René Dugas - A History of Mechanics | L | +

28 Apr, 2026

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1 Prefazione a una storia della meccanica: tra antichi pregiudizi e rivoluzioni contemporanee

L’evoluzione della meccanica è il racconto di una conquista intellettuale durata più di duemila anni, in cui i principi della statica furono correttamente formulati già nell’antichità, mentre la dinamica dovette attendere il tramonto del Medioevo per affrancarsi dalle concezioni aristoteliche e giungere alle vette della relatività e della meccanica quantistica.

Le prime preoccupazioni del pensiero umano si rivolsero al moto degli astri, un cammino che «from the Chaldean shepherds to the great Greek and Hellenistic astronomers […] led to the discovery of the true laws of dynamics» – “dai pastori caldei ai grandi astronomi greci ed ellenistici […] portò alla scoperta delle vere leggi della dinamica” (fr:6). Eppure, per secoli, la scienza del movimento rimase intrappolata in un paradosso: mentre i principi della statica erano già stati esposti correttamente, «those of dynamics, obscured by the false conceptions of the aristotelian school, did not begin to see light until the end of the Middle Ages and the beginning of the modern era» – “quelli della dinamica, oscurati dalle false concezioni della scuola aristotelica, non cominciarono a vedere la luce fino alla fine del Medioevo e agli inizi dell’era moderna” (fr:7).

Questa lunga gestazione è il cuore della Storia della meccanica di René Dugas, un’opera che il prefatore – con ogni probabilità Louis de Broglie, «permanent secretary of the Académie des sciences» (fr:47) – presenta come una sintesi di rara completezza e obiettività. A differenza della celebre Meccanica di Ernst Mach, la quale, pur essendo «still extremely instructive and absorbing» – “ancora estremamente istruttiva e avvincente” (fr:25), risentiva di una impostazione troppo sistematica: «Mach’s thought was in fact dominated by the general ideas which secured his adherence in Physics to the energetic school and in Philosophy to the positivistic thesis» – “il pensiero di Mach era infatti dominato da quelle idee generali che gli fecero abbracciare, in fisica, la scuola energetica e, in filosofia, la tesi positivistica” (fr:27). Mach cercava nella storia illustrazioni delle proprie convinzioni, mentre Dugas adotta l’atteggiamento opposto: «a scrupulous historian, he has patiently followed all the vagaries of thought of the great students of the subject, collating their texts carefully and always preserving the strictest objectivity» – “storico scrupoloso, ha seguito pazientemente tutte le divagazioni del pensiero dei grandi studiosi, confrontando con cura i loro testi e mantenendo sempre la più rigorosa obiettività” (fr:31). Il risultato è un libro «less systematic and more complete» – “meno sistematico e più completo” (fr:26) di quello di Mach, arricchito dall’evoluzione della critica storica e dai progressi stessi della scienza (fr:32).

Uno dei meriti maggiori del volume è quello di restituire il giusto peso ai contributi medievali, rivalutati anche grazie agli studi imponenti di Pierre Duhem. Già nel XIII secolo si era formata una scuola di statica che, sotto il nome di gravitas secundum situm, elaborò un principio che «was to develop into the principle of virtual work» – “si sarebbe sviluppato nel principio dei lavori virtuali” (fr:59). Nel XIV secolo Giovanni Buridano formulò la prima teoria dell’impetus, la quale «explicitly departs from the Peripatetic ideas, which demanded the constant intervention of a mover to maintain violent motion in the Aristotelian sense» – “si discosta esplicitamente dalle idee peripatetiche, che richiedevano il costante intervento di un motore per mantenere il moto violento in senso aristotelico” (fr:62). Quella stessa dottrina, passando per le mani di Benedetti, divenne «an early form of the principle of inertia» – “una forma embrionale del principio d’inerzia” (fr:63), mentre la scuola di Oxford del Trecento chiariva le leggi della cinematica del moto uniformemente accelerato (fr:64). Dugas ha il pregio di presentare questi sviluppi in poche pagine, distillando le ricerche duhemiane, spesso «lengthy and somewhat vague» – “prolisse e un po’ vaghe” (fr:36), in una forma che il lettore può affrontare «easily and with the greatest profit» – “con facilità e con il massimo profitto” (fr:36).

L’opera è strutturata in cinque parti e segue deliberatamente l’ordine cronologico. Dugas ha rifiutato il metodo tematico, preferendo far emergere «each century […] in full light, with its own mentality and atmosphere» – “ogni secolo […] in piena luce, con la sua propria mentalità e atmosfera” (fr:73), perché i diversi problemi della meccanica «evolved in fact along parallel lines, profiting by the progress made in mathematical language» – “evolvettero di fatto lungo linee parallele, beneficiando dei progressi del linguaggio matematico” (fr:71). Dopo aver trattato i precursori fino al Cinquecento, la seconda parte è dedicata alla formazione della meccanica classica, il Seicento «deserves to be considered as the great creative century, with three great peaks formed by Galileo, Huyghens and Newton» – “merita di essere considerato come il grande secolo creativo, con tre vette costituite da Galileo, Huygens e Newton” (fr:77). La terza parte segue l’organizzazione settecentesca della meccanica, culminante in Lagrange, mentre la quarta sezione, dedicata al periodo successivo, opera una selezione di temi particolarmente gravidi di sviluppi contemporanei, poiché «nothing would be gained by duplicating the textbooks» – “nulla si guadagnerebbe a duplicare i manuali” (fr:81).

L’illusione di completezza che pervadeva la meccanica lagrangiana fu infranta all’inizio del Novecento da due sviluppi del tutto inattesi: «on the one hand, relativistic mechanics and on the other, quantum and wave mechanics» – “da un lato la meccanica relativistica, dall’altro la meccanica quantistica e ondulatoria” (fr:10). Se la relatività, pur sconvolgendo le nozioni consuete di tempo e spazio, «in a sense, completed and crowned the work of classical mechanics» – “in un certo senso completò e coronò l’opera della meccanica classica” (fr:16-17), la meccanica quantistica impose un distacco ben più radicale, costringendo ad abbandonare «the continuity and absolute determinism of elementary phenomena» – “la continuità e il determinismo assoluto dei fenomeni elementari” (fr:17). Oggi queste due costruzioni rappresentano «the two highest peaks of the progress of our knowledge in the whole field of mechanical phenomena» – “le due più alte vette del progresso della nostra conoscenza nell’intero campo dei fenomeni meccanici” (fr:18).

La scelta di includere, nella quinta parte del libro, sia i balbettii degli antichi sia i primi passi della nuova meccanica potrebbe sembrare una scommessa, ma l’autore mostra che «the original works never had that codified aspect which is, of necessity, lent them by the textbooks» – “le opere originali non ebbero mai quell’aspetto codificato che i manuali sono costretti a conferire loro” (fr:90). Il risultato è un affresco in cui il lettore incontra i protagonisti attraverso le loro parole, spesso «written in a bad Latin whose meaning is often difficult to appreciate» – “scritte in un latino malsicuro il cui significato è spesso difficile da cogliere” (fr:44), che Dugas riesamina e ripensa, non accontentandosi mai di lavorare di seconda mano. Come nota il prefatore, questo intreccio di erudizione paziente e ampia conoscenza della scienza passata e presente «makes the history of science particularly difficult and restricts the number of those who can, with profit, devote themselves to it» – “rende la storia della scienza particolarmente difficile e limita il numero di coloro che possono dedicarvisi con profitto” (fr:45).

Il lungo percorso qui testimoniato modifica anche la nostra idea di determinismo. La legalità di cui la meccanica classica andava fiera «now appears, after the development of wave mechanics, as justified in the macroscopic domain because of statistical compensation between the individuals of a large assembly, without there being an underlying determinism» – “appare oggi, dopo lo sviluppo della meccanica ondulatoria, giustificata nel dominio macroscopico grazie a una compensazione statistica tra gli individui di una grande collettività, senza che vi sia un determinismo soggiacente” (fr:87). La meccanica si rivela così non solo il fondamento di innumerevoli applicazioni, ma anche il banco di prova su cui la ragione umana ha via via ridefinito i propri concetti più profondi.

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2 La meccanica aristotelica nell’analisi di Duhem: luoghi naturali, moto violento e figura della Terra

Un percorso attraverso i fondamenti della fisica aristotelica e le loro implicazioni per lo sviluppo della meccanica, dalla separazione tra mondo sublunare e celeste alla teoria del moto dei proiettili, dalla composizione dei moti al principio d’inerzia, fino alle argomentazioni sulla gravità e sulla forma sferica della Terra.

L’analisi prende le mosse dalla distinzione radicale che fonda la fisica aristotelica. Per Aristotele il luogo naturale dei corpi pesanti è il centro del Mondo, mentre quello dei corpi leggeri è la regione contigua alla sfera della Luna: “If the natural place of heavy bodies is the centre of the World, the na- tural place of light bodies is the region contiguous with the Sphere of the Moon.” – (fr:167) [Se il luogo naturale dei corpi pesanti è il centro del Mondo, il luogo naturale dei corpi leggeri è la regione contigua alla Sfera della Luna.] Ai corpi celesti, per contro, non si applicano le leggi terrestri: “Heavenly hodies are not subject to the laws applicable to terres- trial ones-every star is a hody as it were divine, moved by its o,vn divinity.” – (fr:168) [I corpi celesti non sono soggetti alle leggi applicabili a quelli terrestri — ogni astro è un corpo per così dire divino, mosso dalla propria divinità.] Con un netto ritorno alla meccanica sublunare (fr. 169), il discorso si concentra sul carattere effimero del moto violento. Esso è essenzialmente impermanente, come recita l’assioma scolastico “Nullum violentum potest esse perpetuum” – (fr:171). Una volta scagliato un proiettile, la continuità del movimento è garantita dall’aria circostante posta in movimento: “Once a projectile is thrown, the motive agency which assures the continuity of the motion resides in the air which has heen set in motion.” – (fr:172) [Una volta lanciato un proiettile, l’agente motore che assicura la continuità del moto risiede nell’aria che è stata messa in movimento.] Aristotele attribuisce all’aria, a differenza dei corpi solidi, la capacità di conservare spontaneamente l’impulso ricevuto e di agire così da agente motore durante il volo (fr. 173). Questa opinione appare tanto più paradossale in quanto lo stesso Aristotele sottolinea altrove la resistenza del mezzo, la quale cresce in proporzione diretta alla sua densità (fr. 174-175). Ne è prova la citazione diretta: “If air is twice as tenuous as ,vater, the same moving body will spend twice as much time in travelling a certain path in ,vater as travelling the same path in air.” – (fr:176) [Se l’aria è due volte più tenue dell’acqua, lo stesso corpo in movimento impiegherà il doppio del tempo a percorrere un dato tragitto in acqua rispetto allo stesso tragitto in aria.]

Altro nucleo tematico è la composizione dei moti. Quando un corpo è animato simultaneamente da due movimenti le cui distanze percorse nello stesso tempo sono in proporzione costante, esso si muove lungo la diagonale di un parallelogramma i cui lati hanno lunghezze proporzionali a quelle distanze (fr. 178-179). Se invece il rapporto tra le distanze percorse varia da un istante all’altro, il corpo non può avere un moto rettilineo e genera una traiettoria curva: “In such a way a curved path is generated when the moving hody is actuated hy two motions whose proportion does not remain constant from one instant to another.” – (fr:181) [In tal modo si genera un percorso curvo quando il corpo in movimento è animato da due moti la cui proporzione non rimane costante da un istante all’altro.] Queste proposizioni riguardano ciò che oggi chiamiamo cinematica (fr. 182); da esse si inferivano però immediatamente risultati dinamici concernenti le forze (fr. 183). Il collegamento tra le due discipline, indicato da Duhem, si ottiene assumendo un principio fondamentale della dinamica aristotelica: si consideri un corpo pesante che descrive una curva in un piano verticale (fr. 184). Esso è attuato simultaneamente da due moti (fr. 185-186): una discesa verticale — moto naturale dovuto alla gravità — e uno spostamento che, a seconda della posizione sulla traiettoria, aumenta o diminuisce la distanza dal centro, configurandosi come moto violento orizzontale (fr. 187-188). Se si prendono corpi diversamente distanti dal centro su un medesimo raggio che ruota cadendo, si può inferire che per ciascun corpo il rapporto tra moto naturale e moto violento rimane costante (fr. 189-191). Aristotele rimase a lungo colpito da questa uguaglianza, scorgendovi una misteriosa correlazione con la legge dell’equilibrio delle leve (fr. 192-193). In margine si osserva infatti che, a parità di caduta, quanto più lunga è la leva tanto meno il moto naturale risulterà disturbato; è quindi naturale supporre che un peso abbia maggior potenza all’estremità di una leva lunga che a quella di una corta (fr. 208-209). Duhem rileva tuttavia un limite: il centro, τὸ μέσον, verso cui ogni corpo è attratto non fu definito in modo preciso da Aristotele, il quale non lo identificò con il centro di gravità, a lui ignoto (fr. 206, 210-211).

Strettamente connessa è la negazione aristotelica del vuoto. Nel IV libro della Fisica, Aristotele sostiene l’impossibilità del vuoto perché in esso non sarebbe possibile alcun moto naturale, cioè alcuna tendenza verso un luogo naturale (fr. 194). Questo ragionamento lo condusse incidentalmente a formulare un principio analogo a quello d’inerzia, giustificandolo nello stesso modo impiegato dai grandi fisici del Settecento: “It is impossible to say why a body that has been set in motion in a vacuum should ever come to rest; why, indeed, it should come to rest at one place rather than at another. As a consequence, it will either necessarily stay at rest or, if in motion, will move indefinitely unless some obstacle comes into collision with it.” – (fr:196-197) [È impossibile dire perché un corpo messo in movimento nel vuoto dovrebbe mai fermarsi; perché, anzi, dovrebbe fermarsi in un luogo piuttosto che in un altro. Di conseguenza, esso o resterà necessariamente fermo o, se in moto, si muoverà indefinitamente a meno che non incontri un ostacolo.]

Notevole influenza sullo sviluppo della meccanica ebbero le idee aristoteliche sulla gravità e sulla figura della Terra. Nel Trattato sul Cielo, Aristotele afferma che il centro dell’Universo e il centro della Terra coincidono e che i corpi pesanti sono attratti verso il centro dell’Universo; l’attrazione verso il centro della Terra è dunque solo accidentale (fr. 200-202). Alla domanda su cosa accadrebbe se un grande peso venisse aggiunto a uno degli emisferi terrestri, la risposta è che la Terra si muoverebbe fino a disporsi uniformemente attorno al centro del Mondo, poiché le tendenze al moto delle diverse parti si controbilanciano (fr. 203-205). Infine, Aristotele distingue gli argomenti a posteriori per la sfericità della Terra — quali la forma dell’ombra nelle eclissi lunari e il mutare delle costellazioni per un viaggiatore che si sposta da nord a sud — da un argomento a priori: “Suppose that the Earth is no longer a single mass, hut that, poten- tially, its different parts are separated from each other and are placed in all directions and attracted similarily towards the centre. Then let the parts of the Earth which have heen separated from each other and taken to the ends of the World he allowed to reunite at the centre; let the Earth he formed by a different procedure-the result will he exactly the same. If the parts are taken to the ends of the World and are taken there similarily in all directions, they ,viII necessarily form a mass which is symmetrical. Because there will result an addition of parts which are equal in all directions, and the surface which defines the mass produced will be everywhere equidistant from the centre. Such a surface will therefore be a sphere.” – (fr:213-217) [Si supponga che la Terra non sia più una massa unica, ma che, potenzialmente, le sue differenti parti siano separate le une dalle altre e collocate in tutte le direzioni e attratte similmente verso il centro. Si lascino poi le parti della Terra, che sono state separate e portate ai confini del Mondo, riunirsi al centro; si formi la Terra con un procedimento differente: il risultato sarà esattamente lo stesso. Se le parti sono portate ai confini del Mondo e sono portate similmente in tutte le direzioni, formeranno necessariamente una massa simmetrica. Perché risulterà un’aggiunta di parti uguali in tutte le direzioni, e la superficie che definisce la massa prodotta sarà ovunque equidistante dal centro. Una tale superficie sarà dunque una sfera.]

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3 Meccanica e idrostatica nel pensiero greco: da Aristotele ad Archimede

Il testo ripercorre due momenti fondanti della scienza antica: la spiegazione aristotelica della sfericità della superficie marina e la costruzione archimedea di una statica e di un’idrostatica rigorose. L’estratto, che reca traccia di una pagina di Duhem, mostra come la fisica qualitativa di Aristotele e la successiva sistematizzazione di Adrasto preparino il terreno alla svolta di Archimede, nella quale l’equilibrio diventa oggetto di un’esposizione assiomatica.

Già nella dottrina aristotelica la superficie dell’acqua manifesta una proprietà essenziale: “On the other ,.Il.and, for the surface of water, this is obvious if it is admitted that” it ,/ is a ’property of water to run towards the lowest ” that is, towards places -w-hich are centre.” – (fr:221) [D’altra parte, per la superficie dell’acqua, è evidente, se si ammette che «è una proprietà dell’acqua scorrere verso il più basso», cioè verso i luoghi che sono il centro.] L’acqua si dispone perciò secondo linee irradianti: “that the water takes up the the lines radiating from the Fig.” – (fr:224) [che l’acqua assume la forma costituita dalle linee irradianti dal centro (Fig.)]. Poiché “from a centre is a circumference of a 5Ul”Ia(~e of will therefore be spherical.“ – (fr:227) [da un centro è una circonferenza di una superficie, che sarà pertanto sferica], la massa complessiva di acqua e Terra assume forma sferica. Adrasto, commentando Aristotele, completò la prova con un’evidenza destinata a diventare classica: “Often, during a voyage, one cannot see the Earth or an approach- ing ship from the deck, while sailors ,,’”ho climb to the top of a mast can see these things because they are much higher and thus overcome the convexity of the sea which is an obstacle.” – (fr:233) [Spesso, durante un viaggio, non si riesce a scorgere la Terra o una nave in avvicinamento dal ponte, mentre i marinai che salgono in cima all’albero maestro possono vederle, poiché sono molto più in alto e superano così la convessità del mare che funge da ostacolo.]

L’autore ricorda poi che le dottrine aristoteliche, per quanto inadeguate agli occhi moderni, affondavano le radici nell’esperienza comune e avevano il pregio di tener conto delle resistenze passive: “To an unsophisticated observer, a horse pulling a cart seems to behave according to the law of powers, in the sense that it develops an effort which increases regularly with the speed.” – (fr:236) [A un osservatore non sofisticato, un cavallo che tira un carro sembra comportarsi secondo la legge delle potenze, nel senso che sviluppa uno sforzo che aumenta regolarmente con la velocità.] Per edificare la meccanica moderna occorreva invece ignorare gli attriti e introdurli solo più tardi come forze accidentali. Tuttavia, l’impronta aristotelica fu tenacissima: “aristotelian doctrines provided the f~ric of thought in mechanics for nearly two thousand years, so that e~en Galileo, who was to become the creator of mode”rn dynamics, made his first steps in science in commenting Aristotle, and proved in ¥s early writings to be a faithful Peripatetic; which, it may he said in passing, in no way diminishes his glory as a reformer, on the contrary, it only adds to it.” – (fr:238) [le dottrine aristoteliche fornirono il tessuto del pensiero meccanico per quasi duemila anni, tanto che perfino Galileo, che sarebbe divenuto il creatore della dinamica moderna, mosse i primi passi nella scienza commentando Aristotele e si dimostrò, nei suoi primi scritti, un fedele peripatetico; ciò, detto per inciso, non sminuisce la sua gloria di riformatore, anzi, la accresce.]

Una rottura decisiva si compie con Archimede, che della statica fa una scienza teorica autonoma basata su postulati di origine sperimentale e su dimostrazioni geometriche. Il trattato Sull’equilibrio dei piani espone i fondamenti della leva. Fra i postulati troviamo: “Equal weights suspended at equal distances (from a fulcrum) are in equilibrium.” – (fr:246) [Pesi uguali sospesi a distanze uguali (da un fulcro) sono in equilibrio]; “Equal weights suspended at unequal distances cannot he in equilibrium. The lever will he inclined towards the greater weight.” – (fr:247-248) [Pesi uguali sospesi a distanze disuguali non possono essere in equilibrio; la leva si inclinerà verso il peso maggiore]; “If weights suspended at certain distances are in equilibrium, and something is added to one of them, they will no longer he in equilibrium. The lever will he inclined towards the weight which has been increased.” – (fr:249-250) [Se dei pesi sospesi a determinate distanze sono in equilibrio e si aggiunge qualcosa a uno di essi, non saranno più in equilibrio; la leva si inclinerà verso il peso che è stato aumentato]; e ancora la nozione di centro di gravità di figure piane (fr:252-256). Su questo apparato Archimede dimostra le proposizioni fondamentali.

Il cuore della teoria della leva è la Proposizione VI: “Commensurahle magnitudes are in equilibrium when they are reciprocally proportional to the distances at which they are suspended.” – (fr:267) [Grandezze commensurabili sono in equilibrio quando sono reciprocamente proporzionali alle distanze a cui sono sospese.] L’autore riproduce l’intera dimostrazione (fr:269-293) con la sua intricata costruzione di segmenti multipli, comune misura e grandezze parziali, per mostrare la natura dell’apparato logico archimedeo. Subito dopo, però, ne mette in luce tre debolezze: “Archimedes assumes in this proof that the load on the fulcrum of a lever is equal to the sum of the two weights which it supports.” – (fr:296) [Archimede suppone in questa dimostrazione che il carico sul fulcro di una leva sia uguale alla somma dei due pesi che esso sostiene]; “he made use of the principle of superposition of equilibrium states, without emphasising that this was an experimental postulate.” – (fr:297) [fece uso del principio di sovrapposizione degli stati di equilibrio, senza sottolineare che si trattava di un postulato sperimentale]; e soprattutto “Archimedes, together with those of his succes- sors who tried to improve his proof, tacitly made the hypothesis that the product PL measures the effect of a weight P placed at a distance L from a horizontal axis.” – (fr:298) [Archimede, insieme ai successori che tentarono di perfezionare la sua dimostrazione, formulò tacitamente l’ipotesi che il prodotto PL misuri l’effetto di un peso P collocato a distanza L da un asse orizzontale.] Proprio perché i soli postulati non escludono altre leggi della forma Pf(L), risulta “impossible, with the help of Archimedes’ postulates alone, to substantiate Proposition VI in a logical way.” – (fr:299) [impossibile, con il solo ausilio dei postulati di Archimede, dimostrare logicamente la Proposizione VI.] Il resto del trattato è dedicato alla determinazione dei centri di gravità di triangoli, parallelogrammi, trapezi e del segmento di parabola, analisi che rappresenta una pietra miliare nella storia della matematica.

Il testo si sposta quindi sul Sui corpi galleggianti, che si apre con un’ipotesi sulla natura dei fluidi: “The nature of a fluid is such that if its parts are equivalently placed and continuous with each other, that which is the least compress- ed is driven along by that which is the more compressed. Each part ;of the fluid is compressed by the fluid which is above it in a vertical dir~ction, whether the fluid is falling some,vhere or whether it is driven from one place to another.” – (fr:302-303) [La natura di un fluido è tale che, se le sue parti sono disposte in modo equivalente e continue tra loro, la meno compressa è spinta dalla più compressa. Ciascuna parte del fluido è compressa dal fluido che le sta sopra in direzione verticale, sia che il fluido cada in qualche punto sia che venga spinto da un luogo a un altro.] Da qui discende la Proposizione II: “The surface of any fluid at rest is spherical and the centre of this surface is the same as the centre of the Earth.” – (fr:310) [La superficie di qualunque fluido in quiete è sferica e il centro di questa superficie è lo stesso centro della Terra.] Il risultato era già stato enunciato da Aristotele, ma ora è inserito in una catena deduttiva.

La Proposizione III enuncia il principio che porterà il nome di Archimede: “If a body whose weight is equal to that of the same volume of a fluid (a) is immersed in that fluid, it will sink until no part of it remains above the surface, but will not descend further.” – (fr:313) [Se un corpo il cui peso è uguale a quello di un ugual volume di fluido è immerso in quel fluido, affonderà finché nessuna sua parte resta sopra la superficie, ma non scenderà oltre.] La dimostrazione, riportata per esteso, costruisce due piramidi con vertice nel centro della Terra e interseca le superfici sferiche del fluido e del corpo immerso (Fig. 3). Vengono confrontate le porzioni di fluido comprese tra le superfici e si mostra che, essendo il corpo di peso specifico uguale a quello del liquido, le pressioni esercitate sulle parti fluide dalle piramidi si equivalgono, così che il corpo rimane in equilibrio sotto la superficie.

Nel complesso, il brano testimonia il passaggio dalla fisica intuitiva aristotelica a una scienza archimedea che unisce postulati empirici, rigore geometrico e la prima formulazione assiomatica dell’idrostatica. I limiti logici della prova della leva non oscurano la portata rivoluzionaria di un metodo che, pur restando nel quadro cosmologico geocentrico, getta le basi per le sintesi successive di Stevino e Galileo.

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4 La scienza scolastica tra «gravitas secundum situm», impeto e cinematica celeste

Dallo studio delle meccaniche tardomedievali emerge un quadro in cui concetti e problemi che saranno centrali nella rivoluzione scientifica vengono discussi con notevole profondità, seppur spesso avvolti dalla dialettica scolastica. Il testo attraversa tre grandi nuclei: il lascito del De Ponderibus e la gravitas secundum situm, la dottrina dell’impetus di Buridano, e infine le teorie fisiche e cinematiche di Alberto di Sassonia – dalla sfericità terrestre al centro di gravità fino alle prime leggi di caduta.

L’indagine prende avvio da un quarto libro di dinamica, probabilmente parte di un’opera anonima di meccanica. “Finally there is a fourth book devoted to dynamics.” – (fr:607) [Infine vi è un quarto libro dedicato alla dinamica.] Secondo Duhem, le indicazioni testuali suggeriscono un’origine greca trasmessa dagli Arabi, poiché mancano termini greci latinizzati. “Certain indications led Duhem to surmise that the two books are a relic of greek science and were probably handed on by the Arabs- this because no latinised greek terms are found in them.” – (fr:608) [Certi indizi portarono Duhem a supporre che i due libri siano un relitto della scienza greca, probabilmente trasmesso dagli Arabi, poiché non vi si trovano termini greci latinizzati.] Tuttavia, anche se l’originalità ne risulta ridimensionata, “gravitas secundum situm properly belongs to the XIIIth Century School, and … it was used by this School to obtain a correct solution of the problem of the inclined plane long before Stevin and Galileo did so.” – (fr:609) [la gravitas secundum situm appartiene propriamente alla Scuola del XIII secolo e fu da essa impiegata per ottenere una soluzione corretta del problema del piano inclinato molto prima di Stevin e Galileo.] Leonardo da Vinci ignorerà gli ultimi tre libri: “LEONARDO DA VINCI himself seems to have been unaware of the three last books of De Ponderibus—another argument for not regarding the unknown author as his precursor.” – (fr:612) [Lo stesso Leonardo da Vinci sembra non essere stato a conoscenza degli ultimi tre libri di De Ponderibus – un ulteriore argomento per non considerare l’ignoto autore come suo precursore.] Dunque la gravitas secundum situm, una nozione capace di trattare le inclinazioni, è un contributo originale del XIII secolo.

Il secondo snodo è la dottrina dell’impetus, il cui unico anticipatore antico è Giovanni Filopono (V secolo). Questi, oltre a descrivere un’azione motrice incorporata nel proiettile, sosteneva che “this property decreased at such a rate … as the projectile was separated from its motive agency.” – (fr:618) [questa proprietà diminuiva progressivamente man mano che il proiettile si separava dalla sua fonte motrice.] Tommaso d’Aquino, al contrario, vi si oppose con forza, ritenendo che “violent motion would arise from an intrinsic property of a moving body, which is contrary to the very notion of violent motion.” – (fr:620) [il moto violento nascerebbe da una proprietà intrinseca del corpo in movimento, il che è contrario alla nozione stessa di moto violento.] La posizione aristotelica restava dominante.

Giovanni Buridano, rettore dell’Università di Parigi nel 1327, confuta le spiegazioni fondate sull’ἀντιπερίστασις e sull’aria mossa, mostrando che “air set in motion should be able to move a feather more easily … Now we are not able to throw a feather as far as a stone.” – (fr:642) [l’aria posta in movimento dovrebbe muovere più facilmente una piuma … Eppure non riusciamo a lanciare una piuma tanto lontano quanto una pietra.] Egli propone che ogni agente “imparts to it an impetus, a certain power which is able to move the body along the direction imposed upon it at the outset, whether this be upwards, downwards, to the side or in a circle.” – (fr:643) [gli imprime un impetus, una certa potenza capace di muovere il corpo nella direzione impressa inizialmente, sia verso l’alto, verso il basso, di lato o in circolo.] L’impetus è una qualità permanente, distinta dal moto locale, e “the more matter a body contains, the more impetus can be imparted to it” – (fr:646) [quanta più materia contiene un corpo, tanto più impetus gli può essere impresso.] Esso spiega l’accelerazione di gravità: “At the beginning of the fall … the body is moved by gravity alone. But before long this gravity imparts a certain impetus … which is effective in moving the body at the same time as gravity does.” – (fr:650-651) [All’inizio della caduta il corpo è mosso solo dalla gravità. Ma ben presto questa gravità imprime un certo impetus … che agisce insieme alla gravità per muovere il corpo.] La portata cosmologica è enorme: Buridano estende l’impetus ai cieli. “Indeed it can be said that when He created the World, God set each of the heavenly bodies in motion … He imparted to each of them an impetus which has kept it moving ever since.” – (fr:654) [Si può dire che quando creò il Mondo, Dio mise in moto ciascuno dei corpi celesti … impresse a ciascuno un impetus che li ha mantenuti in moto da allora.] Poiché nei cieli non vi sono resistenze, l’impetus si conserva indefinitamente, “I would only ask the theologians to show me how all these things happen.” – (fr:657) [Chiederei soltanto ai teologi di mostrarmi come avvengano tutte queste cose.] L’impetus buridaniano, benché violento e non naturale, è un chiaro antecedente del principio d’inerzia.

La terza parte del testo si concentra su Alberto di Sassonia (Alberto di Rickmersdorf) e sulle sue Acutissimae Quaestiones, che ebbero profonda influenza fino a Galileo. Sulla sfericità della Terra, Alberto trae corollari paradossali che colgono le conseguenze geometriche senza curarsi degli ordini di grandezza. “From the fact that the Earth is round it follows that lines normal to the surface of the Earth will approach each other continuously, and meet at the centre.” – (fr:671) [Dal fatto che la Terra è rotonda segue che le linee normali alla superficie si avvicinano continuamente e si incontrano al centro.] Dunque “if two vertical towers are built, the higher they become, the further away from each other they will be” – (fr:672) [se si costruiscono due torri verticali, quanto più sono alte tanto più si allontaneranno]; “if a well is dug with a plumb-line, it will be larger near the opening than at the bottom.” – (fr:673) [se si scava un pozzo con il filo a piombo, sarà più largo vicino all’imboccatura che sul fondo.] Anche un percorso che a noi appare rettilineo su una sfera è in realtà curvo: “Any line such that all its points are at an equal distance from the centre is a curved line.” – (fr:674) [Ogni linea in cui tutti i punti sono a uguale distanza dal centro è una linea curva.] E “if a man goes along this straight line, he will descend for a time and then will rise.” – (fr:675) [se un uomo percorre questa linea retta, scenderà per un certo tempo e poi salirà.] Simili paradossi, osserva il testo, mostrano che “the dialectic of the Schoolmen was not in the least concerned with orders of magnitude.” – (fr:680) [la dialettica degli Scolastici non si preoccupava affatto degli ordini di grandezza.] I costruttori di torri e pozzi continuavano a seguire le regole pratiche senza turbarsi dei sillogismi.

Alberto di Sassonia elabora inoltre una teoria del centro di gravità. La Terra nella sua posizione naturale ha il centro di gravità coincidente con il centro del Mondo: “The Earth, limited partly by the concave surface of the water and partly by the concave surface of the air, is in its natural position when its centre of gravity is at the centre of the World.” – (fr:684) [La Terra, delimitata in parte dalla superficie concava dell’acqua e in parte dalla superficie concava dell’aria, è nella sua posizione naturale quando il suo centro di gravità si trova al centro del Mondo.] Tuttavia, “The Earth does not have a uniform gravity—‘the part which is not covered by sea, being exposed to the rays of the Sun, is more dilated than the part the waters cover.’” – (fr:689) [La Terra non ha gravità uniforme – «la parte non coperta dal mare, essendo esposta ai raggi del Sole, è più dilatata di quella che le acque ricoprono».] Ciò produce uno spostamento del centro di gravità e spiega perché una porzione di terra emerga dalle acque. Di conseguenza, “whatever may be the quantity of water which is found on one side of the Earth and not on the other, this part of the Earth will in no way receive more help … in counterpoising and pushing away the other part.” – (fr:702) [qualunque sia la quantità d’acqua che si trova su un lato della Terra e non sull’altro, quella parte di Terra non riceverà affatto più aiuto … per controbilanciare e respingere l’altra parte.] Qui emerge un paradosso rilevante: Alberto nega che le acque del mare esercitino peso. “It is paradoxical to see Albert of Saxony thus holding that the waters of the sea do not exert any heaviness … Thus the bottom of the sea does not support any load or any pressure that is due to the water above it.” – (fr:706, 708) [È paradossale vedere Alberto di Sassonia sostenere che le acque marine non esercitano alcuna pesantezza … Così il fondo del mare non sopporta alcun carico o pressione dovuta all’acqua sovrastante.] Inoltre, Alberto rifiuta la gravitas secundum situm in favore di una resistenza del mezzo: “it is not surprising that Albert of Saxony should have rejected the idea of gravitas secundum situm, and have substituted for it the concept of a greater or smaller resistance of the supporting medium to the fall of a moving body.” – (fr:710) [non sorprende che Alberto di Sassonia abbia respinto l’idea di gravitas secundum situm e l’abbia sostituita con il concetto di una maggiore o minore resistenza del mezzo di sostegno alla caduta di un corpo.]

L’ultimo contributo è di carattere cinematico. Mentre gli antichi si limitavano a descrizioni qualitative del moto accelerato, Alberto definisce correttamente la velocitas circuitionis: “To set against this, he gave a correct definition of the angular velocity of rotation (velocitas circuitionis).” – (fr:714) [A fronte di ciò, diede una definizione corretta della velocità angolare di rotazione (velocitas circuitionis).] E, soprattutto, esamina due possibili leggi per la caduta dei gravi: “In Book II, paragraph XIII of his Quaestiones, Albert of Saxony examined two possible laws which might govern the fall of bodies—an increase of velocity which is proportional to the distance travelled and an increase proportional to the time taken.” – (fr:715) [Nel Libro II, paragrafo XIII delle sue Quaestiones, Alberto di Sassonia esaminò due possibili leggi che potevano governare la caduta dei corpi: un aumento di velocità proporzionale allo spazio percorso e un aumento proporzionale al tempo impiegato.] È un confronto che prelude direttamente alla cinematica galileiana, mostrando come la scolastica trecentesca non fosse un monolito sterile, ma un laboratorio di concetti in cui la gravitas secundum situm, l’impetus e le prime indagini sulle proporzioni del moto accelerato gettavano ponti verso la scienza moderna.

[4.2-108-716|823]

5 L’impetus e la gravità nel XIV secolo: da Ockham a Buridano e Alberto di Sassonia

Il capitolo quarto dell’opera tratteggia il superamento della dinamica aristotelica attraverso la critica di Ockham, la formulazione dell’impetus di Buridano e le indagini di Alberto di Sassonia sulla figura della Terra, sul centro di gravità e sulle prime distinzioni cinematiche.

L’idea di attribuire all’energia di un corpo in movimento una causa intrinseca alla sola traslazione è del tutto estranea alla dinamica aristotelica (“The idea of attributing a certain energy to a moving body solely account of its motion is entirely foreign to aristotelian dynamics” – fr:722 [L’idea di attribuire una certa energia a un corpo in movimento solo in virtù del suo moto è del tutto estranea alla dinamica aristotelica]). Già Giovanni Filopono aveva sostenuto che un proietto si muoverebbe più facilmente nel vuoto che nell’aria, e che nulla impedisce di scagliare una freccia o una pietra anche in assenza di un mezzo (“Nothing prevents a man from throwing a stf,ne or an arrow even when there is no other medium than the vacuum” – fr:724 [Nulla impedisce di lanciare una pietra o una freccia anche quando non c’è altro mezzo che il vuoto]). La tesi, trasmessa dagli Arabi (Al Bitrogi), fu conosciuta ma non accolta da Alberto Magno e Tommaso d’Aquino. Il primo scolastico a opporsi all’assioma aristotelico che esige un motore esterno continuamente a contatto fu Guglielmo di Ockham (1300‑1350). Ockham osservò che la causa motrice non può risiedere nell’apparato di lancio, che può essere distrutto subito dopo il lancio senza fermare il proietto (“It cannot reside in the apparatus or organism that has thrown the projectile, for this apparatus can he destroyed immediately after the launching without interupting the progress of the projectile” – fr:731 [Non può risiedere nell’apparato o organismo che ha lanciato il proietto, perché tale apparato può essere distrutto immediatamente dopo il lancio senza interrompere l’avanzamento del proietto]). L’aria non può essere il motore, poiché due frecce scagliate l’una contro l’altra richiederebbero che la stessa aria producesse contemporaneamente due moti opposti (“For the arrows of two archers which are shot towards each other can be arranged to collide with each other, which requires that the same air produces two different motions at the same time” – fr:732 [Le frecce di due arcieri scagliate l’una verso l’altra possono essere disposte in modo da collidere, il che esige che la stessa aria produca nello stesso tempo due moti diversi]). Inoltre, il moto locale non è qualcosa che si rinnova a ogni istante richiedendo la presenza costante di una causa motrice (“Moreover, motion from plrace to place is not something which is renewed at each instant, requir- iQg the constant presence of a motive cause” – fr:734 [Inoltre, il moto da luogo a luogo non è qualcosa che si rinnova a ogni istante, richiedendo la presenza costante di una causa motrice]). Ockham rigettò così l’intero assioma aristotelico, preparando il terreno alla dottrina dell’impetus.

Tale dottrina fu formulata da Giovanni Buridano (morto dopo il 1358). Egli sostenne che il motore imprime al mobile un impetus tanto più potente quanto maggiore è la velocità impartita (“The greater the velocity that the is given by the motive agency, the more powerful will he the impetus ,vhich is given to it” – fr:752 [Quanto maggiore è la velocità che il motore gli conferisce, tanto più potente sarà l’impetus che gli viene impresso]). L’impetus diminuisce per la resistenza dell’aria e per la gravità, che inclina la traiettoria in una direzione diversa da quella in cui l’impetus opera, finché la gravità non lo vince e riconduce la pietra al suo luogo naturale (“But because of the resistance of the air and also because of the heaviness, which inclines the motion of the stone in a direction different from that in which the impetus is effective, this impetus continually decreases. Finally the impetus is overcome and destroyed at the point where gravity dominates it, and henceforth the latter moves the stone towards its natural place” – fr:753-754 [Ma a causa della resistenza dell’aria e anche a causa della gravità, che inclina il moto della pietra in una direzione diversa da quella in cui l’impetus è efficace, questo impetus diminuisce continuamente. Infine l’impetus è vinto e distrutto nel punto in cui la gravità lo domina, e da quel momento la gravità muove la pietra verso il suo luogo naturale]). La quantità di impetus è proporzionale non solo alla velocità ma anche alla densità e al volume del corpo, cioè alla sua quantità di materia: un pezzo di ferro percorrerà più spazio di un pezzo di legno di uguali dimensioni perché riceve un impetus maggiore (“In the same way, if someone throws projectiles and sets in motion with equal velocities a piece of wood and a piece of iron, which have the same volume and the same shape, the piece of iron will travel further because the impetus which is imparted to it is stronger. In addition, it is proportional to the density and to the volume of the body concerned” – fr:756-757 [Allo stesso modo, se qualcuno lancia proietti e mette in moto con uguali velocità un pezzo di legno e un pezzo di ferro di uguale volume e forma, il pezzo di ferro andrà più lontano perché l’impetus che gli è impresso è più forte. Inoltre, esso è proporzionale alla densità e al volume del corpo in questione]).

Buridano estese il concetto anche alla caduta accelerata dei gravi: l’esistenza dell’impetus sembra essere la causa per cui la caduta naturale accelera senza fine, poiché la gravità aggiunge continuamente nuovo impetus (“ The existence of im~tus r- seems to be the cause bv which the natural 01 fall qf bodies accelerates indefinitely” – fr:758 [L’esistenza dell’impetus sembra essere la causa per cui la caduta naturale dei corpi accelera indefinitamente]; “Therefore the motion becomes more rapid. Therefore it can he seen that the motion will be accelerated con.. tinuously” – fr:760-761 [Quindi il moto diventa più rapido. Perciò si può vedere che il moto accelera continuamente]). Portandone le conseguenze al cielo, Buridano rimosse la necessità di intelligenze motrici per gli astri: Dio, con un atto generale di consenso, ha impresso ai corpi celesti un impetus che non si indebolisce né si distrugge con il tempo (“The impetus that God imparted to the heavenly bodies is neither ,veakened nor destroyed the passage of time” – fr:764 [L’impetus che Dio ha impartito ai corpi celesti non si indebolisce né si distrugge con il passare del tempo]), anche se il maestro parigino confessò di non esporre tutto ciò con piena sicurezza (“I do not say all this ,vith complete assurance” – fr:765 [Non dico tutto questo con assoluta certezza]). La difesa scolastica contro le obiezioni metafisiche aggiunse poco alla dottrina positiva, che racchiude il germe del moderno principio di inerzia (“This is the gernl of the modern principle of inertia.. ” – fr:770 [Questo è il germe del moderno principio d’inerzia]).

Sul versante della figura della Terra e della gravità spicca Alberto di Sassonia, attivo alla Sorbona tra il 1350 e il 1361 e rettore dell’Università di Parigi dal Riprendendo le prove aristoteliche della sfericità terrestre, egli suggerì di misurare un grado di meridiano a diverse latitudini per determinare la vera forma della Terra (“Albert of Saxony suggested going back to the measurement of a degree of meridian at different latitudes in order to determine the true figure of the Earth” – fr:776 [Alberto di Sassonia suggerì di rifarsi alla misura di un grado di meridiano a latitudini differenti per determinare la vera figura della Terra]) e indicò nella parità dei cammini misurati la prova della circolarità nord‑sud (“If these two paths are found to be equal this is a certain indication that the Earth is circular from north to south” – fr:777 [Se questi due percorsi risultano uguali, è un’indicazione certa che la Terra è circolare da nord a sud]). Egli escluse invece, come Alberto Magno, le prove capillari basate sulle piccole gocce.

Alberto sfruttò abilmente i paradossi legati alla convergenza delle verticali. Quando un uomo cammina sulla superficie terrestre, la sua testa si muove più velocemente dei piedi, e si può persino immaginare un uomo tanto alto che la testa si sposti con velocità doppia (“When a man walks on the surface of the Earth his head moves more quickly than his feet. .. One can conceive of a man so tall that his head moves in the air t,vice as quickly as his feet move over the ground” – fr:786-787 [Quando un uomo cammina sulla superficie della Terra la sua testa si muove più rapidamente dei suoi piedi. … Si può concepire un uomo così alto che la sua testa si muova nell’aria due volte più rapidamente di quanto i suoi piedi si muovano al suolo]). Questi esercizi mentali miravano a stimolare gli studenti e a confondere i non dotti, giocando sulla tensione tra la convergenza reale delle verticali e il loro parallelismo pratico, nozione ritenuta più adatta agli artigiani (“It ,vas amusing to proliferate the consequences of the conv”‘ergence of verticals and their practical parallelism ,vas of no concern-that was a notion suitable for cI’;aftsmen” – fr:789 [Era divertente moltiplicare le conseguenze della convergenza delle verticali, e il loro parallelismo pratico non aveva alcun interesse – era una nozione adatta agli artigiani]).

Un contributo originale di Alberto è la distinzione tra centro geometrico e centro di gravità della Terra. A differenza del modello a sfere concentriche, egli affermò che il centro del Mondo coincide con il centro di gravità terrestre, non con il suo centro geometrico (“Albert of Saxony believed therefore that it was the Earth’s centre, of gravity, not its geometrical centre, that was placed at the centre of the World” – fr:800 [Alberto di Sassonia riteneva perciò che fosse il centro di gravità della Terra, non il suo centro geometrico, a essere posto al centro del Mondo]). Poiché la Terra non è uniformemente pesante, il suo centro di gravità è assai distante dal centro geometrico (“The Earth, indeed, is not uniformly heavy’, so that its centre of gravity … is placed at a great distance from its geometrical centre” – fr:811-812 [La Terra, in effetti, non è uniformemente pesante, cosicché il suo centro di gravità … è posto a grande distanza dal suo centro geometrico]); di conseguenza l’acqua, uniformemente densa e tendente al centro del Mondo, si raccoglie nell’emisfero più vicino al centro di gravità, lasciando emerso l’altro emisfero (“Therefore the water, which is unifirmly dense and tends towards the centre of the World, runs towards that· part of the terrestrial sphere that is nearest the centre of gravity of the Earth, so that the other hemisphere, that which is further distant from the centre of gravity, remains uncovered” – fr:813 [Perciò l’acqua, che è uniformemente densa e tende verso il centro del Mondo, scorre verso quella parte della sfera terrestre che è più vicina al centro di gravità della Terra, in modo che l’altro emisfero, quello più distante dal centro di gravità, rimane scoperto]). Questa spiegazione si armonizzava con la credenza comune di un emisfero interamente coperto da un vasto oceano (“But undoubtedly the theory was iIl harmony with the helief, common at that time, in the existence of a terrestrial hemisphere completely covered hy a vast ocean” – fr:814 [Ma senza dubbio la teoria era in armonia con la credenza, comune a quel tempo, nell’esistenza di un emisfero terrestre completamente coperto da un vasto oceano]). Se il centro geometrico coincidesse con quello di gravità, la Terra sarebbe del tutto sommersa. Lo spostamento del centro di gravità poteva essere causato dall’erosione, e Alberto parlò anche di un unico aggregato terra‑acqua il cui centro di gravità sta nel centro del Mondo, mentre il fuoco si muoverebbe dall’equatore ai poli per portare il proprio centro di leggerezza nello stesso punto (“In the same way that water constantly runs towards lower places in order that the centre of all gravity shall be at the centre of the World, so we must assume that fire travels, ,vithout interruption, from the equator towards the poles in order that its centre of lightness shall he at the centre of the World” – fr:806 [Allo stesso modo in cui l’acqua scorre costantemente verso i luoghi più bassi affinché il centro di ogni gravità sia al centro del Mondo, così dobbiamo supporre che il fuoco viaggi, senza interruzione, dall’equatore verso i poli affinché il suo centro di leggerezza sia al centro del Mondo]).

Alberto introdusse anche la distinzione fra peso potenziale e peso attuale: un corpo nel suo luogo naturale possiede una gravità “abituale” che non esercita alcuna spinta sulle parti adiacenti; diventa peso attuale solo quando il corpo viene allontanato dal luogo naturale o incontra un ostacolo (“ The parts of a heavy body, be they solid or liquid, do not push the adjacent parts when they are in their natural place, since their heaviness remains in its potential state” – fr:816 [Le parti di un corpo pesante, siano esse solide o liquide, non spingono le parti adiacenti quando sono nel loro luogo naturale, poiché la loro gravità rimane nel suo stato potenziale]). Tuttavia la grandezza della gravità, abituale o attuale, è sempre la stessa nello stesso corpo (“In all circumstances the strength of the heaviness, whether it is h;“bitual or actual, has the same magnitude in the same heavy body” – fr:817 [In ogni circostanza l’intensità della gravità, sia essa abituale o attuale, ha la medesima grandezza nello stesso corpo pesante]) – tesi che contrasta con l’assioma di Giordano Nemorario sulla variazione del peso in base all’obliquità della discesa.

Nel campo della cinematica, Alberto di Sassonia intervenne sulla velocità di un corpo rotante: rifiutò l’opinione secondo cui la velocità di un raggio rotante andasse attribuita al suo punto medio, e sostenne con Bradwardino che si debba assegnare al corpo la velocità del suo punto più rapido (“Bradwardine denies this statement and attributes the velocity of its most rapidly moving point to a body in uniform rotation.. Albert of Saxony stated these t,vo opinions and supported that of Bradwardine” – fr:822 [Bradwardino nega questa affermazione e attribuisce la velocità del suo punto più rapido al corpo in rotazione uniforme. Alberto di Sassonia espose queste due opinioni e sostenne quella di Bradwardino]). Inoltre distinse tra moti difformi, in cui la velocità varia da punto a punto del mobile, e moti irregolari, in cui varia da un istante all’altro (“Further, he distin- guished between deformed motions, in -w-hich the velocity of a moving body varies from one point to another, and irregular motions, in ““”hich the velocity varies from one instant to another” – fr:823 [Inoltre, distinse tra moti difformi, in cui la velocità di un corpo in movimento varia da un punto all’altro, e moti irregolari, in cui la velocità varia da un istante all’altro]).

L’insieme di questi contributi mostra come il Trecento parigino abbia radicalmente reimpostato la meccanica, gettando le basi per la moderna nozione di inerzia, per una concezione del centro di massa slegata dalla simmetria geometrica e per le prime classificazioni sistematiche del moto vario.

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[5.1-113-1010|1122]

6 La trasmissione del pensiero meccanico medievale: originalità, limiti e canali di diffusione

Dalla cinematica dei Calculatores oxoniensi alle dottrine dell’impetus, il testo ripercorre la conservazione di un patrimonio concettuale che, pur non applicato alla caduta dei gravi, preparò il terreno alla scienza moderna.

Le pagine estratte offrono uno spaccato di storia della scienza tardo‑medievale e quattrocentesca, seguendo il filo che lega Nicole Oresme alla Scuola di Oxford e, attraverso gli ambienti italiani, giunge fino a Nicola Cusano. L’attenzione è rivolta sia ai contenuti tecnici (leggi del moto uniformemente difforme, concetto di accelerazione) sia al significato di testimonianza: molti di questi sviluppi rimasero confinati in trattati manoscritti o in disputazioni logiche, senza influenzare la descrizione dei fenomeni naturali, e arrivarono a Copernico soltanto per via indiretta, se mai vi giunsero.

Oresme viene presentato come una figura di straordinaria acutezza, il cui Trattato sul cielo e sul mondo non fu mai stampato. L’autore osserva che egli fu “More astute than Galileo, and safe from the thunderbolts that were to be hurled at this thesis later, he was nominated Bishop of Lisieux in reward for his work” – (fr:1010) [Più astuto di Galileo, e al riparo dai fulmini che più tardi si sarebbero abbattuti su quella tesi, fu nominato vescovo di Lisieux in ricompensa del suo lavoro]. Proprio la mancata pubblicazione rende “ver”y unlikely that his ideas on the diurnal motion of the Earth could have become available to Copernicus“ – (fr:1011) [molto improbabile che le sue idee sul moto diurno della Terra abbiano potuto essere note a Copernico]. Del filosofo si apprezzano tanto “the best and the worst of Oresme’s arguments about the system of the World” – (fr:1013) [il meglio e il peggio degli argomenti di Oresme sul sistema del mondo], e si coglie “the mood of the time, at once naive and acute, fantastic and serious, familiar and dogmatic” – (fr:1014) [lo spirito del tempo, insieme ingenuo e acuto, fantastico e serio, familiare e dogmatico]. Nonostante ciò, “Of the originality of Oresme as a mathematician, and of the vigour of his penetrating thought, there is no doubt” – (fr:1015) [Sull’originalità di Oresme come matematico e sul vigore del suo pensiero penetrante non vi è dubbio], e lo si ricorda come uno dei primi a rivolgersi “to all men of free condition and noble intellect” – (fr:1017) [a tutti gli uomini di condizione libera e nobile intelletto].

Il cuore tecnico del testo è occupato dalla Scuola di Oxford. Emerge la figura di William Heytesbury, logico sottile e fellow di Merton, che nella sua opera Regulae solvendi sophismata dà senza dimostrazione una regola cinematica: “when the velocity of a moving body increases with the time in such a way that it is uniformly deformed, in a given time the body travels the same path as if it had moved uniformly with the velocity acquired half way through this time” – (fr:1027) [quando la velocità di un corpo in moto aumenta col tempo in modo da essere uniformemente deforme, in un dato tempo il corpo percorre lo stesso cammino che avrebbe percorso se si fosse mosso uniformemente con la velocità acquisita a metà di questo tempo]. Si tratta della regola di Oresme applicata specificamente allo spazio, e il dato più notevole è l’affiorare, seppure oscuramente, del concetto di accelerazione, sconosciuto alla Scuola di Parigi. Heytesbury, infatti, distingue tra latitudo motus (velocità) e velocitas intensionis vel remissionis motus, il cui valore è l’aumento o la diminuzione della prima, quantità che “corresponds to acceleration” – (fr:1033) [corrisponde all’accelerazione]. Il testo riporta un passo rivelatore: “Through this obscure language we catch the first glimpse of quantities that have become familiar tools of our trade, the vector representing the distance travelled, S; the velocity (vector derivative), dS/dt; and the acceleration (vector derivative of the velocity), d²S/dt²” – (fr:1037) [Attraverso questo linguaggio oscuro cogliamo il primo barlume di grandezze divenute strumenti familiari del nostro mestiere: il vettore che rappresenta lo spazio percorso, S; la velocità (derivata vettoriale), dS/dt; e l’accelerazione (derivata vettoriale della velocità), d²S/dt²].

Accanto a Heytesbury si colloca il Liber Calculationum, attribuito in età umanistica a Swineshead detto “Calculator”, ma che Duhem dimostrò essere opera di Ricardus di Glymi Eshedi (identificato con William Collingham). L’estratto dal capitolo De medio uniformiter difformi ne rivela il tenore: “If the motion of a body is uniformly accelerated and starts with a value zero, the body will travel three times further in the second half of the time than in the first half” – (fr:1049) [Se il moto di un corpo è uniformemente accelerato e parte da velocità zero, il corpo percorrerà nel secondo intervallo di tempo una distanza tripla rispetto al primo]. È un corollario diretto della legge degli spazi nel moto uniformemente vario, a conferma che “in XIVth Century Oxford, the kinematics of uniformly varying motion was known and commonly taught” – (fr:1051) [nell’Oxford del Trecento la cinematica del moto uniformemente vario era conosciuta e comunemente insegnata]. La Scuola inglese, tuttavia, se da un lato formulò la legge con maggior precisione, dall’altro “seems to have neglected Oresme’s remarkable representation of uniformly deformed qualities” – (fr:1052) [sembra aver trascurato la notevole rappresentazione oresmiana delle qualità uniformemente deformi]. Soprattutto, né a Oxford né a Parigi questi sviluppi ebbero “any influence on the study of the fall of bodies” – (fr:1053) [alcuna influenza sullo studio della caduta dei corpi]; la descrizione di quei fenomeni “remained completely qualitative” – (fr:1054) [rimase completamente qualitativa].

Il testo documenta poi i canali attraverso i quali queste conoscenze si trasmisero alla Scuola italiana. Blasius da Parma, pur essendo un critico poco originale, fu “one of the means by which the statics of the XIIIth Century and the kinematics of the XIVth Century were handed on to the Italian School” – (fr:1081) [uno dei mezzi attraverso cui la statica del Duecento e la cinematica del Trecento furono trasmesse alla Scuola italiana]. A Padova, Gaetan of Tiene riprese e commentò i sofismi di Heytesbury, sottolineando la distinzione fra velocità e accelerazione, mentre Bernard Torni e Giovanni da Forlì proseguirono quell’opera esegetica. Duhem poté così affermare che “thanks to Nicole Oresme, William Heytesbury and the ‘Calculator’, at the middle of the Quattrocento the Italian masters were well-acquainted with all the laws of uniformly accelerated or uniformly retarded motion. But it seems that none of them was inspired to assume that the fall of bodies was uniformly accelerated or, for this reason, to apply these laws to that phenomenon” – (fr:1096-1097) [grazie a Nicole Oresme, William Heytesbury e al ‘Calculator’, verso la metà del Quattrocento i maestri italiani conoscevano bene tutte le leggi del moto uniformemente accelerato o ritardato. Ma sembra che nessuno di loro sia stato indotto a supporre che la caduta dei gravi fosse uniformemente accelerata, né, di conseguenza, ad applicare quelle leggi a tale fenomeno].

L’ultima sezione è dedicata a Nicola Cusano, la cui dottrina dell’impetus impressus costituisce una testimonianza eloquente della persistenza delle idee parigine di Buridano e Alberto di Sassonia. Nel dialogo De ludo globi egli descrive il gioco di una semisfera lanciata su birilli a spirale, e nel De Possest introduce l’immagine del bambino che imprime il moto a una trottola: “A child takes up this dead toy, devoid of motion, and wishes to make it live … By a motion of his hands which is at once straight and oblique … he impresses on it a motion which is, for a top, supernatural” – (fr:1110-1112) [Un bambino prende questo giocattolo morto, privo di moto, e desidera farlo vivere … Con un movimento delle mani che è insieme rettilineo e obliquo … vi imprime un moto che, per una trottola, è soprannaturale]. Questo spirito motore impresso è invisibilmente presente e dura in proporzione alla forza comunicata; quando cessa, il corpo riprende il suo moto verso il centro. Cusano ne trae un’analogia con la creazione, ma sul piano cosmologico ritiene sufficiente che il Creatore abbia impresso un impetus iniziale alle sfere celesti, che si conserverebbe indefinitamente, in assenza di corruzione. “In a manner which, for Nicholas of Cues, is very precise, the rotational motion of any perfect sphere is a natural motion” – (fr:1121) [In un modo che per Nicola Cusano è molto preciso, il moto rotatorio di qualunque sfera perfetta è un moto naturale]. L’impressione dell’impetus è paragonata alla creazione di un’anima nel corpo, chiudendo così il cerchio tra metafisica e meccanica.

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[6.1-92-1217|1308]

7 L’impulso, la forza e la figura del mondo nel pensiero di Leonardo da Vinci

Un estratto da un trattato scientifico espone, tra citazioni dai manoscritti vinciani e commenti dell’autore, l’intreccio di meccanica, cosmologia e metafisica che anima le ricerche leonardiane sul moto, sull’impeto e sulla natura della forza.

Il testo si apre con l’osservazione del moto dei proiettili. Leonardo, osservando una freccia scoccata da una torre, individua il passaggio dal moto violento a quello naturale:
“lou will Bee that l)) “ya~(f~om the towe~ the aow will be ,lriven in perpendicularly.” – (fr:1217) [Vedrai che dalla torre la freccia sarà scagliata perpendicolarmente.]
E subito aggiunge:
“And if you find it thus, it is a sign that the arrow has finished its violent motion and has started the natural motion, that is, that being heavy, it falls freely towards the centre.” – (fr:1218) [E se la trovi così, è segno che la freccia ha terminato il suo moto violento e ha iniziato il moto naturale, cioè che, essendo pesante, cade liberamente verso il centro.]
Accanto a ciò compare la riflessione sul moto convolutorio, espressa con un breve titolo: “On convolutory motion.” – (fr:1219) [Sul moto convolutorio.] L’esempio addotto è quello di una trottola:
“top which loses the power which the inequality of its weight has about the centre of its convolution because of the speed of this convolution, because of the effect of the iu”peto wnich dominates the body, is one which will never have that tendency to’ fall lower, which the inequality of the weight seeks to do, as long as the po,ver of the body“s motive impeto does not become less than the po”\Ter of the inequality.” – (fr:1221) [La trottola che perde il potere che la disuguaglianza del suo peso ha intorno al centro della sua convoluzione a causa della velocità di questa stessa convoluzione, per l’effetto dell’impeto che domina il corpo, non avrà mai la tendenza a cadere più in basso – che è ciò a cui mira la disuguaglianza del peso – fintanto che la potenza dell’impeto motore del corpo non diventa minore della potenza della disuguaglianza.]
La dinamica si completa con la lotta tra le due potenze:
“But when the power of the inequality surpasses the power of the impeto, then it becomes the centre of the motion of convolutioIl and the body, brought to a recumbent position, expends the remainder of the aforesaid impeto about this centre.” – (fr:1222) [Ma quando il potere della disuguaglianza supera il potere dell’impeto, allora esso diventa il centro del moto di convoluzione e il corpo, portato in posizione coricata, spende il resto dell’impeto suddetto attorno a questo centro.]
“nd when the power of this inequality becomes equal to the power of the impeto, then the top is inclined obliquely, and the two powers struggle with each other in a compound motion, both moving in a ,,,ride circuit, until the centre of the second kind of convolution is established.” – (fr:1223) [E quando il potere di questa disuguaglianza diventa uguale al potere dell’impeto, allora la trottola si inclina obliquamente, e le due potenze lottano tra loro in un moto composto, muovendosi entrambe in un ampio circuito, finché non si stabilisce il centro del secondo tipo di convoluzione.]
L’impeto, in tale processo, esaurisce la propria potenza: “In this the impeto expends its power.” – (fr:1224) [In questo l’impeto consuma la propria potenza.]

