Mach - The science of mechanics - 1919 | fL | +

01 May, 2026

[1]

[1.1-127-4|130]

1 Prefazioni e avvertenze di un classico della meccanica

Un’edizione digitalizzata delle prefazioni alla Scienza della meccanica di Ernst Mach, accompagnata dalle note legali di Google Books, svela le intenzioni profonde dell’autore, il percorso storico dell’opera e le condizioni della sua diffusione pubblica.

Le avvertenze iniziali di Google Books definiscono il volume come appartenente al pubblico dominio, sottolineando al contempo la complessità di tale status: “Whether a book is in the public domain may vary country to country” – (fr:4/p.1) [Che un libro sia di dominio pubblico può variare da paese a paese]. I libri di dominio pubblico sono descritti come “our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge” – (fr:5/p.1) [i nostri portali verso il passato, che rappresentano una ricchezza di storia, cultura e conoscenza], e Google si dichiara mero custode di questi beni: “Public domain books belong to the public and we are merely their custodians” – (fr:8/p.1) [I libri di dominio pubblico appartengono al pubblico e noi ne siamo soltanto i custodi]. L’utente è però vincolato a un uso non commerciale e personale, con espresso divieto di interrogazioni automatizzate. Soprattutto, viene ricordato che la comparsa di un libro su Google Book Search non implica la libertà di utilizzo ovunque nel mondo: “Please do not assume that a book’s appearance in Google Book Search means it can be used in any manner anywhere in the world” – (fr:18/p.1) [Si prega di non ritenere che la comparsa di un libro su Google Book Search significhi che possa essere usato in qualsiasi modo e in qualsiasi parte del mondo].

Il volume presentato è la quarta edizione (1919) della traduzione inglese di Die Mechanik in ihrer Entwickelung del professor Ernst Mach. La Prefazione del traduttore alla seconda edizione inglese (1902) testimonia l’ampia e crescente accoglienza delle idee di Mach sulla filosofia della scienza, stimolate da “discussions of the historical, logical, and psychological foundations of physical science” – (fr:26/p.9) [discussioni sui fondamenti storici, logici e psicologici della scienza fisica]. McCormack illustra le scelte editoriali: le estese aggiunte dell’autore sono state relegate in appendice per non alterare i riferimenti incrociati con la prima edizione; tra queste, segnala come particolarmente illuminanti quelle dedicate alla Meccanica di Hertz e alle critiche machiane ai concetti di massa, inerzia e moto assoluto.

La Prefazione dell’autore alla traduzione (1893) esprime soddisfazione per la resa fedele e accurata del testo. Mach confida che “the rise and growth of the ideas of the great inquirers, which it was my task to portray, will appear to my new public in distinct and sharp outlines” – (fr:54/p.12) [il sorgere e lo sviluppo delle idee dei grandi investigatori, che fu mio compito delineare, appariranno al mio nuovo pubblico in contorni distinti e netti].

La Prefazione alla prima edizione tedesca (1883) chiarisce il proposito radicale dell’opera: non un trattato applicativo, ma un lavoro volto a “clear up ideas, expose the real significance of the matter, and get rid of metaphysical obscurities” – (fr:97/p.18) [chiarire le idee, esporre il vero significato della materia e sbarazzarsi delle oscurità metafisiche]. Meccanica intesa come scienza fisica, non come ramo della matematica, in cui il nucleo dei concetti emerge dall’analisi di casi semplici e particolari. Mach enuncia qui la sua concezione fondamentale della scienza come “Economy of Thought” – (fr:75/p.14) [Economia del Pensiero], già sviluppata in scritti precedenti e condivisa in modo originale da R. Avenarius. L’autore si oppone alle intrusioni della metafisica pur non trascurando la vera aspirazione della filosofia: “guiding into one common stream the many rills of knowledge” – (fr:78/p.15) [convogliare in un unico flusso comune i molti ruscelli della conoscenza].

Le prefazioni successive documentano la vivacità del dibattito sui fondamenti della meccanica. Nella Prefazione alla terza edizione (1897) Mach cita i contributi di Pearson, Hertz, Seeliger e altri, dichiarando la propria sintonia epistemologica con Karl Pearson e la sua coraggiosa avversione a ogni tendenza pseudoscientifica. Nella Prefazione alla quarta edizione (1901) l’autore ribadisce la validità delle proprie posizioni, anche di fronte a critiche come quelle di O. Hölder sulla deduzione archimedea – occasione per porre le proprie vedute “on still firmer foundations” – (fr:107/p.19) [su fondamenta ancora più solide]. Pur accogliendo correzioni puntuali, Mach ritiene di aver correttamente ritratto “the picture of the transformations through which mechanics has passed, and presumably will pass” – (fr:110/p.20) [il quadro delle trasformazioni attraverso cui la meccanica è passata, e presumibilmente passerà], e dispone che il testo originario, da cui le aggiunte restano distinte, rimanga inalterato anche in eventuali edizioni postume.

[2]

[2.1-26-133|158]

2 Indice di un’opera storico-critica sulla meccanica

Un sommario che delinea l’architettura concettuale di un trattato dedicato all’evoluzione e alla fondazione della meccanica, dall’esame dei principi newtoniani fino alle relazioni con la fisica e la fisiologia, passando per i grandi principi variazionali e lo sviluppo formale della scienza.

L’indice si apre con una “Retrospect of the Development of Dynamics …. 245 CHAPTER III.” – (fr:133/p.22) [Retrospettiva dello sviluppo della dinamica …. 245 CAPITOLO III.], segnalando da subito la vocazione storica e critica dell’opera. Subito dopo compare il titolo di una vasta sezione dedicata a “THE EXTENDED APPLICATION OF THE PRINCIPLES OF MECHANICS AND THE DEDUCTIVE DEVELOPMENT OF THE SCIENCE.” – (fr:134/p.22) [L’ESTESA APPLICAZIONE DEI PRINCIPI DELLA MECCANICA E LO SVILUPPO DEDUTTIVO DELLA SCIENZA.], che annuncia il programma di esplorare le conseguenze e le generalizzazioni dei fondamenti. Al suo interno si articolano temi che coprono l’intero arco della meccanica classica: si parte dallo “Scope of the Newtonian Principles 256 II.” – (fr:136/p.22) [Ambito dei principi newtoniani 256 II.] e dalle “The Formulae and Units of Mechanics 269 III.” – (fr:137/p.22) [Le formule e le unità della meccanica 269 III.] per poi giungere ai grandi invarianti del moto, enunciati come “The Laws of the Conservation of Momentum, of the Conservation ol the Centre of Gravity, and of the Conservation of Areas 287 IV.” – (fr:138/p.22) [Le leggi della conservazione della quantità di moto, della conservazione del centro di gravità e della conservazione delle aree 287 IV.].

Proseguendo, l’indagine si addentra nei principi che hanno consentito di unificare fenomeni diversi: dalle “The Laws of Impact 305 V.” – (fr:139/p.22) [Le leggi dell’impatto 305 V.] e dal “DAlembert’s Principle 331 VI.” – (fr:139/p.22) [Il principio di d’Alembert 331 VI.] si passa a ”The Principle of Vis Viva 343 VII.” – (fr:140/p.22) [Il principio della vis viva 343 VII.], al ”The Principle of Least Constraint 350 VIII.” – (fr:141/p.22) [Il principio del minimo vincolo 350 VIII.], al celebre ”The Principle of Least Action 364 IX.” – (fr:142/p.22) [Il principio di minima azione 364 IX.] e infine a ”Hamilton’s Principle 380 X.” – (fr:143/p.22) [Il principio di Hamilton 380 X.]. Questa sequenza mette in luce la progressiva astrazione e potenza formalizzatrice dei metodi variazionali. Una sezione a sé, ”Some Applications of the Principles of Mechanics to Hydrostatic and Hydrodynamic Questions …. 384 CHAPTER IV.”* – (fr:144/p.22) [Alcune applicazioni dei principi della meccanica a questioni idrostatiche e idrodinamiche …. 384 CAPITOLO IV.], mostra l’estensione dei medesimi princìpi al dominio dei fluidi.

La parte successiva affronta lo “THE FORMAL DEVELOPMENT OF MECHANICS.” – (fr:145/p.22) [LO SVILUPPO FORMALE DELLA MECCANICA.], con uno sguardo che abbraccia sia le radici matematiche, come “The Isoperimetrical Problems 421 II.” – (fr:147/p.22) [I problemi isoperimetrici 421 II.], sia le componenti culturali e filosofiche, quali i “Theological, Animistic, and Mystical Points of View in Mechanics 446 III.” – (fr:148/p.22) [Punti di vista teologici, animistici e mistici nella meccanica 446 III.], la “Analytical Mechanics 465 IV.” – (fr:149/p.22) [Meccanica analitica 465 IV.] e una riflessione su “The Economy of Science 481 CHAPTER V. THE RELATION OF MECHANICS TO OTHER DEPARTMENTS OF KNOWLEDGE.” – (fr:150/p.22) [L’economia della scienza 481 CAPITOLO V. LA RELAZIONE DELLA MECCANICA CON ALTRI RAMI DELLA CONOSCENZA.]. Qui il trattato si fa epistemologico, discutendo il risparmio di pensiero come criterio della scienza.

L’ultimo capitolo allarga ulteriormente l’orizzonte: “The Relations of Mechanics to Physics 495 II.” – (fr:152/p.22) [Le relazioni della meccanica con la fisica 495 II.] e “The Relations of Mechanics to Physiology 504 III.” – (fr:153/p.22) [Le relazioni della meccanica con la fisiologia 504 III.] indicano una tensione verso una concezione unitaria del sapere. In appendice, la prospettiva storica si completa con “The Science of Antiquity, — II.” – (fr:155/p.23) [La scienza dell’antichità, — II.], “Mechanical Researches of the Greeks, sio<— UKand IV.” – (fr:156/p.23) [Ricerche meccaniche dei greci, sio<— UK e IV.], e con due casi esemplari di metodo: “The Archimedean Deduction of the Law of the Lever, 51, SH— V. Mode of Procedure of Stevinus,” – (fr:157/p.23) [La deduzione archimedea della legge della leva, 51, SH— V. Procedimento di Stevino, ], a rimarcare la continuità e l’evoluzione del pensiero meccanico dall’antichità all’età moderna.

[3]

[3.1-45-211|255]

3 L’origine della scienza e l’economia del pensiero

Un frammento di fisica antica e la riflessione critica sul sorgere del sapere scientifico aprono la via al principio dell’economia intellettuale.

Il testo prende le mosse da una citazione attribuita a Vitruvio (III, 6) sulla natura della voce:

“Ill, 6 : The voice is a flowing breath, made sensible to a passage the organ of hearing by the movements it produces vS” “™ ’<in the air.” – (fr:212/p.29) [La voce è un soffio che scorre, reso percepibile all’organo dell’udito dai movimenti che esso produce nell’aria.]

L’immagine viene sviluppata con un paragone idrodinamico: la voce si propaga in infinite «zone circolari», proprio come i cerchi generati da un sasso gettato in uno stagno, i quali “increasing as they recede from the centre, spread out over a great distance, unless the narrowness of the locality or some obstacle prevent their reaching their termination; for the first line of waves, when impeded by obstructions, throw by their backward swell the succeeding circular lines of waves into confusion.” – (fr:213/p.29) [crescendo man mano che si allontanano dal centro, si estendono per una grande distanza, a meno che la ristrettezza del luogo o qualche ostacolo non impedisca loro di raggiungere il termine; la prima linea di onde, infatti, quando è ostacolata, con il suo riflusso getta nel disordine le linee circolari successive.] L’analogia viene precisata: “in water the circles, remaining upon the surface, are propagated horizontally only, while the voice is propagated both horizontally and vertically.” – (fr:214/p.29) [nell’acqua i cerchi, rimanendo sulla superficie, si propagano solo orizzontalmente, mentre la voce si propaga sia orizzontalmente sia verticalmente.]

A questo punto Mach introduce un giudizio storico-critico. La descrizione vitruviana gli appare come “the imperfect exposition Controvertof a popular author, drawn from more accurate disqui- evidence, sitions now lost?” – (fr:215/p.29) [l’esposizione imperfetta di un autore popolare, ricavata da disquisizioni più accurate ora perdute?]. La riflessione si allarga subito al destino della conoscenza: “In what a strange light should we ourselves appear, centuries hence, if our popular literature, which by reason of its quantity is less easily destructible, should alone outlive the productions of science?” – (fr:216/p.29) [In quale strana luce appariremmo noi stessi, tra secoli, se la nostra letteratura popolare, che per la sua quantità è meno facilmente distruttibile, dovesse sopravvivere da sola alle opere della scienza?]. Tuttavia tale visione, che potrebbe indurre clemenza verso le fonti, viene subito ridimensionata: “This too favorable view, however, is very rudely shaken by the multitude of other passages containing such crude and patent errors as cannot be conceived to exist in any high stage of scientific culture.” – (fr:217/p.29) [Questa visione troppo favorevole, tuttavia, è scossa molto bruscamente dalla moltitudine di altri passi che contengono errori così rozzi ed evidenti da non potersi concepire in uno stadio elevato di cultura scientifica.]

Dopo questo preambolo storiografico, il discorso si sposta sulla nascita della scienza. Non si sa con certezza “When, where, and in what manner the development of science actually began” – (fr:220/p.30) [quando, dove e in che modo lo sviluppo della scienza abbia effettivamente avuto inizio]; è ragionevole supporre che “the instinctive gathering of experiential facts preceded the scientific classification of them.” – (fr:221/p.30) [la raccolta istintiva di fatti empirici abbia preceduto la loro classificazione scientifica]. Tracce di questo stadio istintivo permangono ancora oggi, perché “The experiments that man heedlessly and instinctively makes in his struggles to satisfy his wants, are just as thoughtlessly and unconsciously applied.” – (fr:223/p.30) [gli esperimenti che l’uomo compie sbadatamente e istintivamente nella lotta per soddisfare i propri bisogni, sono applicati con altrettanta assenza di pensiero e di coscienza]. Fra questi esempi primitivi rientrano le molteplici forme di applicazione della leva (fr:224/p.30). Ma ciò che si scopre senza pensarci non colpisce mai come strano e perciò non stimola ulteriore riflessione (fr:225/p.30).

Il salto verso il sapere classificato, secondo Mach, si compie solo con la comparsa di classi e professioni specializzate, che fanno della soddisfazione di determinati bisogni sociali la loro vocazione permanente (fr:226/p.30). Una classe del genere si occupa di particolari processi naturali e, poiché i suoi membri si avvicendano, sorge “a need of imparting to those who are newly come in, the stock of experience and knowledge already possessed; a need of acquainting them with the conditions of the attainment of a definite end so that the result may be determined beforehand.” – (fr:229/p.30) [un bisogno di trasmettere a coloro che sopraggiungono il patrimonio di esperienza e conoscenza già posseduto; un bisogno di renderli edotti delle condizioni per conseguire un fine determinato, in modo che il risultato possa essere previsto]. La comunicazione della conoscenza diventa così la prima occasione che costringe a una riflessione distinta (fr:230/p.30), mentre il nuovo membro trova insolito ciò che per i vecchi era meccanico, generando ulteriore impulso all’indagine (fr:231/p.30).

Per trasmettere i fenomeni naturali si può scegliere tra due metodi: lasciare che la persona osservi da sé, oppure descrivere i fenomeni per risparmiarle la fatica di ripetere ogni esperimento (fr:232-233/p.31). La descrizione, però, è possibile solo per eventi che si ripetono costantemente o che sono composti da elementi costantemente ricorrenti: “That only can be described, and conceptually represented which is uniform and conformable to law; for description presupposes the employment of names by which to designate its elements; and names can acquire meanings only when applied to elements that constantly reappear.” – (fr:235-236/p.31) [Solo ciò che è uniforme e conforme a legge può essere descritto e rappresentato concettualmente; la descrizione presuppone infatti l’impiego di nomi con cui designare i suoi elementi, e i nomi acquistano significato solo quando sono applicati a elementi che ricompaiono costantemente].

Di fronte all’infinita varietà della natura, molti eventi appaiono insoliti, sconcertanti o contraddittori rispetto all’andamento ordinario. Finché ciò accade, manca una concezione unitaria e stabile della natura (fr:238-239/p.31). Il compito che ne deriva è “everywhere seeking out in the natural phenomena those elements that are the same, and that amid all multiplicity are ever present.” – (fr:240/p.31) [cercare ovunque, nei fenomeni naturali, quegli elementi che sono gli stessi e che in mezzo a ogni molteplicità sono sempre presenti]. Così si ottiene la descrizione più economica e concisa, e allo stesso tempo la capacità di rintracciare questi elementi permanenti attraverso la più vasta gamma di fenomeni conduce a una “comprehensive, compact, consistent, and facile conception of the facts.” – (fr:241/p.31) [concezione dei fatti comprensiva, compatta, coerente e agevole]. Quando si riesce a scorgere dappertutto i medesimi pochi elementi semplici che si combinano nel modo consueto, i fenomeni ci diventano familiari, non ci sorprendono più, sono spiegati (fr:242/p.32). Qui non si tratta d’altro che di un processo di adattamento dei pensieri ai fatti (fr:243/p.32).

L’economia della comunicazione e dell’apprendimento costituisce l’essenza stessa della scienza (fr:245-246/p.32). In essa risiede il suo elemento pacificatore, chiarificatore, raffinatore (fr:247/p.32), e in essa si trova una guida infallibile per l’origine storica della scienza (fr:248/p.32). In principio ogni economia mirava soltanto alla soddisfazione dei bisogni corporali; con l’artigiano e ancor più con lo scienziato, “the concisest and simplest possible knowledge of a given province of natural phenomena — a knowledge that is attained with the least intellectual expenditure — naturally becomes in itself an economical aim; but though it was at first a means to an end, when the mental motives connected therewith are once developed and demand their satisfaction, all thought of its original purpose, the personal need, disappears.” – (fr:250/p.32) [la conoscenza più concisa e semplice possibile di una data provincia di fenomeni naturali – una conoscenza che si ottiene con il minimo dispendio intellettuale – diventa naturalmente di per sé un fine economico; ma per quanto fosse in origine un mezzo per un fine, una volta che i moventi mentali connessi si sono sviluppati ed esigono soddisfazione, ogni pensiero del suo scopo originario, il bisogno personale, scompare].

Da qui si definisce il compito della scienza fisica: “To find, then, what remains unaltered in the phenomena of nature, to discover the elements thereof and the mode of their interconnection and interdependence — this is the business of physical science. It endeavors, by comprehensive and thorough description, to make the waiting for new experiences unnecessary; it seeks to save us the trouble of experimentation, by making use, for example, of the known interdependence of phenomena, according to which, if one kind of event occurs, we may be sure beforehand that a certain other event will occur.” – (fr:251-252/p.32) [Trovare ciò che rimane invariato nei fenomeni naturali, scoprirne gli elementi e il modo della loro interconnessione e interdipendenza: questo è il compito della scienza fisica. Essa si sforza, mediante una descrizione comprensiva e approfondita, di rendere superflua l’attesa di nuove esperienze; cerca di risparmiarci la fatica della sperimentazione, utilizzando ad esempio la nota interdipendenza dei fenomeni per cui, se si verifica un certo tipo di evento, possiamo essere certi in anticipo che un altro determinato evento accadrà]. Anche nella descrizione stessa è possibile risparmiare lavoro, scoprendo metodi che consentano di descrivere il maggior numero possibile di oggetti diversi (fr:253/p.32-254/p.33).

[4]

[4.1-85-328|412]

4 Il metodo deduttivo e l’errore nascosto nei principi della statica

L’analisi dei tentativi di Galileo, Lagrange e Huygens di fondare la legge della leva rivela un’assunzione implicita e inevitabile: il momento statico, presentato come risultato derivato, è in realtà il principio primo di ogni deduzione.

Il testo espone criticamente i fondamenti deduttivi della statica, analizzando come diversi pensatori abbiano tentato di ricondurre il caso complesso della leva a un’intuizione più semplice e auto-evidente. L’autore mostra come in tutti questi tentativi sia celata un’assunzione tacita e circolare, quella del momento statico.

Si inizia con la deduzione di Galileo: questi immagina “a heavy horizontal prism, […] homogeneous in material composition, suspended by its extremities from a homogeneous bar of the same length” - (fr:328-329/p.38) [un pesante prisma orizzontale, omogeneo nella composizione materiale, sospeso per le sue estremità a una barra omogenea della stessa lunghezza]. Galileo mostra come, tagliando il prisma in due porzioni di lunghezza 2m e 2n senza perturbare l’equilibrio e fissandole alla barra per i loro centri, si giunga alla conclusione che “equilibrium will still subsist if any weight of the magnitude 2m be suspended at the distance n on the one side and any weight of the magnitude 2n be suspended at the distance m on the other” - (fr:336/p.38) [l’equilibrio persisterà se un qualsiasi peso di grandezza 2m è sospeso alla distanza n da un lato e un qualsiasi peso di grandezza 2n è sospeso alla distanza m dall’altro]. L’autore vi scorge “a remnant of the ponderousness which was particularly characteristic of the investigators of antiquity” - (fr:339/p.39) [un residuo della pesantezza che era particolarmente caratteristica degli investigatori dell’antichità].

Segue la presentazione di Lagrange, definita una “concise disposal of the problem […] only possible to the practised mathematical perception” - (fr:346/p.39) [trattazione concisa del problema possibile solo alla percezione matematica esercitata]. Lagrange immagina un prisma omogeneo orizzontale sospeso al centro e lo concepisce diviso in due prismi di lunghezze 2m e 2n; i centri di gravità di queste parti, dove agiscono pesi proporzionali a 2m e 2n, avranno distanze n e m dal punto di supporto, affermando così direttamente la proporzionalità inversa tra peso e braccio.

L’obiettivo di Archimede e dei suoi successori era “to reduce the more complicated case of the lever to the simpler and apparently self-evident case, to discern the simpler in the more complicated, or vice versa” - (fr:348/p.39) [ridurre il caso più complicato della leva al caso più semplice e apparentemente auto-evidente, discernere il più semplice nel più complicato, o viceversa]. Tuttavia, l’autore solleva un dubbio radicale: “From the mere assumption of the equilibrium of equal weights at equal distances is derived the inverse proportionality of weight and lever-arm! How is that possible?” - (fr:353/p.40-354/p.39) [Dalla mera assunzione dell’equilibrio di pesi uguali a distanze uguali si deriva la proporzionalità inversa di peso e braccio di leva! Come è possibile?]. La spiegazione risiede nel fatto che “the assumption that the equilibrium-disturbing effect of a weight P at the distance L from the axis of rotation is measured by the product P.L (the so-called statical moment), is more or less covertly or tacitly introduced by Archimedes and all his successors” - (fr:356-357/p.40) [l’assunzione che l’effetto di disturbo dell’equilibrio di un peso P alla distanza L dall’asse di rotazione sia misurato dal prodotto P.L (il cosiddetto momento statico), è più o meno nascostamente o tacitamente introdotta da Archimede e da tutti i suoi successori]. Senza questa assunzione, non si potrebbe provare che una barra posta su un fulcro sia sostenuta da un peso uguale al proprio tramite una fune attaccata al centro di gravità e fatta passare su una carrucola.

Huygens tenta una deduzione diversa, trasformando il prisma diviso di Lagrange ruotandone le porzioni di novanta gradi. La deduzione, semplificata, assume che “equal weights p,p in the same plane and at equal distances l,l from an axis AA’ (in this plane) equilibrate one another” - (fr:378-379/p.42) [pesi uguali p,p nello stesso piano e a distanze uguali l,l da un asse AA’ (in questo piano) si fanno equilibrio]. L’errore, però, sorge nell’inferenza successiva: “if equilibrium obtains for two axes of the plane, it also obtains for every other axis passing through the point of intersection of the first two” - (fr:387-389/p.43) [se l’equilibrio sussiste per due assi del piano, sussiste anche per ogni altro asse passante per il punto di intersezione dei primi due]. Questa inferenza può essere tratta solo “upon the condition that disturbant effects are ascribed to the weights proportional to their distances from the axis. But in this is contained the very kernel of the doctrine of the lever and the centre of gravity” - (fr:390-391/p.43) [alla condizione che effetti di disturbo siano ascritti ai pesi proporzionali alle loro distanze dall’asse. Ma in questo è contenuto il nocciolo stesso della dottrina della leva e del centro di gravità]. L’analisi matematica conferma che, solo se il centro di gravità è definito dalle coordinate ξ = Σmx/Σm, η = Σmy/Σm, esso rimane lo stesso punto ruotando il sistema. Se tale relazione non vale, l’inferenza di Huygens è inammissibile e contiene “the very same error that we remarked in the case of Archimedes” - (fr:408/p.44) [lo stesso identico errore che abbiamo notato nel caso di Archimede].

L’autoinganno di Archimede, nel cercare di ridurre il caso complesso della leva a un’intuizione semplice, “probably consisted in his unconscious employment of studies previously made on the centre of gravity by the help of the very proposition he sought to prove” - (fr:411/p.44) [probabilmente consistette nel suo impiego inconscio di studi precedentemente fatti sul centro di gravità con l’aiuto della proposizione stessa che cercava di provare]. È caratteristico, nota l’autore, che egli non si fidi dell’osservazione facilmente presentabile dell’importanza del prodotto P·L, ma cerchi un’ulteriore verifica di essa, dimostrando così una tensione tra l’evidenza empirica e il rigore deduttivo.

[5]

[5.1-90-496|585]

5 Dall’osservazione di Maupertuis al principio degli spostamenti virtuali: lavoro, equilibrio e le loro rappresentazioni

Il lavoro necessario per raggiungere una configurazione di equilibrio è generalmente un massimo o un minimo; la posizione più bassa del peso corrisponde all’equilibrio stabile, la più alta all’instabile, ma vi sono casi in cui né massimo né minimo si verificano.

Il testo, tratto da The Science of Mechanics, espone il nucleo del principio degli spostamenti virtuali attraverso un percorso che parte dall’osservazione di Maupertuis e giunge a una visione unificata dei fenomeni naturali. Il punto di partenza è l’idea che, per passare da una data configurazione iniziale del sistema a una data configurazione finale, è necessario compiere una certa quantità di lavoro: “start from any given initial configuration of the system statem«nt /11/1 .• .• of theprln- and pass to any given final configuration, a certain cipie.” – (fr:496/p.95) “amount of work will have to be done.” – (fr:497/p.348) [Partendo da una qualsiasi configurazione iniziale del sistema… e passando a una qualsiasi configurazione finale, una certa quantità di lavoro dovrà essere compiuta.] Maupertuis osservò che quando la configurazione finale è di equilibrio il lavoro compiuto è generalmente un massimo o un minimo, cioè se si attraversa la configurazione di equilibrio il lavoro compiuto prima e dopo risulta minore oppure maggiore rispetto a quello della configurazione stessa: “Now Maupertuis observed that the work done when a final configuration is reached which is a configuration of equilibrium, is generally a maximum or a minimum ; that is, if we carry the system through the configuration of equilibrium the work done is previously and subsequently less or previously and subsequently greater than at the configuration of equilibrium itself.” – (fr:498/p.95) [Maupertuis osservò che il lavoro compiuto quando si raggiunge una configurazione di equilibrio è generalmente un massimo o un minimo; ossia, attraversando la configurazione di equilibrio, il lavoro compiuto è prima e dopo minore, oppure prima e dopo maggiore, che nella configurazione di equilibrio stessa.] Per la configurazione di equilibrio l’elemento di lavoro, ossia la sua variazione, è nullo: “For the configuration of equilibrium ^/ + ^/ + ^‘/’ + . . . = 0, that is, the element of the work or the differential (more correctly the variation) of the work is equal to zero.” – (fr:499/p.95) [Per la configurazione di equilibrio … l’elemento del lavoro o il differenziale (più correttamente la variazione) del lavoro è uguale a zero.] E poiché se il differenziale di una funzione si annulla la funzione ha generalmente un massimo o un minimo, “If the differential of a function can be put equal to zero, the function has generally a maximum or minimum value.” – (fr:500/p.95), la condizione di equilibrio si lega a tali estremi.

Per illustrare visivamente il principio, il testo ricorre a un apparato con una puleggia di Lagrange caricata con un peso Q/2 e postula che ogni punto del sistema sia vincolato a muoversi su una curva, in modo che la posizione di un punto determini univocamente quelle degli altri (le macchine semplici sono tipici sistemi di questo tipo). “We suppose that each point of the system is restricted to movement on a certain curve and that the motion is such that when one point occupies a definite position on its curve all the other points assume uniquely determined positions on their respective curves. The simple machines are as a rule systems of this kind.” – (fr:505-506/p.95) [Supponiamo che ogni punto del sistema sia vincolato a muoversi su una certa curva e che il moto sia tale per cui quando un punto occupa una posizione determinata sulla propria curva tutti gli altri punti assumono posizioni univocamente determinate sulle rispettive curve. Le macchine semplici sono di regola sistemi di questo tipo.] Durante gli spostamenti del sistema si può far scorrere orizzontalmente un foglio di carta verticale sopra il peso Q/2 che sale e scende su una linea verticale; una matita ad esso fissata descrive una curva sulla carta (Fig. 55). “Now, while imparting displacements to the system, we may carry a vertical sheet of white paper horizontally over the weight ^/2, while this is ascending and descending on a vertical line, so that a pencil which it carries shall describe a curve upon the paper (Fig. 55).” – (fr:507-508/p.95) [Ora, mentre imprimiamo spostamenti al sistema, possiamo far passare orizzontalmente un foglio di carta bianca verticale sopra il peso ^/2, mentre questo sale e scende su una linea verticale, cosicché una matita che esso porta descriva una curva sulla carta (Fig. 55).]

