Sauveur - Geometrié elementaire - 1754 | L

22 Feb, 2026

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1 Edizione e valore di un’opera matematica postuma

Un trattato geometrico postumo, rivisto e pubblicato per preservarlo dalla dispersione, testimonia il metodo didattico del suo autore e la stima di cui godeva.

Il testo presenta i frontespizi, le note legali e l’ampio “Avvertimento” dell’edizione del 1754 degli Élémens de Géométrie di Joseph Sauveur, curata da M. Le Blond. La pubblicazione, avvenuta quasi quarant’anni dopo la morte dell’autore (1716), nasce dalla necessità di preservare un’opera già molto diffusa in manoscritti e copie spesso imperfette. L’editore, avendo ricevuto i materiali preparati dal figlio di Sauveur, decide di stamparli per evitarne la perdita e per mettere fine alla circolazione di versioni inaffidabili: “Ces copies le multiplièrent enfuite d’une telle manière que l’impreflion ne les auroit gueres rendu plus communes” - (fr:35) [Queste copie si moltiplicarono poi in tal modo che la stampa le avrebbe rese a malapena più comuni]. L’opera combina la Géométrie élémentaire e la Géométrie pratique.

Il curatore non si limita a una semplice trascrizione, ma apporta revisioni e integrazioni per rendere il testo più completo e rigoroso, pur rispettando il piano originario. Spiega di aver “revu les manufcrits … j’ai ajouté à plufieurs propolitions les démonffrations dont elles avoient befoin; j’ai mis des notes & des efpeces de fupplémens” - (fr:44) [riveduto i manoscritti… ho aggiunto a diverse proposizioni le dimostrazioni di cui avevano bisogno; ho posto delle note e delle specie di supplementi]. Le aggiunte nel corpo del testo sono segnalate da parentesi quadre [ ], mentre le note sono attribuite esclusivamente all’editore.

Il valore dell’opera risiede soprattutto nel metodo didattico di Sauveur, più volte lodato per “le mérite fi rare de la clarté, de la facilité & de la brièveté” - (fr:52) [il merito così raro della chiarezza, della facilità e della brevità]. La sua geometria elementare, strutturata in sei libri che trattano dalle linee piane ai solidi, era già stata adottata da molti maestri per la sua efficacia. L’editore fornisce anche una guida alla lettura graduale, suggerendo un percorso iniziale che eviti le difficoltà delle proporzioni, per poi tornarvi in un secondo momento: “on pourroit … étudier d’abord le premier Livre … pafler enfuite au fécond … Après cette première lecture on reviendra aux rapports & aux proportions” - (fr:67,70) [si potrebbe… studiare prima il primo Libro… passare poi al secondo… Dopo questa prima lettura si ritornerà ai rapporti e alle proporzioni].

La Géométrie pratique (in sette libri, dalla trigonometria alla misura dei solidi) è elogiata per unire teoria e pratica, guidando l’operatore con ragionamenti chiari: “L’Auteur … eft un maître éclairé qui conduit l’opérateur furement, en lui rendant railon de toutes les opérations” - (fr:81) [L’Autore… è un maestro illuminato che conduce l’operatore con sicurezza, rendendogli ragione di tutte le operazioni]. Questo approccio è considerato essenziale per formare buoni professionisti.

L’”Elogio di M. Sauveur” di Fontenelle, incluso nel volume, fornisce un significato storico e biografico cruciale. Dipinge Sauveur come una figura singolare: muto fino a sette anni, sviluppò una passione autonoma per la matematica, che studiò da autodidatta. Divenne un “Géomètre à la mode” - (fr:126) [Geometra alla moda] a Parigi, insegnando a principi come Eugenio di Savoia. La sua analisi matematica dei giochi d’azzardo (come la “Bassette”) lo rese celebre a corte. Fu anche uomo d’azione: partecipò all’assedio di Mons nel 1691 per studiare la fortificazione sul campo. Nominato esaminatore degli ingegneri, si distinse per un metodo di valutazione discreto ed efficace. Il suo contributo scientifico maggiore fu nell’acustica, una scienza che sviluppò nonostante la mancanza di un orecchio musicale fine, arrivando a consultarsi con il Duca d’Orleans. Fontenelle ne sottolinea il carattere: “Il étoit officieux, doux , & fans humeur” - (fr:181) [Era servizievole, dolce, e senza cattivo umore], mantenendo una naturale semplicità nonostante i successi mondani.

Il testo, nel suo insieme, è una testimonianza della trasmissione del sapere scientifico nel XVIII secolo. Mostra come un’opera manoscritta, nata per un uso didattico specifico (gli “Enfans de France”), possa acquisire una vita propria, essere copiata, contraffatta e infine richiedere un’edizione stampata ufficiale per garantirne l’integrità. L’operazione editoriale di Le Blond è consapevole del valore storico dell’opera di Sauveur, che unisce pregi pedagogici a un’autorevolezza derivante dalla biografia dell’autore, accademico e maestro di élite.

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2 Principi geometrici e operazioni algebriche fondamentali

Un estratto didattico sugli assiomi geometrici e i metodi per l’estrazione di radici quadrate e cubiche.

Il testo presenta una trattazione didattica di argomenti matematici fondamentali, suddivisa in due sezioni principali. La prima enuncia i principi assiomatici della geometria, mentre la seconda offre un’esposizione dettagliata, corredata di esempi e dimostrazioni, delle procedure per l’estrazione delle radici quadrate e cubiche, terminando con una spiegazione dei simboli algebrici di base.

La parte iniziale stabilisce i fondamenti logici con assiomi geometrici essenziali. Il primo assioma dichiara che “Le tout ef plus grand que fa partie, & il eft égal à toutes fes parties prifes enfemble” - (fr:200) [Il tutto è più grande della sua parte, ed è uguale a tutte le sue parti prese insieme]. Un secondo principio fondamentale afferma che “Les chofes égales à une même chofe , font égales entr’elles” - (fr:203) [Le cose uguali a una stessa cosa, sono uguali tra loro]. Viene inoltre introdotto un assioma sulle operazioni: “Si de chofes égales, on en retranche d’autres chofes éga les , ou fi on leur en ajoute d’égales, les différences ou les fommes feront égales” - (fr:205) [Se da cose uguali, se ne sottraggono altre uguali, o se ne aggiungono di uguali, le differenze o le somme saranno uguali].

La sezione successiva, preponderante, è dedicata all’estrazione della radice quadrata. Si parte dalla definizione: “Le quarré d’un nombre eft le produit de ce nombre par lui-même” - (fr:207) [Il quadrato di un numero è il prodotto di questo numero per se stesso]. Di conseguenza, “chercher ou extraire la racine quarrée d un nombre , c’eft chercher un autre nombre, qui étant multiplie par lui-même, donne le nom bre propofé” - (fr:212) [cercare o estrarre la radice quadrata di un numero, è cercare un altro numero che, moltiplicato per se stesso, dia il numero proposto]. L’autore riconosce che “L’opération de quarrer un nombre eft toujours aifée , puifqu’il ne s’agit que de le multiplier par lui-même j mais il y a un peu plus de difficulté pour en extraire ou découvrir la racine” - (fr:213) [L’operazione di quadrare un numero è sempre facile, poiché si tratta solo di moltiplicarlo per se stesso; ma c’è un po’ più di difficoltà per estrarne o scoprirne la radice].

Viene quindi descritta minuziosamente la procedura algoritmica, illustrata con esempi numerici come 1156 e La regola generale stabilisce che “La racine quarrée de tout nombre a toujours autant de chiffres que le nombre propofe contient de tranches” - (fr:255) [La radice quadrata di qualsiasi numero ha sempre tante cifre quante sono le tranche in cui è diviso il numero proposto]. Il metodo si basa sul partizionamento del numero in gruppi di due cifre da destra verso sinistra e su un processo iterativo che coinvolge la ricerca di una cifra del risultato, il raddoppio delle cifre già trovate e la sottrazione di prodotti parziali. Per i numeri che non sono quadrati perfetti, si fornisce una regola per l’approssimazione: “Il faut ajouter au nombre proposé autant de tranches de deux zéros qu’on le voudra , négliger ce qui refiera après l’extraction de la racine, & divifer cette racine par l’unité fuivie d’autant de zéro, qu’on a ajouté de tranches au dividende” - (fr:343) [Bisogna aggiungere al numero proposto tante tranche di due zeri quante se ne vuole, trascurare ciò che rimane dopo l’estrazione della radice, e dividere questa radice per l’unità seguita da tanti zeri quante sono le tranche aggiunte al dividendo]. La dimostrazione di questo metodo poggia sul principio che moltiplicare un quadrato per 100 (aggiungendo due zeri) equivale a moltiplicare la sua radice per

La terza parte tratta dell’estrazione della radice cubica. Si definisce: “Le cube d’un nombre eft le produit du quarré de ce nom- | a bre , par fa racine” - (fr:362) [Il cubo di un numero è il prodotto del quadrato di questo numero per la sua radice]. La procedura, più complessa, prevede di “partagera d’abord en tranches de 3 en 3 chiffres , en commençant par la droite & allant vers ta gauche” - (fr:375) [partizionare prima in tranche di 3 in 3 cifre, cominciando da destra e andando verso sinistra]. L’algoritmo richiede di trovare iterativamente le cifre della radice, operando con il triplo del quadrato delle cifre già determinate e includendo il calcolo e la sottrazione di tre prodotti distinti per ogni nuova cifra. Viene notato che “Il y une efpéce de tâtonnement à faire pour trouver le fécond, le troifiéme & les autres chiffres de la racine cube” - (fr:415) [C’è una specie di procedimento per tentativi da fare per trovare la seconda, la terza e le altre cifre della radice cubica]. Anche per la radice cubica è fornito un metodo di approssimazione analogo a quello per la radice quadrata, aggiungendo tranche di tre zeri.

La sezione conclusiva spiega i simboli algebrici basilari: il segno più (+) per l’addizione, il segno meno (–) per la sottrazione, il segno di uguaglianza (=), il segno di moltiplicazione (×) e il segno radicale (√) per le radici, specificando che “La racine cube s’xprime par le même ligne, mais en mettant un 3 dedans; en forte que V 125 exprime la racine cube de 125” - (fr:475) [La radice cubica si esprime con lo stesso segno, ma mettendo un 3 dentro; in modo che ∛125 esprime la radice cubica di 125].

Il testo ha un valore storico come testimonianza didattica della matematica elementare del periodo, mostrando i metodi di calcolo manuale prima dell’avvento dei calcolatori. La spiegazione è estremamente pratica e procedurale, pensata per chi “fçavent les quatre premières Règles générales de l’Arithmétique , puiffent entendre l’Ouvrage de M. Sauveur, fans avoir befoin d’autre fecours” - (fr:205) [conosce le quattro prime Regole generali dell’Aritmetica, possa comprendere l’Opera del Sig. Sauveur, senza aver bisogno di altro aiuto]. L’insistenza sulla dimostrazione dei metodi, come quella basata sulla scomposizione del quadrato di un binomio (“Le quarré d’un nombre exprimé par deux chiffres ou par deux parties, contient le quarre du premier chiffre…” - fr:309), rivela un intento non solo pratico ma anche di comprensione concettuale, ponendo un ponte tra aritmetica pratica e algebra.

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3 Resoconto di un trattato di geometria sui rapporti e le proporzioni

Definizioni, proprietà e operazioni fondamentali dei rapporti numerici e geometrici.

Il testo è un estratto di un trattato scientifico, presumibilmente di geometria o aritmetica, scritto in francese antico. Si concentra sulla definizione rigorosa dei rapporti tra quantità e sulle proporzioni geometriche. L’obiettivo didattico è chiaro: stabilire un vocabolario e una serie di principi logici per il confronto e la manipolazione delle grandezze.

Elementi peculiari e concetti chiave Il testo si struttura come un manuale, partendo da definizioni fondamentali per costruire teoremi. Un elemento peculiare è la centralità del concetto di ”aliquota” (parte aliquota), ovvero un sottomultiplo esatto. La commensurabilità tra quantità è definita proprio dall’esistenza di un’aliquota comune: “Les quantités qui ont une aliquote commune ou une commune mesure, sont appellées commensurables” - (fr:499) [Le quantità che hanno un’aliquota comune o una comune misura, sono chiamate commensurabili]. Il concetto opposto, l’incommensurabilità, è introdotto con l’esempio del rapporto “fourd” (sordo, irrazionale), dove l’antecedente non contiene esattamente alcuna aliquota del conseguente (fr:528).

Il rapporto è definito come “la manière dont l’antécédent contient son conséquent, ou quelques-unes de ses aliquotes” - (fr:516) [il modo in cui l’antecedente contiene il suo conseguente, o alcune delle sue aliquote]. Questa definizione, che lega il rapporto alla divisibilità in parti intere, è storicamente significativa e precede una concezione puramente numerica del rapporto. L’uguaglianza di due rapporti costituisce una proporzione (fr:537).

Il testo dedica grande attenzione alle operazioni che preservano i rapporti: somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione per una stessa quantità (Capitolo III, fr:646). Vengono inoltre esaminate in dettaglio le trasformazioni di una proporzione (invertire, permutare, comporre, dividere, comporre e dividere) nel Capitolo IV, con una dimostrazione algebrica anticipatoria che utilizza variabili (m, n, x, y) per rappresentare numeri di aliquote (fr:756 e seguenti).

