Niccolò Cusano - Scritti matematici - 1445/59 | L
[1]
[1.1-142-10|151]
1 Vita, pensiero e matematica di Niccolò Cusano
Un pensatore del XV secolo la cui speculazione filosofica e matematica è inseparabile dall’intensa vita attiva al centro degli eventi storici, politici ed ecclesiastici del suo tempo.
L’interesse di Cusano per la matematica caratterizza tutta la sua speculazione, e nel De docta ignorantia è evidente “la forte impronta matematizzante del suo pensiero” - (fr:10). Egli utilizza nozioni matematiche in chiave simbolica per cogliere verità trascendenti - (fr:11). Un aspetto raro di questo pensatore è “lo stretto connubio tra vita e pensiero”, poiché la sua riflessione filosofica è radicata negli eventi storici e politici di cui fu attore protagonista* - (fr:13). Per questo le sue opere nascono “in mezzo ai conflitti politici, sociali ed ecclesiali della sua epoca” e non in luoghi appartati* - (fr:14). Egli stesso si lamenta di avere poco tempo per la matematica perché coinvolto “nelle vicissitudini della Chiesa”* - (fr:15).
Nacque a Kues nel 1401* - (fr:18). Studiò diritto a Padova, laureandosi nel 1423* - (fr:22). In quegli anni fondamentali venne a contatto con eminenti professori, tra cui il matematico Prosdocimo de’ Beldomandi* - (fr:23, fr:24). In quel fervido clima culturale, Cusano strinse rapporti con umanisti come Vittorino da Feltre e con Paolo dal Pozzo Toscanelli* - (fr:30, fr:31). Incontrò anche Giuliano Cesarini, a cui dedicherà il *De docta ignorantia** - (fr:32).
A Colonia, grazie al teologo Eimerico da Campo, conobbe il pensiero di Raimondo Lullo* - (fr:36, fr:38). Fu ordinato prete nel 1432 e assistette al Concilio di Basilea* - (fr:48, fr:49). Qui si fece conoscere come brillante canonista e scrisse il *De concordantia catholica** - (fr:55, fr:61). Il suo prestigio crebbe: cercò un accordo con gli Hussiti e scrisse il *De auctoritate praesidendi** - (fr:62, fr:64). Tra il 1436 e il 1437 si avvicinò alla Curia romana e a papa Eugenio IV* - (fr:68). Fu inviato a Costantinopoli per invitare le autorità al Concilio per l’unione delle Chiese* - (fr:69). Durante quel viaggio ebbe l’intuizione del principio della *dotta ignoranza** - (fr:70).
Nel 1440 completò il De docta ignorantia e iniziò il *De coniecturis** - (fr:81). A partire dal 1445 si dedicò a scritti di carattere geometrico-matematico, come il *De geometricis transmutationibus** - (fr:84, fr:85). Nel 1448 fu nominato cardinale da papa Niccolò V* - (fr:87). Come legato in Germania scrisse l’Apologia doctae ignorantiae per difendersi dalle accuse di panteismo* - (fr:88). Nel 1450, nominato Vescovo di Bressanone, scrisse il De quadratura circuli e i dialoghi *De idiota** - (fr:91, fr:93).
Tra il 1451 e il 1452 viaggiò instancabilmente come legato, tentando una riforma della chiesa tedesca* - (fr:97). A Bressanone, cercò di attuare una riforma della vita ecclesiale e di risanare l’economia della diocesi, incontrando forti resistenze* - (fr:98, fr:99). Nel 1453, dopo la caduta di Costantinopoli, scrisse il *De pace fidei** - (fr:101). Dopo anni di conflitto con il duca del Tirolo, si rifugiò nel castello di Andraz, dove scrisse il *De beryllo** - (fr:106, fr:107).
Richiamato a Roma da Pio II nel 1458, scrisse il *De mathematica perfectione** - (fr:108, fr:110). Tentò, senza successo, una reformatio generalis della Chiesa* - (fr:111). In quegli anni compose l’ultimo scritto matematico, l’Aurea propositio, e si dedicò alla lettura di Proclo e Platone* - (fr:112, fr:116). Elaborò ulteriormente il rapporto tra Dio e mondo in opere come il *De possest** - (fr:117). Morì a Todi nell’agosto del 1464, mentre era in viaggio verso Ancona* - (fr:134). Fu sepolto a Roma, mentre il suo cuore fu portato a Kues, nel Cusanusstift da lui fondato, che oggi ospita una ricchissima biblioteca* - (fr:135, fr:136, fr:138).
[2]
[2.1-79-245|323]
2 Cusano e la matematica
Il numero come fondamento della conoscenza razionale e la geometria come via per intuire l’infinito divino.
La conoscenza umana si basa sulla comparazione e sulla misura, possibili solo tramite il numero. “il numero costituisce la condizione necessaria di ogni comparazione” - (fr:253). Tuttavia, questo metodo rende l’infinito inconoscibile, poiché “finiti ad infinitum nulla est proportio” - (fr:255), portando alla consapevolezza della “docta ignorantia” - (fr:257). Tra le discipline, la matematica offre lo specchio più fedele per avvicinarsi alla verità: “le figure matematiche rappresentano per Cusano lo speculum più trasparente in cui la verità (ri)splende” - (fr:266). In particolare, la geometria, dove “mens nostra mathematicalia fabricat” - (fr:268), permette di esperire l’infinito. Il caso paradigmatico è la linea retta, misura di tutto ciò che è curvo, in cui sparisce ogni differenza “perché coincidono nell’uguaglianza assoluta” - (fr:278). Attraverso un processo di “additio infinitatis” - (fr:297) o rimozione del limite, le figure geometriche vengono infinitizzate, avvicinando così all’infinito semplice. Questo metodo matematico costituisce una “utile manuductio all’indagine umana intorno alle cose divine” - (fr:303), funzionando come un laboratorio per scoperte speculative, o meglio, “a kind of playground where he could observe his mind’s movements and exercise it for theological tasks” - (fr:304).
[3]
[3.1-134-484|617]
3 La quadratura del cerchio e il metodo della coincidentia oppositorum in Nicola Cusano
Cusano, ispirandosi ad Archimede ma distanziandosene nel metodo, tenta di risolvere il problema della quadratura del cerchio attraverso un principio filosofico-matematico di coincidenza degli opposti, applicato con il procedimento dell’archificazione.
Il cardinale Nicola Cusano si propose di completare l’opera di Archimede sulla quadratura del cerchio, problema che riteneva insolubile con il metodo classico. “Cusano si propone di dare il complementum all’opera iniziata dal matematico greco e di risolvere il problema rimasto fino ad allora insoluto” - (fr:491). Secondo Cusano, il fallimento degli antichi derivava dall’errore di “cercare la quadratura del cerchio partendo dal cerchio, anziché dal quadrato” - (fr:494), poiché il cerchio, come l’infinito, non è misurabile ma è esso stesso misura (fr:498). La soluzione doveva invece basarsi sul principio teologico-epistemologico della coincidentia oppositorum, secondo cui la coincidenza di retto e curvo, razionalmente impossibile, poteva essere colta “intellectualiter, ossia mediante una superiore visione mentale che scorge tale coincidenza all’infinito” - (fr:503). Tale coincidenza era immaginabile “nell’infinitamente grande e nell’infinitamente piccolo” - (fr:505), ad esempio in un poligono con lati infiniti.
Il procedimento geometrico più adatto a figurarla era l’archificazione, un metodo di determinazione angolare di origine indiana, diverso dall’approccio greco (fr:513, 514, 515). Muovendo da poligoni isoperimetrici, Cusano osservava che “al crescere dei lati dei poligoni isoperimetrici… il cerchio inscritto e quello circoscritto finiscono per coincidere con la circonferenza, considerata come un poligono di un numero infinito di lati” - (fr:516). Attraverso questa “infinita approssimazione asintotica” (fr:519), le figure trapassavano l’una nell’altra in una circolazione infinita, dove il triangolo coincideva con il cerchio (fr:518).
Questa ricerca si intrecciava con una concezione dinamica e mentale dello spazio. Per Cusano, “lo spazio geometrico è un prodotto della mente umana e, in quanto prodotto, può essere non solo misurato, ma anche, in qualche modo, manipolato” - (fr:537). La mente, simile a quella divina nella sua capacità creativa, è “il principio d’unità di quelle opposizioni” - (fr:549) e ha il potere di tendere all’aequalitas (fr:551). La geometria pratica assumeva così una nuova rilevanza teorica come tentativo di applicare al mondo sensibile il principio della coincidenza (fr:534, 535).
Le sue fonti matematiche erano latine, includendo riferimenti a figure come Bradwardine, Biagio Pelacani e Nicola d’Oresme (fr:582, 584, 585). Benché le sue opere matematiche circolassero e fossero discusse, incontrarono severe critiche da specialisti come Regiomontano, che definì Cusano un “geometra ridiculus Archimedisque aemulus” - (fr:601), e Cardano, che ne riconobbe l’acume pur giudicandone false le conclusioni (fr:603). Lo stesso Cusano ammise l’impossibilità della quadratura sul piano della matematica razionale (fr:605). Tuttavia, il suo approccio innovativo, che sottolineava “la sorprendente potenza del principio della coincidenza” (fr:608), influenzò pensatori come Giordano Bruno e stimolò riflessioni su nuovi sviluppi del discorso matematico (fr:609, 614).
