Newton - Principia - 1686 | L

15 Feb, 2026

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[1.1-254-4|257]

1 Prefazione e definizioni dei Principia Mathematica di Newton

Prefazione all’opera e spiegazione delle definizioni fondamentali della meccanica.

Questo trattato si propone di coltivare la matematica in quanto strumento per la filosofia naturale, abbandonando le forme sostanziali e le qualità occulte per ricondurre i fenomeni alla legge matematica. La geometria stessa è fondata sulla pratica meccanica, essendo quella parte della meccanica universale che propone e dimostra l’arte del misurare con accuratezza. La meccanica razionale viene definita come la scienza dei moti risultanti da forze qualsiasi e delle forze richieste per qualsiasi moto, proposta e dimostrata con precisione.

“Cum Veteres Mechanicam… Phænomena Naturæ ad leges Mathematicas revocare aggressi sint: Visum est in hoc Tractatu Mathesin excolere quatenus ea ad Philosophiam spectat.” - (fr:22) [Poiché gli Antichi tennero in gran conto la Meccanica nella vera indagine delle cose naturali, e i moderni, messe da parte le forme sostanziali e le qualità occulte, si sono impegnati a ricondurre i Fenomeni della Natura a leggi Matematiche: è sembrato opportuno in questo Trattato coltivare la Matematica in quanto essa riguarda la Filosofia.]

“Fundatur igitur Geometria in praxi Mechanica, & nihil aliud est quam Mechanicæ universalis pars illa quæ artem mensurandi accurate proponit ac demonstrat.” - (fr:34) [La Geometria dunque è fondata sulla pratica Meccanica, e non è altro che quella parte della Meccanica universale che propone e dimostra con accuratezza l’arte del misurare.]

“Mechanica rationalis erit Scientia Motuum qui ex viribus quibuscunq; resultant, & virium quæ ad motus quoscunq; requiruntur, accurate proposita ac demonstrata.” - (fr:36) [La Meccanica razionale sarà la Scienza dei Moti che risultano da forze qualsiasi, e delle forze che sono richieste per moti qualsiasi, proposta e dimostrata con accuratezza.]

L’autore dichiara di occuparsi non delle arti manuali, ma delle forze naturali come la gravità, la levità, la forza elastica e la resistenza dei fluidi, proponendo questi come principi matematici della filosofia. La difficoltà della filosofia consiste nell’indagare dalle forze della natura i fenomeni del moto e poi da queste forze dimostrare i rimanenti fenomeni. Il terzo libro dell’opera offre un esempio di questo metodo spiegando il sistema del mondo.

“Nos autem non Artibus sed Philosophiæ consulentes, deq; potentiis non manualibus sed naturalibus scribentes, ea maxime tractamus quæ ad Gravitatem, levitatem, vim Elasticam, resistentiam Fluidorum & ejusmodi vires seu attractivas seu impulsivas spectant” - (fr:38) [Noi però, consigliando non le Arti ma la Filosofia, e scrivendo di forze non manuali ma naturali, trattiamo soprattutto quelle cose che riguardano la Gravità, la levità, la forza Elastica, la resistenza dei Fluidi e simili forze sia attrattive che impulsive.]

“Omnis enim Philosophiæ difficultas in eo versari videtur, ut a Phænomenis motuum investigemus vires Naturæ, deinde ab his viribus demonstremus phænomena reliqua.” - (fr:39) [Tutta la difficoltà della Filosofia infatti sembra consistere in questo, che dai Fenomeni dei moti investighiamo le forze della Natura, poi da queste forze dimostriamo i fenomeni restanti.]

Seguono le definizioni delle quantità fondamentali: 1. Quantità di materia (massa): misura derivata dalla sua densità e grandezza congiuntamente. È proporzionale al peso. “Quantitas Materiæ est mensura ejusdem orta ex illius Densitate & Magnitudine conjunctim.” - (fr:72) [La Quantità di Materia è la misura della stessa originata dalla sua Densità e Grandezza congiuntamente.] 2. Quantità di moto: misura derivata dalla velocità e dalla quantità di materia congiuntamente. “Quantitas motus est mensura ejusdem orta ex Velocitate et quantitate Materiæ conjunctim.” - (fr:82) [La Quantità di moto è la misura dello stesso originata dalla Velocità e dalla quantità di Materia congiuntamente.] 3. Forza insita (inerzia): potere di resistere per cui ogni corpo, per quanto sta in sé, persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. “Materiæ vis insita est potentia resistendi, qua corpus unumquodq;, quantum in se est, perseverat in statu suo vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum.” - (fr:86) [La forza insita della Materia è la potenza di resistere, per la quale ogni corpo, per quanto sta in sé, persevera nel suo stato o di quiete o di moto uniforme in linea retta.] 4. Forza impressa: azione esercitata su un corpo per mutarne lo stato. “Vis impressa est actio in corpus exercita, ad mutandum ejus statum vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum.” - (fr:94) [La forza impressa è l’azione esercitata su un corpo, per mutare il suo stato o di quiete o di moto uniforme in linea retta.] 5. Forza centripeta: forza per cui un corpo è attratto, spinto o tende in qualche modo verso un punto come centro (es. gravità, forza magnetica). “Vis centripeta est qua corpus versus punctum aliquod tanquam ad centrum trahitur, impellitur, vel utcunq; tendit.” - (fr:99) [La forza centripeta è quella per cui un corpo verso un qualche punto come verso un centro è attratto, spinto, o in qualche modo tende.]

Viene inoltre distinto tra la quantità assoluta, acceleratrice e motrice della forza centripeta. L’autore precisa di considerare queste forze non fisicamente ma solo matematicamente, usando termini come “attrazione” e “impulso” in modo indifferente.

“Voces autem attractionis, impulsus vel propensionis cujuscunq; in centrum, indifferenter et pro se mutuo promiscue usurpo, has vires non physice sed Mathematice tantum considerando.” - (fr:124) [Uso poi indifferentemente e promiscuamente le voci di attrazione, impulso o propensione qualsiasi verso un centro, considerando queste forze non fisicamente ma solo Matematicamente.]

Un ampio Scholium chiarisce i concetti di tempo, spazio, luogo e moto, distinguendo tra le loro versioni assolute (vere, matematiche) e relative (apparenti, volgari). Il tempo assoluto scorre uniformemente senza relazione ad alcunché di esterno. Lo spazio assoluto rimane per natura sempre simile e immobile. Il moto assoluto è la traslazione da un luogo assoluto a un altro. I moti veri si distinguono da quelli relativi per le loro proprietà, cause ed effetti, come le forze di recedere dall’asse del moto circolare.

“Tempus absolutum verum & Mathematicum, in se & natura sua absq; relatione ad externum quodvis, æquabiliter fluit” - (fr:131) [Il Tempo assoluto vero e Matematico, in sé e per sua natura senza relazione a alcunché di esterno, scorre uniformemente.]

“Spatium absolutum natura sua absq; relatione ad externum quodvis semper manet similare & immobile” - (fr:133) [Lo Spazio assoluto per sua natura senza relazione a alcunché di esterno rimane sempre simile e immobile.]

“Motum absolutum est translatio corporis de loco absoluto in locum absolutum” - (fr:142) [Il Moto assoluto è la traslazione del corpo da un luogo assoluto a un luogo assoluto.]

“Effectus quibus motus absoluti et relativi distinguuntur ab invicem, sunt vires recedendi ab axe motus circularis.” - (fr:184) [Gli effetti per cui i moti assoluti e relativi si distinguono tra loro, sono le forze di recedere dall’asse del moto circolare.]

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[2.1-63-265|327]

2 Principi del moto e centro di gravità

Il centro di gravità comune di un sistema di corpi, in assenza di forze esterne, o è in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme, e i moti relativi dei corpi interni non ne alterano lo stato.

Il centro di gravità comune di tutti i corpi che agiscono tra loro, esclusi gli impedimenti esterni, o è in quiete o si muove uniformemente in linea retta. “Commune gravitatis centrum … vel quiescit vel movetur uniformiter in directum” - (fr:267) [Il centro di gravità comune … o è in quiete o si muove uniformemente in linea retta.] Questo principio, che vale per un sistema di due o più corpi, è lo stesso che per un corpo solitario. “Est igitur systematis corporum plurium Lex eadem quæ corporis solitarii, quoad perseverantiam in statu motus vel quietis” - (fr:277) [È dunque la stessa Legge per un sistema di più corpi e per un corpo solitario, per quanto riguarda la perseveranza nello stato di moto o di quiete.] I moti dei corpi all’interno di uno spazio dato sono gli stessi, sia che quello spazio sia in quiete, sia che si muova uniformemente in linea retta. “Corporum dato spacio inclusorum ijdem sunt motus inter se, sive spatium illud quiescat, sive moveatur idem uniformiter in directum” - (fr:280) [I corpi racchiusi in un dato spazio hanno gli stessi moti tra loro, sia che quello spazio sia in quiete, sia che si muova uniformemente in linea retta.]

Dalle prime due leggi e dai loro corollari, Galileo ricavò la legge della caduta dei gravi e la traiettoria parabolica dei proiettili. “Per leges duas primas & Corollaria duo prima adinvenit Galilæus descensum gravium esse in duplicata ratione temporis, & motum projectilium fieri in Parabola” - (fr:291) [Per le prime due leggi e i primi due corollari, Galileo scoprì che la discesa dei gravi avviene col quadrato del tempo, e che il moto dei proiettili avviene in una Parabola.] Dalle stesse leggi e dalla terza, Wren, Wallis e Huygens derivarono indipendentemente le regole degli urti e delle riflessioni. “Ex his ijsdem & Lege tertia D. Christopherus Wrennus … regulas congressuum & reflexionum duorum corporum seorsim adinvenerunt” - (fr:293) [Da queste stesse e dalla terza Legge, il Signor Christopher Wren … scoprirono separatamente le regole degli urti e delle riflessioni di due corpi.]

La verità della terza legge (azione e reazione uguali e contrarie) fu confermata da esperimenti con pendoli, correggendo gli effetti della resistenza dell’aria. “Veritas comprobata est a D. Wrenno coram Regia Societate per experimentum Pendulorum” - (fr:294) [La verità fu provata dal Signor Wrenno davanti alla Società Reale mediante un esperimento con i Pendoli.] In questi esperimenti, si trovò sempre che la variazione di moto impressa a ciascun corpo era uguale e opposta. “Reperi semper … quod actio & reactio semper erant æquales” - (fr:310) [Trovai sempre … che l’azione e la reazione erano sempre uguali.] Ad esempio, se un corpo A perdeva sette parti di moto durante l’urto, il corpo B ne guadagnava sette. “Si corpus A incidebat in corpus B cum novem partibus motus, & amissis septem partibus … corpus B resiliebat cum partibus istis septem” - (fr:311) [Se il corpo A incideva sul corpo B con nove parti di moto, e, perse sette parti … il corpo B rimbalzava con quelle sette parti.] La quantità totale di moto (calcolata considerando la somma dei moti concordi e la differenza di quelli contrari) non cambiava mai a causa dell’urto. “A congressu & collisione corporum nunquam mutabatur quantitas motus” - (fr:317) [Dall’urto e collisione dei corpi non veniva mai mutata la quantità di moto.] Questi risultati valgono anche per corpi non perfettamente elastici, per i quali la velocità di rimbalzo è ridotta in proporzione alla forza elastica. “In imperfecte Elasticis velocitas reditus minuenda est simul cum vi Elastica” - (fr:325) [Nei corpi imperfettamente elastici la velocità di ritorno deve essere diminuita insieme alla forza elastica.]

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[3.1-83-413|495]

3 Lemmi sulle ultime proporzioni di quantità evanescenti

Quando figure geometriche tendono a coincidere, le loro ultime proporzioni diventano di uguaglianza o seguono rapporti specifici, come il duplicato dei lati.

Se tre triangoli (ARB, ARB, ARD) sono costruiti da rette e una curva, al tendere dei punti A e B l’uno verso l’altro, l’ultima forma dei triangoli evanescenti è di similitudine e l’ultimo rapporto è di uguaglianza. “dico quod ultima forma triangulorum evanescentium est similitudinis, & ultima ratio æqualitatis” - (fr:417) [dico che l’ultima forma dei triangoli evanescenti è di similitudine, e l’ultimo rapporto di uguaglianza.] Pertanto, in ogni ragionamento sulle ultime proporzioni, questi triangoli possono essere usati l’uno per l’altro. “triangula illa in omni de rationibus ultimis argumentatione pro se invicem usurpari possunt” - (fr:422) [quei triangoli in ogni argomentazione sulle ultime proporzioni possono essere usati l’uno per l’altro.]

Se una retta e una curva si intersecano in un angolo dato e vi si applicano delle ordinate, quando i punti sulle curve si avvicinano al punto di intersezione, le aree dei triangoli formati sono in ultimo nel rapporto duplicato dei lati. “areæ triangulorum ADB, AEC erunt ultimo ad invicem in duplicata ratione laterum” - (fr:424) [le aree dei triangoli ADB, AEC saranno in ultimo tra loro nel rapporto duplicato dei lati.]

Da questo Lemma segue che gli spazi descritti da un corpo sotto l’azione di una forza qualsiasi, all’inizio del moto, sono nel rapporto duplicato dei tempi. “Spatia, quæ corpus urgente quacunq; vi regulari describit, sunt ipso motus initio in duplicata ratione temporum” - (fr:428) [Gli spazi, che un corpo descrive sotto l’azione di una qualsiasi forza regolare, sono all’inizio del moto nel rapporto duplicato dei tempi.] Gli errori generati da forze uguali applicate in modo simile sono approssimativamente come i quadrati dei tempi, mentre quelli generati da forze proporzionali sono come le forze e i quadrati dei tempi congiuntamente.

La sottesa di un angolo di contatto evanescente è in ultimo nel rapporto duplicato della sottesa dell’arco contiguo. “Subtensa evanescens anguli contactus est ultimo in ratione duplicata subtensæ arcus contermini” - (fr:437) [La sottesa evanescente dell’angolo di contatto è in ultimo nel rapporto duplicato della sottesa dell’arco contiguo.] Di conseguenza, le aree curvilinee e i segmenti saranno in ultimo nel rapporto triplicato delle tangenti e delle corde.

In tutto ciò si assume che l’angolo di contatto non sia infinitamente maggiore o minore di quello dei cerchi con le loro tangenti, cioè che la curvatura in A non sia infinita o infinitesima. “curvaturam ad punctum A, пес infinite parvam esse пес infinite magnam” - (fr:474) [la curvatura nel punto A non sia infinitamente piccola né infinitamente grande.] Si possono costruire infinite serie di angoli di contatto, ciascuno infinitamente maggiore o minore del precedente, poiché la natura non conosce limite. “Neq; novit natura limitem” - (fr:483) [Né la natura conosce limite.]

Questi lemmi sono premessi per evitare il metodo di dimostrazione per assurdo degli antichi e per fondare le dimostrazioni successive sui limiti delle somme e dei rapporti di quantità evanescenti, che è più rigoroso del metodo degli indivisibili. “malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quantitatum evanescentium summas & rationes, primasq; nascentium, id est, ad limites summarum & rationum deducere” - (fr:487) [ho preferito dedurre le dimostrazioni delle cose seguenti alle ultime somme e proporzioni di quantità evanescenti, e alle prime nascenti, cioè ai limiti delle somme e delle proporzioni.] L’obiezione che non esista un’ultima proporzione di quantità evanescenti è simile a negare l’esistenza di una velocità finale di un corpo che raggiunge un luogo: essa è la velocità con cui il corpo raggiunge il luogo e cessa il moto. “Per velocitatem ultimam intelligi eam, qua corpus movetur … quacum corpus attingit locum ultimum & quacum motus cessat” - (fr:494) [Per ultima velocità si intende quella con cui il corpo si muove … con la quale il corpo raggiunge l’ultimo luogo e con la quale il moto cessa.] Allo stesso modo, l’ultima proporzione è quella con cui le quantità svaniscono.

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[4.1-303-643|945]

4 Determinazione delle leggi di forza centripeta per moti in sezioni coniche

Dalla geometria delle orbite e dalle proporzioni tra distanze e velocità, si ricavano le leggi matematiche che governano la forza diretta verso un centro fisso o un fuoco.

Se è data una figura e un punto verso cui è diretta la forza centripeta, si può trovare la legge di forza che fa muovere un corpo lungo il perimetro di quella figura. “Hinc si detur figura quævis, & in ea punctum ad quod vis centripeta dirigitur; inveniri potest lex vis centripetæ quæ corpus in figuræ illius perimetro gyrari faciet.” - (fr:652) [Quindi, se è data una qualsiasi figura e in essa un punto verso cui è diretta la forza centripeta, si può trovare la legge della forza centripeta che fa girare un corpo sul perimetro di quella figura.] Il calcolo si basa sul solido SP² × QT² / QR, proporzionale all’inverso della forza.

Per un corpo che si muove su una circonferenza con la forza diretta verso un punto sulla circonferenza stessa, la legge risultante è che la forza è inversamente proporzionale al cubo-quadrato della distanza SP. “vis centripeta reciproce est ut SP qc. SAq. , id est (ob datum SA quad.) ut quadrato-cubus distantiæ SP .” - (fr:678-681) [La forza centripeta è inversamente come SP^5/SA², cioè (dato SA²) come il quadrato-cubo della distanza SP.]

Se la forza tende invece a un punto molto lontano, tale che tutte le linee PS, RS possano considerarsi parallele, allora la forza è inversamente proporzionale al cubo della distanza. “vis centripeta reciproce ut 2 P M cub. ×SP quad. CP quad. hoc est (neglecta ratione determinata 2 SP quad. CP quad. ) reciproce ut PM cub.” - (fr:714-719) [La forza centripeta inversamente come 2PM³ × SP² / CP², cioè (trascurato il rapporto determinato 2SP²/CP²) inversamente come PM³.] Argomento simile vale per un corpo che si muove in un’ellisse, un’iperbole o una parabola con forza diretta a un centro molto lontano.

Per un corpo in moto su una spirale che taglia tutti i raggi SP, SQ, etc. con un angolo costante, la forza diretta al centro della spirale è proporzionale al cubo della distanza SP. “vis centripeta ut cubus distantiæ SP .” - (fr:740) [La forza centripeta come il cubo della distanza SP.]

Nel caso di un’ellisse con forza diretta al suo centro, la forza è direttamente proporzionale alla distanza PC. “vis centripeta reciproce ut 2 BCq.×CAq. P C , id est (ob datum 2 BCq. × CAq.) ut 1 P C , hoc est, directe ut distantia PC.” - (fr:771-774) [La forza centripeta inversamente come 2BC²×CA² / PC, cioè (dato 2BC² × CA²) come 1/PC, cioè, direttamente come la distanza PC.] Ne consegue che se la forza è proporzionale alla distanza, il corpo si muoverà in un’ellisse con centro nel centro di forza, o forse in un cerchio.