Sulle tracce di Niccolò Cusano, Leonardo si interessa al “gioco della sfera” e sviluppa la nozione di impeto composto e decomposto.
“F6110,ving the example of Nicholas of Cues, Leonardo concerned himself with the “ game of the sphere.’” – (fr:1225) [Seguendo l’esempio di Niccolò Cusano, Leonardo si occupò del “gioco della sfera”.]
Nel manoscritto annota: “On compound impeto. A compound motion is one in which the impeto of the lnotor and the impeto of the~”:moving body participate” – (fr:1226-1227) [Sull’impeto composto. Un moto composto è quello in cui partecipano l’impeto del motore e l’impeto del corpo in movimento.]
La miscela dei due impulsi produce un moto intermedio:
“together, as in the motion FBe which is intermediate between two simple motions. One of these is close to the beginning of the motion and the other close to the end. But the first is determined solely by the motor, and the second only by the shape of the body.” – (fr:1232-1234) [insieme, come nel moto FBe che è intermedio tra due moti semplici. Uno di questi è vicino all’inizio del moto e l’altro vicino alla fine. Ma il primo è determinato soltanto dal motore, e il secondo soltanto dalla forma del corpo.]
L’impeto decomposto, invece, coinvolge tre specie di impeto:
“Decomposed B impeto is associated with a moving body which has three kinds of impeto. Two of these arise from the motor and the third arises from the moving body. But the two that arise from the motor are the rectilinear motion due to the motor and the curved motion of the moving body, and are mixed together. The third is F c the simple motion of the moving body, which only tends to turn round with its centre of convexity in contact with the plane on ,vhich it turns and lies.” – (fr:1236-1239) [L’impeto decomposto è associato a un corpo in movimento che possiede tre tipi di impeto. Due di questi sorgono dal motore e il terzo sorge dal corpo in movimento. I due che sorgono dal motore sono il moto rettilineo dovuto al motore e il moto curvo del corpo in movimento, e sono mescolati insieme. Il terzo è il moto semplice del corpo in movimento, che tende soltanto a ruotare con il suo centro di convessità a contatto con il piano su cui gira e giace.]

La definizione della forza (Fig. 25) assume toni lirici e quasi magici, che il trattato riporta per intero.
“As for the forza- I say that the forza is a spiritual quality, an invisible power which, by means of an external and accidental violence, is caused by the motion and introduced, fused, into the body; so that this is enticed and forced away from its natural behaviour. The forza gives the hody an active life of magical power, it constrains all created things to change shape and position, hurtles to its desired death and changes itself according to circumstances. Slowness makes it powerful and speed, weak-it is born of violence and dies in freedom. The stronger it is, the more quickly it consumes itself. It furiously drives away anYthing that opposes it until it is itself destroyed-it seeks to defeat and kill anything that opposes it and, once victorious, dies. It he- comes more powerful when it meets great obstacles. Every thing willingly avoids its death. All things which are constrained constrain themselves. Nothing moves without it. A body in which it is horn ~oes not increase in weight or size. No motion that it creates is lasting. It grows in exertion and vanishes in rest. A body on which it is iIll- pressed is no longer free.” – (fr:1244-1256) [Quanto alla forza, dico che la forza è una qualità spirituale, una potenza invisibile che, per mezzo di una violenza esterna e accidentale, è causata dal moto e introdotta, infusa, nel corpo; cosicché questo è attirato e costretto ad allontanarsi dal suo comportamento naturale. La forza dona al corpo una vita attiva di magica potenza, costringe tutte le cose create a cambiar forma e posizione, si slancia verso la sua desiderata morte e si trasforma secondo le circostanze. La lentezza la rende potente e la velocità, debole – nasce dalla violenza e muore in libertà. Più è forte, più rapidamente consuma se stessa. Scaccia furiosamente tutto ciò che le si oppone finché essa stessa non viene distrutta – cerca di sconfiggere e uccidere qualsiasi cosa le si opponga e, una volta vittoriosa, muore. Diventa più potente quando incontra grandi ostacoli. Ogni cosa evita volentieri la sua morte. Tutte le cose che sono costrette costringono se stesse. Nulla si muove senza di essa. Un corpo in cui essa nasce non aumenta di peso né di dimensione. Nessun moto che essa crea è durevole. Cresce nello sforzo e svanisce nel riposo. Un corpo su cui essa è impressa non è più libero.]
Una seconda formulazione ribadisce il carattere incorporeo e la vita effimera della forza:
“I say that fOTza is a spiritual, incorporeal, invisible power which is created in bodies which, because of an accidental violence, are … in some other state that their natural heing and rest. I have said spiritual hecause there is in this forza an active incorporeal life, and I have said invisible hecause hodies in which it is born change neither in weight nor in shape; of short life., because it always seeks to overeome its cause, and having done so, to die.” – (fr:1257,1260-1261) [Dico che la forza è una potenza spirituale, incorporea, invisibile, che viene creata nei corpi i quali, a causa di una violenza accidentale, si trovano in uno stato diverso dal loro essere e riposo naturale. L’ho detta spirituale perché in questa forza vi è una vita attiva incorporea, e l’ho detta invisibile perché i corpi in cui nasce non cambiano né di peso né di forma; di vita breve, perché cerca sempre di sopraffare la sua causa e, fatto ciò, di morire.]
Il commentatore chiarisce poi le modalità di generazione della forza:
“Forza can he horn of the” expansion undergone h y” a tenuous hody in one that is dense, like the multiplication of fire during the firing of cannons.” – (fr:1264) [La forza può nascere dall’espansione subita da un corpo tenue in uno denso, come la moltiplicazione del fuoco durante lo sparo dei cannoni.]
“It can also he horn of a deformation as in a cross-bow.” – (fr:1265) [Può anche nascere da una deformazione, come in una balestra.]
E ancora una forza può generarne un’altra, come nell’urto.

L’autore del trattato sottolinea come Leonardo riprenda una dottrina pitagorica:
“I..Jeonardo returned to a pythagorean doctrine according to which a heavy body that is detached from a star to which it belongs tends to return there, in order to reconstitute the completeness of the star.” – (fr:1267) [Leonardo tornò a una dottrina pitagorica secondo la quale un corpo pesante che si stacca da una stella a cui appartiene tende a ritornarvi, per ricostituire la completezza della stella.]
Peso e forza sono visti come opposti:
“He contrasted weight with forza., saying that these oppose each other.. “ Weight is natural and seeks stability, then rest-forza seeks killing and death for itself.” Weight is indestructible. When a heavy body arrives on the ground it exerts a pressure on it, ’” and penetrates, from one support to another, to the centre of the World. A weight embodies power, forza, motion and impact at the same time.” – (fr:1268-1271) [Contrappose il peso alla forza, dicendo che si oppongono a vicenda. “Il peso è naturale e cerca stabilità, poi quiete; la forza cerca uccisione e morte per se stessa.” Il peso è indistruttibile. Quando un corpo pesante giunge al suolo esercita su di esso una pressione, e penetra, da un sostegno all’altro, fino al centro del Mondo. Un peso incarna allo stesso tempo potenza, forza, moto e urto.]
La caduta dei gravi, però, è preceduta da una salita accidentale, e all’origine di ogni azione meccanica Leonardo pone un primo motore, concludendo, sedotto dalla metafisica, che “all motion arises from the mind.” – (fr:1274) [ogni moto sorge dalla mente.]
Lo stesso trattatista commenta:
“Further comment on this adventurous thesis of Leonardo seems, to /us, unnecessary-its qualities are more of poetry than of precision, of eloquence than solidity, more metaphysical than positive.” – (fr:1275) [Ulteriore commento a questa tesi avventurosa di Leonardo ci sembra superfluo – le sue qualità sono più poetiche che precise, più eloquenti che solide, più metafisiche che positive.]

Quanto al moto perpetuo, Leonardo lo nega perché la forza si consuma senza posa e la gravità tende all’equilibrio:
“Leonardo denied the possibility of perpetual motion on the grounds that forza continually expends itself. On the other hand, gravity seeks to produce equili- hrium., all motions which are set in train by gravity have rest as their ultimate end.” – (fr:1277-1278) [Leonardo negò la possibilità del moto perpetuo in base al fatto che la forza si consuma continuamente. D’altra parte, la gravità cerca di produrre equilibrio; tutti i moti messi in moto dalla gravità hanno la quiete come fine ultimo.]

Riguardo alla figura della Terra, Leonardo, dopo aver letto Alberto di Sassonia, scrive:
“Every heavy hody tends downwards, and things which are at a height will not remain there, hut will all, in time, fall down. Thus, in time, the World will become spherical and in consequence, will he com- pletely covered with water.” – (fr:1279-1280,1282) [Ogni corpo pesante tende verso il basso, e le cose che si trovano in alto non vi rimarranno, ma tutte, col tempo, cadranno. Così, col tempo, il Mondo diventerà sferico e, di conseguenza, sarà completamente coperto d’acqua.]
E senza esitazione aggiunge: “the Earth will be uninhabitable.” – (fr:1283) [la Terra sarà inabitabile.]
Contrariamente a quanto si potrebbe credere, Leonardo ritiene che il mare non eserciti pressione sulla parte del globo che copre: “the seas exerted no pressure on the part of the globe which they covered.” – (fr:1284) [i mari non esercitavano alcuna pressione sulla parte del globo che coprivano.] Anzi,
“A heavy body ,veighs more in a lighter medium. Therefore the Earth, that is covered by air is heavier than that covered by water.” – (fr:1286-1288) [Un corpo pesante pesa di più in un mezzo più leggero. Perciò la Terra che è coperta d’aria è più pesante di quella coperta d’acqua.]

L’ultimo tema affrontato è la teoria del centro di gravità, esemplificata con due torri erette parallele (Fig. 26). Leonardo considera le torri ABIQ e CDLK, in «perpetua rettitudine», e prevede che, continuando la costruzione, le due torri crolleranno l’una verso l’altra se superano una certa altezza:
“the two towers will tumble dowll towards each other if their construction is continued above a cer- tain height in each case.” – (fr:1291) [le due torri cadranno l’una verso l’altra se la loro costruzione viene proseguita oltre una certa altezza in ciascun caso.]
Il ragionamento è il seguente:
“Let the two verticals through Band C be pro- duced in ‘continual straightness.’ If they cut one of the towers in GC and the other in BF, it follo,vs that these lines do not pass through the centre of gravity of the lengths of the towers. Therefore KLCG, a part of one tower, weighs more than the remainder, GCD, and of these unequal things, one will be dominant over the other, in such a way that, of necessity, the greatest weight of the tower will carry away all the opposite tower. And the other tower will do the same, in a way which is inverse to the first.” – (fr:1293-1296) [Si prolunghino le due verticali per B e per C in “continua rettitudine”. Se esse tagliano una delle torri in GC e l’altra in BF, ne segue che queste linee non passano per il centro di gravità delle lunghezze delle torri. Perciò KLCG, parte di una torre, pesa più del resto GCD, e di queste cose disuguali una dominerà sull’altra, in modo tale che, necessariamente, il peso maggiore della torre trascinerà via tutta la torre opposta. E l’altra torre farà lo stesso, in modo inverso alla prima.]
Il principio implicito è il moderno teorema del poligono di sostentazione, ma con un errore comune a tutti gli Scolastici: “the convergence of the ver- ticals has not heen neglected.” – (fr:1298) [non si è trascurata la convergenza delle verticali.] Leonardo arriva quasi a proporre di usare la distanza tra due verticali alla base e alla sommità di una torre per dedurre il raggio terrestre:
“Leonardo almost goes as far as to suggest that a measurement of the distance apart of two verticals at the top and the bottom of a tower should be used to deduce the length of the Earth’s radius.” – (fr:1299) [Leonardo arriva quasi a suggerire che una misura della distanza tra due verticali alla sommità e alla base di una torre dovrebbe servire per dedurre la lunghezza del raggio terrestre.]

L’insieme delle testimonianze restituisce il profilo di un Leonardo in bilico tra osservazione acuta della meccanica e slanci metafisici, dove l’impeto, la forza e la gravità diventano attori di un dramma cosmologico in cui poesia e scienza si fondono.

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8 Il clima intellettuale attorno a Copernico: dibattiti scolastici, resistenze e la figura della Terra

Dalla tolleranza duecentesca alle dispute sull’impetus e sulla pluralità dei mondi, fino agli attacchi umanistici: il terreno che rese possibile, e insieme ostacolò, il De revolutionibus.

Nicole Oresme, del tutto ignoto a Copernico, aveva già difeso l’idea di un cielo fisso e di una Terra animata da un moto diurno – “We have seen in detail how Nicole Oresme, who was certainly unknown to Copernicus, had defended the theories of a fixed Heaven and an Earth which had a diurnal motion” – (fr:1371) [Abbiamo visto in dettaglio come Nicole Oresme, certamente sconosciuto a Copernico, avesse difeso le teorie di un Cielo fisso e di una Terra dotata di moto diurno]. Nel XIII secolo la Chiesa, forte della propria potenza, mostrò una tolleranza che permise di accantonare le obiezioni di principio contro ogni dottrina non geocentrica: “the Church in the XIllth Century assumed that the study of world-systems could be pursued as a piece of contingent research” – (fr:1373) [la Chiesa nel XIII secolo riteneva che lo studio dei sistemi del mondo potesse essere condotto come ricerca contingente]. Lo stesso dibattito sulla pluralità dei mondi favorì la rivoluzione copernicana. Mentre Michele Scoto (1230) riteneva che Dio avrebbe potuto creare più mondi ma la Natura non avrebbe saputo ospitarli, la tesi anti-pluralista fu condannata nel 1277 dai teologi di Parigi guidati da Étienne Tempier: “In 1277 the theologians of Paris, at the request of Etienne Tempier, condemned the anti-pluralist thesis” – (fr:1379) [Nel 1277 i teologi di Parigi, su richiesta di Etienne Tempier, condannarono la tesi anti-pluralista]. Alberto di Sassonia si pronunciò contro la pluralità dei mondi se non “in a supernatural way, to the liking of God” – (fr:1381) [in modo soprannaturale, a piacimento di Dio]. Queste discussioni non sminuiscono l’originalità di Copernico ma aiutano a comprendere perché egli osò avanzare la sua ipotesi: “These discussions in no way lessen the originality of Copernicus’ work, but to a certain extent they explain why he ventured to present his thesis” – (fr:1382) [Queste discussioni non diminuiscono per nulla l’originalità dell’opera di Copernico, ma in una certa misura spiegano perché egli osò presentare la sua tesi].

Copernico, nato a Thorn il 19 gennaio 1472, studiò a fondo i sistemi del mondo antichi e sfruttò i moti di Mercurio e Venere per collocare il Sole al centro dei pianeti (fr:1386). Volendo procedere su basi osservative, iniziò a registrare i moti planetari (fr:1387). Pur rifiutando la coincidenza del centro della Terra con il centro dell’Universo – distaccandosi così dall’aristotelismo su un punto essenziale – mantenne per il resto gran parte delle idee degli Scolastici (fr:1388). Nella dedica del suo lavoro a papa Paolo III scrisse: “I have believed that I would be readily permitted to examine whether, in supposing the motion of the Earth, something more conclusive (firmiores demonstrationes) might not be found in the motion of the celestial bodies” – (fr:1383) [Ho creduto che mi sarebbe stato facilmente permesso di esaminare se, supponendo il moto della Terra, non si potesse trovare qualcosa di più conclusivo (firmiores demonstrationes) nei moti dei corpi celesti]. La sua concezione della gravità la definiva come “nothing else than a certain natural quality given to the parts of the Earth by the divine providence of He who made the Universe, in order that they should converge towards their unity and integrity, by uniting in the form of a globe” – (fr:1390) [nient’altro che una certa qualità naturale conferita alle parti della Terra dalla divina provvidenza di Colui che ha creato l’Universo, affinché esse convergano verso la loro unità e integrità, unendosi in forma di globo]. Su questo punto attaccò Alberto di Sassonia e ammonì: “One should not heed the Aristotelians when they claim that the centre of gravity is separate from the geometrical centre…” – (fr:1392) [Non si deve dar retta agli aristotelici quando affermano che il centro di gravità è separato dal centro geometrico…]. La dottrina copernicana sulla figura della Terra concordava con le osservazioni geografiche (fr:1393), ma si scontrò con una tradizione scolastica radicata nelle Meteore di Aristotele: i quattro elementi possiedono masse uguali e quindi volumi inversamente proporzionali alle densità. I commentatori applicarono senza esitazione il rapporto acqua-aria anche alla trasformazione di terra in acqua, sostenendo che il volume totale delle acque superasse quello della terra (fr:1394‑1395). Dodici anni dopo la circumnavigazione di Magellano, che avrebbe dovuto chiarire la questione, Mauro di Firenze (1493‑1566) riprese la tesi di Reisch e “held that the volume of the closed earth was ten times less than that of the waters” – (fr:1396) [sosteneva che il volume della terra emersa fosse dieci volte inferiore a quello delle acque]. L’intera questione geofisica mostra il genere di obiezioni che il riformatore del sistema del mondo incontrò in vita (fr:1397).

Quanto alla figura della Terra, Jean Fernel (1497‑1558) ne misurò le dimensioni “by counting the number of revolutions of the wheels of his carriage between Paris and Amiens” – (fr:1399) [contando il numero di giri delle ruote della sua carrozza tra Parigi e Amiens]. Immaginò la Terra assolutamente immobile, un globo scavato in superficie e con le cavità riempite d’acqua: “He imagined the Earth to be absolutely immobile and to present the shape of a globe which had been hollowed out in places and whose cavities had been filled with water” – (fr:1400) [Immaginò la Terra assolutamente immobile e con la forma di un globo scavato in alcuni punti, le cui cavità erano state riempite d’acqua].

All’inizio del XVI secolo gli scolastici italiani si dividevano in tre schieramenti – “there were the Averroists, the Alexandrists … and the Humanists” – (fr:1402) [c’erano gli averroisti, gli alessandristi … e gli umanisti]. Gli averroisti respingevano la dottrina dell’impetus, tornando alla spiegazione aristotelica del moto dei proietti (fr:1404), mentre altri introducevano una vis insita in ogni corpo in movimento (fr:1410). Gli umanisti italiani biasimavano i maestri parigini per la loro “parisian manner … described as barbarous, sordid, gross and uncultured” – (fr:1408) [maniera parigina … descritta come barbara, sordida, grossolana e incolta], pur approvandone l’ortodossia; li accusavano di un linguaggio infarcito di termini arabi e di coltivare esclusivamente Aristotele a discapito di Platone (fr:1409).

Nel frattempo lo scolasticismo parigino del XVI secolo continuava la tradizione, ma “this School quibbled and argued much more than the masters of the XIVth Century, and lacked their originality” – (fr:1414) [questa Scuola cavillava e disputava molto più dei maestri del XIV secolo, e mancava della loro originalità]. Jean de Celaya, nella sua Disputationes Theologiae Majoris, sostenne l’identità della dinamica celeste e terrestre “more explicitly than Buridan had dared to do” – (fr:1415) [più esplicitamente di quanto Buridan avesse osato fare]. Jean Dullaert de Gand insegnò la dottrina dell’impetus al collegio di Montaigu, senza giungere a una conclusione sulla sua natura (fr:1419‑1420), e presentò la regola di Oresme sul moto uniformemente difforme nella sola forma algebrica, attraverso la lettura di Bernardo Torni (fr:1421). Luis Núñez Coronel, nella sua Physicae Perscrutationes del 1511, immaginò una pietra che, lanciata in aria, rimane in quiete per un’ora, due ore o anche tre: “he imagined instances in which a stone thrown in the air remains there at rest for as much as an hour, two hours or even three” – (fr:1423) [immaginò casi in cui una pietra lanciata in aria vi rimane in quiete per un’ora, due ore o anche tre], giustificando l’assenza di osservazioni con la distanza o con la brevità impercettibile del fenomeno (fr:1424). L’impetus era così assimilato a un’abitudine cognitiva: “Impetus was thus identified with a cognition acquired by the repetition of the same perception, like that of handwriting to the fingers of the hand” – (fr:1425) [L’impetus veniva così identificato con una cognizione acquisita mediante la ripetizione della stessa percezione, come la scrittura a mano per le dita]. In tema di gravitazione Coronel appariva singolarmente ingenuo (fr:1426), attribuendo l’impetus generato nella caduta libera esclusivamente alla gravità o alla forma sostanziale del grave (fr:1428).

Celaya, nel suo commento ad Aristotele del 1517, esplicitò le conseguenze della dottrina dell’impetus: “It would follow from the theory that a body which is projected will move forever” – (fr:1430) [Dalla teoria seguirebbe che un corpo proiettato si muoverà per sempre], perché nulla nella dottrina distrugge l’impetus; questo è talvolta annientato dal mezzo resistente, dalla forma del proietto o da un ostacolo (fr:1431‑1432). Applicando il medesimo principio ai cieli, affermò che “it is not necessary to suppose as many intelligences as there are heavenly bodies” – (fr:1433) [non è necessario supporre tante intelligenze quanti sono i corpi celesti], in pieno accordo con la tesi di Buridan (fr:1435). Paragonò l’impetus alle “knowledge and dispositions of the soul” – (fr:1436) [conoscenze e disposizioni dell’anima]. Quanto alla pluralità dei mondi, rilevò che la fede cattolica non forniva argomenti per dedurne l’esistenza e che Aristotele vi scorgeva obiezioni, ma poiché “God can do all things that do not imply a contradiction” – (fr:1438) [Dio può fare tutto ciò che non implica contraddizione], essa resta possibile. Nonostante insegnassero Oresme e la scuola oxoniense, sia Dullaert sia Celaya li conobbero solo attraverso la tradizione italiana (fr:1439).

L’attacco degli umanisti provenne in gran parte da allievi del collegio di Montaigu come Erasmo e Juan Luís Vives (fr:1441). Erasmo, nei Colloquia (1522), discusse il problema – già affrontato da Oresme – dell’oscillazione di un grave che attraversa il centro della Terra “in terms that his masters would not have disowned” – (fr:1442) [in termini che i suoi maestri non avrebbero rinnegato]. Vives, allievo di Dullaert e poi professore a Lovanio, recava ancora tracce dell’insegnamento di Montaigu (fr:1443‑1444). Nel De philosophiae naturae corruptione si chiedeva: “How can there be learning in subjects so divorced, so completely separated, from God on the one hand and from sensibility and spirit on the other?” – (fr:1445) [Come può esservi apprendimento in argomenti così distaccati, così completamente separati, da Dio da un lato e dalla sensibilità e dallo spirito dall’altro?]. Denunciava il vizio di discutere all’infinito casi che non si verificano mai in natura, dividendo ore in parti proporzionali e immaginando moti e rarefazioni variabili (fr:1446), e aggiungeva nel De medicina che i giovani formati con tali disquisizioni “know nothing of plants, of animals, nor of nature in the round” – (fr:1446) [non sanno nulla delle piante, degli animali, né della natura nella sua interezza].

[7.2-75-1447|1521]

9 Declino e polemiche: la meccanica scolastica tra impetus e pluralità dei mondi

Il ricorso alla dottrina dell’impetus per minare la fisica aristotelica, il dibattito sulla pluralità dei mondi e la lenta regressione del pensiero meccanico nel Cinquecento mostrano come, accanto a innovazioni decisive, la Scolastica parigina e italiana si avvitasse in sterili controversie, preparando però il terreno per la condanna del copernicanesimo.

Il testo ricostruisce un passaggio nodale della storia della meccanica, in cui il concetto medievale di impetus servì a incrinare la dottrina aristotelica del moto e a legittimare la discussione sul moto della Terra. Già nel 1277 il vescovo di Parigi Étienne Tempier aveva ammesso che «the question of whether the Heavens had a translation motion, or not, could be discussed» (“the question of whether the Heavens had a translation motion, or not, could be discussed” – fr:1448) [la questione se i Cieli avessero un moto di traslazione potesse essere discussa]. Un secolo dopo Nicole Oresme poté perciò sostenere il moto terrestre senza compromettere la propria carriera ecclesiastica (fr:1449). L’operazione teorica che rese possibile questo slittamento è indicata con chiarezza: «The appeal to the doctrine of impetus in Oresme’s thesis, which was used to destroy that of Aristotle, is especially important» (“The appeal to the doctrine of impetus in Oresme’s thesis, which was used to destroy that of Aristotle, is especially important.” – fr:1447) [Il richiamo alla dottrina dell’impetus nella tesi di Oresme, usata per distruggere quella di Aristotele, è particolarmente importante].

Il problema della pluralità dei mondi costituisce il banco di prova del rapporto tra fisica aristotelica e onnipotenza divina. Aristotele, contrapponendosi ai pitagorici, intendeva il termine “Cieli” come sinonimo di “Tutto” o “Universo”, unico e dotato di un unico luogo naturale per ogni corpo (fr:1450-1451), sicché la coesistenza di più mondi implicava contraddizione (fr:1452). Questa tesi fu attaccata nel XIII secolo proprio sul terreno dell’onnipotenza divina. Tommaso d’Aquino cercò di conciliare le due posizioni sostenendo che la creazione di mondi simili sarebbe superflua, mentre mondi dissimili nuocerebbero alla perfezione di ciascuno, poiché solo l’insieme può essere perfetto (fr:1454). Nella stessa direzione intervenne Guglielmo di Ockham, il quale argomentò che elementi identici potevano simultaneamente dirigersi verso luoghi diversi e che la direzione di un moto naturale poteva dipendere dalla posizione iniziale dell’elemento (fr:1455-1456). Alla fine del XV secolo, Joannes Majoris nel De infinito non si limitò ad affermare la pluralità ma sostenne l’esistenza di un numero infinito di mondi, proteggendosi con caute dichiarazioni, essendo canonico di Thorn (fr:1457-1458). L’opposizione dottrinale esplicita giunse però molto più tardi, con Melantone e padre Riccioli; la Congregazione dei Cardinali Inquisitori condannò ufficialmente gli scritti di Copernico solo il 5 marzo 1616 (fr:1459-1460).

Copernico stesso, dopo aver conseguito il dottorato a Cracovia ed essersi dedicato all’astronomia a Bologna e a Roma, propose, rifacendosi ai pitagorici, di porre il Sole al centro del mondo (fr:1461-1462). Il resoconto della sua opera, completata nel 1530, fu stampato soltanto alla sua morte, nel 1543 (fr:1463). Un contributo meccanico rilevante fu l’abbandono della distinzione tra centro di gravità e centro geometrico della Terra introdotta da Alberto di Sassonia (fr:1464). Copernico fondò la sfericità della Terra sulla tendenza di tutte le sue parti verso il centro, estendendo la stessa proprietà a Sole, Luna e pianeti (fr:1465-1466), e unificò il centro di gravità di acqua e terra con il centro della Terra, in una soluzione «più semplice di quella di Alberto di Sassonia – un’astrazione fondata su pregiudizi contrari al moto della Terra – destinata a trionfare» (“More simple than that of Albert of Saxony—an abstraction founded on prejudices opposed to the motion of the Earth—it was destined to triumph.” – fr:1469). Nello stesso contesto Copernico si sentì obbligato a confutare Gregorio Reisch, il quale nella Margarita philosophica (1496) sosteneva che la massa di un elemento, corrompendosi per produrre l’elemento successivo, aumentasse di volume (fr:1470-1472).

Alla geografia celeste appartiene anche il contributo di Jean Fernel, medico capo di Enrico II, che nella Cosmotheoria (1528) misurò per primo un grado di meridiano terrestre tra i moderni e si pronunciò a favore di un’unica superficie sferica per la massa complessiva di terra e acqua, confutando Alberto di Sassonia (fr:1474-1475). Il testo annota con ironia che Fernel, insigne astronomo e matematico, avrebbe scritto altre opere «se sua moglie non lo avesse costretto, per così dire, ad abbandonare lo sterile studio della matematica» (“if his wife had not compelled him, so to speak, to leave the sterile study of mathematics” – fr:1476).

La seconda parte del brano si concentra sulla Scolastica italiana del XVI secolo, dipinta come un ambiente di violente polemiche che non aggiunsero nulla di nuovo alla meccanica. Agostino Nifo, autore di un commento al De Caelo et Mundo del 1514, ridicolizza Alberto di Sassonia chiamandolo Albertutius o Albertus Parvus (fr:1478-1479). Tra gli alessandristi, Pietro Pomponazzi attacca la Scuola di Oxford nel De intensione et remissione formarum (1514) e nel De reactione (1515) definisce William Heytesbury «il più grande dei Sofisti», contrapponendolo alla «voce chiara e grande di Aristotele» (“the greatest of the Sophists” and contrasted him with “the clear and great voice of Aristotle” – fr:1482). La tesi di Alessandro di Afrodisia, alla quale questa fazione si richiamava, è preservata da Simplicio e riguarda una «leggerezza» che si manifesta all’inizio della caduta e poi diminuisce progressivamente (fr:1482-1483). Sul fronte umanista, Giorgio Valla attaccò gli averroisti definendo Averroè «creatura primitiva emersa dal fango» e «testardo come un maiale» (“primitive creature emerging from the mud” and as “pigheaded” – fr:1484-1485); sostenne inoltre la tesi del riposo intermedio (quies intermedia) tra salita e discesa di un corpo, compromettendo la continuità del moto. Il testo precisa che tale quantità non ha alcun legame con l’impetus di Buridano, ma si spiega con la prossimità di un agente motore o del luogo naturale (fr:1486). Queste polemiche illustrano l’atmosfera con cui i pensatori originali dovettero misurarsi.

La tradizione di Buridano e Alberto di Sassonia fu tuttavia conservata al Collegio di Montaigu da Joannes Majoris e George Lockhart, insieme a Jean Dullaert di Gand e Luiz Coronel, sotto l’insegna della «triplice voce di San Tommaso d’Aquino, dei Realisti e dei Nominalisti» (“the triple voice of Saint Thomas Aquinas, the Realists and the Nominalists” – fr:1489). Majoris, grande insegnante, fece stampare nel 1504 le Summulae di Buridano e diffuse l’opera di Oresme sulla latitudine delle forme, preparando così, come Nicola Cusano, la via a Keplero (fr:1490-1491). Eppure il quadro è quello di un declino: «coperti di vesti logore e con le borse vuote, gli infelici logici dell’Università di Parigi meditavano tristi su sedie non più circondate da allievi» (“covered with threadbare garments and with empty purses, the unhappy logicians of the University of Paris mused sadly on chairs which were no longer surrounded by pupils” – fr:1492). La Scolastica, già attaccata dagli Umanisti, non rendeva più (fr:1493). Nel 1506 Majoris pubblicò delle Questioni sul De Caelo e sulla Fisica in cui sosteneva che l’impetus fosse modificato dalla forma del proiettile e il riposo intermedio coincidesse con il momento in cui l’impetus del moto ascendente è vinto dalla gravità; sulla caduta dei gravi ipotizzava un aumento continuo dell’impetus, senza sapere se fosse proporzionale alla grandezza del corpo (fr:1494-1496). Si perdeva in discussioni sulla natura del moto come «entità successiva realmente distinta da tutte le cose permanenti» (“successive entity truly distinct from all permanent things” – fr:1497). In dinamica ammetteva l’indebolimento graduale dell’impetus per ogni moto violento, segnando un serio regresso rispetto a Buridano (fr:1498).

Coronel concepiva l’impetus come un’attitudine del corpo, una «certa entità attuale prodotta in esso mediante una serie ripetuta di moti locali» (“a certain actual entity, produced in it by means of a repeated series of local motions” – fr:1500), un modello fisiologico arbitrario che sarà ripreso da Keplero (fr:1501). Curiosa è l’idea secondo cui, se il peso è una proprietà emanante dal luogo naturale, per impedire che attraversi la superficie terrestre basterà coprire questa con un indumento (fr:1502). Per i proietti, Coronel ipotizzava una miscela di impetus decrescente e agitazione progressiva dell’aria, con una massima violenza a metà della traiettoria (fr:1504). Un breve passaggio attribuisce a Celaya una prima, chiara spiegazione di una legge d’inerzia, affermando che, in assenza di tre meccanismi di distruzione, «l’impetus dura indefinitamente» (“Celaya assumes that in the absence of these three mechanisms of destruction, impetus lasts indefinitely.” – fr:1508). Per Celaya l’impetus era una seconda qualità, ed egli si mostrava reticente sulla pluralità dei mondi, pur concedendo che da un punto di vista soprannaturale «possono esistere più mondi, simultaneamente o successivamente, concentricamente o eccentricamente» (“from the supernatural point of view, there can exist several worlds, either simultaneously or successively, either concentrically or excentrically” – fr:1513), e giudicando eretica l’opinione del Filosofo secondo cui il Mondo contiene tutta la materia possibile (fr:1514). Infine, Erasmo, nell’Elogio della follia (1508), attaccò i teologi, «quei cavillatori così gonfi del vento e del fumo del loro vuoto sapere verbale da non cedere su nessun punto» (“those quibblers who are so puffed up with the wind and smoke of their empty and quite verbal learning that they will not give way on any point” – fr:1518); nel De prima philosophia (1531) discusse lungamente il riposo intermedio in piena conformità con la dottrina scolastica pura (fr:1519). Il quadro complessivo è impietoso: la Scolastica parigina del Cinquecento appare in regressione rispetto all’originalità del Trecento, mentre la meccanica ristagna in un «vasto edificio di asserzioni contraddittorie» (“vast structure of contradictory assertions” – fr:1521) fondate sul nulla.

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10 Dalla solidificazione del fluido al principio d’inerzia: Stevin, de Caux e Galileo nella costruzione della meccanica moderna

L’idrostatica di Stevin, il germe del concetto di lavoro e la dinamica galileiana, fra geometrizzazione, esperimento e ambiguità dell’impeto.

Il percorso tracciato nelle pagine del trattato mette in successione voci decisive per il distacco dalla fisica aristotelica. Per primo emerge Simon Stevin, il cui contributo all’idrostatica è giudicato «quite remarkable» (fr:2101) [davvero notevole]. Il suo procedimento consiste nell’immobilizzare idealmente quasi tutto il liquido, conservando solo un sottile canale a contatto con l’elemento di base su cui calcolare la pressione: «He used this principle to determine the pressure on each element of the base by solidifying all the liquid except that in a narrow channel abutting on this element, and verified that this pressure was independent of the shape of the receptacle and depended only on the weight of the column of liquid which filled the channel» – (fr:2102) [Utilizzò questo principio per determinare la pressione su ciascun elemento della base solidificando tutto il liquido tranne quello in uno stretto canale che confinava con questo elemento, e verificò che questa pressione era indipendente dalla forma del recipiente e dipendeva solo dal peso della colonna di liquido che riempiva il canale]. Lo stesso criterio di decomposizione geometrica gli serve per il calcolo della spinta su una parete piana inclinata: «He also determined the resultant of the pressures on an inclined plane boundary wall by dividing this surface into horizontal slices and passing to the limit by increasing the number of slices indefinitely» – (fr:2103) [Determinò anche la risultante delle pressioni su una parete piana inclinata dividendo questa superficie in strisce orizzontali e passando al limite aumentando il numero di strisce indefinitamente]. È la stessa idea che guiderà la meccanica del piano inclinato (fr:2104).

Nel 1615 Salomon de Caux pubblica a Francoforte un’opera dedicata alle forze motrici e alle macchine, «The reasons of moving forces together with various machines, as much useful as pleasant, to which are added some designs of grottoes and fountains» – (fr:2106) [Le ragioni delle forze motrici insieme a diverse macchine, tanto utili quanto piacevoli, alle quali si aggiungono alcuni disegni di grotte e fontane], preludio alla riflessione sul lavoro meccanico.

Con Galileo l’indagine si sposta decisamente verso la dinamica. Appena venticinquenne, titolare della cattedra di matematica a Pisa, «was not long in causing a scandal by publicly experimenting on the fall of heavy bodies, by attacking his elders, and by offending a natural protector like John de Medici by wounding his pride in his inventions» – (fr:2109) [non tardò a provocare uno scandalo sperimentando pubblicamente la caduta dei gravi, attaccando i suoi anziani e offendendo un protettore naturale come Giovanni de’ Medici ferendo il suo orgoglio per le sue invenzioni]. La rottura con la disciplina scolastica è immediata e irreversibile.

Nella Meccanica, tradotta in francese da Mersenne nel 1634, Galileo sottolinea il rapporto tra tempo e forza: «that machines are useful for manoeuvring great loads without dividing them, because often there is much time and little force … but he who would shorten the time and use only a little force will deceive himself» – (fr:2112) [che le macchine sono utili per manovrare grandi carichi senza dividerli, perché spesso c’è molto tempo e poca forza … ma chi volesse abbreviare il tempo e usare solo poca forza si ingannerebbe]. La gravità è qui «a natural inclination of the body to take itself to the centre of the Earth» – (fr:2113) [un’inclinazione naturale del corpo a portarsi al centro della Terra], e il peso di ciascun corpo «principally weighs through the centre in which it masses and unites all its impetuosity and weight» – (fr:2115) [pesa principalmente per il centro in cui ammassa e unisce tutta la sua impetuosità e peso].

Lo studio della vite conduce Galileo al piano inclinato, dove ottiene un risultato più preciso dei predecessori. Sul piano orizzontale «the ball is indifferent to motion and rest, so that the wind or the smallest force can move it» – (fr:2117) [la palla è indifferente al moto e alla quiete, sicché il vento o la minima forza possono muoverla]; per sollevarla sul piano verticale occorre invece una forza pari all’intero peso (fr:2118). La riduzione del peso sul piano inclinato a un effetto di leva è descritta con chiarezza: «When the weight is at F it is partly maintained by the circular plane CI and its slope – or the tendency which it has to the centre of the earth is diminished by the extent that BC exceeds BK» – (fr:2120) [Quando il peso è in F è in parte sostenuto dal piano circolare CI e dalla sua pendenza – ovvero la tendenza che esso ha verso il centro della terra è diminuita di quanto BC supera BK]. E più oltre: «By means of this remarkable artifice Galileo reduces the effect of the weight F on the inclined plane GFH to the effect of the same weight suspended as if from the arm of the lever BF» – (fr:2121) [Con questo notevole artificio Galileo riduce l’effetto del peso F sul piano inclinato GFH all’effetto dello stesso peso sospeso come dal braccio della leva BF].

Il problema del piano inclinato viene però risolto anche con un appello al lavoro virtuale: «On the plane AC is placed a body E attached to the string EDF. At F the string carries a weight, or a force, which is related to the weight E in the ratio of the line BC to the line CA» – (fr:2124) [Sul piano AC è posto un corpo E attaccato alla corda EDF. In F la corda regge un peso, o una forza, che sta al peso E nel rapporto tra la linea BC e la linea CA]; e mentre il corpo si sposta più della verticale BC, il peso F cadrà «a distance equal to the whole line AC» – (fr:2126) [una distanza uguale all’intera linea AC].

Passando alla caduta libera, Galileo formula inizialmente le distanze percorse in tempi uguali come numeri dispari consecutivi: «Consequently the distances travelled in equal times are related to each other like the consecutive odd numbers starting from unity» – (fr:2128) [Di conseguenza le distanze percorse in tempi uguali stanno tra loro come i numeri dispari consecutivi a partire dall’unità]. Il trattato mostra però che, nel tentativo di dedurre simultaneamente la legge delle velocità e quella degli spazi, Galileo commette un errore. Dopo aver rappresentato le velocità con segmenti paralleli e aver costruito il triangolo delle velocità, arriva al rapporto fra le velocità medie «incorrectly, the relation v(AD)/v(AC) = (DA/CA)²» – (fr:2142). L’errore viene riconosciuto e corretto attraverso una riflessione sulla legge più semplice. Salviati infatti si chiede: «Why indeed not believe that the increases in velocity follow the most simple and banal law?» – (fr:2147) [Perché non credere che gli incrementi di velocità seguano la legge più semplice e banale?]. Galileo aveva in passato pensato che la velocità crescesse con la distanza (fr:2148-49), ma si accorge che ciò porterebbe a un tempo uguale per distanze diverse e contraddirebbe l’esperienza: «Therefore, if the velocities with which the body travelled the 4 cubits were double those with which it travelled the first two cubits … the durations of travel will be equal» – (fr:2150) [Di conseguenza, se le velocità con cui il corpo percorreva le 4 cubiti fossero doppie di quelle con cui percorreva le prime due cubiti (come le distanze sono doppie), le durate del viaggio sarebbero uguali]. E poiché «the motion of a heavy body lasts a certain time, and it travels the first two cubits in less time than the four» – (fr:2151) [il moto di un grave dura un certo tempo, e percorre le prime due cubiti in meno tempo delle quattro], la proporzionalità v∝s conduce all’esponenziale (fr:2153), che viene respinta. Il postulato dell’accelerazione uniforme è infine accettato: «Starting from rest, the moving body receives equal degrees of velocity» – (fr:2146) [Partendo dalla quiete, il mobile riceve gradi uguali di velocità].

Galileo non si accontenta di un’affermazione a priori. Il trattato riporta la celebre verifica sperimentale sul piano inclinato, con una canaletta «made quite straight and, in order that it should be polished and quite smooth, the inside was» – (fr:2178) [reso ben diritto e, affinché fosse levigato e molto liscio, l’interno era] levigato. Si lasciava cadere una palla di bronzo dura e ben rotonda, misurando i tempi con un metodo che permetteva di raccogliere l’acqua fuoriuscita in un recipiente durante la discesa: «the distances travelled were always found to be in the ratio of the squares of the times, and this was true whatever the inclination of the plane» – (fr:2182) [le distanze percorse risultavano sempre nel rapporto dei quadrati dei tempi, e ciò era vero qualunque fosse l’inclinazione del piano]. Le differenze osservate non superavano «un decimo di pulsazione» (fr:2181) e la precisione delle pesate dell’acqua permetteva di «gave the differences and relations of the times with such accuracy that, as I have said, these operations never gave a noticeable difference when repeated many times» – (fr:2184) [dava le differenze e i rapporti dei tempi con tale accuratezza che, ripetute molte volte, queste operazioni non diedero mai una differenza apprezzabile].

Lo stesso metodo sperimentale si serve del pendolo per enunciare il principio di conservazione dell’impeto fino alla stessa altezza. Con un chiodo che intercetta il filo, la palla raggiunge la medesima orizzontale: «you will see with pleasure that the ball attains the horizontal at the point G» – (fr:2162) [vedrete con piacere che la palla raggiunge l’orizzontale nel punto G]. E anche quando l’esperimento diretto sulle corde di archi uguali non riesce per gli ostacoli pratici, «it seems to me that the mind will go on believing that the impeto (which contains, indeed, the force of the whole fall) will be able to make the body go up again to the same height» – (fr:2168) [mi sembra che la mente continuerà a credere che l’impeto (che contiene, in effetti, la forza dell’intera caduta) sarà in grado di far risalire il corpo fino alla stessa altezza].

È su queste basi che si delinea il principio d’inerzia galileiano. Su un piano orizzontale levigato il corpo «is indifferent to motion or to rest, and does not of itself show any tendency to move in any direction or any resistance to being set in motion» – (fr:2186) [è indifferente al moto o alla quiete, e non mostra di per sé alcuna tendenza a muoversi in alcuna direzione né alcuna resistenza a essere messo in moto]. Parallelamente, «it is impossible that a heavy body … should, of its own accord, move upwards … so it is impossible that it should spontaneously move if its centre of gravity does not approach the common centre in its motion» – (fr:2187) [è impossibile che un grave … si muova spontaneamente verso l’alto … così è impossibile che si muova spontaneamente se il suo centro di gravità non si avvicina al centro comune nel suo moto]. L’autore del trattato definisce questo enunciato «the Galilean form of the principle of inertia» – (fr:2188).

Nel nuovo quadro, la forza statica che basta a fermare un grave diventa la misura del suo impeto. Mentre il corpo G sale lungo il piano inclinato, «only resists because of the vertical elevation CF» – (fr:2193) [resiste soltanto a causa dell’elevazione verticale CF], e in equilibrio il rapporto fra i pesi è inverso a quello dei corrispondenti spostamenti verticali: «it will suffice that H should be so much lighter with respect to G as the distance CF is less than FA» – (fr:2195) [basterà che H sia tanto più leggero rispetto a G quanto la distanza CF è minore di FA]. La conclusione – «we have agreed that the impeto … has the same size as the force, or least resistance, which suffices to keep it still» – (fr:2196) [abbiamo convenuto che l’impeto … ha la stessa grandezza della forza, o minima resistenza, che basta a tenerlo fermo] – mostra come Galileo misurasse l’impeto con la forza statica opponibile. L’autore osserva però un’ambiguità terminologica: la parola impeto indicava a volte la velocità acquistata in un dato tempo, a volte le distanze percorse su piani diversamente inclinati in un certo tempo (fr:2197).

L’ultimo tassello è il moto dei proietti, affrontato con il principio di composizione dei moti e l’indipendenza degli effetti. Su un piano orizzontale illimitato il moto uniforme si conserva indefinitamente (fr:2202). Il trattato riporta la costruzione della parabola per punti: su una linea BE si staccano segmenti uguali e dalle loro estremità si innalzano parallele lunghe in proporzione ai quadrati di CB, DB, EB: «On the first of these parallels take an arbitrary length CI; on the next one, a length DF which is four times as great; on the third, a length EH nine times greater; and so on, the successive lengths increasing as the squares of CB, DB, EB» – (fr:2205) [Sulla prima di queste parallele prendi una lunghezza arbitraria CI; sulla successiva, una lunghezza DF quattro volte maggiore; sulla terza, una lunghezza EH nove volte maggiore; e così via, le lunghezze successive aumentano come i quadrati di CB, DB, EB]. In tal modo la traiettoria risulta composta di un moto orizzontale uniforme e di un moto verticale uniformemente accelerato, offrendo la prima trattazione coerente del moto parabolico dei gravi.

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11 Dalla statica alla dinamica: il percorso fondativo della meccanica moderna tra Stevino e Galileo

Il testo ripercorre i contributi cruciali di Stevino e Galileo che, superando la tradizione scolastica, gettarono le basi della statica dei fluidi, della dinamica e della balistica, culminando nella definizione sperimentale e matematica delle leggi della caduta dei gravi e del moto dei proiettili.

L’analisi prende avvio con i contributi di Simone Stevino alla statica dei fluidi. A lui si deve la chiara enunciazione del principio di solidificazione, che stabilisce come “un corpo solido di qualsiasi forma e della stessa densità di un dato fluido può rimanervi in equilibrio qualunque sia la sua posizione, e senza che le pressioni nel resto del fluido vengano modificate” - (fr:2207). Questo principio lo condusse direttamente alla formulazione del cosiddetto paradosso idrostatico, ovvero la dimostrazione che “un fluido, tramite la sua pressione, può esercitare uno sforzo totale sul fondo di un recipiente che può essere notevolmente maggiore del peso totale del fluido” - (fr:2208). Stevino collegò inoltre il principio di Archimede all’impossibilità del moto perpetuo. Un altro contributo terminologico fondamentale, seppur isolato, venne da Salomone di Caus, un normanno dedito alla costruzione di viti idrauliche, al quale “dobbiamo il termine lavoro nel senso in cui è ora usato in meccanica” - (fr:2212).

Il fulcro del testo si sposta poi sull’opera di Galileo Galilei, partendo dalla sua statica. Il manoscritto giovanile, rimasto inedito fino al 1888, è descritto come un tipico documento scolastico, nonostante i riferimenti a moderni come Cardano e Scaligero, ma in esso già si manifesta la sua fiera indipendenza intellettuale. In questa fase, Galileo definisce il momento in un’ottica ancora legata alla tesi aristotelica, considerandolo come “il prodotto della forza e della velocità” - (fr:2218), e descrivendolo come “l’inclinazione del medesimo corpo considerato nella situazione che occupava sul braccio di una leva o di una bilancia” - (fr:2219). L’esistenza di un centro di gravità di un corpo era per Galileo un fatto sperimentale tanto quanto lo era per gli Scolastici. La sua analisi si estende poi allo studio sistematico di macchine semplici: leva, stadera, tornio, volano, argano, verricello, carrucola e vite. Attraverso lo studio dell’equilibrio su un piano inclinato, Galileo giunge a una conclusione fondamentale: “il rapporto tra il momento totale e assoluto del corpo in movimento, perpendicolare all’orizzonte, e il momento che esso ha sul piano inclinato HF è lo stesso del rapporto tra FH e FK” - (fr:2227), dove FK rappresenta la componente verticale.

L’aspetto più rivoluzionario del pensiero galileiano emerge nello sviluppo della sua dinamica. Grazie a una lettera a Paolo Sarpi datata 16 ottobre 1604, sappiamo che già allora Galileo credeva nella legge oraria classica: “Le distanze percorse nel moto naturale sono in rapporto quadratico con i tempi di caduta” - (fr:2233). Il percorso intellettuale per raggiungere questa verità non fu però lineare. Inizialmente, Galileo associò a questa legge delle distanze un’errata legge delle velocità, ipotizzando che la velocità fosse proporzionale allo spazio percorso (v ∝ s) invece che al tempo. Le frasi descrivono questa fase come una “deviazione” significativa, ma istruttiva: “Certamente sono errati, ma ci mostrano lo sviluppo del suo pensiero e meritano di essere citati per mostrare le deviazioni che fece prima di emanciparsene” - (fr:2236). Partendo dall’ipotesi inesatta che v ∝ s, e attraverso un ragionamento geometrico che confrontava le aree di triangoli rappresentanti le velocità, Galileo derivò comunque la relazione corretta, concludendo che “il rapporto tra la durata del moto lungo AD e la durata del moto lungo AC è quindi la radice quadrata del rapporto tra la distanza AD e la distanza AC” - (fr:2244), e quindi “le distanze dal punto di partenza sono come i quadrati dei tempi” - (fr:2245).

La definitiva sistematizzazione del pensiero galileiano si trova nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze. Qui, attraverso i personaggi di Salviati, Sagredo e Simplicio, il testo dichiara a priori che “la caduta dei corpi è uniformemente accelerata, ovvero l’aumento della velocità è come quello del tempo” - (fr:2251). Salviati, “rifiutando di perdersi nelle discussioni che avevano occupato gli Scolastici, accantona ogni argomento sulla causa della caduta dei corpi” - (fr:2253), concentrandosi sulla descrizione matematica del fenomeno. Per corroborare il principio per cui le velocità acquisite su piani inclinati di uguale altezza sono uguali, Galileo ricorse a un celebre esperimento mentale con un pendolo e un chiodo (E o F) conficcato nella parete. L’osservazione che la pallina, scendendo lungo un arco e incontrando l’ostacolo del chiodo, risale sempre fino alla stessa linea orizzontale CD, indipendentemente dal punto in cui il filo viene deviato, dimostra l’uguaglianza dell’impeto acquisito nella discesa. Salviati ammette che su piani inclinati la pallina, incontrando un ostacolo, perde parte del suo impeto nel rimbalzo, ma invita a prendere l’affermazione “come un postulato per il momento—la sua verità assoluta sarà stabilita in seguito quando vedremo che le conclusioni che ne dipendono…” - (fr:2274).

Per trattare matematicamente il moto uniformemente accelerato, Galileo utilizzò la rappresentazione geometrica delle velocità. In un triangolo, le parallele alla base rappresentano i gradi di velocità crescenti uniformemente nel tempo, e la superficie totale del triangolo AHD rappresenta lo spazio percorso. “In definitiva, questa infinità di linee rappresenterà la superficie del triangolo AHD” - (fr:2278), e “la superficie totale del triangolo è la massa e la somma di tutta la velocità con cui il corpo ha percorso tale distanza nel tempo AC” - (fr:2279). Sebbene il testo ricordi come già gli Scolastici, grazie agli sforzi di Oresme, Heytesbury e Soto, avessero raggiunto questo risultato fondamentale, Galileo lo sottopose a una verifica sperimentale scrupolosa e ripetuta “un centinaio di volte”. L’esperimento consisteva nel far rotolare una palla di bronzo in un canale scavato in una riga di legno lunga dodici cubiti, “ricoperta con un foglio di pergamena il più levigato possibile” - (fr:2284). Misurando il tempo con un secchio d’acqua, trovò che il tempo di percorrenza di un quarto della lunghezza era esattamente la metà del tempo totale, e che le durate di caduta su piani diversamente inclinati seguivano le proporzioni da lui dimostrate.

Galileo introdusse infine la nozione di impeto, chiamato anche talento o momento del discendere, un concetto che gli permise di superare l’impasse scolastica. Esso è massimo lungo la verticale CB e diminuisce sui piani inclinati, fino ad annullarsi su un piano orizzontale equidistante dal centro della Terra, dove “la resistenza al moto dovuta allo spostamento orizzontale è zero. Di conseguenza la resistenza è dovuta unicamente al fatto che il corpo deve salire lungo la verticale CF” - (fr:2298). Attraverso un processo al limite a partire dal principio dei lavori virtuali, Galileo poté così verificare il postulato delle velocità e dimostrare che per cadute dalla stessa altezza, il rapporto tra le durate di caduta è uguale al rapporto tra le lunghezze del piano inclinato e della verticale.

L’ultimo fondamentale contributo analizzato è la sintesi del moto dei proiettili. Contrariamente alla trattazione imperfetta degli Scolastici, Galileo immagina un corpo lanciato su un piano orizzontale senza ostacoli, il cui moto uniforme e indistruttibile, giunto al termine del piano, si compone con la naturale tendenza verso il basso dovuta alla gravità. “Da questo sorgerà un moto composto, composto dal moto orizzontale e dal moto naturalmente accelerato di discesa” - (fr:2308). La traiettoria che ne risulta è una curva geometrica ben definita: “il proiettile descrive una parabola” - (fr:2309). Geometricamente, ciò è rappresentato da un corpo che, abbandonato il supporto nel punto B, è costretto dalla gravità a un moto verticale, componendo uno spostamento orizzontale uniforme con una caduta verticale accelerata, la cui analisi conclude la rivoluzionaria trattazione galileiana.

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12 Il principio dei lavori virtuali e l’analisi infinitesimale della leva in Cartesio

È la stessa cosa sollevare cento libbre all’altezza di un piede, o duecento libbre all’altezza di un piede, o cento libbre all’altezza di due piedi: un’equivalenza che fonda la scienza delle macchine e rivela, nella leva, un carattere infinitesimale.

Il testo si apre definendo un principio di equivalenza meccanica fondamentale: “Infatti, è la stessa cosa sollevare cento libbre all’altezza di un piede, e poi ancora, sollevare cento libbre alla stessa altezza di un piede, che sollevare duecento libbre all’altezza di un piede e anche che sollevare cento libbre all’altezza di due piedi.” (fr:2512). Questa affermazione identifica ciò che oggi chiamiamo lavoro meccanico, una grandezza che Cartesio indica con il termine “forza”. Le macchine che permettono di applicare questo principio, agendo su un peso su una grande distanza facendolo sollevare tramite un peso minore, sono elencate: “Ora, le macchine che servono a fare questa applicazione, del tipo che agisce su un peso su una grande distanza e lo fa salire tramite uno più piccolo, sono la puleggia, il piano inclinato, il cuneo, il tornio o verricello, la vite, la leva e alcune altre.” (fr:2513), con la possibilità di enumerarne ulteriori o di ridurne il numero se si desidera metterle in relazione tra loro (fr:2514, 2515).

L’applicazione del principio è illustrata attraverso il piano inclinato. Per sollevare un peso F di 200 libbre all’altezza della linea BA, disponendo di una forza capace di sollevare solo 100 libbre, è sufficiente trascinare il corpo lungo il piano inclinato CA, supposto lungo il doppio di AB (fr:2516). “Infatti, per portarlo al punto A tramite questo percorso, si userà solo la forza necessaria a far salire cento libbre per un’altezza doppia…” (fr:2517). A questo calcolo si contrappone però una difficoltà pratica: quella di muovere il corpo lungo il piano AC, specialmente se questo piano seguisse la linea BC, le cui parti sono egualmente distanti dal centro della Terra (Fig. 51) (fr:2517-2518). Tale ostacolo dipende dalla levigatezza del piano, ed è un fatto che può essere espresso solo approssimativamente e non risulta molto considerevole (fr:2519). Peraltro, la curvatura che il piano AC dovrebbe avere per seguire l’andamento circolare della Terra è del tutto trascurabile (fr:2520, 2521).

L’attenzione si sposta sulla leva, la macchina più complessa da analizzare. Cartesio, seguendo l’impostazione di Guido Ubaldo, considera un modello in cui la resistenza è un peso appeso alla leva e la potenza agisce perpendicolarmente al suo braccio (fr:2522, 2523, 2525). L’analisi si fa qui più sofisticata: “Considerate questo: mentre la forza che muove la leva discende lungo l’intero semicerchio ABCDE, sebbene anche il peso descriva il semicerchio FGHIK, esso non viene sollevato per l’intera lunghezza della linea curva FGHIK, ma solo per la lunghezza della linea retta FOK.” (fr:2526). Ne consegue che il rapporto tra la forza motrice e la pesantezza del peso non deve essere misurato dalla proporzione tra i due diametri, ma dal rapporto tra la circonferenza massima e il diametro minimo (fr:2527). Inoltre, la forza necessaria per muovere la leva non è costante: è minore quando la leva si trova vicino ai punti A o E, maggiore vicino a B o D, poiché in quelle posizioni il peso si solleva di meno, come è facile vedere (Fig. 52) (fr:2528-2529). Per valutare con esattezza questa forza in ogni punto della linea curva ABCDE, occorre comprendere che essa agisce “come se si tirasse il peso su un piano inclinato circolare” (fr:2530), e che l’inclinazione in ogni punto di questo piano circolare è misurata dalla retta tangente al cerchio in quel punto (fr:2531).

Proprio in questa trattazione risiede l’aspetto storicamente più rilevante: Cartesio non solo enunciò il principio dei lavori virtuali, ma ne indicò con priorità certa il carattere infinitesimale (fr:2532). Egli afferma che il peso relativo di un corpo deve essere misurato dall’inizio del movimento che la potenza è in grado di produrre, piuttosto che dall’altezza a cui può risalire dopo essere caduto (fr:2533), sottolineando la necessità di considerare l’inizio della caduta, non la caduta semplicemente (fr:2534). Questa attenzione all’istante iniziale del moto introduce una prospettiva dinamica e infinitesimale che anticipa sviluppi successivi della meccanica.

Il testo offre uno spaccato significativo del contesto scientifico e personale dell’epoca, riportando il noto disprezzo di Cartesio per molti contemporanei e predecessori (fr:2536). Interpellato da Mersenne su Galileo, Cartesio risponde di non averlo mai incontrato né di aver avuto comunicazioni con lui, negando qualsiasi possibile prestito intellettuale (fr:2538). “Inoltre, non vedo nulla nei suoi libri che mi provochi invidia, né nulla che si avvicini a ciò che vorrei chiamare mio.” (fr:2539). La sua critica si estende a Guido Ubaldo, definendo “sciocco pensare alla vite come a una leva” (fr:2540), e ribadisce a Mersenne la sua indipendenza intellettuale: “Riguardo a ciò che Galileo ha scritto sulla bilancia e sulla leva, spiega il quod ita fit piuttosto bene, ma non il cur ita fit, come ho fatto io con il mio Principio.” (fr:2542). Tale affermazione mostra come Cartesio ritenesse il proprio principio teorico superiore a qualsiasi altra considerazione, persino sperimentale (fr:2543).

Infine, emerge una questione terminologica cruciale: Cartesio usa costantemente la parola “forza” per denotare ciò che oggi chiamiamo lavoro. Questo generò malintesi già presso i suoi contemporanei, ai quali egli reagì con suscettibilità (fr:2544-2546). La sua chiarificazione è netta: “Finalmente avete compreso la parola forza nel senso in cui la uso, quando dico che ci vuole tanta forza per sollevare un peso di 100 libbre all’altezza di un piede quanta per sollevarne uno di 50 libbre all’altezza di due piedi.” (fr:2547). L’identificazione tra “forza” e lavoro, associata alla consapevolezza infinitesimale nell’analisi della leva, costituisce il nucleo concettuale e storico del brano.

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[10.1-55-2869|2923]

13 Dall’urto anelastico all’urto elastico: la formalizzazione della conservazione della quantità di moto e l’introduzione della vis elastica nel Seicento

Il testo ripercorre i contributi di Wallis, Wren e Huygens alla teoria dell’urto, mostrando il passaggio dal concetto di quantità di moto complessiva costante negli urti anelastici alla spiegazione del rimbalzo elastico mediante una forza elastica empirica, fino alla fondazione inerziale della legge dell’urto elastico.