Terminologia specifica e gerarchia concettuale Il lessico è tecnico e sistematico. Oltre ad “aliquota”, “commensurabile” e “rapporto”, si definiscono: * Equimultipli: multipli ottenuti moltiplicando per lo stesso numero (fr:507). * Rapporto composto: rapporto risultante dalla moltiplicazione dei termini di due rapporti semplici (fr:556). Si specificano poi il rapporto doppio (o quadrato) e triplo (o cubo), e i corrispondenti sottodoppio (radice quadrata) e sottotriplo (radice cubica) (fr:567, 576, 584, 586). * Proporzione continua: in cui il medio si ripete (es. 4, 6, 9) (fr:546). La sua estensione dà luogo a una progressione (fr:549).

I teoremi (Capitolo V) rappresentano il culmine logico. Il più importante è enunciato come: “Quatre quantités étant proportionnelles, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens” - (fr:815) [Quattro quantità essendo proporzionali, il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi]. Viene dimostrato tramite la “trasformazione” in aliquote e considerato fondamentale: “Cette proposition est une des plus importantes de la Géométrie” - (fr:835) [Questa proposizione è una delle più importanti della Geometria]. Da esso discendono corollari pratici per trovare un termine incognito in una proporzione e per determinare il medio proporzionale (radice quadrata del prodotto degli estremi) (fr:842).

Significato storico e metodologico Il testo è una testimonianza del metodo scientifico e didattico del periodo (probabilmente XVII-XVIII secolo). Mostra un’aritmetizzazione della geometria, dove le relazioni spaziali sono ridotte a rapporti tra numeri (interi o razionali, con un accenno agli irrazionali). L’approccio è assiomatico-deduttivo: si parte da definizioni per arrivare a teoremi dimostrati.

L’uso estensivo della ”trasformazione” in aliquote (es. esprimere 15 e 20 come 5+5+5 e 5+5+5+5) (fr:625-627) è un metodo peculiare per dimostrare l’uguaglianza dei rapporti senza fare esplicitamente la divisione, riflettendo un’epoca in cui il calcolo con i numeri decimali non era standardizzato per tali dimostrazioni teoriche. La notazione proporzionale utilizzata (4, 6 :: 10, 15) è l’antenata diretta della nostra (4:6 = 10:15).

La preoccupazione per i rapporti incommensurabili (irrazionali) è trattata in modo pragmatico: “lequel étant infiniment petit, pourra être négligé ; alors on pourra regarder le rapport … comme un rapport exact” - (fr:530) [il quale essendo infinitamente piccolo, potrà essere trascurato; allora si potrà considerare il rapporto … come un rapporto esatto]. Questo passaggio rivela un approccio pre-calculus, dove l’infinitesimo è intuito come strumento per ricondurre il caso complesso a quello semplice già trattato.

In sintesi, il testo è un sistema coerente e autoreferenziale di conoscenza, che codifica le basi della teoria delle proporzioni, strumento essenziale per la matematica e la fisica pre-moderne, con un’attenzione sia al rigore logico-definitorio che alle applicazioni pratiche di calcolo.

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[4.1-123-1084|1206]

4 Trattato sulle proporzioni e progressioni aritmetiche

Definizioni, proprietà e teoremi fondamentali della proporzione aritmetica.

Il testo costituisce un estratto metodico di un trattato scientifico, presumibilmente di matematica elementare, dedicato alla teoria delle proporzioni e progressioni aritmetiche. Si presenta come una spiegazione sistematica, che procede dalla definizione di concetti base all’enunciazione e dimostrazione di teoremi.

Vengono introdotti e definiti con precisione i concetti fondamentali. Si stabilisce che “L’égalité de deux rapports Arithmétiques se nomme Proportion Arithmétique” - (fr:1087). Un rapporto aritmetico è qui inteso come la differenza tra due quantità, come chiarito dall’esempio: “il y a même rapport Arithmétique entre 5 & que entre 11 & ou bien que la différence de 5 à est égale à celle de 11 à 15” - (fr:1090). Viene poi definita la proporzione aritmetica continua, in cui i termini medi coincidono (“Si les deux termes moyens d’une proportion Arithmetique sont les memes, elle s’appelle Proportion continue” - (fr:1092)), e il termine medio prende il nome di medio arithmétique (fr:1096). Estendendo il concetto a più di tre termini, si ottiene una progressione arithmétique (fr:1098).

Il nucleo del testo è dedicato all’esposizione di sei teoremi sulle proprietà di queste proporzioni. Le dimostrazioni si basano spesso su una trasformazione dei termini, sostituendo il secondo termine di ogni rapporto con “le premier plus ou moins la différence du second au premier” - (fr:1105). Il Teorema I afferma che aggiungendo o sottraendo la stessa quantità a due termini di un rapporto, il rapporto aritmetico (cioè la differenza) non cambia, poiché “on ne change rien à l’inégalité ou à la différence de ces quantités qui est toujours la même” - (fr:1118). Il Teorema II tratta l’invarianza della proporzione “en renversant ou en permutant” - (fr:1122) i termini.

Il Teorema III stabilisce che la somma (o differenza) di due proporzioni aritmetiche è a sua volta una proporzione aritmetica (fr:1131). Il Teorema IV è una proprietà fondamentale: “la somme des extrêmes … est égale à la somme des moyens” - (fr:1141). La dimostrazione si appoggia sulla trasformazione citata, mostrando che un’espressione come 5 . 5+4 : 8 . 8+4 “fait voir que la somme des extrêmes … sera toujours composée des mêmes quantités que celle des moyens” - (fr:1158). Un corollario importante deduce che in una proporzione continua, la somma degli estremi è il doppio del medio (fr:1165).

Il testo si estende poi alle progressioni aritmetiche. Il Teorema V enuncia che “Dans toute progression arithmétique la somme des extrêmes est égale à celle des termes pris à égale distance des extrêmes” - (fr:1172). Viene fornita una spiegazione basata sull’uguaglianza di tutti i rapporti nella progressione (fr:1179). Un corollario nota che, con un numero dispari di termini, “le terme du milieu est la moitié de la somme des extrêmes” e funge da moyen arithmétique tra di essi (fr:1189, fr:1192). Infine, il Teorema VI fornisce la formula per la somma di una progressione: “La somme de tous les termes d’une progression arithmétique est égale à la moitié de la somme des extrêmes, multipliée par le nombre des termes” - (fr:1198), giustificandola col fatto che la progressione contiene tante volte la metà della somma degli estremi quanti sono i termini (fr:1206).

Lo stile è didattico e rigoroso, tipico dei manuali scientifici del periodo illuminista. L’uso estensivo di esempi numerici (5, 9, 11, 15) e la struttura per definizioni, teoremi e corollari riflette un approccio assiomatico-deduttivo. Il testo ha valore storico come testimonianza della sistemazione e della divulgazione della matematica elementare in una forma logica e accessibile, ponendo le basi per lo studio di serie e successioni.

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[5.1-78-1285|1362]

5 Proprietà fondamentali delle linee rette e introduzione alla linea circolare

Definizioni e teoremi geometrici su rette, distanze e la circonferenza.

Il testo, estratto da un trattato di geometria, stabilisce le proprietà fondamentali della linea retta e introduce il concetto di linea circolare. Si inizia affermando che la linea retta è la misura della distanza tra due punti perché è “la plus courte qu’on puiffe tirer de l’un à l’autre” - (fr:1285) [la più corta che si possa tracciare dall’uno all’altro]. Una conseguenza diretta è che “par deux points on peut tirer plusieurs lignes courbes, mais on n’en peut tirer qu’une droite” - (fr:1287, 1288) [per due punti si possono tracciare diverse linee curve, ma se ne può tracciare solo una retta]. La posizione di una retta dipende dunque dalla posizione di due suoi punti (fr:1291).

Un teorema cruciale dimostra che se due punti (C e D) di una retta sono equidistanti da due punti esterni (A e B), allora “chaque autre point de la même ligne, comme E, sera aussi également distant de ces deux points A & B” - (fr:1303) [ogni altro punto della stessa linea, come E, sarà anch’esso equidistante da questi due punti A e B]. La dimostrazione si basa proprio sul fatto che la retta è determinata dai due punti C e D, che per ipotesi sono equidistanti da A e B (fr:1304-1307). Ne segue che la retta che unisce A e B sarà bisecata (fr:1310).

Il testo procede esaminando la posizione relativa di un punto rispetto a tale retta: se un punto G è da un lato della linea CD, “il sera plus près du point B vers lequel il est, que de l’autre point A” - (fr:1315) [sarà più vicino al punto B verso il quale si trova, che all’altro punto A]. Viceversa, se un punto H è equidistante da A e B, allora la retta CD “passera par ce point, étant prolongée” - (fr:1319) [passerà per questo punto, se prolungata]. La linea che gode di questa proprietà contiene quindi “tous les points du plan également distans de ces deux mêmes points” - (fr:1323) [tutti i punti del piano equidistanti da questi due stessi punti].

Una Remarque peculiare offre una definizione cinematica o infinitesimale delle curve: “On peut considérer les lignes courbes comme des assemblages de lignes droites infiniment petites, dont les directions se détournent insensiblement les unes des autres” - (fr:1324, 1326) [Si possono considerare le linee curve come degli assemblaggi di linee rette infinitamente piccole, le cui direzioni deviano impercettibilmente le une dalle altre]. Da questa visione segue che due linee che condividono una di queste piccolissime rette sono tangenti l’una all’altra (fr:1332).

Il capitolo successivo è dedicato alla ligne circulaire, definita come “une ligne courbe décrite sur un plan, laquelle a tous les points également distans d’un point C” - (fr:1337) [una linea curva descritta su un piano, la quale ha tutti i punti equidistanti da un punto C]. Si introducono i termini fondamentali: il punto C è il Centre (fr:1338); lo spazio racchiuso è il Cercle e la linea è la sua circonférence (fr:1339); i segmenti dal centro alla circonferenza sono i Rayons ou demi-diamètres (fr:1343); quelli passanti per il centro da un punto all’altro della circonferenza sono i Diamètres (fr:1345). Si definiscono inoltre l’Arc come parte della circonferenza (fr:1349), la Corde come il segmento che sottende un arco (fr:1353), e la Tangente come la retta che tocca la circonferenza in un punto senza tagliarla (fr:1360-1362). Una precisazione specifica che, in caso di ambiguità, una corda che non passa per il centro sarà considerata come sottesa all’arco minore (fr:1355-1356).

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[6.1-170-1579|1748]

6 Resoconto di un testo di geometria elementare sulle linee perpendicolari, oblique e parallele

Trattazione assiomatica e dimostrativa delle proprietà fondamentali delle linee rette, delle perpendicolari, delle oblique e delle parallele, con definizioni, teoremi, corollari e un problema costruttivo.

Il testo è un estratto metodico di un trattato di geometria elementare, probabilmente del XVIII o XIX secolo a giudicare dallo stile tipografico (ad esempio, l’uso della “s” lunga “ſ”). L’argomento centrale è lo studio sistematico delle relazioni tra linee rette, con particolare attenzione alle proprietà delle perpendicolari, delle oblique e delle linee parallele. Il metodo è dichiaratamente deduttivo: si parte da definizioni per stabilire teoremi, dimostrati spesso attraverso il ragionamento logico o l’espediente mentale di “piegare” il piano geometrico.

Il punto di partenza sono le definizioni di linee oblique e perpendicolari. Una linea è obliqua rispetto a un’altra “lorfqu’elle fait fur cette ligne des angles … inégaux” - (fr:1581) [quando forma su questa linea angoli disuguali]. Al contrario, una linea perpendicolare “fait d’un même côté deux angles … droits” - (fr:1586) [forma dallo stesso lato due angoli retti] e, attraversandola, “elle forme quatre angles droits” - (fr:1587) [forma quattro angoli retti]. Una proprietà fondamentale dell’obliqua è che i due angoli formati dallo stesso lato “font égaux à deux droits, & qui font par conséquent fupplement l’un à l’autre” - (fr:1592) [sono uguali a due retti, e che sono perciò supplementari l’uno all’altro].

La trattazione procede con una serie di teoremi che esplorano le proprietà metriche. Un teorema fondamentale stabilisce che se un punto su una perpendicolare è equidistante da due punti sulla linea base, allora tutti i punti della perpendicolare godono della stessa proprietà: “tous les autres points de la perpendiculaire … feront chacun également diflans des deux mêmes points” - (fr:1600) [tutti gli altri punti della perpendicolare … saranno ciascuno equidistanti dagli stessi due punti]. La dimostrazione utilizza un ragionamento spaziale peculiare: “Car fi l’on fuppofe le plan plié le long de la perpendiculaire … la partie C D tombera fur C B” - (fr:1601) [Perché se si suppone il piano piegato lungo la perpendicolare … la parte CD cadrà su CB]. Il corollario fornisce il criterio inverso per stabilire la perpendicolarità.

Un altro teorema cruciale confronta le lunghezze di perpendicolari e oblique tracciate dallo stesso punto a una linea: “la per pendiculaire CD e/t la plus courte” - (fr:1612) [la perpendicolare CD è la più corta]; l’obliqua più lontana dalla perpendicolare è la più lunga e “les obli ques … également diflantes de la perpendiculaire, font égales” - (fr:1614) [le oblique … equidistanti dalla perpendicolare, sono uguali]. Da qui si deducono corollari importanti: da un punto si può tracciare una sola perpendicolare a una linea, e la perpendicolare “ef la mefure de la difance d’un point à une ligne” - (fr:1630) [è la misura della distanza di un punto da una linea].