Se invece la forza tende a un fuoco dell’ellisse, essa è inversamente proporzionale al quadrato della distanza SP. “vis centripeta reciproce est ut L × SPq. id est reciproce in ratione duplicata distantiæ SP .” - (fr:833-834) [La forza centripeta è inversamente come L × SP², cioè inversamente in ragione duplicata della distanza SP.] La stessa legge della forza inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal fuoco vale per un corpo che si muove in un’iperbole. “vis centripeta reciproce est ut L × SPq. id est in ratione duplicata distantiæ SP .” - (fr:874-875) [La forza centripeta è inversamente come L × SP², cioè in ragione duplicata della distanza SP.]

Per un corpo che si muove su una parabola con forza diretta al fuoco, la legge è nuovamente che la forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza SP. “vis centripeta est reciproce ut SPq. × 4 AS, id est, ob datam 4 AS, reciproce in duplicata ratione distantiæ SP .” - (fr:927-928) [La forza centripeta è inversamente come SP² × 4AS, cioè, data 4AS, inversamente in ragione duplicata della distanza SP.]

Da queste tre ultime proposizioni si conclude che se un corpo, partendo da un punto P con qualsiasi velocità lungo la linea retta PR, è simultaneamente agito da una forza centripeta inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal centro, allora si muoverà in una sezione conica avente un fuoco nel centro di forza. “si corpus quodvis P … & vi centripeta quæ sit reciproce proportionalis quadrato distantiæ a centro, simul agitetur; movebitur hoc corpus in aliqua sectionum Conicarum umbilicum habente in centro virium” - (fr:930) [Se un qualsiasi corpo P… ed è simultaneamente agito da una forza centripeta che sia inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal centro; questo corpo si muoverà in una qualche sezione conica avente un fuoco nel centro di forza.]

Infine, se più corpi ruotano attorno a un centro comune e la forza centripeta decresce in ragione duplicata delle distanze, i lati retti delle loro orbite stanno in ragione duplicata delle aree descritte nello stesso tempo dai raggi vettori. “Si corpora plura revolvantur circa centrum commune, & vis centripeta decrescat in duplicata ratione distantiarum a centro; dico quod Orbium Latera recta sunt in duplicata ratione arearum quas corpora, radiis ad centrum ductis, eodem tempore describunt.” - (fr:939) [Se più corpi ruotano attorno a un centro comune, e la forza centripeta decresce in ragione duplicata delle distanze dal centro; dico che i Lati retti delle Orbite sono in ragione duplicata delle aree che i corpi, con raggi condotti al centro, descrivono nello stesso tempo.]

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[5.1-96-1064|1159]

5 Costruzione di traiettorie coniche dato un fuoco

Dati un fuoco, assi e punti o tangenti, si descrivono ellissi, iperboli e parabole.

Se un corpo si muove lungo una sezione conica e viene perturbato, si può determinare la nuova orbita componendo il suo moto con quello generato dall’impulso. Per costruire traiettorie ellittiche o iperboliche con fuochi dati, assi trasversi e punti di passaggio o rette tangenti, si utilizzano costruzioni geometriche basate su cerchi. Ad esempio, “Centro P intervallo AB − SP , si orbita sit Ellipsis, vel AB + SP , si ea sit Hyperbola, describatur circulus HG” - (fr:1082) [Con centro P e raggio AB − SP, se l’orbita è un’ellisse, o AB + SP, se è un’iperbole, si descriva il cerchio HG]. Il metodo funziona sia che siano dati due punti, due tangenti, o un punto e una tangente.

Per una parabola, dato il fuoco S, un punto P e una tangente TR, si descrive un cerchio con centro P e raggio PS. “Ab umbilico ad tangentem demitte perpendicularem ST , & produc eam ad V , ut sit TV æqualis ST” - (fr:1096) [Dal fuoco sulla tangente si abbassi la perpendicolare ST, e la si prolunghi fino a V, in modo che TV sia uguale a ST]. Quindi, con asse SK e vertice K si descrive la parabola, che passerà per P e tangerà TR.

Nel caso generale di traiettoria di specie data (ad esempio, simile a una figura di riferimento), si impiegano proporzioni tra distanze e assi. “Dato umbilico S, describenda sit Trajectoria ABC per puncta duo B, C. Quoniam Trajectoria datur specie, dabitur ratio axis transversi ad distantiam umbilicorum” - (fr:1111) [Dato il fuoco S, si deve descrivere una traiettoria ABC attraverso due punti B, C. Poiché la traiettoria è data nella specie, sarà data il rapporto dell’asse trasverso alla distanza dei fuochi]. La costruzione si adatta anche ai casi in cui siano date solo tangenti, o una tangente e un punto su di essa.

Infine, per trovare un punto Z le cui distanze da tre punti dati A, B, C hanno differenze date o nulle, si ricorre all’intersezione di iperboli o di luoghi rettilinei. “Ob datam differentiam linearum AZ, BZ, locabitur punctum Z in Hyperbola cujus umbilici sunt A & B, & axis transversus differentia illa data” - (fr:1150) [A causa della data differenza delle linee AZ, BZ, il punto Z si collocherà in un’iperbole i cui fuochi sono A e B, e l’asse trasverso è quella differenza data]. L’intersezione di due di tali luoghi determina il punto cercato.

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[6.1-407-1165|1571]

6 Metodi per determinare traiettorie coniche attraverso punti e tangenti

Costruzioni geometriche per descrivere sezioni coniche che passano per un dato numero di punti e/o siano tangenti a un dato numero di linee rette.

Il testo presenta una serie di proposizioni e lemmi che forniscono metodi geometrici per costruire traiettorie coniche (ellissi, parabole, iperboli, cerchi) in base a diverse combinazioni di condizioni iniziali. Si parte dal problema di descrivere una conica dati un fuoco, un punto e una tangente (fr:1168), la cui soluzione viene esposta nei dettagli (fr:1169, 1170, 1171). Viene poi trattato il caso di tre punti dati con una soluzione più spedita (fr:1173-1178).

Si procede con lemmi che stabiliscono proprietà fondamentali delle coniche. Il Lemma XVII afferma che, dato un punto P su una conica e un trapezio inscritto, il rettangolo dei segmenti condotti da P a due lati opposti sta al rettangolo dei segmenti condotti agli altri due lati opposti in un rapporto costante “rectangulum ductarum ad opposita duo latera PQ × PR, erit ad rectangulum ductarum ad alia duo latera opposita PS × PT in data ratione” - (fr:1186) [Il rettangolo delle due condotte ai due lati opposti PQ × PR, sarà al rettangolo delle due condotte agli altri due lati opposti PS × PT in un dato rapporto.]. Il Lemma XVIII inverte la relazione: se tale rapporto è costante, il punto P giace su una conica circoscritta al trapezio (fr:1212).

Segue una serie di problemi costruttivi: 1. Descrivere una conica passante per cinque punti dati (fr:1302), con due metodi esposti (fr:1304-1307, 1309-1313). 2. Descrivere una conica passante per quattro punti e tangente a una retta data (fr:1328), trattato in due casi (fr:1331-1341, 1343-1349). 3. Descrivere una conica passante per tre punti e tangente a due rette date (fr:1354), la cui soluzione determina i punti di contatto A e P sulla retta RS (fr:1355-1368). 4. Descrivere una conica passante per due punti e tangente a tre rette date (fr:1402), risolto tramite la trasformazione della figura in una nuova con tangenti parallele (fr:1403-1410). 5. Descrivere una conica passante per un punto e tangente a quattro rette date (fr:1416), risolto similmente tramite trasformazione per ottenere un parallelogramma e individuare un secondo punto per cui deve passare la conica (fr:1417-1424). 6. Descrivere una conica tangente a cinque rette date (fr:1463). La costruzione determina il centro O come intersezione delle linee che bisecano le diagonali di due quadrilateri formati da quattro tangenti, e poi individua i punti di contatto (fr:1464-1480).

Il Lemma XXII introduce un metodo generale per “Figuras in alias ejusdem generis figuras mutare” - (fr:1370) [Trasformare figure in altre figure dello stesso genere], utile per semplificare problemi complessi trasformando, ad esempio, rette convergenti in parallele (fr:1393). Altri lemmi (XXIII, XXIV, XXV, XXVI, XXVII) forniscono strumenti ausiliari per le costruzioni, come il posizionamento di un triangolo di data forma i cui angoli tocchino tre rette date (fr:1499) o la descrizione di un trapezio simile a uno dato i cui angoli tocchino quattro rette date (fr:1521). Questi strumenti sono poi applicati per descrivere traiettorie di data forma e grandezza i cui segmenti, simili a parti di una curva data, giacciano tra rette date (fr:1516, 1551).

La sezione si conclude annunciando la trattazione successiva: “Hactenus de orbibus inveniendis. Superest ut motus corporum orbibus inventis determinemus” - (fr:1562-1563) [Fin qui sulla ricerca delle orbite. Resta da determinare il moto dei corpi nelle orbite trovate.].

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[7.1-43-1671|1713]

7 Determinazione della posizione di un corpo in moto su coniche e transizione al moto rettilineo

Procedura iterativa per calcolare la posizione corretta di un corpo in moto su un’ellisse e su un’iperbole, seguita da un metodo più pratico per l’astronomia e dall’introduzione al moto rettilineo.

Il testo presenta un metodo di calcolo iterativo per determinare il luogo di un corpo che si muove su un’ellisse, partendo da un angolo approssimato: “Sufficit angulum illum rudi calculo in numeris proximis invenire” - (fr:1671) [È sufficiente trovare quell’angolo con un calcolo approssimativo in numeri vicini]. La procedura descrive la costruzione di una serie di angoli correttivi (E, G, I…), la cui somma converge rapidamente all’angolo corretto ACq: “Convergit autem series infinita ACQ+E +G+I quam celerrime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi quam ad terminum secundum E” - (fr:1681) [La serie infinita ACQ+E+G+I converge però molto rapidamente, tanto che difficilmente sarà necessario procedere oltre il secondo termine E]. Il calcolo si fonda sul teorema che l’area APS è proporzionale alla differenza tra l’arco AQ e una certa retta.

Viene poi illustrato un calcolo simile per l’iperbole, basato sulla determinazione di un’area e su successive approssimazioni: “Et computatione repetita invenietur idem accuratius in perpetuum” - (fr:1689) [E ripetendo il calcolo si troverà lo stesso risultato in modo sempre più accurato]. Segue un metodo più pratico per gli usi astronomici, che utilizza angoli ausiliari (Y, Z) e equazioni (V, X) per calcolare il moto medio corretto BHP e quindi la posizione: “Hæc Praxis satis expedita videtur, propterea quod angulorum perexiguorum V & X… figuras duas tresve primas invenire sufficit” - (fr:1699) [Questa Pratica sembra abbastanza spedita, perché per gli angoli piccolissimi V e X è sufficiente trovare le prime due o tre cifre].

Infine, il testo conclude la trattazione del moto lungo linee curve e annuncia il passaggio al moto rettilineo: “Hactenus de motu corporum in lineis curvis. Fieri autem potest ut mobile recta descendat vel recta ascendat, & quæ ad istiusmodi motus spectant, pergo jam exponere” - (fr:1702-1703) [Fin qui del moto dei corpi lungo linee curve. Può però accadere che un mobile scenda in linea retta o salga in linea retta, e le cose che riguardano moti di questo tipo, passo ora ad esporle]. La sezione successiva è dedicata al moto rettilineo di ascesa e discesa, e il primo problema affrontato è definire lo spazio percorso da un corpo in caduta sotto l’azione di una forza centripeta inversamente proporzionale al quadrato della distanza.

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[8.1-67-1739|1805]

8 Proposizioni sulle velocità di caduta e aree descritte

Relazioni tra velocità in figure coniche e moti circolari equivalenti.

Dai Conica risulta che il rapporto tra certi segmenti determina le proporzioni geometriche fondamentali. “Est autem ex Conicis ACB ad CPq.” - (fr:1739) [Dai Conica è ACB a CP².] e “Porro ex Conicis est CO ad BO ut BO ad TO, & composite vel divisim ut CB ad BT .” - (fr:1741) [Inoltre, dai Conica, CO sta a BO come BO sta a TO, e, per composizione o divisione, come CB sta a BT.]

Diminuendo all’infinito la larghezza della figura, quando il punto P coincide con C e S con B, la velocità di un corpo che cade rettilineamente lungo CB sta a quella di un corpo che descrive un cerchio di raggio BC intorno a B “in dimidiata ratione AC ad AO.” - (fr:1745) [nella subduplicata ragione di AC ad AO.], come dimostrato.

Se la figura BED è una parabola, la velocità di un corpo cadente in un punto qualsiasi C è uguale alla velocità con cui un corpo potrebbe descrivere uniformemente un cerchio di raggio BC/2 intorno a B: “Si figura BED Parabola est, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis C æqualis est velocitati qua corpus centro B dimidio intervalli sui BC circulum uniformiter describere potest.” - (fr:1751) [Se la figura BED è una parabola, dico che la velocità di un corpo cadente in un punto qualsiasi C è uguale alla velocità con cui un corpo potrebbe descrivere uniformemente un cerchio di raggio BC/2 intorno a B.]

Nelle stesse condizioni, l’area DES descritta dal raggio SD è uguale all’area che un corpo, ruotando uniformemente intorno a S con un raggio pari a metà del lato retto della figura, potrebbe descrivere nello stesso tempo: “area figuræ DES, radio indefinito SD descripta, æqualis sit areæ quam corpus, radio dimidium lateris recti figuræ DES æquante, circa centrum S uniformiter gyrando, eodem tempore describere potest.” - (fr:1761) [l’area della figura DES, descritta dal raggio indefinito SD, sia uguale all’area che un corpo, con un raggio pari a metà del lato retto della figura DES, ruotando uniformemente intorno al centro S, potrebbe descrivere nello stesso tempo.]

La dimostrazione considera due casi: quando DES è un cerchio o un’iperbole, e quando è una parabola. In entrambi, confrontando le velocità e le piccole aree generate in particelle di tempo infinitesime, si giunge all’uguaglianza delle aree totali: “Singulis igitur temporis particulis generantur arearum duarum particulæ KSk, SDd, quæ … areæ totæ simul genitæ sunt semper æquales.” - (fr:1780) [In ogni singola particella di tempo, quindi, vengono generate due particelle di area KSk e SDd, le quali … le aree totali generate simultaneamente sono sempre uguali.]

Infine, si forniscono i metodi per determinare i tempi di discesa di un corpo da un dato luogo A, e per definire i tempi di salita o discesa di un corpo proiettato verso l’alto o il basso. Per il primo problema, descrivendo un semicerchio su AS e un altro uguale su OKH intorno a S, e uguagliando l’area ASD alla sezione OSK, “patet … quod corpus cadendo describet spatium AC eodem tempore quo corpus aliud uniformiter circa centrum S gyrando, describere potest arcum OK.” - (fr:1800) [risulta chiaro … che il corpo cadendo descriverà lo spazio AC nello stesso tempo in cui un altro corpo, ruotando uniformemente intorno al centro S, potrebbe descrivere l’arco OK.]

[9]

[9.1-112-2014|2125]

9 Determinazione del moto apsidale in orbite quasi circolari

Dato il moto di un corpo in un’orbita qualsiasi immobile, il suo moto angolare attorno al centro delle forze può essere aumentato o diminuito in una data proporzione, e da ciò si possono trovare nuove orbite immobili in cui i corpi ruotano sotto nuove forze centripete. (fr:2018)

Se la forza centripeta è inversamente proporzionale al cubo dell’altezza Cp, un corpo può essere fatto ruotare in una curva Vpk. (fr:2021, 2023). Il problema del moto delle apsidi per orbite massimamente vicine ai cerchi si risolve aritmeticamente, confrontando le forze centripete in altezze uguali per far sì che gli orbiti acquisiscano la stessa forma. (fr:2032, 2034, 2035).

Si riduce ogni forza centripeta a una frazione con denominatore A cub. e si confrontano i numeratori. (fr:2044, 2045). Se la forza è uniforme, il rapporto tra l’angolo V Cp e V CP è come 1 a √3. Pertanto, in un’orbita quasi circolare, il corpo compie un angolo di 180/√3 gradi (circa 103° 55’) tra un’apside e l’altra. (fr:2075, 2078).

In generale, se la forza centripeta è proporzionale a A^(n-3), il rapporto è come 1 a √n, e l’angolo tra le apsidi è di 180/√n gradi. (fr:2098). * Se la forza è proporzionale alla distanza (n=4), l’angolo è di 90°; il corpo raggiunge l’apside inferiore dopo un quarto di rivoluzione. (fr:2099, 2100, 2101). * Se è inversamente proporzionale alla distanza (n=2), l’angolo è di 180/√2 gradi (circa 127° 17’). (fr:2104, 2105). * Se è inversamente proporzionale alla potenza 11/4 della distanza (n=1/4), l’angolo è di 360°; il corpo compie un’intera rivoluzione tra un’apside e l’altra. (fr:2107, 2108).

Per una forza composta come (bA^m + cA^n) / A cub., il rapporto Gq. ad Fq. diventa (bT^(m-1) + cT^(n-1)) / (mbT^(m-1) + ncT^(n-1)). (fr:2112, 2123).

[10]

[10.1-37-2603|2639]

10 Effetti perturbativi di un terzo corpo su un sistema di due corpi

La forza perturbatrice di un corpo lontano altera velocità, curvatura e periodo orbitale di un corpo attorno a un centro.

In un sistema di tre corpi S, P, Q, dove le accelerazioni sono reciproche al quadrato delle distanze, il corpo P descrive l’area più velocemente vicino alla congiunzione e opposizione rispetto alle quadrature. “corpus P radio PS aream circa corpus S velocius describet prope conjunctionem A & oppositionem B, quam prope quadraturas C, D.” - (fr:2606) [Il corpo P con il raggio PS descriverà l’area intorno al corpo S più velocemente vicino alla congiunzione A e opposizione B, che vicino alle quadrature C, D.] La forza NM accelera il moto da C ad A e da D a B, e lo ritarda da A a D e da B a C.

Di conseguenza, il corpo P si muove più velocemente e la sua orbita è meno curva in congiunzione e opposizione. “corpus P , cæteris paribus, velocius movetur in Conjunctione & Oppositione quam in Quadraturis.” - (fr:2610) [Il corpo P, a parità di condizioni, si muove più velocemente in Congiunzione e Opposizione che nelle Quadrature.] “Orbita corporis P cæteris paribus curvior est in quadraturis quam in Conjunctione & Oppositione.” - (fr:2613) [L’orbita del corpo P, a parità di condizioni, è più curva nelle quadrature che in Congiunzione e Opposizione.]

