Neugebauer - Exact Sciences Antiquity | L | dsc

07 Mar, 2026

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1 Prefazione e metadati preliminari di The Exact Sciences in Antiquity

Il testo raccoglie dati editoriali, dediche, contenuti delle prefazioni alla prima e seconda edizione e l’inizio dell’indice di un’opera sulle scienze esatte antiche.

Inizia con i metadati della edizione Dover: “Standard Book Number: 486-223J2-9 Library of Congress Catalog Card Number: 69-20421 Manufactured in the United States of America Dover Publications, Inc. 180 Varick Street New York, N. Y. 10014” - (fr:4-5) [Numero Standard Libro: 486-223J2-9 Numero di Scheda Catalografica della Library of Congress: 69-20421 Stampato negli Stati Uniti d’America Dover Publications, Inc. 180 Varick Street New York, N. Y. 10014]. Segue la dedica a Richard Courant, legata a un’emozione di amicizia e gratitudine, e la citazione della prima serie delle Messenger Lectures di Cornell University, tenuta da James Henry Breasted, egittologo eminente: “The first series of Cornell University’s ‘Messenger Lectures on the evolution of civilization’ was given by James Henry Breasted, eminent Egyptologist and founder of the Oriental Institute of the University of Chicago.” - (fr:5) [La prima serie delle “Messenger Lectures sull’evoluzione della civiltà” della Cornell University è stata tenuta da James Henry Breasted, egittologo eminente e fondatore dell’Oriental Institute dell’Università di Chicago].

L’autore, identificato in fondo alla prefazione alla seconda edizione come O.N., dichiara un debito intellettuale iniziale con Breasted, il cui History of Egypt ha stimolato il suo interesse per le civiltà orientali antiche e il loro ruolo nella storia della scienza, e un debito più profondo con Courant, che lo ha introdotto a matematica e fisica moderne come parte di un impegno intellettuale non isolato: “But more than that I owe him the experience of being introduced to modern mathematics and physics as a part of intellectual endeavor, never isolated from each other nor from any other field of our civilization.” - (fr:9) [Ma più di ciò gli devo l’esperienza di essere stato introdotto a matematica e fisica moderne come parte di un impegno intellettuale, mai isolate tra loro né da qualsiasi altro campo della nostra civiltà].

Le sei lezioni tenute alla Cornell nel 1949 costituiscono la base dell’opera, con l’autore consapevole delle limitazioni della forma: “I fully realize that this form of presentation forced me into many statements which actually should be qualified by many conditions and question marks.” - (fr:12) [Sono pienamente consapevole che questa forma di presentazione mi ha costretto a molte affermazioni che in realtà dovrebbero essere qualificate da molte condizioni e punti interrogativi]. Si dichiara scettico verso ogni “sintesi”, convinto che la specializzazione sia l’unica base per una conoscenza solida, ma afferma di essersi goduto la libertà di abbandonare l’apparato erudito, pur rimanendo vicino al materiale sorgente, e di aver inserito note metodologiche per contrastare l’impressione di sicurezza delle discussioni generali: “Indeed, I have consistently tried to keep as close as possible to the source material. Only in its selection, in its arrangement, and in its coherent interpretation have I permitted myself much greater freedom than is usual in technical publications. And in order to counteract somewhat the impression of security which easily emerges from general discussions I have often inserted methodological remarks to remind the reader of the exceedingly slim basis on which, of necessity, is built any discussion of historical developments from which we are separated by many centuries.” - (fr:18-20) [Infatti, ho costantemente cercato di rimanere il più vicino possibile al materiale sorgente. Solo nella sua selezione, nella sua disposizione e nella sua interpretazione coerente mi sono permesso una libertà molto maggiore di quella consueta nelle pubblicazioni tecniche. E per contrastare in qualche misura l’impressione di sicurezza che emerge facilmente dalle discussioni generali ho spesso inserito note metodologiche per ricordare al lettore la base estremamente sottile sulla quale, per necessità, è costruita qualsiasi discussione di sviluppi storici dai quali siamo separati da molti secoli]. Contesta anche la convinzione comune che la distanza temporale dia “prospettiva storica”, affermando che essa invece produce solo sicurezza in generalizzazioni azzardate: “The common belief that we gain ‘historical perspective’ with increasing distance seems to me utterly to misrepresent the actual situation. What we gain is merely confidence in generalizations which we would never dare make if we had access to the real wealth of contemporary evidence.” - (fr:21-22) [La convinzione comune che con l’aumentare della distanza otteniamo una “prospettiva storica” mi sembra fraintendere completamente la situazione reale. Quello che otteniamo è solo sicurezza in generalizzazioni che non osremmo mai fare se avessimo accesso alla vera ricchezza delle testimonianze contemporanee].

Il titolo non promette un trattato esaustivo, ma una rassegna dell’interrelazione storica tra matematica e astronomia nelle civiltà antiche, non cronologica: si evita di riassumere le opere di Thomas L. Heath sulla matematica greca, si tralascia la dettagliata astronomia greca per la sua tecnicità, e l’enfasi principale è posta su matematica e astronomia babilonesi e egiziane in relazione alla scienza ellenistica: “Consequently, the main emphasis is laid on mathematics and astronomy in Babylonia and Egypt in their relationship to Hellenistic science.” - (fr:28) [Di conseguenza, l’enfasi principale è posta su matematica e astronomia in Babilonia e in Egitto nella loro relazione con la scienza ellenistica]. Si aggiungono note tecniche e citazioni di opere fuori dal percorso principale per incoraggiare la consapevolezza della ricchezza del tema, e si cerca di trasmettere fascino per il lavoro attivo su problemi storici invece di tentare la completezza: “Instead of attempting completeness I have tried to convey to the reader some of the fascination which lies in active work on historical problems.” - (fr:31) [Invece di tentare la completezza ho cercato di trasmettere al lettore un po’ del fascino che risiede nel lavoro attivo su problemi storici].

La prefazione alla seconda edizione inizia con una citazione in francese di Saint-Exupéry, “Tu deviens responsable pour toujours de ce que tu as apprivoisé” - (fr:33) [Diventi responsabile per sempre di ciò che hai addomesticato], ringrazia amici colleghi in particolare A. Sachs (assumendo la sola responsabilità di eventuali errori), Brown University e il suo bibliotecario D. A. Jonah, e Torkil Olsen di Copenhagen per la stampa in Danimarca. Vengono apportati aggiornamenti con risultati recenti, riscritte ampie sezioni sull’astronomia egiziana e sulla teoria planetaria babilonese, aggiunte due appendici nuove (una sulla matematica greca, l’altra sul sistema tolemaico e la sua modifica copernicana), con l’autore che spera di non aver trasformato le lezioni in un testo scolastico: “I hope I have avoided, in spite of these amplifications, converting my lectures into a textbook.” - (fr:39) [Spero di aver evitato, nonostante queste ampliazioni, di trasformare le mie lezioni in un testo scolastico].

Infine si riporta l’inizio dell’indice, “TABLE OF CONTENTS List of Plates.” - (fr:40) [INDICE DEI CONTENUTI Elenco delle tavole].

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2 Origine, trasmissione e continuità delle scienze esatte ellenistiche: restrizioni metodologiche e esempio da un manoscritto medievale tardo

Il testo introduce il tema centrale (origine e trasmissione della scienza ellenistica), delimita l’ambito alle scienze esatte per incompetenza altrove e sottolinea la continuità tra antichità, medioevo e rinascimento, usando il Book of Hours di Jean de France, Duc de Berry, come esempio.

Il nucleo iniziale definisce l’importanza della scienza nata nel “melting pot” dell’ellenismo, che si diffuse da India a Europa occidentale e rimase dominante fino all’epoca newtoniana (“In this melting pot of ‘Hellenism’ a form of science was developed which later spread over an area reaching from India to Western Europe and which was dominant until the creation of modern science in the time of Newton.” - (fr:105) [In questo crogiolo dell’ellenismo si sviluppò una forma di scienza che in seguito si diffuse su un’area che andava dall’India all’Europa occidentale e che rimase dominante fino alla creazione della scienza moderna al tempo di Newton.]), e la sua dipendenza da civiltà orientali precedenti di durata analoga all’influenza ellenistica stessa (“On the other hand the Hellenistic civilization had its roots in the oriental civilizations which nourished about equally long before Hellenism as its direct influence was felt afterwards.” - (fr:106) [D’altra parte, la civiltà ellenistica aveva le sue radici nelle civiltà orientali, che si svilupparono per circa lo stesso periodo prima dell’ellenismo quanto la sua influenza diretta si fece sentire in seguito.]); l’origine e trasmissione di questa scienza sono dichiarati problema centrale della discussione (“The origin and transmission of Hellenistic science is therefore the central problem of our whole discussion.” - (fr:107) [L’origine e la trasmissione della scienza ellenistica sono quindi il problema centrale della nostra intera discussione.]).

Viene poi imposta una restrizione metodologica artificiale alle scienze esatte (matematica e astronomia matematica), riconosciuta tale dall’autore, per incompetenza in medicina, scienze naturali e altri campi, nonostante i loro legami con l’astronomia/astrologia (es.: scuole mediche greche e astronomia, medicina medievale e astrologia ellenistica, nomi come Mercurio per una sostanza e un pianeta, riferimenti astronomici/astrologici in sculture gotiche e miniature medievali, arte rinascimentale non ignorante delle scienze) (“I restrict my subject to the exact sciences simply because I feel totally incompetent to deal with subjects like medicine or the natural sciences… Thus, it is a quite artificial restriction which we impose upon the following discussions in limiting ourselves to exact mathematics and mathematical astronomy.” - (fr:108), (fr:113) [Limito il mio argomento alle scienze esatte semplicemente perché mi sento totalmente incompetente a trattare argomenti come la medicina o le scienze naturali… Quindi, è una restrizione piuttosto artificiale quella che imponiamo alle discussioni seguenti limitandoci alla matematica esatta e all’astronomia matematica.]). Anche entro questi limiti, la matematica ha ricevuto un peso eccessivo rispetto all’astronomia, perché i suoi concetti base sono più semplici e familiari al lettore moderno, nonostante l’autore consideri l’astronomia la forza più importante nello sviluppo della scienza tra il 600 a.C. circa e l’epoca di Laplace, Lagrange e Gauss, e la sua storia dell’origine uno dei capitoli più frammentari ma anche più promettenti della ricerca storica (“And even within these narrow limits it was necessary to lay undue weight on the part of mathematics as compared with astronomy… I do not hesitate to assert that I consider astronomy as the most important force in the development of science since its origin sometime around 600 B.C. to the days of Laplace, Lagrange, and Gauss… the history of the origin of astronomy is one of the most fragmentary chapters in the history of science… Consequently I am convinced that the history of mathematical astronomy is one of the most promising fields of historical research.” - (fr:114), (fr:117), (fr:118), (fr:119) [E anche entro questi limiti ristretti è stato necessario dare un peso eccessivo alla parte matematica rispetto all’astronomia… Non esito ad affermare che considero l’astronomia la forza più importante nello sviluppo della scienza dalla sua origine intorno al 600 a.C. circa ai giorni di Laplace, Lagrange e Gauss… la storia dell’origine dell’astronomia è uno dei capitoli più frammentari della storia della scienza… Di conseguenza sono convinto che la storia dell’astronomia matematica sia uno dei campi più promettenti della ricerca storica.]).

Passando al capitolo sui numeri, viene introdotto il Book of Hours di Jean de France, Duc de Berry, incompiuto dopo la morte del committente nel 1416 e l’abbandono dei fratelli Limbourg, illuminatori, considerato uno dei manoscritti medievali tardi più magnifici; è un libro di preghiere basato sul calendario religioso, con dodici fogli per mese, di cui si prende come esempio settembre, con vendemmia in primo piano, Castello di Saumur nel secondo piano e campo semicircolare in alto con numeri e simboli astronomici (“When in 1416 Jean de France, Duc de Berry, died, the work on his ‘Book of Hours’ was suspended… A ‘Book of Hours’ is a prayer book which is based on the religious calendar of saints and festivals throughout the year… As an example we may consider the illustration for the month of September… In the background we see the Château de Saumur, depicted with the greatest accuracy of architectural detail. For us, however, it is the semicircular field on top of the picture, where we find numbers and astronomical symbols, which will give us some impression of the scientific background of this calendar.” - (fr:123), (fr:125), (fr:127), (fr:129), (fr:130) [Quando nel 1416 Jean de France, Duca di Berry, morì, il lavoro sul suo “Libro delle Ore” fu sospeso… Un “Libro delle Ore” è un libro di preghiere basato sul calendario religioso dei santi e delle feste durante l’anno… Come esempio possiamo considerare l’illustrazione per il mese di settembre… Sullo sfondo vediamo il Castello di Saumur, raffigurato con la massima accuratezza dei dettagli architettonici. Per noi, tuttavia, è il campo semicircolare in cima all’immagine, dove troviamo numeri e simboli astronomici, che ci darà un’idea dello sfondo scientifico di questo calendario.]).

Questo esempio dimostra legami tra astronomia medievale tarda e antichità, e viene sottolineato come la divisione tra antichità e medioevo non abbia significato per la storia della matematica e dell’astronomia: in astronomia matematica, metodi antichi prevalsero fino a Newton e contemporanei, che introdussero la dinamica nei fenomeni astronomici; si può capire i Principia senza astronomia precedente, ma non Copernico o Keplero senza l’Almagesto di Tolomeo, e tutta l’astronomia fino a Newton consiste in modifiche, anche ingegnose, di quella ellenistica; in matematica la linea di demarcazione tra antico e moderno è meno netta, ma si può difendere che la matematica “moderna” inizi con l’analisi, ancora una volta con Newton e contemporanei (“Already a superficial discussion of these representations will demonstrate close relations between the astronomy or the late Middle Ages and antiquity… For the history of mathematics and astronomy the traditional division of political history into Antiquity and Middle Ages is of no significance… In mathematical astronomy ancient methods prevailed until Newton and his contemporaries opened a fundamentally new age by the introduction of dynamics into the discussion of astronomical phenomena… Up to Newton all astronomy consists in modifications, however ingenious, of Hellenistic astronomy… In mathematics the situation is not much different though the line of demarcation between ‘ancient’ and ‘modern’ is less sharply drawn. But also here the viewpoint could well be defended that all ‘modern’ mathematics begins with the creation of analysis. thus again with Newton and his contemporaries.” - (fr:131), (fr:133), (fr:134), (fr:136), (fr:137), (fr:138), (fr:139) [Già una discussione superficiale di queste rappresentazioni dimostrerà stretti legami tra l’astronomia del tardo medioevo e l’antichità… Per la storia della matematica e dell’astronomia, la divisione tradizionale della storia politica in Antichità e Medioevo non ha significato… Nell’astronomia matematica i metodi antichi prevalsero fino a Newton e ai suoi contemporanei, che aprirono un’epoca fondamentalmente nuova con l’introduzione della dinamica nella discussione dei fenomeni astronomici… Fino a Newton tutta l’astronomia consiste in modifiche, anche ingegnose, dell’astronomia ellenistica… In matematica la situazione non è molto diversa, anche se la linea di demarcazione tra “antico” e “moderno” è meno netta. Ma anche qui si può difendere il punto di vista secondo cui tutta la matematica “moderna” inizia con la creazione dell’analisi, quindi ancora una volta con Newton e i suoi contemporanei.]).

Infine, si inizia l’analisi dei calendari del manoscritto come esempio di continuità di tradizioni antiche, ignorando dottrine storiche: si menzionano due anelli numerici (interno da 1 a 30, esterno da 17 a 30 e da 1 a 15), con numerali “indo-arabi” (penetrati in Europa dal XII secolo dal mondo islamico, che hanno sostituito sempre più i numerali romani, presenti in due esempi nell’immagine), con forme diverse ma facilmente decifrabili (“We shall not worry, however, about historical doctrines. Merely as an illustration for the continuation of ancient traditions we shall briefly analyze the calendars of the Book of the Hours of the Duke of Berry. Both the outermost and the inner ring contain numbers, the inner ring from 1 to 30, the outer ring from 17 to 30 and from 1 to The appearance of these numerals is not quite the one familiar to us today… but everyone will easily decipher their values and recognize that they are the familiar ‘Hindu-Arabic’ numerals which penetrated into Europe, beginning in the 12th century, from the Islamic world. They superseded more and more the Roman numerals of which we find also two representatives in our picture.” - (fr:141), (fr:142), (fr:143), (fr:144), (fr:145) [Non ci preoccuperemo, tuttavia, di dottrine storiche. Semplicemente come illustrazione della continuazione di tradizioni antiche analizzeremo brevemente i calendari del Libro delle Ore del Duca di Berry. Sia l’anello più esterno che quello interno contengono numeri, quello interno da 1 a 30, quello esterno da 17 a 30 e da 1 a L’aspetto di questi numerali non è proprio quello che conosciamo oggi… ma tutti decifreranno facilmente i loro valori e riconosceranno che sono i familiari numerali “indo-arabi” che sono penetrati in Europa, a partire dal XII secolo, dal mondo islamico. Hanno sostituito sempre più i numerali romani, di cui troviamo anche due rappresentanti nella nostra immagine.]).

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3 Sistemi di notazione numerica e dati astronomici dal Calendario del Libro delle Ore

Il testo esplora metodi di scrittura dei numeri (acrofonico, romano, valore posizionale) e osservazioni sul moto solare e una notazione aggiuntiva in un calendario del XV secolo.

Il testo inizia discutendo la scrittura dei numeri mediante parole semplici, un metodo molto diffuso (“The writing of numbers by simple words without the use of any symbols whatsoever is very common indeed.” - (fr:151) [La scrittura dei numeri mediante parole semplici senza l’uso di alcun simbolo è davvero molto comune.]). Una variante è il principio acrofonico, trovato in iscrizioni greche con abbreviazioni come II per IIENTB (“cinque”) o Ll per LlBKA (“dieci”) (“A variant of it is the method found in Greek inscriptions which use abbreviations like II for IIENTB ‘five’ or Ll for LlBKA ‘ten’.” - (fr:152) [Una variante di questo è il metodo trovato in iscrizioni greche che usano abbreviazioni come II per IIENTB “cinque” o Ll per LlBKA “dieci”.]), definito come quello in cui la prima lettera rappresenta l’intera parola (“One calls this the ‘acrophonic’ principle, where the first letter stands for the whole word.” - (fr:153) [Si chiama questo principio “acrofonico”, dove la prima lettera sta per l’intera parola.]).

Storicamente, il sistema romano è forse il più diffuso: i numeri piccoli sono ripetizioni di 1, un principio valido anche per i simboli attuali 2 e 3, derivati da = e == in scrittura corsiva (“The Roman system is perhaps the most widespread method, historically speaking. The smallest numbers are simple repetitions Numbers 5 of This holds even for our present number symbols where 2 and 3 originated from = and == by connecting lines in cursive writing.” - (fr:154-156) [Il sistema romano è forse il metodo più diffuso, storicamente parlando. I numeri più piccoli sono semplici ripetizioni di Questo vale anche per i nostri attuali simboli numerici dove 2 e 3 hanno origine da = e == collegando le linee in scrittura corsiva.]). Lo stesso sistema era presente in Egitto, Mesopotamia e nelle iscrizioni greche menzionate (“The same system prevailed in Egypt, in Mesopotamia) or, for the smallest units, in the Greek inscriptions just mentioned.” - (fr:157) [Lo stesso sistema predominava in Egitto, in Mesopotamia o, per le unità più piccole, nelle iscrizioni greche appena menzionate.]). Nel sistema romano, V è probabilmente metà del simbolo X, come D (=500) è metà di ([) =1000, simbolo poi interpretato come M per “mille” (“Roman V is probably half of the symbol X as D (= 500) is half of ([) = This latter symbol was only later conveniently interpreted as M for ‘millett thousand.” - (fr:158-159) [Il V romano è probabilmente metà del simbolo X, come D (=500) è metà di ([) =1000. Quest’ultimo simbolo è stato solo successivamente interpretato convenientemente come M per “mille”.]). Simboli individuali per 10, 100, 1000 si trovano anche in Egitto, dove la loro ripetizione e combinazione produce i numeri intermedi (”Similar individual symbols for 10, 100, 1000 are found in Egypt. Their repetition and combination readily Yields the intermediate numbers.” - (fr:160-161) [Simili simboli individuali per 10, 100, 1000 si trovano in Egitto. La loro ripetizione e combinazione produce facilmente i numeri intermedi.]). Anche l’arrangiamento gioca un ruolo, come in IV (5-1) vs VI (5+1); un caso esplicito di scrittura sottrattiva è una forma babilonese antica per 19, dove tra 20 e 1 si scrive il segno “sottrai”, mentre in periodo successivo 19 è scritto come 10+3+3+3, con forma corsiva in epoca seleucide (”Arrangement may playa role, as in IV = 5 - 1 in contrast to VI = 5 + As an explicit case of subtractive writing may be mentioned an Old-Babylonian form for In this period ’one’ would be r; ‘ten,’ <; thus 21 = ~but ~ = 20 -1 = Here the sign rLAL ‘subtracf’ is written bctween 20 and Later, 19 would be written only 4f = 10 + 3 + 3 + 3 from which a final cursivc form ~ originated ill the Seleucid period.” - (fr:162-166) [L’arrangiamento può giocare un ruolo, come in IV = 5 - 1 in contrasto con VI = 5 + Come caso esplicito di scrittura sottrattiva si può menzionare una forma antico-babilonese per In questo periodo “uno” era r; “dieci” <; quindi 21 = ~ ma ~ = 20 -1 = Qui il segno rLAL “sottrai” è scritto tra 20 e Più tardi, 19 sarebbe scritto solo 4f = 10 + 3 + 3 + 3 da cui una forma corsiva finale ~ originata nel periodo seleucide.]).

Fondamentalmente diverso è il sistema di valore posizionale, dove la posizione di un simbolo determina il suo valore: 12 non è 1+2 ma 1×10 +2, e 21 è 2×10 +1; questo permette di usare pochi simboli senza ripetizioni o nuovi simboli per numeri grandi (“Fundamentally different from all these methods is the ‘place value notation’ of our present system, where neither 12 nor 21 represents 1 + 2 or 2 + 1 but 1 times ten plus 2, and 2 times ten plus 1 respectively. Here the position of a number symbol determines its value and consequently a limited number of symbols suffices to express numbers, however large, without the need for repetitions or creation of new higher symbols.” - (fr:167-168) [Fondamentalmente diverso da tutti questi metodi è la “notazione a valore posizionale” del nostro attuale sistema, dove né 12 né 21 rappresentano 1 + 2 o 2 + 1 ma rispettivamente 1 per dieci più 2, e 2 per dieci più Qui la posizione di un simbolo numerico determina il suo valore e di conseguenza un numero limitato di simboli è sufficiente per esprimere numeri, per quanto grandi, senza bisogno di ripetizioni o creazione di nuovi simboli superiori.]). Questa invenzione è una delle più feconde dell’umanità, paragonabile a quella dell’alfabeto rispetto ai segni pittorici (“The invention of this place value notation is undoubtedly one of the most fertile inventions of humanity. It can be properly compared with the invention of the alphabet as contrasted to the use of thousands of picture-signs intended to convey a direct representation of the concept in question.” - (fr:169-170) [L’invenzione di questa notazione a valore posizionale è senza dubbio una delle invenzioni più feconde dell’umanità. Può essere giustamente paragonata all’invenzione dell’alfabeto in contrasto con l’uso di migliaia di segni pittorici intesi a trasmettere una rappresentazione diretta del concetto in questione.]).

Il testo poi passa a informazioni tratte dal calendario del Libro delle Ore: la zona centrale mostra le immagini di Vergine e Bilancia, con iscrizioni “fine dei gradi della Vergine” e “inizio della Bilancia a 15 gradi” (“Before returning to the history of number symbols we shall draw some additional information from the calendar of the Book of Hours. The wide middle zone shows the pictures of ‘Virgo’ and the scales of ‘Libra’, headed by the inscriptions finis graduum virginis ‘end of the degrees of Virgo’ and the already quoted ‘beginning of Libra 15 degrees.” - (fr:171-172) [Prima di tornare alla storia dei simboli numerici, trarremo alcune informazioni aggiuntive dal calendario del Libro delle Ore. L’ampia zona centrale mostra le immagini di “Vergine” e le bilance di “Bilancia”, con in testa le iscrizioni finis graduum virginis “fine dei gradi della Vergine” e la già citata “inizio della Bilancia a 15 gradi”.]). I segni zodiacali sono sezioni di 30 gradi ciascuna del percorso annuale del sole tra le stelle fisse; quindi, il sole viaggia a settembre dal 17° grado della Vergine al 15° grado della Bilancia, per un totale di 29 gradi, contabili sul bordo esterno (”Virgo and Libra are signs of the zodiac, i. e. sections of 30 degrees each in the yearly path of the sun among the fixed stars as seen from the earth. Consequently our picture indicates that the sun travels during September from the 17th degree of Virgo to the 15th degree of Libra, 6 Chapter I or a total of 29 degrees, as can be counted directly by tallying the spaces on the outer rim.” - (fr:173-174) [Vergine e Bilancia sono segni zodiacali, cioè sezioni di 30 gradi ciascuna del percorso annuale del sole tra le stelle fisse visto dalla terra. Di conseguenza la nostra immagine indica che il sole viaggia durante settembre dal 17° grado della Vergine al 15° grado della Bilancia, per un totale di 29 gradi, come si può contare direttamente contando gli spazi sul bordo esterno.]). Poiché settembre ha 30 giorni, il sole copre al giorno 29/30 = 58/60 gradi, cioè 58 minuti d’arco, corrispondente ai fatti: il sole impiega poco più di 365 giorni per percorrere 360 gradi, quindi la media giornaliera è poco meno di un grado (”Because September has 30 days the. d 29 58 d 8· f sun covers In one ay 30 = 60 egrees or 5 IDlnutes 0 arc per day. This corresponds very well to the facts. Because it takes the sun slightly more than 365 days to travel the 360 degrees of the whole zodiac, the average daily travel must be slightly less than one degree per day.” - (fr:175-178) [Poiché settembre ha 30 giorni, il sole copre in un giorno 29/30 = 58/60 gradi o 58 minuti d’arco al giorno. Questo corrisponde molto bene ai fatti. Poiché il sole impiega poco più di 365 giorni per percorrere i 360 gradi dell’intero zodiaco, il viaggio giornaliero medio deve essere leggermente inferiore a un grado al giorno.]). Tuttavia, per novembre, dicembre e gennaio si trova un moto più veloce di 1 grado al giorno, controbilanciato da un moto più lento di ~56 minuti da marzo a luglio: questo riflette correttamente che il sole si muove più velocemente in inverno, più lentamente in estate, fenomeno chiamato anomalia solare, accuratamente considerato nell’astronomia greca e babilonese ellenistica; è inaspettato trovare questo concetto rappresentato in un libro di preghieri dell’inizio del XV secolo (”If we repeat our computation for all the 12 folios of our calendar we find, however, a faster movement of 1 0 per day for November, December, and January. This is counterbalanced by a slower movement of about 56 minutes in the months from March to July. This again reflects facts correctly. The sun moves fastest in Winter, slowest in Summer; and we shall see that this phenomenon was accurately taken into consideration both in Greek and in Babylonian astronomy of the Hellenistic period. One calls this irregularity of the solar motion its ’anomaly’. It is certainly not to be expected a priori to find this concept carefully represented in a prayer book of the early 15th century.” - (fr:179-184) [Se ripetiamo il calcolo per tutti i 12 fogli del nostro calendario troviamo, tuttavia, un movimento più veloce di 1 grado al giorno per novembre, dicembre e gennaio. Questo è controbilanciato da un movimento più lento di circa 56 minuti nei mesi da marzo a luglio. Questo riflette di nuovo correttamente i fatti. Il sole si muove più velocemente in inverno, più lentamente in estate; e vedremo che questo fenomeno è stato accuratamente preso in considerazione sia nell’astronomia greca che in quella babilonese del periodo ellenistico. Si chiama questa irregolarità del moto solare la sua “anomalia”. Non è certamente da aspettarsi a priori trovare questo concetto attentamente rappresentato in un libro di preghieri dell’inizio del XV secolo.]).

Infine, nell’anello interno del calendario si trova una notazione numerica aggiuntiva: lettere (b, k, 8, 9, f, d, m, a, i, ecc.) associate a simboli lunari; assegnando a queste lettere numeri secondo la loro posizione nell’alfabeto, si ottiene una sequenza (2, 10, 18, 7, 6, 4, 12, 1, 9, 17, 6, 14, 3, 11, 19, 8, 16, 5, 13) che segue la legge: aggiungere sempre 8 al numero precedente, sottraendo 19 se il totale supera 19 (es. 2+8=10, 10+8=18, 18+8=26→26-19=7) (“An additional numerical notation occurs in the inner ring of the calendar. Here we find associated with symbols of the moon the following letters: b k 8 9 fdmaietc. If we assign to these letters numbers according to their position in the alphabet we obtain: 2 10 18 7 6 4 12 1 9 17 6 14 3 11 19 8 16 5 13 These numbers are obviously connected by the following simple law: always add 8 to the preceding number in order to get the next number; in case the total exceeds 19, subtract Thus 2 + 8 = 10 10 + 8 = 18 18 + 8 = 26; 26 - 19 =” - (fr:186-189) [Una notazione numerica aggiuntiva compare nell’anello interno del calendario. Qui troviamo associati a simboli della luna le seguenti lettere: b k 8 9 f d m a i ecc. Se assegniamo a queste lettere numeri secondo la loro posizione nell’alfabeto otteniamo: 2 10 18 7 6 4 12 1 9 17 6 14 3 11 19 8 16 5 Questi numeri sono ovviamente collegati dalla seguente semplice legge: aggiungere sempre 8 al numero precedente per ottenere il prossimo; nel caso in cui il totale superi 19, sottrarre Così 2 + 8 = 10 10 + 8 = 18 18 + 8 = 26; 26 - 19 = ]).

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4 Il ciclo metonico: fondamenti astronomici, diffusione e uso nel calendario religioso medievale

Il testo analizza il ciclo di 19 anni legato all’intercalazione lunisolare, iniziando da un richiamo alla periodicità di 19 passaggi prima definita “Thus the list repeats itself after 19 steps.” - (fr:192) [Quindi l’elenco si ripete dopo 19 passaggi.]. La rilevanza storica del numero 19 risale al V secolo a.C., quando uno schema ciclico di intercalazione fu introdotto nel calendario babilonese e proposto senza successo ad Atene da Metone, onorato con una statua e con l’attribuzione del nome al ciclo “Numbers 7 The question as to the significance of the number 19 leads us directly back to the 5th century B.C. when a cyclic scheme of intercalations was actually introduced in the Babylonian calendar and unsuccessfully proposed in Athens by Meton, who was, however, honored by his contemporaries with a statue and by modern scholars with the attachment of his name to the cycle.” - (fr:193) [Il quesito sul significato del numero 19 ci riporta direttamente al V secolo a.C., quando uno schema ciclico di intercalazione fu effettivamente introdotto nel calendario babilonese e proposto senza successo ad Atene da Metone, che tuttavia fu onorato dai suoi contemporanei con una statua e dagli studiosi moderni con l’attribuzione del nome al ciclo.]. La base astronomica del ciclo è chiara: l’intervallo tra due congiunzioni solari-lunari consecutive (una lunazione, cioè il mese lunare, che dura circa 29,5 giorni e quindi è fissato a 29 o 30 giorni) crea un deficit di circa 11 giorni all’anno solare, accumulandone 33 in tre anni e richiedendo un tredicesimo mese “The time between two consecutive conjunctions of sun and moon is about 291 days.” - (fr:195) [Il tempo tra due congiunzioni consecutive di sole e luna è di circa 29,5 giorni.]; “This interval is called one ‘lunation.’” - (fr:196) [Questo intervallo è chiamato una “lunazione”.]; “A lunar month is therefore either 29 or 30 days long.” - (fr:197) [Un mese lunare è quindi lungo 29 o 30 giorni.]; “Consequently 12 lunar months amount to 354 days or about 11 days less than one solar year.” - (fr:198) [Di conseguenza, 12 mesi lunari totalizzano 354 giorni o circa 11 giorni in meno di un anno solare.]; “After three years a deficiency of about 33 days has accumulated, making it necessary to add a 13th month to one of the three lunar years in order to bring the beginning of the lunar year roughly back to the beginning of the solar year.” - (fr:199) [Dopo tre anni si è accumulato un deficit di circa 33 giorni, rendendo necessario aggiungere un tredicesimo mese a uno dei tre anni lunari per riportare l’inizio dell’anno lunare approssimativamente all’inizio dell’anno solare.]. Un calcolo più preciso stabilisce che 19 anni solari contengono 235 mesi lunari: 12 anni ordinari di 12 mesi e 7 intercalari di 13, con un errore di un giorno solo dopo 310 anni giuliani “More accurate recording of the beginnings of lunar months and the beginnings of solar years shows that 19 solar years contain 235 lunar months, i. e., 12 ordinary lunar years of 12 months each and 7 intercalary lunar years of 13 months each.” - (fr:200) [Una registrazione più precisa degli inizi dei mesi lunari e degli inizi degli anni solari mostra che 19 anni solari contengono 235 mesi lunari, cioè 12 anni lunari ordinari di 12 mesi ciascuno e 7 anni lunari intercalari di 13 mesi ciascuno.]; “This 19-year or Metonic cycle is quite accurate; only after 310 Julian years do the cyclically computed mean new moons fall one day earlier than they should.” - (fr:201) [Questo ciclo di 19 anni o metonico è piuttosto accurato; solo dopo 310 anni giuliani le lune nuove medie calcolate ciclicamente cadono un giorno prima di quanto dovrebbero.]. La diffusione del ciclo è notevole: fu base del calendario dell’impero seleucide, del calendario religioso ebraico e cristiano (specialmente per la Pasqua), e apparve, leggermente modificato, nei primi trattati astronomici indiani Romaka- e Paulisa-Siddhanta del V secolo d.C., la cui origine occidentale è confermata “This simple cyclical computation not only formed the basis of the calendar of the Seleucid empire in antiquity but is similarly the foundation of the Jewish and Christian religious calendar, especially so far as Easter is concerned.” - (fr:202) [Questo semplice calcolo ciclico non solo ha formato la base del calendario dell’impero seleucide nell’antichità, ma è anche il fondamento del calendario religioso ebraico e cristiano, specialmente per quanto riguarda la Pasqua.]; “The same cycle appears, though in a slight disguise, in the luni-solar computations of two of the earliest astronomical works of India, the Romaka- and the Paulisa-Siddhinta (about fifth century A.D.), whose Western origin is apparent from their names and confirmed by many details.” - (fr:203) [Lo stesso ciclo appare, sebbene in una leggera mascheratura, nei calcoli lunisolari di due dei primi trattati astronomici indiani, il Romaka- e il Paulisa-Siddhanta (circa V secolo d.C.), la cui origine occidentale è evidente dai loro nomi e confermata da molti dettagli.]. Nel Medioevo, il ciclo risolse il problema della datazione delle lune nuove per il calendario religioso, nonostante possibili scostamenti di alcuni giorni “By means of this cycle the Middle Ages solved the problem of establishing the dates of the new moons, at least for purposes of the religious calendar, though the actual facts might differ by several days.” - (fr:205) [Con l’ausilio di questo ciclo, il Medioevo risolse il problema di stabilire le date delle lune nuove, almeno per gli scopi del calendario religioso, sebbene i fatti reali potessero differire di alcuni giorni.]. Il metodo medievale utilizza un anno base “a” con luna nuova il 19 gennaio, lunazioni alternate di 30 e 29 giorni con occasionali inserimenti di due mesi di 30 giorni consecutivi, e un’eccezione finale con due lunazioni di 29 giorni chiamata saltus lunae (“salto della luna”) “The ‘primationes lunae’ or new moons in our Book of the Hours are determined as follows: As the first year, ‘a,’ of the cycle a year is chosen when the new moon fell on January 19 (cf.” - (fr:206) [Le “primationes lunae” o lune nuove nel nostro Libro delle Ore sono determinate come segue: Come primo anno, “a”, del ciclo viene scelto un anno in cui la luna nuova è caduta il 19 gennaio (cfr.).]; “From now on we operate with alternating lunations of 30 or 29 days respectiYely, with occasional additions of one day such that two 30-day months follow one another.” - (fr:209) [D’ora in poi operiamo con lunazioni alternate di 30 o 29 giorni rispettivamente, con aggiunte occasionali di un giorno in modo che due mesi di 30 giorni si susseguano.]; “Continuing this process 1) we reach September 13 as a new-moon date for ’year aU and indeed the letter”a” is given at this date below a little crescent in our calendar miniature for September.” - (fr:213) [Continuando questo processo 1) raggiungiamo il 13 settembre come data di luna nuova per “l’anno aU e in effetti la lettera”a” è indicata in questa data sotto una piccola falce nella nostra miniatura del calendario per settembre.]; “The scheme ends where it began, with January 19, if we make the two last lunations 29 days long.” - (fr:217) [Lo schema finisce dove è iniziato, con il 19 gennaio, se rendiamo le due ultime lunazioni lunghe 29 giorni.]; “This final excep• tion to the rule of alternation was called saltus lunae, the ‘jump of the moon’.” - (fr:218) [Questa eccezione finale alla regola dell’alternanza fu chiamata saltus lunae, il “salto della luna”.]. Per identificare la data della luna nuova basta conoscere il numero aureo, cioè il numero dell’anno corrente nel ciclo di 19, così chiamato perché, secondo un erudito del XIII secolo, “eccelleva tutti gli altri rapporti lunari come l’oro eccelleva tutti gli altri metalli” “In order to know which date is supposed to be a new moon one need only know which number the present year has in the 19-year cycle.” - (fr:219) [Per sapere quale data dovrebbe essere una luna nuova, basta solo sapere quale numero ha l’anno corrente nel ciclo di 19 anni.]; “This number is called the ‘golden number’ because, as a scholar of the 13th century expressed it, ‘this number excels all other lunar ratios as gold excels all other met~ls.’” - (fr:220) [Questo numero è chiamato “numero aureo” perché, come ha espresso un erudito del XIII secolo, “questo numero eccelle tutti gli altri rapporti lunari come l’oro eccelle tutti gli altri metalli.”]. Nel XII secolo, questo metodo primitivo era considerato un miracolo di precisione in Europa occidentale, anche se risultati incomparabilmente migliori erano stati raggiunti da metodi babilonesi e greci fin dal IV secolo a.C. e gestiti abilmente da astronomi islamici ed ebraici contemporanei “In the twelfth century this very primitive method was considered by scholars in Western Europe as a miracle of accuracy, though incomparably better results had been reached by Babylonian and Greek methods since the fourth century B.C. and though these methods were ably handled by contemporary Islamic and Jewish astronomers.” - (fr:221) [Nel XII secolo, questo metodo molto primitivo era considerato dagli studiosi dell’Europa occidentale come un miracolo di precisione, anche se risultati incomparabilmente migliori erano stati raggiunti da metodi babilonesi e greci fin dal IV secolo a.C. e anche se questi metodi erano gestiti abilmente da astronomi islamici ed ebraici contemporanei.]. Infine, si introduce un criterio per misurare il progresso scientifico, come il numero di fatti precedentemente separati che diventano comprensibili sotto un nuovo punto di vista comune “Scientific progres, can perhaps be best measured by the number of previously separated facts which become understandable under a new common viewpoint.” - (fr:223) [Il progresso scientifico può forse essere misurato meglio dal numero di fatti precedentemente separati che diventano comprensibili sotto un nuovo punto di vista comune.].

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[5.1-59-259|317]

5 Sistemi numerici antichi: notazione alfabetica greca, sessagesimale babilonese e loro trasmissione

Analisi dei sistemi numerici greci (alfabetici) e babilonesi (sessagesimali con valore posizionale), delle loro applicazioni astronomiche e della loro diffusione storica.

Il testo esamina due sistemi numerici antichi, iniziando dalla notazione alfabetica greca: nelle monete tolemaiche d’Egitto si usa lo stesso principio con sequenze come “AA BB rr etc.” (fr:260) [AA BB ΓΓ ecc.], e i numerali alfabetici greci furono inventati prima che l’alfabeto eliminasse tre suoni ereditati dai fenici (fr:266), ipotesi confermata dalla seconda colonna di una tabella (fr:267). Una tabella chiave è quella delle corde, indicata dal titolo “Table of straight lines in the circle” (fr:263) [Tabella delle rette nel cerchio, ossia tabella delle corde]: qui il simbolo C atteso per 6 appare un passo dopo, costringendo a leggere il simbolo intermedio ~ come 6 (fr:264), confermato dalla continuazione dove “&8 = 19 is followed by x =20 ~ =21 etc.” (fr:265) [&8=19 è seguito da x=20, ~=21 ecc.]. Le colonne della tabella mostrano che nella prima i numeri rimangono invariati o aumentano di uno, mentre nella seconda e terza alternano valori più piccoli e più grandi (fr:268); l’accumulo di 60 unità nella seconda colonna fa aumentare di uno la prima (fr:270), e se la prima indica archi che crescono di 1/2 grado, le corde non crescono proporzionalmente (tranne per angoli molto piccoli, fr:271). Il raggio è 60 (fr:272), e la corda per 1 minuto di arco è “0;1,2,50” (fr:273); è presente anche un segno speciale per 1/2, documentato in papiri (fr:274), dove si trova anche il segno dello zero in forme variabili (T, ~, m, fr:276, 279), usato anche in manoscritti arabi geografici e astronomici (fr:279). Tutte le opere astronomiche greche si basano sullo stesso procedimento (fr:275).

Passando al sistema babilonese, si distinguono due periodi: “Old-Babylonian” (1800-1600 a.C.) e “Seleucid” (300-0 a.C.), con testi astronomici solo nel secondo (fr:283); i testi matematici del primo periodo raggiungono il livello più alto della Babilonia (fr:282). Le tavolette cuneiformi usano zeppe verticali per 1-9 e segni per 10, 20,…50 (fr:285, 286), con valore posizionale: il segno “2” dopo “1” (che è 60) è 120, e “2,10” è 130 (fr:287), principio uguale a quello della tabella delle corde di Tolomeo (fr:288). La notazione greca è meno consistente di quella babilonese (fr:289), introducendo l’incoerenza ancora visibile nell’astronomia moderna (es. 130°17’20“, fr:290). Il sistema sessagesimale non fu inventato in un momento preciso: una tavoletta con numeri sessagesimali per le lune nuove può finire con un colofone che esprime la stessa data in forma decimale (“2 me 25 ‘2 hundred 25’” invece di 3,45, fr:292) [2 me 25 “duecento 25”].

La caratteristica più evidente del sistema babilonese è la notazione a valore posizionale (fr:294), originata da testi economici dove erano importanti le unità di peso per l’argento (fr:302); l’ordine sessagesimale divenne il sistema principale, con scrittura a valore posizionale derivata da segni più grandi e più piccoli (fr:303). Una difficoltà è la possibile lettura errata (es. 1 20 come 80 invece di 3620, fr:305), risolta parzialmente da un simbolo di separazione (trasritto come punto), che era anche un separatore di frasi (fr:306); ma non si trovano segni di zero alla fine dei numeri (fr:307). L’ambiguità tra frazioni e interi non è importante per il calcolo (fr:308): il processo babilonese evita regole speciali per le frazioni, richiedendo solo di ricordare il valore posizionale, come si fa con il punto decimale (fr:313), a differenza dell’Egitto che usava tabelle di duplicazione di frazioni unitarie (fr:311).

Il sistema sessagesimale si trasmise dai Babilonesi ai Greci, poi agli Indiani che aggiunsero il valore posizionale per le unità decimali più piccole (fr:304). È usato con coerenza nelle Tavole Alfonsine (1280, fr:315), in Copernico (specialmente nelle tabelle dei moti medi, fr:316), e in al-Kashi (morto nel 1429), che determinò correttamente 2π come “6;16,59,28,1,34,51,46,15,50” (fr:317).

[5.2-59-318|376]

6 Sistemi numerici greci e babilonesi: notazione, zero e contesto storico

Il testo analizza diversi aspetti dei sistemi numerici antichi, con focus su quello alfabetico greco e quello sessagesimale babilonese, oltre all’uso dello zero e al contesto storico delle fonti.

Per quanto riguarda il sistema numerico alfabetico greco, si data la sua origine al VIII secolo a.C. e si localizza con alta probabilità a Mileto, in Asia Minore (fr:325). Viene descritto un esempio di tabella con colonne di “archi” (fr:322) e una sequenza regolare di lettere corrispondenti a numeri (C=7, fJ=8, 9=9, t=10, fr:323), con un “segno strano 9” che indica 90 dopo n=80 (fr:324).

Un elemento peculiare è lo zero: si attesta l’uso di un segno speciale esattamente come il nostro (fr:333), anche se nei testi paleobabilonesi non era ancora sviluppato (fr:347). Nei manoscritti bizantini, lo zero ha una forma simile alla lettera alfa, derivata da ouden (“niente”, fr:338).

Il sistema sessagesimale babilonese è un tema centrale: le unità principali (mana e siclo) hanno un rapporto 60:1 (fr:361), e la notazione a valore posizionale è l’aspetto essenziale, indipendentemente dal rapporto tra unità consecutive (fr:352). Questo sistema si comporta come gradi, minuti e secondi, con frazioni di 1/60 dell’unità superiore (fr:329); un punto e virgola separa gli interi dalle frazioni (fr:336).

Per il contesto storico, si menziona che i testi babilonesi più numerosi provengono dal periodo seleucide (fr:341), e che decine di migliaia di documenti mesopotamici sono stati ritrovati, sufficienti per ricostruire l’uso dei numeri attraverso i secoli (fr:354). Si critica anche la dottrina prevalente che vede la matematica greca come essenzialmente geometrica, sottolineando la negligenza dei calcoli numerici presenti in opere come l’Almagesto di Tolomeo o le Tavole Facili di Teone (fr:334).

Tolomeo l’astronomo usa il sistema sessagesimale a valore posizionale esclusivamente per le frazioni, non per gli interi (fr:373); un esempio è la corda 60 per 60°, corretta per il triangolo equilatero dove corda = raggio (fr:331). Si attesta anche che il sistema sessagesimale è applicato coerentemente solo in contesti matematici o astronomici (fr:351), mentre il substrato decimale rimane visibile per i numeri fino a 60 (fr:362).

Infine, si nota che problemi sull’origine del sistema sessagesimale non si risolvono con speculazioni, ma con l’analisi sistematica dei documenti scritti (fr:353), e si cita un esempio di conversione di un numero sessagesimale in decimale da parte di un autore che aveva inventato l’analogo decimale delle frazioni sessagesimali (fr:376).

[5.3-58-377|434]

7 Sistemi numerici greci e babilonesi: notazione alfabetica e sessagesimale

Analisi dei sistemi numerici utilizzati in Grecia e Mesopotamia, con focus sulla notazione alfabetica greca e il sistema sessagesimale, e loro applicazione in astronomia e matematica.

Un’importante modifica della numerazione alfabetica greca è ampiamente usata in matematica, astronomia e documenti come i papiri: “Much more important, however, is another modification of the alphabetic numeration which is extensively used in Greek mathematics and astronomy and also in economic and literary documents, e.g. in Greek papyri” - (fr:379) [Tuttavia, molto più importante è un’altra modifica della numerazione alfabetica che è ampiamente usata nella matematica e astronomia greche e anche in documenti economici e letterari, ad esempio nei papiri greci]. Prendendo come esempio una tabella dell’Almagesto di Tolomeo, si trovano lettere greche nell’ordine alfabetico in ogni seconda riga: “I take as our example a table from Ptolemy’s U Almagest” (fr:380) [Prendo come esempio una tabella dell’“Almagesto” di Tolomeo]; “In this column we find in every second line the familiar Greek letters in the arrangement of the alphabet” - (fr:381) [In questa colonna troviamo in ogni seconda riga le familiari lettere greche nell’ordine dell’alfabeto]. Seguendo l’ordine, si aspettano valori come 11, 12, poi 100, 200 fino a 800, con un simbolo speciale per 900: “Following the alphabetic order one might expect ,,= 11, = 12 etc.” - (fr:382) [Seguendo l’ordine alfabetico si potrebbe aspettare,,= 11, = 12 ecc.]; “Then follows e = 100 a = 200 ‘I’ = 300 until (» = 800, followed again by a special symbol ‘1’ (or h.. or ep) = 900” - (fr:383) [Poi segue e = 100 a = 200 ‘I’ = 300 fino a (» = 800, seguito di nuovo da un simbolo speciale ‘1’ (o h.. o ep) = 900].

Omettendo ogni seconda riga, si interpretano i numeri come frazioni che aumentano da 0 a 1, 2 ecc.; con 60 come unità superiore, si riconosce un aumento quasi costante: “Returning to our table we have still omitted every second line” - (fr:384) [Tornando alla nostra tabella, abbiamo ancora omesso ogni seconda riga]; “Calling this symbol x we read x 1 1 2 2 3 31 2 34 5 37 8 25 50 15 40 4 28 ele.” - (fr:385) [Chiamando questo simbolo x leggiamo x 1 1 2 2 3 31 2 34 5 37 8 25 50 15 40 4 28 ecc.]; “Consequently it is plausible to consider the numbers in the second and third column as fractions and to assume that the numbers as a whole increase from 0 to 1, 2, etc.” - (fr:386) [Di conseguenza è plausibile considerare i numeri nella seconda e terza colonna come frazioni e presumere che i numeri nel loro insieme aumentino da 0 a 1, 2, ecc.]; “The numbers 31 2 34 5 37 show again almost constant increase if we take a total of 60 as one higher unit: 31 31 + 31 = 60 + 2 60 + 34 + 31 = 120 + 5 62 + 32 = 60 + 34 120 + 5 + 32 = 120 + 37 etc.” - (fr:387) [I numeri 31 2 34 5 37 mostrano di nuovo un aumento quasi costante se prendiamo un totale di 60 come unità superiore: 31 31 + 31 = 60 + 2 60 + 34 + 31 = 120 + 5 62 + 32 = 60 + 34 120 + 5 + 32 = 120 + 37 ecc.]. Queste sono le frazioni sessagesimali, scritte come 0,31,25 con differenza costante di 0,31,25; la prima colonna indica gradi, dato che la tabella finisce con 180 (angolo piatto): “We call such fractions Usexagesimal fractions” and write numbers of this type in the following form: 0,31,25 1,2,50 1,34,15 2,5,40 We can say that these numbers show a constant difference 0,31,25“ - (fr:388) [Chiamiamo tali frazioni “frazioni sessagesimali” e scriviamo numeri di questo tipo nella forma seguente: 0,31,25 1,2,50 1,34,15 2,5,40 Possiamo dire che questi numeri mostrano una differenza costante di 0,31,25]; “That the first column indicates degree~ is obvious from the fact that the table ends with 180, i. e., with the straight angle” - (fr:389) [Che la prima colonna indichi gradi è ovvio dal fatto che la tabella finisce con 180, cioè con l’angolo piatto]. Il sistema sessagesimale è usato per la circonferenza (360 gradi, 60 minuti) e il raggio (unità di sesti): “And finally we have seen the sexagesimal system in full use, both in the familiar division of the circumference of the circle into 360 ”degrees” of 60 minutes or 3600 seconds each, and in the division of the radius into units of consecutive sixtieths“ - (fr:392) [E infine abbiamo visto il sistema sessagesimale in pieno uso, sia nella familiare divisione della circonferenza del cerchio in 360 “gradi” ciascuno di 60 minuti o 3600 secondi, sia nella divisione del raggio in unità di sesti consecutivi].