Il testo include anche un problema costruttivo pratico: “D’un point donné … tirer une perpendiculaire à une ligne donnée” - (fr:1674) [Da un punto dato … tracciare una perpendicolare a una linea data]. La soluzione proposta utilizza compasso e riga (descrivendo archi da centri appropriati) e la sua correttezza è giustificata applicando uno dei teoremi precedenti.

La seconda parte si concentra sulle linee parallele, definite come linee i cui punti sono tutti equidistanti: “tous les points de l’une font également diftans de l’autre” - (fr:1682) [tutti i punti dell’una sono equidistanti dall’altra]. Viene introdotto il concetto di “efpace parallèle” - (fr:1684) [spazio parallelo]. I teoremi dimostrano che una perpendicolare a una delle parallele lo è anche all’altra, e che tra due parallele valgono relazioni simili a quelle viste per le oblique da un punto: la perpendicolare è la linea più corta, e “la perpendiculaire EF … efi la mefure de la défiance de deux parallèles” - (fr:1725) [la perpendicolare EF … è la misura della distanza di due parallele].

Viene infine affrontato il caso di una trasversale che interseca due parallele, introducendo la terminologia per gli angoli formati: “extérieurs” - (fr:1745) [esteriori], “intérieurs” - (fr:1745) [interni] e “alternes” - (fr:1745) [alterni]. Il teorema finale, solo enunciato, afferma le proprietà fondamentali di tali angoli: gli alterni sono uguali, l’angolo esterno è uguale all’interno opposto dello stesso lato, e gli angoli interni dello stesso lato sono supplementari.

Il testo è un esempio chiaro di esposizione matematica pre-assiomatica formale ma rigorosa. Il suo significato storico risiede nella testimonianza di un metodo didattico e dimostrativo che univa l’intuizione geometrica (il “piegare il piano”) al ragionamento logico-deduttivo, ponendo le basi per la sistemazione della geometria elementare. L’uso frequente di corollari e remark mostra un’attenzione a derivare tutte le conseguenze pratiche e concettuali dai principi stabiliti.

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[7.1-50-1849|1898]

7 Trattato di Geometria: Divisione di un Segmento e Proprietà delle Corde nel Cerchio

Metodo grafico per dividere un segmento in parti uguali e dimostrazione di teoremi fondamentali sulle corde di un cerchio.

Il testo, estratto da un trattato di geometria (probabilmente del XVIII secolo per la grafia e lo stile), tratta due argomenti distinti. Il primo è un metodo pratico per dividere un segmento di retta in un numero qualsiasi di parti uguali utilizzando il principio di Talete. Il secondo, e principale, espone una serie di teoremi sulle proprietà delle corde in un cerchio e le loro relazioni con diametri, archi e distanze dal centro.

La prima parte descrive un procedimento costruttivo: dato un segmento AB, si traccia una linea indefinita AC da un suo estremo. Su questa si riporta una lunghezza arbitraria A ï per cinque volte. Congiungendo l’ultima divisione (5) con l’estremo B e tracciando le parallele a questa linea passanti per le altre divisioni, si ottiene la divisione di AB in cinque parti uguali. La giustificazione logica è che, immaginando una parallela a B5 per A, la divisione di A5 in parti uguali implica la divisione uguale di AB “Car fi l’on imagine que l’on ait mené par A une parallèle à la ligne B 5 , alors puifque par la conftruction , A 5 elt divifée en cinq parties égales, A B le fera également” - (fr:1852).

La seconda parte è strutturata come una sequenza di teoremi numerati. Il Teorema I afferma che un diametro che divide una corda in due parti uguali è perpendicolare alla corda e divide anche i due archi sottesi in parti uguali. La dimostrazione si basa sul fatto che il diametro, avendo il centro e il punto di intersezione con la corda equidistanti dagli estremi della corda stessa, ha tutti i suoi punti equidistanti da tali estremi: “Car ce diametre a le centre C & le point D, par la fuppofition, également diftansde A & de B : donc tous fes points E & F en font aufi également diftans” - (fr:1861). Ne consegue la perpendicolarità e la bisezione degli archi. Viene anche enunciato il viceversa.

Il Teorema II stabilisce la proprietà inversa: un diametro perpendicolare a una corda la biseca, insieme agli archi. La dimostrazione utilizza lo stesso principio di equidistanza.

Il Teorema III tratta corde uguali in uno stesso cerchio o in cerchi uguali, dimostrando che esse “font également diftantes du centre, c eft-à-dire que les perpendiculaires tirées du centre fur les cordes, font égales” - (fr:1880). La dimostrazione combina il Teorema II (le perpendicolari dal centro bisecano le corde) con proprietà di triangoli rettangoli e obliqui. Anche qui è enunciato il teorema inverso.

Il Teorema IV confronta archi e corde disuguali (minori della semicirconferenza). Afferma due proprietà: 1) all’arco minore corrisponde la corda minore; 2) la corda minore è più lontana dal centro. La dimostrazione della prima proprietà si basa sul confronto tra segmenti (cateti e ipotenuse) in triangoli rettangoli: “AH étant perpendiculaire fur H C, elle ef plus courte que l’oblique AG… & par conféquent toute la corde A E fera plus courte que toute la corde A B” - (fr:1896). La seconda proprietà si dimostra osservando che la distanza della corda minore (CH) è maggiore di un segmento obliquo (CG), che a sua volta è maggiore della distanza perpendicolare della corda maggiore (CD).

Il testo è un esempio di esposizione matematica pre-moderna, con un uso sistematico del ragionamento deduttivo a partire da definizioni e proposizioni precedenti (riferite con notazioni come “N. 133”, “N. 190”). Il linguaggio è formale e la struttura è rigorosa: enunciato del teorema, dimostrazione (spesso introdotta da “Car”) e conclusione (“Donc, &c”). Rappresenta una testimonianza del metodo didattico e dell’organizzazione della conoscenza geometrica elementare prima della standardizzazione notazionale del XX secolo.

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[8.1-257-2402|2658]

8 Trattato di geometria piana: triangoli, quadrilateri e poligoni

Una sezione di un manuale geometrico del XVIII secolo che espone teoremi, definizioni e problemi costruttivi relativi alle figure piane.

Il testo è un estratto metodico e dimostrativo di un trattato di geometria elementare, probabilmente della seconda metà del XVIII secolo, come suggerito dall’ortografia e dallo stile tipografici (ad esempio, l’uso della “s” lunga “ſ”). La struttura è rigidamente scolastica: ogni concetto è presentato come un teorema, un corollario o un problema, numerato in sequenza, con dimostrazioni che fanno riferimento a proposizioni precedenti. Il contenuto si concentra sulle proprietà fondamentali dei triangoli, per poi estendersi ai quadrilateri e ai poligoni in generale.

La trattazione inizia con i triangoli. Un teorema fondamentale stabilisce che “les trois angles A, B & C du triangle A BC le font égale ment [égaux] à deux droits” - (fr:2408) [i tre angoli A, B e C del triangolo ABC sono ugualmente uguali a due angoli retti]. Da questo derivano corollari immediati, come il fatto che “Si l’on connoit deux angles d’un triangle, on connoit aufji le troifiéme” - (fr:2415) [Se si conoscono due angoli di un triangolo, si conosce anche il terzo]. Il testo procede poi a classificare i triangoli in base agli angoli (rettangolo, ottusangolo, acutangolo) e ai lati (equilatero, isoscele, scaleno), fornendo definizioni precise. Ad esempio, “Un triangle ABC qui a un angle A droit… s’appelle Reclangle, & le côté B C qui eft oppofé à l’angle droit, s’appelle Hypotenufe” - (fr:2420, 2422) [Un triangolo ABC che ha un angolo A retto… si chiama Rettangolo, e il lato BC che è opposto all’angolo retto, si chiama Ipotenusa].

Viene poi stabilito un principio di reciprocità tra lati e angoli: “Les côtés d’un triangle fuirent les conditions des angles oppofés” - (fr:2433) [I lati di un triangolo seguono le condizioni degli angoli opposti], ossia a lati uguali corrispondono angoli opposti uguali e viceversa, e il lato maggiore è opposto all’angolo maggiore. Il nucleo centrale della sezione è dedicato ai teoremi di congruenza (o “uguaglianza”, come dice il testo) dei triangoli. Vengono dimostrati sistematicamente i tre criteri principali: il primo (Teorema III) per i tre lati, il secondo (Teorema IV) per due lati e l’angolo compreso, e il terzo (Teorema VI) per un lato e due angoli adiacenti. Le dimostrazioni sono di tipo sintetico, basate sul “trasporto” ideale di una figura sull’altra e sull’uso di costruzioni ausiliarie (archi di cerchio). Un’attenzione particolare è riservata al cosiddetto “caso ambiguo” (Teorema V), dove dati due lati e un angolo non compreso, la costruzione può dare due triangoli distinti, uno solo o nessuno, a seconda delle lunghezze e della natura (acuto o ottuso) dell’angolo noto: “Mais fi la ligne N… oppofee a l’angle donné, eft moindre que l’autre ligne M, alors lare décrit du point D counera la ligne A Z en deux points B & t” - (fr:2532, 2534) [Ma se la linea N… opposta all’angolo dato, è minore dell’altra linea M, allora l’arco descritto dal punto D taglierà la linea AZ in due punti B ed E].

Segue una serie di problemi costruttivi che applicano questi teoremi, come “Faire un triangle qui aitfies trois côtés égaux à trois lignes données” - (fr:2516) [Costruire un triangolo che abbia i suoi tre lati uguali a tre linee date], con l’importante avvertenza che la somma di due lati qualsiasi deve essere maggiore del terzo.

La seconda parte del testo tratta i quadrilateri. Dopo le definizioni (quadrilatero, diagonale, parallelogramma, trapezio), un teorema mostra che “Les angles de tout Quadrilatère… fiont égaux à quatre angles droits” - (fr:2560, 2562) [Gli angoli di ogni Quadrilatero… sono uguali a quattro angoli retti]. Le proprietà del parallelogramma sono dimostrate in modo analogo a quelle del triangolo: lati e angoli opposti uguali, la diagonale lo divide in due triangoli congruenti. Vengono poi definite le sue sottoclassi: il rettangolo (“Un parallélogramme quia fes angles droits” - fr:2597) [Un parallelogramma che ha i suoi angoli retti], il quadrato (“Un parallélogramme qui a fes angles droits & fes côtés égaux” - fr:2600) [Un parallelogramma che ha i suoi angoli retti e i suoi lati uguali] e il rombo (“Si un parallélogramme a les côtés égaux & fes angles inégaux… an l’appelle Louange” - fr:2604, 2605) [Se un parallelogramma ha i lati uguali e i suoi angoli disuguali… lo si chiama Losanga].

L’estratto si conclude con una generalizzazione ai poligoni. Un teorema fornisce la formula per la somma degli angoli interni: “Les angles… de tout polygone font égaux à deux fois autant d’angles droits, que le polygone et de côtés moins deux côtés” - (fr:2627, 2629) [Gli angoli… di ogni poligono sono uguali al doppio di tanti angoli retti, quanti sono i lati del poligono meno due]. Viene infine discusso il numero di condizioni necessarie per determinare un poligono: “pour déterminer un polygone, il faut autant de conditions qu’il a de côtés & d’angles, moins trois de ces chofes” - (fr:2635) [per determinare un poligono, occorrono tante condizioni quanti sono i suoi lati e angoli, meno tre di queste cose]. Il testo si chiude con l’affermazione che due poligoni sono congruenti se soddisfano le stesse condizioni determinanti.

Il significato storico del brano risiede nella sua natura di compendio didattico, che cristallizza la geometria euclidea in una forma assiomatico-deduttiva accessibile, tipica dei manuali dell’epoca dei Lumi. È una testimonianza dell’insegnamento della matematica basato sulla logica, sulla dimostrazione rigorosa e sulla classificazione sistematica, prima dell’avvento delle geometrie non euclidee. L’uso costante di riferimenti incrociati (es. “N°. 296”) mostra una struttura ipertestuale ante litteram, pensata per un apprendimento sequenziale e cumulativo.

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[9.1-81-2858|2938]

9 Dimostrazione geometrica dei criteri di similitudine per triangoli e poligoni

Esposizione e dimostrazione di teoremi sulla similitudine delle figure piane, con un approccio deduttivo classico.

Il testo è un estratto di un trattato di geometria, probabilmente del XVIII o XIX secolo, scritto in francese con notazioni matematiche dell’epoca (ad esempio, “::” per la proporzione e “N°.” per riferimenti a numeri di proposizioni precedenti). L’argomento centrale è la similitudine tra figure geometriche, in particolare triangoli e poligoni. Il metodo è quello della dimostrazione euclidea, rigorosa e deduttiva, che parte da ipotesi per giungere a una tesi (c. q. f. d. - “ce qu’il fallait démontrer”).

Vengono presentati e dimostrati tre teoremi fondamentali sui triangoli. Il primo (frr:2874-2899) stabilisce che due triangoli sono simili se hanno due lati proporzionali e l’angolo compreso uguale. La dimostrazione è costruttiva: si suppone di tracciare un segmento De uguale a da e una parallela ef ad AB, creando un triangolo Def simile a DAB per il criterio di parallelismo. Sfruttando le proporzioni date e l’uguaglianza per costruzione, si dimostra che il triangolo dab è congruente a Def e quindi simile a DAB. La conclusione è che “da . D A :: ab * AB” - (fr:2897).

Il secondo teorema (frr:2900-2902) estende il criterio al caso in cui siano uguali gli angoli opposti a lati omologhi proporzionali, specificando che anche gli angoli rimanenti devono essere “de même nature”.