I punti di questa curva rivelano il carattere dell’equilibrio. Quando la matita si trova in punti come a, r, d della curva, esistono posizioni adiacenti in cui il peso Q/2 si trova più in alto o più in basso rispetto alla configurazione data: “When the pencil stands at the points a, r, doi the curve, there are, THE SCIENCE OF MECHANICS. iDtornnita- we see, adjacent positions … at di»iir«m, which the weight Qji will stand higher or lower than in the configuration given.” – (fr:509/p.95-510/p.96) [Quando la matita si trova nei punti a, r, d della curva, vi sono … posizioni adiacenti in cui il peso Q/2 si trova più in alto o più in basso rispetto alla configurazione data.] Se il sistema è lasciato a sé stesso, il peso si sposta verso la posizione più bassa e trascina con sé il sistema, quindi in tali condizioni l’equilibrio non sussiste (fr:511-513/p.96). Se la matita è in e, esistono solo configurazioni adiacenti in cui il peso è più alto: il sistema non vi si sposterà spontaneamente, e ogni spostamento in quella direzione verrà invertito per la tendenza del peso a scendere (fr:514-516/p.96). Si arriva così alla definizione di equilibrio stabile: “Stable equilibrium, therefore, is the condition., A- that eorresponds to the lowest position of the weight or to a maximum of work done in the system.” – (fr:517/p.96) [L’equilibrio stabile, dunque, è la condizione che corrisponde alla posizione più bassa del peso, ovvero a un massimo del lavoro compiuto nel sistema.] Se la matita è in b, ogni spostamento apprezzabile porta il peso Q/2 più in basso, così che il peso continuerà lo spostamento iniziato; tuttavia, per spostamenti infinitamente piccoli la matita si muove sulla tangente orizzontale in b e il peso non può scendere. “Therefore, unstable equilibrium is the stale that corresponds to the highest position” of the weight Qji, or lo a minimum of work done in the system.” – (fr:520/p.96) [Pertanto, l’equilibrio instabile è lo stato che corrisponde alla posizione più alta del peso Q/2, ovvero a un minimo del lavoro compiuto nel sistema.]

Il testo mette però in guardia dal ritenere che ogni caso di equilibrio corrisponda a un massimo o a un minimo del lavoro. “It will be noted, however, that conversely … every case of equilibrium is not the correspondent of a maximum or a minimum of work performed.” – (fr:521/p.97) [Si noterà, tuttavia, che inversamente … non ogni caso di equilibrio corrisponde a un massimo o a un minimo del lavoro eseguito.] Ad esempio, se la matita è in f, punto di flesso a tangente orizzontale, per spostamenti infinitamente piccoli il peso non sale né scende; esiste equilibrio benché il lavoro non sia né massimo né minimo (fr:522-523/p.97). Questa condizione viene chiamata equilibrio misto: stabile per alcune perturbazioni, instabile per altre (fr:524-525/p.97). Il testo osserva che nulla vieta di considerare l’equilibrio misto come appartenente alla classe instabile, ma una nota del traduttore precisa che “This teim is not used in English, because our writers hold that no equilibrium is conceivable which is not stable or neutral for some possible displacements. Hence what is called mixed equilibrium in the text is called unstable equilibrium by English writers, who deny the existence of equilibrium unstable in every respect.— 7Va«r.” – (fr:535-536/p.97) [Questo termine non è usato in inglese, perché i nostri autori ritengono che non si possa concepire un equilibrio che non sia stabile o neutrale per qualche possibile spostamento. Quindi ciò che nel testo è chiamato equilibrio misto è chiamato equilibrio instabile dagli scrittori inglesi, i quali negano l’esistenza di un equilibrio instabile in ogni rispetto.] Esiste poi l’equilibrio indifferente (o neutrale) quando la curva descritta da Q/2 percorre orizzontalmente una distanza finita: qualsiasi piccolo spostamento non viene né continuato né invertito, e anche in questo caso non vi è né massimo né minimo (fr:527-529/p.97). Infine, una cuspide rivolta verso l’alto indica un minimo del lavoro ma nessun equilibrio (neppure instabile), mentre una cuspide rivolta verso il basso corrisponde a un massimo e a un equilibrio stabile; in quest’ultimo caso la somma dei momenti virtuali non è nulla, ma negativa (fr:530-532/p.97).

Il ragionamento si estende a sistemi con mobilità più complessa. Quando ogni punto si può muovere su una superficie e la posizione di un punto determina univocamente tutte le altre, non si può più considerare la curva descritta da Q/2, ma si deve immaginare una superficie descritta da Q/2. “In this case, we are not permitted to consider the curve described by ^/2, but are obliged to picture to ourselves a surface described by ^/2.” – (fr:539/p.98) [In questo caso, non possiamo considerare la curva descritta da ^/2, ma dobbiamo raffigurarci una superficie descritta da ^/2.] Se ogni punto è mobile in uno spazio o se le posizioni non sono più univocamente determinate, la rappresentazione puramente geometrica diventa ancora più astratta, ma la curva descritta da Q/2 (Fig. 55) può ancora servire come simbolo dei fenomeni e si ritrovano le stesse proposizioni di Maupertuis (fr:540-543/p.98). Anche quando le forze dipendono dalla posizione (ma non dal tempo) non è più possibile usare semplici pulegge; occorre un apparato in cui la forza esercitata da Q/2 vari con lo spostamento, come una ruota e asse a ruota non circolare (Fig. 56). “A contrivance which would develop by means of a constant weight a force varying with the displacement, would be, for example, a wheel and axle (Fig. 56) with a non-circular wheel. It would not repay the trouble, however, to enter into the details of the reasoning indicated in this case, since we perceive at a glance its feasibility.” – (fr:549/p.98-552/p.99) [Un congegno che svilupperebbe mediante un peso costante una forza variabile con lo spostamento sarebbe, per esempio, una ruota e asse (Fig. 56) con una ruota non circolare. Tuttavia, non varrebbe la pena entrare nei dettagli del ragionamento in questo caso, poiché la sua fattibilità si coglie a colpo d’occhio.] In ogni caso la profondità della discesa del peso Q/2 misura il lavoro compiuto, che in una stessa configurazione del sistema è sempre lo stesso e indipendente dal cammino percorso (fr:548/p.98).

Il collegamento con la dinamica è offerto dal principio comunicato da Courtivron all’Accademia di Parigi nel 1749: per la configurazione di equilibrio stabile in cui il lavoro compiuto è un massimo, la vis viva (energia cinetica) del sistema in moto è un minimo durante il passaggio attraverso quelle configurazioni; viceversa per il minimo lavoro. “For the stable configuration of equilibrium, at which the maximum work done is a maximum, the vis viva of the system, in motion, is also a minimum in its transit through these configurations.” – (fr:555/p.99) [Per la configurazione di equilibrio stabile, in cui il massimo lavoro è un massimo, la vis viva del sistema in moto è anch’essa un minimo nel suo transito attraverso queste configurazioni.]

L’applicazione dei concetti è illustrata con esempi meccanici. Un ellissoide triassiale omogeneo pesante appoggiato su un piano orizzontale mostra varie classi di equilibrio: se poggia sull’estremità dell’asse più corto, è in equilibrio stabile (ogni spostamento solleva il centro di gravità); se sull’asse più lungo, è instabile; se sull’asse medio, è misto. “A heavy, homogeneous triaxial ellipsoid resting on a horizontal plane is admirably adapted to illustrate the various classes of equilibrium. When the ellipsoid rests on the extremity of its smallest axis, it is in stable equilibrium … If it rest on its longest axis, it is in unstable equilibrium. If the ellipsoid stand on its mean axis, its equilibrium is mixed.” – (fr:559-562/p.99) [Un ellissoide triassiale pesante e omogeneo appoggiato su un piano orizzontale si presta in modo ammirevole a illustrare le varie classi di equilibrio. Quando l’ellissoide poggia sull’estremità del suo asse più piccolo, è in equilibrio stabile … Se poggia sul suo asse più lungo, è in equilibrio instabile. Se l’ellissoide sta sul suo asse medio, l’equilibrio è misto.] Una sfera omogenea o un cilindro retto omogeneo su un piano orizzontale illustrano il caso dell’equilibrio indifferente (fr:563/p.99). La Fig. 57 rappresenta i percorsi del centro di gravità di un cubo che rotola su un piano orizzontale attorno a uno spigolo: la posizione a del centro di gravità è di equilibrio stabile, la posizione b di equilibrio instabile (fr:564/p.38-566/p.99). Un esempio apparentemente complicato, ma chiarito immediatamente dal principio degli spostamenti virtuali, è quello della catena sospesa: John e James Bernoulli, durante una passeggiata a Basilea, discussero la forma assunta da una catena fissata alle due estremità e concordarono che essa assume la configurazione in cui il baricentro si trova nella posizione più bassa possibile. “John and James Bernoulli, on the occasion of a conversation on mathematical topics during a walk in Basel, lighted on the question of what form a chain would take that was freely suspended and fastened at both ends. They soon and easily agreed in the view that the chain would assume that form of equilibrium at which its centre of gravity lay in the lowest possible position.” – (fr:569-570/p.100) [John e James Bernoulli, in occasione di una conversazione su argomenti matematici durante una passeggiata a Basilea, sollevarono la questione di quale forma assumerebbe una catena liberamente sospesa e fissata alle due estremità. Essi concordarono presto e facilmente nell’opinione che la catena assumerebbe quella forma di equilibrio in cui il suo centro di gravità si trova nella posizione più bassa possibile.] L’equilibrio sussiste quando ogni anello è sceso il più possibile, senza che se ne possa abbassare uno senza sollevare una massa equivalente; la determinazione della curva è quindi un problema puramente matematico (fr:571-574 e Fig. 58).

La conclusione riassume il significato più profondo: il principio degli spostamenti virtuali contiene il riconoscimento di un fatto che ci era istintivamente familiare, e cioè che i corpi pesanti, da soli, si muovono solo verso il basso. “Collecting all that has been presented, we see, that there is contained in the principle of virtual displacements simply the recognition of a fact that was instinctively familiar to us long previously, only that we had not apprehended it so precisely and clearly. This fact consists in the circumstance that heavy bodies, of themselves, move only downwards.” – (fr:578-580/p.100) [Raccogliendo tutto quanto è stato esposto, vediamo che nel principio degli spostamenti virtuali è contenuto semplicemente il riconoscimento di un fatto che ci era istintivamente familiare da molto tempo, solo che non lo avevamo colto in modo così preciso e chiaro. Tale fatto consiste nella circostanza che i corpi pesanti, da soli, si muovono solo verso il basso.] Se più corpi sono collegati in modo che nessuno possa subire uno spostamento indipendentemente dagli altri, essi si muovono soltanto se complessivamente una massa pesante può scendere, ovvero, in una formulazione più esatta, solo se può essere compiuto lavoro (fr:581/p.100-582/p.102). Estendendo la nozione di forza oltre la gravità, il principio afferma che anche altri fenomeni naturali (differenze di temperatura, potenziali elettrici, ecc.) avvengono spontaneamente solo in un senso determinato – diminuendo le differenze – e mai nel senso opposto. In tutti questi casi è il lavoro a decidere la direzione dei processi. “Just as heavy bodies descend downwards, so differences of temperature and electrical potential cannot increase of their own accord but only diminish, and so on.” – (fr:584/p.102) [Come i corpi pesanti scendono verso il basso, così le differenze di temperatura e di potenziale elettrico non possono aumentare spontaneamente, ma solo diminuire, e così via.] Questo riconoscimento conferisce al principio una portata che va ben oltre la statica, unificando sotto la nozione di lavoro il verso dei fenomeni naturali.

[6]

[6.1-55-622|676]

6 Osservazione, regole e il mito del rigore nella meccanica

L’evoluzione storica dei principi della statica svela la natura parziale di ogni regola scientifica, mostra la comune origine empirica di scoperte apparentemente diverse e mette in guardia contro la mania dimostrativa che produce un rigore artificioso.

Una regola tratta dall’osservazione dei fatti non può mai abbracciare il fatto nella sua infinita ricchezza e inesauribile molteplicità. “A rule, reached by the observation of facts, cannot possibly embrace the entire fact, in all its infinite wealth, in all its inexhaustible manifoldness ;” – (fr:623/p.104) [Una regola, raggiunta mediante l’osservazione dei fatti, non può assolutamente abbracciare l’intero fatto, in tutta la sua infinita ricchezza, in tutta la sua inesauribile molteplicità;] al contrario, “it can furnish only a rough outline of the fact, one-sidedly emphasising the feature that is of importance for the given technical (or scientific) aim in view.” – (fr:624/p.105) [può fornire solo un profilo approssimativo del fatto, enfatizzando unilateralmente la caratteristica che è importante per il fine tecnico (o scientifico) in vista.] Quali aspetti del fatto vengano notati dipende dalle circostanze e perfino dal capriccio dell’osservatore, e proprio per questo esiste sempre un’opportunità accidentale per scoprire aspetti nuovi, che conducono a nuove regole di validità pari o superiore alle precedenti.

L’esempio classico è la legge della leva. In origine Archimede assunse come condizioni determinanti dell’equilibrio i pesi e le lunghezze dei bracci: “the weights and the lengths of the lever-arms were regarded at first, by Archimedes, as the conditions that determined equilibrium.” – (fr:628/p.105) [i pesi e le lunghezze dei bracci di leva furono considerati all’inizio, da Archimede, come le condizioni che determinavano l’equilibrio.] In seguito, “by Da Vinci and Ubaldi the weights and the perpendicular distances from the axis of the lines of force were recognised as the determinative conditions.” – (fr:629/p.105) [da Leonardo e Ubaldi furono riconosciuti come condizioni determinanti i pesi e le distanze perpendicolari dall’asse delle linee di forza.] Più tardi Galileo introdusse i pesi e l’entità dei loro spostamenti, mentre Varignon considerò i pesi e le direzioni delle trazioni rispetto all’asse, modificando ogni volta l’enunciazione della regola. Ogni formulazione coglieva un profilo diverso dello stesso fatto, provando come una regola sia sempre una schematizzazione parziale.

La costruzione di una nuova regola è resa difficile dalle circostanze collaterali che accompagnano i fenomeni: “The circumstances, indeed, to which we have to attend, are accompanied by so many other, collateral circumstances, that it is frequently difficult to single out and consider those that are essential to the purpose in view.” – (fr:635/p.105) [Le circostanze, in effetti, alle quali dobbiamo prestare attenzione, sono accompagnate da così tante altre circostanze collaterali, che spesso è difficile isolare e considerare quelle essenziali allo scopo.] L’attrito, la rigidità delle funi e simili condizioni oscurano i contorni puri dei fatti principali. Chi scopre una nuova regola non si fida mai completamente di essa all’inizio: ne cerca una prova. Archimede, ad esempio, “doubted whether the effect of the action of weights on a lever was proportional to the lengths of the lever-arms, but he accepted without hesitation the fact of their influence in some way.” – (fr:641/p.106) [dubitava che l’effetto dell’azione dei pesi su una leva fosse proporzionale alle lunghezze dei bracci, ma accettava senza esitazione il fatto della loro influenza in qualche modo.] Analogamente, “Daniel Bernoulli does not question the influence of the direction of a force generally, but only the form of its influence.” – (fr:643/p.106) [Daniel Bernoulli non mette in discussione l’influenza della direzione di una forza in generale, ma solo la forma della sua influenza.] È infatti molto più facile osservare che una circostanza ha un’influenza, che determinare quale influenza essa abbia.

Il metodo naturale per provare la correttezza di una regola è la ripetuta applicazione, il confronto frequente con l’esperienza, la verifica sotto le circostanze più diverse. In questa procedura il massimo credito va, giustamente, alle esperienze più antiche e familiari. “Our instinctive experiences, those generalisations that are made involuntarily, by the irresistible force of the innumerable facts that press in upon us, enjoy a peculiar authority;” – (fr:654/p.106) [Le nostre esperienze istintive, quelle generalizzazioni che sono fatte involontariamente, dalla forza irresistibile degli innumerevoli fatti che premono su di noi, godono di un’autorità peculiare;] autorità giustificata dal fatto che proprio l’eliminazione del capriccio soggettivo e dell’errore individuale è lo scopo perseguito. Così Archimede prova la legge della leva, Stevino la sua legge della pressione sul piano inclinato, Daniel Bernoulli il parallelogramma delle forze, Lagrange il principio degli spostamenti virtuali. Eppure Galileo, riguardo a quest’ultimo principio, è l’unico ad avere piena consapevolezza che la sua nuova osservazione ha lo stesso rango di ogni precedente, perché deriva dalla medesima fonte dell’esperienza, e non tenta alcuna dimostrazione.

Quando una nuova regola è stata sottoposta a verifica diretta per un tempo sufficiente, la scienza deve riconoscere che ogni altra prova diventa superflua. “there is no sense in considering a rule as the better established for being founded on others that have been reached by the very same method of observation, only earlier ; that one well-considered and tested observation is as good as another.” – (fr:664/p.107) [non ha senso considerare una regola come meglio fondata perché basata su altre raggiunte con lo stesso metodo di osservazione, solo in precedenza; che un’osservazione ben ponderata e verificata vale quanto un’altra.] Oggi, “we should regard the principles of the lever, of statical moments, of the inclined plane, of virtual displacements, and of the parallelogram of forces as discovered by equivalent observations.” – (fr:665/p.108) [dovremmo considerare i principi della leva, dei momenti statici, del piano inclinato, degli spostamenti virtuali e del parallelogramma delle forze come scoperti mediante osservazioni equivalenti.]

L’economia del pensiero e l’estetica della scienza suggeriscono di riconoscere direttamente un principio – ad esempio quello dei momenti statici – come chiave per comprendere tutti i fatti di un settore, “rather than to hold ourselves obliged first to make a clumsy and lame deduction of it from unobvious propositions that involve the same principle but that happen to have become earlier familiar to us.” – (fr:667-668/p.108) [piuttosto che sentirsi obbligati a farne prima una deduzione goffa e zoppicante da proposizioni non ovvie che coinvolgono lo stesso principio ma che sono diventate familiari in precedenza.] La mania della dimostrazione conduce invece a un rigore falso e fuorviante, per cui alcune proposizioni sono ritenute più certe di altre ed elevate a fondamento necessario, mentre in realtà non possiedono un grado di certezza superiore. “In fact, this mania for demonstration in science results in a rigor that is false and mistaken.” – (fr:672/p.108) [In effetti, questa mania per la dimostrazione nella scienza produce un rigore che è falso ed erroneo.] Esempi di tale rigore errato si trovano in quasi tutti i manuali, e “the deductions of Archimedes, not considering their historical value, are infected with this erroneous rigor.” – (fr:676/p.108) [le deduzioni di Archimede, senza considerare il loro valore storico, sono infette da questo rigore errato.]

[7]

[7.1-300-750|1049]

7 Principi di statica dei fluidi: dall’intuizione di Archimede alle generalizzazioni moderne

L’evoluzione dei principi dell’idrostatica attraverso i metodi di Archimede, Stevino, Galileo e Pascal, fino alla comprensione della compressibilità e della pressione nei liquidi.

Il testo ripercorre lo sviluppo storico e concettuale dei principi fondamentali della statica dei fluidi. L’analisi muove dall’impostazione originaria di Archimede, il quale, per esporre sinteticamente la questione, “conceives the entire spherical earth as fluid in constitution, and cuts out of it pyramids the vertices of which lie at the centre (Fig. 59)” – (fr:754-755/p.114) [concepisce l’intera terra sferica come fluida nella sua costituzione e ne ritaglia piramidi i cui vertici giacciono al centro (Fig. 59)]. In questa visione, tutte le piramidi devono avere lo stesso peso e le parti similmente situate devono subire la stessa pressione. Un corpo di peso specifico uguale all’acqua, immerso in una di esse, si sommerge completamente e in equilibrio supplisce con il suo peso alla pressione dell’acqua spostata; un corpo di peso specifico minore affonda solo fino al punto in cui l’acqua sottostante subisce la stessa pressione che subirebbe se la porzione sommersa fosse sostituita da acqua (fr:756-758/p.114).

La riscoperta cinquecentesca delle opere di Archimede incontrò inizialmente una comprensione soltanto parziale: “The complete comprehension of his deductions was at that time impossible” – (fr:764/p.114) [La completa comprensione delle sue deduzioni era a quel tempo impossibile]. Fu Stevino a riscoprire con metodo proprio i principi più importanti dell’idrostatica, basandosi su due idee fondamentali. La prima è analoga a quella della catena senza fine; la seconda consiste nell’assunzione che “the solidification of a fluid in equilibrium does not disturb its equilibrium” – (fr:772/p.115) [la solidificazione di un fluido in equilibrio non ne disturba l’equilibrio]. Da questo principio Stevino deduce che una massa d’acqua immersa in acqua perde il suo intero peso e che, immaginando solidificata la superficie dell’acqua sommersa, il “vas superficiarium” così formato subisce una spinta verso l’alto pari al peso del liquido spostato (fr:779-782/p.115). Immaginando poi porzioni di liquido solidificate o sostituite da corpi rigidi dello stesso peso specifico, Stevino giunge a una chiara visione della legge secondo cui “the pressure on the base of a vessel is independent of its form” – (fr:788/p.116) [la pressione sulla base di un recipiente è indipendente dalla sua forma].

Galileo affronta l’equilibrio dei liquidi nei vasi comunicanti servendosi del principio degli spostamenti virtuali, osservando che in caso di perturbazione gli spostamenti delle colonne sono in proporzione inversa alle aree delle sezioni trasversali e ai pesi. Tuttavia, questa analogia con le macchine in equilibrio non è del tutto corretta, poiché nei liquidi ogni perturbazione del livello comune produce un innalzamento del centro di gravità: “Accordingly, in the case of equilibrium, the centre of gravity of the liquid lies at its lowest possible point” – (fr:802/p.117) [Di conseguenza, nel caso di equilibrio, il centro di gravità del liquido giace nel suo punto più basso possibile].

Pascal impiega lo stesso principio in modo più corretto, trascurando il peso del liquido e considerando solo la pressione alla superficie. Immaginando due vasi comunicanti chiusi da pistoni caricati con pesi proporzionali alle superfici, deduce che “in the case of equilibrium every pressure on a superficial portion of a liquid is propagated with undiminished effect to every other superficial portion” – (fr:806/p.117) [nel caso di equilibrio ogni pressione su una porzione superficiale di un liquido si propaga con effetto invariato a ogni altra porzione superficiale]. Il testo osserva che una critica alla deduzione pascaliana rivela come essa dipenda interamente dal fatto della pronta mobilità delle parti e dall’uguaglianza della pressione in ogni porzione del liquido; se fosse possibile una compressione maggiore in una parte che in un’altra, il rapporto degli spostamenti sarebbe alterato e la deduzione non sarebbe più ammissibile (fr:870-872/p.122). L’uguaglianza della pressione è una proprietà data dall’esperienza, e la stessa legge vale per i gas, dove non si può parlare di volume costante, circostanza che non presenta difficoltà per la concezione moderna ma ne presentava per quella di Pascal (fr:873-874/p.122).

La proprietà fondamentale dei liquidi consiste nella mobilità delle parti alla minima applicazione di pressione. Un cubo fluido “can retain its shape only if the same perpendicular pressure be exerted on all its sides” – (fr:816/p.118) [può mantenere la sua forma solo se la stessa pressione perpendicolare è esercitata su tutti i suoi lati]. A questa mobilità si unisce la compressibilità: “Liquids suffer through pressure a diminution of volume which is proportional to the pressure exerted on unit of surface” – (fr:820/p.118) [I liquidi subiscono per effetto della pressione una diminuzione di volume proporzionale alla pressione esercitata sull’unità di superficie]. Mentre i primi ricercatori, come quelli dell’Accademia Fiorentina, ritenevano i liquidi incomprimibili, nel 1761 John Canton dimostrò sperimentalmente la compressibilità dell’acqua (fr:825/p.118-827/p.119). Le prime misure esatte furono condotte da Oersted con un metodo ingegnoso, e gli esperimenti più delicati furono realizzati da Grassi con un apparato costruito da Regnault. Per l’acqua bollita a 0° sotto un aumento di una pressione atmosferica, Grassi osservò “a diminution of the original volume amounting to 5 in 100,000 parts” – (fr:847/p.120) [una diminuzione del volume originario pari a 5 parti su 000].

Da questi due fatti – mobilità e compressibilità – scaturisce la proposizione fondamentale: quando in un liquido, di cui si trascurano le forze interne e la gravità, sussiste l’equilibrio, “the same equal pressure is exerted on each and every equal surface-element of that liquid however and wherever situated” – (fr:859/p.121) [la stessa uguale pressione è esercitata su ogni e ciascun elemento di superficie uguale di quel liquido, comunque e dovunque situato]. La pressione è dunque la stessa in tutti i punti e indipendente dalla direzione.

Sotto l’influenza della gravità, la pressione in un liquido pesante aumenta proporzionalmente alla profondità sotto la superficie: “p = hs, that is, the pressure is proportional to the depth beneath the surface” – (fr:895/p.123) [p = hs, cioè la pressione è proporzionale alla profondità sotto la superficie]. L’aumento di pressione avviene soltanto nella direzione in cui agisce la gravità; lungo le superfici verticali di contenimento il liquido è in uno stato di compressione uguale (fr:897/p.123-901/p.124). Le superfici di livello, formate da tutti i punti in cui agisce la stessa pressione, stanno ad angolo retto rispetto alla direzione della forza di gravità e offrono una sorta di diagramma delle relazioni di forza a cui un fluido è soggetto (fr:902-908/p.124).

La pressione sulla base di un recipiente è sempre “F = Ahs” – (fr:932/p.126), dove A è l’area della base, h la profondità e s il peso specifico, ed è indipendente dalla forma del recipiente. Questo fatto giustifica direttamente la finzione steviniana del fluido solidificato che prende il posto delle pareti (fr:931/p.126). Il paradosso di Pascal illustra questa verità: un recipiente con una parte superiore stretta e una inferiore molto larga, chiuso da un pistone mobile, richiede sulla bilancia un peso pari ad Ahs nonostante la piccola quantità d’acqua impiegata; se il liquido fosse congelato e staccato dalle pareti, basterebbe un peso assai minore (fr:958/p.115-964/p.128). La spiegazione mediante gli spostamenti virtuali mostra che nel primo caso la massa spostata dal pistone è sollevata fino alla superficie superiore del fluido attraverso l’intera altezza di pressione, mentre nel secondo caso lo spostamento subìto è molto minore (fr:965-970/p.128).

Il principio di Archimede può essere dedotto in vari modi. Immaginando, alla maniera di Stevino, una porzione di liquido solidificata, la risultante delle forze di pressione sulle superfici è applicata al centro di gravità del liquido spostato ed è uguale e opposta al suo peso; sostituendo a questa un corpo di forma uguale ma peso specifico diverso, le forze di pressione restano invariate (fr:990-994/p.130). L’uso del principio degli spostamenti virtuali conduce alla stessa conclusione: il momento virtuale totale è “ah(σ – s) dh = (p – q) dh” – (fr:1001/p.131), dove p è il peso del corpo e q il peso del liquido spostato. Un esperimento illustrativo mostra un cubo cavo H e un cubo solido M sospesi a una bilancia: immerso M in acqua, l’equilibrio si ristabilisce riempiendo H d’acqua; un contro-esperimento conferma che M immerso esercita una pressione che influenza la bilancia e che il corpo solido “represents and takes the place of an equal volume of water” – (fr:1031/p.132) [rappresenta e prende il posto di un uguale volume d’acqua].

Il testo si chiude osservando che i principi statici più importanti avrebbero potuto essere raggiunti anche nello studio dei liquidi, oltre che in quello dei corpi solidi. Immaginando un liquido in un recipiente sottoposto a una pressione definita e supponendo che una porzione solidifichi, sulla superficie chiusa agiscono forze normali proporzionali agli elementi d’area, la cui risultante è sempre nulla. Tutte le superfici delimitate dalla stessa curva e soggette a forze normali proporzionali agli elementi d’area hanno risultanti coincidenti nella posizione (fr:1042-1047/p.133).

[8]

[8.1-208-1112|1319]

8 Dalla scoperta del vuoto alla legge dei gas: il percorso sperimentale da Torricelli a Mariotte

Il testo ricostruisce la graduale sostituzione dell’horror vacui con la nozione meccanica di pressione atmosferica, attraverso gli esperimenti di Torricelli, Pascal, Guericke e Boyle, fino alla formulazione quantitativa della legge di Boyle-Mariotte e al riconoscimento dell’elasticità dell’aria.

La svolta decisiva giunse quando «Torricelli ebbe l’idea di misurare la resistenza al vuoto mediante una colonna di mercurio invece che d’acqua, e si aspettava di ottenere una colonna di lunghezza pari a circa 1/14 di quella della colonna d’acqua» – (fr:1113/p.139). L’esperimento, eseguito da Viviani nel 1643 con un tubo di vetro di poco più di un metro riempito di mercurio e capovolto in una bacinella, mostrò che la colonna si arrestava a circa 76 cm, rendendo «molto probabile che una pressione ben definita spingesse i fluidi nel vuoto» – (fr:1117/p.139). Torricelli comprese quasi subito di che pressione si trattasse: Galileo aveva già tentato di pesare l’aria, e «si sapeva, di conseguenza, che l’aria era pesante» – (fr:1121/p.139). Tuttavia «per la maggior parte degli uomini l’horror vacui e il peso dell’aria erano nozioni assai lontanamente connesse» – (fr:1122/p.139); in Torricelli «è possibile che le due idee giungessero in sufficiente prossimità da condurlo alla convinzione che tutti i fenomeni ascritti all’horror vacui fossero spiegabili in modo semplice e logico mediante la pressione esercitata dal peso di una colonna fluida – una colonna d’aria» – (fr:1123/p.139, 1125). Egli «scoprì pertanto la pressione dell’atmosfera» e «per primo osservò, mediante la sua colonna di mercurio, le variazioni della pressione atmosferica» – (fr:1127/p.140).

