Newton - Philosophiae naturalis principia mathematica | A
1 L’opera, la ricezione e il pensiero di Isaac Newton nel “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” e nei testi correlati
La pubblicazione, la diffusione e i contenuti filosofico-teologici dei “Principia” e delle opere connesse.
Il sommario tratta della pubblicazione e della natura dell’opera fondamentale di Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, descritta come “un lavoro a cui è stata assegnata preminenza sopra tutte le produzioni dell’intelletto umano”. Viene menzionata la sua prima edizione in latino nel 1687 e la successiva traduzione in inglese di Andrew Motte nel Si affronta la ricezione contrastante del lavoro: rapida e trionfante in Inghilterra, dove “le sue verità fisiche… divennero familiari… alla mente generale”, ma inizialmente limitata fuori dall’Inghilterra. Viene discusso lo stile matematico dell’opera, in particolare la scelta di presentare il terzo libro “nella forma di Proposizioni (in modo matematico)” per evitare dispute con chi non aveva padroneggiato i principi. L’argomento centrale del libro è definito come l’applicazione della matematica alla filosofia naturale, investigando “dai fenomeni dei moti… le forze della natura” come la gravità, e il desiderio di derivare il resto dei fenomeni “dallo stesso tipo di ragionamento a partire da principi meccanici”. Un tema minore ricorrente è la relazione tra scienza e teologia nell’opera di Newton. I principi sono illustrati con “alcuni scolii filosofici” che trattano di fondamenti come “la densità e la resistenza dei corpi”. Viene citato l’intento dichiarato dell’autore di includere principi che potessero “operare, negli uomini riflessivi, per la credenza in una Divinità”. Il sommario cita la conclusione dei Principia che afferma che “questo bellissimo sistema del sole, dei pianeti e delle comete, poté procedere solo dal consiglio e dal dominio di un Essere intelligente e potente”. Si fa riferimento alle opinioni teologiche di Newton, incluso il suo concetto di Dio come “un Essere eterno, infinito, assolutamente perfetto” il cui dominio costituisce la Divinità, e la sua critica all’idea di Dio come anima del mondo. Viene menzionata la sua attività di studio teologico e cronologico, inclusa un’opera sulle Profezie di Daniele e sull’Apocalisse. Un altro tema minore è la priorità nella scoperta del calcolo, con riferimenti alla disputa con Leibniz, di cui si afferma che il suo metodo differenziale è “uno e identico con il metodo delle flussioni”, e che Newton possedeva quel metodo “più di quindici anni prima che il Sig. Leibniz cominciasse a pubblicarlo”.
2 Costruzione geometrica di luoghi e traiettorie mediante sezioni coniche
Procedimenti per determinare luoghi, punti e percorsi di corpi in movimento attraverso le proprietà di ellissi, iperboli, parabole e cerchi, con applicazioni alle forze centrali.
Il sommario tratta della costruzione di luoghi geometrici e traiettorie descritte da punti in movimento, vincolati da condizioni angolari e lineari, il cui percorso risulta essere una sezione conica passante per punti dati. “Il punto D ove le linee rette mobili BT e CR concorrono perpetuamente, sarà posto in una sezione conica passante per i punti B, C, P” (1839). La trattazione include il problema inverso, per cui se un punto mobile giace su una conica data, un altro punto descriverà una linea retta. Viene esteso alla determinazione di traiettorie di corpi soggetti a forze centrali, dove “la forza centripeta sarà reciprocamente come il solido” (1344) e la velocità di rivoluzione in una conica è paragonata a quella in un cerchio. Sono presenti costruzioni per tracciare coniche che passino per cinque punti dati o che tocchino rette in punti assegnati, utilizzando proprietà di tangenti, fuochi e assi. “Con i fuochi S, H, e asse principale AB, uguale alla distanza VH, descrivi una sezione conica: la cosa è fatta” (1714). Si menzionano casi specifici come il moto in un’ellisse mobile e concentrica a una fissa, e l’uso di trasformazioni geometriche, come rendere parallele linee convergenti. Vengono toccati temi minori quali la determinazione di centri e assi di una conica, il calcolo di curvature, la descrizione di cicloidi e la resistenza dei solidi di rivoluzione in un mezzo.
3 Principi Matematici: Metodo delle Serie e dei Limiti, Orbite e Sezioni Coniche
Un’indagine sul metodo delle serie convergenti e dei limiti delle quantità evanescenti, applicato alla determinazione delle orbite, al moto degli apsidi e all’intersezione delle curve.
