N. Piskunov - Differential And Integral Calculus 1969 | A | 10d
1 Concetti e proprietà delle funzioni e degli integrali
Definizioni e relazioni fondamentali nell’analisi matematica, comprendenti funzioni, loro rappresentazioni, proprietà e operazioni di integrazione.
Sommario
L’argomento tratta le definizioni e le proprietà delle funzioni matematiche. Vengono presentate diverse categorie di funzioni: “funzioni algebriche”, “funzioni razionali fratte”, “funzioni trascendenti”, “funzioni trigonometriche”, “funzioni logaritmiche”, “funzioni esponenziali” e “funzioni iperboliche”. Sono descritte le loro rappresentazioni, incluso il “grafico” e la “rappresentazione analitica”. Vengono introdotti concetti di continuità e limitatezza, come “funzione continua” e “funzione limitata”, e concetti di variazione, come “funzione crescente” e “funzione decrescente”. Un tema minore è il concetto di “funzione infinitesima” e il confronto tra infinitesimi, come “infinitesimo di ordine superiore” e “infinitesimi equivalenti”. L’operazione di integrazione è centrale, con la definizione di “integrale indefinito” come “antiderivata” e “integrale definito” come limite di una “somma integrale”. Viene stabilita la connessione fondamentale tra derivazione e integrazione attraverso la “formula di Newton-Leibniz”, che afferma che “l’integrale definito di una funzione continua è uguale alla differenza dei valori di una sua primitiva agli estremi dell’intervallo di integrazione”. Sono discussi metodi di integrazione come “integrazione per parti” e “integrazione per sostituzione”. Vengono anche menzionati integrali speciali, come “l’integrale ellittico” e “l’integrale di Poisson”.
2 Analisi delle funzioni: derivate, estremi e studio del comportamento
Definizione e applicazione del calcolo differenziale per lo studio delle proprietà delle funzioni, con particolare attenzione alla determinazione dei punti critici, al loro carattere e alle tecniche di ottimizzazione.
Sommario
L’argomento tratta il calcolo delle derivate e il loro utilizzo per investigare il comportamento delle funzioni. Viene descritta la procedura per trovare la derivata di una funzione, che comprende quattro operazioni: “calcolare il valore incrementato della funzione”; “trovare il corrispondente incremento della funzione”; “formare il rapporto dell’incremento della funzione con l’incremento dell’argomento”; e infine “trovare il limite di questo rapporto”. Viene esaminata la caratterizzazione dei punti critici attraverso lo studio del segno della derivata prima, dove un cambiamento da positivo a negativo indica un massimo, mentre un cambiamento da negativo a positivo indica un minimo. Nei casi in cui la derivata prima è nulla, si utilizza la derivata seconda per determinare la natura del punto critico. Tuttavia, “se in un punto critico x = x₁ abbiamo f’(x₁)=0 e f’’(x₁)=0, allora in questo punto la funzione f(x) può avere sia un massimo che un minimo o nessuno dei due”. Il piano generale per investigare una funzione include la ricerca del “dominio naturale della funzione”; “i punti di discontinuità della funzione”; “gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione”; “il punto di massimo e il punto di minimo”; “le regioni di convessità e concavità del grafico, e i punti di flesso”; e “gli asintoti del grafico della funzione”. L’argomento si estende anche alle funzioni di più variabili, affrontando il problema di trovare “i massimi e i minimi di una funzione di n variabili” quando le variabili sono connesse da equazioni vincolari, noto come problema degli estremi condizionati. Vengono menzionate le funzioni iperboliche, definite come “sinh x = (eˣ—e⁻ˣ)/2” e “cosh x = (eˣ+e⁻ˣ)/2”, e le loro proprietà, come l’identità “cosh²x—sinh²x = 1”. Un tema minore è la differenziazione delle funzioni implicite, dove la derivata può essere trovata senza “trasformarla in una esplicita, cioè senza rappresentarla nella forma y = f(x)”.
3 Variabili, Limiti e Funzioni
Definizioni fondamentali di variabile, limite e funzione nell’analisi matematica.
