Newton - Principia - 1686 | A
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1 Dinamica dei sistemi gravitazionali e del moto assoluto
Le leggi del moto e delle forze reciproche in un sistema di corpi.
Il testo tratta del moto dei corpi che si attraggono reciprocamente, con particolare attenzione al centro di gravità comune. Il centro di gravità comune di un sistema di corpi, in assenza di forze esterne, “vel quiescit vel movetur uniformiter in directum” (fr:267). Questo principio vale anche quando i corpi agiscono tra loro, poiché le loro azioni reciproche sono uguali e opposte e “commune centrum gravitatis mutationem in statu motus ejus vel Quietis nunquam inducunt” (fr:275). Il moto relativo dei corpi attorno a questo centro viene analizzato. Se due corpi si attraggono, si muovono “circum gravitatis centrum commune revolvantur” (fr:2400). Per descrivere il loro moto relativo, è equivalente considerare che ciascuno sia attratto da un terzo corpo posto nel centro di gravità comune, poiché “motus eorum perinde se habebunt ac si non traherent se mutuo, sed utrumq; a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto viribus iisdem traheretur” (fr:2464). Quando più corpi, come un corpo minore che orbita intorno a uno molto più grande, si muovono sotto l’azione di forze che decrescono col quadrato della distanza, le orbite sono ellittiche. La precisione dell’orbita ellittica e della legge delle aree è maggiore se il corpo massimo è anch’esso mosso dalle attrazioni, cioè se il fuoco dell’ellisse è posto nel centro di gravità comune di tutti i corpi interni, piuttosto che considerare il corpo massimo fermo. “Orbitæ descriptæ propius accedent ad Ellipticas, & arearum descriptiones fient magis æquabiles, si corpora omnia… se mutuo trahunt agitentq;, & Orbitæ cujusq; umbilicus collocetur in communi centro gravitatis corporum omnium interiorum” (fr:2790). Viene inoltre distinto il moto assoluto dal moto relativo. Il “motus vere circularis” (fr:191) è unico, mentre i moti relativi sono molteplici. Lo “Spatium absolutum… semper manet similare & immobile” (fr:133). Il testo menziona anche la resistenza dei mezzi fluidi, osservando che “resistentiam corporum celeriter motorum densitati Fluidorum in quibus moventur proportionalem esse quamproxime” (fr:5314), e accenna alla natura delle forze che agiscono tra le particelle della materia, cause ancora sconosciute per cui “Philosophi hactenus Naturam frustra tentarunt” (fr:45).
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2 Il calcolo delle flussioni e il metodo delle serie
Sviluppo analitico dei momenti, delle serie convergenti e dei limiti nella geometria delle curve.
Il testo tratta il metodo delle flussioni per determinare tangenti, curvature, massimi e minimi. Si fonda sul concetto di “momento” di una quantità generata, inteso come sua variazione istantanea, e sulla scomposizione di espressioni in serie convergenti. “momentum vel mutatio rectanguli AB fuerit Ab + aB” (fr:3772). Il procedimento utilizza quantità evanescenti e le loro ultime ragioni, definite come limiti a cui le ragioni di quantità decrescenti si avvicinano senza mai superarli: “Ultimæ rationes illæ quibuscum quantitates evanescunt, revera non sunt rationes quantitatum ultimarum, sed limites ad quos quantitatum sine limite decrescentium rationes semper appropinquant” (fr:505). Il metodo opera indifferentemente su termini razionali e surdi. Viene applicato a problemi geometrici, come la determinazione della tangente e della curvatura di una curva definita da una relazione tra ascissa e ordinata: “Et primus terminus … denotabit semper longitudinem ordinatæ … secundus terminus … determinat positionem Tangentis … Terminus tertius … determinat angulum contactus FCG, seu curvaturam” (fr:3987). Un caso particolare mostra come la densità di un mezzo possa risultare nulla. Il testo menziona anche la determinazione della resistenza di un mezzo, espressa come funzione della velocità. Vengono citate sezioni coniche e proprietà delle ellissi. Una nota storica ricorda la corrispondenza con Leibniz sul metodo delle flussioni.
