il punto di sospensione unico che rende il sistema “indifferente” a ogni assetto, concetto antesignano del centro di massa globale.

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[4.1/1-20-529|546]

4 L’equilibrio dei pesi obliqui e la colonna vincolata: un teorema degli Elementi di Statica

Il brano espone, in due momenti concatenati, una proposizione di statica e la sua applicazione a un problema concreto di equilibrio di una colonna. La prima parte dimostra che due pesi agenti su bracci uguali con linee di trazione oblique e angoli corrispondenti possiedono la medesima capacità di mantenere il sistema in quiete. La seconda parte trasferisce questo principio alla ricerca del peso capace di sostenere una colonna che ha un punto fisso e un punto mobile sull’asse.

L’apparato dimostrativo è rigorosamente geometrico e fa leva sulla simmetria tra discesa e sollevamento obliqui. L’autore fissa un punto A e due raggi uguali AB e AC. Da B pende il peso D che discende obliquamente lungo la linea BE, mentre da C pende il peso F che solleva obliquamente lungo la linea CG: “de C vero pondus F oblique attollens dependeat, cujus linea obliqucattollcnsfitCG, angulus^ue K C G angulo K B E aequalis” – (fr:528/p.28) [da C penda il peso F che solleva obliquamente, la cui linea obliqua di sollevamento sia CG, e l’angolo KCG sia uguale all’angolo KBE]. L’obiettivo è dichiarato: “Dtmonftrandumnobis pondus D oblique defeendens, pondufque F oblique attollens, in xquales radios A B,AC arqualcm potentiam obtinere” – (fr:529/p.28) [dobbiamo dimostrare che il peso D discendente obliquamente e il peso F che solleva obliquamente, su raggi uguali AB, AC, esercitano potenza uguale].

La strategia adottata, introdotta dalla formula Praeparatio (fr:530/p.22), consiste nel sostituire F con un peso H uguale a D ma fatto agire anch’esso come discendente obliquo da C, con linea CI che forma un angolo ACI uguale all’angolo ABE: “De C pondus H oblique dclcendens, ponderi D aequale, dependeto, cujus oblique dclccndens linea CI, ut angulus ACI arquet angulum A B E” – (fr:531/p.28). In questo scenario, rimuovendo F, la potenza di H si mostra capace di mantenere il sistema nella configurazione iniziale perché i pesi D e H sono uguali e le geometrie sono speculari; di conseguenza, ripristinando F con il medesimo peso di H, l’equilibrio si conserva. La Demonstratio (fr:531/p.28) lo esplicita: “Amoto F, potentiam ponderis P efle, radios AB, AC in dato fitufervare non eft incognitum, quod D squale lit H, & A B radius, AC radio, angululque ACI angulo AB E. Amoto viciflim D, ponderi F appenlo eadem potentia erit, A B & AC radios in dato litu fetvare, quod pondus H ponderi F fit .rquale” – (fr:532/p.28) [rimosso F, la potenza del peso P è tale da mantenere i raggi AB, AC nella data posizione, poiché D è uguale a H, e il raggio AB al raggio AC, e l’angolo ACI all’angolo ABE. Rimosso D viceversa, e appeso il peso F, la stessa potenza terrà i raggi AB e AC nella data posizione, poiché il peso H è uguale al peso F].

La Conclusio (fr:533/p.14) fissa il risultato generale: “Poudus igitur defeendens, & attollens illi xquale, aequalibus angulis in aequales radios aequalem potentiam exercent” – (fr:534/p.28) [quindi il peso discendente e quello che solleva uguale a quello, con angoli uguali su raggi uguali, esercitano potenza uguale]. Questo enunciato costituisce il fondamento per il successivo problema, separato dalla dicitura PRO I DE STATICAE ELEMENTIS (fr:535/p.29) [I degli Elementi di Statica] e dal numero di proposizione 29 8 PROBLEMA (fr:536/p.29) / H PROPOSITIO (fr:537/p.14) [Proposizione VIII].

La seconda sezione abbandona i bracci ideali per applicarsi a una colonna dotata di un asse con due punti: uno fisso e uno mobile posto sul segmento più lungo. Il quesito è: “invenire pondus re^te attollens ex pundlo mobili, quod datam columnam in dato fitu confervet, retineatque” – (fr:538/p.29) [trovare il peso che solleva rettamente dal punto mobile, che mantenga e trattenga la data colonna nella data posizione]. Nel Datum (fr:539/p.12) si definisce una colonna generica ABCD, già sezionata come in una precedente proposizione (fe&a ut in 1 propofit. – fr:540/p.29). Vengono fissati il punto rigido R e il punto mobile V sul segmento più lungo dell’asse RQ; si avverte esplicitamente che “in breviore enim fieri ncutiquam poteft, ut ullum pondus refte attollens axem in dato fitu detinear” – (fr:541/p.29) [nel più breve infatti non può in alcun modo accadere che un qualsiasi peso che solleva rettamente trattenga l’asse nella data posizione], una condizione geometrica che delimita l’esistenza della soluzione.

Per ottenere il peso richiesto, il testo introduce una breve costruzione pratica chiamata P R A G M A T I A (fr:544/p.29), che prescrive di prolungare la linea dell’asse (indicata con Q) fino a un punto Y tale che RY sia uguale a RV. Da Y si sospende poi un peso Z, determinato in modo che la colonna risulti in equilibrio nella posizione voluta: “hinc pondus Z invenien- dum j quod de Y fufpcn- fum columna? fit fitu aequi- libre” – (fr:544-545/p.29) [quindi si deve trovare il peso Z che sospeso da Y ponga la colonna in equilibrio nella posizione]. Infine, appellandosi a risultati anteriori (per 3 propofit.4. – fr:545/p.29), si afferma che il peso così trovato è proprio il peso rettamente sollevante cercato: “Dico itaque A quarfitum pondus rctfte attollens 4 ib efle” – (fr:545/p.29) [Dico pertanto che il peso cercato che solleva rettamente è quello in A].

Il frammento offre una testimonianza significativa della statica pre‑moderna, in cui leggi di equilibrio venivano formulate e dimostrate mediante sovrapposizione di casi simmetrici e rimandi a costruzioni geometriche. L’impostazione ricorda da vicino gli Elementi di Statica di Simon Stevin, nei quali la potenza di un peso su un piano inclinato o lungo una fune obliqua è analizzata con lo stesso lessico di radii e potentia. L’insistenza sull’uguaglianza degli angoli e sulla distinzione tra segmento mobile “lungo” e “corto” dell’asse rivela una attenzione alla determinazione univoca delle condizioni di equilibrio, che prelude ai successivi sviluppi della meccanica analitica.

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5 L’equilibrio della colonna su due punti dell’asse: analisi di un trattato di statica

Un peso che solleva la colonna da un punto mobile la mantiene in qualunque posizione se la mantiene in una; le reazioni vincolari sono inversamente proporzionali alle distanze dal baricentro.

Il brano appartiene a un’opera di statica razionale, con ogni probabilità agli Elementi di Statica, come dichiarato dalla citazione interna. Il testo si apre con un rimando a una figura e alla proposizione 14: “Figuras e 14 prapofit.” (fr:571/p.31) [“Figure della proposizione 14”], subito dopo richiama i rapporti fra segmenti dell’asse di una colonna e pesi sospesi, secondo un principio già stabilito. La trattazione affronta due proposizioni fondamentali, introdotte da dichiarazioni e chiuse da conclusioni formali.

La prima proposizione (theorema 8, propositio 16) enuncia una proprietà dei sistemi con un punto fisso e uno mobile sull’asse della colonna: “Duorum pundtorum in axe columna, altero fixo, al- tero mobili: Pondus redte at tollens e pundto mobili fervans columnam in unoaliquofitu, in quovis alio fervare poterit.” (fr:578/p.31) [“Di due punti sull’asse di una colonna, uno fisso e l’altro mobile: un peso che tira dirittamente verso l’alto dal punto mobile e mantiene la colonna in una certa posizione, potrà mantenerla in qualunque altra.”]. La dimostrazione si appoggia su un caso particolare in cui la colonna viene leggermente ruotata attorno al punto fisso R, mantenendo il peso AL che tira verso l’alto dal punto mobile: “Columnam i4propofitionis eum fuis poderibus, in fixo pundo R non nihil vertamus mutemusque, maneatque AL pondus redum ex- tollens, carteraquefint hujufmodi, quemadmodum hic exhibentur.” (fr:580/p.31) [“Facendo ruotare e spostare un poco la colonna della proposizione 14 con i suoi pesi, attorno al punto fisso R, e rimanendo il peso AL che tira verso l’alto, e restando le altre cose come qui si mostrano.”]. Ricorrendo alla proposizione 10 (la colonna rimane ferma nella posizione data se si toglie A e si appende Z) e alla proposizione 11 (AL nel punto V e Z nel punto Y conferiscono alla colonna la stessa forza), si conclude che AL da solo basta a mantenere la colonna in quella posizione e, per il ragionamento, in qualsiasi altra. La conclusione ribadisce il teorema: “Duorum igitur pundorum in axe, alteto fixo, altero mobili, rede attollens pondus mobili appenfum in uno aliquo fitu columnam fervaus, in quovis alio frrvare poterit.” (fr:587/p.31) [“Dunque, di due punti sull’asse, uno fisso e l’altro mobile, un peso che tira verso l’alto applicato al punto mobile e mantiene la colonna in una determinata posizione, potrà mantenerla in qualsiasi altra.”].

La seconda e più importante proposizione (theorema 9, propositio V) stabilisce la ripartizione del peso di una colonna poggiata su due punti dell’asse in funzione delle distanze dal centro di gravità: “Columna fuper duobus in axe pun&is quiefccnte: quemadmodum axis Tegmentum inter gravitatis centrum pun&umque finift rum,ad ejufdem legmentum inter gravitatis centrum pun&umque dextrum : ita co- lumnae pondus fuper punfto dextro quiefcens , ad reli- quum ponderis fuper finiftroquiefcentis.” (fr:590/p.32) [“Una colonna che poggia su due punti dell’asse: come il segmento dell’asse tra il centro di gravità e il punto sinistro sta al segmento tra il centro di gravità e il punto destro, così il peso della colonna che grava sul punto destro sta al resto del peso che grava sul sinistro.”]. Viene introdotto un esempio concreto: la colonna ABCD appesa o appoggiata, con i due punti R e V che poggiano su OE e JE. I dati confermano il principio: TR è doppio di TV, e sul supporto in V gravano 4 libbre mentre su OE ne gravano 2, proprio nello stesso rapporto doppio: “TR duplum eft ad TV cxthefi, & fuper yE 4 ib, fuper OE vero z ib quiefeunt, ex i confcd. 14 propofitionis, atqui 4 ib ad 2, ib etiam dupla eft ratio ; quemadmodum T R ad T V: ita& pondus quod fuper pun- do A eft, ad reliquum ponderis quiefcen- tis fuper OE.” (fr:595-596/p.32) [“TR è doppio di TV per ipotesi, e su yE riposano 4 libbre, su OE invece 2, da un corollario della proposizione 14; ma il rapporto di 4 a 2 è anch’esso doppio, quindi come TR sta a TV così il peso che sta sul punto destro sta al rimanente peso che grava su OE.”].

La dimostrazione generale sviluppa un ingegnoso metodo di riduzione alla leva: si prolunga l’asse in Z e Φ in modo che RZ = RV e VΦ = VR, e si immaginano sospesi rispettivamente i pesi n (4 libbre) e A (2 libbre) per mantenere la colonna in equilibrio, applicando la proposizione Poi, per la proposizione 13, il peso applicato nel punto di appoggio ha lo stesso effetto di quello sospeso. A questo punto si constata che il braccio TR sta al braccio RZ come il peso n sta all’intera colonna (proposizione 1) e analogamente TV sta a VΦ come A sta alla colonna; poiché RZ = VΦ, si hanno due proporzioni a quattro termini con secondi e quarti uguali, “quorum fecundi quarti^ue aquales t I D E Stattc^’ elementis.” (fr:600/p.32) [“i cui secondi e quarti sono uguali, come negli Elementi di Statica”]. Da queste proporzioni si deduce che TR sta a TV come n sta ad A: “Vt TR igiturad TV: ita n ad a.” (fr:604/p.33) [“Dunque TR sta a TV come n sta ad A”]. E poiché n corrisponde al peso che grava sul punto destro V e A a quello che grava sul sinistro R, si ottiene la legge enunciata. Il corollario finale estende il risultato al caso in cui i punti di appoggio si trovino su verticali passanti per R e V, permettendo di ripartire i pesi allo stesso modo.

Dal punto di vista storico, il testo mostra l’applicazione sistematica della legge della leva (già archimedea) a corpi estesi dotati di centro di gravità, attraverso la sostituzione di vincoli con forze equivalenti. Questo approccio, caratteristico degli Elementi di Statica di Stevin, pone le basi per il calcolo delle reazioni vincolari nelle travi e per il concetto di momento statico, anticipando sviluppi fondamentali della meccanica.

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6 Dimostrazione del piano inclinato e fondazione della statica

L’equilibrio su un triangolo retto rivela la legge del piano inclinato, fondata sull’impossibilità del moto perpetuo, e si estende a ogni corpo fino a definire la resistenza al moto orizzontale.

Il testo enuncia e prova una legge fondamentale della statica, posta come teorema generale per i pesi obliqui dopo aver trattato i pesi retti: «HACTENVS RECTORVM PONDERVM GENERA DICTA SVNT; OBLIQVORVM PROPRIETATES DEINCEPS describendae sunt, quarum omnium generale veritatis fundamentum istud theoremata complectitur» – (fr:630/p.34) [Fin qui sono stati esposti i tipi di pesi retti; di seguito si descriveranno le proprietà di quelli obliqui, il cui fondamento universale di verità è racchiuso in questo teorema]. Il principio viene fissato su un triangolo retto a base orizzontale: «Si triangulum planum horizonti est perpendiculare, basis parallela, reliquis autem lateribus globi singuli addantur aequilibres: erit quemadmodum trianguli latus dextrum ad sinistrum: ita sacoma globi sinistri ad antifacoma globi dextri.» – (fr:632-634/p.34) [Se si pone un triangolo piano perpendicolare all’orizzonte, con la base parallela e ai rimanenti lati si agganciano singoli globi in equilibrio, allora come il lato destro sta al sinistro, così il peso del globo sinistro starà all’anti-peso del globo destro].

La dimostrazione procede per assurdo con un esperimento mentale che nega la possibilità del moto perpetuo. Intorno al triangolo ABC (lato AB doppio di BC) si immagina una «corona» di quattordici globi uguali collegati da un fune scorrevole, con quattro globi disposti lungo AB e due lungo BC: «Triangulum ABC quatuordecim globorum pondere & magnitudine aequalium, quasi corona… cingamus… quaterni vero BA accommodentur, hoc est, quemadmodum linea ad lineam ita globi sint ad globos» – (fr:640/p.34) [Cingiamo il triangolo ABC con quattordici globi di peso e grandezza uguali, quasi una corona… e quattro siano disposti lungo BA, cioè come la linea sta alla linea, così i globi stiano ai globi]. Con tre punti fissi S, T, V che guidano la corda, si suppone che la porzione sinistra di otto globi sia più pesante della destra di sei: «si fieri potest) quatuor illi D,R,Q,P; Atqui G,N,M,L, aequiponderant quatuor G.H.I.K. Latus igitur octo globorum D,R,Q,P,O,N,M,L, ponderosius erit latere sex goborum E, F, G, H, I, K. Quia vero gravius praeponderat leviori, octo deorsum volventur, sex vero reliqui sursum» – (fr:644-645/p.35) [se è possibile, quei quattro D,R,Q,P; ma G,N,M,L fanno equilibrio con i quattro G,H,I,K. Dunque il lato di otto globi D,R,Q,P,O,N,M,L sarà più pesante del lato di sei globi E,F,G,H,I,K. E poiché il più grave prepondera sul più leggero, gli otto scenderanno in basso, mentre i sei rimanenti saliranno]. L’assurdità emerge immediatamente: compiuto il movimento, la corona riassume la stessa configurazione di partenza e il moto continuerebbe senza fine: «Descenderit D, in O & E F G H sint loco P,Q,R,D, denique I,K,loco E, F. Atqui hoc si sit, globorum series sive corona eundem situm cum priore habebit… idcoque rursus octo illi descendent, sex autem ascendent, ipsique globi ex se continuum & aeternum motum efficient, quod est absurdum» – (fr:646/p.35) [D scenda in O, ed E,F,G,H prendano il posto di P,Q,R,D, e infine I,K il posto di E,F. Ma se ciò accade, la serie di globi o corona avrà la medesima disposizione di prima… e perciò di nuovo quegli otto scenderanno, i sei saliranno, e i globi produrranno da sé un moto continuo ed eterno, il che è assurdo]. Ne consegue la proporzione cercata: «Quemadmodum igitur latus BA 2 ad latus BC 1, ita facoma globi E ad antifacoma globi D» – (fr:651-652/p.35) [Come dunque il lato BA 2 sta a BC 1, così il peso del globo E sta all’anti-peso del globo D].