Il brano analizza le prime leggi sull’urto dei corpi, partendo dalla trattazione di John Wallis sull’urto molle (anelastico). Wallis assume che due corpi A e B, dopo l’impatto, procedano uniti con la stessa velocità: ”After the impact the two bodies will move with the same velocity.” – (fr:2869) [Dopo l’impatto i due corpi si muoveranno con la stessa velocità.] La giustificazione è puramente logica: B non può andare più lentamente di A perché A lo segue, né più velocemente, poiché l’unica causa di moto è l’impulso di A (fr:2870-2871). L’eccezione è il caso in cui intervenga una forza elastica, che viene rimandata a un’analisi successiva (fr:2872). Da queste premesse, la velocità comune dei due pesi p e p’ mossi da una forza pv è espressa dal rapporto ”J.!!..,.” (sic), ovvero (pv)/(p+p’) (fr:2873). Il testo osserva che la dimostrazione si fonda sulla conservazione della quantità di moto totale del sistema, pur nella consapevolezza che Wallis non distingueva ancora tra peso e massa (fr:2874-2875).

—”* – (fr:2878) [(pv + p’v’)/(p+p’)], ossia – spiega il testo – la somma dei momenti divisa per la somma dei pesi (fr:2879). Se invece B si muove in verso opposto con velocità -v’, la velocità comune è ”pv – p’t” -p-il-·” – (fr:2880) [(pv – p’v’)/(p+p’)]. Viene qui sottolineato un progresso rispetto a Descartes: Wallis tiene conto dei segni delle quantità di moto, ed è grazie a ciò che giunge a regole corrette, a parte la confusione tra peso e massa (fr:2880-2881).

Wallis definisce anche la grandezza dell’impatto: ”the magnitude of the impact is equal to twice the decrease that is experienced by the greatest moment in direct impact.” – (fr:2882) [la grandezza dell’impatto è uguale al doppio della diminuzione subita dal momento maggiore nell’urto diretto.] Spiega il ragionamento: il corpo che riceve l’urto guadagna ciò che l’altro perde, e poiché aumento e diminuzione sono entrambi effetto dell’impatto, l’impatto stesso è la loro somma, cioè il doppio della perdita subita dal momento maggiore (fr:2883-2885).

Il trattato passa poi all’urto elastico (Capitolo XIII). Wallis lo riconduce all’urto molle introducendo una vis elastica non meglio specificata, fondata su dati sperimentali (fr:2886-2888). Enuncia quindi una proposizione fondamentale: ”If a body hits an obstacle directly, and if the two bodies—or only one of them—are elastic, the first body will rebound with a velocity equal to that which it had before the impact, and will follow the same direction.” – (fr:2890) [Se un corpo urta direttamente un ostacolo, e se i due corpi – o uno solo di essi – sono elastici, il primo rimbalza con velocità uguale a quella che aveva prima dell’urto e segue la stessa direzione.] Per giustificarlo, applica la teoria dell’urto molle a un ostacolo immobile: senza elasticità il corpo A si arresterebbe (fr:2891-2892); tutto il moto residuo è quindi opera della vis elastica, la quale ”is always equal to the force of the impact.” – (fr:2895) [è sempre uguale alla forza dell’impatto.] Ne segue che l’elasticità agisce per reazione, con la stessa energia della compressione, e poiché ciò che l’elastico subisce nella compressione è pari all’impatto, la forza restitutiva eguaglia l’impatto (fr:2897-2899). Concretamente, per un corpo di peso p e velocità v, la grandezza dell’impatto è 2pv, che è anche la forza elastica; metà di essa, pv, si dissipa sull’ostacolo, mentre l’altra metà respinge il corpo A con velocità v (fr:2901-2904). Wallis tratta anche l’urto elastico tra corpi uguali con velocità opposte e, prendendo a prestito da Wren, l’urto tra corpi ineguali con velocità inversamente proporzionali ai pesi: in entrambi i casi ciascun corpo rimbalza con la velocità che possedeva prima dell’impatto (fr:2905-2906).

La seconda sezione è dedicata a Christopher Wren e alle leggi dell’urto elastico (fr:2909-2910). Wren parte dal concetto di velocità propria, inversamente proporzionale al peso del corpo: ”for any body, is inversely proportional to the weight.” – (fr:2911) [per qualsiasi corpo, è inversamente proporzionale al peso.] L’urto tra due corpi R e S che si muovono con le loro velocità proprie conserva tali velocità; se le velocità differiscono dai valori propri, l’impatto riporta i corpi all’equilibrio, aggiungendo e sottraendo la stessa quantità alle velocità proprie di S e di R. Wren considerava l’urto con velocità proprie analogo a una bilancia oscillante attorno al proprio baricentro, concetto che espresse nei diagrammi con cui rappresentava l’effetto dell’impatto (fr:2912-2915). Pur non offrendo una giustificazione logica soddisfacente, Wren ebbe il merito di verificare le sue conclusioni con esperimenti e di tradurle in una legge chiara e precisa (fr:2916).

L’ultima parte riguarda Christiaan Huygens, che si limitò all’urto elastico (fr:2918-2919). La sua indagine, raccolta nel volume postumo De Motu corporum ex percussione (1700), poggia su tre ipotesi. La prima è il principio d’inerzia: ”Any body in motion tends to move in a straight line with the same velocity as long as it does not meet an obstacle.” – (fr:2923) [Qualsiasi corpo in movimento tende a muoversi in linea retta con la stessa velocità finché non incontra un ostacolo.] Questa ipotesi segna il punto di partenza di una trattazione che, a differenza di quelle precedenti, radica le leggi dell’urto nel principio di conservazione del moto rettilineo uniforme.

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14 Il pendulum composto e il conatus centrifugo nell’opera di Huygens

L’evoluzione dal problema dell’orologio a cicloide alla definizione del centro d’oscillazione e alla teoria della forza centrifuga mostra come Huygens unisca ipotesi fisiche semplici e strumenti geometrico‑infinitesimali per fondare la dinamica dei corpi collegati.

Il testo ripercorre alcuni momenti cruciali dell’Horologium oscillatorium di Christiaan Huygens, a partire dal trattamento del moto lungo piani inclinati fino alla determinazione del centro d’oscillazione del pendolo composto, e si conclude con la teoria della forza centrifuga contenuta in un manoscritto del L’analisi procede per proposizioni concatenate, rivelando come un’ipotesi meccanica semplice diventi il fondamento di costruzioni teoriche via via più generali.

La base del ragionamento è che un corpo che cada lungo una spezzata o una curva, partendo da una data altezza, acquista sempre la stessa velocità di una caduta libera verticale dalla medesima altezza. Così Salviati, nei Discorsi, era stato costretto a prendere come postulato un principio analogo: “Thus Salviati, in the Discorsi, had been obliged to take the following principle as a postulate.” – (fr:3046) [Così Salviati, nei Discorsi, era stato obbligato ad assumere come postulato il principio seguente.] Huygens lo estende, mostrando che “when the body falls in a continuous motion from a given height along any number of differently inclined planes, it always acquires the same velocity as that obtaining at the end of a vertical fall from the same height” – (fr:3053) [quando il corpo cade con moto continuo da una data altezza lungo un qualunque numero di piani diversamente inclinati, acquista sempre la stessa velocità che si otterrebbe al termine di una caduta verticale dalla stessa altezza.] Un passaggio al limite permette poi di studiare il moto su una curva contenuta in un piano verticale – “A passage to the limit then allows the question of the motion of a body on a curve contained in a vertical plane to be considered.” – (fr:3054) [Un passaggio al limite consente allora di affrontare il moto di un corpo su una curva contenuta in un piano verticale.]

La celebrazione dell’isocronismo del pendolo cicloidale – “THE ISOCHRONISM OF THE CYCLOIDAL PENDULUM.” – (fr:3055) [L’isocronismo del pendolo cicloidale.] – richiese una dozzina di proposizioni, e il testo riconosce lo sviluppo della cicloide come giustificazione razionale dell’impiego della forma cicloidale nell’orologio di Huygens: “Notable among this work is the development of the cycloid, which rationally justified the use of the cycloidal shape in his clock.” – (fr:3064) [Notevole in questo lavoro è lo sviluppo della cicloide, che giustificò razionalmente l’impiego della forma cicloidale nel suo orologio.]

La quarta parte dell’Horologium oscillatorium è dedicata al centro d’oscillazione. L’ipotesi fondamentale è enunciata in modo ridotto: “His hypothesis reduces to the following — no heavy body can rise by the sole agency of its own gravity; what is true for a single body is also true for bodies which are attached to each other by rigid rods.” – (fr:3073) [La sua ipotesi si riduce a questo: nessun corpo grave può salire per il solo effetto della propria gravità; ciò che è vero per un corpo singolo è vero anche per corpi collegati tra loro da aste rigide.] In termini più generali, “We suppose that when any number of weights starts to fall, the common centre of gravity cannot rise to a height greater than that from which it starts.” – (fr:3072) [Supponiamo che quando un numero qualsiasi di pesi incomincia a cadere, il comune centro di gravità non possa salire a un’altezza maggiore di quella da cui parte.] Tale ipotesi, estesa ai liquidi, serve a smascherare l’impossibilità del moto perpetuo: “And truly, if the inventors of new machines who strive in vain to obtain perpetual motion were able to make use of this hypothesis, they would easily discover their errors for themselves and would understand that this motion cannot be obtained by any mechanical means.” – (fr:3079) [E veramente, se gli inventori di nuove macchine che si affannano invano per ottenere il moto perpetuo sapessero servirsi di questa ipotesi, scoprirebbero da sé i propri errori e capirebbero che un tale moto non si può ottenere con alcun mezzo meccanico.]

La dimostrazione per il pendolo composto si struttura geometricamente. La Proposizione IV definisce il pendolo composto da più pesi collegati da un’asta senza peso, sospeso a un asse perpendicolare al piano, e mostra che il centro di gravità non può trovarsi più in alto della sua posizione di partenza: “First, it is certain that P is not higher than E (hypothesis I).” – (fr:3085) [In primo luogo, è certo che P non è più alto di E (ipotesi I).]

La Proposizione V fornisce la regola per calcolare la lunghezza del pendolo semplice isocrono: “Being given a pendulum composed of any number of weights, if each of these is multiplied by the square of the distance from the axis of oscillation, and the sum of these products is divided by the product of the sum of the weights with the distance of their centre of gravity from the same axis of oscillation, there will be obtained the length of the simple pendulum.” – (fr:3090) [Dato un pendolo composto da un numero qualsiasi di pesi, se ciascuno di essi viene moltiplicato per il quadrato della distanza dall’asse di oscillazione, e la somma di questi prodotti è divisa per il prodotto della somma dei pesi per la distanza del loro centro di gravità dallo stesso asse, si ottiene la lunghezza del pendolo semplice.] La lunghezza incognita x viene posta in relazione con le masse e le distanze: il testo mostra che l’uguaglianza delle velocità tra il pendolo semplice e quello composto nei corrispondenti punti dell’oscillazione si ha per “X = (ae² + bf² + cg²) / ((a+b+c)d)” – (fr:3096) – dove e, f, g sono le distanze dei pesi dall’asse e d la distanza del centro di gravità. L’argomentazione procede per contraddizione confrontando le altezze di risalita, poiché “the heights of return are proportional to the squares of the velocities.” – (fr:3099) [le altezze di risalita sono proporzionali ai quadrati delle velocità.]

La Proposizione XVIII traduce la regola in termini di uno “spazio piano” legato al momento d’inerzia: “If the plane space, whose product with the number of particles of the suspended magnitude is equal to the sum of the squares of their distances from the axis of gravity, is divided by the distance between the two axes, the result obtained is the distance from the centre of gravity to the centre of oscillation.” – (fr:3104) [Se lo spazio piano, il cui prodotto per il numero di particelle della grandezza sospesa è uguale alla somma dei quadrati delle loro distanze dall’asse di gravità, viene diviso per la distanza tra i due assi, si ottiene la distanza dal centro di gravità al centro d’oscillazione.] Questa proposizione, insieme alla XIX, stabilisce la reciprocità tra asse di sospensione e centro d’oscillazione “a direct consequence of Proposition XIX and the constancy of the product d (x – d)” – (fr:3111) [una conseguenza diretta della Proposizione XIX e della costanza del prodotto d (x‑d).] L’intero sviluppo è equivalente all’introduzione del concetto di momento d’inerzia che sarà formalizzato da Eulero.

Nell’ultima parte del testo si esamina la teoria della forza centrifuga, redatta nel 1659 ma pubblicata postuma nel Huygens vi introduce il conatus: “This tendency is made apparent by the tension of the thread which supports a body.” – (fr:3120) [Questa tendenza si manifesta attraverso la tensione del filo che sostiene un corpo.] L’artificio di supporre una ruota abbastanza grande da portare un uomo serve a costruire un sistema di riferimento solidale con la ruota. L’osservazione cruciale è che le distanze dei punti abbandonati dal piombo rispetto alle tangenti crescono come i quadrati dei tempi: “The distances Ey, Fδ, …. increase as the square numbers 1, 4, 9, 16, ….. and this becomes more accurate as the arcs BE, EF, …… become smaller.” – (fr:3126) [Le distanze Ey, Fδ, … crescono come i numeri quadrati 1, 4, 9, 16, … e ciò diventa tanto più esatto quanto più piccoli diventano gli archi BE, EF, …] Ne consegue che “The conatus of a sphere attached to a revolving wheel is the same as if the sphere tended to advance along the radius with a uniformly accelerated motion.” – (fr:3130) [Il conatus di una sfera fissata a una ruota rotante è lo stesso che se la sfera tendesse ad avanzare lungo il raggio con moto uniformemente accelerato.] Tale conatus è simile a quello di un corpo appeso a un filo, e per un dato raggio “it is proportional to the square of the velocity on the circumference.” – (fr:3140) [è proporzionale al quadrato della velocità sulla circonferenza.] Infine, quando la velocità periferica eguaglia quella che si otterrebbe cadendo da un’altezza pari a metà del diametro, “its centrifugal force is equal to its gravity.” – (fr:3141) [la sua forza centrifuga è uguale alla sua gravità.]

Il percorso qui descritto testimonia come Huygens, partendo dalla necessità di regolare i suoi orologi “automatici” aggiungendo pesi mobili, abbia costruito una teoria generale del centro d’oscillazione e della forza centrifuga. L’uso di un’unica ipotesi fisica – l’impossibilità per il centro di gravità di risalire spontaneamente – combinato con procedimenti al limite e proprietà geometriche delle curve, prefigura metodi variazionali e la successiva meccanica analitica.

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15 Il cuore dell’Horologium Oscillatorium: moto, centri di oscillazione e forza centrifuga

Un resoconto dei concetti chiave e del significato storico delle dimostrazioni di Huygens, tra il superamento di Galileo e la fondazione di una nuova meccanica.

Il testo offre uno spaccato del contributo di Christiaan Huygens alla meccanica razionale, estraendo passaggi cruciali del suo Horologium Oscillatorium e dei successivi studi sulla forza centrifuga. L’autore sottolinea fin dall’inizio la distanza dalle dimostrazioni galileiane: Huygens raddoppia gli intervalli di tempo per studiare il moto su un piano inclinato e perviene a una relazione tra spazi e tempi che, secondo il testo, esprime «le idee degli Scolastici del XIV secolo in un linguaggio matematico più sofisticato» – (fr:3145) [With a little good-will it is possible to regard them as the expression of the ideas of the Schoolmen of the XIVth Century in a more sophisticated mathematical language]. L’originalità emerge quando Huygens cerca di fondare ciò che Galileo aveva assunto come evidente. Egli enuncia l’ipotesi delle velocità su piani diversamente inclinati: «The velocities acquired by a body in falling on differently inclined planes are equal when the heights of the planes are so» – (fr:3147) [Le velocità acquisite da un corpo cadendo su piani diversamente inclinati sono uguali quando lo sono le altezze dei piani]. La prova è costruita per assurdo: considerando due piani AB e CB, si immagina che il corpo, dopo la discesa lungo CB, possa risalire l’intera lunghezza BC raggiungendo un’altezza maggiore di quella di partenza; il che è giudicato impossibile. Analogamente si esclude che la velocità in discesa lungo AB possa essere minore di quella lungo CB. Huygens mostra poi che i tempi di caduta stanno tra loro come le lunghezze dei piani e che, risalendo lungo una traiettoria formata da piani contigui diversamente inclinati, il corpo ritorna all’altezza originaria (Proposizione IX).

Il contributo più celebre è la dimostrazione dell’isocronismo del pendolo cicloidale attraverso un argomento di geometria infinitesimale. Il risultato principale è così formulato: «In a cycloid whose axis is vertical and whose summit is placed below, the times of descent in which a particle starts from any point on the curve and reaches the lowest point are equal to each other; their ratio with the time of vertical fall along the whole axis of the cycloid is equal to the ratio of half the circumference of a circle to its diameter» – (fr:3158) [In una cicloide con asse verticale e vertice posto in basso, i tempi di discesa di una particella che parte da un qualsiasi punto della curva e raggiunge il punto più basso sono uguali tra loro; il loro rapporto con il tempo di caduta verticale lungo l’intero asse della cicloide è uguale al rapporto tra la semicirconferenza di un cerchio e il suo diametro]. Il moto è ricondotto all’equazione differenziale ( = -s) e, se la particella parte dalla quiete in un punto B con arco AB = (s_0), la soluzione (s = s_0 , t) fornisce il tempo (T = ) per giungere al minimo, confrontato con il tempo (T’ = ) della caduta verticale. Nello studio della curva Huygens introduce anche la nozione di sviluppo e di evoluta, denominando descripta ex evolutione la curva sviluppata e occupandosi degli sviluppi delle coniche, in particolare della parabola che chiama paraboloides.

L’indagine si allarga alla teoria del centro di oscillazione. Il testo ricorda che fu lo stesso Mersenne, quand’era «ancora quasi un fanciullo», a suggerirgli il problema. Huygens lo risolve completamente ricorrendo a una generalizzazione del principio di Torricelli che si appoggia sul principio delle forze vive. Il centro di oscillazione è definito come il punto sulla perpendicolare all’asse di oscillazione passante per il baricentro, a una distanza pari alla lunghezza del pendolo semplice isocrono. La dimostrazione poggia sull’ipotesi fondamentale che il centro di gravità comune di un sistema di pesi, dopo aver compiuto una parte di oscillazione e una volta spezzato il vincolo, risalga esattamente all’altezza iniziale. L’argomentazione è condotta con rigore: si immaginano i pesi A, B, C uniti da aste rigide; compiuta una rotazione parziale, si rompono i legami e ciascun peso dirige la propria velocità verso l’alto fino a raggiungere la massima altezza possibile, dimostrando che il centro di gravità non può né superare né scendere al di sotto dell’altezza di partenza – «It must therefore be that it is at the same height» – (fr:3190) [Si deve dunque concludere che esso si trova alla medesima altezza]. Questa proposizione consente a Huygens di determinare la lunghezza (x) del pendolo semplice isocrono al pendolo composto, verificando che «v(A) / v(L) = DA / x» e che un’eventuale disuguaglianza porterebbe il centro di gravità a un’altezza impossibile, contraddicendo l’ipotesi. Da qui la proposizione che sancisce la reciprocità tra asse di sospensione e asse di oscillazione – «The centre of oscillation and the point of suspension are reciprocal» – (fr:3211) [Il centro di oscillazione e il punto di sospensione sono reciproci].

Storicamente il testo non manca di sottolineare la critica di Lagrange, che vedeva in questa costruzione un «principio indiretto», ma riconosce che essa attirò l’attenzione dei geometri, come Cartesio e Roberval, sulla questione delle velocità perdute o guadagnate nel moto vincolato. Il marchese de l’Hôpital suggerì di considerare un moto infinitesimo del sistema, preparando il terreno al futuro principio di d’Alembert.

L’ultima parte è dedicata alla forza centrifuga, studiata in tredici proposizioni non dimostrate nell’Horologium e poi sviluppate nel De vi centrifuga. Huygens concepisce la gravità come un conatus a cadere e per misurarlo esamina il primo moto di un corpo dopo la rottura del filo. Il ragionamento è condotto immaginando un uomo che regge un filo con una palla di piombo mentre ruota: lasciata andare, la palla si muove lungo traiettorie rettilinee tangenziali alla circonferenza iniziale. Servendosi della legge galileiana degli spazi proporzionali ai quadrati dei tempi, Huygens mostra che il conatus centrifugo è analogo a quello di un grave sospeso. In conclusione, per corpi di uguale velocità angolare su cerchi uguali, «le forze centrifughe di particelle disuguali che si muovono con velocità uguali su cerchi uguali stanno tra loro come le loro gravità, cioè come le loro quantità di solido» – (fr:3234-3235) [From which we conclude that the centrifugal forces of unequal particles that move with equal velocities on equal circles have the same relation to each other as their gravities, that is, as their quantities of solid. Indeed, all bodies tend to fall with the same velocity in the same uniformly accelerated [motion]. But their conatus has a moment that is greater as the bodies themselves are greater]. Da questa premessa discendono le celebri proposizioni: a parità di periodo, la forza centrifuga è proporzionale al diametro; a parità di velocità sulla circonferenza, è inversamente proporzionale al diametro; a parità di forza centrifuga, il periodo di rivoluzione è proporzionale alla radice quadrata del raggio. Viene così fissato, seppure con il lessico del conatus e del momentum, un embrione del concetto di massa inerziale, qui colto come quantità di solido.

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16 Il principio di d’Alembert e la fondazione della dinamica analitica

Un metodo generale per ridurre ogni problema dinamico a un equilibrio di “moti perduti” trasforma lo studio del moto dei corpi vincolati in un capitolo della statica.

Il brano costituisce una testimonianza cruciale della fondazione della meccanica razionale settecentesca. L’autore annuncia con chiarezza il proprio programma: colmare una lacuna lasciata dai «più grandi geometri» e fornire uno strumento universale per le questioni dinamiche più complesse. “I shall d,vell on this subject even more readily because the greatest geometers have only so far (1742) solved a small number of problems of this kind, and because I hope, by means of the general method which I am going to present, to equip all those who are familar with the calcu- lations and principles of mechanics so that they can solve the most difficult problems of this kind.” – (fr:4018) [Mi soffermerò su questo argomento tanto più volentieri in quanto i più grandi geometri hanno finora (1742) risolto solo un piccolo numero di problemi di questo tipo, e perché spero, mediante il metodo generale che sto per presentare, di mettere in grado tutti coloro che hanno familiarità con i calcoli e i principi della meccanica di risolvere i problemi più difficili di questo genere.] Il riferimento temporale al 1742 àncora il testo al Traité de dynamique di Jean Le Rond d’Alembert, pubblicato l’anno successivo.

La costruzione del metodo poggia su due definizioni operative. La prima fissa il concetto di moto come grandezza vettoriale: “DF:FINITION ” In what follows, I shall call motion of a body the velocity of this same body and shall take account of its direction.” – (fr:4019) [DEFINIZIONE. In quanto segue, chiamerò moto di un corpo la velocità di questo stesso corpo tenendo conto della sua direzione.] La seconda richiama la misura della quantità di moto già invalsa: “And by quantity of motion, I shall understand, as is custolnary, the product of the mass and the velocity.” – (fr:4020) [E per quantità di moto intenderò, come è consueto, il prodotto della massa per la velocità.] Su queste basi viene formulato il problema generale della dinamica dei sistemi vincolati: “GENERAL PROBLEAl “Let there be given a system of bodies arranged in any way with fespect to each other ; and suppose that a particular motion is imparted to each of these bodies, which it cannot follow because of the action of the other bodies- to find the motion that each body must take.” – (fr:4021) [PROBLEMA GENERALE. Sia dato un sistema di corpi disposti in qualsiasi modo gli uni rispetto agli altri; e si supponga che a ciascuno di questi corpi sia impresso un moto particolare, che esso non può seguire a causa dell’azione degli altri corpi – trovare il moto che ciascun corpo deve assumere.]

La soluzione è affidata a un’ingegnosa scomposizione. Dapprima vengono introdotti i corpi e i moti che sarebbero loro impressi: “SOLUTION ’4 Let A, B, C, etc…. be the bodies that constitute the system and suppose that the motions a, b, c, etc.” – (fr:4022) e “.. are impressed on them; let there be forces, arising from their mutual action, which change these into the motions a, D, c, etc.” – (fr:4024) [SOLUZIONE. Siano A, B, C, ecc. i corpi che costituiscono il sistema e si supponga che i moti a, b, c, ecc. siano loro impressi; vi siano poi forze, nascenti dalla loro azione mutua, che trasformano questi nei moti a, b, c, ecc.] Si postula quindi che ciascun moto impresso sia la composizione del moto effettivo che il corpo assume e di un altro moto, destinato a scomparire: “It is clear that the motion a impressed on the body A can be compounded of the motion a which it acquires and another motion cx.” – (fr:4027) [È chiaro che il moto a impresso al corpo A può essere composto dal moto a che esso acquista e da un altro moto α.] Lo stesso vale per gli altri corpi: “In the same way the motions b, c, etc…. can be regarded as compounded of the motions 1i and {J, c and u, etc.” – (fr:4028) [Allo stesso modo i moti b, c, ecc. possono essere considerati come composti dai moti b e β, c e γ, ecc.]

Da questa decomposizione scaturisce l’osservazione che il comportamento reciproco dei corpi non cambierebbe se, invece dei soli impulsi impressi, si applicassero simultaneamente le coppie di moti «effettivo» e «perduto». Le frasi, sebbene segnate da errori di scansione, esprimono esattamente questo concetto: “From this it follo,vs that the motions of the bodies A, B, C, etc .” – (fr:4029) e “,vould be the same, among themselves, if instead of their having been given the impulses a, b, c, etc…. they had been simultaneously given the twin impulsions a and ct., band 13, c and x, etc.” – (fr:4030) [Da ciò segue che i moti dei corpi A, B, C, ecc. sarebbero gli stessi tra loro se, invece di aver ricevuto gli impulsi a, b, c, ecc., fossero stati simultaneamente sottoposti alle coppie di impulsi a e α, b e β, c e γ, ecc.] E poiché per ipotesi il sistema assume spontaneamente i moti effettivi a, b, c (fr:4032: “Now, by sup- position, the bodies A, B, C, etc…. have assumed, by their own action, the motions a, n, c, etc.” [Ora, per ipotesi, i corpi A, B, C, ecc. hanno assunto, per la loro azione reciproca, i moti a, b, c, ecc.]), i moti residui devono soddisfare una condizione cruciale: “Therefore the motions Cl, 13, ‘“’, etc.” – (fr:4035) [Pertanto i moti α, β, γ, ecc.] “must be such that they do not disturb the motions a, n, c, etc in any way.” – (fr:4036) [devono essere tali da non disturbare in alcun modo i moti a, b, c, ecc.] L’ultimo passaggio svela la natura di questi moti perduti: “That is to say, that if the bodies had only received the mo- tions c(, {J, x, etc…. these motions would have been cancelled out among themselves, and the system would have remained at rest.” – (fr:4037) [Vale a dire che, se i corpi avessero ricevuto soltanto i moti α, β, γ, ecc., questi moti si sarebbero annullati a vicenda e il sistema sarebbe rimasto in quiete.]

Nasce così il principio che porta il nome di d’Alembert, enunciato in forma di regola operativa: “From this results the following principle for finding the motion of several bodies which act upon each other.” – (fr:4038) [Da ciò risulta il seguente principio per trovare il moto di più corpi che agiscono gli uni sugli altri.] Sebbene il testo si interrompa subito dopo con l’indicazione di decomporre i moti a, b, c, il senso è compiuto: le differenze tra i moti impressi e quelli effettivi costituiscono un insieme di movimenti che devono farsi equilibrio. La dinamica viene ricondotta, per questa via, a un problema statico nel quale le forze perdute – o meglio i “moti distrutti” – si bilanciano a vicenda.

Il frammento conserva il nucleo fondativo della meccanica analitica. La chiarezza delle definizioni e l’eleganza del procedimento di scomposizione fissano una delle più feconde astrazioni della fisica matematica, destinata a essere riformulata da Lagrange come principio dei lavori virtuali e a reggere l’intero edificio della meccanica razionale classica.

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[13.1-86-4390|4475]

17 Il principio di minima azione tra polemiche e giudizi: da Maupertuis a Eulero

La contesa sulla paternità e sulla validità del principio di minima azione coinvolse Maupertuis, König, Voltaire ed Eulero, mettendo in luce il contrasto tra una metafisica delle cause finali e la verifica a posteriori dei principi variazionali.

Il testo ripercorre le fasi della controversia nata dopo il pronunciamento dell’Accademia di Berlino (fr:4390). Nel 1753 Samuel König ribadì la propria posizione con una Difesa dell’Appello al pubblico indirizzata a Maupertuis, nella quale rivendicava non solo la priorità di Leibniz ma anche quella di Malebranche, Wolff, ’s Gravesande ed Engelhardt; Voltaire prese parte alla disputa (fr:4391). Maupertuis reagì con durezza: «The strangest thing was to see appear as an auxiliary in this dispute a man who had no claim to take part.» – (fr:4392) [La cosa più strana fu vedere comparire come ausiliario in questa disputa un uomo che non aveva alcun titolo per parteciparvi.] e «Not satisfied with deciding at random on this matter—which demanded much knowledge which he lacked—he took this opportunity to hurl the grossest insults at me, and was soon to cap them with his Diatribe.» – (fr:4393) [Non contento di decidere a caso su una questione che richiedeva molte conoscenze di cui era privo, colse l’occasione per scagliarmi gli insulti più grossolani, e presto li coronò con la sua Diatribe.] Tuttavia, «I allowed this torrent of gall and filth to run on, when I saw myself defended by the pen and the sceptre.» – (fr:4394) [Lasciai scorrere questo torrente di fiele e sporcizia, quando mi vidi difeso dalla penna e dallo scettro.] e «Although the most eloquent pen of all had uttered these libels, justice made his work burn on the gibbets and in the public places of Berlin.» – (fr:4395) [Benché la penna più eloquente avesse proferito queste calunnie, la giustizia fece bruciare la sua opera sui patiboli e nelle piazze pubbliche di Berlino.] Maupertuis dichiarò: «My only fault was that of having discovered a principle that created something of a sensation.» – (fr:4396) [La mia unica colpa fu di aver scoperto un principio che fece un certo scalpore.]

Eulero, direttore dell’Accademia di Berlino, presentò una relazione (fr:4397) nella quale esaltava Maupertuis: «This great geometer has not only established the principle more firmly than I had done but his method, more ubiquitous and penetrating than mine, has discovered consequences that I had not obtained.» – (fr:4398) [Questo grande geometra non solo ha stabilito il principio più saldamente di quanto avessi fatto io, ma il suo metodo, più universale e penetrante del mio, ha scoperto conseguenze che io non avevo ottenuto.] Concludeva che «I was the only one to whom the discovery could be attributed.» – (fr:4399) [io ero l’unico a cui la scoperta poteva essere attribuita.]

Lo scritto richiama poi la Diatribe du Dr Akakia (fr:4401), da cui estrae solo quanto pertinente (fr:4402). Voltaire vi scrive: «We ask forgiveness of God for having pretended that there is only proof of his existence in A + B divided by Z, etc……» – (fr:4403) [Chiediamo perdono a Dio per aver preteso che vi sia una sola prova della sua esistenza in A + B diviso per Z, ecc…] alludendo tanto alla dimostrazione dell’equilibrio della leva mediante il principio di minima azione quanto al rifiuto, da parte di Maupertuis nel suo Essai de Cosmologie, delle prove metafisiche dell’esistenza di Dio. Nel travestimento di una Decisione dei professori del Collegio della Sapienza, Voltaire formula poi una critica precisa, malgrado i toni malevoli (fr:4404): «The assertion that the product of the distance and the velocity is always a minimum seems to us to be false, for this product is sometimes a maximum, as Leibniz believed and as he has shown.» – (fr:4405) [L’affermazione che il prodotto della distanza per la velocità sia sempre un minimo ci sembra falsa, perché questo prodotto è talvolta un massimo, come credeva Leibniz e come egli ha dimostrato.] Prosegue: «It seems that the young author has only taken half of Leibniz’s idea; and, in this, we vindicate him of ever having had an idea of Leibniz in its entirety.» – (fr:4406) [Sembra che il giovane autore abbia preso solo la metà dell’idea di Leibniz; e, in questo, lo scagioniamo dall’aver mai avuto un’idea di Leibniz nella sua interezza.] Lo stesso testo irride Eulero, riconoscendone però la statura: «Professor Euler, who was very anxious to serve us as a lieutenant, is a very great geometer who has supported our principle with formulae which we have been quite unable to understand, but which those who do understand have assured us they are full of genius» – (fr:4407) [Il professor Eulero, ansiosissimo di servirci come luogotenente, è un grandissimo geometra che ha sostenuto il nostro principio con formule che non siamo stati in grado di comprendere, ma che chi le capisce ci ha assicurato essere piene di genio.]

Il giudizio di Eulero sulla controversia (fr:4409) è contenuto in una Dissertazione sul principio di minima azione stampata a Berlino nel 1753 (fr:4411). Egli manifesta grande rispetto per «il nostro illustre Presidente» (fr:4412) e rende omaggio alla legge di quiete di Maupertuis, che indica «the marvellous accord of the equilibrium of bodies, whether rigid, flexible, elastic or fluid.» – (fr:4414) [il meraviglioso accordo dell’equilibrio dei corpi, siano essi rigidi, flessibili, elastici o fluidi.] Da essa «From each attraction can be deduced the Efficacy of each force, and there is equilibrium when the sum of all the efficacies is least.» – (fr:4415) [Da ogni attrazione si può dedurre l’efficacia di ciascuna forza, e vi è equilibrio quando la somma di tutte le efficacie è minima.]

Riguardo a König, Eulero ricorda che questi pretendeva di dedurre tutte le condizioni di equilibrio dal principio delle forze vive (fr:4417). Il «principio königiano» consisterebbe nell’«annihilation of the living force if there were no equilibrium.» – (fr:4418) [annullamento della forza viva se non vi fosse equilibrio.] Di conseguenza, «It can be seen, more clearly than the day, that where the applied forces produce no living force, there is equilibrium.» – (fr:4419) [Si vede, più chiaramente della luce del giorno, che dove le forze applicate non producono alcuna forza viva, vi è equilibrio.] In realtà, osserva Eulero, König sta nascondendo un’ovvietà: «in the state of equilibrium there is neither motion nor living force» – (fr:4420) [nello stato di equilibrio non vi è né moto né forza viva]. Il metodo di König – spostare il sistema dall’equilibrio, calcolare la forza viva e poi annullarla (fr:4422-4423) – è laborioso e spesso inapplicabile poiché il calcolo del moto è generalmente più difficile di quello dell’equilibrio (fr:4424-4425). Per König, l’azione non differisce dalla forza viva (fr:4426) e l’equilibrio sorge «dalla nullità della forza viva o dalla nullità dell’azione, presa correttamente, e in nessun modo dal loro minimo o massimo» (fr:4427-4428). Eulero condanna questa tesi e annota: «Professor Koenig seems too attached to metaphysical speculations to be able successfully to withdraw his mind from those subtle abstractions and to apply it to the ordinary and material ideas such as those which are the subject of mechanics.» – (fr:4431) [Il professor König sembra troppo attaccato alle speculazioni metafisiche per riuscire a distogliere la mente da quelle sottili astrazioni e applicarla alle idee ordinarie e materiali che sono l’oggetto della meccanica.]

Eulero fa poi un cenno al proprio contributo: «I am not in any way concerned, here, with the observation which I have made in the motion of the celestial bodies and, general, of those attracted to fixed centres of force, that if the mass of the body is multiplied by the distance travelled, at each instant, and by the velocity, then the sum of all these products is always the least.» – (fr:4434) [Non mi occupo affatto, qui, dell’osservazione che ho fatto nel moto dei corpi celesti e, in generale, di quelli attratti verso centri di forza fissi, secondo cui, moltiplicando la massa del corpo per lo spazio percorso a ogni istante e per la velocità, la somma di tutti questi prodotti è sempre la minima.] Per lui si tratta di una verifica a posteriori, non di una deduzione a priori (fr:4435), e tiene a precisare che «Since this remark was only made after M. Maupertuis had presented his principle, it should not imply any prejudice against his originality» – (fr:4437) [Poiché questa osservazione fu fatta solo dopo che il signor Maupertuis ebbe presentato il suo principio, essa non deve implicare alcun pregiudizio contro la sua originalità].

La sezione successiva (fr:4438) illustra la legge dell’estremo per ∫ M ds √v. Già nel 1744, nell’Appendice II del Methodus inveniendi lineas curvas (fr:4439-4440), Eulero partiva da questo presupposto: «Since all the effects of Nature obey some law of maximum or minimum, it cannot be denied that the curves described by projectiles under the influence of some forces will enjoy the same property of maximum or minimum.» – (fr:4442) [Poiché tutti gli effetti della Natura obbediscono a una qualche legge di massimo o di minimo, non si può negare che le curve descritte dai proiettili sotto l’azione di forze godano della stessa proprietà di massimo o di minimo.] Riconosceva che «It seems less easy to define, a priori, using metaphysical principles, what this property is. But since, with the necessary application, it is possible to determine these curves by the direct method, it may be decided which is a maximum or a minimum.» – (fr:4443-4444) [Sembra meno facile definire a priori, con principi metafisici, quale sia questa proprietà. Ma poiché, con la necessaria applicazione, è possibile determinare queste curve per via diretta, si può decidere se si tratti di un massimo o di un minimo.] La quantità considerata è dapprima ∫ M ds √v (con M massa, ds elemento di percorso e v altezza di caduta), equivalente a ∫ v dt (fr:4446-4448); tale dualità, tra momento e forza viva, gli permette di non schierarsi nella contesa sulle forze vive (fr:4450). Eulero verifica che l’integrale è un estremo nel moto parabolico di una particella soggetta a una forza centrale e generalizza il risultato a più centri fissi (fr:4452-4453). Mach osserva: «Euler, a truly great man, lent his reputation to the principle of least action and the glory of his invention to Maupertuis ; but he made a new thing of the principle, practicable and useful.» – (fr:4454) [Eulero, uomo veramente grande, prestò la sua reputazione al principio di minima azione e la gloria della sua invenzione a Maupertuis; ma fece del principio una cosa nuova, praticabile e utile.]

A differenza di d’Alembert, Eulero non condanna la dottrina delle cause finali (fr:4455) e ritiene che il significato di un principio d’estremo vada cercato in una sana metafisica (fr:4456). Conclude infatti: «Since bodies, because of their inertia, resist all changes of state, they will obey forces which act on them as little as possible if they are free. Therefore, in the motion generated the effect produced by the forces will be less than if the bodies were moved in some other way.» – (fr:4458-4459) [Poiché i corpi, a causa della loro inerzia, resistono a ogni cambiamento di stato, obbediranno il meno possibile alle forze che agiscono su di essi, se sono liberi. Pertanto, nel moto generato, l’effetto prodotto dalle forze sarà minore che se i corpi fossero mossi in un altro modo qualsiasi.] Ammette che l’argomento potrebbe non essere abbastanza chiaro, ma confida che una metafisica più solida saprà dimostrarlo e lascia il compito «to others, who make a profession of metaphysics» – (fr:4462) [ad altri, che professano la metafisica].

L’ultima riflessione (fr:4465) ricapitola il percorso. Fermat enunciò il primo principio di minimo non banale nell’ottica geometrica (fr:4466), senza convincere i cartesiani e riducendolo infine a un «piccolo ausilio geometrico» offerto alla Natura (fr:4467); la sua conclusione sulla velocità relativa della luce nei mezzi densi e rari non fu accolta (fr:4468). Maupertuis, condizionato dagli errori dell’epoca, rafforzati dall’autorità di Descartes e Newton (fr:4469), riuscì con un semplice argomento differenziale a ricondurre sia la legge newtoniana della propagazione sia la rifrazione a una legge d’estremo (fr:4470). Se si guarda solo alla prefazione metafisica dei suoi motivi, lo sviluppo del suo pensiero appare esclusivamente metafisico (fr:4472); ma è più plausibile che egli abbia prima scoperto l’argomento differenziale e poi lo abbia presentato a posteriori come conseguenza di un principio economico che manifestasse la saggezza del creatore (fr:4473). Se il contributo di Maupertuis si fosse fermato qui, il suo nome sarebbe caduto nell’oblio, poiché nell’ottica è sopravvissuto solo il principio di Fermat (fr:4474). L’estensione del principio di minima azione alla dinamica, per quanto appaia gratuita e fondata su un’analogia fragile, è invece quella che ha resistito e che ha assicurato la fama di Maupertuis (fr:4475).

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[14.1-23-4579|4601]

18 Dalla figura della Terra alla nascita dell’idrodinamica: potenziale e fluidi nell’opera di Clairaut e Mariotte

L’estratto connette due passaggi decisivi della scienza settecentesca: la dimostrazione di Clairaut che lo sferoide ellittico è una figura di equilibrio e l’introduzione del concetto di potenziale, seguiti dal superamento dell’omogeneità terrestre, e il ritorno all’idrodinamica sperimentale con Mariotte, precursore della grande scuola del XVIII secolo.

Clairaut verifica che una massa fluida ideale, suddivisa in infiniti strati delimitati dalle superfici di intensità, si trova in equilibrio quando, in ogni punto di una superficie, il peso è inversamente proporzionale allo spessore dello strato. “He verifies that a fluid mass that is imagined to he divided into an infinite number of layers which are defined by the surfaces of intensity, will be in equilibrium if, at each point of one of the surfaces, the weight is inversely proportional to the thickness of the layer.” – (fr:4579) [Verifica che una massa fluida che si immagini divisa in un numero infinito di strati definiti dalle superfici di intensità, sarà in equilibrio se, in ogni punto di una di queste superfici, il peso è inversamente proporzionale allo spessore dello strato.] Questa analisi è giudicata notevole perché viene considerata come l’introduzione del concetto di potenziale e permette a Clairaut un contributo fondamentale alla teoria della figura della Terra. “This remarkable analysis, which can be regarded as the introduction of the .~oncept of potential, enabled Clairaut to make an important contribution to the theory of the figure of the Earth.” – (fr:4580) [Questa notevole analisi, che può essere considerata l’introduzione del concetto di potenziale, permise a Clairaut di dare un contributo importante alla teoria della figura della Terra.]

Newton, invece, aveva assunto a priori la forma di uno sferoide ellittico. “Newton had assumed, a priori, the shape of an elliptic spheroid.” – (fr:4581) [Newton aveva assunto a priori la forma di uno sferoide ellittico.] Il suo metodo consisteva nel considerare due colonne, una dal centro al Polo e l’altra dal centro all’Equatore, e nell’uguagliare la differenza di peso alla somma della forza centrifuga agente sulle varie parti della colonna equatoriale, ottenendo un rapporto degli assi pari a “He considered two columns-one connecting the centre to a Pole and the other, the centre/to the Equator-and equated the difference in their weight to the sum of the centrifugal force on the different portions of the Equitorial 229 column. The ratio of the axes obtained in this way was ” – (fr:4582–4583) [Egli considerò due colonne – una che collega il centro al Polo e l’altra, il centro all’Equatore – e uguagliò la differenza del loro peso alla somma della forza centrifuga sulle diverse porzioni della colonna equatoriale Il rapporto degli assi ottenuto in questo modo era ] I Neo-Cartesiani, da parte loro, annunciarono un rapporto . “The Neo-Cartesians, on their side, announced the ratio .” – (fr:4584) [I Neo-Cartesiani, da parte loro, annunciarono il rapporto .]

Clairaut già nel 1737 riuscì a mostrare che lo sferoide ellittico è una figura di equilibrio. “As early as 1737 Clairaut was able to show that the elliptic spheroid was an equilibrium figure.” – (fr:4585) [Già nel 1737 Clairaut riuscì a mostrare che lo sferoide ellittico era una figura di equilibrio.] Tanto il valore di Newton quanto quello di MacLaurin ~ presupponevano però che la Terra fosse omogenea. “Newton’s value–or that of MacLaurin ~ -supposed the Earth to be homogeneous.” – (fr:4586) [Il valore di Newton – o quello di MacLaurin ~ – supponeva che la Terra fosse omogenea.] Questa ipotesi fu confutata dagli esperimenti compiuti in Lapponia da una spedizione inviata per ordine del Re, composta da quattro membri dell’Académie des Sciences – Clairaut, Camus, Le Monnier e Maupertuis – ai quali si unirono Celsius e l’abate Outhier. “This value was disproved hy experiments made in Lapland hy an expedition sent at the command of the King. This expedition consisted of four members of the Academie des Sciences- Clairaut, Camus, Le Monnier and Maupertuis-who were joined by two others-Celsius and the Abbe Outhier.” – (fr:4587–4588) [Questo valore fu confutato da esperimenti compiuti in Lapponia da una spedizione inviata per ordine del Re. Questa spedizione era composta da quattro membri dell’Académie des Sciences – Clairaut, Camus, Le Monnier e Maupertuis – ai quali si unirono altri due: Celsius e l’abate Outhier.] La spedizione s’imbarcò a Dunkerque il 2 maggio 1736 e le grandezze relative dei gradi di meridiano così misurate indicarono uno schiacciamento di circa 3~O’ inferiore a quello annunciato da Newton. “It embarked at Dunkirk on May 2nd, 1 The relative magnitudes of degrees of meridian obtained in this way indicated a flattening about 3~O’ less than that which Newton had announced.” – (fr:4589) [Essa si imbarcò a Dunkerque il 2 maggio 1 Le grandezze relative dei gradi di meridiano ottenuti in questo modo indicavano uno schiacciamento di circa 3~O’ inferiore a quello annunciato da Newton.] Di conseguenza si dovette abbandonare l’ipotesi dell’omogeneità terrestre: “It was therefore necessary to give up the hypothesis of the homogeneity of the Earth.” – (fr:4590) [Fu quindi necessario abbandonare l’ipotesi dell’omogeneità della Terra.]

Se la Terra fosse formata da strati simili, la sua forma non rispetterebbe la legge fondamentale dell’idrostatica. “If the Earth were formed of similar layers, it shape would not conform to the fundamental law of hydro- statics.” – (fr:4591) [Se la Terra fosse formata da strati simili, la sua forma non si conformerebbe alla legge fondamentale dell’idrostatica.] Clairaut postulò quindi l’esistenza di strati tanto più appiattiti quanto più lontani dal centro, con uno schiacciamento governato da una legge dipendente dalla diminuzione della densità tra centro e superficie. “And Clairaut decided on the existence of layers which were flatter as they were further from the centre, the flattening following a law that depended on the decrease of the density between the centre and the surface.” – (fr:4592) [E Clairaut decise per l’esistenza di strati che erano tanto più appiattiti quanto più erano lontani dal centro, seguendo lo schiacciamento una legge che dipendeva dalla diminuzione della densità tra il centro e la superficie.] Il resoconto della missione è conservato nel Discours lu dans l’Assemblée publique de l’Académie Royale des Sciences sur la mesure de la Terre au Cercle polaire di Maupertuis (Œuvres complètes, Vol. III, 1756, p. 89). “1 For the account of this mission, see MAUPERTUIS’ Discours lu dans l’Assemblee pubUque de [‘Academie Royale des Sciences sur la mesure de La Terre au Cercle polaire (lE~vres completes, Vol. III, 1756, p. 89).” – (fr:4593–4594) [1 Per il resoconto di questa missione, si veda il Discours lu dans l’Assemblée publique de l’Académie Royale des Sciences sur la mesure de la Terre au Cercle polaire di MAUPERTUIS (Œuvres complètes, Vol. III, 1756, p. 89).]

Il testo si sposta poi verso l’idrodinamica, annunciando il Capitolo Ottavo dedicato a Daniel Bernoulli, d’Alembert e la resistenza dei fluidi, le equazioni idrodinamiche di Eulero, Borda e le perdite di energia cinetica. “CHAPTER EIGHT DANIEL BERNOULLI’S HYDRODYNAMICS D’.A.LEMBERT AND THE RESISTANCE OF FLUIDS EULER’S HYDRODYNAMICAL EQUATIONS BORDA AND THE LOSSES OF KINETIC ENERGY IN FLUIDS RETURN TO THE HYDRODYNAMICS OF THE XVIIth CENTURY.” – (fr:4595) [CAPITOLO OTTAVO L’IDRODINAMICA DI DANIEL BERNOULLI – D’ALEMBERT E LA RESISTENZA DEI FLUIDI – LE EQUAZIONI IDRODINAMICHE DI EULER – BORDA E LE PERDITE DI ENERGIA CINETICA NEI FLUIDI RITORNO ALL’IDRODINAMICA DEL XVII SECOLO.] Dopo aver ricordato i tentativi di Newton e Varignon di spiegare la legge di Torricelli, l’attenzione si concentra su Mariotte, riconosciuto come precursore della grande scuola idrodinamica del XVIII secolo. “We have already described the attempts of Newton and VarignoJl to explain the law which Torricelli had formulated. We must DOW return to the work of Mariotte, who emerges as the forerunner of the important XVIlIth Century school of hydrodynamics.” – (fr:4596–4597) [Abbiamo già descritto i tentativi di Newton e Varignon di spiegare la legge che Torricelli aveva formulato. Dobbiamo ora tornare all’opera di Mariotte, che emerge come il precursore dell’importante scuola idrodinamica del XVIII secolo.] Già nel 1668 fu formato un comitato dell’Académie des Sciences, composto da Huygens, Picard, Mariotte e Cassini, con il compito di verificare sperimentalmente la legge di Torricelli; le indagini furono estese all’effetto dell’impatto di un getto fluido su una superficie piana. “As early as 1668 a Committee of the Academie des Sciences was for~ed and instructed to verify Torricelli’s law experimentally. The Conimittee’s members were Huyghens, Picard, Mariotte and Cassini. It ~xtended its investigations to the determination of the effect of th~J impact of a fluid stream on a plane surface.” – (fr:4598–4600) [Già nel 1668 fu formato un comitato dell’Académie des Sciences con l’incarico di verificare sperimentalmente la legge di Torricelli. I membri del comitato erano Huygens, Picard, Mariotte e Cassini. Estese le sue indagini alla determinazione dell’effetto dell’impatto di un getto fluido su una superficie piana.] Influenzato da queste ricerche, Mariotte pubblicò nel 1684 il Traité du mouvement des eaux, portando l’argomento più avanti. “r/ Influenced by these investigations, Mariotte published, in 1684, the Traite du mouvement des eaux in which he carried the subject further.” – (fr:4601) [Influenzato da queste indagini, Mariotte pubblicò nel 1684 il Traité du mouvement des eaux, in cui portò l’argomento più avanti.]

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[15.1-105-4694|4798]

19 D’Alembert, Eulero e Borda: il principio delle velocità perdute, le equazioni generali e il paradosso della resistenza

Un percorso attraverso i fondamenti settecenteschi dell’idrodinamica: dall’estensione del principio di d’Alembert ai fluidi fino alle equazioni di Eulero e all’intuizione di Borda sulla perdita di forza viva.

Il brano ricostruisce alcuni snodi decisivi della meccanica dei fluidi del XVIII secolo, mettendo in luce come d’Alembert, Eulero e Borda abbiano trasformato lo studio del moto dei fluidi da raccolta di problemi pratici a disciplina analitica. D’Alembert, nel suo Traité de l’équilibre et du mouvement des fluides (1744), estese ai fluidi il principio che aveva posto a fondamento della dinamica dei solidi. Lo fece adottando un modello a strati sottili: «l, he assumed that all the points of the same slice had the same velocity» (fr:4696) [Inoltre, suppose che tutti i punti di una stessa fetta avessero la medesima velocità]. Immaginando che la velocità di ciascuno strato, quando prende il posto di quello sottostante, passi istantaneamente da v a v ± dv, egli osservò che «each layer can be regarded, at the instant that v changes to v + dv, as if it had both the velocity v =+= dv and the velocity ± dv» (fr:4699) [ogni strato può essere considerato, nell’istante in cui v diventa v + dv, come se possedesse sia la velocità v ± dv sia la velocità ± dv]. Se ogni strato fosse animato dalla sola differenza ± dv il fluido resterebbe in quiete (fr:4700): in tal modo la ricerca del moto si riconduceva a una condizione di equilibrio virtuale. Applicando questo principio, d’Alembert riesaminò i problemi di efflusso già trattati da Daniel Bernoulli, in particolare il moto a fette parallele di un fluido incomprimibile in un recipiente di forma qualunque (fr:4702‑4703). Scrivendo che la larghezza y e lo spessore x di una fetta soddisfano ydx = costante, e indicando con u la velocità dello strato GH, egli ottenne la relazione ∫ dvdx = 0 (fr:4704‑4708).

Lo stesso d’Alembert avvertì però che il principio non si applicava automaticamente a tutti i casi: «To d’Alembert however, this principle was a corollary which had to be verified in each instance» (fr:4709) [Per d’Alembert, tuttavia, questo principio era un corollario che doveva essere verificato caso per caso]. Nella prefazione al Traité egli segnalò alcune eccezioni, come il problema della velocità di un fluido che esce da un vaso mantenuto a livello costante: «It is clear that in a similar hypothesis this sheet of fluid, which had no velocity at the instant that it was added to the surface, in the next instant receives a finite velocity equal to that of the surface which draws it along» (fr:4713) [È chiaro che in tale ipotesi questo velo di fluido, che non aveva velocità nell’istante in cui veniva aggiunto alla superficie, nell’istante successivo riceve una velocità finita uguale a quella della superficie che lo trascina].

Il testo si sofferma poi sul tentativo di d’Alembert di indagare la resistenza dei fluidi, sfociato nell’Essai d’une nouvelle théorie de la résistance des fluides (1752), presentato al concorso dell’Accademia di Berlino del Il premio non fu assegnato, perché l’Accademia richiedeva prove sperimentali che mancavano (fr:4718‑4719). Fedele ai suoi principî, d’Alembert «reduced the search for the resistance to the laws of equilibrium between the fluid and the body» (fr:4724) [ridusse la ricerca della resistenza alle leggi di equilibrio tra il fluido e il corpo]. Attraverso un’analisi condotta, sembra, per sola forza logica, egli pervenne a un risultato sconcertante che oggi porta il suo nome. Immaginò un corpo simmetrico immerso in un fluido indefinito entro un canale rettilineo: le particelle fluide davanti al corpo sono deviate e scivolano lungo di esso descrivendo curve che si avvicinano a rette a grande distanza (fr:4726‑4727). Ritenne che davanti e dietro il solido vi fossero spazi di fluido stagnante (fr:4729‑4730; e la fig. 100, fr:4731), ma osservò che sarebbe possibile una configurazione senza fluido stagnante in cui il fluido scorre lungo la superficie anteriore fino al punto in cui la tangente ridiventa parallela all’asse (fr:4732‑4733). In tale situazione, «the laws of the equilibrium and the incompressibility of the fluid will be fully satisfied» (fr:4734) [le leggi dell’equilibrio e della incomprimibilità del fluido saranno pienamente soddisfatte] e, con un tipico argomento di possibilità, «Now if it can, it must» (fr:4736) [Ora, se può, deve]. Sotto queste ipotesi, la pressione che il fluido eserciterebbe sul corpo all’istante iniziale sarebbe ku, dove k dipende dalla forma del corpo, e si otterrebbe l’uguaglianza k = 4R – M (fr:4738‑4742). Il calcolo mostrava che la pressione sulla superficie anteriore è uguale e contraria a quella sulla superficie posteriore (fr:4743), sicché, comunque si scelgano i parametri, la quantità di moto del corpo non varia nel primo istante: «Mdu == du (4R‑M):=: 0 and therefore the body will not lose any velocity in the first instant» (fr:4753) [Mdu = du (4R – M) = 0 e pertanto il corpo non perderà velocità alcuna nel primo istante]. Ne seguiva che la velocità del corpo, al più, subisce un’alterazione iniziale per poi rimanere uniforme (fr:4756). D’Alembert confessò la sua impotenza di fronte a questo paradosso: «I bequeath this strange paradox to the geometers, that may explain it» (fr:4758) [Lascio questo strano paradosso ai geometri, affinché lo spieghino]. Il paradosso di d’Alembert – l’assenza di resistenza in un fluido perfetto – sarebbe rimasto una sfida per l’idrodinamica fino ai lavori di Stokes e oltre.

Il racconto prosegue con l’opera di Eulero, che portò la meccanica dei fluidi a una sistemazione analitica completa. Affrontando il problema generale, Eulero considerò un fluido compressibile o no, omogeneo o no, soggetto a forze qualunque (fr:4771‑4772). Per ogni punto Z introdusse la pressione p incognita e le componenti della «forza acceleratrice» P, Q, R; indicata con q la densità, scrisse la condizione di equilibrio dp = q (Pdx + Qdy + Rdz), riconoscendo che il differenziale Pdx+Qdy+Rdz doveva essere integrabile (fr:4764‑4767). Lagrange osservò che Eulero, generalizzando il principio di Clairaut, ebbe il merito di introdurre la pressione e di metterla in relazione con le forze acceleratrici (fr:4768).

La memoria euleriana sulle equazioni generali dell’idrodinamica è descritta come «So perfect is this paper that not a line has aged» (fr:4770) [Così perfetta è questa memoria che non una riga è invecchiata]. In essa Eulero determinò che un elemento di fluido portato da Z a Z’ nel tempo dt subisce una variazione di volume che conduce all’equazione di continuità: «∂q/∂t + ∂(qu)/∂x + ∂(qv)/∂y + ∂(qw)/∂z = 0» e, per un fluido incomprimibile, ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0 (fr:4777‑4779). Calcolò poi l’accelerazione sostanziale e scrisse le equazioni del moto collegando il gradiente di pressione alla forza acceleratrice. Consapevole delle difficoltà analitiche, Eulero stesso scrisse: «If it does not allow us to penetrate to a complete knowledge of the motion of fluids, the reason for this must not be attributed to mechanics … for analysis itself deserts us here» (fr:4780) [Se non ci permette di penetrare una conoscenza completa del moto dei fluidi, la ragione non va attribuita alla meccanica … perché qui è l’analisi stessa ad abbandonarci]. Lagrange sintetizzò la portata dell’impresa: «By the discovery of Euler the whole mechanics of fluids was reduced to a matter of analysis alone» (fr:4780) [Con la scoperta di Eulero l’intera meccanica dei fluidi fu ridotta a una questione di pura analisi]. Eulero non trascurò l’importanza delle conoscenze empiriche dell’idraulica (fr:4784), ma colse anche le prime semplificazioni: segnalò la semplicità che si ottiene quando udx+vdy+wdz è un differenziale esatto (fr:4781) e, in una terza memoria, studiò il moto piano irrotazionale di un fluido incomprimibile, caratterizzato da ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 e ∂u/∂y – ∂v/∂x = 0. Qui Eulero riconobbe un debito verso d’Alembert per aver concepito l’idea di considerare u – iv come funzione di x + iy e u + iv come funzione di x – iy (fr:4782), anticipando la moderna idrodinamica complessa.

L’ultima parte del testo è dedicata a un contributo del Cavalier de Borda (1733‑1799), il cui Mémoire sur l’écoulement des fluides par les orifices des vases riprese problemi di efflusso già toccati da Bernoulli e d’Alembert (fr:4787‑4788). L’interesse essenziale dello studio di Borda risiede nell’aver attirato l’attenzione su «Hydrodynamical questions in which a loss of living force must be assumed» (fr:4789) [questioni idrodinamiche in cui si deve ammettere una perdita di forza viva]. Con una penetrante intuizione, Borda paragonò il fenomeno che avviene nel fluido a un urto in cui si perde energia cinetica – nel linguaggio dell’epoca, a un urto tra corpi duri (fr:4790). Considerando due corpi duri a e A che si urtano, la differenza tra la forza viva prima e dopo l’urto è aA (u – V)² / (a + A) (fr:4793). Applicando questa analogia all’immersione di un recipiente cilindrico in un fluido indefinito (figura e fr:4794‑4796), egli interpretò il moto dell’acqua nel vaso come quello di un sistema di corpi duri interagenti: «The motion of the water in the vessel can be regarded as that of a system of hard bodies that interact in some way» (fr:4795) [Il moto dell’acqua nel vaso può essere riguardato come quello di un sistema di corpi duri che interagiscono in qualche modo]. Prima di occupare la sua posizione finale, una piccola fetta perde parte del proprio moto contro il fluido sovrastante, proprio come una massa isolata urtata da un’altra massa isolata (fr:4797‑4798). In questo modo Borda forniva una prima giustificazione teorica delle perdite di carico che si osservano nei raccordi e negli sbocchi.

