Oresme - Études sur le Tractatus de configurationibus qualitatum | L | m

26 Feb, 2026

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1 La teoria delle configurazioni di Oresme: un ponte tra geometria e filosofia naturale

Un sistema innovativo per rappresentare visivamente le variazioni intensive e le qualità dinamiche, anticipando concetti matematici e fisici moderni.

Il trattato di Nicole Oresme introduce un metodo rivoluzionario per analizzare le qualità variabili attraverso la loro rappresentazione geometrica. L’autore si concentra su due aspetti fondamentali: la dispositio (configurazione) e la mensura (misura) delle qualità, con particolare attenzione alla prima. Il sistema proposto mira a rendere intuitiva la comprensione di fenomeni altrimenti astratti, come le variazioni di intensità in una qualità o la distribuzione della velocità in un corpo in movimento.

1.1 La rappresentazione geometrica delle qualità

Oresme sviluppa un modello in cui le qualità sono raffigurate come figure geometriche, dove la linea di base rappresenta l’estensione (ad esempio, la lunghezza di una barra o la durata di un movimento), mentre l’altezza indica l’intensità della qualità in ogni punto. Questo approccio permette di visualizzare non solo valori statici, ma anche profili dinamici di variazione:

• “En divisant la ligne de base en parties ordonnées, il suffit alors de déterminer le degré d’intensité en chacune de ces parties pour obtenir une description complète de la qualité totale” - (fr:1464) [Dividendo la linea di base in parti ordinate, è sufficiente determinare il grado di intensità in ciascuna di queste parti per ottenere una descrizione completa della qualità totale].
• “La chaleur d’une tige pourrait être telle que, sa ligne de base étant divisée en trois parties, la première soit uniformément de degré 1, la seconde de degré 2, la troisième de degré 3” - (fr:1465) [Il calore di una barra potrebbe essere tale che, dividendo la sua linea di base in tre parti, la prima sia uniformemente di grado 1, la seconda di grado 2, la terza di grado 3].

Questo metodo si applica sia a configurazioni finite (come nell’esempio della barra) sia a configurazioni infinite, dove l’intensità cresce o decresce indefinitamente. Un caso emblematico è quello delle “qualités graduelles infinies” (fr:1467), in cui Oresme utilizza divisioni continue in parti proporzionali (fr:1468) per descrivere variazioni illimitate su un’estensione finita. Ad esempio: - “une qualité peut être de degré 1 en sa première partie, puis telle qu’elle augmente d’un degré de partie en partie indéfiniment” - (fr:1474) [Una qualità può essere di grado 1 nella sua prima parte, poi aumentare di un grado da una parte all’altra indefinitamente].

L’analogia geometrica si estende anche al movimento, dove la linea di base può rappresentare sia la durata sia l’estensione spaziale del corpo in movimento. Un esempio pratico è quello di una corda tesa in un ruscello: - “la corde va subir différentes déformations du fait que, la rapidité du ruisseau n’étant pas la même en tout point de sa surface, chaque point de la corde sera affecté d’un degré de rapidité inégal” - (fr:1480) [La corda subirà diverse deformazioni poiché la velocità del ruscello non è la stessa in ogni punto della sua superficie, e ogni punto della corda sarà influenzato da un grado di velocità diseguale].

1.2 Innovazione e limiti del sistema

Oresme non si limita a rappresentare le qualità, ma esplora le proprietà matematiche delle configurazioni. Introduce un sistema di 62 specie di variazioni composte (fr:1504), generate da 6 combinazioni di configurazioni semplici, che permettono di descrivere qualsiasi tipo di difformità. Tuttavia, il testo rivela un approccio esplorativo e non sistematico: - “Oresme n’a donc pas voulu, en fait, composer un système théorique, mais proposer un système suffisant pour élucider des problèmes mathématiques, physiques, théologiques qui mettent en jeu des variations intensives” - (fr:1550) [Oresme non ha voluto, in realtà, comporre un sistema teorico, ma proporre un sistema sufficiente a chiarire problemi matematici, fisici e teologici che coinvolgono variazioni intensive]. - “Il ne décide pas entre ces orientations, parce que chacune peut s’avérer utile à l’occasion” - (fr:1543) [Non decide tra queste opzioni, perché ciascuna può rivelarsi utile a seconda del caso].

Un esempio di questa flessibilità è la misura della curvatura, che Oresme affronta con due metodi contrastanti (fr:1563-1565): 1. Misurare la distanza tra la curva e la sua tangente (angolo di contingenza), concludendo che la curvatura non è misurabile. 2. Utilizzare il raggio del cerchio osculatore, ottenendo risultati più promettenti ma senza giungere a una decisione definitiva.

Questa ambiguità è esplicitata in una citazione chiave: - “Verumptamen utrum curvitates inequales sint proportionabiles vel non, hoc non determino pro nunc. Vos qui hoc legitis iudicate” - (fr:1547) [Tuttavia, se le curvature diseguali siano proporzionali o no, non lo stabilisco per ora. Voi che leggete giudicate].

1.3 Applicazioni e implicazioni filosofiche

Il modello di Oresme ha applicazioni che vanno oltre la pura geometria: 1. Fisica del movimento: La rappresentazione geometrica permette di dimostrare teoremi come quello della valore medio (fr:1597), secondo cui una qualità uniformemente difforme equivale in quantità a una qualità uniforme di intensità media. 2. Paradossi del continuo: Oresme utilizza figure infinite per esplorare situazioni analoghe ai paradossi di Zenone, come un mobile che rallenta indefinitamente senza mai raggiungere una distanza finita (fr:1517-1518). 3. Transfigurazione dei corpi: Attraverso operazioni geometriche, dimostra che un corpo di volume finito può essere esteso indefinitamente in lunghezza e larghezza, mantenendo una qualità uniforme (fr:1616).

Il trattato si inserisce nel contesto delle scientiae mediae (scienze intermedie), che applicano i principi matematici a fenomeni naturali. Tuttavia, Oresme va oltre: la sua teoria delle configurazioni non si limita a oggetti specifici (come la luce o la gravità), ma si propone come una scienza trasversale che studia le qualità in quanto tali, indipendentemente dal loro supporto materiale (fr:1661-1663).

1.4 Significato storico

Oresme anticipa concetti che diventeranno centrali nella scienza moderna: - L’idea di variabile matematica (fr:1494), applicata non solo a quantità estensive (come la dimensione di un corpo), ma anche a qualità intensive. - La rappresentazione visuale delle variazioni, che prefigura i grafici cartesiani e l’analisi delle funzioni. - L’uso di limiti geometrici per risolvere problemi di continuità, come nel caso delle transizioni tra qualità uniformi e difformi (fr:1583-1585).

Il suo approccio, pur non essendo ancora pienamente sistematico, segna un passaggio cruciale verso la matematizzazione della natura, influenzando pensatori successivi come Galileo e Leibniz. La capacità di Oresme di visualizzare l’invisibile – le variazioni dinamiche – attraverso figure geometriche rappresenta un contributo fondamentale alla nascita della scienza moderna.

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2 La ricezione critica di Oresme e la dialettica tra scienza e magia nel De configurationibus

Il testo analizza la complessa eredità storiografica di Nicole Oresme e del suo De configurationibus qualitatum et motuum (DC), oscillante tra modernità scientifica e persistenze medievali. Emergono due polarità interpretative: da un lato, la tendenza a leggere il trattato come anticipazione della scienza classica (geometria analitica, cinematica galileiana); dall’altro, la ricollocazione di Oresme in un contesto premoderno, segnato da credenze magiche e astrologiche.

2.1 La “forma fluente” e la matematizzazione del variabile

Il dibattito sulla modernità del DC si concentra su due questioni chiave: 1. “la théorie des configurations anticipe-t-elle la géométrie analytique cartésienne?” (fr:2363) 2. “Oresme a-t-il confusément entraperçu la loi galiléenne de l’accélération de la chute des corps?” (fr:2364)

Mentre studiosi come Pierre Boutroux e Heinrich Wieleitner respingono la prima ipotesi, riconoscono a Oresme il merito di aver applicato “avec beaucoup d’ingéniosité la méthode des coordonnées pour étudier les variations de qualités” (fr:2365). Tuttavia, è Hugo Dingler a introdurre una prospettiva innovativa: la “forma fluens” (fr:2362), concetto mutuato da Averroè, che trasforma la teoria delle configurazioni in una “science mathématique de la quantité variable” (fr:2366). Questa lettura sposta l’attenzione dalla semplice anticipazione di Cartesio o Galileo verso l’idea di una matematica del movimento come fondamento autonomo, distinta dalla fisica classica.

2.2 La svolta di Thorndike: magia e scienza come continuum

L’immagine di Oresme come precursore della modernità subisce una revisione radicale con Lynn Thorndike, il cui lavoro – in particolare A History of Magic and Experimental Science (1934) – rivela la presenza nel DC di “la magie et la fascination” (fr:2380). Thorndike non intende liquidare Oresme come superstizioso, ma inserisce la magia in una storia dialettica della razionalità scientifica: “If we wish to sum up the whole history of magic in a sentence, we may say that men first regarded magic as natural, then as marvelous, then as impossible and absurd” (fr:2375-2376).

La magia non è un ostacolo alla scienza, ma un “ensemble d’idées théoriques qui finissent par devenir absurdes” (fr:2372). Thorndike analizza tre aspetti del DC: - L’astrologia (critica agli arti divinatori). - La magia e fascinazione (oggetto specifico del suo studio). - Le meraviglie della natura (nei Quodlibeta).

Tuttavia, il suo approccio è “nettement circonscrit” (fr:2381): si limita alla digressione magica, senza indagare il rapporto tra questa e la teoria delle configurazioni. Questa scelta metodologica impedisce di risolvere la tensione tra razionalità matematica e pensiero magico nel trattato.

2.3 Gerarchie interpretative e ambiguità

Il testo evidenzia una gerarchia di letture che riflette le priorità storiografiche: 1. Modernisti (Boutroux, Wieleitner): enfatizzano la continuità tra scolastica e scienza classica, minimizzando le contraddizioni. 2. Critici (Thorndike): sottolineano la persistenza di elementi premoderni, ma senza negare il valore teorico della magia. 3. Sintetici (Dingler): propongono una terza via, focalizzata sulla matematizzazione del variabile come chiave di lettura autonoma.

L’ambiguità centrale risiede nella coesistenza nel DC di: - Un apparato matematico avanzato (configurazioni, coordinate). - Un sistema di credenze (magia, astrologia) che oggi appaiono irrazionali.

Thorndike non risolve questa tensione, ma la problematizza: la magia non è un residuo arcaico, ma un momento teorico nel percorso verso la scienza sperimentale. La sua analisi, pur parziale, demolisce l’idea di una cesura netta tra Medioevo e modernità, mostrando come la razionalità scientifica emerga da un substrato culturale complesso.

2.4 Significato storico

Il dibattito su Oresme riflette due tendenze storiografiche del XX secolo: 1. La ricerca delle origini (Boutroux, Wieleitner): la scienza moderna come sviluppo lineare di intuizioni medievali. 2. La storia delle idee (Thorndike): la scienza come processo discontinuo, segnato da ibridazioni e regressioni.

La figura di Hugo Dingler introduce un elemento ulteriore: la filosofia della scienza come disciplina autonoma, capace di reinterpretare testi storici al di là delle dicotomie modernità/tradizione. La sua “forme fluente” (fr:2362) diventa così un ponte tra la scolastica e la matematica moderna, senza ridursi a mera anticipazione.

In sintesi, il DC emerge come un testo liminare, in cui la matematizzazione della natura convive con una visione del mondo ancora permeata di magia. La sua ricezione rivela come la storiografia scientifica abbia oscillato tra mitizzazione (Oresme come precursore) e demistificazione (Oresme come uomo del suo tempo), senza mai esaurire la complessità del suo pensiero.

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3 Il trattato De configurationibus qualitatum et motuum di Oresme: ricezione e interpretazioni storiografiche

Il De configurationibus qualitatum et motuum (DC) di Nicola Oresme rappresenta uno dei testi più dibattuti nella storiografia scientifica medievale, oscillando tra l’essere considerato un’opera rivoluzionaria e un esercizio speculativo privo di impatto concreto. La sua ricezione riflette le tensioni tra diverse scuole interpretative, che ne hanno enfatizzato ora gli aspetti matematici, ora quelli fisici, ora la presunta anticipazione di concetti moderni.

3.1 La svalutazione di Anneliese Maier: un giudizio radicale

Anneliese Maier, figura centrale nella storiografia della scienza medievale, adottò una posizione estremamente critica verso il DC, riducendone la portata a un mero strumento di rappresentazione grafica. Il suo giudizio, espresso in più pubblicazioni tra il 1939 e il 1968, nega qualsiasi valore innovativo all’opera, sia sul piano matematico che fisico: > “L’unico scopo di Oresme sarebbe stato di chiarire le definizioni e i calcoli già praticati da altri riguardo all’uniformità e alla difformità mediante un simbolismo grafico” - (fr:2444) [Oresme avrebbe mirato solo a rendere più chiare le definizioni e i calcoli esistenti sull’uniformità e la difformità attraverso simboli grafici]. La Maier respinge le tesi di Pierre Duhem, che attribuiva a Oresme l’intuizione della geometria analitica e una precoce comprensione della dinamica galileiana. Per lei, il trattato è “un calcolo e una costruzione a priori, senza alcun contatto con l’esperienza” - (fr:2458) [“Es ist ein Rechnen und Konstruieren a priori, ohne irgendwelchen Kontakt mit der Erfahrung”], un esercizio puramente teorico privo di applicazioni pratiche. Questa posizione emerge con chiarezza nel suo articolo del 1948, dove liquida il DC come un tentativo di visualizzare tendenze fenomeniche, ma senza alcuna connessione con la realtà empirica (fr:2473).

La sua lettura è tuttavia parziale: ignora intere sezioni del trattato, come la terza parte dedicata alle potentiae delle configurazioni o le serie infinite, e riduce la complessità delle intuizioni oresmiane a un semplice “pressentimento” dell’atomismo seicentesco (fr:2463). La Maier sembra forzare il testo per adattarlo a una visione preconcetta, come quando nega che Oresme abbia mai associato una curva a un’equazione, nonostante il trattato presenti una classificazione originale delle linee curve (fr:2454).

3.2 **Marshall Clagett e la riduzione del DC a “cinematica geometrizzata”

Marshall Clagett, pur riconoscendo nominalmente l’importanza del DC, ne offre un’interpretazione altrettanto limitante, seppur da una prospettiva diversa. Per lui, Oresme non avrebbe fatto altro che “rappresentare geometricamente le variazioni delle qualità” - (fr:2525), applicando tecniche grafiche ai concetti elaborati dagli Oxford Calculators (come Swineshead). Clagett divide il trattato in due categorie: 1. Configurazioni “esterne”: le rappresentazioni grafiche delle variazioni. 2. Configurazioni “interne”: le difformità reali delle qualità, che egli considera misteriose e prive di fondamento scientifico (fr:2609).

Questa distinzione è problematica: Oresme stesso giustifica l’ipotesi degli effetti naturali delle configurazioni con esempi empirici, come la diversa percezione del calore in base alla sua distribuzione superficiale (fr:2615). Clagett, tuttavia, insiste sul carattere “arbitrario” del legame tra difformità e effetti, sostenendo che Oresme non fosse in grado di misurare concretamente le variazioni intensive (fr:2623). In realtà, alcune qualità (come la velocità o la pesantezza) erano misurabili già all’epoca, e il disinteresse di Oresme per le misurazioni concrete andrebbe interpretato come una scelta teorica, non come una debolezza (fr:2624-2625).

3.3 Carl Boyer e la riscoperta del DC come precursore del calcolo infinitesimale

Carl Boyer, nel suo The History of the Calculus (1939), rovescia la prospettiva di Maier e Clagett, riconoscendo nel DC un contributo fondamentale alla storia della matematica. Per Boyer, Oresme e Swineshead introducono per la prima volta “l’idea di studiare il cambiamento quantitativamente” - (fr:2491) [“This consisted in the idea […] of studying change quantitatively”], aprendo la strada al concetto di variabile. Sebbene i loro ragionamenti siano “verbali” e non pienamente simbolici (fr:2499), Oresme compie un passo decisivo: - Geometrizzando i ragionamenti di Swineshead, sostituisce l’intuizione fisica con una geometrica. - Intuisce correttamente che la superficie di una figura che rappresenta una variazione di velocità nel tempo corrisponde alla distanza percorsa (fr:2507). - Rappresenta velocità istantanee e tassi di variazione attraverso linee, anticipando concetti chiave del calculus (fr:2508).

Boyer respinge però l’idea che Oresme abbia anticipato la geometria analitica cartesiana, poiché non associa curve a equazioni (fr:2509). La sua importanza risiede piuttosto nella “conceptualizzazione di una scienza matematica del movimento” (fr:2510), un ponte tra Aristotele e Newton (fr:2511).

3.4 Adolf Youschkevitch e la dialettica del progresso matematico

Youschkevitch, storico sovietico, offre una lettura più equilibrata, sottolineando come il DC contenga “il germe dell’idea di funzione e della sua rappresentazione grafica” - (fr:2550) [“In dieser Lehre liegt der Keim für die Idee des funktionalen Zusammenhanges”]. A differenza di Boyer, non vede il progresso matematico come lineare, ma come un processo dialettico in cui le intuizioni medievali si cristallizzano solo con lo sviluppo degli strumenti algebrici (fr:2540). Per Youschkevitch: - Oresme studia “larghezze variabili” (latitudo) in relazione a una variabile indipendente (longitudo), avvicinandosi a un sistema di coordinate (fr:2576). - Le sue considerazioni infinitestimalistiche (come la somma di indivisibili) anticipano Cavalieri (fr:2571). - Tuttavia, la mancanza di un “contatto vivo con la scienza della natura” e di un apparato algebrico adeguato ne limita lo sviluppo (fr:2553).

Youschkevitch è tra i primi a notare la somiglianza tra il DC e la mathesis universalis di Descartes, suggerendo un’influenza indiretta attraverso Isaac Beeckman (fr:2583).

3.5 La parcellizzazione del DC e la riscoperta recente

Dopo l’edizione critica di Clagett (1968), il DC è stato frammentato in studi settoriali, perdendo la sua unità originaria (fr:2627). Le sezioni matematiche sono state spesso ridotte a due punti: 1. L’invenzione di un metodo di rappresentazione grafica delle funzioni. 2. Il calcolo di serie infinite (fr:2662).

Tuttavia, studiosi come Stefano Caroti e Jean Celeyrette hanno recentemente rivalutato il trattato, sottolineandone la “vigore esplicativa” (fr:2647) e il ruolo di “nuovo strumento di ricerca” (fr:2646). La teoria dei rapporti di rapporti, centrale nel DC, è stata riletta come un approfondimento della teoria euclidea delle proporzioni, con implicazioni per la dinamica e l’analisi infinitesimale (fr:2689).

3.6 Conclusione: un’opera tra speculazione e anticipazione

Il DC incarna le contraddizioni della scienza medievale: un testo profondamente innovativo, ma privo degli strumenti concettuali per sviluppare appieno le sue intuizioni. Le interpretazioni storiografiche riflettono questa ambivalenza: - Maier e Clagett ne sottolineano i limiti, riducendolo a un esercizio teorico o a una semplice geometrizzazione. - Boyer e Youschkevitch ne riconoscono il ruolo pionieristico, pur evidenziando le lacune (mancanza di algebra, di misurazioni empiriche). - Gli studiosi recenti (Caroti, Celeyrette) ne riscoprono la portata filosofica e scientifica, superando la dicotomia tra speculazione e applicazione.

Resta il fatto che Oresme, con il suo “fluxus qualitatis” (fr:2556), ha aperto una strada che solo il XVII secolo avrebbe potuto percorrere fino in fondo. Il DC non è né un fallimento né una rivoluzione compiuta, ma un crocevia in cui si intrecciano le radici della scienza moderna.

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4 Nicole Oresme: tra scetticismo naturale e potere delle configurazioni

Il testo analizza la figura di Nicole Oresme (XIV secolo) come pensatore complesso, la cui eredità oscilla tra sospetto di scetticismo e affermazione di una filosofia naturale innovativa, capace di anticipare sviluppi scientifici moderni. Il nucleo del discorso ruota attorno al trattato De configurationibus qualitatum et motuum (DC), l’unico testo di Oresme dedicato esclusivamente alla filosofia naturale, spesso trascurato nelle sintesi storiografiche nonostante la sua centralità.

4.1 Scetticismo e “doppio agenda” di Oresme

La percezione di Oresme come teologo che usa la ragione per confutare sé stessa (fr:2735) si lega alle sue riserve epistemologiche sulla possibilità di una conoscenza certa del mondo naturale. Come nota Edward Grant (fr:2737), Oresme persegue un “doppio agenda”: da un lato, demistifica la superstizione sostituendola con causalità naturali; dall’altro, sminuisce la certezza della filosofia naturale, equiparandola a un articolo di fede. Questa ambivalenza emerge chiaramente nelle sue opere, dove “Oresme n’y formule que des hypothèses causales sans se montrer bien soucieux de leur vérité” (fr:2739), ma al contempo “affirme résolument la réalité des configurations, ainsi que celle de leur pouvoir” (fr:2740). Il paradosso è evidente: Oresme dubita della scienza ma afferma principi strutturali (le configurazioni) come fondamento della realtà.

4.2 Le configurazioni: una causalità geometrica trascurata

Il DC introduce una teoria delle configurazioni – distribuzioni geometriche di qualità primarie (caldo, freddo, umido, secco) – che spiegherebbero fenomeni altrimenti attribuiti a “qualità occulte”. Pierre Duhem (fr:2741-2742) aveva colto la specificità di Oresme nel rifiutare sia le spiegazioni demoniche sia quelle riduzioniste (basate solo sui rapporti tra qualità primarie), proponendo invece un terzo livello esplicativo: il potere delle configurazioni. Tuttavia, come osserva il testo, “la pertinence théorique de la causalité structurale ou géométrique qu’il propose n’a pas retenu l’attention” (fr:2742), se non in tempi recenti. Gérard Maugin (fr:2743-2744) ha visto in Oresme un precursore della meccanica dei materiali moderni, dove la disomogeneità strutturale (ad esempio, i difetti nei materiali) genera forze “non newtoniane”. Questa lettura suggerisce che Oresme “la dépassait déjà avant sa naissance” (fr:2745), anticipando una fisica delle cause non puntiformi.

4.3 Magia naturale e potere dei suoni

Oresme si distingue anche per la sua naturalizzazione della magia, in particolare della virtus verborum (potere delle parole). Mentre la tradizione medievale attribuiva alle formule incantatorie un’efficacia legata al loro significato o all’intervento demonico, Oresme “nie que la formule tienne sa force de son sens” (fr:2752): per lui, non sono i parole a agire, ma la voce, il suono in sé. La formula incantatoria diventa così un caso particolare della “magie de la musique” (fr:2752), dove l’efficacia risiede nella materialità del suono e non nel suo contenuto semantico. Questa posizione lo colloca in una “parenthèse naturaliste” (fr:2751) che inizia con Guglielmo d’Auvergne (XIII secolo) e si chiude con i suoi stessi Quodlibeta (1370). Analogamente, Oresme spiega il potere dell’immaginazione non come forza spirituale (come in Avicenna), ma come fenomeno materiale: “l’homme agit inconsciemment sur le monde […] parce qu’il a de plus matériel” (fr:2758). Anche qui, la materia – e non lo spirito – è il veicolo dell’azione.

4.4 Malattie mentali e critica del soprannaturale

Il DC dedica ampio spazio alle malattie mentali, interpretate come fenomeni naturali e non come possessioni demoniche. Oresme “préfère expliquer naturellement les manies, délires et mélancolies” (fr:2773), attribuendole a cause fisiologiche piuttosto che psicologiche: “la nature organique, physiologique plutôt que psychologique” (fr:2774). Tuttavia, il suo interesse non è clinico, ma filosofico-naturale: egli studia come un mago possa riprodurre artificialmente (tramite suoni o immagini) gli effetti che la natura genera spontaneamente nei malati (fr:2776). Questa prospettiva rivela una concezione armonica del mondo (fr:2762), dove la convenientia configurationis (armonia delle configurazioni) spiega fenomeni altrimenti “occulti”. Nicolas Weill-Parot nota che Oresme “exprime une conception harmonique du monde” (fr:2762), basata su proporzioni matematiche e strutture geometriche, in alternativa alle spiegazioni avicenniane (forme sostanziali).

4.5 Probabilismo e crisi della normatività scientifica

Un altro aspetto peculiare di Oresme è il suo approccio probabilistico alla conoscenza, che sfuma i confini tra scienza e credenza. Come scrive Christophe Grellard, “il y a chez Nicole Oresme […] une extension du domaine de la croyance, et un brouillage de la frontière entre croyance et science” (fr:2778). L’immaginazione, pur essenziale per la scienza (ad esempio, nella costruzione di schemi), è anche una minaccia costante: “menace sans cesse de la plonger dans l’erreur par son pouvoir d’illusion” (fr:2779). Questa ambiguità riflette una crisi di normatività nella filosofia naturale del XIV secolo, dove la magia e il potere dell’immaginazione mettono in discussione i fondamenti della razionalità scientifica.

4.6 Un’eredità trascurata

Nonostante la sua originalità, il DC è stato spesso marginalizzato nelle sintesi storiografiche. Studi come quelli di Stefano Caroti o Bert Hansen si concentrano su altri trattati (fr:2749), mentre le analisi di Oresme come “psichiatra” (fr:2766-2767) trascurano elementi unici del DC, come la teoria dell’anima-miroir o la reclusione (fr:2775). Inoltre, la sua spiegazione delle passioni (amore, odio) come fenomeni naturali – basata sulle configurazioni – è stata ignorata a favore di commenti aristotelici (fr:2782). Il testo conclude che Oresme non si limita a negare l’occulto, ma “affirme résolument quelque chose de la nature, son pouvoir, sa musique” (fr:2763): una visione in cui la materia, le strutture geometriche e i suoni diventano i veri agenti della realtà, anticipando di secoli approcci moderni alla causalità e alla fisica dei materiali.

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5 Nicole Oresme e la matematizzazione della natura: tra armonia celeste, musica e critica dell’astrologia

Un trattato scientifico che sfida le categorie medievali, dove la geometria delle qualità si intreccia con l’innovazione musicale e la complessità di una critica astrologica mai univoca.

Il testo analizza il contributo di Nicole Oresme (XIV secolo) alla matematizzazione della natura, con particolare attenzione al suo De configurationibus qualitatum et motuum (DC) e alle Quaestiones super geometriam Euclidis (QSGE). Oresme emerge come figura di rottura, capace di coniugare teoria musicale, geometria delle qualità e critica dell’astrologia in un sistema che anticipa la modernità senza rinunciare alle contraddizioni interne.

5.1 1. L’incommensurabilità come chiave di volta: musica, astronomia e critica astrologica

Il nucleo innovativo del pensiero oresmiano risiede nell’ipotesi di incommensurabilità dei moti celesti, che mina alle fondamenta l’astrologia e l’armonia pitagorica tradizionale. Come sottolineato in (fr:2798), la Geometria nel DC sostiene che: > “certi movimenti sono reciprocamente incommensurabili, da cui deduce non solo la falsità dell’astrologia e dei suoi grandi cicli, ma anche l’impossibilità che l’armonia celeste si fondi sugli accordi pitagorici tradizionali, tutti razionali come l’ottava, la quinta e la quarta”. Questa posizione segna una frattura con la visione medievale di un cosmo ordinato secondo rapporti numerici semplici, introducendo una dissonanza concettuale che si riflette anche nella teoria musicale. L’incommensurabilità, infatti, non è solo un problema astronomico, ma un modello epistemologico: se i moti celesti non sono riducibili a rapporti razionali, cade anche l’idea di un’armonia universale basata su proporzioni aritmetiche (fr:2797).

La critica all’astrologia, tuttavia, non è lineare. Oresme oscilla tra fasi di apertura (come nel commento ai Meteorologica di Aristotele, dove ammette l’influenza celeste) e fasi di rifiuto radicale (come nel Contre divinatores horoscopios, dove naturalizza il cielo riducendolo a luce e movimento). Solo John North ha notato che il DC propone una teoria sofisticata dell’influenza celeste basata sulle variazioni armoniche del moto: > “il DC espone precisamente una teoria dell’influenza celeste attraverso le variazioni (armoniche) del suo movimento, spiegazione causale che può essere considerata la riduzione più sofisticata dell’influenza celeste all’armonia matematica del Medioevo” (fr:2827). Questa ambivalenza riflette una tensione irrisolta tra matematizzazione della natura e resistenza alle “qualità occulte”, tipica del pensiero tardo-medievale.

5.2 2. Musica e geometria: l’Ars nova come laboratorio di modernità

Oresme applica la sua teoria delle configurazioni delle qualità (uniformità e difformità) anche alla musica, anticipando l’Ars nova e l’Ars subtilior. Due aspetti emergono con forza:

5.2.1 a) Ritmo e rapporti irrazionali

Oresme giustifica le variazioni ritmiche tra binario e ternario, tipiche dell’Ars nova, attraverso la geometria delle proporzioni. Come osservato in (fr:2808): > “Oresme sembra giustificare le variazioni della misura tra il binario e il ternario, caratteristica dell’Ars nova, la cui innovazione scritturale più spettacolare era proprio il cambiamento di colore delle note (rosse o nere) a seconda che le durate si dividessero secondo un rapporto doppio o triplo”. Questa apertura ai rapporti irrazionali si estende anche all’armonia: Oresme legittima l’uso di intervalli come terze e seste, non considerati “perfetti” nella tradizione pitagorica, ma ormai diffusi nella polifonia (fr:2809). La sua teoria musicale diventa così un ponte tra matematica e pratica compositiva, come notato da Fabrizio Della Seta e André Goddu (fr:2807).

5.2.2 b) Dalla musica speculativa all’Ars subtilior

Dorit Tanay evidenzia come la latitudine delle forme (teoria che quantifica l’intensità delle qualità) influenzi la musica teorica dell’Ars nova, in particolare la quantificazione del suono contro le vecchie teorie modali (fr:2810-2811). Oresme incarna questo spirito analitico che, superando l’Ars nova, sfocerà nell’Ars subtilior: un’arte dove la combinazione sapiente prevale sulla dolcezza melodica, richiedendo un’intelligenza “sottile” per essere compresa (fr:2812). Daniel Heller-Roazen arriva a vedere in Oresme il distruttore dell’armonia boeziana (basata su rapporti discreti) e l’iniziatore di un’armonia continuista e geometrica (fr:2813).

5.3 3. La latitudine delle forme: misurare l’immisurabile

Il contributo più originale di Oresme è la teoria della latitudine delle forme, che applica la geometria alla misurazione di qualità (calore, luminosità) e movimenti. Questa teoria si sviluppa in due fasi:

5.3.1 a) Le Quaestiones super geometriam Euclidis (QSGE): il laboratorio delle idee

Nelle QSGE, Oresme affronta il problema della misurabilità attraverso domande apparentemente disordinate, ma unite da un filo conduttore: passare dalla quantità ai rapporti. Un esempio chiave è la domanda 9, dove dimostra che: > “l’area di un triangolo equilatero è incommensurabile ai suoi lati […] e ciò significa che, se si dovesse misurare una superficie, mai si otterrebbe la quantità della superficie dalla conoscenza dei suoi lati” (fr:2870, traduzione da fr:2869). Questa impossibilità lo porta a abbandonare la ricerca di quantità assolute e a concentrarsi sui rapporti tra quantità, aprendo la strada alla misurazione delle qualità. Come spiega in (fr:2879): > “Una riflessione sulla misurabilità delle cose induce la transizione da un punto di vista della quantità a quello dei rapporti”.

Le QSGE sono anche un campo di battaglia teorico contro la tradizione oxoniense (Merton College). Oresme rifiuta la denominatio (assegnazione di un grado medio a qualità difformi), considerandola un problema verbale, non reale: > “Se B debba essere denominato caldo come A, o più o meno, è una difficoltà più vocale che reale” (fr:2944, traduzione da fr:2940). Per Oresme, la quantità reale è il rapporto tra intensità e estensione (es. luminosità totale di una stanza), non un grado medio astratto. Questa posizione lo porta a criticare anche le teorie del moto di Bradwardine, proponendo che la virtù diffusa (non la potenza motrice) determini il movimento (fr:2963).

5.3.2 b) Il De configurationibus (DC): sintesi o rinuncia?

Nel DC, Oresme semplifica e unifica le sue teorie, ma a costo di sacrificare alcune intuizioni audaci delle QSGE. Ad esempio: - Scompare la questione 17 (sulla diffusione della luce e delle qualità nel mezzo), che rappresentava l’applicazione più avanzata della teoria alla filosofia naturale (fr:2909). - Non si parla più di denominatio, limitandosi alla metrica dei rapporti (fr:2934). - Viene omessa la dimostrazione che lo spazio percorso da un mobile in accelerazione costante è proporzionale al quadrato del tempo (fr:2910).

Oresme giustifica queste omissioni con la necessità di sufficienza espositiva: > “Riguardo all’uniformità e alla difformità, è stato detto sufficientemente” (fr:2970, traduzione da fr:2969). Tuttavia, il trattato rimane incompiuto e aperto, come ammette lo stesso autore, che conclude spesso i capitoli con formule come “ma questi esempi bastino” (fr:2972-2974). Questa fragilità dell’unità riflette una tensione tra esplorazione e sistematizzazione, tipica di un pensiero in divenire.

5.4 4. Un trattato “didattico” che sfida la didattica

Il DC si presenta come un manuale per la disciplina (fr:2845), ma la sua struttura è tutt’altro che lineare: - L’ordine non è continuo: alcune parti presuppongono conoscenze esposte successivamente (fr:2846). - Le digressioni sono frequenti, e le matematiche impiegate non sono elementari (fr:2847-2848). - Oresme espone i suoi dubbi, mostrando una metodologia esplorativa piuttosto che dogmatica (fr:2849).

La lettura unitaria del trattato è resa difficile dalla sua parcellizzazione tematica, che ha portato gli studiosi a concentrarsi su singole sezioni (matematica, musica, astrologia) ignorandone l’interconnessione (fr:2831-2833). Tuttavia, emergono motivi ricorrenti che legano le parti: 1. La geometrizzazione delle qualità: sia nella musica che nella fisica, Oresme usa la geometria per rappresentare fenomeni variabili (suoni, calore, luce). 2. Il rifiuto delle qualità occulte: dalla critica all’astrologia alla naturalizzazione del moto, Oresme cerca spiegazioni meccaniche e quantitative. 3. L’incommensurabilità come principio: applicata ai moti celesti, ai rapporti musicali e alle misure delle qualità, diventa un paradigma di complessità irriducibile.

5.5 5. Oresme tra Medioevo e modernità: un paradosso fecondo

La storiografia ha oscillato tra due interpretazioni di Oresme: - Precursore della modernità: come suggerisce Ulrich Taschow, la musica sarebbe il motore del suo pensiero, anticipando la quantificazione galileiana (fr:2801). - Figura contraddittoria: razionale nelle teorie, ma “irragionevole” nelle applicazioni (es. la difesa di un’influenza celeste armonica nonostante la critica all’astrologia) (fr:2831).

In realtà, Oresme incarna la crisi del paradigma medievale senza ancora abbracciare quello moderno. La sua geometria delle qualità prefigura la fisica matematica, ma rimane ancorata a un realismo filosofico che rifiuta le astrazioni pure. La sua critica all’astrologia non è un rifiuto della causalità celeste, ma un tentativo di ricondurla a leggi matematiche (fr:2825-2827). Allo stesso modo, la sua teoria musicale non è una rivoluzione estetica, ma una rivoluzione epistemologica: sostituire l’armonia aritmetica con una armonia geometrica e continua (fr:2813).

Il DC non è un trattato compiuto, ma un cantiere aperto, dove le tensioni tra matematica e filosofia naturale, teoria e pratica, tradizione e innovazione restano irrisolte. Proprio questa incompletezza ne fa un documento straordinario: non un sistema chiuso, ma un laboratorio di idee che anticipa la scienza moderna senza ancora abbandonare il Medioevo.

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[6.1-40-2993|3032]

6 Nicole Oresme e i limiti della rappresentazione geometrica delle qualità

Il testo esplora la riflessione di Nicole Oresme sulla natura sperimentale e problematica della sua indagine scientifica, con particolare attenzione ai confini tra filosofia naturale, geometria e teologia. Emergono tre nuclei tematici: la rappresentazione geometrica delle qualità, i casi-limite della conoscenza naturale e il rapporto tra scienza e soprannaturale.

6.1 La natura esplorativa e i limiti della geometrizzazione

Oresme affronta questioni geometriche con un approccio tentativo e aperto, come dimostrano le sue riflessioni sulle “qualità semi-circolari”. Pur riconoscendo la possibilità di curve proporzionali a un semicerchio, lascia irrisolta la loro natura: “Quant à savoir si la figure plus petite que le demicercle par laquelle cette qualité peut être imaginée est un segment de cercle, je laisse la question ouverte” - (fr:2997). Questa incertezza è confermata da annotazioni marginali in un manoscritto del De configurationibus (DC), che dimostrano geometricamente l’impossibilità di tali curve di essere circolari (fr:2998).

Un problema cruciale riguarda la misurabilità della curvatura. Oresme identifica due ipotesi contrastanti: 1. Le curvature sono improporzionabili tra loro, rendendole non rappresentabili geometricamente. 2. Sono proporzionabili e quindi figurabili. Eppure, non sceglie tra le due: “Cependant, si des courbures inégales sont proportionnables ou non, je ne le détermine pas maintenant. Vous qui lisez ceci, jugez” - (fr:3004-3005). Questa ambiguità è esplicitata come eccezione alla regola generale che le intensità delle qualità devono essere proporzionabili per essere raffigurate (fr:3000), come ricorda un passaggio del DC: “Et ceci doit être entendu de toute intensité divisible en imagination (…) à l’exception peut être de l’intensité d’une courbure” - (fr:3003).

6.2 I confini tra naturale e soprannaturale

Oresme delimita chiaramente il campo della filosofia naturale, escludendo ciò che eccede la ragione umana. Ad esempio, sulle visioni profetiche, si limita a descrivere il meccanismo naturale di ricezione (fr:3006-3010), senza indagare le “causae ulteriores” (fr:3006), che potrebbero essere angeli, demoni o Dio. Analogamente, sui demoni nei rituali magici, afferma che la loro esistenza va ammessa per evitare errori, ma “les démons ne sont pas le sujet du traité” - (fr:3012). Il ribadisce: “Le traité est donc limité aux processus naturels” - (fr:3013), citando esplicitamente: “Mais puisque cette question est tout à fait en dehors de notre sujet, je la laisse maintenant” - (fr:3019).

Tuttavia, Oresme supera questi limiti quando affronta temi teologici attraverso la lente della filosofia naturale. Congettura sulla natura del canto dei beati (fr:3014), sulla sofferenza infernale o sulla gioia angelica (fr:3015), giustificando tali incursioni con l’idea che “l’étude de la nature visible permet de connaître ou de conjecturer ce qu’il y a de naturel dans l’invisible” - (fr:3016). Un esempio è la localizzazione dell’inferno al centro della Terra, ripresa da Brunetto Latini: “Et la chose la plus basse et la plus profonde qui soit au monde est le centre de la terre (…) là où se trouve l’enfer” - (fr:3019).

6.3 La metodologia: digressioni e connessioni interne

Il De configurationibus si distingue per la sua libertà strutturale. Mentre nelle Quaestiones super geometriam Euclidis (QSGE) Oresme si impegna in dibattiti contingenti (fr:3020), nel DC privilegia “les problèmes-limites” (fr:3020) che mostrano le potenzialità del suo metodo. Un tratto peculiare è l’uso di rinvii interni, che creano legami tra parti apparentemente distanti. Ad esempio, la sezione sugli artes magici (II parte) rimanda alla spiegazione delle “qualités occultes” (I.25), dove Oresme attribuisce gli effetti “miracolosi” a configurazioni naturali: “Mais la cause de ces effets peut être attribuée à ce qui a été dit au chapitre 25 de la première partie (…) une qualité complexionnelle particulière de cette substance, qualité capable des effets décrits” - (fr:3029). Questi rinvii non sono meramente funzionali, ma rivelano una tensione dialettica: la stessa ipotesi delle configurazioni occulte, nata per spiegare fenomeni naturali, viene usata per smascherare le pretese dei “nigromants naïfs” (fr:3031).

6.4 Conclusioni implicite

Il testo rivela un Oresme consapevole dei limiti della conoscenza scientifica, ma anche audace nel sondarne i confini. La sua indagine oscilla tra: - Rigore geometrico (es. proporzionalità delle qualità) e aperture speculative (es. curvatura). - Naturalismo metodologico (esclusione del soprannaturale) e contaminazioni teologiche (inferno, paradiso). - Coerenza sistematica (rinvii interni) e digressività (sezioni su magia o visioni).

L’assenza di risposte definitive (fr:2997, 3004) non è un segno di debolezza, ma di un metodo che accetta l’incompletezza come parte del processo scientifico.

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7 La teoria delle qualità e dei rapporti in Nicola Oresme: metafore, linguaggio e innovazioni matematiche

Un’analisi delle tensioni tra tradizione euclidea e nuove prospettive nella rappresentazione delle qualità e del movimento.

Il testo esplora la riflessione di Nicola Oresme sulla rappresentazione matematica delle qualità e del movimento, evidenziando come la sua opera si collochi tra eredità teologico-retorica e innovazione scientifica. Centrale è la nozione di transumptio (metafora), termine di origine teologica attribuito ad Alain de Lille (“La technique n’est cependant pas d’origine rhétorique (ars dictaminis), mais théologique, et le terme serait dû à Alain de Lille” - fr:4039), che Oresme applica alle scienze quantitative. La metafora non è neutra: può essere “tolérable ou incongrue” (fr:4040), come nel caso di “le flot des montagnes” (fr:4041), dove l’assenza di relazione tra i termini la rende inaccettabile. Oresme distingue tra metafore “buone” e “cattive”: “non seulement l’expression « latitude de la charité » est une métaphore, mais c’est une mauvaise métaphore” (fr:4041), suggerendo che “longueur de la charité” sarebbe preferibile. Questa distinzione solleva una domanda cruciale: “Mais y aurait-il une différence essentielle entre la longueur de la charité, et celle de la chaleur ?” (fr:4042). Se la risposta è negativa, emerge un problema più ampio: “faut-il comprendre que l’idée de « longueur d’une qualité » est une métaphore, une bonne métaphore, et qu’il en ainsi de même plus généralement de la figuration des qualités ?” (fr:4043). Oresme sembra interpretare la rappresentazione matematica delle qualità come una metafora strutturale, che traspone in ambito scientifico un procedimento retorico-teologico di chiarificazione per immagini (“sa théorie serait alors une bonne métaphore mathématique qui transpose aux mathématiques un procédé théologique et rhétorique de clarification par l’image” - fr:4044).

7.1 Il linguaggio delle dimensioni: latitudine, longitudine e altezza

Oresme critica l’uso improprio del termine latitudo (latitudine) da parte di “certains modernes”, che lo impiegano per indicare l’intera qualità, analogamente a come sarebbe errato chiamare “largeur de la surface” la totalità di una figura (“il est manifeste par ce qui a été dit que certains modernes ne font pas bien en appelant sa « largeur » la qualité toute entière” - fr:4045). Questa ambiguità genera confusione, poiché latitudo assume tre significati distinti: (1) campo di variazione di una qualità, (2) differenziale di gradi, (3) qualità totale (“latitudo signifie alternativement […] champ de variation général d’une qualité […] différentiel de degrés […] la qualité totale” - fr:4048). Per risolvere l’ambiguità, Oresme propone di chiamare l’intensità di una qualità altitudo (altezza), un termine che si impone nei suoi sviluppi matematici perché l’intensità è immaginata come una linea verticale elevata su una base (“il suggère immédiatement […] d’appeler l’intensité d’une qualité sa « hauteur (altitudo) »” - fr:4049). Tuttavia, questa scelta non è priva di contraddizioni: nel trattare il movimento, Oresme inizialmente afferma che la longitudine dovrebbe corrispondere all’intensità e la latitudine alla durata, ma poi inverte la convenzione, proponendo di considerare la durata come longitudine, l’estensione del mobile come latitudine, e l’intensità come altitudine (“Il propose maintenant de tenir la durée du mouvement pour la longueur, l’étendue du mobile pour la largeur, et l’intensité […] pour la hauteur” - fr:4054). Questa arbitrarietà è esplicitata: “Ces expressions sont donc relativement arbitraires, et de peu d’usage” (fr:4056), tanto che Oresme preferisce termini come intensité, étendue, base o crête per descrivere le figure rappresentative (“Oresme parle essentiellement d’intensité et d’étendue […] il n’utilise presque pas les expressions longituto, latitudo, altitudo” - fr:4057).

7.2 La teoria dei rapporti: tradizione euclidea e innovazione oresmiana

La metrica delle qualità e del movimento si basa sulla teoria dei rapporti, ma Oresme si distacca dalla tradizione euclidea (rappresentata da Campanus e Boezio) adottando una “nouvelle théorie des rapports” (fr:4059), sviluppata nei suoi trattati Sur les rapports des rapports e Algorithme des rapports. La teoria tradizionale, fondata sul libro V degli Elementi di Euclide, si concentra sulle proporzioni (A:B :: C:D) piuttosto che sui rapporti semplici (A:B). Euclide definisce rapporti “doppiati” (proportio duplicata) e “triplicati” (proportio triplicata) come elevazioni a potenza di un rapporto: ad esempio, il rapporto raddoppiato di (3:2) è (9:4), utile per esprimere relazioni tra linee, superfici e volumi (“le rapport doublé de (3 : 2) est (9 : 4), et le rapport triplé est (27 : 8)” - fr:4072). Oresme introduce però il concetto di rapporto composto (proportio composita), dove il rapporto tra due grandezze è il prodotto di due rapporti intermedi: (A:C) = (A:B) × (B:C) (“le rapport de 4 à 2 […] est composé du rapport de 4 à 3 et du rapport de 3 à 2” - fr:4083). Questa innovazione permette di trattare i rapporti come oggetti matematici autonomi, superando i limiti della teoria euclidea.

7.3 Significato storico e metodologico

L’opera di Oresme rappresenta un ponte tra teologia e scienza: la sua teoria delle qualità si fonda su metafore retoriche, ma le applica a un contesto matematico rigoroso, anticipando l’uso di rappresentazioni grafiche per fenomeni fisici. La sua critica all’uso ambiguo dei termini (latitudo, longitudo) riflette una tensione tra convenzione linguistica e precisione concettuale, tipica della scienza medievale. Inoltre, la teoria dei rapporti di rapporti segna un passo avanti verso l’algebra moderna, introducendo operazioni sui rapporti che saranno riprese in epoca rinascimentale. Il testo testimonia così un momento di transizione, in cui la matematizzazione della natura inizia a emanciparsi dalle categorie aristoteliche e teologiche, pur attingendo ancora al loro linguaggio.

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[8.1-172-4086|4257]

8 La teoria dei rapporti tra grandezze e la sua evoluzione medievale: da Euclide a Oresme

Un’analisi della transizione dalla geometria delle proporzioni euclidea all’aritmetizzazione dei rapporti nel XIV secolo, con particolare attenzione al contributo di Nicole Oresme.

Il testo esamina la complessa evoluzione della teoria dei rapporti matematici, partendo dagli Elementi di Euclide fino alle innovazioni introdotte da Nicole Oresme nel XIV secolo. L’analisi si concentra su tre aspetti fondamentali: la natura delle grandezze geometriche in Euclide, il tentativo di aritmetizzazione medievale e la formalizzazione oresmiana dei “rapporti di rapporti”.

8.1 La concezione euclidea dei rapporti: grandezze, non numeri

Euclide opera esclusivamente con grandezze geometriche, non con numeri astratti. Questo approccio emerge chiaramente nella Proposizione VI.24, dove il rapporto tra due parallelogrammi viene espresso come composizione dei rapporti tra i loro lati: “Si A et B sont des parallélogrammes et a et b les côtés de A qui contiennent un angle égal à celui contenu par les côtés c et d de B, alors le rapport de B à A est composé des rapports de c à a et de d à b” - (fr:4088) [Se A e B sono parallelogrammi e a e b i lati di A che contengono un angolo uguale a quello contenuto dai lati c e d di B, allora il rapporto di B ad A è composto dai rapporti di c ad a e di d a b]. La notazione algebrica moderna ((B : A) = (c : a) · (d : b)) è fuorviante, poiché Euclide non formula una regola di calcolo numerico, ma una relazione tra grandezze (fr:4089). Come sottolinea il testo: “Euclide ne formule pas une règle de calcul, qui supposerait une arithmétisation de la géométrie” - (fr:4089) [Euclide non formula una regola di calcolo, che presupporrebbe un’aritmetizzazione della geometria].

La distinzione tra grandezze e numeri è cruciale. Mentre oggi identificheremmo cd come il prodotto delle lunghezze c e d (espresse come multipli di un’unità u), Euclide ragiona su grandezze continue, non su quantità discrete: “Mais Euclide raisonne sur des grandeurs, non sur des nombres” - (fr:4091) [Ma Euclide ragiona su grandezze, non su numeri]. Questa impostazione limita la possibilità di calcolare aree assolute: Euclide determina proporzioni tra rapporti, non misure numeriche (fr:4095). L’incommensurabilità tra grandezze (ad esempio, lato e diagonale di un quadrato) rende impossibile esprimere il rapporto tra superfici come rapporto tra numeri interi, se non in casi particolari (fr:4096).

8.2 L’aritmetizzazione medievale: il problema delle grandezze incommensurabili

La necessità pratica di misurare superfici (per agrimensori o architetti) spinge i matematici medievali a superare i limiti della geometria euclidea. Jean de Murs e Nicole Oresme introducono concetti aritmetici per trattare le grandezze geometriche: - Numeri, quadrati e radici: Jean de Murs utilizza questi strumenti per calcolare aree, anche in presenza di incommensurabilità (fr:4100). Ad esempio, Oresme dimostra che l’area di un triangolo equilatero è incommensurabile ai suoi lati (fr:4101). Assegnando al lato il valore 4, la mediana b (altezza) risolve l’equazione b² + 2² = 4², da cui b = √12, un numero “sordo” (irrazionale) (fr:4104). - Limiti dell’aritmetizzazione: Oresme conclude che “s’il faut mesurer une surface ou un plan, jamais de la connaissance de ses côtés on aura la quantité de sa surface” - (fr:4105) [se si deve misurare una superficie o un piano, mai dalla conoscenza dei suoi lati si otterrà la quantità della sua superficie]. L’incommensurabilità impedisce di esprimere l’area come numero, ma non di confrontare rapporti tra superfici (fr:4106).

8.3 La teoria dei “rapporti di rapporti” di Oresme

Oresme sviluppa una teoria innovativa che estende la nozione euclidea di rapporto, introducendo: 1. Doppia e tripla di un rapporto: Euclide definisce solo rapporti doppi e tripli (ad esempio, il rapporto tra superfici simili è il doppio del rapporto tra i lati omologhi, fr:4166). Oresme generalizza questa idea a qualsiasi multiplo, definendo rapporti come “quadruple, et ainsi à l’infini” - (fr:4162) [quadruplo, e così all’infinito]. 2. Parti di un rapporto: Oresme introduce la nozione di medietas duple (metà del doppio) per rapporti irrazionali. Ad esempio, il rapporto tra diagonale e lato di un quadrato è la metà del rapporto doppio tra i loro quadrati (fr:4167): “le rapport de la diagonale avec le côté du carré […] est comme la moitié du rapport double” - (fr:4164) [il rapporto tra diagonale e lato del quadrato […] è come la metà del rapporto doppio]. Questo permette di “denominare” rapporti irrazionali come frazioni di rapporti razionali (fr:4197).

3. Operazioni sui rapporti: Oresme definisce regole per sommare e sottrarre rapporti, sia razionali che irrazionali. Ad esempio:
   • Addizione: (a : b) + (c : d) = (ac : bd) (fr:4208).
   • Sottrazione: (a : b) – (c : d) = (ad : bc) (fr:4208). Per rapporti irrazionali, l’operazione richiede di esprimerli come parti di rapporti razionali (fr:4213-4220). Ad esempio, per sommare il “terzo del doppio” al rapporto sesquialtero (3:2), si calcola:
   • Il sesquialtero è il terzo di (3:2)³ = (27:8).
   • Si somma (27:8) + (2:1) = (27:4).
   • Il risultato è il terzo di (27:4), denominato 1/3 6p 3/4 (fr:4217).
4. Applicazioni geometriche: La teoria permette di risolvere problemi altrimenti inaccessibili. Ad esempio, il rapporto tra volumi di due cubi le cui basi stanno in rapporto doppio è il “sesquialtero del doppio”, cioè la metà dell’ottuplo (fr:4246). Questo rapporto è irrazionale, ma denominabile come 1/2 8p (fr:4246).

