Oresme - Études sur le Tractatus de configurationibus qualitatum I | L | +

02 Jun, 2026

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1 Geometria delle variazioni in Oresme: sistema, visualizzazione e derive esplorative

Oresme costruisce un modello geometrico per raffigurare qualità e movimenti, ma il suo progetto di sistemazione si trasforma in un percorso esplorativo che mette in luce sia la potenza sia i limiti della rappresentazione delle variazioni intensive.

Il cuore del metodo proposto da Oresme risiede nella possibilità di descrivere una qualità mediante la suddivisione di una linea di base e l’assegnazione di un grado di intensità a ciascuna parte. Come osserva l’autore, «ce n’est pas un hasard si, comme on va le voir, Oresme consacre deux chapitres à la mesure du degré de courbure d’une ligne courbe» («non è un caso se, come vedremo, Oresme dedica due capitoli alla misura del grado di curvatura di una linea curva» – fr:1461/p.79). L’interesse per le configurazioni si concentra in modo particolare sulle «qualità graduali»: «Un cas particulièrement intéressant de configuration va être celui des “qualités graduelles” ou en escalier. C’est particulièrement dans ce dernier cas que le modèle géométrique doit être compléter par la définition de séries finies ou infinies.» («Un caso particolarmente interessante di configurazione sarà quello delle “qualità graduali” o a gradini. È proprio in quest’ultimo caso che il modello geometrico deve essere completato dalla definizione di serie finite o infinite.» – fr:1462‑1463). La linea di base viene divisa in parti ordinate, e per ciascuna si fissa il grado di intensità, ottenendo così una descrizione completa della qualità totale (fr:1464/p.80). Le divisioni possono essere in parti uguali, disuguali o proporzionali; prolungandole indefinitamente secondo una stessa proporzione si giunge a serie infinite che permettono di trattare qualità la cui intensità cresce senza limite pur rimanendo su un’estensione finita: «Par exemple, une qualité peut être de degré 1 en sa première partie, puis telle qu’elle augmente d’un degré de partie en partie indéfiniment. Une telle qualité, finie en étendue, s’intensifie indéfiniment, et son analogue géométrique est une figure infinie en hauteur» («Ad esempio, una qualità può essere di grado 1 nella sua prima parte, poi aumentare di un grado di parte in parte indefinitamente. Una tale qualità, finita in estensione, si intensifica indefinitamente, e il suo analogo geometrico è una figura infinita in altezza» – fr:1474‑1475).

L’applicazione del modello geometrico si estende immediatamente alla variazione della rapidità di un moto. Non sempre la linea di base rappresenta la durata; può raffigurare la distribuzione della velocità lungo un corpo, come mostra l’esempio della corda tesa attraverso un ruscello, dove ogni punto è soggetto a un grado di rapidità diverso a causa della disomogeneità della corrente (fr:1480‑1481). Oresme, in pagine sorprendenti, tenta di dedurre la deformazione della corda dalla conoscenza del gradiente di velocità, dimostrando un interesse simultaneo per la meccanica dei solidi e per quella dei corpi deformabili, ben prima della distinzione netta operata dai fisici del Seicento (fr:1482‑1483).

La finalità principale di questa analogia geometrica è rendere immediatamente visibile il «profilo dinamico» della qualità o del movimento: «L’utilité d’une figure vient d’abord de ce qu’elle rend immédiatement visible l’ensemble de ce que j’appellerai souvent le “profil dynamique” de la qualité ou du mouvement.» («L’utilità di una figura deriva innanzitutto dal fatto che essa rende immediatamente visibile l’insieme di ciò che chiamerò spesso il “profilo dinamico” della qualità o del movimento.» – fr:1488/p.81). Oresme distingue due aspetti delle qualità, la dispositio e la mensura, e nelle prime due parti del trattato si occupa solo della disposizione (fr:1486‑1487). La geometria ha quindi il compito di re‑introdurre un’intuizione là dove è difficile averla, mostrando non semplicemente un grado su una scala, ma una distribuzione e, soprattutto, la variazione stessa. «Vraisemblablement personne avant Oresme n’avait proposé de représenter visuellement la variation elle‑même.» («Verosimilmente nessuno prima di Oresme aveva proposto di rappresentare visivamente la variazione stessa.» – fr:1492/p.81). L’idea di variatio, di quantitas variabilis, pervade il suo pensiero, portandolo forse a introdurre in matematica l’idea stessa di variabile (fr:1494/p.81).

Oresme mira a un sistema completo di rappresentazione: «le premier trait de cette exploration est son effort pour définir un système complet de représentation. … sa prétention à pouvoir représenter toutes les variations, toutes les distributions» («il primo tratto di questa esplorazione è il suo sforzo per definire un sistema completo di rappresentazione. … la sua pretesa di poter rappresentare tutte le variazioni, tutte le distribuzioni» – fr:1497‑1498). La varietà infinita delle difformità viene ricondotta a 62 specie di variazioni composte, generate dalla combinazione di 6 specie di configurazioni semplici (fr:1503‑1504). Grazie a regole iterative di composizione, nessuna variazione sfugge al sistema, che permette persino di costruire configurazioni infinite con le quali dimostrare in modo rapido e intuitivo proprietà necessarie di accelerazioni o rallentamenti indefiniti (fr:1513‑1514). Particolarmente significativo è il ricorso a diagrammi per chiarire situazioni prossime ai paradossi di Zenone: «un diagramme convenablement construit représente le mouvement d’un mobile qui se meut indéfiniment en ralentissant indéfiniment : il devient alors immédiatement clair qu’il existe une distance finie qu’il ne franchira jamais, même en un temps infini.» («un diagramma convenientemente costruito rappresenta il movimento di un mobile che si muove indefinitamente rallentando indefinitamente: diventa allora immediatamente chiaro che esiste una distanza finita che non supererà mai, nemmeno in un tempo infinito.» – fr:1517/p.82)

Nonostante l’ambizione sistematica, il trattato non segue un ordine deduttivo rigoroso. Il progetto iniziale, esposto nel proemio, consisteva nel «mettere in ordine la mia rappresentazione dell’uniformità e della difformità», ma Oresme stesso ammette che durante la stesura «altre cose» gli vennero in mente, facendo sì che l’opera risultasse piuttosto caotica («Dès qu’il commença à “mettre de l’ordre” dans sons système, “d’autres choses” (quedam alia) lui vinrent à l’esprit … Le résultat en est assez chaotique.» – fr:1527‑1529). Egli insegna diverse maniere di utilizzare e persino di comprendere i diagrammi, senza decidersi per una, perché ciascuna può rivelarsi utile a seconda del problema (fr:1542‑1543). La flessibilità si spinge fino alla compresenza di metodi diversi per la variazione uniformemente difforme, interpretata ora in modo geometrico ora cinematico, e all’esitazione sulla misurabilità della curvatura. Dopo aver provato due metodi per misurare la curvatura di una linea, Oresme dichiara: «Verumptamen utrum curvitates inequales sint proportionabiles vel non, hoc non determino pro nunc. Vos qui hoc legitis iudicate.» («Tuttavia, se curvature disuguali siano tra loro proporzionabili o no, per ora non lo determino. Giudicate voi che leggete.» – fr:1547‑1549). Questo è il segno che egli sta ancora esplorando il suo stesso sistema, senza ritenere necessario scegliere una via univoca, perché ogni metodo può avere la propria utilità.

Il carattere esplorativo emerge anche dalla trattazione di figure che non rappresentano alcuna qualità – come quelle con angoli alla base superiori al retto – e dalla constata che una medesima qualità uniforme è rappresentata non da un unico rettangolo, ma da un’infinità di figure proporzionali in altezza (fr:1552‑1557). La ricerca delle figure proporzionali in altezza al semicerchio conduce a cogliere analogie tra il cerchio e linee curve allungate e appiattite, senza tuttavia giungere a riconoscervi delle ellissi (fr:1558/p.84). A questo punto il testo originale introduce una figura esplicativa (Fig. 10, descritta dalla sequenza di lettere C B A C E DFBA [C] (b)) e prosegue con capitoli sperimentali sulle qualità contrarie e con i due capitoli sulla curvatura (fr:1559‑1561). In essi Oresme tenta di misurare la curvatura mediante la distanza tra la curva e la tangente, ossia tramite l’angolo di contingenza, e giunge a ritenere che tale metodo dimostri che la curvatura non è misurabile, senza nondimeno chiudere definitivamente la questione (fr:1563/p.84). L’insieme del trattato si configura così non come un sistema teorico perfetto, ma come un insieme di strumenti sufficienti per affrontare problemi matematici, fisici e teologici che coinvolgono variazioni intensive – un procedere per tentativi, nel quale Oresme «tâtonne» («Oresme n’a donc pas voulu, en fait, composer un système théorique, mais proposer un système suffisant pour élucider des problèmes … Oresme tâtonne.» – fr:1550‑1551).

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2 Dalla curvatura delle linee alla configuratio: qualità, quantità e scienze intermedie nel trattato di Oresme

Nicole Oresme esplora la curvatura come qualità misurabile e sviluppa una dottrina geometrica delle intensità che mira a fondare una scienza universale delle alterazioni, ben più radicale delle tradizionali scientiae mediae.

L’indagine prende le mosse da un tentativo di quantificare la curvatura delle linee. Oresme sperimenta un metodo che misura la curvatura in un punto tramite il raggio del cerchio osculatore («Il essaye alors une autre méthode qui revient à mesurer la courbure en un point au moyen du rayon de courbure» – fr:1564 [Prova allora un altro metodo che consiste nel misurare la curvatura in un punto mediante il raggio di curvatura]), ma non decide se le curvature siano effettivamente misurabili: si limita a esplorare («Oresme ne décide pas si les courbures sont mesurables ou non : il expérimente.» – fr:1565 [Oresme non decide se le curvature siano misurabili oppure no: egli sperimenta]). Questo atteggiamento stupisce perché oggi identifichiamo naturalmente la curvatura come una proprietà matematica, studiata nei corsi di analisi delle funzioni (fr:1566-1567). Per Oresme, invece, la dottrina della configurazione si applicava a qualità reali, a fenomeni naturali (fr:1568), secondo quella che una lettura tradizionale considera una matematica “applicata” alla natura (fr:1569). Tuttavia, nella prospettiva medievale il matematico e il naturalista studiano entrambi qualità: la matematica non è affatto esclusivamente quantitativa (fr:1570). Lo stesso Oresme discute se un angolo sia quantità o qualità (fr:1571), mentre per la curvatura è chiaro che sia una qualità («En revanche, il est clair que la courbure est une qualité.» – fr:1572 [In compenso, è chiaro che la curvatura è una qualità]).

Proprio perché qualità, la curvatura possiede un’intensità e una configurazione: se ne può tracciare la figura riportando le intensità puntuali su una linea di base data dalla curva stessa rettificata (fr:1573). Oresme impiega questa dottrina per provare che la curvatura della spirale archimedea è uniformemente difforme («Oresme va donc utiliser sa doctrine pour essayer de démontrer que la courbure de la spirale archimédienne est uniformément difforme.» – fr:1574 [Oresme utilizzerà dunque la sua dottrina per tentare di dimostrare che la curvatura della spirale archimedea è uniformemente difforme]). Un’altra area d’esplorazione, tipica dei problemi logico-matematici del tempo, è costituita dai mutamenti microtemporali: Oresme studia ciò che chiama “acquisizione” e “deperdizione” di una qualità o di un moto, cioè il guadagno o la perdita (fr:1575-1576). L’obiettivo è comprendere ciò che accade nell’istante rapidissimo in cui una qualità nasce o scompare, oppure cambia profilo dinamico – per esempio quando una qualità difforme diviene improvvisamente uniformemente difforme, o quando una linea curva diventa retta (fr:1577). Si indagano così le proprietà della continuità di un’alterazione (fr:1578). Per trattarle, Oresme completa la rappresentazione geometrica con dati cinematici: l’intensificazione puntuale va immaginata per mezzo di una “flussione” verticale («L’intensification d’une qualité en un point doit être maintenant imaginée au moyen littéralement d’une « fluxion » verticale.» – fr:1580 [L’intensificazione di una qualità in un punto deve essere ora immaginata per mezzo, letteralmente, di una «flussione» verticale]), mentre la variazione simultanea dell’intensità su un’intera qualità lineare si rappresenta con un innalzamento della linea di cresta (fr:1581).

Questa strumentazione consente di stabilire cosa accade al “primo” e all’“ultimo” istante di un’alterazione (fr:1582). Oresme ammette che, se una linea subisce una deformazione e si incurva, è possibile determinare il primo o l’ultimo istante in cui la linea è retta, ma non quello in cui è curva (fr:1583), perché tra una curva e la sua tangente in un punto si può sempre costruire un’altra curva (fr:1584). Applicando le regole di interpretazione poste, segue immediatamente che si può determinare il primo o l’ultimo istante in cui una qualità è uniforme o uniformemente difforme, ma non quello in cui è difformemente difforme (fr:1585).

La sezione metrica, pur relegata da Oresme nella periferia del trattato, ha attirato la massima attenzione (fr:1586). Lo scopo è determinare il rapporto quantitativo di due qualità note, dati i rapporti delle loro estensioni e delle loro intensità (fr:1587). Ciò presuppone la strana idea di “quantità di qualità” (quantitas qualitatis), di cui Oresme fa un uso parco, preferendo nettamente il concetto derivato di “rapporto di qualità” (proportio qualitatum) (fr:1588). Il calcolo consiste nel combinare in qualche modo i rapporti di intensità con quelli di estensione (fr:1589). La figurazione si rivela particolarmente utile: nella figura, la quantità di qualità è rappresentata dalla superficie – c’è due volte più qualità se la qualità è due volte più estesa a pari intensità, o due volte più intensa a pari estensione (fr:1591). Tuttavia, Oresme non calcola mai quantità di qualità né moltiplica l’intensità per l’estensione, perché si tratta di quantità eterogenee; calcola rigorosamente rapporti di qualità («Mais Oresme ne calcule jamais des quantités de qualité, et ne prend jamais le produit de l’intensité par l’extension : ce sont des quantités hétérogènes, il n’y a pas de sens à multiplier l’une par l’autre. Il calcule strictement des rapports de qualités.» – fr:1592-1593 [Ma Oresme non calcola mai quantità di qualità, e non prende mai il prodotto dell’intensità per l’estensione: sono quantità eterogenee, non ha senso moltiplicare l’una per l’altra. Calcola rigorosamente rapporti di qualità.]).

Analogamente, quando la figura rappresenta un moto locale, la superficie raffigura la “quantità di velocità” (quantitas velocitatis), misurata dalla distanza percorsa (fr:1594). Ma Oresme non calcola la distanza come superficie, bensì deduce il rapporto tra le distanze percorse da due mobili a partire dai rapporti di durata e di rapidità (fr:1595). Contrariamente a quanto si potrebbe credere, perfino munito del modello geometrico, Oresme non ragiona direttamente sulle superfici né si limita a calcolare superfici o rapporti di superfici: le regole che utilizza, dal punto di vista geometrico, appaiono inutilmente complicate («C’est un point important : contrairement à ce qu’on pourrait croire, même pourvu de son modèle géométrique, Oresme ne raisonne pas directement sur les surfaces, et ne se contente jamais de simplement calculer ni des surfaces, ni des rapports de surfaces : les règles qu’il utilise, du point-de-vue géométrique, sont apparemment inutilement compliquées.» – fr:1596 [È un punto importante: contrariamente a quanto si potrebbe credere, anche provvisto del suo modello geometrico, Oresme non ragiona direttamente sulle superfici, e non si accontenta mai di calcolare semplicemente né superfici né rapporti di superfici: le regole che utilizza, dal punto di vista geometrico, sono apparentemente inutilmente complicate.]).

Con queste regole Oresme dimostra geometricamente il teorema del valore medio: una qualità che informa una sostanza AB ed è uniformemente difforme da IA a IB equivale in quantità alla stessa qualità su AB ma uniforme di intensità (IA+IB)/2 (fr:1597). La dimostrazione è immediata osservando le figure corrispondenti, dove AB rappresenta il soggetto informato (o la durata di un moto) e le linee verticali esprimono la variazione dell’intensità fino a zero (caso a) o fino a un grado BD (caso b), come indicato in Fig. 21 («La démonstration est immédiate si l’on observe les figures correspondantes, où AB représente le sujet informé par la qualité (ou la durée d’un mouvement) et les lignes verticales la variation de l’intensité, jusqu’à 0 (cas (a)) ou jusqu’à un degré BD (cas (b)) : A E F C G D B A D B F G E C (b) Fig. 21 (a)» – fr:1598 [La dimostrazione è immediata se si osservano le figure corrispondenti, dove AB rappresenta il soggetto informato dalla qualità (o la durata di un movimento) e le linee verticali rappresentano la variazione dell’intensità, fino a 0 (caso (a)) o fino a un grado BD (caso (b)): Fig. 21 (a)]).

In un’altra opera importante, le Questioni sulla geometria di Euclide, Oresme ne deduce, per il moto locale, che se un mobile si muove di moto uniformemente accelerato, le distanze percorse stanno tra loro come i quadrati dei tempi (fr:1599). Sebbene la dimostrazione assomigli a quella galileiana, si vede meglio come la sua origine vada cercata nella teoria dei numeri figurati esposta nell’aritmetica di Boezio (fr:1600). Nello stesso scritto, Oresme fornisce un esempio sulla quantità di lumen prodotta da una potenza luminosa: se due potenze stanno in rapporto 1:2, le quantità di lumen generate nelle sfere illuminate intorno alla sorgente stanno in rapporto 1:10 (fr:1601). Nel De visione stellarum, una versione del teorema serve a mostrare che un raggio di luce che attraversa un mezzo a densità uniformemente difforme, come l’atmosfera, segue una curva e la sorgente appare lungo la tangente alla curva nel punto di contatto con l’occhio (fr:1602). Entrambe queste opere sono verosimilmente anteriori al trattato in esame (fr:1603).

Oresme studia poi casi particolari in cui una qualità si intensifica indefinitamente su una sostanza finita o durante un tempo finito (fr:1604) e mostra che un’intensificazione può essere infinita mentre la quantità di qualità o di moto rimane finita (fr:1605). In questi tre casi, il ragionamento geometrico prova che una superficie finita può essere nondimeno estesa indefinitamente, e proprio l’aspetto paradossale della conclusione sembra averlo attratto (fr:1606-1607). Prende un rettangolo, lo divide in parti continuamente proporzionali – per esempio in rapporto 1:2 – ottenendo un’infinità di parti la cui somma è finita (fr:1608-1609). Impilando queste parti costruisce una seconda figura che si estende indefinitamente in una direzione (fr:1610). Variando il rapporto di divisione e la modalità di impilamento, Oresme produce diversi esempi (fr:1611). Quando applica la medesima doppia operazione di divisione e ricomposizione a un corpo, la chiama con il nome biblico di transfiguratio (fr:1614). Gli ultimi due capitoli sono dedicati appunto alla trasfigurazione di un corpo che rappresenta una qualità corporea, nella fattispecie la pesantezza di una libbra (fr:1615). Geometricamente, da un corpo di volume finito Oresme costruisce un corpo dello stesso volume ma infinitamente esteso in lunghezza e larghezza, e ne deduce che una qualità corporea può estendersi indefinitamente in lunghezza e larghezza pur essendo uniforme o difformemente difforme, ma non uniformemente difforme – « ce qui paraît merveilleux à certains » (fr:1616 [cosa che pare meravigliosa ad alcuni]). Nell’ultimo capitolo dimostra che una qualità finita può estendersi indefinitamente in tutte le direzioni purché la sua intensità decresca in modo difformemente difforme (fr:1617). Conclude costruendo, a partire da un cubo di una libbra, un “corpo infinito”, più grande del cielo di Aristotele, che conserva ovunque qualcosa della sua pesantezza iniziale, e chiude il trattato con questa visione cosmica (fr:1618-1619).

Questi nuovi generi di problemi richiamano un nuovo genere di matematica («Ces nouveaux genres de problèmes appellent un nouveau genre de mathématiques.» – fr:1620 [Questi nuovi generi di problemi richiedono un nuovo genere di matematica]). Era proprio dello spirito del tempo estendere l’applicazione delle matematiche, in particolare affiancando deduzioni matematiche e osservazioni sperimentali (fr:1621). Tale commistione era caratteristica delle scientiae mediae (o mathematicae mediae), le “scienze intermedie” della tradizione scolastica legata ai commenti aristotelici (fr:1622). Aristotele distingue ripetutamente la scienza fisica, che studia gli enti dotati del principio del proprio movimento (alterazione, moto locale, accrescimento/diminuzione), dalla scienza matematica, che tratta forme pure, immobili e astratte dalla materia (fr:1623-1628). Non c’è tuttavia opposizione radicale: il matematico opera per astrazione, nega la materialità ma studia i “limiti” (πἐρας) degli enti naturali in moto (fr:1629-1633). L’astrazione ammette gradi: quando l’ottico geometrizza il percorso della luce assimilandolo a un raggio senza spessore, la sua astrazione è più limitata di quella del geometra, perché non dimentica di studiare la luce e interpreta otticamente ciò che dimostra geometricamente (fr:1635). Perciò scienze come l’ottica, l’armonica e l’astronomia sono miste di fisica e matematica (fr:1636-1642). Dalla lettura dei Secondi analitici e del problema della metabasis – la possibilità di usare i principi di una scienza nelle dimostrazioni di un’altra – i medievali ricavano l’idea di una subalternazione gerarchica, in cui la scienza intermedia è inferiore a quella matematica da cui mutua i principi (fr:1643-1644). Tommaso d’Aquino vede questa subordinazione come applicatio dei principi matematici alle realtà materiali: la perspectiva applica la figura formale alla luce, la meccanica alla stereometria, l’armonica applica il numero formale ai suoni, l’osservazione nautica è subalternata all’astronomia (fr:1645). La gerarchia è epistemica: è la scienza subalternante che spiega e dimostra i fatti descritti da quella subalternata – la prospettiva spiega l’arcobaleno descritto dalla scienza dell’iride, la geometria spiega al medico perché una ferita circolare guarisce più lentamente di una angolosa (fr:1646). La relazione tra matematica e filosofia naturale era variamente intesa, ma Aristotele stesso giustificava uno studio matematico e quantificato della natura, e l’idea di “applicare” la matematica a questioni fisiche non è affatto estranea alla mentalità scolastica (fr:1647).

La bipartizione del trattato di Oresme tra figurae e potentia sembra assimilarne la teoria della configurazione a una scienza intermedia che applicherebbe la geometria alle azioni e passioni naturali (fr:1648). Oresme non impiega mai l’espressione scientia media, benché maestri successivi nell’arte della latitudine delle forme l’abbiano intesa così (fr:1649-1650, 1665-1666). L’emergere di nuove scienze matematico-sperimentali, soprattutto la perspectiva (Ruggero Bacone, John Pecham, Vitellione) e la statica (Giordano Nemorario), spiega l’abbondanza di commenti duecenteschi sulle scienze intermedie (fr:1654). Oresme conosce bene queste due scienze e se ne ispira direttamente; è verosimile che la Perspectiva gli abbia suggerito non solo idee particolari, ma l’idea stessa di usare figure geometriche per ragionare sulle qualità (fr:1655-1656). Il piccolo trattato De latitudinibus formarum, a lungo erroneamente attribuito a Oresme e incerto nella sua anteriorità rispetto al De configurationibus, presenta analogamente un metodo di figurazione delle qualità e del moto per studiare variazioni, medie, limiti, massimi e minimi delle variazioni intensive, e fu spesso assimilato dai maestri a una nuova scienza intermedia (fr:1658-1659).

Tuttavia la latitudine delle forme si distingue radicalmente da ogni altra scienza intermedia. La qualità non è un oggetto particolare, ma un modo d’essere trasversale a tutti gli oggetti: mentre l’ottica o la statica vertono su enti ben circoscritti – la luce, la pesantezza –, una scienza delle qualità riguarda ogni cosa in quanto possiede qualità e sovrasta l’ottica e la statica, giacché luce e pesantezza sono ontologicamente qualità (fr:1660-1662). Se questa matematica delle qualità è una scientia media, lo è in modo assai più fondamentale: una scienza matematica delle qualità ambirebbe a essere una scienza delle scienze, capace di informare di sé, con i propri principi e metodi, tutte le altre discipline («Si cette mathématique des qualités, ou science de la « latitude des formes » est une scientia media, c’est donc d’une manière beaucoup plus fondamentale que la perspective ou la statique : une science mathématique des qualités aurait vocation à être une science des sciences susceptible d’affecter de ses principes et ses méthodes toutes les autres sciences.» – fr:1663 [Se questa matematica delle qualità, o scienza della «latitudine delle forme» è una scientia media, lo è dunque in una maniera molto più fondamentale della prospettiva o della statica: una scienza matematica delle qualità avrebbe vocazione a essere una scienza delle scienze, suscettibile di influenzare con i suoi principi e i suoi metodi tutte le altre scienze.]). È per questo che l’intuizione fondamentale di Oresme sulla configuratio si ripercuote in tutti gli ambiti del trattato, dando luogo a una visione completa della natura e del mondo (fr:1664).

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3 Tra forma fluente e magia: la mutevole immagine storiografica del De configurationibus di Oresme

La ricezione del De configurationibus qualitatum oscilla tra la ricerca di anticipazioni della scienza moderna e la riscoperta di un Medioevo ancora permeato di pensiero magico.

Sin dalle prime indagini, lo studio del De configurationibus qualitatum (DC) di Nicola Oresme si è articolato intorno a due domande polemiche fondamentali: se la teoria delle configurazioni anticipi la geometria analitica cartesiana e se Oresme abbia confusamente intuito la legge galileiana dell’accelerazione dei gravi. “Sur la base de ces premières études, le DC va donc faire l’objet de deux questions polémiques centrales : (1) la théorie des configurations anticipe-t-elle la géométrie analytique cartésienne ?” – (fr:2363/p.130) [Sulla base di questi primi studi, il DC sarà dunque oggetto di due questioni polemiche centrali: (1) la teoria delle configurazioni anticipa la geometria analitica cartesiana?] “(2) Oresme a-t-il confusément entraperçu la loi galiléenne de l’accélération de la chute des corps ?” – (fr:2364/p.130) [Oresme ha confusamente intravisto la legge galileiana dell’accelerazione della caduta dei corpi?]. Nel 1921 Pierre Boutroux, al pari di Wieleitner, respingeva la prima idea ma accoglieva la seconda: Oresme applica “« avec beaucoup d’ingéniosité la méthode des coordonnées pour étudier les variations de qualités », mais se limite à quelques applications pratiques sans en faire une théorie générale” – (fr:2365/p.130) [«con molta ingegnosità il metodo delle coordinate per studiare le variazioni di qualità», ma si limita ad alcune applicazioni pratiche senza farne una teoria generale].

Una terza direzione venne aperta proprio da Wieleitner e da Hugo Dingler. “Mais Wieleitner, par le concept de fonction, puis Dingler par celui de forme fluente, ont commencé d’orienter l’étude dans une troisième direction : l’invention d’une science mathématique de la quantité variable” – (fr:2366/p.130) [Ma Wieleitner, con il concetto di funzione, e poi Dingler con quello di forma fluente, hanno iniziato a orientare lo studio in una terza direzione: l’invenzione di una scienza matematica della quantità variabile]. Il cuore di questa rilettura è la forma fluens, la «forma fluente» desunta dai commenti di Averroè, che Dingler lega a una precisa figura geometrica: “figure géométrique qui représente une qualité ou un mouvement qu’Hugo Dingler identifie à cette forma fluens, cette « forme fluente », selon l’expression issue des commentaires d’Averroès” – (fr:2362/p.130) [figura geometrica che rappresenta una qualità o un movimento che Hugo Dingler identifica con questa forma fluens, questa «forma fluente», secondo l’espressione proveniente dai commentari di Averroè]. L’impostazione di Dingler non si limitava però a un semplice ritorno a Curtze: “En revanche, ses connaissances s’étendent au-delà de Curtze, puisque, tout en maintenant sa position théorique fondamentale en 1952, il se positionne par rapport à Duhem et Wieleitner” – (fr:2356/p.129) [D’altra parte, le sue conoscenze si estendono oltre Curtze, poiché, pur mantenendo la sua posizione teorica fondamentale nel 1952, si posiziona rispetto a Duhem e Wieleitner].

L’affidabilità storiografica di Dingler è tuttavia contestata. Stefano Caroti ne fa il modello stesso del cattivo storico: “Stefano Caroti fait de Dingler le modèle même du mauvais historien” – (fr:2354/p.129) [Stefano Caroti fa di Dingler il modello stesso del cattivo storico]. Le critiche toccano anche la conoscenza diretta delle fonti: “245 Peut-être n’a-t-il pas lu l’original du DC” – (fr:2355/p.129) [Forse non ha letto l’originale del DC]. Si è persino ipotizzato che la sua opposizione fondamentale tra il costante e il variabile provenisse da una lettura di Engels: “246 Peut-être tire-t-il cette opposition fondamentale entre le constant et le variable de l’ouvrage de Friedrich Engels, La dialectique de la nature, qui n’est publiée en allemand et en russe qu’en 1925” – (fr:2358/p.129) [Forse trae questa opposizione fondamentale tra il costante e il variabile dall’opera di Friedrich Engels, La dialettica della natura, pubblicata in tedesco e in russo soltanto nel 1925]. Lo stesso Dingler rimanda a Kurd Lasswitz, “Lui-même renvoie à Kurd Lassewitz” – (fr:2359/p.129) [Egli stesso rinvia a Kurd Lasswitz], e il suo lavoro apparve in Philosophia Scientiæ: “247 Hugo Dingler. « Sur l’histoire et l’essence de l’expériment », Philosophia Scientiæ. Travaux d’histoire et de philosophie des sciences, no 18-2 (1952): 33-56” – (fr:2360–2361) [Hugo Dingler, «Sulla storia e l’essenza dell’esperimento», Philosophia Scientiæ, Travaux d’histoire et de philosophie des sciences, n. 18-2 (1952): 33-56].

Un successivo spostamento di prospettiva giunse da Lynn Thorndike. Fino ad allora, il DC era stato letto soprattutto come prova di modernità, buon candidato per stabilire una continuità tra scolastica e scienza classica e attenuare le rotture prodotte da Copernico, Descartes e Galileo. “Jusqu’à présent, les études sur le DC s’étaient attachées à en démontrer la « modernité » : ce traité était un bon candidat pour servir de preuve d’une continuité entre la scolastique et la science classique, et modérer la série de ruptures occasionnées par Copernic, Descartes et Galilée” – (fr:2367/p.130) [Fino ad allora, gli studi sul DC si erano dedicati a dimostrarne la «modernità»: questo trattato era un buon candidato per servire come prova di una continuità tra la scolastica e la scienza classica, e per attenuare la serie di rotture provocate da Copernico, Descartes e Galileo]. L’immagine eroica di Oresme venne però offuscata quando Thorndike pubblicò lo studio sulla sezione del DC dedicata alla magia e alla fascinazione: “Cette image héroïque de Nicole Oresme fut quelque peu ternie lorsque Lynn Thorndike publia son étude sur la section du DC consacrée à la magie et à la fascination : le moderne redevint soudain médiéval, le scientifique superstitieux” – (fr:2368/p.130) [Questa immagine eroica di Nicola Oresme fu un po’ offuscata quando Lynn Thorndike pubblicò il suo studio sulla sezione del DC dedicata alla magia e alla fascinazione: il moderno ridivenne d’un tratto medievale, lo scienziato superstizioso].

L’intento di Thorndike, sulla scia del Ramo d’oro di Frazer, non era una semplice svalutazione, ma collocare la magia come un momento dello sviluppo scientifico e non come semplice insieme di pratiche rituali prive di pensiero teorico. “Ce n’était pas immédiatement l’intention de Thorndike, dont le but était, dans le prolongement du Rameau d’or de Frazer, de faire de la magie un moment dans le développement scientifique, et non simplement un ensemble de pratiques rituelles dépourvues de toute pensée théorique 249” – (fr:2369/p.130) [Non era immediatamente questa l’intenzione di Thorndike, il cui scopo era, nel solco del Ramo d’oro di Frazer, fare della magia un momento dello sviluppo scientifico, e non semplicemente un insieme di pratiche rituali prive di qualsiasi pensiero teorico]. Per questo, pur senza mai definire davvero il termine «magia» – che nel suo lavoro abbraccia riti fondati sul potere delle parole, immagini, amuleti, divinazione, astrologia, stregoneria e alchimia – Thorndike si concentrava sul nesso tra queste attività e la scienza, sul loro mescolarsi. “Il ne définit jamais réellement ce qu’il appelle « magie », et inclut sous cette formule les rites fondés sur le pouvoir des mots, des images, des amulettes, la divination, l’astrologie, la sorcellerie, ou encore l’alchimie” – (fr:2370/p.130) [Non definisce mai realmente ciò che chiama «magia», e include in questa formula i riti fondati sul potere delle parole, delle immagini, degli amuleti, la divinazione, l’astrologia, la stregoneria o ancora l’alchimia]; “Mais c’est toujours dans la relation de ces activités avec la science, le mélange de magie et de science qui l’intéresse” – (fr:2371/p.130) [Ma è sempre nella relazione di queste attività con la scienza, nel miscuglio di magia e scienza, che risiede il suo interesse]. In definitiva, nella sua ottica la magia non è un ostacolo alla scienza, bensì “un ensemble d’idées théoriques qui finissent par devenir absurdes” – (fr:2372/p.130) [un insieme di idee teoriche che finiscono per diventare assurde].

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[3.1/3-92-2422|2512]

4 La ricezione del De configurationibus qualitatum tra fisica e matematica: un nodo storiografico

Il trattato di Nicola Oresme, il De configurationibus qualitatum (DC), si presenta da subito come un’opera di difficile collocazione, segnata – secondo gli studi di Durand – da una tensione irrisolta. Quando l’indagine di Oresme si volge alle applicazioni concrete, “D’un autre côté, quand Oresme se tourne vers les applications concrètes, « une étonnante pénombre de pseudo-science » s’imprime dans le traité, explications plus ou moins arbitraires d’une grande variété de faits puisés dans les sources les plus diverses” – (fr:2422/p.133) [D’altra parte, quando Oresme si rivolge alle applicazioni concrete, «una sorprendente penombra di pseudo-scienza» si imprime nel trattato, spiegazioni più o meno arbitrarie di una grande varietà di fatti attinti dalle fonti più diverse]. La compresenza di una potente impostazione geometrico-quantitativa e di spiegazioni fisiche spesso arbitrarie configura una “seconda dimensione” difficilmente conciliabile con la prima. Durand ricorre alla categoria dei «virtuosi»: “Cette « deuxième dimension » d’Oresme, note-t-il, s’accorde mal avec la première, que Durand résout simplement en plaçant Oresme dans une catégorie d’hommes au-delà de la cohérence logique, les « virtuoses », qui mettent en défaut les méthodes communes de l’historien du fait de la nature éminemment intuitive de leur démarche faite de « pressentiments (hunch) » bons ou mauvais” – (fr:2423/p.133) [Questa «seconda dimensione» di Oresme, egli nota, si accorda male con la prima, che Durand risolve semplicemente collocando Oresme in una categoria di uomini al di là della coerenza logica, i «virtuosi», che mettono in difetto i metodi comuni dello storico a causa della natura eminentemente intuitiva del loro procedere fatto di «presentimenti (hunch)» buoni o cattivi]. Tale ambiguità anticipa le divergenze interpretative che segneranno la storia della critica.

L’avvio delle grandi edizioni, in particolare quella critica di Marshall Clagett (1968) e l’attenzione integrale di Anneliese Maier a partire dal 1948, non risolse la questione dell’unità del trattato: “l’unité du traité fut loin d’être réalisée” – (fr:2432/p.134) [l’unità del trattato fu lungi dall’essere realizzata]. I due studiosi assunsero posizioni insieme simili e contraddittorie. “Anneliese Maier et Marshall Clagett eurent à la fois une attitude semblable et contradictoire : si l’un comme l’autre reconnaît nominalement l’importance du traité, cette reconnaissance paraissait plus charitable que réelle tant ils s’en faisaient une idée assez pauvre” – (fr:2433/p.134) [Anneliese Maier e Marshall Clagett ebbero un atteggiamento al tempo stesso simile e contraddittorio: se entrambi riconoscono nominalmente l’importanza del trattato, questo riconoscimento appariva più caritatevole che reale, tanto se ne facevano un’idea piuttosto povera]. Il dissidio riguardava il nucleo stesso dell’interesse: “Mais alors qu’Anneliese Maier niait l’intérêt mathématique et privilégiait les explications physiques dans lesquelles elle voyait un pressentiment vague et maladroit du mécanisme atomiste du XVIIe, au contraire Clagett peinait à voir l’intérêt de sa physique pour au contraire louer la partie mathématique” – (fr:2434/p.134) [Ma mentre Anneliese Maier negava l’interesse matematico e privilegiava le spiegazioni fisiche nelle quali vedeva un vago e maldestro presentimento del meccanicismo atomistico del Seicento, al contrario Clagett faticava a vedere l’interesse della sua fisica per lodare invece la parte matematica]. L’elogio della matematica da parte di Clagett risultava però paradossale, giacché l’introduzione storica ridimensionava l’apporto di Oresme alla sola invenzione dei diagrammi: “Cet éloge était lui-même paradoxal : si les notes rendaient bien compte de la radicalité des intuitions d’Oresme, l’introduction historique limitait complètement l’apport d’Oresme à sa contribution à l’invention des diagrammes de représentation” – (fr:2435/p.134) [Questo elogio era di per sé paradossale: se le note rendevano ben conto della radicalità delle intuizioni di Oresme, l’introduzione storica limitava completamente l’apporto di Oresme al suo contributo all’invenzione dei diagrammi di rappresentazione].

Il giudizio di Anneliese Maier fu, molto presto, radicalmente negativo. Già nella sua prima pubblicazione sull’argomento si contrapponeva a Duhem, negando il legame ontologico della dottrina delle latitudini delle forme e l’anticipazione della geometria analitica: “Alors que Duhem rattachait historiquement la doctrine de la « latitude des formes », selon la dénomination commune à l’époque, à la question ontologique concernant la nature des variations intensives telle que débattue par les théologiens, Maier rejetait cette filiation au motif qu’Oresme ne se souciait pas, selon elle, des questions ontologiques” – (fr:2441/p.134) [Mentre Duhem collegava storicamente la dottrina della «latitudo delle forme», secondo la denominazione comune all’epoca, alla questione ontologica relativa alla natura delle variazioni intensive come dibattuta dai teologi, Maier respingeva questa filiazione con la motivazione che Oresme non si preoccupava, secondo lei, delle questioni ontologiche]. Ella riduceva il trattato a semplice esercizio di chiarificazione grafica: “L’unique but d’Oresme aurait été de clarifier les définitions et les calculs déjà pratiqués par d’autres concernant l’uniformité et la difformité au moyen d’un symbolisme graphique” – (fr:2444/p.134) [L’unico scopo di Oresme sarebbe stato quello di chiarire le definizioni e i calcoli già praticati da altri riguardo all’uniformità e alla difformità per mezzo di un simbolismo grafico]. Ogni contatto con l’esperienza era escluso in partenza: “« Il s’agit un calcul et une construction a priori, sans aucun contact avec l’expérience, ni même sans aucune intention de nouer un tel contact. »” – (fr:2458/p.135) [Si tratta di un calcolo e una costruzione a priori, senza alcun contatto con l’esperienza, e senza neppure alcuna intenzione di stabilire un tale contatto]. Quella che Maier concedeva come vaga premonizione era esclusivamente lo sforzo di spiegare qualità per mezzo di strutture materiali: “Elle ne lui reconnaît rien d’autre que le « pressentiment » des idées mécanistes de l’atomisme du XVIIe siècle, dans l’effort pour expliquer des effets qualitatifs au moyen de la structure matérielle des corps” – (fr:2463/p.135) [Ella non gli riconosce nient’altro che il «presentimento» delle idee meccanicistiche dell’atomismo del XVII secolo, nello sforzo di spiegare effetti qualitativi per mezzo della struttura materiale dei corpi]. Di fatto, “la partie « graphique » du traité devient son essence même, les applications physiques et les méthodes mathématiques sont minimisées, voire simplement niées” – (fr:2472/p.136) [la parte «grafica» del trattato diventa la sua essenza stessa, le applicazioni fisiche e i metodi matematici sono minimizzati, se non semplicemente negati].

Un cambio di prospettiva giunse dall’opera di Carl B. Boyer, che integrò il DC nella storia del calcolo. Il vero interesse diventa l’applicazione al movimento: “Surtout, c’est moins la géométrie analytique cartésienne qui l’intéresse que le calculus newtonien et son application au mouvement” – (fr:2486/p.137) [Soprattutto, ad interessarlo è meno la geometria analitica cartesiana che il calcolo infinitesimale newtoniano e la sua applicazione al movimento]. L’accento si sposta sul concetto di variazione, di cui i pensatori medievali, e Oresme tra loro, sarebbero stati gli introduttori in matematica: “This consisted in the idea [… ] of studying change quantitatively, and thus admitting into mathematics the concept of variation” – (fr:2494/p.137) [Ciò consisteva nell’idea di studiare il cambiamento quantitativamente, e di ammettere così in matematica il concetto di variazione]. In tale ottica, i medievali segnano una rottura rispetto al mondo antico: “En général, les mathématiques grecques étaient l’étude des formes, non de la variabilité” – (fr:2489/p.137) [In generale, la matematica greca era lo studio delle forme, non della variabilità]. Oresme, in particolare, assumeva il ruolo di mediatore tra scienza dell’essere e scienza del divenire, riducendo i fenomeni a un flusso (formae fluentes) misurato dal tempo. Il limite dei ragionamenti medievali restava tuttavia l’assenza del concetto di limite, che impediva una piena dimostrazione di risultati come il teorema del grado medio o i calcoli con serie infinite: “La limite des raisonnements médiévaux, c’est en particulier l’absence de concept de limite” – (fr:2501/p.138) [Il limite dei ragionamenti medievali è in particolare l’assenza del concetto di limite]. L’apporto di Oresme rispetto agli Oxoniensi fu quello di geometrizzare le argomentazioni, sostituendo all’intuizione fisica un’intuizione geometrica. In tal modo, “ce qui vaut maintenant à Oresme son importance n’est plus son éventuelle anticipation de la géométrie analytique, mais sa contribution à la conceptualisation d’une science mathématique du mouvement” – (fr:2510/p.138) [ciò che ora vale a Oresme la sua importanza non è più la sua eventuale anticipazione della geometria analitica, ma il suo contributo alla concettualizzazione di una scienza matematica del movimento]. La superficie sotto la linea rappresentante una velocità veniva di fatto interpretata come somma di linee parallele, operando implicitamente con infinitesimi: “Implicitement, Oresme doit donc interpréter la surface sous la ligne de crête comme la somme de lignes parallèles : il travaille de fait à l’aide d’infiniment petits” – (fr:2512/p.138) [Implicitamente, Oresme deve dunque interpretare la superficie sotto la linea di cresta come la somma di linee parallele: egli lavora di fatto con l’aiuto di infinitesimi]. L’intera vicenda storiografica testimonia così come il De configurationibus qualitatum sia stato letto di volta in volta come frammento di una scienza fisica avvenire, come sistema di coordinate o come tappa decisiva nella matematizzazione del mutamento, senza che la sua unità profonda si imponesse mai davvero.

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5 La storiografia del De configurationibus: dalla quantificazione alla genesi della funzione

Il trattato di Oresme è stato letto come laboratorio di idee – dagli indivisibili alla rappresentazione coordinata – ma la sua ricezione ha spesso isolato le sezioni matematiche a scapito del disegno complessivo.

La storiografia del De configurationibus qualitatum et motuum (DC) si è a lungo concentrata sul ruolo delle figure come strumento di calcolo e di visualizzazione. Già Boyer ne aveva fatto un anello nella storia del calculus, osservando che «cette même idée qu’Oresme interprète implicitement la surface comme la somme d’une infinité d’indivisibles sera régulièrement reprise» – (fr:2513/p.138) [questa stessa idea che Oresme interpreti implicitamente la superficie come somma di un’infinità di indivisibili sarà regolarmente ripresa]. Gli storici che inseriscono Oresme nella traiettoria del calcolo sottolineano la somiglianza con una procedura di integrazione, almeno per il caso uniformemente difforme (fr:2515/p.139). Becker e Hofmann dedicano al DC poche righe, ma vi scorgono «le point culminant» d’une tendance à la quantification – (fr:2516/p.139) [«il punto culminante» di una tendenza alla quantificazione], insistendo sul valore operativo delle figure come modo di addizione e sottrazione simbolica delle qualità, contro la lettura di Maier, che vi vedeva anzitutto uno strumento di chiarificazione (fr:2517/p.139). L’attenzione si appunta esclusivamente sugli ultimi capitoli della parte terza, quelli dedicati alla misura, e chi conosce il trattato soltanto attraverso quelle poche righe ignora tutto il resto (fr:2519/p.139). Il punto saliente, già rilevato da Wieleitner e indirettamente da Maier, è che «les développements particuliers nous montrent que l’attention principale reste orientée vers la figure et non vers la variation de la fonction» – (fr:2520/p.139) [gli sviluppi particolari ci mostrano che l’attenzione principale resta orientata verso la figura e non verso la variazione della funzione].

Con la sintesi di Marshall Clagett (1959) il quadro cambia radicalmente. Clagett proietta sul Medioevo le categorie moderne di statica, cinematica e dinamica (fr:2522/p.139) e, con spirito duhemiano, «abstrait du DC des passages qui peuvent servir à l’histoire des concepts de la mécanique classique : ce qui n’y sert pas n’est pas mentionné» – (fr:2523/p.139) [astrae dal DC i passaggi che possono servire alla storia dei concetti della meccanica classica: ciò che non serve non è menzionato]. L’oggetto del trattato viene ridotto a «to represent by figures, that is geometrically, variations in qualities» – (fr:2525/p.139) [rappresentare mediante figure, cioè geometricamente, le variazioni nelle qualità], e i capitoli sui poteri delle configurazioni scompaiono (fr:2526/p.139). Nella sua visione per scuole nazionali, la cinematica “emerge” al Merton College e il contributo francese si limita a una geometrizzazione di concetti inglesi: «application of graphic or coordinate techniques (…) to English concepts» – (fr:2594/p.143) [applicazione di tecniche grafiche o di coordinate (…) a concetti inglesi]. Questa cronologia rovescia l’interpretazione di Duhem, per il quale la dottrina, inventata da Oresme in forma geometrica, era stata corrotta dagli anglosassoni. Clagett unisce oxoniensi e parigini negando ogni divergenza (fr:2595/p.143) e identifica la geometrizzazione con l’invenzione di un sistema di coordinate (fr:2601/p.144); ricostruisce quindi l’origine della teoria delle configurazioni in tre fasi, facendo intervenire Oresme solo nell’ultima (fr:2602‑2603).

Una svolta è impressa da Youschkevitch (1963), che pur astraendo le parti matematiche, interroga subito il rapporto con la teoria delle funzioni (fr:2538/p.140). Adotta una concezione dialettica del progresso: «il est vain de poser une définition de la fonction comme s’il s’agissait d’une chose en soi transhistorique : c’est la dynamique du mouvement qui engendre l’idée de fonction, les « étapes de son devenir » qu’il faut saisir» – (fr:2539/p.140) [è vano porre una definizione della funzione come se si trattasse di una cosa in sé trans-storica: è la dinamica del movimento che genera l’idea di funzione, le «tappe del suo divenire» che bisogna cogliere]. In Oresme trova il germe dell’idea di funzione e della sua rappresentazione geometrica (fr:2540/p.140), ed è forse il primo a leggere le parti matematiche nella loro singolarità (fr:2541/p.140): nota la proposta di una quasi-funzione a due variabili (fr:2542/p.140), descrive la classificazione delle qualità lineari e la dimostrazione della divergenza della serie armonica (fr:2543/p.140). Ricongiungendosi all’entusiasmo di Duhem, colloca Oresme «au seuil de la géométrie analytique de Descartes et Fermat, de la dynamique de Galilée, et de la géométrie des indivisibles de Cavalieri» – (fr:2544/p.140) [sulla soglia della geometria analitica di Descartes e Fermat, della dinamica di Galilei e della geometria degli indivisibili di Cavalieri].

Lo storico sovietico accosta senza esitazione i testi trecenteschi a quelli secenteschi: insiste sull’uso di fluxus in Swineshead e Oresme, che prefigura il metodo newtoniano delle flussioni, e sulla somiglianza di Heytesbury con Newton e Maclaurin quanto alla velocità istantanea (fr:2545/p.140). «Plus que Boyer, Youschkevitch distingue nettement la richesse d’une pensée et les limites de son expression» – (fr:2547/p.140) [più di Boyer, Youschkevitch distingue nettamente la ricchezza di un pensiero e i limiti della sua espressione]. La dottrina della latitudine delle forme è per lui ricca di possibilità, ma «erstarren mußte, weil ihr einerseits ein lebendiger Kontakt mit der Naturwissenschaft fehlte und weil andererseits der (algebraische) Hilfsapparat ungenügend entwickelt war» – (fr:2552/p.141) [dovette cristallizzarsi perché da un lato le mancava un contatto vivo con la scienza della natura e dall’altro l’apparato algebrico ausiliario era insufficientemente sviluppato]; giudizio che una migliore conoscenza dei capitoli musicali di Oresme avrebbe potuto attenuare (fr:2553/p.141).

Nel 1968 Youschkevitch torna sulla funzione come divenire e riconosce alla teoria della latitudine il merito di rendere esplicita la nozione di grandezza variabile attraverso il fluxus qualitatis, corrente quantitativa continua indispensabile per lo studio dei moti non uniformi (fr:2556/p.141). Nella sintesi del 1983 presenta il DC come «développement essentiel» de « la théorie de Swineshead sur l’intensité des formes » – (fr:2562/p.141) [sviluppo essenziale della teoria di Swineshead sull’intensità delle forme] e nota che Oresme, pur usando il termine “rapporto”, ha considerato più in dettaglio la corrispondenza tra grandezze rispetto agli oxoniensi (fr:2563/p.141), anche se le descrizioni restano verbali o geometriche (fr:2564/p.141). Al centro sta la “larghezza variabile”, un elemento che anticipa le grandezze variabili del Seicento (fr:2565‑2567). Se l’apparato algebrico è povero e funziona a vuoto – «Oresme n’a absolument pas imaginé l’étude algébrique de courbes qui est cependant le fondement de la géométrie analytique» – (fr:2568/p.142) [Oresme non ha assolutamente immaginato lo studio algebrico delle curve che è tuttavia il fondamento della geometria analitica] – è innegabile che la teoria abbia contribuito alla gestazione delle scoperte di Descartes, Fermat, Galilei e Cavalieri (fr:2570/p.142). Youschkevitch è il primo a segnalare la somiglianza non solo con la geometria analitica, ma con la mathesis universalis cartesiana delle Regulae (fr:2579/p.142). Nel 1976, in una sintesi divenuta canonica, pone il DC al centro: «la ligne de crête d’une figure définit graphiquement une relation fonctionnelle continue entre une première variable (latitudo) dépendant d’une autre variable indépendante (longitudo)» – (fr:2575/p.142) [la linea di cresta di una figura definisce graficamente una relazione funzionale continua tra una prima variabile (latitudo) dipendente da un’altra variabile indipendente (longitudo)]. Assimila la coppia longitudo/latitudo a un sistema di coordinate, identifica la descrizione della qualità uniformemente difforme all’equazione di una retta (fr:2576/p.142), e sottolinea il ricorso a considerazioni infinitesimali implicite (velocità istantanea, accelerazione) ed esplicite (sommatorie e progressioni geometriche) (fr:2577/p.142).

Il percorso storiografico mostra così un progressivo spostamento da una lettura centrata sulla quantificazione e sul calcolo a una che coglie nel DC l’incubazione del concetto di funzione, pur nell’assenza di un formalismo algebrico. Le figure, da semplici schemi additivi, diventano il luogo in cui si disegna per la prima volta una dipendenza funzionale continua, avvicinando Oresme alle soglie della geometria analitica e della dinamica moderna.

[3.3/3-91-2604|2694]

6 La ricezione storiografica del De configurationibus di Oresme: fra riduzionismo interpretativo e riscoperta di un progetto scientifico

Il trattato di Oresme ha conosciuto una storia critica segnata dalla tensione fra la riduzione a mero esercizio logico-matematico e il riconoscimento della sua portata come nuovo strumento di indagine della natura.

La valutazione del De configurationibus qualitatum et motuum (DC) si è a lungo polarizzata attorno alla lettura offerta da Marshall Clagett. Egli “allait chercher l’invention d’un système unilinéaire de représentations des intensités” – (fr:2604/p.144) [andava a cercare l’invenzione di un sistema unilineare di rappresentazione delle intensità] non tanto nei modelli prospettici e musicali esplicitamente convocati da Oresme, quanto nei diagrammi farmacologici e nei ragionamenti dialettici dei calculatores oxoniensi. L’idea guida era “l’assimilation d’une différence graduelle à une distance continue” – (fr:2605/p.144) [l’assimilazione di una differenza graduale a una distanza continua]; tale spazializzazione astratta veniva attribuita già ai mertoniani come Swineshead (fr:2606/p.144). In questa prospettiva la terza fase del programma oresmiano appariva come un punto di arrivo già esaurito (fr:2607/p.144), e Clagett accordava poca importanza ai capitoli sulla potentia delle configurazioni (fr:2608/p.144). Il passaggio dalla descrizione delle varietà di difformità all’applicazione delle difformità nella spiegazione degli effetti naturali veniva letto come uno slittamento semantico: Clagett distingueva così configurazioni “esterne” – le rappresentazioni grafiche – e configurazioni “interne” – le difformità reali in qualità e movimenti, cause di effetti inattesi (fr:2609/p.144).

La domanda “Pourquoi avoir qualifié ces configurations d’internes ?” – (fr:2610/p.144) [Perché aver qualificato queste configurazioni come interne?] riceveva una risposta riduttiva. Clagett “semble avoir plus ou moins consciemment réduit le champ des variations intensives étudiées par Oresme à celles des qualités complexionnelles qui déterminent l’identité spécifique d’une substance” – (fr:2612/p.144) [sembra aver più o meno consciamente ridotto il campo delle variazioni intensive studiate da Oresme a quelle delle qualità complessionali che determinano l’identità specifica di una sostanza]; le giudicava interne in quanto insensibili ed essenziali, caratterizzanti la “structure interne de la matière” – (fr:2613/p.144) [struttura interna della materia]. Eppure Oresme stesso fonda l’ipotesi degli effetti naturali delle configurazioni sull’esperienza del diverso calore percepito al contatto di un recipiente caldo a seconda della configurazione del calore sulla sua superficie (fr:2615/p.144). L’autore del testo si chiede allora se variazioni intensive come quelle del dolore e della gioia, studiate da Oresme nella seconda parte, siano davvero “interne” o insensibili (fr:2617/p.145). La distinzione tra configurazioni reali e loro rappresentazione sarebbe stata “beaucoup plus correcte” – (fr:2618/p.145) [molto più corretta], rendendo meno pertinente l’idea di uno slittamento di senso. L’insistenza di Clagett nel chiamare “interne” le configurazioni reali sembra piuttosto funzionale a “les disqualifier comme mystérieuses ou occultes” – (fr:2620/p.145) [squalificarle come misteriose o occulte] e a rigettare come fantasiosi i capitoli che esulano dalla questione puramente rappresentazionale. Per lui l’apporto teorico di Oresme si riduceva ad aggiungere le configurazioni ai rapporti di qualità già invocati per spiegare gli effetti occulti, risultando così molto debole (fr:2621/p.145). Clagett non arrivava a sostenere un abbandono posteriore di queste spiegazioni, ma interpretava la loro assenza nel Contra divinatores e nei Quodlibeta come indizio di una composizione anteriore al DC (fr:2622/p.145). Insisteva inoltre sul “caractère arbitraire du lien supposé entre difformité et un effet” – (fr:2623/p.145) [carattere arbitrario del legame supposto tra difformità e un effetto], perché Oresme non sarebbe in grado di misurare concretamente una variazione intensiva. Tale affermazione non è del tutto esatta: esistono intensità misurabili come la pesantezza con la bilancia, la velocità con lo spazio percorso, la bianchezza e soprattutto l’altezza del suono (fr:2624/p.145). L’effettiva scarsa cura di Oresme per le misure concrete “devrait être expliqué plutôt que condamné comme une marque de faiblesse scientifique” – (fr:2625/p.145) [dovrebbe essere spiegato piuttosto che condannato come un marchio di debolezza scientifica]. La valutazione di Clagett si compendia infine nella dichiarazione senza ambiguità dell’ “échec” della teoria delle configurazioni come “procédé utile d’explication” – (fr:2626/p.145) [procedimento utile di spiegazione].

Dopo l’edizione, il DC ha conosciuto una parcellizzazione degli studi (fr:2627-2628/p.145). Il trattato è stato esaminato per singole nozioni o sezioni, spesso posto in secondo piano rispetto ad altre opere di Oresme come i Quodlibeta, il De commensurabilitate, le Quaestiones super physicam o il De proportionibus proportionum (fr:2629/p.145-2631/p.146). I lavori di Caroti, Celeyrette e Kirschner si sono concentrati maggiormente sulle Quaestiones super physicam che sul DC (fr:2631/p.146). Per quanto riguarda le sezioni matematiche, la scienza della latitudine delle forme è stata notevolmente precisata, ma gli studi si sono poco soffermati direttamente sui testi di Oresme (fr:2632-2633/p.146). Sin da Dijksterhuis si è consolidata la distinzione tra l’approccio geometrico di Oresme e quello “aritmetico e algebrico” dei Calculatores, che Clagett definiva “retorico” e che si preferisce chiamare dialettico o logistico (fr:2634/p.146). Le ricerche successive, a partire dalla tesi di Sylla, hanno rafforzato l’identità logico-sofistica di questi ragionamenti, reinscrivendoli nel contesto dell’insegnamento oxoniense della logica piuttosto che in un’evoluzione della filosofia naturale (fr:2635/p.146). “Le but des traités des calculateurs étaient avant tout de préparer les étudiants aux disputes de sophismatibus” – (fr:2636/p.146) [Lo scopo dei trattati dei calcolatori era innanzi tutto preparare gli studenti alle dispute de sophismatibus]; testi come le Regule solvendi sophismata non offrono un’esposizione sintetica, ma una raccolta di esercizi logico-matematici risolti caso per caso (fr:2637/p.146). Come reazione, Kaye ha proposto di collegare questi concetti alla monetarizzazione della società (fr:2638/p.146). L’afflusso di nuovi testi e la quasi identificazione fra sofismi e fisica immaginifica hanno diminuito l’interesse per le applicazioni concrete della teoria di Oresme (fr:2639/p.146). Significativamente, nel 2004 Caroti osserva che “Si mon analyse est correcte, le rôle du De configurationibus qualitatum et motuum parmi les écrits de Nicole Oresme est sans doute plus remarquable qu’on ne l’a pensé” – (fr:2640/p.146, 2646) [Se la mia analisi è corretta, il ruolo del De configurationibus qualitatum et motuum tra gli scritti di Nicole Oresme è senza dubbio più notevole di quanto si sia pensato], non più mero esercizio di subtilitas ma vera proposta di un nuovo strumento di ricerca. Il carattere innovativo e pertinente che i primi storici avevano difeso all’unanimità non era più affatto un’evidenza; il trattato era tenuto come termine ultimo di sottigliezze logico-matematiche e solo una riconquista storiografica poteva restituirgli vigore esplicativo (fr:2647/p.147). Caroti lo considera ormai “un des produits les plus intéressants de la spéculation philosophique du XIVe siècle” – (fr:2648/p.122) [uno dei prodotti più interessanti della speculazione filosofica del XIV secolo]. La tesi di Di Liscia ha poi portato una migliore conoscenza dell’insegnamento della latitudine delle forme e della figurazione intensiva fra XV e XVI secolo nello spazio germanico, con testi che seguono da vicino Oresme, come le Quaestiones di Laurentius Londorius (fr:2649/p.147). Tali testi non sono paragonabili sul piano matematico al DC, ma indicano la natura dei problemi presi di mira dai maestri, in particolare la determinazione della latitudine delle forme come nuovo genere di scientia media (fr:2650/p.147).

Le sezioni matematiche del DC, che avevano motivato i primi studi a partire da Curtze, sono state progressivamente trascurate (fr:2651/p.147). Nelle sintesi, il giudizio di Clagett si è fissato nell’immaginario degli storici, che riducono regolarmente il contenuto matematico del trattato a due punti: l’invenzione di un metodo di rappresentazione grafica delle funzioni e il calcolo di serie infinite (fr:2662/p.148). L’identificazione delle figurazioni di Oresme con un sistema di coordinate e con un abbozzo di sistema di equazioni è stata generalmente rifiutata, per ragioni spesso discutibili (fr:2663/p.148). Souffrin e Weiss riassumono le differenze: il fine di Oresme non sarebbe risolvere problemi geometrici mediante equazioni algebriche, bensì creare figure o configurazioni a partire dalla coppia longitudine/latitudine (fr:2664-2665/p.148); Celeyrette ritiene tale critica non più discutibile (fr:2666/p.148). Per formulare la sua metrica Oresme ricorre esplicitamente all’algoritmo dei rapporti, l’Algorismus proportionum edito da Curtze nel 1868 e letto come anticipazione della teoria degli esponenziali (fr:2667-2668/p.148). Edward Grant riprende questa linea interpretativa nell’edizione del De proportionibus proportionum (fr:2669/p.148). Paul Rusnock ha però mostrato che tale lettura deforma il significato del trattato, trascurando la distinzione cruciale fra rapporti di minore e di maggiore disuguaglianza (fr:2670/p.148). La lettura esponenziale rendeva del resto incomprensibile l’impiego dell’algoritmo nel DC: se si trattava solo di applicare la geometria euclidea alle qualità, perché mobilitare un calcolo non pensato per problemi di geometria piana? (fr:2671/p.148). La traduzione francese commentata di Sabine Rommevaux-Tani (2010) ha mostrato come la teoria dei rapporti di rapporti costituisse un approfondimento della teoria euclidea delle proporzioni, in particolare del libro VII, per formulare la nuova regola del movimento esposta da Bradwardine (fr:2672/p.148). “En assimilant le rapport à une quantité continue, en définissant les notions de partie de rapport, de division par insertion de médians proportionnels puis de composition, Oresme explorait un nouveau champ théorique où les rapports rationnels vivent d’une existence minoritaire, cernés de toutes parts par des rapports irrationnels” – (fr:2689/p.149) [Assimilando il rapporto a una quantità continua, definendo le nozioni di parte di rapporto, di divisione per inserzione di mediani proporzionali e poi di composizione, Oresme esplorava un nuovo campo teorico in cui i rapporti razionali vivono di un’esistenza minoritaria, accerchiati da ogni parte da rapporti irrazionali]. Questo campo lascia intravedere analoghi dei numeri trascendenti. La pubblicazione del 2014 sulle nuove teorie dei rapporti dal XIV al XVI secolo ha ulteriormente chiarito come l’insieme appaia come una teoria pensata a partire da se stessa e dalle sue fonti, con le sue esplorazioni, ramificazioni e obiezioni (fr:2690/p.149).

Nel DC si ritrova “la même clarté, le même esprit quasi-axiomatique, le même souci de l’ancrage des nouveautés modernes dans un fondement rigoureux” – (fr:2691/p.149) [la stessa chiarezza, lo stesso spirito quasi-assiomatico, la stessa cura di ancorare le novità moderne a un fondamento rigoroso] che approfondisce più di quanto rigetti i paradigmi della filosofia naturale. I trattati oxoniensi non formulano mai una teoria sintetica, ma una collezione di casi sofismatici; Oresme compone invece il suo trattato perché “ne serve pas seulement d’exercice (exercitatio), mais également d’enseignement (disciplina)” – (fr:2693/p.149) [serva non solo da esercizio, ma anche da insegnamento]. Edmond Mazet riconosce nell’ordine e nella chiarezza la cifra dello stile matematico di Oresme in contrasto con quello di Swineshead (fr:2694/p.149).

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7 Oltre lo scetticismo: la potenza delle configurazioni e la magia della materia nel «De configurationibus»

A lungo confinata tra ingenuità e scetticismo, la filosofia naturale di Oresme rivela un’affermazione positiva del potere armonico della materia, fondato sulla realtà delle configurazioni e su una causalità strutturale che non si esaurisce nella sola smentita dell’occulto.

Per molto tempo le sezioni naturali del trattato di Nicole Oresme non sono state valutate nella loro portata scientifica; si riteneva che le sue spiegazioni fossero “somme toute naïves et invérifiables” (fr:2734/p.151) [tutto sommato ingenue e inverificabili] e che Oresme stesso fosse “un théologien usant de la raison pour la confondre” (fr:2735/p.151) [un teologo che usa la ragione per confonderla]. Questa lettura, già difesa da Zoubov, si è alimentata delle riserve espresse da Oresme circa la possibilità di una conoscenza esatta del mondo e della causalità naturale. Edward Grant, in due articoli del 1978 e del 1993, ha approfondito il tema dello “scetticismo” di Oresme, concludendo sull’esistenza di un “double agenda” (fr:2737/p.151) [doppio programma]: distruggere la superstizione sostituendola con causalità naturali, ma al tempo stesso mostrare che la filosofia naturale non è più certa di un articolo di fede. Colpisce, tuttavia, che “dans aucun de ses deux articles, Grant n’évoque le DC” (fr:2738/p.151) [in nessuno dei suoi due articoli Grant evoca il DC], come se il De configurationibus – unico trattato di filosofia naturale in senso stretto di Oresme – non avesse nulla da insegnare sulla conoscenza della natura.

È vero che nel DC Oresme “n’y formule que des hypothèses causales sans se montrer bien soucieux de leur vérité” (fr:2739/p.151) [vi formula soltanto ipotesi causali senza mostrarsi troppo preoccupato della loro verità], ma non tutto è ipotesi: “il affirme résolument la réalité des configurations, ainsi que celle de leur pouvoir” (fr:2740/p.151) [egli afferma risolutamente la realtà delle configurazioni, così come quella del loro potere]. La fisica oresmiana, che Duhem non prese sul serio come semplice ipotesi ad hoc, non ha attirato l’attenzione sulla pertinenza teorica della causalità strutturale o geometrica che essa propone. Fa eccezione, recentemente, Gérard Maugin, il quale vi ha visto un precursore della propria teoria delle forze configurazionali: rappresentando le “material inhomogeneity” e facendo della non-omogeneità la causa di forze non puntuali, “Oresme anticiperait ce genre de travaux” (fr:2744/p.152) [Oresme anticiperebbe questo genere di lavori]. Tanto che si può affermare, con una punta d’ironia, che “Oresme n’est certes pas le précurseur de la science moderne : il la dépassait déjà avant sa naissance !” (fr:2745/p.152) [Oresme non è certo il precursore della scienza moderna: la superava già prima della sua nascita!].

La storiografia ha tuttavia privilegiato un altro asse, ossia il contributo di Oresme all’elaborazione del nuovo spirito scientifico, in particolare attorno al tema delle qualità occulte. Duhem aveva colto la specificità di Oresme: da un lato è inutile far ricorso a qualità occulte distinte dalle qualità primarie e complessionali che compongono ogni materiale, dall’altro non basta spiegare gli effetti meravigliosi delle pietre o delle piante con i rapporti di tali qualità – “ce genre de réduction doit être complétée par un autre, le pouvoir des configurations de ces qualités primaires ou secondaires” (fr:2747/p.152) [questo genere di riduzione deve essere completato da un altro, il potere delle configurazioni di queste qualità primarie o secondarie]. Questo quadro generale si è approfondito grazie a una migliore conoscenza del contesto, ma le sintesi hanno raramente riguardato il DC stesso: gli studi di Caroti e Hansen partono da altre opere. Un caso notevole è quello della virtus verborum, la terza radice della magia, studiata da Béatrice Delaurenti. La contestualizzazione mostra che lo sforzo di spiegare naturalmente l’efficacia delle formule incantatorie, separandola dall’operazione demonica, costituisce una “parenthèse naturaliste” (fr:2751/p.152) [parentesi naturalista] che va da Guglielmo d’Alvernia (1230 ca.) ai Quodlibeta di Oresme (1370 ca.). In questa naturalizzazione Oresme si distingue negando che la formula tragga la sua forza dal senso: non sono le parole ad agire, ma la voce dell’incantatore, il suono stesso, e la formula incantatoria non è che un caso particolare della magia della musica. Anche quando Oresme spiega una meraviglia con il potere dell’immaginazione, “ce n’est pas le contenu de la pensée imaginative qui l’exerce, mais sa force et sa manière” (fr:2757/p.153) [non è il contenuto del pensiero immaginativo a esercitarlo, ma la sua forza e la sua maniera]. Se l’uomo agisce inconsciamente sul mondo con la voce e l’immaginazione, è grazie a ciò che ha di più materiale, e non – come pensava Avicenna – a ciò che ha di più nobile e spirituale. Oresme non nega il potere dei magi se non affermando quello della natura: “la matière aussi a sa magie” (fr:2759/p.153) [anche la materia ha la sua magia]. Michelle Karnes nota ugualmente che, pur limitandolo e ritenendolo indiretto e mediato da una trasmissione materiale nel mezzo, Oresme afferma il potere dell’immaginazione sulla realtà esteriore; è essa a diventare centrale nella formazione degli errori e delle visioni.

Nicolas Weill-Parot, collocando il DC nella prospettiva dell’abbandono dell’occulto come categoria pertinente, osserva che Oresme vi esprime una “conception harmonique du monde” (fr:2762/p.153) [concezione armonica del mondo], con una teoria matematica della convenientia proportionis e della convenientia configurationis per spiegare effetti occulti e meravigliosi, accanto a una più antica spiegazione avicenniana tramite forma sostanziale. Emerge così che “Oresme ne se contente pas de nier l’occulte : il affirme résolument quelque chose de la nature, son pouvoir, sa musique” (fr:2763/p.153) [Oresme non si accontenta di negare l’occulto: afferma risolutamente qualcosa della natura, il suo potere, la sua musica]. Uno dei terreni privilegiati di questa affermazione è la malattia mentale. Le conoscenze mediche di Oresme sono evidenti e Vesa Hirvonen ha colto l’interesse delle osservazioni del DC, che mettono in luce un “Oresme-psichiatra” propenso a “expliquer naturellement les manies, délires et mélancolies” (fr:2773/p.154) [spiegare naturalmente manie, deliri e melanconie] con cause organiche e fisiologiche piuttosto che psicologiche o demoniache. Tuttavia, concentrandosi sugli elementi comuni ai medici, si trascurano gli aspetti più singolari del trattato, come l’anima-specchio e la teoria della reclusione. Nel DC Oresme si interessa meno alle malattie mentali in sé che alla possibilità per un mago di riprodurre artificialmente, con manipolazioni sonore o visive, ciò che il medico osserva all’opera nella natura. Controcanto dell’anima folle, l’anima sapiente possiede anch’essa una psicologia, segnata dal sentimento interno dell’evidenza del vero. Ma il metodo probabilistico oresmiano e il sospetto di scetticismo, se non di fideismo, confondono il confine tra credenza malata e certezza universitaria: Christophe Grellard sottolinea “une extension du domaine de la croyance, et un brouillage de la frontière entre croyance et science” (fr:2778/p.154) [un’estensione del dominio della credenza e un offuscamento della frontiera tra credenza e scienza]. La ragione non può pretendere una garanzia incrollabile di sé stessa; l’immaginazione, fondamentale per la scienza in forma schematica, minaccia costantemente l’errore con il suo potere d’illusione.

Il potere delle configurazioni, infine, non è affatto riservato alla spiegazione dei mirabilia e delle virtù occulte. Lo dimostra la sezione del DC dedicata alla spiegazione naturale delle passioni involontarie d’amore e d’odio: quando si rileva che Oresme ha un’idea singolare dell’amore e accorda un posto importante alla passione amorosa nel matrimonio, si cita il suo commento all’Etica di Aristotele, ma non questa parte del trattato, che pure vi è consacrata. È un ulteriore segnale che la filosofia naturale di Oresme non solo demolisce la superstizione, ma costruisce un’inedita geometria delle passioni e delle forze, radicata nella materialità del mondo.

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[5.1/2-91-2796|2884]

8 Armonia, astrologia e misura nell’opera di Oresme: la tensione verso l’unità di un trattato

L’analisi storiografica del De configurationibus rivela un’opera la cui frammentazione interpretativa ha oscurato la coerenza interna, celando il filo conduttore di una riflessione matematica, musicale e cosmologica più ampia.

Il motivo musicale nell’opera di Oresme non è un semplice ornamento, ma una chiave di volta per comprendere l’articolazione del suo pensiero matematico e cosmologico. Sebbene la sua presenza sia lampante in opere come il LCM e il DCIMC, dove “Ce motif est particulièrement évident” (fr:2794/p.155), essa affiora con forza anche nel De configurationibus (DC), seppur in forme meno immediatamente riconoscibili. L’aspetto più sorprendente emerge nel DCIMC, dove il motivo musicale si intreccia direttamente con l’ipotesi dell’incommensurabilità dei moti celesti. La geometria, sostenendo che alcuni movimenti sono mutuamente incommensurabili, ne deduce non solo la falsità dell’astrologia, ma anche “l’impossibilité pour l’harmonie céleste d’être fondée sur les accords pythagoriciens traditionnels, tous rationnels comme l’octave, la quinte et la quarte” (fr:2798/p.155). Tale audacia speculativa ha portato persino a suggerire che l’idea stessa di incommensurabilità possa essere stata ispirata a Oresme dalla teoria e pratica armonica (fr:2799/p.155).

La storiografia ha a lungo dibattuto sul carattere innovatore della sezione musicale del DC. Da un lato, si è osservata una vena conservatrice nelle regole compositive suggerite da Oresme. Dall’altro, è prevalsa la visione di una sua stretta sintonia con le nascenti pratiche dell’Ars nova. Come rilevato da alcuni studiosi, l’insegnamento di Oresme rappresenta una “tentative pour réconcilier la théorie traditionnelle avec ces pratiques nouvelles” (fr:2807/p.156). Sul piano armonico, l’elemento di maggior modernità risiede nella “justification par Oresme de l’utilisation de rapports irrationnels” (fr:2809/p.156), che supera l’uso ormai comune di terze e seste per spingersi oltre i tradizionali accordi perfetti. Questo superamento di un’armonia puramente aritmetica e discreta ha condotto alcuni a vedere in Oresme una figura centrale nella transizione verso una concezione continuista o geometrica dell’armonia, rompendo con l’eredità boeziana per introdurre la pratica musicale occidentale “dans l’ère de l’harmonie continuiste ou géométrique” (fr:2813/p.156). Tale posizione incarna lo spirito analitico che fiorirà nell’Ars subtilior, dove il gusto per la combinazione erudita prende il sopravvento sulla dolcezza melodica (fr:2812/p.156), e riflette sul piano speculativo l’influenza della matematica della latitudine delle forme sulla teoria musicale del Trecento (fr:2810/p.156).