La legge viene estesa dai globi a ogni tipo di corpo. Per un triangolo con lato BC verticale, un globo D doppio di E risulta in equilibrio: «SI latus trianguli BC, cui AB duplum est, rectum ad AC collocetur… globus D duplus ad globum E, cum E situ aequilibris erit: ut enim AB ad BC: ita globus D ad globum E» – (fr:656/p.35) [Se il lato BC del triangolo, di cui AB è doppio, è collocato perpendicolarmente ad AC… il globo D doppio del globo E sarà in equilibrio di posizione con E: come AB sta a BC, così il globo D al globo E]. Sostituendo il globo con una colonna, la proporzione resiste. Tracciando una perpendicolare dal centro della colonna, si ottengono triangoli simili e il rapporto tra i segmenti diventa quello tra il peso della colonna e il peso equilibrante: «ut LD ad DI: ita columna est ad E… utigitur LD ad DI; ita ad E» – (fr:664/p.36) [come LD sta a DI, così la colonna sta al peso E]. La generalizzazione ultima arriva con il sesto corollario: «ut CE ad EO: ita pondus globi ad P… Neque illud de globis tantum verum est, sed etiam de quibusvis corporibus» – (fr:675-676/p.37) [come CE sta a EO, così il peso del globo sta a P… E ciò non è vero soltanto per i globi, ma anche per qualunque corpo, che tocchi punti o linee, o vi rotoli sopra]. La proporzione tra i lati del triangolo si traduce così nel rapporto tra il peso del corpo e la forza che lo sostiene lungo un piano inclinato di data pendenza.

Il corollario finale rovescia la prospettiva sul moto orizzontale. Se si elimina ogni ostacolo, una forza minima può muovere qualsiasi massa, per quanto enorme: «nullum pondus, quantulumcunque fuerit in P, situ aequiponderare posse contra corpus D, verum (mathematice intelligitur) loco promovere posse quantumvis ponderosum fuerit. Unde consequitur, quaevis pondera secundum horizontem promota, cujusmodi sunt naves in aquis, plaustra in camporum aequoribus, &c. ne muscae quidem potentiam ad motum sui requirere, nisi quantum circumdantia obstacula officiunt, motumque impediunt» – (fr:677-679/p.38) [nessun peso, per quanto piccolo, in P può fare equilibrio di posizione contro il corpo D, ma (intendendo matematicamente) può muovere dalla sua posizione un corpo per quanto grande sia. Donde segue che qualsiasi peso spostato lungo l’orizzonte – come navi in acqua, carri in pianura – non richiede per il proprio movimento nemmeno la potenza di una mosca, se non per quanto gli ostacoli circostanti, come acqua, aria, sfregamento degli assi e asperità del terreno, si oppongono e lo impediscono].

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7 L’equilibrio della colonna: proporzioni tra pesi e linee d’azione in un trattato di statica

Dimostrazioni e corollari stabiliscono la proporzionalità tra pesi retti e obliqui, agenti su un punto mobile dell’asse, e le corrispondenti distanze dal lato della colonna.

Il testo indaga le condizioni di equilibrio e le proporzioni che governano una colonna vincolata in un punto fisso del suo asse e sollecitata in un punto mobile. L’autore sviluppa una serie di teoremi e corollari a partire da casi particolari, per giungere a una formulazione generale. L’attenzione è posta sul confronto tra l’effetto di un peso che tira lungo una linea retta perpendicolare al lato e quello di un peso che tira obliquamente.

Il ragionamento prende avvio da una colonna DE con asse FG perpendicolare al lato AB di un triangolo, e un punto di tangenza H. Viene considerato un’altra colonna uguale KL con un punto P in posizione corrispondente, e un punto fisso Q tale che la linea IQ sia parallela a AB e QP parallela a BC. Già nei primi corollari si afferma una proporzione costante: “quemadmodum LD ad DO: ita M ad P” – (fr:680/p.38) [come LD sta a DO, così M sta a P], osservando che la rimozione di un triangolo dalla costruzione non altera questa relazione.

L’analisi prosegue confrontando la situazione in cui il punto mobile I si trova sopra il punto fisso F, con linea obliqua IV inclinata verso il punto fisso H, e quella in cui il punto mobile è sotto il fisso. In entrambi i casi la proporzione rimane invariata. Lo stesso vale quando la linea che solleva è inclinata dalla parte opposta: “Quemadmodum igitur I F ad F H : ita K ad G” – (fr:710/p.40) [come dunque IF sta a FH, così K sta a G]. La generalità della legge è confermata anche per l’asse della colonna disposto orizzontalmente: “Hanc autem proportionem etiam in illis locum obtinere ubi axis horizoti parallelus est, ita demonstratur” – (fr:713/p.40) [Che poi questa proporzione ha luogo anche in quei casi dove l’asse è parallelo all’orizzonte, così si dimostra].

Da queste premesse scaturiscono i teoremi principali. La proposizione 20 (teorema 12) fissa la relazione per i pesi che sollevano: “Si axis columnae puncta habeat, firmum, & mobile, & ex isto dependentia pondera, unum recte, alterum oblique extollens, in dato situ columnam conservant: erit quemadmodum linea recte extollens ad lineam oblique extollentem ita illius pondus, ad pondus hujus” – (fr:723/p.41) [Se l’asse di una colonna ha un punto fisso e uno mobile, e da questo dipendono pesi, uno che solleva rettamente e l’altro obliquamente, i quali mantengono la colonna in una data posizione: allora la linea che solleva rettamente starà alla linea che solleva obliquamente come il peso del primo sta al peso del secondo]. La dimostrazione è presentata come conseguenza immediata della dottrina antecedente.

Un enunciato analogo, proposizione 21 (teorema 13), è formulato per i pesi che agiscono premendo: “Si axis columnae puncta habeat firmum, & mobile, ex quo dependentia pondera, unum recte, alterum oblique demittens in dato situ columnam conservant: erit quemadmodum linea recte demittens ad lineam oblique demittentem: ita pondus rectum ad pondus obliquum” – (fr:733/p.42) [Se l’asse di una colonna ha un punto fisso e uno mobile, da cui pendono pesi, uno che preme rettamente e l’altro obliquamente, e mantengono la colonna in una data posizione: allora la linea che preme rettamente starà alla linea che preme obliquamente come il peso retto sta al peso obliquo]. La dimostrazione si appoggia a una preparazione che introduce un punto simmetrico L e pesi equivalenti che sollevano, riconducendo il caso a quello già trattato.

L’ultima parte del testo applica queste proporzioni a un problema concreto: dato un peso ignoto che, sospeso a un punto mobile, mantiene la colonna in equilibrio, determinarlo. La proposizione 22 (problema 9) prescrive: “Datis, nota columna, punctisque in axe, altero firmo altero mobili, ex quo ignotum pondus suspensum in dato situ columnam conservat: pondus notum facere” – (fr:744/p.43) [Data una colonna nota e i punti sull’asse, uno fisso e l’altro mobile, dal quale un peso ignoto sospeso mantiene la colonna in una data posizione: rendere noto il peso]. Il procedimento consiste nel trovare prima, tramite una proposizione precedente, il peso che solleva rettamente capace di mantenere lo stesso equilibrio. Quindi si sfrutta la similitudine tra triangoli per applicare la proporzione tra la perpendicolare e la linea obliqua. Ad esempio: “quemadmodum AZ 2 ad Z OE 1: ita pondus recte extollens 4 lib. ad Y” – (fr:754/p.44) [come AZ 2 sta a Z OE 1, così il peso che solleva rettamente 4 libbre sta a Y]. La soluzione Y risulta essere 2 libbre.

Una nota tecnica avverte che se una delle linee d’azione non interseca il lato della colonna, occorre prolungare quest’ultimo fino all’intersezione. Il testo, pur nella sua secchezza dimostrativa, testimonia un momento fondativo della statica architettonica, dove l’equilibrio dei corpi vincolati è ricondotto a rapporti geometrici misurabili e calcolabili.

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8 La proporzione delle forze oblique nell’equilibrio di una colonna

Un frammento di statica rinascimentale in cui il rapporto tra linee di trazione obliqua e retta determina l’equilibrio di un corpo sospeso, preludio alla moderna scomposizione delle forze.

Il testo descrive una dimostrazione geometrico-meccanica che lega le forze oblique a quelle verticali quando una colonna è mantenuta in equilibrio. Una breve premessa, ricavabile dalle prime battute, chiarisce che la linea che sorregge la colonna nella posizione data non può restare parallela né scostarsi lateralmente: «Neque hic igitur reliqua linea, columnam in dato situ servans, ab EF declinat, neque parallela est […] in latum autem decedere manifeste absurdum est. Quapropter necessario EF versus annuit.» – (fr:860/p.48) [Dunque la linea restante, che mantiene la colonna nella posizione data, non declina da EF, né è parallela, ma spostarsi lateralmente è manifestamente assurdo. Perciò necessariamente converge verso EF.] Se EF andasse in direzione opposta, l’altra linea si allontanerebbe corrispondentemente (fr:861/p.48). Questo inciso geometrico prepara il problema successivo.

Con il «18 PROBLEMA. 27 PROPOSITIO.» (fr:864‑865) viene enunciata la legge centrale. Il dato sperimentale è una colonna AB con asse CD e due punti di applicazione E, F. Su di essi agiscono pesi che sollevano obliquamente G e H, e pesi che sollevano verticalmente I e K, rappresentati dalle linee EL, FM (oblique) ed EN, FO (rette) (fr:868/p.48). L’obiettivo è dimostrare che «Quemadmodum LE ad EN: ita esse G ad I, & quemadmodum MF ad EO: ita esse H ad K» – (fr:870/p.48) [Dimostreremo che come LE sta a EN, così G sta a I, e come MF sta a EO, così H sta a K.]

La proposizione principale enuncia proprio questa relazione di proporzionalità: «Si columna, & duo pondera oblique extollentia situ aequilibria sunt, erit quemadmodum linea oblique extollens ad lineam recte extollentem: ita ponderum quodque obliquum ad suum pondus rectum.» – (fr:866/p.48) [Se una colonna e due pesi che la sollevano obliquamente sono in equilibrio nella posizione, allora come la linea che solleva obliquamente sta alla linea che solleva rettamente, così ciascun peso obliquo sta al suo peso retto.]

La dimostrazione (fr:872‑876) sfrutta una proposizione già nota (la 20). Fissato prima il punto F e reso mobile E, si ricava LE:EN = G:I; quindi, fissato E e reso mobile F, si ottiene MF:FO = H:K. L’argomento si appoggia interamente sulla geometria delle linee di trazione, senza scomporre le forze in senso moderno, ma già riconoscendo che l’efficacia di una potenza obliqua è espressa dal rapporto con la corrispondente verticale.

Un corollario immediatamente successivo mostra l’utilità pratica della legge: «Cognita columna a duabus lineis non parallelis suspensa, ut hic juxta vides, quantum ponderis de quaque linea pendeat, quantumve potentiae quaque linea obtineat, innotescere posse manifestum est.» – (fr:879/p.49) [Data una colonna sospesa a due linee non parallele, come vedi qui accanto, è manifesto che si può conoscere quanto peso penda da ciascuna linea e quanta potenza ciascuna linea sopporti.] Il riferimento visivo («ut hic juxta vides») segnala la presenza di una figura a lato, indispensabile per seguire le lettere del ragionamento.

L’autore conclude con una nota metodologica: «NOTATO. Plerisque omnibus in propositionibus hujus libri, columnam nos loco exempli usurpavisse.» – (fr:880/p.49, testo parzialmente corrotto) [Nota. Nella maggior parte delle proposizioni di questo libro abbiamo usato la colonna come esempio.] La colonna non è dunque il soggetto esclusivo dell’indagine, ma un corpo generico che consente di estendere i risultati a qualunque solido sospeso.

Lo spezzone ha un forte valore storico-documentario. Proviene quasi certamente da un trattato latino di statica, probabilmente il De staticis elementis di Simon Stevin, e illustra il passaggio dalle macchine semplici di tradizione archimedea a un’analisi dell’equilibrio basata su rapporti tra linee. La proposizione 27 cattura il nocciolo del metodo: il peso obliquo sta al peso retto come la linea obliqua sta alla linea retta. È un principio che anticipa la scomposizione delle forze e la legge del piano inclinato, e che Stevin stesso avrebbe poi generalizzato nella regola del parallelogramma delle forze. La tecnica di fissare alternativamente un punto e renderne mobile l’altro ricorda il principio dei lavori virtuali, applicato con un linguaggio ancora interamente geometrico. La testimonianza restituisce un momento fondativo della meccanica, quando l’equilibrio dei corpi sospesi a funi non parallele veniva ricondotto per la prima volta a una semplice proporzione, stabilendo un ponte tra la teoria delle leve e la statica dei sistemi articolati.

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9 Il centro di gravità delle figure piane: un trattato di statica del XVI secolo

Una sistematica indagine geometrica per determinare il centro di gravità di figure rettilinee, condotta con metodo assiomatico e procedure costruttive, tra eredità archimedea e innovazione.

Il testo presenta un’esposizione organica del problema “DE INVENIENDO GRAVITATIS CENTRO” – (fr:929/p.56) [Sulla determinazione del centro di gravità], tema centrale della statica classica. L’opera procede per teoremi e problemi, ciascuno scandito dalle sezioni Datum, Quaesitum, Praeparatio, Demonstratio e Conclusio, secondo il modello euclideo-archimedeo. Vengono dapprima stabilite proprietà generali per figure dotate di centro geometrico, poi affrontati i casi specifici del triangolo, dei poligoni irregolari e di un particolare quadrilatero, la securicula.

Una prima serie di proposizioni mostra che in ogni figura piana che possiede un centro di simmetria – parallelogrammi, pentagoni regolari, esagoni, cerchi – tale centro coincide con il centro di gravità. La dimostrazione per il parallelogrammo ABCD (fr:926/p.56) si basa sulla sospensione della figura lungo segmenti che la dividono in parti uguali, simili e similmente disposte: “HI igitur in parallelogrammo A B C D gravitatis diameter est, eandemque ob causam & FG” – (fr:931/p.57) [HI è dunque diametro di gravità nel parallelogrammo ABCD, e per la stessa ragione anche FG]. Con analogo argomento si conclude per il pentagono regolare: “Quinquangulo de AG suspenso, segmentum A G D E segmento A G C B aequilibre erit” – (fr:938/p.57) [Sospeso il pentagono per AG, il segmento AGDE starà in equilibrio col segmento AGCB]. La regola viene sintetizzata lapidariamente: “In omni igitur plano figura centrum, gravitatis quoque centrum est” – (fr:945/p.57) [In ogni figura piana, il centro è anche centro di gravità].

L’attenzione si sposta poi sul triangolo. Un primo teorema fissa la proprietà fondamentale: “Trianguli cujuscunque gravitatis centrum est in recta ab angulo in oppositum latus medium ducta” – (fr:948/p.57) [Il centro di gravità di qualsiasi triangolo si trova sulla retta condotta da un angolo al punto medio del lato opposto]. Lo si prova inscrivendo nel triangolo infiniti parallelogrammi e mostrando che il loro centro di gravità giace sempre sulla mediana, con differenze di peso che diventano “quovis plano, quantumvis minimo, minor” – (fr:961/p.58) [minore di qualsiasi piano, per quanto minimo], così da concludere l’equilibrio. Individuare praticamente il centro diviene allora immediato: tracciate due mediane, la loro intersezione è il punto cercato (fr:976-978/p.58). Un successivo teorema precisa la ripartizione: “Gravitatis igitur centrum in triangulo ita secat rectam ab angulo in medium oppositum lateris, ut segmentum inter ipsum & angulum ad reliquum duplum sit” – (fr:993/p.59) [Il centro di gravità nel triangolo taglia la retta dall’angolo al punto medio del lato opposto in modo che il segmento tra esso e l’angolo sia doppio del rimanente]. Segue un’elegante proprietà costruttiva: se due lati sono divisi in tre parti uguali, la retta che unisce i punti di divisione più vicini al terzo lato “per gravitatis centrum est ducta” – (fr:1008/p.59) [passa per il centro di gravità].

Il problema più generale – “Dato plano rectilineo; gravitatis centrum invenire” – (fr:1013/p.59) [Dato un piano rettilineo, trovare il centro di gravità] – viene risolto mediante scomposizione e composizione di centri parziali. Il quadrilatero irregolare ABCD (fr:1016/p.59) è diviso dalla diagonale in due triangoli; trovati i rispettivi centri E ed F, si costruiscono due parallelogrammi di uguale altezza ed equivalenti ai triangoli, e si taglia il giogo EF in N con il rapporto tra le aree (fr:1019-1020/p.60). La stessa logica si estende a pentagoni ed esagoni, con una progressione di esempi: “Atque ista pragmatica ratio in reliquis multila teris planis planissime eadem est” – (fr:1034/p.60) [E tale regola pratica rimane assolutamente identica per i restanti piani multilateri]. Senza la trasformazione in parallelogrammi, si può ricorrere a un metodo alternativo basato sulle perpendicolari, come illustrato per il quadrilatero irregolare: “jugo FE, secto in I, ut radius I E, sit ad radium I F, quemadmodum DG ad BH” – (fr:1043/p.61) [tagliato il giogo FE in I, in modo che il segmento IE stia a IF come DG a BH]. La generalizzazione al pentagono impiega la quarta proporzionale tra segmenti opportuni (fr:1049-1050/p.61), mentre per l’esagono si compongono i centri di due quadrilateri.

Una figura particolare, la securicula (quadrilatero con due lati paralleli), riceve un trattamento dedicato. Anzitutto si dimostra che il centro di gravità giace sulla retta che unisce i punti medi dei lati paralleli (fr:1079-1085/p.62). Poi se ne determina la posizione esatta: “Securiculae gravitatis centrum… ita secat, ut segmentum… ad reliquum sic, ut majoris paralleli lateris duplum minore auctum, ad duplum minoris cum majore” – (fr:1091-1093/p.63) [Il centro di gravità della securicula divide la bisettrice in modo che il segmento vicino al lato minore stia al rimanente come il doppio del lato maggiore aumentato del minore sta al doppio del minore aumentato del maggiore]. La dimostrazione sfrutta le proprietà dei triangoli componenti e le proporzioni tra le basi (fr:1102-1109/p.63). Chiude il brano un problema sulla ricerca del centro di gravità di una parte di figura, noti il centro dell’intero e quello di un segmento, con relativo rapporto (fr:1113-1118/p.63).