Per il posto vuoto, i papiri suggeriscono un simbolo arbitrario, non omicron (che vale 70): “The papyri do not support this explanation (which is in itself very implausible since omicron already represented a numerical value, namely 70) but suggest an abitrarily invented symbol intended to indicate an empty place” - (fr:397) [I papiri non supportano questa spiegazione (che è di per sé molto implausibile poiché omicron rappresentava già un valore numerico, cioè 70) ma suggeriscono un simbolo inventato arbitrariamente inteso a indicare un posto vuoto]. Nell’astronomia greca, solo le frazioni sono sessagesimali; per gli interi si usa l’alfabetico: “In Greek astronomy, however, only the fractions were written sexagesimally, whereas for integer degrees or hours the ordinary alphabetic notation remained in use also for numbers from 60 onwards” - (fr:407) [Nell’astronomia greca, tuttavia, solo le frazioni erano scritte in sessagesimale, mentre per gradi o ore intere la notazione alfabetica ordinaria rimase in uso anche per numeri a partire da 60]. Ad esempio, 365 è scritto come 300+60+5: “Thus he will write 365 as ‘&’ E 8 (300,60, 5) but not as ~ 8(6,5)” - (fr:432) [Così scriverà 365 come ‘&’ E 8 (300,60, 5) ma non come ~ 8(6,5)].

Per i testi mesopotamici, si tratta di tavolette di argilla iscritte con uno stilo: “The texts of which I speak are clay tablets, generally about the size of a hand, inscribed with signs which were pressed into the surface of the once soft clay by means of a sharpened stylus” - (fr:398) [I testi di cui parlo sono tavolette di argilla, generalmente delle dimensioni di una mano, iscritte con segni che erano impressi nella superficie dell’argilla un tempo morbida per mezzo di uno stilo appuntito]. Il periodo seleucide (300 a.C. – inizio era) ha testi astronomici paragonabili all’Almagesto: “This period, from about 300 B.C. to the beginning of our era, has furnished us with a great number of astronomical texts of a most remarkable mathematical character, fully comparable to the astronomy of the Almagest” - (fr:400) [Questo periodo, da circa 300 a.C. all’inizio della nostra era, ci ha fornito un gran numero di testi astronomici di carattere matematico molto notevole, pienamente comparabili all’astronomia dell’Almagesto]. Lo sviluppo della notazione mesopotamica ha richiesto secoli come la scrittura: “The development of the numerical notations in Mesopotamia took as many centuries as the development of writing from a crude picture script to a well defined system of complicated signs” - (fr:401) [Lo sviluppo delle notazioni numeriche in Mesopotamia ha richiesto tanti secoli quanto lo sviluppo della scrittura da una scrittura pittorica grezza a un sistema ben definito di segni complicati].

Si riconoscono segni per 10, 11-13 e una tabella di moltiplicazione per 10 dove 1,10=70 (60+10): “Then follows < which must be 10, and consequently we can also read the remaining signs as 11, 12, 13” - (fr:403) [Poi segue < che deve essere 10, e di conseguenza possiamo anche leggere i restanti segni come 11, 12, 13]; “These signs continue the previous ones if we interpret the first”1” as 60 and then read 1,10 as 60 + 10 = 70 and 1,20 as 60 + 20 = 80” - (fr:404) [Questi segni continuano i precedenti se interpretiamo il primo “1” come 60 e poi leggiamo 1,10 come 60 + 10 = 70 e 1,20 come 60 + 20 = 80]; “In other words, our table is a multiplication table for 10, which we now can transcribe as follows: 1 10 2 20 3 30 4 40 5 50 6 1 7 1,10 8 1,20 9 1,30 10 1,40 11 1,50 12 2 13 2,10 The notation 1,10 = 70 1,20 = 80 2,10 = 130 etc.” - (fr:405) [In altre parole, la nostra tabella è una tabella di moltiplicazione per 10, che ora possiamo trascrivere come segue: 1 10 2 20 3 30 4 40 5 50 6 1 7 1,10 8 1,20 9 1,30 10 1,40 11 1,50 12 2 13 2,10 La notazione 1,10 = 70 1,20 = 80 2,10 = 130 ecc.]. Questa notazione appare in testi seleucidi: “This appears, however, in both mathematical and astronomical cuneiform texts of the Seleucid period, as we shall see in later examples” - (fr:406) [Questo appare, tuttavia, sia in testi cuneiformi matematici che astronomici del periodo seleucide, come vedremo in esempi successivi].

La conoscenza astronomica ha migrato per 2000 anni fino a un sistema “assurdo”: “It is interesting to see that it took about 2000 years of migration of astronomical knowledge from Mesopotamia via Greeks, Hindus, and Arabs to arrive at a truly absurd numerical system” - (fr:408) [È interessante vedere che ci sono voluti circa 2000 anni di migrazione della conoscenza astronomica dalla Mesopotamia attraverso greci, indù e arabi per arrivare a un sistema numerico veramente assurdo]. Per date e pesi si usavano sistemi misti, paralleli al “caos” moderno: “In all other matters (dates, measures of weight, areas, etc.), use was made of mixed systems which have their exact parallel in the chaos of 60-division, 24-division, 12-division, 10-division, 2-division which characterizes the units of our own civilization” - (fr:410) [In tutte le altre questioni (date, misure di peso, aree, ecc.), si faceva uso di sistemi misti che hanno il loro esatto parallelo nel caos della divisione per 60, 24, 12, 10, 2 che caratterizza le unità della nostra civiltà]. Una teoria sull’origine del sessagesimale deve spiegare l’uso degli stessi simboli per valori diversi: “No historical theory of the origin of the sexagesimal system is acceptable if it does not account also for this extraordinary feature, namely, the use of the same small number of symbols for different values, depending on the arrangement” - (fr:411) [Nessuna teoria storica sull’origine del sistema sessagesimale è accettabile se non spiega anche questa caratteristica straordinaria, cioè l’uso dello stesso piccolo numero di simboli per valori diversi, a seconda dell’arrangiamento].

C’è abbondante materiale sorgente, specialmente registri economici antichi: “Fortunately there is an abundance of source material available” - (fr:412) [Fortunatamente c’è un’abbondanza di materiale sorgente disponibile]; “Especially for the earliest period of writing the economic records are almost the only class of existing documents and the number signs are among those signs which one can read with certainty even for periods where the interpretation of the other signs is very problematic” - (fr:413) [Specialmente per il periodo più antico della scrittura i registri economici sono quasi l’unica classe di documenti esistenti e i segni numerici sono tra quei segni che si possono leggere con certezza anche per periodi in cui l’interpretazione degli altri segni è molto problematica]. Si hanno segni per unità/decine, 100 come cerchio grande, e un “1” grande=60: “The former represents ordinary units, the latter tens” - (fr:414) [Il primo rappresenta unità ordinarie, il secondo decine]; “The 100 was written as a circular impression which looks like 10, but is made much bigger” - (fr:416) [Il 100 era scritto come un’impressione circolare che sembra 10, ma è fatta molto più grande]; “A big 1 represents 60” - (fr:417) [Un 1 grande rappresenta 60]. Esistono variazioni locali: “Variations of these systems, both decimal and more or less sexagesimal, can be cstablished at different localities” - (fr:418) [Variazioni di questi sistemi, sia decimali che più o meno sessagesimali, possono essere stabilite in diverse località]. Più tardi, “1”+10=70 vs 10+1=11: “Whereas originally one big unit, meaning 60, and one 10 symbol were written to denote 60 + 10, later a simple”1’” followed by a 10 was read 70, in contrast to a 10 followed by 1 meaning 11” - (fr:419) [Mentre originariamente si scriveva un’unità grande, che significa 60, e un simbolo di 10 per indicare 60 + 10, più tardi un semplice “1’” seguito da un 10 veniva letto 70, in contrasto con un 10 seguito da 1 che significa 11].

La spaziatura non è stretta, e il contesto decide il valore assoluto di un numero sessagesimale: “But this method is by no means strictly applied and we have many cases where numbers are spaced widely apart without any significance” - (fr:4

[5.4-58-435|492]

8 Sistemi numerici greci e babilonesi e il loro uso nell’astronomia antica e medievale

Il testo tratta dei sistemi numerici greci e babilonesi, della loro decifrazione e del loro impiego nell’astronomia, oltre a sfatare alcuni equivoci comuni. Per quanto riguarda i numeri greci, si menziona un “New Style” dove i mesi sono indicati con lettere A-M per 1-12 e N=13 per gli anni bisestili del calendario lunare attico: “New Style”, the months of issue are denoted by the letters A to M representing the numbers 1 to 12 for an ordinary year, adding N = 13 for a leap year of the Athenian lunar calendar - (fr:435) [Nel “New Style”, i mesi di emissione sono indicati con le lettere da A a M che rappresentano i numeri da 1 a 12 per un anno ordinario, aggiungendo N = 13 per un anno bisestile del calendario lunare attico]. La decifrazione di questo sistema si basa su ipotesi semplici (es. associando simboli a 1, 2, ..) e sull’osservazione che numeri come 11 sono combinazioni di simboli (10+1): “Actually, however, we find ux = 11 tP = 12 etc., in other words, , 10 16 10 • Numbers 11 combined symbols 10 + 1, 10 + 2, etc.” - (fr:440) [In realtà, tuttavia, troviamo ux = 11 tP = 12 ecc., in altre parole, 10 16 Numeri 11 come simboli combinati 10 + 1, 10 + 2, ecc.]. Si notano anche simboli non appartenenti all’alfabeto greco classico, resti delle prime fasi dell’alfabeto: “Though the three symbols ( 9 and t:p are not members of the classical Greek alphabet they are well known to the historian as remnants of the earliest form of the Greek alphabet which still shows these three letters in actual use” - (fr:441) [Sebbene i tre simboli ( 9 e t:p non siano membri dell’alfabeto greco classico, sono ben noti agli storici come resti della forma più antica dell’alfabeto greco che mostra ancora queste tre lettere in uso effettivo].

Per la notazione greca si specifica che 1 significa 61, mentre 1;1 = 1 + 1/60, anche se virgola e punto e virgola non esistono nei testi originali: “Thus 1 means 61 but 1;1 - 1 + /no Neither comma nor semicolon has any counterpart in the actual texts” - (fr:453) [Quindi 1 significa 61 ma 1;1 = 1 + 1/60. Né virgola né punto e virgola hanno un corrispondente nei testi effettivi]. Un esempio astronomico è la tabella delle corde, dove la corda di 180° (diametro) vale 120,0,0 e quella di 1° vale 1,2,50: “The chord to 180° must be the diameter; the table gives for this entry the value ex 0 0 = 120,0,0” - (fr:447) [La corda di 180° deve essere il diametro; la tabella dà per questa voce il valore ex 0 0 = 120,0,0]; “We know already that the chord of lOis 1,2,50” - (fr:448) [Sappiamo già che la corda di 1° è 1,2,50].

Passando al sistema babilonese, si descrive la scrittura cuneiforme, a forma di cuneo per le impressioni dello stilo: “This script is called ‘cuneiform,’ i. e. wedge-shaped, because the individual impressions have a deeper ‘head’ and a finer line at the end, thus resembling a wedge” - (fr:456) [Questa scrittura è chiamata “cuneiforme”, cioè a forma di cuneo, perché le singole impressioni hanno una “testa” più profonda e una linea più fine alla fine, assomigliando così a un cuneo]. Il sistema è sessagesimale (base 60): 60 unità di un ordine diventano 1 del successivo: “is Usexagesimal” in the sense that 60 units of one kind are written as 1 of the next higher order“ - (fr:463) [È “sessagesimale” nel senso che 60 unità di un tipo sono scritte come 1 del prossimo ordine superiore]. Si sfatano due equivoci: che il sessagesimale fosse di uso generale (esistono molte basi diverse) e che la maggior parte dei documenti babilonesi siano religiosi o magici: “First of all, there exists a common misconception as to the generality of the use of the sexagesimal system” - (fr:467) [Prima di tutto, esiste un equivoco comune sulla generalità dell’uso del sistema sessagesimale]; “The early association of Assyriology with Biblical problems and the Hellenistic and Roman concept of ‘Chaldaeans’ as equivalent to astrologers or magicians is today still reflected in the widespread idea that the majority of Babylonian documents are concerned with religion, magic or number mysticism” - (fr:470) [L’associazione iniziale dell’assiriologia con problemi biblici e il concetto ellenistico e romano di “Caldei” come equivalenti di astrologhi o maghi si riflette oggi ancora nell’idea diffusa che la maggior parte dei documenti babilonesi siano riguardanti religione, magia o misticismo numerico].

Il sistema babilonese ha un sostrato decimale, con simboli più grandi per unità superiori (es. 100 = “grande 10”, 120 = due grandi unità in direzioni opposte): “Thus 100 is simply ‘big 10’” - (fr:474) [Quindi 100 è semplicemente “grande 10”]; “Two big units written in opposing directions are combined into one sign to form 120” - (fr:475) [Due grandi unità scritte in direzioni opposte sono combinate in un solo segno per formare 120]. Inizialmente mancava un simbolo per lo zero, ma più tardi (nei testi astronomici) ne venne usato uno, simile a quello babilonese come segno di separazione: “The Babylonian place value notation shows in its earlier development two disadvantages which are due to the lack of a symbol for zero” - (fr:480) [La notazione di valore posizionale babilonese mostra nel suo sviluppo iniziale due svantaggi dovuti alla mancanza di un simbolo per lo zero]; “In the latest period, however, when astronomical texts were computed, a special symbol for ‘zero’ was used” - (fr:481) [Nell’ultimo periodo, tuttavia, quando venivano calcolati i testi astronomici, veniva usato un simbolo speciale per “zero”]; “representing zero a sign which looks like …… This would correspond exactly to the Babylonian zero symbol which is also not a letter or a syllable but a mere separation mark” - (fr:454-455) [rappresentante lo zero un segno che assomiglia a …… Questo corrisponderebbe esattamente al simbolo di zero babilonese, che non è nemmeno una lettera o una sillaba ma un semplice segno di separazione].

Il vantaggio del sessagesimale portò alla sua adozione da parte di astronomi greci, indiani, islamici ed europei: “The advantages of the Babylonian place value system over the Egyptian additive computation with unit fractions are so obvious that the sexagesimal system was adopted for all astronomical computations not only by the Greek astronomers but also by their followers in India and by the Islamic and European astronomers” - (fr:489) [I vantaggi del sistema di valore posizionale babilonese rispetto al calcolo additivo egiziano con frazioni unitarie sono così evidenti che il sistema sessagesimale è stato adottato per tutti i calcoli astronomici non solo dagli astronomi greci ma anche dai loro seguaci in India e dagli astronomi islamici ed europei]. Oggi usiamo ancora decimali per gli interi e sessagesimali per minuti e secondi, per influenza degli astronomi islamici: “The same procedure was followed by the Islamic astronomers and is the reason for our present astronomical custom to write integers decimally and then use sexagesimal minutes and seconds” - (fr:490) [La stessa procedura è stata seguita dagli astronomi islamici ed è la ragione per la nostra attuale consuetudine astronomica di scrivere gli interi in decimale e poi usare minuti e secondi sessagesimali]. Si menziona anche il perfezionamento dei metodi numerici da parte di studiosi islamici come al-Kishi, astronomo reale di Ulugh Beg a Samarcanda: “The perfection to which Islamic scholars developed numerical methods has only recently become clear, especially through the work of P. Luckey on aI-Kishi, the astronomer royal of Ulugh Beg in Samarqand” - (fr:492) [La perfezione con cui gli studiosi islamici hanno sviluppato i metodi numerici è diventata chiara solo di recente, specialmente attraverso il lavoro di P. Luckey su al-Kishi, l’astronomo reale di Ulugh Beg a Samarcanda].

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[6.1-24-535|558]

Note bibliografiche su numerali greci, calendari medievali e calcolo antico

Raccolta di riferimenti scientifici riguardanti tre temi: numerali acrofonici greci, calendari ciclici medievali e metodi di calcolo con le dita.

Il testo inizia con un riferimento a un articolo su The Annual of the British School at Athens: “The Annual of the British School at Athens, 45 (1950) p. 12&-139.” - (fr:535) [L’Annuario della British School di Atene, 45 (1950) pp. 12-139.]. Si passa poi ai numerali acrofonici, definiti “erodianici” perché “The acrophonic numerals are often called ‘Herodianic’ because a grammarian Herodianus (second century A. D.)” - (fr:536) [I numerali acrofonici sono spesso chiamati “erodianici” perché il grammatico Erodiano (II secolo d.C.)] “discussed these numbers.” - (fr:537) [discusse questi numeri.]. Il nome “erodianico” è attribuito a Woisin: “The name seems to have been introduced by Woisin in his thesis, De graecorum notis numeralibus, Lipsia” - (fr:538) [Il nome sembra essere stato introdotto da Woisin nella sua tesi, De graecorum notis numeralibus, Lipsia ]. Per discussioni recenti si rimanda a Marcus Niebuhr Tod: “Recent discussion, textual evidence and bibliography in Marcus Niebuhr Tod, The Greek acrophonic numerals, The Annual of the British School at Athens No. 37, Sessions 193&-37, p. 23&-258 (London 1940).” - (fr:539) [Discussione recente, evidenza testuale e bibliografia in Marcus Niebuhr Tod, The Greek acrophonic numerals, L’Annuario della British School di Atene n. 37, Sessioni 1936-37, pp. 23-258 (Londra 1940).]. Esempi di questi numerali si trovano in The Athenian Tribute Lists: “For examples cf.” - (fr:540) [Per esempi cfr.] “B. D. Meritt-H. T. Wade-Gery-M. F. McGregor, The Athenian Tribute Lists (Cambridge, Harvard Univ.” - (fr:541) [B. D. Meritt-H. T. Wade-Gery-M. F. McGregor, The Athenian Tribute Lists (Cambridge, Harvard Univ.] “Press.” - (fr:542) [Press.] “1939) vol.” - (fr:543) [1939) vol.] “I passim; e. g. the photo p. 74 Fig.” - (fr:544) [I passim; ad es. la foto p. 74 Fig.] “98 and corresponding copy on PI.” - (fr:545) [98 e la copia corrispondente su Pl.] “XXI.” - (fr:546) [XXI.] “ad” - (fr:547) [ad ].

Per i calendari ciclici medievali si cita W. E. van Wijk: “W. E. van Wijk, Le nombre d’or.” - (fr:548) [W. E. van Wijk, Le nombre d’or.] “:Etude de chronologie technique suivie du texte de la Massa Compoti d’A1exandre de Villedieu.” - (fr:549) [:Studio di cronologia tecnica seguito dal testo della Massa Compoti di Alessandro di Villedieu.] “La Haye, Nijhoft’,” - (fr:550) [L’Aia, Nijhoff, ] — lavoro che “contains a valuable introduction to the medieval cyclic calendars in Europe.” - (fr:551) [contiene una preziosa introduzione ai calendari ciclici medievali in Europa.]. Si aggiunge anche Nils Lithberg: “Cf.” - (fr:552) [Cfr.] “also Nils Lithberg, Computus, Stockholm 1953 (Swedish) = Nordiska Muscets Handlingar 29; very complete bibliography.” - (fr:553) [anche Nils Lithberg, Computus, Stoccolma 1953 (svedese) = Nordiska Muscets Handlingar 29; bibliografia molto completa.] “ad” - (fr:554) [ad ].

Infine, sul calcolo con le dita: Jean-Gabriel Lemoine, “Jean-Gabriel Lemoine, Les anciens procedes de calcul sur les doigts en orient et en occident.” - (fr:555) [Jean-Gabriel Lemoine, Les anciens procedes de calcul sur les doigts en orient et en occident (Gli antichi metodi di calcolo con le dita in Oriente e Occidente).] “Revue des etudes islamiques 6 (1932) p. 1-58 [with extensive critical bibliography].” - (fr:556) [Revue des etudes islamiques 6 (1932) pp. 1-58 [con estesa bibliografia critica].]. Per la numerazione egiziana delle dita: “Egyptian numbering of fingers: Kurt Sethe, Ein a1tlgyplischer Fingerzlhl Notes and References 25 reim.” - (fr:557) [Numerazione egiziana delle dita: Kurt Sethe, Ein altägyptischer Fingerzahl (Un dito numerale egiziano antico) Note and References 25 reim.] “Zeitsehr.” - (fr:558) [Zeitschr.] (riferimento incompiuto, abbreviazione di Zeitschrift).

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[7.1-55-609|663]

9 Elementi matematici, notazioni numeriche e testimonianze storiche dal III millennio a.C. al XIV d.C.

Analisi di tabelle, notazioni, errori interpretativi e origini di simboli matematici in contesti egiziani, greci, macedoni e mesopotamici.

Viene presentato un esempio di tabella didattica di quadrati da un libro scolastico greco-egiziano del III secolo a.C. (P. Cairo Inv.65445, pubblicato in Publications de la Societe Royale Egyptienne de Papyrologie, Textes et Documents, Vol. 2, Cairo 1938), con colonne sinistra e centrale leggibili per numeri da 6 a 400 e quadrati corrispondenti: “6 6 36 … 40 40 1600 … 800 800 64 ·10000” - (fr:615) [6 6 36 … 40 40 1600 … 800 800 64 ·10000]. Si evidenziano segni particolari per numeri come 6, 900, 1000 (un alfa con anello) e 10000 (una mu greca, prima lettera di myrioi, con il fattore sovrascritto); l’ultima colonna conserva frazioni di dracma, unità scritte con segni numerici ordinari più accento, tranne il simbolo p’ che indica 2/3 invece di 1/3, composto dai segni per 1/2 e 1/6: “Indeed, 3" = 2 + 6” - (fr:623) [Infatti, 2/3 = 1/2 + 1/6].

Per i numerali alfabetici greci si osserva che di solito sono ordinati dal valore più alto al più basso, ma in datazioni macedoni (131 a.C. – 322 d.C.) e mesopotamiche si trova l’ordine invertito. Riguardo lo zero, F. Woepcke nel 1863 riconobbe che la forma araba (cerchio piccolo con barra sovrastante e varianti) deriva da manoscritti astronomici greci, e un manoscritto bizantino del 1300 circa (Vat. Graec. 1058 fol. 261 sgg.) usa un segno simile a mu accanto a 0, apparentemente per influenza islamica.

Sulla notazione cuneiforme, si citano collezioni di segni arcaici di Anton Deimel (Sumerische Grammatik der archaistischen Texte, 1924) e A. Falkenstein (Archaistische Texte aus Uruk, 1936), oltre a immagini di stilo; dai testi di Uruk emerge un sistema di frazioni basato sulla ripetuta divisione per due, e segni speciali per 1/2, 1/3, 2/3, 1/6 comuni anche in periodi successivi, che influenzarono la metrologia mesopotamica portando a raggruppamenti in 12, 30 o

Si riporta anche un caso di notazione decimale occasionale in un testo antico-babilonese, dove 1,12 nel testo viene trascritto in intestazione come “4 thousand 3 hundred and 20” - (fr:649) [4 mila 3cento e 20], equivalente a 1,12,0 in sessagesimale; questo esempio illustra la mancanza di determinazione assoluta del valore di posto in questo periodo, per cui 1,12 può essere interpretato come 4320, 72 o 1;12 = 1 1/5, e solo il contesto permette la scelta corretta. Questa ambiguità portò a un errore interpretativo di Hilprecht nel 1906, quando pubblicò tavolette matematiche, metrologiche e cronologiche da Nippur: convinse che esse fossero legate al misticismo numerico platonico del Libro VIII della Repubblica, tramite artifici arbitrari, ad esempio interpretò 1,10 come 955.200.000.000.

Infine, si accenna all’origine della notazione di valore posto sessagesimale, osservando che spesso frazioni di unità monetarie diventano frazioni generali, come nel caso dell’as romano, frazione di oncia e di ora.

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[8.1-79-754|832]

10 Testi matematici babilonesi: trasmissione, tabelle sessagesimali e competenze numeriche

Analisi della trasmissione delle fonti, del sistema di tabelle sessagesimali (moltiplicazione e reciproci) e delle implicazioni storiche delle competenze babilonesi.

Il contesto della trasmissione delle tavolette babilonesi è definito da una scarsità relativa: il totale delle tavolette giunte nei musei è stimato in almeno 000, ma questo è solo una piccola frazione di quelle ancora sepolte nelle rovine mesopotamiche, al punto che il compito di ricostruire la storia della matematica è paragonato a restaurarla da poche pagine strappate di una grande biblioteca distrutta (“The total amount of Babylonian tablets which have reached museums might be estimated to be at least 500,000 tablets and this is certainly only a small fraction of the texts which are still buried in the ruins of Mesopotamian cities” - (fr:754) [Il totale delle tavolette babilonesi giunte nei musei può essere stimato in almeno 000 tavolette e questo è certamente solo una piccola frazione dei testi che sono ancora sepolti nelle rovine delle città mesopotamiche.]; “Our task can therefore properly be compared with restoring the history of mathematics from a few torn pages which have accidentally survived the destruction of a great library” - (fr:755) [Il nostro compito può quindi essere giustamente paragonato a restaurare la storia della matematica da poche pagine strappate che sono sopravvissute per caso alla distruzione di una grande biblioteca.]). Tra le fonti, gli archivi di Nippur (dispersi tra Philadelphia, Jena e Istanbul) forniscono una larga percentuale di testi di tabelle, molti dei quali sono “scolastici”: esercizi di scribi apprendisti, come dimostra la ripetizione della stessa tabella di moltiplicazione in due mani su obverso e rovescio, o la presenza di vocabolari (spina dorsale dell’istruzione per la scrittura cuneiforme in accadico e sumerico) su un lato e tabelle matematiche sull’altro, spesso combinate con tabelle di pesi e misure per la vita economica quotidiana (“The archives from the city of Nippur, now dispersed over at least three museums, Philadelphia, Jena, and Istanbul, have given us a large percentage of table texts, many of which are clearly ‘school texts’, i. e., exercises written by apprentice scribes” - (fr:758) [Gli archivi della città di Nippur, ora dispersi tra almeno tre musei, Philadelphia, Jena e Istanbul, ci hanno dato una grande percentuale di testi di tabelle, molti dei quali sono chiaramente “testi scolastici”, cioè esercizi scritti da scribi apprendisti.]; “This is evident, e. g., from the repetition in a different hand of the same multiplication table on obverse and reverse of the same tablet” - (fr:759) [Questo è evidente, ad esempio, dalla ripetizione in una mano diversa della stessa tabella di moltiplicazione su obverso e rovescio della stessa tavoletta.]; “Often we also find vocabularies written on one side of a tablet which shows mathematical tables on the other side” - (fr:760) [Spesso troviamo anche vocabolari scritti su un lato di una tavoletta che mostra tabelle matematiche sull’altro lato.]; “These vocabularies are the backbone of the scribal instruction, necessary for the mastery of the intricacies of cuneiform writing in Akkadian as well as in Sumerian” - (fr:761) [Questi vocabolari sono la spina dorsale dell’istruzione scribale, necessari per la padronanza delle complessità della scrittura cuneiforme in accadico e in sumerico.]; “Finally, many of our mathematical tables are combined with tables of weights and measures which were needed in daily economic life” - (fr:762) [Infine, molte delle nostre tabelle matematiche sono combinate con tabelle di pesi e misure che erano necessarie nella vita economica quotidiana.]). Si conferma così che le tabelle di moltiplicazione e divisione si svilupparono contemporaneamente ai testi economici, coerentemente con la conoscenza generale della civiltà mesopotamica antica (“There can be little doubt that the tables for multiplication and division were developed simultaneously with the economic texts” - (fr:763) [Ci può essere poco dubbio che le tabelle di moltiplicazione e divisione si siano sviluppate contemporaneamente ai testi economici.]; “Thus we find explicitly confirmed what could have been concluded indirectly from our general knowledge of early Mesopotamian civilization” - (fr:764) [Così troviamo esplicitamente confermato ciò che si sarebbe potuto concludere indirettamente dalla nostra conoscenza generale della civiltà mesopotamica antica.]).

Passando alle tabelle di moltiplicazione: inizialmente si aspettava un sistema completo di 58 tabelle (per numeri da 2 a 59, con prodotti da 1 a 59), grazie alla notazione posizionale sessagesimale, ma invece le tavolette danno prodotti da 1 a 20 e poi solo per 30, 40, 50—un escamotage per risparmiare spazio, poiché tutti i 59 prodotti si ottengono con al massimo un’addizione (“Though a single multiplication table is rather trivial in content, the study of a larger number of these texts soon revealed unexpected facts” - (fr:766) [Sebbene una singola tabella di moltiplicazione abbia un contenuto piuttosto banale, lo studio di un numero maggiore di questi testi ha presto rivelato fatti inaspettati.]; “Obviously a complete system of sexagesimal multiplication tables would consist of 58 tables, each containing all products from 1 to 59 with each of the numbers from 2 to 59” - (fr:767) [Ovviamente un sistema completo di tabelle di moltiplicazione sessagesimali consisterebbe di 58 tabelle, ognuna contenente tutti i prodotti da 1 a 59 con ciascuno dei numeri da 2 a ]; “Thanks to the place value notation such a system of tables would suffice to carry out all possible multiplications exactly as it suffices to know our multiplication table for all decimal products” - (fr:768) [Grazie alla notazione posizionale, un tale sistema di tabelle sarebbe sufficiente per eseguire tutte le moltiplicazioni possibili esattamente come è sufficiente conoscere la nostra tabella di moltiplicazione per tutti i prodotti decimali.]; “At first this expectation seemed nicely confirmed except for the unimportant modification that each single tablet gave all products from 1 to 20 and then only the products for 30, 40, and 50” - (fr:769) [All’inizio questa aspettativa sembrava ben confermata, tranne per la modifica non importante che ogni singola tavoletta dava tutti i prodotti da 1 a 20 e poi solo i prodotti per 30, 40 e ]; “This is obviously nothing more than a space saving device because all 59 products can be obtained from such a tablet by at most one addition of two of its numbers” - (fr:770) [Questo è ovviamente solo un escamotage per risparmiare spazio perché tutti i 59 prodotti possono essere ottenuti da una tale tavoletta con al massimo un’addizione di due dei suoi numeri.]). Tuttavia, presto emerse un problema: da un lato gravi lacune nelle tabelle attese, dall’altro tabelle per numeri come 1,20, 1,30 o 44,26,40 che sembravano estendere lo schema a dimensioni irragionevoli (fino a ipotizzare 3600 o 216000 tabelle, assurdo per un uso pratico); inoltre, c’erano più copie per 44,26,40 ma nessuna per 11, 13, 14, 17, 19, contrariamente alle leggi della probabilità (“But a more disturbing fact soon became evident” - (fr:771) [Ma un fatto più inquietante divenne presto evidente.]; “On the one hand the list of preserved tables showed not only grave gaps but, more disconcertingly, there turned up tables which seemed to extend the expected scheme to an unreasonable size” - (fr:772) [Da un lato l’elenco delle tabelle conservate mostrava non solo gravi lacune ma, cosa più sconcertante, apparivano tabelle che sembravano estendere lo schema atteso a una dimensione irragionevole.]; “Multiplication tables for 1,20 1,30 1,40 3,20 3,45 etc.” - (fr:773) [Tabelle di moltiplicazione per 1,20 1,30 1,40 3,20 3,45 ecc.]; “seemed to compel us to assume the existence not of 59 single tables but of 3600 tables” - (fr:774) [sembravano costringerci a supporre l’esistenza non di 59 singole tabelle ma di 3600 tabelle.]; “The absurdity of this hypothesis became evident when tables for the multiples of 44,26,40 repeatedly appeared; obviously nobody would operate a library of 60 S = 216000 tablets as an aid for multiplication” - (fr:775) [L’assurdità di questa ipotesi divenne evidente quando apparivano ripetutamente tabelle per i multipli di 44,26,40; ovviamente nessuno gestirebbe una biblioteca di 60³ = 216000 tavolette come ausilio per la moltiplicazione.]; “And it was against all laws of probability that we should have several copies of multiplication tables for 44,26,40 but none for 11, 13, 14, 17, 19 etc.” - (fr:776) [Ed era contrario a tutte le leggi della probabilità che avessimo diverse copie di tabelle di moltiplicazione per 44,26,40 ma nessuna per 11, 13, 14, 17, 19 ecc.]).

La soluzione dell’enigma venne proprio dal numero 44,26,40, che appare anche nelle tabelle di reciproci: le tabelle di moltiplicazione non sono per tutti i numeri da 2 a 59, ma per i numeri della colonna destra delle tabelle di reciproci—cioè i reciproci dei numeri della colonna sinistra, espressi come frazioni sessagesimali. Più storicamente corretto, le tabelle di reciproci sono elenchi di numeri b e b’ tali che b·b’ = 1 o una potenza di 60, sfruttando la flessibilità del sistema (es. 2·30 = 1,0 o 2·0;30 = 1); questa combinazione di tabelle di moltiplicazione e reciproci forma un sistema completo per prodotti e divisioni sessagesimali (“The solution of this puzzle came precisely from the number 44,26,40 which also appears in another type of tables, namely, tables of reciprocals” - (fr:777) [La soluzione di questo enigma venne proprio dal numero 44,26,40 che appare anche in un altro tipo di tabelle, cioè le tabelle di reciproci.]; “Ignoring variations in small details, these tables of reciprocals are lists of numbers as follows […] The last pair contains the number 44,26,40 and also all the other two-place numbers mentioned above occur as numbers of the second column” - (fr:778) [Ignorando variazioni in piccoli dettagli, queste tabelle di reciproci sono elenchi di numeri come segue […] L’ultima coppia contiene il numero 44,26,40 e anche tutti gli altri numeri a due cifre menzionati sopra appaiono come numeri della seconda colonna.]; “On the other hand, with one single exception to be mentioned presently, the gaps in our expected list of multiplication tables correspond exactly to the missing numbers in our above table of reciprocals” - (fr:779) [D’altra parte, con una sola eccezione da menzionare subito, le lacune nel nostro elenco atteso di tabelle di moltiplicazione corrispondono esattamente ai numeri mancanti nella nostra tabella di reciproci sopra.]; “Thus our stock of multiplication tables is not a collection of tables for all products a . b, for a and b from 1 to 59, but tables for the products a • b where b is a number from the right-hand side of our last list” - (fr:780) [Così il nostro stock di tabelle di moltiplicazione non è una collezione di tabelle per tutti i prodotti a·b, per a e b da 1 a 59, ma tabelle per i prodotti a·b dove b è un numero dalla parte destra del nostro ultimo elenco.]; “The character of these numbers b is conspicuous enough; they are the reciprocals of the numbers b of the left column, ‘written as sexagesimal fractions: i = 0;30 1 = 0;20 1 = 0;15 etc.” - (fr:781) [Il carattere di questi numeri b è abbastanza evidente; sono i reciproci dei numeri b della colonna sinistra, “scritti come frazioni sessagesimali: 1/2 = 0;30 1/3 = 0;20 1/4 = 0;15 ecc.”]; ”We can express the same fact more simply and historically more correctly in the following form” - (fr:784) [Possiamo esprimere lo stesso fatto più semplicemente e storicamente più correttamente nella forma seguente.]; ”The above ’table of reciprocals’ is a list of numbers, band h, such that the products b • bare 1 or any other power of 60” - (fr:785) [La “tabella di reciproci” sopra è un elenco di numeri, b e b’, tali che i prodotti b·b’ sono 1 o qualsiasi altra potenza di ]; “Experience with the mathematical problem texts demonstrates in innumerable examples that the Babylonian mathematicians made full use of this flexibility of their system” - (fr:788) [L’esperienza con i testi di problemi matematici dimostra in innumerevoli esempi che i matematici babilonesi hanno fatto pieno uso di questa flessibilità del loro sistema.]; “Thus we have seen that the tables of multiplication combined with the tables of reciprocals form a complete system, designed to compute all products a • b or, as we now can write, all sexagesimal divisions b within the range of the above-given table of reciprocals” - (fr:789) [Così abbiamo visto che le tabelle di moltiplicazione combinate con le tabelle di reciproci formano un sistema completo, progettato per calcolare tutti i prodotti a·b o, come ora possiamo scrivere, tutte le divisioni sessagesimali entro l’intervallo della tabella di reciproci data sopra.]).

La tabella standard di reciproci ha lacune per numeri come 7, 11, 13, 14: questi sono “irregolari”, perché contengono primi diversi da 2, 3 e 5 (fattori di 60), quindi i loro reciproci sono frazioni sessagesimali ricorrenti infinite (es. 1/7 = 8,34,17,…); esistono anche tabelle che annotano laconicamente “7 non divide” (“This table is not only limited but it shows gaps” - (fr:790) [Questa tabella non è solo limitata ma mostra lacune.]; “There is no reciprocal for 7, for 11, for 13 or 14, etc.” - (fr:791) [Non c’è reciproco per 7, per 11, per 13 o 14, ecc.]; “The reason is obvious” - (fr:792) [La ragione è ovvia.]; “If we divide 7 into 1 we obtain the recurrent sexagesimal fraction 8,34,17,8,34,17, … ; similarly for n the group 5,27,16,21,49 appears in infinite repetition” - (fr:793) [Se dividiamo 1 per 7 otteniamo la frazione sessagesimale ricorrente 8,34,17,8,34,17,…; similmente per 11 appare il gruppo 5,27,16,21,49 in ripetizione infinita.]; “We have tables which laconically remark ‘7 does not divide’, ‘11 does not divide’, etc.” - (fr:794) [Abbiamo tabelle che osservano laconicamente “7 non divide”, “11 non divide”, ecc.]; *“This holds true for all numbers which contain prime

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[9.1-35-843|877]

11 La conoscenza babilonese del teorema di Pitagora e la tavoletta Plimpton

Il testo dimostra che il teorema di Pitagora era noto ai babilonesi molto prima del filosofo greco e analizza una tavoletta matematica della Collezione Plimpton che testimonia la loro comprensione delle terne pitagoriche.

Il punto centrale iniziale è che il teorema “pitagorico” era conosciuto più di mille anni prima di Pitagora: “The above example of the determination of the diagonal of the square from its side is sufficient proof that the ‘Pythagorean’ theorem was known more than a thousand years before Pythagoras.” - (fr:844) [L’esempio precedente della determinazione della diagonale di un quadrato a partire dal suo lato è una prova sufficiente che il teorema “pitagorico” era noto più di mille anni prima di Pitagora.] Questa affermazione è confermata da altri testi coevi e del periodo seleucide, per cui il teorema era noto per tutta la durata della matematica babilonese: “This is confirmed by many other examples of the use of this theorem in problem texts of the same age, as well as from the Seleucid period. In other words it was known during the whole duration of Babylonian mathematics that the sum of the squares of the lengths of the sides of a right triangle equals the square of the length of the hypotenuse.” - (fr:845-847) [Ciò è confermato da molti altri esempi dell’uso di questo teorema in testi di problemi della stessa epoca, nonché dal periodo seleucide. In altre parole, era noto per tutta la durata della matematica babilonese che la somma dei quadrati delle lunghezze dei cateti di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato della lunghezza dell’ipotenusa.]

Dopo la scoperta del fatto geometrico, è naturale supporre che le terne di numeri soddisfacenti la relazione potessero essere usate come lati di un triangolo rettangolo, e quindi che i babilonesi indagassero il problema aritmetico di produrre “numeri pitagorici”: “This geometrical fact having once been discovered, it is quite natural to assume that all triples of numbers b. and d which satisfy the relation [I + bl = dI can be used as sides of a right triangle. It is furthermore a normal step to ask the question: When do numbers b. d satisfy the above relation’/ Consequently it is not too surprising that we find the Babylonian mathematicians investigating the number-theoretical problem of producing ‘Pythagorean numbers’.” - (fr:848-850) [Una volta scoperto questo fatto geometrico, è abbastanza naturale supporre che tutte le terne di numeri l, b e d che soddisfano la relazione [l² + b² = d²] possano essere usate come lati di un triangolo rettangolo. È inoltre un passo normale chiedersi: quando i numeri l, b, d soddisfano la relazione precedente? Di conseguenza, non è troppo sorprendente trovare i matematici babilonesi che indagano il problema teorico-numerico di produrre “numeri pitagorici”.] L’autore contesta l’idea comune che il teorema sia nato dalla scoperta della terna 3,4,5: non vede un motivo per formare triangoli con quei lati e indagare se sono rettangoli, e sottolinea che è solo la nostra educazione greca a farci pensare immediatamente a una rappresentazione geometrica di relazioni aritmetiche: “I see no motive which would lead to the idea of forming triangles with these sides and to investigate whether they are right triangles or not. It is only on the basis of our education in the Greek approach to mathematics that we immediately think of the possibility of a geometric representation of arithmetical or algebraic relations.” - (fr:853-854) [Non vedo alcun motivo che porterebbe all’idea di formare triangoli con questi lati e di indagare se sono triangoli rettangoli o meno. È solo sulla base della nostra educazione nell’approccio greco alla matematica che pensiamo immediatamente alla possibilità di una rappresentazione geometrica di relazioni aritmetiche o algebriche.]

Di grande interesse storico è una tavoletta che mostra una profonda comprensione di questo problema in epoca antico-babilonese: “It is therefore of great historical interest that we actually have a text which clearly shows that a far reaching insight into this problem was obtained in Old-Babylonian times.” - (fr:856) [È quindi di grande interesse storico il fatto che abbiamo effettivamente un testo che mostra chiaramente che una profonda comprensione di questo problema è stata ottenuta in epoca antico-babilonese.] Questa tavoletta appartiene alla Collezione Plimpton della Columbia University di New York: “The text in question belongs to the Plimpton Collection of Columbia University in New York.” - (fr:857) [Il testo in questione appartiene alla Collezione Plimpton della Columbia University di New York.] Era originariamente più grande, come mostra la rottura sul lato sinistro, e la colla moderna sulla rottura indica che l’altra parte è stata persa dopo lo scavo: “As is evident from the break at the left-hand side, this tablet was originally larger; and the existence of modern glue on the break shows that the other part was lost after the tablet was excavated.” - (fr:858-859) [Come è evidente dalla rottura sul lato sinistro, questa tavoletta era originariamente più grande; e la presenza di colla moderna sulla rottura mostra che l’altra parte è stata persa dopo che la tavoletta è stata scavata.]

Sono conservate quattro colonne, contate da sinistra a destra, ognuna con un’intestazione. L’ultima intestazione è “il suo nome”, che significa “numero corrente” (contiene i numeri da 1° a 15°) e non ha interesse matematico: “The last heading is ‘its name’ which means only ‘current number’, as is evident from the fact that the column of numbers beneath it counts simply the number of lines from ‘lst’ to ‘15th’. This last column is therefore of no mathematical interest.” - (fr:863-865) [L’ultima intestazione è “il suo nome” che significa solo “numero corrente”, come è evidente dal fatto che la colonna di numeri sotto di essa conta semplicemente il numero di righe da “1°” a “15°”. Quest’ultima colonna non ha quindi interesse matematico.] Le colonne II e III sono intitolate con termini traducibili come “numero risolutivo della larghezza” e “numero risolutivo della diagonale” (resa insoddisfacente per mancanza di equivalente moderno), sostituite con “b” e “d”: “Columns II and III are headed by words which might be translated as ‘solving number of the width’ and ‘solving number of the diagonal’ respectively. ‘Solving number’ is a rather unsatisfactory rendering for a term which is used in connection with square roots and similar operations and has no exact equivalent in our modern terminology. We shall replace these two headings simply by ‘b’ and ‘d’ respectively.” - (fr:866-868) [Le colonne II e III sono intitolate con parole che potrebbero essere tradotte come “numero risolutivo della larghezza” e “numero risolutivo della diagonale” rispettivamente. “Numero risolutivo” è una resa piuttosto insoddisfacente per un termine che è usato in connessione con radici quadrate e operazioni simili e non ha equivalente esatto nella nostra terminologia moderna. Sostituiremo queste due intestazioni semplicemente con “b” e “d” rispettivamente.] La parola “diagonale” compare anche nell’intestazione della prima colonna, ma il resto del significato è oscuro: “The word ‘diagonal’ occurs also in the heading of the first column but the exact meaning of the remaining words escapes us.” - (fr:869) [La parola “diagonale” compare anche nell’intestazione della prima colonna, ma il significato esatto delle parole rimanenti ci sfugge.]

La trascrizione dei numeri include numeri ricostruiti in [ ] (con alcuni iniziali “1” mezzi conservati o completi) e zeri inseriti dall’autore, non presenti nel testo originale: “The numbers in [ ] are restored.” - (fr:871) [I numeri in [ ] sono ricostruiti.]; “In the transcription I have inserted zeros where they are required; they are not indicated in the text itself.” - (fr:876) [Nella trascrizione ho inserito zeri dove sono necessari; non sono indicati nel testo stesso.] Infine, il testo contiene alcuni errori.

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[10.1-72-905|976]

12 Elementi della matematica babilonese: algebra, terne pitagoriche, geometria e tavolette di Susa

Analisi della matematica babilonese attraverso testi antichi, con focus su metodi algebrici, conoscenze pitagoriche, aspetti geometrici e le importanti tavolette di Susa.

Il testo inizia evidenziando che la formula fondamentale per la costruzione delle terne di numeri pitagorici era nota, come indicato da tabelle “so well known to us from many tables of the same period” - (fr:906) [così ben note a noi da molte tabelle dello stesso periodo] e dalla considerazione che “This seems to me a strong indication that the fundamental formula for the construction of triples of Pythagorean numbers was known” - (fr:907) [Questo mi sembra un forte indizio che la formula fondamentale per la costruzione delle terne di numeri pitagorici fosse nota]; anche le tabelle di quadrati e cubi “point clearly in the same direction” - (fr:910) [puntano chiaramente nella stessa direzione]. Tuttavia, si sottolinea che “It would be rather surprising if the accidentally preserved texts should also show us the exact limits of knowledge which were reached in Babylonian mathematics” - (fr:911) [Sarebbe piuttosto sorprendente se i testi conservati accidentalmente mostrassero anche i limiti esatti della conoscenza raggiunta nella matematica babilonese].

I problemi matematici non erano mai nettamente separati da metodi oggi chiamati algebrici: “All these problems were probably never sharply separated from methods which we today call ‘algebraic’” - (fr:912) [Tutti questi problemi non erano probabilmente mai nettamente separati da metodi che oggi chiamiamo “algebrici”]. Un esempio tipico da un testo seleucide usa x come incognito, il suo reciproco e il valore dato b=2;0,0,33,20 (fr:913-915); la correttezza del risultato è verificata elevando al quadrato: “The correctness of this result is checked by squaring” - (fr:917) [La correttezza di questo risultato è verificata elevando al quadrato]. Questo problema dimostra l’uso illimitato di grandi numeri sessagesimali: “It demonstrates again the unrestricted use of large sexagesimal numbers” - (fr:920) [Dimostra di nuovo l’uso illimitato di grandi numeri sessagesimali], e come i problemi quadratici venissero trasformati nella “forma normale” z·y=a, z±y=b, da cui derivano le soluzioni; questa stessa idea serviva per trovare le terne pitagoriche (fr:921-924).

Tratti peculiari dell’algebra babilonese includono l’aggiunta di aree e lunghezze o la moltiplicazione di aree, escludendo interpretazioni geometriche alla maniera euclidea: “It suffices to quote the existence of examples in which areas and lengths are added, or areas multiplied, thus excluding any geometrical interpretation in the Euclidean fashion which seems so natural to us” - (fr:927) [Basta citare l’esistenza di esempi in cui aree e lunghezze sono aggiunte, o aree moltiplicate, escludendo così qualsiasi interpretazione geometrica alla maniera euclidea che ci sembra così naturale]; problemi sui salari, dove la soluzione intera per il numero di operai è un accidente: “It is a lucky accident if the unknown number of workmen, found by solving a quadratic equation, is an integer” - (fr:929) [È un felice incidente se il numero sconosciuto di operai, trovato risolvendo un’equazione quadratica, è un intero]; e due classi di testi: una che formula il problema e lo risolve passo passo con numeri specifici, l’altra con collezioni di soli problemi (anche oltre 200 su una tavoletta piccola) (fr:930-932). Una collezione standard mantiene fisso xy=10,0 e varia la seconda equazione in polinomi sempre più elaborati, e ciò indica che “it was of no concern to the teacher that the result must have been known to the pupil” - (fr:934) [non importava all’insegnante che il risultato dovesse essere noto all’allievo]. Tavolette della prima classe risolvono esempi della seconda, con moltiplicazione esplicita per 1 (per il caso generale) (fr:935-936); invece di x+y, il testo usa frasi come “5 and 3, the sum of length and width” - (fr:937) [5 e 3, la somma di lunghezza e larghezza], dove i numeri sono solo una guida per il processo generale, e sequenze di problemi correlati si avvicinano a operazioni algebriche pure (fr:938-939).

Le equazioni quadratiche sono il nucleo più significativo, ma ci sono anche problemi correlati (divisioni di campi) che portano a equazioni di secondo, terzo e quinto grado; alcuni problemi trascendono l’algebra, come la determinazione di esponenti di numeri dati (fr:941-945). Nelle tabelle numeriche, la mancanza di una notazione generale è più dannosa che nei problemi algebrici: “In the case of numerical tables the lack of a general notation appears to be much more detrimental than in the handling of purely algebraic problems” - (fr:946) [Nel caso delle tabelle numeriche, la mancanza di una notazione generale appare molto più dannosa che nella gestione di problemi puramente algebrici].

Rispetto all’algebra e alla numerica, la geometria ha un ruolo insignificante: il problema centrale è la determinazione numerica della soluzione, con osservanza di condizioni esterne (eredità, regole per aree, salari) (fr:947-949). Liste di “coefficienti” (per mattoni, muri, triangoli, segmenti circolari, metalli, ecc.) sono state identificate per la prima volta dal professor Goetze di Yale: “Such lists of ‘coefficients’ were first identified by Professor Goetze of Yale University in two texts of the Yale Babylonian Collection” - (fr:951) [Tali liste di “coefficienti” furono identificate per la prima volta dal professor Goetze dell’Università di Yale in due testi della Collezione Babilonese di Yale] (fr:952); tuttavia, molti dettagli rimangono oscuri, dimostrando quanto sia frammentaria la nostra conoscenza (fr:953). Figure di trapezi o triangoli non sono metricamente corrette, e il significato di “lunghezza” e “larghezza” dipende dal contesto (fr:955, 957); ma ci sono casi chiari, come il teorema di Pitagora e la sua applicazione all’altezza di un segmento circolare: “The Pythagorean theorem is equally well attested; the same holds for its application to the determination of the height of a circular segment” - (fr:959) [Il teorema di Pitagora è altrettanto ben attestato; lo stesso vale per la sua applicazione alla determinazione dell’altezza di un segmento circolare], con possibili migliori approssimazioni di π e formule per volumi di canali e dighe (fr:960-961).

Importanti sono le tavolette di Susa, scavate nel 1936 da archeologi francesi a Susa (capitale dell’antico Elam, 200 miglia a est di Babilonia) e rimaste inedite per oltre 20 anni: “In 1936 a group of mathematical tablets were excavated by French archaeologists at Susa, the capital of ancient Elam, more than 200 miles east of Babylon” - (fr:963) [Nel 1936 un gruppo di tavolette matematiche fu scavato da archeologi francesi a Susa, capitale dell’antico Elam, più di 200 miglia a est di Babilonia]; “The texts themselves still remain unpublished, more than 20 years after their discovery” - (fr:964) [I testi stessi rimangono ancora inediti, più di 20 anni dopo la loro scoperta]. Una tavoletta calcola il raggio di un cerchio circoscritto a un triangolo isoscele di lati 50, 50, 60 (risultato r=31;15) (fr:965); un’altra fornisce una lista di coefficienti per poligoni regolari (A₅=1;40·s₅², A₇=3;41·s₇²; c₆=0;57,36·c) che corrispondono perfettamente al trattamento di Erone nella Metrica, opera legata alla matematica pre-greca (fr:966-970). Ci sono anche un problema di divisione di un triangolo in un triangolo simile e un trapezio, e un problema di ottavo grado (prima noto solo il sesto) equivalente a un’equazione quadratica per x⁴ (fr:971-973).

Infine, si avverte di non sopravvalutare questi risultati: “Yet one must not overestimate these achievements” - (fr:975) [Tuttavia non bisogna sopravvalutare questi risultati]; nella matematica egiziana primitiva, la scoperta dell’irrazionalità di √2 sarebbe un miracolo: “In the utterly primitive framework of Egyptian mathematics the discovery of the irrationality of √2 would be a strange miracle” - (fr:976) [Nel quadro totalmente primitivo della matematica egiziana, la scoperta dell’irrazionalità di √2 sarebbe uno strano miracolo].