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3 Proprietà geometriche delle sezioni coniche e trasformazioni
Proposizioni e lemmi sulla descrizione, costruzione e trasformazione di coniche e figure piane.
Le frasi trattano proprietà e costruzioni geometriche relative alle sezioni coniche. Vengono presentate condizioni per cui un punto descrive una conica, come nel caso di due rette mobili i cui poli sono punti fissi “concursu suo D describent sectionem Conicam” [1282], e il reciproco [1283]. Sono esaminate configurazioni che coinvolgono trapezi inscritti in una conica, dove il rettangolo dei segmenti condotti da un punto ai lati opposti è in un dato rapporto “rectangulum ductarum ad opposita duo latera PQ × PR, erit ad rectangulum ductarum ad alia duo latera opposita PS × PT in data ratione” [1259, 1186]. La stessa condizione, se soddisfatta, implica che il punto appartenga a una conica circoscritta al trapezio [1212]. Vengono forniti metodi per determinare il punto di contatto di una tangente [1344, 1472] e per trasformare figure, ad esempio mutando rette convergenti in parallele tramite un cambio di sistema di riferimento “rectæ quævis convergentes transmutantur in parallelas” [1393]. Sono discusse condizioni particolari in cui una conica degenera in rette [1228] o diventa un cerchio, come quando la somma di due angoli opposti di un trapezio è uguale a due retti e i rettangoli dei segmenti sono uguali “Sectio conica evadet Circulus” [1229]. Si menzionano anche problemi di posizione, come il luogo di un punto che divide una congiungente in un dato rapporto [1426], e la descrizione di trapezi simili con lati tangenti a rette date [1522]. Viene affrontato il tema delle intersezioni tra linee e curve, osservando che il numero di intersezioni determina il grado dell’equazione che le rappresenta “intersectiones rectarum & sectionum Conicarum prodeunt semper per æquationes duarum dimensionum” [1614], e si conclude che l’intersezione di una retta con una spirale non può in generale essere trovata con un’equazione finita [1618].
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4 La meccanica dei corpi in moto sotto forze centrali e in mezzi resistenti
Dinamica geometrica di orbite, traiettorie e velocità in campi di forza centrali e su superfici curve.
Il testo tratta del moto di corpi sotto l’azione di forze centrali, descrivendo le traiettorie risultanti come sezioni coniche (ellissi, parabole, iperboli) determinate dalla velocità iniziale e dalla legge di forza. “velocitas gyrantis in Sectione quavis Conica est ad velocitatem gyrantis in circulo in distantia dimidii lateris recti Sectionis, ut distantia illa ad perpendiculum ab umbilico in tangentem Sectionis demissum” [1011]. La forza centripeta è spesso inversamente proporzionale al cubo della distanza dal centro. “tendat autem ad centrum C vis centripeta cubo distantiæ locorum a centro reciproce proportionalis” [1922]. Viene esaminato il moto su superfici curve il cui asse passa per il centro di forza, dove una linea parallela e uguale a una perpendicolare dall’asse descrive un’area proporzionale al tempo. “Si corpus movetur in superficie quacunq: curva, cujus axis per centrum virium transit, & a corpore in axem demittatur perpendicularis, eiq; parallela & æqualis ab axis puncto quovis ducatur: dico quod parallela illa aream tempori proportionalem describet” [2370]. Viene affrontato il problema inverso: data la legge di forza e la superficie curva, trovare la traiettoria. “Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, datisq; tum lege vis centripetæ ad centrum datum tendentis, tum superficie curva cujus axis per centrum illud transit; invenienda est Trajectoria quam corpus in eadem superficie describet” [2386]. Un tema secondario è il moto dei proiettili in mezzi resistenti, dove la densità del mezzo è una funzione della posizione. “describeret hanc Parabolam, si modo densitas Medij, in locis singulis G, sit reciproce ut tangens GT” [4096]. Viene presentato un metodo per determinare questa densità. “Hinc si detur densitas Fluidi in duobus locis, puta A & E, colligi potest ejus densitas in alio quovis loco Q” [4587]. Un altro tema è lo studio delle oscillazioni e delle riflessioni/rifrazioni, con leggi sui seni degli angoli di incidenza ed emergenza. “sinus incidentiæ in planum primum ad sinum emergentiæ ex plano ultimo in data ratione” [3455]. Viene utilizzato il metodo delle serie infinite per risolvere problemi di forze variabili. “Suppono basem augeri parte quam minima O, & ordinatim applicatam A + O m n resolvo in Seriem infinitam” [3422]. Il moto è spesso analizzato tramite la geometria di curve ausiliarie (come iperboli e cerchi) e la costruzione di figure simili. “Centro item C & intervallo quovis describatur circulus” [2228].