Il sommario tratta del metodo matematico fondato sulle “prime e ultime ragioni di quantità” e sui limiti delle somme e dei rapporti di “quantità nascenti ed evanescenti”, come esposto nel Libro I. Questo metodo, alternativo agli “indivisibili”, è applicato alla risoluzione di problemi complessi, tra cui la determinazione delle traiettorie dei corpi celesti e delle comete, spesso mediante “serie convergenti”. L’argomento esamina il moto dei corpi in orbite quasi circolari o ellittiche sotto l’azione di forze centripete, calcolando l’angolo tra gli apsidi, come nel caso in cui “il corpo, partendo dall’apside superiore, arriverà all’apside inferiore con un moto angolare di 180 deg., 45 min., 44 sec”. Viene analizzata l’intersezione di linee rette con curve di vario ordine, come le coniche e le spirali, dimostrando che tali intersezioni richiedono equazioni di grado corrispondente al numero di intersezioni possibili; ad esempio, “le intersezioni di linee rette con le sezioni coniche escono sempre da equazioni di due dimensioni”. Si afferma che l’area di un’ellisse descritta dal raggio focale non può essere trovata “dal tempo dato mediante un’equazione finita”, e che non esiste “nessuna figura ovale la cui area, tagliata da linee rette a piacere, possa essere trovata universalmente” con equazioni finite, implicando i limiti del metodo algebrico per certe curve. Vengono citati procedimenti per correggere ipotesi iniziali, come l’uso della “Regola del Falso” per affinare la determinazione delle orbite cometarie. Sono menzionati temi minori come le obiezioni filosofiche al concetto di quantità evanescenti, la distinzione tra curve “geometricamente razionali” e altre, e l’applicazione del metodo a problemi di tangenti e curvatura.
4 Principi di similitudine e proporzione in sistemi dinamici di particelle
Un sistema di leggi che regolano il moto, la forza e la resistenza in aggregati di corpi simili, basato su rapporti proporzionali tra quantità fisiche.
Le forze e i moti in sistemi composti da particelle sono determinati da rapporti di similitudine geometrica e proporzionalità fisica. Le forze accelerative, le resistenze e le attrazioni tra corpi sono funzioni di grandezze come velocità, diametri, distanze e densità, combinate secondo leggi di potenza. Le proprietà di interi sistemi omogenei o simili si deducono dal comportamento delle loro particelle costituenti, poste in situazioni corrispondenti. “Le forze con cui le particelle corrispondenti sono agitate, e che sono composte da ciascuna delle forze agitate” sono proporzionali. Se le particelle di un sistema “non si toccano, eccetto nei momenti di riflessione; né si attraggono, né si respingono, se non con forze accelerative che sono come i diametri delle particelle corrispondenti inversamente, e i quadrati delle velocità direttamente”, i loro moti rimarranno simili. Le attrazioni verso interi corpi sono correlate alle attrazioni verso le loro particelle: “le attrazioni accelerative dei corpuscoli verso i corpi interi saranno come le attrazioni accelerative dei corpuscoli verso particelle dei corpi proporzionali agli interi, e similmente situate in essi”. Per le sfere, “la forza con cui una di queste sfere attrae l’altra sarà reciprocamente proporzionale al quadrato della distanza dei centri”, una legge che vale anche se la densità varia dal centro secondo una data legge, purché la distribuzione sia simmetrica. La resistenza in un fluido elastico per parti maggiori di un sistema segue un rapporto composto “del rapporto duplicato delle loro velocità, e del rapporto duplicato dei loro diametri, e del rapporto semplice della densità delle parti dei sistemi”. I moti periodici e le oscillazioni sono governati da rapporti tra tempi, distanze e forze: “gli errori dei corpi che descrivono parti simili di figure simili in tempi proporzionali, sono pressappoco come i quadrati dei tempi”. Il comportamento di sistemi completi può essere ridotto a quello di un singolo corpo attratto da un centro comune di gravità: “quei moti saranno gli stessi come se non si attraessero affatto mutualmente, ma fossero entrambi attratti con le stesse forze da un terzo corpo posto nel loro comune centro di gravità”. Il sommario include anche il tema minore della compressione dei fluidi, dove “le distanze delle particelle trattenendo una situazione simile l’una rispetto all’altra in entrambi gli spazi, saranno come i lati AB, ab dei cubi; e le densità dei mezzi saranno reciprocamente come gli spazi contenenti AB³, ab³”, e quello delle forze centripete variabili con la distanza, come quando “le forze centripete dei punti della sfera sono reciprocamente come i quadrati delle distanze”.