Una osservazione cruciale (frr:2903-2905) chiarisce la relazione tra uguaglianza e similitudine: “les conditions qui déterminent les triangles à être femblables font les mêmes que celles qui les déterminent à être égaux”, con la differenza che per l’uguaglianza servono lati e angoli uguali, mentre per la similitudine bastano angoli uguali e lati proporzionali. Questo passaggio sintetizza il concetto fondamentale di scala nelle figure geometriche.

Il testo procede poi a generalizzare il principio ai poligoni (Teorema V, frr:2906-2938). La dimostrazione per un pentagono mostra che, se quattro lati sono proporzionali e tre angoli sono uguali, allora anche il quinto lato sarà in proporzione e gli angoli rimanenti saranno uguali. La strategia è di suddividere il poligono in triangoli tramite diagonali (“tirez d’angle en angle les lignes ac, ad” - fr:2916) e applicare ripetutamente i criteri di similitudine dei triangoli già dimostrati. Si conclude che “la proportionalité des quatre cotés donnés de chaque figure, & les trois angles aufi donnés, déter minent la proportionnalité du cinquième ou dernier côté” - (fr:2938).

Il frammento è una testimonianza del metodo assiomatico-deduttivo classico nella didattica e nella trattatistica geometrica. Il linguaggio è tecnico e formale, con frequenti riferimenti a teoremi precedenti (es. N°. 370, 274, 311), evidenziando come la conoscenza sia costruita in modo cumulativo. Le figure a cui si fa riferimento (“fig. 72”, “fig. 73”, “fig. 74”) sono parte integrante della dimostrazione, tipico dei testi geometrici dell’epoca. L’uso dell’ortografia storica (es. “fuppofition” per “supposition”, “aufi” per “aussi”) colloca temporalmente il testo e ne rafforza il valore di documento storico della scienza.

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[10.1-285-3574|3858]

10 Elementi di geometria solida: rette, piani e loro relazioni

Trattazione sistematica delle proprietà fondamentali delle rette e dei piani nello spazio, con definizioni, teoremi e dimostrazioni.

Il testo costituisce un capitolo di un trattato di geometria solida, organizzato in teoremi e dimostrazioni. Si apre con una premessa fondamentale: “la fituation d’un plan dépend de la ftuation d’une ligne droite & dé un point, ou bien de la ftuation de trois points qui ne font pas rangés en ligne droite” - (fr:3575) [la posizione di un piano dipende dalla posizione di una linea retta e di un punto, oppure dalla posizione di tre punti che non sono allineati]. Questo principio guida le successive dimostrazioni.

Viene stabilito che due rette che si intersecano giacciono sullo stesso piano, così come i tre angoli di un triangolo. Un teorema dimostra che “deux lignes droites parallèles sont dans un même plan” - (fr:3586) [due linee rette parallele giacciono sullo stesso piano], poiché un piano che contiene una delle due e un punto dell’altra deve necessariamente contenere tutta la seconda retta.

Un concetto ricorrente è la proprietà dell’equidistanza. Si dimostra che se una retta ha due punti equidistanti da due punti fissi, allora “tous ses points, comme G, en sont aussi également distans” - (fr:3593) [tutti i suoi punti, come G, ne sono anch’essi ugualmente distanti]. Questo risultato viene esteso: se una retta ha due punti equidistanti da tre punti di un piano, allora tutti i suoi punti sono equidistanti da quei tre punti e la retta “passera par le centre C d’une circonférence qui passe par ces trois points” - (fr:3612) [passerà per il centro C di una circonferenza che passa per questi tre punti]. Analogamente, se tre punti non allineati di un piano sono equidistanti da due punti esterni, allora ogni punto del piano gode della stessa proprietà.

Il testo definisce poi le relazioni di perpendicolarità e obliquità tra retta e piano. Una retta è perpendicolare a un piano “lorsqu’elle rencontre ce plan sans incliner plus d’un côté que de l’autre, ou lorsqu’elle est perpendiculaire à toutes les lignes du plan qui passent par le point C où elle le rencontre” - (fr:3640) [quando incontra questo piano senza inclinarsi più da un lato che dall’altro, oppure quando è perpendicolare a tutte le linee del piano che passano per il punto C in cui lo incontra]. Vengono stabilite proprietà analoghe a quelle della geometria piana: la perpendicolare è la linea più corta tracciata da un punto al piano; da un punto si può tirare una sola perpendicolare a un piano; le oblique uguali cadono su una circonferenza con centro nel piede della perpendicolare. L’angolo acuto che un’obliqua forma con la sua proiezione sul piano “est la mesure de son inclinaison sur le plan” - (fr:3692) [è la misura della sua inclinazione sul piano].

La trattazione prosegue con i piani che si intersecano. L’inclinazione tra due piani è misurata dall’angolo formato da due perpendicolari tracciate dalla loro intersezione, ciascuna sul proprio piano. Si dimostra che se una retta è perpendicolare a un piano, qualsiasi piano che la contiene è perpendicolare al primo. Inoltre, “si deux plans Y & Z perpendiculaires au troisième X, se coupent, leur commune section EQ sera perpendiculaire à ce troisième plan” - (fr:3725) [se due piani Y & Z perpendicolari al terzo X, si intersecano, la loro sezione comune EQ sarà perpendicolare a questo terzo piano].

Viene introdotto il parallelismo: una linea o un piano sono paralleli a un piano “lorsque tous leurs points sont également distans de ce plan” - (fr:3739) [quando tutti i loro punti sono ugualmente distanti da questo piano]. Si nota che per determinare il parallelismo di una linea bastano due perpendicolari uguali, mentre per un piano “il en faut trois qui ne soient pas rangées sur la même ligne droite” - (fr:3741) [ne occorrono tre che non siano allineate]. Tra le proprietà: un piano che interseca due piani paralleli produce sezioni parallele; una linea parallela a una linea giacente su un piano è parallela al piano stesso; se due piani sono paralleli, una perpendicolare all’uno è perpendicolare all’altro; una linea che interseca obliquamente due piani paralleli è ugualmente inclinata su entrambi.

Il testo si chiude con teoremi su linee parallele tagliate da piani paralleli, che risultano suddivise in segmenti proporzionali (“AG. GB :: CL. LD” - (fr:3835, 3837)), e un breve accenno agli angoli solidi. La struttura è rigorosamente deduttiva, tipica dei manuali geometrici del periodo, dove ogni affermazione è giustificata da un riferimento numerico a postulati o teoremi precedenti (es. N°. 447, N°. 190).

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[11.1-107-4140|4246]

11 Studio sulle sezioni coniche e sulla misura delle superfici in un trattato geometrico del XVIII secolo

Analisi di un capitolo di geometria che tratta la classificazione delle sezioni coniche e le formule per il calcolo delle superfici di solidi, incluso un celebre teorema sulla sfera.

Il testo estratto appartiene a un trattato di geometria, probabilmente della seconda metà del XVIII secolo, come suggerito dallo stile tipografico (uso della ‘s’ lunga ‘ſ’) e dai riferimenti ad autori come il Marchese de l’Hôpital e l’Abate de la Chapelle. Il capitolo esamina due argomenti distinti ma correlati: la teoria delle sezioni coniche e il calcolo della superficie laterale di vari solidi geometrici.

La prima parte introduce sistematicamente le curve ottenute dall’intersezione di un piano con un cono (o due coni opposti). La classificazione è determinata dall’angolo del piano secante rispetto all’asse del cono: * Se il piano passa per l’asse, si ottiene un triangolo: “la fection fera un triangle O A B, fi le plan pafle par l’axe du cône” - (fr:4141). * Se è parallelo alla base, si forma un cerchio: “un cercle ab, fi le plan eft parallèle à la bafe” - (fr:4141). * Se è obliquo all’asse e interseca il cono su entrambi i lati, si genera un’ellisse. * Se è parallelo al lato (generatrice) del cono, si ha una parabola. * Se è parallelo all’asse o passa per la base e il cono opposto, si ottiene un’iperbole.

L’autore sottolinea l’importanza di ellisse, parabola e iperbole, oggetto dei “Traités des Sections coniques, qui font d’un ufage infini dans la Géométrie compofée” - (fr:4146), citando come fonti autorevoli i lavori di de l’Hôpital e de la Chapelle.

La seconda parte del testo è dedicata al calcolo delle superfici laterali di prismi, cilindri, piramidi e coni (sia retti che obliqui o tronchi). Le regole sono spesso espresse in termini operativi, legate allo “sviluppo” della superficie in una figura piana. Per esempio, per un prisma o cilindro retto: “pour avoir la juperficie … il faut multiplier la circonférence de la bafe par la hauteur du cylindre” - (fr:4155). Per un cono retto, lo sviluppo è un settore circolare: “Si on développe un cône droit … on aura, un fecteur de cercle” - (fr:4176), e la sua superficie si ottiene moltiplicando metà del lato (apotema) per la circonferenza di base.

Un passaggio peculiare è una nota critica (probabilmente di un curatore o revisore) che contesta una generalizzazione fatta dall’autore principale riguardo alle superfici dei solidi obliqui. La nota avverte: “Ce que l’Auteur dit ici de la furface du prifme & du cylindre oblique n’eft exact que pour le prifme … pour celle du cylindre oblique , on ne peut la trouver que par approximation” - (fr:4169). Questa osservazione mette in luce il carattere in evoluzione della precisione matematica del periodo e la distinzione tra metodi elementari e avanzati.

La parte finale presenta una dimostrazione geometrica estesa e sofisticata per stabilire due importanti teoremi sulla sfera. Il Teorema I dimostra l’uguaglianza tra la superficie di un tronco di cono circoscritto a una sfera e quella di un cilindro specifico. Il ragionamento, che fa uso di proporzioni tra lati di triangoli simili e circonferenze, culmina nella conclusione: “le produit de QP par la circonférence de N P qui forme la fuperficie du cylindre, eft égal au produit de S R par la circonférence de M D qui forme le cône tronqué” - (fr:4229).

Il Teorema II deriva da questo un risultato celebre. Considerando infinite tangenti infinitesime al cerchio generatore, si afferma che la superficie della sfera è uguale a quella del cilindro che ha per base un cerchio massimo e per altezza il diametro: “la furface de la fphere efl auj/î égale à la furface du cylindre, qui a pour bafe un grand cercle de la fphere, & pour hauteur fon diamètre” - (fr:4241). Da ciò segue la regola operativa: “pour avoir la furface d’une fphere, il faut multiplier la circonférence de fon grand cercle par son diamètre” - (fr:4241) e il corollario che “La furface de la fphere ef quadruple à celle de fon grand cercle” - (fr:4242).

Il testo ha un significato storico come testimonianza della didattica e della sistematizzazione della geometria nell’era pre-moderna. Combina esposizione di regole pratiche di calcolo con dimostrazioni rigorose, mostrando il passaggio da una geometria intuitiva a una più assiomatica. La presenza della nota critica (fr:4169) è particolarmente significativa, poiché evidenzia un dibattito interno sulla correttezza e sui limiti dei metodi presentati, rivelando la natura collettiva e revisionale della produzione scientifica del tempo.

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[12.1-178-4662|4839]

12 Metodo per il calcolo dei logaritmi e loro utilizzo pratico

Trattato settecentesco che illustra il metodo di costruzione delle tavole logaritmiche per interpolazione geometrica e ne spiega l’uso per calcoli aritmetici.

Il testo è un estratto di un trattato scientifico, presumibilmente del XVIII secolo, dedicato alla Geometria Pratica e al calcolo dei logaritmi. Spiega in dettaglio un metodo per costruire le tavole logaritmiche e fornisce istruzioni per il loro utilizzo in operazioni aritmetiche come la moltiplicazione. Il nucleo del metodo descritto si basa sulla ricerca iterativa di medie proporzionali (o geometriche) tra numeri di cui si conosce già il logaritmo. Ad esempio, per trovare il logaritmo di 2, noti i logaritmi di 1 e 10, si cerca ripetutamente la media geometrica tra gli estremi dell’intervallo che contiene 2, aggiornando di volta in volta i limiti. Il logaritmo della media è la media aritmetica dei logaritmi degli estremi: “ajoutez ensemble les logarithmes de A & B, & de leur somme […] prenez en la moitié […] ce sera le logarithme” - (fr:4676-4678). Questo processo, condotto “avec beaucoup de justesse” - (fr:4686), permette di ricavare i logaritmi dei numeri primi. I logaritmi dei numeri composti si ottengono poi per addizione: “on a les logarithmes des nombres composez, en ajoutant ensemble les logarithmes des nombres qui les composent” - (fr:4693).

Il testo definisce la struttura di un logaritmo nelle tavole, suddividendolo in due parti: la ”caractéristique ou figurative” (la parte intera) e il ”logarithme” in senso stretto (la parte decimale). La caratteristica dipende esclusivamente dall’ordine di grandezza del numero: “contient autant d’unités que le nombre contient de chiffres après le premier” - (fr:4700). Un concetto fondamentale è che numeri che differiscono solo per multipli di dieci (aggiunta di zeri) condividono la stessa parte decimale del logaritmo (mantissa), cambiando solo la caratteristica: “les logarithmes sont les mêmes, & il n’y a que la figurative qui change” - (fr:4711). Viene anche discussa la precisione, notando che usando solo le prime cinque cifre decimali “dans les calculs ordinaires de Géométrie, on peut se contenter” - (fr:4704), e quantificando l’errore massimo per ogni cifra aggiuntiva trattenuta.