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5 Leggi dell’attrazione gravitazionale e forze centripete in corpi sferici e piani
Analisi delle proprietà matematiche delle forze attrattive tra corpi, con particolare riferimento a sfere, piani e particelle.
Il testo tratta delle leggi matematiche che governano le forze attrattive, specialmente di tipo gravitazionale o centripeto, tra corpi di varia forma. L’analisi si concentra su come la forza totale esercitata da un corpo, come una sfera omogenea o eterogenea, su un corpuscolo dipenda dalla distanza e dalla distribuzione della materia. Viene stabilita la proporzionalità della forza attrattiva totale tra due sfere al quadrato inverso della distanza dei loro centri quando la forza di ogni particella decresce con l’inverso del quadrato della distanza “dico quod vis tota qua hujusmodi Sphæra una attrahit aliam sit reciproce proportionalis quadrato distantiæ centrorum” (2953). Si esamina anche il caso di un corpuscolo all’interno di una sfera, dove la forza è proporzionale alla sua distanza dal centro “corpusculum intra Sphæram constitutum attrahitur vi proportionali distantiæ suæ ab ipsius centro” (2893). Vengono considerate configurazioni più complesse, come solidi infiniti da un lato piano, e come la forza attrattiva decresca con potenze della distanza, spesso con un esponente ridotto di tre rispetto alla legge delle particelle costitutive “decrescet in ratione potestatis, cujus latus est distantia corpusculi a plano, & Index ternario minor quam Index potestatis distantiarum” (3381). Il principio secondo cui per un sistema di particelle con forze direttamente proporzionali alla distanza, la forza totale è diretta verso il centro di gravità ed è equivalente a quella di un globo posto in quel centro “vis corporis totius tendet ad ipsius centrum gravitatis” (3274). Si discute l’effetto di forze perturbatrici che, non essendo rigorosamente inverse al quadrato della distanza, causano deviazioni dal moto ellittico kepleriano “vis illa composita aberrando ab hac proportione, faciet ut Orbis PAB aberret a forma Ellipseos” (2584). Vengono presentati metodi geometrici per calcolare la forza totale di una sfera su un corpuscolo, esprimendola come un’area delimitata da una curva “vis tota, qua corpusculum P trahitur versus Sphæram, est ut area comprehensa sub axe Sphæræ AB & linea curva ANB” (3070). Un tema secondario riguarda le condizioni per moti orbitali non kepleriani, come in una spirale, quando la densità del mezzo e la forza centripeta seguono particolari leggi di potenza “corpus gyrari potest in Spirali, quæ radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato” (4413).
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6 Meccanica dei corpi in mezzi resistenti
Dallo studio geometrico del moto con resistenza.