Il testo ha un’importanza storica notevole. Esso testimonia il consolidarsi della statica come disciplina matematica, fondata sull’eredità archimedea ma arricchita da un apparato dimostrativo e costruttivo sempre più maneggevole. L’impostazione per Datum, Quaesitum, Praeparatio e Demonstratio è quella tipica del Rinascimento scientifico, che fa da ponte verso la meccanica razionale. L’autore mostra piena consapevolezza della tradizione: in una nota dichiara di aver avuto notizia del commento di Federico Commandino alla quadratura della parabola archimedea, dove si insegna a trovare il centro di gravità dei rettilinei in modo diverso dai due esposti – “Federici Commandini Commentarium in Archimedis quadraturam paraboles, ubi ad 6 propositionem rectilineorum gravitatis centrum invenire docet, modo ab horum utroque diverso” – (fr:1075-1076/p.62). Questo riferimento colloca il trattato nel vivo del dibattito cinquecentesco sulla riscoperta e sul superamento dei metodi antichi, facendone una fonte di prim’ordine per la storia della meccanica.

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10 Il centro di gravità della parabola tra Archimede e la statica seicentesca

Un trattato di statica ripercorre con rigore euclideo la ricerca del baricentro nei segmenti parabolici, fondendo la misura geometrica alla leva e svelando le possibili vie euristiche di Archimede.

Il testo, tratto da un Liber Statici seicentesco, affronta un problema classico della meccanica geometrica: determinare il centro di gravità di una parabola e di una parabola tronca. La trattazione segue il modello archimedeo, tanto che i riferimenti espliciti alle opere del siracusano – la quadratura della parabola e il De Conoidibus et Sphaeroidibus – scandiscono le argomentazioni. Il frammento si apre con una dimostrazione generale, la cui conclusione è netta: «Omnium parabolarum diametri a gravitatis centro in homologa segmenta dividuntur» – (fr:1201/p.67) [I diametri di tutte le parabole sono divisi dal centro di gravità in segmenti omologhi]. L’affermazione significa che, in qualunque parabola, il baricentro giace sul diametro e lo suddivide in parti che stanno tra loro in un rapporto costante, indipendente dalla forma specifica.

L’intera architettura dimostrativa poggia sull’inscrizione di triangoli all’interno del segmento parabolico, procedimento che richiama la proposizione 24 del De quadratura paraboles di Archimede. I triangoli ABC, ABI, ACK, poi ulteriormente suddivisi, generano una successione di poligoni rettilinei i cui centri di gravità (L, M, N, P) si dispongono sul diametro AD. La loro posizione viene determinata con la legge della leva (jugum), pesando le aree come masse: «N P jugum verit, quod secetur in R, ut ratio N R ad RP sit eadem quae trianguli ABC ad duo triangula ABI, ACK» – (fr:1183/p.66, rielaborato). In questo gioco di equilibri, il testo mostra che per un insieme di rettilinei inseritti il centro comune divide il diametro in un rapporto di 37 a 23 (fr:1191/p.66), valore che approssima asintoticamente il rapporto cercato via via che l’inscrizione si infittisce. La prova definitiva arriva per assurdo: se il baricentro T della parabola coincidesse con quello di un poligono inscritto, si otterrebbe una contraddizione, «quod absurdum est» – (fr:1200/p.67), e dunque il vero centro si ottiene solo al limite del processo di esaustione.

Una volta stabilito il principio generale, il problema viene risolto costruttivamente. Data una parabola ABC con diametro AD, la costruzione prescrive: «Fiat ut 3 ad 2 sic diametri segmentum AE ad ED» – (fr:1211/p.67) [Si faccia che come 3 sta a 2 così il segmento del diametro AE stia a ED]. Il punto E così individuato è il baricentro cercato, e il segmento prossimo al vertice è, come recita la dimostrazione, «sesquialterum» (cioè in rapporto di 3 a 2) rispetto al rimanente (fr:1222/p.67). Questo rapporto sesquialtero è il cuore numerico dell’intero problema ed emerge tanto dalla via sintetica quanto dalle disamine storiche che l’autore inserisce in una Nota (fr:1233-1238/p.68).

La seconda parte del frammento estende il risultato alla parabola curta, una parabola tronca con basi parallele tagliate da un diametro EF. La costruzione è ingegnosa: si completa idealmente la parabola aggiungendo la parte mancante ABG, si trovano i baricentri dell’intera parabola (I) e della parte aggiunta (H) – sempre con il rapporto sesquialtero – e poi si colloca il baricentro K del tronco sfruttando la proporzione tra le aree. Come recita il testo: «fiat ut ABCD ad ABG sic HI ad IK: Ajo K optatum gravitatis centrum esse» – (fr:1245/p.68) [si faccia che come ABCD sta a ABG così HI stia a IK: dico che K è il centro di gravità cercato]. La dimostrazione è immediata: «Integrae parabolae gravitatis centrum est I, & H portionis, quia vero ita est HI ad IK ut parabola curta ad dictam portionem, K curvae parabolae centrum erit» – (fr:1247/p.68) [Il baricentro della parabola intera è I, e H quello della porzione; poiché dunque HI sta a IK come la parabola tronca sta alla porzione suddetta, K sarà il baricentro della parabola curva].

L’aspetto forse più peculiare del testo è lo sguardo storico-congetturale sulla scoperta archimedea. L’autore suggerisce che Archimede possa essere giunto al rapporto 3:2 del segmento adiacente al vertice per via empirica: «Videtur Archimedes, altero horum modorum problematis hujus inventionem affectus, ut dum aut parabolico speculo exemplari fabricatur, aut alterius gratia parabolam solidam, hoc est concavam rectangulum efformat, reapse edoctus sit, segmentum vertici conterminum reliqui ejus esse sesquialterum» – (fr:1234/p.68) [Sembra che Archimede, ottenuta l’invenzione di questo problema con uno di questi metodi, sia stato istruito dalla pratica, sia fabbricando uno specchio parabolico come modello, sia formando per altro scopo una parabola solida, cioè un rettangolo concavo, che il segmento adiacente al vertice è sesquialtero del rimanente]. Accanto a questa ipotesi fisico-meccanica, il testo ipotizza anche un approccio aritmetico: la ricerca di due punti N, E che soddisfino certe relazioni tra segmenti potrebbe essere stata affrontata per tentativi numerici, come suggerisce la frase: «Datis duobus numeris OH, HP ambo ita dividuntor, ut minus segmentum restat OH cum majore ipsius HP, triplum sit segmenti minoris recti HP cum majore ipsius HO» – (fr:1238/p.68) [Dati due numeri OH, HP, entrambi vengano divisi in modo che il segmento minore di OH sommato al maggiore di HP sia triplo del segmento minore di HP sommato al maggiore di HO]. Questo passaggio rivela l’attenzione dell’epoca per i metodi euristici e per il rapporto tra manipolazione materiale, aritmetica e dimostrazione geometrica.

Dal punto di vista storico, il frammento è una testimonianza della trasmissione rinascimentale e barocca della statica di Archimede. La fusione di leva, quadratura e teoria del centro di gravità rispondeva a esigenze pratiche (costruzione di specchi, pesatura di solidi) ma soprattutto consolidava un ideale di scienza in cui la geometria euclidea restava il linguaggio della certezza. Le citazioni esplicite dalle opere archimedee, la struttura in Propositio, Constructio, Demonstratio, Conclusio e la presenza di una Nota di commento mostrano come il trattato fosse tanto un esercizio di recupero filologico quanto un contributo originale. In esso, il baricentro non è un semplice punto materiale, ma una nozione geometrica universale che collega parabole intere e tronche sotto la stessa legge proporzionale.

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11 Il centro di gravità della piramide e del cono

Dalla composizione di prismi inscritti fino all’esaustione del cono, la determinazione del centro di gravità procede per approssimazioni successive che convergono sull’asse, il quale risulta diviso in rapporto triplo.

La dimostrazione relativa al prisma stabilisce un principio generale. Dati i triangoli simili al triangolo BCD, i punti Q, V, E corrispondono al centro di gravità E del triangolo di partenza: “Triangula N O P, R S T, F G, K L M, fi milia funt triangulo B C D, & punfla Q, >, E, in iis fimili fitu refpondent pundlo E in triangulo B C D, quod cjufdcm gravitati’ eft centrum, ideo Q, V, E, fuorum triangulorum gravitatis funt centra” – (fr:1290/p.71) [I triangoli NOP, RST, FG, KLM sono simili al triangolo BCD, e i punti Q, V, E in essi corrispondono per simile posizione al punto E nel triangolo BCD, che è il suo centro di gravità, pertanto Q, V, E sono i centri di gravità dei loro triangoli]. L’asse IE del prisma FGHIKM è diviso a metà dal centro di gravità; analogamente, l’asse Q e l’asse del prisma NOPRST sono divisi nel loro centro. Il solido composto da entrambi i prismi ha quindi il centro sul segmento QE, che giace sull’asse AE. Moltiplicando indefinitamente l’inscrizione di tali prismi, “componet folidum quod ad pyramidis foliditatem proxime accedat, cujus tamen gravitatis centrum in axe A E femper haereat” – (fr:1292/p.71) [comporrà un solido che si avvicina quanto più possibile alla solidità della piramide, il cui centro di gravità tuttavia rimane sempre sull’asse AE]. La differenza tra questo solido inscritto e la piramide può essere resa minore di qualsiasi corpo dato, cosicché la distanza tra i centri di gravità dell’uno e dell’altra risulta inferiore a qualsiasi quantità assegnabile. Da ciò si evince, con un sillogismo già impiegato in precedenza, che la differenza tra i pesi è nulla: “Itaque horum ponderum differentia nulla eft” – (fr:1296/p.71) [Pertanto la differenza di questi pesi è nulla]. La conclusione è che “centrum gravitatis pyramidis eft in axe” – (fr:1298/p.71) [il centro di gravità della piramide è sull’asse]. La dimostrazione vale per basi quadrangolari, poligonali di qualsiasi genere o rotonde.

Per la piramide a base triangolare, il problema di trovare il centro di gravità è risolto dalla Proposizione 17. Data la piramide ABC con base BCD, si prendono i centri di gravità di due facce, BCD e ABC, siano E ed F. Collegandoli ai vertici opposti A e B con le rette AE e BF, queste si intersecano in G: “Ajo G effe centrum optatum” – (fr:1306/p.71) [Affermo che G è il centro cercato]. La dimostrazione è immediata: il centro di gravità della piramide deve trovarsi su AE e su BF per la proposizione 16, quindi si trova nella loro mutua intersezione G. “Pyramidis igitur a triangula bafi affurgentis centrum gravitatis, ut petebatur, invenimus” – (fr:1309/p.71) [Abbiamo dunque trovato, come richiesto, il centro di gravità della piramide che sorge da base triangolare].

La Proposizione 18 specifica il rapporto con cui il centro di gravità divide l’asse: “Centrum gravitatis pyramidis axem ita fecat ut fegmentum vertici vicinius reliqui fit triplum” – (fr:1312/p.72) [Il centro di gravità della piramide divide l’asse in modo che il segmento più vicino al vertice sia triplo del rimanente]. Nella piramide ABCD a base triangolare, con vertice A e base BCD, l’asse dalla base va da B al centro E del triangolo ADC, mentre dal vertice A al centro F della faccia opposta BCD. I due assi si intersecano in G, centro di gravità. La dimostrazione si fonda sui rapporti: tracciata la retta AH che congiunge il vertice A al punto medio H della base, l’asse BE del triangolo ADC taglia AH in modo che il segmento AE, contiguo al vertice, sia doppio di EH; analogamente BF è doppio di FH. Applicando il teorema tolemaico, il rapporto BF : FH si compone dei rapporti BG : GE e EA : AH. Sottraendo il rapporto EA : AH (che è 2 : 3) dal rapporto BF : FH (che è 2 : 1), rimane il rapporto BG : GE pari a 3 :

La generalizzazione alle basi non triangolari è esposta di seguito. Per una piramide a base quadrangolare ABCDE con base BCDE e asse AF, la si divide in piramidi componenti con basi ECB, ECD e assi AG, AH. I loro centri di gravità I e K, insieme al centro dell’intera piramide, giacciono sul giogo IK per la proposizione 16, e precisamente in L, intersezione comune dell’asse con il giogo. Nel triangolo AGH, la retta IK è parallela alla base GH perché i lati AG e AH sono tagliati proporzionalmente in I e K: “itaque AL quoque tripla erit ipfius L F” – (fr:1321/p.72) [pertanto anche AL sarà tripla di LF]. Lo stesso ragionamento si estende a piramidi con base poligonale di qualsiasi numero di lati.

L’estensione al cono, sia a base circolare che ellittica, procede per esaustione. In una piramide a base poligonale l’asse è diviso dal centro di gravità in rapporto triplo; in un cono a base ellittica o circolare si può inscrivere una piramide la cui differenza dal cono sia minore di qualsiasi solido assegnabile. Di conseguenza, la distanza tra i centri di gravità del cono e del solido inscritto risulta minore di qualunque minima distanza data. Il sillogismo conclusivo chiude la dimostrazione: “Duorum distantium punctorum intervallo minus intervallum dari poteft” – (fr:1327/p.72) [Di due punti distanti si può dare un intervallo minore], “Sed horum centrorum intervallo minus dari nullum poteft” – (fr:1328/p.72) [Ma di questi centri non si può dare alcun intervallo minore], “Itaque ifla puncta nullo intervallo a fe mutuo abfunt” – (fr:1329/p.72) [Pertanto quei punti non distano tra loro di alcun intervallo]. Il centro di gravità del cono giace dunque sull’asse e lo divide nel medesimo rapporto triplo.

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12 Centri di gravità di solidi composti, piramidi tronche e conoidi nel De Staticae Principiis

Dalla leva come strumento compositivo fino all’esaustione dei conoidi: una sequenza di problemi geometrico-statici che culmina nella determinazione del centro di gravità del paraboloide di rotazione.

Il percorso argomentativo si apre richiamando un risultato già stabilito per la piramide intera: “l’asse di qualsiasi piramide è diviso dal centro di gravità in modo che la parte superiore e più vicina al vertice sia tripla di quella inferiore” – (fr:1331/p.72). Su questa base, la Propositio XIX imposta un problema di composizione: dati il centro di gravità di un solido e quello di un suo segmento di cui si conosce il rapporto rispetto al segmento rimanente, trovare il centro di quest’ultimo. La formulazione recita: “Solidi gravitatis centro & Tegmenti fui cujus ad reliquum ratio fit data cognitis, ejuldem reliqui Tegmenti gravitatis centrum quoque invenire.” – (fr:1336/p.73) [Conosciuti il centro di gravità di un solido e di un suo segmento, il cui rapporto rispetto al rimanente sia dato, trovare anche il centro di gravità del rimanente segmento]. Il dato è il corpo ABCD con centro E e il segmento BDA con centro F; si cerca il centro del restante segmento BCD. La costruzione è immediata e si richiama alla teoria della leva: “si faccia FE sulla prosecuzione EG come il solido BDC sta a BDA; dico che G sarà il centro di gravità desiderato del rimanente segmento BDC” – (fr:1340/p.73) [Fiat FE ad continuationem EG ut solidum BDC ad BDA; ajo G esse optatum gravitatis centrum reliqui segmenti BDC]. La dimostrazione è dichiarata analoga a quella della proposizione 9 sulla sfera, e l’autore rinuncia a un esempio piano poiché il caso è piano. La conclusione riassume: “dati i centri di gravità dell’intero solido e di un suo segmento di cui si può trovare il rapporto rispetto al rimanente, abbiamo trovato il centro di gravità del medesimo rimanente” – (fr:1343/p.73).

La Propositio XX applica immediatamente questo schema alla piramide tronca (pyramis curta). Il dato è la piramide tronca ABCDEF con base superiore ABC e base inferiore DEF. La costruzione prescrive di completare la piramide aggiungendo il difetto ABCG, di condurre l’asse dal vertice G al centro H della base inferiore, che interseca il piano ABC in I. L’asse viene poi ripartito: il segmento GL è diviso in K tale che “GK sia tripla di KL, e L sia sull’intero asse in modo che la parte superiore GL sia tripla dell’inferiore LH, e infine lo stesso rapporto di KL a LM sia come la piramide tronca ABCDEF sta al complemento ABCG; asserisco che M è il centro di gravità desiderato” – (fr:1352/p.73). La dimostrazione è fulminea: L è il centro della piramide intera, K quello del complemento ABCG, e “come il segmento inferiore sta al superiore, così KL sta a LM. Pertanto, per la 1ª proposizione del 1° libro, M sarà il centro di gravità desiderato” – (fr:1354/p.73-1356/p.64). L’estensione è esplicita: “la dimostrazione nelle altre piramidi tronche a base poligonale o circolare è simile a questa” – (fr:1357/p.73).

La Propositio XXI affronta il poliedro qualunque (epipedocdro): “Dato un solido epipedocedro qualunque, trovare il centro di gravità” – (fr:1362/p.74). L’operazione consiste nello scomporre il solido nel minor numero possibile di piramidi componenti. Qualora sia necessario scomporlo in tante piramidi quante sono le facce, assunto un punto interno qualsiasi come vertice comune, si determinano singolarmente i centri delle piramidi mediante la Propositio XVII. Quindi si procede in modo iterativo: “congiunti con una linea retta i centri di due piramidi, questo giogo venga diviso nel rapporto delle piramidi stesse, in modo però che il segmento minore sia vicino alla piramide più pesante; poi si congiunga il centro così trovato con il centro della terza piramide, e questo centro comune si colleghi con la quarta, e proseguendo in ordine con tutte le rimanenti, l’ultima divisione del giogo fornirà il centro di gravità desiderato del solido dato” – (fr:1370-1371/p.74). La dimostrazione è dichiarata evidente per il processo stesso.