Una sezione ampia è dedicata alle istruzioni pratiche per trovare il logaritmo di un numero dato e viceversa. I casi trattati includono numeri interi entro e oltre il limite delle tavole (10,000), numeri con zeri finali, decimali e frazioni. Per numeri grandi, come 3141592, si usa un’interpolazione lineare basata sulla differenza tra i logaritmi dei numeri di quattro cifre che lo racchiudono: “Faites ensuite cette analogie : Comme […] 1000 est à […] 592 […] ainsi […] 1383 […] est à […] 819 (qu’il faut ajouter au logarithme)” - (fr:4735). Questo metodo si fonda sull’ipotesi che, per numeri grandi, “les différences des logarithmes augmentent à peu près également” - (fr:4822). Per i decimali puri (es., 002), si introduce il concetto di logaritmo con caratteristica negativa, espresso come una frazione.

Infine, il testo mostra l’applicazione principale dei logaritmi: semplificare la moltiplicazione. La regola è esplicita: “Pour multiplier ensemble des nombres entiers, il faut ajoûter ensemble leurs logarithmes, & leur somme sera le logarithme du produit” - (fr:4829). Un esempio dimostrativo moltiplica 144 per 12, mostrando che la somma dei loro logaritmi (2.1583625 + 0791812) dà 2375437, che è infatti il logaritmo del prodotto,

Storicamente, il testo testimonia la fase di diffusione e standardizzazione dell’uso pratico dei logaritmi dopo la loro invenzione. L’attenzione meticolosa alle procedure per l’uso delle tavole, alla gestione della precisione e ai casi speciali (decimali, frazioni) riflette l’intento di fornire uno strumento operativo affidabile a geometri, astronomi e forse ufficiali militari, come suggerito dal riferimento a un manuale di aritmetica dedicato. Il metodo di costruzione per medie geometriche illustra il principio teorico alla base dei logaritmi naturali (o neperiani), legato alle proprietà delle funzioni esponenziali, sebbene qui sia presentato in un contesto puramente computazionale e pre-calcolistico.

[13]

[13.1-123-5055|5177]

13 Proprietà geometriche degli archi e costruzione delle tavole trigonometriche

Trattazione sistematica delle relazioni tra seni, corde, tangenti e secanti di archi, loro complementi e supplementi, con metodi per la costruzione di tavole numeriche.

Il testo presenta una serie di proposizioni geometriche che stabiliscono le relazioni fondamentali tra gli elementi trigonometrici di un arco di cerchio (seno, corda, tangente, secante) e quelli del suo complemento e supplemento, culminando in una serie di problemi pratici per il calcolo di questi valori e l’accenno alla costruzione di tavole numeriche.

Viene innanzitutto stabilito che un arco e il suo supplemento condividono gli stessi valori di seno, tangente e secante: “les arcs & leurs fupplémens ont même finus, mêmes tangentes & mêmes fécantes” - (fr:5073). Viene poi esaminato il comportamento della tangente e della secante al crescere dell’arco: per un arco pari a un quarto di cerchio, esse diventano infinite poiché le linee diventano parallele e “elles ne fe rencontrent que dans l’infini” - (fr:5078).

Le relazioni proporzionali tra gli elementi sono il cuore della trattazione. Dal triangolo rettangolo formato dal raggio, dal seno e dal coseno (qui chiamato “sinus du complément”), si ricava che il quadrato del raggio è uguale alla somma dei quadrati del seno e del coseno dell’arco: “le quarré du rayon C E, moins le quarré du finus E F d’un arc … efl égal au quarré de CF … qui efl le finus de fin complément” - (fr:5081). La similitudine tra triangoli porta a proporzioni fondamentali: il coseno sta al seno come il raggio sta alla tangente (“Le finus CF ou EH du complément … Efl au finus F E de l’arc E A … Comme le rayon C A Efl à la tangente AD” - fr:5084), e il coseno sta al raggio come il raggio sta alla secante (fr:5086). Da ciò si deduce che “le rayon efl moyen proportionnel entre le finus du complément & la fécante de l’arc” - (fr:5088) e anche “entre là tangente dun arc & la tangente de fon complément” - (fr:5094).

Altre relazioni coinvolgono la corda e il seno verso (la porzione di diametro tra il seno e l’arco). La corda di un arco è media proporzionale tra il diametro e il suo seno verso (fr:5098, 5100). Il seno di un arco è, a sua volta, medio proporzionale tra il seno verso dell’arco e il seno verso del suo supplemento (fr:5103, 5105). Vengono inoltre fornite formule per la corda della somma e della differenza di due archi, espresse in funzione dei seni e dei coseni degli archi stessi (fr:5111, 5118-5120).

Un passaggio peculiare riguarda l’approssimazione per archi piccoli: “Dans les petits arcs les finus font fendibement … en même raifon que les arcs” - (fr:5121). Si quantifica l’errore, affermando che per archi inferiori a tre gradi è minore di una parte su centomila del raggio, e per archi sotto i quarantacinque minuti è minore di una parte su cento milioni.

La sezione pratica elenca sette problemi generali per la costruzione delle tavole, presupponendo sempre noto il raggio. I problemi spaziano dal trovare il seno del complemento (Problema I), alla ricerca del seno della metà di un arco (II) o del doppio (III), al calcolo del seno della metà della somma (IV) o della differenza (V) di due archi dati. Per archi molto piccoli, si può usare la proporzionalità diretta tra arco e seno (Problema VI). Gli ultimi problemi spiegano come ricavare tangente (VII) e secante (VIII) dal seno, utilizzando le proprietà geometriche prima esposte. L’autore conclude che “Ces problèmes font les plus effentiels pour construire les Tables des finus” - (fr:5172).

Il testo si chiude con un accenno al metodo costruttivo, specificando che per il calcolo si assume un raggio suddiviso in un grandissimo numero di parti (es. 100000 o 10^15) in modo che “les fractions qu’on eft obligé de négliger … foient de nulle confequence” - (fr:5175). Questo approccio rivela la preoccupazione per la precisione numerica necessaria nelle applicazioni pratiche, come il calcolo dei triangoli.

Il significato del testo risiede nella sua natura di compendio sistematico di geometria trigonometrica, tipico dei trattati scientifici del XVIII secolo. Rappresenta un metodo di calcolo pre-analitico, che fonda le relazioni trigonometriche sulla similitudine delle figure geometriche e fornisce gli strumenti algoritmici per generare tavole numeriche, strumenti essenziali per l’astronomia, la navigazione e la cartografia dell’epoca. La scelta di esprimere tutto in forma di proporzioni e l’uso del termine “sinus du complément” per il coseno sono elementi caratteristici della trattazione storica dell’argomento.

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14 Metodi geometrici con il compasso di proporzione e applicazioni trigonometriche

Descrizione dell’uso delle scale graduate e delle corde su uno strumento di calcolo analogico per risolvere problemi di costruzione geometrica e trigonometria.

Il testo tratta l’utilizzo pratico del compasso di proporzione, uno strumento di calcolo analogico, focalizzandosi sulle sue linee graduate specifiche: la “ligne des polygones”, la “ligne des parties égales” e la “ligne des cordes”. La prima serve per costruire poligoni regolari. Il metodo prevede di tracciare un cerchio di raggio CA, dividerne la circonferenza in parti uguali (3, 4, 5, etc.) e riportare le distanze dal centro A ai punti di divisione (A3, A4, A5) sulla scala dei poligoni: “portez les intervalles A3, A 4, A 5, &c. fur la ligne des polygones” - (fr:5631). In questa scala, la distanza dal centro al punto 6 corrisponde al lato dell’esagono ed è uguale al raggio del cerchio di partenza: “la diftance au chiffre 6, qui eft le côté de l’exagone, eft égal au rayon du cercle” - (fr:5632-5633). Due problemi illustrano l’applicazione: inscrivere un poligono in un cerchio dato (ad esempio, prendendo l’intervallo da 5 a 5 per un pentagono) e costruire un poligono su un lato dato AB (ad esempio, un ettagono, portando AB su 7 & 7 e prendendo il raggio da 6 & 6).

La sezione successiva spiega l’uso di queste linee per la Trigonometria. Per renderle idonee, è necessario che la linea delle corde contenga tutte le corde fino a 180 gradi (il diametro) e che la linea delle parti uguali sia della stessa lunghezza, divisa idealmente in 200 parti per corrispondere alle tavole dei seni: “il faut que la ligne des parties égales foit divifée en 200, afin que la moitié , qui eft le rayon, en ait 100” - (fr:5653). Il fondamento teorico risiede in due proprietà: 1) Aprendo diversamente le linee delle parti uguali si possono formare tutti i tipi di triangoli, dove l’angolo al vertice è misurato dall’apertura del compasso; 2) Ogni triangolo è inscrivibile in un cerchio, dove i suoi lati sono le corde del doppio degli angoli opposti.

Seguono problemi preliminari per preparare lo strumento: impostare un angolo specifico (es. 30°) tra le linee delle corde o delle parti uguali, misurarne l’angolo di apertura e, soprattutto, misurare un angolo qualsiasi tra due linee date CA e CB. Per quest’ultima operazione, si applicano i lati esterni del compasso lungo i lati dell’angolo, si misura l’apertura risultante tra le linee delle corde e si sottrae l’angolo che esse formano quando il compasso è chiuso: “cherchez dans cette ouverture la valeur de l’angle que forment enfemble les lignes des cordes, & ôtez-en la valeur de l’angle qu’elles font lorfque le compas eft fermé, le refte fera la valeur de l’angle propofé” - (fr:5680). Questo metodo permette di usare lo strumento come un goniometro (“réciangle”), anche per angoli concavi.

Infine, vengono presentati problemi trigonometrici risolvibili con lo strumento. Il primo, dati i tre lati di un triangolo (es. 100, 80, 60), trova gli angoli tramite un procedimento di trasferimento di misure tra la linea delle parti uguali e l’apertura variabile del compasso di proporzione. Il secondo, dati due lati e l’angolo compreso, trova il terzo lato impostando l’angolo dato tra le linee delle parti uguali e misurando la distanza tra le misure dei due lati su di esse. Il terzo problema, dato un lato, il suo angolo opposto e un altro lato, trova il terzo lato. Vengono presentate due soluzioni: una utilizzando le linee delle parti uguali e un compasso comune per trovare due possibili valori (37 o 69) a seconda che l’angolo ignoto sia ottuso o acuto: “l’autre pointe tombera fur 37 lorf^ que l’angle e ef obtus,, ou bien fur 69 lorfqu’il eft aigu” - (fr:5698); l’altra sfruttando il principio dell’inscrittibilità in un cerchio (“le fécond principe”) e operando sulla linea delle corde per trovare prima l’angolo incognito e poi, tramite il doppio di tale angolo, il lato richiesto.

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15 Metodi geometrici e pratici nel trattato di artiglieria e matematica applicata

Un estratto sulla proporzione tra figure, solidi, metalli e l’uso del compasso di proporzione e della regola logaritmica.

Il testo è un estratto di un trattato scientifico-pratico, probabilmente del XVIII secolo, che combina geometria, matematica applicata e artiglieria. Il nucleo concerne l’uso di scale graduate speciali, in particolare sul compasso di proporzione, per risolvere problemi di proporzionalità tra figure piane e solide, e per calcoli relativi a proiettili e metalli.

Viene presentato un metodo pratico per trovare il rapporto tra aree di figure simili: “Prenez le côté AB du plus grand pentagone, & le portez fur un des plus grands nombres de la ligne des plans, comme fur 60 & 60 ; prenez en fuite le côté C D du fécond, & le portez de travers fur les mêmes lignes… la fuperficie F du fécond pentagone fera à la fuperficie E du premier, comme 40 eft à 60 , ou comme 2à3” - (fr:5742) [Prendete il lato AB del pentagono più grande, e portatelo su uno dei numeri più grandi della linea dei piani, come su 60 e 60; prendete poi il lato CD del secondo, e portatelo di traverso sulle stesse linee… la superficie F del secondo pentagone sarà alla superficie E del primo, come 40 è a 60, o come 2 a 3]. Questo passaggio illustra una procedura meccanica, basata su triangoli simili formati dalle aste del compasso, per determinare il rapporto tra aree senza calcolo diretto.

Si introduce poi la ”ligne des solides”, divisa secondo le radici cubiche dei numeri naturali, il cui scopo è “trouver les côtés ou les lignes homologues des folides femblables qui ont un rapport donné, ou de trouver le rapport des folides femblables, leurs côtés ou leurs lignes homologues étant données” - (fr:5746) [trovare i lati o le linee omologhe dei solidi simili che hanno un rapporto dato, o trovare il rapporto dei solidi simili, essendo dati i loro lati o le loro linee omologhe]. La sua applicazione pratica immediata è nel calcolo artiglieristico: “c’eft en fe fervant de la ligne des folides que l’on trouve les differens diamètres des boulets de fer qui ont différent poids” - (fr:5754) [è servendosi della linea dei solidi che si trovano i diversi diametri delle palle di ferro che hanno differenti pesi]. Viene fornito un esempio: un proiettile di ferro da 6 pollici di diametro pesa 33 libbre; usando la scala, si trova che il diametro di un proiettile da una libbra è di 22 linee. Si precisa la differenza tra diametro del proiettile e calibro della canna: “Le calibre eft toujours un peu plus grand que le diamètre du boulet, afin que le boulet puiffe fortir plus aifément” - (fr:5761) [Il calibro è sempre un po’ più grande del diametro della palla, affinché la palla possa uscire più facilmente].