La notizia raggiunse Pascal nel 1644 tramite Mersenne. «I resoconti della teoria dell’esperimento erano presumibilmente così imperfetti che Pascal ritenne necessario riflettervi autonomamente» – (fr:1130/p.140). Ripeté la prova con mercurio e con un tubo di vino rosso lungo 40 piedi e si convinse ben presto, inclinando il tubo, che lo spazio sopra il fluido era effettivamente vuoto (fr:1133-1134/p.140). Indicò un modo semplice per produrre il vuoto: «una siringa di vetro, il cui ugello veniva chiuso con il dito sott’acqua e il pistone poi ritirato senza molta difficoltà» – (fr:1135/p.140). Dimostrò inoltre che un sifone curvo riempito d’acqua, alto 40 piedi, non fluisce in posizione verticale ma può essere indotto a farlo inclinandolo a sufficienza (fr:1136-1138/p.140). In uno scritto successivo Pascal fa esplicito riferimento al peso dell’atmosfera e mostra che «animali minuscoli, come le mosche, sono in grado, senza danno, di sopportare una pressione elevata nei fluidi, purché essa sia uguale da ogni lato», applicando subito il principio ai pesci e agli animali che vivono nell’aria (fr:1140/p.140-1142/p.141). Il suo merito principale fu l’aver «stabilito un’analogia completa tra i fenomeni condizionati dalla pressione dei liquidi (pressione idrostatica) e quelli condizionati dalla pressione atmosferica» – (fr:1143/p.141).

Attraverso una serie di esperimenti mostrò che il mercurio sale in uno spazio senz’aria per effetto della pressione atmosferica così come salirebbe per effetto della pressione dell’acqua. In un recipiente profondo pieno d’acqua (Fig. 81) si immerge un tubo con un sacchetto di mercurio all’estremità inferiore, lasciando l’estremità superiore fuori dall’acqua: «quanto più il tubo viene affondato nell’acqua, tanto più il mercurio, sottoposto alla pressione crescente dell’acqua, salirà nel tubo» – (fr:1146/p.125). Fu proprio la meditazione su questo fenomeno a suggerire a Pascal l’idea che «la colonna barometrica dovesse necessariamente essere più bassa sulla cima di una montagna che alla sua base, e che potesse quindi essere impiegata per determinare l’altezza delle montagne» – (fr:1149-1150/p.141). L’esperienza fu condotta con successo dal cognato Périer sul Puy de Dôme il 19 settembre 1648 (fr:1151-1153/p.141). Pascal spiegò inoltre l’adesione delle piastre e la resistenza che si avverte sollevando di colpo un cappello posato su un tavolo come fenomeni dovuti alla pressione atmosferica (fr:1154/p.141); imitò il flusso in un sifone atmosferico mediante la pressione dell’acqua, immergendo in un recipiente d’acqua un sistema di tubi a tre bracci (Fig. 82) con le estremità in due vaschette di mercurio, cosicché si produceva un flusso attraverso il sifone aperto all’aria (fr:1160-1162/p.142). Modificò l’esperimento di Torricelli in modo ingegnoso: un tubo di forma abcd (Fig. 83), lungo il doppio di un barometro ordinario, riempito di mercurio, con le aperture a e b chiuse; aprendo a il mercurio in cd cade e quello in ab si assesta all’altezza barometrica, creando un vuoto in b che preme dolorosamente il dito; aprendo anche b la colonna in ab scende del tutto mentre il mercurio nel rigonfiamento r sale in cd all’altezza barometrica (fr:1163/p.142-1172/p.143). Senza una pompa pneumatica, «difficilmente si sarebbe potuto combinare l’esperimento e il contro-esperimento in modo più semplice e ingegnoso di quanto fece Pascal» – (fr:1173/p.143).

Per l’esperimento in montagna il principio barometrico è semplice: se b₀ è l’altezza del barometro al livello del mare e a una quota di m metri scende a k·b₀, a un’ulteriore quota di m metri ci si aspetta k²·b₀, e così via; la difficoltà sta soltanto nelle numerose condizioni collaterali e correzioni da applicare (fr:1175-1178/p.143).

I risultati più originali e fecondi nell’aerostatica si devono a Otto von Guericke. «Le sue ricerche sembrano essere state suggerite principalmente da speculazioni filosofiche» – (fr:1181/p.143). Apprese dell’esperimento di Torricelli solo nel 1654, e il suo metodo per costruire un barometro ad acqua fu interamente diverso (fr:1182/p.143-1183/p.144). Il suo libro Experimenta nova Magdeburgica (1672) testimonia la ristrettezza di vedute del tempo e la fatica con cui egli se ne emancipò, «tanto che ci meravigliamo di quanto breve spazio di tempo ci separi dall’epoca della barbarie scientifica» – (fr:1187/p.144). Nella stessa opera discute le obiezioni bibliche al sistema copernicano, la località del cielo e dell’inferno, e il giorno del giudizio (fr:1188-1189/p.144). Guericke considera l’aria come «l’esalazione o l’odore dei corpi, che non percepiamo perché vi siamo abituati fin dall’infanzia» – (fr:1191-1192/p.144), non un elemento; sa che cambia volume per caldo e freddo, che è comprimibile, e le attribuisce un peso capace di spingere le fiamme verso l’alto, stimandone la pressione a 20 ells d’acqua (fr:1194/p.144).

Per ottenere il vuoto impiegò dapprima una botte di legno piena d’acqua a cui fissò una pompa da incendio, pensando che l’acqua, seguendo il pistone e per gravità, sarebbe stata espulsa lasciando uno spazio vuoto (fr:1196/p.144-1205/p.146). Ma l’aria entrava rumorosamente dalle giunture e l’operazione falliva; perfino immergendo la botte in un’altra più grande piena d’acqua, l’acqua penetrava nella botte (fr:1209-1211/p.146). Passò allora a una grande sfera cava di rame, aspirando direttamente l’aria. Dopo pochi colpi di pistone l’operazione divenne così dura che «quattro uomini robusti, con il massimo sforzo, riuscivano a malapena a muovere il pistone» – (fr:1214/p.146), e a un certo punto la sfera collassò fragorosamente (fr:1215/p.146). Con un recipiente sferico perfetto di rame riuscì infine a produrre il vuoto e descrisse la grande forza con cui l’aria vi rientrava aprendo il rubinetto (fr:1216-1217/p.146).

Costruì in seguito una pompa pneumatica indipendente con un grande ricevitore di vetro munito di un rubinetto staccabile; per garantire la chiusura lo collocava sott’acqua su un treppiede (fr:1219/p.146-1226/p.86). Osservò fenomeni molteplici: il rumore dell’acqua nel vuoto, il violento ingresso di aria e acqua in recipienti aperti dopo l’esaurimento, la liberazione di gas dai liquidi con il loro profumo; una candela accesa si spegneva perché, come suppose, «traeva il suo nutrimento dall’aria» – (fr:1230/p.148), e notò con acume che la combustione non è annichilazione ma una trasformazione dell’aria (fr:1231/p.148); una campana non suonava, gli uccelli morivano, molti pesci si gonfiavano e scoppiavano, un grappolo d’uva si conservava fresco per oltre sei mesi (fr:1232-1235/p.148). Collegando un cilindro esausto a un lungo tubo immerso nell’acqua costruì un barometro ad acqua che sollevava una colonna di 19-20 ells, spiegando tutti gli effetti prima attribuiti all’horror vacui con la pressione atmosferica (fr:1236-1237/p.148). Pesò il ricevitore pieno e vuoto, trovando che il peso dell’aria variava con la temperatura e l’altezza del barometro (fr:1238-1239/p.148). La massima impressione sui contemporanei la suscitarono gli esperimenti sulla pressione atmosferica: «Una sfera esausta formata da due emisferi strettamente uniti fu separata con un violento scoppio solo dalla trazione di sedici cavalli» – (fr:1243/p.148); un grosso cilindro con pistone, collegato a un ricevitore esausto, faceva stramazzare a terra gli uomini che tiravano le funi, e un peso enorme veniva sollevato in modo analogo (fr:1245-1248/p.149). Costruì anche un’arma a rarefazione: un proiettile veniva spinto attraverso un tubo improvvisamente svuotato dalla pressione esterna, sollevando una valvola di cuoio e proseguendo con notevole velocità (fr:1249-1250/p.149). Portando recipienti chiusi in cima a una montagna e aprendoli, soffiavano fuori aria; riportandoli a valle la risucchiavano (fr:1251/p.149). Da queste e altre esperienze Guericke dedusse che l’aria è elastica (fr:1252/p.149).

Le ricerche proseguirono con Robert Boyle, che pubblicò prima di Guericke (1660). I suoi nuovi esperimenti furono pochi ma significativi: osservò la propagazione della luce e l’azione magnetica nel vuoto, accese materiali con una lente, portò il barometro sotto la campana pneumatica e costruì il primo manometro a bilancia, oltre a notare per primo l’ebollizione di liquidi caldi e il congelamento dell’acqua durante l’esaurimento (fr:1258-1259/p.149). L’esperimento con i corpi in caduta, in cui un proiettile di piombo e un pezzo di carta posti in un tubo di vetro esausto cadono simultaneamente quando il tubo viene rapidamente ruotato di 180°, confermò in modo semplice la veduta di Galileo che nel vuoto tutti i corpi cadono con la stessa velocità (fr:1263-1265/p.150). Sul piano quantitativo: la pressione atmosferica che sostiene 76 cm di mercurio equivale a 1,0336 kg per cm²; 1000 cm³ di aria secca e pura a 0°C e 760 mm di pressione pesano 1,293 g, con densità relativa rispetto all’acqua 0,001293 (fr:1267-1271/p.150).

Guericke conosceva un solo tipo di aria (fr:1273/p.148). La scoperta di gas diversi – l’anidride carbonica (aria fissa) da parte di Black nel 1755 e l’idrogeno (aria infiammabile) da parte di Cavendish nel 1766 – produsse grande eccitazione e fu seguita da altre simili (fr:1275/p.150). Faraday illustrò la disuguaglianza di peso dei gas con un’esperienza da lezione: sospendendo a una bilancia due becher rovesciati, versando dall’alto anidride carbonica pesante in uno e dal basso idrogeno leggero nell’altro, la bilancia pende nel senso della freccia (Fig. 84, fr:1277-1283).

Subito dopo la scoperta di Torricelli si tentò di sfruttare praticamente il vuoto con pompe a mercurio, ma solo nell’Ottocento si giunse a strumenti efficaci: si tratta di barometri le cui estremità sono dotate di ampie espansioni in modo che il dislivello del mercurio possa essere facilmente variato; il mercurio fa le veci del pistone (fr:1286-1290/p.151).

La forza espansiva dell’aria, già osservata da Guericke, fu indagata con precisione da Boyle e in seguito da Mariotte, i quali trovarono che «se V è il volume di una data quantità d’aria e P la sua pressione sull’unità di superficie del recipiente, il prodotto V·P è sempre una quantità costante» – (fr:1295/p.151). Boyle, e non Mariotte, va considerato il vero scopritore della legge; inoltre Boyle sapeva che essa non era esatta, mentre a Mariotte ciò sfuggì (fr:1297-1298/p.151). Il metodo di Mariotte era semplice: riempiva parzialmente tubi torricelliani con mercurio, misurava il volume d’aria residua e poi eseguiva l’esperimento di Torricelli, ottenendo il nuovo volume e, sottraendo l’altezza della colonna di mercurio da quella barometrica, la nuova pressione. Per condensare l’aria usava un tubo a sifone con i bracci verticali, di cui il minore sigillato in alto conteneva l’aria e il maggiore aperto riceveva il mercurio; il volume si leggeva sul tubo graduato e alla differenza di livello del mercurio si aggiungeva l’altezza barometrica (fr:1299/p.151-1309/p.152). Oggi si impiega un dispositivo con due tubi di vetro collegati da un tubo di gomma e parzialmente riempiti di mercurio (Fig. 86), con cui si può variare a piacere il dislivello e osservare le corrispondenti variazioni di volume dell’aria racchiusa (fr:1310-1312/p.152). Mariotte notò anche che una piccola quantità d’aria isolata e quindi non direttamente esposta al peso dell’atmosfera sostiene ugualmente la colonna barometrica: la spiegazione è che prima dell’isolamento l’aria viene compressa fino a che la sua tensione bilancia la pressione gravitazionale dell’atmosfera, esercitando una pressione elastica equivalente (fr:1313/p.152-1317/p.153).

[9]

[9.1-120-1352|1471]

9 La deduzione galileiana del moto uniformemente accelerato e la sua verifica sperimentale

Il passo ricostruisce il percorso con cui Galileo, superando le limitazioni teoriche e strumentali del suo tempo, giunse alla legge del moto uniformemente accelerato e la convalidò con esperimenti su piani inclinati e pendoli, fondando il metodo della fisica moderna.

Dopo aver riconosciuto l’insostenibilità di una prima ipotesi, Galileo formula una seconda assunzione: “the velocity acquired is proportional to the time of the descent” – (fr:1355/p.157) [la velocità acquisita è proporzionale al tempo di discesa]. Se un corpo cade per un certo intervallo e poi per un intervallo doppio, nel secondo caso raggiunge una velocità doppia (fr:1356/p.157). Non trovando contraddizioni, si propose di verificare sperimentalmente l’accordo con i fatti (fr:1357/p.157). Poiché provare direttamente la proporzionalità tra velocità e tempo era difficile (fr:1358/p.157), dedusse dalla sua ipotesi la relazione tra spazio e tempo e la mise alla prova (fr:1359/p.157). La deduzione è giudicata “simple, distinct, and perfectly correct” – (fr:1360/p.157) [semplice, chiara e perfettamente corretta].

La deduzione si appoggia a una costruzione geometrica (Fig. 87): su una retta OA Galileo stacca segmenti successivi che rappresentano i tempi, e alle estremità innalza perpendicolari che rappresentano le velocità. “Any portion OG of the line OA denotes, therefore, the time of descent elapsed, and the corresponding perpendicular GH the velocity acquired in such time” – (fr:1365/p.157) [Qualsiasi porzione OG della linea OA indica il tempo di discesa trascorso, e la perpendicolare corrispondente GH la velocità acquisita in quel tempo]. Alla metà del tempo (punto C) la velocità è metà di quella finale (fr:1366/p.157); per ogni istante prima di C ne esiste uno simmetrico dopo, cosicché la perdita nella prima metà del percorso è esattamente compensata nella seconda (fr:1369‑1370). Di conseguenza, “the distance fallen through we may consequently regard as having been uniformly described with half the final velocity” – (fr:1371/p.158) [lo spazio percorso può quindi essere considerato come descritto uniformemente con metà della velocità finale]. Posta la velocità finale v proporzionale al tempo t, si ha v = g t (g è l’accelerazione, velocità acquisita nell’unità di tempo) e lo spazio s è dato da s = (1/2)gt² (fr:1372‑1373). Il moto in cui “equal velocities constantly accrue in equal intervals of time” – (fr:1373/p.158) [si aggiungono costantemente velocità uguali in intervalli di tempo uguali] è chiamato moto uniformemente accelerato.

Per la verifica sperimentale Galileo dovette creare dal nulla idee e strumenti, perché “no part of the knowledge and ideas on this subject with which we are now so familiar, existed in Galileo’s time, but that Galileo had to create these ideas and means for us” – (fr:1389/p.159) [nessuna parte delle conoscenze e delle idee sull’argomento che oggi ci sono familiari esisteva ai tempi di Galileo; Galileo dovette creare queste idee e questi mezzi per noi]. In assenza di orologi moderni, all’epoca resi possibili solo dalle conoscenze dinamiche che egli stesso stava fondando (fr:1395/p.159), e disponendo soltanto di imprecise clessidre ad acqua o sabbia (fr:1396‑1397), Galileo costruì un ingegnoso orologio ad acqua regolato per i piccoli intervalli di tempo (fr:1398/p.159). Il dispositivo era un recipiente di grande sezione con un minuscolo orifizio sul fondo, chiuso con un dito. All’inizio del rotolamento della palla sul piano inclinato, Galileo rimuoveva il dito e raccoglieva l’acqua su una bilancia, chiudendo l’orifizio al termine del percorso (fr:1400‑1402). Poiché la grande sezione manteneva costante l’altezza di pressione, “the weights of the water discharged from the orifice were proportional to the times” – (fr:1403/p.160) [i pesi dell’acqua scaricata dall’orifizio erano proporzionali ai tempi]. Fu così effettivamente mostrato che “the times increased simply, while the spaces fallen through increased quadratically” – (fr:1404/p.160) [i tempi aumentavano linearmente, mentre gli spazi percorsi aumentavano quadraticamente]. L’inferenza e l’assunzione stessa risultarono confermate (fr:1405/p.160). Le biglie scendevano lungo una scanalatura inclinata, supponendo che la legge di caduta conservasse la sua forma, con sole velocità ridotte (fr:1392/p.159); sulla scanalatura erano segnate distanze 1, 4, 9, 16… corrispondenti a tempi 1, 2, 3, 4…, risultato che fu effettivamente confermato (fr:1393/p.159).

Il passo successivo mette in relazione il moto sul piano inclinato con la caduta libera. Galileo assunse che “a body which falls through the height of an inclined plane attains the same final velocity as a body which falls through its length” – (fr:1407/p.160) [un corpo che cade per l’altezza di un piano inclinato raggiunge la stessa velocità finale di un corpo che cade per la sua lunghezza]. L’ipotesi, per quanto audace, gli appariva naturale. Un esperimento mentale la giustifica: se un corpo cade, la velocità cresce col tempo; invertita idealmente verso l’alto, la velocità diminuisce con la stessa legge e il corpo ritorna all’altezza di partenza con velocità zero (fr:1410‑1414). Dunque “a body will rise, in virtue of the velocity acquired in its descent, just as high as it has fallen” – (fr:1415/p.161) [un corpo risalirà, in virtù della velocità acquisita nella discesa, esattamente fino all’altezza da cui è caduto]. Se un corpo su un piano inclinato potesse acquistare una velocità capace di farlo salire a un’altezza maggiore, o viceversa, si potrebbe ottenere l’elevazione continua di corpi pesanti per sola gravità, contraddicendo l’esperienza istintiva che i corpi pesanti non tendono a salire (fr:1416‑1420). L’assunzione implica quindi che “the velocity acquired by a body in descent depends solely on the vertical height fallen through and is independent of the inclination of the path” – (fr:1417/p.161) [la velocità acquisita da un corpo in discesa dipende unicamente dall’altezza verticale di caduta ed è indipendente dall’inclinazione del percorso].

Galileo sottopose anche questa ipotesi al controllo dell’esperienza (fr:1424/p.161). Usò un pendolo semplice a filo con palla pesante (Fig. 88): sollevandolo a una data altezza e lasciandolo cadere, “it ascended to the same level on the opposite side” – (fr:1427/p.162) [risaliva allo stesso livello sul lato opposto]. Le piccole differenze erano dovute alla resistenza dell’aria, come provato dal fatto che “the deficiency is greater in the case of a cork ball than it is in the case of a heavy metal one” – (fr:1429/p.162, 1431) [la differenza è maggiore nel caso di una palla di sughero rispetto a una di metallo pesante]. Il moto del pendolo fu interpretato come discesa lungo una successione continua di piani inclinati (fr:1433‑1434). Inserendo un chiodo lateralmente al filo, la palla, dopo la caduta, è costretta a risalire su un diverso insieme di piani inclinati; se l’inclinazione influisse sulla velocità, il corpo non potrebbe raggiungere lo stesso livello orizzontale, ma “it does” – (fr:1440/p.163) [lo fa]. Accorciando il pendolo a piacere, il fenomeno rimane invariato (fr:1441/p.163); se il chiodo è tanto basso che il filo non può raggiungere il livello di partenza, la palla si avvolge attorno al chiodo conservando velocità residua (fr:1442/p.163).

Dall’assunzione che la stessa velocità finale si ottenga cadendo per l’altezza o per la lunghezza del piano inclinato, si giunge a concludere che “the times of the descent along the height and the length of an inclined plane are in the simple proportion of the height and the length; or, what is the same, that the accelerations are inversely proportional to the times of descent” – (fr:1445/p.163) [i tempi di discesa lungo l’altezza e la lunghezza di un piano inclinato stanno nella proporzione semplice dell’altezza e della lunghezza; ovvero, le accelerazioni sono inversamente proporzionali ai tempi di discesa]. Con riferimento alla Fig. 89, dette AB l’altezza e AC la lunghezza, percorse in tempi t e t₁ con velocità finale V, si ha AB = Vt/2 e AC = Vt₁/2, da cui t/t₁ = AB/AC e g₁/g = t/t₁ = sin α; si può così dedurre l’accelerazione di caduta libera dall’accelerazione su un piano inclinato (fr:1447‑1452).

Da questa proposizione discendono vari corollari, alcuni passati nei manuali elementari (fr:1453‑1455). Se un corpo percorre la lunghezza di un piano inclinato mentre un altro cade liberamente per la sua altezza, la distanza percorsa dal primo nel tempo di caduta libera del secondo è data dal segmento AD ottenuto abbassando una perpendicolare da B sulla lunghezza (Fig. 90): “the distance traversed by the one body on the inclined plane, while the second body is freely falling through the height of the plane” – (fr:1459/p.164) [la distanza percorsa dal corpo sul piano inclinato, mentre il secondo corpo cade liberamente per l’altezza del piano]. Descrivendo un cerchio su AB come diametro (Fig. 91), esso passa per D; qualsiasi corda tracciata da un estremo del diametro (ad esempio AG o AH) è percorsa da un corpo in caduta nello stesso tempo del diametro verticale AB (fr:1463‑1467). Galileo presentò anche la figura di canali radiali da un punto comune (Fig. 92), a ulteriore illustrazione di come le proprietà del cerchio governino i tempi di discesa. Non tutti questi eleganti risultati sono sopravvissuti nell’esposizione didattica moderna (fr:1468‑1469).

Il brano testimonia un momento fondativo della fisica moderna: la trasformazione di un’intuizione in legge quantitativa, la costruzione di strumenti dedicati per la misura, il confronto costante con l’esperienza e la fecondità di un principio semplice come l’indipendenza della velocità finale dall’inclinazione, da cui discendono connessioni geometriche inattese. Il tutto si colloca in un’epoca in cui Galileo dovette letteralmente inventare concetti e mezzi per lo studio del moto.

[10]

[10.1-30-1562|1591]

10 La rappresentazione grafica del moto e la sintesi galileiana

Il brano mostra come le idee della dinamica possano essere tradotte in forma grafica e analitica, collegando la descrizione intuitiva del moto con gli strumenti del calcolo differenziale e con i risultati quantitativi di Galileo.

Il punto di partenza è la definizione di accelerazione per un moto rettilineo. Dopo aver introdotto le variabili tempo e velocità, si afferma:

“If in i and 2 the times be again drawn as abscissae, but now the velocities as ordinates, we may go through anew the whole train of the preceding reasoning and define the acceleration as dv/dt, where dv denotes an infinitely small increment of the velocity and dt the corresponding increment of the time.” – (fr:1562/p.171) [Se in 1 e 2 i tempi vengono di nuovo riportati come ascisse, ma questa volta le velocità come ordinate, possiamo ripercorrere l’intera catena di ragionamenti precedenti e definire l’accelerazione come dv/dt, dove dv indica un incremento infinitamente piccolo della velocità e dt il corrispondente incremento del tempo.]

Questa impostazione viene subito ricondotta alla notazione del calcolo differenziale:

“In the notation of the differential calculus we have for the acceleration of a rectilinear motion, φ = dv/dt = d²s/dt².” – (fr:1563/p.172) [Nella notazione del calcolo differenziale abbiamo per l’accelerazione di un moto rettilineo φ = dv/dt = d²s/dt².]

Il testo passa poi a illustrare la potenza della rappresentazione grafica, nonostante alcune frasi risultino frammentarie (1564-1566). Il senso complessivo è che le idee sviluppate sono suscettibili di rappresentazione grafica. Disponendo i tempi come ascisse e le distanze come ordinate, si coglie immediatamente una proprietà geometrica:

“If we lay off the times as abscissae and the distances as ordinates, we shall perceive, that the velocity at each instant is measured by the slope of the curve of the distance.” – (fr:1567-1568/p.172) [Se riportiamo i tempi come ascisse e le distanze come ordinate, percepiremo che la velocità in ogni istante è misurata dalla pendenza della curva delle distanze.]

Analogamente, invertendo i ruoli delle grandezze:

“If in a similar manner we put times and velocities together, we shall see that the acceleration of the instant is measured by the slope of the curve of the velocity.” – (fr:1569/p.172) [Se in modo simile mettiamo insieme tempi e velocità, vedremo che l’accelerazione istantanea è misurata dalla pendenza della curva della velocità.]

L’andamento di quest’ultima pendenza può essere colto anche nella curva delle distanze. Per chiarire il comportamento, si introduce un confronto visivo tra curve. Con riferimento alle figure 95 e 96, si descrive un moto uniforme rappresentato da una retta e lo si confronta con moti a velocità variabile. Nel caso di un moto in cui nella seconda metà del tempo la velocità è maggiore, per l’intervallo doppio si dovrà tracciare un’ordinata più che doppia; nel caso opposto, un’ordinata minore. La conclusione è geometricamente immediata:

“We see thus, without difficulty, that a curve of distance convex to the axis of the time-abscissae corresponds to accelerated motion, and a curve concave thereto to retarded motion.” – (fr:1578/p.172) [Vediamo così, senza difficoltà, che una curva delle distanze convessa rispetto all’asse delle ascisse temporali corrisponde a moto accelerato, e una curva concava rispetto a esso a moto ritardato.]

Per rendere l’idea ancora più concreta, si ricorre all’immagine di un lapis che compie un moto verticale arbitrario mentre un foglio di carta viene fatto scorrere uniformemente da destra a sinistra. Il tracciato che ne risulta – la fig. 96 – permette di leggere direttamente le caratteristiche del moto:

“At a the velocity of the pencil was directed upwards, at b it was greater, at c it was =0, at d directed downwards, at e it was again =0. At a, by d, e, the acceleration was directed upwards, at c downwards; at c and e it was greatest.” – (fr:1581-1582/p.173) [In a la velocità della matita era rivolta verso l’alto, in b era maggiore, in c era =0, in d rivolta verso il basso, in e era di nuovo =0. In a, da d, e, l’accelerazione era rivolta verso l’alto, in c verso il basso; in c ed e era massima.]

L’ultima parte del brano presenta la sintesi tabellare delle scoperte di Galileo sul moto uniformemente accelerato. La regolarità dei numeri è tale che si può abbandonare la tabella a favore di una regola di costruzione. La relazione fra la prima e la seconda colonna (tempo e velocità) è espressa da:

“If we examine the relation that connects the first and second columns, we shall find that it is expressed by the equation v = gt, which, in its last analysis, is nothing but an abbreviated direction for constructing the first two columns of the table.” – (fr:1589/p.173) [Se esaminiamo la relazione che collega la prima e la seconda colonna, troviamo che è espressa dall’equazione v = gt, la quale, in ultima analisi, non è altro che un’istruzione abbreviata per costruire le prime due colonne della tavola.]

La relazione fra la prima e la terza colonna (distanza percorsa) è data da:

“The relation connecting the first and third columns is given by the equation s = g t²/2.” – (fr:1590/p.173) [La relazione che collega la prima e la terza colonna è data dall’equazione s = g t²/2.]

Infine, il legame fra la seconda e la terza colonna è rappresentato da:

“The connection of the second and third columns is represented by v² = 2gs.” – (fr:1591/p.173) [Il collegamento fra la seconda e la terza colonna è rappresentato da v² = 2gs.]

Il testo unisce così due momenti fondativi della meccanica: la formalizzazione grafico-infinitesimale dell’accelerazione come pendenza di una curva e la legge galileiana del moto naturalmente accelerato, mostrando come la rappresentazione geometrica e l’analisi differenziale convergano nella descrizione quantitativa del movimento.

[11]

[11.1-124-1852|1975]

11 Pressione, accelerazione relativa e il fenomeno delle maree nella meccanica classica

Il principio dinamico secondo cui la pressione reciproca tra corpi dipende dalla loro accelerazione relativa viene illustrato attraverso la critica alla fisica aristotelica, esperimenti sulla caduta, il comportamento di particelle sospese e, infine, la spettacolare testimonianza delle maree.

Il testo esplora le conseguenze del principio di relatività dell’accelerazione sulla nozione di peso e pressione, muovendo dalla confutazione di un assunto aristotelico fino alla spiegazione delle maree. La prima critica è rivolta all’idea che i corpi pesanti cadano più velocemente perché “le parti superiori premono su quelle inferiori e ne accelerano la discesa” (fr:1852/p.231). Galileo obietta che, in tal caso, un corpo piccolo legato a uno grande dovrebbe rallentarlo, cosicché un corpo più grande cadrebbe più lentamente di uno piccolo (fr:1853-1854/p.231). L’assunto fondamentale è errato perché “una porzione di un corpo in caduta non può in nessun caso premere con il suo peso un’altra porzione” (fr:1855/p.231).

Questa perdita di pressione interna durante la caduta libera è presentata come un’esperienza sensoriale diretta: “Noi stessi, quando saltiamo o cadiamo da un’elevazione, proviamo una sensazione peculiare, che deve essere dovuta alla cessazione della pressione gravitazionale delle parti del nostro corpo le une sulle altre — il sangue, e così via” (fr:1859/p.232). La stessa sensazione di affondamento del suolo si proverebbe su un pianeta più piccolo, mentre su uno più grande si avvertirebbe una sensazione di costante ascesa (fr:1860-1861/p.232).

Il fenomeno viene illustrato con l’apparato di Poggendorff (Fig. 135a, 135b). Una corda caricata alle estremità con due pesi P e fatta passare su una puleggia fissata a una bilancia sostiene un sovraccarico p. Bruciando il filo che trattiene p, inizia un moto uniformemente accelerato con accelerazione γ: il peso discendente P + p scende mentre P sale (fr:1869/p.40-1872/p.232). “Il carico sulla puleggia è così diminuito, come indica il movimento della bilancia” (fr:1873/p.232). Invece di pesare p, il sovraccarico esercita una pressione ridotta pari a (p/g)(g − γ), dove γ = p/(2P + p) · g (fr:1874/p.232). In sintesi, “il peso discendente, solo parzialmente impedito nel suo moto di discesa, esercita solo una pressione parziale sulla puleggia” (fr:1876/p.233). Una variante dell’esperimento (Fig. 135b) mostra che un moto non accelerato non disturba l’equilibrio, ma non si può passare dalla quiete al moto senza accelerazione: tirando un filo che passa esattamente per l’asse della bilancia, il lato opposto cade immediatamente (fr:1878/p.233-1884/p.234).