La forza centripeta del corpo centrale S è aumentata nelle quadrature dalla forza LM e diminuita nelle sizigie dalla forza KL. Questa diminuzione altera il periodo orbitale. “vis centripeta corporis centralis S, qua corpus P retinetur in Orbe suo, augetur in quadraturis per additionem vis LM , ac diminuitur in Syzygiis per ablationem vis KL” - (fr:2623) [La forza centripeta del corpo centrale S, con la quale il corpo P è trattenuto nella sua orbita, è aumentata nelle quadrature per l’aggiunta della forza LM, e diminuita nelle sizigie per la sottrazione della forza KL.] Se la forza del corpo centrale diminuisce, P si allontana, e viceversa. L’azione del corpo lontano Q, variando, fa variare di conseguenza il raggio SP e il periodo.

Infine, la linea delle apsidi dell’ellisse descritta da P oscilla avanti e indietro, ma con un moto netto in avanti in ogni rivoluzione. “Ellipseos a corpore P descriptæ axis seu Apsidum linea, quoad motum angularem progreditur & regreditur per vices, sed magis tamen progreditur” - (fr:2634) [L’asse dell’ellisse descritta dal corpo P, o linea delle Apsidi, per quanto riguarda il moto angolare avanza e indietreggia a turno, ma tuttavia avanza di più.]

[11]

[11.1-167-3043|3209]

11 Attrazione gravitazionale di una sfera su un corpo

Calcolo della forza esercitata da una sfera su un corpo, sia esterno che interno, in base alla legge di attrazione delle sue particelle.

Si considera una superficie sferica concavo-convessa generata dalla rotazione di un arco. La forza che questa superficie esercita su un corpuscolo in un punto P è proporzionale al prodotto di DE² e Ff, e alla forza che una singola particella in Ff eserciterebbe sullo stesso corpuscolo: “dico che vis, qua solidum illud trahit corpusculum situm in P , est in ratione composita ex ratione solidi DEq. × Ff & ratione vis qua particula data in loco Ff traheret idem corpusculum” - (fr:3051-3052) [Dico che la forza con cui quel solido attrae il corpuscolo situato in P, è nella ragione composta dalla ragione del solido DE² × Ff e dalla ragione della forza con cui una data particella nel luogo Ff attrarrebbe lo stesso corpuscolo].

Dividendo la sfera in innumerevoli lamine sferiche concavo-convesse e sommando i loro contributi, la forza totale di attrazione del corpuscolo P verso la sfera risulta proporzionale all’area compresa sotto l’asse della sfera AB e una certa linea curva ANB: “dico quod vis tota, qua corpusculum P trahitur versus Sphæram, est ut area comprehensa sub axe Sphæræ AB & linea curva ANB, quam punctum N perpetuo tangit” - (fr:3070) [Dico che la forza totale, con cui il corpuscolo P è attratto verso la Sfera, è come l’area compresa sotto l’asse della Sfera AB e la linea curva ANB, che il punto N tocca perpetuamente]. Questo risultato vale per diverse leggi di forza centripeta (inversamente proporzionale alla distanza, al suo quadrato, al suo cubo, ecc.), modificando di conseguenza l’espressione per la lunghezza DN: “Et universaliter si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas tendens ponatur esse reciproce ut quantitas V , fiat autem DN ut DEq.×P S / P E×V ; erit vis qua corpusculum a Sphæra tota attrahitur ut area ABNA” - (fr:3090) [E universalmente, se si pone che la forza centripeta tendente alle singole particelle della Sfera sia reciprocamente come la quantità V, e si faccia DN come (DE² × PS) / (PE × V); la forza con cui il corpuscolo è attratto dall’intera Sfera sarà come l’area ABNA].

Il problema si riduce quindi alla misurazione di quest’area (ABNA), la cui costruzione geometrica viene fornita per casi specifici. Per una forza inversamente proporzionale alla distanza, l’area si ottiene sottraendo un’area iperbolica da un’area rettangolare: “Asymptotis Ll, LB, per puncta a, b describatur Hyperbola ab. Et acta chorda ba claudet aream aba areæ quæsitæ ABNA æqualem” - (fr:3133-3134) [Con gli asintoti Ll, LB, si descriva per i punti a, b l’iperbole ab. E tracciata la corda ba, essa racchiuderà un’area aba uguale all’area cercata ABNA].

Per una forza inversamente proporzionale al cubo della distanza, si dimostra che la forza totale che attrae un corpuscolo P verso il centro della sfera è inversamente proporzionale a PS³ × PI: “Igitur vis tota, qua corpusculum P in Sphæræ centrum trahitur, è ut SI cub. / P I , id est reciproce ut PS cub. × PI” - (fr:3157-3159) [Quindi la forza totale, con cui il corpuscolo P è attratto nel centro della Sfera, è come SI³ / PI, cioè reciprocamente come PS³ × PI].

Si stabilisce poi una relazione generale tra l’attrazione su un punto I all’interno della sfera e quella su un punto P all’esterno: “dico quod corpusculi intra Sphæram in loco quovis I attractio est ad attractionem ipsius extra Sphæram in loco P , in ratione composita ex dimidiata ratione distantiarum a centro IS, PS & dimidiata ratione virium centripetarum, in locis illis P & I, ad centrum tendentium” - (fr:3165) [Dico che l’attrazione del corpuscolo dentro la Sfera in un luogo qualsiasi I sta all’attrazione di esso fuori dalla Sfera nel luogo P, nella ragione composta dalla radice quadrata del rapporto delle distanze dal centro IS, PS e dalla radice quadrata del rapporto delle forze centripete, in quei luoghi P e I, tendenti al centro]. Ad esempio, se la forza delle particelle è inversamente proporzionale alla distanza, le attrazioni in I e P sono uguali: “Hæ duæ rationes dimidiatæ componunt rationem æqualitatis, & propterea attractiones in I & P a Sphæra tota factæ æquantur” - (fr:3167) [Queste due radici quadrate di rapporto compongono un rapporto di uguaglianza, e perciò le attrazioni in I e P fatte dall’intera Sfera sono uguali].

Infine, il metodo è esteso per calcolare la forza esercitata su un corpuscolo posto nel centro della sfera da un suo segmento qualsiasi, e successivamente la forza su un corpuscolo posto fuori dal centro ma sull’asse di un segmento sferico.

[12]

[12.1-43-3343|3385]

12 Attrazione gravitazionale di uno sferoide e di un solido piano infinito

Determinazione delle forze attrattive in corpi solidi di forma geometrica definita, con applicazione a sferoidi e a un solido piano infinito.

La forza con cui uno sferoide attrae un corpo esterno P è data da un rapporto specifico: “vis qua Sphærois trahit corpus P erit ad vim qua Sphæra, diametro AB descripta, trahit idem corpus, ut AS×CSq.−P S×KMRK P Sq.+CSq.−ASq.” - (fr:3345) [La forza con cui lo Sferoide attrae il corpo P sarà rispetto alla forza con cui la Sfera, descritta dal diametro AB, attrae lo stesso corpo, come AS×CS² − PS×KMRK PS²+CS²−AS².] Se il corpo è posto all’interno dello sferoide, l’attrazione è proporzionale alla sua distanza dal centro: “attractio erit ut ipsius distantia a centro.” - (fr:3352) [L’attrazione sarà come la sua distanza dal centro.] Ciò si dimostra considerando superfici sferoidali concentriche e coni di materia di dimensioni infinitesime, le cui forze si annullano reciprocamente, lasciando solo l’effetto della sfera interna: “Æquales igitur sunt vires coni DPF & segmenti Conici EGCB, & per contrarietatem se mutuo destruunt.” - (fr:3358) [Sono dunque uguali le forze del cono DPF e del segmento conico EGCB, e per la loro contrarietà si distruggono a vicenda.] Ne consegue che “Trahitur igitur corpus P a sola Sphæroide intima PCBM” - (fr:3359) [Il corpo P è dunque attratto solo dallo sferoide interno PCBM.]

Il metodo per trovare la legge di attrazione per un corpo qualsiasi prevede di modellarlo con una figura regolare (sfera, cilindro) di cui si conosce la legge, e di verificare sperimentalmente la forza a diverse distanze: “Dein factis experimentis invenienda est vis attractionis in diversis distantiis, & lex attractionis in totum inde patefacta dabit rationem decrementi virium partium singularum” - (fr:3376) [Poi, compiuti degli esperimenti, si deve trovare la forza di attrazione a diverse distanze, e la legge di attrazione così completamente rivelata darà il rapporto di decremento delle forze delle singole parti.]

Infine, per un solido infinito delimitato da un solo piano, composto da particelle la cui forza decresce con una potenza della distanza maggiore del quadrato, l’attrazione totale decresce con una potenza della distanza dal piano il cui esponente è minore di tre rispetto a quello delle particelle: “solidi vis illa attractiva, in recessu ab ejus superficie plana, decrescet in ratione potestatis, cujus latus est distantia corpusculi a plano, & Index ternario minor quam Index potestatis distantiarum.” - (fr:3381) [La forza attrattiva di quel solido, allontanandosi dalla sua superficie piana, decrescerà secondo il rapporto di una potenza, il cui lato è la distanza del corpuscolo dal piano, e l’esponente è minore di tre rispetto all’esponente della potenza delle distanze.]

[13]

[13.1-26-3568|3593]

13 Determinare il moto di un corpo che ascende o discende in un mezzo resistente

Un corpo, mosso da una gravità uniforme e soggetto a una resistenza proporzionale alla sua velocità, ascende e discende lungo una linea retta.

Il problema definisce il moto di un corpo che si muove verticalmente sotto una gravità uniforme, con una resistenza del mezzo proporzionale alla sua velocità (fr:3571) [I. Di un corpo, che mentre sale o scende in linea retta in un mezzo simile, incontra una resistenza in ragione della velocità, e che è sollecitato da una gravità uniforme, definire il moto.]. Nella fase di ascesa, la gravità è rappresentata dal rettangolo BC e la resistenza iniziale dal rettangolo BD in direzione opposta (fr:3572) [Corpo ascendente, si esponga la gravità mediante un dato rettangolo BC, e la resistenza del mezzo all’inizio della salita mediante il rettangolo BD preso nella direzione opposta.].

La soluzione geometrica utilizza un’iperbole con asintoti rettangolari AC, CH, descritta per il punto B. Attraverso questa costruzione, si determinano gli spazi percorsi e le velocità in diversi intervalli di tempo. Ad esempio, nel tempo DGBA il corpo percorre l’intero spazio di ascesa EGB, e la velocità massima raggiungibile in discesa è BC (fr:3573) [Con asintoti rettangoli AC, CH, per il punto B si descriva un’Iperbole che seca le perpendicolari DE, de in G, g; & il corpo ascendendo, nel tempo DGgd, descriverà lo spazio EGge, nel tempo DGBA lo spazio dell’intera ascesa EGB, nel tempo AB₂G₂D lo spazio della discesa BF₂G… e la massima velocità, che il corpo discendendo può acquisire, sarà BC.].

L’analisi procede dividendo l’area AH in innumerevoli rettangoli (Ak, Kl, Lm…), che rappresentano gli incrementi di velocità in tempi uguali (fr:3574, 3575) [Si risolva infatti il rettangolo AH in rettangoli innumerevoli Ak, Kl, Lm, Mn, &c. … i quali siano come gli incrementi delle velocità fatti in un uguale numero di tempi.]. Questi incrementi sono proporzionali alle forze assolute che agiscono sul corpo all’inizio di ogni intervallo di tempo (fr:3577, 3578) [Faccia sì che AC stia ad AK o ABHC ad ABkK, come la forza di gravità alla resistenza all’inizio del secondo tempo, e dalle forze di gravità si sottraggano le resistenze, e resteranno ABHC, KkHC, LlHC… come le forze assolute con le quali il corpo è sollecitato all’inizio di ciascun tempo.]. Ne consegue che tali incrementi di velocità (i rettangoli Ak, Kl, Lm…) sono in progressione geometrica (fr:3579, 3582) [come gli incrementi delle velocità, cioè come i rettangoli Ak, Kl, Lm, Mn &c; e perciò… in progressione Geometrica.].

Se le linee Kk, Ll, Mm… incontrano l’iperbole in punti q, r, s…, le aree risultanti (ABqK, KqrL…) sono uguali tra loro e analoghe a tempi e forze di gravità costanti (fr:3583, 3584, 3585, 3586) [Perciò se le rette Kk, Ll, Mm, Nn &c. prolungate incontrano l’Iperbole in q, r, s, t &c. saranno le aree ABqK, KqrL, LrsM, MstN &c. uguali, e quindi analoghe sia ai tempi sia alle forze di gravità sempre uguali.].

[14]

[14.1-97-3753|3849]

14 Lemma II sui momenti delle quantità fluenti e Proposizione VIII sul moto con resistenza

Il momento di una quantità generata è uguale alla somma dei momenti dei termini generatori.

Il Lemma II stabilisce la regola per trovare il momento (l’incremento o decremento istantaneo) di quantità generate come prodotti, quozienti o potenze. Si considerano quantità in perpetuo movimento, e i loro incrementi nascenti. “Momentum Genitæ æquatur momentis Terminorum singulorum generantium in eorundem laterum indices dignitatum & coefficientia continue ductis” - (fr:3759) [Il momento della Genita è uguale ai momenti dei singoli termini generanti, moltiplicati continuamente per gli indici delle potenze e i coefficienti di quegli stessi lati]. Vengono fornite le regole per il momento di un rettangolo (aB + Ab), di un cubo (3aA²), e in generale di una potenza qualsiasi A^(n/m), il cui momento è (n/m) aA^((n-m)/m) “Et generaliter ut dignitatis cujuscunq; A n m momentum fuerit n m aA n−m m” - (fr:3773). La dimostrazione procede per casi, esaminando rettangoli, prodotti di più termini e potenze.

La Proposizione VIII, Teorema VI, tratta del moto di un corpo in un mezzo uniforme sotto l’azione di una gravità uniforme, considerando la resistenza del mezzo. Afferma che, se lo spazio percorso è diviso in parti uguali, le forze assolute all’inizio di ciascuna parte formano una progressione geometrica. “Si corpus in Medio uniformi, Gravitate uniformiter agente, recta ascendat vel descendat… dico quod vires illæ absolutæ sunt in progressione Geometrica” - (fr:3825). La dimostrazione utilizza una costruzione geometrica iperbolica, dove l’area ABOL è proporzionale allo spazio descritto. “Componitur igitur area tota Hyperbolica ABOL ex particulis KNOL velocitati AP semper proportionalibus, & propterea spatio velocitate ista descripto proportionalis est” - (fr:3832). Dividendo quest’area in parti uguali, si dimostra che le forze assolute (AC, IC, KC…) sono in progressione geometrica sia nella discesa che nella salita. “Et simili argumento, in ascensu corporis… constabit quod vires absolutæ AC, iC, kC, lC, &c. sunt continue proportionales” - (fr:3836-3838).

Un corollario importante lega la velocità massima alla resistenza nota: “Igitur si in data aliqua velocitate cognoscatur resistentia Medii, invenietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad velocitatem illam datam in dimidiata ratione, quam habet vis Gravitatis ad Medii resistentiam illam cognitam” - (fr:3849).

[15]

[15.1-82-3890|3971]

15 Relazione tra resistenza, densità del mezzo e moto su una linea curva

Un corpo si muove lungo una curva sotto l’azione uniforme della gravità e di una resistenza proporzionale alla densità del mezzo e al quadrato della velocità.

La densità del mezzo in ogni punto, necessaria affinché un corpo percorra una data linea curva, è proporzionale al rapporto (Cf - CF) / CF². “Medii densitas ut Cf−CF CF q.” - (fr:3965) [La densità del mezzo è come (Cf - CF) / CF².]

La resistenza che il mezzo oppone al corpo in movimento è a sua volta proporzionale a questo rapporto. “resistencia, ipsiq; proportionalis Cf−CF F G est ut Medii densitas & ut CF q. F G conjunctim” - (fr:3965) [La resistenza, e ad essa proporzionale Cf−CF/FG, è come la densità del mezzo e CF²/FG congiuntamente.] La resistenza nasce dalla differenza tra lo spazio che il corpo percorrerebbe senza resistenza (CH) e quello che effettivamente percorre (CF). “Per Medii resistentiam fit ut corpus progrediens, vice longitudinis CH, describat solummodo longitudinem CF” - (fr:3953) [A causa della resistenza del mezzo avviene che il corpo, procedendo, invece della lunghezza CH, descriva soltanto la lunghezza CF.]

Il moto è analizzato considerando simultaneamente un corpo che avanza e uno che retrocede lungo la stessa traiettoria, con uguali velocità in ogni punto. “in iisdem locis eadem semper sit corporis progredientis & regredientis velocitas” - (fr:3951) [Negli stessi luoghi sia sempre la stessa la velocità del corpo che procede e di quello che retrocede.] In questo sistema, le lunghezze CF, CH e Cf formano una progressione aritmetica. “suntq; adeo CF , CH (vel Ch) & Cf in progressione Arithmetica” - (fr:3962) [E così CF, CH (o Ch) e Cf sono in progressione aritmetica.]

[16]

[16.1-77-3975|4051]

16 Metodo per determinare la densità del mezzo affinché un proiettile descriva una data curva

Risolvendo il problema per una serie convergente, si trova la densità del mezzo, la resistenza e la velocità.

Se una curva è definita dalla relazione tra ascissa e ordinata, e il valore dell’ordinata è risolto in una serie convergente, il problema si risolve agevolmente usando i primi termini della serie. “Et hinc si curva linea definiatur per relationem inter basem seu abscissam AB & ordinatim applicatam BC; (ut moris est) & valor ordinatim applicatæ resolvatur in seriem convergentem: Problema per primos seriei terminos expedite solvetur: ut in Exemplis sequentibus.” - (fr:3977) [E quindi se una linea curva è definita dalla relazione tra la base o ascissa AB e l’ordinata applicata BC (come è consuetudine) e il valore dell’ordinata applicata è risolto in una serie convergente: il Problema sarà risolto agevolmente per mezzo dei primi termini della serie: come negli Esempi seguenti.]

Il metodo distingue i termini della serie: il primo dà l’ordinata BC, il secondo determina la posizione della tangente CF, il terzo determina la curvatura in C. “Et primus terminus, qui hic est e, denotabit semper longitudinem ordinatæ BC insistentis ad indefinitæ quantitatis initium B; secundus terminus qui hic est ao e , denotabit differentiam inter BC & DF , id est lineolam IF , quæ abscinditur complendo parallelogrammum BC −ID, atq; adeo positionem Tangentis CF semper determinat” - (fr:3987) [E il primo termine, che qui è e, denoterà sempre la lunghezza dell’ordinata BC che insiste all’inizio della quantità indefinita B; il secondo termine, che qui è ao/e, denoterà la differenza tra BC e DF, cioè la lineola IF, che viene recisa completando il parallelogramma BC−ID, e così determina sempre la posizione della Tangente CF]. “Terminus tertius, qui hic est nnoo/2e³ designabit lineolam FG, quæ jacet inter Tangentem & Curvam, adeoq; determinat angulum contactus FCG, seu curvaturam quam curva linea habet in C.” - (fr:3987) [Il terzo termine, che qui è nnoo/2e³, designerà la lineola FG, che giace tra la Tangente e la Curva, e così determina l’angolo di contatto FCG, ossia la curvatura che la linea curva ha in C.].