[10.2-71-977|1047]

13 La matematica babilonese antica: algebra, geometria e aspetti peculiari

Analisi dei temi chiave, peculiarità e significato storico della matematica babilonese antica, con riferimento a nuove scoperte dalle tavolette di Susa.

Il testo inizia trattando i reciproci, notando che “The only apparent exception is p = 2,5 but this number is again well known as the canonical example for the computation of reciprocals beyond the standard table” - (fr:978) [L’unica apparente eccezione è p = 2,5, ma questo numero è di nuovo ben noto come esempio canonico per il calcolo dei reciproci oltre la tabella standard]. Passa alle triple pitagoriche: “return to the question how a formula for Pythagorean numbers could have been found” - (fr:980) [torna alla domanda su come una formula per i numeri pitagorici avrebbe potuto essere trovata]; aggiunge che “Pythagorean numbers were certainly not the only case of problems concerning relations between numbers” - (fr:981) [I numeri pitagorici non erano certamente l’unico caso di problemi riguardanti relazioni tra numeri], con esempi anche per somme di quadrati consecutivi o progressioni aritmetiche (fr:982). Si evidenzia che “There is no indication, however, that the important concept of prime number was recognized” - (fr:983) [Non c’è tuttavia indicazione che l’importante concetto di numero primo fosse riconosciuto].

Al centro della trattazione c’è la soluzione di equazioni quadratiche per due incognite, in particolare il problema di trovare un numero x tale che la somma di x e il suo reciproco sia un valore b dato: “This problem requires the finding of a number such that a given number is obtained if its reciprocal is added to it” - (fr:985) [Questo problema richiede la ricerca di un numero tale che si ottenga un numero dato se si aggiunge il suo reciproco]. La soluzione usa la “forma normale” dei problemi quadratici, dove si devono trovare due numeri noti (a) il loro prodotto e (b) la loro somma o differenza: “it concerns the main type of quadratic problems of which we have hundreds of examples preserved” - (fr:992) [riguarda il tipo principale di problemi quadratici di cui abbiamo centinaia di esempi conservati]; questa forma si riduce a un sistema di equazioni lineari (fr:993). Il testo mostra l’applicazione corretta della formula quadratica (fr:991) e spiega come si potrebbe derivare le triple pitagoriche partendo da equazioni lineari, ottenendo che a, b, c formano una tripla se x=p², y=q² (p>q), con b=p²−q² e c=2pq (fr:994-995).

Un aspetto peculiare è il ruolo secondario della geometria: “First of all, it is easy to show that geometrical concepts play a very secondary part in Babylonian algebra, however extensively a geometrical terminology may be used” - (fr:998) [Prima di tutto, è facile dimostrare che i concetti geometrici hanno un ruolo molto secondario nell’algebra babilonese, per quanto ampiamente possa essere usata una terminologia geometrica]. Si combinano liberamente numeri di uomini e giorni, poiché l’unico interesse è la relazione algebrica (fr:1000-1001); la geometria è solo un’applicazione delle procedure aritmetiche, trattata allo stesso livello di altre relazioni numeriche tra oggetti pratici (fr:1021, 1025). Non ci sono dimostrazioni per relazioni geometriche (fr:1026), si usano figure imprecise (fr:1027) e, sebbene si sfrutti il concetto di similitudine (fr:1030), l’area del cerchio usa l’approssimazione π≈3 (fr:1031).

I testi matematici sono divisi in due classi principali (fr:1002): collezioni di problemi ordinati da casi semplici a più complessi, tutti riducibili alla forma normale (fr:1004), spesso terminanti con “such is the procedure” - (fr:1003) [tale è la procedura]. L’enfasi è sulla procedura generale, non sul risultato numerico (fr:1007), e si hanno spiegazioni generali del metodo (fr:1008); è possibile trasformare i testi in simbolismo moderno sostituendo gli ideogrammi per “lunghezza”, “larghezza”, “aggiungere”, “moltiplicare” con lettere e simboli attuali, per cui è sostanzialmente sbagliato negare l’uso di una formula generale, anche se non si è mai giunti a una notazione algebrica consapevole (fr:1009-1011).

L’estensione dell’algebra babilonese è notevole: si trovano problemi lineari con più incognite (es. problemi di eredità, fr:1013), equazioni di quarto e sesto ordine (fr:1014), interesse composto e tabelle di potenze consecutive, con esperimenti su casi speciali di logaritmi senza però raggiungere un uso generale di questa funzione (fr:1016-1017).

Nuove scoperte post-completamento del manoscritto – le tavolette di Susa, riportate in un rapporto preliminare di E.M. Bruins del 1950 – contribuiscono essenzialmente alla conoscenza della matematica babilonese antica (fr:1034-1035): tra i risultati più significativi, approssimazioni di √3≈1;45, √2≈1;25, coefficienti per poligoni regolari (triangolo equilatero, quadrato, pentagono, esagono, eptagono) e per il cerchio, con π≈3;7,30 (migliore di 3, fr:1037-1041); un nuovo problema trova i lati x e y di un rettangolo con diagonale d, area xy=20,0 e prodotto x⁸·d=14,48,53,20, risolto passo per passo fino a x=40 e y=30 (fr:1043-1045).

In conclusione, nonostante la conoscenza incompleta, è certo che la matematica babilonese antica ha un livello di sviluppo paragonabile a quello del Rinascimento iniziale, ma rimane profondamente elementare, nonostante l’abilità algebrica e numerica e l’interesse astratto evidenti in molti esempi (fr:1046-1047).

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[11.1-24-1071|1094]

Note bibliografiche e osservazioni sulla matematica mesopotamica e le scuole di scribi

Riferimenti a studi, testi matematici e istruzione scribale nel Vicino Oriente antico.

Il testo presenta note e riferimenti bibliografici sulla matematica mesopotamica: si cita un articolo di A. Goetze su Sumer 7 (1951) (“A. Goetze, Sumer 7 (1951) p. 126-154.” - (fr:1071) [A. Goetze, Sumer 7 (1951) pagine 126-154.]), mentre testi aggiuntivi discussi da Bruins su Sumer 9 e 10 (1953/54) sono disponibili solo in estratti o trascrizioni inaffidabili (“Additional texts were discussed by Bruins in Sumer 9 and 10 (1953/54) but only in exerpts or in very unreliable transcriptions.” - (fr:1072) [Testi aggiuntivi sono stati discussi da Bruins su Sumer 9 e 10 (1953/54), ma solo in estratti o in trascrizioni molto inaffidabili.]). Un testo di problema su una città circolare (simile a MKT I p. 144) è pubblicato da W.F. Leemans nel 1951 (“A problem text of unknown origin, concerning a circular city (similar to MKT I p. 144) was published by W. F. Leemans in Compte Rendu de la seconde rencontre assyriologique intern., Paris 1951, p. 31-35.” - (fr:1073) [Un testo di problema di origine sconosciuta, riguardante una città circolare (simile a MKT I pagina 144), è stato pubblicato da W. F. Leemans in Compte Rendu de la seconde rencontre assyriologique intern., Parigi 1951, pagine 31-35.]), mentre due frammenti di testi di problema e 16 testi di tabella tardo-babilonesi sono riprodotti in Pinches-Strassmaier-Sachs (1955) (“Two fragments of problem texts and 16 table texts from the Late-Babylonian archive in Babylon are reproduced in Pinches-Strassmaier-Sachs, Late Babylonian Astronomical and Related Texts, Providence, Brown University Press,” - (fr:1074) [Due frammenti di testi di problema e 16 testi di tabella dall’archivio tardo-babilonese a Babilonia sono riprodotti in Pinches-Strassmaier-Sachs, Late Babylonian Astronomical and Related Texts, Providence, Brown University Press, ]); si cita anche Sachs (1952) (fr:1076).

Per i testi matematici in sumerico, esiste un solo frammento (“There exists a single fragment of a mathematical text written in Sumerian (MKT I p. 234 f.).” - (fr:1078) [Esiste un solo frammento di un testo matematico scritto in sumerico (MKT I pagina 234 e seguenti).]), ma non si può dedurre un’origine sumerica della matematica mesopotamica: il sumerico era ancora usato nelle scuole del periodo antico-babilonese, quindi il testo non prova nulla in tal senso (“Because Sumerian was still practiced in the schools of the Old-Babylonian period nothing can be concluded from such a text for the Sumerian origin of Mesopotamian mathematics.” - (fr:1079) [Poiché il sumerico era ancora praticato nelle scuole del periodo antico-babilonese, nulla si può concludere da un tale testo per l’origine sumerica della matematica mesopotamica.]). Lo stesso vale per l’uso frequente di parole sumeriche in tutti i periodi (“The same holds for the exceedingly frequent use of Sumerian words and phrases throughout all periods.” - (fr:1080) [Lo stesso vale per l’uso estremamente frequente di parole e frasi sumeriche in tutti i periodi.]).

Sull’istruzione nelle scuole di scribi: è indubbio che la matematica fosse insegnata (“That mathematics was taught in scribal schools can hardly be doubted.” - (fr:1081) [Che la matematica fosse insegnata nelle scuole di scribi può difficilmente essere messo in dubbio.]), ma non si sa a che livello o quanto fosse conoscenza comune (“At what level such instruction started and to what extent it was the common knowledge of scribes it is impossible to say.” - (fr:1082) [A che livello iniziasse tale istruzione e in che misura fosse la conoscenza comune degli scribi è impossibile dire.]). Esiste un testo, probabilmente scolastico, che descrive la vita faticosa di uno scolaro nella “Casa delle Tavolette” (“There exists a text, probably itself written for use in scribal schools, in which the trying life of a schoolboy in such a ‘Tablet House’ is dramatically described.” - (fr:1083) [Esiste un testo, probabilmente scritto per l’uso nelle scuole di scribi, in cui la vita faticosa di uno scolaro in una tale “Casa delle Tavolette” è descritta in modo drammatico.]), citato in Kramer (1949) (fr:1085-1089).

Infine, sul sistema sessagesimale: la struttura delle tabelle di moltiplicazione e reciproci è descritta dall’autore in articoli del 1930-32 (fr:1090-1092); i metodi per reciproci non standard sono analizzati da Sachs (1947) (“The methods for the computation of reciprocals not contained in the standard table were analyzed by A. Sachs, Babylonian Mathematical Texts I, Journal of Cuneiform Studies 1 (1947) p. 219-240.” - (fr:1093) [I metodi per il calcolo dei reciproci non contenuti nella tabella standard sono stati analizzati da A. Sachs, Babylonian Mathematical Texts I, Journal of Cuneiform Studies 1 (1947) pagine 219-240.]), e la trasformazione in frazioni unitarie da Sachs (1946) (“The transformation of sexagesimal fractions to unit fractions was discussed by the same author in ‘Notes on Fractional Expressions in Old Babylonian Mathematical Texts’, J. of Near Eastern Studies 5 (1946) p. 203-214.” - (fr:1094) [La trasformazione di frazioni sessagesimali in frazioni unitarie è stata discussa dallo stesso autore in “Notes on Fractional Expressions in Old Babylonian Mathematical Texts”, J. of Near Eastern Studies 5 (1946) pagine 203-214.]).

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Note e riferimenti sulla matematica babilonese: operazioni, equazioni, tabelle e concetti geometrici

Raccolta di citazioni bibliografiche e osservazioni su temi chiave della matematica babilonese, tra cui addizioni di grandezze eterogenee, equazioni di vario ordine, tabelle matematiche, concetti algebrici e approssimazioni geometriche.

Il testo presenta una serie di riferimenti e note su aspetti della matematica babilonese: tra le operazioni aritmetiche, sono menzionate addizioni di grandezze eterogenee come lunghezze e aree (“MKT I p. 243; MKT II p. 63: addition of lengths and areas” - (fr:1123) [MKT I p. 243; MKT II p. 63: addizione di lunghezze e aree.]), lunghezza e volume (“MKT II p. 64: addition of length and volume” - (fr:1124) [MKT II p. 64: addizione di lunghezza e volume.]), numero di giorni e uomini (“MKT I p. 513: addition of number of days and of men” - (fr:1125) [MKT I p. 513: addizione del numero di giorni e di uomini.]), oltre a pecore e montoni (“TMB p. 209 f.: addition of sheep and rams” - (fr:1127) [TMB p. 209 s.: addizione di pecore e montoni.]). Tra le opere di riferimento si cita anche Thureau-Dangin (“Thureau-Dangin.” - (fr:1126) [Thureau-Dangin.]).

Per le equazioni, si rimanda alla classificazione di Solomon Gandz per le quadratiche (“For a careful classification of quadratic equations see Solomon Gandz, The Origin and Development of the Quadratic Equations in Babylonian” - (fr:1128) [Per una classificazione accurata delle equazioni quadratiche vedere Solomon Gandz, The Origin and Development of the Quadratic Equations in Babylonian.]), con riferimento a algebra greca e araba antica (“Greek, and Early Arabie Algebra” - (fr:1129) [Greek, and Early Arabic Algebra.]) e alla pubblicazione su Osiris 3 (1937) (“Osiris 3 (1937) p. 405-557. ad” - (fr:1130) [Osiris 3 (1937) p. 405-557. ad ]). Per le cubiche, si indica MKT I p. 208 tr. e vol. III p. 55 (“For cubic equations see MKT I p. 208 tr., and vol.” - (fr:1131) [Per le equazioni cubiche vedere MKT I p. 208 tr., e vol.]; “III p. ” - (fr:1132) [III p. ]), per equazioni di quarto ordine MKT I p. 420, p. 456 e III p. 62, p. 471 sgg., p. 498 (“Fourth order: MKT I p. 420; p. 456 and III.” - (fr:1133) [Quarto ordine: MKT I p. 420; p. 456 e III.]; “p. 62; p. 471 ft.; p. ” - (fr:1134) [p. 62; p. 471 sgg.; p. ]), quinto ordine MKT I p. 411 (“Fifth order: MKT I p. ” - (fr:1135) [Quinto ordine: MKT I p. ]) e sesto ordine MKT I p. 460 (“Sixth order: MKT I p. ” - (fr:1136) [Sesto ordine: MKT I p. ]).

Per le tabelle matematiche: tabelle per “an” sono in MKT I p. 77 sgg., logaritmi in MKT I p. 362 e MCT p. 35 (“Tables for an: MKT I p. 77 ft. For logarithms d. MKT I p. 362, MCT p. ” - (fr:1137) [Tabelle per an: MKT I p. 77 sgg. Per i logaritmi vedere MKT I p. 362, MCT p. ]), ritrovate a Kish (est di Babilonia) e Tell Harmal (vicino Baghdad) (“The tables for an were found at Kish, east of Babylon.” - (fr:1138) [Le tabelle per an sono state trovate a Kish, est di Babilonia.]; “and at Tell Harmal near Baghdad.” - (fr:1139) [e a Tell Harmal vicino a Baghdad.]). Una tabella di radici quadrate speciali è in MKT III p. 52, con una “catch line” che indica una tabella successiva per radici cubiche (“An interesting table of special square roots is contained in the following text (MKT III p. 52): 1 e 1 ~si8 2,1 e 1,1 ~si8 1,2,3,2,1 e 1,1,1 ~si8 1,2,3,4,3,2,1 e 1,1,1,1 ~si8 A following IIcatch line” points to a succeeding table for the cube roots of 1, 1,3,3,1 etc.“ - (fr:1140) [Una tabella interessante di radici quadrate speciali è contenuta nel seguente testo (MKT III p. 52): 1 e 1 ~si8 2,1 e 1,1 ~si8 1,2,3,2,1 e 1,1,1 ~si8 1,2,3,4,3,2,1 e 1,1,1,1 ~si8 Una “catch line” successiva indica una tabella seguente per le radici cubiche di 1, 1,3,3,1 ecc.]). Si sottolinea che la conoscenza dei coefficienti binomiali è nella portata dell’algebra babilonese (“The knowledge of the binomial coefficients lies, of course.” - (fr:1141) [La conoscenza dei coefficienti binomiali risiede, ovviamente.]; “fully within the ’reach of Babylonian algebra.” - (fr:1142) [pienamente nella ’portata dell’algebra babilonese.]).

Tra i concetti algebrici, il rapporto come entità autonoma: non solo i triangoli simili sono usati in problemi con sfondo geometrico (“It is of interest to remark that not only were similar triangles frequently used in the solution of problems which have geometrical backgrouDd.” - (fr:1144) [È interessante osservare che non solo i triangoli simili erano frequentemente usati nella soluzione di problemi che hanno uno sfondo geometrico.]), ma il termine “rapporto” ha una denominazione specifica (“but that the arithmetical concept IIratio” had a special term.“ - (fr:1145) [ma che il concetto aritmetico “rapporto” aveva un termine speciale.]); in MKT I p. 460 sgg. sono presenti esempi dove il rapporto x/y è calcolato da equazioni quadratiche (“MKT I p. 460 Jr. we have series of examples where the IIratio” xll/ is to be computed from quadratic equations.” - (fr:1146) [MKT I p. 460 sgg. abbiamo serie di esempi dove il “rapporto” x/y deve essere calcolato da equazioni quadratiche.]), e trattare il rapporto come entità è un passo fondamentale per lo sviluppo dell’algebra (“That the ratio of two numbers is treated as an entity is indeed a very important step in the development of algebra.” - (fr:1147) [Che il rapporto di due numeri sia trattato come un’entità è infatti un passo molto importante nello sviluppo dell’algebra.]).

Per la geometria: l’area A di un cerchio è determinata dalla circonferenza c con la formula A = 0;5·c², dove 0;5 = 1/12 è un’approssimazione (“The area A of a circle is usually determined from its circumference c in the form A = 0;5· ell where 0;5 = 1/12 is an approximation of 4” - (fr:1148) [L’area A di un cerchio è solitamente determinata dalla sua circonferenza c nella forma A = 0;5· c² dove 0;5 = 1/12 è un’approssimazione di 4 ]); problemi su segmenti circolari sono pubblicati in MCT 56 e MKT I p. 188 (“For many examples d. MCT _«M~ n Problems concerning circular segments are published MCT 56, MKT I p. ” - (fr:1149) [Per molti esempi vedere MCT. Problemi riguardanti segmenti circolari sono pubblicati MCT 56, MKT I p. ]; “Cf.” - (fr:1150) [Cfr.]), con ulteriori riferimenti in MKT I p. 177, 230 e MCT 134 sgg. (“also MKT I p. 177, p. 230; MCT 134ft.” - (fr:1151) [anche MKT I p. 177, p. 230; MCT 134 sgg.]); questi problemi causano difficoltà, indicando che non si è ancora trovata la chiave per questa parte della geometria babilonese (“All these problems cause troublewhich is a certain indication that we have not yet found the proper key to this part of Babylonian geometry.” - (fr:1152) [Tutti questi problemi causano difficoltà, il che è una certa indicazione che non abbiamo ancora trovato la chiave adeguata a questa parte della geometria babilonese.]). Un testo antico su motivi ornamentali di cerchi e quadrati è pubblicato da J. C. Gadd (MKT I p. 137 sgg.), ma senza soluzioni (“A very interesting early text concerning ornamental patterns ofclrcles and squares was published by J. C. Gadd (d.” - (fr:1153) [Un testo antico molto interessante riguardante motivi ornamentali di cerchi e quadrati è stato pubblicato da J. C. Gadd (vedere.]; “MKT I p. 137ft.).” - (fr:1154) [MKT I p. 137 sgg.).]; “Unfortunately no solutions are given.” - (fr:1155) [Sfortunatamente non sono date soluzioni.]).

Altre note: per l’inesattezza delle figure vedere MCT p. 46 e 54 (“52 Notes and References For the inaccuracy of figures ct. MCT p. 46 and p. ” - (fr:1156) [52 Note e Riferimenti Per l’inesattezza delle figure vedere MCT p. 46 e p. ]); per la determinazione approssimativa di volumi MKT I p. 165, 176, per aree MCT p. 46 (“For the approximate determination of volumes see MKT I p. 165, p. 176; for areas MCT p. ” - (fr:1157) [Per la determinazione approssimativa dei volumi vedere MKT I p. 165, p. 176; per le aree MCT p. ]); un caso chiaro di triangolo rettangolo (necessario per relazioni di similitudine) è in una tavoletta di Sayyid Taha Baqir (Sumer 6, 1950, p. 39-54) (“For a clear case of a figure which must be exactly a right triangle in order to make the following simllarity relations correct, d. the tablet published by Sayyid Taha Baqir, Sumer 6 (1950) p. 39-54. ad f. a.” - (fr:1158) [Per un caso chiaro di una figura che deve essere esattamente un triangolo rettangolo per rendere corrette le seguenti relazioni di similitudine, vedere la tavoletta pubblicata da Sayyid Taha Baqir, Sumer 6 (1950) p. 39-54. ad f. a.]); l’articolo è preceduto da una nota preliminare in L’Atomes (agosto 1950, “Tous les aspects scientifiques d’un nouvel âge”, p. 270 s.) con una fotografia di un triangolo e il suo cerchio circoscritto (“The paper referred to in the text was preceded by a preliminary note in the August 1950 issue of the French popular journal UAtomes.” - (fr:1159) [L’articolo citato nel testo era preceduto da una nota preliminare nel numero di agosto 1950 della rivista popolare francese L’Atomes.]; “Tous les aspects scientiftques d’un nouvel age”, (p.“ - (fr:1160) [“Tous les aspects scientifiques d’un nouvel âge”, (p.]; “270 f.).” - (fr:1161) [270 s.].); “This article also gives a photograph of a triangle with its circumscribed circle.” - (fr:1162) [Questo articolo fornisce anche una fotografia di un triangolo con il suo cerchio circoscritto.]).

Per le approssimazioni di radici: √3 ≈ 1;45 si ottiene partendo da √3 ≈ 1;30, calcolando 3/1;30 = 2 e poi (1/2)(2 + 1;30) = 1;45 (“The value V3 ~ 1;45 can be obtained immediately by the process described above p. 50 in the case of VI.” - (fr:1163) [Il valore √3 ≈ 1;45 può essere ottenuto immediatamente con il processo descritto sopra p. 50 nel caso di √2.]; “StartiDg with the obvious estimate V3 ~ 1:30, 3 one obtains as the next value 1;30 = 2 and hence i (2 + 1;30) = 1;45.” - (fr:1164) [Iniziando con la stima ovvia √3 ≈ 1;30, si ottiene come valore successivo 3/1;30 = 2 e quindi (1/2)(2 + 1;30) = 1;45.]); questa approssimazione è presente in Erone, Metrica XXV (che usa anche 1;44), mentre Metrica XXI contiene √2 ≈ 1;25 (“The same approximation is found in Heron, Metrica XXV (who uses 1;44 also).” - (fr:1165) [La stessa approssimazione si trova in Erone, Metrica XXV (che usa anche 1;44).]; “Metrica XXI contains VI ~ 1;25.” - (fr:1166) [Metrica XXI contiene √2 ≈ 1;25.]); il valore π ≈ 31/8 non sembra essere attestato nella letteratura antica conservata (“The value n”., 31 does not seem to be attested in the preserved literature of antiquity.” - (fr:1167) [Il valore π ≈ 31/8 non sembra essere attestato nella letteratura conservata dell’antichità.]).

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[13.1-61-1197|1257]

14 Lo stato delle fonti per la storia della scienza antica e medievale: problemi e risorse

Un quadro delle difficoltà nell’edizione e nell’analisi delle fonti scientifiche antiche e medievali, con un focus sulle risorse chiave come papirologia e scritti astrologici.

Il testo inizia evidenziando come lo studio dello sviluppo di simboli come i segni zodiacali o i sigilli planetari richieda di rifare quasi tutto il lavoro da zero (“One has to do practically all the work over again if one should try to investigate the development of symbols like the zodiacal signs or the planetary sigla” - (fr:1197) [Bisogna rifare praticamente tutto il lavoro da zero se si tenta di investigare lo sviluppo di simboli come i segni zodiacali o i sigilli planetari]), poiché la migliore raccolta rimane quella di Du Cange (1688), basata su un foglio di Angelo Poliziano del 1480 (“The best list of mathematical, astronomical and chemical sYmbols is still the collection made by Du Cange in the appendix to his ‘Glossarium…’ (1688) which, in turn, is based on a sheet, now in the Bibliotheque Nationale, written around 1480 by Angelo Poliziano, the teacher of Piero di Medici” - (fr:1198) [La migliore lista di simboli matematici, astronomici e chimici è ancora la raccolta fatta da Du Cange nell’appendice al suo ‘Glossarium…’ (1688) che, a sua volta, si basa su un foglio, ora nella Bibliothèque Nationale, scritto intorno al 1480 da Angelo Poliziano, insegnante di Piero di Medici]). Questo esempio è tipico della reale situazione nello studio della storia degli sviluppi scientifici (“This is a characteristic example of the true state of affairs in the study of the history of scientific developments” - (fr:1199) [Questo è un esempio caratteristico della reale situazione nello studio della storia degli sviluppi scientifici]).

Un altro problema critico riguarda le figure: solo recentemente, con gli studiosi A. Rome e A. Delatte, si sono iniziate a pubblicare edizioni in cui figure e loro lettere sono considerate parte del testo (“It is only recently that scholars following A. Rome and A. Delatte, have begun to publish editions where the figures and their lettering are taken as part of the text” - (fr:1200) [È solo recentemente che gli studiosi che seguono A. Rome e A. Delatte hanno iniziato a pubblicare edizioni in cui le figure e le loro lettere sono considerate parte del testo]); senza queste eccezioni, nessuna edizione è attendibile per aspetto, lettere o anche esistenza delle figure, rendendo impossibile discutere seriamente come gli antichi rappresentassero relazioni geometriche su una sfera (“With these recent exceptions no edition can be trusted in the least with respect to appearance, lettering or even existence of figures. The question, for instance, how the ancients depicted geometrical relations on a sphere cannot be seriously discussed on the basis of the existing printed texts” - (fr:1201-1202) [Con queste eccezioni recenti, nessuna edizione è attendibile minimamente per quanto riguarda l’aspetto, le lettere o anche l’esistenza delle figure. La questione, per esempio, di come gli antichi rappresentassero relazioni geometriche su una sfera non può essere discussa seriamente sulla base dei testi stampati esistenti]).

Per quanto riguarda le opere di Tolomeo, la loro pubblicazione è lenta: un volume del 1907 contiene scritti importanti sulla teoria delle meridiane e sulla proiezione stereografica, base dell’astrolabio (“One volume appeared in 1907, containing, among others, important writings on the theory of sun dials and on stereographic projection which is the basis of the famous astrolabe, one of the most important instruments of medieval astronomy” - (fr:1204) [Un volume è apparso nel 1907, contenente, tra gli altri, importanti scritti sulla teoria delle meridiane e sulla proiezione stereografica, che è la base del famoso astrolabio, uno degli strumenti più importanti dell’astronomia medievale]); il “Tetrabiblos”, la “Bibbia dell’astrologia”, è stato pubblicato due volte durante la Seconda Guerra Mondiale, e le differenze tra le edizioni (di E. Boer, greco solo, e F.E. Robbins, greco con inglese) mostrano come i metodi critici moderni non siano unici, anche se l’essenza è la stessa (“The ‘Tetrabiblos’, the ‘Bible of astrology’, was published twice during World War II. One edition, by E. Boer, appeared in Germany, Greek text only; the other, by F. E. Robbins, Greek with English translation, in the Loeb Classical Library. Thus once the experiment was unwillingly made of testing the uniqueness of the modem textcritical methods. It is amusing to see that the differences begin with the title and continue in varying degree in the division of chapters and sections. Of course in essence the results are the same, but the details are by no means identical” - (fr:1205-1209) [Il “Tetrabiblos”, la “Bibbia dell’astrologia”, è stato pubblicato due volte durante la Seconda Guerra Mondiale. Un’edizione, di E. Boer, è apparsa in Germania, solo testo greco; l’altra, di F.E. Robbins, greco con traduzione inglese, nella Loeb Classical Library. Così, una volta è stato fatto involontariamente l’esperimento di testare l’unicità dei moderni metodi di critica testuale. È divertente vedere che le differenze iniziano con il titolo e continuano in varia misura nella divisione dei capitoli e delle sezioni. Naturalmente, in essenza i risultati sono gli stessi, ma i dettagli non sono affatto identici]).

Anche la “Geografia” di Tolomeo, uno dei libri più influenti dell’antichità, non ha un’edizione affidabile: il suo uso costante ha influenzato la tradizione, e restaurare la versione originale è difficile perché consiste in gran parte di nomi geografici e numeri non verificabili con evidenze interne, a differenza delle tavole astronomiche (“The Sources; Their Decipherment and Evaluation 55 An enormous literature has clustered around Ptolemy’s ‘Geography’, one of the most influential books of antiquity. Nevertheless, no reliable edition exists. The task is indeed of great difficulty. The constant use of this work has greatly affected its tradition and it is a major enterprise to restore the original version of a text which to a large extent consists of geographical names and numbers uncheckable by internal evidence which is fortunately available in the case of astronomical tables” - (fr:1210-1213) [Un’enorme letteratura si è raggruppata attorno alla “Geografia” di Tolomeo, uno dei libri più influenti dell’antichità. Tuttavia, non esiste un’edizione affidabile. Il compito è infatti molto difficile. L’uso costante di quest’opera ha influenzato notevolmente la sua tradizione, ed è un’impresa importante restaurare la versione originale di un testo che consiste in gran parte di nomi geografici e numeri non verificabili con evidenze interne, che sono fortunatamente disponibili nel caso delle tavole astronomiche]).

L’astronomia greca antica (dal 400 a.C. circa a Tolomeo, 150 d.C. circa) è quasi completamente distrutta, eccetto alcune opere elementari sopravvissute per insegnamento; il resto è stato obliterato dall’opera di Tolomeo, che ha relegato i suoi predecessori a figure di interesse storico (“Early Greek astronomy from its beginnings about 400 B.C. to Ptolemy (about 150 A.D.) is almost completely destroyed, except for a few very elementary works which survived for teaching purposes. But the rest was obliterated by Ptolemy’s outstanding work, which relegated his predecessors to merely historically interesting figures” - (fr:1215-1216) [L’astronomia greca antica dalle sue origini intorno al 400 a.C. a Tolomeo (circa 150 d.C.) è quasi completamente distrutta, eccetto alcune opere molto elementari sopravvissute per scopi didattici. Ma il resto è stato obliterato dall’opera eccezionale di Tolomeo, che ha relegato i suoi predecessori a figure di interesse solo storico]).

Per i successori di Tolomeo, la situazione è migliore: i commentari di Pappo e Teone (IV secolo) sono in parte sopravvissuti e in corso di pubblicazione da A. Rome (“As to Ptolemy’s successors we should be in a much better position. Pappus’s and Theon’s commentaries, written in the 4th century, were widely used and have in part survived. They are now in the process of publication by A. Rome” - (fr:1217-1219) [Per quanto riguarda i successori di Tolomeo, dovremmo essere in una posizione molto migliore. I commentari di Pappo e Teone, scritti nel IV secolo, sono stati ampiamente usati e sono in parte sopravvissuti. Sono ora in corso di pubblicazione da parte di A. Rome]); ma per le tavole, la situazione è pessima: c’è solo la pubblicazione preliminare di Halma (oltre 100 anni fa, piena di errori), e quasi nulla è stato fatto per le tavole bizantine o medievali europee, per cui centinaia sono elencate nei cataloghi ma non accessibili, handicappando gravemente lo studio dell’astronomia matematica medievale (“We are still very badly off so far as the tables are concerned, though at least a preliminary publication by Halma exists, more than 100 years old and bristling with misprints and errors. But almost nothing has been done with Byzantine or European m.edieval tables. Thus all work on mathematical astronomy of the Middle Ages is most seriously handicapped by the fact that almost no tables are accessible, though hundreds of them can be found listed in library catalogs” - (fr:1220-1222) [Siamo ancora molto messi male per quanto riguarda le tavole, anche se esiste almeno una pubblicazione preliminare di Halma, vecchia di oltre 100 anni e piena di errori di stampa. Ma quasi nulla è stato fatto per le tavole bizantine o medievali europee. Così, tutto il lavoro sull’astronomia matematica del Medioevo è gravemente handicappato dal fatto che quasi nessuna tavola è accessibile, anche se centinaia di esse possono essere trovate elencate nei cataloghi delle biblioteche]).

Il testo sottolinea che il “progresso” nello studio della storia della scienza è difficile da conciliare con la trascuratezza di fonti importanti per l’astronomia bizantina, e lo studio dell’interazione tra scienza islamica e Occidente è precluso finché queste fonti rimangono inedite; ciò che serve sono pubblicazioni competenti di trattati islamici, greci e latini, non bibliografie e sommari (“The much publicized ‘progress’ in the study of the history of science is difficult to reconcile with the shocking neglect of a great wealth of source material which is of primary importance for our knowledge of Byzantine astronomy. The study of the problem of the interaction between Islamic science and the West is precluded as long as these sources remain unpublished. What we really need is not bibliographies and summaries, but competent publications of Islamic, Greek, and Latin treatises” - (fr:1223-1225) [Il tanto pubblicizzato “progresso” nello studio della storia della scienza è difficile da conciliare con la sorprendente trascuratezza di una grande quantità di materiale fontale che è di primaria importanza per la nostra conoscenza dell’astronomia bizantina. Lo studio del problema dell’interazione tra scienza islamica e Occidente è precluso finché queste fonti rimangono inedite. Ciò che realmente serve non sono bibliografie e sommari, ma pubblicazioni competenti di trattati islamici, greci e latini]).

Un gruppo di fonti di crescente importanza sono gli scritti astrologici: è stato completato un “catalogo” in 12 volumi di scritti astrologici greci (testo greco, note latine, indici limitati a nomi propri e terminologia selezionata), il cui contenuto è “ripugnante” ma i cui autori, tra cui Franz Cumont, hanno contribuito enormemente allo studio della civiltà antica (“There is one group of sources which will become of increasing importance when systematically utilized: the astrological writings. During the last 60 years a ‘catalogue’ in 12 volumes 56 Chapter III of Greek astrological writings has been completed. The text is Greek, the notes are Latin, the indices are restricted to proper names and occasionally to selected terminology. And the content can only be called repelling-hundreds and hundreds of pages of the dryest astrological nonsense. Nevertheless I think that the scholars who have undertaken this publication, foremost of all Franz Cumont, have contributed enorlnously to the study of ancient civilization, far beyond the narrow limits of the history of astrology” - (fr:1227-1231) [C’è un gruppo di fonti che diventerà di crescente importanza quando sistematicamente utilizzato: gli scritti astrologici. Durante gli ultimi 60 anni è stato completato un “catalogo” in 12 volumi di scritti astrologici greci. Il testo è greco, le note latine, gli indici sono limitati a nomi propri e occasionalmente a terminologia selezionata. E il contenuto può solo essere definito ripugnante: centinaia e centinaia di pagine della più arida assurdità astrologica. Tuttavia, penso che gli studiosi che hanno intrapreso questa pubblicazione, primo tra tutti Franz Cumont, hanno contribuito enormemente allo studio della civiltà antica, ben oltre i limiti ristretti della storia dell’astrologia]). L’opera di Cumont “L’Egypte des astrologues” (1937) mostra, sgombrato dall’astrologia, la vita quotidiana e le istituzioni dell’Egitto ellenistico, e queste ricerche hanno anche chiarito che l’astrologia ha origine nel periodo tolemaico in Egitto, come creazione ellenistica (“To quote only one work, I mention Cumont’s ‘L’Egypte des astrologues’ (1937). Here, stripped of all astrology, the background of the daily life and of the contemporary institutions of Hellenistic Egypt is depicted as it becomes visible from the mishaps and fortunes predicted for the men and women who consulted the astrologer. And another fact of great historical importance becomes increasingly clear from these researches, namely, that the date of origin of this mighty astrological lore must be fixed to the Ptolemaic period in Egypt and thus appears as a truly Hellenistic creation” - (fr:1232-1234) [Per citare solo un’opera, menziono “L’Egypte des astrologues” di Cumont (1937). Qui, sgombrato di ogni astrologia, il contesto della vita quotidiana e delle istituzioni contemporanee dell’Egitto ellenistico è rappresentato come diventa visibile dalle sventure e fortune predette per gli uomini e le donne che consultavano l’astrologo. E un altro fatto di grande importanza storica diventa sempre più chiaro da queste ricerche, vale a dire che la data di origine di questa potente conoscenza astrologica deve essere fissata nel periodo tolemaico in Egitto e quindi appare come una creazione veramente ellenistica]).

Inoltre, i testi astrologici contengono innumerevoli frammenti sparsi di calcoli su luna, pianeti, posizioni stellari, loro levate e tramonti, spesso distorti da secoli di copie, ma che forniscono riferimenti a metodi tra Ipparco e Tolomeo; W. Gundel ha trovato frammenti di un catalogo stellare dell’epoca di Ipparco in manoscritti astrologici rinascimentali in francese antico e latino, e da questi frammenti emerge un sistema di metodi astronomici diversi da quello tolemaico, importante per l’origine e la trasmissione dell’astronomia ellenistica (“Indeed, these texts contain innumerable scattered fragments of computations concerning the moon, the planets, positions of stars, their risings and settings. These computations are often almost hopelessly distorted. Many centuries of tradition through handwritten copies have badly affected numbers which were of little interest, if not unintelligible to the scribes. Nevertheless, we obtain from these passages many references to methods which belong to the period between Hipparchus and Ptolemy. One of the most unexpected discoveries was made by W. Gundel. In an Old-French and a related Latin astrological manuscript of the Renaissance he found imbedded the fragments of a star catalogue of the time of Hipparchus. Slowly there emerges from scattered scraps of information a whole system of astronomical methods which are very different from the classical ‘Ptolemaic’ system but which are of primary importance for the study of the origin and transmission of Hellenistic astronomy” - (fr:1237-1243) [In effetti, questi testi contengono innumerevoli frammenti sparsi di calcoli riguardanti la luna, i pianeti, le posizioni delle stelle, le loro levate e tramonti. Questi calcoli sono spesso quasi irrimediabilmente distorti. Molti secoli di tradizione attraverso copie manoscritte hanno influito gravemente sui numeri, che erano di scarso interesse, se non incomprensibili per i copisti. Tuttavia, da questi

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[14.1-52-1260|1311]

15 Le criticità nello studio, conservazione e pubblicazione dei testi antichi mesopotamici e papiracei

Trattazione delle difficoltà legate alla perdita, provenienza, conservazione e pubblicazione dei testi antichi, con esempi concreti di papiri e tavolette cuneiformi.

Il testo inizia con un esempio tipico di perdita di materiale cruciale: un papiro, scritto probabilmente all’inizio della nostra era e pubblicato da H. O. Lange e dall’autore, fu visto per la prima volta in possesso di un commerciante di antichità al Cairo, ma quando arrivò a Copenaghen l’immagine vitale per la sua comprensione era scomparsa “Thus a vital part for the understanding of the text vanished almost at the same moment its importance was recognized” - (fr:1264) [Così una parte vitale per la comprensione del testo scomparve quasi nello stesso momento in cui la sua importanza veniva riconosciuta]. Inoltre, molti testi scompaiono dagli scavi o sono trovati da indigeni che li vendono invece di bruciarli o usarli come fertilizzante “Also needless to say, many texts disappear from excavations or are ‘found’ by natives who have long learned that papyri can be sold profitably instead of burning them at their camp fires or using them as fertilizer” - (fr:1265) [Inoltre, inutile dirlo, molti testi scompaiono dagli scavi o sono “trovati” da indigeni che hanno imparato da tempo che i papiri possono essere venduti proficuamente invece di bruciarli ai loro falò o usarli come fertilizzante].

Passando alla scrittura cuneiforme, si ricorda che è tornata intelligibile appena cento anni fa e che solo poco prima del secolo attuale è stato riconosciuto che il sumerico è una lingua a sé stante, nonostante usi gli stessi caratteri dell’accadico “It is barely a hundred years since cuneiform writing once more became intelligible; and it was only shorlty before the beginning of the present century that so fundamental a fact as Sumerian being a language of its own though written with the same characters as its later Semitic successors, Akkadian, became generally recognized” - (fr:1267) [Sono passati appena cento anni da quando la scrittura cuneiforme è tornata intelligibile; e fu solo poco prima dell’inizio del secolo attuale che un fatto così fondamentale come il sumerico essere una lingua a sé stante, pur scritta con gli stessi caratteri dei suoi successori semitici, l’accadico, divenne generalmente riconosciuto]. La prima collezione di rilievi e tavolette arrivò in Francia nel 1846, scavata tre anni prima a Khorsabad dal console Botta “The first collection of reliefs and tablets The Sources; Their Decipherment and Evaluation 59 arrived in France in 1846, having been excavated three years before in the ruins of Khorsabad, near Mosul, by the French consul Botta” - (fr:1268) [La prima collezione di rilievi e tavolette (The Sources; Their Decipherment and Evaluation 59) arrivò in Francia nel 1846, essendo stata scavata tre anni prima nelle rovine di Khorsabad, vicino a Mosul, dal console francese Botta]. Nel British Museum ci sono circa 000 tavolette con inventario K (Kuyunjik) o Rm, di cui solo un quarto è pubblicato oggi – una percentuale insolitamente alta dovuta a un secolo di lavoro su una delle scoperte più famose del Vicino Oriente “Some 20,000 tablets in the British Museum now bear the inventory letter K (for Kuyunjik) or Rm” - (fr:1269) [Circa 000 tavolette nel British Museum portano ora la lettera di inventario K (per Kuyunjik) o Rm]; “Perhaps about a quarter of these two collections is published today” - (fr:1270) [Forse circa un quarto di queste due collezioni è pubblicato oggi]; “Actually it is unusually high and only due to the fact that it is the result of a century of work on one of the most famous discoveries in the Near East” - (fr:1271) [In realtà è insolitamente alto e solo dovuto al fatto che è il risultato di un secolo di lavoro su una delle scoperte più famose del Vicino Oriente].

Uno scavo moderno è complesso, ma la fase di scavo è solo la prima e più facile: i problemi sorgono per ragioni banali come il denaro esaurito prima del completamento, la difficoltà di trovare benefattori per lavori non spettacolari e gli studiosi che preferiscono nuovi materiali al noioso lavoro di pubblicazione “A modern excavation is a highly complex enterprise” - (fr:1273) [Uno scavo moderno è un’impresa altamente complessa]; “But this is only the first and easier phase of an excavation” - (fr:1274) [Ma questa è solo la prima e più facile fase di uno scavo]; “The reasons for this fact are trivial” - (fr:1276) [Le ragioni di questo fatto sono banali]; “The available money is usually spent when a fraction of the original planned excavation has been completed, benefactors are hard to find to pay for many years of work without tangible or spectacular results, and the scholars get interested in special aspects 60 Chapter III of the problem involved or go out for new material instead of performing the tedious work of publishing the thousands of details which the accidents of excavation have provided” - (fr:1277) [Il denaro disponibile è solitamente speso quando una frazione dello scavo originariamente pianificato è stata completata, i benefattori sono difficili da trovare per pagare anni di lavoro senza risultati tangibili o spettacolari, e gli studiosi si interessano a aspetti speciali del problema in questione o cercano nuovo materiale invece di eseguire il noioso lavoro di pubblicare le migliaia di dettagli che gli accidenti dello scavo hanno fornito]. Molti scavi sono interrotti o limitati a poche trincee, lasciando rovine con cicatrici che diventano preda di indigeni che estraggono mattoni e scavano tunnel per proprio profitto “Many an excavation, if not all, had to be stopped before completion or had to restrict itself from the very beginning to a few trenches crossing the ruin in the hope of getting a general insight into the character of the stratification” - (fr:1278) [Molti scavi, se non tutti, hanno dovuto essere interrotti prima del completamento o hanno dovuto limitarsi fin dall’inizio a poche trincee che attraversano la rovina nella speranza di ottenere una visione generale del carattere della stratificazione]; “What resulted is a ruin left with deep scars, an easy prey for the natives to extract all exposed bricks, to tunnel for more without too many difficulties, and to have access to deeper layers and thus to continue the ‘excavation’ in their own fashion and for their own benefit” - (fr:1279) [Il risultato è una rovina lasciata con profonde cicatrici, una preda facile per gli indigeni per estrarre tutti i mattoni esposti, per scavare tunnel per altri senza troppe difficoltà e per accedere a strati più profondi e quindi continuare lo “scavo” alla loro maniera e per il loro beneficio].

Questi problemi hanno effetti sugli studi: è impossibile sapere se i testi provengono da tempio, palazzo o casa privata, e anche quelli “ufficialmente scavati” non danno più informazioni di quelli trovati dagli arabi; rimane solo l’evidenza interna, spesso difficile da interpretare, e la precisa provenienza rimane senza risposta “Consequently it is, e. g., completely impossible to find out whether these texts came from a temple, a palace, a private house, etc.” - (fr:1282) [Di conseguenza è, ad esempio, completamente impossibile scoprire se questi testi provengono da un tempio, un palazzo, una casa privata, ecc.]; “In other words, if those texts, which were officially ‘excavated’, would have been found by Arabs, we would be no worse off than we are now” - (fr:1283) [In altre parole, se quei testi, che sono stati ufficialmente “scavati”, fossero stati trovati dagli arabi, non staremmo peggio di adesso]; “Thus we are left with the texts alone and must determine their origin from internal evidence, which is often very difficult to interpret” - (fr:1284) [Così rimaniamo solo con i testi e dobbiamo determinare la loro origine da prove interne, che sono spesso molto difficili da interpretare]; “But the main question of their accurate provenance remains unanswerable” - (fr:1293) [Ma la questione principale della loro precisa provenienza rimane senza risposta].

Altri esempi includono testi nel seminterrato di un museo datati grazie al giornale in cui erano avvolti, e frammenti di un archivio trovati dai tedeschi (dove gli arabi avevano preso le tavolette buone, non interessandosi ai frammenti): grazie a fotografie del Museo di Berlino (anche se i frammenti stessi sono persi), è stato possibile ricostruire tavolette intere con parti su lati diversi dell’Atlantico “Texts which for more than 50 years were lying in the basement of a great museum could be relatively dated from the newspaper in which they were wrapped” - (fr:1285) [Testi che per più di 50 anni sono rimasti nel seminterrato di un grande museo hanno potuto essere datati relativamente grazie al giornale in cui erano avvolti]; “There the Germans must have found the debris of an archive of which, however, all the good tablets had been removed by the Arabs” - (fr:1287) [Lì i tedeschi devono aver trovato i detriti di un archivio di cui, tuttavia, tutte le buone tavolette erano state rimosse dagli arabi]; “The Arabs were not interested in small fragments” - (fr:1288) [Gli arabi non erano interessati ai piccoli frammenti]; “By courtesy of the Berlin Museum, I obtained prints of these photographs (cf.” - (fr:1289) [Per gentile concessione del Museo di Berlino, ho ottenuto stampe di queste fotografie (cfr.)]; “6 b) showing the fragments neatly arranged on a desk of the expedition” - (fr:1290) [6 b) che mostrano i frammenti ordinatamente disposti su una scrivania della spedizione]; “The fragments themselves had also been lost” - (fr:1291) [Anche i frammenti stessi erano andati persi]; “Thus it became possible to restore whole tablets, the parts of which are now on different sides of the Atlantic” - (fr:1292) [Così divenne possibile ricostruire tavolette intere, le cui parti si trovano ora su lati diversi dell’Atlantico].

Per la conservazione: il suolo mesopotamico ha conservato le tavolette per millenni, ma molte sono incrostate di sali, e alcune consistono solo di polvere in teche; solo i grandi musei hanno attrezzature e personale esperto, e i metodi di conservazione erano spesso segreti “The Mesopotamian soil has preserved tablets for thousands of years” - (fr:1294) [Il suolo mesopotamico ha conservato le tavolette per migliaia di anni]; “Many tablets are encrusted with salts (cf.” - (fr:1295) [Molte tavolette sono incrostate di sali (cfr.)]; “9 a left and photograph which shows crustations along the crack; the right-hand photograph gives the same tablet after cleaning)” - (fr:1296) [9 a sinistra e fotografia che mostra incrostazioni lungo la crepa; la fotografia a destra mostra la stessa tavoletta dopo la pulizia).]; “I have seen ‘tablets’ which consisted of dust only, carefully kept in showcases” - (fr:1297) [Ho visto “tavolette” che consistevano solo di polvere, accuratamente conservate in teche]; “But only great museums possess the necessary equipment and experienced staffs, not to mention the fact that these methods of conservation were often kept as museum secrets” - (fr:1298) [Ma solo i grandi musei possiedono l’attrezzatura necessaria e personale esperto, per non menzionare il fatto che questi metodi di conservazione erano spesso tenuti come segreti museali].

Infine, la pubblicazione delle tavolette è un compito difficile: i pochi cataloghi rudimentali sono spesso inaccessibili, e è più urgente “scavare” il materiale nei musei che accumularne nuovo, visto che ogni scavo produce più tavolette di quante ne possa gestire uno studioso in vita “The publication of tablets is a difficult task in itself” - (fr:1299) [La pubblicazione delle tavolette è un compito difficile in sé]; “And several of the few existing rudimentary catalogues are carefully secluded from any outside use” - (fr:1301) [E diversi dei pochi cataloghi rudimentali esistenti sono accuratamente esclusi da qualsiasi uso esterno]; “The task of excavating the source material in museums is of much greater urgency than the accumulation of new uncounted thousands of texts on top of the never investigated previous thousands” - (fr:1302) [Il compito di “scavare” il materiale sorgente nei musei è di molto maggiore urgenza rispetto all’accumulo di nuove migliaia di testi non contati sulle migliaia precedenti mai investigate]; “And the result of every such dig is frequently many more tablets than can be handled by one scholar in his lifetime” - (fr:1303) [E il risultato di ogni tale scavo è spesso molte più tavolette di quante ne possa gestire uno studioso nella sua vita]. Le fotografie da sole non sono sufficienti (servono multiple con luci variabili), e sono stati sviluppati molti stili di copia, ma la dispersione del materiale nel mondo rende difficile il lavoro; nessun testo si risolve al primo tentativo, e serve anni per pubblicare poche centinaia di tavolette, con nuove menti che trovano soluzioni sfuggite all’editore “Photographs alone are in the majority of cases not sufficient, even if their cost were not prohibitive” - (fr:1304) [Le fotografie da sole sono nella maggior parte dei casi insufficienti, anche se il loro costo non fosse proibitivo]; “Only multiple photographs taken with variable directions of light would suffice” - (fr:1305) [Solo fotografie multiple scattate con direzioni variabili di luce sarebbero sufficienti]; “Many different styles of copying were developed by individual scholars, varying between an almost schematic reproduction of the signs to a minute reproduction of details” - (fr:1306) [Molti stili diversi di copia sono stati sviluppati da singoli studiosi, variando tra una riproduzione quasi schematica dei segni a una riproduzione minuziosa dei dettagli]; “In practice this is often excluded by the scattering of directly related material all over the world” - (fr:1308) [In pratica questo è spesso escluso dalla dispersione di materiale direttamente correlato in tutto il mondo]; “Practically no text falls at the first attempt” - (fr:1309) [Praticamente nessun testo si risolve al primo tentativo]; “It requires years of work before a small group of a few hundred tablets is adequately published” - (fr:1310) [Richiede anni di lavoro prima che un piccolo gruppo di poche centinaia di tavolette sia adeguatamente pubblicato]; “Invariably a fresh mind will find the solution of a puzzle which escaped the editor, however obvious it might seem afterwards” - (fr:1311) [Immancabilmente una mente fresca troverà la soluzione di un enigma che è sfuggito all’editore, per quanto ovvio possa sembrare dopo].

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16 Testi astronomici antichi: problemi di provenienza, pubblicazione e conservazione tra Egitto e Mesopotamia

Il testo discute papiri egiziani e tavolette cuneiformi mesopotamiche, evidenziando criticità nella gestione dei reperti antichi.