Sommario
Un argomento è definito da concetti di variabile ordinata, dove “di due valori è possibile dire quale è il precedente e quale è il seguente” (472). Una variabile è limitata se esiste una costante M>0 tale che tutti i valori successivi, dopo un certo punto, soddisfano |x|<M, ovvero appartengono a un intervallo [-M, M] (485). Una variabile approccia un limite, un numero costante a, se per ogni numero positivo arbitrariamente piccolo ε è possibile indicare un valore della variabile tale che tutti i valori successivi soddisfano |x-a|<ε (815, 816). Una variabile è infinitamente grande se, per un M>0 arbitrario, tutti i suoi valori, iniziando da un certo punto, sono, in valore assoluto, maggiori di M; essa approccia l’infinito, x→∞, se per ogni M>0 tutti i valori successivi soddisfano |x|>M (849, 852). Una funzione y=f(x) è una relazione dove a ogni valore della variabile x corrisponde un valore definito di un’altra variabile y (497). Il limite di una funzione f(x) quando x tende ad a è b se, per ogni ε>0, esiste un δ>0 tale che per tutti gli x, diversi da a, che soddisfano |x-a|<δ, si ha |f(x)-b|<ε (862). Una funzione è continua in un punto se un incremento infinitesimo dell’argomento porta a un incremento infinitesimo della funzione (1241). Una funzione ha un massimo in un punto se il valore della funzione in quel punto è maggiore dei suoi valori in tutti i punti di un certo intervallo contenente il punto; similmente per un minimo (3197, 3199). Vengono inoltre trattati infinitesimi, il confronto tra infinitesimi, e il limite di un rapporto di infinitesimi o di quantità infinitamente grandi (1342, 1361, 1363, 2910).
4 Calcolo differenziale e integrale di funzioni trigonometriche e iperboliche
Analisi di funzioni trigonometriche inverse, proprietà di limiti e derivate, e tecniche di integrazione.
4.1
Derivazione di funzioni trigonometriche inverse, risoluzione di forme indeterminate, integrazione di funzioni trigonometriche e iperboliche, applicazione della regola di de l’Hôpital e studio di serie.
La derivata della funzione arcotangente è “1/(1+x²)” e della funzione arcoseno è “1/√(1−x²)”. La regola di de l’Hôpital è applicata a limiti come “limite per x→0 di (eˣ - e⁻ˣ - 2x)/(x - sin x)” e “limite per x→∞ di xⁿ/eˣ”. L’integrazione include “∫tan x dx = −ln|cos x| + C” e “∫cot x dx = ln|sin x| + C”. Sono presenti identità trigonometriche come “sin x = √(1 - cos² x)” e “tan(φ−θ) = (tan φ - tan θ)/(1 + tan φ tan θ)”. Vengono esaminate serie come “∑(sin nα)/n” e “∑(sin(2p+1)x)/(2p+1)”. Le coordinate sferiche sono definite da “x = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos φ”. Il differenziale totale per una funzione di più variabili è “du = (∂u/∂x) dx + (∂u/∂y) dy + (∂u/∂z) dz”.
5 Teoremi e proprietà delle funzioni derivabili
Condizioni e limitazioni dei teoremi fondamentali del calcolo differenziale
Sommario
L’argomento tratta dei teoremi fondamentali sulle funzioni derivabili, in particolare del teorema di Rolle e del teorema di Cauchy, specificandone le ipotesi necessarie e le conseguenze in caso di loro mancato soddisfacimento. Viene esaminata l’esistenza di punti critici, come quelli in cui la derivata si annulla o non esiste, e il loro ruolo nell’identificazione di massimi, minimi e flessi. Vengono inoltre discusse le proprietà di convessità e concavità di una curva in relazione al segno della derivata seconda. “Se una funzione f(x) è continua su un intervallo [a, b] e è derivabile in tutti i punti interni di questo intervallo, e si annulla [f(a) = f(b) = 0] nei punti estremi x = a e x = b, allora all’interno di [a, b] esiste almeno un punto x = c, a < c < b, in cui la derivata f’(x) si annulla”. Tuttavia, “se la funzione /(x) è ’tale che la derivata non esiste in tutti i punti all’interno dell’intervallo [a, b], l’asserzione del teorema può rivelarsi errata”. Un punto di flesso separa “la parte convessa di una curva continua dalla parte concava”. I valori dell’argomento per i quali la derivata si annulla o è discontinua sono chiamati punti critici. “Una funzione può avere un estremo solo in due casi: o in punti dove la derivata esiste ed è zero; o in punti dove la derivata non esiste”. Viene anche affrontato il caso in cui “le funzioni f(x) o φ(x) non sono definite per x = a, ma lim f(x) = 0, lim φ(x) = 0”. Viene infine menzionata l’esistenza e l’unicità della funzione inversa e la sua derivata quando “esiste una funzione inversa x = φ(y) che nel punto in esame y ha una derivata φ’(y) non nulla”.