I termini successivi rappresentano la variazione della curvatura e oltre. “Terminus quartus, qui hic est anno³/2e⁵, exhibet variationem Curvaturæ; quintus variationem variationis, & sic deinceps.” - (fr:3989) [Il quarto termine, che qui è anno³/2e⁵, mostra la variazione della Curvatura; il quinto la variazione della variazione, e così via.].

Applicazione al moto in un semicircolo Si richiede la densità del mezzo affinché un proiettile si muova lungo un quarto di circonferenza LCK. “Sit Linea ACK semicirculus super diametro AK descriptus, & requiratur Medii densitas quæ faciat ut Projectile in hac linea moveatur.” - (fr:3980) [Sia la Linea ACK un semicerchio descritto sul diametro AK, e si richieda la densità del Mezzo che faccia sì che un Proiettile si muova in questa linea.].

Seguendo il metodo, si trova che la densità del mezzo deve essere proporzionale alla lunghezza della tangente CT. “prodibit Medii densitas ut a/ne , hoc est (ob datam n) ut a/e seu OB/BC , id est ut Tangentis longitudo illa CT , quæ ad semidiametrum OL ipsi AK normaliter insistentem terminatur” - (fr:4005) [risulterà la densità del Mezzo come a/ne, cioè (dato n) come a/e ossia OB/BC, cioè come quella lunghezza della Tangente CT, che termina al semidiametro OL posto normalmente ad AK]. La resistenza è alla gravità come OB è al raggio OK, e la velocità è proporzionale a √(2BC). “& resistentia erit ad gravitatem ut a ad n, id est ut OB ad circuli semidiametrum OK, velocitas autem erit ut √ 2 BC.” - (fr:4005) [e la resistenza sarà alla gravità come a sta a n, cioè come OB al semidiametro del cerchio OK, e la velocità sarà come √(2BC).].

Se il corpo parte da L con velocità adeguata, descriverà il quadrante LCK. “Igitur si corpus C certa cum velocitate, secundum lineam ipsi OK parallelam, exeat de loco L, & Medii densitas in singulis locis C sit ut longitudo tangentis CT , & resistentia etiam in loco aliquo C sit ad vim gravitatis ut OB ad OK; corpus illud describet circuli quadrantem LCK.” - (fr:4006) [Quindi se il corpo C con una certa velocità, secondo una linea parallela a OK, esce dal luogo L, e la densità del Mezzo in ogni luogo C è come la lunghezza della tangente CT, e anche la resistenza in un qualche luogo C è alla forza di gravità come OB sta a OK; quel corpo descriverà il quadrante del cerchio LCK.]. Non è possibile naturalmente che il corpo ascenda da A descrivendo il quadrante AL, poiché richiederebbe una densità negativa (un mezzo che accelera). “Negativam autem densitatem (hoc est quæ motus corporum accelerat) Natura non admittit, & propterea naturaliter fieri non potest ut corpus ascendendo ab A describat circuli quadrantem AL.” - (fr:4010) [La densità negativa però (cioè quella che accelera il moto dei corpi) la Natura non ammette, e perciò naturalmente non può accadere che un corpo ascendendo da A descriva il quadrante del cerchio AL.].

Applicazione alla parabola Per una parabola, applicando il metodo, il coefficiente S risulta nullo. “Cum vero plures non sint termini, debebit quarti termini So³ coefficiens S evanescere, & propterea quantitas S/(R√(1+QQ)) cui Medii densitas proportionalis est, nihil erit.” - (fr:4016) [Poiché però non ci sono più termini, il coefficiente S del quarto termine So³ dovrà svanire, e perciò la quantità S/(R√(1+QQ)) a cui la densità del Mezzo è proporzionale, sarà nulla.]. Quindi, non è necessaria alcuna densità del mezzo. “Nulla igitur Medii densitate movebitur Projectile in Parabola, uti olim demonstravit Galilæus.” - (fr:4017) [Con nessuna densità del Mezzo quindi si muoverà il Proiettile nella Parabola, come un tempo dimostrò Galileo.].

Applicazione all’iperbole Per un’iperbole con un asintoto perpendicolare al piano orizzontale, si trova che la densità del mezzo nei vari punti G deve essere inversamente proporzionale alla distanza XY. “Ponatur itaq; quod Medii densitates in locis singulis G sint reciproce ut distantiæ XY” - (fr:4031) [Si ponga dunque che le densità del Mezzo nei singoli luoghi G siano reciprocamente come le distanze XY]. La resistenza in G è alla gravità come XY sta a YG, e la velocità è quella con cui un corpo si muoverebbe in una parabola avente vertice G e un dato lato retto. “quodq; resistentia in loco aliquo G sit ad gravitatem ut XY ad Y G; & corpus de loco A justa cum velocitate emissum describet Hyperbolam illam AGK.” - (fr:4031) [e che la resistenza in un qualche luogo G sia alla gravità come XY sta a YG; e il corpo emesso dal luogo A con la giusta velocità descriverà quell’Iperbole AGK.].

Il metodo è esteso a una famiglia di iperboli dove VG è inversamente proporzionale a una potenza di DN. In questi casi, se in VZ si prende VY uguale a n×VG, la densità del mezzo è ancora inversamente proporzionale a XY. “Et inde Medii densitas S/(R×√(1+QQ)) , in loco quovis G, fit (n+2)/(3√(A²+ (dd/ee)A² − (2dnbb)/(eAⁿ)A + (nnb⁴)/(A²ⁿ))) , adeoq; si in VZ capiatur VY æqualis n × VG, est reciproce ut XY.” - (fr:4039) [E da ciò la densità del Mezzo S/(R×√(1+QQ)), in un qualunque luogo G, diventa (n+2)/(3√(A²+ (dd/ee)A² − (2dnbb)/(eAⁿ)A + (nnb⁴)/(A²ⁿ))) , e quindi se in VZ si prende VY uguale a n × VG, è reciprocamente come XY.].

Conclusione La traiettoria di un proiettile in un mezzo uniformemente resistente è più vicina a un’iperbole di questo tipo che a una parabola. “Quoniam motus non fit in Parabola nisi in Medio non resistente, in Hyperbolis vero hic descriptis fit per resistentiam perpetuam; perspicuum est quod linea, quam Projectile in Medio uniformiter resistente describit, propius accedit ad Hyperbolas hasce quam ad Parabolam.” - (fr:4044) [Poiché il moto non avviene in una Parabola se non in un Mezzo non resistente, mentre nelle Iperboli qui descritte avviene per una resistenza perpetua; è chiaro che la linea, che un Proiettile descrive in un Mezzo uniformemente resistente, si avvicina di più a queste Iperboli che a una Parabola.]. Queste iperboli, pur non essendo la soluzione esatta, possono essere utilmente applicate nella pratica. “Tanta vero non est inter has & illam differentia, quin illius loco possint hæ in rebus practicis non incommode adhiberi. Et utiliores forsan futuræ sunt hæ, quam Hyperbola magis accurata & simul magis composita.” - (fr:4046-4047) [Non è così grande la differenza tra queste e quella, che al posto di quella queste non possano essere usate nelle cose pratiche senza inconveniente. E forse queste saranno più utili, di un’Iperbole più accurata e insieme più complessa.].

Per l’uso pratico, completato il parallelogramma XYGT, la densità del mezzo in G è inversamente come la tangente GT, la velocità come √(GT²/GV), e la resistenza alla gravità come GT sta a ((3nn+3n)/(n+2)) GV. “Compleatur parallelogrammum XYGT , & ex natura harum Hyperbolarum facile colligitur quod recta GT tangit Hyperbolam in G, ideoq; densitas Medii in G est reciproce ut tangens GT , & velocitas ibidem ut √(GT²/GV) , resistentia autem ad vim gravitatis ut GT ad ((3 nn+3 n)/(n+2)) GV.” - (fr:4049) [Si completi il parallelogramma XYGT, e dalla natura di queste Iperboli si raccoglie facilmente che la retta GT tocca l’Iperbole in G, e quindi la densità del Mezzo in G è reciprocamente come la tangente GT, e la velocità ivi come √(GT²/GV), e la resistenza alla forza di gravità come GT sta a ((3nn+3n)/(n+2)) GV.].

[17]

[17.1-83-4139|4221]

17 Corollari e Proposizione XIII sulla resistenza e il moto sotto gravità

Dimostrazione delle relazioni tra velocità, spazio, tempo e resistenza per un corpo soggetto a gravità uniforme.

La diminuzione della velocità e della linea GD è data e proporzionale alle quantità decrescenti, per cui velocità e linea GD sono sempre analoghe. “Igitur decrementum tam velocitatis quam lineæ GD, est ut quantitas data & quantitas decrescens conjunctim, & propter analoga decrementa, analogæ semper erunt quantitates decrescentes: nimirum velocitas & linea GD.” - (fr:4139) [Pertanto la diminuzione sia della velocità che della linea GD è come una quantità data e una quantità decrescente congiuntamente, e a causa delle diminuzioni analoghe, le quantità decrescenti saranno sempre analoghe: cioè la velocità e la linea GD.]

Se la velocità è rappresentata dalla lunghezza GD, lo spazio percorso sarà come l’area iperbolica DESR. “Igitur si velocitas exponatur per longitudinem GD, spatium descriptum erit ut area Hyperbolica DESR.” - (fr:4142) [Pertanto se la velocità è rappresentata dalla lunghezza GD, lo spazio percorso sarà come l’area iperbolica DESR.] Scelto un punto R, si trova G in modo che GD stia a GR come la velocità iniziale sta a quella dopo aver percorso lo spazio ABED. “Et si utcunque assumatur punctum R, invenietur punctum G, capiendo GD ad GR ut est velocitas sub initio ad velocitatem post spatium quodvis ABED descriptum.” - (fr:4145) [E se si assume comunque un punto R, si troverà il punto G, prendendo GD rispetto a GR come è la velocità all’inizio rispetto alla velocità dopo che è stato percorso un qualsiasi spazio ABED.] Trovato G, si determina lo spazio dalla velocità data, e viceversa. “Invento autem puncto G, datur spatium ex data velocitate, & contra.” - (fr:4146) [Trovato poi il punto G, si ottiene lo spazio dalla velocità data, e viceversa.]

Dalla Proposizione XI si ha la velocità dal tempo dato, e da questa Proposizione lo spazio dalla velocità data; quindi si avrà lo spazio dal tempo dato, e viceversa. “Unde cum, per Prop. XI. detur velocitas ex dato tempore, & per hanc Propositionem detur spatium ex data velocitate; dabitur spatium ex dato tempore: & contra.” - (fr:4149-4151) [Perciò dato che, per la Proposizione XI, si ottiene la velocità dal tempo dato, e per questa Proposizione si ottiene lo spazio dalla velocità data; si avrà lo spazio dal tempo dato: e viceversa.]

Proposizione XIII, Teorema X: Un corpo attratto uniformemente verso il basso dalla gravità, che sale o scende in linea retta ed è resistito in parte in proporzione alla velocità, in parte al suo quadrato, ha tempi di moto proporzionali ai settori di cerchi e iperboli. “Posito quod corpus ab uniformi gravitate deorsum attractum recta ascendit vel descendit, & resistitur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata: dico quod si Circuli & Hyperbolæ diametris parallelæ rectæ per conjugatarum diametrorum terminos ducantur, & velocitates sint ut segmenta quædam parallelarum a dato puncto ducta, Tempora erunt ut arearum Sectores, rectis a centro ad segmentorum terminos ductis abscissi: & contra.” - (fr:4155) [Posto che un corpo attratto uniformemente verso il basso dalla gravità sale o scende in linea retta, ed è resistito in parte in proporzione alla velocità, in parte nel duplicato della stessa: dico che se si conducono rette parallele ai diametri di Cerchi e Iperboli per gli estremi dei diametri coniugati, e le velocità sono come certi segmenti delle parallele condotti da un punto dato, i Tempi saranno come i Settori delle aree, staccati dalle rette condotte dal centro agli estremi dei segmenti: e viceversa.]

Caso 1 (Ascenso): Se il corpo sale e la resistenza totale in un punto P è come AP² + 2PAB, e la gravità è rappresentata da DA², il tempo di ascenso futuro sarà come il settore circolare EDTE. “Jungantur DA, DP circulum secantes in E ac T , & exponatur gravitas per DA quadratum, ita ut sit gravitas ad resistentiam in P ut DAq. ad APq. + 2 PAB: & tempus ascensus omnis futuri erit ut circuli sector EDTE.” - (fr:4162-4164) [Si congiungano DA, DP secanti il cerchio in E e T, e si rappresenti la gravità mediante il quadrato di DA, in modo che la gravità stia alla resistenza in P come DAq. sta ad APq. + 2 PAB: e il tempo di ogni ascenso futuro sarà come il settore del cerchio EDTE.] La diminuzione di velocità PQ è proporzionale alla somma della gravità DB² e della resistenza AP² + 2BAP, cioè a DP². L’area DTV è proporzionale al dato DT². L’area EDT diminuisce uniformemente sottraendo porzioni date DTV, ed è quindi proporzionale al tempo futuro. “Decrescit igitur area EDT uniformiter ad modum temporis futuri, per subductionem datarum particularum DTV , & propterea tempori ascensus futuri proportionalis est.” - (fr:4176) [Decresce quindi l’area EDT uniformemente secondo la modalità del tempo futuro, per sottrazione di porzioni date DTV, e perciò è proporzionale al tempo dell’ascenso futuro.]

Caso 2 (Ascenso con gravità minore): Se la gravità è minore di quanto possa essere espresso da DA², si costruisce un’iperbola FTVE. Il tempo di ascenso futuro sarà come il settore iperbolico TDE. “capiatur BD ejus longitudinis, ut sit ABq. − BDq. gravitati proportionale, sitque DF ipsi DB perpendicularis & æqualis, & per verticem F describatur Hyperbola FTV E… & erit tempus ascensus futuri ut Hyperbolæ sector TDE.” - (fr:4181-4183) [si prenda BD di quella lunghezza, affinché ABq. − BDq. sia proporzionale alla gravità, e sia DF perpendicolare e uguale a DB, e per il vertice F si descriva l’Iperbole FTV E… e il tempo di ascenso futuro sarà come il settore dell’Iperbole TDE.] La diminuzione di velocità PQ è proporzionale a BP² − BD². L’area DTV risulta proporzionale al dato DF². L’area EDT diminuisce uniformemente sottraendo porzioni date DTV, ed è quindi proporzionale al tempo. “Decrescit igitur area EDT uniformiter singulis temporis particulis æqualibus, per subductionem particularum totidem datarum DTV , & propterea tempori proportionalis est.” - (fr:4203) [Decresce quindi l’area EDT uniformemente per ciascuna particella di tempo uguale, per sottrazione di altrettante porzioni date DTV, e perciò è proporzionale al tempo.]

Caso 3 (Discesa): Sia AP la velocità nella discesa, AP² + 2ABP la resistenza, e DB² − AB² la forza di gravità. Il tempo di discesa sarà come il settore DET di un’iperbola rettangolare BETV. “Sit AP velocitas in descensu corporis, & APq. + 2 ABP resistentia, & DBq. − ABq. vis gravitatis… erit Hyperbolæ hujus sector DET ut tempus descensus.” - (fr:4206-4210) [Sia AP la velocità nella discesa del corpo, e APq. + 2 ABP la resistenza, e DBq. − ABq. la forza di gravità… sarà il settore DET di questa Iperbola come il tempo della discesa.] L’incremento di velocità PQ è proporzionale all’eccesso della gravità sulla resistenza, cioè a DB² − BP². “Nam velocitatis incrementum PQ, eiq; proportionalis area DPQ, est ut excessus gravitatis supra resistentiam, id est, ut DBq. − ABq. − 2 ABP − APq. seu DBq. − BPq.” - (fr:4211-4215) [Infatti l’incremento di velocità PQ, e ad esso proporzionale l’area DPQ, è come l’eccesso della gravità sulla resistenza, cioè, come DBq. − ABq. − 2 ABP − APq. ovvero DBq. − BPq.]

[18]

[18.1-112-4224|4335]

18 Proposizioni sul moto in mezzi resistenti e sulla spirale logaritmica

La resistenza e la gravità, combinate in progressione geometrica, determinano lo spazio di ascesa o discesa attraverso la somma o differenza di aree specifiche.

L’area EDT cresce uniformemente nel tempo, essendo proporzionale al tempo di discesa: “Crescit igitur area EDT uniformiter singulis temporis particulis æqualibus, per additionem totidem datarum particularum DTV , & propterea tempori descensus proportionalis est.” - (fr:4230) [L’area EDT dunque cresce uniformemente in ogni particella uguale di tempo, per l’aggiunta di altrettante particelle date DTV, ed è perciò proporzionale al tempo di discesa.]

La velocità in un mezzo resistente è data dal rapporto tra l’area del triangolo DAP e quella del settore circolare con angolo ADT: “Igitur velocitas AP est ad velocitatem quam corpus tempore EDT , in spatio non resistente, ascendendo amittere vel descendendo acquirere posset, ut area trianguli DAP ad aream sectoris centro D, radio DA, angulo ADT descripti; ideoque ex dato tempore datur.” - (fr:4232) [Dunque la velocità AP sta alla velocità che il corpo, nel tempo EDT, in uno spazio non resistente, perderebbe salendo o acquisterebbe scendendo, come l’area del triangolo DAP sta all’area del settore descritto con centro D, raggio DA, angolo ADT; e quindi, dato il tempo, è data.]

Lo spazio descritto in ascesa o discesa è proporzionale alla differenza tra l’area DET e l’area AbNK, la quale aumenta o diminuisce in progressione aritmetica: “Dico igitur quod distantia corporis ab ejus altitudine maxima sit ut excessus areæ AbNK supra aream DET.” - (fr:4244) [Dico dunque che la distanza del corpo dalla sua altezza massima è come l’eccesso dell’area AbNK sull’area DET.] La differenza dei momenti di queste aree è proporzionale alla velocità AP e quindi allo spazio descritto: “Est igitur differentia momentorum, id est, momentum differentiæ arearum, æqualis AP ×BD×m AB ; & propterea (ob datum BD×m AB ) ut velocitas AP , id est ut momentum spatii quod corpus ascendendo vel descendendo describit.” - (fr:4302) [Dunque la differenza dei momenti, cioè il momento della differenza delle aree, è uguale a (AP × BD × m)/AB; e perciò (a causa del dato (BD × m)/AB) è come la velocità AP, cioè come il momento dello spazio che il corpo descrive ascendendo o discendendo.]