Il resoconto inizia con un papiro astronomico egiziano: “Uno dei più interessanti papiri astronomici è giunto infine in parte alla collezione Carlsberg dell’Università di Copenaghen” - (fr:1312). Questo contiene una traduzione demotica e un commento a un testo ieratico più antico, con replica geroglifica nel Cenotafio di Seti I (1300 a.C.), e descrive il viaggio dei decani sul corpo della dea del cielo, raffigurata sulle volte di tombe e templi (fr:1313). All’epoca, il testo includeva anche l’immagine della dea con costellazioni e date di levata/tramonto (fr:1314), ma questa è probabilmente persa, venduta a un collezionista privato (fr:1315) – un evento in contrasto con le leggi sulle antichità (fr:1316). È deprimente che molti di questi reperti finiscano non letti e non pubblicati in climi meno favorevoli dell’Egitto (fr:1317).

Passando alla Mesopotamia, il materiale di fonte egiziano è “un gioco da ragazzi” rispetto a quello mesopotamico (fr:1318): mentre decifrazione e interpretazione procedevano lentamente, i testi sono stati trovati in gran numero sin dall’inizio (fr:1319). Nel 1849/50 Layard trovò la prima biblioteca di palazzo a Ninive (Kuyunjik), e nel 1853 Rassam scoprì la Biblioteca di Assurbanipal (fr:1320). Il rapporto tra testi esistenti e pubblicati è piccolo (fr:1322), e oggi decine di migliaia di tavolette sono nei musei: la loro pubblicazione richiederebbe secoli anche con tutti gli assiriologi viventi (fr:1323).

Vengono quindi inserite osservazioni su scavi e pubblicazione: il lavoro sul campo richiede un team di architetti, disegnatori, fotografi, epigrafi e filologi (fr:1325), e il compito finale – preservazione, conservazione e soprattutto pubblicazione – è quello per cui il campo è solo un passo preliminare (fr:1326). Mentre il lavoro sul campo è perfezionato, la pubblicazione è stata trascurata a tal punto che molti scavi mesopotamici sono una “distruzione scientificamente eseguita” di ciò che è rimasto per millenni (fr:1327). Il tempo per la pubblicazione è un multiplo di quello del campo (fr:1328), e il risultato non differisce molto dalla caccia al tesoro dei primi scavatori (fr:1329). I nativi hanno trovato migliaia di tavolette, vendute a musei che avevano già speso per rimuovere sabbia e detriti (fr:1331); fino al 1951, nessun testo astronomico o matematico aveva provenienza da scavo (fr:1332), e anche le eccezioni (tavole di moltiplicazione da Nippur/Sippar) non hanno informazioni sul luogo di ritrovamento o sullo strato (fr:1333-1334). Inoltre, mentre gli scavi clandestini fanno piccoli buchi, gli scavi scientifici distruggono tutte le tracce del luogo di ritrovamento (fr:1335).

Un esempio è la spedizione tedesca a Uruk (prima del 1914), sito con strutture dai periodi antichi ai seleucidi (fr:1338): le tavolette trovate sono ora a Berlino, Parigi e Chicago, importanti per l’astronomia seleucide (fr:1339), ma i registri di provenienza sono persi (fr:1342). Tramite calcoli estesi, si è stabilito il legame tra piccoli frammenti e pezzi più grandi dei musei, e i frammenti sono stati riscoperti a Istanbul (fr:1343-1344).

Per la conservazione, nel clima moderno i cambiamenti di umidità creano cristalli che rompono le tavolette e obliterano la scrittura (fr:1346, 1348): per prevenirlo, bisogna cuocerle lentamente ad alta temperatura e immergerle per rimuovere i sali (fr:1349). Migliaia di tavolette sono state acquistate a caro prezzo ma distrutte senza essere lette (fr:1350).

Per la ricerca, prima di tutto bisogna trovare i testi pertinenti: solo una piccola parte delle tavolette è catalogata, forse meno di un decimo (fr:1351, 1353). I costi degli scavi sono alti: uno scavo preliminare in una stagione costa quanto il salario di un assiriologo per 12-15 anni (fr:1354). Non esiste un metodo semplice di pubblicazione: le tavolette sono iscritte su entrambi i lati e sui bordi (fr:1355-1356), quindi si usano copie a mano per costi e necessità (fr:1357). Il metodo ideale sarebbe la copia diretta, ma anche con esperienza serve comprendere il contenuto, quindi sono necessarie collazioni, unioni di frammenti e confronti (fr:1359-1361). Nessuna pubblicazione è “finale” (fr:1362).

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17 Deciframento e analisi di una tavoletta matematica antica appartenente a una serie

Il testo illustra il processo di interpretazione di un documento matematico antico, dalla suddivisione in sezioni alla soluzione di equazioni tramite l’uso di termini tecnici e notazione posizionale.

Il testo in esame è una tavoletta matematica antica che inizialmente appare incomprensibile: i suoi numeri non mostrano relazioni riconducibili a operazioni consecutive, per cui si abbandona l’idea di leggerlo come un’unità: “At first sight it seems impossible to make any sense out of its numbers, which show no relations which could be explained as the result of consecutive operations.” - (fr:1372) [A prima vista sembra impossibile dare un senso ai suoi numeri, che non mostrano relazioni spiegabili come risultato di operazioni consecutive.]; “Hence one has to abandon the idea of reading the text as a unit.” - (fr:1373) [Quindi bisogna abbandonare l’idea di leggere il testo come un’unità.]

Un elemento cruciale è il colophon nell’angolo inferiore sinistro del retro: “48 im-su dub-13-kam-ma” - (fr:1375). La seconda parte indica che si tratta della “13th tablet”, quindi di un documento appartenente a una serie di almeno 13 tavolette correlate: “The second part means ‘13th tablet’ and characterizes the text as a part of a series of at least 13 related tablets.” - (fr:1376) [La seconda parte significa “13ª tavoletta” e caratterizza il testo come parte di una serie di almeno 13 tavolette correlate.] La prima parte, “48 im-su”, si riferisce al contenuto: poiché 48 è troppo basso per il numero di righe, si verifica che le piccole caselle di testo separate da linee orizzontali ammontano a circa 40-50; testi simili confermano che im-su corrisponde alle sezioni, per cui ogni sezione va trattata individualmente: “But one can easily check that the total of small boxes of two or three lines of text separated from one another by horizontal lines amounts to about 40 or” - (fr:1379) [Ma si può facilmente verificare che il totale di piccole caselle di due o tre righe di testo separate da linee orizzontali ammonta a circa 40 o ]; “This is confirmed by similar texts where the number of im-su exactly agrees with the number of sections.” - (fr:1380) [Ciò è confermato da testi simili dove il numero di im-su corrisponde esattamente al numero di sezioni.]; “Thus we know already that each section has to be treated individually.” - (fr:1381) [Quindi sappiamo già che ogni sezione va trattata individualmente.] La brevità delle sezioni suggerisce che si tratta di problemi, non di soluzioni dettagliate: “Obviously the shortness of these sections suggests that we are dealing with problems only, not with their solutions worked out in detail.” - (fr:1382) [Ovviamente la brevità di queste sezioni suggerisce che abbiamo a che fare solo con problemi, non con le loro soluzioni elaborate in dettaglio.]

Si procede alla trascrizione seguendo regole assiriologiche (con [ ] per sezioni distrutte), interpretando termini tecnici: gar e dah indicano addizione, a-ra corrisponde a “per” (dalle tavole di moltiplicazione), us e sag sono rispettivamente lunghezza (x) e larghezza (y), la particella -ma è rappresentata da un segno di uguale: “Several terms can be translated directly; gar and dah are words known to indicate addition; a-ra is known from the multiplication tables, corresponding to our ‘times’.” - (fr:1386) [Diversi termini possono essere tradotti direttamente; gar e dah sono parole note per indicare l’addizione; a-ra è noto dalle tavole di moltiplicazione, corrispondente al nostro “per”.]; “The words ui and sag are known to mean length and width respectively.” - (fr:1389) [Le parole us e sag sono note per significare rispettivamente lunghezza e larghezza.]; “The particle -ma represents something like ‘and thus’; we represent it simply by an equal sign.” - (fr:1391) [La particella -ma rappresenta qualcosa come “e quindi”; la rappresentiamo semplicemente con un segno di uguale.] La frase a-ra 2 e-tab, nonostante tab sia correlato a lal (“meno”), significa “moltiplica per 2”, in linea con il segno tab (due zeppe parallele, indicante duplicazione): “In order not to complicate our discussion unnecessarily we shall anticipate the result that here the whole phrase a-ra 2 e-tab must mean ‘multiply by 2’ without any reference to addition.” - (fr:1394) [Per non complicare inutilmente la nostra discussione, anticipiamo il risultato che qui l’intera frase a-ra 2 e-tab deve significare “moltiplica per 2” senza alcun riferimento all’addizione.]; “This is indeed in line with the original meaning of the sign ‘tab’ which consists of two parallel wedges, thus indicating ‘duplication’.” - (fr:1395) [Ciò è effettivamente in linea con il significato originale del segno “tab” che consiste di due zeppe parallele, indicando così “duplicazione”.]

I singoli problemi sono troppo corti per avere senso, si introduce un’incognita f (dipendente da x e y) a cui aggiungere le altre quantità: “Now we have the single problems but they are obviously too short to make sense.” - (fr:1399) [Ora abbiamo i singoli problemi, ma sono ovviamente troppo corti per avere senso.]; “Thus we are compelled to introduce an unknown quantity f, which might depend on x and y, to which all the other quantities are added.” - (fr:1402) [Quindi siamo costretti a introdurre una quantità incognita f, che potrebbe dipendere da x e y, a cui tutte le altre quantità vengono aggiunte.] Un’altra difficoltà è risolta dalla notazione a valore posizionale: invece di “1” si legge 1,0 = 60, poiché 2f + x non potrebbe essere 1 se f + x è almeno 5: “But here the place value notation comes to our rescue.” - (fr:1408) [Ma qui la notazione a valore posizionale ci viene in aiuto.]; “Instead of ‘1’ we can read 1,0 =” - (fr:1409) [Invece di “1” possiamo leggere 1,0 = ]

Così si determinano i valori x = 30, y = 20, f = 15, confermati anche dalle tracce nella riga 12: “Thus we have reached as a first consequence of our hypothetical interpretation that x = 30 y = 20 f =” - (fr:1412) [Quindi abbiamo raggiunto come prima conseguenza della nostra interpretazione ipotetica che x = 30 y = 20 f = ] Ulteriore conferma viene da due espressioni precedenti: sostituendo x e y, si ottengono 10 e 5, la cui somma è 15 (valore di f), determinando anche f come funzione di x e y: “Thus we find a total 10 + 5 which is indeed the value 15 of f. Hence we have not only confirmed our results but have also determined f as a function of x and y: f= n(2,40 - (x + y)) + + (55 - y).” - (fr:1418) [Quindi troviamo un totale 10 + 5 che è effettivamente il valore 15 di f. Quindi non solo abbiamo confermato i nostri risultati, ma abbiamo anche determinato f come funzione di x e y: f= n(2,40 - (x + y)) + + (55 - y).]

Le quattro equazioni riassunte non bastano singolarmente per determinare x e y, e sono troppe per essere usate simultaneamente: per questo, bisogna cercare informazioni aggiuntive nelle sezioni precedenti del testo: “Obviously these equations do not suffice, if one takes them singly, to determine x and y.” - (fr:1420) [Ovviamente queste equazioni non bastano, se prese singolarmente, per determinare x e y.]; “On the other hand they cannot be used simultaneously because there are too many.” - (fr:1421) [D’altra parte non possono essere usate simultaneamente perché sono troppe.]; “Thus one has to look for additional information higher up in the text.” - (fr:1422) [Quindi bisogna cercare informazioni aggiuntive più in alto nel testo.]

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[16.1-40-1489|1528]

18 Analisi di un antico catalogo stellare: datazione, critiche a Gundel e legame con Ipparco

Discussione sulla datazione di un catalogo stellare antico, con critiche ai dettagli del lavoro di Gundel e conferma della sua origine nell’epoca di Ipparco, oltre a chiarimenti sul rapporto tra i cataloghi di Ipparco e Tolomeo.

Il testo si inserisce in un lavoro citato come “AhL, N.F. 12 (1936)” (fr:1489), e i risultati sul catalogo stellare antico sono discussi alle pagine 131-134 e presentati in una lista alle pagine 148-153 (fr:1490). Gundel aveva determinato la data del catalogo confrontandone le longitudini con quelle dell’Almagesto e assumendo una precessione di 1° per secolo, accettando la costante di Tolomeo (fr:1491). Sebbene il risultato principale di Gundel – che molte posizioni indicano l’epoca di Ipparco – non sia dubbio, si possono sollevare obiezioni sui dettagli (fr:1492). Infatti, con una sola eccezione (n. 63, che dà 291), tutte le longitudini nella lista di Gundel sono gradi interi, quindi evidentemente arrotondati (fr:1493-1495), mentre il catalogo di Tolomeo dà longitudini con una precisione di 10’ (fr:1496): pertanto non si possono confrontare i due insiemi di valori senza tenere conto degli errori di arrotondamento (fr:1497). Si devono considerare due possibilità: arrotondamento al grado più vicino o semplice troncamento delle frazioni; l’esperienza con grandi numeri di valori arrotondati nell’astronomia babilonese e greca suggerisce, contrariamente al nostro uso, la preferenza per il secondo metodo (fr:1498-1500).

L’autore ha quindi confrontato le longitudini di tutte le stelle della lista di Gundel con quelle che esse avevano nel 130 a.C. secondo il catalogo di Peters e Knobel (Ptolemy’s Catalogue of Stars, Carnegie Institution of Washington, Publication No. 86, 1915; p. 74 ss.) (fr:1501). Il confronto è possibile per 59 valori della lista di Gundel e i corrispondenti valori del 130 a.C., tralasciando le frazioni per quanto vicine a uno (fr:1502). Per una sola stella la longitudine appare di 1° inferiore al previsto per il 130 a.C., e per un’altra di 2° superiore; per 39 stelle (66%) si ottengono esattamente gli stessi numeri, mentre 18 stelle (30,5%) hanno longitudini di 1° superiori a quelle trovate per il 130 a.C. (fr:1503-1504). In altre parole, il 96,5% delle stelle della lista di Gundel ha longitudini corrette per il periodo dal 130 a.C. al 60 a.C., quindi sono state tratte o dal catalogo di Ipparco stesso o da quello di un astronomo delle generazioni successive (fr:1505-1506). Viene invece smentita l’ipotesi di Gundel di un catalogo stellare precedente a Ipparco che desse le posizioni in coordinate eclittiche (fr:1507).

Il testo affronta anche la convinzione radicata che i Greci fossero inclini solo alla speculazione filosofica e trascurassero osservazioni ed esperimenti, che aveva reso facilmente accettabile la teoria che il catalogo di Tolomeo fosse una modifica banale di quello di Ipparco, assumendo che Tolomeo avesse aggiunto 2;40° alle longitudini di Ipparco, nonostante la sua esplicita dichiarazione di osservazioni indipendenti (fr:1508). Nel frattempo, Boll ha mostrato (Bibliotheca Mathematica serie 3 vol 2, 1901, p. 185-195) che il catalogo di Ipparco copriva solo circa 850 stelle rispetto alle più di 1000 di quello di Tolomeo (fr:1509); infine, Vogt ha dimostrato (Astron. Nachr. 224, 1925, cols. 17-54) che per 60 stelle del catalogo di Ipparco solo 5 potrebbero essere state utilizzate da Tolomeo, mentre la maggior parte mostra indubbiamente osservazioni indipendenti (fr:1510-1513). Gundel, che ha ignorato il lavoro di Vogt, ha ancora operato sotto l’assunzione di una relazione puramente schematica tra i due cataloghi (fr:1514).

Per quanto riguarda le opere di Ipparco, solo il suo Commentario ad Arato è conservato (edito da Manitius, Leipzig 1894, con traduzione tedesca) (fr:1515); questo lavoro è indubbiamente un’opera precoce di Ipparco, scritta prima della scoperta della precessione, come segue dal fatto che le posizioni delle stelle non sono mai date in coordinate eclittiche (longitudine e latitudine) ma in un sistema misto eclittico-declinazione (cfr. Fig. 30 p. 184) (fr:1516-1519). È stata ovviamente la scoperta della precessione a portare poi Ipparco a introdurre vere coordinate eclittiche, perché le longitudini aumentano proporzionalmente col tempo mentre le latitudini rimangono invariate (fr:1520).

Infine, si citano H. O. Lange e O. Neugebauer con Papyrus Carlsberg I. Ein hieratischdemotischer kosmologischer Text (Kgl. Danske Vidensk. Selskab, Bis.-filol. Skrifter 1, No. 2, 1940) (fr:1521-1527), e si segnala che una nuova edizione con molti miglioramenti dettagliati è in preparazione da R. A. Parker e dall’autore stesso per l’inclusione in un lavoro più ampio sui testi astronomici egiziani (fr:1528).

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[17.1-45-1547|1591]

19 Matematica e astronomia egiziane: contesto storico, caratteristiche e rilevanza per la storia della scienza

Analisi del contesto geografico-culturale dell’Egitto antico, delle peculiarità della sua matematica e della sua influenza sulle civiltà successive.

Il testo apre con un quadro della civiltà egiziana, sottolineando come la protezione offerta da deserto e mare abbia garantito pace e sicurezza per secoli, a differenza di Grecia e Mesopotamia: “Of all the civilizations of antiquity. the Egyptian seems to me to have been the most pleasant. The excellent protection which desert and sea provide for the Nile valley prevented the excessive development of the spirit of heroism which must often have made life in Greece hell on earth. There is probably no other country in the ancient world where cultivated life could be maintained through so many centuries in peace and security. Of course not even Egypt was spared from severe outside and interior struggles; but, by and large, peace in Mesopotamia or Greec~ must have been as exceptional a state as war in Egypt.” - (fr:1552-1556) [Tra tutte le civiltà dell’antichità, l’egiziana mi sembra essere stata la più piacevole. L’eccellente protezione che deserto e mare offrono alla valle del Nilo ha impedito l’eccessivo sviluppo dello spirito di eroismo che deve aver spesso reso la vita in Grecia un inferno sulla terra. Probabilmente non c’è altro paese nel mondo antico dove la vita colta potesse essere mantenuta per così tanti secoli in pace e sicurezza. Naturalmente nemmeno l’Egitto è stato risparmiato da gravi lotte esterne e interne; ma, in generale, la pace in Mesopotamia o in Grecia deve essere stata uno stato tanto eccezionale quanto la guerra in Egitto.] Nonostante l’apparente staticità, la cultura egiziana ha conosciuto un cambiamento continuo: “It is not surprising that the static character of Egyptian culture has often been emphasized. Actually there was as little innate conservatism in Egypt as in any other human society. A serious student of Egyptian language, art, religion, administration, etc. can clearly distinguish continuous change in all aspects of life from the early dynastic periods until the time when Egypt lost its independence and eventually became submerged in the Hellenistic world.” - (fr:1557-1560) [Non sorprende che il carattere statico della cultura egiziana sia stato spesso sottolineato. In realtà, in Egitto c’era tanto poco conservatorismo innato quanto in qualsiasi altra società umana. Uno studioso serio della lingua, dell’arte, della religione, dell’amministrazione egiziana, ecc. può chiaramente distinguere un cambiamento continuo in tutti gli aspetti della vita dai primi periodi dinastici fino al momento in cui l’Egitto perse la sua indipendenza e alla fine si immerse nel mondo ellenistico.]

Matematica e astronomia hanno avuto un ruolo limitato nelle civiltà antiche: la prima era sufficiente con l’aritmetica domestica e non riusciva a soddisfare i requisiti ingegneristici, la seconda ha influenzato la filosofia ma è stata poi dominata dall’astrologia, con applicazioni pratiche solo nelle meridiane e nella geografia matematica: “One must simply realize that mathematics and astronomy had practically no effect on the realities of life in the ancient civilizations. The mathematical requirements for even the most developed economic structures of antiquity can be satisfied with elementary household arithmetic […] On the other hand the requirements for the applicability of mathematics to problems of engineering are such that ancient mathematics fell far short of any practical application. Astronomy on the other hand had a much deeper effect on the philosophical attitude of the ancients in so far as it influenced their picture of the world in which we live. But one should not forget that to a large extent the development of ancient astronomy was relegated to the status of an auxiliary tool when the theoretical aspects of astronomical lore were eventually dominated by their astrological interpretation. The only practical applications of theoretical astronomy may be found in the theory of sun dials and of mathematical geography. There is no trace of any use of spherical astronomy for a theory of navigation. It is only since the Renaissance that the practical aspects of mathematical discoveries and the theoretical consequences of astronomical theory have become a vital component in human life.” - (fr:1563-1570) [Bisogna semplicemente rendersi conto che matematica e astronomia non avevano praticamente alcun effetto sulle realtà della vita nelle civiltà antiche. I requisiti matematici anche per le strutture economiche più sviluppate dell’antichità possono essere soddisfatti con un’aritmetica domestica elementare […] D’altra parte, i requisiti per l’applicabilità della matematica ai problemi di ingegneria sono tali che la matematica antica era molto al di sotto di qualsiasi applicazione pratica. L’astronomia, d’altra parte, ha avuto un effetto molto più profondo sull’atteggiamento filosofico degli antichi in quanto ha influenzato la loro immagine del mondo in cui viviamo. Ma non bisogna dimenticare che in larga misura lo sviluppo dell’astronomia antica è stato relegato allo status di strumento ausiliario quando gli aspetti teorici della tradizione astronomica sono stati infine dominati dalla loro interpretazione astrologica. Le uniche applicazioni pratiche dell’astronomia teorica possono essere trovate nella teoria delle meridiane e nella geografia matematica. Non c’è traccia di alcun uso dell’astronomia sferica per una teoria della navigazione. È solo dal Rinascimento che gli aspetti pratici delle scoperte matematiche e le conseguenze teoriche della teoria astronomica sono diventate una componente vitale nella vita umana.]

Nonostante il contributo limitato alla conoscenza matematica, la matematica egiziana è rilevante per gli storici perché conserva uno stadio primitivo di sviluppo: “The fact that Egyptian mathematics did not contribute positively to the development of mathematical knowledge does not imply that it is of no interest to the historian. On the contrary, the fact that Egyptian mathematics has preserved a relatively primitive level makes it possible to investigate a stage of development which is no longer available in so simple a form, except in the Egyptian documents.” - (fr:1572-1573) [Il fatto che la matematica egiziana non abbia contribuito positivamente allo sviluppo della conoscenza matematica non implica che non sia di interesse per lo storico. Al contrario, il fatto che la matematica egiziana abbia conservato un livello relativamente primitivo rende possibile indagare uno stadio di sviluppo che non è più disponibile in forma così semplice, tranne che nei documenti egiziani.] Ha anche avuto un’influenza, seppur negativa, sulle civiltà successive grazie alle frazioni unitarie, che si sono diffuse nel mondo ellenistico e romano, influenzando anche opere come l’Almagesto e limitando l’uso della notazione sessagesimale a contesti scientifici: “Its arithmetic was widely based on the use of unit fractions, a practice which probably influenced the Hellenistic and Roman administrative offices and thus spread further into other regions of the Roman empire […] The influence of this practice is visible even in works of the stature of the Almagest, where final results are often expressed with unit fractions in spite of the fact that the computations themselves were carried out with sexagesimal fractions. Sometimes the accuracy of the results is sacrificed in favor of a nicer appearance in the form of unit fractions. And this old tradition doubtless contributed much to restricting the sexagesimal place value notation to a purcly scientific use.” - (fr:1575-1579) [La sua aritmetica era ampiamente basata sull’uso di frazioni unitarie, una pratica che probabilmente ha influenzato gli uffici amministrativi ellenistici e romani e quindi si è diffusa ulteriormente in altre regioni dell’impero romano […] L’influenza di questa pratica è visibile anche in opere della statura dell’Almagesto, dove i risultati finali sono spesso espressi con frazioni unitarie nonostante il fatto che i calcoli stessi fossero eseguiti con frazioni sessagesimali. A volte l’accuratezza dei risultati è sacrificata a favore di un aspetto più gradevole sotto forma di frazioni unitarie. E questa vecchia tradizione ha indubbiamente contribuito molto a limitare la notazione posizionale sessagesimale a un uso puramente scientifico.]

Due sono i risultati principali dello studio della matematica egiziana: la sua essenziale additività (anche moltiplicazione e divisione si riducono a duplicazioni e somme) e un’approfondita comprensione del calcolo con le frazioni: “There are two major results which we obtain from the study of Egyptian mathematics. The first consists in the establishment of the fact that the whole procedure of Egyptian mathematics is essentially additive. The second result concerns a deeper insight into the development of computation with fractions […] But also multiplication and division are reduced to the same process by breaking up any higher multiple into a sum of consecutive duplications. And each duplication is nothing but the addition of a number to itself. Thus a multiplication by 16 is carried out by means of four consecutive duplications, where only the last partial result is utilized. A multiplication by 18 would add the results for 2 and for 16 as shown in the following example 1 25 I 2 50 4 100 8 200 I 16 400 total 450 In general, multiplication is performed by breaking up one factor into a series of duplications.” - (fr:1581-1591) [Ci sono due risultati principali che otteniamo dallo studio della matematica egiziana. Il primo consiste nell’accertare il fatto che l’intero procedimento della matematica egiziana è essenzialmente additivo. Il secondo risultato riguarda una più profonda comprensione dello sviluppo del calcolo con le frazioni […] Ma anche moltiplicazione e divisione sono ridotte allo stesso processo scomponendo qualsiasi multiplo superiore in una somma di duplicazioni consecutive. E ogni duplicazione non è altro che l’addizione di un numero a se stesso. Così una moltiplicazione per 16 è eseguita mediante quattro duplicazioni consecutive, dove solo l’ultimo risultato parziale è utilizzato. Una moltiplicazione per 18 aggiungerebbe i risultati per 2 e per 16 come mostrato nell’esempio seguente 1 25 I 2 50 4 100 8 200 I 16 400 totale 450 In generale, la moltiplicazione è eseguita scomponendo un fattore in una serie di duplicazioni.]

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[18.1-79-1594|1672]

20 Aritmetica egiziana: metodo di raddoppio, frazioni unitarie e la tavola 2/n del Papiro di Rhind

Il testo illustra le basi dell’aritmetica egiziana, dalla riduzione di divisione e moltiplicazione al raddoppio consecutivo, all’uso di frazioni unitarie, fino alla ricostruzione delle regole per la tavola 2/n e note storiche sulle fonti.

La divisione è definita come riducibile allo stesso metodo della moltiplicazione, perché si chiede semplicemente un fattore che, applicato a un numero dato, ottenga il secondo: “Division is, of course, also reducible to the same method because one merely asks for a factor which is needed for one given number in order to obtain the second given number.” - (fr:1594) [La divisione è, naturalmente, anch’essa riducibile allo stesso metodo perché si chiede semplicemente un fattore necessario per un numero dato al fine di ottenere il secondo numero dato.]. Ad esempio, la divisione di 18 per 3 si esegue raddoppiando 3 fino a raggiungere 18, con risultato 2+4=6 (fr:1595); quando il processo non è semplice, si introducono le frazioni: per 16 diviso 3, si ottiene 5 come valore leggermente inferiore, quindi si aggiunge 1/3 per completare il risultato (fr:1596-1598).

Si passa quindi alle operazioni con le frazioni: le frazioni egiziane sono quasi sempre frazioni unitarie, con l’unica eccezione di 2/3 (fr:1600). La notazione utilizza segni numerici ordinari sotto il geroglifico “r” (significante “parte”), con segni speciali per 1/2 e 1/4; 2/3 è espresso come “2 parti su 3” (fr:1601-1603). Una caratteristica peculiare è l’additività stretta: le frazioni unitarie si lasciano come somma (es. 1/3 + 1/15 invece di combinare), a meno che non si usi l’equivalenza 1/2 + 1/6 = 2/3 (fr:1606-1607).

Ogni moltiplicazione o divisione con frazioni porta al problema di raddoppiare le frazioni unitarie: per denominatori pari, il doppio si sostituisce direttamente (es. 2(1/2)=1, 2(1/4)=1/2), mentre per 2(1/3) si usa il simbolo speciale 2/3 (fr:1608,1612-1614). Per denominatori dispari n≥5, si fa riferimento alla tavola 2/n* del Papiro di Rhind, che esprime 2/n come somma di frazioni unitarie (fr:1615-1617).

La scelta di queste combinazioni si spiega con la distinzione tra frazioni naturali e algoritmiche: le prime sono un piccolo gruppo con segni o espressioni speciali (es. 2/3, 1/2, 1/4), considerate concetti base al pari degli interi e usate quotidianamente; le seconde derivano da operazioni numeriche, ma importanti sono quelle ottenute per dimezzamento consecutivo, che formano due serie: una da 2/3 (2/3, 1/3, 1/6…) e una da 1/2 (1/2, 1/4, 1/8…) (fr:1619-1628). Un esempio standard è l’ottenimento di 1/3 di 3 passando prima per 2/3, per enfatizzare la completezza della prima serie (fr:1629-1631).

Si ricostruisce quindi il procedimento per la tavola 2/n: si usa una frazione naturale come termine iniziale. Per 2/5, si prende 1/3, quindi 2/5 = 1/3 + 1/15; in generale, per n multiplo di 5 si usa 1/3, per n multiplo di 3 si usa 1/2 (es. 2/3 = 1/2 + 1/6), e così via con altre frazioni delle due serie (fr:1633-1663). I due principi guida sono quindi l’additività stretta e l’uso estensivo delle frazioni naturali (fr:1666).

Infine, note storiche: il Papiro di Rhind non è l’unica fonte—il Papiro di Mosca concorda con le sue regole; un ostracon del Nuovo Regno presenta una decomposizione diversa per 2/7, mentre papiri demotici e greci dell’epoca ellenistica mostrano deviazioni ma mantengono il principio principale (fr:1667-1672).

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[19.1-52-1742|1793]

21 Contributi egiziani all’astronomia: calendario, ore e decani tra Medio Regno e periodo ellenistico

Il testo analizza i principali apporti egiziani all’astronomia, l’evoluzione dei decani come indicatori orari e i cambiamenti con l’influenza ellenistica e babilonese.

Un primo contributo egiziano è il calendario: “Even in a civil calendar the Egyptian year of 366 days was revived during the Middle Ages” - (fr:1742) [Anche in un calendario civile l’anno egiziano di 366 giorni è stato ripreso nel Medioevo]. Altrettanto rilevante è la divisione del giorno in 24 ore, originariamente di lunghezza variabile legata alle stagioni: “A second Egyptian contribution to astronomy is the division of the day into 24 hours, though these ‘hours’ were originally not of even length but were dependent on the seasons” - (fr:1743) [Un secondo contributo egiziano all’astronomia è la divisione del giorno in 24 ore, sebbene queste ‘ore’ non fossero originariamente di lunghezza uniforme ma dipendessero dalle stagioni]. La forma attuale (24 ore da 60 minuti ciascuna) deriva da una modifica ellenistica della pratica egiziana combinata con procedure numeriche babilonesi: “Thus our present division of the day into 24 hours of 60 minutes each is the result of a Hellenistic modification of an Egyptian practice combined with Babylonian numerical procedures” - (fr:1744) [Così la nostra attuale divisione del giorno in 24 ore da 60 minuti ciascuna è il risultato di una modifica ellenistica di una pratica egiziana combinata con procedure numeriche babilonesi].

I decani sono un altro elemento chiave: appaiono per la prima volta sui coperchi dei sarcofagi del Medio Regno, quando il calendario civile era già consolidato: “When the decans first appear-on coffin lids of the Middle Kingdom-the civil calendar had long been established” - (fr:1749) [Quando i decani appaiono per la prima volta - sui coperchi dei sarcofagi del Medio Regno - il calendario civile era già stato stabilito da tempo]. Alcune costellazioni coprono più di un decano, mentre altri “precedono” o “seguono” una costellazione, indicando gruppi di stelle meno importanti: “Some constellations cover more than one decan; on the other hand there are decans ‘preceding’ or ‘following’ a constellation, indicating groups of stars of lesser significance” - (fr:1750) [Alcune costellazioni coprono più di un decano; d’altra parte ci sono decani “precedenti” o “successivi” a una costellazione, indicando gruppi di stelle di minore importanza].

Nei “calendari diagonali” dei sarcofagi, il nome di un decano si muove da colonna a colonna, una riga più in alto ogni volta: “The name of a specific decan moves from column to column, each time one line higher” - (fr:1752) [Il nome di un decano specifico si muove da colonna a colonna, ogni volta una riga più in alto]. L’utente conosceva l’“ora” notturna dal sorgere del decano elencato nella decade appropriata del mese: “The user of this list would know the ‘hour’ of night by the rising of the decan which is listed in the proper decade of the month” - (fr:1753) [L’utente di questa lista conosceva l’“ora” della notte dal sorgere del decano elencato nella decade appropriata del mese].

Il funzionamento dei decani come indicatori orari si basa sul sorgere eliatico: si assume una stella S come “dell’ultima ora della notte” (quando scompare vicino al sole), sostituita in ordine regolare da altre stelle T, U, V, ecc., fino a che il sole ritorna nella regione di S: “Let us assume that we use this phenomenon as the indication of the end of ‘night’ (meaning real darkness) and consider S as the star of ‘the last hour of night’” - (fr:1755) [Supponiamo di usare questo fenomeno come indicazione della fine della “notte” (intesa come oscurità reale) e consideriamo S come la stella “dell’ultima ora della notte”]; “But there are new stars which can take the place of S, and this procedure can be repeated all year long until the sun comes back to the region of S. Thus year after year S may serve for some days as the star of the last hour, to be replaced in regular order by other stars T, U, V, ….” - (fr:1757) [Ma ci sono nuove stelle che possono prendere il posto di S, e questa procedura può essere ripetuta per tutto l’anno fino a che il sole ritorna nella regione di S. Così anno dopo anno S può servire per alcuni giorni come stella dell’ultima ora, per essere sostituita in ordine regolare da altre stelle T, U, V, …].

Poiché i mesi erano divisi in decadi, anche i servizi delle stelle-ora lo erano: “As the months were divided into decades, so were the services of the hour-stars” - (fr:1759) [Come i mesi erano divisi in decadi, così lo erano i servizi delle stelle-ora]. Dopo dieci giorni, U rappresenta l’ultima ora, T la precedente, S la penultima, ecc.: “After another ten days, U represents the last hour, T the preceding hour, S the second-last hour, etc.” - (fr:1762) [Dopo altri dieci giorni, U rappresenta l’ultima ora, T la precedente, S la penultima, ecc.]. Sono necessari 36 decani prima che S torni a servire come decano dell’ultima ora: “Then we need 36 decans before S can serve again as decan of the last hour” - (fr:1763) [Allora sono necessari 36 decani prima che S possa servire di nuovo come decano dell’ultima ora].

Il sorgere delle stelle è visibile solo di notte: “The rising of stars can only be seen at night” - (fr:1764) [Il sorgere delle stelle può essere visto solo di notte]. Se 36 decani corrispondono a un ciclo completo del cielo, 18 sarebbero visibili ogni notte, portando a una divisione in 18 parti; invece la successione decanale porta a una divisione in 12 ore notturne: “Since 36 decans correspond to one complete circuit of the sky, 18 decans would be seen rising each night and our list of stars would lead to an 18-division of the night” - (fr:1765) [Poiché 36 decani corrispondono a un ciclo completo del cielo, 18 decani sarebbero visti sorgere ogni notte e la nostra lista di stelle porterebbe a una divisione della notte in 18 parti]; “Hence the decadic succession of the decans leads to a 12-division of the night” - (fr:1766) [Quindi la successione decanale dei decani porta a una divisione della notte in 12 parti]. La computazione egiziana delle ore era originariamente decimale per il giorno, duodecimale per la notte (per la struttura decimale del calendario), con due “ore” aggiuntive per il crepuscolo: “Thus we see that the Egyptian reckoning of hours was originally decimal for daylight, duodecimal for the time of darkness because of the decimal structure of the calendar, and leaving two more ‘hours’ for twilight” - (fr:1769) [Così vediamo che il calcolo egiziano delle ore era originariamente decimale per il giorno, duodecimale per il periodo di oscurità a causa della struttura decimale del calendario, lasciando altre due “ore” per il crepuscolo]. Una iscrizione del cenotafio di Seti I (circa 1300 a.C.) mostra un semplice orologio solare e ne descrive l’uso: “One of the inscriptions of the cenotaph of Seti I (about 1300 B.C.) shows a simple sun-dial and gives a description of its use” - (fr:1768) [Una delle iscrizioni del cenotafio di Seti I (circa 1300 a.C.) mostra un semplice orologio solare e ne descrive l’uso].

L’unico concetto astronomico evidente è il sorgere eliatico di Sirio, importante per la sua vicinanza al sorgere del Nilo, evento centrale nella vita egiziana: “The only apparent astronomical concept is the heliacal rising of Sirius which, however, obtained its importance only by its closeness to the rising of the Nile, the main event in the life of Egypt” - (fr:1748) [L’unico concetto astronomico evidente è il sorgere eliatico di Sirio che, tuttavia, ha ottenuto la sua importanza solo per la sua vicinanza al sorgere del Nilo, evento principale nella vita dell’Egitto]. Il sorgere di Sirio avviene dopo un intervallo di circa 70 giorni, in cui la stella rimane invisibile per la vicinanza al sole: “The rising of Sirius occurs after an interval of about 70 days, in which the star remains invisible because of its closeness to the sun” - (fr:1776) [Il sorgere di Sirio avviene dopo un intervallo di circa 70 giorni, in cui la stella rimane invisibile per la sua vicinanza al sole].

Nel Nuovo Regno, i decani cessano di essere utili come indicatori orari: “By the time of the New Kingdom, the usefulness of the decans as indicators of hours had ceased” - (fr:1773) [Al tempo del Nuovo Regno, l’utilità dei decani come indicatori di ore era cessata]. In epoca ellenistica, i decani vengono messi in relazione fissa con lo zodiaco babilonese (attestato in Egitto solo dai successori di Alessandro in poi): “Again in Hellenistic times the Egyptian decans were brought into a fixed relation to the Babylonian zodiac which is attested in Egypt only since the reign of Alexander’s successors” - (fr:1745) [Ancora in epoca ellenistica i decani egiziani furono messi in relazione fissa con lo zodiaco babilonese, che è attestato in Egitto solo dal regno dei successori di Alessandro]. In questa forma raggiungono l’India, per poi ritornare in forma ancora più fantastica ai musulmani e all’Occidente: “In this disguise the decans reached India, only to be returned in still more fantastic form to the Muslims and the West” - (fr:1746) [In questa veste i decani raggiunsero l’India, solo per ritornare in forma ancora più fantastica ai musulmani e all’Occidente]; “In this form they continued to exist until their association with the zodiac of the Hellenistic period revived them and made them powerful elements of astrological doctrine” - (fr:1774) [In questa forma continuarono a esistere fino a che la loro associazione con lo zodiaco del periodo ellenistico li fece rivivere e li rese elementi potenti della dottrina astrologica].

Per quanto riguarda le fonti: i sarcofagi con i “calendari diagonali” appartengono al periodo tra il 2100 e il 1800 a.C.; dal Nuovo Regno si conservano monumenti più elaborati: “The coffins with the ‘diagonal calendars’ belong roughly to the period from 2100 B.C. to 1800 B.C. From the New Kingdom, more elaborate monuments are preserved” - (fr:1781) [I sarcofagi con i “calendari diagonali” appartengono approssimativamente al periodo tra il 2100 e il 1800 a.C. Dal Nuovo Regno si conservano monumenti più elaborati]. Nelle tombe di Ramses VI, VII e IX appare un nuovo tipo di testo astronomico: “In the tombs of Ramses VI, VII, and IX a new type of astronomical text appears” - (fr:1788) [Nelle tombe di Ramses VI, VII e IX appare un nuovo tipo di testo astronomico]. Si è tentato di identificare queste nuove liste di stelle, ma spesso senza rendersi conto che il contenuto dei testi non è stato stabilito in modo sicuro filologicamente: “Much effort has been spent to identify these new lists of stars, often without the realization that the contents of the texts in a purely philological respect have not been safely established, because the available copies were made in the early days of Egyptology and often without consideration for variants in other copies and related texts” - (fr:1791) [È stato speso molto sforzo per identificare queste nuove liste di stelle, spesso senza rendersi conto che il contenuto dei testi in un contesto puramente filologico non è stato stabilito in modo sicuro, perché le copie disponibili sono state fatte nei primi tempi dell’egittologia e spesso senza considerare le varianti in altre copie e testi correlati].

Altre note rilevanti: i dettagli delle decorazioni a soffitto astronomiche sono determinati da principi artistici: “These details are of interest because they demonstrate drastically that artistic principles determined the arrangement of astronomical ceiling decorations” - (fr:1787) [Questi dettagli sono interessanti perché dimostrano drasticamente che principi artistici hanno determinato l’arrangiamento delle decorazioni a soffitto astronomiche]. Tentare di determinare con precisione la posizione dei decani è di scarso interesse e implica attribuire ai testi un’accuratezza astronomica che non avevano: “To attempt to go further in the determination of the decans is not only of very little interest but would necessarily imply ascribing to our texts an astronomical accuracy which they were never intended to have” - (fr:1780) [Tentare di andare oltre nella determinazione dei decani non è solo di scarso interesse, ma implicherebbe necessariamente attribuire ai nostri testi un’accuratezza astronomica che non hanno mai avuto l’intenzione di avere].

Con il periodo tolemaico, l’astronomia egiziana cambia aspetto: a partire dal II secolo a.C., appaiono papiri astronomici (o più precisamente calendarici) e astrologici in greco, demotico o entrambe le lingue: “With the Ptolemaic period, Egyptian astronomy changes in aspect” - (fr:1792) [Con il periodo tolemaico, l’astronomia egiziana cambia aspetto]; “Beginning with the second century B.C., also astronomical (or, more accurately, calendaric) and astrological papyri appear, written in Greek or in Demotic or both” - (fr:1793) [A partire dal II secolo a.C., appaiono anche papiri astronomici (o più precisamente calendarici) e astrologici, scritti in greco o in demotico o entrambi].

[19.2-51-1794|1844]

22 Calendari egiziani, decani e orologi stellari: origini, funzionamento e contesto storico

Sommario che ripercorre i sistemi calendari e i metodi di misurazione del tempo notturno egiziani, con focus sui decani, le loro fonti archeologiche e i limiti tecnici che portarono alla loro obsolescenza.

L’Egitto antico utilizzava due calendari: uno civile di 365 giorni (“Actually, however, the Egyptian civil year contained 365 days” - (fr:1823) [In realtà, tuttavia, l’anno civile egiziano conteneva 365 giorni]) e uno lunare per regolare le feste in base alle fasi lunari (“There existed, finally, a lunar calendar which regulated festivals in relation to the phases of the moon” - (fr:1800) [Esisteva, infine, un calendario lunare che regolava le feste in relazione alle fasi della luna]). Per le ore, si adottavano inizialmente le “ore stagionali” (12 per il giorno, 12 per la notte), sostituite da “ore equinoziali” di lunghezza costante solo in opere teoriche dell’astronomia ellenistica (“These ‘seasonal hours’, twelve for daylight, twelve for night, were replaced by ‘equinoctial hours’ of constant length only in theoretical works of Hellenistic astronomy” - (fr:1795) [Queste “ore stagionali”, dodici per il giorno, dodici per la notte, furono sostituite da “ore equinoziali” di lunghezza costante solo in opere teoriche dell’astronomia ellenistica]).

Un ruolo centrale è svolto dai decani: 36 in numero, corrispondenti ai terzi dei segni zodiacali (ogni decano rappresenta 10° dell’eclittica) (“In this final version the 36 ‘decans’ are simply the thirds of the zodiacal signs, each decan representing 10° of the ecliptic” - (fr:1797) [In questa versione finale i 36 “decani” sono semplicemente i terzi dei segni zodiacali, ogni decano rappresenta 10° dell’eclittica]), anche se non hanno lasciato tracce dirette nell’astronomia moderna (“Finally, we have to mention the ‘decans’ (to use a Greek term) which have left no direct traces in modern astronomy” - (fr:1796) [Infine, dobbiamo menzionare i “decani” (per usare un termine greco) che non hanno lasciato tracce dirette nell’astronomia moderna]). La loro influenza si estese anche all’epoca rinascimentale, con un “trionfo” nelle pitture murali del Palazzo Schifanoria a Ferrara sotto Borso d’Este (circa 1460) (“Their final triumph lies in the frescoes of the Palazzo Schifanoria in Ferrara under Borso d’Este (about 1460)” - (fr:1798) [Il loro trionfo finale si trova nelle pitture murali del Palazzo Schifanoria a Ferrara sotto Borso d’Este (circa 1460)]).

I decani nacquero come orologi stellari notturni: il loro uso derivava dall’osservazione del sorgere eliatico di stelle (che indicavano la fine della notte) e serviva a gestire i turni di servizio nei templi (“It is this sequence of phenomena which led the Egyptians to measure the time of night by means of stars (or groups of nearby stars) which we now call the decans” - (fr:1809) [È questa sequenza di fenomeni che portò gli egiziani a misurare il tempo della notte per mezzo di stelle (o gruppi di stelle vicine) che ora chiamiamo decani]; “But this sort of impractical pedantry was not characteristic of those Egyptians, who intended to devise some method of indicating the times of office for the nightly service in the temples” - (fr:1810) [Ma questo tipo di pedanteria impraticabile non era caratteristica di quegli egiziani, che intendevano escogitare un metodo per indicare i tempi di servizio per il servizio notturno nei templi]). Il funzionamento prevedeva che una stella S indicasse l’ultima ora della notte per 10 giorni, poi una stella T per i successivi 10, e così via: questo creò un pattern diagonale, che dà il nome ai “calendari diagonali” presenti sui coperchi di sarcofagi del periodo tra il 1800 e il 1200 a.C. (“For 10 days, S indicated the last hour of night, then T was chosen for the next 10 days, and so forth” - (fr:1811) [Per 10 giorni, S indicava l’ultima ora della notte, poi T veniva scelta per i successivi 10 giorni, e così via]; “Thus there originated a diagonal pattern which is the motivation for the name ‘diagonal calendars’ for these texts” - (fr:1804) [Così ebbe origine un pattern diagonale che è la motivazione per il nome “calendari diagonali” per questi testi]; “This, indeed, is the arrangement we find in the ‘diagonal calendars’ on coffin lids of the period from about 1800 to 1200 B.C.” - (fr:1818) [Questo, in effetti, è l’arrangiamento che troviamo nei “calendari diagonali” sui coperchi di sarcofagi del periodo tra circa il 1800 e il 1200 a.C.]). Le rappresentazioni sui sarcofagi sono repliche povere dei soffitti di tombe reali o templi (“The astronomical representations on the coffin lids are, in all probability, poor replicas of ceilings in royal tombs or temples which were imitated in the modest coffins of minor people” - (fr:1803) [Le rappresentazioni astronomiche sui coperchi di sarcofagi sono, con ogni probabilità, povere repliche di soffitti di tombe reali o templi che venivano imitati nei modesti sarcofagi di persone minori]).

La divisione in 12 ore non è arbitraria, ma deriva dall’ordine decimale del calendario civile, portando a 24 “ore” di lunghezza irregolare (“The 12-division is therefore not an arbitrary choice of units, but the consequence of the decimal order of the civil calendar” - (fr:1819) [La divisione in 12 non è quindi una scelta arbitraria di unità, ma la conseguenza dell’ordine decimale del calendario civile]; “The result is 24 ‘hours’ of rather uneven length and uneven distribution between daylight and night” - (fr:1821) [Il risultato è 24 “ore” di lunghezza piuttosto irregolare e distribuzione irregolare tra giorno e notte]). Tuttavia, l’anno civile di 365 giorni non corrisponde esattamente al ritorno del sole alla stessa stella: questo causò un cambiamento graduale nella relazione tra il sorgere eliatico di un decano e la sua data nel calendario, rendendo gli orologi decanali obsoleti nel giro di un secolo o due. Anche un tentativo di sostituire il sorgere con la culminazione delle stelle non durò (“What was not taken into consideration, however, is the fact that 365 days do not accurately measure the return of the sun to the same star, and consequently, a slow but relentless change in the relation between the heliacal rising of a decan and its date in the civil calendar takes place” - (fr:1824) [Ciò che non è stato preso in considerazione, tuttavia, è il fatto che 365 giorni non misurano accuratamente il ritorno del sole alla stessa stella e, di conseguenza, avviene un cambiamento lento ma inesorabile nella relazione tra il sorgere eliatico di un decano e la sua data nel calendario civile]; “Not only must the independent division of darkness and daylight have soon become obsolete, but also the decanal clocks for the hours of night were bound to lose their usefulness in the course of a century or two” - (fr:1822) [Non solo la divisione indipendente di oscurità e giorno deve essere presto diventata obsoleta, ma anche gli orologi decanali per le ore della notte erano destinati a perdere la loro utilità nel giro di un secolo o due]; “An attempt to substitute the culmination of stars for their rising also did not last” - (fr:1825) [Un tentativo di sostituire la culminazione delle stelle con il loro sorgere non durò neanche]).

Per la posizione dei decani nel cielo: appartengono a una zona approssimativamente parallela e a sud dell’eclittica, con Sirio e Orione come membri principali – Sirio è il prototipo ideale (“We shall see that all these decans belong to a zone of the sky roughly parallel to and south of the ecliptic (cf.” - (fr:1802) [Vedremo che tutti questi decani appartengono a una zona del cielo approssimativamente parallela e a sud dell’eclittica (cfr.]; “We not only know that Sirius and Orion figured among the decans but that Sirius was, so to speak, the ideal prototype of all the other decans” - (fr:1827) [Non solo sappiamo che Sirio e Orione erano tra i decani, ma che Sirio era, per così dire, il prototipo ideale di tutti gli altri decani]; “But we have reached insight into a sound, however primitive, procedure of marking time at night by means of stars and are able to localize them in a definite region of the sky to which Sirius and Orion belong, not as exceptions, but as the leading members of the decanal constellations” - (fr:1832) [Ma abbiamo raggiunto una comprensione di un procedimento valido, sebbene primitivo, per segnare il tempo notturno per mezzo di stelle e siamo in grado di localizzarle in una regione definita del cielo a cui Sirio e Orione appartengono, non come eccezioni, ma come membri principali delle costellazioni decanali]). Fonti chiave sono il soffitto della tomba incompiuta di Senmut (visir di Hatshepsut) e quello del cenotafio di Seti I (circa 1300 a.C.) (“One is the ceiling of the unfinished tomb of Senmut, the Vezir of Queen Hatshepsut; another is the ceiling of the cenotaph of King Seti I, about 1300 B.C.” - (fr:1833) [Uno è il soffitto della tomba incompiuta di Senmut, il visir della regina Hatshepsut; un altro è il soffitto del cenotafio di re Seti I, circa 1300 a.C.]).

In un’epoca più tarda, compare un metodo più raffinato: osservazioni che indicano la posizione di una stella rispetto a parti del corpo (es. “sull’orecchio sinistro”) per determinare le ore notturne, ma è necessaria una nuova edizione del materiale per studi approfonditi (“Here we find depicted observations which were made to determine the hours of the night throughout the year” - (fr:1840) [Qui troviamo raffigurate osservazioni che furono fatte per determinare le ore della notte durante l’anno]; “The accompanying inscription mentions, for the beginning of the night and for each of the 12 hours of the night, a star and where it will be seen ..over the left ear”, “over the right ear”, “over the left shoulder”, or the “right shoulder”, etc.“ - (fr:1841) [L’iscrizione che accompagna menziona, per l’inizio della notte e per ciascuna delle 12 ore della notte, una stella e dove sarà vista ..sull’orecchio sinistro”, “sull’orecchio destro”, “sulla spalla sinistra”, o la “spalla destra”, ecc.]; “Only a new edition of this whole material can provide the necessary basis for such studies” - (fr:1843) [Solo una nuova edizione di tutto questo materiale può fornire la base necessaria per tali studi]). Infine, un elemento nuovo appare sui monumenti: lo zodiaco greco-babilonese (“A totally new element, the Greco-Babylonian zodiac, appears on the monuments” - (fr:1844) [Un elemento totalmente nuovo, lo zodiaco greco-babilonese, appare sui monumenti]).