Questa radicale affermazione dell’armonia universale, basata su rapporti geometrici, genera una tensione irrisolta con la critica oresmiana dell’astrologia; una contraddizione che, in genere, “On a peu remarqué” (fr:2814/p.156). La posizione di Oresme sull’astrologia non fu monolitica, ma conobbe un’evoluzione: da un’iniziale apertura all’idea di influenza celeste nei primi commenti, si passò a una critica più aspra, fino a un rifiuto radicale dell’idea stessa di influenza occulta, sostituita da un’efficienza puramente fisica della luce e del movimento celeste (fr:2825/p.157). Eppure, proprio nel DC si trova esposta una dettagliata teoria dell’influenza celeste attraverso le variazioni armoniche del moto, una spiegazione causale definita “la réduction la plus sophistiquée de l’influence céleste à l’harmonie mathématique du moyen âge” (fr:2827/p.157). Questa coesistenza, all’interno della stessa opera, di una critica alla divinazione astrologica e di una sofisticata difesa dell’armonia celeste influente, non è mai stata sistematicamente affrontata.

La ragione di tali apparenti incongruenze risiede nella difficile storia critica del trattato. Da quando è divenuto oggetto storiografico, il DC è stato segnato dall’astrazione. Le sezioni teoriche e matematiche, lodate per la loro razionalità, sono state separate dai capitoli dedicati all’applicazione alla natura, spesso giudicati irrazionali. Ciò ha prodotto l’immagine di un Oresme paradossale, “éminemment rationnel dans ses parties théoriques, manifestement déraisonnable quand il s’est agi de les appliquer à la nature” (fr:2831/p.157). La difficoltà di tenere insieme questi due aspetti ha incoraggiato la parcellizzazione del testo, facendo dimenticare l’unità del trattato e gettando nell’ombra intere sezioni (fr:2832-2833/p.157). Eppure, l’opera non si presta a una lettura frammentaria. La sua apparenza di sistema assiomatico ordinato a scopo didattico non regge a un esame approfondito: “l’ordre n’y est pas continu, parfois la première partie suppose la seconde” (fr:2846/p.159). Il trattato non offre rassicuranti certezze, ma espone dubbi ed esplora il proprio stesso metodo; obbliga alla rilettura, poiché “un chapitre modifie la compréhension des chapitres antérieurs” (fr:2851/p.159), facendo emergere tensioni interne e motivi ricorrenti che attraversano le sezioni.

La genesi stessa dell’opera chiarisce la natura della sua struttura. Oresme affrontò il tema della latitudine delle forme in due tempi: prima nelle Questiones super geometriam Euclidis (QSGE), sotto forma di questioni disputate, e poi nel DC, in forma di trattato. Le QSGE, pur nascendo come procedimento pedagogico, affrontano problemi tutt’altro che elementari e mirano a proporre metodi nuovi e audaci. Il passaggio dalla discussione sull’incommensurabilità alla sezione sulla figurazione geometrica delle qualità è introdotto in modo apparentemente arbitrario da un corollario della questione sul diametro e il lato. In esso, Oresme applica l’algoritmo dei rapporti per calcolare la “denominazione” del rapporto diagonale-lato, deducendo che se il grado di calore di due soggetti sta nello stesso rapporto, allora “la chaleur de A est double de la chaleur de B” (fr:2866/p.160), poiché le superfici che figurano tali calori stanno tra loro in una relazione geometrica calcolabile. Questa transizione si spiega con un problema più profondo: la mesurabilità delle cose. Il vero fulcro è l’impossibilità di dedurre la quantità di una superficie dalla semplice conoscenza dei suoi lati, come nel caso del triangolo equilatero, dove “l’aire (area) d’un triangle équilatéral est incommensurable à ses côtés” (fr:2869/p.160). Di conseguenza, “s’il fallait mesurer une surface ou un plan, jamais on n’obtiendrait la quantité de la surface à partir de la connaissance de ses côtés” (fr:2870/p.160). Questa constatazione sposta l’attenzione dalla misura assoluta al calcolo dei rapporti di superfici e volumi, fornendo la logica necessaria per estendere la riflessione alla misura delle qualità, dove non si tratterà di determinare una quantità assoluta di qualità, ma rapporti tra qualità (fr:2879-2880/p.161). L’unità del pensiero di Oresme va dunque cercata proprio in questa tensione interna al trattato, in questo percorso di esplorazione metodologica che lega matematica, musica e filosofia naturale in un disegno complesso e non lineare.

[5.2/2-90-2885|2974]

9 Tra dubbi e unità: le Quaestiones super Geometriam Euclidis e il De configurationibus a confronto

Le Quaestiones contengono intuizioni più audaci del trattato, che Oresme sacrifica a una sintesi costruita sul “sufficiente”, mentre la polemica contro i moderni e la denominatio rivela due modi inconciliabili di matematizzare le qualità.

Il testo commenta il rapporto tra le Quaestiones super Geometriam Euclidis (QSGE) e il De configurationibus qualitatum et motuum (DC) di Nicole Oresme, mostrando come le prime costituiscano un laboratorio di problemi in cui la geometria diventa strumento per analizzare uniformità e difformità delle qualità. Nessuna di queste questioni, tuttavia, tocca direttamente gli Elementi euclidei: “aucune de ces questions ne concerne directement les Eléments d’Euclide” – (fr:2898/p.161) [nessuna di queste questioni riguarda direttamente gli Elementi di Euclide]. L’interesse di Oresme è piuttosto quello di inscrivere la geometria fra gli oggetti suscettibili di un’analisi in termini di uniformità e difformità, e la prima questione offre l’occasione per esporre i principi della figurazione delle qualità. Ma lo fa con un rovesciamento significativo: “il s’y agit clairement moins d’assimiler les qualités à des figures, que d’assimiler les figures elles-mêmes à des qualités, et des qualités variables” – (fr:2900/p.161) [si tratta chiaramente meno di assimilare le qualità a figure, che di assimilare le figure stesse a qualità, e qualità variabili].

Le QSGE sono comunemente considerate anteriori al DC e lo sono certamente, poiché alcuni dubbi che Oresme vi esprime vengono risolti nel trattato (fr:2905/p.162). Sorprende perciò che parecchie questioni non trovino alcun equivalente nel DC. La questione 15, dedicata al problema della denominatio delle qualità – tema caro ai calcolatori oxoniensi ma assente dal DC –, la questione 17, che applica in modo audace la metrica delle qualità alla diffusione della virtù di un corpo (in particolare la radiazione luminosa), la questione 13 che dimostra che lo spazio percorso da un mobile con accelerazione costante è come il quadrato del tempo, e l’incursione nelle isolinee della questione 12, sono tutte assenti dal trattato (fr:2907-2912/p.162). Persino la giustificazione del modello geometrico, nella questione 11, risulta per certi versi più completa di quella del DC. “en plusieurs occasions, Oresme va plus loin dans les QSGE que dans le DC, comme s’il avait consenti à sacrifier des remarques audacieuses pour améliorer l’unité du propos” – (fr:2914/p.162) [in diverse occasioni, Oresme va più lontano nelle QSGE che nel DC, come se avesse acconsentito a sacrificare osservazioni audaci per migliorare l’unità del discorso]. Del resto, la questione 15 si chiude con una confessione di provvisorietà: “Beaucoup d’autres choses peuvent être dites au sujet des qualités, de l’uniformité et la difformité selon l’imagination proposée, mais pour le moment, ce qui a été dit à leur sujet suffit” – (fr:2915/p.162) [Molte altre cose possono essere dette a proposito delle qualità, dell’uniformità e della difformità secondo l’immaginazione proposta, ma per il momento ciò che è stato detto su di esse basta].

Nelle QSGE manca invece ogni riferimento alla potentia delle figure: “on ne trouve dans les QSGE aucune remarque sur la potentia des figures : n’y sont abordées que des questions mathématiques et métriques, sans aucune allusion aux merveilles de la nature” – (fr:2916/p.162) [non si trova nelle QSGE alcuna osservazione sulla potentia delle figure: vi si affrontano solo questioni matematiche e metriche, senza alcuna allusione alle meraviglie della natura]. Il termine stesso “configurationes” è assente.

La forma della quaestio conferisce alle otto questioni un’allure polemica che nel DC è molto meno evidente, benché affiori nelle critiche ai moderni (fr:2917/p.162). Le prime due obiezioni, se fossero accolte, distruggerebbero l’analogia tra figure e qualità: la seconda, più seria, nega la possibilità di un rapporto comparativo perché “qualités et surfaces sont des entités hétérogènes, mais il ne peut exister de rapport, donc de comparaison, qu’entre des entités homogènes” – (fr:2924/p.163) [qualità e superfici sono entità eterogenee, ma non può esistere rapporto, dunque comparazione, se non tra entità omogenee]. Le questioni 13 e 15 oppongono frontalmente due modi di matemizzare le qualità: la misura, difesa da Oresme, e la denominatio dei Mertoniani. In questi ultimi, i problemi sulla latitudine delle forme sono posti in termini di denominatio, cercando il grado da attribuire a una sostanza la cui qualità è difforme (es. un muro bianco con macchie grigie). Oresme, invece, ignora completamente la denominatio nel DC: “Il est remarquable que jamais, dans le DC, Oresme ne se soucie de la denominatio” – (fr:2934/p.163) [È notevole che mai, nel DC, Oresme si preoccupi della denominatio]. La ragione è che le regole di denominazione sono opposte alla metrica delle qualità, non la completano (fr:2936/p.163). Il teorema del grado medio, che eguaglia una qualità uniforme a una uniformemente difforme, viene attaccato dall’obiettore con la massima che la qualità difforme è “tanto intensa quanto il suo grado massimo” – regola difesa da Heytesbury. Per Oresme, questi problemi sono puramente verbali: “les problèmes concernant cette dénomination sont purement verbaux et sans rapport avec la réalité” – (fr:2942/p.163) [i problemi riguardanti questa denominazione sono puramente verbali e senza rapporto con la realtà]. La quantità che ha senso reale è quella che integra grado ed estensione; il giudizio di denominazione non riflette le quantità reali: “une perle, qui incorpore moins de blancheur, est plus blanche qu’un cheval” – (fr:2947/p.164) [una perla, che incorpora meno biancore, è più bianca di un cavallo]. Così, “le jugement de dénomination ne reflète pas les quantités réelles : la science des dénominations n’est pas une science du réel, mais du jugement” – (fr:2948/p.164) [il giudizio di denominazione non riflette le quantità reali: la scienza delle denominazioni non è una scienza del reale, ma del giudizio].

La polemica è esplicita nella questione 16, dove l’obiettore nega che un corpo possa riscaldarsi con la stessa variazione intensiva in ogni sua parte, richiamando un modo di ragionare comune al Merton College. Oresme risponde con l’esempio della pietra che cade e si riscalda uniformemente: “elle se réchauffera uniformément selon les parties du sujet” – (fr:2953/p.164) [essa si riscalderà uniformemente secondo le parti del soggetto]. Questa affermazione presuppone la chiara distinzione tra dimensione estensiva e intensiva; perciò Oresme può dichiarare: “de ces remarques, il apparaît avec la plus grande clarté que les définitions des autres ne valent rien” – (fr:2955/p.164) [da queste osservazioni, appare con la massima chiarezza che le definizioni degli altri non valgono nulla]. Le definizioni dei Mertoniani non reggono perché non permettono di legare razionalmente movimento e calore.

Nel comporre il tractatus De configurationibus, Oresme ha dato al suo pensiero “une unité plus synthétique et apparemment plus éloignée des polémiques” – (fr:2965/p.165) [un’unità più sintetica e apparentemente più lontana dalle polemiche]. Tuttavia, chi cercasse di scomporre questa unità seguendo le proprie curiosità assomiglierebbe a quei “villaggiois indiens qui, curieux d’apprendre ce qu’est un éléphant, s’en allèrent le tâtonner furtivement et de nuit, … chacun de prendre la partie pour le tout, perdant de vue l’unité de la forme” – (fr:2966/p.165) [quei paesani indiani che, curiosi di apprendere cos’è un elefante, andarono a tastarlo furtivamente e di notte, … ognuno a scambiare la parte per il tutto, perdendo di vista l’unità della forma]. Oresme stesso ammette che l’unità del trattato è fragile, quella di un’esplorazione più che di un compimento. L’opera è disseminata di marche di incompletezza: al termine dei 93 capitoli egli conclude di aver detto “suffisamment (in tantum)” – (fr:2969/p.165) [a sufficienza (in tantum)], e il criterio del “sufficiente” ritorna decine di volte – bastano pochi esempi di difformità composte, i primi ventun capitoli sono sufficienti per comprendere la figurazione dell’intensità, e così via fino agli ultimi calcoli. “la plupart du temps, Oresme ne change de sujet que lorsqu’il en a dit suffisamment du premier” – (fr:2973/p.166) [il più delle volte, Oresme cambia soggetto soltanto quando ne ha detto a sufficienza del primo]. Il passaggio da un tema all’altro, come dal suono alla magia, avviene senza sforzo: “Ma lasciando queste cose, passiamo alla suite”. L’analisi evidenzia così il profilo di un pensatore che, dalle domande irrisolte e polemiche delle Quaestiones alla sintesi deliberatamente “sufficiente” del De configurationibus, ha costruito un edificio teorico consapevolmente aperto e mai definitivo.

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[6.1/1-45-2992|3032]

10 Delimitazioni e soglie nel De configurationibus di Oresme

Il trattato è circoscritto ai processi naturali, ma la potenza dei principi di filosofia naturale spinge Oresme a esplorare territori di confine, dalla visione profetica all’inferno, passando per le configurazioni occulte e la misura della curvatura.

Oresme traccia confini espliciti al suo trattato, limiti che affiorano in più occasioni e si manifestano nei problemi che egli lascia indeterminati: “Ces limites sont indiquées par les problèmes qu’Oresme laisse indéterminés, soit parce qu’il semble échouer à les résoudre, soit parce qu’il estime qu’ils ne relèvent pas à proprement parler de l’objet qu’il s’est donné dans le traité.” – (fr:2992/p.167) [Questi limiti sono indicati dai problemi che Oresme lascia indeterminati, sia perché sembra non riuscire a risolverli, sia perché ritiene che non rientrino propriamente nell’oggetto che si è dato nel trattato.] Questa esitazione metodica non va confusa con una rinuncia: essa rivela piuttosto la natura esplorativa e sperimentale della sua riflessione (“Les exemples de la première catégorie illustrent la nature expérimentale, exploratoire, tâtonnante de la réflexion d’Oresme”, fr:2993/p.167).

I problemi-limite affiorano con particolare chiarezza nel cuore geometrico del trattato. Quando definisce le qualità semi-circolari, Oresme osserva che è possibile elevare su una stessa base curve più alte e più basse di un dato semicerchio, ma si interroga sulla loro natura: “Mais quelle est la nature de ces courbes ? Sont-elles circulaires ? Oresme ne détermine cette question que partiellement : « Quant à savoir si la figure plus petite que le demicercle par laquelle cette qualité peut être imaginée est un segment de cercle, je laisse la question ouverte. »” – (fr:2995/p.1172-2997/p.167) [Ma qual è la natura di queste curve? Sono circolari? Oresme determina questa questione solo parzialmente: «Quanto al sapere se la figura più piccola del semicerchio con cui questa qualità può essere immaginata sia un segmento di cerchio, lascio la questione aperta.»] Uno dei manoscritti del De configurationibus riporta in margine due soluzioni – una geometrica, l’altra quasi-algebrica – che dimostrano come quella linea non possa essere circolare, ma Oresme sceglie di non includerle nel corpo del testo.

Un’altra soglia è la misura del grado di curvatura. Egli intravede due vie per procedere alla misura delle curvatura, di cui una implica che esse siano reciprocamente improporzionabili, l’altra che siano proporzionabili e dunque figurabili geometricamente. Di fronte a queste conclusioni contraddittorie, Oresme sospende il giudizio e affida la decisione al lettore: « Cependant, si des courbures inégales sont proportionnables ou non, je ne le détermine pas maintenant. Vous qui lisez ceci, jugez. » – (fr:3004-3005/p.168) [«Tuttavia, se delle curvatura disuguali siano proporzionabili o meno, non lo determino ora. Voi che leggete, giudicate.»] Il caso della curvatura diviene così un possibile controesempio alla possibilità di figurare tutte le qualità, come egli stesso aveva avvertito: « Et ceci doit être entendu de toute intensité divisible en imagination (…) à l’exception peut être de l’intensité d’une courbure, dont il sera en partie question dans les chapitres 20 et 21 de cette partie » – (fr:3003/p.167) [«E ciò si deve intendere per ogni intensità divisibile con l’immaginazione (…), con l’eccezione forse dell’intensità di una curvatura, di cui si tratterà in parte nei capitoli 20 e 21 di questa parte.»]

I capitoli sulle potenze cognitive e sulle arti magiche ubbidiscono a una doppia esigenza: separare l’autentico dall’impostura e mostrare ciò che la natura e l’abile mago possono compiere grazie a una migliore conoscenza dei principi. Nel caso della visione profetica, il centro è la determinazione dei limiti naturali dell’esattezza, così da distinguere le visioni autentiche dalle imposture. Sul soprannaturale, però, Oresme sfiora appena la questione delle «cause superiori» – l’influenza celeste, gli angeli, i demoni o Dio stesso – poiché appartengono a « una speculazione più alta ». Si accontenta di formulare ipotesi sul dove venga ricevuta la visione (in una parte organica o in una facoltà, sensitiva o intellettiva), ma determinerà più avanti solo il caso delle visioni deliranti: « démontrer la nature du « style prophétique » véritable lui suffit » (cfr. fr:3010/p.168). Allo stesso modo, sugli arti magici egli non si addentra nella demonologia se non per affermare che i demoni esistono e non possono essere costretti dagli uomini senza il permesso divino, poiché « les démons ne sont pas le sujet du traité » – (fr:3011-3012/p.168) [i demoni non sono il soggetto del trattato.]. Il trattato è limitato ai processi naturali, senza però negare la possibilità di processi soprannaturali sempre accessibili alla potenza assoluta di Dio.

Ciò non impedisce a Oresme di compiere incursioni in temi che oggi ascriveremmo alla teologia: il canto dei beati alla resurrezione, l’urlo dei dannati all’inferno, la natura della sofferenza infernale e la gioia degli angeli. Se questi ultimi punti sono affermati solo per congettura e « sotto riserva di correzione », il primo è saldamente assicurato. L’estensione apparente oltre il soggetto dichiarato avviene perché i principi della filosofia naturale si estendono a questi domini: « les anges, les démons, les visions prophétiques, l’enfer et le paradis relèvent aussi de la physique par certains aspects » – (fr:3018/p.168) [gli angeli, i demoni, le visioni profetiche, l’inferno e il paradiso rientrano anche nella fisica per certi aspetti.]. In questa prospettiva, lo studio della natura visibile permette di conoscere o congetturare quel che vi è di naturale nell’invisibile, in continuità con la geografia infernale medievale che collocava l’inferno al centro della terra, come attestato da Brunetto Latini: « Et la chose la plus basse et la plus profonde qui soit au monde est le centre de la terre, celui de l’intérieur, qui est appelé « abîme », là où se trouve l’enfer » – (fr:3019/p.168, nella nota) [E la cosa più bassa e più profonda che sia al mondo è il centro della terra, quello interno, che è chiamato «abisso», là dove si trova l’inferno.].

La rete dei rinvii interni tesse legami talvolta prevedibili – come il trasporto delle nozioni teoriche dalle qualità permanenti a quelle successive –, talvolta sorprendenti, capaci di introdurre tensioni. Un caso emblematico è il collegamento tra le arti magiche e il potere delle configurazioni. Oresme spiega in prima parte che le qualità occulte sono effetto di configurazioni occulte e di relazioni di convenienza o disconvenienza. È l’ignoranza di queste configurazioni e della loro rarità a produrre l’illusione magica, cosicché nel bel mezzo della sezione magica egli rinvia al capitolo I.25, dove sono esposti i principi del potere configurazionale. È lì che spiega, ad esempio, l’effetto dell’hippomane – sostanza afrodisiaca identificata con l’amnios del puledro – attraverso le configurazioni naturali in gioco: « la cause de ces effets peut être attribuée à ce qui a été dit au chapitre 25 de la première partie de ce traité, à savoir que dans toutes les substances de ce genre, les qualités premières sont proportionnées et figurées selon une difformité telle qu’il résulte de ces rapports et figurations une qualité complexionnelle particulière de cette substance, qualité capable des effets décrits précédemment du fait de sa configuration en intensité ainsi que des autres qualités premières ou des autres vertus de cette même substance » – (fr:3029/p.169) [la causa di questi effetti può essere attribuita a quanto detto al capitolo 25 della prima parte di questo trattato, cioè che in tutte le sostanze di questo genere le qualità prime sono proporzionate e figurate secondo una difformità tale che da questi rapporti e figurazioni risulta una qualità complessionale particolare di quella sostanza, qualità capace degli effetti descritti in precedenza in virtù della sua configurazione in intensità e delle altre qualità prime o delle altre virtù della medesima sostanza.]. Inversamente, già in I.25 Oresme aveva di mira la critica ai «nigromanti», accusati di attribuire quegli effetti a spiriti incorporei, e dichiarava che lo scopo dell’ipotesi delle configurazioni occulte è spiegare naturalmente « certe virtù occulte e meravigliosi effetti o esperienze di cui altrimenti le cause sono ignote », perché l’ignoranza delle cause lascia campo libero a « certi ingenui nigromanti » che « affermano che queste virtù si trovano nelle pietre preziose per la presenza in esse di certi spiriti incorporei caduti dentro » (cfr. fr:3030-3031).

Così, a differenza di quanto avviene nelle Quaestiones super geometriam Euclidis, dove Oresme sembra ancora sacrificare ai dibattiti correnti, nel De configurationibus egli si libera quasi del tutto dalle polemiche e corre invece verso i problemi-limite, per dare un assaggio delle possibilità offerte dal suo metodo.

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[7.1/1-22-3979|3999]

11 Analogia e dimensioni: la fondazione della geometrizzazione delle qualità in Oresme

Oresme stabilisce un modo di relazione analogico tra figure geometriche e qualità fisiche, ridefinendo l’ordine delle loro dimensioni per superare un ostacolo fondamentale alla matematizzazione.

Il nucleo dell’argomentazione di Oresme risiede nella definizione di un legame non diretto ma analogico tra il dominio geometrico e quello delle qualità. Egli esclude l’esistenza di un rapporto proporzionale diretto (proportio) tra una figura e una qualità, postulando invece una modalità di relazione più generale, che chiama “comparaison”. “Oresme argumente ainsi qu’en dépit de leur différence de nature, il y a bien comparaison entre figures et qualités, mais comparaison impropre ou en un sens impropre (comparatio impropria)” - (fr:3978/p.222) [Oresme argomenta così che, nonostante la loro differenza di natura, esiste un confronto tra figure e qualità, ma è un confronto improprio o in senso improprio (comparatio impropria)]. Questa comparatio impropria non istituisce un’equivalenza termine a termine, ma una proporzionalità tra coppie: un rapporto tra due figure può essere dichiarato simile o dissimile a un rapporto tra due qualità. “Brièvement, Oresme signifie par là qu’il n’y a effectivement pas de rapport (proportio) entre une figure et une qualité, mais qu’il y a entre elles un mode plus général de relation mathématique et métrique (…) un rapport de figures est ainsi semblable ou dissemblable à un rapport de qualités” - (fr:3979/p.222) [In breve, Oresme intende con ciò che non c’è effettivamente un rapporto (proportio) tra una figura e una qualità, ma che c’è tra loro un modo più generale di relazione matematica e metrica (…) un rapporto di figure è così simile o dissimile a un rapporto di qualità]. La conoscenza che ne deriva è quindi di natura analogica, una corrispondenza strutturale che si manifesta anche dal punto di vista metrico, rendendo le figure analoghe alle qualità.

Stabilita questa corrispondenza, Oresme si concentra sull’analisi dimensionale degli oggetti in esame. Per lui, sono le qualità a essere uniformi o difformi, e l’analogia le mette in relazione con le figure. Sebbene una qualità o un movimento possiedano entrambi una “latitudo”, questo concetto, centrale per i Calculatores, diviene periferico nella sua teoria e il suo uso è limitato. L’originalità di Oresme sta nel considerare qualità permanenti, successive e movimenti come oggetti divisibili secondo molteplici dimensioni. In particolare, una qualità permanente è realmente divisibile secondo l’estensione e immaginariamente divisibile secondo l’intensità. Proiettata nell’immaginazione matematica, una qualità lineare diventa così un oggetto bidimensionale, dotato di longitudo e latitudo, termini che l’autore traduce coerentemente con “lunghezza” e “larghezza”, legittimandone l’uso geometrico per tutto il trattato: “En géométrie, ces expressions ne signifient rien d’autre que la longueur et la largeur d’une figure, raison pour laquelle j’ai presque systématiquement traduit ces expressions par « longueur » et « largeur »” - (fr:3989/p.222) [In geometria, queste espressioni non significano altro che la lunghezza e la larghezza di una figura, ragione per cui ho quasi sistematicamente tradotto queste espressioni con “lunghezza” e “larghezza”].

La questione dirimente diventa allora l’ordine di queste dimensioni: quale, tra intensità ed estensione, deve essere intesa come lunghezza e quale come larghezza? La scelta non è affatto banale e Oresme le dedica un’analisi approfondita, prendendo molto sul serio il problema dell’ordine dimensionale. Tre ragioni lo spingono a discostarsi dall’uso comune, che colloca la nozione di “latitudine di una forma” al centro del discorso, giudicandolo non corretto né coerente con lo spirito della propria teoria, sebbene permanga una certa incoerenza tra i suoi diversi libri. Contro la consuetudine, Oresme afferma che l’intensità di una qualità dovrebbe essere chiamata la sua lunghezza e l’estensione la sua larghezza, scelta che giustifica con tre argomenti. Il primo di questi è radicale e mira a sciogliere il nodo che aveva sempre ostacolato la matematizzazione dei gradi: Oresme postula che una qualità possa intensificarsi “sans qu’il y ait succession selon l’extension” - (fr:3997/p.223) [senza che vi sia successione secondo l’estensione], ovvero senza variazione del volume. Questa affermazione aggira l’obiezione fondamentale dei suoi avversari, i quali sostenevano che ogni variazione intensiva implicasse necessariamente una modificazione corporea, una variazione estensiva, rendendo vano ogni confronto tra gradi che prescindesse dai corpi qualificati. “On le voit, derrière cette question apparemment anodine se cache en réalité la difficulté fondamentale qu’Oresme rejette simplement sans examen” - (fr:3999/p.223) [Lo si vede, dietro questa questione apparentemente anodina si nasconde in realtà la difficoltà fondamentale che Oresme respinge semplicemente senza esame]. La mossa teorica di Oresme non risolve analiticamente la difficoltà, ma la scarta a priori, creando lo spazio logico necessario per dispiegare compiutamente la sua geometrizzazione delle qualità.

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12 La metafora geometrica e la nuova teoria dei rapporti nel «De configurationibus» di Oresme

Nel De configurationibus qualitatum et motuum la chiarificazione matematica delle qualità passa attraverso una ridefinizione del linguaggio figurativo e una teoria innovativa dei rapporti.

Il testo affronta anzitutto la questione metaforica legata all’uso di figure per rappresentare le qualità. Oresme discute la transumptio, una tecnica che “n’est cependant pas d’origine rhétorique (ars dictaminis), mais théologique, et le terme serait dû à Alain de Lille” – (fr:4039/p.225) [non è tuttavia di origine retorica (ars dictaminis), ma teologica, e il termine sarebbe dovuto ad Alano di Lilla]. Tale figura rischia però di generare oscurità: “Cette « figure » risque donc d’introduire une obscurité” – (fr:4038/p.225) [Questa «figura» rischia dunque di introdurre un’oscurità]. Secondo Bene da Firenze, una transumptio può essere tollerabile o incongrua. È incongrua quando, per un’espressione del tipo «A di B», A è privo di relazione con B – ad esempio «le flot des montagnes» – e per Oresme «latitude de la charité» è una cattiva metafora, mentre «longueur de la charité» sarebbe una buona metafora (fr:4041/p.225). Ciò conduce a interrogarsi se vi sia una differenza essenziale tra la lunghezza della carità e quella del calore (fr:4042/p.226) e se l’idea stessa di «lunghezza di una qualità» costituisca una buona metafora che legittima, più in generale, la figurazione geometrica delle qualità (fr:4043/p.226). Probabilmente Oresme interpreta il lavoro dell’immaginazione matematica alla luce dell’uso teologico e retorico della metafora: la sua teoria diventerebbe così “une bonne métaphore mathématique qui transpose aux mathématiques un procédé théologique et rhétorique de clarification par l’image” – (fr:4044/p.226) [una buona metafora matematica che traspone in ambito matematico un procedimento teologico e retorico di chiarificazione attraverso l’immagine].

Sul piano terminologico, Oresme prende le distanze dall’uso di certi moderni, come Dumbleton, che identificano la latitudo con l’intera qualità. L’autore lo giudica un abuso: “tout comme ce serait un abus d’entendre par « largeur de la surface » la totalité d’une surface ou d’une figure” – (fr:4045/p.226) [così come sarebbe un abuso intendere per «larghezza della superficie» la totalità di una superficie o di una figura]. Infatti, come le larghezze di superfici o figure diseguali possono essere uguali, così le larghezze di molte qualità diseguali sono uguali e viceversa (fr:4046/p.226). Questa identificazione della latitudine con la qualità totale, riscontrabile ad esempio in Dumbleton (fr:4047/p.226), rende più oscuri i ragionamenti perché il termine latitudo viene a significare alternativamente: (1) campo di variazione generale di una qualità, (2) differenziale dei gradi acquisiti o persi successivamente, (3) qualità totale (fr:4048/p.226).

Con apparente conformismo, Oresme suggerisce allora di chiamare l’intensità di una qualità la sua altitudo: “son conformisme n’est qu’apparent, puisqu’il suggère immédiatement, et comme si c’était la même chose, d’appeler l’intensité d’une qualité sa « hauteur (altitudo) »” – (fr:4049/p.226) [il suo conformismo è solo apparente, poiché suggerisce immediatamente, e come se fosse la stessa cosa, di chiamare l’intensità di una qualità la sua «altezza (altitudo)»]. Questa espressione, presentata come una concessione, ha in realtà la sua preferenza e si impone negli sviluppi matematici perché l’intensità è immaginata come una linea elevata sulla base (fr:4049-4050/p.226). Quando poi definisce le dimensioni del movimento, Oresme sembra dimenticare gli scrupoli sulla priorità dimensionale e propone di considerare la durata come longitudo, l’estensione del mobile (non la distanza percorsa) come latitudo e l’intensità come altitudo (fr:4051-4052, 4054). Tuttavia, per conformarsi all’uso, sceglie di chiamare longitudo sia la durata sia l’estensione del mobile, così che il moto possiede una “double longueur” e ha per latitudo la sua intensità (fr:4055/p.227). Queste espressioni sono riconosciute come relativamente arbitrarie e di scarso impiego: nel De configurationibus Oresme parla essenzialmente di intensità ed estensione quando tratta della qualità o del moto, e di base, altezza o cresta quando parla della figura che li rappresenta; non utilizza quasi mai i termini longitudo, latitudo, altitudo (fr:4056-4057/p.227). Il passo latino introduttivo, “Extensio igitur qualitatis in nomine dei vocetur eius longitudo et intensio ipsius vocetur latitudo sive altitudo” – (fr:4053/p.226-4054/p.227) [Si chiami dunque, in nome di Dio, estensione della qualità la sua longitudine e la sua intensione latitudine o altitudine], mostra come la scelta lessicale rimanga fluida.

La metrica delle qualità e del moto è formulata per mezzo della teoria dei rapporti. A differenza delle Quaestiones super geometriam Euclidis (QSGE), che mobilitano la teoria tradizionale, il De configurationibus ricorre alla nuova teoria dei rapporti di rapporti elaborata da Oresme nel De proportionibus proportionum e nell’Algorismus proportionum (fr:4059/p.228). La base della teoria tradizionale è costituita dal libro V degli Elementi di Euclide per le definizioni e le proposizioni fondamentali, e dai libri VI e VII per l’applicazione alle figure simili e ai numeri (fr:4060/p.228). Oresme e i contemporanei studiano questi libri nella versione di Campano da Novara, che riordina le proposizioni e le arricchisce di glosse fino a dimostrazioni di nuovi teoremi (fr:4061/p.228). L’oggetto principale della teoria euclidea non è tanto il rapporto tra due grandezze (A : B), quanto le proporzioni fra tre o quattro grandezze – (A : B) :: (C : D) – la cui condizione è l’uguaglianza dei rapporti (fr:4062/p.228). Né Euclide, né Campano, né Oresme utilizzano un linguaggio simbolico: là dove oggi scriviamo «(A : B) :: (C : D)», si legge «A, B, C e D sono grandezze proporzionali» oppure «A sta a B come C sta a D» (fr:4063/p.228). Oresme disponeva però di una scrittura simbolica dei rapporti attraverso la loro denominatio (fr:4064/p.228).

Il libro V degli Elementi insegna principalmente a dedurre nuove proporzioni, uguaglianze o disuguaglianze a partire da una proporzione nota. Ad esempio, se A sta a B come C sta a D, allora alternando A sta a C come B sta a D, oppure componendo A+B sta a B come C+D sta a D (fr:4065-4066/p.228). Alcune definizioni riguardano direttamente il rapporto considerato in relazione a un altro rapporto dato (fr:4067/p.228, 4070). Nel caso particolare di una proporzione di soli tre termini A, B, C, tale che (A : B) :: (B : C), A e C sono detti estremi, B medio proporzionale e la proporzione è detta continua (fr:4071/p.229). Da questa configurazione Euclide trae la definizione di rapporto duplicato (proportio duplicata): A sta a C come il rapporto duplicato di A a B (o di B a C). Algebricamente, (A : C) = (A : B)². Analogamente, con quattro grandezze in proporzione continua il primo sta all’ultimo come il rapporto triplicato del primo al secondo, ovvero (A : D) = (A : B)³; così il rapporto duplicato di 3 : 2 è 9 : 4 e quello triplicato è 27 : 8 (fr:4072/p.229). Tali rapporti sono fondamentali in geometria: secondo VI.17, “si deux triangles sont semblables, le rapport de l’un à l’autre est comme le rapport doublé de l’un quelconque de ses côtés à son côté homologue” – (fr:4074/p.229) [se due triangoli sono simili, il rapporto dell’uno all’altro è come il rapporto duplicato di un qualunque lato al suo lato omologo]; proprietà estesa da VI.18 alle superfici multiangolari simili (fr:4075-4076/p.229). Per i volumi, la proposizione XI.36 afferma che il rapporto tra due parallelepipedi simili è il rapporto triplicato di un lato al suo omologo (fr:4082/p.230).

Euclide impiega inoltre, senza definirla, la nozione di rapporto composto (proportio composita). Se B è un termine medio (proporzionale o meno) tra A e C, il rapporto A : C è detto composto dei rapporti A : B e B : C. Ad esempio, il rapporto di 4 a 2 è composto del rapporto di 4 a 3 e di 3 a 2 (fr:4083/p.230). Algebricamente, il rapporto composto ha per antecedente il prodotto degli antecedenti e per conseguente il prodotto dei conseguenti. I rapporti duplicato e triplicato ne costituiscono quindi casi particolari, nei quali i due o tre rapporti componenti sono tra loro uguali (fr:4084/p.230). Su questa architettura teorica, Oresme innesta la propria innovazione — la teoria dei rapporti di rapporti — per costruire una metrica delle qualità e del moto capace di operare con intensità ed estensioni figurate.

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13 Dalla composizione euclidea dei rapporti all’algoritmo delle qualità: aritmetizzazione, incommensurabilità e nuove nomenclature in Oresme

L’evoluzione della teoria dei rapporti, dalla geometria di Euclide fino all’aritmetizzazione medievale, svela come la consapevolezza dell’incommensurabilità spinga Oresme a costruire un calcolo dei rapporti che supera la semplice proporzionalità e prepara una metrica delle qualità senza quantità assolute.

Il problema di esprimere il rapporto fra due parallelogrammi equiangoli non simili conduce Euclide a mobilitare la nozione di rapporto composto. La proposizione VI.23 (o VI.24 secondo la numerazione corrente) stabilisce che «Si deux surfaces aux côtés parallèles ont un angle égale l’une à l’autre, le rapport de l’une est l’autre est produit des deux rapports des deux côtés qui contiennent l’angle égal» – (fr:4085/p.230) [Se due superfici dai lati paralleli hanno un angolo uguale l’una all’altra, il rapporto dell’una all’altra è il prodotto dei due rapporti dei due lati che contengono l’angolo uguale]. La definizione di rapporto composto, che il testo stesso giudica interpolata e ignota a Campano, recita: «Un rapport est dit composé de rapports lorsque les tailles des rapports multipliées ensemble en forment un» – (fr:4087/p.230) [Un rapporto è detto composto di rapporti quando le grandezze dei rapporti moltiplicate insieme ne formano uno].

Nella proposizione VI.24, indicati con A e B due parallelogrammi i cui lati a, b e c, d contengono angoli uguali, si ha la relazione (B : A) = (c : a) · (d : b) = (cd : ab). Euclide non enuncia però una regola di calcolo in senso aritmetico: «Euclide ne formule pas une règle de calcul, qui supposerait une arithmétisation de la géométrie qui n’est pas l’objet immédiat ou explicite du Livre VI.» – (fr:4089/p.231). Il suo metodo consiste piuttosto nel ricondurre la composizione di quattro termini a una di tre, introducendo un termine medio astratto: costruito un rapporto (a : e) = (d : b), si ottiene (B : A) = (c : a) · (a : e) = (c : e). Tali proposizioni – nota l’autore – si riveleranno «particulièrement utiles à la mesure des qualités et du mouvement, une fois ceux-ci géométrisés» – (fr:4094/p.231) [particolarmente utili alla misura delle qualità e del movimento, una volta che queste realtà siano state geometrizzate].

La volontà di aritmetizzare le superfici si scontra però con il problema delle grandezze incommensurabili. «Dans le cas de lignes mutuellement commensurables, et seulement dans ce cas, le rapport des surfaces pourraient être égalé à un rapport de nombres» – (fr:4096/p.231) [Nel caso di linee mutuamente commensurabili, e soltanto in quel caso, il rapporto delle superfici potrebbe essere eguagliato a un rapporto di numeri]. Il pratico – il destrador o l’atermenador – è invece interessato all’area effettiva, che in un sistema metrico può essere aritmetizzata. Per aggirare l’incommensurabilità, Jean de Murs introduce numeri, quadrati e radici come analoghi di numero, «cosa (re)» e «censo (census)» (fr:4100/p.232). Anche Oresme conosce questa via: nella questione 9 delle QSGE, dimostra che l’area di un triangolo equilatero è incommensurabile al lato, attribuendo al lato il numero Costruita la mediana come altezza (chiamata casus), si forma un triangolo rettangolo con ipotenusa 4, cateto 2 e cateto b. Poiché l’area è la metà del prodotto base per altezza, la misurabilità dell’area dipende da quella di b. «Déterminer b revient à résoudre une équation quadratique qu’Oresme exprime à peu près ainsi : b² = 4·? » – (fr:4103/p.232) [Determinare b equivale a risolvere un’equazione quadratica che Oresme esprime più o meno così: b² = 12]; dal teorema di Pitagora 4² = 2² + b², b è «racine de 12, qui est « incommensurable et sourde »» – (fr:4104/p.232). La conclusione che Oresme trae è radicale: «si aliqua superficies vel planities esset mensuranda, nunquam de cognitione suorum laterum haberetur quantitas superficiei» – (fr:4105/p.232) [se una qualche superficie o piano dovesse essere misurato, mai dalla conoscenza dei suoi lati si otterrebbe la quantità della superficie]. Di qui un duplice limite: non solo la geometria non è pienamente aritmetizzabile, ma le superfici risultano incalcolabili mediante numeri.

Quando Oresme studierà la «quantità di qualità» o la «quantità di velocità», non determinerà mai quantità assolute, ma soltanto rapporti di qualità e di velocità (fr:4119/p.233). Nel De configurationibus non rinvia più a Euclide, come ancora fa nelle QSGE, bensì al proprio Algoritmo dei rapporti (fr:4121/p.233). Questo scarto è tanto più significativo in quanto al tempo delle QSGE egli non possedeva ancora la nuova teoria (fr:4122/p.233).

Alla base dell’algoritmo sta la nomenclatura dei rapporti di origine nicomachea, trasmessa e latinizzata da Boezio nel De institutione musica e nell’Arithmetica. Per un rapporto (A : B) con B minore, B è considerato un intero e A è espresso come somma dell’intero preso m volte e di una frazione p/q di quell’intero: A = mB + (p/q)B. Ciò dà luogo a cinque specie di disuguaglianza: multipli, superpartienti (sesquialteri, sesquiterzi …), superparticolari, multipli superpartienti e multipli superparticolari, esemplificati da coppie come (2:1), (3:2), (5:3), (5:2), (8:3) (fr:4132/p.234). Questa classificazione copre però solo i rapporti razionali. Quando il rapporto è irrazionale, Oresme lo identifica con le grandezze geometriche in gioco, ad esempio «le rapport de la diagonale avec le côté du carré» – (fr:4134/p.234). Tuttavia una simile identificazione pare poco soddisfacente di fronte all’infinità dei rapporti irrazionali.

Il passo decisivo verso un calcolo pieno consiste nell’attribuire a ciascun rapporto razionale una denominazione numerica. «Un rapport rationnel est immédiatement dénommé par quelque nombre, soit avec une fraction ou des fractions, soit sans fraction» – (fr:4137/p.234). Per un rapporto della forma mB + (p/q)B, la denominazione è m + p/q (fr:4138/p.234). Oresme insegna anche a ricavare i minimi numeri in quel rapporto: per un multiplo di denominazione m i termini sono m e 1; per una denominazione m + p/q, il conseguente è q e l’antecedente mq + p (fr:4141-4143/p.235). A differenza di Euclide, che non distingueva fra rapporto di maggiore e di minore disuguaglianza, Bradwardine e Oresme attribuiscono grande peso a questa differenza, assegnando al rapporto inverso una denominazione frazionaria: l’inverso del rapporto denomiminato 2 + 2/3 (cioè 8 : 3) è 3/8 (fr:4146-4149/p.235).

La svolta più originale riguarda l’estensione della dottrina ai rapporti irrazionali tramite i rapporti di rapporti. Euclide aveva definito solo i rapporti duplicato e triplicato, limitazione che Campano spiega osservando che «le dimensioni che si trovano nelle realtà naturali non eccedono il ternario» – (fr:4158/p.236) [“Non diffinit autem proportionem extremorum continue proportionalitatis inter plures quam 4 terminos constitute propter id quod dimensiones in rebus naturalibus reperte non excedunt ternarium”]; ciò nonostante Campano ammette la possibilità di multipli ulteriori, affermando che «un rapporto composto da rapporti di uguaglianza resta uguale, siano esse uguaglianze dupplicate, triplicate, o moltiplicate quante volte si voglia» – (fr:4160/p.236) [“equalis autem proportio componitur ex equali duplicata, vel triplicata vel quotienscumque sumpta”]. Bradwardine generalizza a tutti gli equimultipli, definendo il quadruplo e così via all’infinito (fr:4162/p.236). Per andare oltre gli equimultipli occorre la nozione di una parte 1/q e di parti p/q di un rapporto. Bradwardine afferma, senza definirla, che il rapporto della diagonale al lato è «medietas duple» (metà del doppio) (fr:4164/p.236). Oresme esplicita il ragionamento nella questione 9 delle QSGE: il rapporto del quadrato della diagonale al quadrato del lato è doppio (b² : a² = 2 : 1); poiché per Euclide VI.18 le superfici simili stanno fra loro come il rapporto duplicato dei lati, il rapporto doppio è come il rapporto duplicato dei lati. Inversamente, il rapporto dei lati è la metà del rapporto doppio, la medietas duple (fr:4166-4167/p.236).

In tal modo, sfruttando la nomenclatura boeziana e la generalizzazione dei rapporti di rapporti, Oresme costruisce una teoria in cui i rapporti irrazionali ricevono una denominazione almeno «mediata». L’intera impalcatura non serve a calcolare aree o quantità assolute – precluse dall’incommensurabilità – bensì a manipolare rapporti in modo sistematico. Ciò spiega perché, nel momento in cui affronta la metrica delle qualità, Oresme abbandoni il solo riferimento euclideo e metta in campo l’Algoritmo dei rapporti: uno strumento che riduce il ragionamento a una sequenza di calcoli «ciechi» (fr:4118/p.233) e che, rinunciando alle quantità assolute, permette di misurare qualità e velocità come puri rapporti.

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14 La teoria dei rapporti di rapporti e l’algoritmo dei rapporti in Oresme

Dalla nozione di rapporto doppio all’elaborazione di un calcolo per grandezze irrazionali, Oresme formalizza una teoria generale che aritmetizza i rapporti, ne definisce le parti e getta le basi per una metrica dei rapporti stessi.

Il testo – tratto da p. 17 dell’edizione Rommevaux – mostra come Bradwardine compia un passaggio concettuale decisivo: “On notera que Bradwardine passe de l’idée de « rapport doublé » à celle de « rapport double »” – (fr:4174/p.236) [Si noterà che Bradwardine passa dall’idea di « rapporto doppiato » a quella di « rapporto doppio »]. Su questa base Oresme osserva che la metà del rapporto doppio è irrazionale, perché non esiste un medio numerico tra 2 e 1: “(2 ∶ 1) = (𝱏 ∶ 𝡎) 2 → (𝱏 ∶ 𝡎) = √(2 ∶ 1) De plus, ajoute Oresme, le rapport moitié du double est un rapport irrationnel, parce qu’il n’existe pas de nombre médian entre 2 et 1” – (fr:4175/p.237) [(2∶1) = (𝱏∶𝡎)² → (𝱏∶𝡎) = √(2∶1). Inoltre, aggiunge Oresme, il rapporto metà del doppio è un rapporto irrazionale, poiché non esiste un numero mediano tra 2 e 1].

Oresme formalizza l’idea nel trattato Sui rapporti: “C’est cette idée qu’Oresme formalisera dans le traité Sur les rapports : (A : C) est la moitié d’un rapport (A : B) si C est un médian proportionnel entre A plus grand et B plus petit, de sorte que (𝐴 ∶ 𝰶) ∷ (𝰶 ∶ 𝠵)” – (fr:4176/p.237) [È questa l’idea che Oresme formalizzerà nel trattato Sui rapporti: (A : C) è la metà di un rapporto (A : B) se C è un medio proporzionale tra A maggiore e B minore, così che (A ∶ 𝰶) ∷ (𝰶 ∶ 𝠵)]. L’inserimento di due medi proporzionali conduce al terzo del rapporto, e in generale, con n medi, si ha la relazione esponenziale: “Plus généralement, si entre A plus grand et B plus petit sont insérés n médians proportionnels, le premier A au second Cn est la 1/(n+1)-ième partie du premier au dernier terme B : (𝐴 ∶ 𝠵) = (𝐴 ∶ 𝰶 𞁛−1) 𞁛 → (𝐴 ∶ 𝰶 𞁛−1 ) = (𝐴 ∶ 𝠵) 1/𞁛” – (fr:4178/p.237) [Più in generale, se tra A maggiore e B minore si inseriscono n medi proporzionali, il primo A sta al secondo Cn come la 1/(n+1)-esima parte del primo all’ultimo termine B: (A∶𝠵) = (A∶Cₙ₋₁)ⁿ → (A∶Cₙ₋₁) = (A∶B)^{1/n}]. In questo modo la composizione di rapporti viene intesa come un’addizione di rapporti espressa attraverso una moltiplicazione/divisione: una demultiplicazione.

L’analogia con la musica speculativa – applicazione scolastica principe della teoria dei rapporti – chiarisce immediatamente il significato operativo. “« ajouter une quinte à une quarte », cela signifie trouver la longueur de corde B qui est à la corde A comme le rapport de 3 à 4, puis trouver la longueur C qui est à B comme 2 à 3” – (fr:4183/p.237) [« aggiungere una quinta a una quarta » significa trovare la lunghezza della corda B che sta alla corda A come il rapporto di 3 a 4, poi trovare la lunghezza C che sta a B come 2 a 3]; il rapporto composto (C:B)·(B:A) = (2∶3)·(3∶4) dà effettivamente l’ottava (1∶2). Lo schema delle corde D C B A – riportato nel testo – illustra come triplicare un’ottava significhi dividere A in due, il risultato ancora in due e poi ancora in due, cosicché A è l’ottuplo di D: un’operazione di elevamento a potenza, 2³ (fr:4185–4186).

La proporzione continua di quattro termini genera i rapporti sesquialteri e sottosesquialteri: “une proportion continue de 4 termes engendre naturellement les rapports sesquialtère et soussesquialtère : … (A∶𞀷) = (A∶𝰶)^{3/2} …” – (fr:4188/p.238) [una proporzione continua di 4 termini genera naturalmente i rapporti sesquialtero e sottosesquialtero: (A∶𝞀) = (A∶𝞂)^{3/2} …]. La possibilità di trattare un rapporto come una grandezza continua divisibile indefinitamente conduce Oresme a definire le operazioni di addizione e sottrazione di rapporti. Per i rapporti razionali espressi dai minimi termini, l’addizione è (a∶b) + (c∶d) = (ac∶bd) e la sottrazione (a∶b) – (c∶d) = (ad∶bc) (fr:4208/p.239). Per i rapporti irrazionali che sono parti di un razionale, Oresme formula regole precise: aggiungere il rapporto irrazionale A, n-esima parte di C, a un razionale B significa trovare D tale che B ne sia la n-esima parte, sommare C e D come sopra e poi prendere la n-esima parte del risultato. L’esempio di aggiungere un terzo del doppio al sesquialtero (3∶2) mostra il calcolo che, in notazione moderna, equivale a 2^{1/3} × (3/2) = (27/4)^{1/3} (fr:4214–4218). La sottrazione procede analogamente; per esempio, sottrarre il sesquitierzo (4∶3) dalla metà del doppio (1/2 2p) conduce a (8∶9)^{1/2}, cioè la metà del sesquiottavo (fr:4219–4220).

Quando i rapporti irrazionali sono espressi come parti diverse, le regole diventano generali: “Addition 1 𝱚 (𝡎 : 𝱏) + 1 𞁛 (𞁐 : 𞑑) = 1 (𝱚·𞁛) ((𝡎 ∶ 𝱏)𞁛 + (𞁐 ∶ 𞑑)𝱚)” – (fr:4228/p.241) [Somma 1/m (p∶q) + 1/n (r∶s) = 1/(m·n) ((p∶q)ⁿ + (r∶s)ᵐ)] (e analogamente per la sottrazione). Un esempio concreto: “qu’on veuille ajouter la moitié du triple et le tiers du double … Le triple est le tiers du 27-uple, le double est la moitié du quart … Le rapport recherché est donc le sixième du rapport 108-uple” – (fr:4224–4227) [si voglia aggiungere la metà del triplo e il terzo del doppio … Il triplo è il terzo del 27-uplo, il doppio è la metà del quadruplo … Il rapporto cercato è dunque il sesto del rapporto 108-uplo].

Con questa teoria diventa possibile sesquialterare un rapporto, cioè aggiungere la sua metà, anche quando la metà è irrazionale. Sesquialterare il rapporto quadruplo dà (4∶1)^{3/2} = 8∶1, che è razionale; sesquialterare il rapporto doppio produce invece (8∶1)^{1/2}, un irrazionale (fr:4232–4233). Oresme non definisce un algoritmo arbitrario, ma sviluppa coerentemente gli insegnamenti di Euclide. Nel libro VI.18 e XI.36 degli Elementi si dimostra che quadrilateri simili stanno nel rapporto doppio dei lati omologhi, e parallelepipedi simili nel rapporto triplo. Per due cubi, se il rapporto delle superfici di base è il doppio del rapporto dei lati, e il rapporto dei volumi ne è il triplo, allora i volumi stanno alle basi come 3 a 2, cioè in rapporto sesquialtero: “si le rapport des volumes … est le triple du rapport (a : b) … tandis que le rapport des bases … est le double … alors il s’ensuit que le rapport (a : b)³ est au rapport (a : b)² comme 3 est à 2, soit le rapport sesquialtère” – (fr:4239/p.242) [se il rapporto dei volumi … è il triplo del rapporto (a∶b) … mentre il rapporto delle basi … è il doppio … allora ne segue che il rapporto (a∶b)³ sta al rapporto (a∶b)² come 3 sta a 2, ossia il rapporto sesquialtero]. Il piccolo schema a b A B nel testo allude verosimilmente ai cubi confrontati. Il calcolo che Oresme compie in questo esercizio porta a “la moitié du triple du rapport double, soit la moitié d’octuple, noté … 1 2 8𝑝 : c’est donc un rapport irrationnel, de sorte que les deux cubes sont mutuellement incommensurables” – (fr:4246/p.242) [la metà del triplo del rapporto doppio, ossia la metà dell’ottuplo, notato … 1/2 8p: è dunque un rapporto irrazionale, cosicché i due cubi sono mutuamente incommensurabili].

Grazie alla teoria dei rapporti di rapporti, Oresme riesce a dare una denominazione mediata ad alcuni rapporti irrazionali che sono parte, o parti, di un rapporto razionale. “Le principal mérite de cette théorie est qu’elle permet de dénommer certains rapports irrationnels qui sont une ou des parties d’un rapport rationnel” – (fr:4255/p.243) [Il principale merito di questa teoria è che permette di denominare certi rapporti irrazionali che sono una o più parti di un rapporto razionale]. Sul piano teorico, la definizione della relazione tutto‑parte per i rapporti e la commensurabilità mediante medi proporzionali aprono allo studio dell’incommensurabilità tra rapporti e alla possibile esistenza di rapporti irrazionali incommensurabili sia con razionali sia con altri irrazionali – rapporti che potremmo definire “trascendenti” (fr:4256/p.243). Sul piano pratico, la teoria aritmetizza i rapporti e fornisce regole di calcolo valide tanto per rapporti razionali quanto per irrazionali, purché denominabili: “elle permet d’arithmétiser les rapports et de définir des règles générales de calcul de rapports capables d’opérer aussi bien sur des rapports rationnels que sur des rapports irrationnels, pourvu qu’ils soient dénommables” – (fr:4257/p.243) [essa permette di aritmetizzare i rapporti e di definire regole generali di calcolo capaci di operare sia su rapporti razionali sia su rapporti irrazionali, purché siano denominabili]. L’eredità euclidea, che forniva un ordine ma non una metrica fra i rapporti, viene così portata a compimento: da Bradwardine a Oresme, la nozione di rapporto doppio si trasforma in una compiuta teoria generale dei rapporti di rapporti, gettando le basi per un’algebra delle grandezze continue.

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15 Evoluzione dell’ottica geometrica: dalla dinamica del numero alla densità radiante

La chiarezza della visione, da proprietà puramente geometrica a effetto di una sovrapposizione quantificabile di potenze radianti, segna il passaggio da Euclide a Tolomeo e infine alla sintesi di al-Kindī.

L’ottica geometrica antica affronta il problema della variazione intensiva della visione – il più o meno “distinto” o “chiaro” con cui si vede – in modi radicalmente diversi. Euclide imposta la questione in termini esclusivamente quantitativi: la chiarezza diminuisce con l’aumentare della distanza perché, a parità di superficie vista, l’angolo al vertice del cono visivo si riduce. La sua spiegazione è una dinamica del numero e della densità dei raggi: ogni raggio produce una chiarezza minima identica e invariante, per cui una maggiore densità di raggi corrisponde a una visione più nitida. Come scrive l’autore, «Euclide explique la variation intensive comme l’effet d’un nombre ou d’une densité (de rayons), géométriquement mesuré par l’angle au sommet du cône de vision pour une même surface visible» (fr:4646/p.267) [Euclide spiega la variazione intensiva come effetto di un numero o di una densità (di raggi), geometricamente misurata dall’angolo al vertice del cono di visione per una medesima superficie visibile]. In questo schema, «l’intensification (de la clarté) est simplement l’effet d’une augmentation (de l’angle)» (fr:4651/p.267) [l’intensificazione (della chiarezza) è semplicemente l’effetto di un aumento (dell’angolo)]; l’ottica euclidea resta così puramente geometrica e quantitativa, relegando ogni considerazione dinamica fuori dal sistema esplicativo (fr:4650/p.267).

Tolomeo introduce invece una seconda dimensione: la chiarezza massima si ha quando l’oggetto è visto di fronte, lungo l’asse visivo, mentre sbiadisce se osservato di sbieco o “con la coda dell’occhio” – distinzione che anticipa quella moderna tra visione centrale e periferica (fr:4632-4633/p.266). Per renderne conto, Tolomeo ricorre esplicitamente a analogie balistiche. Egli afferma: «Tout ce qui tombe orthogonalement sur un objet le frappe plus fortement que ce qui tombe obliquement» (fr:4634/p.266) [Tutto ciò che cade ortogonalmente su un oggetto lo colpisce più fortemente di ciò che cade obliquamente]. Questa dinamica dell’angolo d’attacco è illustrata da un diagramma:

«ABC est un cône de vision émis par l’œil A. Le rayon AD perpendiculaire à la surface de l’objet BC agit plus fortement que le rayon oblique AE. Le point D est donc vu plus clairement que E.» (fr:4638-4639/p.266) [ABC è un cono di visione emesso dall’occhio A. Il raggio AD perpendicolare alla superficie dell’oggetto BC agisce più fortemente del raggio obliquo AE. Il punto D è dunque visto più chiaramente di E]. L’ortogonalità diventa così un principio dinamico di rinforzo dell’azione visiva, che verrà tramandato per secoli (fr:4640/p.266). Tolomeo non rifiuta l’aumento del numero di raggi – nota che due candele illuminano meglio di una e che un oggetto è visto meglio con entrambi gli occhi aperti – ma la sua ottica privilegia una dinamica dell’esaurimento e dell’angolo d’attacco, in cui l’intensificazione della chiarezza è l’effetto di un’intensificazione della potenza visiva stessa, ammessa come fatto irriducibile d’esperienza (fr:4653-4656/p.267).

I due approcci non si completano, ma si oppongono. L’opera di al-Kindī (De aspectibus, IX secolo) tenta una conciliazione, innestando la dinamica del numero sul cono visivo continuo – privo di intervalli tra i raggi – già sostenuto da Tolomeo (fr:4672-4674/p.269). Al-Kindī concepisce la radiazione visiva come una potenza (virtus) emessa da ogni punto della superficie dell’occhio in tutte le direzioni, generando una semisfera di visione (fr:4665-4667, 4709). Con questo modello, il rinforzo assiale non è più una proprietà irriducibile dell’ortogonalità, ma il risultato del principio di ricoprimento (sovrapposizione) delle semisfere radiose.

Il ragionamento è rappresentato da una figura in cui l’occhio è indicato come ABG e l’arco visibile come HLK. «Si ABG est un œil, et HLK l’arc visible qui lui fait face, alors le point L de l’arc situé en face de l’œil est vu le plus clairement, parce qu’il est vu par le plus grand nombre de parties de l’œil.» (fr:4712/p.271) [Se ABG è un occhio, e HLK l’arco visibile che gli sta di fronte, allora il punto L dell’arco situato di fronte all’occhio è visto nel modo più chiaro, perché è visto dal maggior numero di parti dell’occhio]. Al-Kindī isola tre punti-radianti G, B, A sulla superficie oculare e mostra che l’arco TLI, corrispondente alla visione frontale, riceve radiazione da tutti e tre, mentre le zone più periferiche ne ricevono da due o da uno solo (fr:4715-4718/p.272). Così la chiarezza decresce in modo continuo dal punto assiale L verso i margini H e K (fr:4722-4723/p.272). L’intensità visiva è ricondotta a una quantità di sorgenti puntiformi che si sovrappongono, senza però che al-Kindī parli mai di “addizione” di intensità in senso strettamente misurabile: egli osserva solo che l’effetto si intensifica quando la causa (il numero di punti-radianti) aumenta (fr:4700-4703/p.270).

Questo impianto quantitativo, pensato per la visione, sarà poi trasferito senza modifiche alla luce delle candele dai prospettivisti successivi, come Bacone e Vitellione, nonostante la difficoltà concettuale di applicare un limite alla superficie radiante di una sorgente luminosa priva di un “arco oculare” che ne circoscriva l’emissione (fr:4641/p.266, 4719-4720). L’eredità di al-Kindī segna così il passaggio da un’ottica puramente geometrica a una matematica delle grandezze intensive che, pur non misurando ancora i gradi di intensità alla maniera dei calculatores del XIV secolo, pone le basi per la futura matematizzazione della luminosità.

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16 La quantificazione della luce in Al-Kindī e l’eredità di Vitellion

L’analisi rivela come Al-Kindī trasformi proprietà geometriche in fatti statistici e riduca l’intensificazione degli effetti luminosi a un aumento puramente quantitativo delle cause, in una sintesi originale tra fisica del discreto e geometria del continuo che segnerà profondamente la tradizione ottica medievale.

Il testo mette in luce una tensione teorica fondamentale nell’opera di Al-Kindī, una tensione che si riverbera nel suo principale divulgatore latino, Vitellion. L’apparente confusione delle dimostrazioni di Al-Kindī nasce dall’attrito tra un’ipotesi di radiazione fondata su entità discrete, i singoli “raggi”, e una rappresentazione che impiega la geometria delle grandezze continue. Questa dualità è esemplificata dall’uso terminologico: “Elle explique en particulier qu’Al-Kindī (et par conséquent Vitellion plus tard) appelle régulièrement « partie » ce qu’il représente pourtant géométriquement par un point.” - (fr:4726/p.272) [Questo spiega in particolare perché Al-Kindī (e di conseguenza Vitellion in seguito) chiami regolarmente «parte» ciò che tuttavia rappresenta geometricamente con un punto.] Per Al-Kindī, un punto senza dimensione è un’astrazione matematica incapace di esercitare un’azione reale. Pertanto, i “punti” A, B e G nei suoi schemi geometrici devono essere intesi come superfici minime irradianti, dotate di dimensione fisica.

Questa fisica del discreto permette ad Al-Kindī di operare una riduzione concettuale radicale: “Par ce raisonnement, non seulement Al-Kindī ramène l’intensification de l’effet à l’augmentation du nombre de ses causes, mais il ramène une propriété géométrique (l’orthogonalité) à une propriété statistique (la direction de recouvrement maximal).” - (fr:4728/p.272) [Con questo ragionamento, non solo Al-Kindī riconduce l’intensificazione dell’effetto all’aumento del numero delle sue cause, ma riconduce una proprietà geometrica (l’ortogonalità) a una proprietà statistica (la direzione di massima sovrapposizione).] Il privilegio della direzione ortogonale nella visione e nell’illuminazione non è quindi una scelta intenzionale o una proprietà intrinseca della luce, ma l’esito meccanico di una sommatoria. Il fascio di raggi che converge perpendicolarmente è semplicemente quello che statisticamente presenta la massima densità. “Selon la réalité physique, aucun point-radiant ne regarde « en face » : il n’y a pas en réalité de direction privilégiée dans le regard, mais simplement un fait statistique.” - (fr:4732/p.273) [Secondo la realtà fisica, nessun punto-radiante guarda «di fronte»: non esiste in realtà una direzione privilegiata nello sguardo, ma semplicemente un fatto statistico.] L’occhio è attivo nell’eleggere l’oggetto, ma non nel selezionare la perpendicolarità, il cui apparente privilegio “n’est que le résultat d’une sommation mécanique” - (fr:4734/p.273) [non è che il risultato di una sommazione meccanica].

Questo approccio “meccanicista” al calcolo statistico è storicamente rilevante perché anticipa un metodo che Descartes applicherà per spiegare l’arcobaleno, inteso come l’angolo in cui converge meccanicamente il massimo numero di raggi. Tale rigore deterministico valse ad Al-Kindī una solida reputazione nell’Europa medievale, al punto che un filosofo come Oresme, pur non negando l’esistenza dei demoni, si trovò a dover confrontare le sue spiegazioni con la potente alternativa offerta dal pensatore arabo, che spiegava fenomeni occulti e strani “par l’action mécanique du rayonnement des astres sur les corps terrestres” - (fr:4735/p.273) [con l’azione meccanica dell’irraggiamento degli astri sui corpi terrestri].

Sul problema dell’affievolimento della potenza luminosa con la distanza, Al-Kindī si distacca nettamente dalla tradizione tolemaica di un progressivo esaurimento del raggio. Egli contesta l’idea che l’azione di un raggio sia tanto più forte quanto più è corto, introducendo il fenomeno del rinforzo della visione assiale: un oggetto più lontano dall’occhio ma posto sull’asse visivo è visto più chiaramente di uno più vicino ma fuori asse, sebbene il raggio che lo colpisce sia più lungo. L’argomento definitivo contro l’esaurimento è la capacità stessa dell’occhio di vedere stelle nitide e distanti. Al-Kindī spiega l’affievolimento in termini puramente quantitativi. Come sintetizza il testo, “L’explication qu’il propose (Proposition 22) sera reprise telle quelle par Vitellion, et importe pour deux raisons : (1) Al-Kindī explique l’affaiblissement de la luminosité/clarté sur une surface éclairée/regardée par la diminution de la densité de la puissance lumineuse/visuelle opérant sur la surface de l’objet ; (2) il mesure la quantité de puissance ou vertu lumineuse/visuelle au moyen de la surface de triangles bien définis.” - (fr:4742/p.273).

La dimostrazione, articolata in tre proposizioni, si fonda sulla corrispondenza tra grandezza del corpo radiante e quantità di virtù prodotta. Il principio di base è che la virtù totale è la somma delle virtù delle sue parti minime: “la vertu produite par la totalité d’un corps rayonnant n’est que la somme des vertus produites par chacune de ses parties” - (fr:4776/p.276), da cui consegue che il grado di virtù è direttamente proporzionale alla grandezza del corpo. Una volta quantificata la causa, Al-Kindī quantifica l’effetto: “l’intensité de l’effet (luminosité/clarté) correspond à l’intensité de « l’impression » opérée sur la surface de l’objet” - (fr:4766/p.275). La chiave per spiegare l’affievolimento con la distanza risiede nel diverso cono di illuminazione che investe l’oggetto. La dimostrazione geometrica, basata sulla figura di un cono raggiante da un punto A verso un segmento vicino BG e uno lontano UZ, mostra che l’oggetto lontano è illuminato da un cono più piccolo. La virtù non si esaurisce nel suo progredire, ma quella che procede nel cono più grande ADE è “più forte (fortior)” di quella che procede nel cono più piccolo AUZ. Di conseguenza, l’oggetto in UZ è lavorato da una virtù “più debole (debilior)” rispetto a quando si trova in BG, risultando meno illuminato.

Resta una certa ambiguità di fondo, poiché Al-Kindī deduce il rafforzamento della virtù non direttamente dal numero di punti radianti, ma dal fatto che il triangolo che rappresenta l’aria intermedia è più grande. Il testo solleva un dubbio: “A vrai dire, il n’est pas clair d’après le raisonnement d’Al-Kindī si HT est plus illuminé qu’UZ, car l’une et l’autre sont travaillées par un même degré de puissance.” - (fr:4824/p.278) [A dire il vero, non è chiaro in base al ragionamento di Al-Kindī se HT sia più illuminato di UZ, poiché l’una e l’altra sono lavorate da un medesimo grado di potenza.] Vitellion, forse consapevole di questa difficoltà, duplica la dimostrazione nel suo trattato con una proposizione aggiuntiva. Ciò che rimane storicamente significativo è la novità radicale del trattamento di Al-Kindī, che “se distingue radicalement de tout traitement antérieur, et à vrai dire des traitements ultérieurs jusqu’à Vitellion, en ceci qu’il applique explicitement la théorie euclidienne des rapports aux « vertus » et aux « impressions »” - (fr:4826/p.278), misurando la potenza attraverso la superficie di triangoli definiti e gettando così le basi per una fisica matematica della luce.

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17 Dalla virtù all’intensità: luce, movimento e geometria nell’ottica araba e scolastica

Il testo segue l’evoluzione del trattamento dell’intensità luminosa, dal semplice confronto qualitativo di Al-Kindī alla dinamica balistica di Ibn al-Haytham, fino alla riscrittura metafisica operata da Grosseteste.

L’indagine sulla variazione dell’intensità della luce con la distanza e con l’angolo di incidenza non conduce immediatamente a un uso quantitativo della matematica. Già in Al-Kindī l’applicazione della teoria delle proporzioni ai “gradi di virtù” resta per lo più analogica. “La vertu n’est pas réduite en elle-même à une quantité, et sa variation reste comprise comme un renforcement et un affaiblissement.” – (fr:4832/p.279) [La virtù non è ridotta in sé stessa a una quantità, e la sua variazione è intesa come un rafforzamento e un indebolimento.] L’autore del De aspectibus utilizza i rapporti per confrontare ordini di grandezza più che per misurare gradi, e non arriva a formulare una regola quantitativa che leghi la luminosità all’allontanamento dalla sorgente (4833, 4834). Si tratta di un procedere per analogia che non trasforma la qualità in numero.

Un salto decisivo si compie con Ibn al-Haytham (Alhazen), il cui vasto Kitāb al-Manāẓir, composto tra il 1028 e il 1038, fonde esperimento e geometria (4835, 4836). Anch’egli ricorre al principio della perpendicolarità – che attraverso di lui entrerà nella tradizione scolastica – ma vi dà un impiego assai più ampio di quanto non avesse fatto Tolomeo, specialmente nello studio della rifrazione (4837, 4838). L’angolo di deviazione non viene però espresso come funzione continua dell’angolo di incidenza; Ibn al-Haytham distingue essenzialmente due casi: la penetrazione perpendicolare alla superficie, che non produce deviazione, e quella obliqua, che invece spinge la luce verso la perpendicolare passante per il punto di contatto (4839). Nel passaggio inverso, da un corpo denso a uno trasparente, la deviazione avviene dalla parte della “perpendicolare alla perpendicolare”, cioè lungo la superficie (4840).

Queste relazioni angolari sono sostenute da esperienze, ma ciò che conta è la spiegazione dinamica. Come Tolomeo, Ibn al-Haytham adotta l’analogia balistica: il movimento della luce obbedisce ai principi generali del moto. Due esperimenti lo provano: una pallina di ferro scagliata con forza su una tavola sottile produce una frattura più grande quando il lancio è perpendicolare piuttosto che obliquo; lo stesso accade colpendo un’asse con una spada perpendicolarmente o obliquamente (4865‑4867). La regola che ne discende è che “il movimento sulla perpendicolare è più facile e più forte, e che tra i movimenti obliqui quello più vicino alla perpendicolare è più facile di quello più lontano” – (fr:4876/p.280) [Il movimento sulla perpendicolare è più facile e più forte, e che tra i movimenti obliqui quello più vicino alla perpendicolare è più facile di quello più lontano.]. Applicata alla luce, la differente densità dei mezzi oppone una resistenza che è minima lungo la perpendicolare e maggiore nella direzione parallela alla superficie. Ibn al-Haytham scompone il moto obliquo in due componenti – una perpendicolare e l’altra “perpendicolare alla perpendicolare” – e spiega che, entrando in un mezzo più denso, la componente perpendicolare aumenta mentre l’altra diminuisce, cosicché il raggio “declina” verso la perpendicolare (4873‑4874). Il fenomeno inverso vale nel passaggio opposto (4875). La figura corrispondente mostra proprio la rifrazione della luce con le due componenti tratteggiate, che illustrano la variazione di ripartizione del moto (fr:4878/p.281) [Rifrazione della luce, con in puntini le due componenti del suo movimento].

In questo quadro la dinamica non spiega la qualità luminosa in sé, bensì la direzione di un movimento che qualunque proiettile potrebbe possedere. “Ce n’est pas même la qualité propre à la lumière, la « luminosité », qui est expliquée, mais la direction d’un mouvement” – (fr:4882/p.281) [Non è nemmeno la qualità propria della luce, la « luminosità », ad essere spiegata, ma la direzione di un movimento.] Il rapporto di forze – tra la spinta del moto della luce e la resistenza del mezzo – determina la quantità angolare della rifrazione, invertendo la gerarchia: non è il numero a spiegare il rafforzamento, ma la qualità (la forza) a spiegare la quantità (4883).

L’ortogonalità torna però al centro della fisiologia della visione. Secondo Ibn al-Haytham, l’occhio non proietta un cono visivo, ma riceve le forme di luce e colore emesse da ogni punto dell’oggetto in tutte le direzioni (4890‑4891). Se tutti i raggi, anche quelli obliqui, fossero sentiti, si produrrebbe un mescolamento che impedirebbe una visione distinta (4893). La soluzione consiste nel trascurare i raggi obliqui e nel conservare soltanto quelli che colpiscono la superficie del cristallino perpendicolarmente: “L’azione della luce che viene lungo le perpendicolari è più forte dell’azione della luce che viene lungo le linee oblique” – (fr:4895/p.282) [L’azione della luce che viene lungo le perpendicolari è più forte dell’azione della luce che viene lungo le linee oblique.]. Qui l’ortogonalità non è soltanto una questione di penetrazione, ma di capacità di sensibilizzazione: il cristallino sente solo la forma che gli giunge secondo la perpendicolare (4896‑4897). La figura della fisiologia oculare mostra il cristallino, il nervo ottico e la cornea, con il cono di radiazione formato dai raggi perpendicolari che convergerebbero verso il centro dell’occhio se non venissero rifratti dalla concavità del cristallino stesso (fr:4887‑4889). Ibn al-Haytham è consapevole del problema degli infiniti raggi obliqui che restano comunque attivi, sia pure con minore forza, e per risolverlo ricorre a una considerazione relativa alla sensazione: le luci intense possono occultare le realtà presenti nelle luci deboli, esattamente come le stelle, visibili di notte, scompaiono di giorno (4905‑4906). Otto secoli dopo, Weber introdurrà la sua legge psicofisica proprio con la stessa osservazione (4907). Tuttavia, Ibn al-Haytham non apporta un nuovo principio di matematizzazione delle intensità: rimane ancorato alla dinamica dell’angolo d’attacco e all’analogia balistica, pur moltiplicando le osservazioni sulla variazione della sensazione visiva (4908‑4910).

Nel XIII secolo la riflessione sull’intensità luminosa prende una piega diversa, più metafisica. Grosseteste estende al raggio d’azione di qualunque agente naturale i princìpi geometrici prima applicati alla sola luce. Nel De lineis, angulis et figuris egli non difende la geometria solo per l’ottica, ma per ogni azione di un agente su un paziente (4925‑4926). La forza o la debolezza di un’azione è determinata da proprietà geometriche: linee, angoli e figure. Un’azione è tanto più forte quanto più la linea è retta e quanto più cade perpendicolarmente sull’oggetto (4930). Ma qui la giustificazione non è balistica o dinamica: Grosseteste deduce questi risultati da princìpi metafisici come la “brevità”, l’“uguaglianza” e l’“unità” o “uniformità”, ispirati al Liber de causis (4931). L’efficacia dell’agente non è affidata soltanto ai singoli raggi rettilinei: “Se la virtù provenisse da una parte dell’agente e terminasse in una parte del paziente, e così per tutte le parti, di modo che sempre la virtù provenisse soltanto da una sola parte dell’agente fino a una sola parte del paziente, mai …” – il testo si interrompe, ma lascia intendere che l’azione sarebbe complessivamente debole se non intervenisse un effetto di concentrazione descritto con le figure (4932). L’ottica scolastica, pur ereditando l’impianto di Ibn al-Haytham, innesta così sul problema dell’intensità un lessico e una causalità di origine neoplatonica, spostando l’attenzione dalla misura alla condizione metafisica dell’agire.