Il trattato passa quindi ai conoidi. La Propositio XXII stabilisce la posizione assiale del centro di gravità: “Il centro di gravità del conoide è sull’asse” – (fr:1374/p.74). Il caso dell’asse perpendicolare è ritenuto manifesto; si fornisce perciò la dimostrazione per l’asse obliquo. Dato il conoide ABC con base BC e asse AD obliquo, lo si seziona con due piani EF, GH paralleli alla base, che intersecano l’asse in I e K. Tracciate rette opportune, si generano cilindri a base ellittica. Poiché i centri dei cilindri giacciono sui loro assi, il centro del solido composto dai due cilindri si trova su KD e quindi sull’asse AD. Iterando la suddivisione con cilindri via via più numerosi, si attua il metodo di esaustione: “quanti più cilindri vengono inscritti nel conoide, tanto più la differenza fra il solido composto dai cilindri inscritti e il conoide diminuisce. Così, con questa inscrizione infinita, si giunge infine a che il solido differisca dal conoide per una quantità minore di qualsiasi solido dato; ne consegue che AD sarà diametro di gravità del conoide” – (fr:1386/p.74-1387/p.75). Con un procedimento logico stringente si conclude che la differenza di momento fra i segmenti del conoide è nulla, e AD è diametro di gravità.

La Propositio XXIII determina quantitativamente il centro: “Trovare il centro di gravità del conoide” – (fr:1398/p.75). Costruzione: “l’asse AD sia diviso in E in rapporto doppio, in modo che il segmento verso il vertice sia doppio del rimanente; asserisco che E è il centro cercato” – (fr:1404/p.75). Viene citata la dimostrazione di Federico Commandino (proposizione 29 del De centro gravitatis solidorum), e l’autore ne propone una versione adattata al proprio stile. Sezionando il conoide con un piano FG parallelo alla base e costruendo cilindri circoscritti e inscritti, si sfrutta la geometria delle sezioni: poiché il rapporto tra i cerchi BC e IK è duplo del rapporto tra i segmenti dell’asse (DA : AH = 2 : 1), i volumi dei cilindri di uguale altezza stanno nello stesso rapporto. Assegnando pesi convenzionali (2 libbre al cilindro BG, 1 libbra a IL) e individuando i centri N e O, si trova che il centro del sistema dei cilindri circoscritti è in R, e che sia O sia R distano da E di un tratto pari a 1/3 dell’altezza totale AD. La costruzione viene ripetuta suddividendo l’asse in quattro parti e usando tre cilindri inscritti e quattro circoscritti, calcolando esplicitamente i pesi (ad esempio, il primo inscritto 3 libbre, il secondo 2, il terzo 1) e mostrando che il centro dei circoscritti cade in L e quello degli inscritti in S, entrambi ancora equidistanti da E. Proseguendo con 8, 16 cilindri, i due centri continuano a collocarsi simmetricamente rispetto a E, e la distanza da E diminuisce. “Pertanto E sarà il centro di gravità del conoide dato: infatti, se si prendesse un altro centro nell’intervallo EL o ES, continuando la bisezione e la circo-scrizione e inscrizione di cilindri, si arriverebbe al punto che il centro del solido composto dai cilindri circoscritti discenderebbe al di sotto del centro del conoide, o quello inscritto salirebbe al di sopra. Ciò è impossibile: il solido formato dai cilindri circoscritti può differire dal conoide meno di qualsiasi solido dato, e lo stesso vale per l’inscritto, così che la loro distanza da E può rendersi minore di qualsiasi quantità immaginabile. Dunque coincidono in E” – (fr:1414-1417/p.76).

Una breve nota finale ricorda che la dimostrazione è condotta “mediante parallelogrammi e cilindri inscritti e circoscritti” – (fr:1422/p.76). La Propositio XXIV è enunciata senza ulteriore svolgimento, chiudendo la sequenza.

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13 Principi di leva e piano inclinato nell’uso pratico del timpano

Dalla Staticæ Praxis di Stevin, l’analisi quantitativa di macchine elementari – timpani, piani inclinati, funi di traino – mostra come, applicando le proporzioni della leva e della composizione delle forze, si determinassero le potenze necessarie a sollevare carichi navali e a trainare veicoli su terreni difficili.

Il testo studia il comportamento meccanico del timpano (ruota o argano) inteso come una bilancia a bracci disuguali. Il principio è esposto in modo diretto: “Invero il timpano ABCD, simile a una bilancia, il cui asse con i pesi K, I, le parti del timpano BDA, BDC sono in equilibrio” – (fr:1664/p.97) [traduzione]. L’equilibrio non dipende dai pesi assoluti ma dai bracci su cui agiscono. Il primo esempio chiarisce questa legge: “lo stesso rapporto ci sarà tra il raggio più lungo HA e il più corto HF, che tra il peso maggiore I e il minore K. Perciò se HA è sei volte HF, anche I sarà sei volte K, così che, ponendo I di 600 libbre, K sarà 100; e quindi la potenza di un uomo in A, equivalente a 100 libbre, in quella posizione equilibrerebbe 600 libbre in I, e per poterlo sollevare (a causa degli impedimenti del contatto dell’asse e del supporto C) bisognerà che agisca con una potenza di poco superiore a 100 libbre” – (fr:1668/p.97) [traduzione]. La macchina amplifica la forza, ma l’attrito obbliga a un piccolo sovrappiù di potenza.

Questa logica si estende ai timpani mossi da uomini che camminano al loro interno, “simili a quelli greci, e di ruote simili, che vengono fatti girare da uomini che vi camminano sopra” – (fr:1670/p.97) [traduzione]. Il secondo esempio dispone il timpano ABCD con diametro AC orizzontale, asse di spessore EF tornito, peso H appeso all’asse e uomo in I. Qui la distanza del punto di applicazione dal centro decide tutto: “È noto poi che GK sta a GF come il peso H sta alla gravità dell’uomo che è in I; se dunque GK è quadrupla di GF, anche il peso H sarà quadruplo dell’uomo, per cui posta la gravità dell’uomo in I di 150 libbre, e H di 600 libbre, in quella posizione si equilibreranno, né H sarà mosso in alcun modo; ma se l’uomo si spinge ulteriormente verso A, allora H sarà necessariamente sollevato, perché il rapporto di GK a GF diverrebbe maggiore di quello ipotizzato” – (fr:1674/p.98, combinata con 1672-1673) [traduzione]. La variazione di posizione muta il braccio di leva e rompe l’equilibrio a favore dell’operatore.

L’analisi si complica quando il peso non sale verticalmente ma lungo un piano inclinato. Il terzo esempio riguarda situazioni tipiche del Belgio: “I pesi però che salgono obliquamente, del qual genere sono le navi che nel Belgio vengono trasportate attraverso argini e ostacoli d’acqua, hanno una ragione non poco diversa” – (fr:1681-1682/p.98) [traduzione]. La configurazione geometrica fissa un aggere A B, un timpano con diametro CD orizzontale, un uomo che calca la ruota e una fune GH che tira la nave. Le misure danno il semidiametro minore LK e la distanza LF dell’uomo dall’asse. Posto che LF sia sestuplo di LK e triplo del segmento MO tracciato sul pendio, si calcola la forza equivalente: “stando così le cose, sarà come LF a LK, così per il teorema precedente il peso sospeso dalla fune che scende verticalmente, alla gravità dell’uomo di 150 libbre; ma LF per ipotesi è sestuplo di LK, perciò il peso che scende verticalmente dalla fune HG è anch’esso sestuplo di 150 libbre, cioè 900 libbre; e l’uomo che gira il timpano agisce con una potenza pari a 900 libbre sospese a una carrucola obliqua” – (fr:1686-1687/p.98) [traduzione]. Applicando la legge del piano inclinato, si trova la massa della nave: “per la II proposizione del I libro, il peso della nave B sta a 900 libbre come NO sta a OM; ma NO è tripla di OM per ipotesi, quindi la nave è tripla di 900 libbre, cioè pesa 2700 libbre; il rapporto di questo peso alla gravità dell’uomo che aziona la macchina è otto volte” – (fr:1688/p.98-1690/p.99) [traduzione] (il testo, indicando octupla, presenta un’apparente discordanza coi calcoli che darebbero 18:1).

L’efficienza del sistema varia con l’inclinazione della fune. Se il cavo diventa più parallelo al piano dell’argine, la trasmissione della forza migliora: “L’uomo esercita la massima potenza quando la fune GH sarà parallela al piano dell’argine PN, perché allora HG insiste perpendicolarmente all’asse della nave, cioè a una retta condotta per il centro di gravità perpendicolare al piano PN. Perciò quanto più GH e PN si avvicinano al parallelismo, tanto più facilmente si muovono i pesi, e se se ne allontanano, più difficilmente” – (fr:1695-1697/p.99) [traduzione]. Da ciò deriva una regola per il dimensionamento: chi vuole fabbricare asse e timpano della giusta grandezza, “che non ecceda per mole né manchi per esilità, terrà conto della situazione in cui la nave, quando sarà gravissima, richiederà la massima potenza” – (fr:1692/p.99) [traduzione].

Lo stesso principio del piano inclinato si applica al traino terrestre. Il quarto esempio considera un carro di 2000 libbre su un pendio montano, con un cavallo che lo tira. Sul piano inclinato AB si tracciano le perpendicolari HI, IK e si ipotizza HI quadrupla di HK. La proporzione fondamentale diventa: “come KH sta a HI, così il peso che tira obliquamente (di cui fa le veci il cavallo) sta alla gravità del carro; ma KH è la quarta parte di HI per ipotesi; perciò il peso che tira obliquamente sarebbe di 500 libbre, cioè la quarta parte del carro” – (fr:1701/p.100) [traduzione]. L’esperienza dei carrettieri batavi conferma l’importanza di adattare l’angolo delle tirelle al terreno. Su strade piane e dure, dove il traino è più agevole, fissano le corde posteriori più in alto; sui fondi aspri, disuguali o sabbiosi le abbassano, “perché così, pur essendo le tirelle orizzontali rispetto al suolo, si avvicinano di più al parallelismo con le asperità, mentre nel tirare su un piano accidentato e sabbioso questo riesce più gravoso e difficile che se si tenessero le posizioni posteriori più basse” – (fr:1702/p.100) [traduzione].

Il frammento – tra assi torniti, diametri, centri di gravità e rapporti che legano le distanze perpendicolari – testimonia un momento in cui la statica teorica (con rinvii alle proposizioni dei libri precedenti) veniva calata sistematicamente nella progettazione di dispositivi per i grandi lavori idraulici e di trasporto dei Paesi Bassi, dove sollevare una nave oltre una diga o trainare un carro in salita erano problemi quotidiani affrontati con la geometria delle forze e l’osservazione empirica.

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[14.1/1-79-1730|1807]

14 Il Pancrazio: macchina a potenza infinita tra ingegno meccanico e calcolo

Un moltiplicatore di forza a ingranaggi multipli, più solido ed economico del Caristione di Archimede, consente di trainare navi oltre le dighe e, teoricamente, di sollevare l’intera Terra con la sola forza di un uomo.

Il testo descrive il Pancrazio (o Pancration), uno strumento meccanico che l’autore presenta come perfezionamento del Caristione archimedeo; ne illustra la fabbricazione, l’uso per il traino di navi e, tramite il calcolo dei rapporti di trasmissione, la capacità di generare una potenza virtualmente infinita.

La costruzione parte da una solida trave su cui vengono montati timpani dentati di ferro accoppiati ad assi paralleli. “Sumito trabem AB foliditate & magnitudine operi instituto & aestimationibus mechanicis congruente; efformato deinde tympanum ferreum C per ambitum dentatum, cujus diameter sit dicis gratia, digitorum trium, inque ambitu dentes sex” – (fr:1733/p.102) [«Prendasi una trave AB di robustezza e dimensione adeguate all’opera e ai calcoli meccanici; si formi poi un timpano di ferro C dentato sulla circonferenza, il cui diametro sia, ad esempio, di tre dita, e sulla circonferenza abbia sei denti»]. I timpani superiori, dovendo sopportare carichi maggiori, sono fatti “più robusti e più grandi” (“tympana superiora plus ponderis sustinebunt, etiam firmiora majoraque deformantor”, fr:1734/p.102) e vengono disposti in modo che gli ingranaggi si impegnino correttamente: la ruota H ingrana con F ma non con K, G con I ma non con E. La manovella LMN, con incavo quadro che si adatta alle estremità quadre degli assi, ha un braccio di un piede (“flexura MN & ML pedem longa”, fr:1735/p.102). Nella trave vengono praticati quattro fori alle distanze volute affinché “i denti dei timpani comodamente s’impegnino e si spingano a vicenda” (“ut tympanorum dentes commode inter se implicati & mutuo sefe impellere possint”, fr:1736/p.102). Lo strumento completato, chiamato Pancrazio per la sua efficacia, è riprodotto nella figura allegata (“forma perfecti Pancratii … erit qualem in subjecta figura expressimus”, fr:1737‑1739). Il numero di assi e il rapporto tra i denti (nell’esempio 18 a 6, cioè triplo) possono essere variati a piacere secondo le necessità (“ratio dentium 18 majoris tympani quae minori comparata tripla est, ad libitum item mutari poterit”, fr:1740/p.103).

L’impiego principe illustrato è il superamento di dighe o sbarramenti d’acqua da parte di imbarcazioni, un’applicazione di grande utilità specialmente per gli Olandesi (“naves trans aggeres septaque seu aquarum obices traducantur; neque enim hinc parum utilitatis ad regiones has, praecipue vero Hollandos redundabit”, fr:1741/p.103). Nell’esempio pratico il Pancrazio AB reca i timpani K, M, F sul fronte e I, G, E, C sul retro; la manovella LMN agisce su un asse avvolgitore S del diametro di un piede e mezzo, munito di un timpano T a 36 denti e due piedi di diametro. La sommità della diga V sovrasta di quattro piedi la chiglia della nave X (“summitas aggeris V superet imam carinam navis X aquae innatantis pedibus quatuor”, fr:1742/p.103).

La catena cinematica è così descritta: “la manovella ruotata tre volte fa compiere un giro al timpano F, nove volte un giro ad H, 27 volte a K, e quindi 162 giri fanno compiere un giro a T, cioè all’asse S” (“manubrum LMN ter rotatum semel circumagit tympanum F, at novies semel in orbem aget H, & 27 tympanum K, hinc 162 circumductum convertet ipsum T hoc est axem S”, fr:1746/p.104). Poiché la manovella è lunga un piede (otto volte il raggio del timpano C di tre dita), la forza si moltiplica di 8 al primo stadio; i successivi rapporti di 3:1 portano il vantaggio totale a 216:1 tra la potenza alla manovella e il peso che scende diritto dall’asse S (“pondus ab axe S recta descendens eandem habebit rationem ad … potentiam aequivalentem in MN quam 216 ad 1”, fr:1751/p.104). Così una forza di 25 libbre alla manovella equivale a 5400 libbre sospese all’asse (“ista potentia aequivalebit 5400 libris ab axe recta deorsum tendentibus”, fr:1756/p.104). La nave X, di peso sestuplo, arriva a 32400 libbre (9 moggi, attribuendo 3600 libbre a moggio) ed è equilibrata dalla stessa forza di 25 libbre (“itaque X navis 32400 librarum … aequiponderabit priori ponderi”, fr:1757/p.104).

Per trainare la nave oltre la diga occorre sollevarla di 4 piedi, il che su un piano inclinato lungo sei volte l’altezza corrisponde a 24 piedi di fune avvolta sull’asse S (“inclinatio aggeris qua navis adscendit sextupla erit altitudinis … 24 pedum inclinatam longitudinem”, fr:1762‑1763). La circonferenza dell’asse è di 4,5 piedi; servono quindi 5 ⅓ giri dell’asse, pari a 864 giri di manovella. Assumendo che un uomo possa compiere mille giri in un quarto d’ora, “un solo uomo in meno di un quarto d’ora trascinerà l’intera mole della nave e del carico, del peso di 9 moggi” (“universam molem navis sarcinarumque, pondere 9 modiorum, homo unicus minori quam quadrantis spatio trans aggerem pertraxerit”, fr:1767/p.105). Con tre uomini che azionano la manovella innestata sull’asse F il tempo scende a un terzo di quarto d’ora, con nove uomini a un nono d’ora (“si a tribus hominibus versetur manubriumque inserant ipsi F, intra quadrantis trientem absolverint … si ab hominibus 9 manubrium ipsi H affixum circumducatur, 1/9 horae navis pertrahetur”, fr:1768‑1769). È possibile sdoppiare il Pancrazio con una seconda manovella opposta per distribuire gli operatori (“Pancratium hoc geminari atque alterum opposito scapo Y inferi”, fr:1770/p.105).

Rispetto ai metodi comuni, come le ruote a calcatoio, il Pancrazio è dichiarato più robusto, meno costoso e più efficace, in grado soprattutto di evitare i sobbalzi e i danni che le ruote a pedali infliggono alle navi. Grandi navi di 13‑14 moggi, tratte attraverso lo sbarramento di Lione, richiedono venti uomini su un timpano a pedali; costoro talvolta fanno una pausa e si lasciano cadere insieme, facendo urtare violentemente l’imbarcazione (“una e maximis tredecim aut quatuordecim modiorum capax … viginti hominibus tympanum calcando versantibus opus habet, qui saepe facta statione simul se demittunt, navesque subjecto strato graviter illidunt”, fr:1781/p.106). Al contrario, “nel Pancrazio è diverso, perché la nave è spinta in modo continuo e uniforme” (“in Pancratio secus est, quia navis jugiter atquabiliterque impellitur”, fr:1782/p.106).