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20 D’Alembert, Eulero e Borda: ipotesi, equazioni e paradossi nell’idrodinamica del Settecento

D’Alembert fondò la propria analisi del moto dei fluidi su un’ipotesi restrittiva ma feconda, enunciata all’inizio del Traité des Fluides (1758): “At the beginning of the Traite des Fluides d’Alembert explicitly stated the hypothesis of flow by parallel slices of fluid, whose parallelism was conserved throughout the motion.” – (fr:4800) [All’inizio del Trattato dei fluidi d’Alembert dichiarò esplicitamente l’ipotesi del flusso per strati paralleli di fluido, il cui parallelismo si conservava durante il moto.] Tale ipotesi, che necessariamente riduceva la generalità dell’analisi (fr:4801), gli permise di formulare un principio di equilibrio: se in un dato istante ciascuno strato tende a muoversi con una velocità infinitamente piccola ±dv, il fluido rimane in equilibrio perché quella velocità aggiuntiva si riduce a nulla senza alterare il moto originario (fr:4802‑4804). Applicando il teorema al caso più semplice – un liquido omogeneo e senza peso messo in moto dall’impulso di un pistone (fr:4807‑4808) – d’Alembert mostrò che la pressione dipende dal quadrato della velocità, cosicché “the principle of conservation of living forces also applies to fluids” – (fr:4813) [il principio di conservazione delle forze vive si applica anche ai fluidi]. Non sorprende che egli ritrovasse, con il proprio principio, le soluzioni già ottenute da Daniel Bernoulli: “And indeed I am forced to confess that the results of my solutions always agree with those of M. Daniel Bernoulli.” – (fr:4815) [E invero sono costretto a confessare che i risultati delle mie soluzioni concordano sempre con quelli del signor Daniel Bernoulli.] Tuttavia, d’Alembert giudicava inappropriato l’uso del principio delle forze vive in presenza di variazioni finite di velocità in un istante (fr:4816‑4818). Per giustificare la resistenza dei fluidi egli stesso impiegò un modello meccanico di palline, analogo a quello che aveva rimproverato a Bernoulli: determinò il moto comunicato da un corpo solido a un’infinità di piccole sfere e mostrò che la perdita di moto era la stessa sia urtando le palline tutte insieme sia in successione (fr:4819), giungendo così a formule generali per la resistenza in cui comparivano solo i rapporti di densità (fr:4820). Lo studio non aveva lo scopo di sostenere “una causa disperata come quella dei vortici di Descartes”, ma era dettato dalla curiosità intrinseca dell’argomento (fr:4821).

Il celebre paradosso sulla resistenza dei fluidi (fr:4822‑4830) muove dall’immagine di un corpo fisso e immobile, investito da un fluido che riceve un’impulsione uniforme parallela all’asse del corpo (fr:4831). Per evitare un ristagno anteriore, d’Alembert suppone che dy/dx = 0 all’origine, rendendo la punta infinitamente acuta (fr:4836); le particelle che percorrono la direzione TF abbandonano la traiettoria prima di giungere al vertice A a causa dell’angolo retto TAa (fr:4834; si veda il diagramma riprodotto in fr:4833‑4835). Assumendo poi che la parte posteriore sia simile all’anteriore e che il moto delle particelle sia lo stesso a poppa e a prua, lo stesso schema di pressioni che assicura l’equilibrio e l’incomprimibilità a prua vale anche a poppa (fr:4837‑4839), cosicché “the fluid can move in this way at the back” – (fr:4840) [il fluido può muoversi in questo modo a poppa]. Se u è la velocità impressa dall’impulsione, per i principi dell’idrostatica la pressione esercitata sul corpo sarebbe pari a Mu in direzione opposta (fr:4844). Tuttavia, negli istanti successivi le particelle conservano le componenti di velocità uq e up, e la teoria della resistenza porta d’Alembert a riconoscere che “the pressure of the fluid on the body will be absolutely nothing” – (fr:4847) [la pressione del fluido sul corpo sarà assolutamente nulla]. Analizzando le condizioni di compatibilità, egli trova che se 2R = M, allora u = v/2 e du rimane indeterminata; la massima alterazione possibile è che la velocità originaria v si riduca a v/2 nel primo istante, dopo di che il corpo procede senza subire resistenza (fr:4854‑4856). Se invece la forma soddisfa 4R = M, risulta u = v e il corpo, supposto composto di quattro parti uguali e simmetriche, “will suffer no resistance from the fluid” – (fr:4860) [non subirà alcuna resistenza da parte del fluido]. D’Alembert conclude che la teoria trattata con tutto il rigore “yields a resistance which is absolutely nothing in at least several situations” – (fr:4862) [conduce a una resistenza assolutamente nulla, almeno in diverse situazioni].

Nel 1755 Eulero presentò all’Accademia di Berlino un lavoro sull’equilibrio dei fluidi. Dichiarava: “The generality that I include, instead of dazzling us, will rather discover the true laws of Nature in all their splendour, and there will be found yet stronger reasons for wondering at their beauty and simplicity.” – (fr:4865) [La generalità che includo, invece di abbagliarci, scoprirà piuttosto le vere leggi della Natura in tutto il loro splendore, e si troveranno ragioni ancor più forti per ammirarne la bellezza e la semplicità.] Date le forze agenti su ogni elemento e la relazione tra densità ed elasticità, Eulero cercò le pressioni necessarie all’equilibrio. Considerando un parallelepipedo elementare con vertice in Z, di spigoli dx, dy, dz, soggetto a forze motrici di componenti Pq dx dy dz, Qq dx dy dz, Rq dx dy dz (fr:4867‑4868), pervenne alle condizioni L = Pq, M = Qq, N = Rq (fr:4869) e alla relazione dp = P dx + Q dy + R dz – (fr:4871) [dp = P dx + Q dy + R dz], senza alcun riferimento a Clairaut (fr:4872). In un successivo lavoro fondamentale sulle equazioni del moto dei fluidi, Eulero assunse un compito arduo e dichiarò: “I hope to emerge successful at the end, so that if difficulties remain they will not be in the field of mechanics, but entirely in the field of analysis.” – (fr:4875) [Spero di uscirne vittorioso, cosicché se rimarranno difficoltà non saranno nel campo della meccanica, ma interamente in quello dell’analisi.] Noto lo stato iniziale del fluido e le forze esterne (fr:4876), Eulero introdusse le componenti dell’accelerazione P, Q, R e le incognite densità q, pressione p e velocità u, v, w (fr:4877). Calcolando la deformazione infinitesima del parallelepipedo e imponendo la conservazione della massa, ottenne la condizione di continuità: “the very remarkable condition … oq at + u oq ox oq + w oq + ou + ov + ow = o” – (fr:4883) [la condizione notevolissima … ∂q/∂t + u ∂q/∂x + v ∂q/∂y + w ∂q/∂z + q (∂u/∂x+∂v/∂y+∂w/∂z) = 0]. Le equazioni del moto, unite a quella di continuità, costituivano un sistema di estrema difficoltà; lo stesso Eulero osservò che fino ad allora si era potuto risolvere solo casi particolari, quelli che più tardi sarebbero stati riconosciuti come moti irrotazionali con potenziale di velocità (fr:4885‑4886). Con un pizzico di sarcasmo, Eulero notava la sublimità delle ricerche altrui ma rivendicava la semplicità dei principi da cui aveva dedotto le sue due equazioni (fr:4887‑4888). Per i suoi studi sulla ruota di Segner e per la progettazione di una turbina a reazione, egli è considerato un pioniere della tecnica moderna (fr:4889).

Borda affrontò le perdite di energia cinetica nei fluidi fondandosi sull’idrodinamica di Daniel Bernoulli e sulla meccanica di d’Alembert (fr:4892). Nello studio del getto da un boccaglio rientrante, determinò che la sezione contratta è metà di quella dell’orifizio (fr:4893). Le perdite si manifestano in un condotto che subisce un allargamento o un restringimento brusco (fr:4894). Borda stabilì un lemma che anticipa un caso particolare del teorema di Carnot: nell’urto fra due masse, “the principle of living forces only applies to the motion of such bodies when they act on each other by imperceptible degrees, and that there is necessarily a loss of living force as soon as one of the bodies collides with another.” – (fr:4900) [il principio delle forze vive si applica al moto di tali corpi solo quando essi agiscono l’uno sull’altro per gradi impercettibili, e vi è necessariamente una perdita di forza viva non appena uno dei corpi urta l’altro.] Applicando questa idea alla lamina fluida che entra in un recipiente e cambia bruscamente sezione, Borda calcolò la perdita di forza viva seguendo il metodo di Bernoulli (fr:4901‑4903).

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21 Le forze, i moti geometrici e il teorema di Carnot: una meccanica della comunicazione del movimento

Carnot sviluppa una meccanica in cui le forze continue sono pensate come impulsi infinitesimi, il concetto centrale diventa il moto geometrico – del tutto indipendente dalla dinamica – e il principio di d’Alembert viene esteso ai soli corpi duri, portando a un teorema sulla perdita di forza viva che unisce geometria e dinamica e critica le cause finali.

Il testo traccia i lineamenti della meccanica di Lazare Carnot, muovendo dalla sua concezione delle forze. Già all’inizio si osserva che «peso e tutte le forze della stessa natura agiscono per gradi impercettibili e non producono mutamenti improvvisi» – “Weight and all forces of the same kind act in imperceptible degrees and produce no sudden changes” (fr:5197) [Il peso e tutte le forze dello stesso tipo agiscono per gradi impercettibili e non producono cambiamenti improvvisi] – e appare «piuttosto naturale considerarle come infiniti piccoli colpi, a intervalli infinitamente brevi, inferti ai corpi che esse mettono in moto» – “it seems rather natural to consider them as dealing infinitely small blows, at infinitely short intervals, to the bodies which they actuate” (fr:5198) [sembra piuttosto naturale considerarle come infiniti piccoli colpi, a intervalli infinitamente brevi, inferti ai corpi che esse mettono in moto]. La legge fondamentale che ne scaturisce, a parte la notazione, è “Fdt = d(mv)” (fr:5199) [Fdt = d(mv)].

Carnot accompagna questa legge con un commento che ne delimita il terreno: «Ripeto che qui non si tratta delle cause prime che creano il movimento nei corpi, ma solo del movimento già prodotto e insito in ciascuno di essi» – “I shall repeat that the question here is not that of the original causes which create motion in bodies, but only that of the motion already produced and inherent in each of them” (fr:5201) [Ripeto che qui non si tratta delle cause prime che creano il movimento nei corpi, ma solo del movimento già prodotto e insito in ciascuno di essi]. La quantità di moto già prodotta in un corpo viene chiamata «la sua forza o la sua potenza» – “The quantity of motion already produced in a body is called its force or its power” (fr:5202) [La quantità di moto già prodotta in un corpo è chiamata la sua forza o la sua potenza]; queste forze non sono entità metafisiche né astratte, ciascuna risiede in una massa determinata ed è il prodotto di tale massa per la velocità che il corpo assumerebbe se non fosse ostacolato dai moti incompatibili di altri corpi (fr:5203‑5205). In definitiva, lo scopo dichiarato è cercare «le leggi della comunicazione del moto tra le diverse parti materiali di un unico sistema» – “in a word, we do not seek the laws of motion in general, but rather the laws of the communication of motion between the different material parts of a single system” (fr:5209) [in una parola, non cerchiamo le leggi del moto in generale, ma piuttosto le leggi della comunicazione del moto tra le diverse parti materiali di un unico sistema].

Malgrado questa premessa, il concetto di forza non viene affatto abbandonato; anzi, Carnot ne moltiplica i nomi. Chiama «forza motrice, forza di pressione o forza morta» il prodotto della massa per la forza acceleratrice – “Carnot variously called the product of a body’s mass and the accelerating force … its motive force, force of pressure or dead force” (fr:5213) [Carnot chiamava variamente il prodotto della massa di un corpo per la forza acceleratrice … forza motrice, forza di pressione o forza morta]. Così la gravità è una forza acceleratrice e il peso una forza motrice. La «forza movente» è la forza motrice applicata a una macchina per vincere resistenze o produrre movimento (fr:5214‑5215). La forza viva è espressa da mv², mentre la forza viva latente dal prodotto PH di un peso per un’altezza. Il lavoro elementare diventa «momento di attività realizzato da una forza motrice», e il momento di attività assoluta di un corpo in moto è “m v (v+dv) / dt” nel caso continuo, oppure “mv (Δv/Δt)” nell’urto (fr:5216‑5219).

Accanto a queste compare la forza d’inerzia, definita come «la resistenza che un corpo oppone a un cambiamento di stato» o «le reazioni opposte a un sistema di corpi che lo fanno passare dalla quiete al moto» – “The resistance offered by a body to a change of state … reactions opposed to a system of bodies which make it pass from rest to motion” (fr:5220) [La resistenza che un corpo oppone a un cambiamento di stato … reazioni opposte a un sistema di corpi che lo fanno passare dalla quiete al moto]. Nell’urto, per un corpo di massa m la cui velocità passa da v₀ a v₁, la forza d’inerzia vale m(v₀ – v₁) e coincide con la quantità di moto persa. In generale, la quantità di moto persa è la risultante di quella prodotta dalla forza motrice e di quella prodotta dalla forza d’inerzia, e la forza complessiva che agisce su un corpo del sistema è la risultante di forza motrice e forza d’inerzia (fr:5221‑5224). A questo proposito si ricorda la critica di Eulero all’espressione «forza d’inerzia»; Carnot obietta che «l’inerzia è soltanto una proprietà che non può essere introdotta nei calcoli, mentre la forza d’inerzia è una proprietà reale misurabile; è la quantità di moto che questo corpo comunica a un altro corpo, spostandolo dal suo stato» – “the inertia is merely a property [which] may not be introduced in the calculations, while the force of inertia is a real measurable property; it is the quantity of motion, this body imparts to any other body, that displaces it from its state” (fr:5226) [l’inerzia è soltanto una proprietà che non può essere introdotta nei calcoli, mentre la forza d’inerzia è una proprietà reale misurabile; è la quantità di moto che questo corpo comunica a un altro corpo, spostandolo dal suo stato].

I fondamenti della meccanica sono costituiti da alcuni postulati: principio d’inerzia; permanenza dell’equilibrio sotto forze in equilibrio tra loro; uguaglianza e opposizione di ciascuna forza alla somma geometrica di tutte le altre; possibilità di decomporre le quantità di moto che si annullano in coppie di forze uguali e contrarie lungo la congiungente i due corpi; dipendenza dell’azione dalla sola velocità relativa; direzione delle forze impresse mediante fili, aste o contatti lungo le congiungenti o la perpendicolare alla superficie comune; e ipotesi sugli urti elastici, anelastici e parzialmente elastici (fr:5227‑5234). Su queste basi Carnot introduce il concetto centrale di moto geometrico: «Ogni moto che viene impresso a un sistema di corpi e che non altera l’intensità dell’azione che essi esercitano o potrebbero esercitare reciprocamente quando vengano loro impressi altri moti qualsiasi, sarà chiamato moto geometrico. La velocità che ciascun corpo assume sarà allora detta sua velocità geometrica» – “Every motion which is imparted to a system of bodies and which does not alter the intensity of the action which they exert or could exert on each other when any other motions whatever are imparted to them, will be called a geometrical motion. Then the velocity which each body assumes will be called its geometrical velocity” (fr:5236‑5237) [Ogni moto che viene impresso a un sistema di corpi e che non altera l’intensità dell’azione che essi esercitano o potrebbero esercitare reciprocamente quando vengano loro impressi altri moti qualsiasi, sarà chiamato moto geometrico. La velocità che ciascun corpo assume sarà allora detta sua velocità geometrica]. Tale denominazione si giustifica perché questi moti non influiscono sull’azione tra i corpi, sono indipendenti dalle regole dinamiche e «dipendono soltanto dalle condizioni di vincolo tra le parti del sistema e, di conseguenza, possono essere determinati dalla sola geometria» – “They only depend on the conditions of constraint between the parts of the system and, consequently, can be determined by geometry alone” (fr:5242) [Dipendono soltanto dalle condizioni di vincolo tra le parti del sistema e, di conseguenza, possono essere determinati dalla sola geometria]. La teoria dei moti geometrici appare così come una scienza intermedia tra geometria e meccanica, ossia la teoria dei moti che un sistema può assumere senza che i corpi si ostacolino o esercitino azioni reciproche; in linguaggio moderno si tratta degli spostamenti virtuali compatibili con i vincoli (fr:5243‑5245).

Il cuore della trattazione è il teorema di Carnot sull’urto dei corpi duri, cioè privi di elasticità. Se un sistema di corpi duri subisce un urto o un’azione istantanea, il moto assunto dopo l’urto è necessariamente geometrico: dopo l’impatto i corpi contigui non hanno velocità relativa lungo la linea di azione reciproca, quindi non possono produrre ulteriore azione tra loro. Ogni moto geometrico impresso è ricevuto senza alterazione (fr:5251‑5255). Seguendo un procedimento simile a quello di d’Alembert, Carnot decompone il moto prima dell’urto in due parti: il moto che permane dopo l’urto (geometrico) e quello che viene distrutto; se si considerasse solo quest’ultimo, il sistema resterebbe in equilibrio. Carnot stesso scrive: «Questo è ciò che costituisce il famoso principio di d’Alembert. Ma occorre ricordare che esso è applicabile solo ai corpi perfettamente duri e ai meccanismi privi di elasticità – cosa che, credo, non è stata osservata esplicitamente prima» – “This is what constitutes d’Alembert’s famous principle. But it must be recalled that it is only applicable to perfectly hard bodies and to mechanisms without elasticity—this, I think, has not been observed explicitly before” (fr:5260‑5261) [Questo è ciò che costituisce il famoso principio di d’Alembert. Ma occorre ricordare che esso è applicabile solo ai corpi perfettamente duri e ai meccanismi privi di elasticità – cosa che, credo, non è stata osservata esplicitamente prima]. Per i corpi elastici l’indipendenza dei due moti non sussiste, perché il moto dopo l’urto non sarebbe più geometrico nel senso richiesto (fr:5262‑5265).

Indicando con U la velocità persa da una particella durante l’urto e con v la velocità dopo l’urto, Carnot enuncia la legge “Σ m U V cos (V, U) = 0” (fr:5267) [Σ m U V cos(V,U) = 0], che ricava per induzione dal principio di Torricelli (baricentro più basso in equilibrio) e che estende a un numero qualsiasi di corpi duri. Da essa discende immediatamente il teorema che porta il suo nome: «Nell’urto di corpi duri la somma delle forze vive prima dell’urto è sempre uguale alla somma delle forze vive dopo l’urto, più la somma delle forze vive che ciascuno di questi corpi avrebbe se si muovesse liberamente con la sola velocità persa nell’urto» – “In the impact of hard bodies, the sum of the living forces before the impact is always equal to the sum of the living forces after the impact together with the sum of the living forces that each of these bodies would have if it moved freely with only the velocity which it lost in the impact” (fr:5275) [Nell’urto di corpi duri, la somma delle forze vive prima dell’urto è sempre uguale alla somma delle forze vive dopo l’urto più la somma delle forze vive che ciascuno di questi corpi avrebbe se si muovesse liberamente con la sola velocità persa nell’urto]. I problemi dell’urto elastico sono trattati come corollari: l’elasticità raddoppia la quantità di moto persa senza cambiarne la direzione, e la conservazione della forza viva nell’urto perfettamente elastico viene giustificata proprio attraverso il teorema per i corpi duri (fr:5277‑5279).

Dalla stessa equazione generale Carnot ricava che, tra tutti i moti geometrici possibili, quello che effettivamente permane dopo l’urto è quello che rende minima la somma dei prodotti delle masse per il quadrato della velocità persa: «Fra i moti di cui un sistema di corpi perfettamente duri è suscettibile, […] quello che effettivamente permane dopo l’azione è il moto geometrico tale che la somma dei prodotti di ciascuna massa per il quadrato della velocità che essa perde è minima, cioè minore della somma che si avrebbe se il sistema avesse acquistato qualsiasi altro moto geometrico» – “Among the motions to which a system of perfectly hard bodies is susceptible … the one that actually remains after the action is the geometrical motion which is such that the sum of the products of each of the masses by the square of the velocity that it loses is a minimum; that is, less than the sum of the products of the masses and the square of the velocity that it would have lost if the system had acquired any other geometrical motion” (fr:5281) [Fra i moti di cui un sistema di corpi perfettamente duri è suscettibile, … quello che effettivamente permane dopo l’azione è il moto geometrico tale che la somma dei prodotti di ciascuna massa per il quadrato della velocità che essa perde è minima; …]. Carnot collega esplicitamente questo risultato al principio di minima azione di Maupertuis, ma vi scorge un’occasione per criticare le cause finali: la sua dimostrazione è più generale perché comprende corpi con diversi gradi di elasticità, e «dimostra quanto siano insicure quelle basate sulle cause finali, poiché mostra che il principio non è generale, ma ristretto a sistemi di corpi che abbiano lo stesso grado di elasticità» – “But it also demonstrates how insecure are those which are based on final causes, since it shows that the principle is not general, but restricted to systems of bodies which have the same degree of elasticity” (fr:5286) [Ma dimostra anche quanto siano insicure quelle basate sulle cause finali, poiché mostra che il principio non è generale, ma ristretto a sistemi di corpi che abbiano lo stesso grado di elasticità].

Il passaggio dai problemi d’urto a quelli con forze continue avviene grazie a un teorema che estende la legge (1): per un sistema di corpi duri soggetti a forze motrici e che mutano il moto per gradi impercettibili, in ogni istante vale “Σ m u d[V cos (u, V)] – Σ m u P dt cos (u, P) = 0” (fr:5288) [Σ m u d[V cos(u,V)] – Σ m u P dt cos(u,P) = 0], dove u è la velocità geometrica che prenderebbe il sistema se il moto reale fosse soppresso. La formula è dedotta proiettando la velocità persa sulla direzione di u (fr:5289).

Infine, Carnot applica le sue idee al moto animale. L’animale, come i corpi inanimati, è soggetto alla legge d’inerzia e il sistema delle sue parti non può produrre da sé alcun moto progressivo; è solo per l’attrito dei piedi sul suolo che avanza, imprimendo alla terra una quantità di moto uguale e contraria, per noi impercettibile. Dal punto di vista fisico, l’animale può essere considerato «come un insieme di particelle separate da molle più o meno compresse che immagazzinano una certa quantità di forze vive; e queste molle, estendendosi, convertono questa forza viva latente in forza viva reale» – “the animal may be considered as an assembly of particles separated by springs which are more or less compressed and which … store a certain quantity of living forces; and that these springs, extending, may be considered to convert this latent living force into real living force…” (fr:5295) [l’animale può essere considerato come un insieme di particelle separate da molle più o meno compresse che … immagazzinano una certa quantità di forze vive; e queste molle, estendendosi, possono considerarsi come convertire questa forza viva latente in forza viva reale…]. Quando una simile agenzia imprime forza viva alla propria massa, la quantità di moto risultante può essere nulla, ma la forza viva non lo è; applicata a una macchina, la forza viva acquisita viene trasmessa alle resistenze senza perdita, a patto che non vi siano urti, e ciò che viene assorbito costituisce esattamente l’effetto prodotto (fr:5291‑5296).

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[17.1-29-5301|5329]

22 L’opera di Lagrange e la fondazione analitica della meccanica razionale

Il trattato di Lagrange corona gli sforzi del XVIII secolo per una meccanica razionalmente organizzata, riducendo la teoria a formule generali e prescindendo da ogni costruzione geometrica.

Il capitolo dedicato alla Mécanique analytique si apre con un rapido cenno all’eredità di Lazare Carnot: “In fact, Lazare Carnot was to inspire Laplace, Barre de Saint-Venant and probahl)r Coriolis as well.. 1 Principes generaux de l’equilibre et du mouvement, p. ” – (fr:5301) [Infatti, Lazare Carnot avrebbe ispirato Laplace, Barré de Saint-Venant e probabilmente anche Coriolis.]. Subito dopo viene introdotto Luigi Lagrange (1736-1813), nato a Torino da una famiglia della Touraine, attivo prima a Torino, poi all’Accademia di Berlino sotto l’influsso di Eulero e infine a Parigi dove, in particolare, inaugura l’insegnamento dell’analisi all’École polytechnique. “Thus, by his descent and for a~ important part of his scientific career, Lagrange belonged to France.” – (fr:5307) [Così, per discendenza e per una parte importante della sua carriera scientifica, Lagrange appartenne alla Francia.].

La prima edizione della Mécanique analytique vede la luce nel 1788 (l’ultima curata dall’autore è del 1811); il testo qui utilizzato è quello del 1853-1855, emendato da Joseph Bertrand e arricchito con manoscritti inediti. “In the present book we have made use of the edition of 1853-1855, which was amended by Joseph BERTRAND and used certain manuscripts which had not been published during LAGRANGE’S life.” – (fr:5317) [Nel presente libro ci siamo avvalsi dell’edizione del 1853-1855, emendata da Joseph Bertrand e che impiegò certi manoscritti non pubblicati durante la vita di Lagrange.].

L’opera è presentata come il punto di arrivo di un percorso collettivo: “We now come to a piece of work which united and crowned all the efforts which were made in the XVIIIth Century to develop a rationally organised mechanics.” – (fr:5304) [Giungiamo ora a un’opera che unì e coronò tutti gli sforzi compiuti nel XVIII secolo per sviluppare una meccanica razionalmente organizzata.]. In essa Lagrange realizza il progetto, già concepito e parzialmente eseguito da Eulero, di un unico trattato di scienza razionale che copra ogni ramo della disciplina. “Lagrange accomplished the project, which had been conceived ;;Ind partially executed by Euler, of a single treatise of rational science (analytice exposita) covering all branches of mechanics, statics and hydrostatics, dynamics and hydrodynamics.” – (fr:5309) [Lagrange realizzò il progetto, concepito e parzialmente eseguito da Eulero, di un unico trattato di scienza razionale (esposta analiticamente) che coprisse tutti i rami della meccanica, statica e idrostatica, dinamica e idrodinamica.].

La preparazione dell’autore fu enciclopedica: lesse tutto, studiò con notevole obiettività gli antichi e i moderni, e arricchì il trattato di continui riferimenti storici. Ne eliminò le contraddizioni e le incoerenze ereditate dai predecessori, adottando i concetti e i postulati di Galileo, Huygens e Newton e superando Eulero e d’Alembert. La sua chiarezza mentale e la sua penetrazione matematica lo condussero a una codificazione quasi perfetta della meccanica classica.

Nell’Avertissement Lagrange enuncia con precisione i propri obiettivi. Da un lato: “To reduce the theory of mechanics., and the art of solving the associated problems, to general formulae., whose simple development provides all the equations necessary for the solution of each problem.” – (fr:5321) [Ridurre la teoria della meccanica, e l’arte di risolvere i problemi associati, a formule generali, il cui semplice sviluppo fornisce tutte le equazioni necessarie alla soluzione di ciascun problema.]. Dall’altro: “To unite, and present from one point of view, the different prin- ciples which have, so far, been found to assist in the solution of problems in mechanics; by showing their mutual dependence and making a judgement of their validity and scope possible.” – (fr:5322) [Unire, e presentare da un unico punto di vista, i diversi principi che finora sono stati trovati utili per la soluzione dei problemi di meccanica; mostrando la loro mutua dipendenza e rendendo possibile un giudizio sulla loro validità e portata.].

Il punto di vista matematico, che stava più a cuore a Lagrange, è dichiarato senza compromessi: “No diagrams will be found in this ,york. The methods that I explain in it require neither constructions nor geometrical or mechanical arguments, hut only the algebraic operations inherent to a regular and uniform process. Those who love Analysis will, ,vith joy, see mechanics become a new branch of it and will be grateful to me for thus having extended its field.” – (fr:5324-5326) [Non si troverà alcun diagramma in quest’opera. I metodi che vi espongo non richiedono né costruzioni né argomenti geometrici o meccanici, ma soltanto le operazioni algebriche inerenti a un procedimento regolare e uniforme. Coloro che amano l’Analisi vedranno con gioia la meccanica divenire una sua nuova branca e mi saranno grati per averne così esteso il campo.].

La statica di Lagrange è collocata entro una tradizione che menziona Archimede, Stevino, Galileo e Huygens. L’equilibrio della leva orizzontale con pesi uguali e fulcro centrale è per lui una “truth that is evident on its own” – (fr:5329) [una verità evidente di per sé]. In tal modo il trattato non offre soltanto uno strumento analitico universale, ma salda la nuova sistemazione con le conquiste ritenute fondative della meccanica precedente.

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23 Dalla conservazione della forza viva al minimo vincolo: estensioni e fondamenti della meccanica in Laplace, Fourier e Gauss

Nell’ultimo scorcio del Settecento e nei primi decenni dell’Ottocento i principi della meccanica vengono generalizzati, ridotti a dimostrazioni analitiche sempre più stringenti e riformulati in veste geometrico‑variazionale. Il testo esamina tre momenti capitali di questo processo: la meccanica generalizzata di Laplace, la dimostrazione del principio dei lavori virtuali fornita da Fourier e il principio del minimo vincolo enunciato da Gauss.

Laplace estende il principio della forza viva sostituendo, nell’equazione generale, gli spostamenti virtuali δx, δy, δz con i differenziali effettivi dx, dy, dz. Scrive:

“The extension of the principle of living forces is obtained by sub.. stituting dx, dy and dz for <5x, <5y and <5z in the general equation.” – (fr:5627) [L’estensione del principio delle forze vive si ottiene sostituendo dx, dy e dz a δx, δy e δz nell’equazione generale.]

Così, se U è la funzione delle forze, l’equazione Σ ∫ m v dv φʹ(v) = U + h, con φʹ(v) = dφ(v)/dv, permette di scrivere una legge di conservazione valida per qualunque relazione matematica fra forza e velocità, purché la forza viva di un corpo sia intesa come prodotto della massa per il doppio integrale di v dφ(v).

“The principle of the conservation of living forces therefore obtains for all the possible mathematical relationships between the force and the velocity, provided that the living force of a body is understood as the product of its mass and twice the integral of the product of its velocity and the differential of the function of velocity which represents the force.” – (fr:5629) [Il principio di conservazione delle forze vive sussiste per tutte le possibili relazioni matematiche tra forza e velocità, a patto che si intenda la forza viva di un corpo come il prodotto della sua massa per il doppio integrale del prodotto della sua velocità per il differenziale della funzione della velocità che rappresenta la forza.]

Con lo stesso spirito Laplace generalizza il teorema delle quantità di moto a un sistema isolato, estende il principio delle aree e scrive il principio di minima azione generalizzato come δ { Σ m φ(v) ds } =

“Thus, as early as 1799, Laplace was able to formulate the general mechanics of which the dynamics of special relativity, in a given reference system, is only a particular case.” – (fr:5632) [Pertanto, già nel 1799 Laplace seppe formulare una meccanica generale di cui la dinamica della relatività ristretta, in un dato sistema di riferimento, è soltanto un caso particolare.]

Tuttavia esiste una sottile differenza di significato fra la concezione puramente matematica di Laplace e quella dei fisici moderni: per Laplace la massa m di una particella rimane costante mentre la quantità di moto non è più proporzionale alla velocità; nella relatività fisica, al contrario, la massa M diviene funzione della velocità e la quantità di moto conserva la forma Mv. Il passaggio da un sistema all’altro si compie ponendo m = φ(v)/v³.

“To Laplace, the mass m of a particle remained constant and it was the momentum which was no longer proportional to the velocity. In the physical theory of relativity, on the other hand, the mass M becomes a function of the velocity while the momentum remains in the form Mv.” – (fr:5634‑5635) [Per Laplace la massa m di una particella restava costante ed era la quantità di moto a non essere più proporzionale alla velocità. Nella teoria fisica della relatività, invece, la massa M diventa funzione della velocità mentre la quantità di moto conserva la forma Mv.]

La meccanica generalizzata di Laplace è accompagnata da una riflessione sulla legge di gravitazione universale. Nella sua Exposition du Système du Monde, Laplace ricorda che quando Newton formulò il principio, Descartes era riuscito a “sostituire le idee intelligibili di moto, impulso e forza centrifuga alle qualità occulte degli aristotelici”. Il sistema dei vortici cartesiano aveva incontrato il favore dei filosofi, “i quali rigettavano le dottrine oscure e prive di significato della Scolastica e credevano di vedere rinascere nelle attrazioni quei tratti occulti che la filosofia francese aveva così legittimamente bandito”.

Laplace riteneva che Newton avrebbe meritato questo rimprovero se si fosse limitato ad attribuire i moti ellittici dei pianeti, le ineguaglianze lunari e le variazioni della gravità all’attrazione universale senza mostrare il legame fra questo principio e i fenomeni. Ma i geometri, rettificando e generalizzando le dimostrazioni newtoniane, avevano verificato l’accordo perfetto fra osservazioni e risultati dell’analisi. Per Laplace “questa connessione analitica di fatti particolari con un fatto generale” costituisce una teoria propriamente costituita, e si compiaceva di averne ottenuta una nella deduzione degli effetti di capillarità da un’interazione a corto raggio fra molecole.

Emerge qui un atteggiamento misurato: la legge di gravitazione universale, pur essendo trattata come un dogma, è priva del carattere a priori che aveva l’affermazione di una qualità nel senso scolastico. Laplace, infatti, non impiega il termine dogma e non assume una posizione dogmatica; si chiede esplicitamente se il principio di gravità sia una legge primordiale della natura oppure l’effetto generale di una causa ignota, e si interroga se la propagazione dell’attrazione sia istantanea. Il tentativo di spiegare l’accelerazione secolare del moto lunare lo aveva indotto a supporre che, se la velocità di propagazione fosse finita, essa dovesse essere sette milioni di volte maggiore di quella della luce, per cui si dichiara a favore della propagazione istantanea. Aggiunge:

“Doubtless the simplicity of the laws of nature must not necessarily be judged by the ease with which we appreciate them. But since those that seem most simple to us agree perfectly with all the phenomena, we are well justified in regarding them as being rigorous.” – (fr:5656‑5657) [Senza dubbio la semplicità delle leggi di natura non deve essere giudicata dalla facilità con cui le apprezziamo. Ma poiché quelle che ci appaiono più semplici concordano perfettamente con tutti i fenomeni, siamo ben giustificati nel considerarle rigorose.]

L’atteggiamento di Laplace è moderato e la certezza di una legge naturale dipende da una sorta di passaggio al limite in senso matematico.

Fourier, in un mémoire del 1798, offre una dimostrazione del principio delle velocità virtuali fondata sull’equilibrio della leva, divenuta poi classica. Mutua da Jean Bernoulli la nozione di velocità virtuale e chiama momento di una forza il prodotto (con cambio di segno) di questa forza per la velocità virtuale del punto a cui è applicata. Per un punto in equilibrio sotto n forze verifica che il momento totale è nullo per uno spostamento arbitrario. Passa poi a due forze uguali e opposte applicate agli estremi di una retta inflessibile e dirette lungo di essa: mostrando che la distanza tra i punti è funzione delle loro coordinate, la velocità virtuale del primo punto è uguale al differenziale della distanza quando si variano solo le coordinate di quel punto. Il momento totale risulta proporzionale al differenziale completo della distanza, ed è nullo se la distanza è costante; se le forze sono repulsive il momento è negativo quando la distanza cresce e positivo quando decresce, e viceversa per forze attrattive.

Per due superfici rigide e perfettamente lisce a contatto, Fourier considera due punti sulla normale comune tali che uno giaccia all’interno di ciascuna superficie. La distanza di questi punti non può mai diventare minore di quella di equilibrio, cosicché essa è la minima fra tutte quelle che si ottengono variando la posizione delle superfici mantenendole in contatto. Per la continuità, il differenziale deve essere nullo, e poiché il momento totale delle reazioni è proporzionale alla variazione di tale distanza, esso rimane nullo finché le superfici restano a contatto.

Fourier generalizza osservando che i momenti si compongono e si decompongono come le forze (se si tratta di un corpo solido). Per un solido in equilibrio sotto n forze si stabilisce che il momento totale delle n forze è necessariamente nullo, e vale anche il viceversa. Immagina poi un sistema di corpi collegati da fili inestensibili e sollecitati da forze tali che, indipendentemente da resistenze esterne, vi sarebbe equilibrio. Le forze che agiscono su ciascun corpo si annullano, comprendendo le tensioni dei fili tra punti di corpi adiacenti. Il momento totale di tutte le forze agenti su tutti i corpi è nullo per qualsiasi perturbazione, anche per quelle che la presenza dei fili non permetterebbe. Scegliendo solo gli spostamenti compatibili con le equazioni di condizione, il momento totale delle sole tensioni è nullo perché ogni filo è soggetto a due forze uguali e opposte e la distanza fra gli estremi è costante. Di conseguenza è nullo anche il momento delle sole forze applicate. Se la distanza fra gli estremi dei fili può solo diminuire, le forze di tensione tendono a ridurla e il loro momento totale è negativo; allora la somma dei momenti delle forze applicate può essere soltanto positiva.

Analogamente, per un “assemblaggio indefinito di corpi duri” che si sostengono a vicenda, ciascun corpo è in equilibrio sotto le forze applicate e le resistenze dei vicini. Se due corpi restano sempre a contatto durante la perturbazione, il momento delle loro reazioni è nullo, negativo se i corpi si separano. Tenendo conto dell’impenetrabilità, il momento di tutte le forze di pressione è zero o negativo; perciò, per tutti gli spostamenti possibili, la somma dei momenti delle sole forze applicate è zero (quando sono soddisfatte le condizioni di contatto) o positiva (quando due corpi che si toccavano si separano completamente). Non esiste alcuno spostamento possibile per cui tale somma possa diventare negativa. Fourier tratta i fluidi incompressibili considerando che i loro punti interagiscono in modo da opporsi a ogni variazione delle distanze.

La parte più originale della memoria è la riduzione logica del teorema dei lavori virtuali al principio della leva. Fourier sostituisce il sistema dato con un corpo più semplice capace degli stessi spostamenti. Fissa i punti p, q, r, s,… con le velocità virtuali dp, dq, dr, ds,… dirette secondo le linee p′, q′, r′, s′,…. Mediante piani ortogonali a tali direzioni costruisce un sistema di leve: una leva angolare con asse d e bracci h, h′, e una leva rettilinea con asse opportuno in modo che lo spostamento del punto q prodotto dal sistema di leve sia esattamente dq. Una catena di leve analoghe collega i punti successivi. Il sistema di leve così ottenuto ammette esattamente gli stessi spostamenti attribuiti al sistema originario (Fig. 107).

Se il momento totale delle forze P, Q, R, S,… è nullo per lo spostamento dp, dq, dr, ds,…, le stesse forze, per il principio della leva e la composizione delle forze, produrranno equilibrio nel sistema di leve. Collegando i punti del sistema di leve con quelli omologhi del sistema dato e supponendo che le forze mettano in moto i due sistemi connessi, si mostra, per reductio ad absurdum, che le forze non possono produrre il movimento del sistema dato, altrimenti turberebbero l’equilibrio del sistema di leve in cui si annullano. La conclusione è che se fra tutti gli spostamenti possibili non ve n’è alcuno con momento nullo, l’equilibrio sussiste; basta inoltre che la somma dei momenti non sia negativa, perché la teoria della leva prova che forze applicate a un sistema di leve non possono produrre uno spostamento con momento totale positivo. Viceversa, se un sistema materiale è in equilibrio, non può esistere alcuno spostamento possibile per cui la somma dei momenti sia negativa: se esistesse, aggiungendo un opportuno sistema di leve che realizzi quello spostamento come unico possibile, le forze applicate muoverebbero il sistema di leve, contraddicendo l’equilibrio.

Fourier introduce infine la distinzione tra vincoli bilaterali e unilaterali. Quando gli spostamenti sono determinati da equazioni di condizione, il momento totale delle forze non può essere positivo perché altrimenti il momento corrispondente allo spostamento opposto sarebbe negativo e, essendo questo ugualmente possibile, l’equilibrio non sussisterebbe; pertanto in tal caso il momento deve essere nullo (è il vero significato del principio delle velocità virtuali). Se invece gli spostamenti non sono proibiti da equazioni di condizione – situazione frequente – l’equilibrio può sussistere anche quando il momento non è nullo, purché non sia negativo.

“Whenever the displacements of which the body is capable are determined by the equations of condition which they must satisfy, the total moment of the forces cannot be positive when the forces are in equilibrium. … That is why it is necessary, in this case, that the sum of the moments of the forces must be zero in order that there should be equilibrium. This is the true meaning of the principle of virtual velocities. But if the displacements are not prohibited by the equations of condition – which often happens – the equilibrium can subsist without the moment of the forces being zero, provided that it is not negative.” – (fr:5743‑5747) [Ogniqualvolta gli spostamenti di cui il corpo è capace sono determinati dalle equazioni di condizione che essi devono soddisfare, il momento totale delle forze non può essere positivo quando le forze sono in equilibrio. … Ecco perché è necessario, in tal caso, che la somma dei momenti delle forze sia zero affinché vi sia equilibrio. Questo è il vero significato del principio delle velocità virtuali. Ma se gli spostamenti non sono vietati dalle equazioni di condizione – il che spesso accade – l’equilibrio può sussistere senza che il momento delle forze sia zero, purché non sia negativo.]

Come osservato da Jouguet, Fourier enuncia in sostanza il principio di equivalenza dei vincoli: dato un sistema di punti soggetto a forze F e vincoli (L), se si sostituiscono i vincoli (L) con vincoli (L′) che conservano la stessa mobilità elementare, condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio è che le forze F siano in equilibrio sotto i vincoli (L′). L’analisi di Fourier, tuttavia, perde validità se i vincoli introducono resistenze che vanno oltre la pura mobilità cinematica: occorre preservare anche la “mobilità dinamica”.

Il principio del minimo vincolo, enunciato da Gauss nel 1829 (Ober ein neues Grundgesetz der Mechanik), si inserisce consapevolmente in questo solco. Gauss osserva che il principio delle velocità virtuali riduce tutta la statica all’analisi e che il principio di d’Alembert riconduce la dinamica alla statica. Pur riconoscendo che nessun principio radicalmente nuovo può esistere al di fuori di questi due, egli ritiene utile formulare un principio capace di rendere più semplice la soluzione di certi problemi o di offrire una presentazione più precisa.

“The motion of a system of particles connected together in any way, and whose motions are subject to arbitrary external restrictions, always takes place in the most complete agreement possible with the free motion (in möglich grosser Übereinstimmung mit der freien Bewegung) or under the weakest possible constraint (unter möglich kleinstem Zwange).” – (fr:5765) [Il moto di un sistema di particelle comunque connesse e soggette a restrizioni esterne arbitrarie avviene sempre nel più completo accordo possibile con il moto libero (in möglich grosser Übereinstimmung mit der freien Bewegung) ossia sotto il minimo vincolo possibile (unter möglich kleinstem Zwange).]

La misura del vincolo a ciascun intervallo elementare di tempo è la somma dei prodotti della massa di ciascuna particella per il quadrato del suo scostamento dal moto libero.

Il principio di Gauss non pretende di aggiungere una nuova legge fisica a quelle già note; nasce dalla consapevolezza che, come Lagrange aveva sviluppato con profitto il principio di minima azione di Maupertuis, così una nuova visuale può gettare luce sulla struttura variazionale della meccanica. In esso il principio delle velocità virtuali resta il prototipo, ma la sua estensione intuitiva alla dinamica richiedeva un trattamento speciale: il principio del minimo vincolo si propone di colmare proprio questa esigenza.

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[19.1-118-6014|6131]

24 Dalle parentesi di Poisson alla geometrizzazione di Jacobi: la dinamica analitica di Hamilton

“Hamilton, jealous of the formal perfection which Lagrange had been able to give to dynamics, and which optics lacked, undertook the rationalisation of geometrical optics.” – (fr:6093) [Hamilton, invidioso della perfezione formale che Lagrange aveva saputo dare alla dinamica, e che all’ottica mancava, intraprese la razionalizzazione dell’ottica geometrica.]

Lo sviluppo della meccanica analitica qui esaminato prende le mosse dalle proprietà delle parentesi di Poisson e giunge, attraverso l’opera di Hamilton, fino alla riformulazione dovuta a Jacobi. L’analisi delle costanti arbitrarie che compaiono negli integrali delle equazioni del moto conduce a un risultato notevole: “The analysis that we have just performed therefore leads us to this remarkable result—that if the values of the arbitrary constants on the integrals of the equations of motion of a; system of bodies are expressed as functions of the independent variables (qi) and the quantities (Ui)’ the combination of the partial differentials of these functions that is represented by (a, b) will always be’a constant quantity.” – (fr:6021) [L’analisi che abbiamo appena eseguito ci conduce quindi a questo risultato notevole: che se i valori delle costanti arbitrarie negli integrali delle equazioni del moto di un sistema di corpi sono espressi come funzioni delle variabili indipendenti (qi) e delle quantità (Ui), la combinazione dei differenziali parziali di queste funzioni rappresentata da (a, b) sarà sempre una quantità costante.] Tuttavia, “Its practical content is more limited.” – (fr:6022) [Il suo contenuto pratico è più limitato.] Se la parentesi (a, b) è identicamente costante o funzione di integrali già noti, “this process contains nothing new.” – (fr:6023) [questo processo non contiene nulla di nuovo.] Il teorema era stato già scoperto da Lagrange e Laplace nello studio delle differenze degli elementi ellittici e successivamente esteso da Lagrange a sistemi di corpi soggetti a forze dirette verso centri fissi o mobili, con intensità dipendenti dalle distanze.

L’attenzione si sposta quindi su Hamilton e sulla sua doppia interpretazione dell’ottica geometrica. Egli, “a great admirer of Lagrange” – (fr:6045) [grande ammiratore di Lagrange], fu colpito “by the imperfection of deductive mathematical optics” – (fr:6045) [dall’imperfezione dell’ottica matematica deduttiva] e si propose di darle un assetto formale simile a quello della dinamica. In un articolo del 1833, On a general method of expressing the paths of light, and of the planets, by the coefficients of a characteristic function (fr:6040), Hamilton mostrò come la sua ottica geometrica fosse interpretabile sia in termini di propagazione ondulatoria alla Huygens sia in termini corpuscolari tramite il principio dinamico di minima azione (fr:6041). Questa duplice lettura, osserva il testo, “can only seem more meritorious to our modern age in which a similar dualism has been established in theoretical physics” – (fr:6045) [può solo apparire ancor più meritoria alla nostra epoca moderna, nella quale un simile dualismo è stato stabilito nella fisica teorica].

Hamilton riprende il principio di Fermat, Maupertuis, Eulero e Lagrange, rilevando che la legge di minima azione, benché elevata a teorema fisico di prim’ordine, non poteva più rivendicare una necessità cosmologica fondata sull’economia universale. Un esempio emblematico è la riflessione su uno specchio sferico: “where obviously if one of the rays issuing from a point is minimal, the other corresponds in fact to a maximal” – (fr:6048) [dove, ovviamente, se uno dei raggi uscenti da un punto è minimo, l’altro corrisponde in realtà a un massimo]. Di conseguenza, “We cannot, therefore, suppose the economy of this quantity to have been designed in the divine idea of the universe: though a simplicity of some high kind may be believed to be included in that idea” – (fr:6049) [Non possiamo, quindi, supporre che l’economia di questa quantità sia stata progettata nell’idea divina dell’universo: benché si possa credere che una semplicità di tipo elevato sia inclusa in quell’idea]. Hamilton introduce così i concetti di azione stazionaria o variabile. La quantità ottica chiamata azione, per un cammino luminoso con riflessioni o rifrazioni, è definita come “the sum of i + 1 separate integrals” – (fr:6052) [la somma di i + 1 integrali separati], ciascuno della forma ∫ Vᵢ ds, dove Vᵢ dipende dalle proprietà del mezzo e da posizione, direzione e colore dell’elemento. E “This quantity V is stationary in the propagation of the light.” – (fr:6053) [Questa quantità V è stazionaria nella propagazione della luce.] Hamilton interpretò poi l’azione V, nel linguaggio della teoria ondulatoria, come “the time necessary for a wave of frequency X which starts from the point (x’, y’, z’) to travel to the point (x, y, z)” – (fr:6063) [il tempo necessario a un’onda di frequenza X che parte dal punto (x’, y’, z’) per giungere al punto (x, y, z)]. Poiché i raggi sono identici nelle due teorie, all’estremo δV = 0 della teoria dell’emissione corrisponde l’estremale δ∫ ds/v = 0, che è il principio di Fermat (fr:6064).

Sul versante dinamico, Hamilton affrontò il problema del Sole, Giove e Saturno introducendo fin dall’inizio la funzione caratteristica. “Hamilton reduced this problem to the ‘search and differentiation of a single function’ which satisfied two equations of the first order in the partial derivatives.” – (fr:6071) [Hamilton ridusse questo problema alla «ricerca e differenziazione di una singola funzione» che soddisfacesse due equazioni del primo ordine alle derivate parziali.] La funzione V, definita da V = ∫ 2T dt (fr:6076), rappresenta la “living force accumulated from the origin of time to the time t” – (fr:6067) [la forza viva accumulata dall’origine del tempo fino al tempo t]. Hamilton osservò che Lagrange aveva già ottenuto una legge estremale equivalente, ma se ne era servito solo per formare le equazioni ordinarie del secondo ordine, senza sfruttarne appieno le potenzialità (fr:6078). Per sistemi con più particelle, Hamilton scompose V in una parte principale e una parte perturbatrice (fr:6081). La funzione principale S, definita mediante V = tH + S, conduce a una variazione particolarmente semplice: “oS == Σ (wo’Yj – poe) in which p and e are the initial values of ω and η” – (fr:6087) [δS = Σ (ω δη – p δe), dove p ed e sono i valori iniziali di ω ed η]. Da essa discendono le equazioni canoniche del moto.

La portata del formalismo hamiltoniano è a un tempo profonda e pratica. “This function must not be confounded with that so beautifully conceived by Lagrange for the more simple and elegant expression of the known differential equations.” – (fr:6091) [Questa funzione non va confusa con quella così mirabilmente concepita da Lagrange per l’espressione più semplice ed elegante delle equazioni differenziali note.] Hamilton sviluppò un metodo di approssimazioni successive per il calcolo di S, da lui chiamato “calculus of principal relations” – (fr:6092) [calcolo delle relazioni principali]. Sebbene la sua sintesi non decidesse il dibattito tra ipotesi corpuscolare e ondulatoria (fr:6094), essa riduceva il problema generale della dinamica per sistemi conservativi alla determinazione di un’unica funzione che soddisfa due equazioni alle derivate parziali (fr:6095). “But, as a general rule, it could only be hoped to find this function by successive approximations.” – (fr:6096) [Ma, di regola, si poteva solo sperare di trovare questa funzione per approssimazioni successive.] Questa sintesi, osserva l’autore, fu poi riscoperta da Louis de Broglie e divenne l’ispirazione diretta di Schrödinger (fr:6097). Più in generale, il potere di estensione di questo formalismo — equivalente classico del principio di d’Alembert — è stato ampiamente sfruttato dai fisici proprio a partire dalla crisi della struttura classica con l’intervento dei quanti (fr:6098).

L’ultima parte è dedicata alla critica di Jacobi. “Jacobi simplified and also extended Hamilton’s theory in a form that has become classical.” – (fr:6100) [Jacobi semplificò ed estese la teoria di Hamilton in una forma divenuta classica.] In particolare, “Jacobi showed that the second equation in the partial derivatives which Hamilton obtained (that which contains the initial conditions) is quite superfluous (vollkommen überflüssig).” – (fr:6104) [Jacobi mostrò che la seconda equazione alle derivate parziali ottenuta da Hamilton (quella che contiene le condizioni iniziali) è del tutto superflua.] Jacobi estese inoltre l’analisi a forze dipendenti dal tempo (fr:6103). La dimostrazione si fonda sulla trasformazione delle variabili e sull’uso di un integrale completo contenente n costanti arbitrarie; differenziando opportunamente si ottengono le equazioni canoniche (fr:6115–6123). Jacobi introdusse anche la nozione di moltiplicatore M, generalizzazione del fattore integrante di Eulero, e dimostrò che per le equazioni canoniche del problema generale della dinamica, sotto l’ipotesi che le forze non dipendano dalle velocità, “unity is therefore, in Jacobi’s sense, the multiplier of the canonical equations” – (fr:6128) [l’unità è dunque, nel senso di Jacobi, il moltiplicatore delle equazioni canoniche], senza che sia necessaria l’esistenza di una funzione delle forze.

Infine, “The task of geometrising the principle remained, and was carried out by Jacobi.” – (fr:6130) [Il compito di geometrizzare il principio rimaneva, e fu portato a termine da Jacobi.] L’equazione delle forze vive, espressa come Σ m (ds/dt)² = 2(U + h) (fr:6131), pone le basi per una lettura geometrica del principio di minima azione.

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25 L’evoluzione del formalismo dinamico: da Poisson ad Hamilton e Jacobi

Il testo ripercorre lo sviluppo dei metodi variazionali nella meccanica classica, dalla parentesi di Poisson fino alla funzione principale di Hamilton e ai contributi fondamentali di Jacobi, mostrando la continuità concettuale tra ottica e dinamica.

— - - ob -oa == constant QUi Oq.. Oqi OUi or (b, a) == constant where (b, a) is an expression which has become known as a ‘Poisson bracket’“ - (fr:6138) [ob/∂uᵢ · ∂a/∂qⱼ - ∂b/∂qⱼ · ∂a/∂uᵢ = costante, o (b, a) = costante, espressione nota come parentesi di Poisson]. L’autore osserva che questa proposizione, divenuta classica, ”evidently exhibits considerable aesthetic value”* - (fr:6139) [esibisce evidentemente un considerevole valore estetico].

La portata del teorema di Poisson viene subito evidenziata: esso “seems to indicate that it is sufficient to know two first integrals of the equations of motion in order to be able to deduce a third from them; by combining this with one of the first two, a fourth would be obtained, etc….” - (fr:6140) [sembra indicare che sia sufficiente conoscere due integrali primi delle equazioni del moto per poterne dedurre un terzo; combinandolo con uno dei primi due, se ne otterrebbe un quarto, ecc.]. Subito dopo, il testo introduce il metodo di Poisson per la variazione delle costanti arbitrarie, aggiungendo al membro destro delle equazioni di Lagrange un termine dipendente dalla funzione delle forze perturbatrici Q. L’idea è integrare completamente le equazioni imperturbate, ottenendo una soluzione con 2k costanti arbitrarie, per poi far variare queste ultime. Seguendo il procedimento, si arriva a esprimere i differenziali delle costanti arbitrarie mediante le derivate parziali di Q: “in the equations of mechanics, the n.r&t differentials of the arbitrary constants can be expressed by means of the partial differences of the function Q, taken with respect to these quantities and multiplied by functions of these same quantities, which do not contain the time explicitly” - (fr:6152) [nelle equazioni della meccanica, i differenziali primi delle costanti arbitrarie possono essere espressi per mezzo delle differenze parziali della funzione Q, prese rispetto a queste quantità e moltiplicate per funzioni delle stesse quantità, che non contengono il tempo esplicitamente]. Viene ricordato che Lagrange era giunto a formule in cui compariva l’espressione a parentesi quadra.

Il baricentro dell’esposizione si sposta poi su Hamilton, la cui ottica è inseparabile dalla dinamica. Le sue idee prendono forma in un contesto in cui “neither the theory of waves nor the emission theory were generally accepted” - (fr:6158) [né la teoria ondulatoria né quella corpuscolare erano generalmente accettate]. L’intento di Hamilton è esplicito: “He wished to give to optics, on the plane of formal theory, the same ‘beauty, power and harmony’ with which Lagrange had heen able to endow mechanics” - (fr:6163) [Egli desiderava dare all’ottica, sul piano della teoria formale, la stessa «bellezza, potenza e armonia» di cui Lagrange aveva saputo dotare la meccanica]. Hamilton distingue le leggi dei cammini luminosi dalle ipotesi fisiche sulla natura della luce, considerandole “an important separate study, and as constituting a separate science, called often mathematical optics” - (fr:6164) [uno studio separato importante, costituente una scienza a sé, chiamata spesso ottica matematica]. Rigetta esplicitamente l’idea di minimizzazione semplice, affermando che “the quantity pretended to be economised is in fact often lavishly expended” - (fr:6165) [la quantità che si pretende venga economizzata è di fatto spesso profusa con larghezza], per cui si può parlare solo di una proprietà stazionaria o estremale dell’azione.

La funzione caratteristica V di Hamilton, per cui le superfici d’onda soddisfano V = costante, conduce alla riscoperta del teorema di Huygens: i raggi di un sistema omogeneo restano normali a una famiglia di superfici dopo qualsiasi numero di riflessioni o rifrazioni. Le componenti della «lentezza normale» (normal slowness) vengono denotate con σ, τ, ν, e Hamilton scrive le sue equazioni ottiche in una forma che anticipa quella canonica della dinamica. In una relazione sulla velocità di propagazione ondulatoria u, il testo identifica “the germ of the transcription which Schrodinger was to turn to good use in dynamics, in generalising equation (D) hy the introduction of a group velocity (in Rayleigh’s sense) identified with v” - (fr:6182) [il germe della trascrizione che Schrödinger avrebbe messo a frutto in dinamica, generalizzando l’equazione (D) con l’introduzione di una velocità di gruppo (nel senso di Rayleigh) identificata con v].

Il primo lavoro dinamico di Hamilton, un manoscritto del 1833 sul problema dei tre corpi, introduce la funzione caratteristica come integrale dell’energia cinetica: “v== f~2Tdt” - (fr:6184). Nei saggi del 1834, Hamilton codifica le sue ricerche. Egli definisce la «forza viva» del sistema come 2T, scrive la legge delle forze vive come T = U + H, dove H — oggi detta hamiltoniana — è indipendente dal tempo in un dato moto. Dalla considerazione della funzione caratteristica V in funzione delle coordinate iniziali e finali e di H, ricava un sistema di equazioni che riduce il problema “to the determination and the differentiation of a si~gle function V” - (fr:6195). Al termine del primo saggio introduce la funzione principale S, che soddisfa un’equazione alle derivate parziali del primo ordine e secondo grado. Nel Secondo Saggio, Hamilton sviluppa sistematicamente l’uso di S e stabilisce le equazioni canoniche del moto. L’idea guida è continua dall’ottica alla dinamica, e in questo — afferma il testo — “lies his greatness and his power” - (fr:6214) [risiedono la sua grandezza e la sua potenza].

Il resoconto si chiude con il contributo critico di Jacobi. Questi mostrò che “every complete integral-in Lagrange’s sense-of Hamilton’s equation in the partial derivatives, is sufficient to determine the trajectories and the law of motion even when the Hamiltonian depends explicitly on the time” - (fr:6217) [ogni integrale completo — nel senso di Lagrange — dell’equazione di Hamilton alle derivate parziali è sufficiente a determinare le traiettorie e la legge del moto anche quando l’hamiltoniana dipende esplicitamente dal tempo]. Jacobi ritenne che Hamilton avesse “thrown his fine discovery into a false light” (in ein falsches Licht) e “limited and artificially com·plicated the question” - (fr:6218) [gettato la sua bella scoperta in una luce falsa e limitato e complicato artificialmente la questione]. L’introduzione delle coordinate iniziali e finali complicava il problema d’integrazione. Jacobi, nelle sue Vorlesungen über Dynamik, ricavò l’altra equazione hamiltoniana dallo scambio delle variabili t, qᵢ con τ, qᵢ⁰, stabilendone il carattere superfluo. Il suo teorema fondamentale mostra che, dato un integrale completo V, è possibile esprimere tutte le variabili in funzione di θ = t − τ. Jacobi generalizzò inoltre le equazioni canoniche, che “are more general than those of Hamilton, for they do not necessarily presume the existence of a function of the forces” - (fr:6242) [sono più generali di quelle di Hamilton, poiché non presuppongono necessariamente l’esistenza di una funzione delle forze], e trattò il moltiplicatore M, mostrando che esso “can be chosen equal to unity, so that the multiplier has the same value as if the system were completely free” - (fr:6245) [può essere scelto uguale all’unità, cosicché il moltiplicatore ha lo stesso valore che avrebbe se il sistema fosse completamente libero].

Il principio di minima azione riceve infine la sua formulazione precisa grazie a Eulero, Lagrange e Hamilton, con l’integrale d’azione espresso come Σ ∫ mᵢ vᵢ dsᵢ e l’equazione dell’energia che consente l’eliminazione del tempo.