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18 Il cono di radiazione e la variazione dell’azione luminosa: da Grosseteste a Vitellone

Il cuore dell’ottica geometrica medievale è racchiuso in una figura: il cono di radiazione (pyramis), che incarna il principio di convergenza e rafforzamento reciproco dei raggi. Grosseteste e, sulla sua scia, Bacone ne fanno il modello privilegiato per spiegare perché un agente agisca più intensamente nelle vicinanze che a distanza, e come infinite linee possano concorrere in un solo punto.

Il cono risponde a un’esigenza di unificazione dell’azione: tutta la superficie dell’agente concorre all’azione che si esercita su ciascun punto del paziente. La definizione geometrica è netta:

“La figure géométrique qui répond à cette définition est le cône (pyramis), plus précisément celui qui a pour base le surface de l’agent et pour sommet un point quelconque du patient.” – (fr:4941/p.285) [La figura geometrica che risponde a questa definizione è il cono (pyramis), più precisamente quello che ha per base la superficie dell’agente e per vertice un punto qualsiasi del paziente.]

Benché formalmente sovrapponibile al cono visivo di Euclide, lo spirito è completamente diverso. Il cono euclideo traduceva la divergenza continua dei raggi a partire dall’occhio; allo stesso modo, il cono di illuminazione di al-Kindī era inteso come sezione di una semisfera. Al contrario, il cono di Grosseteste esprime una convergenza:

“Au contraire, le cône de Grossesteste exprime une convergence des rayons, en particulier l’action d’une infinité de rayons en un seul point.” – (fr:4945/p.285) [Al contrario, il cono di Grosseteste esprime una convergenza dei raggi, in particolare l’azione di un’infinità di raggi in un solo punto.]

Rispetto al cono di radiazione di Ibn al-Haytham, la differenza è cruciale: per Alhazen l’infinità dei raggi obliqui disturbava la formazione dell’immagine cristallina e ne trascurava l’azione; per Grosseteste, invece, tutti quei raggi si rafforzano a vicenda. Questo cono incarna così il principio più generale dell’ottica medievale: la dinamica di convergenza, che Grosseteste fonda su premesse metafisiche di rafforzamento per unificazione o condensazione.

Bacone ne mostra un’istanza concreta negli specchi ustori: concentrando la luce solare per riflessione, uno specchio concavo rafforza l’azione fino a produrre la combustione. Tale proprietà, definita “miracolosa”, prefigura i prodigi dell’Anticristo, che “brucerà le città, gli accampamenti e gli eserciti” con uno specchio ardente (fr:4952/p.286). Ma i raggi del cono di radiazione non sono riflessi né convergono allo stesso modo, differenza che Bacone non tenta di spiegare.

Il principio di rafforzamento per convergenza viene impiegato per rendere conto del fatto che un oggetto è più illuminato vicino alla sorgente. Bacone, nello studio della moltiplicazione delle specie, ricorre a due figure geometriche fondamentali: la sfera e il cono. La moltiplicazione avviene sfericamente, ma la natura sceglie il cono per l’azione, perché consente di portare l’intera superficie dell’agente su ogni singolo punto del paziente:

“«La multiplication a lieu de manière sphérique, mais le cône « est la figure que la nature choisit spécialement dans toute multiplication et action, et non n’importe quelle figure, mais celle dont la base est la surface de l’agent, et donc le sommet tombe sur un point du patient, car ainsi l’espèce peut venir de toute la surface de l’agent sur un seul point du patient par une seule pyramide et une infinité.»” – (fr:4956/p.286) [«La moltiplicazione avviene in modo sferico, ma il cono è la figura che la natura sceglie specialmente in ogni moltiplicazione e azione, e non una figura qualunque, bensì quella la cui base è la superficie dell’agente e il vertice cade su un punto del paziente, poiché così la specie può venire da tutta la superficie dell’agente su un solo punto del paziente per mezzo di una sola piramide e di un’infinità.»]

L’analisi geometrica della forza del cono porta Bacone a disegnare una figura in cui un cono più piccolo agisce più fortemente di uno più grande. Il testo riporta lo schema: “c h l d a f b e Le cône plus petit agit plus fortement que le cône plus grand.” (fr:4958/p.286), accompagnato dall’indicazione “Figure donnée par Roger Bacon.” (fr:4959/p.286). Il vertice del cono minore (indicato con a) presenta un angolo al vertice maggiore di quello del cono maggiore (c); di conseguenza, i raggi obliqui convergono di più nel cono piccolo. Bacone misura la convergenza tramite gli angoli supplementari f e h: essendo f minore di h, i raggi che lo formano sono più ravvicinati e la loro azione comune è più forte.

Il ragionamento non è esente da obiezioni, che Bacone stesso si muove: se l’angolo al vertice a è più grande, non è forse in c che i raggi convergono di più? La punta del grande cono non è più acuta e dunque più attiva? Inoltre, i raggi del grande cono non sono più prossimi all’azione perpendicolare? Bacone non rigetta questi argomenti, ma reputa più forte la prima argomentazione. Ciò mostra quanto il passaggio dalle proprietà geometriche a quelle dinamiche conservi un margine di arbitrarietà, sebbene l’intuizione di fondo — che la convergenza sia meglio misurata dagli angoli alla base — sia comprensibile. Questa impostazione rovescia l’intuizione meccanica per cui l’angolo più acuto è più perforante: dal punto di vista radiale, più l’angolo è acuto, meno i raggi si uniscono.

La diminuzione dell’effetto con la distanza non è però lasciata alla sola geometria del cono. Nel De multiplicatione specierum Bacone la precede con una spiegazione puramente dinamica dell’esaurimento della virtù raggiante. L’esperienza insegna che un oggetto lontano è alterato meno di uno vicino, ma, come già Alhazen notava con l’esempio del raggio riflesso, la distanza in sé non è la causa: ponendo due oggetti bianchi illuminati dal sole, l’uno direttamente, l’altro tramite uno specchio di ferro o argento ma con pari distanza dal foro di entrata della luce, il secondo appare meno illuminato (fr:4994/p.288). Dunque la luce non si esaurisce per il semplice allontanarsi, ma a causa del contatto con la materia, quella dello specchio e del mezzo.

Bacone identifica due cause dell’indebolimento: (1) l’aumento della resistenza, ovvero la densità crescente del mezzo, e (2) la dispersione (dispersio). La prima spiega il caso di una virtù che si propaga dal cielo verso la terra; in direzione opposta, dove la densità decresce, la virtù dovrebbe rafforzarsi, se la dispersione non compensasse o superasse quell’effetto. La dispersione discende dal fatto che ogni specie duplicata raggia a sua volta in tutte le direzioni, così che la forza generativa si indebolisce continuamente.

Combinando questi due fattori, Bacone introduce uno scenario dinamico in cui una variazione di densità può controbilanciare l’affievolimento dovuto alla dispersione, fino a mantenere costante la forza:

“Si cependant les milieux, en ce monde, étaient ainsi disposés que la subtilité toujours augmenterait ou égalerait l’affaiblissement de l’espèce due à la dispersion, alors [l’espèce] ne faiblirait (Si tamen media in hoc mundo essent sic disposita, ut semper esset subtiliatio major vel aequalis debilitationi speciei ex dispersione, tunc non debilitaretur).” – (fr:5011/p.289) [Se tuttavia i mezzi, in questo mondo, fossero disposti in modo che la sottigliezza aumentasse sempre o eguagliasse l’indebolimento della specie dovuto alla dispersione, allora [la specie] non si indebolirebbe.]

Alla domanda se una specie possa moltiplicarsi indefinitamente, cioè fino a distanza infinita, Bacone risponde negando che la propagazione infinita sia di per sé impossibile. Se si considera la sola diminuzione della virtù, essa potrebbe proseguire senza mai annullarsi, come la divisione di una grandezza finita. L’esperienza, tuttavia, mostra che l’azione ha un termine. La ragione non risiede nella virtù stessa né nella dispersione, ma nell’esistenza di una soglia di forza al di sotto della quale una specie non riesce a superare la resistenza del mezzo. La materia è necessaria alla propagazione, ma allo stesso tempo vi si oppone, cosicché una virtù troppo debole non può più duplicarsi. Così, neppure in un mondo finito una virtù può estendersi fino ai suoi confini.

L’impostazione di Bacone, pur non offrendo relazioni quantitative tra angoli e forza d’azione, integra grandezze variabili e confronta modi di variazione. La virtù viene assimilata a una grandezza estensiva, ordinata in parti anteriori e posteriori secondo rapporti di disuguaglianza. L’eredità di questa dinamica passa a Vitellone, che viene definito da Pico della Mirandola “scimmia di Alhazen” ma che, per quanto riguarda la matematica della forza e dell’intensità, è più vicino alla dinamica del numero di al-Kindī. Egli riprende l’idea della proporzionalità della virtù raggiata alla quantità della sorgente e dell’oggetto irradiato, fondata sull’additività di minima di potenza, e ne dà un senso fisico esplicito in forma di raggi minimi di luce che lavorano su un “punto” minimo dell’oggetto. Vitellone segue inoltre da vicino la dimostrazione kindiana per spiegare perché un oggetto più prossimo alla sorgente sia più illuminato di uno più lontano (II.22), modificandone tuttavia la formulazione e arricchendola con principi generali. In tal modo, la geometria del cono e la quantificazione degli effetti luminosi iniziano a guadagnare una veste matematica più precisa, ponendo le basi per i successivi sviluppi dell’ottica.

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19 La dottrina dell’alterazione e le quattro opinioni sulle cause intrinseche

Oresme organizza il dibattito medievale sulla variazione intensiva delle qualità non come una rassegna di tesi isolate, ma come un confronto tra quattro concezioni metafisiche generali, ciascuna con una propria ontologia della compresenza o successione dei contrari.

Il testo analizza la strategia argomentativa con cui Nicole Oresme inquadra il problema dell’alterazione. Il punto di partenza è metodologico: non si discutono semplici affermazioni avulse da un contesto. “Il ne s’agit donc pas simplement de thèses, mais de conceptions générales composées de différents moments” – (fr:5375/p.309) [Non si tratta quindi semplicemente di tesi, ma di concezioni generali composte da diversi momenti]. Oresme individua quattro di queste concezioni, in risposta a quattro questioni sull’alterazione e la variazione intensiva, ovvero, usando un’espressione attribuita a Burley, la ricerca sulle loro “cause intrinseche”. “Oresme distingue in fatto 4 concezioni (« opiniones ») generali de l’alteration et de la variation intensive” – (fr:5370/p.309) [Oresme distingue in effetti 4 concezioni («opiniones») generali dell’alterazione e della variazione intensiva].

La prima concezione, che l’autore propone di chiamare teoria della simultaneità, si fonda su un postulato preciso: “Ainsi, selon la première conception, les qualités contraires existent simultanément dans un même sujet” – (fr:5376/p.311) [Così, secondo la prima concezione, le qualità contrarie esistono simultaneamente in un medesimo soggetto]. In questo quadro, ciascuna qualità contraria possiede una propria intensità, ma è vincolata da una legge di conservazione: “Chacune a une intensité propre, mais la somme des degrés de chacune est constante” – (fr:5377/p.309) [Ciascuna ha un’intensità propria, ma la somma dei gradi di ciascuna è costante]. Di conseguenza, i processi di intensificazione e attenuazione sono descritti come un meccanismo di acquisizione e perdita di entità discrete: “Enfin, tension et détente se produisent par gain et perte de parties graduelles ou « degrés »” – (fr:5378/p.309) [Infine, tensione e distensione si producono per guadagno e perdita di parti graduali o «gradi»].

L’autore del testo mette in guardia da una denominazione riduttiva di questa posizione. Chiamarla semplicemente “teoria additiva” è fuorviante, poiché l’additività dei gradi è solo un aspetto di una teoria più ampia. “Il est donc quelque peu trompeur d’appeler cette conception « théorie additive » (…) car l’additivité de parties graduelles n’est qu’un des 3 moments d’une conception plus générale qu’Oresme caractérise plutôt par la présence simultanée des contraires” – (fr:5379/p.309) [È quindi in qualche modo fuorviante chiamare questa concezione «teoria additiva» (…) perché l’additività delle parti graduali non è che uno dei 3 momenti di una concezione più generale che Oresme caratterizza piuttosto per la presenza simultanea dei contrari].

Le tre concezioni restanti si oppongono frontalmente alla prima, negando la simultaneità. “Les trois autres conceptions proposées sont au contraire des théories de la succession des contraires” – (fr:5380/p.309) [Le tre altre concezioni proposte sono al contrario teorie della successione dei contrari]. Tuttavia, il modo in cui questa successione è compresa ontologicamente varia in maniera radicale. La seconda concezione nega che la variazione intensiva sia causata da un cambiamento nella qualità stessa. Il mutamento è interamente a carico del soggetto che la riceve: “Selon la seconde conception, la variation intensive n’est causée ni par un gain ou une perte de parties graduelles, (…) mais par une modification de l’état du sujet qui « se tient autrement (aliter se habet) »” – (fr:5382/p.309) [Secondo la seconda concezione, la variazione intensiva non è causata né da un guadagno o una perdita di parti graduali, (…) ma da una modificazione dello stato del soggetto che «si comporta altrimenti (aliter se habet)»]. Le qualità in sé sono invariabili; è la disposizione del soggetto a mutare. Benché simile alla tesi di Tommaso d’Aquino, un commento manoscritto e l’analisi dell’autore convergono nel riconoscervi la posizione di Ockham, che riduce la successione osservata empiricamente a una mera differenza di fase, un aliter se habere.

La terza concezione, attribuita esplicitamente a Burley, ripristina la successione delle forme, ma in una chiave radicalmente diversa. Non esiste simultaneità dei contrari, ma una sequenza di forme sempre nuove: “Comme dans la seconde, il n’y a pas simultanéité, mais succession des formes contraires au cours d’une altération. En revanche, il n’y a pas deux, mais une infinité de formes successives” – (fr:5386-5387/p.310) [Come nella seconda, non c’è simultaneità, ma successione delle forme contrarie nel corso di un’alterazione. In compenso, non ci sono due, ma un’infinità di forme successive]. Ogni istante dell’alterazione comporta una generazione e distruzione di forma, cosicché il soggetto è informato da una realtà istantaneamente nuova e distinta dalla precedente.

La quarta concezione, verso la quale Oresme mostra una netta preferenza, compie un passo ontologico ulteriore. Essa nega la natura sostanziale delle qualità e le assimila a semplici modi della sostanza: “C’est la quatrième conception, que nous allons voir en détail, qui a la préférence d’Oresme et semble lui être propre : elle nie la nature substantielle des qualités, et les assimile à des modes de la substance” – (fr:5388/p.310). Un’immagine ricorrente per illustrare questa astrazione delle forme matematiche da quelle materiali è quella del vestito che viene tolto e separato dal corpo, una metafora di astrazione concreta utilizzata anche da Oresme: “L’image du vêtement qu’on retire et sépare de son corps est d’ailleurs fréquemment prise comme exemple, y compris par Oresme, d’abstraction concrète pour illustrer l’abstraction abstraite des formes mathématiques à partir des formes matérielles et sensibles” – (fr:5363/p.308) [L’immagine dell’abito che si toglie e si separa dal proprio corpo è d’altronde frequentemente presa come esempio, anche da Oresme, di astrazione concreta per illustrare l’astrazione astratta delle forme matematiche a partire dalle forme materiali e sensibili].

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20 La discussione di Oresme sull’addizione e il miscuglio delle qualità contrarie

Un’analisi serrata delle teorie medievali sull’intensificazione delle forme, in cui Oresme difende e critica alternativamente quattro concezioni della mescolanza dei contrari, rivelando una tensione irrisolta tra la divisibilità graduale e la reale simultaneità delle qualità opposte.

Il passo esamina la posizione di Oresme a proposito del problema dell’intensione e remissione delle qualità, cioè di come una qualità come il calore aumenti o diminuisca in un soggetto. La discussione è volutamente intricata: Oresme “difende e critica ciascuna di queste opinioni, anzi difende l’una in nome di un’altra che a sua volta critica in nome di una terza, lasciando perplesso il lettore sul valore di una confutazione fatta in nome di una teoria a sua volta confutata” – (fr:5390/p.310) [Oresme difende e critica ciascuna di queste opinioni, anzi difende l’una in nome di un’altra che a sua volta critica in nome di una terza, lasciando il lettore perplesso sul valore di una confutazione fatta in nome di una teoria essa stessa confutata]. Le critiche non si rivolgono alle concezioni nella loro interezza, ma solo ad alcuni loro aspetti (fr:5391/p.310).

Al centro del dibattito stanno due nozioni che Oresme, a differenza di Burley, considera inscindibili: la teoria additiva e quella del miscuglio dei contrari. Per Burley si tratta di due teorie distinte, mentre per Oresme “l’una implica l’altra ed entrambe sono momenti di una medesima concezione” – (fr:5392/p.310) [l’una implica l’altra ed entrambe sono momenti di una stessa concezione]. La precisazione terminologica è importante: “occorre badare che non ogni qualità o forma ha un contrario: l’oscurità non è il contrario della luminosità, ma solo la sua privazione, e questa questione riguarda soltanto le qualità che hanno un contrario” – (fr:5395/p.311) [occorre badare che non ogni qualità o forma ha un contrario: l’oscurità non è il contrario della luminosità, ma solo la sua privazione, e questa questione riguarda soltanto le qualità che possiedono un contrario]. Quando si ha a che fare con autentici contrari, come caldo e freddo, il ragionamento si appoggia su una misura precisa. L’intelletto suddivide arbitrariamente la latitudine completa di una qualità in 10 gradi (fr:5399/p.311). La materia informata possiede una capacità determinata, per cui “la somma delle due qualità contrarie che la informano non può superare 10 gradi” – (fr:5400/p.311). Anzi, “questa somma ha un valore costante di 10 gradi” – (fr:5401/p.311). Di conseguenza, se una qualità si rafforza di un certo numero di gradi, l’altra si indebolisce della stessa quantità: “quando l’una, come il calore, si rafforza di un grado o più, l’altra, come il freddo, si indebolisce necessariamente dello stesso numero di gradi” – (fr:5396/p.311).

Il testo offre anche una rappresentazione figurata di questo meccanismo (fr:5398/p.311): una sequenza di numeri (0 10 0 10 7 5 3 5) disposti sotto le voci “Caldo” e “Freddo” mostra come l’intensità vari in senso inverso. Una qualità è infinitamente divisibile in intensità, ma non aumentabile senza limite, possedendo un massimo (fr:5398/p.311). Il rafforzamento o l’indebolimento avviene “necessariamente sotto l’effetto dell’azione del contrario (un corpo caldo riscalda un corpo freddo) tramite l’introduzione o eventualmente l’eduzione di qualcosa” – (fr:5397/p.311). La metafora spaziale adoperata da Oresme chiarisce il vincolo: è impossibile che una cosa si trovi al tempo stesso “al di sotto di un piede” e “al di sopra di un piede”, intendendo al di sotto di un estremo e al di sopra dell’altro, data una distanza totale di 10 piedi (fr:5402/p.311). Perciò “la materia deve sempre avere ‘ugualmente di entrambi’ (semper habet de illis)” – (fr:5403/p.311). In questa prospettiva, l’esistenza di due scale separate per il caldo e per il freddo è solo una differenza nominale, perché il grado dell’uno determina immediatamente quello dell’altro (fr:5404/p.311).

Delle quattro concezioni esaminate, Oresme giudica inizialmente questa teoria del miscuglio additivo “la più probabile e la più semplice (probabilior et facilior)” – (fr:5405/p.311), tanto da dedicare l’intera questione V.6 alla sua difesa, mentre la questione successiva ne ricava l’assimilazione dell’intensificazione a un’addizione di gradi e della diminuzione a una sottrazione. “Il lettore può allora immaginare che sia proprio questa la concezione adottata da Oresme” – (fr:5406/p.311). Qui si inserisce però un dato che complica il quadro: “Oresme ha già espressamente respinto l’idea di una reale divisibilità graduale delle qualità, e questo fin dal libro I, accompagnando il suo rifiuto con un’osservazione poco amabile sui suoi contemporanei” – (fr:5407/p.311). In realtà, Oresme finisce per adottare la quarta concezione, o perlomeno per giudicarla la più ragionevole, e lo annuncia già nel corso della questione V.6: “La quarta, secondo quanto credo, afferma che i contrari non sono in alcun modo simultanei… (Quarta est, ut credo, quod nullo modo contraria sunt simul…)” – (fr:5408/p.311). L’autore del resoconto avverte perciò che occorre tenere ben presente questa presa di posizione mentre si espone la difesa oresmiana della divisibilità (fr:5409/p.312). L’ambiguità di fondo nasce dal fatto che la concezione del miscuglio dei contrari è solidale con quella dell’additività delle parti graduali – un nesso solo implicito nella V.6 ma che diventerà esplicito nella questione seguente (fr:5410/p.312).

Il valore testimoniale di queste righe è duplice. Da un lato, esse documentano la raffinatezza e la tortuosità del dibattito trecentesco sull’intensione delle forme, mostrando come Oresme, pur parteggiando per una soluzione, senta il dovere di confrontarsi in modo approfondito con tutte le alternative, incluso il recupero della teoria additiva di Burley che pure aveva già criticato. Dall’altro, il testo segnala una tensione irrisolta tra il modello geometrico-additivo (i gradi come parti sommabili) e la negazione della reale divisibilità delle qualità, una frattura che lo stesso Oresme sembra gestire attribuendo alla mescolanza dei contrari uno statuto più nominale che reale.

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21 La classificazione delle qualità in Oresme e il ruolo del “rapporto”

Un’analisi della natura delle qualità seconde mostra come Oresme, rielaborando la tradizione aristotelica, le riconduca sistematicamente a rapporti di qualità prime o di quantità, anticipando un approccio relazionale ai fenomeni fisici e fisiologici.

La discussione si inserisce in un quadro teorico ben definito, dove la chiarificazione della classificazione generale delle varietà di qualità da parte di Oresme avviene solo in un momento successivo del testo, sebbene sia stata più volte impiegata per anticipazione. Il punto di partenza è una distinzione canonica: “Era comune distinguere tra qualità prime e qualità seconde” - (fr:5419/p.312) [Il était courant de distinguer entre des qualités premières et des qualités secondes.]. Le qualità prime sono identificate con i quattro elementi costitutivi della complessione dei corpi, come esplicitato: “Le qualità prime erano le quattro qualità complessionali, il caldo, il freddo, il secco, l’umido, e tutte le altre qualità erano dette seconde in quanto causate dalla mescolanza di queste quattro qualità prime in una medesima sostanza” - (fr:5420/p.312) [Les qualités premières étaient les quatre qualités complexionnelles, le chaud, le froid, le sec, l’humide, et toutes les autres qualités étaient dites secondes en tant que causées par le mélange de ces quatre qualités premières dans une même substance.].

A questa ripartizione si sovrappone la classificazione aristotelica delle qualità in quattro specie, ma Oresme introduce una modifica cruciale. Egli da un lato include la pesantezza e la leggerezza tra le qualità prime, e dall’altro articola quattro modalità distinte con cui una qualità seconda può emergere. Queste modalità sono: come rapporto o come effetto di un rapporto di qualità, oppure come rapporto o come effetto di un rapporto di quantità o di movimenti. Questa quadripartizione è il cuore dell’analisi successiva.

L’applicazione di questo schema al concetto di salute è rivelatrice. La salute e la malattia sono interpretate non come entità autonome, ma come configurazioni relazionali: “La salute e la malattia non sono così forse (forte) nient’altro che un rapporto di qualità prime, di modo che salute e malattia variano secondo la variazione intensiva di almeno una qualsiasi delle qualità prime” - (fr:5423/p.313) [La santé et la maladie ne sont ainsi peut-être (forte) rien d’autre qu’un rapport de qualités premières, de sorte que santé et maladie varient selon la variation intensive d’au moins l’une quelconque des qualités premières.]. Ne consegue che il processo di guarigione non va pensato come l’aggiunta di una “quantità” di salute, ma come un riavvicinamento dei rapporti delle qualità prime a un rapporto ideale, definito “ben temperato”. L’aggiunta o la sottrazione di gradi riguarda semmai le qualità prime stesse, la cui variazione altera il rapporto complessivo. In questa prospettiva, “la ‘salute’ non è una qualità distinta dalle qualità del mio corpo e dai loro rapporti reciproci, e ‘guarire’ non significa nient’altro che possedere qualità corporee i cui rapporti si avvicinano al rapporto ben temperato: la salute non è nient’altro che un buon equilibrio della chimica del mio corpo” - (fr:5426/p.313) [En d’autres termes, la « santé » n’est pas une qualité distincte des qualités de mon corps et de leurs rapports mutuels, et « guérir » ne signifie rien d’autre que posséder des qualités corporelles dont els rapports se rapprochent du rapport bien tempéré : la santé n’est rien d’autre qu’un bon équilibre de la chimie de mon corps.].

Diverso è il caso delle qualità sensibili, come la bianchezza. Qui Oresme stabilisce una distinzione netta: la bianchezza non è identificata con un rapporto di qualità prime, ma ne è l’effetto, lo “segue”. La ragione addotta è che “a differenza della salute, una medesima bianchezza può essere determinata da differenti rapporti di qualità prime contrarie” - (fr:5428/p.313) [La raison en est qu’à la différence de la santé, une même blancheur peut être déterminée par différents rapports de qualités premières contraires.]. Mentre l’intensificazione della bianchezza può essere interpretata come un’addizione di gradi, ciò accade perché il grado aggiuntivo è causato dalla variazione del rapporto delle qualità contrarie, senza ridursi a esso.

L’analisi si estende poi al dominio della quantità e del movimento, poiché “alcune qualità seconde sono determinate non da qualità, ma da quantità e da movimenti” - (fr:5430/p.313) [Reste que certaines qualités secondes sont déterminées non par des qualités, mais par des quantités et des mouvements.]. Come esempi di qualità identificate a un rapporto di quantità o di movimenti, Oresme propone la curvatura e la rapidità. Per la curvatura, il Trattato delle configurazioni offre un chiarimento intuitivo: la curvatura “si dice di una rotazione o denota una rotazione” - (fr:5434/p.313) [La courbure, y écrit-il, « se dit d’une rotation ou dénote une rotation ».]. Tuttavia, una stessa rotazione angolare produce curvature diverse a seconda della lunghezza del percorso. La curvatura è intrinsecamente più intensa se compiuta su una distanza minore. Dunque, una curvatura circolare può essere intuitivamente compresa come il rapporto tra un movimento di rotazione e una quantità, il cammino percorso.

Il testo evidenzia infine alcune tensioni o mancanze di sistematicità nell’elaborazione oresmiana. Si nota che la distinzione tra qualità identificate a un rapporto e qualità che seguono un rapporto non è sempre mantenuta con chiarezza, e che lo stesso Oresme varia, all’interno della medesima questione, sull’inclusione di pesantezza e leggerezza tra le qualità prime. Queste osservazioni testimoniano un pensiero in movimento, colto nel suo sforzo di ridefinire categorie ereditate per descrivere una realtà fisica intesa sempre più in termini di relazioni e proporzioni matematiche.

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22 La difesa dell’additività e la distinzione tra intensità ed efficienza in Nicola Oresme

Nel difendere la teoria dell’additività dell’intensificazione, Oresme è costretto a distinguere il concetto di intensità di una qualità dall’intensità del suo effetto, una mossa teorica che prefigura la sua teoria delle configurazioni.

Il testo si addentra in un momento cruciale del pensiero di Nicola Oresme: la sua difesa della teoria secondo cui l’intensificazione di una qualità è causata dall’addizione di parti graduali. Il filosofo si trova ad affrontare una situazione paradossale, poiché mentre da un lato ammette la validità della critica mossa da Gauthier Burley a questa stessa teoria, dall’altro procede a smantellare buona parte di quella critica, distruggendo esplicitamente 7 dei 12 argomenti proposti da Burley. La quasi totalità delle obiezioni che Oresme stesso solleva e a cui risponde provengono infatti dal trattato di Burley, sebbene la primissima obiezione che egli discute sia di suo conio.

Questa prima obiezione, formulata due volte nell’opera, si basa su un principio comunemente accettato: “une vertu unifiée est plus forte qu’une vertu dispersée” – (fr:5467/p.316) [una virtù unificata è più forte di una virtù dispersa]. Di conseguenza, la sola condensazione di una sostanza attiva, come una fiamma, dovrebbe aumentare l’intensità della sua azione, contraddicendo il bisogno di un’addizione di parti. Il principio trovava ampio sostegno nell’ottica geometrica del tempo, dove l’intensità dell’illuminazione era concepita come dipendente dal grado di condensazione e unificazione dei raggi luminosi. La lente d’ingrandimento era un esempio privilegiato di questo fenomeno, ma lo stesso concetto spiegava anche la perdita di luminosità di un oggetto che si allontana da una fiamma, interpretata come effetto di una dispersione dei raggi. Questo principio entrava in rotta di collisione con la teoria dell’additività, poiché, come osserva Oresme, “toute intensification suppose l’introduction et l’addition d’une quantité graduelle” – (fr:5470/p.316) [ogni intensificazione presuppone l’introduzione e l’addizione di una quantità graduale], mentre il principio di unificazione sostiene che a parità di quantità, una sua condensazione induce un rafforzamento e una sua dispersione un affievolimento.

La risposta di Oresme a questa obiezione è di fondamentale importanza. Egli concede in parte il principio, ma introduce una distinzione che segna un punto di svolta nel suo pensiero. Oresme afferma:

“Et cum dicitur « si ignis condensatur etc », potest dici quod bene fiet activa et sensibilis magis propter hoc quod erit unita magis, sed ex hoc non intenderetur (…)” – (fr:5472/p.316) [E come si dice «Se un fuoco è condensato ecc.», si può rispondere che il fuoco sarà reso più attivo e più sensibile, perché sarà più unificato, ma non per questo ne sarà più intenso (…)]

In altre parole, Oresme ammette che una semplice unificazione può rafforzare un’azione senza un’addizione graduale, ma contesta radicalmente che l’unificazione abbia intensificato la qualità stessa: ha solamente aumentato l’intensità del suo effetto. Viene così stabilita una separazione netta tra l’intensità di una qualità e la sua efficienza. A parità di intensità, una qualità è più o meno efficiente a seconda di quanto è unita e condensata. La ragione fisica di questo guadagno di efficacia è espressa con una formula generale: “hoc non quia virtus intenditur, sed quodammodo melius applicatur” – (fr:5478/p.317) [questo non perché la virtù si intensifichi, ma perché in un certo modo è meglio applicata]. Questa osservazione, apparentemente vaga, contiene già in nuce la teoria fisica delle configurazioni, che fornirà una precisione geometrica a questa intuizione, spiegando matematicamente come, a parità di intensità media, l’efficienza di una qualità aumenti in base al profilo della sua distribuzione dinamica. Che Oresme avesse in mente una rappresentazione geometrica non è una semplice suggestione, ma una pratica attestata da un passo importante del suo De visione stellarum relativo alle alterazioni geometriche, forse in connessione con la composizione dei movimenti che altera il percorso degli astri.

Oresme affronta poi altre serie di obiezioni. Una seconda serie riguarda il problema della presenza simultanea, in una stessa sostanza, di gradi contrari (come il piccolo e il grande, o il caldo e il freddo), in violazione del principio aristotelico per cui i contrari non possono coesistere. La sua soluzione si basa su un’analogia con l’accrescimento quantitativo: « Si quelqu’un a un denier, qui lui vaudrait d’être appelé « pauvre » s’il n’en avait pas plus, il ne s’en suit pas, s’il en a plus, qu’il serait encore appelé « pauvre » » – (fr:5482/p.317) [Se qualcuno ha un denaro, che gli varrebbe di essere chiamato «povero» se non ne avesse di più, non ne consegue, se ne ha di più, che sarebbe ancora chiamato «povero»]. Un uomo ricco non è detto allo stesso tempo povero e ricco solo perché la sua ricchezza include la somma posseduta dal povero. Con questa mossa, Oresme separa la questione ontologica della reale compresenza delle parti da quella del giudizio o della «denominazione» della qualità. Le parti sono simultaneamente presenti perché la loro contrarietà è solo nominale: un denaro non è il contrario di due denari. È sufficiente che la denominazione, il nome dato alla sostanza in virtù della sua qualità, non la nomini simultaneamente secondo un qualificativo e il suo contrario.

Una terza serie di obiezioni ruota attorno al paradosso dell’infinito, derivante dal fatto che un’intensità finita sarebbe composta da un’infinità di parti graduali. Il principio di divisibilità intensiva permette di calcolare il grado totale d’intensità come somma delle sue parti, un’operazione particolarmente interessante quando l’intensità varia. In tal caso, il grado finale può essere calcolato a partire dal grado iniziale e dalla somma delle parti acquisite durante il processo. Tuttavia, essendo ogni processo naturale continuo e la variazione acquisita indefinitamente divisibile (ad esempio, in parti proporzionali), la somma delle parti acquisite sarebbe necessariamente infinita e incalcolabile secondo l’aritmetica comune. La discussione è quindi intrinsecamente legata allo sviluppo delle serie infinite.

Il primo paradosso discusso, che riformula un argomento di Burley, è complesso perché coinvolge due scale diverse: quella dei gradi d’intensità e quella dei gradi di perfezione degli esseri. L’argomento di Burley mira a dimostrare che l’ipotesi dell’additività turba la gerarchia delle perfezioni, implicando l’assurda esistenza di una bianchezza infinita in perfezione. La dimostrazione procede così: ammesso che la n-esima parte qualitativa di una qualità sia n volte meno perfetta, e che la parte abbia un diverso grado di perfezione rispetto al tutto e alle altre specie, ne consegue un paradosso. Se una bianchezza A è indefinitamente divisibile in parti qualitative proporzionali, allora non solo la parte eccede in perfezione una nerezza B, ma il tutto A eccede la nerezza B “sine omni proportione” – (fr:5513/p.319) [senza alcun rapporto], cioè più di qualsiasi rapporto finito. Di conseguenza, dato che la perfezione della nerezza B è finita, la bianchezza A si troverebbe elevata a un grado di perfezione assolutamente infinito, un attributo riservato a Dio. Il paradosso, sintetizzabile nello schema “Excès spécifique de perfection blanc noir A B” – (fr:5511/p.319) [Eccesso specifico di perfezione bianco nero A B], non deriva dalla sola divisibilità intensiva, ma dall’impossibilità di mantenere un grado di perfezione solo finito per ogni creatura se si concede l’infinita divisibilità della loro intensità, anche perché il grado di perfezione era comunemente assimilato a una forma di intensità d’essere.

La risposta principale di Oresme scinde le due scale. Egli introduce un modello geometrico, menzionando il confronto tra angoli rettilinei e mistilinei, per spiegare come una quantità e un grado solo finito (come un angolo rettilineo) possa eccedere indefinitamente e oltre ogni rapporto un’altra quantità e grado finito (come un angolo di contingenza), senza per questo diventare infinito in senso assoluto. Con questa mossa, Oresme preserva la gerarchia finita delle perfezioni create, risolvendo il paradosso non sul piano dell’intensità ma su quello della perfezione stessa.

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23 L’intensificazione delle forme e l’abisso dell’infinito: Burley contro Oresme

Se la forma precedente non viene distrutta, l’accumulo di parti conduce a un grado infinito: la soluzione additiva di Burley, nonostante il ricorso alle cause fisiche, non sfugge alla somma infinita.

Il testo affronta un nodo centrale della fisica scolastica: come una qualità (una forma) possa aumentare di intensità restando identica a se stessa. Il punto di partenza è la possibilità che la forma anteriore coesista con quella posteriore. “Si donc la forme antérieure n’est pas détruite par la venue de la forme postérieure, il s’en suit qu’une infinité de formes de même espèce dont chacune rend la forme plus intense seront simultanément adéquates dans le même sujet, ce qui est impossible” – (fr:5528/p.320) [Se dunque la forma anteriore non è distrutta dall’arrivo della forma posteriore, ne segue che un’infinità di forme della stessa specie, ciascuna delle quali rende la forma più intensa, saranno simultaneamente adeguate nello stesso soggetto, il che è impossibile]. L’impossibilità è ribadita: “C’est impossible, parce qu’alors, la forme acquise est nécessairement infiniment intense” – (fr:5529/p.320) [È impossibile, perché allora la forma acquisita è necessariamente infinitamente intensa].

Il problema si sposta quindi sull’addizione di «parti di una forma», ossia di parti graduali, tra due istanti qualsiasi di un’intensificazione. “Le problème concerne donc l’addition de « parties d’une forme », c’est-à-dire de parties graduelles, entre deux instants quelconques d’une intensification” – (fr:5530/p.320) [Il problema riguarda dunque l’addizione di « parti di una forma », cioè di parti graduali, tra due istanti qualsiasi di un’intensificazione]. Poiché gli istanti sono semplicemente i termini di una durata a sua volta divisibile, la parte graduale acquisita varia in grandezza a seconda degli istanti considerati (fr:5531/p.320). Tuttavia, per quanto vicini siano gli istanti, la forma o è aumentata intensivamente oppure no; se non lo fosse, l’intensificazione non sarebbe continua (fr:5532-5533/p.320). Di conseguenza, in ogni istante la forma deve acquisire una parte graduale, per quanto piccola: “La forme doit donc augmenter, donc acquérir une partie graduelle – là encore, si petite soit-elle” – (fr:5534/p.320) [La forma deve quindi aumentare, quindi acquisire una parte graduale – anche qui, per quanto piccola essa sia].

Qui scatta la trappola dell’infinito. Il tempo è indefinitamente divisibile in parti proporzionali e in ogni parte di tempo si conservano le parti già acquisite. Il grado finale diventa allora la somma infinita di tutte le parti graduali: “le degré final est égale à la somme infinie des parties graduelles : c’est donc un degré infini” – (fr:5535/p.320) [il grado finale è uguale alla somma infinita delle parti graduali: è dunque un grado infinito]. L’argomento, però, potrebbe sembrare insufficiente perché le parti formali acquisite, indicate con Δf in un diagramma precedente, restano indeterminate (fr:5536/p.320). Un difensore della teoria additiva replica che «toutes ces parties ne sont pas égales en quantité de perfection», c’est-à-dire en quantité graduelle – (fr:5537/p.320) [«tutte queste parti non sono uguali in quantità di perfezione», cioè in quantità graduale]. In modo implicito, le parti acquisite dovrebbero diminuire con il tempo, proprio come le parti quantitative di una grandezza divisa proporzionalmente decrescono (fr:5538/p.320).

Questa è la soluzione che sarà adottata da Oresme, ma Walter Burley la contesta. Burley sostiene invece che, divisa la durata in parti proporzionali, la forma acquisisce in ciascuna di quelle parti una parte uguale della forma: “la forme acquiert nécessairement en chaque partie de cette durée une partie égale de la forme” – (fr:5539/p.320) [la forma acquisisce necessariamente in ogni parte di questa durata una parte uguale della forma]. Per giustificarlo, Burley si appella alle cause fisiche dell’acquisizione: un corpo che si riscalda diventa tanto più caldo quanto più è disposto a ricevere calore, ossia quanto minore è la resistenza che oppone a una potenza riscaldante costante (fr:5540/p.320). Il riscaldamento continuo è quindi prodotto da una resistenza che cala in modo continuo: a metà della durata la resistenza è dimezzata, alla metà della metà restante è ancora dimezzata, e così via (fr:5541/p.320). Formalmente, se la durata è divisa in parti proporzionali tali che Un+1 = ½·Un, allora la resistenza Rn+1 = ½·Rn (fr:5542/p.320).

Da questa diminuzione della resistenza Burley deduce che la disposizione del soggetto a essere caldo aumenta raddoppiando a ogni parte di tempo: Dn+1 = 2·Dn (fr:5543/p.320). La conclusione, tuttavia, assume una svolta sorprendente. Burley afferma che le parti di forma acquisite sono «uguali» secondo le parti proporzionali del tempo, senza chiarire il passaggio da una disposizione che raddoppia a parti formali uguali (fr:5544/p.320). Un possibile tentativo di spiegare il ragionamento è che la parte formale acquisita dipenda tanto dall’aumento della disposizione quanto dalla riduzione delle durate: una disposizione doppia della precedente opera solo per una durata dimezzata (fr:5545/p.321). Ne seguirebbe allora, per una quantità formale iniziale a = 1, una forma totale data dalla serie:

“Ainsi, pour une quantité formelle initiale a = 1, la forme totale serait : 1 +” – (fr:5546/p.321) [Così, per una quantità formale iniziale a = 1, la forma totale sarebbe: 1 + ]

“( 1 2 ) + 2” – (fr:5547/p.240) [(1/2) + 2².]

“( 1 2 2 ) + ⋯ + 2ⁿ.” – (fr:5548/p.240) [(1/2²) + … + 2ⁿ.]

La serie risultante è 1 + 1 + 1 + …, una somma infinita di termini unitari, che conduce inesorabilmente a un grado infinito. Il tentativo di Burley di salvare l’addizione di parti uguali attraverso la dinamica delle cause fisiche riproduce quindi lo stesso esito paradossale che intendeva evitare.

La discussione cattura un momento storicamente cruciale della fisica tardomedievale, quando si misuravano con il continuo e l’infinito matematico i fenomeni di intensificazione qualitativa, un campo di indagine che preparò il terreno agli strumenti del calcolo infinitesimale. La testimonianza di Burley, con il suo passaggio dalle cause fisiche alla somma di parti formali, mostra la tensione tra modelli matematici e spiegazioni causali, e il ruolo del diagramma (con le parti Δf) evocato nel testo come supporto visivo per una argomentazione ancora incerta sul nodo dell’uguaglianza delle parti.

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24 La natura del movimento tra apparenza e realtà: la posizione di Oresme nel dibattito scolastico

Il movimento reale non è semplice successione di stati, ma mutazione intrinseca del mobile, un modo d’essere che non si aggiunge come entità separata: così Oresme riformula l’ontologia del moto distinguendosi tanto dai riduzionisti quanto dal realismo di Buridano.

Il cuore della riflessione oresmiana sul movimento ruota attorno alla distinzione tra ciò che appare e ciò che è. Il movimento apparente si risolve in una successione di stati del medesimo oggetto – un “tenersi altrimenti rispetto a prima” –, ma il movimento reale è qualcosa di più: è una «mutazione intrinseca», come indica la formula “le mouvement réel en est un « mutacion », c’est-à-dire une mutation intrinsèque” (fr:6513/p.378) [il movimento reale è una «mutazione», cioè una mutazione intrinseca]. Per Oresme, se il movimento fosse solo un apparire altrimenti, esso non corrisponderebbe al significato proprio del termine: “l’apparence du mouvement est en défaut vis-à-vis de la signification du mot mouvement : celui ne peut pas signifier simplement qu’une chose se habere aliter quam prius” (fr:6511/p.378) [l’apparenza del movimento è insufficiente rispetto al significato della parola movimento: questo non può significare semplicemente che una cosa si tenga altrimenti rispetto a prima].

Questa distinzione si precisa con un celebre esperimento mentale che coinvolge la rotazione di una sfera unica – la sfera ultima – ridotta a totalità del mondo per onnipotenza divina. Il testo ricorda come Oresme, traducendo e commentando il De caelo, immagini l’alternarsi del moto diurno tra due parti del cielo: “Je di donques que, se des .ii. parties du monde desus dites, celle desus estoit au jour de huy meue de mouvement journal, comme si est, et celle de bas non, et demain fust le contraire que celle de cibas fust meue de mouvement journal et l’autre non, ce est a savoir le ciel, etc., nous ne pourrions apparcevoir en rien ceste mutacion, mes tout sembleroit estre en une maniere huy et demain quant a ce” (fr:6521/p.378) [Dico dunque che, se delle due parti del mondo sopra dette, quella di sopra fosse oggi mossa di moto diurno, come è, e quella di sotto no, e domani fosse il contrario, che quella di sotto fosse mossa di moto diurno e l’altra no, cioè il cielo, ecc., non potremmo percepire affatto questa mutazione, ma tutto sembrerebbe essere nello stesso modo oggi e domani quanto a questo]. L’impossibilità di discernere il moto reale dall’apparenza è rafforzata dall’esempio della nave: “Et nous sambleroit continuelment que la partie ou nous sommes reposast et que l’autre fust toujours meue, aussi comme il semble a un honme qui est en une naif meue que les arbres dehors sont meuz” (fr:6522/p.378) [E ci sembrerebbe continuamente che la parte in cui siamo riposasse e che l’altra fosse sempre mossa, così come sembra a un uomo che è in una nave mossa che gli alberi fuori siano mossi]. In assenza di punti di riferimento esterni, la variazione non può essere definita in relazione a un corpo estraneo o a uno spazio immaginario vuoto: “La variation ne peut donc pas être alors définie en relation avec autre chose, un autre corps ou même un espace imaginaire vide, et doit l’être de manière interne” (fr:6517/p.378) [La variazione non può dunque allora essere definita in relazione ad altro, un altro corpo o persino uno spazio immaginario vuoto, e deve esserlo in modo interno].

La definizione rigorosa del moto reale fornita da Oresme recita: “moveri est aliter se habere continue quam ipsum mobile prius se habebat respectu sui et non respectu cuiuscumque extrinseci” (fr:6526 e 6589) [essere mosso è tenersi continuamente in modo diverso da come lo stesso mobile si teneva in precedenza rispetto a sé e non rispetto a qualcosa di esterno]. Qui il riferimento è unicamente il mobile stesso nel suo essere interno: “Il n’existe rien d’extrinsèque à l’égard duquel le mobile pourrait être dit se tenir autrement et autrement avant et après : c’est donc intrinsèquement (intrinsece) que le mobile se tient autrement et autrement” (fr:6562/p.381) [Non esiste nulla di estrinseco rispetto al quale il mobile potrebbe dirsi tenersi diversamente prima e dopo: è quindi intrinsecamente che il mobile si tiene diversamente]. Una simile definizione esclude che il moto locale si identifichi con il semplice mutare di posizione rispetto a un luogo aristotelico, che non esisterebbe se non vi fossero corpi contenenti.

Il dibattito scolastico offre termini di paragone precisi. Buridano, nelle sue Quaestiones super libros Physicorum, distingue tra alterazione e moto locale. Nell’alterazione, come nel riscaldamento, non vi è un flusso distinto dalla qualità che si acquisisce: “in vera alteratione, ut in calefactione, non est aliquis fluxus alius quam illa caliditas quae continue acquiritur par post partem, et etiam figiditas quae continue abicitur e converso pars post partem” (fr:6532/p.379) [nell’alterazione vera, come nel riscaldamento, non vi è alcun flusso altro che il calore che continuamente si acquisisce parte dopo parte, e ancora la frigidità che inversamente continuamente è rigettata parte dopo parte]. Per il moto locale, invece, Buridano conclude che esso è una «cosa puramente successiva» distinta dal mobile e dal luogo, un fluxus che incrisce realmente al mobile come una qualità: “per realem inhaerentiam, sicut albedo esset in pariete” (fr:6564/p.381) [per inerenza reale, come il bianco sarebbe in un muro]. Alberto di Sassonia segue una via simile, interpretando il flusso come un accidente gradualmente acquisito.

Oresme assume una posizione paradossale rispetto a queste tesi. Da un lato, ammette che il movimento è una realtà successiva irriducibile a entità permanenti – un fluxus –, quindi rifiuta le posizioni riduzioniste (come quelle che riconducono il moto alla sola sostanza mobile o al percorso); dall’altro, giudica l’interpretazione ontologica di Buridano «peggiore» perché trasforma quel flusso in un accidente aggiunto. Per Oresme il movimento non è una res superaddita, bensì “une « disposition (disposito) », une « condition (condicio) » ou encore le « mode d’une chose (modus rei) », une manière de son être, et non un entité qui s’ajouterait à la substance mobile, une « chose surajoutée (res superaddita) »” (fr:6582/p.382) [una «disposizione (dispositio)», una «condizione (condicio)» o ancora il «modo di una cosa (modus rei)», una maniera del suo essere, e non un’entità che si aggiungerebbe alla sostanza mobile, una «cosa aggiunta (res superaddita)»]. Con questa mossa, Oresme introduce la categoria dei modi rerum, distaccandosi nettamente dalla tradizione che incasella il moto tra sostanze e accidenti.

La successività riveste un ruolo cruciale. Il movimento reale è un res successiva, che non è pura successione divina, bensì un misto di permanenza e divenire, un’unità successiva che Oresme descrive come «una certa identità successiva». Su questa base egli può assimilare sul piano ontologico qualità e movimento: “qualités et mouvements sont ontologiquement semblables, ce sont des modes d’être de la substance” (fr:6604/p.383) [qualità e movimenti sono ontologicamente simili, sono modi d’essere della sostanza]. Tale affinità spiega perché Oresme, a differenza di molti contemporanei, studia la variazione del moto secondo la durata e non secondo la distanza percorsa: la durata è dimensione intrinseca del moto, mentre la distanza ne è effetto.

Storicamente, la dottrina oresmiana si colloca entro il quadro segnato dalla condanna parigina del 1277, che obbligava a riconoscere la possibilità di un moto rettilineo dell’universo, e per estensione di un moto rotatorio del mondo come tutto unico. L’argomento della sfera ultima, sfruttato anche da Buridano, serve a Oresme per mostrare che il movimento reale non può essere ridotto a una costruzione mentale (apparentia) né a una cosa aggiunta al mobile, ma esige una descrizione interna: il mobile “se tenir continument autrement que ce même mobile se tenait précédemment par rapport à lui et non par rapport à quelque chose d’extérieur” (fr:6589/p.382) [tenersi continuamente in modo diverso da come lo stesso mobile si teneva in precedenza rispetto a sé e non rispetto a qualcosa di esterno]. L’ontologia del movimento reale recupera così i caratteri della mutatio interna e della mutatio continua desunti dalla descrizione fenomenologica, ma li fonda su un’inedita teoria dei modi di essere che influenzerà l’intera riflessione successiva sulla configurazione delle qualità e dei moti.

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25 L’identità nel flusso: la dottrina di Oresme sulle realtà successive

Per Nicole Oresme, comprendere il movimento e il cambiamento richiede di ammettere l’esistenza di entità la cui natura stessa è un continuo divenire, un’alterità che persiste identica a sé stessa.

Il problema centrale affrontato nel testo è lo statuto ontologico delle realtà che mutano nel tempo, in particolare il movimento. Oresme, nel capitolo II.13 del suo trattato, sente la necessità di proporre una classificazione generale che distingua le realtà “permanenti” da quelle “successive”, un’esigenza che nasce dall’aver trattato fino a quel momento solo configurazioni di movimento, ovvero di rapidità. Si tratta di un testo notevole per chiarezza: “Par son allure brève et synthétique, il s’agit sans doute du texte le plus clair d’Oresme sur ce sujet” - (fr:6623/p.385) [Per il suo andamento breve e sintetico, si tratta senza dubbio del testo più chiaro di Oresme su questo soggetto]. L’obiettivo è dimostrare che il tempo e il movimento non sono riducibili a realtà permanenti, come invece sosteneva Ockham, e che “il existe bien des réalités successives, et que ni le temps, ni le mouvement ne sont par conséquent réductibles aux réalités permanentes” - (fr:6628/p.385) [esistono realmente delle realtà successive, e che né il tempo, né il movimento sono di conseguenza riducibili alle realtà permanenti].

Per affrontare la questione, Oresme inizia epurando due sensi impropri del termine “successivo”. Il primo senso, il più improprio, designa una cosa permanente che “passa” conservando un essere uguale a sé stesso, come un mobile che attraversa luoghi diversi: “c’est bien en réalité une chose permanente, parce qu’il conserve « un être égale » et demeure à chaque instant identique à lui-même” - (fr:6634/p.385) [è in realtà una cosa permanente, perché conserva “un essere uguale” e rimane a ogni istante identico a sé stesso]. Il secondo senso, giudicato “meno improprio”, si applica a una realtà di cui una parte è in atto mentre un’altra è in corso di acquisizione, come il calore che si sta generando. In questo caso, è la res acquisita – il calore in sé – a essere permanente, e dunque l’uso di “successivo” è improprio, sebbene Oresme ammetta che “il existe des qualités successives au sens propre, et en particulier que la chaleur en cours d’acquisition est bien une succession” - (fr:6642/p.386) [esistono qualità successive in senso proprio, e in particolare che il calore in corso di acquisizione è effettivamente una successione].

La vera definizione di realtà successiva in senso proprio è rigorosa e fondata su un duplice criterio di alterità e identità. Una cosa è detta successiva se “en aucune durée de son existence, elle n’est dans une seconde partie ce qu’elle était dans la première, mais, en chaque durée de son existence, il existe quelque chose de la nature de ce successif en une partie quelconque en une partie de cette durée, et quelque chose de totalement autre de ce successif en une autre partie” - (fr:6644/p.386) [in nessuna durata della sua esistenza, essa è in una seconda parte ciò che era nella prima, ma, in ogni durata della sua esistenza, esiste qualcosa della natura di questo successivo in una parte qualsiasi di questa durata, e qualcosa di totalmente altro di questo successivo in un’altra parte]. Questa definizione sancisce che il successivo è “continument autre et autre” (continuamente altro e altro), ma al contempo possiede un’identità durante la sua esistenza, perché ciò che è, è sempre un qualcosa di determinato.

Questa coesistenza di alterità e identità è il nucleo problematico. Per chiarirla, Oresme ricorre a un’analogia fluviale suggestiva ma ambigua: “quelque chose est dit s’écouler « selon l’être » lorsqu’en tout instant, il n’a pas le même être” - (fr:6649/p.386) [qualcosa è detto scorrere “secondo l’essere” quando in ogni istante non ha il medesimo essere]. Tale realtà “n’est pas permanente, mais elle est au contraire dans un écoulement et un passage continu” - (fr:6650/p.386) [non è permanente, ma è al contrario in uno scorrimento e un passaggio continui]. L’analogia, che si applica primariamente al tempo – “propter hoc dicitur tempus preterit more fluentis aque” - (fr:6652/p.386) [per questo si dice che il tempo passa alla maniera di un corso d’acqua] – mette però l’accento sull’alterità piuttosto che sull’identità. La permanenza, al contrario, è definita come negazione di ogni successione: una cosa è permanente quando per una certa durata “est idem et totum simul” - (fr:6657/p.387) [è la stessa e tutta intera simultaneamente]. L’identità e l’entièretà simultanea sono quindi i criteri della permanenza, una concezione che Pasnau definisce “diacronica”, in opposizione a una visione puramente logica e “sincronica”.

Stabilite le definizioni, la sfida è spiegare come una successione possa effettivamente possedere un’identità. Oresme individua due modalità. La prima è la successione relativa (secundum quid), in cui un tutto è continuamente altro, ma una sua parte permane identica durante l’intera durata. È il caso degli esseri viventi, dove “il y a des « parties plus principales » requises à la conservation ou durée de leur vie, celles que certains appellent « l’humidité radicale »” - (fr:6672/p.388) [ci sono delle “parti più principali” necessarie alla conservazione o durata della loro vita, quelle che alcuni chiamano “l’umidità radicale”]. Per gli inanimati, invece, come un fiume o un lago, vale la regola della maggior parte: “si la majeure partie d’un tout demeure, alors le tout peut être dit le même et conserver son identité, bien que ce soit faux absolument” - (fr:6674/p.388) [se la maggior parte di un tutto permane, allora il tutto può essere detto lo stesso e conservare la sua identità, benché ciò sia falso in assoluto].

La seconda modalità è la successione assoluta (simpliciter), in cui non permane alcuna parte. In questo caso, ciò che garantisce l’unità non è più la permanenza di un sostrato, ma la pura continuità. Nelle Questiones super De generatione et corruptione, Oresme è categorico: “illud dicitur unum et idem cuius aliquod est successivum simpliciter, ita quod nihil illius quod est in una parte temporis erat in precedenti, sed per successivam continuitatem illud dicitur unum, cuiusmodi sunt motus celi et similia, si sunt” - (fr:6687/p.389) [è detta una e la stessa quella cosa di cui qualcosa è assolutamente successivo, cosicché nulla di ciò che è in una parte del tempo era nella precedente, ma per continuità successiva quella cosa è detta una, come sono il movimento del cielo e cose simili, se esistono]. Il movimento stesso, per Oresme, non è una res distinta ma un modo o una condizione del reale; tuttavia, “non potest negari quod talis condicio sit” - (fr:6690/p.389) [non si può negare che una tale condizione esista]. L’unità del moto è quindi l’unità del comportamento stesso del mobile, che si mantiene in un essere continuamente altro.

L’originalità di Oresme risiede nell’estensione del concetto di successività a entità che vanno oltre il semplice movimento locale. Egli distingue nettamente tra rapporti permanenti e successivi: un rapporto è successivo “quand il se tient variablement” - (fr:6701/p.390) [quando si mantiene in modo variabile]. Questa riflessione conduce a una distinzione matematica tra quantità costante e variabile. Soprattutto, Oresme dimostra l’esistenza di qualità assolutamente successive, portando esempi specifici. Se un oggetto si muove davanti a uno specchio fisso, “l’image totale qui se déplace continument sur le miroir est en réalité une série d’images successives” - (fr:6705/p.390) [l’immagine totale che si sposta continuamente sullo specchio è in realtà una serie di immagini successive]. Lo stesso vale per la specie visibile di un oggetto sul fondo di un corso d’acqua o per il suono, che è l’effetto di un movimento. L’esempio del suono che si intensifica continuamente è cruciale: se una parte del suono permanesse, “alors le grave et l’aigu seraient simultanés, et ainsi d’un son unique proviendrait une dissonance ou une consonance, ce qui va contre Boèce dans sa Musique” - (fr:6713/p.391) [allora il grave e l’acuto sarebbero simultanei, e così da un unico suono proverrebbe una dissonanza o una consonanza, il che va contro Boezio nella sua Musica].

Il paradosso raggiunge il suo apice sul piano teologico. Oresme ipotizza che Dio possa creare una sostanza assolutamente successiva. Immagina un rapporto A:B che varia con continuità e suppone che per ogni rapporto istantaneo Dio crei un uomo. “Alors, l’agrégat de tous ces hommes, c’est-à-dire de ces hommes instantanés, serait un unique homme successif” - (fr:6716/p.391) [Allora, l’aggregato di tutti questi uomini, cioè di questi uomini istantanei, sarebbe un unico uomo successivo]. Si tratterebbe di una costruzione analoga a quella di una curva punto per punto, dove gli uomini istantanei stanno all’uomo successivo come i punti stanno alla linea.

Nonostante l’audacia speculativa, Oresme confessa onestamente la difficoltà di risolvere il problema dell’identità successiva, specialmente per quella relativa agli esseri viventi. Di fronte a un argomento che non sa sciogliere, la sua posizione è di umile fermezza: “Je préfère reconnaître mon ignorance, et que je ne sais pas résoudre l’argument. […] je sais que cette conséquence est fausse : je ne sais pas résoudre cet argument, par conséquent il est douteux. De même, je ne crois pas pour cela que moi, je ne suis pas celui que j’étais hier, ni que je suis né de l’utérus de ma mère” - (fr:6718-6721/p.391) [Preferisco riconoscere la mia ignoranza, e che non so risolvere l’argomento. […] so che questa conseguenza è falsa: non so risolvere questo argomento, dunque esso è dubbio. Allo stesso modo, non credo per questo che io non sia colui che ero ieri, né che non sia nato dall’utero di mia madre]. L’esistenza di un’identità nel flusso del divenire è per lui una verità evidente, concessa per istinto naturale a tutti gli uomini ben disposti, anche laddove la ragione speculativa fatica a darne una dimostrazione compiuta.

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26 La sostanza successiva tra logica e teologia nel pensiero di Oresme

L’unità di un molteplice successivo, pensata attraverso un modello teologico, rivela paradossi logici che mettono in discussione le categorie tradizionali di sostanza e accidente.

Il testo analizza la concezione di Oresme di un uomo «assolutamente successivo», distinto dagli uomini naturali che sono successivi solo secundum quid: «En fait, c’est plutôt un homme absolument successif, alors que les hommes naturels ne sont successifs que secundum quid.» – (fr:6725/p.391) [In effetti, si tratta piuttosto di un uomo assolutamente successivo, mentre gli uomini naturali sono successivi solo secundum quid.] Per pensare l’unità di un molteplice dispiegato nel tempo, Oresme si ispira a un modello teologico (fr:6728/p.392). Nella questione I.13 del QSGC egli riconosce tre vie per risolvere la difficoltà, la prima delle quali attinge all’unità divina (fr:6729/p.392). Il principio è che «una res est plures res», un’unità è una molteplicità simultanea o successiva: la prima è possibile solo soprannaturalmente e in Dio, la seconda sarebbe vera naturalmente (fr:6730-6731/p.392). Oresme pensa verosimilmente all’unità delle tre persone divine, di cui le realtà successive sono immagini temporali: «les réalités successives sont des images successives de la Trinité, et l’unité dont elles font preuve est celle, mystérieuse, de la Trinité déployée dans le temps.» – (fr:6732/p.392) [le realtà successive sono immagini successive della Trinità, e l’unità di cui danno prova è quella, misteriosa, della Trinità dispiegata nel tempo.]

Questa unità metafisica permette di risolvere numerose argomentazioni logiche (rationes loycales) che presentano lo stesso aspetto di quelle elaborate nel trattato teologico De communicatione ydiomatum (fr:6733-6734/p.392). La questione verte su realtà la cui sostanza è soggetta ad aggiunte e sottrazioni successive (fr:6735/p.392). Per una totalità data vi sono due casi: guadagno o perdita di una parte (fr:6736/p.392). Oresme esamina la logica dell’identità della sostanza in ciascun caso. Se una totalità (A, B) perde la parte B, esistono successivamente due totalità, (A, B) e (A), che sono una medesima realtà – per esempio un uomo chiamato Socrate (fr:6738/p.392). L’argomentazione si estende alla composizione di anima e corpo, dove la perdita di B può rappresentare la morte e il passaggio all’anima sola (fr:6739/p.392).

Il paradosso nasce dal confronto tra l’unità supposta e la successione temporale, tra un’identità affermata al presente e quelle proiettate nel futuro: « Ce tout sera demain, ce tout est A et B, donc A et B seront demain ; et supposons que B soit une partie à supprimer. » – (fr:6740/p.392) [Questo tutto sarà domani, questo tutto è A e B, dunque A e B saranno domani; e supponiamo che B sia una parte da sopprimere.] All’obiezione si risponde dubitando: « On répond en dubitandum; пес propter hoc crederem quod ego non sim ille qui fui herí, qui natus sum ex utero matris mee. » – (fr:6741/p.392) [Si risponde dubitando; né per questo crederei di non essere colui che fui ieri, che sono nato dall’utero di mia madre.] Oresme concede che A e B saranno domani, ma nega che ne segua che B sarà domani, perché A e B domani saranno A: « concedant que A et B seront demain, mais qu’il ne s’ensuit pas que B sera demain, car A et B seront A. » – (fr:6746/p.393) [concedendo che A e B saranno domani, ma non ne segue che B sarà domani, perché A e B saranno A.] Il ragionamento si fonda sull’operazione logica dello scambio dei nomi (communicatio ydiomatis): se c’è identità tra due realtà, le proprietà dell’una possono essere affermate dell’altra (fr:6747/p.393). Come nell’esempio cristologico: se l’uomo Gesù è Dio, ed è mortale, allora Dio è mortale, e poiché Dio è immortale, l’uomo Gesù è immortale – il che esprime il mistero dell’Incarnazione e i limiti della ragione (fr:6748-6749/p.393).

Applicando lo scambio a Socrate: al momento dell’enunciazione Socrate è il tutto composto di anima e corpo, A e B (fr:6750/p.393). Per scambio di nome, poiché Socrate sarà (dopo la morte), A e B saranno. Per disgiunzione, A (l’anima) sarà, e B (il corpo) sarà – ma B è la parte da sopprimere (fr:6751-6752/p.393). Oresme risolve la contraddizione confermando lo scambio ma rifiutando la disgiunzione al futuro, perché il tutto sarà soltanto in quanto sarà divenuto una delle sue parti: Socrate è divenuto anima (fr:6753/p.393). La fonte del paradosso sta nelle relazioni ontologiche tra la sostanza successiva «Socrate» e i suoi diversi momenti: c’è identità tra la sostanza successiva e il momento che essa è nell’istante in cui lo è, e anche identità tra i momenti stessi sul modo del divenire espresso grammaticalmente dal futuro o dal passato (fr:6754/p.393). La logica deve quindi tenere conto del momento e del tempo dell’enunciazione (fr:6755/p.393). Il testo propone un diagramma: «(A, B) A a b c Variation de Socrate selon la durée [a, c]» (fr:6756/p.393). Nell’intervallo [a, b] Socrate è (A, B) e sarà A nell’intervallo [b, c]; inversamente, in [b, c] Socrate è A ed è stato (A, B) in [a, b] (fr:6757/p.393). Socrate assume così l’esistenza di una «funzione» che prende valori differenti col progredire del tempo (fr:6758/p.393).

Il turbamento ontologico causato da una simile sostanza, che non è né pienamente sostanza né pienamente accidente, trova un corrispettivo logico e semiotico (fr:6763/p.394). Alla distinzione sostanza/accidente corrisponde in logica la distinzione tra nomi assoluti e nomi connotativi (fr:6764/p.394). Un nome è assoluto se i termini della sua definizione significano unicamente il definito; è connotativo se la definizione include termini che significano o suppongono per altro (fr:6765-6766/p.394). Esempi: «paternità» suppone per un padre ma connota un figlio; «natura» (secondo la definizione aristotelica natura est principium motus) suppone per la realtà naturale e connota il movimento (fr:6768-6770/p.394). Il nome di una sostanza è assoluto (es. homo: «homo est animal rationalis» non suppone per altro), mentre il nome di un accidente è connotativo (es. album connota la bianchezza) (fr:6771-6774/p.394). «Socrate», che nomina la sostanza successiva, non è né assolutamente assoluto come i termini della categoria di sostanza, né connotativo come i nomi degli accidenti: «igitur Sortes est nomen connotativum, responditur quod non est simpliciter absolutum sicut alii termini de predicamento substantie, non est etiam nomen connotativum sicut nomina accidentium que predicantur in quid.» – (fr:6777/p.394) [dunque Socrate è un nome connotativo? Si risponde che non è semplicemente assoluto come gli altri termini del predicamento della sostanza, ma non è neppure un nome connotativo come i nomi degli accidenti che si predicano in quid.] Se A ora non è Socrate mentre prima lo era – leggendo il diagramma da destra a sinistra – A cessa di essere Socrate ma non cessa di essere: diviene una parte di Socrate (fr:6778/p.395). Normalmente una cosa non può cessare di essere una sostanza senza cessare di esistere, mentre un uomo può cessare di essere malato senza scomparire (fr:6779-6780/p.395). Il ragionamento sembra fare di Socrate un connotativo che nomina un accidente acquisibile o perdibile, mentre il problema è afferrare l’idea di una sostanza successiva, una realtà una-e-molteplice dispiegata nella durata (fr:6781/p.395). Se la parte A diventa Socrate (per perdita di B), si avrebbe una trasmutazione sostanziale, ma allora A dovrebbe essere generata dal non-essere – paradosso che Oresme risolve negando che A si trasformi in qualcosa di nuovo: A sarà qualcosa che non è un continuo ma rimane il medesimo demonstratum, cioè Socrate (fr:6782-6784/p.395).

La questione teologica è approfondita nel trattato De communicatione ydiomatum, dedicato all’unione ipostatica delle due nature in Cristo (fr:6785-6787/p.395). Secondo la formula di Atanasio, «comme l’âme rationnelle et la chair est homme, de même Dieu et un homme est Christ» (fr:6788/p.395) [come l’anima razionale e la carne costituiscono l’uomo, così Dio e un uomo costituiscono il Cristo]. Il trattato elabora difficoltà logiche sull’identità personale, risolte con casi ipotetici possibili solo secondo la potenza assoluta divina, ma utili a comprendere più perfettamente l’unione più sacra e l’operazione dello scambio del nome (fr:6792-6795/p.396). Si tratta di speculazione pratica: « per modum exercicii volo ea quasi speculative pertractare seu practice speculari » (fr:6796/p.396) [a modo di esercizio voglio trattarli quasi speculativamente ovvero speculare praticamente]. Mentre Socrate varia nel tempo, qui si esamina la variazione di Dio, del Cristo o di Pietro figlio di Berta (fr:6797/p.396). Nel Cristo due nature si uniscono, una assumente (divina) e l’altra assunta (umana), cosicché lo stesso è uomo e Dio e gli si possono attribuire proprietà contraddittorie: l’uomo è eterno e onnipotente secundum divinitatem, Dio è nato da Maria e può patire secundum humanitatem (fr:6798-6800/p.396).

Il primo caso ipotizza che il Figlio di Dio abbandoni la natura umana assunta: ci si chiede se quell’uomo abbandonato sia stato Dio (fr:6803/p.396). Contrariamente a un’interpretazione ingenua dell’unione, Oresme argomenta che non c’è identità, ma rottura di identità (fr:6807/p.396). Durante l’incarnazione, Dio era uomo in virtù della sua umanità; ma l’uomo Gesù, lasciato a sé dalla divinità, è un altro uomo: la divinità unita all’umanità alterava l’umanità stessa (fr:6808-6809/p.397). Una stessa umanità può fare due, fino a quattro uomini differenti, secondo che sia abbandonata a se stessa o unita al Padre, al Figlio o allo Spirito Santo (fr:6810-6813/p.397). Oresme mette in scena una successione: « Le Christ est un homme, et s’il abandonnait la nature humaine qu’il avait assumée (…) cette nature humaine serait un autre homme, un deuxième. Et si ensuite cette même nature était assumée par la personne de Dieu le Père, alors celui-ci par cette humanité serait un troisième homme… » (fr:6814-6819/p.397) [Il Cristo è un uomo, e se abbandonasse la natura umana che aveva assunto (…) questa natura umana sarebbe un altro uomo, un secondo. E se in seguito questa stessa natura fosse assunta dalla persona di Dio Padre, allora questi per questa umanità sarebbe un terzo uomo…]. Ogni uomo corrisponde a uno dei quattro valori assunti successivamente da una stessa variabile di umanità.

Eppure, permane una continuità d’identità: l’uomo abbandonato resta figlio di Maria, perché non è nato dal nulla né da altri se non dalla Vergine (fr:6821/p.397). Un altro caso: se domani il Figlio di Dio assumerà la natura umana del figlio di Berta, ci si chiede se quell’uomo sarà domani Figlio di Dio. La risposta è negativa, per la stessa alterità che impedisce lo scambio di nome nel passato, trasposta al futuro (fr:6824-6825/p.397). E anche quando il Cristo avrà accolto quella natura, non sarà vero che «Dio è figlio di Berta», perché « Iste Christus, vel iste homo seu ista persona numquam exivit de utero berte » – (fr:6828/p.397) [Questo Cristo, o quest’uomo o questa persona, non è mai uscito dall’utero di Berta]. Simmetricamente, il residuo d’umanità del Cristo nato dalla Vergine resta figlio di Maria, senza che Maria abbia due figli (fr:6829-6830/p.397).

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27 Geometria delle qualità e dispute di priorità nel XIV secolo: metodi operativi oltre la figuration

L’autore ricostruisce l’intreccio fra configurazioni geometriche, misura del moto e intensità qualitative in Oresme, Casali e nel De latitudinibus formarum, mostrando come la profondità dei metodi matematici conti più della cronologia delle invenzioni.

Lo studio si articola in cinque capitoli che esaminano diversi aspetti della “geometria delle qualità” sviluppata da Nicole Oresme. I primi due si concentrano sulla varietà infinita delle difformità intensive, mentre il terzo affronta metodi più operativi, comprendenti la metrica e le microvariazioni dei profili dinamici, disseminati fra il De configurationibus qualitatum (DC) e le Questiones super geometriam Euclidis (QSGE). L’obiettivo è mostrare come tali metodi non fossero pure speculazioni, ma venissero mobilitati su problemi concreti: “je montre que ces méthodes n’étaient pas purement spéculatives, et qu’Oresme les mobilisent sur une question singulière, la détermination de la variation de la luminosité selon l’éloignement et la puissance d’une source lumineuse” – (fr:6964/p.409) [dimostro che questi metodi non erano puramente speculativi e che Oresme li impiega per una questione specifica, la determinazione della variazione di luminosità in funzione della distanza e della potenza di una sorgente luminosa]. Il quarto capitolo è dedicato allo studio dei processi continui e pone al centro il metodo di esaustione per divisione in parti proporzionali del tempo: “pour un lecteur moderne, il s’agit certainement de la méthode la plus inattendue pour calculer la limite de processus finis mais définis en un nombre infini d’étapes” – (fr:6966/p.409) [per un lettore moderno si tratta certamente del metodo più inatteso per calcolare il limite di processi finiti ma definiti in un numero infinito di tappe]. Benché esplicitato nelle QSGE, tale metodo resta implicito nel DC (fr.6967). Il quinto capitolo mostra come la stessa geometria venga trasformata dalla dottrina delle configurazioni, poiché l’oggetto geometrico è in parte intensivo; vengono approfonditi angoli di contingenza, misura della curvatura e isoperimetrie in rapporto ai problemi di quadratura, con un’escursione ben oltre Oresme, in particolare per gli angoli di contingenza, motivo essenziale ma largamente ignorato per il periodo medievale (fr.6968‑6971).

Il primo capitolo, dedicato alla figurazione delle qualità permanenti, prende le mosse dalla distinzione introdotta da Marshall Clagett fra la giustificazione teorica offerta da Oresme e la storia effettiva della figurazione geometrica. Mentre la prima è ritenuta di scarso valore, Clagett offre esempi dalla medicina e dalla musica (fr.6972‑6974). Katherine Tachau ha ipotizzato un influsso della Nova geometria di Raimondo Lullo, ma i due sistemi appaiono lontani: quello lulliano mira al calcolo, non alla visualizzazione di un profilo dinamico (fr.6975‑6976). Ulrich Taschow ha invece insistito sulla somiglianza fra il profilo dinamico oresmiano e i segni armonici degli antifonari, come nella Musica enchiriadis, dove un’altezza spaziale indica un’intensificazione; tuttavia la scrittura musicale non calcola quantità di qualità sonora (fr.6977‑6978). L’autore lascia da parte il problema delle fonti per concentrarsi su ciò che i testi stessi rivelano, perché soffermarsi sulle sole figure riduce l’invenzione di Oresme a qualcosa di superficiale, “au mépris de la profondeur des méthodes mathématiques moins visibles qui en déterminent le rôle dans le processus de connaissance” – (fr:6980/p.411) [a scapito della profondità dei metodi matematici meno visibili che ne determinano il ruolo nel processo conoscitivo]. Infatti, “trivialement, on ne sait pas ce qu’est un triangle tant qu’on n’examine pas ce que l’auteu en fait” – (fr:6981/p.411) [banalmente, non si sa cosa sia un triangolo finché non si esamina ciò che l’autore ne fa].

