Neugebauer - Exact Sciences Antiquity | L | ch

21 Feb, 2026

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1 Le scienze esatte nell’antichità: metodologia e prospettiva storica

Una prefazione che rivela l’approccio critico e i limiti consapevoli di un’opera sulla storia della matematica e dell’astronomia nelle civiltà antiche.

L’opera presentata rappresenta l’elaborazione di una serie di lezioni tenute presso l’Università di Cornell nell’autunno del L’autore dichiara esplicitamente la natura provvisoria e non esaustiva del suo contributo, affermando che “I fully realize that this form of presentation forced me into many statements which actually should be qualified by many conditions and question marks” - (fr:12) [Sono pienamente consapevole che questa forma di presentazione mi ha costretto a fare molte affermazioni che in realtà dovrebbero essere qualificate da molte condizioni e punti interrogativi].

Un elemento peculiare del testo è la consapevolezza metodologica dell’autore riguardo ai rischi della generalizzazione storica. Egli contesta esplicitamente una convinzione diffusa, sostenendo che “The common belief that we gain ‘historical perspective’ with increasing distance seems to me utterly to misrepresent the actual situation” - (fr:21) [La convinzione comune che guadagniamo ‘prospettiva storica’ con l’aumentare della distanza mi sembra completamente fraintendere la situazione reale]. Piuttosto, “What we gain is merely confidence in generalizations which we would never dare make if we had access to the real wealth of contemporary evidence” - (fr:22) [Quello che guadagniamo è meramente fiducia in generalizzazioni che non oseremmo mai fare se avessimo accesso alla vera ricchezza delle prove contemporanee].

L’autore chiarisce il focus specifico dell’indagine: “What I tried to present is a survey of the historical interrelationship between mathematics and astronomy in ancient civilizations, not a history of these disciplines in chronological arrangement” - (fr:24) [Quello che ho cercato di presentare è un’indagine sulle interconnessioni storiche tra matematica e astronomia nelle civiltà antiche, non una storia di queste discipline in ordine cronologico]. L’enfasi principale ricade su “mathematics and astronomy in Babylonia and Egypt in their relationship to Hellenistic science” - (fr:28) [matematica e astronomia in Babilonia ed Egitto nella loro relazione con la scienza ellenistica].

Un aspetto rilevante è la dichiarazione di intenti pedagogici: l’autore non mira alla completezza, ma piuttosto a “convey to the reader some of the fascination which lies in active work on historical problems” - (fr:31) [trasmettere al lettore parte del fascino che risiede nel lavoro attivo su problemi storici]. Intende inoltre “confront him with one of the ever-changing pictures which one forms as a kind of guiding principle for future research” - (fr:32) [confrontarlo con uno dei quadri sempre mutevoli che si formano come una sorta di principio guida per la ricerca futura].

Nella prefazione alla seconda edizione, l’autore segnala modifiche sostanziali: “Large sections on Egyptian astronomy and on Babylonian planetary theory have been rewritten” - (fr:37) [Ampie sezioni sull’astronomia egiziana e sulla teoria planetaria babilonese sono state riscritte], e “Two appendices are entirely new, one on Greek Mathematics, the other on the Ptolemaic system and its Copernican modification” - (fr:38) [Due appendici sono completamente nuove, una sulla matematica greca, l’altra sul sistema tolemaico e la sua modifica copernicana].

L’opera si caratterizza dunque per una tensione consapevole tra l’ambizione di tracciare interconnessioni storiche significative e il riconoscimento dei limiti intrinseci a tale impresa interpretativa.

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2 La continuità della tradizione scientifica ellenistica dal Medioevo all’età moderna

Un’analisi della trasmissione del sapere matematico e astronomico attraverso i secoli, dalla civiltà ellenistica fino alla rivoluzione newtoniana.

La questione centrale affrontata in questo testo riguarda “l’origine e la trasmissione della scienza ellenistica” - (fr:107), problema fondamentale per comprendere come il sapere scientifico si sia sviluppato e diffuso nel corso dei secoli. L’autore individua nella civiltà ellenistica il crogiuolo da cui “si sviluppò una forma di scienza che successivamente si diffuse su un’area che raggiungeva dall’India all’Europa occidentale e che rimase dominante fino alla creazione della scienza moderna al tempo di Newton” - (fr:105).

Un aspetto peculiare della prospettiva storiografica proposta è il rifiuto di applicare le tradizionali divisioni della storia politica al dominio della matematica e dell’astronomia. L’autore sostiene infatti che “per la storia della matematica e dell’astronomia la tradizionale divisione della storia politica in Antichità e Medioevo non ha alcun significato” - (fr:133). Questa affermazione si rivela particolarmente significativa quando si considera che “in astronomia matematica i metodi antichi prevalsero fino a Newton e ai suoi contemporanei, che aprirono un’epoca fondamentalmente nuova introducendo la dinamica nella discussione dei fenomeni astronomici” - (fr:134).

L’autore sottolinea la dipendenza strutturale della scienza medievale e rinascimentale dal sapere antico: “fino a Newton tutta l’astronomia consiste in modificazioni, per quanto ingegnose, dell’astronomia ellenistica” - (fr:136). Questa continuità è illustrata concretamente attraverso l’analisi del Libro d’Ore del Duca di Berry, un manoscritto medievale del XV secolo. Nel calendario illustrato, “il campo semicircolare in cima al quadro, dove troviamo numeri e simboli astronomici, ci dà un’impressione dello sfondo scientifico di questo calendario” - (fr:130), rivelando “strette relazioni tra l’astronomia del tardo Medioevo e l’antichità” - (fr:131).

Un elemento peculiare del testo è l’attenzione dedicata ai sistemi numerici come testimonianza della trasmissione culturale. L’autore nota che i numerali presenti nel calendario sono “i familiari numerali ‘indo-arabi’ che penetrarono in Europa, a partire dal XII secolo, dal mondo islamico” - (fr:144), i quali “sostituirono sempre più i numerali romani” - (fr:145). Questo dettaglio evidenzia come la trasmissione del sapere scientifico avvenisse attraverso molteplici canali culturali e geografici.

L’autore riconosce inoltre l’importanza cruciale dell’astronomia nello sviluppo scientifico generale, dichiarando di “considerare l’astronomia come la forza più importante nello sviluppo della scienza dalla sua origine intorno al 600 a.C. fino ai giorni di Laplace, Lagrange e Gauss” - (fr:117). Tuttavia, ammette che “la storia dell’origine dell’astronomia è uno dei capitoli più frammentari nella storia della scienza” - (fr:118), il che rende “la storia dell’astronomia matematica uno dei campi più promettenti della ricerca storica” - (fr:119).

Una limitazione metodologica dichiarata è la restrizione dell’analisi alle scienze esatte, poiché l’autore si sente “totalmente incompetente nel trattare argomenti come la medicina o le scienze naturali” - (fr:108), sebbene riconosca che “informazioni importanti potrebbero essere ottenute per il nostro problema da un’indagine di questi campi” - (fr:108). Questa consapevolezza dei limiti della propria analisi non impedisce all’autore di notare come “la medicina e l’astronomia, per esempio, siano strettamente correlate nelle scuole mediche greche; similmente, la medicina medievale fu profondamente influenzata dall’astrologia ellenistica” - (fr:109).

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3 Sistemi di notazione numerica: dall’antichità alla modernità

Analisi comparativa dei metodi di rappresentazione numerica attraverso i secoli, dalla scrittura alfabetica alle notazioni posizionali, con particolare attenzione alle loro implicazioni storiche e scientifiche.

3.1 Metodi antichi di rappresentazione numerica

La storia della notazione numerica rivela una progressione da sistemi semplici e ripetitivi verso forme sempre più sofisticate. “The writing of numbers by simple words without the use of any symbols whatsoever is very common indeed” - (fr:151) rappresenta il metodo più elementare, attestato in diverse civiltà antiche.

Tra i sistemi simbolici primitivi emerge il principio acrofonico greco, dove “the first letter stands for the whole word” - (fr:153). Un esempio specifico è fornito da abbreviazioni come “II for IIENTB ‘five’ or Ll for LlBKA ‘ten’” - (fr:152). Questo approccio si basava su una corrispondenza diretta tra il simbolo iniziale e il concetto numerico.

Il sistema romano, descritto come “perhaps the most widespread method, historically speaking” - (fr:154), si fondava su principi costruttivi ricorrenti. “The smallest numbers are simple repetitions Numbers 5 of 1” - (fr:155), e questa logica ripetitiva si estendeva anche ai sistemi egiziano e mesopotamico. Un aspetto affascinante riguarda l’origine geometrica dei simboli: “Roman V is probably half of the symbol X as D (= 500) is half of ([) = 1000” - (fr:158). Il simbolo M per mille rappresenta un’interpretazione successiva, poiché “This latter symbol was only later conveniently interpreted as M for ’millett thousand” - (fr:159).

3.2 Il ruolo della posizione e della sottrazione

La disposizione dei simboli acquisisce rilevanza funzionale nel sistema romano: “Arrangement may playa role, as in IV = 5 - 1 in contrast to VI = 5 + 1” - (fr:162). La notazione sottrattiva trova attestazione anche in contesti babilonesi antichi. “An Old-Babylonian form for 19” - (fr:163) esemplifica questo principio, dove “‘one’ would be r; ‘ten,’ <; thus 21 = ~but ~ = 20 -1 = 19” - (fr:164). Il processo evolutivo mostra come “the sign rLAL ‘subtracf’ is written bctween 20 and 1” - (fr:165), mentre successivamente “19 would be written only 4f = 10 + 3 + 3 + 3 from which a final cursivc form ~ originated ill the Seleucid period” - (fr:166).

3.3 La rivoluzione della notazione posizionale

Un salto qualitativo fondamentale separa tutti i sistemi precedenti dalla notazione moderna. “Fundamentally different from all these methods is the ’place value notationtt of our present system, where neither 12 nor 21 represents 1 + 2 or 2 + 1 but 1 times ten plus 2, and 2 times ten plus 1 respectively” - (fr:167). Questo sistema possiede un’efficienza straordinaria: “the position of a number symbol determines its value and consequently a limited number of symbols suffices to express numbers, however large, without the need for repetitions or creation of new higher symbols” - (fr:168).

L’importanza storica di questa innovazione è capitale. “The invention of this place value notation is undoubtedly one of the most fertile inventions of humanity” - (fr:169). Il testo stabilisce un parallelo illuminante: “It can be properly cOinpared with the invention of the alphabet as contrasted to the use of thousands of picture-signs intended to convey a direct represelltation of the concept in question” - (fr:170). Come l’alfabeto ha rivoluzionato la comunicazione scritta, la notazione posizionale ha trasformato il calcolo e la rappresentazione quantitativa.

3.4 Applicazioni astronomiche: il calendario

Il testo documenta l’applicazione pratica di questi sistemi numerici in un contesto scientifico specifico: il calendario del Libro d’Ore del XV secolo. “The wide middle zone shows the pictures of ‘Virgo’ and the scales of ‘Libra’, headed by the inscriptions finis graduum virginis ‘end of the degrees of Virgo’ and the already quoted ’beginning of Libra 15 degrees” - (fr:172). Questi segni zodiacali rappresentano “sections of 30 degrees each in the yearly path of the sun among the fixed stars as seen from the earth” - (fr:173).

I calcoli derivati dal calendario rivelano una precisione notevole. “The sun travels during September from the 17th degree of Virgo to the 15th degree of Libra, 6 Chapter I or a total of 29 degrees, as can be counted directly by tallying the spaces on the outer rim” - (fr:174). Questo corrisponde a “29 58 d 8· f sun covers In one ay 30 = 60 egrees or 5 IDlnutes 0 arc per day” - (fr:176), dato che “This corresponds very well to the facts” - (fr:177).

3.5 L’anomalia solare nel sapere medievale

Particolarmente significativo è il riconoscimento dell’anomalia solare nel calendario medievale. “Because it takes the sun slightly more than 365 days to travel the 360 degrees of the whole zodiac, the average daily travel must be slightly less than one degree per day” - (fr:178). Tuttavia, “a faster movement of 1 0 per day for November, December, and January” - (fr:179) si contrappone a “a slower movement of about 56 minutes in the months from March to July” - (fr:180).

Questo fenomeno “reflects facts correctly” - (fr:181), poiché “The sun moves fastest in Winter, slowest in Summer; and we shall see that this phenomenon was accurately taken into consideration both in Greek and in Babylonian astronomy of the Hellenistic period” - (fr:182). Il concetto stesso di anomalia solare, definito come “this irregularity of the solar motion” - (fr:183), rappresenta una sofisticazione teorica sorprendente per un’opera devozionale del XV secolo: “It is certainly not to be expected a priori to find this concept carefully represented in a prayer book of the early 15th century” - (fr:184).

3.6 Notazioni numeriche supplementari

Il calendario contiene ulteriori sistemi notazionali. “An additional numerical notation occurs in the inner ring of the calendar” - (fr:186), dove “associated with symbols of the moon the following letters: b k 8 9 fdmaietc” - (fr:187). Questi simboli seguono una regola aritmetica precisa: “always add 8 to the preceding number in order to get the next number; in case the total exceeds 19, subtract 19” - (fr:188). L’esempio illustrativo mostra come “2 + 8 = 10 10 + 8 = 18 18 + 8 = 26; 26 - 19 = 7” - (fr:189), rivelando un sistema modulare sofisticato probabilmente correlato ai cicli lunari.

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4 Il ciclo metonico e la misurazione del tempo nei calendari antichi e medievali

La scoperta del ciclo di 19 anni come soluzione al problema della sincronizzazione tra calendario lunare e solare, dalle origini babilonesi fino all’applicazione medievale cristiana.

Il testo affronta uno dei problemi fondamentali della misurazione del tempo: la riconciliazione tra il ciclo lunare e quello solare. La questione trova radici profonde nella storia scientifica, risalendo al “5th century B.C. when a cyclic scheme of intercalations was actually introduced in the Babylonian calendar and unsuccessfully proposed in Athens by Meton” - (fr:193) [V secolo a.C. quando uno schema ciclico di intercalazioni fu effettivamente introdotto nel calendario babilonese e proposto senza successo ad Atene da Metone].

4.1 Il fondamento astronomico del ciclo

La base matematica del ciclo metonico risiede in osservazioni astronomiche precise. “The time between two consecutive conjunctions of sun and moon is about 291 days” - (fr:195) [Il tempo tra due congiunzioni consecutive di sole e luna è circa 291 giorni], intervallo denominato “one ‘lunation’” - (fr:196). Questo dato genera un problema cruciale: “A lunar month is therefore either 29 or 30 days long” - (fr:197) [Un mese lunare è quindi di 29 o 30 giorni], e di conseguenza “12 lunar months amount to 354 days or about 11 days less than one solar year” - (fr:198) [12 mesi lunari ammontano a 354 giorni, circa 11 giorni meno di un anno solare].

L’accumulo di questa discrepanza richiede un intervento periodico: “After three years a deficiency of about 33 days has accumulated, making it necessary to add a 13th month to one of the three lunar years in order to bring the beginning of the lunar year roughly back to the beginning of the solar year” - (fr:199) [Dopo tre anni si è accumulato un deficit di circa 33 giorni, rendendo necessario aggiungere un 13° mese a uno dei tre anni lunari per riportare l’inizio dell’anno lunare approssimativamente all’inizio dell’anno solare].

4.2 La soluzione del ciclo di 19 anni

La scoperta cruciale emerge da osservazioni più accurate: “19 solar years contain 235 lunar months, i. e., 12 ordinary lunar years of 12 months each and 7 intercalary lunar years of 13 months each” - (fr:200) [19 anni solari contengono 235 mesi lunari, cioè 12 anni lunari ordinari di 12 mesi ciascuno e 7 anni lunari intercalari di 13 mesi ciascuno]. Questo ciclo, noto come ciclo metonico, possiede una precisione notevole: “This 19-year or Metonic cycle is quite accurate; only after 310 Julian years do the cyclically computed mean new moons fall one day earlier than they should” - (fr:201) [Questo ciclo di 19 anni o metonico è abbastanza accurato; solo dopo 310 anni giuliani le lune nuove calcolate ciclicamente cadono un giorno prima di quanto dovrebbero].

4.3 Applicazioni storiche e religiose

L’importanza del ciclo trascende la pura astronomia. “This simple cyclical computation not only formed the basis of the calendar of the Seleucid empire in antiquity but is similarly the foundation of the Jewish and Christian religious calendar, especially so far as Easter is concerned” - (fr:202) [Questo semplice calcolo ciclico non solo formò la base del calendario dell’impero seleucide nell’antichità ma è similmente il fondamento del calendario religioso ebraico e cristiano, specialmente per quanto riguarda la Pasqua]. Il ciclo appare inoltre “in the luni-solar computations of two of the earliest astronomical works of India, the Romaka- and the Paulisa-Siddhinta (about fifth century A.D.), whose Western origin is apparent from their names and confirmed by many details” - (fr:203) [nei calcoli lunisolare di due dei più antichi lavori astronomici dell’India, il Romaka- e il Paulisa-Siddhinta (circa V secolo d.C.), la cui origine occidentale è evidente dai loro nomi e confermata da molti dettagli].

4.4 L’applicazione medievale: il “numero aureo”

Nel Medioevo, il ciclo fu operazionalizzato attraverso un sistema di lettere. “By means of this cycle the Middle Ages solved the problem of establishing the dates of the new moons, at least for purposes of the religious calendar, though the actual facts might differ by several days” - (fr:205) [Per mezzo di questo ciclo il Medioevo risolse il problema di stabilire le date delle lune nuove, almeno per scopi del calendario religioso, sebbene i fatti reali potessero differire di diversi giorni].

Il metodo operativo prevedeva l’uso di lettere da “a” a “t” (rappresentanti i numeri da 1 a 19) assegnate alle date delle lune nuove. “This procedure leads eventually to an arrangement of letters, representing the numbers from a = 1 to t = 19, exactly in the form which we see in the special ease of September” - (fr:216) [Questa procedura conduce infine a un arrangiamento di lettere, rappresentanti i numeri da a = 1 a t = 19, esattamente nella forma che vediamo nel caso particolare di settembre]. Un’eccezione notevole al sistema era il “saltus lunae, the ‘jump of the moon’” - (fr:218) [saltus lunae, il “salto della luna”], quando le ultime due lunazioni erano di 29 giorni anziché seguire l’alternanza regolare.

Il numero identificativo del ciclo per ogni anno fu denominato “‘golden number’ because, as a scholar of the 13th century expressed it, ‘this number excels all other lunar ratios as gold excels all other met~ls’” - (fr:220) [numero aureo perché, come espresse uno studioso del XIII secolo, “questo numero eccelle tutti gli altri rapporti lunari come l’oro eccelle tutti gli altri metalli”].

4.5 Una prospettiva critica sulla precisione medievale

Il testo contiene un’osservazione significativa sulla percezione medievale della precisione scientifica: “In the twelfth century this very primitive method was considered by scholars in Western Europe as a miracle of accuracy, though incomparably better results had been reached by Babylonian and Greek methods since the fourth century B.C. and though these methods were ably handled by contemporary Islamic and Jewish astronomers” - (fr:221) [Nel XII secolo questo metodo molto primitivo era considerato dagli studiosi dell’Europa occidentale come un miracolo di accuratezza, sebbene risultati incomparabilmente migliori fossero stati raggiunti dai metodi babilonesi e greci dal IV secolo a.C. e sebbene questi metodi fossero abilmente gestiti da astronomi islamici ed ebrei contemporanei]. Questa affermazione rivela una discontinuità nella trasmissione del sapere scientifico durante il Medioevo europeo.

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5 Sistemi di numerazione e notazione posizionale: dall’astronomia babilonese alla tradizione greca

Evoluzione storica dei sistemi numerici sessagesimali e della notazione posizionale attraverso testi astronomici e matematici.

Il testo affronta l’evoluzione dei sistemi di numerazione, con particolare attenzione alla notazione posizionale sessagesimale babilonese e al suo influsso sulla tradizione greca e successiva. L’analisi si sviluppa attraverso l’esame diretto di fonti primarie, dai testi cuneiformi seleucidi alle tavole astronomiche tolemaiche.

5.1 La notazione alfabetica greca e il sistema sessagesimale

La ricerca inizia con l’analisi della Tavola delle corde di Tolomeo, dove emerge un sistema numerico basato su numerali alfabetici. “The heading says ‘Table of straight lines in the circle,’ i. e. table of chords” - (fr:263). Questo documento rivela un’organizzazione sofisticata: “In the second and third column we observe alternatingly smaller and larger numbers whereas the numbers in the first column either remain unchanged or increase by one” - (fr:268).

Un elemento cruciale è la ricostruzione del valore del raggio: “Thus the radius is 60” - (fr:272), da cui consegue che “the chord for 0;1 0 (or for 1 minute of arc) will be 0;1,2,50 as given in the third column” - (fr:273). Questo sistema sessagesimale non è casuale ma riflette una pratica consolidata: “All Greek astronomical works, containing hundreds of extensive numerical tables, are based on exactly the same procedure” - (fr:275).

Un aspetto rilevante riguarda l’inconsistenza della notazione greca. Mentre i Babilonesi mantennero rigore nella separazione delle posizioni, “the Greeks already introduced the inconsistency which is still visible in modern astronomy, where one also would write 130°17’20”“ - (fr:290). Questo fenomeno non rappresenta un difetto isolato ma una caratteristica strutturale: “In other words, the Greeks already introduced the inconsistency which is still visible in modern astronomy” - (fr:290).

5.2 Le origini babilonesi della notazione posizionale

L’indagine si estende ai testi cuneiformi babilonesi, dove emerge il vero fondamento della notazione posizionale. “Cuneiform tablets with mathematical contents are known to us mostly from the so-called ‘Old-Babylonian’ period, about 1600 B.C.” - (fr:281). Cruciale è la distinzione cronologica: “we are dealing with mathematical texts from two periods, ‘Old-Babylonian’ from about 1800 to 1600, and ‘Seleucid’ from 300 to 0, whereas astronomical texts belong only to the second period” - (fr:283).

L’analisi di un tablet specifico rivela il metodo di lettura: “Counting of the vertical wedges leads directly to the readings 1, 2, 3, etc.” - (fr:285), e successivamente “we must read these signs as 10, 20, 30, 40, 50 if the first sign represents 10” - (fr:286). La coerenza del sistema è evidente: “This is exactly the same principle we found in Ptolemy’s table of chords” - (fr:288).

5.3 L’origine della notazione posizionale: dalla metrologia economica

Un aspetto fondamentale riguarda le radici economiche del sistema sessagesimale. “In economic texts units of weight, measuring silver, were of primary importance” - (fr:302). Questo contesto pratico generò l’innovazione cruciale: “This latter fact is obviously the root for the development of the place value notation” - (fr:301).

La progressione storica è significativa: “Thus the ‘sexagesimal’ order eventually became the main numerical system and with it the place value writing derived from the use of bigger and smaller signs” - (fr:303). Successivamente, “Again 1000 years later, this method became the essential tool in the development of a mathematical astronomy, whence it spread to the Greeks and then to the Hindus, who contributed the final step, namely, the use of the place value notation also for the smaller decimal units” - (fr:304).

5.4 Vantaggi computazionali e gestione delle frazioni

Il sistema babilonese offriva vantaggi pratici significativi nel calcolo. “The Babylonian process completely avoids special rules for computing with fractions, whether unit fractions or not, and requires only that one remember correctly the place value of each contributing number, exactly as we must do in placing the final decimal point” - (fr:313). Un esempio concreto illustra questo: “Thus for the multiplication of 12 by 12 he would arrange his figures as follows: 1 12 / 1 10 120 / 1 2 24 total 144” - (fr:310).

5.5 Persistenza e diffusione della notazione sessagesimale

Nonostante le limitazioni, il sistema sessagesimale mantenne una straordinaria longevità. “Extreme consistency in the use of the sexagesimal place value system is found in the Latin version of the ‘Alfonsine Tables’ (about 1280)” - (fr:315). Anche figure di rilievo come Copernico lo adottarono: “Copernicus often used consistently written sexagesimal numbers, particularly in his tables of mean motions” - (fr:316).

Un testimone finale della precisione raggiungibile è Al-Kashi: “Al-Kishi died in 1429; one of his last works is a treatise on the circumference of the circle in which he determines (correctly) 2π as 6;16,59,28,1,34,51,46,15,50” - (fr:317), dimostrando come il sistema sessagesimale permettesse calcoli astronomici di straordinaria precisione.

[5.2-59-318|376]

6 Il sistema numerico sessagesimale babilonese e la sua eredità scientifica

Analisi della notazione numerica sessagesimale attraverso documenti cuneiformi e la sua influenza sulla matematica e astronomia antica.

La ricerca presenta un’indagine sistematica del sistema numerico sessagesimale babilonese, ricostruito mediante l’analisi di documenti cuneiformi e la sua trasmissione attraverso la tradizione astronomica greca e medievale.

6.1 L’origine e la datazione del sistema sessagesimale

Lo studio individua origini precise per il sistema numerico greco alfabetico, stabilendo che “Considerations of this type allow us to date the origin of the Greek alphabetic number system to about the 8th century B.C. and to localize its invention with great probability at the city of Miletus in Asia Minor” - (fr:325). Questo rappresenta un momento cruciale nella storia della notazione matematica occidentale.

6.2 La struttura del sistema: notazione posizionale e il concetto di zero

Un elemento peculiare emerge dall’identificazione di un simbolo speciale per lo zero. “We found a special sign for zero, used exactly as our zero” - (fr:333), e più specificamente “This last observation compels us to assign to x the value ‘zero’” - (fr:327). Tuttavia, il testo evidenzia una distinzione temporale importante: “The only difference consists in the fact that Old-Babylonian texts have not yet developed a special sign for ‘zero’” - (fr:347), indicando che questa innovazione rappresenta un progresso successivo nella storia della notazione.

6.3 La struttura sessagesimale: unità e rapporti

Il sistema babilonese organizza le unità secondo rapporti specifici. “Distinct units are 1 and 10 as before” - (fr:358), mentre “A very big 10 sign stands for 3600” - (fr:359). Le unità principali seguono una gerarchia precisa: “These units seem to have been arranged from early times in a ratio 60 to 1 for the main units ‘mana’ (the Greek μνᾶ ‘mina’) and shekel” - (fr:361).

Un aspetto fondamentale del sistema è la sua struttura frazionaria: “Thus we have a system of numbers which behave exactly like degrees, minutes, and seconds, or like hours, minutes, and seconds; the fractions are sixtieths of the next higher unit” - (fr:329). La separazione tra interi e frazioni avveniva mediante un marcatore specifico: “A semicolon separates integers from fractions” - (fr:336).

6.4 L’applicazione pratica: astronomia e calcolo

Il testo documenta l’uso del sistema in contesti astronomici concreti. Un esempio significativo riguarda i valori delle corde trigonometriche: “This is confirmed by the chord 60 for 60°, as is correct for the equilateral triangle where chord = radius” - (fr:331). Inoltre, “the third column gives the coefficients of interpolation for single minutes” - (fr:332), dimostrando l’uso sofisticato del sistema per calcoli interpolativi.

6.5 La trasmissione attraverso Tolomeo e la tradizione ellenistica

Un punto critico emerge riguardo all’uso del sistema sessagesimale nella tradizione greca. “According to the prevailing doctrine that Greek mathematics is essentially geometry, the historians of mathematics have badly neglected the enormous amount of numerical computations which are readily accessible in works like Ptolemy’s ‘Almagest’ or Theon’s ‘Handy Tables’” - (fr:334). Questo rappresenta una lacuna storiografica significativa.

Tolomeo stesso presenta un’applicazione particolare: “Ptolemy, for example, uses the sexagesimal place value system exclusively for fractions but not for integers” - (fr:373). Un esempio concreto mostra questa pratica: “For example, for the moon he gives the following mean motions in consecutive Egyptian years (of 365 days each) 1 2,9;37,22,36° 2 4,19;14,45,12 3 0,28;52,7,49” - (fr:375).

6.6 Il principio della notazione posizionale

L’elemento più rilevante dal punto di vista matematico è l’enfasi sul principio sottostante il sistema: “The essential point lies in the use of the place value notation, regardless of the value of the ratio between consecutive units” - (fr:352). Questo principio trascende la base sessagesimale specifica e rappresenta l’innovazione concettuale fondamentale.

6.7 Metodologia della ricerca

Il testo sottolinea l’importanza dell’analisi documentaria sistematica: “A problem of this kind cannot be solved by speculation, but only by a systematic analysis of the written documents” - (fr:353). La base empirica è sostanziale: “Tens of thousands of such documents were unearthed and, although only a small fraction has been made available in modern publications, they suffice to obtain a fair sampling of the use of numbers through all periods of Mesopotamian history” - (fr:354).

6.8 Ambiguità e sviluppi successivi

Il testo identifica alcune ambiguità nella notazione sessagesimale: “Occasionally this ambiguity is overcome by separating the two numbers very clearly if a whole sexagesimal place is missing” - (fr:364). Una peculiarità emerge nel trattamento delle frazioni: “Though there are many instances of cases like ,20 there is no safe example of a writing like 20, known to me” - (fr:366).

6.9 Significato storico

L’importanza storica risiede nel riconoscimento che “The historical consequences of this simplification can scarcely be overestimated” - (fr:372), riferendosi all’adozione della notazione posizionale sessagesimale come strumento computazionale che ha permesso calcoli astronomici e matematici di straordinaria complessità, influenzando direttamente la tradizione scientifica occidentale attraverso la mediazione greca e araba.

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7 Il sistema numerico sessagesimale nella matematica e astronomia antica

Dall’uso dei numerali alfabetici greci alle notazioni cuneiformi mesopotamiche: evoluzione e caratteristiche dei sistemi di numerazione sessagesimali.

7.1 La notazione alfabetica greca e il sistema sessagesimale

Un aspetto particolarmente rilevante della matematica greca riguarda “un’altra modifica della numerazione alfabetica che è ampiamente utilizzata nella matematica e astronomia greca e anche in documenti economici e letterari, ad esempio nei papiri greci” - (fr:379). Questo sistema trova una chiara esemplificazione nella tavola di Tolomeo dell’“Almagesto” - (fr:380), dove “in questa colonna troviamo in ogni seconda riga le familiari lettere greche nell’ordine dell’alfabeto” - (fr:381).

La struttura della notazione segue un ordine preciso: “seguendo l’ordine alfabetico si potrebbe aspettarsi ξ = 11, λ = 12 ecc.” - (fr:382), ma il sistema prosegue con “ε = 100, α = 200, ψ = 300 fino a ω = 800, seguito di nuovo da un simbolo speciale ϡ (o h.. o ep) = 900” - (fr:383).

7.2 Le frazioni sessagesimali nella tavola di Tolomeo

Un elemento peculiare emerge dall’analisi della tavola: “è plausibile considerare i numeri nella seconda e terza colonna come frazioni e assumere che i numeri nel loro insieme aumentino da 0 a 1, 2, ecc.” - (fr:386). I numeri mostrano “un aumento quasi costante se prendiamo un totale di 60 come un’unità superiore” - (fr:387).

Questo conduce all’introduzione delle frazioni sessagesimali: “chiamiamo tali frazioni ‘frazioni sessagesimali’ e scriviamo i numeri di questo tipo nella forma seguente: 0,31,25; 1,2,50; 1,34,15; 2,5,40. Possiamo dire che questi numeri mostrano una differenza costante di 0,31,25” - (fr:388).

L’interpretazione della prima colonna risulta evidente: “che la prima colonna indichi i gradi è ovvio dal fatto che la tavola termina con 180, cioè con l’angolo retto” - (fr:389).

7.3 Il sistema sessagesimale nel contesto storico

La pratica sessagesimale greca presenta una caratteristica distintiva: “nella astronomia greca, tuttavia, solo le frazioni erano scritte sessagesimalmente, mentre per i gradi interi o le ore la notazione alfabetica ordinaria rimaneva in uso anche per i numeri da 60 in poi” - (fr:407). Questo contrasta con l’uso mesopotamico più sistematico.

L’eredità del sistema sessagesimale è profonda: “abbiamo visto il sistema sessagesimale in pieno uso, sia nella familiare divisione della circonferenza del cerchio in 360 ‘gradi’ di 60 minuti o 3600 secondi ciascuno, sia nella divisione del raggio in unità di sessantesimi consecutivi” - (fr:392).