6 Geometria differenziale di curve e superfici
Definizioni e proprietà delle linee curve, dei loro elementi caratteristici e delle superfici, con applicazioni al calcolo di volumi, aree e momenti.
Sommario
L’argomento tratta la definizione e lo studio di enti geometrici come curve e superfici. Viene introdotta la “curvatura di una linea in un punto” come limite del rapporto tra l’angolo di rotazione della tangente e la lunghezza dell’arco. Il suo reciproco è il “raggio di curvatura”. Viene definito il “cerchio di curvatura”, il cui centro è il “centro di curvatura”, e la cui costruzione prevede di “tracciare una normale, nel punto M, a una curva nella direzione della concavità della curva, e riportare un segmento MC uguale al raggio R della curvatura della curva nel punto M”. L’evoluta di una curva è il luogo dei suoi centri di curvatura. Viene esaminata la relazione tra una curva e la sua evoluta, dove “la normale a una curva è la tangente all’evoluta”. Per le curve nello spazio, si introduce il “piano osculatore”, definito come il “piano passante per la linea tangente e la normale principale a una data curva nel punto A”. Viene inoltre definita la “retta che ha la stessa direzione del vettore e passa per il punto corrispondente della curva è chiamata la normale principale della curva nel punto dato”. Per le superfici, si definisce il “piano tangente alla superficie nel punto P” come il “piano in cui giacciono tutte le linee tangenti alle linee sulla superficie passanti per il dato punto P” e la “retta tracciata attraverso il punto P(x, y, z) della superficie (1) perpendicolare al piano tangente è chiamata la normale alla superficie”. Un tema minore riguarda il calcolo di proprietà fisiche e geometriche di solidi, come “calcolare le coordinate del centro di gravità di un solido” o “calcolare il momento d’inerzia”, utilizzando spesso sistemi di coordinate curvilinee (polari, cilindriche, sferiche) per “dividere questa regione V in elementi di volume”. Un altro tema minore concerne la determinazione di curve specifiche che soddisfano determinate condizioni geometriche, come trovare “una curva in cui il segmento staccato sull’asse y da una normale tracciata in un punto della curva è uguale alla distanza di questo punto dall’origine” o dove “la tangente dell’angolo tra il raggio vettore e la linea tangente è uguale al reciproco del raggio vettore con segno invertito”.
7 Fondamenti di Meccanica e Calcolo delle Variazioni
Dinamica del punto materiale e sistemi oscillanti con applicazioni ai fluidi e ai campi vettoriali.
Sommario L’argomento tratta il moto di un punto materiale, definendo la velocità istantanea come “il limite dell’ampiezza media quando l’incremento del tempo si avvicina a zero”. Viene esaminato il moto rettilineo, dove “la distanza s del punto mobile… sarà una funzione del tempo t: s = f(t)”. La descrizione del moto si estende ai casi in cui agiscono forze variabili, come la resistenza del mezzo, proporzionale alla velocità, e la forza di gravità. Un tema minore è lo studio delle oscillazioni meccaniche ed elettriche, descritte da equazioni differenziali: per i sistemi meccanici, “le oscillazioni di un punto materiale di massa m sono descritte dall’equazione” che include una forza di resistenza e una forza esterna. Un altro tema minore riguarda il flusso dei liquidi, dove “il vettore F è il vettore velocità di un liquido” e si calcola la portata. Viene considerato anche il calcolo del lavoro compiuto da forze variabili lungo un percorso, utilizzando il concetto di integrale di linea. Inoltre, sono presenti applicazioni ai campi vettoriali, come il campo potenziale, dove “il vettore F è il gradiente di una qualche funzione scalare”.