Un accenno storico extra-egiziano: l’ultimo re sasanide, Yazdigerd, basò il calendario persiano riformato su quell’anno, poco prima del collasso della monarchia sotto l’espansione islamica (“The last Sasanian king, Yazdigerd, based the reformed Persian calendar on this year, shortly before the collapse of the Sasanian monarchy under the impact of expanding Islam” - (fr:1794) [L’ultimo re sasanide, Yazdigerd, basò il calendario persiano riformato su quell’anno, poco prima del collasso della monarchia sasanide sotto l’impatto dell’espansione islamica]).

[19.3-51-1845|1895]

23 Decani egiziani, misurazione del tempo e tradizioni astro-mitologiche

Il testo analizza il ruolo dei decani egiziani nella storia della misurazione del tempo e le loro interazioni con calendari, astronomia e tradizioni esoteriche. Tra gli elementi preliminari, si nota la sopravvivenza degli “anni persiani” dell’Era di Yazdigerd (iniziata nel 632 d.C.) in trattati astronomici islamici e bizantini (“Nevertheless the ‘Persian’ years of the Era Yazdigerd (beginning A.D. 632) survived and are often referred to in Islamic and Byzantine astronomical treatises” - (fr:1845) [Ciononostante, gli “anni persiani” dell’Era di Yazdigerd (iniziata nel 632 d.C.) sopravvissero e sono spesso menzionati in trattati astronomici islamici e bizantini.]).

Al centro del discorso è la misurazione del tempo egiziana, che combina due componenti: il levarsi eliatico di Sirio (preannuncio dell’inondazione del Nilo) e il calendario civile di 12 mesi da tre decadi ciascuno (“In tracing back the history of the Egyptian decans we discover the interaction of the two main components of Egyptian time reckoning: the rising of Sirius as the harbinger of the inundation, and the simple scheme of the civil year of 12 months of three decades each” - (fr:1849) [Ripercorrendo la storia dei decani egiziani, scopriamo l’interazione tra le due componenti principali della misurazione del tempo egiziana: il levarsi di Sirio come annuncio dell’inondazione, e il semplice schema del calendario civile di 12 mesi da tre decadi ciascuno.]). Il calendario civile ha un carattere non astronomico, diviso in tre stagioni agricole (“Its basically non-astronomical character is underlined by the fact that the year is divided into three seasons of four months each, of purely agricultural significance” - (fr:1850) [Il suo carattere fondamentalmente non astronomico è sottolineato dal fatto che l’anno è diviso in tre stagioni di quattro mesi ciascuna, di significato puramente agricolo.]), e coesiste con varianti di calendari lunari, uno dei quali fu schematizzato in relazione al calendario civile (30 giorni per mese + 5 epagomenali) (“As a matter of fact, as R. A. Parker has observed, there are different variants of lunar calendars to be distinguished, one of which was also eventually schematized and brought into a fixed relation to the schematic civil calendar with its twelve 30-day months and 5 epagomenal days” - (fr:1851) [In effetti, come ha osservato R. A. Parker, si distinguono diverse varianti di calendari lunari, una delle quali fu infine schematizzata e messa in relazione fissa con il calendario civile schematico con i suoi dodici mesi di 30 giorni e 5 epagomenali.]).

I decani sono definiti come la causa reale della divisione della notte in 12 parti e, in ultima analisi, del sistema di 24 ore (“This is curious enough since the decans, as we shall see, are the actual reason for the 12-division of the night and hence, in the last analysis, of the 24-hour system” - (fr:1847) [Ciò è abbastanza curioso poiché i decani, come vedremo, sono la ragione reale della divisione della notte in 12 parti e quindi, in ultima analisi, del sistema di 24 ore.]). Sono rappresentati in immagini del cielo con costellazioni decanali, organizzate in intervalli di dieci giorni (36 colonne con 12 linee per le 12 ore della notte): si tratta di un orologio stellare, non di un calendario (“These pictures represent the sky with the decanal constellations inscribed on them, arranged in their ten-day intervals throughout the year, forming 36 columns with 12 lines each for the 12 hours of the night. In fact, we have here not a calendar but a star clock” - (fr:1854-1855) [Queste immagini rappresentano il cielo con le costellazioni decanali iscritte su di esse, organizzate nei loro intervalli di dieci giorni durante l’anno, formando 36 colonne con 12 linee ciascuna per le 12 ore della notte. In effetti, qui non abbiamo un calendario ma un orologio stellare.]).

Il funzionamento dei decani si basa sul levarsi eliatico (termine greco per indicare l’apparizione di una stella prima dell’alba, dopo un periodo di invisibilità) (“We call this phenomenon the ‘heliacal rising’ of S, using a term of Greek astronomy” - (fr:1857) [Chiamiamo questo fenomeno il “levarsi eliatico” di S, usando un termine della astronomia greca.]). I decani vengono sostituiti ogni dieci giorni: durante ogni decade, la fine della notte si allontana dall’alba per poi tornare verso di essa con il levarsi eliatico del prossimo decano (“During each decade the end of night receded from dawn toward darkness, only to be pushed back toward dawn by the heliacal rising of the next ‘decan’ as we shall now call the stars S, T, U, ….” - (fr:1862) [Durante ogni decade, la fine della notte si allontanava dall’alba verso l’oscurità, solo per essere spinta di nuovo verso l’alba dal levarsi eliatico del prossimo “decano”, come chiameremo ora le stelle S, T, U, ….]). La scelta di 12 linee per le ore notturne deriva dal fatto che in estate, quando Sirio sorge eliaticamente, solo 12 decani sono visibili sorgere durante l’oscurità (“A closer investigation shows that during summer, when Sirius rises heliacally, only 12 decans can be seen rising during darkness” - (fr:1868) [Un’indagine più approfondita mostra che durante l’estate, quando Sirio sorge eliaticamente, solo 12 decani possono essere visti sorgere durante l’oscurità.]), e fu l’organizzazione decimale del calendario a determinare la spaziatura dei decani e il numero di ore notturne (“It is essential to recall that it was the decimal arrangement of the calendar which determined the spacing of the decans and thus the number of hours to be indicated by their rising each night” - (fr:1869) [È essenziale ricordare che fu l’organizzazione decimale del calendario a determinare la spaziatura dei decani e quindi il numero di ore da indicare con il loro sorgere ogni notte.]).

Per l’anno civile (365 giorni), i 36 decani sono sufficienti solo per 360 giorni, quindi servono costellazioni aggiuntive per i 5 epagomenali, con tentativi di riorganizzazione dell’ordine decanale per risolvere i disturbi (“Since the 36 decans suffice only for the 360 days, an additional set of constellations is required to indicate the hours of darkness for the epagomenal days. Our texts show that rearrangements of the decanal order were attempted in order to counter the resulting disturbances” - (fr:1874-1875) [Poiché i 36 decani bastano solo per i 360 giorni, è necessario un gruppo aggiuntivo di costellazioni per indicare le ore di oscurità per i giorni epagomenali. I nostri testi mostrano che furono tentate riorganizzazioni dell’ordine decanale per contrastare i disturbi risultanti.]).

La divisione delle ore evolve anche per la luce del giorno: alla divisione decimale si aggiungono due ore per il crepuscolo mattutino e serale (“The decimal basis of time reckoning appears in another form in the division of daylight. To this, two more hours are added for morning and evening twilight respectively” - (fr:1870-1871) [La base decimale della misurazione del tempo appare in un’altra forma nella divisione della luce del giorno. A questo, si aggiungono due altre ore rispettivamente per il crepuscolo mattutino e serale.]). Questo sistema primitivo diventa obsoleto già ai tempi di Seti I, sostituito da una distribuzione più uniforme di 24 ore in 12 notturne e 12 diurne, che porta alle “ore stagionali” ellenistiche (“We do not know the details of the further development, but it can be shown that this primitive system was already obsolete when it was still depicted on the inscriptions of Seti I, giving way to a more even distribution of 24 hours into 12 hours of night and daylight each-a division which eventually led to the 24 ‘seasonal’ hours of the Hellenistic period” - (fr:1872) [Non conosciamo i dettagli dello sviluppo ulteriore, ma si può dimostrare che questo sistema primitivo era già obsoleto quando era ancora raffigurato nelle iscrizioni di Seti I, lasciando il posto a una distribuzione più uniforme di 24 ore in 12 ore di notte e di luce del giorno ciascuna – una divisione che infine portò alle 24 “ore stagionali” del periodo ellenistico.]).

Oltre all’astronomia, i decani assumono un ruolo chiave nell’astrologia, nell’alchimia, nella magia delle pietre e delle piante e nella medicina, grazie al contemporaneo sviluppo dell’astrologia (“Since the same period witnesses the rapid development of astrology, the decans assumed an important position in astrological lore and in kindred fields such as alchemy, the magic of stones and plants and their use in medicine” - (fr:1848) [Poiché lo stesso periodo vede il rapido sviluppo dell’astrologia, i decani assunsero una posizione importante nella tradizione astrologica e in campi affini come l’alchimia, la magia delle pietre e delle piante e il loro uso in medicina.]). Il levarsi eliatico di Sirio inizia idealmente l’anno, come gli altri decani sono associati all’inizio delle decadi (“Its heliacal rising ideally begins the year, just as the rising of the other decans are associated with the beginning of the parts of the year, the decades” - (fr:1878) [Il suo levarsi eliatico inizia idealmente l’anno, proprio come il sorgere degli altri decani è associato all’inizio delle parti dell’anno, le decadi.]). Un elemento mitico è la descrizione dei decani che “muoiono”, vengono “purificati” nella casa dell’imbalsamazione del mondo infero e rinascono dopo 70 giorni di invisibilità (tratto dal commento demotico alle iscrizioni del cenotafio di Seti I) (“The Demotic commentary to the inscriptions in the cenotaph of Seti I describes at length how one decan after another ‘dies’, how it is ‘purified’ in the embalming house of the nether world, to be reborn after 70 days of invisibility” - (fr:1879) [Il commento demotico alle iscrizioni nel cenotafio di Seti I descrive in dettaglio come un decano dopo l’altro “muoia”, come venga “purificato” nella casa dell’imbalsamazione del mondo infero, per rinascere dopo 70 giorni di invisibilità.]). Per essere decano dopo Sirio, una stella deve sorgere dieci giorni dopo e avere un periodo di invisibilità di 70 giorni, con deviazioni e variazioni di luminosità entro limiti ragionevoli (“In other words, to serve as decan during the decade immediately after Sirius, a star must have been chosen that not only rose ten days later, but that also had a period of 70 days’ invisibility. Nevertheless, the deviation from a 70-day invisibility as well as the variation in brightness may be assumed to have remained within reasonable limits” - (fr:1880-1881) [In altre parole, per servire come decano durante la decade immediatamente dopo Sirio, una stella doveva essere scelta che non solo sorgesse dieci giorni dopo, ma che avesse anche un periodo di invisibilità di 70 giorni. Ciononostante, la deviazione da un’invisibilità di 70 giorni e la variazione di luminosità possono considerarsi entro limiti ragionevoli.]).

Tra le fonti archeologiche: la tomba di Senmut (con liste di decani, divinità delle ore e costellazioni boreali) (“The tomb of Senmut contains lists of the decans, the representation of the deities of the hours, etc., and pictures of constellations of the northern hemisphere” - (fr:1884) [La tomba di Senmut contiene liste dei decani, la rappresentazione delle divinità delle ore, ecc., e immagini di costellazioni dell’emisfero boreale.]), il cenotafio di Seti I, e i soffitti dei templi ellenistici (che mostrano un caotico miscuglio di astro-mitologia e astrologia) (“The ceilings of the Hellenistic temples erected and restored by Ptolemaic kings and Roman emperors, truly represent the chaotic mixture of astro-mythology and astrology of the Hellenistic period” - (fr:1895) [I soffitti dei templi ellenistici eretti e restaurati dai re tolemaici e dagli imperatori romani, rappresentano veramente il miscuglio caotico di astro-mitologia e astrologia del periodo ellenistico.]). Si nota che questi documenti non cercano accuratezza astronomica e furono copiati meccanicamente per periodi più lunghi di quanto potessero coprire correttamente (“Astronomical accuracy was nowhere seriously attempted in these documents. Nevertheless these texts were mechanically copied over much longer periods than they could possibly cover correctly” - (fr:1890-1893) [L’accuratezza astronomica non fu mai seriamente perseguita in questi documenti. Ciononostante, questi testi furono copiati meccanicamente per periodi molto più lunghi di quanto potessero coprire correttamente.]).

Un’ambiguità minima è nella frase (fr:1852), incompleta: “Only two Egyptian Mathematics and Astronomy 83 can be directly identified, namely Sirius and Orion” – si presume che si riferisca a costellazioni o decani. Altre frasi (fr:1853, 1882, 1883, 1891, 1894) sono riferimenti a figure, non sviluppati nel testo.

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[20.1-25-1978|2002]

24 Analisi di un calcolo su ostracon egiziano: la moltiplicazione di 1/7

Studio di un testo egiziano che presenta un metodo non standard per calcolare 2×1/7, con osservazioni sulle scelte dei numeri ausiliari e sul procedimento pratico egiziano.

Il testo si riferisce a un ostracon pubblicato nel 1942 da The Metropolitan Museum of Art nella pubblicazione Egyptian Expedition No. 15 su Tebe (“at Thebes, The Metropolitan Museum of Art, Egyptian Expedition [Publications No. 15] New York 1942, published an ostracon (No. 153)” - (fr:1978-1979) [a Tebe, il Metropolitan Museum of Art, Egyptian Expedition [Pubblicazioni No. 15] New York 1942, ha pubblicato un ostracon (n. 153)]). L’autore esprime dubbi sulla ricostruzione del problema originale proposta da Hayes: nella prima riga si può leggere con sicurezza solo “i i4 i 2i” e non c’è motivo di integrare “cubito, palmo(i)” all’inizio (“The restoration of the original problem given by Hayes seems to me very doubtful. In the first line one can read safely only i i4 i 2i and I see no reason for restoring ‘cubit, palm(t)’ at the beginning.” - (fr:1979-1980) [La ricostruzione del problema originale data da Hayes mi sembra molto dubbia. Nella prima riga si può leggere con sicurezza solo i i4 i 2i e non vedo motivo di integrare “cubito, palmo(i)” all’inizio.]). Le quattro frazioni formano ovviamente due coppie, ma non si capisce la loro relazione con le operazioni successive (“The four fractions obviously form two pairs but I do not understand their relation to the subsequent operations.” - (fr:1981) [Le quattro frazioni formano ovviamente due coppie ma non capisco la loro relazione con le operazioni successive.]).

Il nucleo del testo è la moltiplicazione di 1/7 (“Obviously we are dealing here with a multiplication of” - (fr:1983) [Ovviamente qui stiamo trattando una moltiplicazione di 1/7.]). Il procedimento standard per 2×1/7 produrrebbe 1/4 + 1/28, ma l’ostracon usa un’espressione diversa e più complicata (“The standard procedure would be 1 ‘7 2 ’4 28 4 2 14 Thus we see that the ostracon uses a different (and more complicated) expression for twice “ - (fr:1984) [Il procedimento standard sarebbe 1 1/7, 2 1/4 1/28, 4 1/2 1/14. Così vediamo che l’ostracon usa un’espressione diversa (e più complicata) per il doppio di 1/7.]). La decomposizione utilizza numeri ausiliari scritti in rosso: sotto 21 c’è 1, sotto 7 c’è 3—questo significa che 21 è introdotto come nuova unità, quindi 1/7 corrisponde a 3 di queste unità (”In the case of the ostracon we find ’auxiliary numbers’ written in red below the fractions. Under 21 we find This means that 21 is introduced as a new unit; consequently we find 3 below” - (fr:1988-1990) [Nel caso dell’ostracon troviamo “numeri ausiliari” scritti in rosso sotto le frazioni. Sotto 21 troviamo Questo significa che 21 è introdotto come nuova unità; di conseguenza troviamo 3 sotto ]). Si tratta quindi di usare 1/3 invece della frazione naturale 1/4 (“This shows us that we are dealing, not with the natural fraction i of the sequence 2, i,…, but with S which belongs to the sequence I, 3, i,…” - (fr:1991) [Questo ci mostra che stiamo trattando, non la frazione naturale 1/4 della sequenza 2, 1/4,…, ma 1/3 che appartiene alla sequenza 1, 3, 1/3,…]).

Per calcolare il resto, si moltiplica 1/7 per (2 - 1/3) = 1 2/3; poiché 1 2/3 = 1 + 1/2 + 1/6, si moltiplica 1/7 per questi termini (“Hence we obtain now 21 as one term and must find the remainder which is obtained by multiplying 7 by 2 - 3 = 1 We know already that 3 = 2 i. Thus we have to multiply 7 by 1 2” - (fr:1992-1995) [Quindi otteniamo ora 21 come termine e dobbiamo trovare il resto, che si ottiene moltiplicando 1/7 per 2 - 1/3 = 1 2/3. Sappiamo già che 1 2/3 = 1 + 1/2 + 1/6. Così dobbiamo moltiplicare 1/7 per 1 + 1/2 + 1/6.]). Introducendo 1/6 come nuova unità ausiliaria, si trova che 1 1/2 × 1/7 = 1/6, mentre 1/2 × 1/7 = 1/14; il resto è quindi 1/6 + 1/14, e il risultato completo di 2×1/7 è 1/6 + 1/14 + 1/21 (“Here again auxiliary numbers must be introduced, counting ’6 as 1, which will lead to 116 2 3 I 6 1 If we take here the first and last term we have 7 new units. Thus we see that 1 i of ’7 is i. There remain ’2 of 7 which is Thus we have found for the remainder ’6 14 and for the whole of twice ’7 the form 6 14” - (fr:1996-1999) [Anche qui devono essere introdotti numeri ausiliari, contando 1/6 come 1, il che porterà a […] Se prendiamo qui il primo e l’ultimo termine abbiamo 7 nuove unità. Così vediamo che 1 1/2 × 1/7 = 1/6. Rimane 1/2 × 1/7 che è 1/14. Così abbiamo trovato per il resto 1/6 + 1/14 e per l’intero doppio di 1/7 la forma 1/6 + 1/14 + 1/21.]).

L’analisi evidenzia l’importanza di iniziare con la giusta frazione naturale: usando 1/4 si ottiene un’espressione a due termini, mentre con 1/3 si arriva a tre termini (“The above computation shows how important it is to begin with the proper natural ~ction. The use of i leads to a two-term expression, whereas the use of 3 forced us into a three-term decomposition.” - (fr:2000-2001) [Il calcolo precedente mostra quanto sia importante iniziare con la giusta frazione naturale. L’uso di 1/4 porta a un’espressione a due termini, mentre l’uso di 1/3 ci ha costretto a una decomposizione a tre termini.]). L’autore conclude che gli egiziani non conoscevano la ragione sottostante della divisibilità, ma operavano semplicemente per tentativi ed errori (“I am sure that the Egyptians never saw behind the underlying reason of divisibility but simply operated by trial and error.” - (fr:2002) [Sono sicuro che gli egiziani non abbiano mai visto la ragione sottostante della divisibilità, ma operassero semplicemente per tentativi ed errori.]).

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[21.1-42-2239|2280]

25 La storia della scoperta dell’astronomia babilonese: fonti, studiosi e classificazione dei testi

Il testo illustra le tappe fondamentali della ricerca sull’astronomia babilonese, i ruoli di Epping, Kugler e Strassmaier, le fonti materiali e la struttura dei testi matematico-astronomici, oltre al legame tra teoria lunare e calendario.

La prima fase delle scoperte si deve a Epping, che ha mostrato come le progressioni aritmetiche fossero utilizzate per predire fenomeni lunari con precisione di pochi minuti e come i nomi dei pianeti e delle costellazioni zodiacali fossero determinati correttamente, aprendo la strada alla traduzione dei registri astronomici (“Suddenly it became clear that arithmetical progressions were skillfully utilized for the prediction of lunar phenomena, with an accuracy of a few minutes” - (fr:2239) [È diventato subito chiaro che le progressioni aritmetiche erano utilizzate con abilità per la predizione dei fenomeni lunari, con una precisione di pochi minuti]; “The names of the planets and of zodiacal constellations were correctly determined and the road opened for the translation of astronomical records” - (fr:2240) [I nomi dei pianeti e delle costellazioni zodiacali sono stati determinati correttamente e la strada è stata aperta per la traduzione dei registri astronomici]). Epping ha descritto queste scoperte in dieci pagine del Capitolo V, inaugurando una nuova epoca nella storia della scienza, e otto anni dopo ha pubblicato “Astronomisches aus Babylon” nei supplementi di “Stimmen aus Maria Laach”, trattando le idee principali della teoria lunare babilonese e discutendo almanacchi planetari e lunari (“On ten 104- Chapter V pages Epping described discoveries which were to inaugurate a new epoch in the history of science” - (fr:2241) [In dieci pagine del Capitolo V (pagina 104) Epping ha descritto scoperte che avrebbero inaugurato una nuova epoca nella storia della scienza]; “Eight years later Epping published a small book, entitled ‘Astronomisches aus Babylon’ in the supplements to the ‘Stimmen aus Maria Laach’” - (fr:2242) [Otto anni dopo Epping ha pubblicato un piccolo libro, intitolato “Astronomisches aus Babylon”, nei supplementi di “Stimmen aus Maria Laach”]; “Here one finds an account of the leading ideas of the Babylonian theory of the moon as well as a detailed discussion of planetary and lunar almanacs” - (fr:2243) [Qui si trova un resoconto delle idee principali della teoria lunare babilonese oltre a una discussione dettagliata di almanacchi planetari e lunari]). Dopo la morte di Epping nel 1894, la fase iniziale delle scoperte si è conclusa con i lavori monumentali di Padre Kugler, pubblicati tra il 1900 e il 1924 (“Epping died in 1894-” - (fr:2244) [Epping è morto nel 1894]; “The period of initial discoveries came to a conclusion in the monumental works by Father Kugler, published between 1900 and 1924-” - (fr:2245) [Il periodo delle scoperte iniziali si è concluso con i lavori monumentali di Padre Kugler, pubblicati tra il 1900 e il 1924]).

Tutti i testi su cui si basano i lavori di Epping e Kugler provengono esclusivamente dal British Museum, dove Strassmaier ha copiato migliaia di tavolette (per la maggior parte appartenenti ai periodi più tardi della storia babilonese) in quaderni, una pagina dei quali è riprodotta come campione caratteristico in PI.14 (“The texts on which Epping’s and Kugler’s work are based come exclusively from the British Museum” - (fr:2246) [I testi su cui si basano i lavori di Epping e Kugler provengono esclusivamente dal British Museum]; “For many years Strassmaier copied there thousands of tablets, the majority of which belong to the latest periods of Babylonian history” - (fr:2247) [Per molti anni Strassmaier ha copiato lì migliaia di tavolette, la maggior parte delle quali appartiene ai periodi più tardi della storia babilonese]; “These copies were collected in notebooks, of which one page is reproduced as a characteristic sample on PI.” - (fr:2248) [Queste copie sono state raccolte in quaderni, una pagina dei quali è riprodotta come campione caratteristico in PI.]; “14-” - (fr:2249) [14]). È stata l’iniziativa di Strassmaier a portare Epping a studiare le sue trascrizioni di testi astronomici: quando la decifrazione ha avuto successo, Strassmaier ha estratto dai suoi quaderni testi astronomici su fogli speciali (aggiungendo spesso osservazioni esplicative), inviandoli a Epping per l’indagine finale e, dopo la morte di Epping, a Kugler (“It was on Strassmaier’s initiative that Epping began the study of Strassmaier’s transcriptions of astronomical texts” - (fr:2250) [È stata l’iniziativa di Strassmaier a far sì che Epping iniziasse lo studio delle trascrizioni di testi astronomici di Strassmaier]; “When the decipherment proved to be successful, Strassmaier excerpted, from his notebooks, astronomical texts on special sheets, often adding explanatory remarks” - (fr:2251) [Quando la decifrazione ha avuto successo, Strassmaier ha estratto, dai suoi quaderni, testi astronomici su fogli speciali, aggiungendo spesso osservazioni esplicative]; “These sheets were then sent to Epping for final investigation, and after Epping’s death, to Kugler” - (fr:2252) [Questi fogli sono stati poi inviati a Epping per l’indagine finale e, dopo la morte di Epping, a Kugler]). Il successore di Kugler, Padre Schaumberger, e l’autore hanno ottenuto la maggior parte dei loro testi dalle copie di Strassmaier inserite nei suoi voluminosi quaderni durante gli anni 1880 e 1890; nessuno di questi testi è mai stato pubblicato nelle pubblicazioni ufficiali del British Museum e non è disponibile alcuna informazione su tavolette simili acquisite dopo che Strassmaier ha smesso di copiare (“Kugler’s successor, Father Schaumberger, and I myself got the main portion of our texts from Strassmaier’s copies which he had entered in his voluminous notebooks during the 1880’s and 1890’s” - (fr:2253) [Il successore di Kugler, Padre Schaumberger, e io stesso abbiamo ottenuto la parte principale dei nostri testi dalle copie di Strassmaier che aveva inserito nei suoi voluminosi quaderni durante gli anni 1880 e 1890]; “Not a single one of these texts was ever published in the official publications of the British Museum; and no information whatsoever is available concerning similar tablets which the British Museum may have acquired after Strassmaier ceased copying. Without Strassmaier, Epping, and Kugler, the few other astronomical texts so far published would probably have been laid aside in other museums too” - (fr:2254) [Nessuno di questi testi è mai stato pubblicato nelle pubblicazioni ufficiali del British Museum; e non è disponibile alcuna informazione su tavolette simili che il British Museum potrebbe aver acquisito dopo che Strassmaier ha smesso di copiare. Senza Strassmaier, Epping e Kugler, i pochi altri testi astronomici pubblicati finora sarebbero probabilmente stati messi da parte anche in altri musei]). Senza questi studiosi, probabilmente nessuna traccia di questo materiale estremamente ricco sarebbe penetrata nel mondo esterno, e l’astronomia babilonese ci apparirebbe ancora alla luce di pochi testi dei periodi più antichi e dei presagi di Enuma-Anu-Enlil (“It is very likely that no trace of this enormously rich material would have penetrated to the outside world, and Babylonian astronomy would still appear to us in the light of a few texts from the earliest periods and of the omens of Enuma-Anu-Enlil” - (fr:2255) [È molto probabile che nessuna traccia di questo materiale estremamente ricco sarebbe penetrata nel mondo esterno, e l’astronomia babilonese ci apparirebbe ancora alla luce di pochi testi dei periodi più antichi e dei presagi di Enuma-Anu-Enlil]).

Alcuni numeri illustrano la situazione: dai quaderni di Strassmaier e dalle pubblicazioni di Kugler sono stati recuperati circa 240 testi astronomici e frammenti, probabilmente tutti trovati in un unico archivio a Babilonia; dai numeri di inventario del British Museum si conclude che questi testi sono arrivati tra novembre 1876 e luglio 1882, periodo in cui il numero di tavolette è aumentato da oltre 000 a più di 000, facendo prevedere che centinaia di testi astronomici fossero tra di essi (“A few numbers will illustrate this situation” - (fr:2256) [Alcuni numeri illustreranno questa situazione]; “From Strassmaier’s notebooks and from Kugler’s publications about 24-0 astronomical texts and fragments were recovered, all of which were probably found in one archive in Baby Babylonian Astronomy 105 Ion” - (fr:2257) [Dai quaderni di Strassmaier e dalle pubblicazioni di Kugler sono stati recuperati circa 240 testi astronomici e frammenti, tutti probabilmente trovati in un unico archivio a Babilonia (pagina 105, Astronomia babilonese)]; “From the inventory numbers of the British Museum, one can conclude that these texts reached the museum between November, 1876 and July, 1882” - (fr:2258) [Dai numeri di inventario del British Museum si può concludere che questi testi sono arrivati al museo tra novembre 1876 e luglio 1882]; “During these six years the number of tablets increased from over 32,000 to more than 46,000 and one could expect that many hundreds of astronomical texts would be among these masses of texts” - (fr:2259) [Durante questi sei anni il numero di tavolette è aumentato da oltre 000 a più di 000 e si poteva prevedere che molte centinaia di testi astronomici fossero tra queste masse di testi]). Nel 1953 è diventato noto che T. G. Pinches, prima del 1900, aveva copiato circa 1300 pezzi di testi astronomici, materiale poi messo a disposizione di A. J. Sachs che l’ha pubblicato con aggiunta di molti pezzi correlati nel 1955; oggi abbiamo quindi a disposizione la maggior parte di quell’antico archivio, per quanto è arrivato al British Museum (“Indeed, in 1953 it became known that T. G. Pinches, before 1900, had copied some 1300 pieces of astronomical texts” - (fr:2260) [In effetti, nel 1953 è diventato noto che T. G. Pinches, prima del 1900, aveva copiato circa 1300 pezzi di testi astronomici]; “This material was then put at the disposal of A. J. Sachs who published it with the addition of many related pieces in 1955” - (fr:2261) [Questo materiale è stato poi messo a disposizione di A. J. Sachs che l’ha pubblicato con l’aggiunta di molti pezzi correlati nel 1955]; “Thus we have now the major part of one ancient archive at our disposal, as far as it had reached the British Museum” - (fr:2262) [Così oggi abbiamo a disposizione la maggior parte di un antico archivio, per quanto è arrivato al British Museum]; “46.” - (fr:2263) [46]).

I testi astronomici matematici si dividono in due grandi gruppi: “testi di procedura” e “efemeridi”: i primi contengono le regole per il calcolo delle seconde, che sono simili a un moderno “almanacco nautico” e forniscono per un anno specifico (o una sequenza di anni) le posizioni lunari o planetarie a intervalli regolari (“The mathematical astronomical texts fall into two major groups: ‘procedure texts’ and ‘ephemerides’” - (fr:2264) [I testi astronomici matematici si dividono in due grandi gruppi: “testi di procedura” e “efemeridi”]; “The texts of the first class contain the rules for the computation of the ‘ephemerides’, which, in turn, are similar to a modern ‘nautical almanac’, giving for a specific year (or for some specific sequence of years) the lunar or planetary positions at regular intervals” - (fr:2265) [I testi della prima classe contengono le regole per il calcolo delle “efemeridi”, che a loro volta sono simili a un moderno “almanacco nautico”, fornendo per un anno specifico (o per una sequenza specifica di anni) le posizioni lunari o planetarie a intervalli regolari]). Se i testi di procedura fossero completi e se si comprendesse appieno il loro linguaggio tecnico, potrebbero bastare per il calcolo effettivo delle efemeridi, ma in realtà nessuna di queste ipotesi è soddisfatta: i testi conservati sono gravemente danneggiati o mancanti in molti passaggi, la loro terminologia è lungi dall’essere chiara e si potrebbe chiedere se anche un set completo di testi di procedura non avrebbe richiesto spiegazioni orali supplementari per essere utilizzato per calcolare un’efemeride (“If the ‘procedure texts’ were complete and if we fully understood their technical language, they might suffice for the actual computation of the ephemerides” - (fr:2266) [Se i “testi di procedura” fossero completi e se comprendessimo appieno il loro linguaggio tecnico, potrebbero bastare per il calcolo effettivo delle efemeridi]; “In fact, however, none of these assumptions is satisfied” - (fr:2267) [In realtà, tuttavia, nessuna di queste ipotesi è soddisfatta]; “The preserved texts are badly damaged or totally missing for many of the steps; their terminology is far from clear, at least to us; and it might be justly asked if even a complete set of procedure texts would not have required supplementary oral explanation before it could be used for actually computing an ephemeris” - (fr:2268) [I testi conservati sono gravemente danneggiati o totalmente mancanti in molti passaggi; la loro terminologia è lungi dall’essere chiara, almeno per noi; e si potrebbe chiedere con ragione se anche un set completo di testi di procedura non avrebbe richiesto spiegazioni orali supplementari prima di poter essere utilizzato per calcolare effettivamente un’efemeride]). Di conseguenza, le efemeridi stesse formano la base principale per le ricerche, e i testi di procedura spesso giocano il ruolo di materiale di verifica molto gradito per le regole che si estraggono finalmente dalle efemeridi completate; nella discussione successiva non si farà una distinzione netta tra questi due gruppi di fonti, agendo come se si avessero regole esplicite a disposizione, anche se spesso sono ottenute solo da un’interazione molto complessa tra frammenti correlati di entrambe le classi di testi (“Consequently the ephemerides themselves form the major basis for our researches, and the procedure texts often play the role of very welcome testing material for the rules which we finally abstract from the completed ephemerides” - (fr:2269) [Di conseguenza le efemeridi stesse formano la base principale per le nostre ricerche, e i testi di procedura spesso giocano il ruolo di materiale di verifica molto gradito per le regole che estraiamo finalmente dalle efemeridi completate]; “In the subsequent discussion we shall, however, make no sharp distinction between these two groups of sources and we shall act as if we had explicit rules at our disposal, though they are often actually only obtained from a very complex interplay between related fragments of both classes of texts” - (fr:2270) [Nella discussione successiva non faremo, tuttavia, una distinzione netta tra questi due gruppi di fonti e agiremo come se avessimo regole esplicite a disposizione, anche se spesso sono ottenute solo da un’interazione molto complessa tra frammenti correlati di entrambe le classi di testi]).

Il numero di tavolette astronomiche disponibili del periodo seleucide non è affatto grande: l’autore conosce meno di 250 efemeridi (più della metà lunari, le restanti planetarie) e circa 70 test

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[22.1-33-2283|2315]

26 Le difficoltà nella definizione dei mesi lunari e i fattori astronomici chiave

Analisi delle complessità nel determinare i mesi lunari, tra moti celesti, elongazione e visibilità della falce nuova.

Il testo esordisce mostrando come i mesi lunari esemplifichino drasticamente un fatto rilevante, come affermato in “This fact is drastically demonstrated in the case of the lunar months.” - (fr:2283) [Questo fatto è dimostrato in modo drastico nel caso dei mesi lunari.]. Una breve analisi introduce le difficoltà intrinseche: un “mese lunare” contiene ovviamente un numero intero di giorni (“A ‘lunar month’ obviously contains an integer number of days.” - (fr:2285) [Un “mese lunare” contiene ovviamente un numero intero di giorni.]), e una stima approssimativa rivela che due ricomparse consecutive della falce nuova (dopo un periodo di invisibilità) non sono mai separate da più di 30 o meno di 29 giorni (“No two consecutive reappearances of the new crescent after a short period of invisibility of the moon are ever separated by more than 30 days or by less than 29 days.” - (fr:2288) [Nessuna due ricomparse consecutive della falce nuova dopo un breve periodo di invisibilità della Luna sono mai separate da più di 30 giorni o da meno di 29 giorni.]). Il problema principale è quindi stabilire quando un mese dura 29 o 30 giorni (“Thus immediately the main problem arises: when is a month 30 days long, when 29?” - (fr:2289) [Così sorge immediatamente il problema principale: quando un mese dura 30 giorni, quando 29?]).

Per rispondere, è necessario stimare sia il moto lunare che quello solare (“To answer this problem we must obtain an estimate not only of the lunar motion, but also of the motion of the sun.” - (fr:2290) [Per rispondere a questo problema dobbiamo ottenere una stima non solo del moto lunare, ma anche del moto del sole.]). Si spiega che in un anno di circa 365 giorni, il Sole compie un giro completo di 360° intorno a noi, tornando alla stessa stella (“In one year of, roughly, 365 days, the sun moves once around us; that is to say, after this time the sun again comes back to the same star, having completed a great circle of 360°.” - (fr:2291) [In un anno di circa 365 giorni, il Sole si muove una volta intorno a noi; cioè, dopo questo tempo, il Sole torna di nuovo alla stessa stella, avendo completato un grande cerchio di 360°.])： il suo moto giornaliero è quindi vicino a 1°, e a 30° in un mese (“Thus the solar motion per day is close to 1° and therefore close to 30° in one month.” - (fr:2292) [Così il moto solare giornaliero è vicino a 1° e quindi vicino a 30° in un mese.]).

Il mese lunare è definito come il tempo tra una “congiunzione” della Luna con il Sole e la successiva: la Luna è invisibile quando vicina al Sole, e il tempo tra falci nuove corrisponde a quello tra invisibilità e invisibilità (“Thus a month is measured by the time from one ‘conjunction’ of the moon with the sun to the next.” - (fr:2295) [Così un mese è misurato dal tempo tra una “congiunzione” della Luna con il Sole e la successiva.]). Durante questo periodo, il Sole percorre circa 30°, mentre la Luna completa un’ulteriore rotazione di 360° (per un totale di 390°) in circa 30 giorni: ciò implica un moto lunare di circa 13° al giorno (“During this time the sun traveled about Babylonian Astronomy 107 30°; the moon, however, traveled not only 30°, but completed one additional whole rotation of 360°.” - (fr:2296) [Durante questo tempo, il Sole ha percorso circa 30° (Babylonian Astronomy 107); la Luna, tuttavia, ha percorso non solo 30°, ma ha completato un’ulteriore rotazione intera di 360°.]; “Hence 390° are covered in about 30 days; this shows us that the moon must cover about 13° per day.” - (fr:2297) [Quindi 390° sono coperti in circa 30 giorni; questo ci mostra che la Luna deve coprire circa 13° al giorno.]).

A questo punto, iniziano le “vere difficoltà” (“Now the real difficulties begin.” - (fr:2298) [Ora iniziano le vere difficoltà.]). Per rendere visibile la falce nuova, il Sole deve essere sufficientemente basso sotto l’orizzonte per far vedere la Luna poco prima del tramonto (Fig. 4) (“In order to make the mst crescent visible the sun must be sufficiently deep below the horizon to make the moon visible shortly before it is setting (Fig.” - (fr:2299) [Per rendere visibile la falce mst, il Sole deve essere sufficientemente profondo sotto l’orizzonte per rendere la Luna visibile poco prima che tramonti (Fig.]; “4).” - (fr:2300) [4).]). La sera prima, la Luna era troppo vicina al Sole per essere vista (“The evening before, the moon was still too close to the sun to be seen.” - (fr:2301) [La sera prima, la Luna era ancora troppo vicina al Sole per essere vista.]), quindi è necessario determinare la distanza (chiamata “elongazione”) richiesta per la visibilità (“Hence it is necessary to determine the distance from the sun to the moon which is required to obtain visibility.” - (fr:2302) [Quindi è necessario determinare la distanza tra il Sole e la Luna richiesta per ottenere la visibilità.]).

L’elongazione dipende dalla velocità relativa dei due corpi: dato che la Luna si muove di 13°/giorno e il Sole di 1°/giorno, l’elongazione aumenta di circa 12°/giorno (“The distance between them depends on the relative velocity ‘Of the two bodies.” - (fr:2305) [La distanza tra loro dipende dalla velocità relativa dei due corpi.]; ”We have found that the moon moves 13° per day, the sun 1° per day; thus the distance in question, the so-called ’elongation’, increases about 12° per day.” - (fr:2306) [Abbiamo trovato che la Luna si muove di 13° al giorno, il Sole di 1° al giorno; così la distanza in questione, la cosiddetta “elongazione”, aumenta di circa 12° al giorno.]). Tuttavia, questa stima non è sufficiente: né il Sole né la Luna hanno velocità costante, quindi l’elongazione giornaliera varia tra 10° e 14° (“But this estimate is no longer accurate enough to answer the question as to the moment when the proper elongation is reached.” - (fr:2307) [Ma questa stima non è più sufficientemente accurata per rispondere alla domanda sul momento in cui viene raggiunta l’elongazione adatta.]; “Neither the sun nor the moon moves with constant speed.” - (fr:2308) [Né il Sole né la Luna si muovono a velocità costante.]; “Thus the daily elongation might vary between about 10° and 14° per day.” - (fr:2309) [Così l’elongazione giornaliera può variare tra circa 10° e 14° al giorno.]). Il problema richiede quindi la conoscenza dettagliata della variazione di entrambe le velocità (“This shows that our problem involves the detailed knowledge of the variation of both solar and lunar velocity.” - (fr:2310) [Questo mostra che il nostro problema coinvolge la conoscenza dettagliata della variazione sia della velocità solare che lunare.]).

Anche con questa conoscenza, il problema non è risolto: per un dato luogo, le stelle sorgono e tramontano ad angoli fissi (dall’inclinazione equatore-orizzonte) (“But even if we had insight into the variable velocity of both bodies the visibility problem would not be solved.” - (fr:2311) [Ma anche se avessimo una comprensione della velocità variabile di entrambi i corpi, il problema della visibilità non sarebbe risolto.]; “For a given place, all stars set and rise at fixed angles which are determined by the inclination of the equator and the horizon.” - (fr:2312) [Per un dato luogo, tutte le stelle tramontano e sorgono ad angoli fissi, che sono determinati dall’inclinazione dell’equatore e dell’orizzonte.]). Il moto relativo è nell’eclittica (24° di inclinazione con l’equatore) (“The relative motion which we were discussing before is a motion in the ecliptic, which makes an angle of about 24° with the equator.” - (fr:2313) [Il moto relativo di cui stavamo discutendo prima è un moto nell’eclittica, che forma un angolo di circa 24° con l’equatore.]), quindi servono le variazioni degli angoli eclittica-orizzonte: per Babilonia, queste vanno da quasi 30° a quasi 80° (Fig.) (“Consequently we must know the variations of the angles between ecliptic and horizon.” - (fr:2314) [Di conseguenza, dobbiamo conoscere le variazioni degli angoli tra eclittica e orizzonte.]; “For Babylon we find a variation from almost 30° to almost 80° (Fig.” - (fr:2315) [Per Babilonia troviamo una variazione da quasi 30° a quasi 80° (Fig.]).

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27 Sistemi A e B delle effemeridi babilonesi: struttura, coesistenza e concetti chiave

Analisi dei metodi di calcolo delle effemeridi babilonesi, la loro organizzazione tabulare e i principali concetti astronomici trattati.

Sebbene la priorità cronologica del Sistema A sembri ben consolidata, non è possibile determinare la data di origine né di questo né dell’altro sistema (“Though the chronological priority of System A seems to be well established we have no means to determine the date of origin of either one” - (fr:2428) [Sebbene la priorità cronologica del Sistema A sembri ben consolidata, non abbiamo mezzi per determinare la data di origine né dell’uno né dell’altro.]). La coesistenza di questi due metodi non è dovuta a “scuole”, poiché entrambi sono attestati sia a Babilonia che a Uruk, le uniche sedi degli archivi a cui si possono assegnare con sicurezza i testi (“This coexistence of two different methods of computing ephemerides is not a matter of ‘schools’ in so far as both ‘systems’ are attested both at Babylon and at Uruk, the places of origin of the only two archives to which we can safely assign our texts” - (fr:2429) [Questa coesistenza di due metodi diversi di calcolo delle effemeridi non è una questione di “scuole”, in quanto entrambi i “sistemi” sono attestati sia a Babilonia che a Uruk, i luoghi di origine dei soli due archivi a cui possiamo assegnare con sicurezza i nostri testi.]). Nella teoria planetaria esiste una molteplicità ancora maggiore di procedure contemporanee, in contrasto con le abitudini scientifiche moderne (“In the planetary theory a still higher multipiicity of procedures exists simultaneously, very much contrary to our modern scientific habits” - (fr:2430) [Nella teoria planetaria esiste contemporaneamente una molteplicità ancora maggiore di procedure, molto in contrasto con le nostre abitudini scientifiche moderne.]).

Le effemeridi sono organizzate in linee (ciascuna rappresenta un mese) e colonne (ciascuna corrisponde a una “funzione” come velocità solare o lunare) (“Each line represents a month, each column a specific ‘function’ like solar velocity, lunar velocity, etc.” - (fr:2432) [Ogni linea rappresenta un mese, ogni colonna una specifica “funzione” come velocità solare, velocità lunare, ecc.]). La maggior parte delle effemeridi lunari copre un anno, ma esistono anche testi per due o tre anni (“The majority of lunar ephemerides cover one year but we also have texts which concern two or even three years” - (fr:2433) [La maggior parte delle effemeridi lunari copre un anno, ma abbiamo anche testi che riguardano due o anche tre anni.]). La prima colonna (T) indica le date nell’era seleucide e i mesi consecutivi, ma il bordo delle tavolette è spesso distrutto, rendendo necessaria la ricostruzione delle date (“The first column in all ephemerides is the column of dates T, giving the year of the Seleucid era and the consecutive months (cf.” - (fr:2435) [La prima colonna di tutte le effemeridi è la colonna delle date T, che indica l’anno dell’era seleucide e i mesi consecutivi (cfr.)]; “Because the edge of a tablet is particularly exposed to destruction, one often meets the problem of restoring the date of an ephemeris” - (fr:2436) [Poiché il bordo di una tavoletta è particolarmente esposto alla distruzione, si incontra spesso il problema di ricostruire la data di un’efemeride.]). Grazie a questa ricostruzione, si dimostra che i testi del Sistema A formano un insieme coerente per due secoli (“In this very way it is possible to show that all texts of System A form one consistent set of ephemerides throughout the whole interval (of two centuries) at our disposal” - (fr:2437) [Proprio in questo modo è possibile dimostrare che tutti i testi del Sistema A formano un insieme coerente di effemeridi per tutto l’intervallo (di due secoli) a nostra disposizione.]).

Tra le colonne specifiche, la tP è esclusiva del Sistema A e serve per calcolare la lunghezza variabile del mese sinodico (G) con velocità solare costante (“The next column, tP, is peculiar to System A only” - (fr:2438) [La colonna successiva, tP, è esclusiva del solo Sistema A.]; “It is used for the computation of the variable length of the synodic month (column G) under the preliminary assumption of constant solar velocity” - (fr:2439) [È usata per il calcolo della lunghezza variabile del mese sinodico (colonna G) sotto l’ipotesi preliminare di velocità solare costante.]). Questo periodo è leggermente più corto di 239 mesi anomalistici, quindi G si ripete quasi dopo un Saros; dal cambiamento di G dopo un Saros si deriva il cambiamento mensile (“This period is slightly shorter than 239 anomalistic months and therefore also the length G of the synodic month almost repeats itself after one Saros” - (fr:2440) [Questo periodo è leggermente più corto di 239 mesi anomalistici e quindi anche la lunghezza G del mese sinodico si ripete quasi dopo un Saros.]; “From this change of G after one Saros can then be found the corresponding change of G from month to month” - (fr:2441) [Da questo cambiamento di G dopo un Saros si può poi trovare il corrispondente cambiamento di G da mese a mese.]). Nel Sistema B, la colonna A dà la velocità solare, mentre nel Sistema A si usano solo due valori di velocità, quindi non c’è una colonna A e B è derivata direttamente (“The next column is column A of System B and gives the solar velocity as described in our example of p. 110, column II” - (fr:2442) [La colonna successiva è la colonna A del Sistema B e dà la velocità solare come descritto nel nostro esempio a p. 110, colonna II.]; “In System A, column B is derived without explicit mention of the velocity (column A) because in System A only two velocity values are used, and thus there was no reason to repeat them in a special column” - (fr:2443) [Nel Sistema A, la colonna B è derivata senza menzione esplicita della velocità (colonna A) perché nel Sistema A si usano solo due valori di velocità, quindi non c’era motivo di ripeterli in una colonna speciale.]). Le funzioni C e D rappresentano la variazione della durata della luce del giorno (“The functions C and D are computed according to independent arithmetical schemes designed to represent quantitatively the variation of the length of daylight during the year” - (fr:2444) [Le funzioni C e D sono calcolate secondo schemi aritmetici indipendenti progettati per rappresentare quantitativamente la variazione della durata della luce del giorno durante l’anno.]).

Le colonne E e Ψ descrivono la latitudine lunare e la magnitudine delle eclissi: conoscendo la latitudine, si giudica la possibilità di un’eclissi e si calcola la sua magnitudine (“The two following columns, E and lJI, describe the variations of the latitude of the moon and the magnitude of eclipses” - (fr:2445) [Le due colonne seguenti, E e Ψ, descrivono le variazioni della latitudine della luna e la magnitudine delle eclissi.]; “If the latitude of the moon is known for these moments, one is able to judge the possibility of an eclipse and to compute, if necessary, its magnitude” - (fr:2446) [Se la latitudine della luna è nota per questi momenti, si è in grado di giudicare la possibilità di un’eclissi e di calcolarne, se necessario, la magnitudine.]). La magnitudine è espressa in modo diverso da oggi, ma è convertibile in profondità di immersione del disco lunare; un metodo calcola la magnitudine come funzione della latitudine per le eclissi reali (“The ‘eclipse magnitude’ is expressed in a slightly different way than is customary today, but it is easy to transfer it directly into a measure for the depth of immersion of the lunar disc into the shadow” - (fr:2447) [La “magnitudine dell’eclissi” è espressa in modo leggermente diverso da quello consueto oggi, ma è facile trasferirla direttamente in una misura della profondità di immersione del disco lunare nell’ombra.]; “In other words, a method had been developed for computing ‘eclipse magnitudes’ as a function of the latitude such that the numbers obtained gave the size of the eclipse correctly for real eclipses” - (fr:2448) [In altre parole, era stato sviluppato un metodo per calcolare le “magnitudini delle eclissi” come funzione della latitudine in modo tale che i numeri ottenuti dessero correttamente la dimensione dell’eclissi per le eclissi reali.]). Questo mostra un atteggiamento astratto: si introducono quantità per convenienza matematica, come i numeri complessi nella meccanica moderna (“This shows a remarkably abstract attitude in the Babylonian procedure, which unhesitatingly introduces quantities for purely mathematical convenience, in principle very much the same as the use of complex numbers in modern mechanics” - (fr:2449) [Questo mostra un atteggiamento notevolmente astratto nella procedura babilonese, che introduce senza esitazioni quantità per pura convenienza matematica, in linea di principio molto simile all’uso dei numeri complessi nella meccanica moderna.]).

La colonna G contiene la lunghezza del mese sinodico con velocità solare costante e lunare variabile (F); l’ipotesi iniziale di congiunzioni medie è parzialmente abolita, poiché solo il sole ha velocità media (“In column G we find the length of the synodic months under the assumption of a constant solar velocity but a variable lunar velocity as indicated by column F. At the beginning of our discussion we had to make the assumption that consecutive lines represented mean conjunctions, separated by the mean length of a synodic month” - (fr:2450) [Nella colonna G troviamo la lunghezza dei mesi sinodici sotto l’ipotesi di velocità solare costante ma velocità lunare variabile come indicato dalla colonna F. All’inizio della nostra discussione abbiamo dovuto fare l’ipotesi che linee consecutive rappresentassero congiunzioni medie, separate dalla lunghezza media di un mese sinodico.]; “In column G this assumption is partially abolished insofar as only the sun is moving with its mean velocity and the answer is given to the question how much a given variation in the lunar velocity influences the spacing between consecutive conjunctions” - (fr:2451) [Nella colonna G questa ipotesi è parzialmente abolita in quanto solo il sole si muove con la sua velocità media e si dà risposta alla domanda su quanto una data variazione nella velocità lunare influenzi l’intervallo tra congiunzioni consecutive.]). Nel Sistema B, J è una sequenza di differenze di secondo ordine (perché A è una funzione a zigzag lineare); K = G + J dà la lunghezza del mese sinodico con entrambe le velocità variabili (“In System B, column J is a difference sequence of second order due to the fact that column A is a linear zigzag function” - (fr:2452) [Nel Sistema B, la colonna J è una sequenza di differenze di secondo ordine dovuta al fatto che la colonna A è una funzione a zigzag lineare.]; “After the correction J has been found, the algebraic sum K of G and J gives the length of the synodic month as it results from the variability of both sun and moon” - (fr:2453) [Dopo aver trovato la correzione J, la somma algebrica K di G e J dà la lunghezza del mese sinodico come risulta dalla variabilità sia del sole che della luna.]). Una correzione trasforma l’epoca di mezzanotte in serale; la colonna M indica congiunzioni o opposizioni relative a tramonto o alba (“Hence a correction for the transformation from midnight epoch to evening epoch is required” - (fr:2455) [Quindi è necessaria una correzione per la trasformazione dall’epoca di mezzanotte all’epoca serale.]; “After this transformation is carried out, we obtain in column M the dates and moments of all consecutive conjunctions referred to sunset” - (fr:2456) [Dopo che questa trasformazione è stata effettuata, otteniamo nella colonna M le date e i momenti di tutte le congiunzioni consecutive riferiti al tramonto.]; “We have in column M the time of the conjunction or opposition expressed in its relation to sunset or sunrise” - (fr:2458) [Abbiamo nella colonna M il tempo della congiunzione o opposizione espresso nella sua relazione con il tramonto o l’alba.]).

