Moody/Clagett - Medieval Science of Weights - 1952 | pL

06 Mar, 2026

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1 La statica medievale e la riscoperta delle opere di Jordanus de Nemore

Un resoconto sul corpus di trattati medievali “sui pesi”, sul loro significato storico e sul progetto editoriale che li rende accessibili.

Il testo presenta una raccolta di trattati medievali sulla scienza delle pesantezze (scientia de ponderibus), concentrandosi in particolare sulle opere attribuite a Jordanus de Nemore. L’influenza della tradizione scientifica alessandrina e del metodo archimedeo, che dimostrava teoremi meccanici attraverso prove geometriche a partire da postulati di carattere fisico, è evidente in questi scritti. “The influence of the Alexandrian tradition, and of the Archimedean method … is clearly exhibited in the various treatises ‘on weights’ associated … with the name of Jordanus de Nemore” - (fr:4) [L’influenza della tradizione alessandrina e del metodo archimedeo… è chiaramente esibita nei vari trattati “sui pesi” associati… al nome di Jordanus de Nemore]. Le fonti di questi testi sono di origine greca, trasmesse ed elaborate da intermediari arabi. Tuttavia, l’autore o gli autori del XIII secolo di questi scritti non furono meri copisti, ma apportarono aggiunte importanti ai materiali ereditati: “But the thirteenth century author, or authors, … were no mere copyists or compilers, and they made important additions to the materials which they inherited” - (fr:6) [Ma l’autore, o gli autori, del XIII secolo… non furono semplici copisti o compilatori, e apportarono importanti aggiunte ai materiali che ereditarono].

La riscoperta moderna di questa statica medievale e del significato degli scritti di Jordanus si deve principalmente a Pierre Duhem e, in misura minore, a Giovanni Vailati. Vailati, in un articolo del 1897, aveva già notato l’uso del concetto di lavoro virtuale e un’analisi direzionale della forza per risolvere il problema del piano inclinato. Tuttavia, fu Duhem, con la sua opera Les Origines de la Statique (1905), a condurre un’indagine più approfondita. Duhem sostenne che l’autore degli scritti di Jordanus aveva scoperto e utilizzato i principi di composizione delle forze e degli spostamenti virtuali, anticipando di circa 350 anni risultati attribuiti a Galileo, Cartesio e Bernoulli: “Duhem held that the thirteenth century author … discovered and utilized the principles of composition of forces, and of virtual displacements, thereby anticipating by some three hundred and fifty years the achievements hitherto credited to Galileo, Descartes, and Bernoulli” - (fr:12) [Duhem sostenne che l’autore del XIII secolo… scoprì e utilizzò i principi di composizione delle forze e degli spostamenti virtuali, anticipando così di circa trecentocinquanta anni le conquiste finora accreditate a Galileo, Cartesio e Bernoulli]. Questa tesi è stata considerata estrema e vigorosamente contestata da molti storici della scienza.

Un prerequisito fondamentale per un’analisi adeguata dei contributi di Jordanus o per una valutazione della tesi di Duhem è stata a lungo la mancanza di edizioni critiche accessibili dei testi originali. I trattati non erano stati adeguatamente editi o tradotti in inglese, rimanendo di fatto inaccessibili. Il volume presentato nel testo nasce per colmare questa lacuna. L’obiettivo editoriale non è produrre un’edizione critica in senso stretto, ma fornire testi intelligibili e autenticati sulla base di manoscritti affidabili, con traduzioni in inglese. “The aim has been to provide intelligible texts authenticated by at least one … early and reliable manuscript source” - (fr:20) [L’obiettivo è stato quello di fornire testi intelligibili autenticati da almeno una… fonte manoscritta antica e affidabile]. Il trattato più importante del corpus è il Liber de ratione ponderis di Jordanus. Il lavoro editoriale è il risultato di una collaborazione, originata da un seminario tenuto da Ernest Moody e arricchita dal contributo di Marshall Clagett. Gli autori riconoscono il loro debito verso la ricerca pionieristica di Duhem e verso le biblioteche e le fondazioni che hanno reso possibile l’accesso ai manoscritti.

Il testo colloca infine la scienza dei pesi nel contesto più ampio della fisica medievale, una scienza “generale” che includeva come parti “speciali” discipline come l’alchimia, l’ottica, l’astronomia e, appunto, la statica. Mentre il quadro generale era aristotelico, le scienze speciali beneficiarono enormemente della tradizione matematica ellenistica di Euclide, Archimede e Tolomeo. “This was true of the sciences of optics, astronomy, and statics. But it was in the science of statics that the Hellenistic tradition bore greatest fruit in the thirteenth century” - (fr:49, 50) [Questo era vero per le scienze dell’ottica, dell’astronomia e della statica. Ma fu nella scienza della statica che la tradizione ellenistica diede i maggiori frutti nel XIII secolo]. I trattati presentati rappresentano quindi un capitolo importante nella crescita dell’indagine statica.

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2 La sintesi di Jordanus tra statica archimedea e dinamica aristotelica

L’analisi del testo storico-scientifico evidenzia il ruolo di Jordanus nel fondere la tradizione matematica di Archimede con l’approccio dinamico di Aristotele, culminando in una formulazione più rigorosa del principio degli spostamenti virtuali.

Il testo presenta una disamina dello sviluppo della statica, collocando la figura di Jordanus come anello di congiunzione tra due grandi tradizioni antiche. L’autore, pur riconoscendo che i dettagli biografici su Jordanus sono altrove (“Per una discussione più approfondita della sua vita, il lettore può consultare l’introduzione speciale al testo dei suoi Elementa de ponderibus.” - fr:58), ne sottolinea l’importanza scientifica definendolo “un matematico di grande abilità e notevole originalità” (fr:59). Il suo contributo fondamentale fu di “rielaborare il materiale che aveva ereditato in ultima analisi dalla tradizione meccanica ellenistica” e, in tal modo, di “continuare e approfondire l’unione della dinamica aristotelica con la statica matematica archimedea” (fr:60).

La trattazione distingue nettamente le due tradizioni antiche. Da un lato, la statica di Archimede, il cui debito è definito “ben noto” (fr:62). Il suo approccio era essenzialmente “statico” e geometrico, fondato sulla “simmetria nella rappresentazione geometrica dell’equilibrio” e, soprattutto, sulle “determinazioni dei centri di gravità” (fr:64, fr:65). Le dimostrazioni procedevano in maniera assiomatica, “essendo i teoremi dedotti da postulati o assiomi alla maniera euclidea” (fr:66). Dall’altro lato, vi è l’approccio “più ‘dinamico’” attribuito ad Aristotele e ai suoi successori, che “mancava dell’eleganza e del rigore matematico” di quello archimedeo (fr:68). La legge della leva viene qui spiegata dinamicamente: “un raggio più lungo si muove più velocemente di uno più corto sotto la pressione di un peso uguale” (fr:70). L’argomentazione si basa sull’idea che “il peso effettivo di un qualsiasi dato peso su una bilancia o leva aumenta proporzionalmente alla sua distanza dal fulcro perché, aumentando la sua distanza dal fulcro, avrebbe, se messo in moto, una velocità maggiore” (fr:71). In altre parole, il peso è inversamente proporzionale alla velocità (o all’arco percorso nello stesso tempo), e poiché la velocità è direttamente proporzionale alla lunghezza del braccio, ne consegue la classica legge di proporzionalità inversa tra pesi e bracci (fr:72, fr:73).

Questo ragionamento dinamico, presente negli “Mechanical Problems” pseudo-aristotelici e ripreso da Thābit ibn Qurra nel “Liber karastonis” (fr:74), contiene in forma germinale il principio delle velocità virtuali. La sua formulazione iniziale stabiliva che “in qualsiasi sistema meccanico riducibile a una bilancia o leva, il rapporto tra la forza motrice e la forza della cosa mossa è come il rapporto inverso delle loro velocità” (intese come spostamenti areali simultanei) (fr:77). Tuttavia, una formulazione migliore e più rigorosa del principio avrebbe correlato le forze agli spostamenti verticali rettilinei. È proprio in questo senso che “il meccanico medievale Jordanus comprese il principio” (fr:78). Un suo commentatore del XIV secolo lo esprime efficacemente: “Ciò che basta a sollevare un peso w attraverso una distanza verticale h sarà sufficiente a sollevare un peso kw attraverso una distanza verticale h/k e sarà sufficiente a sollevare un peso w/k attraverso la distanza verticale kh” (fr:79). Questa enunciazione rappresenta un chiaro avanzamento concettuale, matematicamente definito, che corona la sintesi operata da Jordanus tra il rigore geometrico archimedeo e l’intuizione dinamica della tradizione aristotelica.

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3 L’eredità di Jordanus de Nemore e le radici medievali della statica

La sintesi medievale tra dinamica aristotelica e metodo matematico, che attraverso il principio del lavoro preparò la scienza moderna.

Il testo analizza i contributi fondamentali di Jordanus de Nemore (XIII secolo) alla scienza della statica, collocandoli nel più ampio sviluppo storico della meccanica medievale. Jordanus utilizzò una forma più avanzata del principio degli spostamenti virtuali, applicandolo sia alla leva diritta che a quella curva (fr:82, 83). La sua analisi della leva curva rivela una comprensione profonda del momento statico, poiché riconobbe che è la distanza orizzontale del peso dal fulcro a determinare la forza efficace (fr:83). Per questo, si afferma che Jordanus “sembra aver avuto una visione più profonda dei fattori che determinano la forza efficace dei pesi in un sistema di leva o bilancia rispetto ai meccanici che lo precedettero” - (fr:84) [sembra aver avuto una comprensione più profonda dei fattori che determinano la forza effettiva dei pesi in un sistema di leva o bilancia rispetto ai meccanici che lo precedettero].

Un concetto peculiare introdotto da Jordanus è quello di “gravitas secundum situm” (fr:85), o gravità secondo la posizione. Questo principio sostiene che il peso effettivo lungo una traiettoria potenziale inclinata è misurato dalla componente verticale di quella traiettoria (fr:86). Quando applicato correttamente, esso equivale alla formulazione moderna F = w • sin a (fr:88). Le opere di Jordanus sono quindi cruciali perché sembrano utilizzare il principio base del lavoro per dimostrare teoremi statici, prefigurando i metodi della meccanica moderna, e forniscono quella che è essenzialmente una “scomposizione” delle forze (fr:89).

Storicamente, il testo presenta la statica medievale come il frutto di una sintesi tra due tradizioni. Da un lato, la tradizione filosofica e dinamica di Aristotele, il quale, sebbene primariamente filosofo, “offrì formulazioni quantitativamente avventate e vaghe delle relazioni tra distanza, tempo, forza motrice e resistenza” e fu così “il padre della scienza della dinamica” - (fr:109). Dall’altro, la tradizione matematica e rigorosa di Archimede, che applicò la dimostrazione geometrica all’equilibrio diventando “il fondatore della scienza della statica” - (fr:108). La meccanica moderna nacque quando “il fertile soggetto della tradizione aristotelica” fu trattato “da uomini di abilità matematica che lavoravano con qualcosa del rigore e della chiarezza appartenenti alla tradizione di Archimede” - (fr:110).

Il corpus medievale della scientia de ponderibus si colloca esattamente in questa intersezione, tentando di derivare i principi archimedei da fondamenti dinamici aristotelici (fr:117). Ciò portò a integrare la statica con la dinamica attraverso il principio del lavoro o degli spostamenti virtuali (fr:118). Il testo identifica tre gruppi di trattati: opere di origine greco-araba pseudepigrafe; i trattati attribuiti a Jordanus de Nemore (come gli Elementa e il Liber de ratione ponderis); e infine commenti e versioni riviste del XIV e XV secolo (fr:120-131). L’opera migliore, il Liber de ratione ponderis, che contiene le idee fondamentali di Jordanus, fu stampata nel 1565, rendendola disponibile ai primi meccanici moderni (fr:92).

Il testo sottolinea come lo sviluppo della scienza emerga dall’astrazione analitica dell’esperienza comune, come l’intuizione del guadagno e della perdita nell’uso di una leva che portò al principio degli spostamenti virtuali (fr:95, 96). Inoltre, evidenzia l’importanza cruciale di dare forma matematica anche elementare alle generalizzazioni, come fece Jordanus esprimendo matematicamente la gravità posizionale e deducendo poi proposizioni geometriche (fr:97, 98). Infine, viene messa in luce l’importanza del fatto che le scienze naturali fossero parte integrante del curriculum universitario medievale (artes), dove uno studente entrava in contatto sia con la tradizione filosofica che con quella matematica (fr:100, 103). Questa interazione fu essenziale, poiché “i principali antenati della scienza moderna furono di fatto le due tradizioni gemelle della filosofia greca e della matematica” - (fr:105).

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4 La statica medievale di Jordanus de Nemore e il concetto di gravità posizionale

Analisi del fondamento teorico della scienza dei pesi e della sua influenza storica.

Il testo tratta della statica sviluppata da Jordanus de Nemore, incentrandosi sul concetto innovativo di “gravità posizionale” (gravitas secundum situm). Questo principio definisce la forza efficace di un peso in un sistema vincolato, calcolata come la componente della sua gravità naturale lungo il percorso di possibile movimento. Come precisato, “The component of its natural grav ity, directed along its path of possible movement, is called its ‘positional gravity’” - (fr:200) [La componente della sua gravità naturale, diretta lungo il suo percorso di possibile movimento, è chiamata la sua “gravità posizionale”]. Il suo valore si determina tramite un rapporto tra la proiezione verticale e la lunghezza di un segmento arbitrario del percorso di discesa, preso “as small as you please” - (fr:201) [“piccolo a piacere”].

L’applicazione di questo concetto ai problemi di equilibrio è diretta: l’equilibrio su una bilacia si verifica quando le gravità posizionali dei due pesi sono uguali. Una condizione di equilibrio stabile implica che un piccolo spostamento faccia guadagnare gravità posizionale al peso sollevato, riportando il sistema alla posizione iniziale. Sebbene nell’Elementa Jordanus commetta l’errore di “supposing that equal weights on equal lever arms are in stable equilibrium” - (fr:205) [supporre che pesi uguali su bracci uguali siano in equilibrio stabile], il concetto è per lo più applicato correttamente e con ingegno. La sua rilevanza sta nell’introdurre “the idea of a resolution of forces, with an accurate method of determining the component of the natural gravity” - (fr:207) [l’idea di una scomposizione delle forze, con un metodo accurato per determinare la componente della gravità naturale].

Poiché in equilibrio non c’è movimento reale, la gravità posizionale può essere misurata solo tramite uno spostamento virtuale infinitesimo. Jordanus chiarisce che “the displacement which measures the positional gravity is to be understood as an infin itely small displacement” - (fr:212) [lo spostamento che misura la gravità posizionale deve essere inteso come uno spostamento infinitamente piccolo]. Questo aspetto è prominente nelle dimostrazioni riguardanti la bilancia, dove il percorso è curvo. Il principio del lavoro o degli spostamenti virtuali è almeno implicito nelle prove di Jordanus, sebbene il suo riferimento esplicito sia al primo teorema dell’Elementa, che lega “velocità di discesa” e pesi. Un commentatore del XIV secolo interpreta questo teorema nel senso del principio del lavoro: “What suffices to lift a weight w through the vertical dis tance h, will suffice to lift a weight kw through the vertical dis tance h/k”* - (fr:223) [Ciò che basta a sollevare un peso w per la distanza verticale h, basterà a sollevare un peso k*w per la distanza verticale h/k]. Poiché Jordanus invoca questo teorema per dimostrare la legge generale della leva, è presumibile che lo intendesse in questo senso, rendendo difendibile l’affermazione di Duhem che la sua statica si basa sul principio del lavoro.

Il capolavoro di Jordanus e dell’intera scienza medievale dei pesi è il Liber de ratione ponderis. Esso incorpora e corregge l’Elementa, aggiungendo teoremi fondamentali sulla leva curva e sul piano inclinato, per il quale Jordanus fornisce “a correct and elegant solution, based on the principle of work” - (fr:215) [una soluzione corretta ed elegante, basata sul principio del lavoro]. Stranamente, nonostante la pubblicazione nel XVI secolo, questa soluzione fu “rejected,or simply neglected, by the mechanicians of that century” - (fr:216) [rifiutata, o semplicemente trascurata, dai meccanici di quel secolo]. L’opera mostra anche influenze dai Mechanical Problems pseudo-aristotelici e, nel suo quarto libro, tenta di estendere l’analisi alla dinamica, accennando al concetto di impetus e suggerendo un’analogia tra momento della forza e impetus.

L’influenza storica di Jordanus è significativa. Nel XIV secolo, figure come Thomas Bradwardine, Alberto di Sassonia e John Dumbleton utilizzarono e discussero il suo lavoro, sebbene il loro interesse si concentrasse più sui principi dinamici sottostanti che sui teoremi statici veri e propri. Il primo teorema del Liber de ponderibus diede origine a dibattiti critici, mentre le dimostrazioni eleganti della leva e del piano inclinato furono “neglected, or perhaps accepted without comment” - (fr:243) [trascurate, o forse accettate senza commento]. Nel XV secolo, il Tractatus de ponderibus di Biagio Pelacani rappresenta una fase di stasi e compilazione. Tuttavia, la tradizione fu trasmessa in Italia, dove nel XVI secolo matematici come Guidobaldo del Monte, Cardano, Tartaglia e Benedetti dimostrarono, attraverso discussioni e utilizzi non sempre espliciti, “the continuing influence and vitality of the mediaeval science of weights in early modern times” - (fr:249) [la continua influenza e vitalità della scienza medievale dei pesi nei tempi moderni].

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5 Il trattato pseudo-euclideo sulla dinamica dei corpi e la sua eredità medievale

Un’analisi dell’attribuzione, dei contenuti scientifici e della trasmissione storica del “Liber de ponderoso et levi”.

Il testo presentato costituisce l’introduzione a un’edizione critica del trattato “Liber Euclidis de ponderoso et levi et comparatione corporum ad invicem”. L’opera, attribuita al matematico greco Euclide di Alessandria (c. 300 a.C.), è pervenuta attraverso una versione araba del IX secolo, successivamente tradotta in latino per gli scolastici medievali. La sua attribuzione diretta a Euclide è oggetto di dibattito critico. Alcuni studiosi, come George Sarton, la ritengono improbabile perché la formulazione del concetto di peso specifico appare “too advanced and clear to have been made prior to Archimedes” - (fr:259) [troppo avanzata e chiara per essere stata fatta prima di Archimede]. Tuttavia, l’argomentazione non è considerata conclusiva, poiché presuppone senza prove definitive che Archimede sia stato il primo a formulare tale concetto. Inoltre, il fatto che il trattato riproponga il principio dinamico di Aristotele non è un elemento dirimente contro l’autenticità, poiché “the only dynamics that had been formulated at all, in the time in which Euclid lived, was the dynamics of Aristotle” - (fr:261) [l’unica dinamica che fosse stata formulata, nel periodo in cui visse Euclide, era la dinamica di Aristotele]. Pertanto, la questione dell’autenticità rimane aperta, senza “solid evidence… sufficient to determine the question… one way or the other” - (fr:263) [prove solide… sufficienti a determinare la questione… in un senso o nell’altro].

Indipendentemente dall’autore, il trattato è un prodotto della tradizione scientifica alessandrina del III secolo a.C. e si presenta nella forma tipica dei lavori matematici greci, con “nine postulates, on the basis of which it then proves a number of theorems” - (fr:265) [nove postulati, sulla base dei quali dimostra poi un numero di teoremi]. I manoscritti latini pervenuti si interrompono al quinto teorema, spesso con la nota “Explicit quia plus non invenitur de eo” - (fr:266) [Finisce perché non si trova più nient’altro su di esso], a indicare un testo incompleto. Esiste tuttavia un sesto teorema, citato da altri studi, che afferma: “if two bodies of unequal volume are of equal power in relation to the same medium, then the body having the greater density will be of lesser volume than the other” - (fr:268) [se due corpi di volume diseguale sono di uguale potenza in relazione allo stesso mezzo, allora il corpo che ha densità maggiore avrà volume minore dell’altro], che fornirebbe una conclusione logica al trattato.

Il nucleo concettuale dell’opera è un’interpretazione geometrica e quantitativa della cosiddetta “legge del moto” aristotelica per i corpi in caduta libera in un mezzo. La potenza motrice (virtus) del corpo è concepita in modo scalare, legata alla sua massa, ma il fatto che il corpo debba spostare una quantità di mezzo proporzionale al suo volume durante la caduta porta a una conseguenza fondamentale: “the ratio of the motive powers of two bodies relatively to the same medium will follow the ratio of their densities to that of the medium, irrespective of their volumes” - (fr:271) [il rapporto delle potenze motrici di due corpi relativamente allo stesso mezzo seguirà il rapporto delle loro densità con quella del mezzo, indipendentemente dai loro volumi]. Ne deriva che la velocità di caduta dipende dal rapporto tra la densità del corpo e quella del mezzo, cosicché “if two bodies of the same density, but of unequal size or volume, fall in the same medium, they will fall at the same speed” - (fr:273) [se due corpi della stessa densità, ma di dimensioni o volume diseguali, cadono nello stesso mezzo, cadranno alla stessa velocità].

Il significato storico principale del trattato risiede nel suo ruolo di ponte tra la dinamica di Aristotele e la statica di Archimede, e nella sua influenza sullo sviluppo della scienza medievale. Nel IX secolo, il matematico arabo Thābit ibn Qurra utilizzò il primo teorema di questo liber come principio fondamentale per la sua opera di statica, il “Liber Karastonis”, riconoscendone esplicitamente la parentela. Questo gesto fu cruciale: “in the ninth century of our era, the Archimedean theorems of statics were grafted on to the dynamical foundation of Aristotle’s ‘law of motion’” - (fr:273) [nel IX secolo della nostra era, i teoremi statici di Archimede furono innestati sul fondamento dinamico della “legge del moto” di Aristotele], gettando le basi per la statica medievale di figure come Jordanus di Nemore, che sviluppò il principio dell’equivalenza del lavoro e il metodo degli spostamenti virtuali. Il trattato fu infine stampato nelle edizioni latine di Euclide a Basilea nel 1537, 1546 e 1558, e successivamente a Oxford nel 1747, entrando così stabilmente nel canone degli studi scientifici rinascimentali e moderni.

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6 Studio di un trattato idrostatico sulla relazione tra peso in aria e in acqua

Dimostrazione matematica del principio di spostamento e del rapporto tra volumi dei corpi e differenze di peso.

Il testo, di natura geometrico-dimostrativa, esamina il comportamento di un corpo immerso in un liquido, stabilendo relazioni proporzionali precise tra il volume del corpo, il volume d’acqua spostato e la differenza di peso misurata tra aria e acqua. L’analisi inizia con un caso specifico, utilizzando un corpo d’oro (A), per poi generalizzare la proposizione a qualsiasi coppia di corpi. Il nucleo concettuale è che, immergendo progressivamente un corpo, la differenza di peso registrata (F) è proporzionale alla parte immersa: “necesse est millesimam totius F, sive octava, differentie differentiam esse eius scilicet quod est A in aere et A cuius millesima, vel octava, est immersa in D” - (fr:527) [è necessario che un millesimo dell’intera differenza F, o un ottavo, sia la differenza tra il peso di A in aria e il peso di A di cui un millesimo, o un ottavo, è immerso in D]. Il principio fisico sottostante è esplicitato nella legge dello spostamento: al volume d’oro che entra nell’acqua corrisponde un uguale volume d’acqua che esce, “quod octava aque equalis auro egredietur” - (fr:528) [così che uscirà un ottavo d’acqua uguale all’oro].

La dimostrazione procede definendo (C) come il volume d’acqua uguale in grandezza, ma non in peso, al corpo A, il cui peso è G. Ne consegue che il rapporto tra il corpo immerso e la differenza di peso F è uguale al rapporto tra l’acqua spostata C e il suo peso G: “Est ergo proportio A auri submersi, ad differentiam F, sicut aque C egresse, ad pondus G” - (fr:530) [Dunque, è il rapporto tra l’oro A immerso e la differenza F, come l’acqua C uscita e il peso G]. Questa relazione, una volta chiarita, permette di formulare il teorema generale.

La seconda e principale proposizione stabilisce una legge universale: il rapporto tra le grandezze (volumi) di due corpi qualsiasi è uguale al rapporto tra le rispettive differenze di peso in aria e in acqua. Questo è enunciato con precisione scolastica: “OMNIUM DUORUM CORPORUM EIUSDEM SEU DIVERSI GENERIS, EST UNIUS AD ALIUD PROPORTIO IN MAGNITUDINE TANQUAM DIFFERENTIE PONDERIS UNIUS EORUM IN AERE AD PONDUS EIUSDEM IN AQUA, AD DIFFERENTIAM PONDERIS ALTERIUS IN AERE AD PONDUS EIUS IN AQUA” - (fr:533) [Di due corpi qualsiasi, dello stesso o di diverso genere, il rapporto dell’uno all’altro in grandezza è come la differenza di peso dell’uno in aria rispetto al suo peso in acqua, sta alla differenza di peso dell’altro in aria rispetto al suo peso in acqua]. La dimostrazione si appoggia alla proposizione precedente, equiparando i corpi A e B a volumi d’acqua C e D ad essi uguali, e invocando un postulato (la quarta petizione) secondo cui per corpi della stessa specie il rapporto tra i pesi (E, F) è uguale al rapporto tra i volumi (C, D), giungendo così alla conclusione voluta.

Il testo è una testimonianza significativa dell’applicazione del rigore matematico medievale o rinascimentale a un problema fisico fondamentale. L’uso del latino misto a volgare e la struttura logica (caso particolare, generalizzazione) riflettono il metodo delle questiones scolastiche. Il termine ricorrente e abbreviato ”DEINSIDENTIBUS” (fr:527, 536, 547), che dal contesto significa “in aria e in acqua” o “dei pesi”, e la notazione con lettere dell’alfabeto per grandezze geometriche, sono elementi peculiari dello stile scientifico dell’epoca. L’opera costituisce un chiaro antecedente della formulazione idrostatica moderna, fornendo uno strumento teorico per determinare volumi e, implicitamente, densità relative attraverso la misura di pesi.

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7 Principi e applicazioni dell’idrostatica in un trattato medievale

Un testo che enuncia e applica il principio di Archimede per determinare composizioni di leghe, pesi specifici e rapporti volumetrici.

Il testo presenta una serie di proposizioni e dimostrazioni di carattere idrostatico, incentrate sull’applicazione del principio di Archimede. Il suo significato storico risiede nella testimonianza della trasmissione e dell’applicazione pratica della scienza antica nel periodo medievale, specificamente finalizzata alla risoluzione di problemi concreti come l’analisi della composizione delle leghe metalliche. Il trattato procede in modo assiomatico, partendo da postulati per costruire teoremi e procedure risolutive.

Viene anzitutto ribadito il principio fondamentale della perdita di peso di un corpo immerso in un fluido: “Ponderabit itaque magis in aere quam in aqua vel quam in oleo” - (fr:550) [“Peserà dunque di più in aria che in acqua o che in olio”]. Questa differenza di peso è il dato sperimentale chiave per tutte le analisi successive.

Il metodo trova una diretta applicazione pratica nell’analisi quantitativa di una lega composta da due materiali noti. La procedura prescritta è meticolosa: “ponderabimus unumquodque corporum per se, et in aere et in aqua, et sumemus superabundantiam cuiusque corporis quod habet in aere ad illud quod in aqua” - (fr:556) [“peseremo ciascuno dei corpi per sé, sia in aria che in acqua, e prenderemo l’eccesso di peso che ciascun corpo ha in aria rispetto a quello che ha in acqua”]. Lo stesso si fa per il “corpus mixtum” (fr:557). La regola per determinare la quantità del componente più leggero nell’alleggio è poi enunciata in termini di proporzione: “Erit ergo proportio levis corporis quod in mixto corpore est, ad ipsum mixtum, sicut superabundantia ponderis mixti ad superabundantiam corporis levioris” - (fr:558) [“Sarà dunque la proporzione del corpo leggero che è nel corpo misto, rispetto al misto stesso, come l’eccesso di peso del misto rispetto all’eccesso del corpo più leggero”].

Il testo affronta anche il problema inverso: dati i pesi di due corpi in aria e in acqua, si possono ricavare i loro rapporti sia in volume che in peso specifico: “SI DUORUM QUORUMCUMQUE CORPORUM, UT AURI ET ARGENTI, PONDERA IN AQUA ET IN AERE FUERINT DATA, EORUNDEM CORPORUM PROPORTIONES IN MAGNITUDINE ET SPECIE ERUNT DATE” - (fr:559) [“SE SONO DATI I PESI IN ACQUA E IN ARIA DI DUE CORPI QUALSIASI, COME ORO E ARGENTO, SARANNO DATI I RAPPORTI DI QUESTI STESSI CORPI IN GRANDEZZA E IN SPECIE”]. La dimostrazione si basa sulla manipolazione delle differenze di peso (G e H) e sull’introduzione di un corpo ausiliario I, dello stesso genere di A ma di volume uguale a B.