La questione della priorità dell’invenzione viene discussa mettendo a confronto Oresme, Giovanni di Casali e l’autore del De latitudinibus formarum (DLF), identificato con Jacques de Saint‑Martin. Poiché nessuna delle quattro opere è databile con certezza, il problema è giudicato al momento insolubile (fr.6982‑6983). La Questio de velocitate motus alterationis di Casali, datata da Thorndike al 1346 sulla base di un manoscritto fiorentino, è stata retrodatata da Anneliese Maier verso il 1351; lo stesso Clagett, dopo aver affermato senza riserve l’anteriorità di Casali nel 1961, nel 1968 mostra un atteggiamento più incerto, arrivando a ipotizzare un influsso di Oresme su Casali (fr.6994‑6996). Ancora più incerta è la datazione del DLF, a lungo attribuito erroneamente a Oresme e restituito a Jacques de Saint‑Martin. La Maier propose un terminus ante quem al 1368, mentre Clagett lo spostò verso il 1390; Daniel di Liscia ha dimostrato l’incoerenza di tale posizione, portando come prova il fatto che il trattato era già commentato nelle università tedesche nel 1391, e ha suggerito una data anteriore al La debolezza della teoria dei rapporti impiegata nel testo milita anch’essa per una composizione più antica (fr.6997‑7003). Un indizio di anteriorità del DLF rispetto al DC è stato cercato in una critica di Oresme contro certi moderni che chiamano “latitudo” l’intera qualità; ma l’analisi testuale mostra che l’espressione non implica l’esistenza di una precedente figurazione geometrica delle qualità non oresmiana (fr.7011‑7016). Per quanto riguarda le QSGE, Hubert Busard propone che nascano da dispute tenute a Parigi fra il 1343 e il 1351, con un probabile terminus ante quem anticipato al 1348 grazie alle riprese di Pierre Ceffons (fr.7017‑7020).

L’autore avverte però che “si le problème des datations est historiquement légitime, la question même de la priorité théorique l’est beaucoup moins” – (fr:7021/p.413) [se il problema delle datazioni è storicamente legittimo, la questione stessa della priorità teorica lo è molto meno]. Infatti, “il n’y a pas trace, dans les textes, d’une « querelle de priorité » : les étudier à partir de cette question, c’est donc importer à l’étude une question qui lui est étrangère” – (fr:7022/p.413) [non c’è traccia, nei testi, di una “disputa di priorità”: studiarli a partire da tale questione significa importare una domanda a loro estranea]. La priorità di un’invenzione teorica è storicamente rilevante solo se è socialmente importante per gli autori coinvolti, ma né il reddito né la reputazione di un universitario dipendevano fondamentalmente dalla capacità di innovare teoricamente (fr.7023‑7024). Inoltre, “la détermination d’une priorité théorique dépend de ce que l’on tient pour essentiel dans la théorie : les ressemblances peuvent n’être que superficielles ; une suggestion n’est pas la même chose qu’une théorie ; un même théorème peut jouer un rôle radicalement différent dans l’un ou l’autre texte” – (fr:7025/p.413) [la determinazione di una priorità teorica dipende da ciò che si considera essenziale nella teoria: le somiglianze possono essere solo superficiali; un suggerimento non è la stessa cosa di una teoria; uno stesso teorema può svolgere un ruolo radicalmente diverso nell’uno o nell’altro testo]. È più pertinente, dunque, confrontare i contenuti teorici che le date di composizione (fr.7026).

Proprio il confronto teorico rivela la distanza fra l’approccio di Casali e la geometria oresmiana. La questione di Casali riguarda solo indirettamente la teoria figurativa: il suo obiettivo primario è definire e misurare la velocità di un moto di alterazione e intensificazione, nello stile della logica e della filosofia naturale oxoniense – tanto che Anneliese Maier lo considerava l’introduttore di questi metodi a Bologna e in Italia (fr.7034‑7035). Casali formula così il problema: “Utrum in mobilibus ad qualitatem id semper velocius moveatur quod in equali tempore acquirit majorem latitudinem qualitatis” – (fr:7037/p.414) [se, nei mobili secondo la qualità, si muova sempre più velocemente quello che in tempi uguali acquista una maggiore latitudine di qualità]. L’analogia con le figure appare solo nella terza conclusione, quando Casali vuole dimostrare il teorema del grado medio applicato alle qualità: un corpo con calore uniformemente difforme è caldo quanto un corpo uniformemente caldo di grado medio (fr.7038‑7039). A tal fine ricorda le definizioni e le chiarisce mediante un’analogia con il rettangolo, il triangolo e il trapezio. Tuttavia, “l’analogie mentionnée par Casali est strictement limitée à ces trois figures, rectangle, triangle et trapèze : il ne s’agit pas d’une théorie générale de la figuration, et il n’est nulle part proposé de figurer des qualités difformément difformes, ni de former des figures composées à partir de figures simples” – (fr:7042/p.414) [l’analogia menzionata da Casali è strettamente limitata a queste tre figure, rettangolo, triangolo e trapezio: non si tratta di una teoria generale della figurazione, e non viene mai proposto di figurare qualità difformemente difformi né di formare figure composte a partire da figure semplici]. Casali impiega le figure soltanto come exempla per illustrare definizioni formulate in modo autonomo; significativamente, nella dimostrazione del teorema le abbandona, procedendo secondo lo stile oxoniense “retorico” (fr.7043‑7044). Solo al termine egli riformula brevemente la conclusione in termini geometrici, giustificando il teorema del grado medio mediante la quadratura di un triangolo rettangolo, senza curarsi di generalizzare al trapezio (fr.7045‑7046).

Il testo invita così a spostare l’attenzione dalla rincorsa alla priorità alla densità metodologica che distingue l’opera di Oresme, dove la figura non è mai mera illustrazione ma strumento euristico e operativo, e dove la geometria diventa linguaggio per trattare l’intensivo.

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28 Geometria e qualità: la rappresentazione delle latitudini nel pensiero medievale

Le figure geometriche non furono semplici immagini statiche, ma vennero concepite come variazioni intensive di altezza: proprio questa lettura dinamica, già presente in Oresme, rese possibile l’analogia con le latitudini delle forme. L’analisi si sofferma su Casali, Jacques de Saint-Martin e Oresme stesso, mettendo in luce differenze decisive nella concezione del rapporto tra figure e qualità.

Il testo esamina il modo in cui diversi autori medievali impiegarono le figure geometriche per raffigurare la distribuzione intensiva delle qualità, ovvero le latitudini delle forme. Un primo caso è quello di Casali, il quale, a differenza di Oresme, non fonda la sua trattazione su un’analogia geometrica stabile: «Il n’a plus recours à cette analogie géométrique dans toute la suite du traité, signe du peu de cas qu’il en fait» – (fr:7050/p.415) [Non ricorre più a questa analogia geometrica in tutto il seguito del trattato, segno del poco conto che ne fa]. Nelle sue figure, infatti, «Rien ne suggère dans la formulation de Casali qu’il considère que l’une des lignes des figures représente l’extension du sujet, ni même l’extension de la qualité coextensive au sujet qu’elle informe» – (fr:7052/p.415) [Nulla nella formulazione di Casali suggerisce che egli consideri una delle linee delle figure come rappresentante l’estensione del soggetto, e neppure l’estensione della qualità coestensiva al soggetto che essa informa]. Il suo triangolo non è il triangolo rettangolo di Oresme, ma si rivela più vicino al cono di radiazione impiegato da Grossatesta e in Perspectiva: «son triangle est plus proche du cône de radiation utilisé par Grosseteste et plus généralement en Perspective pour raisonner sur la puissance d’action d’un agent que du triangle rectangle d’Oresme» – (fr:7053/p.415) [il suo triangolo è più vicino al cono di radiazione utilizzato da Grossatesta e più in generale nella Perspectiva per ragionare sulla potenza d’azione di un agente che al triangolo rettangolo di Oresme]. Tale filiazione è confermata dal fatto che egli presuppone il triangolo isoscele, cosicché le parti salienti sono la base e il vertice (conus): «Cette filiation est rendue vraisemblable par le fait qu’il présuppose, d’abord implicitement, puis explicitement, que le triangle est isocèle, raison pour laquelle les deux parties significatives en sont la base et le sommet (conus)» – (fr:7054/p.415) [Questa filiazione è resa verosimile dal fatto che presuppone, dapprima implicitamente, poi esplicitamente, che il triangolo sia isoscele, ragione per cui le due parti significative ne sono la base e il vertice (conus)]. La natura rettangola, invece, è incerta: «Comme l’indique Clagett, il n’est en revanche pas certain que le triangle soit également rectangle» – (fr:7055/p.415) [Come indica Clagett, non è invece certo che il triangolo sia anche rettangolo]; lo stesso Clagett, nell’edizione del 1961 scriveva «triangulo rectangulo», ma nell’edizione del 1968 sostituisce «triangulo», perché un solo manoscritto reca in margine «rectangulo» (fr:7061‑7063). La figura del trapezio, inoltre, è definita come «une ligne qui coupe le sommet du triangle (lineam ascendetem conum trianguli)», così da apparire come la proiezione piana di un cono troncato (fr:7056/p.415). L’idea di esprimere la variazione d’intensità in funzione della distanza dall’orizzontale alla base avvicina Casali a Vitellione, pur con un’inversione: «le cône de Vitellion, et plus généralement le cône de radiation, procèdent justement en sens inverse : l’action de l’agent est d’autant moins intense qu’elle s’éloigne du sommet du cône» – (fr:7057/p.415) [il cono di Vitellione, e più in generale il cono di radiazione, procedono proprio in senso inverso: l’azione dell’agente è tanto meno intensa quanto più si allontana dal vertice del cono]. Casali, perciò, sfrutta una variante modificata del cono di radiazione, perché la latitudine non è effetto di un agente ma «distribution intensive d’une qualité» – (fr:7058/p.415) [distribuzione intensiva di una qualità].

Un percorso assai diverso è quello di Jacques de Saint-Martin nel De latitudinibus formarum (DLF). «La démarche de Jacques de Saint-Martin est plus dans l’esprit d’Oresme» – (fr:7059/p.415) [L’approccio di Jacques de Saint-Martin è più nello spirito di Oresme]. L’interesse primario non è metrico, e la metrica compare solo molto tardi e in modo allusivo (fr:7060/p.415). Il trattato stabilisce un’analogia tra due alberi, quello delle latitudini e quello delle figure, mossi da uno scopo di chiarificazione: «Quia formarum latitudines multipliciter variantur quemultiplicitas difficulter discernitur, nisi ad figures geometricas consideration referatur. Ideo premissis quibusdam divisionibus latitudinum cum diffinitionibus suis, infinitas species earundem ad infinitas figurarum species applicabo» – (fr:7076‑7077) [Poiché le latitudini delle forme variano in molteplici modi, molteplicità che difficilmente si distingue se non si fa riferimento a figure geometriche, premesse alcune divisioni delle latitudini con le loro definizioni, applicherò l’infinità delle loro specie all’infinità delle specie di figure]. L’albero delle latitudini (fr:7079/p.417) si dirama in uniformi e difformi, queste ultime ulteriormente suddivise in uniformemente difformi e difformemente difformi, ecc.; parallelamente, l’albero delle figure (fr:7094/p.418) distingue figure angolari e non angolari, monangolari, biangolari, multiangolari, curvilinee. Tuttavia, l’enumerazione include figure che non corrispondono ad alcuna latitudine, come la figura multiangolare stellata o la monangolare a goccia: «L’arbre des figures en énumère donc qui n’ont manifestement aucun rapport avec aucune latitude, comme la figure multiangulaire étoilée ou la figure monangulaire en forme de goutte d’eau» – (fr:7075/p.416) [L’albero delle figure ne enumera quindi che manifestamente non hanno alcun rapporto con alcuna latitudine, come la figura multiangolare stellata o la figura monangolare a forma di goccia d’acqua]. Ne scaturisce «l’impression étrange d’une inutile profusion théorique» – (fr:7076/p.416) [l’impressione strana di un’inutile profusione teorica]. L’istituzione della corrispondenza biunivoca procede per proposizioni, molte delle quali negative: «Nulla latitudo ymaginanda est per figuram monangulam» – (fr:7085/p.417) [Nessuna latitudine deve essere immaginata per mezzo di una figura monangolare], e il corrispondere positivo compare solo più tardi, come nella proposizione 19: «Omnis latitudo uniformis per totum ymaginanda est per quadrangulum rectangulum» – (fr:7083/p.417) [Ogni latitudine uniforme in totalità deve essere immaginata per mezzo di un quadrangolo rettangolo]. Queste proposizioni negative sono già di per sé una scoperta (fr:7086/p.417); l’autore, però, non distingue esplicitamente i ruoli della linea di cresta e della linea di base, e non fa appello a un’intuizione grafica: «Manifestement, son premier souci est théorique : il ne s’agit pas de fournir un moyen simplement ingénieux de représenter les latitudes, mais d’étudier la relation entre les deux arbres des latitudes et des figures» – (fr:7092/p.418) [Manifestamente, la sua prima preoccupazione è teorica: non si tratta di fornire un mezzo semplicemente ingegnoso per rappresentare le latitudini, ma di studiare la relazione tra i due alberi delle latitudini e delle figure]. Così, «il semble également et paradoxalement ne jamais s’appuyer sur une intuition graphique, raison pour laquelle il multiplie les propositions comme si chaque détail de cette analogie méritait en lui-même une proposition propre» – (fr:7093/p.418) [sembra anche e paradossalmente non appoggiarsi mai a un’intuizione grafica, ragione per cui moltiplica le proposizioni come se ogni dettaglio di questa analogia meritasse di per sé una proposizione propria]. Rispetto a Oresme la differenza è capitale: in Jacques latitudini e figure sono già note all’interno del proprio genere, e l’analogia serve a facilitare la comprensione di quanto segue; in Oresme, invece, «les distributions reçoivent leur nom de la figure qui leur est analogue : c’est la figure géométrique qui la fait connaître» – (fr:7096/p.419) [le distribuzioni ricevono il loro nome dalla figura che è loro analoga: è la figura geometrica a farle conoscere].

La ragione profonda per cui in Oresme le figure possono fungere da immagini delle qualità affiora nella questione 10 delle Quaestiones super geometriam Euclidis (QSGE). Qui Oresme mostra che il triangolo stesso è uniformemente difforme: «Il semble en effet assez difficile à certaines personnes de concevoir ce que peut être une qualité uniformément difforme. Mais qu’y a-t-il de plus facile à comprendre que la hauteur d’un triangle rectangle est uniformément difforme ?» – (fr:7098‑7099) [Sembra infatti piuttosto difficile per alcune persone concepire che cosa possa essere una qualità uniformemente difforme. Ma che cosa c’è di più facile da comprendere del fatto che l’altezza di un triangolo rettangolo è uniformemente difforme?]. Le figure non sono semplicemente analoghe a qualità, ma condividono con esse una proprietà formale: «les figures servent d’images aux qualités parce qu’elles partagent avec elles ce genre de propriété» – (fr:7100/p.419) [le figure servono da immagini alle qualità perché condividono con esse questo genere di proprietà]. È proprio un corollario sull’incommensurabilità della diagonale del quadrato a giustificare il passaggio alla geometria delle qualità (fr:7102‑7104). La definizione di altezza uniformemente difforme di una superficie è data in termini puramente intensivi: «quando quelibet tres linee vel plures equaliter distantes inter se excedunt secundum proportionem arismeticam, ita quod una excedat alteram tanta alia immediate etiam excedat alteram (…)» – (fr:7123‑7124) [quando tre linee o più, qualsiasi ed equidistanti tra loro, si eccedono secondo una proporzione aritmetica, cosicché una ecceda l’altra di tanto quanto quella immediatamente successiva eccede un’altra…]; «Il s’ensuit clairement que la ligne la plus haute qui passe par elles et droite et non équidistante à la base» – (fr:7117/p.420) [Ne segue chiaramente che la linea più alta che passa per esse è retta e non equidistante dalla base]. Da qui Oresme deduce la regola di raffigurazione: «Sed qualitas uniformiter difformis ymaginanda est per unam superficiem que esset uniformiter difformiter alta, ita quod linea altitudinis non esset equsedistans basi» – (fr:7124‑7125) [Ma una qualità uniformemente difforme deve essere immaginata mediante una superficie che sia uniformemente difformemente alta, cosicché la linea di altezza non sia equidistante alla base]. Egli non asserisce subito che si tratti di un triangolo o di un trapezio; deduce la figura dalla sua “articolazione” interna, cioè dai rapporti tra le altezze equidistanti.

L’importanza di questo brano sta nel mostrare che le figure geometriche «n’ont pu servir d’images aux qualités et au mouvement que parce qu’elles n’étaient déjà plus elles-mêmes regardées comme des formes statiques, mais comme la variation (ou la constance) de la hauteur dressée sur la base» – (fr:7126/p.421) [hanno potuto servire da immagini alle qualità e al movimento solo perché esse stesse non erano più considerate come forme statiche, ma come la variazione (o la costanza) dell’altezza innalzata sulla base]. Una conferma viene dal Tractatus bonus de uniformi et difformi, dove il triangolo, prima ancora di parlare di qualità, è già detto «superficie uniformemente difforme che inizia da non grado» (fr:7129/p.421), mentre il trapezio possiede un estremo più attenuato e uno più intenso. «Cette confusion apparente est révélatrice d’une lecture immédiatement dynamique des figures géométriques» – (fr:7130/p.421) [Questa confusione apparente è rivelatrice di una lettura immediatamente dinamica delle figure geometriche]. Anche Oresme, benché le sue dimostrazioni geometriche rimangano puramente geometriche, fonda la possibilità di comparare figure e qualità su questa lettura dinamica: «l’idée de comparer des figures à des qualités prend sa source dans une lecture dynamique des figures géométriques elles-mêmes» – (fr:7135/p.421) [l’idea di paragonare delle figure a delle qualità trae origine da una lettura dinamica delle figure geometriche stesse].

L’esposizione del De configurationibus qualitatum et motuum (DC) non segue una logica assiomatica; «les titres mêmes résument parfois mal le contenu du chapitre» – (fr:7136‑7138) [gli stessi titoli talvolta riassumono male il contenuto del capitolo]. Tuttavia, il principio che fa da sfondo a tutta l’operazione di Oresme resta la considerazione delle figure non come forme statiche, ma come grandezze la cui altezza varia punto per punto: proprio questa intuizione rese possibile l’intero edificio della geometria delle qualità.

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29 La figurazione delle qualità nel Trattato sulle configurazioni di Oresme: dall’ordine geometrico alla radice teologica

L’esposizione estratta analizza la struttura argomentativa e le giustificazioni profonde della teoria della figurazione delle qualità offerta da Nicola Oresme nella sua opera principale. Il percorso muove dai fondamenti matematici fino alla duplice natura – metrica ed ermeneutica – della figura, mostrando come il progetto oresmiano unifichi geometria e teologia in un unico dispositivo di conoscenza.

Oresme apre il trattato fissando le due ipotesi che rendono possibile la figurazione stessa: “Les trois premiers chapitres justifient les deux hypothèses constitutives de la figuration elle-même : (1) l’assimilation des intensités à des quantités continues (chap.1) ; (2) la bidimensionalité des qualités linéaires (chap.1 à 3)” – (fr:7139/p.422) [I primi tre capitoli giustificano le due ipotesi costitutive della figurazione stessa: (1) l’assimilazione delle intensità a quantità continue (cap.1); (2) la bidimensionalità delle qualità lineari (capp. 1-3)]. Una volta ammessi questi punti, “il devient possible d’assimiler les qualités à des figures (chap.4)” – (fr:7140/p.422) [diventa possibile assimilare le qualità a delle figure (cap.4)].

All’interno dell’assimilazione, Oresme distingue però due aspetti delle qualità – quantità e disposizione – a cui corrispondono due volti della figura geometrica: “la surface et la silhouette” – (fr:7141/p.422) [la superficie e la silhouette]. Da questa biforcazione discendono due regimi di indagine. Sul versante quantitativo, la metrica delle qualità si appoggia su quella delle superfici, stabilendo una corrispondenza puntuale di rapporti: “de sorte qu’à tout rapport (rationnel ou irrationnel) de surfaces correspondra un rapport (rationnel ou irrationnel) de qualités” – (fr:7142/p.422) [in modo che a ogni rapporto (razionale o irrazionale) di superfici corrisponda un rapporto (razionale o irrazionale) di qualità]. Sul versante dinamico-dispositivo, l’attenzione si sposta invece sulla silhouette e in particolare sull’andamento della “ligne de crête (linea summitatis)” – (fr:7143/p.422) [linea di cresta (linea summitatis)], che da sola cattura il profilo della variazione intensiva. Le questioni metriche vengono così rimandate all’ultima parte, mentre la trattazione centrale si concentra sulla geometria della silhouette (fr:7144/p.422).

L’esposizione procede fissando le condizioni di rappresentabilità. Dapprima per una figura e una qualità indeterminate: “les angles à la base ne soient pas plus grand que le droit (chap.5)” – (fr:7145/p.422) [gli angoli alla base non siano maggiori del retto (cap.5)]. Poi per figure e qualità determinate: “que l’une soit proportionnelle en hauteur à l’autre en intensité, d’où il ressort qu’une même qualité peut être imaginée au moyen non d’une seule figure, mais de la classe des figures mutuellement proportionnelles en hauteur (chap.6 et 7)” – (fr:7146/p.422) [che l’una sia proporzionale in altezza all’altra in intensità, da cui risulta che una stessa qualità può essere immaginata non con una sola figura, ma con la classe delle figure reciprocamente proporzionali in altezza (capp. 6 e 7)]. Da qui in avanti, l’ordine si fa meno lineare. Oresme enumera qualità “recto-triangulari”, “triangulari-qualsiasi”, “rettangolari” e trapezoidali, notando che la prima è uniformemente difforme, la seconda composta, la terza uniforme e la quarta uniformemente difforme terminata a ogni estremità a un grado, ma senza aver ancora definito tali concetti (fr:7148-7150/p.422). La presentazione, infatti, “est plus erratique” – (fr:7147/p.422) [è più erratico], e il capitolo successivo annuncia che il profilo dinamico sarà definito proprio dalla figura che lo rappresenta (fr:7150/p.422).

Un passaggio decisivo si ha quando Oresme, anziché proseguire l’enumerazione di figure, introduce altri modi di descrivere i profili. Accanto al modo figurativo compaiono tre ulteriori registri: “un mode proportionnel (chap.11), cinématique (chap.12) et sommital (chap.13)” – (fr:7151/p.422) [un modo proporzionale (cap.11), cinematico (cap.12) e sommitale (cap.13)]. Il modo proporzionale è il più comune e prescinde dalla figura geometrica, limitandosi ad analizzare le proporzioni delle parti rispetto al tutto della qualità (fr:7152/p.422). Il modo cinematico, misto, definisce il profilo tramite la natura della variazione dell’intensità di un punto mobile lungo l’estensione del soggetto: “C’est ce mode qui sera utilisé dans l’étude de l’acquisition et perte d’une qualité en troisième partie” – (fr:7154/p.422) [È questo modo che sarà utilizzato nello studio dell’acquisizione e perdita di una qualità nella terza parte]. Il modo sommitale isola infine la sola linea di cresta nel suo rapporto con la base: “le profil dynamique est défini par la nature de cette ligne : droite, parallèle ou sécante à la base, curviligne, etc.” – (fr:7156/p.423) [il profilo dinamico è definito dalla natura di questa linea: retta, parallela o secante la base, curvilinea, ecc.]. Proprio quest’ultimo modo permette a Oresme di classificare i profili difformemente difformi semplici in quattro specie, secondo che la linea di cresta sia “concave rationnelle, convexe rationnelle, concave irrationnelle, convexe irrationnelle” – (fr:7157/p.423) [concava razionale, convessa razionale, concava irrazionale, convessa irrazionale]. I capitoli successivi si occupano delle difformità composte e chiudono il nucleo sulla qualità lineare (fr:7158/p.423).

L’analisi mette in luce un nodo espositivo: la figura triangolare-qualsiasi, composta di difformità semplici, è stata presentata prima di queste ultime, e le definizioni sono slittate dal modo figurativo a quello sommitale, con la linea di cresta ormai in primo piano (fr:7159/p.423). Se si confronta con “la minutie de l’ordre logique de l’exposé du DLF, la manière exploratoire et non systématique d’Oresme saute aux yeux” – (fr:7160/p.423) [la minuzia dell’ordine logico dell’esposizione del DLF, il modo esplorativo e non sistematico di Oresme salta agli occhi]. Il trattato estende poi la figurazione alle qualità superficiali e corporee, illustrando con figure piane e solide le possibilità della teoria (fr:7161-7162/p.423). La teoria della figurazione è dichiarata completa, ma tre capitoli teorici residuano prima dello studio sulle potenze naturali (fr:7163-7164/p.423). Oresme vi mostra come la sua teoria possa rappresentare qualità contrarie che ineriscono simultaneamente e coestensivamente a una medesima sostanza, un capitolo che suona come una concessione a degli avversari, dato che altrove egli nega tale possibilità (fr:7165-7166/p.423). Gli ultimi due saggi mettono alla prova la teoria sulla curvatura di una linea, chiedendosi se l’intensità di una curvatura sia misurabile e se esista un rapporto tra due curvature: Oresme impiega due strategie opposte e lascia al lettore la decisione su quale sia la più corretta (fr:7167-7172/p.423). La parte sulla matematizzazione delle qualità cede quindi il passo allo studio della potenza delle configurazioni (fr:7173/p.423).

La vera originalità di Oresme emerge con forza nelle giustificazioni. A differenza di Casali, che non propone una teoria sistematica, e del più ordinato DLF – meno elaborato matematicamente –, Oresme “est le seul à fonder l’analogie entre les qualités et les figures par le fait que les figures géométriques sont ontologiquement des qualités, et qu’elles peuvent être interprétées comme la trace d’une variation de la hauteur se déplaçant latéralement sur une base” – (fr:7176/p.424) [è il solo a fondare l’analogia tra le qualità e le figure sul fatto che le figure geometriche sono ontologicamente delle qualità, e che possono essere interpretate come la traccia di una variazione dell’altezza che si sposta lateralmente su una base]. Da qui il doppio ruolo delle figure, radicato nella loro doppia natura di quantità e qualità: “parce qu’elles sont des quantités, et en vertu de l’analogie, les figures permettent de définir une métrique des qualités ; parce qu’elles sont des qualités, et en vertu de la similitude, elles permettent de définir et de visualiser intuitivement ce qu’Oresme appelle la dispositio des figures, la nature de leur difformité, qui va culminer dans l’autonomisation dans la figure de la ligne de crête” – (fr:7180/p.424) [poiché sono quantità, e in virtù dell’analogia, le figure permettono di definire una metrica delle qualità; poiché sono qualità, e in virtù della similitudine, permettono di definire e visualizzare intuitivamente ciò che Oresme chiama la dispositio delle figure, la natura della loro difformità, che culminerà nell’autonomizzazione nella figura della linea di cresta].

La necessità di tale immaginazione è di ordine insieme pratico e teoretico. Una “figure sensible (figura sensibilis)” consente di cogliere “plus rapidement, plus facilement et plus clairement” la disposizione intensiva (fr:7184/p.424) [più rapidamente, più facilmente e più chiaramente], offrendo una conoscenza intuitiva e immediata di ciò che non si percepisce per frammenti (fr:7185/p.424). Inoltre, la geometria permette di inventariare senza fatica tutte le specie di difformità che si possono incontrare in natura, poiché “la géométrie est suffisamment plastique pour que n’importe quelle espèce de difformité y trouve son image” – (fr:7189/p.425) [la geometria è sufficientemente plastica perché qualsiasi specie di difformità vi trovi la sua immagine]. Oresme insiste sul ruolo dell’immaginazione “ad cognitionem rerum” e, per chiarirlo, rinvia alla conoscenza analogica o figurale della teologia (fr:7190/p.425). Attraverso la distinzione tomista tra senso letterale e senso spirituale – dove le realtà corporee significano realtà spirituali – e la nozione di configuratio tra Antico e Nuovo Testamento, la figura assume una valenza che eccede la geometria: “la figure entretient une relation avec un figuré : c’est une réalité en tant qu’elle en signifie une autre” – (fr:7211/p.426) [la figura intrattiene una relazione con un figurato: è una realtà in quanto ne significa un’altra]. Oresme salda i due usi nello stesso oggetto: “la figure est tout autant géométrique que symbolique” – (fr:7222/p.427) [la figura è tanto geometrica quanto simbolica]. L’etimologia stessa di fingo – plasmare, dare figura a materia informe e incarnare un pensiero – unisce figura e fictio (fr:7223-7224/p.427). Nella teoria oresmiana, la figurazione non è dunque solo una trasposizione di regole geometriche nel campo delle intensità, ma un potente strumento di rivelazione dell’uniformità e della difformità intensive, un esercizio dell’immaginazione che si colloca consapevolmente nella scia dell’esegesi scritturale e della teologia analogica.

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30 L’immaginazione figurativa e la teoria delle configurazioni di Oresme

Il cuore della dottrina di Oresme ruota attorno all’immaginazione come facoltà che produce figure, incaricata di rendere visibili e commensurabili le qualità intensive. “La faculté de l’âme qui produit des images, c’est l’imagination” – (fr:7228/p.427) [La facoltà dell’anima che produce immagini è l’immaginazione]. Tale immaginazione opera per trasposizione dimensionale: “une « qualité ponctuelle est imaginée (ymaginatur) par une ligne, et une qualité linéaire par une surface, une qualité superficielle est imaginée par un corps dont la base […] est la surface même informée par la qualité” – (fr:7229/p.427) [una “qualità puntuale è immaginata (ymaginatur) mediante una linea, e una qualità lineare mediante una superficie, una qualità superficiale è immaginata mediante un corpo la cui base […] è la superficie stessa informata dalla qualità]. La qualità corporea non costituisce un vero ostacolo: “il suffit d’imaginer la superposition mathématique de corps fictifs (ficti) qui s’entrepénètrent” – (fr:7230/p.427) [basta immaginare la sovrapposizione matematica di corpi fittizi (ficti) che si compenetrano]. Il carattere fittizio non è capriccio, ma simbolizzazione: “l’imagination forme des figures du réel, des choses qui en symbolisent d’autres” – (fr:7231/p.427) [l’immaginazione forma figure del reale, cose che ne simboleggiano altre], e la teoria delle configurazioni si spinge fino alla parabola – “La théorie des configurations tire vers la parabole” – (fr:7232/p.427). Proprio per questo, ridurre le figure a semplici diagrammi tradisce la loro portata analogica: “traduire ymaginari par « être représenté », qualifier les figures de diagrammes est très partiel et masque l’analogie avec l’exégèse biblique” – (fr:7233/p.427) [tradurre ymaginari con “essere rappresentato”, qualificare le figure come diagrammi è molto parziale e maschera l’analogia con l’esegesi biblica].

L’immaginazione di figure assolve infatti una funzione comune, almeno in parte, alla teologia e alla filosofia naturale: “L’imagination, en particulier l’imagination de figures, joue donc un même rôle, au moins partiellement, en théologie et en philosophie naturelle” – (fr:7234/p.427). Un esempio clamoroso di questa mescolanza di teologia e matematica della figura è il motivo ricorrente dell’angolo di contingenza come figura della grazia minima, presente nei commenti alle Sentenze di Pietro Lombardo e in quelli di Tommaso di Strasburgo (fr:7235/p.427). In generale, l’uso ermeneutico dell’immaginazione matematica che figura nozioni spirituali era largamente praticato nella teologia parigina: “Cet usage heréneutique de l’imagination mathématique […] était largement en usage dans la théologie parisienne” – (fr:7236/p.427).

Per la sua costruzione scientifica, Oresme si richiama esplicitamente alla figurazione geometrica in uso nella Perspectiva. Nelle Quaestiones super Geometriam Euclidis (QSGE), egli sottolinea che in prospettiva la virtù attiva è immaginata tramite una superficie triangolare e che Vitellione e Grossatesta immaginano così l’intensità del lumen (fr:7238/p.427, 7241-7242). Oresme istituisce un legame diretto con il De configurationibus, ma si tratta di un legame problematico: “or le triangle est semblable à une qualité uniformément difforme” – (fr:7242/p.428) [ora, il triangolo è simile a una qualità uniformemente difforme]. Egli si chiede infatti se la luminosità sia uniformemente difforme nel mezzo a partire dal corpo raggiante, e lo conferma perché i prospettici immaginano tale lumen con un triangolo, e un triangolo è simile a una qualità uniformemente difforme (fr:7243/p.428). Tuttavia, l’argomento è fragile. “L’argument d’Oresme est cependant problématique” – (fr:7256/p.429) [L’argomento di Oresme è tuttavia problematico]. Oresme intende mostrare che l’intensità luminosa decresce con la distanza lungo una linea raggiante, ma il triangolo ottico, in quel contesto, non significa mai una diminuzione continua (fr:7257-7258/p.429). Solo la proposizione II.24 di Vitellione introduce un’idea simile, raffigurando la diminuzione con un allargamento continuo della base di un cono il cui vertice è il punto raggiante; ma in quel caso la grandezza della base sarebbe inversamente proporzionale all’intensità luminosa, rendendo il rapporto opposto a quello richiesto da Oresme (fr:7259-7260/p.429). Mentre nel triangolo di Oresme la convergenza della linea di cresta con la base significa diminuzione di intensità, in Grossatesta la convergenza indica invece un rafforzamento dell’azione, e in Vitellione è la dilatazione della base a segnalare l’affievolimento della virtù luminosa (fr:7261/p.429). Il passaggio dalla Perspectiva al De configurationibus non è dunque immediato e richiede un importante lavoro di rielaborazione (fr:7262/p.429). Non si tratta comunque del primo tentativo di gettare un ponte tra i due ambiti: già Dumbleton, nella sua Summa, cerca di determinare la natura della variazione della luminosità in base alla distanza, impiegando la metrica del cono in maniera diversa da Vitellione ma simile a Oresme, spiegando che la latitudine della luminosità è «uniformemente estesa» (fr:7264-7266/p.429).

Fin qui l’esposizione di Oresme è rimasta dimensionale: ha stabilito che la qualità lineare va immaginata tramite una superficie, ma non ha ancora precisato come determinare la figura esatta di quella superficie. Da un punto di vista puramente diagrammatico ci si aspetterebbe una costruzione punto per punto, cioè la definizione di un sistema di coordinate e di regole per riportarvi le intensità puntuali. Oresme invece non costruisce un diagramma, bensì determina una figura all’interno di una geometria euclidea delle figure: “Oresme ne construit pas un diagramme, il détermine une figure” – (fr:7271/p.429) [Oresme non costruisce un diagramma, determina una figura] e “Sa figuration se fait dans le cadre d’une géométrie euclidienne des figures” – (fr:7272/p.429) [La sua figurazione si svolge nel quadro di una geometria euclidea delle figure]. Elimina subito tutte le figure che non soddisfano una condizione di rappresentatività: la figura deve essere elevata perpendicolarmente sulla linea di base, e perciò ogni punto della superficie della figura deve trovarsi su una perpendicolare alla linea di base (fr:7274/p.429). Da ciò discende una regola secca: “il ne faut imaginer aucune qualité par une surface ou une figure dont l’angle sur la base serait plus grand que le droit” – (fr:7275/p.430) [non si deve immaginare alcuna qualità mediante una superficie o una figura il cui angolo sulla base sia maggiore del retto]. La figura corrispondente mostra che né il trapezio ABCD né l’arco di cerchio EGF maggiore di una semicirconferenza rappresentano alcuna qualità, perché gli angoli alla base superano l’angolo retto (fr:7276/p.430). Se ci si limitasse a una costruzione punto per punto, questa condizione sarebbe già implicita; il fatto che Oresme la enunci mostre che egli intende selezionare delle figure che, date le regole arbitrarie ma necessarie (rettilineità della base, perpendicolarità delle intensità), intrattengono una relazione reale di analogia con le qualità (fr:7278-7279/p.430).

Due ragioni principali spiegano questa scelta. In primo luogo, una costruzione punto per punto richiederebbe un’estrapolazione che non si accorda con lo scopo della figurazione, e sarebbe incapace di rappresentare una difformità continua e uniforme – proprio il concetto che si vuole chiarire – perché produrrebbe solo una spezzata a gradini (fr:7281-7283/p.430). In secondo luogo, le figure geometriche classiche, in quanto totalità composte di parti eterogenee, permettono di superare un paradosso legato al concetto di non gradus. Questa espressione è un termine tecnico, spesso lasciato addirittura in latino anche nelle traduzioni francesi di Aristotele (fr:7286/p.430). “Non gradus n’est pas un degré 0” – (fr:7288/p.485) [Il non gradus non è un grado 0]; la difficoltà non sta solo nel fatto che «caldo al grado 0» non ha senso, ma nel ruolo che il non gradus gioca nell’intensificazione e nell’attenuazione di una qualità o di una velocità (fr:7289-7290/p.430). Oresme spiega nel Livre du ciel et du monde che ogni moto di un grave o di un leggero comincia in modo tale che, prima di qualsiasi grado di velocità, se ne debbano attraversare infiniti più piccoli: “tout mouvement de chose pesante ou legiere […] commence en enforçant telement que quelcunque degré de ysneleté donney ou signey en lui, il convient que il eust devant mendre ysneleté et mendre et mendre outre toute proporcion ; et est ce que l’en seult appeler commencier a non gradu” – (fr:7294/p.431) [ogni movimento di un corpo pesante o leggero […] comincia rinforzandosi in modo tale che, qualsiasi grado di velocità si assegni o si segni in esso, occorre che prima abbia avuto una velocità minore e minore e minore oltre ogni proporzione; e questo è ciò che si è soliti chiamare cominciare a non gradu]. La fine del movimento presenta la stessa difficoltà (fr:7293/p.431). Un commentatore più tardo chiarisce che terminari ad non gradum significa terminare a una parte infinitamente piccola, così che non gradus equivale a «parte infinitamente piccola»; non gradus è qualcosa, ma niente è non gradus (fr:7295-7297/p.431).

Una figura geometrica dotata di un angolo acuto alla base risolve immediatamente questo paradosso. Rappresentando l’inizio del moto con un angolo acuto, la transizione dal non gradus a un grado qualunque è resa visibile in maniera istantanea, e l’angolo contiene in potenza la diminuzione indefinita dei gradi di intensità che racchiude: “l’angle contient en puissance la diminution indéfinie des degrés d’intensité qu’il renferme” – (fr:7299/p.431). Per questo, le proprietà cruciali delle figure diventano quelle degli angoli alla base (fr:7300/p.431).

Non tutto, nelle figure, è frutto di scelte arbitrarie. Vi sono certo finzioni, come l’assimilazione dei gradi a grandezze continue (fr:7303/p.431), ma un’immagine non è la totalità del rappresentato: è un sostituto per l’immaginazione e, perché funzioni, deve esistere una relazione reale tra l’immagine e il suo modello (fr:7305/p.431). Le regole iniziali (rettificazione della base, perpendicolarità delle intensità) contengono una dose di arbitrio, ma ciò che davvero decide la capacità della figura di fungere da immagine per le configurazioni intensive sono le proprietà di dearticulatio (articolazione interna) e coaptatio (appaiamento mutuo), introdotte ai capitoli I.6 e I.7 del De configurationibus (fr:7312/p.432). In base alla prima, ogni figura che rappresenta una configurazione deve essere proporzionale in altezza all’intensità. Se CD e EF sono le linee verticali che rappresentano le intensità IC e IE nei punti qualunque C ed E di un soggetto AB, allora vige il rapporto CD / EF = IC / IE (fr:7313/p.432). Questa articolazione interna è il luogo di un’analogia determinante e reale tra la figura e la qualità: “Cette articulation interne de la figure est ainsi le lieu d’une analogie déterminante et réelle entre elle et une qualité” – (fr:7314/p.432). Essa poggia su una lettura non classica delle figure, che le caratterizza per le proporzioni interne anziché per le proprietà geometriche usuali, e in questo senso “Il s’agit moins, alors, de géométrie que de théorie des rapports appliquée à la géométrie” – (fr:7315/p.432) [Si tratta meno, allora, di geometria che di teoria dei rapporti applicata alla geometria].

Nel complesso, il testo mette in luce come la configurazione oresmiana delle qualità non sia un semplice espediente diagrammatico, ma un sistema in cui l’immaginazione geometrica, ereditata dalla Perspectiva e dalla teologia, viene piegata a esprimere con rigore analogico le variazioni intensive e a risolvere paradossi fondativi del continuo, come quello del non gradus, proprio attraverso la scelta meditata di figure euclidee e vincoli di proporzionalità interna. Il carattere problematico di alcuni riferimenti ottici mostra lo sforzo di rielaborazione che Oresme compie per fondare una vera e propria geometria delle qualità, ponendo le premesse per le successive latitudini delle forme.

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31 La coaptatio come principio di lettura comparativa delle figure in Oresme

L’interpretazione corrente della coaptatio come semplice “adeguatezza” di una figura a rappresentare una qualità ne oscura il vero ruolo: garantire la coerenza relazionale tra figure diverse, trasformando l’arbitrarietà dell’unità di misura in una necessità sistemica che si radica nella tradizione aritmetica boeziana.

L’analisi ruota attorno al concetto di dearticulatio e alla sua applicazione alla teoria geometrica delle qualità. In ambito coniugale, Oresme descrive un amore che si distingue nettamente dagli impulsi indistinti: l’amore tra giovani sposi sorge “en especial par election et plaisance de cuer et de amour qui est oveques usage de raison” – (fr:7328/p.432) [in particolare per scelta e piacere del cuore e di amore che è con uso di ragione]. Questa scelta esclusiva introduce una separazione, un’articolazione, che si oppone al vizio di “aler indifferenment a quelconques sans autre amour que pour acomplir sa concupiscence, ce est vice bestial” – (fr:7344/p.855) [andare indifferentemente a chiunque senza altro amore che per soddisfare la concupiscenza, questo è vizio bestiale]. L’esigenza monogamica rafforza ulteriormente questa struttura: “l’exigence naturelle de monogamie (et monoandrie) augmente encore l’articulation de l’amour conjugal” – (fr:7329/p.433) [l’esigenza naturale di monogamia (e monoandria) aumenta ancora l’articolazione dell’amore coniugale]. Tale dearticulatio consiste nel passare da un tutto confuso a parti ben distinte, allo stesso modo in cui “l’articulation (dearticulatio) d’un mot désigne la distinction nette des syllabes qui le forment” – (fr:7331/p.433) [l’articolazione di una parola designa la distinzione netta delle sillabe che la compongono].

Trasposta alle figure geometriche, l’articulatio diviene una scomposizione che mette in luce le parti di una variazione globale, fino a giungere all’intensità puntuale e alle relazioni uno-a-uno. Tuttavia, il punto non è ancora il soggetto del capitolo, che è piuttosto la coaptatio (fr:7341/p.433). La prima proprietà rilevante è che ogni qualità è rappresentabile non da una singola figura, ma da un’intera classe: “à une configuration intensive déterminée correspond non pas une figure, mais une classe de figures mutuellement proportionnelles, classe dont nous voyons immédiatement qu’elle est toujours infinie sans être pour autant arbitraire” – (fr:7333/p.433) [a una determinata configurazione intensiva corrisponde non una figura, ma una classe di figure mutuamente proporzionali, classe che vediamo subito essere sempre infinita senza essere per questo arbitraria]. Così, se una figura ADCB è proporzionale in altezza a una qualità, lo sono anche tutte le figure di altezza proporzionale ad ADCB, come la più piccola ANMB o la più grande ALKB (fr:7334/p.433).

Ed è qui che si apre un problema, perché la molteplicità delle immagini possibili svuota di significato assoluto molte proprietà geometriche. “Par exemple, la nature aigue ou obtus des angles à la base est insignifiante, alors qu’elle paraît signifier l’intensité de l’augmentation” – (fr:7355/p.434) [Ad esempio, la natura acuta o ottusa degli angoli alla base è insignificante, mentre sembrerebbe significare l’intensità dell’aumento]. La ragione risiede nell’arbitrarietà dell’unità di intensità: “si plusieurs figures plus ou moins hautes peuvent également servir d’image à une même qualité, la raison concrète en est que l’unité de référence prise pour intensité est arbitraire” – (fr:7348/p.434) [se più figure più o meno alte possono ugualmente servire da immagine a una stessa qualità, la ragione concreta è che l’unità di riferimento presa per l’intensità è arbitraria]. Ma se l’altezza in sé è arbitraria, il rapporto tra le altezze di figure diverse non lo è: deve esistere una coerenza sistemica. Il passo del De configurationibus lo afferma chiaramente: “si cette qualité est imaginée par l’une des figures indiquées, alors, pour une même figuration, on représentera la qualité double de celle-ci, avec des intensités du tout semblables, par une figure deux fois plus haute, avec des hauteurs du tout semblables” – (fr:7351/p.434) [se questa qualità è immaginata da una delle figure indicate, allora, per una stessa raffigurazione, si rappresenterà la qualità doppia di questa, con intensità del tutto simili, mediante una figura due volte più alta, con altezze del tutto simili]. È esattamente questa la coaptatio, l’aggiustamento reciproco delle figure (fr:7352/p.434).

La traduzione di Clagett con suitability e la sua insistenza sulla suitability doctrine colgono soltanto il primo aspetto, la mera adattabilità di più figure a una medesima qualità (fr:7353/p.434). Ma “ce n’est pas manifestement pas le point important du chapitre : c’est celui qui ouvre un problème” – (fr:7354/p.434) [non è manifestamente il punto importante del capitolo: è quello che apre un problema]. Il punto decisivo è che le proprietà geometriche non sono significate in modo assoluto, ma “seulement de manière relative eu égard aux autres figures du système” – (fr:7356/p.434) [solo in modo relativo rispetto alle altre figure del sistema]. L’aggiustamento risolve il problema garantendo che “ce que nous ne pouvons connaître de manière absolu nous est néanmoins accessible de manière relative” – (fr:7357/p.434) [ciò che non possiamo conoscere in modo assoluto ci è nondimeno accessibile in modo relativo]. Diventa allora significativo confrontare gli angoli alla base: “Il n’est pas insignifiant que l’angle à la base d’une figure soit plus aigu ou moins aigu que celui d’une autre” – (fr:7358/p.434) [Non è insignificante che l’angolo alla base di una figura sia più acuto o meno acuto di quello di un’altra]. La figura deve essere letta in comparazione con le altre (fr:7359/p.434).

Questa esigenza relazionale ha conseguenze metriche. Per Oresme non si può parlare di “quantità di qualità” in senso proprio, poiché l’altezza della figura è indifferente (fr:7360/p.434); contrariamente a molte letture, “Oresme ne prend absolument jamais le produit de l’extension par l’intensité pour calculer une telle quantité” – (fr:7361/p.434) [Oresme non prende mai assolutamente il prodotto dell’estensione per l’intensità per calcolare una tale quantità]. Ciò che la coaptatio consente è invece il calcolo di rapporti di qualità per mezzo dei rapporti di figure (fr:7362/p.435).

Un’origine trascurata di questo simbolismo geometrico va cercata nell’aritmetica di Boezio, e quindi di Nicomaco di Gerasa (fr:7364/p.435). Le somiglianze tra la figuratione delle qualità e la teoria pitagorica dei numeri figurati, esposta da Boezio nella seconda sezione della sua Arithmétique, sono forti (fr:7365/p.435). In quella tradizione, “les nombres par eux-mêmes n’ont pas de lieu” – (fr:7366/p.436) [i numeri di per sé non hanno luogo], e proprio come le figure di Oresme, acquistano pieno significato soltanto entro una rete di relazioni che ne fissa la collocazione reciproca.

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32 Dalle «latitudini» immaginarie alle figure geometriche: un dibattito quattrocentesco sulla quantificazione delle qualità

Il ricorso a figure e a scale continue per rappresentare l’intensità delle qualità affonda le radici nella critica di Pomponazzi a Swineshead e nella riscoperta dell’aritmetica boeziana, preparando il terreno alle configurazioni rettangolari e trapezoidali di Oresme.

Un giudizio più tardo, quello di Pomponazzi, offre un argomento ulteriore sulla pratica di raffigurare i gradi qualitativi. “Un autre argument peut être tiré du jugement, certes plus tardif, de Pomponazzi.” – (fr:7408/p.437) [Un altro argomento può essere tratto dal giudizio, certo più tardo, di Pomponazzi.] Nel suo De intensione et remissione formarum, polemizzando con la teoria di Richard Swineshead a centocinquant’anni di distanza, Pomponazzi menziona brevemente l’uso di «figure» a proposito dei gradi, ed è possibile che si tratti proprio di quelle figure analoghe alle qualità (“Dans son traité De intensione et remissione formarum, Pomponazzi, qui polémique avec la théorie de Richard Swineshead 150 ans plus tard, fait une courte référence à l’usage de « figures » à propos des degrés, dont il est possible qu’il s’agisse de ces figures analogues aux qualités.” – fr:7409/p.437). L’autore contesta il punto di partenza di Swineshead, ovvero misurare i gradi d’intensità mediante la loro «distanza dal non grado», espressione che, propriamente parlando, non ha senso né per una grandezza né per un grado (“Dans le premier chapitre de la deuxième section, Pomponazzi critique l’idée fondamentale de Swineshead de mesurer les degrés d’intensité par leur « distance au non gradum », expression qui, à proprement parler, n’a de sens ni pour une grandeur, ni pour un degré.” – fr:7410/p.437). Tuttavia, tale espressione può acquistare un senso metaforico o «transuntivo», che al tempo stesso risulti sensato e serva alla misura di una grandezza o di un’intensità (“Elle peut néanmoins avoir un sens métaphorique ou transumptif, qui à la fois ait du sens et serve la mesure d’une taille ou d’une intensité.” – fr:7411/p.437).

Poiché nel calore, per esempio, esistono il più e il meno, è necessario immaginare «quasi quoddam continuum», una sorta di continuo che funga da scala immaginaria dei gradi (“Ainsi, comme il y a du plus et moins, par exemple, dans la chaleur, il est nécessaire que nous imaginions « comme un continu (quasi quoddam continuum) » qui serve d’échelle imaginaire de degrés.” – fr:7412/p.437). È qui che Pomponazzi osserva come in ogni natura suscettibile di più e di meno – come quella del caldo o del freddo, o di qualsiasi altra cosa che cominci da un non grado e si intensifichi indefinitamente o solo finitamente a seconda della varietà delle nature – si pongano certe figure, chiamate latitudini, per esprimere i diversi gradi e le disposizioni di quelle nature (“C’est ici que Pomponazzi remarque « qu’en chaque nature susceptible de plus et de moins, comme celle de la chaleur ou du froid, ou de toute autre chose qui commence de non gradum et s’intensifie indéfiniment ou seulement finiment selon la variété des natures, on pose certaines figures que l’on appelle des latitudes pour exprimer les différents degrés et les dispositions de leurs natures.” – fr:7413/p.437). L’originale latino recita: «Hinc est quod communiter in unaquaque natura suscipiente magis et minus, ut caliditatis aut frigiditatis, aut cuiusvis alterius incipienti a non gradu, protense in infinitum vel finitum tantum, secundum diversitatem naturarum, ponuntur aliquae figurae, quas latitudines appellamus ad exprimendum diversos gradus et dispositiones ipsarum naturarum.» – (fr:7415/p.437) [Da qui deriva che comunemente, in ogni natura che riceve il più e il meno, come quella del caldo o del freddo, o di qualsiasi altra che cominci da un non grado e si estenda all’infinito o solo al finito secondo la diversità delle nature, si pongono alcune figure, che chiamiamo latitudini, per esprimere i diversi gradi e le disposizioni delle loro nature.]

La formulazione di Pomponazzi non basta a determinare di quali figure si tratti: i termini «figure», «latitudini» e la coppia «gradi» e «disposizioni» fanno subito pensare alle rappresentazioni geometriche delle latitudini delle forme (“formulation de Pomponazzi n’est pas suffisante pour déterminer de quelles figures il parle : les expressions « figures », « latitudes » et le couple « degrés » et « dispositions » fait naturellement penser immédiatement aux représentations géométriques des latitudes des formes.” – fr:7416/p.438). Egli potrebbe però riferirsi, più semplicemente, alle figure che rappresentano il campo dei gradi possibili di una qualità, la sua «latitudine» in senso medico, dove «disposizione» indicherebbe solo l’ordine dei gradi su quella scala (“Néanmoins, Pomponazzi pourrait faire référence plus simplement aux figures qui représentent le champ des degrés possibles d’une qualité, sa « latitude » au sens médical du terme, « disposition » renvoyant alors simplement à l’ordre des degrés dans cette échelle.” – fr:7417/p.438). Entrambe le interpretazioni si accordano con il contesto immediato del passo, poiché Pomponazzi intende soltanto mostrare che è pratica comune assegnare un luogo a ciò che non ne ha, ossia a un grado (“Les deux interprétations s’accordent avec le contexte immédiat du passage, puisque Pomponazzi veut simplement montrer qu’il est d’usage d’accorder un lieu à ce qui n’en a pas, à savoir un degré.” – fr:7418/p.438).

A ogni modo, l’autore riconosce in questo metodo geometrico una reminiscenza dell’Arithmetica di Boezio e del suo uso delle formulae (“Quoi qu’il en soit, il reconnait dans cette méthode géométrique une réminiscence de l’Arithmétique de Boèce et de son utilisation des formulae.” – fr:7419/p.438). I cultori dell’aritmetica, nota, «dispongono i numeri in formule, quasi occupassero un luogo, sebbene i numeri, come dice Boezio nel medesimo luogo, siano astratti dal luogo. Ma essi li dispongono così per facilitare la comprensione, affinché noi passiamo da queste realtà sensibili a quelle insensibili o meno sensibili.» – (fr:7427-7429, riunite, traduzione di “Sic etiam in discretis facere consueverunt arithmetici, ut patet perspicienti Arithmetica Boethii. Disponunt enim numeros per formulas quasi locum occupantes, licet numeri, ut ibidem dicit Boethius, abstrahant a loco. Sed haec ponuntur ad facilitatem intellectionis, ut ex his sensatis ad insensata vel minus sensata deveniamus.”). Boezio chiama solitamente formulae le tavole in cui dispone i numeri in serie, e l’unica occorrenza di questa espressione nella parte dedicata ai numeri figurati sembra rimandare anch’essa a tali tavole (“Boèce appelle généralement formulae les tableaux dans lesquels il dispose les nombres en séries, et la seule occurrence de cette expression dans la partie consacrée aux nombres figurés semble également faire référence à de tels tableaux.” – fr:7422/p.438). Che Pomponazzi alluda ai numeri figurati o alle tavole, resta il fatto che egli collega direttamente l’assimilazione delle qualità a quantità continue con i metodi matematici «neopitagorici» esposti da Boezio, i quali, tanto nelle tavole quanto nei numeri figurati, sfruttano la disposizione spaziale per far emergere proprietà di ciò che non è essenzialmente spaziale (“Que Pomponazzi fasse référence aux nombres figurés ou aux tableaux, reste qu’il fait immédiatement le lien entre l’assimilation des qualités à des quantités continues et les méthodes mathématiques « néo-pythagoriciennes » exposées par Boèce, qui aussi bien dans les tableaux que dans les nombres figurés utilisent la disposition spatiale pour faire apparaître de propriétés de ce qui n’est pas essentiellement spatial.” – fr:7423/p.438).

Spostando l’attenzione sul versante delle uniformità, le prime figure evocate da Oresme sono, come prevedibile, quelle che rappresentano un’uniformità: il triangolo rettangolo, il rettangolo e il trapezio (“L’uniformité : 4 modes de lecture Mode figuratif et mode proportionnel Si l’on met de côté provisoirement la qualité triangulaire-quelconque, les premières figures qu’évoque Oresme sont comme on s’y attendrait celles qui représentent une uniformité : le triangle rectangle, le rectangle et le trapèze.” – fr:7424/p.438). Rispetto all’esposizione del DLF esiste una differenza significativa: là Jacques definisce dapprima la latitudine uniforme in base all’albero delle definizioni, poi la figura multiangolare rettilinea in base a un secondo albero (“Il y a sur ce plan une importante différence avec l’exposé du DLF. Rappelons le cas de l’uniformité : Jacques définit la latitude uniforme dans le premier arbre, puis la figure multiangulaire rectiligne dans le second arbre.” – fr:7425-7426). Una latitudine è uniforme «se è dello stesso grado nella sua totalità» (“Une latitude est uniforme « si elle est de même degré en sa totalité »” – fr:7434/p.439), definizione indipendente dalla geometria. Si dimostra poi che una latitudine che cominci a un certo grado, uniforme o difforme, deve essere immaginata con una figura che inizia con un angolo retto, e analogamente se termina a un certo grado; se invece comincia o termina al non grado, la figura inizia o termina con un angolo acuto (“Il démontre ensuite successivement qu’une latitude qui commence à un certain degré, qu’elle soit uniforme ou difforme, doit être imaginée par une figure « qui commence » par un angle droit, de même si elle se termine à un certain degré, tandis que si elle commence à non gradus, ou se termine à non gradus, la figure commence ou se termine par un angle aigu.” – fr:7435/p.439). Da ciò deduce prima la natura della figura che rappresenta l’uniformemente difforme, poi quella dell’uniforme – il rettangolo –, perché la figura cercata possiede due angoli retti e deve conservare la medesima larghezza per tutta l’estensione (“Il en déduit d’abord la nature de la figure qui représente l’uniformément difforme, puis de celle qui représente l’uniforme, à savoir le rectangle, parce que la figure recherchée a deux angles droits et doit avoir la même largeur en sa totalité, ou une largeur constante.” – fr:7436/p.439).

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33 La proporzionalità in altezza e la deformazione delle figure: geometria, classificazione delle qualità e musica in Oresme

Nel De configurationibus qualitatum et motuum, la ricerca di curve proporzionali in altezza al semicerchio conduce Oresme a rivedere la relazione tra figure e qualità, dando origine a una nuova classificazione delle linee e a un modello geometrico per i suoni musicali.

Il punto di partenza è un giudizio di Youschkevitch, che nel 1964 «juge peu claire la raison pour laquelle l’ellipse est classée comme le cercle parmi les difformités rationnelles» – (fr:7668/p.452) [giudica poco chiara la ragione per cui l’ellisse è classificata, come il cerchio, tra le difformità razionali]. La ragione, spiega il testo, risiede nel principio di proporzionalità: «ellipse et cercle sont géométriquement distincts, mais proportionnels en hauteur» – (fr:7669/p.452) [ellisse e cerchio sono geometricamente distinti, ma proporzionali in altezza]. Oresme si chiede se le curve proporzionali in altezza al semicerchio possano essere archi di cerchio. «Il conclut qu’aucune courbe plus haute n’est un arc de cercle, mais laisse ouvert le cas des courbes plus basses» – (fr:7673/p.453) [conclude che nessuna curva più alta è un arco di cerchio, ma lascia aperto il caso delle curve più basse]. La sua dimostrazione è piuttosto limitata: si riduce a mostrare che, se si suppone che una tale curva sia un arco di cerchio, allora è l’arco di un cerchio maggiore del cerchio ACB e un arco minore di un semicerchio di quel grande cerchio. «Ces deux points sont évidents. Le premier découle du fait que la ligne AB est soit le diamètre, soit la corde de la courbe en question» – (fr:7675-7676/p.453) [Questi due punti sono evidenti. Il primo deriva dal fatto che la linea AB è o il diametro o la corda della curva in questione]. Il secondo punto segue dalla necessità che gli angoli alla base non siano maggiori del retto.

Acquisiti questi due punti, Oresme « affirme qu’il est facile de démontrer « à partir de la dernière proposition du livre VI d’Euclide », qu’un arc de cercle qui respecte ces deux conditions est nécessairement plus petit que le demi-cercle ACB» – (fr:7680/p.453) [afferma che è facile dimostrare, a partire dall’ultima proposizione del libro VI di Euclide, che un arco di cerchio che rispetta queste due condizioni è necessariamente più piccolo del semicerchio ACB]. Tuttavia, il ruolo di quella proposizione euclidea (Campanus, VI.32) non è immediatamente chiaro, e il fatto che l’arco sia più basso del semicerchio ACB è evidente perché il punto più distante dalla corda ha una distanza minore del semi-diametro. Resta la questione se le curve più basse possano essere archi di cerchio; ma «Oresme ne répond pas et laisse cette question ouverte, « à discuter (discutiendum) »» – (fr:7686/p.454) [Oresme non risponde e lascia la questione aperta, “da discutere”].

Per comprendere la difficoltà di Oresme occorre ricordare che egli non ebbe sempre la stessa opinione. Nelle Quaestiones super geometriam Euclidis (QSGE) aveva sostenuto il contrario: «si une qualité est imaginable par un demi-cercle, il est impossible qu’elle le soit par une figure élevée sur la même base, précisément pour cette raison qu’aucune autre figure n’est proportionnelle en hauteur au demi-cercle» – (fr:7689/p.454) [se una qualità è immaginabile mediante un semicerchio, è impossibile che lo sia mediante una figura elevata sulla stessa base, precisamente perché nessun’altra figura è proporzionale in altezza al semicerchio]. Clagett vede in questo cambiamento una prova dell’anteriorità delle QSGE rispetto al De configurationibus (DC), perché tra i due testi Oresme avrebbe scoperto l’errore.

Da questo errore iniziale Oresme trae una prospettiva generale di una misurabilità universale comune alle intensità e alle estensioni. Per una difformità semicircolare il “grado massimo” è elevato sopra il punto medio del soggetto e la linea che lo rappresenta è uguale alla metà del soggetto. Poiché quell’intensità occupa un rango determinato nella scala metrica delle intensità, la lunghezza della linea rappresentativa non è più arbitraria: «L’unité standard des lignes représentatives des intensités devient une valeur absolue : si un sujet AC est qualifié uniformément à ce degré ι, ce n’est pas la classe de toutes les rectangles proportionnels en hauteur qui la représente, comme Oresme l’affirme dans le DC, mais uniquement le carré de côté AC» – (fr:7694/p.454) [L’unità standard delle linee rappresentative delle intensità diventa un valore assoluto: se un soggetto AC è qualificato uniformemente a questo grado ι, non è la classe di tutti i rettangoli proporzionali in altezza a rappresentarlo, come Oresme afferma nel DC, ma unicamente il quadrato di lato AC]. Ne conseguono due conseguenze importanti: la relazione tra qualità (o movimenti) e figure diventa una relazione uno-a-uno, e intensità ed estensione possono essere “in qualche modo” eguagliate e reciprocamente proporzionate nonostante la loro eterogeneità.

Un commentatore anonimo, le cui annotazioni sono state edite da Clagett in appendice al DC, propose due dimostrazioni distinte del fatto che le curve proporzionali in altezza al semicerchio, ma più basse, non possono essere curve circolari. La prima dimostrazione è geometrica e mostra che se la linea curva ANB (più bassa del semicerchio ACB) fosse un arco di cerchio con corda AB, allora non sarebbe proporzionale in altezza a ACB. Il ragionamento si basa sull’uguaglianza delle potenze del punto D (e di E) rispetto ai due cerchi: «le produit ou « rectangle » AD.DB est égal à CD.DM aussi bien qu’à ND.DH, et de même AE.EB égale à la fois FE.EP et IE.EG» – (fr:7704/p.455) [il prodotto o “rettangolo” AD.DB è uguale a CD.DM così come a ND.DH, e analogamente AE.EB è uguale sia a FE.EP sia a IE.EG]. Sfruttando l’ipotesi di proporzionalità in altezza (EI : EF = DN : DC) e le uguaglianze delle potenze, si ottengono due rapporti uguali: «DE/EG = DC/DH » – (fr:7705/p.455) (nelle formule originali: «𞀷🀻 𞐸𞰺 = 𞀷𝰶 𞐸𞠹» e «PG/PE = MH/MD», ma con simboli deformati). L’impossibilità di questi rapporti è provata costruendo i punti L e K, intersezioni della linea DH con le perpendicolari a DH passanti per P e G. Si mostra che PG/PE = LK/LD, e che il rapporto LK/LD è maggiore di MH/MD, perché LK è maggiore di MH mentre LD è minore di MD. Ciò si fonda sul fatto che «LM et KH sont les lignes qui joignent respectivement les deux demi-cordes PM et GH à leurs arcs de cercle respectifs, ligne que les scolastiques appellent « la flèche (sagitta) », trigonométriquement équivalente au sinus verse» – (fr:7710/p.456) [LM e KH sono le linee che congiungono rispettivamente le due semicorde PM e GH ai loro archi di cerchio rispettivi, linea che gli scolastici chiamano “la freccia (sagitta)”, trigonometricamente equivalente al seno verso]. Poiché il cerchio ANB è più grande di ACB, la freccia costruita su una semicorda uguale è più piccola: KH è minore di LM. Il commentatore aveva già segnalato che la chiave della dimostrazione stava nel fatto che la curva cercata doveva avere una curvatura minore del primo semicerchio, misurando implicitamente la curvatura come rapporto freccia/corda.

La seconda dimostrazione è quasi-algebrica e mostra che il rapporto DC/DH e DN/EI non possono essere uguali per una linea circolare, assumendo valori numerici semplici: «DC = 4, DE = 2, DN = 2» – (fr:7714/p.456). Usando il teorema di Pitagora calcola il rapporto DC/DH e lo confronta con il rapporto supposto; in un’ipotesi circolare, il secondo rapporto risulta minore, provando che la linea proporzionale in altezza non è circolare.

L’intera indagine illustra come la geometria stessa sia influenzata dal ruolo di modello delle qualità. «Que le cercle soit une figure simple au sens euclidien ou platonicien devient secondaire, parce qu’elle devient parente de toute une classe de figures en nombre infini obtenues par une déformation du cercle, un étirement ou une contraction qui en préserve les rapports des hauteurs» – (fr:7724/p.457) [Che il cerchio sia una figura semplice in senso euclideo o platonico diventa secondario, perché esso diventa parente di tutta una classe di figure in numero infinito ottenute per deformazione del cerchio, uno stiramento o una contrazione che ne preserva i rapporti delle altezze]. A differenza delle deformazioni del triangolo e del rettangolo, che restano triangoli o rettangoli, «la déformée d’un cercle n’est plus un cercle, de sorte que le cercle n’est plus très loin d’être compris comme une ellipse particulière, celle où la hauteur maximale égale le demi-diamètre» – (fr:7726/p.457) [la deformata di un cerchio non è più un cerchio, cosicché il cerchio non è molto lontano dall’essere compreso come un’ellisse particolare, quella in cui l’altezza massima eguaglia il semidiametro].

Ne nasce una nuova classificazione delle linee semplici, che riflette un punto di vista proporzionale accanto a quello strettamente geometrico. «Les quatre lignes courbes simples, ou les quatre genres de difformités simples représentées par elles, sont ainsi les concaves et convexes rationnelles, et les concaves et convexes irrationnelles» – (fr:7728/p.457) [Le quattro linee curve semplici, o i quattro generi di difformità semplici da esse rappresentate, sono dunque le concave e convesse razionali, e le concave e convesse irrazionali]. Oresme chiama razionale la curva circolare e tutte le curve a essa proporzionali in altezza, irrazionali tutte le altre, purché abbiano unità e non siano composte. La divisione si applica anche alle difformità: «seule la ligne de crête est déterminante dans la nature simple de ces difformités : que les termes soient ou non à un degré est devenu, pour reprendre l’expression même d’Oresme, une propriété « accidentelle » de la difformité» – (fr:7732/p.457) [solo la linea di cresta è determinante nella natura semplice di queste difformità: che gli estremi siano o no a un grado è divenuto, per riprendere l’espressione stessa di Oresme, una proprietà “accidentale” della difformità]. Estendendo questa idea ai profili dinamici, Oresme distingue sei generi semplici di figurazione.

La composizione di più generi semplici dà luogo alle species composita figurationis; la regola è la giustapposizione orizzontale di esemplari dei generi semplici sulla stessa base. Tra queste spicca la difformitas graduata, assegnata alla combinazione di figure rettangolari di altezza variabile. «La plupart des configurations étudiées dans la partie métrique du livre III sont précisément de ce genre» – (fr:7744/p.458). Oresme impiega questa configurazione a gradini anche nella sua teoria musicale: per descrivere i suoni del secondo grado (come le note musicali), pensa a una successione di particelle di suono e pause inudibili, in cui la difformità è al contempo graduale e armonica. «Ces « difformités harmoniques », sans doute l’idée majeure offerte par Oresme à la science musicale, constituent ce qu’il appelle alors de « belles difformités »» – (fr:7751/p.458) [Queste “difformità armoniche”, senza dubbio l’idea maggiore offerta da Oresme alla scienza musicale, costituiscono ciò che egli chiama allora “belle difformità”]. Un esempio è la successione di suoni mutuamente all’ottava o armonici, illustrati dalle figure (a), (b) e (c) menzionate dopo il testo. Le difformità armoniche non restano puramente teoriche: «Oresme les propose pour expliquer l’expérience du son d’un clocher» – (fr:7756/p.459). Così la geometria delle configurazioni serve a descrivere raffinatamente un’esperienza sensibile comune, preparata dallo sviluppo del canto polifonico.

Infine, Oresme non si limita agli usi descrittivi, ma calcola il numero di specie composte, intese come combinazioni di generi semplici. Combinando k generi scelti tra 6, con presenza/assenza codificata da 0 e 1, si ottengono 2^6 = 64 possibilità, esclusa la combinazione di sei assenze, appunto 63 specie composte possibili.

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34 Geometria delle qualità e infinito: il calcolo combinatorio e le isolinee in Oresme

L’infinita famiglia delle configurazioni qualitative si condensa, per Oresme, in un numero finito di generi che la sola variazione di numero e ordine è in grado di dispiegare.

Il testo esamina il trattamento oresmiano delle difformità nel De configurationibus, a partire da un problema combinatorio. Oresme enumera i generi di difformità composta: “Mais Oresme compte 62 genres de difformité composée, et non 63, valeur qu’il donne deux fois dans le même chapitre.” – (fr:7763/p.459) [Ma Oresme conta 62 generi di difformità composta, e non 63, valore che egli fornisce due volte nello stesso capitolo.] La discrepanza è verosimilmente un errore, perché Oresme ottiene “le bon nombre de manières de combiner pour 1 genre simple composé avec lui-même (6), pour 2 genres simples mutuellement combinés (15), pour 3 (20), pour 4 (15), pour 6 (1), mais il ne trouve que 5 manières de combiner 5 genres simples.” – (fr:7768/p.460) [fornisce il giusto numero di modi di combinare per 1 genere semplice composto con sé stesso (6), per 2 generi semplici mutuamente combinati (15), per 3 (20), per 4 (15), per 6 (1), ma trova soltanto 5 modi di combinare 5 generi semplici.] Poiché non vi è ragione di sottrarre alcuna combinazione, “il s’agit vraisemblablement d’une erreur non significative.” – (fr:7769/p.460) [si tratta verosimilmente di un errore non significativo.]

Oresme non mostra i calcoli; dichiara soltanto che procedono secondo “regule arithmetice” – (fr:7765/p.459) [regole aritmetiche]. Clagett osserva che egli cita due volte la regola particolare per calcolare il numero di modi di combinare coppie tra n elementi, già presente nell’Arithmetica di Boezio, e che la regola generale per i raggruppamenti di k elementi tra n si trova nel Sefer Ma‘aseh Ḥochev di Rabbi Levi ben Gershom del 1321, opera di cui non si conosce una traduzione latina, benché Oresme conoscesse almeno il De numeris harmonicis (1343) dello stesso autore (fr:7771‑7772). Alla somma delle difformità composte Oresme aggiunge i generi semplici di difformità, l’uniformità e la difformità uniforme, ottenendo “un total de 68 genres de configurations.” – (fr:7773/p.460) [un totale di 68 generi di configurazioni.]

Questo conteggio ha uno scopo preciso: mostrare che l’infinità delle configurazioni concrete si riduce a pochi generi. Oresme è consapevole che ogni specie di difformità può essere composta da quante figure singolari si voglia, “et ainsi indéfiniment, de sorte que dans chaque espèce la variation peut être infinie, aussi bien quant au nombre que quant à l’ordre ou la disposition des figures simples desquelles ces espèces sont composées.” – (fr:7775/p.460) [e così indefinitamente, di modo che in ciascuna specie la variazione può essere infinita, tanto quanto al numero quanto all’ordine o alla disposizione delle figure semplici di cui queste specie sono composte.] L’ordine è un concetto capitale: esso è una delle quattro categorie secondo cui due cose possono essere comparate, insieme alle quantità discrete, alle quantità continue e alle intensità (fr:7777/p.460). Ciò che Oresme vuole stabilire è che non esiste configurazione, per quanto complessa, che non si riconduca a uno dei 66 generi di difformità, “qui engendrent cette infinité par la seule variation du nombre et de l’ordre” – (fr:7778/p.460) [che generano questa infinità per la sola variazione del numero e dell’ordine]. La geometria assolve così un primo compito non metrico: “nous ne pouvons bien parvenir à la connaissance de la variété de ces espèces de difformité des qualités ou des autres choses, sinon en les assimilant à et les imaginant comme des figures.” – (fr:7779/p.460) [non possiamo pervenire bene alla conoscenza della varietà di queste specie di difformità delle qualità o delle altre cose, se non assimilandole e immaginandole come figure.] L’immagine visiva non riguarda soltanto i profili dinamici attuali, ma l’infinità di quelli possibili, “infinité qui n’est rien d’autre que l’infinie recombinaison des profils simples que la géométrie élémentaire permet de saisir intuitivement.” – (fr:7780/p.460) [infinità che non è altro che l’infinita ricombinazione dei profili semplici che la geometria elementare permette di cogliere intuitivamente.]

Per trattare le qualità reali, che sono corporee e non lineari, Oresme estende le definizioni alle qualità superficiali e corporee. La trasposizione per le qualità superficiali avviene secondo tre modi di lettura (figurativo, sommitale, proporzionale). Il modo sommitale sostituisce la linea di cresta con una superficie al sommo, piana, curva o spezzata (fr:7785‑7786). Poiché la superficie di base non è generalmente piana, Oresme introduce la necessità di una rettificazione, ma il modo proporzionale mostra l’indipendenza dalla rettitudine: “le sommet de la figure qui représente une qualité uniformément difforme est continument plus proche de la base du sujet selon l’ordre de ses parties, et s’il descend jusqu’à la base, il se termine au non-degré.” – (fr:7792/p.462) [il vertice della figura che rappresenta una qualità uniformemente difforme è continuamente più vicino alla base del soggetto secondo l’ordine delle sue parti, e se discende fino alla base, termina al non-grado.] Una figura ricostruita indicativa per una base circolare AB accompagna il testo (fr:7793/p.462). La difformità difforme è qui definita come disuguaglianza continua degli avvicinamenti e allontanamenti della superficie sommitale rispetto alla base, il che apre alla possibilità di caratterizzare ogni difformità difforme particolare mediante l’ineguaglianza degli aumenti e delle diminuzioni (fr:7793/p.462).

L’aspetto più originale riguarda la dimostrazione che ogni qualità superficiale, per quanto difforme, contiene linee uniformi. Nella questione 12 delle QSGE Oresme afferma che in ogni superficie qualitativamente difforme esistono linee uniformi. Clagett fraintese, credendo si trattasse di una linea retta; in realtà è una isolinea (fr:7798‑7802). Se un corpo si eleva come una montagna su una base piana fino all’altitudine massima H, allora per ogni altezza tra 0 e H esiste almeno una linea continua e chiusa che unisce tutti i punti a quella quota: “Intuitivement, cela signifie simplement que si l’on tranche la montagne par un plan parallèle à la base, à quelque hauteur que ce soit, à l’exception de la hauteur maximale, les deux parties inférieure et supérieure seront mutuellement en contact en deux surfaces adéquates et chacune bien évidemment enfermée par une même ligne continue, si irrégulière soit-elle, qui en est le bord extérieur.” – (fr:7804/p.463) [Intuitivamente ciò significa semplicemente che se si taglia la montagna con un piano parallelo alla base, a qualunque altezza, salvo quella massima, le due parti inferiore e superiore saranno mutuamente in contatto in due superfici adeguate e ciascuna ovviamente racchiusa da una stessa linea continua, per quanto irregolare, che ne è il bordo esterno.] La figura indicativa (fr:7806/p.463) mostra che una qualità superficiale difforme contiene una qualità lineare uniforme per ogni grado di intensità (fr:7805/p.463). Oresme estende l’idea alle qualità corporee: superfici uniformemente intense in ogni qualità difforme (sotto certe restrizioni, fr:7809‑7812). L’analogia con le isoterme e le isobare meteorologiche non è arbitraria, poiché Oresme studia calore, densità e luce nell’aria e, nel DVS, indaga le rifrazioni successive nella densità uniformemente variabile dell’atmosfera, facendo di fatto una meteorologia matematica (fr:7813‑7816).