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[20.1-56-6268|6323]

26 Dalla molecola alle equazioni: il percorso unitario di Navier tra fluidi e solidi

La concezione molecolare di Navier ancora il comportamento macroscopico dei corpi all’interazione delle loro particelle elementari. Il volume occupato da un corpo è fissato dalla temperatura e dalla pressione esterna (“It is this which has deter- mined the size of the volume occupied by the body, due to the temper- ature and the external pressure to which it is subjected.” – (fr:6268) [È questo che ha determinato la dimensione del volume occupato dal corpo, dovuta alla temperatura e alla pressione esterna a cui è sottoposto.]), e i fenomeni mostrano che le azioni intermolecolari variano con la distanza (“Now all 1 Memoires de l’Academie royale des Sciences de l’!nstitut de France, 1823, p. the phenomena indicate that the actions exerted from molecule to molecule, in the interior of bodies, vary ,nth the separation of the molecules.” – (fr:6269) [Ora, tutti i fenomeni indicano che le azioni esercitate da molecola a molecola, all’interno dei corpi, variano con la separazione delle molecole.]). Un liquido oppone una resistenza alla separazione inferiore a quella di un solido, ma non nulla (“A liquid resists an effort”tends to take neigh- bouring parts away from each other much less than a solid does, hut experiment has shown that the resistance to separation is not zero.” – (fr:6271) [Un liquido resiste a uno sforzo che tende ad allontanare parti vicine molto meno di un solido, ma l’esperimento ha mostrato che la resistenza alla separazione non è nulla.]).

Navier introduce un principio per il fluido in movimento: le azioni repulsive sono modificate dalla velocità con cui le molecole si avvicinano o si allontanano. Due molecole che si avvicinano si respingono, mentre quelle che si allontanano si respingono meno di quanto farebbero in assenza di variazione della resistenza (“In accordance with these considerations, we shall assume that, in a fluid in motion, tl,ro molecules which approach each other will repel each other, and two molecules which are separated from each other repel each other less strongly, than they would have done if their actual resistance had not varied.” – (fr:6272) [In accordo con queste considerazioni, assumeremo che, in un fluido in movimento, due molecole che si avvicinano si respingano, e due molecole che si allontanano si respingono meno fortemente di quanto avrebbero fatto se la loro resistenza effettiva non fosse variata.]). Egli assume perciò che, per effetto del moto, le azioni repulsive aumentino o diminuiscano in misura proporzionale alla velocità di avvicinamento o allontanamento reciproco (“We shall take it to he a principle, in the following investigations, that by the effect of the motion of a fluid, the repulsive actions of the molecules are increased or diminished by an amount proportional to the velocity with which the molecllJes approach, or separate from, one another.” – (fr:6273) [Assumeremo come principio, nelle indagini seguenti, che per effetto del movimento di un fluido, le azioni repulsive delle molecole sono aumentate o diminuite di una quantità proporzionale alla velocità con cui le molecole si avvicinano o si allontanano l’una dall’altra.]).

Applicando tale ipotesi all’equilibrio, Navier considera due molecole infinitamente vicine soggette a una forza repulsiva f(r) che decresce rapidamente con la distanza r. Integrando i “momenti” delle azioni reciproche su tutto il fluido, perviene alle equazioni di equilibrio in cui compare una pressione p definita dall’integrale delle forze molecolari (“p = 2; J 0 00 r3j(r)dr 18 a function of x, y and z” – (fr:6284) [p = 2π ∫₀^∞ r³ f(r) dr è una funzione di x, y e z]). Un’integrazione per parti riconduce queste equazioni a quelle di Clairaut, “facendole dipendere più direttamente dalle nozioni fisiche che ci si può formare sulla natura di questi corpi” (“In this way Navier rediscovers Clairaut’s equations, making them ’” depend more directly on the physical notions that can be formed on the nature of these bodies.” – (fr:6285) [In questo modo Navier riscopre le equazioni di Clairaut, facendole dipendere più direttamente dalle nozioni fisiche che ci si possono formare sulla natura di questi corpi.]). Le forze molecolari, quindi, non alterano l’equilibrio ma ne forniscono un fondamento microscopico.

Per passare dalle equazioni idrostatiche a quelle idrodinamiche di Eulero sarebbe necessario che le forze repulsive restassero invariate, mentre secondo Navier lo stato di moto genera nuove forze molecolari (“But according to the principle expressed in § 1, ‘“ it is necessary to assume the existence of new molecular forces which are produced by the state of motion.”* – (fr:6291) [Ma secondo il principio espresso nel § 1, è necessario supporre l’esistenza di nuove forze molecolari che sono prodotte dallo stato di movimento.]). Egli scrive la velocità relativa V di una molecola M’ proiettata sulla congiungente e introduce una forza f(r)V. Calcolando la variazione di questa forza dopo un impulso che modifica le velocità e integrando su tutto il fluido, ottiene – con la condizione di incomprimibilità – le equazioni indefinite del moto che portano il suo nome. Il coefficiente viscoso che vi compare è espresso in termini molecolari: ε = (4π/30) ∫₀^∞ r⁴ f(r) dr (”with E == 4n JOO dr • r4 f(r). 30 0“* – (fr:6299) [con ε = (4π/30) ∫₀^∞ r⁴ f(r) dr]). La struttura delle equazioni, pur tra i refusi tipografici, mostra i termini convettivi e quelli con le derivate seconde caratteristici delle moderne equazioni di Navier-Stokes (“oP (OU ou ou aU’) (’i:J 2u 02 u 02 U ) f P- ax = e iJt + u ox + v iJy + W oz - e ,ox2 + a? + i5;2” – (fr:6302) [∂P/∂x = ρ (∂u/∂t + u ∂u/∂x + v ∂u/∂y + w ∂u/∂z) – ε (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)]).

Navier studiò anche le condizioni al contorno, introducendo un ulteriore coefficiente E legato allo scorrimento dello strato fluido sulla parete solida (“In this way he succeeded in introducing, as well as the coefficient 8, a coefficient E which was directly related to the sliding of the layer of liquid on the boundary wall.” – (fr:6304) [In questo modo riuscì a introdurre, oltre al coefficiente ε, un coefficiente E direttamente legato allo scorrimento dello strato di liquido sulla parete.]). L’ipotesi di scorrimento venne in seguito abbandonata grazie ai lavori di Stokes e agli esperimenti di Poiseuille del 1846 sui liquidi viscosi nei capillari (“This hypothesis of sliding has now heen given up. It has been so since the work of Stokes and the experiments of Poiseuille (1846) on the flow of viscous liquids in capillary tubes.” – (fr:6305-6306) [Questa ipotesi di scorrimento è stata ora abbandonata. Lo è stata dai tempi del lavoro di Stokes e degli esperimenti di Poiseuille (1846) sul flusso di liquidi viscosi nei tubi capillari.]). Lo stesso Navier, per mostrare l’accordo con le formule empiriche di Girard, ammoniva che le sue formule non si potevano accettare con E nullo (“It would be misleading to think that the preceding formulae might be accepted if E were supposed zero.” – (fr:6308) [Sarebbe fuorviante pensare che le formule precedenti possano essere accettate se E fosse supposto nullo.]).

Un legame storico profondo unisce questi risultati alla teoria dell’elasticità. Navier aveva infatti presentato all’Académie des Sciences il 14 maggio 1821 – circa un anno prima del lavoro idrodinamico – una memoria sulle leggi dell’equilibrio e del moto dei solidi elastici. Anche in quel caso il punto di partenza è un’ipotesi molecolare molto precisa: un corpo solido è un insieme di molecole materiali a distanze piccolissime (“A solid hody is regarded as an assembly of material molecules (.t. placed···at extremely small distances.” – (fr:6317-6318) [Un corpo solido è considerato come un insieme di molecole materiali poste a distanze estremamente piccole.]), tra le quali agiscono una forza attrattiva propria e una forza repulsiva dovuta in linea di principio al calore (“These molecules exert on each other two opposed forces—namely, a proper force of attraction and a force of repulsion due, in principle, to heat.” – (fr:6319) [Queste molecole esercitano l’una sull’altra due forze opposte – vale a dire, una forza propria di attrazione e una forza di repulsione dovuta, in linea di principio, al calore.]). L’azione risultante P tra due molecole vicine è la differenza tra le due. Nello stato naturale tutte le azioni P sono nulle o si elidono, perché la molecola è in quiete (“In the natural state of all bodies the actions P are zero, or nullify each other, since the molecule is at rest.” – (fr:6321) [Nello stato naturale di tutti i corpi le azioni P sono zero, o si annullano reciprocamente, poiché la molecola è in quiete.]). Quando la forma del corpo viene alterata, l’azione assume un nuovo valore Π e si ristabilisce l’equilibrio tra tutte le forze Π e i carichi esterni applicati. Le forze Π possono essere scomposte in due parti, Π e Π’, in modo che la prima darebbe equilibrio anche nello stato naturale (“The forces II can be imagined to he divided into two parts, 1C and n’, by supposing that the first part, n, is such that there would be equilibrium between all the forces P in the natural state of the body if they existed alone.” – (fr:6323) [Le forze Π possono essere immaginate divise in due parti, Π e Π’, supponendo che la prima parte, Π, sia tale che vi sarebbe equilibrio tra tutte le forze P nello stato naturale del corpo se esistessero da sole.]). Questo impianto molecolare permise a Navier di gettare un ponte fra l’idrostatica, l’idrodinamica e la teoria dell’elasticità tridimensionale che il XIX secolo avrebbe reso classica.

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27 Dalla causalità classica alla necessità della revisione: una testimonianza del travaglio della meccanica

Il testo ripercorre le controversie sui principi newtoniani tra Ottocento e Novecento, mostrando come il dibattito su causalità, forza e materia abbia eroso la pretesa di assolutezza della meccanica classica e preparato il terreno per le teorie fisiche moderne.

La nozione di massa e forza viene posta in termini operativi: “The absolute mass (or more simply, the mass) is defined by means of the relative mass by choosing, once and for all, an invariable element; the absolute force, which is here a derived notion, is by definition the product of the mass and the absolute acceleration.” - (fr:6965) [La massa assoluta (o più semplicemente, la massa) è definita per mezzo della massa relativa scegliendo, una volta per tutte, un elemento invariabile; la forza assoluta, che qui è una nozione derivata, è per definizione il prodotto della massa per l’accelerazione assoluta.] Si passa poi al significato del principio di causalità, chiarendo che “to many physicists the word causality has the restricted meaning of determination of future events.” - (fr:6967) [per molti fisici la parola causalità ha il significato ristretto di determinazione degli eventi futuri]. Painlevé si oppone a questa confusione: “On the contrary, Painlevé insists on the necessity of not confusing causality and the hypothesis of determinism.” - (fr:6968) [Al contrario, Painlevé insiste sulla necessità di non confondere causalità e l’ipotesi del determinismo]. Per lui, “the principle of causality in mechanics resides in the possibility of a certain transference of motion in space and time; neither space nor time can be an efficient cause.” - (fr:6969) [il principio di causalità in meccanica risiede nella possibilità di un certo trasferimento del moto nello spazio e nel tempo; né lo spazio né il tempo possono essere una causa efficiente].

La causalità assume una veste matematica con Bouligand, dove una dimostrazione è detta causale “if it succeeds in escaping all parasitical hypotheses of the kind that necessarily involve the use of certain algorithms.” - (fr:6970) [se riesce a sfuggire a tutte le ipotesi parassite del tipo che comportano necessariamente l’uso di certi algoritmi]. Emerge così il concetto di dominio di causalità, legato ai gruppi di trasformazione: “The domain of causality of classical mechanics is determined by what is now called the galilean group (the group of transformations which conserve the absolute reference systems), while, for example, the Lorentz group defines the domain of causality of special relativity.” - (fr:6972) [Il dominio di causalità della meccanica classica è determinato da quello che oggi è chiamato gruppo galileiano (il gruppo di trasformazioni che conservano i sistemi di riferimento assoluti), mentre, per esempio, il gruppo di Lorentz definisce il dominio di causalità della relatività ristretta].

La prospettiva storica si apre con Duhem e l’evoluzione della meccanica. Cartesio tentò di bandire la nozione scolastica di qualità, ma “according to Duhem, cartesian matter is incapable of motion and Cartesian motion is insufficient to be fashioned into a true mechanics.” - (fr:6978) [secondo Duhem, la materia cartesiana è incapace di movimento e il moto cartesiano è insufficiente per essere plasmato in una vera meccanica]. Gli atomisti e i cartesiani criticavano l’attrazione newtoniana, mentre Leibniz, pur considerandola una “incorporeal and inexplicable property”, vedeva la necessità della forza, dandole però “the essentially metaphysical character of ‘substantial form’” - (fr:6981) [il carattere essenzialmente metafisico di “forma sostanziale”], circostanza “harmful to the notion of force in the mind of many a physicist until the modern epoch.” - (fr:6982) [dannosa per la nozione di forza nella mente di molti fisici fino all’epoca moderna].

Duhem contrappone la meccanica analitica di Lagrange, basata su azioni a distanza e forze di vincolo, alla meccanica fisica di Poisson, fondata esclusivamente su azioni molecolari tra punti liberi. Riguardo a Kirchhoff, il giudizio è severo: “The source of its rigour is also the source of its sterility, for it only writes identities.” - (fr:6995) [La fonte del suo rigore è anche la fonte della sua sterilità, poiché scrive solo identità]. La meccanica di Hertz viene ridotta a un principio secondo cui le forze d’inerzia non compiono lavoro in ogni spostamento virtuale, ma per Duhem “lacked complete application to the solution of concrete problems, and a determination of the hidden masses and motions that took the place of all force.” - (fr:6998) [mancava di un’applicazione completa alla soluzione di problemi concreti, e di una determinazione delle masse e dei moti nascosti che prendevano il posto di ogni forza]. Hertz’s mechanics è dunque “less a doctrine than the programme of a doctrine.” - (fr:6999) [meno una dottrina che il programma di una dottrina], programma che in ultima analisi si riduce all’affermazione che tutte le forze possono essere considerate come forze di vincolo dovute a corpi ipotetici o a moti supposti.

Duhem, scrivendo nel 1903, formula una profezia notevole: “All that it is possible to say is that there is no reason in logic that allows the theories that have so far been outlined to be regarded as the only possible theories. In particular, the study of the various radiations, while presenting the experimenters with discovery upon discovery, has revealed to them such strange effects, so difficult to submit to the laws of our thermodynamics, that it would not be surprising to see a new branch of the science arise out of this study.” - (fr:7007-7008) [Tutto ciò che è possibile dire è che non c’è alcuna ragione logica che permetta di considerare le teorie finora abbozzate come le uniche teorie possibili. In particolare, lo studio delle varie radiazioni, mentre presenta agli sperimentatori scoperta dopo scoperta, ha rivelato loro effetti così strani, così difficili da sottomettere alle leggi della nostra termodinamica, che non sarebbe sorprendente veder sorgere da questo studio un nuovo ramo della scienza].

Le controversie sul valore dei principi newtoniani mostrano che “the classical structure which appeared to have been completed by the work of Lagrange, could not be regarded as perfect.” - (fr:7012) [la struttura classica che appariva essere stata completata dal lavoro di Lagrange, non poteva essere considerata perfetta]. La revisione si è imposta nel XX secolo con le moderne teorie fisiche, sebbene molti cultori della meccanica classica non ne vedessero la necessità e opponessero una resistenza determinata, convinti del valore della meccanica nel proprio campo tradizionale. Tuttavia, “the revision was made possible by their own dissensions, which had shown the fallacy of attaching to the axioms of mechanics any other significance than that of contingent truths.” - (fr:7017) [la revisione fu resa possibile proprio dalle loro dissensioni, che avevano mostrato la fallacia di attribuire agli assiomi della meccanica un significato diverso da quello di verità contingenti].

Nell’introdurre le teorie fisiche moderne, si respingono due obiezioni: l’instabilità della storia recente e il carattere effimero dei modelli fisici. L’esperimento di Michelson e i primi tentativi di spiegarlo giacciono già mezzo secolo alle spalle, e “the wave of incomprehension and pseudo-paradoxes stirred up by the special theory of relativity is now almost gone.” - (fr:7028) [l’ondata di incomprensioni e pseudo-paradossi suscitati dalla teoria della relatività ristretta è ormai quasi svanita]. La meccanica classica ha spesso tratto profitto dal contatto con le teorie fisiche — Huygens, Newton e Hamilton non eressero frontiere artificiali tra le due scienze — e la storia stessa insegna che la scienza classica non è nata con quel carattere codificato che le viene attribuito nell’esposizione didattica: “Its axioms are neither obvious nor of logical necessity. It was experiment, and experiment alone, that enabled the classical science to escape from the scholastic doctrines. Now, by its nature, experiment is always subject to revision.” - (fr:7036-7038) [I suoi assiomi non sono né ovvi né di necessità logica. Fu l’esperimento, e l’esperimento soltanto, che permise alla scienza classica di sfuggire alle dottrine scolastiche. Ora, per sua natura, l’esperimento è sempre soggetto a revisione]. Il compito che ci si prefigge è seguire l’evoluzione delle moderne teorie fisiche della meccanica nel campo dei principi essenziali, analizzando e confrontando testi fondamentali tratti dagli articoli originali, mantenendo come unica ambizione la fedeltà all’accuratezza storica.

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28 Dalla teoria di Lorentz allo spazio-tempo: genesi e struttura della relatività

Un’analisi della transizione dal programma di ricerca di Lorentz alla relatività speciale e generale, evidenziando le tappe concettuali, le definizioni operative e le strutture matematiche che hanno ridefinito lo spazio e il tempo.

Il resoconto traccia il percorso che conduce dalla fisica di Lorentz alla relatività einsteiniana, presentando i nuclei teorici essenziali. Si parte dal postulato di Lorentz, secondo cui le relazioni che governano le forze tra particelle elementari si applicano anche ai corpi pesanti: “Lorentz postulates that these relationships also govern the forces between the elementary particles of every heavy body.” - (fr:7123) [Lorentz postula che queste relazioni governino anche le forze tra le particelle elementari di ogni corpo pesante.]. Esperimenti successivi, come quelli di Guye e Lavanchy, confermarono la teoria molto più tardi (fr:7126).

L’articolo di Einstein del 1905 introduce una parte cinematica fondata su definizioni operative. La simultaneità viene definita localmente: un orologio in B permette a un osservatore di registrare il tempo di un evento nel proprio intorno immediato (fr:7130). Il tempo così costruito è relativo al “sistema fisso”, e in quel sistema “light is propagated in the ‘fixed system’ with a velocity c which is independent of the motion of the source” - (fr:7132) [la luce si propaga nel “sistema fisso” con una velocità c indipendente dal moto della sorgente.]. La misura delle lunghezze avviene con un campione a riposo nel sistema stesso (fr:7133). Nei sistemi in moto relativo si dispongono un campione di lunghezza e, tramite la graduazione con orologi sincroni, una misura del tempo t e t’ (fr:7135). Einstein mostra poi che un’onda sferica di luce mantiene forma identica in S e S’ dopo l’applicazione della trasformazione (fr:7137), stabilendo una simmetria completa tra i sistemi, ovvero una relatività elettrodinamica (fr:7143).

Dalla cinematica discendono la contrazione delle lunghezze e la dilatazione dei tempi (fr:7139). Minkowski osserva che “Neither Lorentz nor Einstein grappled with the notion of space” - (fr:7151) [Né Lorentz né Einstein si confrontarono con la nozione di spazio.], introducendo il cono di luce anteriore e posteriore tramite l’equazione u² - x² - y² - z² = 0 (fr:7152). Un punto-mondo nella regione intermedia può essere rappresentato come antecedente, simultaneo o successivo a O con una scelta opportuna degli assi (fr:7153). L’accelerazione è un vettore di tipo spazio ortogonale alla velocità (fr:7154). Il tempo immaginario √-1 t porta all’equivalenza 10⁵ km = √-1 secondi (fr:7185).

Sul fronte della dinamica, la massa variabile era già concepita indipendentemente dalla relatività speciale, come mostrano le equazioni del moto proiettate su tangente e normale principale (fr:7180). La condizione necessaria e sufficiente affinché la stessa funzione compaia nel principio di Hamilton e nel principio dell’energia è che la massa sia costante (fr:7181): “All this shows that the dynamics of variable mass had been conceived – and may be developed – apart from the special theory of relativity.” - (fr:7182) [Tutto ciò mostra che la dinamica della massa variabile era stata concepita – e può essere sviluppata – indipendentemente dalla teoria della relatività speciale.]. Poincaré adottò la teoria di Lorentz solo con riluttanza, ritenendo necessario completarla con un potenziale supplementare proporzionale al volume dell’elettrone (fr:7161).

Nel passaggio alla relatività generale, Einstein assume che la teoria speciale debba valere per ogni regione infinitamente piccola del mondo quadridimensionale, purché si scelga un sistema di riferimento adatto (fr:7192). Le condizioni della relatività speciale sono soddisfatte quando le gik assumono i valori euclidei con segnatura appropriata (fr:7193). Le equazioni del moto derivano da un calcolo variazionale classico δ∫ ds = 0 e conducono a “d²xⁱ/ds² = -{μν} (dxⁱ/ds) (dxⁱ/ds)” (fr:7196). Le quantità {μν} caratterizzano la differenza tra il moto vero e un moto uniforme: sono le componenti del campo gravitazionale (fr:7197). Einstein distingue il campo gravitazionale dalla “materia”, intendendo con quest’ultima non solo la materia ordinaria ma anche il campo elettromagnetico (fr:7200).

Le approssimazioni newtoniane si ottengono supponendo che le gik differiscano dai valori euclidei solo per quantità del primo ordine e che la velocità della particella sia molto piccola rispetto a c (fr:7204). Un orologio rallenta quando è posto in un campo gravitazionale: “ds = 1, dx¹ = dx² = dx³ = 0, dx⁴ = 1/√g₄₄ = 1 - 1/2…” (fr:7208). Per l’universo a spazio sferico, le gik sono definite da “g₄₄ = 1, g₄ᵢ = 0, gik = -(xⁱxᵏ)/(R²-(x₁²+x₂²+x₃²))” (fr:7215).

Weyl, infine, trae ispirazione dalla geometria riemanniana assumendo una forma quadratica fondamentale come base della metrica (fr:7217). Ne segue che le quantità elettromagnetiche, in un dato sistema di riferimento, appaiono indipendenti da un cambiamento arbitrario di gauge che invece agisce sulle gik: “in these circumstances the electromagnetic quantities, in a given system of reference, appear independent of an arbitrary change of gauge which, on the contrary, has an effect on the gik.” - (fr:7219) [in queste circostanze le quantità elettromagnetiche, in un dato sistema di riferimento, appaiono indipendenti da un cambiamento arbitrario di gauge che, al contrario, ha effetto sulle gik.].

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29 Dalla conservazione delle equazioni di Maxwell alla curvatura dello spazio‑tempo

Un percorso critico tra i fondamenti dell’elettrodinamica einsteiniana, la formulazione dello spazio‑tempo di Minkowski e le prime verifiche astrofisiche, sino alle estensioni cosmologiche e alla geometria di Weyl.

Il testo si apre con una sezione intitolata “INTRODUCTION TO EINSTEIN’S ELECTRODYNAMICS.” – (fr:7223) [INTRODUZIONE ALL’ELETTRODINAMICA DI EINSTEIN.] e ne descrive l’architettura: “Roy. der Physik, Vol. 17, 1905, p. of velocities) ; then a part devoted to electrodynamics (the conservation of Max,“,‘“ell’s equations) ; and finally, a part devoted to the dynamics of a slo,vly accelerated electron.” – (fr:7226) [“Roy. der Physik, Vol. 17, 1905, p. … poi una parte sulla cinematica (composizione delle velocità), una dedicata all’elettrodinamica (la conservazione delle equazioni di Maxwell) e infine una sulla dinamica di un elettrone lentamente accelerato.”]. Il problema del confronto delle misure tra sistemi in moto impone di ricorrere a tempi locali: “We thus provide for a ‘local time of A’ and a ‘local time of B,’ but without a special convention we cannot compare the observations at A and B.” – (fr:7227) [Introduciamo così un “tempo locale di A” e un “tempo locale di B”, ma senza una convenzione specifica non possiamo confrontare le osservazioni in A e B.]. La sincronizzazione mediante segnali luminosi viene eseguita separatamente per i riferimenti S ed S′ (“The latter is accomplished separately for S and S’ by the procedure of the exchange of light signals.” – (fr:7232) [Quest’ultimo scopo si realizza separatamente per S ed S′ mediante lo scambio di segnali luminosi.]).

Dal principio di relatività discendono subito la contrazione delle lunghezze e la dilatazione temporale. Un’asta in quiete nel sistema fisso dà una lunghezza l: “Consider, in the fixed system, a measuring‑rod which is at rest and whose length l is measured with a standard, also at rest.” – (fr:7229) [Si consideri, nel sistema fisso, un’asta di misura in quiete, la cui lunghezza l è misurata con un campione anch’esso in quiete.] e “It follpws directly from the principle of relativity that the first measure~nt must give the result I.” – (fr:7230) [Segue direttamente dal principio di relatività che la prima misura deve dare il risultato l.]. L’orologio in movimento ritarda: “Therefore, seen from S, this clock runs slow … seconds per second.” – (fr:7237) [Perciò, visto da S, quest’orologio ritarda di … secondi al secondo.]. La trasformazione (T) porta inoltre a riconoscere nella velocità della luce un limite invalicabile: “The velocity c thus assumes the character of a ceiling which cannot he surpassed.” – (fr:7238) [La velocità c assume così il carattere di un tetto che non può essere superato.].

La conservazione completa delle equazioni di Maxwell è il risultato che separa il lavoro di Einstein da quello di Lorentz: “It was due to this composition that Einstein ,vas able to demonstrate the complete conservation of the equations, which had been lacking in Lorentz’s paper.” – (fr:7241) [Fu grazie a questa composizione che Einstein riuscì a dimostrare la conservazione completa delle equazioni, che mancava nell’articolo di Lorentz.]. Le forze elettrodinamiche diventano semplici effetti della scelta del riferimento: “The electrodynamic and magnetomotive forces become simple effects of the choice of reference system‑a purely electric field in S hecomes, in S’, an electromagnetic field defined by the equations (C) .” – (fr:7240) [Le forze elettrodinamiche e magnetomotrici diventano semplici effetti della scelta del sistema di riferimento: un campo puramente elettrico in S diventa, in S’, un campo elettromagnetico definito dalle equazioni (C).]. Lorentz aveva già ottenuto la trasformazione (T) e le leggi (C) e (M), ma solo con Einstein si raggiunge la piena coerenza formale.

Il testo dedica ampio spazio alle difficoltà concettuali. Poincaré studia i calcoli di Lorentz nel 1906 (“Poincare 4 devoted a paper which appeared in 1906 to the study of Lorentz’s calculations.” – (fr:7256) [Poincaré dedicò un articolo apparso nel 1906 allo studio dei calcoli di Lorentz.]) e solleva la questione della simultaneità, raccolta in un paragrafo dal titolo “DIFFICULTIES OF EINSTEIN’S NOTION OF SIMlJI.,TANEITY.” – (fr:7262) [DIFFICOLTÀ DELLA NOZIONE EINSTEINIANA DI SIMULTANEITÀ.]. Einstein stesso ritorna sull’argomento (“Einstein himself returned to it in an interpretative “,~ork 2 which we are going to follow.” – (fr:7264) [Lo stesso Einstein vi tornò in un lavoro interpretativo che seguiremo.]) e si interroga su come costituiamo le nostre misure (“He again expressed his scepticism … ‘How do we constitute our measurements?’” – (fr:7258) [Espresse di nuovo il suo scetticismo … “Come costituiamo le nostre misure?”]).

La pluralità dei sistemi di riferimento è segnata da una rottura con la visione classica: ““According to the classical doctrine this frame of reference will he the one adopted by the group of observers on a star A, which is very distant from all others and”,“,ithout rotation with respect to the fixed stars, if the absolute velocity of this star is zero.” – (fr:7267) [Secondo la dottrina classica questo sistema di riferimento sarà quello adottato dal gruppo di osservatori su una stella A, molto distante da tutte le altre e priva di rotazione rispetto alle stelle fisse, se la velocità assoluta di questa stella è zero.], mentre nella relatività “there exists an infinite number of such frames … and the formulae for the passage from one system to the other are [Lorentz’s formulae (T)].” – (fr:7268) [esiste un numero infinito di tali sistemi … e le formule per passare da un sistema all’altro sono le formule di Lorentz (T).]. L’abbandono dell’etere, benché logicamente fondato, suscitò resistenze: “The reasons which led Einstein to declare the ether superfluous are well founded in logic; hut such a declaration made on the threshold of his !theory could only alienate him from the physicists imbued with the cl.ssical representation.” – (fr:7261) [Le ragioni che portarono Einstein a dichiarare superfluo l’etere sono ben fondate logicamente; ma una simile dichiarazione, fatta alle soglie della sua teoria, non poteva che alienarlo dai fisici imbevuti della rappresentazione classica.].

La formulazione geometrica di Minkowski viene introdotta dal titolo “SPACE‑TIME IN THE SENSE OF MINKOWSKI.” – (fr:7243) [SPAZIO‑TEMPO NEL SENSO DI MINKOWSKI.]. La metrica iperbolica è illustrata con un’iperbole di riferimento: “If the hyperbola is considered as being referred to the axes OC’, OA’, and if DC’ is supposed equal to unity, then the equation is still u’2 - X’2 == 1 with u’ > o.” – (fr:7245) [Se si considera l’iperbole riferita agli assi OC′, OA′ e si suppone DC′ uguale all’unità, l’equazione è ancora u′² − X′² = 1 con u′ > ]. Le linee di universo di un segmento in quiete diventano parallele a Ou′ (“” In fact the ends PI and P2 of a segment which is parallel to Ox and at ,rest in S(x, u) describe world‑lines which are parallel to Ou’.” – (fr:7247) [Infatti gli estremi P₁ e P₂ di un segmento parallelo a Ox e in quiete in S(x,u) descrivono linee d’universo parallele a Ou′.]) e lo spazio‑tempo si divide in regioni di invio e ricezione di luce rispetto a un evento O (“The first region consists of world‑points that” send light to 0” while the second consists of world points that ’“ receive light from 0 ”.” – (fr:7249) [La prima regione è costituita da punti‑evento che “inviano luce a O”, mentre la seconda da punti‑evento che “ricevono luce da O”.]). L’ortogonalità tra quadrivettori è definita da “Two vectors V and J/“l are said to be orthogonal if UU l - XXI - YYI - ZZI::::::: o.” – (fr:7250) [Due vettori V e W si dicono ortogonali se UU₁ − XX₁ − YY₁ − ZZ₁ = ].

Nella dinamica relativistica la massa varia con la velocità, e già Lorentz aveva proposto “mo ([J3, fl, fl)” mentre l’approccio einsteiniano conduce a “mo ({J3, {J2, fl2)” – (fr:7244) [mentre il suggerimento di Lorentz è m₀(β³, β, β), quello di Einstein porta a m₀(β³, β², β²).]. La relazione tra massa trasversale e longitudinale è vincolata da un’equazione differenziale (“It follows that the transverse mass and the longitudinal mass are necessarily connected by …” – (fr:7277) [Ne segue che la massa trasversale e la massa longitudinale sono necessariamente connesse da …]) e la dinamica relativistica rientra nella classe più ampia dei sistemi a massa variabile (“The dynamics of special relativity in a given system of reference is contained in the more general class of the various systems of dynamics of variable mass…” – (fr:7279) [La dinamica della relatività ristretta in un dato sistema di riferimento è contenuta nella classe più generale dei vari sistemi di dinamica a massa variabile …]). Il cosiddetto paradosso dei gemelli viene ricondotto al cambiamento di sistema di riferimento del viaggiatore: “In fact, the traveller is bound in going to a galilean frame of reference S’ (when the normal speed has heen attained) and equally in his return journey to another galilea.n frame of reference S”.” – (fr:7273) [Il viaggiatore è infatti costretto, nell’andata, a un sistema di riferimento galileiano S′ (quando è stata raggiunta la velocità normale) e, allo stesso modo, nel ritorno a un altro sistema galileiano S″.] e l’unico effetto paradossale a priori è “contraction of lengths and correlative dilatation of times.” – (fr:7274) [la contrazione delle lunghezze e la correlativa dilatazione dei tempi.].

La seconda parte del testo si inoltra nella relatività generale. Le equazioni del campo gravitazionale vuoto sono ottenute per analogia con il moto della particella libera: “To obtain the expression of th~gravitational field in the absence of ” matter, “ he proceeds by an ’Induction analogous to that which led him to the equations of motion of a free particle.” – (fr:7297) [Per ottenere l’espressione del campo gravitazionale in assenza di “materia”, procede per induzione analoga a quella che lo ha condotto alle equazioni del moto di una particella libera.] e devono soddisfare “the equations … must therefore be verified in all the Bijs vanish.” – (fr:7298) [le equazioni … devono quindi essere verificate quando tutti i Bᵢⱼ si annullano.]. Sfruttando il tensore di Riemann contratto si costruisce un’espressione a divergenza nulla (“Now, if the mixed tensor B{ and the invariant B are associated with the contracted Riemann‑Christoffel tensor B ij , it is verified that the expression has a divergence equal to zero.” – (fr:7300) [Ora, se al tensore contratto di Riemann‑Christoffel Bᵢⱼ si associano il tensore misto Bᵢʲ e l’invariante B, si verifica che l’espressione ha divergenza nulla.]).

I primi successi riguardano lo spostamento del perielio di Mercurio: “The second approximation ’yields the displacement of the perihelion of Mercury, demonstrated by Le Verrier.” – (fr:7299) [La seconda approssimazione fornisce lo spostamento del perielio di Mercurio, dimostrato da Le Verrier.] e i dettagli quantitativi sono riportati con i parametri orbitali a, e, T e la velocità della luce c (“The perihelion of the trajectory of the test particle experiences a displacement of 1 … where a is the semi‑major axis, e the eccentricity, T the period in seconds and c the velocity of light in the normal system of units.” – (fr:7306) [Il perielio della traiettoria della particella di prova subisce uno spostamento di … dove a è il semiasse maggiore, e l’eccentricità, T il periodo in secondi e c la velocità della luce nel sistema di unità normale.]). L’influenza del campo gravitazionale sulle misure di spazio e tempo è illustrata confrontando i dxi con le lunghezze in uno spazio euclideo tangente, e conduce al redshift delle righe stellari: “It follows from this that the spectral lines emmitted by the stars must appear to us to be displaced towards the red.” – (fr:7305) [Ne consegue che le righe spettrali emesse dalle stelle devono apparirci spostate verso il rosso.]. A supporto di queste considerazioni compare il riferimento a una figura (“PoD Fig.” – (fr:7295) [Fig. PoD]), relativa alla definizione di un parallelogramma elementare.

Sul fronte cosmologico, il testo osserva che Newton offre un universo finito anche con massa infinita (“From this point of view Newton’s universe appears finite even if its total mass can be infinitely great.” – (fr:7307) [Da questo punto di vista l’universo di Newton appare finito anche se la sua massa totale può essere infinitamente grande.]) e che Einstein introduce una costante universale A nell’equazione di campo (“Instead of Poisson’s equation, Einstein proposes writing the equation (2) ,vhere A is a universal constant.” – (fr:7308) [Invece dell’equazione di Poisson, Einstein propone di scrivere l’equazione (2), dove A è una costante universale.]), la quale impone una curvatura spaziale costante (“The curvature of space must he constant because of the supposed homogeneity of the distribution of masses.” – (fr:7311) [La curvatura dello spazio deve essere costante a causa della supposta omogeneità della distribuzione delle masse.]), sebbene l’adozione di un sistema determinato contrasti con lo spirito relativistico (“In the first place, the fact that it resorts to a determined system of reference is contrary to the very spirit of the principle of relativity.” – (fr:7309) [In primo luogo, il fatto che ricorra a un sistema di riferimento determinato è contrario allo spirito stesso del principio di relatività.]).

Infine l’analisi si spinge fino alla geometria di Weyl, che, nello spirito delle azioni di contatto, edifica una Nahegeometrie (“But” in accordance with the SpIrIt which animates the modern physics of contact actions,“ he constructs a geometry of neighbourhoods (Nahegeometrie).” – (fr:7314) [Ma “in accordo con lo spirito che anima la moderna fisica delle azioni di contatto”, egli costruisce una geometria degli intorni (Nahegeometrie).]). Alla forma quadratica fondamentale (I) si aggiunge la forma lineare (6) (“To the c9nsideration of the fundamental quadratic form (I) is thus added the consideration of the linear form (6).” – (fr:7315) [Alla considerazione della forma quadratica fondamentale (I) si aggiunge così quella della forma lineare (6).]), e viene introdotta la nozione di peso tensoriale (“At this point Weyl introduces the notion of weight in application to a tensor.” – (fr:7316) [A questo punto Weyl introduce la nozione di peso nell’applicazione a un tensore.]).

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30 Relatività e geometria dello spazio-tempo: concetti e sviluppi da un trattato scientifico

Il testo presenta un’esposizione storica e critica dei fondamenti della relatività ristretta e generale, intrecciando i contributi di Lorentz, Einstein, Minkowski e Planck, e culminando nelle equazioni di campo gravitazionale e nelle prime cosmologie relativistiche.

L’analisi dei frammenti mostra un percorso che muove dalla meccanica classica e dall’elettrodinamica dei corpi in movimento. L’autore ricorda come Einstein, nell’articolo ”Zur Elektrodynamik bewegter Körper”, indicasse le asimmetrie derivanti dall’applicazione della teoria di Maxwell ai corpi in movimento (”In the statement of his intentions which appears in his paper Zur Elektrodynamik bewegter Korper, Einstein indicated the asymetries which result from the application of Maxwell’s theory to bodies in motion.” – fr:7320 [Nell’enunciazione delle sue intenzioni che appare nel suo lavoro Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento, Einstein indicò le asimmetrie che risultano dall’applicazione della teoria di Maxwell ai corpi in movimento.]). A questa asimmetria egli pose rimedio con una definizione operativa di simultaneità: ”We assume by definition that the ‘time’ taken for light to go from A to B is equal to the ‘time’ taken for light to go from B to A.” – fr:7324 [Assumiamo per definizione che il “tempo” impiegato dalla luce per andare da A a B sia uguale al “tempo” impiegato per andare da B ad A.]. Tale definizione, commenta il testo, ha il merito di mostrare la parte universale giocata dallo scambio di segnali a velocità c tra osservatori diversi (”The definition of simultaneity which Einstein placed at the foundation of his theory has the merit of demonstrating the universal part played by the exchange of signals of velocity between different observers.” – fr:7359).

Da essa discendono la relatività delle lunghezze e dei tempi – titolo di una sezione, ”RELATIVITY OF LENGTHS AND TIMES” (fr:7325) – e la trasformazione di Lorentz. Il testo mostra come, applicando la trasformazione alle accelerazioni, si giunga a una legge di composizione delle masse: ”Applied to the accelerations … the transformation leads to the law … Comparing this with the law (F), the following relation for the masses is obtained.” (fr:7317). Lorentz riteneva che tale formula, valida per una traslazione uniforme di velocità v, fosse ancora applicabile quando le accelerazioni fossero sufficientemente piccole (”Lorentz assumes that it is still applicable to all times when the accelerations are sufficiently small.” – fr:7318). Nel quadro einsteiniano, dalla trasformazione si ricava pure la variazione della massa con la velocità: si suggerisce di assegnare all’elettrone una massa longitudinale e una trasversale, e Einstein osserva che questa variazione si estende alle particelle pesanti (”These equations lead to the suggestion that the electron be assigned a longitudinal mass … and a transverse mass … Einstein observes that this variation of the mass with the velocity extends to heavy particles.” – fr:7339). Planck proporrà poi di scrivere la forza come derivata della quantità di moto relativistica, F = d(mv)/dt, forma oggi accettata (”At the suggestion of PLANCK, it is the second of these that is now accepted, and which arises naturally by writing F = d(mv)/dt instead of F = mγ.” – fr:7341).

Il fenomeno della contrazione delle lunghezze è illustrato con un apparato sperimentale: ”When the same measuring-rod is moved with a rectilinear and uniform velocity V, what does its length become?” (fr:7326) e si dimostra che la misura della lunghezza dell’asta in movimento, osservata dal sistema fisso, non fornisce il valore proprio (”As for the second measurement, which is concerned with the length rAB of the moving rod as observed from the fixed system, we shall prove that it does not provide the result l.” – fr:7327). La reciprocità degli effetti è riassunta in una serie di equazioni che mostrano come una lunghezza in S’ appaia contratta in S e viceversa, e come un orologio in S’ appaia dilatato se osservato da S (”That is, in detail, 1) A length in S’, materialised by a measuring-rod O’x’ … appears, there, to be contracted in the ratio 1/β … 2) A clock fixed in S’ … appears, from S, to keep the time t which is dilated with respect to t’ in the ratio β.” – fr:7371). La sincronizzazione degli orologi porta a conclusioni opposte tra osservatori in sistemi diversi: ”The two observers will conclude from this that the two clocks are not synchronous, while observers in the fixed system will pronounce them synchronous.” (fr:7328).

La composizione relativistica delle velocità garantisce che la velocità limite c non possa essere superata: ”Indeed, if two velocities v and v’, which are both less than c, are compounded in this way the resultant velocity is less than c; if the velocity c is compounded with a velocity v < c, the result is c.” (fr:7335). Questo risultato, insieme alla formula massa-energia, fu il contributo principale del primo lavoro di Einstein (”To these results, Einstein’s first paper was to add only the law (V) of the composition of the velocities and the formula relating the mass to the energy.” – fr:7356).

L’autore del trattato dedica ampio spazio alla sintesi geometrica di Minkowski. Questi chiama mondo il continuo spazio-temporale a quattro dimensioni x, y, z, t, dove un punto-mondo rappresenta un evento (”Minkowski uses the term world to denote the space-time continuum in the four dimensions x, y, z, t. A world-point represents an event occurring at the time t and the point x, y, z.” – fr:7340). L’intervallo di Minkowski è presentato come grandezza intrinseca ottenibile mediante misure di spazio e tempo quando si ponga c=1 (”In a system of units in which the velocity c reduces to unity, Minkowski’s interval is an intrinsic quantity which can be obtained by means of measurements of space and time.” – fr:7386). L’approccio di Minkowski è giudicato dall’autore come una notevole sintesi geometrica degli aspetti matematici della relatività ristretta, pur dopo averne eliminato i commenti superflui (”Freed of all its superfluous commentary, it remains that Minkowski’s presentation contains a remarkable geometrical synthesis of the mathematical aspects of special relativity.” – fr:7379). Il “postulato di relatività” è ritenuto dallo stesso Minkowski un termine molto inadeguato per esprimere l’invarianza rispetto al gruppo Gc (”Minkowski considers the term ‘postulate of relativity,’ used to state an invariance with respect to the group Gc, to be very inadequate (sehr matt).” – fr:7345). Nel formalismo quadridimensionale, anche il vettore impulso è dotato di componenti che coinvolgono la massa a riposo: ”The momentum vector has components (m₀ẋ, m₀ẏ, m₀ż, m₀c), where m₀ is the rest mass.” (fr:7348). Eddington osserverà che l’universo non ha 4 dimensioni, ma piuttosto 3+1 dimensioni, in riferimento alla forma dell’intervallo c²t² – x² (”In another form, Eddington writes that the universe does not have 4 dimensions, but rather, 3+1 dimensions; this refers to the form of the interval c²t² – x².” – fr:7378).

Il passaggio alla relatività generale è introdotto dal principio di equivalenza: un sistema uniformemente accelerato in assenza di gravità e un sistema non accelerato in un campo gravitazionale uniforme sono fisicamente equivalenti (”Therefore a uniformly accelerated system such as S, where no field of gravitation is effective, and a non-accelerated system, where a field of uniform gravitation is effective, can be considered as physically equivalent.” – fr:7380). In un sistema in rotazione, l’osservatore è costretto a definire il tempo in modo che la velocità di un orologio dipenda dalla posizione (”He will therefore be reduced to defining the time in such a way that the speed with which a clock beats time depends upon its position.” – fr:7384). Queste considerazioni conducono alle equazioni del campo gravitazionale in assenza di materia, esposte dopo una digressione matematica (”EQUATIONS OF THE GRAVITATIONAL FIELD IN THE ABSENCE OF MATTER.. Before taking up this question, we make an indispensable mathematical digression.” – fr:7391). Il testo introduce il tensore di Riemann-Christoffel, la cui nullità caratterizza lo spazio euclideo (”The quantity in square brackets is the mixed tensor of the 4th rank which is called the Riemann-Christoffel tensor … In an euclidean space this tensor is zero and, conversely, the vanishing of this …” – fr:7393). Nell’approssimazione di campo debole e quasi statico, con particelle lente, le equazioni del moto geodetico si riducono a una forma che coinvolge solo le componenti g₄₄, portando a un’equazione di Poisson per g₄₄ (”Under these conditions … the equations of a geodesic reduce to … finally is it supposed that the gravitational field is quasi-static … (Δg₄₄) = kρ” – fr:7398 e 7399). L’accordo con l’avanzamento del perielio di Mercurio, 43” al secolo, è citato come verifica (”For Mercury the effects amounts to 43” a century, which agrees with the result established by Le Verrier.” – fr:7403).

Sul fronte cosmologico, il testo discute una soluzione per una distribuzione uniforme di massa che conduce a un universo statico, introducendo la costante Λ per soddisfare le equazioni di campo con densità costante (”If ρ₀ is the density of a UNIFORM distribution of mass, then … is a solution … which corresponds to a true distribution of the fixed stars which would be homogeneous and of density ρ₀.” – fr:7405; ”Thus the constant Λ.” – fr:7410). Viene inoltre affermato che, in una teoria coerente, l’inerzia non esiste di per sé rispetto allo spazio, ma solo come interazione tra masse (”Moreover, in a coherent theory of relativity inertia in itself, with respect to space, does not exist, but only an interaction between masses.” – fr:7406).

Gli strumenti matematici della relatività generale trovano esposizione nella sezione ”REMARK ON THE MATHEMATICAL TOOLS OF GENERALISED RELATIVITY” (fr:7387). Vi si illustra il calcolo differenziale assoluto, che opera su forme covarianti e controvarianti legate al ds² di una varietà n-dimensionale, risultando indipendente dalla scelta delle variabili (”The absolute differential calculus, by operating on covariant or contravariant forms to the ds² of Vₙ to derive others of the same kind, is itself, in the calculations and the results, independent of the choice of independent variables.” – fr:7388). Viene discusso il trasporto dei vettori e il fatto che la variazione di una lunghezza nel trasporto parallelo non sia in generale integrabile (”In this only the possibility of the transport of a vector from a point P to an infinitely close point P’ arises, and it is not necessary to have regard to the integrability of the length of a vector in such a transport.” – fr:7411). Si accenna anche alla nozione di peso di un tensore, con la proprietà che un tensore assolutamente invariante deve avere peso nullo: ”If the gik are multiplied by a function A … the exponent e is called the weight of the tensor … Every absolutely invariant tensor … necessarily has zero weight.” (fr:7412, 7413). Queste nozioni formali completano la struttura matematica che sorregge la relatività generale, ritenuta da Einstein di sicuro valore fisico (”To Einstein, these facts vouch for the physical value of the theory of generalised relativity.” – fr:7396).

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31 Dalla massa elettromagnetica all’unificazione geometrica: il cammino della relatività

Il testo ripercorre le tappe concettuali e storiche della teoria della relatività, dalle prime correzioni lorentziane fino alla geometrizzazione della gravitazione e ai tentativi di unificazione con l’elettromagnetismo.

Il punto di partenza è la dinamica dell’elettrone in seno all’elettrodinamica classica. Una notazione come “(M) m(L:) == (lp3, 1f3, IfJ) m(22’)” – (fr:7414) [“(M) m(L:) == (lp3, 1f3, IfJ) m(22’)”] richiama le relazioni tra le masse longitudinali e trasversali. L’analisi della forza agente su una carica in moto oscillatorio conduce Lorentz a introdurre per l’elettrone una massa longitudinale e una massa trasversale: “it is reasonable to assign to the electron a longitudinal mass … and a transverse mass …” – (fr:7415) [“è ragionevole assegnare all’elettrone una massa longitudinale … e una massa trasversale …”]. Ne segue l’ipotesi che la traslazione con velocità v provochi una contrazione relativa parallela alla direzione del moto: “Lorentz is therefore led to assume that the influence of a translation … reduces to a relative contraction parallel to the direction of motion.” – (fr:7416) [“Lorentz è quindi indotto a supporre che l’influenza di una traslazione … si riduca a una contrazione relativa parallela alla direzione del moto.”]. L’asimmetria dei fenomeni elettromagnetici classici è segnalata dal fatto che “the mutual actions of a magnet and a current do not depend exclusively on their relative motion” – (fr:7417) [“le azioni mutue di una calamita e di una corrente non dipendono esclusivamente dal loro moto relativo”].

Il passaggio decisivo si compie con la ridefinizione del concetto di simultaneità. Sotto il titolo “DEFINITION OF SIMULTANEITY” – (fr:7420) [“Definizione di simultaneità”], si stabilisce una procedura operativa mediante segnali luminosi: “If a light-ray starts from A at the instant tA … and arrives at B at the instant tB … and is there reflected to return to A at the instant t’A … the clocks A and B will be said to be synchronous if …” – (fr:7421) [“Se un raggio di luce parte da A all’istante t_A … arriva in B all’istante t_B … e viene riflesso per tornare in A all’istante t’_A … gli orologi A e B saranno detti sincroni se …”]. Einstein enuncia i due principi (fr:7422) e mostra che, mentre la meccanica classica assume implicitamente che le due misure diano lo stesso risultato (fr:7424), la simultaneità perde il suo significato assoluto: “two events which are simultaneous in a given system are no longer so in a system in uniform translation with respect to the first” – (fr:7425) [“due eventi simultanei in un dato sistema non lo sono più in un sistema in traslazione uniforme rispetto al primo”]. Le relazioni tra i sistemi di coordinate sono lineari per omogeneità (fr:7426) e un calcolo basato sulla propagazione della luce in direzione perpendicolare alla traslazione fornisce “light … appears, when it is observed from the fixed system, to propagate itself with velocity v/ c² – v²” – (fr:7427) [“la luce … appare, osservata dal sistema fisso, propagarsi con velocità √(c² – v²)”] e porta alla trasformazione di Lorentz (fr:7428). L’arbitrarietà della funzione l(v) che figura nella trasformazione viene rimossa imponendo che le trasformazioni formino un gruppo: “he simplified Lorentz’s analysis by remarking that the function l(v) … must necessarily reduce to unity when the condition that these transformations form a group is imposed” – (fr:7450) [“egli semplificò l’analisi di Lorentz osservando che la funzione l(v) … deve necessariamente ridursi all’unità quando si impone che queste trasformazioni formino un gruppo”]. Di conseguenza “The dimensions of a sphere which is motionless in S’ … seem, viewed from S, to be contracted in the ratio …” – (fr:7430) [“Le dimensioni di una sfera immobile in S’ … sembrano, viste da S, contratte nel rapporto …”], ma restano inalterate nella direzione perpendicolare. La novità einsteiniana sta nel punto di vista: “what is essential is the novelty of the Einsteinian point of view” – (fr:7453) [“ciò che è essenziale è la novità del punto di vista einsteiniano”], che dissolve le asimmetrie classiche rendendo le forze elettromotrici e magnetomotrici semplici conseguenze della scelta del sistema di riferimento (fr:7454).

Il quadro si arricchisce con la geometrizzazione dello spazio-tempo operata da Minkowski, il cui lavoro fu presentato in una conferenza a Colonia nel settembre 1908 (fr:7438). La linea d’universo di una particella è definita dalle coordinate funzioni del tempo: “For each particle the coordinates x, y, z are functions of the time t, whence the existence of a worldline” – (fr:7437) [“Per ogni particella le coordinate x, y, z sono funzioni del tempo t, donde l’esistenza di una linea d’universo”]. La trasformazione di Lorentz viene identificata con una rotazione iperbolica di parametro v, e il gruppo Gc “this group leaves invariant the equation of the propagation of light waves in free space” – (fr:7440) [“questo gruppo lascia invariante l’equazione di propagazione delle onde luminose nello spazio libero”], fatto già riconosciuto da Voigt. Si introduce il tempo proprio “defined by cdτ = √(dt² – dx² – dy² – dz²)” – (fr:7444) [“definito da cdτ = √(dt² – dx² – dy² – dz²)”] e le componenti della forza si uniscono in un quadrivettore (fr:7445). La condizione che “d:y² – dz² > 0 or t’ < c” – (fr:7440) è essenziale per connettere causalmente gli eventi. La legge di composizione delle velocità si ottiene dalla formula di addizione delle tangenti iperboliche (fr:7465).

Sul piano sperimentale, il testo richiama l’esperimento di Michelson, rispetto al quale “Le Roux remarked that Michelson’s experiment, depending not on a simple light path but on a forward and backward path, only substantiated the waves of interference” – (fr:7448) [“Le Roux osservò che l’esperimento di Michelson, dipendendo non da un cammino luminoso semplice ma di andata e ritorno, si basava solo sulle onde di interferenza”]. L’ipotesi di un trascinamento parziale dell’etere è menzionata a proposito dell’esperimento di Fizeau: “The index of refraction of the fluid is n and its velocity (relative to the surface of the earth) is v. In the classical interpretation the phenomenon occurs as if the ether was partially carried along by the current” – (fr:7469) [“L’indice di rifrazione del fluido è n e la sua velocità (relativa alla superficie terrestre) è v. Nell’interpretazione classica il fenomeno avviene come se l’etere fosse parzialmente trascinato dalla corrente”]. La definizione di simultaneità e la contrazione delle lunghezze rimangono tuttavia “a matter of some delicacy” – (fr:7456) [“una questione alquanto delicata”], mentre i paradossi, come quello dei gemelli, non sono qui trattati (fr:7466): la dilatazione del tempo “A clock fixed in S … appears, from S’, to keep the time t’ which is dilated with respect to t in the ratio β” – (fr:7468) [“Un orologio fisso in S … appare, da S’, segnare il tempo t’ che è dilatato rispetto a t nel rapporto β”] viene interpretata come simmetrica e la doppia apparenza paradossale scompare per reciprocità, in contrasto con l’opinione di Eddington (fr:7468).

La relatività generale nasce dall’impossibilità di distinguere un campo gravitazionale da un moto accelerato. “A simple change of system of reference can therefore ‘create’ a field of gravitation” – (fr:7477) [“Un semplice cambio di sistema di riferimento può dunque ‘creare’ un campo di gravitazione”]. In un sistema ruotante S’ rispetto a S, la geometria euclidea non è più valida (fr:7480) e si giunge al risultato che “In the theory of generalised relativity the magnitudes of space and time cannot be defined in such a way that differences of coordinates are directly measurable by means of a unit measuring-rod, and so that differences of time are directly measurable by means of a standard clock” – (fr:7481) [“Nella teoria della relatività generalizzata le grandezze di spazio e tempo non possono essere definite in modo che le differenze di coordinate siano direttamente misurabili con un’asta campione e le differenze di tempo con un orologio campione”]. Non esiste un sistema di riferimento privilegiato (fr:7482) e l’elemento lineare ds esprime la metrica in coordinate arbitrarie (fr:7483). Einstein ebbe la fortuna di poter disporre dello strumento matematico del calcolo differenziale assoluto (fr:7484), con la consueta convenzione di sommatoria sugli indici muti (fr:7485). Le equazioni del moto di una particella libera in un campo gravitazionale (fr:7486) e il formalismo della derivazione covariante, introdotto attraverso i simboli di Christoffel e il differenziale covariante di un vettore (fr:7488, 7489), permettono di esprimere la curvatura dello spazio-tempo.

Nel caso di un campo debole e staticità, trascurando le derivate temporali rispetto a quelle spaziali (fr:7495), si ottiene un’approssimazione che collega la componente temporale della metrica al potenziale gravitazionale: “√g₄₄ = kε” – (fr:7496) [“√g₄₄ = kε”]. La soluzione per una massa singola assume la forma “g_{ik} = -δ_{ik} – α …” – (fr:7497) [“g_{ik} = -δ_{ik} – α …”]. Di conseguenza “the standard length placed radially appears contracted in the system of coordinates” – (fr:7498) [“la lunghezza campione disposta radialmente appare contratta nel sistema di coordinate”] e la traiettoria di un raggio di luce risulta incurvata (fr:7499).

La parte cosmologica affronta la possibilità di un universo chiuso. Dopo aver osservato che un campo gravitazionale non può essere eliminato con una scelta di coordinate (fr:7492), ci si chiede “Is it possible that celestial bodies can entirely disappear in this way?” – (fr:7501) [“È possibile che corpi celesti possano scomparire del tutto in questo modo?”]. Se la distribuzione di materia è irregolare localmente, si aggiunge una funzione φ supplementare (fr:7502). In un universo isolato, l’inerzia di una massa dovrebbe svanire (fr:7503). Il tensore di energia si riduce a uno scalare legato alla densità media costante ρ (fr:7504). L’ipotesi di uno spazio sferico tridimensionale (fr:7505) conduce a modificare le equazioni di campo con un termine cosmologico, analogo a quello suggerito da Einstein per l’equazione di Poisson: “it is necessary to modify these equations in the same way as that suggested by Einstein for Poisson’s equation” – (fr:7506) [“è necessario modificare queste equazioni allo stesso modo suggerito da Einstein per l’equazione di Poisson”]. Il calcolo fornisce il raggio R dell’universo sferico e la massa totale “M = 4π²R/k” – (fr:7507) [“M = 4π²R/k”].

Infine, il testo si volge al tentativo di unificare gravitazione ed elettricità attraverso la geometria. Il trasporto parallelo nel senso di Levi-Civita assume un ruolo fondamentale (fr:7508). La variazione del differenziale di una lunghezza introduce un tensore antisimmetrico F_{ik} che acquista significato assoluto sotto trasformazioni di gauge che moltiplicano i g_{ik} per un fattore λ: “The antisymmetrical tensor (9) thus acquires an absolute significance — that is, its components are not affected by a change of gauge” – (fr:7509) [“Il tensore antisimmetrico (9) acquista così un significato assoluto – le sue componenti non sono influenzate da un cambiamento di gauge”]. Quando i coefficienti φ_i si annullano, i simboli di Christoffel ordinari sono integrabili e la geometria ritorna riemanniana (fr:7509). Il tensore F_{ik} soddisfa infine le prime equazioni di Maxwell: “F_{ik}, which satisfies the first system of Maxwell’s equations ∂F_{ik}/∂x_l + ∂F_{kl}/∂x_i + ∂F_{li}/∂x_k = 0” – (fr:7510) [“F_{ik}, che soddisfa il primo sistema delle equazioni di Maxwell ∂F_{ik}/∂x_l + ∂F_{kl}/∂x_i + ∂F_{li}/∂x_k = 0”]. L’intero percorso mostra come la geometrizzazione della fisica, dalla relatività ristretta fino ai primi abbozzi di teoria unitaria, ridefinisca radicalmente i concetti di spazio, tempo e forza.

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32 Dall’etere alla covarianza universale: tappe e tensioni del principio di relatività

La relatività dissolve la nozione di quiete assoluta, unifica meccanica ed elettrodinamica e culmina in una sintesi geometrica dello spaziotempo e della gravitazione, passando per il superamento dell’etere e la generalizzazione del principio di relatività.

La riflessione prende le mosse dalla teoria elettromagnetica di Lorentz, che introduce il momento elettromagnetico ”Lorentz considers the electromagnetic momentum G= ~ (If 1 J 11) d7: where dT is the element of volume of the space x,y, z.” – (fr:7511) [Lorentz considera il momento elettromagnetico G = (1/c)∫[f, r] dτ, dove dτ è l’elemento di volume dello spazio x, y, z.] e riconosce che ”Both these masses are of an electromagnetic nature.” – (fr:7512) [Entrambe queste masse sono di natura elettromagnetica.] L’influenza di tale momento spiega il risultato dell’esperimento di Michelson, come già osservato: ”We have already seen that this influence explains the result of Michelson’s experiment.” – (fr:7513) [Abbiamo già visto che questa influenza spiega il risultato dell’esperimento di Michelson.] Tuttavia le difficoltà teoriche, insieme all’impossibilità di provare la traslazione istantanea della Terra rispetto al mezzo di propagazione della luce, conducono alla convinzione che ”no directly observable phenomenon can be connected with the notion of absolute rest.” – (fr:7514) [nessun fenomeno direttamente osservabile può essere collegato alla nozione di quiete assoluta.] L’ipotesi di un etere trascinato, pur spiegando il risultato di Michelson, ”would make it impossible to account satisfactorily for the phenomenon of aberration in terms of the wave theory.” – (fr:7543) [renderebbe impossibile spiegare in modo soddisfacente il fenomeno dell’aberrazione in termini della teoria ondulatoria.] Perciò Poincaré dichiara che l’ipotesi di Lorentz è ”the only one compatible with the impossibility of making absolute motion evident.” – (fr:7548) [la sola compatibile con l’impossibilità di rendere evidente il moto assoluto.] Ciononostante, ”Lorentz’s theory is not relativistic, in this sense that a system at absolute rest in relation to the ether continues to enjoy special properties there.” – (fr:7550) [La teoria di Lorentz non è relativistica, nel senso che un sistema in quiete assoluta rispetto all’etere continua a godere in essa di proprietà speciali.]