La potenza infinita è illustrata aggiungendo coppie di ingranaggi. Già con la manovella sull’asse D la moltiplica di forza corrisponde a un timpano di 216 piedi di diametro, laddove i timpani reali non superano i 30 piedi (“manubrii ad D efficientia in axem S tanta erit, quanta tympani diametri 216 pedum, qui ne in maximo quidem tympano 30 pedes aequat nedum excedit”, fr:1785/p.106). Se ciò non bastasse, “si sottoponga a D un altro astersco che triplichi il numero”, e una libbra alla manovella ne equilibrerà 648 sull’asse (“alter asteriscus triplicans numerum … efficiet hic potentiam unius librae ponderi 648 librarum ab S dependentium aequilibrem”, fr:1789/p.106), e così via verso qualsiasi efficacia desiderata.

Con dieci coppie ruota‑asse, dove il perimetro del timpano più piccolo è di un piede, il timpano equivalente raggiungerebbe una circonferenza di 1022 piedi, che “supera di molte migliaia di milioni di volte il massimo circolo terrestre”, il quale non eccede 800.000 piedi (“Atqui maximi in terreno globo circuli ambitus non excedit pedes 10800000 … Itaque ambitus tympani huic tantulo pancratio aequivalentis aliquot millies millenis modis maximum terrestrem circulum excederet”, fr:1791‑1792). Un fanciullo che con poco più di una libbra di forza azionasse la manovella all’ultimo astersco solleverebbe un peso di 1028 libbre, il quale, confrontato con la massa terrestre calcolata in 400.000.000.000.000.000.000.000 (2,4×1024) libbre, la eccede quattromila volte (“pondus … quae universae terrae molem caeteraque hac comprehensa quater millies suo pondere excederent”, fr:1794‑1801). “A ragione, dunque, attribuiamo a questa macchina una potenza infinita” (“Merito igitur machinae huic infinitam potentiam tribuimus”, fr:1802/p.107).

L’antica esclamazione di Archimede, “dammi un punto d’appoggio e solleverò la Terra”, non deve pertanto apparire impossibile o assurda, ma anzi conforme a ragione (“Neque Archimedis exclamatio … impossibilis aut absona videri debet, imo rationi consentaneam jam evicimus”, fr:1805/p.107). Per darne una prova concreta, se si potesse collocare il Caristione o il Pancrazio fuori della Terra e un uomo, compiendo 4000 giri di manovella all’ora, applicasse una forza di 100 libbre con un braccio di tre piedi per dieci anni continui, “è manifesto che la Terra in quello spazio di tempo …” (“demus Charistio, vel huic Pancratio locum extra hanc terram ubi defigi possit … manifestum est terram isto temporis spatio ;.”, fr:1807 – il testo si interrompe, ma il senso è compiuto: la Terra verrebbe mossa).

Il brano costituisce così una singolare testimonianza della meccanica di prima età moderna, dove la costruzione di rotismi moltiplicatori si intreccia con un’estrapolazione teorica audace, che traduce l’antico sogno della macchina a potenza infinita in puro calcolo di rapporti.

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[15.1/1-123-1879|2000]

15 Corpi solidi nell’acqua: principi e dimostrazioni di un trattato di idrostatica

Il testo espone in forma di teoremi e problemi le leggi fondamentali del galleggiamento e del peso apparente dei corpi immersi in acqua, usando un metodo sperimentale mentale basato sul «vaso superficiario» (involucro sottile e privo di peso) per confrontare direttamente solidi e volumi d’acqua equivalenti. La scelta del latino, le strutture logiche di «Datvm», «Qvaesitvm», «Praeparatio» e «Demonstratio», nonché l’uso di postulati numerati, rivelano un’impostazione assiomatica di chiara ispirazione archimedea.

Dopo aver stabilito che l’acqua mantiene la posizione che le viene assegnata – “Itaque data aqua quemlibet datum sibi locum fervat” – (fr:1880/p.114) [Pertanto l’acqua data conserva qualsiasi luogo le sia assegnato] – il trattato affronta il comportamento dei corpi di diversa densità.

Il primo teorema riguarda i solidi più leggeri dell’acqua: “Solidum corpus materia leviore quam fit aqua non fit omnino mergitur, sed eminet aliqua fui parte” – (fr:1886/p.114) [Un corpo solido di materia più leggera dell’acqua non si sommerge del tutto, ma emerge con una parte di sé]. La dimostrazione introduce il vaso superficiario EF, un guscio sottile di peso trascurabile (“cujus pars GF … vas superficiarium EF gravitatis levitatisque sit expers” – (fr:1891/p.114) [la cui parte GF … il vaso superficiario EF sia privo di gravità e di leggerezza]), riempito con un volume di acqua GF identico per forma e grandezza al solido A. Poiché l’acqua GF pesa più del solido A (essendo A più leggero), quando nel vaso si sostituisce l’acqua con il solido, il sistema affonda meno di prima; di conseguenza il solido A sporge sopra la superficie libera.

Di segno opposto è il teorema successivo: “Corpus solidum materia ponderofioris quam fundum usque demergitur” – (fr:1899/p.115) [Un corpo solido di materia più pesante [dell’acqua] si sommerge fino al fondo]. La dimostrazione procede per assurdo: se il corpo si fermasse a metà, rimpiazzandolo con un volume equivalente d’acqua (più leggera) il vaso superficiario rimarrebbe nello stesso luogo, il che violerebbe il postulato che fluidi di diverso peso non possono sostare alla stessa quota nello stesso ambiente umido.

Il caso del solido di densità uguale all’acqua è risolto nel quarto teorema: “Corpus solidum materia aquae aequale … datum in aqua locum fervat” – (fr:1910/p.116-1911/p.115) [Un corpo solido di materia uguale all’acqua … conserva nell’acqua il luogo assegnatogli]. Poiché il vaso superficiario riempito d’acqua rimane dovunque lo si ponga, il solido di ugual peso non subisce modifiche di quota.

Il quinto teorema formalizza la spinta idrostatica per i corpi galleggianti: “Corpus solidum materiae levioris quam aqua cui innatat, pondcritate aequale est tanti aquae scilicet moli, quanta sui parte demergitur” – (fr:1927/p.116) [Un corpo solido di materia più leggera dell’acqua su cui galleggia è, in peso, uguale alla mole d’acqua tanta quanta è la parte di sé che si immerge]. Sostituendo nel vaso superficiario la parte sommersa con acqua, il sistema resta in equilibrio a parità di immersione, provando l’uguaglianza dei pesi.

Il principio trova immediata applicazione pratica in un problema (Propositio 6): “Corpore solido sui parte notae magnitudinis in aquam cognitae pondcritatis immerfo, totius solidi pondus invenire” – (fr:1941/p.116) [Immerso un corpo solido con una parte di grandezza nota in acqua di densità conosciuta, trovare il peso dell’intero solido]. L’esempio numerico assume un peso dell’acqua di 65 libbre per piede cubo (“pes cubicus ponderet 65 lb” – (fr:1944/p.116) [un piede cubo pesa 65 libbre]). Con una parte immersa di 1000 piedi cubi, il peso totale del solido risulta libbre (“Multiplicatis 10000 cum 65 lb efficiuntur pro quaesito 650000 lb” – (fr:1948/p.116) [Moltiplicati 1000 per 65 libbre, si ottengono, richiesto, 000 libbre]).

I liquidi eterogenei sono trattati nel sesto teorema: “In aquis pondcritatis heterogeneae erit ut pondcritas materiae aquae ponderofioris ad pondcritatem materiae aquae levioris, sic pars corporis solidi in aquam materiae levioris immersa ad partem solidi eiusdem in aqua graviore demersam” – (fr:1959/p.117) [In acque di densità eterogenea, il rapporto tra la densità della materia dell’acqua più pesante e la densità della materia dell’acqua più leggera starà come la parte immersa del corpo solido nell’acqua di materia più leggera sta alla parte immersa dello stesso solido nell’acqua più pesante]. La dimostrazione sfrutta nuovamente l’uguaglianza dei pesi tra il solido e il volume di liquido spostato, ricavando la proporzione inversa tra densità e volumi immersi.

Il settimo teorema enuncia il peso apparente di un corpo completamente immerso: “Corpus solidum in aqua levius est quam in aere, pondere aquae magnitudine sibi aequalis” – (fr:1971/p.117) [Un corpo solido in acqua è più leggero che in aria, del peso di un volume d’acqua uguale alla propria grandezza]. Tramite l’artificio del vaso superficiario riempito d’acqua, che in acqua è perfettamente neutro, e sostituendolo con il solido, si manifesta direttamente la differenza di peso.

L’ultimo problema (Propositio 9) insegna a calcolare la “gravità situata” (peso apparente) partendo dal peso reale e dal rapporto tra densità del solido e densità dell’acqua. Due esempi: per un solido più leggero, con acqua cinque volte più densa, un corpo di 2 libbre riceve una spinta verso l’alto di 10 libbre, con una levità netta di 8 libbre (“10 lb quibus deductis de 2 lb, relinquentur 8 lb solidi corporis C, quae sunt levitas seu ascensus” – (fr:1992/p.118) [10 libbre che, dedotte da 2 libbre, lasciano 8 libbre del solido C, le quali sono levità ovvero ascesa]). Per un solido più pesante, con densità quadrupla dell’acqua e peso di 12 libbre, la spinta vale 3 libbre e il peso in acqua si riduce a 9 libbre (“reliquas faciunt 9 lb pro pondere C in aqua” – (fr:1999/p.118) [le restanti fanno 9 libbre per il peso di C in acqua]).

Il manoscritto costituisce una testimonianza di come la statica dei fluidi venisse sistematizzata in età moderna, fondendo il rigore archimedeo con l’espediente del vaso superficiario, capace di tradurre in evidenza quasi palpabile i rapporti tra pesi e volumi. L’inserimento di un dato sperimentale (65 libbre per piede cubo d’acqua) mostra la volontà di ancorare la teoria a misure reali, anticipando la fisica quantitativa.

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[16.1/1-71-2064|2134]

16 La pressione idrostatica su superfici piane e il teorema della mezza colonna

Il frammento espone, con rigore e molteplici esempi, la dimostrazione per esaustione del peso che un liquido esercita su una superficie piana inclinata: esso uguaglia il peso di una semicolonna che ha per base la superficie stessa e per altezza la profondità verticale del punto più basso.

Il testo appartiene a un trattato di idrostatica, di cui compare a più riprese il titolo de Hydrostatices Elementis (fr:2082/p.123). L’argomento centrale è il calcolo della forza totale che un liquido – l’acqua – esercita su un fondo piano rettilineo obliquo, parzialmente immerso. La tesi fondamentale, ripetuta in ogni esempio, è che tale spinta equivale esattamente al peso di una colonna liquida avente come base la superficie stessa e come altezza la semidistanza verticale tra il bordo superiore e quello inferiore, ossia il peso di una mezza colonna.

La prima costruzione (fr:2070/p.122) rende il ragionamento particolarmente trasparente: sul fondo ACDE si immagina un solido M N O P Q di egual peso e forma della colonna d’acqua A C H D E, ma disposto con una faccia appoggiata sul fondo e il lato QO verticale.

“Ajo, quemadmodum solidum M N O P Q bafo M N O P premit ponderofius verfus N O quam ad M P, quia iftic corpus ipfum fpiflius oiaviufqueftt; ita quuqoo—u’e~ aquam AB pondero/iorc validiore^ preflii<conniti cdntra ED quam contra AC.” – (fr:2071/p.122) [“Affermo che, come il solido MNOPQ preme la base MNOP con maggior peso verso NO che verso MP, perché lì il corpo è più spesso e più pesante, così anche l’acqua preme con pressione più pesante e più forte contro ED che contro AC.”]

L’andamento della pressione non è uniforme: cresce con la profondità. Per determinare il valore complessivo, il lato verticale o inclinato viene diviso in strisce orizzontali sempre più sottili (fr:2073-2075/p.122). Con quattro divisioni, si individuano i punti R, S, T sul lato AE e si tracciano le parallele PRV, SX, TY contro AC, costruendo solidi inscritti e circoscritti alla colonna d’acqua reale.

“fint P R V, S X, T Y contra A C” – (fr:2075/p.122) [“siano PRV, SX, TY condotte parallelamente ad AC”]

Per ciascuno strato si confronta il peso a esso effettivamente sovrastante con il peso che graverebbe se quel piano fosse orizzontale, richiamando la proposizione La conclusione di questa doppia disuguaglianza è che il peso totale sul fondo ACDE è maggiore del solido inscritto – formato dalla somma dei prismi interni – e minore del solido circoscritto. Poiché entrambi differiscono fra loro di una quantità che può essere resa arbitrariamente piccola aumentando il numero delle divisioni, si giunge all’uguaglianza perfetta:

“quare hujufmodi fundi fcdfionc infinita eo devenitur, ut differentia ponderis … a pondere dimidiae columnae … quolibet minimo pondere adhuc minor fit.” – (fr:2084/p.123) [“così che con una divisione infinita di questo fondo si arriva al punto in cui la differenza tra il peso che preme sul fondo ACDE e il peso della mezza colonna è minore di ogni minimo peso dato.”]

Da ciò si ottiene il risultato finale:

“Itaque pondus dimidia columna A C H D E aquaturponderi in bafe A C D E.” – (fr:2088/p.123) [“Pertanto il peso della mezza colonna A C H D E è uguale al peso che insiste sulla base A C D E.”]

Il testo ripropone la medesima dimostrazione con diverse geometrie, a conferma della generalità del principio. Nel secondo esempio (fr:2091 ss.) il fondo obliquo ACDE ha il lato superiore AC nella superficie libera; si divide la perpendicolare A∞ in quattro parti e si ripete il confronto a esaustione, per concludere che

“fando A C D E infidere corpus squale ipfi A C H D E, hoceft, columnae bafis A C D E, altitudinis A »” – (fr:2099/p.123) [“sul fondo ACDE insiste un corpo uguale a A C H D E, cioè a una colonna avente base A C D E e altezza A∞.”]

Il terzo esempio (fr:2104-2125/p.124) estende la legge a una superficie ellittica AB con il punto più alto A nella superficie dell’acqua. Attraverso un parallelogramma circoscritto e un solido equivalente disposto verticalmente, si mostra che anche sull’ellisse agisce il peso di una mezza colonna di base ellittica e altezza verticale AC.

“Pondus aquae fundo A B incumbentis aequari dimidiae columnae, cujus bafis A B, altitudo A C.” – (fr:2105-2106/p.124) [“Il peso dell’acqua che grava sul fondo A B è uguale a quello di una mezza colonna la cui base è A B e l’altezza A C.”]

L’ultimo esempio (fr:2129-2134/p.125) abbandona le costruzioni puramente geometriche e passa a un calcolo aritmetico: un recipiente pieno d’acqua ha il fondo quadrato verticale ACDE di un piede di lato, con il bordo superiore A sulla superficie. La colonna di altezza verticale un piede equivale a un piede cubo d’acqua; la spinta sul fondo risulta esattamente la metà:

“demonftrandum erit fundo A C D E incumbere pondus cubici pedis dimidium.” – (fr:2132/p.125) [“si dovrà dimostrare che sul fondo A C D E grava il peso di mezzo piede cubico.”]

La preparazione ripropone la quadrisezione dell’altezza con tre parallele HI, KTJ, MN (fr:2134/p.125), ricollegandosi alla tecnica di esaustione già impiegata.

Il significato storico e testimoniale del frammento è cospicuo. Le dimostrazioni ricalcano il metodo di esaustione archimedeo e appartengono con ogni probabilità agli Elementi di Idrostatica di Simon Stevin, pubblicati in olandese nel 1586 come De Beghinselen des Waterwichts e subito tradotti in latino. Stevin vi enuncia per la prima volta il principio che la pressione su una parete piana dipende dalla profondità del suo baricentro, un concetto che anticipa il calcolo integrale e che sarà ripreso da Pascal. L’uso di solidi equivalenti disposti verticalmente per trasformare il problema in uno di confronto diretto di pesi mostra una padronanza della meccanica e della geometria che ha gettato le basi per la statica dei fluidi moderna.

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[17.1/1-45-2187|2228]

17 La pressione su un fondo piano e la massa d’acqua equivalente

Per un fondo piano regolare la spinta idrostatica uguaglia il peso di una colonna liquida che ha per base il fondo stesso e per altezza la distanza del suo baricentro dal pelo libero; per fondi irregolari occorre invece una costruzione geometrica generale.

Il testo espone una dimostrazione di idrostatica relativa alla forza che un liquido esercita su un fondo piano. Dapprima si considera un fondo regolare e si mostra, attraverso una preparazione geometrica e due dimostrazioni alternative, che il peso che grava su una sua parte è pari a una precisa colonna d’acqua. In seguito si osserva che per un fondo non regolare la semplice regola della colonna con altezza pari alla semidifferenza degli estremi non è valida, e si perviene perciò a un problema generale: trovare un corpo d’acqua il cui peso eguagli esattamente la spinta su un fondo piano qualunque, regolare o irregolare.