Un’applicazione del principio compare nella discussione sulle particelle sospese in un liquido (Fig. 136). Se si divide un cubo in otto parti e le si dispone in fila, massa e sovrappeso restano invariati, ma la sezione trasversale e l’area superficiale, cui si lega l’attrito, raddoppiano (fr:1889/p.99-1891/p.234). L’opinione che tali particelle non influenzino la gravità specifica indicata da un areometro viene confutata: se le particelle salgono o scendono con velocità costante, “l’effetto sulla bilancia e sull’areometro deve essere lo stesso” (fr:1893/p.234). Applicando il principio degli spostamenti virtuali, l’areometro deve indicare la gravità specifica media della miscela, non solo quella del liquido (fr:1894-1895/p.234). L’assurdità della regola opposta è mostrata immaginando di aggiungere via via un liquido più pesante B a un liquido A: quando le quantità sono uguali, non si può più stabilire quale liquido sia sospeso nell’altro né quale gravità specifica l’areometro dovrebbe indicare (fr:1897-1898/p.235).

Il caso più imponente in cui l’accelerazione relativa determina la pressione reciproca è quello delle maree (fr:1900/p.235). La connessione con il moto lunare è provata dalla coincidenza dei periodi, dall’aumento durante i noviluni e i pleniluni e dal ritardo giornaliero di circa 50 minuti, corrispondente al ritardo della culminazione della luna (fr:1902/p.235). “Il fenomeno delle maree esercita, su chiunque lo veda per la prima volta nelle sue piene proporzioni, un’impressione travolgente” (fr:1905/p.235), e non sorprende che abbia impegnato gli studiosi di ogni epoca.

Prova di questo impatto è la testimonianza storica di Curzio Rufo sullo sconcerto dell’esercito di Alessandro Magno alle foci dell’Indo. I soldati, ignari del fenomeno, furono colti dal terrore quando “l’oceano, nel suo costante flusso e riflusso, cominciò a ritornare e a premere contro il fiume” (fr:1912/p.236). La marea montante coprì i campi, disperse le navi e gettò l’armata nel caos: “Le grida di alcuni che reclamavano di essere presi a bordo, di altri che ordinavano di salpare, e gli ordini contrastanti di uomini che desideravano tutti fini diversi, privavano chiunque della possibilità di vedere o udire” (fr:1921/p.237). Quando poi il mare si ritirò, lasciando le navi in secca, “i soldati non osavano né avventurarsi sulla terra né rimanere sulle navi, poiché ogni momento si aspettavano qualcosa di nuovo e peggiore” (fr:1935/p.238). Solo l’intervento del re, che vegliò tutta la notte e inviò esploratori, permise di prevedere il ritorno della marea e rimettere in salvo la flotta (fr:1941-1947/p.238).

La spiegazione fisica delle maree è che “la terra come corpo rigido può ricevere solo un’accelerazione determinata verso la luna, mentre le particelle mobili d’acqua sui lati più vicino e più lontano dalla luna possono acquisire accelerazioni diverse” (fr:1956/p.239). Considerando tre punti A, B, C sulla Terra di fronte alla Luna M (Fig. 137), le loro accelerazioni libere verso la Luna differiscono dall’accelerazione φ dell’intera Terra rigida (fr:1959/p.83-1961/p.239). Calcolando le accelerazioni risultanti verso il centro terrestre, si trova che il peso dell’acqua in A e C è diminuito della stessa quantità, producendo un innalzamento in entrambi i punti e quindi due onde di marea al giorno (fr:1964-1967/p.240). Se invece Terra e Luna fossero fisse e non in moto accelerato l’una verso l’altra, il peso diminuirebbe solo in A e aumenterebbe in C, sollevando l’acqua unicamente sul lato rivolto alla Luna; il fenomeno sarebbe “essenzialmente diverso” (fr:1968/p.240-1975/p.35).

[12]

[12.1-60-2146|2205]

12 Spazio assoluto e moto relativo: da Newton alla critica di Mach

«No one is competent to predicate things about facts, absolute space and absolute motion; they are pure things of thought, pure mental constructs, that cannot be produced in experience.» – E. Mach

Il testo propone un’analisi serrata dei concetti newtoniani di spazio, tempo e moto, seguita dalla critica mossa dalla meccanica empirio‑critica di Ernst Mach. Newton distingue nettamente tra spazio e moto assoluti, dotati di esistenza propria, e le loro controparti relative, accessibili ai sensi. Tale distinzione viene fondata su esperimenti ideali – il secchio rotante e le sfere unite da una corda – che rivelerebbero forze centrifughe come indizi del moto assoluto. Mach, al contrario, mostra come ogni attribuzione di moto richieda un riferimento a corpi concreti e nega ogni significato scientifico allo spazio assoluto, giudicato una pura costruzione mentale.

12.1 Il quadro newtoniano: spazio, luogo e moto

Secondo Newton, lo spazio assoluto «in its own nature and without regard to anything external, always remains similar and immovable» – (fr:2150/p.252) [per propria natura e senza relazione ad alcunché di esterno, rimane sempre uguale e immobile], mentre lo spazio relativo è «some movable dimension or measure of absolute space, which our senses determine by its position with respect to other bodies, and which is commonly taken for immovable space» – (fr:2151/p.252) [una dimensione o misura mobile dello spazio assoluto, che i nostri sensi determinano in base alla posizione rispetto ad altri corpi, e che comunemente si prende per spazio immobile]. In modo analogo, il moto assoluto è la traslazione da un luogo assoluto a un altro luogo assoluto, e il moto relativo da un luogo relativo a un altro relativo. Newton ammette che «in common affairs, instead of absolute places and motions, relative ones; and that without any inconvenience» – (fr:2153/p.252) [nelle faccende comuni, invece di luoghi e moti assoluti, usiamo quelli relativi; e ciò senza inconvenienti], ma esige che nelle disquisizioni filosofiche si astragga dai sensi (fr:2154/p.252).

Il luogo di un corpo non è la sua posizione, bensì la porzione di spazio che esso occupa, e può essere assoluto o relativo (fr:2157-2158/p.252).

12.2 I criteri empirici del moto assoluto: il secchio e le sfere

Newton cerca segni tangibili per separare il moto vero da quello apparente. Il discrimine risiede nelle forze centrifughe: «in a circular motion which is purely relative no such forces exist; but in a true and absolute circular motion they do exist, and are greater or less according to the quantity of the [absolute] motion» – (fr:2161/p.253) [in un moto circolare puramente relativo tali forze non esistono; ma in un moto circolare vero e assoluto esistono, e sono maggiori o minori a seconda della quantità del moto (assoluto)].

L’esperimento del secchio ne è la celebre illustrazione. Un secchio sospeso a una corda viene attorcigliato, riempito d’acqua e poi lasciato ruotare. Inizialmente la superficie dell’acqua resta piana; via via che il moto viene comunicato al liquido, «the water will recede little by little from the middle and rise up at the sides of the vessel, its surface assuming a concave form» – (fr:2163/p.253) [l’acqua si ritirerà a poco a poco dal centro e si solleverà ai lati del recipiente, assumendo una forma concava]. Newton osserva che nel momento in cui il moto relativo fra acqua e secchio è massimo, non si manifesta alcuno sforzo centrifugo; più tardi, quando il moto relativo è diminuito e l’acqua ruota quasi solidale con il recipiente, l’incurvamento della superficie indica «an endeavor to recede from the axis; and this endeavor revealed the real circular motion of the water» – (fr:2166/p.253) [uno sforzo di allontanarsi dall’asse; e questo sforzo rivelò il vero moto circolare dell’acqua].

Accanto al secchio, Newton propone il caso di due globi tenuti a distanza fissa da una corda e fatti ruotare intorno al comune centro di massa. La tensione della corda svelerebbe la tendenza a recedere dall’asse e permetterebbe di calcolare la quantità del moto circolare anche «in an immense vacuum, where there was nothing external or sensible with which the globes could be compared» – (fr:2173/p.254) [in un vuoto immenso, dove non vi fosse nulla di esterno o sensibile con cui confrontare i globi]. Anche la direzione del moto sarebbe determinabile imprimendo forze sulle facce opportune (fr:2170‑2172). Di fronte alla difficoltà di cogliere lo spazio immobile con i sensi, Newton giudica la situazione «not altogether desperate» perché esistono indizi tratti sia dai moti apparenti sia dalle forze che sono cause ed effetti dei moti veri (fr:2168‑2169).

12.3 La critica di Mach: lo spazio assoluto come costrutto mentale

Per Mach, Newton tradisce il proprio proposito di attenersi ai fatti. «No one is competent to predicate things about facts, absolute space and absolute motion; they are pure things of thought, pure mental constructs, that cannot be produced in experience» – (fr:2176/p.255) [Nessuno è in grado di asserire alcunché di fattuale sullo spazio assoluto e sul moto assoluto; sono pure entità del pensiero, puri costrutti mentali che non possono essere dati nell’esperienza]. Tutti i principi della meccanica sono conoscenze sperimentali riguardanti posizioni e moti relativi; estenderli oltre i confini dell’esperienza è illegittimo e privo di significato, perché «no one possesses the requisite knowledge to make use of it» – (fr:2180/p.255) [nessuno possiede la conoscenza necessaria per servirsene].

L’analisi si fa dettagliata. Affermare che un corpo K modifichi direzione e velocità solo per l’influsso di un altro corpo K′ è un concetto che si può formulare soltanto in presenza di altri corpi A, B, C… rispetto ai quali il moto è stato stimato. Se si trascurano questi corpi e si pretende di parlare del comportamento di K nello spazio assoluto, si commette un duplice errore: non si può sapere come K agirebbe in assenza di A, B, C… e si perde ogni mezzo per giudicare e verificare le proprie affermazioni, che quindi restano «bereft of all scientific significance» – (fr:2186/p.256) [private di ogni significato scientifico].

Anche la legge di gravitazione per due corpi K e K′ che si accelerano reciprocamente in ragione inversa alle masse non esprime solo una relazione fra i due, ma anche un loro rapporto con altri corpi: le accelerazioni specifiche κm′/r² e ‑κm/r² «can be ascertained only by the presence of other bodies» – (fr:2190/p.256) [possono essere accertate soltanto in presenza di altri corpi].

Poiché disponiamo sempre di un numero sufficiente di corpi pressoché fissi fra loro, siamo abituati a riferire il moto ora all’uno ora all’altro, e così è nata la convinzione che tali corpi siano indifferenti (fr:2191‑2192). Si potrebbe ipotizzare che il moto di K sia determinato da un mezzo che riempie lo spazio, un sostituto dello spazio assoluto newtoniano. Newton stesso non prese in considerazione quest’idea e l’atmosfera non può essere tale mezzo (fr:2197/p.256). Tuttavia, risultati idrodinamici recenti mostrano che un corpo rigido in un fluido privo di attrito subisce resistenza solo quando la sua velocità varia, il che potrebbe addirittura essere assunto come fatto primitivo (fr:2201‑2202). Benché oggi una tale concezione non sia praticabile, essa sarebbe comunque «a more valuable acquisition than the forlorn idea of absolute space» – (fr:2203/p.257) [un’acquisizione più preziosa dell’idea desolata dello spazio assoluto].

Nell’impossibilità di eliminare i corpi A, B, C… e di decidere sperimentalmente se il loro ruolo sia fondamentale o solo collaterale, Mach conclude che è opportuno considerare provvisoriamente ogni moto come determinato da tali corpi (fr:2204/p.257). Tutta la meccanica resta così ancorata a relazioni concrete, e lo spazio assoluto si dissolve come ipotesi superflua.

[13]

[13.1-50-2311|2360]

13 Le definizioni newtoniane di massa e forza nella critica di Ernst Mach

Le celebri definizioni dei Principia vengono esaminate e giudicate nel loro impianto logico: la massa è introdotta in modo circolare, la forza è articolata in accezioni distinte ma coerenti, e l’intero apparato concettuale risulta, in linea di principio, ineccepibile.

Il passo espone le prime definizioni della meccanica newtoniana, accompagnate da un commento critico che ne soppesa il valore fondativo. Newton definisce la quantità di materia (massa) come il prodotto di densità e volume: “The quantity of any matter is the measure of it by its density and volume conjointly.” – (fr:2312/p.264) [La quantità di una materia è la misura di essa mediante la sua densità e il suo volume presi congiuntamente.] Chiama questa grandezza «massa o corpo» e afferma che “It is ascertainable from the weight of the body in question.” – (fr:2315/p.264) [È determinabile a partire dal peso del corpo in esame.] A sostegno adduce esperimenti con il pendolo di elevata precisione: “For I have found, by pendulum-experiments of high precision, that the mass of a body is proportional to its weight; as will hereafter be shown.” – (fr:2316/p.264) [Ho infatti trovato, mediante esperimenti col pendolo di alta precisione, che la massa di un corpo è proporzionale al suo peso, come si mostrerà in seguito.]

La quantità di moto è definita come prodotto di velocità e quantità di materia (fr:2317-2318/p.264). Segue la distinzione tra vis insita o inerzia – “a power of resisting, by which every body, so far as in it lies, perseveres in its state of rest or of uniform motion in a straight line.” – (fr:2319/p.264) [un potere di resistere per cui ogni corpo, per quanto è in sé, persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.] – e forza impressa, “any action upon a body which changes, or tends to change, its state of rest, or of uniform motion in a straight line.” – (fr:2320/p.264) [qualsiasi azione su un corpo che muta, o tende a mutare, il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.]

Alla forza centripeta (Def. V) sono dedicate tre specificazioni quantitative. La quantità assoluta di una forza centripeta è “a measure of it increasing and diminishing with the efficacy of the cause that propagates it from the centre through the space round about.” – (fr:2325-2326/p.265) [misura di essa che cresce e diminuisce con l’efficacia della causa che la propaga dal centro attraverso lo spazio circostante.] La quantità accelerativa è “the measure of it proportional to the velocity which it generates in a given time.” – (fr:2328/p.265) [la misura di essa proporzionale alla velocità che genera in un dato tempo.] La quantità motrice è “the measure of it proportional to the motion which it generates in a given time.” – (fr:2330-2331/p.265) [misura di essa proporzionale al moto che genera in un dato tempo.] Newton precisa che queste tre misure possono chiamarsi, per brevità, forza assoluta, accelerativa e motrice e vanno riferite rispettivamente al centro di forza, al luogo del corpo e al corpo stesso (fr:2332‑2333). L’impianto è dichiaratamente matematico, non fisico: “This, at least, is the mathematical conception of forces; for their physical causes and seats I do not in this place consider.” – (fr:2334/p.265-2335/p.266) [Questa, almeno, è la concezione matematica delle forze; non prendo qui in esame le loro cause e sedi fisiche.]

Da questa distinzione discende la relazione tra forza acceleratrice e forza motrice: “Accelerating force, therefore, is to moving force, as velocity is to quantity of motion.” – (fr:2336/p.266) [La forza acceleratrice sta alla forza motrice come la velocità sta alla quantità di moto.] Ne consegue che, vicino alla superficie terrestre, dove l’accelerazione di gravità è uguale per tutti i corpi, il peso è proporzionale alla massa; salendo di quota, la forza acceleratrice e quindi il peso diminuiscono in egual misura (fr:2339‑2341). Newton si preoccupa di chiarire che termini come attrazione, impulso o propensione verso un centro vanno intesi in senso puramente matematico, senza attribuire forze in senso fisico a centri che sono soltanto punti matematici (fr:2343‑2344).

Il commento critico inserito nel testo, riconducibile a Ernst Mach (la dicitura THE SCIENCE OF MECHANICS appare nel corpo del passo), rileva anzitutto che la Definizione I è una pseudo-definizione. “The concept of mass is not made clearer by describing mass as the product of the volume into the density, as density itself denotes simply the mass of unit of volume.” – (fr:2348‑2349) [Il concetto di massa non è reso più chiaro descrivendo la massa come il prodotto del volume per la densità, poiché la densità stessa indica semplicemente la massa dell’unità di volume.] La vera definizione di massa – si osserva – può essere dedotta soltanto dalle relazioni dinamiche dei corpi (fr:2350/p.267). La Definizione II (quantità di moto) è una semplice regola di calcolo e non solleva obiezioni. La Definizione III (inerzia) è giudicata superflua, perché già contenuta nel fatto che le forze definite in IV‑VIII sono accelerative (fr:2352/p.267). La Definizione IV definisce la forza come causa dell’accelerazione o della tendenza all’accelerazione; la seconda parte è giustificata perché anche quando non si verificano accelerazioni, si manifestano comunque compressioni, distensioni e simili (fr:2353‑2355). La forza centripeta e la sua tripartizione in assoluta, accelerativa e motrice vengono quindi inquadrate come un problema di gusto e di forma: “It is, we may say, a matter of taste and of form whether we shall embody the explication of the idea of force in one or in several definitions.” – (fr:2357/p.267) [È, si può dire, questione di gusto e di forma se racchiudere l’esplicazione dell’idea di forza in una o in più definizioni.] Conclude perentoriamente: “In point of principle the Newtonian definitions are open to no objections.” – (fr:2358/p.267) [In via di principio le definizioni newtoniane non sono passibili di obiezioni.] Subito dopo seguono gli assiomi o leggi del moto, di cui Newton ne enuncia tre (fr:2360/p.267).

[14]

[14.1-136-2842|2977]

[15]

[15.1-211-3013|3223]

14 L’equilibrio delle superfici liquide e la nascita del potenziale: dall’azione molecolare alle figure di Plateau e Clairaut

Il testo, tratto da La scienza della meccanica di Ernst Mach, estende i princìpi della meccanica ai liquidi in assenza di peso, mostrando come le forze molecolari, il lavoro di superficie e le condizioni di equilibrio conducano a risultati di grande generalità, fino a gettare le basi storiche del concetto di potenziale.

L’analisi muove dall’immagine di una massa liquida priva di peso e libera nello spazio. Le forze molecolari agiscono solo a distanze molto piccole; si può definire attorno a una particella interna una «sfera d’azione» il cui raggio è la distanza alla quale tali forze cessano di essere misurabili. “Taking as our radius the distance at which the molecular forces cease to exert a measurable influence, let us describe about a particle … a sphere — the socalled sphere of action” – (fr:3016/p.411) [Prendendo come raggio la distanza alla quale le forze molecolari cessano di esercitare un’influenza misurabile, descriviamo attorno a una particella … una sfera — la cosiddetta sfera d’azione]. Nella parte interna della massa questa sfera è uniformemente riempita da altre particelle, per cui la risultante delle forze sulla particella centrale è nulla. Le condizioni dinamiche mutano solo per quelle porzioni che si trovano a una distanza dalla superficie libera inferiore al raggio della sfera d’azione: “Those parts only that lie at a distance from the bounding surface less than the radius of the sphere of action are in different dynamic conditions from the particles in the interior” – (fr:3019/p.411) [Solo quelle parti che giacciono a una distanza dalla superficie limite inferiore al raggio della sfera d’azione si trovano in condizioni dinamiche diverse dalle particelle interne]. Se i raggi di curvatura della superficie sono grandi rispetto a tale raggio, è lecito ritagliare dal liquido uno strato superficiale di spessore pari al raggio della sfera d’azione, entro il quale le condizioni fisiche sono diverse (fr:3023/p.411). Il lavoro meccanico non può essere compiuto spostando una particella all’interno, ma solo trasportandola dall’interno allo strato superficiale o viceversa; di conseguenza “work can be done only by a change of size of the surface” – (fr:3027/p.412) [il lavoro può essere compiuto solo mediante una variazione della superficie].

Diminuire l’area superficiale produce lavoro positivo. Mach cita l’esperimento di Van der Mensbrugghe: su una pellicola di sapone stesa su un telaio quadrato si pone un anello di filo inumidito; forando la pellicola all’interno dell’anello, la pellicola esterna si contrae fino a far assumere al filo la forma di un cerchio. Il cerchio ha l’area massima a parità di perimetro, quindi la pellicola si è contratta al minimo: “the liquid film has contracted to a minimum” – (fr:3038/p.412) [la pellicola liquida si è contratta a un minimo]. Un liquido privo di peso, soggetto unicamente alle forze molecolari, sarà in equilibrio in tutte le forme per le quali uno spostamento virtuale infinitamente piccolo che non alteri il volume produca una variazione superficiale nulla. “Consequently, equilibrium subsists for all liquid forms for which an infinitely small deformation produces a superficial variation = 0” – (fr:3043/p.413) [Di conseguenza, l’equilibrio sussiste per tutte le forme liquide per le quali una deformazione infinitamente piccola produce una variazione superficiale = 0]. Per un volume dato, un minimo di area superficiale dà equilibrio stabile, un massimo equilibrio instabile (fr:3044/p.413); fra tutti i solidi di egual volume la sfera ha l’area minima, quindi “the form which a free liquid mass will assume, the form of stable equilibrium, is the sphere” – (fr:3046/p.413) [la forma che una massa liquida libera assumerà, la forma di equilibrio stabile, è la sfera].

Il legame matematico fra forma e area della superficie è indagato introducendo i due raggi principali di curvatura (r) e (r’) (convenzionalmente positivi per convessità esterne). Con una variazione infinitesima (n) lungo la normale, la variazione di un elemento d’area risulta proporzionale a ((1/r + 1/r’) n). Imponendo che la variazione totale dell’area sia nulla e che il volume resti costante si ottiene la condizione di equilibrio: “the sum of the reciprocal values of the principal radii of curvature, or of the radii of curvature of the principal normal sections, is, in the case of equilibrium, constant for the whole surface” – (fr:3080/p.416) [la somma dei valori reciproci dei raggi principali di curvatura, o dei raggi di curvatura delle sezioni normali principali, è, in caso di equilibrio, costante per tutta la superficie]. Tale ragionamento, qui esposto in forma semplice, era stato sviluppato per la prima volta da Gauss in un quadro più ampio (fr:3082/p.416).

L’applicazione di questa condizione generale spiega le forme osservate. Una massa liquida libera è sferica, con (1/r + 1/r’ = 2/R) costante. Se il liquido è vincolato a due anelli circolari paralleli, la superficie di rotazione assume la forma di una catenoide quando le curvature sono opposte e (1/r + 1/r’ = 0): “For 1/r + 1/r’ = 0, where one normal section is convex and the other concave, the meridian curve assumes the form of the catenary” – (fr:3091/p.416) [Per (1/r + 1/r’ = 0), dove una sezione normale è convessa e l’altra concava, la curva meridiana assume la forma della catenaria]. Plateau verificò questi casi versando olio su anelli immersi in una miscela di alcol e acqua (fr:3095/p.417). In generale, quando una massa liquida è delimitata da superfici in parte convesse e in parte concave, il lavoro tende a spingere verso l’interno le parti convesse e verso l’esterno le concave, finché la somma (1/r + 1/r’) diventa costante su tutta la superficie (fr.3100). Nello spazio fra due anelli, con quantità d’olio sufficiente, si può ottenere una superficie cilindrica chiusa da calotte sferiche; Plateau verificò che le curvature soddisfano (1/r + 1/= 1/p + 1/p), ovvero (p = 2R), dove (p) è il raggio della sfera e (R) quello degli anelli (fr:3103/p.418).

Particolare attenzione è dedicata alle lamine liquide sottili. Immergendo telai di filo in una soluzione di sapone si ottengono superfici minime, ossia superfici a curvatura media nulla ((1/r + 1/r’ = 0)) per le quali ogni elemento è a forma di sella. “Such a surface is called a minimal surface ; that is, it has the smallest area consistent with its containing certain closed contours” – (fr:3121/p.419) [Una tale superficie è detta superficie minima; cioè ha l’area più piccola compatibile con il contenere determinati contorni chiusi]. Nelle figure di equilibrio sottili ottenute da Plateau con poliedri di filo, le lamine liquide piane si congiungono tre a tre lungo spigoli con angoli di circa 120° e quattro a quattro nei vertici con angoli approssimativamente uguali (fr:3139/p.420). Sebbene per le lamine estremamente sottili la condizione (1/r + 1/r’ = cost.) non sia rigorosamente soddisfatta a causa di effetti fisici non ancora del tutto noti, le figure realizzano comunque un minimo di area superficiale. Il testo osserva che la simmetria e la regolarità di tali forme non sono sorprendenti: in un sistema simmetrico ogni deformazione che tende a rompere la simmetria è compensata da una deformazione uguale e contraria che tende a ripristinarla (fr:3147/p.421). “One condition, therefore, though not an absolutely sufficient one, that a maximum or minimum of work corresponds to the form of equilibrium, is thus supplied by symmetry. Regularity is successive symmetry” – (fr:3149-3150/p.421) [Una condizione, quindi, benché non assolutamente sufficiente, affinché un massimo o un minimo di lavoro corrisponda alla forma di equilibrio, è fornita dalla simmetria. La regolarità è simmetria successiva].

La seconda parte del brano connette questi princìpi all’idrostatica matematica e alla figura della Terra. Newton e Huygens avevano proposto, su basi fisico-astronomiche, che la Terra fosse un ellissoide oblato di rotazione (fr:3155/p.421). Clairaut, nella sua Théorie de la figure de la terre (1743), chiarì che le ipotesi di Newton (pressione uguale al centro per tutte le colonne fluide) e di Huygens (forza perpendicolare alla superficie) non bastavano da sole a garantire l’equilibrio (fr:3160/p.421). Per analizzare il problema Clairaut immaginò di solidificare idealmente tutta la massa fluida tranne un canale di forma arbitraria (fr:3165/p.422). Se in ogni canale immaginabile il liquido è in equilibrio, allora l’intera massa lo è (fr:3168/p.422). Considerando due colonne fluide fra due sezioni qualsiasi del canale, la pressione alle estremità deve essere uguale e indipendente dalla forma e dalla lunghezza del percorso: “The terminal pressure of a fluid column of any such canal cannot, therefore, depend on the length and the form of the fluid column, but must depend solely on the position of its terminal points” – (fr:3180/p.422) [La pressione terminale di una colonna fluida di un tale canale non può pertanto dipendere dalla lunghezza e dalla forma della colonna fluida, ma deve dipendere unicamente dalla posizione dei suoi punti terminali]. Da questa condizione segue che, per un fluido di densità costante, la quantità (Xdx + Ydy + Zdz) (dove X,Y,Z sono le componenti della forza per unità di massa) deve essere un differenziale esatto. Ne deriva che le forze devono poter essere espresse come derivate parziali di una stessa funzione (U) delle coordinate: “the general condition of liquid equilibrium is, that the liquid be controlled by forces which can be expressed as the partial differential coefficients of one and the same function of coordinates” – (fr:3191/p.423) [la condizione generale di equilibrio liquido è che il liquido sia governato da forze che possono essere espresse come le derivate parziali di una sola e medesima funzione delle coordinate].

Le forze newtoniane e tutte le forze centrali godono di questa proprietà. La funzione (U), che oggi chiamiamo potenziale, determina le superfici di livello ((U=cost)), le direzioni delle forze (normali a esse) e l’intensità della forza stessa, che risulta inversamente proporzionale alla distanza tra le superfici di livello consecutive (fr:3214/p.426). Il testo di Mach sottolinea come nella teoria di Clairaut sia contenuta, senza dubbio, l’idea che sta alla base della dottrina del potenziale, sviluppata poi da Laplace, Poisson, Green e Gauss: “In the theory of Clairaut, here presented, is contained, beyond all doubt, the idea that underlies the doctrine of force-function or potential” – (fr:3201/p.424) [Nella teoria di Clairaut, qui presentata, è contenuta, fuor di ogni dubbio, l’idea che sta alla base della dottrina della funzione-forza o del potenziale]. Mach fornisce anche un esempio elementare: assumendo (U = -xy) come funzione-forza, le componenti della forza sono (X = y) e (Y = -x); le superfici di livello sono iperboli e le linee di forza le intersecano ortogonalmente (fr:3219-3220/p.426). Lo stesso schema di superfici e linee di forza ricorre, come nota l’autore, in elettrostatica, magnetismo, teoria della conduzione del calore e flussi elettrici o fluidi (fr:3215/p.426).

Nel complesso il brano mostra come lo studio delle superfici liquide, dai minimi di area alle lamine di Plateau, si saldi storicamente alla formulazione del concetto di potenziale e alla comprensione dell’equilibrio dei fluidi, offrendo un filo conduttore che dalle esperienze di laboratorio giunge fino alle teorie della figura della Terra.

[16]

[16.1-60-3252|3311]

15 Dall’osservazione all’energia: l’evoluzione del principio di efflusso tra liquidi e gas

Lo studio dell’efflusso dei liquidi da orifizi riceve un primo, fondamentale impulso dalle osservazioni di Torricelli. “Torricelli, by observations on liquids discharged through orifices in the bottom of vessels, discovered the following law.” – (fr:3252/p.428) [Torricelli, mediante osservazioni sui liquidi scaricati attraverso orifizi sul fondo dei recipienti, scoprì la seguente legge.] La legge descrive la quantità scaricata in intervalli di tempo uguali: “If the time occupied in the complete discharge of a vessel be divided into n equal intervals, and the quantity discharged in the last, the n‑th, interval be taken as the unit, there will be discharged in the (n‑1)th, the (n‑2)th, the (n‑3)th …. interval, respectively, the quantities 3, 5, 7 … . and so forth.” – (fr:3253‑3254) [Se il tempo necessario per lo scarico completo di un recipiente è diviso in n intervalli uguali, e la quantità scaricata nell’ultimo, l’n‑esimo intervallo, è presa come unità, verranno scaricate nell’(n‑1)‑esimo, (n‑2)‑esimo, (n‑3)‑esimo … intervallo, rispettivamente, le quantità 3, 5, 7 … .] La sequenza dei numeri dispari stabilisce un legame immediato con la cinematica galileiana: “An analogy between the motion of falling bodies and the motion of liquids is thus clearly suggested.” – (fr:3255/p.428) [Viene così chiaramente suggerita un’analogia tra il moto dei corpi cadenti e il moto dei liquidi.]