Un passaggio peculiare è un problema sperimentale ingegnoso per confrontare un corpo affondabile con uno galleggiante, come ferro e cera. La soluzione prevede di congiungerli fisicamente: “Et coniungantur A et E, ita quod A possit secum trahere E ad fundum” - (fr:582) [“E si congiungano A ed E, in modo che A possa trascinare con sé E sul fondo”]. Misurando il peso del complesso in aria e in acqua, e scomponendo le misure, si ricavano i dati necessari per il calcolo dei rapporti volumetrici e di peso specifico.

Il testo presenta un’ambiguità nella numerazione dei teoremi utilizzati nelle dimostrazioni, segnalata in una nota al termine: “This really refers to the second theorem; but since the same confusion occurs in the demonstration of Theorem VI, we may suppose that the original order of the theorems was one in which what is here Theorem III, came second, and what is here’ Theorem II, came third” - (fr:589). Questa nota suggerisce una possibile disorganizzazione nella trasmissione del manoscritto o nelle fonti. Un termine ricorrente, ”DEINSIDENTIBUS”* (fr:562, 575, 590), il cui significato in questo contesto non è immediatamente chiaro, costituisce un ulteriore elemento peculiare del lessico tecnico impiegato.

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8 Analisi di un trattato sull’equilibrio delle travi pesanti

Studio di proposizioni geometrico-statiche per determinare le condizioni di equilibrio di una trave asimmetrica con peso sospeso.

Il testo presenta una serie di proposizioni teoretiche e dimostrazioni riguardanti l’equilibrio di una trave (o “canonium”) non uniforme, sospesa in un punto, con un peso aggiuntivo applicato all’estremità più corta. L’obiettivo è stabilire le condizioni matematiche affinché la trave resti parallela al piano dell’orizzonte. La struttura è quella tipica di un trattato scientifico medievale, con enunciati, dimostrazioni (apodixis) ed esempi numerici.

La proposizione fondamentale è enunciata così: “SI FUERIT PROPORTIO PONDERIS IN TERMINO MINORIS PORTIONIS SUSPENSI, AD SUPERHABUNDANTIAM PONDERIS MAIORIS PORTIONIS AD MINOREM, SICUT PROPORTIO LONGITUDINIS TOTIUS CANONII AD DUPLAM LONGITUDINIS MINORIS PORTIONIS, ERIT CANONIUM PARALLELUM EPIPEDO ORIZONTIS” - (fr:762) [SE IL RAPPORTO TRA IL PESO SOSPESO ALL’ESTREMITÀ DEL BRAccio PIÙ CORTO, E L’ECCEDENZA DEL PESO DEL BRAccio LUNGO RISPETTO AL CORTO, È COME IL RAPPORTO TRA LA LUNGHEZZA DELL’INTERA TRAVE E IL DOPPIO DELLA LUNGHEZZA DEL BRAccio CORTO, ALLORA LA TRAVE SARÀ PARALLELA AL PIANO DELL’ORIZZONTE.]. La dimostrazione procede per assurdo, esaminando le due possibilità di sbilanciamento. Si suppone che la trave inclini verso il lato A; si sottrae quindi una quantità dal peso sospeso finché l’equilibrio è ristabilito. Ciò porta a una contraddizione logica, poiché si trova che una parte del peso (z) è uguale al peso totale (zl) da cui è stata sottratta: “Sed posita erat proportio ponderis totius zl ad pondus DB sicut proportio linee AB ad lineam AD; ergo pondus z solum equale est ponderi zl, pars toti, quod est inconveniens” - (fr:767) [Ma era stato posto che il rapporto dell’intero peso zl con il peso DB è come il rapporto della linea AB con la linea AD; dunque il solo peso z è uguale al peso zl, la parte al tutto, il che è assurdo.]. Lo stesso ragionamento viene applicato per escludere l’inclinazione verso il lato B.

La terza proposizione offre un metodo pratico di calcolo. Data una trave simmetrica e uniforme, di lunghezza e peso noti e divisa in due parti disuguali, è possibile trovare il peso da appendere all’estremità corta per equilibrare il sistema. La regola pratica è esposta chiaramente: “Hoc est, ut sumamus superhabundantiam ponderis maioris portionis ad minorem, et multiplicemus eam in numerum longitudinis totius canonii, et productum dividamus per numerum longitudinis duple minoris portionis, et quod exierit est numerus ponderis quod, suspensum a termino minoris portionis, faciet canonium parallelum epipedo orizontis” - (fr:786) [Cioè, prendiamo l’eccedenza del peso della porzione maggiore rispetto alla minore, e la moltiplichiamo per il numero della lunghezza dell’intera trave, e dividiamo il prodotto per il numero della lunghezza del doppio della porzione minore, e ciò che risulta è il numero del peso che, sospeso dall’estremità della porzione minore, renderà la trave parallela al piano dell’orizzonte.]. Segue un esempio numerico dettagliato con una trave di 10 palmi e 20 libbre, divisa in segmenti di 2 e 8 palmi. L’eccedenza di peso del braccio lungo (12 libbre) moltiplicata per 10 dà 120, che diviso per 4 (il doppio della parte corta) dà 30 libbre, il peso cercato.

Il testo prosegue con una dimostrazione geometrica alternativa della stessa regola, utilizzando la similitudine dei triangoli (ADB e ABZ). Da questa costruzione si ricava che il segmento BZ rappresenta, per lunghezza e materiale, il peso equilibrante. Si afferma: “Erit ergo proportio ponderis ad cui pertinet BZ, ad pondus canonii DB, sicut proportio eius que est AB, ad AD” - (fr:811) [Sarà dunque il rapporto del peso che corrisponde a BZ, con il peso della trave DB, come il rapporto di AB con AD.]. Questo legame tra proporzioni di lunghezze e proporzioni di pesi, valido a parità di spessore e materiale, è fondamentale: “Sed que est proportio longitudinum, et ponderum” - (fr:810) [Ma il rapporto delle lunghezze è (lo stesso) dei pesi.].

La quarta e ultima proposizione affronta il problema inverso: data la trave (lunghezza, spessore, peso) e dato il peso sospeso che garantisce l’equilibrio, determinare la lunghezza delle due porzioni. La soluzione viene costruita geometricamente, aggiungendo idealmente alla trave AB un segmento BZ il cui peso equivalga al peso sospeso e. Attraverso relazioni di proporzionalità e la media proporzionale, si dimostra che la lunghezza del segmento corto AG è determinata.

Il testo è una testimonianza significativa dello sviluppo della statica in epoca pre-galileiana. Mostra un approccio matematico rigoroso, di stampo geometrico ed euclideo, applicato alla risoluzione di un problema fisico concreto. L’uso del latino come lingua scientifica, la struttura in proposizioni e dimostrazioni, e il ricorso sia alla prova per assurdo che a costruzioni geometriche con similitudini di triangoli, sono tutti elementi peculiari che collocano l’opera nella tradizione della scienza medievale o del primo Rinascimento, ponendola come anello di congiunzione tra la meccanica antica e quella moderna. I calcoli numerici espliciti e le istruzioni operative suggeriscono anche una possibile finalità applicativa, legata forse all’ingegneria o all’architettura.

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[9.1-63-923|985]

9 Analisi dei trattati sulla bilancia e le loro relazioni testuali

Studio comparativo e critico del Liber karastonis con opere attribuite a Euclide e altri testi medievali di statica.

Il testo analizza le relazioni esistenti tra il Liber karastonis e diversi altri trattati scientifici medievali, principalmente di attribuzione euclidea, incentrati sulla legge della leva e l’equilibrio delle bilance. Un primo punto di confronto è il Trattato sulla Bilancia di Euclide, esistente solo in arabo. Nonostante Buchner neghi un legame forte, l’analista ne evidenzia quattro punti di somiglianza. Il primo è la presenza in entrambi del caso particolare della legge della leva: “equal weights at equal distances are in equilibrium” - (fr:924) [pesi uguali a distanze uguali sono in equilibrio]. Tuttavia, mentre in Euclide è dato come assioma, “in the Liber karastonis it is proved … on the basis of the equality of the power of movement at each extremity” - (fr:925) [nel Liber karastonis è dimostrato … sulla base dell’uguaglianza della potenza di movimento a ciascuna estremità].

Il secondo punto è che entrambi contengono la legge generale della leva come proposizione, rispettivamente la terza e la quarta. La differenza fondamentale risiede nella dimostrazione: “the proof in the Euclid treatise is on the basis of static considerations, while that in the Liber karastonis is … based on a dynamic consideration” - (fr:929) [la prova nel trattato di Euclide è basata su considerazioni statiche, mentre quella nel Liber karastonis è … basata su una considerazione dinamica]. Un terzo punto di contatto è un frammento estraneo presente solo nella versione araba del Liber karastonis, che tratta della sospensione di un peso con una corda a 90° e dell’intersezione di un’asta di sospensione nel piano orizzontale. Entrambe le idee “are repeated in the Euclid work” - (fr:932) [sono ripetute nell’opera di Euclide]. Il quarto punto riguarda l’analisi di linee di sospensione che formano angoli acuti nel piano orizzontale, un tipo di analisi che “seems peculiar to Euclid’s Treatise on the Balance” - (fr:937) [sembra peculiare del Trattato sulla Bilancia di Euclide]. L’analista conclude che “it is quite likely that the Euclid treatise inspired the intrusive fragment in the Arabic version of the Liber karastonis” - (fr:938) [è molto probabile che il trattato di Euclide abbia ispirato il frammento intrusivo nella versione araba del Liber karastonis].

Un secondo trattato attribuito a Euclide è il Liber de ponderoso et levi. Duhem e Buchner ritengono che sia a questo lavoro che si riferisce Thabit quando collega il Liber karastonis a un Liber Euclidis. La connessione è avvalorata dal fatto che “the Liber de ponderoso contains a fundamental expression of the peripatetic law of movement and this law is the point of departure for proof of the lever in the Liber karastonis” - (fr:941) [il Liber de ponderoso contiene un’espressione fondamentale della legge peripatetica del movimento e questa legge è il punto di partenza per la prova della leva nel Liber karastonis]. Tuttavia, una versione comune del Liber de ponderoso non contiene nulla sulla leva. In alcuni manoscritti esiste un frammento intrusivo, forse parte di un “treatise … de ponderibus secundum terminorum circumferentiam” - (fr:946) [trattato … dei pesi secondo i termini della circonferenza]. Le proposizioni in questo frammento “appear in the Liber karastonis” - (fr:948) [appaiono nel Liber karastonis]. La somiglianza è tale che in un manoscritto il frammento di Euclide porta il titolo Excerptum de libro Thabit de ponderibus. Ciò porta l’analista a formulare un’ipotesi: “it has occurred to me that perhaps it may be identical with the Cause karastonis which Thabit has reworked as his Liber karastonis” - (fr:949) [mi è venuto in mente che forse potrebbe essere identico alla Causa karastonis che Thabit ha rielaborato come suo Liber karastonis]. In questo caso, “Thabit has played a major role in revising the earlier work” - (fr:950) [Thabit avrebbe svolto un ruolo importante nella revisione dell’opera precedente].

Un ulteriore testo con cui il Liber karastonis potrebbe avere una relazione è il De canonio, che affronta “precisely the same problem … namely the problem of the balancing of the Roman Balance” - (fr:954) [esattamente lo stesso problema … cioè il problema dell’equilibrio della Bilancia Romana]. La corrispondenza tra la sua terza proposizione e la settima del Liber karastonis “raises the possibility that the Liber karastonis was an attempt to reinterpret the De canonio” - (fr:955) [solleva la possibilità che il Liber karastonis fosse un tentativo di reinterpretare il De canonio]. L’analista, tuttavia, ritiene improbabile questa congettura a causa della “over-all lack of similarity in organization and further detail” - (fr:957) [mancanza generale di somiglianza nell’organizzazione e nei dettagli]. Per quanto riguarda l’ispirazione originale della derivazione dinamica della legge della leva nel Liber karastonis, essa “is probably the treatise Mechanical Problems attributed to Aristotle” - (fr:959) [è probabilmente il trattato Problemi Meccanici attribuito ad Aristotele], sebbene non ci sia evidenza diretta dell’uso da parte di Thabit.

La seconda parte del testo descrive la base manoscritta per il testo latino del Liber karastonis. Secondo Buchner, esiste “at least three different versions represented among the extant manuscripts” - (fr:964) [almeno tre diverse versioni rappresentate tra i manoscritti esistenti], che risalgono a un’unica traduzione, forse quella attribuita a Gerardo da Cremona. La versione più importante e completa è quella che include la lettera introduttiva e la conclusione formale, rappresentata da manoscritti di Parigi, Milano, Firenze e Città del Vaticano. Un secondo gruppo, rappresentato dai manoscritti di Thorn e Vienna, manca di introduzione e conclusione, ma “stem from version one” - (fr:972) [deriva dalla versione uno]. L’edizione critica presentata si basa principalmente sui manoscritti di Parigi (A) e Milano (U), ma utilizza anche manoscritti del XVI secolo (B e X) perché “in certain passages these 16th century manuscripts … make more sense than either of the earlier manuscripts” - (fr:980) [in certi passaggi questi manoscritti del XVI secolo … hanno più senso di quelli precedenti]. Il manoscritto A è descritto come carente: “omits numerous sentences … omits or corrupts the numbers … and confuses the letters” - (fr:981) [omette numerose frasi … omette o corrompe i numeri … e confonde le lettere].

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[10.1-124-1220|1343]

10 Analisi di un trattato medievale sulla statica delle leve e dei bilancieri

Un’esposizione teorica e pratica sul bilanciamento di travi a bracci disuguali, con dimostrazioni geometriche e regole operative.

Il testo estratto, identificabile come parte del “Liber Karastonis”, costituisce un trattato scientifico medievale dedicato alla statica, in particolare alla teoria delle leve e all’equilibrio dei bilancieri. Il nucleo concettuale verte sull’analisi di una trave o linea (AB) sospesa in un punto (G) che non è il suo centro, con un braccio (GA) più corto dell’altro (GB). L’obiettivo è determinare le condizioni per cui il sistema si mantenga in “equidistantia orizontis” (fr:1224, 1279), ossia in equilibrio orizzontale. Il metodo si basa sulla sostituzione di un peso continuo e uniformemente distribuito su un braccio (come lo spessore della trave stessa, “crossitudo”) con un peso equivalente concentrato in un punto. Viene affermato che la trattazione precedente ha chiarito come procedere “in the case of beams with one arm longer than the other” (fr:1220) [nel caso di travi con un braccio più lungo dell’altro].

La dimostrazione procede in più fasi. Si immagina inizialmente che sul braccio lungo GB sia presente un peso continuo di spessore uniforme (es. DBUE o RBQD) che, distribuito, compensa il peso r o e sospeso all’estremità A corta. La tesi fondamentale è che questo peso distribuito possa essere “spogliato” dalla trave e aggregato in un unico peso puntuale t sospeso nel punto medio (H o U) del segmento DB, senza alterare l’equilibrio: “si nos denudemus lineam DB de crossitudine DBEU et aggregemus eam cum puncto in medio linee DB super H punctum… remanebit AB super illud quod fuit de equidistantia orizontis” (fr:1226) [se spogliamo la linea DB dello spessore DBEU e lo aggregassimo nel punto medio della linea DB sul punto H… AB rimarrebbe nella stessa condizione di equidistanza dall’orizzonte]. La dimostrazione, di natura geometrica, scompone il peso distribuito in porzioni uguali (es. SU, DI, OP, GK) e argomenta che, spostando ciascuna coppia di porzioni simmetriche nel loro punto medio comune, l’effetto complessivo sul bilanciamento non cambia.

Da questo principio generale, l’autore deduce una regola proporzionale cruciale. Quando l’equilibrio è stabilito, il rapporto tra il peso sospeso all’estremità corta (e) e il peso del materiale distribuito sul braccio lungo (la porzione con spessore) è uguale al rapporto tra la distanza dal fulcro (G) al punto medio (U) di tale porzione e la lunghezza del braccio corto (GA): “proportio ponderis e ad pondus portionis habentis crossitudinem sicut proportio linee GU ad GA” (fr:1284) [il rapporto del peso e al peso della porzione dotata di spessore è come il rapporto della linea GU alla GA]. Viene fornito un esempio numerico: se BG=8, GA=3 e la porzione RB=6, allora GU=5 e il peso e sarà pari a 1, mentre il peso della porzione sarà 1 e 2/3 (fr:1295-1297).

La sezione finale (VIII) trasferisce queste dimostrazioni al caso pratico di una trave omogenea di spessore e sostanza uniformi (“perpendicularis recta equalis crossitudinis et substantie”, fr:1301) [una trave retta di uguale spessore e sostanza], sospesa in un punto non mediano. Viene esposta una procedura operativa per calcolare il peso da appendere all’estremità del braccio corto per raggiungere l’equilibrio, conoscendo il peso totale della trave (P), la sua lunghezza totale (L) e le lunghezze dei due bracci. Il metodo prevede due passaggi: 1) Trovare il peso della “porzione eccedente” DB (la differenza tra i due bracci) moltiplicando la lunghezza DB per il peso totale P e dividendo per L (fr:1304-1306). 2) Calcolare il peso aggiuntivo x da sospendere in A moltiplicando il peso di DB per la lunghezza L e dividendo per il doppio del braccio corto (2GA) (fr:1308-1310). L’autore sottolinea l’utilità pratica di questa scienza: “iuvat te ad laborem mentis et abiuvat ab opere cogitationis” (fr:1337) [ti aiuta nella fatica della mente e ti solleva dall’opera del pensiero], permettendo di tarare strumenti (“artem karastonis”) come le bilance.

Elementi peculiari sono l’uso costante della geometria per dimostrare proposizioni meccaniche, il concetto di sostituire una distribuzione continua con una forza concentrata nel centro geometrico, e la formulazione di una regola delle proporzioni che anticipa il principio dei momenti. Il testo ha un significato storico di prim’ordine come testimonianza della riflessione scientifica medievale sulla statica, probabilmente all’interno della scuola di Jordanus Nemorarius (XIII secolo). Mostra un livello di formalizzazione matematica applicata alla fisica che contraddice lo stereotipo di un Medioevo privo di indagine scientifica rigorosa. La commistione di latino e volgare (o traduzioni interlineari) nei manoscritti, qui resa evidente dalle frasi inglesi, è tipica della trasmissione del sapere tecnico-scolastico dell’epoca.

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11 L’edizione critica degli Elementa di Jordanus e il suo contesto storico-scientifico

Introduzione all’edizione di un trattato medievale di statica, tra autenticità, controversie identitarie e innovazione concettuale.

Il testo presentato costituisce l’introduzione all’edizione critica del trattato “Elementa Jordani super demonstrationem ponderum”, curata da Ernest A. Moody. L’opera è identificata come l’unica, tra le molte versioni di trattati sui pesi attribuite a Jordanus nei manoscritti medievali, a offrire solide prove interne di autenticità come lavoro del matematico del XIII secolo Jordanus de Nemore. Una prova chiave risiede nel fatto che “Il testo contiene riferimenti a un altro trattato chiamato Philotegni, che l’autore cita come sua opera” - (fr:1366). Questi riferimenti a teoremi geometrici trovano riscontro nel trattato De triangulis dello stesso Jordanus, confermando così l’attribuzione.

Una questione storica rilevante trattata è la controversia sull’identità di Jordanus. Esiste una tradizione, basata sulla cronaca di Nicolaus Trivet, che identifica il matematico con Jordanus de Saxonia, Maestro Generale dei Domenicani dal 1222 al Trivet afferma che “questo Fratello Jordanus era stato precedentemente eccezionale nelle scienze secolari, specialmente in matematica, a Parigi; e che aveva scritto un libro sui pesi, e un altro ‘De lineis datis’” - (fr:1378). Tuttavia, l’introduzione presenta forti argomentazioni contrarie a questa identificazione, come l’assenza del cognome “Nemorarius” negli archivi ufficiali sull’uomo di chiesa e il fatto che “se possiamo fidarci della sottoscrizione trovata in uno dei manoscritti di Jordanus Nemorarius, dobbiamo supporre che insegnasse matematica a Tolosa in una data successiva al 1229” - (fr:1382). Poiché l’università di Tolosa nacque solo in quell’anno, ciò rende improbabile che fosse la stessa persona impegnata, in quel periodo, nelle responsabilità di Maestro Generale. La soluzione di questa questione è cruciale per la datazione delle opere: se fosse il domenicano, i lavori sarebbero anteriori al 1220; in caso contrario, “le sue opere potrebbero essere state scritte considerevolmente più tardi del 1220, e la loro composizione potrebbe essersi estesa per un considerevole periodo di anni” - (fr:1386). Questa possibilità cronologica più ampia permette di spiegare l’evoluzione del pensiero di Jordanus, ad esempio la correzione di teoremi errati sugli ingranaggi curvi nel successivo Liber de ratione ponderis, senza dover ipotizzare un autore diverso.

Il contenuto scientifico degli Elementa è notevole per l’introduzione di un concetto innovativo. Il trattato, che fornisce le dimostrazioni per postulati e teoremi forse ereditati da una tradizione attribuita a Euclide, “introduce un nuovo concetto non trovato nella letteratura precedente” - (fr:1394). Questo è il concetto di “gravitas secundum situm” (gravità posizionale), definita come “la componente della forza di gravità naturale di un corpo, diretta lungo qualsiasi percorso di movimento che il corpo possa prendere come vincolato dalle sue connessioni con altri corpi in un unico sistema” - (fr:1395). La sua misura dipende dall’obliquità del percorso di spostamento. L’applicazione di questo concetto coinvolge un principio generale per cui la forza di un peso in equilibrio varia “secondo la quantità di discesa verticale che può compiere attraverso un movimento compatibile con il sistema di vincoli” - (fr:1397). Associato a ciò vi è un principio del lavoro, per cui la capacità di sollevare un peso è inversamente proporzionale alla distanza. L’introduzione argomenta che il primo teorema di Jordanus, se interpretato correttamente, “è un’enunciazione del principio del lavoro, e non (almeno primariamente) un’affermazione che la velocità con cui un corpo cade liberamente verso la terra è proporzionale alla sua gravità naturale” - (fr:1402).

Dal punto di vista filologico, questa è la prima edizione a stampa degli Elementa. La costituzione del testo si basa su tre manoscritti, due dei quali del tardo XIII secolo (Oxford e Firenze) e uno del 1464 (Parigi). I curatori adottano un sistema editoriale preciso, utilizzando “lettere maiuscole romane per quei riferimenti ai diagrammi che indicano lunghezze o posizioni, e lettere piccole sottolineate per quei riferimenti che indicano il peso dei corrispondenti segmenti di trave della bilancia, o che indicano pesi sospesi” - (fr:1420). La scelta dei manoscritti è giustificata dalla loro affidabilità e antichità, con l’obiettivo di ricostruire il testo originale dell’innovativo matematico medievale.

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[12.1-54-1456|1509]

12 Analisi di un Trattato di Statica Medievale

Principi di equilibrio e gravità posizionale negli “Elementa” di Giordano.

Il testo, estratto dagli “Elementa Jordani”, costituisce un trattato di meccanica (statica) medievale che espone, attraverso postulati e dimostrazioni geometriche, una teoria del peso e dell’equilibrio. Il nucleo concettuale ruota attorno alla gravità posizionale, un principio per cui la “pesantezza” effettiva di un corpo dipende dall’obliquità del suo percorso di discesa potenziale. Il lavoro si fonda su postulati: il movimento naturale dei gravi è verso il centro del mondo; un corpo è più pesante se discende più velocemente; è “più pesante nella discesa, quando il suo moto verso il centro è più diretto” - (fr:1463), e “più pesante posizionalmente, quando, in una data posizione, il suo percorso di discesa è meno obliquo” - (fr:1464). L’obliquità è definita come un percorso in cui, a parità di distanza, “c’è una componente verticale minore” - (fr:1465).

Il teorema fondamentale (E.1) stabilisce una proporzionalità diretta tra peso e velocità di discesa, e inversa tra discesa e salita contraria: “LA PROPORZIONE DELLA VELOCITÀ DI DISCESA, TRA I CORPI PESANTI, È LA STESSA DI QUELLA DEL PESO, PRESA NELLO STESSO ORDINE; MA LA PROPORZIONE DELLA DISCESA ALLA SALITA CONTRARIA È LA PROPORZIONE INVERSA” - (fr:1469). La dimostrazione procede per assurdo, esaminando i casi in cui la proporzione tra i pesi a e b potrebbe essere minore o maggiore della proporzione tra le rispettive discese AC e BD, giungendo a una contraddizione.

I teoremi successivi applicano questi principi all’equilibrio delle bilance. Si definisce una bilancia equabile quando “i bracci della barra, misurati dall’asse di rotazione, sono uguali” - (fr:1482). Il teorema E.2 dimostra che una bilancia a bracci uguali e con pesi uguali, se spostata dalla posizione orizzontale, vi ritornerà. La ragione è che, una volta inclinata, il peso sul lato rialzato (C) ha un percorso di discesa verso l’orizzontale meno obliquo di quello del peso sul lato abbassato (B) verso il punto più basso (E). Pertanto, in quella posizione, “nella situazione più alta c è più pesante di b” - (fr:1489), causando il ritorno all’equilibrio. La dimostrazione è geometrica, confrontando le componenti verticali (ZM e KY) di archi uguali lungo le traiettorie circolari.

Il teorema E.3 afferma che, con pesi uguali e bracci uguali, “la disuguaglianza nella lunghezza dei pendenti con cui sono sospesi non disturberà il loro equilibrio” - (fr:1500). La prova mostra geometricamente che, nonostante le diverse lunghezze dei pendenti AD e BE, i pesi d ed e discendono lungo archi di quarto di cerchio di uguale lunghezza e obliquità, mantenendo così la stessa gravità posizionale. Il testo fa riferimento a dimostrazioni ausiliarie contenute in altre opere, il “Philotegni” e i “Praeexercitamina”.

Storicamente, il testo testimonia lo sviluppo della scienza medievale che, partendo dalla tradizione aristotelica, elabora concetti analitici come la gravità posizionale e l’uso del lavoro virtuale (confronto di percorsi infinitesimali) per determinare l’equilibrio. Il rigore dimostrativo di stampo euclideo applicato a problemi fisici segna un passo significativo verso la meccanica razionale moderna.

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13 Confronto tra due versioni del Liber de ponderibus e l’ipotesi di una fonte comune

Analisi della cosiddetta versione “Peripatetica” del trattato di statica attribuito a Giordano, del suo prologo innovativo e del dibattito sulle origini delle teorie.

Il testo presentato è l’introduzione editoriale di Ernest A. Moody a una versione del Liber Jordani de ponderibus (Libro di Giordano sui pesi), designata come versione “P”. Moody analizza la natura e l’origine di questo trattato scientifico medievale, confrontandolo con l’opera standard di Giordano de Nemore, gli Elementa super demonstrationem ponderum. La versione “P” è caratterizzata da un prologo esplicativo che introduce in modo consapevole il concetto nuovo di “gravitas secundum situm” (peso in relazione alla posizione) e da dimostrazioni brevi e indipendenti da quelle di Giordano. Moody sostiene che questa versione non sia una semplice trasformazione o commento degli Elementa Jordani, ma abbia pari titolo di originalità, in quanto “It has as much claim, indeed, to being the original Liber de ponderibus as does the Elementa Jordani” - (fr:1625) [Ha, infatti, lo stesso diritto di essere considerato il Liber de ponderibus originale quanto gli Elementa Jordani].

L’elemento più peculiare e storicamente significativo è proprio il prologo della versione “P”, che fornisce il contesto teorico mancante nell’opera di Giordano. Esso sviluppa una nozione di dinamica aristotelica, collegando il movimento di un peso in un sistema vincolato (come una leva) alla composizione di una forza naturale (la gravità) e una violenta (il vincolo). Questo prologo “introduces the concept of “positional gravity” (gravitas secundum situm) as a new notion, and with full consciousness of the novelty of the term“ - (fr:1621) [introduce il concetto di “gravità posizionale” (gravitas secundum situm) come una nozione nuova, e con piena consapevolezza della novità del termine]. Moody evidenzia la dipendenza diretta di questo ragionamento dalle Questioni Meccaniche pseudo-aristoteliche, citando un passo in cui si descrive come “the movement of a weight suspended at the extremity of a lever arm is dynamically determined by a composition of two forces—one the downward “natural” force of gravity, and the other the “violent” force which constrains the weight” - (fr:1645) [il movimento di un peso sospeso all’estremità di un braccio di leva è determinato dinamicamente da una composizione di due forze — una la forza “naturale” verso il basso della gravità, e l’altra la forza “violenta” che costringe il peso].