7.4 Origini mesopotamiche e sviluppo storico

Le radici del sistema risalgono alla Mesopotamia. “Lo sviluppo delle notazioni numeriche in Mesopotamia ha richiesto tanti secoli quanto lo sviluppo della scrittura da una rozza scrittura pittografica a un sistema ben definito di segni complicati” - (fr:401). I documenti primari sono “tavolette di argilla, generalmente delle dimensioni di una mano, iscritte con segni che erano pressati nella superficie dell’argilla una volta morbida per mezzo di uno stilo affilato” - (fr:398).

Un periodo cruciale è rappresentato da “circa 300 a.C. fino all’inizio della nostra era, [che] ci ha fornito un gran numero di testi astronomici di carattere matematico straordinario, pienamente comparabili all’astronomia dell’Almagesto” - (fr:400).

7.5 Caratteristiche distintive del sistema sessagesimale

Un aspetto fondamentale del sistema riguarda la posizionalità: “nessuna teoria storica accettabile dell’origine del sistema sessagesimale è possibile se non tiene conto anche di questa caratteristica straordinaria, cioè l’uso dello stesso piccolo numero di simboli per valori diversi, a seconda della disposizione” - (fr:411).

Questa ambiguità intrinseca comporta una conseguenza pratica: “in altre parole, in tutti i periodi il contesto da solo decide il valore assoluto di un numero scritto sessagesimalmente” - (fr:425). Tuttavia, “per il processo numerico stesso è davvero un grande vantaggio il fatto che non si debba preoccuparsi di valori speciali per le frazioni e gli interi” - (fr:426).

7.6 Evoluzione della notazione mesopotamica

Nella pratica babilonese, il sistema subì trasformazioni significative. “Mentre originariamente un’unità grande, significante 60, e un simbolo 10 erano scritti per denotare 60 + 10, successivamente un semplice ‘1’ seguito da un 10 era letto 70, in contrasto con un 10 seguito da 1 significante 11” - (fr:419).

L’uso di tavole di moltiplicazione era diffuso: un esempio è fornito dalla “tavola di moltiplicazione per 10” - (fr:405), dove la notazione 1,10 = 70, 1,20 = 80, 2,10 = 130 illustra il principio posizionale.

7.7 Significato storico e eredità

Il percorso del sistema sessagesimale rappresenta un fenomeno straordinario: “è interessante vedere che ci vollero circa 2000 anni di migrazione della conoscenza astronomica dalla Mesopotamia attraverso i Greci, gli Indù e gli Arabi per arrivare a un sistema numerico veramente assurdo” - (fr:408). Questo commento critico sottolinea come la trasmissione del sapere, pur mantenendo il sistema sessagesimale, ne perpetuò le ambiguità intrinseche.

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8 Sistemi di notazione numerica nell’astronomia antica: dall’alfabeto greco alla sessagesimale babilonese

Analisi comparativa dei metodi di rappresentazione numerica utilizzati nelle tavole astronomiche del periodo ellenistico e babilonese, con particolare attenzione ai principi sottostanti e alle loro implicazioni storiche.

8.1 La notazione alfabetica greca

Il sistema numerico greco si basava sull’utilizzo dell’alfabeto per rappresentare i numeri. “Nel ‘New Style’, i mesi di emissione sono indicati dalle lettere A a M che rappresentano i numeri 1 a 12 per un anno ordinario, aggiungendo N = 13 per un anno bisestile del calendario lunare ateniese” - (fr:435). Questo sistema, sebbene frequentemente descritto nella letteratura storica, richiedeva una metodologia specifica di decifrazione. “Benché questo sistema di numerali greci sia spesso descritto in libri sulla storia della matematica e altrove, delineerò il modo in cui si potrebbe essere in grado di decifrare questo sistema in qualsiasi testo matematico o astronomico sufficientemente elaborato” - (fr:437).

La struttura fondamentale prevedeva un’assunzione semplice iniziale: “Ovviamente abbiamo a che fare con numeri; quindi facciamo l’assunzione più semplice tX = 1 P = 2 y = 3 d = 4 8 = 5” - (fr:439). Tuttavia, nella pratica si riscontrava una configurazione diversa: “In realtà, tuttavia, troviamo ux = 11 tP = 12 ecc., in altre parole, 10 16 10 • I numeri 11 sono simboli combinati 10 + 1, 10 + 2, ecc.” - (fr:440).

Un elemento peculiare riguardava tre simboli non appartenenti all’alfabeto greco classico: “Benché i tre simboli (9 e t:p non siano membri dell’alfabeto greco classico, sono ben noti allo storico come resti della forma più antica dell’alfabeto greco che mostra ancora questi tre caratteri in uso effettivo” - (fr:441).

8.2 La notazione sessagesimale babilonese

Il sistema babilonese rappresentava un’evoluzione significativa, basato su una struttura posizionale. “È ‘sessagesimale’ nel senso che 60 unità di un tipo sono scritte come 1 del prossimo ordine superiore” - (fr:463). Questo principio era applicato sistematicamente nelle tavole astronomiche: “Così abbiamo raggiunto l’identità completa del principio di notazione numerica per le tavole astronomiche del periodo ellenistico, sia scritte in cuneiforme che in numerali alfabetici greci” - (fr:464).

La rappresentazione differiva nella forma ma non nella sostanza. “Così Tolomeo scriverebbe 130 17 20 dove una tavoletta cuneiforme avrebbe 2 10 17 20” - (fr:465). Un elemento cruciale era la gestione dello zero: “Nel periodo più recente, tuttavia, quando i testi astronomici erano calcolati, era usato un simbolo speciale per ‘zero’” - (fr:481). “Questo corrisponderebbe esattamente al simbolo zero babilonese che non è nemmeno una lettera o una sillaba ma un semplice segno di separazione” - (fr:455).

8.3 Vantaggi e applicazioni del sistema sessagesimale

Il sistema sessagesimale presentava vantaggi sostanziali rispetto ad altri metodi antichi. “È precisamente questa caratteristica che ha dato al sistema babilonese il suo enorme vantaggio rispetto a tutti gli altri sistemi numerici nell’antichità” - (fr:484). “I vantaggi del sistema di valore posizionale babilonese rispetto al calcolo additivo egiziano con frazioni unitarie sono così evidenti che il sistema sessagesimale è stato adottato per tutti i calcoli astronomici non solo dagli astronomi greci ma anche dai loro seguaci in India e dagli astronomi islamici ed europei” - (fr:489).

Questa adozione ebbe conseguenze durevoli: “La stessa procedura è stata seguita dagli astronomi islamici ed è la ragione della nostra attuale consuetudine astronomica di scrivere gli interi in modo decimale e quindi usare i minuti e i secondi sessagesimali” - (fr:490).

8.4 Contesto storico e sviluppo

Un aspetto rilevante riguarda la continuità della tradizione matematica babilonese. “I testi matematici di questo periodo sono scarsi, ma sono comunque sufficienti per dimostrare che la conoscenza della matematica babilonese antica non era stata persa durante i 1300 anni intermedi per i quali mancano testi” - (fr:458). “Solo i testi puramente matematici, che troviamo ben rappresentati circa 1500 anni dopo l’inizio della scrittura, hanno pienamente utilizzato il grande vantaggio di una notazione di valore posizionale sessagesimale coerente” - (fr:479).

Un equivoco storiografico merita attenzione: “Innanzitutto, esiste un’idea sbagliata comune sulla generalità dell’uso del sistema sessagesimale” - (fr:467). Inoltre, “L’associazione iniziale dell’assiriologia con i problemi biblici e il concetto ellenistico e romano di ‘Caldei’ come equivalente ad astrologi o maghi è ancora oggi riflesso nell’idea diffusa che la maggior parte dei documenti babilonesi riguardino la religione, la magia o il misticismo numerico” - (fr:470).

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9 I numerali acrofonici greci e la loro denominazione storica

Origine e sviluppo della terminologia scientifica per un sistema di notazione numerica antica.

Il sistema dei numerali acrofonici greci rappresenta uno dei principali metodi di rappresentazione numerica dell’antichità classica. La denominazione stessa di questi numerali è legata a una figura storica di rilievo: “The acrophonic numerals are often called ‘Herodianic’ because a grammarian Herodianus (second century A. D.) discussed these numbers” - (fr:536-537) [I numerali acrofonici sono spesso chiamati “Erodianei” perché il grammatico Erodiano (II secolo d.C.) discusse questi numeri]. Tuttavia, l’attribuzione moderna del termine non risale direttamente all’antichità, bensì a studi più recenti: “The name seems to have been introduced by Woisin in his thesis, De graecorum notis numeralibus, Lipsia 1886” - (fr:538) [Il nome sembra sia stato introdotto da Woisin nella sua tesi, De graecorum notis numeralibus, Lipsia 1886].

La ricerca scientifica su questo argomento si è sviluppata significativamente nel XX secolo. Un contributo fondamentale proviene da “Marcus Niebuhr Tod, The Greek acrophonic numerals, The Annual of the British School at Athens No. 37, Sessions 1936-37, p. 238-258 (London 1940)” - (fr:539) [Marcus Niebuhr Tod, I numerali acrofonici greci, Annuario della Scuola Britannica di Atene n. 37, Sessioni 1936-37, p. 238-258 (Londra 1940)], che fornisce discussioni recenti, evidenze testuali e bibliografia esaustiva su questo sistema numerico antico.

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10 Sistemi di notazione numerica nell’antichità: evidenze da papiri e testi cuneiformi

Analisi comparativa dei sistemi numerici greci, egiziani e mesopotamici attraverso fonti documentarie del III secolo a.C. e periodi precedenti.

Il testo presenta una ricerca sistematica sui sistemi di notazione numerica nelle civiltà antiche, con particolare attenzione alle modalità di rappresentazione dei numeri e delle frazioni. L’indagine si basa su evidenze materiali provenienti da papiri egiziani e testi cuneiformi mesopotamici.

10.1 Fonti documentarie e sistemi di rappresentazione

Un esempio significativo proviene da un papiro scolastico egiziano del III secolo a.C., “An example from a schoolbook of the third century B.C. is shown on PI.” - (fr:610). Il documento, catalogato come “Inv.65445” - (fr:612), è stato pubblicato da O. Gueraud e P. Jouguet nelle Publications de la Société Royale Égyptienne de Papyrologie nel

Il papiro contiene una struttura tabulare complessa: “The column on the left and the middle column constitute a table of squares” - (fr:615), dove vengono sistematicamente registrati i quadrati dei numeri da 6 a 40, con corrispondenti moltiplicazioni per potenze di La tabella rivela una sofisticata organizzazione dei dati numerici, con rappresentazioni specifiche per diverse categorie di numeri.

10.2 Convenzioni di scrittura numerica greca

Il sistema di notazione alfabetico greco presenta peculiarità rilevanti. “The multiples of 10000 are written as a II (first letter of the Greek word for 10000) with the factor written over it” - (fr:618). Per le frazioni unitarie, “the unit fractions are written with the ordinary number signs plus an accent” - (fr:620), con un’eccezione notevole: “The only exception is p’ which does not mean} but f denoted here by 3” - (fr:621), dove “Its corresponding drachma symbol is a combination of the symbols for 2 and 6” - (fr:622), poiché “3” = 2 + 6” - (fr:623).

Un aspetto ordinario della notazione alfabetica è che “the arrangement of the alphabetic numerals is strictly from higher to lower numbers” - (fr:624), sebbene “In datings, however, one finds also the inverted order” - (fr:625).

10.3 Origini del simbolo dello zero

Una questione storiografica rilevante riguarda l’origine del simbolo dello zero. “The Arabic form for the zero symbol (a little circle with a bar over it and related forms) is simply taken from Greek astronomical manuscripts” - (fr:628), fatto riconosciuto da F. Woepcke nel Questa derivazione è documentata in “a table showing different forms in Arabic manuscripts as well as in Greek papyri” - (fr:629). Persino “In a Byzantine manuscript, written about 1300 A.D. a sign like II is used for zero beside 0” - (fr:630), apparentemente sotto influenza islamica.

10.4 Sistemi mesopotamici e frazioni naturali

Per la notazione cuneiforme mesopotamica, “The most comprehensive collection of the evidence on early number signs is found in the first edition of Anton Deimel, Sumerische Grammatik der archaistischen Texte” - (fr:635). I testi di Uruk rivelano “the existence of a system of fractions strictly proceeding on the principle of repeated halving” - (fr:640).

Una caratteristica cruciale della notazione cuneiforme è “the existence of special signs for }, -1-, I, and t which are in very common use also in later periods” - (fr:641). Queste “natural fractions” - (fr:642) giocano un ruolo determinante nell’organizzazione delle unità metrologiche, poiché “one will group higher units in such a form that they admit directly the forming of these most common parts” - (fr:643). Questo principio “leads naturally to a grouping in 12 or 30 or 60” - (fr:644), rapporti che “do occur in one or another of the parallel systems of units in Mesopotamian metrology” - (fr:645).

10.5 Problematiche di interpretazione: il valore posizionale

Un problema fondamentale nei sistemi antichi riguarda la determinazione del valore assoluto dei numeri. “Only the context permits the determination of the absolute value of a number written sexagesimally” - (fr:652). Questo difetto di notazione ha generato interpretazioni errate: quando Hilprecht nel 1906 pubblicò tavolette matematiche dal Tempio di Nippur, “he was convinced that these texts showed a relation to Plato’s number mysticism” - (fr:654). Attraverso “wild artifices, Plato’s cabbala was brought into relationship with the numbers found on the tablets” - (fr:656), trasformando numeri come 1,10 in “195,955,200,000,000” - (fr:659).

10.6 Origini della notazione sessagesimale

Riguardo alle origini del sistema sessagesimale, “it is quite common that fractions of monetary units came to mean fractions in general” - (fr:660). L’esempio romano dell’as, che rappresenta “1/12 of the uncia (ounce)” - (fr:661), illustra come unità monetarie abbiano generalizzato il concetto di frazione nel linguaggio matematico.

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11 La struttura e l’evoluzione dei sistemi tabulari babilonesi: dalla pratica amministrativa alla sofisticazione matematica

Testimonianza della complessità matematica mesopotamica attraverso l’analisi dei testi tabulari conservati.

La documentazione babilonese rivela un sistema di calcolo straordinariamente sofisticato, costruito su fondamenta pratiche ma sviluppato secondo principi matematici rigorosi. Il corpus disponibile rappresenta tuttavia solo una frazione minima della produzione originaria: “The total amount of Babylonian tablets which have reached museums might be estimated to be at least 500,000 tablets and this is certainly only a small fraction of the texts which are still buried in the ruins of Mesopotamian cities” - (fr:754). La ricostruzione di questa conoscenza è paragonabile a “restoring the history of mathematics from a few torn pages which have accidentally survived the destruction of a great library” - (fr:755).

11.1 Origine e funzione dei testi tabulari

Gli archivi di Nippur, dispersi tra i musei di Filadelfia, Jena e Istanbul, forniscono la base documentaria principale. Una caratteristica rilevante è che molte tavolette sono chiaramente “school texts”, i. e., exercises written by apprentice scribes“ - (fr:758), come evidenziato dalla “repetition in a different hand of the same multiplication table on obverse and reverse of the same tablet” - (fr:759). Questo materiale didattico non era isolato: “Often we also find vocabularies written on one side of a tablet which shows mathematical tables on the other side” - (fr:760), poiché “These vocabularies are the backbone of the scribal instruction, necessary for the mastery of the intricacies of cuneiform writing in Akkadian as well as in Sumerian” - (fr:761).

L’integrazione tra matematica e amministrazione è esplicita: “many of our mathematical tables are combined with tables of weights and measures which were needed in daily economic life” - (fr:762). Crucialmente, “the tables for multiplication and division were developed simultaneously with the economic texts” - (fr:763), confermando che “what could have been concluded indirectly from our general knowledge of early Mesopotamian civilization” - (fr:764) trovava riscontro diretto nella documentazione.

11.2 Il sistema sessagesimale e le tavole di moltiplicazione

L’analisi sistematica delle tavole di moltiplicazione ha rivelato una struttura inaspettata. Inizialmente si poteva ipotizzare che “a complete system of sexagesimal multiplication tables would consist of 58 tables, each containing all products from 1 to 59 with each of the numbers from 2 to 59” - (fr:767). Grazie alla “place value notation such a system of tables would suffice to carry out all possible multiplications exactly as it suffices to know our multiplication table for all decimal products” - (fr:768).

Tuttavia, l’evidenza empirica presentava anomalie significative. Mentre “each single tablet gave all products from 1 to 20 and then only the products for 30, 40, and 50” - (fr:769), rappresentando “nothing more than a space saving device because all 59 products can be obtained from such a tablet by at most one addition of two of its numbers” - (fr:770), emergevano “tables which seemed to extend the expected scheme to an unreasonable size” - (fr:772). Tavole per “1,20 1,30 1,40 3,20 3,45 etc.” - (fr:773) sembravano “compel us to assume the existence not of 59 single tables but of 3600 tables” - (fr:774).

11.3 La soluzione del paradosso: reciprocali e numeri regolari

L’apparente assurdità si risolse attraverso l’analisi delle tavole di reciprocali. “The solution of this puzzle came precisely from the number 44,26,40 which also appears in another type of tables, namely, tables of reciprocals” - (fr:777). La correlazione era precisa: “the gaps in our expected list of multiplication tables correspond exactly to the missing numbers in our above table of reciprocals” - (fr:779).

Il sistema non conteneva tavole per tutti i prodotti a·b, bensì “tables for the products a • b where b is a number from the right-hand side of our last list” - (fr:781). Questi numeri b erano “the reciprocals of the numbers b of the left column, written as sexagesimal fractions” - (fr:782), dove relazioni come “1/2 = 0;30”, “1/3 = 0;20”, “1/4 = 0;15” e “1/60 = 0;0,44,26,40” - (fr:783) definivano il sistema.

Più precisamente, “The above ‘table of reciprocals’ is a list of numbers, b and b, such that the products b • b are 1 or any other power of 60” - (fr:785). Questa flessibilità era fondamentale: “Experience with the mathematical problem texts demonstrates in innumerable examples that the Babylonian mathematicians made full use of this flexibility of their system” - (fr:788).

11.4 Limitazioni e classificazione dei numeri

Il sistema presentava lacune significative. “There is no reciprocal for 7, for 11, for 13 or 14, etc.” - (fr:791). La ragione era matematicamente rigorosa: “If we divide 7 into 1 we obtain the recurrent sexagesimal fraction 8,34,17,8,34,17, … ; similarly for 11 the group 5,27,16,21,49 appears in infinite repetition” - (fr:793). I babilonesi possedevano tavole che “laconically remark ‘seven does not divide’, ‘eleven does not divide’, etc.” - (fr:794).

Questa classificazione era consapevole e sistematica: “This holds true for all numbers which contain prime numbers not contained in 60, i. e. prime numbers different from 2, 3, and 5” - (fr:795). I babilonesi distinguevano tra “‘irregular’ numbers in contrast to the remaining ‘regular’ numbers whose reciprocals can be expressed by a sexagesimal fraction of a finite number of places” - (fr:796).

Un’eccezione notevole era il numero 7, il primo numero irregolare: “several multiplication tables are preserved” - (fr:798) per esso, poiché “The purpose of this addition is clearly the completion of all tables a • b at least for the first decade, in which 7 would be the only gap because all the remaining numbers from 1 to 10 are regular” - (fr:799).

11.5 Significato storico e sviluppi successivi

“This system of tables alone, as it existed in 1800 B.C., would put the Babylonians ahead of all numerical computers in antiquity” - (fr:803). Il contrasto è eloquente: “Between 350 and 400 A.D., Theon Alexandrinus wrote pages of explanations in his commentaries to Ptolemy’s sexagesimal computations in the Almagest” - (fr:804), mentre “A scribe of the administration of an estate of a Babylonian temple 2000 years before Theon would have rightly wondered about so many words for such a simple technique” - (fr:805).

Nel periodo successivo, “We have texts from the same period teaching how to proceed in cases not contained in the standard table” - (fr:808) e “We also have tables of reciprocals for a complete sequence of consecutive numbers, regular and irregular alike” - (fr:809), con “The reciprocals of the irregular numbers appear abbreviated to three or four places only” - (fr:810). L’espansione nel periodo seleucide portò a “tables of reciprocals of regular numbers up to 7 places for b and resulting reciprocals up to 17 places for b” - (fr:811), permettendo “determining approximately the reciprocals of irregular numbers by interpolation” - (fr:813).

11.6 Sviluppi matematici avanzati

Nel periodo antico-babilonese emergono testimonianze di sofisticazione ancora maggiore. Si trovano “tables of squares and square roots, of cubes and cube roots, of the sums of squares and cubes needed for the numerical solution of special types of cubic equations, of exponential functions, which were used for the computation of compound interest, etc.” - (fr:817).

Una scoperta particolarmente significativa riguarda l’approssimazione di reciprocali di numeri irregolari. Una tavoletta recentemente identificata “he recognized as having to do with the problem of evaluating the approximation of reciprocals of irregular numbers by a finite expression in sexagesimal fractions” - (fr:818), affrontando “the reciprocals of 7, 11, 13, 14, and 17” - (fr:819) con risultati come “8,34,16,59 < 1/7 < 8,34,18” - (fr:820-821), dove “the correct expansion of 1/7 would be 8,34,17 periodically repeated” - (fr:822).

Questo rappresenta un momento cruciale: “It is needless to underline the importance of a problem which is the first step toward a mathematical analysis of infinite arithmetical processes and of the concept of ‘number’ in general” - (fr:823). L’evidenza “leaves no doubt that we must recognize an interest in problems of approximations for as early a period as Old-Babylonian times” - (fr:825).

Un ulteriore esempio di precisione calcolativa è fornito da una tavoletta della Yale Babylonian Collection che rappresenta “a square with its two diagonals” - (fr:829) con il lato indicato come 30 e la diagonale come “1,24,51,10 and 42,25,35” - (fr:830). Moltiplicando “1,24,51,10 by 30, an operation which can be easily performed by dividing 1,24,51,10 by 2 because 2 and 30 are reciprocals of one another” - (fr:831) si ottiene “42,25,35” - (fr:832), dimostrando una comprensione profonda della geometria e dell’algebra sessagesimale.

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12 Il Teorema di Pitagora nella Matematica Babilonese: Evidenze dal Plimpton 322

Testimonianza della conoscenza del teorema pitagorico più di mille anni prima di Pythagoras, attraverso l’analisi di una tavoletta cuneiforme babilonese.

La ricerca moderna ha definitivamente stabilito che il cosiddetto “teorema di Pitagora” era noto nella civiltà babilonese con un’antichità straordinaria. “The ‘Pythagorean’ theorem was known more than a thousand years before Pythagoras” - (fr:844) rappresenta una conclusione supportata da molteplici evidenze documentali. “This is confirmed by many other examples of the use of this theorem in problem texts of the same age” - (fr:845), così come “from the Seleucid period” - (fr:846), indicando una continuità di conoscenza attraverso i secoli.

La formulazione matematica era esplicita: “it was known during the whole duration of Babylonian mathematics that the sum of the squares of the lengths of the sides of a right triangle equals the square of the length of the hypotenuse” - (fr:847). Questo non rappresentava una scoperta isolata, ma il punto di partenza per un’indagine sistematica. “This geometrical fact having once been discovered” - (fr:848), i matematici babilonesi procedettero naturalmente a investigare il problema inverso: “it is quite natural to assume that all triples of numbers 1, b, and d which satisfy the relation [1 + b]² = d² can be used as sides of a right triangle” - (fr:849).

La ricerca dei numeri pitagorici rappresenta un salto concettuale significativo. “it is not too surprising that we find the Babylonian mathematicians investigating the number-theoretical problem of producing ‘Pythagorean numbers’” - (fr:850). Questo contrasta con una teoria alternativa frequentemente proposta: “It has often been suggested that the Pythagorean theorem originated from the discovery that 3, 4, and 5 satisfy the Pythagorean relation” - (fr:851-852). L’autore rigetta questa ipotesi, sottolineando che “I see no motive which would lead to the idea of forming triangles with these sides and to investigate whether they are right triangles or not” - (fr:853). La ragione risiede nella differenza metodologica: “It is only on the basis of our education in the Greek approach to mathematics that we immediately think of the possibility of a geometric representation of arithmetical or algebraic relations” - (fr:854).

La prova documentale decisiva proviene da un artefatto specifico: “we actually have a text which clearly shows that a far reaching insight into this problem was obtained in Old-Babylonian times” - (fr:856). “The text in question belongs to the Plimpton Collection of Columbia University in New York” - (fr:857). La tavoletta, pur frammentaria, conserva informazioni cruciali: “this tablet was originally larger; and the existence of modern glue on the break shows that the other part was lost after the tablet was excavated” - (fr:859).

La struttura della tavoletta rivela un’organizzazione sofisticata. “Four columns are preserved, to be counted as usual from left to right” - (fr:860-861). “Each column has a heading” - (fr:862). La quarta colonna, intitolata “its name” - (fr:863), contiene semplicemente “the number of lines from ‘1st’ to ‘15th’” - (fr:864), risultando “of no mathematical interest” - (fr:865). Le colonne significative sono invece le prime tre: “Columns II and III are headed by words which might be translated as ‘solving number of the width’ and ‘solving number of the diagonal’ respectively” - (fr:866). La terminologia presenta difficoltà interpretative: “‘Solving number’ is a rather unsatisfactory rendering for a term which is used in connection with square roots and similar operations and has no exact equivalent in our modern terminology” - (fr:867). Per chiarezza, “We shall replace these two headings simply by ‘b’ and ‘d’ respectively” - (fr:868).

Il testo contiene dati numerici in notazione sessagesimale babilonese, con alcune lacune dovute al danneggiamento della tavoletta. “The numbers in [ ] are restored” - (fr:871), e “I have inserted zeros where they are required; they are not indicated in the text itself” - (fr:876). Infine, “This text contains a few errors” - (fr:875), elemento che testimonia l’autenticità della fonte e la natura pratica della sua composizione.

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13 La matematica babilonese: tra algebra, geometria e metodi computazionali

Un’analisi della sofisticazione matematica babilonese attraverso equazioni quadratiche, tavole numeriche e problemi applicativi che rivelano un sistema di conoscenza ben strutturato e metodico.

La matematica babilonese si caratterizza per un approccio fondamentalmente computazionale e algebrico, dove “il problema centrale nello sviluppo iniziale della matematica risiede nella determinazione numerica della soluzione che soddisfa determinate condizioni” (fr:948). Questo orientamento pratico emerge chiaramente dall’analisi dei testi conservati, che documentano un sistema matematico sofisticato e ben organizzato.

13.1 Le equazioni quadratiche come nucleo centrale

Le equazioni quadratiche costituiscono “il nucleo più significativo” (fr:941) della matematica babilonese. Un esempio paradigmatico illustra la metodologia: dato un numero incognito x e il suo reciproco, con valore noto b = 2;0,0,33,20, i Babilonesi calcolavano “r = 1;0,0,33,20,4,37,46,40” (fr:916), verificando il risultato mediante elevamento al quadrato (fr:917). La soluzione segue un procedimento standardizzato che trasforma problemi quadratici complessi nella “forma normale” (fr:921): z·y=a e z±y=b, da cui derivano soluzioni lineari.

Questo metodo rivela una caratteristica peculiare: “l’uso senza restrizioni di grandi numeri sessagesimali” (fr:920), che testimonia una padronanza computazionale notevole. I testi pedagogici dimostrano che “lo scopo di innumerevoli esempi era insegnare la trasformazione di problemi quadratici più complicati a questa forma normale” (fr:921).

13.2 Struttura didattica e presentazione dei problemi

La documentazione babilonese si divide in due classi distinte. La prima “formula il problema e poi procede alla soluzione, passo dopo passo, utilizzando i numeri specifici dati all’inizio” (fr:931). La seconda classe contiene “collezioni di soli problemi, talvolta più di 200 su una singola tavoletta delle dimensioni di una piccola pagina stampata” (fr:932). Una forma standard di queste collezioni mantiene la condizione xy = 10,0 fissa, variando la seconda equazione con polinomi sempre più elaborati, fino a espressioni complesse come (3x+2y)¼+⅛{4[½(x + y) -(1 + 1)(x- y)]²+(x+y)²} = 4,45,0 (fr:933).

Significativamente, “era di nessuna importanza per l’insegnante che il risultato dovesse essere noto all’allievo” (fr:934). Questo suggerisce che l’obiettivo pedagogico era l’apprendimento del processo generale piuttosto che la ricerca di risultati ignoti. Le tavole risolutive parallele alle collezioni di problemi “formano di fatto uno strumento che si avvicina strettamente a un’operazione puramente algebrica” (fr:939).

13.3 Applicazioni pratiche e problemi correlati

Oltre alle equazioni quadratiche, “un gran numero di problemi correlati erano considerati” (fr:941). Questi emergono “dalle divisioni di campi o da condizioni generali nel quadro delle suddette collezioni di esempi algebrici” (fr:942). Sebbene la maggior parte sia riducibile a equazioni quadratiche, “abbiamo anche esempi che conducono a relazioni più generali di 5° e 3° ordine” (fr:943). Particolarmente rilevanti sono i problemi di pagamento dei salari, dove “il numero sconosciuto di operai, trovato risolvendo un’equazione quadratica, è fortunatamente un numero intero” (fr:929).

Una caratteristica distintiva della matematica babilonese è che “tutti questi problemi probabilmente non furono mai nettamente separati dai metodi che oggi chiamiamo ‘algebrici’” (fr:912). Inoltre, i Babilonesi non esitavano a “aggiungere aree e lunghezze, o moltiplicare aree, escludendo così qualsiasi interpretazione geometrica alla maniera euclidea che sembra così naturale a noi” (fr:927).

13.4 Tavole di coefficienti e conoscenze specializzate

Un elemento significativo della documentazione babilonese consiste in liste di coefficienti, “identificate per la prima volta dal Professor Goetze dell’Università Yale in due testi della Yale Babylonian Collection” (fr:951). Una di queste liste inizia “con coefficienti necessari per ‘mattoni’ di cui esistevano molti tipi di dimensioni specifiche, poi coefficienti per ‘muri’, per ‘asfalto’, per un ‘triangolo’, per un ‘segmento di cerchio’, per ‘rame’, ‘argento’, ‘oro’ e altri metalli, per una ‘barca da carico’, per ‘orzo’, ecc.” (fr:952). “Molti dettagli di queste liste rimangono ancora oscuri e dimostrano quanto frammentaria rimane la nostra conoscenza della matematica babilonese” (fr:953).

13.5 Geometria e il teorema di Pitagora

Sebbene “il ruolo della ‘geometria’ sia piuttosto insignificante rispetto alla componente algebrica e numerica della matematica babilonese” (fr:947), esistono evidenze significative. “Il teorema di Pitagora è attestato altrettanto bene” (fr:959), e “la formula fondamentale per la costruzione di terne di numeri pitagorici era nota” (fr:907). Le tavole di quadrati e cubi “indicano chiaramente nella stessa direzione” (fr:910).

Alcuni testi mostrano “figure di trapezi o triangoli ma senza alcun tentativo di essere metricamente corretti” (fr:955). Tuttavia, “è possibile che approssimazioni migliori di π fossero note e utilizzate nei casi in cui l’approssimazione grossolana avrebbe portato a risultati evidentemente sbagliati” (fr:960). Sezioni intere di testi di problemi riguardano “lo scavo di canali, dighe e opere simili, rivelando formule esatte o approssimate per i corrispondenti volumi” (fr:961).

13.6 I ritrovamenti di Susa

Nel 1936, “un gruppo di tavolette matematiche fu scavato da archeologi francesi a Susa, la capitale dell’antico Elam, più di 200 miglia a est di Babilonia” (fr:963). Sebbene “i testi stessi rimangono ancora inediti, più di 20 anni dopo la loro scoperta” (fr:964), forniscono evidenze cruciali. Una tavoletta calcola il raggio di un cerchio circoscritto a un triangolo isoscele di lati 50, 50 e 60, ottenendo “r = 31;15” (fr:965).

Di maggior interesse è una tavoletta che presenta “una nuova lista di coefficienti simile a quella menzionata sopra” (fr:966). Le relazioni per poligoni regolari “corrispondono perfettamente al trattamento del poligono regolare nella Metrica XVIII-XX di Erone, un’opera la cui stretta relazione con la matematica pre-greca è diventata ovvia da quando è stato decifrato il materiale matematico babilonese” (fr:970). Un esempio particolarmente sofisticato riguarda “un problema speciale dell’8° grado” (fr:972), rappresentato dall’equazione “x⁸ + a₁x⁴ = b₁ con a = 20,0 e b = 14,48,53,20” (fr:973).