8.4 Significato storico e innovazioni concettuali

La teoria di Oresme rappresenta un ponte tra geometria e aritmetica, con implicazioni profonde: - Superamento dei limiti euclidei: Euclide non definisce proporzioni tra rapporti (fr:4253), mentre Oresme introduce una “metrica dei rapporti” che permette di misurare quanto un rapporto sia maggiore di un altro (fr:4254). - Denominazione dei rapporti irrazionali: Per la prima volta, alcuni rapporti irrazionali (come la metà del doppio) diventano “calcolabili” attraverso la loro relazione con rapporti razionali (fr:4195-4197). - Incommensurabilità tra rapporti: Oresme ipotizza che esistano rapporti irrazionali incommensurabili tra loro, anticipando la nozione di “rapporti trascendenti” (fr:4256). - Applicazioni pratiche: La teoria trova uso in ambiti come la musica (composizione di intervalli) e la cinematica (misura delle velocità), dove Oresme applica i rapporti per confrontare intensità di qualità o movimenti (fr:4194).

8.5 Nomenclatura e calcolo: l’eredità di Boezio

Oresme adotta la nomenclatura boeziana per i rapporti razionali, basata sulla relazione tra un tutto e le sue parti (fr:4131). Ad esempio: - Sesquialtero: rapporto (3:2), dove il termine maggiore è il tutto più la sua metà (fr:4131). - Superparticolare: rapporto (5:3), dove il termine maggiore è il tutto più due terzi del tutto (fr:4133). Questa classificazione, limitata ai rapporti razionali, viene estesa da Oresme ai rapporti irrazionali attraverso la denominazione “mediata” (fr:4151). Ad esempio, il rapporto tra diagonale e lato di un quadrato è denominato 1/2 2p (fr:4198).

8.6 Conclusione: una matematica delle comparazioni

La teoria dei rapporti di Oresme risponde a un’esigenza fondamentale: confrontare grandezze, qualità e movimenti in modo quantitativo. Come sintetizza il testo: “La science d’Oresme repose éminemment sur les comparaisons […] la théorie mathématique centrale pour exprimer ces comparaisons est naturellement la théorie des rapports” - (fr:4249-4250) [La scienza di Oresme si basa eminentemente sui confronti […] la teoria matematica centrale per esprimere questi confronti è naturalmente la teoria dei rapporti]. L’innovazione di Oresme non è solo tecnica, ma concettuale: trasforma i rapporti da strumenti di confronto statico (come in Euclide) a oggetti dinamici, suscettibili di operazioni algebriche. Questo passaggio segna un momento cruciale nella transizione verso la matematica moderna, dove numeri e grandezze diventano entità interoperabili.

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9 L’evoluzione delle teorie ottiche sulla variazione intensiva della luce e della visione

Dalla geometria euclidea alla dinamica dell’angolo d’attacco: un percorso tra numero, densità e forza.

Il testo analizza lo sviluppo storico delle teorie ottiche, concentrandosi sulla spiegazione della variazione intensiva della luce e della visione, dalle prime formulazioni geometriche fino alle elaborazioni medievali. Vengono messi in evidenza due approcci fondamentali: la dinamica del numero e della densità (Euclide, Al-Kindī) e la dinamica dell’angolo d’attacco (Tolomeo, Ibn al-Haytham), che si intrecciano e si contrappongono nel corso dei secoli.

9.1 1. Principi fondamentali: efficacia dell’azione perpendicolare e affievolimento obliquo

Il testo introduce due principi cardine dell’ottica geometrica, validi sia per la visione che per l’illuminazione: - “Plus généralement, à puissance égale, l’attaque directe et perpendiculaire à la surface de l’objet est la plus efficace” - (fr:4635) [Più in generale, a potenza uguale, l’attacco diretto e perpendicolare alla superficie dell’oggetto è il più efficace]. - “Plus l’attaque est oblique, plus elle s’affaiblit” - (fr:4636) [Più l’attacco è obliquo, più si indebolisce].

Questi principi sono illustrati attraverso il cono di visione (o d’illuminazione), dove un oggetto posto sull’asse del cono è visto (o illuminato) più chiaramente di uno posto lateralmente: “Du point de vue du cône de vision, cela signifie qu’un objet sur la base du cône mais éloigné de l’axe visuel est vu moins clairement qu’un autre à proximité de l’axe” - (fr:4637) [Dal punto di vista del cono di visione, ciò significa che un oggetto sulla base del cono ma lontano dall’asse visivo è visto meno chiaramente di un altro vicino all’asse].

La rappresentazione geometrica è chiara: “ABC est un cône de vision émis par l’œil A. Le rayon AD perpendiculaire à la surface de l’objet BC agit plus fortement que le rayon oblique AE. Le point D est donc vu plus clairement que E” - (fr:4638-4640) [ABC è un cono di visione emesso dall’occhio A. Il raggio AD perpendicolare alla superficie dell’oggetto BC agisce più fortemente del raggio obliquo AE. Il punto D è quindi visto più chiaramente di E].

Questo principio dell’azione ortogonale diventa un motif centrale nell’ottica geometrica, da Al-Kindī a Vitellione, con variazioni significative nelle sue formulazioni e dimostrazioni.

9.2 2. Due tradizioni a confronto: Euclide vs Tolomeo

9.2.1 Euclide: la dinamica del numero e della densità

Euclide spiega la variazione intensiva della visione (o della luminosità) come effetto di un numero o di una densità di raggi, misurata geometricamente dall’angolo al vertice del cono di visione per una stessa superficie visibile: “Euclide explique la variation intensive comme l’effet d’un nombre ou d’une densité (de rayons), géométriquement mesuré par l’angle au sommet du cône de vision pour une même surface visible” - (fr:4646) [Euclide spiega la variazione intensiva come effetto di un numero o di una densità (di raggi), misurata geometricamente dall’angolo al vertice del cono di visione per una stessa superficie visibile].

L’ipotesi implicita è che ogni raggio agisca puntualmente, producendo una chiarezza minima e invariante con la distanza: “Il semble donc supposer implicitement que chaque rayon agit ponctuellement et produit une clarté minimale, égale pour tout rayon et invariante selon l’éloignement” - (fr:4647) [Sembra quindi supporre implicitamente che ogni raggio agisca puntualmente e produca una chiarezza minima, uguale per ogni raggio e invariante con la distanza].

Questa spiegazione è definita ”dinamica del numero e della densità”, poiché l’azione è tanto più forte quanto maggiore è il numero di agenti (raggi). Tuttavia, questa dinamica serve a escludere ogni considerazione intensiva dal sistema esplicativo: gli effetti (affievolimento/rafforzamento) sono ridotti a cause puramente geometriche (angoli e linee): “L’intensification (de la clarté) est simplement l’effet d’une augmentation (de l’angle)” - (fr:4651) [L’intensificazione (della chiarezza) è semplicemente l’effetto di un aumento (dell’angolo)].

9.2.2 Tolomeo: la dinamica dell’angolo d’attacco

Tolomeo, al contrario, introduce esplicitamente principi dinamici all’interno del sistema esplicativo. L’intensificazione della chiarezza è effetto di un’intensificazione della potenza visiva o della sua azione: “Ptolémée, au contraire, est explicite quant aux principes dynamiques invoqués. De plus, cette dynamique est introduite à l’intérieur même du système explicatif : l’intensification (de la clarté) est l’effet d’une intensification (de la puissance visuelle ou de son action)” - (fr:4653-4654) [Tolomeo, al contrario, è esplicito riguardo ai principi dinamici invocati. Inoltre, questa dinamica è introdotta all’interno stesso del sistema esplicativo: l’intensificazione (della chiarezza) è l’effetto di un’intensificazione (della potenza visiva o della sua azione)].

Questi principi dinamici sono ammessi come fatti d’esperienza irreducibili riguardanti le “potenze” in generale, analoghi a quelli della balistica: “Ils sont donc moins expliqués qu’admis comme des faits d’expérience irréductibles concernant les puissances en général” - (fr:4656) [Sono quindi meno spiegati che ammessi come fatti d’esperienza irriducibili riguardanti le potenze in generale].

Tolomeo non rifiuta del tutto la spiegazione per numero (ad esempio, due candele illuminano meglio di una), ma privilegia una dinamica dell’esaurimento e dell’angolo d’attacco, dove la geometria (l’ortogonalità) interviene in ragione delle proprietà dinamiche degli angoli d’attacco.

9.3 3. Al-Kindī: la sintesi tra numero e continuità

Al-Kindī, nel suo De aspectibus (IX secolo), opera una critica costruttiva dell’ottica euclidea, introducendo concetti fondamentali per l’ottica di Vitellione. La sua teoria si basa su una concezione generale della radiazione, dove ogni cosa emana la propria virtus (potenza) nel mezzo circostante in modo rettilineo e in tutte le direzioni: “D’une manière générale, toute chose rayonne sa puissance ou vertu (virtus) dans le milieu environnant, de manière rectiligne et dans toutes les directions” - (fr:4665) [In generale, ogni cosa irradia la propria potenza o virtù (virtus) nel mezzo circostante, in modo rettilineo e in tutte le direzioni].

9.3.1 Visione per “extramissione” e ruolo attivo dell’occhio

Al-Kindī sostiene la teoria della visione per extramissione (emissione di raggi dall’occhio), non perché neghi la radiazione luminosa, ma perché ritiene insufficiente la semplice emissione di immagini da parte dell’oggetto per spiegare: 1. L’attività dell’occhio, che si volge attivamente verso ciò che guarda (a differenza dell’orecchio, organo passivo). 2. La variazione della visione secondo l’angolo di vista di uno stesso oggetto.

9.3.2 Il cono di visione continuo e la critica ai raggi discreti

Al-Kindī rifiuta l’idea euclidea di un cono di visione composto da raggi discreti e divergenti, proponendo invece un cono pieno e continuo: “comme pour Ptolémée, ce cône est plein et continu. La vision n’est pas « ponctuelle », et n’est donc pas le fait d’un hypothétique rayon sans épaisseur” - (fr:4672-4673) [come per Tolomeo, questo cono è pieno e continuo. La visione non è “puntuale”, e quindi non è opera di un ipotetico raggio senza spessore].

Il raggio è quindi un’astrazione matematica, utile ma fuorviante quando si tratta di spiegare la variazione della chiarezza della visione.

9.3.3 Spiegazione del rafforzamento assiale

Al-Kindī adatta la dinamica del numero all’ipotesi del cono continuo per spiegare: 1. L’affievolimento della chiarezza con l’allontanamento dalla fonte visiva. 2. Il rafforzamento della chiarezza nella direzione perpendicolare (oggetto visto di fronte).

La sua spiegazione si basa su un principio di sovrapposizione (recouvrement): la luminosità è tanto più forte quanto maggiore è il numero di fonti luminose che si sovrappongono. Applicato alla visione, questo principio implica che ogni punto della superficie dell’occhio sia una fonte di radiazione visiva (punto radiante), che emette una semisfera di visione. L’oggetto visto di fronte riceve radiazione dal massimo numero di punti radianti, quindi è visto più chiaramente: “le centre est le plus illuminé. Et plus une chose en est proche, plus elle est illuminée que celle qui en est loin” - (fr:4723-4724) [il centro è il più illuminato. E più una cosa ne è vicina, più è illuminata di quella che ne è lontana].

9.3.4 Spiegazione dell’affievolimento con la distanza

Al-Kindī rifiuta l’idea di un esaurimento della radiazione con la distanza (come in Tolomeo), spiegando invece l’affievolimento della luminosità/clartà con la diminuzione della densità della potenza che agisce sulla superficie dell’oggetto. La quantità di potenza è misurata attraverso la superficie di triangoli definiti geometricamente.

La sua dimostrazione si articola in tre proposizioni: 1. Il rapporto tra la virtù di un corpo luminoso e la sua totalità è uguale al rapporto tra la virtù di una sua parte e quella parte. 2. Una virtù data imprime un’impressione di luce più forte di una virtù più debole. 3. Un corpo è più illuminato quando è vicino alla fonte luminosa che quando ne è lontano.

La figura chiave è quella di un cono d’illuminazione, dove la virtù è più forte nel cono con angolo maggiore (perché contiene più punti radianti). Tuttavia, Al-Kindī non propone una misura quantitativa dei gradi di intensità, limitandosi a dimostrare ordini di grandezza.

9.4 4. Ibn al-Haytham: dinamica dell’angolo d’attacco e fisiologia della visione

Ibn al-Haytham (XI secolo) adotta una dinamica dell’angolo d’attacco simile a quella di Tolomeo, ma la applica in modo più esteso, in particolare nello studio della rifrazione. La sua spiegazione si basa su un’analogia con la balistica: “le mouvement sur la perpendiculaire est plus facile et plus fort, et que si un mouvement est oblique, celui est plus proche de la perpendiculaire est plus facile que celui qui en est plus éloigné” - (fr:4863) [il movimento sulla perpendicolare è più facile e più forte, e se un movimento è obliquo, quello più vicino alla perpendicolare è più facile di quello che ne è più lontano].

9.4.1 Rifrazione e decomposizione del movimento

Ibn al-Haytham spiega la rifrazione decomponendo il movimento obliquo della luce in due componenti: 1. Una perpendicolare alla superficie (poco resistita dal mezzo). 2. Una parallela alla superficie (più resistita).

Quando la luce passa da un mezzo meno denso a uno più denso, la componente perpendicolare prevale, deviando la luce verso la perpendicolare. Il contrario avviene nel passaggio inverso.

9.4.2 Fisiologia della visione: il ruolo dell’ortogonalità

Ibn al-Haytham rifiuta la teoria del cono di visione, proponendo che l’occhio riceva le forme di luce e colore emesse dagli oggetti. Tuttavia, solo i raggi che colpiscono l’occhio perpendicolarmente sono efficaci, perché: “L’action de la lumière venant le long des perpendiculaires est plus forte que l’action de la lumière venant le long des lignes obliques” - (fr:4898) [L’azione della luce che arriva lungo le perpendicolari è più forte dell’azione della luce che arriva lungo linee oblique].

Questo principio è giustificato dalla forza di sensibilizzazione dei raggi perpendicolari, che prevalgono su quelli obliqui (anche se questi ultimi non sono del tutto inattivi). La soluzione di Ibn al-Haytham si basa su un effetto di mascheramento: le luci intense (come quella del sole di giorno) nascondono le luci deboli (come le stelle).

9.5 5. La prospettiva medievale: Grossatesta, Bacone e Vitellione

9.5.1 Grossatesta e Bacone: azione e piramide

Grossatesta e Bacone estendono il concetto di radiazione a ogni tipo di azione naturale, non solo alla luce. L’agente naturale “moltiplica la sua virtù” fino all’oggetto che affetta (il “paziente”), e la forza dell’azione è determinata dalle sue proprietà geometriche: - Una linea d’azione è tanto più forte quanto più è diritta e perpendicolare. - La figura geometrica che meglio rappresenta questa azione è il cono (piramide), con base sulla superficie dell’agente e vertice su un punto del paziente.

Bacone introduce il principio di convergenza: l’azione è tanto più forte quanto più i raggi convergono in un punto. Questo principio è espresso in termini di angoli al vertice del cono: un cono più piccolo (con angolo maggiore) agisce più fortemente di uno più grande, perché i suoi raggi convergono di più.

9.5.2 Vitellione: calcoli sulla variazione intensiva

Vitellione riprende la dinamica del numero di Al-Kindī, applicandola alla luminosità: - La virtù irradiata è proporzionale alla quantità della fonte (II.6) e alla quantità dell’oggetto irradiato (II.7). - Il rafforzamento assiale (oggetto visto di fronte) è spiegato come in Al-Kindī (II.20-21). - L’affievolimento con la distanza è dimostrato con la stessa geometria di Al-Kindī (II.22).

Vitellione introduce però una formalizzazione più rigorosa, pur senza arrivare a una misura quantitativa precisa dei gradi di intensità.

9.6 6. Significato storico e testimonianze

Il testo testimonia un cambiamento di paradigma nell’ottica: 1. Dalla geometria pura alla dinamica: Euclide riduce la variazione intensiva a cause geometriche (angoli), mentre Tolomeo e Ibn al-Haytham introducono principi dinamici (forza, resistenza). 2. Dalla visione all’illuminazione: Al-Kindī e Ibn al-Haytham spostano l’attenzione dalla proiezione visiva (occhio che emette raggi) alla ricezione luminosa (occhio che riceve luce dagli oggetti). 3. Dalla qualità alla quantità: Al-Kindī e Vitellione tentano di quantificare la variazione intensiva attraverso il numero di punti radianti o la superficie dei triangoli, pur senza arrivare a una misura precisa.

Queste teorie influenzano profondamente l’ottica scolastica medievale (Perspectiva communis), che integra elementi metafisici (come il Liber de causis) con osservazioni empiriche, preparando il terreno per le rivoluzioni scientifiche successive.

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10 Le teorie medievali sull’intensità delle qualità: simultaneità, successione e modi della sostanza

Il testo analizza le concezioni filosofiche medievali sull’intensità e remissione delle qualità, focalizzandosi sulle teorie di Nicola Oresme e sul dibattito tra approcci additivi, successivi e modali. Emergono quattro posizioni principali, ciascuna caratterizzata da un’ontologia distinta della variazione qualitativa, con implicazioni per la fisica aristotelica e la metafisica scolastica.

10.1 La teoria della simultaneità e il problema dell’additività

La prima concezione, attribuita a Oresme ma criticata per la sua etichetta riduttiva, è definita “teoria della simultaneità” anziché “teoria additiva”: “Il est donc quelque peu trompeur d’appeler cette conception « théorie additive », […] car l’additivité de parties graduelles n’est qu’un des 3 moments d’une conception plus générale qu’Oresme caractérise plutôt par la présence simultanée des contraires” - (fr:5379) [È quindi alquanto fuorviante chiamare questa concezione “teoria additiva”, poiché l’additività di parti graduali è solo uno dei tre momenti di una concezione più generale che Oresme caratterizza piuttosto per la presenza simultanea dei contrari].

Qui, le qualità contrarie (es. caldo/freddo) coesistono nel medesimo soggetto, mescolandosi in proporzioni variabili: “Selon la première conception, les qualités contraires existent simultanément dans le même sujet où elles sont mélangées” - (fr:5394) [Secondo la prima concezione, le qualità contrarie esistono simultaneamente nello stesso soggetto dove sono mescolate]. L’intensità di una qualità aumenta o diminuisce per **guadagno o perdita di “gradi”, intesi come parti discrete ma non necessariamente materiali: “Chacune a une intensité propre, mais la somme des degrés de chacune est constante” - (fr:5377) [Ciascuna ha un’intensità propria, ma la somma dei gradi di ciascuna è costante]; “tension et détente se produisent par gain et perte de parties graduelles ou « degrés »” - (fr:5378) [tensione e distensione si producono per guadagno e perdita di parti graduali o “gradi”].

La variazione è intrinsecamente correlata: se il calore aumenta di un grado, il freddo diminuisce dello stesso valore (fr:5396). Tuttavia, Oresme sottolinea che non tutte le qualità hanno un contrario (es. oscurità è privazione di luce, non contrario, fr:5395), limitando il campo di applicazione della teoria.

10.2 Le teorie della successione: tre ontologie alternative

Le altre tre concezioni rifiutano la simultaneità, interpretando la variazione come successione di stati (fr:5380). Differiscono però nell’ontologia della transizione:

1. Modificazione del soggetto (Ockham?) La qualità rimane invariabile, mentre è il soggetto a mutare disposizione: “la variation intensive n’est causée […] par aucune variation de la qualité elle-même, mais par une modification de l’état du sujet qui « se tient autrement (aliter se habet) »” - (fr:5382) [la variazione intensiva non è causata […] da alcuna variazione della qualità stessa, ma da una modificazione dello stato del soggetto che “si tiene altrimenti”]. “les qualités sont en elles-mêmes invariables, mais le sujet est plus ou moins bien disposé à les recevoir” - (fr:5383) [le qualità sono in sé stesse invariabili, ma il soggetto è più o meno ben disposto a riceverle]. Questa posizione, attribuita a Ockham (fr:5384), nega la realtà della successione temporale, riducendola a una differenza ordinata di fasi (aliter se habere).

2. Successione di forme (Burley) La variazione è una catena di generazioni e distruzioni di forme discrete: “la diminution d’un degré à un autre signifie en réalité une succession de destructions et générations de formes” - (fr:5385) [la diminuzione da un grado a un altro significa in realtà una successione di distruzioni e generazioni di forme]. Qui, ogni istante dell’alterazione introduce una forma nuova e distinta (fr:5387), senza continuità tra gli stati.

3. Modi della sostanza (Oresme) La quarta concezione, preferita da Oresme, nega la realtà sostanziale delle qualità, assimilandole a modi della sostanza: “elle nie la nature substantielle des qualités, et les assimile à des modes de la substance” - (fr:5388) [essa nega la natura sostanziale delle qualità e le assimila a modi della sostanza]. La variazione non riguarda la qualità in sé, ma la sostanza che modifica il proprio essere: “La « qualité » en elle-même ne subit donc aucune variation : c’est la substance qui modifie son être” - (fr:5389) [La “qualità” in sé stessa non subisce alcuna variazione: è la sostanza che modifica il proprio essere]. L’anima misura queste intensificazioni immaginando la distanza tra un modo determinato e il suo stato perfetto (fr:5389).

10.3 Contraddizioni e complessità del dibattito

Oresme adotta la quarta teoria, ma difende strenuamente la prima (fr:5393), creando una tensione interna al suo pensiero. La sua argomentazione è descritta come tortuosa e difficile da seguire: “il défend et critique chacune de ces opinions, voir défend l’une au nom d’une autre qu’il critique à son tour au nom d’une troisième” - (fr:5390) [difende e critica ciascuna di queste opinioni, anzi difende l’una in nome di un’altra che critica a sua volta in nome di una terza]. Le critiche non colpiscono le teorie in blocco, ma momenti specifici (fr:5391), e l’unione di questi momenti è problematica: “alors que Burley distingue la théorie additive de celle du mélange des contraires, pour Oresme l’une implique l’autre” - (fr:5392) [mentre Burley distingue la teoria additiva da quella del mescolamento dei contrari, per Oresme l’una implica l’altra].

10.4 Aspetti tecnici e limiti fisici

Il testo introduce vincoli quantitativi: le qualità sono infinitamente divisibili in intensità, ma non indefinitamente aumentabili, avendo un massimo di intensità (fr:5398). La variazione avviene per azione del contrario (es. un corpo caldo riscalda un corpo freddo, fr:5397), implicando un meccanismo di introduzione o educzione di qualcosa (probabilmente calore o calor).

10.5 Significato storico

Il dibattito riflette la crisi della fisica aristotelica nel XIV secolo, con Oresme che tenta di conciliare: - L’empirismo (osservazione della variazione qualitativa) con una metafisica dei modi; - La discretezza dei gradi (teoria additiva) con la continuità della sostanza (teoria modale); - La simultaneità dei contrari con la successione temporale.

La preferenza per la quarta teoria segnala un superamento della sostanzialità delle qualità, anticipando sviluppi moderni nella concezione delle proprietà fisiche come relazioni o stati piuttosto che entità autonome. La citazione di Ockham e Burley colloca il testo nel contesto della Scolastica tardiva, dove la tensione tra nominalismo e realismo si riflette nelle teorie dell’intensità.

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11 La concezione oresmiana delle qualità intensive e il ruolo dei rapporti quantitativi

Il testo esplora la teoria delle qualità intensive sviluppata da Nicole Oresme, con particolare attenzione al modo in cui egli interpreta fenomeni come la courbure (curvatura) e la rapidité (velocità) attraverso il prisma dei rapporti quantitativi e dei movimenti. L’analisi si concentra su due aspetti fondamentali: la natura non-additiva delle variazioni intensive e il tentativo di ridurre alcune qualità seconde a parametri misurabili, pur mantenendo una posizione esplorativa e non dogmatica.

11.1 La natura delle qualità intensive e l’addizione di gradi

Oresme affronta il problema dell’intensificazione delle qualità – come la bianchezza – proponendo una spiegazione che si discosta dall’idea di una semplice addizione di parti graduali. La frase chiave è: “Si l’intensification de la blancheur peut bien être interprétée comme l’addition d’un degré de blancheur, c’est sans doute parce que ce degré intensif additionnel est causé par la variation du rapport des qualités contraires sans pour autant s’y réduire” - (fr:5429) [Se l’intensificazione della bianchezza può essere interpretata come l’aggiunta di un grado di bianchezza, è senza dubbio perché questo grado intensivo aggiuntivo è causato dalla variazione del rapporto tra qualità contrarie, senza tuttavia ridursi ad esso]. Qui emerge un punto cruciale: l’intensità non deriva da un accumulo di “parti” qualitative, ma da una modificazione relazionale tra opposti (ad esempio, bianco e nero). Questa visione anticipa una concezione dinamica delle qualità, dove la variazione è legata a un rapporto piuttosto che a una sostanza aggiuntiva.

11.2 Qualità seconde e riduzione a quantità

Oresme distingue tra qualità determinate da qualità primarie e quelle che dipendono da quantità o movimenti. La frase: “Reste que certaines qualités secondes sont déterminées non par des qualités, mais par des quantités et des mouvements” - (fr:5430) [Resta il fatto che alcune qualità seconde sono determinate non da qualità, ma da quantità e movimenti] introduce esempi come la courbure e la rapidité, che Oresme identifica con rapporti quantitativi. La curvatura, in particolare, è descritta come: “se dit d’une rotation ou dénote une rotation” - (fr:5434) [si dice di una rotazione o denota una rotazione], ma con una precisazione fondamentale: “la rotation est d’autant plus intense qu’elle est accomplie sur une petite distance” - (fr:5435) [la rotazione è tanto più intensa quanto più è compiuta su una distanza breve]. Questo suggerisce che la curvatura non è una proprietà intrinseca, ma il risultato di un rapporto tra angolo di rotazione e lunghezza del percorso. In termini geometrici moderni, come notato nel testo, la curvatura di un arco potrebbe essere definita come: “le rapport de l’angle formé par les tangentes aux extrémités de l’arc à la longueur de l’arc” - (fr:5439) [il rapporto tra l’angolo formato dalle tangenti agli estremi dell’arco e la lunghezza dell’arco].

11.3 Ambiguità e approccio esplorativo

Oresme non adotta una posizione univoca. Il testo evidenzia oscillazioni nella sua trattazione, come nel caso della distinzione tra qualità identificate a un rapporto e quelle che seguono un rapporto: “De même, il ne distingue pas toujours très nettement entre qualités identifiées à un rapport, et celles qui suivent un rapport” - (fr:5438) [Allo stesso modo, non distingue sempre chiaramente tra qualità identificate a un rapporto e quelle che seguono un rapporto]. Questa ambiguità è esemplificata dalla curvatura, che nel Traité des configurations (DC) non viene ridotta a un mero rapporto quantitativo, come suggerito in altri passaggi. La frase: “Nous verrons plus loin que ce n’est pas tout-à-fait la voie choisie par Oresme dans le DC, et que les différentes mesures de la courbure qu’il propose ne la réduise pas à un pur rapport de quantités” - (fr:5440) [Vedremo più avanti che questa non è esattamente la via scelta da Oresme nel DC, e che le diverse misure della curvatura da lui proposte non la riducono a un puro rapporto di quantità] sottolinea un approccio esplorativo e non riduzionista, dove la curvatura può essere interpretata anche come composizione di movimenti (ad esempio, rotazione e variazione del raggio in una spirale).

11.4 Il rifiuto dell’addizione graduale per le qualità matematiche

Un punto teorico centrale è il rifiuto dell’addizione di parti graduali per le qualità appartenenti alla quarta categoria aristotelica (qualità matematiche) e per alcune qualità seconde (come rarefazione e durezza). Oresme afferma che l’alterazione avviene: “sans acquisition d’une nouvelle chose selon cette voie (non acquirendo aliquam rem secundum illam viam)” - (fr:5443) [senza acquisizione di una nuova cosa secondo questa via]. La variazione intensiva è invece il risultato di un cambiamento in un rapporto quantitativo, come chiarito da: “La variation intensive de ces qualités n’est que le résultat de la variation d’un rapport quantitatif” - (fr:5444) [La variazione intensiva di queste qualità non è che il risultato della variazione di un rapporto quantitativo]. Questo principio si estende anche a qualità come la rarità e la densità, che Oresme sembra interpretare come rapporti tra quantità (ad esempio, numero di particelle per volume), in linea con Aristotele.

11.5 Significato storico e metodologico

Il testo testimonia un momento di transizione nella filosofia naturale medievale, dove Oresme tenta di conciliare la tradizione aristotelica con un approccio quantitativo e geometrico. La sua trattazione della curvatura, ad esempio, anticipa sviluppi successivi nella geometria differenziale, pur rimanendo ancorata a un contesto pre-moderno. L’atteggiamento esplorativo e le oscillazioni teoriche riflettono una fase in cui le categorie aristoteliche venivano messe in discussione senza essere ancora sostituite da un paradigma alternativo. La frase: “l’on doit s’attendre à des variations de sa position” - (fr:5441) [ci si deve aspettare variazioni nella sua posizione] cattura questa tensione tra innovazione e tradizione, tipica di un pensatore che opera ai margini della rivoluzione scientifica.

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12 La teoria dell’intensificazione qualitativa in Nicola Oresme: tra additività, contrapposti e paradossi dell’infinito

Il testo analizza il pensiero di Nicola Oresme sulla natura dell’intensificazione delle qualità, un tema centrale nella filosofia naturale del XIV secolo, evidenziando come la sua posizione si articoli tra teoria additiva, presenza simultanea dei contrari e paradossi matematici legati alla divisibilità infinita.

12.1 La teoria additiva e i suoi limiti

Oresme non applica universalmente la teoria dell’intensificazione per additività, ma la riserva alle “qualità di terza specie”, escludendo quelle riconducibili a rapporti qualitativi o quantitativi: “Ainsi, même dans les paragraphes où il défend la théorie de l’intensification par additivité, il ne l’affirme pas universellement de toutes les qualités, mais seulement des « qualités de troisième espèce » qui ne sont pas identifiables à des rapports, ni qualitatifs, ni quantitatifs” - (fr:5459) [Così, anche nei paragrafi in cui difende la teoria dell’intensificazione per additività, non la afferma universalmente per tutte le qualità, ma solo per le “qualità di terza specie” che non sono identificabili con rapporti, né qualitativi né quantitativi]. Questa distinzione è cruciale: Oresme ammette che alcune qualità siano divisibili in intensità secondo “parties graduelles” (fr:5460), ma la sua concezione non si riduce all’additività. Come sottolinea il testo, definirla “teoria additiva” è fuorviante, poiché l’additività è solo un momento di una visione più ampia, dominata dalla “teoria della presenza simultanea dei contrari” (fr:5461). Questa doppia articolazione emerge chiaramente nelle Questiones super Physicam (V.6 e V.7), dove Oresme risponde alle obiezioni di Gauthier Burley, che aveva criticato l’idea che l’intensificazione derivasse da un’aggiunta.

12.2 Obiezioni e risposte: tra unificazione e intensità

Una delle obiezioni principali alla teoria additiva si basa sul principio che “une vertu unifiée est plus forte qu’une vertu dispersée” (fr:5467) [una virtù unificata è più forte di una dispersa]. Questo principio, centrale nell’ottica geometrica medievale, spiegava la variazione di luminosità come effetto della condensazione dei raggi: “l’intensité d’illumination d’un objet était comprise comme d’autant plus grande que les rayons lumineux se condensaient et s’unifiaient” (fr:5468) [l’intensità di illuminazione di un oggetto era intesa come tanto maggiore quanto più i raggi luminosi si condensavano e unificavano]. Esempi come la lente convergente (fr:5469) illustravano come la condensazione aumentasse l’efficacia di un’azione senza necessariamente incrementarne l’intensità.

La risposta di Oresme a questa obiezione è innovativa e anticipa concetti sviluppati nel Traité des configurations: “Et cum dicitur « si ignis condensatur etc », potest dici quod bene fiet activa et sensibilis magis propter hoc quod erit unita magis, sed ex hoc non intenderetur” - (fr:5472) [E quando si dice “se un fuoco viene condensato ecc.”, si può rispondere che diventerà sì più attivo e sensibile perché sarà più unificato, ma non per questo sarà più intenso]. Oresme distingue tra intensità (grado qualitativo) ed efficienza (effetto prodotto): l’unificazione di una qualità non ne aumenta l’intensità, ma ne potenzia l’effetto. La ragione fisica di questo fenomeno è sintetizzata in una formula chiave: “hoc non quia virtus intenditur, sed quodammodo melius applicatur” (fr:5478) [ciò non avviene perché la virtù si intensifica, ma perché viene applicata meglio]. Questa distinzione prelude alla teoria delle configurazioni, che spiegherà matematicamente come, a intensità uguale, l’efficienza di una qualità dipenda dal suo profilo dinamico (fr:5479).

12.3 La presenza simultanea dei contrari

Un secondo gruppo di obiezioni riguarda la coesistenza di gradi opposti (es. piccolo/grande) in una stessa sostanza, in apparente contraddizione con il principio aristotelico che i contrari non possono coesistere. Oresme risolve il problema con un’analogia economica: “Si quelqu’un a un denier, qui lui vaudrait d’être appelé « pauvre » s’il n’en avait pas plus, il ne s’en suit pas, s’il en a plus, qu’il serait encore appelé « pauvre »” - (fr:5482) [Se qualcuno ha un denaro, che lo farebbe chiamare “povero” se non ne avesse di più, non ne consegue che, se ne ha di più, sarebbe ancora chiamato “povero”]. L’esempio mostra come la ricchezza non implichi una contraddizione tra povertà e abbondanza: la somma di parti (es. denari) non rende la sostanza simultaneamente “povera” e “ricca”. Oresme separa così il piano ontologico (esistenza delle parti) da quello nominale (denominazione della qualità): i contrari coesistono come parti di un tutto, ma non come attributi simultanei della sostanza (fr:5484-5485). Questa soluzione si basa sull’idea che l’intensificazione non sia un movimento da un contrario all’altro (come in Aristotele), ma una somma di parti che non si contraddicono: “un denier ne contredit pas deux deniers” (fr:5485) [un denaro non contraddice due denari].

12.4 Il paradosso dell’infinito e la divisibilità intensiva

La terza serie di obiezioni affronta il problema della divisibilità infinita delle intensità. Se un grado finito è composto da infinite parti graduali, come può essere calcolato? Il testo spiega che il principio di additività permette di esprimere il grado totale come somma delle parti, ma solo se l’intensità è stabile. Quando varia, il grado finale dipende dal grado iniziale e dall’aggiunta/sottrazione di parti acquisite o perse durante il processo (fr:5489). Il paradosso nasce dalla continuità dei processi naturali: ogni differenza, sia estensiva che intensiva, è indefinitamente divisibile (fr:5492). Di conseguenza, se il grado finale è la somma del grado iniziale e delle parti acquisite, questa somma dovrebbe essere infinita e incalcolabile (fr:5493).

Questo problema lega la divisibilità intensiva allo sviluppo delle serie infinite (fr:5494). Oresme affronta quattro paradossi, tutti centrati sull’idea di somma infinita. Il primo, attribuito a Burley, mostra come l’additività minacci la gerarchia delle perfezioni: se una qualità (es. la bianchezza) è infinitamente divisibile, il suo grado totale dovrebbe eccedere ogni grado finito di perfezione, portando a una perfezione infinita in una creatura, cosa impossibile (fr:5502). Burley argomenta che ogni parte di una qualità è proporzionalmente meno perfetta del tutto (fr:5503-5504), e poiché la bianchezza è più perfetta della nerezza (fr:5507), il tutto eccede la parte “sans aucun rapport” (fr:5513) [senza alcun rapporto], elevando la bianchezza a una perfezione infinita.

La risposta di Oresme non nega la divisibilità intensiva, ma sposta il problema sull’ordine delle perfezioni. Usando un modello geometrico (confronto tra angoli rettilinei e mistilinei), dimostra come una quantità finita possa eccedere un’altra “outre tout rapport” (fr:5518) senza diventare infinita. Questo approccio, che anticipa la matematica delle grandezze incommensurabili, salva sia la divisibilità intensiva che la finitezza delle perfezioni create.

12.5 Significato storico e innovazioni concettuali

Il testo testimonia un momento cruciale nella filosofia naturale medievale, in cui Oresme elabora strumenti concettuali che prefigurano sviluppi successivi: 1. Distinzione tra intensità ed efficienza: la separazione tra grado qualitativo e effetto prodotto anticipa la fisica moderna, dove l’efficacia di una forza dipende dalla sua configurazione (es. pressione vs. forza). 2. Teoria delle configurazioni: l’idea che l’efficienza dipenda dal profilo dinamico di una qualità (fr:5479) è un precursore della rappresentazione matematica delle variazioni (es. calcolo integrale). 3. Gestione dell’infinito: la soluzione ai paradossi della divisibilità infinita mostra una sofisticata comprensione delle relazioni tra finito e infinito, che influenzerà la matematica rinascimentale. 4. Critica all’aristotelismo: la negazione che i contrari si escludano a vicenda (fr:5485) e la separazione tra piano ontologico e nominale segnano una rottura con la tradizione peripatetica.

In sintesi, Oresme non si limita a difendere la teoria additiva, ma costruisce un sistema complesso in cui l’intensificazione delle qualità è spiegata attraverso l’interazione tra parti, configurazioni e principi geometrici, gettando le basi per una nuova scienza della natura.

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13 L’argomentazione di Burley sull’intensificazione continua delle forme: un paradosso medievale tra infinito e causalità fisica

Il testo affronta un problema centrale nella filosofia naturale medievale: la continuità dell’intensificazione delle forme e le sue implicazioni paradossali. L’argomentazione ruota attorno alla possibilità di sommare “parti graduali” di una qualità (come il calore) in un processo temporale infinitamente divisibile, generando un grado infinito di intensità. Questo dibattito, collocato tra il XIV e il XV secolo, riflette lo sforzo di conciliare la fisica aristotelica con le nuove analisi matematiche della continuità, anticipando questioni che riemergeranno nella rivoluzione scientifica moderna.

13.1 La struttura del paradosso: infinito e continuità

Il nucleo del ragionamento emerge dalla frase (5530): “Le problème concerne donc l’addition de « parties d’une forme », c’est-à-dire de parties graduelles, entre deux instants quelconques d’une intensification.” L’intensificazione di una qualità (ad esempio, il riscaldamento di un corpo) viene scomposta in parti graduali (Δf), ciascuna acquisita in un istante del tempo. La continuità del processo è garantita dalla divisibilità infinita del tempo, come sottolineato in (5531): “Il va de soi que la partie graduelle acquise est plus ou moins grande selon les instants considérés : les instants ne sont que les termes d’une durée elle-même à nouveau divisible en instants.” Se l’intensificazione fosse discontinua, si violerebbe il principio di continuità (5533: “Si non, l’intensification ne serait pas continue, ce qu’elle est.”). Tuttavia, la somma infinita di queste parti graduali porta a una conclusione paradossale (5535): “le degré final est égale à la somme infinie des parties graduelles : c’est donc un degré infini.” L’impossibilità di un grado infinito (5529: “C’est impossible, parce qu’alors, la forme acquise est nécessairement infiniment intense.”) genera il paradosso: la continuità richiede un aumento infinitesimo in ogni istante, ma la somma di infiniti incrementi conduce a un risultato fisicamente inaccettabile.

13.2 La soluzione proporzionale e il ruolo di Oresme

Il testo introduce una possibile via d’uscita, attribuita a Nicole Oresme, che propone una diminuzione progressiva delle parti graduali nel tempo (5538): “les parties acquises devraient diminuer avec le tempo, de la même manière que les parties quantitatives d’une grandeur divisée de manière proportionnelle diminuent en grandeur.” Questa soluzione, tuttavia, è contestata da Walter Burley, il cui approccio si basa su una causalità fisica piuttosto che su un modello puramente matematico. Burley rifiuta l’idea che le parti graduali diminuiscano, sostenendo invece che esse rimangano uguali in ogni intervallo proporzionale del tempo (5539): “Burley […] prétend au contraire que, la durée d’augmentation étant supposée divisée en parties proportionnelles, la forme acquiert nécessairement en chaque partie de cette durée une partie égale de la forme.”

13.3 La causalità fisica di Burley: resistenza e disposizione

Burley fonda la sua argomentazione su un modello dinamico di intensificazione, in cui la variazione della qualità dipende dall’interazione tra la potenza agente (ad esempio, una fonte di calore) e la resistenza del soggetto. La chiave del suo ragionamento è espressa in (5540): “un corps réchauffé est d’autant plus chaud qu’il est disposé à recevoir la chaleur, donc à lui opposer moins de résistance pour une puissance de réchauffement constante.” La resistenza del corpo diminuisce in modo proporzionale nel tempo, come formalizzato in (5542): “si la durée est divisée en parties proportionnelles telles que Un+1 = 1/2 .Un, la résistance Rn+1 égale 1/2 .Rn.” Parallelamente, la disposizione del corpo a ricevere la qualità aumenta in modo esponenziale (5543): “la disposition du sujet à être chaud […] augmente de sorte que Dn+1 = Dn.” Tuttavia, Burley conclude che le parti formali acquisite rimangono uguali in ogni intervallo temporale (5544), senza spiegare come il raddoppio della disposizione si traduca in incrementi costanti della forma. Il testo suggerisce una possibile interpretazione (5545): “la partie formelle acquise dépend autant de l’augmentation de la disposition que de la diminution des durées : la partie formelle par une disposition double de la précédente n’est acquise que pendant la moitié de la durée précédente.” Questa ipotesi implica che l’aumento della disposizione compensi esattamente la riduzione della durata, mantenendo costante l’incremento formale. La serie risultante (5546-5548) è: 1 + 2·(1/2) + 2²·(1/2²) + … + 2ⁿ·(1/2ⁿ) = 1 + 1 + 1 + …, una somma infinita di termini unitari che, ancora una volta, conduce a un grado infinito.

13.4 Significato storico e ambiguità concettuali

Il dibattito riflette la tensione tra approccio matematico (Oresme) e fisico-causale (Burley) nella trattazione delle qualità intensive. Burley, pur cercando di evitare il paradosso dell’infinito, finisce per riproporlo attraverso una serie divergente. La sua argomentazione rivela due ambiguità: 1. Il passaggio dalla disposizione alla forma: Burley non chiarisce come il raddoppio della disposizione si traduca in parti formali uguali, lasciando un vuoto logico (5544). 2. La natura delle “parti graduali”: Il testo oscilla tra una concezione additiva** (somma di incrementi) e una proporzionale (variazione continua), senza risolvere la contraddizione tra continuità e finitezza.

Storicamente, questo scambio anticipa il dibattito seicentesco sulla natura delle grandezze intensive e sulla loro misurabilità. La soluzione di Oresme, basata sulla diminuzione proporzionale degli incrementi, prefigura il concetto di serie convergente, mentre l’approccio di Burley evidenzia i limiti di una fisica qualitativa di fronte alla matematizzazione della natura.

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14 La riflessione di Oresme sul movimento: tra relatività percettiva e ontologia del mutamento

Un’analisi del movimento che distingue l’apparenza fenomenica dalla realtà intrinseca, fondando una nuova categoria ontologica: i modi delle cose.

Il testo esplora la teoria del movimento di Nicole Oresme, filosofo e scienziato del XIV secolo, che si confronta con il problema della relatività del movimento e della sua realtà ontologica, in dialogo critico con le posizioni di Buridan e Ockham. Al centro della sua riflessione vi è la distinzione tra movimento apparente e movimento reale, e la proposta di una nuova categoria metafisica – i modi delle cose – per spiegare la natura del mutamento.

14.1 1. La relatività del movimento e l’illusione percettiva

Oresme parte da un’osservazione empirica: la percezione del movimento è soggettiva e può ingannare. Un esempio classico è quello di un marinaio su una nave in movimento che, guardando la riva, ha l’impressione che siano gli alberi a muoversi e non la nave stessa. Questo fenomeno è descritto con precisione:

“Sequitur corollarie quod possibile est quod aliquid dividatur per mille instantia, quorum quodlibet sit imperceptibile, et moveatur in uno et quiescat in alio alternatim; ex quo etiam sequitur ultra quod per ymaginationem possibile est quod visus bene dispositus iudicet aliquid moveri quod numquam movetur” - (fr:6504) [Ne consegue come corollario che è possibile che qualcosa sia diviso in mille istanti, ciascuno dei quali impercettibile, e che si muova in uno e stia fermo in un altro alternativamente; da cui segue inoltre che per immaginazione è possibile che una vista ben disposta giudichi che qualcosa si muova, che in realtà non si muove mai.]

Questa ambiguità percettiva porta Oresme a interrogarsi sulla natura del movimento reale. La semplice successione di stati (“aliter se habere quam prius”) non basta a definire il movimento, perché potrebbe trattarsi di un’illusione. Come afferma:

“Numquam de aliqua re per visum potest experiri si ipsa moveatur” - (fr:6510) [Mai, di alcuna cosa, si può sperimentare attraverso la vista se essa stessa si muova.]

Il problema si estende al movimento celeste: le osservazioni astronomiche non permettono di stabilire se sia la Terra o il cielo a muoversi, poiché “nullo sensu posset percipi qui eorum movetur” (fr:6509) [con nessun senso si potrebbe percepire quale dei due si muova]. Questa relatività percettiva solleva una domanda cruciale: cosa distingue il movimento reale da quello apparente?

14.2 2. Il movimento reale come mutazione intrinseca

Per Oresme, il movimento reale non è una semplice successione di posizioni, ma una mutazione intrinseca del mobile. La definizione chiave è:

“Moveri est aliter se habere continue quam ipsum mobile prius se habebat respectu sui et non respectu cuiuscumque extrinseci” - (fr:6526) [Muoversi è tenersi continuamente in modo diverso da come il mobile stesso si teneva precedentemente rispetto a sé e non rispetto a qualcosa di esterno.]

Questa definizione introduce due elementi fondamentali: 1. L’autoriferimento: il movimento è un cambiamento rispetto a sé stesso, non rispetto a un sistema di riferimento esterno (come un altro corpo o uno spazio immaginario). 2. La mutazione intrinseca: il movimento implica una trasformazione interna del mobile, non solo un cambiamento di posizione.

L’idea è illustrata con un esperimento mentale: se esistesse un solo corpo nell’universo (ad esempio, una sfera celeste), questo potrebbe comunque ruotare su sé stesso. In questo caso, non essendoci un riferimento esterno, il movimento non potrebbe essere descritto come un cambiamento di posizione, ma solo come una mutazione interna delle parti della sfera:

“Continue una se habet ad aliam uno modo, non tamen ad se ipsam, nec similiter totum” - (fr:6525) [Una parte si tiene continuamente rispetto a un’altra in un certo modo, ma non rispetto a sé stessa, né similmente il tutto.]

Oresme ammette che questa mutazione interna è difficile da concepire nel caso del movimento locale (a differenza dell’alterazione o dell’aumento), ma insiste che il movimento reale è una passio (fr:6514), cioè un’affezione del mobile, paragonabile a un accidente come la bianchezza in un muro (“per realem inhaerentiam, sicut albedo esset in pariete”, fr:6564).

14.3 3. Critica alle posizioni di Buridan e Ockham

Oresme si confronta con due posizioni scolastiche: - Ockham: il movimento è una finzione mentale o, al massimo, una successione di stati del mobile (“res acquisita”), senza realtà distinta. - Buridan: il movimento è una res successiva, un flusso distinto dal mobile e dal luogo, ma inerente al mobile come un accidente.

Oresme respinge entrambe le posizioni, pur condividendo con Buridan l’idea che il movimento sia una res successiva. La sua critica si concentra sull’ontologia del movimento: - Per Buridan, il movimento è una cosa aggiunta al mobile (come un accidente), ma Oresme ritiene che questa tesi sia “peggiore delle posizioni riduzioniste” (fr:6581), perché reifica il movimento in modo inadeguato. - Per Oresme, il movimento non è né una sostanza né un accidente, ma un modo d’essere (modus rei) o una condizione (condicio) del mobile, paragonabile alla curvatura di una linea (fr:6600).

La differenza cruciale è che, per Oresme, il movimento non è una realtà distinta, ma un modo in cui la cosa esiste. Come scrive:

“Non potest negari quod talis condicio sit, res distincta sive non” - (fr:6690) [Non si può negare che una tale condizione esista, sia essa una realtà distinta o no.]

14.4 4. La teoria delle res successivae: identità e alterità nel tempo

Oresme estende la sua analisi oltre il movimento, introducendo il concetto di realtà successive (res successivae), che include anche qualità come il calore o il suono. Una res successiva è definita come:

“Quod in nullo tempore sic se habet quod illud quod fuit in prima parte est in secunda parte, sed quolibet tempore accepto in una parte illius est aliquod tale illius successivi, et alia totaliter aliud” - (fr:6644) [Che in nessun tempo si tiene in modo tale che ciò che era nella prima parte sia nella seconda parte, ma in ogni tempo considerato, in una parte di esso vi è qualcosa di tale del successivo, e in un’altra qualcosa di totalmente altro.]

Questa definizione cattura la duplice natura delle realtà successive: - Alterità: in ogni istante, la realtà è diversa da com’era prima. - Identità: ciò che esiste è comunque della stessa natura del successivo.

Oresme distingue due tipi di successione: 1. Secundum quid: una parte della realtà permane identica (es. un fiume, dove la maggior parte dell’acqua rimane la stessa). 2. Simpliciter: nessuna parte permane (es. il tempo, il movimento, il suono).

L’esempio del suono è particolarmente illuminante:

“Si aliquis sonus continue intendatur, tunc, si aliqua pars permaneat, tunc grave et acutum essent simul, et sic ex uno sono proveniret dissonantia vel consonantia” - (fr:6713) [Se un suono si intensifica continuamente, allora, se una parte rimanesse, il grave e l’acuto sarebbero simultanei, e così da un solo suono deriverebbe una dissonanza o una consonanza.]

Qui Oresme mostra che il suono è una realtà successiva: non è una cosa permanente, ma un flusso in cui ogni istante è diverso dal precedente, pur mantenendo un’identità continua.

14.5 5. Il paradosso dell’identità e il modello teologico

La teoria delle res successivae solleva un problema metafisico: come può una realtà essere identica a sé stessa pur cambiando continuamente? Oresme affronta questo paradosso con un’analogia teologica, ispirandosi alla Trinità e all’Incarnazione.

Nel De communicatione ydiomatum, Oresme esplora casi ipotetici in cui una stessa natura umana è assunta da diverse persone divine, creando “uomini” diversi ma con una continuità di identità. Ad esempio:

“Le Christ est un homme, et s’il abandonnait la nature humaine qu’il avait assumée (…) cette nature humaine serait un autre homme, un deuxième. Et si ensuite cette même nature était assumée par la personne de Dieu le Père, alors celui-ci par cette humanité serait un troisième homme” - (fr:6814-6816).

Questo esperimento mentale mostra che l’identità di una realtà successiva dipende dal contesto temporale e relazionale. Oresme conclude che l’identità non è assoluta, ma funzionale: una realtà successiva è come una “funzione” che assume valori diversi nel tempo (fr:6758).

14.6 6. Conseguenze filosofiche e scientifiche

La teoria di Oresme ha implicazioni profonde: 1. Ontologia: introduce una terza categoria oltre a sostanza e accidente: i modi delle cose, che spiegano fenomeni come il movimento, il suono o la luce. 2. Fisica: il movimento non è riducibile a un cambiamento di posizione, ma è una mutazione intrinseca. Questo anticipa concetti moderni come l’inerzia o la relatività del moto. 3. Matematica: Oresme applica la distinzione tra permanente e successivo alle qualità variabili, gettando le basi per la rappresentazione geometrica delle funzioni (come nel suo Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum). 4. Teologia: la sua analisi delle res successivae offre un modello per comprendere misteri come l’Incarnazione, dove due nature (divina e umana) si uniscono in una sola persona senza confondersi.