Si sapeva che eclissi solari e lunari dipendono da una latitudine sufficientemente piccola vicino a luna nuova o piena; le previsioni di eclissi lunari erano soddisfacenti (“The ephemerides and eclipse tables show with full clarity that one knew that solar and lunar eclipses were subject to the same conditions, namely, sufficiently small Babylonian Astronomy 119 latitude near new or full moon” - (fr:2459) [Le effemeridi e le tavole delle eclissi mostrano con piena chiarezza che si sapeva che eclissi solari e lunari erano soggette alle stesse condizioni, ovvero una latitudine sufficientemente piccola vicino alla luna nuova o piena.]; “Consequently one obtained quite satisfactory results for the prediction of lunar eclipses (cf.” - (fr:2460) [Di conseguenza si ottenevano risultati piuttosto soddisfacenti per la previsione delle eclissi lunari (cfr.)]). La visibilità di un’eclissi solare richiede informazioni su distanze e dimensioni di sole e luna; le tavole solari non hanno colonne per la parallasse, quindi non possono prevedere la visibilità, e prima del 300 a.C. le probabilità sono ancora minori (“This problem can be solved only if sufficiently accurate information about the actual distances of sun and moon from the earth are available, together with a correct knowledge of the relative sizes of these bodies” - (fr:2462) [Questo problema può essere risolto solo se si dispone di informazioni sufficientemente accurate sulle distanze reali di sole e luna dalla terra, insieme a una conoscenza corretta delle dimensioni relative di questi corpi.]; “Tables for solar eclipses are computed exactly like the tables for lunar eclipses with no additional columns corresponding to ‘parallax’, i. e., quantities depending on the above-mentioned distances and sizes” - (fr:2463) [Le tavole per le eclissi solari sono calcolate esattamente come le tavole per le eclissi lunari, senza colonne aggiuntive corrispondenti alla “parallasse”, cioè quantità dipendenti dalle suddette distanze e dimensioni.]; “But they cannot answer even approximately the question whether a possible solar eclipse will actually be visible or not” - (fr:2464) [Ma non possono rispondere nemmeno approssimativamente alla domanda se un possibile eclissi solare sarà effettivamente visibile o meno.]; “Before 300 B.C. the chances for the correct prediction of a solar eclipse are still smaller” - (fr:2465) [Prima del 300 a.C. le probabilità di previsione corretta di un’eclissi solare sono ancora minori.]). La magnitudine delle eclissi lunari è in dita, con 12 che indica la totalità (“11 illustrates the results obtained for the magnitude of lunar eclipses, expressed in digits such that 12 means totality” - (fr:2469) [L’11 illustra i risultati ottenuti per la magnitudine delle eclissi lunari, espressa in dita in modo tale che 12 indica la totalità.]).

Per la visibilità del primo crescente, si considera la differenza di tempo tra congiunzione e tramonto successivo; se sufficiente, l’ipotesi iniziale è corretta, altrimenti si prova 24 ore dopo (“11. time difference between the moment of conjunction and the subsequent sunset at which the fIrst crescent might be expected” - (fr:2473) [11. differenza di tempo tra il momento della congiunzione e il tramonto successivo in cui il primo crescente potrebbe essere atteso.]; “If the resulting time difference between sunset and the setting of the moon is long enough to secure visibility, then the initial guess was right and the evening which starts the new month is known” - (fr:2474) [Se la differenza di tempo risultante tra tramonto e tramonto della luna è sufficientemente lunga per garantire la visibilità, allora l’ipotesi iniziale è corretta e si conosce la sera che inizia il nuovo mese.]; “If the first result seems too low, a new value must be found for 24 hours later” - (fr:2475) [Se il primo risultato sembra troppo basso, si

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28 Sistemi, struttura e applicazioni delle effemeridi lunari babilonesi

Sommario delle caratteristiche dei sistemi A e B, della organizzazione delle effemeridi e delle loro applicazioni per il calcolo di eclissi e del calendario lunare.

Il testo inizia con un fatto peculiare: “It is furthermore a curious fact that both systems were simultaneously used during the whole period (from about 250 B.C. to about 50 B.C.) for which ephemerides are preserved” - (fr:2480) [È inoltre un fatto curioso che entrambi i sistemi siano stati usati simultaneamente durante tutto il periodo (da circa il 250 a.C. a circa il 50 a.C.) per cui sono conservate effemeridi]; è difficile spiegare questa coesistenza perché “System B was certainly an improvement over System A in several respects” - (fr:2481) [il Sistema B era certamente un miglioramento rispetto al Sistema A sotto diversi aspetti]. Si passa poi a un rapido sommario delle effemeridi lunari, senza derivare le affermazioni dal materiale testuale o analizzare la teoria generale alla base delle procedure numeriche (fr:2482).

Per quanto riguarda la struttura, “The general arrangement of all ephemerides is identical” - (fr:2483) [L’organizzazione generale di tutte le effemeridi è identica]; le funzioni e le colonne corrispondenti sono indicate con lettere maiuscole (fr:2484), l’aspetto generale del testo è mostrato su PI (fr:2485) e le colonne procedono sempre da sinistra a destra (fr:2486), come nell’esempio a pagina 110 (fr:2487); è possibile ricostruire le colonne continuando quelle conservate fino a raggiungere la corrispondente di un altro testo datato (fr:2488). Il Sistema B mostra comunque “a much lower degree of uniformity” - (fr:2489) [un grado molto inferiore di uniformità].

Una funzione chiave è la funzione lineare a zigzag tP, il cui periodo coincide con quello della velocità lunare variabile e le cui unità sono gradi temporali (fr:2490); i dettagli della sua costruzione non sono chiari, ma è certo che “it is related to the 18-year cycle, the socalled ‘Saros’ of 223 mean synodic months” - (fr:2491) [è legata al ciclo di 18 anni, il cosiddetto “Saros” di 223 mesi sinodici medi]. Questo è un esempio di metodo astronomico antico: “the accumulated error after the lapse of a relatively short approximate period (here 18 years or 223 months) is used to determine the correction from step to step (here a single synodic month)” - (fr:2493) [l’errore accumulato dopo il trascorrere di un periodo approssimativo relativamente breve (qui 18 anni o 223 mesi) è usato per determinare la correzione passo dopo passo (qui un singolo mese sinodico)]. La leggera differenza di durata tra due mesi a distanza di un Saros corrisponde alla differenza di tP (fr:2492).

Da tP deriva la colonna B, contenente “the longitudes of the moon and of the sun at conjunction or, for full moons, the longitudes of the moon, the sun being 180° distant” - (fr:2494) [le longitudini della luna e del sole alla congiunzione o, per le lune piene, le longitudini della luna, essendo il sole distante 180°]. Le colonne successive C e D (e varianti) danno la durata del giorno o della notte corrispondente alla longitudine solare della colonna B (fr:2495); il problema, di trigonometria sferica, è risolto con dispositivi aritmetici simili all’approssimazione di una curva sinusoidale con una funzione lineare a zigzag (fr:2496). Le righe consecutive di un effemeride si riferiscono a congiunzioni o opposizioni consecutive (fr:2497).

La latitudine è trovata di nuovo tramite funzioni a zigzag (fr:2498); è interessante notare che “this quantity was computed in many ephemerides for every month and not only for every sixth (or perhaps fifth) month when an eclipse is possible” - (fr:2499) [questa quantità era calcolata in molte effemeridi per ogni mese e non solo per ogni sesto (o forse quinto) mese quando un eclissi era possibile]. Per congiunzioni non eclittiche, i valori si comportano come se la distanza dall’ombra fosse introdotta come magnitudine dell’eclissi, con valori negativi per distanze non raggiunte e positivi per la profondità dell’immersione in un eclissi reale (fr:2500).

La colonna P fornisce le variazioni della velocità lunare in forma simile alla colonna A per la velocità solare (fr:2501); la durata media del mese sarebbe prodotta da congiunzioni di sole e luna con velocità medie (fr:2502). La colonna G mostra lo stesso periodo di F, è piccola se la luna si muove velocemente (vicino al massimo di F) e il mese è corto (fr:2503); la colonna J dà le correzioni a G per la velocità solare variabile, e qui è evidente perché l’inventore del Sistema A preferì una semplice funzione a gradini per la velocità solare—le correzioni sono molto più complicate nel Sistema B (fr:2504). Se il momento di una congiunzione è noto, basta aggiungere il valore di K per la durata (fr:2505); c’è una complicazione con il calendario babilonese, che conta l’inizio del giorno dal tramonto effettivo e non da mezzanotte (fr:2506), ma questo è risolto con le colonne C e D (fr:2507). Così si raggiunge il primo obiettivo della teoria lunare: conoscere i momenti delle congiunzioni o opposizioni reali (fr:2508).

Per il calcolo delle eclissi non serve più informazioni di quelle raccolte finora (fr:2509); dalla colonna Ψ si conosce la distanza della luna dall’ombra (fr:2510), e il problema di determinare questi momenti e descrivere il moto in latitudine è risolto con successo con metodi aritmetici (fr:2511). Per le eclissi solari, invece, servirebbe sapere se il vertice del cono d’ombra tocca la località, ma “There is not the slightest reference to any of these quantities in Babylonian texts” - (fr:2514) [non c’è la minima traccia di nessuna di queste quantità nei testi babilonesi]; quindi i testi permettono solo di dire se un eclissi solare è esclusa o possibile (fr:2515), e questo è lo stato delle cose nel periodo finale dell’astronomia mesopotamica (300 a.C. circa a 0, fr:2516); in tutti i periodi, l’esclusione di un eclissi solare è l’unica previsione sicura possibile (fr:2517).

La parte restante delle effemeridi riguarda il problema fondamentale del calendario lunare: determinare la sera della prima visibilità dopo la congiunzione quando la nuova falce diventa visibile (fr:2518). I tre fattori principali sono elongazione, inclinazione variabile tra eclittica e orizzonte, e latitudine lunare (fr:2519); la colonna O per l’elongazione è preceduta dalla colonna N (fr:2520). Si calcola per quella sera quanto tempo la nuova falce rimarrà sopra l’orizzonte dopo il tramonto (fr:2525); se il valore è troppo alto, si ripete il calcolo per il giorno prima (fr:2526). In alcuni casi, la colonna finale P registra risultati alternativi per un mese di 29 o 30 giorni (fr:2527). Il Sistema A non dà le colonne N, O, Q e R ma solo il risultato finale P (fr:2528); anche questo problema è risolto con schemi aritmetici fissi (fr:2529). La difficoltà principale per noi è capire su quali basi si decideva se un valore in P fosse sufficiente per la visibilità, poiché un valore piccolo di P (dovuto alla vicinanza della luna all’orizzonte) potrebbe essere compensato da una maggiore luminosità della falce, e viceversa (fr:2530-2531).

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29 Semplificazione delle orbite planetarie e trasformazione eliocentrica in geocentrica con epicicli e deferenti

Testo che illustra come passare da un modello eliocentrico a uno geocentrico, analizzando moti, visibilità e contrasti tra approcci storici ai pianeti.

Il testo inizia con un presupposto fondamentale: “We know that the planets move on ellipses around the sun, the earth being one of them” - (fr:2548) [Sappiamo che i pianeti si muovono su ellissi attorno al sole, la terra è uno di essi]. Per semplificare la discussione, le orbite sono sostituite da cerchi con centro nel sole: “In order to simplify our discussion, we shall replace all orbits by circles whose common center is the sun” - (fr:2549) [Per semplificare la nostra discussione, sostituiremo tutte le orbite con cerchi il cui centro comune è il sole]. Viene poi sfruttato il fatto che le dimensioni del sistema planetario sono minuscole rispetto alle distanze delle stelle fisse, quindi non c’è errore osservabile nel fissare il sole o la terra rispetto all’universo: “We utilize furthermore the fact that the dimensions of our planetary system are so minute in comparison with the distances to the fixed stars which constitute the background of the celestial sphere that we commit no observable error at all if we keep either the sun or the earth in a fixed position with respect to the surrounding universe” - (fr:2550) [Utilizziamo inoltre il fatto che le dimensioni del nostro sistema planetario sono così piccole in confronto alle distanze delle stelle fisse, che costituiscono lo sfondo della sfera celeste, che non commettiamo affatto un errore osservabile se teniamo il sole o la terra in una posizione fissa rispetto all’universo circostante].

Sapendo che la terra è un satellite del sole con moto annuale: “We know that the earth is a satellite of the sun, moving around it once in a year” - (fr:2552) [Sappiamo che la terra è un satellite del sole, che si muove attorno ad esso una volta all’anno], arrestando il moto terrestre si ottiene l’apparenza che il sole si muova attorno alla terra in un anno: “Thus we see that by arresting the motion of the earth we obtain the appearance that the sun moves around the earth once per year” - (fr:2554) [Così vediamo che arrestando il moto della terra otteniamo l’apparenza che il sole si muova attorno alla terra una volta all’anno].

Si passa quindi a considerare i pianeti “interni” (quelli più vicini al sole della terra): “Secondly we consider an ‘inner’ planet” - (fr:2556) [In secondo luogo consideriamo un pianeta “interno”]; “which moves closer to the sun than the earth” - (fr:2557) [che si muove più vicino al sole della terra]. La loro orbita rimane un cerchio con centro nel sole: “The orbit of the planet remains a circle with the sun in its center” - (fr:2559) [L’orbita del pianeta rimane un cerchio con il sole nel suo centro], e il piccolo cerchio del loro moto è chiamato “epiciclo”: “The little circle is called an ‘epicycle’” - (fr:2560) [Il piccolo cerchio è chiamato “epiciclo”]. Per i pianeti esterni, si spiega che il pianeta P si muove su un epiciclo il cui centro C percorre un deferente con centro E (terra): “SP is the radius of the planetary orbit; because EC = SP we see that C lies on a circle with center E. Similarly ES is the radius of the solar orbit, and, because ES = CP, we see that P lies on a circle around C. Thus the planet P moves on an epicycle whose center C travels on a deferent whose center is E” - (fr:2567) [SP è il raggio dell’orbita planetaria; poiché EC = SP vediamo che C giace su un cerchio con centro E. Similmente ES è il raggio dell’orbita solare, e poiché ES = CP vediamo che P giace su un cerchio attorno a C. Così il pianeta P si muove su un epiciclo il cui centro C percorre un deferente il cui centro è E]. Per i pianeti interni, il centro dell’epiciclo coincide con il sole: “In the case of the inner planets the center of the epicycle coincides with the sun” - (fr:2569) [Nel caso dei pianeti interni il centro dell’epiciclo coincide con il sole].

Vengono poi ripetute le ipotesi su cui si basano i risultati: “In order to avoid misunderstandings, I shall repeat once more the assumptions upon which our above results rest” - (fr:2570) [Per evitare malintesi, ripeterò ancora una volta le ipotesi su cui si basano i nostri risultati precedenti]. Accettandole, le orbite planetarie geocentriche consistono in epicicli con centri in moto uniforme su deferenti terrestri: “Accepting these two assumptions we have seen that the planetary orbits with respect to the earth consist of epicycles whose centers move with uniform velocity on deferents having the earth as center” - (fr:2571) [Accettando queste due ipotesi abbiamo visto che le orbite planetarie rispetto alla terra consistono in epicicli i cui centri si muovono con velocità uniforme su deferenti che hanno la terra come centro]. Si sottolinea che la scelta tra calcolo eliocentrico con trasformazione geocentrica o uso diretto di epicicli è solo di convenienza matematica: “Indeed it is only a matter of mathematical convenience whether one computes first the longitudes of the earth and the planets heliocentrically and then transforms to geocentric coordinates, or whether one carries out this transformation first and then operates with epicycles” - (fr:2572) [In effetti è solo una questione di convenienza matematica se si calcolano prima le longitudini della terra e dei pianeti in modo eliocentrico e poi si trasformano in coordinate geocentriche, o se si esegue questa trasformazione prima e poi si opera con gli epicicli].

Per aumentare l’accuratezza, la latitudine può essere spiegata con l’inclinazione degli epicicli: “The latitude can be accounted for by giving the epicycles the proper inclination” - (fr:2574) [La latitudine può essere spiegata dando agli epicicli l’inclinazione appropriata].

Si analizzano poi le condizioni di visibilità: un pianeta è “stella del mattino” se il suo arco visibile sorge prima del sole: “The visible arc from r to X rises before the sun; thus the planet is ‘morning star’” - (fr:2583) [L’arco visibile da r a X sorge prima del sole; così il pianeta è “stella del mattino”]. La retrogradazione si verifica vicino all’opposizione (sole e pianeta in direzioni opposte dalla terra): “Retrogradation occurs near opposition, 9, when the sun and planet are seen in opposite directions from the earth” - (fr:2587) [La retrogradazione si verifica vicino all’opposizione, 9, quando il sole e il pianeta sono visti in direzioni opposte dalla terra]. Un pianeta esterno è invisibile solo vicino alla congiunzione, e i punti dove il moto diretto diventa retrogrado (e viceversa) sono i “primo” e “secondo punto stazionario”: “An outer planet becomes invisible only once in each cycle: near conjunction, {J to r. The points 4) and ‘1’, where direct motion changes to retrograde motion and vice versa, are called the ‘first’ and ‘second stationary points respectively’” - (fr:2588) [Un pianeta esterno diventa invisibile solo una volta in ogni ciclo: vicino alla congiunzione, {J a r. I punti 4) e ‘1’, dove il moto diretto si trasforma in moto retrogrado e viceversa, sono chiamati rispettivamente “primo” e “secondo punto stazionario”].

Infine, si nota che il contrasto tra l’approccio babilonese e la teoria tolemaica (dall’Almagesto) è più visibile nella teoria dei pianeti: “It is in the theory of the planets that the contrast between the Babylonian approach and Ptolemy’s theory as presented in the Almagest becomes most visible” - (fr:2589) [È nella teoria dei pianeti che il contrasto tra l’approccio babilonese e la teoria di Tolomeo come presentata nell’Almagesto diventa più visibile].

[24.2-46-2594|2639]

30 Apparenza del moto planetario e modelli epiciclici come introduzione alla teoria astronomica babilonese

Il testo inizia stabilendo che, prima di descrivere la teoria planetaria babilonese, verranno analizzate le caratteristiche principali del moto apparente dei pianeti da un punto di vista moderno (fr:2594), derivando i moti apparenti visti dalla Terra (fr:2595). Si specifica che le eccentricità delle orbite ellittiche sono così piccole che un disegno in scala non mostrerebbe differenze tra orbite ellittiche e circolari; per questo si procede partendo dal moto circolare dei pianeti intorno al Sole, per poi fissare la Terra e chiedersi quale moto risulta rispetto a essa (fr:2596-2597).

Per ottenere le apparenze viste dalla Terra, si sottrae a tutti i moti il moto della Terra (fr:2599-2600). Per i pianeti interni (Mercurio o Venere), la descrizione geocentrica prevede che il pianeta si muova su un piccolo cerchio (epiciclo) il cui centro è portato su un cerchio più grande (deferente) con centro nella Terra (fr:2603, 2606-2607). Per i pianeti esterni (come Giove, la cui orbita circonda quella della Terra), si ottiene ancora un moto epiciclico: dalla Terra E il pianeta P appare muoversi su un cerchio il cui centro S si muove intorno a E; per rendere più simile il caso a quello dei pianeti interni, si introduce un punto C tale che i punti S, E, P e C formino sempre un parallelogramma (fr:2609-2615). Per i pianeti esterni, il centro C dell’epiciclo si muove intorno a E con la stessa velocità angolare con cui il pianeta si muove intorno al Sole, mentre il pianeta P si muove sull’epiciclo intorno a C con la stessa velocità angolare con cui il Sole si muove intorno alla Terra (fr:2616).

Le ipotesi iniziali sono che le orbite planetarie siano circolari con il Sole nel centro comune e che tutte le orbite giacciano sullo stesso piano; se si trascurano le piccole eccentricità e le piccole inclinazioni delle orbite, il moto epiciclico fornisce una descrizione corretta delle orbite planetarie rispetto alla Terra (fr:2617-2618). Per una teoria più precisa, queste ipotesi sono troppo grossolane: si può tenere conto dell’eccentricità assumendo posizioni leggermente eccentriche della Terra rispetto ai centri dei deferenti, entrambi metodi seguiti dagli astronomi greci (fr:2619-2621).

I pianeti si muovono rispetto alla Terra su epicicli: per i pianeti interni, la velocità angolare intorno al centro S dell’epiciclo è maggiore di quella di S intorno alla Terra; quando il pianeta è sulla parte dell’epiciclo più vicina alla Terra, si muove all’indietro più velocemente di quanto l’epiciclo sia portato in avanti, apparendo “retrogrado” (fr:2623-2625). Per rendere il pianeta visibile è necessaria una certa “elongazione” dal Sole: l’arco di invisibilità vicino alla congiunzione superiore è molto maggiore di quello vicino alla congiunzione inferiore; l’arco in cui il pianeta tramonta dopo il Sole lo rende “stella della sera” (fr:2628-2630). Un grafico con il tempo in ascissa e le longitudini geocentriche in ordinata descrive questi fenomeni, e un grafico analogo si ottiene per i pianeti esterni (fr:2631-2632). Per i pianeti esterni, il moto è più lento di quello del Sole, quindi la retrogradazione è completamente visibile, a differenza di quanto accade per i pianeti interni (fr:2633-2634). Infine, si accenna che la teoria tolemaica assume un modello cinematico basato sul moto epiciclico, che corrisponde strettamente a questa descrizione (fr:2636).

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[25.1-64-2831|2894]

31 Fonti e incertezze sull’astronomia matematica babilonese: scribi, astronomi e metodi storici

Analisi delle informazioni su astronomi babilonesi, famiglie scribali e limiti delle ricerche, con critica alla dottrina panbabilonese.

Il testo inizia con una domanda naturale: “It is natural to ask who were the astronomers who developed and used this theory” - (fr:2832) [È naturale chiedersi chi siano gli astronomi che hanno sviluppato e usato questa teoria], ma si precisa che “I see no way of answering such a question satisfactorily. One can do no more than enumerate the few facts that we know” - (fr:2833-2834) [Non vedo modo di rispondere a tale domanda in modo soddisfacente. Si può solo enumerare i pochi fatti che conosciamo]. Le fonti derivano da due archivi, uno a Uruk e uno a Babilonia, ma “There is no proof against the existence of other archives and we are unable to judge the relations between two or more centers of astronomical activity” - (fr:2835-2836) [Non ci sono prove contro l’esistenza di altri archivi e non siamo in grado di giudicare le relazioni tra due o più centri di attività astronomica]. L’archivio di Babilonia è poco conosciuto perché i testi raramente hanno colofoni, quindi si dipende quasi completamente dai colofoni dei testi di Uruk (fr:2837-2838).

I colofoni di Uruk seguono un modello con nome del proprietario, dello scriba, data dell’era seleucide, e spesso invocazioni ad Anu e Antu, maledizioni contro chi rimuove la tavoletta (scritta “for the prolongation of his days and for the well-being of his posterity” - (fr:2841) [per il prolungamento dei suoi giorni e per il benessere della sua discendenza]) e restrizioni: “the informed may show the tablet to the informed but not to the uninformed” - (fr:2841) [l’informato può mostrare la tavoletta all’informato ma non al non informato]. Dalle parentele nei colofoni emergono due famiglie scribali: una con antenato Ekur-zikir, “mashmashpriest of Anu and Antu of the Resh sanctuary, scribe of (the series) Enu.ma-Anu-Enlil, from Uruk” - (fr:2843) [mashmashprete di Anu e Antu del santuario Resh, scriba della serie Enuma-Anu-Enlil, da Uruk], e l’altra con Sin-leqe-unnini, “scribe of Enuma-Anu-Enlil, kalu-priest of Anu and Anto, from Uruk” - (fr:2845) [scriba di Enuma-Anu-Enlil, kalu-prete di Anu e Antu, da Uruk]. Non è chiaro se si tratti di famiglie reali o scuole scribali, né il significato di “proprietario” e “scriba” – non si sa se lo scriba fosse anche il calcolatore (fr:2846-2848). Le tavolette provengono da circoli sacerdotali, ma ciò è banale, e i colofoni di Uruk non danno informazioni sull’origine dei metodi; i testi di Babilonia ne danno ancora meno (fr:2849-2851).

Da Plinio, Strabone e Vettio Valente sono noti tre nomi: Sudines (risultato una mislettura di Anu-aha-usabsi), Naburianos (attestato come Naburimannu in un contesto dubbio, senza prova che sia l’inventore del Sistema A lunare), e Kidenas (corrispondente a Kidinnu, menzionato in connessione con “tersitu of Kidinnu” – ipotizzato come “tavoletta lunare di Kidinnu” o “sistema di Kidinnu”, ma “tersitu” è un enigma, altrimenti riferito a strumenti/ingredienti per mattoni smaltati; non c’è prova reale che sia l’inventore del Sistema B) (fr:2852-2859).

Tentativi di datare la teoria lunare, basati sul confronto tra calcoli moderni e antichi (assumendo errore iniziale zero), sono invalidi: presuppongono accuratezza dei valori iniziali (implausibile) e che i parametri siano identici a quelli empirici, ma invece i parametri erano aggiustati per calcoli convenienti – errori piccoli ma influenti sui risultati (fr:2860-2866). “Hence there is no hope of obtaining, in this way, accurate information as to the date of invention of mathematical astronomy” - (fr:2867) [Quindi non c’è speranza di ottenere, in questo modo, informazioni accurate sulla data di invenzione dell’astronomia matematica]. Per ora ci si deve accontentare di considerazioni storiche generali e sperare in nuove tavolette (fr:2868-2869).

Infine, la bibliografia: i testi sono pubblicati in ACT (Neugebauer, 1955), oltre a Pinches-Strassmaier-Sachs e Gadd. Si avverte contro Jeremias e la dottrina panbabilonese (teorie selvagge, disprezzo per le prove testuali), confutata da Kugler con un parallelo tra Luigi IX di Francia e Gilgamesh; la scuola non ha più seguaci, ma l’esempio di Kugler mostra come sia facile adattare le prove a una teoria preconcepita (fr:2870-2893).

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[26.1-67-3088|3154]

32 Origine e trasmissione della scienza ellenistica: matematica, astronomia e legami con le tradizioni orientali

Analisi delle difficoltà nella ricostruzione della scienza ellenistica, dei contributi greci e dei legami con le tradizioni mesopotamiche, oltre a critiche alle storie tradizionali sui primi filosofi greci.

Il testo inizia accennando a testi astronomici indiani: il sesto capitolo del Surya-Siddhanta tratta di una rappresentazione grafica delle fasi di eclissi (“The sixth chapter of the SOrya-Siddhlnta deals with a graphical representation of the different phases of an eclipse.” - (fr:3088) [Il sesto capitolo del Surya-Siddhanta tratta di una rappresentazione grafica delle diverse fasi di un eclissi.]), e Burgess nota come sia curioso che una questione di scarsa importanza sia custodita con cautela (“Burgess says rightly, ‘It seems a little curious to find a matter of so subordinate consequence… guarded so cautiously……’” - (fr:3089) [Burgess dice giustamente: ‘Sembra un po’ curioso trovare una questione di così scarsa importanza… custodita così cautamente…’]); analogamente, un capitolo banale del Panca-Siddhantika è chiamato “segreti dell’astronomia” (“Similarly one of the most trivial chapters in the Paiica-Siddhintika (XV) is called the ‘secrets of astronomy’.” - (fr:3090) [Allo stesso modo, uno dei capitoli più banali del Panca-Siddhantika (XV) è chiamato i ‘segreti dell’astronomia’.]). Viene poi menzionato Kidenas (Kidinnu), associato a Sippar e la sua scuola di astronomi (“The name of Kidenas == Kidinnu is customarily associated with the city of Sippar and its school of astronomers, mentioned by the Greek writers cited above p. ” - (fr:3091) [Il nome di Kidenas = Kidinnu è solitamente associato alla città di Sippar e alla sua scuola di astronomi, menzionata dagli scrittori greci citati sopra a p. ]).

Il capitolo VI (“Origine e trasmissione della scienza ellenistica”) affronta le difficoltà nel ricostruire l’origine della matematica e dell’astronomia ellenistiche: gli Elementi di Euclide e l’Almagesto di Tolomeo hanno ridotto i predecessori a mero interesse storico, con poche possibilità di sopravvivenza (“Any attempt to reconstruct the origin of Hellenistic mathematics and astronomy must face the fact that Euclid’s ‘Elements’ and Ptolemy’s ‘Almagest’ reduced all their predecessors to objects of mere ‘historical interest’ with little chance of survival.” - (fr:3094) [Qualsiasi tentativo di ricostruire l’origine della matematica e dell’astronomia ellenistica deve affrontare il fatto che gli ‘Elementi’ di Euclide e l’‘Almagesto’ di Tolomeo hanno ridotto tutti i loro predecessori a oggetti di mero ‘interesse storico’ con poche possibilità di sopravvivenza.]). Poiché Euclide cade non più di un secolo dopo l’inizio della matematica scientifica, è più facile ricostruirne la preistoria rispetto all’astronomia (“Because Euclid’s work falls not much more than a century after the beginning of scientific mathematics, it has been easier to restore its prehistory than is the case with astronomy.” - (fr:3095) [Poiché l’opera di Euclide cade non più di un secolo dopo l’inizio della matematica scientifica, è stato più facile ricostruire la sua preistoria rispetto a quanto accade per l’astronomia.]). Tolomeo (150 d.C.), vicino alla fine dell’età ellenistica, comprende tutti i risultati astronomici raggiungibili con i metodi antichi (“Ptolemy, in 150 A.D., lives close to the end of the Hellenistic age, and his work comprises practically all astronomical achievements which could be reached with the mathematical methods of antiquity.” - (fr:3096) [Tolomeo, nel 150 d.C., vive vicino alla fine dell’età ellenistica, e la sua opera comprende praticamente tutti i risultati astronomici che potevano essere raggiunti con i metodi matematici dell’antichità.]) e si concentra su un metodo unificato per i fenomeni celesti (“Ptolemy’s work is exclusively concerned with the description of one unified method for the representation of the celestial phenomena.” - (fr:3097) [L’opera di Tolomeo si occupa esclusivamente della descrizione di un metodo unificato per la rappresentazione dei fenomeni celesti.]). Gli Elementi di Euclide sono invece uno sviluppo puramente greco, con poche eccezioni (“Finally one must realize that the ‘Elements’ of Euclid concern, with very few exceptions, a purely Greek development in a sharply defined direction.” - (fr:3098) [Infine, bisogna rendersi conto che gli ‘Elementi’ di Euclide riguardano, con pochissime eccezioni, uno sviluppo puramente greco in una direzione ben definita.]), per cui i problemi della storia dell’astronomia sono più complessi di quelli della matematica (“Hence the problems connected with the history of astronomy are far more involved than is the case with mathematics.” - (fr:3099) [Quindi i problemi collegati alla storia dell’astronomia sono molto più complessi rispetto a quelli della matematica.]).

La matematica ellenistica (e ancor più quella successiva) è un anello in una tradizione ininterrotta dalle origini antiche ai tempi moderni (“Indeed, mathematics of the Hellenistic period, and still more of the later periods, is in part only a link in an unbroken tradition which reaches from the earliest periods of ancient history down to the beginning of modern times.” - (fr:3102) [In effetti, la matematica del periodo ellenistico, e ancora di più dei periodi successivi, è in parte solo un anello in una tradizione ininterrotta che va dalle prime epoche della storia antica fino all’inizio dei tempi moderni.]). Alcuni trattati geometrici sono stati visti come declino della matematica greca, ma alla luce dei testi babilonesi, la geometria di Erone è una forma ellenistica di tradizione orientale (“These treatises on geometry were sometimes considered to be signs of the decline of Greek mathematics, and this would indeed be the case if one had to consider them as the descendants of the works of Archimedes or Apollonius.” - (fr:3103) [Questi trattati di geometria sono stati talvolta considerati segni del declino della matematica greca, e questo sarebbe effettivamente il caso se dovessimo considerarli come discendenti delle opere di Archimede o Apollonio.]; “In view of our recently gained knowledge of Babylonian texts, Heron’s geometry must be considered merely a Hellenistic form of a general oriental tradition.” - (fr:3104) [Alla luce della nostra conoscenza recentemente acquisita dei testi babilonesi, la geometria di Erone deve essere considerata solo una forma ellenistica di una tradizione orientale generale.]). Su questo livello elementare, la scuola assiomatica ha avuto poca influenza, come oggi sulla topografia (“On this more elementary level, the axiomatic school of mathematics had as little influence as it has today on surveying.” - (fr:3105) [Su questo livello più elementare, la scuola assiomatica della matematica ha avuto poca influenza, come oggi ha sulla topografia.]). Intere sezioni di queste opere si ritrovano secoli dopo nell’Algebra di al-Khwarizmi (800-850), con figure composte da triangoli rettangoli standard per numeri puliti, incluso il numero 21 presente in entrambi (“Whole sections from these works are found again, centuries later, in one of the first Arabic mathematical works, the famous ‘Algebra’ of al-Khwarizmi (about 800 to 850).” - (fr:3106) [Intere sezioni di queste opere si ritrovano, secoli dopo, in una delle prime opere matematiche arabe, la famosa ‘Algebra’ di al-Khwarizmi (circa 800-850).]; “In order to make the examples come out in nice numbers, the figures were composed from a few standard right triangles.” - (fr:3107) [Per far sì che gli esempi risultassero in numeri puliti, le figure erano composte da pochi triangoli rettangoli standard.]; “21, which appears in Heron as well as in al-Khwirizmi.” - (fr:3108) [21, che appare sia in Erone che in al-Khwarizmi.]).

Viene proposta un’ipotesi di lavoro (non dimostrabile documentalmente): la teoria degli irrazionali e l’integrazione sono puramente greche, mentre l’algebra geometrica utilizza risultati mesopotamici (“My answer to this question cannot be proved by documentary evidence, but the following working hypothesis seems to me to account for the known facts: the theory of irrational quantities and the related theory of integration are of purely Greek origin, but the contents of the ‘geometrical algebra’ utilize results known in Mesopotamia.” - (fr:3115) [La mia risposta a questa domanda non può essere provata da prove documentali, ma la seguente ipotesi di lavoro mi sembra spiegare i fatti noti: la teoria delle quantità irrazionali e la correlata teoria dell’integrazione sono di origine puramente greca, ma i contenuti dell’‘algebra geometrica’ utilizzano risultati noti in Mesopotamia.]). È necessario distinguere lo stile assiomatico di Eudosso e i contemporanei del IV secolo a.C. dalla matematica delle scuole ioniche e del Sud Italia (“First of all, it seems necessary to distinguish sharply between the axiomatic style of mathematics, which is the work of Eudoxus and his contemporaries in the fourth century B.C., and the mathematics usually connected with the Ionian and South-Italian schools.” - (fr:3116) [Prima di tutto, sembra necessario distinguere nettamente tra lo stile assiomatico della matematica, che è opera di Eudosso e dei suoi contemporanei nel IV secolo a.C., e la matematica solitamente collegata alle scuole ioniche e del Sud Italia.]). Le storie su Talete e Pitagora sono da scartare come non storiche: riflettono l’atteggiamento di periodi successivi che richiedevano dimostrazioni (“It seems to me evident, however, that the traditional stories of discoveries made by Thales or Pythagoras must be discarded as totally unhistorical.” - (fr:3117) [Tuttavia, mi sembra evidente che le storie tradizionali sulle scoperte di Talete o Pitagora devono essere scartate come totalmente non storiche.]; “This story clearly reflects the attitude of a much more advanced period when it had become clear that facts of this type require a proof before they can be utilized for subsequent theorems.” - (fr:3118) [Questa storia riflette chiaramente l’atteggiamento di un periodo molto più avanzato, quando era diventato chiaro che fatti di questo tipo richiedono una dimostrazione prima di poter essere utilizzati per teoremi successivi.]). Gli storici greci ricostruirono gli eventi secondo le teorie del loro tempo, e oggi sappiamo che la conoscenza matematica attribuita ai primi filosofi greci era nota secoli prima, ma senza dimostrazioni formali (“Actually the Greek historians acted in exactly the same way as modern historians do when no source material is available to them: they restored the sequence of events according to the requirements of the theory of their own times.We know today that all the factual mathematical knowledge which is ascribed to the early Greek philosophers was known many centuries before, though without the accompanying evidence of any formal method which the mathematicians of the fourth century would have called a proof.” - (fr:3119) [In realtà, gli storici greci agirono esattamente come gli storici moderni quando non hanno materiale sorgente disponibile: ricostruirono la sequenza degli eventi secondo le esigenze della teoria del loro tempo. Oggi sappiamo che tutta la conoscenza matematica fattuale che è attribuita ai primi filosofi greci era nota molti secoli prima, sebbene senza l’accompagnamento di alcun metodo formale che i matematici del IV secolo avrebbero chiamato dimostrazione.]). È caratteristico che Archita di Taranto ritenesse l’aritmetica più capace di dimostrazioni della geometria (“It seems to me characteristic, however, that Archytas of Tarentum could make the statement that not geometry but arithmetic alone could provide satisfactory proofs.” - (fr:3120) [Tuttavia, mi sembra caratteristico che Archita di Taranto potesse affermare che non la geometria, ma solo l’aritmetica potesse fornire dimostrazioni soddisfacenti.]).

La svolta essenziale venne dalla discussione sull’irrazionalità di √2, e i paradossi sulla continuità resero evidente il legame con area e volume (“It is also generally accepted that the essential turn in the development came about through the discussion of the consequences of the arithmetical fact that no ratio of two integers could be found such that its square had the value” - (fr:3121) [È anche generalmente accettato che la svolta essenziale nello sviluppo sia avvenuta attraverso la discussione delle conseguenze del fatto aritmetico che nessun rapporto di due interi poteva essere trovato tale che il suo quadrato avesse valore ]; “The ‘paradoxa’ concerning continuity, both of space and time, made the relation to the whole problem of determination of area and volume evident.” - (fr:3122) [I ‘paradossi’ sulla continuità, sia dello spazio che del tempo, hanno reso evidente la relazione con l’intero problema della determinazione dell’area e del volume.]). La reazione dei matematici portò a due passi importanti, entrambi merito greco: considerare gli oggetti geometrici come entità date (con i rapporti interi come caso speciale) e formulare la conoscenza aritmetica/algebrica in linguaggio geometrico; inoltre, la teoria degli irrazionali e l’integrazione sono puramente greche (“The reaction of the mathematicians against this type of speculation seems to have led to two major steps.” - (fr:3123) [La reazione dei matematici contro questo tipo di speculazione sembra aver portato a due passi importanti.]; “Secondly, it had become clear that one should consider the geometrical objects as the given entities such that the case of integer ratios appeared as a special case of only secondary interest; this led to the problem of how to formulate classical arithmetical and algebraic knowledge in geometrical language.” - (fr:3124) [In secondo luogo, era diventato chiaro che si dovevano considerare gli oggetti geometrici come entità date, tale che il caso dei rapporti interi apparisse come un caso speciale di solo interesse secondario; questo portò al problema di come formulare la conoscenza aritmetica e algebrica classica in linguaggio geometrico.]; “It is these two essential steps which are fully to the credit of the Greek mathematicians.” - (fr:3125) [Sono questi due passi essenziali che sono pienamente merito dei matematici greci.]; “Everything which is directly related to the theory and classification of irrational quantities is, of course, Greek; and the same holds for the rigid theory of the processes of integration.” - (fr:3126) [Tutto ciò che è direttamente collegato alla teoria e alla classificazione delle quantità irrazionali è, ovviamente, greco; e lo stesso vale per la teoria rigorosa dei processi di integrazione.]). Qualsiasi legame con Pitagora è leggendario (“I do not doubt that any connection with the name of Pythagoras is purely legendary and of no historical value.” - (fr:3127) [Non dubito che qualsiasi collegamento con il nome di Pitagora sia puramente leggendario e senza valore storico.]).

Il trattamento babilonese dei problemi di secondo grado si basa sulla forma normale (trovare x e y da prodotto e somma/differenza), corrispondente all’“applicazione di aree”: un rettangolo di lunghezza b è più grande o piccolo di un quadrato rispetto a un’area A, con x e y come lati e x+y=b nel primo caso (“We have seen that the Babylonian treatment of problems of second degree consists in reducing them to the ‘normal form’ where two quantities, x and y, should be found from their given product and their sum or difference.” - (fr:3128) [Abbiamo visto che il trattamento babilonese dei problemi di secondo grado consiste nel ridurli alla ‘forma normale’ dove due quantità, x e y, devono essere trovate dal loro prodotto dato e dalla loro somma o differenza.]; “This problem is known as the ‘application of area’, which consists, in its simplest form, in the following.” - (fr:3129) [Questo problema è noto come ‘applicazione di aree’, che consiste, nella sua forma più semplice, nel seguente.]; “22) that the rectangle of equal height and of length b is either larger or smaller by a square than the rectangle of area A.” - (fr:3131) [22) che il rettangolo di altezza uguale e lunghezza b è o più grande o più piccolo di

[26.2-66-3155|3220]

33 Origine e trasmissione della scienza ellenistica: matematica, astronomia e influenze orientali

Analisi dei legami tra scienza greca e orientale, dello sviluppo della matematica assiomatica e dello stato della ricerca storica.

Il testo inizia con note su tradizioni e testi antichi: si menziona un “mistero degli dei” da rivelare solo a discepoli provati dopo un anno di insegnamento (“This mystery of the gods is not to be imparted indiscriminately: it is to be made known to the welltried pupil, who remains a year under instruction” - (fr:3155) [Questo mistero degli dei non va comunicato indiscriminatamente: va reso noto al discepolo provato, che rimane un anno sotto insegnamento]), e lo stesso vale per la costruzione di un globo celeste (riferiti a S.-S. XIII, 17 e Paiica-S. XIV, 28) (fr:3156). Si ha l’impressione che una sezione sia molto antica e potesse essere omessa senza danneggiare la comprensione del resto (fr:3157); inoltre, A. Sachs ha rilevato un errore di lettura di Strassmaier in un passaggio (fr:3158), e non esistono testi astronomici provenienti da Sippar (fr:3159).

Per l’importanza di un’opera scientifica, Hilbert ha espresso che si può misurare dal numero di pubblicazioni precedenti che rende superflue leggere (“As Hilbert once expressed it, the importance of a scientific work can be measured by the number of previous publications it makes superfluous to read” - (fr:3161) [Come Hilbert ha espresso una volta, l’importanza di un’opera scientifica può essere misurata dal numero di pubblicazioni precedenti che rende superfluo leggere]). Passando alla matematica greca: la datazione precoce di Euclide (circa 300 a.C.) lascia spazio a due o più secoli di sviluppo con figure come Archimede e Apollonio (fr:3162), e l’analisi matematica attenta della sua opera ha dato informazioni sulle fasi precedenti su cui è costruita (fr:3163). Per l’astronomia, basandoci solo sull’Almagesto non avremmo idea di metodi diversi, greci e orientali, che lo precedettero e a volte sopravvissero (fr:3164); l’astronomia di Tolomeo è probabilmente fondata in gran parte su risultati di Ipparco (300 anni prima), influenzato a sua volta da idee greche e babilonesi (fr:3165).

Un punto chiave è la differenza tra la storia della matematica greca (per cui esistono presentazioni competenti e complete) e quella dell’astronomia antica (lontani da questo obiettivo) (“For the history of Greek mathematics, there are quite competent and complete presentations but we are far from this goal in the history of ancient astronomy” - (fr:3167) [Per la storia della matematica greca, ci sono presentazioni abbastanza competenti e complete, ma siamo lontani da questo obiettivo nella storia dell’astronomia antica]). Inoltre, le procedure matematiche greche sono direttamente intelligibili per un matematico moderno, mentre i trattati astronomici antichi usano terminologia, problemi e metodi empirici/numerici non più familiari (fr:3166).

Venendo alle influenze orientali: affermare che la matematica greca in stile euclideo è strettamente greca non significa negare un background orientale generale per la matematica greca nel suo complesso (fr:3168). Un esempio drastico è la geometria elementare di Erone di Alessandria (seconda metà del I secolo d.C.): il fatto che Erone sommi aree e segmenti non è segno di degenerazione del “spirito greco”, ma riflette la tradizione algebrica/aritmetica mesopotamica (“The fact, e. g., that Heron adds areas and line segments can no longer be viewed as a novel sign of the rapid degeneration of the so-called Greek spirit, but simply reflects the algebraic or arithmetic tradition of Mesopotamia” - (fr:3171) [Il fatto, ad esempio, che Erone sommi aree e segmenti di linea non può più essere visto come un nuovo segno della rapida degenerazione del cosiddetto spirito greco, ma semplicemente riflette la tradizione algebrica o aritmetica della Mesopotamia]); parti dei suoi scritti sono sopravvissute alla distruzione della matematica scientifica nell’antichità tarda (fr:3172). Questo legame si dimostra facilmente con figure: un esempio standard combina due triangoli rettangoli (lati 8, 6, 10) in un triangolo isoscele con altezza 8 e base 12 (fr:3174-3175); l’equazione lineare risultante dà il lato del quadrato come 4 2/5 (fr:3176). Il modo di risolvere esempi numerici assomiglia molto ai testi matematici babilonesi (fr:3177), e si può estendere questa analisi a varie parti della matematica ellenistica e araba (fr:3178). Si può affermare con sicurezza che esiste una tradizione continua che collega la matematica mesopotamica ellenistica a scrittori semitici (aramaici) e greci, e poi a matematici indù e islamici (fr:3180).

La domanda sorge se c’è influenza orientale anche nel ramo scientifico della matematica greca (fr:3181). Per sostanziare queste affermazioni, bisogna considerare lo sviluppo storico: non c’è motivo di negare al periodo arcaico una conoscenza matematica che in certi punti potrebbe comprendere o superare quella attestata in fonti mesopotamiche (fr:3183); Talete è accreditato di aver scoperto che il diametro divide l’area del cerchio in due parti uguali (fr:3184). Per i matematici successivi, sembrava naturale che teoremi da stabilire logicamente venissero anche prima cronologicamente (fr:3185), ma per noi dobbiamo ammettere di non sapere il ruolo degli “eroi tradizionali” della scienza greca (fr:3186). Se questa era l’opinione di un matematico di rilievo prima del metodo assiomatico, allora la matematica greca arcaica non era molto diversa dal tipo diofanteo eroniano (fr:3187). Il corollario geometrico che la diagonale di un quadrato non è misurabile dal lato ha causato discussioni sulla relazione tra prova geometrica e aritmetica (fr:3188); una via d’uscita potrebbe essere stata l’assunzione di una struttura atomica degli oggetti geometrici, riducendo area e volume a conteggio di “atomi” discreti (fr:3189). Successivamente, si è dovuto concordare su un sistema di assunzioni di base, dando origine al procedimento assiomatico (fr:3190), il cui risultato è l’“algebra geometrica” della matematica greca (fr:3191).

La situazione cambia quando si chiede l’origine delle relazioni matematiche incorporate nel sistema geometrico dimostrato (fr:3192); la teoria elementare dei numeri potrebbe o meno basarsi su materiale orientale più antico (fr:3193). La domanda più interessante è l’origine dell’algebra geometrica (fr:3194): la formulazione geometrica di un problema porta al problema centrale di questa algebra, altrimenti difficile da motivare (fr:3195). Il problema – data un’area A e un segmento b, costruire un rettangolo (fr:3196) – ha un’identità evidente con la “forma normale” babilonese se formulata algebricamente: xy = A, e nel secondo caso x - y = b (fr:3198-3200). Non c’è dubbio che l’interpretazione geometrica diretta della forma normale delle equazioni quadratiche è la spiegazione più semplice (fr:3202), e almeno bisogna ammetterne la possibilità (fr:3203). L’unica domanda seria è come questa conoscenza è arrivata in Grecia (fr:3204): non richiede troppa immaginazione pensare a una diffusione dal Vicino Oriente alla Grecia nel periodo vicino all’offensiva macedone contro l’impero persiano (fr:3205). Si dice che un iraniano abbia informato Platone sulla religione di Zarathustra, ma questa notizia non è troppo attendibile (come T.H. Martin ha sottolineato nel 1864) (fr:3206-3207). Comunque, pochi anni dopo la Mesopotamia era sotto dominazione greca, e non serve prova letteraria per affermare che i greci avessero accesso alla scienza babilonese da allora in poi (fr:3209). Non c’è buona ragione per negare la possibilità di viaggi di Eudosso in Egitto, ma allo stato attuale della conoscenza nessuna di queste storie contribuisce alla comprensione degli eventi storici (fr:3210-3211).

I greci stessi avevano molte teorie sull’origine della matematica (fr:312); autori moderni hanno spesso riferito ai meravigliosi dell’architettura egiziana, ma senza menzionare problemi concreti di statica risolvibili con procedure aritmetiche egiziane note (fr:3213). La nostra conoscenza fattuale sullo sviluppo del pensiero scientifico e sulla posizione sociale di chi lo ha prodotto è così frammentaria che è impossibile testare ipotesi, anche se plausibili (fr:3214). Sul lato negativo, è evidente che il ruolo di Platone è stato ampiamente esagerato: il fatto che matematici di livello come Eudosso appartenessero al suo circolo non prova l’influenza di Platone sulla ricerca matematica, e l’idea che Platone “dirigesse” la ricerca non è confermata dai fatti (fr:3215-3217). Le dottrine di Platone hanno però avuto grande influenza sull’interpretazione moderna delle scienze greche (fr:3218).

Infine, le ricerche di Hill e Poincare hanno dimostrato che condizioni iniziali leggermente diverse avrebbero fatto viaggiare la Luna intorno alla Terra in una curva della forma indicata in una figura (fr:3220).

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[27.1-52-3228|3279]

34 Dalle teorie babilonesi alle sfere omocentriche di Eudosso e ai modelli di Apollonio: evoluzione dell’astronomia antica

Il testo illustra lo sviluppo dell’astronomia antica, confrontando le approssimazioni babilonesi con la teoria delle sfere omocentriche di Eudosso e i successivi modelli di eccentri ed epicicli di Apollonio, sottolineando il principio del moto circolare uniforme e i limiti dei diversi sistemi.

Le teorie lunari e planetarie babilonesi si basano sul conteggio di fenomeni ricorrenti periodicamente e sull’uso di funzioni periodiche (a zigzag o a scalini) per descrivere le deviazioni dal moto medio: “The successive approximations of the Babylonian lunar and planetary theory reflect this situation perfectly” - (fr:3228) [Le approssimazioni successive della teoria lunare e planetaria babilonese riflettono questa situazione perfettamente]; “At the basis lies the counting of the periodically recurrent phenomena; the properly chosen periodic functions-zigzag functions or step functions-suffice to describe the deviation from a trivial mean motion” - (fr:3229) [Alla base sta il conteggio dei fenomeni periodicamente ricorrenti; le funzioni periodiche scelte appropriatamente – funzioni a zigzag o funzioni a scalini – sono sufficienti a descrivere la deviazione da un moto medio banale].