5 Analisi di moti e resistenze in mezzi diversi attraverso rapporti geometrici e aree curve
Definizione dell’argomento mediante l’uso di geometria e calcolo delle proporzioni per descrivere fenomeni dinamici.
Sommario
L’argomento tratta del moto di corpi in mezzi resistenti e non resistenti, analizzato attraverso il confronto di grandezze geometriche. Le velocità, gli spazi descritti e i tempi sono posti in relazione con aree di figure piane, come settori circolari, triangoli, iperboli e cicloidi. Il principio fondamentale è che “le velocità, e quindi anche gli spazi in entrambi i mezzi descritti insieme, nell’inizio della discesa, o alla fine della salita, si avvicinano all’uguaglianza” (4064). La resistenza del mezzo è spesso espressa come una forza che modifica il moto ideale; ad esempio, “la resistenza è come il momento del tempo, e quindi data” (4391). L’analisi procede stabilendo proporzioni tra queste aree geometriche per quantificare effetti come la diminuzione della velocità o la differenza tra archi descritti in discesa e salita. Un tema minore è lo studio delle oscillazioni del pendolo, dove “la differenza tra l’arco descritto nell’intera discesa e l’arco descritto nell’intera successiva ascesa” è correlata all’area definita da una serie di perpendicolari (4468). Un altro tema minore concerne il moto lunare e dei suoi nodi, in cui “il momento dell’area” in diversi punti dell’orbita è analizzato in rapporto a funzioni trigonometriche (6373). Il metodo unificante è l’uso del calcolo delle flussioni o momenti, dove “i momenti di qualsiasi quantità A, B, C, &c., che aumentano o diminuiscono mediante un flusso perpetuo, o le velocità delle mutazioni che sono loro proporzionali, siano chiamati a, b, c, &c.” (3743). Le conclusioni sono spesso espresse come rapporti, ad esempio determinando che “lo spazio che un corpo, in un mezzo resistente, descrive nella sua intera salita o discesa, sarà allo spazio che un corpo, in un mezzo non resistente, cadendo da fermo, può descrivere nello stesso tempo, come la differenza delle suddette aree” (4059).
6 Resistenza dei corpi sferici in fluidi: teorie e sperimentazioni
Un’analisi teorica e sperimentale della resistenza incontrata da globi in movimento attraverso diversi fluidi, con confronti tra densità e calcoli sulle velocità di caduta.
La resistenza di un globo in un fluido è proporzionale alla densità del mezzo rispetto a quella del globo stesso, e può essere determinata attraverso esperimenti di caduta e oscillazione. Il moto è analizzato in condizioni di elasticità perfetta o assenza di riflessione delle particelle del mezzo. “La resistenza del globo sarà alla forza per cui il suo intero moto può essere distrutto o generato, nel tempo che il globo descrive quattro terzi parti del suo diametro, come la densità del mezzo alla densità del globo”. Vengono condotti esperimenti con globi di varia grandezza e materiale (come cera e piombo) lasciati cadere in acqua piovana o sospesi come pendoli, misurandone i tempi di discesa o oscillazione. “Procurai un vaso di legno quadrato, la cui lunghezza e larghezza all’interno era di 9 pollici misura inglese, e la sua profondità 9 piedi e ½; lo riempii con acqua piovana: e avendo preparato globi fatti di cera, con piombo incluso, notai i tempi della discesa di questi globi”. La teoria viene confrontata con i dati sperimentali, correggendo i risultati per tenere conto della ristrettezza dei recipienti. “Ma questo spazio, a causa della strettezza del vaso di legno prima menzionato, dovrebbe essere diminuito in un rapporto composto del rapporto subduplicato dell’orifizio del vaso all’eccesso di questo orifizio sopra metà di un grande cerchio del globo, e del semplice rapporto dello stesso orifizio al suo eccesso sopra un grande cerchio del globo”. Temi minori includono la comparazione della resistenza in mezzi diversi (aria, acqua, mercurio), l’effetto dell’elasticità delle particelle del fluido, e la relazione tra la resistenza e la legge del moto uniformemente accelerato. “La resistenza del mercurio risultò essere alla resistenza dell’acqua come circa 13 o 14 a 1; cioè, come la densità del mercurio alla densità dell’acqua”. Per i fluidi continui come l’acqua, si osserva che la resistenza è ulteriormente diminuita della metà, poiché il globo “non urta immediatamente contro tutte le particelle del fluido che generano la resistenza”.