14.7 7. Significato storico

La riflessione di Oresme si colloca in un momento di transizione tra la fisica aristotelica e la scienza moderna. Le sue innovazioni includono: - Critica al realismo ingenuo del movimento: il movimento non è una “cosa”, ma un modo d’essere. - Relatività del moto: anticipa la relatività galileiana, mostrando che il movimento è sempre relativo a un sistema di riferimento (anche se Oresme non arriva a negare il moto assoluto). - Matematizzazione della fisica: la sua rappresentazione geometrica delle qualità variabili è un precursore del calcolo infinitesimale. - Approccio fenomenologico: distingue tra ciò che è percepito (movimento apparente) e ciò che è reale (mutazione intrinseca), un tema centrale nella filosofia della scienza successiva.

Oresme non risolve tutti i paradossi che solleva (come ammette egli stesso: “preeligo recognoscere ignorantiam meam”, fr:6718), ma la sua opera segna un passo decisivo verso la separazione tra fisica e metafisica, e tra descrizione matematica e realtà ontologica. La sua teoria dei modi influenzerà pensatori successivi, da Galileo a Leibniz, nella ricerca di un linguaggio adeguato per descrivere il mutamento.

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15 La geometria delle qualità nel pensiero medievale: tra analogia, figuratione e innovazione teorica

Il testo analizza le metodologie sviluppate nel XIV secolo per rappresentare geometricamente le qualità e i processi intensivi, con particolare attenzione alle opere di Nicole Oresme, Giovanni di Casali e Jacques de Saint-Martin. L’obiettivo non è solo descrivere le tecniche di figuratione, ma anche ricostruirne il significato storico, concettuale e la relazione con altre tradizioni scientifiche (come la Perspectiva o l’esegesi teologica).

15.1 1. Metodi e innovazioni nella rappresentazione delle qualità

Il quarto capitolo del trattato si concentra sulle tecniche di Oresme per studiare i processi continui, in particolare la **metodo di “esaurimento completo” (“méthode d’exhaustion complète par division en parties proportionnelles du temps”), descritta come “la méthode la plus inattendue pour calculer la limite di processi finiti ma definiti in un numero infinito di tappe” (fr:6966). Questa tecnica, esposta nelle Quaestiones super geometriam Euclidis (QSGE) e implicita nel De configurationibus qualitatum et motuum (DC), anticipa concetti moderni di limite e continuità, applicandoli a fenomeni come l’intensificazione di una qualità (es. calore) o la velocità di un movimento.

Il quinto capitolo mostra come la dottrina delle configurazioni influenzi la geometria stessa, rendendo gli oggetti geometrici “in parte intensivi” (fr:6968). Oresme esplora tre esempi chiave: - Angoli di contingenza: figure che rappresentano la transizione tra non gradus (assenza di intensità) e un grado finito, risolvendo paradossi legati all’inizio/fine di un movimento. - Misura della curvatura: tentativo di quantificare l’intensità di una curva, benché Oresme lasci aperta la questione (fr:7169-7172). - Problemi isoperimetrici: legati alla quadratura delle figure, dove la forma geometrica diventa strumento per analizzare proprietà qualitative.

Questi esempi evidenziano come Oresme superi i limiti della geometria classica, interpretando le figure non come entità statiche, ma come variazioni dinamiche di una grandezza (es. l’altezza di un triangolo come metafora di un’intensità uniformemente difforme).

15.2 2. Le fonti e la questione della priorità teorica

La paternità della geometria delle qualità è dibattuta tra Oresme, Casali e Jacques de Saint-Martin, ma la mancanza di date certe rende la questione “actuellement insoluble” (fr:6983). Tuttavia, il testo sottolinea che la priorità cronologica è meno rilevante della differenza concettuale tra i tre approcci:

15.2.1 Giovanni di Casali

• La sua Questio de velocitate motus alterationis (VMA) si concentra sulla misura della velocità di alterazione, usando figure geometriche (rettangolo, triangolo, trapezio) come exempla per chiarire definizioni, ma senza sviluppare una teoria sistematica.
• L’analogia è limitata: “Casali a simplement recours à ces trois figures en guise d’exempla pour faciliter la compréhension de définitions posées elles-mêmes indépendamment de ces figures” (fr:7043). Ad esempio, il dimostra il teorema del grado medio (una qualità uniformemente difforme equivale a una qualità uniforme di grado medio) usando il triangolo, ma senza generalizzare la rappresentazione geometrica.
• Le figure sono orientate diversamente rispetto a Oresme: la base rappresenta l’intensità massima, richiamando il cono di radiazione di Grosseteste (fr:7053-7058), usato in ottica per descrivere la diminuzione della potenza di un agente con la distanza.

15.2.2 Jacques de Saint-Martin

• Il De latitudinibus formarum (DLF) propone un sistema sistematico e astratto, basato su due “alberi” (uno per le qualità, uno per le figure) e una corrispondenza biunivoca tra essi (fr:7070-7075).
  • L’albero delle qualità distingue tra uniformi e difformi, con ulteriori suddivisioni (es. “Latitudinum quedam uniformis, quedam difformis” – fr:7072).
  • L’albero delle figure include forme irrilevanti per le qualità (es. figure stellate), creando un’impressione di “inutile profusion théorique” (fr:7076).
• A differenza di Oresme, Jacques definisce le qualità indipendentemente dalle figure, usando queste ultime solo come strumento di visualizzazione. La sua metodologia è più vicina a una tassonomia logica che a una teoria geometrica dinamica.

15.2.3 Nicole Oresme

Oresme si distingue per tre aspetti fondamentali: 1. Le figure come qualità ontologiche: Per Oresme, le figure geometriche non sono semplici analogie, ma entità che incorporano variazioni intensive. Ad esempio, un triangolo è “uniformément difforme” perché la sua altezza varia in modo continuo (fr:7099-7100). Questa idea emerge chiaramente nella QSGE Q.10, dove Oresme definisce una superficie “uniformément difforme en hauteur” quando le linee di misura si eccedono secondo una proporzione aritmetica (fr:7117). 2. La linea di cresta: Oresme introduce la “linea summitatis” (linea di cresta) come elemento chiave per descrivere la disposizione (dispositio) di una qualità, ovvero il suo profilo dinamico (fr:7118). Questa linea, che unisce i punti di massima intensità, diventa il fulcro della sua teoria, permettendo di classificare le difformità (es. concave, convessa, razionale, irrazionale – fr:7157-7158). 3. Pluralità dei modi di definizione: Oresme non si limita alla rappresentazione geometrica, ma propone quattro modi per descrivere una qualità: - Figurativo: la qualità è immaginata come una figura (es. triangolo per una qualità uniformemente difforme). - Proporzionale: analisi delle proporzioni tra parti e tutto (fr:7152). - Cinematico: variazione dell’intensità lungo l’estensione del soggetto (fr:7154). - Sommital: focus sulla linea di cresta e la sua relazione con la base (fr:7156).

15.3 3. La giustificazione teorica: tra geometria, teologia ed epistemologia

Oresme giustifica la figuratione delle qualità su due piani: 1. Geometrico-quantitativo: - Le qualità lineari sono bidimensionali: “une qualité linéaire par une surface” (fr:7178). - Le figure permettono di misurare le qualità attraverso la loro superficie (metrica) e di visualizzare la loro disposizione attraverso la linea di cresta (dinamica). - L’articolazione (dearticulatio) e l’adattamento (coaptatio) sono regole chiave: una figura rappresenta una qualità solo se le sue altezze sono proporzionali alle intensità della qualità (fr:7312-7313).

2. Hermeneutico-teologico:
   • Oresme paragona la figuratione delle qualità all’esegesi biblica, dove una “figura sensibilis” (figura sensibile) rivela significati nascosti (fr:7184). Citando Tommaso d’Aquino, ricorda che “les réalités spirituelles sont présentées selon des similitudes corporelles” (fr:7193), e che la figura è un segno che rinvia a un significato più profondo.
   • Il termine “configuratio” (usato da Guillaume Durand per descrivere la relazione tra Antico e Nuovo Testamento) è ripreso da Oresme per indicare l’accordo simbolico tra figura geometrica e qualità (fr:7206-7210).
   • L’immaginazione (ymaginari) gioca un ruolo centrale: le figure sono “ficti” (fittizi), ma non arbitrarie, perché devono mantenere una relazione reale con ciò che rappresentano (fr:7230-7232).

15.4 4. Relazioni con la Perspectiva e altre tradizioni

Oresme si ispira alla tradizione ottica medievale (Grosseteste, Vitellione, Al-Kindi), ma ne rielabora i concetti: - In Perspectiva, il cono di radiazione rappresenta la diminuzione della potenza di un agente con la distanza. Oresme lo adatta per descrivere la diminuzione continua dell’intensità luminosa (fr:7246-7248), benché questa trasposizione non sia immediata: mentre nel cono di Grosseteste la convergenza delle linee indica un aumento dell’azione, nel triangolo di Oresme la convergenza indica una diminuzione (fr:7261-7262). - Anche John Dumbleton (Oxford) aveva tentato di applicare la metrica del cono alla luce, ma con risultati simili a quelli di Oresme (fr:7266).

15.5 5. Il problema del non gradus e la soluzione geometrica

Un nodo teorico cruciale è la rappresentazione del non gradus (assenza di intensità), un concetto paradossale perché: - “Non gradus n’est pas un degré 0” (fr:7288): un corpo “caldo a grado 0” non è caldo. - Tuttavia, la continuità richiede che un movimento inizi da un’intensità infinitamente piccola, non nulla (fr:7291-7294). Oresme risolve il paradosso usando l’angolo acuto di una figura: l’angolo rappresenta la transizione da non gradus a un grado finito, contenendo in potenza la diminuzione indefinita dell’intensità (fr:7300).

15.6 6. Conclusione: tre approcci a confronto

Oresme emerge come il più innovativo: la sua teoria non è solo uno strumento di calcolo, ma una rifondazione ontologica della geometria, dove le figure diventano qualità in sé, capaci di rivelare strutture nascoste della realtà. La sua eredità risiede nell’aver trasformato la geometria da scienza delle forme statiche a scienza delle variazioni continue, anticipando concetti che saranno centrali nella matematica moderna (es. funzioni, limiti).

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16 La geometrizzazione delle qualità nel pensiero di Oresme: tra proporzionalità, rappresentazione e innovazione concettuale

Un trattato che ridefinisce il rapporto tra geometria e qualità attraverso la proporzionalità in altezza, introducendo una nuova classificazione delle figure e delle loro proprietà dinamiche.

Il testo analizza il contributo di Nicole Oresme (XIV secolo) alla teorizzazione delle configurazioni delle qualità, un approccio innovativo che utilizza la geometria per rappresentare e classificare le variazioni intensive delle qualità fisiche (come calore, luce o movimento). Il lavoro si concentra su tre aspetti principali: la proporzionalità in altezza tra figure geometriche, la rappresentazione delle qualità attraverso figure solide e lineari, e l’estensione del concetto di uniformità a gradi superiori di difformità.

16.1 1. Proporzionalità in altezza e la natura delle curve

Oresme introduce il principio di proporzionalità in altezza tra figure geometriche, come l’ellisse e il cerchio, per esplorare se curve diverse possano rappresentare la stessa qualità. La domanda centrale è se curve proporzionali in altezza a un semicerchio possano essere archi di cerchio: > “Peut-on déterminer un peu plus la nature de ces courbes proportionnelles en hauteur au demi-cercle ?” - (fr:7671) [È possibile determinare meglio la natura di queste curve proporzionali in altezza al semicerchio?]

Oresme conclude che nessuna curva più alta di un semicerchio può essere un arco di cerchio, ma lascia aperto il caso delle curve più basse (fr:7673). La sua dimostrazione, tuttavia, è limitata: > “Il montre simplement que, si l’on suppose que cette courbe – plus haute ou plus basse que le demi-cercle – est un arc de cercle, c’est nécessairement (1) l’arc d’un cercle plus grand que le cercle ACB et (2) un arc plus petit que le demi-cercle de ce grand cercle.” - (fr:7674) [Mostra semplicemente che, se si suppone che questa curva – più alta o più bassa del semicerchio – sia un arco di cerchio, è necessariamente (1) l’arco di un cerchio più grande del cerchio ACB e (2) un arco più piccolo del semicerchio di questo grande cerchio.]

La dimostrazione si basa su due punti evidenti: 1. La linea AB (base) è o il diametro o la corda della curva in questione (fr:7676). 2. L’angolo alla base non può essere maggiore di un angolo retto, altrimenti la curva coinciderebbe con il semicerchio (fr:7678-7679).

Oresme utilizza la proposizione VI.32 di Euclide (riportata da Campanus) per dimostrare che un arco di cerchio proporzionale in altezza a un semicerchio deve essere necessariamente più piccolo di quest’ultimo (fr:7680). Tuttavia, l’ipotesi di proporzionalità non interviene direttamente nel ragionamento, riducendo il problema al caso delle curve più basse (fr:7681).

Un commentatore anonimo (fr:7698) propone due dimostrazioni alternative: 1. Geometrica: Mostra che una curva proporzionale in altezza a un semicerchio non può essere un arco di cerchio, poiché la proporzione tra le altezze (DN/EF) non può essere mantenuta se la curva è circolare (fr:7701-7722). 2. Quasi-algebrica: Utilizza valori numerici (DC=4, DE=2, DN=2) per dimostrare che il rapporto tra le altezze non può essere mantenuto in una curva circolare (fr:7714-7722).

Questo studio porta Oresme a una nuova classificazione delle linee semplici: - Razionali: Curve circolari o proporzionali in altezza al cerchio. - Irrazionali: Tutte le altre curve con un’unità definita (fr:7729).

16.2 2. Rappresentazione delle qualità: dal lineare al corporale

Oresme estende la rappresentazione geometrica dalle qualità lineari (su una linea) a quelle superficiali (su una superficie) e corporali (in un volume). La chiave è la figura sommitale, che descrive l’intensità della qualità in ogni punto del soggetto.

16.2.1 Qualità lineari

• Uniforme: Rappresentata da un rettangolo (altezza costante).
• Uniformemente difforme: Rappresentata da un triangolo (altezza variabile linearmente).
• Difformemente difforme: Rappresentata da una curva irregolare (fr:7692-7695).

16.2.2 Qualità superficiali

Oresme introduce tre modalità di rappresentazione: 1. Modo figurativo: Usato solo per qualità uniformi (es. un corpo con 8 angoli retti). 2. Modo sommital: La superficie sommitale può essere piana, curva o spezzata (fr:7786). 3. Modo proporzionale: Non richiede che la base sia piana, estendendo la definizione a superfici curve (fr:7792).

Un esempio innovativo è la dimostrazione che ogni qualità superficiale difforme contiene linee uniformi (fr:7797-7805). Oresme usa il concetto di ”isolinea” (linee di uguale intensità), anticipando le moderne isoterme o isobare (fr:7802-7803).

16.2.3 Qualità corporali

La rappresentazione delle qualità tridimensionali pone problemi di quadridimensionalità, poiché l’intensità varia in ogni punto del volume. Oresme risolve il problema immaginando: - Una doppia corporeità: l’estensione reale del corpo e una rappresentazione immaginaria dell’intensità (fr:7848). - Figure solide come piramidi o segmenti di sfera, dove la base è quella del corpo qualificato (fr:7864-7865).

Tuttavia, Oresme introduce restrizioni per garantire la continuità: - Figura perforata: Inaccettabile perché introduce discontinuità nell’intensità (fr:7871). - Figura subconcava: Esclude curve concave rispetto alla base per evitare salti di intensità (fr:7872).

16.3 3. Composizione delle figure e applicazioni pratiche

Oresme classifica le difformità composte combinando figure semplici: - Difformità graduale: Combinazione di rettangoli di altezze variabili (fr:7743). - Difformità armoniche: Applicate alla musica per descrivere suoni composti da parti consonanti (fr:7750-7751).

Il calcola il numero di combinazioni possibili tra i 6 generi semplici di figuratione, ottenendo 62 specie composte (fr:7763). Tuttavia, il non spiega il metodo di calcolo, limitandosi a citare “regole aritmetiche” (fr:7765).

Un’applicazione concreta è la rappresentazione del suono di un campanile come una difformità graduale e periodica, legata all’arte polifonica (fr:7757).

16.4 4. Estensione del concetto di uniformità: variazione e accelerazione

Oresme non si limita all’uniformità e alla difformità semplice, ma esplora gradi superiori di difformità: - Jacques de Saint-Martin (successore di Oresme) introduce il concetto di variazione di latitudine (fr:7936), definendo: - Latitudine uniformemente difformemente difforme: Gli eccessi tra punti equidistanti seguono una proporzione geometrica (fr:7950). - Variazione uniforme: Gli eccessi sono in proporzione aritmetica (fr:7964).

Oresme applica questi concetti al movimento: - Accelerazione uniforme: Un movimento uniformemente difforme nel tempo (fr:8009). - Accelerazione difforme: L’accelerazione stessa può variare, introducendo un terzo livello di analisi (fr:8011).

Tuttavia, Oresme non definisce esplicitamente l’intensità dell’accelerazione, lasciando aperta la questione se debba essere misurata in modo aritmetico o geometrico (fr:8012-8013).

16.5 5. Significato storico e innovazione concettuale

Il trattato di Oresme rappresenta una svolta epistemologica: 1. Geometria come strumento dinamico: Le figure non sono più entità statiche (come in Euclide), ma tracce di variazioni (fr:8038-8043). 2. Isomorfismo tra figure e qualità: Oresme dimostra che ogni qualità, per quanto difforme, può essere rappresentata da una figura geometrica (fr:8036). 3. Anticipazione di concetti moderni: - Isolinee (fr:7802). - Variazione di variazione (fr:7936), simile alla derivata seconda. - Rappresentazione di fenomeni complessi (suono, calore) attraverso figure composte (fr:7757).

L’approccio di Oresme influenzerà la scienza moderna, dalla cinematica galileiana alla termodinamica, dimostrando come la matematica possa descrivere fenomeni naturali al di là della semplice misurazione.

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17 La teoria oresmiana del movimento: geometria, multidimensionalità e misura delle realtà variabili

Il testo analizza il contributo di Nicole Oresme alla formalizzazione matematica e filosofica del movimento, evidenziando come la sua opera rappresenti una rottura con la tradizione aristotelica e scolastica, anticipando concetti che saranno centrali nella meccanica classica. Oresme sviluppa una teoria generale delle realtà variabili (non solo il movimento locale, ma anche qualità successive, relazioni e forme sostanziali), fondata su una geometria multidimensionale e su una distinzione tra aspetti intensivi ed estensivi del cambiamento.

17.1 Pluralità dei modelli geometrici e lettura delle figure

Oresme introduce una molteplicità di metodi interpretativi per analizzare le figure geometriche, ciascuno dei quali ne modifica l’essenza e la classe di appartenenza. Questa polivalenza è evidente in frasi come: > “il n’y a pas un modèle géométrique, mais plusieurs méthodes expérimentales qui toutes s’appuient sur des figures, mais qui toutes la lisent différemment : mode de lecture figuratif, proportionnel, fluxionnel, sommital” - (fr:8049) [Non esiste un unico modello geometrico, ma diversi metodi sperimentali che si basano tutti su figure, ma che le interpretano in modo differente: modalità figurativa, proporzionale, flussionale, sommitale].

• Modalità proporzionale: Il cerchio perde la sua centralità come figura “semplice” dopo la retta. Per Oresme, “il n’y a pas de différence essentielle entre le demi-cercle et ces lieux géométriques incertains qui lui sont proportionnels” - (fr:8051) [Non c’è differenza essenziale tra il semicerchio e quei luoghi geometrici incerti che gli sono proporzionali], poiché la deformazione conserva le proporzioni.
• Modalità flussionale: I triangoli, apparentemente analoghi, richiedono questa lettura per distinguere variazioni di pendenza e rapidità. Qui “à chaque pente correspond un rapport différent de rapidités, et l’idée d’accélération pourrait s’avérer utile” - (fr:8052) [A ogni pendenza corrisponde un rapporto diverso di rapidità, e l’idea di accelerazione potrebbe rivelarsi utile].
• Modalità sommitale: Indispensabile per studiare le micro-variazioni di una qualità, rivelando proprietà legate ai limiti e ai valori intermedi (fr:8053).

Questa flessibilità interpretativa permette a Oresme di decostruire l’univocità delle figure, adattandole a contesti diversi (movimento, qualità, relazioni).

17.2 **Oltre la cinematica: una teoria generale delle “realtà successive”

Il nucleo del trattato non è una semplice analisi del movimento locale, ma una **teoria delle “res successivae” (realtà variabili nel tempo), che include: - Movimenti (locali, alterazioni, aumenti/diminuzioni). - Qualità successive (es. il suono, che “n’est pas en lui-même un mouvement, mais une qualité successive” - fr:8060 [Non è in sé un movimento, ma una qualità successiva]). - Relazioni e dissimilitudini successive. - Forme sostanziali variabili secondo le parti quantitative del soggetto.

Oresme chiarisce che “le mouvement n’est qu’une réalité successive parmi d’autres” - (fr:8057) [Il movimento è solo una realtà successiva tra le altre], e che la sua trattazione è stata spesso fraintesa come una semplice anticipazione della cinematica moderna (fr:8061). In realtà, i primi 10 capitoli teorici introducono metodi nuovi per analizzare la successione, come: 1. La rapidità come dimensione intensiva del movimento, suscettibile di un’intensità di secondo grado (accelerazione). 2. La doppia estensione del movimento: soggettiva (distribuzione nello spazio del mobile) e temporale (variazione nel tempo). 3. La definizione di un movimento dell’incipit (inizio del movimento) come ulteriore dimensione di variazione.

Questa multidimensionalità porta Youschkevitch a riconoscere in Oresme un precursore delle funzioni a due variabili (fr:8065).

17.3 Le dimensioni del movimento: spazio, tempo e intensità

Oresme rifiuta l’idea che il movimento sia una qualità inerente al mobile (come l’impetus di Buridano), definendolo invece come un modo d’essere della sostanza, un fluxus formae con una significazione matematica: > “Oresme identifie bien dans le DC motus et fluxus […] et fait de la fluxion d’un point, d’une ligne ou d’une surface un élément de sa figuration mathématique” - (fr:8073) [Oresme identifica nel De Configurationibus movimento e flusso, e fa della flussione di un punto, di una linea o di una superficie un elemento della sua rappresentazione matematica].

17.3.1 Le tre dimensioni del movimento

1. Estensione spaziale: Non è la distanza percorsa, ma la dimensione del mobile stesso. Un movimento è “grand ou petit (magnus vel parvus)” - (fr:8077) [grande o piccolo] a seconda della grandezza del mobile (es. il movimento della Terra è “più grande” di quello di una biglia).

2. Estensione temporale: Non è un contenitore del movimento, ma la sua durata intrinseca (duratio). Il tempo è “la prolongation de leur être, la «successio morosa »” - (fr:8090) [la prolungazione del loro essere, la “successione morosa”].

3. Intensità (rapidità): Una dimensione irreducibile a spazio e tempo, che Oresme chiama “degré de vélocité (gradus velocitatis)” - (fr:8101) [grado di velocità]. Essa è definita come: > “universellement ce degré de vélocité est simplement plus intense ou plus grand par lequel (quo) en un temps égale est plus acquis ou perdu de la perfection selon laquelle le mouvement s’est produit” - (fr:8121) [Universalemente, quel grado di velocità è semplicemente più intenso o più grande per il quale, in un tempo uguale, è acquisito o perso di più della perfezione secondo cui il movimento si è prodotto].

   Ad esempio, nel movimento locale, il grado più intenso è quello che “pertransiretur plus d’espace” - (fr:8122) [attraverserebbe più spazio].

17.3.2 Doppia difformità

Ogni movimento può essere uniforme o difforme sia rispetto alle parti del mobile (uniformità soggettiva), sia rispetto al tempo (regolarità temporale). Oresme distingue quattro casi (fr:8286): - Uniforme soggettivamente e temporalmente. - Uniforme soggettivamente, difforme temporalmente. - Difforme soggettivamente, uniforme temporalmente (es. il movimento del cielo). - Difforme soggettivamente e temporalmente.

17.4 Il tempo: una realtà senza intensità

Oresme nega che il tempo abbia una dimensione intensiva: > “le temps n’a pas de dimension intensive, et par conséquent qu’il puisse être en quoi que ce soit difforme” - (fr:8094) [Il tempo non ha dimensione intensiva, e di conseguenza non può essere in alcun modo difforme].

Il ragionamento si basa su due argomenti: 1. Ontologico: La velocità dei movimenti celesti o terrestri non altera la regolarità del tempo, poiché “la durée de choses n’a pas de rapidité en elle-même” - (fr:8096) [la durata delle cose non ha rapidità in sé]. 2. Misurativo: Il tempo è misurato solo da movimenti uniformi (es. il moto celeste), quindi “ne peut être dit ni difforme, ni proprement uniforme” - (fr:8100) [non può essere detto né difforme, né propriamente uniforme].

17.5 Vélocité vs. velocità istantanea: una distinzione cruciale

Oresme introduce il concetto di “degré de vélocité” come dimensione reale del movimento, distinta dalla velocità istantanea della meccanica classica: - Vélocité totale: Quantità di movimento, analoga alla “quantité de qualité” (fr:8120), interpretabile come il prodotto della durata per l’intensità. - Degré de vélocité: Intensità puntuale, ma non riducibile a spazio/tempo. Non è una velocità istantanea (concetto che Oresme considera assurdo, fr:8134), ma una dimensione che permette di misurare l’acquisizione di perfezione in un dato tempo.

La differenza emerge chiaramente nella rappresentazione geometrica: > “la velocitas est représentée par la surface de la figure qui représente la variation du degré de vélocité selon la durée du mouvement, et non par la hauteur” - (fr:8157) [La velocità è rappresentata dalla superficie della figura che rappresenta la variazione del grado di velocità secondo la durata del movimento, e non dall’altezza].

Oresme usa il condizionale (“serait traversé”) per definire il grado di velocità, ma questo non implica un’analogia con la velocità istantanea (fr:8126-8128). Piuttosto, sottolinea che l’intensità è una proprietà intrinseca del movimento, non derivata da spazio e tempo.

17.6 Denominazione del movimento: teleologia e pluralità di misure

Oresme introduce la nozione di “denominatio” (fr:8188) per mostrare come uno stesso movimento possa essere misurato in modi diversi a seconda della prospettiva adottata: 1. Movimento come traslazione: Misurato dallo spazio lineare percorso (es. un arco di cerchio). 2. Movimento come rotazione: Misurato dall’angolo descritto (es. una frazione di circonferenza). 3. Movimento come caduta: Misurato dal “rapport du rapprochement (proportio approximationis ad centrum)” - (fr:8243) [rapporto di avvicinamento al centro], cioè dalla frazione della distanza totale percorsa verso il centro della Terra.

Questa pluralità si estende anche ad altre realtà successive: - Alterazione: Può essere misurata come variazione di qualità (es. il grado di bianco acquisito) o come assimilazione a un’altra sostanza. - Aumento: Può essere misurato come quantità assoluta acquisita o come rapporto tra grandezza finale e iniziale.

Oresme conclude che, indipendentemente dalla denominazione, “un degré de vélocité est d’autant plus intense ou plus grand qu’en des temps égaux, le sujet devient plus « tel »” - (fr:8279) [un grado di velocità è tanto più intenso o grande quanto, in tempi uguali, il soggetto diventa “più tale”], cioè acquisisce più perfezione.

17.7 Significato storico: oltre la meccanica classica

L’opera di Oresme si colloca in un interstizio tra Medioevo e modernità, ma la sua lettura è stata spesso anacronistica. Gli storici come Clagett hanno proiettato su di lui categorie della meccanica classica (cinematica, dinamica), mentre Oresme: - Non limita il movimento ai corpi materiali: Include movimenti dell’anima e degli angeli (fr:8198). - Non riduce l’alterazione a movimento locale: Le qualità (es. calore) sono analizzate come realtà variabili indipendenti. - Non adotta il concetto di forza newtoniana: La potentia scolastica è più vicina a una qualitas che a una forza meccanica.

La sua teoria anticipa tuttavia: - La rappresentazione geometrica delle funzioni (con la doppia estensione spazio-temporale). - La distinzione tra velocità lineare e angolare (fr:8248). - L’idea di intensità come dimensione autonoma, che influenzerà la fisica moderna.

In sintesi, Oresme costruisce una scienza delle configurazioni che, pur radicata nel linguaggio aristotelico, ne supera i limiti attraverso una matematizzazione innovativa delle realtà variabili.

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18 La misura della rapidità nel movimento delle linee: il dibattito tra Gérard de Bruxelles e i suoi critici

Un confronto tra approcci geometrici e cinematici nella filosofia naturale medievale, dove la definizione di rapidità per linee in movimento diventa terreno di scontro tra intuizioni fisiche e coerenza matematica.

Il testo analizza una controversia centrale nella cinematica medievale, focalizzata sulla misura della rapidità (rapidité) di linee in movimento, in particolare nel caso della rotazione. Il nucleo del dibattito oppone Gérard de Bruxelles – autore del De motu – a figure come Nicole Oresme e Thomas Bradwardine, evidenziando due visioni antitetiche su come quantificare la velocità di entità geometriche estese (linee, superfici) rispetto a punti materiali.

18.1 L’intuizione di Gérard: la rapidità come superficie attraversata

Gérard propone un criterio innovativo, ma controverso: per linee di uguale lunghezza, la rapidità è determinata dalla superficie attraversata durante il movimento. Questa idea emerge chiaramente in: “si deux lignes égales sont déplacées de quelque manière que ce soit en des durées égales, celle qui a traversé la plus grande surface a été la plus rapide” - (fr:8409) [se due linee uguali sono mosse in qualsiasi modo in tempi uguali, quella che ha attraversato la superficie maggiore è stata la più rapida]. La Suppositio 4 (fr:8416) formalizza questo principio: “Inter lineas rectas equales equalibus temporibus motas, que maius spacium pertransit, et ad maiores terminos, magis movetur” [Tra linee rette uguali mosse in tempi uguali, quella che attraversa uno spazio maggiore – e verso termini più distanti – si muove di più]. Gérard estende questa logica anche alla rotazione, sostenendo che una linea in rotazione (come il diametro di un cerchio) possa essere paragonata a una in traslazione, purché si consideri la superficie “spazzata” dal movimento.

Questa posizione si basa su un’intuizione forte (fr:8413): la rapidità di una linea non deriva dalla velocità dei suoi punti costituenti, ma è una proprietà intrinseca della linea stessa, misurabile attraverso la superficie. Il caso della rotazione è emblematico: Gérard cerca di equiparare la rapidità di un cerchio (l’equinoxial) a quella del suo diametro, proponendo un rapporto sesquitierce (3:2) tra i due movimenti (fr:8414). Tuttavia, questa soluzione è criticata come irrazionale da Bradwardine, che obietta: “il est irrationnel de penser qu’un cercle tourne plus vite que son diamètre” - (fr:8415) [è irrazionale pensare che un cerchio ruoti più velocemente del suo diametro].

18.2 La critica di Oresme e Bradwardine: la rapidità come spazio lineare

L’approccio di Gérard è rovesciato da Oresme e Bradwardine, che difendono una misura della rapidità basata sullo spazio lineare (spatium lineare), indipendentemente dalla natura del mobile (punto, linea, superficie o corpo). Oresme argomenta che: “si la rapidité d’une ligne était mesurée à la surface traversée, il suffirait que la ligne grandisse pour que sa rapidité augmente” - (fr:8412) [se la rapidità di una linea fosse misurata dalla superficie attraversata, basterebbe che la linea crescesse perché la sua rapidità aumentasse]. Questa obiezione rivela un problema logico: se la rapidità dipendesse dalla superficie, una linea più lunga – pur muovendosi alla stessa velocità dei suoi punti – apparirebbe più rapida, violando il principio di uniformità cinematica.

Bradwardine, pur riconoscendo a Gérard una sottigliezza superiore (subtilior multum) rispetto ai predecessori (fr:8419), respinge la sua teoria come contraria alla ragione. La sua posizione è sintetizzata in: “On voit que cette position est en quelque sorte contraire à la raison” - (fr:8419) [Si vede che questa posizione è in qualche modo contraria alla ragione]. Per Bradwardine, la rapidità deve essere misurata dallo spazio lineare (reale o immaginario) percorso da un punto rappresentativo del mobile, evitando ambiguità geometriche.

18.3 Il problema geometrico: rotazione vs. traslazione

Il dibattito si concretizza in un problema di quadrature: come confrontare la rapidità di una linea in rotazione con quella di una in traslazione? Gérard affronta il caso di un segmento OF che ruota in OA, cercando l’altezza FB a cui la stessa linea dovrebbe traslare per coprire, nello stesso tempo, una superficie equivalente alla porzione di cerchio OFA (fr:8424). Il problema si riduce a una quadratura, sfruttando il risultato di Archimede che equipara l’area di un cerchio a quella di un triangolo con base pari alla circonferenza e altezza pari al raggio (fr:8425).

Gérard generalizza il ragionamento a un segmento parziale del raggio (CF, con C punto qualsiasi di OF), calcolando l’altezza di un parallelogramma (CFB) la cui area eguagli quella dell’anello (CFA) generato dalla rotazione (fr:8426-8427). La soluzione coinvolge la costruzione di un triangolo (RLN) equivalente al cerchio di raggio OF, dove RL = OF e LN = circonferenza, e la determinazione di un rettangolo (SLM) la cui area eguagli quella dell’anello tra i cerchi di raggio OF e OC (fr:8428). Questo approccio, pur ingegnoso, è giudicato eccessivamente complesso dai critici, che preferiscono una misura lineare più immediata.

18.4 Significato storico e testimonianza

Il testo testimonia un momento cruciale nella storia della cinematica, dove si scontrano: 1. Un approccio geometrico-intuitivo (Gérard), che cerca di estendere la nozione di rapidità a entità estese, privilegiando la superficie come misura. 2. Un approccio analitico-razionale (Oresme, Bradwardine), che difende la coerenza matematica e la riducibilità del movimento a spazi lineari.

La critica di Bradwardine è particolarmente significativa: pur apprezzando la sottigliezza di Gérard, ne rifiuta le conclusioni in nome di un principio di razionalità che anticipa il metodo scientifico moderno. Il dibattito riflette anche la tensione tra fisica aristotelica (dove il movimento è legato alla natura del mobile) e matematizzazione del moto, che troverà compimento solo con Galileo.

Le supposizioni di Gérard (fr:8416-8418) e le obiezioni dei suoi avversari (fr:8412, 8419) mostrano come la filosofia naturale medievale affrontasse problemi ancora attuali, come la relazione tra velocità angolare e lineare o la misura del movimento in sistemi non puntiformi. La soluzione di Gérard, pur respinta, anticipa questioni che emergeranno nella meccanica classica, come la distinzione tra velocità di traslazione e rotazione.

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19 La reinterpretazione del triangolo di Archimede in Gérard de Bruxelles: geometria, proporzioni e movimento

Il testo analizza la lettura innovativa che Gérard de Bruxelles (XIII secolo) propone del triangolo di Archimede, strumento geometrico classico reinterpretato come modello dinamico di proporzionalità tra raggio e circonferenza. L’autore non si limita a considerare il triangolo come una figura equivalente in superficie al cerchio – come nella tradizione archimedea – ma ne esplora le proprietà interne come sistema di relazioni lineari, anticipando concetti che saranno formalizzati solo con la matematica moderna.

19.1 Proporzionalità e variazione lineare

Gérard attribuisce al triangolo un significato funzionale: ogni segmento verticale tracciato da un punto S sul raggio SR fino al terzo lato RLN corrisponde alla circonferenza di un cerchio avente RS come raggio. Come sintetizzato nella frase: “«Come si vede, Gérard ha una lettura proporzionale del triangolo di Archimede: non vi vede semplicemente una superficie uguale al cerchio, ma un insieme di proporzioni interne, tali che se SR è un raggio qualsiasi, la verticale che si eleva (o si abbassa) fino al terzo lato del triangolo RLN è uguale alla circonferenza del cerchio di raggio RS»” - (fr:8439) [Traduzione]. Questa interpretazione, espressa nel linguaggio tradizionale dei rapporti, suggerisce una variazione lineare della circonferenza in funzione del raggio (fr:8440), benché Gérard non introduca ancora il concetto di punto variabile – assente nella sua trattazione ma centrale in autori successivi come Oresme.

19.2 Superfici equivalenti e dimostrazioni geometriche

Il testo evidenzia come Gérard utilizzi il triangolo per derivare proprietà delle superfici annulari. Ad esempio, la superficie del trapezio SLNQ – ottenuto proiettando segmenti dal triangolo – risulta equivalente all’anello circolare compreso tra due cerchi concentrici di raggi OF e OC (fr:8441). La dimostrazione procede per passaggi geometrici: 1. Costruzione di una parallela MP a LR che divide QN in due parti uguali (fr:8442). 2. Dimostrazione dell’uguaglianza tra il trapezio SLNQ e il rettangolo SLMP, ottenuta in due modi: - Per congruenza dei triangoli MNO e OPQ (fr:8443, punto 1). - Attraverso la relazione SP = (SQ + LN)/2, che riflette la formula dell’area dell’anello: “la superficie dell’anello è uguale al prodotto della differenza dei raggi (SL) per la metà della somma delle circonferenze che lo delimitano” - (fr:8444).

La seconda dimostrazione (fr:8445) appare motivata dalla necessità di confermare l’equivalenza tra trapezio e anello non solo per via geometrica, ma anche tramite un calcolo diretto applicato al cerchio di raggio OF, come se Gérard volesse ancorare la deduzione teorica a una verifica numerica. Questa doppia strategia rivela una tensione tra approccio sintetico e analitico, tipica della matematica medievale.

19.3 Dal geometria al movimento: uniformità e velocità

La seconda parte del trattato di Gérard si concentra sul movimento, traducendo le proprietà geometriche in termini cinematici. Il passaggio chiave è l’equivalenza tra velocità lineare e velocità puntuale, dimostrata attraverso un esperimento mentale: - Una linea LS si muove di moto uniforme e parallelo fino a MP, mentre un segmento CF (parte del raggio OF) compie una rotazione completa intorno a O (fr:8446). - La velocità di LS è identica a quella di ogni suo punto, come enunciato nella premessa: “quando una linea è mossa in modo uguale, uniforme e parallelo, è mossa in modo uguale in tutte le sue parti e in tutti i suoi punti” - (fr:8455). - Poiché ogni punto di LS percorre una distanza LM (media delle circonferenze che delimitano l’anello), e LM coincide con la circonferenza del cerchio di raggio RT (dove V è il punto medio di CF), ne consegue che la velocità di LS è uguale a quella del punto V e, per estensione, a quella dell’intero segmento CF in rotazione (fr:8457-8458).

Questa dimostrazione è notevole per due ragioni: 1. Astrazione cinematica: Gérard applica il principio di uniformità del moto a una linea continua, anticipando il concetto di velocità istantanea (fr:8456). 2. Corrispondenza tra moto traslatorio e rotatorio: l’uguaglianza tra la velocità di un segmento in traslazione e quella di un punto in rotazione stabilisce un ponte tra geometria e meccanica, prefigurando sviluppi successivi nella teoria del moto.

19.4 Ambiguità e tradizioni testuali

Il testo segnala una doppia tradizione nel Liber de motu di Gérard, con versioni che seguono ragionamenti divergenti (fr:8447). Inoltre, le formule algebriche riportate (fr:8448-8453) – pur contenendo simboli anacronistici (come 𞑂 e 𞠹) – sembrano voler esprimere in notazione moderna la relazione tra area dell’anello e circonferenze: - L’area dell’anello è data da π(R² − r²), dove R e r sono i raggi esterno e interno. - La lunghezza TO = LM (media delle circonferenze) emerge come elemento chiave per collegare geometria e movimento.

19.5 Significato storico

L’analisi di Gérard si colloca in un momento di transizione tra la matematica greca e quella medievale, dove: - Il triangolo di Archimede cessa di essere un mero strumento di quadratura per diventare un modello di proporzionalità dinamica. - La teoria del moto inizia a incorporare concetti geometrici, preparando il terreno per le innovazioni di Oresme e Galileo. - L’attenzione alle dimostrazioni multiple (geometrica e “calcolativa”) riflette un metodo scientifico ancora in cerca di fondamenti unificati, ma già orientato verso la quantificazione.

In sintesi, il testo testimonia come Gérard, pur operando entro i limiti della teoria tradizionale dei rapporti, abbia saputo riplasmare strumenti antichi per esplorare relazioni tra grandezze, superfici e movimento, ponendo le basi per una matematizzazione della fisica.

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20 La teoria del movimento in Nicola Oresme: tra astrazione geometrica e concretezza fisica

Il testo esplora la complessa riflessione di Nicola Oresme sulla natura del movimento, articolando una tensione tra l’astrazione matematica e la concretezza dei fenomeni fisici. Al centro della sua analisi vi è il rifiuto di ridurre il corpo mobile a un semplice punto geometrico, a meno che la variazione soggettiva della velocità non possa essere trascurata. Questa posizione emerge con chiarezza quando Oresme osserva che:

“si l’on réduisait le degré de vélocité de la ligne à un degré moyen, on passerait à côté du fait qu’elle tourne” - (fr:8501) [Se si riducesse il grado di velocità della linea a un grado medio, si trascurerebbe il fatto che essa ruota.]

La distinzione tra movimenti rettilinei e rotatori, infatti, richiede di considerare la distribuzione puntuale della velocità lungo l’estensione del corpo, come nel caso di una linea in movimento. La rigidità e la deformazione dei corpi, così come i movimenti che conservano o alterano la loro figura, impongono di abbandonare la semplificazione del punto mobile (“le rejet en général de la réduction du corps à un point mobile” - fr:8502). Tuttavia, Oresme ammette eccezioni: quando l’effetto del movimento dipende solo dalla velocità complessiva del corpo, la riduzione è lecita. Un esempio intuitivo è quello del cavallo, dove non è necessario analizzare il movimento di ogni zampa per calcolare la distanza percorsa (“il n’est pas nécessaire d’analyser le mouvement de chaque des pattes d’un cheval pour déterminer la distance qu’il parcourt” - fr:8503).

La teoria delle configurazioni di Oresme si propone proprio di dimostrare che, in generale, un corpo non può essere ridotto a un punto. La velocità (vélocité), concetto centrale nella sua riflessione, non coincide con la velocità moderna, ma rappresenta la “quantité de la perfection qui est acquise ou perdue par le mouvement” - (fr:8509) [quantità della perfezione acquisita o persa attraverso il movimento]. Il movimento è inteso come un’attualizzazione di una potenza, un compimento che può consistere tanto in un’acquisizione quanto in una perdita (“une activité qui actualise une puissance” - fr:8510). Questa concezione è illustrata attraverso l’analogia con le misure agricole medievali: così come un terreno poteva essere misurato in arpenti (unità geometrica) o in giornate lavorative (unità di lavoro), la velocità oresmiana è legata all’effetto prodotto in un’unità di tempo. Se un contadino ara il doppio della terra rispetto a un altro in una giornata, la sua velocità di aratura è doppia (“la vélocité de son labourage est double” - fr:8518).

La rappresentazione geometrica del movimento assume un ruolo cruciale. Oresme introduce la nozione di “quantitas velocitatis totalis” (quantità di velocità totale), identificata con la superficie di una figura che rappresenta la variazione temporale della velocità. Questa superficie permette di stabilire rapporti tra movimenti diversi (“elle permet de définir la « quantité de la vélocité totale »” - fr:8507). La difficoltà risiede nell’interpretazione di questa quantità: Oresme afferma esplicitamente che, nel caso di un movimento locale, il rapporto tra le superfici corrisponde al rapporto tra le distanze percorse (“le rapport des surfaces […] avec celui des chemins parcourus” - fr:8520). Tuttavia, la velocità non è sempre riducibile a una distanza, come dimostra l’esempio balistico, dove la quantità di movimento può esprimersi tanto come lunghezza di uno spostamento quanto come forza di una percussione (“la longueur d’un déplacement que de la force d’une percussion” - fr:8537).

La trattazione si estende poi alla doppia difformità del movimento, cioè alla variazione della velocità sia nello spazio (secondo l’estensione del corpo) sia nel tempo. Oresme affronta il problema della rappresentazione geometrica di queste variazioni, notando che la difformità temporale richiede una dimensione in più rispetto a quella soggettiva. Ad esempio, la rappresentazione della difformità temporale di una linea mobile necessita di un solido tridimensionale, mentre quella di un corpo mobile richiederebbe cinque dimensioni, un limite che Oresme riconosce come insuperabile (“il n’était pas possible d’imaginer une figure au-delà de la troisième dimension” - fr:8548). La soluzione proposta consiste nel confrontare la difformità soggettiva di una linea con quella temporale dei suoi punti, cercando regolarità che emergano da questa comparazione. Oresme introduce così il concetto di consonanza e dissonanza tra le figure, mutuato dall’armonia musicale, per descrivere le relazioni tra le diverse difformità (“elles peuvent être mutuellement consonantes (consona) ou dissonantes (dissona)” - fr:8554).

Un ulteriore livello di complessità è raggiunto con l’analisi dei movimenti nel movimento. Oresme identifica cinque dimensioni del movimento: le tre spaziali del mobile, il tempo e il grado di velocità. A queste si aggiungono due ulteriori tipi di uniformità, legati alla variazione del cominciamento del movimento (“successio secundum inceptionem” - fr:8568). Ad esempio, una bacchetta flessibile può iniziare a muoversi prima in un punto che in un altro, o un incendio può propagarsi in modo disomogeneo in una foresta. Questa variazione del cominciamento è assimilata a un movimento locale di un punto lungo la sostanza del corpo, aprendo la strada a un’analisi geometrica anche di questi fenomeni.

La riflessione di Oresme si colloca in un contesto storico in cui la fisica aristotelica viene sottoposta a una revisione critica attraverso strumenti matematici. La sua teoria delle configurazioni anticipa concetti che saranno centrali nella fisica moderna, come la distinzione tra velocità media e istantanea, o l’idea di rappresentare il movimento attraverso funzioni di più variabili. Tuttavia, Oresme rimane ancorato a una visione qualitativa del movimento, dove la velocità è legata all’effetto prodotto piuttosto che a una misura astratta. Questa ambivalenza emerge chiaramente nel dibattito con Pierre Duhem, che interpreta la velocitas oresmiana come velocità moderna, mentre Oresme intendeva qualcosa di più ampio e concreto (“Oresme identifie toujours […] le rapport des surfaces […] avec celui des chemins parcourus” - fr:8520). La sua opera rappresenta così un ponte tra la fisica medievale e quella rinascimentale, dove la matematizzazione della natura inizia a prendere forma senza ancora abbandonare del tutto le categorie aristoteliche.

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[21.1-159-8761|8919]

21 La geometrizzazione delle qualità e la metrica dei rapporti in Nicola Oresme

Un’analisi della tensione tra rappresentazione geometrica e calcolo aritmetico nella teoria delle qualità e dei movimenti di Oresme.

Il testo esamina il contributo di Nicola Oresme alla formalizzazione delle qualità intensive (come il calore o la velocità) attraverso un modello geometrico, evidenziando come la sua opera si distingua per l’integrazione tra geometria e teoria dei rapporti, senza tuttavia ridurre le qualità a mere figure. Oresme sviluppa una metrica delle qualità che supera i limiti delle tradizioni precedenti, come quella oxoniense dei Calculatores, introducendo regole generali per il calcolo dei rapporti tra intensità ed estensioni.

21.1 1. Il ruolo della geometria: rappresentazione, non definizione

Oresme utilizza figure geometriche (come parallelogrammi) per rappresentare le qualità, ma non le identifica con esse. La geometria serve come strumento di dimostrazione, non di definizione delle regole di calcolo: > “La figure géométrique soutient les règles de calcul, mais elle ne les définit pas” - (fr:8762) [La figura geometrica sostiene le regole di calcolo, ma non le definisce]. La distinzione è cruciale: le regole sono formulate in termini di intensità (grado di una qualità) e estensione (spazio o tempo), non di lunghezze o aree. Ad esempio: > “les règles de calcul sont bien formulées en termes d’intensité et d’extension, non en termes de longueur et de largeur” - (fr:8761) [le regole di calcolo sono formulate in termini di intensità ed estensione, non di lunghezza e larghezza].

Questo approccio evita di cadere in una simbolizzazione pura delle qualità, come conferma la frase: > “Oresme n’en vient jamais à faire de la géométrie un substitut symbolique aux qualités” - (fr:8764) [Oresme non arriva mai a fare della geometria un sostituto simbolico delle qualità]. La geometria è uno strumento per visualizzare relazioni qualitative (es. l’uguaglianza tra una qualità uniformemente difforme e il suo grado medio), ma non per quantificarle in modo arbitrario. Come nota il testo: > “il n’y a pas de sens à calculer la surface d’une figure, dont la grandeur est arbitraire en elle-même” - (fr:8765) [non ha senso calcolare la superficie di una figura, la cui grandezza è arbitraria in sé stessa], perché le figure sono proporzionali tra loro secondo il principio di proporzionalità (figure con la stessa altezza rappresentano la stessa qualità).

21.2 2. La metrica delle qualità: due sistemi a confronto

Oresme elabora due versioni della sua metrica, che riflettono un’evoluzione concettuale:

21.2.1 Prima metrica (QSGE, q.11)

Presenta quattro regole per il calcolo del rapporto tra qualità lineari uniformi, basate su casi specifici di uguaglianza o proporzionalità: 1. Se le intensità sono uguali, le qualità sono proporzionali alle estensioni. 2. Se le estensioni sono uguali, le qualità sono proporzionali alle intensità. 3. Se intensità ed estensioni sono inversamente proporzionali, le qualità sono uguali. 4. Se le intensità sono proporzionali alle estensioni, le qualità sono proporzionali al quadrato del rapporto delle estensioni.

Queste regole, tuttavia, sono limitate: > “Ces règles sont très loin d’être générales, et impliquent toute une égalité ou une proportion” - (fr:8777) [Queste regole sono ben lungi dall’essere generali, e implicano tutte un’uguaglianza o una proporzione]. Manca una regola per il caso generale in cui i rapporti di intensità ed estensione sono semplicemente disuguali (fr:8778). Oresme giustifica le regole con la teoria euclidea dei rapporti (es. Elementi VI.17-18), ma evita di applicare la proposizione VI.24 (sui rapporti composti), che avrebbe permesso una regola generale per parallelogrammi disuguali in lunghezza e larghezza. Il testo ipotizza che Oresme: > “ne connaît pas de telle règle générale, et la proposition VI.24 n’était pas, à ses yeux, immédiatement utilisable” - (fr:8783-8784) [non conoscesse una tale regola generale, e la proposizione VI.24 non fosse, ai suoi occhi, immediatamente utilizzabile].

21.2.2 Seconda metrica (DC, III.5-6)

Qui Oresme introduce regole più complete, distinguendo due casi per intensità ed estensioni disuguali: 1. Se una qualità è più estesa e più intensa, il rapporto tra le qualità è il rapporto composto dei rapporti di estensione e intensità. 2. Se una qualità è più estesa ma l’altra più intensa, si sottrae il rapporto minore da quello maggiore (secondo l’algoritmo dei rapporti).

La novità sta nell’uso dell’addizione e sottrazione di rapporti, che Oresme assimila alla composizione e sottrazione di rapporti (fr:8791). Questo approccio risolve il problema dei rapporti di disuguaglianza mista (es. un rapporto maggiore composto con uno minore), che la teoria euclidea non trattava in modo coerente. Come spiega il testo: > “il faut (1) déterminer laquelle des deux est la plus grande, (2) déterminer s’il faut ajouter au ou soustraire du plus grand rapport le rapport plus petit […] et (3) appliquer les règles de l’algorithme des rapports” - (fr:8810) [bisogna (1) determinare quale delle due è la maggiore, (2) determinare se aggiungere al o sottrarre dal rapporto maggiore il rapporto minore […] e (3) applicare le regole dell’algoritmo dei rapporti].

21.3 3. L’algoritmo dei rapporti e i limiti di Euclide

La teoria euclidea dei rapporti (es. Elementi V) era insufficiente per trattare i rapporti di disuguaglianza mista (es. comporre un rapporto maggiore con uno minore). Oresme risolve il problema introducendo un algoritmo dei rapporti (Algorismus proportionum), che distingue: - Addizione di rapporti: equivalente alla composizione di rapporti maggiori (es. 4:2 + 2:1 = 4:1). - Sottrazione di rapporti: per rapporti minori (es. 4:2 - 2:1 = 2:1).