Il testo passa poi a trattare il moto circolare in mezzi resistenti, introducendo un lemma su una spirale (PQRr) che interseca tutti i raggi (SP, SQ, SR…) con angoli uguali. Si dimostrano proprietà geometriche quando due punti P e Q della spirale si avvicinano fino a coincidere: l’angolo OSP diventa retto e il quadrato di PQ diventa uguale al rettangolo TQ × PS: “Dico quod si puncta P & Q accedant ad invicem & coeant, angulus PSO evadet rectus, & ultima ratio rectanguli TQ × PS ad PQ quad. erit ratio æqualitatis.” - (fr:4320) [Dico che se i punti P e Q si avvicinano l’uno all’altro e coincidono, l’angolo PSO diventa retto, e l’ultimo rapporto del rettangolo TQ × PS al quadrato di PQ sarà il rapporto di uguaglianza.] “Unde fit PQq. æqualis TQ × PS.” - (fr:4328-4329) [Donde risulta che PQ quadrato è uguale a TQ × PS.]

Infine, viene enunciata una proposizione teorica: se la densità del mezzo è inversamente proporzionale alla distanza da un centro fisso e la forza centripeta è proporzionale al quadrato di tale densità, allora un corpo può muoversi su una spirale che interseca tutti i raggi da quel centro con un angolo costante: “Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata ratione densitatis: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quæ radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.” - (fr:4334) [Se la densità del mezzo in ciascun luogo è reciprocamente come la distanza dei luoghi da un centro immobile, e la forza centripeta è in ragione duplicata della densità: dico che un corpo può girare in una Spirale, la quale interseca tutti i raggi condotti da quel centro in un angolo dato.]

[19]

[19.1-70-4456|4525]

19 Proprietà della pressione in un fluido

Le parti di un fluido in equilibrio si premono uniformemente in ogni direzione, e la pressione si trasmette inalterata a ogni profondità.

Un fluido in equilibrio esercita una pressione uguale in tutte le direzioni su qualsiasi sua parte sferica: “Dico jam quod fluidi hujus partes omnes sphæricæ æqualiter premuntur undique” - (fr:4457) [Dico ora che tutte le parti sferiche di questo fluido sono premute ugualmente da ogni lato]. Questo principio vale per tutte le parti, anche non contigue, perché quelle intermedie trasmettono la stessa forza: “Partes igitur duæ quævis sphæricæ non contiguæ, quia pars sphærica intermedia tangere potest utramque, prementur eadem vi” - (fr:4466) [Pertanto due parti sferiche qualsiasi non contigue, poiché una parte sferica intermedia può toccarle entrambe, saranno premute con la stessa forza]. Ne consegue che “fluidi partes omnes ubiq; premuntur æqualiter” - (fr:4469) [tutte le parti del fluido sono premute ugualmente ovunque].

Se il fluido è racchiuso in un recipiente rigido, cede a una pressione maggiore in un punto, trasmettendola istantaneamente fino a ristabilire l’equilibrio: “in vase rigido Fluidum non sustinebit pressionem fortiorem ex uno latere quam ex alio, sed eidem cedet, idq; in momento temporis… pressio undique ad æqualitatem verget” - (fr:4480-4481) [in un recipiente rigido il fluido non sopporterà una pressione maggiore da un lato che dall’altro, ma cederà ad essa, e ciò in un istante di tempo… la pressione tenderà ovunque all’uguaglianza].

In un fluido sferico e omogeneo, dove le parti gravitano verso il centro, la pressione sul fondo non è data dal peso totale della colonna fluida, ma da quello di un cilindro di pari altezza: “sustinet fundum pondus Cylindri, cujus basis æqualis est superficiei fundi, & altitudo eadem quæ Fluidi incumbentis” - (fr:4489) [il fondo sopporta il peso di un Cilindro, la cui base è uguale alla superficie del fondo, e l’altezza è la stessa del fluido sovrastante]. La pressione è uguale a una data profondità, indipendentemente dall’orientamento della superficie o dalla forma del condotto: “In æqualibus autem a centro distantiis eadem semper est pressionis quantitas” - (fr:4506) [In uguali distanze dal centro, infatti, la quantità di pressione è sempre la stessa].

A causa di questa uniforme distribuzione della pressione, un corpo immerso in un tale fluido non viene messo in movimento dal peso del fluido sovrastante: “fluidi gravis partes nullum, ex pressione ponderis incumbentis, acquirunt motum inter se” - (fr:4512) [le parti di un fluido pesante non acquistano alcun moto reciproco a causa della pressione del peso sovrastante]. Un corpo sommerso, quindi, “non descendet, non ascendet, non cogetur figuram suam mutare” - (fr:4515) [non scenderà, non salirà, non sarà costretto a mutare la sua forma].

[20]

[20.1-62-4578|4639]

20 Densità di un fluido compresso in un campo gravitazionale centrale

In un fluido la cui densità è proporzionale alla compressione, e le cui parti sono attratte verso il basso da una gravità inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal centro, le densità prese a distanze in progressione armonica risultano in progressione geometrica.

Se la densità di un fluido è proporzionale alla compressione e le sue particelle sono attratte verso il centro da una forza che decresce con l’inverso del quadrato della distanza, allora, per distanze dal centro prese in progressione armonica, le densità del fluido in quelle distanze saranno in progressione geometrica “si distantiæ sumantur in progressione Musica, densitates Fluidi in his distantiis erunt in progressione Geometrica” - (fr:4594) [se le distanze si prendono in progressione armonica, le densità del fluido in queste distanze saranno in progressione geometrica]. Ciò è dimostrato considerando le densità in vari punti (A, B, C, ecc.) proporzionali ai segmenti AH, BI, CK, ecc. “Erigantur perpendicula AH, BI, CK, &c. quæ sint ut Fluidi densitates in locis A, B, C, D, E, &c.” - (fr:4596, 4597) [Si innalzino le perpendicolari AH, BI, CK, ecc., che siano come le densità del fluido nei luoghi A, B, C, D, E, ecc.]. Le differenze di densità risultano proporzionali alle aree iperboliche, e quando le distanze SA, SD, SF sono in progressione armonica, le aree corrispondenti thlx e xlnz sono uguali “& densitates St, Sx, Sz, id est AH, DL, FN , continue proportionales” - (fr:4624) [e le densità St, Sx, Sz, cioè AH, DL, FN, continuamente proporzionali]. Un corollario mostra come, date due densità note (es. AH e CK), si possa trovare la densità in qualsiasi altra altezza (FN) usando il rapporto tra aree iperboliche “& inde invenietur densitas FN in altitudine quacunque SF” - (fr:4626) [e da ciò si troverà la densità FN in qualsiasi altezza SF]. Lo scolio estende il ragionamento a casi in cui la gravità decresce con il cubo o la quarta potenza della distanza, portando ancora a densità in progressione geometrica per appropriate progressioni delle distanze “Simili argumentatione probari potest… densitates AH, BI, CK, &c. erunt in progressione Geometrica” - (fr:4628, 4635) [Con un ragionamento simile si può provare… le densità AH, BI, CK, ecc. saranno in progressione geometrica].

[21]

[21.1-43-4697|4739]

21 La proporzionalità della materia al peso e le oscillazioni in mezzi resistenti

Le quantità di materia nei corpi pendolari sono proporzionali ai pesi e al quadrato dei tempi di oscillazione, e le oscillazioni cicloidali avvengono in tempi uguali anche in un mezzo resistente.

La quantità di materia in corpi pendolari, i cui centri di oscillazione distano ugualmente dal centro di sospensione, è in ragione composta della ragione dei pesi e della ragione duplicata dei tempi di oscillazione nel vuoto (“Quantitates materiæ in corporibus funependulis, quorum centra oscillationum a centro suspensionis æqualiter distant, sunt in ratione composita ex ratione ponderum & ratione duplicata temporum oscillationum in vacuo” - (fr:4698)). Da ciò seguono diversi corollari: se i tempi sono uguali, le quantità di materia sono proporzionali ai pesi (“Si tempora sunt æqualia, quantitates materiæ in singulis corporibus erunt ut pondera” - (fr:4706)); se i pesi sono uguali, le quantità di materia sono proporzionali ai quadrati dei tempi (“Si pondera sunt æqualia, quantitates materiæ erunt ut quadrata temporum” - (fr:4709)). In generale, la quantità di materia del pendolo è direttamente come il peso e il quadrato del tempo, e inversamente come la lunghezza del pendolo (“quantitas materiæ pendulæ est ut pondus & quadratum temporis directe, & longitudo penduli inverse” - (fr:4718)). Esperimenti accurati confermano che la quantità di materia nei singoli corpi è proporzionale al loro peso (“Factis autem experimentis 190 quam accuratissimis inveni semper quantitatem materiæ in corporibus singulis eorum ponderi proportionalem esse” - (fr:4726)).

Si dimostra inoltre che corpi pendolari, che in un mezzo qualsiasi resistono in ragione dei momenti del tempo e che in un mezzo non resistente della stessa gravità specifica si muovono, compiono oscillazioni nella cicloide nello stesso tempo e descrivono simultaneamente parti proporzionali degli archi (“Corpora Funependula quæ in Medio quovis resistuntur in ratione momentorum temporis, quæque in ejusdem gravitatis specificæ Medio non resistente moventur, oscillationes in Cycloide eodem tempore peragunt, & arcuum partes proportionales simul describunt” - (fr:4731)).

[22]

[22.1-128-4748|4875]

22 Oscillazioni di pendoli in mezzi resistenti

La resistenza del mezzo modifica i tempi e gli archi di oscillazione di un corpo in una cicloide.

Le oscillazioni di pendoli in una cicloide sono isocrone anche quando la resistenza è proporzionale alla velocità, poiché le velocità rimangono proporzionali agli archi da descrivere: “velocitates semper erunt ut arcus toti describendi, & propterea arcus illi simul describentur” - (fr:4755) [Le velocità saranno sempre come gli archi totali da descrivere, e perciò quegli archi saranno descritti simultaneamente.]

Se la resistenza è come il quadrato della velocità, la differenza tra i tempi di oscillazione nel mezzo resistente e in uno non resistente è proporzionale all’arco descritto: “differentiæ inter tempora oscillationum in Medio resistente ac tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specificæ Medio non resistente, erunt arcubus oscillando descriptis proportionales, quam proxime” - (fr:4760) [Le differenze tra i tempi di oscillazione in un mezzo resistente e i tempi di oscillazione in un mezzo della stessa gravità specifica non resistente, saranno proporzionali agli archi descritti oscillando, quasi perfettamente.] Le oscillazioni più brevi sono quasi isocrone, mentre in archi maggiori i tempi sono un po’ più lunghi.

Per un pendolo cicloidale, se la resistenza è proporzionale al momento del tempo, il rapporto tra resistenza e gravità è dato da un’espressione che coinvolge la differenza tra l’arco di discesa e quello di salita: “erit ejus resistentia ad vim gravitatis ut excessus arcus descensu toto descripti supra arcum ascensu subsequente descriptum, ad penduli longitudinem duplicatam” - (fr:4783) [La sua resistenza sarà alla forza di gravità come l’eccesso dell’arco descritto nell’intera discesa sopra l’arco descritto nella successiva salita, alla lunghezza doppia del pendolo.]

Un metodo geometrico, utilizzando aree iperboliche, permette di trovare la resistenza in ogni punto quando essa è proporzionale al quadrato della velocità: “invenire resistentiam in locis singulis” - (fr:4791) [Trovare la resistenza in ogni singolo luogo.] La soluzione mostra che la resistenza in un punto D sta alla gravità come un’area definita “OR OQ IEF − IGH” sta all’area PINM.

Una proposizione più pratica e generale stabilisce che, rappresentando graficamente la resistenza lungo l’arco di oscillazione, la differenza tra l’arco di discesa e di salita, moltiplicata per la loro semisomma, è quasi uguale all’area sotto la curva della resistenza: “differentia inter arcum descensu toto descriptum, & arcum ascensu toto subsequente descriptum, ducta in arcuum eorundem semisummam, æqualis erit areæ BKaB a perpendiculis omnibus DK occupatæ, quamproxime” - (fr:4828) [La differenza tra l’arco descritto nell’intera discesa e l’arco descritto nell’intera successiva salita, moltiplicata per la semisomma degli stessi archi, sarà uguale all’area BKaB occupata da tutte le perpendicolari DK, quasi perfettamente.]

Da questa relazione, si deducono approssimazioni utili per la pratica: - Se la resistenza è uniforme, essa è alla gravità come metà della differenza degli archi (Aa) sta alla lunghezza del pendolo. - Se la resistenza è proporzionale alla velocità, la figura è quasi un’ellisse e il rapporto è circa (7/11)Aa / lunghezza del pendolo. - Se la resistenza è proporzionale al quadrato della velocità, la figura è quasi una parabola e il rapporto è (3/4)Aa / lunghezza del pendolo: “corporis oscillantis resistentia in O ad ipsius gravitatem ut 3/4 Aa ad longitudinem Penduli” - (fr:4857) [La resistenza del corpo oscillante in O alla sua gravità come 3/4 di Aa alla lunghezza del Pendolo.]

Infine, se la resistenza viene aumentata o diminuita in un dato rapporto in ogni parte proporzionale degli archi descritti, anche la differenza tra l’arco di discesa e di salita aumenterà o diminuirà nello stesso rapporto: “differentia inter arcum descensu descriptum & arcum subsequente ascensu descriptum, augebitur vel diminuetur in eadem ratione quamproxime” - (fr:4864) [La differenza tra l’arco descritto in discesa e l’arco descritto nella successiva salita, aumenterà o diminuirà nella stessa ragione, quasi perfettamente.] Ne consegue che se la resistenza è come la velocità, la differenza degli archi è come l’arco totale, e se è come il quadrato della velocità, la differenza è come il quadrato dell’arco totale.

[23]

[23.1-90-4890|4979]

23 Similitudine e resistenza nei sistemi di particelle

Se due sistemi di particelle simili iniziano a muoversi in modo proporzionale, continueranno a farlo e le loro parti maggiori subiranno una resistenza proporzionale al quadrato di velocità e diametro.

Se due sistemi di corpi sono composti da un numero uguale di particelle simili, e queste iniziano a muoversi in modo proporzionale nel tempo, continueranno a muoversi in modo simile. “Si corporum Systemata duo ex æquali particularum numero constent & particulæ correspondentes similes sint… dico quod Systematum particulæ ille pergent inter se temporibus proportionalibus similiter moveri” - (fr:4892) [Se due sistemi di corpi consistono di un uguale numero di particelle e le particelle corrispondenti sono simili… dico che quelle particelle dei sistemi continueranno a muoversi tra loro in tempi proporzionali in modo simile.]

La resistenza sulle parti maggiori dei sistemi è composta dal quadrato delle velocità, dal quadrato dei diametri e dalla densità delle parti. “Iisdem positis, dico quod Systematum partes majores resistuntur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum suarum & duplicata ratione diametrorum & ratione densitatis partium Systematum.” - (fr:4917) [Poste le stesse cose, dico che le parti maggiori dei sistemi sono resistite in una ragione composta dalla ragione duplicata delle loro velocità e dalla ragione duplicata dei diametri e dalla ragione della densità delle parti dei sistemi.]

Questa resistenza nasce sia dalle forze tra le particelle, sia dai loro urti. “Nam resistentia oritur partim ex viribus centripetis vel centrifugis quibus particulæ systematum se mutuo agitant, partim ex occursibus & reflexionibus particularum & partium majorum.” - (fr:4918) [Infatti la resistenza nasce in parte dalle forze centripete o centrifughe con cui le particelle dei sistemi si agitano reciprocamente, in parte dagli urti e dalle riflessioni delle particelle e delle parti maggiori.]

In un fluido elastico, per un proiettile molto veloce, la resistenza è quasi nel rapporto duplicato della velocità. “Proinde in eodem Fluido projectile velox resistitur in duplicata ratione velocitatis quam proxime.” - (fr:4929) [Dunque, nello stesso fluido un proiettile veloce è resistito nel rapporto duplicato della velocità quasi perfettamente.]

Quanto dimostrato vale anche per particelle che si toccano, purché siano perfettamente lisce. “Quæ in præcedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obtinent ubi particulæ Systematum se mutuo contingunt, si modo particulæ illæ sint summe lubricæ.” - (fr:4964) [Le cose dimostrate nelle due proposizioni precedenti, valgono dove le particelle dei sistemi si toccano reciprocamente, purché quelle particelle siano sommamente lubrichi.]

[24]

[24.1-133-5039|5171]

24 Resistenza dei corpi sferici nei fluidi e deflusso dell’acqua

La resistenza di una sfera in un fluido è proporzionale alla colonna di fluido che le incide perpendicolarmente, e la velocità dell’acqua che esce da un foro dipende dall’altezza della colonna sovrastante.

La resistenza di un globo in un mezzo fluidissimo è determinata dalla massa d’acqua il cui discendere esso impedisce. “Globus autem descensum quantitatis aquæ impedit, quem pondus columnæ aquæ sibi perpendiculariter incumbentis efficere posset; & propterea vim aquæ decurrentis sustinet ponderi illi æqualem” - (fr:5109) [Il globo impedisce la discesa di una quantità d’acqua, che il peso della colonna d’acqua che gli incombe perpendicolarmente potrebbe effettuare; e perciò sostiene una forza dell’acqua corrente uguale a quel peso.] La resistenza sulla superficie anteriore di una sfera che si muove uniformemente è uguale alla forza che, agendo su una massa di fluido uguale alla sfera, potrebbe generarne il moto nel tempo in cui la sfera percorre i due terzi del suo diametro. “resistentia Globi in Medio quocunque Fluidissimo uniformiter progredientis, quo tempore Globus duas tertias partes diametri suæ describit, æqualis est vi, quæ in corpus ejusdem magnitudinis cum Globo & ejusdem densitatis cum Medio uniformiter impressa, quo tempore Globus duas tertias partes diametri suæ progrediendo describit, velocitatem Globi in corpore illo generare posset” - (fr:5123) [La resistenza del Globo in un mezzo fluidissimo che procede uniformemente, nel tempo in cui il Globo descrive due terzi del suo diametro, è uguale alla forza che, impressa uniformemente in un corpo della stessa grandezza del Globo e della stessa densità del Mezzo, nel tempo in cui il Globo procedendo descrive due terzi del suo diametro, potrebbe generare la velocità del Globo in quel corpo.]

Per quanto riguarda il deflusso dell’acqua, la velocità con cui esce da un foro è proporzionale alla radice quadrata dell’altezza della colonna d’acqua sovrastante. “Est igitur velocitas quacum aqua exit e foramine, ad velocitatem quam aqua cadens, & tempore T cadendo describens spatium S acquireret, ut altitudo aquæ foramini perpendiculariter incumbentis, ad medium proportionale inter altitudinem illam duplicatam & spatium illud S” - (fr:5078) [È dunque la velocità con cui l’acqua esce dal foro, rispetto alla velocità che l’acqua cadendo, e nel tempo T cadendo descrivendo lo spazio S acquisterebbe, come l’altezza dell’acqua che incombe perpendicolarmente al foro, rispetto al medio proporzionale tra quella altezza duplicata e quello spazio S.] Il moto dell’intera acqua effluente è uguale a quello che il peso dell’acqua incombente perpendicolarmente sul foro potrebbe generare. “Unde consequens est, quod motus aquæ totius effluentis is erit quem pondus aquæ foramini perpendiculariter incumbentis generare possit” - (fr:5072) [Donde consegue che il moto di tutta l’acqua effluente sarà quello che il peso dell’acqua che incombe perpendicolarmente sul foro potrebbe generare.]