[4]
[4.1-249-929|1177]
4 Catalogazione dei manoscritti e delle edizioni a stampa degli scritti matematici di Cusano
Un censimento dei codici e delle stampe che tramandano le opere matematiche, con note sul loro stato, contenuto e datazione.
Sono elencati numerosi manoscritti (secoli XIV-XVI) e edizioni a stampa (dal 1488) che contengono gli scritti matematici di Niccolò Cusano. I codici, conservati in biblioteche europee, variano per data, provenienza e completezza, e spesso presentano correzioni, note marginali e figure. Le opere principali tramandate sono il De mathematicis complementis (in due versioni, breve e lunga), il De geometricis transmutationibus, il De circuli quadratura e il De mathematica perfectione. Le edizioni a stampa dipendono spesso da specifici manoscritti e talvolta includono commenti.
“Si tratta di un codice cartaceo, di 20 fogli, (XV secolo), contenente solo i testi matematici.” - (fr:931) “Si tratta di un codice di 92 fogli, composto da 8 parti diverse, scritto tra il XIV e XV secolo.” - (fr:936) “Si tratta di un codice di 248 fogli (scritto tra il 1500 e il 1510), che contiene la maggior parte dei testi di fisica e due scritti matematici di Cusano.” - (fr:938) “Lo stesso Cusano esaminò attentamente i codici, corresse molti punti e aggiunse qualche nota.” - (fr:954) “Nel De mathematicis complementis ci sono poche correzioni molte note a margine e non c’è dubbio che l’autore sia Cusano.” - (fr:960) “Consta di 3 volumi, nel volume II sono presenti gli scritti matematici: f. 33r–53v: De geometricis transmutationibus f. 54r–58v: De arithmeticis complementis f. 59r–92v: De mathematicis complementis (versione più lunga) f. 101v–114r: De mathematica perfectione” - (fr:1074)
[5]
[5.1-231-1421|1651]
5 Della trasmutazione geometrica: linee, superfici, corpi
Trasformare figure piane e solide l’una nell’altra, stabilendo metodi fondati su proporzioni e triangoli mistilinei.
Le premesse affrontano il problema di trovare un punto (e) su una linea tramite proporzioni, dove le estensioni secondo certe relazioni non sono né maggiori né minori: “Erit igitur punctus inter l et i, ad quem linea ducta et extensa secundum habitudines duas iam dictas пес maior erit пес minor” - (fr:1423) [Sarà dunque un punto tra l e i, al quale la linea condotta ed estesa secondo le due relazioni dette non sarà né maggiore né minore]. Si studiano poi i poligoni isoperimetrici, dove il raggio del cerchio isoperimetrico cade tra punti definiti: “Cadet igitur inter illa duo puncta … punctus unus, ad quem si linea de centro ducitur … erit ut semidiameter circuli isoperimetri” - (fr:1428) [Cadrà dunque tra quei due punti … un punto, al quale se una linea è condotta dal centro … sarà come il semidiametro del cerchio isoperimetrico]. La ricerca procede definendo un triangolo mistilineo con due lati curvilinei (uno concavo e maggiore, uno convesso e minore) e un lato rettilineo: “triangulus ille, quem quaerimus, sit ex tribus lateribus, quorum duo sint arcualia inaequalia … tertium autem latus rectum existat” - (fr:1453) [quel triangolo, che cerchiamo, sia di tre lati, di cui due siano archuali disuguali … il terzo lato invece sia retto]. Un metodo pratico per trovare questo triangolo utilizza costruzioni con quadranti e semicerchi: “Descripsi igitur quadrantem bc super a centro … et habui triangulum cbm quaesitum” - (fr:1458, 1461) [Descrissi dunque un quadrante bc sul centro a … e ottenni il triangolo cercato cbm].
Il primo capitolo tratta la trasmutazione delle linee. Per trasformare una linea retta in una curva circolare, la si risolva prima in un poligono isoperimetrico: “Si lineam rectam in circumferentialem curvam vertere cupis, ipsam rectam in triangulum aut polygoniam isopleuram resolvito et ex primo praemissorum circulum isoperimetrum elicito” - (fr:1504) [Se desideri trasformare una linea retta in una curva circolare, risolvi quella retta in un triangolo o poligono equilatero e trai dal primo dei premessi il cerchio isoperimetrico]. Per la trasformazione inversa, da curva a retta, si usa la proporzione tra una retta trasformata in curva e la curva da rettificare: “Nam curva linea non potest inrectam mutari nisi ex proportione alicuius rectae in curvam versae” - (fr:1515) [Infatti una linea curva non può essere mutata in retta se non dalla proporzione di una qualche retta trasformata in curva]. Si forniscono metodi per trasformare anche archi di circonferenza, noti o ignoti.
Il secondo capitolo riguarda le superfici. Per trasformare una superficie circolare in una rettilinea, si rettifichi prima la sua periferia e si congiunga il raggio ad angolo retto per formare un triangolo: “primo eius peripheriam curvam in rectam resolvito, deinde semidiametrum peripheriae ad rectum angulum iungito trigonum claudendo” - (fr:1542) [prima risolvi la sua periferia curva in retta, poi congiungi il semidiametro della periferia ad angolo retto chiudendo un triangolo]. La quadratura del cerchio si ottiene trovando la media proporzionale tra il raggio e la metà della circonferenza: “Circulus enim quadratur, si inter semidiametrum et medium peripheriae lineam medio loco proportionalem costam feceris et quadraveris” - (fr:1544) [Il cerchio infatti è quadrato, se tra il semidiametro e la metà della periferia fai la linea mediamente proporzionale come lato e la quadri]. Si spiega come risolvere anche porzioni di superficie circolare o superfici delimitate da corde e archi.
Il terimo capitolo tratta dei corpi. Una colonna a base quadrata si riduce a un cubo trovando due medie proporzionali tra il lato della base e la lunghezza: “Inter hoc latus et longitudinem corporis constituantur duae continue proportionales lineae … minus medium est latus cubi quaesiti” - (fr:1583) [Tra questo lato e la lunghezza del corpo si costituiscano due linee continue proporzionali … la minore delle medie è il lato del cubo cercato]. Più cubi, uguali o disuguali, possono essere combinati in un unico cubo o sfera: “Ita patet via, quot volueris sive aequales sive inaequales cubos ad unum cubum sive denique ad sphaeram transmutandi” - (fr:1596) [Così è chiara la via per trasformare quanti cubi vorrai, sia uguali sia disuguali, in un solo cubo o infine in una sfera]. Una sfera si trasforma in un piramide con base uguale alla superficie sferica e altezza uguale al raggio: “fac quod basis pyramidis aequetur curvae superficiei sphaerae et altitudo eius ‹semi›diametro sphaerae” - (fr:1609) [fa’ che la base della piramide sia uguale alla superficie curva della sfera e la sua altezza al semidiametro della sfera].
Un additamentum fornisce una costruzione geometrica alternativa per il triangolo mistilineo, cercando il minimo e il massimo triangolo in quella classe: “vidi, si recta ducitur a puncto c ad punctum d, describet angulum contingentiae … quare tertium latus claudens istum triangulum erit minimum” - (fr:1620) [vidi che, se una retta è condotta dal punto c al punto d, descriverà un angolo di contingenza … perciò il terzo lato che chiude quel triangolo sarà minimo]. La conclusione attribuisce l’opera al cardinale Nicola Cusano: “Nicolai de Cusa cardinalis ad Paulum physicum … de arithmeticis complementis” - (fr:1651) [Del cardinale Nicola Cusano al fisico Paolo … sui complementi aritmetici].
[6]
[6.1-310-1728|2037]
6 La quadratura del cerchio: dibattito geometrico e implicazioni teologiche
Disamina sull’impossibilità di una quadratura precisa del cerchio, la ricerca di approssimazioni e la transizione a una speculazione teologica.
Il testo esamina il problema della quadratura del cerchio, presentando argomenti contrastanti. Da un lato, alcuni sostengono che, poiché si può dare un poligono sia maggiore che minore del cerchio, allora se ne può dare anche uno uguale: “Ubi est dare magis et minus, est et dare aequale; quia, cum detur quadratum maius circulo, ut est circumscriptum, et minus, ut est inscriptum, igitur et aequale” - (fr:1730). Lo stesso argomento viene applicato alle periferie dei poligoni e del cerchio (fr:1731). Tuttavia, altri negano la possibilità della quadratura, rigettando il principio logico citato: “Aiunt enim argumentum in mathematicis non procedere: Ubi est dare magis et minus, quod ibi sit dare aequale” - (fr:1734). Portano come esempio l’angolo d’incidenza, che può essere maggiore o minore di un angolo retto, ma mai uguale ad esso (fr:1735, 1737-1738). La radice dell’impossibilità sta nell’incommensurabilità: “Et cum inter superficiem circularem et rectilinealem non possit cadere proportio, sicut пес inter angulum incidentiae et angulum rectum, igitur argumentum etiam ibi non procedit” - (fr:1739). Di conseguenza, il cerchio non può essere ridotto a una figura rettilinea: “Sic patet semicirculum non esse rectilineabilem, et per consequens пес circulum aut aliquam eius partem” - (fr:1744).