7 Principi del moto dei fluidi e della resistenza in mezzi continui
Un’esposizione degli assiomi e delle proposizioni concernenti il comportamento di fluidi ideali, la propagazione della pressione, il moto vorticoso e l’efflusso da recipienti, con applicazioni al moto dei corpi in tali mezzi.
Sommario
L’argomento tratta dei principi fondamentali che governano il moto e l’equilibrio dei fluidi. Viene definito un fluido ideale, “uniforme e infinito”, “perfettamente liscio” e “privo di ogni tenacità e attrito”, dove le parti “premono l’una l’altra mutualmente e ugualmente, e sono in riposo tra loro”. In tale mezzo, la pressione esercitata “è la stessa sempre a uguali distanze dal centro” indipendentemente dall’orientamento della superficie e si propaga “in un istante” attraverso il fluido continuo. Un principio cardine è che “la pressione, non appena è propagata a particelle che giacciono fuori da linee rette, comincia a deflettere” e si propaga obliquamente. Il comportamento dei fluidi è analizzato in diverse configurazioni: l’efflusso dell’acqua da un vaso attraverso un foro, dove “la velocità dell’acqua effluente è la stessa” che acquisterebbe cadendo dall’altezza della superficie libera, e il cui getto si contrae con un rapporto definito; la formazione e propagazione di vortici, dove un globo o un cilindro rotante comunica “un moto vorticoso al fluido” che “a poco a poco si propaga all’infinito”; e la natura dei moti oscillatori e delle pulsazioni, dove le parti del mezzo “si muovono avanti e indietro a turno” e la causa della propagazione è che “le parti del mezzo che sono vicine al centro disturbano e agitano quelle che giacciono più lontane”. Viene esaminata in dettaglio la resistenza incontrata da corpi in movimento in tali fluidi. Per un cilindro che si muove uniformemente in direzione del suo asse, “la resistenza fatta ad esso non è affatto cambiata dall’aumentare o diminuire quella lunghezza” ed è uguale alla resistenza di un cerchio in moto perpendicolare al suo piano. La trattazione mira a determinare “la minima resistenza che corpi rotondi descritti con le maggiori date sezioni trasverse possano possibilmente incontrare”. Per fare ciò, si considerano condizioni ideali in cui le parti del fluido il cui moto è obliquo e superfluo “sono in riposo tra loro” e “aderiscono alle parti anteriore e posteriore dei corpi”, come se fossero “fissate come l’acqua dal gelo”. Vengono anche discusse situazioni che coinvolgono forze centrifughe, l’equilibrio dei fluidi in rotazione e il moto relativo, come l’esperienza dell’acqua in un vaso fatto ruotare, dove inizialmente la superficie rimane piana ma poi, “comunicando a poco a poco il suo moto all’acqua”, questa “recede a poco a poco dal mezzo, e ascende ai lati del vaso, formandosi in una figura concava”.
8 Le forze gravitazionali e le orbite dei corpi celesti
Le leggi del moto orbitale e della gravitazione universale dedotte dai fenomeni astronomici.
Sommario
L’argomento tratta delle forze centripete che governano il moto dei corpi celesti, in particolare del fatto che “la forza con cui il pianeta è trattenuto nella sua orbita è sempre diretta verso il sole” e che “la forza con cui il pianeta si muove intorno a quel fuoco varia inversamente al quadrato della sua distanza da esso”. Si dimostra che un corpo sotto l’azione di tale forza descrive necessariamente una sezione conica. L’analisi si estende ai sistemi di corpi multipli, dove “se più corpi minori ruotano intorno a quello grande, si può facilmente dedurre che le orbite descritte si avvicineranno di più alle ellissi” se tutti i corpi si attraggono mutualmente con forze accelerative proporzionali alle forze assolute direttamente e inversamente ai quadrati delle distanze. Il principio è universale: “tutti i corpi quanto si voglia sono dotati di un principio di gravitazione reciproca”, come mostrato dal fatto che “i pianeti si muovono intorno al sole in ellissi, avendo il sole nel loro fuoco comune” e che “i pianeti circumgioviali, per raggi tracciati al centro di Giove, descrivono aree proporzionali ai tempi di descrizione”. Viene confutata l’ipotesi dei vortici, poiché “i moti delle comete sono estremamente regolari, sono governati dalle stesse leggi dei moti dei pianeti, e non possono in alcun modo essere spiegati con l’ipotesi dei vortici”. I tempi periodici dei pianeti e dei satelliti osservano la proporzione sesquiplicata delle distanze dai loro centri: “i tempi periodici dei pianeti circumgioviali sono nella proporzione sesquiplicata delle loro distanze dal suo centro”. Vengono calcolate e confrontate le forze gravitazionali relative del sole, di Giove, di Saturno e della terra, trovando che “il peso di corpi uguali, a distanze uguali dai centri del sole, di Giove, di Saturno e della terra, verso il sole, Giove, Saturno e la terra, erano rispettivamente uno rispetto all’altro, come 1, 1⁄1067, 1⁄3021, e 1⁄169282”. Si discute la posizione del fuoco delle orbite nel “comune centro di gravità di tutti i corpi interni”. L’argomento include anche lo studio delle comete, le cui orbite eccentriche e il cui moto “attraverso tutte le parti dei cieli indifferentemente” forniscono ulteriore prova delle leggi gravitazionali e della mancanza di resistenza negli spazi celesti. Viene menzionato il ruolo del parallasse annuo nel determinare la distanza delle comete e la confutazione della loro collocazione tra le stelle fisse. Si accenna alla natura rarefatta delle code delle comete e alla discussione contro l’ipotesi di un principio di levità.