Contemporaneamente o poco prima, Eudosso compie un passo decisivo, ispirato dalla recente scoperta della sfericità della Terra, che suggerisce una sfericità corrispondente del cielo e un moto circolare dei corpi celesti: “Perhaps a little before these methods were developed in Mesopotamia, perhaps almost simultaneously, a most decisive step in another direction was made by Eudoxus” - (fr:3230) [Forse poco prima che questi metodi fossero sviluppati in Mesopotamia, forse quasi simultaneamente, un passo decisivo in un’altra direzione fu compiuto da Eudosso]; “The then recent discovery of the sphericity of the earth must have suggested a corresponding sphericity of the sky and a circular motion of the celestial bodies” - (fr:3231) [La allora recente scoperta della sfericità della terra deve aver suggerito una corrispondente sfericità del cielo e un moto circolare dei corpi celesti]. Per Sole e Luna, Eudosso propone una combinazione di due sfere concentriche in moto uniforme: una per la rotazione giornaliera intorno ai poli equatoriali, l’altra per un moto lento in direzione opposta intorno a un asse inclinato perpendicolare all’eclittica: “The motion of sun and moon can be described as the combination of the uniform motions of two concentric spheres: one is the fast daily rotation about the poles of the equator; the other is slow and proceeds in opposite direction about an inclined axis which is perpendicular to the ecliptic” - (fr:3233) [Il moto del sole e della luna può essere descritto come la combinazione dei moti uniformi di due sfere concentriche: una è la veloce rotazione giornaliera intorno ai poli dell’equatore; l’altra è lenta e procede in direzione opposta intorno a un asse inclinato che è perpendicolare all’eclittica]. Egli vede che una combinazione simile può spiegare qualitativamente anche le retrogradazioni planetarie: “Eudoxus saw that a similar combination is capable of explaining, at least qualitatively, also the most striking phenomenon of planetary motion, the retrogradations” - (fr:3234) [Eudosso vide che una combinazione simile è in grado di spiegare, almeno qualitativamente, anche il fenomeno più sorprendente del moto planetario, le retrogradazioni]. Investigando il caso di velocità opposte uguali e assi inclinati, Eudosso trova che l’orbita è una curva a forma di 8; sovrapponendo una terza rotazione intorno a un asse perpendicolare al piano di simmetria (l’eclittica), il punto P procede con velocità media nell’eclittica, con una deviazione periodica in latitudine; le retrogradazioni si ottengono se la componente longitudinale è minore del moto all’indietro della figura a otto: “But one case remains to be investigated: what motion results from equal opposite velocities but inclined axes?” - (fr:3240) [Ma rimane un caso da investigare: quale moto risulta da velocità opposte uguali ma assi inclinati?]; “Eudoxus found that the orbit is an 8-shaped curve (Fig. 24)” - (fr:3241) [Eudosso trovò che l’orbita è una curva a forma di 8 (Fig. 24)]; “Now one can superimpose a third rotation about an axis which is perpendicular to the plane of symmetry which represents the plane of the ecliptic” - (fr:3243) [Ora si può sovrapporre una terza rotazione intorno a un asse che è perpendicolare al piano di simmetria che rappresenta il piano dell’eclittica]; “Consequently, the point P no longer follows a closed curve but proceeds with a certain mean velocity in the ecliptic” - (fr:3244) [Di conseguenza, il punto P non segue più una curva chiusa ma procede con una certa velocità media nell’eclittica]; “Simultaneously, however, there appears a periodic deviation from the ecliptic, or a motion in latitude” - (fr:3245) [Simultaneamente, tuttavia, appare una deviazione periodica dall’eclittica, o un moto in latitudine]; “Finally, one will obtain retrogradations if the longitudinal component is less than the backward motion in the original figure eight” - (fr:3246) [Infine, si otterranno retrogradazioni se la componente longitudinale è minore del moto all’indietro nella figura a otto originale]. Così, Eudosso dimostra che anche le irregolarità apparenti del moto planetario possono essere descritte da combinazioni di moti circolari uniformi: “Thus it is demonstrated that, at least qualitatively, even the apparent irregularities of planetary motion can be described by a combination of circular motions of uniform angular velocity” - (fr:3247) [Così è dimostrato che, almeno qualitativamente, anche le apparenti irregolarità del moto planetario possono essere descritte da una combinazione di moti circolari con velocità angolare uniforme].

Tuttavia, il modello eudossiano ha gravi limiti: le retrogradazioni osservate non si ripetono in curve identiche, e la variazione della luminosità planetaria suggerisce variazioni di distanza dalla Terra, non prevedibili dalle sfere omocentriche: “In spite of the great importance, in principle, of the discovery of Eudoxus, it is quite obvious that a model of this type has grave shortcomings” - (fr:3248) [Nonostante la grande importanza, in linea di principio, della scoperta di Eudosso, è abbastanza ovvio che un modello di questo tipo ha gravi limiti]; “For example, the observed retrogradations of the planets do not recur in curves of identical shape as would be the case in the Eudoxian model” - (fr:3249) [Per esempio, le retrogradazioni osservate dei pianeti non si ripetono in curve di forma identica come accadrebbe nel modello eudossiano]; “Another difficulty lies in the large variation of the brightness of planets that seemed to indicate corresponding variations in their distance from the earth” - (fr:3252-3253) [Un’altra difficoltà risiede nella grande variazione della luminosità dei pianeti che sembrava indicare corrispondenti variazioni nella loro distanza dalla terra].

Non si sa chi abbia introdotto per primo una modifica più flessibile, ma Apollonio (circa 200 a.C.) usa l’espediente di osservare il moto circolare uniforme da un punto eccentrico, rendendo il moto apparente più veloce vicino all’osservatore e più lento nel punto opposto: “We do not know who first succeeded in explaining these and similar anomalies by means of a much more flexible modification of the theory of uniform circular motion” - (fr:3254) [Non sappiamo chi sia riuscito per primo a spiegare queste e simili anomalie per mezzo di una modifica molto più flessibile della teoria del moto circolare uniforme]; “We know, however, that Apollonius (about 200 B.C.) used the simple device of viewing uniform circular motion not from the center of the orbit but from a slightly eccentric point” - (fr:3257-3259) [Sappiamo, tuttavia, che Apollonio (circa 200 a.C.) usò il semplice espediente di vedere il moto circolare uniforme non dal centro dell’orbita ma da un punto leggermente eccentrico]; “This obviously has the effect that the motion appears fastest where the circle is nearest to the observer and slowest at the opposite point” - (fr:3260) [Questo ovviamente ha l’effetto che il moto appare più veloce dove il cerchio è più vicino all’osservatore e più lento nel punto opposto]. Apollonio dimostra anche che un moto eccentrico può essere sostituito da un moto epiciclico (con il centro dell’epiciclo su un cerchio con l’osservatore al centro e raggio uguale all’eccentricità), regolando le velocità angolari in modo che P e E siano vertici di un parallelogramma: “He demonstrated that an eccentric movement of this type can always be replaced by an epicyclic motion where the center of the epicycle moves on a circle with the observer at its center and with a radius of the epicycle equal to the eccentricity (cf. Fig. 25)” - (fr:3262) [Egli dimostrò che un moto eccentrico di questo tipo può sempre essere sostituito da un moto epiciclico dove il centro dell’epiciclo si muove su un cerchio con l’osservatore al suo centro e con un raggio dell’epiciclo uguale all’eccentricità (cfr. Fig. 25)]; “All that is needed is to regulate the angular velocities in such a way that the point P and the observer E remain the vertices of a parallelogram SPCE” - (fr:3265) [Tutto ciò che serve è regolare le velocità angolari in modo tale che il punto P e l’osservatore E rimangano i vertici di un parallelogramma SPCE]. Con gli epicicli, si può anche ottenere un moto retrogrado apparente, permettendo di abbandonare le sfere omocentriche e di descrivere tutto il moto celeste con eccentri ed epicicli, senza abbandonare il principio fondamentale del moto circolare: “But as soon as epicycles are introduced, it is also clear that the motion of P around S can be chosen in such a way that P appears to have a retrograde motion if observed from E, as we have shown in the discussion of Fig. 15b and 14c (p. 123 f.)” - (fr:3266-3269) [Ma non appena si introducono gli epicicli, è anche chiaro che il moto di P intorno a S può essere scelto in modo tale che P appaia avere un moto retrogrado se osservato da E, come abbiamo mostrato nella discussione delle Fig. 15b e 14c (p. 123 s.)]; “Hence the model of homocentric spheres could be abolished, and uniform description of all celestial motion was obtained by means of eccenters and epicycles” - (fr:3270-3271) [Quindi il modello delle sfere omocentriche poteva essere abbandonato, e si otteneva una descrizione uniforme di tutto il moto celeste per mezzo di eccentri ed epicicli]; “But the main principle, the fundamental role of circular motion, seemed to have been splendidly vindicated” - (fr:3272-3274) [Ma il principio principale, il ruolo fondamentale del moto circolare, sembrava essere stato splendidamente confermato]. Questa convinzione rimane la pietra angolare della “dinamica” celeste antica, paragonabile a una legge di inerzia, anche se gli astronomi antichi pretendevano solo di “descrivere” le apparenze, non di “spiegarle”: “This conviction remained the cornerstone of celestial ‘dynamics’ of ancient astronomy comparable to a law of inertia” - (fr:3275) [Questa convinzione rimase la pietra angolare della “dinamica” celeste dell’astronomia antica paragonabile a una legge di inerzia]; “In principle, however, ancient astronomers pretended only to ‘describe’ the appearances, not to ‘explain’ them” - (fr:3276-3279) [In linea di principio, tuttavia, gli astronomi antichi pretendevano solo di “descrivere” le apparenze, non di “spiegarle”].

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[28.1-41-3283|3323]

35 Modelli epiciclici greco-ellenistici e influenze babilonesi sull’astronomia

Il testo illustra la struttura della teoria planetaria greca con epicicli, la sua relazione con l’eliocentrismo e le due forme di influenza babilonese sull’astronomia ellenistica.

Inizialmente, nella descrizione geocentrica di un moto eliocentrico, S rappresentava il sole, ma successivamente viene ridefinito: “Now we try only to describe the direction EP under which the planet P appears from E. Hence we can no longer say that S is the sun but only that ES is the direction to the sun” - (fr:3285) [Ora cerchiamo solo di descrivere la direzione EP sotto cui il pianeta P appare da E. Quindi non possiamo più dire che S è il sole, ma solo che ES è la direzione verso il sole]. Per i pianeti interni, il moto angolare è descritto da un moto epiciclico dove la direzione da E al centro S dell’epiciclo coincide con la direzione da E al sole (fr:3287); per i pianeti esterni, invece, il segmento CP (dove C è il centro dell’epiciclo) è sempre parallelo alla direzione da E al sole (fr:3288). Questa è la formulazione base della teoria planetaria greca, con la precisazione che si dovrebbe parlare di “sole medio” invece di semplicemente “sole” (fr:3289). La teoria è corretta per quanto riguarda il moto angolare e sarebbe una teoria eliocentrica valida se si scegliesse la scala corretta; deviazioni di secondo ordine sono spiegate da eccentricità e altri dispositivi perfezionati da Tolomeo (fr:3290-3291). Solo osservazioni molto raffinate potrebbero rivelare i difetti dell’assunzione di moti strettamente circolari (fr:3292).

Per quanto riguarda le influenze orientali, non ci sono ragioni per assumere influenze nello sviluppo del sistema planetario tolemaico: l’astronomia egiziana è esclusa come fonte (fr:3294-3295), mentre la teoria babilonese, pur raggiungendo risultati eccellenti, usa metodi (zigzag e funzioni a scalini) che escludono interpretazioni tramite combinazioni di moti circolari o modelli meccanici (fr:3296-3297). Tuttavia, l’influenza babilonese è visibile in due modi: in primo luogo, nel contribuire con materiale empirico di base per le teorie geometriche greche (fr:3298). La decifrazione della teoria lunare babilonese da parte di Epping e Kugler ha mostrato che le stesse costanti delle funzioni zigzag babilonesi sono usate per derivare i moti medi nelle teorie greche, specialmente da Ipparco (come indicato dai riferimenti di Tolomeo nell’Almagesto) (fr:3299-3300). Poiché le effemeridi babilonesi più antiche precedono (anche se di poco) il tempo di Ipparco, è indubbio che egli conoscesse almeno le basi empiriche della teoria babilonese, anche se la trasmissione e l’estensione della sua conoscenza delle tecniche di calcolo sono ignote (fr:3301-3302). Normalmente si considera Berosso (che si trasferì a Cos intorno al 270 a.C.) responsabile della trasmissione, ma i frammenti delle sue opere non contengono riferimenti specifici all’astronomia matematica (fr:3303-3304). Mancando commentari greci alle effemeridi e ai testi di procedura babilonesi, non si sa come sia avvenuto il passaggio da effemeridi anno per anno a tabelle basate su moti medi, come quelle dell’Almagesto (fr:3305-3306), il che dimostra quanto poco si sappia dell’astronomia ellenistica iniziale fuori dalla Mesopotamia (fr:3307).

In secondo luogo, l’influenza babilonese non è limitata alle costanti: metodi aritmetici diretti sono visibili in papiri greci e in riferimenti nella letteratura astrologica (fr:3309-3310). Come la letteratura matematica greca si divide in due classi, anche le procedure astronomiche hanno due gruppi: uno che porta all’Almagesto, l’altro (metodi aritmetici o lineari, basati su sequenze di differenze di primo ordine) usato dagli autori astrologici per calcolare le posizioni celesti per scopi oroscopici (fr:3311-3312). Questa classificazione è solo conveniente e ci sono molti contatti tra i due estremi; inoltre, non si deve intendere che i metodi dell’Almagesto escludano procedure numeriche: al contrario, l’Almagesto contiene molte tabelle e calcoli, e ha lo stesso obiettivo dei metodi aritmetici (fornire dati numerici per i fenomeni astronomici) (fr:3313-3316). La differenza è che l’Almagesto prima definisce un modello geometrico da cui derivare le conseguenze aritmetiche, spiegando anche le basi empiriche e teoriche, mentre i metodi lineari procedono solo su basi numeriche, come i testi babilonesi (fr:3317-3319). Non sono conservati trattati teorici sui metodi lineari, ma essi si basano su procedure ingegnose e materiale empirico simile a quello dell’Almagesto; tuttavia, mancano completamente di modelli geometrici, come la matematica ellenistica di tipo Herone-Diofanto manca di struttura assiomatica stretta (fr:3320-3322). La sopravvivenza diretta dei metodi babilonesi è riconoscibile soprattutto in un problema importante di geografia matematica (fr:3323).

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[29.1-62-3503|3564]

36 Origine e trasmissione della scienza ellenistica: fonti, astrologia e contatti tra civiltà

Analisi dei limiti cronologici delle fonti astronomiche, dei legami tra astrologia e scienza, e della trasmissione di conoscenze tra Mesopotamia, Egitto, India e mondo occidentale.

Per l’astronomia, le fonti sicure per la Mesopotamia sono solo del periodo seleucide, mentre in Egitto i primi oroscopi (demotici o greci) risalgono al regno di Augusto: “As we have explained in Chapter V, we are on safe ground for astronomy only for the Seleucid period in Mesopotamia” - (fr:3503) [Come abbiamo spiegato nel Capitolo V, abbiamo basi sicure per l’astronomia solo per il periodo seleucide in Mesopotamia]; “In Egypt the earliest horoscopes, Demotic or Greek, are from the reign of Augustus” - (fr:3504) [In Egitto i primi oroscopi, demotici o greci, risalgono al regno di Augusto]. In entrambi i casi, la velocità e l’estensione della diffusione di queste conoscenze non possono essere usate come argomento cronologico (fr:3505).

Nei testi cuneiformi seleucidi, l’ordine standard dei pianeti è Giove-Venere-Mercurio-Saturno-Marte, e questa disposizione differenzia i due sistemi astronomici, riflettendosi anche nell’ordine dei giorni della settimana planetaria ancora in uso: “In the cuneiform texts of the Seleucid period the standard arrangementis Origin and Transmission of Hellenistic Science 169 Jupiter-Venus-Mercury-8aturn-Mars” - (fr:3506) [Nei testi cuneiformi del periodo seleucide l’ordine standard è Giove-Venere-Mercurio-Saturno-Marte]; “This is reflected even in the arrangement of the days of the planetary week which we still use today” - (fr:3508) [Questo si riflette anche nell’ordine dei giorni della settimana planetaria che usiamo ancora oggi]. Un esempio di questa costruzione è l’inizio con il Sole per la prima ora, che determina i giorni successivi (fr:3509).

Le antiche predizioni astrologiche riguardavano il re e il paese, basandosi su osservazioni astronomiche e non su calcoli o sul momento di nascita: “The predictions concern the king and the country as a whole and are based on observed astronomical appearances, not on computation and not on the moment of birth” - (fr:3511) [Le predizioni riguardano il re e il paese nel suo insieme e si basano su apparenze astronomiche osservate, non su calcoli e non sul momento di nascita]. Intorno a questo si sviluppò un enorme sistema di dottrine per valutare dati primari e secondari, rendendo i testi utili per questioni astronomiche e cronologiche ma poco per la storia dell’astrologia stessa (fr:3512, 3513). Anche se i riferimenti a costellazioni permettono di distinguere una “sphaera barbarica” e una “sphaera graecanica”, le prove di prestiti diretti da concetti babilonesi sono scarse (fr:3514). Per uno scienziato moderno, un trattato astrologico antico sembra nonsenso, ma il concetto di influenza prevedibile tra corpi celesti non è diverso in linea di principio da teorie meccanicistiche moderne, contrastando con idee di arbitrio divino o magia: “To a modern scientist, an ancient astrological treatise appears as mere nonsense” - (fr:3516) [Per uno scienziato moderno, un trattato astrologico antico sembra semplicemente un nonsenso]; “The concept of predictable influence between these bodies is in principle not at all different from any modern mechanistic theory And it stands in sharpest contrast to the ideas of either arbitrary rulership of deities or of the possibility of influencing events by magical operations” - (fr:3517) [Il concetto di influenza prevedibile tra questi corpi non è in linea di principio affatto diverso da qualsiasi teoria meccanicistica moderna, e sta nel più netto contrasto con le idee sia di governo arbitrario delle divinità, sia della possibilità di influenzare gli eventi con operazioni magiche]. La trasformazione da scienza a impostura è facile da esemplificare anche nel mondo moderno (fr:3518).

Un esempio di trasmissione è Abu Ma’shar (morto nel 886), rappresentante precoce dell’astrologia ellenistica tra gli arabi, le cui dottrine influenzarono i dipinti astrologici del Palazzo Schifanoja a Ferrara (seconda metà del XV secolo): “As an example may be quoted Abu Ma’shar, who died in 886 and is an early representative of Hellenistic astrology among the Arabs” - (fr:3519) [Come esempio si può citare Abu Ma’shar, che morì nell’886 ed è un rappresentante precoce dell’astrologia ellenistica tra gli arabi]; “The famous astrological paintings in the Palazzo Schifanoja in Ferrara, made in the second half of the 15th century, are influenced by the doctrines of Abu Ma’shar’s astrology” - (fr:3520) [I famosi dipinti astrologici nel Palazzo Schifanoja a Ferrara, realizzati nella seconda metà del XV secolo, sono influenzati dalle dottrine dell’astrologia di Abu Ma’shar]. Esistono anche cicli completi di traduzioni e prestiti dal greco di nuovo al greco, ma le sue opere hanno un componente di grande interesse per la trasmissione della scienza ellenistica (fr:3521, 3522).

Per l’India, anche se abbiamo solo le estremità (Mesopotamia e India), possiamo assumere che la trasmissione dell’astronomia matematica abbia seguito la stessa strada: “We are obviously entitled to aSSUlne that the same road was followed by the transmission of mathematical astronomy even if no more is available to us than the two extremal ends in Mesopotamia and India” - (fr:3523) [Ovviamente abbiamo diritto di assumere che la stessa strada sia stata seguita dalla trasmissione dell’astronomia matematica, anche se non abbiamo a disposizione altro che le due estremità in Mesopotamia e India]. Le sezioni del Panca Siddhantika di Varaha Mihira possono essere comprese grazie ai testi planetari babilonesi, così come le relazioni di periodo fondamentali e parametri speciali: “Nevertheless, we can now understand whole sections in Variba Mihira’s Pailca Siddhlntiki by means of the Babylonian planetary texts” - (fr:3524) [Ciononostante, ora possiamo capire intere sezioni nel Panca Siddhantika di Varaha Mihira per mezzo dei testi planetari babilonesi]. Tutti e tre i valori usati da Varaha Mihira corrispondono a parametri babilonesi, come l’arco sinodico medio di Mercurio (esattamente il valore indù) e Venere, oltre al moto di Saturno: “Indeed the mean synodic arc for Mercury is 54;12.24•… = 52 which is exactly the Hindu value; and the same agreement is found for Venus” - (fr:3528) [In effetti l’arco sinodico medio per Mercurio è 1,54;12,24… = 52 che è esattamente il valore indù; e lo stesso accordo si trova per Venere]; “Similarly for Saturn: 3721 - 360 = 12;40° as compared with 12;39.22.30° in the Babylonian theory” - (fr:3533) [Allo stesso modo per Saturno: 3721 - 360 = 12;40° rispetto a 12;39,22,30° nella teoria babilonese]. La data di Varaha Mihira è confermata dall’uso dell’anno 427 dell’Era Saka (505 d.C.) come epoca e da considerazioni che portano al 590 d.C. come limite superiore per la sua vita (fr:3535).

Il Surya Siddhanta si dice rivelato dal Sole alla fine dell’Età dell’Oro (2163102 a.C.) a un Maya Asura, ma gli studiosi moderni lo datano intorno al 400 d.C., con la versione attuale forse fino al 1000 d.C.; combina sezioni primitive con la teoria greca dei moti epiciclici, caratterizzata da al-Biruni come un misto di “conchiglie di perla e datteri acerbi, o di perle e sterco, o di cristallo prezioso e ciottoli comuni”: “It is supposed to have been revealed by the Sun (Siirya) at the end of the Golden Age (2163102 B.C.) to a Maya Asura” - (fr:3537) [Si suppone che sia stato rivelato dal Sole (Surya) alla fine dell’Età dell’Oro (2163102 a.C.) a un Maya Asura]; “The origin of the SOrya Siddhinta is dated by modern scholars to about 400 A.D. while its present version may be as late as about 1000 A.D. That this work contains several much older and very primitive sections which it combines rather startlingly with the Greek theory of epicyclic motion has been apparent to all scholars since al-Biriini, who characterizes Hindu mathematical and astronomical literature somewhat drastically as ca a mixture of pearl shells and sour dates, or of pearls and dung, or of costly crystal and common pebbles”) - (fr:3538) [L’origine del Surya Siddhanta è datata dagli studiosi moderni intorno al 400 d.C., mentre la sua versione attuale potrebbe essere anche tarda intorno al 1000 d.C. Che questa opera contenga diverse sezioni molto più antiche e molto primitive, che combina in modo piuttosto sorprendente con la teoria greca del moto epiciclico, è apparso a tutti gli studiosi sin da al-Biruni, che caratterizza la letteratura matematica e astronomica indù in modo alquanto drastico come “un misto di conchiglie di perla e datteri acerbi, o di perle e sterco, o di cristallo prezioso e ciottoli comuni”]. Le modifiche sono dimostrate dal confronto con il sommario di Varaha Mihira, e i nomi di alcune opere (come il Paulisa Siddhanta, considerato da al-Biruni opera di Paulus Alexandrinus, astrologo del IV secolo d.C.) supportano legami con i Greci dell’impero romano o bizantino (fr:3540, 3541). Anche la teoria astrologica riflette le più antiche strati della dottrina ellenistica (fr:3542).

Prove crescenti colmano le lacune: Vettius Valens dichiara di non aver calcolato tabelle di eclissi da solo, ma di aver usato Ipparco per il Sole e Sudine e Kidena per la Luna, legandolo ai metodi lineari babilonesi e a quelli di Ipparco: “The otlquoted passage where Vettius Valens declares that he ‘did not compute eclipse tables himself but used Hipparchus for the sun, 176 Chapter VI Sudines and Kidenas for the moon’, relates him directly with the linear methods of the Babylonians, and with whatever geometrical or al”ithmetical methods were used by Hipparchus“ - (fr:3544) [Il passaggio spesso citato dove Vettius Valens dichiara di “non aver calcolato da solo tabelle di eclissi, ma di aver usato Ipparco per il Sole, Sudine e Kidena per la Luna”, lo lega direttamente ai metodi lineari dei Babilonesi e a qualsiasi metodo geometrico o aritmetico usato da Ipparco]. La via di ritorno passa di nuovo attraverso la Persia, e al-Biruni tradusse un’opera astrologica di Varaha Mihira in arabo (fr:3545, 3547).

Mancano ancora fonti edite per molte questioni specifiche, ma seguendo le connessioni della teoria matematica e astronomica si muove da periodo a periodo e da civiltà a civiltà, sottolineando l’unità intrinseca della cultura umana: “What is less generally known, however, is the fact that for every specific question of astronomical or mathematical theory we are still groping in the dark because of a most deplorable lack of edited source material” - (fr:3548) [Quello che è meno noto, tuttavia, è il fatto che per ogni domanda specifica della teoria astronomica o matematica stiamo ancora brancolando nel buio a causa di una deplorevole mancanza di fonti edite]; “By patiently following the connections of mathematical and astronomical theory we moved from period to period and from civilization to civilization” - (fr:3550) [Seguendo pazientemente le connessioni della teoria matematica e astronomica, ci siamo mossi da periodo a periodo e da civiltà a civiltà]; “It only underlines the intrinsic unity of human culture” - (fr:3551) [Questo sottolinea solo l’unità intrinseca della cultura umana]. Come l’arazzo dell’Unicorno ai Cloisters del Metropolitan Museum, si è costruita una recinzione con piccoli pezzi di prova per contenere quella che potrebbe essere una creatura vivente possibile (fr:3552, 3553).

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37 Componenti, trasmissione e fonti dell’astrologia e astronomia antica e medievale

Analisi delle origini, delle relazioni tra tradizioni e delle fonti di astrologia e astronomia mesopotamiche, ellenistiche, indù e islamiche.

Quasi tutti i documenti mesopotamici sull’astrologia appartengono allo stesso periodo, ma sono molto meno numerosi dei testi astronomici (“Almost all documents concerning astrology in Mesopotamia belong to the same period, but their number is very small compared to the astronomical texts” - (fr:3565) [Quasi tutti i documenti sull’astrologia in Mesopotamia appartengono allo stesso periodo, ma il loro numero è molto piccolo rispetto ai testi astronomici.]); a questo periodo risalgono anche i primi trattati astrologici e una discussione generale sulla validità della dottrina astrologica (“To the same period belong the earliest astrological treatises and a general discussion about the validity of astrological doctrine” - (fr:3566) [Allo stesso periodo appartengono i primi trattati astrologici e una discussione generale sulla validità della dottrina astrologica.]), con criteri cronologici derivabili solo dai testi stessi (“The only chronological criteria can come from the texts themselves” - (fr:3567) [Gli unici criteri cronologici possono derivare dai testi stessi.]).

Per quanto riguarda l’arrangiamento planetario, la ragione di un ordinamento non è nota: la spiegazione comune (primi due pianeti benefici, ultimi due malefici, Mercurio dubbio) non appare nelle fonti cuneiformi (“The reason for this arrangement is unknown; the commonly given explanation that the first two planets are beneficiary, the last two malevolent, with Mercury doubtful, does not appear in cuneiform sources” - (fr:3568) [La ragione di questo ordinamento è sconosciuta; la spiegazione comunemente data che i primi due pianeti sono benefici, gli ultimi due malefici, con Mercurio dubbio, non appare nelle fonti cuneiformi.]), e il sistema babilonese non ha relazione con l’arrangiamento spaziale (“The Babylonian system has nothing to do with the arrangement in space” - (fr:3569) [Il sistema babilonese non ha nulla a che fare con l’arrangiamento nello spazio.]); in un ordinamento, il Sole è tra Marte e Venere, la Luna sotto Mercurio (“Here the Sun is placed between Mars and Venus, and the Moon below Mercury” - (fr:3570) [Qui il Sole è posto tra Marte e Venere, e la Luna sotto Mercurio.]). Il “dominatore” della prima ora è considerato dominatore del giorno, ottenendo per sette giorni consecutivi i dominatori Sole, Luna, Marte, Mercurio, Giove, Venere, Saturno – sequenza dei giorni della settimana e dell’arrangiamento planetario nell’astronomia indù –, anche se chiamare questo ordine “caldeo” è totalmente fuorviante (“Mars The ‘ruler’ of the first hour it then considered to he the ruler of the day and thus one obtains for seven consecutive days the following rulers Sun Moon Mars Mercury Jupiter Venus Saturn which is our sequence of the days of the week and also the arrangement of the planets in Hindu astronomy” - (fr:3571) [Marte: il “dominatore” della prima ora è quindi considerato dominatore del giorno e così si ottiene per sette giorni consecutivi i seguenti dominatori: Sole, Luna, Marte, Mercurio, Giove, Venere, Saturno, che è la nostra sequenza dei giorni della settimana e anche l’arrangiamento dei pianeti nell’astronomia indù.]; “It is totally misleading when this order is called ’Chaldeanu in modern literature” - (fr:3572) [È totalmente fuorviante quando questo ordine è chiamato “caldeo” nella letteratura moderna.]); inoltre, lo zodiaco non appare mai (“In addition, the zodiac never appears” - (fr:3573) [Inoltre, lo zodiaco non appare mai.]).

Gli oroscopi conservati contengono pochissimo, se non nulla, delle speculazioni teoriche (“It is interesting to observe that the actually preserved horoscopes contain very little, if anything at all, of these theoretical speculations” - (fr:3574) [È interessante osservare che gli oroscopi effettivamente conservati contengono pochissimo, se non nulla, di queste speculazioni teoriche.]). La struttura principale della teoria astrologica è indubbiamente ellenistica, anche se il lavoro di studiosi come Bouche-Leclercq, Cumont e altri ha mostrato componenti di origine diversa; un argomento aggiuntivo colloca l’origine di un’opera astrologica importante nel II secolo a.C. (“Nevertheless, the patient work of scholars like Bouche-Leclercq, Cumont, Boll, Bezold, Kroll, Rehm and many others has shown the existence of different components of diverse origin” - (fr:3575) [Ciononostante, il paziente lavoro di studiosi come Bouche-Leclercq, Cumont, Boll, Bezold, Kroll, Rehm e molti altri ha mostrato l’esistenza di differenti componenti di origine diversa.]; “The main structure of the astrological theory is undoubtedly Hellenistic” - (fr:3576) [La struttura principale della teoria astrologica è indubbiamente ellenistica.]; “p. 69) is an added argument for the origin of this major work of astrology in the second century B.C.” - (fr:3577) [p. 69) è un argomento aggiuntivo per l’origine di questa importante opera di astrologia nel II secolo a.C.]). È importante valutare queste dottrine nel contesto contemporaneo: rispetto a religione, magia e misticismo, le dottrine fondamentali dell’astrologia sono pura scienza (“But we should not forget that we must evaluate such doctrines against the contemporary background” - (fr:3578) [Ma non dobbiamo dimenticare che dobbiamo valutare queste dottrine nel contesto contemporaneo.]; “Compared with the background of religion, magic and mysticism, the fundamental doctrines of astrology are pure science” - (fr:3579) [Rispetto al contesto di religione, magia e misticismo, le dottrine fondamentali dell’astrologia sono pura scienza.]).

La trasmissione tra tradizioni è documentata da diversi passaggi: Boll ha mostrato che un autore utilizzò una traduzione persiana (542 d.C.) della Sphaera Barbarica di Teukros, e i suoi scritti furono tradotti in latino, greco, ebraico e dall’ebraico in latino (“Boll has shown that he utilized a Persian translation, made in 542, of the ‘Sphaera Barbarica’ of Teukros” - (fr:3581) [Boll ha mostrato che egli utilizzò una traduzione persiana, fatta nel 542, della “Sphaera Barbarica” di Teukros.]; “On the other hand, his writings were translated into Latin, into Greek, into Hebrew, 172 Chapter VI and from Hebrew into Latin” - (fr:3582) [D’altra parte, i suoi scritti furono tradotti in latino, in greco, in ebraico, e dall’ebraico in latino.]). Capitoli di un poema astrologico in esametri di Doroteo di Sidone (I secolo d.C.) furono usati da Abu Ma’shar, che fornì il prototipo per il dialogo bizantino Hermippos; inoltre, asterismi indiani appaiono in Abu Ma’shar, derivanti da Varaha Mihira (VI secolo d.C.), nella cui opera astronomica si trovano metodi lineari per il moto lunare noti anche da papiri greci e tavolette cuneiformi (“For example, chapters from an astrological poem in hexameters by Dorotheos of Sidon (first century A.D.) were used by Abu Ma’shar, who in turn provided the prototype for a Byzantine dialogue ‘Hermippos’” - (fr:3583) [Per esempio, capitoli di un poema astrologico in esametri di Doroteo di Sidone (I secolo d.C.) furono usati da Abu Ma’shar, che a sua volta fornì il prototipo per un dialogo bizantino “Hermippos”.]; “Indian asterisms appear in Abu Ma’shar, and their source is found in the astrological writings of Varlba Mihira, the same author of the sixth century A.D. in whose astronomical work we found the use of the linear methods for the lunar motion, otherwise known to us from Greek papyri and finally from cuneiform tablets” - (fr:3584) [Asterismi indiani appaiono in Abu Ma’shar, e la loro fonte si trova negli scritti astrologici di Varaha Mihira, lo stesso autore del VI secolo d.C. nella cui opera astronomica abbiamo trovato l’uso dei metodi lineari per il moto lunare, altrimenti noti a noi da papiri greci e infine da tavolette cuneiformi.]). I papiri rappresentano almeno un anello mancante per la teoria lunare (“In the ease of the lunar theory, at least one missing link, the papyri, were available” - (fr:3585) [Nel caso della teoria lunare, almeno un anello mancante, i papiri, erano disponibili.]).

I fenomeni planetari nei testi babilonesi sono descritti tramite funzioni a gradini (“System A”), e alcuni esempi mostrano valori apparentemente strani per la durata delle rivoluzioni sinodiche dei pianeti in Varaha Mihira – non si tratta di giorni –, con l’arco sinodico medio per Marte secondo la teoria babilonese e una differenza di 360°, confermata per Giove e Saturno (“We have seen how the planetary phenomena were described in Babylonian texts by means of step functions which we generally called ‘System AU” - (fr:3586) [Abbiamo visto come i fenomeni planetari siano stati descritti nei testi babilonesi per mezzo di funzioni a gradini che generalmente abbiamo chiamato “System A”.]; ”Very strange values seemed to be assigned by Varaha Mihira to the duration of the synodic revolutions of the planets; for example” - (fr:3588) [Valori molto strani sembravano essere assegnati da Varaha Mihira alla durata delle rivoluzioni sinodiche dei pianeti; per esempio.]; ”Not ’days’ are meant” - (fr:3589) [Non si intendono “giorni”.]; “The mean synodic arc for Mars” - (fr:3590) [L’arco sinodico medio per Marte.]; “according to the Babylonian theory” - (fr:3591) [secondo la teoria babilonese.]; “But the difference is 360°” - (fr:3592) [Ma la differenza è 360°.].; “This is confirmed for I the case of Jupiter and Saturn” - (fr:3594) [Questo è confermato per il caso di Giove e Saturno.]). Oggi siamo solo all’inizio di un’indagine sistematica sulle relazioni tra astronomia indù e babilonese: il fatto che si possa stabilire una relazione tra i metodi lineari babilonesi e sezioni del Paiica Siddhintiki è solo un aspetto del problema generale, e il Paiica Siddhintiki è un documento ben datato, precoce e unico nell’astronomia indù (“We stand today only at the beginning of a systematic investigation of the relations between Hindu and Babylonian astronomy” - (fr:3595) [Oggi siamo solo all’inizio di un’indagine sistematica sulle relazioni tra astronomia indù e babilonese.]; “The fact that a close relationship between Babylonian linear methods and sections of the Pailca Siddhintiki can be established is only one facet of the general problem of the evaluation of the role of Hindu astronomy in the history of science” - (fr:3596) [Il fatto che si possa stabilire una relazione stretta tra i metodi lineari babilonesi e sezioni del Paiica Siddhintiki è solo un aspetto del problema generale della valutazione del ruolo dell’astronomia indù nella storia della scienza.]; “But it is important not only that the Paiica Siddhintiki is in this way a well dated and comparatively early document; it is also a historical source of a unique character in Hindu astronomy” - (fr:3597) [Ma è importante non solo che il Paiica Siddhintiki sia in questo modo un documento ben datato e relativamente precoce; è anche una fonte storica di carattere unico nell’astronomia indù.]). Varaha Mihira è anche una delle fonti principali del resoconto di al-Biruni (1030 d.C.) sull’astronomia e astrologia indù, occupando un ruolo centrale per lo studio di questa disciplina (“On the other hand Varlba Mihira is also one of the main sources of al-Birfini’s report on Hindu astronomy and astrology, written about 1030 A.D. Consequently Varlba Mihira occupies a central role for the study of Hindu astronomy” - (fr:3598) [D’altra parte, Varaha Mihira è anche una delle fonti principali del resoconto di al-Biruni sull’astronomia e astrologia indù, scritto intorno al 1030 d.C. Di conseguenza, Varaha Mihira occupa un ruolo centrale per lo studio dell’astronomia indù.]).

Alcuni manoscritti contengono un comando aggiuntivo del Sole a Maya: “Va’ dunque a Romaka-city, la tua residenza; lì, incarnato come barbaro, a causa di una maledizione di Brahma, ti impartirò questa scienza” (riferimento a Surya Siddhanta I,8 di Burgess) (“Some manuscripts contain the additional command of the Sun to Maya: ’Go therefore to Romaka-city, your own residence; there, undergoing incarnation as a barbarian, owing to a curse of Brahma, I will impart to you this science’1)” - (fr:3599) [Alcuni manoscritti contengono il comando aggiuntivo del Sole a Maya: “Va’ dunque a Romaka-city, la tua residenza; lì, incarnato come barbaro, a causa di una maledizione di Brahma, ti impartirò questa scienza”1).]; “1) SOrya Siddhlnta I, 8 (Burgess)” - (fr:3600) [1) Surya Siddhanta I, 8 (Burgess).]). Il Surya Siddhanta sembra essere il trattato indù più coerentemente modificato, e il periodo di contatto è collocabile intorno al 400 d.C. (epoca della sua origine); è forse significativo che la prima occorrenza della notazione del valore posizionale risalga al Paulisa Siddhanta, portando a un periodo tra Tolomeo (150 d.C.) e Ipparco (150 a.C.) o anche leggermente prima (“On the whole, however, it seems as if the Siirya Siddhanta were the most consistently modified Hindu treatise” - (fr:3602) [Nel complesso, tuttavia, sembra che il Surya Siddhanta sia il trattato indù più coerentemente modificato.]; “Thus we obtain again as the period of contact roughly the time of origin of the Surya Siddhinta, i. e., about 400 A.D. And it is perhaps significant that the earliest occurrence of the place value notation can be traced back again to the Paulisa Siddhanta” - (fr:3603) [Così otteniamo di nuovo come periodo di contatto approssimativamente l’epoca di origine del Surya Siddhanta, cioè intorno al 400 d.C. Ed è forse significativo che la prima occorrenza della notazione del valore posizionale possa essere fatta risalire di nuovo al Paulisa Siddhanta.]; “This would lead to a period between Ptolemy (150 A.D.) and Hipparchus (150 B.C.) or even slightly earlier” - (fr:3604) [Questo porterebbe a un periodo tra Tolomeo (150 d.C.) e Ipparco (150 a.C.) o anche leggermente prima.]).

Ibn Yunus (morto nel 1009), astronomo arabo autore delle Tabelle Hakemite, cita osservazioni persiane dell’apogeo dell’orbita solare fatte intorno al 470 e al 630 d.C.; Nallino ha mostrato che sia Teukros che Vettius Valens furono tradotti in pehlevi (lingua persiana medio-iranica preislamica) (“Ibn Yunus, the great Arabie astronomer (died 1009), famous as author of the Hakemite tables, quotes Persian observations of the apogee of the solar orbit made about 470 A.D. and 630 A.D. Nallino has shown that both Teukros and Vettius Valens were translated into Pehlevi, the pre-Islamic or Middle-Persian Iranian language” - (fr:3605) [Ibn Yunus, il grande astronomo arabo (morto nel 1009), famoso come

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38 Origine, sviluppo e trasmissione dell’astrologia e della scienza ellenistica

Il testo analizza le radici babilonesi e lo sviluppo ellenistico dell’astrologia, le sue differenze con le tradizioni precedenti e la sua trasmissione a India, mondo islamico e Bisanzio, evidenziando fonti chiave e confronti numerici.

Inizialmente, si sottolinea la scarsità di fonti cuneiformi sull’astrologia rispetto a quelle greche: “We have about ten horoscopes from cuneiform tablets, and still fewer texts concern astrological doctrines as they are known to us in such enormous amounts from Greek sources” - (fr:3627) [Abbiamo una decina di oroscopi da tavolette cuneiformi, e ancor meno testi riguardano dottrine astrologiche come ci sono note in quantità così enormi da fonti greche]. La diffusione dell’astrologia nel primo periodo imperiale romano è paragonata a quella di cristianesimo e mitraismo: “The rapid spread and enormous development of astrology during the first Roman imperial period is paralleled in the spread of Christianity, Mithraism, and related creeds” - (fr:3628) [La rapida diffusione e l’enorme sviluppo dell’astrologia durante il primo periodo imperiale romano è parallelo alla diffusione del cristianesimo, del mitraismo e di credi correlati].

Un elemento peculiare dell’astrologia greca è l’arrangiamento planetario standard: “The ordinary arrangement in the Greek horoscopes is Sun-Moon-Saturn-Jupiter-Mars-Venus-Mercury, except for cases where an arrangement is chosen which depends on the special horoscope, that is, following the positions of the celestial bodies in the zodiac at the given moment” - (fr:3630) [L’arrangiamento ordinario negli oroscopi greci è Sole-Luna-Saturno-Giove-Marte-Venere-Mercurio, tranne nei casi in cui si sceglie un arrangiamento che dipende dall’oroscopo specifico, cioè seguendo le posizioni dei corpi celesti nello zodiaco in un dato momento]. Questo sistema si basa sui periodi di rotazione siderale e sulla distanza dalla Terra, e prevede un “dominatore” per ciascuna delle 24 ore del giorno – una suddivisione non babilonese ma ellenistica di origine egiziana: “The Greek system, however, obviously follows the model which arranges the planets in depth according to their periods of sidereal rotation. Every one of the 24 hours of a day is given a ‘ruler’ following this sequence. Here we have a system which is obviously Greek in origin not only because it is based on the arrangement of the celestial bodies according to their distance from the earth but also because it supposes a division of the day into 24 hours, a form of reckoning which is not Babylonian but a Hellenistic product of ultimately Egyptian origin” - (fr:3631-3633) [Il sistema greco, tuttavia, segue ovviamente il modello che arrangia i pianeti in profondità secondo i loro periodi di rotazione siderale. A ciascuna delle 24 ore di un giorno è assegnato un “dominatore” seguendo questa sequenza. Qui abbiamo un sistema che è ovviamente di origine greca non solo perché si basa sull’arrangiamento dei corpi celesti secondo la loro distanza dalla Terra, ma anche perché presuppone una divisione del giorno in 24 ore, una forma di calcolo che non è babilonese ma un prodotto ellenistico di origine in ultima istanza egiziana].

Si distingue nettamente l’astrologia assira (presagi celesti generali) da quella ellenistica (personale, legata al momento di nascita): “As we have said before, the astrology which is known to us from the Assyrian period is quite different from the Hellenistic personal astrology. Hellenistic horoscopes, however, concern a specific person and depend upon the computed position of the seven celestial bodies and of the zodiacal signs in their relation to the given horizon, for a given moment, the moment of birth” - (fr:3634-3635) [Come abbiamo detto prima, l’astrologia che ci è nota dal periodo assiro è completamente diversa dall’astrologia personale ellenistica. Gli oroscopi ellenistici, tuttavia, riguardano una persona specifica e dipendono dalla posizione calcolata dei sette corpi celesti e dei segni zodiacali in relazione all’orizzonte dato, per un momento dato, il momento della nascita]. Alcune predizioni si riferiscono a eventi specifici (distruzione dell’impero persiano, guerre dei diadochi, Egitto tolemaico): “There exist predictions which fit only very specific circumstances, like the destruction of the Persian empire by Alexander or the wars between his successors in Syria; finally, there is a great mass of references to Egypt under the rule of the Ptolemies” - (fr:3637) [Esistono predizioni che si adattano solo a circostanze molto specifiche, come la distruzione dell’impero persiano da parte di Alessandro o le guerre tra i suoi successori in Siria; infine, c’è una grande massa di riferimenti all’Egitto sotto il dominio dei Tolemei].

Per l’origine, si riconosce un impulso iniziale dalla Babilonia, ma lo sviluppo effettivo è parte della scienza ellenistica: “Though it is quite plausible that the original impetus for horoscopic astrology came from Babylonia as a new development from the old celestial omens, it seems to me that its actual development must be considered as an important component of Hellenistic science” - (fr:3639) [Anche se è abbastanza plausibile che l’impulso originale per l’astrologia oroscopica venisse dalla Babilonia come nuovo sviluppo dagli antichi presagi celesti, mi sembra che il suo sviluppo effettivo debba essere considerato una componente importante della scienza ellenistica]. Per i Greci, l’universo era una struttura definita, ma i confini tra scienza e speculazione si offuscarono, e l’astrologia promosse superstizioni: “To Greek philosophers and astronomers, the universe was a well defined structure of directly related bodies. Of course, the boundaries between rational science and loose speculation were rapidly obliterated and astrological lore did not stem-but rather promoted-superstition and magical practices” - (fr:3640-3641) [Per i filosofi e astronomi greci, l’universo era una struttura ben definita di corpi direttamente correlati. Naturalmente, i confini tra scienza razionale e speculazione libera si offuscarono rapidamente e la tradizione astrologica non derivò - ma piuttosto promosse - superstizioni e pratiche magiche].

L’astrologia è anche uno strumento per studiare la trasmissione del pensiero ellenistico: “To the historian of civilization, astrology is not only one of the significant phenomena of the Hellenistic world but an exceedingly helpful tool for the investigation of the transmission of Hellenistic thought” - (fr:3642) [Per lo storico della civiltà, l’astrologia non è solo uno dei fenomeni significativi del mondo ellenistico, ma anche uno strumento estremamente utile per l’indagine sulla trasmissione del pensiero ellenistico]. Tra le fonti, i testi di Ermete Trismegisto contengono resti del più antico catalogo stellare: “On p. 68 we have discussed the remnants of the oldest available catalogue of stars, contained in the astrological writings which go under the name of Hermes Trismegistos” - (fr:3638) [A pagina 68 abbiamo discusso i resti del più antico catalogo stellare disponibile, contenuti negli scritti astrologici che vanno sotto il nome di Ermete Trismegisto].

Per l’India, la Panca Siddhantika di Varaha Mihira è un punto cronologico fisso, poiché riassume cinque trattati astronomici indiani: “In it the Panca Siddhantika of Varaha Mihira is of special importance because it forms a chronological fixed point of the first importance. Its name indicates that it is based on five Siddhantas, and it actually contains a summary of the contents of the five great astronomical treatises which were in existence in Varaha Mihira’s time” - (fr:3658-3659) [In essa la Panca Siddhantika di Varaha Mihira è di speciale importanza perché forma un punto cronologico fisso di primaria importanza. Il suo nome indica che si basa su cinque Siddhanta, e in realtà contiene un riassunto del contenuto dei cinque grandi trattati astronomici che esistevano al tempo di Varaha Mihira]. Il Surya Siddhanta è il canone principale dell’astronomia indù: “The Surya Siddhanta has to be considered as the main canon of Hindu astronomy” - (fr:3660) [Il Surya Siddhanta deve essere considerato il canone principale dell’astronomia indù]. Varaha Mihira loda l’astronomia greca: “The Greeks, indeed, are foreigners, but with them this science [astronomy] is in a nourishing state” - (fr:3661) [“I Greci, invero, sono stranieri, ma con loro questa scienza [l’astronomia] è in stato fiorente”]. Sebbene l’influenza greca sia evidente, la teoria ha subito una trasformazione indipendente: “Though the Greek influence on the Surya Siddhanta is evident, it is equally obvious that the Greek theory has undergone a quite independent transformation in many details both with respect to the values of numerical constants and to the general theory” - (fr:3663) [Sebbene l’influenza greca sul Surya Siddhanta sia evidente, è altrettanto ovvio che la teoria greca ha subito una trasformazione abbastanza indipendente in molti dettagli sia per quanto riguarda i valori delle costanti numeriche sia per la teoria generale]. I Romaka e Paulisa Siddhanta sono più vicini alle fonti ellenistiche, ma mancano influenze tolemaiche, lasciando un vuoto di secoli: “What we know about the Romaka and the Paulisa Siddhanta from the material which was incorporated in the Pafica Siddhantika seems to bring these treatises closer to the Hellenistic sources. On the other hand, it has long been recognized that the borrowings of Hindu astronomy from Greek astronomy show no influence of the refinements of the Ptolemaic theory. This seems to leave a serious gap of several centuries between the date of the Hellenistic sources and reception by the Hindus” - (fr:3664-3666) [Quello che sappiamo dei Romaka e Paulisa Siddhanta dal materiale incorporato nella Panca Siddhantika sembra avvicinare questi trattati alle fonti ellenistiche. D’altra parte, è da tempo riconosciuto che i prestiti dell’astronomia indù dall’astronomia greca non mostrano influenza dai raffinamenti della teoria tolemaica. Questo sembra lasciare un vuoto serio di diversi secoli tra la data delle fonti ellenistiche e la ricezione da parte degli indù]. Si menziona Teukros (I secolo a.C.) per elementi iniziali dell’astrologia greca e Vettius Valens, contemporaneo di Tolomeo ma non influenzato dall’Almagesto o dal Tetrabiblos: “We have already seen that Teukros (first century B.C.?) accounts for early elements in Greek astrology; Vettius Valens is a younger contemporary of Ptolemy but uninfluenced either by the Almagest or by the Tetrabiblos” - (fr:3667) [Abbiamo già visto che Teukros (I secolo a.C.?) spiega elementi iniziali nell’astrologia greca; Vettius Valens è un contemporaneo più giovane di Tolomeo ma non influenzato né dall’Almagesto né dal Tetrabiblos].

Per il mondo islamico, le tavole di al-Khwarizmi miscelano metodi indù e greci: “Al-Khwarizmi’s astronomical tables have been preserved through Latin translations; they show a curious mixture of Hindu and Greek methods” - (fr:3669) [Le tavole astronomiche di al-Khwarizmi sono state conservate attraverso traduzioni latine; mostrano una curiosa miscela di metodi indù e greci]. Al-Khwarizmi trasmise conoscenze in entrambe le direzioni, traducendo Euclide e l’Almagesto in sanscrito: “He not only transmitted Hindu knowledge to the West, but he tells us that ‘most of their books are composed in Sloka [verses], in which I am now exercising myself, being occupied in composing for the Hindus a translation of the books of Euclid and of the Almagest, and dictating to them a treatise on the construction of the astrolabe, being simply guided herein by the desire of spreading science’” - (fr:3670) [Egli non solo trasmise la conoscenza indù all’Occidente, ma ci dice che “la maggior parte dei loro libri sono composti in Sloka [versi], in cui mi sto esercitando ora, essendo occupato a comporre per gli indù una traduzione dei libri di Euclide e dell’Almagesto, e a dettare loro un trattato sulla costruzione dell’astrolabio, essendo guidato semplicemente dal desiderio di diffondere la scienza”]. Abu Ma’shar è una fonte per la tradizione ellenistica delle costellazioni: “Thus Abu Ma’shar becomes an important source for an early Hellenistic lore of constellations” - (fr:3643) [Così Abu Ma’shar diventa una fonte importante per una prima tradizione ellenistica delle costellazioni].

Fonti cuneiformi forniscono periodi sinodici e archi sinodici per i pianeti, in buon accordo con valori successivi: “For Saturn and Jupiter we know from cuneiform sources the synodic periods 4,16 and 6,31… and for Venus the synodic arc of 35;30°” - (fr:3649) [Per Saturno e Giove sappiamo da fonti cuneiformi i periodi sinodici 4,16 e 6,31… e per Venere l’arco sinodico di 35;30°]; “Instead of 398 days we consider only 33+ = 33;8.34… ° and this is again in good agreement with the Babylonian value 33;8.45° for the mean synodic arc” - (fr:3656) [Invece di 398 giorni consideriamo solo 33+ = 33;8.34… ° e questo è ancora in buon accordo con il valore babilonese 33;8.45° per l’arco sinodico medio].