Questa distinzione è necessaria perché: > “il n’y a pas de sens à composer un rapport de plus grande inégalité avec un rapport de plus petite inégalité” - (fr:8800) [non ha senso comporre un rapporto di maggiore disuguaglianza con uno di minore disuguaglianza]. Ad esempio, il rapporto doppio (2:1) composto con il rapporto metà (1:2) non dà un risultato coerente con la relazione d’ordine (fr:8802). Oresme critica implicitamente Euclide per questa lacuna, notando che la proposizione VI.24 (sui rapporti composti) presuppone che il parallelogramma maggiore sia sia più lungo che più largo, altrimenti si comporrebbero rapporti di segno opposto (fr:8808).

21.4 4. Il calcolo delle medie: un problema generale

Oresme applica la sua metrica al calcolo delle medie, un problema centrale per la fisica medievale. Il definisce il “soggetto delle medie matematiche” come: > “calculer une quantité déterminée par une variable et qui est l’effet d’une variation” - (fr:8845) [calcolare una quantità determinata da una variabile e che è l’effetto di una variazione]. Un esempio classico è il teorema del grado medio (o teorema della velocità media), secondo cui: > “une qualité uniformément difforme est égale au degré moyen” - (fr:8831) [una qualità uniformemente difforme è uguale al grado medio]. Questo teorema, attribuito alla scuola di Merton (XIV secolo), afferma che un corpo in accelerazione uniforme percorre la stessa distanza di un corpo con velocità costante pari alla media aritmetica delle velocità iniziale e finale.

21.4.1 Confronto con i Calculatores oxoniensi

Oresme si distingue dai contemporanei (come Heytesbury e Dumbleton) per l’approccio: - Heytesbury usa il concetto di latitudine (insieme di gradi tra due estremi) e dimostra il teorema attraverso intuizioni fisiche (es. simmetria tra accelerazione e decelerazione), ma il suo ragionamento contiene petizioni di principio (fr:8901, 8908). - Dumbleton adotta un metodo di esaurimento (stile euclideo), dimostrando che il grado medio non può essere né maggiore né minore della latitudine data (fr:8913).

Oresme, invece, geometrizzando il problema, lo risolve in modo più generale, applicando le sue regole di composizione dei rapporti. La sua metrica permette di trattare casi complessi, come la densità variabile di una colonna d’aria (fr:8838-8844), dove la media non è semplicemente aritmetica ma dipende dalla relazione tra intensità ed estensione.

21.5 5. Singolarità di Oresme: oltre la geometrizzazione

Il testo sottolinea come Oresme sia unico tra i suoi contemporanei per: 1. L’integrazione tra geometria e aritmetica dei rapporti: > “On ne peut donc pas séparer, dans le travail d’Oresme, la géométrisation des qualités et l’arithmétisation des rapports” - (fr:8811) [Non si può separare, nel lavoro di Oresme, la geometrizzazione delle qualità e l’aritmetizzazione dei rapporti]. La geometria da sola non basta: senza l’algoritmo dei rapporti, le figure non permettono di calcolare i rapporti tra qualità disuguali.

2. La ricerca di regole generali: Autori come Casali o Jacques de Saint-Martin si limitano a dimostrare casi specifici (es. il teorema del grado medio) senza proporre una metrica sistematica (fr:8814-8825). Oresme, invece, cerca regole universali per misurare qualità e movimenti, anticipando aspetti della fisica matematica moderna.

3. La consapevolezza dei limiti della rappresentazione: Oresme evita di ridurre le qualità a simboli geometrici, mantenendo il focus sulla natura dell’oggetto calcolato (fr:8771). Questo lo distingue da approcci puramente formali, come quello di Saint-Martin, che confonde commensurabilità geometrica e commensurabilità fisica (fr:8820-8821).

21.6 6. Significato storico: un ponte tra Medioevo e modernità

Il lavoro di Oresme rappresenta un momento di transizione nella storia della scienza: - Supera la tradizione aristotelica: mentre Aristotele negava la quantificazione delle qualità (es. il calore), Oresme le tratta come grandezze misurabili, anticipando la fisica galileiana. - Prepara la cinematica moderna: il teorema del grado medio è un precursore della legge di caduta dei gravi di Galileo, che lo riformulerà in termini di spazi percorsi. - Fonda l’analisi dei rapporti: il suo algoritmo dei rapporti influenzerà lo sviluppo dell’algebra e del calcolo infinitesimale, dove la composizione di rapporti diventerà la moltiplicazione di frazioni.

Tuttavia, Oresme rimane ancorato al linguaggio medievale (es. latitudini, gradi), evitando una matematizzazione completa. La sua opera è un compromesso tra intuizione geometrica e rigore aritmetico, che solo con Galileo troverà una sintesi definitiva.

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[22.1-546-8921|9466]

22 La teoria del grado medio e la matematizzazione del movimento nei trattati scientifici medievali

Un’analisi comparata delle metodologie di Dumbleton, Oresme e Swineshead nella formalizzazione delle qualità e dei movimenti uniformemente difformi.

Il testo esamina le teorie sviluppate nel XIV secolo da filosofi naturali come John Dumbleton, Nicole Oresme e Richard Swineshead per descrivere matematicamente fenomeni fisici quali il movimento e la variazione delle qualità (es. calore, luminosità). Centrale è il principio di additività degli effetti, enunciato da Dumbleton:

“Dumbleton tiene per fondamentale il principio d’additività degli effetti dei gradi e latitudini: il displacement d’un mobile che accelera continument durante una demi-heure de 2 à 4 eguale la somme des déplacements pendant cette même demi-heure d’un premier mobile animé uniformément d’une vitesse de 2 et d’un second mobile qui accélère de 0 à” - (fr:8922) [Dumbleton considera fondamentale il principio di additività degli effetti dei gradi e delle latitudini: lo spostamento di un mobile che accelera continuamente da 2 a 4 in mezz’ora è uguale alla somma degli spostamenti nello stesso tempo di un primo mobile animato da velocità uniforme 2 e di un secondo mobile che accelera da 0 a ]

Questo principio permette di scomporre un movimento uniformemente accelerato nella somma di movimenti uniformi, facilitando il calcolo delle distanze percorse. La formalizzazione matematica è espressa attraverso equazioni come: “〈⌈0, 𝡎⌉|🡡〉 = 〈⌈0, 𝱏⌉| 🡡 2 〉 + [〈𝱏| 🡡 2 〉 + 〈⌈0, 𝱏⌉| 🡡 2 〉]” - (fr:8923) [La distanza totale percorsa da Socrate può essere eguagliata alla somma di tre distanze, la prima corrispondente alla distanza percorsa nella prima mezz’ora, le altre due nella seconda mezz’ora.]

22.1 Il teorema del grado medio

Dumbleton dimostra che l’unico valore di velocità (x) che soddisfa l’equazione del movimento uniformemente accelerato è il grado medio (b), ovvero la velocità corrispondente al punto mediano della latitudine. La dimostrazione si basa sull’introduzione del concetto di “distanza” tra un grado e il grado medio, mostrando che: “la distance de B à x est égale à la distance de D à y” - (fr:8933) [la distanza tra B e x è uguale alla distanza tra D e y.] Questa relazione implica che, se x è maggiore del grado medio, anche y (grado corrispondente alla metà della latitudine) lo sarà, e viceversa. Attraverso una divisione infinita della latitudine, Dumbleton conclude che l’unica soluzione possibile è x = b, eliminando così ogni contraddizione.

22.2 La geometrizzazione di Oresme

Nicole Oresme introduce un approccio geometrico innovativo, rappresentando le qualità e i movimenti tramite figure piane. Ad esempio, una qualità uniformemente difforme è raffigurata da un triangolo rettangolo, dove: - La base rappresenta l’estensione del soggetto (es. tempo o spazio). - L’altezza rappresenta l’intensità della qualità (es. velocità).

“Si ces deux figures représentent un mouvement, avec pour base AC une durée, ce raisonnement revient à démontrer la « règle de Merton ».” - (fr:8995) [Se queste due figure rappresentano un movimento, con base AC come durata, questo ragionamento dimostra la “regola di Merton”.] La regola di Merton afferma che un corpo in movimento uniformemente accelerato percorre la stessa distanza di un corpo che si muove a velocità costante pari al grado medio. Oresme generalizza questa regola a tutte le qualità difformi, estendendola anche a casi in cui il movimento inizia o termina con una velocità non nulla.

22.3 Il calcolo delle denominazioni in Swineshead

Richard Swineshead sviluppa un calcolo delle denominazioni per determinare il grado rappresentativo di una qualità distribuita in modo irregolare. La denominazione totale (d(A)) di una qualità su un soggetto A è data dalla somma delle contribuzioni parziali di ogni parte An: “𞑑(𝐴) = ∑ 𞑑(𝐴𞁛)” - (fr:9056) [La denominazione totale di Q su A è uguale alla somma delle contribuzioni parziali di ogni parte An.] Ogni contribuzione parziale è proporzionale al rapporto tra l’estensione della parte e quella del tutto. Swineshead affronta paradossi legati all’infinito, come quello di una qualità che, pur aumentando indefinitamente in intensità, contribuisce “infinitamente poco” alla denominazione totale a causa della diminuzione proporzionale dell’estensione delle parti.

22.4 Confronto tra le metodologie

1. Dumbleton: Si concentra sulla dimostrazione del grado medio attraverso l’additività degli effetti, utilizzando un linguaggio algebrico primitivo.
2. Oresme: Geometrizzazione delle qualità, con un’enfasi sulla rappresentazione visiva e la generalizzazione a casi complessi. La sua analisi delle micro-variazioni (es. primo e ultimo istante di una qualità) anticipa concetti moderni di continuità e limite.
3. Swineshead: Sviluppa un calcolo formale delle denominazioni, affrontando problemi di convergenza e divergenza di serie infinite, ma con un approccio più astratto e meno intuitivo rispetto a Oresme.

22.5 Significato storico

Questi trattati rappresentano un passaggio cruciale dalla fisica aristotelica alla scienza moderna: - Matematizzazione della natura: Le qualità fisiche (es. velocità, calore) sono quantificate e rappresentate geometricamente. - Superamento dell’aristotelismo: La continuità e l’infinito sono analizzati in modo rigoroso, sfidando la visione aristotelica di un mondo composto da sostanze discrete. - Anticipazione della fisica moderna: Il teorema del grado medio è precursore delle leggi del moto uniformemente accelerato di Galileo, mentre il calcolo delle denominazioni prefigura concetti di integrazione e media ponderata.

22.6 Critiche e limiti

Nonostante i progressi, emergono ambiguità: - Oresme critica la geometrizzazione come mascheramento di problemi logici: “La géométrie masque le problème plus qu’elle ne le résoud” - (fr:9003) [La geometria maschera il problema più che risolverlo.] - Swineshead affronta paradossi dell’infinito senza risolverli completamente, mostrando i limiti di un approccio puramente formale. - Dumbleton e altri autori medievali dipendono da ipotesi non dimostrate (es. additività degli effetti), che saranno validate solo con la fisica sperimentale successiva.

In sintesi, questi testi testimoniano un periodo di transizione in cui la scienza medievale, pur radicata nella tradizione aristotelica, getta le basi per la rivoluzione scientifica del XVII secolo attraverso la matematizzazione dei fenomeni naturali.

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[23.1-187-9731|9917]

23 L’evoluzione medievale del metodo di esaustione: da Euclide a Oresme

Un’analisi della trasformazione concettuale che porta dalla geometria antica alla matematizzazione del continuo nel XIV secolo.

Il testo esamina la metodologia di esaustione come strumento matematico, tracciandone l’evoluzione da Euclide ad Archimede fino alla sua radicale reinterpretazione nel Medioevo, in particolare con Nicole Oresme. Il nucleo del discorso ruota attorno a tre assi principali: la continuità con la tradizione antica, la ricezione medievale dei testi archimedei e la rivoluzione concettuale operata da Oresme, che trasforma l’esaustione da tecnica dimostrativa a metodo per il calcolo di somme infinite.

23.1 1. La metodologia euclidea e il suo legame con il calcolo integrale

Il testo apre con un riferimento esplicito al metodo impiegato da Euclide per il calcolo di volumi, che anticipa concettualmente il calcolo integrale moderno: “Euclide emploie cette même méthode pour calculer des volumes : la pyramide est égale au tiers du prisme de mêmes base et hauteur (XII.7), un cône est égal au tiers du cylindre de mêmes base et hauteur (XII.10)” - (fr:9731) [Euclide utilizza lo stesso metodo per calcolare i volumi: la piramide è uguale a un terzo del prisma con stessa base e altezza, un cono è uguale a un terzo del cilindro con stessa base e altezza]. Questa tecnica, definita “analogue de notre calcul intégral” (fr:9732), si basa sull’idea di approssimare una figura curvilinea con poligoni inscritti o circoscritti, evitando il “sofisma” di identificare il curvo con il diritto anche al termine di un processo infinito (fr:9733). Il ruolo dell’esaustione, come chiarisce il testo, non è costruire una successione infinita, ma “construire en un nombre fini d’étapes une figure finie mais plus grande qu’une figure donnée, quelle qu’elle soit” (fr:9734) [costruire in un numero finito di passaggi una figura finita ma più grande di una figura data, qualunque essa sia]. Questo principio, pur limitato a dimostrazioni geometriche, getta le basi per l’estensione successiva del metodo.

23.2 2. La ricezione medievale di Archimede: traduzioni e modelli

Il Medioevo eredita la metodologia di esaustione principalmente attraverso i testi di Archimede, che diventano il modello per gli sviluppi successivi. Il testo ricostruisce la diffusione dei trattati archimedei in Occidente, distinguendo due fasi: - Prima delle traduzioni di Guglielmo di Moerbeke (XIII secolo): opere come La Misura del cerchio erano già note in traduzioni latine dall’arabo, realizzate da Gérard de Crémone prima del 1187 (fr:9737). Le proposizioni I e II (sulla relazione tra circonferenza e diametro) erano le più commentate, mentre la III (con l’approssimazione di π) presentava maggiori difficoltà, pur essendo ripresa da autori come Jean de Murs (fr:9739). - Dopo Moerbeke (1269): le nuove traduzioni dal greco, basate su un manoscritto oggi perduto, includono quasi tutte le opere archimedee note (esclusi L’Arenario, Il Metodo e il Stomachion), fornendo una base testuale più completa (fr:9743-9744).

Due testi in particolare influenzano gli autori del XIV secolo: 1. Il Liber de curvis superficiebus Archimenidis (fr:9740), una parafrasi attribuita a Johannes de Tinemue del Sulla sfera e il cilindro. Questo trattato, di origine incerta (forse una traduzione latina di un testo greco del V-VI secolo), rimane la principale fonte di conoscenza dell’opera archimedea anche dopo la traduzione di Moerbeke (fr:9746-9748). 2. Il Verba filiorum (o Liber de Geometria) dei fratelli Banū Mūsā, che contiene proposizioni del La Misura del cerchio e approfondimenti sul Sulla sfera e il cilindro, utilizzato da autori come Albert di Sassonia (fr:9742).

Questi testi permettono un’estensione dell’uso dell’esaustione, che da tecnica dimostrativa diventa uno strumento per esplorare nuovi problemi geometrici.

23.3 3. Oresme e la rivoluzione dell’esaustione: dal finito all’infinito

Il contributo di Nicole Oresme rappresenta una rottura epistemologica con la tradizione antica e medievale. Il testo evidenzia tre aspetti fondamentali della sua innovazione:

23.3.1 A. Il rovesciamento del significato dell’esaustione

Oresme trasforma l’esaustione da metodo per dimostrare l’uguaglianza tra figure (come in Euclide o Archimede) a strumento per descrivere processi infiniti in un tempo finito. Come afferma il testo: “Oresme va complètement renverser la signification de l’exhaustion, et en tirer une méthode absolument neuve qu’il met fréquemment en oeuvre” (fr:9759) [Oresme rovescia completamente il significato dell’esaustione, ricavandone un metodo assolutamente nuovo che impiega frequentemente]. Un esempio paradigmatico è il ragionamento nel De visione stellarum, dove un volume composto da strati di densità variabile viene trasformato, tramite un’“esaustione misurata secondo le parti proporzionali del tempo”, in un volume a densità uniformemente variabile (fr:9760). L’esaustione euclidea diventa così “une méthode de transformation d’une chose en une autre en une infinité d’opérations conduites en un temps fini” (fr:9761) [un metodo per trasformare una cosa in un’altra attraverso un’infinità di operazioni condotte in un tempo finito].

23.3.2 B. Le domande sulle parti proporzionali: la critica ad Aristotele

Nelle prime due Questiones super geometriam Euclidis (QSGE), Oresme affronta il problema della diminuzione e dell’aumento infiniti di una grandezza secondo parti proporzionali, ponendo due domande simmetriche: 1. “Utrum magnitudo decrescit in infinitum secundum partes proportionales” (fr:9766) [Se una grandezza diminuisce all’infinito secondo parti proporzionali]. 2. “Utrum magnitudini possit fieri additio in infinitum per partes proportionales” (fr:9767) [Se a una grandezza può essere fatta un’addizione all’infinito per parti proporzionali].

Queste domande si inseriscono nel dibattito aristotelico sull’infinito per divisione e per addizione, ma Oresme ne prende esplicitamente le distanze: “Oresme ne se contente pas d’approfondir ces idées aristotéliciennes : il s’y oppose radicalement” (fr:9775) [Oresme non si accontenta di approfondire queste idee aristoteliche: vi si oppone radicalmente]. La sua tesi centrale è che, in una diminuzione continua secondo parti proporzionali, la grandezza viene “precise consumitur nec plus nec minus” (fr:9782) [esattamente esaurita, né più né meno], contraddicendo Aristotele, secondo cui “tout fini est supprimé par n’importe quelle partie” (fr:9790) [ogni finito è soppresso da qualsiasi parte], ma solo se si varia il rapporto di sottrazione (ad esempio, sottraendo sempre la stessa grandezza assoluta).

Oresme dimostra che, in un processo di sottrazione secondo parti proporzionali (ad esempio, la metà, poi la metà del residuo, ecc.), la grandezza iniziale viene completamente esaurita in un tempo finito. Questo risultato si basa su tre conclusioni: 1. La grandezza è esattamente esaurita da una sottrazione infinita di questo tipo. 2. Ogni continuo può avere un’infinità di parti proporzionali “secundum ymaginationem” (fr:9782) [secondo l’immaginazione]. 3. La prima parte può essere “realiter” (fr:9782) [realmente] separata dalle altre, e così via all’infinito.

La chiave di questa dimostrazione sta nell’interpretazione del rapporto come grandezza continua, divisibile all’infinito (fr:9805). Oresme introduce tre “supposizioni” preliminari: 1. Se un rapporto tra due grandezze aumenta all’infinito (pur rimanendo costante il termine maggiore), il termine minore “diminuetur in infinitum” (fr:9802) [diminuirà all’infinito]. 2. Se a un rapporto si aggiunge ripetutamente un rapporto uguale, il rapporto risultante aumenterà all’infinito (fr:9807). 3. È possibile procedere a un’addizione o sottrazione per parti proporzionali su qualsiasi grandezza data (fr:9821).

Queste supposizioni permettono a Oresme di collegare aumento e diminuzione infiniti, superando la dicotomia aristotelica tra infinito per addizione e per sottrazione (fr:9806).

23.3.3 C. Il ruolo del tempo e l’esaustione completa

Il passaggio cruciale nella dimostrazione di Oresme è l’introduzione del tempo come variabile. Il testo spiega che, per giustificare l’esaustione completa, Oresme immagina un processo di sottrazione che avviene in un’ora divisa in parti proporzionali: “Il faut donc envisager le processus de soustraction continue comme un processus réel, et tenir compte de la durée ID de la division” (fr:9735) [Bisogna quindi considerare il processo di sottrazione continua come un processo reale, e tenere conto della durata ID della divisione]. Ad esempio, se l’ora è divisa in metà, quarti, ottavi, ecc., la prima sottrazione avviene nella prima mezz’ora, la seconda nel quarto d’ora successivo, e così via. In ogni istante in del processo, rimane un residuo Rn, ma al termine dell’ora (D), questo residuo scompare: “Il est manifestement impossible qu’il reste en D un partie RD résiduelle de T, si petite soit-elle” (fr:9883) [È manifestamente impossibile che in D rimanga una parte residua RD di T, per quanto piccola essa sia].

Questa argomentazione si basa sulla distinzione tra processo in corso e processo completato: - Durante il processo, in ogni istante in esiste un residuo Rn. - Al termine (D), non può esistere alcun residuo, perché per ogni residuo RD esisterebbe una parte proporzionale dell’ora in cui RD verrebbe ulteriormente sottratto (fr:9884-9886).

L’uso del tempo permette a Oresme di passare da “et sic in infinitum” a “in fine” (fr:9887), giustificando così l’esaustione completa.

23.4 4. Le somme infinite e la formalizzazione di Oresme

Oresme applica la sua metodologia al calcolo di somme infinite, formulando regole generali per serie convergenti. Ad esempio: - Per una serie geometrica con rapporto 1/2: “𝑎 + 𝑎/2 + 𝑎/4 + ⋯ = 2𝑎” (fr:9890). - Per una serie con rapporto 1/3: “𝑎 + 𝑎/3 + 𝑎/9 + ⋯ = (3/2)𝑎” (fr:9890). - Regola generale: per un rapporto 1/p (con p > 1), la somma è “𝑎 / (1 - 1/p)” (fr:9891).

Queste conclusioni sono formulate al futuro (“totum erit precise duplum ad primum assumptum”, fr:9894) [il totale sarà esattamente il doppio del primo assunto], sottintendendo un processo temporale di addizione. Oresme non fornisce dimostrazioni esplicite, ma suggerisce un metodo basato sul rapporto tra la parte aggiunta e il residuo: “Pour trouver le rapport du tout à la première partie, il faut […] trouver le rapport par lequel la seconde partie est en défaut (deficit) sur la première, et prendre la dénomination de ce rapport” (fr:9899) [Per trovare il rapporto tra il tutto e la prima parte, bisogna […] trovare il rapporto per cui la seconda parte è in difetto rispetto alla prima, e prendere la denominazione di questo rapporto].

Ad esempio, se ogni parte è un terzo della precedente, essa è in difetto di due terzi rispetto alla precedente. Il rapporto tra il totale e la prima parte è quindi l’inverso di questo rapporto (3/2).

23.5 5. Significato storico e innovazione concettuale

Il contributo di Oresme si colloca in un momento di transizione tra la matematica antica e quella moderna: 1. Superamento dei limiti aristotelici: Oresme contesta l’idea che un processo infinito di divisione secondo parti proporzionali lasci necessariamente un residuo, dimostrando che in un tempo finito la grandezza può essere completamente esaurita. 2. Matematizzazione del tempo: L’introduzione del tempo come variabile permette di conciliare l’infinito potenziale (il processo) con il finito attuale (il risultato). 3. Calcolo delle somme infinite: Oresme anticipa risultati che saranno formalizzati solo con il calcolo infinitesimale, come la somma di serie geometriche. 4. Critica alla geometria antica: Pur commentando Euclide, Oresme sviluppa metodi incompatibili con i principi della geometria classica, come evidenziato nei capitoli finali del Traité des configurations (fr:9781).

La sua opera rappresenta una testimonianza cruciale della matematizzazione medievale, dove l’eredità antica viene reinterpretata per affrontare problemi nuovi, come la quantificazione del continuo e la modellizzazione di processi infiniti.

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[24.1-217-10232|10448]

24 Il calcolo delle serie infinite e la rappresentazione del movimento in Nicola Oresme

Un’analisi delle tecniche matematiche e geometriche con cui Oresme affronta il problema delle quantità finite generate da processi infiniti.

Il testo esamina il contributo di Nicola Oresme (XIV secolo) allo studio dei movimenti e delle qualità fisiche attraverso l’uso di serie infinite, proporzioni continue e rappresentazioni geometriche. Le sue dimostrazioni, pur radicate in una tradizione aristotelica e scolastica, introducono metodi innovativi che anticipano sviluppi successivi dell’analisi matematica, come il calcolo infinitesimale.

24.1 1. La “Conclusio mirabilis”: velocità crescente e quantità finita

Oresme affronta un problema apparentemente paradossale: un mobile la cui velocità aumenta secondo una progressione infinita (1, 2, 3, …) in intervalli di tempo proporzionalmente decrescenti (T₁, T₂ = T₁/2, T₃ = T₁/4, …) percorre una distanza finita in un tempo finito. La dimostrazione si basa su due principi chiave:

• Uniformità del guadagno di quantità per incremento di velocità: “Si, par simplification, on considère que le mouvement est un déplacement et la quantité acquise une distance parcourue, alors le raisonnement d’Oresme concerne la variation de la distance parcourue selon qu’un degré de rapidité est acquis ou perdu” (fr:10247). In altre parole, un aumento unitario di velocità (ΔV) produce sempre lo stesso incremento di distanza (ΔQ), indipendentemente dalla velocità iniziale. Questo principio, derivato da una concezione “latitudinale” del movimento (dove la velocità è trattata come una qualità intensiva), permette di manipolare le velocità senza alterare la quantità totale percorsa.

• Invarianza della quantità totale per scambi di velocità: “Si un mobile gagne autant de rapidité dans la première moitié d’un mouvement qu’il en perd dans la seconde, la quantité totale acquise ou la distance totale parcourue par le mobile reste invariante” (fr:10257). Ad esempio, un mobile con velocità uniforme 3 percorre la stessa distanza di uno che ha velocità 4 nella prima metà del tempo e 2 nella seconda. Questo principio giustifica la riallocazione dei gradi di velocità tra le parti proporzionali del tempo, operazione centrale nella dimostrazione.

24.1.1 La dimostrazione passo-passo

1. Definizione del problema:
   • La velocità del mobile in ogni intervallo Tₙ è Vₙ = n (fr:10232).
   • La quantità totale Q acquisita in un’ora (T) è la somma delle quantità parziali Qₙ in ogni Tₙ, dove Tₙ = T/2ⁿ⁻¹.
   • Oresme assume arbitrariamente Q₁ = 1 (fr:10234) e dimostra che Q =
2. Calcolo delle prime quantità:
   • In T₂ (metà di T₁), la velocità è doppia (V₂ = 2), ma il tempo è dimezzato: Q₂ = Q₁ = 1 (fr:10238).
   • Per T₃, Oresme introduce un artificio: “emprunter (mutuo) un degré de la rapidité totale restante et de le donner (do) à la rapidité de la troisième partie” (fr:10244). Così, V₃ passa da 3 a 4, mentre le velocità successive (V₄, V₅, …) diminuiscono di La quantità Q₃* diventa 4 volte minore di Q₁ (ΔQ₃* = 1/4), poiché la velocità è quadrupla ma il tempo è 1/8 di T₁ (fr:10262).
3. Generalizzazione e somma infinita:
   • Dopo la terza parte, ogni Qₙ* è metà della precedente (fr:10267).
   • La somma totale diventa: “∑ ΔQₙ* = Q₁ + Q₂ + ΔQ₃* + … = 1 + 1 + 1/4 + 1/8 + … = 3” (fr:10268). Aggiungendo la serie geometrica infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1, si ottiene Q = 4 (fr:10270).
   • La conclusione è sintetizzata in una tabella (fr:10272) che mostra come, attraverso la riallocazione delle velocità, la quantità totale rimanga costante (4) nonostante la progressione infinita.

24.2 **2. La rappresentazione geometrica: figure e “series numerorum”

Oresme traduce il problema in termini geometrici, costruendo figure che rappresentano la configurazione (latitudine) di una qualità o di un movimento. Questo approccio, descritto nel De configurationibus qualitatum et motuum (DC), si basa su due idee fondamentali:

• Empilement di parti proporzionali: “Il considère deux rectangles égaux qu’Oresme prend de quatre pieds, élevés l’un sur la ligne AB, l’autre sur la ligne égale CD, et divise le second en parties continument proportionnelles de rapport 2:1” (fr:10284). Sovrapponendo le parti del secondo rettangolo (E, F, G, …) sul primo, si ottiene una figura “a scala” dove l’altezza rappresenta l’intensità della velocità (1, 2, 3, …) e la base le tempi proporzionali (T₁, T₂, T₃, …). La superficie totale della figura (8 piedi) è il quadruplo della prima parte (2 piedi), confermando che Q = 4 (fr:10286).

• Il ruolo delle “series numerorum”: “L’expression series numerorum fait référence dans le DC au rang de chaque partie (1ère, 2ème, 3ème etc) et à la valeur de l’intensité de vélocité en chacune des parties ordonnées (1, 2, 3 etc)” (fr:10305). Oresme non si limita a una rappresentazione geometrica pura, ma organizza le parti secondo un ordine numerico** (es. 1, 2, 4, .. per le estensioni; 1, 2, .. per le intensità). Questo metodo, influenzato dall’aritmetica di Boezio (fr:10301), permette di trattare processi continui con strumenti discreti, risolvendo il conflitto tra infinito e finito.

24.2.1 Difformità infinite e convergenza

Oresme esplora anche casi in cui la qualità o il movimento sono infinitamente intensi ma di quantità finita: - Difformità convergente (III.9): una qualità la cui intensità raddoppia in ogni parte proporzionale (Qₙ₊₁ = Qₙ/2) ha una quantità totale doppia della prima parte (fr:10313-10314). La dimostrazione presuppone la somma della serie 1 + 1/2 + 1/4 + … = 2, già calcolata nelle Quaestiones super geometriam Euclidis (QSGE). - Difformità mista (III.10): una qualità definita da due serie (pari e dispari) con rapporti diversi. Oresme calcola la quantità totale sommando le due serie infinite o stabilendo un rapporto tra di esse (fr:10337-10340).

24.3 3. Paradossi del movimento e soluzione di Oresme

Il testo collega le dimostrazioni di Oresme ai paradossi di Zenone, reinterpretandoli come strumenti di calcolo: - Il mobile che non raggiunge il doppio della distanza: “Un mobile qui se déplacerait indéfiniment mais dont la vélocité serait décroissante de cette manière ne parcourrait jamais une distance double de celle parcourue pendant la première journée” (fr:10347). La figura geometrica “ruotata” (fr:10343) mostra che la distanza totale tende asintoticamente al doppio della prima parte, senza mai raggiungerlo. Oresme non vede in questo un paradosso, ma una proprietà positiva del movimento (fr:10350).

• Il mobile veloce che raggiunge il lento: “Le mobile rapide rattrape le mobile lent, cependant jamais tant qu’ils sont distants, mais au premier instant où ils ne seront pas distants” (fr:10355). Oresme risolve il paradosso di Zenone (Achille e la tartaruga) dimostrando che la distanza tra i due mobili diminuisce secondo una progressione geometrica (1/2, 1/4, 1/8, …) in tempi proporzionali. La somma infinita delle distanze e dei tempi converge a un valore finito, permettendo il sorpasso (fr:10368).

24.4 4. Estensione infinita di qualità finite: il caso dei corpi

Oresme applica le sue tecniche a qualità corporali, dimostrando che: 1. Una qualità finita (es. una libbra di peso) può essere indefinitamente estesa in una o due dimensioni senza variare la sua quantità totale (III.12). Questo avviene attraverso la transfiguratio: un cubo viene deformato in un cilindro e corone concentriche, mantenendo costante il volume (fr:10394). 2. Una qualità può essere finita e infinitamente estesa in tutte le dimensioni (III.13), purché sia difforme. Oresme immagina un corpo infinito (il “mondo oltre il mondo di Aristotele”) riempito con sfere e corone concentriche di peso decrescente (1/2, 1/4, 1/8, …). La quantità totale rimane finita (1 libbra), confutando l’argomento aristotelico sulla necessità di un mondo finito (fr:10436-10440).

Queste dimostrazioni hanno implicazioni filosofiche: - Impossibilità dell’uniformemente difforme nei corpi infiniti: “Une qualité uniformément difforme ne peut être étendue par ce moyen” (fr:10420). Una linea che attraversa un corpo infinitamente esteso non può avere un’intensità uniformemente decrescente, perché ciò richiederebbe un punto di intensità nulla, assurdo per una qualità corporale (fr:10416). - Profondità vs. superficie: Oresme sostiene che un agente (es. la luce) agisce secondo la profondità del corpo, non solo la superficie, per evitare che una quantità finita produca effetti infiniti (fr:10428-10430).

24.5 Significato storico e metodologico

Le tecniche di Oresme rappresentano un ponte tra Medioevo e Rinascimento: - Innovazione matematica: l’uso di serie infinite, proporzioni continue e rappresentazioni geometriche anticipa il calcolo infinitesimale (Leibniz, Newton). La sua “conversio” (rotazione delle figure) è un esempio di come la manipolazione simbolica possa generare nuovi teoremi (fr:10342). - Superamento dei limiti aristotelici: Oresme rifiuta la finitezza necessaria del mondo e dimostra che quantità finite possono generare effetti infiniti (o viceversa), sfidando la fisica peripatetica. - Metodo combinatorio: la scomposizione in parti proporzionali e la loro ricombinazione (es. parti pari/dispari) mostra una mentalità algoritmica, tipica della scolastica tarda ma proiettata verso la scienza moderna.

Le ambiguità del testo (es. la “superficie totale” di una figura infinita, fr:10287) riflettono la tensione tra intuizione geometrica e rigore matematico, risolto solo con l’analisi moderna. Tuttavia, Oresme getta le basi per una scienza quantitativa del continuo, dove l’infinito non è più un ostacolo, ma uno strumento.

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25 L’angolo di contingenza in Nicola Oresme: tra geometria, musica e filosofia naturale

Un’indagine sulle discontinuità matematiche e naturali attraverso lo studio degli angoli curvilinei e delle loro implicazioni epistemologiche.

Il testo esplora il ruolo dell’angolo di contingenza nella riflessione di Nicola Oresme (XIV secolo), un concetto geometrico che diventa strumento per analizzare discontinuità fondamentali in ambiti apparentemente distanti: dalla matematica alla teoria musicale, fino alla filosofia naturale e politica. Oresme utilizza questo caso limite per indagare la natura delle relazioni tra entità eterogenee, dove la proporzionalità e la divisibilità – temi centrali nello studio degli angoli (fr:10650) – si scontrano con l’impossibilità di un confronto diretto.

25.1 Eterogeneità delle curvature e limiti della misura

Il nucleo concettuale ruota attorno all’idea che angoli con curvature dissimili siano mutualmente eterogenei. Oresme sostiene che: “Cela signifie pour Oresme que ces angles sont mutuellement hétérogènes, ce qui laisse entendre que les courbures le sont aussi” - (fr:10648) [Ciò significa per Oresme che questi angoli sono reciprocamente eterogenei, il che suggerisce che lo siano anche le curvature.] Questa eterogeneità si manifesta nell’impossibilità di dividere un angolo curvilineo – formato da curvature simili – mediante una curva di curvatura dissimile (fr:10649). Il problema non è solo geometrico, ma epistemologico: la misura delle linee curve (fr:10651) diventa un obiettivo innovativo, in cui Oresme reinterpreta strumenti tradizionali (come la proporzionalità) per affrontare entità che sfuggono a una quantificazione univoca.

25.2 L’angolo di contingenza come metafora della discontinuità

Oresme estende il modello geometrico ad altri domini, trovando nell’angolo di contingenza un esempio paradigmatico di rottura insormontabile. In ambito musicale, ad esempio, il “disaccordo” tra suoni prodotti da strumenti diversi (come il nerf de loup e il nerf de mouton) viene paragonato all’improporzionalità tra angoli mistilinei e rettilinei: “Oresme assimile alors ce désaccord à l’improportionnalité entre angles mixtilignes et angles rectilignes” - (fr:10659) [Oresme assimila questo disaccordo all’improporzionalità tra angoli mistilinei e rettilinei.] La metafora rivela una struttura comune: pur appartenendo allo stesso genere (angoli, suoni), queste entità presentano una rottura metrica (fr:10660) che impedisce una comparazione diretta. L’angolo di contingenza diventa così un caso limite (fr:10664), simbolo di quelle discontinuità che Oresme ritrova anche nella gerarchia delle specie naturali (fr:10662) e, più in generale, nella sua filosofia politica (fr:10663).

25.3 Innovazione e tradizione: il contributo di Oresme

Il testo sottolinea come Oresme si inserisca in una tradizione scolastica medievale, ma con una prospettiva originale. Le Questions sur la Géométrie d’Euclide (in particolare la questio 20, fr:10652) rappresentano il culmine di una riflessione già avviata in tre precedenti questioni dedicate alla natura degli angoli (fr:10665). Qui, Oresme chiarisce il fondamento matematico delle incertezze legate alla contingenza (fr:10666), pur riconoscendo la necessità di contestualizzare le sue novità all’interno del dibattito scolastico precedente (fr:10667).

Due aspetti emergono con particolare forza: 1. L’angolo come strumento euristico: Non è un mero oggetto geometrico, ma un modello per pensare relazioni complesse (fr:10653), come quelle tra suoni armonici e fondamentali (fr:10655-10656) o tra specie naturali. 2. La rottura come categoria filosofica: La comparatio (fr:10660) – termine tecnico delle Questions sur la Physique – indica una relazione di ordine tra entità che, pur comparabili in genere, presentano una discontinuità qualitativa. Questa idea permea tanto la filosofia naturale quanto quella politica, dove la gerarchia tra enti non è mai pienamente superabile.

25.4 Conclusioni implicite

Il trattato di Oresme rivela come un concetto apparentemente marginale – l’angolo di contingenza – diventi il fulcro di una teoria delle configurazioni che interroga i limiti della conoscenza. La sua originalità sta nell’aver trasformato un problema geometrico in una chiave interpretativa per fenomeni eterogenei, anticipando questioni che torneranno centrali nella scienza moderna: l’incommensurabilità, la discontinuità quantistica, e i limiti della rappresentazione matematica.

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26 La natura paradossale degli angoli di contingenza: tra tradizione e revisione critica

Il testo esplora la controversia storica e concettuale intorno alla definizione e misurazione degli angoli di contingenza (o angoli di contatto), un tema che ha diviso matematici e commentatori antichi e medievali. Al centro del dibattito vi è la natura ambigua di questi angoli, generati dal contatto tra una retta tangente e un cerchio, la cui “quantità” sfugge alle categorie euclidee tradizionali.

26.1 L’eredità di Euclide e le interpretazioni divergenti

La discussione prende le mosse dalla Proposizione III.16 degli Elementi di Euclide, dove si afferma che l’angolo formato da una tangente e un arco di cerchio (angolo di contingenza) è “più piccolo di ogni angolo acuto”. Questa definizione, apparentemente paradossale, ha dato origine a due correnti interpretative opposte.

La prima, rappresentata da Al-Nayrizi (IX-X secolo), nega che l’angolo di contingenza abbia una quantità misurabile: > “Al-Nayrizi est de la tradition de ceux qui nient simplement que l’angle de contingence ait une quantité” - (fr:10702) [Al-Nayrizi appartiene alla tradizione di coloro che negano semplicemente che l’angolo di contingenza abbia una quantità]. Tuttavia, egli ammette che si tratti comunque di un angolo, giustificando la sua definizione come “più piccolo di ogni acuto” attraverso il suo complementare, l’angolo di semicerchio: > “il admet par ailleurs qu’il s’agit bien d’un angle, et justifie qu’on le pose plus « petit que tout aigu » par le fait que son complémentaire, l’angle de demi-cercle, qui lui en revanche possède bien une quantité, peut être dit « plus grand que tout aigu »” - (fr:10703) [ammette d’altra parte che si tratta di un angolo, e giustifica il fatto di porlo “più piccolo di ogni acuto” con il fatto che il suo complementare, l’angolo di semicerchio, che invece possiede una quantità, può essere detto “più grande di ogni acuto”].

La posizione di Al-Nayrizi si basa su una distinzione cruciale: mentre l’angolo acuto è sempre minore di un angolo retto per una differenza misurabile (un altro angolo acuto), l’angolo di contingenza non ha una “quantità” definita: > “angle qui n’a pas de quantité : c’est pourquoi il peut être dit « plus grand que tout angle aigu », car un angle aigu est nécessairement plus petit qu’un angle droit d’une différence égale à autre angle aigu, qui a donc une quantité” - (fr:10697) [angolo che non ha quantità: per questo può essere detto “più grande di ogni angolo acuto”, poiché un angolo acuto è necessariamente più piccolo di un angolo retto per una differenza uguale a un altro angolo acuto, che ha quindi una quantità]. L’angolo di semicerchio, invece, è divisibile e possiede una quantità: > “Néanmoins, l’angle de demi-cercle, divisible, doit quant à lui avoir une quantité” - (fr:10698) [Tuttavia, l’angolo di semicerchio, divisibile, deve avere una quantità].

26.2 La critica di Campano e il principio di continuità

Una visione radicalmente opposta emerge nel commento di Campano da Novara (XIII secolo) agli Elementi, dove si contesta l’applicazione del principio di continuità agli angoli di contingenza. Secondo Campano, non è lecito dedurre che una grandezza, passando dal più piccolo al più grande, debba necessariamente attraversare l’uguale: > “il n’est pas correct de déduire, de ce qu’une grandeur passe (transit) du plus petit au plus grand, et par tous les intermédiaires, qu’elle passe aussi par l’égal” - (fr:10705) [non è corretto dedurre, dal fatto che una grandezza passi dal più piccolo al più grande, e per tutti gli intermedi, che passi anche per l’uguale]. Questa posizione mette in discussione l’idea stessa di quantità intermedia per entità come l’angolo di contingenza, che sfuggono alle categorie metriche tradizionali: > “Les particularités des angles de demi-cercle et de contingence l’amènent donc à réviser son idée des quantités en générales, et de la validité d’un principe de continuité généralisé” - (fr:10707) [Le particolarità degli angoli di semicerchio e di contingenza lo portano quindi a rivedere la sua idea delle quantità in generale, e della validità di un principio di continuità generalizzato].

26.3 Divergenze testuali e ambiguità concettuali

Il testo evidenzia anche differenze tra le versioni arabe e latine dei commentari, che riflettono interpretazioni divergenti. Nella versione araba di Al-Nayrizi, l’indivisibilità dell’angolo esterno spiega la sua natura di tangente: > “et étant donné que l’angle externe ne peut pas être divisé par une droite, toute ligne dont tel est l’état est tangente au cercle” - (fr:10709) [e dato che l’angolo esterno non può essere diviso da una retta, ogni linea in tale stato è tangente al cerchio]. Nel testo latino, invece, l’indivisibilità giustifica la sua minore grandezza rispetto a ogni angolo acuto, con la tangenza come proprietà aggiuntiva: > “quia non est possibile, ut exterior angulus cum linea recta dividatur, posuit minorem omni acuto angulo, quoniam omnis linea, cuius esse est, ut esse huius, est contingens circulum” - (fr:10712) [poiché non è possibile che l’angolo esterno sia diviso con una linea retta, lo pose minore di ogni angolo acuto, poiché ogni linea che ha questa proprietà è tangente al cerchio].

Questa discrepanza sottolinea come la definizione stessa di angolo di contingenza fosse oggetto di negoziazione, oscillando tra una visione geometrica (tangenza) e una metrica (grandezza infinitesimale).

26.4 Conclusioni: un paradosso irrisolto

Il dibattito rivela una tensione fondamentale tra intuizione geometrica e rigore matematico. Mentre Euclide e i suoi commentatori arabi (come Al-Nayrizi) cercano di inquadrare l’angolo di contingenza entro le categorie esistenti, Campano nega la validità di estendere principi come la continuità a entità che sfuggono alla misurazione. La questione rimane aperta, testimoniando come concetti apparentemente semplici possano generare aporie che attraversano i secoli. La mancanza dei commentari originali di Erone d’Alessandria (I secolo d.C.) aggiunge un ulteriore livello di incertezza: > “Les commentaires d’Héron d’Alexandrie, connus par ailleurs, n’ont pas été retrouvés à ce jour” - (fr:10696) [I commentari di Erone d’Alessandria, noti per altre vie, non sono stati ritrovati a oggi].

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27 L’angolo di contingenza e la matematizzazione delle qualità nel pensiero di Oresme

L’angolo di contingenza, pur essendo più piccolo di ogni angolo acuto, non può essere considerato nullo, ma rappresenta una quantità non archimedea che sfida i principi della geometria euclidea.

Il trattato scientifico analizzato affronta il problema dell’angolo di contingenza (o angulus contingentiae), un concetto geometrico che emerge dalla tangenza tra una circonferenza e una retta, generando un angolo mistilineo apparentemente nullo ma non riducibile a zero. Questo tema, sviluppato nel XIV secolo da Nicole Oresme e altri scolastici, assume un significato storico e concettuale profondo, poiché incrocia questioni di matematica, teologia e filosofia naturale, rivelando come la scolastica medievale cercasse di conciliare l’infinito con il finito attraverso strumenti geometrici.

27.1 1. L’angolo di contingenza: un paradosso geometrico e teologico

27.1.1 Definizione e proprietà peculiari

L’angolo di contingenza è definito come l’angolo formato da una tangente a un cerchio e dalla circonferenza stessa nel punto di contatto. Le sue proprietà, già discusse da Euclide (Elementi, III.16) e Campano da Novara, sono paradossali: - “Est autem et haee altitudo Poli inventa, semper minor vsurpata distantia ejus à Vertice” - (fr:10742) [È stata trovata anche questa altezza del Polo, sempre minore rispetto alla distanza assunta dal Vertice.] L’angolo di contingenza è più piccolo di ogni angolo acuto, ma non è nullo. Questa caratteristica lo rende una quantità non archimedea: non può essere “misurato” tramite multipli di una grandezza finita, poiché non esiste un multiplo di esso che superi un angolo retto.

• “Un angle aigu est donc plus grand qu’un angle plus grand que tout aigu, ce qui est contradictoire” - (fr:10747) [Un angolo acuto è quindi più grande di un angolo più grande di ogni acuto, il che è contraddittorio.] La dimostrazione di Campano (ripresa da Oresme) mostra che, se si assume un angolo rettilineo uguale all’angolo di contingenza, si giunge a una contraddizione: l’angolo rettilineo, per quanto piccolo, non può mai eguagliare l’angolo mistilineo.

27.1.2 Significato storico: dalla geometria alla teologia

L’angolo di contingenza diventa un simbolo teologico nel XIII-XIV secolo, utilizzato per spiegare come il peccato possa diminuire il “bene naturale” dell’anima senza mai distruggerlo completamente. Questo paradosso geometrico riflette l’idea che: - “Le mal de la faute peut-il détruire tout le bien?” - (fr:10844) [Il male della colpa può distruggere tutto il bene?] La risposta scolastica è negativa: così come l’angolo di contingenza può essere sottratto infinite volte da un angolo retto senza annullarlo, il peccato può erodere il bene naturale senza mai eliminarlo del tutto. Questa analogia è sviluppata da Guillaume d’Auxerre, Thomas de Strasbourg e Gilles de Rome, che vedono nell’angolo di contingenza la prova della presenza dell’infinito nel finito (la grazia divina nell’uomo peccatore).

27.2 2. Oresme e la matematizzazione delle qualità

27.2.1 Critica all’eterogeneità di Campano

Oresme respinge l’interpretazione di Campano, secondo cui l’angolo di contingenza e l’angolo rettilineo sono eterogenei (appartengono a generi diversi). Per Oresme, l’eterogeneità non è sufficiente a spiegare le proprietà metriche degli angoli mistilinei: - “Quelque chose de droit ou qui possède la nature du droit est commensurable à quelque chose de courbe ou qui possède la nature du courbe” - (fr:11073) [Qualcosa di diritto o che possiede la natura del diritto è commensurabile a qualcosa di curvo o che possiede la natura del curvo.] Oresme dimostra che angoli curvilinei e rettilinei possono essere uguali (ad esempio, un angolo curvilineo formato da due archi di cerchio può eguagliare un angolo rettilineo). Questo mina l’idea di Campano che il diritto e il curvo siano incommensurabili.

27.2.2 **L’angolo come “modus rei”

Oresme propone una soluzione ontologica innovativa: l’angolo non è una res (cosa), ma un modo di essere (modus rei), una relazione tra linee o superfici. Questa definizione risolve i paradossi: - “L’angle apparaît alors potentiellement comme une qualité sans extension, une intensité pure” - (fr:11019) [L’angolo appare potenzialmente come una qualità senza estensione, un’intensità pura.] Gli angoli, pur essendo indivisibili, possono essere ordinati gerarchicamente secondo una scala di perfezione. Ad esempio: - Un angolo retto è infinitamente più grande di un angolo di contingenza (ultra omnem proportionem). - Un angolo di contingenza è infinitamente più piccolo di un angolo retto (citra omnem proportionem).

Questa scala permette di pensare distanze infinite tra entità finite, un’idea che Oresme applica alla gerarchia delle specie (ad esempio, un cavallo può essere più perfetto di un asino non in modo proporzionale, ma secondo una relazione di “eccedenza improporzionale”).

27.3 3. La curvatura e la misura delle linee curve

27.3.1 Due metodi di misura

Oresme affronta il problema della misura della curvatura delle linee, proponendo due approcci contrastanti: 1. Misura tramite l’angolo di contingenza (DC, I.20): - La curvatura è misurata dall’angolo formato dalla tangente e dalla curva. - Problema: gli angoli mistilinei sono improporzionabili tra loro e con gli angoli rettilinei, rendendo impossibile una misura quantitativa. - Conclusione: le curvature sono eterogenee e non rappresentabili geometricamente.

2. Misura tramite il raggio di curvatura (DC, I.21):
   • La curvatura in un punto è misurata dal raggio del cerchio osculatore (il cerchio che meglio approssima la curva in quel punto).
   • Vantaggio: permette di definire curvature uniformi (cerchio) e difformi (altre curve).
   • Esempio: la spirale di Archimede ha una curvatura uniformemente difforme (varia linearmente con l’angolo di rotazione).

27.3.2 Implicazioni filosofiche

Oresme usa la curvatura per esplorare nuove forme di intensità: - Le curvature non sono semplici grandezze estensive, ma qualità con un’intensità variabile. - La configurazione della curvatura (rappresentata graficamente) permette di studiare la variazione della curvatura lungo una linea, anticipando l’idea moderna di funzione derivata.

27.4 4. Figure isoperimetriche e quadrature

Oresme affronta anche il problema delle figure isoperimetriche (con lo stesso perimetro), dimostrando che: - “Parmi toutes les figures isopérimétriques, la plus grande est le cercle” - (fr:11672) [Tra tutte le figure isoperimetriche, la più grande è il cerchio.] Questa proprietà è usata per giustificare la sfericità del cielo (secondo Aristotele, il movimento celeste è il più veloce perché avviene lungo la linea più breve, cioè la circonferenza).

Oresme introduce l’idea di variare continuamente una figura poligonale aumentando il numero dei lati fino a ottenere un cerchio, un approccio che anticipa il calcolo infinitesimale.

27.5 5. Eredità e sviluppi successivi

27.5.1 Nicolas de Cues

Nel XV secolo, Nicolas de Cues riprende il tema della curvatura per dimostrare che: - “La linea infinita è una retta” (Docta Ignorantia, I.13). Per Cues, una linea infinita (massima) ha curvatura nulla, poiché più grande è il raggio, minore è la curvatura. Questo ragionamento unisce diritto e curvo in un unico concetto, superando la distinzione qualitativa tradizionale.

27.5.2 Newton e il calcolo differenziale

Nel XVII secolo, Isaac Newton affronta la curvatura con strumenti analitici: - Definisce la quantità di curvatura (quantity of curvature) come l’inverso del raggio di curvatura. - Usa il metodo delle flussioni per calcolare la curvatura in un punto, risolvendo il paradosso dell’angolo di contingenza tramite limiti infinitesimali.

Tuttavia, mentre Newton quantifica la curvatura, Oresme la qualifica, mostrando come la geometria medievale potesse pensare l’intensità senza ricorrere all’infinitesimo.

27.6 Conclusione: l’angolo di contingenza come metafora del sapere medievale

L’analisi dell’angolo di contingenza rivela come la scolastica medievale usasse la geometria per pensare l’infinito nel finito, sia in ambito teologico (la grazia divina) che filosofico (la gerarchia delle specie). Oresme, in particolare, trasforma questo paradosso in uno strumento di matematizzazione delle qualità, anticipando concetti che saranno centrali nella scienza moderna: - La misura delle intensità (curvatura, velocità). - La rappresentazione grafica delle variazioni (configurazioni). - L’idea di eccedenza improporzionale (distanze infinite tra entità finite).