La questione 12 si colloca in un quadro più ampio. L’argomento quod sic pretendeva di dedurre l’esistenza di una difformità senza alcuna uniformità per simmetria con l’uniformità senza difformità, ragionamento che Oresme paragona alla fallacia di un summum malum assoluto (fr:7820/p.464). Contrappone un principio tratto dall’Arithmetica di Boezio: “Toute inégalité procède de l’égalité et se ramène à l’égalité (omnis inequalitas ab equalitate procedit et ad equalitatem reducitur).” – (fr:7825/p.464) [Ogni disuguaglianza procede dall’uguaglianza e all’uguaglianza si riconduce.] Se la difformità si riconduce all’inuguaglianza, allora qualcosa di essa deve partecipare dell’uniformità (fr:7826/p.464). Per Boezio la massima è profondissima e riguarda la totalità delle cose; il male è indeterminato e l’unica determinazione che possiede viene dal bene a cui partecipa (fr:7829‑7831). Matematicamente, ogni rapporto di ineguaglianza può essere generato da semplici regole additive applicate a un insieme di unità uguali, come nella formazione della serie dei doppi (fr:7832‑7833). L’idea, vicina alla congettura che ogni funzione per quanto caotica possa essere definita da una regola, è la stessa che guida Philippe de Vitry nell’Ars nova per generare le consonanze e pervade la terza parte del De commensurabilitate (fr:7834‑7836). Oresme dà così alla geometria delle qualità un fondamento metafisico in cui l’ordine emerge dall’uguaglianza.

Le qualità corporee, realtà a quattro dimensioni (o cinque se successive), pongono il problema della figurazione in uno spazio tridimensionale. Oresme introduce una doppia corporeità: tutti i corpi rappresentativi delle qualità superficiali che compongono la qualità corporea si compenetrano reciprocamente come enti fittizi (fictorum), sovrapposti per supposizione matematica (fr:7846‑7848). La qualità corporea non è dunque figurata da una sola figura, ma da una classe infinita di figure (fr:7849/p.466). Resta dibattuta l’interpretazione delle superficies equales (superfici uguali) che compongono il corpo: contro la lettura come “uguale spessore”, avanzata da Clagett, si propone di intenderle come un millefoglie di piani senza spessore, analogo alla composizione della linea per punti (fr:7852‑7855). Oresme consacra un breve capitolo (il 18) alle qualità corporee, dove la multidimensionalità diventa un problema per la determinazione della varietà dei generi di difformità; su ogni parte del corpo caldo si eleva una figura solida la cui superficie sommitale rappresenta il profilo dinamico di quella parte (fr:7856‑7857).

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35 Le aporie della rappresentazione geometrica delle qualità corporee in Oresme e lo sviluppo della variatio latitudinis

L’analisi di Souffrin e Weiss mette in luce una tensione irrisolta, nel De configurationibus di Oresme, tra la figurazione delle qualità superficiali e quella delle qualità corporee, svelando le radici medievali delle nozioni di continuità e variazione.

La trattazione oresmiana della qualità corporea si apre con un’operazione che dovrebbe essere iterata per approssimare il profilo reale del calore di un corpo: “opération devrait donc être répétée autant de fois qu’on veut ou qu’on peut pour s’approcher de plus en plus du profil réel de la chaleur corporelle.” – (fr:7859/p.467) [Questa operazione dovrebbe dunque essere ripetuta tante volte quante si vuole o si può per avvicinarsi sempre più al profilo reale del calore corporeo.] Tuttavia, “Pourtant, la suite du chapitre ne confirme pas cette idée.” – (fr:7860/p.467) [Tuttavia, il seguito del capitolo non conferma questa idea.] Oresme introduce all’improvviso le condizioni generali di rappresentabilità di una figura solida, il che sorprende perché le definizioni di uniforme e difforme per le qualità lineari erano già state trasposte alle qualità superficiali. “Si cette question posait un problème, pourquoi ne pas l’avoir abordée avant ?” – (fr:7862/p.467) [Se questa domanda poneva un problema, perché non averla affrontata prima?] Inoltre, egli sembra dimenticare che una qualità corporea non è rappresentata da una singola figura ma da una classe infinita di figure. “Par exemple, il affirme soudain qu’une qualité corporelle est représentée par une pyramide, par un segment de sphère ou de cylindre, etc.” – (fr:7864/p.467) [Per esempio, afferma improvvisamente che una qualità corporea è rappresentata da una piramide, da un segmento di sfera o di cilindro, ecc.] La frase è dichiaratamente ambigua: “il y a une qualité corporelle qui est pyramidale ou imaginable au moyen d’une pyramide, ou composée de qualités pyramidales, de pyramides coniques ou multilatérales” – (fr:7865/p.467) [c’è una qualità corporea che è piramidale o immaginabile per mezzo di una piramide, oppure composta di qualità piramidali, di piramidi coniche o multilaterali.] Ci si chiede se la qualità piramidale coincida con quella composta di qualità piramidali, e perché subito dopo si affermi che un segmento di sfera – figura riservata in precedenza alle qualità superficiali – possa rappresentare una qualità corporea.

Un terzo problema riguarda la natura delle figure scartate come non rappresentative. Le condizioni di rappresentabilità fornite da Oresme riguardano strettamente le figure solide: “une telle figure, indique-t-il, ne représente une qualité (sans précision) que s’il est possible de tirer « de tout point » de la figure une perpendiculaire « à sa base ».” – (fr:7869/p.467) [una tale figura, indica, rappresenta una qualità solo se è possibile tirare “da ogni punto” della figura una perpendicolare “alla sua base”.] L’esigenza riguarda l’intero volume della figura e non soltanto la superficie sommitale. Perciò Oresme respinge “« la figure perforée (figura perforata) » et la « figure subconcave (figura subconcava) », c’est-à-dire « concave à l’opposé de la base ».” – (fr:7871/p.467) [“la figura perforata” e la “figura subconcava”, cioè “concava dalla parte opposta alla base”.] La perforazione è una proprietà dell’intero volume, mentre nel caso delle qualità lineari Oresme non si era preoccupato di notare che un quadrato bucato cesserebbe di rappresentare una qualità; per le qualità superficiali l’idea stessa di figura perforata non ha senso, poiché sopra ogni punto della superficie di base si eleva una sola linea intensiva.

Questa tensione, non rilevata da Clagett, può essere risolta in tre modi. Oresme potrebbe stare descrivendo la figurazione di ciascuna qualità superficiale che compone il corpo, nel qual caso l’operazione andrebbe ripetuta infinite volte e la “base” sarebbe una superficie parziale del corpo qualificato – ma ciò implicherebbe una confusione tra qualità superficiali e corporee. In alternativa, Oresme sta descrivendo un nuovo genere di figura, “formée de l’infinité des points terminaux de toutes les lignes intensives qui s’élèvent au-dessus de tout point du corps” – (fr:7880/p.468) [formata dall’infinità dei punti terminali di tutte le linee intensive che si elevano sopra ogni punto del corpo]; in questo caso la figura deve essere piena e l’intero volume funge da “volume sommitale”, il che rende conto del rifiuto della figura perforata. Infine, la figura potrebbe risultare dalla sovrapposizione di tutte le figure solide che rappresentano le qualità superficiali. Il problema comune a queste due ultime soluzioni è che cosa sia la “base” della figura.

L’interpretazione del caso della figura perforata diventa più chiara se si immagina, come suggerito dalla sezione trasversale ABCD di un solido inegualmente caldo (diagramma con lettere F A B C D E G), che ogni punto della figura solida sia il termine della retta elevata dal punto del solido di cui si misura il calore puntuale. Una perforazione implicherebbe allora rotture nella variazione del calore, violando il principio di continuità più volte ribadito da Oresme. Su una linea verticale passante per F si potrebbero trovare due punti con intensità che terminano sulla parte inferiore e superiore della perforazione, senza punti intermedi caldi di grado intermedio. Se questa è la corretta lettura, vi si scorge lo sforzo di Oresme per trasporre il principio di continuità alla classe di figure che rappresentano le qualità corporee: la pienezza del solido deve essere anch’essa continua, non soltanto la linea di cresta o la superficie sommitale. La subconcavità pone maggiori difficoltà, che potrebbero risolversi intendendo per “base” della figura la superficie dei gradi minimi – il che ripropone il problema di continuità. L’ipotesi più soddisfacente impone alla figura di rispettare due principi di continuità: tra i punti terminali e tra la base del soggetto e la superficie della figura. In ogni caso, Oresme non rappresenta una qualità corporea mediante qualcosa a quattro dimensioni, bensì mediante una figura solida piena la cui base è quella del corpo qualificato.

Un’altra difficoltà investe le qualità piramidali, centrali nel trattato perché fondano l’analogia meccanica: un corpo è tanto più perforante quanto più acuto è l’angolo al vertice, e Oresme suggerisce che una qualità piramidale sia più attiva di una uniforme, e che tra due qualità piramidali la più attiva sia quella con l’angolo al vertice più acuto. Il principio di adeguazione, tuttavia, sembra togliere significato alla pendenza e all’angolo al vertice, poiché tutti i triangoli rettangoli sono mutuamente proporzionali. “Dans ces conditions, Oresme peut-il légitimement invoquer l’angle dièdre du cône ?” – (fr:7903/p.469) [In queste condizioni, Oresme può legittimamente invocare l’angolo diedro del cono?] La risposta è che egli parla sempre e soltanto di acuzia relativa. “Il le peut au moins en un sens relatif, et il ne parle en réalité, aussi bien dans ce chapitre que dans le chapitre mécanique, que d’acuité relative.” – (fr:7904/p.469) [Lo può almeno in senso relativo, e in realtà non parla, tanto in questo capitolo quanto nel capitolo meccanico, che di acuzia relativa.] Oresme chiarisce che esistono piramidi di maggiore o minore acuzia le une rispetto alle altre, e il principio di adeguazione non rende gli angoli privi di significato assoluto, ma impedisce loro di averne uno assoluto. Fissata un’unità per le intensità, è perfettamente significativo che una figura sia più acuta di un’altra, anche se sulla carta appare ottusa.

Quanto alle definizioni di uniforme e difforme per il caso corporeo, Oresme non le traspone esplicitamente nel DC, ma nelle Quaestiones super geometriam Euclidis (q. 12) adotta il modo proporzionale: un corpo di base è uniformemente difforme se tre superfici equidistanti si eccedono secondo un rapporto aritmetico. Ciò presuppone una riflessione su quattro dimensioni e un’estensione della nozione di rettitudine. Tuttavia, nelle applicazioni metriche, come nel capitolo III.12 del DC, Oresme riconduce il problema allo studio di qualità lineari significative, studiando separatamente estensione e intensità. L’impressione che la sua teoria si arresti di fronte a un caso limite è quindi fuorviante: “c’est justement quand il en vient aux qualités réelles et corporelles que l’on comprend combien Oresme est loin de ne proposer qu’une « physique imaginaire ».” – (fr:7917/p.470) [è proprio quando giunge alle qualità reali e corporee che si comprende quanto Oresme sia lontano dal proporre soltanto una “fisica immaginaria”.]

L’idea motrice della teoria oresmiana – scoprire un’uniformità nella difformità – apre la strada alla domanda se una difformità difforme possa a sua volta celare un’uguaglianza di variazione. Oresme non formula esplicitamente una tale generalizzazione, ma essa compare nell’opera di Jacques de Saint-Martin, che introduce il concetto di “variation de latitude (variatio latitudinis)” – (fr:7936/p.471) [variazione di latitudine]. La relazione è speculare: “si une latitude est uniformément difforme, alors sa variation est uniforme, et réciproquement si une variation est uniforme, la latitude dont elle est la variation est uniformément difforme.” – (fr:7937/p.471) [se una latitudine è uniformemente difforme, allora la sua variazione è uniforme, e reciprocamente se una variazione è uniforme, la latitudine di cui è variazione è uniformemente difforme.] Il processo si estende potenzialmente all’infinito: una variazione uniformemente difforme restituisce una latitudine uniformemente difformemente difforme, e così via. In astratto, ciò svolge un ruolo analogo alla distinzione tra una funzione e la sua derivata. La definizione precisa data da Jacques per la latitudine uniformemente difformemente difforme è la seguente: “Latitudo uniformiter difformiter difformis est illa que inter excessus graduum eque distantium servat eandem proportionem, aliam tamen a proportione equalitatis” – (fr:7949/p.473) [La latitudine uniformemente difformemente difforme è quella che tra gli eccessi dei gradi equidistanti conserva la medesima proporzione, diversa tuttavia dalla proporzione di uguaglianza.] Commentatori successivi ne fornirono formulazioni equivalenti che ribadiscono la progressione continua degli eccessi. Così, mentre Oresme affronta con strumenti geometrici i limiti della rappresentazione tridimensionale, la tradizione delle latitudines formarum sviluppa l’intuizione di una gerarchia di variazioni, gettando un ponte verso il calcolo infinitesimale.

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36 La logica geometrica della variazione e la latitudo delle forme: Jacques de Saint-Martin e l’eredità oresmiana

La misura delle disuguaglianze non avviene per differenze aritmetiche, ma secondo proporzioni geometriche continue: la «variazione uniforme» di Jacques de Saint-Martin si fonda sugli eccessi successivi in rapporto geometrico, dando alla variatio un andamento logaritmico che sfida l’impianto additivo di Oresme.

Il testo esamina la logica con cui, nel trattato De latitudinibus formarum (DLF) attribuito a Jacques de Saint-Martin, si misurano le disuguaglianze di intensità. La scelta di fondo è radicale: “La logique ici exposée est donc de mesurer des inégalités selon des proportions géométriques, et non selon des proportions arithmétiques” – (fr:7953/p.473) [La logica qui esposta è dunque di misurare le disuguaglianze secondo proporzioni geometriche, e non secondo proporzioni aritmetiche]. Di conseguenza, quella che Jacques chiama variazione uniforme è una variazione in cui “les excès successifs équidistants sont en proportion géométrique continue” – (fr:7954/p.473) [gli eccessi successivi equidistanti sono in proporzione geometrica continua]. Se si prendono quattro punti A, B, C, D con eccessi b, c, d tali che b sta a c come c sta a d, allora b, c, d sono in proporzione continua e i rapporti tra intensità rispondono alla regola generale “(𝱏 𞁛 ∶ 𝡎) = (𝱏1 : 𝡎) 𞁛” – (fr:7956/p.473) [(Bn : A) = (b1 : A)^n], dove il grado di intensità del primo termine è equiparato all’eccesso sul non gradum.

La conseguenza è che il grado di variazione in un punto, in termini moderni, “varie comme le logarithme du rapport (𝱏𞁛 ∶ 𝡎)” – (fr:7966/p.474) [varia come il logaritmo del rapporto (Bn : A)], essendo bn l’eccesso sull’intensità precedente in base (b1 : A). Ciò è evidente dal diagramma proposto: gli eccessi di intensità su B, C, D sono come 2, 4=2², 8=2³, il rapporto conservato è il doppio, e il grado di variazione è 1 in B, 2 in C, 3 in D (fr:7976-7978/p.474). L’autore riconosce qui “la logique que nous avons déjà vue à l’œuvre dans la mathématisation des degrés d’intensité des qualités complexionnelles chez Al-Kindī et Arnaud de Villeneuve” – (fr:7967/p.474) [la logica già vista all’opera nella matematizzazione dei gradi di intensità delle qualità complessionali in Al-Kindī e Arnaud de Villeneuve]. Secondo Clagett, chi avesse compreso lo spirito del trattato di Oresme avrebbe scelto il punto di vista aritmetico, da cui la scarsa stima per il DLF (fr:7968/p.474).

Le definizioni di Jacques appaiono però meno generalizzabili del previsto. Per confrontare le variazioni egli si basa sui rapporti degli eccessi graduali: o gli eccessi conservano un rapporto (di uguaglianza o di ineguaglianza), oppure no. La variazione difformemente difforme resta definita solo negativamente, “par l’absence de conservation d’un rapport d’inégalité” – (fr:7972/p.474) [dall’assenza di conservazione di un rapporto di ineguaglianza]. Una generalizzazione richiederebbe di trattare la non conservazione come una disuguaglianza di rapporti di disuguaglianza, determinata a sua volta da un rapporto suscettibile di essere conservato. Ma “il y a tout lieu de penser que Jacques ne connaît pas de telle théorie” – (fr:7975/p.474) [c’è ogni motivo di pensare che Jacques non conosca tale teoria], né sfrutta la teoria oresmiana dei rapporti di rapporti (dove, ad esempio, il rapporto ottuplo è triplo del doppio, 2³=8; fr:7980/p.474).

L’ambiguità si acuisce nella trentesima proposizione, dove Jacques cerca la figura che rappresenta una latitudine uniformemente difformemente difforme a partire da non gradus. Dimostra che deve essere un triangolo con un angolo retto e due angoli curvilinei acuti, ma quando deve determinare la curva propone improvvisamente un quadrante di cerchio, e suppone che il rapporto degli eccessi sia sesquialtero, «pro nunc sine probatione suppono» – (fr:7987/p.475) [per ora lo suppongo senza dimostrazione]. Una scelta che i commentatori hanno giudicato un errore grossolano, senza però spiegarlo compiutamente (fr:7988/p.475, 7996-7998).

Le note successive prolungano lo studio sulla curvatura semicircolare, introducendo i concetti di “rapidità” e “lentezza” dell’intensificazione della larghezza. La latitudine, intesa come larghezza-intensità puntuale, “s’intensifie jusqu’à la moitié du demi-cercle, puis s’atténue continument” – (fr:7992/p.475, 7993) [si intensifica fino alla metà del semicerchio, poi si attenua continuamente], e “plus un demi-cercle est grand, plus l’intensification de sa largeur commence à une plus grande rapidité et se termine à une plus grande lenteur” – (fr:7995/p.475) [più un semicerchio è grande, più l’intensificazione della sua larghezza comincia con maggiore rapidità e termina con maggiore lentezza]. La rapidità è misurata, di fatto, dagli eccessi graduali equidistanti; un’idea che sorprese Youschkevitch e che prefigura considerazioni di Keplero e Fermat sul comportamento intorno a un massimo (fr:8001/p.476).

La seconda parte del testo si volge a Oresme e al problema della velocità e dell’accelerazione. Nello studio delle qualità permanenti Oresme non eleva esplicitamente l’uniformità oltre l’uniformemente difforme, ma nel movimento sì: l’intensità del moto è la rapidità, e un moto uniformemente difforme nel tempo è quello di un mobile che accelera o rallenta uniformemente. Oresme chiama questa variazione “accélération (velocitatio)” – (fr:8009/p.476) [accelerazione], e la considera essa stessa un movimento che può intensificarsi o rilassarsi: «Ainsi, quelque fois, il arrive que la rapidité s’intensifie et que l’accélération se relâche, mais que d’autres fois chacune s’intensifie en même temps» – (fr:8010/p.476) [Così, talvolta accade che la rapidità si intensifichi e l’accelerazione si rilassi, ma altre volte entrambe si intensificano insieme]. Tuttavia Oresme non definisce mai l’intensità dell’accelerazione né la condizione per cui sarebbe uniforme: si potrebbe scegliere tanto una proporzione aritmetica (differenze uguali → velocità come 1, 3, 6, 10) quanto una geometrica (velocità in proporzione continua, come 1, 2, 4, 8), secondo la via del DLF (fr:8012/p.476-8013/p.477). Clagett ritiene che Oresme avrebbe scelto la prima, e in effetti nel QSGE l’uniforme difformità è definita tramite proporzione aritmetica, mentre il DC opta per una definizione additiva (fr:8014-8015/p.477). Tuttavia, dove avrebbe potuto esplicitare la scelta, Oresme non lo fa (fr:8016/p.477). I casi studiati sono a scala (difformità graduale), con accelerazioni definite aritmeticamente ma non continue, o geometricamente ma non uniformi (fr:8017-8022/p.477). Nel LCM, riprendendo l’esempio della progressione geometrica, scrive: «et que ainsi toujours sanz fin l’adiccion fust selonc proporcionnaleté subdouble» – (fr:8024/p.477) [e che così sempre senza fine l’addizione fosse secondo proporzionalità subdupla], mostrando come un’addizione possa essere definita proporzionalmente.

L’assenza di una definizione esplicita dell’accelerazione uniforme è il segno che il problema non era al centro dell’interesse di Oresme (fr:8030/p.478). Piuttosto, la modalità cinematica di lettura delle figure consente di trasporre il concetto di accelerazione uniforme o difforme alla definizione stessa delle figure e alla descrizione della linea di cresta o della superficie sommitale. Il fatto che Oresme abbia suggerito che i due movimenti coordinati – spostamento e alterazione continua – potessero essere irregolari e compensarsi mostra che l’idea era maturata oltre lo stadio di semplice suggestione (fr:8026-8027/p.477).

L’analisi si chiude con una conclusione densa: lo scopo di Oresme non è metrico, ma riguarda la dispositio, il modo in cui le qualità estendono la propria intensità in un corpo. La sua prima vittoria è il computo delle difformità semplici e la definizione di regole di composizione per cui ogni qualità, per quanto difforme, possiede una figura determinata che ne svela il profilo dinamico (fr:8033-8034/p.478). L’infinita varietà delle difformità acquista esistenza manifesta grazie alla linea di cresta, alla sua curvatura e ai suoi accidenti. Oresme esplora e determina una comparatio matematica tra figure e qualità, affermando un isomorfismo tra sistemi di figure e sistemi di qualità, ben diverso da una semplice rappresentazione occasionale (fr:8035-8037/p.478). Questa comparazione è giustificata perché la figura geometrica è già traccia di una variazione – della sua altezza secondo la lunghezza – così che figure e qualità sono istanze di una medesima realtà: la variazione di una dimensione secondo un’altra (fr:8038-8039/p.478). Per Oresme la figura non è più la totalità euclidea chiusa da termini, ma “une phase transitoire dans un mouvement potentiellement indéfini, ou la trace d’une telle phase” – (fr:8042/p.478) [una fase transitoria in un movimento potenzialmente indefinito, o la traccia di una tale fase]. Cambiano così le figure significative: si prolungano, si combinano secondo una dimensione, sono graduali, rettilinee, a sommità curva, convessa o concava, razionali o irrazionali; raramente portano un nome geometrico semplice, eppure si vedono e contano, spesso appaiono in serie e danno luogo persino a periodi (fr:8044-8046/p.478).

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37 La geometria delle qualità e del movimento: la teoria generale delle realtà variabili in Oresme

Oresme trasforma la geometria in uno strumento non per descrivere figure perfette, ma per analizzare configurazioni difformi e potenzialmente infinite, dando vita a una scienza generale di tutto ciò che muta.

Nel De configurationibus e negli scritti collegati, Oresme compie un’operazione che va molto oltre una semplice applicazione della geometria alle qualità. “En apparence, c’est vrai, Oresme « applique » la géométrie aux qualités.” – (fr:8047/p.478) [In apparenza, è vero, Oresme “applica” la geometria alle qualità.] Ma questa apparenza nasconde una trasformazione radicale della geometria stessa: “En réalité, il transforme la géométrie et fait de l’étude de belles figures finies celle de configurations difformes et potentiellement infinies.” – (fr:8048/p.478) [In realtà, trasforma la geometria e trasforma lo studio di belle figure finite in quello di configurazioni difformi e potenzialmente infinite.] Non esiste un solo modello geometrico, bensì diversi metodi sperimentali, ciascuno fondato su figure ma capace di leggerle in modo diverso: “mode de lecture figuratif, proportionnel, fluxionnel, sommital.” – (fr:8049/p.479) [modalità di lettura figurativa, proporzionale, flussionale, sommitale.] Esplorando queste modalità, Oresme mostra come per ciascuna muti l’essenza della figura e la classe delle figure determinanti.

Nel modo proporzionale, ad esempio, la deformazione conserva le proporzioni, cosicché non vi è differenza essenziale tra un semicerchio e i luoghi geometrici incerti che gli sono proporzionali; al contrario, tutti i triangoli risultano analoghi. Per introdurre distinzioni legate alla pendenza e alla rapidità di variazione bisogna passare al modo flussionale, dove “à chaque pente correspond un rapport différent de rapidités, et l’idée d’accélération pourrait s’avérer utile.” – (fr:8052/p.479) [a ogni pendenza corrisponde un rapporto diverso di rapidità, e l’idea di accelerazione potrebbe rivelarsi utile.] Per studiare le micro-variazioni di una qualità si impone infine il modo sommitale, che mette in luce proprietà legate ai limiti e ai valori intermedi.

La seconda parte dell’opera è dedicata alla difformità delle realtà successive. L’esposizione di Oresme può trarre in inganno, perché il movimento sembra dominare la scena fino al capitolo 13; in realtà “le mouvement n’est qu’une réalité successive parmi d’autres.” – (fr:8057/p.480) [il movimento non è che una realtà successiva tra le altre.] Il capitolo ontologico (XIII) chiarisce che a essere configurabili non sono solo i movimenti, ma anche qualità successive, rapporti successivi, relazioni successive come una dissimilitudine successiva, e persino forme sostanziali successive secondo le parti quantitative del soggetto. In quest’ultimo caso è la quantità a essere successiva. “Il s’agit donc bien, dans l’esprit d’Oresme, d’une théorie générale des réalités variables, dont le mouvement n’est qu’une partie.” – (fr:8059/p.480) [Si tratta dunque, nello spirito di Oresme, di una teoria generale delle realtà variabili, di cui il movimento è solo una parte.] Ne è riprova il fatto che l’applicazione principale riguardi il suono, che non è in sé un movimento ma una qualità successiva. Leggere questi capitoli come semplici tappe della storia della cinematica oscura questa portata generale.

La presa in conto della successione genera metodi di analisi nuovi. Il movimento possiede una dimensione intensiva singolare, la rapidità, che è a sua volta suscettibile di un’intensità di secondo grado: l’accelerazione (velocitatio). Inoltre, la doppia estensione del movimento – la distribuzione secondo le parti del soggetto e la variazione temporale – conduce Oresme a figurare simultaneamente le due dimensioni e a studiarne le relazioni. “C’est cette double divisibilité qui avait conduit Youschkevitch à reconnaître dans le DC une tentative pour penser des « fonctions » à deux variables.” – (fr:8065/p.480) [È questa doppia divisibilità che aveva portato Youschkevitch a riconoscere nel DC un tentativo di pensare “funzioni” a due variabili.] Oresme definisce inoltre, oltre all’accelerazione, un movimento dell’incipit del movimento.

Alla base di questa costruzione sta un’analisi dimensionale precisa. Un movimento è analizzabile come una totalità continuamente divisibile secondo la spazialità, la temporalità e l’intensità, ovvero la rapidità. La spazialità non è la distanza percorsa, ma la grandezza del mobile: un movimento può essere magnus vel parvus, grande o piccolo, come nel caso della rotazione della Terra rispetto a quella di una biglia. La figura geometrica rappresenta il movimento stesso, non il mobile in un sistema di coordinate. Il tempo non è un quadro esterno ma la duratio del movimento, la sua durata propria. Buridan aveva già ipotizzato questa doppia divisibilità: una secondo l’estensione del mobile (parti simultanee) e una secondo le parti temporali (parti successive). Da questa analisi multidimensionale Oresme trae una distinzione capitale: “Et puisque la difformité nait de ce que l’intensité est étendue de différentes manières, ainsi il s’ensuit que le mouvement ou la vélocité peut avoir une double difformité ou encore une double uniformité : l’une selon les parties ou l’extension du mobile, qu’on appelle proprement « uniformité » et « difformité » ; et l’autre selon les parties ou le durée du temps, qu’on appelle proprement « régularité » et « irrégularité ».” – (fr:8088/p.482) [E poiché la difformità nasce dal fatto che l’intensità è estesa in modi diversi, ne segue che il movimento o la velocità può avere una doppia difformità o anche una doppia uniformità: una secondo le parti o l’estensione del mobile, che si chiama propriamente “uniformità” e “difformità”; l’altra secondo le parti o la durata del tempo, che si chiama propriamente “regolarità” e “irregolarità”.]

Il capitolo sul tempo ha uno scopo preciso: negare che il tempo possieda una dimensione intensiva e che possa quindi essere difforme. Considerato come durata successiva o come misura del movimento, il tempo non ha intensità. La durata delle cose non possiede una rapidità intrinseca: una realtà può cambiare più o meno rapidamente, ma non può essere più o meno rapida. Anche identificandolo con il moto celeste, “comme le nom du temps ne connote aucune intensité alors qu’une intensité est requise à l’uniformité et la difformité, de quelque façon qu’on prenne le temps, en aucune façon il ne peut être dit ni difforme, ni proprement uniforme.” – (fr:8100/p.483) [poiché il nome del tempo non connota alcuna intensità mentre un’intensità è richiesta per l’uniformità e la difformità, in qualunque modo si prenda il tempo, in nessun modo può essere detto né difforme né propriamente uniforme.]

Per definire uniformità e difformità del movimento Oresme introduce il gradus velocitatis, il grado di velocità. “Je dis donc qu’universellement ce degré de vélocité (gradus velocitatis) est simplement plus intense ou plus grand par lequel (quo) en un temps égale est plus acquis ou perdu de la perfection selon laquelle le mouvement s’est produit.” – (fr:8121/p.484) [Dico dunque che universalmente questo grado di velocità è semplicemente più intenso o più grande quello per cui (quo) in un tempo uguale è acquisito o perso più della perfezione secondo la quale il movimento si è prodotto.] Negli esempi che seguono, Oresme usa il condizionale: nel movimento locale è più intenso il grado per cui “serait traversé (pertransiretur) plus d’espace ou de distance” – (fr:8122/p.484) [sarebbe percorso più spazio o distanza]; nell’alterazione, quello per cui sarebbe acquisita più intensità di qualità; e analogamente nell’aumento e nella diminuzione. Questo condizionale non è sistematico ma riflette la natura teleologica del movimento: la distanza o il grado sono effetti del movimento, e il movimento è più o meno intenso a seconda di quanto compie.

Il grado di velocità di Oresme è stato spesso accostato alla velocità istantanea della cinematica classica. Quest’ultima è definita come il limite del rapporto spazio/tempo quando la durata tende a zero, ma “l’idée même de vitesse instantanée est absurde et contradictoire : une vitesse suppose un mouvement, donc une durée de mouvement.” – (fr:8110/p.483) [l’idea stessa di velocità istantanea è assurda e contraddittoria: una velocità suppone un movimento, quindi una durata di movimento.] Oresme, considerando la rapidità come una dimensione reale e attuale del movimento, irriducibile allo spazio e al tempo, non ha bisogno di ricorrere a tali strategie. La sua intensio non è più puntuale in sé di quanto lo sia la larghezza di un corpo; può essere studiata in un punto, ma il punto è solo il risultato di un’operazione intellettuale che “segna” un indivisibile nel continuo. Il movimento e la velocità sono per Oresme nozioni prime, realtà prime: il movimento è l’atto di compiere una perfezione, e la sua misura intensiva non è un tasso ma un grado. Questo impianto ontologico, e non l’embrione di una cinematica, costituisce il cuore della configurazione oresmiana delle qualità e dei movimenti.

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38 La velocità istantanea e la quantificazione del movimento in Oresme: finzioni matematiche e distinzioni concettuali

“« degré de vélocité » ne signifie pas « vitesse instantanée » : cette notion est en elle-même indépendante de l’échelle métrique du temps.” – (fr:8153/p.486) [«grado di velocità» non significa «velocità istantanea»: questa nozione è di per sé indipendente dalla scala metrica del tempo.]

Nel trattato emerge con chiarezza la distanza che separa la concettualizzazione tardomedievale del movimento dalle nozioni della meccanica classica. Il nodo centrale è la pretesa di attribuire a Oresme una definizione di velocità istantanea analoga a quella del calcolo differenziale. Quest’ultima, infatti, “n’est correctement définie qu’au moyen du calcul différentiel et intégral, puisqu’elle est par définition la dérivée de l’espace par le temps, ou la limite du rapport de l’espace au temps quand ce dernier tend vers 0” – (fr:8131/p.485) [non è correttamente definita se non mediante il calcolo differenziale e integrale, poiché è per definizione la derivata dello spazio rispetto al tempo, o il limite del rapporto fra spazio e tempo quando quest’ultimo tende a 0]. Oresme cercherebbe di definire qualcosa di matematicamente inaccessibile, ipotizzando che il grado di velocità implichi una durata infinitesimale, idea a lui estranea, e si risolverebbe con il condizionale: la velocità istantanea sarebbe quella che il mobile avrebbe se continuasse a muoversi con quella velocità (fr:8132/p.485). Tuttavia, “cette interprétation n’est que partiellement correcte” – (fr:8133/p.485) [questa interpretazione è solo parzialmente corretta].

In primo luogo, l’idea di velocità istantanea presa alla lettera è assurda: “la vitesse suppose un changement, par exemple un changement de lieu. Si ce changement était instantané, la vitesse serait simplement infinie” – (fr:8135-8136/p.485) [la velocità presuppone un cambiamento, per esempio di luogo. Se quel cambiamento fosse istantaneo, la velocità sarebbe semplicemente infinita]. Aristotele la rifiutava perché incoerente come un movimento immobile (fr:8137/p.485). In matematica nozioni incoerenti possono essere utili, ma “on devrait alors se garder de lui donner une interprétation physique” – (fr:8138/p.485) [bisognerebbe allora guardarsi dal darle un’interpretazione fisica]. Oresme accoglie in matematica nozioni false senza contraddizione, ad esempio il punto indivisibile o la linea indivisibile in larghezza sono finzioni matematiche; le conseguenze fisiche che ne derivano non vanno prese per oro colato (fr:8143/p.486). Sarebbe strano giudicare una scienza inferiore a un’altra perché non ricorre a nozioni assurde (fr:8144/p.486).

Pierre Souffrin ha obiettato a Clagett che è possibile definire una velocità istantanea senza calcolo differenziale (fr:8145/p.486). Oresme però non definisce una velocità istantanea: definisce un’intensità di velocità, che può essere puntuale – se di un punto mobile, finzione matematica – o istantanea, quando è quella di un mobile in un istante, entità altrettanto irreale, e in tal caso parla effettivamente di velocitas instantanea (fr:8146/p.486). Tale espressione non deve essere fraintesa (fr:8147/p.486). Il grado di velocità o intensità di velocità non significa un’intensità puntuale (fr:8148/p.486): grado e intensità appartengono alla scala metrica dei gradi di intensità, uno dei parametri della velocità, e “cette échelle peut être étudiée en elle-même, indépendamment des paramètres extensifs” – (fr:8150/p.486) [questa scala può essere studiata di per sé, indipendentemente dai parametri estensivi], come quando si dice che un cavallo ha velocità doppia di un altro senza preoccuparsi della distribuzione sul corpo. L’intensità può applicarsi anche a soggetti privi di estensione spaziale, come l’intelletto (fr:8151/p.486). Solo quando questo parametro è confrontato con le estensioni l’analisi del movimento diviene più fine e una qualità è detta puntuale, lineare, spaziale, corporea, e così una velocità può essere puntuale, lineare, di una superficie, di un corpo, oppure istantanea e temporale (fr:8152/p.486).

Il nucleo della distinzione sta nel fatto che nel De configurationibus (DC) velocitas non significa «velocità» né «rapidità» (fr:8155/p.486). Oresme usa quasi indifferentemente motus e velocitas (fr:8156/p.486). La velocitas è rappresentata dalla superficie della figura che descrive la variazione del grado di velocità secondo la durata, non dall’altezza (fr:8157/p.486). Se velocitas designasse la rapidità, la frase “Velocitas uniformis que durat per tres dies est equalis velocitati triplo intensiori que durat per unam diem” – (fr:8163/p.487) [Una velocità uniforme che dura tre giorni è uguale a una velocità tre volte più intensa che dura un giorno] condurrebbe all’assurdo che il secondo movimento sia tre volte più rapido, mentre Oresme intende che la distanza percorsa dal primo mobile in tre giorni uguaglia quella percorsa dal secondo in un solo giorno (fr:8164/p.487). La velocitas, o quantitas velocitatis, è l’analogo per il movimento della quantità di qualità: la si può interpretare provvisoriamente come il prodotto della durata per l’intensità della velocità (fr:8167/p.487).

L’istantaneità stessa è una finzione: per Oresme gli istanti non hanno più realtà dei punti (fr:8168/p.487). Egli è chiarissimo: “Omnis velocitas tempore durat” – (fr:8171/p.487) [ogni velocità dura nel tempo]. La velocità non può astrarsi dal tempo: è nel tempo che compie una perfezione (fr:8172/p.487). Quando parla di velocità istantanea, intende l’intensità della velocità in un istante della durata complessiva del movimento, così come la qualità puntuale era l’intensità in un punto del soggetto qualificato (fr:8173,8175). La velocità è rappresentata da una superficie; una semplice linea indivisibile non ha dimensione di superficie (fr:8174/p.487). L’intensità istantanea di velocità (intensio velocitatis) non coincide con il concetto cercato perché l’intensità è una dimensione della velocità, quella intensiva, “en elle-même indépendante des dimensions extensives : elle n’est en aucune manière réductible et définissable en termes extensifs” – (fr:8177/p.487) [di per sé indipendente dalle dimensioni estensive: non è in alcun modo riducibile e definibile in termini estensivi]. L’intensità di un’aratura doppia si traduce in una superficie doppia lavorata in una giornata: la superficie è effetto dell’intensità, non elemento della sua definizione (fr:8178/p.487-8179/p.488). Perciò Oresme non ha bisogno di una «durata infinitesimale» per definire il grado di velocità, nemmeno istantaneo: l’intensità non è una microdistanza percorsa in un microtempo, ma la dimensione secondo la quale una maggiore o minore perfezione è compiuta dal movimento (fr:8180/p.488).

A questi tre aspetti del movimento – la duplice estensione e l’intensità – Oresme aggiunge altre due «divisioni» o «successioni nel movimento»: la variazione dell’incipit e la variazione della velocità, mostrando che un medesimo movimento può variare secondo l’estensione o secondo l’intensità (fr:8184-8186/p.488).

Il capitolo II.4 del DC esamina brevemente la denominatio del movimento, ossia “la dénomination par laquelle on dit d’un sujet qu’il devient plus rapide ou plus lent” – (fr:8188/p.488) [la denominazione per cui si dice che un soggetto diventa più rapido o più lento]. Presso i calculatores essa aveva generato un calcolo sofisticato, ma in Oresme conserva un carattere semantico e resta del tutto secondaria (fr:8190-8191/p.488).

Sul piano storico, l’intero quadro è stato distorto dalla griglia anacronistica con cui Clagett ha letto la scienza medievale attraverso le categorie di statica, cinematica e dinamica (fr:8193-8197/p.489). La meccanica classica riguarda solo i corpi materiali, mentre Oresme include i movimenti dell’anima sensitiva e intellettiva, e persino quelli degli angeli, con osservazioni sul rapporto fra sensazioni di gioia e dolore e il tempo (fr:8198/p.489). Inoltre, i suoi concetti si applicano prima alle alterazioni qualitative e solo in seguito ai movimenti locali, interpretati come forme di alterazione, intensificazioni e attenuazioni del movimento (fr:8200/p.489). Anche per il solo movimento locale la concettualizzazione è essenzialmente differente: la nozione newtoniana di forza non corrisponde alla potentia scolastica, mentre il concetto più vicino è la qualitas o la virtus intesa come accidente inerente alla materia mobile (fr:8202-8203/p.489).

La categorizzazione non è tuttavia arbitraria, poiché già nel XIV secolo i filosofi distinguevano nettamente due modi di studiare il movimento: secundum causam e secundum effectum (fr:8205-8206/p.489). Come formula Alberto di Sassonia nel suo Tractatus proportionum, il movimento può essere “determinato secondo la sua causa (attendatur…penes causam)” o “secondo il suo effetto (penes effectum)” (fr:8209/p.490). Nel primo aspetto è determinato dalla potenza motrice e dalla resistenza che vi si oppone (fr:8210/p.490). Il problema fondamentale è se la rapidità dipenda solo dalla potenza, solo dalla resistenza, dal loro eccesso o dal rapporto fra le due (fr:8211/p.490). La soluzione adottata da Alberto e da Oresme, sulla scia di Bradwardine, è la quarta: “proportio velocitatum in motibus attenditur penes proportionem proportionum potentiarum motivarum ad suas resistentias” – (fr:8212/p.490) [il rapporto delle velocità nei movimenti è determinato dal rapporto dei rapporti delle potenze motrici alle rispettive resistenze]. In notazione moderna, se V, P e R indicano rapidità, potenza e resistenza, la regola si esprime: V₂:V₁ ∷ (P₂:P₁) : (R₂:R₁), che in termini logaritmici significa V ∝ log(P/R): se la velocità iniziale è a, questa raddoppia quando il rapporto P/R è elevato al quadrato, triplica quando è elevato al cubo, e così via (fr:8213/p.490). Così la distinzione fra movimento secondo la causa e movimento secondo l’effetto, insieme alla rigorosa separazione fra intensità e quantità totale di velocità, mostra come l’apparato concettuale di Oresme, pur lontano dalla meccanica classica, avesse una sua sofisticata coerenza interna.

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39 Misurare la velocità: la pluralità di denominazioni e la doppia difformità in Alberto di Sassonia e Oresme

La quantificazione del moto nel XIV secolo si districa tra modelli empirici, diverse classi di movimento e un’idea innovativa: la misura dipende da come si denomina il mutamento.

Il cuore del problema è l’effetto non lineare di una forza aggiuntiva, illustrato da Alberto di Sassonia con un modello tratto da Aristotele: se servono mille uomini per trainare una nave, aggiungerne uno produce un modesto aumento di velocità; se invece basta un solo uomo, l’aggiunta di un altro causa un grande balzo in avanti. Come riportato, “Le modèle empirique employé par Albert pour clarifier et justifier ce choix est le halage d’un navire, qui est également le cas de traction sur lequel Aristote expose sa métrique du mouvement : supposé que 1000 hommes sont requis pour tirer un bateau, l’addition d’un homme induit une intensification modique de la rapidité (unus addatur modicum intenditur velocitas), alors que si un seul homme est requis, l’addition d’un autre induit une grande intensification de la rapidité” – (fr:8215/p.490) [Il modello empirico impiegato da Alberto per chiarire e giustificare questa scelta è il traino di una nave, che è anche il caso di trazione su cui Aristotele espone la sua metrica del movimento: supposto che 1000 uomini siano necessari per tirare una barca, l’aggiunta di un uomo induce un modesto aumento della rapidità, mentre se un solo uomo è necessario, l’aggiunta di un altro induce un grande aumento della rapidità]. È il dato che, fin da al-Kindī, fonda l’impiego di una proporzione geometrica o di una funzione logaritmica per descrivere l’effetto di una causa sulla velocità.

La determinazione del moto secondo l’effetto, cioè la sua misura, procede allora per tipologie distinte. Per il moto locale rettilineo, la velocità è data dallo spazio lineare percorso in un tempo fissato: “le mouvement local rectiligne (la translation) est déterminé « par l’espace linéaire décrit par le mobile pendant un temps déterminé (penes spatium lineale descriptum ab ipso mobili in tanto vel tanto tempore) »” – (fr:8222/p.491) [il moto locale rettilineo (la traslazione) è determinato «dallo spazio lineare descritto dal mobile in un tempo determinato»]. Poiché il mobile è un corpo solido, Alberto sceglie come estremi della misura la posizione del “point médian (punctus medius)” – (fr:8224/p.491) [punto mediano] del corpo, all’inizio e al termine del movimento, scartando spazio corporeo e superficiale perché un volume maggiore falserebbe la misura. Nel caso dell’aumento la rapidità è relativa alla grandezza preesistente: “La rapidité d’une augmentation, quant à elle, est déterminée par « le rapport de la somme de la quantité acquise et de la quantité préexistante à la quantité préexistante (proportionem compositi ex quantitate preexistente et quantitate acquisita ad quantitatem preexistentem) »” – (fr:8225/p.491) [La rapidità di un aumento, dal canto suo, è determinata dal «rapporto della somma della quantità acquisita e della quantità preesistente alla quantità preesistente»]; se un corpo di un piede triplica la sua altezza mentre un corpo di tre piedi la raddoppia, il primo aumenta più in fretta. Per l’alterazione, invece, Heytesbury e Alberto scartano la dimensione del soggetto: un grande cavallo e una piccola fava che diventano entrambe massimamente bianche nello stesso tempo hanno la stessa rapidità di alterazione. Decide qui “la « qualité acquise pendant un temps déterminé (qualitas acquisita in tanto vel tanto tempore) » qui détermine la rapidité de l’altération, indépendamment de la taille de la substance affectée” – (fr:8231/p.491) [la «qualità acquisita in un tempo determinato» che determina la rapidità dell’alterazione, indipendentemente dalla dimensione della sostanza interessata].

Oresme sposta la prospettiva con la nozione di denominatio: la stima della velocità dipende dal nome che si dà al mutamento. “Alors que le traité d’Albert de Saxe semble examiner ce problème de manière absolue, Oresme considère que cette estimation dépend du nom par lequel on dénomme et qui connote un même mouvement” – (fr:8235/p.492) [Mentre il trattato di Alberto di Sassonia sembra esaminare questo problema in modo assoluto, Oresme ritiene che questa stima dipenda dal nome con cui si denomina e che connota uno stesso movimento]. Così una pietra che cade può essere vista come motus (traslazione misurata dallo spazio percorso) oppure come descensus (avvicinamento al centro del mondo). I due metri non coincidono: due corpi A e B che percorrono distanze lineari uguali nello stesso tempo hanno la stessa velocità di traslazione, ma se A si muove lungo la verticale e B lungo un’obliqua, A si avvicina più rapidamente al centro. “La situation à laquelle pense Oresme est manifestement la suivante : si A et B chutent d’une hauteur C, de telle sorte qu’ils atteignent respectivement D et E en même temps, avec CD = CE, comme la distance au centre du monde OD est plus petite que CE, A a chuté plus rapidement que B, bien qu’ils se déplacent à la même vitesse” – (fr:8240/p.492) [La situazione a cui pensa Oresme è manifestamente la seguente: se A e B cadono da un’altezza C, in modo che raggiungano rispettivamente D ed E nello stesso tempo, con CD = CE, poiché la distanza dal centro del mondo OD è minore di CE, A è caduto più rapidamente di B, benché si spostino alla stessa velocità]. La rapidità della caduta è quindi misurata dal rapporto di avvicinamento al centro, analogamente a come la rapidità di una rotazione è misurata dall’angolo descritto, non dall’arco. L’esempio celeste è eloquente: “« le ciel se meut difformément, mais tourne uniformément » : sa révolution est subjectivement uniforme en tant que rotation mesurée par les angles, parce que tout point de sa surface concave parcourt un même angle en une même durée, mais subjectivement difforme en tant que mouvement mesuré par les arcs, parce que plus un point s’éloigne de l’équateur et se rapproche des pôles, plus il est lent” – (fr:8248/p.493) [«il cielo si muove difformemente, ma ruota uniformemente»: la sua rivoluzione è soggettivamente uniforme in quanto rotazione misurata dagli angoli, poiché ogni punto della sua superficie concava percorre uno stesso angolo in una stessa durata, ma soggettivamente difforme in quanto movimento misurato dagli archi, perché più un punto si allontana dall’equatore e si avvicina ai poli, più è lento].

Oresme estende questa pluralità di misure anche all’aumento e all’alterazione, laddove Alberto la limitava al moto locale. Per l’aumento come augmentatio vale la stessa regola di Heytesbury e Alberto (rapporto tra grandezza finale e iniziale), ma preso come acquisitio il criterio è la semplice quantità acquisita. Nasce così un paradosso: “En revanche, en tant qu’acquisition, la rapidité du mouvement est estimée par la quantité acquise, de sorte que là encore, il peut se faire une contradiction entre ces deux aspects, ces deux dénominations du mouvement, comme si « un grand arbre (…) croît en un jour de deux doigts, et un petit arbre, d’un doigt : alors, le grand arbre acquière une grandeur plus rapidement, mais augmente plus lentement »” – (fr:8269-8270/p.494) [Per contro, in quanto acquisizione, la rapidità del movimento è stimata dalla quantità acquisita, cosicché anche qui può sorgere una contraddizione tra questi due aspetti, queste due denominazioni del movimento, come se «un grande albero (…) cresce in un giorno di due dita, e un piccolo albero di un dito: allora il grande albero acquista una grandezza più rapidamente, ma aumenta più lentamente»]. La rarefazione è parimenti ricondotta a un aumento di volume, non all’alterazione di un grado di rarità.

Sul piano metafisico, Oresme riconduce tutte queste misure a un principio unificatore: il movimento è acquisizione di perfezione, e la sua velocità è sempre misurata dai gradi di perfezione acquisiti, qualunque sia la denominazione. “« Cependant, en toutes choses universellement, un degré de vélocité est d’autant plus intense ou plus grand qu’en des temps égaux, le sujet devient plus « tel », quelle que soit la dénomination sous laquelle on parle d’acquisition plus ou moins rapide »” – (fr:8280/p.495) [«Tuttavia, in ogni cosa universalmente, un grado di velocità è tanto più intenso o tanto maggiore quanto in tempi uguali il soggetto diviene più “tale”, qualunque sia la denominazione secondo cui si parla di acquisizione più o meno rapida»]. Il moto è dunque sempre inteso come fluxus, acquisizione di gradi.

L’ultimo tassello è la doppia difformità. Oresme concepisce il movimento come una realtà doppiamente estensiva: lungo il soggetto e nel tempo, due dimensioni che si intersecano perpendicolarmente “à la manière d’une croix” – (fr:8285/p.495) [al modo di una croce]. Ne derivano quattro specie: uniforme in entrambe le estensioni, uniforme soggettivamente e difforme temporalmente (regolare ma difforme), difforme soggettivamente e uniforme temporalmente, difforme in entrambe. Come esempio di moto difforme ma regolare viene proposto “le mouvement du ciel, c’est-à-dire le mouvement journal de tout le corps qui s’étend de la sphère de la lune jusqu’à la neuvième sphère et qu’emporte cette dernière” – (fr:8296/p.496) [il movimento del cielo, cioè il moto diurno di tutto il corpo che si estende dalla sfera della luna fino alla nona sfera e che quest’ultima trascina]; un moto che, misurato in coordinate angolari, è uniforme, ma misurato linearmente è difforme perché i punti più lontani dall’equatore percorrono archi minori. La doppia estensione e la conseguente classificazione delle difformità mostrano come, in queste pagine, la riflessione sulla velocità si stia già orientando verso una trattazione funzionale a due variabili, molto prima della matematizzazione piena del moto.

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40 La misura della rapidità di una linea in rotazione: Gérard di Bruxelles tra quadratura del cerchio e critica di Oresme e Bradwardine

Il problema di tradurre la rapidità di un punto in rapidità di una linea apre un confronto serrato fra due paradigmi: la misura «per superficie» di Gérard e la misura «per spatium lineare» di Oresme, con un esito geometrico che mobilita Archimede per eguagliare traslazione e rotazione.

Il testo affronta un nodo concettuale della cinematica medievale: come passare da una misura puntuale della rapidità a una misura lineare. «Comme précédemment, le problème est donc de passer de la mesure d’une rapidité ponctuelle à celle d’une rapidité linéaire.» – (fr:8408/p.503) [Come in precedenza, il problema è dunque passare dalla misura di una velocità puntuale a quella di una velocità lineare.] L’autore osserva che la questione può apparire arbitraria, ma Gérard de Bruxelles ritiene che il movimento reale di una linea in rotazione sia correttamente misurato solo dal suo punto mediano; una scelta che poggia su un’intuizione forte, indipendente dalla rapidità dei singoli punti: «si deux lignes égales sont déplacées de quelque manière que ce soit en des durées égales, celle qui a traversé la plus grande surface a été la plus rapide, et si les surfaces traversées sont égales, les deux lignes ont été aussi rapides l’une que l’autre.» – (fr:8409/p.503) [se due linee uguali sono spostate, in qualsiasi modo, in durate uguali, quella che ha attraversato la superficie maggiore è stata la più rapida, e se le superfici attraversate sono uguali, le due linee sono state ugualmente rapide.] Ne discende, come illustrato nella Figura 184, che «Pour des lignes égales, la rapidité est donc mesurée par la surface traversée.» – (fr:8410/p.503) [Per linee uguali, la rapidità è dunque misurata dalla superficie attraversata.]

Tale posizione inverte il percorso seguito fino a quel momento. Oresme misura la rapidità allo spatium lineare, che il mobile sia un punto, una linea, una superficie o un corpo, perché — spiega Alberto di Sassonia — se la rapidità di una linea fosse misurata dalla superficie attraversata, basterebbe allungare la linea per vederne aumentare la rapidità. (fr:8411‑8412) Gérard, al contrario, possiede un’intuizione di uguaglianza di rapidità a livello delle linee stesse, non dedotta dai punti che le compongono, ma valida solo per linee uguali: unico caso in cui la superficie può effettivamente fungere da misura. (fr:8413/p.503, Figura 185) La sua scelta è dettata dalla volontà di eguagliare rapidità di traslazione e di rotazione, come mostra la prima proposizione del secondo libro, dove si afferma che il movimento (cioè la rapidità) dell’equinoziale sta al movimento del suo diametro in rapporto sesquitierzo. (fr:8414/p.503) Bradwardine obietta che è irrazionale pensare che un cerchio ruoti più velocemente del suo diametro (fr:8415, Figura 186) e oppone a Gérard la propria Suppositio 4: «Inter lineas rectas equales equalibus temporibus motas, que maius spacium pertransit, et ad maiores terminos, magis movetur.» – (fr:8416/p.503) [Tra linee rette uguali mosse in tempi uguali, quella che attraversa uno spazio maggiore, e verso termini maggiori, si muove di più.] La supposizione, da completare con le 5, 6 e 7, precisa l’espressione ad maiores terminos: quando una linea ruota, una delle sue estremità percorre un cammino più ampio di quelle di una linea uguale in traslazione a partire dalla medesima posizione iniziale. (fr:8417‑8418) Bradwardine, forse all’origine di questo chiarimento, aveva già e esplicitamente criticato l’idea di Gérard, pur riconoscendolo «beaucoup plus subtile (subtilior multum)» dei predecessori, e aveva difeso la misura del moto mediante lo spazio lineare, reale o immaginario: «On voit que cette position est en quelque sorte contraire à la raison.» – (fr:8419/p.503) [Si vede che questa posizione è in qualche modo contraria alla ragione.] Le fonti rimandano a Thomas Bradwardine e Nicole Oresme, Traité des rapports entre les rapidités dans les mouvements, edito da Sabine Rommevaux (II.IV.2, pp. 65‑66), a Gérard de Bruxelles, De motu, p. 127, e al Traité sur les rapports, p. (fr:8420‑8424)

Il problema è quindi riformulato in termini geometrici con una figura (F O B A): data la rotazione di OF in OA, si deve determinare l’altezza FB a cui si eleverebbe la stessa linea OF nello stesso tempo e con uguale rapidità, in modo che la superficie del quadrilatero OFB eguagli la porzione di cerchio OFA. (fr:8424/p.504) Ciò equivale a una quadratura, e Gérard può ragionare a partire dall’uguaglianza dimostrata da Archimede fra l’area del cerchio e un triangolo che ha per lato il raggio e per base la circonferenza. (fr:8425/p.504) L’autore considera però il caso più complesso di un segmento CF (C punto qualunque del raggio OF) e sembra dedurre il caso del raggio intero solo da questa dimostrazione generale. Si tratta dunque di calcolare l’altezza del parallelogrammo CFB la cui superficie eguagli quella dell’anello CFA. (fr:8426‑8427) Costruito il triangolo RLN di area pari al cerchio di raggio OF, con RL uguale al raggio OF e LN uguale alla circonferenza, e preso S su RL in modo che SL = CF, il problema si riduce a determinare la lunghezza LM del rettangolo percorso dalla traslazione di SL e la cui superficie eguagli l’anello compreso tra i cerchi di raggio OF e OC. (fr:8428/p.504) La costruzione mostra come Gérard, ereditando la geometria archimedea, tenti di risolvere un’antinomia che oppone la misura «lineare» e quella «per superficie» della rapidità, offrendo una testimonianza preziosa della riflessione tardo-medievale sul movimento e sulle grandezze continue.

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[23.1/1-21-8438|8458]

41 La lettura proporzionale del triangolo di Archimede e il passaggio alla meccanica in Gérard

Gérard interpreta il triangolo di Archimede come una variazione lineare della circonferenza in funzione del raggio, e da questa lettura proporzionale ricava l’equivalenza cinematica tra un moto di traslazione uniforme e la rotazione di un segmento, riducendo la velocità di quest’ultimo a quella del suo punto mediano.

Nel testo, Gérard adotta una lettura del triangolo di Archimede che non si limita a un’uguaglianza di superficie, ma mette in luce l’insieme delle proporzioni interne. La similitudine tra i triangoli REQ e RLN fornisce la proporzione (RL : RS) = (LN : SQ), dalla quale consegue che SQ è uguale alla circonferenza del cerchio di raggio RS: «Par conséquent, comme le triangle REQ est semblable au triangle RLN, (RL : RS) = (LN : SQ), de sorte que SQ est égal à la circonférence d’un cercle de rayon RS.» – (fr:8438/p.505) [Di conseguenza, poiché il triangolo REQ è simile al triangolo RLN, (RL : RS) = (LN : SQ), così che SQ è uguale alla circonferenza di un cerchio di raggio RS.] Tale lettura proporzionale è caratteristica di Gérard: «Comme on le voit, Gérard a une lecture proportionnelle du triangle d’Archimède : il n’y voit pas simplement une surface égale au cercle, mais un ensemble de proportions internes, telles que si SR est un rayon quelconque, la verticale qu’on élève (ou qu’on abaisse) jusqu’au troisième côté du triangle RLN est égale à la circonférence du cercle de rayon RS.» – (fr:8439/p.505) [Come si vede, Gérard ha una lettura proporzionale del triangolo di Archimede: non vi vede semplicemente una superficie uguale al cerchio, ma un insieme di proporzioni interne, tali che se SR è un raggio qualsiasi, la verticale che si innalza (o si abbassa) fino al terzo lato del triangolo RLN è uguale alla circonferenza del cerchio di raggio RS.] In termini moderni ciò esprime la variazione lineare della circonferenza in funzione della lunghezza del raggio, benché Gérard resti all’interno della teoria tradizionale dei rapporti e non introduca ancora punti variabili o quantità successive come farà Oresme: «En langage moderne, pour Gérard, le triangle d’Archimède représente la variation linéaire de la circonférence en fonction de la longueur du rayon, bien qu’il s’exprime dans les termes de la théorie traditionnelle des rapports, et qu’il ne soit nullement question de point variable ou de « quantité successive » comme ce sera le cas chez Oresme : S est quelconque, et non variable.» – (fr:8440/p.505) [In linguaggio moderno, per Gérard il triangolo di Archimede rappresenta la variazione lineare della circonferenza in funzione della lunghezza del raggio, benché egli si esprima nei termini della teoria tradizionale dei rapporti e non si tratti affatto di punto variabile o di «quantità successiva» come accadrà con Oresme: S è qualsiasi, e non variabile.]

Dalla proporzionalità discendono anche relazioni di superficie. La superficie racchiusa dalla linea RSQ eguaglia quella del cerchio di raggio RS, mentre la superficie restante, il trapezio SLNQ, è necessariamente uguale all’anello compreso tra il cerchio di raggio OF = LR e quello di raggio OC = RS: «De plus, la surface enfermée par cette ligne quelconque, RSQ, est égale à la surface du cercle de rayon RS, et la surface restante, le trapèze SLNQ, est nécessairement égale à l’anneau compris entre le cercle de rayon OF = LR et celui de rayon OC = RS.» – (fr:8441/p.505) [Inoltre, la superficie racchiusa da questa linea qualsiasi RSQ è uguale alla superficie del cerchio di raggio RS, e la superficie restante, il trapezio SLNQ, è necessariamente uguale all’anello compreso tra il cerchio di raggio OF = LR e quello di raggio OC = RS.] Per mostrare questa uguaglianza Gérard costruisce la linea MP parallela a LR, che taglia QN in due metà uguali, e riconduce il problema a dimostrare che il trapezio SLNQ è uguale al rettangolo SLMP: «Gérard construit la ligne MP parallèle à LR qui coupe QN en deux moitiés égales : il reste donc à montrer que le trapèze SLNQ est égale au rectangle SLMP.» – (fr:8442/p.505) [Gérard costruisce la linea MP parallela a LR che taglia QN in due metà uguali: resta dunque da mostrare che il trapezio SLNQ è uguale al rettangolo SLMP.]

La dimostrazione è condotta in due modi, per un motivo che non appare chiaro: dapprima sfruttando l’uguaglianza dei triangoli MNO e OPQ, poi osservando che, essendo MN = PQ, la linea SP eguaglia la metà della somma (SQ + LN): «Pour une raison qui n’est pas claire, Gérard le montre en fait successivement de deux manières : (1) d’abord, parce que les triangles MNO et OPQ sont égaux ; (2) ensuite parce que MN étant égal à PQ, la ligne SP égale la moitié de la somme (SQ + LN).» – (fr:8443/p.505) [Per una ragione che non è chiara, Gérard lo mostra di fatto in due modi successivi: (1) in primo luogo perché i triangoli MNO e OPQ sono uguali; (2) poi poiché MN è uguale a PQ, la linea SP eguaglia la metà della somma (SQ + LN).] La superficie dell’anello si calcola proprio come prodotto della differenza dei raggi (SL) per la media delle circonferenze che lo delimitano: «Or, la surface de l’anneau est justement égale au produit de la différence des rayons (SL) par la moitié de la somme des circonférences qui le limitent, SQ et LN.» – (fr:8444/p.505) [Ora, la superficie dell’anello è appunto uguale al prodotto della differenza dei raggi (SL) per la metà della somma delle circonferenze che lo delimitano, SQ e LN.] La seconda dimostrazione sembra motivata dall’esigenza di riformulare il valore della superficie dell’anello così come calcolato nel cerchio OF stesso, e non solo entro il triangolo archimedeo, quasi si volesse confermare l’uguaglianza del trapezio all’anello non più soltanto per deduzione geometrica ma mediante un calcolo diretto: «191 Cette deuxième démonstration semble s’expliquer par le besoin de reformuler la valeur de la surface de l’anneau telle que calculée dans le cercle OF luimême, et non simplement dans le triangle archimédien, comme s’il fallait confirmer que le trapèze est bien égal à l’anneau non plus seulement par déduction géométrique, mais par calcul direct.» – (fr:8445/p.505) [191 Questa seconda dimostrazione sembra spiegarsi con la necessità di riformulare il valore della superficie dell’anello così come calcolato nel cerchio OF stesso, e non semplicemente nel triangolo archimedeo, come se occorresse confermare che il trapezio è proprio uguale all’anello non più soltanto per deduzione geometrica ma mediante calcolo diretto.]

Algebraicamente l’anello è espresso dall’uguaglianza π·R² − π·r² = π·(R+r)·(R−r) = (2πR+2πr)/2·(R−r) (dove i simboli 𞑂𞠹 e 𞑂𝰶 indicano i raggi R e r). Tale catena di uguaglianze è restituita dai frammenti: «Algébriquement, l’anneau égale 𝜋.» – (fr:8448/p.505) [Algebricamente, l’anello è uguale a π.], «𞑂𞠹2 − 𝜋.» – (fr:8449/p.505) [R² – π.], «𞑂𝰶2 = 𝜋.» – (fr:8450/p.505) [r² = π.], «(𞑂𞠹 + 𞑂𝰶).» – (fr:8451/p.86) [(R + r).], «(𞑂𞠹 − 𞑂𝰶) = 2𝜋.𝑂𞠹+2𝜋.𝑂𝰶 2 .» – (fr:8452/p.505) [(R − r) = (2π·R + 2π·r)/2.] La lunghezza cercata risulta così TO = LM, che è la media delle circonferenze che delimitano l’anello: «longueur que nous recherchions est donc TO = LM qui est la moyenne des circonférences qui limitent l’anneau.» – (fr:8453/p.506) [la lunghezza che cercavamo è quindi TO = LM, che è la media delle circonferenze che delimitano l’anello.]

La prima parte del problema è con ciò risolta e consente il passaggio dalle proprietà geometriche a quelle meccaniche: se la linea LS è mossa con moto di traslazione uniforme fino a MP, con LM media delle lunghezze LN e SQ, e nello stesso tempo CF compie una rivoluzione completa attorno a O, allora LS e CF si muovono con uguale velocità. «La première partie du problème est donc résolue, comme le montre le passage des propriétés géométriques aux propriétés mécaniques : si la ligne LS est mue également et uniformément (donc par translation) jusqu’en MP, avec LM moyenne des longueurs LN et SQ, et si dans le même temps CF accomplit une révolution complète autour de O, alors LS et CF se meuvent à égale vitesse.» – (fr:8446/p.505) [La prima parte del problema è dunque risolta, come mostra il passaggio dalle proprietà geometriche alle proprietà meccaniche: se la linea LS è mossa in modo uguale e uniforme (dunque per traslazione) fino a MP, con LM media delle lunghezze LN e SQ, e se nello stesso tempo CF compie una rivoluzione completa attorno a O, allora LS e CF si muovono con uguale velocità.] L’edizione del Liber de motu curata da Clagett distingue due tradizioni testuali che seguono ragionamenti sensibilmente diversi (fr:8447/p.505), ricordando che il trattato ebbe una trasmissione non lineare.

Resta la seconda parte: eguagliare la rapidità lineare di CF a una rapidità puntuale. «Reste la seconde partie du problème, à savoir l’égalisation de la rapidité linéaire de CF à une rapidité ponctuelle.» – (fr:8454/p.506) [Resta la seconda parte del problema, vale a dire l’uguaglianza della rapidità lineare di CF a una rapidità puntuale.] Gérard ragiona così: il moto di traslazione di LS è uniforme, perciò l’intera linea si muove tanto velocemente quanto uno qualsiasi dei suoi punti, in base alla seconda ipotesi: «quando linea equaliter et uniformiter et equidistanter movetur, in omnibus partibus et punctis suis ipsis equaliter movetur» – (fr:8455/p.506) [quando una linea è mossa in modo uguale, uniforme e parallelo, in tutte le sue parti e in tutti i suoi punti essa è mossa con uguale velocità]. Si ha qui il solo caso in cui dal movimento della linea si possa dedurre immediatamente il movimento dei punti: «C’est donc le seul cas où du mouvement de la ligne, on peut déduire immédiatement le mouvement des points.» – (fr:8456/p.506) [È dunque il solo caso in cui dal movimento della linea si può dedurre immediatamente il movimento dei punti.] Ciascuno di questi punti percorre la linea LM = TO, che è uguale alla circonferenza del cerchio di raggio RT = OV, dove V è il punto mediano tra C e F. La linea totale SL è perciò mossa tanto velocemente quanto il punto mediano V tra C e F e quanto la linea CF in rotazione: «Or, chacun de ces points parcoure la ligne LM = TO qui est égale à la circonférence du cercle de rayon RT = OV dans le cercle, avec V point médian entre C et F. La ligne totale SL est donc mue aussi vite à la fois que le point V médian entre C et F, et que la ligne CF en rotation.» – (fr:8457/p.506) [Ora, ciascuno di questi punti percorre la linea LM = TO che è uguale alla circonferenza del cerchio di raggio RT = OV nel cerchio, con V punto mediano tra C e F. La linea totale SL è dunque mossa con la stessa velocità sia del punto V mediano tra C e F, sia della linea CF in rotazione.] Per identità, la linea CF è mossa con la stessa velocità del suo punto mediano V. La dimostrazione si applica a un segmento CF del raggio OF: «Par identité, la ligne CF est donc mue aussi vite que son point médian V. Cette démonstration concerne un segment CF du rayon OF.» – (fr:8458/p.506) [Per identità, la linea CF è dunque mossa tanto velocemente quanto il suo punto mediano V. Questa dimostrazione riguarda un segmento CF del raggio OF.]

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[24.1/1-77-8500|8576]

42 Dalla riduzione al punto alla gerarchia delle uniformità nel movimento: Oresme e la teoria delle configurazioni

La teoria delle configurazioni non solo vieta di ridurre il corpo a un punto, ma svela una stratificazione di dimensioni, uniformità e relazioni reali – musicali e geometriche – che culmina nel movimento stesso del principio del movimento.

Il testo estratto indaga i fondamenti e le implicazioni della dottrina delle configurationes di Nicole Oresme, mostrando come il significato della superficie generata dalla variazione temporale della velocità non coincida con la semplice misura dello spazio percorso, ma definisca una «quantità della velocità totale». Oresme sa bene che la riduzione del corpo mobile a un punto, pur occasionale e apparentemente comoda, nasconde problemi fisici essenziali: «si l’on réduisait le degré de vélocité de la ligne à un degré moyen, on passerait à côté du fait qu’elle tourne» – (fr:8501/p.509) [se si riducesse il grado di velocità della linea a un grado medio, si trascurerebbe il fatto che essa ruota]. La presa in conto dei fenomeni di rigidità e deformazione, nonché la distinzione fra movimenti che conservano la figura e movimenti che la deformano, «suppose le rejet en général de la réduction du corps à un point mobile» – (fr:8502/p.509) [suppongono in generale il rifiuto della riduzione del corpo a un punto mobile]. L’autore sottolinea che tale riduzione non è ovvia, e che lo scopo stesso della teoria delle configurazioni è dimostrare che «en général un corps ne doit pas fictivement être réduit à un point» – (fr:8506/p.509) [in generale un corpo non deve essere fittiziamente ridotto a un punto]. Solo dove la variazione soggettiva può essere trascurata – per esempio per calcolare la distanza percorsa da un cavallo senza analizzare il movimento di ogni zampa – la riduzione è ammissibile (fr:8503/p.509).

La figurazione temporale della velocità assegna alla superficie un ruolo nuovo: essa consente di definire la quantitas velocitatis totalis e di stabilire rapporti fra i movimenti (fr:8507/p.509). Ma la difficoltà risiede nel significato di tale espressione e nell’assimilazione della superficie a questa quantità. La velocità oresmiana non è la vitesse intesa in senso moderno: «c’est la quantité de la perfection qui est acquise ou perdue par le mouvement» – (fr:8509/p.509) [è la quantità della perfezione che viene acquisita o persa col movimento]. Il movimento è un compimento, un’attività che attualizza una potenza, sia essa acquisizione o distruzione (fr:8510/p.509). A chiarire tale concezione l’autore ricorre all’esempio delle misure agrarie medievali: accanto alla misura geometrica in arpent (basata su pertiche e lati) esisteva la misura a stima in journal, determinata dalla quantità di superficie lavorabile da un contadino in una giornata, dipendente da luogo, tipo di terreno e intensità del lavoro (fr:8514‑8516). Per Oresme il movimento è ancora vicino a un’attività concreta come l’aratura: «ce qu’il appelle “intensité du mouvement” répond à l’intensité d’une activité ou d’un travail ; la “vélocité” est mesurée par la quantité de perfection ou d’effet produit par l’activité pendant une unité de temps, comme une journée» – (fr:8517/p.510) [l’“intensità del movimento” corrisponde all’intensità di un’attività o di un lavoro; la “velocità” è misurata dalla quantità di perfezione o di effetto prodotto dall’attività in una unità di tempo, come una giornata]. Se un contadino ara in un giorno il doppio della terra di un altro, la velocità del suo lavoro è doppia (fr:8518/p.510).

Proprio questa distinzione spiega perché Pierre Duhem, traducendo sistematicamente velocitatio con «vitesse», ritenesse Oresme non sufficientemente esplicito nell’identificare il rapporto delle velocità con il rapporto delle distanze percorse, malgrado egli affermasse apertamente che il rapporto delle velocità è simile al rapporto delle figure (fr:8519‑8521). L’autore chiarisce invece che Oresme, fin dalle Questiones super geometriam Euclidis, dichiara senza ambiguità la validità generale delle sue regole metriche per le velocità: «Tertia propositio est quod idem potest dici de velocitatibus sicut de qualitatibus linearibus ymaginando velocitatem ad modum unius superficiei cuius longitudo sit tempus et latitudu sit velocitatis in gradu intensio» – (fr:8534/p.511) [«Terza proposizione: lo stesso può dirsi delle velocità come delle qualità lineari, immaginando la velocità come una superficie la cui lunghezza sia il tempo e la larghezza l’intensità della velocità in grado»]. Se Oresme non aggiunge sistematicamente che quel rapporto è anche il rapporto delle distanze percorse, è perché non tutti i movimenti sono locali e perché la quantità di movimento può esprimersi sia come lunghezza dello spostamento sia come forza della percossa, come nel caso balistico (fr:8536‑8538). La distanza percorsa è solo la misura di questa quantità che si accumula nel corso del movimento (fr:8539/p.488).

Affrontata la difformità soggettiva e quella temporale, Oresme si interroga sulla loro doppia variazione – secondo il corpo e secondo il tempo – aprendo la via a un’analisi che anticipa le funzioni a due variabili (fr:8540‑8541). L’accostamento allo studio delle corde vibranti non è anacronistico, perché Buridano descriveva il moto vibratorio di una corda di cetra e Oresme esamina le micro-variazioni della linea di cresta in casi che sembrano astratti proprio da quel fenomeno (fr:8542/p.511). La comparatio non è per Oresme un’operazione mentale, ma una relazione reale tra gli oggetti confrontati, che sussiste anche se non pensata (fr:8543‑8544). Su questa base egli suggerisce che difformità soggettive e temporali possano essere legate da una relazione di tale genere, e introduce una parva difficultas di significato non immediatamente chiaro: la figurazione delle due difformità produce uno sfasamento dimensionale. La difformità temporale della velocità ha una dimensione in più di quella soggettiva, cosicché raffigurare la difformità temporale di una linea mobile richiede già un solido, mentre per un corpo mobile occorrerebbero cinque dimensioni (fr:8547/p.512). Non potendo immaginare oltre la terza dimensione, Oresme indica che la figura di una linea, di una superficie o di un corpo mobile è in ogni caso un corpo (fr:8548/p.512). Egli nota poi che la difformità rappresentata da una superficie è, nel caso soggettivo, quella di una linea mobile, mentre nel caso temporale è quella di un punto mobile sulla linea che rappresenta la durata (fr:8550/p.512). Sussiste allora una comparatio fra le due figure superficiali, e come un solido può essere conosciuto a partire dalle superfici, così le relazioni tra le specie di difformità possono essere conosciute dal confronto di quelle figure superficiali (fr:8551/p.512). Piuttosto che studiare direttamente l’uniformità del corpo solido che rappresenterebbe la variazione temporale della linea, Oresme sembra suggerire di confrontare la difformità soggettiva della linea con quella temporale di ciascun suo punto, individuando regolarità che emergono solo da tale confronto (fr:8552/p.512). L’autore esemplifica questa strategia con un proprio grafico che compone una difformità soggettiva uniforme e una temporale punto per punto, rappresentando la rotazione uniformemente decrescente di un raggio attorno a un punto: «Un tel solide, en lui-même, n’est pas uniforme ni uniformément difforme, mais son analyse par comparaison des surfaces qui le composent révèle qu’il est composé de deux uniformités, donc d’un nouveau genre de variation» – (fr:8557/p.513) [Un tale solido, in sé, non è uniforme né uniformemente difforme, ma la sua analisi mediante confronto delle superfici che lo compongono rivela che è formato da due uniformità, dunque da un nuovo genere di variazione]. L’espressione analitica corrispondente consisterebbe nella determinazione dell’altezza della figura in funzione di due variabili, tempo e posizione del punto sulla linea (fr:8558/p.513). È notevole che le regolarità che Oresme identifica immediatamente siano consonanze e dissonanze musicali; proprio per evidenziare armonie e disarmonie era stata introdotta la comparazione di figure nella prima parte (fr:8560‑8561).