13.7 Considerazioni conclusive

Nonostante questi risultati notevoli, “non si deve sopravvalutare questi risultati” (fr:975). La matematica babilonese rimane un sistema principalmente computazionale e algebrico, dove la pratica applicativa guida lo sviluppo teorico. La conservazione accidentale dei testi impedisce di determinare con certezza i limiti esatti della conoscenza babilonese: “sarebbe piuttosto sorprendente se i testi accidentalmente conservati ci mostrassero anche i limiti esatti della conoscenza raggiunta nella matematica babilonese” (fr:911).

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14 La matematica babilonese: algebra sofisticata e geometria pragmatica

Un’indagine sulla natura e l’estensione della matematica dell’antico periodo babilonese, rivelando un sistema algebrico avanzato ma privo di formalismo simbolico consapevole.

La matematica babilonese rappresenta un fenomeno scientifico di straordinaria complessità, caratterizzato da un’apparente contraddizione: “a level of mathematical development which can in many aspects be compared with the mathematics, say, of the early Renaissance” (fr:1046), eppure “the contents of Babylonian mathematics remained profoundly elementary” (fr:1047). Questa tensione definisce l’intera natura della disciplina.

**La soluzione di equazioni quadratiche e il concetto di “forma normale”

Il nucleo della matematica babilonese risiede nella risoluzione di equazioni quadratiche. Un esempio paradigmatico riguarda il problema di trovare un numero tale che, aggiunto al suo reciproco, produca un valore dato. “This problem requires the finding of a number such that a given number is obtained if its reciprocal is added to it” (fr:985), formulato come “xx = 1 x + x = b” (fr:986). La procedura è descritta con precisione: “Subtract 1 and find the square root” (fr:988), seguito da operazioni di addizione e sottrazione dal risultato.

Il procedimento rivela l’applicazione corretta di una formula quadratica, sebbene non esplicitamente enunciata. Più significativamente, “the main type of quadratic problems of which we have hundreds of examples preserved, a type which I call ‘normal form’: two numbers should be found if (a) their product and (b) their sum or difference is given” (fr:992). Questo concetto di “forma normale” è cruciale: “reducing a quadratic equation to its ‘normal form’ means finally reducing it to the simplest system of linear equations” (fr:993).

L’assenza di formalismo simbolico consapevole

Un aspetto peculiare della matematica babilonese è la mancanza di notazione algebrica consapevole. Sebbene “it is often possible to transform these examples directly into our symbolism simply by replacing the ideograms which were used for ‘length’, ‘width’, ‘add’, ‘multiply’ by our letters and symbols” (fr:1009), “the fact remains that the step to a consciously algebraic notation was never made” (fr:1011). Tuttavia, “it is substantially incorrect if one denies the use of a ‘general formula’ to Babylonian algebra” (fr:1010): i testi contengono regolarmente “a general explanation of the procedure” (fr:1008), e “it was the general procedure, not the numerical result, which was considered important” (fr:1007).

L’estensione straordinaria dei problemi

L’ambito dei problemi affrontati è notevolmente vasto. Oltre alle equazioni quadratiche, “Linear problems for several unknowns are common in many forms, e.g., for ‘inheritance’ problems where the shares of several sons should be determined from linear conditions” (fr:1013). Ancora più sorprendentemente, “we know from these same collections series of examples which are equivalent to special types of equations of fourth and sixth order” (fr:1014).

Particolarmente rilevante è l’evidenza di esperimenti con concetti logaritmici: “one had actually experimented with special cases of logarithms without, however, reaching any general use of this function” (fr:1017). Questo emerge sia da “problems which have to do with compound interest” che da “numerical tables for the consecutive powers of given numbers” (fr:1016).

La natura pragmatica della geometria

Un elemento peculiare è il trattamento della geometria. “Geometrical concepts play a very secondary part in Babylonian algebra, however extensively a geometrical terminology may be used” (fr:998). Più radicalmente, “‘geometry’ is no special mathematical discipline but is treated on an equal level with any other form of numerical relation between practical objects” (fr:1025). L’importanza matematica risiede nella soluzione aritmetica: “The mathematical importance of a problem lies in its arithmetical solution; ‘geometry’ is only one among many subjects of practical life to which the arithmetical procedures may be applied” (fr:1021).

La geometria babilonese manca completamente di rigore dimostrativo. “We have not the faintest idea about anything amounting to a ‘proof’ concerning relations between geometrical magnitudes” (fr:1026). Inoltre, “it is not at all certain whether the triangles and trapezoids are right-angle figures or not” (fr:1028), e “only a very crude approximation for the area of a circle is known so far, corresponding to the use of 3 for π” (fr:1031).

Scoperte recenti e approssimazioni geometriche

Scoperte successive hanno rivelato coefficienti per figure geometriche regolari. Un nuovo elenco contiene “coefficients concerning the equilateral triangle (confirming the above approximation √3 ≈ 1;45), the square (√2 ≈ 1;25), and the regular pentagon, hexagon, heptagon, and the circle” (fr:1038). Particolarmente significativo è il miglioramento dell’approssimazione di π: “the comparison of the circumference of the regular hexagon with the circumscribed circle must have led to a better approximation of π than 3” (fr:1041), risultando in π ≈ 3;7,30 = 3 1/8.

L’indifferenza verso il significato pratico

Un aspetto sorprendente è l’indifferenza babilonese verso la plausibilità pratica dei problemi. “Problems are set up involving sums, differences, products of these numbers and one does not hesitate to combine in this way the number of men and the number of days” (fr:1000). “Obviously the algebraic relation is the only point of interest, exactly as it is irrelevant for our algebra what the letters may signify” (fr:1001). Questo rivela un interesse genuinamente astratto, nonostante l’assenza di formalismo simbolico.

L’organizzazione pedagogica dei testi

I testi matematici babilonesi presentano un’organizzazione sistematica. “These collections of problems are usually carefully arranged, beginning with very simple cases e.g., quadratic equations in the normal form, and expanding step by step to more complicated relations, but all eventually reducible to the normal form” (fr:1004). I testi spesso terminano con la formula “‘such is the procedure’” (fr:1003), indicando un’intenzione didattica esplicita. Investigando tali serie, “one finds that they all have the same pair x = 30 Y = 20 as solutions” (fr:1005), suggerendo che “it was the general procedure, not the numerical result, which was considered important” (fr:1007).

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15 La trasmissione e lo studio dei testi matematici mesopotamici

Stato della ricerca e problematiche metodologiche nella documentazione cuneiforme di argomento matematico.

La ricerca sui testi matematici mesopotamici si presenta frammentaria e metodologicamente complessa. La documentazione disponibile comprende materiali di provenienza e affidabilità variabile, con lacune significative nella trasmissione testuale.

I contributi editoriali principali risalgono al lavoro di Goetze, “Sumer 7 (1951) p. 126-154” - (fr:1071), mentre “Additional texts were discussed by Bruins in Sumer 9 and 10 (1953/54) but only in exerpts or in very unreliable transcriptions” - (fr:1072) [Testi aggiuntivi furono discussi da Bruins in Sumer 9 e 10 (1953/54) ma solo in estratti o in trascrizioni molto inaffidabili]. Questa limitazione rappresenta un ostacolo metodologico rilevante. Tra i materiali peculiari figura “A problem text of unknown origin, concerning a circular city” - (fr:1073) [Un testo problematico di origine sconosciuta, riguardante una città circolare], pubblicato da Leemans nel La documentazione tardo-babilonese è rappresentata da “Two fragments of problem texts and 16 table texts from the Late-Babylonian archive in Babylon” - (fr:1074) [Due frammenti di testi problematici e 16 testi tabulari dall’archivio tardo-babilonese di Babilonia].

Un aspetto critico riguarda l’interpretazione delle origini della matematica mesopotamica. “There exists a single fragment of a mathematical text written in Sumerian” - (fr:1078) [Esiste un singolo frammento di un testo matematico scritto in sumerico], tuttavia “Because Sumerian was still practiced in the schools of the Old-Babylonian period nothing can be concluded from such a text for the Sumerian origin of Mesopotamian mathematics” - (fr:1079) [Poiché il sumerico era ancora praticato nelle scuole del periodo antico-babilonese, non si può concludere nulla da tale testo per l’origine sumerica della matematica mesopotamica]. Analogamente, “The same holds for the exeeedingly frequent use of Sumerian words and phrases throughout all periods” - (fr:1080) [Lo stesso vale per l’uso straordinariamente frequente di parole e frasi sumeriche in tutti i periodi].

L’insegnamento della matematica rappresenta un contesto istituzionale fondamentale. “That mathematics was taught in scribal schools can hardly be doubted” - (fr:1081) [Che la matematica fosse insegnata nelle scuole scriba è difficilmente dubbio], sebbene rimangano incertezze: “At what level such instruction started and to what extent it was the common knowledge of scribes it is impossible to say” - (fr:1082) [A quale livello tale insegnamento iniziasse e in quale misura fosse conoscenza comune degli scribi è impossibile dire]. Una testimonianza diretta proviene da “a text, probably itself written for use in scribal schools, in which the trying life of a schoolboy in such a ‘Tablet House’ is dramatically described” - (fr:1083) [Un testo, probabilmente scritto per l’uso nelle scuole scriba, in cui la difficile vita di uno scolaro in una tale ‘Casa delle Tavolette’ è drammaticamente descritta], riferito al lavoro di Kramer su “Schooldays, a Sumerian Composition Relating to the Education of a Scribe” - (fr:1085) [Giorni di scuola, una composizione sumerica riguardante l’educazione di uno scriba].

La ricerca specialistica ha approfondito specifici aspetti tecnici: il sistema sessagesimale e le frazioni babilonesi sono stati analizzati sistematicamente, così come i metodi di calcolo dei reciproci e la trasformazione delle frazioni sessagesimali in frazioni unitarie, rappresentando i fondamenti della pratica computazionale mesopotamica.

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16 La matematica babilonese: operazioni, equazioni e geometria

Rassegna delle tecniche algebriche e geometriche sviluppate nella matematica babilonese antica, con particolare attenzione alle operazioni composte, alle equazioni di ordine superiore e ai metodi di approssimazione.

La matematica babilonese si caratterizza per una notevole sofisticazione nelle operazioni aritmetiche e algebriche. Le fonti documentano operazioni che vanno oltre la semplice addizione di grandezze omogenee: “addition of lengths and areas” - (fr:1123) e “addition of length and volume” - (fr:1124) testimoniano la capacità di combinare entità geometriche di natura diversa. Ancora più significativo è il caso di “addition of number of days and of men” - (fr:1125), che rivela un’astrazione concettuale notevole, applicando operazioni aritmetiche a categorie semanticamente distinte come il tempo e le quantità discrete.

Le equazioni di ordine superiore rappresentano un aspetto cruciale dello sviluppo algebrico babilonese. Oltre alle equazioni quadratiche, ampiamente classificate da Solomon Gandz, i testi attestano equazioni di grado progressivamente più elevato: equazioni cubiche, “Fourth order” - (fr:1133), “Fifth order” - (fr:1135) e persino “Sixth order” - (fr:1136). Questo repertorio dimostra una capacità di generalizzazione algebrica straordinaria per l’epoca.

Un elemento distintivo della pratica matematica babilonese è l’uso estensivo di tavole di calcolo. Le “Tables for an” - (fr:1137) sono state rinvenute in siti archeologici significativi: “The tables for an were found at Kish, east of Babylon. and at Tell Harmal near Baghdad” - (fr:1138, 1139). Particolarmente notevole è la tavola di radici quadrate speciali, che mostra una struttura ricorsiva: “1 e 1 ~si8 2,1 e 1,1 ~si8 1,2,3,2,1 e 1,1,1 ~si8 1,2,3,4,3,2,1” - (fr:1140), rivelando la consapevolezza dei coefficienti binomiali, poiché “The knowledge of the binomial coefficients lies, of course. fully within the ’reach of Babylonian algebra” - (fr:1141, 1142).

Il concetto di rapporto costituisce un passaggio concettuale fondamentale. Non solo i triangoli simili erano frequentemente utilizzati nella risoluzione di problemi geometrici, ma “the arithmetical concept ‘ratio’ had a special term” - (fr:1145). Significativamente, “the ratio of two numbers is treated as an entity is indeed a very important step in the development of algebra” - (fr:1147), indicando che i Babilonesi avevano sviluppato un’astrazione algebrica sofisticata.

Nella geometria, il calcolo dell’area del cerchio seguiva una formula approssimata: “The area A of a circle is usually determined from its circumference c in the form A = 0;5· ell where 0;5 = 1/12 is an approximation of 4 1” - (fr:1148). Tuttavia, i problemi relativi ai segmenti circolari presentavano difficoltà interpretative: “All these problems cause troublewhich is a certain indication that we have not yet found the proper key to this part of Babylonian geometry” - (fr:1152).

I metodi di approssimazione erano sofisticati. Per √3, partendo da una stima iniziale, i Babilonesi ottenevano “V3 ~ 1;45” - (fr:1163) attraverso un processo iterativo: “StartiDg with the obvious estimate V3 ~ 1:30, 3 one obtains as the next value 1;30 = 2 and hence i (2 + 1;30) = 1;45” - (fr:1164). Questa approssimazione coincide con quella di Erone nei suoi Metrica. Infine, il valore π ≈ 3 1 rimane attestato solo marginalmente nelle fonti conservate: “The value n”., 31 does not seem to be attested in the preserved literature of antiquity” - (fr:1167).

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17 Lo stato frammentario delle fonti scientifiche antiche e medievali

La ricostruzione della storia della scienza è gravemente ostacolata dalla perdita, dalla corruzione e dalla scarsa edizione critica dei testi originali, rendendo impossibile una comprensione affidabile dello sviluppo del pensiero scientifico antico e medievale.

17.1 Il problema della trasmissione testuale

La ricerca sulla storia della scienza si trova di fronte a un ostacolo fondamentale: “One has to do practically all the work over again if one should try to investigate the development of symbols like the zodiacal signs or the planetary sigla” - (fr:1197). Questo problema affonda le radici nella qualità delle edizioni disponibili. Sebbene “The best list of mathematical, astronomical and chemical symbols is still the collection made by Du Cange in the appendix to his ‘Glossarium …’ (1688)” - (fr:1198), tale raccolta risale al XVII secolo e si basa su un manoscritto di Angelo Poliziano del La situazione rappresenta “a characteristic example of the true state of affairs in the study of the history of scientific developments” - (fr:1199).

Solo recentemente gli studiosi hanno iniziato a pubblicare edizioni affidabili: “It is only recently that scholars following A. Rome and A. Delatte, have begun to publish editions where the figures and their lettering are taken as part of the text” - (fr:1200). Questo significa che “With these recent exceptions no edition can be trusted in the least with respect to appearance, lettering or even existence of figures” - (fr:1201). Le conseguenze sono concrete e gravi: “The question, for instance, how the ancients depicted geometrical relations on a sphere cannot be seriously discussed on the basis of the existing printed texts” - (fr:1202).

17.2 Il caso di Tolomeo: edizioni incomplete e inaffidabili

L’opera di Tolomeo esemplifica perfettamente questa crisi. “Ptolemy’s other works are slowly being published” - (fr:1203). Nel 1907 apparve un volume contenente “important writings on the theory of sun dials and on stereographic projection which is the basis of the famous astrolabe, one of the most important instruments of medieval astronomy” - (fr:1204). Il “Tetrabiblos”, the “Bible of astrology”, was published twice during World War II“ - (fr:1205): “One edition, by E. Boer, appeared in Germany, Greek text only; the other, by F. E. Robbins, Greek with English translation, in the Loeb Classical Library” - (fr:1206).

Questo esperimento involontario di critica testuale rivela l’inaffidabilità metodologica: “It is amusing to see that the differences begin with the title and continue in varying degree in the division of chapters and sections” - (fr:1208). Sebbene “in essence the results are the same, but the details are by no means identical” - (fr:1209).

Per la Geografia di Tolomeo, “An enormous literature has clustered around Ptolemy’s ‘Geography’, one of the most influential books of antiquity” - (fr:1210), eppure “no reliable edition exists” - (fr:1211). “The task is indeed of great difficulty” - (fr:1212) perché “The constant use of this work has greatly affected its tradition and it is a major enterprise to restore the original version of a text which to a large extent consists of geographical names and numbers uncheckable by internal evidence” - (fr:1213).

17.3 La perdita della tradizione astronomica greca

La situazione è ancora più drammatica per l’astronomia greca antica. “Early Greek astronomy from its beginnings about 400 B.C. to Ptolemy (about 150 A.D.) is almost completely destroyed, except for a few very elementary works which survived for teaching purposes” - (fr:1215). La causa è paradossale: “the rest was obliterated by Ptolemy’s outstanding work, which relegated his predecessors to merely historically interesting figures” - (fr:1216).

Per i successori di Tolomeo la situazione è leggermente migliore: “Pappus’s and Theon’s commentaries, written in the 4th century, were widely used and have in part survived” - (fr:1218) e “They are now in the process of publication by A. Rome” - (fr:1219). Tuttavia, “We are still very badly off so far as the tables are concerned, though at least a preliminary publication by Halma exists, more than 100 years old and bristling with misprints and errors” - (fr:1220). Inoltre, “almost nothing has been done with Byzantine or European medieval tables” - (fr:1221).

17.4 L’impatto sulla ricerca medievale e islamica

Questa carenza ha conseguenze devastanti: “Thus all work on mathematical astronomy of the Middle Ages is most seriously handicapped by the fact that almost no tables are accessible, though hundreds of them can be found listed in library catalogs” - (fr:1222). Il paradosso è stridente: “The much publicized ‘progress’ in the study of the history of science is difficult to reconcile with the shocking neglect of a great wealth of source material which is of primary importance for our knowledge of Byzantine astronomy” - (fr:1223). Ancora più grave, “The study of the problem of the interaction between Islamic science and the West is precluded as long as these sources remain unpublished” - (fr:1224). La soluzione richiesta è chiara: “What we really need is not bibliographies and summaries, but competent publications of Islamic, Greek, and Latin treatises” - (fr:1225).

17.5 Fonti alternative: i testi astrologici

Una risorsa finora sottoutilizzata è rappresentata dai testi astrologici. “There is one group of sources which will become of increasing importance when systematically utilized: the astrological writings” - (fr:1227). Negli ultimi sessant’anni è stato completato “a ‘catalogue’ in 12 volumes of Greek astrological writings” - (fr:1228), con “The text is Greek, the notes are Latin, the indices are restricted to proper names and occasionally to selected terminology” - (fr:1229). Sebbene “the content can only be called repelling—hundreds and hundreds of pages of the dryest astrological nonsense” - (fr:1230), gli studiosi, in particolare Franz Cumont, “have contributed enormously to the study of ancient civilization, far beyond the narrow limits of the history of astrology” - (fr:1231).

Questi testi contengono “innumerable scattered fragments of computations concerning the moon, the planets, positions of stars, their risings and settings” - (fr:1237). Sebbene “These computations are often almost hopelessly distorted” - (fr:1238) a causa della trasmissione manoscritta, “we obtain from these passages many references to methods which belong to the period between Hipparchus and Ptolemy” - (fr:1240). Una scoperta significativa è stata quella di W. Gundel, che “In an Old-French and a related Latin astrological manuscript of the Renaissance he found imbedded the fragments of a star catalogue of the time of Hipparchus” - (fr:1242). “Slowly there emerges from scattered scraps of information a whole system of astronomical methods which are very different from the classical ‘Ptolemaic’ system but which are of primary importance for the study of the origin and transmission of Hellenistic astronomy” - (fr:1243).

17.6 L’importanza cruciale della papirologia

Un elemento decisivo per la ricerca è rappresentato dai papiri. “The majority of manuscripts on which our knowledge of Greek science is based are Byzantine codices, written between 500 and 1500 years after the lifetime of their authors” - (fr:1245). Per questo motivo, “This suffices for one to realize the importance of every scrap of papyrus from a scientific or astrological treatise” - (fr:1246). I papiri rappresentano “originals which were written during the Hellenistic period itself, not yet subject to the selective editing of late centuries” - (fr:1247).

“It can be said without any exaggeration that the relatively young field of papyrology has truly revolutionized classical studies” - (fr:1248). La papirologia si distingue come “one of the best organized and most pleasantly managed fields of the humanities” - (fr:1251), dove “An unusual spirit of cooperation has survived two great wars” - (fr:1252). Sono state prodotte “generally usable editions were produced with translations, commentaries and excellent indices, glossaries and handbooks” - (fr:1255), in netto contrasto con altre tradizioni.

Tuttavia, “In spite of the very active and successful work of papyrologists, their number is much too small to cope with the large amount of material which has reached museums and smaller collections” - (fr:1256). Di conseguenza, “Many hundreds of papyri and papyrus fragments are rapidly disintegrating into dust after having been purchased at high prices from antiquity dealers” - (fr:1257).

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18 La conservazione e lo studio dei testi antichi: tra scoperta e perdita

Una riflessione critica sulle sfide metodologiche e pratiche nel recupero, conservazione e interpretazione delle fonti scritte mesopotamiche.

Lo studio delle fonti antiche si confronta con una paradossale condizione: mentre “il suolo mesopotamico ha preservato tavolette per migliaia di anni” (fr:1294), il processo moderno di scavo, conservazione e pubblicazione comporta rischi significativi di perdita e deterioramento del materiale.

La frammentazione delle scoperte

Un esempio emblematico riguarda un papiro egiziano: “il nostro papiro fu visto per la prima volta in possesso di un antiquario al Cairo” (fr:1262), ma “quando il testo raggiunse Copenaghen l’immagine era scomparsa” (fr:1263). Questa perdita è particolarmente grave perché “una parte vitale per la comprensione del testo svanì quasi nello stesso momento in cui venne riconosciuta la sua importanza” (fr:1264). Il fenomeno non è isolato: “molti testi scompaiono dagli scavi o vengono ‘trovati’ da nativi che hanno imparato da tempo che i papiri possono essere venduti proficuamente invece di bruciarli nei loro fuochi da campo o usarli come fertilizzante” (fr:1265).

I limiti degli scavi incompleti

Le difficoltà economiche e organizzative determinano interruzioni sistematiche dei lavori. “Il denaro disponibile viene solitamente speso quando è stata completata solo una frazione dello scavo originariamente pianificato, i benefattori sono difficili da trovare per pagare anni di lavoro senza risultati tangibili o spettacolari” (fr:1277). Di conseguenza, “molti scavi, se non tutti, hanno dovuto essere interrotti prima del completamento o hanno dovuto limitarsi fin dall’inizio a pochi trincei che attraversano la rovina nella speranza di ottenere una visione generale del carattere della stratificazione” (fr:1278).

Questo determina conseguenze critiche: “quello che ne risulta è una rovina lasciata con cicatrici profonde, una facile preda per i nativi che estraggono tutti i mattoni esposti, scavano tunnel per altri senza troppe difficoltà, e hanno accesso a strati più profondi e quindi continuano lo ‘scavo’ a loro modo e per loro beneficio” (fr:1279).

La perdita di contesto archeologico

Una conseguenza metodologica cruciale è l’impossibilità di determinare il contesto originario dei reperti: “è completamente impossibile scoprire se questi testi provenivano da un tempio, un palazzo, una casa privata, ecc.” (fr:1282). Paradossalmente, “se questi testi, che sono stati ufficialmente ‘scavati’, fossero stati trovati dagli Arabi, non staremmo peggio di quanto siamo ora” (fr:1283). Pertanto “siamo rimasti soli con i testi e dobbiamo determinare la loro origine dalle prove interne, il che è spesso molto difficile da interpretare” (fr:1284).

Conservazione e restauro

Le sfide tecniche della conservazione sono significative. Molte tavolette “sono incrostate di sali” (fr:1295), e in alcuni casi “ho visto ‘tavolette’ che consistevano solo di polvere, accuratamente conservate nelle vetrine” (fr:1297). Solo i grandi musei possiedono “l’attrezzatura necessaria e personale esperto, per non parlare del fatto che questi metodi di conservazione erano spesso mantenuti come segreti dei musei” (fr:1298).

La pubblicazione come fase critica

“La pubblicazione di tavolette è di per sé un compito difficile” (fr:1299). Le metodologie variano considerevolmente: “molti stili diversi di copia sono stati sviluppati da singoli studiosi, variando tra una riproduzione quasi schematica dei segni a una riproduzione minuta dei dettagli” (fr:1306). Inoltre, “le fotografie da sole nella maggior parte dei casi non sono sufficienti, anche se il loro costo non fosse proibitivo” (fr:1304); “solo fotografie multiple scattate con direzioni variabili di luce sarebbero sufficienti” (fr:1305).

Il tempo richiesto è considerevole: “praticamente nessun testo riesce al primo tentativo” (fr:1309). “Richiede anni di lavoro prima che un piccolo gruppo di poche centinaia di tavolette sia adeguatamente pubblicato” (fr:1310), e “invariabilmente una mente fresca troverà la soluzione di un enigma che è sfuggito all’editore, per quanto ovvio possa sembrare in seguito” (fr:1311).

Priorità metodologiche

L’autore sostiene che “il compito di scavare il materiale di fonte nei musei è di gran lunga più urgente dell’accumulo di nuove migliaia di testi non contati in cima alle migliaia precedenti mai investigate” (fr:1302).

[14.2-52-1312|1363]

19 La conservazione e la pubblicazione dei testi scientifici antichi: tra scoperta e perdita

Una riflessione critica sulle pratiche di scavo, conservazione e diffusione dei documenti astronomici e matematici mesopotamici ed egiziani.

Il testo affronta un problema fondamentale della ricerca archeologica e della storia della scienza: il divario critico tra il recupero fisico dei reperti e la loro effettiva valorizzazione scientifica attraverso la pubblicazione e lo studio sistematico.

19.1 Il caso egiziano: dispersione e perdita

La questione si introduce con un esempio significativo proveniente dall’Egitto. “One of the most interesting astronomical papyri eventually reached in part the Carlsberg collection of the University of Copenhagen” - (fr:1312). Questo papiro contiene “a Demotic translation and commentary to a much older hieratic text whose hieroglyphic replica is still preserved in the Cenotaph of King Seti I (about 1300 B.C.)” - (fr:1313), e rappresentava una risorsa straordinaria poiché “the text still contained at the beginning the picture of the sky goddess with all the constellations and their dates of rising and setting” - (fr:1314).

Tuttavia, la storia di questo documento rivela il problema centrale: “it was sold to some private collector and is probably lost forever” - (fr:1315). Questo fenomeno non è meramente deplorevole dal punto di vista etico, ma rappresenta una violazione sistematica, poiché “such happenings are contradictory to existing antiquities laws” - (fr:1316). La conseguenza è che “a large percentage of all these spoils is destined to end unread and unpublished in climates less favorable than the soil of Egypt” - (fr:1317).

19.2 La situazione mesopotamica: quantità senza qualità

La situazione mesopotamica presenta dimensioni ancora più drammatiche. “All that we have mentioned so far in source material is child’s play compared with ancient Mesopotamia” - (fr:1318). Le scoperte furono massicce: “in 1849/50 Layard found in the ruins of Nineveh, then called Kuyunjik, the first palace library; in 1853 followed the discovery of the Library of Ashurbanipal by Hormuzd Rassam” - (fr:1320).

Nonostante questo, “many tens of thousands of tablets have found their way into museums, providing source material which would require several centuries for their publication even under the concentrated efforts of all living Assyriologists” - (fr:1323). Il rapporto tra testi esistenti e testi pubblicati rimane drammaticamente squilibrato.

19.3 Il problema metodologico degli scavi

Il testo identifica una contraddizione fondamentale nelle pratiche di scavo. Da un lato, “a staff of architects, draftsmen, photographers, epigraphers, and philologists have to assist the archeologist in his field work” - (fr:1325), e “the preservation of the ruin, the conservation of the objects found, and, most of all, the publication of the results, remains the final task for which the work in the field is only the preliminary step” - (fr:1326).

Dall’altro, “while the field work has been perfected to a very high standard during the last half century, the second part, the publication, has been neglected to such a degree that many excavations of Mesopotamian sites resulted only in a scientifically executed destruction of what was left still undestroyed after a few thousand years” - (fr:1327). Questa inversione di priorità produce un risultato paradossale: “the time required for the publication of results is a multiple of the requirements for the field work” - (fr:1328), e “the final result is not much different from the one obtained by the treasure-hunting attitude of the earliest excavators” - (fr:1329).

19.4 La perdita della provenienza scientifica

Un aspetto particolarmente grave riguarda la perdita della documentazione sulla provenienza dei testi. “Until 1951 not for a single astronomical or mathematical text was its provenance established by excavation” - (fr:1332). Anche quando esistono eccezioni apparenti, come “a number of multiplication tables from Nippur or Sippar” - (fr:1333), “nobody knows where these texts were found in the ruins” - (fr:1333), e “not even the stratum is known to give us a more accurate date of the texts” - (fr:1334).

Il testo illustra questo problema con un caso concreto: una spedizione tedesca a Uruk aveva recuperato “tablets [which] finally found their way into the collections of Berlin, Paris, and Chicago, forming one of the most important groups of texts for the study of Seleucid astronomy” - (fr:1339), ma “the records about the place where they were found were lost in the meantime” - (fr:1342). Solo attraverso “very extensive computation” - (fr:1343) è stato possibile ristabilire alcune relazioni tra frammenti, e “the small fragments themselves were rediscovered in Istanbul” - (fr:1344).

19.5 I problemi di conservazione e catalogazione

La conservazione fisica dei reperti presenta ostacoli significativi. “A change in moisture produces crystals which break the surface of the tablets, thus rapidly obliterating the writing” - (fr:1348). Per prevenire questo, “tablets must be slowly baked at high temperature and thereafter soaked to remove salts” - (fr:1349). Tuttavia, “many thousands of tablets have been acquired at high cost by big and small collections only to be destroyed without ever being read or recorded in any way” - (fr:1350).

La catalogazione rimane un problema irrisolto: “only minute fractions of the holdings of collections are catalogued” - (fr:1352), e l’autore stima che “a tenth of all tablets in museums have ever been identified in any kind of catalogue” - (fr:1353) rappresenterebbe già un risultato sorprendente.

19.6 Le sfide della pubblicazione

La pubblicazione scientifica dei testi presenta difficoltà tecniche e economiche considerevoli. “A preliminary excavation in one season costs about as much as the salary of an Assyriologist for 12 or 15 years” - (fr:1354). Inoltre, “tablets are often inscribed not only on both sides but also on the edges” - (fr:1356), il che complica ulteriormente il processo di documentazione.

“There exists no simple method of publication” - (fr:1355), e “cost and actual need have resulted in the practice of hand copies” - (fr:1357). Sebbene “the ideal method of publication would be, of course, direct copying from the text” - (fr:1359), questo rimane spesso impraticabile. Crucialmente, “even with great experience a text cannot be correctly copied without an understanding of its contents” - (fr:1360), il che rende necessario “repeated collation, joining with other fragments, and comparison with other texts” - (fr:1361).

Il testo conclude con un’osservazione sobria: “no publication is ‘final’” - (fr:1362), sottolineando il carattere processuale e incompiuto della ricerca scientifica.

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[15.1-56-1368|1423]

20 La decifrazione di un testo matematico cuneiforme: metodo e interpretazione

Analisi della metodologia di lettura e interpretazione di un documento matematico babilonese attraverso la ricostruzione progressiva del significato.

La difficoltà fondamentale nel leggere testi matematici antichi risiede nella loro struttura frammentaria e nella mancanza di connessioni numeriche evidenti. “Though it is impossible to describe this process adequately the special situation which prevails in a specific class of mathematical texts might illustrate the great advantages which one has in reading mathematical texts of this type” - (fr:1368) sottolinea come, nonostante le sfide interpretative, questi documenti presentano peculiarità che facilitano la comprensione quando affrontati con il metodo appropriato.

20.1 Struttura del documento e identificazione delle sezioni

Il testo analizzato proviene da una tavoletta cuneiforme di cui “This ‘colophon’ reads: 48 im-su dub-13-kam-ma” - (fr:1375) [Questo “colofone” recita: 48 im-su dub-13-kam-ma] fornisce informazioni cruciali sulla sua organizzazione. La notazione “The second part means ‘13th tablet’ and characterizes the text as a part of a series of at least 13 related tablets” - (fr:1376) rivela che il documento appartiene a una serie strutturata. Il primo elemento numerico, 48, non indica il numero di righe ma piuttosto “the total of small boxes of two or three lines of text separated from one another by horizontal lines amounts to about 40 or 50” - (fr:1379), confermando che “each section has to be treated individually” - (fr:1381).