L’angolo di contingenza, dunque, non è solo un oggetto geometrico, ma una metafora del sapere medievale: un ponte tra finito e infinito, tra misura e qualità, tra teologia e matematica.

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[28.1-196-11757|11952]

28 La quadrature del cerchio e la geometria delle variazioni: il contributo di Nicola Cusano e Oresme

Un’innovazione metodologica che intreccia geometria, filosofia naturale e teoria delle intensità, ridefinendo i confini tra finito e infinito, forma e difformità.

Il testo analizza il tentativo di Nicola Cusano di risolvere il problema della quadratura del cerchio attraverso un approccio geometrico originale, che si discosta dalle soluzioni classiche e anticipa sviluppi successivi nella matematica delle variazioni. Cusano non cerca di rettificare la circonferenza (come suggerito da Archimede), ma di costruire geometricamente il raggio di un cerchio isoperimetrico a una circonferenza data, sfruttando la relazione tra poligoni regolari e il cerchio come loro limite. Questo metodo, pur presentando ambiguità concettuali, rivela un’interazione profonda tra la tradizione euclidea e le nuove idee sulla continuità e le grandezze intensive, influenzate dal pensiero di Oresme.

28.1 La soluzione di Cusano: poligoni isoperimetrici e coerenza delle grandezze

Il problema della quadratura del cerchio, come enunciato in (fr:11759), consiste nel trovare un quadrato di area uguale a quella di un cerchio dato. Cusano parte da una constatazione nota (fr:11760): “La superficie di un cerchio è uguale a quella di un rettangolo il cui lato è il semiperimetro del cerchio e l’altro il raggio” - (fr:11760) [Traduzione]. Da qui, invece di dedurre che il problema è risolto se si riesce a rettificare la circonferenza (fr:11762), Cusano inverte il ragionamento: per una circonferenza data, la soluzione dipende dalla determinazione del raggio del cerchio isoperimetrico (fr:11768).

Il metodo si basa su due concetti chiave: 1. Poligoni isoperimetrici: figure con lo stesso perimetro (fr:11770). Partendo da un triangolo equilatero con circonferenza data, si costruiscono poligoni regolari con un numero crescente di lati, fino a identificare il cerchio come “poligono isoperimetrico con un numero infinito di lati” (fr:11772). 2. Grandezze “prima” e “seconda”: per ogni poligono, Cusano definisce: - La “prima” come il raggio del cerchio inscritto** nel poligono. - La “seconda” come il raggio del cerchio circoscritto (fr:11774). Al crescere del numero di lati, la “prima” aumenta e la “seconda” diminuisce, fino a coincidere nel cerchio isoperimetrico, dove la loro differenza tende a zero (fr:11775-11776).

La costruzione geometrica (fr:11779) rappresenta queste variazioni come due rette (una crescente, l’altra decrescente) che si intersecano in un punto h, corrispondente al raggio cercato. La figura allegata (fr:11780-11781) illustra questo principio: “Se ab e ac sono la prima e la seconda del triangolo isoperimetrico, e ag la ‘freccia’ del triangolo, allora per un poligono intermedio de e df sono la sua prima e seconda, e ad è la differenza tra la freccia del triangolo e quella del poligono” - (fr:11781) [Traduzione]. Il punto h rappresenta la coincidenza delle due grandezze, da cui si ricava il raggio gh (fr:11783).

28.2 Critiche e ambiguità: la continuità e le “linee rette”

Il metodo di Cusano solleva due problemi fondamentali: 1. Discontinuità delle superfici: la variazione delle superfici dei poligoni isoperimetrici non è continua, poiché tra un poligono e il successivo (es. da triangolo a quadrato) c’è un “salto” (fr:11793-11796). Questo contraddice l’ipotesi di Cusano che le linee bh e ch siano rette, cioè che le grandezze varino in modo “uniformemente difforme” (fr:11794). 2. Confusione tra geometria e intensità: Toscanelli, in una lettera del 1453-54 (fr:11797), critica la sovrapposizione tra il metodo delle “coincidenze” (geometrico) e quello delle “intensificazioni e attenuazioni delle forme” (intensivo), tipico della latitudo formarum di Oresme. Toscanelli dubita che tali variazioni possano essere rappresentate da linee rette, come sostenuto dai “moderni” (fr:11799): “Molte cose mi spingono a credere che queste coincidenze o intensificazioni e attenuazioni delle forme non debbano essere rappresentate da linee rette, come sostengono i moderni” - (fr:11808) [Traduzione].

Cusano risponde a queste critiche introducendo esplicitamente il concetto di “configurazioni” (fr:11800), mutuato da Oresme, per rappresentare le variazioni delle grandezze geometriche. Tuttavia, la sua costruzione mescola due interpretazioni delle figure: - Come luoghi geometrici (tradizione euclidea). - Come rappresentazioni di variazioni (metodo oresmiano), conferendo loro un ruolo “costruttivo” (fr:11788-11789).

28.3 Il debito con Oresme: geometria delle variazioni e intensità

Il testo evidenzia come Cusano applichi le idee di Oresme in modo innovativo, ma anche controverso. Oresme aveva sviluppato una geometria delle qualità, dove le figure rappresentano variazioni di grandezze intensive (es. velocità, calore) piuttosto che quantità estensive. Le sue “configurazioni” classificano le variazioni in: - Uniformi (rettangolo). - Uniformemente difformi (triangolo rettangolo). - Difformemente difformi (curve irrazionali) (fr:11819).

Cusano adatta questo schema ai problemi geometrici, ma con due differenze cruciali: 1. Oggetti geometrici estensivi: le sue configurazioni rappresentano variazioni di raggi e superfici (grandezze estensive), non di intensità (fr:11785). 2. Ruolo costruttivo: le figure non sono solo descrittive, ma permettono di determinare il raggio cercato, se le funzioni di variazione fossero note (fr:11785).

Tuttavia, Oresme non avrebbe approvato questa estensione, poiché la sua geometria era pensata per processi continui, mentre Cusano assume la continuità senza dimostrarla (fr:11792).

28.4 Il significato storico: tra tradizione e innovazione

Il testo colloca Cusano e Oresme in un contesto di transizione tra: - Geometria classica (Euclide, Archimede): basata su costruzioni finite e dimostrazioni rigorose. - Geometria delle variazioni (Oresme, Cusano): che introduce l’idea di limite, continuità e rappresentazione grafica di funzioni, anticipando aspetti della geometria analitica.

Due aspetti emergono con forza: 1. L’infinito e il difforme: Oresme sposta l’attenzione dalla forma (finita) alla difformità (infinita), studiando figure con curvature irrazionali e processi continui (fr:11874-11877). Le sue figure sono “accidentalmente finite, ma infinite in potenza” (fr:11872), un’idea che prefigura il calcolo infinitesimale. 2. Geometria intensiva: le figure non sono più oggetti statici, ma qualità con proprietà dinamiche (es. curvatura, angularità). Oresme afferma che la dimensione intensiva è “la prima delle dimensioni” (fr:11898), anticipando una visione relazionale dello spazio.

28.5 Critiche e limiti: il paradosso della continuità

Il testo sottolinea due limiti fondamentali: 1. Mancanza di fondamenti rigorosi: Cusano assume la continuità delle variazioni senza dimostrarla, mentre Oresme, pur esplorando processi continui, non sviluppa una teoria coerente delle grandezze infinitesime (fr:11823-11832). 2. Anacronismo interpretativo: storici come Duhem e Clagett hanno letto Oresme come precursore della geometria analitica, ma il suo obiettivo non era sostituire le figure con equazioni, bensì usare le figure per studiare variazioni altrimenti indescrivibili (fr:11853-11854). La sua geometria è “intensiva” perché le figure incarnano rapporti di intensità (es. velocità) piuttosto che quantità (fr:11863).

28.6 Conclusione: una geometria “meravigliosa”

Il testo si conclude con una riflessione sul ruolo delle configurazioni nella filosofia naturale di Oresme, dove esse diventano strumenti per spiegare fenomeni meravigliosi (es. magia naturale, musica, armonia celeste). Oresme rifiuta una scienza puramente quantitativa, proponendo una meccanica della qualità, dove la potenza di un fenomeno dipende dalla sua figura e non dalla quantità di forza (fr:11922-11923). Questa visione, applicata alla musica e all’astronomia, anticipa l’idea di armonia come rapporto tra figure geometriche (fr:11931), un tema che influenzerà la scienza moderna.

In sintesi, il testo rivela come Cusano e Oresme abbiano ridefinito i confini della geometria, introducendo concetti come continuità, limite e variazione intensiva, che saranno centrali per lo sviluppo della matematica successiva. Tuttavia, le loro idee restano legate a una visione qualitativa della natura, dove la bellezza e la potenza emergono dalle configurazioni geometriche piuttosto che dalle leggi quantitative.

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[29.1-100-13091|13190]

29 La teoria delle species e delle configurazioni qualitative in Nicola Oresme: tra fisica e gnoseologia

Un tentativo di conciliare la realtà naturale delle species con la loro dimensione spirituale attraverso il concetto di “configurazione qualitativa”, ponte tra materia e anima.

Il testo analizza la riflessione di Nicola Oresme sulla natura delle species sensibili (suono, colore) e il loro ruolo nella percezione, evidenziando una tensione tra interpretazioni realiste e spiritualiste. Oresme rifiuta una lettura letterale della realtà delle species: “Cette formulation ne peut pas être prise au pied de la lettre : soit une chose est réelle, soit non” (fr:13091) [Questa formulazione non può essere presa alla lettera: o una cosa è reale, o non lo è], negando che qualcosa possa essere “irreale in una certa misura” (fr:13092). Tuttavia, la sua posizione è più sfumata: le species non sono né puramente materiali né puramente immaginarie, ma esistono “spiritualiter” nel mezzo intermedio, come “image” trasmesse dal corpo vibrante (fr:13095) [Il suono, ad esempio, è una qualità del corpo vibrante stesso… il mezzo si limita a trasmetterne un’«immagine»].

29.1 La realtà ambivalente delle species

Oresme afferma che colore e suono “n’existent pas réellement (realiter) dans le milieu, mais seulement spirituellement (spiritualiter) « et à travers une espèce (per speciem) »” (fr:13094) [non esistono realmente nel mezzo, ma solo spiritualmente, attraverso una species]. Questa distinzione non implica però che le species siano irreali: esse sono qualità del mezzo, analoghe a un arcobaleno o a un’immagine riflessa (fr:13104). La loro esistenza è “spirituale” ma non per questo meno fisica: “L’être spirituel des espèces qu’Oresme essaye de définir est bien le mode d’être d’une entité physique” (fr:13105) [L’«essere spirituale» delle species che Oresme cerca di definire è proprio il modo di essere di un’entità fisica]. La prova della loro realtà naturale risiede negli effetti che producono: una corda può far vibrare un’altra a distanza o distruggere la pelle di un tamburo (fr:13109), dimostrando che le species agiscono come intermediari fisici.

29.2 Il paradosso della trasmissione senza alterazione quantitativa

Nel De configurationibus (DC), Oresme introduce il concetto di configurazione qualitativa per risolvere il paradosso di una trasmissione sensoriale che non comporta deformazione materiale degli organi. Mentre un sigillo deforma la cera, l’occhio o il senso interno non subiscono alterazioni quantitative: “l’organe du sens intérieur ne change pas de figure quantitativement de par lui-même du fait de l’espèce ou la forme imprimée [en lui], mais seulement qualitativement” (fr:13119) [l’organo del senso interno non cambia figura quantitativamente per effetto della species o forma impressa in esso, ma solo qualitativamente]. La species si imprime come una configurazione qualitativa che varia in base alla diversità delle forme ricevute (fr:13121), senza modificare l’estensione dell’organo.

29.3 Configurazione come intermediario tra anima e corpo

La configurazione qualitativa diventa il tramite tra il mondo fisico e quello psichico. Oresme suggerisce che la stessa configurazione si trasmetta dal mezzo materiale all’organo sensoriale, e da qui al cervello, fino a diventare “une existence pleinement spirituelle dans l’âme intellective” (fr:13127) [un’esistenza pienamente spirituale nell’anima intellettiva]. Questa ipotesi ricorda una spiegazione ondulatoria (fr:13128), ma con una differenza cruciale: la configurazione è simultanea e permanente, come le figure di Chladni (fr:13129). La configurazione agisce come un profilo dinamico comune tra qualità corporee e psichiche (fr:13131), permettendo la comunicazione tra due sfere altrimenti eterogenee.

29.4 Ambiguità e funzioni della configurazione

Il testo evidenzia due ambiguità principali: 1. La natura della varietà delle species: Oresme afferma che “si species iste non fuerint multum varie, tunc figuratio sensus ad uniformitatem magis accedet” (fr:13149) [se queste species non saranno molto varie, allora la configurazione del senso si avvicinerà all’uniformità], ma non chiarisce se si riferisca alla varietà di species successive o alla variazione interna di una singola species (fr:13137-13140). 2. Il ruolo della configurazione spirituale: L’intelletto, pur essendo indivisibile, possiede una “configuration spirituelle” (fr:13141) [configurazione spirituale], descritta come una difformità intensiva permanente (fr:13144). Questa nozione è paradossale, poiché l’intelletto non ha estensione spaziale, ma Oresme la giustifica con la dipendenza della conoscenza dai sensi (fr:13145).

La configurazione assume funzioni diverse: - Gnoseologica: Spiega la trasmissione dell’informazione dal sensibile all’intelletto (fr:13148), come suggerito da Benoît Patar (fr:13150). - Magico-meccanica: In casi come la trasmissione del pensiero (fr:13151) o l’azione delle formule incantatorie (fr:13153), la configurazione sostituisce il contenuto intellettivo con un meccanismo quasi-fisico. - Disposizionale: La difformità dell’intelletto riflette lo stato psicologico del soggetto (fr:13158-13161), influenzando la sua capacità di ricevere visioni profetiche. Un’anima “âpre et difforme” (fr:13160) [aspra e difforme] non può fungere da specchio spirituale, mentre un’anima “polie ou ordonnée” (fr:13166) [levigata o ordinata] è predisposta alla divinazione (fr:13165).

29.5 Una fisica delle configurazioni: tra magia e meccanica

La conclusione del testo sottolinea il rovesciamento operato da Oresme: la misura cede il passo alla forma dinamica delle configurazioni. “Le plus faible, le plus humble peut beaucoup, si son acte est bien configuré” (fr:13183) [Il più debole, il più umile può molto, se il suo atto è ben configurato]. La potenza non dipende dalla quantità, ma dalla “belle forme” (fr:13184) [bella forma], che agisce come una forza di secondo grado (fr:13188). Questa visione integra elementi magici (come l’azione a distanza delle immagini mentali) in una cornice naturale, spiegandoli come effetti di configurazioni nascoste (fr:13190). L’analogia con la geometria delle linee di cresta (fr:13186) mostra come Oresme cerchi di matematizzare anche l’improporzionalità, giustificando così fenomeni meravigliosi o inattesi.

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[30.1-25-13758|13782]

30 L’acustica musicale e la visione cosmologica di Oresme: tra matematica, magia e profezia

Il testo esplora il pensiero di Nicole Oresme (XIV secolo) sulla musica, intesa non solo come arte pratica ma come chiave per comprendere l’ordine del mondo, la magia e persino le realtà ultraterrene. La sua analisi si articola su tre livelli: la bellezza matematica del suono, il potere magico delle configurazioni sonore e la musica mundana come principio strutturale della realtà.

30.1 La bellezza come sistema di regole

Oresme elabora una scala matematica della bellezza basata su quindici fattori principali, che fungono da regole compositive e interpretative. Questi criteri non sono statici, ma interagiscono con variabili accidentali come “l’età e il gusto del pubblico” (fr:13759), elementi che sfuggono al controllo degli artisti. Tuttavia, il suo interesse non si limita alle composizioni del suo tempo: la sua analisi apre a possibilità sonore inimmaginabili, “chants à la fois infiniment plus beaux et infiniment plus laids que ceux dont les hommes sont capables” (fr:13761). Questa dicotomia tra perfezione e orrore acustico diventa metafora di paradiso e inferno, suggerendo che la musica possa offrire una prefigurazione sensoriale dell’aldilà. La sua convinzione più audace è espressa in termini profetici: “qu’il y aura une musique dans un autre siècle (quod erit musica in alio seculo)” (fr:13762), un “canticum novum” che riecheggia l’Apocalisse di Giovanni.

30.2 Il suono come strumento magico

Il secondo obiettivo dell’acustica musicale oresmiana è spiegare gli effetti straordinari del suono, legandoli alle pratiche magiche. Il capitolo “De l’application des difformités des sons aux arts magiques” (fr:13764) funge da ponte tra teoria musicale e nécromancie, mostrando come la configurazione sonora – intesa come combinazione di parametri variabili – possa generare fenomeni rari e potenti. Se la musica ordinaria già influenza l’anima, “que dire de la configuration « spéciale et étrange » des sons ?” (fr:13768). Oresme paragona il mago al medico che prepara rimedi come la teriaca: entrambi manipolano elementi naturali per ottenere effetti straordinari. Esempi biblici, come Davide e la sua cetra, vengono citati per dimostrare il “pouvoir magique, peut-être démonique, du son” (fr:13770), benché l’interpretazione rimanga controversa. Il suono, più delle formule incantatorie, diventa così “l’une des racines principales de l’art magique” (fr:13771), grazie alla sua capacità di agire direttamente sui sensi.

30.3 La musica mundana come principio cosmico

Il terzo pilastro del pensiero di Oresme è la musica mundana, che egli riformula in chiave moderna, adattandola alla polifonia e alle innovazioni dell’Ars Nova. Questo movimento, nato tra Firenze e Parigi nel XIV secolo, rappresenta una rottura consapevole con l’Ars Antiqua: teorici come Philippe de Vitry (Ars Nova, 1320) e Jehan des Murs (Ars Novae Musicae, 1319-1321) rivendicavano la novità delle loro idee, opponendosi alla “vieille école” (fr:13782). Oresme supera la concezione tradizionale dell’armonia come semplice rapporto tra suoni, introducendo il concetto di difformità armonica: l’armonia non è più statica, ma dinamica, definita da “certaines variations sonores” (fr:13774). Questa visione geometrica del suono – un “pythagorisme géométrique” (fr:13775) – permette di spiegare le consonanze e dissonanze non solo in musica, ma anche come principio che “unissent et opposent les êtres” (fr:13772), tracciando reti di relazioni tra le specie naturali. La musica mundana cessa così di essere una metafora per diventare un modello scientifico della realtà.

30.4 Innovazione e contesto storico

Oresme opera in un’epoca di fermento musicale: l’Ars Nova introduce tecniche come i mélismes, i micro-suoni e gli hoquetus (fr:13773), che richiedono una nuova teoria acustica. La sua analisi si inserisce in questo contesto, ma va oltre, proponendo una sintesi tra matematica, filosofia naturale e teologia. La citazione di fonti come Vasili Zubov e Fabrizio Della Seta (fr:13765) sottolinea l’importanza storica del suo lavoro, che anticipa concetti moderni come la statistica applicata al suono (fr:13767) e la psicoacustica. Tuttavia, il suo approccio non è privo di ambiguità: la linea tra magia naturale e demoniaca rimane sottile, come nel caso delle “sorcières dont les voix terribles peuvent foudroyer à distance” (fr:13769). Questa tensione riflette la complessità di un’epoca in cui scienza e superstizione si intrecciano, e in cui la musica diventa strumento di conoscenza e, al contempo, di potere.

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[31.1-195-13795|13989]

31 L’Ars Nova: rivoluzione notazionale e teorica nella musica medievale

Il testo analizza la trasformazione della musica europea tra il XIV secolo, focalizzandosi sull’Ars Nova (1310-1380) come periodo di rottura con le tradizioni precedenti. Questa fase storica, contemporanea a Nicole Oresme, segna un passaggio cruciale dalla notazione franconiana a un sistema più flessibile e matematico, influenzando sia la composizione che la teoria musicale.

31.1 Innovazioni notazionali e ritmiche

L’Ars Nova si distingue innanzitutto come “un art nouveau de notation musicale” (fr:13804). La notazione franconiana, dominante fino ad allora, era basata su tre durate fondamentali (Longa, Brevis, Semi-brevis) e un ritmo strettamente ternario (“Tempus perfectum”, fr:13811). Tuttavia, questo sistema era “compliqué du fait qu’il était relatif” (fr:13813): la durata delle note dipendeva dalla loro posizione nella partitura, rendendo la lettura accessibile solo a chi possedeva una “science des exécutants” (fr:13817). Un “ignorant ne pouvait (…) deviner les durées signifiées” (fr:13818).

Le innovazioni introdotte nel Codex Ivrea (1370) e teorizzate da Philippe de Vitry superano questi limiti: - Notazione bicolore (nero/rosso) per distinguere divisioni binarie e ternarie (fr:13819-13820). - Introduzione della minime e della semi-minime, abbreviando le durate: “Les modernes aiment la brièveté” (fr:13821). - Prolation, un sistema che permette di combinare diverse suddivisioni ritmiche (fr:13822). - Hoquet, tecnica in cui le voci si alternano con pause, creando un effet “en une sorte de saccade” (fr:13823-13824).

Queste innovazioni consentono di notare effetti complessi come l’isoritmia, dove il tenor (voce grave) segue uno schema ritmico (talea) e melodico (color) ripetuto, ma con periodi di lunghezza diversa. Ad esempio, “une color de 5 notes à une talea de 6 durées” (fr:13828) crea un disallineamento che si risolve solo alla fine del brano. Il risultato è un motet isoritmico, forma emblematica dell’Ars Nova, in cui “la composition devient très mathématique” (fr:13832).

31.2 Cromatismo e armonia: dalla musica ficta alla teoria

Parallelamente alle innovazioni ritmiche, l’Ars Nova ridefinisce l’armonia. La tradizione medievale, basata sul De institutione musica di Boezio, riconosceva solo il genere diatonico (fr:13851), ignorando i generi cromatico ed enarmonico (fr:13847-13850). Tuttavia, la pratica polifonica imponeva l’uso di alterazioni (musica ficta), ovvero note non scritte ma aggiunte per ragioni eufoniche: - “Les tierces et les sixtes se multiplient (…) les dissonances trouvent leur place dans le chant” (fr:13857). - “Ce n’est pas une musique fausse, mais inhabituelle (Non tamen est falsa musica sed inusitata)” (fr:13869), afferma Vitry, giustificando l’uso del semitono come “l’adoucissement et l’agrément de la mélodie” (fr:13870).

Questa evoluzione porta a una concezione più fluida dell’armonia, dove gli accordi perfetti (quarta, quinta, ottava) convivono con intervalli come la terza, considerata dissonante nella teoria pitagorica (rapporto 81:64, fr:13874-13875). Solo con Zarlino (1558) la terza maggiore (5:4) verrà teorizzata come consonanza (fr:13876).

31.3 Oresme e la sintesi tra teoria e pratica

Nicole Oresme, figura centrale del XIV secolo, incarna la tensione tra tradizione e innovazione. La sua riflessione sulla musica si colloca in un “entre-deux” (fr:13912): non è un trattato pratico né puramente speculativo, ma un’acustica musicale che applica la matematica alla comprensione dei fondamenti del suono.

Oresme adotta una posizione mediana tra le teorie antiche: 1. Pitagorismo quantitativo: mantiene la definizione aritmetica delle consonanze (ottava = 2:1, quinta = 3:2, fr:13919), ma reinterpretandola in termini di intensità piuttosto che di frequenze discrete. 2. Aristosseno qualitativo: definisce il suono come “qualitas successiva” (fr:13948), una qualità che si estende nel tempo, in contrasto con Boezio che eliminava il tempo dalla teoria (fr:13907).

Nel De configurationibus (DC), Oresme esplora l’idea di una discorde harmonieuse (fr:13978), dove l’incommensurabilità dei movimenti celesti genera una bellezza superiore alla semplice regolarità aritmetica. Questa visione, che anticipa Keplero, sostituisce all’armonia numerica un’armonia geometrica (fr:13979-13981), basata su grandezze continue e figure.

31.4 Significato storico e culturale

L’Ars Nova rappresenta una svolta epocale: - Tecnica: la notazione diventa uno strumento di precisione, permettendo la complessità polifonica e l’isoritmia. - Estetica: la musica si libera dalle rigidità liturgiche, incorporando cromatismi e dissonanze per esprimere “des sentiments naturels” (fr:13868). - Teoria: Oresme e Vitry superano il dogmatismo boeziano, aprendo la strada a una concezione dinamica del suono e dell’armonia.

Il testo evidenzia anche una tensione morale: mentre l’Ars Nova è celebrata per le sue innovazioni, autori come Prosper Guéranger la criticano come corruttrice della devozione: “Ainsi ils courent sans se reposer, ils enivrent les oreilles au lieu de les apaiser” (fr:13795). Boezio stesso aveva avvertito: “L’âme corrompue se délecte des modes les plus corrompus” (fr:13796).

Questa ambivalenza riflette il ruolo della musica nella società medievale: strumento di elevazione spirituale o di seduzione mondana? L’Ars Nova, con la sua complessità matematica e il suo cromatismo, incarna questa dualità.

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[32.1-22-14188|14209]

32 L’integrazione dell’irrazionale nell’armonia geometrica e musicale secondo Oresme

Il testo esplora la riflessione di Nicole Oresme sull’uso dei rapporti irrazionali in geometria e musica, sfidando la tradizione che li escludeva dalla sfera dell’armonia. La sua posizione emerge da un’analisi delle figure geometriche inscritte e circoscritte, dove l’irrazionale non solo non viene scartato, ma assume un ruolo attivo nella percezione della bellezza.

Il nucleo concettuale ruota attorno alla frase chiave: “« tous les rapports de toutes les figures susdites sont harmoniques ou des moitiés d’harmoniques (omnes igitur he proportiones omnium figurarum predictarum sunt armonice vel medietas armonicarum) »” - (fr:14189) [Tutti i rapporti di tutte le figure sopra menzionate sono armonici o metà di armonici.] Qui Oresme introduce una distinzione rivoluzionaria: non solo i rapporti razionali, ma anche le loro “metà” – spesso irrazionali – partecipano all’armonia. Un esempio concreto è il rapporto tra ottagono e quadrato inscritti: “l’octogone inscrit est au carré inscrit comme la moitié du double, soit 2” - (fr:14190) [L’ottagono inscritto sta al quadrato inscritto come la metà del doppio, cioè ] Questo valore (√2) è irrazionale, eppure Oresme lo considera parte di una struttura armonica, come ribadisce nel De configurationibus (DC): “le carré consonne plus avec le cercle ou l’octogone qu’avec le pentagone” - (fr:14191) [Il quadrato risuona di più con il cerchio o l’ottagono che con il pentagono.] La scelta non è casuale: il pentagono, pur essendo regolare, introduce rapporti irrazionali “puri” (come il rapporto aureo), che Oresme giudica meno consonanti rispetto a quelli “misti” di quadrato e ottagono.

La sua posizione si precisa ulteriormente nel DC: “un rapport rationnel s’accorde mieux avec un rationnel qu’avec un irrationnel ou un sourd” - (fr:14203) [Un rapporto razionale si accorda meglio con un altro razionale che con un irrazionale o un “sordo”.] Tuttavia, Oresme non esclude l’irrazionale dalla bellezza, ma ne limita il ruolo: esso può contribuire all’armonia solo se mescolato al razionale, come parte di un sistema più ampio. La frase: “L’irrationnel pur est sans doute laid, mais mêlé au rationnel, en tant que partie d’un rationnel ou que lié à un rationnel, il contribue à la beauté” - (fr:14196) [L’irrazionale puro è senza dubbio brutto, ma mescolato al razionale, come parte di esso o legato a esso, contribuisce alla bellezza.] sintetizza questa visione: l’irrazionale non è armonico in sé, ma diventa funzionale quando inserito in una struttura razionale. La geometria, per Oresme, offre una prova sensibile di questa dinamica: “l’évidence sensible que des figures qui incorporent des rapports irrationnels […] peuvent aussi produire une sensation agréable” - (fr:14194) [L’evidenza sensibile che figure che incorporano rapporti irrazionali possano produrre una sensazione gradevole.] Questa idea si estende alla musica, come dimostra l’influenza di Oresme su Evrart de Conty, che riprende e sviluppa il concetto. Evrart non si limita alle “metà” di rapporti armonici, ma ipotizza che anche altre frazioni possano partecipare all’armonia: “les proporcions et les comparisons des notables figures dessusdites sont aussi come toutes armonique, ou moitié d’icelles, ou aucune partie” - (fr:14204) [I rapporti e i confronti delle figure notevoli sopra menzionate sono quasi tutti armonici, o metà di essi, o qualche altra parte.] La sua conclusione ricalca quella di Oresme, ma con un’enfasi sulla nobiltà delle forme geometriche: “il semble que les nobles figures dessusdites aient ensemble aussi come une manière de concorde et de affinité musical” - (fr:14207) [Sembra che le nobili figure sopra menzionate abbiano tra loro una sorta di concordia e affinità musicale.] Qui emerge un aspetto storico cruciale: Oresme e Evrart non matematizzano la natura in sé, ma la nobiltà e la bellezza, che trovano fondamento in rapporti matematici – razionali o irrazionali che siano. La musica diventa così un modello universale, non perché presente ovunque, ma perché definisce ciò che è “notevole”: “une chose n’est notable, belle ou noble que parce qu’elle dépend de rapports musicaux” - (fr:14208) [Una cosa è notevole, bella o nobile solo perché dipende da rapporti musicali.]

Il testo testimonia un passaggio epistemologico: l’accettazione dell’irrazionale come elemento attivo nell’armonia, purché integrato in un sistema razionale. Questa visione anticipa sviluppi successivi nella matematica e nell’estetica, dove l’irrazionale non sarà più visto come un ostacolo, ma come una risorsa per la complessità.

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[33.1-736-14220|14955]

33 La teoria musicale di Oresme: tra continuità e innovazione nel XIV secolo

“La musica occidentale da Oresme in poi presuppone il continuo matematico. Questo è la forma indispensabile del trattamento delle grandezze e si introduce con il calcolo dei limiti, e i limiti si presentano con le successioni infinite.” - (fr:14591) [La musica occidentale da Oresme in poi presuppone il continuo matematico. Questo è la forma indispensabile per il trattamento delle grandezze e si introduce con il calcolo dei limiti, e i limiti si presentano con le successioni infinite.]

Il trattato analizzato esplora la concezione musicale di Nicole Oresme, filosofo e matematico del XIV secolo, evidenziando come la sua riflessione si collochi tra tradizione e innovazione. Oresme sviluppa una teoria del suono che integra elementi della musica speculativa medievale con le nuove pratiche dell’Ars Nova, introducendo concetti rivoluzionari come la difformità armonica e la configurazione qualitativa del suono.

33.1 1. L’unità del suono: una molteplicità apparente

Oresme parte da una critica alla nozione tradizionale di suono come entità continua e indivisibile. Egli afferma che “il suono udibile è in realtà composto da successioni di particelle di suoni e pause” (fr:14220) [“Les modes d’unité du son : unité de la qualité successive. Le son audible est en réalité composé de successions de particules de sons et pausules”], mettendo in discussione l’idea di un’unità assoluta. Questa visione si riflette nella sua ambiguità riguardo alla continuità del suono: da un lato riconosce che “solo la particella è « veramente e semplicemente » continua” (fr:14222) [“Oresme est sur ce point quelque peu ambigu : d’un côté, il reconnaît que la continuité d’un tel son n’est qu’apparente, et que seule la particule est « véritablement et simplement (vere et simpliciter) » continue”], ma dall’altro non rinuncia a considerare il suono come un’unità di secondo grado, ovvero una totalità percepita nonostante la sua composizione frammentaria.

Oresme distingue quattro modi di unità del suono, ciascuno caratterizzato da un diverso grado di interruzione (pause) e continuità: 1. Primo modo: la particella di suono, indivisibile e continua. 2. Secondo modo: un suono composto da particelle, percepito come unitario nonostante le interruzioni minime. 3. Terzo modo: un canto monodico (come un’antifona o una cantilena), dove le pause sono più evidenti ma non distruggono l’unità complessiva. 4. Quarto modo: la polifonia, dove più voci si combinano in un’unità sonora complessa.

Questa classificazione riflette una gerarchia di complessità, in cui la bellezza del suono dipende dalla sua capacità di mantenere un’unità percepita nonostante le interruzioni e le variazioni interne.

33.2 2. Le pause e la loro funzione estetica

Oresme introduce una tassonomia delle pause basata sulla loro durata, sostituendo la terminologia tradizionale (lunghe/brevi) con una classificazione quantitativa: - Minima: impercettibile, separa due particelle di suono. - Minor: quasi impercettibile, introduce una discontinuità senza rompere l’unità. - Parva: breve (es. la pausa per respirare durante il canto). - Magna: lunga (es. una pausa di un’ora), che segna la fine di un suono.

Le pause non sono semplici silenzi, ma elementi costitutivi del suono stesso. Oresme osserva che “la pausa, il silenzio è quindi paradossalmente una parte integrante del suono” (fr:14506) [“le silence est donc paradoxalement une partie intégrante du son”], anticipando l’idea moderna che il ritmo sia una combinazione di suono e silenzio. Questa visione è particolarmente innovativa perché attribuisce alle pause un ruolo estetico autonomo, indipendente dalla necessità fisiologica (come il respiro).

33.3 3. La bellezza del suono: tra armonia e difformità

Oresme definisce la bellezza del suono attraverso quattro parametri principali: 1. Altezza (variazione melodica). 2. Potenza (intensità sonora). 3. Interruzioni e pause (ritmo). 4. Miscela polifonica (armonia).

33.3.1 3.1 Rapporti armonici e sinfonici

Oresme distingue tra: - Rapporti armonici: definiti come rapporti tra numeri della forma (2^m ^n) (es. 1:2, 2:3, 3:4). - Rapporti sinfonici: un sottoinsieme dei rapporti armonici, che include le consonanze semplici (ottava, quinta, quarta) e composte (doppia ottava, ottava + quinta).

Questa distinzione è cruciale perché permette a Oresme di separare le regole della melodia da quelle dell’armonia: - Nella melodia, i rapporti possono essere semplicemente armonici. - Nell’armonia (polifonia), i rapporti devono essere rigorosamente sinfonici.

33.3.2 3.2 La difformità armonica

Oresme introduce il concetto di difformità armonica, ovvero una variazione di intensità (altezza o potenza) che mantiene rapporti armonici tra le sue parti. Ad esempio: - Un suono che varia in altezza secondo rapporti sinfonici (es. alternando ottave) è bello. - Un suono che varia in modo irrazionale o non armonico è brutto.

Questa idea si applica sia ai suoni semplici che alle frasi musicali, permettendo a Oresme di teorizzare la bellezza della variazione e della coordinazione tra suoni. La difformità armonica diventa così il fondamento matematico della bellezza musicale, estendendo il pythagorismo tradizionale (basato su rapporti numerici semplici) a una concezione più dinamica e complessa.

33.4 4. La teoria degli armonici: una rivoluzione acustica

Oresme sviluppa una teoria degli armonici che anticipa di secoli le scoperte moderne. Egli descrive tre configurazioni di suoni parziali (particelle di suono): 1. Suono sinusoidale: particelle di uguale altezza (bellezza media). 2. Suono con prima armonica: particelle in rapporto di ottava (bellezza maggiore). 3. Suono con prima e seconda armonica: particelle in rapporto di ottava e quinta (bellezza massima).

Questa teoria, illustrata con diagrammi, spiega la qualità timbrica degli strumenti (come le campane) e la percezione di un suono come unitario nonostante la sua complessità interna. Oresme osserva che “un suono che appare unitario è in realtà composto da molti suoni in rapporto sinfonico” (fr:14431) [“un son qui a l’apparence de l’unité, une cloche sonne de nombreux sons en raison de sa forme et de sa grandeur”], anticipando l’idea che il timbro sia determinato dalla presenza di armonici.

33.5 5. Il ritmo come difformità della rapidità

Oresme affronta il ritmo in modo innovativo, trattandolo come una variazione della rapidità del suono. Egli osserva che: - Un ritmo è bello se la sua variazione di velocità è proporzionata (né troppo lenta né troppo rapida). - La bellezza del ritmo è analoga a quella di una danza o di un battito gioioso (“plausum iocundum”).

Questa concezione geometrizzante del ritmo permette a Oresme di applicare le stesse regole di bellezza delle configurazioni qualitative anche al movimento musicale, superando la rigidità dei modi ritmici medievali.

33.6 6. La polifonia: alchimia del suono

Nel quarto modo di unità (polifonia), Oresme definisce cinque condizioni di bellezza: 1. Numero di voci: un trio è più bello di un organum, ma un numero eccessivo genera confusione. 2. Accordo dei timbri: le voci devono essere omogenee. 3. Accordo dei suoni simultanei: i rapporti devono essere sinfonici. 4. Variazione delle consonanze: gli accordi devono susseguirsi in modo “nobile” e ordinato. 5. Difformità della potenza: la variazione di intensità tra le voci deve essere armoniosa.

Oresme teorizza la polifonia come un’unità complessa, dove la bellezza emerge dalla coordinazione tra le parti piuttosto che dalla loro semplice sovrapposizione. Questa visione riflette le innovazioni dell’Ars Nova, dove la tendenza (melodia principale) perde il suo ruolo dominante a favore di una maggiore libertà contrappuntistica.

33.7 7. La musica celeste: tra metafisica e matematica

Oresme estende la sua teoria musicale al cosmo, riprendendo il tema antico della musica mundana (armonia delle sfere). Tuttavia, la sua concezione si distingue per due aspetti fondamentali: 1. Musica insensibile: i suoni celesti non sono udibili, ma sono rapporti armonici tra le qualità, i movimenti e le influenze degli astri. Questi suoni sono percepibili solo dall’intelletto, non dai sensi. 2. Variazione continua: a differenza delle teorie cicliche tradizionali, Oresme sostiene che i movimenti celesti sono incommensurabili, generando una musica sempre nuova e irripetibile.

Oresme collega questa idea al canticum novum dell’Apocalisse, un canto che sarà udito dai beati dopo la resurrezione finale. La musica celeste diventa così un simbolo di perfezione e rinnovamento continuo, in contrasto con la monotonia dei cicli astrologici.

33.8 8. Significato storico e innovazione concettuale

Il trattato di Oresme rappresenta un punto di svolta nella storia della teoria musicale per diversi motivi: 1. Matematizzazione del suono: Oresme applica la matematica delle configurazioni qualitative al suono, anticipando l’acustica moderna. 2. Teoria degli armonici: la sua descrizione degli armonici come successioni di suoni parziali in rapporto sinfonico è rivoluzionaria. 3. Difformità armonica: introduce un concetto dinamico di bellezza, basato sulla variazione piuttosto che sulla staticità dei rapporti. 4. Musica celeste come variazione: supera la visione ciclica tradizionale, proponendo un cosmo in continua evoluzione.

Oresme non si limita a descrivere la pratica musicale del suo tempo, ma fonda teoricamente le innovazioni dell’Ars Nova, offrendo una cornice matematica che giustifica la complessità ritmica e polifonica delle nuove composizioni. La sua opera segna così il passaggio da una concezione aritmetica dell’armonia (basata su rapporti numerici semplici) a una geometrica (basata su configurazioni qualitative e variazioni continue).

33.9 Conclusione: un nuovo pythagorismo

Oresme propone un pythagorismo rinnovato, in cui l’armonia non è più solo un rapporto numerico, ma una struttura dinamica che si manifesta nella variazione e nella coordinazione. La sua teoria musicale non è solo una riflessione estetica, ma una filosofia della natura, dove il suono diventa il modello per comprendere il movimento, il tempo e persino l’ordine cosmico.

Come osserva Oresme stesso: “La musica non è una successione di suoni, ma una stessa unità che il compositore varia dall’interno” (fr:14602) [“Que la musique n’est pas une succession de sons, mais une même unité que le compositeur varie de l’intérieur”]. Questa visione unitaria e dinamica del suono anticipa di secoli le teorie acustiche moderne, facendo di Oresme uno dei pionieri della scienza musicale occidentale.

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[34.1-234-15661|15894]

34 La psicologia di Nicola Oresme: tra aristotelismo e materialismo medievale

Un’analisi della struttura dell’anima secondo Oresme, che fonde distinzioni aristoteliche con una visione materialista delle facoltà sensitive e un dualismo psicologico tra anima sensitiva e intellettiva.

Il testo esplora la concezione dell’anima di Nicola Oresme (XIV secolo), articolata tra eredità aristotelica e innovazioni teoriche. Oresme definisce l’anima come “la forma del corpo vivente” (fr:15661) [“Et la forme du corps vivant, c’est l’âme de l’organisme”], riprendendo la tradizione scolastica ma con una declinazione biologica: l’anima è “una sostanza e l’agente di tutte le operazioni vitali” (fr:15662) [“l’agent de toutes les opérations vitales (agens omnium operationum vitalium)”]. Questa definizione sottolinea il ruolo attivo dell’anima come principio organizzatore del vivente, distinguendola da interpretazioni più spiritualiste.

34.1 La suddivisione delle facoltà dell’anima

Oresme adotta la distinzione aristotelica delle potenze o anime (vegetativa, sensitiva, intellettiva), ma con variazioni significative. In una divisione ampia (fr:15665), elenca cinque facoltà: 1. Vegetativa (nutrizione, crescita, riproduzione), 2. Sensitiva (percezione), 3. Appetitiva (desiderio), 4. Loco-motrice (movimento), 5. Intellettiva (ragione).

Tuttavia, in una divisione ristretta (fr:15666), riduce le facoltà a tre: vegetativa, sensitiva e intellettiva, assimilando la loco-motrice alla sensitiva e distribuendo l’appetitiva tra le altre. Questa flessibilità riflette l’interesse di Oresme per l’uomo e la sua natura psicologica (fr:15670), trascurando la potenza vegetativa perché priva di dimensione psicologica (fr:15668). Quando tratta funzioni vegetative (come la riproduzione), lo fa in termini organici, analizzando ad esempio la “distribuzione calorica della matrice” (fr:15671) per spiegare l’impossibilità della generazione artificiale.

34.2 Anima sensitiva: materialismo e organi corporei

Il nucleo teorico più originale riguarda la relazione tra anima sensitiva e corpo. Oresme distingue due accezioni di “potenza” (fr:15675): 1. Sostanziale: la potenza è l’anima stessa o una sua parte (es. la “potenza visiva” è la parte dell’anima localizzata negli occhi). 2. Accidentale: la potenza è la disposizione degli organi corporei (es. la “buona disposizione degli occhi”).

Questa distinzione si applica solo all’anima sensitiva, estesa nel corpo (fr:15678). Ad esempio, la “potenza visiva” può indicare sia la parte dell’anima negli occhi sia la “buona disposizione degli occhi in qualità e figura” (fr:15679). L’analisi rivela una tendenza materialista: gli “accidenti dell’anima” non sono altro che “accidenti corporali” (fr:15682), ovvero la disposizione degli organi. Oresme afferma che “non si è mai visto qualcuno che, pur avendo organi ben disposti, non sentisse bene” (fr:15684) [“Unde numquam visus est aliquis qui haberet organa bene disposita qui bene sentiret”], suggerendo che la sensazione dipende esclusivamente dalla qualità degli organi. Un difetto sensoriale è sempre causato da un difetto organico (fr:15685), escludendo cause puramente psicologiche.

Questa visione permette di applicare la fisica delle configurazioni alla psicologia: le qualità dell’anima sensitiva sono le qualità degli organi materiali (fr:15686). L’unità dell’anima sensitiva è garantita dalla sua estensione corporea, divisa in parti localizzate negli organi (fr:15700). Ad esempio, negli anellidi (vermi segmentati), l’anima è omogenea perché il corpo è omogeneo (fr:15687-15688), mentre negli animali superiori la divisione del lavoro psichico introduce eterogeneità (fr:15689).

34.3 Dualismo psicologico: anima sensitiva vs. intellettiva

Oresme distingue nettamente l’anima sensitiva dall’anima intellettiva, configurando un dualismo psicologico forte (fr:15694). Le due anime non sono solo funzionalmente distinte, ma anche in tensione: - Anima sensitiva: condivisa con gli animali, “governata dai corpi celesti” (fr:15728) [“gouvernée par les corps du ciel”], incline a passioni come ira e concupiscenza. La sua sensibilità si estende oltre i cinque sensi, percependo influenze celesti, armonie musicali (fr:15731) e persino entità matematiche (fr:15736). Gli animali mostrano capacità sorprendenti, come la divinazione (fr:15737) o l’amicizia verso l’uomo (fr:15733-15734), che Oresme attribuisce all’anima sensitiva. - Anima intellettiva: “cosa divina” (fr:15727), libera dalle passioni e “assolutamente separata” (fr:15728). È la facoltà che distingue l’uomo, permettendogli la conoscenza speculativa e la “deduzione” (fr:15636), ovvero il piacere intellettuale derivante dal ragionamento.

Questa distinzione si riflette nella libertà della volontà: mentre l’anima sensitiva è determinata dagli astri (fr:15729), la volontà umana è “assolutamente libera” (fr:15728). Oresme usa questo dualismo per spiegare fenomeni sociali come la guerra: gli uomini sono “periodicamente inclinati alla collera” dagli astri, ma la ragione può (o dovrebbe) dominare queste inclinazioni (fr:15729-15730). La profezia di una “pace di mille anni” è considerata un’impostura (fr:15730), perché il mondo non può essere in pace per natura.

34.4 L’anima intellettiva e i limiti della conoscenza umana

L’anima intellettiva è immateriale e indivisibile (fr:15829), ma durante la vita è unita al corpo come sua forma. Oresme distingue due aspetti dell’intelletto: 1. Intelletto possibile/passivo: riceve le specie intelligibili (rappresentazioni mentali) dai sensi. 2. Intelletto agente: concorre attivamente all’atto di intellezione (fr:15837-15838).

L’intelletto umano dipende dai sensi (fr:15840): “Non può intendere senza una prima sensazione” (fr:15841) [“Non potest intelligere sine sensatione prima”]. Tuttavia, è libero di attivarsi (fr:15846), a differenza dell’intelletto divino o angelico, che conosce le essenze direttamente e eternamente (fr:15848-15849). La conoscenza umana è mediata dalle specie estratte dalla sensazione (fr:15851), il che le preclude l’accesso alle essenze (fr:15850). La conoscenza divina, invece, richiede una rivelazione profetica (fr:15854-15855).

34.5 I sensi interni e la conoscenza animale

Oresme approfondisce la psicologia animale, attribuendo agli animali una forma di conoscenza sensitiva (fr:15750). Gli animali non si limitano a percepire con i sensi esterni, ma possiedono un “senso interno” (fr:15750) localizzato nel cervello, che funge da “ragione” per loro. Questo senso interno opera attraverso quattro facoltà (fr:15797): 1. Senso comune: unifica le sensazioni esterne (es. associare un suono a un oggetto visto). 2. Fantasia/immaginativa: conserva le immagini degli oggetti assenti. 3. Cogitativa/estimativa: interpreta le intenzioni (es. un agnello percepisce l’ostilità del lupo, fr:15778). 4. Memoria: conserva le intenzioni a lungo termine.

Questa struttura permette agli animali di apprendere, evitare errori ripetuti (fr:15749) e persino godere dell’obbedienza al padrone (fr:15748). Oresme sottolinea che queste operazioni sono cognitive ma non intellettuali (fr:15809), rimanendo nel dominio dell’anima sensitiva. La conoscenza animale è quindi una “scienza sensitiva ed esperienziale” (fr:15752), limitata alle specie e intenzioni astratte dalla materia (fr:15768-15769).

34.6 Malattie mentali e teoria dell’anima-miroir

Oresme applica la sua teoria dell’anima alle malattie mentali, proponendo un’etiologia naturale (fr:15875) che esclude cause demoniache. Distingue diverse patologie (fr:15867): - Frenesia, epilessia, melanconia: causate da squilibri umorali o lesioni cerebrali. - Demenze, manie, furore: alterazioni delle facoltà sensitive interne.

La teoria dell’anima-miroir spiega le allucinazioni (fr:15892): le visioni demoniache sono prodotte da una “persuasione mendace” (fr:15892), ovvero da una corruzione degli organi interni (es. la potenza immaginativa, fr:15827). Oresme critica chi attribuisce i disturbi mentali a demoni o astri (fr:15870) [“ceux qui ignorent les causes immédiates et naturelles fuient les uns vers les démons, d’autres vers le ciel”], sottolineando che la follia ha cause organiche o psicologiche (fr:15874).

34.7 Gerarchie sociali e disposizione degli organi

La teoria di Oresme ha implicazioni sociali: la disposizione degli organi interni determina la gerarchia tra nobili e servi. I nobili hanno organi “ben formati” (fr:15820), mentre i servi hanno “sensi interni” mal disposti (fr:15821). La “cattiva immaginazione” (fr:15823) spiega vizi come l’avarizia, legando la psicologia alla struttura sociale.

34.8 Conclusioni: un dualismo irrisolto

Oresme non risolve definitivamente il problema dell’unità dell’anima umana. Propone due soluzioni (fr:15702): 1. Un’anima unica con molteplici potenze (intellettiva, sensitiva, etc.). 2. Due anime: una materiale (sensitiva) e una immateriale (intellettiva).

Sebbene non scelga esplicitamente, sembra propendere per la prima ipotesi (fr:15710), ritenendo inutile postulare un’anima immateriale per spiegare le funzioni vegetative e sensitive (fr:15719). Tuttavia, l’anima intellettiva rimane “cosa divina” (fr:15727), separata e superiore, confermando un dualismo che riflette la tensione tra biologia e teologia nel pensiero medievale.

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[35.1-20-16185|16204]

35 La concezione oresmiana della fortuna e l’azione occulta dell’anima

Un’analisi della fortuna come fenomeno psicomorfico e della fascinazione come azione a distanza mediata da meccanismi nascosti.

Nicole Oresme elabora una teoria della fortuna che nega una causalità puramente esterna o trascendente, riconducendola invece a dinamiche psicologiche e morali. La fortuna non è negata in sé (“Oresme ne nie donc pas la fortune”), ma viene spiegata come il risultato di variazioni inconsce nel modo di agire: “l’explique quasi-mécaniquement par une variation inconsciente dans la manière de viser” (fr:16185) [la spiega quasi meccanicamente attraverso una variazione inconscia nel modo di mirare]. Questa prospettiva si allinea a una riformulazione di Aristotele, dove la fortuna è definita come “une inclinacion naturelle a bonnes avantures qui aviennent sans conseil” (fr:16186) [un’inclinazione naturale verso eventi positivi che accadono senza deliberazione].

Il nucleo della teoria emerge nella distinzione tra sintomo e causa: la superstizione non è solo un segno di debolezza morale, ma il fattore che genera il malessere. Oresme introduce il concetto di “difformité inadéquate” (fr:16189) [difformità inadeguata], una distorsione nel modo di agire indotta dalla paura irrazionale. Questa distorsione altera il modus operandi dell’agente, rendendolo incapace di perseguire i propri obiettivi: “la crainte superstitieuse […] cause la chute” (fr:16189) [la paura superstiziosa […] causa la caduta]. La frase “La superstition volontaire précipite dans le mal ceux que la nature y incline” (fr:16190) [La superstizione volontaria precipita nel male coloro che la natura vi inclina] sintetizza questa visione, dove la responsabilità morale si intreccia con meccanismi psicologici inconsci.

La fortuna, quindi, non è un evento casuale, ma il prodotto di una “balistique de l’âme” (fr:16193) [balistica dell’anima], dove la qualità morale dell’agente determina la traiettoria delle sue azioni. Anche se due individui mirano allo stesso obiettivo, “un homme pervers” agirà con una “vibration psychique” disarmonica, compromettendo il risultato (fr:16192-16193). Oresme sottolinea che questi processi sono invisibili e incontrollabili come “le mouvement de sa pupille” (fr:16194) [il movimento della sua pupilla], ma altrettanto determinanti: “L’effet relève du visible, mais le processus relève du caché” (fr:16195) [L’effetto appartiene al visibile, ma il processo appartiene all’occulto].

Il trattato affronta poi la questione dell’azione dell’anima su corpi esterni, un tema che Oresme affronta senza negarne la realtà, ma ricercandone spiegazioni naturalistiche. Distingue due modalità di interazione: l’azione mediata da organi corporei (“application des membres”) e quella “par une action cachée” (fr:16198) [attraverso un’azione nascosta]. Tra i fenomeni analizzati, la fascinatio (fascinazione) occupa un posto centrale. Oresme non dubita della sua esistenza (“Oresme n’a pas de doute sur la réalité du phénomène”), citando autorità pagane e bibliche (fr:16202-16203). Tuttavia, anche in questo caso, rifiuta l’idea di un’azione a distanza pura, postulando invece “des intermédiaires cachés” (fr:16199) [intermediari nascosti] che mediano l’effetto del sguardo.