L’analisi si approfondisce ulteriormente con la successio secundum inceptionem, una nuova sorta di uniformità che scaturisce dalla variazione del principio del movimento secondo le parti soggettive. Un mobile, come una bacchetta flessibile, può cominciare a muoversi tutto insieme o parte dopo parte; lo stesso vale per un incendio che inizia in punti diversi di una foresta (fr:8569‑8571). Oresme però va oltre la semplice constatazione cronologica e si interessa alla rapidità con cui il principio si propaga, assimilandola a un movimento locale di un punto che percorre la sostanza (fr:8572‑8574). In questo modo la variazione del cominciamento diviene essa stessa un movimento – il movimento del principio del movimento – suscettibile delle stesse dimensioni e degli stessi due generi di uniformità del movimento in generale (fr:8575‑8576). Il percorso concettuale tracciato mostra come la teoria delle configurazioni, lungi dal ridurre la complessità fisica a un punto, dispieghi una gerarchia di dimensioni e relazioni reali che culmina in un movimento interno al movimento stesso.

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[25.1/1-27-8672|8696]

43 La dottrina della velocitatio e la sua estensione ontologica in Oresme

La natura dell’accelerazione e del rallentamento non è simmetrica: «Il n’y a donc pas symétrie entre accélération limitée et ralentissement illimité, même en tenant compte de la finitude nécessaire des mouvements naturels.» - (fr:8672/p.522) [Non vi è dunque simmetria tra accelerazione limitata e rallentamento illimitato, anche tenendo conto della necessaria finitezza dei movimenti naturali.] Questa asimmetria si radica nel rapporto inverso con la massima velocità: più un corpo si avvicina all’equatoriale, più si approssima alla rapidità massima del corpo in rotazione (fr:8671/p.522), mentre la natura impone, inversamente, una lentezza massima (fr:8669/p.522). Ne consegue che, in condizioni naturali, accelerazione e rallentamento sono vincolati da estremi invalicabili: «rapidité maximale du corps, lenteur maximale du corps ou nulle de son axe de rotation» - (fr:8673/p.522) [rapidità massima del corpo, lentezza massima del corpo o nulla del suo asse di rotazione].

L’interpretazione della continuità di un’accelerazione dipende dalla presenza o meno di un termine naturale. Quando il movimento possiede un termine, come la caduta di un grave il cui termine è il centro della terra, la continuità dell’accelerazione può essere interpretata in modo additivo e divergente, poiché la limitazione è definita dal suo terminus ad quem, dove si produrrà un’oscillazione fino all’arresto (fr:8674/p.522). Al contrario, quando il movimento non è definito da un termine naturale — come accade nei casi puramente immaginari, ma necessari per indebolire la portata degli argomenti aristotelici sulla finitezza e l’unità del mondo — la continuità deve essere interpretata in modo proporzionale e convergente, per evitare di porre un infinito in atto, matematicamente accettabile sotto certe condizioni ma naturalmente impossibile (fr:8675/p.522). È probabilmente questa varietà delle condizioni, immaginarie e naturali, del movimento e della sua accelerazione a spiegare la varietà delle interpretazioni possibili della continuità di un’accelerazione (fr:8676/p.522). Ciò illumina anche la scelta, a prima vista sorprendente, di Jacques de Saint-Martin di definire l’accelerazione in termini proporzionali e non additivi: il fatto che egli comprenda implicitamente la proporzionalità come convergente sembra significare che definisce questo grado superiore di movimento solo per dimostrare che un’accelerazione continua non implica una rapidità infinita (fr:8677/p.522).

La nozione di velocitatio proposta da Oresme presenta così tre caratteristiche maggiori: l’accelerazione è un accidente del mobile (o un modo d’essere del mobile), determinato dalla velocità ma distinto da essa; è quantificabile al modo di qualsiasi movimento, secondo il suo grado d’intensità; ma la sua quantificazione sarà arbitrariamente additiva o proporzionale a seconda del movimento studiato (fr:8678/p.522). Nel De configurationibus, l’accelerazione in quanto tale non gioca più alcun ruolo, e il grado di accelerazione, e non semplicemente di velocità, non interviene (fr:8679/p.522).

Oresme estende questo modello ben oltre il movimento locale. Il movimento è solo un caso particolare delle res successiva (fr:8681/p.523), e il capitolo sulla grande divisione ontologica ha il compito di estendere la figurazione esposta sul movimento all’insieme delle realtà successive (fr:8682/p.523). L’autore si spinge immediatamente oltre le qualità successive attese: «Sont de ce genre certains accidents, comme le rapport, la similitude, la courbure, la ténuité, la lumière, et universellement toutes les qualités qui peuvent s’intensifier ou se relâcher» - (fr:8683/p.523) [Sono di questo genere certi accidenti, come il rapporto, la somiglianza, la curvatura, la tenuità, la luce, e universalmente tutte le qualità che possono intensificarsi o attenuarsi.] L’aumento di un rapporto non è un’intensificazione, e Oresme mantiene la differenza di vocabolario: in quanto un rapporto aumenta, è successivo (fr:8684/p.523). Se, per esempio, una curvatura si intensifica, allora la curvatura è sempre altra e altra, eppure si tratta sempre di una medesima curvatura: «une courbure est permanente, une autre est successive» - (fr:8686/p.523) [una curvatura è permanente, un’altra è successiva]. Si vede quanto l’idea di rapporto successivo, di curvatura successiva, sia in realtà prossima a quella di quantità o qualità variabile (fr:8685/p.523).

Oresme è esplicito su questa estensione del modello alle variazioni quantitative, affermando che «tra tutte le cose di questo genere, parzialmente o totalmente successive, quella che è successiva in quanto è più o meno intensa in una parte del tempo che in un’altra, o anche in quanto è più o meno grande uniformemente o difformemente secondo diversi modi, questa cosa è diversamente figurata secondo le rappresentazioni che sono state descritte precedentemente» - (fr:8687/p.523). La figurazione non esige come oggetto un’intensificazione, ma può accontentarsi di un semplice aumento (fr:8688/p.523); anzi, essa era già cominciata con la variazione di una grandezza — l’esperienza della variazione dell’altezza di un triangolo — che giustificava questo nuovo ruolo conferito alle figure della geometria (fr:8689/p.523), sebbene allora non si fosse posta la questione dell’identità successiva dell’altezza (fr:8690/p.523). Al termine dell’analisi del movimento, questo ritorno all’indietro diviene possibile, e la natura “cinematica” in senso largo del modello, il fatto che riposi in ultima istanza su un movimento particolare catturato dall’idea di successio, ma che corrisponde a una variazione, è ora pienamente assunto (fr:8691/p.523).

Quanto alle descrizioni di movimenti concreti, nel De configurationibus Oresme applica queste modalità descrittive principalmente a una qualità successiva, il suono (fr:8692/p.523). La maggior parte dei movimenti di cui descrive il modo di variazione sono immaginari e servono a dimostrare una possibilità apparentemente paradossale attraverso la costruzione di un caso, per esempio un movimento finito che dura indefinitamente (fr:8693/p.523), casi che si inscrivono nella sua polemica con la fisica aristotelica e servono generalmente a dimostrare che i ragionamenti aristotelici non hanno la necessità dimostrativa che egli immagina (fr:8694/p.523). Ci si deve chiedere se Oresme non sia interessato alla descrizione di movimenti concreti: nel De configurationibus, i movimenti concreti servono da illustrazione ai concetti astratti, piuttosto che da oggetti di studio (fr:8696/p.524).

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44 Oresme e la costruzione di una metrica delle qualità: tra geometria e algoritmo dei rapporti

Oresme, a differenza di altri autori medievali, ricerca regole generali per il calcolo dei rapporti tra qualità e movimenti, fondandole non sulla semplice geometria delle figure, ma su una teoria dei rapporti di rapporti che ne supera i limiti.

Lo studio delle configurazioni delle qualità e dei movimenti in Oresme rivela un’impostazione coerente con l’eterogeneità delle grandezze coinvolte: “De ce point-de-vue, Oresme respecte l’hétérogénéité des grandeurs extensives et intensives, qui implique que multiplier l’une par l’autre n’a pas de sens physique.” (fr:8760/p.529) [Da questo punto di vista, Oresme rispetta l’eterogeneità delle grandezze estensive e intensive, il che implica che moltiplicare l’una per l’altra non ha senso fisico.] Di conseguenza, la quantità di una qualità o di un movimento, pur essendo rappresentata dalla superficie di una figura, non viene mai calcolata in assoluto. “Cette notion reste néanmoins secondaire : bien qu’il souligne par exemple que cette quantité est représentée par la surface de la figure, il ne la calcule jamais une telle quantité, mais uniquement des rapports de quantités.” (fr:8758/p.529) [Questa nozione resta tuttavia secondaria: benché sottolinei per esempio che questa quantità è rappresentata dalla superficie della figura, non calcola mai tale quantità, ma unicamente rapporti di quantità.] L’operazione di misura si traduce così in un confronto di rapporti, coerentemente con il principio per cui “toutes les figures proportionnelles en hauteur représentent une même qualité” (fr:8765/p.529) [tutte le figure proporzionali in altezza rappresentano una medesima qualità], rendendo arbitraria la grandezza assoluta della superficie.

L’impiego della geometria non è, tuttavia, puramente strumentale: “La figure géométrique soutient les règles de calcul, mais elle ne les définit pas.” (fr:8762/p.529) [La figura geometrica sostiene le regole di calcolo, ma non le definisce.] Essa fornisce piuttosto un supporto dimostrativo, permettendo di mostrare uguaglianze tra superfici mediante costruzioni, senza diventare un sostituto simbolico delle qualità stesse. Questa scelta è in sintonia con la pratica euclidea, dove non si calcolano mai aree o volumi, ma solo rapporti di uguaglianza o disuguaglianza, poiché il calcolo di un’area richiederebbe l’applicazione di numeri a lunghezze e larghezze, operazione che “non seulement cette numérisation requiert une unité de référence, choix arbitraire qui ne relève pas de la géométrie spéculative, mais quand bien même une telle unité serait posée, elle serait insuffisante pour calculer toutes les grandeurs en raison des propriétés d’incommensurabilité.” (fr:8768/p.529) [non solo questa numerizzazione richiede un’unità di riferimento, scelta arbitraria che non appartiene alla geometria speculativa, ma anche ammettendo una tale unità, essa sarebbe insufficiente per calcolare tutte le grandezze a causa delle proprietà di incommensurabilità.] Pertanto “une mesure des qualités qui prend pour modèle les grandeurs géométriques ne peut raisonnablement faire autre chose que calculer des rapports.” (fr:8769/p.529) [una misura delle qualità che prende a modello le grandezze geometriche non può ragionevolmente fare altro che calcolare rapporti.]

Tuttavia, Oresme non si limita a trasferire i metodi euclidei ai rapporti tra figure. Quando Pierre Duhem riconduce le sue regole a un unico enunciato – “« Les mesures de deux qualités uniformes ont pour rapport le produit du rapport des extensions par le rapport des intensités »” (fr:8772/p.529) [«Le misure di due qualità uniformi hanno per rapporto il prodotto del rapporto delle estensioni per il rapporto delle intensità»] – trascura un aspetto decisivo: “Oresme formule ces règles dans le langage de l’algorithme des rapports : les rapports ne sont pas multipliés l’un par l’autre, mais ajoutés ou soustraits, l’addition et la soustraction devant être entendue au sens de la théorie des rapports de rapports.” (fr:8773/p.530) [Oresme formula queste regole nel linguaggio dell’algoritmo dei rapporti: i rapporti non sono moltiplicati l’uno per l’altro, ma aggiunti o sottratti, intendendo l’addizione e la sottrazione nel senso della teoria dei rapporti di rapporti.] La costruzione della metrica avviene in due tappe.

Nelle Questiones super geometriam Euclidis (QSGE, q.11), Oresme espone quattro regole per il caso di qualità lineari uniformi, illustrate da uno schema che mostra i quattro casi possibili (fr:8777/p.530). Le regole coprono situazioni in cui intensità o estensioni sono uguali oppure inversamente proporzionali, e il quarto caso, in cui le intensità stanno tra loro come le estensioni, per cui il rapporto delle qualità è il rapporto doppio delle estensioni. Manca però una regola per il caso generale in cui il rapporto delle intensità è semplicemente diverso da quello delle estensioni. “Oresme justifie ces règles au moyen de la théorie traditionnelle des rapports, en particulier Euclide VI.17 et 18 pour la quatrième.” (fr:8780/p.530) [Oresme giustifica queste regole mediante la teoria tradizionale dei rapporti, in particolare Euclide VI.17 e 18 per la quarta.] Non ricorre alla nozione di rapporto composto di Euclide VI.24, forse perché “cette proposition n’était pas, à ses yeux, immédiatement utilisable” (fr:8783/p.531) [questa proposizione non era, ai suoi occhi, immediatamente utilizzabile] o perché “Oresme semble vouloir éviter de composer des rapports d’intensité avec des rapports d’extension.” (fr:8786/p.531) [Oresme sembra voler evitare di comporre rapporti di intensità con rapporti di estensione.]

La metrica giunge a completezza solo nel De configurationibus qualitatum (DC, III.5-6), dove le regole vengono riformulate. Ai primi due casi, invariati, si aggiungono due nuove situazioni che coprono tutte le possibilità: “Si la même qualité est à la fois plus étendue et plus intense, le rapport des qualités est le rapport composé (composita) des rapports des extensions et des rapports des intensités.” (fr:8789/p.531) [Se la medesima qualità è al contempo più estesa e più intensa, il rapporto delle qualità è il rapporto composto (composita) dei rapporti delle estensioni e dei rapporti delle intensità.] Quando invece una qualità è più estesa ma meno intensa dell’altra, “« il faut soustraire (subtrahenda) le rapport de l’extension à l’extension du rapport de l’intensité à l’intensité, ou l’inverse, et il restera le rapport d’une qualité à l’autre ».” (fr:8790/p.531) [«occorre sottrarre (subtrahenda) il rapporto dell’estensione all’estensione dal rapporto dell’intensità all’intensità, o l’inverso, e resterà il rapporto di una qualità all’altra».] Oresme rinvia esplicitamente al proprio trattato sull’algoritmo dei rapporti: “« Mais comment ajouter un rapport quelconque à un autre, ou le soustraire à un autre, je l’ai enseigné dans un certain traité qui s’appelle L’algorithme des rapports ».” (fr:8795/p.532) [«Ma come aggiungere un rapporto qualsiasi a un altro, o sottrarlo a un altro, l’ho insegnato in un certo trattato che si chiama L’algoritmo dei rapporti».]

La distinzione tra addizione e sottrazione di rapporti non è un mero espediente formale, ma risponde a una difficoltà concettuale della teoria euclidea. “Pour Oresme, le rapport composé est nécessairement plus grand que les rapports qui le composent, et composer un rapport avec un autre, c’est ajouter le premier au second.” (fr:8801/p.532) [Per Oresme, il rapporto composto è necessariamente più grande dei rapporti che lo compongono, e comporre un rapporto con un altro significa aggiungere il primo al secondo.] La definizione euclidea di rapporto composto, se applicata senza restrizioni, può portare a risultati incoerenti con l’ordine di grandezza, come quando si compone un rapporto di maggiore disuguaglianza con uno di minore disuguaglianza. “la difficulté tient au fait qu’il n’y a pas de sens à composer un rapport de plus grande inégalité avec un rapport de plus petite inégalité.” (fr:8800/p.532) [la difficoltà risiede nel fatto che non ha senso comporre un rapporto di maggiore disuguaglianza con un rapporto di minore disuguaglianza.] Di conseguenza, la proposizione VI.24, che richiederebbe di comporre rapporti di lunghezze e di larghezze per parallelogrammi qualsiasi, non è soddisfacente quando il parallelogramma più grande è più lungo ma meno largo del più piccolo. “C’est la raison pour laquelle Oresme distingue l’addition, qu’il assimile à la composition de rapports dans le DC et l’AP, mais pas dans le DPP, et la soustraction.” (fr:8809/p.532) [È la ragione per cui Oresme distingue l’addizione, che assimila alla composizione dei rapporti nel DC e nell’AP, ma non nel DPP, e la sottrazione.] Per calcolare un rapporto tra qualità occorre quindi stabilire quale delle due è maggiore, decidere se il rapporto maggiore vada aumentato o diminuito, e infine applicare le regole dell’algoritmo.

In questo percorso, geometrizzazione delle qualità e aritmetizzazione dei rapporti sono inseparabili: “si la géométrie peut lui servir de métrique générale des qualités et des mouvements, c’est parce qu’il a également élaboré une théorie générale des rapports de rapports sans laquelle l’assimilation des quantités de qualité ou de mouvement à des surfaces ne suffit pas à calculer leurs rapports mutuels.” (fr:8811/p.533) [se la geometria può servirgli da metrica generale delle qualità e dei movimenti, è perché ha anche elaborato una teoria generale dei rapporti di rapporti senza la quale l’assimilazione delle quantità di qualità o di movimento a superfici non basta a calcolare i loro rapporti reciproci.] La specificità dell’impresa oresmiana emerge dal confronto con altri modelli geometrici coevi. “Le simple fait de chercher des règles générales de mesure ou de calcul de rapports distingue totalement Oresme des autres modèles géométriques examinés.” (fr:8813/p.533) [Il semplice fatto di cercare regole generali di misura o di calcolo di rapporti distingue totalmente Oresme dagli altri modelli geometrici esaminati.] Casali, ad esempio, si limita a dimostrare il teorema del grado medio, senza tentare una metrica generale (fr:8814-8815/p.533). Jacques de Saint-Martin, pur affermando che “« le rapport d’une forme à une forme est le même que celui d’une figure à une figure »” (fr:8818-8819/p.533) [«il rapporto di una forma a una forma è lo stesso che quello di una figura a una figura»], non esplicita alcuna regola di calcolo e mostra incertezze sulla teoria dei rapporti. Anche il più tardo Tractatus bonus propone calcoli specifici, ma non una regola generale.

L’interesse di Oresme per il calcolo delle quantità medie conferma questa ricerca di generalità. Nella Q.10 del QSGE introduce il modello geometrico proprio per trattare “ad materiam dictam de qualitatibus mediis” (fr:8830/p.534) [la materia detta delle qualità medie] e perviene alla conclusione che “une qualité uniformément difforme est égale au degré moyen” (fr:8831/p.534) [una qualità uniformemente difforme è uguale al grado medio]. La teoria tradizionale dei rapporti, che presuppone quantità costanti, è insufficiente per determinare medie quando la grandezza varia in modo continuo, come mostra l’esempio della colonna d’aria in cui la densità decresce con l’altezza (fr:8838/p.534). Affrontare il problema delle medie significa riconoscere la necessità di una metrica capace di operare su rapporti di grandezze variabili, e in questa prospettiva l’algoritmo oresmiano dei rapporti di rapporti costituisce lo strumento indispensabile per andare oltre la geometria statica delle figure.

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45 Il teorema del grado medio e il calcolo delle latitudini: da Oresme a Dumbleton

L’elaborazione medievale del teorema della velocità media come crocevia tra metodi diversi e tensione verso una scienza matematica del movimento.

Il testo analizza il ruolo delle cosiddette mathematica media nel pensiero di Oresme e il confronto tra due varianti del calcolo delle latitudini, quella di Heytesbury e quella di Dumbleton, nel dimostrare il teorema del grado medio. Si chiarisce anzitutto che l’espressione mathematica media non designa affatto «scienze medie» o intermedie tra filosofia naturale e matematica: “Mathematica media ne signifie pas ici, dans le contexte de cette question, « mathématiques médianes » au sens de « sciences médianes » ou intermédiaires entre la philosophie naturelle et les mathématiques.” - (fr:8840/p.534) [«Mathematica media» non significa qui, nel contesto di questa questione, «matematiche mediane» nel senso di «scienze mediane» o intermedie tra la filosofia naturale e le matematiche.]. Oresme non parla mai di scientia media né interpreta la Prospettiva come scienza mediana, bensì come scienza matematica.

Il vero oggetto delle «medie matematiche» di Oresme è la determinazione di grandezze che risultano insensibili a una variazione, benché da essa dipendano, come il peso totale di una colonna che non muta al variare della densità, la quale influisce invece sull’altezza. La soluzione scolastica consiste nell’uguagliare la qualità variabile a un grado medio costante che assorbe la variazione. “C’est cela qu’Oresme appelle « le sujet des moyennes mathématiques » : calculer une quantité déterminée par une variable et qui est l’effet d’une variation.” - (fr:8845/p.535) [È questo che Oresme chiama «l’oggetto delle medie matematiche»: calcolare una quantità determinata da una variabile e che è l’effetto di una variazione.]. Il problema storicamente decisivo è il passaggio da soluzioni particolari a un metodo generale, ed è in tale prospettiva che il teorema del grado medio acquista rilievo, perché in esso un’accelerazione uniforme viene eguagliata a una velocità uniforme pari al suo grado medio, attirando l’attenzione di Duhem e dei successori per il suo ruolo nella formazione della legge galileiana della caduta dei corpi.

L’attribuzione della prima formulazione della regola è ancora aperta, ma si colloca concordemente al Merton College attorno al L’interesse del testo si concentra però sulla specificità del calcolo geometrico di Oresme rispetto ai metodi oxoniensi, che l’autore chiama globalmente calcolo delle latitudini. Di questo calcolo vengono esaminate due varietà: quella di Heytesbury e quella di Dumbleton.

Nel calcolo di Heytesbury la differenza essenziale non corre tra indeterminato e determinato, né tra valori istantanei di una funzione, ma “entre degré et latitude” - (fr:8862/p.536) [tra grado e latitudine]. Una latitudine è un insieme continuo di gradi delimitato dai suoi estremi, come «latitudine da 1 a 4», e la sua acquisizione o perdita non è mai istantanea, ma procede per gradi ordinati nel tempo. “Une latitude n’est donc pas tout-à-fait une « distance conceptuelle » entre des degrés, car la distance d’un degré à un autre est simplement un degré : 4 est éloigné du degré 2 de deux degrés. Elle est l’ensemble des degrés intermédiaires entre deux degrés.” - (fr:8866/p.536) [Una latitudine non è dunque propriamente una «distanza concettuale» tra gradi, perché la distanza da un grado a un altro è semplicemente un grado: 4 dista dal grado 2 di due gradi. Essa è l’insieme dei gradi intermedi tra due gradi.].

Per dimostrare che “toute latitude de mouvement uniformément acquise ou perdue correspondra à son degré moyen” - (fr:8872/p.536) [ogni latitudine di moto uniformemente acquisita o perduta corrisponderà al suo grado medio], Heytesbury immagina quattro mobili: A si muove per un’ora a velocità di grado 4; B accelera uniformemente da 4 a 8 in mezz’ora; C rallenta uniformemente da 4 a 0 in mezz’ora; D accelera da 0 a 8 in un’ora. La distanza totale di D viene scomposta nelle distanze di C e B, applicando due intuizioni: l’additività degli effetti parziali e una simmetria per cui l’effetto di un’acquisizione di latitudine 〈0, a〉 eguaglia l’effetto della sua perdita 〈a, 0〉.

La parte più delicata del ragionamento riguarda il confronto tra il movimento uniforme di un mobile E (grado 4 per mezz’ora) e i mobili B e C. Heytesbury ammette che l’eccedenza di B su E sia uguale all’eccedenza di E su C. “Mais Heytesbury admet intuitivement que l’excès de B sur E égale l’excès de E sur C. […] Ce principe est moins évident que les autres, et flirte avec la pétition de principe.” - (fr:8882/p.537) [Ma Heytesbury ammette intuitivamente che l’eccesso di B su E eguagli l’eccesso di E su C. […] Questo principio è meno evidente degli altri e sfiora la petizione di principio.]. Abbinato all’assunto che l’effetto di una latitudine dipenda solo dalla sua ampiezza e non dai valori assoluti dei gradi, il ragionamento conduce ad affermare che la distanza percorsa da un mobile che accelera uniformemente da 0 a 4 eguaglia la metà della distanza percorsa dal mobile a velocità uniforme 4, ossia proprio ciò che si vorrebbe dimostrare. Il principio di compensazione invocato – il guadagno di distanza dovuto all’acquisizione di una latitudine uguaglia la perdita dovuta alla sua rimozione – sembra quindi presupporre il teorema della velocità media.

Dumbleton propone invece dimostrazioni di stile completamente diverso. La sua formulazione, lapidaria, recita: “une latitude correspond à son degré médian (latitudo suo medio gradui correspondere)” - (fr:8911/p.540) [una latitudine corrisponde al suo grado mediano]. Egli procede per esaustione euclidea, mostrando che il grado corrispondente alla latitudine non è né maggiore né minore del grado mediano. A questo scopo suppone un mobile (Socrate) che acquista una latitudine dal riposo Q al grado massimo A in un’ora, e ne considera dapprima la divisione a metà (QB e BA), per poi passare a una divisione continua in parti proporzionali tanto della durata quanto della latitudine, secondo uno schema rappresentato da una figura (fr:8914-8915: “z E y QBAD x Durée divisée en parties proportionnelles Latitude divisée en parties proportionnelles tQ tA tD tB”).

La trattazione evidenzia così due diversi approcci al medesimo teorema, il primo fondato su intuizioni quasi fisiche e il secondo su una rigorosa struttura geometrica, entrambi cruciali per la maturazione di una cinematica quantitativa che troverà pieno sviluppo solo nella scienza moderna.

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46 La regola del grado medio e le sue dimostrazioni: dall’additività di Dumbleton alla geometria di Oresme

“Dumbleton tient pour fondamental le principe d’additivité des effets des degrés et latitudes : le déplacement d’un mobile qui accélère continument pendant une demi-heure de 2 à 4 égale la somme des déplacements pendant cette même demi-heure d’un premier mobile animé uniformément d’une vitesse de 2 et d’un second mobile qui accélère de 0 à ” – (fr:8922/p.541) [Dumbleton considera fondamentale il principio di additività degli effetti dei gradi e delle latitudini: lo spostamento di un mobile che accelera continuamente per mezz’ora da 2 a 4 è uguale alla somma degli spostamenti, nella stessa mezz’ora, di un primo mobile animato uniformemente da una velocità di 2 e di un secondo mobile che accelera da 0 a ]

Il cuore dell’indagine è la determinazione del grado che corrisponde a una latitudine di velocità uniformemente difforme, ovvero il grado medio. Dumbleton imposta il problema volendo dimostrare che se il grado incognito x di una latitudine totale è maggiore del grado medio B, allora anche il grado y della sua metà sarà maggiore del rispettivo medio D, e viceversa (fr:8921/p.541). Lo strumento fondamentale è il principio di additività: la distanza totale percorsa da un mobile che accelera uniformemente viene scomposta nella somma dei contributi parziali. Applicato al moto di Socrate, il percorso totale durante un’ora si lascia esprimere come somma di tre distanze, due delle quali relative alla seconda mezz’ora (fr:8923/p.541). Manipolando queste uguaglianze, Dumbleton giunge alla relazione x = y + d, dove d è il grado corrispondente a un quarto della latitudine di partenza (fr:8927‑8928). È essenziale osservare che egli “ne se contente pas ici de « simplifier une équation » : il raisonne toujours directement sur les degrés et les latitudes de vitesse, et non sur des symboles algébriques” – (fr:8925/p.541) [non si accontenta qui di «semplificare un’equazione»: ragiona sempre direttamente sui gradi e sulle latitudini di velocità, e non su simboli algebrici].

Tale condizione impone che la distanza tra y e x sia costante e uguale a d, e, punto nodale della dimostrazione, che “la distance de B à x est égale à la distance de D à y” – (fr:8933/p.542) [la distanza da B a x è uguale alla distanza da D a y]. In simboli, (x − B) = (y − D) = k. Se si suppone x più intenso del medio, allora y è più intenso del suo medio e la differenza k si conserva per tutte le parti proporzionali della latitudine (fr:8934/p.542). Dividendo QA in parti continuamente proporzionali di ragione doppia, si ottiene una successione di latitudini sempre più piccole; per quanto piccolo sia k, esiste una latitudine la cui ampiezza è inferiore a k. Essa corrisponderebbe a un grado xm che supererebbe il proprio grado massimo, il che è impossibile (fr:8941‑8942). Simmetricamente, supponendo x minore del medio si arriverebbe a una latitudine con grado inferiore al grado nullo (fr:8944/p.543). Dunque “la latitude correspond donc à un degré qui n’est ni plus grand, ni plus petit que le médian” – (fr:8945/p.540) [la latitudine corrisponde quindi a un grado che non è né maggiore né minore del mediano].

Una seconda dimostrazione, più esplicitamente basata sulla distanza percorsa, suppone che Socrate copra un piede in un’ora acquistando uniformemente la latitudine QA dal riposo (fr:8947/p.543). Qui si aggiunge un’ipotesi ausiliaria: due latitudini che iniziano dalla quiete stanno tra loro come i loro gradi massimi, sicché in particolare x = 2y (fr:8950‑8951). Assumendo x maggiore del medio B, e costruendo y come metà di x (fr:8952/p.544), si calcola che nella prima mezz’ora Socrate percorre un quarto di piede (fr:8953‑8961). Nella seconda mezz’ora il moto viene scomposto in un contributo uniforme a velocità B e in un contributo accelerato da 0 a B; quest’ultimo vale ancora un quarto di piede, mentre il primo, essendo B < x, è minore di mezzo piede. L’intera ora totalizza perciò meno di un piede, contraddicendo l’ipotesi (fr:8965‑8966). Il caso x minore del medio conduce a una contraddizione analoga. La conclusione viene immediatamente estesa al caso generale di un’accelerazione (o decelerazione) uniforme a partire da (o fino a) una velocità finita (fr:8967/p.545).

Il passaggio alla geometria delle qualità e del movimento offre un nuovo genere di prova: “au lieu de raisonner directement sur les qualités et les mouvements, les géomètres raisonnent sur les figures, et déduisent des égalités géométriques celles des qualités représentées” – (fr:8968/p.545) [invece di ragionare direttamente sulle qualità e sui movimenti, i geometri ragionano sulle figure, e deducono dalle uguaglianze geometriche quelle delle qualità rappresentate]. Resta il dubbio se la geometria risolva le difficoltà logiche o le mascheri dietro l’evidenza figurativa (fr:8972/p.545).

Oresme enuncia il teorema del grado medio sia nelle Quaestiones super geometriam Euclidis sia nel De configurationibus, ma con formulazioni diverse. Nelle QSGE, dopo aver fissato il modello geometrico, afferma che “qualitas uniformiter difformis est equalis gradui medio, hoc est, esset tanta quanta esset si esset uniformis gradu medio” – (fr:8975/p.546) [una qualità uniformemente difforme è uguale al grado medio, cioè sarebbe tanto grande quanto lo sarebbe se fosse uniforme al grado medio], limitandosi a osservare che la prova è geometrica. Nel De configurationibus (III.7) la proposizione si generalizza: “Omnis qualitas, si fuerit uniformiter difformis, ipsa est tanta quanta foret qualitas eiusdem subiecti vel equalis uniformis secundum gradum puncti medii eiusdem subiecti” – (fr:8987/p.547) [Ogni qualità, se sarà uniformemente difforme, è tanto grande quanto lo sarebbe una qualità del medesimo soggetto o di un soggetto uguale, uniforme secondo il grado del punto medio del soggetto stesso]. Il «grado medio» è sostituito dal «grado del punto mediano del soggetto» e, per il moto, dall’istante mediano della durata (fr:8988‑8990). La nuova formulazione guadagna in generalità ma perde in evidenza immediata.

La dimostrazione geometrica oresmiana è essenziale: su una linea AB si erige un rettangolo uniforme di altezza ED e un triangolo rettangolo CAB, retto in A, di altezza iniziale CA doppia di ED (fr:8993/p.547). Le due superfici sono uguali; pertanto sono uguali le quantità di qualità o le distanze percorse. Se la base rappresenta una durata, si ottiene la regola di Merton (fr:8995/p.547). La dimostrazione rimane tuttavia lacunosa, giacché Oresme non spiega come le superfici rappresentino la distanza (fr:8996/p.547), pur essendo altrove esplicito al riguardo (fr:8998‑9000). Di fatto, “la géométrie masque le problème plus qu’elle ne le résoud : elle fait du théorème un axiome, en supposant que les effets d’une force, d’une qualité ou d’un mouvement se comportent de la même manière que les grandeurs géométriques” – (fr:9003/p.548) [la geometria maschera il problema più che risolverlo: fa del teorema un assioma, supponendo che gli effetti di una forza, di una qualità o di un movimento si comportino alla stessa maniera delle grandezze geometriche].

Le QSGE registrano due obiezioni al progetto geometrico: l’eterogeneità e la denominatio. La questione dell’eterogeneità nasce dalla constatazione che figure curvilinee e rettilinee sono diversarum rationum: se le qualità sono assimilate a figure, allora qualità eterogenee potrebbero non essere confrontabili (fr:9008‑9010). Oresme replica che ogni qualità difforme, in quanto omogenea nel genere (ad esempio le diverse calidezze), è proporzionale a una qualità uniforme, anche se il rapporto non è sempre conoscibile (fr:9012‑9013): “omnis qualitas qualitercumque difformis est cuilibet uniformi proportionalis” – (fr:9013/p.548) [ogni qualità, per quanto difforme, è proporzionale a una qualità uniforme].

Il problema della denominatio segna invece lo scarto più netto tra Oresme e i Calculatores. Mentre Heytesbury, Dumbleton e Swineshead sono dominati dalla ricerca della «denominazione» di una qualità o di un movimento – ovvero le regole che, da una descrizione fine‑grained del reale, consentono di attribuire correttamente un predicato come «bianco» – Oresme liquida la questione come semantica di scarso interesse (fr:9016‑9017). Heytesbury, ad esempio, nei Sophismata asinina esamina a quali condizioni un uomo possa dirsi «bianco»: non basta che tutte le parti quantitative siano bianche (il sangue è rosso), né che lo sia più della metà; occorre individuare una parte essenziale, come la pelle del viso (fr:9026‑9028). “C’est ce rejet de la denominatio qui illustre le mieux ce qui sépare Oresme des calculateurs” – (fr:9018/p.549) [è questo rifiuto della denominatio che illustra nel modo migliore ciò che separa Oresme dai calcolatori]. La scelta oresmiana di ignorare il calcolo delle denominazioni conferma che il suo interesse è rivolto alla costruzione di una metrica universale delle qualità, piuttosto che all’ancoraggio dei nomi alle variazioni infinitesime del reale.

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47 Logica delle variazioni e calcolo delle denominazioni: Heytesbury e Swineshead

Dal sofisma del viso bianco e nero ai paradossi dell’infinitamente piccolo e dell’infinitamente grande, la determinazione del grado che “denomina” una qualità difforme introduce soglie, somma di contributi parziali e limiti di serie.

Heytesbury affronta immediatamente la sfida posta da problemi complessi, come il sofisma del viso per metà bianco e per metà nero, in cui la parte nera diminuisce di continuo fino a scomparire mentre l’intensità del bianco della parte bianca decresce simultaneamente (“C’est d’ailleurs ce que fait immédiatement Heytesbury, qui met sa règle au défit de problèmes plus complexes : supposons que Socrate ait le visage moitié blanc, moitié noir, puis qu’en une heure a partie noire diminue continument jusqu’à rien, tandis que simultanément l’intensité de blancheur de la partie blanche diminue continument.” – (fr:9030/p.549) [È peraltro ciò che fa immediatamente Heytesbury, che mette la sua regola alla prova di problemi più complessi: supponiamo che Socrate abbia il viso metà bianco, metà nero, poi che in un’ora la parte nera diminuisca continuamente fino a nulla, mentre simultaneamente l’intensità di bianchezza della parte bianca diminuisce di continuo.]). Egli stabilisce che, se alla fine dell’ora l’intensità di bianchezza resta superiore al grado medio, Socrate sarà detto bianco (“Alors, pose Heytesbury, si à la fin de l’heure, l’intensité de blancheur demeure supérieure au degré moyen, alors Socrate sera blanc.” – (fr:9036/p.550) [Allora, pone Heytesbury, se alla fine dell’ora l’intensità di bianchezza rimane superiore al grado medio, allora Socrate sarà bianco.]). Il grado medio diventa così la soglia al di sotto della quale la denominazione «bianco» non si applica: è il grado massimo che non basta alla denominazione, mentre ogni grado maggiore di esso basta a denominare Socrate «bianco» (“Le degré moyen est alors appelé degré maximum qui ne suffit pas à la dénomination (maximum qui non sufficeret) : tout degré plus grand que le degré moyen de blancheur suffit à dénommer (sufficit ad denominandum) Socrate « blanc ».” – (fr:9037/p.550) [Il grado medio è allora chiamato grado massimo che non basta alla denominazione (maximum quod non sufficeret): ogni grado maggiore del grado medio di bianchezza basta a denominare (sufficit ad denominandum) Socrate «bianco».]).

In termini moderni, l’insieme dei gradi denotativi è un intervallo con estremo superiore dato dal grado massimo e estremo inferiore, non incluso, dato dal grado mediano (“En somme, Heytesbury a défini le degré médian comme un seuil, et le seuil comme le degré maximum de négation, et en langage moderne, nous dirions que l’ensemble de degrés dénominatifs est l’intervalle de la latitude de blancheur délimité en borne supérieure par le degré maximal et en borne inférieure non incluse par le degré médian.” – (fr:9038/p.550) [Insomma, Heytesbury ha definito il grado mediano come una soglia, e la soglia come il grado massimo di negazione, e in linguaggio moderno diremmo che l’insieme dei gradi denotativi è l’intervallo della latitudine di bianchezza delimitato in alto dal grado massimo e in basso, non incluso, dal grado mediano.]). La domanda si trasforma: “a partire da quale grado di bianchezza un uomo può essere detto «bianco»?” (fr:9039/p.550). L’assurdità del sofisma non deve nascondere la natura dell’esercizio: si tratta di sviluppare una logica delle variazioni (“L’absurdité du sophisme ne doit pas masquer la nature de l’exercice : il s’agit de développer une logique des variations.” – (fr:9040/p.550)). Una grandezza dipende da due o più grandezze variabili – qui una qualità che dipende da un’intensità e da un’estensione – e occorre saper calcolare la variazione della prima secondo le variazioni simultanee delle altre due (“Une grandeur dépend de deux ou plusieurs autres grandeurs variables, ici une qualité qui dépend d’une intensité et une d’extension, et il faut savoir calculer la variation de la première selon les variations simultanées des deux autres.” – (fr:9041/p.550) [Una grandezza dipende da due o più grandezze variabili, qui una qualità che dipende da un’intensità e da un’estensione, e bisogna saper calcolare la variazione della prima secondo le variazioni simultanee delle altre due.]). L’assurdità tutta britannica di questi esempi poteva servire soprattutto a scopi pedagogici, senza che si debba dedurne che le questioni siano puramente speculative (“Il serait tout à fait simple de trouver des cas moins absurdes et tout à fait naturels répondant également à ces exigences abstraites : l’absurdité toute britannique de ces exemples pourrait servir surtout des buts pédagogiques, sans qu’il faille en déduire que ces questions sont purement spéculatives.” – (fr:9042/p.550) [Sarebbe del tutto semplice trovare casi meno assurdi e del tutto naturali che rispondano anch’essi a queste esigenze astratte: l’assurdità tutta britannica di questi esempi potrebbe servire soprattutto a scopi pedagogici, senza che si debba dedurre che queste questioni siano puramente speculative.]).

Questi problemi di denominazione possono riguardare una semantica bivalente – un uomo è bianco oppure no – o una semantica plurivalente: se un uomo è bianco ma di bianchezza ineguale, con quale grado di bianchezza lo si denomina? Se un mobile ha rapidità difformemente distribuita sulla sua superficie, quale grado di rapidità gli si attribuisce? (“Ces problèmes de dénomination peuvent ne concerner qu’une sémantique bivalente : soit un homme est blanc, soit non ; soit un homme court, soit non. Une variation de ce problème portait sur une sémantique plurivalente : si un homme est blanc, mais d’une blancheur inégale, par quel degré de blancheur faut-il le dénommer ? Si un mobile est en mouvement, mais d’une rapidité inégalement distribuée sur sa surface et difforme, quel degré de rapidité lui attribuer ?” – (fr:9043‑9045) [Questi problemi di denominazione possono riguardare solo una semantica bivalente: o un uomo è bianco, o no; o un uomo corre, o no. Una variazione di questo problema verteva su una semantica plurivalente: se un uomo è bianco, ma di bianchezza ineguale, con quale grado di bianchezza bisogna denominarlo? Se un mobile è in movimento, ma di rapidità inegualmente distribuita sulla sua superficie e difforme, quale grado di rapidità gli si attribuisce?].) Heytesbury esamina questo genere di problemi nella sesta delle Regulae solvendi sophismata e pone una regola generale: se i punti di un corpo in movimento uniforme non si spostano tutti alla stessa velocità, lo spostamento del corpo si misura con la distanza percorsa dal punto più rapido (“Il y pose une règle générale : Si tous les points d’un corps en mouvement uniforme ne se déplacent pas à la même vitesse, le déplacement du corps devrait être mesuré par la distance du point le plus rapide (s’il y en a un).” – (fr:9047/p.550) [Vi pone una regola generale: se tutti i punti di un corpo in movimento uniforme non si spostano alla stessa velocità, lo spostamento del corpo dovrebbe essere misurato dalla distanza del punto più rapido (se ce n’è uno).]). Tale regola è poi impiegata per calcolare la denominazione di movimenti composti estremamente complessi (“Puis il utilise cette règle pour déterminer ou calculer la dénomination de mouvements composés parfois éminemment complexes où toute la subtilité de Heytesbury éclate.” – (fr:9048/p.550) [Poi utilizza questa regola per determinare o calcolare la denominazione di movimenti composti talvolta estremamente complessi in cui risplende tutta la sottigliezza di Heytesbury.]). Lo stesso calcolo della rapidità media rientra in un problema di denominazione: Heytesbury afferma che un movimento uniformemente difforme è denominato dalla sua rapidità media, e che “Toute latitude de mouvement uniformément acquise ou perdue correspondra à son degré moyen, c’est-à-dire que le même mobile acquérant cette latitude uniformément, ou la perdant, en une durée donnée parcourra une grandeur totalement égale comme si ce même mobile se déplaçait continument dans des durées égales au degré moyen.” (fr:9049‑9050) [Tutta latitudine di movimento uniformemente acquisita o perduta corrisponderà al suo grado medio, cioè che lo stesso mobile, acquistando questa latitudine uniformemente, o perdendola, in una data durata percorrerà una grandezza totalmente uguale come se si spostasse di continuo in durate uguali al grado medio]. Questa corrispondenza tra variazione e media è appunto una relazione di denominazione.

Richard Swineshead dà a questi ragionamenti una forma più operativa in quello che si può chiamare il suo calcolo delle denominazioni (“Le calcul des dénominations de Swineshead Richard Swineshead a donné à ces raisonnements sur la dénomination une forme plus opératoire.” – (fr:9051/p.551) [Il calcolo delle denominazioni di Swineshead Richard Swineshead ha dato a questi ragionamenti sulla denominazione una forma più operativa.]). Nel secondo trattato De difformibus, egli descrive come determinare il grado che denomina una qualità irregolarmente o difformemente distribuita in una sostanza (“Le problème général est de déterminer le degré qui dénomme une qualité irrégulièrement ou difformément distribuée dans une substance.” – (fr:9053/p.551) [Il problema generale è di determinare il grado che denomina una qualità irregolarmente o difformemente distribuita in una sostanza.]). Le regole fondamentali sono intuitive: se la qualità Q è uniforme di grado a su tutta la sostanza A, allora è denominata da a; se A è divisa in n parti, la denominazione totale è la somma dei contributi parziali di ciascuna parte (“Si la qualité Q est uniforme de degré a sur toute la substance A, alors elle est dénommée par a, ce que je note d(A) = a. Si la substance A est divisée en n parties A₁, …An, alors la dénomination totale de Q sur A égale la somme des contributions partielles de chaque partie A₁, …, An.” – (fr:9055/p.551) [Se la qualità Q è uniforme di grado a su tutta la sostanza A, allora è denominata da a, che indico con d(A)=a. Se la sostanza A è divisa in n parti A₁, …An, allora la denominazione totale di Q su A è uguale alla somma dei contributi parziali di ciascuna parte A₁, …, An.]). Il contributo di una parte non è semplicemente il suo grado d’intensità, ma tale grado moltiplicato per il rapporto tra l’estensione della parte e l’estensione totale (“La contribution d’une partie An n’est pas égale au degré d’intensité de Q sur An, mais à ce degré proportionné au rapport que cette partie quantitative représente à l’égard du tout.” – (fr:9056/p.551) [Il contributo di una parte An non è uguale al grado d’intensità di Q su An, ma a questo grado proporzionato al rapporto che questa parte quantitativa rappresenta rispetto al tutto.]). In simboli, indicando con i(An) il grado di Q su An, si ha: contributo di An = i(An) · (An / A). Se per esempio una qualità è distribuita su A in modo che valga 4 sulla prima metà A₁ e 8 sulla seconda metà A₂, la denominazione totale è: 4·(1/2) + 8·(1/2) = 6 (“Si, par exemple, une qualité est distribuée sur A de telle sorte qu’elle est intense comme 4 sur sa première moitié A₁ et comme 8 sur sa seconde moitié A₂, la dénomination est formellement calculée ainsi : d(A) = d(A₁) + d(A₂) = 4·(1/2) + 8·(1/2) =” – (fr:9058/p.551) [Se, per esempio, una qualità è distribuita su A in modo tale da essere intensa come 4 sulla sua prima metà A₁ e come 8 sulla sua seconda metà A₂, la denominazione è formalmente calcolata così: d(A) = d(A₁) + d(A₂) = 4·(1/2) + 8·(1/2) = ]). Da queste regole Swineshead deduce quindici proposizioni, che costituiscono altrettante discussioni e risposte a obiezioni.

La prima obiezione mostra come dal calcolo si ottenga paradossalmente una denominazione finita per una qualità manifestamente infinita (“Selon la première, l’objecteur montre comment, de ces règles de calcul on démontre paradoxalement que la dénomination manifestement infinie d’une qualité est pourtant finie.” – (fr:9059/p.551) [Secondo la prima, l’obiettore mostra come, da queste regole di calcolo, si dimostri paradossalmente che la denominazione manifestamente infinita di una qualità è tuttavia finita.]). Si considera una qualità QA definita sulle parti proporzionali An di A secondo il rapporto doppio, con intensità i(An) = n·a (a nella prima parte, 2a nella seconda, 3a nella terza, ecc.) (“Considérons la difformité d’une qualité QA sur A définie sur les parties continument proportionnelles An de A selon le rapport double, de sorte que : An = A/2ⁿ … i(An) = n·a.” – (fr:9060‑9064) [Consideriamo la difformità di una qualità QA su A definita sulle parti continuamente proporzionali An di A secondo il rapporto doppio, cosicché: An = A/2ⁿ … i(An) = n·a.]). L’intensità cresce indefinitamente, mentre la somma dei contributi parziali risulta uguale al contributo della seconda parte, cioè 2a (“L’intensité augmente donc indéfiniment, alors que la somme des contributions partielles est égale à la contribution de la seconde partie, c’est-à-dire à 2a.” – (fr:9065/p.552) [L’intensità aumenta dunque indefinitamente, mentre la somma dei contributi parziali è uguale al contributo della seconda parte, cioè a 2a.]). La dimostrazione si basa sul confronto di due alterazioni simultanee di due qualità Q e P informanti due sostanze uguali A e B, definite per parti proporzionali. Nella prima alterazione 𝒜1, durante ogni intervallo Tn l’intensità della parte An raddoppia; nella seconda alterazione 𝒜2, l’intensità di tutte le parti successive a Bn aumenta del grado a. Inizialmente Q e P sono uniformi con la medesima distribuzione, e Swineshead ragiona che durante tutto il tempo T le due qualità si intensificano “con uguale velocità” (eque velociter), cosicché alla fine denominano ancora in ugual misura le rispettive sostanze (“Swineshead raisonne alors ainsi : initialement, la distribution Q₁ = P₁, de sorte que Q et P dénomment également A et B respectivement, puis pendant toute la durée T, Q s’intensifie aussi vite (eque velociter) par 𝒜1 que P par 𝒜2. Par conséquent, à la fin (in fine) de T, Q et P dénomment encore autant l’un que l’autre A et B respectivement.” – (fr:9071‑9072) [Swineshead ragiona allora così: inizialmente, la distribuzione Q₁ = P₁, cosicché Q e P denominano allo stesso modo rispettivamente A e B, poi per tutta la durata T, Q si intensifica tanto velocemente (eque velociter) mediante 𝒜1 quanto P mediante 𝒜2. Di conseguenza, alla fine (in fine) di T, Q e P denominano ancora tanto l’uno quanto l’altro rispettivamente A e B.]). Esaminando i guadagni parziali a ogni intervallo Tn, si vede che per entrambe le qualità si acquista una latitudine a sulla stessa estensione An = Bn; i contributi aumentano di a/2ⁿ⁺¹ e rimangono sempre uguali (“Ainsi : dₙ₊₁(A) = dₙ(A) + a/2ⁿ⁺¹ … dₙ₊₁(B) = dₙ(B) + a/2ⁿ⁺¹.” – (fr:9076‑9077)). L’uguaglianza finale porta a concludere che la denominazione di Q, nonostante l’intensità infinita, è finita, pari a quella di P, che è finita. L’obiettore proponeva questo ragionamento proprio per mostrare che le regole iniziali non erano adeguate, poiché riteneva evidente che P dovesse denominare infinitamente la sostanza (“On se souvient que l’objecteur ne propose ce raisonnement que pour démontrer que les règles proposées au début de la discussion ne conviennent pas : il tient pour évident qu’au terme de l’altération, la qualité P dénomme infiniment la substance, et non seulement finiment.” – (fr:9082/p.553) [Si ricorderà che l’obiettore propone questo ragionamento soltanto per dimostrare che le regole proposte all’inizio della discussione non sono adeguate: ritiene evidente che al termine dell’alterazione la qualità P denomini infinitamente la sostanza, e non solo finitamente.]). Swineshead risponde spiegando l’illusione: la qualità, pur infinita, si estende in modo tale che “questa qualità infinita contribuirà infinitamente poco alla denominazione del soggetto” (“cette qualité infinie contribuera infiniment peu à la dénomination du sujet (illo modo extenditur quod infinite modicum faciet qualitas illa infinita respectu illius subjecti)” – (fr:9083/p.553)). Più si progredisce nella divisione delle parti quantitative, meno esse contribuiscono alla denominazione totale, malgrado l’aumento continuo dell’intensità (“En effet, cette variation est donnée par la formule : d(An) = a·(n/2ⁿ) … Swineshead ne démontre pas formellement que, tandis que n augmente indéfiniment, le rapport n/2ⁿ au contraire diminue indéfiniment : il le constate pour n = 2 et n =” – (fr:9088/p.554) [In effetti, questa variazione è data dalla formula: d(An) = a·(n/2ⁿ) … Swineshead non dimostra formalmente che, mentre n aumenta indefinitamente, il rapporto n/2ⁿ al contrario diminuisce indefinitamente: lo constata per n=2 e n=4.]). Egli generalizza poi l’osservazione: qualunque qualità estesa su una parte posteriore contribuisce meno di una qualità estesa su una parte anteriore; in altre parole, la diminuzione della frazione quantitativa prevale sull’incremento dell’intensità (“n’importe quelle qualité étendue sur une partie postérieure contribue moins qu’une qualité étendue sur une partie antérieure” – (fr:9090/p.554)).

La seconda obiezione muove da una rarefazione definita in modo sottile. Si riprende la qualità P “a scalini” e si suppone che alcune parti comincino a rarefarsi simultaneamente: la parte B₂ aumenta di C, mentre la parte B₄, due volte più intensa, aumenta “due volte meno velocemente” (cioè di C/2), e in generale la parte B₂ⁿ⁺¹ aumenta di C/2ⁿ (“Il pose la qualité P en escalier … et suppose que certaines parties commencent simultanément à se raréfier de la manière suivante : la partie B₂ augmente de C, pendant que la partie deux fois plus intense que B₂, soit B₄, augmente « deux moins vite », c’est-à-dire simultanément d’une grandeur C/2, et plus généralement la partie 2ⁿ fois plus intense que B₂, soit B₂ⁿ⁺¹ augmente 2ⁿ fois moins vite, soit d’une grandeur C/2ⁿ.” – (fr:9094/p.554) [Pone la qualità P a scalini … e suppone che alcune parti comincino simultaneamente a rarefarsi nel modo seguente: la parte B₂ aumenta di C, mentre la parte due volte più intensa di B₂, cioè B₄, aumenta «due volte meno velocemente», cioè simultaneamente di una grandezza C/2, e più in generale la parte 2ⁿ volte più intensa di B₂, cioè B₂ⁿ⁺¹ aumenta 2ⁿ volte meno velocemente, ossia di una grandezza C/2ⁿ.]). Il guadagno totale della denominazione in una durata T è la somma infinita dei contributi di queste rarefazioni. Poiché ciascun guadagno parziale corrisponde al contributo di un’intensità doppia su un’estensione dimezzata, tutti i guadagni sono uguali e finiti; sommandone infiniti, la denominazione totale diventa infinita. E questo accade per qualunque durata T, per quanto piccola: l’aumento infinito del grado si produce subito, prima di qualunque istante (“Par conséquent, au terme de T, la dénomination totale vaudrait la dénomination initiale, 2 degrés, plus la somme infinie d’une même contribution finie : elle est donc infinie. Comme ceci est vrai si petite que soit la durée T, cette augmentation infinie du degré de P a lieu avant tout instant de cette durée, donc subito.” – (fr:9106‑9107) [Di conseguenza, al termine di T, la denominazione totale varrebbe la denominazione iniziale, 2 gradi, più la somma infinita di uno stesso contributo finito: essa è dunque infinita. Poiché ciò è vero per quanto piccola sia la durata T, questo aumento infinito del grado di P ha luogo prima di ogni istante di tale durata, dunque subito.]). Swineshead non nega il ragionamento, ma contesta che la rarefazione sia soltanto finita: per l’obiettore è finita perché la grandezza totale acquisita è la somma C + C/2 + C/4 + … , una serie convergente. Swineshead sposta invece l’attenzione sulla rapidità proporzionale: la rapidità non si misura con le quantità assolute acquisite, ma con il rapporto tra quantità acquisita e quantità iniziale. Se B₄ acquista C/2, ma B₄ è quattro volte più piccola di B₂, la sua rapidità proporzionale raddoppia, e così per ogni parte successiva la rapidità di rarefazione cresce indefinitamente (“Par exemple, la partie B₄, qui augmente d’une quantité deux fois moindre que B₂, est par ailleurs non pas deux fois mais quatre fois plus petite que B₂. La rapidité proportionnelle a donc doublé, et il en va de même pour toutes les parties successives, dont la rapidité de raréfaction ne cesse d’augmenter indéfiniment.” – (fr:9111‑9112) [Per esempio, la parte B₄, che aumenta di una quantità due volte minore di B₂, è d’altra parte non due volte ma quattro volte più piccola di B₂. La rapidità proporzionale è dunque raddoppiata, e lo stesso vale per tutte le parti successive, la cui rapidità di rarefazione non cessa di aumentare indefinitamente.]). In altre parole, la variazione finita nasconde una rapidità infinita, perché il rapporto tra incremento e parte tende all’infinito. Così, “una parte comincia a ingrandirsi proporzionalmente in maniera infinita” (fr:9118‑9119).

Una terza conclusione introduce ulteriori metodi: si vuole dimostrare che, durante un’intensificazione continua, esiste per ciascuna parte una parte che si intensifica “infinite tarde” (“une qualité pourrait s’intensifier continument à une rapidité déterminée, et de même chacune de ses parties à une rapidité déterminée, mais il existerait pour chacune de ces parties une partie qui s’intensifierait « infiniment lentement (infinite tarde) ».” – (fr:9127/p.556)). Il paradosso richiede un cambiamento di scala e chiama in causa una condensazione ineguale: meno una parte è intensa, più rapida è la condensazione. Se la rapidità di condensazione è soggettivamente uniformemente difforme, la disposizione della qualità varia in modo che le parti più intense crescano in estensione rispetto a quelle meno intense, facendo tendere la denominazione totale verso il grado massimo della qualità (“En effet, les parties A et B sont dénommées en elles-mêmes par un degré constant au cours des deux altérations, le médian de chacune des deux parties, celui de A plus intense que celui de B, mais alors que le rapport des extensions de A et B reste également constant pour une condensation uniforme, A augmente au contraire par rapport à B dans la seconde altération : les degrés plus intenses que la moitié contribuent désormais plus à la dénomination totale qu’initialement.” – (fr:9137/p.557) [Infatti, le parti A e B sono denominate in sé stesse da un grado costante nel corso delle due alterazioni, il mediano di ciascuna delle due parti, quello di A più intenso di quello di B, ma mentre il rapporto delle estensioni di A e B rimane ugualmente costante per una condensazione uniforme, A aumenta al contrario rispetto a B nella seconda alterazione: i gradi più intensi della metà contribuiscono ormai più alla denominazione totale che inizialmente.]). Prolungando la condensazione, il rapporto tra le estensioni di A e B cresce continuamente, cosicché la denominazione totale tende al grado massimo.

L’insieme di questi ragionamenti mostra come le regole del calcolo delle denominazioni generino paradossi che mettono in gioco il finito e l’infinito, l’infinitamente grande e l’infinitamente piccolo, e Swineshead si sforza di risolverli (“Les 15 propositions de cette troisième partie déduisent des règles de calcul chacune un paradoxe mettant en jeu le fini et l’infini, infiniment grand et infiniment petit, que Swineshead s’efforce de résoudre.” – (fr:9123/p.556) [Le 15 proposizioni di questa terza parte deducono dalle regole di calcolo ciascuna un paradosso che mette in gioco il finito e l’infinito, infinitamente grande e infinitamente piccolo, che Swineshead si sforza di risolvere.]). Tali paradossi nascono quasi sempre dallo studio di un’alterazione di una difformità data e dalla concomitante variazione della denominazione, e Swineshead non fa mai economia di un’alterazione, che sia strumento di dimostrazione o oggetto stesso dell’indagine (“Swineshead ne fait jamais l’économie d’une altération, soit qu’elle serve à démontrer l’égalité de deux qualités stables en elles-mêmes, comme on l’a vu dans la première conclusion, soit qu’elle fasse l’objet même de l’étude, comme c’est le cas dans la seconde.” – (fr:9125/p.556) [Swineshead non fa mai a meno di un’alterazione, sia che serva a dimostrare l’uguaglianza di due qualità stabili in se stesse, come si è visto nella prima conclusione, sia che costituisca l’oggetto stesso dello studio, come nel caso della seconda.]). La chiave delle due prime obiezioni sta nell’attenzione al fatto che, nel primo caso, il contributo delle parti diminuisce indefinitamente più velocemente di quanto aumenti l’intensità, cosicché la qualità crescente contribuisce “infinitamente poco”; nel secondo caso, una variazione finita per rarefazione nasconde una rapidità proporzionale infinita, poiché più la parte successiva è piccola, più l’incremento relativo è grande (“Dans ce second cas, … la prise en considération de la rapidité proportionnelle et non plus absolue laisse apparaître qu’une augmentation infiniment petite peut cacher une rapidité infinie : plus la partie successive est petite, plus la quantité qu’elle acquiert par raréfaction est proportionnellement grande, et ainsi indéfiniment.” – (fr:9117/p.555) [In questo secondo caso … la presa in considerazione della rapidità proporzionale e non più assoluta lascia apparire che un aumento infinitamente piccolo può nascondere una rapidità infinita: più la parte successiva è piccola, più la quantità che essa acquista per rarefazione è proporzionalmente grande, e così indefinitamente.]). Sebbene non si possa riconoscere in questi testi un calcolo esplicito delle serie convergenti o divergenti, non sarebbe del tutto anacronistico, poiché Oresme calcola più direttamente tali serie (“Sans doute est-il insuffisant de reconnaître dans ces raisonnements des calculs de séries convergentes et divergentes. Néanmoins, ce ne serait pas absolument anachronique, dans la mesure où Oresme calcule plus directement de telles séries.” – (fr:9113‑9114) [Senza dubbio è insufficiente riconoscere in questi ragionamenti dei calcoli di serie convergenti e divergenti. Tuttavia non sarebbe del tutto anacronistico, nella misura in cui Oresme calcola più direttamente tali serie.]). L’assurdità degli esempi non deve mascherare il fatto che ci troviamo di fronte alla costruzione di una logica delle variazioni, in cui grandezze dipendenti da più variabili vengono analizzate nel loro mutare simultaneo, e in cui la determinazione del grado denominativo diventa uno strumento per esplorare soglie, contributi infinitesimi e limiti di processi infiniti.

[27.3/5-109-9140|9248]

48 Il calcolo delle denominazioni e la misura delle qualità: Swineshead e Oresme a confronto

Il testo analizza la sofisticata disputa tardo-medievale sul modo di assegnare una qualità predominante – una denominazione, come “caldo” o “bianco” – a un soggetto la cui qualità non è uniforme. Protagonisti sono gli approcci di Richard Swineshead (il Calculator) e di Nicola Oresme, entrambi impegnati a chiarire se e come una distribuzione di intensità possa essere ridotta a un unico grado rappresentativo. Il confronto fa emergere due filosofie radicalmente diverse del rapporto tra misura reale e convenzione linguistica.

L’analisi prende le mosse dallo studio della condensazione e dalla sua descrizione attraverso il modello geometrico della “latitudine delle forme”. Swineshead, trattando l’uniforme difformità, estende il ragionamento dal tutto a ogni singola parte: «L’objecteur/Swineshead étudie donc la variation du degré qui dénomme une partie, n’importe laquelle» – (fr:9144/p.557) [L’obiettore/Swineshead studia dunque la variazione del grado che denomina una parte, qualsiasi essa sia]. Il cuore del suo calcolo delle denominazioni è la determinazione del grado che denomina una data latitudine: «Swineshead mesure donc la distance d’une “latitude” à un degré par celle du degré médian de la latitude à ce degré» – (fr:9151/p.558) [Swineshead misura dunque la distanza di una “latitudine” da un grado mediante quella del grado mediano della latitudine a quel grado]. Ciò conduce a un paradosso fisico: poiché esiste sempre «une partie de cette partie qui est infiniment peu distante de l’extrémité la plus intense» – (fr:9154/p.558) [una parte di questa parte che è infinitamente poco distante dall’estremità più intensa], durante la condensazione tale parte non raggiungerà mai il grado massimo, condensando quindi infinitamente lentamente. Il carattere paradossale è risolto da Swineshead introducendo una distinzione tra velocità reale, dovuta all’agente, e velocità accidentali, effetto della disposizione della qualità nel soggetto.

Nonostante l’identità formale di alcune proposizioni di Swineshead e di Oresme – «la première proposition que j’ai présentée est formellement identique à la proposition III.7 du DC. Et pourtant, son sens en est tout à fait différent» – (fr:9160/p.558-61/p.6) [la prima proposizione che ho presentato è formalmente identica alla proposizione III.7 del DC. Eppure, il suo significato è del tutto differente] – la distanza concettuale è netta. Per Oresme, la questione della denominazione è secondaria, una «difficultas vocalis magis quam realis» – (fr:9168/p.559) [difficoltà più verbale che reale]. La misura della quantità di qualità tocca la realtà, mentre la scelta del grado che deve denominare il tutto è arbitraria: «la mesure des qualités touche à la réalité même, mais leur dénomination, c’est-à-dire la réduction d’une qualité à un degré d’intensité supposé plus représentatif que les autres, ne touche qu’au langage» – (fr:9169/p.559) [la misura delle qualità tocca la realtà stessa, ma la loro denominazione, cioè la riduzione di una qualità a un grado d’intensità supposto più rappresentativo degli altri, tocca soltanto il linguaggio].

Oresme propone di sostituire il calcolo della media o del grado massimo con una regola che combini frequenza e massimo: «Oresme propose donc de choisir pour dénominatif ou représentatif le degré le plus intense parmi les degrés les plus fréquents» – (fr:9173/p.559) [Oresme propone dunque di scegliere come denominativo o rappresentativo il grado più intenso tra i gradi più frequenti]. Per giustificarla elabora quattro regole: 1) non è la quantità di qualità a determinare la denominazione; 2) denomina il tutto la qualità che informa la parte maggiore della sostanza; 3) il grado di questa qualità è quello che si estende sulla parte maggiore; 4) se esiste un grado massimo in cui la qualità è presente, allora il tutto è detto di quella qualità. La prima regola è esemplificata dal tradizionale «una perla è più bianca di un grande cavallo bianco», reinterpretato per mostrare che qualità con la stessa quantità di bianchezza possono e devono essere denominate diversamente a seconda della distribuzione. La regola di frequenza, precisata come regola della maggioranza assoluta (più della metà del soggetto), produce conseguenze radicali: se uno scudo è per metà nero e per metà bianco, non è né nero né bianco; ma se si distrugge una parte anche infinitesima della metà nera, immediatamente dopo il tutto diviene massimamente bianco. Tali esiti violano il principio di continuità, e Oresme non li considera falsi, bensì «arbitraires : elles ne [d]écrivent pas la réalité» – (fr:9210/p.561) [arbitrarie: non descrivono la realtà].

La quarta regola apre un problema di intervalli, tipico della matematica del tempo, che Oresme chiarisce distinguendo “il più grande grado in cui il soggetto è bianco” dal “più piccolo grado in cui non lo è”. La nozione cruciale diventa quella di estensione di un grado, introdotta rovesciando la figura di 90° e leggendo l’estensione dei gradi come linea parallela alla base, complementare all’intensità misurata ortogonalmente. In una qualità uniformemente difforme, «l’uniforme difformité est démontrée aussi bien de l’intensité que de l’extension des degrés : moins un degré est intense, plus il est étendu» – (fr:9242/p.563) [l’uniforme difformità è dimostrata sia per l’intensità sia per l’estensione dei gradi: meno un grado è intenso, più è esteso]. Ne segue che in tale configurazione non esiste un massimo grado esteso oltre la metà che possa fungere da denominatore: il grado mediano è il limite esterno dei gradi che si estendono su più della metà, ma per ogni grado inferiore al mediano ve n’è uno più intenso anch’esso esteso oltre la metà. La regola 4 non è quindi sufficiente a decidere la denominazione, e la lacuna conferma l’artificiosità di ogni riduzione puramente quantitativa.

Il resoconto mette in luce la straordinaria tecnicità raggiunta dal calcolo delle denominazioni e la tensione tra due modi di intendere la scienza delle qualità: da un lato il programma quantitativo di Swineshead, che cerca un grado medio rappresentativo e sfocia in paradossi dell’infinito; dall’altro la via “linguistica” di Oresme, che riconduce la denominazione a una convenzione fondata sulla frequenza e sul massimo, rinunciando a descrivere una realtà indipendente dal linguaggio. Storicamente, il confronto testimonia l’affinamento degli strumenti geometrici e logici nella filosofia naturale del Trecento e la progressiva consapevolezza del carattere arbitrario delle categorie con cui attribuiamo qualità al mondo.

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49 Oresme e la geometrizzazione della difformità: giudizio, calcolo e micro-variazione

Per Oresme lo studio matematico della distribuzione e della variazione delle qualità prende il posto delle soluzioni medie e denominative dei Calculatores, trasformando la questione del giudizio in un’analisi geometrica e aritmetica della difformità stessa.

Per Oresme la questione della denominazione – centrale nelle discussioni dei Mertoniani – diviene essenzialmente una questione verbale: «La question de la dénomination, centrale chez les Mertoniens, n’est plus qu’une question essentiellement verbale chez Oresme» – (fr:9253/p.565) [La questione della denominazione, centrale presso i Mertoniani, non è più che una questione essenzialmente verbale in Oresme]. La realtà della variazione di bianchezza è data dalla quantità della qualità, ma il giudizio umano non riposa su di essa. La teoria della denominazione è quindi una teoria del giudizio sulla realtà, non della realtà stessa: «Mais nous ne jugeons pas de la blancheur d’un sujet par la quantité de qualité, et la théorie de la dénomination est en fait plus une théorie du jugement sur la réalité qu’une théorie de la réalité elle-même» – (fr:9255/p.565) [Ma noi non giudichiamo la bianchezza di un soggetto dalla quantità di qualità, e la teoria della denominazione è di fatto più una teoria del giudizio sulla realtà che una teoria della realtà stessa]. Le regole per giudicare il difforme sono successivamente una regola della maggioranza assoluta e poi una regola del grado massimo (fr:9258/p.565), e benché fondate su principi ritenuti veri, esse costituiscono «les règles que l’âme humaine respecte dans ses jugements» – (fr:9256/p.565) [le regole che l’anima umana rispetta nei suoi giudizi], soggette a paradossi e alla rottura del principio di continuità: una logica del giudizio, non una filosofia naturale.

L’approccio dei calcolatori tendeva invece a eliminare l’ostacolo della difformità sostituendola con un unico grado rappresentativo: «chez les calculateurs, la difformité semble être un obstacle malheureux, une difficulté surmontée par la détermination d’un degré unique qui représente à lui seul toute la variation, mais qui par conséquent l’aplanit et la plonge dans l’obscurité» – (fr:9259/p.565) [presso i calcolatori, la difformità sembra essere un ostacolo infelice, una difficoltà superata con la determinazione di un grado unico che da solo rappresenta tutta la variazione, ma che di conseguenza la appiana e la getta nell’oscurità]. Per Oresme, al contrario, ciò che conta non è una media, ma la distribuzione e la variazione stessa, «à la manière d’un statisticien qui rejetterait les moyennes au profit des écarts-types ou autre quantité qui ne fait pas abstraction de la distribution réelle» – (fr:9262/p.565) [alla maniera di uno statistico che respingesse le medie a favore degli scarti-tipo o di altra quantità che non faccia astrazione dalla distribuzione reale].

La geometria e l’aritmetica entrano in gioco per descrivere la qualità uniformemente difforme. L’autore del Tractatus bonus enuncia la celebre proposizione secondo cui, in un movimento uniformemente difforme a partire dal non-grado, nella prima metà del tempo è percorso un terzo dello spazio totale percorso nella seconda metà, e il quadruplo nella totalità del tempo (fr:9264/p.566). La stessa proposizione è ripresa da Oresme nelle Questiones super Geometriam Euclidis (Q.13 e Q.14), dapprima in forma geometrica euclidea, poi aritmetica. La dimostrazione geometrica procede mostrando che, per una qualità uniformemente difforme terminata al non-grado, ogni sua parte parimenti terminata è simile alla qualità totale (fr:9271/p.566) e, applicando la VI.17 degli Elementi, il rapporto della qualità totale alla parte è il rapporto doppiato di quello dei soggetti: «le rapport de la qualité totale à la qualité partielle est comme le rapport doublé de la totalité du sujet à sa partie» – (fr:9276/p.567) [il rapporto della qualità totale alla qualità parziale è come il rapporto doppiato della totalità del soggetto rispetto alla sua parte]. Nella figura triangolare si verifica che la qualità totale è quadrupla della parte sua metà. Oresme estende subito la conclusione al trapezio – caso del movimento uniformemente difforme con grado iniziale non nullo – e a qualità spaziali e corporee, mostrando inoltre come un rapporto doppio di accelerazione produca una distanza doppia percorsa, segno di una quantificazione dell’accelerazione intesa come velocitatio.

Nella lettura aritmetica, Oresme divide il soggetto in n parti uguali e mostra che ciascuna parte terminata al non-grado deve essere designata dal numero quadrato la cui radice è il numero d’ordine della parte. «Patet ergo per quem numerum et quam figuram qualitas uniformiter difformis debet signari» – (fr:9291/p.568) [È dunque chiaro con quale numero e con quale figura la qualità uniformemente difforme debba essere indicata]. Ne deriva che i rapporti tra le qualità parziali seguono la serie dei numeri dispari, in pieno spirito boeziano: «le rapport des qualités partielles et leur relation mutuelle est comme la série des nombres impairs (series imparium numerorum)» – (fr:9293/p.568) [il rapporto delle qualità parziali e la loro relazione mutua è come la serie dei numeri dispari (series imparium numerorum)]. Oresme vi innesta la metafora pitagorica dello gnomone, per cui il primo dispari è all’unità come uno gnomone al primo quadrato, e conclude che «ex hoc pate quod numerus impar est numerus perfectus» – (fr:9296/p.568) [da ciò è manifesto che il numero dispari è un numero perfetto]. Mentre l’anonimo del Tractatus Bonus ricorreva a una dimostrazione puramente euclidea senza trarne regole funzionali (fr:9298‑9300), Oresme trasforma la difformità in un ordine numerico governato dalla generazione dei quadrati a partire dai dispari.

L’attenzione alla variazione raggiunge il suo vertice nello studio dei guadagni e delle perdite di una qualità, cioè delle micro‑variazioni. Oresme rappresenta il guadagno estensivo di una qualità lineare mediante il movimento di un punto fluente: «Acquisitio (…) extensiva qualitatis lineraris ymaginanda est per motum puncti fluentis super ipsam lineam subiectivam, ita quod pars pertransita sit qualificata et pars nundum pertransita non qualificata» – (fr:9315/p.570) [L’acquisizione estensiva di una qualità lineare va immaginata mediante il movimento di un punto che scorre sulla stessa linea soggettiva, cosicché la parte attraversata è qualificata e la parte non ancora attraversata non lo è]. Per il guadagno intensivo, invece, si immagina l’innalzamento di una linea sommitale che, scorrendo, lascia dietro di sé una superficie designante la qualità acquisita (fr:9320‑9321). La variazione della qualità coincide con la deformazione della linea sommitale, che può divenire curva o raddrizzarsi, come mostrano i tre diagrammi successivi in cui una linea da convessa diventa concava (fr:9325/p.571). Questa duplice rappresentazione permette di separare l’aumento intensivo da quello estensivo, nascondendo una precisa ipotesi fisica: l’alterazione ab intrinseco. Oresme distingue nettamente l’alterazione totum simul da quella successive, portando l’esempio di una linea AB che, cadendo con velocità uniforme secondo le parti del soggetto e uniformemente difforme secondo il tempo, si riscalda in ogni punto simultaneamente e in modo uniformemente difforme (fr:9341/p.572). Nella figura allegata, la velocità di caduta uniforme lungo il tempo e lo spazio soggettivo produce un riscaldamento uniforme lungo le parti e uniformemente difforme lungo il tempo.