Le frasi trattano il moto di corpi in mezzi resistenti, analizzato con metodi geometrici e calcolo delle proporzioni. Il contesto è quello della fisica newtoniana, con frequenti riferimenti a cicloidi, iperboli e altre curve per rappresentare forze, velocità e spazi. Il nucleo consiste nel determinare le relazioni tra tempo, velocità, spazio percorso, forza gravitazionale e resistenza del mezzo. Viene esaminato il moto di caduta e di oscillazione, sia in mezzi privi di resistenza che in quelli dove essa è presente e proporzionale al quadrato della velocità o al momento del tempo. “Si recta aB æqualis sit Cycloidis arcui quem corpus oscillando describit, & ad singula ejus puncta D erigantur perpendicula DK, quæ sint ad longitudinem Penduli ut resistentia corporis in arcus punctis correspondentibus ad vim gravitatis” (fr:4828). Un tema secondario è il calcolo della resistenza dell’aria su corpi sferici e il confronto tra oscillazioni in cicloidi e in cerchi. “Si longitudo penduli, manente longitudine arcus descripti, augeretur in ratione 126 ad 122 1 2 , velocitas ejus diminueretur in ratione illa dimidiata” (fr:5254). Le dimostrazioni si basano sul confronto tra aree geometriche che rappresentano quantità fisiche, come la relazione tra l’area iperbolica ABGD e il rettangolo AB × AD per esprimere lo spazio percorso in un mezzo resistente rispetto a uno non resistente. “Unde datur spatium in Medio resistente descriptum, capiendo illud ad spatium quod velocitate uniformi AB in Medio non resistente simul describi posset, ut est area Hyperbolica ABGD ad rectangulum AB × AD” (fr:3709).
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7 Resistenza e movimento in sistemi fluidi e meccanici
Relazioni proporzionali tra forze, velocità, dimensioni e densità in sistemi dinamici.
I testi trattano le leggi della resistenza incontrata da corpi in movimento attraverso fluidi, definendone le proporzioni matematiche. La resistenza è proporzionale al quadrato della velocità, al quadrato del diametro del corpo e alla densità del mezzo “resistentiæ sunt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & densitates partium Systematum” (fr:4919). Viene esaminato il caso specifico di corpi sferici che si muovono in fluidi elastici simili all’aria, dove, sotto determinate condizioni di proporzionalità tra forze motrici e dimensioni, essi descrivono spazi simili “corpora illa temporibus proportionalibus similes excitabunt motus in Fluidis, & spatia similia ac diametris suis proportionalia describent” (fr:4926). Il discorso si estende al moto oscillatorio di pendoli, stabilendo che le oscillazioni di uguale lunghezza sono isocrone “Oscillationes omnes erunt Isochronæ” (fr:2315) e che i tempi di oscillazione dipendono dalla lunghezza del filo e dal raggio del globo. Vengono anche analizzati gli effetti di forze attrattive e centrifughe tra particelle di un sistema, e come queste influenzino il moto e la resistenza. Un tema secondario riguarda le proporzioni geometriche e le relazioni tra aree, distanze e volumi in contesti matematici più astratti.
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8 Il moto dei fluidi e la resistenza nei vortici
Principi di idrodinamica, equilibrio dei fluidi e propagazione del moto in mezzi continui.
Il testo tratta del comportamento dei fluidi, in particolare acqua e aria, sotto l’azione di forze, pressione e moto. Si esamina l’equilibrio di un fluido in un vaso, dove le parti “se mutuo premunt æqualiter, & quiescent inter se” (fr:4474). Viene analizzata la pressione esercitata da una colonna d’acqua e la resistenza che un ostacolo, come un globo, oppone al suo deflusso: l’ostacolo “vim sustinet æqualem ponderi quo descensus ille efficeretur” (fr:5108) e “vim aquæ decurrentis sustinet ponderi illi æqualem” (fr:5109). Si studia la formazione e propagazione del moto vorticoso in un fluido infinito causato dalla rotazione di un solido, come un globo o un cilindro, dove i periodi delle parti del fluido sono “ut quadrata distantiarum à centro Sphæræ” (fr:5661) o, nel caso di un cilindro infinito, proporzionali alle distanze dall’asse (fr:5622). Viene descritta la propagazione di perturbazioni, pulsazioni e onde in un mezzo, dove un moto “dilatari incipiet, & abinde tanquam a principio & centro in partes omnes directe propagari” (fr:5411). Sono presenti calcoli sulla velocità del suono (fr:5592) e sull’effetto della forza centrifuga sull’equilibrio di un fluido in un canale che va dal polo all’equatore di un ellissoide (fr:6352, 6370). Si menziona anche la resistenza di un mezzo fluido al moto di un corpo sferico (fr:5123) e la proporzionalità tra resistenza e densità del fluido (fr:5310).