L’autore ritiene più vera la posizione che nega una uguaglianza precisa, poiché le figure poligonali e circolari non sono dello stesso genere di quantità (fr:1760). Tuttavia, si può definire un tipo di “uguaglianza” non precisa, dove una figura non eccede l’altra di alcuna parte aliquota, per quanto piccola: “Eo enim modo ceperunt aequale, ut scilicet id sit alteri aequale, quod nulla parte aliquota, quantumcumque minima, aliud excedit aut exceditur” - (fr:1766). La ricerca geometrica si concentra quindi sul trovare la migliore approssimazione possibile, come dimostrato attraverso una complessa costruzione che parte da un triangolo per avvicinarsi al cerchio isoperimetrico (fr:1772-1835). Il risultato è che “licet non sit praecisissima, non tamen est пес maior пес minor per minutum aut minuti quamcumque dabilem partem” - (fr:1845). La lezione fondamentale è che “Omnis enim propositio in mathematicis, per quam sequitur praecisa aequalitas circuli et quadrati, est impossibilis” - (fr:1839).
Il discorso culmina in un’analogia teologica. Come il cerchio, perfetto e semplice, comprende in sé tutte le perfezioni delle figure poligonali senza aver nulla in comune con esse, così Dio, l’eternità assoluta, comprende la perfezione di tutte le forme: “Sicut igitur circulus est perfectio figuralis omnem figurarum perfectionem in se complicans… sic aeternitas absoluta est forma omnium formarum in se complicans perfectionem” - (fr:1860). Le specie sensibili (paragonate ai poligoni) cercano di misurare la verità divina, ma “sicut finiti ad infinitum nulla est proportio, sic manet deus super omnem inquisitionem praecisio incognita” - (fr:1904). L’intelletto umano trova quiete quando, nel modo consentito alla sua specie, si sente elevato verso l’uguaglianza dell’infinità, pur restando la precisione divina sempre inaccessibile (fr:1918-1919).
[7]
[7.1-153-2101|2253]
7 Proprietà delle figure isoperimetriche
Confronto tra le aree dei poligoni e del cerchio con lo stesso perimetro.
Tra le figure con uguale perimetro, il cerchio ha l’area massima. “Capacitas circuli excedit capacitatem omnium polygoniarum isoperimetrarum” - (fr:2137) [La capacità del cerchio supera la capacità di tutti i poligoni isoperimetrici.] L’area di un poligono inscritto è sempre minore di quella del cerchio, mentre per un poligono circoscritto è maggiore. “Embadum seu area trigoni in se continet aream circuli inscripti” - (fr:2102) [L’area del triangolo contiene in sé l’area del cerchio inscritto.] “In polygoniis inscriptis contrarium, nam area circuli maior” - (fr:2106) [Nei poligoni inscritti è il contrario, infatti l’area del cerchio è maggiore.]
Tra i poligoni isoperimetrici, il triangolo ha l’area minima, e l’area cresce all’aumentare del numero dei lati. “Capacitas trigoni isoperimetri est minima” - (fr:2142) [La capacità del triangolo isoperimetrico è minima.] “Quanto polygonia talis plurium fuerit laterum, tanto capacior” - (fr:2148) [Quanto più lati avrà un tale poligono, tanto più capace sarà.]
Il testo stabilisce anche una relazione proporzionale tra l’eccesso d’area del cerchio rispetto a un poligono e la “saetta” (distanza tra il centro e il lato). “Ex quo etiam manifestum est capacitatem circuli excedere capacitatem cuiuslibet polygoniae secundum lineam eandem in qualibet habitudinem tenentem ad sagittam suam” - (fr:2203) [Da ciò è anche chiaro che la capacità del cerchio supera la capacità di qualsiasi poligono secondo la stessa linea che mantiene in ognuno una certa relazione con la propria saetta.]
Infine, vengono forniti metodi geometrici per costruire una linea circolare uguale a una retta data e viceversa, e per assegnare a un cerchio dato un quadrato di area equivalente. “Datae rectae curvam circularem aequalem assignare” - (fr:2238) [Assegnare a una retta data una linea circolare uguale.] “Dato circulo quadratum aequale assignare” - (fr:2252) [Assegnare a un cerchio dato un quadrato uguale.]
[8]
[8.1-107-2325|2431]
8 Rapporti tra superfici generate dal movimento di linee
Studio delle proporzioni tra aree piane e curve, generate dalla rotazione di segmenti, e applicazione a coni, cilindri e sfere.
Dai movimenti di una linea, fissandone un estremo o muovendoli entrambi, si generano superfici le cui aree stanno in rapporti precisi. “Ex secunda configuratione motus lineae aequaliter in omnibus punctis motae sequitur quod superficies, quae ex tali motu constituitur, dupla est ad illam, quae ex primo motu” - (fr:2332) [Dalla seconda configurazione del moto di una linea mossa ugualmente in tutti i punti segue che la superficie, che da tale moto è costituita, è doppia rispetto a quella che deriva dal primo moto.] Questo principio fonda il calcolo di aree circolari e coniche. “Recte igitur dictum est a multis, quod ductio seu multiplicatio semidiametri in semicircumferentialem lineam efficit superficiem aequalem circulo” - (fr:2355) [Giustamente dunque è stato detto da molti, che la conduzione o moltiplicazione del semidiametro nella linea semicircolare produce una superficie uguale al cerchio.]
La conoscenza si estende ai solidi rotondi. “Ex hoc quae circa habitudines cylindrorum seu rotundarum columnalium superficierum et suarum basium et cylindralium, conicarum curvarum atque planarum circularium omnis scientia elicitur” - (fr:2342) [Da ciò si ricava tutta la scienza che riguarda i rapporti dei cilindri o delle superfici di colonne rotonde e delle loro basi, e dei cilindri, delle curve coniche nonché delle piane circolari.] Ad esempio, se un cono e un cilindro hanno la stessa base e il lato del cono è uguale all’altezza del cilindro, “superficies columnae semper est dupla ad superficiem coni, et si plus, plus, si minus, minus proportionabiliter” - (fr:2394) [la superficie della colonna è sempre doppia rispetto alla superficie del cono, e se di più, di più, se di meno, di meno, proporzionalmente.]
Si esaminano anche movimenti composti e superfici generate da linee mosse in modo ineguale, che producono curve non circolari come le sezioni coniche. “Curvas lineas, non tamen circulares, ex inaequali motu lineae in ambobus suis terminalibus punctis causatas concipito” - (fr:2421) [Si concepiscano linee curve, ma non circolari, causate dal moto ineguale della linea in entrambi i suoi punti terminali.] Infine, si mostra come descrivere infinite porzioni coniche della stessa area e si accenna al metodo per indagare i rapporti di porzioni di parabole o di sezioni cilindriche trasverse.
[9]
[9.1-114-2454|2567]
9 Metodi geometrici per la quadratura del cerchio e la rettificazione di curve
Costruzioni e dimostrazioni per determinare linee rette uguali ad archi, superfici equivalenti e la quadratura del cerchio attraverso lunule.
Il testo espone costruzioni geometriche per confrontare linee rette e curve, partendo da un quadrante con linee definite: “Sit super a centro quadrans be descriptus et linea prima ab, et secunda bc angulum rectum cum ab faciens aequalis eidem, et tertia linea aed ut latus trianguli inscripti, et quarta linea cd.” - (fr:2454) [Sia descritto sopra al centro un quadrante be e la prima linea ab, e la seconda bc che forma un angolo retto con ab uguale alla stessa, e la terza linea aed come lato del triangolo inscritto, e la quarta linea cd.] Si afferma che se fe è come bg, allora bg è minore del quadrante be della metà di fg, e aggiungendo questa metà si ottiene bh uguale alla curva be: “Dico si fe est ut bg, tunc bg est minor quadrante be medietate fg.” - (fr:2457) [Dico che se fe è come bg, allora bg è minore del quadrante be della metà di fg.] “Dico bh aequari curvae be.” - (fr:2459) [Dico che bh è uguale alla curva be.]
La dimostrazione si basa su presupposti riguardanti le relazioni tra corde e archi: “Praesuppono primo quod quinta et sexta cum portione, quae cadit inter curvam et quartam, quam semper portionem voco, non differant nisi ut pars quintae, quae est chorda, et sexta, quae est chorda residui arcus quadrantis, differunt…” - (fr:2463) [Presuppongo prima che la quinta e la sesta con la porzione, che cade tra la curva e la quarta, che chiamo sempre porzione, non differiscono se non come la parte della quinta, che è corda, e la sesta, che è corda dell’arco residuo del quadrante, differiscono…] Da ciò si deduce che la sesta con la porzione eccede il quadrante come il quadrante eccede la quinta, e che la porzione è come la differenza delle corde: “Ex his infero talem sextam cum portione ita excedere quadrantem, sicut quadrans quintam, et quod portio est ut differentia chordarum, et sexta est ut quinta.” - (fr:2467) [Da ciò inferisco che tale sesta con la porzione eccede il quadrante come il quadrante eccede la quinta, e che la porzione è come la differenza delle corde, e la sesta è come la quinta.]
Ciò conduce a una facile quadratura del cerchio: “Ex his sequitur circuli facilis quadratura.” - (fr:2473) [Da ciò segue una facile quadratura del cerchio.] Viene presentato un metodo alternativo per trovare una retta uguale al quadrante: “Adhuc aliter recta quadranti aequalis hoc modo reperitur.” - (fr:2479) [Inoltre in altro modo si trova una retta uguale al quadrante.]