L’intero studio delle micro‑variazioni si innesta sulla logica dell’incipit e del desinit. Oresme indaga se una qualità, mentre è in divenire, possa mantenersi continua‑mente uniforme. La conclusione principale è che durante un’alterazione simultanea la distribuzione soggettiva può restare invariata – uniforme, uniformemente difforme o difformemente difforme –, come quando ogni punto della linea sommitale si eleva tranne il termine inferiore D, rimasto continue quiescente (fr:9352‑9357). Proprio in tale contesto Oresme rivendica la superiorità delle proprie definizioni spaziali: «clarissime patet quod diffinitiones aliorum nihil valent» – (fr:9345/p.164) [appare con la massima chiarezza che le definizioni degli altri non valgono nulla].

Il percorso porta così a scorgere nella variazione quasi‑istantanea e nella molteplicità delle figure la piena espressione matematica di una metafisica della successione, in cui la res successiva non si lascia più ridurre a un grado unico, ma va colta nel ritmo della sua distribuzione e nella ricchezza delle sue micro‑deformazioni.

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50 La dinamica delle qualità e le variazioni continue secondo Oresme

Le alterazioni alterano il profilo dinamico delle qualità, e Oresme indaga le condizioni di istantaneità e permanenza di uniformità e difformità.

Il testo analizza le ricerche di Nicola Oresme sulla configurazione geometrica delle qualità, con particolare attenzione alle transizioni continue e ai paradossi logici che sorgono dalla rappresentazione sommitale. Le alterazioni che modificano il profilo dinamico delle qualità, infatti, sono al centro della sua attenzione, come si legge: « ce sont les altérations qui altèrent aussi le profil dynamique des qualités qui retiennent particulièrement son attention » – (fr:9358/p.574) [sono le alterazioni che alterano anche il profilo dinamico delle qualità a trattenere particolarmente la sua attenzione].

Oresme mostra che la sola proprietà di uniformità – sia uniforme sia uniformemente difforme – può essere istantanea, mentre la difformità difforme è necessariamente permanente per una durata, per quanto piccola: « Oresme démontre d’abord que seule la propriété d’uniformité (l’uniforme ou l’uniformément difforme) peut être instantanée, tandis celle de difformité difforme est nécessairement permanente pendant une durée si petite soit-elle » – (fr:9359/p.574) [Oresme dimostra innanzitutto che solo la proprietà di uniformità (l’uniforme o l’uniformemente difforme) può essere istantanea, mentre quella di difformità difforme è necessariamente permanente per una durata, per quanto piccola essa sia].

Tale distinzione è illustrata dalla variazione di curvatura di una linea sommitale, figura già richiamata in precedenza (fr.9360). La curvatura è priva di un grado minimo: tra una curva e una sua tangente esistono infinite curve, cosicché non può esservi un primo né un ultimo istante in cui la linea è curva. La deduzione è stringente: « « En fait, la déduction suivante est bonne : « maintenant elle est courbe, donc elle sera encore courbe » ; et il s’en suit encore : « donc elle était courbe auparavant » » » – (fr:9361/p.574) [“In effetti, la deduzione seguente è buona: ‘ora è curva, dunque sarà ancora curva’; e ne segue ancora: ‘dunque era curva in precedenza’”]. Non si tratta di eternità della curvatura, ma di continuità: se in un istante di una variazione continua la linea è curva, esistono un istante anteriore e uno posteriore in cui è curva (fr.9362-9363). L’assenza di un minimo di curvatura implica che non esista né un ultimo né un primo istante di curvatura in una variazione continua, come spiega il testo: « comme il n’existe pas de minimum de courbure, il n’existe pas non plus de dernier instant, ni de premier instant, où la ligne est courbe dans une variation continue » – (fr:9367/p.574) [poiché non esiste un minimo di curvatura, non esistono neppure un ultimo istante, né un primo istante, in cui la linea è curva in una variazione continua].

La rettitudine, al contrario, non avendo grado, ammette un primo e un ultimo istante e può essere istantanea: « la rectitude n’a pas de degré, non seulement il existe un premier et un dernier instant où la ligne est droite, mais ces deux instants peuvent être identiques, de sorte que la ligne peut être droite instantanément » – (fr:9368/p.574) [la rettitudine non ha grado, non solo esiste un primo e un ultimo istante in cui la linea è retta, ma questi due istanti possono essere identici, cosicché la linea può essere retta istantaneamente]. Una maniera moderna di esprimere la stessa idea è che « la ligne droite est la limite vers laquelle converge la diminution de la courbure » – (fr:9369/p.574) [la linea retta è il limite verso cui converge la diminuzione della curvatura]. Sul piano temporale, un intervallo che misura una variazione di curvatura è aperto, mentre quello che misura la permanenza di una rettitudine è chiuso e persino riducibile a un punto (fr.9371). Le espressioni impiegate nel ragionamento – “adhuc” e “ante” – sono meno precise di quelle logiche contemporanee e conferiscono una strana apparenza di perpetuità, ma Oresme evita qui l’idea paradossale di un istante immediatamente anteriore o posteriore (fr.9372-9373).

Il modello cine-sommitale genera una difficoltà ulteriore quando una linea sommitale ruotando diviene perpendicolare alla linea di base: accettare che una linea sommitale diventi linea intensiva è fisicamente insensato. Oresme supera l’impasse quantificando la difformità stessa. Assume due linee AB e CD non parallele, con CD rotante attorno a D: quanto più si avvicina alla parallela, tanto più la qualità figurata è uniforme, quanto più alla perpendicolare, tanto più è difforme (fr.9396-9398). In questo modo esistono gradi di non-equidistanza, e quindi gradi di difformità, dall’assenza di grado fino al grado massimale alla perpendicolare. « Le problème de la différence spécifique des deux lignes sommitale et intensive est ainsi contourné en recourant à une mesure de la difformité elle-même, et appliquant à la latitude de difformité le principe habituel de continuité » – (fr:9400/p.577) [Il problema della differenza specifica delle due linee sommitale e intensiva è così aggirato ricorrendo a una misura della difformità stessa, e applicando alla latitudine di difformità il principio abituale di continuità]. Dire che la linea BC “diviene” la perpendicolare BC’’ significa in realtà che la difformità raggiunge il suo grado massimale (fr:9401/p.577).

Un caso paradossale di alterazione coinvolge un soggetto in parte uniformemente caldo al massimo e in parte uniformemente difforme fino a zero; durante l’alterazione, un punto resta di calore nullo per poi divenire “soudain” (subito) massimamente caldo al termine. Ciò contraddirebbe il principio di continuità: « une qualité ni une intensité ne doit pouvoir être acquise entièrement selon toutes ces parties graduelles : un ordre naturel est nécessaire, qui requiert que le plus petit degré est acquis avant le plus grand » – (fr:9385/p.576) [una qualità né un’intensità devono poter essere acquisite interamente secondo tutte le loro parti graduali: è necessario un ordine naturale, che richiede che il grado più piccolo sia acquisito prima del più grande]. Oresme non nega la possibilità di una simile alterazione; anzi, la usa come argomento per sostenere che nulla è realmente indivisibile alla stregua di un punto, di una linea o di una superficie (fr:9386/p.576). L’alterazione è costruita dividendo tempo e soggetto in parti proporzionali: secondo l’ennesima parte proporzionale del tempo, l’ennesima parte proporzionale del soggetto è uniformemente massima e la restante uniformemente difforme fino a zero; al termine, la qualità è interamente uniforme e massima (fr.9388-9389). La continuità dell’alterazione sembra contraddire la continuità dell’intensificazione, poiché una parte della qualità appare passare “soudainement” da un estremo all’altro. Oresme risponde che questo caso non corrisponde ad alcuna realtà in sé, giacché ogni soggetto è corporeo e il principio di continuità fisica si applica solo alle entità fisiche, cioè corporee (fr:9421/p.578). Sul piano ontologico, la stessa alterazione è vista come successiva nel DC e come simultanea nel QSGE (fr:9403/p.577).

Il tema si salda alla riflessione logica sulla totalità e le parti nella serie infinita. Oresme, che difende l’identità del tutto con le sue parti, affronta il paradosso di un tutto A da attraversare in un’ora: se A è diviso in parti proporzionali infinite, ciascuna parte sarà attraversata prima della fine dell’ora, e poiché il tutto è le sue parti, il tutto sarebbe attraversato prima di essere attraversato. La soluzione è che ogni parte sarà attraversata prima dell’ora, ma non tutte insieme: « C’est pourquoi Oresme concède que chaque partie sera traversée avant la fin de l’heure, mais non pas toutes : « omnes simul numquam erunt pertransite ante finem hore » » – (fr:9432/p.579) [Ecco perché Oresme concede che ogni parte sarà attraversata prima della fine dell’ora, ma non tutte: “tutte insieme non saranno mai state attraversate prima della fine dell’ora”]. La parte restante diminuisce continuamente e sarà nulla alla fine dell’ora (fr.9431). Geometricamente, « Oresme a donc démontré qu’une figure géométrique – un rectangle – est la limite d’une série infinie cinématiquement définie de figures géométriques – alternativement des prismes et des rectangles » – (fr:9417/p.578) [Oresme ha dunque dimostrato che una figura geometrica – un rettangolo – è il limite di una serie infinita cinematicamente definita di figure geometriche – alternativamente prismi e rettangoli]. La “parte residua” forma essa stessa una serie infinitamente decrescente il cui limite è la linea indivisibile BF (fr.9418).

La seconda parte del brano applica le medesime nozioni alla fisica del rayonnement. Nella questione 17 delle Questiones super geometriam Euclidis, Oresme domanda « Utrum diffusio vel multiplicatio virtutis corporum circa se sit uniformiter difformis, verbi gratia sicut illuminatio medii vel influentia aliqua vel multiplicatio specierum in medio » – (fr:9434/p.579) [Se la diffusione o la moltiplicazione della virtù dei corpi intorno a sé sia uniformemente difforme, per esempio l’illuminazione del mezzo, o un’influenza qualunque, o la moltiplicazione delle specie nel mezzo]. Il caso esemplare è la sorgente luminosa: si tratta di determinare come varia l’intensità della chiarezza nello spazio e come aumenta la quantità di lumen in funzione della potenza della sorgente (fr:9436/p.579). Oresme studia dapprima trascurando la resistenza del mezzo, poi integrandola; non dimentica mai che la luminosità è solo un caso particolare di virtù diffusa (fr:9437-9438/p.579). Il testo è complesso anche perché Oresme non possiede ancora l’algoritmo dei rapporti (fr:9441/p.580). L’unico altro studio quantitativo di ampiezza comparabile è il Liber calculationum di Swineshead (fr:9442/p.580).

Viene infine presentata brevemente la soluzione di Dumbleton nella Summa, che usa l’immagine del cône di radiazione. Dumbleton paragona la latitudine a un corpo piramidale: al punto immediatamente adiacente all’agente corrisponde l’intera latitudine in intensità, così come alla base di una piramide corrisponde l’intera profondità (fr.9450 e 9455). Sembra affermare che la luminosità di un punto sia proporzionale alla sua distanza dal punto terminale (fr.9464). L’ambiguità del testo deriva dal passaggio dalla base al raggio del cône, lasciando intravedere un possibile avvicinamento alla legge del quadrato inverso senza però formularla nettamente. « Ofer Gal voit dans cette hésitation entre la surface et le rayon le signe de la confusion occasionnée par la substitution systématique d’un triangle plan au cône solide dans l’étude de la puissance rayonnante » – (fr:9466/p.581) [Ofer Gal vede in questa esitazione tra la superficie e il raggio il segno della confusione occasionata dalla sostituzione sistematica di un triangolo piano al cono solido nello studio della potenza radiante].

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51 L’evoluzione del metodo di esaustione: da Euclide al ribaltamento di Oresme

Dall’esaustione come approssimazione infinita alla sua trasformazione in un processo di trasformazione completa e calcolo di somme infinite, il testo traccia il percorso di un metodo matematico attraverso la sua trasmissione medievale fino alla sua risignificazione radicale.

Il testo analizza il metodo di esaustione, partendo dalla sua formulazione negli Elementi di Euclide. In Euclide, il metodo non mira a costruire un processo infinito, ma a dimostrare l’uguaglianza di grandezze per via indiretta. Come spiegato, per dimostrare che una grandezza indeterminata è uguale a un cerchio, si prova che essa non può essere né più piccola né più grande, poiché entrambe le ipotesi porterebbero a una contraddizione. Il ragionamento si basa sulla costruzione di poligoni inscritti sempre maggiori, la cui differenza dal cerchio diventa progressivamente più piccola. Un punto cruciale è che “Cette grandeur assure que jamais le polygone ne devient le cercle : il sera toujours autre.” - (fr:9730/p.600) [Questa grandezza assicura che il poligono non diventa mai il cerchio: sarà sempre altro.]. La natura di tale esaustione è quindi solo potenzialmente infinita: “l’exhaustion n’est que potentiellement infinie, au sens où quel que soit le nombre (fini) de parties à ajouter à la première partie soustraite pour atteindre une différence plus petite que celle donnée, ce nombre sera finalement atteint.” - (fr:9727/p.600). Il metodo euclideo viene così interpretato come un modo di “employer l’intuition d’Antiphon, tout en évitant le sophisme qui consiste à identifier le droit au courbe, même au terme supposé d’un processus infini” - (fr:9733/p.601) [impiegare l’intuizione di Antifonte, evitando però il sofisma che consiste nell’identificare il retto al curvo, persino al termine supposto di un processo infinito.], un analogo del calcolo integrale per la determinazione di superfici e volumi.

La seconda parte del testo descrive la trasmissione medievale di questo metodo, veicolata principalmente da testi di o attribuiti ad Archimede. Furono fondamentali La Misura del cerchio, tradotta dall’arabo da Gérard de Crémone, e il Liber de curvis superficiebus Archimenidis, una parafrasi attribuita a Giovanni di Tinemue. Quest’ultimo fu la fonte principale per la conoscenza del Sulla sfera e il cilindro. Nonostante le traduzioni più complete dal greco realizzate da Guglielmo di Moerbeke nel 1269, che comprendevano quasi tutti i testi archimedei oggi noti, furono i primi due trattati a servire da modello per l’estensione dell’uso del metodo di esaustione. Un altro testo influente fu il Verba filiorum dei fratelli Banū Mūsā, probabilmente usato da Alberto di Sassonia.

Il culmine dell’analisi è la trasformazione operata da Nicola Oresme. Egli non si limita a commentare, ma opera un ribaltamento completo del metodo. Oresme contesta l’interpretazione classica di Aristotele ed Euclide, secondo cui una diminuzione continua secondo parti proporzionali di una grandezza finita non la esaurisce mai, lasciando sempre un residuo. Al contrario, nelle sue Questioni sulla Geometria di Euclide, Oresme dimostra che “une telle quantité est exactement épuisée, ni plus ni moins (precise consumitur пес plus пес minus), par une soustraction indéfinie de ce genre” - (fr:9782/p.603) [una tale quantità è esattamente esaurita, né più né meno, da una sottrazione indefinita di questo genere.]. L’esaustione diventa così completa. Questo ribaltamento si fonda su una nuova teoria dei rapporti, dove un rapporto è trattato come una grandezza continua. Se un rapporto di maggiore disuguaglianza viene aggiunto a sé stesso indefinitamente, esso aumenta all’infinito, il che implica che il termine minore del rapporto diminuisce indefinitamente, rendendo possibile l’esaurimento totale. L’esaustione euclidea, “méthode de transformation d’une chose en une autre en une infinité d’opérations conduites en un temps fini” - (fr:9761/p.602) [metodo di trasformazione di una cosa in un’altra in un’infinità di operazioni condotte in un tempo finito.], viene quindi da Oresme piegata a nuovi scopi, come il calcolo di somme infinite, segnando una rottura consapevole e radicale con la tradizione aristotelica.

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52 La completa esaustione e la somma delle serie: tempo e infinito in Oresme

Nel pensiero di Oresme, il tempo non è un semplice espediente narrativo, ma la misura reale di un’operazione matematica che permette il passaggio logico dall’infinito potenziale della divisione “all’infinito” all’esaustione completa “alla fine dell’ora”.

L’analisi si concentra sul nucleo operativo del metodo matematico di Oresme, che trova fondamento in una delle sue ipotesi fondamentali. “La troisième supposition sert là encore à établir un lien entre addition et soustraction : Oresme y affirme simplement qu’à toute quantité donnée, il est possible de procéder à une addition par parties proportionnelles, ou à une soustraction par parties proportionnelles.” - (fr:9821/p.606) [La terza ipotesi serve anche qui a stabilire un legame tra addizione e sottrazione: Oresme vi afferma semplicemente che per ogni quantità data, è possibile procedere a un’addizione per parti proporzionali, o a una sottrazione per parti proporzionali.]

Partendo da questa premessa, Oresme considera una divisione continua di un intero T in parti aliquote (come la metà o un terzo), una scelta dettata probabilmente da ragioni didattiche e non da una limitazione teorica, poiché la dimostrazione “peut facilement être généralisée à tous les rapports rationnels ou irrationnels” - (fr:9823/p.606) [può essere facilmente generalizzata a tutti i rapporti razionali o irrazionali]. Il processo genera una proporzione continua tra i residui ( R_n ), tale che il rapporto tra un residuo e il successivo è una costante ( ), dove ( b ) è il denominatore della parte aliquota sottratta (es. 2 per la metà, 3 per il terzo). Da qui, per composizione, Oresme deduce che il rapporto tra l’intero ( T ) e il residuo ( R_n ), che è ( ()^n ), cresce all’infinito, mentre ( T ) rimane costante. Di conseguenza, il residuo ( R_n ) diminuisce all’infinito, diventando più piccolo di qualsiasi grandezza data.

Oresme, tuttavia, compie un passo ulteriore e afferma che la quantità è “esattamente esaurita”. “« (…) et donc toute cette quantité est exactement épuisée ((…) igitur tota illa quantitas precise consumitur) ».” - (fr:9831/p.607) [« (…) e dunque tutta questa quantità è esattamente esaurita ((…) igitur tota illa quantitas precise consumitur) ».] La seconda parte di questa conclusione, ossia l’esaustione completa, non è formalmente dimostrata in quel passaggio, ma viene implicitamente completata da Oresme introducendo una divisione del tempo in parti proporzionali. È necessario, infatti, “envisager le processus de soustraction continue comme un processus réel, et tenir compte de la durée ID de la division, en supposant comme Oresme le fait fréquemment un processus d’une durée totale d’une heure.” - (fr:9835/p.607) [considerare il processo di sottrazione continua come un processo reale, e tenere conto della durata ID della divisione, supponendo, come Oresme fa frequentemente, un processo della durata totale di un’ora.] Modellando il tempo su un’ora divisa in parti proporzionali, la prima sottrazione avviene nella prima mezz’ora, la seconda nel quarto d’ora successivo, e così via. In ogni istante ( i_n ) prima della fine dell’ora, rimane un residuo ( R_n ) e l’esaustione è incompleta. La domanda cruciale diventa allora cosa accade all’istante finale ( D ), “c’est-à-dire à la fin de l’heure (in fine hore)?” - (fr:9839/p.607) [cioè alla fine dell’ora (in fine hore)?]

La conferma che il ragionamento di Oresme sia intrinsecamente temporale e miri a un’esaustione completa risiede nei corollari che seguono, dove il filosofo passa dal presente al futuro. “« si d’un pied on retranche un demi-pied, puis la moitié du résidu de la quantité, puis la moitié du résidu suivant, et ainsi à l’infini, de ce pied sera retranché exactement un pied (Si ab aliquod pedali dematur semipedale et deinde medietas residue quantitatis et deinde medietas alterius residui et sic in infinitum, ab illo amovebitur precise pedale). »” - (fr:9841/p.607) [« se da un piede si sottrae un mezzo piede, poi la metà del residuo della quantità, poi la metà del residuo successivo, e così all’infinito, da quel piede sarà sottratto esattamente un piede (Si ab aliquod pedali dematur semipedale et deinde medietas residue quantitatis et deinde medietas alterius residui et sic in infinitum, ab illo amovebitur precise pedale). »] L’uso del futuro “sarà sottratto” (“amovebitur”) non è casuale, ma “renvoie à une logique temporelle” - (fr:9844/p.607) [rinvia a una logica temporale] essenziale per la matematizzazione dell’alterazione.

La logica temporale viene impiegata in modo esplicito per risolvere un’obiezione cinematica. L’obiettore contesta che due diverse divisioni infinite, per esempio per metà e per un millesimo, possano entrambe sommare all’intero ( T ), sostenendo che, parte per parte, la somma delle parti sottratte per metà è sempre maggiore di quella per millesimo. Oresme, supponendo che Socrate e Platone percorrano rispettivamente le due somme di distanze ( a ) e ( b ) in un’ora divisa in parti proporzionali, smonta l’obiezione dimostrando che il vantaggio iniziale di Socrate non è indefinito. Dopo un certo numero di parti, la parte ( P_n ) (sottratta per metà) diventa più piccola della corrispondente ( Q_n ) (sottratta per millesimo). Oresme non fornisce il calcolo esatto, ma osserva che “« en vient finalement à une grandeur qui n’est pas plus grande que son corrélé, mais plus petit (tandem devenitur ad unam, que non est maior sua compari, sed minor) ».” - (fr:9872/p.609) [« si giunge infine a una grandezza che non è più grande del suo corrispettivo, ma più piccola (tandem devenitur ad unam, que non est maior sua compari, sed minor) ».]

Il ricorso al tempo non è limitato alla cinematica, ma è parte integrante della misura delle operazioni matematiche stesse. Ciò è provato in modo lampante nell’analisi di una serie divergente, dove Oresme scrive: “« soit supposée une quantité d’un pied, à laquelle est ajoutée dans la première partie proportionnelle d’une heure une moitié de pieds, puis un tiers dans la suivante, puis un quart, puis un cinquième et ainsi de suite à l’infini selon l’ordre des nombres, je dis que le tout deviendrait infini (sit pedalis quantitas assumpta, cui addatur in prima parte proportionali hore una medietas pedis, deinde una tertia in alia et deinde una quarta, deinde una quinta et sic in infinitum secundum ordinem numerorum, dico quod totum fieret infinitum) »” - (fr:9874/p.609) [« sia supposta una quantità di un piede, alla quale è aggiunta nella prima parte proporzionale di un’ora una metà di piede, poi un terzo nella successiva, poi un quarto, poi un quinto e così via all’infinito secondo l’ordine dei numeri, dico che il tutto diventerebbe infinito (sit pedalis quantitas assumpta, cui addatur in prima parte proportionali hore una medietas pedis, deinde una tertia in alia et deinde una quarta, deinde una quinta et sic in infinitum secundum ordinem numerorum, dico quod totum fieret infinitum) »].

È la distinzione tra la durata del processo, dove l’esaustione è parziale, e il termine finale che giustifica l’esaustione completa. Nell’istante finale ( D ), è logicamente impossibile che permanga un residuo ( R_D ), per quanto piccolo. Se così fosse, esisterebbe una successiva parte proporzionale del tempo in cui una parte di quel residuo verrebbe sottratta, il che è assurdo perché ( D ) è la fine dell’ora. “Par conséquent, l’instant où reste le résidu RD à soustraire est nécessairement antérieur à la fin de l’heure D. Il est donc impossible qu’il existe un résidu RD en D” - (fr:9886/p.610) [Di conseguenza, l’istante in cui resta il residuo ( R_D ) da sottrarre è necessariamente anteriore alla fine dell’ora ( D ). È dunque impossibile che esista un residuo ( R_D ) in ( D )]. In questo modo, “En mesurant les opérations mathématiques par le temps, Oresme s’autorise à passer de « et sic in infinitum » à « in fine ».” - (fr:9887/p.610) [Misurando le operazioni matematiche con il tempo, Oresme si autorizza a passare da « e così all’infinito » a « alla fine ».]

Questa concezione operativa e temporale del limite è la base per il calcolo della somma di serie infinite convergenti. Oresme formula una regola generale, in notazione moderna: la somma infinita di ( a()^n ) per ( || < 1 ) è ( a ). La sua procedura per trovare il rapporto tra il tutto e la prima parte aggiunta è di una modernità sorprendente. Per una serie in cui ogni parte è un terzo della precedente, Oresme osserva che la seconda parte è in difetto (deficit) di due terzi sulla prima. Il rapporto dell’intera somma sulla prima parte è l’inverso di quel rapporto di difetto. Come illustrato dalla ricostruzione del testo con le grandezze ( AD ) (somma totale) e ( AB ) (prima parte), ciò porta a dimostrare che ( AD : AB = AB : AC_1 = 3 : 2 ). “La règle d’Oresme requiert que l’on démontre que : ( = )” - (fr:9905/p.612) [La regola di Oresme richiede che si dimostri che: ( = )]. Sebbene Oresme non espliciti sempre il ricorso al tempo in queste conclusioni sulla somma, esso è deducibile dall’uso costante del futuro (“erit”) e dall’impiego del termine “il totale (totum)”, che indica una somma concepita come il completamento di un processo di addizione astratto ma temporalmente misurato.

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53 La dimostrazione della Conclusio mirabilis e il calcolo di somme infinite nel De configurationibus di Oresme

La somma totale della qualità o della distanza percorsa in un moto la cui velocità cresce come il numero della parte proporzionale del tempo è uguale a quattro volte la quantità acquisita nella prima parte.

Oresme studia un moto la cui durata totale è di un’ora, divisa in parti proporzionali secondo il rapporto doppio:

« La durée totale du mouvement égale une heure et est divisée en parties proportionnelles de sorte que 🡇 𞁛 = 1 2𝡛 » – (fr:10230/p.635) [La durata totale del moto è di un’ora ed è divisa in parti proporzionali tali che Tₙ = 1/2ⁿ.]

In ciascuna di queste parti la velocità è uniforme, assunta arbitrariamente pari a 1 nella prima parte e poi crescente secondo la regola 𠁉𞁛 = 𞁛 (fr:10232/p.635), cioè la velocità nella n-esima parte è n. Posto che la quantità acquisita nella prima parte Q₁ sia uguale a 1, Oresme intende dimostrare che la quantità totale Q è uguale a 4 (fr:10234/p.635). Il problema si traduce nel calcolo della somma infinita ∑ Qₙ = 4 (fr:10236/p.635).

53.1 Il ragionamento per parti e l’operazione di “prestito”

Dopo aver verificato che Q₂ = Q₁ grazie al fatto che in T₂ la velocità è doppia ma la durata è metà (fr:10238/p.635), Oresme affronta il calcolo di Q₃ con un procedimento divenuto “più sottile” (fr:10240/p.635). Egli osserva che T₃ equivale a tutto il tempo restante dopo la prima divisione: « Il note que T 3 est d’une durée égale à « tout le restant (totum residuum) » » (fr:10241/p.635). L’idea è di prendere in prestito (mutuo) un grado di velocità dalla totalità della rapidità restante e di assegnarlo alla terza parte (fr:10244/p.635): la velocità V₃ passa così da 3 a 4, mentre tutte le velocità successive perdono ciascuna un grado (V₄ da 4 a 3, V₅ da 5 a 4, ecc.) (fr:10245/p.635). Oresme ritiene che questa commutazione non alteri la quantità totale, perché un uguale guadagno di velocità, applicato per una stessa durata, produce un uguale guadagno di quantità indipendentemente dalla velocità iniziale (fr:10246‑10251). Di conseguenza, la quantità totale rimane invariata se si aggiunge un grado in T₃ e lo si sottrae uniformemente dalle infinite parti restanti.

Iterando indefinitamente l’operazione per tutte le parti successive, la velocità in ogni Tₙ (con n ≥ 3) viene sistematicamente portata a 4, mentre la durata si dimezza ogni volta: « le degré de rapidité en Tn est ainsi systématiquement ramené à 4, tandis que la durée Tn est systématiquement moitié moindre que la précédente » (fr:10266/p.637). Ne segue che a partire da T₄ la quantità acquistata in ogni Tₙ è la metà di quella della parte precedente. La somma totale diventa allora:

« ∑ ∆𞱄𞁛 ∞ 1 = 𞱄1 + ∆𞱄2 + ∆𞱄3 ∗ + ⋯ + ∆𞱄𞁛 ∗ + ⋯ = 𞱄1 + 𞱄1 2 + ⋯ + 𞱄1 2𝱚 + ⋯ » – (fr:10268‑10269)

Poiché Oresme ammette che la somma infinita della metà, della metà della metà, e così via, uguagli esattamente il primo termine (fr:10270/p.637), ponendo Q₁ = 1 si ottiene Q = 3 + 1 = La conclusione è che il mobile percorre 4 esattamente: « Igitur in tota hora pertransiret 4 » (fr:10271/p.638, 10277).

La procedura è sintetizzata in una tavola di serie numeriche di dieci colonne (fr:10272/p.638). Ogni riga mostra la distribuzione delle quantità dopo lo spostamento di un grado dalle parti posteriori a quella considerata. Le prime sette righe presentano le quantità acquisite nelle prime dieci parti del tempo; la prima riga reca i valori iniziali 1, 2, 3, 4, …; la seconda 1, 2, 4, 3, 4, 5, …; la terza 1, 2, 4, 4, 3, 4, 5, …, e così via, con un progressivo scorrimento del “3” verso destra (fr:10276/p.638). Le ultime righe esprimono i rapporti fra le durate in termini di multipli e di frazioni (doppio/un mezzo, quadruplo/un quarto, ecc.) (fr:10275/p.638). La tavola visualizza così il convergere della serie verso la successione 1, 2, 4, 4, 4, … con un residuo ε che tende a zero, confermando la somma finita.

53.2 La geometrizzazione del problema

Nel capitolo III.8 Oresme sostituisce la dimostrazione diretta con una costruzione geometrica (fr:10279/p.639). Prende due rettangoli uguali di quattro piedi e divide il secondo in parti continuamente proporzionali di ragione doppia (fr:10284/p.639). Impila poi ciascuna di queste parti sul primo rettangolo, allineando gli estremi destri in modo da formare una superficie a gradini la cui base è divisa in parti proporzionali e le cui altezze sono 1, 2, 3, … all’infinito (Fig. 22, fr:10282‑10285). Poiché l’area aggiunta non è altro che l’intero secondo rettangolo, la “superficie totale” della figura infinita risulta di 8 piedi, quadrupla della metà del rettangolo iniziale (fr:10286/p.640). Così la convergenza della serie infinita è resa visibile da una figura che, sebbene infinitamente alta, racchiude un’area finita.

Il testo osserva che Oresme sembra non distinguere esplicitamente tra area infinita e limite; tuttavia, conformemente ai principi esposti nelle Quaestiones super geometriam Euclidis, egli intende che l’impilamento abbia una durata e che ogni fase si compia in un intervallo della corrispondente parte proporzionale di tempo (fr:10290‑10291). La figura diventa così la raffigurazione di una qualità o di un moto: se rappresenta una distribuzione di calore, indica un calore doppio nella seconda parte, triplo nella terza e così via; se rappresenta un moto, la velocità cresce con lo stesso andamento (fr:10293‑10294). Il procedimento unisce geometria e aritmetica: l’ordinamento delle parti secondo una series numerorum o un processus numerorum (fr:10297/p.640) rivela l’influenza dell’aritmetica boeziana e dei metodi discreti. Oresme dispone i rango e i valori come due successioni numeriche e legge le variazioni continue attraverso la relazione tra esse (fr:10305‑10307), un compromesso tra una finalità continuista e una metodologia combinatoria (fr:10309/p.641).

53.3 Altri casi di difformità infinita convergente

Oresme presenta altre due difformità graduali infinite. La prima (III.9) è definita in modo che la quantità della parte n+1 sia la metà di quella della parte n; la base è divisa in modo che l’estensione della prima parte sia ¾ del totale e ciascuna successiva sia i ¾ del residuo (fr:10313‑10315). La quantità totale risulta il doppio di Q₁, ricorrendo alla somma 1 + ½ + ¼ + … = 2, già calcolata nelle Quaestiones (fr:10324‑10325). La seconda difformità (III.10) è più complessa: la base è divisa in parti proporzionali di ragione doppia, le parti dispari hanno intensità che raddoppiano a ogni passo, mentre nelle parti pari l’intensità cresce uniformemente (Fig. 24, fr:10328‑10330). Oresme considera separatamente le somme delle quantità delle parti dispari e di quelle pari. Posto che Q₁ = a, la quantità totale delle dispari è 2a; per le pari, se la prima quantità pari è b, il totale è 2b. Poiché il rapporto b:a risulta 3:4 (fr:10335‑10336), la quantità totale composta dalle due serie infinite è:

« 𞱄𝑇 = 2 (𝡎 + 3𝡎 4 ) = 7 2 𝡎 » – (fr:10337/p.644)

Un secondo calcolo, basato sul rapporto tra le due somme infinite, conduce al medesimo risultato: « 𞱄𝑇 = ∑ 𞱄2𞁛 ∞ 1 + ∑ 𞱄2𞁛+1 ∞ 1 = 2𝡎 + 3 2 𝡎 = 7 2 𝡎 » (fr:10339/p.645). Il metodo, fondato su serie a ragione doppia, si presta a essere generalizzato a qualsiasi coppia di serie il cui primo termine sia in un rapporto qualunque (fr:10339/p.645).

[29.2/2-109-10340|10448]

54 Dalla geometria delle somme infinite alla transfigurazione del mondo fisico in Oresme

Nel De configurationibus, Oresme trasforma il semplice capovolgimento di un diagramma in un nuovo teorema, riconverte i paradossi di Zenone in un calcolo positivo che lega l’infinito al finito e, mediante operazioni matematiche di “transfigurazione”, estende qualità corporee finite su volumi infiniti, rovesciando i divieti cosmologici di Aristotele.

La forza delle dimostrazioni di Oresme non riposa anzitutto sulla geometria in sé, bensì su “la méthode d’ordonnancement des parties proportionnelles, et les regroupements variables de ces parties, par exemple selon qu’elles sont paires ou impaires” – (fr:10341/p.645) [il metodo di ordinamento delle parti proporzionali, e i raggruppamenti variabili di queste parti, per esempio secondo che siano pari o dispari]. L’intero capitolo III.11 illustra una tecnica già apparsa nelle Quaestiones super geometriam Euclidis, la conversio (semplice capovolgimento della figura). La figura in questione “n’est rien d’autre que celle déjà construite en III.8, mais tournée d’un angle droit, de sorte que la ligne figurant l’intensité maximale représente maintenant la ligne de base, tandis que ce qui été précédemment ligne de base devient intensité initiale” – (fr:10344/p.645) [non è altro che quella già costruita in III.8, ma ruotata di un angolo retto, cosicché la linea che raffigura l’intensità massima rappresenta ora la linea di base, mentre ciò che prima era linea di base diventa intensità iniziale]. Con questa sola rotazione la figura acquista un nuovo significato: essa rappresenta una qualità o un movimento la cui intensità decresce a gradini, a intervalli estensivi regolari, secondo un rapporto sotto-doppio (fr:10345/p.645). Poiché geometricamente la superficie totale eguaglia il doppio di quella iniziale (fr:10346/p.645), ne segue che un mobile la cui velocità diminuisca in quel modo non percorrerebbe mai una distanza doppia di quella coperta il primo giorno, ma vi si avvicinerebbe indefinitamente senza mai raggiungerla: “Mais, pour n’importe quelle distance plus petite que le double de celle traversée pendant la première journée, il arrivera un moment où il traversera une distance égale” – (fr:10347/p.646) [Ma, per qualunque distanza minore del doppio di quella percorsa il primo giorno, arriverà un momento in cui ne percorrerà una uguale].

Quest’ultimo calcolo è dichiaratamente una variante dei paradossi di Zenone. Tuttavia, mentre in Zenone essi conservano una portata metafisica e servono a mostrare l’illusorietà del movimento, “ils deviennent chez Oresme une méthode de calcul qui relie l’infini au fini” – (fr:10349/p.646) [diventano presso Oresme un metodo di calcolo che collega l’infinito al finito]. Il problema non è più vissuto come paradosso, ma come un fatto positivo e sorprendente: “De paradoxes visant à nier la réalité du mouvement, ces raisonnements révèlent maintenant la vérité du mouvement” – (fr:10351/p.646) [Da paradossi volti a negare la realtà del movimento, questi ragionamenti rivelano ora la verità del movimento]. Oresme espone esplicitamente la propria soluzione al dilemma sollevato da Zenone una sola volta. Dopo aver ricordato l’argomento secondo cui, se il continuo fosse composto di indivisibili, “mobile velox non possit attingere mobile tardum” – (fr:10354/p.646) [il mobile veloce non potrebbe raggiungere il mobile lento], risponde:

“mobile velox attingit mobile tardum, sed numquam dum distat, sed in primo instanti in quo non distabunt. Immo bene probat ratio quod non est ultimum instans in quo distant, sed quandocumque distant, adhuc distabunt semper; et sic in infinitum. Tamen quia hoc est semper diminuendo, totum pertransitur isto tempore habente etiam infinitas pa rtes.” – (fr:10363-10365/p.646) [il mobile veloce raggiunge il mobile lento, ma mai mentre sono distanti, bensì nel primo istante in cui non saranno distanti. Anzi, la ragione dimostra bene che non c’è un ultimo istante in cui sono distanti, ma ogniqualvolta sono distanti, continueranno a esserlo; e così all’infinito. Tuttavia, poiché ciò diminuisce sempre, il tutto è percorso in questo tempo che ha anch’esso infinite parti.]

La distanza iniziale a diminuisce secondo parti proporzionali continue di rapporto doppio, durante durate esse stesse proporzionali; poiché Oresme, a differenza di Aristotele, ammette che l’esaurimento sia completo, la distanza si annulla alla fine della durata (fr:10368/p.647). La potenza del metodo si estenderebbe facilmente al calcolo dell’istante e del luogo dell’incontro mediante diagrammi rettangolari delle velocità (fr:10369-10378/p.647), ma Oresme non sviluppa mai una figurazione della velocità secondo la distanza percorsa, limitandosi a rappresentare la variazione della velocità secondo la durata o secondo l’estensione del mobile (fr:10380/p.647-10381/p.648).

I capitoli III.12-13 trasferiscono l’idea dalle qualità lineari a quelle corporee. “De même qu’une surface finie peut être infiniment étendue, un volume fini peut être infiniment étendu” – (fr:10383/p.648) [Allo stesso modo in cui una superficie finita può essere infinitamente estesa, un volume finito può essere infinitamente esteso]. Qui la figura geometrica non rappresenta più la configurazione intensiva di una qualità, bensì la disposizione estensiva del soggetto che la ospita. Oresme dimostra che una quantità finita di qualità (come la pesantezza di una libbra) può essere indefinitamente estesa in lunghezza e larghezza, e che la qualità corporea così ottenuta può essere uniforme oppure difformemente difforme, ma giammai uniformemente difforme; un esito che “videtur aliquibus mirabile, et tamen pulchrum est et facile speculari” – (fr:10388/p.648) [sembra a certuni meraviglioso, e tuttavia è bello e facile da osservare]. La dimostrazione procede per transfigurazione (fr:10393/p.648). Il cubo iniziale viene diviso in parti proporzionali; la prima metà diviene un cilindro, la seconda una corona circolare di pari volume ma altezza ridotta incastonata intorno al primo, e così via. Si genera in questo modo “une sorte d’escalier circulaire dont la base est indéfiniment étendue, dont le centre est la marche la plus haute mais d’une petite hauteur finie, et dont la hauteur de toutes les marches suivantes diminue indéfiniment” – (fr:10398/p.649) [una sorta di scala circolare la cui base è indefinitamente estesa, il cui centro è il gradino più alto ma di piccola altezza finita, e la cui altezza di tutti i gradini seguenti diminuisce indefinitamente]. Poiché l’operazione conserva volumi e densità, la qualità risulta uniforme su tutto il corpo infinitamente esteso, oppure riproduce fedelmente qualsiasi difformità iniziale.

L’impossibilità di una qualità uniformemente difforme si gioca su una linea MN tracciata nel piano di base e pensata come diametro di un cerchio infinito in senso potenziale (fr:10408-10409/p.650). Una qualità lineare uniformemente difforme su tale linea richiederebbe una figura superficialmente infinita, con il massimo di altezza nel centro, ma “la ligne de crête d’une telle qualité linéaire doit nécessairement être sécante à la ligne de base, et les pertes d’intensité doivent nécessairement être égales le long de chaque couronne” – (fr:10414/p.650) [la linea di cresta di una tale qualità lineare deve necessariamente essere secante alla linea di base, e le perdite di intensità devono necessariamente essere uguali lungo ciascuna corona]; ciò condurrebbe a intensità nulle, in conflitto con la finitezza della qualità e con la natura stessa del corpo. Oresme non ricorre mai a una figurazione diretta della qualità corporea, ma ne studia separatamente estensione e intensità, e conclude che “une qualité uniformément difforme ne peut être étendue par ce moyen” – (fr:10420/p.1288) [una qualità uniformemente difforme non può essere estesa con questo mezzo].

Il secondo corollario trae una conseguenza fisica immediata: se la sola superficie terminante fosse attiva, la base superficiale infinita di quel corpo illuminerebbe un volume infinito, producendo una quantità infinita di lumen a partire da una lux finita. È perciò necessario che “un agent agisse « selon sa profondeur »” – (fr:10425/p.651) [un agente agisca « secondo la sua profondità »], poiché solo la profondità modula l’effetto là dove l’estensione si fa illimitata.

La proposizione III.13 è ancora più ambiziosa: una qualità finita può essere infinite estesa in ogni dimensione, purché sia difforme. Oresme suppone un corpo assolutamente infinito – il mondo al di là del mondo aristotelico – e distribuisce una libbra di pesantezza in parti proporzionali entro sfere concentriche inscatolate come bambole russe. Se il processo si potesse compiere, “huiusmodi gravitas est extensa in infinitum undique et quod ubique in isto corpore infinito est aliquid illius gravitatis finite” – (fr:10439/p.652) [una pesantezza di tal genere è estesa all’infinito da ogni lato e in ogni luogo di questo corpo infinito c’è qualcosa di quella pesantezza finita]. La costruzione è direttamente rivolta contro l’argomento con cui Aristotele, nel De Caelo, dimostra la finitudine del mondo sostenendo che un corpo infinito avrebbe peso infinito; Oresme obietta che, al contrario, “un corps peut être infini et de pesanteur finie” – (fr:10447/p.652) [un corpo può essere infinito e di pesantezza finita], e lo fa riprendendo esattamente la medesima dimostrazione per parti proporzionali. La conclusione resta ipotetica – subordinata all’esistenza di un corpo infinito – ma la misura matematica della transfigurazione, scandita sulle parti proporzionali del tempo, ne garantisce la piena coerenza interna.

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55 L’angolo di contingenza come caso limite e strumento concettuale in Oresme

L’improporzionalità tra angoli di contingenza segna una rottura metrica che Oresme utilizza per pensare discontinuità naturali e relazioni d’ordine tra generi eterogenei.

Nel quadro della teoria delle configurazioni, l’angolo di contingenza emerge come caso-limite capace di esibire una tensione irriducibile tra continuità geometrica e possibilità di misura. Il nodo cruciale è enunciato con chiarezza: «L’obstacle fondamental à cette méthode de mesure, c’est que les angles de contingence, tout comme plus généralement les angles mixtilignes, sont mutuellement “improportionnables” : il n’y a pas de rapport, ni rationnel, ni irrationnel, entre deux angles de contingence» – (fr:10647/p.664) [L’ostacolo fondamentale a questo metodo di misura è che gli angoli di contingenza, proprio come più in generale gli angoli mistilinei, sono reciprocamente “improporzionabili”: non c’è rapporto, né razionale né irrazionale, tra due angoli di contingenza]. Tale assenza di rapporto si traduce, in termini oresmiani, in un’eterogeneità reciproca che coinvolge anche le curvature: «Cela signifie pour Oresme que ces angles sont mutuellement hétérogènes, ce qui laisse entendre que les courbures le sont aussi» – (fr:10648/p.664) [Ciò significa per Oresme che questi angoli sono mutuamente eterogenei, il che lascia intendere che lo siano anche le curvature]. A rafforzare questa posizione interviene un argomento legato alla divisibilità: «un autre indice que les courbures dissemblables sont mutuellement hétérogènes, c’est l’impossibilité de diviser un angle curviligne, dont les courbures qui le constituent sont semblables, par une courbe de courbure dissemblable» – (fr:10649/p.664) [un altro indizio che le curvature dissimili sono mutuamente eterogenee è l’impossibilità di dividere un angolo curvilineo, le cui curvature che lo costituiscono sono simili, con una curva di curvatura dissimile].

Proporzionalità e divisibilità restano i temi portanti dell’indagine sugli angoli della famiglia della contingenza (fr:10650/p.664), ma Oresme li ricontestualizza in direzione di un obiettivo radicalmente nuovo: «la mesure des lignes courbes» – (fr:10651/p.664) [la misura delle linee curve]. Il terzo contesto, altrettanto originale, mostra come l’angolo di contingenza venga investito di una funzione modellizzante ben oltre la geometria. Nei capitoli musicali, Oresme estende la nozione tradizionale di “disaccordo” a suoni che sono a loro volta composizioni di suoni mutuamente consonanti (fr:10654/p.665), riconducendo il fenomeno dei suoni armonici che risuonano insieme alla fondamentale (fr:10655/p.665) a una griglia di rapporti: «tous les sons audibles sont en réalité composés de micro-sons qui ont entre eux un rapport rationnel ou irrationnel selon la hauteur» – (fr:10656/p.665) [tutti i suoni udibili sono in realtà composti di micro-suoni che hanno tra loro un rapporto razionale o irrazionale a seconda dell’altezza]. Il caso esaminato nel capitolo II.18 è quello del suono prodotto dalla percussione di un nervo di lupo, udito assieme a quello di un nervo di montone (fr:10657/p.665). L’impossibilità tradizionale di accordare questi due suoni (fr:10658/p.665) viene assimilata da Oresme all’improporzionalità tra angoli mistilinei e rettilinei (fr:10659/p.665).

Qui si colloca una precisazione terminologica essenziale. Richiamando le Questioni sulla Fisica, l’autore chiarisce che tra mistilinei e rettilinei non esiste un rapporto in senso stretto, ma si dà una comparatio, una relazione d’ordine tra entità che, ciascuna nel proprio genere, godono di comparabilità e persino di proporzionalità e sono in qualche modo simili – un angolo, anche di contingenza, resta un angolo, un suono, anche di nervo di lupo, resta un suono – pur essendo separate da una rottura metrica fondamentale (fr:10660/p.665). L’angolo di contingenza diventa così «exemple géométrique immédiatement compréhensible de telles ruptures naturelles, et de l’impossibilité quasi mathématique de les surmonter» – (fr:10661/p.665) [esempio geometrico immediatamente comprensibile di tali rotture naturali e dell’impossibilità quasi matematica di superarle].

Tale valore simbolico è mobilitato nella questione 20 delle QSGE per indagare le discontinuità tra i gradi di perfezione di specie naturali differenti (fr:10662/p.665); l’autore anticipa inoltre che il tema della rottura insormontabile attraversa tanto la filosofia naturale quanto quella politica di Oresme (fr:10663/p.665). Se l’angolo di contingenza compare relativamente poco nel trattato, ciò accade proprio perché è già stato ampiamente discusso altrove: «on peut estimer que les trois questions qu’il consacre au problème général de la nature de l’angle sont ce qui a été écrit de plus élaboré concernant les angles de contingence pendant la scolastique médiévale» – (fr:10665/p.665) [si può ritenere che le tre questioni che dedica al problema generale della natura dell’angolo siano quanto di più elaborato sia stato scritto riguardo agli angoli di contingenza durante la scolastica medievale]. In quelle questioni, il fondamento matematico delle esitazioni intorno all’angolo di contingenza trova la sua chiarificazione (fr:10666/p.665). La valutazione delle novità introdotte da Oresme richiede però la conoscenza delle sue fonti e del modo in cui la scolastica latina aveva lavorato il problema (fr:10667/p.665). Il caso-limite dell’angolo di contingenza si configura dunque, all’interno della teoria delle configurazioni, come un rivelatore di soglie metriche che Oresme utilizza per pensare, in un gesto unitario, la misura delle curve, la consonanza musicale e le gerarchie tra specie naturali.

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56 L’angolo di contingenza e il principio di continuità nei commenti medievali a Euclide

Due tradizioni contrapposte sulla natura dell’angolo di contingenza e una revisione del principio di continuità emergono dai commenti alla proposizione III.16 degli Elementi.

Il testo prende in esame le interpretazioni della proposizione euclidea che riguarda l’angolo del semicircolo e l’angolo di contingenza. Dei commenti di Erone, noti da altre fonti, nulla è giunto fino a noi (“Les commentaires d’Héron d’Alexandrie, connus par ailleurs, n’ont pas été retrouvés à ce jour.” – fr:10696 [I commentari di Erone di Alessandria, noti da altre fonti, non sono stati ritrovati fino ad oggi.]), con l’unica possibile eccezione di uno sulla III.15, non attribuito con sicurezza (“La seule exception semble en être celui de la proposition III.15, qui ne lui est pas formellement attribué.” – fr:10695 [L’unica eccezione sembra essere quella della proposizione III.15, che non gli è formalmente attribuita.]).

Per Al‑Nayrizi l’angolo di contingenza è privo di quantità (“Al‑Nayrizi est de la tradition de ceux qui nient simplement que l’angle de contingence ait une quantité.” – fr:10702 [Al‑Nayrizi appartiene alla tradizione di coloro che semplicemente negano che l’angolo di contingenza abbia una quantità.]). Egli riconosce tuttavia che si tratta di un autentico angolo e giustifica la sua qualifica di «più piccolo di ogni acuto» appellandosi al complementare, l’angolo del semicircolo, che invece possiede quantità e può dirsi «più grande di ogni acuto» (“Mais il admet par ailleurs qu’il s’agit bien d’un angle, et justifie qu’on le pose plus « petit que tout aigu » par le fait que son complémentaire, l’angle de demi‑cercle, qui lui en revanche possède bien une quantité, peut être dit « plus grand que tout aigu ».” – fr:10703 [Ma ammette peraltro che si tratta effettivamente di un angolo, e giustifica che lo si ponga «più piccolo di ogni acuto» con il fatto che il suo complementare, l’angolo di semi‑cerchio, che al contrario possiede una quantità, può essere detto «più grande di ogni acuto».]). Questa impostazione comporta una certa arbitrarietà: Euclide avrebbe «posto» l’angolo interno maggiore di ogni acuto e quello esterno minore (“Mais cette propriété est assez arbitraire : Euclide, dit‑il, a « posé » (posuit) que l’angle interne est plus grand que tout aigu, et l’angle externe plus petit.” – fr:10700 [Ma questa proprietà è piuttosto arbitraria: Euclide, dice, ha «posto» (posuit) che l’angolo interno è più grande di ogni acuto, e l’angolo esterno più piccolo.]). Al‑Nayrizi identifica inoltre la proprietà metrica dell’angolo esterno con la tangenza della retta che lo forma (“Al‑Nayrizi semble en outre identifier la propriété métrique de cet angle externe avec le fait pour la ligne droite qui le forme d’être « tangente » (contingens) au cercle.” – fr:10701 [Inoltre, Al‑Nayrizi sembra identificare la proprietà metrica di questo angolo esterno con il fatto che la linea retta che lo forma è «tangente» (contingens) al cerchio.]).

Una posizione opposta è sostenuta da Campano nel suo commento agli Elementi (“Campanus, dans son commentaire aux Eléments, va défendre une position radicalement contraire à celle que je viens d’exposer.” – fr:10704 [Campanus, nel suo commento agli Elementi, difende una posizione radicalmente contraria a quella che ho appena esposto.]). Partendo dalla stessa proposizione (per lui III.15), egli ne ricava un corollario di portata più generale: non è lecito inferire, dal fatto che una grandezza passi dal più piccolo al più grande attraversando tutti gli intermedi, che essa passi anche per l’uguale; né che, potendo determinare il meno e il più, si possa determinare l’uguale (“il n’est pas correct de déduire, de ce qu’une grandeur passe (transit) du plus petit au plus grand, et par tous les intermédiaires, qu’elle passe aussi par l’égal. Ou encore : que de ce qu’on peut déterminer le moins et le plus grand, on pourrait aussi déterminer l’égal.” – fr:10705‑10706 [non è corretto dedurre, dal fatto che una grandezza passa (transit) dal più piccolo al più grande, e per tutti gli intermedi, che passi anche per l’uguale. O ancora: che dal fatto che si possono determinare il meno e il più grande, si potrebbe anche determinare l’uguale.]). Le peculiarità mostrate dall’angolo del semicircolo e dall’angolo di contingenza obbligano Campano a riconsiderare la nozione stessa di quantità e la validità di un principio di continuità generalizzato (“Les particularités des angles de demi‑cercle et de contingence l’amènent donc à réviser son idée des quantités en générales, et de la validité d’un principe de continuité généralisé.” – fr:10707 [Le particolarità degli angoli di semi‑cerchio e di contingenza lo portano dunque a rivedere la sua idea delle quantità in generale, e la validità di un principio di continuità generalizzato.]). Tale principio, che per le linee garantisce l’esistenza di un valore intermedio tra due estremi (“ce principe de continuité, qui affirme l’existence nécessaire d’une valeur intermédiaire entre deux extrêmes, vaut pour les lignes (si une ligne ou un segment augmente en « passant » d’une grandeur A à une grandeur B plus grande, il existe nécessairement une grandeur C intermédiaire entre A et B” – fr:10708 [questo principio di continuità, che afferma l’esistenza necessaria di un valore intermedio tra due estremi, vale per le linee (se una linea o un segmento aumenta «passando» da una grandezza A a una grandezza B più grande, esiste necessariamente una grandezza C intermedia tra A e B)]), non può essere esteso indiscriminatamente a ogni tipo di quantità.

L’indagine si chiude con un riscontro testuale tra la versione araba e quella latina del commento di Al‑Nayrizi. Nel testo arabo, l’indivisibilità dell’angolo esterno rende ragione della tangenza della retta; nel latino, invece, essa spiega direttamente l’ordine di grandezza dell’angolo, e la tangenza vi compare come informazione aggiuntiva (“Dans le texte arabe, l’indivisibilité explique donc la tangence de la ligne. Dans le texte latin, elle explique l’ordre de grandeur de l’angle externe, complétée par le fait de la tangence de la ligne.” – fr:10714‑10715 [Nel testo arabo, l’indivisibilità spiega dunque la tangenza della linea. Nel testo latino, essa spiega l’ordine di grandezza dell’angolo esterno, completata dal fatto della tangenza della linea.]). Questo scarto documenta come la riflessione sull’angolo di contingenza abbia agito da laboratorio per concetti geometrici e filosofici fondamentali, dalla natura dell’angolo al principio di continuità, in un intreccio di trasmissioni e rielaborazioni testuali.

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57 L’angolo di contingenza e la rottura della continuità: geometria, infinito e teologia nel Medioevo

Il motivo geometrico dell’angolo di contingenza diviene, nel corso del XIV secolo, un laboratorio per esplorare i limiti del confronto tra grandezze, l’introduzione del movimento nelle dimostrazioni e le prime intuizioni sull’infinitamente più grande e più piccolo, alimentando il dibattito teologico sugli effetti del peccato.

Il nucleo dell’indagine è l’angolo di contingenza, l’angolo mistilineo formato da un arco di cerchio e dalla tangente in un suo punto. Campano da Novara, nei suoi commenti a Euclide, trasforma una semplice suggestione di aumento e diminuzione infinita – “Campanus se contente de suggérer l’augmentation et la diminution infinie” (fr:10739/p.668) [Campano si accontenta di suggerire l’aumento e la diminuzione infinita] – in una dimostrazione per moto continuo. Il primo corollario, illustrato da una figura con i punti E, G, C, D, A, B, F, considera un primo cerchio di centro C e diametro AB, e un secondo cerchio di centro A e raggio AB (fr:10741/p.669). La tangente AD è perpendicolare ad AB e incontra il secondo cerchio in D. Se il raggio AE ruota in modo continuo da AB fino a AD, l’angolo rettilineo BAE passa successivamente per tutti gli angoli acuti fino a raggiungere il retto, ma “il ne sera jamais égal à l’angle mixtiligne de demicercle BAG formé par le rayon BA et l’arc du premier cercle AGB, lequel angle est pourtant inférieur au droit” (fr:10743/p.669) [non sarà mai uguale all’angolo mistilineo di semicerchio BAG formato dal raggio BA e dall’arco del primo cerchio AGB, il quale angolo è tuttavia inferiore al retto]. La dimostrazione, per assurdo, mostra che se un angolo rettilineo BAE fosse supposto uguale all’angolo di semicerchio, dividendone il complementare EAD a metà con AF si otterrebbe un angolo BAF maggiore di BAE. Poiché BAE è supposto uguale all’angolo di semicerchio e quest’ultimo è maggiore di ogni acuto, si giungerebbe alla contraddizione che “un angle aigu est donc plus grand qu’un angle plus grand que tout aigu” (fr:10747/p.669) [un angolo acuto è dunque più grande di un angolo più grande di ogni acuto]. Qui l’essenziale è l’assunzione di un “passaggio” (transitus) in cui l’angolo rettilineo cresce continuamente senza mai coincidere con il mistilineo.

Un secondo corollario, descritto in una nuova figura con i punti C, E, B, D, A, F (fr:10749/p.669), segue la variazione continua degli angoli di segmento. Un angolo mistilineo formato dalla linea AE e dall’arco minore di un semicerchio, al ruotare di AE, diviene più piccolo dell’angolo retto formato dal diametro e dalla sua perpendicolare, poi più grande, ma non è mai uguale al retto (fr:10752/p.670). Si stabilisce così una simmetria: “alors que dans le premier corolaire, un angle rectiligne continument croissant est plus petit, plus grand, mais jamais égal à un angle mixtiligne (l’angle de demi-cercle), c’est cette fois un angle mixtiligne continument croissant qui est plus petit, puis plus grand, mais jamais égal à un angle rectiligne (l’angle droit)” (fr:10753/p.670) [mentre nel primo corollario un angolo rettilineo continuamente crescente è più piccolo, più grande, ma mai uguale a un angolo mistilineo (l’angolo di semicerchio), questa volta è un angolo mistilineo continuamente crescente che è più piccolo, poi più grande, ma mai uguale a un angolo rettilineo (l’angolo retto)].

Campano spiega questa discordanza con un principio di eterogeneità: il curvo e il retto non appartengono assolutamente allo stesso genere (fr:10755/p.670). L’angolo di contingenza è sì una quantità non nulla, ma eterogenea rispetto agli angoli rettilinei (fr:10756/p.670). Di conseguenza, “tout angle rectiligne est plus grand qu’une infinité d’angles de contingence (quemlibet angulum rectilineum infinitis angulis contingentie esse maiorem)” (fr:10757/p.670) [ogni angolo rettilineo è più grande di un’infinità di angoli di contingenza]. Tuttavia, le dimostrazioni di Campano non sono propriamente geometriche: presuppongono il movimento e formulano implicitamente l’inesistenza di un istante in cui si realizzi l’uguaglianza, senza poter dare un significato rigoroso all’aumento e alla diminuzione geometrica (fr:10772-10773/p.671). È un tratto che diventerà sempre più esplicito fino a Oresme: “cette introduction originale du temps dans les démonstrations géométriques, et la considération de déplacements, de rotations et surtout d’altérations de grandeurs ou des figures géométriques, va devenir de plus en plus consciente et explicite jusqu’à Oresme” (fr:10760/p.670) [questa introduzione originale del tempo nelle dimostrazioni geometriche, e la considerazione di spostamenti, rotazioni e soprattutto di alterazioni di grandezze o delle figure geometriche, diventerà sempre più consapevole ed esplicita fino a Oresme]. La soluzione dell’eterogeneità appare però insufficiente: se due grandezze sono eterogenee, non solo non si può “passare” dall’una all’altra, ma non ha nemmeno senso confrontarle secondo un medesimo ordine di grandezza, come durata e spazio (fr:10762/p.670). La soluzione di Campano è giudicata troppo generale e manca l’essenza del problema (fr:10763/p.670).

Un approccio diverso è offerto da Ibn al-Haytham (Alhazen). Muovendo da un’ipotesi simile, egli fa decrescere indefinitamente l’angolo rettilineo per divisione proporzionale di un lato e, al contempo, fa crescere indefinitamente l’angolo di contingenza diminuendo il raggio del cerchio (fr:10774/p.671). Ne scaturisce una visione che “rebute la raison et horrifie tous ceux qui l’entendent” (fr:10775/p.671) [respinge la ragione e inorridisce chiunque l’ascolti]: una serie infinitamente decrescente a partire da una quantità più grande e una serie infinitamente crescente a partire da una quantità più piccola, eppure ogni angolo della prima serie è maggiore di qualsiasi angolo della seconda. Ibn al-Haytham non ricorre all’idea di un “passaggio” dal più piccolo al più grande (fr:10776/p.671) e per lui l’infinito non è centrale, bensì un sintomo dell’errore della ragione quando tratta l’eterogeneo come omogeneo (fr:10812-10814/p.673).

Bradwardine, nella sua Geometria speculativa, riprende il problema accentuando la divisibilità dell’angolo di contingenza. Dopo aver ricordato che da Euclide si poteva dedurre l’impossibilità di dividere l’angolo di contingenza con una linea retta, precisa che tale divisione è invece possibile mediante un’altra linea circolare (fr:10780/p.671). Con una dimostrazione ancora cinematica, illustrata dalla figura con i punti F, O, N, M, E, D, C, A, B (fr:10795/p.672), mostra che l’angolo di contingenza è più grande quando il cerchio che lo forma è più piccolo, e viceversa (fr:10796/p.672). Il punto N che “discende” lungo la linea AN rende l’angolo via via più piccolo, e se “sale” lo ingrandisce (fr:10797/p.672). Così l’angolo di contingenza può essere aumentato indefinitamente restando sempre minore di qualsiasi angolo acuto (fr:10798/p.672). Bradwardine riformula il commento di Campano affermando che un angolo acuto è “in infinitum quolibet angulo contingentie est maior” (fr:10799/p.672) [infinitamente più grande di qualsiasi angolo di contingenza] e suggerisce che l’angolo di contingenza sia inversamente proporzionale al raggio (fr:10801/p.672). Qui la tensione tra finito e infinito diviene la protagonista: “la divisibilité infinie est l’essence même de son propos : que quelque chose de fini soit indéfini divisible, c’est cela qui est fascinant” (fr:10813/p.673) [la divisibilità infinita è l’essenza stessa del suo proposito: che qualcosa di finito sia indefinitamente divisibile, questo è ciò che affascina].

L’intera questione non è soltanto matematica. Nel corso del XIII e XIV secolo, le matematiche del quadrivio penetrano sempre più nei testi teologici, e l’angolo di contingenza ne è un esempio lampante: “la théologie est parfois la raison d’être de ces mathématiques, qui sont au contraire enseignées parce qu’elles disent quelque chose de la théologie : la géométrie rend manifeste et compréhensible ce qui sans elle serait un paradoxe” (fr:10825/p.674) [la teologia è talvolta la ragion d’essere di queste matematiche, che sono al contrario insegnate perché dicono qualcosa della teologia: la geometria rende manifesto e comprensibile ciò che senza di essa sarebbe un paradosso]. L’angolo di contingenza compare regolarmente nello studio teologico degli effetti della ripetizione del peccato sull’anima, a partire almeno dalla Summa aurea di Guillaume d’Auxerre (ca. 1225) (fr:10828/p.674). La tradizione si prolunga fino a Tommaso di Strasburgo, che nel suo Commento alle Sentenze (1336-1341) colloca ancora questo motivo nell’esame della medesima questione (fr:10830/p.674). Pierre Ceffons, nel 1353, lo mobilita in un contesto radicalmente diverso, quello della gerarchia delle entità in perfezione, con un’elaborazione forse ispirata proprio dall’analisi più matura di Oresme (fr:10831-10832/p.674).

In conclusione, la filosofia scolastica poteva attingere a due fonti opposte: da un lato Al-Nayrizi, che nega che l’angolo di contingenza sia una quantità; dall’altro Campano, che vi scorge la prova che la continuità non si verifica per ogni confronto di grandezze, ma solo per grandezze omogenee, scardinando un principio di continuità generalizzato come quello impiegato dai sofisti Brisone e Antifonte (fr:10819-10820/p.673). Bradwardine completa l’analisi dimostrando ciò che Campano si limitava ad affermare: “qu’il y a une infinité d’angles de contingence inégaux” (fr:10821/p.673) [che vi è un’infinità di angoli di contingenza disuguali]. In tutti questi studi emergono due tratti stilistici notevoli: l’uso del movimento e l’attenzione rivolta all’infinito e alla sua tensione con il finito (fr:10822/p.673).

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58 L’angolo di contingenza come modello geometrico dei paradossi teologici medievali

Il dibattito sulla diminuzione del bene dell’anima causata dal peccato trova una originale e paradossale interpretazione nella geometria dell’angolo di contingenza, permettendo di pensare una sottrazione infinita che non distrugge mai completamente una grandezza finita.

Il testo affronta un nodo teologico discusso nei commenti alle Sentenze di Pietro Lombardo: il male morale (malum culpae) può distruggere interamente il bene naturale dell’uomo? La questione è posta con chiarezza da Tommaso di Strasburgo: “Il male della colpa può distruggere tutto il bene?” (fr:10844/p.675) [“Il male della colpa può distruggere tutto il bene?”] – una domanda tradizionale già studiata da Tommaso d’Aquino e altri. Il problema sorge osservando che il bene dell’anima, essendo creato e finito, dovrebbe esaurirsi con la ripetizione del peccato, allo stesso modo in cui “da una qualsiasi grandezza finita, se si sottrae continuamente qualcosa della stessa quantità, alla fine essa sarà completamente consumata” (fr:10851/p.675) [“se da una grandezza finita si toglie continuamente qualcosa secondo la stessa quantità, alla fine sarà totalmente consumata”]. Tuttavia è inaccettabile che l’inclinazione al bene svanisca del tutto: anche il peccatore conserva un residuo di capacità al bene, altrimenti non potrebbe commettere colpa, poiché “il male non è se non nel bene” (fr:10852/p.675).

Tommaso di Strasburgo distingue tre tipi di bene: il bene della grazia – annientato totalmente dalla colpa mortale –, il bene della natura in sé – solo ferito, non distrutto – e il bene di natura inteso come capacità (habilitas) al bene. È quest’ultima che subisce una diminuzione proporzionale alla gravità del peccato: “quanto si acquista di capacità al male, tanto si diminuisce la capacità al bene” (fr:10869/p.676) [“quanto si acquista di incline al male, tanto si diminuisce la capacità al bene”]. Qui si manifesta il paradosso: una capacità finita, ridotta progressivamente, dovrebbe svanire del tutto. Alcuni risolvono la difficoltà ipotizzando una diminuzione proporzionale (ogni peccato sottrae una frazione via via minore), ma questa soluzione è respinta perché implicherebbe che un “peccato più grande distruggerebbe meno della capacità al bene di un peccato più piccolo” (fr:10876/p.676) [“un peccato maggiore distruggerebbe meno della capacità al bene di un peccato minore”]. La diminuzione deve invece essere modulata sulla gravità dei singoli atti, potendo essere ora maggiore, ora minore o uguale.

A questo punto interviene la geometria dell’angolo di contingenza. Già Guglielmo d’Auxerre nella Summa aurea vi ricorre per chiarire come una quantità finita possa subire una sottrazione infinita senza annullarsi, paragonando la diminuzione del bene alla “sottrazione di un punto da una linea, di una linea da una superficie, o di un angolo di contingenza da un angolo retto” (fr:10884/p.677) [“sottrazione di un punto da una linea, di una linea da una superficie, o di un angolo di contingenza da un angolo retto”]. L’angolo di contingenza, formato da una curva e una retta tangente, possiede proprietà che lo rendono adatto a esprimere il paradosso: è indivisibile, più acuto di qualsiasi angolo rettilineo, eppure può essere pensato come parte di un angolo retto finito.

Il manoscritto Admont 442, anonimo ma vicino a Guglielmo, esplicita le dimostrazioni geometriche su cui poggia il paragone. L’autore si propone di provare che l’angolo di contingenza è indivisibile, che tutti gli angoli di contingenza sono uguali e che ce ne sono infiniti in un angolo retto. L’ultima proposizione risulta cruciale: “in un angolo retto vi sono infiniti angoli di contingenza” (fr:10922/p.679) [“nell’angolo retto vi siano infiniti angoli di contingenza”]. La dimostrazione si basa sulla possibilità di tracciare, attorno a ogni punto del diametro, un cerchio tangente alla medesima retta nella medesima intersezione, generando così un’infinità di angoli di contingenza compresi tra la tangente e il diametro. Di fatto, pur essendo infiniti, questi angoli non colmano l’angolo retto, che resta finito. Da qui deriva la proprietà teologicamente decisiva: “benché l’anima sia finita, il peccato non può tuttavia toglierle la totalità dei beni naturali dell’anima, sì che non resti tuttavia l’essenza stessa dell’anima” (fr:10892/p.677) [“benché l’anima sia finita, il peccato non può tuttavia sottrarle la totalità dei beni naturali dell’anima che non rimanga comunque l’essenza stessa dell’anima”].

La struttura geometrica che fa da sfondo è descritta con un riferimento a una figura (fr:10925/p.680): “Un cerchio, una tangente e un diametro determinano tre angoli, un angolo di contingenza, un angolo di semicerchio (qui chiamato «angulus portionis») e un angolo retto, per esempio per la linea circolare A, gli angoli DMA, AME e DME.” Togliendo un angolo di contingenza dall’angolo retto DME resta un angolo di semicerchio AME. Togliendo ulteriormente qualcosa di uguale a un angolo di contingenza da questo semicerchio, il procedimento non può mai consumare l’intero angolo retto, preservando la natura di quest’ultimo. L’operazione geometrica della sottrazione dall’angolo di semicerchio è tuttavia poco chiara: il testo presenta una certa ambiguità, non precisando se si tratti di un angolo di contingenza curvilineo o di una semplice misura pari a un angolo di contingenza.

L’uguaglianza postulata di tutti gli angoli di contingenza (fr:10916/p.679) è altrettanto essenziale ma discutibile: senza di essa, la corrispondenza tra la qualità del peccato e la quantità di bene sottratto perderebbe il fondamento teologico. Il manoscritto non distingue esplicitamente tra angoli di contingenza mistilinei e curvilinei, né fra diverse curvature, lasciando aperta la questione della loro effettiva uguaglianza.

Il ruolo storico di questa argomentazione è notevole: la geometria fornisce ai teologi del XIII secolo uno strumento per rendere pensabile un paradosso – la diminuzione infinita di un’entità finita che non giunge mai alla distruzione totale. L’angolo di contingenza diventa così il modello di un infinito in atto che coesiste con il finito, anticipando problematiche che saranno riprese poco dopo da Nicola Oresme. Il dibattito su peccato, grazia e capacità naturale si intreccia con le prime riflessioni sull’infinito matematico, mostrando come la teologia medievale abbia attinto alle scienze esatte per dare forma a concetti altrimenti sfuggenti.

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59 L’angolo di contingenza come laboratorio del paradosso: teologia, geometria e ontologia alle soglie della scienza moderna

Un motivo geometrico intriso di motivazioni teologiche si trasforma, da prova della compresenza di infinito e finito, in strumento per misurare l’eterogeneità e la rottura di continuità nella gerarchia degli enti.

Il testo esamina il ruolo dell’angolo di contingenza nella filosofia scolastica, soffermandosi su come la sua apparente complicazione dimostrativa sia in realtà il segno di una duplice lettura. «A mon sens, ces deux interprétations ne sont pas incompatibles, et doivent être maintenues simultanément» – (fr:10933/p.680) [A mio avviso, queste due interpretazioni non sono incompatibili e devono essere mantenute simultaneamente.]. L’autore, invece di procedere per ricorrenza geometrica mostrando semplicemente che la sottrazione non annullerà mai l’angolo di semicerchio, compie una deviazione: rifiuta che il resto sia nullo perché «un angle de contingence est plus petit qu’un angle de demi-cercle, et qu’il reste donc “quelque chose (aliquid)”» – (fr:10936/p.680) [un angolo di contingenza è più piccolo di un angolo di semicerchio, e che rimane dunque “qualcosa (aliquid)”.]. In seguito, quando il resto è di nuovo sottoposto a sottrazione, la motivazione per escludere l’annichilimento cambia totalmente: «le problème n’est plus qu’un angle de demi-cercle égalerait un angle de contingence, mais qu’alors il n’y aurait dans l’angle droit que trois angles de contingence, alors qu’on a démontré qu’il y en a une infinité» – (fr:10938/p.680) [il problema non è più che un angolo di semicerchio eguaglierebbe un angolo di contingenza, ma che allora nell’angolo retto vi sarebbero soltanto tre angoli di contingenza, mentre si è dimostrato che ve ne sono infiniti.]. Solo a questo punto interviene una ricorrenza sul numero crescente di angoli sottratti; si osserva così uno slittamento «d’un argument géométrique qui s’appuie immédiatement sur l’intuition des figures, à un argument plus arithmétique qui s’appuie sur le dénombrement des angles de contingence» – (fr:10940/p.680) [da un argomento geometrico che si appoggia immediatamente sull’intuizione delle figure, a un argomento più aritmetico che si appoggia sull’enumerazione degli angoli di contingenza.].

La posta in gioco è che gli angoli di contingenza sono tutti uguali tra loro e che, pur essendo indivisibili, in un angolo retto – anzi in qualsivoglia angolo acuto, per quanto piccolo – ve n’è un’infinità, benché l’angolo che li contiene sia una grandezza finita (fr:10941/p.681). Il confronto con la sottrazione di un punto da una retta chiarisce la peculiarità: «“soustraire” un point à une droite, même en répétant l’opération une infinité de fois, ne lui “enlève” rien, parce que le point n’est pas une grandeur» – (fr:10942/p.681) [“sottrarre” un punto a una retta, anche ripetendo l’operazione infinite volte, non le “toglie” nulla, perché il punto non è una grandezza.]. Al contrario, l’angolo di contingenza è «suffisamment grand pour effectivement enlever “quelque chose” à l’angle droit» – (fr:10943/p.681) [abbastanza grande per togliere effettivamente “qualcosa” all’angolo retto]. La cosiddetta “drammatizzazione” proposta fa sì che l’uguaglianza degli angoli di contingenza valga per ogni caso di tangenza, curvilinea o mistilinea, permettendo di visualizzare come una “grandezza” modesta possa essere infinitamente sottratta a una grandezza finita senza che ciò che diminuisce perda mai la sua “natura” o la sua “essenza” (fr:10944/p.681).