8
- Classificazione e metodi di soluzione delle equazioni differenziali ordinarie
Tipologie e procedure risolutive per equazioni differenziali ordinarie lineari e non, a ordine singolo o multiplo, con particolare attenzione alle equazioni a coefficienti costanti.
Il sommario tratta le equazioni differenziali ordinarie, distinguendo tra equazioni del primo ordine, come quelle “a variabili separabili” o “esatte”, ed equazioni lineari di ordine superiore. Vengono descritti i metodi risolutivi per le equazioni lineari omogenee e non omogenee a coefficienti costanti, che prevedono la determinazione delle radici di un’“equazione ausiliaria” o “equazione caratteristica”. Per le equazioni non omogenee, si illustra il metodo di ricerca di una soluzione particolare, ad esempio quando “il secondo membro dell’equazione differenziale è della forma / (x) = P (x) e^αx”, specificando che “se α non è una radice dell’equazione ausiliaria, allora la soluzione particolare può essere cercata nella forma y* = Q (x) e^αx”. Viene menzionato anche il “metodo di variazione delle costanti arbitrarie”. Un altro tema minore è lo studio dei sistemi di equazioni differenziali, per i quali “il problema di integrare un’equazione di ordine superiore e sistemi di equazioni di ordine superiore in molti casi si riduce a un sistema di equazioni del primo ordine”. Infine, si accenna al concetto di “soluzione generale”, che “dipende da n costanti arbitrarie”, e alle “condizioni iniziali” per determinare una soluzione particolare.
9 Serie numeriche e di funzioni: convergenza assoluta, condizionata e proprietà
Un’analisi dei criteri e delle proprietà che determinano il comportamento delle serie, con particolare attenzione alle serie a segni alterni, alle serie di potenze e alle serie di Fourier.
Sommario Le serie numeriche sono definite tramite il concetto di somma parziale e di limite di tali somme. “Se esiste un limite finito s = lim sₙ, esso è chiamato somma della serie e diciamo che la serie converge”. Una condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza è che “il termine n-esimo tenda a zero per n→∞”. Le serie a termini positivi possono essere analizzate con diversi criteri, come il criterio del rapporto di d’Alembert: “se il rapporto uₙ₊₁/uₙ tende a un limite L, allora la serie converge per L < 1 e diverge per L > 1”. Un altro strumento è il confronto con un integrale improprio: se l’integrale converge, converge anche la serie, e viceversa. Le serie a segni alterni, della forma u₁ - u₂ + u₃ - u₄ + …, soggette al teorema di Leibniz, convergono se “i termini uₙ sono positivi, decrescenti e tendono a zero”. Per le serie a segni arbitrari, si introduce il concetto di convergenza assoluta: una serie “è chiamata assolutamente convergente se una serie costituita dai valori assoluti dei suoi termini converge”. Se una serie converge ma non assolutamente, “allora la serie alternata data è chiamata serie condizionatamente convergente”. Un esempio fondamentale è la serie armonica alternata, che è condizionatamente convergente poiché “una serie composta dai valori assoluti dei suoi termini è una serie armonica, 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …, che diverge”. Le serie assolutamente convergenti godono di proprietà robuste, come il fatto che “ogni serie assolutamente convergente è una serie convergente” e che “se una serie converge assolutamente, rimane assolutamente convergente per qualsiasi riordinamento dei suoi termini”. Al contrario, le serie condizionatamente convergenti hanno un comportamento instabile: “se una serie converge condizionatamente, allora non importa quale numero A è dato, i termini di questa serie possono essere riordinati in modo tale che la sua somma sia esattamente uguale ad A”. Questo è illustrato da un esempio esplicito in cui, riordinando gli termini della serie armonica alternata, “la somma della serie cambiò dopo che i suoi termini furono riordinati (diminuì di un fattore 2)”. Lo studio si estende alle serie di funzioni, il cui “insieme di tutti quei valori di x per i quali la serie funzionale converge è chiamato dominio di convergenza della serie”. Una classe importante è quella delle serie di potenze, il cui “dominio di convergenza di una serie di potenze è un intervallo da -R a +R tale che per qualsiasi punto x