Le applicazioni includono la riduzione di porzioni di superficie sferica in superfici coniche o cilindriche: “Ex hac iam dicta inventione, si vis, elicias, quomodo omnem portionem superficiei sphaerae poteris reducere in superficiem conicam aut cylindricam…” - (fr:2499) [Da questa invenzione già detta, se vuoi, puoi dedurre come ogni porzione della superficie sferica puoi ridurre in superficie conica o cilindrica…] e la rettificazione di curve: “ex quibus et isto nunc praemisso patet, quomodo omnem curvam, etiam si ignoras eius habitudinem ad totum maiorem circulum, poteris in rectam reducere…” - (fr:2511) [da ciò e da quanto ora premesso è chiaro come ogni curva, anche se ignori il suo rapporto con l’intero cerchio maggiore, puoi ridurre in retta…]
Infine, si propone un metodo per quadrare il cerchio attraverso le lunule, una via tentata invano dagli antichi: “Volo nunc investigare, quomodo per lunulas quadratura circuli investigetur, quam viam veteres frustra attemptarunt.” - (fr:2518) [Voglio ora investigare come attraverso le lunule si investighi la quadratura del cerchio, una via che gli antichi tentarono invano.] Si descrive la costruzione di una linea tra i lati di poligoni inscritti e circoscritti per sezionare le lunule in modo che un triangolo rettilineo sia uguale a una porzione circolare: “Volo signare lineam inter ef et bc, quae sit ik, quae secet lunulam lmn ita, quod sit aequalis portionibus bil et ckn, ut aik triangulus aequetur abmc portioni circuli.” - (fr:2523) [Voglio segnare una linea tra ef e bc, che sia ik, che tagli la lunula lmn in modo che sia uguale alle porzioni bil e ckn, affinché il triangolo aik sia uguale alla porzione di cerchio abmc.] Seguono supposizioni, argomentazioni, un esempio numerico e ulteriori costruzioni per applicare il metodo.
[10]
[10.1-127-2624|2750]
10 Metodi geometrici per la rettificazione del cerchio e la quadratura
Procedure per trasformare archi circolari in segmenti retti e determinare l’area del cerchio tramite costruzioni geometriche e proporzioni.
Viene presentato un metodo generale per trasformare qualsiasi porzione di un poligono in un segmento retto, utilizzando proporzioni tra lati. “Et haec est via universalis in omnibus polygoniis.” - (fr:2631). Da questo principio si ricava l’arte di ridurre a superficie rettilinea qualsiasi porzione di cerchio, anche incommensurabile al tutto, e di convertire in linea retta ogni arco di circonferenza. “Elicias ex hoc te artem habere omnem portionem circuli, quae per sectores a centro abscindi potest, etiam ad totum improportionalem in rectilinealem superficiem reducere posse et omnem portionem circumferentiae etiam improportionalem ad totum medio aequatricis secundum praemissa in lineam rectam convertendi.” - (fr:2633).
Si afferma quindi che la quadratura del cerchio, a lungo ricercata, è ora pienamente spiegata. “Patet nunc circuli quadraturam semper quaesitam hactenus, ut creditur, non inventam sufficienter explicatam.” - (fr:2635). Viene descritta una “facilissima rettificazione del cerchio” che, tramite la costruzione di un cerchio ausiliario con centro su un punto specifico della diametro, permette di ottenere un segmento retto (gh) uguale alla semicirconferenza. “Descripto super a centro circulo… ille de maxima chorda abscindet rectam gh medietati circuli aequalem vel propinquam.” - (fr:2639). La figura delimitata dalle linee che congiungono gli estremi di questo segmento al cerchio risulta quindi uguale o molto prossima all’area del cerchio dato. “Quod si de b et c rectas ad g h traxeris, erit superficies bgch aequalis vel propinqua superficiei circuli bcde” - (fr:2640).
Il procedimento si fonda sull’analisi delle corde di archi specifici (sesta, quarta e terza parte della circonferenza) e sul rapporto tra le loro “potenze” (quadrati). Si stabilisce che la corda di un quarto di circonferenza (ik) ha una potenza pari alla metà della potenza del diametro. “Et quia potentia minimae chordae non est aliqua, patet potentiam diametri aequari duabus potentiis ik sive lateris tetragoni inscripti.” - (fr:2657). Attraverso una serie di passaggi logici e geometrici, si identifica la corda no (arco di un terzo) come il raggio del cerchio ausiliario cercato. “Quarto elicio ex his no esse semidiametrum vel prope quaesiti circuli.” - (fr:2665).
La spiegazione prosegue con la “Dichiarazione della rettificazione della curva” che costituisce il primo metodo del secondo libretto. Qui si affrontano due supposizioni riguardanti l’uguaglianza tra certi segmenti (seste, quinte e porzioni) e la curva. Si dimostra che la seconda supposizione è valida solo quando la differenza tra certe corde è uguale a una porzione specificata. “Dico hanc secundam suppositionem non habere locum nisi ubi differentia est ut portio, et hoc probat prima suppositio.” - (fr:2690).
Infine, nell’opera “De una recti curvique mensura”, l’autore espone la motivazione del suo lavoro: fornire agli studiosi di geometria un metodo pratico per commensurare il curvo e il retto. “Quia vidi practicum magisterium commensurationis curvi et recti deesse geometricis, ideo ipsos imperfectos et plura, quae possibilia fieri vident, ad actum deducere non posse, conatum igitur non parvum adhibui, ut ipsam artem assequerer.” - (fr:2718). Vengono quindi presentate due proposizioni: la prima per assegnare a un arco dato un segmento retto commensurabile, e la seconda, inversa, per assegnare a un segmento retto dato un arco commensurabile di un cerchio dato. “Dato area rectam ei commensurabilem assignare” - (fr:2723); “Datae rectae arcum dati circuli commensurabilem assignare” - (fr:2745).
[11]
[11.1-222-2876|3097]
11 Della quadratura cesarea del cerchio e della perfezione matematica
Trasformare la curva in retta per quadrare il cerchio e cercare la perfezione nella coincidenza degli opposti.
Il testo espone metodi per la quadratura del cerchio, fondati sulla trasformazione della circonferenza in linea retta e viceversa: “Satis est scire modum curvam circumferentiam in rectam lineam transmutandi et converso rectam in curvam, ex quo omnia, quae hactenus in mathematicis ignorabantur, possunt elici” - (fr:2880) [È sufficiente conoscere il modo di trasformare la curva circonferenza in una linea retta e viceversa la retta in curva, da cui tutto ciò che finora era ignoto in matematica può essere ricavato]. Il principio poggia su poligoni isoperimetrici con infiniti lati che coincidono con il cerchio: “quod capacissima polygonia infinitorum laterum coincidit cum circulo” - (fr:2876) [poiché il poligono di massima capacità con infiniti lati coincide con il cerchio].
L’autore, Nicolao, dedica la scoperta all’imperatore Federico, paragonando la riduzione geometrica al potere sovrano di mutare le forme: “Capies etiam exemplo reductionis figurarum, quomodo imperatori adiacet potestas rotundum in angulare et item angulare in rotundum vertere, aliquando legis severitatem in clementiam, aliquando clementiam in rigorem mutare” - (fr:2917) [Comprenderai anche dall’esempio della riduzione delle figure, come all’imperatore appartenga il potere di volgere il rotondo nell’angolare e viceversa l’angolare nel rotondo, talvolta mutando la severità della legge in clemenza, talvolta la clemenza in rigore].
Seguono proposizioni dettagliate che coinvolgono triangoli e cerchi, come la determinazione di un segmento pari alla sesta parte della circonferenza: “erit dx ut sexta pars circumferentiae dati circuli” - (fr:2920) [dx sarà la sesta parte della circonferenza del cerchio dato]. Viene richiamata l’approssimazione di Archimede per il rapporto tra circonferenza e diametro: “diameter triplicata cum 10/71 eius est minus quam circumferentia, uti haec Archimedes et alii ostenderunt” - (fr:2996) [il diametro triplicato con 10/71 di esso è minore della circonferenza, come dimostrarono Archimede e altri].
Nella sezione sulla perfezione matematica, si afferma che essa si ricerca nella coincidenza degli opposti, come tra retto e curvo: “Intentio est ex oppositorum coincidentia mathematicam venari perfectionem” - (fr:3017) [L’intenzione è di cercare la perfezione matematica dalla coincidenza degli opposti]. In particolare, la corda minima coincide con il suo arco: “Coincideret igitur ibi chorda et arcus, si ad minimam quantitatem in talibus deveniretur” - (fr:3027) [Quindi lì corda e arco coinciderebbero, se si arrivasse alla quantità minima in tali casi]. Il testo si chiude con la data e il luogo di stesura: “Finit anno Christi 1457 sexto Augusti in Andracio” - (fr:3008) [Finisce nell’anno di Cristo 1457, il 6 agosto ad Andracio].
[12]
[12.1-50-3156|3205]
12 Metodi per la determinazione delle corde degli archi e la quadratura del cerchio, con applicazioni a superfici curve e sferiche
Relazioni proporzionali tra corde, archi e semidiametri per il calcolo geometrico.