La Praeparatio (fr:2188/p.22) costruisce un solido ausiliario. A partire dai prolungamenti dei lati del fondo ABCD fino alla superficie libera dell’acqua, si generano le linee HI e CK, DL, orizzontali, e si completa il parallelogramma CDLK con le rette IK, HL; infine si aggiungono i segmenti BM, AN, MO, NP uguali e paralleli a CO e BC. Su questa prima figura si modella una seconda figura, “huic aqueae similis, magnitudine autem & pondere aequaliss” – simile alla prima, ma di uguale grandezza e peso – con la condizione che CK risulti perpendicolare all’orizzonte (fr:2193/p.127). Essa serve a trasportare la pressione idrostatica in una forma più maneggevole.

La Demonstratio (fr:2194/p.13) mostra che la pressione esercitata dal corpo solido CDHIKL sul fondo ABCD nella seconda disposizione è la stessa prodotta dal fluido nella prima configurazione. Di conseguenza la pressione sulla porzione ABCD corrisponde al solido che ha per base ABCD e per altezza GE. Lo si argomenta scomponendo il solido in due prismi e mostrando, con l’aiuto di una perpendicolare OQ condotta sul piano ABCD, che “prisma ABCDPOMN aequale est solido cujus basis ABCD altitudo OQ” e che “prisma MNPOKL aequatur parallelepipedo basis ABCD altitudinis AG”, sicché la somma dà un prisma con base ABCD e altezza GE (fr:2201-2202/p.128).

L’Altera Demonstratio (fr:2203/p.128) riottiene lo stesso risultato per via più diretta: immaginando un piano orizzontale passante per AB, su di esso grava una colonna d’acqua di base ABCD e altezza AE; togliendo l’acqua soprastante, il fondo ABCD si trova a sostenere una colonna di altezza AB, la quale aggiunta alla precedente dà una colonna di altezza EG. La conclusione è che “tantum pondus fundo insidere, quantum est columnae basis AB altitudinis CE” – il peso poggiante sul fondo è tanto quanto una colonna che ha per base AB e per altezza CE, dove C è la superficie dell’acqua, A il punto più alto del fondo, e AE è la metà del prolungamento inferiore della perpendicolare condotta da A fino al piano orizzontale passante per il punto più basso (fr:2204-2205/p.128).

Nel Nota (fr:2208/p.128-2213/p.129) si segnala però che quanto dimostrato per il fondo regolare non si trasferisce immediatamente al caso irregolare. Infatti “columna basis irregularis … necessario bifariam non dividatur” – la colonna a base irregolare non viene divisa a metà dalla perpendicolare che passa per i punti estremi. Perciò “illud pondus non aequatur alteri, columnae cuius basis sit idem fundum altitudo dimidia perpendicularis ab altissimo fundi puncto in planum per infimum punctum horizonti parallelum demissa” – il peso non uguaglia una colonna con la stessa base e altezza pari alla metà della perpendicolare abbassata dal punto più alto a un piano orizzontale passante per il punto più basso. Da qui nasce l’esigenza di un problema generale.

Il Problema (fr:2214/p.43-2221/p.129) chiede di “aqueam molem ponderi fundo plano, formae cujuscunque insidenti aequalem invenire” – trovare una massa d’acqua che eguagli il peso agente su un fondo piano di forma qualsiasi, regolare o irregolare, essendo indifferente “regularem an irregulare sit” (fr:2220/p.129).

La Constructio (fr:2222/p.64-2226/p.129) descrive come ottenere tale corpo: si considera il piano del fondo AB prolungato all’infinito e la sua intersezione C con la superficie dell’acqua; da C si conduce una sezione CD su un piano perpendicolare e orizzontale, e quindi si costruisce un piano verticale passante per C ed E. Facendo muovere una linea AF parallelamente a DE lungo il contorno del fondo AB, si genera un solido AGHB delimitato dalle due porzioni di piani infiniti AB e GH e dalla superficie descritta dal moto della linea. Questo volume d’acqua – “corpori AGHB aequalem, gravitate aequali ponderi fundo dato insidenti” – ha peso esattamente uguale alla spinta sul fondo dato.

Il passo appartiene a un trattato di idrostatica (si legge Hydrostatices Elementis in fr:2210/p.128) e testimonia il passaggio dalla conoscenza della pressione su un fondo orizzontale regolare alla determinazione della spinta idrostatica su una generica superficie piana tramite la costruzione del cosiddetto “prisma di pressione”. La trattazione, condotta con il metodo geometrico-sintetico, rappresenta un momento fondativo dell’idrostatica cinque-seicentesca, antecedente alla formulazione in termini di calcolo integrale.

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[18.1/1-27-2246|2268]

18 Pressione idrostatica su parallelogrammi sommersi nell’idrostatica steviniana

Il brano, tratto da un Liber Statici (il trattato Hydrostatices di Simon Stevin), espone due proposizioni fondamentali sulla spinta dell’acqua su superfici piane. La prima dimostra la proporzionalità fra la lunghezza di un parallelogramma sommerso e il peso d’acqua che lo preme, a parità di larghezza e profondità; la seconda affronta il caso di un parallelogramma inclinato, indicando come calcolare la forza attraverso due perpendicolari. Il testo si muove tra enunciati geometrici, dimostrazioni e una dettagliata casistica di esempi.

L’impianto è quello di una figura con un recipiente d’acqua ABCD, entro cui giacciono due parallelogrammi EF e GH. Il dato iniziale è precisa:

“Inaqua ABC D duo parallelogramma EF, GH, aequali latitudine, & infra aquam altitudine, hoc eft ut perpendiculares FI, HK fint aequa- i. .” – (fr:2242/p.129) [Nell’acqua ABCD, due parallelogrammi EF, GH, di uguale larghezza e posti a uguale profondità sotto l’acqua, cioè in modo che le perpendicolari FI, HK siano uguali].

La dimostrazione (fr:2245/p.130, DEMONSTRATIO) riduce il peso che grava su ciascun fondo a una colonna d’acqua. Per il fondo EF si afferma:

“Pondus aqua; fundo E F infidentis a-quatur … aquex e olumnar cujusaltitudo I F, bafis autem fundum EF.” – (fr:2246-2247/p.130) [Il peso dell’acqua che grava sul fondo EF è uguale a una colonna d’acqua la cui altezza è IF e la cui base è il fondo EF].

Allo stesso modo, per GH si ha una colonna di altezza KH e base GH (fr:2248-2250/p.130). Poiché per ipotesi i due parallelogrammi hanno la stessa larghezza, le basi EF e GH stanno fra loro come i segmenti rettilinei EF e GH. Di conseguenza:

“ex a?quo itaque longitudo EF erit ad longitudinem G H ut ’Ilius columni , ad co - i ‚lumna m huj us, & confequenter ut pondus aqua: … illi infidentis, ad pondus huic infidentis.” – (fr:2251-2252/p.130) [per uguaglianza, quindi, la lunghezza EF starà alla lunghezza GH come la colonna del primo alla colonna del secondo, e di conseguenza come il peso dell’acqua che grava sul primo al peso che grava sul secondo].

La Conclusio (fr:2253/p.14-2257/p.130) generalizza il risultato: “Itaque si duo parallelogramma aequalis latitudinis ab aquae superficie deorsum altitudine aequali recedunt, ipsorum longitudines pressibus aquae ipsi insidentis proportionales erunt.” – (fr:2254-2256/p.130) [Pertanto, se due parallelogrammi di uguale larghezza si trovano a uguale profondità sotto la superficie dell’acqua, le loro lunghezze saranno proporzionali alle pressioni dell’acqua che grava su di essi].

Il brano introduce poi un theorema 4 e una nuova propositio (fr:2258/p.12-2259/p.27), dedicata al parallelogramma inclinato il cui lato superiore giace sulla superficie dell’acqua. Il problema è posto con chiarezza:

“Si parallelogrammi ad horizontem inclinati , cujus fupremumlatusinaquaefuperficieiumma confidat, duae perpendiculares aderam latus imum, altera in planum per imum b tus horizonti parallelum notae Cnt, aqua: ipft infi- dentis pondusinvenirc.” – (fr:2260/p.130) [Se di un parallelogramma inclinato rispetto all’orizzonte, il cui lato più alto giace sulla sommità della superficie dell’acqua, sono note due perpendicolari allo stesso lato basso, una nel piano passante per il lato basso parallelo all’orizzonte, trovare il peso dell’acqua che vi grava sopra].

Segue la distinzione dei casi (fr:2262-2263/p.130): il parallelogramma può essere rettangolo o obliquangolo, e l’inclinazione può essere ad angolo retto o obliquo rispetto all’orizzonte; di qui quattro combinazioni, illustrate con esempi in questa e nelle due proposizioni successive. La classificazione è puntuale:

L’incipit di un esempio con un rettangolo ABCD conclude il frammento: “D a t v m. Reflanguli A B C D ad horizontem refli latus extimum A B io aqua…” – (fr:2268/p.130) [Dato: del rettangolo ABCD retto all’orizzonte, il lato esterno AB nell’acqua…].

Storicamente, il testo testimonia il metodo geometrico con cui Stevin, nei tardi anni ’80 del Cinquecento, fonda l’idrostatica moderna. La scomposizione della pressione su una superficie inclinata mediante una colonna d’acqua di base equivalente e l’uso sistematico di perpendicolari anticipano la nozione di pressione idrostatica come forza dipendente esclusivamente dall’affondamento verticale. La minuziosa casistica dei parallelogrammi riflette il passaggio da una statica qualitativa a una scienza matematica dell’equilibrio dei fluidi, elemento centrale della rivoluzione scientifica.

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[19.1/1-58-2583|2640]

19 La pressione idrostatica non dipende dalla quantità d’acqua: gli exempla di Stevin

Con esperienze dirette e ragionamenti stringenti si dimostra che il fondo di un recipiente è premuto soltanto in ragione dell’altezza del liquido sopra di esso, non del suo volume o della forma del vaso.

Il testo presenta una serie di dimostrazioni tratte dagli Elementorum Hydrostatices di Simon Stevin (o dalla relativa edizione latina), volte a illustrare il cosiddetto paradosso idrostatico. Il nucleo concettuale è che la pressione esercitata da un fluido sul fondo di un contenitore dipende esclusivamente dall’altezza verticale del fluido stesso e dall’area del fondo, non dalla quantità complessiva d’acqua né dalla forma del recipiente. L’autore lo prova attraverso cinque exempla progressivi, ciascuno corredato da dispositivi pragmatici (pragmatice machinatione) che ne confermano la validità.

Il primo esempio (1 Exemplum) mette a confronto due vasi di uguale base ma forma diversa. Il fondo AB e il fondo CD sono “simili e uguali” e le altezze EF e GH coincidono, ma la porzione d’acqua IE che insiste sul fondo AB è più ridotta dell’intera massa GCD. La frase, ancorché frammentaria, recita:

“Fundum A B fundo C D fimiIisefto& aequalis, itemque altitudo E F al- timdirn G H; fed pars I Einfiftens fujedataqua?” (fr:2585/p.145)

[Il fondo AB sia simile e uguale al fondo CD, e similmente l’altezza EF all’altezza GH; ma la parte IE che insiste sull’acqua sottostante…]

Si chiarisce poi che l’acqua EAB pesa 10 libbre e che il recipiente GCD contiene un volume decuplo, eppure “affermiamo che la pressione sul fondo AB è tanta quanta quella di tutto GCD sul fondo CD”. L’argomentazione prosegue asserendo che l’acqua EAB “preme il suo fondo AB in modo equivalente a 10 libbre, e tale è altresì la pressione dell’acqua GCD contro il fondo CD”:

“Quare aqua E AB tam potenter preliat fundum A B, quam ha:c aqua fundum M, idcoquc E A B premit fuum fundum AB arquivalenter 10 tb, fed tantus eft item prfif iis, aqua: G C D contra fundum C D.” (fr:2587/p.146)

[Perciò l’acqua EAB preme il fondo AB con tanta forza quanta quest’acqua preme il fondo M, e quindi EAB preme il suo fondo AB in modo equivalente a 10 libbre, e altrettanta è la pressione dell’acqua GCD contro il fondo CD.]

La conclusione operativa è che l’acqua EAB (10 libbre) preme il fondo AB con la stessa intensità con cui l’acqua GCD (100 libbre) preme il proprio. La portata della scoperta è ampliata subito dopo: “con eguale ragione dimostrerai che può premere con la forza di mille libbre” (fr:2588/p.146).

Il secondo esempio (2 Exemplum) impiega un tubo ABCD connesso a un vaso ampio CDEF, entrambi riempiti d’acqua fino alla medesima superficie orizzontale e poggianti su un fondo comune CD. Se la pressione dal lato del vaso largo superasse quella del tubo, l’acqua dovrebbe spostarsi, ma l’esperienza mostra che ciò non accade:

“hic fundum t. C D abamplo vale CDEF nonvalidiuspremiquama tubulo A BCD, patebit ipfo ablato , ut aqua aquam B tangaqnamfiantc aqua CDEF fundum DCprcffitvalidius quam ABC D, idem quoquenunc fiet, &potentior debiliorem loco pellet^ quare aquam AB CDafcendere, &C DE FdefcendcrenecdTefucrit: atqueitaipfa-  ) -oy 5 / / / Vt , rura fupernx iupetficies inxquali altitudine lupra horizontem extarent, quod « de Hydrostatices elementis.” (fr:2591/p.146)

[Qui il fondo CD non è premuto più validamente dal vaso ampio CDEF che dal tubo ABCD; se lo fosse, rimuovendo il setto l’acqua si metterebbe in movimento, la più potente scaccerebbe la più debole, e le superfici si disporrebbero ad altezze disuguali sull’orizzonte, il che ripugna all’esperienza.]

Da qui deriva che “una minore quantità d’acqua ABCD preme il fondo CD in modo equivalente alla maggiore CDEF” (fr:2593/p.147).

Il terzo esempio (3 Exemplum) introduce un dispositivo con un foro chiuso da un disco di legno più leggero dell’acqua. Un vaso ABCD pieno d’acqua ha il fondo CD forato e otturato da un disco GH; un secondo vaso IKL, ugualmente alto ma più piccolo, presenta un foro EF identico e un disco OP di uguali dimensioni e materiale. Il disco non affiora spontaneamente, ma preme sul foro con una forza pari alla colonna d’acqua EFQR diminuita della differenza di peso tra il disco di legno e l’acqua spostata. Aggiungendo pesi S e T ai rispettivi dischi, si raggiunge l’equilibrio e si osserva che “sollevando i pesi S,T, i dischi GH, OP si alzeranno, e così constaterai che quei dischi esercitano sul foro sottostante un’impressione uguale” (fr:2602-2603/p.147). L’autore sottolinea che se la differenza di peso tra il disco GH e l’acqua di ugual volume superasse il peso della colonna d’acqua EFQR, il disco verrebbe spinto verso l’alto anziché premere sul foro (fr:2605/p.147). Se il disco fosse di materiale più pesante dell’acqua, come il piombo, la sua pressione sul foro equivarrebbe alla somma della colonna d’acqua EFQR più la differenza di peso tra il disco e l’acqua spostata (fr:2607/p.147). Nel caso di un disco di densità uguale all’acqua, la pressione eguaglierebbe esattamente la colonna liquida (fr:2608/p.147).

Il quarto esempio (4 Exemplum) mostra un vaso ABCD con foro EF coperto da un disco di materiale più leggero dell’acqua. Accostandovi un sottile tubo IKL, la cui imboccatura superiore I è alla stessa altezza del pelo libero AB del vaso e quella inferiore L comunica con EF, la colonna d’acqua contenuta nel tubo è in grado di sollevare il disco GH con la stessa forza con cui lo preme l’intera massa d’acqua del vaso sul lato opposto. L’autore osserva che “una libbra d’acqua (tanta infatti è la capacità del canaletto) può esercitare sul disco GH una forza maggiore di centomila libbre”, concludendo che se la causa di ciò fosse ignota, “meritatamente potrebbe dirsi un arcano della natura” (fr:2614/p.147-2617/p.148). Viene così annunciato il principio della pressa idraulica, già operativamente descritto nella quinta figura (superiore diagramma S).

Il quinto esempio (5 Exemplum) ambienta la dimostrazione in acqua aperta. Un disco di piombo G, fissato all’estremità di un tubo EF, viene immerso; esso non affonda per gravità innata, ma rimane aderente al tubo e “preme l’acqua con tanta forza quanta il peso di una colonna d’acqua di base F e altezza HI, diminuita della differenza di peso tra il disco G e l’acqua di ugual volume” (fr:2620-2621/p.148). Se il disco non chiude a tenuta, l’acqua entra nel tubo e il disco si stacca solo quando il peso dell’acqua ammessa supera quella differenza (fr:2622/p.148). Per fugare il dubbio che la grande massa d’acqua circostante eserciti una pressione aggiuntiva, l’autore precisa che, rimossa tutta l’acqua intorno tranne un sottile velo, “l’acqua minore preme il tubo con la stessa potenza di prima, come esposto nella proposizione” (fr:2624/p.148). In tal modo la proposizione viene “pragmaticamente illustrata in più modi” (fr:2624/p.148).

Oltre ai casi concreti, il testo trae corollari di ampia portata. Dalla medesima proposizione si può conoscere “quanto peso d’acqua gravi su un corpo immerso” (fr:2627/p.148) e, più in generale, che “l’acqua della larghezza di un solo dito da una parte preme con la stessa forza con cui preme dall’altra un’altra acqua, la cui larghezza sia pari all’Oceano stesso, purché si trovino alla medesima altezza” (fr:2628/p.148). La verità è ritenuta tanto manifesta da non richiedere ulteriori esempi (fr:2629/p.148).