La completa indipendenza delle dimostrazioni nella versione “P” da quelle di Giordano porta Moody a una congettura storica cruciale: sia Giordano che l’autore della versione “P” potrebbero aver attinto indipendentemente a una fonte comune più antica. Questa fonte consisterebbe in una serie di postulati e teoremi privi di dimostrazione, forse attribuiti a Euclide. “These circumstances suggest that the seven postulates and the nine theorems … were not originated by Jordanus, but were inherited by him from an earlier source” - (fr:1626) [Queste circostanze suggeriscono che i sette postulati e i nove teoremi … non siano stati originati da Giordano, ma gli siano stati tramandati da una fonte precedente]. Una prova a sostegno è il manoscritto Paris, Ms. lat. 7375, che contiene proposizioni attribuite a Euclide, “stated one after the other without any proofs” - (fr:1629) [enunciate una dopo l’altra senza alcuna dimostrazione], inclusi i teoremi del Liber de ponderibus e del De canonio.

La testimonianza del matematico del XIV secolo Thomas Bradwardine è citata come ulteriore conferma: egli si riferisce a un “autore” del De ponderibus che non fornì dimostrazioni, e a “commentatori” (tra cui Giordano) che le aggiunsero. Ciò indica che “for Bradwardine the contribution of Jordanus was that of a commentator on an original Liber de ponderibus whose author had failed to supply demonstrations” - (fr:1637) [per Bradwardine il contributo di Giordano fu quello di un commentatore di un Liber de ponderibus originale il cui autore non aveva fornito dimostrazioni].

Moody discute anche il motivo per cui, nonostante queste ipotesi, l’opera è prevalentemente associata a Giordano: le sue dimostrazioni erano matematicamente superiori e furono ampiamente utilizzate nelle versioni successive, “since Jordanus’ proofs were unquestionably superior to those of the “Peripatetic” version” - (fr:1633) [poiché le dimostrazioni di Giordano erano indiscutibilmente superiori a quelle della versione “Peripatetica”]. L’edizione di Moody si basa principalmente sul Codex Vaticanus Latinus 2185, integrato da un altro manoscritto vaticano e dall’edizione a stampa del 1533 di Petrus Apianus, che per prima pubblicò questa versione.

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14 Analisi del ‘Liber de Ponderibus’: Fondamenti medievali della scienza dei pesi

Un trattato che analizza il principio della gravità posizionale attraverso la geometria del moto lungo archi circolari, gettando le basi per la statica.

Il testo estratto costituisce una parte significativa del Liber de Ponderibus, un trattato medievale fondamentale per la scienza dei pesi (statica). Il suo scopo è stabilire i principi filosofici e geometrici che governano l’equilibrio e il movimento dei gravi, con particolare attenzione al concetto innovativo di gravità secondo la posizione (gravitas secundum situm).

La trattazione inizia definendo due principi geometrici cardine. Il primo afferma che in uno stesso cerchio, “maior arcus eiusdem circuli est magis curvus minore” - (fr:1697) [l’arco maggiore dello stesso cerchio è più curvo del minore]. La prova risiede nel rapporto non proporzionale tra arco e corda: “non enim arcui duplo respondet corda dupla, sed minus ea” - (fr:1698) [infatti a un arco doppio non corrisponde una corda doppia, ma minore di essa]. Il secondo principio stabilisce che “si sumantur de circulo maiori et minori arcus equales, corda arcus maioris circuli longior est” - (fr:1699) [se si prendono archi uguali da un cerchio maggiore e da uno minore, la corda dell’arco del cerchio maggiore è più lunga], indicando che a parità di lunghezza, l’arco del cerchio minore è più curvo.

Da queste premesse geometriche, l’autore sviluppa il concetto centrale: il moto di un peso lungo un arco circolare è un moto misto. “Quod quidem grave descendat, hoc est a natura; sed quod per lineam curvam, hoc est contra naturam, et ideo iste descensus est mixtus ex naturali et violento” - (fr:1707) [Il fatto che un grave scenda, questo è per natura; ma che scenda lungo una linea curva, questo è contro natura, e perciò questa discesa è mista di naturale e violento]. La “violenza” è la componente che si oppone al moto naturale rettilineo verso il centro. Ne consegue che “pondus in libra tanto fit levius, quanto plus descendit in semicirculo” - (fr:1700) [il peso nel braccio della bilancia diventa tanto più leggero, quanto più scende nel semicerchio], poiché lungo l’arco maggiore “maior est violentia in motu” - (fr:1703) [c’è maggiore violenza nel moto]. Questa gravità variabile con la posizione è appunto la gravitas secundum situm.

L’analisi affronta una potenziale obiezione: cosa succede se il peso è in quiete e non in movimento? L’argomento è che la contrarietà sussiste anche nello stato di quiete, poiché questa può essere il termine intrinseco di un moto: “in quiete esse contrarietatem sicut in motu” - (fr:1728) [nella quiete c’è contrarietà come nel moto]. Pertanto, “grave in portione circuli inferiori, sive moveatur sive quiescat, levius est secundum situm” - (fr:1725) [il grave nella parte inferiore del cerchio, sia che si muova sia che sia in quiete, è più leggero secondo la posizione].

Il testo procede quindi a enucleare i sette assiomi (suppositiones) della scienza. Tra i più rilevanti: il moto di ogni grave tende al centro (P.001); un corpo è più grave in discesa quanto più il suo moto verso il centro è diretto (P.003); un corpo è più grave posizionalmente quanto meno obliqua è la sua discesa in quella posizione (P.004); la posizione di uguaglianza è l’equidistanza dal piano dell’orizzonte (P.007). Questi assiomi sono presentati come evidenti dalle argomentazioni precedenti e non bisognosi di dimostrazione all’interno della scienza stessa.

La sezione finale introduce le prime sette delle tredici proposizioni che costituiscono il corpo teorico dell’opera. La prima proposizione stabilisce una proporzionalità diretta tra peso e velocità di discesa propria, e una proporzionalità inversa tra discesa di un peso e ascesa dell’altro in un sistema collegato. Le proposizioni successive applicano i principi a casi concreti di bilance: con bracci uguali e pesi uguali c’è equilibrio (P.02); con bracci disuguali e pesi uguali, il braccio più lungo scende (P.05); un peso, allontanandosi dalla posizione orizzontale, diventa posizionalmente più leggero (P.04). Viene anche discussa un’ingegnosa proposizione (P.07) che confronta pesi sospesi con pendenti rigidi o liberi di oscillare, derivata da un esperimento (“ex quodam experimento facto” - fr:1717).

Storicamente, il testo testimonia uno stadio cruciale del pensiero scientifico medievale, che tenta di fondere la filosofia naturale aristotelica (con i concetti di moto naturale e violento) con l’analisi geometrica. Il tentativo di quantificare l’effetto della posizione sulla “gravità” effettiva di un corpo rappresenta un passo significativo verso una meccanica matematica, anticipando concetti che saranno pienamente sviluppati in epoca moderna. La struttura argomentativa, che parte da lemmi geometrici per costruire postulati e infine teoremi, riflette una metodologia deduttiva rigorosa, ponendo le basi per la scienza della statica.

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[15.1-23-1836|1858]

15 Analisi di un Trattato Medievale sull’Equilibrio delle Bilance

Commento a proposizioni meccaniche sul concetto di gravità posizionale ed esperimenti con leve.

Il testo estratto appartiene a un’opera scientifica medievale, il Liber de ponderibus, che tratta di meccanica, in particolare dell’equilibrio delle bilance e della leva. Un tema centrale è la distinzione tra gravità naturale e gravità posizionale (gravitas secundum situm), dove l’equilibrio dipende dalla disposizione dei pesi rispetto al fulcro, non solo dal loro peso intrinseco. La proposizione ottava stabilisce che pesi diversi possono bilanciarsi se sospesi su bracci di lunghezza inversamente proporzionale: “IF THE ARMS OF THE BALANCE ARE PROPORTIONAL TO THE WEIGHTS SUSPENDED, IN SUCH MANNER THAT THE HEAVIER WEIGHT IS SUSPENDED ON THE SHORTER ARM, THEN THE SUSPENDED WEIGHTS WILL BE OF EQUAL POSITIONAL GRAVITY” - (fr:1841) [Se i bracci della bilancia sono proporzionali ai pesi sospesi, in modo tale che il peso più grave sia sospeso sul braccio più corto, allora i pesi sospesi avranno un’uguale gravità posizionale]. Il commento precisa che l’equilibrio deriva dalla posizione, poiché “the weights will of necessity be equal by reason of po sition; because the weight and the arm on one side balance all the rest on the opposite side” - (fr:1843) [i pesi saranno necessariamente uguali per ragione di posizione; perché il peso e il braccio da un lato bilanciano tutto il resto sul lato opposto].

Una peculiarità è la discussione su esperimenti con pendenti flessibili, che possono trarre in inganno i non esperti: “To the unversed the experiment is de ceptive, causing the experimentor to be derisive of the truth” - (fr:1838) [Agli inesperti l’esperimento è ingannevole, causando allo sperimentatore di deridere la verità]. L’autore corregge questa impressione sostenendo che, se si considerano linee rigide tracciate dalle estremità dei bracci, il movimento diventa comprensibile. Viene poi esaminato il caso di corpi oblunghi sospesi in modo diverso (uno trasversale e uno verticale), dove l’equilibrio si ottiene quando le distanze dal fulcro del punto di sospensione di uno e del punto medio dell’altro sono uguali: “let that end be at the same distance from the axis of support, as is the mid point of the other body” - (fr:1846) [sia quell’estremità alla stessa distanza dall’asse di supporto, come lo è il punto medio dell’altro corpo].

La decima proposizione introduce un termine tecnico, canonium, spiegato come sinonimo di braccio della bilancia (brachium libre): “Canonium hic idem est quod brachium libre, quia est regula” - (fr:1849) [Il canone qui è lo stesso che il braccio della bilancia, perché è una regola]. La proposizione enuncia un rapporto proporzionale complesso per bilanciare un’asta (canonium) di spessore e densità uniformi, ma divisa in parti disuguali, sospendendo un peso all’estremità della parte più corta per renderla orizzontale. La dimostrazione utilizza un esempio numerico con palmi e pietre come unità: “Sit gratia exempli longitudo uniuscuiusque sex palmorum, et tollantur post hoc de uno quat tuor palmi” - (fr:1854) [Sia, per esempio, la lunghezza di ciascuno sei palmi, e dopo ciò si tolgano da uno quattro palmi]. Si conclude facendo riferimento agli Elementi di Euclide per giustificare il parallelismo con il piano orizzontale, mostrando l’integrazione della geometria classica nella meccanica: “manifestum est, propositione septima primi Euclidis, can onium fore parallelum epipedo orizontis” - (fr:1858) [è manifesto, per la proposizione settima del primo di Euclide, che il canone sarà parallelo al piano orizzontale].

Storicamente, il testo testimonia lo stadio della scienza meccanica nel tardo Medioevo, caratterizzato da uno sforzo di sistematizzazione teorica delle conoscenze pratiche sulle leve e da un linguaggio che mescola latino scolastico a volgarizzamenti. L’attenzione alla gravità posizionale, l’uso di esperimenti mentali e il ricorso ad autorità come Euclide illustrano i metodi d’indagine pre-galileiani e il ponte culturale tra l’antichità classica e la rivoluzione scientifica.

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[16.1-33-1913|1945]

16 Il De ratione ponderis: un trattato medievale di meccanica tra statica, dinamica e questioni attributive

Analisi del contenuto, del significato storico e della tradizione manoscritta di un’opera fondamentale per lo sviluppo della scienza medievale.

Il trattato De ratione ponderis è strutturato in quattro libri, ciascuno con un carattere e un contributo distinti. Il terzo libro, di argomento statico, apporta contributi importanti correggendo errori presenti in opere precedenti. In particolare, “The conditions determin ing stable and unstable equilibrium are correctly stated and proved” - (fr:1914) [Le condizioni che determinano l’equilibrio stabile e instabile sono correttamente enunciate e dimostrate], rettificando così un errore mantenuto persino nel primo libro dello stesso trattato. Un altro teorema significativo è quello sulla leva piegata, la cui dimostrazione si basa direttamente sulla legge del momento statico, a differenza di un teorema analogo nel primo libro che faceva ricorso al concetto di gravità posizionale e al principio del lavoro. Una peculiarità rilevante di diverse proposizioni in questo e nel quarto libro è la loro “striking affinity to certain passages of the Mechanical Problems attributed to Aristotle” - (fr:1916) [sorprendente affinità con certi passaggi dei Problemi Meccanici attribuiti ad Aristotele]. Questa somiglianza costituisce una prova storica cruciale, poiché “the presence of these theorems in the De ratione ponderis gives sure indication that some parts of the Mechanical Problems were known” - (fr:1917) [la presenza di questi teoremi nel De ratione ponderis dà sicura indicazione che alcune parti dei Problemi Meccanici erano conosciute], direttamente o indirettamente, già nel XIII secolo.

Il quarto libro rappresenta una svolta ambiziosa, trattando problemi di tipo dinamico completamente diversi dalla statica dei primi tre libri. I suoi diciassette teoremi cercano infatti di “extend the methods of mathematical analysis and proof… to such difficult questions as the movements of heavy bodies through resistant fluid media, variations of pressure with depth in liquids, the effect of acquired velocity… and the problem of elasticity” - (fr:1919) [estendere i metodi dell’analisi e della dimostrazione matematica… a questioni difficili come i movimenti di corpi pesanti in mezzi fluidi resistenti, le variazioni di pressione con la profondità nei liquidi, l’effetto della velocità acquisita… e il problema dell’elasticità]. Questo tentativo pionieristico, sebbene gravato da “numerous errors and frequent obscurities” - (fr:1920) [numerosi errori e frequenti oscurità], contiene ugualmente intuizioni potenzialmente feconde. Il suo significato storico è grandissimo, in quanto costituisce un “connecting link between the qualitative Aristotelian physics… and the new treatments of motion in quantitatively formulable terms” - (fr:1922) [anello di congiunzione tra la fisica aristotelica qualitativa… e i nuovi trattati del moto in termini quantitativamente formulabili] del XIV secolo. Un concetto dinamico chiave qui introdotto è quello di “impetus” o “impulsio”, inteso come “a dynamic factor of ‘violence’ which modifies the natural force due to the weight of a body” - (fr:1924) [un fattore dinamico di ‘violenza’ che modifica la forza naturale dovuta al peso di un corpo], per analogia con la gravità posizionale nella statica. L’autore spiega che “Whereas ‘positional gravity’ is a modification of natural gravity due to connection of a weight with an axis of rotation, ‘impulsion’ or ‘impetus’ is a modification of natural gravity due to an acquired velocity” - (fr:1926) [Mentre la ‘gravità posizionale’ è una modificazione della gravità naturale dovuta alla connessione di un peso con un asse di rotazione, l’‘impulso’ o ‘impeto’ è una modificazione della gravità naturale dovuta a una velocità acquisita].

Sulla paternità dell’opera, l’analisi confuta la tesi di Pierre Duhem, il quale dubitava che Jordanus de Nemore ne fosse l’autore perché il De ratione ponderis corregge teoremi errati presenti negli Elementa Jordani. Duhem considerava quindi il trattato come opera di “a gifted disciple of Jordanus, whom he called ‘the precursor of Leonardo’” - (fr:1929) [un dotto discepolo di Giordano, che chiamò ‘il precursore di Leonardo’]. Tuttavia, questa congettura è considerata debole e confutata da tutte le evidenze esterne. L’attribuzione a Jordanus è sostenuta dall’“unanimous attribution of the treatise to Jordanus by all the extant manuscripts so far identified” - (fr:1931) [attribuzione unanime del trattato a Giordano da parte di tutti i manoscritti esistenti finora identificati] e da testimonianze quasi contemporanee. La correzione degli errori negli Elementa non è vista come una prova contro l’autenticità, ma piuttosto come un segno di progresso intellettuale: “The fact that the De ratione ponderis replaces the two erroneous theorems… with a new and correct theorem, indicates only that Jordanus came to see that these two theorems were erroneous” - (fr:1933) [Il fatto che il De ratione ponderis rimpiazzi i due teoremi errati… con un nuovo e corretto teorema, indica solo che Giordano giunse a comprendere che quei due teoremi erano erronei]. Pertanto, “There would seem to be no reason therefore, to question the authenticity of the De ratione ponderis as a work of Jordanus de Nemore” - (fr:1936) [Non sembrerebbe esserci quindi alcuna ragione di mettere in dubbio l’autenticità del De ratione ponderis come opera di Giordano di Nemore].

La presente edizione critica si basa su quattro buone copie manoscritte. Le due migliori e probabilmente più antiche, cui il testo dà preferenza, sono il Ms. lat. 8680A della Bibliothèque Nationale di Parigi e il Ms. Auct. F.5.28 della Bodleian Library di Oxford. Un terzo manoscritto, l’Harleian 13, è una copia meno accurata del XIII secolo con diverse omissioni. Il Codex Vaticanus Reginensis 1261, dei secoli XIV-XV, offre un testo affidabile ma con interpolazioni non originali. Viene utilizzata in modo supplementare anche l’edizione a stampa del 1565 (Jordani Opusculum de ponderositate), che rappresenta una buona tradizione testuale.

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[17.1-24-2026|2049]

17 Analisi di un trattato di statica sulla bilancia e l’equilibrio dei pesi

Studio geometrico-deduttivo sul comportamento di una bilancia a bracci uguali con pesi uguali e disuguali, volto a dimostrare la tendenza al ritorno alla posizione orizzontale.

Il testo costituisce un frammento di trattato scientifico dedicato alla statica, in particolare al comportamento della bilancia. Definisce innanzitutto una bilancia a bracci uguali come quella in cui “the arms of the beam, measured from the axis of rotation, are equal” - (fr:2027) [i bracci del bilanciere, misurati dall’asse di rotazione, sono uguali]. Il principio fondamentale enunciato è che, in caso di pesi disuguali, “THE BALANCE WILL FALL ON THE SIDE OF THE HEAVIER WEIGHT UNTIL IT REACHES THE VERTICAL POSITION” - (fr:2026) [LA BILANCIA CADRÀ DAL LATO DEL PESO MAGGIORE FINO A RAGGIUNGERE LA POSIZIONE VERTICALE].

La trattazione si concentra poi sul caso di pesi uguali (b e c). Viene introdotto un modello geometrico in cui i punti di sospensione dei pesi descrivono un arco di circonferenza. Si afferma che, se i pesi sono uguali e la bilancia è orizzontale, “the descents along these paths are of equal obliquity, and since b and c are equal weights, therefore neither of them will move” - (fr:2029) [le discese lungo questi percorsi sono di uguale obliquità, e poiché b e c sono pesi uguali, quindi nessuno dei due si muoverà]. Se la bilancia viene sbilanciata, la dimostrazione procede con un’analisi geometrica dettagliata: si confrontano archi uguali DC e BG e le loro proiezioni verticali ZM e KY. La conclusione è che “quilibet arcus sub C plus capit de directo quam ei equalis sub B, directior est descensus a C quam a B” - (fr:2037) [qualsiasi arco sotto C ha una componente verticale maggiore di un arco uguale sotto B, la discesa da C è più diretta (meno obliqua) di quella da B]. Poiché la discesa meno obliqua conferisce un vantaggio meccanico, il peso c, nella posizione più elevata, risulta in quel momento più “grave” (efficace) e il sistema “will revert to the horizontal position” - (fr:2031) [tornerà alla posizione orizzontale].

Il discorso si estende al caso in cui “b be heavier than c” - (fr:2038) [b sia più pesante di c], inizialmente con la bilancia orizzontale. In questa configurazione, poiché l’obliquità di discesa è uguale per entrambi, “it is evident that b will descend” - (fr:2039) [è evidente che b scenderà]. L’analisi prosegue esaminando una posizione qualsiasi con b più in basso e c più in alto, dimostrando attraverso il confronto degli angoli di obliquità (anguli DCZ e DCM) che il vantaggio in peso di b supera l’eventuale vantaggio in obliquità di c. Pertanto, “gravius erit b in hoc situ quam c” - (fr:2042) [b sarà più grave (pesante) in questa posizione di c] e “b non desinet descendere, et c ascendere, usque FE” - (fr:2042) [b non cesserà di scendere, e c di salire, fino a FE (probabilmente la verticale)].

Il principio generale che emerge e che sembra guidare l’intera argomentazione è riassunto nell’assioma: “OMNE PONDUS, IN QUAMCUMQUE PARTEM AB EQUALITATE DISCEDAT, SECUNDUM SITUM FIT LEVIUS” - (fr:2043) [OGNI PESO, IN QUALUNQUE DIREZIONE SI ALLONTANI DALLA POSIZIONE DI EQUILIBRIO, DIVENTA PIÙ LEGGERO IN RELAZIONE ALLA SUA POSIZIONE]. Il metodo è marcatamente geometrico e qualitativo, basato sul concetto chiave di obliquità del percorso di discesa come fattore che riduce l’efficacia di un peso. Il testo presenta un alto grado di formalizzazione, con l’uso continuo di lettere per punti e linee (es. asse A, trave BAC, verticale FRZMAKYE) e riferimenti a figure non presenti (Fig. Rl.OZb, Rl.OZc). Questo stile, unito al bilinguismo latino-inglese, colloca il frammento nella tradizione della scienza medievale o rinascimentale, testimoniando la transizione tra il sapere antico e la nascita della meccanica moderna, ancora fondata su dimostrazioni euclidee piuttosto che su grandezze quantitative come il momento della forza.

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[18.1-42-2127|2168]

18 Analisi di un Trattato di Statica sulla Bilancia con Bracci Disuguali

Dimostrazione geometrica dell’equilibrio di pesi uguali su bracci di lunghezza diseguale, basata sul principio della gravità posizionale.

Il testo, estratto da un trattato scientifico di meccanica classica, verte sul principio di equilibrio per una leva o bilancia i cui bracci, di lunghezza diseguale, formano un angolo nel fulcro. Il concetto centrale è che pesi uguali rimangono in equilibrio se sospesi a estremità equidistanti dalla verticale passante per il fulcro, anche se i bracci hanno lunghezze diverse. Questo principio è enunciato chiaramente: “IF THE ARMS OF A BALANCE ARE UNEQUAL, AND FORM AN ANGLE AT THE AXIS OF SUPPORT, THEN, IF THEIR ENDS ARE EQUIDISTANT FROM THE VERTICAL LINE PASSING THROUGH THE AXIS OF SUPPORT, EQUAL WEIGHTS SUSPENDED FROM THEM WILL, AS SO PLACED, BE OF EQUAL HEAVINESS” - (fr:2135, 2147).

La dimostrazione si articola in due parti principali, una algebrico-geometrica e una più squisitamente geometrica. La prima parte (frasi 2127-2134) introduce un esperimento concettuale con un corpo rigido (ADE) e un peso sospeso (BG). Si stabilisce che se il punto di sospensione B è posto in modo che la distanza BC sia uguale alla somma CA + AD, allora i due corpi sono in equilibrio. La prova procede scomponendo il peso doppio xl in due metà e confrontando proporzioni geometriche, concludendo che “xl will be equal in weight to y plus y, in this position” - (fr:2133). La generalizzazione deriva dal fatto che “any two parts of ADE equidistant from D are equal in weight to two equal parts of BG” - (fr:2134), stabilendo così l’uguaglianza dei totali.

La seconda parte (da 2136 in poi) offre una dimostrazione per assurdo e una costruzione geometrica più generale. Si definiscono il fulcro C, il braccio lungo AC e quello corto BC, tracciando la verticale CEG. Si pongono pesi uguali a e b in A e B, punti le cui distanze orizzontali AG e BE dalla verticale sono uguali. L’assunto è che in questa disposizione i pesi “non mutabuntur” - (fr:2137). La prova per assurdo esamina due scenari di squilibrio ipotetici: se a fosse più pesante, scendendo in X farebbe salire b in M. Tuttavia, confrontando le componenti verticali degli spostamenti (le perpendicolari MP e XT), si giunge a una contraddizione: “MP maior XT; quare plus ascendit b secundum rectitudinem, quam a descendit, quod est impossibile cum sint equalia” - (fr:2141). Un secondo scenario porta a un’impossibilità analoga.

Per maggiore chiarezza, viene introdotta una nuova figura con semicerchi e linee parallele al diametro. Si dimostra che i segmenti che congiungono i punti di sospensione (come BXF) sono bisecati dal diametro verticale: “erit BX equalis XF; et ita omnes divise erunt per medium” - (fr:2145, 2161-2162). Poiché i centri di gravità di questi segmenti (i loro punti medi) coincidono tutti col centro C, i pesi sospesi ai loro estremi “equaliter ergo ponderant” - (fr:2146, 2163). Questo passa dal caso semplice a due pesi a una configurazione simmetrica con più pesi (A, B, D, E, F).

Un’osservazione finale sottile introduce una possibile variante dinamica o una catena di pesi ineguali (fr:2164-2168). Si ipotizza una serie di pesi dove a > b > f > d > e, ma si nota che d non può sollevare e. Tuttavia, se viene dato un impulso (nutu facto), si innesca una reazione a catena (“et b similiter a; et d, a ; et a , d; et b, L et f, b”) finché il sistema non si dispone con l’angolo al di sopra del centro. Il movimento verso il basso di un peso (b^inferius) fa aumentare il braccio della leva (“crescet semper pars linee BA versus B”), alterando l’equilibrio e rendendo quel peso effettivamente più grave (“fiet b gravius”). Questo passaggio sembra accennare a una condizione di equilibrio instabile o a un principio di azione dinamica oltre la pura statica.

Elementi peculiari e terminologia specifica: Il testo fa uso del concetto di “positional gravity” o gravità posizionale (fr:2134, 2159), fondamentale per comprendere l’equilibrio non in base al solo peso, ma alla sua disposizione geometrica rispetto al fulcro. Le dimostrazioni si basano interamente su relazioni geometriche (similitudine di triangoli, uguaglianza di archi e segmenti) e proporzioni, caratteristica della scienza pre-newtoniana. La notazione con lettere e simboli (come xl^, b^ ) è arcaica ma sistematica.

Significato storico e testimonianza scientifica: Il testo è un esempio emblematico del metodo della scienza medievale o rinascimentale, che applica rigorose dimostrazioni euclidee a problemi fisici. Rappresenta un tassello nello sviluppo della statica, in particolare nello studio delle condizioni di equilibrio per le leve in configurazioni non standard. Il ricorso a dimostrazioni per assurdo e a costruzioni geometriche complesse testimonia una fase in cui la fisica era profondamente intrecciata con la geometria. L’ultima considerazione sulla possibilità di un moto a catena indotto da un impulso suggerisce un interesse nascente per le transizioni dinamiche tra stati di equilibrio, anticipando concetti che saranno sviluppati più compiutamente in seguito.

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[19.1-43-2211|2253]

19 Analisi di un estratto dal trattato “De ratione ponderis”

Problematica dell’equilibrio di un bilanciere pesante con carichi sospesi e relative soluzioni matematiche.

Il testo estratto affronta un problema classico della statica medievale: determinare le condizioni di equilibrio per un bilanciere (o leva) dotato di peso proprio uniforme e caricato da un peso esterno. La trattazione è interamente deduttiva e si articola in tre proposizioni principali (R2.01, R2.02, R2.03), ciascuna delle quali esplora la determinazione di un parametro ignoto a partire da altri noti, seguite da una serie di considerazioni algebrico-geometriche generali.

La prima proposizione stabilisce che, dato un bilanciere ABC di peso uniforme e noto, e dato un corpo di peso noto d sospeso dall’estremità C più corta, è possibile determinare le lunghezze dei due bracci. Il ragionamento poggia sull’idea di equilibrio, paragonando il sistema a uno in cui il peso del bilanciere è concentrato nel suo punto medio: “poiché h e d sono di uguale pesantezza in questa posizione, la proporzione di d rispetto a h sarà quella di ZB rispetto a BC” - (fr:2225). Attraverso manipolazioni di proporzioni (permutatim e coniunctim), si arriva a una relazione risolutiva: “Se dunque l’intero peso ABC è moltiplicato per la sua metà, e il prodotto è diviso per d e AC, che sono dati, risulterà BC dato” - (fr:2213) [traduzione da (fr:2228)].