La resistenza non si annulla nemmeno con un’infinità divisione delle parti del fluido. “Hallucinantur igitur qui credunt resistentiam projectilium per infinitam divisionem partium Fluidi in infinitum diminui” - (fr:5132) [Dunque deludono coloro che credono che la resistenza dei proiettili per un’infinità divisione delle parti del Fluido diminuisca all’infinito.] Una volta raggiunto un grado competente di fluidità, un’ulteriore divisione non la diminuisce molto, e non sarà mai minore di un certo limite.

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[25.1-105-5191|5295]

25 Resistenza dei pendoli in aria e in acqua

Determinazione sperimentale della resistenza dell’aria e dell’acqua su sfere oscillanti, mediante l’analisi della diminuzione degli archi descritti da pendoli di diverse dimensioni e materiali.

La resistenza di un globo in movimento è approssimativamente proporzionale al quadrato della velocità quando si muove più velocemente, e leggermente maggiore quando si muove più lentamente “resistentia Globi, ubi celerius movetur, est in duplicata ratione velocitatis quamproxime; ubi tardius, paulo major quam in ea ratione” - (fr:5194). Attraverso esperimenti con pendoli di legno e piombo di diverse dimensioni, si misura la differenza tra l’arco di discesa e di salita, che è proporzionale alla resistenza incontrata “differentia arcuum … oriuntur ex resistentiis, suntque ut resistentiæ directe & pondera inverse” - (fr:5260,5261). Dalle equazioni ricavate, la differenza degli archi per una data velocità massima V è espressa come 0,0002097V + 0,0008955V^(3/2) + 0,0030298V² “Est igitur differentia arcuum ut 0, 0002097 V + 0, 0008955 V 3 2 + 0, 0030298 V 2” - (fr:5206).

Confrontando le resistenze dei globi di diverse dimensioni, si trova che le parti della resistenza proporzionali al quadrato della velocità sono, a parità di velocità, approssimativamente come i quadrati dei diametri “resistantiæ partes illæ quæ sunt (paribus Globis) ut quadrata velocitatum, sunt etiam (paribus velocitatibus) ut quadrata diametrorum Globorum” - (fr:5266). La resistenza del filo di sospensione è significativa e deve essere sottratta dai risultati “At nondum consideravimus resistentiam fili, quæ certe permagna erat, ac de pendulorum inventa resistentia subduci debet” - (fr:5242).

Successivamente, si confronta la resistenza in aria con quella in acqua, utilizzando un pendolo di piombo fatto oscillare in una vasca piena d’acqua “Arcam ligneam paravi … implevi aqua fontana, fecique ut immersa pendula in medio aquæ oscillando moverentur” - (fr:5273,5274). Dalle oscillazioni necessarie per perdere una data quantità di moto nei due fluidi, si calcola che la resistenza totale in acqua è molto maggiore. In particolare, la parte della resistenza in aria proporzionale al quadrato della velocità (che è la sola rilevante per moti veloci) sta alla resistenza dello stesso pendolo, con la stessa velocità, in acqua, approssimativamente come 1 a 637 “resistencia penduli in aqua est ad resistentiæ partem illam in aere … ut 637 ad 1” - (fr:5292). Se il filo fosse stato completamente immerso, il rapporto sarebbe stato circa come la densità dell’acqua rispetto a quella dell’aria “sit ad resistentiam … in aqua oscillantis, ut 800 vel 900 ad 1 circiter, hoc est ut densitas aquæ ad densitatem aeris quamproxime” - (fr:5293). Si nota però che, inaspettatamente, la resistenza in acqua aumentava in una ragione superiore al quadrato della velocità, fatto attribuito all’effetto delle pareti troppo vicine della vasca “Arca nimis angusta esset pro magnitudine Globi penduli, & motum aquæ cedentis præ angustia sua nimis impediebat” - (fr:5295).

[26]

[26.1-176-5310|5485]

26 Esperimenti sulla resistenza dei fluidi e propagazione del moto

Esperimenti con pendoli e fluidi dimostrano la proporzionalità tra resistenza e densità, e come il moto si propaghi divergendo.

Riempii un vaso alternativamente con mercurio e acqua comune, facendo oscillare un pendolo in ciascun fluido per trovare la proporzione delle resistenze: risultò che la resistenza del mercurio a quella dell’acqua era circa come 13 o 14 a 1, cioè come la loro densità “resistentia argenti vivi ad resistentiam aquæ ut 13 vel 14 ad 1 circiter: id est ut densitas argenti vivi ad densitatem aquæ” - (fr:5310). Un globo più grande diede un rapporto di circa 12 o 10 a 1, ma il primo esperimento è più attendibile perché il vaso era troppo stretto per il globo grande “vas nimis angustum fuit pro magnitudine Globi immersi” - (fr:5312). Da questi esperimenti è sufficientemente chiaro che la resistenza dei corpi mossi velocemente è pressoché proporzionale alla densità dei fluidi in cui si muovono “ex jam descriptis satis liquet resistentiam corporum celeriter motorum densitati Fluidorum in quibus moventur proportionalem esse quamproxime” - (fr:5314), benché non in modo accurato, poiché fluidi più viscosi resistono di più “Fluida tenaciora pari densitate proculdubio magis resistunt quam liquidiora” - (fr:5316).

Per indagare se la resistenza avviene solo sulla superficie esterna o anche nelle parti interne, concepii un esperimento con un pendolo costituito da una scatola di abete sospesa. Riempii la scatola vuota e poi piena di metalli, misurando le oscillazioni. La resistenza totale della scatola piena non era maggiore di quella della scatola vuota in proporzione di 78 a 77 “resistentia tota pyxidis plenæ non majorem habebat proportionem ad resistentiam pyxidis vacuæ quam 78 ad 77” - (fr:5343). Da questo calcolo, la resistenza nelle parti interne è oltre cinquemila volte minore di quella sulla superficie esterna “resistentia pyxidis vacuæ in partibus internis quinquies millies minor quam ejusdem resistentia in externa superficie, & amplius” - (fr:5347). Concludo che la resistenza nelle parti interne o è nulla o del tutto impercettibile “resistentia pyxidum in partibus internis aut nulla erit aut plane insensibilis” - (fr:5351).

La pressione non si propaga in un fluido secondo linee rette, se non quando le particelle del fluido giacciono in linea diretta “Pressio non propagatur per Fluidum secundum lineas rectas, nisi ubi particulæ Fluidi in directum jacent” - (fr:5367). Non appena si propaga a particelle non allineate, comincia a divaricare e a propagarsi obliquamente all’infinito “Pressio igitur, quam primum propagatur ad particulas quæ non in directum jacent, divaricare incipiet & oblique propagabitur in infinitum” - (fr:5369). Analogamente, ogni moto propagato attraverso un fluido diverge dalla traiettoria retta negli spazi immobili “Motum omnis per Fluidum propagatus divergit a recto tramite in spatia immota” - (fr:5386). Ciò si verifica per le onde nell’acqua, per i pulsi in un mezzo elastico come il suono “Hoc experimur in sonis” - (fr:5408), e per moti di qualsiasi genere.

Un corpo tremulo in un mezzo elastico propaga moti pulsanti in linea retta in ogni direzione “Corpus omne tremulum in Medio Elastico propagabit motum pulsuum undique in directum” - (fr:5416). In un mezzo non elastico, eccita invece un moto circolare “in Medio vero non Elastico motum circularem excitabit” - (fr:5416). Si illudono quindi quelli che credono che l’agitazione delle parti di una fiamma conduca a propagare la pressione attraverso il mezzo ambiente secondo linee rette “Hallucinantur igitur qui credunt agitationem partium flammæ ad pressionem per Medium ambiens secundum lineas rectas propagandam conducere” - (fr:5433).

Se l’acqua in un canale a U sale e scende alternativamente, e si costruisce un pendolo la cui lunghezza è la metà della colonna d’acqua, l’acqua salirà e scenderà negli stessi tempi in cui il pendolo oscilla “aqua ascendet & descendet iisdem temporibus quibus pendulum oscillatur” - (fr:5439). Le alternanze sono isocrone “vices omnes sunt Isochronæ” - (fr:5448). La velocità delle onde è nella ragione subduplicata della loro larghezza “Undarum velocitas est in dimidiata ratione latitudinum” - (fr:5460). Per trovare la velocità delle onde, si costituisca un pendolo la cui lunghezza eguagli la larghezza delle onde: nel tempo in cui quel pendolo compie una oscillazione, l’onda progredendo compirà pressappoco la sua larghezza “quo tempore pendulum illud oscillationes singulas peragit, eodem Undæ progrediendo latitudinem suam propemodum conficient” - (fr:5467).

[27]

[27.1-69-5699|5767]

27 Proprietà e comportamento dei vortici in un fluido

Un globo rotante in un fluido genera un vortice il cui moto si propaga all’infinito, soggetto a precise leggi cinematiche.

Se un globo ruota uniformemente in un fluido infinito e simile, il moto si comunica formando un vortice e si propaga gradualmente all’infinito. Le parti del vortice accelerano finché i loro periodi di rivoluzione non diventano proporzionali ai quadrati delle distanze dal centro: “neque prius cessabit in singulis fluidi partibus accelerari, quam tempora periodica singularum partium sint ut quadrata distantiarum a centro globi” - (fr:5701) [né cesserà prima di accelerare nelle singole parti del fluido, finché i periodi delle singole parti non saranno come i quadrati delle distanze dal centro del globo]. Il moto viene trasferito perpetuamente dal centro alla circonferenza del vortice e dissipato. Per conservare lo stato di moto, è necessario un principio attivo che fornisca al globo la stessa quantità di moto che imprime al fluido, altrimenti il vortice interno rallenterebbe gradualmente.

Se più globi ruotano in posizioni fisse, generano altrettanti vortici che si estendono all’infinito e si influenzano a vicenda, spostando i globi dalle loro posizioni a meno che non siano trattenuti da una forza. “vortices non definientur certis limitibus, sed in se mutuo paulatim excurrent; globiq; per actiones vorticum in se mutuo, perpetu` o movebuntur de locis suis” - (fr:5721) [i vortici non saranno definiti da certi limiti, ma gradualmente si diffonderanno l’uno nell’altro; e i globi, per le azioni reciproche dei vortici, si muoveranno perpetuamente dai loro luoghi]. Se cessano le forze che mantengono la rotazione dei globi, il moto si estinguerà e i vortici si fermeranno.

In un vaso sferico contenente fluido, con un globo al centro, l’unica costituzione permanente del vortice si ha quando i periodi delle parti del fluido sono come i quadrati delle loro distanze dal centro. “Alia nulla Vorticis constitutio potest esse permanens” - (fr:5726) [Nessun’altra costituzione del vortice può essere permanente]. Il moto del fluido può essere determinato anche se il vaso è in movimento, aggiungendo o sottraendo moti angolari all’intero sistema.

L’autore specifica di supporre un fluido uniforme in densità e fluidità. Se la fluidità fosse minore in alcune parti, il moto si propagherebbe più lentamente. In un vaso non sferico, le particelle descrivono linee conformi alla figura del vaso e accelerano e decelerano alternativamente nel loro percorso.

Questa indagine sulle proprietà dei vortici è condotta per verificare se i fenomeni celesti possano essere spiegati attraverso di essi. Tuttavia, sorge una difficoltà: nei vortici descritti, i periodi sono nel rapporto duplicato delle distanze, mentre le osservazioni mostrano che i periodi dei pianeti attorno a Giove e al Sole seguono la proporzione sesquialtera (3/2). “Phænomenon est quod Planetarum circa Jovem revolventium tempora periodica sunt in ratione sesquialtera distantiarum ` a centro Jovis; & eadem Regula obtinet in Planetis qui circa Solem revolvuntur” - (fr:5764) [Il fenomeno è che i periodi dei pianeti che ruotano attorno a Giove sono nella proporzione sesquialtera delle distanze dal centro di Giove; e la stessa regola vale per i pianeti che ruotano attorno al Sole]. Per far coincidere il modello vorticoso con questa legge osservata, sarebbe necessario che la materia del vortice diventasse più fluida all’aumentare della distanza dal centro, o che la resistenza interna aumentasse in una proporzione maggiore dell’aumento di velocità.

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[28.1-71-5915|5985]

28 Determinazione delle forze celesti e delle orbite

Le eclissi dei satelliti gioviani determinano la posizione di Giove e la sua distanza; le ipotesi newtoniane spiegano il moto dei pianeti e della Luna in base alle forze inverse al quadrato della distanza.

La posizione eliocentrica di Giove si determina dalle eclissi dei suoi satelliti: “Etenim per Eclipses illas determinatur positio umbræ quam Jupiter projicit, & eo nomine habetur Jovis longitudo Heliocentrica” - (fr:5915) [Infatti attraverso quelle eclissi si determina la posizione dell’ombra che Giove proietta, e per questo motivo si ricava la longitudine eliocentrica di Giove.] Confrontando le longitudini eliocentrica e geocentrica si ottiene la sua distanza: “Ex longitudinibus autem Heliocentrica & Geocentrica inter se collatis determinatur distantia Jovis” - (fr:5916) [Dalle longitudini eliocentrica e geocentrica confrontate tra loro si determina la distanza di Giove.]

Si enunciano poi ipotesi fondamentali sul moto: i pianeti primari descrivono aree proporzionali al tempo rispetto al Sole, e non alla Terra, poiché rispetto ad essa il moto è irregolare: “Planetas primarios radiis ad Terram ductis areas describere temporibus minimè e proportionales; at radiis ad Solem ductis areas temporibus proportionales percurrere” - (fr:5919) [I pianeti primari descrivono aree minimamente proporzionali ai tempi con raggi condotti alla Terra; ma con raggi condotti al Sole percorrono aree proporzionali ai tempi.] “Nam respectu terræ nunc progrediuntur, nunc stationarii sunt, nunc etiam regrediuntur: At Solis respectu semper progrediuntur, idque propemodum uniformi cum motu” - (fr:5920) [Infatti rispetto alla Terra ora procedono, ora sono stazionari, ora anche retrocedono: Ma rispetto al Sole procedono sempre, e ciò con moto pressoché uniforme.] Lo stesso principio, con lievi perturbazioni solari, vale per la Luna rispetto alla Terra: “Lunam radio ad centrum terræ ducto aream tempori proportionalem describere” - (fr:5924) [La Luna descrive un’area proporzionale al tempo con un raggio condotto al centro della terra.]

Queste ipotesi portano a dimostrare tre proposizioni teoriche. La prima afferma che le forze che trattengono i satelliti di Giove sono dirette verso il suo centro e inverse al quadrato della distanza: “Vires, quibus Planetæ circumjoviales perpetuo retrahuntur à motibus rectilineis & in orbibus suis retinentur, respicere centrum Jovis, & esse reciproce ut quadrata distantiarum locorum ab eodem centro” - (fr:5929) [Le forze, con cui i pianeti circumgioviani sono continuamente ritratti dai moti rettilinei e trattenuti nelle loro orbite, rispettano il centro di Giove, e sono reciprocamente come i quadrati delle distanze dei luoghi da quello stesso centro.]

La seconda proposizione estende lo stesso principio ai pianeti primari rispetto al Sole: “Vires, quibus Planetæ primarii perpetuo retrahuntur à motibus rectilineis, & in Orbibus suis retinentur, respicere Solem, & esse reciproce ut quadrata distantiarum ab ipsius centro” - (fr:5946) [Le forze, con cui i pianeti primari sono continuamente ritratti dai moti rettilinei, e trattenuti nelle loro orbite, rispettano il Sole, e sono reciprocamente come i quadrati delle distanze dal suo centro.] Questa parte è dimostratissima anche dalla quiete degli afeli: “Accuratissimè autem 242 demonstratur hæc pars Propositionis per quietem Apheliorum” - (fr:5958) [Questa parte della proposizione è dimostratissima inoltre dalla quiete degli Afeli.] Una minima deviazione dalla proporzione inversa al quadrato causerebbe un moto notabile degli absidi: “aberratio quam minima à ratione duplicata… motum Apsidum in singulis revolutionibus notabilem, in pluribus enormem efficere deberet” - (fr:5959, 5965) [una aberrazione anche minima dalla ragione duplicata… dovrebbe causare un moto degli Absidi notabile in ogni rivoluzione, enorme in molte.]

La terza proposizione applica la legge alla Luna rispetto alla Terra: “Vim qua Luna retinetur in Orbe suo respicere terram, & esse reciprocò ut quadratum distantiæ locorum ab ipsius centro” - (fr:5970) [La forza con cui la Luna è trattenuta nella sua orbita rispetta la terra, ed è reciprocamente come il quadrato della distanza dei luoghi dal suo centro.] La prova viene dal lentissimo moto dell’apogeo lunare: “pars posterior per motum tardissimum Lunaris Apogæi” - (fr:5978) [la parte posteriore attraverso il moto lentissimo dell’Apogeo lunare.] Questo moto, di soli tre gradi per rivoluzione, è trascurabile e dimostra che la forza è quasi esattamente inversa al quadrato della distanza: “vis à qua motus talis oriatur, sit reciproce ut D 2 4 243 , id est reciprocè ut ea ipsius D dignitas, cujus index est 2 4 243 , hoc est in ratione distantiæ paulo majore quam duplicata inverse” - (fr:5980, 5985) [la forza da cui un tale moto ha origine, sia reciprocamente come D^(2 4/243), cioè reciprocamente come quella potenza della stessa D il cui indice è 2 4/243, cioè in una ragione della distanza un po’ maggiore dell’inverso duplicato.]

[29]

[29.1-73-6137|6209]

29 Comparazione dei pesi, masse e densità dei corpi celesti

La gravità e la densità dei pianeti sono calcolate a partire dalle loro distanze e dai loro periodi orbitali.

Dai periodi orbitali e dalle distanze, si possono calcolare e confrontare i pesi dei corpi su diversi pianeti. Infatti, “Hinc inveniri & inter se comparari possunt pondera corporum in diversos Planetas” - (fr:6137) [Da qui si possono trovare e confrontare tra loro i pesi dei corpi sui diversi pianeti]. Il calcolo, basato sulle leggi del moto e della gravitazione, mostra che i pesi di corpi uguali, posti alla stessa distanza dal Sole, da Giove, da Saturno e dalla Terra, stanno tra loro rispettivamente come 1, 1/1100, 1/2360 e 1/28700: “inveni quod corporum æqualium & a Sole, Jove, Saturno ac Terra æqualiter distantium pondera in Solem, Jovem, Saturnum ac Terram forent ad invicem ut 1, 1 1100 , 1 2360 & 1 28700 respectiv” - (fr:6148) [ho trovato che i pesi di corpi uguali ed egualmente distanti dal Sole, Giove, Saturno e Terra verso il Sole, Giove, Saturno e Terra sarebbero tra loro rispettivamente come 1, 1/1100, 1/2360 e 1/28700].