Einstein fonda la cinematica su una definizione di simultaneità: ”Einstein founds his kinematics on the following definition of simultaneity.” – (fr:7517) [Einstein fonda la sua cinematica sulla seguente definizione di simultaneità.] L’esperimento mentale che la precede ”involves a definition of simultaneity and a definition of time.” – (fr:7518) [comporta una definizione di simultaneità e una definizione di tempo.] Stabilito il principio di relatività, l’osservatore con il suo regolo si sposta con un’asta in moto; alle estremità A e B dell’asta sono posti due orologi sincroni con quelli del sistema fisso (cfr. fr:7521). Ponendo ξ = x – vt, a un insieme di valori (ξ, y, z) corrisponde un punto in quiete relativa in S’ (fr:7523). Imponendo che la velocità della luce misurata nel sistema mobile sia uguale a c, Einstein ricava la trasformazione di Lorentz. Dalla trasformazione deduce che un segmento di lunghezza l, misurato in S’ sull’asse O’y’, possiede in S una lunghezza φ(v)l e ”by reasons of symmetry, this result is independent of the sense of v and only depends on the magnitude of the velocity.” – (fr:7526) [per ragioni di simmetria questo risultato è indipendente dal verso di v e dipende solo dalla grandezza della velocità.] Da qui seguono la contrazione delle lunghezze e la composizione delle velocità.

In elettrodinamica Einstein parte dalle equazioni di Maxwell con corrente di convezione di velocità u, nella forma ”curl H = (1/c) (∂E/∂t + ρu) ; curl E = –(1/c) ∂H/∂t” – (fr:7531) [rot H = (1/c)(∂E/∂t + ρu); rot E = –(1/c) ∂H/∂t] e considera un elettrone in quiete relativa in S’ all’istante t’; quando il moto è accelerato, il sistema proprio (di Lorentz) cambia a ogni istante (fr:7532).

Minkowski reinterpreta geometricamente la teoria introducendo l’ipersuperficie “c² t² – x² – y² – z² = 1” – (fr:7534) [c² t² – x² – y² – z² = 1], composta di due falde separate da t = Ponendo u = ct, l’intersezione con il piano (x, u) si riduce a un ramo dell’iperbole equilatera u² – x² = 1 con u > 0 (fr:7535). ”From the figure it is seen that Q1 Q2 = l· OD’.” – (fr:7538) [Dalla figura si vede che Q1 Q2 = l· OD’.] Minkowski propone così il ”postulate of the absolute world or, briefly, world-postulate (Weltpostulat).” – (fr:7539) [postulato del mondo assoluto o, brevemente, postulato del mondo (Weltpostulat).] La linea di universo di una particella che tende a c per t → ±∞ ne è un esempio (fr:7540). La conseguenza filosofica è radicale: “space in itself, and time in itself, must from this moment fall into the background; only a kind of association of these two concepts keeps a proper individuality.” – (fr:7571) [lo spazio in sé e il tempo in sé devono da questo momento passare in secondo piano; solo una sorta di associazione di questi due concetti conserva una propria individualità.] In seguito, nel 1916, Einstein preciserà che in relatività ristretta, come nella meccanica classica, le coordinate di spazio e tempo possiedono un significato fisico diretto (fr:7572).

Sul piano operativo la velocità della luce può essere definita senza ricorrere allo spazio vuoto: “If it is not wished to use the word ‘space’ and the word ‘vacuum,’ c can be defined as being the ratio of the electromagnetic and electrostatic units of quantity of electricity.” – (fr:7536) [Se non si vogliono usare le parole “spazio” e “vuoto”, c può essere definito come il rapporto tra le unità elettromagnetica ed elettrostatica di quantità di elettricità.] Il concetto di corpo solido ha invece senso solo nella meccanica classica (gruppo G∞) (fr:7537). L’energia cinetica viene identificata con il prodotto di c per la componente u dell’impulso, portando all’espressione relativistica “m c² / √(1 – v²/c²)” – (fr:7542) [m c² / √(1 – v²/c²)].

Il principio di relatività ristretta ha un campo di validità delimitato. Diversi autori, basandosi sulla formulazione di Einstein, hanno sostenuto che qualunque coppia di sistemi in traslazione rettilinea uniforme fosse equivalente (fr:7554). Se la relatività venisse meno in elettromagnetismo, bisognerebbe ammettere un sistema privilegiato S₀ nel quale le leggi di natura sono più semplici (fr:7555) e la direzione del moto assumerebbe un significato particolare (fr:7556). Painlevé ha discusso a fondo la questione (fr:7557). Paradossi come la contrazione reciproca – “each one of the bodies in motion fancies that it is the other which suffers a contraction” – (fr:7565) [ciascuno dei corpi in moto crede che sia l’altro a subire la contrazione] – sono pseudo-paradossi perché esterni al dominio di validità della teoria di Lorentz-Einstein (fr:7564).

Nel tentativo di generalizzare la meccanica, Painlevé costruisce una meccanica compatibile con l’assioma copernicano di causalità, con l’assioma di simmetria e con la composizione delle forze, che coincide con la meccanica ordinaria quando f(v)ψ(v) = 1 (fr:7567). L’energia cinetica assume la forma T = mv²/2 + costante e la massa variabile m = m₀ + T/c² (fr:7570). L’obiezione del matematico, secondo cui si può sempre tornare a una massa costante modificando l’espressione della forza, viene messa da parte (fr:7569).

Il passaggio alla relatività generale scaturisce dalla constatazione che in un sistema accelerato – come un disco rotante in cui le origini coincidono permanentemente – l’interpretazione euclidea delle coordinate spaziali si rompe (fr:7577). Ogni misura si esprime mediante coincidenze di eventi localizzati nello spazio e nel tempo (fr:7578). Il principio di relatività generalizzata assume così la forma della covarianza universale: “The laws of nature must be expressed in such a way that they are equivalent for all systems of reference; that is, that they are covariant under any substitution of coordinates.” – (fr:7579) [Le leggi di natura devono essere espresse in modo tale da essere equivalenti per tutti i sistemi di riferimento; ossia, devono essere covarianti sotto qualunque sostituzione di coordinate.] Lo strumento matematico è il calcolo differenziale assoluto di Ricci e Levi-Civita (fr:7581), con l’introduzione dei coefficienti di Christoffel e del tensore metrico. Attraverso la contrazione del tensore di Riemann-Christoffel si giunge alle equazioni del campo gravitazionale nella forma “B_i^k – ½ δ_i^k B = – κ T_i^k” – (fr:7591) [B_i^k – ½ δ_i^k B = – κ T_i^k]. Dal limite newtoniano del potenziale si ricava la costante gravitazionale ordinaria κ (fr:7593). La deflessione della luce prevista è di circa 1,7” nelle vicinanze del Sole e di circa 0,02” vicino a Giove (fr:7596).

In cosmologia si pone il problema di un universo spazialmente chiuso (fr:7597). Lo si definisce mediante un’ipersfera in uno spazio euclideo quadridimensionale dσ² = dξ₁² + dξ₂² + dξ₃² + dξ₄², con ξ₁² + ξ₂² + ξ₃² + ξ₄² = R² (fr:7602). L’inerzia di una particella dipende dai g_ik, ma le differenze rispetto ai valori all’infinito sono minime, cosicché la materia lontana influenza ma non condiziona l’inerzia (fr:7600‑7601).

Infine, H. Weyl offre una sintesi matematica notevole della relatività in Raum, Zeit, Materie (fr:7604). Nella sua geometria, per spostamento parallelo a un vettore controvariante ξ^i in P corrisponde, in un punto infinitamente vicino P’, un vettore le cui componenti sono lineari nelle ξ^r e nei differenziali delle coordinate; la considerazione di un parallelogramma elementare impone la simmetria dei coefficienti di connessione. In questo contesto il prodotto scalare di due vettori controvarianti è definito solo a meno di un fattore arbitrario positivo, e la condizione necessaria e sufficiente affinché si conservi il trasporto metrico è che il tensore F_ik si annulli identicamente (fr:7605‑7606).

Il cammino tracciato mostra come, dalla critica dell’etere e dalla prima elettrodinamica di Lorentz, attraverso la relatività ristretta e la sua geometrizzazione minkowskiana, si sia giunti a una teoria della gravitazione fondata sulla covarianza generale e a ulteriori generalizzazioni unificatrici. Resta costante il rifiuto di un sistema privilegiato e la progressiva fusione dello spazio e del tempo in un’unica entità dinamica.

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33 L’unificazione relativistica: dall’elettrodinamica dei corpi in moto alla gravitazione generalizzata

Un percorso critico attraverso le tappe che, dalla teoria di Lorentz e dai postulati di Einstein, conducono alla sintesi geometrica dello spazio-tempo di Minkowski, alle equazioni di campo della relatività generale e ai tentativi di includere l’elettromagnetismo in una struttura unitaria.

Il testo ripercorre lo sviluppo della relatività ristretta e generale mettendone in luce snodi concettuali, debiti teorici e controversie interpretative. L’esposizione muove da un assetto elettrostatico in cui una grandezza energetica si riduce, «mediante l’uso delle forme invertite delle equazioni (C)», a un integrale del quadrato del campo elettrico “For an electrostatic system, and by the use of the inverted forms of the equations (C), this quantity reduces to …” – (fr:7608) [Per un sistema elettrostatico, e mediante l’uso delle forme invertite delle equazioni (C), questa quantità si riduce a …], mostrando come già in quel contesto si operi con densità di energia. Subito dopo si ricorda che “Lorentz assumes that the electron does not possess any other ‘real’ or ‘material’ mass.” – (fr:7609) [Lorentz assume che l’elettrone non possieda alcuna altra massa “reale” o “materiale”.], tesi che spiega anche “the negative result of the experiment attempted by Trouton and Noble” – (fr:7610) [il risultato negativo dell’esperimento tentato da Trouton e Noble], volto a rilevare una coppia orientatrice su un condensatore carico in moto rispetto alla Terra.

Einstein viene introdotto con l’intento di costruire “a new electrodynamics of bodies in motion which might be free of contradiction, as simple as possible, and compatible with the laws formulated by Maxwell for bodies at rest.” – (fr:7611) [una nuova elettrodinamica dei corpi in moto che sia priva di contraddizioni, la più semplice possibile e compatibile con le leggi formulate da Maxwell per i corpi in quiete.]. Si stabilisce un sistema di riferimento “fisso” in cui vale la meccanica newtoniana e un sistema in moto rettilineo uniforme con velocità V. Il tempo è definito mediante orologi stazionari sincronizzati: “The instant at which an event occurs is that which is measured, in the immediate neighbourhood of the point of space at which the event occurs, by a stationary clock which is synchronous with another stationary clock” – (fr:7615) [L’istante in cui un evento si verifica è quello misurato, nell’immediato intorno del punto dello spazio in cui l’evento accade, da un orologio stazionario sincrono con un altro orologio stazionario]. La velocità della luce nel vuoto è assunta come dato sperimentale.

Il principio di relatività è formulato in modo netto: “The laws which govern the physical phenomena are the same in two systems of reference actuated, one with respect to the other, by a rectilinear and uniform translation.” – (fr:7616) [Le leggi che governano i fenomeni fisici sono le stesse in due sistemi di riferimento animati, l’uno rispetto all’altro, da traslazione rettilinea e uniforme.]. La ricerca della trasformazione delle coordinate spazio-temporali porta a porre “We seek the relation which defines t’ as a function of (x, y, z, t).” – (fr:7620) [Cerchiamo la relazione che definisce t’ in funzione di (x, y, z, t).]. Raccogliendo risultati intermedi e ponendo β = 1/√(1–v²/c²) si giunge alla forma ridotta:

“The transformation of the coordinates of space and time therefore takes the reduced form x’ = β(x – vt), y’ = y, z’ = z, t’ = β(t – vx/c²).” – (fr:7623) [La trasformazione delle coordinate dello spazio e del tempo assume dunque la forma ridotta …].

A commento si osserva che “v > c has no physical meaning.” – (fr:7624) [v > c non ha significato fisico]. Einstein riparte dalle equazioni di Maxwell nel sistema fisso S e mostra come le quantità elettromagnetiche si trasformino, incarnando “the results of Lorentz’s electron theory” – (fr:7628) [i risultati della teoria elettronica di Lorentz]. Nel sistema proprio S’, per tempi prossimi a zero, postula la validità delle ordinarie equazioni della meccanica classica con massa propria m₀. In questo quadro calcola l’energia cinetica di un elettrone accelerato da una forza elettrostatica: “Finally, Einstein calculates the kinetic energy of an electron, initially at rest at the origin 0, which is displaced along the axis Ox under the action of an electrostatic force eEₓ. The energy taken from the electrostatic field is therefore ∫eEₓdx.” – (fr:7630) [Infine Einstein calcola l’energia cinetica di un elettrone, inizialmente in quiete nell’origine 0, spostato lungo l’asse Ox per azione di una forza elettrostatica eEₓ. L’energia prelevata dal campo elettrostatico è dunque ∫eEₓdx.].

Il contributo di Minkowski viene presentato a partire dalla ricerca delle trasformazioni lineari omogenee che lasciano invariante il “foglio” t>0. Si descrive un diagramma con un vettore OA’ che interseca l’iperbole e una tangente A’B’ limitata all’asintoto, mentre un calcolo fornisce “OD’ = OC √(1 – v²/c²)” – (fr:7635) con v/c = tan ψ. La distinzione tra vettori time-like e space-like è illustrata da un disegno richiamato nel testo (Fig. – fr:7636): un vettore OP dall’origine ha quattro componenti, e “A time-like vector is said to be a vector drawn from the origin towards the sheet (N).” – (fr:7637) [Un vettore di tipo tempo è un vettore tracciato dall’origine verso il foglio (N).]. Minkowski afferma un principio rilevante: la simultanea considerazione del gruppo Gc per l’ottica e del gruppo G∞ per la meccanica definirebbe una direzione privilegiata del tempo e consentirebbe di rivelare otticamente il moto terrestre; è proprio la fusione dei due gruppi a costituire il nocciolo geometrico della relatività ristretta. Minkowski giunge a ritenere “space-time is indissoluble” – (fr:7668) [lo spazio-tempo è indissolubile], anche se il testo avverte che “carried away by a very natural enthusiasm … had to some extent gone beyond the relativistic doctrine, which does not in any way forbid that an observer should reason and calculate, as in daily life, in terms of space and time.” – (fr:7669) [trascinato da un entusiasmo molto naturale … aveva in una certa misura oltrepassato la dottrina relativistica, la quale non vieta affatto a un osservatore di ragionare e calcolare, come nella vita quotidiana, in termini di spazio e di tempo.].

La sintesi matematica si avvale del passaggio alle coordinate immaginarie: “putting l = ict, the question can be reduced to the invariance of x² + y² + z² + l²; that is, to the consideration of imaginary rotations.” – (fr:7658) [ponendo l = ict, la questione può essere ridotta all’invarianza di x² + y² + z² + l²; vale a dire, alla considerazione di rotazioni immaginarie.].

Vengono poi discusse leggi di composizione delle velocità, ritrovando il risultato “In perfect agreement with Fizeau’s experiment” – (fr:7663) [in perfetto accordo con l’esperimento di Fizeau]. Si accenna all’interpretazione classica dell’aberrazione suggerita da P. Lenard, in cui “the isotropy of the wave of interference does not imply the isotropy of the progressive wave” – (fr:7642) [l’isotropia dell’onda di interferenza non implica l’isotropia dell’onda progressiva].

Il testo non tace le controversie. Si osserva che, per salvare la teoria di Lorentz, bisognerebbe introdurre “a special force … which will explain both the contraction and the constancy of two of the axes” – (fr:7645) [una forza speciale … che spieghi sia la contrazione sia la costanza di due assi]. E si aggiunge che “It would suffice perhaps to abandon this definition for the theory of Lorentz to be as completely upset as was Ptolemy’s system by the intervention of Copernicus.” – (fr:7646) [Forse basterebbe abbandonare questa definizione perché la teoria di Lorentz venisse sconvolta completamente come il sistema di Tolomeo dall’intervento di Copernico.]. La contrazione di Lorentz acquista qui un significato materiale, risultando dall’applicazione di una traslazione istantanea. Si parla dell’etere, e si menziona chi “with two ethers he explains the phenomena” – (fr:7649) [con due eteri spiega i fenomeni]. I critici accusano Einstein di aver adoperato orologi magici e regoli incantati per ritornare alla trasformazione di Lorentz; l’autore però non si unisce a tali lamentele, pur riconoscendo che “Numerous popularisers have lightly taken this step.” – (fr:7651) [Numerosi divulgatori hanno compiuto con leggerezza questo passo.].

Sul piano epistemologico, Einstein stesso dichiara che “it is better to confine oneself to establishing that the novelty introduced by Lorentz and Einstein in classical mechanics permits the successful inclusion of mechanics, optics and electromagnetism in one single synthesis agreeing with the experimental facts than to regard it as a necessary criterion for the selection of every natural law.” – (fr:7657) [è meglio limitarsi a constatare che la novità introdotta da Lorentz e da Einstein nella meccanica classica permette di includere con successo meccanica, ottica ed elettromagnetismo in un’unica sintesi in accordo con i fatti sperimentali, piuttosto che considerarla un criterio necessario per la selezione di ogni legge naturale.]. Painlevé, esposta la trasformazione del gruppo Gc, conclude: “Such is the principle of special relativity.” – (fr:7655) [Tale è il principio della relatività ristretta.], mentre la relatività poggia sullo stesso postulato di base della meccanica classica e dell’ottica di Fresnel, il “postulato di Keplero-Fresnel”.

La seconda parte del testo è dedicata alla relatività generale. Dopo l’enunciazione del principio di relatività generalizzata – “Einstein puts forward the following postulate, which he calls the principle of generalised relativity.” – (fr:7672) [Einstein avanza il seguente postulato, che chiama principio di relatività generalizzata.] – si mostra che in sistemi arbitrari le coordinate spazio-temporali “cannot have direct physical significance” – (fr:7673) [non possono avere significato fisico diretto] e che “it is also impossible to define a time which has a direct physical significance that could be measured by means of identical clocks at rest in S’.” – (fr:7674) [è anche impossibile definire un tempo dotato di significato fisico diretto che possa essere misurato per mezzo di orologi identici in quiete in S’.]. Le coordinate servono solo a descrivere coincidenze.

L’invariante fondamentale è il ds² in un sistema di riferimento qualunque. In assenza di materia l’equazione gravitazionale è Bᵢⱼ = 0; per passare al caso generale Einstein introduce il tensore energia “e₀ (dxⁱ/ds)(dxʲ/ds)” con densità propria ρ₀. Le dieci equazioni per le dieci quantità gᵢⱼ danno luogo, in prima approssimazione, a un ritorno alla teoria newtoniana, dove le gᵢⱼ giocano il ruolo del potenziale e si ottiene la costante di accoppiamento “k = 8πK/c²” – (fr:7690). L’effetto del campo gravitazionale su un campione posto tangenzialmente è nullo, mentre la domanda di Newton sulla “luce gravitante” trova risposta affermativa con un effetto doppio rispetto alla teoria classica: “Newton’s question on ‘gravitating light’ is answered in the affirmative, the effect being double that which follows from the classical theory.” – (fr:7693).

Seguono le difficoltà delle condizioni al contorno: se il potenziale tende a un limite finito all’infinito, un corpo di massa finita può allontanarsi indefinitamente. Einstein considera due alternative – riduzione euclidea all’infinito oppure, con de Sitter, nessuna imposizione a priori – e si scontra con obiezioni di meccanica statistica analoghe al caso newtoniano. Le equazioni del moto di una particella libera in campo gravitazionale sono le geodetiche “d²xⁱ/ds² + Γⁱ₍μν₎ (dx^μ/ds)(dxν/ds) = 0” – (fr:7698). Viene quindi descritto il modello cosmologico di de Sitter: un ipersfera a quattro dimensioni euclidee di raggio R usata come mezzo per definire il continuo sferico; le equazioni di campo sono soddisfatte per “k g = – λ” – (fr:7700) introducendo la costante cosmologica.

L’ultima parte si concentra sulla teoria unificata di Weyl. Analizzando l’articolo del 1918, si definisce lo spostamento parallelo di un vettore, la cui derivata covariante nulla ne caratterizza il trasporto, e si mostra come il prodotto scalare vari in tale trasporto: “In the parallel displacement of each of the two vectors from P to P’ the scalar product becomes …” – (fr:7702). Weyl propone di interpretare le φᵢ come le quattro componenti del potenziale elettromagnetico: “Weyl then proposes to interpret the φᵢ as the four components of the electromagnetic potential, the vanishing of the electromagnetic field leading back to Einstein’s theory, in which only gravitation occurs.” – (fr:7703) [Weyl propone quindi di interpretare le φᵢ come le quattro componenti del potenziale elettromagnetico; l’annullarsi del campo elettromagnetico riconduce alla teoria di Einstein, in cui figura soltanto la gravitazione.].

Tra i paradossi discussi compare quello del viaggiatore interstellare, risolto assumento che “during these three phases the traveller became older by 98 years in the whole” – (fr:7661) [durante queste tre fasi il viaggiatore invecchiò in tutto di 98 anni], e l’immagine dei Lillipuziani e Gulliver che si vedono reciprocamente rimpiccioliti, efficace illustrazione della contrazione reciproca delle lunghezze. La relatività ristretta e generale emergono così non come dogmi, ma come sintesi progressive che, dalla massa elettromagnetica di Lorentz fino alla geometrizzazione della gravitazione e ai tentativi di includere l’elettromagnetismo, hanno ridisegnato il rapporto tra spazio, tempo e materia.

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34 Dall’etere alla curvatura dello spaziotempo: il cammino della relatività

Il superamento del concetto di etere, la formulazione della covarianza lorentziana e la costruzione di una dinamica gravitazionale geometrica segnano i passaggi cruciali di un testo che ripercorre criticamente la genesi e le implicazioni della teoria della relatività ristretta e generale.

Il resoconto segue lo sviluppo storico e concettuale della relatività quale emerge dal testo. In apertura si discutono i modelli di elettrone e gli esperimenti sulla variazione della massa con la velocità. La legge di Lorentz risultava compatibile con i dati di Kaufmann, benché la precisione non consentisse di escludere le previsioni di Abraham:

“Finally the law of the variation of the mass of the electron introduced hy Lorentz is in agreement with the experiments, carried out by Kaufmann, on the deflection of fJ-rays in an electric or magnetic field, although the accuracy of these experiments does not allow the rejection of the ’values predicted by Abraham.” – (fr:7706) [Infine, la legge della variazione della massa dell’elettrone introdotta da Lorentz concorda con gli esperimenti condotti da Kaufmann sulla deflessione dei raggi β in un campo elettrico o magnetico, sebbene l’accuratezza di questi esperimenti non permetta di respingere i valori predetti da Abraham.]

L’abbandono dell’etere è esplicitamente dichiarato: la teoria einsteiniana rende superfluo un mezzo che funga da supporto delle vibrazioni luminose, poiché nessuna proprietà privilegia un sistema di riferimento in quiete assoluta.

“In such a theory the consideration of an ether-the medium or the support of the vibrations of light-becolnes superfluous (uberf(ijssig), for no special property arises to characterise a reference system which would be at absolute rest with respect to such a medium.” – (fr:7707) [In una tale teoria la considerazione di un etere – il mezzo o il supporto delle vibrazioni della luce – diviene superflua, poiché nessuna proprietà speciale emerge a caratterizzare un sistema di riferimento che sarebbe in quiete assoluta rispetto a tale mezzo.]

L’atteggiamento di chi moltiplicava gli eteri pur di non rinunciare al mito è liquidato con ironia:

“Rather than give up a myth, he preferred to multiply it.” – (fr:7745) [Piuttosto che abbandonare un mito, preferì moltiplicarlo.]

La contrazione di Lorentz viene descritta come un dono immotivato: “Lorentz’s hypothesis seems’ iiusserst phantastisch, fo~ the contraction is not caused by the ether but is a pure gift from t~e gods….” – (fr:7730) [L’ipotesi di Lorentz sembra estremamente fantastica, poiché la contrazione non è causata dall’etere ma è un puro dono degli dèi.]

Elemento peculiare è la pressione costante invocata da Poincaré per stabilizzare l’elettrone deformabile, il cui lavoro è proporzionale alle variazioni di volume:

“I have found that this force can be assimilated to a constant external pressure acting on the deformable and compressible electron and whose work is proportional to the variations in volume of this electron.” – (fr:7741) [Ho trovato che questa forza può essere assimilata a una pressione esterna costante che agisce sull’elettrone deformabile e comprimibile e il cui lavoro è proporzionale alle variazioni di volume di questo elettrone.]

La costruzione operativa del tempo e della simultaneità è affidata a orologi sincronizzati e alla costanza della velocità della luce. Due sistemi di riferimento inerziali S e S′ sono introdotti, uno fisso e uno in moto rettilineo uniforme. La trasformazione di Lorentz, citata in forma compatta, preserva la forma delle equazioni di Maxwell e stabilisce una perfetta simmetria fra i sistemi:

“Thus Einst~in arrives at a perfect symmetry between the systems S and S’.” – (fr:7724) [Così Einstein perviene a una perfetta simmetria tra i sistemi S e S′.]

Tale simmetria è riaffermata: “On the contrary, there is perfect symmetry between two systems of reference, like S and Sf, in Einstein’s theory.” – (fr:7743) [Al contrario, nella teoria di Einstein esiste una simmetria perfetta tra due sistemi di riferimento, come S e S′.]

Il principio di relatività è formulato in termini di covarianza:

“Every law of nature must be so formulated that it is expressed in the same formal terms when, by means of a Lorentz transformation, the variables (x, y, z., t) of a system S are replaced by the variables (x’, y’, z’, t’) of a system S’.” – (fr:7752) [Ogni legge di natura deve essere formulata in modo che sia espressa negli stessi termini formali quando, mediante una trasformazione di Lorentz, le variabili (x, y, z, t) di un sistema S sono sostituite dalle variabili (x′, y′, z′, t′) di un sistema S′.]

Un fallimento precedente costituisce un forte argomento a favore del nuovo principio: “This failure is a ~trong argument in favour of the adoption of a new principle of relativity.” – (fr:7749) [Questo fallimento è un forte argomento a favore dell’adozione di un nuovo principio di relatività.]

Tra le conseguenze, la contrazione delle lunghezze e il rallentamento degli orologi in movimento portano a paradossi come quello dei gemelli e del disco rotante. Il paradosso del proiettile relativista è esposto con un esempio numerico:

“Supposed being launched in a bullet with a speed inferior by a twenty thousandth part to the speed c, he comes hack to the Earth growing older only by one year in going and one year in returning, while the inhabitants of the Earth are older by hundred years.” – (fr:7756) [Supponendo di essere lanciato in un proiettile a una velocità inferiore di un ventimillesimo alla velocità c, si torna sulla Terra invecchiando di un solo anno all’andata e un anno al ritorno, mentre gli abitanti della Terra sono invecchiati di cento anni.]

Tali asimmetrie esulano però dalla relatività ristretta pura, giacché coinvolgono accelerazioni:

“…the paradoxes of which we have spoken above are characterised by obvious asymmetries which are outside the scope of special relativity, whose very principle is that of the indistinguishability of two galilean frames of reference with respect to any mechanical or electrodynamical phenomenon.” – (fr:7758) […i paradossi di cui abbiamo parlato sopra sono caratterizzati da ovvie asimmetrie che esulano dall’ambito della relatività ristretta, il cui principio stesso è l’indistinguibilità di due sistemi di riferimento galileiani rispetto a qualsiasi fenomeno meccanico o elettrodinamico.]

Lo spazio-tempo di Minkowski viene introdotto con le linee di universo e la distinzione tra vettori di tipo tempo e di tipo spazio. La rappresentazione delle trasformazioni di Lorentz è data attraverso la rapidità e un parametro caratteristico calcolato con il birapporto su una sfera Σ:

“If P is a point inside Σ and the vector OP = … the passage from the frame of reference S to the frame of reference defined by P will be characterised by the argument v = tanh θ or θ = -1/2 log (M, M’, O, P) where M and M’ are the two points at which the line OP cuts the sphere Σ.” – (fr:7755) [Se P è un punto interno a Σ e il vettore OP = …, il passaggio dal sistema di riferimento S al sistema definito da P sarà caratterizzato dall’argomento v = tanh θ ovvero θ = -1/2 log (M, M′, O, P) dove M e M′ sono i due punti in cui la retta OP interseca la sfera Σ.]

Un richiamo alla dinamica a massa variabile di Painlevé mostra come già nel 1890 fosse possibile generalizzare la meccanica includendo la relatività ristretta come caso particolare, mantenendo il principio di azione e reazione. La discussione verte sulla scelta se complicare la legge della forza o la legge di massa: “But, from the physical point of view, it is not a matter of indifference whether it is the law of force or the law of mass which is made more complicated.” – (fr:7762) [Ma, dal punto di vista fisico, non è indifferente se si renda più complicata la legge della forza o la legge della massa.]

L’analisi prosegue con l’inquadramento storico della relatività generale. Einstein è guidato dall’analisi di domande semplici, tra cui il quesito newtoniano se i corpi agiscano a distanza sulla luce, citato dall’Opticks: “Indeed, in his Opticks, NEWTON wrote, ‘Might not bodies act at a distance on light?’” – (fr:7767) [Infatti, nel suo Opticks, Newton scrisse: “Non potrebbero i corpi agire a distanza sulla luce?”]

Il principio di general covarianza è enunciato: “The laws of nature must be such that they are valid in an arbitrary system of reference.” – (fr:7768) [Le leggi di natura devono essere tali da valere in un sistema di riferimento arbitrario.]

L’invariante fondamentale è la forma quadratica ds² = g_ik dx^i dx^k, i cui coefficienti g_ik caratterizzano il campo gravitazionale. La traiettoria di una particella libera in un campo gravitazionale è una geodetica, anche quando non esiste un sistema in cui valga globalmente la relatività ristretta; se i simboli di Christoffel si annullano, il moto è rettilineo uniforme:

“if the {μν} vanish, the particle moves uniformly along a straight line.” – (fr:7777) [se i {μν} si annullano, la particella si muove uniformemente lungo una linea retta.]

La conservazione dell’energia-impulso è espressa dalla divergenza covariante nulla del tensore misto: “By analogy with the conservation of energy in the classical field, it is natural to assign a zero divergence to the mixed tensor T{; that to write T{j == o.” – (fr:7783) [Per analogia con la conservazione dell’energia nel campo classico, è naturale assegnare divergenza nulla al tensore misto, scrivendo T_i^j = ]

Nella trattazione delle misure in campo gravitazionale statico, l’elemento temporale g₄₄ è legato al potenziale newtoniano, e il calcolo dell’avanzamento del perielio planetario richiede approssimazioni superiori, come fatto da Schwarzschild. La questione delle condizioni al contorno porta Einstein a rifiutare l’atteggiamento di rinuncia e a postulare un universo spazialmente chiuso:

“This is why, after all these detours, Einstein is led to postulate the existence of a spatially closed universe (raumlich geschlossene Welt) such a kind that there is no need to suppose conditions at the limits.” – (fr:7793) [Ecco perché, dopo tutte queste deviazioni, Einstein è condotto a postulare l’esistenza di un universo spazialmente chiuso, tale che non vi sia bisogno di supporre condizioni al limite.]

La scelta di una condizione sulle coordinate che riduca l’arbitrarietà è qualificata come “ein Minimum von Willkür” (un minimo di arbitrarietà). Infine, il testo accenna ai primi tentativi di una teoria unitaria della gravitazione e dell’elettricità:

“In this, for the first time, the author lays the foundations of a unitary theory of gravitation and electricity.” – (fr:7797) [In questo, per la prima volta, l’autore pone le fondamenta di una teoria unitaria della gravitazione e dell’elettricità.]

Nel complesso, il testo intreccia in modo organico le tappe sperimentali, i dibattiti teorici e gli sviluppi formali che hanno condotto dalla crisi dell’etere alla struttura dello spaziotempo curvo e alle speculazioni cosmologiche, offrendo una testimonianza densa e criticamente attenta della nascita e della maturazione della fisica relativistica.

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[23.1-89-8043|8131]

35 Dalla quantizzazione di Planck alla struttura fine dell’atomo di Bohr-Sommerfeld

Lo spettro dell’idrogeno e le nuove regole di quantizzazione per sistemi a più gradi di libertà conducono al modello relativistico e al principio di corrispondenza, mentre si ricostruisce l’origine della relazione di Planck.

Il confronto fra lo spettro dell’idrogeno e quello dell’elio ionizzato offrì uno dei primi banchi di prova per la teoria dei quanti. Entrambi i sistemi contengono un solo elettrone, ma la carica nucleare dell’elio è doppia. “The spectrum of hydrogen can be compared with that of ionised helium (E == 2e), which also contains no more than a single electron” – (fr:8047) [Lo spettro dell’idrogeno può essere confrontato con quello dell’elio ionizzato (E = 2e), il quale anch’esso contiene un solo elettrone]. Le diverse serie spettrali occupano regioni differenti: “the other series lie in the far infra‑red” – (fr:8043) [le altre serie giacciono nel lontano infrarosso], mentre “the series n2 == 1 lies in the far ultra‑violet” – (fr:8048) [la serie con n₂ = 1 si trova nell’ultravioletto lontano]. La serie con n₂ = 3 fu osservata da Fowler, Evans e Paschen fra il 1912 e il 1916 e si sdoppia a seconda che n₁ sia pari o dispari.

Il primo modello atomico di Bohr supponeva il nucleo immobile, trascurando il rapporto fra la massa dell’elettrone e quella del nucleo. “The first model supposes the nucleus to be at rest or, alternatively, neglects the ratio of the mass of the electron to that of the nucleus” – (fr:8051) [Il primo modello suppone il nucleo a riposo, ovvero trascura il rapporto tra la massa dell’elettrone e quella del nucleo]. Come mostrò lo stesso Bohr, ciò conduce semplicemente a moltiplicare la costante di Rydberg per un fattore correttivo, permettendo di determinare il rapporto delle masse nel caso dell’idrogeno proprio confrontando gli spettri di idrogeno ed elio.

L’estensione della teoria a sistemi con più gradi di libertà passò attraverso la condizione di quantizzazione degli integrali di fase. Nel suo primo lavoro Bohr aveva stabilito un teorema che imponeva per ogni elettrone la condizione 2T = nh. Partendo dal punto di vista dell’«atomicità dell’energia», “Planck himself studied the structure of phase‑space (Phasenraum), or the space of the variables q_k, p_k” – (fr:8066) [Planck stesso studiò la struttura dello spazio delle fasi (Phasenraum), ossia lo spazio delle variabili q_k, p_k]. Per l’oscillatore piano, di massa m, frequenza ν e ampiezza a, con q = a sin 2πνt e p = 2πνam cos 2πνt, la traiettoria del punto rappresentativo nel piano (q, p) è un segmento parallelo all’asse q compreso fra q = ±π. Dalla serie continua dei segmenti si sceglie una serie discreta p_n tale che l’area compresa fra p_n e p_{n+1} eguagli la costante di Planck: 2π(p_{n+1} − p_n) = h, da cui 2π p_n = nh. Planck, Epstein e Schwarzschild svilupparono sistematicamente il metodo per tutti i problemi classici in cui l’equazione di Jacobi ammette separazione delle variabili. “Sommerfeld writes, ‘This necessary condition has the effect of distinguishing from the continuous ensemble of possible mechanical motions, a discrete infinity of motions that are possible in the quantum sense’” – (fr:8079) [Sommerfeld scrive: “Questa condizione necessaria ha l’effetto di distinguere, dall’insieme continuo dei moti meccanici possibili, un’infinità discreta di moti che sono possibili nel senso quantistico”], affermazione accompagnata da un riferimento a una figura (p q –9r Fig.).

In questo formalismo l’integrale di fase per ogni grado di libertà viene preso sull’intero periodo della variabile corrispondente, indicato con il simbolo ∮. Se la coordinata è ciclica, può variare da −π a π. Gli integrali di fase J_k sono funzioni dell’energia W e delle costanti del moto; tramite una trasformazione di contatto si introducono le coordinate angolari w_k e i momenti J_k, rispetto ai quali le variabili q_k sono periodiche di periodo unitario. Il sistema viene allora detto “quasi‑periodic” – (fr:8090) [quasi‑periodico] e, se esistono relazioni lineari omogenee a coefficienti interi tra le frequenze meccaniche ν_k, “degenerate” – (fr:8091) [degenere]. Le coordinate che permettono la separazione soddisfano un criterio geometrico semplice: se la traiettoria viene variata modificando le costanti di integrazione, essa continua a essere contenuta in una regione delimitata da ipersfere di n−1 dimensioni. Una proprietà matematicamente cruciale degli integrali di fase è l’invarianza adiabatica: “if the parameters which specify the strength of an external force‑field applied to the system vary by an infinitesimal amount, the corresponding first order variation of a phase integral is zero” – (fr:8097) [se i parametri che specificano l’intensità di un campo di forza esterno applicato al sistema variano di una quantità infinitesima, la corrispondente variazione del primo ordine di un integrale di fase è zero].

L’applicazione più spettacolare di queste regole fu il trattamento relativistico dell’atomo con un solo elettrone. Già nel 1915 Bohr aveva suggerito di interpretare i doppietti dello spettro dell’idrogeno come un effetto dell’ordine v²/c², ma limitandosi a orbite ellittiche di piccolissima eccentricità. Lo sviluppo sistematico si deve a Sommerfeld, che utilizzò la generalizzazione relativistica dell’equazione classica di Jacobi in coordinate polari. L’equazione si separa immediatamente; l’integrale radiale J_r = ∮ ∂S/∂r dr = n′h viene calcolato nel piano complesso con il metodo dei residui. Si ottiene un’espressione dell’energia che contiene due correzioni. La prima, comune a orbite circolari ed ellittiche, dipende dal termine (1/4) α²R Z⁴/(n+n′)³; la seconda è responsabile della struttura fine delle righe. Il testo riporta la tabella con la separazione dei doppietti del termine n=2 della serie di Balmer: per Hα 306 (Fabry e Buisson), per Hβ 272, per Hγ 283 e ancora per Hγ 271 (Gehrke e Lau), sottolineando la difficoltà sperimentale dovuta alla incompletezza delle righe dell’idrogeno.

La dinamica dei modelli di Bohr segna un distacco manifesto dalla dinamica classica, dove ogni accelerazione produce radiazione. Già nel 1914 Bohr cercò di tracciare un collegamento con l’elettromagnetismo ordinario e il successivo principio di corrispondenza assunse un’importanza del tutto speciale. Nella teoria classica le frequenze meccaniche e le frequenze combinate sono tutte frequenze ottiche del sistema; al limite di grandi numeri quantici, la frequenza ottica calcolata secondo le regole di Bohr tende a coincidere con la frequenza combinata classica: “the optical frequency in Bohr’s interpretation agrees, in the limit, with the combined frequency (mechanical or optical) in the sense of the classical theory” – (fr:8122) [la frequenza ottica nell’interpretazione di Bohr concorda, al limite, con la frequenza combinata (meccanica o ottica) nel senso della teoria classica].

Il testo si chiude tornando all’origine della relazione universale di Planck. Partendo dalla distribuzione spettrale di Wien del 1896, Planck la trasformò in una relazione tra l’entropia S e l’energia W del risonatore, in cui il reciproco della derivata seconda R = −(d²S/dW²)⁻¹ risultava proporzionale all’energia. Gli esperimenti di Lummer e Pringsheim e quelli successivi di Rubens e Kurlbaum (1900) mostrarono però che nella regione delle grandi lunghezze d’onda R era proporzionale al quadrato dell’energia. Seguendo le idee di Boltzmann, Planck interpretò l’entropia come misura della probabilità e calcolò la distribuzione spettrale di un sistema di molti risonatori, giungendo alla conclusione che l’energia di un risonatore di frequenza ν è necessariamente un multiplo del quanto elementare ε = hν. “The energy of a resonator of frequency ν is necessarily a multiple of the quantum ε == hν, where h is a universal constant having the dimensions of action and the numerical value of 55·10⁻²⁷ erg.” – (fr:8131) [L’energia di un risonatore di frequenza ν è necessariamente un multiplo del quanto ε = hν, dove h è una costante universale avente le dimensioni di un’azione e il valore numerico di 6,55·10⁻²⁷ erg.]

[23.2-88-8132|8219]

36 Dalle orbite di Bohr alle condizioni quantiche: sviluppi e fondamenti della vecchia teoria dei quanti

Il passaggio dal primo modello atomico di Bohr a una teoria quantistica generale passò attraverso la generalizzazione delle condizioni quantiche, l’introduzione degli integrali di fase e il principio di corrispondenza, culminando nella spiegazione della struttura fine e nella presa di coscienza dell’atomicità dell’energia.

Il testo ripercorre alcune tappe cruciali della fisica atomica dei primi decenni del Novecento, a partire da osservazioni spettroscopiche e dalla prima estensione del modello di Bohr. Vengono citate misure sperimentali: “Some lines of the series n == 2 were observed by Lyman.” – (fr:8137) [Alcune linee della serie n=2 furono osservate da Lyman.]; mentre la serie con n=4 si sdoppia nella serie di Balmer e in una serie già individuata da Pickering nello spettro di una stella nel

Per affinare il modello, il testo ricorda come si tenne conto del moto nucleare: “In order to take account of the motion of the nucleus it suffices to consider the motion of the system of the electron and the nucleus about its centre of gravity.” – (fr:8140) [Per tener conto del moto del nucleo è sufficiente considerare il moto del sistema elettrone-nucleo attorno al suo centro di massa.]. Il risultato ottenuto è “about 1/1840, in perfect agreement with Millikan’s direct determination.” – (fr:8141) [circa 1/1840, in perfetto accordo con la determinazione diretta di Millikan.].

La sezione intitolata “GENERALISATION OF THE FIRST MODEL – THE ‘QUANTUM CONDITIONS’” – (fr:8142) [Generalizzazione del primo modello – le ‘condizioni quantiche’] chiarisce subito il limite di partenza: “Bohr’s first model does not immediately lend itself to an extension to more complicated mechanical systems.” – (fr:8143) [Il primo modello di Bohr non si presta immediatamente a un’estensione a sistemi meccanici più complicati.]. Il punto di svolta è offerto da una proprietà dinamica dei sistemi a nuclei fissi con elettroni in orbite circolari a velocità piccole rispetto a c: “the kinetic energy is equal, apart from sign, to half the potential energy.” – (fr:8144-8147) [l’energia cinetica è uguale, a parte il segno, alla metà dell’energia potenziale.]. Ispirandosi a questo risultato, “W. Wilson established the quantum conditions for a conservative system of n degrees of freedom.” – (fr:8148) [W. Wilson stabilì le condizioni quantiche per un sistema conservativo a n gradi di libertà.], esprimendo l’energia cinetica in forma separabile nelle coordinate di Lagrange e associando a ogni grado di libertà un periodo ben determinato. La condizione di quantizzazione assume allora la forma di un integrale di fase uguale a un multiplo intero della costante di Planck, come esplicitamente affermato: “he supposes n quantum conditions of the form … (nk’ integer; k == 1, 2 …)” – (fr:8151) [egli suppone n condizioni quantiche della forma … (n_k intero; k = 1, 2 …)].

Lo sviluppo della teoria divenne rapidamente un’impresa collettiva, coinvolgendo “Epstein, Schwarzschild and Sommerfeld” – (fr:8155). Il testo illustra il procedimento attraverso l’oscillatore lineare, rappresentato nel piano delle fasi da un’ellisse. Al variare dell’energia si ottiene una famiglia di ellissi simili; l’area compresa tra due ellissi consecutive è pari alla costante di Planck, e “the area of the nth trajectory is equal to nh, or ∫∫ dpdq = ∫ pdq = nh” – (fr:8160) [l’area della traiettoria n-esima è uguale a n h, ovvero ∮ p dq = n h.]. In questo modo “Wilson’s condition is retrieved – the phase integral (calculated over a period) is an integral multiple of Planck’s constant.” – (fr:8167) [la condizione di Wilson è ritrovata – l’integrale di fase (calcolato su un periodo) è un multiplo intero della costante di Planck.]. Applicando lo stesso formalismo all’oscillatore piano si ritorna alla condizione originaria di Bohr con l’energia W_n = n h ω /

La generalizzazione prevede di formare un integrale di fase J_k = ∮ p_k dq_k per ogni grado di libertà. Se la coordinata q_k è una coordinata polare compresa tra due radici consecutive di una funzione f_k(q_k)=0, la variazione va da r_min a r_max e ritorna. Il formalismo hamiltoniano porta a variabili angolari w_k che sono funzioni lineari del tempo, mentre le coordinate q_k sono sviluppabili in serie di Fourier multipla.

Nei sistemi degeneri esistono più sistemi di variabili separabili, come nel “Kepler problem of a test body (a non-relativistic electron describing an elliptical trajectory about a fixed nucleus).” – (fr:8181) [problema di Keplero di un corpo di prova (un elettrone non relativistico che descrive una traiettoria ellittica attorno a un nucleo fisso).]. Le diverse scelte non danno le stesse traiettorie ma conducono agli stessi valori dell’energia quantizzata. La degenerazione viene rimossa introducendo un campo elettrico esterno – l’effetto Stark studiato da Epstein – oppure considerando la variazione della massa con la velocità, problema affrontato da Sommerfeld per l’elettrone relativistico. L’invarianza delle condizioni quantiche rispetto alla scelta delle variabili che permettono la separazione dell’equazione di Jacobi fu studiata da Ehrenfest e Burgers.

L’esempio applicativo per eccellenza è la teoria della struttura fine. Sommerfeld introduce la costante di struttura fine α e sviluppa l’energia quantizzata in serie, ottenendo la frequenza emessa. La correzione relativistica consta di due contributi. Per il primo termine della serie di Balmer dell’idrogeno (n + n’ = 2), “this correction represents a fraction of about 3×10^-6 of the corresponding term of the classical Keplerian problem” – (fr:8200) [questa correzione rappresenta una frazione di circa 3×10^-6 del termine corrispondente del problema kepleriano classico]. Il secondo termine correttivo, che dipende separatamente da n e n’ e varia con l’eccentricità dell’orbita, dà un rapporto di circa 1,3×10^-5. Il libro di Sommerfeld “Atombau und Spektrallinien” discute ampiamente doppietti, tripletti, quartetti e quintetti spettrali e il confronto con i dati. Le misure di Δν per le righe dell’idrogeno (Hα, Hβ, Hγ) mostrano valori osservati come 0,32 e 0,33 da Michelson, 0,288 da Meissner e Paschen, fino al valore indiretto di Paschen di 0,3645 per l’idrogeno, “in perfect agreement with the theory.” – (fr:8204) [in perfetto accordo con la teoria.].

Il testo introduce poi il “BOHR’S CORRESPONDENCE PRINCIPLE.” – (fr:8205) [Principio di corrispondenza di Bohr.]. La divergenza fondamentale rispetto all’elettrodinamica classica è che “Bohr’s electron does not radiate as long as it describes a stationary trajectory, but only when it jumps from one stationary trajectory to another.” – (fr:8206) [l’elettrone di Bohr non irraggia finché descrive una traiettoria stazionaria, ma solo quando salta da una traiettoria stazionaria a un’altra.]. L’accordo asintotico con l’elettrodinamica classica viene raggiunto per transizioni tra stati con grandi numeri quantici, ovvero nel limite delle vibrazioni lente. Il principio di corrispondenza non solo introdusse nella teoria quantistica la polarizzazione e l’intensità, ma fu anche il fondamento del lavoro di Heisenberg del 1925 da cui nacque la meccanica quantistica. Considerando un sistema quasi periodico a r gradi di libertà con frequenze meccaniche combinate, “If the quantum numbers n_i’ and n_i’’ are large compared with their differences n_i’ - n_i’’, it is possible to make the approximation … that the mechanical frequencies remain constant.” – (fr:8210) [Se i numeri quantici n_i’ e n_i’’ sono grandi rispetto alle loro differenze, è possibile fare l’approssimazione … che le frequenze meccaniche rimangano costanti.]. Ed è “in this asymptotic agreement that the principle of correspondence resides.” – (fr:8211) [in questo accordo asintotico che risiede il principio di corrispondenza.].

Nella parte finale dedicata all’analisi e all’interpretazione, il testo riconosce la relazione di frequenza di Planck come dato fondante. Si richiama il problema del corpo nero: Kirchhoff aveva mostrato l’indipendenza della radiazione di cavità dalla natura dei corpi. Planck, utilizzando il concetto hertziano di oscillatore lineare, giunse a una relazione tra energia del risonatore e spettro di radiazione, R = -bW, e quindi a una formula che unificava i dati sperimentali. Integrando con la definizione di entropia si ottiene la relazione tra temperatura ed energia “W = be / (e^{b/T} - 1)”. Il calcolo condusse a un’espressione dell’entropia identica a quella richiesta, ma “it was necessary, however, to assume – in obvious departure from the classical ideas – that there was an atomicity of energy.” – (fr:8219) [fu necessario tuttavia assumere – in evidente allontanamento dalle idee classiche – che vi fosse un’atomicità dell’energia.]. Questo passaggio sancisce la rottura definitiva con la fisica classica e insieme il punto di partenza dell’intera dinamica dei quanti sviluppata da Bohr, Sommerfeld e Heisenberg.

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[24.1-99-8333|8431]

37 Dalla dualità onda-corpuscolo alla sintesi tra meccanica ondulatoria e meccanica delle matrici

Le tappe che tra il 1923 e il 1925 condussero dalla vecchia teoria dei quanti alla moderna meccanica quantistica, attraverso l’ipotesi delle onde di materia, l’equazione di Schrödinger e il formalismo algebrico di Heisenberg e Dirac, fino alla dimostrazione della loro equivalenza.

Il testo ripercorre il crogiolo di idee sperimentali e teoriche da cui emerse la meccanica quantistica. La spinta iniziale venne dalla necessità, già avvertita nella teoria della luce, di estendere l’ambivalenza corpuscoli‑onde anche alla materia. Louis de Broglie lo espresse con chiarezza: “The theory of light was suffering from a strange illness, which took the form of an antagonistic dualism between the waves of Fresnel and Maxwell, on the one hand, and photons, on the other.” – (fr:8373) [“La teoria della luce soffriva di una strana malattia, che prendeva la forma di un dualismo antagonistico tra le onde di Fresnel e Maxwell, da un lato, e i fotoni, dall’altro.”] Di fronte a una materia che mostrava sintomi analoghi, “thus appeared the idea of extending to matter the corpuscles-waves duality which was essential for light” – (fr:8375) [“così apparve l’idea di estendere alla materia la dualità corpuscoli‑onde che era essenziale per la luce”]. Per l’elettrone, “the wave-length of the associated wave has the value … This wave-length is of the order of 10⁻⁸ to 10⁻⁹ for electrons of ordinary velocity” – (fr:8335) [“la lunghezza d’onda dell’onda associata ha il valore … Questa lunghezza d’onda è dell’ordine di 10⁻⁸‑10⁻⁹ per elettroni di velocità ordinaria”]. La verifica decisiva arrivò con i raggi elettronici: “Davisson and Germer, working at the Bell Telephone Laboratories (New York) in 1927, succeeded in obtaining a characteristic diffraction phenomenon by allowing a beam of monokinetic electrons to fall on a crystal of nickel, and collecting the diffracted beams in an ionisation chamber.” – (fr:8336) [“Davisson e Germer, lavorando ai Bell Telephone Laboratories (New York) nel 1927, riuscirono a ottenere un caratteristico fenomeno di diffrazione facendo incidere un fascio di elettroni monocineti su un cristallo di nichel e raccogliendo i fasci diffratti in una camera a ionizzazione.”] L’esperienza fu ripetuta da G. P. Thomson con il metodo delle polveri (fr:8337), mentre Rupp mise in luce un fattore √3 nella lunghezza d’onda degli elettroni veloci (fr:8338).

Erwin Schrödinger raccolse direttamente l’eredità di de Broglie: “Erwin Schrödinger, directly inspired by the thesis of L. de Broglie, undertook the search for a general relationship between the dynamics of conservative systems in the classical sense and the phenomenon of wave propagation.” – (fr:8339) [“Erwin Schrödinger, direttamente ispirato dalla tesi di L. de Broglie, intraprese la ricerca di una relazione generale tra la dinamica dei sistemi conservativi nel senso classico e il fenomeno della propagazione ondosa.”] Il filo conduttore fu l’analogia ottico‑meccanica di Hamilton. Scrivendo il principio di Fermat in forma opportuna, “Maupertuis’ principle is retrieved (the variation being made at constant total energy)” – (fr:8348) [“si ritrova il principio di Maupertuis (la variazione essendo fatta a energia totale costante)”]. In questo parallelismo, “the analogy only retains the phase of the waves, and their amplitude, their wave‑length and their frequency do not appear” – (fr:8349) [“l’analogia conserva solo la fase delle onde; la loro ampiezza, lunghezza d’onda e frequenza non compaiono”]. Per costruire la meccanica ondulatoria “the only datum which can be utilised is the expression of the wave velocity in terms of the energy or the frequency” – (fr:8356) [“l’unico dato utilizzabile è l’espressione della velocità dell’onda in funzione dell’energia o della frequenza”]. Nacque così “Schrödinger’s wave equation, which already embodies the quantum conditions” – (fr:8357) [“l’equazione d’onda di Schrödinger, che già incorpora le condizioni quantistiche”]. L’esempio dell’oscillatore armonico rivelò un tratto inatteso: “Schrödinger’s quantisation here introduces ‘half‑integer’ numbers, in contrast with Bohr’s theory but in full accord with the result already obtained by Heisenberg and to which we shall return in the next chapter” – (fr:8361) [“La quantizzazione di Schrödinger introduce qui numeri ‘seminteri’, in contrasto con la teoria di Bohr ma in pieno accordo con il risultato già ottenuto da Heisenberg e al quale torneremo nel prossimo capitolo”].

Nel frattempo Werner Heisenberg batteva una strada diversa, mirando a una meccanica in cui comparissero solo grandezze osservabili. “Heisenberg’s guiding idea was that of constructing, by analogy with classical mechanics, a mechanics conforming with the theory of quanta in which only observable quantities (frequencies or energy levels) would occur, to the exclusion of the coordinates and velocities of electrons.” – (fr:8382) [“L’idea guida di Heisenberg era quella di costruire, per analogia con la meccanica classica, una meccanica conforme alla teoria dei quanti in cui comparissero solo grandezze osservabili (frequenze o livelli energetici), con esclusione delle coordinate e delle velocità degli elettroni.”] Servendosi dello sviluppo di Fourier di una variabile classica “x(n, t) in a Fourier series (which may be an integral)” – (fr:8386) [“x(n, t) in una serie di Fourier (che può essere un integrale)”], Heisenberg poté riformulare il problema dinamico “corresponding to X″ + f(x) = 0” – (fr:8388) [“corrispondente a X″ + f(x) = 0”] e dedurre la nuova condizione quantistica “h = 4πm Σ { |a(n, n+α)|² ω(n, n+α) – |a(n, n‑α)|² ω(n, n‑α) }” – (fr:8392) [“h = 4πm Σ { |a(n, n+α)|² ω(n, n+α) – |a(n, n‑α)|² ω(n, n‑α) }”]. L’introduzione di uno stato fondamentale privo di radiazione, contrassegnato da un numero quantico n₀ per cui le emissioni con α < 0 sono soppresse, completava l’impianto (fr:8393).

La svolta formale arrivò con il contributo dei matematici: “At this point there intervened a fruitful cooperation of the physicist with two mathematicians.” – (fr:8397) [“A questo punto intervenne una fruttuosa cooperazione del fisico con due matematici.”] Born e Jordan tradussero le relazioni di Heisenberg nel linguaggio matriciale, fissando la regola del prodotto “Zeilen mal Kolonnen” – (fr:8400) [“righe per colonne”]. Quasi in contemporanea, Paul Dirac colse la struttura algebrica soggiacente. Analizzando il caso dei grandi numeri quantici, osservò che “since the quantities ξ₁, ξ₂, η₁, η₂ are arbitrary ones it appears that in a general way, for any two variables, the ratio (xy – yx) / [x,y] has the properties of a universal constant” – (fr:8415) [“poiché le grandezze ξ₁, ξ₂, η₁, η₂ sono arbitrarie, risulta che in generale, per due qualsiasi variabili, il rapporto (xy‑yx)/[x,y] ha le proprietà di una costante universale”]. Assumendo che la relazione valesse anche in meccanica quantistica, Dirac giunse per primo alle equazioni contenenti il commutatore, pubblicando già nel 1925, prima del celebre lavoro a tre mani (fr:8420).

Il ritmo degli eventi fu incalzante: “The evolution with which we are concerned was extraordinarily rapid.” – (fr:8419) [“L’evoluzione di cui ci occupiamo fu straordinariamente rapida.”] A Copenaghen la nuova meccanica, inizialmente indipendente dalla meccanica ondulatoria, si nutriva di quello spirito che l’autore chiamava “Kopenhagener Geist der Quantentheorie” – (fr:8421). Il testo stesso spiega perché si sia dedicato ampio spazio alla “old quantum theory” di Bohr (fr:8422): l’obiettivo di Heisenberg era “a true parallelism between the classical and quantum domains — a systematisation of Bohr’s correspondence” – (fr:8423) [“un vero parallelismo tra il dominio classico e quello quantistico — una sistematizzazione della corrispondenza di Bohr”]. La sintesi finale fu sancita dalla dimostrazione che “wave mechanics, in the sense of Louis de Broglie and Schrödinger, and quantum mechanics, in the sense of Heisenberg, are mathematically equivalent” – (fr:8428) [“la meccanica ondulatoria, nel senso di Louis de Broglie e Schrödinger, e la meccanica quantistica, nel senso di Heisenberg, sono matematicamente equivalenti”]. Le regole di commutazione e l’operatore impulso come derivata rispetto alla coordinata (fr:8429‑8430) saldarono definitivamente i due linguaggi.

Così facendo, la fisica coronava un percorso che da Fermat e Maupertuis, passando per Hamilton, aveva reso disponibili gli strumenti matematici essenziali della meccanica analitica e che, secondo Schrödinger, era stato spesso privato “of the magnificent intuitive dress that Hamilton had given it” – (fr:8380) [“del magnifico abito intuitivo che Hamilton aveva loro conferito”]. La testimonianza restituisce la fecondità di un’epoca in cui intuizione ondulatoria, algebre astratte e verifica sperimentale si compenetrarono per dare forma alla teoria quantistica.

[24.2-98-8432|8529]

38 Dall’ipotesi di de Broglie all’unificazione delle meccaniche quantistiche

Lo studio della radiazione del corpo nero aveva rafforzato la convinzione che, per giungere a una teoria più completa della luce e delle radiazioni, fosse necessario cercare di unire l’idea dei corpuscoli con quella delle onde.

Il percorso che portò alla meccanica quantistica moderna si snoda attraverso due strade all’apparenza distinte, che finirono per fondersi in un unico edificio teorico. Il testo ripercorre i passaggi concettuali e tecnici di questa genesi, mostrando come l’ipotesi ondulatoria di de Broglie, confermata sperimentalmente, aprisse la via alla meccanica ondulatoria di Schrödinger, mentre l’approccio “fenomenologico” di Heisenberg, basato solo sulle grandezze osservabili, conduceva alla meccanica delle matrici. La consapevolezza dell’equivalenza fra le due formulazioni, riconosciuta da Schrödinger nel 1926, sancì la fusione di due correnti di pensiero indipendenti.

38.1 L’onda associata al corpuscolo e la sua conferma

Alla base vi è la suggestione che corpuscoli e onde debbano essere uniti da una corrispondenza in cui la costante di Planck gioca un ruolo essenziale. Louis de Broglie partì dall’analogia formale tra il principio di minima azione di Maupertuis e il principio del tempo minimo di Fermat, guida che egli stesso descrive:

“To bring this endeavour to a successful conclusion, I was guided by the formal analogy, which had been indicated for a considerable time, between the equations of analytical mechanics and those of geometrical optics—in particular, by the formal analogy between Maupertuis’ principle of least action and Fermat’s principle of the minimum time.” – (fr:8468) [Per condurre a buon fine questo tentativo, fui guidato dall’analogia formale, indicata già da tempo, tra le equazioni della meccanica analitica e quelle dell’ottica geometrica – in particolare, dall’analogia formale tra il principio di minima azione di Maupertuis e il principio del tempo minimo di Fermat.]