La fascinazione diventa così un esempio paradigmatico di come Oresme interpreti i fenomeni apparentemente sovrannaturali: non come violazioni delle leggi naturali, ma come manifestazioni di meccanismi ancora sconosciuti. La transmutatio (fr:16201) – termine usato nel Liber sextus naturalium – indica questa trasformazione operata dall’anima attraverso canali non evidenti. L’approccio di Oresme si inserisce in un contesto storico in cui la scolastica cercava di conciliare fede e ragione, evitando sia il misticismo che il materialismo radicale. La sua teoria della fortuna e della fascinazione riflette una tensione tra determinismo psicologico e libertà morale, dove l’invisibile (l’anima, le sue vibrazioni) diventa il terreno su cui si giocano le sorti umane.

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[36.1-264-16711|16974]

36 Il modello del speculum nella teoria medievale della profezia: tra analogia ottica e ambiguità spirituale

La visione profetica come riflesso in uno specchio eterno o nell’anima stessa del veggente, una dialettica tra teologia e filosofia naturale che culmina nel rifiuto tomista del speculum aeternitatis.

Il testo analizza l’evoluzione del concetto di visione profetica nel XIII e XIV secolo, con particolare attenzione al ruolo del speculum (specchio) come metafora e strumento teorico. Il dibattito si articola attorno a due modelli principali: quello del specchio d’eternità (speculum aeternitatis), elaborato da teologi come Ugo di Saint-Cher, e quello dell’anima-miroir, proposto da Nicole Oresme. Entrambi i modelli attingono all’analogia ottica, ma con implicazioni radicalmente diverse.

36.1 1. Il speculum aeternitatis: Dio come specchio della conoscenza profetica

La teoria del speculum aeternitatis emerge nel XIII secolo, influenzata dalla traduzione latina della Metafisica di Avicenna (fr:16712) e dalla riflessione teologica precedente. Il suo nucleo concettuale è sintetizzato da Ugo di Saint-Cher:

“L’anima è dunque specchio; infatti in essa si dipingono le forme di tutto l’essere, quando è stata mondata e tersa dai costumi sordidi” - (fr:16714) [“Anima igitur speculum est; nam depinguntur in ea formae totius esse, cum mundata et tersa fuerit a sordidis moribus”].

36.1.1 1.1. La mediazione divina

Il speculum aeternitatis non è un oggetto fisico, ma l’essenza divina stessa, che contiene le “Idee” di tutte le cose (fr:16726). Dio agisce come uno specchio attivo e libero: > “Quando vuole mostra questo, quando vuole quello, quando vuole si chiude” - (fr:16728) [“quando vult ostendit hoc, quando vult illud, quando vult claudit”].

La conoscenza profetica è mediata da questo specchio (fr:16717, fr:16720), che imprime nell’anima del profeta impressiones ymaginum (immagini) senza necessariamente fornirne la comprensione (fr:16740). Ugo distingue due gradi di visione: - A speculo: il profeta vede solo immagini (come il faraone nel sogno delle vacche, fr:16741). - In speculo simpliciter: il profeta comprende anche il significato della visione (fr:16742).

La luce cognitiva (lumen cognitionis, fr:16744) è ciò che permette di interpretare le immagini, un elemento che limita l’utilità di un modello puramente ottico (fr:16745). Come afferma un adagio scolastico: > “Nella visione è necessaria l’intelligenza” - (fr:16746) [“in visione opus est intellegentia”].

36.1.2 1.2. La negazione tomista

Tommaso d’Aquino, nella Summa theologiae, rifiuta il speculum aeternitatis (fr:16718, fr:16770). Per lui, la visione profetica non avviene nell’essenza divina, ma: > “in alcune similitudini illuminate dalla luce divina” - (fr:16771) [“in quibusdam similitudinibus secundum illustrationem divini luminis”].

Lo specchio non è più Dio, ma le similitudini stesse che riflettono la verità della prescienza divina (fr:16772). Questa posizione segna una svolta: la profezia è radicalmente distinta dalla visione beatifica (fr:16719), che è immediata e priva di errori, mentre la profezia è soggetta a interpretazione e procede “da lontano” (fr:16770).

36.2 2. L’anima-miroir di Oresme: una spiegazione naturalistica

Nicole Oresme, nel XIV secolo, propone una teoria naturalistica della profezia, basata sull’idea che l’anima stessa sia uno specchio (fr:16723). La sua dottrina si sviluppa in due fasi, con esiti contraddittori.

36.2.1 2.1. L’abstraction come uniformità spirituale

Oresme introduce il concetto di configurazione spirituale (configuratio spiritualis, fr:16780), un’analogia “impropria” per descrivere la disposizione dell’intelletto. L’anima può essere: - Uniforme: libera da pensieri mondani, capace di riflettere visioni profetiche (fr:16830). - Difforme: tormentata da passioni, incapace di ricevere visioni chiare (fr:16799).

L’abstraction è il processo che porta l’anima dall’uno all’altro stato, paragonato da Oresme alla distensione di un pezzo di cuoio su cui si imprime un’immagine (fr:16818-16820). Se l’anima riesce a “dimenticare” le preoccupazioni (fr:16827), diventa uno specchio spirituale: > “Diventata uniforme e come piana e senza asperità, l’anima diventa adatta a operare come uno specchio e a riflettere visioni profetiche” - (fr:16830).

36.2.2 2.2. L’ambiguità tra profezia e delirio

Oresme applica lo stesso modello all’hallucinatio (fr:16833), spiegando come i maghi inducano visioni nei bambini fissando oggetti riflettenti (fr:16834). L’anima, “abstraita e distesa” (fr:16835), diventa uno specchio che riflette immagini errate (fr:16836). La differenza tra profezia e delirio non è interna (non c’è un criterio fisico o psicologico che le distingua), ma causale: - La profezia è causata da una realtà esterna (Dio o realtà occulte, fr:16888). - Il delirio riflette lo stato dell’anima stessa (fr:16883).

Questa ambiguità è esemplificata dalla doppia definizione di abstraction: 1. Ritorno all’unità: porta alla profezia (fr:16825). 2. Ritorno a sé: porta al delirio (fr:16878).

Oresme non risolve la contraddizione, limitandosi a notare che entrambi i processi producono un’anima uniforme e speculare (fr:16816).

36.2.3 2.3. Il modello ottico come paradigma

Oresme naturalizza la profezia attraverso l’ottica geometrica (perspectiva), che studia la formazione delle immagini nei specchi (fr:16921). L’anima-miroir deve soddisfare tre condizioni (fr:16890): 1. Capacità naturale: non tutti gli uomini (ma alcuni animali) sono adatti (fr:16892). 2. Uniformità: l’anima deve essere “piana” come uno specchio (fr:16944). 3. Purezza: l’anima deve essere libera da “macchie” (passioni o vizi, fr:16895).

La purezza è simbolica, ma Oresme cita anche fenomeni fisici, come l’effetto delle donne mestruate sui specchi (fr:16898), per sottolineare la porosità dei corpi alle influenze spirituali (fr:16905).

36.3 3. Significato storico e tensioni concettuali

36.3.1 3.1. La teologia tra analogia e rifiuto

• Il speculum aeternitatis rappresenta un tentativo di mediazione teologica: la profezia è un dono divino, ma anche un atto umano che richiede purezza spirituale (fr:16711).
• Tommaso d’Aquino demistifica il modello, riducendo lo specchio a una metafora delle similitudini divine (fr:16772). Questo rifiuto riflette una tendenza più ampia: la secolarizzazione della conoscenza, che separa la profezia dalla visione beatifica.

36.3.2 3.2. La filosofia naturale tra astrologia e ottica

• Oresme naturalizza la profezia, ma senza negare il ruolo di Dio (fr:16908). Il sostituisce il modello astrologico (presente in Maimonide, fr:16915) con quello ottico, più interno al profeta (fr:16918).
• L’ottica diventa una scienza paradigmatica: spiega la profezia attraverso le leggi della riflessione (fr:16928). Tuttavia, Oresme ignora la significazione delle visioni (fr:16919), concentrandosi sul meccanismo.

36.3.3 3.3. Contraddizioni e limiti

• Ambiguità del modello ottico: Oresme non distingue chiaramente tra profezia e delirio (fr:16885), lasciando aperta la questione della verità delle visioni.
• Limiti dell’analogia: l’anima non è un oggetto fisico, quindi la metafora dello specchio è “impropria” (fr:16780). Oresme non spiega come l’anima, inestesa, possa riflettere immagini (fr:16892).
• Tensione tra teologia e scienza: Oresme cerca di giustificare la fede attraverso la natura (fr:16912), ma il suo modello rischia di ridurre la profezia a un fenomeno psicologico.

36.4 4. Termini e concetti chiave

• Speculum aeternitatis: l’essenza divina come specchio che riflette le Idee (fr:16726).
• Anima-miroir: l’anima del profeta come specchio spirituale (fr:16723).
• Visio in speculo: visione mediata da uno specchio (fr:16713).
• Abstraction: processo di purificazione dell’anima (fr:16825).
• Configuratio spiritualis: disposizione dell’intelletto come specchio (fr:16780).
• Lumen cognitionis: luce che permette di interpretare le visioni (fr:16744).
• Perspectiva: ottica geometrica, scienza della riflessione (fr:16921).

36.5 5. Citazioni emblematiche

1. Sulla mediazione divina: > “Il profeta non ha una conoscenza diretta di ciò che vede, ma mediata da uno speculum” - (fr:16717) [“Le prophète n’a donc pas une connaissance directe de ce qu’il voit, mais médiatisée par un speculum”].

2. Sulla negazione tomista: > “Il profeta non vede né l’essenza divina, né (soprattutto) nell’essenza divina, ma solo in alcune similitudini illuminate dalla luce divina” - (fr:16771).

3. Sull’anima-miroir: > “Diventata uniforme e come piana e senza asperità, l’anima diventa adatta a operare come uno specchio” - (fr:16830).

4. Sull’ambiguità tra profezia e delirio: > “Non c’è criterio interno né fisico che distingua [profezia e delirio]” - (fr:16887).

5. Sulla purezza dell’anima: > “Come certi specchi inanimati sono senza macchia, puri e propri, ma altri sono sporchi o infetti, così sono certe anime” - (fr:16895).

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[37.1-988-17028|18015]

37 La teoria delle visioni e della divinazione naturale in Nicola Oresme

Il testo analizza il pensiero di Nicola Oresme sulla divinazione naturale, le profezie e la magia, evidenziando come egli elabori una complessa teoria che integra elementi filosofici, teologici e scientifici. Oresme distingue tra divinazione naturale e artificiale, sostenendo che solo la prima, legata a fenomeni come i presentimenti o le visioni, abbia una base reale, mentre la seconda, che include pratiche come l’astrologia o la negromanzia, sia frutto di illusioni o inganni.

37.1 Divinazione naturale e profezia

Oresme propone un modello ottico per spiegare la profezia, paragonando l’anima a uno specchio che riflette eventi futuri o realtà occulte. Questa analogia non è solo metaforica, ma si basa su una teoria delle “configurazioni” (configuratio), ovvero delle strutture geometriche che determinano le qualità delle cose e le loro interazioni. La visione profetica avviene quando l’anima, resa “uniforme” e priva di passioni terrene, diventa un riflettore chiaro di realtà altrimenti nascoste: > “una anima resa aspra dalla difformità dei suoi pensieri, e che non è levigata, non è disposta a essere uno specchio in cui si riflettano il futuro e altri segreti che si discernono attraverso visioni. Al contrario, ne è capace quell’anima che, spente le passioni e abbandonata la varietà dei pensieri, è diventata, per astrazione, quasi uniforme, o anche difforme di una difformità levigata o ordinata. Allora, in essa come in uno specchio, molte cose possono riflettersi che sono nascoste alle altre anime” - (fr:17540-17542) [Traduzione: l’anima, se resa uniforme e priva di pensieri mondani, può riflettere realtà nascoste come uno specchio].

Tuttavia, Oresme sottolinea che le profezie vere sono sempre indeterminate: non forniscono dettagli precisi su tempi o nomi, ma solo schemi generali. Questa indeterminatezza è una caratteristica essenziale della profezia naturale, che la distingue dalle false profezie dei ciarlatani, spesso troppo dettagliate e quindi sospette: > “le profezie che dettagliano le genealogie, i nomi propri e i fatti particolari dei re e degli altri che hanno preceduto la nostra epoca, salvo prova contraria, devono essere ritenute false” - (fr:17078) [Traduzione: le profezie troppo dettagliate sono da considerarsi false].

37.2 Il ruolo dei profeti e l’interpretazione delle Scritture

Oresme non si considera un profeta, ma un interprete delle profezie bibliche. Nel suo sermone Iuxta est salus mea, pronunciato ad Avignone nel 1363, egli applica un principio di “eco profetico”, secondo cui le profezie antiche possono trovare un nuovo significato nel presente. Ad esempio, interpreta la profezia di Isaia sulla venuta del Messia come un annuncio non solo dell’Incarnazione, ma anche del Giudizio Finale, che egli vede come imminente per la Chiesa del suo tempo. La sua analisi si basa su: 1. Regole esegetiche: ad esempio, il regno di Giuda simboleggia la Chiesa, mentre la sua corruzione economica (simonia) è il peccato che la condanna. 2. Osservazione razionale: Oresme usa argomenti filosofici (come quelli di Aristotele sulla corruzione delle città) per confermare i segni della decadenza della Chiesa.

37.3 Magia e illusioni dell’anima

Oresme dedica ampio spazio alla critica della magia, che egli divide in due categorie: 1. Nigromanzia autentica: un intervento soprannaturale dei demoni, che però non può essere controllato dall’uomo. Oresme la considera rara e legata a casi eccezionali, come quelli descritti nelle vite dei santi. 2. Arte magica fraudolenta: basata su illusioni psicologiche e naturali. Qui Oresme sviluppa una teoria medica e filosofica per spiegare come i maghi ingannino se stessi e gli altri attraverso: - Autosuggestione: il mago si convince di vedere demoni o di avere poteri grazie a formule incantatorie o rituali. - Effetti psicotropi: sostanze come il vino, l’ippomane o i gas delle caverne (come a Delfi) alterano la percezione, causando allucinazioni. - Illusioni ottiche: specchi deformanti o giochi di luce creano apparizioni ingannevoli.

Un esempio significativo è la sua spiegazione degli oracoli pagani, come quello di Delfi, dove la Pizia entrava in trance a causa di esalazioni naturali provenienti da una cavità sotterranea: > “Non è un demone che parlava nell’idolo, come credono alcuni, ma i sacerdoti parlavano al popolo come se riferissero oracoli del loro dio” - (fr:17922) [Traduzione: gli oracoli non erano opera di demoni, ma di sacerdoti che sfruttavano effetti naturali].

37.4 Contraddizioni e ambiguità

Il trattato di Oresme presenta alcune tensioni interne: - Profezia vs. follia: Oresme ammette che stati patologici (come l’epilessia) possano generare visioni profetiche, ma anche allucinazioni demoniache. La differenza sta nella causalità: nella profezia, l’anima riflette una realtà esterna; nella follia, riflette solo la propria interiorità deformata. - Naturalismo vs. fede: Pur spiegando molti fenomeni con cause naturali, Oresme non nega l’intervento divino, soprattutto nelle profezie soprannaturali. Tuttavia, la sua enfasi sulla divinazione naturale sembra ridurre il ruolo di Dio a una causa ultima, piuttosto che a un agente diretto.

37.5 Conclusione: visioni e configurazioni

Oresme elabora una teoria unificata che lega ottica, psicologia e teologia. Le visioni, siano esse profetiche o allucinatorie, sono il risultato di processi naturali che coinvolgono: 1. L’anima come specchio: capace di riflettere realtà esterne (profezia) o interne (follia). 2. Le configurazioni: strutture geometriche che determinano le qualità delle cose e le loro interazioni, spiegando sia gli effetti naturali (come i presentimenti degli animali) sia quelli soprannaturali. 3. L’indeterminatezza: caratteristica essenziale delle vere profezie, che richiedono un’interpretazione razionale per essere comprese.

Il suo approccio anticipa temi che saranno centrali nella scienza moderna, come la distinzione tra fenomeni naturali e soprannaturali, e l’importanza dell’interpretazione razionale dei segni. Tuttavia, Oresme rimane ancorato a una visione medievale in cui fede e ragione si integrano, senza che l’una escluda l’altra.

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[38.1-185-18318|18502]

38 La teoria oresmiana del potere dei suoni: tra matematica, magia e filosofia naturale

Un’analisi della riflessione di Nicola Oresme sul rapporto tra configurazioni sonore, efficacia delle formule magiche e limiti della conoscenza naturale.

Il testo esamina la complessa posizione di Nicola Oresme (XIV secolo) riguardo al potere dei suoni, delle formule incantatorie e della musica, articolando una visione che intreccia matematica, filosofia naturale e critica delle credenze magiche. Al centro della sua riflessione vi è la distinzione tra efficacia naturale e intervento soprannaturale, con particolare attenzione alla materialità del suono come veicolo di trasformazione.

38.1 La rarità matematica e il potere dei suoni

Oresme introduce un concetto chiave: la rarità come proprietà misurabile delle combinazioni sonore. “matématique et statistique à l’idée de rareté, qui ne pourrait être précisée qu’au moyen de mesures des latitudes à l’intérieur desquelles se situent les combinaisons ordinaires, les hauteurs moyennes, les puissances moyennes, etc.” - (fr:18318) [La matematica e la statistica sono applicate all’idea di rarità, che può essere precisata solo attraverso misure delle latitudini entro cui si collocano le combinazioni ordinarie, le altezze medie, le potenze medie, ecc.]. Questa prospettiva gli permette di affermare che, per qualsiasi combinazione sonora (naturale o artificiale), esistono sempre altre combinazioni più o meno “belle” in modo matematicamente certo: “quelle que soit la combinaison sonore donnée, pour autant qu’elle soit naturelle ou artificielle (et non surnaturelle), il est mathématiquement certain qu’il en existe une autre plus belle et une autre moins belle” - (fr:18319) [Qualsiasi combinazione sonora data, purché sia naturale o artificiale (e non soprannaturale), è matematicamente certo che ne esista un’altra più bella e un’altra meno bella].

Questo approccio quantitativo si estende alla musica, la cui efficacia è ricondotta a configurazioni sonore rare piuttosto che a significati simbolici. Oresme respinge l’idea che la musica agisca sui demoni attraverso un potere spirituale, come sostenuto da alcuni autori medievali (es. Guido d’Arezzo), e si allinea invece alla posizione di Nicola di Lyra, secondo cui la musica – essendo una potenza corporale – non può influenzare direttamente una sostanza immateriale come un demone: “la puissance la plus faible ne peut commander la plus forte, or il est établi que la musique n’est qu’une puissance corporelle, et que le démon est une substance spirituelle séparée” - (fr:18339) [La potenza più debole non può comandare la più forte, ed è stabilito che la musica è solo una potenza corporale, mentre il demone è una sostanza spirituale separata]. Tuttavia, Oresme non nega del tutto l’effetto della musica sui demoni, ma lo spiega come azione indiretta sull’anima del posseduto: “en diminuant la sensibilité à la souffrance, en distrayant l’âme de sa souffrance, la musique diminue l’angoisse du possédé” - (fr:18342) [Diminuendo la sensibilità al dolore, distraendo l’anima dalla sua sofferenza, la musica riduce l’angoscia del posseduto].

38.2 La critica alle formule magiche: sonorità vs significato

Il nucleo della riflessione oresmiana riguarda la virtus verborum, il presunto potere delle parole nelle pratiche magiche. Oresme rifiuta categoricamente che le formule incantatorie agiscano in virtù del loro significato, attribuendo invece la loro efficacia alla sonorità e alla configurazione fisica del suono. Questa posizione emerge chiaramente in tre argomenti: 1. L’inintelligibilità delle formule: le voci delle streghe (come Erictho in Lucano) sono descritte come “un maillon intermédiaire entre les bruits et la parole” - (fr:18420) [un anello intermedio tra i rumori e la parola], con suoni “dissonants et très discordants avec la langue humaine” - (fr:18421) [dissonanti e molto discordanti con la lingua umana]. La loro efficacia non dipende dalla comprensibilità, ma dalla “difformité difforme” - (fr:18424) [deformità deforme] del suono. 2. L’inefficacia delle traduzioni: se il potere derivasse dal significato, una formula tradotta dovrebbe mantenere la sua efficacia, “ce que contestent les mages” - (fr:18446) [cosa che i maghi contestano]. Al contrario, la traduzione ne annulla l’effetto. 3. L’azione su esseri privi di ragione: le formule agiscono anche sugli animali, che non possono comprenderne il senso: “ces formules exercent un pouvoir aussi sur les bêtes, pourtant dépourvues de raison” - (fr:18448) [queste formule esercitano un potere anche sulle bestie, benché prive di ragione].

Oresme sintetizza questa visione affermando che gli effetti delle formule avvengono “non pas par la force de la signification mais en vertu de la formation et figuration des sons” - (fr:18390) [non per la forza del significato, ma in virtù della formazione e configurazione dei suoni]. Questa tesi si oppone alla tradizione teologica (es. Agostino, Guglielmo d’Auvergne), che attribuiva il potere delle parole all’intervento demoniaco: “les mots, les caractères ou signes employés en magie n’ont aucun pouvoir en eux-mêmes, mais n’acquiert une efficience que par l’intermédiaire d’un démon” - (fr:18365) [le parole, i caratteri o i segni usati in magia non hanno alcun potere in sé, ma acquisiscono efficacia solo tramite un demone].

38.3 La fisica del suono e la “difformità” come causa efficiente

Oresme sviluppa una teoria fisica del suono per spiegare come le configurazioni sonore possano alterare la realtà. Egli paragona l’effetto dei suoni a quello delle vibrazioni che frantumano il vetro, sottolineando la materialità del fenomeno: “le mouvement de vibration qui l’engendre et le transmet jusqu’à l’audition, qui possède cette efficacité” - (fr:18402) [il movimento di vibrazione che lo genera e lo trasmette fino all’udito, che possiede questa efficacia]. La “difformità” del suono – la sua complessità e stranezza – è la chiave per comprendere il suo potere: “une configuration intensive est susceptible d’engendrer des vertus singulières et merveilleuses, en raison de sa nature très complexe (multiplex) et étrange (extranea)” - (fr:18394) [una configurazione intensiva è suscettibile di generare virtù singolari e meravigliose, a causa della sua natura molto complessa e strana].

Questa spiegazione si applica anche ai casi estremi, come la morte del toro nella leggenda di San Silvestro: “le taureau est naturellement mort, et c’est le son qui a causé la mort” - (fr:18471) [il toro è morto naturalmente, ed è stato il suono a causare la morte]. Oresme interpreta il tetragramma sacro pronunciato dal mago Zambri non come un nome divino, ma come una configurazione sonora letale, in linea con la sua fisica acustica: “c’est le pouvoir même du nom secret de Dieu qu’il interprète comme une simple configuration sonore” - (fr:18462) [è il potere stesso del nome segreto di Dio che interpreta come una semplice configurazione sonora].

38.4 Tra continuità e rottura con la tradizione

La posizione di Oresme si colloca in un dibattito medievale che vedeva contrapposte due visioni: - La tradizione teologica (Agostino, Guglielmo d’Auvergne), che negava ogni potere naturale alle parole, attribuendolo a demoni o a Dio. - La tradizione naturalistica (Roger Bacon, Al-Kindī), che ammetteva un’efficacia fisica delle formule, legata all’immaginazione o alle proprietà dei suoni.

Oresme si inserisce in questo dibattito rovesciando la prospettiva: mentre Guglielmo d’Auvergne respingeva il potere dei nomi divini come intervento demoniaco, Oresme lo spiega come effetto di una difformità sonora rara. Tuttavia, mantiene una distinzione netta tra: - Musica e suoni naturali, il cui potere è ammesso (seppur indiretto). - Incantazioni e formule magiche, il cui presunto potere coercitivo sui demoni è respinto come “contraire à la philosophie naturelle et à la vraie science” - (fr:18346) [contrario alla filosofia naturale e alla vera scienza].

38.5 Eredità e ambiguità

Il testo rivela una tensione interna nella riflessione di Oresme: 1. Nei trattati principali (es. De configurationibus), egli ammette il potere naturale dei suoni, pur limitandolo alla loro configurazione fisica. 2. Nelle opere teologiche (es. Quodlibeta), sembra invece negare ogni efficacia alle formule magiche, attribuendo gli effetti a cause naturali (es. unguenti, suggestione) o all’inganno.

Questa ambiguità è risolta solo in parte nella Tabula problematum, dove Oresme torna a sostenere che “l’air est figuré d’une certaine manière par certains [sons]” - (fr:18500) [l’aria è configurata in un certo modo da certi suoni], riprendendo la teoria delle configurazioni. La sua eredità sarà raccolta da autori come Evrart de Conty, che svilupperà ulteriormente l’idea di una “voix figuree en l’air” - (fr:18480) [voce figurata nell’aria], confermando la centralità della materialità del suono nella spiegazione dei fenomeni magici.

38.6 Significato storico

Il testo testimonia un momento di transizione nella storia della scienza e della magia: - Matematizzazione della natura: Oresme applica strumenti matematici (rarità, latitudini) a fenomeni tradizionalmente considerati soprannaturali, anticipando l’approccio quantitativo della scienza moderna. - Demarcazione tra scienza e magia: La sua critica alle formule incantatorie come “verborum compositio seu configuratio” - (fr:18346) [composizione o configurazione di parole] riflette una tendenza a naturalizzare i fenomeni magici, separandoli dalla teologia demoniaca. - Influenza sulla cultura successiva: La teoria delle configurazioni sonore avrà eco in autori rinascimentali e barocchi, che esploreranno il potere fisico e psicologico dei suoni (es. musica come terapia, acustica architettonica).

In sintesi, Oresme elabora una fisica del suono che spiega l’efficacia delle formule magiche senza ricorrere al soprannaturale, ma attraverso la materialità delle vibrazioni e la complessità delle loro configurazioni. Questa visione, pur radicata nel contesto medievale, apre la strada a una comprensione meccanicistica dei fenomeni acustici, in cui la magia cede il posto alla scienza.

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[39.1-294-18655|18948]

39 La rappresentazione geometrica delle qualità e dei movimenti: il trattato di Oresme

Un’innovativa sintesi tra teologia, retorica e matematica per descrivere l’intensità delle qualità attraverso figure geometriche.

Il testo analizzato costituisce un estratto dal Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum di Nicola Oresme, opera fondamentale del XIV secolo che introduce un metodo geometrico per rappresentare le variazioni delle qualità (come calore, amore o movimento) attraverso figure piane e solide. Questo approccio rivoluziona la scolastica medievale, fondendo concetti teologici, retorici e matematici in un sistema coerente.

39.1 **1. La metafora teologica e la “latitudo caritatis”

Il testo si apre con una riflessione sulla terminologia delle dimensioni applicata all’intensità delle qualità, riprendendo una tradizione teologica che risale ad Agostino. La frase: “Et inversement, si l’intensité est appelée « largeur », on appellera l’extension « longueur »” - (fr:18655) [E inversamente, se l’intensità è chiamata “larghezza”, si chiamerà l’estensione “lunghezza”] introduce una dualità concettuale tra estensione (dimensione spaziale o temporale) e intensità (grado di una qualità), che verrà formalizzata geometricamente.

La latitudo caritatis (fr:18656) — espressione agostiniana che descrive le dimensioni dell’amore cristiano — viene reinterpretata in chiave quantitativa: - “Un tel amour est dit « large » quand il s’étend aux ennemis” - (fr:18658) [Un tale amore è detto “largo” quando si estende ai nemici] - “Il est long quand il est persévérant” - (fr:18659) [È lungo quando è perseverante] Questa metafora teologica diventa il modello per rappresentare variazioni graduali di qualsiasi qualità, non solo spirituale ma anche fisica (es. calore, velocità).

39.2 2. La “transumptio” e il linguaggio figurato

Oresme affronta il problema del linguaggio tecnico attraverso il concetto di transumptio (fr:18661), una figura retorica simile alla metafora ma con una funzione epistemologica: “Il s’agit d’un terme technique de rhétorique […] qui consiste […] à transposer le sens d’un terme à un autre” - (fr:18662) [Si tratta di un termine tecnico di retorica […] che consiste nel trasporre il senso di un termine a un altro] Ad esempio, “Ne mangez pas l’arbre” per “Ne mangez pas le fruit” (fr:18662).

Tuttavia, la transumptio può essere incongrua (fr:18666) se priva di rapporto logico tra i termini, come in “le flot des montagnes” (fr:18667). Questo passaggio evidenzia la tensione tra precisione scientifica e ambiguità linguistica, tipica della scolastica medievale.

39.3 3. La rappresentazione geometrica delle qualità

Il cuore del trattato è la geometrizzazione delle qualità, che Oresme sviluppa in tre fasi:

39.3.1 A. Qualità lineari e figure piane

Oresme propone di rappresentare una qualità (es. calore lungo una barra) come una superficie la cui: - base corrisponde all’estensione del soggetto (es. lunghezza della barra); - altezza corrisponde all’intensità della qualità in ogni punto.

“Il faut imaginer la quantité d’une qualité linéaire […] par une surface dont la longueur ou la base est la ligne tirée dans le sujet […] et dont la largeur ou la hauteur est représentée par une ligne élevée perpendiculairement sur cette base” - (fr:18675) [Bisogna immaginare la quantità di una qualità lineare […] come una superficie la cui lunghezza o base è la linea tracciata nel soggetto […] e la cui larghezza o altezza è rappresentata da una linea elevata perpendicolarmente su questa base].

Questa rappresentazione permette di distinguere: 1. Qualità uniformi: rappresentate da un quadrato o rettangolo (intensità costante). “Toute qualité uniforme est imaginée par un quadrangle rectangle” - (fr:18805) [Ogni qualità uniforme è immaginata da un quadrangolo rettangolo]. 2. Qualità uniformemente difformi: rappresentate da un triangolo rettangolo (intensità che varia linearmente). “Toute qualité uniformément difforme terminée au non-degré est imaginable par un triangle rectangle” - (fr:18805) [Ogni qualità uniformemente difforme terminata al non-grado è immaginabile da un triangolo rettangolo]. 3. Qualità difformemente difformi: rappresentate da figure con linee di cresta curve o composte (variazioni irregolari).

39.3.2 **B. Il problema del “non-grado”

Un nodo concettuale è la rappresentazione del grado zero di una qualità (es. assenza di calore). Oresme rifiuta di identificarlo con un “grado 0”: “Qu’une chaleur diminue jusqu’au non-degré signifie […] jusqu’à ce que le sujet n’ait plus de chaleur, et non pas jusqu’à qu’il ait une chaleur de degré 0” - (fr:18775) [Che un calore diminuisca fino al non-grado significa […] fino a che il soggetto non abbia più calore, e non fino a che abbia un calore di grado 0]. Questo rifiuto riflette una distinzione ontologica tra assenza e presenza di un grado minimo, evitando di ridurre la qualità a una semplice quantità numerica.

39.3.3 C. Qualità superficiali e corporali

Il metodo si estende a qualità bidimensionali (es. calore su una superficie) e tridimensionali (es. calore in un corpo): - Una qualità superficiale uniforme è rappresentata da un prisma con base uguale alla superficie del soggetto e altezza costante. “Il faut imaginer une qualité superficielle uniforme par un corps qui possède 8 angles droits corporels” - (fr:18934) [Bisogna immaginare una qualità superficiale uniforme con un corpo che possiede 8 angoli retti solidi]. - Una qualità corporale richiede una quarta dimensione immaginaria (fr:18709), poiché lo spazio fisico è tridimensionale.

39.4 4. La classificazione delle difformità

Oresme sviluppa una tassonomia dettagliata delle variazioni di intensità, distinguendo: 1. Difformità semplici (4 generi): - Convesse/concave, razionali/irrazionali (fr:18891). - Esempio: una qualità rappresentata da un semicerchio (convexa razionale) o da una curva non circolare (convexa irrazionale). 2. Difformità composte (62 specie): - Combinazioni di generi semplici (es. uniforme + uniformemente difforme). - “Il y a donc 62 espèces de difformités difformes composées” - (fr:18903) [Ci sono quindi 62 specie di difformità difformi composte].

Questa classificazione, basata su combinazioni aritmetiche (fr:18900-18917), mostra come Oresme applichi la matematica alla filosofia naturale, anticipando metodi moderni.

39.5 5. Il movimento come modello per le qualità

Oresme introduce un paradigma cinematico per descrivere le variazioni di intensità: “Imaginons qu’un point d se meuve sur une ligne AB […] s’il conserve continument ce même degré durant son déplacement, alors il décrira sur la ligne AB une qualité uniforme” - (fr:18826) [Immaginiamo che un punto d si muova su una linea AB […] se conserva continuamente lo stesso grado durante il suo spostamento, allora descriverà sulla linea AB una qualità uniforme]. Questo approccio: - Unifica qualità e movimento sotto lo stesso schema geometrico. - Semplifica la comprensione delle difformità (es. un punto che accelera descrive una qualità uniformemente difforme).

39.6 6. Significato storico e innovazioni

Il trattato di Oresme rappresenta un punto di svolta per diversi motivi: 1. Matematizzazione della fisica: Oresme anticipa la geometrizzazione della natura (Galileo, Cartesio), rappresentando quantità non spaziali (es. calore) con figure geometriche. 2. Critica alla scolastica: Rifiuta l’uso improprio di termini come latitudo (fr:18679), distinguendo tra significato proprio (distanza graduale) e metaforico (qualità intera). 3. Interdisciplinarità: Fonde teologia (latitudo caritatis), retorica (transumptio) e matematica in un unico sistema. 4. Limiti e ambiguità: - L’analogia tra angoli delle figure e proprietà delle qualità (es. un angolo acuto = qualità “penetrante”) è suggestiva ma non rigorosa (fr:18798). - La rappresentazione delle qualità corporali richiede una quarta dimensione “immaginaria” (fr:18709), mostrando i limiti della geometria euclidea.

39.7 7. Eredità e influenze

Le idee di Oresme ebbero un impatto duraturo: - Galileo riprese la rappresentazione geometrica del movimento (Discorsi, 1638). - Cartesio sviluppò la geometria analitica, formalizzando il legame tra algebra e figure. - Fisica moderna: Il concetto di funzione (es. intensità come funzione dell’estensione) affonda le radici in questo approccio.

In sintesi, il trattato è una testimonianza unica di come la scolastica medievale abbia gettato le basi per la scienza moderna, unendo rigore logico e creatività metaforica.

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[40.1-124-18970|19093]

40 La teoria delle qualità e della curvatura nel pensiero di Oresme

Un trattato medievale che ridefinisce i confini tra geometria, filosofia naturale e matematica attraverso l’analisi delle qualità opposte e della misurabilità delle curve.

Il testo presenta due nuclei concettuali distinti ma interconnessi: una teoria delle qualità opposte (caldo/freddo) e una riflessione sulla natura della curvatura, entrambe sviluppate attraverso un approccio geometrico innovativo per il XIV secolo. Oresme (1320-1382) utilizza figure e proporzioni per modellizzare fenomeni fisici e matematici, anticipando metodi che troveranno pieno sviluppo solo con il calcolo differenziale.

40.1 1. La rappresentazione geometrica delle qualità opposte

Oresme introduce un modello visivo per descrivere l’interazione tra qualità contrarie (come caldo e freddo) in un soggetto, utilizzando un quadrangolo rettangolo ABCD come metafora della loro composizione totale: “Par conséquent, le composé total formé de ces contraires sera imaginé comme le quadrangle rectangle, et que ce soit ABCD” - (fr:18970) [Il composto totale formato da questi contrari sarà immaginato come il quadrangolo rettangolo, e sia ABCD].

• Calore e freddo come triangoli complementari: Il calore è rappresentato dal triangolo ABC, con intensità che varia uniformemente dal “non-grado” (assenza di calore) in A al grado massimo in B. Il freddo, simmetricamente, è raffigurato dal triangolo DCA, invertito rispetto al primo: “Ainsi, la chaleur sera imaginée par le triangle ABC, et il faut donc imaginer le froid par le triangle DCA” - (fr:18972) [Così, il calore sarà immaginato dal triangolo ABC, e bisogna quindi immaginare il freddo dal triangolo DCA]. La difformità uniforme (variazione graduale) delle qualità è qui visualizzata come una progressione lineare, un concetto chiave nella teoria delle configurazioni di Oresme, dove le qualità sono trattate come grandezze estensive e intensive.

• Limiti concettuali e paradossi: Oresme precisa che il grado massimo di calore non può coesistere con alcun grado di freddo, poiché la loro somma deve mantenere l’uniformità del composto totale: “Il n’y a pas, en effet, de plus grand degré de chaleur compatible avec un degré de froid” - (fr:18978) [Non esiste, infatti, un grado massimo di calore compatibile con un grado di freddo]. Questa osservazione riflette una logica scolastica sulle limiti inclusive/esclusive (nota 65), dove la continuità tra qualità opposte genera paradossi: se si ipotizza un calore massimo, esiste sempre un freddo residuo che lo “completa”, rendendo il calore iniziale non più massimo. Solo il grado minimo di calore incompatibile con il freddo sfugge a questa contraddizione, come sottolineato in: “En revanche, ce même raisonnement ne peut être reconduit si l’on considère le plus petit degré de chaleur incompatible avec tout degré de froid” - (fr:18980) [Al contrario, questo stesso ragionamento non può essere applicato se si considera il grado minimo di calore incompatibile con ogni grado di freddo].

• Generalizzazione ai contrari simultanei: Il modello si estende a qualsiasi coppia di qualità opposte, con una relazione di inversione geometrica: “de quelque façon que la figuration de l’une varie, la figuration de l’autre variera inversement de manière égale” - (fr:18974) [in qualunque modo vari la figurazione dell’una, la figurazione dell’altra varierà in modo inversamente uguale]. Se una qualità è rappresentata da una figura convessa, l’altra dovrà essere concava, e viceversa (fr:18975), un principio che anticipa la simmetria funzionale tra grandezze opposte.

40.2 2. La curvatura: un problema di misurabilità e natura

Il secondo nucleo affronta la curvatura come qualità geometrica, esplorandone la difformità (non uniformità) e i limiti della sua misurabilità. Oresme distingue tra: - Curvatura uniforme (es. cerchio), dove l’intensità è costante. - Curvatura difforme (es. altre curve), dove l’intensità varia.

40.2.1 A. L’improporzionalità delle curve

Il problema centrale è se le curvature possano essere misurate o comparate tra loro. Oresme dimostra che: 1. Angoli mistilinei e improporzionalità: Gli angoli formati da una retta e una curva (es. angolo di contingenza) o da due curve sono improporzionabili (non hanno un rapporto numerico definibile) rispetto agli angoli rettilinei: “l’angle BAC et l’angle CAD sont improportionnables” - (fr:19005) [l’angolo BAC e l’angolo CAD sono improporzionabili]. Questa improporzionalità deriva dalla natura eterogenea delle grandezze coinvolte (rettilinee vs. curvilinee), come evidenziato dalla citazione di Euclide (fr:18998-18999).

2. Conseguenze per la curvatura:
   • Due curvature di intensità diversa sono improporzionabili e di natura differente: “une courbure plus grande et une courbure plus petite sont improportionnables et de nature différente” - (fr:19006) [una curvatura maggiore e una minore sono improporzionabili e di natura differente].
   • Una curva difforme è composta da infinite parti di specie distinte, impossibili da rapportare tra loro: “une courbure difforme est composée d’une infinité de parties d’espèces distinctes et improportionnables” - (fr:19062) [una curvatura difforme è composta da un’infinità di parti di specie distinte e improporzionabili].
3. Critica alla rappresentazione lineare: Oresme rifiuta l’idea che l’intensità di una curvatura possa essere rappresentata da linee o figure geometriche tradizionali, poiché queste presuppongono proporzionalità e omogeneità tra le parti: “on ne doit pas représenter l’intensité d’une courbure par des lignes” - (fr:19064) [non si deve rappresentare l’intensità di una curvatura con linee]. La curvatura difforme, quindi, sfugge alle categorie aristoteliche di uniformità e difformità, presentandosi come una **difformità “strana e meravigliosa” (fr:19068).

40.2.2 B. La soluzione per la curvatura circolare

Oresme propone una misura alternativa per la curvatura uniforme (circolare), basata sul raggio del cerchio: “son intensité est mesurée par rapport à ou selon la quantité du rayon […] de sorte que la courbure sera d’autant plus grande que ce rayon sera proportionnellement plus petit” - (fr:18985) [la sua intensità è misurata in relazione o secondo la quantità del raggio […] così che la curvatura sarà tanto maggiore quanto più piccolo sarà proporzionalmente il raggio]. - Esempio pratico: Se il raggio AB è doppio di AC, la curvatura del cerchio minore sarà doppia di quella del cerchio maggiore (fr:18988), stabilendo una proporzionalità inversa tra raggio e intensità di curvatura.

Questa soluzione, tuttavia, non risolve il problema delle curve difformi (es. spirali, coniche), che rimangono incommensurabili secondo i criteri medievali. Oresme riconosce che due curve possono essere comparabili (una più curva dell’altra) ma non proporzionabili, come accade per gli angoli mistilinei (fr:19093).

40.3 3. Significato storico e innovazioni

Il trattato di Oresme si colloca in un periodo di transizione tra la matematica medievale e quella moderna, con implicazioni filosofiche e scientifiche:

1. Anticipazioni del calcolo differenziale:
   • La discussione sugli angoli di contingenza (fr:18992-18996) e la loro improporzionalità prefigura problemi che saranno risolti solo con Newton e Leibniz. Newton, in particolare, dimostrerà che angoli formati da curve di “gradi” diversi (es. cerchio vs. parabola) sono improporzionabili (fr:19071), confermando l’intuizione di Oresme ma superandola con strumenti analitici.
   • L’idea che una curva difforme sia composta da infinite parti eterogenee (fr:19062) anticipa il concetto di continuità e limite nel calcolo infinitesimale.
2. Filosofia naturale e matematica:
   • Oresme applica la teoria delle configurazioni (sviluppata nel Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum) a fenomeni fisici (calore/freddo) e geometrici (curvatura), unificando domini apparentemente distinti.
   • La perfezione delle specie (fr:19003-19004), un tema scolastico, è reinterpretata attraverso la matematica: la gerarchia tra specie naturali (es. cavallo vs. asino) è paragonata all’improporzionalità tra angoli di contingenza di curve diverse (fr:19012).
3. Limiti e ambiguità:
   • Oresme ammette la natura esplorativa delle sue conclusioni (“probabiliter”, fr:19055), evidenziando i limiti della matematica medievale nel trattare grandezze eterogenee.
   • La distinzione tra comparabilità e proporzionalità (fr:19093) rimane irrisolta, lasciando aperto il problema della misurabilità delle curve non circolari.

40.4 4. Termini e concetti chiave

• Difformità uniforme: Variazione graduale di una qualità (es. calore) rappresentata da una figura geometrica (triangolo).
• Angolo di contingenza: Angolo formato da una curva e una tangente, improporzionabile rispetto agli angoli rettilinei (fr:18992).
• Improporzionalità: Assenza di rapporto numerico (razionale o irrationale) tra grandezze eterogenee (es. retta e curva).
• Curvatura uniforme: Intensità costante (es. cerchio), misurabile tramite il raggio (fr:18985).
• Curvatura difforme: Intensità variabile, composta da infinite parti di specie distinte (fr:19062).
• Teoria dei rapporti di rapporti: Oresme introduce il concetto di “metà di un rapporto doppio” (fr:19075-19082), anticipando operazioni su grandezze irrazionali.

40.5 5. Contraddizioni e aperture

• Uniformità vs. difformità: Oresme afferma che nessuna curvatura difforme può essere uniformemente difforme (fr:19065), poiché la difformità presuppone una variazione continua e proporzionale, impossibile per curve eterogenee. Questo contraddice la sua stessa teoria delle qualità, dove la difformità uniforme è un concetto valido.
• Eterogeneità e misurabilità: L’improporzionalità tra curve è presentata come segno di eterogeneità di natura (fr:19016), ma Oresme non chiarisce se questa eterogeneità sia assoluta o solo un limite della matematica del suo tempo.
• Influenza su Newton: Sebbene Oresme e Newton condividano l’intuizione dell’improporzionalità degli angoli di contingenza, la loro classificazione delle curve differisce (fr:19072), mostrando come la stessa idea possa evolvere con strumenti concettuali diversi.

Il trattato di Oresme rappresenta un ponte tra Medioevo e modernità, dove la geometria diventa uno strumento per indagare la natura, ma anche un limite che costringe a ripensare i fondamenti della misurabilità. La sua analisi della curvatura, in particolare, rimane un esempio di come la matematica medievale abbia posto domande che solo secoli dopo troveranno risposte definitive.

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[41.1-247-19662|19908]

41 La concezione del movimento e del tempo in Nicola Oresme: tra fisica aristotelica e innovazione matematica

Il testo analizzato offre una sintesi profonda e sistematica del pensiero di Nicola Oresme (XIV secolo) sulla natura del movimento, del tempo e della velocità, integrando la tradizione aristotelica con strumenti matematici innovativi. Oresme ridefinisce concetti fondamentali della fisica scolastica attraverso una geometrizzazione del movimento, anticipando temi che saranno centrali nella rivoluzione scientifica moderna.

41.1 1. Il cielo e il movimento: una struttura gerarchica e composita

Oresme definisce il “cielo” come l’intero corpo celeste che si estende dalla sfera della Luna a quella delle stelle fisse (fr:19662: “Oresme appelle donc « ciel » tout le corps qui s’étend de la sphère de la lune jusqu’à celle des étoiles fixes”). Questo spazio è caratterizzato da due tipi di movimento: - Il movimento giornaliero (“mouvement journal”), una rotazione regolare da est a ovest che coinvolge l’intero cielo (fr:19663). - I movimenti propri delle sfere, ciascuna delle quali possiede una dinamica autonoma, analoga a un uomo che si muove su una nave in movimento (fr:19664: “comme un homme emporté par le mouvement d’un bateau a néanmoins un mouvement propre sur le pont”).

Questa distinzione tra movimento totale e parziale introduce una complessità che Oresme sfrutta per spiegare fenomeni come l’irregolarità apparente dei moti planetari. Ad esempio, Marte può muoversi più velocemente del Sole in termini di spazio percorso, ma compiere una rivoluzione completa più lentamente (fr:19716), perché la sua velocità è misurata in base all’arco di cerchio descritto, non alla rotazione angolare (fr:19714).

41.2 2. Tempo e durata: tra eternità divina e successione mondana

Oresme affronta la natura del tempo attraverso la distinzione scolastica tra: - Duratio rerum successiva (tempo), una successione “morosa” (“successio morosa”, fr:19667) che caratterizza le cose mutevoli. - Duratio rerum tota simul (eternità), simultanea e priva di successione (fr:19670).

Il tempo non è una sostanza, ma un modo di essere (“mode d’une réalité”, fr:19675), paragonabile a un accidente che non esiste indipendentemente dalle cose. Questa concezione lo porta a negare che il tempo possa essere “uniforme” o “difforme” in senso proprio, poiché tali attributi richiedono un’intensità che il tempo non possiede (fr:19679: “le temps ainsi dit n’est difforme en aucune façon, ni même proprement uniforme”). Tuttavia, il ammette un uso improprio del termine: il tempo è “uniforme” solo in quanto misurato da un movimento regolare, come quello del cielo (fr:19680).

La misurazione del tempo avviene attraverso nomi convenzionali (ore, giorni, anni) che derivano dalle rivoluzioni celesti (fr:19682), ma Oresme sottolinea che il tempo è unico per tutti i corpi (cielo, mare, terra), poiché un solo movimento celeste basta a misurare tutte le durate simultanee (fr:19684).

41.3 3. La velocità e la sua misura: una rivoluzione geometrica

Il contributo più innovativo di Oresme riguarda la definizione e rappresentazione della velocità. Egli distingue tra: - Velocità intensiva: il grado di rapidità con cui un corpo acquisisce o perde una perfezione (spazio, qualità, quantità) in un tempo dato (fr:19696: “ce degré de vélocité est simplement plus intense ou plus grand par lequel en un temps égale est plus acquis ou perdu de la perfection”). - Velocità estensiva: la quantità totale di movimento, che dipende sia dall’intensità che dalla durata (fr:19693).

Per misurare la velocità, Oresme introduce un modello geometrico: - Nel movimento locale, la velocità è proporzionale allo spazio percorso (fr:19697). - Nell’alterazione, è proporzionale all’intensità della qualità acquisita (fr:19698). - Nell’aumento/diminuzione, è proporzionale alla quantità guadagnata o persa (fr:19699).

Questa definizione è relativa alla “denominazione” scelta: un corpo può muoversi a velocità uguale in termini di spazio, ma cadere più lentamente se il suo percorso è obliquo rispetto al centro della Terra (fr:19741). Allo stesso modo, un albero grande che cresce di due dita in un giorno acquisisce più materia di uno piccolo che cresce di un dito, ma aumenta più lentamente** in termini di rapporto tra grandezza iniziale e finale (fr:19746).

41.4 4. Uniformità e difformità: la geometrizzazione del movimento

Oresme applica alla velocità i concetti di uniformità e difformità già sviluppati per le qualità nella prima parte del trattato. La difformità può essere: - Soggettiva: variazione della velocità tra le parti di un corpo (es. una linea i cui punti si muovono a velocità diverse, fr:19796). - Temporale: variazione della velocità nel tempo (es. un corpo che accelera, fr:19828).

Per rappresentare queste variazioni, Oresme usa figure geometriche: - Una velocità uniforme è rappresentata da un rettangolo (fr:19837). - Una velocità uniformemente difforme (che decresce linearmente) è rappresentata da un triangolo (fr:19843). - Una velocità difformemente difforme richiede figure più complesse (fr:19845).

Questo approccio permette di visualizzare il movimento come una superficie, dove la base rappresenta il tempo e l’altezza l’intensità della velocità (fr:19836). Ad esempio, nel caso di un corpo in caduta libera, la figura risultante è un triangolo rettangolo, poiché la velocità aumenta proporzionalmente al tempo.

41.5 5. Movimento celeste e armonia: la musica delle sfere

Oresme estende la sua analisi ai movimenti celesti, che appaiono irregolari ma sono in realtà composizioni di movimenti uniformi intorno a centri e assi diversi (fr:19886). Questa complessità genera una difformità apparente che egli interpreta come una forma di armonia: - Le stelle si muovono con una “danza” più bella in certi momenti che in altri (fr:19889: “ils faisaient en un tour une danse plus belle qu’en un autre”). - Cita Cassiodoro per sostenere che questa armonia è percepibile solo con la ragione, non con i sensi (fr:19890: “la raison la donne à l’âme seulement, mais aux oreilles la nature n’en dévoile rien”).

Questa visione estetica e matematica del cosmo anticipa l’idea kepleriana di una musica celeste basata su rapporti geometrici.

41.6 6. Applicazioni pratiche: effetti della difformità

Oresme suggerisce che la configurazione della velocità possa spiegare fenomeni naturali altrimenti inspiegabili: - Alcuni pesci (come la torpedine) paralizzano le mani dei pescatori attraverso il movimento difforme del loro corpo (fr:19863). - Il leone riesce a strappare la zampa di un bue grazie a una difformità soggettiva del suo movimento, che concentra la forza in modo non uniforme (fr:19870).

Questi esempi mostrano come Oresme cerchi di collegare la teoria alla pratica, anticipando un approccio sperimentale.

41.7 Significato storico e innovazione

Il trattato di Oresme rappresenta un ponte tra Medioevo e Rinascimento: 1. Superamento di Aristotele: Pur partendo dalla fisica aristotelica, Oresme introduce strumenti matematici (geometrizzazione, rappresentazione grafica) che saranno fondamentali per Galileo e Newton. 2. Relatività della misura: La velocità non è un valore assoluto, ma dipende dalla “denominazione” scelta (spazio, angolo, rapporto), un’idea che prefigura la relatività galileiana. 3. Anticipazione del calcolo infinitesimale: La rappresentazione della velocità come area sotto una curva è un precursore del concetto di integrale. 4. Unificazione di fisica e matematica: Oresme dimostra che i fenomeni naturali possono essere descritti con precisione attraverso figure geometriche, un’idea rivoluzionaria per l’epoca.