Torricelli esplora anche l’idea limite di un efflusso invertito: “Further, the perception is an immediate one, that the most curious consequences would ensue if the liquid, by its reversed velocity of efflux, could rise higher than its original level.” – (fr:3256/p.428) [Inoltre, è immediata la percezione che conseguenze assai curiose seguirebbero se il liquido, per la sua velocità di efflusso invertita, potesse salire più in alto del suo livello originale.] Egli osserva che il liquido può al massimo raggiungere l’altezza della superficie libera e ipotizza che vi risalirebbe esattamente in assenza di ogni resistenza. Di qui, trascurando gli attriti, scaturisce il teorema nella sua forma compiuta: “Hence, neglecting all resistances, the velocity of efflux v of a liquid discharged through an orifice in the bottom of a vessel is connected with the height h of the surface of the liquid by the equation v = √(2gh); that is to say, the velocity of efflux is the final velocity of a body freely falling through the height h, or liquid-head; for only with this velocity can the liquid just rise again to the surface.” – (fr:3258‑3259) [Quindi, trascurando tutte le resistenze, la velocità di efflusso v di un liquido scaricato attraverso un orifizio sul fondo di un recipiente è legata all’altezza h della superficie del liquido dall’equazione v = √(2gh); vale a dire, la velocità di efflusso è la velocità finale di un corpo in caduta libera dall’altezza h, o battente; poiché solo con questa velocità il liquido può risalire esattamente fino alla superficie.]

Benché il teorema si accordi con l’esperienza comune, il testo avverte il bisogno di una deduzione più penetrante. Varignon tenta di derivare il principio dalla relazione tra forza e quantità di moto. Partendo dall’equazione p t = m v, e designando con a l’area dell’orifizio, h il battente di pressione, s il peso specifico, g l’accelerazione di gravità, v la velocità di efflusso e τ un tempo breve, si ottiene inizialmente a h s · τ = (a v τ s / g) v, ossia v² = g h. Riconoscendo però che v è una velocità finale, la scrittura va corretta: “Remembering that v is a final velocity, we get, more exactly, … and thence the correct formula v² = 2gh.” – (fr:3267‑3268) [Ricordando che v è una velocità finale, otteniamo, più esattamente, … e da qui la formula corretta v² = 2gh.] La correzione introduce il fattore 2 mancante.

Daniel Bernoulli affronta la questione da un punto di vista più potente, quello della vis viva (energia cinetica). “Daniel Bernoulli investigated the motions of fluids by the principle of vis viva.” – (fr:3270/p.429) [Daniel Bernoulli studiò i moti dei fluidi mediante il principio della vis viva.] Il resoconto modernizza l’idea applicando l’equazione lavoro‑energia Fs = mv²/2. In un recipiente di sezione q (Fig. 211), un liquido di peso specifico s è versato sino al battente h. Se la superficie scende di un tratto infinitesimo dh, viene espulsa la massa q dh s/g con velocità v. Il lavoro compiuto è lo stesso di quel peso che scenda dell’altezza h, qualunque sia il percorso interno. “The work done is the same as though the weight q . dh . s had descended the distance h. The path of the motion in the vessel is not of consequence here.” – (fr:3276/p.430) [Il lavoro fatto è lo stesso che se il peso q dh s fosse sceso dell’altezza h. Il percorso del moto nel recipiente qui non ha importanza.] Uguagliando lavoro (q dh s h) ed energia cinetica della massa scaricata si ritrova v = √(2gh), con l’unica ipotesi che “all the work done in the vessel appears as vis viva in the liquid discharged, that is to say, that the velocities within the vessel and the work spent in overcoming friction therein may be neglected.” – (fr:3287/p.430) [tutto il lavoro fatto nel recipiente appaia come vis viva nel liquido scaricato, vale a dire che le velocità all’interno del recipiente e il lavoro speso per vincere l’attrito in esso possano essere trascurati.]

Il formalismo energetico permette di trattare anche il caso in cui la gravità sia assente e il liquido sia premuto da un pistone con pressione superficiale p. Se il pistone arretra di dh, il volume q dh fuoriesce. Detta ρ la densità, si ha p q dh = (q dh ρ) v²/2, quindi v = √(2p/ρ) (fr:3291‑3294). Ne deriva che “under the same pressure, different liquids are discharged with velocities inversely proportional to the square root of their density.” – (fr:3296/p.431) [sotto la stessa pressione, liquidi differenti sono scaricati con velocità inversamente proporzionali alla radice quadrata della loro densità.]

Il testo mette poi in guardia dall’applicare questo teorema senza cautele ai gas. “It is generally supposed that this theorem is directly applicable to gases. Its form, indeed, is correct; but the deduction frequently employed involves an error, which we shall now expose.” – (fr:3297‑3298) [Si suppone generalmente che questo teorema sia direttamente applicabile ai gas. La sua forma, in effetti, è corretta; ma la deduzione spesso utilizzata implica un errore, che ora esporremo.] Due recipienti di sezione uguale (Fig. 212) sono collegati da un piccolo foro; pistoni caricati con pesi P e P/2 producono un lavoro netto (P/2)h se entrambi si spostassero di h. Tuttavia, un gas a metà pressione raddoppia il proprio volume, sicché il pistone più leggero si solleverebbe di 2h. “Supposing the gas to flow from the vessel containing the load P into that containing the load P/2, the first weight will fall a distance h, the second, however, since under half the pressure a gas doubles its volume, will rise a distance 2h, so that the work Ph – (P/2) 2h would be performed. In the case of gases, accordingly, some additional work, competent to produce the flow between the vessels must be performed.” – (fr:3304‑3306) [Supponendo che il gas fluisca dal recipiente contenente il carico P a quello contenente il carico P/2, il primo peso scenderà di una distanza h, il secondo invece, poiché a metà della pressione un gas raddoppia il suo volume, salirà di una distanza 2h, cosicché il lavoro Ph – (P/2) 2h sarebbe compiuto. Nel caso dei gas, di conseguenza, deve essere compiuto del lavoro aggiuntivo, atto a generare il flusso tra i recipienti.] Il lavoro residuo è nullo; il flusso del gas esige un contributo ulteriore che “the gas itself performs, by expanding, and by overcoming by its force of expansion a pressure.” – (fr:3307/p.431) [il gas stesso compie, espandendosi e vincendo con la sua forza di espansione una pressione.] L’efflusso gassoso non può dunque essere trattato con la sola meccanica dei liquidi incomprimibili, ma richiede la considerazione del lavoro di espansione del gas.

[17]

[17.1-117-3354|3470]

16 Moto dei liquidi e distinzione delle pressioni: da Newton a Bernoulli

Il testo analizza alcuni problemi classici di meccanica dei fluidi, partendo da casi semplici per giungere alla fondamentale distinzione bernoulliana tra pressione idrostatica e idrodinamica, e mostrando i limiti della trattazione teorica di fronte agli effetti della viscosità.

I primi studi sul moto dei liquidi sono ricondotti a Newton e a John Bernoulli, di cui viene selezionato un caso esemplare.

“A few isolated cases of liquid motion were The watertreated by Newton and John Bernoulli. We shall of Newton, consider here one to which a familiar law is directly applicable.” – (fr:3354-3355/p.435) [Pochi casi isolati di moto dei liquidi furono trattati da Newton e John Bernoulli. Noi, sulla scia di Newton, ne consideriamo qui uno a cui una legge familiare è direttamente applicabile.]

Il primo problema descritto è quello del pendolo liquido in un tubo a U (Fig. 215). Una colonna liquida di lunghezza totale ( l ), se spostata di ( x ) in un ramo, produce una differenza di livello pari a ( 2x ). La forza di richiamo è ( 2asx ), dove ( a ) è la sezione del tubo ed ( s ) il peso specifico; la massa da muovere è ( als/g ), da cui un’accelerazione proporzionale a ( x ):

“If in one of the branches the column be forced a distance x below the level, the column in the other branch will rise the distance at, and the difference of level corresponding to the excursion x will be 2 jr. If or is the transverse section of the tube and s the liquid’s specific gravity, the force brought into play when the excursion x is made, will be 2asx, which, since it must move a mass als/gviill determine the acceleration (2 asx)/{alsfg) = i^gjl’) x, or, for unit Fir.” – (fr:3360-3361/p.435) [Se in uno dei rami la colonna viene spinta per una distanza x sotto il livello, la colonna nell’altro ramo si alzerà della stessa distanza, e la differenza di livello corrispondente all’escursione x sarà 2x. Se a è la sezione trasversale del tubo ed s il peso specifico del liquido, la forza suscitata quando si compie l’escursione x sarà 2asx, la quale, dovendo muovere una massa als/g, determinerà l’accelerazione 2asx/(als/g) = (2g/l)x, ossia, per escursione unitaria, l’accelerazione 2g/l.]

Ne conseguono vibrazioni di durata ( ); la colonna liquida oscilla cioè come un pendolo semplice di lunghezza metà della colonna. L’osservazione rilevante è che questo pendolo liquido obbedisce alle leggi del pendolo esattamente anche per ampie oscillazioni (se si trascura la viscosità), a differenza del pendolo a filo, per cui la legge vale solo in modo approssimato per piccole escursioni (fr:3372-3373/p.436).

John Bernoulli affrontò un caso più generale: un tubo cilindrico di forma qualsiasi (Fig. 216), i cui rami formano con l’orizzonte gli angoli ( ) e ( ) in corrispondenza delle superfici libere. Spostando una superficie di ( x ), si genera una differenza di livello ( x(+ ) ) e, con un ragionamento analogo, si ottiene una formula simile per il periodo (fr:3365-3371/p.436).

Il testo introduce poi il principio per cui il centro di gravità di una massa liquida può sollevarsi solo di quanto dovrebbe scendere per produrre la sua velocità. Vengono discusse due apparenti eccezioni: la fontana di Erone e l’ariete idraulico di Montgolfier (Fig. 217). In entrambi i casi, un’analisi attenta mostra che il centro di gravità complessivo del liquido si trova in realtà al di sotto del livello iniziale; solo una piccola parte del fluido sale molto, mentre la maggior parte scende. Un’illustrazione semplice del principio di trasferimento del lavoro da una grande massa liquida a una più piccola è data dall’imbuto immerso (Fig. 218): tappando il collo e immergendo l’imbuto capovolto, al rilascio l’acqua si riversa dentro, le parti in sezioni più strette acquistano grande vis viva e vengono proiettate in alto, ma il centro di massa non raggiunge mai il livello originario (fr:3394/p.438-3404/p.439).

L’acquisizione più importante attribuita a Daniel Bernoulli è la distinzione tra pressione idrostatica e pressione idrodinamica: la pressione di un liquido in movimento può essere, a seconda delle circostanze, maggiore o minore di quella del liquido in quiete. L’esempio impiegato (vaso assialsimmetrico con scarico, Fig. 215 riferito in contesto diverso ma qui implicitamente simile) conduce, attraverso il principio della vis viva applicato a un elemento prismatico, all’equazione:

“The pressure /g ® liquid /’« motion (the hydrodynamic pressure) consists of the pressure pgz^ of the liquid at rest (the hydrostatic pressure) and of a pressure (^p/)v [(^i| — ^i)/!] dependent on the density, the velocity of flow, and the cross-sectional areas.” – (fr:3418/p.441) [La pressione del liquido in movimento (la pressione idrodinamica) è composta dalla pressione ( pgz ) del liquido in quiete (la pressione idrostatica) e da una pressione ( (/2)v^2[(a_12 - a^2)/a2] ) dipendente dalla densità, dalla velocità di efflusso e dalle aree delle sezioni trasversali.]

In sezioni più larghe della superficie libera la pressione idrodinamica supera quella idrostatica, e viceversa nelle sezioni più strette. Immaginando il liquido non soggetto a gravità ma spinto da una pressione costante sulla superficie, emerge una relazione chiara: a un aumento della velocità di flusso (sezioni strette) corrisponde una diminuzione di pressione, e a una diminuzione della velocità (sezioni larghe) un aumento di pressione. La spiegazione fisica è che l’accelerazione di un elemento verso una sezione più stretta può avvenire solo se esso si muove da punti di pressione maggiore a punti di pressione minore; in caso contrario si avrebbe un accumulo e un immediato innalzamento della pressione a monte (fr:3419/p.441-3425/p.442).

L’applicazione successiva riguarda il moto di un liquido che fuoriesce da un serbatoio attraverso un lungo tubo cilindrico orizzontale (Fig. 220). La velocità di efflusso ( v = ) è minore di quella torricelliana a causa delle resistenze (viscose e di attrito), e il battente totale ( h ) si scompone in un’altezza di velocità ( h_1 ) e un’altezza di resistenza ( h_2 ). Inserendo tubi verticali laterali si osserva che la pressione nel tubo principale diminuisce linearmente dal valore all’imbocco fino a zero all’estremità. L’analisi del lavoro compiuto dalle forze di pressione su un elemento prismatico mostra che la caduta di pressione deve essere uniforme: il lavoro contro l’attrito, compiuto a spese del lavoro di pressione, è lo stesso per uguali distanze (fr:3439/p.443-3455/p.445). Il paragone con una massa di sfere elastiche compresse sul fondo del serbatoio e via via rilasciate aiuta a visualizzare il fenomeno.

Una modifica interessante (Fig. 222) è data da un tubo composto da tratti cilindrici di diversa ampiezza: la pressione decresce più rapidamente nei tratti più stretti (dove maggiore è il consumo di lavoro per attrito), e in ogni passaggio a una sezione più larga si ha un aumento di pressione (congestione positiva), mentre nel passaggio a una sezione più stretta si ha una brusca diminuzione (congestione negativa). La variazione di velocità di un elemento liquido, in assenza di forze esterne dirette, è determinata esclusivamente dal fatto che esso passi da regioni di pressione più elevata a regioni di pressione minore, o viceversa.

Il capitolo si conclude ammettendo le enormi difficoltà che la viscosità introduce nei problemi di moto dei fluidi, tanto che, a distanza di tempo da Newton, solo pochissimi casi semplici erano stati padroneggiati, e in modo imperfetto (fr:3427-3428/p.442). L’estratto termina con l’intestazione del capitolo successivo: “THE FORMAL DEVELOPMENT OF MECHANICS.” – (fr:3469/p.22) [Lo sviluppo formale della meccanica.]

[18]

[18.1-67-3497|3563]

17 Il metodo dei massimi e minimi e il principio del tempo minimo: da Fermat a Bernoulli

Lo studio delle proprietà di massimo e minimo, nato dall’osservazione geometrica delle tangenti, si evolve in principio unificante per l’ottica e la meccanica, culminando nel problema della brachistocrona e nella tensione tra genio intuitivo e rigore metodico.

Il testo ripercorre un momento fondante della scienza moderna, in cui l’indagine su massimi e minimi si intreccia con la nascente analisi matematica e con i principi variazionali della fisica. Il punto di partenza è il metodo di Fermat e Roberval per determinare i valori estremi di una grandezza. Essi osservano che una grandezza ( y ) dipendente da ( x ) possiede, in prossimità dei suoi valori massimi e minimi, una proprietà peculiare: “If, while x increases, y pass through a maximum value, its increase, or rise, will be changed into a decrease, or fall; and if it pass through a minimum value its fall will be changed into a rise” – (fr:3502/p.449) [Se, mentre ( x ) aumenta, ( y ) passa per un valore massimo, il suo aumento, o crescita, si trasformerà in una diminuzione, o caduta; e se passa per un valore minimo, la sua caduta si trasformerà in una crescita]. Di conseguenza, “the tangents to the curve at the points in question will generally be parallel to the axis of abscissas” – (fr:3503/p.449) [le tangenti alla curva nei punti in questione saranno generalmente parallele all’asse delle ascisse]. Un esempio algebrico elementare – tagliare da un segmento ( a ) una porzione ( x ) tale che il prodotto ( x(a-x) ) sia massimo – viene risolto imponendo che una variazione infinitesima ( ) non alteri il valore di ( y ), il che conduce a ( x = a/2 ). L’autore nota che “the procedure also contains, as we see, the germ of the differential calculus” – (fr:3512/p.450) [il procedimento contiene anche, come vediamo, il germe del calcolo differenziale].

Questo approccio viene trasportato da Fermat nell’ottica. Alla legge di riflessione di Erone, basata sul percorso più breve, Fermat cerca di affiancare una legge di rifrazione fondata sul tempo minimo: “He remarked that light, proceeding from a point A, and refracted at a point M, travels to B, not by the shortest route, but in the shortest time” – (fr:3514/p.450) [Egli osservò che la luce, procedendo da un punto A e rifratta in un punto M, viaggia fino a B non per il percorso più breve, ma nel tempo più breve]. Attraverso un confronto geometrico tra il cammino reale e uno infinitamente vicino (con le perpendicolari ( MP ) e ( NQ )), si ottiene la condizione di minimo: ” — AW sin a JVM sin /5 V = 0 or … v^ Sin a i sinytf ’ where n stands for the index of refraction” – (fr:3519-3520/p.451) [( = ), dove ( n ) è l’indice di rifrazione]. Leibnitz osserva che la legge di Erone è un caso particolare per velocità uguali. Huygens estende l’idea di Fermat anche a moti curvilinei della luce in mezzi con velocità variabile con continuità, confermando che “in all motions of light, an endeavor, so to speak, to produce results in a minimum of time appeared to be the fundamental tendency” – (fr:3524/p.451) [in tutti i moti della luce, uno sforzo, per così dire, di produrre risultati in un minimo di tempo appariva come la tendenza fondamentale].

L’indagine su proprietà massimali o minimali si sposta poi alla meccanica. Si ricorda che Giovanni Bernoulli sapeva che una catena sospesa assume la forma in cui il suo centro di gravità è più basso. Il vero impulso viene però dal problema della brachistocrona, proposto dallo stesso Giovanni Bernoulli nel giugno 1696: “In a vertical plane two points are situated, A and B, It is required to assign in this plane the curve by which a falling body will travel from A to B in the shortest time” – (fr:3530/p.451) [In un piano verticale sono situati due punti, A e B; si richiede di assegnare in questo piano la curva lungo la quale un corpo cadente andrà da A a B nel tempo più breve]. La soluzione più notevole è quella dello stesso Giovanni, che sfrutta un’analogia ingegnosa: sostituisce il moto del grave con quello di un raggio di luce in un mezzo dove la velocità cresce verso il basso secondo la legge ( v = ). Immaginando il mezzo composto da strati orizzontali, la traiettoria del raggio che minimizza il tempo soddisfa la relazione ( = ). Con semplici passaggi analitici si giunge all’equazione differenziale di una cicloide, generata da un cerchio che rotola su una retta. Per trovare la cicloide passante per due punti assegnati, si sfrutta la similitudine di tutte le cicloidi generate a partire dallo stesso punto origine. Il testo esalta questa soluzione: “achieved entirely without a method, the outcome of pure geometrical fancy and a skilful use of such knowledge as happened to be at his command, is one of the most remarkable and beautiful performances in the history of physical science” – (fr:3553/p.453) [ottenuta interamente senza un metodo, frutto di pura fantasia geometrica e di un abile uso delle conoscenze di cui disponeva, è una delle prestazioni più notevoli e belle nella storia della scienza fisica].

A questa genialità intuitiva si contrappone il carattere del fratello Giacomo Bernoulli. Se Giacomo risolve il problema in forma meno felice, è però lui a sviluppare “with great thoroughness, a general method applicable to such problems” – (fr:3560/p.454) [con grande completezza, un metodo generale applicabile a tali problemi]. Nei due fratelli prendono corpo, separandosi, le due anime del talento scientifico – l’immaginazione e la potenza critica – che nei massimi come Newton convivono unite. Il brano si chiude prefigurando il conflitto aperto tra queste due tendenze, incarnato proprio nello scontro personale tra i due Bernoulli.

[19]

[19.1-70-3573|3642]

18 Dalla brachistocrona ai problemi isoperimetrici: sviluppi e controversie nel calcolo delle variazioni

L’eredità della sfida sulla brachistocrona conduce, attraverso l’accesa rivalità tra i Bernoulli, alla formulazione generale dei problemi di massimo e minimo e alla loro prima sistemazione analitica per opera di Eulero.

Il testo ripercorre un passaggio cruciale nella storia del calcolo delle variazioni, muovendo dal problema della brachistocrona fino alla trattazione euleriana dei problemi isoperimetrici. Dopo aver richiamato la legge di rifrazione come analogo ottico per la discesa più rapida, si descrivono le assunzioni del metodo: considerando un elemento di curva ABC brachistocrono e un arco contiguo ADC percorso nello stesso tempo, si ottiene “the wellknown relation between the sines of the angles made by the curve-elements with the perpendicular and the velocities of descent” – (fr:3576/p.455) [la ben nota relazione tra i seni degli angoli formati dagli elementi di curva con la perpendicolare e le velocità di discesa]. Tale deduzione poggia su due ipotesi: “(i), that the part, or element, ABC is brachistochronous, and (2), that ADC is described in the same time as ABC.” – (fr:3581/p.456) [(1) che la parte, o elemento, ABC sia brachistocrona, e (2) che ADC sia percorso nello stesso tempo di ABC].

Dalla soluzione di quel problema, James Bernoulli, secondo la prassi matematica dell’epoca, propose una generalizzazione di ampia portata, il problema isoperimetrico: fra tutte le curve isoperimetriche (di ugual perimetro) comprese tra due punti fissi, trovare quella che renda massima o minima l’area inclusa da una seconda curva, le cui ordinate sono una funzione data delle corrispondenti ordinate o archi della curva cercata, dalle ordinate dei punti estremi e dal segmento d’asse delle ascisse tra esse compreso (fr:3583/p.456). Un esempio concreto è la ricerca della curva BFN sulla base BN che, a parità di lunghezza, minimizza l’area BZN, dove PZ è una funzione di PF e analogamente per le altre ordinate (fr:3585-3586/p.456).

John Bernoulli fornì immediatamente una soluzione nella forma xdx / √(a⁴ – x⁴) (fr:3589/p.457). Per a=1 essa identifica un semicerchio su BN, e in quel caso particolare la soluzione è corretta (fr:3590/p.457). Tuttavia, “the general formula is not universally valid” – (fr:3591/p.457) [la formula generale non è universalmente valida]. Di fronte a ciò, James Bernoulli si impegnò pubblicamente a smascherarne errori e contraddizioni e a fornire la soluzione esatta. La contesa degenerò in “a violent and acrimonious controversy, which lasted till James’s death” – (fr:3593/p.457) [una controversia violenta e aspra, che durò fino alla morte di James], dopodiché John confessò virtualmente l’errore adottando il metodo corretto del fratello (fr:3594/p.457).

James Bernoulli ipotizzò che John, fuorviato dai suoi studi sulla catenaria e sulla curva velica, avesse immaginato la curva riempita di un liquido a densità variabile, assumendo la posizione più bassa del baricentro come determinante per la curva cercata (fr:3595-3597/p.457). In tale modello, posto PZ=py, la densità del liquido nell’ordinata PF=x è p/x, e il momento di un filetto verticale diventa ∫pdy (fr:3598/p.457-3601/p.458). James obietta che così facendo si trascura la variazione del peso del liquido al variare della curva BFN, rendendo la deduzione inammissibile in quella forma semplice (fr:3602-3603/p.458).

La soluzione proposta da James Bernoulli assume, ancora una volta, che “the small portion F F₁ of the curve possesses the property which the whole curve possesses” – (fr:3604-3605/p.458) [la piccola porzione F F₁ della curva possiede la proprietà che possiede l’intera curva]. Prendendo quattro punti successivi con i due estremi fissi, egli varia i due punti intermedi in modo da conservare inalterata la lunghezza dell’arco – condizione possibile solo spostando due punti simultaneamente (fr:3606/p.458). Pur senza seguire i calcoli complessi e macchinosi (fr:3607/p.458), il principio è così enunciato: quando ∫pdy è un massimo, ∫(p – p₀)dy è un minimo (fr:3609/p.458).

Le discordie tra i due fratelli furono deplorevoli, ma “the genius of the one and the profundity of the other have borne, in the stimulus which Euler and Lagrange received from their several investigations, splendid fruits” – (fr:3613/p.459) [il genio dell’uno e la profondità dell’altro hanno portato splendidi frutti nello stimolo che Eulero e Lagrange ricevettero dalle loro rispettive indagini].

Eulero, nella memoria Problematis Isoperimetrici Solutio Generalis (1733, pubbl. 1738), fu il primo a fornire un metodo più generale per le questioni di massimo e minimo (fr:3615-3618/p.459). Sebbene i suoi risultati poggiassero ancora su prolisse considerazioni geometriche e mancassero di generalità analitica (fr:3619/p.459), egli classificò lucidamente i problemi in classi: (1) trovare la curva che rende una proprietà A massima o minima; (2) fra tutte le curve che condividono una proprietà A, trovare quella per cui B è massimo o minimo; (3) fra tutte le curve che condividono due proprietà A e B, trovare quella per cui C è massimo o minimo, e così via (fr:3620/p.459-3623/p.102). Ad esempio, un problema di prima classe è la ricerca della curva più breve tra due punti; di seconda classe, data una lunghezza A, rendere massima l’area MPN; di terza classe, tra curve di lunghezza A e stessa area B, trovare quella che ruotando genera la minima superficie di rivoluzione (fr:3624/p.460-3628/p.102).

Eulero comprese che la soluzione di un problema di classe superiore implica quella del problema inverso e che il numero di elementi variabili della curva cresce con la classe: due elementi per la prima classe, tre per la seconda, quattro per la terza, dovendo ogni volta la porzione variata soddisfare le proprietà comuni condivise e la condizione di massimo/minimo aggiuntiva (fr:3631/p.460-3637/p.102). Egli mostrò così la possibilità di ridurre i problemi di classe superiore a problemi di prima classe: se si cerca, tra le curve che possiedono A, quella che massimizza B, si cerca la curva per cui A + mB è un massimo, con m costante arbitraria (fr:3640/p.460-3642/p.461). Se per una variazione qualsiasi A + mB non cambia, ciò è possibile solo se le variazioni di A e di B prese singolarmente sono nulle (fr:3642/p.461).

[20]

[20.1-117-3649|3765]

19 Sviluppo storico e chiarificazione del calcolo delle variazioni

Il percorso che, dall’intuizione di Bernoulli all’analisi di Lagrange e alla sistemazione di Jellett, condusse a uno strumento fondamentale per i principi di massimo e minimo in meccanica.

Il testo ripercorre la genesi e la formalizzazione del calcolo delle variazioni, mostrando come una difficoltà fisica – il moto in un mezzo resistente – abbia reso inadeguato il principio di Bernoulli. “But in a resisting medium the case is different.” – (fr:3649/p.461) [Ma in un mezzo resistente il caso è diverso.] In tali situazioni “The entire length and form of the preceding path enters into the determination of the velocity in the element.” – (fr:3650/p.461) [L’intera lunghezza e forma del percorso precedente entra nella determinazione della velocità nell’elemento.] Di conseguenza “the principle introduced by James Bernoulli did not hold universally good” – (fr:3652/p.461) [il principio introdotto da James Bernoulli non aveva validità universale] e si rese necessaria un’analisi più raffinata.

La progressione storica è riassunta in quattro tappe: “First, John Bernoulli lighted on an accidental solution of a problem, by analogy. James Bernoulli developed, for the solution of such problems, a geometrical method. Euler generalised the problems and the geometrical method. And finally, Lagrange, entirely emancipating himself from the consideration of geometrical figures, gave an analytical method.” – (fr:3657‑3660) [Dapprima John Bernoulli trovò per analogia una soluzione accidentale di un problema. James Bernoulli sviluppò un metodo geometrico per la soluzione di tali problemi. Eulero generalizzò i problemi e il metodo geometrico. Infine Lagrange, emancipandosi interamente dalla considerazione delle figure geometriche, fornì un metodo analitico.]

L’intuizione capitale di Lagrange fu l’analogia fra gli incrementi che una funzione riceve per un cambiamento di forma e quelli dovuti a un cambiamento delle variabili indipendenti. “Lagrange remarked, that the increments which functions receive in consequence of a change in their form are quite analogous to the increments they receive in consequence of a change of their independent variables.” – (fr:3661/p.462) [Lagrange osservò che gli incrementi che le funzioni ricevono in conseguenza di un cambiamento della loro forma sono del tutto analoghi agli incrementi che ricevono in conseguenza di un cambiamento delle loro variabili indipendenti.] Per distinguerli introdusse la notazione δ per i primi e d per i secondi. Sorprendentemente, “Of this idea, which has proved itself a very fertile one, Lagrange never gave a verification; in fact, did not even attempt it.” – (fr:3663/p.462) [Di questa idea, che si è dimostrata assai fertile, Lagrange non diede mai una verifica; anzi, non la tentò neppure.] Il suo atteggiamento fu pragmatico: “He saw, with great economical insight, the foundations which in his judgment were sufficiently secure and serviceable to build upon. But the acceptance of these fundamental principles themselves was vindicated only by its results.” – (fr:3665‑3666) [Vide, con grande intuizione economica, le fondamenta che a suo giudizio erano sufficientemente sicure e utili per costruirvi sopra. Ma l’accettazione di questi stessi princìpi fondamentali fu giustificata soltanto dai suoi risultati.]

La profondità del pensiero di Lagrange generò notevoli difficoltà di comprensione. “Euler sought in vain to clear up the difference between a variation and a differential by imagining constants contained in the function, with the change of which the form of the function changed.” – (fr:3672/p.463) [Eulero cercò invano di chiarire la differenza tra una variazione e un differenziale immaginando costanti contenute nella funzione, al variare delle quali la forma della funzione mutava.] Questa concezione, che considerava le variazioni come incrementi dovuti a costanti, è “singularly timid, narrow, and illogical, and does not compare with that of Lagrange.” – (fr:3674/p.463) [singolarmente timida, angusta e illogica, e non regge il confronto con quella di Lagrange.] Persino un’opera moderna come quella di Lindelöf ne risulta danneggiata.