Questa segmentazione è essenziale perché “the shortness of these sections suggests that we are dealing with problems only, not with their solutions worked out in detail” - (fr:1382), il che “explains the lack of obvious connection between numbers” - (fr:1383).

20.2 Decifrazione lessicale e traduzione

La trascrizione richiede l’identificazione dei termini cuneiformi. “Several terms can be translated directly; gar and dah are words known to indicate addition; a-ra is known from the multiplication tables, corresponding to our ‘times’” - (fr:1386). Analogamente, “The words ui and sag are known to mean length and width respectively” - (fr:1389), mentre “The particle -ma represents something like ‘and thus’; we represent it simply by an equal sign” - (fr:1391).

Un elemento interpretativo cruciale riguarda la frase “a-ra 2 e-tab”. Sebbene “The phrase e-tab seems to suggest another addition because tab is the counterpart to lal ‘minus’” - (fr:1392), l’analisi rivela che “here the whole phrase a-ra 2 e-tab must mean ‘multiply by 2’ without any reference to addition” - (fr:1394). Questo è giustificato dal fatto che “the original meaning of the sign ‘tab’ which consists of two parallel wedges, thus indicating ‘duplication’” - (fr:1395).

20.3 Ricostruzione delle equazioni e introduzione di incognite

La traduzione iniziale produce frammenti apparentemente incoerenti. “Now we have the single problems but they are obviously too short to make sense” - (fr:1399). Per risolvere questa difficoltà, “we are compelled to introduce an unknown quantity f, which might depend on x and y, to which all the other quantities are added” - (fr:1402). Così “we interpret line 15 as f + y = 35” - (fr:1403).

L’ipotesi interpretativa si estende al problema successivo: “It is plausible to assume for the next example the interpretation 2 f+(y) = 50 because otherwise we would have two new unknowns instead of f and y whereas our interpretation makes the second example the direct continuation of its predecessor” - (fr:1404). Questo approccio consente di determinare i valori: “we can determine from these two equations the values of f and y, and find f = 15 Y = 20” - (fr:1405).

20.4 Verifica mediante la notazione posizionale

Un ostacolo emerge quando “the second relation is impossible for positive numbers because 2 f + x cannot be 1 if f + x already is at least 5” - (fr:1407). La soluzione interviene riconoscendo che “here the place value notation comes to our rescue” - (fr:1408): “Instead of ‘1’ we can read 1,0 = 60” - (fr:1409). Con questa correzione, “we obtain x = 30” - (fr:1410) e “f + x = 45 in excellent agreement with the traces in line 12” - (fr:1411).

20.5 Determinazione di f come funzione

L’analisi di sezioni precedenti consente di esprimere f non come costante ma come funzione: “we have also determined f as a function of x and y: f= n(2,40 - (x + y)) + (55 - y)” - (fr:1418). Questo risultato sintetizza quattro problemi apparentemente distinti in un sistema coerente.

20.6 Limitazioni e necessità di contesto

Infine, emerge un’ultima difficoltà: “Obviously these equations do not suffice, if one takes them singly, to determine x and y” - (fr:1420), e “they cannot be used simultaneously because there are too many” - (fr:1421). Pertanto “one has to look for additional information higher up in the text” - (fr:1422), suggerendo che la comprensione completa richiede l’esame dell’intero documento secondo uno schema coerente.

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[16.1-40-1489|1528]

21 Analisi critica dei cataloghi stellari: Ipparco e Tolomeo a confronto

Revisione metodologica delle datazioni astronomiche attraverso il confronto sistematico delle longitudini stellari.

La discussione affrontata in questo estratto riguarda la datazione e l’autenticità dei cataloghi stellari antichi, in particolare la relazione tra il catalogo di Ipparco e quello di Tolomeo, tema centrale nella storia dell’astronomia antica.

21.1 Il metodo di Gundel e le sue limitazioni

Gundel aveva stabilito la datazione del catalogo antico “comparando le longitudini date con le longitudini del catalogo stellare nell’Almagesto e assumendo un cambiamento di 1° per secolo, accettando la costante di precessione di Tolomeo” - (fr:1491). Sebbene “il risultato principale di Gundel, cioè che un gran numero di posizioni indica il tempo di Ipparco, non possa essere messo in dubbio” - (fr:1492), emergono obiezioni significative nei dettagli metodologici.

21.2 Il problema cruciale dell’arrotondamento

Un aspetto peculiare del catalogo di Gundel è che “con una sola eccezione (n. 63), tutte le longitudini nella lista di Gundel sono gradi interi (n. 63 dà 291°) e sono quindi evidentemente valori arrotondati” - (fr:1494-1495). Questo contrasta nettamente con il fatto che “il catalogo di Tolomeo fornisce invece longitudini con una precisione di 10’” - (fr:1496). Di conseguenza, “non si possono comparare questi due insiemi di valori senza tenere conto degli errori di arrotondamento” - (fr:1497).

La scelta del metodo di arrotondamento è cruciale: “devono essere considerate due possibilità: o l’arrotondamento al grado intero più vicino o la semplice cancellazione delle frazioni” - (fr:1498). L’autore sottolinea che “l’esperienza con numeri molto grandi di valori arrotondati nell’astronomia babilonese e greca suggerisce, contrariamente alle nostre abitudini, una preferenza per il secondo metodo” - (fr:1499-1500).

21.3 Il confronto sistematico con l’epoca di 130 a.C.

Applicando questa metodologia corretta, l’autore ha “comparato le longitudini di tutte le stelle della lista di Gundel con le longitudini che avevano a 130 a.C. secondo il catalogo di Peters e Knobel” - (fr:1501). I risultati sono significativi: “per 39 stelle, cioè il 66 per cento, si ottengono esattamente gli stessi numeri, mentre 18 stelle, cioè il 30,5 per cento, hanno longitudini 1° maggiori di quelle trovate per 130 a.C.” - (fr:1504). Complessivamente, “il 96,5 per cento delle stelle della lista di Gundel hanno longitudini corrette per il periodo da 130 a.C. a 60 a.C.” - (fr:1505).

Questa evidenza statistica porta alla conclusione che “furono prese o dal catalogo di Ipparco stesso o dal catalogo di un astronomo delle generazioni successive” - (fr:1506).

21.4 Confutazione dell’ipotesi di un catalogo pre-ipparchiano

Un risultato importante è che “l’ipotesi di Gundel di un catalogo stellare che precedette Ipparco e che dava le posizioni in coordinate eclittiche è confutata” - (fr:1507).

21.5 Contesto storiografico: il pregiudizio sulla scienza greca

L’autore identifica un pregiudizio storiografico profondo: “la convinzione radicata che i Greci fossero inclini solo alla speculazione filosofica, ma trascurassero le osservazioni e gli esperimenti, rese una teoria facilmente accettata il considerare il catalogo stellare di Tolomeo come una modifica banale del catalogo di Ipparco, semplicemente assumendo che Tolomeo aggiungesse 2°40’ alle longitudini di Ipparco, nonostante la sua dichiarazione esplicita di osservazioni indipendenti” - (fr:1508).

21.6 Ricerche successive che confermano l’indipendenza osservativa

Ricerche successive hanno rovesciato questa narrativa. “Boll ha dimostrato che il catalogo di Ipparco copriva solo circa 850 stelle rispetto a più di 1000 di Tolomeo” - (fr:1509). Ancora più rilevante, “Vogt ha dimostrato che per 60 stelle del catalogo di Ipparco, solo 5 potrebbero essere state utilizzate da Tolomeo mentre la maggioranza mostra indubbiamente osservazioni indipendenti” - (fr:1513). Gundel, che aveva trascurato il lavoro di Vogt, “operava ancora sotto l’assunzione di una relazione puramente schematica tra i due cataloghi” - (fr:1514).

21.7 La scoperta della precessione come spartiacque metodologico

Un elemento storico significativo emerge dall’analisi del Commentario di Ipparco ad Arato: “questo lavoro è indubbiamente un’opera giovanile di Ipparco, scritta prima della scoperta della precessione” - (fr:1516). Questo è evidente perché “le posizioni delle stelle non sono mai date in coordinate eclittiche (longitudine e latitudine) ma in un sistema misto eclittico-declinazione” - (fr:1517). “Fu evidentemente la scoperta della precessione che successivamente portò Ipparco a introdurre vere coordinate eclittiche perché le longitudini aumentano proporzionalmente nel tempo mentre le latitudini rimangono invariate” - (fr:1520).

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[17.1-45-1547|1591]

22 La matematica egizia: caratteri strutturali e significato storico

Un’analisi della matematica dell’antico Egitto rivela il suo carattere essenzialmente additivo e il suo ruolo nella storia della computazione, pur nella consapevolezza dei suoi limiti rispetto allo sviluppo scientifico successivo.

22.1 Il contesto storico e culturale della matematica egizia

La matematica egizia non può essere compresa isolatamente dal contesto civile in cui si sviluppò. “Of all the civilizations of antiquity, the Egyptian seems to me to have been the most pleasant” - (fr:1552-1553) [Tra tutte le civiltà dell’antichità, l’Egitto mi sembra sia stata la più piacevole], osserva l’autore, sottolineando come “The excellent protection which desert and sea provide for the Nile valley prevented the excessive development of the spirit of heroism which must often have made life in Greece hell on earth” - (fr:1554) [L’eccellente protezione che il deserto e il mare fornivano alla valle del Nilo impedirono lo sviluppo eccessivo dello spirito di eroismo che spesso rese la vita in Grecia un inferno]. Questa stabilità relativa si rifletteva anche nella continuità culturale: “There is probably no other country in the ancient world where cultivated life could be maintained through so many centuries in peace and security” - (fr:1555) [Probabilmente non esiste altro paese nel mondo antico dove la vita colta potesse mantenersi attraverso così molti secoli in pace e sicurezza].

Tuttavia, l’autore corregge una percezione diffusa sulla staticità egiziana. Sebbene “the static character of Egyptian culture has often been emphasized” - (fr:1557) [il carattere statico della cultura egiziana sia stato spesso enfatizzato], in realtà “there was as little innate conservatism in Egypt as in any other human society” - (fr:1558) [vi era altrettanto poco conservatorismo innato in Egitto come in qualsiasi altra società umana]. Infatti, “a serious student of Egyptian language, art, religion, administration, etc. can clearly distinguish continuous change in all aspects of life from the early dynastic periods until the time when Egypt lost its independence” - (fr:1559-1560) [uno studioso serio della lingua, arte, religione, amministrazione egiziana, ecc., può chiaramente distinguere il cambiamento continuo in tutti gli aspetti della vita dai periodi dinastici iniziali fino al momento in cui l’Egitto perse la sua indipendenza].

22.2 Il ruolo limitato della matematica nell’antichità

Un aspetto cruciale per comprendere la matematica egizia è riconoscere il suo ruolo marginale nella vita pratica dell’antichità. “The validity of this statement should not be contested by reference to the fact that mathematics and astronomy played a uniformly insignificant role in all periods of Egyptian history” - (fr:1561) [La validità di questa affermazione non dovrebbe essere contestata facendo riferimento al fatto che la matematica e l’astronomia ebbero un ruolo uniformemente insignificante in tutti i periodi della storia egiziana]. L’autore chiarisce ulteriormente: “mathematics and astronomy had practically no effect on the realities of life in the ancient civilizations” - (fr:1563) [la matematica e l’astronomia ebbero praticamente nessun effetto sulle realtà della vita nelle civiltà antiche].

Le ragioni sono concrete. “The mathematical requirements for even the most developed economic structures of antiquity can be satisfied with elementary household arithmetic which no mathematician would call mathematics” - (fr:1564) [I requisiti matematici anche per le strutture economiche più sviluppate dell’antichità potevano essere soddisfatti con l’aritmetica domestica elementare che nessun matematico chiamerebbe matematica]. Inoltre, “the requirements for the applicability of mathematics to problems of engineering are such that ancient mathematics fell far short of any practical application” - (fr:1565) [i requisiti per l’applicabilità della matematica ai problemi di ingegneria sono tali che la matematica antica era molto lontana da qualsiasi applicazione pratica].

L’astronomia aveva una portata leggermente maggiore, poiché “had a much deeper effect on the philosophical attitude of the ancients in so far as it influenced their picture of the world in which we live” - (fr:1566) [ebbe un effetto molto più profondo sull’atteggiamento filosofico degli antichi nella misura in cui influenzò la loro immagine del mondo in cui viviamo]. Tuttavia, “the development of ancient astronomy was relegated to the status of an auxiliary tool when the theoretical aspects of astronomical lore were eventually dominated by their astrological interpretation” - (fr:1567) [lo sviluppo dell’astronomia antica fu relegato allo stato di strumento ausiliario quando gli aspetti teorici della conoscenza astronomica furono infine dominati dalla loro interpretazione astrologica]. Le applicazioni pratiche rimasero limitate: “The only practical applications of theoretical astronomy may be found in the theory of sun dials and of mathematical geography” - (fr:1568) [Le uniche applicazioni pratiche dell’astronomia teorica si possono trovare nella teoria delle meridiane e della geografia matematica], e “There is no trace of any use of spherical astronomy for a theory of navigation” - (fr:1569) [Non c’è traccia di alcun uso dell’astronomia sferica per una teoria della navigazione]. Solo “since the Renaissance that the practical aspects of mathematical discoveries and the theoretical consequences of astronomical theory have become a vital component in human life” - (fr:1570) [dal Rinascimento che gli aspetti pratici delle scoperte matematiche e le conseguenze teoriche della teoria astronomica sono diventati una componente vitale della vita umana].

22.3 Il valore storico della matematica egizia

Nonostante i suoi limiti, la matematica egizia possiede un significato storico rilevante. “The fact that Egyptian mathematics did not contribute positively to the development of mathematical knowledge does not imply that it is of no interest to the historian” - (fr:1572) [Il fatto che la matematica egiziana non abbia contribuito positivamente allo sviluppo della conoscenza matematica non implica che sia priva di interesse per lo storico]. Anzi, “the fact that Egyptian mathematics has preserved a relatively primitive level makes it possible to investigate a stage of development which is no longer available in so simple a form, except in the Egyptian documents” - (fr:1573) [il fatto che la matematica egiziana abbia preservato un livello relativamente primitivo rende possibile investigare uno stadio di sviluppo che non è più disponibile in forma così semplice, se non nei documenti egiziani].

L’influenza egiziana sulla matematica successiva, sebbene limitata, è documentabile. “Egyptian mathematics has had some, though rather negative, influence on later periods” - (fr:1574) [La matematica egiziana ha avuto una certa, sebbene piuttosto negativa, influenza sui periodi successivi]. In particolare, “Its arithmetic was widely based on the use of unit fractions, a practice which probably influenced the Hellenistic and Roman administrative offices and thus spread further into other regions of the Roman empire” - (fr:1575) [La sua aritmetica era ampiamente basata sull’uso di frazioni unitarie, una pratica che probabilmente influenzò gli uffici amministrativi ellenistici e romani e si diffuse ulteriormente in altre regioni dell’impero romano]. “The handling of unit fractions was certainly taught wherever mathematics was included in a curriculum” - (fr:1576) [La manipolazione delle frazioni unitarie era certamente insegnata ovunque la matematica fosse inclusa in un curriculum].

Questa pratica lasciò tracce durature. “The influence of this practice is visible even in works of the stature of the Almagest, where final results are often expressed with unit fractions in spite of the fact that the computations themselves were carried out with sexagesimal fractions” - (fr:1577) [L’influenza di questa pratica è visibile anche in opere della statura dell’Almagesto, dove i risultati finali sono spesso espressi con frazioni unitarie nonostante il fatto che i calcoli stessi fossero eseguiti con frazioni sessagesimali]. In alcuni casi, “the accuracy of the results is sacrificed in favor of a nicer appearance in the form of unit fractions” - (fr:1578) [l’accuratezza dei risultati è sacrificata a favore di un aspetto più gradevole nella forma di frazioni unitarie]. Complessivamente, “this old tradition doubtless contributed much to restricting the sexagesimal place value notation to a purely scientific use” - (fr:1579) [questa vecchia tradizione ha indubbiamente contribuito molto a restringere la notazione sessagesimale posizionale a un uso puramente scientifico].

22.4 I caratteri strutturali della matematica egizia

Lo studio della matematica egizia rivela due risultati fondamentali. “The first consists in the establishment of the fact that the whole procedure of Egyptian mathematics is essentially additive” - (fr:1582) [Il primo consiste nell’accertamento del fatto che l’intera procedura della matematica egiziana è essenzialmente additiva]. “The second result concerns a deeper insight into the development of computation with fractions” - (fr:1583) [Il secondo risultato riguarda una comprensione più profonda dello sviluppo del calcolo con frazioni].

L’additività della matematica egizia è il suo tratto distintivo. “What we mean by the ‘additivity’ of Egyptian mathematics can easily be explained” - (fr:1585) [Ciò che intendiamo per ‘additività’ della matematica egiziana può essere facilmente spiegato]. Per le operazioni ordinarie, “It simply consists in the proper collection and counting of the marks for units, tens, hundreds, etc., of which Egyptian number signs are composed” - (fr:1587) [Consiste semplicemente nella corretta raccolta e conteggio dei segni per unità, decine, centinaia, ecc., di cui sono composti i segni numerici egiziani].

Crucialmente, anche operazioni più complesse seguono questo principio. “But also multiplication and division are reduced to the same process by breaking up any higher multiple into a sum of consecutive duplications” - (fr:1588) [Ma anche la moltiplicazione e la divisione sono ridotte allo stesso processo scomponendo qualsiasi multiplo superiore in una somma di duplicazioni consecutive]. “And each duplication is nothing but the addition of a number to itself” - (fr:1589) [E ogni duplicazione non è nient’altro che l’addizione di un numero a se stesso]. Ad esempio, “a multiplication by 16 is carried out by means of four consecutive duplications, where only the last partial result is utilized” - (fr:1590) [una moltiplicazione per 16 è eseguita per mezzo di quattro duplicazioni consecutive, dove solo l’ultimo risultato parziale è utilizzato]. Il testo fornisce un esempio concreto: una moltiplicazione per 18 viene eseguita aggiungendo i risultati per 2 e per 16, dimostrando come “multiplication is performed by breaking up one factor into a series of duplications” - (fr:1591) [la moltiplicazione è eseguita scomponendo un fattore in una serie di duplicazioni].

Questo approccio sistematicamente additivo rappresenta il fondamento metodologico della matematica egizia e la distingue dalle matematiche successive che svilupparono operazioni più astratte e indipendenti dall’addizione.

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[18.1-79-1594|1672]

23 Il sistema delle frazioni unitarie nell’aritmetica egiziana

Un’analisi della metodologia egiziana per la rappresentazione e il calcolo delle frazioni attraverso il principio dell’additività e l’uso sistematico di frazioni “naturali”.

23.1 La riduzione della divisione al metodo della duplicazione

La divisione, secondo questo trattato, non rappresenta un’operazione autonoma ma si riconduce al medesimo procedimento della moltiplicazione. Come affermato, “Division is, of course, also reducible to the same method because one merely asks for a factor which is needed for one given number in order to obtain the second given number” - (fr:1594). L’esempio della divisione di 18 per 3 illustra concretamente questo approccio: “The division of 18 by 3 would simply mean to double 3 until the total 18 can be reached 1 3 I 2 6 I 4 12 total 18, and the result is 2 + 4 = 6” - (fr:1595). Tuttavia, “this process might not always work so simply and fractions must be introduced” - (fr:1596), come nel caso della divisione di 16 per 3, dove il risultato non è un numero intero.

23.2 La natura delle frazioni egiziane

Un elemento peculiare del sistema egiziano è la sua esclusiva dipendenza dalle frazioni unitarie. Come precisato nel testo, “Egyptian fractions are always ‘unit fractions’, with the sole exception of 2/3 which we always include under this name in order to avoid clumsiness of expression” - (fr:1600). Queste frazioni si dividono in due categorie fondamentali: le frazioni “naturali” e quelle “algoritmiche”.

Le frazioni naturali costituiscono “the small group of fractional parts which are singled out by special signs or special expressions from the very beginning, like 1/3, 1/2, 1/4” - (fr:1620). Esse “are individual units which are considered basic concepts on an equal level with the integers” - (fr:1621) e “occur everywhere in daily life, in counting and measuring” - (fr:1622). Le frazioni rimanenti, invece, “are the unavoidable consequence of numerical operations, of an ‘algorism’, but less deeply rooted in the elementary concept of numerical entities” - (fr:1623).

23.3 Il principio dell’additività

Un aspetto cruciale della metodologia egiziana è il principio dell’additività rigorosa. Quando si sommano frazioni come 1/3 e 1/15, gli Egiziani “would simply leave 1/3 1/15 as the result and never replace it by any symbol like 1” - (fr:1606). Questo approccio, che potrebbe sembrare primitivo, rivela invece una concezione matematica coerente basata sulla conservazione della struttura additiva.

23.4 Il raddoppiamento delle frazioni unitarie

Un procedimento centrale nell’aritmetica egiziana è il raddoppiamento delle frazioni unitarie, essenziale per moltiplicazioni e divisioni. Il testo osserva che “twice 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, etc. are always directly replaced by 1, 1/2, 1/3, 1/4, respectively” - (fr:1612-1613). Per le frazioni con numeratore dispari, tuttavia, “special rules are followed which are explicitly summarized in one of our main sources, the mathematical Papyrus Rhind” - (fr:1615).

Una tabella nel Papiro Rhind fornisce le decomposizioni di 2/n per ogni intero dispari n. Ad esempio: “n twice 1/n: 3 → 1/2 1/6; 5 → 1/3 1/15; 7 → 1/4 1/28; 9 → 1/6 1/18” - (fr:1617). La questione cruciale è perché gli Egiziani scelsero proprio queste combinazioni tra le infinite possibilità di rappresentare 2/n come somma di frazioni unitarie.

23.5 La ricostruzione del procedimento egiziano

L’autore propone una ricostruzione affascinante del metodo egiziano. Per rappresentare 2/5, gli Egiziani operavano con la frazione naturale 1/3: “Two times 1/5 may thus be represented as 1/3 of 1/5 or 1/15 plus a remainder which must complete the factor 2 and which is 1/3” - (fr:1638). Il calcolo della frazione rimanente avveniva mediante un procedimento specifico: “This is done in Egyptian mathematics by counting the thirds and writing their number in red ink below the higher units” - (fr:1640).

Utilizzando la notazione moderna, il principio generale è espresso come: “2/n = 1/3 · 1/n + 1/(3n)” - (fr:1652), dove il secondo termine è una frazione unitaria se e solo se n è multiplo di Questo criterio è “indeed confirmed in all cases available in the table of the Papyrus Rhind which covers all expressions for 2/n from n = 3 to n = 101” - (fr:1654-1655).

23.6 I due principi fondamentali

L’autore sintetizza il sistema affermando di aver “made clear the two leading principles, the strict additivity and the extensive use of the ‘natural fractions’” - (fr:1666). Questi principi non sono arbitrari ma riflettono una concezione coerente della struttura numerica.

23.7 Variabilità storica e fonti documentarie

Il trattato sottolinea che il sistema non rimase statico. Mentre “The Papyrus Rhind is not our only document for the study of Egyptian arithmetic” - (fr:1668) e “The other large text, the Moscow papyrus, agrees with rules known from the Papyrus Rhind” - (fr:1669), esistono eccezioni significative. Un ostracon del Nuovo Regno presenta il raddoppiamento di 1/7 come “1/6 1/14 1/21 instead of 1/4 1/28 of the standard rule” - (fr:1670). Inoltre, “Much more material is available from Demotic and Greek papyri of the Hellenistic period” dove “deviations from the earlier rules can be observed, though the main principle remains the same” - (fr:1671-1672).

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[19.1-52-1742|1793]

24 Le origini egiziane della misurazione del tempo e della divisione astronomica

Contributi fondamentali dell’Egitto antico alla astronomia e alla calendariologia, dalla divisione del giorno alle costellazioni dei decani, fino alla loro trasformazione in epoca ellenistica.

L’Egitto antico fornì contributi decisivi alla misurazione del tempo e all’astronomia che si propagarono attraverso le civiltà successive. “Even in a civil calendar the Egyptian year of 366 days was revived during the Middle Ages” - (fr:1742) testimonia la persistenza del sistema egiziano oltre i confini temporali della civiltà che lo generò.

La divisione del giorno in ventiquattro ore rappresenta uno dei lasciti più significativi. “A second Egyptian contribution to astronomy is the division of the day into 24 hours, though these ‘hours’ were originally not of even length but were dependent on the seasons” - (fr:1743). Questo sistema subì una trasformazione cruciale in epoca ellenistica: “Thus our present division of the day into 24 hours of 60 minutes each is the result of a Hellenistic modification of an Egyptian practice combined with Babylonian numerical procedures” - (fr:1744). La fusione tra la pratica egiziana e le procedure numeriche babilonesi generò il sistema di misurazione ancora oggi in uso.

I decani e la loro evoluzione costituiscono un elemento peculiare dell’astronomia egiziana. Originariamente, i decani servivano come indicatori delle ore notturne mediante l’osservazione del loro sorgere eliaco. “The user of this list would know the ‘hour’ of night by the rising of the decan which is listed in the proper decade of the month” - (fr:1753). Il sistema si basava su una struttura decimale riflessa nella divisione del calendario: “As the months were divided into decades, so were the services of the hour-stars” - (fr:1759).

La logica del sistema decanale rivela una sofisticazione matematica notevole. “Since 36 decans correspond to one complete circuit of the sky, 18 decans would be seen rising each night and our list of stars would lead to an 18-division of the night” - (fr:1765). Tuttavia, “the decadic succession of the decans leads to a 12-division of the night” - (fr:1766), producendo una divisione duodecimale per le ore di buio. “Thus we see that the Egyptian reckoning of hours was originally decimal for daylight, duodecimal for the time of darkness because of the decimal structure of the calendar, and leaving two more ‘hours’ for twilight” - (fr:1769).

L’importanza astronomica limitata dell’osservazione egiziana emerge chiaramente: “The only apparent astronomical concept is the heliacal rising of Sirius which, however, obtained its importance only by its closeness to the rising of the Nile, the main event in the life of Egypt” - (fr:1748). L’astronomia egiziana era dunque funzionale a necessità pratiche e rituali piuttosto che a indagini teoriche.

La trasformazione in epoca ellenistica segnò un cambiamento radicale. “Again in Hellenistic times the Egyptian decans were brought into a fixed relation to the Babylonian zodiac which is attested in Egypt only since the reign of Alexander’s successors” - (fr:1745). Questo processo di sincretismo astronomico ebbe conseguenze di vasta portata: “In this disguise the decans reached India, only to be returned in still more fantastic form to the Muslims and the West” - (fr:1746). I decani, trasformati e reinterpretati, divennero elementi potenti della dottrina astrologica.

I limiti della precisione astronomica vanno considerati attentamente. “To attempt to go further in the determination of the decans is not only of very little interest but would necessarily imply ascribing to our texts an astronomical accuracy which they were never intended to have” - (fr:1780). Questo avvertimento sottolinea come l’astronomia egiziana non perseguisse la precisione scientifica moderna, bensì rispondesse a esigenze calendariologiche e rituali.

La documentazione archeologica mostra l’evoluzione del sistema nel tempo. “The coffins with the ‘diagonal calendars’ belong roughly to the period from 2100 B.C. to 1800 B.C.” - (fr:1781), mentre “In the tombs of Ramses VI, VII, and IX a new type of astronomical text appears” - (fr:1788), indicando sviluppi successivi. “By the time of the New Kingdom, the usefulness of the decans as indicators of hours had ceased” - (fr:1773), ma “In this form they continued to exist until their association with the zodiac of the Hellenistic period revived them and made them powerful elements of astrological doctrine” - (fr:1774).

[19.2-51-1794|1844]

25 I sistemi di misurazione del tempo notturno nell’antico Egitto: dai decani alle rappresentazioni astronomiche

Dall’invenzione dei decani come indicatori orari notturni alla loro evoluzione nelle rappresentazioni astronomiche dei templi e delle tombe reali.

La misurazione del tempo nell’antico Egitto si basava su un sistema sofisticato di osservazioni stellari che rappresenta uno dei primi tentativi sistematici di quantificare il passaggio delle ore notturne. “It is this sequence of phenomena which led the Egyptians to measure the time of night by means of stars (or groups of nearby stars) which we now call the decans” - (fr:1809) [È questa sequenza di fenomeni che condusse gli Egiziani a misurare il tempo della notte per mezzo di stelle (o gruppi di stelle vicine) che ora chiamiamo decani]. Questo sistema nacque da un’osservazione astronomica precisa: il movimento apparente del sole verso est, completato in un anno, ritarda progressivamente il sorgere del sole rispetto al sorgere di una determinata stella, rendendo quest’ultima sempre più visibile prima dell’alba.

La struttura del sistema decanale

Il sistema dei decani si basava su una divisione rigorosa. “In this final version the 36 ‘decans’ are simply the thirds of the zodiacal signs, each decan representing 10° of the ecliptic” - (fr:1797) [In questa versione finale i 36 decani sono semplicemente i terzi dei segni zodiacali, ogni decano rappresenta 10° dell’eclittica]. Questi 36 decani costituivano il fondamento di un vero e proprio “orologio stellare”: “Our ‘star clock’ will therefore be composed of 36 columns” - (fr:1815) [Il nostro “orologio stellare” sarà quindi composto da 36 colonne].

Il funzionamento pratico del sistema seguiva una logica decimale rigorosa. “For 10 days, S indicated the last hour of night, then T was chosen for the next 10 days, and so forth” - (fr:1811) [Per 10 giorni, S indicava l’ultima ora della notte, poi T veniva scelto per i successivi 10 giorni, e così via]. Questa organizzazione produceva un caratteristico arrangiamento diagonale nei testi: “Writing from right to left as the Egyptian texts do, we have thus obtained the following ‘diagonal’ arrangement” - (fr:1814) [Scrivendo da destra a sinistra come fanno i testi egiziani, abbiamo così ottenuto il seguente arrangiamento ‘diagonale’]. Tale disposizione diagonale diede il nome stesso a questi documenti: “Thus there originated a diagonal pattern which is the motivation for the name ‘diagonal calendars’ for these texts” - (fr:1804) [Così si originò uno schema diagonale che è la motivazione per il nome ‘calendari diagonali’ per questi testi].

Limiti e conseguenze del sistema

Il sistema presentava tuttavia limitazioni intrinseche. “The 12-division is therefore not an arbitrary choice of units, but the consequence of the decimal order of the civil calendar” - (fr:1819) [La divisione in 12 non è quindi una scelta arbitraria di unità, ma la conseguenza dell’ordine decimale del calendario civile]. Questo produceva “24 ‘hours’ of rather uneven length and uneven distribution between daylight and night” - (fr:1821) [24 “ore” di lunghezza piuttosto irregolare e distribuzione irregolare tra il giorno e la notte].

Un problema fondamentale emergeva dalla discrepanza tra il calendario civile e l’anno solare reale. “What was not taken into consideration, however, is the fact that 365 days do not accurately measure the return of the sun to the same star, and consequently, a slow but relentless change in the relation between the heliacal rising of a decan and its date in the civil calendar takes place” - (fr:1824) [Ciò che non è stato preso in considerazione, tuttavia, è il fatto che 365 giorni non misurano accuratamente il ritorno del sole alla stessa stella, e di conseguenza, un cambiamento lento ma inesorabile nella relazione tra il sorgere eliaco di un decano e la sua data nel calendario civile ha luogo]. Questa deriva temporale rendeva il sistema progressivamente obsoleto: “Not only must the independent division of darkness and daylight have soon become obsolete, but also the decanal clocks for the hours of night were bound to lose their usefulness in the course of a century or two” - (fr:1822) [Non solo la divisione indipendente dell’oscurità e della luce diurna deve essere presto diventata obsoleta, ma anche gli orologi decanali per le ore della notte erano destinati a perdere la loro utilità nel corso di un secolo o due].

Localizzazione astronomica e rappresentazioni monumentali

La ricerca della localizzazione celeste dei decani rivela l’importanza di stelle specifiche. “We not only know that Sirius and Orion figured among the decans but that Sirius was, so to speak, the ideal prototype of all the other decans” - (fr:1827) [Non solo sappiamo che Sirio e Orione figuravano tra i decani, ma che Sirio era, per così dire, il prototipo ideale di tutti gli altri decani]. “We have reached insight into a sound, however primitive, procedure of marking time at night by means of stars and are able to localize them in a definite region of the sky to which Sirius and Orion belong, not as exceptions, but as the leading members of the decanal constellations” - (fr:1832) [Abbiamo raggiunto una comprensione di una procedura corretta, sebbene primitiva, di marcatura del tempo durante la notte per mezzo di stelle e siamo in grado di localizzarle in una regione definita del cielo a cui Sirio e Orione appartengono, non come eccezioni, ma come membri principali delle costellazioni decanali].