Le relazioni fondamentali tra corde, archi e semidiametri sono stabilite attraverso proporzioni specifiche. Ad esempio, il rapporto tra il semidiametro e il semidiametro meno la freccia è uguale a quello tra la terza parte di un arco e l’eccesso di cui la corda supera i due terzi dell’arco (“Quae est habitudo semidiametri ad semidiametrum minus sagitta, illa est tertiae arcus ad excessum, quo chorda duas tertias arcus sui excedit” - (fr:3156)). Da ciò segue un metodo pratico per determinare la corda di un dato arco, come la metà di un quadrante, partendo dalla corda del quadrante stesso (“Chordam dati arcus partis aliquotae semicirculi assignare” - (fr:3164)).
Una serie di corollari estende queste relazioni. Se tre semidiametri meno la freccia sono tripli della corda, l’arco è uguale al semidiametro (“Si tres semidiametri minus sagitta erunt triplae ad chordam, erit arcus ut semidiameter” - (fr:3169)); se sono doppi, l’arco sta in proporzione sesquialtera col semidiametro (“Si erunt duplae ad chordam, arcus se habebit in proportione sesquialtera ad semidiametrum” - (fr:3170)). Inoltre, tre semidiametri sono il medio proporzionale tra tre semidiametri meno la freccia e il semicerchio (“Tres semidiametri sunt medium proportionale inter tres semidiametros minus sagitta et semicirculum” - (fr:3171)). Si afferma che la scienza delle corde e quella della quadratura del cerchio hanno così raggiunto la perfezione (“Scientia chordarum nunc exstat perfecte adinventa” - (fr:3180); “Scientia quadraturae circuli suum finem sortita existit” - (fr:3181)).
Nuove proposizioni applicano questi principi alle superfici. In un triangolo rettangolo dove un cateto è il semidiametro e l’altro è una tangente al cerchio, il rapporto tra la tangente e l’arco interno è uguale a quello tra la superficie retta e quella curva corrispondenti (“Si ponitur secundum latus orthogonii semidiameter circuli et tertium linea contingens circulum vel e converso, et descriptus fuerit circulus, quae erit habitudo contingentis ad arcum, qui cadit intra orthogonium, illa et rectae atque curvae superficierum” - (fr:3185)). Questo permette di trasformare una superficie composta da un arco e settori in una rettangolare (“Datam superficiem ex arcu et sectoribus constitutam in orthogonium resolvere” - (fr:3190)) e viceversa (“Datam superficiem rectam in portionem circularem resolvere” - (fr:3195)).
Per le superfici sferiche, il rapporto tra la superficie curva di un segmento e quella piana della base è definito dalla linea dallo zenit al centro della base in relazione al semidiametro (“Abscisionum sphaerae habitudo curvae superficiei ad rectam basis est ut linea de cenit ad centrum basis cum semidiametro basis ad ipsam semidiametrum” - (fr:3199)). La superficie curva di una emisfera è doppia rispetto all’area del cerchio base (“Curva superficies medietatis sphaerae est dupla ad rectam circuli basis” - (fr:3201)). È possibile trasformare una superficie sferica curva in una piana e convertire una sfera in un cubo (“Sphaeram in cubum et cubum in sphaeram resolvere” - (fr:3203)). L’autore conclude che questo metodo è la via per scoprire tutto ciò che è conoscibile in matematica (“Et quidquid scibile est humanitus in mathematicis, mea sententia hac via reperietur” - (fr:3205)).
[13]
[13.1-250-3336|3585]
13 Trasformazioni geometriche di linee, superfici e solidi
Costruzioni e metodi per mutare figure in altre equivalenti, con applicazioni a cerchi isoperimetrici, triangoli mistilinei e proporzionalità.
Il testo espone metodi geometrici per trasformare figure. Una prima premessa mostra come, dato un triangolo inscritto, trovare il semidiametro del cerchio isoperimetrico prolungando la linea dal centro al punto di divisione del lato: “se si prolunga la linea tracciata da a a e di un quarto della sua lunghezza, ottenendo così ah, allora questa sarà il semidiametro del cerchio la cui circonferenza è uguale [alla somma dei] tre lati del triangolo” - (fr:3336). Si dimostra che questo punto è unico e che “in tutti i poligoni isoperimetrici la linea tracciata dal centro al punto medio del lato è il semidiametro del cerchio inscritto” - (fr:3359).
Una seconda premessa tratta triangoli con lati curvi, cercando quello in cui una linea tracciata tra i punti medi dei lati curvi abbia un rapporto definito col lato retto. Si descrive la costruzione di un tale triangolo usando quadranti e semicerchi: “ho descritto attorno al centro a il quadrante bc e, col piede fisso del compasso in c, ho descritto il semicerchio ade” - (fr:3388). Si conclude che in questo triangolo “il segmento di questa linea retta, che si trova tra i due archi, si rapporterà alla retta cm, come la parte dell’arco compresa tra b e il punto d’intersezione della linea retta e l’arco si rapporta a tutto il quadrante bc” - (fr:3402).
Una terza premessa spiega come trovare due medi proporzionali tra due linee date usando la proprietà della semicorda in un cerchio: “se due linee date vengono unite per formare il diametro di un cerchio e una corda le taglia ad angolo retto, allora la semicorda è il medio proporzionale tra questi” - (fr:3406). Un metodo pratico impiega uno gnomone.
Si passa poi alle trasformazioni vere e proprie. Per mutare una linea retta in una curva, la si risolve in un poligono e si determina il cerchio isoperimetrico. Viceversa, “una linea curva può essere trasformata in una linea retta solo se la si rapporta a una qualche linea retta trasformata in linea curva” - (fr:3444). Il procedimento generale si basa sull’uso di triangoli simili come stabilito in una quarta premessa: “la linea km si rapporta a gk, che è uguale a ef, come hi, che è uguale a cd, si rapporta a gh, che è uguale ad ab” - (fr:3427).
Per le superfici, si spiega come trasformare un’area circolare in una rettilinea quadrando il cerchio tramite il medio proporzionale tra semidiametro e metà circonferenza: “dal prodotto del semidiametro per la metà della circonferenza risulta l’area di un rettangolo che non sarà né maggiore né minore dell’area del cerchio” - (fr:3475). Anche settori circolari e segmenti possono essere ridotti a figure rettilinee.
Per i solidi, si illustra come ridurre un parallelepipedo a un cubo trovando medi proporzionali, e un cubo a una sfera. “Un parallelepipedo [rettangolo] si riduce in un cubo in questo modo. Si quadra la sua base… tra questo lato [del quadrato] e l’altezza del corpo si costituiscono due linee in proporzione continua” - (fr:3509). Si trattano anche la composizione di più cubi in uno e la trasformazione di sfere in cilindri.
Un’appendice approfondisce la ricerca del triangolo con due lati curvi di curvatura uguale ma concavo e convesso, dimostrando l’esistenza di un triangolo intermedio in cui “la linea condotta dalla metà del lato curvo alla metà dell’altro lato curvo non è né maggiore né minore della metà del lato dritto” - (fr:3563).
[14]
[14.1-77-3979|4055]
14 La quadratura approssimata del cerchio e i limiti dell’isoperimetria
La disputa sull’uguaglianza perfetta tra grandezze circolari e rettilinee, risolta attraverso l’idea di approssimazione entro una parte aliquota infinitesima.
Esiste una posizione ritenuta la più vera: un poligono, pur potendosi avvicinare indefinitamente a un cerchio dato, non potrà mai eguagliarlo perfettamente, poiché le due figure non sono dello stesso genere. “i poligoni non sono grandezze dello stesso genere del cerchio” - (fr:3984). Il cerchio rappresenta il massimo assoluto in rapporto alle ampezze dei poligoni, che “non raggiungono l’ampiezza del cerchio, come i numeri non raggiungono l’ampiezza dell’unità” - (fr:3985).
La disputa nasce da due diverse concezioni di uguaglianza. La prima considera uguali due grandezze quando una non supera l’altra “di nessuna parte aliquota, per piccola che sia” - (fr:3991). In questa accezione, è possibile avere un cerchio uguale al perimetro di un poligono. La seconda concezione, invece, richiede un’uguaglianza assoluta e sostiene che “non si può assegnare una grandezza non circolare perfettamente uguale a una grandezza circolare” - (fr:3993).
La spiegazione procede con una costruzione geometrica basata sul triangolo ABC, inscritto e circoscritto da cerchi. Si cerca il semidiametro (dl) del cerchio isoperimetrico al triangolo, partendo da una linea dk minore di esso di un quarto. Si dimostra che la linea cercata, che deve avere lo stesso rapporto con il perimetro del triangolo che il semidiametro ha con la circonferenza, non può essere tracciata con precisione assoluta perché “il semidiametro non ha alcuna proporzionalità con la circonferenza, né in lunghezza né in potenza” - (fr:4010). Pertanto, “non si può assegnare alcun punto su eb verso cui si possa tracciare una linea che sia esattamente quella che si sta cercando” - (fr:4013). Esiste però un punto che permette di tracciare una linea la cui differenza da quella cercata è minore di qualsiasi parte aliquota assegnabile.
Si distingue tra diversi tipi di non-proporzionalità, come quella tra il lato e la diagonale di un quadrato e quella più radicale tra angolo rettilineo e angolo di incidenza, dove la differenza (l’angolo di contingenza) è “minore di ogni parte aliquota” - (fr:4025). Questo concetto di divisibilità limite porta a comprendere come una linea possa essere maggiore o minore di un’altra “non tuttavia di una qualsiasi parte aliquota o di una parte aliquota maggiore, ma di una parte aliquota minore” - (fr:4036).