La prima esposizione veramente adeguata dell’idea di Lagrange è attribuita a Jellett. “Jellett appears to have said what Lagrange perhaps was unable fully to say, perhaps did not deem it necessary to say.” – (fr:3676/p.463) [Jellett sembra aver detto ciò che Lagrange forse non fu in grado di dire pienamente, o forse non ritenne necessario dire.] La chiarificazione poggia sulla distinzione fra quantità costanti e quantità variabili, e sulla corrispondente divisione delle forme delle funzioni in determinate (costanti) e indeterminate (variabili). Se la forma di una funzione y = φ(x) è indeterminata, il valore di y può cambiare in due modi: “The first change is the differential dy, the second, the variation δy.” – (fr:3691/p.464) [Il primo cambiamento è il differenziale dy, il secondo la variazione δy.] Il differenziale nasce da un incremento dx della variabile indipendente; la variazione da un mutamento della forma, ad esempio passando da φ a φ₁.

Un punto essenziale è che “The change of value of an indeterminate function due to a mere change of form involves no problem, just as the change of value of an independent variable involves none.” – (fr:3692‑3693) [Il cambiamento di valore di una funzione indeterminata dovuto a un semplice mutamento di forma non comporta alcun problema, così come il cambiamento di valore di una variabile indipendente non ne comporta.] Il problema sorge soltanto quando si cerca la variazione di una funzione determinata di una funzione indeterminata. L’esempio tipico è la lunghezza S di un arco di curva piana y = φ(x) fra due ascisse: “S is a determinate function of an indeterminate function.” – (fr:3697/p.464) [S è una funzione determinata di una funzione indeterminata.] Al variare della forma della curva, la variazione δS è calcolabile.

A partire da queste definizioni si imposta formalmente il problema di rendere massimo o minimo un funzionale U = ∫V dx, dove V dipende da y e dalle sue derivate. La variazione totale DU = dU + δU viene posta uguale a zero. Mediante integrazioni successive per parti si giunge a un’espressione che contiene termini di contorno e un integrale con la sola δy. Separando le due famiglie di termini si ottengono le due condizioni fondamentali:

1. una condizione ai limiti, che coinvolge soltanto gli estremi dell’intervallo e le variazioni dei valori al contorno;

2. l’equazione β = 0 sotto il segno di integrale, la quale, poiché δy è arbitraria, definisce la forma della funzione cercata.

Il testo nota che “Equation (3) was found by Euler. But Lagrange first showed the application of equation (i), for the determination of a function by the conditions at its limits.” – (fr:3734‑3735) [L’equazione (3) fu trovata da Eulero. Ma Lagrange mostrò per primo l’applicazione dell’equazione (i), per la determinazione di una funzione mediante le condizioni ai suoi limiti.] La forma generale è determinata dall’equazione differenziale (3), la quale contiene costanti arbitrarie che vengono fissate proprio dalle condizioni al contorno.

L’efficacia del metodo è illustrata con il problema della linea più breve: posto U = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx, l’equazione (3) si riduce a dP₁/dx = 0, da cui dy/dx = a e y = ax + b, la retta. Le costanti sono determinate imponendo le condizioni ai limiti. Se gli estremi sono fissati solo in ascissa, si ottiene la retta parallela all’asse delle ascisse. Per il problema della superficie di rotazione minima, l’integrazione conduce alla curva catenaria, che corrisponde anche alla posizione più bassa del baricentro di un filo omogeneo pesante.

Un’importante distinzione riguarda l’uso delle variazioni in meccanica. Gli spostamenti effettivi nel tempo – dx, dy, dz – e gli spostamenti possibili – δx, δy, δz – utilizzati nel principio dei lavori virtuali, non sono variazioni in senso proprio, a meno che non si tratti di un sistema continuo (una corda, una superficie flessibile, un corpo elastico, un liquido). Solo in questi casi “are we at liberty to regard δx, δy, δz as indeterminate functions of the coordinates x, y, z, and are we concerned with variations.” – (fr:3756/p.471) [siamo autorizzati a considerare δx, δy, δz come funzioni indeterminate delle coordinate x, y, z, e abbiamo a che fare con variazioni.]

La rilevanza storica di questi sviluppi per la meccanica è enorme. “Our sense of the general properties of systems, and of properties of maxima and minima in particular, was much sharpened by these investigations, and properties of the kind referred to were subsequently discovered in mechanical systems with great facility.” – (fr:3760/p.471) [Il nostro senso delle proprietà generali dei sistemi, e in particolare delle proprietà di massimo e minimo, fu molto affinato da queste ricerche, e proprietà di questo tipo furono successivamente scoperte nei sistemi meccanici con grande facilità.] Non è un caso che, a partire da Lagrange, i fisici esprimano abitualmente i princìpi della meccanica in forma di massimo o di minimo. “This predilection would be unintelligible without a knowledge of the historical development.” – (fr:3762/p.471) [Questa predilezione sarebbe incomprensibile senza la conoscenza dello sviluppo storico.]

[21]

[21.1-88-3776|3863]

20 Sviluppo formale: l’intreccio tra teologia e scienza nei grandi uomini della meccanica

Nemmeno i più grandi scienziati furono immuni dal clima teologico dominante; anzi, la loro statura intellettuale emerse proprio dalla capacità di produrre, malgrado quei limiti, le fondamenta del pensiero meccanico moderno.

Il testo denuncia anzitutto l’atteggiamento della chiesa, per la quale “447 Nor was any engine too base for the church to handle The strne, (eIq of scienin this struggle.” – (fr:3777/p.473) [Nessuno strumento era troppo basso perché la chiesa lo impiegasse nella lotta contro la scienza, in questa contesa.] e che “She considered nothing but how totistswuh , iheir own conquer : and no temporal policy ever was conducted precon- • . . ceived so selfishly, so unscrupulously, or so cruelly.” – (fr:3778/p.473) [Non pensava ad altro che a stravolgere la loro stessa conquista: nessuna politica temporale fu mai condotta in modo così egoistico, privo di scrupoli e crudele.]. Tuttavia, il passaggio centrale riguarda la lotta che gli stessi investigatori dovettero sostenere “with their own preconceived ideas, and especially with the notion that philosophy and science must be founded on theology.” – (fr:3779/p.473) [con le proprie idee preconcette, e in particolare con l’idea che filosofia e scienza dovessero fondarsi sulla teologia.], un pregiudizio che “was but slowly that this prejudice little by little was erased.” – (fr:3780/p.473) [fu cancellato solo poco a poco.].

Per dare concretezza storica, l’autore introduce alcune figure esemplari. John Napier, l’inventore dei logaritmi, “was, in addition to his scientific avocations, a zealous theologian.” – (fr:3784/p.473) [era, oltre che dedito alle scienze, un teologo zelante.]. Scrisse un commentario all’Apocalisse in cui “Proposition XXVI, for example, maintains that the pope is the Antichrist ; proposition XXXVI declares that the locusts are the Turks and Mohammedans ; and so forth.” – (fr:3788/p.473) [La proposizione XXVI, ad esempio, sostiene che il papa è l’Anticristo; la proposizione XXXVI dichiara che le locuste sono i Turchi e i Maomettani; e così via.].

Blaise Pascal, “one of the most rounded geniuses to be found among mathematicians and physicists, was extremely orthodox and ascetical.” – (fr:3789/p.473) [uno dei geni più completi tra matematici e fisici, era estremamente ortodosso e ascetico.]. La guarigione della sorella tramite una reliquia lo impressionò profondamente e “he regarded her cure as a miracle.” – (fr:3791/p.473) [considerò la sua guarigione un miracolo.]. Colpisce, per il lettore moderno, il carteggio in cui “this great “scientist” seriously discussing in one of his letters whether or not the Devil was able to work miracles.” – (fr:3800/p.474) [questo grande “scienziato” discute seriamente in una sua lettera se il Diavolo fosse o meno capace di compiere miracoli.].

Otto von Guericke, l’inventore della pompa pneumatica, apre il suo libro “with the miracle of Joshua, which he seeks to harmonise with the ideas of Copernicus.” – (fr:3801/p.474) [con il miracolo di Giosuè, che cerca di armonizzare con le idee di Copernico.] e le sue ricerche sul vuoto sono introdotte da “disquisitions concerning the location of heaven, the location of hell, and so forth.” – (fr:3802/p.474) [disquisizioni sulla posizione del cielo, la posizione dell’inferno e così via.]. Anche Isaac Newton, “The giant mind of Newton did not disdain to employ itself on the interpretation of the Apocalypse.” – (fr:3805/p.474) [La mente gigantesca di Newton non sdegnò di occuparsi dell’interpretazione dell’Apocalisse.], e quando Halley scherzò su questioni teologiche “he is said to have curtly repulsed … him with the remark : ’ I have studied these things ; … you have not ! ” – (fr:3807/p.474-3810/p.75) [si dice lo abbia bruscamente respinto con l’osservazione: “Io queste cose le ho studiate; tu no!”].

Leibniz, “the inventor of the best of all possible worlds and of pre-established harmony” – (fr:3811/p.475) [l’inventore del migliore dei mondi possibili e dell’armonia prestabilita], era “almost if not quite as much a theologian, as a man of science.” – (fr:3812/p.475) [quasi, se non del tutto, tanto teologo quanto uomo di scienza.]. Eulero, nelle sue Lettere a una principessa tedesca, affronta problemi teologico-filosofici. Deride la dottrina dell’armonia prestabilita osservando che in quella visione “his own body is as foreign to him as that of a rhinoceros in the midst of Africa” – (fr:3819/p.475) [il suo stesso corpo gli è estraneo quanto quello di un rinoceronte in mezzo all’Africa]; scrive in francese: “Si dans le cas dun d^rfeglement “de mon corps Dieu ajustait celui dun rhinoceros, … ce serait alors mon corps. … Jaurais egalement Thonneur d’^crire iL V. A., mais je ne sais pas comment elle recevrait mes lettres.” – (fr:3822-3824/p.476) [Se nel caso di un disordine del mio corpo Dio regolasse quello di un rinoceronte, … quello sarebbe allora il mio corpo. … Avrei ugualmente l’onore di scrivere a Vostra Altezza, ma non so come riceverebbe le mie lettere.]. Eppure, pur con questa critica tagliente, l’interazione corpo-anima restava per lui un miracolo e si destreggiava “very sophistically”* – (fr:3827/p.476) [molto sofisticamente] sulla libertà del volere.

Dopo aver richiamato questi esempi, il testo sottolinea che “We have selected them intentionally from among the foremost of Scientific discoverers.” – (fr:3831/p.476) [Li abbiamo scelti intenzionalmente tra i più eminenti scopritori scientifici.] e che le loro convinzioni teologiche appartengono “wholly to their innermost private life.” – (fr:3832/p.476) [completamente alla loro più intima vita privata.]; non erano opinioni imposte, ma “their own sincere views.” – (fr:3834/p.476) [le loro sincere opinioni personali.]. Secondo la mentalità moderna, “these men should at least have seen that the questions they discussed did not belong under the heads where they put them, that they were not questions of science.” – (fr:3837/p.477) [questi uomini avrebbero dovuto almeno vedere che le questioni di cui discutevano non appartenevano alle categorie in cui le collocavano, che non erano questioni scientifiche.]. Tuttavia, questa stessa contraddizione “is a proof of their stupendous mental power : they were able, in spite of the contracted horizon of their age, … to point out the path to an elevation, where our generation has attained a freer point of view.” – (fr:3839/p.477) [è una prova della loro stupenda potenza mentale: furono capaci, malgrado l’orizzonte ristretto della loro epoca, di indicare la via verso un’altura dove la nostra generazione ha raggiunto un punto di vista più libero.].

L’analisi si sposta poi su Galileo e le sue ricerche sulla resistenza dei materiali. Egli dimostra che “hollow tubes offer a greater resistance to flexure than solid rods of the same length and the same quantity of material, and at once applies this discovery to the explanation of the forms of the bones of animals” – (fr:3849/p.477) [i tubi cavi offrono maggior resistenza alla flessione rispetto a barre piene della stessa lunghezza e quantità di materiale, e applica subito questa scoperta alla spiegazione delle forme delle ossa degli animali], e osserva come le ossa, le piume, i gambi siano “adapted, as they are, in their minutest details to the purposes they serve” – (fr:3855/p.478) [adattati, nei loro minimi dettagli, agli scopi a cui servono], un fatto spesso addotto come prova di un disegno supremo. Tuttavia, “We should not forget, however, that investigation, and not mere admiration, is the office of science.” – (fr:3860/p.478) [Non dobbiamo dimenticare, però, che compito della scienza è l’indagine, non la mera ammirazione.]. Si accenna a Darwin, che affrontò questi problemi con la selezione naturale, ma “That Darwin’s solution is a complete one, may fairly be doubted ; Darwin himself questioned it.” – (fr:3862/p.478) [Che la soluzione di Darwin sia completa è lecito dubitare; lo stesso Darwin la mise in dubbio.].

L’intero sviluppo della meccanica si svolse, quindi, “in an age of predominantly theological cast.” – (fr:3840/p.477) [in un’epoca a carattere prevalentemente teologico.], in cui “Theological questions were excited by everything, and modified everything.” – (fr:3841/p.477) [Le questioni teologiche erano suscitate da ogni cosa e ogni cosa modificavano.]. Non c’è da stupirsi, conclude il testo, che “mechanics took the contagion.” – (fr:3842/p.477) [la meccanica abbia preso il contagio.]. La conclusione storica è che proprio quegli uomini, pur immersi in orizzonti angusti, seppero gettare le basi di un pensiero che avrebbe portato a un punto di vista più libero.

[22]

[22.1-114-3920|4033]

21 L’emancipazione della fisica dalla teologia e la ricerca di una visione del mondo

Il processo storico che condusse alla separazione tra indagine fisica e speculazione teologica, culminato con l’impostazione di Lagrange, rappresenta un mutamento intellettuale profondo e non lineare. Se in Descartes e Leibniz “fisica e teologia erano ancora grandemente mescolate” – “Whereas with Descartes and Leibnitz physics and theology were still greatly intermingled” – (fr:3920/p.482) [Mentre con Descartes e Leibniz fisica e teologia erano ancora grandemente mescolate], nel periodo successivo si affermò uno sforzo consapevole per confinare le dissertazioni teologiche all’inizio o alla fine dei trattati, sgomberando il campo alla fisica a partire dalla questione della creazione. La svolta decisiva giunse con Lagrange il quale, dopo un giovanile tentativo di fondare la meccanica sul principio di minima azione di Eulero, “dichiarò la sua intenzione di ignorare completamente le speculazioni teologiche e metafisiche, in quanto per loro natura incerte ed estranee alla scienza” – “declared his intention of utterly disregarding theological and metaphysical speculations, as in their nature precarious and foreign to science” – (fr:3927/p.483) [dichiarò la sua intenzione di ignorare completamente le speculazioni teologiche e metafisiche, in quanto per loro natura incerte ed estranee alla scienza]. Egli eresse un nuovo sistema meccanico su fondamenta differenti e “tutti gli scienziati eminenti successivi accettarono il punto di vista di Lagrange, determinando così sostanzialmente l’atteggiamento attuale della fisica verso la teologia” – “All subsequent scientists of eminence accepted Lagrange’s view, and the present attitude of physics to theology was thus substantially determined” – (fr:3929/p.483) [Tutti gli scienziati eminenti successivi accettarono il punto di vista di Lagrange, e l’atteggiamento attuale della fisica verso la teologia fu così sostanzialmente determinato]. L’idea che teologia e fisica fossero due rami distinti del sapere impiegò quasi due secoli per raggiungere la chiarezza presso i ricercatori, dalla sua prima germinazione in Copernico fino alla promulgazione finale con Lagrange.

Questa conquista di chiarezza fu tuttavia sempre patrimonio delle menti più elevate. “Newton non mescolò mai, nonostante la sua profonda religiosità, la teologia con le questioni scientifiche” – “Newton never, despite his profound religiosity, mingled theology with the questions of science” – (fr:3933/p.483) [Newton non mescolò mai, nonostante la sua profonda religiosità, la teologia con le questioni scientifiche]. Le sue ricerche ottiche propriamente dette, a differenza di quelle di Leibniz, non contengono traccia di teologia, e lo stesso si può affermare per Galileo e Huygens, i cui scritti si conformano quasi perfettamente al punto di vista di Lagrange. Tuttavia, le tendenze generali di un’epoca non vanno giudicate attraverso le sue menti massime, ma attraverso quelle medie. Per comprendere il processo è necessario considerare la condizione generale degli affari in quei tempi: “è ovvio che in uno stadio di civilizzazione in cui la religione è quasi l’unica educazione e l’unica teoria del mondo, le persone guarderebbero naturalmente le cose da un punto di vista teologico e crederebbero che questa visione fosse competente in tutti i campi di ricerca” – “It stands to reason that in a stage of civilisation in which religion is almost the sole education, and the only theory of the world, people would naturally look at things in a theological point of view, and that they would believe that this view was possessed of competency in all fields of research” – (fr:3941/p.484) [È ovvio che in uno stadio di civilizzazione in cui la religione è quasi l’unica educazione e l’unica teoria del mondo, le persone guarderebbero naturalmente le cose da un punto di vista teologico e crederebbero che questa visione fosse competente in tutti i campi di ricerca]. Solo con l’allargarsi dell’orizzonte intellettuale grazie alle scoperte geografiche, tecniche e scientifiche del Quattro e Cinquecento, questa predisposizione mentale svanì gradualmente, trovando un ampio teatro d’azione solo nella letteratura illuminista del Settecento.

Il superamento della concezione teologica lasciò tracce nella forma dei principi meccanici. La spiegazione basata sulla saggezza del Creatore venne abbandonata per una concezione più rigorosa, segnando un notevole guadagno in illuminazione. Un esempio calzante è il percorso dei raggi luminosi: un tempo si diceva che la luce viaggia per i cammini di tempo minimo, cercando la ragione nella sapienza divina. “Oggi sappiamo che la luce viaggia su tutti i cammini, ma che solo sui cammini di tempo minimo le onde luminose si intensificano a vicenda tanto da produrre un risultato percepibile” – “We of to-day know, that light travels by all paths, but that only on the paths of shortest time do the waves of light so intensify each other that a perceptible result is produced” – (fr:3959/p.485) [Noi oggi sappiamo che la luce viaggia su tutti i cammini, ma che solo sui cammini di tempo minimo le onde luminose si intensificano a vicenda tanto da produrre un risultato percepibile]. Una volta rimossi i pregiudizi, si scoprirono in natura casi di estrema stravaganza accanto alla presunta economia, come segnalato da Jacobi a proposito del principio di minima azione di Eulero. Molti fenomeni danno l’impressione di economia semplicemente perché diventano visibili solo quando per caso ha luogo un accumulo economico di effetti. “Questa è la stessa idea, nella provincia della natura inorganica, che Darwin elaborò nel dominio della natura organica” – “This is the same idea in the province of inorganic nature that Darwin worked out in the domain of organic nature” – (fr:3964/p.216-65/p.14) [Questa è la stessa idea, nella provincia della natura inorganica, che Darwin elaborò nel dominio della natura organica]. L’aspetto determinante non è il massimo o il minimo, ma la rimozione del lavoro, il fattore che determina l’alterazione: “accade solo ciò che in virtù delle forze e delle circostanze coinvolte può accadere”.

Se la visione teologica era completamente errata, come è possibile che i principi meccanici da essa influenzati siano sostanzialmente corretti? La risposta risiede nel fatto che “la visione teologica non fornì il contenuto dei principi, ma ne determinò semplicemente la forma; la loro materia derivava dall’esperienza” – “the theological view did not supply the contents of the principles, but simply determined their form; their matter was derived from experience” – (fr:3976/p.486) [la visione teologica non fornì il contenuto dei principi, ma ne determinò semplicemente la forma; la loro materia derivava dall’esperienza]. Un’influenza simile sarebbe stata esercitata da qualsiasi altro tipo di pensiero dominante. Inoltre, l’impulso teologico verso una visione comprensiva del mondo condivide la stessa radice della vera indagine fisica: la necessità di una considerazione d’insieme. “La scienza non può compiere nulla mediante la considerazione di fatti individuali; di tempo in tempo deve rivolgere lo sguardo al mondo come un tutto” – “science can accomplish nothing by the consideration of individual facts; from time to time it must cast its glance at the world as a whole” – (fr:3980/p.487) [la scienza non può compiere nulla mediante la considerazione di fatti individuali; di tempo in tempo deve rivolgere lo sguardo al mondo come un tutto]. Leggi puramente differenziali o elementari non esistono, poiché le proprietà di una massa includono sempre relazioni con altre masse, rendendo necessaria, e non meno certa, la considerazione delle proprietà generali della natura.

La persistenza di concezioni animistiche e feticistiche anche nella scienza moderna testimonia la lentezza di questo processo di emancipazione. L’opera di Giambattista Della Porta, pur annunciando importanti scoperte, è piena di pratiche magiche; solo con il De magnete di Gilbert (1600) si pose un freno a questa tendenza. “Quando riflettiamo che si dice che persino Lutero abbia avuto incontri personali con il Diavolo, che Keplero, la cui zia era stata arsa come strega e la cui madre sfiorò la stessa sorte, diceva che la stregoneria non poteva essere negata e temeva di esprimere la sua reale opinione sull’astrologia, possiamo vividamente raffigurarci il pensiero delle menti meno illuminate di quelle epoche” – “When we reflect that even Luther is said to have had personal encounters with the Devil, that Kepler, whose aunt had been burned as a witch and whose mother came near meeting the same fate, said that witchcraft could not be denied, and dreaded to express his real opinion of astrology, we can vividly picture to ourselves the thought of less enlightened minds of those ages” – (fr:4003/p.489) [Quando riflettiamo che si dice che persino Lutero abbia avuto incontri personali con il Diavolo, che Keplero, la cui zia era stata arsa come strega e la cui madre sfiorò la stessa sorte, diceva che la stregoneria non poteva essere negata e temeva di esprimere la sua reale opinione sull’astrologia, possiamo vividamente raffigurarci il pensiero delle menti meno illuminate di quelle epoche]. La scienza fisica moderna mostra ancora tracce di feticismo nelle sue “forze”, e le pratiche spiritiche moderne provano che le concezioni pagane non sono state superate nemmeno dalla società colta contemporanea. Alla base di questi istinti ostinati vi è un sentimento di unità con la natura che, per quanto possa aver generato assurdità religiose, possiede una base sana.

La gioiosa sopravvalutazione della portata delle idee fisico-meccaniche nel Settecento, con Laplace che immaginava una mente capace di prevedere l’intero progresso della natura date masse, posizioni e velocità iniziali, appare oggi come “una mitologia meccanica in contrasto con quella animistica delle antiche religioni” – “a mechanical mythology in contrast to the animistic of the old religions” – (fr:4014/p.490) [una mitologia meccanica in contrasto con quella animistica delle antiche religioni]. Entrambe le visioni contengono esagerazioni fantasiose di una percezione incompleta. L’atteggiamento scientifico maturo non pretende di offrire una visione completa del mondo, ma rivendica di lavorare per essa in futuro. “La più alta filosofia del ricercatore scientifico è precisamente questa tolleranza per una concezione incompleta del mondo e la preferenza per essa rispetto a una concezione apparentemente perfetta, ma inadeguata” – “The highest philosophy of the scientific investigator is precisely this toleration of an incomplete conception of the world and the preference for it rather than an apparently perfect, but inadequate conception” – (fr:4022/p.490) [La più alta filosofia del ricercatore scientifico è precisamente questa tolleranza per una concezione incompleta del mondo e la preferenza per essa rispetto a una concezione apparentemente perfetta, ma inadeguata]. Solo concedendo libero corso alla ragione e all’esperienza nelle province in cui sono determinanti, ci si avvicinerà gradualmente e con sicurezza “a quell’ideale di una visione monistica del mondo che è l’unica compatibile con l’economia di una mente sana” – “to that ideal of a monistic view of the world which is alone compatible with the economy of a sound mind” – (fr:4032/p.491) [a quell’ideale di una visione monistica del mondo che è l’unica compatibile con l’economia di una mente sana].

[23]

[23.1-101-4085|4185]

22 Il metodo di Lagrange e lo sviluppo formale della meccanica

L’estratto dalla Scienza della meccanica di Ernst Mach presenta la formulazione lagrangiana del principio dei lavori virtuali e del principio di d’Alembert, mostrando come una procedura sistematica e meccanica consenta di risolvere problemi di statica e dinamica vincolata.

Il brano si inserisce in una sezione dedicata allo “formal development”, che fonda l’intera trattazione sull’equazione simbolica del lavoro virtuale. Dopo un cenno alla variazione totale di una funzione potenziale (“If dV dV dV … the whole expression under the sign of summation is the total variation, δV, of V, If the latter is = 0, F is in general a maximum or a minimum.” – fr.4085), si passa immediatamente all’illustrazione dell’equazione (i). Se i punti di applicazione delle forze sono indipendenti, l’equilibrio esige che ogni forza impressa sia nulla e l’equazione (i) può sussistere solo se tutti i coefficienti degli spostamenti arbitrari sono posti uguali a zero (“Each point is then in equilibrium only when the forces impressed on it, and consequently their components, are = All the displacements δx, δy, δz, … are then wholly arbitrary, and equation (i) can subsist only provided the coefficients of all the displacements … are equal to zero.” – fr.4089-4091). Quando invece esistono vincoli esprimibili come F(x,y,z,…)=0, si generano corrispondenti relazioni fra le variazioni DF=0. Per un sistema di n punti le coordinate sono 3n; se vi sono m equazioni di vincolo, m variazioni possono essere espresse in funzione delle restanti e inserite nell’equazione (i), lasciando 3n−m spostamenti arbitrari i cui coefficienti vanno annullati (fr.4098-4101). Si ottengono così 3n−m equazioni fra forze e coordinate, cui si aggiungono le m equazioni F=0: in totale 3n equazioni sufficienti per determinare le coordinate di equilibrio quando le forze sono date. Se invece la configurazione è data e si cercano le forze, il problema è indeterminato, poiché le F=0 non contengono le componenti delle forze (“But if the form of the system is given and the forces are sought that maintain equilibrium, the question is indeterminate. We have then, to determine 3n force-components, only 3n – m equations; the m equations (F=0) not containing the force-components.” – fr.4106-4107).

22.1 L’esempio della leva e il metodo dei moltiplicatori indeterminati

Per chiarire il procedimento, Mach sceglie un sistema semplice: una leva OM=a incernierata nell’origine del piano XY e recante all’estremità una seconda leva MN=b, con forze applicate in M e N (fr.4108-4110; Fig. 332). Le due equazioni di vincolo (F=0) esprimono le lunghezze costanti dei bracci e producono due equazioni DF=0. Qui Lagrange introdusse un espediente divenuto canonico: moltiplicare ciascuna equazione DF=0 per un coefficiente indeterminato (λ, μ) e sommare il tutto all’equazione (i). “Lagrange employed a perfectly uniform and systematic procedure, which may be pursued quite mechanically, without reflection. We shall use it here. It consists in multiplying each of the equations (5) by an indeterminate coefficient λ, μ, and adding each in this form to (3).” (fr.4116-4118). Poiché due spostamenti rimangono arbitrari, si può disporre di λ e μ in modo da annullare i coefficienti corrispondenti, ottenendo quattro equazioni di equilibrio (6).

Quando le coordinate sono note e si cercano le forze, le equazioni (6) forniscono due condizioni: la forza totale in N ha la direzione di MN, e la risultante delle forze in M e N agisce lungo OM (“that is to say, the total component force impressed at N has the direction MN, … the resultant of the forces applied at M and N acts in the direction OM.” – fr.4123-4125). La soluzione è indeterminata, coerentemente con il fatto che l’equilibrio dipende solo da direzioni e rapporti e non dalle grandezze assolute delle forze. Se invece sono date le forze e si cercano le coordinate, si sfruttano anche le due equazioni di vincolo (4) e si perviene a una soluzione completa.

Mach offre subito un’interpretazione meccanica dei coefficienti λ e μ: essi rappresentano le forze supplementari dovute ai vincoli. “Equations (6) express the equilibrium of two free points on which in addition to X, Y, X₁, Y₁ other forces act which answer to the remaining expressions and just destroy X, Y, X₁, Y₁. … This supplementary force is due to the constraints. Its direction is determined; though its magnitude is not.” (fr.4131-4134). La forza vincolare agisce lungo la direzione dell’asta, ma la sua intensità resta indeterminata. L’esempio, pur elementare, basta a rivelare il carattere del metodo lagrangiano: un meccanismo escogitato una volta per tutte, che nell’applicazione a casi particolari non richiede quasi alcun pensiero aggiuntivo (“The mechanism of this method is excogitated once for all, and in its application to particular cases scarcely any additional thinking is required.” – fr.4138). La semplicità della figura permette di verificare immediatamente ogni passaggio.

22.2 L’equazione (2) e il principio di d’Alembert

La sezione 6 trasporta lo stesso schema formale alla dinamica, utilizzando l’equazione (2) che esprime il principio di d’Alembert nella forma data da Lagrange. Se le masse si muovono indipendentemente, le variazioni δx, δy, δz sono arbitrarie e si ottengono 3n equazioni differenziali simultanee (fr.4142-4144). In presenza di vincoli F=0 si generano le corrispondenti DF=0, e il procedimento ricalca quello statico, con l’avvertenza che le equazioni F=0 vanno impiegate sia nella forma originaria sia in quella differenziata (fr.4145-4147).

Il primo esempio dinamico è un punto pesante m vincolato a scorrere su una retta y=ax inclinata rispetto all’orizzonte (Fig. 233). L’equazione (2) si riduce a un’unica equazione differenziale in x, che integrata fornisce la legge oraria con costanti determinate dalle condizioni iniziali (fr.4148-4154). Il risultato, nota Mach, si può ottenere facilmente anche per via diretta (fr.4155).