La seconda proposizione inverte il problema: se sono note le lunghezze dei bracci (AB e BC), allora sarà determinabile il peso d sospeso. La logica è consequenziale: “poiché, come premesso, il peso d con l’intera AC sta alla sua metà come l’intera AC sta a BC […] se si moltiplica AC per la sua metà come prima, e il prodotto si divide per BC, risulterà il peso d e l’intera AC” - (fr:2215) [traduzione da (fr:2230)]. Sottraendo il peso noto del bilanciere (AC), si ottiene il peso incognito d.

La terza proposizione considera noti il peso sospeso d e la lunghezza del braccio a cui è appeso (BC), per determinare l’intera lunghezza del bilanciere (ABC). Il procedimento, più complesso, utilizza un’uguaglianza di prodotti e un riferimento esplicito agli Elementi di Euclide per trasformare la relazione in un’equazione quadratica: “Ma ciò che risulta da EA per AC, con il quadrato di BC, vale come il quadrato di BA, per la prima e la quarta del secondo di Euclide” - (fr:2236). Si conclude che “dunque il quadrato di BA è dato; quindi la sua radice, cioè BA, è data” - (fr:2238).

La sezione finale contiene generalizzazioni matematiche che esplicitano le relazioni fondamentali tra i quadrati delle grandezze in gioco (peso sospeso, lunghezze dei bracci). Qui il testo mostra la sua peculiarità di fondere fisica e matematica pura, cercando di ricondurre le relazioni pratiche a forme geometriche canoniche, come nell’affermazione: “Il quadrato di d, BC, è come il quadrato di d e il quadrato di BA” - (fr:2241).

Storicamente, il brano è una chiara testimonianza del metodo scientifico scolastico e pre-galileiano. Il riferimento a Euclide e la riduzione di un problema fisico (l’equilibrio) a proporzioni e teoremi geometrici è emblematico dell’approccio della matematica medievale ai fenomeni naturali. Il testo opera all’interno della tradizione degli gravitas secundum situm, esaminando come la “pesantezza posizionale” di un corpo vari in base alla sua disposizione meccanica. La struttura proposizionale (con enunciato del problema, dimostrazione e conclusione) e l’uso sistematico del latino tecnico lo collocano come parte integrante di un trattato sistematico, probabilmente destinato allo studio e alla disputazione nelle scuole.

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[20.1-60-2256|2315]

20 Analisi di un trattato sull’equilibrio delle leve

Principi geometrici e algebrici per la determinazione di grandezze note in un sistema meccanico.

Il testo presenta una serie di proposizioni matematiche relative all’equilibrio di una leva o bilancia, dove i segmenti rappresentano bracci e i termini come d e h rappresentano pesi. Il metodo è rigorosamente deduttivo e si fonda sulla trasformazione di rapporti di equilibrio in relazioni algebriche e geometriche, richiamando esplicitamente gli Elementi di Euclide. Un elemento peculiare è l’uso combinato di algebra e geometria, tipico della scienza medievale e rinascimentale, dove “the product of EA by AC, plus the square of BC, is equal to the square of BA—by the first and fourth propositions of the second book of Euclid, expressed in numbers” - (fr:2256) [“Il prodotto di EA per AC, più il quadrato di BC, è uguale al quadrato di BA—in base alla prima e alla quarta proposizione del secondo libro di Euclide, espresse in numeri”]. Questo passo testimonia il metodo di fondare le nuove conoscenze meccaniche sull’autorità della geometria classica.

Il procedimento logico si sviluppa attraverso la determinazione di grandezze “date” (note) a partire da altre grandezze altrettanto note. Il nucleo del ragionamento è mostrato nella serie di uguaglianze che legano il peso d e i segmenti BC e BA: “Therefore the product of d by twice BC, plus the square of BC, is equal to the square of BA” - (fr:2257) [“Dunque il prodotto di d per il doppio di BC, più il quadrato di BC, è uguale al quadrato di BA”]. Poiché d e BC sono dati, anche BA risulta determinata. Il metodo pratico è sintetizzato in seguito: “The method is to add the square of BC to the product of d by twice BC; and the root of this sum will be BA” - (fr:2262) [“Il metodo consiste nell’aggiungere il quadrato di BC al prodotto di d per il doppio di BC; e la radice di questa somma sarà BA”].

Il testo enuncia poi alcuni principi generali che governano questi calcoli, espressi come relazioni tra quadrati e prodotti. Ad esempio: “the square of d plus BC is equal to the square of cl plus the square of BA” - (fr:2263) [“il quadrato di d più BC è uguale al quadrato di cl più il quadrato di BA”]. La notazione sembra subire una variazione (da d a cl), che potrebbe indicare un refuso o una convenzione testuale peculiare. Il trattato procede quindi ad esaminare casi specifici, invertendo le grandezze note e quelle da determinare.

Viene trattato il caso in cui siano noti il peso e un segmento: “BUT IF THE WEIGHT IS GIVEN, AND THE OPPOSITE SEGMENT IS LIKEWISE GIVEN, THE WHOLE BEAM WILL THEREBY BE GIVEN” - (fr:2272) [“MA SE IL PESO È DATO, E IL SEGMENTO OPPOSTO È PARIMENTO DATO, L’INTERA TRAVE SARÀ DI CONSEGUENZA DATA”]. Il ragionamento si basa sempre sull’uguaglianza fondamentale dei quadrati: “Then the sum of their squares will be given, which is equal to the square of d plus BC; and thus its root, dplus BC, will be given” - (fr:2274) [“Allora la somma dei loro quadrati sarà data, la quale è uguale al quadrato di d più BC; e dunque la sua radice, d più BC, sarà data”].

Un altro caso considera nota la somma di un peso sospeso e del segmento su cui pende: “IF THE BEAM IS OF A GIVEN WEIGHT, AND THERE IS GIVEN THE SUM OF THE SUSPENDED WEIGHT AND OF THE SEGMENT ON WHICH IT HANGS, EACH COMPONENT OF THIS SUM WILL THEREBY BE GIVEN” - (fr:2288) [“SE LA TRAVE È DI UN PESO DATO, ED È DATA LA SOMMA DEL PESO SOSPESO E DEL SEGMENTO SU CUI ESSO PENDE, OGNI COMPONENTE DI QUESTA SOMMA SARÀ DI CONSEGUENZA DATO”]. La dimostrazione si svolge attraverso una serie di operazioni algebriche sui quadrati e sui prodotti, come registrato nella frase latina: “Erit enim datum quadratum ci, BC, cum eo quod fit ex ipso in ABC bis” - (fr:2276) [“Sarà infatti dato il quadrato di ci, BC, con quello che risulta dallo stesso in ABC due volte”].

L’ultima parte introduce un sistema più complesso con due pesi sospesi dal braccio più corto: “IF THE WEIGHTS OF THE ARMS OF THE BALANCE ARE GIVEN, AND IF THE SHORTER ARM IS DIVIDED INTO TWO SEGMENTS, LIKEWISE GIVEN, AND IF FROM THE POINT OF DIVISION THERE IS SUSPENDED A WEIGHT SUCH AS WILL HOLD THE BALANCE IN EQUILIBRIUM, THE AMOUNT OF THE WEIGHT WILL BE PROVED TO BE GIVEN” - (fr:2299) [“SE I PESI DELLE BRACCIA DELLA BILANCIA SONO DATI, E SE IL BRACCIO PIÙ CORTO È DIVISO IN DUE SEGMENTI, PARIMENTO DATI, E SE DAL PUNTO DI DIVISIONE È SOSPESO UN PESO TALE DA MANTENERE LA BILANCIA IN EQUILIBRIO, SARÀ DIMOSTRATO CHE L’ENTITÀ DEL PESO È DATA”]. Qui il ragionamento si fonda sul confronto proporzionale tra pesi e segmenti: “Sicut igitur BC ad BE, ita erit d ad h; cumque sit h datum, et d datum erit” - (fr:2285) [“Dunque come BC sta a BE, così d starà ad h; e poiché h è dato, anche d sarà dato”]. Questo passaggio mostra come il problema dell’equilibrio venga ricondotto a una semplice proporzione, un principio fondamentale della statica.

Il significato storico del testo risiede nella sua testimonianza di uno stadio della scienza meccanica in cui la trattazione dei problemi fisici è ancora profondamente intrecciata con il linguaggio e il metodo della geometria euclidea. L’uso prevalente del latino in ampie sezioni, come in “DERATIONEPONDERIS” (fr:2275, 2281), segnala l’appartenenza a una tradizione accademica e scolastica. L’opera rappresenta un tentativo di sistematizzazione matematica dei principi dell’equilibrio, ponendo le basi per la successiva formalizzazione della statica.

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[21.1-43-2332|2374]

21 Analisi di un trattato di statica medievale sull’equilibrio delle leve

Determinazione del peso di un’asta e delle lunghezze dei bracci attraverso il principio di equilibrio.

Il testo costituisce un frammento di un trattato scientifico, presumibilmente medievale o rinascimentale, dedicato alla statica e all’analisi delle leve. Il nucleo concettuale ruota attorno al principio di equilibrio, espresso attraverso relazioni proporzionali tra pesi e distanze dal fulcro. L’obiettivo principale è dimostrare come, note alcune grandezze (pesi o lunghezze), sia possibile determinare le altre incognite in un sistema in equilibrio. Il metodo è puramente deduttivo e geometrico, tipico della scienza pre-galileiana.

La prima sezione affronta il problema inverso: determinare il peso proprio di un’asta (o “regula”). Si postula un’asta ABC con fulcro in B, dove il rapporto tra i bracci AB e BC è noto. Se un peso noto d, appeso all’estremità C, mantiene l’asta in equilibrio, allora anche il peso dell’asta stessa è determinabile. La dimostrazione procede per proporzioni: “Sicut ergo se habet pondus d prius sumptum, ad posterius sump tum, ita se habebit pondus ABC ad pondus positum” - (fr:2334) [Come dunque il peso d preso prima sta al peso preso dopo, così starà il peso ABC al peso posto]. Il metodo implica l’assegnazione di un peso arbitrario all’asta, la sua ripartizione secondo il rapporto dei bracci, e il calcolo di un peso teorico per d; il confronto con il peso reale di d fornisce il peso reale dell’asta.

La seconda sezione enuncia un principio più generale, presentato come proposizione: “SI REGULA DATI PONDERIS PER INEQUALIA DIVIDA TUR, ET A TERMINIS IPSIUS DATA PONDERA APPENDANT UR QUE IN EQUALITATE CONSISTANT, BRACHIA QUOQUE LIBRE A CENTRO EXAMINIS DATA ERUNT” - (fr:2338) [SE UN’ASTA DI PESO DATO È DIVISA IN BRACCI DISUGUALI, E DAI SUOI ESTREMI SONO APPESI PESI DATI CHE LA MANTENGONO IN EQUILIBRIO, ANCHE I BRACCI DELLA BILANCIA DA OGNI PARTE DEL FULCRO SARANNO DETERMINATI]. Segue una complessa dimostrazione per exemplum, che introduce punti ausiliari (Z, T) e pesi virtuali (hy). Il ragionamento si basa sulla manipolazione di continue proporzioni, come in: “et permutatim e^ad TB sicut hy, sive h et AZ, ad BC; quare, sicut e cum TB ad TB, ita h cum AB ad BC” - (fr:2341) [e alternando, e sta a TB come hy, cioè come h e AZ, sta a BC; perciò, come e più TB sta a TB, così h più AB sta a BC]. Il procedimento logico-matematico mira a esprimere una lunghezza incognita (BC) in funzione di grandezze note.

Il testo procede poi con una serie di corollari e casi particolari, che esplorano diverse combinazioni di dati e incognite. Ad esempio, stabilisce che: “Amplius si, data ABC, fuerint AB et BC date, et totum d, e, datum, et d et e erit datum” - (fr:2363) [Inoltre, se, dato ABC, AB e BC sono date, e l’insieme di d, e è dato, allora sia d che e saranno dati]. Questo evidenzia l’intenzione sistematica di coprire tutte le varianti del problema. Un principio fondamentale è richiamato esplicitamente: “Hoc habetur ex premissa, quia mutua est inter pondera et remotiones proportio” - (fr:2369) [Ciò si ricava dalla premessa, perché reciproca è la proporzione tra i pesi e le distanze]. Questa affermazione riconduce direttamente alla legge della leva, fondamento della statica antica.

Elementi peculiari includono l’uso di una notazione ibrida (lettere latine per punti e pesi, con simboli matematici primitivi come “^” e “4»”) e il costante riferimento a diagrammi (“Fig. R2.08”, “Fig. R2.09”), oggi perduti, essenziali per la comprensione geometrica. Il testo funge da testimonianza del metodo scientifico scolastico, basato sul commento di proposizioni, sull’argomentazione per proporzioni geometriche e sull’assenza di un approccio quantitativo sperimentale. La sua rilevanza storica risiede nell’essere un tassello della lunga tradizione che, da Archimede attraverso gli autori medievali come Jordanus de Nemore, ha preservato e sviluppato la meccanica fino alla svolta della scienza moderna.

[22]

[22.1-64-2496|2559]

22 Analisi di estratti dal trattato “De Ratione Ponderis” sulle proprietà dei fluidi e il moto dei corpi

Un’indagine sui fattori che influenzano il movimento e l’equilibrio dei corpi solidi all’interno di mezzi fluidi, come l’aria e l’acqua.

Il testo, estratto dalla quarta parte di un’opera intitolata “De Ratione Ponderis”, presenta una serie di proposizioni (R4.01 - R4.08) che indagano sistematicamente le leggi del moto dei corpi pesanti attraverso i fluidi. Il metodo argomentativo combina ragionamento logico-deduttivo con esempi concreti, servendosi spesso di diagrammi (citati come Fig. R4.02, R4.03, etc.) per illustrare situazioni fisiche idealizzate. Un principio cardine, esposto all’inizio, afferma che “OMNE MEDIUM RESISTIT EI QUOD IN IPSO MOVETUR” - (fr:2502) [Ogni mezzo resiste a ciò che in esso si muove]. Questo concetto è dimostrato attraverso un paragone con una bilancia, dove il mezzo (indicato come £) che oppone resistenza è paragonato a un peso: se non avesse gravità e non resistesse, un corpo in discesa (ab) potrebbe spingerlo verso il basso senza sforzo e, per contro, sollevare un peso equivalente (d) dall’altro lato, il che viene giudicato impossibile. L’argomentazione prosegue considerando anche il caso in cui il mezzo abbia peso proprio, concludendo che in ogni caso la resistenza è inevitabile.

La trattazione si focalizza poi sulle proprietà del mezzo che modificano la resistenza. Si stabilisce che “QUO PONDEROSIUS EST PER QUOD FIT TRANSITUS, EO IN TRANSEUNDO DIFFICILIOR FIT DESCENSUS” - (fr:2499) [Quanto più è pesante il mezzo attraverso il quale avviene il passaggio, tanto più difficile è la discesa nel transitare]. I mezzi citati sono specificatamente “aer et aqua et alia liquida” - (fr:2500) [l’aria e l’acqua e altri liquidi]. Un altro fattore è la coesione interna del mezzo: “QUOD MAGIS COHERET, PLUS SUSTINET” - (fr:2517) [Quanto più [un corpo] è coeso, più sostiene]. Si spiega che un mezzo più coeso oppone una maggiore resistenza perché il corpo in movimento (T) deve separarne le parti o trascinarle con sé.

Vengono quindi analizzati gli effetti geometrici del contenitore fluido. Una proposizione dichiara che “IN PROFUNDO MAGIS EST DESCENSUS TARDIOR” - (fr:2522) [A maggiore profondità la discesa è più lenta]. La spiegazione fisica offerta è che nelle profondità di un liquido (come la parte E), le parti inferiori sono compresse sia dal peso delle parti sovrastanti che dalla pressione laterale delle parti adiacenti (B e G). Questa compressione genera una spinta verso l’alto (“nititur contra” - (fr:2526) [spinge contro]) che si oppone al movimento discendente di un corpo. Allo stesso modo, si afferma che “LATITUDO MAIOR MINUIT GRAVITATEM” - (fr:2528) [Una larghezza maggiore diminuisce la gravità]. In un recipiente più largo, una parte inferiore del fluido (come E) è gravata da una colonna più ampia di liquido sovrastante (es. da A e D), il che aumenta la sua compressione e la conseguente spinta contraria, ritardando così la discesa e diminuendo l’efficacia della gravità sul corpo T.

Il testo esamina infine le caratteristiche del corpo in movimento. Viene osservato un principio di accelerazione: “RES GRAVIS, QUO AMPLIUS DESCENDIT, EO FIT DESCENDENDO VELOCIOR” - (fr:2542) [Un corpo pesante, quanto più discende, tanto diventa più veloce nel discendere], notando che questo è più vero nell’aria che nell’acqua. La spiegazione fornita è dinamica: il corpo in movimento mette in moto le particelle del mezzo vicine, e queste, una volta mosse, offrono meno resistenza alle particelle successive, in un processo che si autoalimenta. Inoltre, la forma del corpo è determinante: “FORMA PONDEROSI MUTAT VIRTUTEM PONDERIS” - (fr:2546) [La forma di un corpo pesante cambia la virtù del peso]. Un corpo acuto o affusolato (“acutum vel strictum”) transita più facilmente perché separa il mezzo con minore sforzo e incontra meno resistenza. Il trattato si chiude con un’ulteriore considerazione dinamica: “OMNE MOTUM PLUS MOVET” - (fr:2551) [Ogni corpo mosso muove di più], nel senso che un corpo in movimento, specialmente se più veloce, diventa più efficace nell’impulso che può trasmettere.

Storicamente, il testo rappresenta una significativa testimonianza del pensiero fisico pre-moderno, che tenta di spiegare fenomeni complessi come la resistenza fluidodinamica e la pressione idrostatica attraverso principi meccanici qualitativi e analogie con solidi e bilance. La terminologia (es. “offendit”, “impeditur”, “nititur contra”) riflette una concettualizzazione delle forze ancora lontana da una formulazione matematica, ma l’analisi è sistematica e attenta ai dettagli osservativi, come la differenza di comportamento tra aria e acqua o l’effetto della forma dei corpi.

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[23.1-26-2562|2587]

23 Principi dinamici nei mezzi resistenti e la modifica della forza peso

Analisi di un estratto che esplorainterazioni tra gravità, forma dei corpi e resistenza del mezzo nell’ambito di una teoria del moto pre-newtoniana.

Il testo esamina i fattori che regolano il movimento dei corpi pesanti, in particolare quando avviene attraverso un mezzo resistente. Un concetto peculiare è l’interazione reciproca e di rinforzo tra il corpo in caduta e il mezzo stesso: “And so it comes about that the gravity of the falling body is aided by the traction of those parts of the medium, and their movement in turn is aided by the body’ s gravity” - (fr:2562) [E così avviene che la gravità del corpo che cade è aiutata dalla trazione di quelle parti del mezzo, e il loro movimento a sua volta è aiutato dalla gravità del corpo.]. Questa azione congiunta ha come conseguenza diretta un aumento progressivo della velocità: “Hence its velocity also is observed to be continuously multiplied” - (fr:2563) [Di qui la sua velocità si osserva essere continuamente moltiplicata.].

La forma del corpo emerge come un fattore determinante nel modificare l’efficacia del suo peso durante il moto. Viene affermato che “THE SHAPE OF A HEAVY BODY MODIFIES THE FORCE OF ITS WEIGHT” - (fr:2564) [LA FORMA DI UN CORPO PESANTE MODIFICA LA FORZA DEL SUO PESO.]. Un corpo affusolato o sottile attraversa il mezzo più facilmente per due ragioni principali: lo divide più agevolmente e ne incontra una minore quantità, subendo quindi meno resistenza. Al contrario, un corpo ottuso incontra maggiori difficoltà. Questo principio è espresso chiaramente: “For it divides the medium more easily, and thus it becomes lighter. It also encounters less of the medium, and is less resisted; and on this account also it traverses the medium more rapidly. The opposite is the case, when the body is blunt” - (fr:2566, 2567, 2568) [Perché divide il mezzo più facilmente, e così diventa più leggero. Incontra anche meno mezzo, ed è meno resistito; e per questo motivo attraversa il mezzo più rapidamente. Il contrario accade, quando il corpo è ottuso.].

Il trattato introduce poi l’idea che il moto stesso si autoalimenti: “EVERY BODY, BY BEING IN MOTION, MOVES MORE” - (fr:2569) [OGNI CORPO, ESSENDO IN MOTO, SI MUOVE DI PIÙ.]. Se il corpo è messo in movimento per impulso, è certo che esso debba a sua volta spingere il mezzo. Se cade con il suo moto naturale, più si muove e più diventa veloce e, di conseguenza, più pesante, esercitando un impulso maggiore rispetto a quando è fermo. Questo circolo virtuoso è descritto nella frase: “the more it is moved, the faster it becomes, and therefore so much the heavier; and it gives a greater impulsion, when in motion, than without being in motion; and the more it is moved, the greater the impulsion” - (fr:2571) [più è mosso, più diventa veloce, e quindi tanto più pesante; e dà un maggiore impulso, quando è in moto, che senza essere in moto; e più è mosso, maggiore è l’impulso.].

La sezione successiva, presentata in latino e corredata da riferimenti a diagrammi (Fig. R4.09, R4.10, R4.11), elabora principi meccanici più astratti attraverso esempi di leve e forze. Enuncia il principio per cui “QUOD MOTUM PLUS IMPEDIT, PLUS IMPELLITUR” - (fr:2572) [CIÒ CHE IMPEDISCE DI PIÙ IL MOTO, VIENE PIÙ FORTEMENTE SPINTO.], dimostrato attraverso un ragionamento su pesi e bilancieri. Un altro principio afferma che sia un corpo troppo leggero che uno troppo pesante possono vanificare la forza del motore: “ET GRAVITAS REI MOTE, ET LEVITAS, FRUSTRARE VIDETUR MOVENTIS VIRTUTEM” - (fr:2578) [E LA GRAVITÀ DELLA COSA MOSSA, E LA LEGGEREZZA, SEMBRANO VANIFICARE LA VIRTÙ DEL MOVENTE.]. La ragione è che un corpo eccessivamente leggero oppone poca resistenza e quindi viene a malapena spinto, mentre uno eccessivamente pesante cede poco alla forza che lo spinge e quindi si muove appena o per nulla. In entrambi i casi “virtus impellentis, quia non confert ad motum rei impulse, vel parum” - (fr:2582) [la virtù dell’impellente, perché non contribuisce al moto della cosa spinta, o poco.].

Infine, viene analizzato come la rotazione o il braccio di leva possano aumentare l’efficacia della forza impressa: “VIRTUTEM IMPELLENTIS ADIUVAT CIRCUMACTIO IPSIUS, EO AMPLIUS QUO FUERIT LONGIUS” - (fr:2583) [LA VIRTÙ DELL’IMPELENTE È AIUTATA DALLA ROTAZIONE DI ESSO, TANTO PIÙ QUANTO SARÀ PIÙ LONTANA.]. Viene spiegato che, in un sistema rotante, un punto più lontano dal centro spinge con più forza perché è più pesante in quella posizione, e il movimento stesso aumenta la sua capacità di impulso: “quia motum plus, eo etiam magis quo longius, dupliciter” - (fr:2585) [perché, essendo più mosso, e tanto più quanto è più lontano, doppiamente.].

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[24.1-50-2590|2639]

24 Analisi di un trattato di meccanica medievale sulla relazione tra forza, peso e movimento

Un’indagine sui principi dell’equilibrio, dell’impulso e della resistenza dei corpi, condotta attraverso il ragionamento deduttivo e geometrico.

Il testo costituisce un frammento di un trattato scientifico, identificabile come parte del “De Ratione Ponderis”, opera fondamentale della scienza dei pesi medievale. L’analisi procede per proposizioni (R4.10, R4.11, etc.), esaminando sistematicamente come il peso (o leggerezza) di un corpo e la forza applicata interagiscano nel produrre movimento. Un principio cardine afferma che sia l’eccessiva leggerezza che l’eccessiva pesantezza del corpo mobile possono annullare l’efficacia della forza motrice: “C can be so light, in relation to the force of A, as not to resist it… On the other hand, it can be so heavy that it does not yield to the force of the thing impelling it” - (fr:2593, 2594) [C può essere così leggero, in relazione alla forza di A, da non resisterle… D’altra parte, può essere così pesante da non cedere alla forza del corpo che lo spinge]. In entrambi i casi estremi, la forza non si traduce in movimento apprezzabile.

La discussione si approfondisce considerando il ruolo moltiplicatore della rotazione e della lunghezza di una leva. Viene dimostrato che un corpo che ruota attorno a un fulcro esercita una forza impulsiva maggiore, e che questa aumenta con la lunghezza del braccio: “a thing is moved to a greater degree, to the extent that it is longer, in two senses” - (fr:2598) [una cosa è mossa in misura maggiore, nella misura in cui è più lunga, in due sensi]. Questo principio è illustrato descrivendo archi di cerchio più ampi percorsi dall’estremità più lontana, che genera sia maggior peso effettivo che maggiore velocità: “Since therefore the weight at C is greater than at B, and since C is also moved more rapidly, E will be impelled much more strongly at C than at B” - (fr:2607) [Poiché dunque il peso in C è maggiore che in B, e poiché C è anche mosso più rapidamente, E sarà spinto molto più fortemente in C che in B]. L’effetto può essere ulteriormente amplificato da un movimento doppio o composto.

Un’altra proposizione centrale esamina il comportamento di un corpo sostenuto ai suoi estremi e sollecitato al centro. Il testo spiega che la parte centrale (B) è più suscettibile alla flessione o rottura perché il suo sostegno deriva solo dalla continuità materiale con le estremità, che fungono da fulcri. La depressione del centro si auto-alimenta, poiché “once B commences to descend, it becomes more weighty, since there then commences to be less weight at A and C” - (fr:2612) [una volta che B comincia a scendere, diventa più pesante, poiché quindi comincia a esserci meno peso in A e C]. La rottura può avvenire prima della completa flessione, specialmente se l’impulso è acuto o se i sostegni cedono. Questo fenomeno è analizzato anche in configurazioni con un solo sostegno, dove la differenza di peso tra le parti può rompere la continuità del materiale.

Infine, viene esaminata la situazione complementare: quando è la parte centrale di un corpo (C) ad essere fissata, mentre le estremità sono spinte. In questo caso, le estremità si curvano più facilmente perché il loro movimento rettilineo è impedito dalla connessione alla parte centrale fissa, mentre le sezioni intermedie (B, D) sono più libere di seguire il moto. Ne risulta una curvatura circolare dell’intero corpo. Il principio è generalizzato osservando che “The longer ACE is, therefore, the more easily its ends are curved” - (fr:2634) [Più lungo è ACE, dunque, più facilmente le sue estremità sono curvate], in analogia con il comportamento di una leva, dove parti più lontane dal fulcro descrivono archi maggiori e sono più mobili.

Il testo ha un significato storico rilevante come testimonianza dell’evoluzione del pensiero meccanico nel tardo medioevo. Mostra un tentativo rigoroso e assiomatico di derivare principi fisici complessi—come l’effetto leva, la concentrazione degli sforzi nei punti di supporto e la meccanica della flessione—attraverso il ragionamento logico-deduttivo e geometrico, pur in assenza di una formalizzazione matematica completa della forza. Rappresenta un ponte concettuale tra le intuizioni di Archimede e la successiva rivoluzione scientifica.

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[25.1-26-2642|2667]

25 Principi meccanici del moto e del flusso dei fluidi

Analisi di urti, coesione e dinamica dei liquidi in un trattato scientifico antico.

Il testo analizza i principi meccanici del moto, con particolare attenzione al comportamento dei corpi solidi e liquidi sottoposti a forze. Un concetto fondamentale è che un impulso maggiore conferito a un corpo ne aumenta la coesione interna: “THE GREATER THE IMPULSION GIVEN TO A BODY, THE MORE ITS PARTS COHERE” - (fr:2649) [Maggiore è l’impulso dato a un corpo, più le sue parti coesistono.]. Questo impulso proviene da dietro, e le parti posteriori, spinte, devono a loro volta spingere quelle anteriori; queste, resistendo in parte a causa del loro peso, comprimono le parti centrali, che talvolta possono essere espulse lateralmente (fr:2650-2651). Lo stesso principio spiega come, se le parti inferiori di un oggetto sono conficcate in quelle superiori, un impulso verso il basso dato a quelle superiori spinga le inferiori più in profondità (fr:2652).