Un capitolo è dedicato alla ”ligne des métaux”, una scala concepita per confrontare metalli di diversa densità. I metalli sono identificati con simboli planetari: “Le Soleil O marque l’Or. Saturne ♄ le Plomb, La Lune ☾ l’Argent. Venus ♀ le Cuivre, Mars ♂ le Fer. Jupiter ♃ l’Etain” - (fr:5757, 5758) [Il Sole O segna l’Oro. Saturno ♄ il Piombo, La Luna ☾ l’Argento. Venere ♀ il Rame, Marte ♂ il Ferro. Giove ♃ lo Stagno]. La sua costruzione teorica si basa sul rapporto tra pesi specifici e volumi. Per solidi simili dello stesso peso, i volumi (e quindi i cubi dei diametri) sono inversamente proporzionali ai pesi specifici: “Comme la pefanteur spécifique de l’or Est à la pefanteur spécifique de l’Etain, Ainsï le cube du diamètre de la boule d’étaim Est au cube du diamètre de la boule d’or” - (fr:5772) [Come il peso specifico dell’oro è al peso specifico dello Stagno, così il cubo del diametro della palla di stagno è al cubo del diametro della palla d’oro]. La procedura per dividere la scala richiede di “ajouter enfuite neuf zéros à celui de l’estaim qui est le plus léger, & divifer le nombre qui en réfulte, par le poids de chaque métal ; tirant après cela les racines cubes des quotiens” - (fr:5766) [aggiungere poi nove zeri a quello dello stagno che è il più leggero, e dividere il numero che ne risulta, per il peso di ogni metallo; estraendo dopo ciò le radici cubiche dei quozienti].

Vengono presentati problemi pratici risolvibili con questa linea. Ad esempio, dato un proiettile di ferro da una libbra di 22 linee di diametro, per trovare il diametro di un proiettile di piombo dello stesso peso: “Prenez fur un pied de Roi l’ouverture de vingt-deux lignes, & portez cet intervalle de ♂ en ♂ ; prenez enfuite l’intervalle de ♄ en ♄ , & portez-le fur le pied de Roi, vous aurez dix-huit lignes pour le diamètre du boulet de plomb d’une livre” - (fr:5784) [Prendete su un piede di Re l’apertura di ventidue linee, e portate questo intervallo da ♂ a ♂; prendete poi l’intervallo da ♄ a ♄, e portatelo sul piede di Re, avrete diciotto linee per il diametro del proiettile di piombo di una libbra]. Un altro problema mostra come, noto il peso (4 marchi e 2 once) di una sfera d’argento, si trovi il peso di una sfera d’oro dello stesso diametro usando congiuntamente la linea dei solidi e quella dei metalli, ottenendo 7 marchi e 3 once.

Il testo si conclude con un cenno alla ”règle logarithmique” (regolo calcolatore), definita come uno strumento contenente “plusieurs lignes parallèles divisées dans la proportion des logarithmes, dont l’ufage est de faire promptement les multiplications, les divisions… & tout ce qui en dépend, comme la Trigonométrie, la réduction des poids & mesures” - (fr:5802) [diverse linee parallele divise nella proporzione dei logaritmi, il cui uso è di fare prontamente le moltiplicazioni, le divisioni… e tutto ciò che ne dipende, come la Trigonometria, la riduzione dei pesi e delle misure]. Si distingue tra linee generali (dei Numeri, dei Quadrati, dei Cubi, dei Seni e Secanti, delle Tangenti) e linee particolari (per misure lineari, corde, poligoni, pesi dei corpi).

Il significato storico del testo è quello di una testimonianza tecnologica dell’epoca pre-calcolatrice. Illustra metodi di calcolo pratico e strumentale essenziali per ingegneri, artiglieri e artigiani, fondendo conoscenze teoriche di geometria e proporzione con esigenze concrete di balistica, metallurgia e misurazione. L’uso dei simboli planetari per i metalli riflette una tradizione alchemica ancora viva nella nomenclatura tecnica del tempo. L’opera si colloca nella tradizione dei manuali pratici di matematica applicata che furono fondamentali per il progresso tecnico e ingegneristico dal Rinascimento all’Illuminismo.

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16 Descrizione e utilizzo pratico di una regola calcolatrice logaritmica

Un manuale settecentesco illustra la costruzione e l’uso di uno strumento di calcolo analogico basato sui logaritmi.

Il testo è un estratto di un trattato di geometria pratica che descrive minuziosamente l’uso di uno strumento di calcolo, una “regola” o riga logaritmica. Lo strumento presenta diverse scale: una linea dei numeri (o delle “décades”), una delle linee dei quadrati e dei cubi, una dei seni, secanti e tangenti, e infine una delle misure lineari. Il principio di funzionamento si basa sulle proprietà dei logaritmi, per cui “les divifions étant dans la proportion des logarithmes & les chiffres dans la proportion des nombres , fi l’on ajoute des intervalles de divifions, l’on multiplie les nombres 3 & fi l’on ôte ces intervalles, l’on divife les nombres” - (fr:5826) [le divisioni sono in proporzione ai logaritmi e i numeri in proporzione ai numeri, quindi se si sommano intervalli di divisioni, si moltiplicano i numeri e se si sottraggono questi intervalli, si dividono i numeri]. Le operazioni aritmetiche si riducono così a somme e sottrazioni di segmenti misurati con un compasso.

La linea dei numeri è organizzata in decadi (unità, decine, centinaia) suddivise in modo logaritmico. Una proprietà fondamentale è l’equivalenza delle scale per potenze di dieci: “Puifque les divisons de chaque décade font les mêmes, l’on peut prendre indifféremment les unes pour les autres > ainfi en multipliant les nombres de ces décades par 10, c’eft-à-dire en ajoutant un zéro après chaque nombre, la décade des unités de viendra celle des dixaines , celle des dixaines deviendra celle des centaines,, & celle des centaines deviendra celle des mille” - (fr:5824) [Poiché le divisioni di ogni decade sono le stesse, si possono prendere indifferentemente le une per le altre; così, moltiplicando per 10 i numeri di queste decadi, cioè aggiungendo uno zero dopo ogni numero, la decade delle unità diventa quella delle decine, quella delle decine diventa quella delle centinaia, e quella delle centinaia diventa quella delle migliaia]. Data la limitata estensione fisica dello strumento, per operare con numeri di molte cifre si usano artifici come aggiungere o togliere zeri, operando su numeri ridotti e ricordandosi poi di correggere il risultato. Ad esempio, per moltiplicare 35 per 20, “ôtez un zéro de chacun de ces nombres, vous aurez 5 & 2, que vous multiplierez comme ci-deffus, le produit… fera 7, auquel ajoûtant les deux zéros que l’on a retranchés, l’on aura 700” - (fr:5835, 5839) [togliete uno zero da ciascuno di questi numeri, avrete 5 e 2, che moltiplicherete come sopra, il prodotto… sarà 7, al quale aggiungendo i due zeri che sono stati tolti, si avrà 700].

Vengono dettagliate le procedure per la moltiplicazione, la divisione e la ricerca di un quarto proporzionale. Per la moltiplicazione, si prende l’intervallo tra 1 e il moltiplicatore e lo si trasporta a partire dal moltiplicando. Per la divisione, si prende l’intervallo tra 1 e il divisore e lo si riporta sul dividendo. La regola del tre si esegue prendendo “l’intervalle du premier nombre au fécond, mettez la pointe du premier nombre fur le troifieme, la pointe du fécond donnera le quatrième” - (fr:5856) [l’intervallo dal primo numero al secondo, mettete la punta del primo numero sul terzo, la punta del secondo darà il quarto]. Il testo sottolinea ripetutamente la manipolazione degli zeri per adattare i numeri alla scala, notando che “l’intervalle de 750 à 50 eft -le même que celui de 7 y à 5” - (fr:5860) [l’intervallo da 750 a 50 è lo stesso di quello da 5 a 5].

Le linee dei quadrati e dei cubi sono graduate in proporzione ai logaritmi dei quadrati e dei cubi, mentre i numeri su di esse indicano le radici. Per trovare la radice quadrata di un numero, si cerca il numero sulla linea dei numeri e si legge la corrispondente radice sulla linea dei quadrati: “pour avoir la racine quarrée d’un nombre, comme de 64, il faut prendre fur la ligne des quarrés le .nombre 8 , qui répond à 64 de la ligne des nombres” - (fr:5877) [per avere la radice quadrata di un numero, come 64, bisogna prendere sulla linea dei quadrati il numero 8, che corrisponde a 64 sulla linea dei numeri]. Anche qui, per numeri fuori scala si usano correzioni con potenze di dieci: per il quadrato di 45, si trova il quadrato di 5 (20.25) e si aggiungono due zeri, ottenendo

Le linee trigonometriche (seni, secanti, tangenti) hanno suddivisioni angolari specifiche (ad esempio, la linea dei seni è “divifée de I5 en 15 minutes jufqu’à 20 degrés, de 30 en 30 minutes jufqu’à 45 degrés, de degrés en degrés jufqu’à 60, & de 5 en 5 degrés jufqu’à 90” - (fr:5894) [divisa di 15 in 15 minuti fino a 20 gradi, di 30 in 30 minuti fino a 45 gradi, di grado in grado fino a 60, e di 5 in 5 gradi fino a 90]). Il loro uso, combinato con la linea dei numeri, è per la risoluzione dei triangoli seguendo le analogie trigonometriche. Una nota peculiare riguarda l’uso degli zeri: “fi l’on prend cet intervalle fur les nombresil faut les prendre entiers, ou en retrancher également des zéros ; & fi l’on le prend fur Les finus, fécantes ou tangentes,, il faut… toujours les prendre entiers” - (fr:5898, 5901) [se si prende questo intervallo sui numeri bisogna prenderli interi, o togliere ugualmente degli zeri; e se lo si prende sui seni, secanti o tangenti, bisogna… prenderli sempre interi].

Infine, la linea delle misure lineari confronta diverse unità di misura (come toise, piedi, leghe) e le loro relazioni, basate ancora su una scala logaritmica. Anche qui, per coprire rapporti che richiederebbero più decadi, si ricorre all’aggiunta o sottrazione di zeri alle misure stesse.

Il testo costituisce una preziosa testimonianza della tecnologia di calcolo pre-elettronica, mostrando l’applicazione pratica della teoria dei logaritmi, inventata un secolo prima, nella costruzione di uno strumento meccanico per eseguire calcoli complessi in campi come la geometria, la navigazione e l’ingegneria. La meticolosa attenzione alla gestione della scala e degli zeri rivela le limitazioni fisiche dello strumento e l’ingegnosità necessaria per superarle, fornendo un esempio concreto di “software” (le procedure) applicato a un “hardware” (la riga graduata) del XVIII secolo.

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17 Metodi pratici per il rilevamento e la riproduzione di figure geometriche su diversi supporti

Tecniche settecentesche per la trasposizione, riduzione e costruzione di figure geometriche su carta, piani e muri, con strumenti rudimentali.

Il testo è un trattato pratico di geometria descrittiva del XVIII secolo, probabilmente estratto da un manuale tecnico per architetti, ingegneri militari o disegnatori. Espone una serie di procedure meticolose per risolvere problemi concreti di rappresentazione grafica, spaziando dal rilevamento di figure su carta alla loro riproduzione in scala, fino alla tracciatura di linee su grandi superfici come i muri. Il suo valore storico risiede nella testimonianza delle tecniche pre-industriali e pre-fotografiche di copia, riduzione in scala e costruzione di disegni tecnici, mostrando un sapere pratico fondato su strumenti semplici (corde, gessetti, squadre, fili a piombo) e su principi geometrici elementari.

La prima parte è dedicata al problema di ”trovare una figura uguale ad una data”. Il metodo fondamentale prevede l’individuazione di una ”baze” (linea di base) principale, tipicamente la linea più lunga della figura o una linea tracciata attraverso la sua massima dimensione. Dai punti principali della figura si abbassano delle perpendicolari su questa base. Poi, “on tirera enfuite à part une bafe indéfinie ab, fur laquelle on marquera les diftances des perpendiculaires, & on élevera de part & d’autre des perpendiculaires égales à celles de la figure donnée, ce qui donnera la fituation de tous les points qui déterminent la figure” - (fr:6439) [si tirerà poi a parte una base indefinita ab, sulla quale si segneranno le distanze delle perpendicolari, e si eleveranno da una parte e dall’altra delle perpendicolari uguali a quelle della figura data, il che darà la situazione di tutti i punti che determinano la figura]. Se la figura è molto irregolare, si suggerisce di usare non una, ma due o tre basi perpendicolari tra loro, o addirittura di costruire un triangolo di riferimento i cui lati servano da basi per rilevare i punti più vicini.

Un metodo alternativo molto diffuso è quello del ”chaffis” (telaio o griglia). Consiste nel racchiudere la figura data in un rettangolo, suddiviso in quadrati tramite linee parallele. “Pour faire une figure égale à la propofée par le moyen de ce chaffis , décrivez un autre chaffis a b d c égal au précédent; puis marquez les villes, les ides, les côtes, les rivières, &c. dans les endroits des carreaux qui répondent à ceux de la figure propo fée, & enfuite il fera aifé d’achever le defein” - (fr:6452) [Per fare una figura uguale a quella proposta per mezzo di questo telaio, descrivete un altro telaio a b d c uguale al precedente; poi segnate le città, le coste, i litorali, i fiumi, ecc. nei luoghi dei quadrati che corrispondono a quelli della figura proposta, e poi sarà facile terminare il disegno]. L’autore nota che “Cette méthode eft en ufage chez les Deffinateurs” - (fr:6456) [Questo metodo è in uso presso i Disegnatori]. Per una maggiore precisione, si possono suddividere i quadrati grandi in quadrati più piccoli tramite diagonali.