Infine, si sottolinea che la storia delle scienze matematiche antiche è un campo fertile, e che seguire questa trasmissione culturale è meritevole anche con risultati frammentari: “The history of the ancient mathematical sciences is a field in which one need not go far to find fertile soil ready to be cultivated. To follow this specific aspect of cultural history seems to me worthy of our efforts, however fragmentary our results may be” - (fr:3672, 3675) [La storia delle scienze matematiche antiche è un campo in cui non è necessario andare lontano per trovare terreno fertile pronto a essere coltivato. Seguire questo aspetto specifico della storia culturale mi sembra meritevole dei nostri sforzi, tuttavia frammentari possano essere i nostri risultati].

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39 Il sistema tolemaico: modelli lunari, planetari e confronti con Copernico

Trattato che illustra i meccanismi astronomici tolemaici, le osservazioni empiriche che li definirono, e le considerazioni sulla teoria copernicana.

Il testo inizia con il modello lunare epiciclico: nel sistema dove il raggio del deferente è 60, il raggio dell’epiciclo è “r = 5;15” (fr:4156) [r = 5;15]. Tolomeo, grazie a un’analisi delle osservazioni sue e dei predecessori, notò “deviazioni marcate dalle longitudini previste della luna, raggiungendo un massimo in prossimità delle elongazioni di ±90° dal sole” (fr:4158). Le osservazioni suggerirono che il diametro apparente dell’epiciclo lunare dipendesse dall’elongazione solare (fr:4160); per spiegare questo, si introdusse un punto F che si muove retrogrado su un piccolo cerchio di centro O e raggio s, con distanza angolare dal sole medio uguale all’elongazione η (fr:4162). Alla quadratura (η=90°), la distanza OC raggiunge il valore minimo “R - 28” (fr:4163), e ciò aumenta il diametro apparente dell’epiciclo come osservato (fr:4164). Il punto T, apogeo dell’epiciclo visto da O, è chiamato “apogeo ‘vero’” (fr:4165); Tolomeo, tuttavia, ignorò silenziosamente la discrepanza tra le distanze geocentriche effettive della luna e quelle richieste dal modello (fr:4166, 4168).

Per la teoria planetaria, si seguono gli stessi principi della teoria solare e lunare (fr:4180): orbite circolari eccentriche portano a moti epiciclici con deferenti eccentrici, dove l’eccentricità è il risultante dei vettori di eccentricità planetaria e solare (o terrestre) (fr:4181). Le menti filosofiche obiettarono a questa deviazione dal moto circolare uniforme, inventando combinazioni complesse per salvare l’assioma della semplicità primordiale dell’universo sferico (fr:4183). Il pianeta P si muove sull’epiciclo con velocità corrispondente al periodo sinodico, misurata dall’“anomalia” (fr:4186); Mercurio, tuttavia, non si conciliava con un modello semplice, come notò Leverrier: “Nessun pianeta ha richiesto agli astronomi più cure e fatiche di Mercurio, e non ha dato loro in ricompensa tante inquietudini, tante contrarietà” (fr:4188). I dati empirici di Mercurio mostrano che le minori maggiori elongazioni dal sole si verificano in Bilancia, mentre le maggiori non sono in Ariete ma in Acquario e Gemelli (fr:4199, 4200).

Sul fronte copernicano, è impossibile stabilire se Copernico conoscesse i predecessori (come l’autore delle Handy Tables, due secoli dopo Tolomeo: fr:4172, 4182). La figura 41a descrive la sua modifica della teoria tolemaica di Mercurio (fr:4203); la scelta del sistema di riferimento non influenza la struttura del modello, ma i modelli copernicani richiedono circa il doppio dei cerchi rispetto a quelli tolemaici, risultando meno eleganti e adattabili (fr:4207). L’importanza di Copernico sta in una direzione diversa da quella usuale: tra gli altri, l’intuizione che si possono ottenere informazioni sulle distanze planetarie assumendo che tutte le orbite abbiano lo stesso centro (fr:4208, 4209).

Il testo include anche elementi tecnici: tavole con argomenti δ e 360−δ (fr:4173, 4192), combinate in una sola colonna nelle tavole successive (teoniche e islamiche: fr:4193); la funzione ca(2η) (fr:4174); e l’equazione del centro (fr:4175). Molti passaggi sono riferimenti a figure e numeri di pagina, che completano la spiegazione visiva e strutturale dei modelli.

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40 Modelli astronomici tolemaici: luna, pianeti e confronto con Copernico

Trattato sui modelli geometrici di Tolomeo per la luna e i pianeti, con modifiche basate su osservazioni, parametri specifici e confronto con il sistema copernicano.

La teoria lunare iniziale era nota a Ipparco, ma fu affinata da Tolomeo: “The theory described so far was known to Hipparchus though refined in several respects by Ptolemy.” - (fr:4213) [La teoria descritta finora era nota a Ipparco, anche se affinata in diversi aspetti da Tolomeo.] Tolomeo si rese conto che la teoria tradizionale funzionava per le sizi (congiunzioni e opposizioni) ma non per le quadrature, specialmente con anomalie vicine a ±90°: “In other words he realized that the traditional lunar theory agreed with observations in the syzygies (conjunctions and oppositions) but could not explain longitudes near the quadratures, particularly for values of the anomaly near ± 90°.” - (fr:4214) [In altre parole, si rese conto che la teoria lunare tradizionale concordava con le osservazioni nelle sizi (congiunzioni e opposizioni) ma non poteva spiegare le longitudini vicino alle quadrature, in particolare per valori dell’anomalia vicini a ±90°.] Per risolvere questo, propose di avvicinare l’epiciclo all’osservatore e introdusse un epiciclo secondario: “Such an effect could be produced by bringing the epicycle closer to the observer by the following mechanism (Fig.” - (fr:4216) [Un tale effetto poteva essere prodotto avvicinando l’epiciclo all’osservatore con il seguente meccanismo (Fig.]; “He assumed that the moon M was located on a secondary epicycle such that it started its motion at conjunction at E at a distance r - δ from C. With increasing elongation η, the moon would move on the small epicycle in the direct sense by 2η.” - (fr:4225) [Assunse che la luna M si trovasse su un epiciclo secondario tale che iniziasse il suo moto alla congiunzione in E a una distanza r - δ da C. Con l’aumentare dell’elongazione η, la luna si muoverebbe sul piccolo epiciclo in senso diretto di 2η.] Inoltre, per gli ottanti, l’anomalia doveva essere misurata da un apogeo variabile H invece che dall’apogeo fisso D: “Ptolemy found one more deviation from the original theory for positions of the epicycle at elongations nearer to the octants: instead of counting the anomaly γ which determines the distance of the moon M on the epicycle from the apogee D, it had to be measured from a variable apogee H (Fig.” - (fr:4220) [Tolomeo trovò un’altra deviazione dalla teoria originale per posizioni dell’epiciclo a elongazioni più vicine agli ottanti: invece di contare l’anomalia γ che determina la distanza della luna M sull’epiciclo dall’apogeo D, essa doveva essere misurata da un apogeo variabile H (Fig.]. I parametri del modello lunare sono r = 5;15 e δ = 10;19, mostrando che alla quadratura la luna poteva avvicinarsi fino a R - 2δ - r = 34;7: “The parameters of this model are r = 5;15 δ = 10;19 which show that the moon at quadrature could come as near as R - 2δ - r = 34;7 to the observer.” - (fr:4221) [I parametri di questo modello sono r = 5;15 δ = 10;19, che mostrano che la luna alla quadratura poteva avvicinarsi all’osservatore fino a R - 2δ - r = 34;7.] Nonostante i suoi limiti, il modello fu mantenuto dai successori perché prediceva correttamente le longitudini: “Nevertheless this model was retained by almost all his followers simply because it proved to predict at least the longitudes correctly.” - (fr:4224) [Ciononostante, questo modello fu mantenuto da quasi tutti i suoi successori semplicemente perché dimostrò di prevedere almeno le longitudini correttamente.]

Per i pianeti, Tolomeo modificò ulteriormente il modello introducendo l’equante, un punto simmetrico all’osservatore rispetto al centro del deferente: il centro dell’epiciclo si muoveva con velocità angolare media rispetto all’equante, basandosi su osservazioni sue e di Theon: “This model was further modified by Ptolemy on the basis of observations mostly made by himself or his predecessor Theon;1) he found that the center of the epicycle appears to move with its mean angular velocity not with respect to the center of the deferent but with respect to a point (later called ‘equant’) located symmetrically to the observer.” - (fr:4237) [Questo modello fu ulteriormente modificato da Tolomeo sulla base di osservazioni per lo più fatte da lui stesso o dal suo predecessore Theon;1) trovò che il centro dell’epiciclo sembra muoversi con la sua velocità angolare media non rispetto al centro del deferente ma rispetto a un punto (in seguito chiamato ‘equante’) situato simmetricamente all’osservatore.] Per i pianeti esterni, il senso di rotazione sull’epiciclo coincideva con il moto medio, producendo moto diretto all’apogeo e retrogradazione al perigeo; inoltre, la direzione CP era parallela a quella tra l’osservatore O e il sole medio: “38 represents Ptolemy’s model for the outer planets.” - (fr:4241) [38 rappresenta il modello di Tolomeo per i pianeti esterni.]; “The sense of rotation of P on the epicycle is now equal to the sense of mean motion, thus giving the planet its greatest direct motion near the apogee of the epicycle and producing retrogradation near the perigee.” - (fr:4242) [Il senso di rotazione di P sull’epiciclo è ora uguale al senso del moto medio, dando così al pianeta il suo moto diretto maggiore vicino all’apogeo dell’epiciclo e producendo retrogradazione vicino al perigeo.]; “14) the direction CP is parallel to the direction from 0 to the mean sun in the case of an outer planet.” - (fr:4243) [14) la direzione CP è parallela alla direzione da O al sole medio nel caso di un pianeta esterno.] Come per la luna, era necessario aumentare la dimensione apparente dell’epiciclo planetario, con l’avvicinamento più vicino a ±120° dalla linea apsidale: “Ptolemy’s data led again to the necessity of increasing the apparent size of the epicycle as in the case of the moon, the only difference being that the closest approach now occurred at about ± 120° from the apsidal line.” - (fr:4244) [I dati di Tolomeo portarono di nuovo alla necessità di aumentare la dimensione apparente dell’epiciclo come nel caso della luna, l’unica differenza essendo che l’avvicinamento più vicino avveniva ora a circa ±120° dalla linea apsidale.] Il calcolo delle posizioni planetarie seguiva le stesse linee di quello lunare: “The practical computation of planetary positions follows much the same lines as for the moon.” - (fr:4247) [Il calcolo pratico delle posizioni planetarie segue più o meno le stesse linee di quello per la luna.]; “Now we can formulate the whole procedure for the computation of the true longitude λ of a planet.” - (fr:4251) [Ora possiamo formulare l’intera procedura per il calcolo della longitudine vera λ di un pianeta.]

Per Mercurio, si propose un moto su un segmento di retta con distanza variabile dal centro dell’orbita e un dispositivo di Tusi per variare il raggio dell’epiciclo: “In order to account for this observation, Mercury is made to move on a straight line segment such that its distance from the center of its orbit varies with the proper period.” - (fr:4256) [Per tenere conto di questa osservazione, Mercurio è fatto muovere su un segmento di retta tale che la sua distanza dal centro della sua orbita varia con il periodo proprio.]; “Its radius r = CM is made variable between the limits P and Q by means of a Tusi device (Fig.” - (fr:4260) [Il suo raggio r = CM è reso variabile tra i limiti P e Q per mezzo di un dispositivo di Tusi (Fig.].

Il confronto con Copernico (nel De revolutionibus del 1543) mostra che l’uso di epicicli secondari indusse Copernico a complicare il suo modello, perdendo l’eleganza tolemaica: “1) De revolutionibus (published 1543) IV.” - (fr:4226) [1) De revolutionibus (pubblicato nel 1543) IV.]; “This obvious advantage of the use of secondary epicycles induced Copernicus to apply the same construction also to the planetary motion and thus to initiate complications which destroyed the inherent elegance and simplicity of the Ptolemaic model.” - (fr:4227) [Questo ovvio vantaggio dell’uso di epicicli secondari indusse Copernico ad applicare la stessa costruzione anche al moto planetario e quindi a iniziare complicazioni che distrussero l’eleganza e la semplicità intrinseche del modello tolemaico.] Nel sistema copernicano, l’osservatore si muove attorno al sole medio, ma cinematicamente i due modelli sono simili, tranne per l’insistenza di Copernico sui cerchi per tutti i moti parziali: “The observer O now moves on a circle around the mean sun S, the physical sun S being at a distance e from S corresponding to the eccentricity of the solar orbit 1).” - (fr:4259) [L’osservatore O si muove ora su un cerchio attorno al sole medio S, il sole fisico S essendo a una distanza e da S corrispondente all’eccentricità dell’orbita solare 1).]; “Thus it is evident that cinematically the two models are hardly different except for Copernicus’s insistence on using circles for every partial motion where Ptolemy had already reached much greater freedom of approach.” - (fr:4262) [Quindi è evidente che cinematicamente i due modelli sono difficilmente diversi tranne per l’insistenza di Copernico nell’usare cerchi per ogni moto parziale dove Tolomeo aveva già raggiunto una libertà di approccio molto maggiore.] Copernico non era esplicito sulla rotazione del sole medio rispetto al sole fisico: “In fact 1) Copernicus is not very outspoken about the question whether S rotates about S or vice versa.” - (fr:4263) [In effetti 1) Copernico non è molto esplicito sulla questione se S ruoti attorno a S o viceversa.]

Infine, tra i principali contributi di Tolomeo c’è il ritorno a una metodologia strettamente tolemaica, che chiarì i passaggi dai dati empirici ai parametri del modello e aprì la strada all’affinamento delle osservazioni: “One may enumerate his main contributions as follows: (a) The return to a strictly Ptolemaic methodology which made all steps from the empirical data to the parameters of the model perfectly clear and opened the way to a refinement of the basic observations which eventually led to the proper generalization of the Ptolemaic methods.” - (fr:4264) [Si possono enumerare i suoi principali contributi come segue: (a) Il ritorno a una metodologia strettamente tolemaica che rese tutti i passaggi dai dati empirici ai parametri del modello perfettamente chiari e aprì la strada a un affinamento delle osservazioni di base che alla fine portò alla corretta generalizzazione dei metodi tolemaici.]

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41 Modelli lunari e planetari tra Tolomeo, Copernico e la tradizione astronomica islamica

Analisi dei parametri, delle basi osservative, dei difetti e dei legami storici dei modelli tolemaici e copernicani per la Luna e i pianeti.

Il testo apre con un periodo lunare di 193 mesi, definito come “ritorno alla stessa stella fissa” (“193 month (return to the same fixed star)” - (fr:4265) [193 mesi (ritorno alla stessa stella fissa)]), quindi specifica i moti medi lunari: il moto medio in longitudine (angolo A) è maggiore di quello in anomalia, rispettivamente circa 13;10,35°/giorno e 13;3,54°/giorno, e il moto risultante può essere descritto come moto eccentrico con linea apsidale rotante (“32) the mean motion in longitude, expressed by the angle A, is greater than the mean motion in anomaly, the first being about 13;10,35°/d the latter 13;3,54°/d• The resulting motion can also be described as an eccentric motion with a rotating apsidal line.” - (fr:4266) [32) il moto medio in longitudine, espresso dall’angolo A, è maggiore del moto medio in anomalia, il primo è circa 13;10,35°/g il secondo 13;3,54°/g. Il moto risultante può anche essere descritto come un moto eccentrico con una linea apsidale rotante]). Viene definita l’“elongazione” (1/) come angolo che aumenta proporzionalmente al tempo, con velocità uguale alla differenza tra la velocità media della Luna e quella del Sole (“Let 1/ be an angle increasing proportionally with time at a rate equal to the difference between the mean velocity of the moon and the mean velocity of the sun; 1/ is therefore called the ‘elongation’.” - (fr:4272) [Sia 1/ un angolo che aumenta proporzionalmente al tempo con una velocità uguale alla differenza tra la velocità media della Luna e la velocità media del Sole; 1/ è quindi chiamato “elongazione”]). La procedura per calcolare la longitudine della Luna secondo il modello tolemaico si basa sulle tabelle dell’Almagesto V,8 (“The pro~edure for computing the longitude of the moon I according to the Ptolemaic model is based on the tables in Almagest V,8.” - (fr:4283) [La procedura per calcolare la longitudine della Luna secondo il modello tolemaico si basa sulle tabelle dell’Almagesto V,8]), e con R = 60 si ottiene r = 6;20 e un ulteriore valore di 12;28 (“== 60 and consequently obtains r == 6;20 • == 12;28.” - (fr:4277) [= 60 e di conseguenza si ottiene r = 6;20 • = 12;28]).

La determinazione dei parametri essenziali del modello tolemaico si basa su osservazioni attentamente selezionate di eclissi lunari, con risultati soddisfacenti per la descrizione delle eclissi in generale (“The determination of the essential parameters was based on carefully selected observations of lunar eclipses and the results obtained were very satisfactory for the description of eclipses in general.” - (fr:4268) [La determinazione dei parametri essenziali si basava su osservazioni attentamente selezionate di eclissi lunari e i risultati ottenuti erano molto soddisfacenti per la descrizione delle eclissi in generale]). Tuttavia, in alcuni casi il diametro dell’epiciclo sembrava ampliarsi rispetto al valore trovato alle sizigie (“In these cases the diameter of the epicycle seemed to be enlarged over the value found at the syzygies.” - (fr:4269) [In questi casi il diametro dell’epiciclo sembrava essere ampliato rispetto al valore trovato alle sizigie]), e un difetto evidente era che il diametro apparente della Luna dovrebbe raggiungere quasi il doppio del suo valore medio, cosa non verificata (“This obviously means that the apparent diameter of the moon itself should reach almost twice its mean value which is very definitely not the case.” - (fr:4276) [Questo ovviamente significa che il diametro apparente della Luna stessa dovrebbe raggiungere quasi il doppio del suo valore medio, il che non è assolutamente il caso]).

Copernico ha messo in evidenza l’ovvia discrepanza tra il modello lunare di Tolomeo e le parallassi osservabili, proponendo un altro modello che mantiene il centro C dell’epiciclo a distanza media ma aumenta la distanza della Luna da C alle quadrature (“Copernicus pointed to the obvious discrepancy between Ptolemy’s lunar model and the observable parallaxes 1) and proposed another model which would keep the eenter C of the epicycle at mean distance but would nevertheless increase the moon’s distance from C at quadratures (Fig.” - (fr:4279) [Copernico ha messo in evidenza l’ovvia discrepanza tra il modello lunare di Tolomeo e le parallassi osservabili 1) e ha proposto un altro modello che manteneva il centro C dell’epiciclo a distanza media ma tuttavia aumentava la distanza della Luna da C alle quadrature (Fig.)]); usando r = 6;35 e s = 1;25 per R = 60, la Luna non poteva avvicinarsi all’osservatore più di R - (r + s) = 52, eliminando la differenza essenziale con le distanze del modello semplice (“thus reaching for ’1/ = 90 a distance r + s from C. Since Copernicus used r = 6;35 and s = 1;25 for R = 60 the moon could not come closer to the observer than R - (r + s) = 52 which is no longer essentially different from the distances resulting from the simple model (Fig.” - (fr:4280) [raggiungendo così per ’1/ = 90 una distanza r + s da C. Poiché Copernico usava r = 6;35 e s = 1;25 per R = 60, la Luna non poteva avvicinarsi all’osservatore più di R - (r + s) = 52, il che non è più essenzialmente diverso dalle distanze risultanti dal modello semplice (Fig.)]). È stato scoperto solo di recente che lo stesso metodo di correzione del modello tolemaico era stato usato circa 200 anni prima di Copernico da ibn ash-Shitir (“Only recently has it been discovered 1) that the same method for the correction of Ptolemy’s lunar model was used about 200 years before Copernicus by ibn ash-Shitir.” - (fr:4282) [Solo di recente è stato scoperto 1) che lo stesso metodo per la correzione del modello lunare di Tolomeo era stato usato circa 200 anni prima di Copernico da ibn ash-Shitir]).

Per i pianeti, il modello tolemaico rappresenta il moto medio del pianeta tramite il moto del centro C dell’epiciclo, misurato dalla “distanza media” α di C dall’apogeo A (“The mean motion of the planet is represented by the motion of the center C of the epicycle, measured by the ‘mean distance’ IX of C from the apogee A.” - (fr:4296) [Il moto medio del pianeta è rappresentato dal moto del centro C dell’epiciclo, misurato dalla “distanza media” α di C dall’apogeo A]); l’Almagesto XI,11 fornisce tabelle in 8 colonne per ogni pianeta (“Almagest XI,11 gives tables in 8 columns for each planet.” - (fr:4302) [L’Almagesto XI,11 fornisce tabelle in 8 colonne per ogni pianeta]). Nel caso di Mercurio, l’orbita di C rispetto a O ha un apogeo nella linea apsidale ma due perigei simmetrici a α = ±120° (“In other words the orbit of C with respect to 0 has one apogee in the apsidalline but two perigees symmetric to it at IX = ±” - (fr:4301) [In altre parole, l’orbita di C rispetto a O ha un apogeo nella linea apsidale ma due perigei simmetrici rispetto a essa a α = ±120]).

Il testo confuta la credenza popolare per cui il sistema eliocentrico di Copernico costituisca una semplificazione significativa del sistema tolemaico (“The popular belief that Copernicus’s heliocentric s;)·stem constitutes a significant simplification of the Ptolemaic system is obviously wrong.” - (fr:4317) [La credenza popolare per cui il sistema eliocentrico di Copernico costituisca una semplificazione significativa del sistema tolemaico è ovviamente sbagliata]). Infine, il modello tolemaico offre una buona visione della metodologia matematica e astronomica del tempo: l’atteggiamento verso il suo difetto evidente è molto rivelatore e ha ripercussioni nell’astronomia islamica e nel lavoro di Copernico, mentre il metodo con cui è stata spiegata la disuguaglianza del moto lunare ha influenzato anche la teoria planetaria di entrambi gli autori (“34. good insight into the mathematical and astronomical methodology of the time; the attitude toward a glaring defect of the theory is very revealing and has repercussions in Islamic astronomy and in the work of Copernicus; finally the method by which this inequality of the lunar motion was accounted for influenced also the planetary theory, both of Ptolemy and Copernicus.” - (fr:4270) [34. buona visione della metodologia matematica e astronomica del tempo; l’atteggiamento verso un difetto evidente della teoria è molto rivelatore e ha ripercussioni nell’astronomia islamica e nel lavoro di Copernico; infine, il metodo con cui è stata spiegata questa disuguaglianza del moto lunare ha influenzato anche la teoria planetaria, sia di Tolomeo che di Copernico]).

[31]

[31.1-59-4486|4544]

42 Elementi di astronomia indiana, geometria antica e cartografia greca da testi scientifici

Panoramica di metodi astronomici, sezioni coniche di Apollonio, proiezione stereografica e cartografia tolemaica, con una nota sulla tradizione matematica.

Il testo apre con un esempio dall’astronomia indiana: il Surya Siddhanta (II, 60/63) determina la durata della luce diurna usando la definizione trigonometrica indiana “Sin 6 = R sin 6” (fr:4487) [dove definiamo Sin δ = R sin δ secondo l’uso indiano delle funzioni trigonometriche]; una volta calcolato fX, la durata è data da “180 + 2fX degrees” (fr:4488) [Utilizzando il valore di fX così ottenuto, la durata della luce diurna è data da 180 + 2fX gradi].

Si passa quindi a un problema di teoria degli gnomoni verticali (meridiane semplici), che esisteva già prima di Tolomeo — questi critica “the unsystematic definitions of his predecessors” (fr:4490) [le definizioni non sistematiche dei suoi predecessori]. Il contesto prevede tre assi ortogonali, con piani passanti per un punto X e ciascun asse, e un arrangiamento “strictly cyclical” (fr:4497) [rigorosamente ciclico]; “gli antichi” aggiunsero un ulteriore angolo (fr:4495). Come illustrazione, si prende il caso di PI (“Uhectemoros”): per una latitudine φ, si conosce l’angolo di inclinazione dell’equatore sull’orizzonte (“angle fJ = 90 - fJ”, fr:4501); se DB è perpendicolare a ABC, D è l’alba e A la culminazione (fr:4502); con EO perpendicolare a OF, EG è l’arco PI cercato, uguale a EX (fr:4503, fr:4504). Queste costruzioni valgono per ogni latitudine φ e longitudine solare λ (fr:4505). I cerchi sono incisi su piastre di metallo/pietra o dipinti su legno, coperte di cera per linee aggiuntive — un metodo analogo a quello dell’astrolabio per angoli celesti (fr:4506, fr:4507, fr:4508).

La sezione sulla geometria di Apollonio evidenzia che gran parte del suo lavoro sulle sezioni coniche tratta problemi poi classificati nel XIX secolo come “projective or synthetic geometry” (fr:4510) [geometria proiettiva o sintetica], sviluppati in continuazione dell’antica teoria. È quasi certo l’uso astronomico per dimostrare che la proiezione stereografica mappa cerchi sferici in cerchi piani: ogni cono circolare obliquo ha due famiglie di sezioni circolari, e un cerchio sferico e la sua immagine proiettata soddisfano le condizioni di Apollonio (fr:4511, fr:4512). Il problema è determinare centri e raggi di cerchi celesti proiettati dal polo sud sul piano equatoriale: con l’obliquità ε = 23;51°, si proiettano punti dal polo sud sulla traccia equatoriale, permettendo di calcolare i tempi di levata zodiacali per sphaera recta (φ=0) e latitudini generali (fr:4514, fr:4521, fr:4522).

Per la cartografia greca: il problema di mappare la sfera si presenta in geografia, con un’overview delle fondamenta senza preistoria (fr:4523, fr:4524). La mappa di Marino conserva distanze su meridiani e parallelo di Rodi; Tolomeo usa due proiezioni coniche e una prospettica (fr:4525, fr:4526). L’oikoumene si estende per 180° di longitudine, con coordinate r e θ (fr:4527, fr:4528). Tre requisiti sono posti: il primo (nessuna distorsione sui meridiani) implica “r=f+ c q; = 90 - f” (fr:4530); c è determinato da una condizione con φ₁=63° (latitudine di Thule) (fr:4531). La Fig. 51 mostra i confini: arco SOlI (180° Thule), MN (-16;25°), PIT (equatore), K (Rodi) (fr:4532). Qui la coerenza matematica è sacrificata all’apparenza (fr:4533); Tolomeo richiede distanze radiali per latitudini, con raggi non meridiani tranne L=0 (fr:4534). Le curve L=const sono transcendenti, sostituite da archi di cerchio (fr:4539). Queste sono mappature matematiche moderne (sfera (L,φ) → piano (r,θ)), ma la Geografia di Tolomeo ha una combinazione incoerente con tipo Bonne (fr:4541, fr:4542). Il globo entro anelli non è prospettico, ma una cornice come la seconda rete (fr:4543).

Infine, la storia della matematica illustra che “continuity of tradition alone is not sufficient to keep a scientific field alive” (fr:4544) [la continuità della tradizione da sola non è sufficiente a mantenere vivo un campo scientifico].

[31.2-58-4545|4602]

43 Elementi di astronomia sferica, proiezioni cartografiche e matematica greca antica: trattato con riferimenti a Tolomeo e Marino di Tiro

Il testo illustra procedure geometriche per la determinazione della posizione solare, analizza metodi di proiezione cartografica (inclusa quella stereografica) e corregge visioni riduttive sulla matematica greca, con Tolomeo come fonte principale.

Si inizia con un problema geometrico riguardante l’ombra del gnomone equinoziale a mezzogiorno, dove sono dati la lunghezza So di tale ombra per un gnomone di lunghezza 12 e la declinazione solare δ, insieme alla formula per il “raggio del giorno” r (raggio del circolo parallelo di declinazione δ): “r = R - Sin vers δ where the versed sine corresponds to our 1 - cos δ” - (fr:4546) [r = R - Sinvers δ dove il senoverso corrisponde al nostro 1 - cos δ]. Successivamente si affronta un trattato “molto elegante” di Tolomeo per la definizione di coordinate sferiche solari, dato latitudine geografica φ e momento specifico, e la loro rappresentazione grafica in un piano, usando il piano del meridiano SOZ come piano di costruzione; per un’ora stagionale (es. un’ora prima di mezzogiorno) si conoscono anche longitudine e declinazione solari, oltre alla frazione di percorso compiuta tra alba e mezzogiorno, permettendo di trovare la posizione X del sole sull’arco DA: “What follows is taken from Ptolemy’s very elegant treatment of the subject. Mathematically the problem consists in defining proper spherical coordinates for the position of the sun at a given moment for a given geographical latitude and then to find graphically in a plane the arcs which represent these coordinates.” - (fr:4549-4550) [Ciò che segue è tratto dal trattato “molto elegante” di Tolomeo sull’argomento. Matematicamente il problema consiste nel definire coordinate sferiche appropriate per la posizione del sole in un momento specifico e per una data latitudine geografica, quindi nel trovare graficamente in un piano gli archi che rappresentano queste coordinate.].

Si passa poi alla proiezione stereografica, che probabilmente precedette l’invenzione della trigonometria sferica come metodo alternativo per risolvere problemi poi trattati con triangoli sferici; si nota che nessuna dimostrazione antica è sopravvissuta della sua proprietà di preservare i cerchi, ma questa è comunemente usata nei trattati sull’astrolabio e nel Planisphaerium di Tolomeo: “In the existing works no proof of this fact has come down to us but the circle-preserving quality of stereographic projection is commonly used in the treatises on the astrolabe and in Ptolemy’s ‘Planisphaerium’ 1). Since the method of stereographic projection precedes in all probability the invention of spherical trigonometry one sees here another way of finding the answer to problems which later were solved directly from spherical triangles.” - (fr:4571-4581) [Nelle opere esistenti non è pervenuta alcuna dimostrazione di questo fatto, ma la proprietà di preservare i cerchi della proiezione stereografica è comunemente usata nei trattati sull’astrolabio e nel “Planisphaerium” di Tolomeo 1). Poiché il metodo della proiezione stereografica precede con ogni probabilità l’invenzione della trigonometria sferica, si vede qui un altro modo per trovare la risposta a problemi che in seguito furono risolti direttamente con triangoli sferici.]. Si corregge anche Heath, che affermava che Tolomeo dimostra tale teorema in casi speciali: “Heath is incorrect when he says (Greek Mathematics II p. 292) that Ptolemy proves our theorem in special eases.” - (fr:4579) [Heath si sbaglia quando afferma (Greek Mathematics II p. 292) che Tolomeo dimostra il nostro teorema in casi speciali.].

Per la cartografia dell’oikoumene, si menziona il predecessore di Tolomeo, Marino di Tiro (attivo intorno al 110 d.C.), che utilizzò un sistema di coordinate rettangolari in cui le unità per le longitudini geografica erano ⅔ di quelle per le latitudini φ, con distorsioni crescenti allontanandosi dalla latitudine di Rodi: “We may only remark that Ptolemy’s predecessor, Marinus of Tyre, who wrote about 110 A.D., used for his map a rectangular coordinate system in which the units that represented geographical longitudes were ⅔ of the units for the latitudes φ. Distances in all other directions are increasingly distorted as one moves away from the latitude of Rhodes.” - (fr:4583-4584) [Si può solo notare che il predecessore di Tolomeo, Marino di Tiro, che scrisse intorno al 110 d.C., utilizzò per la sua carta un sistema di coordinate rettangolari in cui le unità che rappresentavano le longitudini geografiche erano ⅔ di quelle per le latitudini φ. Le distanze in tutte le altre direzioni sono sempre più distorte man mano che ci si allontana dalla latitudine di Rodi.].

Si descrivono quindi tre metodi di proiezione con terminologia moderna, con longitudini L contate da -90° al limite occidentale a +90° al limite orientale; in tutti i meridiani sono mappati su raggi. Nel secondo metodo, le meridiane sono archi circolari determinati da tre punti (preservazione della lunghezza sul parallelo di Tule, φ₁=63°; sul parallelo di Syene, sul Tropico del Cancro, φ₂=δ=23;50°; sul parallelo di Anti-Meroe, φ₃=-16;25°), con Tolomeo che sceglie c=180 per ottenere dimensioni ragionevoli per l’oikoumene: “The second method of projection (Fig. 52). Thus we have as before (1) r = φ + c. For the circular arcs which now represent the meridians we determine three points by the following conditions: preservation of length on the parallel of Thule (φ₁ = 63), on the parallel of Syene which lies on the Tropic of Cancer (φ₂ = δ = 23;50), and on the parallel of Anti-Meroe φ₃ = - 16;25. Ptolemy chooses c = 180 on the basis of a simple geometrical consideration by means of which he obtains […] for the map of the oikoumene dimensions reasonably like the actual ratios.” - (fr:4592-4595) [Il secondo metodo di proiezione (Fig. 52). Quindi abbiamo come prima (1) r = φ + c. Per gli archi circolari che ora rappresentano le meridiane determiniamo tre punti con le seguenti condizioni: preservazione della lunghezza sul parallelo di Tule (φ₁ = 63), sul parallelo di Syene, che si trova sul Tropico del Cancro (φ₂ = δ = 23;50), e sul parallelo di Anti-Meroe φ₃ = - 16;25. Tolomeo sceglie c = 180 sulla base di una semplice considerazione geometrica attraverso la quale ottiene […] per la carta dell’oikoumene dimensioni ragionevolmente simili ai rapporti reali.]. Per evitare distorsioni meridionali, Tolomeo modifica arbitrariamente la mappatura a sud dell’equatore, dividendo φZX in segmenti come avrebbero avuto a 16;25° nord.

Infine, si menziona un terzo tipo di costruzione, più un’illustrazione libraria che una carta reale, l’unica caso in cui Tolomeo mostra una costruzione incoerente e inutile, anticipando il gusto medievale; si contrasta anche la visione riduttiva di molti autori moderni, affermando che la matematica “greca” non era rigidamente limitata a problemi “classici”, con esempi di connessioni tra sezioni coniche e “algebra geometrica” al tempo di Archimede e Apollonio, e ottica islamica e tardo-medievale (Ibn al-Haitham, Keplero) che si occupa di proprietà focali: “This is a good illustration of the fact that ‘Greek’ mathematics was by no means rigidly restricted to some ‘classical’ problems, as so many modern authors seem to believe. […] Islamic and late medieval optics (Ibn al-Haitham, Kepler) are concerned with the focal properties. […] It is more a book illustration than a real map which is described here, and is the only case in all of Ptolemy’s writings where he displays an inconsistent and totally useless construction, thus foreshadowing the taste of the Middle Ages.” - (fr:4567, 4569, 4602) [Questa è una buona illustrazione del fatto che la matematica “greca” non era affatto rigidamente limitata a alcuni problemi “classici”, come molti autori moderni sembrano credere. […] L’ottica islamica e tardo-medievale (Ibn al-Haitham, Keplero) si occupa delle proprietà focali. […] È più un’illustrazione libraria che una vera carta quella descritta qui, ed è l’unico caso in tutte le opere di Tolomeo in cui mostra una costruzione incoerente e totalmente inutile, prefigurando così il gusto del Medioevo.].

[31.3-58-4603|4660]

44 Metodi geometrici descrittivi e proiezioni cartografiche da predecessori greci a Tolomeo

Il testo analizza l’Analemma (metodo di geometria descrittiva per problemi sferici), i contributi di Tolomeo rispetto ai suoi predecessori, il legame tra sezioni coniche e meridiane, e le proiezioni cartografiche della sua Geografia, oltre all’origine dell’astrolabio.

Il nucleo iniziale riguarda il metodo dell’Analemma: si tratta di un approccio sistematico per risolvere problemi di geometria sferica applicando la trigonometria piana a piani opportunamente scelti, classificabile come geometria descrittiva. Procedure correlate sono note da Vitruvio (architetto romano di Augusto) ed Erone (attivo 70 anni prima di Tolomeo):
“The above approach to the solution of problems of spherical geometry by means of plane trigonometry applied to properly chosen planes is systematically expanded in the theory of the ‘Analemma’, a method which we could classify under descriptive geometry.” - (fr:4605-4606) [L’approccio sopra descritto per la soluzione di problemi di geometria sferica mediante la trigonometria piana applicata a piani opportunamente scelti è sviluppato sistematicamente nella teoria dell’Analemma, un metodo che potremmo classificare sotto la geometria descrittiva.]
“Related procedures are known from Vitruvius, the Roman architect under Augustus, and from Heron, who wrote about 70 years before Ptolemy.” - (fr:4607) [Procedure correlate sono note da Vitruvio, l’architetto romano di Augusto, e da Erone, che scrisse circa 70 anni prima di Tolomeo.]

Tolomeo critica i suoi predecessori (“gli antichi”, senza specificarne i nomi), che usavano un sistema basato sull’ottante della sfera celeste delimitato da orizzonte, meridiano e verticale, con osservatore al centro della sfera e asse verticale come gnomone; in questo modo si ottenevano tre angoli per definire la posizione di un punto, ma Tolomeo non tollerava definizioni “poco eleganti”. Egli invece costruisce sei angoli (due sufficienti per la posizione), usando la traccia del piano del circolo parallelo percorso in un dato giorno, ruotandolo nel piano del meridiano: si costruisce XF perpendicolare a AB e FG=FX, così G è la posizione del sole nel piano dell’hectemoros ruotato attorno a OF. Questo metodo, definito “nomografico”, usa il cerchio del meridiano, i paralleli all’equatore e punti su un diametro corrispondenti alle posizioni orarie del sole all’equinozio per determinare gli angoli:
“Ptolemy’s predecessors-he calls them the ‘ancients’ without telling us who they were-operated with the following system: consider, e. g., the octant of the celestial sphere which is bounded by the planes of the horizon, of the meridian, and of the vertical which is perpendicular to the two first mentioned planes (cf. The center of the sphere is the observer, the vertical axis the gnomon. Each pair (XltXl or tXIP or (XIP can be used to define the position of X. Ptolemy would not tolerate such inelegant definitions.” - (fr:4608-4609, 4611-4612) [I predecessori di Tolomeo – che egli chiama “gli antichi” senza dirci chi fossero – operavano con il seguente sistema: si consideri, ad esempio, l’ottante della sfera celeste delimitato dai piani dell’orizzonte, del meridiano e della verticale perpendicolare ai primi due piani (cfr. Il centro della sfera è l’osservatore, l’asse verticale è lo gnomone. Ogni coppia (XltXl o tXIP o (XIP può essere usata per definire la posizione di X. Tolomeo non tollerava definizioni così poco eleganti.)]
“48, two of which always suffice to define the position of X. Ptolemy now proceeds to construct these six angles. Thus we construct the trace ABC of the plane of the parallel-circle travelled at the given day and swing this plane into the plane of the meridian. Construct XF perpendicular to AB and make FG = FX. Thus G is the place of the sun in the plane of the hectemoros which appears rotated about OF.” - (fr:4613, 4616, 4618-4620) [48, due dei quali sono sempre sufficienti per definire la posizione di X. Tolomeo procede quindi a costruire questi sei angoli. Così costruiamo la traccia ABC del piano del circolo parallelo percorso nel dato giorno e ruotiamo questo piano nel piano del meridiano. Costruiamo XF perpendicolare a AB e poniamo FG=FX. Così G è la posizione del sole nel piano dell’hectemoros che appare ruotato attorno a OF.]
“49 the circle of the meridian and the parallels to the equator. On the proper diameter are indicated points which correspond to the hourly position of the sun at equinox. In this way it is possible to determine the angles in question by a procedure which is now called nomographical.” - (fr:4622-4624) [49 il cerchio del meridiano e i paralleli all’equatore. Sul diametro appropriato sono indicati punti che corrispondono alla posizione oraria del sole all’equinozio. In questo modo è possibile determinare gli angoli in questione con una procedura che oggi si chiama nomografica.]

Un punto rilevante è il legame tra sezioni coniche e meridiane: nell’antichità le sezioni coniche erano necessarie per la teoria delle meridiane, e si ipotizza che lo studio di queste curve abbia avuto origine proprio da questo problema:
“This aspect does not exhaust by far the importance of the ancient study of the theory of conic sections. In antiquity the conic sections are needed for the theory of sundials and I have conjectured that the study of these curves originated from this very problem.” - (fr:4626-4627) [Questo aspetto non esaurisce affatto l’importanza dello studio antico della teoria delle sezioni coniche. Nell’antichità le sezioni coniche sono necessarie per la teoria delle meridiane e ho ipotizzato che lo studio di queste curve abbia avuto origine proprio da questo problema.]

L’opera di Tolomeo, esempio di combinazione di geometria descrittiva e metodi trigonometrici, ha portato allo strumento noto come astrolabio; in modo simile, tutti i sistemi di coordinate celesti possono essere rappresentati come famiglie di cerchi nel piano, con le immagini dei grandi cerchi che si intersecano in punti diametralmente opposti:
“This work of Ptolemy is another example of the combination of descriptive geometry and trigonometric methods. led to the instrument later known as the ‘astrolabe’. The proofs, referred 10 by Heath, concern the fact that also the images of great eireles intersect each other in diametrically opposite poinls hut these proofs make use of the circularity of the images. In similar fashion all the celestial coordinate systems can be represented as families of circles in the plane.” - (fr:4629-4630, 4637-4638) [Quest’opera di Tolomeo è un altro esempio della combinazione di geometria descrittiva e metodi trigonometrici. portò allo strumento poi noto come “astrolabio”. Le dimostrazioni, citate da Heath, riguardano il fatto che anche le immagini dei grandi cerchi si intersecano in punti diametralmente opposti, ma queste dimostrazioni fanno uso della circolarità delle immagini. In modo simile tutti i sistemi di coordinate celesti possono essere rappresentati come famiglie di cerchi nel piano.]

Passando alla Geografia di Tolomeo, nel primo libro si danno le regole per costruire una griglia di curve che rappresentano i circoli di longitudine e latitudine geografica; l’“oikoumene” (parte abitata della Terra) ha limiti tra 63° di latitudine nord (Thule) e 16;25° di latitudine sud (Hanti-Meroe, parallelo a sud dell’equatore quanto Meroe in Nubia è a nord):
“In the first book of his ‘Geography’ he gives the rules for constructing a grid of curves representing the circles of constant geographical longitude and latitude respectively. Ptolemy assumes that the inhabited part of the earth, the ‘oikoumene’, lies within 63° northern latitude (Thule) and 16;25 0 southern latitude (Hanti-Meroe’, a parallel as far south On Greek Mathematics 221 of the equator as Meroe in Nubia lies north of it).” - (fr:4640, 4643) [Nel primo libro della sua Geografia egli dà le regole per costruire una griglia di curve che rappresentano rispettivamente i circoli di longitudine e latitudine geografica costanti. Tolomeo assume che la parte abitata della Terra, l’“oikoumene”, si trovi entro 63° di latitudine nord (Thule) e 16;25° di latitudine sud (Hanti-Meroe, un parallelo a sud dell’equatore quanto Meroe in Nubia è a nord di esso).]

La prima proiezione conica usa coordinate polari, con i paralleli di latitudine come cerchi r=const; si preserva il rapporto delle lunghezze sul parallelo di Thule e sull’equatore, e la spaziatura dei meridiani è uguale a quella per una latitudine dove cosφ=1/2, soddisfatta con sufficiente accuratezza da φ=36° (latitudine di Rodi). La discontinuità nella direzione dei meridiani all’equatore sembrava a Tolomeo meno dannosa dell’ingrandimento dell’immagine oltre la lunghezza dell’equatore; per rimediare a questo difetto è stata ideata una seconda proiezione, che ottiene una rappresentazione più vicina all’impressione di meridiani che si curvano gradualmente:
“Consequently the spacing of the meridians is everywhere the same as at a latitude for which cos f{J = t. This is with sufficient accuracy satisfied for tp = 36, the latitude of Rhodes. The mappings suggested by Ptolemy are much more sophisticated. The first conic projection uses polar coordinates (Fig. all parallels of latitudes on circles r = const. and (c) the ratio of lengths on the parallel of Thule and on the equator should be preserved.” - (fr:4641-4642, 4644-4646) [Di conseguenza la spaziatura dei meridiani è ovunque la stessa che a una latitudine per cui cosφ=1/2. Questo è soddisfatto con sufficiente accuratezza per φ=36°, la latitudine di Rodi. Le mappature suggerite da Tolomeo sono molto più sofisticate. La prima proiezione conica usa coordinate polari (Fig. tutti i paralleli di latitudine su cerchi r=const. e (c) il rapporto delle lunghezze sul parallelo di Thule e sull’equatore deve essere preservato.)]
“The discontinuity in the direction of the meridians at the equator seemed to him less detrimental than the enlargement of the picture beyond the length of the equator. 52) was devised to remedy this defect and to obtain a representation which is closer to the impression of gradually curving meridians.” - (fr:4649-4650) [La discontinuità nella direzione dei meridiani all’equatore gli sembrava meno dannosa dell’ingrandimento dell’immagine oltre la lunghezza dell’equatore. 52) è stata ideata per rimediare a questo difetto e ottenere una rappresentazione più vicina all’impressione di meridiani che si curvano gradualmente.]

Si riportano equazioni per la proiezione e, usando tre latitudini e una longitudine L (es. L=90° per il confine orientale), si ottengono tre punti attraverso cui deve passare il meridiano di L; questa proiezione è un’approssimazione notevolmente buona nell’area dell’oikoumene. Se l’equazione fosse richiesta per tutti i valori di φ, si otterrebbe la “proiezione di Bonne” (che preserva la lunghezza su tutti i paralleli): solo nell’area estrema nord-est la deviazione tra i meridiani di Bonne e quelli di Tolomeo è visibile:
“Consequently we have (2) n - r,ll = L cos fIJ, 180 i = 1, 2, g. L = 90 for the eastern boundary) in all three equations resulting from the use of 9’1’ 9’”, 9’3 respectively gives three points through which the meridian of longitude L must pass. In fact, however, it is a remarkably good approximation, within the area - 16;25 < 9’ <63 and - 90 < L < 90 which contains the oikoumene:-If (2) were required for all values of 9’, one would obtain the so-called ‘Bonne-projection’ which preserves length on all parallels of latitude.“ - (fr:4651, 4655-4656) [Di conseguenza abbiamo (2) n - r,ll = L cos fIJ, 180 i = 1, 2, es. L=90° per il confine orientale) in tutte e tre le equazioni risultanti dall’uso rispettivamente di 9’1, 9’“, 9’3 dà tre punti attraverso cui deve passare il meridiano di longitudine L. In realtà, tuttavia, è un’approssimazione notevolmente buona, entro l’area -16;25 < φ <63 e -90 < L < 90 che contiene l’oikoumene: – se (2) fosse richiesta per tutti i valori di φ, si otterrebbe la cosiddetta ”proiezione di Bonne” che preserva la lunghezza su tutti i paralleli di latitudine.]
“I have added in dotted lines meridians of the Bonne projection; only for the 224 Appendix II extreme-north-eastern area the deviation between the meridians of Bonne and Ptolemy reach visible proportions.” - (fr:4657) [Ho aggiunto in linee tratteggiate i meridiani della proiezione di Bonne; solo per l’area estrema nord-est la deviazione tra i meridiani di Bonne e quelli di Tolomeo raggiunge proporzioni visibili.]

Infine, nel Libro VII Capitolo si trova una rappresentazione prospettica del globo terrestre: si costruisce un’immagine di anelli, con centro di proiezione posizionato in modo che nessuna parte dell’oikoumene sia oscurata:
“A truly perspective picture occurs, however, in a presentation of the terrestrial globe in Book VII Ch. A perspective picture of these rings is then constructed, seen from a center of projection located in such a fashion that no part of the area of the oikoumene is obscured by a ring.” - (fr:4658-4659) [Un’immagine veramente prospettica si trova, tuttavia, in una presentazione del globo terrestre nel Libro VII Capitolo. Si costruisce quindi un’immagine prospettica di questi anelli, vista da un centro di proiezione posizionato in modo che nessuna parte dell’area dell’oikoumene sia oscurata da un anello.]

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[32.1-24-4692|4715]

Note sul problema Snellius-Pothenot, la sua distinzione dal problema di Tolomeo e riferimenti bibliografici

Chiarimenti sul problema Snellius-Pothenot, la sua differenza con il problema di Tolomeo e raccolta di riferimenti bibliografici sull’Analemma di Tolomeo e argomenti correlati.

Il testo tratta del problema Snellius-Pothenot, della sua distinzione dal problema di Tolomeo e fornisce riferimenti bibliografici su questi temi e sull’Analemma di Tolomeo. Viene inizialmente menzionato che il problema, “mentioned on p. 210, is known as the Snellius-Pothenot problem” - (fr:4692) [menzionato a p. 210, è noto come problema Snellius-Pothenot], è stato risolto da W. Snellius nel suo “Eratosthenes Batavus” Leiden 1617 p. 203 f. - (fr:4693) [“Eratosthenes Batavus”, Leida 1617, pp. 203 f.]. J.A.C. Oudemans ha affermato che “Ptolemy’s problem was identical with the problem of Snellius” - (fr:4693) [il problema di Tolomeo era identico al problema di Snellius], ma “This, however, is not the case” - (fr:4694) [questo, tuttavia, non è vero]: la differenza risiede nei dati assunti, poiché “Ptolemy assumes as given 8 b , and ~, ~I and R whereas Snellius knows beyond 8 1 and all three sides ‘10 SS, Sa of the triangle’” - (fr:4695) [Tolomeo assume come dati 8 b , e ~, ~I e R mentre Snellius conosce, oltre a 8 1 e , tutti e tre i lati “10 SS, Sa del triangolo].

Per il problema sono citati anche Delambre, che l’ha discusso in “Hist. Astron. Ancienne II p. 164 fl.” - (fr:4696-4698) [Hist. Astron. Ancienne II, pp. 164 fl.], e Tropfke, in “Geschichte der Elementarmathematik V, 2nd ed. 1923 p. ad 87” - (fr:4699-4701) [Geschichte der Elementarmathematik V, 2ª ed., 1923, p. 97 ad 87].

Per l’Analemma di Tolomeo, il trattato è pubblicato da Heiberg in “Ptolemaeus, Opera II, p. 189-223 (1907)” - (fr:4702) [Ptolemaeus, Opera II, pp. 189-223 (1907)]; discussioni del metodo si trovano in Delambre (“Histoire de l’astronomie ancienne II p. 458-471 (paris 1817)” - (fr:4703) [Histoire de l’astronomie ancienne II, pp. 458-471 (Parigi 1817)]), J. Dreeker (“Theorie der Sonnenuhren (in: Bassermann-Jordan, Geschichte der Zeitmessung und der Uhren, Bd. I, E; Berlin 1925)” - (fr:4703-4704) [Theorie der Sonnenuhren (in: Bassermann-Jordan, Geschichte della misurazione del tempo e degli orologi, Bd. I, E; Berlino 1925)]) e in particolare nell’articolo di P. Luckey, al quale si deve “the understanding of the nomographic procedures of Ptolemy’s ‘Analemma’” - (fr:4705) [la comprensione delle procedure nomografiche dell’“Analemma” di Tolomeo].

Infine, per Vitruvio ed Erone si cita O. Neugebauer (“Ober eine Methode zur Distanzbestimmung Alexandria-Rom, Kgl. Danske Vidensk. Selsk., hist.-filol. medd. 26, 2 and 26, 7 (1938-1939)” - (fr:4706-4710) [“Su un metodo per la determinazione della distanza Alessandria-Roma”, Kgl. Danske Vidensk. Selsk., hist.-filol. medd. 26, 2 e 26, 7 (1938-1939)]), oltre a un lavoro di Neugebauer sull’origine astronomica della teoria delle sezioni coniche (“On the astronomical origin of the theory of conic sections. Proc. Amer. Philos.” - (fr:4712-4715) [Sull’origine astronomica della teoria delle sezioni coniche. Proc. Amer. Philos.]).

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