22.3 Vincoli mobili: variazioni «possibili» e spostamenti reali

Particolare attenzione è dedicata al caso in cui l’equazione F=0 contenga il tempo. L’esempio è la stessa retta inclinata che ora si muove verticalmente verso l’alto con accelerazione γ: y = ax + ½γt². Nel costruire DF=0 si variano soltanto le coordinate x, y, poiché interessa lo spostamento possibile dell’istante considerato e non lo spostamento reale (“To form DF=0, we vary (12) only with respect to x and y, for we are concerned here only with the possible displacement of the system in its position at any given instant, and not with the displacement that actually takes place in time.” – fr.4160). Per ottenere un’equazione nella sola x si differenzia poi la (12) rispetto al tempo e si sostituisce nell’equazione del moto, giungendo a una soluzione che mostra come il punto si comporti come se sulla retta ferma agisse un’accelerazione aggiuntiva verso il basso pari a γ (fr.4161-4163).

La discussione successiva (sezione 7) chiarisce il fondamento di questa accortezza. Il principio di d’Alembert asserisce che tutto il lavoro virtuale è compiuto dalle forze impresse e non dai vincoli, in virtù della loro rigidità (“Equation (2), D’Alembert’s principle, asserts, that all the work that can be done in the displacement of a system is done by the impressed forces and not by the connections. This is evident, since the rigidity of the connections allows no changes in the relative positions which would be necessary for any alteration in the potentials of the elastic forces.” – fr.4165-4166). Quando però i vincoli variano nel tempo, essi compiono lavoro, e l’equazione (2) può essere applicata agli spostamenti reali soltanto aggiungendo alle forze impresse le forze che producono tali variazioni (fr.4167-4168). Un ulteriore esempio, con una massa su una retta soggetta ad accelerazione forzata in direzione x (Fig. 234), mostra che l’equazione con gli spostamenti virtuali non esprime il lavoro totale dello spostamento reale, ma solo quello di uno spostamento possibile sulla retta pensata momentaneamente fissa. Includendo esplicitamente la forza che muove la guida si recupera la stessa dinamica. Mach osserva che questa apparente difformità di trattamento deriva semplicemente da una lieve incoerenza: per comodità di calcolo non tutte le forze vengono introdotte fin dall’inizio, ma una parte viene lasciata da considerare in seguito (“The apparently different mode of treatment of these cases is simply the result of a slight inconsistency, springing from the fact that all the forces involved are, for reasons facilitating calculation, not included in the consideration at the outset, but a portion is left to be dealt with subsequently.” – fr.4177).

22.4 Dal principio di d’Alembert alla conservazione della forza viva

L’ultima sezione (8) mostra come il principio di vis viva (oggi teorema dell’energia cinetica) si deduca naturalmente dall’equazione (2). Poiché i diversi principi meccanici esprimono solo aspetti differenti di uno stesso fatto, essi sono deducibili l’uno dall’altro (fr.4179). Quando i vincoli sono indipendenti dal tempo, i moti reali coincidono con spostamenti “virtuali” (“But when the connections of a system are independent of the time, the motions that actually take place are ‘virtual’ displacements. Consequently the principle may be applied to actual motions.” – fr.4181-4182). Sostituendo δx con dx e introducendo la velocità v, si ottiene Σ(Xdx + Ydy + Zdz) = ½ d Σ m v², che è appunto l’espressione del principio delle forze vive, con un cenno finale alla «funzione forza» (fr.4183-4185).

Il brano documenta così la chiarezza espositiva e l’intento storico-critico di Mach: l’elegante algoritmo lagrangiano viene smontato e ricostruito davanti al lettore attraverso esempi di complessità minima, mettendo in luce tanto la potenza unificante del formalismo quanto le precauzioni necessarie quando i vincoli dipendono dal tempo.

[24]

[24.1-120-4222|4341]

23 L’economia del pensiero come fondamento del linguaggio e della scienza

La conoscenza umana, dal linguaggio alla meccanica, si struttura come un sistema di astrazioni volto a risparmiare lavoro mentale, sostituendo la molteplicità dell’esperienza con simboli e leggi economiche.

Il testo sviluppa un’analisi del pensiero scientifico come processo essenzialmente economico. Già la possibilità di un linguaggio ideografico universale viene introdotta con l’esempio della scrittura cinese: “The analysis of colors, physical and physiological, is already far enough advanced to render an international system of color-signs perfectly practical.” – (fr:4222/p.507) [L’analisi dei colori, fisica e fisiologica, è già abbastanza avanzata da rendere perfettamente praticabile un sistema internazionale di segni cromatici.] In questa direzione, “In Chinese writing… we have an actual example of a true ideographic language, pronounced diversely in different provinces, yet everywhere carrying the same meaning.” – (fr:4223/p.507, 4225) [Nella scrittura cinese… abbiamo un esempio concreto di una vera lingua ideografica, pronunciata in modo diverso in province diverse, ma che ovunque porta lo stesso significato.] Un tale sistema, se semplificato e depurato da accidenti grammaticali superflui, “the use of Chinese writing might become universal” – (fr:4226/p.508) [l’uso della scrittura cinese potrebbe diventare universale], con il vantaggio che “to read it would be to understand it” – (fr:4228/p.508) [leggerlo equivarrebbe a comprenderlo]. È qui già delineato il principio di economia: eliminare ciò che non è essenziale per la trasmissione del significato.

Questa economia si radica nel modo stesso in cui la mente riproduce i fatti. “In the reproduction of facts in thought, we never reproduce the facts in full, but only that side of them which is important to us, moved to this directly or indirectly by a practical interest.” – (fr:4231/p.508, 4232) [Nella riproduzione dei fatti nel pensiero, non riproduciamo mai i fatti per intero, ma solo quel lato di essi che è importante per noi, spinti a ciò direttamente o indirettamente da un interesse pratico.] Di conseguenza, “Our reproductions are invariably abstractions. Here again is an economical tendency.” – (fr:4233/p.508, 4234) [Le nostre riproduzioni sono invariabilmente astrazioni. Anche qui vi è una tendenza economica.] Le sensazioni sono gli elementi primi del mondo; l’uomo primitivo però isola certi complessi di sensazioni relativamente permanenti e importanti. “The first and oldest words are names of ‘things’.” – (fr:4237/p.508) [Le prime e più antiche parole sono nomi di “cose”.] Ma già qui opera un’astrazione, perché “no inalterable thing exists. The thing is an abstraction, the name a symbol, for a compound of elements from whose changes we abstract.” – (fr:4239, 4240) [Nessuna cosa inalterabile esiste. La cosa è un’astrazione, il nome un simbolo, per un complesso di elementi dai cui cambiamenti astraiamo.] Assegniamo un’unica parola a un intero complesso per evocare simultaneamente tutte le sensazioni costituenti (fr:4241/p.508). La permanenza della cosa è dunque un espediente mentale: “Properly speaking the world is not composed of ‘things’ as its elements, but of colors, tones, pressures, spaces, times, in short what we ordinarily call individual sensations.” – (fr:4244/p.509) [Propriamente parlando, il mondo non è composto di “cose” come suoi elementi, ma di colori, toni, pressioni, spazi, tempi, in breve ciò che chiamiamo ordinariamente sensazioni individuali.] L’intera operazione è una questione di economia: partiamo dai complessi più durevoli e familiari e aggiungiamo correzioni con l’insolito (fr:4246/p.509). Persino espressioni come “cilindro perforato” o “cubo con bordi smussati” rivelano questa logica di ampliamento e correzione di idee già ammesse, perché contengono una contraddizione se non si accetta che la “cosa” è già un’astrazione (fr:4247, 4248).

Il medesimo principio governa i concetti di causa ed effetto. “In speaking of cause and effect we arbitrarily give relief to those elements to whose connection we have to attend in the reproduction of a fact in the respect in which it is important to us.” – (fr:4250/p.509) [Parlando di causa ed effetto diamo arbitrariamente rilievo a quegli elementi alla cui connessione dobbiamo prestare attenzione nel riprodurre un fatto sotto l’aspetto che ci è importante.] In natura non esistono causa ed effetto: “nature has but an individual existence; nature simply is.” – (fr:4251/p.509) [la natura ha solo un’esistenza individuale; la natura semplicemente è.] Le ricorrenze di casi simili in cui A è sempre connesso a B esistono solo nell’astrazione che compiamo per riprodurre mentalmente i fatti (fr:4252/p.509). Quando un fatto diventa familiare, smettiamo di parlare di causa ed effetto: “Heat is said to be the cause of the tension of steam; but when the phenomenon becomes familiar we think of the steam at once with the tension proper to its temperature.” – (fr:4254/p.510, 4255) [Si dice che il calore sia la causa della tensione del vapore; ma quando il fenomeno diventa familiare pensiamo al vapore immediatamente con la tensione propria della sua temperatura.] Il testo ripercorre le posizioni di Hume, che per primo rifiutò la causalità riconoscendo solo una successione abituale nel tempo (fr:4257/p.510, 4258, 4260), e di Kant, che suppose una categoria innata dell’intelletto (fr:4261, 4262). Schopenhauer distinse quattro forme del principio di ragion sufficiente (fr:4263/p.510), ma queste differiscono solo per la materia a cui si applicano (fr:4264/p.510). La spiegazione naturale e di buon senso è economica: “The ideas of cause and effect originally sprang from an endeavor to reproduce facts in thought.” – (fr:4266, 4267) [Le idee di causa ed effetto sorsero originariamente dallo sforzo di riprodurre i fatti nel pensiero.] Quando una nuova connessione M-N viene riconosciuta come composta da connessioni già familiari, l’esperienza passata illumina la nuova (fr:4269, 4271). L’idea sotto cui sussumiamo nuove esperienze è essa stessa sviluppata dall’esperienza (fr:4272, 4273). Il senso di necessità della connessione causale nasce probabilmente dai nostri movimenti volontari e dalle loro conseguenze (fr:4274/p.511); la sua autorità deriva dal fatto che si forma istintivamente e senza nostro contributo cosciente, perfezionato nello sviluppo della specie (fr:4275, 4276). “Cause and effect, therefore, are things of thought, having an economical office.” – (fr:4277/p.511) [Causa ed effetto, dunque, sono entità di pensiero, con un ufficio economico.]

Nell’ambito delle scienze, il carattere economico si fa ancora più evidente. Le scienze descrittive ricostruiscono fatti individuali mettendo in rilievo i tratti comuni (fr:4284/p.511, 4285); le scienze più sviluppate condensano regole per la ricostruzione di moltissimi fatti in un’unica espressione. L’esempio classico è la legge della rifrazione: invece di annotare innumerevoli casi singoli, basta sapere che “the incident ray, the refracted ray, and the perpendicular lie in the same plane and that sin α / sin β = n” – (fr:4287/p.511) [il raggio incidente, il raggio rifratto e la perpendicolare giacciono sullo stesso piano e che sin α / sin β = n]. In natura non esiste alcuna legge di rifrazione, solo casi diversi di rifrazione; la legge è una regola concisa escogitata da noi per la ricostruzione mentale del fatto, e solo per il suo lato geometrico (fr:4290/p.511, 4291).

Le scienze più economicamente sviluppate sono quelle i cui fatti sono riducibili a pochi elementi numerabili della stessa natura, come la meccanica, che tratta esclusivamente di spazi, tempi e masse (fr:4293/p.512, 4294). La matematica è definita come l’economia del contare: “Numbers are arrangement-signs which, for the sake of perspicuity and economy, are themselves arranged in a simple system.” – (fr:4297/p.512) [I numeri sono segni di disposizione che, per amore di perspicuità ed economia, sono a loro volta disposti in un sistema semplice.] Lo scopo di tutte le operazioni aritmetiche è risparmiare la numerazione diretta, utilizzando risultati di vecchie operazioni di conteggio (fr:4300/p.512, 4301). L’algebra sostituisce relazioni ai valori e fissa definitivamente tutte le operazioni che seguono la stessa regola: per esempio, l’equazione (a+b)(a−b)=a²−b² ci dice che l’operazione più complicata a sinistra può sempre essere sostituita da quella più semplice a destra, qualunque siano i numeri (fr:4304, 4305). “Mathematics is the method of replacing in the most comprehensive and economical manner possible, new numerical operations by old ones done already with known results.” – (fr:4307/p.513) [La matematica è il metodo per sostituire, nel modo più comprensivo ed economico possibile, nuove operazioni numeriche con vecchie operazioni già eseguite con risultati noti.] Un esempio potente è la teoria dei determinanti, che permette di risolvere meccanicamente sistemi di equazioni senza ripetere ogni volta il procedimento (fr:4311, 4312). Si può persino delegare il lavoro di calcolo a una macchina: “The earliest of these (of any complexity) was the difference-engine of Babbage, who was familiar with the ideas here presented.” – (fr:4318/p.514) [La più antica di queste (di una certa complessità) fu la macchina alle differenze di Babbage, che aveva familiarità con le idee qui presentate.] La scienza, a differenza del lavoro meccanico, diventa più utile quanto più è usata: la memoria non è lavoro, ma mette a disposizione energia che l’ignoranza impediva di usare (fr:4323–4325, 4327, 4328). Senza una chiara visione di questo meccanismo, però, la matematica rischia di diventare un esercizio sterile, quasi cabalistico: “Mathematics, thus pursued as an object of instruction, is scarcely of more educational value than busying oneself with the Cabala. On the contrary, it induces a tendency toward mystery, which is pretty sure to bear its fruits.” – (fr:4331, 4332) [La matematica, perseguita così come oggetto di istruzione, ha a malapena più valore educativo che occuparsi della Cabala. Al contrario, induce una tendenza al mistero, che è pressoché certa di dare i suoi frutti.]

Anche la fisica offre esempi analoghi di economia del pensiero. Il momento d’inerzia evita la considerazione separata delle singole particelle di massa (fr:4336/p.515); la funzione forza dispensa dall’indagine separata delle singole componenti di forza, semplificando i ragionamenti grazie al lavoro mentale precedentemente speso per scoprirne le proprietà (fr:4337/p.515, 4338). La diottrica di Gauss, infine, sostituisce la considerazione delle singole superfici rifrangenti con i punti principali e nodali, ma solo dopo che quelle superfici erano state studiate con cura: “Gauss’s dioptrics simply saves us the necessity of often repeating this consideration.” – (fr:4341/p.515) [La diottrica di Gauss ci risparmia semplicemente la necessità di ripetere spesso questa considerazione.]

[25]

[25.1-41-4345|4385]

24 La scienza come economia dell’esperienza e le sue finzioni utili

La scienza cerca la presentazione più completa dei fatti con il minor dispendio di pensiero, sopperendo ai vuoti dell’esperienza con idee che ne conservano e ne estendono la continuità, anche quando tali idee – come gli atomi o gli spazi pluridimensionali – non sono che artifici mentali provvisori.

Il testo espone una concezione della scienza intesa come impresa di massima economia del pensiero: essa consiste nel “the completest possible presentment of facts with the least possible expenditure of thought” – (fr:4345/p.516) [la più completa presentazione possibile dei fatti con il minimo dispendio di pensiero]. In questa prospettiva, la funzione della scienza è “to replace experience” – (fr:4346/p.516) [sostituire l’esperienza], senza però mai abbandonare il dominio dei fenomeni osservabili. La scienza, infatti, “must remain in the province of experience, but, on the other, must hasten beyond it, constantly expecting confirmation, constantly expecting the reverse” – (fr:4347/p.516) [deve restare nella provincia dell’esperienza, ma, dall’altro, deve affrettarsi oltre essa, attendendosi costantemente conferme e costantemente il contrario]. Dove non sono possibili né conferme né confutazioni, la scienza non ha alcuna competenza (fr:4348/p.516). Essa opera esclusivamente “in the domain of uncompleted experience” – (fr:4349/p.516) [nel dominio dell’esperienza incompiuta].

Questa visione viene illustrata attraverso un esempio di meccanica: una lunga asta elastica fissata in una morsa (fr:4356/p.516). Quando l’asta è lunga, le sue lente vibrazioni sono “directly observable, can be seen, touched, and graphically recorded” – (fr:4357/p.517) [direttamente osservabili, possono essere viste, toccate e registrate graficamente]. Accorciando l’asta, le vibrazioni diventano così rapide da non poter essere più viste direttamente, e l’asta appare come un’immagine sfocata (fr:4358/p.517). Si manifesta un “new phenomenon” – (fr:4359/p.138) [nuovo fenomeno], ma la sensazione tattile rimane simile, e si può ancora far registrare all’asta i suoi movimenti. Mantenendo mentalmente la nozione di vibrazione, “we can still anticipate the results of experiments” – (fr:4360/p.517) [possiamo ancora anticipare i risultati degli esperimenti]. Proseguendo l’accorciamento, la sensazione tattile cambia e l’asta inizia a suonare: un altro fenomeno nuovo (fr:4361/p.517). Tuttavia, i fenomeni non mutano tutti in una volta, e la nozione di vibrazione, che non è vincolata a un singolo canale sensoriale, rimane “still serviceable, still economical” – (fr:4362/p.517) [ancora utilizzabile, ancora economica]. Anche quando il suono raggiunge altezze tonali elevatissime e le vibrazioni diventano impercettibili con i mezzi precedenti, continuiamo vantaggiosamente a immaginare l’asta che vibra, e possiamo predire “the vibrations of the dark lines in the spectrum of the polarised light of a rod of glass” – (fr:4363/p.517) [le vibrazioni delle righe scure nello spettro della luce polarizzata di una bacchetta di vetro]. Se tutti i fenomeni mutassero bruscamente in nuovi fenomeni, la nozione di vibrazione cesserebbe di essere utile perché non permetterebbe più di integrare le nuove esperienze con le precedenti (fr:4364/p.517).

Il testo applica lo stesso principio all’interpretazione del comportamento umano e del moto dei corpi invisibili: quando attribuiamo mentalmente a un essere umano sensazioni e idee analoghe alle nostre, che non possiamo percepire direttamente, creiamo un’idea economica, perché “makes experience intelligible to us; it supplements and supplants experience” – (fr:4366/p.517) [rende l’esperienza intelligibile; la integra e la soppianta]. Questa operazione è così naturale che ogni bambino la compie, e perciò non viene considerata una grande scoperta scientifica (fr:4367/p.517). Allo stesso modo, quando immaginiamo un corpo in movimento che scompare dietro un pilastro o una cometa momentaneamente invisibile come se continuasse il suo moto conservando le proprietà osservate, lo facciamo per non essere sorpresi dalla sua ricomparsa (fr:4368-4369/p.518). In tutti questi casi, “we fill out the gaps in experience by the ideas that experience suggests” – (fr:4370/p.518) [riempiamo i vuoti dell’esperienza con le idee che l’esperienza stessa suggerisce].

Non tutte le teorie scientifiche, però, nascono in modo così naturale e spontaneo. Il testo introduce una distinzione importante: il principio di continuità, che pervade la ricerca moderna, “simply prescribes a mode of conception which conduces in the highest degree to the economy of thought” – (fr:4354/p.516) [prescrive semplicemente un modo di concepire che conduce al massimo grado all’economia del pensiero]. Alcune teorie, come quelle chimiche, elettriche e ottiche, ricorrono invece agli atomi (fr:4372-4373/p.518). L’atomo è un “mental artifice” – (fr:4374/p.518) [artificio mentale] che non deriva dal principio di continuità, ma è stato appositamente escogitato per lo scopo. Esso non può essere percepito dai sensi ed è, come tutte le sostanze, un “thing of thought” – (fr:4375/p.518) [oggetto del pensiero]. Inoltre, agli atomi vengono attribuite proprietà che “absolutely contradict the attributes hitherto observed in bodies” – (fr:4376/p.518) [contraddicono assolutamente gli attributi finora osservati nei corpi]. Benché le teorie atomiche possano riprodurre certi gruppi di fatti, il ricercatore che ha in mente le regole di Newton le ammetterà soltanto come “provisional helps” – (fr:4377/p.518) [sussidi provvisori], cercando un sostituto più naturale.

La teoria atomica svolge in fisica un ruolo analogo a quello di certi concetti ausiliari in matematica: è un “mathematical model for facilitating the mental reproduction of facts” – (fr:4378/p.518) [modello matematico per facilitare la riproduzione mentale dei fatti]. Allo stesso modo in cui rappresentiamo le vibrazioni con funzioni armoniche, il raffreddamento con esponenziali o la caduta dei gravi con il quadrato del tempo, senza credere che le vibrazioni in sé abbiano a che fare con le funzioni circolari, così usiamo idee familiari come “an easy means of supplementing experience” – (fr:4381/p.519) [un mezzo facile per integrare l’esperienza]. I fenomeni naturali le cui relazioni non assomigliano a funzioni matematiche note sono attualmente difficili da ricostruire; ma il progresso della matematica potrà facilitare l’impresa (fr:4382-4383/p.519). In questa ottica, anche spazi a più di tre dimensioni possono essere impiegati come aiuti matematici, senza che sia necessario considerarli qualcosa di più che “mental artifices” – (fr:4385/p.519) [artifici mentali].

Il brano presenta alcuni passaggi corrotti dal riconoscimento ottico (si vedano ad esempio i riferimenti a figure come “Example !i1 ustr&ti VG” in fr:4358 e le lacune in fr:4352-4353 e 4371-4374). Resta comunque nitido il nucleo filosofico: la scienza è un prolungamento economico dell’esperienza, nel quale le idee – dal concetto di vibrazione all’atomo, dalle funzioni matematiche agli spazi pluridimensionali – hanno valore nella misura in cui permettono di connettere, anticipare e padroneggiare i fenomeni, senza pretendere uno statuto di realtà più che provvisorio o puramente strumentale.

[26]

[26.1-23-4476|4498]

25 La legge di conservazione dell’energia e la visione meccanica della natura: fondamenti e prospettiva storica

Il testo analizza la portata e i limiti del principio di conservazione dell’energia, contestualizzandone l’emergere all’interno di una visione meccanica dei fenomeni naturali che, tuttavia, non fu una creazione originale della meccanica stessa, bensì un presupposto posseduto fin dall’inizio dai suoi più grandi cultori.

Il principio della vis viva viene presentato nella sua formulazione matematica come una legge che lega l’incremento di questa grandezza al lavoro compiuto: “this kind is the principle of vis viva 2 {(7^ — 6^q) = 2^m {v — v), which states that the increase of the vis viva of a system in its passage from one position to another is equal to the increment of the force-function, or work, which is expressed as a function of the final and initial positions” - (fr:4477/p.525) [di questo tipo è il principio della vis viva, il quale afferma che l’aumento della vis viva di un sistema nel suo passaggio da una posizione a un’altra è uguale all’incremento della funzione-forza, o lavoro, espresso in funzione delle posizioni finale e iniziale].

Adottando la terminologia di Helmholtz, il lavoro effettivamente compiuto da un sistema è visto come una diminuzione della Spannkraft inizialmente presente, portando a una riformulazione del principio: “accordingly, S=^K — U, and the principle of vis viva takes the form 2 S -- i 2 m v^ = const, that is to say, every diminution of the Spannkraft, is compensated for by an increase of the vis viva” - (fr:4478/p.525) [di conseguenza, il principio della vis viva assume la forma…, vale a dire che ogni diminuzione della Spannkraft è compensata da un aumento della vis viva]. Il principio diventa così la legge della Conservazione dell’Energia, dove “the sum of the Spannkraft (the potential energy) and the vis viva (the kinetic energy) remains constant in the system” - (fr:4479-4480/p.525) [la somma della Spannkraft (l’energia potenziale) e della vis viva (l’energia cinetica) rimane costante nel sistema]. Una nota testuale riporta come lo stesso Helmholtz, dopo aver introdotto il termine Spannkraft nel 1847, lo abbandonò esplicitamente nel 1882 in favore dell’inglese “potential energy”, preferendo persino il termine Ergal di Clausius, “which is quite out of agreement with modern terminology” - (fr:4485-4487/p.525) [il che è del tutto in disaccordo con la terminologia moderna].

Di fronte all’osservazione che in natura non solo la vis viva, ma anche quantità di calore o potenziali elettrici possono scaturire dal lavoro, gli scienziati interpretarono questa legge come “the expression of a mechanical action as the basis of all natural actions” - (fr:4481/p.525) [l’espressione di un’azione meccanica come base di tutte le azioni naturali]. Il testo mette però in guardia da una simile generalizzazione: “However, nothing is contained in the expression but the fact of an invariable quantitative connection between mechanical and other kinds of phenomena” - (fr:4482/p.525) [Tuttavia, nell’espressione non è contenuto altro che il fatto di una invariabile connessione quantitativa tra i fenomeni meccanici e altri tipi di fenomeni]. La legge sancisce un legame quantitativo costante, ma non autorizza di per sé una riduzione di tutti i fenomeni a mere azioni meccaniche.

L’analisi si sposta poi su una cruciale precisazione storica. Sarebbe un errore credere che una visione ampia e comprensiva dei fenomeni sia stata introdotta nella scienza fisica dalla meccanica. Al contrario, “this insight was possessed at all times by the foremost inquirers and even entered into the construction of mechanics itself, and was, accordingly, not first created by the latter” - (fr:4489/p.526) [questa visione profonda fu posseduta in ogni tempo dai più eminenti ricercatori e penetrò persino nella costruzione della meccanica stessa, e non fu, di conseguenza, creata da quest’ultima]. Tale prospettiva è esemplificata dal metodo di Galileo e Huygens, i quali “constantly alternated the consideration of particular details with the consideration of universal aspects, and reached their results only by a persistent effort after a simple and consistent view” - (fr:4490-4491/p.526) [alternavano costantemente la considerazione di dettagli particolari con la considerazione di aspetti universali, e raggiunsero i loro risultati solo mediante uno sforzo persistente verso una visione semplice e coerente].

La consapevolezza che le velocità dei corpi dipendono dagli spazi percorsi in discesa emerse da uno studio minuzioso di casi particolari, unito alla considerazione che i corpi, di per sé, tendono solo a scendere. In questo contesto, Huygens formula un principio cardine: “Huygens especially speaks, on the occasion of this inquiry, of the impossibility of a mechanical perpetual motion; he possessed, therefore, the modern point of view” - (fr:4493/p.526) [Huygens in particolare parla, in occasione di questa indagine, dell’impossibilità di un moto perpetuo meccanico; egli possedeva, dunque, il punto di vista moderno]. Egli percepiva l’incompatibilità dell’idea di moto perpetuo con i processi meccanici naturali a lui familiari. Un’altra profonda manifestazione di questa visione si trova nelle celebri finzioni di Stevino, come quella della catena senza fine sul prisma, dove “a deep, broad insight is displayed” - (fr:4496/p.526) [si mostra una profonda e ampia capacità di penetrazione]. La mente disciplinata dell’ingegnere, forgiata da una moltitudine di esperienze, viene applicata a un caso singolo. Per Stevino, la catena mobile senza fine rappresenta “a motion of descent that is not a descent, a motion without a purpose, an intentional act that does not answer to the intention, an endeavor for a change which does not produce the change” - (fr:4498/p.526) [un moto di discesa che non è una discesa, un moto senza scopo, un atto intenzionale che non risponde all’intenzione, uno sforzo per un cambiamento che non produce il cambiamento], una vivida illustrazione dell’assurdità meccanica del moto perpetuo e della profonda intuizione delle leggi di conservazione.

[27]

[27.1-45-4696|4740]

26 Dall’idealizzazione della meccanica alle concezioni antiche del vuoto: un percorso storico

Il testo si apre con una riflessione sul metodo della meccanica, evidenziando come le leggi esatte nascano da un processo di idealizzazione che trascura gli elementi perturbatori. “La deviazione aumenta con le circostanze perturbatrici, come l’attrito, e diminuisce con la riduzione di queste difficoltà” (fr:4696/p.543) [The deviation increases with the disturbing circumstances, as with friction, and decreases with the diminution of these difficulties.]. “L’esatta relazione statica viene raggiunta mediante idealizzazione e trascurando questi elementi perturbatori” (fr:4697/p.543) [The exact static relationship is reached by idealisation and disregard of these disturbing elements.]. Questa ipotesi, già operante nelle procedure archimedee e steviniane, è logicamente necessaria: “senza la quale i singoli fatti dell’esperienza sarebbero immediatamente coinvolti in contraddizioni logiche” (fr:4698/p.543) [without which the individual facts of experience would at once become involved in logical contradictions.]. Solo grazie a essa è possibile “ricostruire i fatti e acquisirne una padronanza scientifica e logica” (fr:4699/p.543) [reconstruct the facts and acquire a scientific and logical mastery of them.]. La leva e il piano inclinato esemplificano questo statuto: sono “oggetti ideali della meccanica, creati da sé” (fr:4700/p.543) [self-created ideal objects of mechanics.], e la leva fisica soddisfa le condizioni richieste “solo nella misura in cui si avvicina alla leva ideale” (fr:4701/p.543) [only in measure in which it approaches the ideal lever.]. Il ricercatore naturale, di conseguenza, “si sforza di adattare i suoi ideali alla realtà” (fr:4702/p.543) [strives to adapt his ideals to reality.].

Questa premessa metodologica introduce una ricognizione storica sulle nozioni relative all’aria e al vuoto. “Le nostre nozioni moderne sulla natura dell’aria sono una diretta continuazione delle idee antiche” (fr:4704/p.543) [Our modern notions with regard to the nature of air are a direct continuation of the ancient ideas.]. Anassagora dimostrò la corporeità dell’aria “dalla sua resistenza alla compressione in sacchi di pelle chiusi” (fr:4705/p.543) [from its resistance to compression in closed bags of skin], mentre Empedocle spiegò come l’aria impedisca all’acqua di penetrare in un vaso immerso capovolto (fr:4707/p.544). Filone di Bisanzio utilizzava un orifizio sigillato con cera: “l’acqua non penetra nel vaso immerso finché il tappo di cera non viene rimosso, dopodiché l’aria fuoriesce in bolle” (fr:4709/p.544) [The water will not penetrate into the submerged vessel until the wax cork is removed, wherupon the air escapes in bubbles.]. Si tratta di una serie di esperimenti condotti “quasi nella precisa forma oggi abituale nelle scuole” (fr:4710/p.544) [in almost the precise form customary in the schools to-day].