Seguono diverse tecniche di copia fisica diretta, che rivelano l’ingegno dell’epoca: 1. Puntinatura: forare con un ago sottile i punti chiave della figura originale posta sopra un nuovo foglio, per poi ricostruirla. “Cette manière fe pratique fur-tout pour les deffeins de l’Architecture civile & militaire” - (fr:6463) [Questo metodo si pratica soprattutto per i disegni di Architettura civile e militare]. 2. Spolvero: punteggiare i tratti principali dell’originale, appoggiarlo su un nuovo foglio e battervi sopra un ”Poncis” (un sacchetto di polvere colorante). “Cette manière de repréfenter les figures eft utile, lorfque dans les chiffres & les ornemens l’on veut repréfenter d’un côté la même chofe que ce qui eft repréfenté de l’autre pour garder la fimétrie” - (fr:6466) [Questo modo di rappresentare le figure è utile, quando nelle cifre e negli ornamenti si vuole rappresentare da un lato la stessa cosa che è rappresentata dall’altro per conservare la simmetria]. 3. Ricalco con carta carbone: usando una carta “teinte d’une couleur qui fe détache aifement” - (fr:6468) [tinta di un colore che si stacca facilmente] interposta tra originale e foglio da copia. 4. Controluce: appoggiare l’originale su un vetro illuminato da dietro e ricalcare i tratti visibili. “cela fe pratique beaucoup pour les defeins de Fortification, fur-tout quand on ne veut pas gâter l’original” - (fr:6474) [ciò si pratica molto per i disegni di Fortificazione, soprattutto quando non si vuole rovinare l’originale]. 5. Trasparenza con olio: rendere trasparente un foglio ungendolo, ricalcarvi l’originale e poi trasferire il disegno con uno dei metodi precedenti.

La seconda parte affronta il problema di ”Faire une figure fiemblable à une donnée” (riduzione o ingrandimento in scala). I principi sono gli stessi della copia in grandezza naturale, ma le linee della seconda figura devono essere proporzionali a quelle della prima. Si possono usare scale grafiche, il metodo del “chaffis” simile (non uguale) all’originale, o strumenti specifici come un ”compas à quatre pointes” (compasso a quattro punte) a centro mobile, che permette di trasferire direttamente le proporzioni.

L’ultima sezione tratta de ”la manière de tirer des Lignes & de faire des Figures fur de grands plans, comme fur des murs”. Viene fornito un elenco degli strumenti necessari per l’architettura e la fortificazione: “de longues régies , des compas. à verges de différentes longueurs & de grands compas de Maçon , un niveau ordinaire de Maçon, ou bien un niveau d’eau … un plomb, de petites ficelles & de la craie noire & blanche” - (fr:6500-6502) [lunghe righe, compassi a verga di diverse lunghezze e grandi compassi da muratore, una livella ordinaria da muratore, oppure una livella ad acqua … un piombo, piccole cordicelle e gesso nero e bianco]. Le istruzioni sono estremamente pratiche: per tracciare una linea retta tra due punti lontani si può usare una corda tesa e gessata, che, “tirandola con la mano un poco per il mezzo e lasciandola andare di colpo” - (parafrasi di fr:6512-6513), lascia un segno; per superare un ostacolo si usano archi di cerchio e tangenti; su una superficie curva si allinea l’occhio o una candela lungo una riga per determinare punti consecutivi. Le sezioni spiegano anche come tracciare perpendicolari, parallele, linee verticali (con il filo a piombo) e orizzontali (con la livella) su grandi piani, e come misurare l’inclinazione (”talud”) di un muro.

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18 La misura della Terra e la determinazione della sua figura nel XVIII secolo

Resoconto delle operazioni geodetiche settecentesche per misurare un grado di meridiano e dedurre la forma del globo terrestre.

Il testo, estratto da un trattato di geometria pratica, descrive il metodo e i risultati storici delle campagne di misurazione geodetiche condotte nel XVII e XVIII secolo per determinare la lunghezza di un grado di meridiano terrestre e, di conseguenza, la figura della Terra. Il nucleo metodologico è la triangolazione: “Ce moyen consiste… à former par des objets pris à droite & à gauche, une fuite de triangles qui fe terminent aux deux extrémités de la diftance qu’on veut mefurer” - (fr:7104). Misurando accuratamente una sola base lineare e tutti gli angoli della catena di triangoli, si può calcolare per via trigonometrica distanze molto grandi, come l’arco di meridiano tra due punti di latitudine nota.

L’esempio fondamentale è l’operazione di Jean Picard nel 1669, descritta dettagliatamente. Egli misurò una base tra Villejuif e Juvisy di 5663 tese, costruì una catena di tredici triangoli fino a Sourdon, e determinò infine la distanza sulla meridiana tra Sourdon e Malvoisine (“68347 3 toifes” - fr:7126). Confrontando questa distanza con la differenza di latitudine astronomica tra le due località (1° 11’ 57“), calcolò la lunghezza di un grado di meridiano in 57060 tese (“un degré du méridien contenoit 57064 toifes… on a conclu que la grandeur d’un degré du méridien ou de latitude étoit de 57060 toiles” - fr:7129). Il testo ne sottolinea la meticolosità, ma anche i limiti di precisione degli strumenti dell’epoca, che potevano introdurre un errore di circa 4 secondi d’arco.

La questione cruciale che emerge è se la Terra sia una sfera perfetta. Per verificarlo, era necessario misurare gradi di meridiano in luoghi molto distanti tra loro. Le successive misurazioni di Cassini in Francia (1701, 1718) sembravano inizialmente indicare che i gradi “vont en diminuant du midi vers le nord” (fr:7154), suggerendo una Terra allungata ai poli. Tuttavia, le spedizioni scientifiche promosse dall’Accademia delle Scienze negli anni ’30 del Settecento fornirono risultati opposti e definitivi. La missione al Perù (Bouguer, La Condamine) trovò un grado all’equatore di circa 56750 tese, più piccolo di quello di Picard. Quella in Lapponia (Maupertuis) trovò un grado polare di 57438 tese, più grande. La conclusione fu univoca: “les degrés du méridien augmentent de l’Equateur vers les Pôles” (fr:7160).

Questa evidenza empirica permise di determinare la figura della Terra. Spiega Maupertuis: se i gradi aumentano dall’equatore ai poli, “la figure de la terre eft celle d’un fpheroide applati vers les pôles” (fr:7166). Il testo fornisce una chiara spiegazione geometrica: in uno sferoide schiacciato, la curvatura del meridiano è maggiore ai poli, quindi i centri dei cerchi osculatori sono più vicini alla superficie e i gradi, proporzionali al raggio, sono più piccoli. All’equatore, dove la curvatura è minore, i raggi sono più lunghi e i gradi più grandi. Le misurazioni confermarono questo secondo modello. Le stime sull’entità dello schiacciamento differivano: Maupertuis calcolò una differenza di circa 16 leghe tra il diametro equatoriale e l’asse polare, Cassini de Thury di circa 10 leghe.

Nonostante questa scoperta fondamentale, il testo osserva che per la gran parte delle applicazioni pratiche di geometria e geografia, l’approssimazione sferica rimaneva più che sufficiente: “dans l’ufage ordinaire de la Géographie, il n‘y a nul inconvénient de prendre la terre pour une fphere parfaite” (fr:7179). Il valore di 57060 tese per grado, storicamente associato a Picard, poteva quindi continuare a essere utilizzato come riferimento medio senza errori sensibili. Il capitolo si chiude introducendo i principi del livellamento, definendo la differenza tra livello reale e livello apparente e fondandosi sulla premessa idrostatica che “la fuperficie de tous les liquides qui ne font point agités, eft fphérique” (fr:7188).

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19 Principi e applicazioni della livellazione e del rilievo topografico nel XVIII secolo

Trattato di geometria pratica sulla misurazione dei livello, delle altezze e sulla creazione di piani e carte.

Il testo costituisce un manuale tecnico-scientifico del XVIII secolo, incentrato sulla geometria pratica applicata al rilievo topografico e alla misurazione. Si articola in due sezioni principali: la teoria e l’uso dei livelli, e le tecniche per il rilevamento di piani e carte geografiche.

19.1 Principi e tipologie degli strumenti di livellazione

Il principio fondamentale della livellazione si basa sulla ”superficie orizzontale di un liquido, o una linea verticale” - (fr:7221). Gli strumenti si dividono in due categorie principali: quelli che utilizzano un liquido (livelli ad acqua, a mercurio, ad aria) e quelli basati su un filo a piombo (detti “Niveaux a poids & à lunette” - (fr:7250)). Una distinzione cruciale è tra strumenti ”esatti” (che forniscono sempre lo stesso punto di livello) e ”poco esatti” (che possono variare), questi ultimi considerati sufficienti per piccoli lavori dove l’errore è di scarsa conseguenza - (fr:7253, 7255). Un’altra distinzione fondamentale è tra ”livelli verificati”, che danno immediatamente un punto di livello apparente sicuro, e quelli non verificati, che richiedono procedure di controllo - (fr:7257).

19.2 Metodologie di livellamento

Vengono descritte tre procedure principali per trovare il ”vero livello” tra due punti, distinguendo tra livellamento ”semplice” (ricerca diretta) e ”composto” (attraverso più operazioni intermedie) - (fr:7261). 1. Con strumento verificato: posizionando lo strumento in un punto A, si trova un punto B nel livello apparente, dal quale si ricava il vero livello. 2. Con strumento non verificato (livellamento reciproco): si effettuano misurazioni da A verso B e da B verso A, e dividendo a metà le distanze verticali ottenute si trovano due punti M e N nel vero livello - (fr:7274). 3. Con livellamento medio: posizionando lo strumento a uguale distanza da A e B, si trovano due punti che, opportunamente compensati, risultano allo stesso vero livello - (fr:7278).

La differenza di livello tra due punti lontani o separati da ostacoli si ottiene con un livellamento composto, sommando le differenze parziali rilevate in una serie di stazioni intermedie (H, I, K…). La differenza tra le somme delle salite e delle discese fornisce il dislivello totale tra i punti di partenza e arrivo - (fr:7295-7297).

19.3 Applicazioni: misurazione di altezze e distanze

Il testo applica i principi del livellamento a problemi pratici di misurazione. Per una montagna lontana, si usa la trigonometria: si misura una base AB, si rilevano gli angoli al vertice A e B per calcolare la distanza AC, e infine l’angolo di elevazione CAD per ottenere l’altezza CD. Per maggiore precisione, si tiene conto della curvatura terrestre aggiungendo 90° all’angolo di elevazione e utilizzando il raggio terrestre (3269297 tese) in un calcolo trigonometrico - (fr:7306-7312). Viene anche segnalata la possibile fonte di errore della rifrazione atmosferica, definita come “il détour che fa un raggio di luce” passando da un mezzo all’altro, che può far apparire l’oggetto più alto di quanto sia - (fr:7316-7318). Per misurare le distanze in mare, si propone un metodo basato sull’altezza nota di una torre costiera (BG). Riducendo l’altezza in pollici e estraendone la radice quadrata, si moltiplica per 300 tese per ottenere la distanza GC. Il principio sottostante è che le differenze tra livello apparente e vero stanno tra loro come i quadrati delle distanze - (fr:7327, 7330-7332).

19.4 Il rilievo topografico: strumenti e metodi

La seconda parte del trattato è un vero e proprio prontuario per il ”levare dei Piani & delle Cartes” - (fr:7336). Viene sottolineato l’approccio pragmatico del geometra, che deve saper usare gli strumenti e supplirvi se necessario, evitando “minuzie o esattezze inutili che fanno perdere tempo” ma senza trascurare le precauzioni necessarie - (fr:7340). Gli strumenti essenziali sono: cordella, picchetti, tese, un cerchio o semicerchio graduato con mire. Strumenti accessori per maggiore facilità o precisione includono un livello, una ”planchette” (tavoletta pretoriana), un compasso di proporzione e delle aste - (fr:7338-7339). Il procedimento per il rilievo di un’area (giardino, città) segue una logica gerarchica: 1. Ispezione preliminare e schizzo approssimativo. 2. Definizione di una ”base” principale, una linea lunga e retta alla quale riferire perpendicolarmente gli elementi del luogo - (fr:7422). 3. Utilizzo di uno strumento (es. una ”Sauterelle” degli agrimensori) per tracciare perpendicolari dalla base agli angoli significativi, piantando picchetti nei punti di intersezione. 4. Misura accurata delle distanze sulla base e delle lunghezze delle perpendicolari. 5. Creazione di un ”châssis” (telaio) di linee principali (spesso perpendicolari tra loro o che formano triangoli) che servirà da riferimento per tutto il rilievo. La correttezza di questo telaio è essenziale per la giustezza del piano - (fr:7453-7454). 6. Riferimento al telaio dei dettagli principali (muri, fossati, strade) tramite perpendicolari, oblique o intersezioni. 7. Inserimento dei dettagli minori, talvolta “à vue” (a vista) - (fr:7481).