che giace all’interno di questo intervallo, la serie converge assolutamente”. Per le serie di funzioni, la convergenza uniforme è una proprietà cruciale che garantisce la continuità della funzione somma e permette l’integrazione e la derivazione termine a termine. Una serie di funzioni “è chiamata dominata in un certo intervallo di x se esiste una serie numerica convergente a termini positivi tale che per tutti i valori di x da questo intervallo” il valore assoluto di ogni termine della serie funzionale è maggiorato dal corrispondente termine della serie numerica. Se una serie di funzioni è dominata e i suoi termini hanno derivate continue, allora “la somma della serie delle derivate è uguale alla derivata della somma della serie originale”. Un’applicazione significativa sono le serie di Fourier, utilizzate per rappresentare funzioni periodiche. “I coefficienti determinati dalle formule sono chiamati coefficienti di Fourier della funzione f(x), e la serie trigonometrica con tali coefficienti è chiamata una serie di Fourier della funzione f(x)”. Un teorema fondamentale afferma che “se una funzione periodica f(x) con periodo 2π è monotona a tratti e limitata sull’intervallo [-π, π], allora la serie di Fourier costruita per questa funzione converge in tutti i punti”. In particolare, “in tutti i punti dell’intervallo [a, b] (ad eccezione dei punti di discontinuità) la somma di questa serie coincide con la funzione data f(x)”. Le proprietà di simmetria della funzione (pari o dispari) si riflettono nella sua serie di Fourier: “la serie di Fourier di una funzione pari contiene ‘solo coseni’”, mentre “la serie di Fourier di una funzione dispari contiene ‘solo seni’”.
10 Derivate e integrali di funzioni definite implicitamente, in forma parametrica e di funzioni composte
Metodi di differenziazione e integrazione per funzioni non esplicitamente definite, con applicazioni a equazioni differenziali e calcolo vettoriale.
Sommario
L’argomento tratta delle procedure per determinare le derivate di funzioni definite implicitamente da equazioni, come “derivare, rispetto a x, tutti i termini dell’equazione e ricordare che y è una funzione di x: da questo otteniamo” (2137). Viene esaminata la differenziazione di funzioni espresse in forma parametrica, dove “la derivata di una funzione rappresentata parametricamente” si calcola senza dover trovare l’espressione diretta di y in funzione di x (2003). Sono incluse le derivate di funzioni composte, riassunte nella regola per cui “la derivata di una funzione composta è uguale al prodotto della derivata della funzione data rispetto all’argomento intermedio u per la derivata dell’argomento intermedio rispetto a x” (1687). Vengono presentate le derivate parziali, definite come “la derivata parziale della funzione z = f(x, y) rispetto a x è la derivata rispetto a x calcolata partendo dal presupposto che y è costante” (4492). L’argomento si estende alle derivate di ordine superiore, dove “la derivata di una derivata del primo ordine è chiamata derivata del secondo ordine o la seconda derivata della funzione originale” (2096). Sono discussi i differenziali esatti, con la condizione che “il lato sinistro di (1) è un differenziale esatto di qualche funzione u(x, y)” (7125). Vengono introdotti i metodi per risolvere equazioni differenziali, comprese le equazioni lineari, dove “moltiplicando i termini della prima, seconda, …, e infine della seconda all’ultima equazione per a_n, a_{n-1}, …, a_1, rispettivamente, e sommando, otteniamo” una soluzione particolare (7821). È trattato l’uso delle trasformate di Laplace per formare “l’equazione ausiliaria, o l’equazione della trasformata” (10367). Sono inclusi metodi di integrazione approssimata, come la regola di Simpson, dove “aggiungendo i lati sinistro e destro, otteniamo (a sinistra) l’integrale cercato e (a destra) il suo valore approssimativo” (5941). Vengono menzionati temi minori come il calcolo vettoriale, con le “formule di Serret-Frenet” (5270), e le applicazioni a problemi fisici come le oscillazioni, dove “se la forza esterna f(t) = 0, il che significa che se abbiamo oscillazioni meccaniche o elettriche libere, allora la soluzione è data dal primo termine sul lato destro dell’espressione (52)” (10498).
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