Le rappresentazioni astronomiche più raffinate apparvero nelle tombe reali. “The astronomical representations on the coffin lids are, in all probability, poor replicas of ceilings in royal tombs or temples which were imitated in the modest coffins of minor people” - (fr:1803) [Le rappresentazioni astronomiche sui coperchi delle bare sono, con ogni probabilità, povere repliche di soffitti in tombe reali o templi che erano imitati nelle modeste bare di persone minori]. Esempi notevoli includono “the ceiling of the unfinished tomb of Senmut, the Vezir of Queen Hatshepsut; another is the ceiling of the cenotaph of King Seti I, about 1300 B.C.” - (fr:1833) [il soffitto della tomba incompiuta di Senmut, il Visir della Regina Hatshepsut; un altro è il soffitto del cenotafio del Re Seti I, circa 1300 a.C.].

Evoluzione verso metodi più raffinati

Nel corso del tempo, il sistema si evolse verso metodologie più sofisticate. “Obviously we are dealing here with a much more refined method of time measurement than in the coffins of the Middle Kingdom” - (fr:1842) [Ovviamente abbiamo a che fare qui con un metodo molto più raffinato di misurazione del tempo rispetto alle bare del Regno di Mezzo]. Le iscrizioni accompagnatorie fornivano indicazioni precise: “The accompanying inscription mentions, for the beginning of the night and for each of the 12 hours of the night, a star and where it will be seen ‘over the left ear’, ‘over the right ear’, ‘over the left shoulder’, or the ‘right shoulder’, etc.” - (fr:1841) [L’iscrizione accompagnatoria menziona, per l’inizio della notte e per ciascuna delle 12 ore della notte, una stella e dove sarà vista “sopra l’orecchio sinistro”, “sopra l’orecchio destro”, “sopra la spalla sinistra”, o la “spalla destra”, ecc.].

Infine, “A totally new element, the Greco-Babylonian zodiac, appears on the monuments” - (fr:1844) [Un elemento totalmente nuovo, lo zodiaco greco-babilonese, appare sui monumenti], segnando una transizione verso sistemi astronomici di influenza ellenistica che avrebbero caratterizzato i periodi successivi.

[19.3-51-1845|1895]

26 Il sistema dei decani egiziani: dalla misurazione del tempo alla cosmologia astrologica

Dalle origini astronomiche alla trasformazione in strumento astrologico e mitologico.

Il sistema dei decani rappresenta uno dei contributi più significativi dell’astronomia egiziana alla misurazione del tempo e alla cosmologia antica. La sua evoluzione riflette il passaggio da un’esigenza pratica di calcolo temporale a un complesso apparato simbolico e astrologico.

26.1 Origini e fondamenti astronomici

Il sistema decani affonda le radici nella necessità egiziana di coordinare due componenti fondamentali della misurazione del tempo: “the rising of Sirius as the harbinger of the inundation, and the simple scheme of the civil year of 12 months of three decades each” - (fr:1849). Questo calendario civile possedeva un carattere essenzialmente non astronomico, poiché “the year is divided into three seasons of four months each, of purely agricultural significance” - (fr:1850).

Il sistema decani funzionava come “a star clock” - (fr:1855) piuttosto che come un calendario convenzionale. Le rappresentazioni astronomiche erano organizzate in modo preciso: “These pictures represent the sky with the decanal constellations inscribed on them, arranged in their ten-day intervals throughout the year, forming 36 columns with 12 lines each for the 12 hours of the night” - (fr:1854). Questo schema derivava dalla considerazione che “during summer, when Sirius rises hellacally, only 12 decans can be seen rising during darkness” - (fr:1868).

26.2 Meccanismo di funzionamento

Il principio operativo si basava sul fenomeno dell’orto eliacale: “When we watch the stars rise over the eastern horizon, we see them appear night after night at the same spot on the horizon” - (fr:1856), fenomeno denominato “heliacal rising” - (fr:1857). Durante ogni decade, “the end of night receded from dawn toward darkness, only to be pushed back toward dawn by the heliacal rising of the next ‘decan’” - (fr:1862).

Un aspetto cruciale era la spaziatura temporale: “It is essential to recall that it was the decimal arrangement of the calendar which determined the spacing of the decans and thus the number of hours to be indicated by their rising each night” - (fr:1869). La struttura a 12 ore notturne derivava da considerazioni astronomiche precise: “If we had complete darkness from the moment of sunset to the moment of sunrise, and if night and day were equal all year, one could always see exactly one-half of the celestial sphere rise during one night” - (fr:1867).

26.3 Evoluzione e trasformazione

Il sistema originario subì significative modificazioni nel corso del tempo. “This primitive system was already obsolete when it was still depicted on the inscriptions of Seti I, giving way to a more even distribution of 24 hours into 12 hours of night and daylight each” - (fr:1872). Tuttavia, “the decans held a secure position as representatives of the decades of the year in the decoration of astronomical ceilings, as in the tomb of Senmut or in the cenotaph of Seti I” - (fr:1876).

Un elemento affascinante della tradizione decani era la concezione mitica della loro invisibilità: secondo il Demotic commentary, ogni decan “‘dies’, how it is ‘purified’ in the embalming house of the nether world, to be reborn after 70 days of invisibility” - (fr:1879). Questo implicava che “to serve as decan during the decade immediately after Sirius, a star must have been chosen that not only rose ten days later, but that also had a period of 70 days’ invisibility” - (fr:1880).

26.4 Contesto astrologico e culturale

Nel periodo ellenistico, il ruolo dei decani si trasformò radicalmente. “Since the same period witnesses the rapid development of astrology, the decans assumed an important position in astrological lore and in kindred fields such as alchemy, the magic of stones and plants and their use in medicine” - (fr:1848). Le rappresentazioni astronomiche divennero sempre più complesse e sincretiche: “The ceilings of the Hellenistic temples erected and restored by Ptolemaic kings and Roman emperors, truly represent the chaotic mixture of astro-mythology and astrology of the Hellenistic period” - (fr:1895).

26.5 Questioni di precisione e trasmissione

Un aspetto rilevante riguarda l’accuratezza delle rappresentazioni: “Astronomical accuracy was nowhere seriously attempted in these documents” - (fr:1890). Nonostante ciò, “these texts were mechanically copied over much longer periods than they could possibly cover correctly” - (fr:1893), evidenziando la tensione tra la trasmissione meccanica e l’obsolescenza scientifica del sistema.

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[20.1-25-1978|2002]

27 Procedure di moltiplicazione egizia: analisi di un ostracon da Tebe

Studio critico di un documento matematico egizio che rivela metodi di calcolo frazionario alternativi rispetto alle procedure standard.

Il documento analizzato proviene da un ostracon conservato al Metropolitan Museum of Art di New York, pubblicato da Hayes nella sua raccolta di reperti dell’Egitto antico. “The Metropolitan Museum of Art, Egyptian Expedition [Publications No. 15] New York 1942, published an ostracon (No. 153)” - (fr:1978-1979). L’ostracon contiene un calcolo matematico che merita attenzione particolare per le sue peculiarità metodologiche.

Problemi di interpretazione del testo originale

La ricostruzione del problema originale presenta difficoltà significative. “The restoration of the original problem given by Hayes seems to me very doubtful” - (fr:1979), e nella prima riga del documento “one can read safely only i i4 i 2i and I see no reason for restoring ‘cubit, palm(t)’ at the beginning” - (fr:1980). Inoltre, “The four fractions obviously form two pairs but I do not understand their relation to the subsequent operations” - (fr:1981).

Struttura del calcolo e notazione cromatica

Il calcolo è organizzato secondo una struttura precisa dove “the numbers below the main lines are written in red” - (fr:1982), distinguendo così i dati principali dalle operazioni ausiliarie. L’operazione centrale riguarda “a multiplication of 7” - (fr:1983).

Divergenza dalla procedura standard

La procedura utilizzata nell’ostracon si discosta significativamente dal metodo ordinario. “The standard procedure would be 1 ’7 2 ’4 28 4 2 14” - (fr:1984), ma il documento egizio “uses a different (and more complicated) expression for twice 7” - (fr:1984). Questa scelta metodologica non è casuale: “The analysis of this decomposition is useful for the understanding of the method which we have described in the text” - (fr:1985).

Il ruolo dei numeri ausiliari e delle frazioni

Un elemento cruciale è l’introduzione di “numeri ausiliari” in rosso. “In the case of the ostracon we find ‘auxiliary numbers’ written in red below the fractions” - (fr:1988). Specificamente, “Under 21 we find 1” - (fr:1989), il che significa che “21 is introduced as a new unit; consequently we find 3 below 7” - (fr:1990). Questo rivela una scelta consapevole: “we are dealing, not with the natural fraction i of the sequence 2, i, … , but with 3 which belongs to the sequence 1, 3, i, …” - (fr:1991).

Sviluppo del calcolo completo

Il procedimento prosegue attraverso decomposizioni successive. “We must find the remainder which is obtained by multiplying 7 by 2 - 3 = 1 3” - (fr:1993), e poiché “3 = 2 i” - (fr:1994), “we have to multiply 7 by 1 2 6” - (fr:1995). Anche in questa fase “auxiliary numbers must be introduced, counting ’6 as 1” - (fr:1996). Il risultato finale è che “1 i of ’7 is i” - (fr:1997) e “There remain ’2 of 7 which is 14” - (fr:1998), portando a “for the remainder ’6 14 and for the whole of twice ’7 the form 6 14 21” - (fr:1999).

Significato della scelta delle frazioni iniziali

Un aspetto cruciale emerge dalla comparazione tra i due approcci: “The above computation shows how important it is to begin with the proper natural fraction” - (fr:2000). La differenza è sostanziale: “The use of i leads to a two-term expression, whereas the use of 3 forced us into a three-term decomposition” - (fr:2001). Tuttavia, “I am sure that the Egyptians never saw behind the underlying reason of divisibility but simply operated by trial and error” - (fr:2002), suggerendo che il metodo era empirico piuttosto che teoricamente fondato.

Il documento rappresenta una testimonianza preziosa dei procedimenti matematici egizi, rivelando come gli antichi calcolatori affrontassero problemi di moltiplicazione frazionaria attraverso strategie alternative e talvolta più complesse rispetto alle procedure standard, probabilmente guidati dall’esperienza pratica piuttosto che da principi matematici consapevoli.

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[21.1-42-2239|2280]

28 La scoperta e lo studio sistematico dell’astronomia matematica babilonese

Dalla decifrazione delle progressioni aritmetiche alla ricostruzione di un’intera tradizione scientifica attraverso frammenti conservati al British Museum.

28.1 Il momento della scoperta

La comprensione dell’astronomia babilonese rappresenta un capitolo affascinante della storia della scienza, caratterizzato da una progressione che parte da intuizioni cruciali e si sviluppa attraverso il lavoro metodico di studiosi dedicati. “Suddenly it became clear that arithmetical progressions were skillfully utilized for the prediction of lunar phenomena, with an accuracy of a few minutes” - (fr:2239) [All’improvviso divenne chiaro che le progressioni aritmetiche erano abilmente utilizzate per la predizione dei fenomeni lunari, con un’accuratezza di pochi minuti]. Questo momento rappresenta il punto di rottura che ha permesso di accedere a un intero corpus di conoscenze astronomiche fino ad allora incomprese. Parallelamente, “The names of the planets and of zodiacal constellations were correctly determined and the road opened for the translation of astronomical records” - (fr:2240) [I nomi dei pianeti e delle costellazioni zodiacali furono correttamente determinati e si aprì la strada per la traduzione dei registri astronomici].

28.2 Il ruolo cruciale di Epping e la fondazione della ricerca moderna

Il contributo di Joseph Epping fu decisivo. “On ten pages Epping described discoveries which were to inaugurate a new epoch in the history of science” - (fr:2241) [In dieci pagine Epping descrisse scoperte che avrebbero inaugurato una nuova epoca nella storia della scienza]. Questo lavoro iniziale trovò prosecuzione quando “Eight years later Epping published a small book, entitled ‘Astronomisches aus Babylon’ in the supplements to the ‘Stimmen aus Maria Laach’” - (fr:2242) [Otto anni dopo Epping pubblicò un piccolo libro, intitolato “Astronomisches aus Babylon” nei supplementi a “Stimmen aus Maria Laach”]. L’opera conteneva “an account of the leading ideas of the Babylonian theory of the moon as well as a detailed discussion of planetary and lunar almanacs” - (fr:2243) [un resoconto delle idee principali della teoria babilonese della luna così come una discussione dettagliata degli almanacchi planetari e lunari].

28.3 La continuità della ricerca: Kugler e il consolidamento

Dopo la morte di Epping nel 1894, “The period of initial discoveries came to a conclusion in the monumental works by Father Kugler, published between 1900 and 1924” - (fr:2245) [Il periodo delle scoperte iniziali giunse a conclusione nelle opere monumentali di Padre Kugler, pubblicate tra il 1900 e il 1924]. Questi lavori rappresentano il consolidamento sistematico delle ricerche precedenti.

28.4 La fonte documentaria e il ruolo di Strassmaier

Un elemento cruciale per comprendere la storia di questa ricerca riguarda le fonti utilizzate. “The texts on which Epping’s and Kugler’s work are based come exclusively from the British Museum” - (fr:2246) [I testi su cui si basano i lavori di Epping e Kugler provengono esclusivamente dal British Museum]. Il vero architetto della raccolta fu Joseph Strassmaier, che “For many years Strassmaier copied there thousands of tablets, the majority of which belong to the latest periods of Babylonian history” - (fr:2247) [Per molti anni Strassmaier copiò migliaia di tavolette, la maggior parte delle quali appartiene ai periodi più recenti della storia babilonese]. “It was on Strassmaier’s initiative that Epping began the study of Strassmaier’s transcriptions of astronomical texts” - (fr:2250) [Fu su iniziativa di Strassmaier che Epping iniziò lo studio delle trascrizioni di Strassmaier dei testi astronomici].

Il processo di lavoro era rigorosamente organizzato: “When the decipherment proved to be successful, Strassmaier excerpted, from his notebooks, astronomical texts on special sheets, often adding explanatory remarks. These sheets were then sent to Epping for final investigation, and after Epping’s death, to Kugler” - (fr:2251, fr:2252) [Quando la decifrazione si rivelò riuscita, Strassmaier estrasse dai suoi quaderni testi astronomici su fogli speciali, spesso aggiungendo osservazioni esplicative. Questi fogli furono quindi inviati a Epping per l’indagine finale, e dopo la morte di Epping, a Kugler].

28.5 L’importanza della trasmissione documentaria

Un aspetto rilevante è che “Not a single one of these texts was ever published in the official publications of the British Museum; and no information whatsoever is available concerning similar tablets which the British Museum may have acquired after Strassmaier ceased copying” - (fr:2254) [Nemmeno uno di questi testi fu mai pubblicato nelle pubblicazioni ufficiali del British Museum; e nessuna informazione è disponibile riguardante tavolette simili che il British Museum potrebbe aver acquisito dopo che Strassmaier cessò di copiare]. Questo dato evidenzia come “Without Strassmaier, Epping, and Kugler, the few other astronomical texts so far published would probably have been laid aside in other museums too” - (fr:2254) [Senza Strassmaier, Epping e Kugler, i pochi altri testi astronomici finora pubblicati sarebbero probabilmente stati messi da parte anche in altri musei].

28.6 La portata del materiale recuperato

“From Strassmaier’s notebooks and from Kugler’s publications about 240 astronomical texts and fragments were recovered, all of which were probably found in one archive in Babylon” - (fr:2257) [Dai quaderni di Strassmaier e dalle pubblicazioni di Kugler circa 240 testi astronomici e frammenti furono recuperati, tutti probabilmente trovati in un archivio a Babilonia]. Questi testi “reached the museum between November, 1876 and July, 1882” - (fr:2258) [raggiunsero il museo tra novembre 1876 e luglio 1882]. Durante questo periodo, “the number of tablets increased from over 32,000 to more than 46,000 and one could expect that many hundreds of astronomical texts would be among these masses of texts” - (fr:2259) [il numero di tavolette aumentò da oltre 000 a più di 000 e ci si potrebbe aspettare che molte centinaia di testi astronomici fossero tra queste masse di testi].

Una scoperta successiva ha ampliato ulteriormente il corpus: “Indeed, in 1953 it became known that T. G. Pinches, before 1900, had copied some 1300 pieces of astronomical texts. This material was then put at the disposal of A. J. Sachs who published it with the addition of many related pieces in 1955” - (fr:2260, fr:2261) [Infatti, nel 1953 divenne noto che T. G. Pinches, prima del 1900, aveva copiato circa 1300 pezzi di testi astronomici. Questo materiale fu quindi messo a disposizione di A. J. Sachs che lo pubblicò con l’aggiunta di molti pezzi correlati nel 1955].

28.7 La classificazione dei testi astronomici

I testi matematici astronomici babilonesi si dividono in categorie ben definite. “The mathematical astronomical texts fall into two major groups: ‘procedure texts’ and ‘ephemerides’” - (fr:2264) [I testi astronomici matematici si dividono in due gruppi principali: “testi di procedura” e “effemeridi”]. “The texts of the first class contain the rules for the computation of the ‘ephemerides’, which, in turn, are similar to a modern ‘nautical almanac’, giving for a specific year (or for some specific sequence of years) the lunar or planetary positions at regular intervals” - (fr:2265) [I testi della prima classe contengono le regole per il calcolo delle “effemeridi”, che a loro volta sono simili a un moderno “almanacco nautico”, fornendo per uno specifico anno (o per una specifica sequenza di anni) le posizioni lunari o planetarie a intervalli regolari].

Tuttavia, il materiale conservato presenta limitazioni significative: “The preserved texts are badly damaged or totally missing for many of the steps; their terminology is far from clear, at least to us; and it might be justly asked if even a complete set of procedure texts would not have required supplementary oral explanation before it could be used for actually computing an ephemeris” - (fr:2268) [I testi conservati sono gravemente danneggiati o totalmente mancanti per molti dei passaggi; la loro terminologia è tutt’altro che chiara, almeno per noi; e potrebbe essere legittimamente chiesto se anche una serie completa di testi di procedura non avrebbe richiesto una spiegazione orale supplementare prima di poter essere utilizzata per il calcolo effettivo di un’effemeridi].

28.8 L’entità del corpus disponibile

“I know of less than 250 ephemerides, more than half of which are lunar, the rest planetary. The number of procedure texts is about 70, the majority of which are only small fragments. Thus our knowledge of Babylonian mathematical astronomy is based on about 300 tablets” - (fr:2272, fr:2273, fr:2274) [Conosco meno di 250 effemeridi, più della metà delle quali lunari, il resto planetarie. Il numero di testi di procedura è circa 70, la maggior parte dei quali sono solo piccoli frammenti. Così la nostra conoscenza dell’astronomia matematica babilonese si basa su circa 300 tavolette]. A questo si aggiunge che “To this number can now be added the vast mass of some 1000 non-mathematical astronomical texts from Pinches-Sachs; it will take many years of patient work before the conclusions can be drawn from this great variety of new sources for the earlier development of Babylonian astronomy in all its theoretical and practical aspects” - (fr:2275) [A questo numero può ora essere aggiunto il vasto numero di circa 1000 testi astronomici non matematici da Pinches-Sachs; ci vorranno molti anni di paziente lavoro prima che le conclusioni possano essere tratte da questa grande varietà di nuove fonti per lo sviluppo precedente dell’astronomia babilonese in tutti i suoi aspetti teorici e pratici].

28.9 Il fondamento della teoria lunare babilonese

“The fundamental problem of the Babylonian lunar theory is determined by the calendar” - (fr:2277) [Il problema fondamentale della teoria lunare babilonese è determinato dal calendario]. “The Babylonian calendar was at all periods truly lunar, that is to say, the ‘month’ began with the evening when the new crescent was for the first time again visible shortly after sunset” - (fr:2278) [Il calendario babilonese era in tutti i periodi veramente lunare, cioè il “mese” iniziava con la sera quando la nuova falce era per la prima volta di nuovo visibile poco dopo il tramonto]. Di conseguenza, “the Babylonian ‘day’ also begins in the evening and the ‘first’ of a month is the day of the first visibility. In this way the beginning of a month is made dependent upon a natural phenomenon which is amenable to direct observation” - (fr:2279, fr:2280) [il “giorno” babilonese inizia anche di sera e il “primo” di un mese è il giorno della prima visibilità. In questo modo l’inizio di un mese è reso dipendente da un fenomeno naturale che è soggetto all’osservazione diretta].

[22]

[22.1-33-2283|2315]

29 La determinazione dei mesi lunari: complessità astronomiche e osservative

Le difficoltà intrinseche nella misurazione dei cicli lunari e la necessità di integrare molteplici parametri astronomici.

La questione della durata dei mesi lunari rappresenta un problema astronomico di notevole complessità, come “drasticamente dimostrato nel caso dei mesi lunari” - (fr:2283). Un “mese lunare” contiene ovviamente un numero intero di giorni - (fr:2285), ma la determinazione di questo numero richiede un’analisi articolata che va oltre una semplice osservazione.

Il vincolo osservativo fondamentale emerge dall’osservazione empirica: “nessuna coppia di riapparizioni consecutive della falce di luna nuova dopo un breve periodo di invisibilità della luna è mai separata da più di 30 giorni o da meno di 29 giorni” - (fr:2288). Questo dato osservativo genera immediatamente “il problema principale: quando un mese è lungo 30 giorni, quando 29?” - (fr:2289).

La soluzione richiede una stima integrata dei movimenti celesti. Per rispondere a questa domanda “dobbiamo ottenere una stima non solo del moto lunare, ma anche del moto del sole” - (fr:2290). Il sole compie un’orbita completa in circa 365 giorni, muovendosi di “circa 1° al giorno e quindi circa 30° in un mese” - (fr:2292). La luna, invece, “non solo ha percorso 30°, ma ha completato un’intera rotazione aggiuntiva di 360°” - (fr:2296), il che significa che “390° sono coperti in circa 30 giorni; questo ci mostra che la luna deve coprire circa 13° al giorno” - (fr:2297).

Le difficoltà reali emergono nella determinazione della visibilità della falce lunare. “Affinché la falce di luna sia visibile, il sole deve essere sufficientemente profondo sotto l’orizzonte per rendere la luna visibile poco prima del tramonto” - (fr:2299-2300). La distanza angolare tra sole e luna, denominata “elongazione” - (fr:2306), aumenta di circa 12° al giorno sulla base dei movimenti medi. Tuttavia, “questa stima non è più sufficientemente accurata per rispondere alla domanda sul momento in cui si raggiunge l’elongazione corretta” - (fr:2307).

Il problema si complica ulteriormente per l’irregolarità dei moti. “Né il sole né la luna si muovono con velocità costante” - (fr:2308), e “l’elongazione giornaliera potrebbe variare tra circa 10° e 14° al giorno” - (fr:2309). Questo implica che “il nostro problema comporta la conoscenza dettagliata della variazione della velocità sia solare che lunare” - (fr:2310).

Un ulteriore fattore geometrico complica la questione: “il moto relativo che stavamo discutendo prima è un moto nell’eclittica, che forma un angolo di circa 24° con l’equatore” - (fr:2313). Poiché “per un dato luogo, tutte le stelle sorgono e tramontano ad angoli fissi determinati dall’inclinazione dell’equatore e dell’orizzonte” - (fr:2312), “dobbiamo conoscere le variazioni degli angoli tra eclittica e orizzonte” - (fr:2314). Per Babilonia questa variazione è considerevole, oscillando “da quasi 30° a quasi 80°” - (fr:2315).

Il testo evidenzia come la semplice osservazione empirica della durata dei mesi lunari celi una complessità matematica e geometrica notevole, richiedendo la sintesi di molteplici parametri: i moti variabili di sole e luna, le loro velocità non uniformi, e le coordinate geometriche specifiche del luogo di osservazione.

[23]

[23.1-52-2428|2479]

30 I sistemi di calcolo delle effemeridi babilonesi: coesistenza di metodi e complessità procedurale

Due sistemi astronomici distinti operavano simultaneamente nell’astronomia babilonese, rivelando una sofisticazione matematica e procedurale notevole per l’epoca antica.

La documentazione astronomica babilonese presenta una caratteristica peculiare: l’esistenza contemporanea di due sistemi distinti per il calcolo delle effemeridi. “Though the chronological priority of System A seems to be well established we have no means to determine the date of origin of either one” - (fr:2428) [Sebbene la priorità cronologica del Sistema A sembri ben stabilita, non abbiamo mezzi per determinare la data di origine di nessuno dei due]. Questa coesistenza non rappresenta una divisione tra “scuole” rivali, bensì una pratica condivisa: “This coexistence of two different methods of computing ephemerides is not a matter of ‘schools’ in so far as both ‘systems’ are attested both at Babylon and at Uruk, the places of origin of the only two archives to which we can safely assign our texts” - (fr:2429) [Questa coesistenza di due diversi metodi di calcolo delle effemeridi non è una questione di “scuole” poiché entrambi i “sistemi” sono attestati sia a Babilonia che a Uruk, i luoghi di origine dei soli due archivi ai quali possiamo assegnare con sicurezza i nostri testi].

La molteplicità procedurale si estende oltre i sistemi principali. “In the planetary theory a still higher multiplicity of procedures exists simultaneously, very much contrary to our modern scientific habits” - (fr:2430) [Nella teoria planetaria esiste una molteplicità ancora più elevata di procedure simultaneamente, molto contraria alle nostre abitudini scientifiche moderne]. Questa varietà metodologica rappresenta un aspetto fondamentale della pratica astronomica babilonese, dove “Our sketch includes both systems, leaving aside variants which occur especially in System B” - (fr:2431) [Il nostro schema include entrambi i sistemi, tralasciando le varianti che si verificano specialmente nel Sistema B].

30.1 Struttura e organizzazione delle effemeridi

Le effemeridi lunari erano organizzate secondo una struttura tabellare standardizzata: “Each line represents a month, each column a specific ‘function’ like solar velocity, lunar velocity, etc.” - (fr:2432) [Ogni riga rappresenta un mese, ogni colonna una “funzione” specifica come velocità solare, velocità lunare, ecc.]. La durata temporale coperta da questi testi variava considerevolmente: “The majority of lunar ephemerides cover one year but we also have texts which concern two or even three years” - (fr:2433) [La maggior parte delle effemeridi lunari copre un anno ma abbiamo anche testi che riguardano due o anche tre anni].

La colonna iniziale di tutte le effemeridi conteneva le date: “The first column in all ephemerides is the column of dates T, giving the year of the Seleucid era and the consecutive months” - (fr:2435) [La prima colonna in tutte le effemeridi è la colonna delle date T, che fornisce l’anno dell’era seleucide e i mesi consecutivi]. Un problema pratico ricorrente era la perdita dei margini dei supporti: “Because the edge of a tablet is particularly exposed to destruction, one often meets the problem of restoring the date of an ephemeris” - (fr:2436) [Poiché il bordo di una tavoletta è particolarmente esposto alla distruzione, si incontra spesso il problema di ripristinare la data di un’effemeridi]. Nonostante ciò, “it is possible to show that all texts of System A form one consistent set of ephemerides throughout the whole interval (of two centuries) at our disposal” - (fr:2437) [è possibile dimostrare che tutti i testi del Sistema A formano un insieme coerente di effemeridi durante tutto l’intervallo (di due secoli) a nostra disposizione].

30.2 Colonne caratteristiche del Sistema A

Il Sistema A presentava colonne specifiche dedicate al calcolo della lunghezza variabile del mese sinodico. “The next column, tP, is peculiar to System A only” - (fr:2438) [La colonna successiva, tP, è peculiare solo al Sistema A]. Questa colonna “is used for the computation of the variable length of the synodic month (column G) under the preliminary assumption of constant solar velocity” - (fr:2439) [è utilizzata per il calcolo della lunghezza variabile del mese sinodico (colonna G) sotto l’assunzione preliminare di velocità solare costante].

Il calcolo sfruttava il ciclo di Saros: “This period is slightly shorter than 239 anomalistic months and therefore also the length G of the synodic month almost repeats itself after one Saros” - (fr:2440) [Questo periodo è leggermente più breve di 239 mesi anomalistici e quindi anche la lunghezza G del mese sinodico si ripete quasi dopo un Saros]. “From this change of G after one Saros can then be found the corresponding change of G from month to month” - (fr:2441) [Da questo cambiamento di G dopo un Saros si può quindi trovare il corrispondente cambiamento di G da mese a mese].

Nel Sistema A, “column B is derived without explicit mention of the velocity (column A) because in System A only two velocity values are used, and thus there was no reason to repeat them in a special column” - (fr:2443) [la colonna B è derivata senza menzione esplicita della velocità (colonna A) perché nel Sistema A vengono utilizzati solo due valori di velocità, e quindi non c’era motivo di ripeterli in una colonna speciale].

30.3 Variazioni e correzioni astronomiche

Le colonne C e D rappresentavano variazioni della lunghezza del giorno: “The functions C and D are computed according to independent arithmetical schemes designed to represent quantitatively the variation of the length of daylight during the year” - (fr:2444) [Le funzioni C e D sono calcolate secondo schemi aritmetici indipendenti progettati per rappresentare quantitativamente la variazione della lunghezza del giorno durante l’anno].

Le colonne E e Ψ affrontavano fenomeni eclittici: “The two following columns, E and Ψ, describe the variations of the latitude of the moon and the magnitude of eclipses” - (fr:2445) [Le due colonne seguenti, E e Ψ, descrivono le variazioni della latitudine della luna e la magnitudine delle eclissi]. “If the latitude of the moon is known for these moments, one is able to judge the possibility of an eclipse and to compute, if necessary, its magnitude” - (fr:2446) [Se la latitudine della luna è nota per questi momenti, si è in grado di giudicare la possibilità di un’eclissi e di calcolarne, se necessario, la magnitudine].

La magnitudine eclittica era espressa in modo particolare: “The ‘eclipse magnitude’ is expressed in a slightly different way than is customary today, but it is easy to transfer it directly into a measure for the depth of immersion of the lunar disc into the shadow” - (fr:2447) [La “magnitudine dell’eclissi” è espressa in modo leggermente diverso da quello consueto oggi, ma è facile trasferirla direttamente in una misura della profondità di immersione del disco lunare nell’ombra]. Crucialmente, “a method had been developed for computing ‘eclipse magnitudes’ as a function of the latitude such that the numbers obtained gave the size of the eclipse correctly for real eclipses” - (fr:2448) [era stato sviluppato un metodo per calcolare le “magnitudini delle eclissi” come funzione della latitudine tale che i numeri ottenuti dessero la dimensione dell’eclissi correttamente per le eclissi reali].

30.4 Astrazione matematica e sofisticazione procedurale

Questo approccio rivela un aspetto notevole della metodologia babilonese: “This shows a remarkably abstract attitude in the Babylonian procedure, which unhesitatingly introduces quantities for purely mathematical convenience, in principle very much the same as the use of complex numbers in modern mechanics” - (fr:2449) [Questo mostra un atteggiamento notevolmente astratto nella procedura babilonese, che introduce senza esitazione quantità per pura convenienza matematica, in linea di principio molto simile all’uso dei numeri complessi nella meccanica moderna].

La colonna G rappresentava il mese sinodico calcolato con velocità solare costante ma lunare variabile: “In column G we find the length of the synodic months under the assumption of a constant solar velocity but a variable lunar velocity as indicated by column F” - (fr:2450) [Nella colonna G troviamo la lunghezza dei mesi sinodici sotto l’assunzione di una velocità solare costante ma una velocità lunare variabile come indicato dalla colonna F]. “In column G this assumption is partially abolished insofar as only the sun is moving with its mean velocity and the answer is given to the question how much a given variation in the lunar velocity influences the spacing between consecutive conjunctions” - (fr:2451) [Nella colonna G questa assunzione è parzialmente abolita nella misura in cui solo il sole si muove con la sua velocità media e la risposta è data alla domanda di quanto una data variazione della velocità lunare influenzi la spaziatura tra le congiunzioni consecutive].

Nel Sistema B, “column J is a difference sequence of second order due to the fact that column A is a linear zigzag function” - (fr:2452) [la colonna J è una sequenza di differenze di secondo ordine dovuta al fatto che la colonna A è una funzione zigzag lineare]. “After the correction J has been found, the algebraic sum K of G and J gives the length of the synodic month as it results from the variability of both sun and moon” - (fr:2453) [Dopo che la correzione J è stata trovata, la somma algebrica K di G e J fornisce la lunghezza del mese sinodico come risulta dalla variabilità di entrambi sole e luna].