Concludendo, sebbene si possano tracciare infinite linee approssimative, “una sarà più precisa dell’altra, ma nessuna sarà in assoluto la più precisa” - (fr:4040). L’intelletto umano, per arrivare alla soluzione, deve usare la linea tracciata dal punto d al punto medio tra e e b, poiché è l’unica per cui, prolungata di un quarto, conduce alla linea cercata. Questo metodo, sebbene non sia una pura congettura, opera “nei limiti della differenza, … per la più piccola parte aliquota” - (fr:4055).
[15]
[15.1-96-4058|4153]
15 Dalla precisione geometrica alla conoscenza teologica per analogia
La ricerca della massima precisione nelle matematiche rivela i limiti della conoscenza umana e conduce, per assimilazione, alla contemplazione dei misteri divini.
Nelle matematiche, ogni proposizione che mira a stabilire un’uguaglianza precisa tra cerchio e quadrato è impossibile, e ogni proposizione dal cui contrario si inferisce tale precisione è necessaria. “Nelle matematiche ogni proposizione attraverso cui si consegue l’uguaglianza precisa tra cerchio e quadrato è impossibile, e ogni proposizione, dal cui contrario si inferisce tale precisione, è necessaria.” - (fr:4065). Questo dimostra che il difetto della massima precisione non è emendabile attraverso i sensi, rimanendo inaccessibile alla mente umana. “Perciò, questo difetto non è emendabile, poiché può essere colto solamente da un intelletto superiore e in nessun caso attraverso l’esperienza dei sensi.” - (fr:4073). Tuttavia, le dottrine matematiche, che considerano le figure prive di materia mutevole, offrono una via per elevarsi alla teologia per assimilazione. “Le dottrine matematiche, infatti, trattano di ciò che viene colto con le vere forze della mente, in quanto considerano le figure nella loro verità, prive della materia mutevole” - (fr:4081).
Il cerchio, figura perfetta senza inizio né fine, diventa così simbolo dell’eternità divina e della Trinità. “Dunque, come il cerchio è la figura geometrica perfetta, che complica in sé tutte le perfezioni delle figure… così l’eternità assoluta è la forma di tutte le forme, che complica in sé ogni perfezione” - (fr:4086). Nell’unità dell’eternità si intuisce il Padre, nella sua uguaglianza il Figlio, e nel nesso d’amore lo Spirito. “Per il fatto che intuiamo in questa stessa essenza la potenza dell’eternità… intuiamo l’uguaglianza dell’unità eterna, cioè il Figlio del Padre. Per il fatto che intuiamo il nesso pieno d’amore dell’unità eterna e della sua uguaglianza, intuiamo lo Spirito.” - (fr:4092, 4093).
Il rapporto tra le specie finite e Dio è analogo a quello tra i poligoni e il cerchio. Ogni poligono (o creatura) esiste entro i limiti della sua specie e cerca, secondo la propria natura, di misurare la perfezione infinita. “Il rapporto fra le specie sensibili e la forma delle forme è dunque lo stesso che intercorre fra i poligoni e il cerchio.” - (fr:4113). Ogni creatura tenta di definire Dio nei limiti della propria natura, come un triangolo tenterebbe di “triangolarlo”. “Ogni creatura, infatti, si sforza di definire il proprio Dio nei limiti della propria natura. Come un triangolo vorrebbe [per così dire] «triangolare» un cerchio, un quadrato «quadrarlo», e così via” - (fr:4132, 4133). Tuttavia, tra il finito e l’infinito non c’è proporzionalità, e Dio resta una precisione sconosciuta che eccede ogni misura.
La quiete per ogni natura (o intelletto) consiste quindi nel raggiungere Dio nella misura consentita dalla propria specie, accontentandosi di questa sufficiente comprensione. “Tuttavia, a ogni natura è sufficiente raggiungere Dio nella sua specie e nel modo in cui può. Così, infatti, essa [ogni natura] è in quiete” - (fr:4137, 4138). Questa è la lezione che si trae dall’indagine geometrica sulla quadratura del cerchio, applicata per assimilazione alla ricerca teologica.
[16]
[16.1-90-4362|4451]
16 Relazioni tra poligoni isoperimetrici e il cerchio
Tra tutte le figure isoperimetriche ed equiangole, il cerchio possiede la massima superficie, mentre il triangolo ha la minima. “il cerchio è, fra tutte le figure, quella con la massima superficie, poiché qui [i semidiametri] coincidono, e il triangolo è la figura con la minima superficie, poiché qui [i semidiametri] differiscono al massimo” - (fr:4384). Le differenze tra i semidiametri dei cerchi inscritti e circoscritti ai poligoni sono inversamente proporzionali alle differenze delle loro superfici: “In tutti i poligoni, dunque, l’eccesso e la differenza si rapporteranno tra di loro in maniera inversa nella stessa proporzione” - (fr:4367). Attraverso una costruzione geometrica che utilizza triangoli, quadrati e le loro circonferenze inscritte e circoscritte, è possibile determinare il semidiametro del cerchio isoperimetrico: “Diciamo che rq è il semidiametro del cerchio cercato, la cui circonferenza è uguale alla linea retta ab” - (fr:4378). Da questa relazione fondamentale si può quindi ricavare la conoscenza delle corde e degli archi, portando a compimento l’arte geometrica. “È la massima perfezione dell’arte geometrica, alla quale finora non ci risulta che gli antichi siano pervenuti” - (fr:4447). Questo metodo conduce infine alla quadratura del cerchio: “L’arte delle trasformazioni geometriche è ora compiuta… dato che ha portato alla quadratura del cerchio” - (fr:4448).
[17]
[17.1-204-4602|4805]
17 Dimostrazione geometrica della quadratura del cerchio
Relazioni tra poligoni isoperimetrici, cerchio e metodi per eguagliare aree e perimetri.
Tra tutti i poligoni isoperimetrici, il cerchio ha l’ampiezza massima, mentre il triangolo ha quella minima. “L’ampiezza del cerchio supera quella di tutti i poligoni isoperimetrici” - (fr:4680). Di conseguenza, “L’ampiezza del triangolo isoperimetrico è l’ampiezza minima” - (fr:4685). Dato un poligono, si può ottenere il semidiametro del cerchio isoperimetrico, la cui circonferenza è uguale al perimetro del poligono. “Da ciò, dati l’eccesso della prima di un qualsiasi [poligono] sulla prima del triangolo… si può facilmente ottenere il semidiametro del cerchio isoperimetrico” - (fr:4608).
Compresa questa relazione, la quadratura del cerchio diventa evidente. “Compreso ciò, la quadratura del cerchio risulta evidente” - (fr:4610). L’area del cerchio è uguale al rettangolo formato dal suo semidiametro e dalla sua semicirconferenza. “[L’area del] rettangolo che si ottiene moltiplicando il semidiametro per la semicirconferenza del cerchio non è né maggiore né minore dell’area del cerchio” - (fr:4672). Trasformando questo rettangolo in un quadrato, se ne trova il lato, risolvendo il problema. “Si trasforma il rettangolo in quadrato, il cui lato sarà il medio proporzionale tra il semidiametro del cerchio e la semicirconferenza” - (fr:4612).
Il testo procede quindi con varie proposizioni che dimostrano le proprietà comparative dei perimetri e delle aree dei poligoni circoscritti e inscritti rispetto al cerchio, e infine fornisce metodi pratici. Viene descritto come trovare una linea curva uguale a una retta data e viceversa, e come trovare un quadrato uguale a un cerchio dato (e il procedimento inverso) mediante costruzioni geometriche e l’uso di angoli strumentali. “Trovare una [linea] curva circolare uguale a una [linea] retta data” - (fr:4776). “Trovare un quadrato uguale a un cerchio dato” - (fr:4790).
[18]
[18.1-198-4832|5029]
18 Rappresentazione geometrica del moto di linee e generazione di superfici
Dall’analisi del moto di una linea retta si deducono i rapporti tra le superfici da essa generate e si giunge alla quadratura del cerchio.
Il movimento di un punto genera una linea, e il movimento di una linea genera una superficie. “Considero la linea come la figura del movimento di un punto” - (fr:4842). Se una linea retta si muove tenendo fissa un’estremità, il suo moto è rappresentato da un triangolo rettangolo; se entrambe le estremità si muovono ugualmente, il moto è rappresentato da un rettangolo. Da questa rappresentazione consegue che la superficie generata dalla rotazione di una linea con un punto fisso è circolare, e il rapporto tra le circonferenze descritte da diversi punti della linea è uguale al rapporto dei loro movimenti. “le linee di contorno sono, infatti, le misure dei movimenti dei punti” - (fr:4856). Ne deriva che il rapporto tra le superfici dei cerchi è uguale al rapporto dei quadrati dei semidiametri e che la superficie del cerchio è uguale al prodotto del semidiametro per la semicirconferenza. “da molti è stato detto giustamente che tale prodotto, cioè, la moltiplicazione del semidiametro per la linea uguale alla semicirconferenza, genera una superficie uguale a [quella] del cerchio” - (fr:4891).
Questi principi si applicano alle superfici coniche e cilindriche: se un cono e un cilindro hanno la stessa base e il lato del cono è uguale all’altezza del cilindro, la superficie del cilindro è il doppio di quella del cono. “la superficie del cilindro è sempre doppia rispetto a quella del cono” - (fr:4931). Estendendo l’analisi a moti composti e diversi, si generano varie curvature, come sezioni coniche o cilindriche. Il procedimento consente infine di trasformare una linea curva in una retta e di giungere alla quadratura del cerchio. “Da quanto detto segue facilmente la quadratura del cerchio” - (fr:5006). La costruzione geometrica mostra che è possibile trovare una linea retta uguale a un quadrante di circonferenza e, tramite proporzionalità, determinare il lato del quadrato di area equivalente al cerchio dato.