Confrontando i diametri apparenti, si determinano i diametri reali e, di conseguenza, i pesi sulla superficie dei pianeti: “erunt pondera eorundem æqualium corporum in Solem, Jovem, Saturnum & Terram, in distantiis 10000, 1063, 889 & 208 ab eorum centris, atque adeo in eorum superficiebus versantium, ut 10000, 804 1 2 , 536 & 805 1 2 respective"*</mark> - (fr:6156) [i pesi degli stessi corpi uguali verso il Sole, Giove, Saturno e Terra, a distanze 10000, 1063, 889 e 208 dai loro centri, e quindi sulla loro superficie, saranno rispettivamente come 10000, 804 e 1/2, 536 e 805 e 1/2]. Da ciò segue che <mark>*"pondera corporum æqualium, in superficiebus Terræ & Planetarum, sunt fere in ratione dimidiata diametrorum apparentium e Sole visarum” - (fr:6160) [i pesi di corpi uguali, sulle superfici della Terra e dei Pianeti, sono quasi nella proporzione della radice quadrata dei diametri apparenti visti dal Sole].

Da questi dati si ricavano anche la quantità di materia e la densità di ciascun pianeta: “Innotescit etiam quantitas materiæ in Planetis singulis” - (fr:6168) [Si conosce anche la quantità di materia in ciascun pianeta] e “Innotescunt etiam densitates Planetarum” - (fr:6173) [Si conoscono anche le densità dei Pianeti]. Il calcolo fornisce i valori relativi: “densitates sunt ut 100, 60, 76, 387” - (fr:6178) [le densità stanno come 100, 60, 76, 387]. Ne risulta che “Sol paulo densior quam Jupiter, & Terra multo densior quam Sol” - (fr:6180) [Il Sole è un po’ più denso di Giove, e la Terra è molto più densa del Sole].

Le densità planetarie sono legate alla distanza dal Sole, suggerendo una disposizione finalistica: “Collocavit igitur Deus Planetas in diversas distantiis ` a Sole, ut quilibet pro gradu densitatis calore Solis majore vel minore fruatur” - (fr:6186) [Dio dunque collocò i Pianeti a diverse distanze dal Sole, affinché ciascuno, in base al proprio grado di densità, goda di un calore solare maggiore o minore]. L’acqua sulla Terra, ad esempio, “si Terra locaretur in orbe Saturne, rigesceret, si in orbe Mercurii in vapores statim abiret” - (fr:6187) [se la Terra fosse collocata nell’orbita di Saturno, si solidificherebbe, se nell’orbita di Mercurio si trasformerebbe immediatamente in vapori].

Infine, si afferma che la gravità diminuisce allontanandosi dalla superficie e che il moto dei pianeti può conservarsi a lungo nel vuoto celeste: “Gravitatem pergendo a superficiebus Planetarum deorsum decrescere in ratione distantiarum a centro quam proxime"*</mark> - (fr:6194) [La gravità, procedendo dalle superfici dei Pianeti verso il basso, decresce quasi nella proporzione delle distanze dal centro] e <mark>*"Motús Planetarum in Cœlis diutissim e conservari posse” - (fr:6202) [I moti dei Pianeti nei Cieli possono conservarsi per moltissimo tempo].

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[30.1-33-6293|6325]

30 Determinazione delle dimensioni, eccentricità e moti degli orbi planetari

Calcolo degli assi maggiori e delle eccentricità orbitali mediante le proporzioni di Newton.

Le stelle fisse sono in quiete perché mantengono le loro posizioni date agli afeli e ai nodi. “Quiescunt etiam Stellæ fixæ, propterea quod datas ad Aphelia Nodosque positiones servant.” - (fr:6294) [Anche le stelle fisse sono in quiete, perché mantengono le posizioni date agli afeli e ai nodi.] Non avendo parallasse sensibile dal moto annuale della Terra, le loro forze, a causa dell’immensa distanza, non producono effetti sensibili nel nostro sistema. “Ideoque cum nulla sit earum parallaxis sensibilis ex Terræ motu annuo oriunda, vires earum ob immensam corporum distantiam nullos edent sensibiles effectus in regione Systematis nostri.” - (fr:6297) [E quindi, poiché non c’è una loro parallasse sensibile derivante dal moto annuale della Terra, le loro forze, a causa dell’immensa distanza dei corpi, non produrranno effetti sensibili nella regione del nostro Sistema.]

Per trovare i diametri trasversi (assi maggiori) degli orbi, questi vanno presi nella proporzione sesquialtera dei tempi periodici (Terza Legge di Keplero), poi aumentati individualmente in proporzione alla somma delle masse del Sole e di ciascun pianeta. “Capiendæ sunt hæ in ratione sesquialtera temporum periodicorum… deinde sigillatim augendæ in ratione summæ massarum Solis & Planetæ cujusque revolventis…” - (fr:6303, 6306) [Questi devono essere presi nella proporzione sesquialtera dei tempi periodici… poi individualmente aumentati in proporzione alla somma delle masse del Sole e di ciascun pianeta che rivoluisce.]

Le eccentricità degli orbi e le posizioni degli afeli si determinano tramite un problema risolto nella Proposizione XVIII. “Invenire Orbium Excentricitates & Aphelia. Problema confit per Prop. XVIII. Lib. I.” - (fr:6313, 6314, 6316) [Trovare le eccentricità degli orbi e gli afeli. Il problema si risolve mediante la Proposizione XVIII. Libro I.]

I moti diurni dei pianeti sono uniformi e la librazione della Luna deriva dal suo stesso moto diurno, come è evidente dalla Prima Legge del moto. “Planetarum motus diurnos uniformes esse, & librationem Lunæ ex ipsius motu diurno oriri. Patet per motus Legem I…” - (fr:6322, 6323) [I moti diurni dei pianeti sono uniformi, e la librazione della Luna deriva dal suo stesso moto diurno. È evidente per la Legge I del moto…]

[31]

[31.1-97-6481|6577]

31 Determinazione dei moti lunari e delle maree

Dai moti della Luna si derivano analoghi moti per i satelliti di Giove, e dalle azioni del Sole e della Luna nascono il flusso e riflusso del mare.

I moti dei nodi e delle apsidi dei satelliti di Giove si derivano per analogia dai moti corrispondenti della nostra Luna, mediante proporzioni che coinvolgono i loro periodi orbitali. Ad esempio, “Motus medius Nodorum Satellitis extimi Jovialis est ad motum medium Nodorum Lunæ nostræ, in ratione composita ex ratione duplicata temporis periodici Terræ circa Solem ad tempus periodicum Jovis circa Solem, & ratione simplici temporis periodici Satellitis circa Jovem ad tempus periodicum Jovis circa Solem, & ratione simplici temporis periodici Satellitis circa Jovem ad tempus periodicum Lunæ circa Terram” - (fr:6482) [Il moto medio dei nodi del satellite più esterno di Giove sta al moto medio dei nodi della nostra Luna, in una ragione composta dalla ragione duplicata del tempo periodico della Terra intorno al Sole rispetto al tempo periodico di Giove intorno al Sole, e dalla ragione semplice del tempo periodico del satellite intorno a Giove rispetto al tempo periodico di Giove intorno al Sole, e dalla ragione semplice del tempo periodico del satellite intorno a Giove rispetto al tempo periodico della Luna intorno alla Terra]. I moti risultanti sono molto lenti e regolari, tanto che “motus Satellitum summe regulares reperiantur, utque Astronomi recentiores aut motum omnem Nodis denegent, aut asserant tardissim e retrogradum” - (fr:6495) [i moti dei satelliti si trovino regolarissimi, tanto che gli astronomi recenti o negano ogni moto ai nodi, o affermano che sia retrogradissimo].

Il flusso e riflusso del mare sono causati dalle azioni combinate del Sole e della Luna. “Fluxum & refluxum Maris ab actionibus Solis ac Lunæ oriri debere” - (fr:6501) [Il flusso e riflusso del Mare devono originarsi dalle azioni del Sole e della Luna]. Il mare si solleva due volte al giorno, e l’altezza massima dell’acqua segue il passaggio dei luminari al meridiano con un ritardo di circa tre ore, come osservato in molti litorali: “aquæ maximam altitudinem, in maribus profundis & liberis, appulsum Luminarium ad Meridianum loci minori qu`am sex horarum spatio sequi, uti fit in Maris Atlantici & Æthiopici tractu toto orientali inter Galliam & Promontorium Bonæ Spei, ut & in Maris Pacifici littore Chilensi & Peruviano” - (fr:6507) [la massima altezza dell’acqua, in mari profondi e liberi, segue il passaggio dei Luminari al meridiano del luogo in un intervallo minore di sei ore, come avviene nella regione orientale dell’Oceano Atlantico ed Etiopico tra la Francia e il Capo di Buona Speranza, come anche nella costa cilena e peruviana dell’Oceano Pacifico].

Gli effetti dei due astri si combinano: si sommano in congiunzione e opposizione (sizigie), producendo le maree massime, mentre in quadratura si contrastano, producendo le maree minime. “In Luminarium Conjunctione vel Oppositione conjugentur eorum effectus, & componetur fluxus & refluxus maximus. In Quadraturis Sol attollet aquam ubi Luna deprimit, deprimetque ubi Sol attollit; & ex effectuum differentia æstus omnium minimus orietur” - (fr:6510, 6511) [Nella Congiunzione o Opposizione dei Luminari si congiungono i loro effetti, e si compone il flusso e riflusso massimo. Nelle Quadrature il Sole solleverà l’acqua dove la Luna la deprime, e la deprimerà dove il Sole la solleva; e dalla differenza degli effetti nascerà la marea minima di tutte]. L’effetto della Luna è maggiore di quello del Sole.

L’entità delle maree dipende anche dalla distanza e dalla declinazione dei luminari rispetto all’equatore. “Pendent autem effectus Luminarium ex eorum distantiis ` a Terra. In minoribus enim distantiis majores sunt eorum effectus, in majoribus minores, idque in triplicata ratione diametrorum apparentium” - (fr:6516, 6517) [Dipendono poi gli effetti dei Luminari dalle loro distanze dalla Terra. Infatti a distanze minori sono maggiori i loro effetti, a distanze maggiori minori, e ciò nella ragione triplicata dei diametri apparenti]. “Pendet etiam effectus utriusque Luminaris ex ipsius Declinatione seu distantia ab Æquatore” - (fr:6520) [Dipende anche l’effetto di ciascuno dei due Luminari dalla sua Declinazione o distanza dall’Equatore].

La propagazione delle maree attraverso stretti e foci fluviali può ritardarle o modificarne il ritmo. In alcuni porti, come Batsham nel Tonchino, le maree arrivano una sola volta al giorno a causa della sovrapposizione di due onde di marea provenienti da mari diversi con tempi differenti. “Ibi aqua die transitum Lunæ per Æquatorem sequente stagnat, dein Lunˆ a ad Boream declinante incipit fluere & refluere, non bis, ut in aliis portubus, sed semel singulis diebus; & æstus incidit in occasum Lunæ, defluxus maximus in ortum” - (fr:6549) [Lì l’acqua, nel giorno che segue il passaggio della Luna per l’Equatore, ristagna, poi, con la Luna che declina a Nord, comincia a fluire e rifluire, non due volte, come negli altri porti, ma una volta per ciascun giorno; e il flusso si verifica al tramonto della Luna, il riflusso massimo al suo sorgere].

Infine, si affronta il calcolo quantitativo delle forze del Sole che perturbano i moti della Luna. “Invenire vires Solis ad perturbandos motus Lunæ” - (fr:6559) [Trovare le forze del Sole per perturbare i moti della Luna]. La forza perturbatrice ML è calcolata in rapporto alla forza di gravità che tiene la Luna in orbita.

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[32.1-93-6751|6843]

32 Motus Nodorum Lunae in Orbe Elliptico

Calcolo del moto orario dei nodi lunari in un’orbita ellittica, con le sue variazioni in base alla posizione rispetto a quadratura e sizigia.

Il moto orario dei nodi lunari è proporzionale all’area pDdm e al quadrato del seno della distanza del nodo dal Sole (“erit motus Nodi in Ellipsi ut area pDdm” - (fr:6802) [Il moto del Nodo nell’Ellisse sarà come l’area pDdm]; “motus horarius Nodorum semper sit ut AZ qu. & area PDdM conjunctim” - (fr:6788) [il moto orario dei Nodi sia sempre come AZ al quadrato e l’area PDdM congiuntamente]). Il moto medio è la metà di quello alle sizigie lunari (“motus horarius mediocris est semissis motus horarii in Syzygiis Lunæ” - (fr:6773) [Il moto orario medio è la metà del moto orario nelle Sizigie della Luna]). Quando la Luna si trova tra una quadratura e il nodo più vicino, i nodi progrediscono; negli altri casi regrediscono, con un moto risultante in anticipo (“Nodi progrediantur quoties Luna inter Quadraturam alterutram & Nodum Quadraturæ proximum versatur. Aliis in casibus regrediuntur, & per excessum regressus supra progressum, singulis mensibus feruntur in antecedentia” - (fr:6760, 6761) [I nodi progrediscono ogni volta che la Luna si trova tra una qualunque Quadratura e il Nodo più vicino alla Quadratura. Negli altri casi regrediscono, e per l’eccesso della regressione sulla progressione, ogni mese sono portati in antecedenza]). Il moto cambia direzione quando il segno di un angolo cambia da positivo a negativo (“quoties signum anguli alicujus de affirmativo in negativum, deque negativo in affirmativum mutatur, debebit motus regressivus in progressivum & progressivus in regressivum mutari” - (fr:6759) [E ogni volta che il segno di un qualsiasi angolo cambia da affermativo a negativo, e da negativo ad affermativo, il moto regressivo dovrà mutarsi in progressivo e quello progressivo in regressivo]). Il moto medio orario nell’ellisse sta a quello nel cerchio come l’ellisse al cerchio, cioè approssimativamente come 68 11/12 a 69 11/12 (“motus mediocris Nodorum in Ellipsi erit ad motum mediocrem Nodorum in circulo, ut Ellipsis ad circulum, id est ut Ta ad TA, seu 68 11 12 ad 69 11 12” - (fr:6811) [Il moto medio dei Nodi nell’Ellisse sarà al moto medio dei Nodi nel cerchio, come l’Ellisse al cerchio, cioè come Ta a TA, ovvero 68 11/12 a 69 11/12]). La velocità areolare della Luna, maggiore alle sizigie, causa una variazione nel tempo e quindi nel moto dei nodi (“Luna, radio ad Terram ducto, aream velocius describit in Syzygiis quàm in Quadraturis, & eo nomine tempus in Syzygiis contrahitur, in Quadraturis producitur; & una cum tempore motus Nodorum augetur ac diminuitur” - (fr:6828) [La Luna, con il raggio condotto alla Terra, descrive l’area più velocemente nelle Sizigie che nelle Quadrature, e per questo motivo il tempo nelle Sizigie si contrae, nelle Quadrature si prolunga; e insieme al tempo il moto dei Nodi aumenta e diminuisce]). Il moto dei nodi è accelerato o ritardato in ragione duplicata del tempo (“Motus autem Nodorum, quo tempore Luna percurrit singulas Orbis particulas æquales, acceleratur vel retardatur in duplicata ratione temporis” - (fr:6832) [Il moto dei Nodi, nel tempo in cui la Luna percorre singole particelle uguali dell’Orbita, è accelerato o ritardato in ragione duplicata del tempo]).

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[33.1-63-7051|7113]

33 Calcolo della variazione dell’inclinazione dell’orbita lunare

Dimostrazione e calcolo numerico della variazione dell’inclinazione dell’orbita lunare in relazione alla posizione dei nodi e della Luna.

Se la distanza AH, in un dato caso, è il seno dell’inclinazione, essa aumenterà con gli stessi incrementi del seno dell’inclinazione, e perciò rimarrà sempre uguale a quel seno. “Igitur si AH in casu aliquo sit Sinus inclinationis, augebitur ea iisdem incrementis cum sinu inclinationis… & propterea sinui illi æqualis semper manebit.” - (fr:7061, 7063) [Perciò se AH in un qualche caso è il seno dell’inclinazione, essa aumenterà con gli stessi incrementi del seno dell’inclinazione… e perciò rimarrà sempre uguale a quel seno.]

Questa è la massima variazione dell’inclinazione in quanto non si considera la posizione della Luna nella sua orbita. “Hæc est inclinationis Variatio maxima quatenus locus Lunæ in Orbe suo non consideratur.” - (fr:7082) [Questa è la variazione massima dell’inclinazione in quanto non si considera il luogo della Luna nella sua orbita.] Tuttavia, se i nodi sono nelle quadrature, l’inclinazione è maggiore quando la Luna si trova nelle sizigie rispetto a quando è nelle quadrature, con un eccesso di 2’ 44“. “At si Nodi in Quadraturis consistunt, inclinatio major est ubi Luna versatur in Syzygiis, qu`am ubi ea versatur in Quadraturis, excessu 2 44 00” - (fr:7084) [Ma se i nodi si trovano nelle Quadrature, l’inclinazione è maggiore dove la Luna si trova nelle Sizigie, che dove essa si trova nelle Quadrature, con un eccesso di 2’ 44”.]

Dai calcoli, la variazione totale BD risulta essere 16’ 24“. “& inde Variatio illa BD prodibit 16 24 ” - (fr:7080) [e da ciò quella variazione BD risulterà 16’ 24”.] Gli astronomi stabiliscono che l’inclinazione dell’orbita lunare, quando i nodi sono nelle quadrature e la Luna in opposizione al Sole, è di circa 5°; quando i nodi sono nelle sizigie, è di 5° 17’ 1/2 o 5° 18’. “Nam statuunt Astronomi Inclinationem Orbis Lunaris… ubi Nodi sunt in Quadraturis & Luna in oppositione Solis, esse quasi 5 gr…. Ubi ver` o Nodi sunt in Syzygiis, eandem docent esse 5 gr. 17 0 1 2 vel 5 gr. 18” - (fr:7095, 7097) [Infatti gli astronomi stabiliscono che l’inclinazione dell’orbita lunare… dove i nodi sono nelle Quadrature e la Luna in opposizione al Sole, sia circa 5°… Dove invece i nodi sono nelle Sizigie, insegnano che la stessa è 5° 17’ 1/2 o 5° 18’.]