Applicata alla materia, questa corrispondenza impone che ogni corpuscolo, ad esempio un elettrone, sia sempre accompagnato da un’onda che ne controlla il moto (fr:8469). La quantizzazione del moto si legge allora come condizione di stazionarietà dell’onda associata:

“An electronic motion is quantised, that is to say stable, when the corresponding wave is stationary.” – (fr:8471) [Un moto elettronico è quantizzato, cioè stabile, quando l’onda corrispondente è stazionaria.]

La tesi, rivoluzionaria, avrebbe potuto incontrare scetticismo (fr:8474), ma il successo fu immediato e clamoroso. La diffrazione degli elettroni da parte della materia – “DIFFRACTION OF ELECTRONS BY MATTER” (fr:8433) – fornì una prova diretta. L’onda elettronica risultava paragonabile ai raggi X e la conferma fu vivida:

“Thus L. de Broglie’s daring hypothesis was vividly confirmed.” – (fr:8435) [Così l’audace ipotesi di L. de Broglie ricevette una vivida conferma.]

L’esperimento produceva anelli di diffrazione i cui diametri dipendevano dalla distanza reticolare dei cristalli e dalla lunghezza d’onda del fascio incidente (fr:8436).

38.2 La meccanica ondulatoria di Schrödinger

L’opera di Schrödinger trasferisce l’impostazione ondulatoria a un problema di meccanica ordinaria, realizzando una vera fusione dei due principi estremali dell’ottica e della dinamica (fr:8477-8478). Il punto di partenza è una metrica non euclidea nello spazio delle configurazioni, definita a partire dall’energia cinetica, rispetto alla quale vanno intese le operazioni vettoriali come gradiente e divergenza (fr:8444).

Il moto del punto rappresentativo del sistema meccanico viene letto in termini di superfici d’azione uguale che avanzano con velocità normale u. Tali superfici possono essere paragonate a fronti d’onda che trasportano un valore determinato dell’azione:

“It may be imagined that the surfaces V travel through the configuration space by transporting a determinate value of V. … The ensemble of surfaces of equal action may thus be compared to an ensemble of wave surfaces whose velocity at each point is equal to u.” – (fr:8446) [Si può immaginare che le superfici V percorrano lo spazio delle configurazioni trasportando un valore determinato di V. … L’insieme delle superfici di uguale azione può così essere paragonato a un insieme di superfici d’onda la cui velocità in ogni punto è uguale a u.]

La velocità v del punto rappresentativo varia in modo inverso rispetto a u (fr:8447). Schrödinger introduce poi l’ipotesi, di cui egli stesso sottolinea l’arbitrarietà, che le onde contemplate debbano essere sinusoidali (fr:8448), il che conduce alla frequenza ν = W/h (fr:8449).

Per sostituire il punto materiale classico, Schrödinger tenta di costruire un pacchetto d’onde di dimensioni molto piccole, quasi monocromatico, che possa muoversi con una velocità di gruppo ben definita e corrispondere a un sistema di energia determinata. Tale pacchetto deve però estendersi su un dominio comprendente un gran numero di lunghezze d’onda (fr:8451).

Il cuore della teoria è l’equazione d’onda del secondo ordine:

“It is also supposed that this equation is of the second order, so that it must be written as div grad ψ – (1/u²) ∂²ψ/∂t² = This equation is only valid for phenomena which depend on the time by means of a factor e^(2πiνt).” – (fr:8455) [Si suppone inoltre che questa equazione sia del secondo ordine, così che debba scriversi come div grad ψ – (1/u²) ∂²ψ/∂t² = Questa equazione è valida solo per fenomeni che dipendono dal tempo tramite un fattore e^(2πiνt).]

Essa seleziona automaticamente frequenze e livelli energetici, con l’unica condizione aggiuntiva, quasi naturale per una grandezza fisica, che la funzione sia univoca, finita e continua in tutto lo spazio delle configurazioni (fr:8456).

L’oscillatore armonico lineare fornisce un banco di prova. Poste le variabili ridotte, l’equazione diviene d²ψ/dQ² + (w – Q²)ψ = 0 (fr:8458) e le soluzioni sono espresse tramite i polinomi di Hermite:

“These solutions are written as ψ = e^(–Q²/2) H_n(Q) where H_n is a Hermite polynomial.” – (fr:8459) [Queste soluzioni si scrivono come ψ = e^(–Q²/2) H_n(Q) dove H_n è un polinomio di Hermite.]

La necessità di numeri quantici seminteri, già emersa dallo studio degli spettri a bande delle molecole biatomiche (fr:8460), trova così una giustificazione naturale.

38.3 La meccanica quantistica nel senso di Heisenberg e Dirac

Nel 1925 Heisenberg affronta il problema con un atteggiamento “fenomenologico”, cercando di eliminare gli elementi non direttamente osservabili – posizione, velocità, traiettoria – e di limitarsi a frequenze e livelli energetici (fr:8522). Il suo lavoro di reinterpretazione si basa sullo sviluppo in serie di Fourier delle grandezze classiche dei sistemi quasi periodici, sostituendo le frequenze meccaniche con le frequenze ottiche quantistiche ν(m,n) che soddisfano il principio di combinazione di Ritz: ν(m,p) + ν(p,n) = ν(m,n) (fr:8503). Ogni coordinata viene allora rappresentata da una matrice hermitiana:

“Thus each coordinate is represented by a hermitian matrix.” – (fr:8503) [Così ciascuna coordinata è rappresentata da una matrice hermitiana.]

Born e Jordan riconobbero che gli strumenti matematici introdotti da Heisenberg erano matrici dotate di una moltiplicazione non commutativa:

“Since this multiplication is associative, distributive with respect to addition, but not commutative, in general ab differs from ba.” – (fr:8499) [Poiché questa moltiplicazione è associativa, distributiva rispetto all’addizione, ma non commutativa, in generale ab differisce da ba.]

La condizione di Bohr viene espressa attraverso matrici diagonali per l’energia, cosicché le equazioni del moto quantistiche prendono la forma

dq_k/dt = (2πi/h)(W q_k – q_k W) (fr:8506).

La lettura del lavoro originale di Heisenberg ispirò Dirac a ritenere che le equazioni della meccanica analitica classica non fossero affatto carenti, ma che fossero le operazioni matematiche impiegate per trarne conseguenze fisiche a dover essere modificate (fr:8507). Dirac adottò le stesse regole algebriche di Heisenberg, che conducono alla non commutatività (fr:8508), e giunse alla conclusione che la differenza xy – yx corrisponde, a meno del fattore ih/2π, alla parentesi di Poisson classica:

“He arrives at the remarkable conclusion that the difference xy – yx corresponds to the product by ih/2π (where h is Planck’s constant) of the Poisson brackets of the functions x and y as understood in classical mechanics.” – (fr:8511) [Giunge alla notevole conclusione che la differenza xy – yx corrisponde al prodotto per ih/2π (dove h è la costante di Planck) delle parentesi di Poisson delle funzioni x e y intese nella meccanica classica.]

Con la definizione di “quantum brackets” si ottengono le condizioni quantiche canoniche: q_r q_s – q_s q_r = 0, p_r p_s – p_s p_r = 0, q_r p_s – p_s q_r = (ih/2π) δ_{rs} (fr:8514-8515). La corrispondenza tra teoria classica e quantistica non riposa tanto sull’accordo asintotico per h → 0, quanto sul fatto che le operazioni matematiche, nelle due teorie, obbediscono di solito alle stesse regole (fr:8516).

38.4 Fusione e significato storico

La meccanica ondulatoria di de Broglie e la meccanica delle matrici di Heisenberg nacquero da corpi di pensiero indipendenti (fr:8519). Fu Schrödinger, nel 1926, a riconoscere che queste due correnti potevano fondersi in un’unica dottrina (fr:8520). Il rapporto tra le due teorie fu chiarito anche attraverso la rappresentazione matriciale della funzione d’onda: a partire da un insieme completo di funzioni ortonormali nello spazio delle configurazioni, ∫ U_i(x)U_k(x)dx = δ_{ik}, a ogni grandezza fisica F si associa una matrice i cui elementi sono F_{ik} = ∫ U_i(x) [F, U_k(x)] dx (fr:8528-8529).

L’intero sviluppo mette in luce la fecondità della cooperazione tra fisici e matematici:

“Throughout the development of the modern physical theories of mechanics the fruitfulness of a cooperation of physicists with mathematicians is apparent.” – (fr:8524) [In tutto lo sviluppo delle moderne teorie fisiche della meccanica è evidente la fecondità di una cooperazione tra fisici e matematici.]

Emblematico è il caso di Heisenberg, che all’inizio eseguiva calcoli matriciali senza esserne consapevole (fr:8525). Altrettanto significativa è la diversa impostazione filosofica: Heisenberg si attiene a grandezze osservabili come frequenze e livelli energetici, mentre de Broglie e Schrödinger non esitano a impiegare entità non direttamente misurabili – onde, funzioni d’onda – come strumenti di calcolo. Il testo stesso osserva che, finché la fisica teorica parte dall’esperimento e a esso ritorna, non dovrebbe essere vietato l’uso di elementi non osservabili nel corso del calcolo (fr:8523).

La fusione delle due meccaniche non rappresentò soltanto un risultato tecnico, ma un momento di sintesi che unificò l’eredità della teoria dei quanti di Bohr, l’ipotesi ondulatoria e il formalismo algebrico delle matrici, dando origine a quella che oggi chiamiamo meccanica quantistica.

[24.3-98-8530|8627]

39 Dall’onda di fase alla meccanica delle matrici: la doppia nascita della teoria quantistica

La meccanica quantistica emerge dall’intuizione ondulatoria di de Broglie, si consolida nell’equazione di Schrödinger e nella formulazione matriciale di Heisenberg, per trovare la propria unità nell’equivalenza algebrica dimostrata da Schrödinger e nell’astrazione formale di Dirac.

Le condizioni quantiche di Bohr‑Sommerfeld sono interpretate come risonanza dell’onda di fase: “These relations are the Bohr‑Sommerfeld quantum conditions, related in this way to the resonance of the phase wave.” – (fr:8530) [Queste relazioni sono le condizioni quantiche di Bohr‑Sommerfeld, collegate in questo modo alla risonanza dell’onda di fase.] Per verificare sperimentalmente l’esistenza dell’onda associata a un corpuscolo materiale si ricorse alla diffrazione di elettroni da cristalli: la teoria di von Laue permetteva di calcolare la distanza tra i piani reticolari in funzione dell’angolo d’incidenza e della lunghezza d’onda, e “Quantitatively, the agreement between the observed and the calculated values of A were confirmed to within 2 %.” – (fr:8533) [Quantitativamente l’accordo tra i valori osservati e calcolati di λ fu confermato entro il 2%.]

Schrödinger, per il più generale sistema conservativo della dinamica classica, muove dall’equazione alle derivate parziali di Hamilton‑Jacobi, dove V è l’azione, 2T l’energia cinetica, U l’energia potenziale e i q_k sono le coordinate lagrangiane generalizzate. L’analogia ottica conduce a un indice di rifrazione e il principio di Huygens viene espresso dalla stessa equazione di Hamilton. Tuttavia “Schrodinger insists on the fact that the analogy only exists between geometrical optics and mechanics.” – (fr:8545) [Schrödinger insiste sul fatto che l’analogia sussiste solo tra l’ottica geometrica e la meccanica.] L’onda è descritta da una funzione seno il cui argomento è lineare nell’azione V, con un coefficiente universale 2π/h, dove h è una costante indipendente dal sistema. La lunghezza d’onda risulta λ = u/ν = h/√(2m(U–W)), e la velocità di gruppo delle onde coincide con la velocità del punto rappresentativo del sistema meccanico: “The group velocity of the waves, dv here reduces to v and consequently coincides with the velocity of the representative point of the mechanical system considered.” – (fr:8547) [La velocità di gruppo delle onde si riduce qui a v e di conseguenza coincide con la velocità del punto rappresentativo del sistema meccanico considerato.]

Schrödinger sviluppa così una concezione ondulatoria della meccanica partendo da un’equazione d’onda nello spazio delle configurazioni; tenendo conto del valore di u, ottiene “2 div grad 1p + 8n hi m(U + W)1p == o” – (fr:8553) [div grad ψ + (8π² m/h²)(U+W) ψ = 0]. I livelli quantici sono determinati come autovalori dell’equazione d’onda, che reca in sé le appropriate condizioni al contorno. Nel caso più semplice trattato, l’oscillatore lineare, l’equazione diventa y” + (A–x²)y = 0 e imponendo la condizione si giunge a “W = (2n + 1) : : = (n +½) hv” – (fr:8557) [W = (n + ½) hν]. Compaiono così i semi‑quanti, la cui esistenza era già stata invocata per spiegare particolarità delle strutture spettrali. Anche problemi più complessi come l’effetto Stark e l’effetto Zeeman normale vengono risolti in accordo con l’esperimento.

La genesi delle idee guida della meccanica ondulatoria risale all’intuizione di Louis de Broglie. Partendo dal paragone tra radiazione e gas di fotoni e dalla necessità, dimostrata da Bose, di adottare la statistica che oggi porta i nomi di Bose ed Einstein per ottenere la legge di Planck, de Broglie ebbe l’intuizione che “such a union of waves and corpuscles was also necessary in the theory of matter.” – (fr:8562) [tale unione di onde e corpuscoli fosse necessaria anche nella teoria della materia.] La relazione che lega l’energia del corpuscolo di radiazione alla frequenza dell’onda corrispondente getta un ponte tra le due concezioni; l’intervento di numeri interi richiama fenomeni di interferenza e risonanza, cioè fenomeni tipicamente ondulatori. De Broglie stabilì la corrispondenza associando a ogni corpuscolo di materia o di luce, di energia W e quantità di moto p, un’onda di frequenza ν e lunghezza d’onda λ legate dalle relazioni W = hν, p = h/λ. “Thanks to this correspondence between the mechanical and the .wave‑like properties, Maupertuis’ principle for the corpuscle becomes equivalent to that of Fermat for the wave, and the possible trajectories of the corpuscles become identical with the rays in the optical sense.” – (fr:8566) [Grazie a questa corrispondenza fra le proprietà meccaniche e quelle ondulatorie, il principio di Maupertuis per il corpuscolo diventa equivalente a quello di Fermat per l’onda, e le traiettorie possibili dei corpuscoli diventano identiche ai raggi in senso ottico.] Da ciò nacque l’idea di ottenere fenomeni di interferenza o diffrazione con elettroni. La condizione che l’integrale sia un multiplo intero di h equivale a scrivere che la fase dell’onda è una funzione uniforme lungo la traiettoria, cioè che l’onda è stazionaria: “To write that the integral in question is a whole multiple of h amounts to the same as to write that the phase of the wave is a ‘uniform’ function along the trajectory, that is to say that the wave is stationary.” – (fr:8568) [Scrivere che l’integrale in questione è multiplo intero di h equivale a scrivere che la fase dell’onda è una funzione uniforme lungo la traiettoria, ossia che l’onda è stazionaria.] Questa spiegazione della quantizzazione convinse de Broglie di essere sulla strada giusta. L’analogia tra il principio di minima azione, chiave di volta della meccanica classica, e il principio di Fermat, chiave di volta dell’ottica geometrica, suggeriva che la meccanica classica fosse una forma approssimata di una più generale meccanica ondulatoria, come l’ottica geometrica lo è rispetto all’ottica ondulatoria.

Einstein richiamò l’attenzione del mondo scientifico sulla tesi di de Broglie e Schrödinger, già nel 1926, ne dedusse una correlazione diretta tra la dinamica del sistema conservativo più generale e quella delle onde. Mentre de Broglie era partito dai principi di Fermat e Maupertuis, Schrödinger si riferì direttamente all’ottica di Hamilton, suscettibile di una doppia interpretazione in termini di emissione e di propagazione ondulatoria.

La meccanica quantistica in senso proprio nacque con il lavoro di Heisenberg, collocato tra la tesi di de Broglie (1924) e i primi articoli di Schrödinger sulla meccanica ondulatoria (1926). Heisenberg adottò dapprima un punto di vista cinematico, cercando l’analogo quantistico di una quantità classica come x(t). L’analogo quantistico della formula classica per la frequenza viene scritto “v(n, n - a) === 1/h {W(n) - W(n - a)} so that the frequency is associated with two energy levels.” – (fr:8580) [ν(n, n–α) = (1/h)[W(n) – W(n–α)], sicché la frequenza è associata a due livelli energetici.] Heisenberg osserva che se x(t) è rappresentato da fattori del tipo A e y(t) da fattori B, il prodotto quantistico costruito per analogia con il prodotto classico non è in generale commutativo: “In general this will not be commutative; that is, that x(t)y(t) will in general differ from y(t)x(t) in the quantum field.” – (fr:8584) [In generale non sarà commutativo; ossia x(t)y(t) differirà in generale da y(t)x(t) nel campo quantistico.] Egli mantiene l’equazione del moto classica e vi sostituisce l’analogo quantistico. La condizione di quantizzazione, che richiama una relazione già incontrata da Kuhn e Thomas, porta a lavorare con matrici hermitiane. Le regole del calcolo matriciale – addizione, moltiplicazione, matrice unitaria ed hermiticità – vengono formulate da Heisenberg con la collaborazione di Born e Jordan, e sono in accordo con il principio di combinazione di Ritz. Nell’oscillatore armonico si riottengono i semi‑quanti, “whose existence it had been necessary to assume in order to account for certain peculiarities of the structure of spectra.” – (fr:8592) [la cui esistenza era stato necessario supporre per rendere conto di certe particolarità della struttura degli spettri.]

L’approccio di Dirac inverte il problema e cerca a quale algoritmo classico possa corrispondere, in senso heisenbergiano, una quantità come xy – yx. Assumendo che la derivata quantica soddisfi le regole d(x+y)/dv = dx/dv + dy/dv e d(xy)/dv = dx/dv · y + x · dy/dv, con l’ordine preservato, arriva alla formula “dx/dv == xa - ax in which the products are to be taken in the sense of Heisenberg.” – (fr:8608) [dx/dv = xa – ax, dove i prodotti vanno intesi nel senso di Heisenberg.] Nella sintesi successiva, Dirac parte dalle equazioni canoniche della dinamica classica scritte mediante parentesi di Poisson e giunge a condizioni puramente algebriche, indipendenti da un sistema di variabili canoniche. “Therefore Dirac’s point of view was essentially formal. We can only emphasise the remarkable achievement of such an abstract intuition and the part played in unifying an aptly chosen symbolism.” – (fr:8614) [Pertanto il punto di vista di Dirac era essenzialmente formale. Possiamo solo sottolineare il notevole risultato di una tale intuizione astratta e il ruolo svolto nell’unificare un simbolismo opportunamente scelto.]

Sebbene al momento della loro creazione la meccanica ondulatoria e quella quantistica fossero completamente distinte, Schrödinger ne dimostrò l’identità matematica. Egli osservò che le regole di calcolo della meccanica quantistica di Heisenberg, applicate a funzioni di q_k e p_k, sono identiche alle regole dell’analisi ordinaria applicate a operatori differenziali lineari che dipendono solo dalle q_k. Associando a ogni funzione F delle p_k e q_k un operatore [F,·], Schrödinger verificò che l’addizione e la moltiplicazione di funzioni ben ordinate si esprimono tramite le regole del calcolo matriciale per gli elementi F_{ik}, e che l’operatore q_k(∂/∂q_k) – (∂/∂q_k)q_k applicato a una funzione arbitraria riproduce la funzione stessa. Considerando un sistema meccanico definito da un’hamiltoniana H(p_k, q_k) opportunamente simmetrizzata per evitare ambiguità nell’ordine dei fattori, i due linguaggi risultano così matematicamente equivalenti.

L’intero percorso mostra come la cooperazione tra menti diverse sia stata preziosa, e talvolta necessaria, per la formulazione del pensiero fisico, unendo l’intuizione ondulatoria, il formalismo algebrico e la potenza unificante dell’astrazione matematica.

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[25.1-37-8629|8665]

40 Dalla dimostrazione di equivalenza all’interpretazione probabilistica e alle relazioni di indeterminazione

L’estratto traccia il percorso che, dalla scelta delle autofunzioni dell’equazione di Schrödinger come base, porta all’identità tra meccanica ondulatoria e meccanica quantistica, per poi introdurre la lettura probabilistica di Born e la necessità, avvertita da Heisenberg, di superare le contraddizioni tra onde e corpuscoli.

Il primo nucleo tematico stabilisce la piena equivalenza tra la meccanica ondulatoria e la meccanica delle matrici. Il procedimento prende le mosse dalla scelta di un sistema di base ortonormale: “For this purpose he chooses as the basic set Uj(x) the eigenfunctions of the normal boundary value problem associated with the partial differential equation (1) -[H,1p] + W1p = ” – (fr:8629) [A tale scopo egli sceglie come insieme base Uj(x) le autofunzioni del problema al contorno normale associato all’equazione differenziale alle derivate parziali (1) -[H, ψ] + W ψ = ] Le autofunzioni soddisfano per definizione “ [H, u_r] == W_r u_r ”, e il calcolo degli elementi di matrice dell’hamiltoniana su questa base fornisce immediatamente “ H_ik == ∫ u_i(x) [H, u_k(x)] dx == W_k ∫ u_i(x) u_k(x) dx == W_k δ_ik ” – (fr:8631) [H_ik = ∫ u_i(x) [H, u_k(x)] dx = W_k ∫ u_i(x) u_k(x) dx = W_k δ_ik]. L’hamiltoniana diventa quindi una matrice diagonale, con gli autovalori W_k sulla diagonale. Sfruttando questa proprietà nel prodotto matriciale, il commutatore [H, q_r] restituisce la differenza (W_i – W_k) per ciascun elemento, e da qui si ritrovano le equazioni del moto della meccanica quantistica. La conclusione è netta: “As the partial differential equation (1) is nothing else than Schrödinger’s wave equation, the identity of wave mechanics and quantum mechanics is established.” – (fr:8635) [Poiché l’equazione differenziale alle derivate parziali (1) non è altro che l’equazione d’onda di Schrödinger, l’identità tra meccanica ondulatoria e meccanica quantistica è stabilita.] Schrödinger stesso sintetizza la portata del risultato affermando che “If, in a specific mechanical problem, the system of algebraic equations that relates the matrices of the coordinates and the momenta to the Hamiltonian H is considered, then the solution of this system … is obtained by means of the choice of a specific orthogonal system; namely, the system of eigenfunctions associated with the partial differential equation which is the basis of wave mechanics.” – (fr:8636) [Se, in uno specifico problema meccanico, si considera il sistema di equazioni algebriche che mette in relazione le matrici delle coordinate e dei momenti con l’hamiltoniana H, allora la soluzione di questo sistema … è ottenuta mediante la scelta di un particolare sistema ortogonale, ossia il sistema di autofunzioni associato all’equazione differenziale alle derivate parziali che costituisce la base della meccanica ondulatoria.] E ribadisce che “The solution of the normal boundary value problem for this partial differential equation is absolutely equivalent to the solution of Heisenberg’s algebraic problem.” – (fr:8637) [La soluzione del problema al contorno normale per questa equazione differenziale alle derivate parziali è assolutamente equivalente alla soluzione del problema algebrico di Heisenberg.]

La seconda parte introduce l’interpretazione probabilistica della funzione d’onda, comparsa in un lavoro di Max Born del “The probability interpretation of Schrödinger’s wave function appeared in a paper of Max Born in ” – (fr:8640) [L’interpretazione probabilistica della funzione d’onda di Schrödinger apparve in un articolo di Max Born nel ] Born si richiama a un’osservazione di Einstein sul rapporto tra fotoni e campi d’onda: “Einstein said that waves only served to indicate the path to the particle and, in this connection, spoke of a virtual or ‘phantom’ field (Gespensterfeld).” – (fr:8645) [Einstein affermava che le onde servivano solo a indicare il cammino alla particella e, in tale contesto, parlava di un campo virtuale o “fantasma” (Gespensterfeld).] Tale campo, secondo Einstein, “determines the probability that a photon, carrying energy and momentum, should take a certain path; but it does not, itself, have energy or momentum.” – (fr:8646) [Questo campo determina la probabilità che un fotone, portatore di energia e quantità di moto, prenda un certo cammino, ma non possiede esso stesso energia o quantità di moto.] Born traspone questa idea nella meccanica quantistica, concependo l’onda come un campo pilota (Führungsfeld): “To Born the part played by the waves of quantum mechanics would, in an analogous way, be that of a pilot (Führungsfeld).” – (fr:8647) [Per Born il ruolo giocato dalle onde della meccanica quantistica sarebbe, in modo analogo, quello di un campo pilota (Führungsfeld).] La funzione d’onda scalare ψ, propagata dall’equazione di Schrödinger, “only determines the respective probabilities of the different possible trajectories for a single particle.” – (fr:8649) [Ma quest’onda determina soltanto le rispettive probabilità delle diverse traiettorie possibili per una singola particella.] Born riassume la sua posizione in una formula divenuta celebre: “Die Bewegung der Partikeln folgt Wahrscheinlichkeitsgesetzen, die Wahrscheinlichkeit selbst aber breitet sich im Einklang mit dem Kausalgesetz aus” – (fr:8651) [Il moto delle particelle segue leggi di probabilità, ma la probabilità stessa si propaga in accordo con il principio di causalità.] (cfr. 8654). In questo contesto egli introduce il termine onde di probabilità (Wahrscheinlichkeitswellen). “This is the sense in which Born uses the term probability waves (Wahrscheinlichkeitswellen).” – (fr:8655) [Questo è il senso in cui Born adopera il termine onde di probabilità (Wahrscheinlichkeitswellen).] Il principio tecnico su cui si fonda l’interpretazione è lo sviluppo di una qualsiasi funzione d’onda in serie di autofunzioni normalizzate “∫ ψ_n(q) ψ_m(q) dq = δ_nm ” – (fr:8657) [∫ ψ_n(q) ψ_m(q) dq = δ_nm] secondo l’espressione “ψ(q) = Σ c_n ψ_n(q)” – (fr:8658) [ψ(q) = Σ c_n ψ_n(q)]. La relazione integrale “∫ |ψ(q)|² dq = Σ |c_n|²” – (fr:8659) [∫ |ψ(q)|² dq = Σ |c_n|²] fa sì che i quadrati dei moduli dei coefficienti |c_n|² possano essere riguardati come i pesi con cui ciascun autostato partecipa allo stato arbitrario, e l’evoluzione temporale è dettata dall’equazione di Schrödinger (fr:8660).

L’estratto si chiude con un accenno alle relazioni di indeterminazione di Heisenberg, presentate come risposta alle contraddizioni ancora presenti nel significato intuitivo della teoria. “Heisenberg believes that an intuitive understanding of a physical theory has been achieved when it is possible, in all simple cases, to picture the consequences qualitatively and when it has been recognised that this theory contains no contradictions.” – (fr:8664) [Heisenberg ritiene che una comprensione intuitiva di una teoria fisica sia stata raggiunta quando è possibile, in tutti i casi semplici, figurarsi qualitativamente le conseguenze e quando si è riconosciuto che tale teoria non contiene contraddizioni.] Ma, al momento in cui scrive, “The intuitive meaning of quantum theory is still full of internal contradictions; notions borrowed from continuity and discontinuity – waves and corpuscles – are opposed to each other.” – (fr:8665) [Il significato intuitivo della teoria quantistica è ancora pieno di contraddizioni interne; nozioni mutuate dalla continuità e dalla discontinuità – onde e corpuscoli – si oppongono l’un l’altra.] Il lavoro di Heisenberg si propone di sciogliere tale opposizione, fornendo una cornice in cui l’immagine ondulatoria e quella corpuscolare possano coesistere senza contraddizioni.

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[26.1-105-8764|8868]

41 L’algebra simbolica di Dirac e la nascita del positrone: dall’osservabile astratto all’antimateria

Il formalismo algebrico degli stati e delle osservabili, la teoria quantistica relativistica e la previsione dell’elettrone positivo vengono qui tessuti in un unico percorso che conduce da una raffinata astrazione matematica alla clamorosa conferma sperimentale.

Il testo delinea il nucleo della meccanica quantistica di Dirac a partire dalla sua fondazione simbolica. L’osservabile è introdotto come «The analogue of the instantaneous value of a classical dynamical variable is called an observable.» (fr:8764) [L’analogo del valore istantaneo di una variabile dinamica classica è chiamato osservabile.]. Su questa base, Dirac edifica «the symbolic algebra of states and observables» (fr:8765) [l’algebra simbolica degli stati e delle osservabili]. Uno stato è rappresentato dal simbolo ψ corredato da un indice, «ψ₁, ψ₂, …, ψₙ» (fr:8766), e per tali simboli valgono gli assiomi dell’addizione ordinaria (fr:8767). La moltiplicazione per un numero complesso non nullo non altera lo stato: «More generally cψ must be regarded as identical with ψ whatever the number c (different from zero) may be and whether or not it is real or complex.» (fr:8768) [Più in generale cψ deve essere considerato identico a ψ qualunque sia il numero c (diverso da zero), reale o complesso.]. L’addizione di ψ e ψ* è invece priva di significato (fr:8769), mentre si postula che «ψₛ ψᵣ is the imaginary conjugate of ψᵣ* ψₛ and that ψᵣ* ψᵣ is essentially positive.»* (fr:8770) [ψₛ* ψᵣ è il coniugato immaginario di ψᵣ* ψₛ e ψᵣ* ψᵣ è essenzialmente positivo.].

L’interpretazione fisica scaturisce dall’identificazione di un’osservabile con un simbolo α (fr:8772) e dall’osservazione che αψ rappresenta uno stato (fr:8773). Le operazioni lineari sono fissate dalle relazioni «α(ψ₁+ψ₂) = αψ₁+αψ₂, α(cψ) = c(αψ) (c, un numero)» (fr:8774), mentre la moltiplicazione fra osservabili si definisce per mezzo di «(α₁α₂)ψ == α₁(α₂ψ) with the property of being associative and distributive.» (fr:8776‑8777) [La moltiplicazione è definita da (α₁α₂)ψ = α₁(α₂ψ) con la proprietà di essere associativa e distributiva.]. Vale inoltre «ψ(αψ) == (ψα)ψ == ψαψ.»* (fr:8778).

La connessione tra l’algebra degli stati e quella delle osservabili si realizza imponendo che se il sistema è in uno stato definito ψᵣ, la misura dell’osservabile α in quello stato fornisca con certezza il risultato numerico a (fr:8780). Se α possiede il valore a in ψᵣ, allora f(α) possiede il valore f(a) (fr:8781). Il numero ψαψ rappresenta il valor medio di α (fr:8782) e si assume che «ψᵣ* α ψᵣ is on the average identical with the mean of the results obtained by making a large number of measurements of α in the state ψᵣ where the system is of course reprepared on each occasion in order to get rid of the perturbation produced by the observation.» (fr:8783) [ψᵣ* α ψᵣ è in media identico alla media dei risultati ottenuti effettuando un gran numero di misure di α nello stato ψᵣ, dove il sistema viene ogni volta ri‑preparato per eliminare la perturbazione prodotta dall’osservazione.]. L’equazione «αψ = aψ defines an eigenstate ψ of the observable α and an eigenvalue a of this observable.» (fr:8784) [L’equazione αψ = aψ definisce un autostato ψ dell’osservabile α e un autovalore a di tale osservabile.], e il postulato di ripetibilità garantisce che lo stato successivo alla misura, che ha dato esito a, soddisfa la medesima equazione (fr:8785). Viene inoltre mostrato che gli autostati corrispondenti ad autovalori diversi sono ortogonali (fr:8786), mentre il postulato di sviluppo in serie asserisce che «every symbol ψ can be developed in a series of the eigensymbols of an arbitrary observable.»* (fr:8787) [ogni simbolo ψ può essere sviluppato in una serie degli autosimboli di un’osservabile arbitraria.].

La possibilità di autostati simultanei per due osservabili α e β è legata alla commutazione: se (αβ‑βα)ψ = (ab‑ba)ψ = 0, lo stato può essere autostato di entrambe (fr:8788); quando αβ‑βα = 0, gli autostati simultanei servono a sviluppare un ψ arbitrario (fr:8789). Conseguentemente, «it is natural to consider an arbitrary function of commuting observables as a unique observable.» (fr:8790) [è naturale considerare una funzione arbitraria di osservabili commutanti come un’osservabile unica.], e per ogni insieme di autovalori del massimo numero di osservabili indipendenti e commutative esiste un unico autostato simultaneo (fr:8791).

Il significato fisico si precisa attraverso teoremi generali sulle probabilità (fr:8792): sviluppando ψ nella base degli autostati di α, il valor medio di f(α) è «Σ f(a) ψₐ ψₐ» (fr:8793), e si verifica che la somma delle probabilità è unitaria (fr:8794). Dirac passa poi alla rappresentazione con numeri ordinari: ogni stato ψ è descritto da una serie di numeri aₚ (fr:8796), l’osservabile α+β da αₚₙ+βₚₙ, l’osservabile cα da cαₚₙ e (αβ)ψₙ = Σₚ ψₚ (αβ)ₚₙ, ritrovando così «Heisenberg’s rule.» (fr:8797) [la regola di Heisenberg.]. La moltiplicazione delle rappresentazioni di osservabile e stato conduce a «Σ αₚₙ aₙ = a aₚ» (fr:8798). Se α è reale, allora (ψₚ α ψᵣ)* = ψᵣ* α* ψₚ = αₚᵣ* e le matrici in rappresentazione ortogonale sono hermitiane, come nel caso delle matrici di Heisenberg (fr:8799).

Quando il numero di stati indipendenti non è numerabile (fr:8800), Dirac introduce la funzione δ, definita da «∫ δ(x)dx = 1, δ(x) = 0 if x ≠ 0» (fr:8801) [∫ δ(x)dx = 1, δ(x) = 0 se x ≠ 0], munita delle proprietà «∫ f(x)δ(x‑a)dx = f(a)» e analoghe (fr:8802). Le rappresentazioni sono generalizzate al caso di più indici continui (fr:8803). Se l’insieme delle osservabili è completo, i ψ fondamentali sono ortogonali (fr:8804) e determinati a meno di un fattore di fase (fr:8805). Le probabilità vengono espresse mediante le funzioni di trasformazione (ξ’|η’) (fr:8806‑8807), e quando le variabili assumono valori continui la probabilità può essere solo relativa (fr:8809).

Accanto a questo formalismo astratto, il testo ricorda la formulazione ondulatoria della teoria generale della quantizzazione proposta da Louis de Broglie (fr:8810), della quale «if the effort of abstraction which it demands is accepted, the logical vigour with which it unfolds cannot fail to be admired.» (fr:8811) [se si accetta lo sforzo di astrazione che essa richiede, non si può non ammirare il vigore logico con cui si sviluppa.]. Lo strumento matematico è stato precisato da von Neumann e Weyl (fr:8812), ma è utile accostarsi alla teoria dal punto di vista intuitivo della meccanica ondulatoria, «by making use of the operational method that Schrödinger used, as we have seen, to establish the identity of wave mechanics and quantum mechanics.» (fr:8813) [facendo uso del metodo operatoriale che Schrödinger impiegò, come abbiamo visto, per stabilire l’identità tra meccanica ondulatoria e meccanica quantistica.].

Si considerano funzioni complesse a quadrato sommabile (fr:8814‑8815) e il prodotto scalare (f,g) = ∫ f* g dr, con la disuguaglianza di Schwarz (fr:8816‑8817). Ogni funzione può essere vista come un vettore in uno spazio di Hilbert (fr:8818) e le componenti nella base delle φᵢ sono date da cᵢ = ∫ φᵢ* ψ dr (fr:8819). Le matrici entrano nella teoria tramite gli operatori: applicando A a una funzione di base si ha A(φᵢ) = Σₖ aₖᵢ φₖ con aₖᵢ = ∫ φₖ* A(φᵢ) dr (fr:8821‑8822). L’operazione A(ψ) possiede un significato intrinseco, ma la matrice che la rappresenta dipende dalla base scelta (fr:8823). La meccanica ondulatoria si occupa di operatori hermitiani (fr:8824), le cui soluzioni sono autofunzioni (fr:8825) e per lo spettro continuo si può ricorrere alla funzione δ di Dirac (fr:8827). I principi fondamentali sono enunciati con chiarezza:

• «To every mechanical quantity there corresponds an operator; if the value of this mechanical quantity is accurately measured, this value can only be one of the eigenvalues of the operator.» (fr:8828) [Ad ogni grandezza meccanica corrisponde un operatore; se il valore di questa grandezza meccanica è misurato con precisione, tale valore può essere soltanto uno degli autovalori dell’operatore.];
• Principio di decomposizione spettrale: se la funzione d’onda normalizzata si sviluppa come ψ = Σ cᵢ φᵢ, la probabilità di ottenere il valore aᵢ è |cᵢ|²; nel continuo, la probabilità per l’intervallo a, a+Δa è *«∫_Δa c(a) c(a) da.» (fr:8830). Il principio di quantizzazione fornisce i valori possibili, quello spettrale le probabilità (fr:8831).

La seconda parte del testo affronta l’elettrone relativistico e quantizzato nel senso di Dirac (fr:8832), limitatamente al caso del campo elettromagnetico (fr:8833). A partire da una rappresentazione in cui le coordinate cartesiane sono diagonali (fr:8834), Dirac scrive gli operatori impulso ed energia come derivate rispetto alle coordinate spazio‑temporali (fr:8837). In assenza di campo, l’hamiltoniana relativistica conduce all’equazione d’onda quadratica in W (fr:8838‑8839). Per ottenere un’equazione lineare, «he writes the equation (c) {W/c + (α·p) + β m₀ c} ψ = This equation is linear in W and the operators p and contains four coefficients α_x, α_y, α_z and β which commute with W and with the operators p and which obey the rules of the calculus of observables.» (fr:8844) [egli scrive l’equazione (c) {W/c + (α·p) + β m₀ c} ψ = Questa equazione è lineare in W e negli operatori p e contiene quattro coefficienti α_x, α_y, α_z e β che commutano con W e con gli operatori p e che obbediscono alle regole del calcolo delle osservabili.]. La condizione che l’equazione lineare riproduca quella quadratica impone le relazioni «α_i α_j + α_j α_i = 2δ_ij» (fr:8845). L’equazione ammette soluzioni a energia negativa malgrado W, puramente cinetica, sia positiva (fr:8845). Introducendo i potenziali scalare e vettore A₀ e A (fr:8847) e sfruttando l’algebra delle osservabili e le equazioni di Maxwell, Dirac perviene all’equazione (f) che contiene termini proporzionali a (σ·H) e (σ·E) (fr:8849‑8850). In prima approssimazione ciò conferisce all’elettrone un momento magnetico «(eħ/(4πmc)) σ» e un momento elettrico (fr:8851).

Il problema cruciale delle soluzioni a energia negativa viene affrontato notando che, mentre nella relatività ordinaria senza quantizzazione la continuità impedisce il passaggio da energie positive a negative (occorrerebbe un salto di almeno 2m₀c²), in meccanica quantistica tale transizione non è esclusa, rendendo necessaria un’interpretazione (fr:8852). La coniugata complessa di una soluzione a energia negativa corrisponde a una particella di carica +e nello stesso campo (fr:8853). Dirac fu quindi condotto a ritenere che «the negative energy solutions of the wave equation (e’) are related to the motion of protons or hydrogen nuclei, although there still remains the difficulty of the large mass difference.» (fr:8854) [le soluzioni a energia negativa dell’equazione d’onda (e’) sono correlate al moto di protoni o nuclei d’idrogeno, sebbene resti la difficoltà della grande differenza di massa.]. Rielaborando il concetto, si giunge all’idea del “mare” di stati a energia negativa: «Only a vacancy would be detectable in this homogeneous distribution (-e, -W) and would appear with the properties (+e, +W).» (fr:8855) [Solo una lacuna sarebbe rilevabile in questa distribuzione omogenea (-e, -W) e apparirebbe con le proprietà (+e, +W).]. Un vuoto perfetto sarebbe allora una regione in cui tutti gli stati a energia positiva sono vuoti e tutti quelli a energia negativa sono occupati (fr:8856). Un elettrone può comunque cadere in uno stato negativo non occupato (fr:8857) e «Very probably such processes actually occur!» (fr:8858) [Molto probabilmente tali processi si verificano realmente!].

Dopo aver ricordato come la teoria di Dirac introduca un momento magnetico per l’elettrone (fr:8860) – in grado, con l’ipotesi di Thomas e Frenkel, di risolvere le difficoltà della struttura fine e degli effetti Zeeman anomali (fr:8861‑8864) – il testo sottolinea che «it is in the interpretation of negative energy states that this analysis most strikingly anticipated experiment.» (fr:8865) [è nell’interpretazione degli stati a energia negativa che questa analisi anticipò nel modo più sorprendente l’esperimento.]. L’impiego di contatori Geiger per controllare l’espansione in camera a nebbia permise a Blackett e Occhialini di fotografare le traiettorie di particelle cariche nei raggi cosmici (fr:8866). Nel febbraio 1933, «Blackett and Anderson decided on the existence of the positive electron, which is often called the “positron” or “positon”.» (fr:8867) [Blackett e Anderson stabilirono l’esistenza dell’elettrone positivo, spesso chiamato “positrone” o “positone”.]. Nelle interazioni osservate l’energia cinetica si ripartisce in modo disuguale, ma soprattutto l’energia della radiazione incidente non può scendere sotto 2m₀c², proprio come previsto dalla teoria di Dirac (fr:8868).

L’intero percorso, dalla definizione simbolica di osservabile fino alla scoperta del positrone, testimonia la capacità del formalismo di Dirac di unificare principi astratti e fenomeni reali, consegnando alla fisica uno dei più spettacolari connubi fra previsione teorica e verifica sperimentale del Novecento.

[26.2-105-8869|8973]

42 Dalla formalizzazione di Dirac all’evidenza del positrone: sovrapposizione, matrici e antimateria

Il testo percorre in modo frammentario ma denso alcuni snodi fondanti della meccanica quantistica, muovendo dai postulati di Dirac fino alla predizione e alla scoperta sperimentale del positrone. Ne emerge un quadro che, pur attraverso refusi e lacune tipografiche, mette in luce l’evoluzione concettuale che portò dalla nuova dinamica degli stati alla verifica dell’antimateria.

L’impianto assiomatico di Dirac prende le mosse dal ruolo dell’osservazione quantistica. “Every ob- sel”vation, as in the classical theory, has the effect of providing number corresponding to the value of each observable.” – (fr:8869) [Ogni osservazione, come nella teoria classica, ha l’effetto di fornire un numero corrispondente al valore di ciascuna osservabile.] La novità radicale è il principio di sovrapposizione, presentato in modo ellittico: “The postulate of superposition of states is 1vritten ‘t~here the C;, are real or complex numberR.” – (fr:8871) [Il postulato di sovrapposizione degli stati è scritto come ψ = Σ_i C_i ψ_i, dove i C_i sono numeri reali o complessi.] La sovrapposizione di uno stato su se stesso riproduce lo stesso stato (fr:8872) e soltanto prodotti del tipo ψψ hanno significato fisico (fr:8874). Quando ψ_r ψ_r = 1 lo stato è detto normalizzato (fr:8875). La probabilità che due stati normalizzati concordino in una osservazione massimale è data da |ψ_r* ψ_s|² (fr:8876). Un insieme completo di ψ_r indipendenti permette di sviluppare ogni stato come combinazione lineare: “If there is available a complete set of independent 1pr such that every tp may be a linear function of the tp,., the rx1pr are sufficient to define cx.” – (fr:8884) [Se si dispone di un insieme completo di ψ_r indipendenti tali che ogni ψ possa essere una funzione lineare dei ψ_r, le quantità α ψ_r sono sufficienti a definire α.] L’ortogonalità tra stati è definita dal prodotto nullo: ψ_1* ψ_2 = 0 (fr:8890) e gli autostati appartenenti ad autovalori distinti di una stessa osservabile sono indipendenti (fr:8891).

Il formalismo si traduce in una rappresentazione matriciale. Sviluppando uno stato generico su un sistema fondamentale completo si ha “every state “P may be represented uniquely by 1jJ == ‘£ ap 1jJp” – (fr:8900) [ogni stato ψ può essere rappresentato univocamente come ψ = Σ_p a_p ψ_p.] Per un’osservabile α, l’azione sugli stati fondamentali fornisce “the symhol (X1pq is developed as a series … in the form iJ.,VJq =L p 1jJp rJ.pq” – (fr:8901) [la quantità α ψ_q viene sviluppata come serie nella forma α ψ_q = Σ_p ψ_p α_pq.] Così ogni osservabile è rappresentata da una matrice a due indici (α_pq). Il numero ordinario corrisponde a una matrice diagonale c δ_pq (fr:8902). Affinché la rappresentazione dei ψ e dei ψ* (non necessariamente coniugati complessi) dia gli stessi numeri rappresentativi, occorre che le matrici soddisfino condizioni di ortogonalità: “In order that this should be true for all ex it is necessary that 1jJp1jJq == 0 … say 1jJptpq= bpq” – (fr:8903) [… è necessario che ψ_p* ψ_q = 0 … ossia ψ_p* ψ_q = δ_pq.] Questo conduce a una rappresentazione ortogonale. L’analisi mostra che il numero di ψ fondamentali è al più infinità numerabile (fr:8904); quando l’indice diventa continuo si ricorre a integrali del tipo ψ = ∫ a_p ψ_p dp e a relazioni con δ(p–q) (fr:8905‑8907). Vengono inoltre considerate rappresentazioni in cui ogni ψ fondamentale è autostato simultaneo di un insieme di osservabili reali commutative, sicché ciascuna osservabile appare come una matrice diagonale i cui elementi non nulli sono gli autovalori (fr:8908‑8909). Il passaggio da una rappresentazione all’altra per una ψ arbitraria dà luogo a ampiezze di probabilità la cui simmetria è così sintetizzata: “the probability that the E should have the values ~’ when it is known that the 1j have the values 1j’ is equal to the probability that the 1j should have the values 1j’ when it is known that the ~ have the values ~’.” – (fr:8911) [la probabilità che le ξ abbiano i valori ξ’ quando è noto che le η hanno i valori η’ è uguale alla probabilità che le η abbiano i valori η’ quando è noto che le ξ hanno i valori ξ’.] Il testo nota che, sebbene il formalismo possa apparire astratto, le sue premesse sull’osservazione sono più naturali di quelle classiche, e aggiunge un commento storico: “it has been remarked that Dirac had worked with Hilbert spaces without knowing it” – (fr:8917) [è stato osservato che Dirac lavorò con gli spazi di Hilbert senza saperlo.]

Il parallelo con la meccanica ondulatoria viene sviluppato seguendo de Broglie (fr:8918). Si considerano funzioni di più variabili definite in un dominio D, normalizzabili (N(f)=1, fr:8920). Un sistema completo di funzioni ortogonali e normalizzate φ_i consente lo sviluppo in serie ψ = Σ c_i φ_i (fr:8923‑8924). A un operatore lineare A corrisponde una matrice complessa con elementi a_ki, e l’azione A(ψ) si traduce nelle componenti c’_k = Σ_i a_ki c_i (fr:8925‑8927). L’operatore è hermitiano se la matrice associata è hermitiana in ogni sistema base (fr:8928). L’equazione agli autovalori A(φ) = a φ ammette soluzioni finite, uniformi e continue solo per certi valori reali della costante a (spettro discreto) o, se il dominio è infinito, per uno spettro continuo (fr:8929‑8930). I due principi cardine della meccanica ondulatoria sono poi riassunti: “Let there be a mechanical quantity and a corresponding operator A.” – (fr:8934) [Sia data una grandezza meccanica e un corrispondente operatore A.] Il secondo enunciato completa il primo (fr:8935).

La trattazione relativistica solleva difficoltà sostanziali. Lo stato è una funzione di (x, y, z, t) (fr:8939), ma derivarla rispetto al tempo non preserva in generale l’equazione d’onda (fr:8940). Dirac introduce gli operatori –iħ ∂/∂x (fr:8941), mentre quantità come ψ* p_x ψ non sono numeri (fr:8942). L’equazione di Klein‑Gordon, ottenuta dall’equazione di Jacobi generalizzata, “is not satisfactory from the quantum point of view, which requires linearity with respect to the operator” – (fr:8944) [non è soddisfacente dal punto di vista quantistico, che richiede la linearità rispetto all’operatore ∂/∂t.] Dirac cerca un’equazione lineare in ∂/∂t e invariante sotto trasformazioni di Lorentz (fr:8948). Imponendo le opportune condizioni di commutazione alle matrici α e β, si giunge all’equazione “{W^2/c2 – Σ p_i^2 – m^2c2} ψ = 0” – (fr:8949) [si ottiene l’equazione (W²/c² – Σ p_i² – m²c²) ψ = ] In presenza di un campo elettromagnetico, seguendo la sostituzione minimale W → W + e A₀, p → p + e/c A (fr:8951), Dirac scrive l’equazione d’onda che, “unlike the corresponding equations for a free particle, are no longer equivalent” – (fr:8955) [a differenza delle corrispondenti equazioni per particella libera, non sono più equivalenti.] In una rappresentazione con α reali e β puramente immaginaria, la funzione complessa coniugata soddisfa un’equazione simmetrica (fr:8957).

L’interpretazione fisica dello spettro a energie negative conduce Dirac all’ipotesi del “mare” di elettroni: quasi tutti gli stati a energia negativa sono occupati, in accordo con il principio di esclusione (fr:8959). Inizialmente la lacuna fu identificata con il protone (fr:8960). “the exclusion principle will come into play by preventing a positive energy electron from jumping into a negative energy state [occupied].” – (fr:8961) [il principio di esclusione interviene impedendo a un elettrone di energia positiva di saltare in uno stato a energia negativa occupato.] Ne deriverebbe la possibilità che un elettrone e un protone scompaiano simultaneamente emettendo radiazione (fr:8962). Di lì a poco, l’evidenza sperimentale avrebbe imposto l’interpretazione corretta (positrone), ma il testo inquadra la vicenda come un percorso di conferma: “THE DIRAC ELECTRON AND EXPERIMENT.” – (fr:8964) [L’ELETTRONE DI DIRAC E L’ESPERIMENTO.] Viene ricordato il necessario ricorso a numeri quantici interni empirici per spiegare la molteplicità delle righe (fr:8966), e il fatto che la teoria dell’elettrone puntiforme attribuiva un momento angolare proprio (spin) di valore h/2π (fr:8967). Nel 1925 Uhlenbeck e Goudsmit avevano proposto “attributing to the electron, likened to a small charged sphere, a rotational velocity of its own and consequently an intrinsic angular momentum (spin) having the value ± h/4π” – (fr:8968) [di attribuire all’elettrone, assimilato a una piccola sfera carica, una velocità di rotazione propria e di conseguenza un momento angolare intrinseco (spin) di valore ± h/4π]. L’analisi di Dirac permise di mettere ordine nella struttura fine (fr:8969).

La verifica sperimentale giunse in rapida successione. Già nel 1932 Anderson, tramite camera a nebbia, dimostrò l’esistenza di particelle cariche positivamente nei raggi cosmici (fr:8970). Confrontando la densità di gocce ionizzate, si stabilì che “the charge of the positive particles was equal, to within 10%, to e and that, within 20%, their proper mass was that of the ordinary electron” – (fr:8971) [la carica delle particelle positive era uguale, entro il 10%, a e e che, entro il 20%, la loro massa propria era quella dell’elettrone ordinario]. Quasi contemporaneamente F. Joliot e I. Curie crearono positroni in coppia con elettroni bombardando atomi pesanti con raggi γ di energia superiore a 2 m₀c². Il processo, riportato con dovizia di dati numerici, era “y-ray on heavy atom → electron + positron” con un’energia totale di 2,6 MeV, di cui 1,6 MeV corrispondenti all’energia di riposo della coppia e il resto ripartiti in energia cinetica (fr:8972). Una volta creato, il positrone ha elevate probabilità di incontrare un elettrone: “there is every chance that it will dematerialise by encountering a negative electron” – (fr:8973) [c’è ogni probabilità che esso si smaterializzi incontrando un elettrone negativo], data la densità di circa 3×10²³ elettroni per grammo di materia.

Nell’insieme, questi frammenti testimoniano il serrato intreccio fra affinamento formale, previsione teorica e riscontro sperimentale che, dalla sovrapposizione degli stati fino all’annichilazione delle coppie, ha profondamente plasmato la nostra comprensione del mondo quantistico e dell’antimateria.

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[27.1-61-9025|9085]

43 L’asimmetria spazio-temporale e il principio di complementarità

La riconciliazione tra relatività e quanti non sembra realizzabile nello spazio-tempo indissolubile di Minkowski, proprio perché la teoria quantistica richiede un parametro evolutivo che rompe la simmetria relativistica e conduce a una fisica della complementarità.

Il testo analizza una tensione fondamentale tra la meccanica quantistica e la relatività, per poi introdurre il principio di complementarità come risposta filosofica ai dilemmi che ne scaturiscono. Un primo nucleo tematico riguarda l’asimmetria tra spazio e tempo. Viene osservato come, già nella teoria di Dirac, la variabile temporale giochi un ruolo differente rispetto alle variabili spaziali: “In the Dirac theory, just as much as in simple wave mechanics, the time variable plays a part which is quite different from that of the space variables.” - (fr:9028) [Nella teoria di Dirac, proprio come nella semplice meccanica ondulatoria, la variabile tempo gioca un ruolo del tutto diverso da quello delle variabili spaziali.] La determinazione degli autovalori e dei valori medi avviene tramite integrazioni nel solo spazio, una definizione che “clearly such definitions are not relativistic” - (fr:9030) [tali definizioni chiaramente non sono relativistiche]. Un approccio coerente richiederebbe l’uso di domini spazio-temporali, ma ciò condurrebbe a una fisica interamente statica, dove ogni evoluzione sarebbe proibita.

Questa rottura della simmetria è necessaria perché la teoria quantistica ha bisogno di un parametro evolutivo: “At present quantum theory takes the time to be the evolutionary parameter and thus breaks up the relativistic symmetry between space and time.” - (fr:9036) [Allo stato attuale, la teoria quantistica assume il tempo come parametro evolutivo e rompe così la simmetria relativistica tra spazio e tempo.] Il testo sottolinea come persino nella relatività classica le variabili non siano equivalenti, poiché il tempo varia sempre nello stesso senso, conferendo allo spazio-tempo una “essential polarity” - (fr:9039) [polarità essenziale]. La conclusione provvisoria è drastica: se relatività e quanti saranno un giorno riconciliati, non avverrà nello spazio-tempo indissolubile di Minkowski.

Un ulteriore aspetto dell’asimmetria emerge dall’analisi delle relazioni di indeterminazione. Louis de Broglie nota che la simmetria richiederebbe di affiancare alle classiche relazioni di Heisenberg una quarta relazione, “ΔW · Δt > h” - (fr:9042, 9044), dove W è la componente temporale del “momento mondiale”. Tuttavia, il tempo in meccanica quantistica è un parametro dal valore specificato senza incertezza. Viene quindi attribuito un significato del tutto diverso a questa quarta relazione: essa esprime il fatto che un’osservazione compiuta in un punto fisso per un intervallo di tempo Δt non può rivelare l’energia di un corpuscolo con un’incertezza minore di h/Δt. Questo significato è “quite different from that of the first three” - (fr:9044) [del tutto diverso da quello delle prime tre].

La discussione si sposta poi sul principio di complementarità di Bohr. Il postulato quantistico introduce un carattere di discontinuità, o individualità, completamente estraneo alla fisica classica, caratterizzato dal quanto d’azione di Planck. Ciò impone un abbandono della descrizione causale e spaziotemporale unificata dei fenomeni atomici. L’osservazione implica un’interazione finita con lo strumento di misura; di conseguenza, “it is impossible to attribute to the phenomena, or to the instrument of observation, an autonomous physical reality in the ordinary sense of the word” - (fr:9051) [è impossibile attribuire ai fenomeni, o allo strumento di osservazione, una realtà fisica autonoma nel senso ordinario del termine]. Si crea un’alternativa secca: se si isola il sistema per definirlo classicamente, si esclude ogni osservazione; se si permette l’interazione con lo strumento di misura, la definizione univoca del sistema diventa impossibile e con essa “there can no longer be any question of causality in the ordinary sense of the word” - (fr:9055) [non può più esservi questione di causalità nel senso ordinario del termine].

Bohr teorizza quindi una modifica radicale del rapporto tra descrizione spaziotemporale e causalità, concependoli come aspetti complementari ma che si escludono a vicenda. Le relazioni di indeterminazione di Heisenberg diventano l’espressione simbolica di questa natura complementare, permettendo di combinare il teorema di conservazione dell’energia-impulso con la rappresentazione spaziotemporale, non più per eventi puntuali ben definiti, ma per individui definiti con accuratezza limitata in domini spazio-temporali finiti.

La tesi di Bohr è riassunta nel dilemma onda-particella, che non rappresenta una contraddizione logica ma l’espressione accurata dei dati sperimentali. Radiazione nel vuoto e particelle materiali libere sono considerate idealizzazioni, poiché le loro proprietà possono essere definite solo tramite interazione. L’universo quantizzato è troppo ricco per essere descritto da un unico metodo intuitivo: laddove la meccanica razionale si accontenta dei corpuscoli e l’ottica fisica delle onde, la meccanica quantistica è obbligata a ricorrere a entrambe le rappresentazioni, esprimendone la reciproca limitazione. Solo l’insieme di queste concezioni complementari può formare una generalizzazione naturale del metodo classico di descrizione.

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[28.1-46-9164|9209]

44 Semi-legalità quantistica e probabilità di presenza: da Poincaré alla meccanica ondulatoria

“La meccanica quantistica ci costringe ad abbandonare l’assioma classico delle condizioni iniziali” (fr:9169)

Il testo affronta il delicato passaggio dalla legalità classica a una forma attenuata di prevedibilità nella meccanica quantistica, mostrando come l’impossibilità di misurare simultaneamente osservabili che non commutano spezzi l’ideale deterministico in una semi-legalità. Se misuriamo (A_1) al tempo (t=0) e troviamo (a_1), siamo in grado di prevedere con certezza che (x) avrà lo stesso valore per (t=t_1) – purché (A_1) sia un integrale primo. Allo stesso modo, “If we measure A 2 at the time t === 0 and find the result a 2 , we are able to predict with certaint)T that x”,~i11 have the same yalue for t ==- t 2 - But it is essential that the simultaneous measurement of Al and A 2 is impossible.“ (fr:9166) [Se misuriamo (A_2) al tempo (t=0) e troviamo il risultato (a_2), siamo in grado di prevedere con certezza che (x) avrà lo stesso valore per (t=t_2) – ma è essenziale che la misura simultanea di (A_1) e (A_2) sia impossibile.] Tale impossibilità è garantita dal fatto che “Al and A 2 do not commute for any value of t” (fr:9167) [(A_1) e (A_2) non commutano per alcun valore di (t)]. L’osservatore può scegliere liberamente quale misura eseguire, ma otterrà solo una certezza isolata su uno di questi operatori e, di conseguenza, sul valore di (x) in un istante successivo scelto.

Questa situazione, spiega l’autore, garantisce la semi-legalità di (x). “In short, quantum mechanics forces us to give up the classical axiom of initial conditions.” (fr:9169) [In breve, la meccanica quantistica ci costringe ad abbandonare l’assioma classico delle condizioni iniziali.] Mentre la misura di (x) con certezza fa riemergere l’assioma scolastico, l’assioma quantistico permette di specificare lo stato iniziale in infiniti modi, corrispondenti alla scelta di una funzione arbitraria (F(x,p)). “The modifications of the classical legality of observables are situated on another plane.” (fr:9171) [Le modifiche della legalità classica degli osservabili si situano su un altro piano.] Contro chi vede in esse il fallimento del determinismo, il testo giudica tale conclusione “certainly an exaggeration” (fr:9173) [certamente un’esagerazione]. L’analisi presentata oppone un postulato di prevedibilità a una circostanza in cui la legalità potrebbe essere completamente sospesa; al contrario, “the conditions of stability, together with the first postulate, imply a complete legality in the evolution of the state of the system” (fr:9175) [le condizioni di stabilità, insieme al primo postulato, implicano una legalità completa nell’evoluzione dello stato del sistema]. Se però si considerano gli osservabili anziché lo stato, la legalità classica sopravvive soltanto per gli integrali primi. Per osservabili scelti arbitrariamente, la meccanica quantistica offre al più una semi-legalità, ovvero la previsione a ogni istante della distribuzione di probabilità dei possibili valori. Tuttavia, “by means of a suitable measurement, it is possible to predict the measurement of any observable at an isolated later time which is arbitrarily chosen” (fr:9178) [mediante una misura opportuna, è possibile predire la misura di un qualunque osservabile in un istante successivo isolato scelto arbitrariamente]. La legalità classica può ricomparire, per compensazione statistica, in un insieme di individui (x) e (p) le cui incertezze sono legate dalla relazione di Heisenberg (teorema di Ehrenfest). Inoltre, le proprietà di stabilità e, all’occorrenza, di relatività sono conservate nella meccanica quantistica; la stabilità va intesa qui come stabilità di una distribuzione di probabilità in tutti i casi di semi-legalità.