Erone di Alessandria, seguace di Stratone, descrisse molti esperimenti dei suoi predecessori con aggiunte proprie (fr:4711/p.544). Per Erone un vuoto assoluto e continuo può essere prodotto solo artificialmente, ma “innumerevoli minuscoli vuoti esistono tra le particelle dei corpi, inclusa l’aria, proprio come l’aria tra i granelli di sabbia” (fr:4712/p.544) [numberless tiny vacua exist between the particles of bodies, including air, just as air does among grains of sand.]. La prova è data dalla possibilità di rarefare e comprimere i corpi e dal fatto che i raggi di luce penetrano l’acqua, suggerendo l’esistenza di pori (fr:4713-4714/p.544). L’aumento artificiale del vuoto produce sempre “l’attrazione e la sollecitazione dei corpi adiacenti” (fr:4715/p.544) [the attraction and solicitation of adjacent bodies.]: un vaso leggero aspirato rimane attaccato alle labbra, e se immerso con l’orifizio chiuso da un dito e poi rilasciato, “l’acqua salirà nel vuoto creato, sebbene il movimento del liquido verso l’alto non sia secondo natura” (fr:4718/p.544) [the water will rise in the vacuum created, although the movement of the liquid upward is not according to nature.]. Il fenomeno della coppetta a ventosa è identico: “non solo non cadono, sebbene siano abbastanza pesanti, ma tirano fuori anche le particelle adiacenti attraverso i pori del corpo” (fr:4719/p.545) [not only do not fall off, although they are heavy enough, but they also draw out adjacent particles through the pores of the body.].

La trattazione del sifone ripiegato rivela il principio cardine di Erone: il riempimento avviene “perché il liquido segue da vicino l’aria esausta, poiché un vuoto continuo è inconcepibile” (fr:4721/p.545) [for the reason that a continuous vacuum is inconceivable.]. A bracci uguali “l’acqua è tenuta in equilibrio come in una bilancia” (fr:4723/p.545) [The water is held in equilibrium as in a balance.]. Erone concepisce il flusso “come analogo al movimento di una catena che pende con lunghezze disuguali su una puleggia” (fr:4724/p.545) [as analogous to the movement of a chain hanging with unequal lengths over a pulley.], e la continuità della colonna liquida è garantita dall’“inconcepibilità di un vuoto continuo” (fr:4725/p.545) [“inconceivability of a continuous vacuum.”], non dalla pressione atmosferica come nella spiegazione moderna. Viene inoltre chiarito che il fenomeno è ricondotto “al principio dei vasi comunicanti” (fr:4726/p.545) [the phenomenon is in harmony with the principle of communicating vessels.] e non all’idea che una massa minore sia trascinata da una maggiore.

L’autore ridimensiona la portata scientifica degli automi eroniani, come il suono automatico di trombe e l’apertura di porte templari, che offrono “un’immagine affascinante della civiltà materiale del tempo piuttosto che suscitare il nostro interesse scientifico” (fr:4727/p.545) [a charming picture of the material civilisation of the day rather than excite our scientific interest.]. Non sono questioni che interessano la scienza propriamente detta (fr:4728/p.545), benché si riconosca che “gli scritti e le nozioni di Erone contribuirono molto alla diffusione della conoscenza fisica” (fr:4729/p.545) [Hero’s writings and notions contributed much toward the diffusion of physical knowledge].

L’ultima sezione valuta i precursori di Galileo. Pur non volendo negare l’importanza dei predecessori, “Galileo li sovrastò tutti” (fr:4733/p.546) [Galileo overtowered them all.]. Il maggiore fu Leonardo da Vinci, le cui conquiste non poterono influenzare la scienza coeva perché rimasero inedite nella loro interezza fino alla pubblicazione di Venturi nel 1797 (fr:4734/p.546). Leonardo conosceva il rapporto tra i tempi di discesa e l’altezza del piano inclinato (fr:4735/p.546) e spesso gli viene attribuita la legge d’inerzia. Tuttavia, “una sorta di conoscenza istintiva della persistenza del movimento una volta iniziato non sarà negata a nessun uomo normale” (fr:4737/p.546) [some sort of instinctive knowledge of the persistence of motion once begun will not be gainsaid to any normal man.]. Leonardo va oltre: sa che da una colonna di pedine si può far saltare un pezzo senza disturbare gli altri, e che un corpo si muove più a lungo con minore resistenza, ma crede che la distanza percorsa sia proporzionale all’impulso e “da nessuna parte parla esplicitamente della persistenza del movimento quando la resistenza è completamente rimossa” (fr:4739/p.546) [nowhere expressly speaks of the persistence of the motion when the resistance is altogether removed.]. La sua intuizione, per quanto avanzata, non raggiunge la formulazione piena del principio d’inerzia.

[28]

[28.1-50-4988|5037]

27 Difesa delle definizioni e chiarimenti su tempo, moto e misura nell’Appendice a «La scienza della meccanica»

La critica in questione, scrive Mach, può considerarsi confutata. “La mia definizione è il risultato di uno sforzo teso a stabilire l’interdipendenza dei fenomeni e a eliminare ogni oscurità metafisica, senza per questo conseguire meno di quanto abbiano fatto altre definizioni” – (fr:4989/p.566). Lo stesso metodo è stato applicato ai concetti di quantità di elettricità, temperatura e quantità di calore (fr:4990‑4991). Tuttavia, la concezione della massa qui adottata comporta una difficoltà che va tenuta presente per un’analisi critica di altri concetti fisici, come quelli della teoria del calore; Maxwell se ne occupò per la temperatura all’incirca nello stesso periodo in cui Mach lo fece per il calore (fr:4992‑4993).

Per il tempo Mach richiama le sue vedute sul tempo fisiologico e fisico già esposte nell’Analisi delle sensazioni (fr:4997‑4999). Egli stabilisce un’analogia fra la misura della temperatura e la misura del tempo: come in termologia si assume un indicatore volumetrico arbitrario che varia quasi parallelamente alla sensazione termica e non è soggetto ai disturbi degli organi di senso, così per il tempo si sceglie un moto arbitrario – l’angolo di rotazione terrestre o il percorso di un corpo libero – che procede in corrispondenza quasi parallela alla sensazione temporale (fr:5000/p.567). Se si riconosce che la scienza mira soltanto ad accertare l’interdipendenza dei fenomeni, come Mach affermava già nel 1865‑66, ogni oscurità metafisica scompare (fr:5001/p.567). Le medesime considerazioni sulla temperatura, applicate al tempo, rendono intellegibile l’origine del concetto newtoniano di tempo “assoluto” (fr:5004/p.568). Nella stessa opera (p. 338) si accenna inoltre al legame fra energia e irreversibilità del tempo, avanzando l’idea che l’entropia dell’universo, se mai determinabile, rappresenterebbe di fatto una sorta di misura assoluta del tempo (fr:5005/p.568).

La sezione XX affronta la legge d’inerzia e la rotazione. Mach cita i lavori di Streintz e di Lange (fr:5009/p.568). Streintz giudica giustamente priva di significato l’espressione “moto assoluto di traslazione”, ma accetta la posizione newtoniana secondo cui la rotazione assoluta si distingue da quella relativa (fr:5010‑5011). Mach non condivide questa distinzione: “Per me esistono solo moti relativi … e non vedo, a questo riguardo, alcuna distinzione tra rotazione e traslazione” – (fr:5013‑5014). Le forze centrifughe compaiono quando un corpo si muove relativamente alle stelle fisse; se il moto è relativo a un corpo diverso e non alle stelle fisse, le forze centrifughe non si producono (fr:5015/p.569). Chiamare “assoluta” la rotazione è ammissibile solo se con ciò si intende la rotazione relativa alle stelle fisse (fr:5016/p.569). L’esperimento mentale che fissa il secchio di Newton e ruota le stelle fisse per mostrare l’assenza di forze centrifughe è impossibile e insensato, poiché i due casi non sono percettivamente distinguibili; la distinzione di Newton è quindi un’illusione (fr:5017‑5019). È vero che in un pallone avvolto nella nebbia ci si può orientare con un corpo che non ruota rispetto alle stelle fisse, ma ciò non è altro che un orientamento meccanico indiretto rispetto alle stelle fisse, sostitutivo di quello ottico (fr:5020‑5021).

Rispondendo alle critiche di Streintz, Mach chiarisce che la sua opinione non va confusa con quella confusa di Euler (fr:5023‑5024) e che non ha mai sostenuto che solo le masse remote determinino la velocità di un corpo, bensì un’influenza indipendente dalla distanza (fr:5025/p.569). Alla luce delle sue esposizioni (pp. 222‑245), un lettore imparziale difficilmente potrà affermare che egli sia ritornato a vedute già superate (fr:5026‑5027); già nel 1872 respingeva esplicitamente il punto di vista di Streintz (fr:5030/p.570). Infine, Mach loda il trattato di Lange come uno dei migliori per l’analisi storico‑critica del concetto di moto e per il rilievo dato al principio di “determinazione particolare” (fr:5031‑5034). Tale principio è alla base di ogni misurazione: “La scelta dell’unità di misura è convenzione; il numero della misura è il risultato di un’indagine” – (fr:5036/p.570). Ogni ricercatore consapevole che il proprio compito è unicamente l’indagine dell’interdipendenza dei fenomeni – come Mach formulava già nel 1865‑66 – impiega questo principio (fr:5037/p.570).

[29]

[29.1-25-5095|5119]

28 La Meccanica di Hertz e il Superamento del Concetto di Forza

L’innovativo sistema di meccanica proposto da Hertz, che elimina la forza come concetto primario, si fonda unicamente su spazio, tempo e massa, e interpreta ogni deviazione dal moto inerziale come effetto di connessioni rigide, anche nascoste, tra le masse.

Benché le critiche di Hertz ai sistemi di meccanica esistenti non possano essere accolte in tutta la loro severità, il suo contributo è giudicato un grande passo avanti: “Nevertheless, though Hertz’s criticism of existing systems of mechanics cannot be accepted in all their severity, his own novel views must be regarded as a great step in advance.” – (fr:5095/p.576) [Ciononostante, sebbene la critica di Hertz ai sistemi di meccanica esistenti non possa essere accettata in tutto il suo rigore, le sue nuove concezioni devono essere considerate un grande passo avanti.] Il punto di partenza è l’eliminazione del concetto di forza. Hertz fonda la sua meccanica esclusivamente sui concetti di tempo, spazio e massa, con l’intento di esprimere solo ciò che è effettivamente osservabile: “Hertz, after eliminating the concept of force, starts from the concepts of time, space, and mass alone, with the idea in view of giving expression only to that which can actually be observed.” – (fr:5096/p.576) [Hertz, dopo aver eliminato il concetto di forza, parte unicamente dai concetti di tempo, spazio e massa, con l’idea di dar espressione solo a ciò che può essere effettivamente osservato.]

L’unico principio impiegato da Hertz è concepito come una combinazione della legge d’inerzia e del principio di minimo vincolo di Gauss: “The sole principle which he employs may be conceived as a combination of the law of inertia and Gauss’s principle of least constraint.” – (fr:5097/p.576) [L’unico principio che egli impiega può essere concepito come una combinazione della legge d’inerzia e del principio di minimo vincolo di Gauss.] Nel suo sistema, le masse libere si muovono di moto rettilineo uniforme. Ogni qual volta esse entrano in connessione, deviano nella minor misura possibile da questo moto: il loro movimento reale è quello che più si avvicina al moto libero tra tutti i movimenti concepibili. La deviazione dall’uniformità e dalla rettilinearità non è attribuita a una forza, bensì a una connessione rigida con altre masse: “Every deviation of the motion of a mass from uniformity and rectilinearity is due, in his system, not to a force but to rigid connexion with other masses.” – (fr:5102/p.577) [Ogni deviazione del moto di una massa dall’uniformità e dalla rettilinearità è dovuta, nel suo sistema, non a una forza ma a una connessione rigida con altre masse.] Laddove tali connessioni non siano visibili, Hertz postula l’esistenza di masse nascoste dotate di moti nascosti, concependo tutte le forze fisiche come effetto di simili azioni. In questa architettura, forza, funzione-forza ed energia diventano concetti secondari e ausiliari.

La preparazione storica di questa impostazione viene esaminata osservando come l’eliminazione della forza potesse essere raggiunta. Nel sistema galileiano-newtoniano vige l’idea di sostituire ogni connessione con forze che determinano i moti richiesti; inversamente, tutto ciò che appare come forza può essere pensato come dovuto a una connessione. Se la prima idea è storicamente più immediata, in Hertz è la seconda a prevalere: “If the first idea frequently appears in the older systems, as being historically simpler and more immediate, in the case of Hertz the latter is the more prominent.” – (fr:5109/p.577) [Se la prima idea appare frequentemente nei sistemi più antichi, in quanto storicamente più semplice e immediata, nel caso di Hertz è la seconda a essere più prominente.] Ciò che risulta essenziale non è quale dei due elementi venga presupposto, bensì l’esistenza di equazioni differenziali lineari tra le coordinate delle masse, che descrivono la dipendenza reciproca dei moti per ogni configurazione istantanea del sistema. La fisica, si osserva, si abitua gradualmente a considerare la descrizione dei fatti mediante equazioni differenziali come il suo vero scopo: “Physics indeed gradually accustoms itself to look upon the description of the facts by differential equations as its proper aim, — a point of view which was taken also in Chapter V. of the present work (1883).” – (fr:5111/p.577) [La fisica in effetti si abitua gradualmente a considerare la descrizione dei fatti mediante equazioni differenziali come il suo scopo proprio – un punto di vista adottato anche nel Capitolo V della presente opera (1883).] Riconoscendo ciò, l’applicabilità generale delle formulazioni matematiche di Hertz è ammessa senza bisogno di alcuna ulteriore interpretazione delle forze o delle connessioni.

La legge fondamentale di Hertz può essere descritta come una sorta di legge d’inerzia generalizzata, modificata dalle connessioni tra le masse. Questa visione, naturale per i casi più semplici, era già stata anticipata nella stessa opera, dove i principi di conservazione del centro di gravità e di conservazione delle aree venivano esposti come legge d’inerzia generalizzata. Il legame con Gauss è dirimente: se si riflette che, in base al principio di Gauss, la connessione delle masse determina un minimo di deviazione dai moti che ciascuna massa descriverebbe da sola, si giunge alla legge di Hertz nel momento in cui si considerano tutte le forze come dovute alle connessioni. Infatti, una volta recise tutte le connessioni, rimangono come elementi ultimi soltanto masse isolate che si muovono per inerzia. E proprio Gauss, si ricorda in chiusura, aveva affermato con grande chiarezza che nessun principio di meccanica sostanzialmente nuovo avrebbe mai potuto essere scoperto: “Gauss very distinctly asserted that no substantially new principle of mechanics could ever be discovered.” – (fr:5119/p.578) [Gauss affermò molto distintamente che nessun principio di meccanica sostanzialmente nuovo avrebbe mai potuto essere scoperto.]

[30]

[30.1-67-5151|5217]

29 Difesa e chiarificazione dell’epistemologia meccanicistica

Nel tentativo di delineare la ricezione e l’evoluzione del proprio pensiero, l’autore ripercorre le tappe di un’aspra battaglia intellettuale, segnata da incomprensioni e ritardi nella pubblicazione. Il primo rifiuto editoriale è emblematico: “The communication was rejected by Poggendorf’s Annalen, and it did not appear until a year later (1868), in Carl’s Repertorium.” (fr:5151/p.581) [La comunicazione fu respinta dagli Annalen di Poggendorf e apparve solo un anno dopo (1868) sul Repertorium di Carl.] Fin da una conferenza del 1871, l’autore fissò con precisione il proprio punto di vista epistemologico, sostituendo la nozione di causa con quella di funzione: “The concept of cause is replaced there by the concept of function; the determining of the dependence of phenomena on one another, the economic exposition of actual facts, is proclaimed as the object, and physical concepts as a means to an end solely.” (fr:5153/p.581) [Il concetto di causa è qui sostituito dal concetto di funzione; la determinazione della dipendenza reciproca dei fenomeni, l’esposizione economica dei fatti reali, è proclamata come scopo, e i concetti fisici come semplici mezzi per un fine.] Questo nucleo, pubblicato come opuscolo separato per non gravare su alcun editore, precedette e superò per radicalità la successiva teoria della “descrizione” di Kirchhoff, sebbene il pubblico attribuisse a quest’ultimo il merito dell’impostazione. Con un misto di rassegnazione e orgoglio, l’autore constata: “In view of the great assistance afforded by Kirchhoff, it is altogether a matter of indifference with me that the public should have regarded, and partly does so still, my interpretation of the principles of physics as a continuation and elaboration of Kirchhoff’s views; whilst in fact mine were not only older as to date of publication, but also more radical.” (fr:5159/p.582) [In considerazione del grande aiuto offerto da Kirchhoff, mi è del tutto indifferente che il pubblico abbia considerato, e in parte lo faccia ancora, la mia interpretazione dei princìpi della fisica come una continuazione e un’elaborazione delle vedute di Kirchhoff; mentre di fatto le mie erano non solo più antiche per data di pubblicazione, ma anche più radicali.]

Dopo aver accettato con rassegnazione lo stupore dei colleghi, l’autore sceglie di non rifugiarsi nel silenzio, motivato dal dovere di chiarire i dissensi ai lettori e dal rispetto per gli avversari. Schiera così numerosi oppositori – “historians, philosophers, metaphysicians, logicians, educators, mathematicians, and physicists” (fr:5162/p.582) [storici, filosofi, metafisici, logici, educatori, matematici e fisici] – riconoscendo umilmente di non poter vantare alcuna di quelle qualifiche in grado eminente, ma solo il vivo interesse di chi cerca di comprendere la crescita delle idee fisiche. Il confronto con Volkmann è condotto su un crinale sottile: lo separa da lui la predilezione per i vecchi sistemi, malgrado un’affinità sostanziale di vedute su adattamento delle idee, principio di economia e comparazione. L’autore apprezza il principio di isolamento e sovrapposizione esposto da Volkmann, e accetta il meccanismo di “retroactive consolidation by a circulation of knowledge, by an oscillation of attention” (fr:5171/p.583) [consolidamento retroattivo mediante una circolazione della conoscenza, un’oscillazione dell’attenzione]. Tuttavia dissente nettamente quando Volkmann, sulle orme di Thomson e Tait, pretende di erigere l’opera di Newton a modello definitivo anche per le mutate esigenze epistemologiche del presente.

Con Heymans, Höfler e Poske le divergenze si riducono a singoli punti; con Petzoldt la sintonia sui princìpi è totale e le differenze sono solo minori. Per rappresentare l’intero fronte polemico, l’autore sceglie di concentrarsi su due nodi cruciali. Il primo riguarda la definizione di massa, bersaglio di critiche ricorrenti. L’addebito mossogli è di basarla unicamente sulla gravità, nonostante lui l’avesse esclusa fin dalla prima formulazione: “My definition simply takes note of the fact that bodies in mutual relationship, whether it be that of action at a distance, so called, or whether rigid or elastic connexions be considered, determine in one another changes of velocity (accelerations).” (fr:5186/p.584) [La mia definizione prende semplicemente atto del fatto che corpi in mutua relazione, sia essa la cosiddetta azione a distanza, sia che si considerino connessioni rigide o elastiche, determinano l’uno nell’altro variazioni di velocità (accelerazioni).] Non si presuppone affatto la nozione di forza, che viene costruita solo dopo: “It does not assume even the notion of force, since the latter is built up subsequently upon the notion of mass, and gives then the principle of action and reaction quite independently and without falling into Newton’s logical error.” (fr:5194/p.585) [Non presuppone nemmeno la nozione di forza, poiché quest’ultima viene costruita successivamente sulla nozione di massa, e fornisce poi il principio di azione e reazione in modo del tutto indipendente e senza cadere nell’errore logico di Newton.] La massa, ribadisce con forza, è un concetto strettamente dinamico: “Dynamics cannot be constructed with quantity of matter by itself, but the same can at most be artificially and arbitrarily attached to it” (fr:5200/p.585) [La dinamica non può essere costruita con la sola quantità di materia, ma al massimo questa può esservi attaccata artificialmente e arbitrariamente], e la quantità di materia da sola non coincide né con la massa, né con la capacità termica o il valore nutritivo. La definizione dinamica permette di dedurre naturalmente la misurabilità della massa tramite il peso, evitando di assumere a priori ciò che andrebbe dimostrato sperimentalmente.

Il secondo nodo critico investe la legge d’inerzia. L’autore rivendica di aver dimostrato, analogamente a quanto fatto da Poske, l’illegittimità di dedurla da un principio generale come la legge di causalità, una posizione che sta guadagnando consensi. Un principio riconosciuto da così poco tempo – egli osserva – non può certo essere ritenuto evidente a priori. A sostegno di ciò, riporta la notazione di Heymans secondo cui “axiomatic certainty was ascribed a few centuries ago to a diametrically opposite form of the law” (fr:5217/p.586) [la certezza assiomatica era attribuita qualche secolo fa a una forma diametralmente opposta della legge], smascherando così la relatività storica delle presunte evidenze. L’analisi della massa e dell’inerzia, condotta per la prima volta in modo radicale dopo Newton, resta a suo giudizio trascurata da storici, matematici e fisici che l’hanno trattata con troppa leggerezza, ma costituisce un contributo di fondamentale importanza su cui invita gli oppositori a meditare.

[31]

[31.1-106-5456|5561]

30 L’idea di economia mentale e le note storiche sullo sviluppo della meccanica nell’appendice di Ernst Mach

L’appendice della Meccanica di Mach costituisce una densa riflessione sul principio di economia mentale, la sua genesi, la sua difesa metodologica e la sua incidenza sulla rappresentazione della conoscenza fisica, per poi allargarsi a considerazioni storiche sulla teoria meccanica del calore e sul principio di energia, fino a fornire una tavola cronologica dei principali ricercatori.

Mach riconosce che “The expression of this opinion may assume the most diverse forms; for example, I should most certainly characterise the guiding theme of simplicity and beauty which so distinctly marks the work of Copernicus and Galileo, not only as aesthetical, but also as economical.” – (fr:5456/p.606) [L’espressione di questa opinione può assumere le forme più diverse; per esempio, caratterizzerei senz’altro il tema guida della semplicità e della bellezza che contraddistingue così nettamente l’opera di Copernico e Galileo non solo come estetico, ma anche come economico.] Lo stesso vale per Newton, le cui Regulae philosophandi sono “substantially influenced by economical considerations, although the economical principle as such is not explicitly mentioned” – (fr:5457/p.606) [sostanzialmente influenzate da considerazioni economiche, sebbene il principio economico in quanto tale non sia menzionato esplicitamente]. L’idea, prosegue Mach, era già vicina ad Adam Smith e fu ripresa in epoca recente da lui stesso, da Clifford, da Kirchhoff e da Avenarius.

Nel rispondere alle critiche, in particolare a Husserl, Mach precisa il proprio metodo: “As a natural inquirer, I am accustomed to begin with some special and definite inquiry, and allow the same to act upon me in all its phases, and to ascend from the special aspects to more general points of view. I followed this custom also in the investigation of the development of physical knowledge.” – (fr:5468-5469/p.607) [Come ricercatore naturale, sono abituato a iniziare con qualche indagine speciale e definita, e a lasciare che essa agisca su di me in tutte le sue fasi, per poi salire dagli aspetti particolari a punti di vista più generali. Ho seguito questa consuetudine anche nell’indagine sullo sviluppo della conoscenza fisica.] Coerentemente, egli ha diretto l’attenzione su fenomeni singoli come l’adattamento delle idee ai fatti e delle idee tra loro, sull’economia, sul confronto e sull’esperimento intellettuale, considerando il pensiero quotidiano e la scienza “as a biological and organic phenomenon, in which logical thinking assumed the position of an ideal limiting case” – (fr:5476/p.608) [come un fenomeno biologico e organico, nel quale il pensiero logico assumeva la posizione di un caso limite ideale]. Tale impostazione non cancella la distinzione tra pensiero naturale «cieco» e pensiero logico, ma la presuppone: “I am perfectly able to distinguish between psychological and logical questions, as I believe every one else is who has ever felt the necessity of examining logical processes from the psychological side” – (fr:5478/p.608) [sono perfettamente in grado di distinguere tra questioni psicologiche e logiche, come credo lo sia chiunque abbia mai sentito la necessità di esaminare i processi logici dal lato psicologico].

L’economia mentale, intesa come tema teleologico e provvisorio di guida, non esclude fondamenti più profondi, ma rimane “a very clear logical ideal which retains its value even after its logical analysis has been completed” – (fr:5482/p.608) [un ideale logico molto chiaro che conserva il suo valore anche dopo che la sua analisi logica è stata completata]. Tra le molte deduzioni sistematiche possibili, quella che meglio risponde al principio di economia si mostra preferibile, come Mach ha illustrato con la diottrica di Gauss. Quanto alle obiezioni di Husserl, egli osserva che la diffusione dell’idea prima e dopo la sua formulazione ha diminuito la stima del proprio contributo, ma ha accresciuto il valore dell’idea stessa: “what appears to Husserl as a degradation of scientific thought, the association of it with vulgar or “blind” thinking, seemed to me to be precisely an exaltation of it. It has outgrown the scholar’s study, being deeply rooted in the life of humanity and reacting powerfully upon it” – (fr:5489-5490/p.609) [ciò che a Husserl appare come un degrado del pensiero scientifico, l’associazione di esso con il pensiero volgare o «cieco», a me parve precisamente un suo innalzamento. Essa è uscita dallo studio dell’erudito, essendo profondamente radicata nella vita dell’umanità e reagendo potentemente su di essa].

L’appendice passa quindi a notazioni storiche. Un paragrafo del 1883, rimasto a lungo inascoltato, prefigurava un ideale espositivo a cui la fisica si è poi avvicinata, come mostra l’opera di Hertz, in cui i fenomeni sono descritti mediante semplici equazioni differenziali (fr:5492-5493/p.609). Segue un’ampia disamina della ricezione del principio di conservazione dell’energia. L’opera di Mayer, dapprima osteggiata in Germania e più rapidamente riconosciuta in Inghilterra grazie a Tyndall, suscitò una reazione che rischiò di riparare un’ingiustizia con un’altra. Mach cerca una valutazione equa: “It appears from this that each one of the inquirers concerned made some distinctive contribution which expressed their respective intellectual peculiarities. Mayer may be regarded as the philosopher of the theory of heat and energy; Joule, who was also conducted to the principle of energy by philosophical considerations, furnishes the experimental foundation; and Helmholtz gave to it its theoretical physical form” – (fr:5505/p.610-5507/p.611) [Ne risulta che ciascuno dei ricercatori coinvolti diede un contributo distintivo che esprimeva le rispettive peculiarità intellettuali. Mayer può essere considerato il filosofo della teoria del calore e dell’energia; Joule, anch’egli condotto al principio di energia da considerazioni filosofiche, fornisce il fondamento sperimentale; e Helmholtz le diede la sua forma fisico-teorica.] La loro importanza è tale che ciascuno avrebbe potuto essere eliminato, ma “the progress of the development would have been retarded thereby, but it would not have been checked” – (fr:5510/p.611) [il progresso dello sviluppo ne sarebbe stato ritardato, ma non arrestato].

Sul principio di energia l’appendice richiama i lavori di Popper, Helm, Planck e Müller, con i quali Mach concorda nell’intento di delineare una scienza generale dell’energetica. L’idea che la credenza nell’impossibilità del moto perpetuo poggi sulla determinazione univoca di un gruppo di elementi meccanici mediante un altro gruppo è già presente in un suo scritto del 1872, e Planck vi giunge con forma diversa. Circa i cosiddetti punti di vista «metafisici» di Mayer, Mach li difende: “But in Mayer’s case these maxims are, in my judgment, not weaknesses. On the contrary, they are with him the expression of a powerful instinctive yearning, as yet unsettled and unclarified, after a sound, substantial conception of what is now called energy” – (fr:5531/p.612-5533/p.613) [Ma nel caso di Mayer queste massime non sono, a mio giudizio, debolezze. Al contrario, sono in lui l’espressione di un potente anelito istintivo, ancora incerto e non chiarito, verso una solida e sostanziale concezione di ciò che oggi chiamiamo energia]. Tale atteggiamento non differisce da quello di Galileo, Black o Faraday, sebbene questi fossero più taciturni (fr:5536/p.613).

L’appendice si chiude con una tavola cronologica dei più eminenti ricercatori e delle loro opere meccaniche principali, che elenca figure da Archimede (287-212 a.C.) a Roberval (1602-1675), passando per Leonardo da Vinci, Guido Ubaldi, Stevino, Galileo, Keplero, Marcus Marci e Descartes. Ogni voce riporta le edizioni di riferimento, offrendo un sintetico panorama della tradizione meccanica moderna.

8C25D792558AE2D01BC85E630CA9D24F7007B99263B90C91E2C2D58E7696144CB6D704AE09BACC2DEAE4BB6F4C2EDC6A48579EC8D4A84AAC6A270F946F1EE8635A128DDCD255AFC692264C5D0C587CCEFBDD9168B716913A2FBFB5F01680D8EA552E01073319425A5B3F077966D40128FA4BD1DFDFC5D7464F914762889145DECDC5A1FDFA9B9EC18915D974610F9D3C2D3A92A7CFCAF07FF9C560B8A7B7300D50E1CED4860286700F6DA657F892E5A3B186CA33341905257561C5C5CE7E14B3519BCEC89CB2D3F912E0082AF2E1547F8A18483EF71427072259D9577AF1B0D1D5A97BB9589189B3E826FD15955D8685DC861B0A0CA9FCBACD4276D9296C7EBB90A90FBAB2E0BA11CA7EEBBDF1BDD375EE297FD168FC3E74B6F3A43AB325C11B65247697C68A1B0EFA93478D694B95446980CB406FE14A225DB7C50502976D1F107E0E8CF60E4518253E422D88D932E6DC221A312707918E923C2CC099A582F38D9F93CA5B7946E38435D885B69C73D4E2650E3955ACE9424C1D4D99D646CA8F5EFBDD6E88AE88D5EA83DF3BCF1D9CE0417AF15E29C18D49BD1B1AC62ADA1FAE39F41E11EDAFEFDCA902FB269169517BF81F9D5197C232D88EFC7B14ADF25568131B331322416909