Questa struttura geometrica viene trasportata in teologia per spiegare come il peccato tolga il bene naturale dell’uomo senza poterlo distruggere. Gilles de Rome e Tommaso di Strasburgo ne fanno un uso decisivo, benché con differenze profonde. Gilles contesta l’idea che qualcosa di finito possa aumentare o diminuire indefinitamente restando finito, e replica che «la géométrie rend cette idée immédiatement manifeste au sens : un angle de contingence, qui est quelque chose de fini, peut indéfiniment augmenter ou indéfiniment diminuer, parce que le rayon du cercle qui le forme peut lui-même augmenter ou diminuer indéfiniment» – (fr:10949/p.681) [la geometria rende quest’idea immediatamente manifesta al senso: un angolo di contingenza, che è qualcosa di finito, può indefinitamente aumentare o indefinitamente diminuire, perché il raggio del cerchio che lo forma può esso stesso aumentare o diminuire indefinitamente.]. Tuttavia la difficoltà teologica esige una diminuzione «selon une même quantité» (secondo una medesima quantità, fr:10951/p.681). Gilles si limita a nominare il paradosso: l’angolo di semicerchio aumenta indefinitamente senza mai eguagliare l’angolo retto, e l’angolo di contingenza esterno diminuisce indefinitamente senza mai eguagliare l’angolo rettilineo (fr:10957/p.682). Così l’angolo di contingenza diventa immagine di un infinito delimitato sia in alto sia in basso, figura della capacità al bene che diminuisce indefinitamente per i peccati senza mai essere del tutto distrutta né eguagliata all’incapacità dei dannati (fr:10958/p.682).

Tommaso di Strasburgo, il cui commento precede di pochi anni l’insegnamento di Oresme sugli Elementi di Euclide, porta a compimento questa linea con un’originalità ancora maggiore. Egli nega che la ripetuta sottrazione di una quantità finita debba annullare completamente una capacità finita, appellandosi direttamente all’angolo di contingenza. A differenza di Gilles, Tommaso non dimentica la condizione secondo cui la quantità sottratta deve poter essere variabile e anche uguale a ogni passaggio. Immagina un cerchio che aumenta ogni giorno di una stessa quantità: «alors l’angle de contingence diminuera indéfiniment et de manière égale (aequaliter), c’est-à-dire autant chaque jour (“tantum una die quantum alia die”)» – (fr:10967/p.683) [allora l’angolo di contingenza diminuirà indefinitamente e in modo uguale (aequaliter), cioè tanto ogni giorno (“tanto un giorno quanto l’altro”)]. Nel linguaggio della latitudine delle forme, l’aumento uniforme infinito del cerchio implica la diminuzione uniforme infinita dell’angolo di contingenza (fr:10968/p.683). Il ragionamento, elegante e quasi funzionale, non è del tutto sufficiente perché presuppone un rapporto di proporzionalità inversa tra cerchio e angolo di contingenza e che l’inversa di un aumento uniforme sia una diminuzione uniforme, cosa che l’analisi funzionale smentisce (fr:10970-10974/p.683). Ma proprio questa insufficienza «fait apparaître avec beaucoup d’élégance le caractère éminemment paradoxal de ce que les théologiens recherchent dans l’angle de contingence, une diminution à la fois uniforme (selon des parties égales) et infinie» – (fr:10975/p.683) [fa apparire con molta eleganza il carattere eminentemente paradossale di ciò che i teologi cercano nell’angolo di contingenza, una diminuzione al contempo uniforme (secondo parti uguali) e infinita.].

Un secondo contributo di Tommaso lega esplicitamente l’angolo di contingenza alla misura della curvatura. Per un arco di data lunghezza, «cet arc est d’autant moins courbe, et “s’éloigne d’autant moins de la rectitude (minus distat a rectitudine)”, que le cercle est grand» – (fr:10979/p.683) [quest’arco è tanto meno curvo, e “tanto meno si allontana dalla rettitudine (minus distat a rectitudine)”, quanto più il cerchio è grande.]. Più la curvatura diminuisce e si avvicina alla retta, più l’angolo di contingenza diminuisce, senza mai annullarsi perché l’arco resta sempre una linea circolare: «la courbure diminue continument et indéfiniment mais sans jamais s’annuler» – (fr:10984/p.684) [la curvatura diminuisce continuamente e indefinitamente ma senza mai annullarsi.]. Tommaso chiude con una drammatizzazione sorprendente: se si separa l’arco di una palma dal cerchio e lo si allinea sulla tangente, «l’angle est immédiatement et entièrement détruit» – (fr:10989/p.684) [l’angolo è immediatamente e interamente distrutto.]. Poiché la geometria figura la teologia, ciò significa che l’infinita diminuzione della capacità al bene vale solo durante la vita terrena, «pendant cette période circulaire (in hoc circulari periodo)» – (fr:10990/p.684). Alla morte, spezzandosi il cerchio, la capacità viene immediatamente e totalmente distrutta, cosicché il peccatore ostinato non può più tornare a penitenza ordinata (fr:10991-10992/p.684). Oresme sarà forse influenzato da questa “drammatizzazione narrativa” quando immaginerà due cerchi tangenti, di cui uno ruota improvvisamente attorno al punto di contatto, provocando un aumento istantaneo e infinito dell’angolo di contingenza, cosa che egli giudica meravigliosa (fr:10993-10994/p.684).

Concluso il percorso teologico, il testo mostra come Oresme erediti un motivo geometrico intriso di teologia, ma lo ricollochi su un piano diverso. «L’angle de contingence n’est pas vu comme un paradoxe, ni comme la manifestation d’un problème général concernant des grandeurs non-archimédiennes, mais au contraire comme la preuve ou du moins la clarification géométrique d’un paradoxe théologique.» – (fr:11000/p.685) [L’angolo di contingenza non è visto come un paradosso, né come la manifestazione di un problema generale riguardante grandezze non-archimedee, ma al contrario come la prova o almeno la chiarificazione geometrica di un paradosso teologico.]. Nella teologia cattolica, la presenza dell’infinito nel finito – della grazia infinita in una creatura finita – fa sì che argomenti condannati come assurdi da Ibn al-Haytham diventino, in mani scolastiche, prove della misericordia divina (fr:11001-11003/p.685). Ma Oresme, pur consapevole di questa tradizione, utilizza l’angolo di contingenza in modo differente. Fino a Tommaso di Strasburgo l’angolo serviva a pensare «la présence d’une grandeur infinie dans une grandeur pourtant finie» – (fr:11006/p.685) [la presenza di una grandezza infinita in una grandezza purtuttavia finita.]; Oresme invece, nel Traité des configurations, ricorre all’angolo per dare senso geometrico all’idea di rottura, di distanza insormontabile e di soluzione di continuità (fr:11007/p.685). L’angolo di contingenza diventa così una sorta di metrica dell’eterogeneità, «une échelle dont les degrés sont mutuellement “improportionnables”» – (fr:11009/p.685) [una scala i cui gradi sono reciprocamente “improporzionabili”.].

Tale riconfigurazione poggia su una ridefinizione ontologica dell’angolo. Dopo averne trattato la natura nelle Questions sur la géométrie d’Euclide, Oresme afferma che l’angolo è al contempo una quantità e una qualità (fr:11014/p.685). Respinge l’idea che sia un accidente esteso come una qualità sensibile, mostrando l’assurdità di tale assimilazione proprio mediante le proprietà degli angoli di contingenza, che fanno emergere l’angolo come una qualità senza estensione, un’intensità pura (fr:11015/p.685-11018/p.686). Alla fine risolve il paradosso ontologico identificando l’angolo non come una res, bensì come «un modum rei, une manière d’être d’une chose, ou encore, selon son expression, un sic esse ou un taliter esse, un “essere-tel”» – (fr:11020/p.686). Le proprietà non spaziali dell’angolo forniscono allora un modello per pensare una scala ontologica non lineare, dove le entità sono gerarchicamente ordinate ma soggette a fratture di continuità (fr:11021/p.686). Oresme applica immediatamente questa scala alla perfezione delle specie, ossia alla gerarchia ontologica universale degli enti, poggiando su una nozione di angolo che è quanto e quale insieme: «L’angle est une quantité, “parce qu’on dit ‘combien’ (cum dicitur quanti)”, et c’est aussi une qualité, “parce qu’on le pose ‘dans lequel’ (quia ponitur in quale)”» – (fr:11025/p.686) [L’angolo è una quantità, “perché si dice ‘quanto’ (cum dicitur quanti)”, ed è anche una qualità, “perché lo si pone ‘nel quale’ (quia ponitur in quale)”]. Tale duplice natura rende l’angolo un caso limite della scienza matematica delle qualità e, grazie alla sua intensità pura, la via per misurare in modo nuovo le discontinuità della perfezione creata.

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60 Dalla divisione qualitativa degli angoli alla natura intensiva: Oresme e la commensurabilità tra diritto e curvo

Nel testo Oresme mette in luce la natura dell’angolo a partire dalla sua misura, fondata sulla proporzionalità tra angoli e archi di cerchio. Poiché la circonferenza è divisa in 360 gradi, la quantità angolare si esprime in gradi, cosicché « la quantité d’un angle est nommée selon la quantité de l’arc qui lui correspond » – (fr:11032/p.686) [la quantità di un angolo è detta secondo la quantità dell’arco che gli corrisponde]; l’angolo retto vale 90 gradi e quello del triangolo equilatero 60 (11031‑11033). Tale misura, tuttavia, non esaurisce la riflessione: per Oresme è proprio la natura qualitativa dell’angolo a meritare una spiegazione più ampia, ed è per questo che egli precisa la divisione specifica dell’angolo in generale nelle sue specie, perché l’angolo è una qualità in quanto genere diviso in specie (11039).

60.1 La classificazione degli angoli: qualità oltre la quantità

Oresme organizza gli angoli secondo una tassonomia che dipende dalla natura delle linee o delle superfici che li formano (11040‑11054). L’angolo corporeo nasce dall’incontro di superfici, quello superficiale dall’incontro di linee e può essere piano o curvo. L’angolo superficiale si articola in tre specie: rettilineo, curvilineo e misto. L’angolo misto può essere concavo o convesso; il curvilineo è sempre di porzione maggiore o minore, mai uguale al retto (11046‑11047). L’angolo misto si divide a sua volta in angolo di contingenza – formato da una circonferenza e la sua tangente – e angolo non contingente, che può essere maggiore o minore del retto (11048). La lunga divisione preliminare, riprodotta nel testo come schema ad albero, intende ricordare che gli angoli non si distinguono soltanto per il più, il meno e l’uguale (punto di vista quantitativo), ma anche per il simile e il dissimile (punto di vista qualitativo) (11054).

60.2 Quantità, qualità e l’estensione della matematica

Un obiettore anonimo sostiene che solo la quantità sia oggetto di scienza matematica: « c’est de la quantité qu’il y a science, c’est-à-dire science mathématique (de eo [= quantitate] est scientia scilicet mathematica) » – (fr:11055/p.689) [è della quantità che c’è scienza, cioè scienza matematica]. Oresme replica implicitamente che la scienza matematica si estende oltre la pura quantità e che la stessa geometria studia enti qualitativi, distinti tra loro per qualità simili o dissimili, non solo per le loro “quantità” (11058). L’obiettivo originale della questione è proprio il rapporto tra questi due assi di indagine (11059).

60.3 L’eterogeneità diritto-curvo non impedisce la commensurabilità

Campanus aveva mostrato che le proprietà dell’angolo di contingenza sono incompatibili con un principio di continuità generalizzato, spiegandolo con la limitazione del principio alle grandezze omogenee e con l’eterogeneità tra diritto e curvo (11060‑11062). Oresme, anziché accogliere tale spiegazione, ne dimostra l’insufficienza: l’eterogeneità, che pure egli non nega, non impedisce affatto la commensurabilità, e perciò non basta a rendere conto delle strane proprietà dell’angolo di contingenza (11064).

A sostegno di questa tesi, subito dopo la divisione generale Oresme insegna come costruire un angolo curvilineo uguale a qualsiasi angolo rettilineo (11065). Con riferimento a una figura recante i punti e d f A B C (11066), per un angolo qualunque ABC si traccia una medesima circonferenza tangente in A ad AC e AB; gli angoli di contingenza d ed f sono uguali per sovrapposizione, e l’angolo curvilineo composto da e ed f risulta uguale all’angolo rettilineo formato da e e d (11067‑11068). Il corollario è che gli angoli curvilinei, purché convesso-concavi e simili in curvatura, sono non solo proporzionabili ma commensurabili con i rettilinei (11069). Oresme può così affermare: « Au contraire, “quelque chose de droit ou qui possède la nature du droit est commensurable à quelque chose de courbe ou qui possède la nature du courbe” » – (fr:11073/p.690) [Al contrario, “qualcosa di diritto o che possiede la natura del diritto è commensurabile a qualcosa di curvo o che possiede la natura del curvo”].

60.4 La lunula e l’uguaglianza tra curvo e rettilineo

La commensurabilità tra diritto e curvo trova una conferma nella costruzione di una lunula (11074‑11081). Dato un triangolo ABC, si costruisce un triangolo isoscele rettangolo uguale EDF, si descrive intorno a E un cerchio di raggio DE e si traccia il cerchio di diametro EF; compare così una lunula EHFK, spazio racchiuso dalle linee circolari H e K, come illustrato dalla figura con i punti K E F H D G (11075‑11076). Poiché il trilineo EDFH è un quarto del cerchio grande e il semicerchio EFK è analogamente un quarto del cerchio grande (il rapporto dei cerchi è come i quadrati dei raggi, e il diametro EG è diagonale di un quadrato di lato EF), sottraendo la sezione comune EFH si ottiene l’uguaglianza tra la lunula e il triangolo rettilineo EDF (11077‑11081). Oresme conclude che « “una cosa curvilinea e una cosa rettilinea sono uguali e commensurabili” (aliquod curvilineum et rectilineum sunt equalia et commensurabilia) » – (fr:11093/p.691) [“qualcosa di curvilineo e qualcosa di rettilineo sono uguali e commensurabili”]. Nella questione 14, con lo stesso spirito, egli ammette che un cerchio e un quadrato possono essere uguali, per quanto sia difficile determinarli, e richiama la quadratura del cerchio ottenuta da Archimede tramite la spirale (11088‑11092).

60.5 Improporzionalità implica eterogeneità: il caso dell’angolo di contingenza

Se l’eterogeneità non comporta l’improporzionalità, è vero il contrario: l’improporzionalità implica l’eterogeneità (11094). Nella questione 19 Oresme dimostra che gli angoli di contingenza sono mutuamente improporzionabili e nella questione 20 ne deduce che sono « d’espèces différentes (diversarum specierum) » – (fr:11095/p.691) [di specie diverse]. Anche Oresme, come Campanus, riconosce dunque l’eterogeneità tra angolo di contingenza e angolo rettilineo, ma per lui la causa delle strane proprietà metriche non sta nell’eterogeneità bensì nella non spazialità dell’angolo in generale, problema al centro della questione 19 (11096‑11097).

60.6 Tre difficoltà geometriche e l’irriducibilità alla superficie

L’idea spontanea di identificare l’angolo con la superficie compresa tra le linee che lo formano – poiché l’aumento angolare sembra coprire una superficie – incontra tre ostacoli (11098‑11112). Se l’angolo fosse una superficie, tutti gli angoli retti sarebbero uguali, e in un triangolo abc (figura: b a c ) l’angolo acuto b giacendo sulla stessa superficie del retto a sarebbe retto, conclusioni che « ne semblent pas bien sonner (non videntur bene sonare) » – (fr:11111/p.692) [non sembrano suonar bene] presso i matematici, benché logicamente difendibili. Il terzo argomento mostra che dividere la superficie del triangolo con una linea che non passa per il vertice non divide l’angolo. L’angolo non è dunque la superficie.

60.7 La soluzione ontologica: angolo come “grado” e variazione intensiva

Nella questione 18 Oresme esamina in nove osservazioni l’improporzionalità degli angoli mistilinei (11113‑11118). Le sue conclusioni sono formulate al condizionale come generalizzazioni ontologiche, giustificate da proprietà matematiche degli angoli di segmento. Un esempio: se l’angolo fosse un accidente esteso, allora « Par exemple, sa première conclusion se reformule ainsi : si l’angle est un accident étendu, alors “il y aurait quelque chose qui serait plus petit qu’une autre, puis plus grande par augmentation continue, mais qui ne serait jamais égale” » – (fr:11116/p.693) [Per esempio, la sua prima conclusione si riformula così: se l’angolo è un accidente esteso, allora “ci sarebbe qualcosa che sarebbe più piccolo di un’altra, poi più grande per aumento continuo, ma non sarebbe mai uguale”]. Oresme non giudica assurda la matematica, ma la generalizzazione ontologica: una volta che, nella questione successiva, l’angolo cessa di essere una res e viene concepito come un modum rei, le proprietà dell’angolo di contingenza non generano più paradossi ontologici (11119‑11120).

La conclusione generale di Oresme è che un angolo di contingenza può aumentare o diminuire indefinitamente, ma tale variazione non va presa alla lettera: in realtà l’angolo di contingenza è indivisibile e tutti gli angoli di contingenza sono eterogenei. Il presunto “aumento” consiste in una trasmutazione in un’entità di altra specie (11121‑11125). Questa soluzione richiama la concezione oresmiana della variazione intensiva delle qualità: in senso proprio una qualità non aumenta né diminuisce, ma a una qualità succede un’altra gerarchicamente ordinata. L’angolo di contingenza – e verosimilmente ogni angolo – è un “grado”, e la scala degli angoli è una scala di gradi. Per questo motivo, ogni discorso sull’aumento continuo di un angolo mistilineo contenuto nella questione 18 è condotto da chi ancora dubita della natura quantitativa degli angoli (11125‑11126).

Attraverso questo percorso, Oresme smonta l’opposizione netta tra quantità e qualità, mostra la possibilità della commensurabilità tra enti ritenuti eterogenei e rilegge l’angolo di contingenza come caso limite di una teoria generale delle qualità intensive, offrendo così una testimonianza significativa del rapporto tra matematica e ontologia nel pensiero tardo-medievale.

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61 Le proprietà degli angoli mistilinei e l’eterogeneità delle grandezze angolari in Oresme

L’analisi oresmiana degli angoli di contingenza rivela una concezione delle quantità non estensive, ordinate secondo gradi improporzionabili e gerarchici, che mette in crisi l’idea classica di misurabilità geometrica.

Oresme non nega in assoluto che l’angolo possegga o sia una quantità, ma ne riduce il carattere quantitativo a un semplice modo di dire. “En réalité, il est indivisible” – (fr:11129/p.48) [In realtà, è indivisibile]. Ciò significa che l’angolo non è una grandezza continua divisibile, bensì un’entità irriducibile. Su queste basi prende avvio l’esame delle proprietà degli angoli mistilinei e di contingenza.

La prima conclusione riprende da Campano il commento alla proposizione III.30: un angolo di segmento, per accrescimento continuo, può diventare maggiore del retto senza mai eguagliarlo. Oresme eredita da Campano i metodi cinematici di indagine geometrica e, sviluppandoli, arriva ad affermare che “aucun angle mixtiligne n’est égal ni commensurable à aucun angle rectiligne” – (fr:11135/p.694) [nessun angolo mistilineo è uguale né commensurabile con alcun angolo rettilineo]. Tale principio gli consente di stabilire che l’angolo mistilineo che completa l’angolo di semicercchio per formare un angolo piatto è sì divisibile all’infinito mediante una linea retta, ma non secondo un rapporto razionale, cosicché nessuna sua parte potrà mai stare con il tutto in un rapporto determinato. Lo stesso vale per la divisione mediante linee curve, e la ragione è immediatamente tratta dall’incommensurabilità generale.

Il nucleo innovativo compare nelle proposizioni successive, tese a dimostrare che “les angles de contingence sont entre eux improportionnables, comme s’ils étaient d’espèces différentes” – (fr:11141/p.694) [gli angoli di contingenza sono tra loro improporzionabili, come se fossero di specie differenti]. In realtà Oresme giungerà a sostenere che essi sono effettivamente eterogenei. A interessarlo non è l’angolo di contingenza in sé, ma le relazioni metriche che lo legano agli altri angoli mistilinei e rettilinei, offrendogli una scala di “gradi” ordinati gerarchicamente, le cui proprietà metriche differiscono radicalmente da quelle delle grandezze estensive.

La proposizione 3 e la sua riformulazione ontologica mettono in luce le caratteristiche paradossali di questa gerarchia. Mentre nella versione geometrica Oresme si limita a sostenere che l’unico rapporto, razionale o irrazionale, che un angolo di contingenza può avere con un altro angolo di contingenza è il rapporto doppio, la versione ontologica va oltre: una “cosa” che aumenti in modo continuo potrebbe passare per il doppio, ma non potrebbe passare per alcun altro rapporto; avrebbe un doppio, ma non un triplo, né un sesquialtero o qualsivoglia altro rapporto. La costruzione geometrica invocata (figura con le perpendicolari AB e AC e l’arco AD tangente in A) mostra come l’angolo curvilineo formato da due archi di cerchi concentrici e tangenti possa essere esattamente doppio di un angolo di contingenza mistilineo, ma ogni variazione del raggio produce un angolo curvilineo ora minore, ora maggiore del doppio.

La quarta conclusione inscena una rottura drammatica di questa continuità: immaginando che, per un angolo di contingenza curvilineo convesso-convesso, il raggio di uno dei due cerchi diminuisca indefinitamente, l’angolo aumenta indefinitamente ma, “in uno instanti”, comincia improvvisamente a ruotare attorno al punto di tangenza, diventando un angolo secante, “in infinitum maior quam ante” – (fr:11163/p.696) [infinitamente maggiore di prima]. Questo passaggio repentino trasforma l’angolo di contingenza in un angolo infinitamente più grande di quanto fosse, facendo emergere la paradossalità di una grandezza che diventerebbe immediatamente infinitamente maggiore di una già infinitamente crescente: “quod videtur mirabile”. Si tratta di una drammatizzazione narrativa che priva di senso la continuità estensiva, preludio alla dottrina della gerarchia di perfezione degli enti.

Con le conclusioni 5 e 6, Oresme affronta direttamente l’improporzionalità e completa le tesi di Bradwardine. Mostra che l’angolo di semicercchio, pur potendo diminuire indefinitamente al ridursi del raggio, non diminuisce mai secondo alcun rapporto, razionale o irrazionale, con l’angolo iniziale: “il demeure toujours plus grand que sa moitié, ou que toute partie dans un rapport rationnel ou irrationnel” – (fr:11170/p.696) [rimane sempre maggiore della sua metà, o di qualsiasi parte in un rapporto razionale o irrazionale]. Ciò avviene nonostante, in virtù del principio di distruzione completa, Oresme ammetta che l’angolo diminuisce “usque ad non quantum” – (fr:11171/p.696) [fino al non quanto], cioè fino ad annullarsi. Anche annichilendosi, però, nessun angolo mistilineo variabile potrà mai stare in un rapporto qualsiasi con l’angolo di semicercchio originario.

Questi risultati vengono trasposti nella conclusione 6 agli angoli di contingenza, benché Oresme sia incerto sulla legittimità logica della trasposizione. Se, infatti, l’angolo di semicercchio si annulla al diminuire del raggio, l’angolo di contingenza finirebbe per diventare un angolo retto – tesi che sembra contraddire la differenza radicale tra mistilineo e rettilineo prima affermata. Ma Oresme interpreta la quantità supposta dell’angolo di contingenza come un angolo retto meno l’angolo di semicercchio, e sostiene che se una parte di un tutto diminuisce in modo improporzionale, l’altra aumenta in modo improporzionale, generando una relazione di inconmensurabilità tra gli stessi angoli di contingenza.

Proprio da questa conclusione negativa (l’impossibilità di misurare gli angoli di contingenza) Oresme trae il punto centrale: l’improporzionalità, ovvero l’eterogeneità, non esclude la comparabilità. L’angolo di contingenza si comporta come una parte, “in infinitum minor suo toto” – (fr:11199/p.698) [infinitamente più piccola del suo tutto], ma non è un puro non quanto come il punto rispetto alla linea. “Retrancher ni ajouter un «point» à une ligne ne la diminue ni ne l’augmente, alors que retrancher et ajouter cette quantité «infiniment plus petite» qu’un angle rectiligne […] permet de démontrer […] que tout angle curviligne est égal à un angle rectiligne” – (fr:11202/p.698) [Togliere o aggiungere un “punto” a una linea non la diminuisce né la aumenta, mentre togliere e aggiungere questa quantità “infinitamente più piccola” di un angolo rettilineo permette di dimostrare che ogni angolo curvilineo è uguale a un angolo rettilineo].

Ulteriori paradossi emergono quando si considerano due angoli retti a cui vengono sottratti, rispettivamente, un angolo di contingenza e lo stesso angolo raddoppiato: le grandezze risultanti diventano improporzionabili, “quia unus excedit alium precise in angulo contingentie” – (fr:11208/p.699) [perché l’uno eccede l’altro esattamente di un angolo di contingenza]. Oresme non interpreta tuttavia questi angoli come assolutamente infinitesimi, ma solo infinitamente più piccoli di qualsiasi angolo acuto; l’angolo retto, ad esempio, è infinitamente più grande di un angolo di contingenza pur restando finito.

L’intera costruzione conduce Oresme a distinguere, nelle Quaestiones super Physicam, due modi di eccedenza: l’eccesso proporzionale e l’eccesso improporzionale. Un tutto eccede proporzionalmente una parte se lo fa secondo un rapporto, razionale o irrazionale; altrimenti si ha un eccesso improporzionale, che non è riconducibile né a una molteplicità né a una grandezza continua, poiché una parte continua aumentata indefinitamente finirebbe per superare il tutto. È questo il senso della gerarchia di gradi indivisibili che sostituisce la misura tradizionale: gli angoli di contingenza sono tra loro eterogenei e, pur confrontabili, appartengono a una scala ontologica diversa da quella delle quantità estensive.

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62 L’angolo di contingenza e la gerarchia delle perfezioni: Oresme e la comparazione improporzionale

Nelle Questioni sulla geometria e nelle Questioni sulla fisica, Oresme sviluppa un’analisi matematica e ontologica dell’angolo di contingenza che gli permette di fondare un modello generale per la confrontabilità delle perfezioni tra specie diverse. Il punto di partenza è una triplice distinzione nel modo in cui un intero può eccedere la propria parte senza che vi sia un rapporto definito.

Un “tutto” può superare la sua “parte” in modo improporzionale secondo tre modalità: « outre tout rapport (ultra omnem proportionem) », ou « en deçà de tout rapport (citra omnem proportionem) », ou « outre un rapport et en deçà d’un autre rapport (citra aliquam proportionem et ultra aliquam) » – (fr:11228/p.700) [«oltre ogni rapporto (ultra omnem proportionem)», oppure «al di qua di ogni rapporto (citra omnem proportionem)», oppure «oltre un rapporto e al di qua di un altro rapporto (citra aliquam proportionem et ultra aliquam)»]. Queste distinzioni, illustrate per mezzo di relazioni metriche angolari, mostrano che l’eccesso non è sempre esprimibile con una proporzione, ma richiede soltanto una comparazione. L’angolo retto, per esempio, eccede un angolo di contingenza oltre ogni rapporto: per qualunque rapporto razionale o irrazionale dato, il “rapporto” fra l’angolo retto e l’angolo di contingenza è più grande – « L’angle droit excède ainsi un angle de contingence outre tout rapport, c’est-à-dire que pour tout rapport rationnel ou irrationnel donné, le “rapport” entre l’angle droit et l’angle de contingence est plus grand » – (fr:11230/p.700). Al contrario, lo stesso angolo retto eccede l’angolo del semicerchio al di qua di ogni rapporto, con un “rapporto” minore di qualsiasi rapporto dato – « Mais ce même angle excède l’angle de demi-cercle en deçà de tout rapport, c’est-à-dire d’un “rapport” moindre que tout rapport » – (fr:11232/p.700). Vi è infine il caso intermedio: per un angolo di segmento minore maggiore del quarto di retto ma minore della metà, l’angolo retto lo eccede di un rapporto oltre il doppio ma al di qua del quadruplo – « Enfin, pour un angle de plus petite portion plus grand que le quart du droit, mais plus petit que la moitié, l’angle droit l’excède d’un rapport outre le double, mais en deçà du quadruple » – (fr:11233/p.700). È questo il cuore della comparaison improportionnelle, nozione che Oresme esprime con piena chiarezza solo nelle Questioni sulla fisica: « Il ne s’agit alors plus d’un rapport (proportio), mais plus généralement d’une comparaison (comparatio) » – (fr:11231/p.700) [non si tratta più di un rapporto (proportio), ma più generalmente di una comparazione (comparatio)].

L’analisi geometrica serve a Oresme per sciogliere il problema ontologico dell’angolo. Respinge l’idea che l’angolo sia una superficie, o le linee concorrenti in un punto, o una relazione. La terza ipotesi – l’angolo come relativo – è confutata con un argomento netto: un relativo può acquisirsi o perdersi senza alterazione della realtà da cui è predicato, mentre un angolo non può variare senza una reale alterazione della realtà angolare – « Au contraire, un angle ne peut varier sans altération réelle de la réalité angulaire » – (fr:11251/p.701). La soluzione proposta da Oresme, giudicata “probabile”, riprende la definizione euclidea ma la rilegge in termini modali: l’angolo è « le contact mutuel de deux lignes ou grandeurs équivalentes en un point (alternus contactus duarum linearum vel equivalentium in puncto) » – (fr:11252/p.701) [il contatto mutuo di due linee o grandezze equivalenti in un punto]. Tuttavia, aggiunge, se l’angolo è un accidente, non è un accidente che è un’essenza (essentia), ma un “essere tale” (sic esse): l’angolo è un modo di una realtà, non una realtà essa stessa – « l’angle est un mode d’une réalité, et non une réalité » – (fr:11254/p.701). Questa posizione modale non elimina ogni dubbio: il comportamento paradossale degli angoli mistilinei – un continuo che cresce senza passare per l’uguale – sarebbe inconveniente per un’essenza, ma non per un modo. « si l’angle est quelque chose, alors “quelque chose augmente par un accroissement continu du plus petit au plus grand, et pourtant ne passe pas par l’égal” » – (fr:11257/p.701) [se l’angolo è qualcosa, allora “qualcosa aumenta per accrescimento continuo dal più piccolo al più grande, e tuttavia non passa attraverso l’uguale”]. La stessa proprietà, afferma Oresme, vale per le perfezioni: « Un cheval pourrait être plus parfait qu’un âne et, par diminution continue, rendu moins parfait sans qu’il ne soit jamais également parfait » – (fr:11258/p.701) [Un cavallo potrebbe essere più perfetto di un asino e, per diminuzione continua, reso meno perfetto senza che sia mai egualmente perfetto]. Il modello geometrico fornisce così una possibilità ontologica, non una scala univoca, ma una cassetta degli attrezzi per diversi casi di figura – relazioni proporzionali o improporzionali tra le specie.

La vera singolarità emerge quando Oresme affronta la mutua improporzionalità degli angoli di contingenza. Nella questione 20 stabilisce che angoli di contingenza formati da curvature circolari differenti « sunt diversarum specierum » – (fr:11271/p.702) [sono di specie diverse]. Di conseguenza, un angolo di contingenza non può aumentare né diminuire restando nella propria specie: « Augmenter et diminuer pour un tel angle, c’est en réalité “mutaretur in aliam speciem” » – (fr:11274/p.702) [Aumentare e diminuire per un tale angolo significa in realtà “mutarsi in un’altra specie”]. L’angolo di contingenza è quindi indivisibile in sé stesso, e in senso proprio non è una quantità. La sua variazione è una successione di gradi gerarchizzati, paragonabile all’aumento intensivo di una qualità, ma senza estensione alcuna – « Néanmoins, à la différence d’un degré intensif, l’angle n’a aucune extension » – (fr:11278/p.702). Ciò non implica che non esista latitudine di perfezione all’interno di una specie, ma piuttosto che il modello geometrico certifica la possibilità ontologica di una specie la cui perfezione è indivisibile, dove nessun individuo è migliore di un altro se non cambiando specie – « une espèce dont la perfection est indivisible, et où aucun individu n’est meilleur qu’un autre, sauf à changer d’espèce » – (fr:11281/p.702).

Questa struttura geometrica della gerarchia delle entità viene ripresa da Pierre Ceffons, che distingue quattro modi di eccesso – excessus ultra omnem proportionem, excessus citra omnem proportionem, excessus citra aliquam proportionem, excessus ultra aliquam proportionem – e la utilizza per negare che un individuo di una specie sia infinitamente più perfetto di quello di un’altra oltre ogni proporzione, affermando invece che lo è meno che ogni proporzione – « Il est infiniment plus parfait moins que toute proportion » – (fr:11292/p.703). Si conserva così la distanza infinita senza doverla pensare come eccedenza assoluta.

Storicamente, la riflessione sull’angolo di contingenza attraversa il dibattito tra Peletier e Clavio, poi la polemica tra Hobbes e Wallis, fino a giungere a Newton. È probabile che proprio da queste discussioni Newton tragga ispirazione, giungendo a conclusioni sorprendentemente affini a quelle di Oresme: esiste un’infinità di angoli di contingenza più o meno grandi, mutuamente eterogenei. Nella Méthode des fluxions e negli Principia, Newton mostra che l’angolo di contingenza formato da una trocoide e la tangente nel punto di ordinata nulla è infinitamente più grande di ogni angolo di contingenza circolare – « l’angle de contingence formé par une trochoïde et la tangente au point d’ordonné y = 0 est infiniment plus grand que tout angle de contingence circulaire » – (fr:11315/p.705). Generalizzando con una famiglia di parabole della forma y = ax^b (1 < b < 2), Newton esibisce una successione di angoli di contingenza ciascuno dei quali è infinitamente più grande del precedente, tutti più piccoli di qualunque angolo acuto eppure infinitamente maggiori di ogni angolo circolare – « il existe une infinité d’angles de contingence infiniment plus grands que tout angle circulaire, mais plus petit que tout aigu » – (fr:11317/p.705). L’eredità oresmiana, mediata dalle matematiche della prima modernità, trova così una formulazione che, dopo l’invenzione del calcolo, farà scomparire l’angolo di contingenza come motivo autonomo, ma ne fissa per sempre la logica di eterogeneità e di gerarchia senza proporzione.

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63 La serie infinita degli angoli di contatto e la curvatura come qualità intensiva

Newton e Oresme, con metodi diversi, colgono l’infinità ordinata degli angoli di contatto e la possibilità di misurare la curvatura come intensità lungo una linea.

Il testo ripercorre due momenti cruciali nella storia del concetto di curvatura: la costruzione newtoniana di serie infinite di angoli di contatto mediante parabole, e la proposta medievale di Nicola Oresme di trattare la curvatura come una qualità dotata di intensità, applicando la dottrina delle configurazioni.

Newton introduce una seconda famiglia di curve: ”y = x, ay = x², b²y = x³, c³y = x⁴, etc.” – (fr:11321/p.705) [y = x, ay = x², b²y = x³, c³y = x⁴, ecc.]. In queste parabole di grado via via superiore, ”l’angolo formato da una curva è infinitamente più piccolo di quello formato dalla precedente” – (fr:11322/p.705) [l’angolo formato da una curva è infinitamente più piccolo di quello formato dalla precedente]. La proprietà emerge con chiarezza nella parabola cubica: ”se l’ordinata AD è il cubo dell’ascissa DB – cioè la curva è una parabola cubica – nessun cerchio può essere tracciato nel punto A, vertice della parabola, tra la tangente AD e la curva AB, « e di conseguenza l’angolo di contatto sarà infinitamente più piccolo di quelli formati dai cerchi »” – (fr:11325/p.705) [se l’ordinata AD è il cubo dell’ascissa DB – cioè la curva è una parabola cubica – nessun cerchio può essere tracciato nel punto A, vertice della parabola, tra la tangente AD e la curva AB, « e di conseguenza l’angolo di contatto sarà infinitamente più piccolo di quelli formati dai cerchi »]. Così come in Euclide III.16 una retta non può dividere l’angolo di contingenza circolare, qui una linea circolare non può dividere l’angolo di contingenza parabolico al vertice (fr:11326/p.705).

Newton estende la costruzione ad esponenti maggiori e frazionari, generando ”una serie di angoli di contatto, procedente all’infinito, in cui ogni termine della successione è infinitamente più piccolo del termine precedente” – (fr:11327/p.705) [una serie di angoli di contatto, procedente all’infinito, in cui ogni termine della successione è infinitamente più piccolo del termine precedente], e un’altra serie infinita di angoli il cui primo termine è « della stessa specie » dell’angolo di contingenza circolare, il secondo infinitamente più grande, e così via (fr:11328/p.705). Il ragionamento si ricostruisce confrontando i rapporti delle ordinate: per una parabola cubica DC = p·AD³ e una quadratica Db = n·AD², il rapporto delle ordinate è n : p·AD, cosicché per AD = 1/p si ha DC = Db. Per ascisse minori, la cubica giace tra la tangente e la quadratica; per ascisse maggiori, la interseca e prosegue tra questa e l’asse. Pertanto ”l’angolo di contingenza formato da una parabola cubica, per quanto grande sia il coefficiente p, è più piccolo di qualsiasi angolo di contingenza formato da una parabola quadratica, per quanto piccolo sia il coefficiente n: è infinitamente più piccolo” – (fr:11342/p.706) [l’angolo di contingenza formato da una parabola cubica, per quanto grande sia il coefficiente p, è più piccolo di qualsiasi angolo di contingenza formato da una parabola quadratica, per quanto piccolo sia il coefficiente n: è infinitamente più piccolo]. Il procedimento si ripete per tutte le potenze intere e frazionarie, mostrando che per ogni grado m esiste un’infinità ordinata di angoli di contatto, tutti più piccoli di quelli di grado inferiore e più grandi di quelli di grado superiore (fr:11343‑11345). L’angolo della parabola quadratica è detto « della stessa specie » di quello circolare perché il raggio di curvatura al vertice resta finito: esiste un cerchio che abbraccia la curvatura nel vertice, mentre negli altri casi il raggio di curvatura è infinitamente piccolo o infinitamente grande (fr:11345‑11346).

Il testo accosta questa conclusione a quella di Oresme sugli angoli di contingenza: entrambi restano colpiti dall’infinita quantità di angoli e dalla distanza infinita che li separa, rendendoli per certi versi incomparabili (fr:11347/p.707). Oresme, nel suo sforzo di elaborare una matematica dei gradi, si scontra con il problema degli angoli. Campano aveva mostrato che gli angoli mistilinei non soddisfano il principio di continuità, sicché la geometrizzazione delle qualità non può essere generalizzata (fr:11349‑11350). Gli angoli sono quindi un’« altra » specie di gradi: ”sono gradi intensivi, ma che si distinguono dai gradi qualitativi perché sono pure intensità puntuali” – (fr:11352/p.707) [sono gradi intensivi, ma che si distinguono dai gradi qualitativi perché sono pure intensità puntuali], non mescolati all’estensione e non soggetti a continuità geometrica. Tuttavia possiamo ordinarli gerarchicamente; la discontinuità vieta una misura in senso proprio ma non una comparazione mediante tre modi di eccesso: oltre ogni rapporto, al di sotto di ogni rapporto, e tra un rapporto e l’altro (fr:11355/p.707). Questa scala dei gradi serve a pensare una distanza infinitamente grande, una distanza infinitamente piccola e un rango ineguagliabile (fr:11356/p.707). Oresme la crea per disporre i « gradi di realtà », cioè la perfezione ontologica delle specie: ”da modello per pensare la presenza dell’infinito nel finito, l’angolo di contingenza serve ormai precisamente all’inverso, cioè per pensare una distanza infinita tra due entità entrambe finite” – (fr:11358/p.707) [da modello per pensare la presenza dell’infinito nel finito, l’angolo di contingenza serve ormai precisamente all’inverso, cioè per pensare una distanza infinita tra due entità entrambe finite].

La seconda parte del brano si concentra sulla curvatura vera e propria. Newton la giudica uno dei problemi più eleganti (fr:11360/p.707). Oresme, a conclusione della sezione matematica, dichiara: ”« Resta ora da parlare della curvatura: come le altre qualità, la curvatura ha un’estensione e un’intensità. Certe curvature sono uniformi, altre difformi »” – (fr:11361‑11362) [« Resta ora da parlare della curvatura: come le altre qualità, la curvatura ha un’estensione e un’intensità. Certe curvature sono uniformi, altre difformi »]. La necessità nasce dalla classificazione delle difformità: tutte le difformità la cui linea di cresta disegna una curvatura « irrazionale », non proporzionale alla linea circolare, finiscono nella stessa categoria; per discriminarle occorre misurare le curvature (fr:11364‑11365). Proclo segnala un metodo di congruenza per dimostrare l’uniformità di una curva – l’elica cilindrica sarebbe omeomera, ogni parte coincide con un’altra – e Descartes ragiona similmente per la sua spirale (fr:11366‑11371). Oresme, invece, non procede per congruenza e sembra il primo a proporsi di misurare una curvatura in generale, facendo della curvitas un problema matematico (fr:11373‑11374). Prima di lui la curvatura è solo allontanamento dalla rettitudine, come per Pierre Auriol: ”« Una linea è tanto più curva quanto più si allontana dalla rettitudine »” – (fr:11376/p.708) [« Una linea è tanto più curva quanto più si allontana dalla rettitudine »].

Rappresentare la curvatura come una qualità dotata di intensità esige che i suoi gradi siano misurabili e geometricamente figurabili. Tuttavia, ”non è affatto evidente, perché si ignora penes quid vel circa quid attenditur intensionum curvitatis” – (fr:11390/p.709) [non è affatto evidente, perché si ignora in base a che cosa o rispetto a che cosa si valuta l’intensità della curvatura]. Oresme non presume la misurabilità: va dimostrata di volta in volta, cercando un effetto estensivo a cui commisurare l’intensità. Nel caso della velocità, essa si misura con la distanza o la durata, grandezze sempre proporzionabili; per la curvatura, invece, non sappiamo se gli effetti estensivi siano proporzionabili, cosicché la curvatura rappresenta un caso limite (fr:11391‑11394).

La misura moderna della curvatura ricorre all’analisi infinitesimale. Si valuta la curvatura media di un arco tramite l’angolo di rotazione della tangente tra gli estremi, e poi si definisce la curvatura in un punto come limite del rapporto quando l’arco tende a zero (fr:11398‑11401). In tal modo non si presuppone alcuna nozione d’intensità. Ma la nozione di « curvatura in un punto » è paradossale: ”una curvatura presuppone una linea estesa, mentre un punto indivisibile e inesteso non può avere curvatura né essere più o meno curvo” – (fr:11404/p.710) [una curvatura presuppone una linea estesa, mentre un punto indivisibile e inesteso non può avere curvatura né essere più o meno curvo]. L’approccio di Oresme aggira il paradosso: l’intensio agisce esattamente là dove oggi useremmo un differenziale (fr:11405/p.710). La trattazione oresmiana della curvatura dipende interamente dalla dottrina delle configurazioni: la curvatura è una qualità che informa la linea curva, dotata di un’intensità che varia punto per punto (fr:11407‑11410). Se si potesse rettificare la linea e misurare l’intensità di curvatura, si potrebbero definire variazioni uniformi o difformi, calcolare la configurazione di curvatura per una curva data o, inversamente, dedurre la curva dalla variazione di curvatura (fr:11411/p.710). È quanto Oresme tenta nei capitoli I.20 e I.21, applicando la nuova tendenza intensiva alla geometria. La curvatura, a differenza dell’angolo (considerato più accidente che qualità), ha estensione oltre che intensità; può dunque essere uniforme o difforme e la sua configurazione può essere rappresentata graficamente: una curva raffigura la variazione di curvatura di un’altra (fr:11415‑11417).

Il testo mette così in luce due momenti in cui l’analisi degli angoli di contatto e della curvatura ha spinto i matematici a confrontarsi con l’infinità ordinata, con la comparazione non misurabile per rapporto e con la rappresentazione intensiva di proprietà geometriche. L’eredità di Oresme, pur ignorata a lungo, fa della curvatura un caso esemplare in cui la dottrina medievale delle intensità anticipa il trattamento differenziale.

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64 Due capitoli in conflitto: l’esplorazione della misura delle curvature nel De configurationibus di Oresme

L’indagine sulla curvatura, condotta attraverso l’oscillazione tra due metodi opposti, rivela un pensiero che non cerca una risposta definitiva, ma apre un campo di ricerca dove l’intensità precede la misura e la geometria si misura con l’incommensurabile.

Nel De configurationibus qualitatum et motuum, Oresme dedica i capitoli I.20 e I.21 alla possibilità di misurare il grado di curvatura di una linea. La costruzione teorica presuppone di saper « mesurer le degré de courbure d’une ligne courbe » (fr:11418/p.711) [misurare il grado di curvatura di una linea curva], e Oresme vi scorge soltanto due vie:

« L’angle compris entre la courbe et la tangente en A, qui permettrait de mesurer la distance du courbe au droit (I.20) ; Le rayon du cercle qui épouse la courbure de la ligne en A (I.21) » – (fr:11418/p.711) [L’angolo compreso tra la curva e la tangente in A, che permetterebbe di misurare la distanza del curvo dal retto (I.20); il raggio del cerchio che sposa la curvatura della linea in A (I.21)].

I due capitoli sono deliberatamente esplorativi e contraddittori: « ces deux chapitres sont exploratoires et servent à indiquer une orientation de recherche » (fr:11421/p.711) [questi due capitoli sono esplorativi e servono a indicare un orientamento di ricerca]. Oresme non decide quale via seguire, ma la tensione tra i due metodi getta le basi per una riflessione più profonda su che cosa significhi “misurare” una qualità come la curvatura.

Fin dall’inizio traspare una distinzione cruciale tra due accezioni del misurare:

« Il y a en français une ambiguité : mesurer-mensurare, c’est déterminer un rapport de qualité, de quantités, ou une échelle générale de rapports. Mais mesurer-attendere signifie ici trouver un genre de grandeurs par le rapport desquelles celui des intensités étudiées sera mesuré parce qu’elles les déterminent » – (fr:11424–11425) [C’è un’ambiguità in francese: misurare–mensurare è determinare un rapporto di qualità, di quantità o una scala generale di rapporti. Ma misurare–attendere significa qui trovare un genere di grandezze mediante il cui rapporto sarà misurato quello delle intensità studiate, perché esse le determinano].

La domanda di Oresme, « Penes quid attendere curvitatem seu intensionem curvitatis ? » (fr:11423/p.711) [In base a che cosa cogliere la curvità o l’intensità della curvità?], non è dunque una banale richiesta di un’unità metrica, bensì la ricerca di un termine di riferimento che renda determinabile un’intensità altrimenti indeterminata.

La prima esplorazione tenta di determinare la curvatura mediante la lontananza dalla rettitudine, interpretata in chiave angolare. Come mostra lo schema « (a) A (b) B C D A C D B » (fr:11429/p.711), la linea AC è meno curva di AD perché l’angolo mistilineo BAC è contenuto nell’angolo mistilineo DAB. La misura delle curvature si fonda così su quella degli angoli mistilinei. Ma qui emerge un ostacolo insormontabile:

« il n’existe pas de rapport rationnel ou irrationnel entre des angles mixtilignes et des angles curvilignes : ces deux espèces d’angles sont “improportionnables” » – (fr:11435/p.712) [non esiste rapporto razionale o irrazionale tra angoli mistilinei e angoli curvilinei: queste due specie di angoli sono “improporzionabili”].

Poiché l’angolo BAD è composto dal mistilineo BAC e dal curvilineo CAD, anche gli angoli mistilinei diventano a loro volta improporzionabili. Oresme conclude che le curvature sono eterogenee le une rispetto alle altre e quindi non misurabili: « les courbures doivent être hétérogènes les unes les autres, et donc non mesurables » (fr:11441/p.712) [le curvature devono essere eterogenee le une alle altre, e dunque non misurabili]. Un secondo argomento, che ricorre alla divisione di un angolo curvilineo mediante una linea di curvatura “simile”, ribadisce che angoli mistilinei e curvilinei sono eterogenei e che nessuna retta può dividere un angolo curvilineo in un rapporto dato.

La conclusione che Oresme trae da questa eterogeneità è sorprendente: egli non nega l’esistenza di una grandezza intensiva della curvatura, ma afferma che essa non può essere rappresentata da una linea né da una figura.

« on ne peut pas représenter la courbure par une autre figure (пес curvitas per aliquam figuram ymaginanda est) » – (fr:11454/p.713) [non si può rappresentare la curvatura mediante un’altra figura, né la si deve immaginare tramite alcuna figura].

Ne consegue che una curvatura non può essere uniformemente difforme, perché la difformità uniforme è definita dall’uguaglianza di un rapporto di intensità; la sua difformità è quindi « étrange, merveilleuse, et différente (extranea, mirabili, et diversa difformitate) » (fr:11456/p.713) [strana, meravigliosa e diversa]. Oresme non presuppone affatto che ogni qualità abbia un’intensità rappresentabile con il metodo delle configurazioni, né che tutte le intensità siano misurabili. Come lo studio degli angoli di contingenza nelle Quaestiones super geometriam Euclidis aveva portato a una scala delle perfezioni distinta da quella delle qualità, così qui si delinea una nuova forma di intensità, che la scala geometrica continua non riesce a misurare.

La seconda esplorazione rovescia immediatamente la prospettiva. Oresme introduce la misura mediante il raggio del cerchio la cui circonferenza si sovrappone in un punto alla linea curva. L’intuizione fondamentale è che « Toute courbure circulaire est uniforme et réciproquement, et toute autre courbure est difforme » – (fr:11465/p.714) [Ogni curvatura circolare è uniforme, e reciprocamente, e ogni altra curvatura è difforme]. Ammesso ciò, l’intensità della curvatura di un cerchio è inversamente proporzionale al raggio, e la curvatura di una linea completa può essere espressa mediante una grandezza unica.

Tuttavia Oresme, sempre incerto, suggerisce che forse le curvature sono comparabili ma non proporzionabili, richiamando il settimo modo di comparazione del suo commento alla Fisica. « Vos qui hoc legitis iudicate » (fr:11480/p.715) [Voi che leggete, giudicate]. Non prende posizione: le curvature potrebbero essere del tutto improporzionabili, oppure proporzionabili e quindi misurabili.

Per estendere il metodo a una curva qualsiasi, Oresme formula un’idea ancora intuitiva:

« l’intensité de la courbure en un point peut être mesurée par […] le rayon du cercle dont la courbure étudiée pourrait être un segment » – (fr:11483–11484) [l’intensità della curvatura in un punto può essere misurata mediante il raggio del cerchio di cui la curvatura studiata potrebbe essere un segmento].

È il concetto che Leibniz chiamerà più tardi “osculazione”. Il testo riconosce la difficoltà: la costruzione di un simile cerchio richiederebbe che per una porzione ABC con AB = BC esista un punto D equidistante da A, B e C, il che presuppone un’identità di curvatura tra gli archi AB e BC – un’approssimazione che « suppose une méthode semblable aux méthodes différentielles développées trois siècles plus tard » (fr:11488/p.715) [suppone un metodo simile ai metodi differenziali sviluppati tre secoli dopo]. Un diagramma (A, B, C, D) illustra il problema.

La prima via, al contrario, non presentava questa difficoltà perché adottava un punto di vista puramente intensivo, in cui l’angolo non ha estensione e l’intensità di curvatura ne è priva. La nuova via non è puramente intensiva e sembra richiedere un’idea di osculazione per le curvature non circolari. Oresme non ha però bisogno del passaggio al limite né di ammettere il paradosso di una curvatura senza estensione. Il punto è per lui una finzione matematica, e l’intensità di curvatura, in quanto quantità di qualità, suppone un soggetto esteso.

Così la teoria delle configurazioni permette a Oresme di sviluppare una concezione intuitiva della curvatura, dove l’intensità non è la curvatura stessa, ma una sua quantità distribuita lungo la linea. L’interesse si sposta quindi sulla variazione dell’intensità secondo l’estensione, introducendo le nozioni di quantità di curvatura e di figurazione della curvatura, pilastri di un programma di ricerca che resterà aperto, fino a trovare risposte solo con gli strumenti del calcolo infinitesimale.

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65 La curvatura come qualità configurabile: rappresentazione geometrica e cinematica in Oresme

Nel De configurationibus, Oresme estende la dottrina delle latitudini delle forme alla curvatura, definendone quantità e variazioni mediante figure geometriche e modelli cinematici, prefigurando l’analisi funzionale pur tra ambiguità non risolte.

Nella prima parte del capitolo dedicato alla curvatura delle linee, Oresme enuncia esplicitamente la possibilità di assimilare la curvatura a una qualsiasi qualità dal punto di vista della sua configurazione, secondo il metodo generale di rappresentazione delle qualità mediante figure. “En premier lieu, Oresme énonce explicitement que cette méthode de mesure permet d’assimiler la courbure à n’importe quelle qualité du point-de-vue de sa configuration.” - (fr:11515/p.717) [In primo luogo, Oresme enuncia esplicitamente che questo metodo di misura permette di assimilare la curvatura a qualsiasi qualità dal punto di vista della sua configurazione.] Di conseguenza, la variazione della curvatura lungo una linea curva può essere rappresentata geometricamente, assumendo come base la linea rettificata: “Par conséquent, il est possible de représenter géométriquement la variation de courbure selon la longueur de la ligne courbe qui servirait alors de base « après rectification ».” - (fr:11516/p.717) [Di conseguenza, è possibile rappresentare geometricamente la variazione di curvatura secondo la lunghezza della linea curva che servirebbe allora da base « dopo rettificazione ».] La stessa idea è ribadita da un passo latino del De configurationibus: “atque etiam ad modum alterius qualitatis erit ymaginabilis per figuram cuius figure ipsa linea curva vel superficies curva erit basis, ipsa tamen linea vel superficie ymaginata rectificari, vel etiam ipsa stante curva, secundum descriptionem vel ymaginationem positam 16° (/17°?) capitulo.” - (fr:11522-11523/p.717) [e inoltre, al modo di un’altra qualità, sarà immaginabile mediante una figura la cui base sia la linea curva o la superficie curva, immaginando tuttavia che tale linea o superficie venga rettificata, oppure rimanendo curva, secondo la descrizione o immaginazione posta nel capitolo 16° (/17°?).] Oresme aveva già alluso nel capitolo precedente a una figura ottenuta riportando punto per punto i raggi di curvatura sulla linea rettificata (fr:11519/p.717). Nel caso del cerchio, ne risulta un rettangolo i cui lati sono la circonferenza rettificata e il raggio, figura classica già usata da Archimede per la quadratura (fr:11520/p.717, 11524). È un’applicazione del metodo alla geometria stessa: una linea viene studiata tramite un’altra figura che permette di visualizzare proprietà fondamentali – qui le variazioni di curvatura – analogamente a come una funzione può essere studiata tramite la sua derivata (fr:11521/p.717).

L’analisi si spinge oltre, introducendo l’idea di quantità di curvatura, distinta sia dall’intensità sia dall’estensione della curvatura stessa, esattamente come in precedenza si era parlato di « quantità di qualità » e di « quantità di velocità » (fr:11525/p.718). Oresme calcola così che tutti i cerchi hanno una curvatura uguale in senso assoluto (simpliciter), non di uguale intensità ma di uguale quantità di curvatura (fr:11526/p.718). La dimostrazione, unico esempio nelle prime due parti del trattato di applicazione esplicita della metrica delle qualità, si fonda sulle regole esposte nella terza parte (fr:11527/p.718). Se due cerchi A e B hanno raggi in rapporto M:N, le intensità di curvatura stanno in rapporto inverso N:M, mentre le circonferenze stanno in rapporto M:N; estensione e intensità sono inversamente proporzionali, sicché le configurazioni sono rappresentate da due rettangoli di uguale area e le curvature hanno la medesima quantità (fr:11528/p.718). Più in generale, archi di cerchi ineguali ma proporzionali contengono la stessa quantità di curvatura (fr:11529/p.718). Oresme non considera questa nozione puramente arbitraria, ma le attribuisce un significato intuitivo: l’uguaglianza di curvatura di tutti i cerchi riflette il fatto che tutte le circonferenze « circueunt » (girano) allo stesso modo, cosicché l’uguaglianza di quantità si spiega con un’uguaglianza di azione, quasi di lavoro (fr:11532-11533/p.718).

A questa rappresentazione statica e geometrica Oresme aggiunge una seconda rappresentazione, di tipo cinematico, con lo stesso scopo di conoscere le varietà della curvatura (fr:11534-11535/p.718). La figurazione geometrica presuppone che la curvatura sia espressa in funzione dell’estensione della curva, ma la lunghezza di una linea curva non è facile da conoscere né da rettificare (fr:11536-11537/p.718). Per questo Oresme propone di rapportare la variazione del raggio di curvatura a un angolo di rotazione (fr:11538/p.718). L’analisi è sviluppata solo per il cerchio e per la spirale di Archimede, ma consente di affermare che la curvatura della spirale archimedea è uniformemente difforme (fr:11539/p.718-11542/p.719). Gli antichi distinguevano linee semplici (retta, cerchio) e linee miste (spirale); qui l’idea è generare una curva dalla composizione di due movimenti isocroni: la rotazione di una semiretta AB attorno ad A e lo spostamento simultaneo di un punto C su AB (fr:11543-11544/p.719). Se AB ruota e C è fisso in B, la linea descritta ha curvatura uniforme, cioè è circolare. Se AB ruota uniformemente e C si allontana uniformemente da A fino a B al termine della rotazione, si ottiene una curvatura uniformemente difforme, che è quella della spirale archimedea (fr:11547-11548/p.719). In entrambi i casi, Oresme deduce la natura della curvatura dalla generazione della curva e, inversamente, la natura della curva dalla conoscenza della curvatura: non studia il cerchio e la spirale in sé, ma le curvature stesse, generando le curve a partire dalle loro curvature, in modo simile all’integrazione delle funzioni differenziali (fr:11549-11551/p.719).

Permangono tuttavia difficoltà e ambiguità. Oresme non precisa a quale estensione sia rapportata l’intensità di curvatura nella rappresentazione cinematica (fr:11553/p.719). In precedenza, per il cerchio, aveva riferito l’intensità alla circonferenza (fr:11554/p.719-11556/p.720). Se la spirale ha curvatura uniformemente difforme rispetto alla lunghezza dell’arco, allora a incrementi uguali di arco corrispondono uguali differenze di intensità (fr:11557/p.720). Ma egli identifica il raggio generatore con il raggio di curvatura in ogni punto e, poiché il raggio generatore è funzione lineare dell’angolo, ne deduce che anche l’intensità di curvatura varia linearmente (fr:11559-11560/p.720). In realtà l’inverso di una funzione lineare non è lineare ma iperbolico: il diagramma del raggio in funzione dell’angolo è un triangolo rettangolo, mentre quello dell’intensità di curvatura è un’iperbole (fr:11561-11562/p.720). È inoltre evidente che l’intensità della curvatura della spirale non può annullarsi per un angolo determinato, come invece richiederebbe una variazione uniformemente difforme lineare (fr:11563/p.720). Oresme non rileva la non equivalenza tra i due metodi, quello geometrico e quello cinematico (fr:11564/p.720). Dal punto di vista geometrico, la configurazione della curvatura della spirale dovrebbe avere per base la lunghezza della spirale rettificata su cui siano erette le intensità di curvatura; ma rettificare la spirale non è ciò che egli fa (fr:11565-11567/p.720). Il modello cinematico garantisce invece che in tempi uguali la distanza percorsa da C sul raggio sia uguale e quindi che le differenze dei raggi di curvatura siano uguali; ma si tratta di una variazione rispetto all’angolo, non rispetto all’arco (fr:11568-11570/p.720). Oresme è consapevole che variando i due movimenti si possono generare infinite varietà di curvatura, e il suo intento non è generare curve geometriche ma varietà di curvatura (fr:11571-11573/p.720); tuttavia è indubbio che egli creda di poter dedurre la natura della curva dalla conoscenza della variazione di curvatura (fr:11574/p.721). Già all’inizio del capitolo aveva suggerito che non solo il cerchio ha curvatura costante, ma ogni curvatura costante è quella di un cerchio (fr:11575/p.721); analogamente, la costruzione archimedea implica che ogni linea a curvatura uniformemente difforme appartenga alla famiglia della spirale (fr:11576/p.721). Il suo ragionamento definisce una curva tramite la variazione della curvatura (fr:11577/p.721). Eppure, se ci si attiene alla definizione standard di uniforme e difforme secondo l’estensione di una qualità, la curvatura della spirale non è uniformemente difforme, poiché a uguali angoli di rotazione – e quindi a uguali differenze di raggio – corrispondono archi disuguali (fr:11578-11579/p.721). La trattazione resta quindi programmatica: Oresme è in grado, grazie al modello cinematico, di generare curvature difformemente difformi combinando movimenti uniformi e difformi, senza tuttavia identificare concretamente una linea con tali caratteristiche (fr:11580-11583/p.721).

Al termine dei due capitoli, Oresme non decide se le curvature siano proporzionabili o soltanto comparabili, né stabilisce quale via preferire (fr:11584-11586/p.721). Sul piano fisico sembra privilegiare la prima soluzione, perché consente di fondare matematicamente l’eterogeneità: configurazioni con linea di cresta inegualmente curva generano virtù eterogenee e imprevedibili (fr:11587/p.721). L’influenza di questa originale analisi della curvatura non sembra diretta nel dettaglio sino al XVII secolo (fr:11588-11589/p.722). Tuttavia, come già per l’angolo di contingenza, si può osservare un’evoluzione della questione in Nicola Cusano (fr:11590-11591/p.722). Nella Docta ignorantia, la curvatura è al centro della dimostrazione che la linea infinita è una retta: poiché quanto maggiore è il raggio tanto minore è la curvatura, il cerchio massimo (infinito) ha curvatura minima, coincidendo con la retta (fr:11592-11602/p.722). La dimostrazione presuppone una misura delle curvature almeno per le linee circolari, ammettendo, come Oresme, che la curvatura di un cerchio è inversamente proporzionale al raggio o alla circonferenza (fr:11604-11605/p.722). In tal modo, la retta non è altro che una curva di curvatura nulla (fr:11603/p.722).

[32.10/10-96-11612|11707]

66 Curvatura, quantità e qualità: dalla geometria intensiva di Oresme al calcolo newtoniano

L’intreccio fra curvature, variazioni di figura e questioni isoperimetriche mostra come la scienza medievale delle intensità abbia preparato e al tempo stesso differito dalla matematizzazione moderna.

Il motivo della misura della curvatura subisce un mutamento profondo ad opera di Nicola Cusano, che lo trasforma e lo completa rispetto alle trattazioni precedenti. “Le motif de la mesure de la courbure est donc substantiellement modifié ou complété par Nicolas de Cues” – (fr:11612/p.723) [Il motivo della misura della curvatura è dunque sostanzialmente modificato o completato da Nicola Cusano]. Oresme, dal canto suo, mantiene la distinzione tradizionale secondo cui retto e curvo sono qualità eterogenee: “Oresme maintient, conformément à la tradition, que droit et courbe sont des qualités hétérogènes” – (fr:11613/p.723) [Oresme mantiene, conformemente alla tradizione, che retto e curvo sono qualità eterogenee]. Tuttavia, avendo altrove ammesso, almeno come possibilità, che tutte le altre curvature siano omogenee e misurabili, la distinzione qualitativa tende ad annebbiarsi e la linea retta diventa un’eccezione minima rispetto all’infinità misurabile delle linee curve: “la ligne droite tend à devenir une exception infime par rapport à l’infinité mesurable des lignes courbes” – (fr:11614/p.723) [la linea retta tende a diventare un’eccezione minima rispetto all’infinità misurabile delle linee curve]. Inoltre Oresme non esita a considerare che, nel corso di un’alterazione della figura, una superficie che forma un angolo possa divenire retta (fr:11615/p.723). Per questo è possibile interpretare il ragionamento cusaniano come un’alterazione di figura camuffata da proposizione geometrica: “nous pouvons aussi interpréter le raisonnement du Cusain comme une altération de forme grimée en une proposition géométrique” – (fr:11616/p.723) [possiamo anche interpretare il ragionamento del Cusano come un’alterazione di forma mascherata da proposizione geometrica], riprendendo così il motivo delle alterazioni geometriche già visto nel De visione stellarum (fr:11617/p.723).

Il metodo newtoniano del raggio di curvatura offre un confronto illuminante. Newton è il primo nel XVII secolo a interessarsi direttamente alla misura delle curvature, ponendosi nel dicembre 1664 il problema: “to find ye Quantity of crookedness in lines” – (fr:11620/p.723) [trovare la quantità di tortuosità nelle linee]. Basandosi sul Method of fluxions and infinite series del 1670, l’autore esamina due problemi dal titolo significativo: « At any Point of a given Curve, to find the Quantity of Curvature » e « To determine the Quality of the Curvature, at a given Point of any Curve » – (fr:11621/p.723) [«In un punto qualsiasi di una curva data, trovare la quantità di curvatura» e «Determinare la qualità della curvatura in un punto dato di una curva qualunque»]. La distinzione tra quantity e quality è essenziale: Newton non definisce la quantità ma la misura tramite il raggio di curvatura, che corrisponde all’intensio curvitatis di Oresme (fr:11623/p.723). La qualità riguarda invece la forma in quanto più o meno uniforme o variabile lungo la curva: « its Form, as it is more or less inequable, or as it is varied more or less, in its progress thro’ different parts of the Curve » – (fr:11624,11631) [la sua forma, in quanto è più o meno diseguale, o varia più o meno nel suo procedere attraverso differenti parti della curva].

Le prime righe del problema 5 newtoniano sono molto vicine all’idea esposta da Oresme in I.21: per Newton è immediato che un cerchio abbia ovunque la stessa curvatura e che il rapporto di curvatura di due cerchi sia inversamente proporzionale ai diametri; aggiunge che un cerchio può avere la stessa curvatura di una curva data o approssimarvisi se è tangente ad essa in un punto e se nessun altro cerchio può dividere l’angolo di contingenza formato dal cerchio e dalla curva (fr:11633/p.724). Oresme non avrebbe evidentemente accettato quest’ultima condizione, che permette a Newton di calcolare il raggio di curvatura come limite (fr:11634/p.724).

Il calcolo di Newton si fonda su un’idea centrale implicita: la curvatura di una linea in una sezione è tanto maggiore quanto più rapida è la variazione della tangente lungo quella sezione (fr:11635/p.724). Poiché l’ipotesi fondamentale del calcolo delle tangenti identifica il rapporto caratteristico della tangente con il rapporto delle flussioni ẋ/ẏ, il calcolo della curvatura esamina la velocità di variazione di tale rapporto (fr:11636/p.724). Nella costruzione geometrica – illustrata nello schema con i punti δ, D, P, C, G, B, A, T, e, F, d, e le linee x, y, z, f, g (fr:11635/p.724) – Newton introduce il raggio di curvatura incognito CD e la tangente TD. Se d è un punto qualunque della curva dal quale si prolunga una normale, quanto più d si avvicina a D, tanto più l’intersezione delle due normali si avvicina al centro di curvatura C (fr:11637/p.724). Se d è sufficientemente prossimo a D, CD e Cd sono i raggi del cerchio osculatore. Con uno spostamento infinitesimo di D in d, si costruisce una fluente z direttamente proporzionale al rapporto delle flussioni, mediante un triangolo rettangolo CDG simile a TBD e una parallela arbitraria gδ a DG, con Cg = La variazione δf, momento della fluente z, è l’elemento su cui si fonda il calcolo: « On comprend immédiatement que plus la courbure Dd est grande, plus ce moment est grand : c’est donc sur lui que roule le calcul » – (fr:11642/p.725) [Si comprende immediatamente che più la curvatura Dd è grande, più questo momento è grande: è dunque su di esso che si impernia il calcolo]. Trovare C significa trovare GC; per il teorema di Talete, GC è dato dal rapporto DF/δf, e DF dipende dal momento dell’ascissa De, ottenuto osservando il triangolo rettangolo DdF. Da qui, per mediazione della flussione ż, si giunge alla formula ben nota per il raggio di curvatura:

« 𞀷𝰶 = (1 + (𝡦̇)²)³/² / 𝡦̈ » – (fr:11647/p.725) [r = (1 + (ẏ)²)³/² / ÿ].

La somiglianza tra l’inizio del ragionamento di Newton e il capitolo I.21 di Oresme è impressionante: « La similarité entre les premières lignes du raisonnement de Newton, et celles du chapitre I.21 sont frappantes » – (fr:11648/p.725) [La somiglianza tra le prime righe del ragionamento di Newton e quelle del capitolo I.21 è impressionante]. Vi sono però differenze essenziali. Innanzitutto Newton calcola il raggio di curvatura per una curva di cui conosce l’equazione, mentre Oresme, senza calcolare tale raggio, utilizza la relazione tra raggio e curvatura per determinare la natura della variazione della curvatura, passando dal problema della quantità a quello della qualità (fr:11649/p.725). Soprattutto, il calcolo di Newton presuppone identificazioni problematiche: calcolare una curvatura in un punto significa ammettere una quantità paradossale, poiché una curvatura è necessariamente estesa e un punto non ha curvatura (fr:11651/p.725). Ontologicamente è più accettabile supporre un’intensità puntuale della curvatura: la natura dinamica del ragionamento, che implica un’entità di altra dimensione rispetto ai parametri estensivi, non richiede derivazione (fr:11652/p.726). Laddove Newton considera il movimento di un punto per una durata infinitamente piccola, Oresme considera l’intensità che “lavora” quel punto e che appartiene a un’altra dimensione (fr:11653/p.726).

La conclusione moderna sulle curvature è sintetizzata dall’Encyclopédie di Diderot e D’Alembert: « On appelle ainsi [= courbure] la quantité dont un arc infiniment petit d’une courbe quelconque, s’écarte de la ligne droite : or un arc infiniment petit d’une courbe peut être considéré comme un arc de cercle […] par conséquent on détermine la courbure d’une courbe par celle d’un arc de cercle infiniment petit » – (fr:11654/p.726) [Si chiama così la quantità di cui un arco infinitamente piccolo di una curva qualsiasi si discosta dalla linea retta: ora, un arco infinitamente piccolo di una curva può essere considerato come un arco di cerchio; di conseguenza si determina la curvatura di una curva mediante quella di un arco di cerchio infinitamente piccolo]. Questa definizione esprime il legame intimo e essenziale, dal punto di vista dell’analisi moderna, tra curvatura e quantità infinitesimale (fr:11655/p.726). Il punto di vista intensivo adottato da Oresme segue un’altra via, indipendente dall’ipotesi degli infinitesimi. Egli non risolve la questione, e sarebbe erroneo credere che ritenga più verosimile il secondo metodo, quello che si rivelerà più fruttuoso; al contrario, la sua fisica si ispira al primo metodo, per ragioni che emergeranno in seguito (fr:11656-11658/p.726).

Isoperimetria e quadratura rappresentano l’ultimo esempio di geometria intensiva. Oresme non impiega esplicitamente la teoria delle configurazioni per lo studio delle figure isoperimetriche – « dont les périmètres sont mutuellement égaux » – (fr:11660/p.726) [i cui perimetri sono reciprocamente uguali] – e la sua trattazione è assai succinta. Nicola Cusano, invece, fa un riferimento esplicito alle configurazioni in una delle sue quadrature che sfruttano le proprietà isoperimetriche, esposta nel De mathematicis complementis (fr:11661/p.726). Questo esempio è tra i più spettacolari di come una scienza delle intensità si ripercuota sulle questioni estensive della geometria alterandone la natura (fr:11662/p.726).

Oresme studia le figure isoperimetriche nella questione 6 delle QSGE e nel capitolo II.10 del De configurationibus, in un contesto che si apre su un problema cosmologico legato alle sfere e alla dimostrazione aristotelica della sfericità del cielo (fr:11663,11666). La materia era nota in Europa grazie a un’introduzione all’Almagesto attribuita a Eutocio, tradotta nella seconda metà del XIII secolo (fr:11667/p.727). Bradwardine, nella sua Geometria speculativa, formula le cinque proposizioni canoniche: tra le figure isoperimetriche, quella con più angoli è la maggiore; tra quelle con lo stesso numero di angoli, la maggiore è l’equiangola; fra queste ultime la maggiore è l’equilatera; infine, tra tutte le figure isoperimetriche la massima è il cerchio e, inversamente, tra figure di uguale area il cerchio ha il perimetro minimo (fr:11668-11672/p.727). Quest’ultimo corollario riprende la proposizione aristotelica secondo cui il moto del cielo è il più rapido perché la linea chiusa più corta è quella circolare: « de toutes les figures qui retournent d’un point a celui meisme, la ligne du cercle ou de figure circulaire et la tres plus petite » – (fr:11676/p.727) [di tutte le figure che ritornano da un punto allo stesso punto, la linea del cerchio o di figura circolare è di gran lunga la più piccola]. Per dimostrarlo, Bradwardine deve stabilire che il cerchio è la massima tra le figure isoperimetriche, ma si limita ad argomenti: il perimetro di un cerchio è « partout éloigné du centre autant qu’il peut l’être » – (fr:11688/p.728) [ovunque lontano dal centro quanto è possibile esserlo]. Tale ragionamento assimila il cerchio a una linea definita punto per punto rispetto al centro, e non è soddisfacente (fr:11689-11691/p.728).

Oresme riprende la questione nella Q.6 delle QSGE a partire da un argomento sofistico contro l’incommensurabilità della diagonale del quadrato con il lato: un quadrato e il parallelogramma costruito sulla diagonale con l’altro lato uguale a quello del quadrato (si veda lo schema con i punti a, e, b, c, d in fr:11694/p.728) hanno la stessa area; come potrebbero figure equiestese non avere lo stesso perimetro? Lo studio delle figure isoperimetriche serve così innanzitutto a separare la misura dell’area da quella del perimetro (fr:11695/p.728). Oresme giunge al corollario della quinta proposizione di Bradwardine, ma aggiunge un’idea nuova: « Assumpta aliqua superficie minima linea, a qua potest ambiri, variando eam de figura in figuram est linea circularis et hoc patet 2° Celi » – (fr:11696/p.728) [Data una superficie, la linea più piccola con cui può essere racchiusa, mutandola di figura in figura, è la linea circolare e ciò risulta dal II libro del Cielo]. La variazione di figura non può essere altro che l’alterazione continua di una linea poligonale per aumento continuo del numero dei lati. Ciò è confermato dalla proposizione successiva, dove Oresme osserva che quanto più aumenta il numero di lati uguali di un poligono, a superficie costante, tanto più la figura « accedit ad figuram circularem » – (fr:11698/p.728) [si avvicina alla figura circolare].

Che Oresme avesse in mente proprio un’alterazione di questo tipo è dimostrato da un passo straordinario del De visione stellarum, che riguarda la rifrazione della luce in un mezzo a densità uniformemente difforme. Qui egli proponeva di assimilare il volume rifrangente a un’infinità di strati sovrapposti, ottenuti per alterazione continua della densità in un’ora divisa in parti proporzionali (fr:11701/p.729). La difficoltà di immaginare una rifrazione continua veniva superata mediante un’analogia: « si in prima parte proportionali hore de una linea fiat triangulus equilaterus, in secunda fieret ex eadem quadratus, in 3a pentagonus. Et sic ultra, patet quod in fine non erit angulus пес etiam rectitudo, sed erit linea circularis ut posset faciliter demonstrari » – (fr:11703/p.729-11704/p.73) [se nella prima parte proporzionale di un’ora di una stessa linea si facesse un triangolo equilatero, nella seconda dalla medesima un quadrato, nella terza un pentagono, e così via, è chiaro che alla fine non ci sarà né angolo né rettitudine, ma la linea sarà circolare come si potrebbe facilmente dimostrare]. In tal modo, la geometria intensiva delle alterazioni di figura mostra la propria capacità di trasformare un problema fisico in una variazione continua verso il limite circolare, anticipando per via qualitativa ciò che il calcolo infinitesimale affronterà quantitativamente.

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