La seconda parte del brano riprende un celebre lavoro di Poincaré del 1912 sulle probabilità di presenza. In un sistema di equazioni differenziali del primo ordine, la probabilità (W,d) che il punto rappresentativo dello stato si trovi in un volume elementare dello spazio delle fasi è definita da Poincaré come il rapporto tra il tempo (t) trascorso in un volume (V) e un intervallo totale (T) molto lungo, a patto che tale rapporto sia indipendente da () e da (T). *“Provided that T is very large, this probability has no meaning if t cannot be considered as independent of () and of T. If this condition is fulfilled and if W can be defined, it will necessarily satisfy the partial differential equation (_k = 0).” (fr:9191) [A condizione che (T) sia molto grande, questa probabilità non ha significato se (t) non può essere considerata indipendente da () e da (T). Se questa condizione è soddisfatta e se (W) può essere definita, essa soddisferà necessariamente l’equazione alle derivate parziali (_k = 0).] Per le equazioni canoniche della meccanica classica, l’identità legata alle parentesi di Poisson fornisce immediatamente (W=1): il fatto che l’unità sia un ultimo moltiplicatore di Jacobi esprime ”the complete homogeneity of the possibilities of localisation of the representative point of the state of the system in the phase space”* (fr:9194) [la completa omogeneità delle possibilità di localizzazione del punto rappresentativo dello stato del sistema nello spazio delle fasi]. Questo risultato incarna al tempo stesso legalità, continuità e omogeneità delle soluzioni che caratterizzano la dinamica classica.

Poincaré, cercando un ultimo moltiplicatore che conducesse alla legge di Planck anziché alla legge di equipartizione di Rayleigh-Jeans, ottenne una funzione essenzialmente discontinua (W) contenente fattori nulli quando l’energia differiva da un multiplo del quanto elementare (). “These discontinuities are inevitable if it is desired that the radiation should be finite.” (fr:9197) [Queste discontinuità sono inevitabili se si desidera che la radiazione sia finita.] Il fisico francese osservò che le vecchie teorie portavano forzatamente alla legge di equipartizione e a una radiazione totale infinita proprio perché supponevano l’unità come ultimo moltiplicatore. Occorreva allora ammettere che le leggi d’urto fra elettrone e risonatore non avessero la stessa forma e ammettessero un ultimo moltiplicatore diverso da uno, benché uniforme, per non violare il secondo principio della termodinamica. Interpretando Planck, Poincaré scrive: “The probability of the continuous variable is obtained by considering independent elementary domains of equal probability.” (fr:9201) [La probabilità della variabile continua si ottiene considerando domini elementari indipendenti di uguale probabilità.] Nella dinamica classica, due stati fisici di cui uno è effetto necessario dell’altro sono ugualmente probabili, e per il teorema di Liouville il dominio (dp,dq) è un invariante nel tempo se (q) e (p) variano secondo Hamilton. “Whence it follows that the domain of probability is infinitely small and of magnitude dpdq…” (fr:9205) [Da ciò segue che il dominio di probabilità è infinitamente piccolo e di grandezza (dp,dq)…] L’ipotesi dei quanti serve allora a restringere la variabilità di (p) e (q) in modo che queste variabili mutino solo a salti o siano parzialmente connesse. Si ottiene così una riduzione del numero dei domini elementari di probabilità e un aumento della loro estensione. “The hypothesis of quanta of action consists of the supposition that these domains, all equal to each other, are no longer infinitely small but finite, and that for each of them (dp,dq = h) where h is a constant.” (fr:9208) [L’ipotesi dei quanti d’azione consiste nell’ammettere che questi domini, tutti uguali fra loro, non siano più infinitamente piccoli ma finiti, e che per ciascuno di essi (dp,dq = h), dove (h) è una costante.] Nella meccanica quantistica (meccanica ondulatoria semplice), a causa della definizione stessa dello stato mediante una funzione () soluzione dell’equazione d’onda, la probabilità di presenza del punto rappresentativo del sistema ha senso soltanto in un elemento (d) dello spazio di configurazione.

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[29.1-35-9275|9309]

45 Critica del criterio di realtà einsteiniano e dissoluzione del paradosso

L’attribuzione di realtà a un sistema fisico non può dipendere da misure condotte su un sistema distante senza perturbazione, pena il sorgere di paradossi che svaniscono abbandonando un criterio di realtà eccessivamente restrittivo.

La discussione prende avvio dalla constatazione che Einstein stesso giustifica una certa conclusione, ma ammette un’obiezione: “It could be objected t:o this conclusion that our criterion of reality is not sufficiently restric- tive.” – (fr:9275-9276) [Si potrebbe obiettare a questa conclusione che il nostro criterio di realtà non è sufficientemente restrittivo]. Il punto cruciale è che se si concedesse che due grandezze possano essere considerate elementi simultanei di realtà solo a condizione di poter essere misurate (o calcolate) simultaneamente, la conclusione cambierebbe: “It is true that this conclusion would not be arrived at if it “granted that two magnitudes must be considered as simultaneous elements of reality only on condition that they can be measured (or calculated) simultaneously.” – (fr:9277) [È vero che non si arriverebbe a questa conclusione se si concedesse che due grandezze debbano essere considerate elementi simultanei di realtà solo a condizione che possano essere misurate (o calcolate) simultaneamente]. In tale prospettiva, non appena solo una delle due grandezze – ma non entrambe simultaneamente – fosse misurabile, esse non sarebbero simultaneamente reali: “From this point of view, as soon as one or the other-but not the two simultaneously-of the magnitudes P2 and q2 can be measured (or calculated), these magnitudes are not simul.. taneously real.” – (fr:9278) [Da questo punto di vista, non appena l’una o l’altra – ma non le due simultaneamente – delle grandezze P2 e q2 può essere misurata (o calcolata), queste grandezze non sono simultaneamente reali].

La realtà del sistema II verrebbe così a dipendere da osservazioni compiute sul sistema I, che non possono in alcun modo perturbare il sistema II: “Reality would thus be made to depend on the magnitudes P2 and q2’ belonging to the system II, of the observations carried out on the system I, and which could in no way disturb the system II.” – (fr:9279) [La realtà verrebbe quindi fatta dipendere, per le grandezze P2 e q2 appartenenti al sistema II, dalle osservazioni effettuate sul sistema I, le quali non potrebbero in alcun modo perturbare il sistema II]. Una simile circostanza è giudicata incompatibile con qualsiasi definizione ragionevole di realtà, il che esige una discussione approfondita della teoria di Einstein.

Il criterio indicato come (R) viene criticato perché lega la realtà fisica all’osservabile, invertendo il percorso usuale che deduce l’osservabile dalla realtà: “In the first place, the criterion (R) seems to link physical reality with the observable or magnitude endowed with physical meaning, in- stead of following the usual path of deducing the observable, which is already an abstract element, from reality.” – (fr:9281) [In primo luogo, il criterio (R) sembra collegare la realtà fisica all’osservabile o alla grandezza dotata di significato fisico, invece di seguire il percorso usuale che deduce l’osservabile, che è già un elemento astratto, dalla realtà]. Esso attribuisce rilevanza soltanto alle misure effettuate senza perturbazione, restringendo così l’applicazione della teoria quantistica ai soli casi puri, che sono eccezionali: “Th~ criterion (R) attaches significance only to the measurements effected ’U)ithout perturbation. It thus restricts the application of the quantum theory to pure cases alone.” – (fr:9282-9283) [Il criterio (R) attribuisce significato solo alle misure effettuate senza perturbazione. Esso restringe così l’applicazione della teoria quantistica ai soli casi puri]. Tali casi puri si incontrano o grazie a una coniugazione adatta dello stato del sistema e dell’osservabile da misurare, oppure a condizione di ammettere che ogni misura sia ripetibile, confermando immediatamente una prima misura senza eliminare la perturbazione che generalmente ne deriva e senza lasciare all’osservabile il tempo di evolvere: “N ow these are exceptional : either they are encountered thanks to a suitable conjugation of the state of the system and of the observable to be measured (state suitable for observation), or they are obtained, on condition that we grant that any measurement is repeatahle, by con- firming immediately a first measurement without eliminating the per- turbation that results in general from this latter and without leaving the observable the time to evolve.” – (fr:9284) [Ora, questi sono eccezionali: o si incontrano grazie a una coniugazione adatta dello stato del sistema e dell’osservabile da misurare (stato adatto all’osservazione), oppure si ottengono, a condizione di ammettere che ogni misura sia ripetibile, confermando immediatamente una prima misura senza eliminare la perturbazione che generalmente ne risulta e senza lasciare all’osservabile il tempo di evolvere].

Nell’esempio di interazione sviluppato da Einstein, la funzione d’onda del sistema totale I+II appare come l’integrale del prodotto delle autofunzioni di q1 e q2 oppure di P1 e P2. Grazie a questa circostanza, la misura di q1 (o di P1) rende possibile l’assegnazione di un valore esatto a q2 (o a P2). In questo caso si incontrano unicamente misure senza perturbazione e si possono enunciare certezze: “In the example of interaction which Einstein develops, the wave function of the total system 1+11 appears as the integral of the product of tpe eigenfunctions of either ql and q2 or of PI and P2. Thanks to this circumstance, the measurement of ql (or of PI) makes pos~ible the assignment of an exact value to q2 (or to P2). Only meas- ure:P:tents ,vithout perturbation are encountered and certainties can be/’stated.” – (fr:9285-9287) [Nell’esempio di interazione sviluppato da Einstein, la funzione d’onda del sistema totale I+II appare come l’integrale del prodotto delle autofunzioni di q1 e q2 oppure di P1 e P2. Grazie a questa circostanza, la misura di q1 (o di P1) rende possibile l’assegnazione di un valore esatto a q2 (o a P2). Si incontrano solo misure senza perturbazione e si possono enunciare certezze]. Tuttavia, nel caso generale ciò non è vero.

W.H. Furry pone la domanda cruciale: se dopo l’interazione tra i sistemi I e II si è misurata una quantità arbitraria A del sistema I ottenendo il risultato a, cosa si può dire di una quantità arbitraria B appartenente al sistema II? La risposta è che, in generale, sarà solo possibile calcolare la probabilità che B abbia uno dei suoi valori possibili. Pertanto, da una certezza su A si può solo enunciare una probabilità per B. Se il criterio (R) prende in considerazione solo i risultati certi, l’esperimento condotto sul sistema I non fornirà informazioni sulla “realtà” di II: “If an arbitrary quantity A of the system I has been measured after the interaction of the systems I and II and the result a has been obtained, ’l~,hat can be said about an arbitrary quantity B belonging to the system I I ? The following answer is obtained. In general it will only be possible to calculate the probability that the quantity B should have one of its possible values. Accordingly, from a certainty about A it is only possible to state a probability for B. If the criterion (R) only takes results which are certain into consideration, the experiment carried out on the system I will not give information about the ‘reality’ II.” – (fr:9289-9293) [Se una quantità arbitraria A del sistema I è stata misurata dopo l’interazione dei sistemi I e II e si è ottenuto il risultato a, cosa si può dire di una quantità arbitraria B appartenente al sistema II? Si ottiene la seguente risposta. In generale sarà solo possibile calcolare la probabilità che la quantità B abbia uno dei suoi valori possibili. Di conseguenza, da una certezza su A è solo possibile enunciare una probabilità per B. Se il criterio (R) prende in considerazione solo i risultati certi, l’esperimento condotto sul sistema I non darà informazioni sulla “realtà” II]. Perché una certezza su A fornisca una certezza su B è necessario che esista una connessione determinata tra le quantità A e B – condizione realizzata nell’esempio particolare di Einstein, ma non vera in generale.

L’argomento di Einstein solleva però un’obiezione più seria, legata alla simmetria del sistema totale di due particelle libere. Se si suppone che gli esperimenti siano compiuti sul sistema I, il paradosso riguardo alla “realtà” di II deriva esclusivamente dalle proprietà particolari attribuite alla realtà di quel sistema. L’impossibilità di determinare simultaneamente le quantità coniugate P1 e q1 esclude ogni paradosso per il sistema I; analogamente, il paradosso associato a II scompare se si rinuncia ad attribuire un carattere speciale alla realtà di quel sistema indipendentemente da qualsiasi misura: “Given the symmetry of the total system I II of two free particles which Einstein considers, the paradox in respect of the ‘reality’ II must be reflected in a similar paradox in respect of the ‘reality’ I. Einstein supposes that experiments are made on the system I. Faced with the impossibility of measurlllg the conjugate quantities PI and ql simultaneously, the observer exercises a free choice- he measures PI or qI· The paradox which arises in respect of the system II follows exclu- sively from the particular properties attributed to the ‘reality’ of this system. All paradox in respect of I is ruled out by the impossibility of the simultaneous determination of the pair of observables PI and qt. The paradox associated with II similarly disappears if the attribution of a special character to the ‘reality’ of this system, apart from any measurement, is forgone.” – (fr:9299-9302) [Data la simmetria del sistema totale I II di due particelle libere considerato da Einstein, il paradosso riguardo alla “realtà” II deve riflettersi in un paradosso simile riguardo alla “realtà” I. Einstein suppone che gli esperimenti siano condotti sul sistema I. Di fronte all’impossibilità di misurare simultaneamente le quantità coniugate P1 e q1, l’osservatore esercita una libera scelta – misura P1 o q1. Il paradosso che sorge riguardo al sistema II deriva esclusivamente dalle proprietà particolari attribuite alla “realtà” di questo sistema. Ogni paradosso riguardo a I è escluso dall’impossibilità della determinazione simultanea della coppia di osservabili P1 e q1. Il paradosso associato a II scompare analogamente se si rinuncia ad attribuire un carattere speciale alla “realtà” di questo sistema, indipendentemente da qualsiasi misura]. Appare inoltre fisicamente innaturale attribuire più “realtà” a un sistema su cui non si compie alcuna osservazione che a uno sul quale si eseguono esperimenti, e ciò solo perché, in assenza di misura, si esclude ogni alterazione della “realtà”: “Further, from the physical point of view it seems rather unnatural t9 attribute more ‘reality’ to a system on which no observation i~ made than to one on which experiments are performed, and this ~erely because, in the absence of measurement., all alteration of the ‘ reality’ is excluded.” – (fr:9303) [Inoltre, dal punto di vista fisico sembra piuttosto innaturale attribuire più “realtà” a un sistema sul quale non si compie alcuna osservazione che a uno sul quale si eseguono esperimenti, e ciò semplicemente perché, in assenza di misura, si esclude ogni alterazione della “realtà”].

Un’ultima osservazione riguarda il momento in cui il paradosso si manifesta: nell’esempio di Einstein esso appare quando l’interazione è cessata. Tuttavia, a causa della non localizzazione delle particelle, è dubbio che si possa affermare che l’interazione sia realmente cessata: “Finally we observe that in the example given by Einstein-and in analogous examples which could be constructed-the paradox appears when the interaction has ceased. But, because of the non- localisation of the particles, it is doubtful whether it may be said that the interaction has ceased.” – (fr:9304-9305) [Infine osserviamo che nell’esempio dato da Einstein – e in esempi analoghi che si potrebbero costruire – il paradosso appare quando l’interazione è cessata. Ma, a causa della non localizzazione delle particelle, è dubbio che si possa dire che l’interazione sia cessata].

Lasciando la questione dell’interazione, il discorso si sposta su una considerazione più semplice: un sistema in uno stato qualsiasi ψ e una quantità arbitraria con autofunzioni corrispondenti. La meccanica quantistica si limita a rivelare le probabilità di accordo tra lo stato ψ e le autofunzioni ψa, ψb, e così via, senza fornire alcuna certezza ulteriore: “More simply, we consider a system in any state 1p and an. arbitrary quantity having the possible values a, b,… to which correspond the eigenfunctions 1pa, 1pb• ••• Quantum mechanics only discloses to us the probabilities ofagreement of, the states 1p and 1pa, 1p and 1pb, etc.” – (fr:9306-9308) [Più semplicemente, consideriamo un sistema in uno stato qualsiasi ψ e una quantità arbitraria avente i valori possibili a, b, … ai quali corrispondono le autofunzioni ψa, ψb, … La meccanica quantistica ci rivela soltanto le probabilità di accordo degli stati ψ e ψa, ψ e ψb, ecc.].

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[30.1-138-9322|9459]

46 Tra probabilità e realtà: il dibattito epistemologico nella meccanica quantistica e la sua rappresentazione storica

Il passo esamina il ruolo del caso e degli stati puri nella meccanica quantistica, il confronto tra la concezione della realtà di Einstein e la complementarità di Bohr, la tensione fra ragionamento astratto e immagini intuitive nella costruzione delle teorie fisiche, e si chiude con una riflessione storica sulla scelta dei princìpi e sul pericolo dello schematismo.

Il testo prende avvio dall’analogia con il lancio di un dado: la distribuzione delle probabilità è l’insieme dei sei valori uguali a 1/6, ma un singolo lancio che mostri la faccia 5 non modifica tale distribuzione; occorre un gran numero di lanci per fissarla, e la conoscenza di un lancio isolato non altera l’insieme delle probabilità iniziali. Tale paragone, pur contenendo “a part of truth”, è dichiarato “over-simple” (fr:9325) [«una parte di verità in questo paragone fin troppo semplice»] perché per assimilare la meccanica quantistica a un gioco di dadi bisognerebbe fare astrazione dei casi puri, ossia di quelle situazioni in cui il dado è guidato in modo da cadere sempre sulla stessa faccia. Questi casi puri, che soddisfano il postulato che Margenau proponeva di escludere, sono anzi da considerarsi privilegiati: costituiscono l’unico punto di convergenza tra la dottrina classica e quella quantistica nella considerazione delle misure fisiche, e proprio essi potrebbero aver guidato Einstein nell’enunciazione del suo criterio (fr:9328). Occorre perciò distinguere la certezza direttamente offerta da un caso puro, che è “a certitude of the classical type” (fr:9330) [«una certezza di tipo classico»], dalla certezza che può risultare dalla conferma immediata di una qualunque misura, la quale viene invece “extracted from a superposition of states (generally infinite in number)” (fr:9331) [«estratta da una sovrapposizione di stati (generalmente in numero infinito)»]: da questa infinità si sceglie uno stato, ma la scelta non influenza il sistema e, senza mutare il corso dei fatti, modifica soltanto la nostra conoscenza, secondo quanto affermato da Heisenberg. Tale distinzione, per quanto sottile, è essenziale, benché un caso puro possa essere riguardato matematicamente come limite di una miscela di stati. Al di fuori dei casi puri, lo stato di un sistema è distinto dalla conoscenza che se ne può avere, a meno che non si esegua un gran numero di misure capaci di fornire una distribuzione delle possibilità: “A mixture [of states] is essentially different from any pure state whatever” — come ricorda Furry (fr:9336) [«Una miscela [di stati] è essenzialmente diversa da qualunque stato puro»]. Si delinea così un compromesso fra la concezione puramente probabilistica e quella di Einstein, che si limita a considerare i soli stati puri in cui la certezza si ottiene direttamente; la “realtà” quantistica parteciperebbe di entrambe le concezioni (fr:9337-9338).

La controversia epistemologica si approfondisce con la presa di posizione di Bohr, che respinge il criterio di realtà einsteiniano. Lo scienziato danese insiste sul fatto che, dopo l’interazione di due sistemi, abbiamo la libera scelta di misurare l’una o l’altra delle due quantità coniugate senza interferire direttamente con la seconda particella; questa libera scelta corrisponde alla possibilità di impiegare senza ambiguità concetti classici complementari (coordinata o impulso). Nelle sue parole, “Einstein’s argument does not authorise us to conclude that the description of reality offered by quantum mechanics may be incomplete. On the contrary, this description emerges as the rational utilisation of the possibilities of interpretation compatible with the finite and controllable interaction between objects and the instruments of measurement.” (fr:9343-9344) [«L’argomento di Einstein non ci autorizza a concludere che la descrizione della realtà offerta dalla meccanica quantistica possa essere incompleta. Al contrario, questa descrizione emerge come l’utilizzazione razionale delle possibilità di interpretazione compatibili con l’interazione finita e controllabile tra gli oggetti e gli strumenti di misura.»]. È proprio la mutua esclusione di due procedimenti sperimentali — che consentono la definizione univoca di grandezze fisiche complementari — a lasciare spazio alle nuove leggi, la cui coesistenza simultanea potrebbe a prima vista sembrare inconciliabile con i fondamenti stessi della scienza (fr:9345).

Il passo introduce poi il punto di vista di Louis de Broglie, il quale, pur riconoscendo che un esperimento comporta una perturbazione, nega che questa faccia scomparire il carattere oggettivo del sistema sottoposto all’esperimento. De Broglie osserva che “the methods of observation, the instruments of observation and even the organs of our senses belong to the objective category and the fact that, in microscopic physics, it is longer possible to ignore their reactions on the parts of the external world that we wish to study can in no way abolish or even blur the traditional distinction between objective and subjective.” (fr:9358) [«i metodi di osservazione, gli strumenti di osservazione e perfino gli organi dei nostri sensi appartengono alla categoria oggettiva, e il fatto che nella fisica microscopica non sia più possibile ignorare le loro reazioni sulle parti del mondo esterno che desideriamo studiare non può in alcun modo abolire e nemmeno offuscare la distinzione tradizionale tra oggettivo e soggettivo.»] La conclusione del fisico francese è che la fisica quantistica svela il carattere artificiale della separazione classica tra sistema osservato e strumento di misura, e prova che “a description of physical reality quite independent of the means with which we choose to observe it is strictly impossible” (fr:9359) [«una descrizione della realtà fisica del tutto indipendente dai mezzi con cui scegliamo di osservarla è strettamente impossibile»]. Dirac, dal canto suo, fondandosi sul dualismo onda-corpuscolo, insiste sulla futilità degli sforzi volti a descrivere la realtà come qualcosa che contenga simultaneamente onde e particelle interagenti tra loro. Nonostante il permanere di una controversia che si può solo lasciare ai filosofi, l’autore suggerisce che sarebbe confortante poter continuare a credere nell’esistenza di una realtà oggettiva, pur accettando un compromesso tra la tesi di Einstein e la concezione puramente probabilistica e rinunciando ad afferrare contemporaneamente certi aspetti complementari nel senso di Bohr (fr:9363-9365).

L’analisi si sposta quindi sul contrasto tra ragionamento astratto e intuizione concreta nella costruzione delle teorie fisiche. Louis de Broglie ricorda che fin da quando la fisica ha assunto la forma di dottrine matematiche coerenti, “two tendencies have been in conflict” (fr:9368) [«due tendenze sono state in conflitto»]. Gli intuitifs hanno sempre cercato di appoggiarsi a rappresentazioni concrete tratte dagli oggetti della vita quotidiana: l’atomo e l’elettrone erano paragonati a piccole sfere dotate di forma, massa e durata; l’etere era un sostrato necessario alla propagazione delle vibrazioni; la termodinamica era resa chiara dalla meccanica statistica e dall’ipotesi atomica. Al contrario, gli abstraits riducono una teoria fisica a “a collection of mathematical relationships uniting the observable phenomena and making possible the statement of predictions on the basis of specified initial data” (fr:9373) [«una raccolta di relazioni matematiche che uniscono i fenomeni osservabili e rendono possibile l’enunciazione di previsioni sulla base di dati iniziali specificati»]: per loro i modelli non sono che tratti imperfetti e transitori di una teoria, destinati a essere superati in favore di una forma astratta e liberata da imperfezioni antropomorfiche. De Broglie riconosce che in linea di principio la posizione astratta sembra giustificata, specie nel dominio atomico dove le percezioni dei sensi, tarate su una scala infinitamente maggiore, non hanno più valore né possibilità di applicazione. Tuttavia, nella pratica i modelli hanno reso un servizio estremamente prezioso: la stessa termodinamica, nata in forma astratta, ha tratto grande beneficio dall’ipotesi molecolare, e l’etere di Fresnel ha preceduto di quarant’anni la teoria di Maxwell. Affinché rappresentazioni concrete — il cui carattere fallace è certo — possano rendere un simile servizio, è necessario che contengano “some element of truth” (fr:9387) [«qualche elemento di verità»]. Nell’estrapolazione dal macroscopico al microscopico, le immagini formate dalle nostre percezioni sono utilmente impiegate nelle prime fasi, benché possano trarre completamente in inganno sulla scala atomica.

Nel dominio quantistico, i salti discontinui dell’elettrone sono inconciliabili con le rappresentazioni classiche nello spazio e nel tempo; le relazioni di indeterminazione di Heisenberg non permettono di parlare di traiettoria nel senso ordinario; l’elettrone manifesta la propria presenza in tutta l’estensione dell’atomo e la sua “presenza potenziale” è dettata da una funzione d’onda il cui carattere è completamente simbolico. Solo gli abstraits possono dichiararsi soddisfatti di un gioco in cui si trattano soltanto relazioni tra fenomeni osservabili per mezzo di algoritmi, dovendosi spesso accontentare di probabilità laddove la scienza classica affermava certezze. Delle proprietà dell’atomo di Democrito e di Lucrezio, le particelle elementari conservano ormai solo la caratteristica di essere “permanent units” (fr:9395) [«unità permanenti»], a meno che non ne appaia possibile l’annichilazione; dell’atomo tradizionale non resta che “a simple arithmetical statement — the number of particles of a specified kind, which may be variable, is always integral.” (fr:9396) [«un semplice enunciato aritmetico — il numero di particelle di un tipo specificato, che può essere variabile, è sempre intero.»] Eppure, senza l’ipotesi atomica e senza il modello planetario di Bohr, non sarebbe mai stato possibile formulare la meccanica quantistica, e ci si può chiedere se la scienza potrebbe progredire in un dominio dove tutte le rappresentazioni concrete hanno perso validità. De Broglie risponde osservando che “we are only able to think with the help of pictures drawn from our sentient intuition” (fr:9400) [«siamo capaci di pensare solo con l’aiuto di immagini tratte dalla nostra intuizione sensibile»]: il ragionamento astratto permette, schematizzando e generalizzando, di uscire da questa intuizione, ma non di liberarsene completamente. La conclusione conciliante è che è possibile dar ragione sia agli abstraits, che hanno avuto solidi argomenti nella disputa, sia agli intuitifs, “without whom progress would often have been difficult and perhaps impossible” (fr:9402) [«senza i quali il progresso sarebbe stato spesso difficile e forse impossibile»].

Nelle considerazioni conclusive di carattere storico, l’autore chiarisce il criterio che guida la propria trattazione: “To write history, as to teach, is before everything, to choose” (fr:9410) [«Scrivere la storia, così come insegnare, è prima di tutto scegliere»]. La scelta è caduta sui princìpi, nei quali risiede la difficoltà essenziale della meccanica, e non sull’accumulo dei fatti. Fino a Huygens e Newton gli strumenti matematici erano ridotti alla forma più semplice; in seguito il calcolo differenziale divenne comune, indispensabile per esprimere l’effetto di una forza nel primo istante e, con Leibniz, per collegare la forza viva alla forza statica. Con l’avvento di Lagrange gli strumenti erano già altamente perfezionati, e nelle moderne teorie fisiche della meccanica si è reso necessario ricorrere a procedure più elaborate come il calcolo differenziale assoluto, gli spazi di Riemann e gli spazi astratti. Ciò significa che la meccanica non avrebbe potuto evolvere senza disporre, in ogni periodo critico, di una formulazione adeguata, e in tal senso appare legata al progresso della matematica; ma significa anche che con lo sviluppo del formalismo “there appears the danger of trusting in the tools of calculation and losing sight of the network of axioms.” (fr:9425) [«appare il pericolo di confidare negli strumenti di calcolo e perdere di vista la rete degli assiomi.»] Per quanto sia detta razionale, la meccanica resta una branca della fisica, dotata soltanto di un’autonomia relativa: “Motion in a pure state does not exist.” (fr:9428) [«Il moto allo stato puro non esiste.»]

L’autore giustifica la rinuncia a schematizzare l’evoluzione della meccanica in ampi tratti, perché “to schematise would, most often, distort the actual succession of things, which, in general, exhibits no regularity” (fr:9455) [«schematizzare distorcerebbe il più delle volte la successione effettiva delle cose, che in generale non presenta alcuna regolarità»]. Le diverse chiavi dei problemi meccanici non furono scoperte indipendentemente, ma si compenetrano a vicenda, sì che qualsiasi tentativo di riassumerne le vicissitudini risulta spesso artificiale. Di fronte a chi ritiene superato il culto della storia della scienza, l’autore non pretende di convincere: sottolinea piuttosto il valore della difficoltà dei testi originali nel favorire il contatto con un’idea nuova, fedele alla convinzione che il genio non sia così semplice come avrebbero voluto far credere i filosofi del XVIII secolo (fr:9442-9443). La personalità dello storico rischierebbe di ingombrare il campo; il suo vero compito resta la selezione, non l’apprezzamento, ed è per questo che il libro moltiplica le citazioni delle fonti, restringendosi ai passi più caratteristici, affinché il lettore possa essere ricondotto nel clima dell’epoca e sul cammino irto di ostacoli che gli inventori percorsero (fr:9439).

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[31.1-45-9839|9883]

47 Voci di un indice storiografico: dalla meccanica classica alla fisica quantistica

Un denso frammento di indice analitico, in cui i padri della fisica moderna e le loro opere convivono con le radici classiche del pensiero scientifico, rivelando le stratificazioni di una storia della scienza.

Il testo si presenta come un lacerto di un indice onomastico e bibliografico, appartenente con ogni probabilità a un’opera di storiografia della fisica, come un’edizione critica o un ampio trattato storico. La sua natura frammentaria e la disposizione in sequenze interrotte suggeriscono un processo di scansione e riconoscimento ottico (OCR) che ha fuso senza soluzione di continuità voci adiacenti. L’analisi del contenuto permette di distinguere nuclei tematici ben definiti: la nascente meccanica quantistica, la fisica relativistica e il loro legame con le fondamenta della meccanica razionale classica.

L’elemento peculiare del testo risiede proprio in questa stratificazione di autori e periodi storici in un flusso quasi continuo. A nomi chiave del XX secolo, come Dirac ed Eddington, si affiancano quelli di matematici e filosofi della tarda antichità, come Dinostrato e Diocle, menzionati in una voce che evidentemente ne tracciava la storia: “DINOSTRATUS, DIOCLES,” - (fr:9842-9843). Questo dettaglio è una testimonianza dell’approccio dell’opera originale, volta a inserire le rivoluzioni concettuali contemporanee in un contesto storico più ampio.

La fisica dei quanti è ricostruibile attraverso precisi riferimenti bibliografici ai lavori di Paul Dirac. Un lungo elenco di pagine riassume l’intera produzione di un autore, da “The Fundamental Equations of Quantum Mechanics” - (fr:9848) [Le equazioni fondamentali della meccanica quantistica], apparsa nei Proceedings of the Royal Society, fino ai suoi monumentali “Principles of Quantum Mechanics” - (fr:9856) [Principi della Meccanica Quantistica], con l’indicazione della traduzione francese “by Proca and Ullmo, Presses Universitaires de France, Paris, 1931” - (fr:9861). Un riferimento cruciale è il lavoro seminale che pose le basi algebriche della teoria: l’articolo del 1925 sui “Proc. Royal Society, A, 1925, vol. 109, p. 642” - (fr:9850-9851). Nello stesso solco, compare la figura di Eddington con la sua opera “Space, time, gravitation” - (fr:9852) [Spazio, tempo, gravitazione] e la sua traduzione francese.

Intrecciate a questi contenuti si trovano le voci relative alla fisica relativistica e al suo principale artefice, Albert Einstein. L’indice cita le pubblicazioni fondamentali apparse sugli “Annalen der Physik”, tra cui il rivoluzionario articolo del 1905, “Zur Elektrodynamik bewegter Körper” - (fr:9872) [Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento], che formulò la relatività ristretta, comparso nel “vol. 17, 1905, p. 891” - (fr:9873-9875). A seguire, lavori successivi come quelli del 1906 e 1907, che appaiono in frammenti: si riconosce un riferimento all’“Annal. der Physik, vol. 20, 1906, p. 199” - (fr:9876-9878) e al “vol. 22, 1907, p. 180” - (fr:9880).

La testimonianza storica più affascinante è la compresenza, nello stesso blocco testuale, dei padri della meccanica razionale, con opere che anticiparono di secoli la struttura formale della fisica moderna. Emerge la figura di Eulero con il suo “Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes” - (fr:9868) [Metodo per trovare linee curve dotate della proprietà di massimo o minimo], pubblicato nel 1744, e con la “Dissertation sur le principe de la moindre action” - (fr:9871) [Dissertazione sul principio della minima azione] del Eulero è accostato, spesso in maniera fusa dall’OCR, a concetti di meccanica dei fluidi, come nei “Principes generaux de l’etat d’equilibre des fluides” - (fr:9876) [Princìpi generali dello stato di equilibrio dei fluidi] e nei “Principes generaux du mouvement des fluides” - (fr:9881) [Princìpi generali del movimento dei fluidi].

L’ambiguità più evidente generata dalla scansione del testo originale è la fusione tra la voce di Eulero e i riferimenti agli Annalen der Physik di Einstein. La sequenza “1744 : 273, j. der Physik, vol. 17, 1905, p. Dissertation sur le principe de la moin-” - (fr:9869-9871) è un chiaro esempio di come due voci distinte, quella di Eulero e quella del primo articolo di Einstein sull’effetto fotoelettrico (apparso a pagina 132 dello stesso volume), siano diventate un’unica entità testuale. Una fusione simile si ripete con la “Theoria motus corporum solidorum rigidorum, 1760” - (fr:9874) [Teoria del moto dei corpi solidi rigidi] di Eulero, incastrata tra i dati dell’articolo sulla relatività ristretta. Questa commistione involontaria trasforma il testo in una metafora involontaria della storia della scienza, dove le leggi del moto classico e la rivoluzione relativistica sono parte di un unico, continuo, seppur talvolta confuso, processo di conoscenza.

Il frammento nel suo insieme è una preziosa testimonianza dei materiali preparatori o dell’apparato critico di uno storico della fisica della prima metà del Novecento, un’opera che ambiva a dipanare il filo rosso che lega Dinostrato a Dirac, Eulero a Einstein. Il riferimento a voci come “DUGAS (R.). EICHENWALD” - (fr:9865-9866) o “EHRENFEST (P.)” - (fr:9855) completa il quadro di un censimento minuzioso e colto degli attori di quella stagione scientifica irripetibile, dalla meccanica statistica agli albori della fisica dei quanti.

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[32.1-67-10451|10517]

48 Cronache dalla storia della meccanica in un sommario d’epoca

Un indice erudito delinea l’evoluzione del pensiero meccanico dall’Ellade al XVI secolo, intrecciando autori, manoscritti e concetti come gravitas secundum situm e impetus.

L’estratto si apre con un lacerto che allude a un repertorio di nomi e date: si riconoscono i rinvii a pagina per scienziati moderni quali C. T. R. Wilson e Pieter Zeeman, affiancati da un numero enigmatico – “1649.” (fr:10451) – forse una data o un rimando bibliografico. Appare immediatamente dopo l’intestazione generale del volume: “TABLE OF CONTENTS Pages FORE’VORD 7 PREFACE . . . . . 11 P.L4.RT ONE THE ORIGINS CHAPTER ONE.” (fr:10455) [Tavola dei contenuti Pagine Prefazione 7 Prefazione … 11 Parte Prima Le Origini Capitolo Uno]. L’insieme, tra refusi tipografici e abbreviazioni, restituisce la scansione di un’opera dedicata allo sviluppo storico della fisica, con particolare attenzione alla meccanica.

Il primo capitolo, «Hellenic Science», radica le origini nel mondo classico. Vi figurano due pilastri teorici: “Aristotelian mechanics” (fr:10457) [meccanica aristotelica] e “The Statics of Archimedes” (fr:10458) [La statica di Archimede]. La struttura rivela già una gerarchia di concetti: la dinamica qualitativa di Aristotele e la rigorosa statica archimedea costituiscono i due poli della scienza ellenica. Il passaggio successivo, intitolato “ALEXANDRIAN SOURCES AND ARABIC MANUSCRIPTS” (fr:10459) [Fonti alessandrine e manoscritti arabi], documenta i canali di trasmissione della conoscenza. Tra i contenuti spiccano “The ‘mechanics’ of Hero of Alexandria” (fr:10460) [La ‘meccanica’ di Erone d’Alessandria], le “Pappus’ theories of the inclined plane and of the centre of gravity” (fr:10460) [Le teorie di Pappo sul piano inclinato e sul centro di gravità], e “The fragments attributed to Euclid in arabic writings” (fr:10461) [I frammenti attribuiti a Euclide negli scritti arabi]. Si apprende inoltre dell’esistenza di un libro altrimenti perduto, “The book of Charistion” (fr:10462) [Il libro di Caristione], testimone di una tradizione minore ma storiograficamente rilevante.

Il XIII secolo è dominato dalla “SCHOOL OF JORDANUS” (fr:10464) [Scuola di Giordano] e da una figura centrale: “Jordanus of Nemore and ‘gravitas secundum situm’” (fr:10466) [Giordano di Nemore e la ‘gravitas secundum situm’]. Quest’ultima espressione, che indica la gravità secondo la posizione, introduce un concetto precursore della moderna scomposizione delle forze. L’anonimo “Liber Jordani de ratione ponderis” (fr:10467) [Libro di Giordano sulla ragione del peso] sviluppa applicazioni come “The angular lever” (fr:10468) [La leva angolare] e “The inclined plane” (fr:10469) [Il piano inclinato]. La gerarchia espositiva mostra come dalla gravitas secundum situm discendano strumenti analitici per i dispositivi meccanici.

Nel XIV secolo la scena si allarga alle “SCHOOLS OF BURIDAN AND ALBERT OF SAXONY” (fr:10472) [Scuole di Buridano e Alberto di Sassonia] e a “NICOLE ORESME AND THE OXFORD SCHOOL” (fr:10473) [Nicola Oresme e la Scuola di Oxford]. Viene introdotto un termine destinato a lunga fortuna: “The doctrine of ‘impetus’ (John Buridan)” (fr:10474) [La dottrina dell’‘impetus’ (Giovanni Buridano)]. Accanto a esso compaiono ricerche cosmologiche e dinamiche: “The sphericity of the earth and the oceans — Albert of Saxony and the aristotelian tradition” (fr:10475) [La sfericità della terra e degli oceani — Alberto di Sassonia e la tradizione aristotelica], “Albert of Saxony’s theory of centre of gravity” (fr:10476) [La teoria del centro di gravità di Alberto di Sassonia], “The acceleration of falling bodies” (fr:10478) [L’accelerazione dei corpi cadenti] e “The discussion of action at a distance” (fr:10479) [La discussione dell’azione a distanza]. La figura di Oresme emerge con un rilievo particolare: “Oresme’s rule in kinematics. (Uniformly accelerated motion.)” (fr:10481-10482) [La regola cinematica di Oresme. (Moto uniformemente accelerato.)] e “Oresme as a predecessor of Copernicus” (fr:10485) [Oresme come predecessore di Copernico]. Emerge così una linea evolutiva che dalla dinamica dell’impetus conduce alla cinematica dell’accelerazione e alla cosmologia eliocentrica.

Il quinto e il sesto capitolo, dedicati ai secoli XV e XVI, raccolgono un panorama di autori e correnti: “THE ITALIAN SCHOOL.. BLASIUS OF PARMA.. THE OXFORD TRADITION. NICHOLAS OF CUES AND LEONARDO DA VINCI NICHOLAS COPERNICUS..” (fr:10489-10491) [La scuola italiana… Biagio da Parma… La tradizione oxoniense. Nicola Cusano e Leonardo da Vinci Nicola Copernico…]. Tra i nuclei tematici spiccano “Blasius of Parma and his treatise on weights” (fr:10493) [Biagio da Parma e il suo trattato sui pesi], “Leonardo da Vinci’s contribution to mechanics” (fr:10497) [Il contributo di Leonardo da Vinci alla meccanica] e “Nicholas Copernicus (1472-1543). His system of the world and his ideas on attraction” (fr:10498-10499) [Nicola Copernico (1472-1543). Il suo sistema del mondo e le sue idee sull’attrazione]. Non mancano riferimenti alla geodesia e alla didattica: “John Fernel (1497-1558) and the figure of the earth” (fr:10500) [Jean Fernel (1497-1558) e la figura della terra], “Italian scholasticism in the xVIth century” (fr:10501) [La scolastica italiana nel XVI secolo] e “Parisian scholasticism in the xVIth century” (fr:10502) [La scolastica parigina nel XVI secolo]. Il conflitto culturale è registrato in “The attack of the humanists” (fr:10503) [L’attacco degli umanisti], mentre un passaggio cruciale verso la cinematica galileiana è segnato da “Dominic de Soto (1494-1560) and the laws of falling bodies” (fr:10505) [Domingo de Soto (1494-1560) e le leggi dei corpi cadenti].

L’ultima sezione dell’estratto è dedicata alla “ITALIAN SCHOOL OF NICHOLAS TARTAGLIA AND BERNARDINO BALDI” (fr:10506) [Scuola italiana di Niccolò Tartaglia e Bernardino Baldi]. Vi compaiono “Nicholas Tartaglia” (fr:10507), “Jerome Cardan (1501-1576)” (fr:10509) [Girolamo Cardano (1501-1576)], “Julius-Caesar Scaliger and Buridan’s doctrine” (fr:10510) [Giulio Cesare Scaligero e la dottrina di Buridano] e “Bento Pereira (1535-1610). The classical reaction” (fr:10511) [Bento Pereira (1535-1610). La reazione classicista]. Chiudono il disegno i contributi di “The ‘Mechanicorum Liber’ of Guido Ubaldo (1545-1607)” (fr:10513) [Il ‘Mechanicorum Liber’ di Guido Ubaldo (1545-1607)] e di “J.-B. Villalpand (1552-1608) and the polygon of sustentation” (fr:10515) [J.-B. Villalpand (1552-1608) e il poligono di sostentazione].

L’insieme di questi frammenti non è una semplice lista, ma la testimonianza di un progetto storiografico ambizioso: mostrare come la meccanica sia nata dall’intreccio di fonti greche, mediazione araba, elaborazione medievale e dibattito rinascimentale, fino a prefigurare i concetti che sarebbero stati formalizzati nella scienza moderna. La presenza di refusi come “P.L4.RT” e “FORE’VORD” suggerisce che il testo provenga da una scansione ottica di un volume di storia della fisica, probabilmente redatto nella prima metà del Novecento, coeva ai progressi di Wilson e Zeeman citati nell’indice iniziale.

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[33.1-134-10560|10693]

49 L’indice di un trattato sulla storia della meccanica: temi fondativi e controversie scientifiche

La scansione dei capitoli e delle sezioni rivela un percorso che dalle prime leggi di composizione delle forze giunge alla sintesi analitica di Lagrange, passando attraverso i dibattiti sulla forza viva, sul principio di minima azione e sull’organizzazione newtoniana della dinamica.

Il testo presenta l’indice sistematico di un’ampia opera dedicata allo sviluppo della meccanica classica. La successione degli argomenti disegna un itinerario concettuale che parte dai contributi seicenteschi di Roberval e Descartes, attraversa le leggi dell’urto e la sintesi newtoniana, si confronta con la vis viva leibniziana e si compie nella meccanica analitica settecentesca. L’indice non è una semplice lista: la presenza ricorrente di sezioni dedicate a dispute e priorità mostra come la costruzione dei principi sia stata un processo segnato da conflitti epistemologici.

L’apertura è affidata a “Roberval’s treatise on mechanics 150” (fr:10560) [Trattato di meccanica di Roberval 150 ] e subito dopo a “Roberval and the law of composition of forces 151 CHAPTER r. - DESCARTES’ :MECHANICS.” (fr:10561) [Roberval e la legge di composizione delle forze 151 Capitolo … LA MECCANICA DI DESCARTES.]. L’opera prosegue con l’idrostatica pascaliana, “PASCAL’S HYDROSTATICS .. 154” (fr:10562) [IDROSTATICA DI PASCAL .. 154 ], e con l’analisi della statica cartesiana. Due controversie punteggiano questo blocco iniziale: “The discussion bet,veen Descartes and Roberval on the centre of agitation.. . . . . . . . . . . . . . . . 163” (fr:10567) [La discussione tra Descartes e Roberval sul centro di agitazione 163 ] e “The quarrel about geostatics . . . . . . . . . . . . . 166” (fr:10568) [La disputa sulla geostatica 166 ], testimonianza del vivace confronto che accompagnava la definizione dei concetti meccanici.

Il nucleo dedicato alle leggi dell’urto e alla meccanica di Huygens è ricco di snodi concettuali. Vi figurano “THE MECHANICS OF HUYGHENS (1629-1697) 172” (fr:10569) [LA MECCANICA DI HUYGHENS (1629-1697) 172 ], “Huyghens and the fall of bodies . . . . . . 182 .” (fr:10573) [Huyghens e la caduta dei gravi 182 ], “The isochronism of the cycloidal pendulum . (10575) 185” (fr:10574) [L’isocronismo del pendolo cicloidale 185 ], “The theory of the centre of oscillation . (10577) 186” (fr:10576) [La teoria del centro di oscillazione 186 ], “The theory of centrifugal force . . . . . 194” (fr:10578) [La teoria della forza centrifuga 194 ] e un cenno al principio di relatività: “Huyghens and the principle of relativity . (10580) 198 ]o.” (fr:10579) [Huyghens e il principio di relatività 198 ]. Non manca Mariotte con “~Iariotte and the la”Ts of impact. (10582) . (10583) 199” (fr:10581) [Mariotte e le leggi dell’urto 199].

Con Newton la struttura diventa quella di una dinamica compiuta. L’indice enuncia “The newtonian method. (10585) . . . 200” (fr:10584) [Il metodo newtoniano 200 ], “1.”’he (10587) newtonian concepts 201 “ (fr:10586–10587) [I concetti newtoniani 201 ], “The newtonian laws of motion 205 ” (fr:10588) [Le leggi newtoniane del moto 205 ], “Newton and the dynamical law of composition of forces 207 ” (fr:10589) [Newton e la legge dinamica di composizione delle forze 207 ], “The motion of a point under the action of a central force . (10591) 209 ” (fr:10590) [Il moto di un punto sotto l’azione di una forza centrale 209 ], “Newton’s explanation of the motion of the planets. (10593) . (10594) 210 ” (fr:10592) [La spiegazione newtoniana del moto dei pianeti 210 ] e infine “The universal attraction. (10596) . (10597) 213” (fr:10595) [L’attrazione universale 213].

La voce di Leibniz si innesta con il capitolo “- - LEIBNIZ AND LIVING FORCE ••” 219 “ (fr:10598) [LEIBNIZ E LA FORZA VIVA 219 ], articolato in “The ” vis motrix “ in the sense of Leibniz 219 ” (fr:10599) [La “vis motrix” nel senso di Leibniz 219 ], “Leibniz and the laws of iInpact ” . . . . 220 “ (fr:10600) [Leibniz e le leggi dell’urto 220 ] e ”Living and dead forces . . . . . . . . . 221” (fr:10601) [Forze vive e forze morte 221]. Più avanti l’opera dedica un intero capitolo a “THE CONTROVERSY ABOUT LIVING FORCES • 235” (fr:10613) [LA CONTROVERSIA SULLE FORZE VIVE 235], a conferma della centralità del dibattito che oppose la tradizione cartesiano-newtoniana alla meccanica leibniziana.

L’apporto della scuola franco-italiana è condensato in “THE FRENCH-ITALIAN SCHOOL OF ZACCHI AND V ARIGNON 222” (fr:10602) [LA SCUOLA FRANCO-ITALIANA DI ZACCHI E VARIGNON 222 ], con sezioni dedicate a “Zacchi and Saccheri. (10604) Lamy and the composition of forces …. 222” (fr:10603–10604) [Zacchi e Saccheri. Lamy e la composizione delle forze 222 ] e a “The statics of Varignon (1654-1722) . (10606) 22 t f v arignon and Torricelli’s law of flow.” (fr:10605–10606) [La statica di Varignon (1654-1722). Varignon e la legge di efflusso di Torricelli.].

Il Settecento matematico si apre con i Bernoulli e con il principio dei lavori virtuali. L’indice annuncia “- - JEAN BERNOULLI AND THE PRINCIPLE OF VIRTUAL WORK (1717).” (fr:10607) [JEAN BERNOULLI E IL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI (1717).] e “DANIEL BERNOULLI AND THE COMPOSITION OF FORCES (1726) . . . . . . . 231” (fr:10608) [DANIEL BERNOULLI E LA COMPOSIZIONE DELLE FORZE (1726) 231 ]. L’opera di d’Alembert riceve un trattamento esteso: “JACQUES BERNOULLI AND THE CENTRE OF OSCILLATION (1703). (10617) D’ALEMBERT’S TREATISE ON DYNAMICS (1743) 243 It.” (fr:10617) [TRATTATO DI DINAMICA DI D’ALEMBERT (1743) 243], “:Q’Alembert and the concept of accelerating force 248” (fr:10620) [D’Alembert e il concetto di forza acceleratrice 248 ], “D’Alembert’s principle . . . . . . . . . . . . 248” (fr:10621) [Il principio di d’Alembert 248 ], “D’Alembert’s solution of the problem of the centre of oscillation 250” (fr:10622) [La soluzione di d’Alembert del problema del centro di oscillazione 250 ], e si segnala “T~e ~riority of Herman and Euler in the matter of d’Alembert’s prInCIple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251” (fr:10623) [La priorità di Herman e Eulero nella questione del principio di d’Alembert 251 ], che rivela una disputa di paternità.

Il principio di minima azione occupa un capitolo che risale alle origini e si addentra nelle polemiche. Vi compaiono “Return to Fermat . . . . . . . . 254” (fr:10626) [Ritorno a Fermat 254 ], “Cartesian objections to Fermat’s principle . . . . 258” (fr:10627) [Obiezioni cartesiane al principio di Fermat 258 ], “Leibniz and the path of” least resistance” for light . (10629) 260 “ (fr:10628) [Leibniz e il cammino di “minima resistenza” per la luce 260 ], ”The principle of least action in Maupertuis’ sense (1744) 260 “ (fr:10631) [Il principio di minima azione nel senso di Maupertuis (1744) 260 ], ”The application of the principle of least action to the direct impact of two bodies.. . . . . . . . . . . . . . 264 “ (fr:10632) [L’applicazione del principio di minima azione all’urto diretto di due corpi 264 ], ”D’Alemhert’s condemnation of final causes . . . 269 “ (fr:10633) [La condanna delle cause finali di d’Alembert 269 ], ”The polemic on the principle of least action. (10635) . . 270 “ (fr:10634) [La polemica sul principio di minima azione 270 ] e ”Euler’s judgement on the controversy on least action 272 “ (fr:10636) [Il giudizio di Eulero sulla controversia della minima azione 272 ].

L’idrodinamica e la resistenza dei fluidi sono trattate in un blocco che accosta Daniel Bernoulli, d’Alembert, Eulero e Borda – “DANIEL BERNOULLI’S HYDRODYNAMICS. D’.A.LEl’” BERT AND THE RESISTANCE OF FLUIDS. EULER’S HYDRODYNAMICAL EQUATIONS. BORDA AND THE LOSSES OF KINETIC ENERGY IN FLUIDS 286 “ (fr:10645–10648) [IDRODINAMICA DI DANIEL BERNOULLI. D’ALEMBERT E LA RESISTENZA DEI FLUIDI. EQUAZIONI IDRODINAMICHE DI EULERO. BORDA E LE PERDITE DI ENERGIA CINETICA NEI FLUIDI 286 ] – cui segue l’indagine sull’attrito: “COULOMB AND THE LAWS OF FRICTION • 309” (fr:10658) [COULOMB E LE LEGGI DELL’ATTRITO 309].

La sistemazione lagrangiana costituisce il culmine dell’opera. Il capitolo “THE”MECANIQUE ANALYTIQUE ” OF LAGRANGE .. , 332” (fr:10669) [LA “MECANIQUE ANALYTIQUE” DI LAGRANGE 332] enuncia “The content and purpose of Lagrange’s” Mecanique analytique” 332” (fr:10670) [Contenuto e scopo della “Mecanique analytique” di Lagrange 332], la statica, la storia della dinamica, per giungere alle “Lagrange’s equations . . .” . . . . . . . ….“……. (10675) 342” (fr:10674) [Le equazioni di Lagrange 342 ]. Da queste si deducono “The conservation of living forces as a corollary of Lagrange’s equations. (10677) . (10678)” . . . . . . . . . . . . ” . (10679) 344 “ (fr:10676) [La conservazione delle forze vive come corollario delle equazioni di Lagrange 344 ] e ”The principle of least action as a corollary of Lagrange’s equations 345 “ (fr:10680) [Il principio di minima azione come corollario delle equazioni di Lagrange 345 ]. L’indice prosegue poi con Laplace, Fourier e i principî di vincolo, mostrando l’eredità della sintesi settecentesca nell’Ottocento.

Storicamente, questo indice costituisce una testimonianza preziosa dell’architettura con cui la meccanica classica è stata organizzata e insegnata. La scelta di far emergere non solo i risultati teorici ma anche le controversie (geostatica, forze vive, minima azione, priorità) documenta come la disciplina si sia formata attraverso un dialogo conflittuale tra metafisica cartesiana, empirismo newtoniano, razionalismo leibniziano e formalismo analitico. L’opera di cui l’indice fa parte si presenta dunque non come una mera cronaca, ma come una lettura critica della genesi dei principî che hanno plasmato la fisica moderna.

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[34.1-78-10795|10872]

50 Un trattato scientifico del primo Novecento sulla relatività e la meccanica quantistica: struttura e prospettiva storica

Un sommario straordinariamente dettagliato che ripercorre la nascita e il consolidamento della fisica moderna, dalla relatività generale alla teoria dei quanti, articolato in presentazione formale e analisi critico-interpretativa.

Il testo che emerge dalle frasi in elenco costituisce l’indice di un’opera monolitica, con ogni probabilità un manuale o una monografia di fisica teorica pubblicato in Svizzera – come rivela la dicitura “IMPRIME EN SUISSE” – (fr:10872) – e redatto in lingua inglese. L’ossatura dell’indice rivela un trattato bipartito: una metà dedicata alla teoria della gravitazione einsteiniana e alle sue conseguenze cosmologiche, l’altra alla dinamica quantistica, dalla vecchia teoria dei quanti fino alla meccanica ondulatoria e matriciale, per culminare in un’ampia discussione dei principi.

Fin dalle prime righe il lettore è introdotto a una sequenza classica della relatività: “Equations of the gravitational field in the absence of matter.” – (fr:10795) [Equazioni del campo gravitazionale in assenza di materia], “Reversion to Newton’s theory in the first approximation” – (fr:10798) [Ritorno alla teoria di Newton in prima approssimazione], per arrivare ai tre test osservativi cardine: “Deviation of light rays.” – (fr:10801) [Deviazione dei raggi luminosi], “Displacement of the perihelion of the planets” – (fr:10802) [Spostamento del perielio dei pianeti] e la cosmologia del “The spatially closed universe” – (fr:10803) [L’universo spazialmente chiuso]. Viene inoltre richiamata una delle prime controversie interpretative: “Painleve’s criticism- The semi-einsteinien theory of gravitation” – (fr:10809) [La critica di Painlevé – La teoria semi-einsteiniana della gravitazione], che testimonia il dibattito ancora vivo sulla natura delle coordinate e sulla forma della metrica di Schwarzschild.

La sezione dedicata alla quantistica si apre con “THE DYNAMICS OF QUANTA IN BOHR’S SENSE” – (fr:10813) [La dinamica dei quanti nel senso di Bohr], ripercorrendo il primo modello atomico, le condizioni quantistiche per sistemi a più gradi di libertà, la struttura fine e il principio di corrispondenza, fino a toccare l’antinomia fra termodinamica e dinamica classica: “Antinomy between Planck’s frequency relation and classical dynamics (Poincare)” – (fr:10823) [Antinomia tra la relazione di frequenza di Planck e la dinamica classica (Poincaré)]. L’opera assume poi un taglio esplicitamente innovativo con l’introduzione della “WAVE MECHANICS IN THE SENSE OF LOUIS DE BROGLIE AND SCHRODINGER” – (fr:10824) [Meccanica ondulatoria nel senso di Louis de Broglie e Schrödinger]. L’indice segnala i pilastri teorici: l’onda di fase, i principi di Hamilton e Maupertuis, l’applicazione alla dinamica dell’elettrone, il “vettore d’onda mondo”, l’estensione della relazione quantistica e la derivazione consequenziale della “Schrodinger’s wave equation” – (fr:10833) [Equazione d’onda di Schrödinger], concludendo con il celebre fenomeno di “Diffraction of electrons by matter” – (fr:10832) [Diffrazione di elettroni da parte della materia] che dimostrava l’efficacia predittiva della nuova meccanica.

Alla meccanica ondulatoria segue la “QUANTUM MECHANICS IN THE SENSE OF HEISENBERG AND DIRAC” – (fr:10838) [Meccanica quantistica nel senso di Heisenberg e Dirac], con l’introduzione delle matrici da parte di Born e Jordan e la formulazione algebrica di Dirac. La parte successiva, “DEVELOPMENT OF THE PRINCIPLES OF QUANTUM MECHANICS” – (fr:10847) [Sviluppo dei principi della meccanica quantistica], segna un salto interpretativo decisivo: si parte dalla “Mathematical identity of wave mechanics and quantum mechanics” – (fr:10847, sotto ) [Identità matematica tra meccanica ondulatoria e meccanica quantistica] per poi passare alla “Probability interpretation of Schrodinger’s wave function.” – (fr:10848) [Interpretazione probabilistica della funzione d’onda di Schrödinger], alle “Heisenberg’s ‘uncertainty relationships’” – (fr:10850) [Relazioni di indeterminazione di Heisenberg], al teorema di Ehrenfest, fino alla “Dirac and the general theory of observation” – (fr:10852) [Dirac e la teoria generale dell’osservazione] e al “relativistic and quantised electron in Dirac’s sense” – (fr:10854) [L’elettrone relativistico e quantizzato nel senso di Dirac], con riscontro sperimentale.

L’intero percorso converge nel capitolo conclusivo, “DISCUSSION OF THE PRINCIPLES OF QUANTUM MECHANICS” – (fr:10860) [Discussione dei principi della meccanica quantistica], dove si affronta il concetto di “Complementarity in the sense of Bohr” – (fr:10861) [Complementarità nel senso di Bohr], si distingue tra legalità classica e “semi-legalità” quantistica e si indaga il concetto di “reality” of quantum mechanics (fr:10864). Le dissertazioni si estendono persino a un confronto fra ragionamento astratto e intuitivo nella nuova fisica, segno di un’epoca in cui l’interpretazione fondazionale era ancora terreno di dibattito acceso.

Un tratto strutturale peculiare di questo indice è la suddivisione costante in due blocchi: A. PRESENTATION e B. ANALYSIS AND INTERPRETATION (spesso riportati con refusi tipografici come “J4NALYSIS .l4ND INTERPRETATI01V” – fr:10805, o “A1VALYSIS AND INTERPRETATION” – fr:10817). Questo schema, ripetuto per ogni capitolo, distingue marcatamente l’esposizione formale della teoria dalla sua rielaborazione critica, epistemologica e metodologica. L’opera non si limita a riferire risultati, ma ne problematizza il significato, come mostrano le sottosezioni dedicate alla “geometrisation of classical mechanics” – (fr:10807) [geometrizzazione della meccanica classica], all’origine della meccanica quantistica heisenbergiana o alle “Remarks on Bohr’s theorem” – (fr:10822) [Osservazioni sul teorema di Bohr].

Chiude l’indice una sezione di note apparentemente a sé stante: “On the mechanics of the Middle Ages” – (fr:10868) [Sulla meccanica del Medioevo] e “Henri Poincare and the principles of mechanics” – (fr:10869) [Henri Poincaré e i principi della meccanica]. Questi rimandi storiografici confermano la vocazione dell’opera a inquadrare le rivoluzioni della fisica contemporanea in una continuità critica con la tradizione, ponendo al centro figure come Poincaré, già incontrato in relazione all’antinomia tra Planck e la dinamica classica.

Nel complesso, l’indice costituisce una testimonianza di straordinaria compattezza e lucidità dello stato della fisica teorica attorno al Vi si leggono in filigrana tutti i grandi snodi che portarono dall’età della relatività generale alla formulazione coerente della meccanica quantistica, con un’attenzione filologica e interpretativa che ne fa un documento dal forte valore storico e didattico.

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