Quando un corpo con parti coese incontra un ostacolo diretto, il suo moto genera un rinculo diretto: “IF A BODY, HAVING PARTS WHICH COHERE, IS DIRECTLY OBSTRUCTED IN ITS MOTION, IT WILL RECOIL DIRECTLY” - (fr:2653) [Se un corpo, avente parti che coesistono, è direttamente ostacolato nel suo moto, rinculerà direttamente.]. Questo fenomeno è spiegato sia dal mezzo in cui il corpo si muove (aria o acqua) sia dalla rarità delle sue stesse parti (fr:2654). L’analisi prosegue con un modello: sia B il mezzo, A il corpo in moto e C l’ostacolo. Poiché A si muove e sposta B dal suo posto, B deve invertire il suo moto per riempire gli spazi posteriori, venendo così sia spinto in avanti che ritornato indietro dallo stesso impulso (fr:2642, 2655-2656). L’urto contro C impedisce il procedere e costringe al ritorno con maggior peso, poiché la spinta di A si frange su C e il corpo, ormai soggetto solo al proprio peso, viene retratto dal moto di B, a meno che il suo peso non prevalga (fr:2644, 2657-2658). Il rinculo è diretto perché B “in omnes partes equaliter recedit” (fr:2644) [recede ugualmente in tutte le direzioni]. Anche la rarità delle parti contribuisce: quelle anteriori, urtando per prime contro C, sono compresse dalla massa e dall’impulso di quelle posteriori; una volta esaurito l’impulso, ritornando al loro posto respingono le altre parti (fr:2660). Se le parti sono separabili, quando vengono compresse in uno spazio minore, rimbalzano (fr:2645, 2661).

L’ultima sezione studia il comportamento di un liquido in caduta libera. L’enunciato generale è: “LIQUIDUM ALIQUOD, QUO AMPLIUS CONTINUE DEMISSUM DESCENDIT, TANTUM IN PRIORI PARTE STRICT IUS EFFICIETUR” - (fr:2646) [Un liquido qualsiasi, quanto più è fatto scendere continuamente, tanto più si fa stretto nella parte anteriore.]. La dimostrazione procede per fasi: si consideri il foro di uscita AB e la prima porzione di liquido C. Quando C discende fino a DF, un’altra porzione E è all’uscita AB. Poiché più un corpo discende più diventa pesante, C in DF sarà più pesante di E in AB (fr:2663-2664). Di conseguenza, la distanza FZ (la lunghezza della colonna d’acqua sotto DF) è maggiore di AF, quindi il getto è più sottile (fr:2665). Il processo è continuo: le parti precedenti sono più veloci, quindi il getto si assottiglia sempre più “et sic tandem abrumpuntur” (fr:2666) [e così alla fine si spezza].

Il testo rappresenta una testimonianza storica di un’analisi fisica qualitativa e geometrica precedente alla formulazione matematica della dinamica. Combina osservazioni pratiche (come l’assottigliamento di un getto d’acqua) con ragionamenti teorici sulla trasmissione dell’impulso e sulla coesione materiale, utilizzando termini specifici come “raritas partium” e modelli concettuali supportati da diagrammi (Fig. R4.15, R4.16).

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[26.1-33-2703|2735]

26 Analisi degli scritti statici di Blasius de Parma e delle loro fonti

Un esame delle opere e delle influenze testuali in un trattato tardo-medievale sulla scienza dei pesi.

Il testo analizza due distinti lavori di statica attribuiti a Blasius de Parma, inserendoli nel contesto della tradizione scientifica medievale. La prima opera, le Questiones, è presentata attraverso l’elenco dei suoi interrogativi fondamentali, che ricalcano le supposizioni e proposizioni dei trattati de ponderibus. La loro forma è esplicitamente scolastica: “It should be observed finally that these questions are presented in the scholastic form followed in most of Blasius’ other works” - (fr:2713) [Si dovrebbe osservare infine che queste questioni sono presentate nella forma scolastica seguita nella maggior parte delle altre opere di Blasio.]. Il manoscritto unico è identificato con precisione: “(See the unique manuscript of this work in Iv6 Milan, Bibi. Ambros. F. 145 Sup., I8r-28r.)” - (fr:2710-2712) [(Si veda il manoscritto unico di quest’opera a Iv6 Milano, Bibi. Ambros. F. 145 Sup., I8r-28r.)].

La seconda opera, il Tractatus de ponderibus, è descritta come profondamente diversa: “Distinctly different in form and content is the second of Blasius’ statical writings” - (fr:2714) [Distinta per forma e contenuto è la seconda degli scritti statici di Blasio.]. Questo trattato non è scolastico nella forma, ma una rielaborazione di testi precedenti, ed è stato scelto per la pubblicazione come esempio di un “late medieval treatment of the standard statical material” - (fr:2716) [trattamento tardo-medievale del materiale statico standard.].

La parte centrale del testo elenca minuziosamente le fonti a cui Blasius attinse. Fondamentale fu il Liber de ponderibus (versione “P”), che diede un’impronta aristotelica al suo pensiero, influenzando tono e assunti iniziali. Altrettanto cruciale fu il De ratione ponderis di Jordanus, da cui Blasius “directly drew certain propositions and proofs” - (fr:2721) [attingé direttamente certe proposizioni e dimostrazioni.]. È probabile che conoscesse anche gli Elementa di Jordanus e le proposizioni De Canonio che li accompagnavano. Per la parte idrostatica, le fonti includono lo pseudo-archimedeo De insidentibus in humidum, il Libro IV del De caelo di Aristotele, e il Liber Euclidis de ponderoso et levi. Sebbene riporti alcune idee di Archimede sul galleggiamento, è improbabile che Blasius abbia letto la traduzione latina diretta di Moerbeke, attingendo piuttosto da fonti intermedie.

La valutazione conclusiva sottolinea la mancanza di originalità di Blasius rispetto alle fonti del XIII secolo: “Blasius rarely goes beyond his sources. In fact, in most cases he merely paraphrased those sources” - (fr:2733-2734) [Blasio raramente va oltre le sue fonti. In effetti, nella maggior parte dei casi si è limitato a parafrasare quelle fonti.]. Tra tutte, sembra essere stato particolarmente attratto dal Liber de ponderibus.

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[27.1-23-2797|2819]

27 Principi del movimento dei gravi e della bilancia in un trattato medievale

Estratto dal trattato De ponderibus di Blasio di Parma, che fonde filosofia naturale e geometria per indagare il moto dei corpi pesanti e l’equilibrio.

Il testo, parte di un trattato medievale sui pesi, stabilisce innanzitutto un principio fondamentale del movimento naturale: “QUODLIBET GRAVE EXTRA LOCUM SUUM NATURALEM NON DETENTUM DESCENDERE APPETIT PER CORDAM 25 PLUSQUAM PER ARCUM” - (fr:2800) [Qualsiasi grave, fuori dal suo luogo naturale e non trattenuto, desidera discendere lungo la corda più che lungo l’arco.]. La giustificazione di questo assioma è di natura filosofico-naturale, basata sulla ricerca della perfezione nel tempo minimo: “omne corpus… appetit in quantum minori tempore [ut] est possibile acquirere illam perfectionem” - (fr:2801) [ogni corpo… desidera in quanto, nel tempo minore che è possibile, acquisire quella perfezione.]. Poiché geometricamente “in minori tempore describitur corda 30 [plus] quam arcus eiusdem circuli” - (fr:2802) [in un tempo minore si descrive la corda più che l’arco dello stesso cerchio], ne consegue la validità della proposizione iniziale.

Da questo principio derivano dei corollari. Il primo afferma che “motus gravis in equilibri non est simpliciter naturalis” - (fr:2803) [il moto del grave in equilibrio non è semplicemente naturale]. La dimostrazione si basa su una supposizione precedente (non presente in questo estratto) secondo cui le braccia di una bilancia in equilibrio descrivono archi, quindi linee curve, durante il movimento, e non la via più breve della corda. Il secondo corollario è solo introdotto dalla didascalia “Secundum corollarium: motus gravis in” - (fr:2807) e sembra interrotto dall’inserzione del titolo dell’opera.

Il testo colloca poi la disciplina all’interno del sapere dell’epoca, dichiarando che “THE SCIENCE OF WEIGHTS IS SAID IN TRUTH TO BE SUB ORDINATE TO NATURAL PHILOSOPHY” - (fr:2808). La ragione fornita è una differenza di approccio: mentre la filosofia naturale studia i movimenti in modo universale, “The science of weights considers movements in a par ticular way” - (fr:2809) [la scienza dei pesi considera i movimenti in modo particolare].

La sezione successiva si occupa della geometria della bilancia. Si postula che, in una bilancia a bracci uguali, questi descrivano “TWO EQUAL AND OPPOSITE QUAR TERS OF THE SAME CIRCLE” - (fr:2811) [due quarti uguali e opposti dello stesso cerchio], mentre con bracci disuguali si descrivono archi disuguali. La dimostrazione geometrica proposta, anche se non completamente sviluppata nell’estratto, si basa sull’uguaglianza degli angoli al centro e dei lati (le braccia), da cui consegue l’uguaglianza delle corde e quindi degli archi sottesi: “quia latera includentia angulos illos sunt equalia, corde subtendentes angulos prenotatos sunt equales. Sed corde equales arcus equales abscindunt” - (fr:2818-2819) [poiché i lati che includono quegli angoli sono uguali, le corde che sottendono i suddetti angoli sono uguali. Ma corde uguali intercettano archi uguali.].

[28]

[28.1-23-2887|2909]

28 Dimostrazione geometrica sulla disuguaglianza degli archi e principio di movimento dei gravi

Analisi di un trattato medievale che combina geometria euclidea e dinamica dei corpi pesanti.

Il testo è un estratto di argomento scientifico, riconducibile a un Tractatus de ponderibus, che svolge una dimostrazione geometrica per convalidare un principio fisico riguardante il movimento dei gravi. L’obiettivo centrale è provare che, su una circonferenza, “archi uguali inegualmente distanti dalla linea di uguaglianza (cioè la linea dell’equilibrio orizzontale) intercettano quantità diverse della verticale” - (fr:2898). Nello specifico, l’arco meno distante dalla linea di equilibrio intercetta una porzione maggiore della verticale rispetto a uno più distante, come affermato: “the arc more distant from the line of equality intercepts less of the vertical … and the less distant intercepts more” - (fr:2904) [l’arco più distante dalla linea di uguaglianza intercetta meno della verticale … e il meno distante ne intercetta di più].

La dimostrazione procede con una costruzione geometrica euclidea rigorosa. Si considera una circonferenza con centro A e una verticale BC passante per il centro. Si traccia la linea orizzontale di equilibrio DE. Si identificano due archi uguali, DF e FC, posti a distanze diverse da tale linea. La prova si basa sulla similitudine dei triangoli ADO e FLC. Il ragionamento mostra che “angulus A adequatur angulo L, quia uterque est rectus” - (fr:2889) [l’angolo A è uguale all’angolo L, perché entrambi sono retti] e che “angulus D adequatur angulo F” - (fr:2889) [l’angolo D è uguale all’angolo F]. Per la similitudine dei triangoli, i lati sono proporzionali: “qualis est proportio DA ad FL talis est AO ad LC” - (fr:2891) [come è la proporzione da DA a FL, tale è da AO a LC]. Poiché DA è maggiore di FL, ne consegue che AO è maggiore di LC, e quindi “tota AL est maior LC” - (fr:2893) [tutta AL è maggiore di LC]. Poiché AL corrisponde alla direzione dell’arco DF (meno distante) e LC a quella di FC (più distante), si conclude che “arcus equales inequaliter distantes a linea equalitatis capiunt inequaliter de directo, minus distans plus et plus distans minus” - (fr:2894) [archi uguali inegualmente distanti dalla linea di uguaglianza intercettano inegualmente della diretta, quello meno distante di più e quello più distante di meno].

A questa dimostrazione geometrica segue l’enunciazione di un principio fisico fondamentale: “GRAVIUS EST ALIUD ALIO ET EODEM QUANTO MOTUS EIUS VERSUS CENTRUM EST RECTIOR” - (fr:2896) [UN PESO È PIÙ GRAVE DI UN ALTRO NELLA STESSA MISURA IN CUI IL SUO MOVIMENTO VERSO IL CENTRO È PIÙ RETTILINEO]. Questo principio, presupponendo “quod quodlibet grave appetit movere per rectam” - (fr:2897) [che ogni grave desidera muoversi di moto rettilineo], lega la “gravità” o tendenza a cadere di un corpo alla rettitudine della sua traiettoria verso il centro, istituendo un nesso concettuale tra la geometria della dimostrazione precedente e la dinamica.

Il testo ha un significato storico come testimonianza della scienza medievale dei pesi (scientia de ponderibus), che tentava di fondare la meccanica su principi geometrici ed euclidei prima della rivoluzione scientifica. L’uso bilingue (latino e inglese medievale) per parti sostanzialmente identiche (come la ripetizione della dimostrazione) suggerisce un contesto di trasmissione o di commento del sapere. L’opera è attribuita a “Blasius” (fr:2897), collocandola nella tradizione dei trattati sui pesi del XIV secolo, che investigavano i concetti di peso, leva e movimento naturale, ponendo le basi per gli sviluppi successivi della meccanica.

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[29.1-65-2915|2979]

29 Principi medievali di gravità e equilibrio nel Tractatus Blasii de Ponderibus

Un trattato scientifico tardo-medievale che analizza la gravità posizionale, il moto dei pesi su una bilancia e la loro dipendenza dalla geometria e dalla distanza dal centro del mondo.

Il testo estratto, parte del Tractatus Blasii de Ponderibus, espone una serie di proposizioni e dimostrazioni sulla natura del peso e del movimento dei corpi pesanti verso il centro del mondo. La teoria proposta è di tipo cinematico-geometrica: la gravità di un corpo non è assoluta ma dipende dalla traiettoria del suo moto naturale. Il principio fondamentale afferma che “ONE BODY IS HEAVIER THAN ANOTHER BY THE AMOUNT THAT ITS MOVEMENT TOWARD THE CENTER [of the world] IS STRAIGHTER” - (fr:2918) [Un corpo è più pesante di un altro nella misura in cui il suo movimento verso il centro è più rettilineo]. Un moto più curvo implica una maggiore distanza dal percorso naturale, una minore velocità e, di conseguenza, un minore peso, sia esso naturale o posizionale: “by the amount that its path is more curved by that amount is it more distant from its natural path, and accordingly is it moved more slowly. And for this reason it is less heavy in natural or positional gravity” - (fr:2945, 2946) [nella misura in cui il suo percorso è più curvo, in quella stessa misura è più distante dal suo percorso naturale, e di conseguenza è mosso più lentamente. E per questa ragione è meno pesante in gravità naturale o posizionale].

Da questo assioma discendono due corollari. Il primo stabilisce una relazione tra l’elevazione di una bilancia e il peso efficace di un corpo sospeso a un suo braccio libero di ruotare (“circumvolubili”): “quanto pondus equilibris alicuius elevatur tanto pondus positum in circumvolubili gravius sit et velocius movetur” - (fr:2923) [quanto più una bilancia è elevata, tanto più un peso posto su di un suo braccio rotante è grave e si muove velocemente]. La dimostrazione geometrica, che invoca la proposizione 32 del primo libro di Euclide, confronta due bilance poste a diverse distanze dal centro del mondo (O). Si considerano i triangoli EDO (bilancia superiore) e ABO (bilancia inferiore). Poiché l’angolo al centro EOD è minore di AOB, ne segue che “angulus DEO sit maior angulo CAO” - (fr:2934) [l’angolo DEO è maggiore dell’angolo CAO]. Ciò implica che i bracci rotanti della bilancia superiore tendono ad essere più paralleli alla linea della direzione verticale verso il centro, rendendo la discesa del peso più diretta e quindi più “grave”: “circumvolubilia equilibris superioris pius tendant ad equidistantiam cum linea directionis quam circumvolubilia equilibris inferioris. Et per consequens pondera appensa in superiori gravius descendunt” - (fr:2935, 2936) [i bracci rotanti della bilancia superiore tendono di più al parallelismo con la linea di direzione rispetto a quelli della bilancia inferiore. E di conseguenza i pesi sospesi su quella superiore scendono più gravemente].

Il secondo corollaria descrive il comportamento dinamico di un peso che scende su una bilancia: “Grave in equilibri descendens continue in eius motu retardatur” - (fr:2939) [Un grave che scende su una bilancia continuamente nel suo moto è rallentato]. La ragione è che discrivendo un arco circolare, la sua traiettoria diventa progressivamente più obliqua rispetto alla verticale, rendendolo così continuamente più “leggero” secondo la posizione: “quanto plus descendit tanto maior portio circuli describitur. Ergo continue equilibris pondus obliquius descendit, quia continue sit levius secundum situm” - (fr:2940, 2941) [quanto più scende, tanto maggiore porzione di cerchio viene descritta. Dunque continuamente il peso sulla bilancia scende più obliquamente, perché continuamente è più leggero secondo la posizione].

Il testo procede poi con altre definizioni fondamentali. La Proposizione VIII, considerata un principio primo e non dimostrata, afferma che lo sbilanciamento avviene solo quando la proporzione tra i pesi è di maggiore disuguaglianza: “SOLA PROPORTIONE MAIORIS INEQUALITATIS GRAVE IN EQUILIBRI PENDENS NUTUM FACIT” - (fr:2944) [SOLO IN PROPORZIONE DI MAGGIORE DISUGUAGLIANZA UN GRAVE SOSPESO SU UNA BILANCIA PRODUCE UN MOVIMENTO]. Viene poi definito l’equilibrio: “EQUE GRAVIA DICUNTUR PONDERA CUM IN EQUILIBRI POSITA FUERINT ET BRACHIA AB EQUALITATE NON MUTABUNT” - (fr:2971) [SI DICONO DI EGUAL PESO QUEI PESI CHE, POSTI IN BILANCIA, NON FARANNO MUOVERE I BRACCI DALL’EQUILIBRIO], specificando che per “braccia” si intendono quelli paralleli all’orizzonte.

Il trattato si distingue per il suo approccio rigorosamente geometrico alla fisica dei pesi, tipico della scienza scolastica che tentava di fondare le osservazioni fisiche su principi matematici euclidei. La centralità del “centro del mondo” e il concetto di gravità come tendenza ad un moto rettilineo verso di esso, la cui “rettitudine” determina l’intensità, testimoniano un quadro teorico pre-newtoniano, ancora legato ad una cosmologia geocentrica e ad una fisica delle qualità. L’uso sistematico di diagrammi (come accennato in fr:2942-2943) e di dimostrazioni per mezzo di teoremi euclidei (fr:2932, 2955) ne fa un esempio significativo della metodologia scientifica tardo-medievale.

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[30.1-75-2985|3059]

30 Analisi di un trattato medievale sulla statica

Studio delle condizioni di equilibrio in una bilancia, con considerazioni sulla resistenza del mezzo e limiti della misurazione.

Il testo, estratto da un trattato scientifico medievale attribuibile a Blasio di Parma, verte sulla meccanica delle bilance e le condizioni di equilibrio statico. L’autore stabilisce innanzitutto i principi definitori: “I pesi sono detti ugualmente pesanti quando, posti su una bilancia, i bracci della bilancia non cambieranno la loro posizione di equilibrio orizzontale” - (fr:2992). L’equilibrio orizzontale è la condizione di riferimento, come ribadito: “Quando i bracci di una bilancia sono uguali e paralleli all’orizzonte, se pesi uguali sono sospesi [alle estremità dei bracci], non avviene alcuna depressione” - (fr:2996). La dimostrazione procede con un approccio geometrico, asserendo che bracci uguali descrivono archi uguali e quindi hanno uguale curvatura: “poiché i bracci sono uguali percorrono quarti uguali dello stesso cerchio, e quarti uguali sono ugualmente curvati” - (fr:3009). Da ciò deriva che i pesi sono “ugualmente pesanti secondo la posizione” e, per ipotesi, per gravità naturale, quindi “non avviene alcun movimento” - (fr:3011).

L’analisi si approfondisce considerando molteplici variabili sperimentali. Si distingue tra bilance a uno o due bracci e, per queste ultime, tra bracci uguali o disuguali. Variazioni cruciali riguardano la posizione dell’asse (che attraversa il trave, o è sopra o sotto di esso), la presenza o assenza di corde di sospensione, e se i pesi siano fissati ai bracci o sospesi tramite pendenti. I pendenti stessi possono essere “uguali e disuguali… rotanti e fissi; talvolta diritti, talvolta curvi” - (fr:3004, 3005). Infine, i bracci possono essere o meno paralleli all’orizzonte “E la diversità nasce dal fatto che talvolta i bracci saranno paralleli all’orizzonte e talvolta non saranno così paralleli” - (fr:3006). Questa premessa sistematica delle possibili configurazioni sottende la natura rigorosa e assiomatica della trattazione.

Il nucleo teorico centrale esamina un caso specifico che introduce il concetto di resistenza del mezzo: “UN PESO TRIPLO DI UN ALTRO PESO E POSTO SU UNA BILANCIA IN UN MEZZO UNIFORMEMENTE RESISTENTE COME UNO NON SOLLEVERÀ QUELLO CHE È UN TERZO DI ESSO” - (fr:3013, 3043). La dimostrazione è quantitativa. Si pone un peso a di gravità 3 su un braccio e un peso c di gravità 1 sull’altro, in un mezzo che resiste come un peso di La resistenza alla discesa di a è 1, quindi la forza motrice netta di a è 3-1=2. La resistenza all’ascesa di c è anch’essa La resistenza totale che si oppone al movimento di a è quindi la somma della resistenza del mezzo alla sua discesa e alla salita di c: “così abbiamo una resistenza come due… l’intera resistenza computata per a, resiste come tre” - (fr:3017, 3018). Poiché la forza motrice netta (2) è minore della resistenza totale (3), ne consegue che “a non solleverà c” - (fr:3021).

Da questo teorema discendono corollari di portata filosofica e metodologica. Il primo nega la validità del sillogismo inverso: la semplice assenza di movimento in una bilancia non prova l’uguaglianza dei pesi, come dimostra il caso appena esposto “In una bilancia ci sono a e b pesi che non causano movimento; quindi sono ugualmente pesanti” - (fr:3022). Il secondo corollario è radicale: “È impossibile mediante una bilancia indagare la proporzione di un peso rispetto a un altro” - (fr:3025). Il terzo corollario ritorna al caso base, affermando che se si parte da pesi uguali in equilibrio e si sposta parte del peso da un braccio all’altro, il braccio divenuto più pesante scenderà. La dimostrazione di questo passaggio introduce un esperimento mentale ingegnoso: forando un braccio della bilancia, si riduce la resistenza del mezzo su di esso “allora, come è chiaro, il mezzo del braccio forato resiste meno, mentre quello del braccio non forato resiste di più” - (fr:3033). Questo squilibrio di resistenza può essere compensato aggiungendo un peso sul braccio non forato, dimostrando la sensibilità del sistema a fattori non legati alla gravità intrinseca.

L’ultima conclusione, “QUANDO UN PESO PIÙ PESANTE DI UN ALTRO È APPESO IN UNA BILANCIA [questo] SARÀ COSTRETTO A SCENDERE FINO ALLA DIREZIONE” - (fr:3037), sembra in tensione con i risultati precedenti e l’autore ne riconosce la difficoltà, notando che “questa conclusione non sembra coesistere con la seconda” e che “qui si trascura la resistenza da parte del mezzo” - (fr:3038). Ammette inoltre che la proposizione “implica in sé molte difficoltà dalle quali ora è necessario astenersi” - (fr:3039), suggerendo la consapevolezza di limiti concettuali o sperimentali nell’ambito della teoria.

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[31.1-25-3065|3089]

31 Analisi del Trattato di Blasio sui Pesi: Equilibrio, Geometria e Meccanica Medievale

Un’esposizione delle dimostrazioni geometriche che regolano il moto dei pesi su una bilancia a bracci uguali, con riferimento a principi ipotetici e obiezioni dialettiche.

Il testo estratto dal Tractatus Blasii de Ponderibus costituisce un esempio di ragionamento scientifico medievale nell’ambito della statica. Si concentra sull’analisi delle condizioni di equilibrio e movimento di una bilancia a bracci uguali, affrontando obiezioni teoriche attraverso dimostrazioni geometriche. La trattazione inizia riconoscendo una conclusione problematica: “Poiché questa conclusione non sembra concordare con la seconda, è necessario che la resistenza del mezzo venga trascurata” - (fr:3065). Questo passaggio delimita il campo d’indagine, escludendo volontariamente fattori fisici esterni per isolare il principio teorico puro, metodologia comune nella scienza scolastica. La conclusione stessa è riconosciuta come fonte di difficoltà che “dovrebbero essere evitate ora” - (fr:3066), introducendo un tono dialettico.

La dimostrazione centrale prende forma con la costruzione di un modello geometrico: “Sia una bilancia i cui bracci uguali sono BA e AC” - (fr:3067). Su di essa, “sia il peso b più pesante del peso c” - (fr:3068). L’autore afferma che in questa configurazione, “b scende verso la verticale e c ascende” - (fr:3068). La prova si sviluppa considerando il moto lungo archi circolari. Si introduce la prospettiva di un avversario (adversarius): poiché “b passerebbe sopra un arco più curvato di quello che c passerebbe [se scendesse]”, l’obiezione è che “b non scende fino alla verticale” - (fr:3069, 3075). La confutazione si basa sul confronto tra l’obliquità (l’inclinazione) degli archi percorsi e la proporzione tra i pesi. L’argomento chiave stabilisce che “poiché b aggiunge più peso su c di quanto l’obliquità [aggiunga] sull’obliquità, b in questa posizione sarà più grave di c” - (fr:3072). Pertanto, “b non cesserà di scendere e c di salire” - (fr:3072). Il ragionamento procede su considerazioni di differenze infinitesimali negli angoli e nella curvatura degli archi: “in modo infinitamente piccolo l’arco CZ, e di conseguenza l’arco BE, è più curvo di CE, e non in modo infinitamente piccolo un peso più grave eccede il meno grave” - (fr:3075). La conclusione è che il peso “sarà costretto a declinare fino alla direzione [verticale]” - (fr:3076).

Una seconda proposizione affronta un caso diverso: “QUANDO I BRACCI UGUALI SARANNO DISPOSTI A DISTANZA INEGUALE DALL’ORIZZONTE, CON PESI UGUALI APPESI, SI MUOVERANNO FINCHÉ I BRACCI SARANNO EQUIDISTANTI DALL’ORIZZONTE” - (fr:3078). Anche qui la prova è geometrica. Si assume una “linea di uguaglianza” (DF) e una “linea di direzione” (HG) - (fr:3080, 3082). Il moto è attribuito all’appetito naturale dei pesi di muoversi verso il basso: “poiché i pesi a, c sono gravi, ciascuno appetisce muoversi in basso. Appetisca dunque a muoversi in G e c in F” - (fr:3083, 3084). Il cuore della dimostrazione poggia sul confronto tra gli archi potenziali (AG e CF) che, sebbene uguali in lunghezza, “sono inegualmente distanti dalla linea DF di uguaglianza” - (fr:3086). Poiché “questi archi corrispondono inegualmente di diretto” - (fr:3087), ne consegue il movimento. L’autore si appella esplicitamente a un principio esterno: “La conseguenza vale in base alla settima ipotesi” - (fr:3088), rivelando la struttura assiomatica dell’opera.

Elementi peculiari includono l’uso della geometria euclidea per descrivere fenomeni fisici, il ricorso a un “avversario” dialettico, e il concetto di “appetito” dei pesi come causa motrice, tipico della fisica aristotelica. I riferimenti a proporzioni tra angoli e pesi, e alle differenze “infinitamente piccole”, mostrano un tentativo di quantificazione prima dello sviluppo formale del calcolo infinitesimale. Il testo rappresenta una testimonianza storica del tentativo medievale di fondare la scienza dei pesi (statica) su basi deduttive e geometriche, ponendo le basi per i successivi sviluppi rinascimentali della meccanica.

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[32.1-55-3095|3149]

32 Sull’equilibrio e il moto nella bilancia asimmetrica secondo Blasio

Analisi di un estratto del “Tractatus de Ponderibus” sulle condizioni statiche e dinamiche di una bilancia con bracci disuguali, che introduce il concetto di gravità posizionale.

Il testo esamina le condizioni di equilibrio e le cause del moto in una bilancia, concentrandosi sul caso in cui i bracci non siano paralleli all’orizzonte. Si afferma inizialmente che, se i bracci sono uguali ma non orizzontali, l’applicazione di pesi uguali provoca un movimento fino a raggiungere la posizione orizzontale. La dimostrazione si fonda su principi geometrici e sulla natura dei gravi. Si considera la verticale (linea directionis) come il percorso naturale di discesa di un peso: “Quodlibet grave appetit descendere per lineam directionis et numquam per arcum” - (fr:3114) [Qualsiasi grave desidera scendere secondo la linea di direzione e mai lungo un arco]. Un braccio che, nella sua posizione iniziale, forma un percorso più vicino a questa verticale partecipa di più della “naturalità” del grave: “quanto aliquis incessus minus distat ab incessu HG,tanto ille incessus plus participat de naturalitate” - (fr:3116) [quanto un percorso è meno distante dal percorso HG, tanto più quel percorso partecipa della naturalità].