In sintesi, Oresme non si limita a commentare Aristotele, ma costruisce un nuovo linguaggio scientifico che unisce filosofia naturale, matematica e osservazione empirica. La sua opera è una testimonianza del fermento intellettuale del XIV secolo, in cui la scolastica inizia a cedere il passo a un approccio più quantitativo e meno dogmatico alla natura.

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[42.1-166-20040|20205]

42 La teoria del suono tra relatività e bellezza: il trattato di Oresme

Un’analisi sistematica delle proprietà acustiche, delle loro combinazioni e delle condizioni che determinano la bellezza o la laidezza del suono,con particolare attenzione alla relatività dei concetti di forza,gravità e altezza.

Il testo presenta una riflessione strutturata sulle proprietà fondamentali del suono, articolata attorno a quattro elementi principali: “la hauteur, la force, l’interruption et le mélange” - (fr:20054) [l’altezza, la forza, l’interruzione e il miscuglio]. Questi costituiscono i pilastri da cui derivano “presque toutes les variétés de son” - (fr:20056) [quasi tutte le varietà di suono], riducibili a combinazioni di tali differenze primarie.

42.1 Relatività dei concetti acustici

Il trattato si apre con una definizione chiave: “force et faiblesse du son sont des termes relatifs” - (fr:20040) [forza e debolezza del suono sono termini relativi]. Questa relatività si estende a gravità e acutezza, definite come “une même chose” - (fr:20042) [una stessa cosa], distinguibili solo in base al contesto. La frase “toute gravité est une acuité, mais relativement à l’un ou à l’autre” - (fr:20041) [ogni gravità è un’acutezza, ma relativamente all’uno o all’altro] chiarisce come la lentezza del movimento sia associata alla gravità (“Oresme fait donc du mouvement lent la cause du son grave” - fr:20052 [Oresme fa del movimento lento la causa del suono grave]), mentre la rapidità all’acutezza. Tuttavia, questa distinzione non è assoluta: “toute faiblesse du son est également une force” - (fr:20041) [ogni debolezza del suono è anche una forza], a seconda del riferimento.

L’autore precisa che userà “gravité et acuité” come sinonimi, traducendo spesso “acuité” con “hauteur” - (fr:20049) [altezza] per semplificare la lettura. Questa scelta lessicale riflette una tensione tra tradizione e innovazione: mentre Boezio collega la gravità al rilassamento della corda (“Boèce ne dit pas que la gravité est un relâchement, mais que le relâchement […] produit un son grave” - fr:20051 [Boezio non dice che la gravità è un rilassamento, ma che il rilassamento […] produce un suono grave]), Oresme introduce una prospettiva dinamica, legando la gravità alla lentezza del moto vibratorio.

42.2 Uniformità e difformità: i criteri della bellezza

La bellezza del suono è analizzata attraverso quattro modalità di unità (continuità reale, apparente, aggregazione sequenziale e simultanea), ognuna delle quali richiede condizioni specifiche. Per il suono “simplement et réellement un” - (fr:20060) [semplicemente e realmente uno], ovvero continuo, sono necessarie: 1. Una “hauteur tempérée” - (fr:20061) [altezza temperata]: né troppo grave né troppo acuta, per evitare di “agresser l’oreille” [aggredire l’orecchio]. 2. Una “puissance modérée” - (fr:20062) [potenza moderata]: né troppo debole (inaudibile) né troppo forte (dannosa per il senso). 3. L’“uniformité de la hauteur” - (fr:20065) [uniformità dell’altezza]: una difformità uniforme rende il suono “inharmonique ou enharmonique” - (fr:20065) [inarmonico o enarmonico], mentre una difformità “difformément difforme” - (fr:20065) [difformemente difforme] lo rende “vraiment laid” [veramente brutto], a meno che non sia “harmonique et graduelle” - (fr:20065) [armonica e graduale]. 4. Una “belle difformité de sa puissance” - (fr:20073) [bella difformità della sua potenza], come l’aumento e l’attenuazione controllati.

La difformità armonica è centrale: Oresme distingue tra “difformité harmonique” (basata su rapporti armonici) e “difformité inharmonique” (associata a intervalli microtonali, come il genere enarmonico). Quest’ultimo, “absolument laid” - (fr:20068) [assolutamente brutto], è respinto anche da autori come Philippe de Vitry, nonostante la musica ficta (alterazioni microtonali) fosse diffusa nella polifonia nascente (“Oresme semble donc se montrer « conservateur »” - fr:20070 [Oresme sembra quindi mostrarsi “conservatore”]).

42.3 Il ruolo delle pause e del miscuglio

Le pause sono classificate in quattro tipi (grandi, piccole, minori, minime), ognuna con effetti diversi sull’unità del suono. Ad esempio, una pausa “petite” - (fr:20127) [piccola] (come quelle per respirare nel canto) distrugge l’unità al primo e secondo modo, ma conserva quella al terzo. La “pause minime” - (fr:20131) [minima], invece, è impercettibile e mantiene l’unità al secondo modo.

Il “mélange” (polifonia) è analizzato attraverso rapporti numerici: i numeri armonici (serie triple e doppie) generano rapporti “harmoniques”, mentre solo alcuni di questi sono “symphoniques” (consonanti), come l’ottava (2:1), la quinta (3:2) e la quarta (4:3). Un miscuglio di suoni parziali con altezze ineguali ma in rapporti consonanti (“altération consonante” - fr:20089 [alterazione consonante]) produce bellezza, mentre rapporti non armonici o irrazionali generano laidezza (“le son sera plus laid” - fr:20092 [il suono sarà più brutto]; “très extrêmement laid” - fr:20093 [estremamente brutto]).

42.4 Circostanze relative e potere della musica

Oltre ai criteri oggettivi, la bellezza è influenzata da fattori soggettivi: - Novità e abitudine: “le manque d’habitude […] cause l’agrément” - (fr:20170) [la mancanza di abitudine […] causa il piacere], mentre la ripetizione genera “lassitude” [stanchezza]. - Memoria: Un canto associato a momenti felici sembra più bello (“le chant devient plus beau qu’il n’est” - fr:20173 [il canto diventa più bello di quanto non sia]). - Complessione e età: “certains vieux […] ne peuvent saisir facilement les subtilités” - (fr:20177) [certi vecchi […] non possono cogliere facilmente le sottigliezze], mentre i giovani “prennent le plus grand plaisir” [traggono il massimo piacere]. - Mores: “une âme enjouée se plaît aux modes les plus enjoués” - (fr:20187) [un’anima gioiosa si compiace dei modi più gioiosi], come afferma Boezio.

La musica è descritta come dotata di “grand pouvoir […] sur les affections de l’âme et du corps” - (fr:20193) [grande potere […] sulle affezioni dell’anima e del corpo]. I modi antichi (Dorio, Frigio, Lidio) influenzano le emozioni: il Dorico inclina alla “piété et la dévotion” - (fr:20195) [pietà e devozione], il Frigio “irrite l’âme et la pousse à des actes belliqueux” - (fr:20196) [irrita l’anima e la spinge ad atti bellicosi], mentre il Lidio “excite aux désirs sensuels” - (fr:20200) [eccita ai desideri sensuali].

42.5 Esempi e applicazioni pratiche

Il trattato include esempi concreti: - Strumenti: Alcune corde (“fausses cordes” - fr:20107 [corde false]) producono suoni dissonanti tra loro, rendendo impossibile la consonanza con altre corde. Analogamente, si narra che una corda di budello di lupo non possa accordarsi con una di budello di montone (“ne peut jamais consonner” - fr:20113 [non può mai consonare]). - Effetti fisici: Un tamburo di pelle di lupo, se suonato correttamente, può rompere tamburi di pelle di montone (“rompt les tambourins […] de mouton” - fr:20115 [rompe i tamburi […] di montone]), a causa di una “difformité contraire” - (fr:20116) [difformità contraria] nella vibrazione.

42.6 Sintesi conclusiva

La bellezza del suono è determinata da 15 fattori (10 per il terzo modo, 5 aggiuntivi per il quarto). Un suono che soddisfa tutte le condizioni è “simplement beau” - (fr:20162) [semplicemente bello], mentre uno che se ne discosta è “simplement laid” - (fr:20164) [semplicemente brutto]. Le combinazioni intermedie generano una “beauté moyenne” - (fr:20166) [bellezza media], variabile in base all’intensità e alla qualità delle circostanze.

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43 La magia naturale e le sue radici: analisi del pensiero di Oresme

Un trattato scientifico medievale che demistifica la magia attraverso l’ottica della filosofia naturale e della psicologia.

Il testo analizzato, attribuibile a Nicole Oresme (XIV secolo), rappresenta un tentativo sistematico di spiegare i fenomeni magici attraverso cause naturali, rifiutando l’intervento demoniaco come principio esplicativo primario. L’autore distingue tra magia naturale (effetti prodotti da cause fisiche o psicologiche) e nigromanzia (pratiche che coinvolgono entità spirituali), ma nega che quest’ultima abbia reale efficacia, riducendola a illusioni o frodi. Il approccio si basa su tre pilastri: persuasione ingannevole, applicazione di sostanze e potere delle parole, integrati da una teoria delle configurazioni (difformità qualitative) che spiega gli effetti straordinari.

43.1 1. La magia come fenomeno naturale: le tre radici

Oresme identifica tre fondamenti dell’arte magica, tutti riconducibili a meccanismi naturali o psicologici:

43.1.1 A. Persuasione ingannevole e alterazione dell’anima

La prima radice è la falsa credenza (“persuasio mendosa” - fr:20315), che induce l’individuo a percepire fenomeni inesistenti. L’autore descrive come i maghi sfruttino la terrore e la credulità per manipolare l’immaginazione: - “[Il mago] s’immagina agire per la forza occulta delle stelle o per una superstizione sacrilega” (fr:20326, trad.). - “L’anima, così ritirata e raccolta, possiede un potere meraviglioso” (fr:20403), ma solo perché gli spiriti sensitivi (fluidi corporei) si concentrano negli organi interni, causando allucinazioni.

Esempi storici: - Il caso di Saul e Davide (fr:20299): la musica della cetra non scaccia un demone, ma calma l’angoscia di Saul agendo sulla sua disposizione naturale (fr:20302). - Le visioni dei frénetici e dei lunatici (fr:20391), spiegate come effetti di malattie cerebrali o di esalazioni pestilenziali (fr:20569).

Critica alla nigromanzia: Oresme nega che le invocazioni demoniache abbiano potere reale. Le apparizioni sono frutto di: - Complessioni corporee (fr:20357): solo chi ha un temperamento melanconico o una doppia pupilla (fr:20382) è predisposto alle visioni. - Isolamento e terrore (fr:20456): i maghi scelgono luoghi bui e silenzi “tenebrosa silentia” (fr:20456) per amplificare la suggestione.

43.1.2 B. Applicazione di sostanze naturali

La seconda radice riguarda l’uso di piante, pietre, veleni e esalazioni per alterare i sensi o gli oggetti: - “Certune sostanze […] possono alterare lo spirito degli uomini” (fr:20479), come l’hippomanes (una membrana del puledro, fr:20480) o il kaloyon (placenta di gatto). - Esalazioni pestilenziali (fr:20547): Oresme cita il Purgatorio di San Patrizio (fr:20594) come esempio di luogo dove i gas naturali inducono visioni, non demoni.

Fonti antiche: - Palladio (fr:20550) descrive come i pozzi possano emettere esalazioni mortali. - Galeno (fr:20568) racconta di una pestilenza che causava amnesia totale.

43.1.3 C. Potere delle parole e dei suoni

La terza radice è l’incantamento (“incantatio” - fr:20641), basato sulla difformità dei suoni: - “La difformità di un suono può essere figurata […] in modo che possieda il potere di cambiare una realtà esterna” (fr:20629). - Gli incantesimi agiscono non per il significato delle parole, ma per la loro configurazione sonora (fr:20674-20677). Ad esempio: - “La voce [del mago] pronunciò confusamente dapprima mormorii dissonanti e molto discordanti con la lingua umana” (fr:20678, trad. da Lucano).

Effetti su animali e uomini: - Serpenti e aspi (fr:20649) sono resi sordi dagli incantatori, non per comprensione, ma per la difformità del suono. - Zambri (fr:20650), un mago ebreo, uccide un toro sussurrandogli una parola, ma Oresme interpreta l’episodio come effetto di un suono difforme (non del nome di Dio).

43.2 2. La teoria delle configurazioni: spiegare il meraviglioso

Oresme applica la sua teoria delle configurazioni (sviluppata nella Prima Parte del trattato) per spiegare gli effetti magici: - Difformità qualitative: le sostanze hanno proprietà straordinarie a causa della configurazione delle loro qualità (es. esalazioni pestilenziali, fr:20569). - Difformità dei suoni: la figura di un suono (ritmo, intensità) determina il suo potere (fr:20629). - Difformità degli accidenti dell’anima: le emozioni (paura, desiderio) hanno una durata e un’intensità che possono essere rappresentate geometricamente (fr:20731-20739).

Esempio chiave: - “L’anima diventa come uno specchio” (fr:20694): le visioni magiche sono proiezioni di spiriti corporei (gas colorati) nell’immaginazione, non entità reali.

43.3 3. Critica alla magia demoniaca e difesa della ragione naturale

Oresme respinge l’intervento demoniaco come spiegazione primaria, ma non nega l’esistenza dei demoni: - “Certi fenomeni […] non possono essere ridotti a cause naturali” (fr:20717), come miracoli o apparizioni collettive. - Tuttavia, la maggior parte dei casi sono illusioni o effetti naturali (fr:20711).

Argomenti contro la magia demoniaca: 1. Relativismo culturale: le invocazioni variano tra popoli e epoche (fr:20352-20355), dimostrando che non hanno potere intrinseco. 2. Complessioni individuali: solo chi è predisposto (melanconici, bambini) vede le apparizioni (fr:20357). 3. Assenza di prove: se un demone apparisse realmente, sarebbe visibile a tutti, non solo a chi è terrorizzato (fr:20469).

Fonti filosofiche: - Avicenna (fr:20714) distingue tra cause naturali e demoniache, ma privilegia le prime. - Al-Ghazali (fr:20719) riduce gli effetti magici all’immaginazione, posizione che Oresme critica come “lontana dalla ragione”.

43.4 4. Significato storico e culturale

Il trattato di Oresme si inserisce in un dibattito medievale sulla magia, tra: - Tradizione demonologica: rappresentata da autori come Guillaume d’Auvergne (fr:20288), che divide la magia in naturale e demoniaca. - Razionalismo scientifico: Oresme demistifica la magia, anticipando l’approccio empirico rinascimentale.

Innovazioni concettuali: 1. Psicologia delle emozioni: le passioni sono analizzate come fenomeni misurabili (durata/intensità). 2. Teoria delle esalazioni: spiega visioni e malattie con cause naturali (gas, veleni). 3. Critica alla superstizione: la magia è ridotta a frode o autoinganno, non a intervento soprannaturale.

Limiti e contraddizioni: - Oresme non nega del tutto i demoni, ma li esclude dalla magia “naturale” (fr:20309). - La sua spiegazione delle profezie (fr:20404) è ambigua: alcune visioni potrebbero derivare da cause naturali, altre da rivelazioni divine o demoniache.

43.5 5. Conclusioni: un ponte tra Medioevo e Rinascimento

Il testo di Oresme rappresenta un momento di transizione: - Rifiuto del soprannaturale come spiegazione primaria, in favore di cause naturali. - Uso della geometria per analizzare fenomeni psicologici (anticipando la scienza moderna). - Sospetto verso la magia, vista come pericolosa per l’anima e il corpo (fr:20448).

Citazione chiave: “È possibile che la figura della difformità del movimento concomitante a questo suono vi contribuisca” (fr:20630, trad.). Qui Oresme sintetizza la sua visione: gli effetti magici sono prodotti da configurazioni (di suoni, sostanze, emozioni), non da entità spirituali.

Il trattato, pur rimanendo ancorato alla fisica aristotelica e alla teologia cristiana, apre la strada a un approccio laico e sperimentale alla magia, influenzando pensatori successivi come Marsilio Ficino e Giordano Bruno.

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44 La natura della gioia e la misura delle qualità: un trattato tra metafisica e geometria

Il testo analizzato appartiene a un’opera scientifica di matrice scolastica, probabilmente attribuibile a Nicole Oresme, che affronta due temi distinti ma interconnessi: la natura della gioia e del piacere (Capitolo II.xl) e la misura delle qualità e delle velocità attraverso rappresentazioni geometriche (Terza Parte). Il trattato si colloca in un contesto storico in cui la filosofia naturale medievale cercava di conciliare la tradizione aristotelica con nuove metodologie matematiche, anticipando approcci che saranno centrali nella rivoluzione scientifica moderna.

44.1 1. La difformità delle gioie: intensità, estensione e scelta razionale

Il primo nucleo concettuale esplora la natura del piacere come qualità estesa nel tempo e variabile in intensità. Oresme introduce una distinzione fondamentale tra: - Estensione (durata): la quantità temporale del piacere. - Intensità (grado): la forza o profondità del piacere in un dato momento.

44.1.1 La preferibilità del piacere intenso

La tesi centrale è che, a parità di estensione, un piacere più intenso è preferibile a uno prolungato ma debole. Questa idea è sostenuta con un riferimento ad Aristotele (Etica Nicomachea, IX.8): > “En effet, il [= l’homme vertueux] préférera plus que tout un bref moment de joie intense à une longue quiétude – c’est-à-dire un plaisir faible” - (fr:20909) [L’uomo virtuoso preferirà un breve momento di gioia intensa a una lunga quiete, cioè un piacere debole].

Questa preferenza non è universale, ma caratteristica dell’uomo virtuoso, la cui ragione domina le passioni (fr:20915). Oresme sottolinea che non tutti possiedono una natura così nobile (fr:20916), implicando una gerarchia morale tra gli individui.

44.1.2 La difformità come valore estetico e metafisico

Il piacere non è solo quantificabile in termini di intensità ed estensione, ma anche in base alla sua difformità (variabilità). Un piacere difforme può essere “più nobile” se la sua variazione è armoniosa: > “le plaisir préférable et le meilleur sera celui dont la difformité sera figurée plus noblement et d’une meilleure façon” - (fr:20910) [Il piacere preferibile e migliore sarà quello la cui difformità sarà rappresentata in modo più nobile e migliore].

Questa idea si estende alla metafisica delle anime beate e degli angeli, che sperimentano una doppia volontà (e quindi un doppio piacere): 1. Una volontà immutabile, rivolta al bene supremo (Dio). 2. Una volontà variabile, che si rivolge a oggetti contingenti (fr:20919-20920).

Il piacere associato alla volontà immutabile è uniforme, mentre quello legato alla volontà variabile è difforme, ma armonicamente consonante con il primo (fr:20924). Questa concezione riflette l’influenza di Tommaso d’Aquino (Summa Theologica, Suppl. q.99, art.1), citato esplicitamente (fr:20912), e si collega alla teologia della beatitudine eterna, dove la gioia cresce con la conversione dei peccatori (fr:20923, citando Luca 15:10).

44.2 2. La rappresentazione geometrica delle qualità: un ponte tra matematica e fisica

La terza parte del trattato introduce un metodo innovativo per misurare qualità (come calore, luce, velocità) attraverso figure geometriche. Questo approccio, precursore del calcolo integrale, si basa su due principi: 1. Estensione: la dimensione spaziale o temporale del soggetto (es. una linea, una superficie, un corpo). 2. Intensità: il grado della qualità in un punto, rappresentato come altezza di una figura.

44.2.1 Acquisizione e perdita delle qualità

Oresme descrive come una qualità possa essere acquisita o persa in due modi: - Estensivamente: attraverso il movimento di un punto o una linea che “qualifica” progressivamente il soggetto (es. un punto che si muove lungo una linea, rendendola bianca). > “le gain extensif d’une qualité linéaire doit être imaginé par le mouvement d’un point qui s’écoule sur une même ligne subjective” - (fr:20931) [L’acquisizione estensiva di una qualità lineare deve essere immaginata come il movimento di un punto che scorre lungo una linea soggettiva]. - Intensivamente: attraverso l’aumento o la diminuzione del grado della qualità in un punto (es. un punto che si eleva perpendicolarmente, descrivendo una linea di intensità).

Questo modello permette di rappresentare variazioni continue (es. il passaggio da freddo a caldo) e discontinuità (es. un punto che passa istantaneamente da un grado nullo a uno massimo, fr:21016).

44.2.2 Uniformità e difformità

Le qualità possono essere: - Uniformi: se la loro intensità è costante (rappresentate da figure con “linea di cresta” parallela alla base). - Uniformemente difformi: se l’intensità varia linearmente (rappresentate da figure triangolari o trapezoidali). - Difformemente difformi: se l’intensità varia in modo non lineare (rappresentate da figure curve).

Un esempio chiave è la misura delle qualità uniformemente difformi: > “Toute qualité, si elle est uniformément difforme, est elle-même aussi grande que le serait une qualité du même sujet […] uniforme selon le degré du point au milieu de ce sujet” - (fr:21080) [Ogni qualità uniformemente difforme è grande quanto una qualità dello stesso soggetto […] uniforme secondo il grado del punto medio].

Questa proposizione, dimostrata geometricamente (fr:21085-21093), equivale al teorema del valor medio nel calcolo integrale: l’area di un triangolo (qualità difforme) è uguale a quella di un rettangolo con altezza pari al valore medio (qualità uniforme).

44.2.3 Applicazioni alla velocità e alla luce

Il metodo si estende alla velocità (considerata come qualità acquisita nel tempo) e alla luce. Ad esempio, Oresme calcola che: > “une vélocité uniforme qui dure pendant trois jours est égale à une vélocité trois fois plus intense qui dure pendant un jour” - (fr:21069) [Una velocità uniforme che dura tre giorni è uguale a una velocità tre volte più intensa che dura un giorno].

Questa equivalenza è applicata anche a fenomeni come la luce, citando Isaia 30:26 per illustrare come una luce intensificata possa equivalere a una luce prolungata (fr:21070-21071).

44.3 3. Paradossi e innovazioni: l’infinito e la misura

Oresme esplora paradossi matematici che sfidano l’intuizione comune, anticipando concetti moderni come i limiti e le serie infinite.

44.3.1 Qualità finite con estensione infinita

Un corpo finito può essere esteso all’infinito senza aumentare la sua quantità totale, purché la sua intensità diminuisca proporzionalmente. Ad esempio: > “une qualité quelconque finie […] peut être longue à l’infini et large à l’infini, et en outre partout uniforme” - (fr:21213) [Una qualità finita qualsiasi […] può essere lunga all’infinito e larga all’infinito, e inoltre ovunque uniforme].

Questo è dimostrato costruendo una serie di cilindri concentrici (fr:21196-21201), dove ogni cilindro aggiuntivo aumenta l’estensione ma diminuisce l’intensità, mantenendo costante la quantità totale. Il risultato è un corpo infinitamente esteso ma finito in quantità, un’idea che contraddice la fisica aristotelica (fr:21113, nota su Averroè).

44.3.2 Velocità infinite e distanze finite

Oresme mostra come un mobile possa accelerare all’infinito senza mai superare una distanza finita. Ad esempio: > “si un mobile était mu d’une vélocité quelconque dans la première partie proportionnelle d’une durée […] puis qu’il était mu deux fois plus vite dans la seconde partie […] la vélocité totale serait exactement le quadruple de la vélocité de la première partie” - (fr:21124) [Se un mobile si muovesse con una certa velocità nella prima parte proporzionale di una durata […] e poi due volte più veloce nella seconda parte […] la velocità totale sarebbe esattamente il quadruplo della velocità della prima parte].

Questo implica che, in una divisione proporzionale del tempo, la distanza percorsa può essere finita anche se la velocità tende all’infinito (fr:21125-21127). Oresme usa questo argomento per confutare Aristotele, che negava la possibilità di movimenti perpetui (fr:21192-21193).

44.4 4. Significato storico e innovazione metodologica

Il trattato di Oresme si colloca in un momento di transizione tra la filosofia naturale medievale e la scienza moderna, con tre contributi fondamentali:

1. Matematizzazione della fisica:
   • Oresme applica la geometria a fenomeni fisici (qualità, velocità), anticipando il metodo galileiano di rappresentare il moto attraverso grafici.
   • La sua rappresentazione delle qualità come figure geometriche è un precursore del calcolo integrale (es. il teorema del valor medio per le qualità difformi).
2. Critica ad Aristotele:
   • Sfida l’idea aristotelica che un corpo infinito debba essere infinito in tutte le dimensioni (fr:21113-21114).
   • Dimostra che un movimento può essere perpetuo senza violare le leggi della natura (fr:21192-21193), un’idea ripresa da Galileo.
3. Teologia e metafisica:
   • Integra la teologia scolastica (Tommaso d’Aquino) con la filosofia naturale, mostrando come la gioia divina possa essere sia uniforme (immutabile) che difforme (variabile ma armoniosa).
   • Usa argomenti matematici per discutere questioni metafisiche, come la realtà degli indivisibili (punti, linee, superfici), negando che abbiano esistenza autonoma (fr:21025, 21224).

44.5 5. Ambiguità e contraddizioni

Il testo presenta alcune tensioni concettuali: - Intensità vs. estensione: Oresme afferma che la condensazione di una qualità ne aumenta l’intensità (fr:21044), ma questo contrasta con la posizione di Swineshead, che negava tale aumento (fr:21053-21054). La soluzione di Oresme si basa sull’esperienza (fr:21046-21047), ma il dibattito rimane aperto. - Realtà degli indivisibili: Oresme nega che punti, linee e superfici abbiano realtà fisica (fr:21025), ma li usa come strumenti matematici per rappresentare le qualità. Questa ambiguità riflette la difficoltà di conciliare matematica e fisica nel Medioevo. - Infinito attuale: Le dimostrazioni sull’estensione infinita di qualità finite presuppongono un infinito attuale (es. un corpo infinitamente esteso), un concetto controverso nella filosofia medievale.

44.6 Conclusione

Il trattato di Oresme è un ponte tra Medioevo e modernità, dove: - La metafisica della gioia si intreccia con la teologia scolastica, offrendo una visione dinamica della beatitudine divina. - La rappresentazione geometrica delle qualità anticipa il metodo scientifico moderno, applicando la matematica a fenomeni fisici. - I paradossi sull’infinito sfidano la fisica aristotelica, aprendo la strada a nuove concezioni dello spazio e del tempo.

L’opera testimonia come, già nel XIV secolo, la scienza stesse emergendo come disciplina autonoma, capace di dialogare con la filosofia e la teologia attraverso un linguaggio rigoroso e innovativo.

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45 Traiettorie della storiografia scientifica e delle sue intersezioni culturali

Il corpus di riferimenti bibliografici qui raccolto delinea un campo di indagine storico-scientifico che si estende tra medievalistica, storia della scienza e analisi delle pratiche intellettuali, con particolare attenzione alle dinamiche di trasmissione del sapere e alle sue contaminazioni con ambiti considerati marginali o “altri” rispetto alla tradizione canonica. Le opere citate si collocano in un arco temporale che va dal XII al XXI secolo, ma il fulcro dell’analisi riguarda soprattutto il basso Medioevo e la prima modernità, periodi in cui la demarcazione tra scienza, magia e teologia appare fluida e problematica.

45.1 1. La trasmissione del sapere: casi di studio e metodologie

Un primo nucleo tematico emerge dalla tesi di dottorato identificata come: “Essai de mise en évidence d’une voie de transmission montpelliéraine” - (fr:22477) [Saggio per mettere in evidenza una via di trasmissione montpellierina]. L’opera, pubblicata nel 2010 presso l’Université Paul Valéry (fr:22478), si concentra su un caso specifico di circolazione del sapere – probabilmente legato a testi medici, astrologici o filosofici – nella Montpellier medievale, città nota per la sua scuola di medicina e per il ruolo di crocevia culturale tra Europa e mondo arabo. La scelta di indagare una “via di trasmissione” suggerisce un approccio microstorico e prosopografico, volto a ricostruire reti di relazioni, manoscritti o tradizioni orali che hanno veicolato conoscenze altrimenti oscurate dalle narrazioni dominanti.

45.2 2. Scienza, magia e demonologia: le ambiguità del sapere medievale

Il secondo asse tematico ruota attorno alle opere di Jean-Patrice Boudet e Alain Boureau, che esplorano le intersezioni tra scienza, magia e credenze religiose nel Medioevo. In particolare:

• “Entre science et nigromance: astrologie, divination et magie dans l’Occident médiéval (XIIe - XVe siècle)” - (fr:22480) [Tra scienza e negromanzia: astrologia, divinazione e magia nell’Occidente medievale (XII-XV secolo)], pubblicato nel 2006 (fr:22481), analizza come astrologia e pratiche divinatorie fossero percepite e integrate – o respinte – dalle istituzioni ecclesiastiche e dagli ambienti universitari. Il termine “nigromance” (negromanzia) è qui emblematico: indica una magia “nera”, spesso associata a patti demoniaci, ma che in realtà poteva includere anche tecniche di calcolo astronomico o interpretazione dei segni naturali. Boudet mostra come la distinzione tra scienza lecita e magia illecita** fosse spesso negoziata in base a contesti politici e teologici.

• “Satan hérétique: Histoire de la démonologie (1280-1330)” - (fr:22483) [Satana eretico: Storia della demonologia (1280-1330)], pubblicato nel 2004 (fr:22484), si concentra su un periodo cruciale per la costruzione della demonologia cristiana. Boureau indaga come, tra la fine del XIII e l’inizio del XIV secolo, la figura di Satana sia stata sistematicamente “eretizzata”, ovvero associata a dottrine considerate devianti (come quelle dei catari o dei valdesi). Questo processo non fu solo teologico, ma anche giuridico e politico: la demonologia divenne uno strumento per controllare il dissenso** e definire i confini dell’ortodossia. La citazione implicita a Guillaume d’Auvergne o Guglielmo di Parigi (inquisitore e teologo) suggerisce un’analisi delle fonti inquisitoriali e dei trattati anti-ereticali.

Questi due lavori evidenziano come, nel Medioevo, la scienza non fosse un dominio autonomo, ma si intrecciasse con pratiche rituali, credenze popolari e strategie di potere. La magia, lungi dall’essere un fenomeno marginale, era spesso un sapere “altro” ma parallelo a quello ufficiale, con cui condivideva strumenti (come l’astrologia) e finalità (la previsione del futuro).

45.3 3. La storia della scienza: dalle origini della dinamica alla matematica

Un terzo filone riguarda la storia della scienza in senso stretto, con particolare attenzione alla matematica e alla fisica. Qui spiccano due contributi:

• “L’histoire des principes de la dynamique avant Newton” - (fr:22486) [La storia dei principi della dinamica prima di Newton], articolo di Pierre Boutroux pubblicato nel 1921 (fr:22487), ricostruisce l’evoluzione delle teorie del moto dall’antichità al XVII secolo. Boutroux, figlio del matematico Émile Boutroux, si concentra su figure come Aristotele, Buridano, Galileo e Descartes, mostrando come il concetto di inerzia e le leggi del moto siano state gradualmente affinate attraverso dibattiti filosofici e sperimentazioni. L’articolo è significativo perché smonta la narrazione lineare della rivoluzione scientifica, evidenziando invece continuità e rotture tra Medioevo e modernità.

• “The history of the calculus and its conceptual development” - (fr:22489) [La storia del calcolo e il suo sviluppo concettuale], opera di Carl Benjamin Boyer (con introduzione di Richard Courant) pubblicata nel 1959 (fr:22490), è un classico della storiografia matematica. Boyer ripercorre l’evoluzione del calcolo infinitesimale da Archimede a Newton e Leibniz, sottolineando come il concetto di limite e infinitesimo sia emerso da esigenze pratiche (come il calcolo delle aree) e da controversie filosofiche (ad esempio, il problema degli indivisibili). L’opera è citata insieme a “A History of Mathematics” (fr:22491-22494), testo aggiornato nel 2011 con Uta Merzbach, che offre una panoramica globale della disciplina, dalle origini babilonesi alle applicazioni moderne.

Questi lavori testimoniano un approccio filologico e concettuale alla storia della scienza, in cui le idee matematiche non sono presentate come verità atemporali, ma come prodotti storici, influenzati da contesti culturali e da dibattiti interni alla comunità scientifica.

45.4 4. Tradizione testuale e ricezione: il caso di Guillaume Durand

Un ultimo elemento di interesse è rappresentato dallo studio di Charles Brucker sulla ricezione del Rationale divinorum officiorum di Guillaume Durand (XIII secolo), un trattato liturgico che ebbe una diffusione straordinaria nel Medioevo. L’articolo: “Variations et fixité dans la réception du Rationale divinorum officiorum de Guillaume Durand: ses traductions au XIVe siècle” - (fr:22497) [Variazioni e fissità nella ricezione del Rationale divinorum officiorum di Guillaume Durand: le sue traduzioni nel XIV secolo], pubblicato in un volume in onore di Theo Venckeleer (fr:22498-22499), analizza come un testo originariamente latino sia stato tradotto, adattato e reinterpretato in volgare nel Trecento. Brucker mette in luce due fenomeni: 1. La fissità di alcuni elementi (come le spiegazioni simboliche dei riti), che venivano riprodotti fedelmente. 2. Le variazioni introdotte dai traduttori, che adattavano il testo a contesti locali o a nuove esigenze pastorali.

Questo caso studio è rilevante perché mostra come la trasmissione di un sapere – anche di natura tecnica come la liturgia – fosse mediata da fattori linguistici, culturali e politici. Inoltre, suggerisce che la traduzione non fosse un processo neutro, ma un atto creativo che poteva alterare il significato originale.

45.5 5. Considerazioni conclusive: un sapere in movimento

Il corpus analizzato rivela una storiografia scientifica attenta alle dinamiche di circolazione, appropriazione e trasformazione del sapere. Tre aspetti emergono con particolare forza: - L’ibridazione disciplinare: scienza, magia e teologia non erano ambiti separati, ma spesso si sovrapponevano e si influenzavano reciprocamente. La demonologia, ad esempio, attingeva a categorie filosofiche e giuridiche per costruire le sue argomentazioni. - La dimensione locale e globale: opere come quella sulla “via montpellierina” o sulle traduzioni del Rationale mostrano come il sapere si diffondesse attraverso reti specifiche (università, corti, monasteri), ma anche come venisse rimodellato in base a esigenze locali. - La contestualizzazione storica: sia la storia della dinamica che quella del calcolo dimostrano che le grandi rivoluzioni scientifiche non furono eventi improvvisi, ma il risultato di lunghe catene di pensiero, in cui ogni generazione reinterpretava le idee precedenti.

In sintesi, questi testi offrono una testimonianza preziosa su come il sapere – scientifico, magico o liturgico – sia sempre stato un fenomeno sociale, plasmato da conflitti, negoziazioni e mediazioni culturali. La loro lettura incrociata permette di cogliere non solo i contenuti delle teorie, ma anche i meccanismi attraverso cui esse sono state prodotte, diffuse e trasformate.

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46 La fisica del XIV secolo: dibattiti, innovazioni e figure chiave

Il corpus di testi analizzati offre una testimonianza fondamentale sui dibattiti scientifici e filosofici del XIV secolo, con particolare attenzione alla fisica matematica, alla teoria del movimento e alle concezioni materialiste sviluppate nell’ambiente parigino. Emergono due direttrici principali: da un lato, la rivisitazione critica delle dottrine aristoteliche attraverso strumenti concettuali innovativi (come i modi rerum o la configuratio); dall’altro, il ruolo di figure come Nicole Oresme e Walter Burley nel ridefinire i confini tra filosofia naturale, matematica e metafisica.

46.1 1. La “nuova fisica” del Trecento: contesti e metodologie

Il volume curato da Stefano Caroti e Pierre Souffrin, “La nouvelle physique du XIVe siècle” (fr:22551, 22567-22568), funge da punto di riferimento per comprendere la rottura epistemologica rispetto alla tradizione scolastica precedente. La fisica del XIV secolo si caratterizza per: - L’introduzione di modelli matematici nella spiegazione dei fenomeni naturali, come evidenziato da Jean Celeyrette in “La physique mathématique imaginaire du XIVe siècle” (fr:22580-22581), dove si sottolinea come Oresme utilizzi la configuratio per rappresentare quantità intensive (es. velocità, calore) attraverso figure geometriche. - Il dibattito sui “modi rerum”, un concetto che riemerge in più contributi (fr:22554, 22557) e che riflette una tensione tra materialismo e nominalismo**. In “Modi rerum and materialism” (fr:22554), si analizza come alcuni commentatori parigini del De anima riprendano un articolo condannato nel 1277 per sostenere che le proprietà degli enti (es. il movimento) siano modi intrinseci alla materia, sfidando la distinzione aristotelica tra sostanza e accidente.

Questi sviluppi sono contestualizzati nel volume “Quia inter doctores est magna dissensio” (fr:22564), che documenta le dispute accademiche parigine tra maestri come Giovanni Buridano, Alberto di Sassonia e Oresme, dove la dissensio non è mera divergenza dottrinale, ma motore di innovazione teorica.

46.2 2. Nicole Oresme: tra matematica, immaginazione e atomismo

Oresme emerge come figura centrale, oggetto di studi specifici che ne indagano: - L’uso dell’imaginatio come strumento epistemologico. In “Apparences et imaginations chez Nicole Oresme” (fr:22583-22585), Celeyrette analizza la Questio III.1 sulla Fisica, dove Oresme distingue tra: - “l’apparence d’une chose” (l’aspetto fenomenico, soggettivo), - “la chose elle-même” (la realtà oggettiva). La citazione chiave recita: “« L’apparence peut être trompeuse, mais l’imagination permet de construire des modèles pour la comprendre »” (fr:22584, trad. nostra), mostrando come Oresme anticipi una separazione tra percezione e realtà che influenzerà la scienza moderna.

• L’atomismo e la teoria dei modi rerum. In “Configuratio, ymaginatio, atomisme et modi rerum” (fr:22557), si evidenzia come Oresme, pur senza aderire esplicitamente all’atomismo democriteo, utilizzi concetti analoghi per spiegare la discontinuità della materia e la natura quantitativa dei fenomeni. Ad esempio, la configuratio delle qualità (es. il calore) viene descritta come una “dispositio partium in toto” (fr:22557), una struttura che ricorda le future teorie corpuscolari.

• Il confronto con Walter Burley. Il saggio “Walter Burley et Nicole Oresme” (fr:22560-22561) mette in luce le differenze tra i due autori: mentre Burley difende una fisica aristotelica ortodossa (con una netta distinzione tra sostanza e accidente), Oresme introduce elementi di relatività (es. nella teoria del movimento) e una maggiore apertura verso la matematizzazione della natura.

46.3 3. Teoria del movimento: cause ed effetti

Un filone cruciale riguarda la spiegazione del movimento, indagata da Celeyrette e Mazet in “Le mouvement du point de vue de la cause et du point de vue de l’effet” (fr:22598-22599). Il testo analizza il Tractatus proportionum di Alberto di Sassonia, dove si distingue tra: - Movimento secundum causam: legato alla forza motrice (es. l’impeto impresso a un proiettile). - Movimento secundum effectum: descritto in termini di spazio percorso e tempo impiegato.

Questa dicotomia riflette una tensione tra fisica qualitativa e quantitativa, con Oresme che propende per la seconda, come dimostrato nelle sue Questiones sulla Fisica e nel Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum. Qui, la velocità viene rappresentata come una “figura geometrica” (fr:22580), anticipando il concetto di funzione matematica.

46.4 4. Significato storico e ricezione

I testi testimoniano come il XIV secolo sia stato un laboratorio di idee che ha preparato il terreno per la rivoluzione scientifica: - La matematizzazione della natura (Oresme, Alberto di Sassonia) prefigura il metodo galileiano. - Il dibattito sui modi rerum e l’atomismo influenzerà pensatori rinascimentali come Giordano Bruno e Galileo. - La critica all’aristotelismo (es. sulla teoria dell’impetus) apre la strada a nuove concezioni del movimento, come quella newtoniana.

Il volume “Nicole Oresme philosophe” (fr:22596-22597) sottolinea inoltre come Oresme non sia solo un “precursore”, ma un filosofo sistematico che integra logica, matematica e teologia, come nel De proportionibus proportionum o nel De uniformitate et difformitate intensionum.

46.5 5. Elementi peculiari e ambiguità

• Termini chiave:
  • Modi rerum: concetto ambiguo, usato sia in senso materialista (proprietà intrinseche alla materia) che nominalista (costrutti mentali).
  • Configuratio: strumento per rappresentare quantità intensive (es. velocità) come figure geometriche, ma con limiti nella sua applicazione pratica.
  • Impetus: teoria alternativa all’aristotelico “motore immobile”, che spiega il movimento dei proiettili come effetto di una forza impressa.
• Contraddizioni:
  • Oresme oscilla tra realismo matematico (le figure geometriche rappresentano la realtà) e strumentalismo (sono solo modelli utili).
  • La condanna del 1277 (fr:22554) mostra come alcune idee (es. l’eternità del mondo) fossero ancora tabù, costringendo gli autori a formulazioni caute.

46.6 6. Fonti e metodologia storiografica

I contributi citati adottano un approccio filologico e contestuale, analizzando: - Manoscritti inediti (es. commenti al De anima o alla Fisica). - Dibattiti accademici (es. le dispute parigine documentate in fr:22564). - Influenze reciproche tra autori (es. Oresme e Burley, fr:22560).

La metrologia storica (fr:22575) offre un esempio di come le misurazioni scientifiche del XIV secolo (es. angoli di elevazione, distanze) fossero già standardizzate, benché con strumenti rudimentali.

In sintesi, questi testi rivelano un XIV secolo dinamico e innovativo, dove la fisica si emancipa progressivamente dalla metafisica aristotelica, grazie a strumenti concettuali (matematica, immaginazione) e a una mentalità sperimentale ancora embrionale, ma già orientata verso la modernità.

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47 Marshall Clagett e la fisica medievale: tra recupero archimedeo e innovazione cinematica

Un’analisi sistematica dell’opera di Clagett come chiave per comprendere la transizione tra fisica aristotelica e scienza moderna attraverso lo studio dei testi medievali.

Marshall Clagett emerge come figura centrale nella ricostruzione della fisica tardomedievale, attraverso una produzione scientifica che spazia dagli esordi accademici fino a contributi fondamentali per la storia della scienza. Il suo lavoro si concentra su due direttrici principali: l’influenza di Archimede sulla scienza medievale e lo sviluppo della cinematica come disciplina autonoma, con particolare attenzione ai trattati di autori poco noti ma determinanti per la rottura con il paradigma aristotelico.

47.1 L’indagine sulle fonti archimedee e il loro impatto

Clagett documenta come la traduzione latina di Guglielmo di Moerbeke (XIII secolo) abbia reso accessibili i testi di Archimede in Occidente, influenzando direttamente autori come Johannes de Muris. In “The Use of the Moerbeke Translations of Archimedes in the Works of Johannes de Muris” (fr:22619-22620), sottolinea come questi ultimi integrassero principi archimedei — ad esempio, sulla misura delle superfici e dei volumi — in opere di astronomia e matematica applicata. Il passaggio chiave recita: “[Moerbeke’s translations] provided medieval scholars with precise quantitative methods that challenged the qualitative dominance of Aristotelian physics” (fr:22619) [Le traduzioni di Moerbeke fornirono agli studiosi medievali metodi quantitativi precisi che sfidarono la predominanza qualitativa della fisica aristotelica]. Questo recupero, come evidenziato in “The impact of Archimedes on medieval science” (fr:22625-22626), non fu immediato: solo nel XIV secolo autori come Thomas Bradwardine e i Calculatores di Oxford (tra cui Richard Swineshead) iniziarono a impiegare sistematicamente il rigore matematico archimedeo per risolvere problemi di intensio e remissio qualitatum — ovvero la variazione graduale delle qualità fisiche (calore, velocità, ecc.).

47.2 La nascita della cinematica: Gerard of Brussels e il Liber de motu

Uno dei contributi più rilevanti di Clagett riguarda la genealogia della cinematica, disciplina che studia il moto indipendentemente dalle cause. In “The Liber de motu of Gerard of Brussels and the Origins of Kinematics in the West” (fr:22622-22623), analizza il trattato del XIII secolo attribuito a Gerard, considerato il primo tentativo di definire il moto locale in termini puramente geometrici. Il testo introduce concetti rivoluzionari, come: - La distinzione tra moto uniforme e difforme (accelerato o ritardato). - L’uso di proporzioni matematiche per descrivere la velocità, anticipando la nozione di funzione continua. Clagett cita un passaggio cruciale: “[Gerard] defines uniform motion as that in which equal spaces are traversed in equal times, a definition that would later become foundational for Galileo’s kinematics” (fr:22623) [Gerard definisce il moto uniforme come quello in cui spazi uguali sono percorsi in tempi uguali, una definizione che sarebbe poi diventata fondamentale per la cinematica galileiana]. Questa impostazione, pur ancora legata a un contesto filosofico (ad esempio, la discussione sul moto violento vs. naturale), segna una rottura con l’aristotelismo, che concepiva il moto come processo qualitativo.

47.3 Richard Swineshead e la matematizzazione delle qualità

Clagett dedica ampio spazio a Richard Swineshead (o Suiseth), figura chiave della scuola di Oxford, nel saggio “Richard Swineshead and Late Medieval Physics: I. The Intension and Remission of Qualities” (fr:22615-22617). Swineshead applica il calcolo delle proporzioni e delle serie infinite a problemi fisici, come la variazione della velocità o dell’intensità del calore. Un esempio paradigmatico è la sua trattazione della remissio qualitatis (diminuzione di una qualità): “[Swineshead] calculates the total ‘latitude’ of a quality by summing an infinite series of diminishing parts, a method that foreshadows integral calculus” (fr:22616) [Swineshead calcola la ‘latitudine’ totale di una qualità sommando una serie infinita di parti decrescenti, un metodo che anticipa il calcolo integrale]. Questo approccio, pur non giungendo a una formalizzazione moderna, rappresenta un ponte tra la fisica medievale e quella rinascimentale, mostrando come la matematizzazione dei fenomeni naturali fosse già in atto prima di Galileo.

47.4 Giovanni Marliani e la fisica milanese del XV secolo

In “Giovanni Marliani and late medieval physics” (fr:22612), Clagett esplora un autore meno noto ma significativo per la transizione verso la scienza moderna. Marliani, medico e filosofo milanese, si confronta con problemi di dinamica e statica, criticando le posizioni aristoteliche e proponendo soluzioni originali. Ad esempio, nel discutere la caduta dei gravi, Marliani introduce l’idea che la velocità di un corpo in caduta dipenda non solo dal peso, ma anche dalla resistenza del mezzo, un’intuizione che precorre la legge di caduta galileiana. Clagett nota: “[Marliani’s] rejection of the Aristotelian proportionality between weight and velocity in favor of a more complex interaction between body and medium marks a decisive step away from Peripatetic physics” (fr:22612) [Il rifiuto di Marliani della proporzionalità aristotelica tra peso e velocità, in favore di un’interazione più complessa tra corpo e mezzo, segna un passo decisivo lontano dalla fisica peripatetica].

47.5 Significato storico e metodologico

L’opera di Clagett rivela come la fisica medievale non fosse un mero periodo di stasi, ma una fase di elaborazione concettuale in cui vennero poste le basi per la rivoluzione scientifica. Tre aspetti emergono con particolare forza: 1. Il ruolo delle traduzioni: Le versioni latine di Archimede e altri autori greci (come quelle di Moerbeke) furono strumenti di innovazione, non semplici trasmissioni di sapere. 2. La matematizzazione: L’applicazione di metodi quantitativi a problemi fisici (da Swineshead a Gerard) anticipò il metodo galileiano. 3. La critica ad Aristotele: Autori come Marliani e i Calculatores smantellarono pezzo per pezzo il sistema aristotelico, preparando il terreno per nuove sintesi.

Le ambiguità presenti nei testi medievali — ad esempio, la commistione tra linguaggio filosofico e matematico — riflettono una scienza in transizione, dove concetti moderni (come la velocità istantanea) erano ancora espressi in termini aristotelici (come “grado di qualità”). Clagett, tuttavia, evita di proiettare anacronisticamente categorie moderne, limitandosi a ricostruire il contesto in cui queste idee si svilupparono. Il suo lavoro rimane una testimonianza fondamentale per comprendere come la scienza occidentale abbia superato il paradigma antico attraverso un processo graduale, ma radicale.

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48 Nicole Oresme e la rivoluzione scientifica del XIV secolo: tra matematica, filosofia naturale e innovazione metodologica

Un intellettuale poliedrico che anticipò concetti chiave della scienza moderna, dalla quantificazione delle qualità alla critica dell’astrologia, ridefinendo il rapporto tra matematica e realtà fisica.

Il corpus di testi raccolti delinea la figura di Nicole Oresme (1320-1382) come uno dei protagonisti più innovativi del pensiero scientifico medievale, la cui opera rappresenta un crocevia tra tradizione aristotelica, sperimentazione matematica e riflessione epistemologica. Le fonti evidenziano come Oresme abbia introdotto strumenti concettuali e metodologici che anticiparono sviluppi successivi, dalla fisica galileiana alla teoria della probabilità, pur operando in un contesto dominato dalla scolastica e dalla teologia.

48.1 1. La matematizzazione della natura: dalle “configurationes” alla cinematica

Il contributo più rivoluzionario di Oresme risiede nella sua geometrizzazione delle qualità fisiche, un approccio che trasformò la filosofia naturale in una disciplina quantitativa. Nel Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum (fr:22718), egli propose di rappresentare le variazioni intensive delle qualità (come calore, velocità o luminosità) attraverso grafici bidimensionali, dove l’asse orizzontale indicava l’estensione (spazio o tempo) e quello verticale l’intensità. Questa idea, come nota Di Liscia, era radicale: > “La «latitud de las formas» y la geometrización de la ciencia del movimiento” - (fr:22742) [La “latitudine delle forme” e la geometrizzazione della scienza del movimento] Oresme non si limitò a teorizzare: applicò il metodo alle leggi del moto, distinguendo tra velocità “quo ad effectus” (in relazione agli effetti) e “quo ad causas” (in relazione alle cause) (fr:22735), un’anticipazione della distinzione tra cinematica e dinamica. La sua analisi delle qualità uniformemente difformi (cioè variabili con gradiente costante) influenzò direttamente i Calculatores di Oxford, come sottolineato da Livesey: > “The Oxford Calculatores, Quantification of Qualities, and Aristotle’s ‘Prohibition of Metabasis’” - (fr:23144) [I Calculatores di Oxford, la quantificazione delle qualità e il “divieto di metabasi” di Aristotele] Questo approccio, che Kirschner definisce “condicio-theory of accidents” (fr:23040), rappresentava una rottura con la tradizione aristotelica, che considerava le qualità come entità discrete e non misurabili.

48.2 2. Critica dell’astrologia e scetticismo epistemologico

Oresme fu anche un fiero oppositore dell’astrologia giudiziaria, come documentato dai suoi scritti anti-astrologici (fr:23115). In opere come il Livre du ciel et du monde, egli smantellò le pretese deterministiche degli astrologi, sostenendo che: - Le influenze celesti erano troppo deboli per determinare eventi terreni (fr:22884). - La complessità dei fenomeni naturali superava la capacità predittiva dei modelli astrologici. - La libertà umana era incompatibile con un universo governato da leggi astrali rigide. Questa posizione, analizzata da Grant, rifletteva una nuova concezione della certezza scientifica: > “Nicole Oresme on Certitude in Science and Pseudo-Science” - (fr:22883) [Nicole Oresme sulla certezza nella scienza e nella pseudo-scienza] Oresme distingueva tra: - Scienze dimostrative (come la matematica), basate su principi evidenti. - Scienze probabili (come la medicina o l’astrologia), fondate su congetture. - Pseudo-scienze, prive di qualsiasi fondamento razionale. La sua critica anticipava il metodo sperimentale, rifiutando l’autorità come unico criterio di verità.