30.5 Determinazione dei momenti di congiunzione

Il calcolo finale produceva i momenti delle congiunzioni: “After this transformation is carried out, we obtain in column M the dates and moments of all consecutive conjunctions referred to sunset” - (fr:2456) [Dopo che questa trasformazione è stata eseguita, otteniamo nella colonna M le date e i momenti di tutte le congiunzioni consecutive riferite al tramonto]. “We have in column M the time of the conjunction or opposition expressed in its relation to sunset or sunrise” - (fr:2458) [Abbiamo nella colonna M il tempo della congiunzione o dell’opposizione espresso nella sua relazione con il tramonto o l’alba].

30.6 Previsione delle eclissi

La comprensione babilonese delle eclissi era notevolmente avanzata: “The ephemerides and eclipse tables show with full clarity that one knew that solar and lunar eclipses were subject to the same conditions, namely, sufficiently small latitude near new or full moon” - (fr:2459) [Le effemeridi e le tavole delle eclissi mostrano con piena chiarezza che si sapeva che le eclissi solari e lunari erano soggette alle stesse condizioni, vale a dire, latitudine sufficientemente piccola vicino a luna nuova o piena].

Tuttavia, esistevano limitazioni significative nella previsione delle eclissi solari. “This problem can be solved only if sufficiently accurate information about the actual distances of sun and moon from the earth are available, together with a correct knowledge of the relative sizes of these bodies” - (fr:2462) [Questo problema può essere risolto solo se sono disponibili informazioni sufficientemente accurate sulle distanze effettive del sole e della luna dalla terra, insieme a una corretta conoscenza delle dimensioni relative di questi corpi]. “Tables for solar eclipses are computed exactly like the tables for lunar eclipses with no additional columns corresponding to ‘parallax’, i.e., quantities depending on the above-mentioned distances and sizes” - (fr:2463) [Le tavole per le eclissi solari sono calcolate esattamente come le tavole per le eclissi lunari senza colonne aggiuntive corrispondenti a “parallasse”, cioè quantità dipendenti dalle distanze e dalle dimensioni sopra menzionate]. Conseguentemente, “they cannot answer even approximately the question whether a possible solar eclipse will actually be visible or not” - (fr:2464) [non possono rispondere nemmeno approssimativamente alla domanda se una possibile eclissi solare sarà effettivamente visibile o meno]. “Before 300 B.C. the chances for the correct prediction of a solar eclipse are still smaller” - (fr:2465) [Prima del 300 a.C. le possibilità di una corretta previsione di un’eclissi solare sono ancora minori].

30.7 Visibilità della luna nuova

Un aspetto sofisticato della teoria lunare riguardava la determinazione della visibilità della luna nuova. “It is exactly these three quantities which are found in the columns O, Q, and R of ephemerides of System B” - (fr:2468) [Sono esattamente queste tre quantità che si trovano nelle colonne O, Q e R delle effemeridi del Sistema B]. Il procedimento coinvolgeva il calcolo della differenza temporale: “time difference between the moment of conjunction and the subsequent sunset at which the first crescent might be expected” - (fr:2473) [differenza di tempo tra il momento della congiunzione e il tramonto successivo in cui potrebbe attendersi la prima falce].

“If the resulting time difference between sunset and the setting of the moon is long enough to secure visibility, then the initial guess was right and the evening which starts the new month is known” - (fr:2474) [Se la differenza di tempo risultante tra il tramonto e il tramontare della luna è sufficientemente lunga per garantire la visibilità, allora l’ipotesi iniziale era corretta e la sera che inizia il nuovo mese è nota]. “If the first result seems too low, a new value must be found for 24 hours later” - (fr:2475) [Se il primo risultato sembra troppo basso, deve essere trovato un nuovo valore per 24 ore dopo].

30.8 Complessità procedurale residua

Nonostante la chiarezza generale, “many details are still obscure, chiefly because of the difficult terminology of the procedure texts and the rounding-off of the numbers involved in the actual ephemerides” - (fr:2476) [molti dettagli rimangono ancora oscuri, principalmente a causa della difficile terminologia dei testi procedurali e dell’arrotondamento dei numeri coinvolti nelle effemeridi effettive].

Il calcolo della visibilità della luna nuova implicava problemi di trigonometria sferica: “it is clear that the determination of the influence of the variable angle between ecliptic and horizon is a problem of spherical trigonometry, and the same holds for the influence of the lunar latitude” - (fr:2477) [è chiaro che la determinazione dell’influenza dell’angolo variabile tra l’eclittica e l’orizzonte è un problema di trigonometria sferica, e lo stesso vale per l’influenza della latitudine lunare]. “The procedure texts give lists of coefficients by which the elongation has to be multiplied in order to obtain for different solar longitudes the proper amount of difference in time for setting, and a similar device is followed for the latitude” - (fr:2478) [I testi procedurali forniscono elenchi di coefficienti per i quali l’elongazione deve essere moltiplicata al fine di ottenere per diverse longitudini solari la giusta quantità di differenza di tempo per il tramonto, e un dispositivo simile è seguito per la latitudine].

Il calcolo finale considerava sia l’elongazione che altre variabili: “It seems as if not P alone had been used, but the sum of the elongation O and the value of P. Indeed the brightness of the new crescent depends essentially on the width of the illuminated sickle of the moon, and this width is proportional to the elongation” - (fr:2479) [Sembra che non solo P fosse stato utilizzato, ma la somma dell’elongazione O e del valore di P. Infatti la luminosità della nuova falce dipende essenzialmente dalla larghezza della falce illuminata della luna, e questa larghezza è proporzionale all’elongazione].

[23.2-52-2480|2531]

31 I sistemi di effemeridi lunari babilonesi: struttura, metodi e limiti predittivi

Analisi della costruzione e dell’applicazione dei due sistemi astronomici babilonesi per il calcolo delle effemeridi lunari e delle eclissi.

31.1 Coesistenza e caratteristiche dei due sistemi

Un aspetto peculiare della pratica astronomica babilonese è che “both systems were simultaneously used during the whole period (from about 250 B.C. to about 50 B.C.) for which ephemerides are preserved” - (fr:2480). Questa coesistenza risulta sorprendente considerando che “System B was certainly an improvement over System A in several respects” - (fr:2481), eppure entrambi i metodi rimasero in uso. Una possibile spiegazione risiede nella maggiore semplicità del Sistema A: “the inventor of System A preferred to assume a simple step-function for the solar velocity; the corrections for variable solar velocity are much more complicated in System B than in System A” - (fr:2504).

31.2 Organizzazione strutturale delle effemeridi

Le effemeridi seguono un’organizzazione standardizzata: “The general arrangement of all ephemerides is identical” - (fr:2483) e “The columns of ephemerides always proceed from left to right” - (fr:2486). I dati sono organizzati in colonne identificate da lettere maiuscole, dove “The consecutive lines of an ephemeris refer to the consecutive conjunctions or oppositions” - (fr:2497).

31.3 Fondamenti matematici e il ciclo di Saros

Il Sistema B si basa su funzioni lineari a zigzag per rappresentare le variazioni periodiche. Un elemento cruciale è il ciclo di 18 anni: “it is now certain that it is related to the 18-year cycle, the socalled ‘Saros’ of 223 mean synodic months” - (fr:2491). Questo approccio rappresenta “an interesting case of an important method of ancient astronomy: the accumulated error after the lapse of a relatively short approximate period (here 18 years or 223 months) is used to determine the correction from step to step (here a single synodic month)” - (fr:2493).

31.4 Calcolo delle posizioni lunari e solari

La colonna B contiene “the longitudes of the moon and of the sun at conjunction or, for full moons, the longitudes of the moon, the sun being 180° distant” - (fr:2494). Le colonne successive C e D forniscono “the length of daylight or night corresponding to the solar longitude” - (fr:2495). Un aspetto metodologico rilevante è che “The underlying problem is one of spherical trigonometry but it was solved here by arithmetical devices similar to the approximations of a sinusoidal curve by a linear zigzag function” - (fr:2496).

31.5 Latitudine lunare e possibilità di eclissi

“The latitude itself is again found by means of zigzag functions” - (fr:2498). Notevolmente, “this quantity was computed in many ephemerides for every month and not only for every sixth (or perhaps fifth) month when an eclipse is possible” - (fr:2499). Per le congiunzioni non eclittiche, “these values behave exactly as if the distance from the shadow was introduced as eclipse magnitude, allowance being made for negative distances if the shadow is not reached, positive values giving the depth of immersion for a real eclipse” - (fr:2500).

31.6 Limitazioni nella predizione delle eclissi solari

Un limite significativo emerge nella predizione delle eclissi solari. “There is not the slightest reference to any of these quantities in Babylonian texts” - (fr:2514) riguardante la posizione del vertice del cono d’ombra. Di conseguenza, “the Babylonian texts do not suffice to say anything more than that a solar eclipse is excluded or that a solar eclipse is possible” - (fr:2515). Infatti, “At all periods, exclusion of an eclipse of the sun is the only safe prediction that was possible” - (fr:2517).

31.7 Visibilità della luna nuova

“The remaining part of the ephemerides concerns the fundamental problem of the lunar calendar: to determine the evening of first visibility after conjunction when the new crescent again becomes visible” - (fr:2518). I fattori determinanti sono “the three major factors which determine the visibility of the new crescent at a sunset following conjunction, namely, elongation, variable inclination between ecliptic and horizon, and latitude of the moon” - (fr:2519). Il procedimento è iterativo: “For this particular evening one computes how long the new crescent will be above the horizon after sunset. If the resulting value seems too high, the computation has to be repeated for one day earlier” - (fr:2525-2526).

Una difficoltà metodologica persiste: “The main difficulty for us consists in discovering on what grounds the decision was made as to whether a given value in the final column P was sufficient for visibility or not” - (fr:2530). Ciò dipende da fattori non quantificati nei testi, poiché “a small value of P, caused by closeness of the moon to the horizon, might be compensated for by a greater brightness of the sickle, and, vice versa, a very small sickle might not be visible even at a relatively great distance from the horizon” - (fr:2531).

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[24.1-47-2547|2593]

32 Il sistema degli epicicli e deferenti: dalla rappresentazione eliocentrica alla prospettiva geocentrica

Un’analisi della trasformazione matematica dei moti planetari attraverso il modello tolemaico degli epicicli.

Il testo affronta la questione fondamentale della descrizione dei fenomeni planetari, partendo da un presupposto osservativo consolidato: “We know that the planets move on ellipses around the sun, the earth being one of them” (fr:2548). Per semplificare l’analisi, gli autori operano due approssimazioni successive. In primo luogo, “we shall replace all orbits by circles whose common center is the sun” (fr:2549), sostituendo le ellissi con circonferenze. In secondo luogo, sfruttano una considerazione di scala cosmica: “the dimensions of our planetary system are so minute in comparison with the distances to the fixed stars which constitute the background of the celestial sphere that we commit no observable error at all if we keep either the sun or the earth in a fixed position with respect to the surrounding universe” (fr:2550). Questa osservazione è cruciale perché legittima matematicamente il passaggio da un sistema eliocentrico a uno geocentrico.

La trasformazione del moto solare

Il meccanismo di trasformazione è elegante nella sua semplicità. Poiché “the earth is a satellite of the sun, moving around it once in a year” (fr:2552), quando si arresta il moto terrestre, “by arresting the motion of the earth we obtain the appearance that the sun moves around the earth once per year” (fr:2554). Questo non è un errore osservativo, ma una conseguenza della relatività del moto: il cambio di sistema di riferimento produce un’apparenza fenomenica equivalente.

Il sistema degli epicicli per i pianeti inferiori

Per i pianeti interni, la costruzione è diretta. Considerando un “inner planet” (fr:2556) che “moves closer to the sun than the earth” (fr:2557), quando si fissa la Terra, l’orbita del pianeta rimane circolare con il Sole al centro, ma il pianeta stesso descrive “a little circle called an ‘epicycle’” (fr:2560). In questo caso, il centro dell’epiciclo coincide con il Sole stesso.

Il sistema degli epicicli per i pianeti superiori

Per i pianeti esterni, la geometria è più complessa. Gli autori dimostrano che “SP is the radius of the planetary orbit; because EC = SP we see that C lies on a circle with center E. Similarly ES is the radius of the solar orbit, and, because ES = CP, we see that P lies on a circle around C. Thus the planet P moves on an epicycle whose center C travels on a deferent whose center is E” (fr:2567). Questo stabilisce “an exact analogue to the case of the inner planets” (fr:2568), con la differenza cruciale che per i pianeti superiori il centro dell’epiciclo non coincide con il Sole, ma con un punto che orbita intorno alla Terra.

Il fondamento matematico della trasformazione

Un passaggio di particolare rilievo chiarisce la natura della costruzione: “It is only a matter of mathematical convenience whether one computes first the longitudes of the earth and the planets heliocentrically and then transforms to geocentric coordinates, or whether one carries out this transformation first and then operates with epicycles” (fr:2572). Questo sottolinea che il sistema degli epicicli non rappresenta una descrizione fisica alternativa, ma una trasformazione matematica equivalente.

Le assunzioni fondamentali

Gli autori esplicitano le loro premesse: “Accepting these two assumptions we have seen that the planetary orbits with respect to the earth consist of epicycles whose centers move with uniform velocity on deferents having the earth as center” (fr:2571). Le due assunzioni sono implicitamente l’approssimazione circolare e la fissità relativa della Terra rispetto all’universo delle stelle fisse.

Raffinamenti e fenomeni osservabili

Per aumentare l’accuratezza predittiva, “The latitude can be accounted for by giving the epicycles the proper inclination” (fr:2574). Inoltre, il modello spiega fenomeni visibili come il moto diretto e il moto retrogrado: “Retrogradation occurs near opposition, when the sun and planet are seen in opposite directions from the earth” (fr:2587). I punti dove il moto cambia direzione sono denominati “first” and “second” stationary points” (fr:2588).

Significato storico e metodologico

Il testo rappresenta una sintesi della teoria tolemaica, illustrando come “it is in the theory of the planets that the contrast between the Babylonian approach and Ptolemy’s theory as presented in the Almagest becomes most visible” (fr:2589). La costruzione degli epicicli non è un artificio ad hoc, ma una conseguenza rigorosa della trasformazione tra sistemi di riferimento, anticipando concetti che la fisica moderna riconoscerebbe come relatività galileiana.

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33 Il modello epicentrico dei moti planetari: dalla teoria eliocentrica alla prospettiva geocentrica

Analisi del metodo geometrico utilizzato per descrivere i movimenti apparenti dei pianeti osservati dalla Terra, attraverso la trasposizione da orbite circolari eliocentriche a moti epicentri geocentrici.

Lo studio dei fenomeni planetari richiede una trasformazione concettuale fondamentale: partire dalla descrizione moderna dei moti planetari e derivarne le apparenze osservate dalla Terra. “Before describing the Babylonian planetary theory, we shall discuss the main features of the apparent movement of the planets from a modern point of view” - (fr:2594) stabilisce il punto di partenza metodologico.

Il procedimento di trasformazione geometrica

Il metodo seguito è esplicito e rigoroso: “We shall start with the circular motion of the planets around the sun and then keep the earth fixed and ask for the resulting motion with respect to the earth” - (fr:2597). Questo approccio si basa su un’operazione matematica elementare: “In order to obtain the appearances seen from the earth we subtract from all motions the motion of the earth” - (fr:2599-2600). La semplicità concettuale di questa sottrazione vettoriale contrasta con la complessità geometrica che ne risulta.

Una considerazione preliminare riguarda l’accuratezza della rappresentazione: “The eccentricities of the elliptic orbits are so small that a scale drawing that would fit this page would not show the difference between the elliptic and the circular orbits” - (fr:2596). Questa osservazione giustifica l’uso di orbite circolari come approssimazione valida per la descrizione qualitativa dei fenomeni.

I pianeti inferiori: il modello epicentrico

Per i pianeti inferiori (Mercurio e Venere), la descrizione geocentrica produce una configurazione specifica: “the geocentric description of the motion of an inner planet is given by a planet which moves on a little circle whose center is carried on a larger circle whose center is the earth” - (fr:2606). Il cerchio maggiore è denominato “deferent” - (fr:2607), mentre il cerchio minore costituisce l’epiciclo.

I pianeti superiori: il parallelogramma di costruzione

Per i pianeti esterni (Giove e altri), il procedimento è analogo ma richiede una costruzione geometrica aggiuntiva: “From the earth E the planet P appears to be moving on a circle whose center S moves around E. Thus we have again an epicyclic motion” - (fr:2612). Per stabilire una corrispondenza più stretta con il caso dei pianeti inferiori, “we introduce a point C such that the four points S, E, p, and C always form a parallelogram” - (fr:2613).

La cinematica dell’epiciclo

Il movimento epicentrico presenta caratteristiche cinematiche precise. Per i pianeti esterni: “the center C of the epicycle moves around E with the same angular velocity as the planet moves around the sun, while the planet P moves on the epicycle around C with the same angular velocity as the sun moves around the earth” - (fr:2616). Questa relazione tra velocità angolari è cruciale per la corretta descrizione del fenomeno.

Il moto retrogrado

Un fenomeno osservativo centrale è il moto retrogrado. Per i pianeti inferiori, “the planet’s angular velocity about the center S of its epicycle is greater than the angular velocity of S about the earth E” - (fr:2623). Quando il pianeta si trova nella porzione dell’epiciclo più vicina alla Terra, i due moti si sommano; tuttavia, “Between A and B, however, the planet moves backward faster than its epicycle is carried forward, thus it appears to be ‘retrograde’” - (fr:2625).

Per i pianeti superiori, il fenomeno è completamente visibile: “the retrogradation of an outer planet is fully visible in contrast to that of an inner planet, where a part of the retrograde motion becomes invisible near inferior conjunction” - (fr:2634).

La visibilità e le congiunzioni

Un aspetto rilevante riguarda la visibilità dei pianeti inferiori. “Thus a certain ‘elongation’ of the planet from the sun is required to make the planet visible” - (fr:2628). L’analisi delle congiunzioni mostra asimmetrie significative: “the arc of invisibility between X and S near ‘superior conjunction’ is much greater than between B and r (near ‘inferior’ conjunction)” - (fr:2629).

Validità e limiti del modello

Il modello epicentrico si basa su due assunzioni fondamentali: “that the planetary orbits are circles with the sun in their common center; (b) that all planetary orbits lie in the same plane” - (fr:2617). Sotto queste condizioni, “if we disregard the small eccentricities of the planetary orbits, and if we also neglect the small inclinations of these orbits, then the epicyclic motion gives a correct description of the planetary orbits with respect to the earth” - (fr:2618).

Tuttavia, “For a finer theory of the planetary phenomena the above assumptions are too crude” - (fr:2619). Per affinare la teoria, “The eccentricity of the orbits can be taken into consideration by assuming slightly eccentric positions of the earth with respect to the centers of the deferents” - (fr:2620). Questi perfezionamenti “were followed by the Greek astronomers” - (fr:2621).

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34 Gli autori dell’astronomia matematica babilonese: fonti, testimonianze e limiti della conoscenza

Indagine critica sulle origini della teoria astronomica babilonese attraverso l’analisi delle fonti documentali e dei loro vincoli metodologici.

La questione dell’identità degli astronomi che svilupparono e utilizzarono la teoria matematica babilonese rimane fondamentalmente irrisolta. Come osserva il testo, “I see no way of answering such a question satisfactorily” (fr:2833), e “One can do no more than enumerate the few facts that we know” (fr:2834).

34.1 Le fonti documentali e i loro limiti

Le informazioni disponibili provengono esclusivamente da due archivi: “The texts from which all our information comes were parts of two archives, one in Uruk, one in Babylon” (fr:2835). Tuttavia, questa documentazione è incompleta e non rappresentativa. “There is no proof against the existence of other archives and we are unable to judge the relations between two or more centers of astronomical activity” (fr:2836). La situazione è particolarmente critica per Babilonia, dove “We know very little about the Babylon archive, because the Babylon texts rarely have colophons” (fr:2837), rendendo la ricerca “almost completely dependent upon the colophons of the Uruk texts” (fr:2838).

34.2 Struttura e contenuto dei colofoni

I colofoni seguono uno schema standardizzato che include informazioni genealogiche e amministrative: “Tablet of A, son of B, son of C, descendant of M; hand of ( = written by) R, son of S, son of T, descendant of N. Uruk, month m, day d, year y (of the Seleucid era), X being king” (fr:2839). Molte tavolette contengono inoltre invocazioni iniziali e, in alcuni casi, maledizioni contro chi rimuovesse il testo. Significativamente, alcune colofoni recitano che “the informed may show the tablet to the informed but not to the uninformed” (fr:2841), suggerendo un controllo consapevole della diffusione del sapere.

34.3 Le famiglie scriba e i loro antenati

L’analisi delle relazioni genealogiche nei colofoni ha permesso di identificare due famiglie scriba coinvolte nella composizione o nel possesso di effemeridi. La prima menziona “Ekur-zikir as their ‘ancestor’, a man who is given the title of ‘mashmash-priest of Anu and Antu of the Resh sanctuary, scribe of (the series) Enuma-Anu-Enlil, from Uruk” (fr:2843). La seconda ha come antenato ”Sin-leqe-unnini… ’scribe of Enuma-Anu-Enlil, kalu-priest of Anu and Anto, from Uruk’” (fr:2845). Tuttavia, rimane irrisolto se “these scribal families were real families or merely scribal schools” (fr:2846), e il significato preciso della proprietà e della funzione dello scriba sfugge all’interpretazione: “We do not know, e. g., whether the ‘scribe’ of an ephemeris was its actual computer or not” (fr:2848).

34.4 I nomi degli astronomi babilonesi

Tre nomi di astronomi babilonesi sono noti da fonti classiche (Plinio, Strabone, Vettio Valente) e potrebbero apparire nei colofoni. Tuttavia, le identificazioni sono problematiche. Il nome Sudines sembrerebbe corrispondere a una parte di Anu-ahhe-su-iddina, ma “the latter turned out to be a misreading of Anu-aha-usabsi” (fr:2853). Naburianos appare in forma dubbio in un’unica tavoletta molto tarda come “Naburimannu”, ma “the reading itself is not really certain” (fr:2854). Solo Kidinnu (dal cuneiforme Kidinnu) presenta una connessione più plausibile: “This name appears in a few colophons in the connection ‘tersitu of Kidinnu’ which was guessed to mean ‘lunar tablet of Kidinnu’ or ‘system of Kidinnu’ and thus Kidinnu is usually considered to be the inventor of System B” (fr:2857). Tuttavia, “This may be so, but real proof is missing” (fr:2858). Inoltre, il termine tersitu rimane enigmatico, poiché “it is otherwise known to denote some tools or ingredients in connection with the manufacturing of glazed bricks” (fr:2859).

34.5 L’impossibilità di datare l’invenzione della teoria

I tentativi di stabilire date precise per l’invenzione della teoria lunare si basano sul confronto tra calcoli moderni e risultati della teoria antica, presupponendo che l’errore accumulato fosse inizialmente zero. Tuttavia, questo metodo presenta difetti metodologici insuperabili. “This method presupposes the accuracy of the initial values, a hypothesis which is far from even being plausible” (fr:2863). Inoltre, “It is furthermore assumed that the parameters used in the actual computation of the ephemerides are exactly identical with the empirical values or, at least, with the values theoretically abstracted as correct from some observations” (fr:2864). Ma sappiamo che “the parameters of the ephemerides were adjusted for the purpose of convenient computation” (fr:2865). Sebbene gli errori causati da questa procedura siano piccoli, “they influence quite essentially the results of computations which are themselves based on the investigation of the small deviation from the factual motion” (fr:2866). Di conseguenza, “there is no hope of obtaining, in this way, accurate information as to the date of invention of mathematical astronomy” (fr:2867).

34.6 Conclusione metodologica

Il testo conclude che “For the time being, we must be satisfied with general historical considerations, however inconclusive they may appear” (fr:2868), e che l’unica speranza rimane il rinvenimento di “a tablet may be found (and perhaps even published) which gives us direct information about the theoretical and empirical foundations of the whole theory” (fr:2869). La ricerca rimane dunque aperta e condizionata dalla scarsità e dalla natura frammentaria delle fonti disponibili.

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35 L’origine e la trasmissione della scienza ellenistica: tra eredità greca e influssi orientali

Ricostruzione critica delle fonti matematiche e astronomiche antiche, con particolare attenzione ai rapporti tra tradizioni greche, babilonesi ed egiziane.

35.1 Il problema storiografico della ricostruzione

La ricostruzione delle origini della matematica e dell’astronomia ellenistica presenta difficoltà metodologiche significative. “Any attempt to reconstruct the origin of Hellenistic mathematics and astronomy must face the fact that Euclid’s ‘Elements’ and Ptolemy’s ‘Almagest’ reduced all their predecessors to objects of mere ‘historical interest’ with little chance of survival” - (fr:3094). Questa circostanza ha determinato una disparità nella conservazione delle fonti: mentre “Euclid’s work falls not much more than a century after the beginning of scientific mathematics, it has been easier to restore its prehistory than is the case with astronomy” - (fr:3095), l’astronomia presenta un quadro più complesso poiché “Ptolemy, in 150 A.D., lives close to the end of the Hellenistic age, and his work comprises practically all astronomical achievements which could be reached with the mathematical methods of antiquity” - (fr:3096).

35.2 La specificità della tradizione greca

Un elemento peculiare della matematica greca risiede nella sua metodologia assiomatica. “It seems necessary to distinguish sharply between the axiomatic style of mathematics, which is the work of Eudoxus and his contemporaries in the fourth century B.C., and the mathematics usually connected with the Ionian and South-Italian schools” - (fr:3116). Tuttavia, la storiografia tradizionale ha travisato le origini: “the traditional stories of discoveries made by Thales or Pythagoras must be discarded as totally unhistorical” - (fr:3117). Gli storici antichi, infatti, “restored the sequence of events according to the requirements of the theory of their own times” - (fr:3119), attribuendo ai filosofi presocratici conoscenze che erano già note in Mesopotamia secoli prima.

35.3 Il contributo greco originale

Nonostante questi influssi, il testo identifica due innovazioni autenticamente greche. “It is these two essential steps which are fully to the credit of the Greek mathematicians” - (fr:3125): la teoria delle quantità irrazionali e la teoria rigorosa dei processi di integrazione. “Everything which is directly related to the theory and classification of irrational quantities is, of course, Greek; and the same holds for the rigid theory of the processes of integration” - (fr:3126). Questi sviluppi nacquero dalla necessità di affrontare i paradossi sulla continuità: “The ‘paradoxa’ concerning continuity, both of space and time, made the relation to the whole problem of determination of area and volume evident” - (fr:3122).

35.4 Gli influssi mesopotamici nella geometria algebrica

Un aspetto rilevante riguarda la “geometrical algebra” greca, che incorpora risultati babilonesi. “In view of our recently gained knowledge of Babylonian texts, Heron’s geometry must be considered merely a Hellenistic form of a general oriental tradition” - (fr:3104). Il testo propone un’ipotesi di lavoro: “the theory of irrational quantities and the related theory of integration are of purely Greek origin, but the contents of the ‘geometrical algebra’ utilize results known in Mesopotamia” - (fr:3115).

La continuità di questa tradizione è attestata dalla trasmissione medievale: “Whole sections from these works are found again, centuries later, in one of the first Arabic mathematical works, the famous ‘Algebra’ of al-Khwarizmi (about 800 to 850)” - (fr:3106). Tuttavia, “This does not mean that Hellenistic or even Arabic authors were able to utilize Babylonian material directly” - (fr:3113), suggerendo una trasmissione indiretta attraverso canali ancora non completamente chiariti.

35.5 Il problema dei contatti con l’Oriente

Il testo critica severamente le ipotesi di contatti diretti tra filosofi greci e sapienza orientale. Sebbene “much has been said about the direct contact of Plato and Aristotle with Orientals” - (fr:3139), le prove sono fragili. L’aneddoto di Callistene che avrebbe portato ad Atene i registri astronomici babilonesi “is based only on Porphyrius (third cent. A.D.)” - (fr:3141), e inoltre “these Babylonian observations are supposed to have reached 31,000 years back” - (fr:3142), rendendo la testimonianza incredibile. Il testo conclude che “it seems to me certain, however, that there was nothing to learn from the Egyptians themselves” - (fr:3144).

35.6 La questione dell’empirismo greco

Un’osservazione critica riguarda il mito moderno della superiorità intellettuale greca. “they would not have invented the myth about the remarkable quality of the so-called Greek mind to develop scientific theories without resorting to experiments or empirical tests” - (fr:3152). Al contrario, figure come Tolomeo e Galeno dimostrano l’importanza dell’osservazione empirica nella scienza greca, contrariamente a quanto suggerito da Platone, il cui “advice to the astronomers to replace observations by speculation would have destroyed one of the most important contributions of the Greeks to the exact sciences” - (fr:3151).

35.7 Conclusione metodologica

Il testo sottolinea l’impossibilità di fornire spiegazioni conclusive per l’origine della matematica superiore nel V e IV secolo ad Atene: “It seems to me equally impossible to give anyone conclusive explanation for the origin of higher mathematics in the fifth and fourth century in Athens and the Italian colonies” - (fr:3148). Questa lacuna rimane uno dei problemi storiografici più complessi della storia della scienza antica.

[26.2-66-3155|3220]

36 Origini e trasmissione della scienza ellenistica: il ruolo delle influenze orientali nella matematica greca

Analisi critica delle fonti e delle metodologie per comprendere come la conoscenza matematica mesopotamica si sia trasmessa alla tradizione greca, sfidando la narrazione di un’autonomia scientifica greca.

La questione centrale affrontata in questo trattato riguarda la genesi della matematica greca e il grado di influenza orientale, in particolare mesopotamica, nella sua formazione. L’autore sostiene che “una tradizione continua deve essere esistita, collegando la matematica mesopotamica del periodo ellenistico con gli scrittori semitici (aramaici) e greci contemporanei e infine con i matematici indù e islamici” (fr:3180), suggerendo un flusso di conoscenza ben più complesso di quanto tradizionalmente riconosciuto.

36.1 La problematica delle fonti storiche

Un elemento peculiare del testo è la consapevolezza critica riguardo alle lacune documentarie. L’autore osserva che “la nostra conoscenza fattuale dello sviluppo del pensiero scientifico e della posizione sociale degli uomini responsabili è così frammentaria che sembra completamente impossibile testare qualsiasi ipotesi” (fr:3214). Questa ammissione di incertezza metodologica è significativa: contrasta con affermazioni categoriche sulla storia della scienza e invita a una lettura più sfumata delle prove disponibili.

Particolarmente rilevante è la critica alle storie tradizionali dei matematici greci. “Per noi, non c’è nulla da fare se non ammettere che non abbiamo idea del ruolo che i tradizionali eroi della scienza greca hanno giocato” (fr:3186), sottolineando come figure come Talete rimangono circondate da incertezza storica.

36.2 La matematica di Erone e l’eredità mesopotamica

L’autore utilizza Erone di Alessandria come caso di studio emblematico. Tradizionalmente interpretato come segno di degenerazione della matematica greca, il fatto che “Erone aggiunga aree e segmenti di linea non può più essere visto come un segno nuovo della rapida degenerazione del cosiddetto spirito greco, ma semplicemente riflette la tradizione algebrica o aritmetica della Mesopotamia” (fr:3171). Questo rovesciamento interpretativo è cruciale: “parti degli scritti di Erone, praticamente inalterate, sopravvissero alla distruzione della matematica scientifica nella tarda antichità” (fr:3172), suggerendo una continuità di metodi mesopotamici attraverso i secoli.

36.3 L’algebra geometrica e le equazioni quadratiche

Un elemento tecnico particolarmente significativo riguarda l’origine dell’algebra geometrica greca. L’autore propone che il problema geometrico centrale di questa tradizione—“dato un’area A e un segmento di linea b; costruire un rettangolo” (fr:3196)—corrisponda direttamente alla forma normale babilonese delle equazioni quadratiche. “L’identità di questo strano problema geometrico con la ‘forma normale’ babilonese è immediatamente evidente quando lo formuliamo algebricamente” (fr:3198), con le condizioni xy = A e x - y = b (fr:3199, fr:3200).