Questo conduce al concetto chiave di gravità secondo la posizione (gravius secundum situm). Confrontando due archi uguali ma disugualmente distanti dalla linea di orizzontale (o di uguaglianza), si stabilisce che “arcuum equalium inequaliter in regula distantium qui magis distat minus capit de directo” - (fr:3111) [degli archi uguali e disugualmente distanti nella regola, quello che è più distante intercetta meno della verticale]. Ne consegue che, in una configurazione asimmetrica, il peso sul braccio il cui arco di discesa è meno distante dalla verticale risulta posizionalmente più grave: “c^ secundum situm gravius est ipso a” - (fr:3112) [c secondo la posizione è più grave di a]. Questa maggiore “gravità posizionale” è la causa del moto verso l’equilibrio orizzontale.

Il trattato poi solleva e affronta un’obiezione cruciale. Se il peso c è in quella posizione più grave di a, ne seguirebbe che “c^pondus potest levare a pondus” - (fr:3122) [il peso c può sollevare il peso a]. Questo sembra contraddire la terza conclusione dell’opera, che afferma l’equilibrio di pesi uguali. L’autore riconosce la difficoltà (dubitatio) ma rimanda la soluzione ad altra sede, invitando i filosofi naturali a riflettere: “Videant tamen philosophantes” - (fr:3127) [Vedano tuttavia i filosofi].

Infine, si introduce un altro caso: bracci della bilancia di uguale lunghezza e orizzontali, ma con i punti di sospensione dei pesi (circumvolubilia) disuguali, purché equidistanti dalla verticale. In questa configurazione specifica, “equis ponderibus appensis non fiet nutus” - (fr:3132) [con pesi uguali appesi non ci sarà movimento]. Questo completa l’analisi distinguendo tra l’influenza della geometria del braccio e quella del punto di applicazione del peso.

Il significato storico del testo risiede nella sua testimonianza dello sforzo tardo-medievale di matematizzare la statica, cercando di conciliare principi fisici (come la tendenza naturale verso il basso) con dimostrazioni geometriche. L’uso di termini come naturalitas e la disputa sulla “gravità posizionale” mostrano un pensiero in transizione tra la fisica qualitativa aristotelica e un approccio più analitico che prelude alle opere di autori come Giovanni Battista Benedetti e Galileo. L’ambiguità deliberatamente non risolta riguardo alla capacità di un peso di sollevarne un altro uguale evidenzia le tensioni concettuali dell’epoca sul principio di azione e reazione e sull’equivalenza tra peso assoluto ed effetto meccanico.

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[33.1-25-3155|3179]

33 Analisi di un Trattato Medievale sulla Scienza dei Pesi

Dimostrazione geometrica del comportamento di pesi uguali appesi a pendenti di lunghezza disuguale.

Il testo è un estratto del Tractatus Blasii de Ponderibus, un’opera scientifica medievale che analizza problemi di statica e equilibrio mediante ragionamenti geometrici. La proposizione centrale stabilisce che, in un sistema di pendenti rotatori disuguali e paralleli alla verticale, se vi sono pesi uguali, “no depression of the balance takes place” - (fr:3157) [non avviene alcuna depressione della bilancia]. Tuttavia, l’affermazione successiva inverte la conclusione per un caso specifico: “CUM EQUILIBRIS FUERINT CIRCUMVOLUBILIA INEQUALIA SUIS INCLINATIONIBUS DIMISSA, EQUIS PONDERIBUS APPENSIS IN BREVIORI FILO PENDENS DESCENDET” - (fr:3165) [QUANDO IN UNA BILANCIA CI SARANNO ELEMENTI ROTATORI DISUGUALI LASCIATI ALLE LORO INCLINAZIONI, CON PESI UGUALI APPESI, QUELLO CHE PENDE NEL FILO PIÙ CORTO SCENDERÀ]. Questo costituisce il nucleo teorico della dimostrazione.

La prova si sviluppa attraverso una costruzione geometrica. Si considerano bracci di bilancia uguali (AB e BC) ed elementi rotatori (CE e AD) lasciati liberi. Si afferma che questi elementi non formano angoli retti ma acuti con i bracci, a causa dell’inclinazione verso il basso dettata dai pesi. La dimostrazione poggia sul concetto di distanza dalla “linea di direzione” (linea directionis): “pondus in filo longiori minus distat a linea directionis et breviori plus” - (fr:3169) [il peso nel filo più lungo dista meno dalla linea di direzione e quello nel filo più corto dista di più]. Ciò implica che il peso sul filo più corto descrive un arco corrispondente a un quarto di un cerchio più grande, mentre l’altro descrive un quarto di cerchio più piccolo.

La conclusione deriva da un principio geometrico assunto: “per quartam ypotesim minoris circuli circumferentia plus curvatur et maioris minus” - (fr:3171) [per la quarta ipotesi, la circonferenza del cerchio minore è più curvata e quella del maggiore è meno curvata]. Questa maggiore curvatura è la ragione per cui “pondus d in filo breviori descendit” - (fr:3172) [il peso d nel filo più corto scende]. Il testo fa continuo riferimento a figure (Fig. B-11, B-1Z) per illustrare queste relazioni spaziali.

Elementi peculiari sono l’uso della gravità sia naturale che posizionale (“grevia gravitate naturali et situali” - (fr:3157)) e la costante riduzione del problema a proprietà di archi e quarti di cerchio uguali (“respiciunt duas quartas eiusdem circuli equales” - (fr:3159)). Il trattato testimonia il metodo della scienza scolastica tardo-medievale, che applica un rigoroso formalismo logico-deduttivo e modelli geometrici alla fisica qualitativa, anticipando concetti che saranno sviluppati in seguito nella meccanica razionale.

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[34.1-74-3186|3259]

34 Analisi del Trattato sulle Bilance di Blasius de Ponderibus

Un’esposizione medievale dei principi statici attraverso dimostrazioni geometriche.

Il testo costituisce un estratto di un trattato scientifico medievale, probabilmente attribuibile a Blasius de Ponderibus, dedicato all’analisi statica delle bilance. L’approccio è rigorosamente deduttivo e geometrico, fondato su ipotesi (suppositiones) e dimostrazioni (conclusiones) che utilizzano la figura di bracci, pendenti e archi di circonferenza per determinare le condizioni di equilibrio o di movimento. Un concetto operativo centrale è che il comportamento di un peso dipende dalla curvatura del quarto di cerchio che il suo punto di sospensione descriverebbe, secondo l’assioma per cui “per quartam suppositionem quarta minoris circuli plus curvatur quarta maioris” - (fr:3241) [per la quarta supposizione, il quarto del cerchio minore è più curvo del quarto del cerchio maggiore].

La prima dimostrazione stabilisce che, in una bilancia a bracci uguali, se pesi uguali sono appesi rispettivamente in modo fisso a un braccio e a un pendente rotatorio, il peso fisso prevale. La ragione è geometrica: il pendente libero, inclinandosi verso il centro del mondo, forma un angolo acuto con il braccio, descrivendo così un quarto di cerchio più piccolo. Poiché “per sextam suppositionem pondus pendens in appendiculo fixo ad angulum rectum cum brachio sit gravius alio” - (fr:3203) [per la sesta supposizione, il peso pendente sul pendente fisso ad angolo retto con il braccio è più grave dell’altro]. Questo principio è confermato da un corollario che specifica come, se il peso sul pendente rotatorio fosse invece fissato al braccio, i pesi si equilibrerebbero, poiché descriverebbero archi di cerchi uguali.

Un’affermazione peculiare è la settima conclusione, che sostiene come “POSSIBILE EST QUANTUMLIBET PONDUS IN ALTERO BRACHIORUM EQUALIUM SITUARI QUOD RELIQUUM BRACHIORUM AB EQUALITATE NON MUTABIT” - (fr:3208) [È POSSIBILE CHE UN PESO, PER QUANTO GRANDE, SIA SITUATO SU UNO DEI BRACCI UGUALI SENZA CHE L’ALTRO BRACCIO MUTI DALL’EQUILIBRIO]. La dimostrazione si basa sul posizionamento del peso in modo che i suoi estremi siano equidistanti dal centro di movimento, annullando così l’effetto lever.

Il testo assume una rilevanza storica come testimonianza del pensiero scientifico scolastico nel campo della meccanica. Rappresenta un tentativo sistematico di fondare la statica su principi geometrici a priori, in un’epoca precedente alla formalizzazione della legge della leva. L’uso di un linguaggio e di un metodo dimostrativo che rimanda alla tradizione euclidea è evidente nella struttura ipotetico-deduttiva. Un passaggio particolarmente vivido è il corollario che illustra un fenomeno osservabile: “quod possibile est te faciliter ferre libram cere in figura sperica cuius centesimam non portares sub extensione certa” - (fr:3244) [che è possibile che tu porti facilmente una libbra di cera in forma sferica, di cui non porteresti la centesima parte se fosse distesa in un certo modo]. Questo esempio concreto spiega come, allungando la cera, le sue parti descrivano quarti di cerchio sempre maggiori diventando “plus et plus graves fiunt secundum situm” - (fr:3246) [sempre più gravi secondo la posizione].

Una critica interna è avanzata nell’ottava conclusione, che evidenzia una difficoltà pratica e concettuale: “SI SUB REGULA CENTRUM DESIGNETUR, DIFFICILE EST SECUNDUM HOC STABILIRE PONDERA” - (fr:3213) [SE IL CENTRO [DI MOVIMENTO] È ASSEGNATO UNA POSIZIONE SOTTO IL REGOLO, È DIFFICILE STABILIZZARE I PESI]. L’autore osserva che, con il fulcro posto sotto l’asta, qualsiasi minima perturbazione rende instabile l’equilibrio, rendendo arduo giudicare l’uguaglianza dei pesi, poiché “quantumcumque a per modicum arcum descendat, brachium cui a est affixum efficitur longius, reliquum vero brevius. Et ideo a continue sit gravius” - (fr:3233) [per quanto a discenda di un piccolo arco, il braccio a cui a è fissato diventa più lungo, l’altro invece più corto. E perciò a continuamente è più grave]. Questo punto è presentato come potenzialmente in contraddizione con le conclusioni precedenti, mostrando una consapevolezza delle limitazioni del modello teorico.

Le conclusioni finali trattano di bracci disuguali. Si afferma che con pesi uguali, il braccio più lungo prevale, mentre con pesi proporzionali ai bracci, il movimento non avviene, riaffermando implicitamente la legge della leva. L’intero trattato, quindi, si configura come un insieme di proposizioni legate logicamente, il cui scopo è quello di derivare il comportamento della bilancia dalle proprietà geometriche del cerchio e della posizione dei pesi, offrendo uno sguardo significativo sulla fisica qualitativa del tardo Medioevo.

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[35.1-25-3265|3289]

35 Il trattato di Blasio sulle bilance e la gravità posizionale

Un estratto che illustra il principio della gravità secondo la posizione attraverso un esperimento mentale con la cera e i principi geometrici dell’equilibrio in bilance con bracci disuguali.

Il testo, parte del Tractatus Blasii de ponderibus, sviluppa concetti fondamentali della statica medievale, in particolare il principio della gravità secondo la posizione (gravitas secundum situm). Questo principio afferma che il peso percepito di un corpo dipende dalla disposizione delle sue parti rispetto al centro di gravità e al punto di sostegno, non solo dalla sua massa naturale.

La dimostrazione inizia con un esperimento mentale pratico e intuitivo: si considera una libbra di cera. “And from this follows a corollary: It is possible for you to carry easily a pound of wax when it is in a spherical shape al though you cannot carry a hundredth part of it when it has been given a certain extended shape” - (fr:3265) [Da ciò segue un corollario: È possibile per te trasportare facilmente una libbra di cera quando ha una forma sferica, sebbene tu non possa trasportarne la centesima parte quando le è stata data una certa forma estesa.]. La spiegazione fisica è che, se modellata in una sfera, la cera è facilmente sostenibile sulla testa, mentre se distesa in una lunga asta, “its parts continually recede from its center, and hence from your head, and these parts pass over larger quarters and thus become heavier and heavier according to position” - (fr:3267) [le sue parti si allontanano continuamente dal suo centro, e quindi dalla tua testa, e queste parti descrivono archi più grandi e così diventano sempre più pesanti secondo la posizione.]. Questo esempio chiarissimo prepara il terreno per l’applicazione dello stesso concetto astratto agli strumenti meccanici.

Il trattato passa poi alla dimostrazione geometrica applicata alle bilance. La proposizione centrale (X) stabilisce che in una leva a bracci disuguali, se i pesi sono inversamente proporzionali alla lunghezza dei bracci, non ci sarà movimento: “IN THE CASE OF A BALANCE OF UNEQUAL ARMS, IF THE WEIGHTS ARE [inversely] PROPORTIONAL [to the arm lengths], MOVEMENT DOES NOT TAKE PLACE IN THIS DIS POSITION” - (fr:3270) [NEL CASO DI UNA BILANCIA CON BRACCI DISUGUALI, SE I PESI SONO [inversamente] PROPORZIONALI [alle lunghezze dei bracci], IN QUESTA DISPOSIZIONE NON SI VERIFICA MOVIMENTO.]. La prova utilizza le ipotesi geometriche del testo (la quarta e la sesta), affermando che il rapporto dei bracci (BC/AB) è uguale al rapporto delle rispettive distanze verticali discendenti (BE/BD), e quindi alla “gravità secondo la posizione”: “Et sicut descensus ad descensum ita rectitudo ad rectitudinem, et ita gravitas ad gravitatem” - (fr:3274) [E come la discesa sta alla discesa, così la rettitudine alla rettitudine, e così la gravità alla gravità.]. Ne consegue che un peso posto sul braccio più lungo può essere quadruplo in gravità posizionale rispetto a un peso naturale maggiore posto sul braccio corto: “£ pondus positum in brachio longiori est in gravitate quadruplum ad ,a pondus pendens in beviori” - (fr:3276) [Il peso posto sul braccio più lungo è quadruplo in gravità rispetto al peso appeso sul braccio più breve.].

Una seconda configurazione (XI) esamina bilance i cui bracci disuguali formano un angolo al fulcro. La regola si applica se gli estremi dei bracci sono alla stessa distanza dalla verticale passante per il fulcro (linea directionis): “CUM INEQUALIA FUERINT BRACHIA LIBRE ET IN CENTRO MOTUS ANGULUM FECERINT, SI TERMINI EORUM AD DIRECTIONEM EQUALITER, EQUE GRAVIA IN HAC DISPOSITIONE EQUALITER PONDERABUNT” - (fr:3280) [QUANDO I BRACCI DELLA BILANCIA SONO DISUGUALI E FORMANO UN ANGOLO AL CENTRO DI MOVIMENTO, SE I LORO ESTREMI DISTANO UGUALMENTE DALLA VERTICALE, PESI UGUALMENTE GRAVI IN QUESTA DISPOSIZIONE PESERANNO UGUALMENTE.]. La dimostrazione si basa sulla geometria di archi di cerchio uguali, mostrando che in tale configurazione i momenti sono equilibrati. Da ciò deriva un corollario cruciale: se due pesi uguali sono a distanze disuguali dal fulcro, avvicinando il più lontano alla stessa distanza dell’altro, essi peseranno ugualmente secondo la posizione: “si remotius ad equidistantiam cum alio accesserit, appensa secundum situm equaliter ponderabunt” - (fr:3288) [se il più lontano si avvicinerà all’equidistanza con l’altro, gli appesi secondo la posizione peseranno ugualmente.].

Il testo presenta una notevole ambiguità o apparente contraddizione, riconosciuta dallo stesso autore: la conclusione dell’undicesima proposizione sembra contraddire la decima, poiché in un caso pesi uguali a bracci disuguali sono in equilibrio, mentre nell’altro no. Questo evidenzia la complessità e l’evoluzione del pensiero scientifico medievale nel tentativo di conciliare casi geometrici particolari con regole generali.

Storicamente, questo trattato è una testimonianza fondamentale della scienza del peso (scientia de ponderibus) del XIII secolo. Mostra il passaggio da un’idea puramente qualitativa del peso a un’analisi quantitativa basata su rapporti geometrici e sulla distanza dal fulcro, gettando le basi per la successiva formulazione della legge della leva e influenzando pensatori come Jordanus de Nemore. L’uso di un esempio pratico (la cera) seguito da una rigorosa dimostrazione geometrica riflette il metodo della filosofia naturale scolastica, tesa a unire osservazione e ragionamento deduttivo.

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[36.1-25-3295|3319]

36 Equilibrio in bilance a bracci disuguali: una soluzione geometrica

Analisi di un principio statico dove pesi uguali sono in equilibrio su bracci diseguali, purché soddisfino una condizione geometrica di uguale distanza dalla verticale.

Il testo estratto tratta un problema fondamentale di statica, riguardante le condizioni di equilibrio per una leva o una bilancia i cui bracci non sono uguali né allineati. Il nucleo concettuale è dimostrato attraverso un ragionamento geometrico. Si stabilisce inizialmente un principio generale: se i pesi sono proporzionali alle lunghezze dei bracci, l’equilibrio è mantenuto. Come illustrato: “Hence it follows that the weight placed on the longer arm is four times as heavy [positionally] as the [same] weight suspended on the shorter arm” - (fr:3295) [Ne segue che il peso posto sul braccio più lungo è quattro volte più pesante [posizionalmente] dello [stesso] peso sospeso sul braccio più corto]. La condizione è riassunta nell’affermazione “Thus the arms will be proportional to the weights and accordingly no movement will take place” - (fr:3297) [Così i bracci saranno proporzionali ai pesi e di conseguenza non avrà luogo alcun movimento].

La trattazione si focalizza poi sul caso più peculiare, enunciato nella conclusione XI: “WHEN THE ARMS OF A BALANCE ARE UNEQUAL AND MAKE AN ANGLE AT THE CENTER OF MOVEMENT, AND IF THE TERMINI ARE EQUALLY DISTANT FROM THE VERTICAL, EQUAL WEIGHTS IN THIS DISPOSITION WILL BE IN EQUILIBRIUM” - (fr:3299) [QUANDO I BRACCI DI UNA BILANCIA SONO DISUGUALI E FORMANO UN ANGOLO AL CENTRO DI MOVIMENTO, E SE LE ESTREMITÀ SONO UGUALMENTE DISTANTI DALLA VERTICALE, PESI UGUALI IN QUESTA DISPOSIZIONE SARANNO IN EQUILIBRIO]. Questo è il punto centrale e più controintuitivo dell’analisi. La dimostrazione procede geometricamente: dati due bracci disuguali AB e BC che formano un angolo in B, se gli estremi A e C sono equidistanti dalla linea verticale BF, allora i pesi uguali sospesi in A e C si equilibrano. La prova si basa sull’uguaglianza delle linee ortogonali tracciate dagli estremi alla verticale (AD e CE), che diventano raggi di cerchi uguali. “Since they are equal, they are radii of equal circles. Hence the quarters [of their circles] will be equal” - (fr:3307-3308) [Poiché sono uguali, sono raggi di cerchi uguali. Di conseguenza i quarti [dei loro cerchi] saranno uguali].

L’autore nota esplicitamente una potenziale contraddizione con conclusioni precedenti: “The conclusion seems to contradict the tenth conclusion” - (fr:3311) [La conclusione sembra contraddire la decima conclusione]. Questo passaggio è rilevante in quanto mostra la consapevolezza della necessità di conciliare casi particolari con principi generali apparentemente diversi. Da questa conclusione principale deriva un corollario chiave: se pesi uguali sono sospesi a distanze diverse dal centro, portando quello più lontano a una distanza dalla verticale uguale a quella dell’altro, essi saranno equigravitanti per posizione. “When the suspended weights are of the same weight and unequally distant from the center of movement, if the weight which is farther is brought in to equidistance [from the vertical] with the other weight, then the suspended weights will be equally heavy according to position” - (fr:3312) [Quando i pesi sospesi sono dello stesso peso e sono a distanza disuguale dal centro di movimento, se il peso che è più lontano viene avvicinato a equidistanza [dalla verticale] con l’altro peso, allora i pesi sospesi saranno ugualmente pesanti secondo la posizione].

La parte finale del testo, in latino, ribadisce e dimostra ulteriormente questo corollario. Afferma che ne consegue la validità dell’equilibrio di pesi uguali su bracci disuguali, a condizione che le distanze dalla verticale siano le stesse, e che i bracci non cambino la loro disuguaglianza. “Quare sequitur consequenter quod stat eque gravia appensa esse in equilibri brachiorum inequalium et brachia ab equalitate non mutari” - (fr:3315) [Perciò ne segue conseguentemente che sta che pesi uguali sospesi sono in equilibrio su bracci disuguali e i bracci non cambiano la loro disuguaglianza]. Una successiva dimostrazione geometrica con bracci uguali OB e BC e un peso in O conferma che i pesi in C e O “equaliter ponderabunt” - (fr:3319) [peseranno ugualmente].

Il testo è storicamente significativo come esempio dell’approccio geometrico medievale alla meccanica, che cerca di risolvere problemi statici complessi attraverso costruzioni di linee, cerchi e distanze dalla verticale, piuttosto che con una formulazione algebrica dei momenti. La tensione esplicita con la “decima conclusione” testimonia un dibattito scientifico interno sulla coerenza delle regole dell’equilibrio.

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[37.1-25-3325|3349]

37 Equilibrio tra pesi su bracci disuguali e corpi allungati

Analisi di una proposizione di statica medievale sul bilanciamento di pesi in condizioni geometriche specifiche.

Il testo tratta di una dimostrazione di statica, probabilmente tratta dal “Tractatus de ponderibus” di Blasio da Parma, incentrata sulle condizioni di equilibrio di una leva o bilancia con bracci disuguali. Il nocciolo del ragionamento è che, in determinate configurazioni, pesi uguali a distanze disuguali dal fulcro possono comunque bilanciarsi. La dimostrazione principale si sviluppa considerando un peso allungato orizzontale e uno verticale. Si postula una bilancia con due bracci, AB e BC, e due corpi allungati di uguale peso e dimensione, cd ed ef. La condizione imposta è che “ef sia applicato in modo continuo e diretto al braccio AB (cioè orizzontalmente), e che cd sia appeso perpendicolarmente (cioè verticalmente)” - (fr:3345) e che “il centro del peso ef, cioè A, sia alla stessa distanza dal fulcro del termine C dell’altro corpo allungato, così che la distanza CB e AB siano le stesse” - (fr:3346).

La prova procede per confronto con situazioni limite già note. Se il peso orizzontale ef pendesse dal punto F (più vicino al fulcro B), allora “cd in questa posizione sarebbe più pesante di ef, e nella proporzione in cui il braccio BC è più lungo di BF” - (fr:3348). Viceversa, se ef pendesse dal punto E (più lontano da B), allora “il peso cd sarebbe più leggero di ef nella proporzione in cui BE è più lungo di BC” - (fr:3349). Il punto di equilibrio A viene quindi determinato per interpolazione logica tra questi due casi estremi: “Dunque il peso pendente nel punto A starà al peso cd come il brachio BC sta a BA” - (fr:3331). Poiché BC e BA sono posti uguali, ne consegue che “la proporzione di BC a BA è uno, dunque la proporzione del peso al peso sarà uno” - (fr:3332), ossia i pesi si equilibrano.

Questa conclusione è presentata come un corollario di un principio generale, riassunto nell’affermazione che pesi uguali “a e c disugualmente distanti da B come centro di movimento” - (fr:3336) si bilanciano se portati “in equidistanza dalla verticale” - (fr:3337). Il testo precisa che la dimostrazione vale anche se “questi bracci disuguali hanno corde di sospensione tali che la corda da AB è rigida come un filo di bronzo e si curva verso la linea verticale finché non è alla stessa distanza da quella linea del peso” - (fr:3340), situazione in cui i pesi descrivono archi uguali.

Il significato storico del brano risiede nella sua testimonianza del livello avanzato della scienza statica nel tardo Medioevo. Mostra l’uso sistematico del metodo deduttivo e del concetto di “centro di movimento” (fulcro), applicato a configurazioni complesse che coinvolgono corpi estesi e non solo pesi puntiformi. Il riferimento al “commento alla decima conclusione” - (fr:3348) indica che l’autore si inserisce in una precisa tradizione esegetica, probabilmente quella legata ai trattati di Giordano Nemorario, contribuendo alla progressiva matematizzazione della meccanica.

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[38.1-33-3557|3589]

38 Analisi di un trattato medievale sulla gravità e il peso dei corpi

Definizioni, supposizioni e una proposizione metodologica nello studio dei corpi pesanti.

Il testo estratto appartiene a un trattato scientifico, probabilmente medievale, che affronta la questione della gravità e del peso dei corpi, collocandosi nel solco della fisica aristotelica ma mostrando anche l’influenza di Archimede. L’autore stabilisce prima alcuni principi fondamentali (Suppositiones) e poi procede con conclusioni o proposizioni dimostrative.

Un concetto peculiare introdotto subito è quello dell’identità della figura come condizione necessaria per comparare la gravità. Si afferma infatti che “identitas figure requiritur, quia alia et alia figura est causa accelerationis et tarditatis motus” - (fr:3558) [L’identità della figura è richiesta, perché una figura diversa è causa di accelerazione e rallentamento del moto]. La gravità di un corpo non è conosciuta in sé, ma solo attraverso gli effetti del moto: “gravitas corporis maior vel minor non cognoscitur nisi per velociorem et tardiorem motum” - (fr:3559) [la gravità maggiore o minore di un corpo non è conosciuta se non attraverso un moto più veloce o più lento].

Il testo opera una distinzione fondamentale tra corpi fluidi e non fluidi (solidi). Specifica che “sunt quedam corpora fluxibilia, ut vinum, aqua, oleum; quedam solida et non fluxibilia, ut lignum, ferrum et cetera” - (fr:3562) [ci sono alcuni corpi fluidi, come vino, acqua, olio; alcuni solidi e non fluidi, come legno, ferro e così via]. Questa classificazione è estesa a coprire sia corpi della stessa natura (es. due acque) che di natura diversa (es. acqua e olio), e lo stesso vale per i corpi non fluidi.

Tra le supposizioni, emerge un significativo conflitto storico-dottrinale. Viene citato il principio archimedeo per cui “NO ELEMENT HAS WEIGHT IN ITS OWN REGION” - (fr:3568) [NESSUN ELEMENTO HA PESO NELLA PROPRIA REGIONE]. Tuttavia, si registra immediatamente la posizione contraria di Aristotele: “the great Aristotle in his work On the Universe contradicts this… ‘Any element at all, except fire, has weight in its own region’” - (fr:3570) [il grande Aristotele nella sua opera sull’Universo contraddice questo… “Qualsiasi elemento, eccetto il fuoco, ha peso nella propria regione”]. L’autore del trattato sembra prendere le distanze dalla visione aristotelica, notando che “this philosophy is not pleasing to many, nor is it produced with the necessary arguments. And therefore we set it aside” - (fr:3571, 3572) [questa filosofia non è gradita a molti, né è prodotta con gli argomenti necessari. E quindi la mettiamo da parte].

Una supposizione chiave definisce quando due corpi sono ugualmente pesanti: “BODIES ARE EQUALLY HEAVY [specifically] WHEN, WITH THE SAME VOLUME AND FIGURE TAKEN, THEY WEIGH THE SAME” - (fr:3578) [I CORPI SONO UGUALMENTE PESANTI QUANDO, PRESO LO STESSO VOLUME E LA STESSA FIGURA, PESANO LO STESSO]. Qui ritorna il concetto di identità di figura e si introduce esplicitamente il confronto a parità di volume, anticipando il concetto di peso specifico. Questo è chiarito con un esempio: “although a large piece of wood is heavier than a piece of lead, yet the lead is heavier than the wood when they are of the same volume” - (fr:3584) [sebbene un grande pezzo di legno sia più pesante di un pezzo di piombo, tuttavia il piombo è più pesante del legno quando sono dello stesso volume].

La prima conclusione o proposizione che ne segue è di metodo: “IN THE CASE OF TWO NON-FLUID WEIGHTS IT IS POSSIBLE TO FIND OUT WHICH OF THEM IS HEAVIER WITHOUT A BALANCE” - (fr:3586) [NEL CASO DI DUE PESI NON FLUIDI È POSSIBILE SCOPRIRE QUAL È IL PIÙ PESANTE SENZA UNA BILANCIA]. Il metodo proposto, suggerito dalla frase “Que corpora ad aquam compellantur” - (fr:3566) [Questi corpi siano immersi in acqua], sembra essere quello di osservare il loro comportamento in un fluido (probabilmente la velocità di affondamento o galleggiamento), sfruttando il principio per cui la gravità si conosce dal moto.