19.5 La cartografia: dalla provincia al regno

Il metodo per la carta di una provincia inizia con la misura accurata di una base lunga 2-3000 tese. Utilizzando una planchette con due cannocchiali, si rilevano dagli estremi della base gli ”angoli di posizione” di punti notevoli (campanili, castelli). Spostando lo strumento in successive stazioni, si forma una rete di triangoli. L’intersezione delle linee di posizione tracciate sulla carta da punti noti determina la posizione degli altri luoghi - (fr:7498-7504, 7520-7521). Per una carta di un regno, come la Francia, la precisione richiede strumenti astronomici di alta precisione (grandi quadranti, archi di rame di oltre 6 piedi di raggio) per determinare latitudine e longitudine dei luoghi principali. La latitudine si ricava dall’altezza meridiana del sole o delle stelle; la longitudine, più accuratamente, dalle ”immersioni dei Satelliti di Giove o di Saturno” - (fr:7552, 7560-7561). Questi punti formano un telaio geodetico che viene poi riempito con le carte topografiche delle province.

19.6 Uso della bussola e significato storico

Un’appendice è dedicata all’uso della bussola per il rilievo. Si spiega come, misurando la ”declinaison de l’aiguille aimantée” (declinazione magnetica) in ogni stazione lungo un poligono e sottraendo successivamente questi angoli osservati, si ottengano gli angoli esterni della figura rilevata - (fr:7578-7582). Questo metodo indiretto era necessario per compensare la variazione della direzione magnetica. Il testo è una preziosa testimonianza delle tecniche geodetiche e cartografiche alla vigilia dell’era delle grandi misurazioni scientifiche (come quella del meridiano di Francia). Combina conoscenze geometriche e trigonometriche con un approccio pratico e artigianale, mostrando una piena consapevolezza delle fonti di errore (strumenti imperfetti, rifrazione, curvatura terrestre). Rappresenta il sapere tecnico dell’ingegnere e del topografo del Settecento, volto al controllo e alla rappresentazione misurabile del territorio.

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[20.1-113-7671|7783]

20 Metodi per il calcolo di aree in geometria

Estrazione di formule pratiche per settori, segmenti, ellissi, solidi e superfici sferiche da un trattato geometrico del XVIII secolo.

Il testo presenta una serie di procedimenti per il calcolo di superfici piane e curve, caratteristici di un manuale pratico di geometria. Il metodo espositivo è algoritmico: fornisce regole operative, spesso multiple, accompagnate da riferimenti a figure e a numeri di paragrafo di una teoria presupposta. Un elemento peculiare è l’uso di approssimazioni numeriche specifiche per il rapporto circonferenza-diametro (π), come le frazioni 22/7 e 355/113, e costanti derivate come 00872 per il calcolo dei settori. La notazione utilizza la “s lunga” (ſ) e forme arcaiche come “quarré” per quadrato.

Il calcolo dell’area di un settore circolare è trattato per primo. La regola fondamentale richiede il raggio e l’arco: “multiplier l’un par l’autre, enfin prendre la moitié du produit” - (fr:7674). Vengono poi fornite due regole pratiche che utilizzano costanti precalcolate: se l’arco è in gradi, si moltiplica il quadrato del raggio per l’arco e per 872, dividendo poi per 100000; se è in minuti, si usa il moltiplicatore 14537 e si divide per Si nota una preoccupazione per l’approssimazione: “plus on en retranchera, moins l’opération fera jufte” - (fr:7679). La giustificazione teorica di queste costanti viene ricondotta al calcolo della circonferenza di un cerchio di diametro 2, ottenendo “la nouvelle fraction 183” - (fr:7683) per la circonferenza, e quindi alla frazione “872” - (fr:7687) come area di un settore di un grado con raggio unitario.

Per superfici più complesse, il metodo è scompositivo. L’area di un segmento circolare si ottiene calcolando “le fecteur CAD B” e sottraendo “la valeur du triangle CAB” - (fr:7704). Per l’ellisse, si propone di moltiplicare i due assi e applicare le stesse analogie usate per il cerchio, oppure una proporzione diretta: “Comme le grand axe de l’ellipfe Efi au petit axe ; . . Ainfi la fuperficie du cercle qui a le grand, axe pour diamètre , Efi à la fuperficie de rellipfe” - (fr:7710). Segue una dimostrazione geometrica dettagliata che sfrutta la costruzione dell’ellisse per trasformazione affine da un cerchio, concludendo che “le cercle qui a AR pour diamètre, eft égal à la furface de l’ellipfe” - (fr:7749), dove AR è la media proporzionale tra gli assi.

Il testo procede al calcolo delle superfici laterali di solidi. Per cilindri e prismi retti, “il faut multiplier la circonférence de la bafe par la hauteur” - (fr:7749); per quelli obliqui, si moltiplica il perimetro della sezione retta per la lunghezza. Si precisa che “dans la fuperficie du cylindre & du prifme, nous ne comprenons pas la fuperficie des deux baies” - (fr:7754). Per coni e piramidi rette, la superficie laterale si calcola moltiplicando la circonferenza (o il perimetro) di base per metà dell’apotema. Per la sfera, la superficie si ottiene moltiplicando “le diamètre de la fphere par la circonférence de fon grand cercle” - (fr:7769) o usando le proporzioni con 7:22 o 113:355, giustificate dal fatto che “le quarré du diamétre d’une fphere eft à fa fuperficie , comme le diamètre eft à fa circonférence” - (fr:7778). L’ultimo paragrafo accenna al problema di trovare “la valeur d’une partie de la fuperficie de la fphére” - (fr:7782).

Il testo ha valore di testimonianza di un preciso momento storico dello sviluppo matematico: mostra la geometria pratica del XVIII secolo, sospesa tra l’eredità euclidea (dimostrazioni proporzionali, riferimenti a teoremi) e le esigenze di calcolo numerico pre-calcolatore, risolte con l’uso sistematico di costanti approssimate e procedimenti algoritmici destinati a tecnici e artigiani.

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[21.1-78-7891|7968]

21 Metodi per il calcolo della solidità di sfere, sferoidi e loro parti

Trattazione geometrica settecentesca sulle formule per misurare volumi di solidi rotondi e regolari.

Il testo è un estratto metodico di un trattato di geometria pratica, probabilmente del XVIII secolo, dedicato al calcolo della solidità (volume) di vari solidi. Si apre con il metodo per la sfera, stabilendo che “il faut multiplier la fuperficie par le tiers du rayon ou par la fixieme partie du diamètre” - (fr:7891-7893) [bisogna moltiplicare la superficie per un terzo del raggio o per la sesta parte del diametro]. Fornisce poi una proporzione alternativa basata sul rapporto approssimato tra circonferenza e diametro, affermando che la solidità sta al cubo del diametro “comme 22 eft à 42 , ou 11 eft à 21, ou bien comme 678 eft à 355” - (fr:7897) [come 22 sta a 42, o 11 sta a 21, o anche come 678 sta a 355].

Il concetto centrale successivo è lo sferoide, definito come “une manière de fphere applatie, décrite par la circonvolution d’une demi-ellipf … fur l’un de fes axes” - (fr:7907) [una sorta di sfera schiacciata, descritta dalla rivoluzione di una semi-ellisse … attorno a uno dei suoi assi]. Vengono distinti due casi: rivoluzione attorno all’asse maggiore o minore. La regola pratica è che per un sferoide generato attorno all’asse maggiore AB, la solidità si ottiene “en multipliant la furface du cercle qui a le petit axe CD pour diamètre, par les deux tiers du grand axe AB” - (fr:7910) [moltiplicando la superficie del cerchio che ha il piccolo asse CD per diametro, per i due terzi del grande asse AB]. Il caso inverso prevede di usare il cerchio del grande asse e i due terzi del piccolo. La dimostrazione si basa sul confronto tra gli elementi (cerchi) che compongono lo sferoide e una sfera di confronto, sfruttando il principio noto che “la sphére eft les deux tiers du cylindre circonfcrit” - (fr:7919) [la sfera è i due terzi del cilindro circoscritto].

La parte finale classifica e spiega come misurare le parti di una sfera, suddivise in quattro classi: 1) Il settore o cono sferico, con vertice al centro e base una calotta; il suo volume si trova moltiplicando l’area della calotta “par le tiers du rayon” - (fr:7934) [per un terzo del raggio]. 2) L’imbuto sferico, un cono cavo tra due cerchi paralleli, si calcola allo stesso modo. 3) Il segmento sferico, parte compresa tra la superficie e un piano secante, si ottiene per differenza tra il volume del cono sferico corrispondente e quello del cono con base piana. 4) Le tranches (fette): se passanti per il centro, il volume è proporzionale all’angolo solido (“Comme 360 degrés Eft au nombre des degrés … Ainfi la folidité de la fphére Eft à la folidité de la tronche” - fr:7952) [Come 360 gradi sta al numero dei gradi… Così la solidità della sfera sta alla solidità della fetta]; se parallele, sono trattate come differenza di due segmenti sferici.

Il testo si chiude con un accenno ai corpi regolari, definiti come quelli in cui “on peut infcrire une fphére qui touche tous les plans qui terminent ce corps” - (fr:7967) [si può inscrivere una sfera che tocchi tutti i piani che delimitano questo corpo], concepibili come un insieme di piramidi con vertice nel centro della sfera inscritta.

Il trattato ha valore storico come testimonianza della geometria solida pre-calculistica, che combina regole pratiche, dimostrazioni per elementi indivisibili e l’uso sistematico di proporzioni e analogie. L’ortografia arcaica (come “fuperficie”, “fphére”, “eft”) e l’uso del “N°.” per riferimenti incrociati sono elementi peculiari del testo, tipici della pubblicazione scientifica francese dell’epoca.

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[22.1-260-8118|8377]

22 Struttura e contenuti dell’opera “La Géométrie Élémentaire & Pratique” di Sauveur

Un trattato enciclopedico di geometria teorica e applicata, pubblicato postumo a metà del Settecento con privilegio reale.

Il testo fornito è l’indice dettagliato e i paratesti ufficiali di un’opera scientifica in francese dal titolo “la Géométrie Elémentaire & Pratique”, attribuita a feu M. Sauveur (il defunto signor Sauveur) e preparata per la pubblicazione da M. le Blond. L’opera è strutturata in due grandi parti principali: la Géométrie Élémentaire (teorica) e la Géométrie Pratique (applicata), ciascuna suddivisa in più libri e capitoli.

La Géométrie Élémentare (Libri I-VI) tratta la geometria piana e solida in modo sistematico e assiomatico. Si parte dai concetti fondamentali di linea, angolo e cerchio (“Des lignes en général” - fr:8122; “Des angles” - fr:8127; “De la ligne circulaire” - fr:8125), per passare alle figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni), alla teoria delle proporzioni (“Des lignes proportionnelles” - fr:8139) e delle figure simili, fino alla misurazione delle aree. La trattazione si estende poi alla geometria solida, con lo studio di piani, solidi, parallelepipedi, sfere, prismi, cilindri, piramidi e coni, inclusa la misurazione delle loro superfici e volumi. Un elemento peculiare è il ricorso al metodo degli indivisibili per il calcolo delle aree e dei volumi (“Des indivifibles pour les fiuperficies” - fr:8157; “Des indivifibles pour les fiolides” - fr:8192), una tecnica pre-calculistica che testimonia la diffusione delle idee di Cavalieri.

La Géométrie Pratique (Libri I-VII) è un manuale di applicazioni tecniche e strumentali. Comprende una sezione introduttiva sui logaritmi (“Des Logarithmes en général” - fr:8203) e sulla loro costruzione, seguita da un’estesa trattazione di trigonometria piana (“De la Trigonométrie reclUigne” - fr:8213) per la risoluzione dei triangoli. Una parte significativa è dedicata agli strumenti di misura e disegno: il compasso di proporzione, con le sue varie scale (“Des lignes des parties égales, Des lignes des cordes, Des lignes des polygones” - fr:8242,8245,8248), la riga logaritmica (“De la régie logarithmique” - fr:8256) e gli strumenti per il disegno su carta e su grandi superfici. La parte finale tratta le applicazioni sul campo: la misurazione della terra (“De la mefure de la terre” - fr:8301), con un riferimento storico esplicito alle operazioni condotte dopo quella di M. Picard (“Précis des opérations faites pour la mefure de la terre depuis celle de M. Picard” - fr:8302), il livellamento, la misura di altezze e distanze inaccessibili, e la creazione di mappe e piani topografici (“De la manière de lever des plans & des cartes” - fr:8311).

Il significato storico dell’opera è duplice. In primo luogo, come testo didattico, mira a unire teoria e pratica in un compendio completo, rispondendo a un’esigenza formativa per “Maître de Mathématiques des Enfans de France” (fr:8334) e per un pubblico più ampio. In secondo luogo, i paratesti ufficiali (Approvazione e Privilegio del Re) ne fanno un documento della cultura scientifica e dell’editoria nell’Ancien Régime. L’“Approbation” (fr:8327) di De Parcieux, datata 24 giugno 1752, ne loda “la facilité, fa méthode & fa clarté”. Il “PRIVILEGE DU ROI” (fr:8332), concesso da Luigi XV a Versailles il 15 settembre 1752, conferisce al sig. Le Blond il monopolio di stampa per 15 anni, proteggendo l’opera da contraffazioni con pene severe. Questi documenti testimoniano il rigido controllo statale sulla pubblicazione (“Réglemens de la Librairie” - fr:8338) e la necessità del patronato reale per la diffusione del sapere. Una nota finale (fr:8354) rivela che i diritti per la parte geometrica e per un dizionario di marina furono ceduti a un editore, M. Rollin, il 30 giugno 1753, illustrando le pratiche commerciali dell’epoca. Le istruzioni al rilegatore (fr:8363) per il posizionamento delle tavole illustrative completano il quadro di un’opera editoriale complessa e curata.

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