[19]
[19.1-74-5032|5105]
19 Riduzione di superfici sferiche e quadratura del cerchio mediante lunule
A partire da una scoperta che permette di trasformare una porzione di superficie sferica in una conica o cilindrica, “Dalla suddetta scoperta, se vuoi, [potrai] ricavare come ridurre ogni porzione di superficie sferica in una superficie conica o in una cilindrica” - (fr:5033), si stabilisce l’uguaglianza tra queste superfici generate. “La superficie cilindrica generata da hs sarà uguale alla superficie sferica generata dall’arco hc, alla superficie conica generata da hq e alle intermedie” - (fr:5041). Questo conduce alla possibilità di rettificare qualsiasi curva, un’operazione considerata più raffinata della quadratura del cerchio. “da quanto appena premesso è chiaro come potrai ridurre ogni curva in linea retta, anche se non conosci il rapporto di questa con l’intero cerchio maggiore; e quest’arte sottile è superiore alla quadratura del cerchio” - (fr:5044).
Si espone poi un metodo per la quadratura del cerchio utilizzando le lunule. “Adesso voglio capire come si giunge alla quadratura del cerchio attraverso le lunule, strada che gli antichi hanno percorso invano” - (fr:5051). L’obiettivo è determinare una linea intermedia che, tagliando una lunula, formi un triangolo di area equivalente a una data porzione di cerchio. “Voglio determinare una linea ik, compresa tra ef e bc, che tagli la lunula LMN, in modo che essa sia uguale alle porzioni BIL e CKN e il triangolo AIK sia uguale alla porzione di cerchio ABMC” - (fr:5055). Il procedimento si basa su una serie di supposizioni riguardanti le relazioni tra le linee inscritte, circoscritte e intermedie, e include un esempio numerico. La costruzione geometrica prevede di “Traccia da a verso b e c [due] linee di lunghezza indefinita, e traccia la corda bc. Il lato [del quadrato] circoscritto eof che tange l’arco in o; traccia il semidiametro ao, poi segna la seconda linea gh uguale all’arco e laddove essa taglia ao si ponga i. Poi, si tracci la terza linea kl , e dove essa taglia ao, si ponga m.” - (fr:5085). Vengono infine suggeriti metodi pratici per questa operazione e un accenno ad altre vie per trasformare il cerchio in un poligono.
[20]
[20.1-67-5139|5205]
20 Costruzione dei poligoni equivalenti al cerchio e rettificazione della circonferenza
Determinazione dei lati dei poligoni di area uguale al cerchio e metodo per rettificare la circonferenza.
Viene illustrato un procedimento per trovare tutti i lati dei poligoni uguali a un cerchio dato, utilizzando i semilati dei poligoni circoscritti e le linee inscritte di complemento. “Ora, per ultimo, illustrerò come trovare nello stesso tempo tutti i lati che vuoi dei poligoni uguali al cerchio.” - (fr:5142) “Questa è la proposizione: siano dati il semidiametro del cerchio, i semilati dei poligoni circoscritti e le linee inscritte di complemento.” - (fr:5143) La costruzione permette di ottenere il semilato del poligono equivalente sommando opportunamente parti di queste linee. “Da ciò capisci che possiedi un’arte che ti consente di ridurre in una superficie rettilinea qualsiasi porzione di cerchio ricavabile attraverso i raggi dal centro” - (fr:5176)
Si passa poi a una facilità rettificazione del cerchio. Descrivendo un cerchio con centro su un punto del diametro, si ottiene una corda retta uguale al semicerchio. “Se attorno a un punto di ac, per esempio f, che dista da b una lunghezza pari alla corda dell’arco di un terzo del cerchio, descriverai un cerchio il cui semidiametro è fb, questo cerchio taglierà sulla corda maggiore la [linea] retta gh, uguale, o quasi, alla metà del cerchio.” - (fr:5187) Il cerchio massimo che realizza questo ha il semidiametro da determinare. “Questo cerchio deve tagliare sulla corda massima una [linea] retta uguale al semicerchio, e questo semidiametro massimo è ciò che si cerca.” - (fr:5196) Segue una discussione sulle corde in proporzione e sulla relazione tra i quadrati delle corde minori, medie e maggiori.
[21]
[21.1-57-5639|5695]
21 Metodo per rettificare archi circolari e quadrare il semicerchio
Costruzione geometrica per determinare segmenti rettilinei di lunghezza uguale ad archi di cerchio e aree piane equivalenti a superfici curve.
Dato un arco di cerchio, si costruisce un segmento retto della stessa lunghezza. Sia bc l’arco dato e a il suo centro. Si traccia la corda bc e su di essa si fissa il punto d, equidistante da a e da b. Da d si conduce una retta attraverso b fino a e in modo che, tracciata da a la corda ag uguale alla metà di de, questa passi per un punto f su de, dove df è un quarto di de. “La linea retta de ha appunto la stessa misura dell’arco bc” - (fr:5645). La dimostrazione procede per assurdo, escludendo che de possa essere minore o maggiore dell’arco: “Se dici che questo si verifica quando de è minore della retta avente la stessa misura [dell’arco], ciò è impossibile” - (fr:5657).
Viceversa, data una retta de, si può trovare in un cerchio un arco bc a essa uguale. Indicata con df la quarta parte di de e tracciata la corda ag pari a metà di de, si avvicina de parallelamente al diametro finché f cade su ag. Se d è equidistante da b e dal centro a, allora ba è metà dell’arco cercato. “Allora, se d è equidistante da b e da a, ba sarà la metà dell’arco cercato” - (fr:5666).
Per un semicerchio, la costruzione permette anche di determinare un triangolo rettangolo di area equivalente. Dato l’arco bc di una semicirconferenza, si trova il punto d (che in questo caso coincide col centro) e si prolunga db fino a e rispettando le stesse condizioni. Chiuso il triangolo rettangolo ADE, si ottiene che il segmento de è uguale all’arco bc e l’area del triangolo è uguale a quella del semicerchio: “Dico che l’area del triangolo rettangolo ADE ha la stessa misura dell’area del semicerchio e che de ha la stessa misura dell’arco bc” - (fr:5692).
[22]
[22.1-48-5914|5961]
22 Relazioni geometriche per la quadratura del cerchio
Ipotesi e dimostrazioni su linee in un cerchio e un triangolo isoperimetrico, culminanti in una riflessione sul problema della quadratura.
Vengono poste una serie di ipotesi sulle relazioni tra segmenti (ad, dx, af) in una figura circolare, dove “se la perpendicolare da d, per esempio dx, è un sesto della circonferenza del cerchio dato, allora la linea ax sarà il doppio di ad” - (fr:5914). Si suppone poi che, in una certa posizione, tre linee specificate siano uguali a dx. La dimostrazione procede per assurdo: se qualcuno negasse questa uguaglianza, “allora dovrebbe negare che la seconda è la metà di ad” - (fr:5933), cadendo in contraddizione con le ipotesi stabilite. Ne consegue che “ad è il semidiametro del cerchio inscritto al triangolo isoperimetrico” - (fr:5938).
Il discorso si collega infine al classico problema della quadratura del cerchio. L’autore osserva che “chi nega la quadratura del cerchio, al fine di non affermare che ciò che è curvo e ciò che è rettilineo coincidono, afferma, attraverso la sua negazione, che due contraddizioni coincidono” - (fr:5958). Conclude sostenendo che, tramite l’accettazione o il rifiuto di questa quadratura, “possono essere provate come vere tutte le proposizioni matematiche” - (fr:5960).
[23]
[23.1-21-6055|6075]
23 Dimostrazione geometrica su rapporti in triangoli rettangoli e archi
La relazione tra le linee di un triangolo rettangolo e l’uguaglianza con il rapporto tra semicorda e semiarco, con l’aggiunta del diametro.
Esiste la possibilità che il rapporto tra determinate somme di linee in un triangolo rettangolo sia uguale a quello tra la semicorda e il semiarco, come affermato: “È possibile che il rapporto tra la linea uguale alla somma fra la terza [linea] e due volte la prima linea del triangolo rettangolo e la linea risultante dalla somma fra la prima [linea] e quattro volte la seconda [linea] sia in qualche caso uguale a quello tra la semicorda e il semiarco” - (fr:6056). La dimostrazione procede per casi: esiste un caso in cui il rapporto è minore, uno in cui è maggiore, e quindi per necessità uno in cui non è né maggiore né minore (fr:6058, fr:6059). Perché questo accada, la linea aggiunta alla terza deve essere la stessa di quella aggiunta alla prima. Poiché quella aggiunta alla terza è due volte la prima, ne consegue che “quella aggiunta alla prima sarà due volte la prima, e ciò accadrà dove la seconda è la metà della prima, vale a dire la semicorda dell’arco dell’esagono” - (fr:6062). Questo richiede l’aggiunta del diametro (fr:6063).