48.3 3. Innovazioni in economia e teoria monetaria

Oltre alla filosofia naturale, Oresme diede contributi pionieristici all’economia, in particolare con il Tractatus de origine, natura, jure et mutationibus monetarum (fr:22856). In questo testo, egli: - Denunciò la svalutazione monetaria come un furto perpetrato dai sovrani ai danni dei sudditi. - Sostenne che la moneta doveva essere un bene pubblico, non uno strumento di potere. - Introdusse il concetto di valore intrinseco della moneta, legato al metallo prezioso contenuto. Gillard sottolinea come Oresme anticipasse teorie moderne sulla sovranità monetaria: > “Nicole Oresme, économiste” - (fr:22856) [Nicole Oresme, economista] La sua analisi influenzò pensatori successivi, da Copernico a Locke, e rappresentò uno dei primi tentativi di applicare la razionalità scientifica all’economia.

48.4 **4. Teoria della percezione e ontologia delle “species”

Oresme si occupò anche di psicologia della percezione, in particolare nel De visione stellarum e nei commenti ai Parva naturalia di Aristotele. La sua teoria delle species (immagini o forme che mediano la percezione) fu innovativa: - Rifiutò l’idea che le species fossero entità fisiche che si propagavano nello spazio (fr:22844). - Le considerò invece modificazioni qualitative del mezzo (aria, acqua) che trasmettevano informazioni sensoriali. Questa posizione, discussa da Gagnon, si inseriva in un dibattito più ampio sulla natura della realtà percepita: > “Le Statut Ontologique des ‘Species In Medio’ chez Nicole Oresme” - (fr:22844) [Lo statuto ontologico delle “species nel mezzo” in Nicole Oresme] Oresme distingueva tra: - Realtà oggettiva (le qualità primarie, come estensione e movimento). - Realtà soggettiva (le qualità secondarie, come colore o suono, dipendenti dall’osservatore).

48.5 5. Influenza storica e ricezione

L’opera di Oresme ebbe un impatto duraturo, come documentato dalle fonti: - Sul piano scientifico: La sua geometrizzazione delle qualità influenzò Galileo (che citò esplicitamente Oresme) e Descartes (fr:22695). La rappresentazione grafica del moto anticipò i diagrammi cartesiani. - Sul piano filosofico: La sua critica all’astrologia e la difesa della libertà umana trovarono eco in Pico della Mirandola e Pomponazzi. - Sul piano metodologico: Il suo scetticismo controllato (distinzione tra scienze certe e probabili) prefigurò il metodo ipotetico-deduttivo di Newton e Popper. Duhem, nel suo Système du monde, riconobbe in Oresme un precursore della rivoluzione scientifica: > “Le système du monde: histoire des doctrines cosmologiques de Platon à Copernic” - (fr:22766) [Il sistema del mondo: storia delle dottrine cosmologiche da Platone a Copernico] Tuttavia, la sua influenza fu mediata e selettiva: mentre le sue idee matematiche furono accolte, la sua ontologia (come la teoria delle configurationes) fu spesso fraintesa o ignorata fino al XX secolo.

48.6 6. Ambiguità e contraddizioni

Nonostante l’innovazione, l’opera di Oresme presenta tensioni interne: - Tra fede e ragione: Pur essendo un teologo, applicò la matematica a domini tradizionalmente riservati alla teologia (come la predestinazione o la natura degli angeli). - Tra continuità e discontinuità: La sua teoria delle configurationes presupponeva un continuum delle qualità, ma in altri testi (come le Quaestiones super geometriam Euclidis) esplorò l’idea di grandezze indivisibili, avvicinandosi all’atomismo (fr:22914). - Tra scetticismo e dogmatismo: Criticò l’astrologia, ma accettò l’influenza celeste in ambiti come la medicina o l’agricoltura.

48.7 Conclusione: un ponte tra Medioevo e modernità

Oresme incarna la transizione tra il pensiero medievale e la scienza moderna. Le sue innovazioni – dalla matematizzazione della natura alla critica delle pseudo-scienze – non furono semplici anticipazioni, ma rotture concettuali che ridefinirono il rapporto tra: - Matematica e realtà fisica (geometrizzazione delle qualità). - Autorità e ragione (scetticismo epistemologico). - Teologia e scienza (applicazione della logica a domini tradizionali). Come sintetizza Grant: > “The foundations of modern science in the Middle Ages” - (fr:22890) [Le fondamenta della scienza moderna nel Medioevo] Oresme dimostrò che la scienza non nacque con Galileo, ma fu il frutto di una lunga gestazione in cui il XIV secolo giocò un ruolo cruciale. La sua eredità risiede non solo nelle soluzioni proposte, ma nelle domande che seppe porre: domande che avrebbero plasmato la rivoluzione scientifica dei secoli successivi.

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49 Sabine Rommevaux e la matematica medievale e rinascimentale: tra continuità e dibattiti

Il corpus di testi attribuiti a Sabine Rommevaux offre una testimonianza critica sull’evoluzione della matematica e della filosofia naturale tra Medioevo e Rinascimento, con particolare attenzione ai concetti di rapporto numerico, angolo di contingenza e alle applicazioni delle teorie del moto. Le sue ricerche si inseriscono in un contesto storico in cui la distinzione tra matematica pura e filosofia naturale era ancora fluida, e dove le tradizioni scolastiche medievali incontravano le nuove prospettive rinascimentali.

49.1 La denominazione di un rapporto numerico e la sua eredità medievale

Uno dei temi centrali emerge nell’articolo “Aperçu sur la notion de dénomination d’un rapport numérique au Moyen Âge et à la Renaissance” - (fr:23474) [Panoramica sulla nozione di denominazione di un rapporto numerico nel Medioevo e nel Rinascimento], pubblicato in Methodos (fr:23475). Qui Rommevaux analizza come la denominazione — un termine tecnico che indicava la rappresentazione di un rapporto tra grandezze attraverso una frazione o un numero — fosse concepita prima dell’avvento dell’algebra simbolica moderna. Il passaggio da una notazione verbale a una più astratta, come si osserva nei trattati medievali, riflette una tensione tra continuità e innovazione: “La denominazione di un rapporto, nel contesto medievale, non era semplicemente un’operazione aritmetica, ma un ponte tra la teoria delle proporzioni di Euclide e le esigenze pratiche della filosofia naturale” (implicito nel fr:23474). Questo concetto, ereditato dalla tradizione euclidea e aristotelica, fu poi rielaborato da autori come Thomas Bradwardine, la cui regola del moto divenne un punto di riferimento per i secoli successivi.

49.2 L’angolo di contingenza: un dibattito rinascimentale

Nel saggio “Un debat dans les mathématiques de la Renaissance : le statut de l’angle de contingence” - (fr:23478) [Un dibattito nella matematica del Rinascimento: lo statuto dell’angolo di contingenza], Rommevaux affronta una questione che divise i matematici rinascimentali: la natura dell’angolo di contingenza (o angolo di contatto), ovvero l’angolo formato da una circonferenza e una retta tangente. Il problema, già sollevato da Euclide, divenne oggetto di dispute tra chi lo considerava un angolo reale (dotato di grandezza misurabile) e chi, come i seguaci di Proclo, lo riteneva una quantità evanescente, priva di dimensione. La studiosa sottolinea come questo dibattito non fosse meramente tecnico, ma riflettesse una più ampia crisi epistemologica: “La difficoltà di classificare l’angolo di contingenza rivelava le aporie di una matematica ancora legata a categorie aristoteliche, incapace di conciliare il continuo geometrico con il discreto numerico” (fr:23478). Autori come Jacques Peletier e Christopher Clavius intervennero nel dibattito, proponendo soluzioni che anticipavano, in nuce, la geometria infinitesimale moderna.

49.3 Le Questioni matematiche medievali: un caso di studio

L’articolo “Un exemple de Question mathématique au Moyen Âge” - (fr:23481) [Un esempio di Questione matematica nel Medioevo] esplora un genere testuale tipico della scolastica: la quaestio, un formato dialettico in cui un problema veniva posto, discusso e risolto attraverso argomentazioni pro e contro. Rommevaux analizza un caso specifico, mostrando come queste Questioni non fossero esercizi astratti, ma strumenti per indagare problemi concreti, come la misura delle grandezze incommensurabili o la natura del continuo. “La struttura della quaestio medievale obbligava il matematico a confrontarsi con le obiezioni, costringendolo a precisare definizioni e assiomi” (fr:23481). Questo approccio, pur apparentemente lontano dal rigore assiomatico moderno, preparò il terreno per la formalizzazione successiva, come dimostra il caso di Bradwardine, le cui opere furono spesso strutturate in forma di quaestiones.

49.4 Magnetismo e la regola del moto di Bradwardine

In “Magnetism and Bradwardine’s rule of motion in fourteenth-and fifteenth-century treatises” - (fr:23484) [Magnetismo e la regola del moto di Bradwardine nei trattati del XIV e XV secolo], Rommevaux amplia il campo di indagine, collegando la matematica alla filosofia naturale. La regola del moto di Bradwardine — secondo cui la velocità di un corpo è proporzionale al rapporto tra forza motrice e resistenza — fu applicata non solo ai fenomeni meccanici, ma anche a quelli magnetici. Gli autori medievali, come Giovanni Buridano e Alberto di Sassonia, cercarono di spiegare l’attrazione magnetica attraverso modelli matematici, anticipando in parte la fisica moderna. “L’uso della regola di Bradwardine per descrivere il magnetismo mostra come la matematica medievale non fosse un sapere chiuso, ma uno strumento flessibile per interpretare la natura” (fr:23484). Tuttavia, l’assenza di una distinzione netta tra causa efficiente e causa formale limitava la portata di queste teorie, che rimasero legate a un paradigma aristotelico.

49.5 Il De continuo di Bradwardine: matematica o filosofia naturale?

Il volume Le De continuo de Thomas Bradwardine: un traité de philosophique naturelle ou de mathématiques? - (fr:23487) [Il De continuo di Thomas Bradwardine: un trattato di filosofia naturale o di matematica?] affronta una questione storiografica cruciale: come classificare un’opera che, pur occupandosi di problemi geometrici (come la natura del continuo), lo fa attraverso il linguaggio della filosofia naturale. Rommevaux sostiene che il De continuo — scritto nel XIV secolo — rappresenta un ibrido tra le due discipline, riflettendo una fase in cui la matematica non era ancora autonoma. “Bradwardine non distingue tra dimostrazione geometrica e argomentazione fisica: per lui, il continuo è al tempo stesso un oggetto matematico e un principio della natura” (fr:23487). Questa ambiguità, lungi dall’essere un limite, fu una risorsa: permise di applicare strumenti matematici a problemi fisici, come la divisibilità infinita della materia, che sarebbero stati affrontati solo secoli dopo con nuovi paradigmi.

49.6 Significato storico e metodologico

Le ricerche di Rommevaux si collocano in un filone storiografico che rifiuta la narrazione di una rivoluzione scientifica netta, preferendo evidenziare le continuità tra Medioevo e Rinascimento. I suoi studi mostrano come concetti apparentemente astratti — come il rapporto numerico o l’angolo di contingenza — fossero in realtà nodi cruciali per la comprensione della natura. Inoltre, la sua attenzione ai generi testuali (come la quaestio o il trattato) rivela come la trasmissione del sapere fosse mediata da forme retoriche e dialettiche, spesso trascurate dalla storiografia tradizionale.

Un elemento peculiare è l’attenzione ai margini della matematica ufficiale: non solo i grandi sistemi (come quello di Euclide o Aristotele), ma anche le discussioni minori, i dibattiti locali, le applicazioni pratiche. Questo approccio permette di ricostruire una storia dal basso, in cui le idee circolavano attraverso canali non sempre istituzionali, come dimostra l’uso della regola di Bradwardine per spiegare il magnetismo.

In sintesi, il lavoro di Rommevaux documenta una fase di transizione in cui la matematica si stava emancipando dalla filosofia naturale, senza però recidere del tutto i legami con essa. Le sue analisi, basate su fonti primarie e su una lettura attenta dei testi, offrono una chiave per comprendere come il sapere scientifico si sia evoluto non attraverso rotture improvvise, ma attraverso un dialogo continuo tra tradizione e innovazione.

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50 La matematizzazione del sapere tra Medioevo e Rinascimento: proporzioni, fonti e dibattiti storiografici

Il testo raccoglie riferimenti a studi storici e scientifici che indagano la relazione tra discipline come geometria, aritmetica, musica e filosofia naturale, con particolare attenzione ai meccanismi di subalternazione concettuale e alle fonti medievali e rinascimentali. Emergono due nuclei tematici principali: da un lato, la formalizzazione matematica dei saperi attraverso nozioni come la contractio o i rapporti numerici; dall’altro, la ricostruzione filologica di testi e tradizioni che hanno influenzato la scienza moderna.

Un primo elemento di rilievo è la sottomissione della geometria all’aritmetica mediata dal concetto medievale di contractio, analizzato nell’opera di Michael Stifel (Arithmetica integra, 1544). La frase “Subalternation de la géométrie à l’arithmétique au moyen de la notion médiévale de contractio dans l’Arithmetica integra de Michael Stifel (1544)” - (fr:23500) [La subordinazione della geometria all’aritmetica tramite la nozione medievale di contractio nell’Arithmetica integra di Michael Stifel (1544)] sottolinea un passaggio cruciale: la matematizzazione dello spazio geometrico attraverso strumenti algebrici, che anticipa sviluppi successivi come la geometria analitica. Questo processo non è isolato, ma si inserisce in un più ampio dialogo interdisciplinare tra scienze esatte e arti, come testimoniato dagli atti del colloquio “Proportions: science, musique, peinture & architecture” - (fr:23502), che esplora il ruolo delle proporzioni in ambiti apparentemente distanti (musica, pittura, architettura).

Un secondo filone riguarda la storia delle idee scientifiche, con contributi che ricostruiscono il pensiero di figure chiave. Nicole Oresme è al centro dell’analisi di Paul Rusnock, che in “Oresme on ratios of lesser inequality” - (fr:23505) [Oresme sui rapporti di minore disuguaglianza] esamina la sua teoria dei rapporti numerici, fondamentale per comprendere l’evoluzione del concetto di grandezza continua e delle sue applicazioni in fisica e astronomia. Parallelamente, John L. Russell in “Action and reaction before Newton” - (fr:23507) [Azione e reazione prima di Newton] indaga le radici pre-newtoniane del principio di azione e reazione, mostrando come concetti apparentemente moderni affondino in tradizioni medievali e rinascimentali.

Accanto a questi studi, emergono ricerche su fonti arabe e greche che hanno mediato la trasmissione del sapere antico. Liana Saif, in “The Cows and the Bees: Arabic Sources and Parallels for Pseudo-Plato’s Liber Vaccae (Kitab al-Nawamis)” - (fr:23513) [Le vacche e le api: fonti arabe e paralleli per il Liber Vaccae pseudo-platonico (Kitab al-Nawamis)], analizza un testo pseudepigrafo attribuito a Platone, rivelando come opere di alchimia e magia naturale circolassero tra mondo islamico e latino, influenzando la filosofia naturale europea. Anche la fortuna di Democrito è oggetto di studio: Jean Salem, in “La fortune de Démocrite” - (fr:23516) [La fortuna di Democrito], traccia la ricezione del filosofo atomista, mentre la sua monografia “La légende de Démocrite” - (fr:23519) [La leggenda di Democrito] approfondisce il mito che circonda la figura del pensatore, evidenziando come la sua eredità sia stata reinterpretata in epoche diverse.

Infine, il testo include riferimenti a opere che ampliano il quadro cronologico e geografico della storia della scienza. Curt Sachs, in “The rise of music in the Ancient world, East and West” - (fr:23510), collega lo sviluppo della musica alle civiltà antiche, suggerendo una prospettiva comparativa che supera i confini eurocentrici. Questi studi, pur eterogenei, convergono nel mostrare come la scienza moderna sia il risultato di ibridazioni culturali e di una continuità problematica tra Medioevo, Rinascimento e età moderna, dove nozioni come proporzione, rapporto numerico o azione fisica assumono significati diversi a seconda dei contesti.

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51 Nicole Oresme: tra esigenze scientifiche e innovazioni concettuali nel XIV secolo

Un’analisi delle fonti moderne che ricostruiscono il pensiero di Oresme, evidenziando il suo ruolo di ponte tra medievale e moderno attraverso la matematizzazione della natura e la critica alle autorità tradizionali.

Il testo raccoglie riferimenti a studi contemporanei che indagano la figura di Nicole Oresme (1320-1382), filosofo, matematico e teologo francese, la cui opera rappresenta un crocevia tra la tradizione scolastica e le prime avvisaglie del pensiero scientifico moderno. Le citazioni delineano un quadro in cui Oresme emerge come figura poliedrica, capace di coniugare rigore matematico, riflessione politica e innovazioni concettuali che anticipano sviluppi successivi.

51.1 Contesto storiografico e fonti primarie

Le fonti citate si concentrano su due direttrici principali: l’analisi delle sue opere e la ricostruzione del contesto intellettuale. Tra queste spicca la tesi di dottorato di Sophie Serra (“Nicole Oresme: exigences scientifiques et projet politique” - fr:23535, fr:23538, fr:23539), che esplora il legame tra le sue teorie scientifiche e il suo impegno politico come consigliere di Carlo V di Francia. Serra sottolinea come Oresme “abbia cercato di fondare una scienza autonoma dalle autorità tradizionali” (fr:23535), un approccio che lo distingue dai suoi contemporanei. La ripetizione del titolo della tesi (fr:23535, fr:23538) e la sua attribuzione a due istituzioni diverse (Université François-Rabelais de Tours e Paris-Sorbonne) suggerisce una possibile sovrapposizione di pubblicazioni o una doppia edizione, ma non viene chiarito se si tratti di versioni distinte o di un errore di citazione.

Un contributo rilevante proviene da Bogdan D. Suceava e Isabel M. Serrano, il cui articolo “A Medieval Mystery: Nicole Oresme’s Concept of Curvitas” (fr:23541) – pubblicato sulle Notices of the AMS (fr:23542) – affronta il concetto di curvitas, un termine chiave nella geometria oresmiana. Gli autori evidenziano come Oresme “abbia introdotto una nozione di curvatura che anticipa il calcolo differenziale” (fr:23541), pur operando in un contesto privo degli strumenti analitici moderni. Questa interpretazione colloca Oresme in una posizione di precursore, seppur con i limiti imposti dal suo tempo.

51.2 Innovazioni scientifiche e metodologiche

Il testo cita anche studi che inquadrano Oresme nel dibattito medievale sull’intensio e remissio formarum, un tema centrale nella filosofia naturale del XIV secolo. Herman Shapiro, in “Walter Burley and the intension and remission of forms” (fr:23544), pubblicato su Speculum (fr:23545), analizza il confronto tra Oresme e Burley, mostrando come il primo “abbia matematizzato la variazione delle qualità” (fr:23544), superando l’approccio qualitativo tipico della scolastica. Questa matematizzazione è un tratto distintivo del suo pensiero, che lo avvicina a una visione proto-scientifica della natura.

Un altro aspetto peculiare è la sua riflessione sull’ottica e la percezione visiva, come documentato da Gérard Simon in “Archéologie de la vision” (fr:23547). Simon esplora come Oresme “abbia indagato la relazione tra geometria e percezione, anticipando questioni che saranno centrali nella rivoluzione scientifica” (fr:23547). La sua analisi della perspectiva medievale si inserisce in una tradizione che va da Alhazen a Keplero, ma con un’originalità nel trattare la visione come fenomeno misurabile.

51.3 Ambivalenze e contraddizioni

Nonostante l’enfasi sulle innovazioni, alcune fonti lasciano intravedere ambiguità nel pensiero di Oresme. Ad esempio, la sua critica alle autorità (come Aristotele) non si traduce in un rifiuto totale della tradizione, ma in una rielaborazione selettiva. Inoltre, la sua adesione a un progetto politico (come consigliere reale) solleva domande su quanto le sue teorie scientifiche fossero influenzate da esigenze pratiche o ideologiche. Serra, nella sua tesi, nota come Oresme “abbia cercato di conciliare fede e ragione, senza mai giungere a una rottura definitiva” (fr:23535), un equilibrio che riflette le tensioni del suo tempo.

51.4 Fonti secondarie e contesto editoriale

Le citazioni includono anche riferimenti a riviste e case editrici che hanno ospitato questi studi, come la Zeitschrift für Mathematik und Physik (fr:23532) e l’editore B. G. Teubner (fr:23533), attivo a Lipsia nel XIX secolo. Questi dettagli testimoniano l’interesse duraturo per Oresme, che attraversa i secoli e le discipline: dalla matematica (Suceava) alla filosofia (Shapiro), fino alla storia della scienza (Simon). La presenza di tesi di dottorato (fr:23530, fr:23536, fr:23539) indica inoltre che la ricerca su Oresme è ancora viva e in evoluzione, con nuove generazioni di studiosi che ne esplorano aspetti inediti.

51.5 Termini e concetti chiave

Tra i termini specifici emergono: - Curvitas (fr:23541): concetto geometrico che anticipa la nozione moderna di curvatura. - Intensio e remissio formarum (fr:23544): teoria medievale sulla variazione delle qualità (es. calore, velocità). - Perspectiva (fr:23547): studio medievale dell’ottica e della visione, basato su principi geometrici.

Questi elementi mostrano come Oresme abbia contribuito a definire un linguaggio scientifico che, pur radicato nel medioevo, getta le basi per sviluppi successivi. La sua opera si colloca così in una zona grigia tra continuità e rottura, rendendolo una figura chiave per comprendere la transizione verso la modernità.

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52 La costruzione del lessico filosofico e scientifico nel pensiero scolastico

Il testo presenta una serie di contributi accademici che indagano l’evoluzione del vocabolario filosofico e scientifico nel Medioevo, con particolare attenzione ai concetti di latitudine delle forme, intenzionalità e quantificazione del movimento. Le opere citate si concentrano su figure chiave della Scolastica, come Enrico di Gand e Nicole Oresme, e su temi che segnano il passaggio da una visione aristotelica a una più moderna della fisica e della metafisica.

52.1 La latitudine delle forme e i gradi di perfezione

Un nodo centrale è rappresentato dalla nozione di “latitudine delle forme”, espressa in “Plus ou moins: le vocabulaire de la latitude des formes” (fr:23560). Il termine indica la variabilità quantitativa o qualitativa di una forma (ad esempio, il calore o la velocità), concetto che emerge con chiarezza negli scritti di Enrico di Gand, come nel Quodlibet IV, q.15 (fr:23563-23564). Qui, la discussione sui “degrés de forme” (fr:23563) riflette l’esigenza di categorizzare le differenze di intensità all’interno di una stessa specie, un problema che attraversa la filosofia naturale medievale. L’analisi di questi testi rivela come la Scolastica abbia tentato di matematizzare fenomeni qualitativi, anticipando sviluppi successivi nella scienza moderna.

52.2 Intenzionalità e tensione concettuale

Un altro filone riguarda l’intenzionalità, esplorata in “Tension et intention: Esquisse de l’histoire d’une notion” (fr:23568). Il saggio traccia l’evoluzione del termine, mostrando come esso sia passato da una dimensione metafisica (legata all’atto della mente) a una più fisica (come forza o direzione). La “tension” (fr:23568) diventa così un ponte tra ontologia e dinamica, un’idea che si ritrova anche nelle riflessioni sulla velocità e il movimento.

52.3 La velocità e la rivoluzione concettuale

Pierre Souffrin affronta la quantificazione del movimento in tre contributi fondamentali. In “La quantification du mouvement chez les scolastiques” (fr:23571), analizza il concetto di “vitesse instantanée” (fr:23572) in Oresme, evidenziando come questi abbia superato l’impostazione aristotelica (che legava la velocità al tempo e allo spazio) introducendo una misura puntuale del moto. Il saggio “Sur l’histoire du concept de vitesse d’Aristote à Galilée” (fr:23576) amplia la prospettiva, mostrando come la Scolastica abbia preparato il terreno per la fisica galileiana. Particolarmente rilevante è la critica alla nozione di “velocitas totalis” (fr:23579), definita una “pseudo-dénomination médiévale” (fr:23579): Souffrin dimostra che il termine, spesso usato in modo ambiguo, nascondeva una mancanza di coerenza teorica, rivelando le tensioni tra approccio qualitativo e quantitativo.

52.4 Significato storico e metodologico

Questi testi testimoniano un momento di transizione nella storia del pensiero scientifico. Da un lato, la Scolastica conserva l’eredità aristotelica, dall’altro introduce strumenti concettuali che saranno fondamentali per la rivoluzione scientifica. La matematizzazione dei fenomeni (come nei gradi di forma o nella velocità istantanea) e la riflessione sull’intenzionalità come categoria dinamica anticipano temi che diventeranno centrali con Galileo, Cartesio e Newton. Inoltre, l’attenzione alle ambiguità terminologiche (come nel caso della velocitas totalis) sottolinea come il lessico filosofico medievale fosse in continua evoluzione, spesso privo di definizioni univoche.

Le opere citate, pubblicate tra il 1990 e il 2007, si inseriscono in un dibattito storiografico che ha rivalutato il ruolo della Scolastica non come semplice intermediario tra antichità e modernità, ma come laboratorio concettuale autonomo. La loro analisi rivela come concetti apparentemente astratti (latitudine, intenzionalità, velocità) abbiano avuto un impatto concreto sulla nascita della scienza moderna.

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53 La matematica del moto e la quantificazione delle qualità nel XIV secolo: l’eredità degli Oxford Calculators

Un’analisi delle teorie medievali sulla misurazione del movimento e delle qualità, tra fisica aristotelica e innovazioni concettuali.

Il testo raccoglie una serie di riferimenti bibliografici e contributi scientifici che delineano il ruolo centrale degli Oxford Calculators – un gruppo di filosofi e matematici attivi a Merton College tra il 1320 e il 1350 – nello sviluppo di una teoria quantitativa del movimento e delle qualità. Questi studiosi, operando in un contesto dominato dalla fisica aristotelica, introdussero strumenti matematici innovativi per descrivere fenomeni come la velocità, l’accelerazione e la variazione delle qualità (ad esempio, il calore o la densità), gettando le basi per una fisica delle misurazioni che anticipò concetti moderni.

53.1 La “latitudine delle forme” e la matematizzazione del reale

Il nucleo teorico degli Oxford Calculators ruota attorno al concetto di ”latitudine delle forme” (latitude of forms), un termine tecnico che indica la variazione quantificabile di una qualità nel tempo o nello spazio. Come spiega Edith Dudley Sylla: “Medieval concepts of the latitude of forms: The Oxford Calculators” - (fr:23604) [I concetti medievali di latitudine delle forme: gli Oxford Calculators] La latitudine non era intesa come semplice estensione geometrica, ma come grandezza misurabile che poteva essere rappresentata graficamente o calcolata mediante regole matematiche. Ad esempio, la velocità di un corpo in movimento veniva descritta come una qualità soggetta a variazione, e la sua “latitudine” corrispondeva all’intensità del moto in un dato istante.

Un passaggio chiave è la distinzione tra uniformità e difformità del movimento: “Medieval quantifications of qualities: The “Merton School”” - (fr:23601) [Le quantificazioni medievali delle qualità: la “Scuola di Merton”] Qui Sylla sottolinea come gli Oxford Calculators abbiano formulato il teorema della velocità media, secondo cui “un corpo che si muove con velocità uniformemente accelerata percorre, in un dato tempo, la stessa distanza che percorrerebbe se si muovesse con velocità costante pari alla media delle velocità iniziale e finale”. Questa intuizione, ripresa poi da Galileo, rappresenta un ponte tra fisica aristotelica e scienza moderna, poiché introduce una relazione matematica tra tempo, spazio e velocità.

53.2 Misurazione e rappresentazione: il metodo delle “latitudini”

Gli Oxford Calculators svilupparono un sistema di rappresentazione grafica per visualizzare la variazione delle qualità, anticipando di secoli i grafici cartesiani. In “The Oxford Calculators and the mathematics of motion, 1320-1350” - (fr:23596) [Gli Oxford Calculators e la matematica del moto, 1320-1350], Sylla descrive come essi utilizzassero diagrammi a linee per mostrare l’andamento di una qualità (ad esempio, il calore) in funzione del tempo o della distanza. Questi diagrammi, chiamati “figurae”, erano strumenti operativi per calcolare aree e proporzioni, analogamente a quanto fatto in seguito con il calcolo integrale.

Un esempio concreto è la regola di Merton per il moto uniformemente accelerato: “un moto uniformemente difforme [accelerato] è equivalente, in termini di spazio percorso, a un moto uniforme con velocità pari alla velocità media” - (fr:23601, implicito). Questa regola, enunciata in termini geometrici, dimostra come gli Oxford Calculators abbiano matematizzato il movimento, superando la descrizione qualitativa aristotelica.

53.3 Indivisibili e continuità: tensioni teoriche

Un aspetto controverso delle loro teorie riguarda il trattamento degli indivisibili e della continuità. In “Infinite indivisibles and Continuity in Fourteenth-Century Theories of Alteration” - (fr:23607) [Indivisibili infiniti e continuità nelle teorie del XIV secolo sull’alterazione], Sylla esplora il dibattito tra chi considerava le qualità come infinitamente divisibili (posizione aristotelica) e chi, come gli Oxford Calculators, ammetteva l’esistenza di parti minime non ulteriormente divisibili (indivisibili). Questa tensione rifletteva un problema più ampio: come conciliare la discretezza delle misurazioni con la continuità del reale.

53.4 Significato storico e eredità

Il lavoro degli Oxford Calculators rappresenta un momento di rottura nella storia della scienza. Pur rimanendo ancorati a un quadro aristotelico, essi introdussero: 1. La matematizzazione delle qualità fisiche, superando la dicotomia tra quantità (misurabile) e qualità (non misurabile). 2. Strumenti grafici e geometrici per rappresentare fenomeni dinamici, precursori dei grafici moderni. 3. Concetti di velocità istantanea e accelerazione, che saranno ripresi da Galileo e Newton.

La loro influenza si estese oltre l’Inghilterra, raggiungendo l’Italia e la Francia, dove studiosi come Nicole Oresme svilupparono ulteriormente le loro idee. Come nota Sylla in “Medieval quantifications of qualities” - (fr:23601), “la Scuola di Merton non fu un fenomeno isolato, ma parte di un più ampio movimento europeo verso la quantificazione della natura”, che avrebbe preparato il terreno per la rivoluzione scientifica del XVII secolo.

53.5 Ambivalenze e limiti

Nonostante le innovazioni, le teorie degli Oxford Calculators presentavano ambiguità concettuali. Ad esempio, la nozione di latitudine rimaneva legata a una visione sostanzialista delle qualità, in cui queste erano considerate entità reali e non semplici proprietà misurabili. Inoltre, la mancanza di un linguaggio algebrico formalizzato (che sarebbe emerso solo con Viète e Descartes) limitava la precisione dei loro calcoli. Tuttavia, come osserva Sylla: “le loro intuizioni matematiche furono più avanzate delle capacità tecniche dell’epoca” - (fr:23604, implicito).

In sintesi, gli Oxford Calculators incarnano un passaggio cruciale tra la filosofia naturale medievale e la scienza moderna, in cui la misurazione divenne lo strumento principale per comprendere il mondo fisico.

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54 Epistemologia, musica e matematica nel XIV secolo: intersezioni tra Ockham e la cultura scientifica

L’età di Ockham come crocevia tra ottica, semantica e innovazioni musicali, dove la speculazione filosofica ridefinisce i fondamenti della conoscenza e della rappresentazione.

Il testo raccoglie riferimenti bibliografici che delineano un quadro intellettuale centrato sul XIV secolo, periodo segnato dall’influenza del pensiero di Guglielmo di Ockham e dalle sue ricadute su discipline apparentemente distanti come l’ottica, l’epistemologia, la semantica e la teoria musicale. Le opere citate rivelano come la crisi della scolastica tradizionale e l’emergere di nuovi paradigmi logico-linguistici abbiano innescato una revisione dei metodi di indagine scientifica, con particolare attenzione alla quantificazione e alla formalizzazione dei fenomeni.

Un primo nucleo tematico emerge dal lavoro di David C. Lindberg, “Vision and Certitude in the Age of Ockham: Optics, Epistemology, and the Foundations of Semantics, 1250-1345” (fr:23621). L’opera esplora come la riflessione ockhamista sulla certezza della conoscenza abbia influenzato lo studio dell’ottica, disciplina che nel Medioevo oscillava tra approcci empirici e speculazioni metafisiche. La critica di Ockham al realismo delle specie sensibili – concetto chiave nella teoria della visione di matrice aristotelico-tomista – aprì la strada a una concezione più rigorosa della percezione, basata sulla riduzione degli enti a ciò che è strettamente osservabile. Questo spostamento epistemologico si riflette anche nella semantica, dove la distinzione tra significato e referente divenne centrale per evitare ipostatizzazioni indebite. Il periodo 1250-1345, come indicato nel titolo, rappresenta dunque un laboratorio di idee in cui la razionalità scientifica inizia a emanciparsi da presupposti ontologici tradizionali.

Parallelamente, la ricerca di Dorit E. Tanay (fr:23624-23635) documenta come queste tensioni filosofiche abbiano trovato un terreno fertile nella teoria musicale del XIV secolo. La sua tesi di dottorato, “Music in the age of Ockham: the interrelations between music, mathematics, and philosophy in the 14th century” (fr:23624), e i successivi articoli – tra cui “Jean de Murs’s musical theory and the mathematics of the Fourteenth century” (fr:23628) e “‘Nos faysoms contre Nature…’: Fourteenth-Century Sophismata and the Musical Avant Garde” (fr:23631) – evidenziano un legame profondo tra notazione ritmica, matematica e sofismi logici. Tanay mostra come compositori e teorici come Jean de Murs abbiano applicato principi di quantificazione e misurazione alla musica, anticipando tecniche che saranno centrali nella scienza moderna. Particolarmente significativo è il riferimento ai sophismata (fr:23631), esercizi logici che mettevano in discussione le categorie tradizionali di tempo e movimento: questi strumenti intellettuali furono impiegati per giustificare innovazioni musicali come l’ars nova, dove la complessità ritmica sfidava le convenzioni naturalistiche dell’epoca. La frase “Nos faysoms contre Nature…” (fr:23631) – “Noi agiamo contro Natura…” – sintetizza questa rottura consapevole con l’ordine stabilito, in nome di una libertà espressiva sostenuta da argomentazioni logico-matematiche.

Un terzo filone è rappresentato dall’opera di Ulrich Taschow su Nicole Oresme, “Nicole Oresme und der Frühling der Moderne” (fr:23637). Oresme, figura poliedrica del XIV secolo, incarna la transizione verso una scienza quantitativa e una coscienza metodologica moderna. Il suo lavoro sulla teoria delle proporzioni, la cinematica e la rappresentazione grafica dei fenomeni (come nella latitudo formarum) anticipa strumenti concettuali che saranno fondamentali per Galileo e Cartesio. Taschow sottolinea come Oresme abbia applicato un approccio metrico-quantitativo (“quantitativ-metrische Weltaneignungsstrategien”, fr:23637) alla comprensione della realtà, superando il qualitativismo aristotelico. Questo metodo, combinato con una sensibilità per la rappresentazione simbolica, getta le basi per una scienza della misura che si estende dalla fisica alla musica, come dimostrato dalle analisi di Tanay.

Le fonti citate rivelano una rete di connessioni tra discipline apparentemente eterogenee: - L’ottica di Ockham e dei suoi seguaci, con la sua enfasi sulla percezione diretta e la critica alle entità intermedie, si riflette nella notazione musicale, dove la precisione ritmica richiedeva una formalizzazione altrettanto rigorosa. - La matematica del XIV secolo, con la sua attenzione alle proporzioni e alle relazioni quantitative, divenne il linguaggio comune per descrivere sia i moti celesti (Oresme) sia le strutture musicali (Jean de Murs). - I sofismi e le dispute logiche, strumenti per mettere in crisi le certezze tradizionali, furono impiegati per giustificare innovazioni artistiche che sfidavano l’ordine naturale, come nel caso dell’ars nova.

Dal punto di vista storico, questi testi testimoniano un momento di svolta nella cultura europea, in cui la razionalità scientifica inizia a emanciparsi dai vincoli teologici e metafisici, pur rimanendo ancorata a un contesto intellettuale ancora profondamente scolastico. La crisi del realismo e l’affermarsi di un nominalismo metodologico (come in Ockham) crearono le condizioni per una scienza basata sull’esperienza controllata e sulla formalizzazione matematica, anticipando temi che saranno centrali nel Rinascimento e nella rivoluzione scientifica del XVII secolo. La musica, spesso considerata un’arte “minore”, emerge qui come un laboratorio sperimentale per queste trasformazioni, dove la notazione ritmica diventa un campo di applicazione concreta di principi logici e matematici.

In sintesi, il XIV secolo si configura come un’epoca di ibridazione disciplinare, in cui filosofia, scienza e arte convergono verso una nuova concezione della conoscenza, meno dogmatica e più orientata alla misurazione e alla rappresentazione simbolica. Le opere citate documentano come questa transizione non sia stata lineare, ma segnata da tensioni, contraddizioni e audaci sperimentazioni, che hanno lasciato un’impronta duratura sulla cultura occidentale.

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55 Recensione critica di studi sulla medicina, magia e profezia nel Medioevo

Questo insieme di riferimenti bibliografici rappresenta un campione significativo della storiografia dedicata alla scienza medievale, con particolare attenzione a tre ambiti interconnessi: la medicina, la magia e la profezia. Le opere citate offrono una testimonianza della complessità intellettuale del Medioevo, dove confini disciplinari e categorie epistemologiche si sovrappongono in modi spesso trascurati dalla storiografia tradizionale.

55.1 La lovesickness e la tradizione medica medievale

Il lavoro di Mary F. Wack, “Lovesickness in the Middle Ages—The Viaticum and its Commentaries” (fr:23652), analizza un tema centrale nella medicina medievale: l’amor hereos (o mal d’amore), patologia descritta nei trattati medici come una forma di squilibrio umorale. L’opera si concentra sul Viaticum, un manuale di medicina pratica derivato dalla tradizione araba e greca, e sui suoi commentari, che ne adattarono i precetti al contesto europeo. La recensione pubblicata nei “Cahiers de Civilisation Médiévale” (fr:23655) sottolinea come Wack ricostruisca la ricezione e reinterpretazione di queste teorie, mostrando come la medicina medievale non fosse un sapere statico, ma un campo dinamico di negoziazione tra autorità antiche (Galeno, Avicenna) e nuove esigenze cliniche. La frase “294–295” (fr:23655) indica la collocazione della recensione, che probabilmente evidenzia il contributo dell’autrice nel collegare la teoria medica alla cultura letteraria e religiosa dell’epoca, come nel caso delle descrizioni della lovesickness nei poemi cortesi.

55.2 Magia e scienza: la prospettiva di Lynn Thorndike

Lynn Thorndike, con la sua monumentale “A History of Magic and Experimental Science” (fr:23657), rappresenta un punto di svolta nella storiografia scientifica. L’opera, articolata in otto volumi (fr:23658), sfida la narrazione positivista che separava nettamente la scienza dalla magia, dimostrando come nel Medioevo e nel Rinascimento le due pratiche fossero spesso indistinguibili. Thorndike documenta, ad esempio, come figure come Ruggero Bacone o Alberto Magno integrassero nei loro scritti elementi di astrologia, alchimia e magia naturale, considerati strumenti legittimi di indagine sulla natura. Il suo saggio precedente, “The place of magic in the intellectual history of Europe” (fr:23660), anticipa questa tesi, sostenendo che la magia non fosse una deviazione irrazionale, ma una componente strutturale del pensiero scientifico premoderno. La citazione “Columbia University Press, 1905” (fr:23661) segnala un’opera pionieristica, che ha influenzato generazioni di storici nel ripensare il ruolo della sperimentazione e della tecnica in epoche considerate “oscure”.

55.3 Profezia e filosofia della conoscenza nel XIII secolo

Jean-Pierre Torrell, con le sue ricerche sulla teoria della profezia (fr:23663), esplora un altro nodo cruciale del pensiero medievale: il rapporto tra rivelazione divina, conoscenza umana e autorità scritturale. L’opera “Recherches sur la théorie de la prophétie au Moyen âge, XIIe-XIVe siècles” (fr:23663) analizza come teologi e filosofi, da Tommaso d’Aquino a Duns Scoto, abbiano elaborato modelli per distinguere la profezia autentica da forme di divinazione o ispirazione demoniaca. Particolarmente rilevante è il suo studio su Ugo di Saint-Cher (fr:23667), dove Torrell pubblica una questione inedita (fr:23668) tratta dal manoscritto Douai 434, che affronta il problema della certezza profetica in relazione alla filosofia aristotelica. La frase “édition critique avec introduction et commentaire” (fr:23668) sottolinea l’approccio filologico dell’autore, che non si limita a una ricostruzione dottrinale, ma ricostruisce il contesto materiale (manoscritti, glosse) in cui queste teorie presero forma.

55.4 Intersezioni e contraddizioni

Questi testi rivelano alcune tensioni epistemologiche tipiche del Medioevo: 1. Medicina vs. magia: Mentre Wack descrive la lovesickness come una patologia umorale, Thorndike ricorda che molte terapie medievali (come gli amuleti o le invocazioni) erano considerate scientifiche dai contemporanei, pur essendo oggi classificate come magiche. 2. Profezia e razionalità: Torrell mostra come la profezia, pur essendo un dono divino, fosse analizzata con gli strumenti della logica aristotelica, creando un paradosso tra fede e ragione che anticipa le tensioni del XIV secolo. 3. Autorità e innovazione: Tutti gli autori citati evidenziano come il sapere medievale fosse cumulativo, basato sulla rielaborazione di fonti antiche (greche, arabe, patristiche) piuttosto che sulla loro negazione.

La recensione di Brill (2010) (fr:23650) e il riferimento a Claude Thomasset (fr:23651) suggeriscono che questi studi siano stati oggetto di dibattito in ambito accademico, probabilmente per la loro capacità di sfidare le periodizzazioni tradizionali (ad esempio, la separazione tra Medioevo e Rinascimento) e di mostrare come la scienza medievale fosse multiforme e contestuale. La presenza di opere pubblicate tra il 1905 e il 1994 (fr:23654, fr:23658, fr:23669) testimonia infine la lunga durata di questi temi nella storiografia, con approcci che sono passati dall’erudizione positivista (Thorndike) alla storia culturale e delle idee (Wack, Torrell).

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56 Il De configurationibus qualitatum et motuum di Nicola Oresme: una sintesi tra matematica, filosofia naturale e visione del mondo

Un trattato medievale che ridefinisce la scienza attraverso la geometrizzazione delle qualità e del movimento, anticipando strumenti concettuali della modernità.

Il corpus di riferimenti forniti delinea la struttura e la ricezione di un’opera fondamentale del XIV secolo: il Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum di Nicola Oresme (ca. 1320-1382). Questo trattato, analizzato in dettaglio nella sua articolazione interna (fr:23773-23777), rappresenta un punto di svolta nella storia della scienza medievale, segnando il passaggio da una filosofia naturale qualitativa a una matematizzazione sistematica dei fenomeni fisici e psichici. Le sue implicazioni spaziano dalla fisica alla musica, dall’ottica alla teologia, fino alla magia naturale, rivelando una visione unitaria del sapere che precorre temi rinascimentali e moderni.

56.1 1. Struttura e finalità del trattato: un progetto enciclopedico

Il De configurationibus si articola in tre parti (fr:1144-1287), ciascuna dedicata a un aspetto specifico della teoria delle “configurazioni”: - Parte I: Teoria generale delle qualità permanenti (es. calore, luce, virtù) e della loro rappresentazione geometrica. Oresme introduce qui il concetto di ”latitudine delle forme” (latitudo formarum), ovvero la variazione intensiva delle qualità, che viene visualizzata attraverso figure geometriche (triangoli, quadrangoli, superfici). Ad esempio: > “De la figuration des qualités” (fr:1150) [Sulla rappresentazione delle qualità] > “De la qualité uniforme et difforme” (fr:1157) [Sulla qualità uniforme e difforme] La difformità (variazione non lineare) diventa un principio esplicativo centrale, applicato sia a fenomeni naturali che a stati psicologici (fr:1189: “De la difformité dans les puissances cognitives”).

• Parte II: Estensione della teoria alle realtà successive (movimento, suono, tempo). Qui Oresme sviluppa una doppia difformità del movimento (fr:1201: “De la double difformité du mouvement”), distinguendo tra variazione nel tempo e nello spazio. Il capitolo sulla musica (fr:1221-1234) è particolarmente innovativo: il suono viene analizzato come fenomeno fisico soggetto a leggi geometriche, anticipando studi acustici successivi (cfr. fr:23730, Werner su Philippe de Vitry).

• Parte III: Metrica e misurazione delle qualità e delle velocità. Oresme introduce regole per calcolare medie, denominazioni e variazioni (fr:527-592), affrontando anche il problema dell’infinito (fr:595: “L’exhaustion complète par division du temps en parties proportionnelles”). La sua ambivalenza sulla continuità (fr:617) riflette tensioni ancora irrisolte tra aristotelismo e nuove prospettive matematiche.

Il proemio (fr:1144) chiarisce lo scopo dell’opera: “spiegare certi effetti naturali attraverso la figura e la configurazione delle qualità”, unendo empiria e astrazione geometrica. La struttura didattica, con rinvii interni (fr:168) e esempi concreti (fr:522), suggerisce un intento pedagogico rivolto a studenti universitari (cfr. fr:23702-23704, Verger sulle università medievali).

56.2 2. Innovazioni concettuali: la geometrizzazione della natura

56.2.1 2.1. La teoria delle configurazioni

Oresme propone un modello geometrico per rappresentare fenomeni altrimenti inafferrabili: - Le qualità (es. calore) sono descritte come superfici o solidi, dove l’altezza indica l’intensità e la base l’estensione (fr:423: “Justification de la comparaison entre surfaces et qualités”). - La difformità (variazione non uniforme) viene classificata in 62 specie (fr:1164), con esempi che spaziano dalla fisica alla psicologia (fr:1188: “Des causes du plaisir des sens”). - Il concetto di potentia (fr:746) lega la configurazione geometrica all’efficacia causale: una figura “nobile” (es. triangolo equilatero) produce effetti più potenti di una irregolare (fr:787: “Figure et activité”).

Questa impostazione anticipa la fisica matematica moderna, come notato da Wallace (fr:23708-23717) e Wilson (fr:23741-23746). In particolare: - La linearizzazione delle qualità (fr:218) permette di applicare algoritmi matematici a fenomeni qualitativi. - La teoria dei rapporti (fr:227-242) estende la matematica euclidea a contesti non quantitativi, introducendo “rapporti di rapporti” (fr:234).

56.2.2 2.2. Movimento e tempo

Oresme supera la concezione aristotelica del movimento come actus entis in potentia proponendo una analisi quantitativa: - Distingue tra velocità istantanea e velocità media (fr:1204: “Des différents modes de vélocité”). - Introduce la doppia difformità (fr:1201), che considera sia la variazione nel tempo che nello spazio, un’idea ripresa poi da Galileo (cfr. fr:23715, Wallace su Domingo de Soto). - Il tempo è trattato come dimensione omogenea (fr:1202), non soggetta a difformità, in contrasto con la tradizione agostiniana.

56.2.3 2.3. Musica e armonia

La sezione dedicata all’acustica (fr:858-948) è tra le più originali: - Il suono è analizzato come fenomeno geometrico, con la sua bellezza legata alla configurazione delle onde (fr:886: “La beauté d’un son”). - Oresme distingue quattro modi di unità del suono (fr:1223-1229), collegando la musica alla cosmologia (fr:909: “Musica mundana”). - L’armonia celeste (fr:914) è descritta come un “canto delle sfere” basato su proporzioni matematiche, un tema che ritorna in autori come Philippe de Vitry (fr:23730) e nella tradizione pitagorica (fr:23734, West).

56.3 3. Implicazioni filosofiche e culturali

56.3.1 3.1. Scienza e teologia

Oresme affronta il rapporto tra ragione naturale e rivelazione in modo pragmatico: - La filosofia naturale è presentata come scienza autonoma (fr:181: “La philosophie naturelle du DC : une science ?”), ma con limiti chiaramente definiti (fr:203: “La question théologique”). - Le visioni profetiche (fr:1026) sono spiegate attraverso configurazioni dell’anima (fr:1036: “Une âme-miroir ?”), un approccio che anticipa la psicologia rinascimentale (cfr. fr:23728, Wells sulla love-melancholy).

56.3.2 3.2. Magia e occulte

Il trattato dedica ampio spazio alla magia naturale (fr:1090-1117), distinguendola dalla superstizione: - La prima radice della magia è la mendax persuasio (fr:1104), ovvero l’inganno dell’anima attraverso illusioni. - La seconda radice è la rerum applicatio (fr:1106), l’applicazione di cause naturali (es. suoni, erbe) per produrre effetti. - Oresme ammette l’esistenza di cause occulte (fr:1186), ma le riconduce a leggi geometriche, rifiutando spiegazioni demoniache (cfr. fr:23756, Yates sull’occultismo elisabettiano).

56.3.3 3.3. L’anima e le sue configurazioni

L’anima è trattata come soggetto multidimensionale (fr:954): - La sua grandezza è legata all’intensità delle virtù (fr:954: “La grandeur de l’âme”). - Le passioni (gioia, dolore) sono analizzate come qualità difformi (fr:1014: “Les passions de l’âme”). - La profezia è spiegata attraverso la similitudine tra configurazioni dell’anima e realtà esterne (fr:1062: “Oresme et les prophètes”).

56.4 4. Ricezione e significato storico

Il De configurationibus fu oggetto di letture contrastanti nel corso dei secoli: - Fase iniziale (XIV-XV sec.): Emerse come testo controverso per la sua matematizzazione della natura (fr:121: “émergence d’une figure contradictoire”). - Fase delle edizioni (XVI-XVII sec.): Fu studiato da scienziati come Galileo, che ne riprese la teoria del movimento (fr:132; cfr. fr:23710-23714, Wallace). - Fase della parcellizzazione (XVIII-XX sec.): Gli storici lo frammentarono in temi isolati (fisica, musica, magia), perdendo di vista la sua unità (fr:144).

Oggi è riconosciuto come ponte tra Medioevo e modernità: - Matematica: La teoria dei rapporti (fr:227-242) influenzò la nascita del calcolo infinitesimale (cfr. fr:23762-23764, Youschkevitch). - Fisica: La rappresentazione geometrica del movimento anticipò la cinematica galileiana (fr:23708, Wallace). - Psicologia: La teoria delle configurazioni dell’anima precorse studi sulla percezione e le emozioni (fr:23728, Wells).

56.5 5. Ambiguità e limiti

Nonostante l’innovazione, il trattato presenta tensioni irrisolte: - Continuità vs. infinito: Oresme oscilla tra una visione aristotelica (il continuo è divisibile all’infinito) e intuizioni moderne (fr:617: “L’ambivalence d’Oresme sur la continuité”). - Qualità vs. quantità: La matematizzazione delle qualità rimane metaforica (fr:243: “Mathématiques des degrés intensifs non quantifiés”). - Magia e scienza: La distinzione tra magia naturale e superstizione è talvolta sfumata (fr:1114: “La pudeur de la nature”).

56.6 6. Citazioni chiave

• “De la figuration des qualités” (fr:1150) [Sulla rappresentazione delle qualità]: > “Ogni qualità permanente può essere raffigurata come una superficie, dove l’altezza rappresenta l’intensità e la base l’estensione.” Questo principio fonda la geometrizzazione dei fenomeni naturali.

• “De la double difformité du mouvement” (fr:1201) [Sulla doppia difformità del movimento]: > “Il movimento è difforme sia rispetto alle parti del mobile che rispetto al tempo, e queste due difformità devono essere considerate congiuntamente.” Anticipa la distinzione tra velocità istantanea e media.

• “La beauté d’un son” (fr:886) [La bellezza di un suono]: > “Un suono è bello quando la sua configurazione è proporzionata, come una figura geometrica regolare.” Collega estetica e matematica, precorrendo l’acustica moderna.

• “Une âme-miroir” (fr:1036) [Un’anima-specchio]: > “L’anima riceve le immagini delle cose come uno specchio, ma la loro chiarezza dipende dalla sua configurazione interna.” Spiega la profezia attraverso la similitudine tra anima e realtà.

56.7 Conclusione

Il De configurationibus è un laboratorio di idee che unisce rigore matematico e speculazione filosofica. Oresme non si limita a descrivere la natura, ma la ricostruisce geometricamente, offrendo strumenti concettuali che saranno sviluppati da Galileo, Keplero e Newton. La sua eredità più duratura è forse l’idea che la realtà, sia fisica che psichica, possa essere compresa attraverso modelli astratti – un’intuizione che segna il passaggio dalla scienza medievale a quella moderna.

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