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9 La teoria newtoniana delle maree e del moto lunare
Analisi matematica delle forze gravitazionali del Sole e della Luna e dei loro effetti sul moto dei corpi celesti e sulle maree terrestri.
Il testo tratta del calcolo delle forze di marea generate dal Sole e dalla Luna sulla Terra e della loro influenza sul moto orbitale, in particolare della Luna. Le forze variano in base alla posizione relativa dei corpi: sono massime in sizigie (congiunzioni e opposizioni) e minime in quadrature (primo e ultimo quarto) “in Syzygiis” [7146], “in Quadraturis” [7146]. Questa variazione determina l’ampiezza della marea, con “æstus in Syzygiis paulo majores” e “in Quadraturis paulo minores” [6518]. L’altezza massima dell’acqua segue l’appulso della Luna al meridiano con un ritardo di circa tre ore “hora tertia post appulsum Lunæ ad Meridianum” [6529, 6533]. Il moto dei nodi dell’orbita lunare è analizzato in relazione a queste forze: “Nodi igitur in quadraturis constituti perpetuo recedunt, in Syzygiis… quiescunt” [2679]. Viene esaminata anche la variazione dell’inclinazione del piano orbitale, che diminuisce passando dalle quadrature alle sizigie e aumenta nel passaggio inverso “minuit inclinationem plani in transitu corporis a quadraturis ad Syzygias, augetq; vicissim eandem in transitu a Syzygiis ad quadraturas” [2669]. Il testo espone calcoli geometrici e proporzionali per determinare momenti d’area, curvature orbitali e rapporti tra forze, come il rapporto tra la forza lunare e quella solare derivato da “L ad S ut 14000 ad 2569” [7146]. Viene descritto il moto apsidale, dove le apsidi progrediscono più velocemente in sizigie e regrediscono più lentamente in quadrature “Apsides in Syzygiis suis… progredientur velocius, inq; Quadraturis suis tardius recedent” [2653]. L’analisi si estende al moto in un’ellisse sotto l’azione di una forza centripeta, con l’angolo tra le apsidi calcolato come “180 √ n” gradi [2098].
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10 Caratteristiche fisiche e dinamiche dei corpi celesti nel sistema solare
Analisi comparativa di masse, gravità, orbite e fenomeni cometari.
I testi trattano principalmente le proprietà fisiche e le interazioni gravitazionali dei pianeti, dei satelliti, delle comete e della Terra. Vengono confrontate densità e masse, come quando si afferma che “la Terra è quasi cinque volte più densa di Giove” (fr:6219). Si analizzano le forze gravitazionali reciproche, ad esempio tra Giove e Saturno, dove “la gravità di Saturno verso Giove sta alla gravità di Saturno verso il Sole come 1 a 217 circa” (fr:6271), e si calcolano le accelerazioni di gravità in diversi punti della Terra, trovando che “la gravità al Polo sta alla gravità sotto l’Equatore come 692 a 689” (fr:6401). Un tema centrale è lo studio delle comete, in particolare della coda: se ne discute l’origine, osservando che “i fenomeni della coda dipendono dal moto della testa, e non dalla regione del cielo in cui la testa è osservata” (fr:7918), e se ne misurano dimensioni e luminosità, notando che “il diametro del nucleo è circa un decimo o forse un quindicesimo del diametro della chioma” (fr:7341). Viene esaminato l’effetto del calore solare sulle comete, calcolando che “il calore del Sole presso la cometa era al calore del Sole estivo da noi come 28000 a 1” (fr:7868), e si descrive la formazione della coda come un vapore che “con grande velocità saliva in vicinanza del Sole” (fr:7945). Vengono inoltre affrontate questioni di meccanica celeste, come le perturbazioni orbitali e il calcolo del centro di gravità comune, ad esempio tra Sole e Saturno. Sono presenti misurazioni delle dimensioni dei corpi celesti e delle loro distanze, nonché considerazioni sull’appiattimento terrestre agli poli.
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