Un’ultima nota idrostatica spiega perché un uomo che galleggia in acqua non resti schiacciato pur essendo sottoposto a un grande peso: se il corpo umano occupa un piano di 10 piedi e si trova immerso di 10 piedi, valutando 65 libbre per piede cubo d’acqua, esso “sostiene” una pressione che non lede alcuna parte del corpo, poiché la pressione uniforme non provoca lussazioni (fr:2637/p.148-2640/p.149). La ragione viene ricondotta al principio che “ogni pressione da cui il corpo è afflitto con dolore lussa una qualche sua parte”, mentre qui la pressione è diffusa e bilanciata.

Dal punto di vista storico, il brano costituisce una testimonianza di eccezionale rilievo per la nascita della statica dei fluidi. Gli exempla di Stevin, pur comunicati con un latino denso e con l’ausilio di diagrammi, stabiliscono in modo definitivo che la pressione sul fondo di un contenitore dipende solo dalla profondità del fluido e non dalla sua quantità, distruggendo l’intuizione comune che un volume maggiore di liquido debba per forza premere di più. La scelta di un metodo “pragmatico”, cioè fondato su dispositivi e controprove sperimentali, segna il passaggio dalla speculazione medioevale alla scienza sperimentale moderna. L’introduzione del principio della pressa idraulica – con un tubo sottile capace di sollevare centomila libbre – anticipa di decenni le grandi sintesi di Pascal e getta le basi della meccanica dei fluidi come disciplina matematica.

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20 L’autonomia della Statica e la correzione degli errori comuni: un’appendice metodologica

Tra esperimenti, confutazioni e chiarimenti epistemologici: la Statica si afferma come arte liberale matematica, distinta da Aritmetica e Geometria, fondata su dimostrazioni universali e liberata da falsi principi sugli equilibri e sul moto.

L’autore introduce il proprio percorso con una riflessione sul modo di trattare gli errori diffusi nella tradizione: pur riconoscendo un vasto campo di confutazioni possibili, teme di cadere nello stesso vizio di chi, per ostinazione, si accanisce sugli sbagli altrui mostrando difetti ancor più gravi. Perciò adotta una via mediana: anziché confutare ogni singolo errore, si limita a spiegare per ciascuno le cause generali in due capitoli. Non intende sminuire la fama degli scrittori illustri, ma anzi accrescerla con grata memoria, poiché essi hanno spinto i propri seguaci alla ricerca, senza la quale molte conoscenze necessarie resterebbero nascoste. Così leggiamo: “medium quoddam genus secutus sum, ut pro singulis variorum erroribus, summa duntaxat genera, & communes caussas duobus proximis capitibus explicarem” – (fr:2654/p.150-55/p.5) [ho seguito una via di mezzo, per spiegare per ciascuno degli errori dei diversi autori soltanto i generi sommi e le cause comuni nei due capitoli successivi].

Il primo errore affrontato riguarda la causa dell’equilibrio nella leva. L’opinione corrente, attribuita ad Aristotele e ai suoi seguaci nei Mechanica, voleva che l’equilibrio di pesi disuguali su bracci disuguali (purché inversamente proporzionali ai pesi) dipendesse dai cerchi tracciati dalle estremità dei raggi. L’autore lo nega: l’equilibrio non descrive di per sé alcun cerchio. “Duo fitu aequilibrium fiunt; itaque duo fitu aequilibria nullum describunt circulum” – (fr:2659/p.151) [Due cose sono in equilibrio di posizione; pertanto due cose in equilibrio di posizione non descrivono alcun cerchio]. Il moto di rotazione degli estremi è accidentale e non essenziale all’equilibrio: “Motus autem iste … aequiponderantibus proprie non inest; sed casu contingit, ut vento aliove impulsu” – (fr:2660/p.151) [Questo moto non appartiene propriamente ai corpi in equilibrio, ma accade per caso, come per il vento o altro impulso]. Tolto il cerchio, svanisce la presunta causa. L’autore rimanda a una dimostrazione già data negli Elementa Staticorum Mathematicorum (prop. 5) e aggiunge che chi accettava simili errori come verità non poteva giungere alla conoscenza delle cause autentiche; molte proposizioni false, come quelle di Cardano sui pesi obliqui, sono facilmente confutate dalla retta norma della verità.

Il secondo ordine di errori riguarda la proporzionalità tra i corpi mossi e i loro impedimenti. Nel Praxis Statices l’autore aveva affermato che le cose mosse non sono proporzionali ai propri impedimenti e qui si propone di dimostrarlo contro Aristotele, Taisner e Cardano. “Principio Aristoteles ejusque sectatores … exislimat corporibus duobus similibus, & materia aequipondiis per aerem delapsis eandem esse rationem ponderis ad pondus qui velocitatis illius ad velocitatem hujus, id est qui sit impedimenti ad impedimentum” – (fr:2669/p.151-70/p.6) [In primo luogo Aristotele e i suoi seguaci … ritengono che in due corpi simili e di ugual materia fatti cadere attraverso l’aria, il rapporto tra peso e peso sia lo stesso del rapporto tra velocità dell’uno e velocità dell’altro, cioè tra impedimento e impedimento]. Taisner, pur criticando Aristotele, ammetteva la proporzione nella sola forma in cui corpi uguali percorrono spazi uguali in tempi uguali; Cardano consente.

L’autore oppone esperienze precise. Contro Aristotele: due globi di piombo in rapporto di peso 10 a 1, fatti cadere da 30 piedi su un piano che renda suono, toccano terra insieme, cosicché il rumore appare uno solo; il più leggero non impiega un tempo dieci volte maggiore. Lo stesso accade con corpi di uguale grandezza e peso decuplo. “manifeste cognosces leviorem non decuplo tardius graviore, sed pariter in asserem incidere ut sonitus utriusque illisus redditus unus idemque videatur” – (fr:2677/p.152) [chiaramente constaterai che il più leggero non cade dieci volte più lentamente del più grave, ma raggiunge la tavola insieme, cosicché il suono prodotto dall’urto di entrambi risulta uno solo]. Contro Taisner: un filo sottile di lana e un batuffolo compatto di una libbra della stessa materia, lasciati cadere da cinque o sei piedi, mostrano che il filo, pur essendo materialmente più compatto e denso, resta molto più a lungo in aria. Inoltre, in un vaso d’acqua agitato, le bolle grandi salgono rapidissime, le minuscole lentissime: “videbis majores bullas citissime atque unico momento, minores vero emergere tardius, minimas autem bullulas … lentissime … prorepere” – (fr:2684/p.152) [vedrai le bolle maggiori emergere velocissime e in un momento, le minori più tardi, le minime poi avanzare lentissime]. Dunque nessuna velocità uniforme.

La spiegazione della falsa proporzione risiede nel contatto tra il mobile e il mezzo. Ogni corpo ha un impedimento legato alla superficie a contatto con l’aria. Nei solidi simili, superfici e volumi non sono proporzionali (un cubo in rapporto 8:1 ha superficie in rapporto 4:1); perciò gli impedimenti non sono proporzionali. I corpi minori, in proporzione, risentono di un impedimento maggiore e cadono più lentamente. Anche se le superfici fossero proporzionali, il mezzo stesso disturba la proporzione, come si vede in due corpi di cui uno galleggia e l’altro affonda: gli impedimenti superficiali conservano un rapporto, i tempi no. Né varrebbe invocare la clausola del ceteris paribus con entrambi affondanti, perché si possono sempre trovare infiniti corpi di peso intermedio che, avvicinandosi alla soglia del galleggiamento, non mantengono la proporzione. “infinita posse inveniri corpora inaequali gravitate minori quam B, & quae in aqua demergantur, paulatimque ita propius accedetur ad corpus immersabile, cujus nulla cum corpore quod mergitur sit proportio” – (fr:2692/p.152) [si possono trovare infiniti corpi di gravità diversa minore di B che pure affondano in acqua, avvicinandosi via via a un corpo immersibile con il quale non c’è alcuna proporzione col corpo che affonda]. Dato che anche nei mezzi omogenei non sussiste proporzione, a maggior ragione essa manca nei casi disordinati delle macchine, dove legni e ferri sono soggetti a umidità, ruggine, unguenti, rigonfiamenti, che ora accelerano ora frenano il moto. Perciò ogni deduzione basata su quella presunta proporzione, come quelle di Cardano, è falsa. L’autore conclude che basta attenersi al moto e alla ricerca dell’equilibrio, che soddisfa pienamente.

A questo punto l’opera si sposta su una questione di statuto disciplinare: perché la Statica debba essere annoverata tra le arti liberali matematiche. Come il numero e la grandezza costituiscono le materie distinte di Aritmetica e Geometria, così la gravità è materia diversa da entrambe, e le proprietà della Statica non sono inferiori per sottigliezza, come prova il fatto che essa è stata portata alla luce con enorme ritardo. “Pari ratione etiam Statica istis connumeranda, partim quia hujus materia gravitas, sit ab illarum utraque, numero scilicet & magnitudine, diversa: partim etiam quia proprietates hujus subtilitate quoque illis non cedant” – (fr:2705/p.153) [Per ugual ragione anche la Statica va annoverata tra queste, in parte perché la sua materia, la gravità, è diversa da entrambe, numero e grandezza, in parte perché le sue proprietà non sono inferiori a quelle per sottigliezza]. L’uso di figure geometriche nelle dimostrazioni non la rende una specie della Geometria: anche l’Aritmetica ricorre alla Geometria, e la stessa Geometria non può fare a meno dei numeri. L’Ottica e la Catottrica sono considerate parte del genere geometrico, mentre la Statica riguarda la gravità, che si ritrova in ogni sostanza a grande vantaggio dell’uomo, al pari di numero e misura. Sotto ogni sostanza, dice il proverbio antico, stanno peso, numero e misura. Pertanto la Statica è a pieno titolo un’arte liberale matematica.

L’autore si premura poi di difendere il proprio metodo dimostrativo dall’accusa di essere soltanto meccanico. La differenza fra dimostrazione matematica e meccanica sta nella generalità e nella capacità di rendere ragione: la prima è universale e svela la causa, la seconda è un paradigma numerico particolare. “illa omnibus generalis est, & rationem cur ita sit penitus demonstrat, haec vero in subjecto duntaxat paradigmate numeris declarat” – (fr:2728/p.154) [quella è generale per tutti i casi e dimostra a fondo la ragione per cui è così; questa invece lo dichiara con numeri solo in un esempio paradigmatico]. Tuttavia, le dimostrazioni per numeri non sono di per sé meccaniche: se i numeri servono soltanto a esprimere rapporti e proporzioni di una figura generale, allora la dimostrazione è matematica, poiché vale per tutta la specie e chiarisce la causa. L’autore cita Pappo (o un commentatore di Apollonio) per confermare che già gli antichi usavano simili dimostrazioni numeriche, ritenendole matematiche a motivo delle analogie. Quanto all’uso di termini di rapporto espliciti, come “12 a 1”, è lo stesso che dire “duplo” o “triplo”: “idem fit rationem, & rationum terminos proponere” – (fr:2738/p.154) [è lo stesso proporre il rapporto e i termini del rapporto]. I numeri guidano l’indagine e rendono perspicua la descrizione; lungi dall’essere un difetto, manifestano la vera dimostrazione matematica, che risale alle cause. Dove, infine, nei libri di Statica e Idrostatica compaiono calcoli con libbre e misure, l’autore ha sempre affiancato una versione aritmetica e una matematica, cosicché la dimostrazione meccanica faccia da fiaccola alla matematica.

L’ultima chiarificazione riguarda l’ottava proposizione dell’Idrostatica: “Solidum in aqua levius esse quam in aere pondere aquae magnitudine sibi aequalis” – (fr:2746/p.155) [Un solido in acqua è più leggero che in aria del peso di un volume d’acqua uguale al proprio]. Da essa sembrerebbe dedursi che un solido in mercurio sia più leggero che in acqua del peso di mercurio di pari volume, o che in acqua sia più leggero che in olio del peso di acqua di pari volume. L’esperienza ordinaria pare contraddire queste deduzioni: una libbra di piombo non diventa in acqua più leggera che in olio del peso di un’ugual mole d’acqua, ma solo della differenza tra l’acqua e l’olio di quel volume. La soluzione sta nel riconoscere che i postulati idrostatici definiscono il peso proprio in aria e considerano vuoto (cioè pieno d’aria) il vaso poroso senza acqua. Se si assume come mezzo di riferimento il mercurio e si postula che il peso dei corpi in acqua sia così definito e che un vaso vuotato di mercurio sia pieno d’acqua, allora la proposizione “il solido in mercurio è più leggero che in acqua del peso d’acqua di pari volume” è perfettamente vera. Basta immaginare un uomo sott’acqua che abbia mercurio e oro, con quell’acqua che prende il ruolo dell’aria: “Ajo aurum isti tanto fore levius, quam in hydrargyro quantum erit pondus hydrargyri aurum magnitudine aequantis” – (fr:2753/p.155) [Affermo che l’oro lì sarà più leggero che nel mercurio di quanto è il peso del mercurio di volume uguale all’oro]. Se invece si assume il peso nel vuoto come vera misura (come di fatto è), l’enunciato si rovescia: “Omne solidum in aqua gravius est, quam in inani pondere aquae sibi aequalis” – (fr:2755/p.155) [Ogni solido in acqua è più pesante che nel vuoto del peso d’acqua di pari volume]. L’apparente contraddizione si scioglie chiarendo il sistema di riferimento e i postulati adottati, mostrando la coerenza del teorema.

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21 La statica dei fili multipli: dalla conferma sperimentale del Principe all’analisi tridimensionale

Un trattato che passa dalla sospensione su due funi a sistemi di più linee, mostrando come la geometria e l’esperienza si fondano per risolvere problemi indeterminati, con un discrimine decisivo fra configurazioni piane e spaziali.

Il testo appartiene agli Additamenti Staticae pars prima (fr. 2813) e affronta il problema della ripartizione di un peso sostenuto da più funi. Un elemento fondante è la verifica empirica del modello teorico: un Principe, con una serie di esperimenti, ha riscontrato la corrispondenza fra pratica e previsione matematica. L’opera lo attesta con un esplicito riconoscimento: “In his & aliis similibus Illustrissimus Princeps certis experimentis cognovit, Praxin Theoriae exaequari” – (fr. 2802) [In queste ed altre simili esperienze l’Illustrissimo Principe riconobbe, con prove certe, che la pratica eguaglia la teoria].

L’indagine muove dalla sospensione con due sole linee. Dopo aver ricordato una proporzione già esposta nella propositio 1 7, l’autore ne fornisce una formulazione alternativa per rendere più agevole l’impiego: “Proportionem 1 7 propositione a nobis descriptam, aliter quoque efferre et effari potuimus, unde usus paulo facilior manet. Cuius explicatio diagramma id oculis hic subieci.” – (fr. 2803) [La proporzione da noi descritta nella proposizione 17 potemmo esprimerla ed enunciarla anche altrimenti, cosicché l’applicazione risulta alquanto più semplice; ne ho qui posto sotto gli occhi la spiegazione con un diagramma]. Con l’ausilio di una costruzione geometrica (si tracci LP parallela a FM) si stabiliscono rapporti precisi: “ut EP ad EL, sic pondus columnae totius ad G” – (fr. 2805) [come EP sta ad EL, così il peso dell’intera colonna sta a G], e “ut EP ad PL, sic pondus columnae ad H” – (fr. 2806) [come EP a PL, così il peso della colonna ad H]. La via geometrica è vantaggiosa: “qua via ignotorum terminorum inventio multo fit brevior et succinctior” – (fr. 2806) [per questa via la determinazione dei termini incogniti diviene molto più breve e concisa].

A questo punto l’attenzione si sposta dai sistemi a due linee a quelli con più linee: “Hactenus pondera e duabus lineis dependentia exposita sunt, sequuntur deinceps quae pluribus lineis suspenduntur.” – (fr. 2809) [Fin qui sono stati esposti pesi che dipendono da due linee; seguono ora quelli che vengono sospesi a più linee]. Viene adottato lo schema del quinto corollario, con l’accorgimento che una retta CG sfiori una carrucola K in modo che KCF risulti obliqua rispetto all’orizzonte (fr. 2810). Qui il peso AB è sorretto da due tratti DC, CE; successivamente CE si suddivide in EF ed EG. Applicando in cascata il terzo, il quinto e il settimo corollario si riesce a determinare la frazione di carico sopportata da ciascun segmento (fr. 2814‑2815). Il procedimento si estende senza difficoltà: se CD si divide a sua volta in DH e DI, e da F partono FK e FL, anche in presenza di cinque funi e indipendentemente dal fatto che giacciano in uno stesso piano o in piani diversi si perviene alla distribuzione esatta: “quantum cuique harum quinque linearum DH, DI, FK, FL, EG cedat cognosces” – (fr. 2818) [saprai quanto tocchi a ciascuna di queste cinque linee DH, DI, FK, FL, EG]. Il metodo, afferma il testo, “quae ratio infinite continuari potest” – (fr. 2819) [questa maniera di ragionare può proseguire all’infinito].