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[39.1-95-3593|3687]

39 Metodi sperimentali per la determinazione della gravità relativa senza bilancia

Procedure tratte dal Tractatus Blasii de ponderibus per confrontare il peso specifico di corpi solidi e liquidi mediante osservazione del galleggiamento.

Il testo costituisce una sezione di un trattato scientifico medievale, il Tractatus Blasii de ponderibus, dedicato alla determinazione del peso relativo, o gravità specifica, di corpi senza l’uso della bilancia. I metodi esposti si basano interamente sull’osservazione del comportamento dei corpi immersi in un fluido, applicando principi di idrostatica. Le procedure sono descritte in una serie di conclusioni logicamente organizzate, che coprono casi distinti: il confronto tra due solidi, tra due liquidi, tra un solido e un liquido, e la determinazione della proporzione esatta della differenza di peso.

La prima conclusione (I) riguarda due corpi solidi pesanti (“gravia”) immersi in acqua. Il metodo principale consiste nell’osservare se affondano, galleggiano o restano in equilibrio. Se entrambi affondano, il più pesante è quello che “velocius ad fundum procedit” - (fr:3593) [“procede più velocemente verso il fondo”]. Se affondano con la stessa velocità, “eque gravia dicerentur” - (fr:3594) [“sono detti ugualmente pesanti”]. Se nessuno affonda ma galleggia, si misura la parte immersa: “cuius maior pars submergatur, quia illud erit altero gravius” - (fr:3595) [“di quale [corpo] la parte maggiore sia sommersa, poiché quello sarà più pesante dell’altro”]. Se uno galleggia e l’altro affonda, la conclusione è immediata. Il testo prevede anche casi particolari, come l’impossibilità di vedere il fondo a causa dell’acqua torbida: in tal caso si fissa il corpo sul fondo con un’asta e, dopo aver rimosso il sostegno, si osserva la velocità di risalita. Un’ulteriore eccezione è quando entrambi i corpi restano adagiati sul fondo senza tendere a risalire. Per questo caso complesso si descrive un dispositivo ingegnoso: si legano i corpi a delle corde che, passando per un anello fissato in aria, vengono collegate a due pesi esterni uguali, ciascuno più pesante dei corpi in esame. Quindi si osserva “quod istorum ponderum tardius descendit versum superficiem terre. Illud est gravius” - (fr:3601,3602) [“quale di questi pesi discende più lentamente verso la superficie della terra. Quello è più pesante”]. Questa procedura, ritenuta degna di nota per non dover essere ripetuta in futuro, dimostra una ricerca di soluzioni sperimentali raffinate.

La seconda conclusione (II) affronta il confronto tra due liquidi, della stessa specie o diversi. Il metodo utilizza un corpo solido galleggiante, su cui sono segnati dodici punti equidistanti lungo una linea retta. Immergendo successivamente questo corpo di riferimento in ciascun liquido, si conta il numero di punti sommersi. La comparazione di questi numeri fornisce il risultato: “si a^ sit maior, tunc b corpus liquidum est minus grave et a liquidum est gravius” - (fr:3614) [“se a è maggiore, allora il corpo liquido b è meno grave e il liquido a è più grave”]. Questo strumento funziona come un primitivo idrometro, basato sul principio che un corpo galleggiante si immerge tanto più quanto minore è la densità del fluido.

La terza conclusione (III) spiega come determinare quale sia più pesante tra un corpo solido e un liquido. Si prende, ad esempio, un pezzo di legno (a) e un liquido (b). Si immerge il legno nel liquido e si osserva se affonda. Se affonda, “per secundum suppositionem quod a^ est gravius b, quia gravius alio naturaliter descendit sub ipso” - (fr:3645) [“per la seconda supposizione che a è più pesante di b, poiché ciò che è più pesante di un’altra cosa naturalmente discende sotto di essa”]. Se galleggia parzialmente immerso, allora il liquido, a parità di volume, è più pesante del solido. Se infine il solido risulta perfettamente affogato con la superficie superiore a livello di quella del liquido, “in vigore tertie suppositionis solidum et b fluxibile eiusdem gravitatis esse” - (fr:3649) [“in forza della terza supposizione, il solido e il fluido b sono della stessa gravità”].

Le conclusioni successive estendono i metodi alla determinazione quantitativa della proporzione tra le gravità. Per due solidi non fluidi dello stesso genere (IV), si modellano in figure simili, si segnano dodici punti su ciascuno e, dopo l’immersione nello stesso liquido, si confronta la proporzione dei punti sommersi in un corpo rispetto a quelli dell’altro: “secundum hoc iudicabis de ponderibus” - (fr:3658) [“in base a questo giudicherai riguardo ai pesi”]. Per due fluidi (V), si usa nuovamente un’asta galleggiante con punti segnati e si confrontano le proporzioni di immersione nei due liquidi: “sicut proportio se habet ad proportionem sic liquidum ad liquidum” - (fr:3686) [“come la proporzione sta alla proporzione, così il liquido sta al liquido”].

Il testo è un esempio significativo della scienza medievale post-classica, che applica un ragionamento logico e procedimenti sperimentali a problemi fisici concreti. L’assenza della bilancia stimola l’elaborazione di metodi alternativi basati sul comportamento dei corpi nei fluidi, anticipando concetti di densità e galleggiamento. L’uso di punti di riferimento per misurazioni quantitative e la previsione di casi limite rivelano una sistematicità notevole. Il trattato si colloca nella tradizione degli studi di statica e idrostatica, probabilmente influenzata dalle opere di Archimede, mediate attraverso le traduzioni arabe e latine, e testimonia l’attività scientifica nei secoli XIII-XIV.

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[40.1-23-3843|3865]

40 Il commentario al Liber de ponderibus e la questione dell’interpretazione jordanica

Un’analisi storiografica che valuta il merito di un commentario medievale, la sua interpretazione del principio del lavoro e il dibattito sull’attribuzione e l’autenticità dei testi.

Il testo analizza il valore e il contenuto di un commentario anonimo al Liber de ponderibus. Il suo principale merito risiede nella chiara comprensione delle questioni teoriche in gioco, in particolare per aver colto che il primo teorema dell’opera, per fornire una base adeguata alla dimostrazione del principio generale della leva, deve essere inteso come un’enunciazione del principio del lavoro: “Finally, the commentary has great merit in itself, by reason of its clear grasp of the theoretical issues involved in the interpretation of the first theorem of the Liber de ponderibus, and its acute appreciation of the fact that this theorem, in order to yield an adequate foundation for the demonstration of the general lever principle, must be construed in the sense of an enunciation of the principle of work” - (fr:3843) [Infine, il commentario ha di per sé grande merito, per la sua chiara comprensione delle questioni teoriche coinvolte nell’interpretazione del primo teorema del Liber de ponderibus, e per la sua acuta consapevolezza del fatto che questo teorema, per fornire una base adeguata alla dimostrazione del principio generale della leva, deve essere interpretato nel senso di un’enunciazione del principio del lavoro]. Questa interpretazione era stata sostenuta da Pierre Duhem, il quale avrebbe potuto trovare un valido supporto proprio in questo commentario, ma non lo fece, probabilmente perché non lo esaminò con cura, ritenendolo una semplice espansione cinquecentesca di un commentario inferiore (fr:3844-3845).

L’identità e la fonte del commentario sono oggetto di analisi. L’autore era certamente a conoscenza delle dimostrazioni originate da Jordanus de Nemore, ma considerava la formulazione del primo teorema presente nella versione “P” come quella originale, come rivela l’uso della parola proprie assente nelle versioni autenticamente giordance: “But his discussion indicates that he regarded the wording of the first theorem, found in our version “P” but not in the Elementa Jordani, as the original form of the theorem; the word proprie, which occurs in Version “P” but not in the authentic Jordanus versions, reveals this fact“ - (fr:3853) [Ma la sua discussione indica che egli considerava la formulazione del primo teorema, trovata nella nostra versione “P” ma non negli Elementa Jordani, come la forma originale del teorema; la parola proprie, che compare nella Versione “P” ma non nelle versioni autentiche di Jordanus, rivela questo fatto]. L’autore del commentario, infatti, sembra non attribuire il Liber de ponderibus originale a Jordanus de Nemore, riferendosi solo all’“auctor” senza nominarlo e osservando poi che il primo teorema ha una formulazione diversa nel “testo di Jordanus”, che corrisponde a quella del De ratione ponderis (fr:3854-3857).

La figura dell’anonimo commentatore viene delineata come quella di un pensatore critico e acuto, non un mero copista: “a man of critical acumen, well versed in Euclid’s Elements, familiar with the new mathematical approach to dynamics which had been made by Thomas Bradwardine, and possessed of an excellent insight into the problems involved in Jordanus’ attempt” - (fr:3858) [un uomo di acume critico, ben versato negli Elementi di Euclide, familiare con il nuovo approccio matematico alla dinamica sviluppato da Thomas Bradwardine, e dotato di un’ottima intuizione dei problemi coinvolti nel tentativo di Jordanus]. Si avanza l’ipotesi che possa trattarsi di un matematico “mertoniano” della prima metà del XIV secolo, influenzato da Bradwardine, o forse dello stesso Bradwardine (fr:3859).

Il testo si conclude con note di carattere editoriale, spiegando la convenzione usata per indicare pesi e posizioni nei diagrammi (fr:3860) e citando altri manoscritti che contengono copie di questo commentario: il Cod. lat. 5203 della Biblioteca Nazionale di Vienna, il Cod. Ambon. 8° 72 della Biblioteca Universitaria di Erfurt e il Ms. 10260 della Biblioteca Nazionale di Parigi (fr:3862-3865, 3850-3851).

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[41.1-54-3896|3949]

41 Analisi di un teorema di statica su equilibrio, gravità posizionale e movimento

Commento critico alla relazione proporzionale tra pesi e movimenti in una bilancia, con chiarimenti sul concetto di gravità totale.

Il testo costituisce un’analisi dettagliata e una precisazione di un teorema scientifico riguardante la statica, specificamente il comportamento dei pesi in una bilancia. La discussione si sviluppa come una confutazione o un chiarimento rivolto a un “avversario”, con l’obiettivo di correggere un’interpretazione errata e stabilire le condizioni esatte di validità della proposizione originale dell’“autore”. Il nucleo del teorema stabilisce una proporzionalità tra pesi e movimenti: “Hence, even though the opposite may be proved— though not for the same weights— , nevertheless the argument is valid, in that the same principle which holds for certain weights, holds for any” - (fr:3896) [Quindi, anche se si possa provare il contrario — sebbene non per gli stessi pesi —, cionondimeno l’argomento è valido, in quanto lo stesso principio che vale per certi pesi, vale per qualsiasi.]. La relazione fondamentale è espressa nella doppia proporzione tra discesa e ascesa: “that as the weight a^is to the weight b, in descent, so, in converse manner, the ascent of the weight b^is to the ascent of the weight a” - (fr:3901) [ossia, che come il peso a sta al peso b, nella discesa, così, in maniera inversa, l’ascesa del peso b sta all’ascesa del peso a.]. Ciò viene dimostrato logicamente, concludendo che “sicut a pondus ad b pondus, ita ascensus b ad ascensum a” - (fr:3903) [come il peso a sta al peso b, così l’ascesa di b sta all’ascesa di a.].

Un punto peculiare e cruciale del testo è la netta distinzione tra il moto naturale di un grave e il suo moto all’interno di un sistema meccanico vincolato. L’analista precisa che l’autore del teorema “non habet determinare de motu gravis relicti proprie nature, sed tantum de motu gravis in equilibra cum resistentia gravis positi in alio brachio equilibre” - (fr:3904) [non deve determinare il moto di un grave lasciato alla sua natura, ma solo il moto di un grave in equilibrio con la resistenza di un grave posto sull’altro braccio dell’equilibrio.]. Questo è evidente dal fatto che il teorema tratta dell’ascesa di un peso, la quale “tamen non ascendat pondus naturaliter in medio in quo naturaliter descenderet si permitteretur nature proprie” - (fr:3905) [tuttavia un peso non ascende naturalmente in un mezzo in cui naturalmente scenderebbe se fosse lasciato alla sua propria natura.]. L’ascesa avviene invece per una violenza impressa dal sistema: “a ascendit in brachio equilibre propter violentiam quam inducit pondus alterius brachii in descendendo” - (fr:3906) [a ascende nel braccio dell’equilibrio a causa della violenza che induce il peso dell’altro braccio scendendo.].

Da questa premessa discende la corretta interpretazione del teorema, che non può riferirsi al peso semplice. La conclusione “non potest intelligi quod sicut descensus «i ad descensum b, ita gravitas a simpliciter ad gravitatem b simpliciter; sed sicut descensus <i ad descensum b, ita tota gravitas a—simpliciter et secundum situm—ad totam gravita tem b, simpliciter et secundum situm” - (fr:3909) [non può essere intesa nel senso che come la discesa di a sta alla discesa di b, così la gravità a semplicemente sta alla gravità b semplicemente; ma come la discesa di a sta alla discesa di b, così la gravità totale di a — sia semplice che secondo la posizione — sta alla gravità totale di b, semplice e secondo la posizione.]. Il concetto di “gravità totale” che include la componente posizionale (secundum situm) è fondamentale e deve essere “strictis sime intelligi” - (fr:3910) [inteso nel modo più rigoroso.]. La validità della proporzione è infatti condizionata: “illud non est verum nisi quando eadem est proportio totius gravitatis a ad totam gravitatem b, que est potentie a super suam resistentiam ad potentiam b super suam resistentiam; quia secundum hoc variatur velocitas descensus” - (fr:3911) [ciò non è vero se non quando è la stessa la proporzione della gravità totale di a alla gravità totale di b, che è quella della potenza di a sulla sua resistenza alla potenza di b sulla sua resistenza; perché secondo ciò varia la velocità della discesa.].

L’interpretazione si applica concretamente a una bilancia a bracci disuguali. Il peso ‘g’ posto in due posizioni diverse (C e D) varia la sua gravità efficace in proporzione alla lunghezza del braccio: “sequitur ex ista expositione quod g pondus in C situ se habet ad idem g pondus in D situ secundum proportionem CA ad DA” - (fr:3930) [segue da questa esposizione che il peso g nella posizione C sta allo stesso peso g nella posizione D secondo la proporzione di CA a DA.]. Questo principio governa sia la discesa che la capacità di sollevare un altro peso.

Tuttavia, l’analista solleva una potenziale incongruenza: l’esposizione data sembra trascurare il parametro della velocità, mentre la conclusione originale dell’autore la includeva (“conclusio ponit quod sicut pondus ad pondum, ita velocitas ad velocitatem” - (fr:3937) [la conclusione stabilisce che come il peso sta al peso, così la velocità sta alla velocità.]). Per risolvere questo, si avanza un argomento supplementare che, mantenendo le proporzioni geometriche, suggerisce come la stessa relazione debba valere per la velocità.

Storicamente, il testo è una preziosa testimonianza del dibattito scientifico medievale o rinascimentale sulla statica. Mostra uno stadio di elaborazione concettuale in cui la legge dell’equilibrio della leva viene analizzata attraverso la distinzione tra peso assoluto e peso efficace (o momento), qui definito “gravità totale secondo la posizione”. La confutazione di un’interpretazione erronea che confondeva moto naturale e moto vincolato, e l’insistenza sulle condizioni precise di validità, riflettono un metodo di analisi rigoroso e critico, volto a chiarire e sistematizzare le conoscenze meccaniche precedenti, in un percorso che condurrà alle sintesi della scienza moderna.

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[42.1-93-4065|4157]

42 Analisi di un Argomento Meccanico e dell’Apparato Critico

Un ragionamento sulle proporzioni del peso e l’apparato critico di un’edizione scientifica medievale.

Il testo presentato è composto da due sezioni distinte per contenuto e scopo. La prima parte (frasi 4065-4068) contiene un argomento teorico di meccanica, mentre la seconda (dalla frase 4069 in poi) costituisce un dettagliato apparato critico che elenca manoscritti e spiega il metodo editoriale per un’opera scientifica medievale.

Nella sezione meccanica, viene esposto un ragionamento basato su una proposizione iniziale, secondo cui “the proportion of the weights is inversely as their [vertical] ascents” - (fr:4065) [la proporzione dei pesi è inversamente come le loro ascese [verticali]]. Questo principio stabilisce che il peso b sta al peso a come l’ascesa di a sta all’ascesa di b. L’argomento procede poi con una dimostrazione per assurdo: si suppone che l’ascesa di a avvenga attraverso DG e quella di b attraverso PL. Ne consegue che “that which can lift weight a to point D can lift weight b to point L” - (fr:4067) [ciò che può sollevare il peso a fino al punto D può sollevare il peso b fino al punto L]. Tuttavia, secondo l’avversario, b può sollevare a fino a D; quindi, seguendo la logica, potrebbe sollevare se stesso fino a L, conclusione ritenuta falsa. Al contrario, si afferma che a quel punto i pesi sarebbero uguali e tornerebbero in equilibrio: “being equal (in effective weight) at point L, it would return to a position of equality” - (fr:4068) [essendo uguali (in peso effettivo) nel punto L, tornerebbero a una posizione di uguaglianza].

La sezione successiva ha un carattere completamente diverso, testimoniando il lavoro filologico alla base dell’edizione di un testo storico. Fornisce un lungo elenco codicologico, identificando con sigle (A, AA, B, BB, etc.) una serie di manoscritti conservati in biblioteche europee (Parigi, Città del Vaticano, Firenze, Oxford, etc.) e edizioni a stampa (come quelle di Norimberga 1533 e Venezia 1565). Viene poi spiegato nel dettaglio il metodo uniforme di citazione delle varianti testuali: “The preferred reading is separated from the variant readings by the use of the colon” - (fr:4132) [La lezione preferita è separata dalle varianti dall’uso dei due punti]. Le sigle sottolineate e in maiuscolo rinviano all’elenco fornito, e il numero che precede la variante indica il numero di riga nel testo. Un esempio chiarificatore è dato: “8 super: sunt M om.A would mean that the word “super” in line eight of the text is the preferred reading, that manuscript M has the variant “sunt” and that manuscript A omits the word” - (fr:4136) [8 super: sunt M om.A significherebbe che la parola “super” alla riga otto del testo è la lezione preferita, che il manoscritto M ha la variante “sunt” e che il manoscritto A omette la parola]. Vengono inoltre definite abbreviazioni editoriali standard come “om. = omittit or omisit, add. = addit, lac. = lacuna” - (fr:4137, 4138, 4139) [om. = omette, add. = aggiunge, lac. = lacuna].

Infine, viene applicato il metodo a un caso specifico, fornendo le varianti testuali per le pagine 26-30 dell’opera De Ponderoso, citando manoscritti del XIII e XVI secolo con i relativi fogli. Questo apparato rivela l’importanza storica del testo come testimonianza materiale della trasmissione del sapere scientifico nel Medioevo e del rigore metodologico applicato nella sua ricostruzione filologica moderna.

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[43.1-53-4181|4233]

43 Analisi di un Trattato di Idrostatica e di Pesi Medievale

Principi di galleggiamento, miscele di metalli e osservazioni sulla gradualità dei fenomeni fisici in un testo scientifico annotato.

Il testo in esame è un estratto di un trattato scientifico, verosimilmente medievale, incentrato su questioni di idrostatica, gravità specifica e proporzioni. La natura del documento è filologicamente complessa, presentandosi come una raccolta di varianti testuali e note critiche relative a diversi manoscritti, indicati con sigle come A, B, T, Y, BB, LL. Nonostante la frammentarietà imposta dall’apparato critico, è possibile estrarre una serie di proposizioni e concetti scientifici coerenti.

Un principio cardine espresso è quello del galleggiamento, che stabilisce una relazione fondamentale tra il corpo immerso e il fluido: “Omne corpus supernatans aque occupat in ea locum aque sui ponderis” - (fr:4182) [“Ogni corpo che galleggia sull’acqua occupa in essa un posto [di] acqua del suo stesso peso”]. Questo enunciato racchiude l’essenza del principio di Archimede, applicato al caso specifico di un corpo in equilibrio alla superficie.

Il ragionamento procede con l’analisi delle proporzioni tra pesi e volumi. Si afferma che, per corpi dello stesso genere (ad esempio due campioni d’acqua), la proporzione dei pesi è uguale alla proporzione delle grandezze (volumi): “C aqua et A aqua sunt corpora eiusdem generis. Igitur que est proportio eorum in pondere eadem est in magnitudine” - (fr:4185, 4186) [“L’acqua C e l’acqua A sono corpi dello stesso genere. Pertanto, la proporzione che essi hanno nel peso è la stessa che hanno nella grandezza”]. Questo passaggio chiarisce l’ipotesi di omogeneità e introduce un postulato chiave per i successivi calcoli.

Un’applicazione significativa di queste proporzioni riguarda la composizione dei corpi misti, in particolare leghe metalliche. Viene formulata una regola per determinare le quantità relative dei due metalli costituenti: “Dico quod erit partis mixti que in ipso est de genere gravioris proportio ad aliam sui partem que est de genere levioris tanquam proportio differentie ponderis mixti ad pondus levioris ad differentiam [ponderis] eiusdem mixti ad pondus gravioris” - (fr:4189) [“Dico che la proporzione della parte della miscela che in essa è del genere più pesante rispetto all’altra sua parte che è del genere più leggero sarà come la proporzione della differenza del peso della miscela rispetto al peso del più leggero alla differenza dello stesso peso della miscela rispetto al peso del più pesante”]. In termini moderni, questa è una formulazione della regola della leva o della media ponderata applicata alle leghe. Un corollario immediato segue per il caso particolare: “Unde si differentie sint equales, erit in mixto equaliter de simplicibus” - (fr:4190) [“Dunque se le differenze sono uguali, nella miscela ci sarà in parti uguali dei due elementi semplici”].

Il trattato non si limita alla statica, ma accenna anche alla dinamica dell’immersione. Descrive il caso di un corpo che, galleggiando, acquisisce peso gradualmente: “Et sit e corpus natans supra aqua quod gravitatem paulatim et paulatim suscipiat. Dico quod mergetur paulatim secundum proportionem sui ponderis ad pondus aque sibi equalis in magnitudine pars eius corporis existens in aqua” - (fr:4203, 4204) [“E sia e un corpo che galleggia sull’acqua che acquisti peso poco a poco. Dico che si immergerà poco a poco secondo la proporzione del suo peso rispetto al peso dell’acqua a esso uguale in grandezza [la parte] del suo corpo esistente nell’acqua”]. Vengono poi analizzati tre scenari precisi: se il peso del corpo è la metà di quello dell’acqua di ugual volume, la parte immersa sarà metà del corpo; se i pesi sono uguali, il corpo sarà totalmente immerso ma senza affondare; se il peso del corpo supera quello dell’acqua, esso “statim descendet ad fundum motu veloci” - (fr:4205) [“subito scenderà sul fondo con moto veloce”].

Un elemento peculiare è l’osservazione filosofico-naturale sulla percezione dei fenomeni. L’autore paragona il processo graduale di acquisizione di peso che porta a un affondamento improvviso ad altri eventi naturali: “Hoc est exemplar quod quedam res videntur subito contingere, licet earum causa successive finem sue dispositionis explicet (?), sicut in stellis cadentibus et pluviis” - (fr:4201) [“Questo è un esempio del fatto che certe cose sembrano accadere all’improvviso, sebbene la loro causa spieghi (o porti a compimento) successivamente il termine della sua disposizione, come nelle stelle cadenti e nelle piogge”]. Questo passaggio collega l’indagine fisica a una riflessione sulla percezione della gradualità nella natura.

Il significato storico del testo è duplice. Da un lato, è una testimonianza della trasmissione e del commento di conoscenze scientifiche antiche (con espliciti riferimenti a Euclide) in epoca medievale. La fitta rete di varianti e le sigle dei manoscritti (es. Paris, Bib. Nat. lat. 8680; Vatican, Reg. lat. 1261) attestano una tradizione testuale attiva e diffusa in diversi scriptoria europei tra il XIII e il XVI secolo. Dall’altro, il contenuto mostra un tentativo di sistematizzazione matematica di problemi pratici, come la determinazione della composizione delle leghe o il comportamento dei corpi galleggianti, temi rilevanti per la tecnologia e l’alchimia del tempo. L’uso costante di proporzioni e la ricerca di relazioni quantitative riflettono il metodo della scientia de ponderibus, ponendo questo estratto all’interno di una ricca tradizione di meccanica pre-galileiana.

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[44.1-50-4270|4319]

44 Apparato critico per il “De ponderibus” di Giordano Nemorario: una testimonianza filologica

Analisi dell’apparato delle varianti testuali di un trattato medievale di statica.

Il testo fornito costituisce l’apparato critico per un’edizione moderna del Liber de ponderibus attribuito a Giordano Nemorario (o di Nemore). Si tratta di un’opera fondamentale della scienza medievale, che tratta della teoria dei pesi e dei principi dell’equilibrio delle leve. L’insieme delle frasi numerate non è il trattato in sé, ma il registro sistematico delle differenze riscontrate tra i vari manoscritti e edizioni a stampa utilizzati per ricostruire il testo originale. Il riferimento “19 r-20v (15th century ?)” - (fr:4270) indica una probabile datazione del manoscritto, collocando la tradizione testuale nel XV secolo, mentre la citazione “X = Jordani Nemorarii…De Ponderibus Propositiones XIII… editus…Petro Apiano… Nuremberg 1533” - (fr:4271) [X = Dell’opera di Giordano Nemorario…Tredici proposizioni sui pesi… pubblicata… da Pietro Apiano… Norimberga 1533] testimonia la prima edizione a stampa dell’opera, segnalando la sua diffusione nell’ambito della rinascita scientifica del Cinquecento.

L’identificativo principale “X” si riferisce a questa editio princeps del 1533, mentre le altre sigle (J, K, C, H, S, Q, Y, A) rappresentano diversi testimoni manoscritti e stampati. La struttura dell’apparato è rigorosa: per ogni riga del testo stabilito (lemma), si elencano le lezioni varianti. Ad esempio, per una parola data nel testo base, si registra: “minore: minori X in minore: minor X” - (fr:4273) [minore: minori X in minore: minor X], mostrando come in un certo punto il manoscritto J legga “minore”, mentre l’edizione X ha “minori”, e in un altro punto J ha “in minore” e X ha “minor”. Questo metodo chiarisce il processo di scelta filologica. La presenza di omissioni è segnalata con “om.”, come in “quam om.J” - (fr:4273) [quam omesso in J] o “et om.X” - (fr:4273) [et omesso in X], rivelando errori di copia o divergenze intenzionali nella trasmissione.

L’apparato documenta una serie di termini tecnici specifici della scienza medievale del peso, la cui grafia oscilla tra i testimoni. Parole chiave come “appendiculorum: perpendiculorum jJ” - (fr:4275) [appendicoli: perpendicoli in jJ] o “equilibri: equilibra J” - (fr:4275) [dell’equilibrio: dell’equilibra in J] mostrano varianti ortografiche e flessionali. Allo stesso modo, concetti centrali come “obliquiorem…descensum” - (fr:4275) [la maggiore obliquità… la discesa] sono oggetto di attenzione. Le note del commentatore (indicato come “Commentum”) sono esse stesse parte della tradizione testuale, con la loro trasmissione instabile: “Commentum om.JX” - (fr:4275) [Il Commento è omesso in J e X].

Il significato storico di questo testo è duplice. In primo luogo, è una testimonianza diretta del meticoloso lavoro filologico del XX secolo volto a stabilire testi scientifici medievali affidabili, basandosi sulla collazione di molte fonti. In secondo luogo, attraverso le sue varianti, cattura la vita materiale e intellettuale del testo stesso durante secoli di copiatura manuale. Le ambiguità e gli errori (ad esempio, “contrarius: gravis X” - (fr:4273) [contrario: grave in X]) illustrano le difficoltà di trasmissione di concetti tecnici. La descrizione dei manoscritti nelle ultime frasi, come “A = Paris, Ms. Bibl. Nat, lat. 8680 A , fols. 6v-llv” - (fr:4281, 4282, 4283) [A = Parigi, Ms. Biblioteca Nazionale, latino 8680 A, carte 6v-11v], fornisce una precisa provenienza delle fonti, radicando il testo nella storia delle biblioteche e delle collezioni. L’intero apparato, quindi, non è solo uno strumento per ricostruire un trattato scientifico, ma è esso stesso un documento storico sulla prassi erudita e sulla trasmissione della conoscenza tecnica dal Medioevo al Rinascimento.

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[45.1-63-4327|4389]

Note critiche e varianti testuali in un trattato di meccanica medievale

Un apparato di varianti e scelte editoriali per l’edizione di un’opera scientifica.