9 La teoria delle maree e i moti lunari: forze, ritardi e configurazioni
La spiegazione delle maree oceaniche in relazione alle forze gravitazionali del sole e della luna, con particolare attenzione ai ritardi, alle configurazioni orbitali e agli effetti geografici.
Sommario L’argomento tratta del meccanismo di generazione delle maree come effetto delle forze gravitazionali combinate del sole e della luna. La “forza eccitatrice” di ciascun luminare dipende dalla sua declinazione, poiché se fosse “posto al polo, attrarrebbe costantemente tutte le parti delle acque senza alcuna intensione o remissione della sua azione, e non potrebbe causare alcuna reciprocazione di moto”. Le maree maggiori non si verificano in corrispondenza delle sizigie (luna nuova o piena), ma, a causa dei “moti reciproci delle acque”, sono “la terza in ordine dopo le sizigie”, o meglio “circa alla quarantatreesima ora dopo la novilunio o plenilunio”. L’ora del massimo flusso segue l’appulso della luna al meridiano del luogo con un ritardo, tipicamente di “circa la seconda, terza, o quarta ora” in mare aperto, ma che può essere ritardato “alla quinta, sesta, o settima ora, e anche più tardi” a causa della propagazione attraverso “canali poco profondi”. La teoria descrive la formazione di due “grandi flutti emisferici, uno nell’emisfero settentrionale, l’altro nell’emisfero meridionale”, che, essendo sempre opposti l’uno all’altro, giungono a turno ai meridiani di tutti i luoghi dopo un intervallo di dodici ore lunari. La differenza di altezza tra l’alta e la bassa marea varia geograficamente: “in isole in mezzo al mare si alzano appena più di due o tre piedi, ma sulle coste dei grandi continenti sono tre o quattro volte maggiori”. L’argomento include temi minori quali le librazioni lunari, le equazioni del moto medio della luna e dei suoi nodi, e la descrizione di casi particolari, come il porto di Batsham, dove le acque “ristagnano” dopo il passaggio della luna sull’equatore e successivamente presentano “un solo flusso e riflusso ogni giorno”.
10 Osservazioni e natura delle code delle comete
Osservazioni storiche delle dimensioni, luminosità e moto delle code cometarie in relazione alla posizione del sole e della terra.
Il sommario tratta della natura fisica e delle osservazioni delle code delle comete, come desumibile da resoconti storici. L’argomento centrale è la confutazione dell’ipotesi che le code siano semplici raggi di luce rifratti, sostenendo invece che siano “una sorta di nuvole o vapore che sale costantemente dalle teste delle comete” (7200). Si esaminano le proprietà osservate: la lunghezza, che può variare da pochi gradi fino a “70° e oltre” (7207); la visibilità anche quando la testa è debole, come per la cometa del 1680, la cui testa era “appena uguale in luce alle stelle di seconda grandezza” ma emetteva una coda notevole (8263). Viene discusso il rapporto tra la vicinanza al sole e lo splendore della coda, poiché “le code più grandi e fulgenti sorgono sempre dalle comete subito dopo il loro passaggio vicino al sole” (7198). Un tema minore è il moto e la forma della coda, che può deviare dalla direzione opposta al sole e mostrare una curvatura, come osservato quando “il lato convesso di essa giaceva a sud” (7184). Un ulteriore tema minore riguarda i metodi di osservazione e misurazione, che coinvolgono telescopi e riferimenti a stelle fisse, come nel caso in cui “la distanza della cometa dalla stella A… era un quinto della distanza tra la stella A e la prima stella dell’Ariete” (7361).
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