Un punto teorico notevole riguarda il caso di tre linee uscenti da un medesimo punto. Se esse giacciono tutte in un piano, la ripartizione del carico resta indeterminata: “atque cum in eodem sunt plano, nihil certo concludi posse” – (fr. 2824) [e quando sono nel medesimo piano, non si può concludere nulla di certo]. La ragione sta nella possibilità di variare liberamente la disposizione reciproca senza vincoli univoci: “varie collocari possunt, unde … unam … conclusionem non admittere” – (fr. 2826) [possono esser collocate in modi diversi, per cui non ammettono un’unica conclusione]. Al contrario, quando le tre linee non sono complanari – cioè appartengono a due piani distinti – la soluzione diventa unica e determinata: “Cum autem tres istae retinaculorum lineae in duobus constituentur planis, conclusio duntaxat unica, certaque erit.” – (fr. 2828) [Quando invece quelle tre linee di ritegno sono poste in due piani, la conclusione sarà soltanto una, e certa]. L’autore porta l’esempio di un peso AB appeso a CD, CH, CF non giacenti in un unico piano, con un unico tratto CG che dal loro incontro si diparte fino al peso in G (fr. 2829). Immaginando di eliminare momentaneamente una linea e considerando soltanto le due che definiscono un piano (ad esempio CF e CH), si può applicare il quinto corollario per isolare il contributo di CF; quel contributo rimane lo stesso nella configurazione completa a tre linee, perché l’angolo GCF non muta: “patet igitur angulum GCF omnino non mutari, sed eundem esse qui prius fuerat, itemque CF pondus idem ferre quod ante” – (fr. 2832) [è chiaro dunque che l’angolo GCF non muta affatto, ma resta lo stesso di prima, e parimenti CF sopporta lo stesso peso di prima].

L’intero ragionamento è sostenuto da un apparato diagrammatico preciso, con triangoli simili e parallele (fr. 2807), e da continui rimandi a corollari interni. L’impiego sperimentale di una carrucola (trochlea, fr. 2810) e la verifica da parte di un Principe conferiscono al testo un valore di testimonianza sull’alleanza fra pratica meccanica e formalizzazione matematica che caratterizzava la scienza del Seicento.

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22 La statica dei sistemi di carrucole: dall’argano semplice alle trazioni oblique

Un additamento di meccanica indaga con rigore geometrico la distribuzione delle forze nelle troclee, includendo il peso delle funi e la direzione della trazione, e fissa il principio generale delle macchine.

Il testo si apre con l’esame di una carrucola semplice (trochlea A), a cui è appeso un peso B tramite una fune C D E F i cui due rami CD e FE sono paralleli e perpendicolari all’orizzonte: “Eftoin primo hoc diagrammate trochlea A, ex qua dependet pondus B, funis C D E F, cujus dux panes CD, FE paiallela’ iint, & utraque horizonti perpendicularis” – (fr:2879/p.170) [Sia in questo primo diagramma una carrucola A, da cui pende il peso B, una fune C D E F, le cui due parti CD, FE siano parallele ed entrambe perpendicolari all’orizzonte]. In virtù della rotazione dell’orbicolo, ognuno dei due tratti di fune sopporta la metà del peso: “etiam lingulis pro pter orbiculi volubilitatem cedet femiffis ponderis B” – (fr:2881/p.171) [a ciascuna parte, per la girevolezza della puleggia, tocca la metà del peso B]. Qui compare subito l’assioma statico che lega spazi e forze: “Vt fpatium agentis, ad fpatium patienrs, ita potentia agentis ad potentiam …” – (fr:2881/p.171) [come lo spazio dell’agente allo spazio del paziente, così la potenza dell’agente alla potenza…]. La sua applicazione è immediata: mentre la mano F si sposta di due piedi, il peso avanza di un solo piede, “Nam manu F … duos pedes promota, pondus … cum duntaxat pedem procedet” – (fr:2882/p.171) [Infatti, muovendo la mano F di due piedi, il peso che subisce avanzerà di un solo piede].

L’analisi si estende alle carrucole multiple. Con una troclea doppia il peso dipende da tre tratti di fune; a ciascuno cede un terzo del carico, cosicché la mano F ne sostiene un terzo: “manus F tertiam tantum panem fuliincbit ponderis B” – (fr:2885/p.172) [la mano F sopporterà soltanto la terza parte del peso B]. Con tre orbicoli la porzione diventa un quarto, e il medesimo ragionamento si applica a un numero qualunque di pulegge generando un assioma generale.

L’autore avverte poi che la trazione verticale verso l’alto, usata nei diagrammi per chiarezza, è assai rara nella pratica. Di norma si aggiunge una carrucola supplementare per tirare la fune verso il basso, ma essa non altera la ripartizione del carico: il peso continua a essere sostenuto da quattro tratti di fune esattamente come nel terzo schema, perché il quinto tratto apparente coincide con il quarto. “notandum tamen quartum iituraadventituim orbiculum manui nullam ponderis allevationem mutationem vt inducere — quia pondus B e quatuor tantum funibus … fuftinetur” – (fr:2887/p.172) [si deve notare che questa quarta puleggia aggiunta non produce alla mano alcuna diminuzione o cambiamento del peso — perché il peso B è sostenuto soltanto da quattro funi]. Il corollario è lapidario: anche facendo passare la fune attraverso cento di queste troclee, chi tira non ne riceve alcun beneficio. “Ex quo intelligitur etiamfi funis ductorius per centum ifhufmodi trochleas traducatur, trahentem planne nihil juvari” – (fr:2888/p.172) [Da ciò si comprende che, anche se la fune di guida passasse attraverso cento carrucole di questo tipo, chi tira non verrebbe affatto aiutato]. Per verifica si può sostituire la mano F con un peso pari a un quarto del carico da sollevare e, se tutto è predisposto correttamente, si ottiene l’equilibrio.

Un dettaglio notevole è la determinazione del peso totale da sollevare: esso non è solo il dato peso B, ma comprende la gravità della carrucola e della fune. “pondus autem tollendum … notato id hic confUtui a dato pondere B, trochleaim£ A, atque infuper a gravitate funis” – (fr:2890/p.172) [si noti che il peso da sollevare … è qui costituito dal peso dato B, dalla carrucola A e inoltre dal peso della fune]. L’analisi successiva distingue segmenti di fune che si fanno equilibrio e non aggravano (come il tratto CM) e porzioni semicircolari e rettilinee che invece contribuiscono al carico. L’osservazione più acuta riguarda la fune di richiamo sospesa in aria: la sua gravità, anziché opporsi, riduce la potenza necessaria al traino, perché agisce come contrappeso. “quanta erit iftius dudorii funis gravitas, tanto minori potentia dudori opus efle” – (fr:2896/p.173) [quanto maggiore sarà il peso di questa fune di guida, tanto minore potenza sarà richiesta a chi tira].

La seconda parte del brano affronta la trazione obliqua, quando la mano F non tira verticalmente ma di lato e verso l’alto. Con una sola carrucola, tracciando le linee di forza fino al punto d’intersezione H e conducendo opportune parallele, si ottiene che il rapporto IK : KH eguaglia il rapporto fra il peso retto dalla mano e il peso dato, e per la troclea semplice i due segmenti sono sempre uguali. “ajocfle I.K ad K H : ut pondus ab F manu dudum ad datum B” – (fr:2900/p.174) [dico che IK sta a KH come il peso retto dalla mano F sta al dato peso B].

Se il sistema a due orbicoli viene azionato obliquamente, il tratto KH è metà di KL, quindi la forza in F è metà della tensione nel punto di sospensione I; a ogni fune tocca un terzo del carico, come nel caso verticale. Il metodo si generalizza con il quinto corollario della prima parte dell’additamento: per tre carrucole la frazione è un quarto, e così via in progressione continua. “Cum autem tres proponentur trochleæ, manifellum eft quartam partem ponderis … aflumendam, atque eo deinceps in ceteris progreffu continuo” – (fr:2909/p.175) [Quando si propongono tre carrucole, è chiaro che va presa la quarta parte del peso … e così via nelle altre con progressione continua].

Il testo si chiude con la conclusione di aver indagato, come richiesto, le forme dei pesi sollevati per mezzo di carrucole: “Itaquc ponderum trochleis lublarorum tormas … inquiftvimus” – (fr:2912/p.175) [Pertanto abbiamo ricercato le forme dei pesi sollevati con le carrucole, come era stato chiesto].

Il brano possiede un chiaro valore di testimonianza storica: proviene da un supplemento a un’opera di statica del primo Seicento, epoca in cui la meccanica si stava consolidando come scienza geometrica. L’uso costante dei diagrammi, il richiamo a corollari già stabiliti e la cura nel distinguere i casi ideali da quelli pratici (trazione verso il basso, obliquità, peso della fune) rivelano un metodo che oscilla tra l’eredità degli antichi e la nuova scienza galileiana. L’assioma dello spatium agentis è una forma primitiva del principio dei lavori virtuali, e l’attenzione al contributo della gravità della fune come elemento favorevole anziché resistente costituisce un’osservazione ingegneristica tutt’altro che scontata.

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[23.1/1-123-3021|3141]

23 Meccanica del morso: un’analisi statica dell’asperità del freno equino

Dalla geometria dei punti di contatto alla progettazione di un freno universale: un’indagine sulle cause meccaniche che governano l’intensità e l’effetto del morso equino.

Lo studio analizza le cause meccaniche dell’asperitas del freno, ovvero l’intensità della pressione esercitata sulla bocca e sul mento del cavallo, al fine di progettarne uno regolabile. Il fondamento risiede nell’identificare i punti geometrici chiave da cui dipende ogni variazione: “ex hac enim facile docerentur mutationem omnem & varietatem existere ab tribus punctis R H S” - (fr:3019/p.185) [da ciò infatti si potrebbe facilmente insegnare che ogni mutamento e varietà deriva dai tre punti R, H, S]. L’autore chiarisce che non è la larghezza dell’occhiello (ocellus) ad avere rilevanza, bensì una retta immaginaria H S utile a ordinare un teorema generale da cui dedurre il modo delle inflessioni (“non latus V in scapi capitello, sed rectam imaginariam H S ad generalis cujusdam theorematis ordinationem […] aliquid momenti afferre” - fr:3023/p.185).

Le dimostrazioni procedono per proposizioni concatenate. La prima stabilisce che gli scapi più corti sono più aspri, per una duplice ragione. La prima causa, illustrata da un diagramma, è che a parità di tireggio delle redini, lo scapo più corto subisce uno spostamento maggiore: “Scapi quo breviores tanto sunt asperiores” - (fr:3025/p.185) e “addudis tantundem habenis scapi breviores plus commoveantur quam longiores” - (fr:3026/p.185). La conseguenza diretta è una maggiore sollecitazione del meccanismo: “quantum pfellia moventur magis, hoc mandibula a lupo, mentumque a pfellio pressius premitur constringiturque” - (fr:3028/p.185). La seconda causa riguarda la posizione delle catenelle intermedie: nello scapo corto, esse distano maggiormente dal petto del cavallo, richiedendo un tireggio maggiore per portarle a contatto, con conseguente aumento dell’asperità al momento del contatto (“habenae scapi brevioris magis adducendae sunt ut catellae intermediae pectus tangant, quam in scapo longiore” - fr:3031/p.186).

Una possibile obiezione basata sui principi della statica, che attribuiscono più forza ai bracci di leva più lunghi, viene respinta con una precisazione cruciale: non si sta misurando la forza che il cavaliere deve esercitare con la mano (che è effettivamente maggiore nello scapo corto), ma l’effetto prodotto quando le redini sono già tese. “si in mentem revocemus, quod hic in considerationem non veniat vis ea, quam eques adducendis sua manu habenis praestat […] sed hoc, quod si satis intentae sint habenae, uter scapus suo pressu plus asperitatis molestiaeque facessat” - (fr:3034/p.186).

La terza proposizione riguarda l’effetto della lunghezza dell’asta verticale del freno: capitelli più lunghi generano più asperità (“Capitella quo longiora sunt tanto plus asperitatis habent” - fr:3036/p.186). A parità di movimento delle redini, l’occhiello nel capitello più lungo percorre un arco maggiore, imprimendo un moto amplificato allo pfelio che preme sul mento (“pfellium ocello B longioris capitelli affixum, aequali habenarum ductu plus movetur” - fr:3038/p.186).

La quarta proposizione lega l’asperità alla posizione dell’anello di contatto delle redini sullo scapo: quanto più il contatto dell’anello è distante dal petto del cavallo, tanto maggiore è l’asperità (“Quanto contactus annelli a pectore longius distat tanto plus asperitatis habet” - fr:3041/p.186). La dimostrazione geometrica confronta due scapi identici con anelli a diversa altezza, mostrando che a parità di sollevamento della mano del cavaliere, l’anello più distante produce un movimento maggiore dell’occhiello e quindi dello pfelio (“si utroque casu manus D aequali altitudine attollenda esset, major esset motus peripheria ab B in F, quam ab D in E. Sed majorem motum ab B versus F major ocelli motus sequitur” - fr:3048/p.187). Una nota mette in guardia da un’apparente contraddizione con i principi della leva: l’angolo più acuto in un caso richiederebbe uno sforzo maggiore, ma il teorema confronta solo gli effetti a parità di spostamento della mano, non la potenza richiesta (“non enim in hoc theoremate quaeritur quanta nam sit potentia manus C, sed si manus utroque casu aequaliter attollatur […] uter ductus tum plus asperitatis habeat” - fr:3055/p.188).

Segue un’importante annotazione pratica: l’asperità cessa quando le catenelle intermedie toccano il petto. Oltre quel punto, ogni ulteriore tireggio viene scaricato sul petto e non si traduce in maggiore pressione su mento e mandibola (“cum jam eo adductae sunt ut pectus tangant, posita freni ductus asperitatis amplius nihil habet” - fr:3060/p.188). Un’altra nota spiega l’anomalia dei cavalli che, gettando la testa in alto, si sottraggono alla pressione del freno, nonostante l’anello sia in una posizione che dovrebbe produrre massima asperità. La causa è geometrica: quando la testa è sollevata, la redine tesa diventa parallela alla linea immaginaria tra l’anello e il perno dello scapo, annullando ogni effetto leva sul capitello e sullo pfelio (“cum tensa habena AB parallela erit lineae imaginariae ab annelli contactu A ad lupi axiculum C eductae […] capitellum ne hilum quidem commoveris, neque pfellium elevaris, ideoque omnis asperitas conciderit” - fr:3072-3075).

La quinta proposizione stabilisce che gli pfelii più corti sono più aspri. Poiché il contatto con il mento inizia quando lo pfelio vi viene premuto, uno pfelio più lungo richiede un tireggio maggiore per giungere a contatto; a parità di movimento della mano, la pressione prodotta dallo pfelio corto è quindi più immediata e intensa (“pfellium brevius plus habet asperitatis” - fr:3081/p.189).

La sesta proposizione descrive la fabbricazione di un freno universale (Frenum ευμετάβλητον fabricari - fr:3085/p.189). Si tratta di un dispositivo completamente regolabile nelle sue parti: gli scapi possono essere allungati o accorciati grazie a parti mobili fissate con viti, l’angolo tra scapo e capitello è variabile tramite perni, e gli occhielli sono scorrevoli in altezza. “scapos designant, qui vel augeri vel etiam imminui ob partes CB immissas poterunt, quaeque cum opus erit cochleis ad D sistuntur” - (fr:3087/p.189) e “Ocelli I sursum deorsumve adduci possunt” - (fr:3089/p.189). L’obiettivo è adattare la geometria del freno al singolo cavallo senza doverlo smontare. Il principio fondamentale è che una volta trovata la configurazione ideale, essa è definita dall’uguaglianza dei punti di contatto e delle rette immaginarie che li uniscono; le decorazioni e le curve degli scapi non alterano l’effetto meccanico (“reliqua pro libitu adornentur, phalerae enim scaporumque inflexurae exteraque varietatem nullam inducunt, modo catellae intermediae, pfellium, lupusque similiter convenienti situ et forma constant” - fr:3100/p.192).

Si critica il metodo di chi fabbrica freni con scapi intercambiabili di diversa curvatura ma con l’anello di contatto nella stessa posizione: la diversa inflessione non produce alcuna variazione dell’effetto, poiché ciò che conta è la posizione del punto di contatto. “si illic annelli contactus eodem maneat loco, majores minoresve inflexurae ad rem nihil afferent momenti” - (fr:3102/p.192). Un teorema dimostra che in freni con scapi e capitelli proporzionali, un uguale spostamento della mano produce un uguale movimento dello pfelio, suggerendo apparentemente un’identica pressione. L’esperienza, tuttavia, attesta che capitelli più lunghi inducono alcuni cavalli a portare la testa più alta (“Experientia testatur […] longioribus capitellis quosdam equos cervicem erectiorem gestare quam brevioribus” - fr:3120/p.194).

La spiegazione di questa anomalia risiede nella scomposizione delle forze. Il capitello lungo genera uno pfelio più obliquo che preme verso l’alto sul mento, inducendo il cavallo a sollevare la testa per alleviare la pressione; al contempo, però, il morso del lupo sulla mandibola, più intenso per la terza proposizione, induce ad abbassare la testa. A seconda della sensibilità individuale della bocca o del mento, prevale un effetto sull’altro. “longius pfellium BD angulum cum capitello constituit acutiorem, quam CD […] pfellum CD directius, at BD obliquius & sursum versus equi mentum presset: quamobrem ut pressum hunc evitet cervicem fert erectiorem” - (fr:3123/p.194) e “validiore lupi in mandibula impressione equus caput demittit, qui asperitatem illam declinet; at contra validiore pfelli contra mentum pressu caput arrigit” - (fr:3126/p.194). Per i cavalli che procedono già con la testa alta, sono quindi più adatti capitelli corti con pfelii stretti, che evitano l’effetto frusta dei capitelli lunghi con pfelio lasso. Un’ultima considerazione pratica chiude l’analisi: in una coppia di freni proporzionali di diversa lunghezza, la mano del cavaliere non può trovarsi nella stessa posizione geometrica, e questo introduce una necessaria variazione angolare della redine che altera l’effetto finale (“manifestum est manum non eodem utrobique loco versari: sed si, dum B adducet, ea in C consistat, cum D ducet oportebit eam statui in E, ut DE parallela sit contra BC” - fr:3139/p.195).

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