Il testo fornito costituisce un apparato critico dettagliato, specificamente la sezione delle “VARIANT READINGS” per un’opera intitolata Tractatus de ponderibus attribuito a Magister Blasius de Parma. Il suo significato risiede nell’essere una testimonianza diretta del meticoloso lavoro filologico compiuto per ricostruire un testo scientifico medievale a partire da manoscritti differenti e spesso discordanti. L’analisi rivela le pratiche editoriali, le convenzioni utilizzate per segnalare le varianti e la complessità della tradizione manoscritta di un’opera di statica e meccanica.

L’elemento peculiare e centrale del testo è il suo stesso formato: un registro sistematico di differenze riscontrate tra le fonti primarie. L’editor stabilisce anzitutto alcune convenzioni generali. Ad esempio, dichiara di non annotare sistematicamente certe differenze ortografiche comuni, come l’uso di “s” per “x”: “N also uses ‘s’ or ‘s s’ for ‘x ,’ as ‘fisum’ for ‘fixum,’ ‘assis’ for ‘axis,’ etc.” - (fr:4327) [N usa anche “s” o “s s” per “x”, come “fisum” per “fixum”, “assis” per “axis”, ecc.]. Analogamente, tralascia di indicare semplici inversioni di parole o la sostituzione di connettivi come “ergo per igitur” - (fr:4329, 4330). Le integrazioni testuali dell’editore sono segnalate da parentesi quadre: “Additions by the editor to complete the text are inclosed within brackets [ ].” - (fr:4331) [Aggiunte dell’editore per completare il testo sono racchiuse tra parentesi quadre [ ]].

La logica per stabilire la lezione preferita è spiegata chiaramente: “Unless otherwise indicated the preferred reading is from the other of the two manuscripts.” - (fr:4332) [A meno che non sia indicato altrimenti, la lezione preferita proviene dall’altro dei due manoscritti]. Quando vengono fornite varianti per entrambi i manoscritti (indicati con le sigle N e C), le lezioni a sinistra sono ricostruzioni editoriali. Questo è esemplificato dalla correzione del nome “Archimedes”, errato nei codici: “Archimedes : Altiminides N Alaminides C, ‘Archimedes’ is my reconstruction.” - (fr:4334) [“Archimedes”: Altiminides N, Alaminides C, “Archimedes” è la mia ricostruzione].

Il corpo principale dell’apparato (frasi 4335-4342) elenca, in ordine di riga o lemma, le varianti per le Parti I, II e III del trattato. Le differenze spaziano da omissioni di intere parole (“et cetera om.C” - (fr:4335) [eccetera omesso in C]) a varianti sostanziali che alterano il senso tecnico. Ad esempio, in una discussione sugli angoli e i bracci di una leva, si riscontra un’inversione di concetto: “inferioris: superioris C” e “superioris: inferioris C” - (fr:4342) [inferioris: superioris C; superioris: inferioris C]. Un altro caso significativo mostra come un termine tecnico chiave come “equidistantia” (parallelismo) sia sostituito con il più generico “distantia”: “equidistantia: distantia C” - (fr:4341) [equidistantia: distantia C]. Queste varianti non sono mere curiosità lessicali, ma hanno implicazioni dirette per la comprensione della teoria meccanica esposta.

Il testo si chiude con il colofone del manoscritto C, che data e localizza la copia: “1476, 9 Januarii Neapoli, per A. de Bruxella” - (fr:4343) [1476, 9 gennaio Napoli, per A. de Bruxella], un dato di grande rilievo storico-cronologico. Le successive appendici (I-IV) ampliano l’orizzonte della collazione a ulteriori manoscritti, indicati con altre sigle (Q, F, B, etc.). L’editor fornisce una valutazione della loro affidabilità: “Q and F are the most complete. B and [I] which are duplicates, contain several lacunae and some basic errors…” - (fr:4357) [Q e F sono i più completi. B e [I], che sono duplicati, contengono diverse lacune e alcuni errori di base…]. L’Appendice III, in particolare, confronta il testo con una stampa antica (X, Norimbergae 1533) di un’opera simile o correlata (Liber Iordani Nemorarii…De ponderibus), evidenziando come la tradizione testuale si intrecci con la storia della stampa scientifica.

In conclusione, questo testo è un documento fondamentale sotto un duplice aspetto: è la traccia materiale del processo che porta all’edizione critica di un’opera scientifica, mostrando l’instabilità del testo prima della fissazione tipografica; ed è, al contempo, una testimonianza indiretta del vivace dibattito medievale e rinascimentale su problemi di meccanica, equilibrio e peso, qui filtrato attraverso le incongruenze dei copisti e le congetture dello studioso moderno.

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[46.1-33-4515|4547]

45 Concetti di forza e movimento nella dinamica aristotelica medievale

Analisi di un commentario sui principi dinamici di un trattato medievale “De ponderibus”, con focus sulla definizione aristotelica di “forza” (virtus) come potere intrinseco di un corpo di muoversi in un mezzo.

Il testo analizza i fondamenti concettuali della dinamica di tradizione aristotelica così come sviluppati in un trattato medievale sugli equilibri e i pesi (“De ponderibus”). L’elemento peculiare centrale è la definizione di “forza” (virtus o fortitudo), radicalmente diversa dalla nozione moderna. Qui, la forza non è un’entità agente esterna sul corpo, ma “the power of a heavy body to fall downward, or of a light body to rise upward, in a given corporeal medium” - (fr:4517) [il potere di un corpo pesante di cadere verso il basso, o di un corpo leggero di salire verso l’alto, in un dato mezzo corporeo]. La misura di questa forza non è assoluta, ma relativa e comparativa, basata sul tempo necessario per spostare un dato volume di mezzo.

La definizione operativa di uguaglianza di forza tra due corpi viene stabilita in base alla capacità di percorrere, nello stesso tempo e nello stesso mezzo, volumi uguali di “luogo”. Il “luogo” non è una semplice distanza lineare, ma un volume di mezzo dislocato, come chiarito: “These equal amounts of ‘place’ are to be understood not merely as linear distances, but as volumes of the medium displaced by the fall of the heavy body” - (fr:4519) [Queste uguali quantità di ‘luogo’ devono essere intese non semplicemente come distanze lineari, ma come volumi del mezzo spostati dalla caduta del corpo pesante]. La misura è dunque il prodotto tra il volume di mezzo (pari al volume del corpo in caduta) e la distanza lineare della caduta. Un postulato chiave afferma che “the size of the body determines the size of its place” - (fr:4520) [la dimensione del corpo determina la dimensione del suo luogo], legando indissolubilmente il concetto di luogo-spostato al volume del corpo mobile.

Da questi postulati deriva una definizione cinetica della densità, o “stessa specie” di corpo. Due corpi sono della stessa specie se, a parità di volume, possiedono la stessa forza, determinata dal tempo impiegato a percorrere una data distanza nello stesso mezzo. Questo porta a concepire la densità come “‘force’ divided by volume, rather than as mass (in the modern sense) divided by volume” - (fr:4522) [“forza” divisa per il volume, piuttosto che massa (nel senso moderno) divisa per il volume]. Ne consegue che per corpi della stessa specie, la forza è proporzionale al volume. Tuttavia, come viene precisato, un corpo di volume doppio (e quindi forza doppia) non cade più velocemente di uno più piccolo, perché “its double force, encountering a double amount of resisting medium, will require as much time to traverse a given linear distance” - (fr:4533) [la sua forza doppia, incontrando una quantità doppia di mezzo resistente, richiederà altrettanto tempo per attraversare una data distanza lineare]. La velocità di caduta in un mezzo corporeo dipende quindi non dal peso assoluto, ma dal rapporto tra le densità del corpo cadente e del mezzo: “Speed, in this Aristotelian dynamics, depends on the ratio of the ‘natures’ or densities of falling body and medium” - (fr:4544) [La velocità, in questa dinamica aristotelica, dipende dal rapporto tra le “nature” o densità del corpo cadente e del mezzo].

Il testo chiarisce un’importante ambiguità storica. L’autore contesta l’interpretazione di Pierre Duhem, secondo cui il trattato sosteneva che la velocità di caduta dipendesse dal peso lordo. La spiegazione fornita è che Duhem non avrebbe tenuto conto del fatto che “resistance is measured by the whole quantity (i.e., volume) of medium pushed aside, and not merely by linear distance alone” - (fr:4535) [la resistenza è misurata dall’intera quantità (cioè il volume) di mezzo spostato, e non semplicemente dalla sola distanza lineare].

Il commentario ha un significato storico-testimoniale cruciale in quanto illustra il quadro concettuale pre-moderno della meccanica, evidenziandone la coerenza interna ma anche le fondamentali differenze con la fisica newtoniana. In particolare, sottolinea come la forza fosse considerata una proprietà del corpo stesso, “the power of the body itself to push aside the corporeal medium blocking its way” - (fr:4525) [il potere del corpo stesso di spingere da parte il mezzo corporeo che gli blocca il passaggio]. Questo principio dinamico, derivato dal movimento naturale, veniva esteso anche ai fenomeni statici come le bilance e le leve, sebbene in quel caso la proporzionalità costante tra “motore” e “mosso” rispetto al volume non si applicasse più. Tale estensione, se da un lato fu un ostacolo, dall’altro fu anche “a stimulus to the slow progress of the science of mechanics” - (fr:4546) [uno stimolo per il lento progresso della scienza della meccanica].

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[47.1-53-4599|4651]

46 Analisi di un trattato pseudo-archimedeo sul galleggiamento e il peso specifico

Studio critico sulle definizioni, proposizioni e tradizione manoscritta del “De insidentibus in humidum”.

Il testo analizzato è un commento a un trattato scientifico medievale, attribuito ad Archimede o di ispirazione archimedea, che tratta della pesantezza dei corpi e del loro comportamento nei fluidi. Il commento esamina le definizioni fondanti, la struttura dell’opera e i suoi rapporti con la tradizione aristotelica e archimedea autentica.

Il trattato distingue innanzitutto tra peso assoluto e relativo, basandosi sulla fisica aristotelica. Come osservato, “4, 3lla 15-b 13) distinguishes the ‘absolutely heavy’ and the ‘absolutely light,’ as bodies such as descend, or ascend, in both of the two ‘natural’ media of air and water” - (fr:4599) [4, 3lla 15-b 13) distingue il “pesante in assoluto” e il “leggero in assoluto”, come corpi che discendono, o salgono, in entrambi i due mezzi “naturali” dell’aria e dell’acqua]. I corpi come il legno, che “descends in air but rises in water, is neither heavy nor light in the absolute sense” - (fr:4600) [discende nell’aria ma sale nell’acqua, non è né pesante né leggero in senso assoluto], sono invece considerati pesanti o leggeri in senso relativo, a seconda del mezzo.

Vengono poi definite due accezioni di peso relativo: una secondo la massa totale (gravitas secundum numerositatem) e una ”specific gravity” (secundum speciem)** - (fr:4601, 4603). Quest’ultima, sebbene non definita esplicitamente nella sezione delle definizioni, riceve una chiara definizione “topologica” nei postulati successivi - (fr:4609). I postulati forniscono le assunzioni fisiche per le dimostrazioni e, significativamente, il Postulato I implica una contraddizione con la posizione di Aristotele espressa nel De caelo - (fr:4607).

La struttura proposizionale del trattato è esaminata criticamente. La Proposizione I, pur essendo concettualmente identica alla Proposizione VII del trattato autentico di Archimede Sui corpi galleggianti, presenta una dimostrazione e una fraseologia latina differente dalla traduzione di Moerbeke - (fr:4610, 4611). La Proposizione II, utilizzando la Proposizione I e il Postulato 4, stabilisce che “the ratio of the volumes of two solids is as the ratio between the excesses of their weights in air over their weights in water” - (fr:4612, 4613) [il rapporto tra i volumi di due solidi è come il rapporto tra gli eccessi dei loro pesi in aria rispetto ai loro pesi in acqua]. L’ordine delle proposizioni nel testo pervenuto potrebbe non essere originale, come suggerito dal riferimento interno a una “terza proposizione” nelle dimostrazioni successive - (fr:4615-4619).

Un’ulteriore complessità testuale è rappresentata da una “proposizione extra” presente in alcuni manoscritti (come il BN 7377B), che enuncia il principio per cui “a body floating in water displaces a weight of water equal to itself” - (fr:4621, 4622) [un corpo che galleggia in acqua sposta un peso d’acqua uguale a se stesso]. La sua fraseologia è completamente diversa da quella dell’opera archimedea e potrebbe essere correlata a un passaggio aggiuntivo che esamina i tre casi del rapporto tra densità del corpo e del fluido - (fr:4624-4626). Questo passaggio trova un parallelo nell’opera di Johannes de Muris, confermando la sua possibile origine come spiegazione della proposizione sul galleggiamento - (fr:4627, 4628).

Le proposizioni successive forniscono applicazioni pratiche. La Proposizione III, basandosi sulla Proposizione I, mostra “how the ratio of specific gravities of two liquids may be determined” - (fr:4629, 4631) [come il rapporto tra i pesi specifici di due liquidi possa essere determinato], offrendo un metodo alternativo all’idrometro. La Proposizione IV applica il principio della Proposizione I alla soluzione del problema della Corona d’Oro, un metodo diverso da quello descritto da Vitruvio e più direttamente suggerito dal lavoro di Archimede - (fr:4634-4637). La tradizione manoscritta di questa proposizione è instabile: in alcuni manoscritti manca la dimostrazione e potrebbe essere un’aggiunta posteriore - (fr:4638-4640).

Il commento si chiude con un confronto dettagliato tra la soluzione proposta nel trattato e quella descritta nel Carmen de ponderibus, di cui viene fornita una traduzione parziale e una sintesi del metodo, che si basa sullo spostamento osservato in una bilancia a bracci uguali quando i pesi sono immersi in acqua - (fr:4641-4651).

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[48.1-84-5392|5475]

47 Analisi di un commento critico ai teoremi di statica medievale di Jordanus de Nemore

Note esegetiche e dimostrazioni algebriche su bilance con bracci ponderosi e il principio del momento.

Il testo presentato costituisce un commento critico o un insieme di note esplicative a una serie di teoremi di statica, riconducibili all’opera di Jordanus de Nemore. Il commentatore si occupa inizialmente di chiarire tre relazioni matematiche fondamentali, denominate “generalia”, la cui comprensione dal testo latino originale è ostacolata dall’assenza di notazioni simboliche per le operazioni: “The three ‘generalia’ added on lines 58-73 are very difficult to grasp from the Latin text as given, due primarily to the lack of notational signs for addition and multiplication” - (fr:5392) [I tre “generalia” aggiunti alle righe 58-73 sono molto difficili da cogliere dal testo latino così com’è dato, principalmente a causa della mancanza di segni notazionali per l’addizione e la moltiplicazione]. L’analisi prosegue dunque fornendo, in notazione algebrica moderna, le dimostrazioni di queste tre identità, che si basano su procedimenti geometrici euclidei (Euclide II, Proposizioni 1 e 4) o algebrici.

La funzione di questi generalia è quella di servire come premesse per una successiva catena di teoremi (da R2.04 a R2.12) che esplorano problemi di equilibrio in una bilancia i cui bracci possiedono un peso proprio non trascurabile. I problemi tipici coinvolgono la determinazione di un peso incognito, di lunghezze di bracci o di rapporti, quando sono noti altri elementi del sistema. Ad esempio, il teorema R2.04 stabilisce che, dati un peso d e la lunghezza BA, si può trovare BC usando la relazione “d^2 + BA^2 = (d + BC)^2” - (fr:5406). La soluzione si ottiene quindi ricavando BC = √(d^2 + BA^2) - d. I teoremi successivi diventano progressivamente più complessi, considerando pesi sospesi in punti intermedi lungo il braccio (come in R2.06 e R2.07) e combinazioni di pesi.

Un concetto operativo ricorrente è quello di “peso posizionale” o efficacia di un peso in base al suo braccio di leva. Un passaggio particolarmente significativo si trova nella nota al teorema R2.10, dove il commentatore osserva: “R2.10 contains a clear reference to the principle of statical moment, as having being established previously” - (fr:5456) [R2.10 contiene un chiaro riferimento al principio del momento statico, come stabilito in precedenza]. Questa annotazione sottolinea il valore storico del testo, mostrando un’elaborazione medievale di un principio meccanico fondamentale.

La sezione finale del commento (R3.01) attribuisce a Jordanus un importante ruolo correttivo nella storia della scienza. Il teorema, che riguarda l’equilibrio di pesi uguali su bracci disuguali di una leva angolata, “represents a correction of the error involved in E.6 and E.7 of the Elementa Jordani” - (fr:5472) [rappresenta una correzione dell’errore contenuto in E.6 ed E.7 degli Elementa Jordani]. Il commentatore spiega come Jordanus, riducendo il problema a quello della leva incurvata, dimostri che un peso, per quanto grande, non può discendere fino alla verticale del fulcro se esiste un contrappeso, per quanto piccolo, sull’altro braccio: “as long as there is some finite weight, however small, on the opposite side, the heavier weight, no matter how great, can never descend to a position vertically below the axis of support” - (fr:5475) [fintantoché esiste un peso finito, per quanto piccolo, sul lato opposto, il peso più grande, non importa quanto grande, non potrà mai discendere fino a una posizione verticale sotto l’asse di supporto].

Il testo è dunque una testimonianza dello sviluppo formale della statica nel Medioevo, caratterizzato da un’astrazione geometrico-algebrica, dall’intento di sistematizzazione e dalla correzione critica di opere precedenti. L’uso persistente di riferimenti incrociati (es. “by R2.03”, “by R1.06”) evidenzia la struttura assiomatico-deduttiva che l’autore intende dare alla trattazione.

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48 Analisi dei teoremi di Jordanus Nemorarius sulla dinamica medievale

Un commentario che esamina i tentativi di Jordanus di spiegare la caduta dei gravi e la resistenza dei mezzi attraverso il modello meccanico della bilancia, rivelando uno stadio cruciale tra la fisica aristotelica e gli sviluppi del XIV secolo.

Il testo analizzato è un commentario a una serie di teoremi attribuiti a Jordanus Nemorarius, incentrati sulla meccanica della caduta dei corpi e sulla resistenza offerta dai mezzi fluidi. L’approccio fondamentale dell’autore è il tentativo sistematico di ridurre l’analisi di fenomeni dinamici, come la caduta libera, al modello statico dei pesi su una bilancia. Questo sforzo concettuale è il filo conduttore di molti teoremi.

Un argomento centrale è la dimostrazione per assurdo che un corpo in caduta (ab) deve incontrare resistenza da parte di un secondo corpo (c), altrimenti si genererebbe un moto perpetuo o un lavoro senza dispendio di forza. Si parte dall’ipotesi che c sia in quiete mentre ab cade su di esso; ne consegue che deve esserci un sostegno che impedisce a c di cadere per il suo stesso peso. Tuttavia, “whatever is resisting c ’s descent, will resist ab’s descent also” - (fr:5525). Se invece si assume che il mezzo sia in moto, ab accelererebbe e supererebbe c, e la sua forza efficace aumenterebbe con la velocità (“erit AB gravius quo velocius” - (fr:5526)). Questo condurrebbe all’assurdo per cui “work would be done on <i without the expenditure of any force” - (fr:5527). L’assunto contrario al teorema porta dunque a una “impossible consequence of work being done without force being expended” - (fr:5532).

Questa logica si applica anche alla caduta in un mezzo resistente. Jordanus assume che se un mezzo (come aria o acqua) è in quiete fuori dal centro del mondo, è perché un altro corpo esercita una forza per sostenerlo, come se il “natural rest” fosse simile al “violent rest” di un peso su una bilancia (fr:5534). Ne deduce che un corpo che cade in un mezzo più denso è come se sollevasse un contrappeso maggiore, perché ciò che sostiene il mezzo più pesante deve avere “more gravity (pluris gravitatis)” (fr:5535). L’idea fondamentale è quindi lo sforzo di “reduce the analysis of free fall through a resistant medium, to the case of weights on opposite arms of a balance” - (fr:5536). In questa visione, la leggerezza non è una proprietà intrinseca ma il risultato di una pressione verso l’alto causata meccanicamente dalla forza discendente di altri corpi pesanti, coerentemente con l’affermazione peripatetica che “nothing naturally ascends” (fr:5537, 5538).

Il commentario evidenzia altre applicazioni di questo approccio analogico. La resistenza del mezzo al corpo che cade è paragonata all’urto contro un corpo rigido o alla rottura di un bastone (fr:5539, 5540). Per i fluidi, Jordanus afferma correttamente che la densità aumenta con la profondità a causa della compressione, il che implica che un corpo pesante “will descend more slowly in the deeper portion of the fluid” (fr:5541, 5542), mostrando una comprensione del concetto di pressione idrostatica (fr:5543).

Un punto di particolare interesse storico è la spiegazione dell’accelerazione naturale dei gravi. Jordanus offre una teoria intermedia tra la spiegazione teleologica (l’‘avidità’ di raggiungere il luogo naturale) e la teoria dell’impetus del XIV secolo (fr:5549). La spiegazione meccanica cercata si basa su una perturbazione del mezzo corporeo: se il mezzo fosse in quiete offrirebbe una resistenza uniforme e la velocità di caduta sarebbe costante; l’accelerazione è quindi legata a un’alterazione di questo stato (fr:5550). Questa idea, sebbene fantasiosa (fr:5548), ebbe notevole fortuna, essendo difesa nel XVI secolo da figure come Leonardo da Vinci, Cardano, Contarini, Pereira e persino Gassendi nel 1640 (fr:5555, 5556, 5557).

Infine, gli ultimi teoremi introducono un principio dinamico significativo: il movimento stesso genera forza. Mentre Aristotele vedeva il movimento come l’effetto di un motore, qui si afferma che “everything that is in motion—and in virtue of the fact of being in motion—has the power to move something else” - (fr:5565). È un’inversione concettuale per cui “The power … is made consequent on the act, and not the other way around” - (fr:5567). Questo principio, insieme alla nozione che la forza di un peso aumenta con la velocità acquisita (fr:5563), prepara il terreno per la successiva teoria dell’impetus.

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[50.1-43-5849|5891]

49 Analisi della “Parte III” del testo e note critiche sulle fonti di Blasius

Commento critico alle fonti e ai metodi utilizzati da Blasius nel trattare la gravità specifica, tra dinamica aristotelica, idrostatica archimedea e tradizione pseudo-scientifica medievale.

Il testo analizzato è un commento critico a una sezione di un’opera di Blasius, incentrata sulla determinazione del peso specifico. L’analisi individua le fonti, ne valuta l’uso e ne critica i limiti concettuali e pratici. Un elemento peculiare è la mescolanza di dinamica aristotelica con problemi di statica e idrostatica. L’autore nota che Blasius, pur dichiarando una certa indipendenza, è pervaso da aristotelismi: “And while he pretends a certain independence of A r istotle in this passage, the work is filled with Aristotelianisms” - (fr:5852). La seconda supposizione di Blasius è interamente basata sulla dinamica aristotelica, descrivendo il luogo naturale degli elementi pesanti e leggeri come l’ordine stabilito da Dio: “This, according to Blasius, is the natural order or decor of the Universe as God has established it” - (fr:5854).

La definizione di peso specifico fornita da Blasius (Supposition three) viene paragonata a quella dello pseudo-archimedeo De insidentibus, testo che l’autore ritiene fortemente influenzato dalla tradizione araba, più orientata alla determinazione pratica. Blasius, tuttavia, la lega a considerazioni dinamiche, rendendo la gravità misurabile attraverso la velocità: “To this definition of specific gravity, Blasius has linked dynamic conside rations, making gravity measurable by velocity” - (fr:5858). Questa connessione è influenzata dal Liber Euclidis de ponderoso et levi e forse da Giovanni di Muris, il quale afferma: “Non enim fit resistentia descensus gravis nisi propter dempsitatem medii; item si nullum esset medium, grave descenderet in instanti” - (fr:5860) [Infatti la resistenza alla discesa di un corpo pesante avviene solo a causa della densità del mezzo; allo stesso modo, se non ci fosse mezzo, il corpo pesante scenderebbe in un istante]. Questa è un’applicazione della legge dinamica di Aristotele a problemi statici.

Il risultato dell’approccio di Blasius è giudicato deludente e non realmente quantitativo. Il metodo per stabilire quale di due corpi sia più pesante senza bilancia si basa sull’idea errata che la velocità di caduta vari con il peso specifico: “Needless to say the whole approach is er roneous since it is based on the idea that speed of fall varies with specific gravity” - (fr:5866). Viene descritto un idrometro rudimentale, ma l’autore avverte che Blasius probabilmente lo usò solo in esperimenti mentali: “one continually has the feeling… that Blasius has not actually used a hydrometer” - (fr:5867). La fonte per l’idrometro potrebbe essere la tradizione araba, che conosceva l’aerometro descritto da Sinesio di Cirene.

Nonostante la disponibilità della traduzione di Moerbeke del vero trattato Sui corpi galleggianti di Archimede (1269), Blasius sembra attingere il materiale archimedeo indirettamente, forse da un frammento allegato al De insidentibus o dal capitolo di Giovanni di Muris. La prova della conclusione 3 di Blasius, infatti, contiene la sostanza di alcune proposizioni archimedee: “Blasius has given us the substance of propositions three, four, and seven (first part) of Archimedes’ true treatise On Floating Bodies” - (fr:5872).

Nelle conclusioni finali (4, 5, 6), Blasius tenta una quantificazione semplice, ma senza uno standard unico di densità: “there is no single standard liquid or solid to which the densities of others are to be compared” - (fr:5881). Si misura il rapporto tra densità di due fluidi con un idrometro a dodici punti. L’autore critica anche la terminologia vaga di Blasius, come l’uso della frase “eiusdem rationis”, che qui significa semplicemente “di natura simile” e non “dello stesso peso specifico”.

Le note finali e l’appendice citano le ricerche di Duhem e introducono il problema della bilancia romana, obiettivo anche del Liber karastonis e del De canonio, di cui si presuppone la conoscenza della formula risolutiva.

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[51.1-83-6025|6107]

50 Analisi di un estratto bibliografico e critico-testuale su opere meccaniche medievali

Commenti filologici e bibliografia specialistica sulla tradizione testuale del De ponderibus e sulla storia della statica antica e medievale.

Il testo fornito costituisce la parte conclusiva di un’opera storiografica o di un’edizione critica, dedicata allo studio della scienza medievale, con particolare attenzione alla meccanica e all’opera di Jordanus Nemorarius. La prima parte (frasi 6025-6028) contiene commenti filologici e matematici relativi all’edizione di un testo scientifico antico, probabilmente il De ponderibus. Si discute di un riferimento testuale erroneo ad Archimede, si corregge la lettura di Campanus, e si nota come la dimostrazione sia valida anche sotto un’ipotesi alternativa. Viene segnalata una discrepanza tra il manoscritto di Firenze e l’edizione a stampa di Petrus Apianus, quest’ultima priva di un paragrafo che enuncia il principio matematico generale sottostante: “se a/b > c/d, allora a/a-b < c/c-d” - (fr:6028).

La sezione successiva (frasi 6029-6099) è una bibliografia estremamente dettagliata, che funge da testimonianza della vastità della ricerca storiografica sull’argomento. Elenca edizioni critiche di fonti primarie (da Archimede, Aristotele e pseudo-Archimede a Jordanus Nemorarius, Roger Bacon e Vitruvio) e studi moderni fondamentali di autori come Duhem, Clagett, Maier, Thorndike e Moody. La presenza di questa bibliografia sistematica evidenzia il carattere accademico e scientifico del lavoro complessivo, volto a ricostruire la tradizione del pensiero meccanico con rigore filologico e storico.

L’ultima parte (frasi da 6100 in poi) è un indice analitico parziale, che rivela i principali concetti e nomi trattati nell’opera. L’indicizzazione è limitata ai nomi propri e ai concetti principali, come dichiarato esplicitamente: “It would be extremely useful to have an index verborum to the texts; but since the primary objective of this work is historical rather than philological, the publication of such an index has been, at least temporarily, set aside” - (fr:6100). Le voci dell’indice, come quelle per Albert of Saxony, Archimedes e Aristotele, confermano che il testo principale verte sulla ricezione e lo sviluppo delle teorie sulla leva, sul peso e sulla dinamica dall’antichità al tardo medioevo, citando figure chiave come “Al~Khazini” - (fr:6104) e “Benedetti, J. B.” - (fr:6107). Il significato storico dell’intero estratto risiede nel suo essere un esempio concreto del metodo di ricerca storiografica che, a metà del XX secolo, ha riscoperto e valorizzato i contributi della scienza medievale, ponendo le basi per una comprensione più continua dello sviluppo del pensiero scientifico occidentale.

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