“Non c’è dubbio, tuttavia, che l’assunzione di cui sopra di un’interpretazione geometrica diretta della forma normale delle equazioni quadratiche è di gran lunga la spiegazione più semplice e diretta” (fr:3202). Questo suggerisce un trasferimento di conoscenza non meramente accidentale, ma strutturale.

36.4 Il contesto storico della diffusione

L’autore propone un momento storico plausibile per questa trasmissione: “sembra non richiedere troppa immaginazione pensare a una diffusione della conoscenza matematica dal Vicino Oriente alla Grecia in un periodo vicino alla vigilia dell’offensiva macedone contro l’impero persiano” (fr:3205). Più concretamente, “pochi anni dopo la Babilonia era sotto il dominio greco e l’evidenza letteraria non era più richiesta per provare che i Greci avevano accesso alla scienza babilonese da questo momento in poi” (fr:3209).

36.5 Critica al ruolo di Platone

L’autore contesta la narrazione storiografica moderna che ha esagerato l’influenza di Platone sulla matematica. “Il ruolo di Platone è stato ampiamente esagerato” (fr:3215), e “la nozione spesso adottata che Platone ‘dirigesse’ la ricerca fortunatamente non è confermata dai fatti” (fr:3217). Tuttavia, riconosce che “le dottrine di Platone hanno indubbiamente avuto grande influenza sull’interpretazione moderna della scienza greca” (fr:3218), evidenziando come le prospettive filosofiche moderne abbiano distorto la comprensione storica.

36.6 Metodologia comparativa

L’autore sottolinea l’importanza della comparazione diretta tra testi. “Questa relazione può essere dimostrata particolarmente facilmente per mezzo delle figure” (fr:3173), e fornisce esempi concreti di problemi numerici che “assomigliano da vicino ai testi matematici babilonesi” (fr:3177).

36.7 Distinzione tra matematica pura e astronomia

Un’osservazione metodologica rilevante riguarda la differenza tra le fonti disponibili per la matematica greca e per l’astronomia. “Per la storia della matematica greca, ci sono presentazioni abbastanza competenti e complete, ma siamo lontani da questo obiettivo nella storia dell’astronomia antica” (fr:3167). Inoltre, “le procedure matematiche greche sono direttamente intelligibili a un matematico moderno mentre i trattati astronomici antichi operano con una terminologia e con problemi e metodi empirici e numerici che non sono più familiari nel nostro tempo” (fr:3166).

36.8 Conclusione interpretativa

Il testo propone una revisione significativa della narrativa tradizionale sulla genesi della matematica greca, suggerendo che l’autonomia scientifica greca sia stata sopravvalutata e che le influenze mesopotamiche siano state sistematicamente sottovalutate. Questa prospettiva non nega l’originalità greca, ma la colloca entro un contesto di trasmissione e trasformazione di conoscenze orientali, particolarmente durante il periodo ellenistico quando il contatto politico e culturale con la Mesopotamia divenne diretto e intenso.

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37 La teoria dei moti celesti: dall’astronomia babilonese a Eudosso e Apollonio

Dall’osservazione empirica dei fenomeni periodici alla geometrizzazione del cosmo attraverso sfere concentriche, eccentrici ed epicicli.

37.1 Le fondamenta empiriche dell’astronomia babilonese

L’astronomia antica poggia su basi osservative rigorose. “The successive approximations of the Babylonian lunar and planetary theory reflect this situation perfectly” - (fr:3228) testimonia come il metodo babilonese si sviluppasse attraverso perfezionamenti successivi. Il fondamento di questo approccio risiede in “the counting of the periodically recurrent phenomena; the properly chosen periodic functions—zigzag functions or step functions—suffice to describe the deviation from a trivial mean motion” - (fr:3229) [il conteggio dei fenomeni ricorrenti periodicamente; le funzioni periodiche opportunamente scelte—funzioni a zigzag o funzioni a gradini—sono sufficienti a descrivere la deviazione da un moto medio banale]. Questo metodo rappresenta un’astronomia puramente descrittiva, basata su pattern matematici estratti dall’osservazione.

37.2 La rivoluzione geometrica di Eudosso

Un cambio di paradigma radicale interviene con Eudosso. “Perhaps a little before these methods were developed in Mesopotamia, perhaps almost simultaneously, a most decisive step in another direction was made by Eudoxus” - (fr:3230). Il contesto intellettuale che favorisce questa innovazione è la “recent discovery of the sphericity of the earth” - (fr:3231) [scoperta recente della sfericità della terra], che suggerisce naturalmente una corrispondente sfericità del cielo e un moto circolare dei corpi celesti.

La soluzione di Eudosso si basa su un principio elegante: “The motion of sun and moon can be described as the combination of the uniform motions of two concentric spheres: one is the fast daily rotation about the poles of the equator; the other is slow and proceeds in opposite direction about an inclined axis which is perpendicular to the ecliptic” - (fr:3233) [Il moto del sole e della luna può essere descritto come la combinazione dei moti uniformi di due sfere concentriche: una è la rapida rotazione giornaliera attorno ai poli dell’equatore; l’altra è lenta e procede in direzione opposta attorno a un asse inclinato perpendicolare all’eclittica]. Questo sistema di sfere omocentriche consente di “explaining, at least qualitatively, also the most striking phenomenon of planetary motion, the retrogradations” - (fr:3234) [spiegare, almeno qualitativamente, anche il fenomeno più evidente del moto planetario, le retrogradazioni].

37.3 L’analisi geometrica delle sfere omocentriche

La geometria del sistema eudossiano rivela proprietà affascinanti. Quando “the two axes are made to coincide, the body which is fixed to the equator of one of the two spheres moves simply in a circle with the difference velocity” - (fr:3236) [i due assi coincidono, il corpo fissato all’equatore di una delle due sfere si muove semplicemente in un cerchio con la velocità differenziale]. In un secondo caso limite, “if the two opposite velocities are made of equal amount the body remains stationary as seen from the center” - (fr:3237) [se le due velocità opposte hanno uguale ampiezza il corpo rimane stazionario visto dal centro].

Il caso cruciale è quello delle “equal opposite velocities but inclined axes” - (fr:3240) [velocità opposte uguali ma assi inclinati]. Eudosso scoprì che “the orbit is an 8-shaped curve” - (fr:3241) [l’orbita è una curva a forma di 8]. Introducendo una terza rotazione, “the point P no longer follows a closed curve but proceeds with a certain mean velocity in the ecliptic” - (fr:3244) [il punto P non segue più una curva chiusa ma procede con una certa velocità media nell’eclittica]. Contemporaneamente, “there appears a periodic deviation from the ecliptic, or a motion in latitude” - (fr:3245) [appare una deviazione periodica dall’eclittica, o un moto in latitudine]. Le retrogradazioni emergono quando “the longitudinal component is less than the backward motion in the original figure eight” - (fr:3246) [la componente longitudinale è minore del moto all’indietro nella figura otto originale].

Il risultato è notevole: “even the apparent irregularities of planetary motion can be described by a combination of circular motions of uniform angular velocity” - (fr:3247) [anche le irregolarità apparenti del moto planetario possono essere descritte da una combinazione di moti circolari a velocità angolare uniforme].

37.4 I limiti del modello eudossiano e la soluzione di Apollonio

Tuttavia, “a model of this type has grave shortcomings” - (fr:3248) [un modello di questo tipo ha gravi carenze]. “The observed retrogradations of the planets do not recur in curves of identical shape as would be the case in the Eudoxian model” - (fr:3249) [le retrogradazioni osservate dei pianeti non si ripetono in curve di forma identica come accadrebbe nel modello eudossiano]. Un’altra difficoltà cruciale riguarda “the large variation of the brightness of planets” - (fr:3252) che “seemed to indicate corresponding variations in their distance from the earth” - (fr:3253) [la grande variazione della luminosità dei pianeti che sembrava indicare corrispondenti variazioni nella loro distanza dalla terra].

La soluzione proviene da Apollonio (circa 200 a.C.). “Apollonius used the simple device of viewing uniform circular motion not from the center of the orbit, but from a slightly eccentric point” - (fr:3257-3259) [Apollonio usò il semplice artificio di osservare il moto circolare uniforme non dal centro dell’orbita, ma da un punto leggermente eccentrico]. Questo ha l’effetto che “the motion appears fastest where the circle is nearest to the observer and slowest at the opposite point” - (fr:3260) [il moto appare più veloce dove il cerchio è più vicino all’osservatore e più lento nel punto opposto].

Apollonio dimostrò inoltre che “an eccentric movement of this type can always be replaced by an epicyclic motion where the center of the epicycle moves on a circle with the observer at its center and with a radius of the epicycle equal to the eccentricity” - (fr:3262) [un moto eccentrico di questo tipo può sempre essere sostituito da un moto epiciclico dove il centro dell’epiciclo si muove su un cerchio con l’osservatore al suo centro e con raggio dell’epiciclo uguale all’eccentricità]. L’equivalenza geometrica è garantita dal fatto che “the point P and the observer E remain the vertices of a parallelogram SPCE” - (fr:3265) [il punto P e l’osservatore E rimangono i vertici di un parallelogramma SPCE].

37.5 Il trionfo del principio del moto circolare

L’introduzione degli epicicli consente di “abolish the model of homocentric spheres” - (fr:3270) e ottenere una “uniform description of all celestial motion by means of eccenters and epicycles” - (fr:3271) [descrizione uniforme di tutto il moto celeste per mezzo di eccentrici ed epicicli]. Crucialmente, “the fundamental role of circular motion seemed to have been splendidly vindicated” - (fr:3273-3274) [il ruolo fondamentale del moto circolare sembrava essere stato splendidamente confermato]. “This conviction remained the cornerstone of celestial ‘dynamics’ of ancient astronomy comparable to a law of inertia” - (fr:3275) [Questa convinzione rimase la pietra angolare della ‘dinamica’ celeste dell’astronomia antica paragonabile a una legge di inerzia].

37.6 Il limite epistemologico dell’astronomia antica

Tuttavia, una distinzione cruciale caratterizza l’astronomia antica: “ancient astronomers pretended only to ‘describe’ the appearances, not to ‘explain’ them” - (fr:3278) [gli astronomi antichi pretendevano solo di ‘descrivere’ le apparenze, non di ‘spiegarle’]. Questo limite epistemologico definisce il confine tra il successo matematico-descrittivo e l’assenza di una vera teoria fisica dei fenomeni celesti.

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38 La teoria degli epicicli e l’eredità babilonese nell’astronomia greca

Dalla descrizione geocentrica del moto eliocentrico alla trasmissione del sapere astronomico tra le civiltà antiche.

La discussione affronta come la teoria greca degli epicicli costituisca una descrizione corretta dei fenomeni celesti osservati, pur mantenendo una prospettiva geocentrica, e come questa teoria sia debitrice della tradizione astronomica babilonese sia per i dati empirici che per i metodi di calcolo.

38.1 Il modello degli epicicli come descrizione geocentrica del moto planetario

Nel contesto della rappresentazione geocentrica, il significato del punto S subisce una trasformazione concettuale fondamentale. Mentre nelle figure precedenti “S rappresentava il sole” (fr:3284), nella nuova formulazione “non possiamo più dire che S è il sole ma solo che ES è la direzione verso il sole” (fr:3285). Nonostante questo cambiamento di interpretazione, “tutte le nostre conclusioni rimangono valide” (fr:3286).

La teoria risultante descrive il moto dei pianeti attraverso due meccanismi distinti. Per i pianeti interni, “il moto angolare è descritto da un moto epicicloide tale che la direzione da E al centro S dell’epiciclo coincide con la direzione da E al sole” (fr:3287). Per i pianeti esterni, invece, “il pianeta P si muove sul suo epiciclo intorno a C in modo tale che CP sia sempre parallelo alla direzione da E al sole” (fr:3288).

Questa formulazione rappresenta “la formulazione di base della teoria planetaria greca per mezzo degli epicicli, con l’ovvio raffinamento che dovremmo dire ‘sole medio’ invece di semplicemente ‘sole’” (fr:3289). L’importanza di questa teoria risiede nel fatto che “è una descrizione corretta delle apparenze per quanto riguarda il moto angolare e sarebbe una teoria eliocentrica corretta se fosse scelta la scala corretta” (fr:3290). Le deviazioni di secondo ordine da questa approssimazione di primo ordine potevano essere spiegate “mediante eccentricità aggiunte e dispositivi simili che furono portati alla perfezione da Tolomeo” (fr:3291). Solo “osservazioni notevolmente raffinate potevano eventualmente rivelare i difetti della supposizione di moti rigorosamente circolari” (fr:3292).

38.2 Le origini della teoria tolemaica e l’assenza di influenze orientali

Nell’analisi delle origini del sistema planetario tolemaico, emerge chiaramente che “non c’è ragione di assumere influenze orientali” (fr:3294). In particolare, “tutto ciò che sappiamo dell’astronomia egiziana esclude qualsiasi possibile influenza da questa fonte” (fr:3295). La situazione è diversa per la Babilonia: “la teoria babilonese è nota per aver raggiunto risultati altrettanto eccellenti per mezzo di metodi che in nessun luogo indicano un’interpretazione attraverso una combinazione di moti circolari o qualsiasi altro modello meccanico” (fr:3296). Infatti, “le funzioni a zigzag e a gradini praticamente escludono qualsiasi tale tentativo” (fr:3297).

38.3 L’influenza babilonese sulla teoria greca

Nonostante l’assenza di un modello meccanico condiviso, “l’influenza babilonese è visibile in due modi diversi nell’astronomia greca: primo, nel contribuire materiale empirico di base per le teorie geometriche delineate nella sezione precedente; secondo, in una continuazione diretta di metodi aritmetici che furono usati simultaneamente e indipendentemente dai metodi geometrici” (fr:3298).

La prima influenza divenne evidente quando “la teoria lunare babilonese fu decifrata da Epping e Kugler” (fr:3299). Crucialmente, “esattamente le stesse costanti che determinarono i periodi di diverse delle più importanti funzioni a zigzag nella teoria babilonese sono attestate come le relazioni da cui furono derivati i moti medi nelle teorie greche, specialmente da Ipparco (per quanto possiamo dire dai riferimenti di Tolomeo nell’Almagesto)” (fr:3300). Poiché “gli effemeridi babilonesi più antichi antecedono—sebbene solo di un margine stretto—il tempo di Ipparco, non può essere negato che almeno i fondamenti empirici della teoria babilonese devono essere stati noti a Ipparco” (fr:3301).

La trasmissione di questa conoscenza rimane tuttavia oscura: “come questa conoscenza gli fu trasmessa e quanto sapeva della tecnica effettiva di calcolo degli effemeridi non può essere risposto dalle nostre fonti” (fr:3302). Tradizionalmente, “l’attività didattica del babilonese Beroso (che si trasferì sull’isola greca di Cos intorno al 270 a.C.) è considerata responsabile della trasmissione di gran parte della conoscenza astronomica ai Greci” (fr:3303), sebbene “gli excerpta frammentari conservati dai suoi scritti non contengono alcun riferimento specifico all’astronomia matematica” (fr:3304). Ciò che realmente servirebbe per comprendere i dettagli della trasmissione è “un commentario greco agli effemeridi babilonesi e ai testi procedurali” (fr:3305).

Un aspetto particolarmente significativo riguarda il passaggio concettuale: “da qualche parte il grande passo dagli effemeridi anno per anno alle tavole basate sui moti medi, come li conosciamo dall’Almagesto, deve essere stato fatto” (fr:3306). Il fatto che “non possiamo rispondere a tale domanda nemmeno approssimativamente dimostra quanto poco sappiamo del periodo precedente dell’astronomia ellenistica al di fuori della Mesopotamia” (fr:3307).

38.4 I metodi aritmetici come continuazione della tradizione babilonese

L’influenza babilonese non si limita ai parametri costanti. “Uno sviluppo molto più diretto dei metodi aritmetici babilonesi è diventato visibile dai papiri greci e da occasionali riferimenti ai dettagli tecnici nella letteratura astrologica” (fr:3310). Analogamente alla letteratura matematica greca, che si divide in una tradizione puramente scientifica e una più elementare legata alla tradizione orientale, “anche le procedure astronomiche si dividono in due gruppi: uno che conduce all’Almagesto, l’altro probabilmente meglio conosciuto tra gli autori astrologici per i loro calcoli delle posizioni dei corpi celesti per scopi oroscopici” (fr:3311).

Questi metodi alternativi sono denominati “metodi aritmetici” o “metodi lineari” perché sono essenzialmente basati su sequenze di differenze di primo ordine“ (fr:3312). È importante sottolineare che “nessuna tale classificazione è più di una questione conveniente di linguaggio e che esistono molti contatti e influenze tra i due estremi” (fr:3313). In particolare, il lettore deve essere avvertito di “non interpretare l’espressione ‘metodi aritmetici’ come implicante che i metodi dell’Almagesto escludano in qualche modo la procedura numerica” (fr:3314). “L’opposto è vero” (fr:3315).

L’Almagesto contiene infatti “un gran numero di tavole numeriche, che a loro volta si basano su un’enorme quantità di calcolo numerico, e l’obiettivo finale dell’Almagesto è esattamente lo stesso dei ‘metodi aritmetici’, cioè fornire dati numerici per i fenomeni astronomici” (fr:3316). Ciò che distingue l’Almagesto è che “è unico nel suo desiderio di spiegare i fondamenti empirici e le ragioni teoriche delle sue procedure” (fr:3317). “E il percorso conduce sempre prima a un modello geometrico definito, dal quale le conseguenze aritmetiche risultanti sono poi derivate” (fr:3318).

Al contrario, “i metodi lineari procedono esclusivamente su basi numeriche precisamente nel modo che ora ci è familiare dai testi babilonesi” (fr:3319). Sebbene “nessun trattato teorico riguardante questi metodi lineari sia conservato, è chiaro che si basano su procedure abilmente progettate e su materiale empirico che è probabilmente piuttosto simile per entrambi i metodi” (fr:3320). Tuttavia, “il concetto di un modello geometrico sembra essere completamente assente per questo secondo tipo di letteratura astronomica” (fr:3321). Questo può essere paragonato “alla mancanza di una struttura rigorosamente assiomatica per il tipo di matematica ellenistica Erone-Diofanto” (fr:3322).

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39 La trasmissione della scienza ellenistica: astronomia e astrologia tra Mesopotamia, India e il mondo greco-romano

Tracciamento dei percorsi di diffusione della conoscenza astronomica attraverso civiltà e periodi storici, con particolare attenzione alle fonti babilonesi e alla loro ricezione nella tradizione indiana.

La ricerca della continuità scientifica tra le tradizioni astronomiche antiche rivela un complesso intreccio di trasmissioni e adattamenti. L’autore stabilisce che “siamo su terreno sicuro per l’astronomia solo per il periodo seleucide in Mesopotamia” - (fr:3503), mentre “in Egitto gli oroscopi più antichi, demotico o greco, risalgono al regno di Augusto” - (fr:3504). Questa delimitazione cronologica è cruciale: “in nessuno dei due casi la velocità e l’estensione di questa diffusione possono essere utilizzate come argomento cronologico” - (fr:3505).

Un elemento peculiare emerge dall’analisi degli ordini planetari. “Nei testi cuneiformi del periodo seleucide l’arrangiamento standard è Giove-Venere-Mercurio-Saturno-Marte” - (fr:3506), e “questi due elenchi riflettono molto chiaramente la differenza tra i due sistemi astronomici” - (fr:3507). Tale distinzione si perpetua persino nella struttura contemporanea: “questo si riflette anche nell’arrangiamento dei giorni della settimana planetaria che ancora oggi utilizziamo” - (fr:3508).

La natura dell’astrologia babilonese differisce sostanzialmente da quella ellenistica. “Le predizioni riguardano il re e il paese nel suo insieme e si basano su apparenze astronomiche osservate, non su computazione e non sul momento della nascita” - (fr:3511). Tuttavia, “attorno a questo è tessuto un enorme sistema di dottrine riguardanti la valutazione di questi dati e di dati secondari che possono essere derivati per mezzo di ogni sorta di artifici” - (fr:3512). Questo aspetto rende “questi testi utili documenti per lo studio di questioni puramente astronomiche e cronologiche, ma ci aiutano molto poco per la storia dell’astrologia in sé” - (fr:3513).

Un aspetto significativo riguarda l’identificazione di due sistemi celesti distinti: “i riferimenti alle costellazioni, specialmente i loro sorgere e tramontare simultanei, hanno reso possibile distinguere tra due mappe celesti ampiamente diverse, una ‘sphaera barbarica’ e una ‘sphaera graecania’” - (fr:3514). Tuttavia, “il fatto rimane che l’evidenza di prestiti diretti da concetti babilonesi è straordinariamente scarsa” - (fr:3514).

La trasmissione verso l’India rappresenta un capitolo fondamentale. “Possiamo ovviamente assumere che la stessa strada sia stata seguita dalla trasmissione dell’astronomia matematica anche se non abbiamo a disposizione più di due estremi in Mesopotamia e India” - (fr:3523). Le prove sono concrete: “possiamo ora comprendere intere sezioni nel Pañca Siddhāntikā di Varāha Mihira per mezzo dei testi planetari babilonesi” - (fr:3524), e “lo stesso vale per le relazioni di periodo fondamentali e persino per parametri speciali” - (fr:3525).

I dati numerici confermano questa continuità. “Il movimento sinodico medio per Mercurio è 54;12.24… = 5°52’ che è esattamente il valore indù” - (fr:3528), e “lo stesso accordo si trova per Venere” - (fr:3528). Per Saturno: “3721 - 360 = 12;40° rispetto a 12;39.22.30° nella teoria babilonese” - (fr:3533).

La cronologia di Varāha Mihira è ben stabilita: “la data di Varāha Mihira è ben consolidata dal suo uso dell’anno 427 dell’Era Saka = 505 d.C. come epoca” - (fr:3535). Il Sūrya Siddhānta presenta una stratificazione complessa: “l’origine del Sūrya Siddhānta è datata da studiosi moderni a circa 400 d.C. mentre la sua versione presente può essere tardiva quanto circa 1000 d.C.” - (fr:3538). Al-Bīrūnī caratterizza la letteratura astronomica indù come “una miscela di gusci di perle e datteri acidi, o di perle e sterco, o di cristallo costoso e ciottoli comuni” - (fr:3538), evidenziando la coesistenza di strati primitivi e teorie greche sofisticate.

Un collegamento diretto con la tradizione greca emerge da Vettio Valente, il quale “non calcolò le tavole delle eclissi da solo ma utilizzò Ipparco per il sole, Sudines e Kidenas per la luna” - (fr:3544), stabilendo così un legame diretto con i metodi lineari babilonesi.

L’autore riconosce una lacuna critica: “quello che è meno generalmente noto, tuttavia, è il fatto che per ogni questione specifica di teoria astronomica o matematica siamo ancora brancolando nel buio a causa di una deplorevole mancanza di materiale di fonte edito” - (fr:3548). Nonostante ciò, “seguendo pazientemente le connessioni della teoria matematica e astronomica ci siamo mossi da periodo a periodo e da civiltà a civiltà” - (fr:3550), rivelando “l’unità intrinseca della cultura umana” - (fr:3551).

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40 La trasmissione delle conoscenze astronomiche tra civiltà: dai Babilonesi al Medioevo

Un’analisi delle interconnessioni scientifiche tra tradizioni mesopotamiche, ellenistiche, indiane e islamiche nella storia dell’astronomia e dell’astrologia.

La documentazione astrologica mesopotamica rappresenta un corpus estremamente limitato rispetto alla ricchezza dei testi astronomici. “Almost all documents concerning astrology in Mesopotamia belong to the same period, but their number is very small compared to the astronomical texts” - (fr:3565). I trattati astrologici più antichi e le discussioni sulla validità della dottrina astrologica risalgono al medesimo periodo, sebbene “The only chronological criteria can come from the texts themselves” - (fr:3567), rendendo la datazione una questione complessa.

Un aspetto peculiare della tradizione babilonese riguarda l’ordine dei pianeti. La spiegazione comunemente fornita, secondo cui i primi due pianeti sarebbero benefici e gli ultimi due malefici, “does not appear in cuneiform sources” - (fr:3568). Il sistema babilonese, infatti, “has nothing to do with the arrangement in space” - (fr:3569). La disposizione segue invece una logica temporale: “Here the Sun is placed between Mars and Venus, and the Moon below Mercury” - (fr:3570). Questo ordine genera la sequenza settimanale ancora oggi utilizzata: “Sun Moon Mars Mercury Jupiter Venus Saturn which is our sequence of the days of the week and also the arrangement of the planets in Hindu astronomy” - (fr:3571). È tuttavia fuorviante definire questo ordine come “caldaico” nella letteratura moderna, come sottolinea il testo: “It is totally misleading when this order is called ’Chaldeanu in modern literature” - (fr:3572).

Un dato rilevante è che “the zodiac never appears” - (fr:3573) nei testi babilonesi, e gli oroscopi effettivamente conservati contengono scarsissime tracce delle speculazioni teoriche elaborate: “It is interesting to observe that the actually preserved horoscopes contain very little, if anything at all, of these theoretical speculations” - (fr:3574).

La struttura principale della teoria astrologica è indubbiamente ellenistica. “The main structure of the astrological theory is undoubtedly Hellenistic” - (fr:3576). Tuttavia, è fondamentale valutare tali dottrine nel loro contesto contemporaneo: “But we should not forget that we must evaluate such doctrines against the contemporary background” - (fr:3578). In questo quadro, “the fundamental doctrines of astrology are pure science” - (fr:3579) se confrontate con la religione, la magia e il misticismo dell’epoca.

La trasmissione del sapere attraverso le civiltà rivela una complessa rete di traduzioni e adattamenti. Varaha Mihira, astronomo indiano del VI secolo d.C., rappresenta un nodo cruciale di questa rete. Nel suo lavoro astronomico compaiono “the use of the linear methods for the lunar motion, otherwise known to us from Greek papyri and finally from cuneiform tablets” - (fr:3584). Questo suggerisce una continuità metodologica che attraversa millenni e culture diverse.

Un elemento significativo riguarda i valori assegnati da Varaha Mihira alle rivoluzioni sinodiche dei pianeti. Analizzando i dati, emerge che “The mean synodic arc for Mars” - (fr:3590) secondo la teoria babilonese differisce dai valori indiani di esattamente 360°, come confermato per Giove e Saturno: “This is confirmed for the case of Jupiter and Saturn” - (fr:3594). Questa concordanza suggerisce una trasmissione diretta di metodi matematici.

Lo studio sistematico delle relazioni tra l’astronomia indù e quella babilonese è ancora agli inizi: “We stand today only at the beginning of a systematic investigation of the relations between Hindu and Babylonian astronomy” - (fr:3595). Tuttavia, “the fact that a close relationship between Babylonian linear methods and sections of the Pailca Siddhintiki can be established is only one facet of the general problem” - (fr:3596). La Pailca Siddhintiki assume importanza particolare come “a well dated and comparatively early document” - (fr:3597) e come “a historical source of a unique character in Hindu astronomy” - (fr:3597).

Varaha Mihira occupa una posizione centrale negli studi sull’astronomia indù, poiché “is also one of the main sources of al-Birfini’s report on Hindu astronomy and astrology, written about 1030 A.D.” - (fr:3598). Questo collegamento consente di tracciare una linea continua dal sapere antico fino al Medioevo islamico.

Il periodo di contatto tra le tradizioni babilonesi e indiane può essere collocato approssimativamente al momento dell’origine della Surya Siddhanta, intorno al 400 d.C., periodo in cui “the earliest occurrence of the place value notation can be traced back again to the Paulisa Siddhanta” - (fr:3603). Questo suggerisce che la trasmissione del sapere avvenne attraverso canali persiani, poiché “these sources reached Persia without being modified by the scientific theories of Ptolemy” - (fr:3606), preservando così i metodi lineari e geometrici originali.

L’attività scientifica islamica fiorì sotto il Califfato Abbaside a Baghdad nel IX secolo, con figure come al-Khwarizmi, Thabit ibn Qorra e Abu Ma’shar. Un secolo dopo emerge al-Biruni, anch’egli originario del Khorazm. Nonostante l’importanza di queste figure, “With the splendid exception of al-Battini’s tables, none of the great astronomical tables of the Middle Ages-Arabic or Latin, Hebrew of Greek-is available in modern editions for the period between Ptolemy and Copernicus” - (fr:3610).

Il percorso della ricerca storica ha spesso seguito sentieri paralleli a quelli degli storici dell’arte, della religione e dell’alchimia: “Our road often went parallel to the road pointed out by historians of art, religion, alchemy, and many other fields” - (fr:3612). L’astronomia riveste un ruolo unico perché “it carried in its slow but steady progress the roots for the most decisive development in human history, the creation of the modern exact sciences” - (fr:3613).

[29.3-62-3627|3688]

41 La trasmissione della scienza ellenistica: astrologia e astronomia tra Oriente e Occidente

Un’analisi della diffusione delle dottrine astrologiche e astronomiche dal mondo greco-ellenistico all’India e al mondo islamico, attraverso tracce documentali e testi scientifici.

41.1 Le origini dell’astrologia ellenistica

La documentazione disponibile sulle pratiche astrologiche antiche rivela una discontinuità sostanziale tra le tradizioni babilonesi e quelle ellenistiche. “Abbiamo circa dieci oroscopi da tavolette cuneiformi, e ancora meno testi riguardano le dottrine astrologiche come le conosciamo in quantità enormi da fonti greche” - (fr:3627). Questa scarsità di fonti babilonesi contrasta con l’abbondanza di materiale greco, suggerendo che l’astrologia personale rappresenta un’innovazione ellenistica piuttosto che una continuazione diretta delle pratiche mesopotamiche.

L’espansione dell’astrologia durante il primo periodo imperiale romano fu straordinaria: “La rapida diffusione e l’enorme sviluppo dell’astrologia durante il primo periodo imperiale romano è parallelo alla diffusione del cristianesimo, del mitraismo e di credenze correlate” - (fr:3628). Questo fenomeno culturale si inserisce in un contesto più ampio di trasformazioni religiose e intellettuali.

41.2 Caratteristiche tecniche dell’astrologia greca

Un elemento distintivo dell’astrologia ellenistica è l’ordine dei pianeti. “L’ordinamento ordinario negli oroscopi greci è Sole-Luna-Saturno-Giove-Marte-Venere-Mercurio, eccetto nei casi in cui viene scelto un ordinamento che dipende dall’oroscopo specifico, cioè seguendo le posizioni dei corpi celesti nello zodiaco nel momento dato” - (fr:3630). Questo sistema non era arbitrario: “Il sistema greco, tuttavia, segue evidentemente il modello che ordina i pianeti in profondità secondo i loro periodi di rotazione siderale” - (fr:3631).

Un aspetto cruciale della metodologia greca è la divisione del giorno: “Ogni una delle 24 ore di un giorno riceve un ‘governante’ seguendo questa sequenza” - (fr:3632). Questa caratteristica rivela l’origine ellenistica del sistema, poiché “è basato sull’ordinamento dei corpi celesti secondo la loro distanza dalla terra ma suppone anche una divisione del giorno in 24 ore, una forma di computo che non è babilonese ma un prodotto ellenistico di origine egiziana ultima” - (fr:3633).

41.3 Differenze fondamentali tra astrologia babilonese e ellenistica

“L’astrologia che conosciamo dal periodo assiro è piuttosto diversa dall’astrologia personale ellenistica” - (fr:3634). La distinzione è radicale: “Gli oroscopi ellenistici, tuttavia, riguardano una persona specifica e dipendono dalla posizione calcolata dei sette corpi celesti e dei segni zodiacali nella loro relazione all’orizzonte dato, per un momento dato, il momento della nascita” - (fr:3635). La maggior parte di questi oroscopi “non contiene nulla se non i risultati nudi dei calcoli per il momento dato” - (fr:3636).

41.4 Significato storico e scientifico

Sebbene “sia abbastanza plausibile che l’impulso originario per l’astrologia oroscopica provenisse dalla Babilonia come nuovo sviluppo dai vecchi presagi celesti, sembra a me che il suo sviluppo effettivo debba essere considerato come una componente importante della scienza ellenistica” - (fr:3639). Per i filosofi e gli astronomi greci, “l’universo era una struttura ben definita di corpi direttamente correlati” - (fr:3640).

Tuttavia, “naturalmente, i confini tra la scienza razionale e la speculazione vaga furono rapidamente cancellati e il sapere astrologico non derivò—ma piuttosto promosse—la superstizione e le pratiche magiche” - (fr:3641). Nonostante questa ambiguità, “per lo storico della civiltà, l’astrologia non è solo uno dei fenomeni significativi del mondo ellenistico ma uno strumento straordinariamente utile per l’indagine della trasmissione del pensiero ellenistico” - (fr:3642).