Fin qui i moti della Luna in quanto non si considera l’eccentricità dell’orbita. “Hactenus de motibus Lunæ quatenus Excentricitas Orbis non consideratur.” - (fr:7107) [Fin qui dei moti della Luna in quanto non si considera l’eccentricità dell’Orbita.] Con calcoli simili si trova che l’apogeo, quando è in congiunzione o opposizione al Sole, avanza ogni giorno di 23’ rispetto alle fisse; quando è nelle quadrature, retrocede di circa 16’ 1/3 al giorno, con un moto medio annuo di circa 40°. “Similibus computationibus inveni, quod Apogæum ubi in Conjunctione vel Oppositione Solis versatur, progreditur singulis diebus 23 0 respectu Fixarum; ubi ver` o in Quadraturis est, regreditur singulis diebus 16 1 3 circiter: quodque ipsius motus medius annuus sit quasi 40 gr.” - (fr:7108) [Con simili calcoli ho trovato, che l’apogeo dove si trova in Congiunzione o Opposizione del Sole, avanza ogni giorno di 23’ rispetto alle Fisse; dove invece è nelle Quadrature, retrocede ogni giorno di circa 16’ 1/3: e che il suo moto medio annuo sia circa 40°.]

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[34.1-140-7274|7413]

34 Sul moto degli equinozi e la natura dei Cometi

La precessione degli equinozi è calcolata e corretta per l’obliquità dell’eclittica; i cometi sono corpi planetari superiori alla Luna, la cui distanza è dedotta da parallasse, luminosità e moto.

La Terra non è una sfera perfetta ma un ellissoide schiacciato ai poli. Se si immagina composta da innumerevoli strati ellittici concentrici, la forza del Sole e della Luna fa regredire i punti equinoziali di ciascuno strato alla stessa velocità, indipendentemente dalla densità, purché la materia sia uniforme. Tuttavia, poiché la Terra è più densa al centro e quindi più alta all’equatore, questo regresso è aumentato. “Terram autem ad centrum densiorem esse, & propterea sub Æquatore altiorem esse quam ad polos in majore ratione quam 692 ad 689” - (fr:7282) [La Terra è infatti più densa al centro, e perciò sotto l’Equatore è più alta che ai poli in una ragione maggiore di 692 a 689]. Le misurazioni del pendolo a Cayenna e Gorée mostrano una diminuzione della gravità all’equatore maggiore di quanto atteso, indicando un ulteriore schiacciamento. “Major est itaque longitudo Penduli Cayennæ qu`am oportet, in ratione 1 8 ad 89 1000 , seu 1000 ad 712” - (fr:7285) [La lunghezza del pendolo di Cayenna è quindi maggiore di quanto dovrebbe, nella ragione di 1/8 a 89/1000, ossia 1000 a 712]. Considerando questo, il moto annuo degli equinozi, calcolato prima per l’altezza media della Terra, risulta di 54 secondi. Questo valore deve poi essere ridotto per l’inclinazione del piano dell’equatore sull’eclittica (23.5°), moltiplicandolo per il seno del complemento (circa 917). “diminuendus est motus 54 29 in ratione Sinus 91706 … ad Radium 100000” - (fr:7296) [il moto di 54’’ 29’’’ deve essere diminuito nella ragione del Seno .. al Raggio 100000]. Il risultato finale è un regresso di circa 49 secondi all’anno, in accordo con le osservazioni astronomiche. “Regrediuntur igitur puncta æquinoctiorum motu annuo (juxta computationem nostram) 49 58 000, fere ut Phænomena cœlestia requirunt” - (fr:7299) [Regrediscono dunque i punti degli equinozi con moto annuo (secondo il nostro calcolo) 49’’ 58’’’, quasi come richiedono i fenomeni celesti].

Dopo aver descritto il sistema solare, si passa ai cometi. Essi si muovono al di sopra della Luna, nella regione dei pianeti. “Cometas esse Lunˆ a superiores & in regione Planetarum versari” - (fr:7304) [I cometi sono superiori alla Luna e si aggirano nella regione dei Pianeti]. La parallasse annua, dedotta dall’analisi del loro moto apparente (che appare accelerato, ritardato o retrogrado a seconda del moto relativo della Terra), ne prova la distanza. “Ut defectus Parallaxeos diurnæ extulit Cometas supra regiones sublunares, sic ex Parallaxi annua convincitur eorum descensus in regiones Planetarum” - (fr:7305) [Come la mancanza di parallasse diurna innalzò i cometi sopra le regioni sublunari, così dalla parallasse annua si prova la loro discesa nelle regioni dei Pianeti]. Un metodo geometrico basato su tre osservazioni di longitudine permette di calcolare questa parallasse e quindi la distanza, che risulta essere inferiore all’orbita di Giove. “Hic autem locus V orbe Jovis inferior esse solet” - (fr:7324) [Questo luogo V suole essere inferiore all’orbita di Giove].

La loro vicinanza è confermata anche dalla luminosità e dalla dimensione apparente delle chiome e dei nuclei. “Confirmatur etiam propinquitas Cometarum ex luce capitum” - (fr:7329) [La vicinanza delle comete è confermata anche dalla luce delle loro teste]. Confrontando la luce e il diametro di una cometa (es. quella del 1682) con quelli di Saturno, si deduce che la cometa doveva essere più vicina al Sole del pianeta. “erit distantiæ Cometæ ad distantiam Saturni ut 1 ad √ 4 inverse, & 12 00 ad 30 00 directe, id est ut 24 ad 30 seu 4 ad 5” - (fr:7337) [sarà la distanza della Cometa alla distanza di Saturno come 1 a √4 inversamente, e 12’ a 30’ direttamente, cioè come 24 a 30 ovvero 4 a 5]. In generale, le comete nei loro perieli si collocano sotto Saturno o non molto al di sopra. “manifestum est quod Cometæ omnes in Periheliis vel infra Saturnum collocandi sint, vel non longe supra” - (fr:7342) [è manifesto che tutte le Comete nei loro Perieli devono essere collocate o sotto Saturno, o non molto al di sopra].

Un’ulteriore prova viene dall’osservazione delle code e dalla variazione della luminosità. La massima luminosità si ha quando le comete, pur allontanandosi dalla Terra, si avvicinano al Sole. “Caput igitur initio longe minus apparuit quam in fine motus, at initio tamen in vicinia Solis longe lucidius extitit quam circa finem” - (fr:7363) [La testa dunque all’inizio apparve molto minore che alla fine del moto, ma all’inizio tuttavia nella vicinanza del Sole risultò molto più lucida che verso la fine]. Ciò dimostra che splendono di luce solare riflessa e che il loro percorso è vicino al Sole. “Splendent igitur Cometæ luce Solis a se reflexa"*</mark> - (fr:7386) [Splendono dunque le Comete della luce del Sole da sé riflessa]. La statistica mostra che appaiono più spesso nell'emisfero celeste rivolto verso il Sole, perché solo quando gli sono vicini sono abbastanza illuminate per essere visibili. <mark>*"quadruplo vel quintuplo plures detecti sunt in Hemisphærio Solem versus, quam in Hemisphærio opposito” - (fr:7392) [da quattro a cinque volte di più sono stati scoperti nell’Emisfero verso il Sole, che nell’Emisfero opposto].

Infine, i loro movimenti liberi e in ogni direzione, a volte contrari al moto dei pianeti, dimostrano che si muovono nel vuoto, senza resistenza dei cieli. “Nam Cometæ vias obliquas & nonnunquam cursui Planetarum contrarias secuti, moventur omnifariam liberrim`, e” - (fr:7398) [Infatti le Comete, seguendo vie oblique e talvolta contrarie al corso dei Pianeti, si muovono in ogni modo liberissimamente]. Sono un genere di pianeti che percorrono orbite molto allungate. “Fallor ni genus Planetarum sint, & motu perpetuo in orbem redeant” - (fr:7399) [Sbaglio se non sono un genere di Pianeti, e con moto perpetuo ritornano in orbita]. Le loro teste sono avvolte da dense atmosfere (chiome), che spiegano i mutamenti d’aspetto, non essendo essi stessi meteore. “Capita Cometarum Atmosphæris ingentibus cinguntur” - (fr:7401) [Le teste delle Comete sono circondate da immense Atmosfere].

In conclusione, si enuncia la teoria del loro moto: le comete si muovono su sezioni coniche (ellissi, parabole, iperboli) avendo un fuoco nel centro del Sole, e descrivono aree proporzionali ai tempi. “Cometas in Sectionibus conicis umbilicos in centro Solis habentibus moveri, & radiis ad solem ductis areas temporibus proportionales describere” - (fr:7410) [Le Comete muoversi in Sezioni coniche aventi gli ombelichi nel centro del Sole, e con raggi condotti al sole descrivere aree proporzionali ai tempi].

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[35.1-402-7618|8019]

35 Osservazioni astronomiche e determinazione dell’orbita di una cometa

Dalle osservazioni telescopiche di febbraio e marzo, si determinano le posizioni della cometa rispetto a stelle fisse per calcolarne l’orbita parabolica e le caratteristiche della coda.

Le osservazioni sono state effettuate con un telescopio di sette piedi e un micrometro. “Hæ observationes Telescopio septupedali, & Micrometro filisque in foco Telescopii locatis paractæ sunt: quibus instrumentis & positiones fixarum inter se & positiones Cometæ ad fixas determinavimus” - (fr:7620) [Queste osservazioni furono eseguite con un telescopio di sette piedi e un micrometro con fili posti nel fuoco del telescopio: con questi strumenti determinammo sia le posizioni reciproche delle stelle fisse sia le posizioni della cometa rispetto alle fisse]. Vengono descritte in dettaglio le distanze angolari della cometa, indicata con P, Q, R, S, T, da specifiche stelle (A, B, C, E, K, F, etc.) in diverse date: il 25 febbraio, il 1, 2 e 5 marzo. “Die Veneris Feb. .. Cometæ in p existentis distantia a stella E erat..."*</mark> - (fr:7624, 7627) [Venerdì 25 febbraio... la distanza della cometa in p dalla stella E era...]; <mark>*"Die ♂ tis, Mart. 1, hor... P.M. Cometa in R existens, stellis K & C accurat e interjacebat…” - (fr:7631, 7634) [Martedì 1 marzo, ore… P.M., la cometa in R si trovava accuratamente tra le stelle K e C…].

Da queste osservazioni, note le longitudini e latitudini delle stelle di riferimento A e B, si derivano longitudine e latitudine della cometa. “Ex hujusmodi observationibus per constructiones figurarum & computationes… derivabam longitudines & latitudines Cometæ” - (fr:7647, 7655) [Da osservazioni di questo tipo, attraverso costruzioni di figure e calcoli… derivai le longitudini e latitudini della cometa]. L’errore è stimato inferiore a mezzo minuto primo, tranne per l’ultima osservazione. “Micrometro parum affabre constructˆ a usus sum, sed Longitudinum tamen & Latitudinum errores… dimidium minuti unius primi vix superant…” - (fr:7656) [Usai un micrometro costruito un po’ rozzamente, ma gli errori di longitudine e latitudine… superano a malapena la metà di un primo minuto…].

Per determinare l’orbita, si selezionano tre osservazioni di Flamsteed (21 dicembre, 5 e 25 gennaio) e, attraverso calcoli grafici e aritmetici, si definisce un’orbita parabolica. “Jam ad Orbem Cometæ determinandum; selegi ex observationibus hactenus descriptis tres, quas Flamstedius habuit Dec. 21, Jan. 5, & Jan. 25” - (fr:7660) [Ora, per determinare l’orbita della cometa; scelsi dalle osservazioni finora descritte tre, che Flamsteed ebbe il 21 dicembre, 5 e 25 gennaio]; “Tandem ut constaret an Cometa in Orbe sic invento vere moveretur, collegi per operationes partim Arithmeticas partim Graphicas, loca Cometæ in hoc orbe ad observationum quarundam tempora"*</mark> - (fr:7673) [Infine, per accertare se la cometa si muovesse veramente nell'orbita così trovata, raccolsi attraverso operazioni in parte aritmetiche in parte grafiche, i luoghi della cometa in quest'orbita ai tempi di alcune osservazioni]. I risultati danno i nodi in _ e d a 1° 53', l'inclinazione del piano orbitale sull'eclittica di 61° 20 1/3', il perielio in c 27° 43' con latitudine australe 7° 34', e il lato retto 236,8. La cometa era al perielio l'8 dicembre. <mark>*"Ex quibus orbem definiendo inveni Nodos ejus in _ & d 1 gr. 53 0; Inclinationem plani ejus ad planum Eclipticæ 61 gr. 20 1 3 ; verticem ejus (seu perihelium Cometæ) in c 27 gr. 43 0 cum latitudine australi 7 gr. 34 0; & ejus latus rectum 236, .. Cometam ver o Decemb. 8 d. 0 h. 4 P.M. in vertice orbis seu perihelio fuisse” - (fr:7665, 7666, 7667, 7668, 7670, 7671) [Definendo l’orbita da questi dati trovai i suoi nodi in _ e d 1° 53’; l’inclinazione del suo piano sul piano dell’Eclittica 61° 20 1/3’; il suo vertice (cioè il perielio della cometa) in c 27° 43’ con latitudine australe 7° 34’; e il suo lato retto 236,8… e che la cometa l’8 dicembre, giorno 0 ore 4 P.M., fosse nel vertice dell’orbita cioè al perielio].

Il moto calcolato nell’orbita parabolica concorda anche con osservazioni precedenti della stessa cometa a novembre, fatte da vari osservatori (Ponthæus, Galletius, Ango, etc.) a Roma, Boston e altri luoghi. “Præterea cum Cl. Flamstedius Cometam, qui Mense Novembri apparuerat, eundem esse cum Cometa mensium subsequentium… visum est loca Cometæ in hoc orbe Mense Novembri computare, & cum Observationis conferre” - (fr:7707) [Inoltre, poiché il chiarissimo Flamsteed sosteneva in lettere a me che la cometa apparsa a novembre fosse la stessa di quella dei mesi successivi… parve opportuno calcolare i luoghi della cometa in quest’orbita per il mese di novembre e confrontarli con le Osservazioni]; “Congruunt igitur observationes tam mense Novembri, quam mensibus tribus subsequentibus cum motu Cometæ circa Solem in Trajectoriˆ a hacce Parabolicˆa” - (fr:7813) [Quindi le osservazioni di novembre e dei tre mesi successivi concordano con il moto della cometa intorno al Sole in questa traiettoria parabolica].

Sono descritte in dettaglio le osservazioni della coda in novembre, dicembre, gennaio e febbraio, la cui lunghezza varia da 15 a oltre 60 gradi, e la cui direzione generalmente è opposta al Sole, ma con deviazioni. “Nov. Cauda gradus amplius quindecim longa Ponthæo apparuit” - (fr:7817) [Il 17 novembre la coda apparve a Ponthæus lunga più di quindici gradi]; “Jan. .. longa erat 40 gr.; curva autem erat & convexo latere spectabat ad austrum” - (fr:7852) [Il 5 gennaio… era lunga 40 gradi; era curva e col lato convesso guardava a sud]; “Denique Feb. caudam oculis armatis aspexi gradus duos longam” - (fr:7861) [Infine, il 10 febbraio osservai la coda lunga due gradi con occhi armati (telescopio)].

Il testo conclude che le comete sono corpi solidi e duraturi, poiché resistono all’immenso calore solare al perielio, e che la coda è un vapore sottilissimo emesso dal nucleo a causa di quel calore. “Orbem jam descriptum spectanti & reliqua Cometæ hujus Phænomena in animo revolventi haud difficulter constabit quod corpora Cometarum sunt solida, compacta, fixa ac durabilia ad instar corporum Planetarum” - (fr:7865) [A chi considera l’orbita ormai descritta e riflette sui restanti fenomeni di questa cometa, non sarà difficile constatare che i corpi delle comete sono solidi, compatti, fissi e durevoli, simili ai corpi dei pianeti]; “Et inde colligere videor quod cauda nihil aliud sit quam vapor longe tenuissimus, quem caput seu Nucleus Cometæ per calorem suum emittit” - (fr:7879) [E da ciò mi sembra di dedurre che la coda non sia altro che un vapore sottilissimo, che la testa o Nucleo della cometa emette per il suo calore]. Si confutano altre teorie sulla coda (luce del Sole rifratta, ecc.) a favore di questa interpretazione materiale. “Cæterum de Cometarum caudis triplex est opinio… Opinio prima eorum est qui nondum imbuti sunt scientia rerum opticarum… Opinio secunda multis premitur difficultatibus” - (fr:7880, 7881, 7886) [Del resto, sulle code delle comete c’è un triplice parere… La prima opinione è di coloro che non sono ancora imbevuti della scienza delle cose ottiche… La seconda opinione è gravata da molte difficoltà].

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[36.1-112-8063|8174]

Riferimenti testuali e note editoriali di un’opera scientifica

Appunti su lemmi, proposizioni, correzioni e fenomeni in un trattato matematico.

Il testo consiste in una serie di riferimenti a pagine, lemmi, proposizioni e corollari, accompagnati da citazioni latine e note su errori di stampa o interruzioni di riga presenti nell’originale. Le frasi citate trattano di sezioni coniche, angoli proporzionali al tempo, asintoti, eccentricità delle ellissi, moti degli apsidi e dei nodi, attrazioni di corpuscoli, serie infinite, densità proporzionali, rapporti di velocità e forze elastiche. Vengono anche menzionati calcoli numerici e fenomeni naturali, come la crescita della coda di una cometa e la nutrizione dei vegetali.

“describent sectionem Conicam” - (fr:8068) [descrivono una sezione Conica.] “Cognoscatur etiam angulus tempori proportionalis” - (fr:8075) [Si conosca anche l’angolo proporzionale al tempo.] “Asymptotos CK” - (fr:8079) [Gli asintoti CK.] “augetq; Excentricitatem Ellipseos” - (fr:8087) [e accresce l’Eccentricità dell’Ellisse.] “non mutantur motus Augis & Nodorum sensibiliter” - (fr:8089) [i moti dell’Apogeo e dei Nodi non si mutano sensibilmente.] “resolvo in Seriem infinitam … m n OA …” - (fr:8095) [risolvo in una Serie infinita … m n OA …] “densitates AH, DL, QT erunt continue proportionales” - (fr:8115) [le densità AH, DL, QT saranno continuamente proporzionali.] “augerentur in duplicata ratione velocitatis” - (fr:8126) [si accrescerebbero nella ragione duplicata della velocità.] “vim suam elasticam mediocrem” - (fr:8136) [la sua forza elastica media.] “in ratione sesquialtera” - (fr:8159) [nella ragione sesquialtera.] “ascendendo augebat longitudinem caudæ” - (fr:8169) [salendo accresceva la lunghezza della coda.] “ad procreationem vegetabilium irrigent & nutriant” - (fr:8171) [irrighino e nutrano per la procreazione dei vegetali.]

La nota finale indica la fine del “Project Gutenberg EBook of Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, by Isaac Newton”.

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