Lo stesso risultato si può verificare con altri ragionamenti simili, stabilendo che “la linea aggiunta ad ac e ab è il diametro, ossia il doppio di ac” - (fr:6068). Per confermare visivamente la proposizione, si considera una costruzione con un doppio triangolo rettangolo e un arco: prolungando le linee e tracciando una corda parallela, si dimostra una relazione tra l’arco, la corda e la freccia (fr:6072, fr:6074).
[24]
[24.1-103-6103|6205]
24 Corollari geometrici sulla quadratura del cerchio e relazioni tra archi e corde
Il testo deriva da una proposizione fondamentale una serie di corollari che stabiliscono rapporti precisi tra archi, corde e semidiametri di un cerchio. Vengono esposti metodi per trasformare un arco in una linea retta e viceversa, come nel Corollario 18: “Risolvere un dato arco in una retta” - (fr:6124) e nel Corollario 19: “Risolvere una data retta in un arco” - (fr:6137). Sono dimostrate proporzioni chiave, ad esempio che “Il rapporto fra tre semidiametri e tre semidiametri meno la freccia della corda di un quadrante o di un [arco] minore è uguale a quello fra un arco qualsiasi e la sua corda” - (fr:6117). L’autore afferma che questo procedimento svela cose nascoste e permette di misurare grandezze incommensurabili: “Molte cose nascoste si sono qui svelate” - (fr:6108) e “mediante questo procedimento, saprai come misurare grandezze diverse, che sembrano incommensurabili” - (fr:6109). La trattazione si dichiara esaustiva riguardo alle corde e conclusiva per la quadratura del cerchio: “La dottrina sulle corde è ora esaurientemente trattata” - (fr:6178) e “La dottrina della quadratura del cerchio è giunta ormai al suo fine” - (fr:6179). I principi sono infine estesi alla risoluzione di superfici curve, come porzioni di sfera, in superfici piane e viceversa.
[25]
[25.1-29-6325|6353]
25 La filosofia della matematica come via alla conoscenza teologica
Dalle dimostrazioni matematiche alla visione intellettuale come accesso all’essere.
La quadratura del cerchio è risolta geometricamente: un triangolo rettangolo con un lato uguale al raggio e l’altro alla circonferenza ha un’area pari alla somma della circonferenza e dell’area del cerchio. “È dunque chiaro che il triangolo rettangolo, di cui un lato è ‹uguale› al semidiametro del cerchio e l’altro […] è uguale alla circonferenza più il cerchio” - (fr:6325). Questo permette di trasformare una superficie curva in una rettilinea “in un’altra figura” - (fr:6327).
Questi esempi matematici servono a mostrare come la conoscenza derivi da una visione intellettuale che coglie la coincidenza degli opposti, come nel triangolo minimo dove “si vede coincidere l’arco, la corda e la tangente” - (fr:6329). Tale visione è la luce della ragione, senza la quale “ogni discorso è incerto” - (fr:6333), ed è l’unico mezzo infallibile per giudicare “la vera via” - (fr:6335). Questo percorso intellettuale, partendo dalla matematica, si volge alla teologia, verso “la coincidenza assoluta del minimo e del massimo” - (fr:6330). Come chi, vedendo la definizione euclidea del punto, “in modo complicato, attraverso la visione intellettuale perfetta, tutto ciò che egli scrisse di geometria” - (fr:6340), così la visione del Verbo divino permette di accedere alla sapienza creatrice. “Questa visione è la transizione alla sapienza, che è Dio” - (fr:6341).
Il passaggio conclusivo, che paragona la creazione divina al matematico che forma e rappresenta un concetto “per mostrare la gloria o la chiarezza del suo intelletto” - (fr:6345), non compare nella versione definitiva del testo, che appare “molto meno empirica, più «teorica»” - (fr:6328). L’insieme delle riflessioni presenta l’idea che “le dimostrazioni matematiche sarebbero esemplari per la conoscenza di tutte le cose; la visione intellettuale in matematica permetterebbe di spiegare la complicazione e sarebbe dunque una via d’accesso all’essere delle cose” - (fr:6349).
[26]
[26.1-70-6690|6759]
26 Bibliografia: studi su Cusano, matematica e filosofia rinascimentale
Una selezione di riferimenti bibliografici da opere del XX e XXI secolo, con alcune fonti primarie.
Il blocco elenca una serie di voci bibliografiche. La raccolta include opere di storia della matematica e della scienza, come i volumi di Moritz Cantor “Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik” - (fr:6691) e di Marshall Clagett su Archimede e la meccanica medievale “Archimedes in the Middle Age” - (fr:6732) e “The Science of Mechanics in the Middle Ages” - (fr:6740). Una parte significativa riguarda studi filosofici, in particolare su Nicola Cusano, con opere di Ernst Cassirer come “Individuum und Kosmos in der Philosophie der Renaissance” - (fr:6715) e contributi specifici quali “Mathématiques et théologie : l’infini chez Nicolas de Cues” di Jean Celeyrette - (fr:6721) e “Mathématiques et dialectique chez Nicolas de Cues” di Jean-Michel Counet - (fr:6757). Sono presenti anche edizioni di fonti primarie, come l’“Encomium geometriae” di Gerolamo Cardano - (fr:6696).
[27]
[27.1-44-7846|7889]
Riferimenti bibliografici su Nikolaus von Kues e temi correlati
Studi bibliografici su filosofia, matematica e fonti cusaniane
Le opere citate includono studi di Michael Stadler sulla filosofia e sulla dottrina della conoscenza di Cusano, come “Rekonstruktion einer Philosophie der Ungegenst ändlichkeit. Zur Struktur des Cusanischen Denkens” - (fr:7847) [Ricostruzione di una filosofia della non-contraddittorietà. Sulla struttura del pensiero cusaniano] e un saggio sul concetto di misura (“Zum Begriff der mensuratio bei Cusanus. Ein Beitrag zur Ortung der cusanischen Erkenntnislehre” - (fr:7854) [Sul concetto di mensuratio in Cusano. Un contributo al posizionamento della dottrina della conoscenza cusaniana]). Seguono i contributi di Josef Stallmach, che esamina la teoria della conoscenza cusaniana tra realismo e idealismo (“Die Cusanische Erkenntnisauffassung zwischen Realismus und Idealismus” - (fr:7863)) e ne sintetizza i fondamenti filosofici (“Ineinsfall der Gegens ätze und Weisheit des Nichtwissens. Grundzüge der Philosophie des Nikolaus von Kues” - (fr:7866) [Coincidenza degli opposti e sapienza dell’ignoranza. Lineamenti fondamentali della filosofia di Nicola Cusano]). Sono presenti riferimenti a ricerche su fonti e biblioteche, come lo studio di Hans-Walter Stork sulla biblioteca di Cusano a Bernkastel-Kues (“Bibliothek und Bücher des Nikolaus von Kues im St. Nikolaus-Hospital zu Bernkastel-Kues” - (fr:7881)) e quello di Nikolaus Stuloff sulla tradizione matematica bizantina e la sua ricezione in Cusano (“Mathematische Tradition in Byzanz und ihr Fortleben bei Nikolaus von Kues” - (fr:7888)). Completano l’elenco opere di altri autori su argomenti correlati, come un trattato matematico di Michael Stifel (“Arithmetica integra, appendix libri secundi, de quadratura circuli” - (fr:7874)) e uno studio storico di Charles L. Stinger su umanesimo e patristica (“Humanism and the Church of Fathers. Ambrogio Traversari (1386–1439) and Christian Antiquity in the Italian Renaissance” - (fr:7877) [Umanesimo e la Chiesa dei Padri. Ambrogio Traversari (1386–1439) e l’antichità cristiana nel Rinascimento italiano]).
[28]
[28.1-29-8006|8034]
Riferimenti bibliografici su Nicola Cusano e la matematica > Opere che spaziano da edizioni di testi a studi sul pensiero matematico cusaniano.
Il blocco presenta un elenco di pubblicazioni accademiche relative a Nicola Cusano (Nikolaus von Kues) e ai temi matematici. Si inizia con un’opera curata da Gerald Christianson e Thomas M. Izbicki (“A cura di Gerald Christianson e Thomas M. Izbicki.” - (fr:8006)). Seguono contributi come lo studio di Hermann Weissenborn (1882) “Die Übersetzungen des Euklid durch Campano und Zamberti.” - (fr:8009) [Le traduzioni di Euclide di Campano e Zamberti], l’edizione di Johannes Wenck “De ignota litteratura.” - (fr:8012) [Sulla letteratura sconosciuta] contro Cusano, curata da Edmond Vansteenberghe, e studi quali “Meine Einblicke in das mathematische Denken des Nikolaus von Kues, insbesondere das mathematisch Unendliche.” - (fr:8018) [Le mie visioni sul pensiero matematico di Nicola Cusano, in particolare l’infinito matematico] di Bärbel Werland, “Nicolaus of Cusa’s ‘On the Quadrature of the Circle’.” - (fr:8024) [Il ‘Sulla quadratura del cerchio’ di Nicola Cusano] di William F. Wertz, e “Die Bedeutung geometrischer Symbole für das Denken des Nicolaus Cusanus.” - (fr:8031) [Il significato dei simboli geometrici per il pensiero di Nicola Cusano] di Kazuhiko Yamaki. Completano la lista un catalogo di manoscritti latini di Elisabeth Wunderle (“Katalog der lateinischen Handschriften der Bayerischen Staatsbibliothek München.” - (fr:8027) [Catalogo dei manoscritti latini della Biblioteca di Stato Bavarese di Monaco]).
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