41.5 Trasmissione verso Oriente: India e mondo islamico

La trasmissione del sapere ellenistico verso l’Oriente può essere ricostruita attraverso tracce specifiche. “Seguendo le tracce inconfondibili di dottrine astrologiche molto specifiche, si può ricostruire la strada che collegava la Mesopotamia ellenistica con l’Egitto ellenistico, con la Persia pre-islamica e con l’India” - (fr:3646).

Un documento cruciale per questa ricostruzione è il Pañca Siddhānta di Varāhamihira, “di importanza speciale perché forma un punto fisso cronologico di importanza primaria” - (fr:3658). “Il suo nome indica che è basato su cinque Siddhānta, e contiene effettivamente un riassunto dei contenuti dei cinque grandi trattati astronomici che esistevano al tempo di Varāhamihira” - (fr:3659). Lo stesso Varāhamihira testimonia l’influenza greca: “I Greci, infatti, sono stranieri, ma presso di loro questa scienza [l’astronomia] è in uno stato fiorente” - (fr:3661).

“Sebbene l’influenza greca sul Sūrya Siddhānta sia evidente, è ugualmente ovvio che la teoria greca ha subito una trasformazione piuttosto indipendente in molti dettagli sia rispetto ai valori delle costanti numeriche che alla teoria generale” - (fr:3663). Un elemento significativo è che “i prestiti dell’astronomia indù dall’astronomia greca non mostrano alcuna influenza dei raffinamenti della teoria tolemaica” - (fr:3665), il che “sembra lasciare un serio vuoto di diversi secoli tra la data delle fonti ellenistiche e la ricezione da parte degli indù” - (fr:3666).

Nel periodo islamico, la trasmissione continuò: “Le tavole astronomiche di al-Khwārizmī sono state conservate attraverso traduzioni latine; mostrano una curiosa miscela di metodi indù e greci” - (fr:3669). Al-Khwārizmī stesso dichiarò di trasmettere non solo conoscenza indù verso l’Occidente, ma anche di comporre “per gli indù una traduzione dei libri di Euclide e dell’Almagesto, e dettando loro un trattato sulla costruzione dell’astrolabio, essendo semplicemente guidato dal desiderio di diffondere la scienza” - (fr:3670).

41.6 Conclusioni

La storia della trasmissione delle scienze matematiche e astronomiche antiche rappresenta un campo fertile di ricerca storica. “La storia delle antiche scienze matematiche è un campo in cui non è necessario andare lontano per trovare terreno fertile pronto per essere coltivato” - (fr:3672). Seguire questo aspetto specifico della storia culturale rimane un’impresa degna di sforzo, nonostante la frammentarietà dei risultati disponibili.

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42 Il sistema tolemaico: modelli epicicicloidi e correzioni osservative

Analisi della struttura matematica e dei procedimenti computazionali del modello tolemaico per i moti lunari e planetari.

Il testo affronta la costruzione del sistema tolemaico attraverso l’esame dei modelli epicicicloidi e delle tecniche di correzione sviluppate da Tolomeo per riconciliare le predizioni teoriche con le osservazioni astronomiche.

42.1 La struttura del modello lunare

Nel modello epicicicloide fondamentale, “Misurato nelle unità per cui il raggio del deferente è 60, il raggio dell’epiciclo è risultato essere r = 5;15” - (fr:4156). Questo rapporto numerico costituisce il dato empirico basilare dal quale Tolomeo costruisce le sue predizioni.

Tuttavia, Tolomeo riconobbe una discrepanza significativa tra le previsioni e le osservazioni. Come sottolinea il testo, “Tolomeo, tuttavia, si rese conto da un’analisi magistrale delle osservazioni sue e dei suoi predecessori che marcate deviazioni dalle longitudini predette della luna, raggiungendo un importo massimale nelle vicinanze di elongazioni di ± 90° dal sole, potevano verificarsi” - (fr:4158). Questo fenomeno rappresenta il punto critico che richiede una modifica del modello.

42.2 La soluzione tolemaica: il meccanismo dell’eccentrico mobile

La procedura adottata da Tolomeo introduce un elemento di straordinaria complessità. “Le osservazioni suggerivano una dipendenza del diametro apparente dell’epiciclo della luna dall’elongazione dal sole” - (fr:4160). Per gestire questa dipendenza, Tolomeo introduce un meccanismo in cui il punto F (centro dell’epiciclo) non rimane fisso, ma si muove su un piccolo cerchio.

Nel dettaglio: “Il suo valore è zero alla congiunzione; man mano che ψ aumenta, il punto F è fatto muovere in direzione retrograda su un piccolo cerchio di raggio s e con centro O tale che la sua distanza angolare dalla direzione da O al sole medio uguaglia l’elongazione ψ” - (fr:4162). Questo meccanismo produce l’effetto osservato: “Verso le quadrature, tuttavia, aumenta il diametro apparente dell’epiciclo in accordo con le osservazioni” - (fr:4164).

42.3 Un’incongruenza non risolta

Il testo evidenzia un aspetto critico spesso trascurato: “Questa discrepanza è silenziosamente ignorata da Tolomeo, sebbene non potesse dubitare che le distanze geocentriche effettive della luna fossero molto diverse da quelle che il suo modello richiedeva” - (fr:4166). Tolomeo cioè accetta una soluzione che produce risultati osservativi corretti senza affrontare direttamente l’incoerenza geometrica sottostante.

42.4 Estensione ai pianeti e questioni di eleganza

Il sistema tolemaico si estende ai pianeti secondo principi analoghi. “La teoria planetaria di Tolomeo segue gli stessi principi della teoria solare e lunare” - (fr:4180). Un aspetto rilevante emerge nel confronto con il sistema copernicano: “La scelta del sistema di riferimento non ha alcun effetto sulla struttura del modello, e i modelli copernicani stessi richiedono circa il doppio dei cerchi dei modelli tolemaici e sono molto meno eleganti e adattabili” - (fr:4207).

42.5 Il caso particolare di Mercurio

Mercurio rappresenta un caso di eccezionale complessità. Il testo riporta la celebre osservazione di Leverrier: “Nessun pianeta ha richiesto agli astronomi più cure e fatiche di Mercurio, e non ha dato loro in compenso tante inquietudini, tante contraddizioni” - (fr:4188). I dati empirici mostrano un’asimmetria notevole: “i valori più piccoli per la massima elongazione di Mercurio dal sole si verificano in Bilancia mentre i valori più grandi non sono osservati opposti alla Bilancia in Ariete ma due segni prima o dopo, in Acquario e Gemelli” - (fr:4200).

42.6 Significato storico e epistemologico

Il testo sottolinea che “menti filosofiche consideravano questa partenza dal moto circolare strettamente uniforme l’obiezione più seria contro il sistema tolemaico e inventavano combinazioni estremamente complicate di moti circolari al fine di salvare l’assioma della primeva semplicità di un universo sferico” - (fr:4183). Questo riflette una tensione fondamentale tra l’adeguatezza empirica e i principi filosofici della cosmologia antica.

Infine, il testo suggerisce che “l’importanza del lavoro di Copernico si trova in una direzione totalmente diversa da quella generalmente annunciata” - (fr:4208), indicando che il valore della rivoluzione copernicana risiede non nella semplicità geometrica, ma nella possibilità di ottenere “informazioni sulle distanze planetarie effettive se assumiamo che tutte le orbite planetarie abbiano essenzialmente lo stesso centro” - (fr:4209).

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43 La teoria lunare e planetaria di Tolomeo: correzioni e innovazioni metodologiche

Analisi dei meccanismi di correzione introdotti da Tolomeo per riconciliare la teoria tradizionale con le osservazioni astronomiche.

Tolomeo sviluppò una teoria lunare sofisticata che rappresentò un significativo avanzamento rispetto ai modelli precedenti. Sebbene “la teoria descritta finora era nota a Ipparco, anche se raffinata sotto diversi aspetti da Tolomeo” - (fr:4213), il contributo tolemaico consistette nell’identificare e correggere le discrepanze sistematiche della teoria tradizionale.

Il problema delle quadrature

Il limite principale della teoria lunare precedente era che “la tradizionale teoria lunare concordava con le osservazioni nelle sizigie (congiunzioni e opposizioni) ma non poteva spiegare le longitudini vicino alle quadrature, in particolare per valori dell’anomalia prossimi a ± 90°” - (fr:4214). Tolomeo riconobbe questa limitazione cruciale e sviluppò meccanismi correttivi specifici.

Il sistema dell’epiciciclo variabile

Per risolvere questo problema, Tolomeo introdusse un’innovazione meccanica: “un tale effetto potrebbe essere prodotto avvicinando l’epiciciclo all’osservatore mediante il seguente meccanismo” - (fr:4216). Contemporaneamente, “il punto C, il centro dell’epiciciclo, si muove in avanti in modo che la direzione OC formi un angolo ψ con la direzione da O al sole medio” - (fr:4218). Questo sistema garantiva che “all’opposizione (ψ = 180°) C è di nuovo allontanato alla distanza originale R da O” - (fr:4219).

L’apogeo variabile

Un’ulteriore raffinazione riguardava la misurazione dell’anomalia. “Per posizioni dell’epiciciclo agli allungamenti più vicini agli ottanti, invece di contare l’anomalia γ che determina la distanza della luna M sull’epiciciclo dall’apogeo D, essa doveva essere misurata da un apogeo variabile H” - (fr:4220). I parametri del modello risultavano in “r = 5;15, δ = 10;19, che mostrano che la luna alla quadratura potrebbe avvicinarsi fino a R - 28 - r = 34;7 all’osservatore” - (fr:4221).

Persistenza del modello nonostante le limitazioni

Significativamente, “questo modello fu comunque mantenuto da quasi tutti i suoi seguaci semplicemente perché si rivelò in grado di predire almeno correttamente le longitudini” - (fr:4224). Questa osservazione rivela come l’efficacia predittiva prevalesse sulla coerenza teorica nel determinare l’accettazione di un modello astronomico.

Estensione ai pianeti

Tolomeo applicò principi analoghi ai pianeti esterni. Il modello prevedeva che “il centro G del deferente si muove retrogradamente su un cerchio di raggio e e centro B, dove e non è solo l’eccentricità BE ma anche la distanza dell’osservatore O dall’equante E” - (fr:4245). Crucialmente, “il centro C dell’epiciciclo si muove in avanti in modo che il suo progresso, visto da E, appaia uniforme e della stessa quantità di cui G è rimosso” - (fr:4245).

L’innovazione dell’equante

Un contributo metodologico fondamentale fu l’introduzione del punto equante: “il centro dell’epiciciclo appare muoversi con la sua velocità angolare media non rispetto al centro del deferente ma rispetto a un punto (successivamente chiamato ‘equante’) localizzato simmetricamente all’osservatore” - (fr:4237). Questo meccanismo permetteva di mantenere l’uniformità del moto angolare pur producendo variazioni nella velocità apparente.

Eredità e limitazioni storiche

L’approccio tolemaico ebbe conseguenze significative per gli sviluppi successivi. “Questo ovvio vantaggio dell’uso di epicicicli secondari indusse Copernico ad applicare la stessa costruzione anche al moto planetario e così ad iniziare complicazioni che distrussero l’eleganza intrinseca e la semplicità del modello tolemaico” - (fr:4227). Tuttavia, “cinematicamente i due modelli sono difficilmente diversi eccetto per l’insistenza di Copernico nell’usare cerchi per ogni moto parziale dove Tolomeo aveva già raggiunto una libertà di approccio molto maggiore” - (fr:4262).

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44 La teoria lunare tolemaica e le sue correzioni: modelli epicidici e parametri osservativi

Analisi della struttura matematica e astronomica del modello lunare tolemaico, delle sue limitazioni osservative e dei tentativi di correzione proposti da Copernico e da astronomi islamici.

Il modello lunare di Tolomeo si basa su un sistema epicidico complesso dove il movimento medio della Luna in longitudine supera quello in anomalia: “the mean motion in longitude, expressed by the angle A, is greater than the mean motion in anomaly, the first being about 13;10,35°/d the latter 13;3,54°/d” - (fr:4266). Questo movimento risultante può essere descritto come “an eccentric motion with a rotating apsidal line” - (fr:4266), conferendo al modello una struttura geometrica sofisticata.

La determinazione dei parametri essenziali del modello si fondava su osservazioni selezionate con cura: “The determination of the essential parameters was based on carefully selected observations of lunar eclipses and the results obtained were very satisfactory for the description of eclipses in general” - (fr:4268). Tuttavia, il modello presentava una grave difetto: “In these cases the diameter of the epicycle seemed to be enlarged over the value found at the syzygies” - (fr:4269), indicando un’incoerenza tra le previsioni teoriche e le osservazioni.

Un elemento cruciale del modello è l’elongazione, definita come “an angle increasing proportionally with time at a rate equal to the difference between the mean velocity of the moon and the mean velocity of the sun” - (fr:4272). Questo parametro governa il comportamento dell’eccentricità: “In this way C approaches 0 as 1/ increases from 0° toward 90°” - (fr:4273). La struttura geometrica include il concetto di “mean apogee” (punto H), dal quale “is measured the mean anomaly ’Y” - (fr:4275).

Una contraddizione fondamentale emerge quando si considera il diametro apparente lunare: “This obviously means that the apparent diameter of the moon itself should reach almost twice its mean value which is very definitely not the case” - (fr:4276). Questo discrepanza tra teoria e osservazione rappresenta un punto critico della teoria tolemaica.

Copernico identificò esplicitamente questo problema: “Copernicus pointed to the obvious discrepancy between Ptolemy’s lunar model and the observable parallaxes and proposed another model which would keep the eenter C of the epicycle at mean distance but would nevertheless increase the moon’s distance from C at quadratures” - (fr:4279). Nel modello copernicano, “thus reaching for ’1/ = 90 a distance r + s from C” - (fr:4280), con parametri specifici che producevano risultati non sostanzialmente diversi dal modello semplice.

Un aspetto rilevante della storia della scienza è che “Only recently has it been discovered that the same method for the correction of Ptolemy’s lunar model was used about 200 years before Copernicus by ibn ash-Shitir” - (fr:4282), evidenziando come soluzioni simili fossero sviluppate indipendentemente nell’astronomia islamica.

Il procedimento computazionale per determinare la longitudine lunare utilizza le tabelle dell’Almagesto e impiega la doppia elongazione (2ψ) come variabile funzionale - (fr:4284). Il calcolo finale della longitudine vera segue una procedura condizionata: “c. and hence for the true longitude A= A-” if y’< 180 or 1 = 1 + ” if ,,’> 180” - (fr:4288).

L’importanza storica di questa discussione risiede nel fatto che “the attitude toward a glaring defect of the theory is very revealing and has repercussions in Islamic astronomy and in the work of Copernicus; finally the method by which this inequality of the lunar motion was accounted for influenced also the planetary theory, both of Ptolemy and Copernicus” - (fr:4270), dimostrando come le soluzioni ai problemi lunari si propagassero nella teoria planetaria successiva.

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45 La proiezione stereografica e le applicazioni astronomiche della geometria greca

Dalle determinazioni del ciclo diurno ai sistemi di cartografia: il ruolo della matematica greca nella risoluzione di problemi astronomici e geografici.

Il testo affronta l’applicazione della teoria matematica greca, in particolare della geometria delle sezioni coniche, a problemi di astronomia pratica e cartografia. L’analisi si articola attorno a due ambiti principali: la determinazione dei tempi di levata degli astri e la rappresentazione della sfera terrestre su un piano.

45.1 La determinazione della lunghezza del giorno

Il trattato inizia con un esempio concreto tratto da un’opera astronomica antica: “the Siirya Siddhinta (II, 60/63) determines the length of daylight as follows” - (fr:4486). La metodologia impiegata utilizza funzioni trigonometriche secondo la convenzione hindu, dove “Sin 6 = R sin 6” - (fr:4487) [Sin 6 = R sin 6], e il risultato finale è espresso nella formula “the length of daylight is given by 180 + 2fX degrees” - (fr:4488) [la lunghezza del giorno è data da 180 + 2fX gradi].

45.2 Il problema dello gnomone e la teoria delle meridiane

Un elemento centrale è il problema della meridiana nella sua forma più elementare. “The problem itself concerns the theory of sun-dials in the simplest form of a vertical ‘gnomon’” - (fr:4491) [Il problema riguarda la teoria delle meridiane nella forma più semplice di uno “gnomone” verticale]. La soluzione geometrica si basa su un sistema di assi ortogonali e sulla costruzione di piani passanti attraverso un punto X e uno degli assi. Cruciale è l’identificazione dei punti significativi: “If DB is perpendicular to ABC, then D represents the point of sunrise, A the point of culmination for the given day” - (fr:4502) [Se DB è perpendicolare ad ABC, allora D rappresenta il punto di levata, A il punto di culminazione per il giorno dato].

45.3 La proiezione stereografica e le sezioni coniche

Il testo evidenzia come la teoria delle sezioni coniche di Apollonio trovasse applicazione astronomica concreta. “In another ease the astronomical use of the theory of conic sections is almost certain, that is, the proof of the fact that stereographic projection maps circles on the sphere into circles in the plane” - (fr:4511) [In un altro caso l’uso astronomico della teoria delle sezioni coniche è quasi certo, cioè la dimostrazione del fatto che la proiezione stereografica trasforma i cerchi sulla sfera in cerchi nel piano]. Una proprietà geometrica fondamentale è che “there exist on every oblique circular cone two families of circular sections” - (fr:4512) [esistono su ogni cono circolare obliquo due famiglie di sezioni circolari].

L’applicazione pratica consiste nella “determination of the centers and radii of the circles which are the images of circles on the celestial sphere when projected from the south pole onto the plane of the equator” - (fr:4514) [determinazione dei centri e dei raggi dei cerchi che sono le immagini dei cerchi sulla sfera celeste quando proiettati dal polo sud sul piano dell’equatore].

45.4 Dispositivi pratici e costruzioni geometriche

Un aspetto rilevante è la materializzazione di questi calcoli in strumenti concreti. “These circles are to be engraved on a plate of metal or stone or-in a cheaper model painted in black or red on a wooden disk” - (fr:4506) [Questi cerchi devono essere incisi su una piastra di metallo o pietra o, in un modello più economico, dipinti in nero o rosso su un disco di legno]. Il procedimento prevedeva anche la copertura con cera per permettere l’aggiunta di linee supplementari: “The plate is then covered with wax so that additional lines which depend on the special values of A and fJ can be easily drawn” - (fr:4507) [La piastra è quindi ricoperta di cera in modo che linee aggiuntive che dipendono dai valori speciali di A e fJ possono essere facilmente disegnate].

45.5 La cartografia tolemaica e i sistemi di proiezione

Il testo estende l’analisi al campo della cartografia, dove il problema della rappresentazione della sfera su un piano assume carattere geografico. Tolomeo sviluppò diversi sistemi proiettivi: “Two belong to the general class of conic projections, the third is a perspective representation of the terrestrial globe” - (fr:4526) [Due appartengono alla classe generale delle proiezioni coniche, la terza è una rappresentazione prospettica del globo terrestre].

La mappa di Marino di Tiro presentava proprietà specifiche: “the map of Marinus preserves distances on all meridians and on the parallel of Rhodes” - (fr:4525) [la mappa di Marino preserva le distanze su tutti i meridiani e sul parallelo di Rodi].

45.6 Le costruzioni di Tolomeo e il compromesso tra rigore e rappresentazione

Un elemento critico emerge nella seconda costruzione tolemaica, dove “mathematical consistency was sacrificed to implausible appearance” - (fr:4533) [la coerenza matematica è stata sacrificata all’apparenza implausibile]. Tolomeo infatti richiedeva che “the radial distances correctly reflect latitudinal differences though the radii no longer represent meridians (except for the central meridian L = 0)” - (fr:4534) [le distanze radiali riflettessero correttamente le differenze latitudinali sebbene i raggi non rappresentassero più i meridiani (eccetto per il meridiano centrale L = 0)].

Una soluzione pragmatica fu l’approssimazione delle curve trascendentali: “the curves L = const are transcendental curves but Ptolemy replaces them by the circle arc which is determined by the three points (L, 9’,)” - (fr:4539) [le curve L = const sono curve trascendentali ma Tolomeo le sostituisce con l’arco di cerchio determinato dai tre punti (L, 9’,)].

45.7 Il significato storico della continuità matematica

Il testo conclude con un’osservazione di portata storiografica: “The history of mathematics provides good illustrations for the fact that continuity of tradition alone is not sufficient to keep a scientific field alive” - (fr:4544) [La storia della matematica fornisce buone illustrazioni del fatto che la continuità della tradizione da sola non è sufficiente per mantenere vivo un campo scientifico]. Questo suggerisce che la sopravvivenza della conoscenza matematica dipende non solo dalla trasmissione teorica, ma dalla sua applicazione pratica e dalla rinnovata motivazione a risolvere problemi concreti.

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46 La proiezione stereografica e i metodi cartografici di Tolomeo

Un’analisi dei procedimenti matematici e geometrici utilizzati nell’antichità greca per la rappresentazione planare della sfera celeste e terrestre.

Il testo affronta i metodi sofisticati sviluppati da Tolomeo per risolvere il problema della rappresentazione bidimensionale di coordinate sferiche, un’esigenza centrale sia per l’astronomia che per la cartografia antica. La trattazione rivela come la matematica greca abbia affrontato questioni geometriche complesse ben oltre i “problemi classici” comunemente associati a questa tradizione.

46.1 Il problema fondamentale e l’approccio metodologico

“Mathematically the problem consists in defining proper spherical coordinates for the position of the sun at a given moment for a given geographical latitude and then to find graphically in a plane the arcs which represent these coordinates” - (fr:4550) [Il problema matematico consiste nel definire coordinate sferiche appropriate per la posizione del sole in un dato momento per una data latitudine geografica e quindi trovare graficamente in un piano gli archi che rappresentano queste coordinate].

Il procedimento richiede l’uso simultaneo di piani di riferimento ortogonali. “In order to determine these quantities the plane of the equator is used simultaneously as plane of mapping and as plane of construction orthogonal to it” - (fr:4573) [Per determinare queste quantità il piano dell’equatore è utilizzato simultaneamente come piano di mappatura e come piano di costruzione ortogonale ad esso].

46.2 La proiezione stereografica e le sue proprietà

Un elemento peculiare è l’utilizzo della proiezione stereografica, una tecnica che preserva i cerchi. “the circle-preserving quality of stereographic projection is commonly used in the treatises on the astrolabe and in Ptolemy’s ’Planisphaeriumttl” - (fr:4571) [la qualità di preservazione dei cerchi della proiezione stereografica è comunemente usata nei trattati sull’astrolabio e nel ‘Planisferio’ di Tolomeo]. Significativamente, “Since the method of stereographic projection precedes in all probability the invention of spherical trigonometry one sees here another way of finding the answer to problems which later were solved directly from spherical triangles” - (fr:4581) [Poiché il metodo della proiezione stereografica precede con ogni probabilità l’invenzione della trigonometria sferica, si vede qui un altro modo di trovare la risposta a problemi che successivamente furono risolti direttamente dai triangoli sferici]. Questo rappresenta un aspetto storico rilevante: la proiezione stereografica costituiva un’alternativa metodologica alla trigonometria sferica non ancora sviluppata.

46.3 I metodi cartografici di Tolomeo

Tolomeo sviluppò tre distinti metodi di proiezione cartografica. Nel primo metodo, “All meridians are mapped on radii” - (fr:4587) [Tutti i meridiani sono mappati su raggi], e le distanze sono preservate solo lungo il parallelo di Rodi. Il valore della costante di correzione è determinato dalla condizione che “c = 25 and thus to the values of r = fJ + 25 for each latitude” - (fr:4590) [c = 25 e quindi ai valori di r = fJ + 25 per ogni latitudine].

Nel secondo metodo, Tolomeo introduce una correzione arbitraria: “In order to avoid the distortions in longitude on the southern boundary, Ptolemy arbitrarily changes the mapping south of the equator by dividing tPZX in segments of a length as they would have had at the latitude 16;25 north of the equator” - (fr:4591) [Per evitare le distorsioni in longitudine al confine meridionale, Tolomeo cambia arbitrariamente la mappatura a sud dell’equatore dividendo tPZX in segmenti di una lunghezza come avrebbero avuto alla latitudine 16;25 a nord dell’equatore]. Questo metodo preserva le lunghezze su tre paralleli specifici: Tule (63°), Siene sul Tropico del Cancro (23;50°) e Anti-Meroe (−16;25°).

46.4 Un’anomalia metodologica

Il testo segnala un’eccezione significativa nella pratica tolemaica. “It is more a book illustration than a real map which is described here, and is the only case in all of Ptolemy’s writings where he displays an inconsistent and totally useless construction, thus foreshadowing the taste of the Middle Ages” - (fr:4602) [È più un’illustrazione di libro che una vera mappa quella descritta qui, ed è l’unico caso in tutti gli scritti di Tolomeo dove egli mostra una costruzione incoerente e totalmente inutile, preannunciando così il gusto del Medioevo]. Questo giudizio critico rivela come Tolomeo stesso non fosse sempre coerente nei suoi metodi, e come questa incoerenza rappresentasse un’anomalia rispetto al rigore matematico che caratterizzava il resto della sua opera.

46.5 Significato storico

Il testo documenta come la matematica greca affrontasse problemi di proiezione e rappresentazione cartografica con sofisticazione teorica. “This is a good illustration of the fact that ‘Greek’ mathematics was by no means rigidly restricted to some ‘classical’ problems, as so many modern authors seem to believe” - (fr:4567) [Questo è un buon esempio del fatto che la matematica ‘greca’ non era affatto rigidamente limitata ad alcuni ‘problemi classici’, come molti autori moderni sembrano credere]. La ricerca tolemaica rappresenta quindi una testimonianza della versatilità e dell’applicabilità pratica della geometria antica, anticipando metodologie che sarebbero state riprese solo in epoca moderna.

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47 Il metodo dell’Analemma e le proiezioni cartografiche di Tolomeo

Dalla geometria descrittiva alla rappresentazione sistematica della sfera celeste e della Terra.

Il testo illustra come Tolomeo sviluppò tecniche sofisticate per risolvere problemi di geometria sferica attraverso l’applicazione della trigonometria piana a piani opportunamente scelti. “L’approccio di cui sopra alla soluzione di problemi di geometria sferica per mezzo della trigonometria piana applicata a piani opportunamente scelti è sistematicamente ampliato nella teoria dell’Analemma, un metodo che potremmo classificare sotto la geometria descrittiva” - (fr:4606). Questo metodo rappresenta un’innovazione significativa nel trattamento matematico dei fenomeni celesti, combinando rigore geometrico e applicazione pratica.

La costruzione del sistema di coordinate celesti

Tolomeo perfezionò un sistema già noto dai suoi predecessori, tra cui “Vitruvio, l’architetto romano sotto Augusto, e Erone, che scrisse circa 70 anni prima di Tolomeo” - (fr:4607). Il metodo si basa sulla considerazione di un ottante della sfera celeste delimitato da tre piani: l’orizzonte, il meridiano e la verticale. “Il centro della sfera è l’osservatore, l’asse verticale lo gnomone” - (fr:4609). Attraverso questa configurazione, Tolomeo costruisce sei angoli che permettono di definire univocamente la posizione di qualsiasi punto sulla sfera celeste. Sebbene “ogni coppia (X₁,X₂) o (X₁,X₃) o (X₂,X₃) potrebbe essere usata per definire la posizione di X” - (fr:4611), “Tolomeo non tollerava definizioni così ineleganti” - (fr:4612), preferendo un approccio più sistematico.

La procedura nomografica per la determinazione degli angoli

Un aspetto cruciale del metodo riguarda la costruzione pratica di questi angoli. “Si costruisce la traccia ABC del piano del cerchio parallelo percorso nel giorno dato e si ruota questo piano nel piano del meridiano” - (fr:4618). Successivamente, “si costruisce XF perpendicolare ad AB e si fa FG = FX” - (fr:4619), determinando così la posizione del sole nel piano del meridiano. Questo procedimento consente “di determinare gli angoli in questione per mezzo di una procedura che è ora chiamata nomografica” - (fr:4624). Tale metodo rappresenta una forma primitiva di calcolo grafico, precursore dell’astrolabio: “questo lavoro di Tolomeo è un altro esempio della combinazione di geometria descrittiva e metodi trigonometrici” - (fr:4629), che “condusse allo strumento successivamente noto come astrolabio” - (fr:4630).

Le sezioni coniche e la teoria dei quadranti solari

Un elemento peculiare del trattato riguarda il ruolo delle sezioni coniche. “Nell’antichità le sezioni coniche sono necessarie per la teoria dei quadranti solari e ho congetturato che lo studio di queste curve sia originato proprio da questo problema” - (fr:4627). Questo collegamento tra geometria pura e applicazione pratica evidenzia come la ricerca matematica antica fosse motivata da esigenze concrete di misurazione e osservazione.

Le proiezioni cartografiche per la rappresentazione della Terra

Nel primo libro della sua Geografia, Tolomeo affronta il problema della rappresentazione planare della Terra. Egli assume che “la parte abitata della terra, l’oikoumene, si estenda entro 63° di latitudine nord (Thule) e 16;25° di latitudine sud (Anti-Meroe)” - (fr:4643). Le proiezioni proposte sono “molto più sofisticate” - (fr:4642) rispetto ai metodi precedenti.

La prima proiezione conica utilizza coordinate polari, con “tutti i paralleli di latitudine su cerchi r = cost” - (fr:4645). Tolomeo impone tre condizioni: che i meridiani siano rappresentati come rette passanti per un polo, che il rapporto delle lunghezze sul parallelo di Thule e sull’equatore sia preservato, e che “la spaziatura dei meridiani sia ovunque la stessa come a una latitudine per cui cos φ = ⅓. Questo è soddisfatto con sufficiente accuratezza per φ = 36°, la latitudine di Rodi” - (fr:4641).

Una seconda proiezione fu sviluppata per rimediare ai difetti della prima. “La discontinuità nella direzione dei meridiani all’equatore gli sembrò meno dannosa dell’ingrandimento dell’immagine oltre la lunghezza dell’equatore” - (fr:4649). Tuttavia, “una seconda proiezione conica fu ideata per rimediare a questo difetto e per ottenere una rappresentazione più vicina all’impressione di meridiani gradualmente curvi” - (fr:4650).

Precisione e approssimazione nelle rappresentazioni

Un aspetto rilevante è il riconoscimento tolemaico dei limiti della rappresentazione. Sebbene la proiezione non soddisfi perfettamente le condizioni teoriche per tutti i valori di latitudine, “è in realtà un’approssimazione straordinariamente buona, entro l’area -16;25° < φ < 63° e -90° < L < 90° che contiene l’oikoumene” - (fr:4656). Questo dimostra una consapevolezza pragmatica del compromesso tra rigore matematico e utilità pratica della rappresentazione.

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48 Il problema di Snellius-Pothenot e la sua distinzione dal problema di Tolomeo

Chiarimento storico sulla confusione tra due problemi geometrici classici e sulla corretta attribuzione delle loro caratteristiche distintive.

Il problema noto come Snellius-Pothenot rappresenta un tema centrale nella storia della geometria applicata. “Mentioned on p. 210, is known as the Snellius-Pothenot problem” - (fr:4692). La soluzione di questo problema è stata fornita da W. Snellius nella sua opera fondamentale: “It was solved by W. Snellius in his ‘Eratosthenes Batavus’ Leiden 1617 p. 203 f.” - (fr:4693).

Un aspetto rilevante riguarda una confusione storiografica che si era consolidata nella letteratura scientifica. J.A.C. Oudemans aveva infatti sostenuto che “Ptolemy’s problem was identical with the problem of Snellius” - (fr:4693), affermazione pubblicata in una rivista specializzata nel Tuttavia, questa identificazione risulta errata: “This, however, is not the case” - (fr:4694).

La distinzione cruciale risiede nei dati iniziali di ciascun problema. “Ptolemy assumes as given 8 b , and ~, ~I and R whereas Snellius knows beyond 8 1 and all three sides ’10 SS, Sa of the triangle” - (fr:4695). In altre parole, Tolomeo parte da un insieme di parametri diverso rispetto a Snellius, il quale dispone della conoscenza completa dei tre lati del triangolo.

La questione è stata successivamente approfondita da altri studiosi, in particolare da Delambre e Tropfke, che hanno contribuito a chiarire la natura e le implicazioni di entrambi i problemi nella storia della matematica antica e moderna.

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