Knorr - Textual Studies in Ancient and Medieval Geometry | sL | +

10 Jun, 2026

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1 Materiali preliminari di Textual Studies in Ancient and Medieval Geometry

Il volume si apre con l’indicazione del titolo e dell’autore, “Wilbur Richard Knorr Textual Studies in Ancient and Medieval Geometry” – (fr:8) [Wilbur Richard Knorr Studi testuali di geometria antica e medievale], seguito dai dati editoriali di Birkhäuser Boston e dal copyright “© Birkhauser Boston, 1989” – (fr:13) [© Birkhäuser Boston, 1989]. Un estratto dalle attribuzioni catalografiche della Library of Congress rimanda alla collocazione scientifica dell’opera: “I. Geometry-Early works to” – (fr:9) [I. Geometria – Opere anteriori al ] e “QA444.K67 1989 516 88-35108” – (fr:12) [QA444.K67 1989 516 88-35108], che ne attesta l’identità bibliografica.

La dedica, posta subito dopo il frontespizio, è rivolta a Lawrence V. e Hannah Berman: “In dedicating this volume to them, I hope to express in however small a way my thanks for their intellectual, personal and spiritual support.” – (fr:26) [Nel dedicare loro questo volume, spero di esprimere, seppure in minima parte, la mia gratitudine per il loro sostegno intellettuale, personale e spirituale.] La dedica è rafforzata dalla citazione della linea biblica “Proverbs 17:17” – (fr:49) [Proverbi 17:17] riprodotta dal testo ebraico della Biblia Hebraica Stuttgartensia.

Nei Ringraziamenti l’autore delinea il percorso di ricerca e i debiti contratti. Lo studio delle fonti arabe sulla duplicazione del cubo e la trisezione dell’angolo, esaminato nella Parte II, fu avviato grazie a un soggiorno presso l’Institute for Advanced Study “supported by a grant from the American Council of Learned Societies, in 1978-79, and continued this work under a grant from the National Science Foundation in 1979-80.” – (fr:17) [finanziato da una borsa dell’American Council of Learned Societies nel 1978-79, e proseguito con un contributo della National Science Foundation nel 1979-80.] Per i materiali della Parte III, dedicati alla tradizione archimedea medievale in arabo, ebraico e latino, il sostegno provenne “from the Pew Foundation, administered by Stanford University, in 1984-85 and 1986-87, and by the National Science Foundation in 1987-88.” – (fr:19) [dalla Pew Foundation, amministrata dalla Stanford University, nel 1984-85 e nel 1986-87, e dalla National Science Foundation nel 1987-88.]

Vengono poi ringraziati singoli studiosi e bibliotecari per il loro contributo. Marshall Clagett viene ricordato come “an invaluable source of advice and encouragement” – (fr:20) [fonte inestimabile di consiglio e incoraggiamento], con accesso concesso “to his superb microfilm collection of medieval Latin documents” – (fr:20) [alla sua superba collezione di microfilm di documenti latini medievali]. A David King e Fuat Sezgin si deve l’accesso a manoscritti arabi della Egyptian National Library e delle collezioni di Istanbul. C. Wakefield, della Bodleian Library, riceve un ringraziamento “for his detailed, and extremely helpful, communications on Arabic manuscripts” – (fr:22) [per le sue comunicazioni dettagliate ed estremamente utili sui manoscritti arabi]. Altri nominativi includono Steven Victor e Denise Greaves, quest’ultima per il contributo “to the study and editing of Greek documents” – (fr:24) [allo studio e all’edizione dei documenti greci].

Una parte consistente dei Ringraziamenti è dedicata alle istituzioni che hanno concesso il permesso di riprodurre facsimili di pagine manoscritte. L’elenco elenca le biblioteche e i relativi manoscritti: la Biblioteca Nazionale Marciana di Venezia per il codice greco 313; la Bibliothèque nationale di Parigi per i manoscritti arabi 2457 e 2467; la Bodleian Library di Oxford per il Marsh 667, l’Huntington 237, il Thurston 3 e il Marsh 720; la Süleymaniye Library di Istanbul per il Fatih 3414; la Biblioteca Apostolica Vaticana per il manoscritto ebraico 384; e la Columbia University Library per il codice arabo Or. 45/4. L’autore si dichiara inoltre grato a numerose altre collezioni che hanno fornito microfilm, come la Real Biblioteca de San Lorenzo all’Escorial, la Egyptian National Library del Cairo e la Biblioteca nazionale di Firenze. Questa mappatura di fonti testimonia il lavoro di prima mano condotto su codici conservati in tutto il mondo.

Compaiono poi le attestazioni di permesso accordato da diversi editori per la riproduzione di estratti da edizioni a stampa. Tra gli altri, l’Akademie der Wissenschaften der DDR per l’edizione di Wallies del commento di Giovanni Filopono; B.G. Teubner per le edizioni di Heiberg di Apollonio, Archimede e Eutocio; la Weidmann per l’edizione di Hultsch della Collectio di Pappo; la Biblioteca Apostolica Vaticana per i commentari di Pappo e Teone all’Almagesto; e la University of Wisconsin Press per l’edizione di Clagett delle versioni latine medievali del De mensura circuli di Archimede. L’autore segnala infine di aver ottenuto il permesso di presentare versioni rivedute di propri articoli recenti apparsi su riviste edite da Springer Verlag e Cambridge University Press.

Di particolare interesse è la didascalia relativa a un’illustrazione posta come frontespizio. Da una serie di frammenti si ricostruisce che il soggetto è “The cube duplication of Na~ir aI-Din al-Tus!” – (fr:1) [La duplicazione del cubo di Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī] la quale “appears as a marginal comment to the text of Book V, prop. 52 of Apollonius’ Conics in the Arabic manuscript Bod!. Marsh 667 (f. 106r).” – (fr:2-5) [appare come commento marginale al testo del Libro V, prop. 52 delle Coniche di Apollonio nel manoscritto arabo Bodl. Marsh 667 (f. 106r).] Il rimando per la discussione è a “part II, chapter A” – (fr:6) [parte II, capitolo A], e l’immagine è riprodotta “with permission of the Bodleian Library, Oxford.” – (fr:7) [con il permesso della Bodleian Library, Oxford.] Questo frammento esemplifica la natura del lavoro: l’analisi si fonda su marginalia e trasmissioni testuali di trattati tecnici.

L’ultima sezione, A Note on Symbols and Transliteration, introduce il sistema di sigle che percorre l’intera opera. Viene spiegato che “the principal documents discussed in the present work are identified by key letters set in bold face.” – (fr:54) [i principali documenti discussi in questo lavoro sono identificati da lettere chiave in grassetto.] Per la Parte I, si definiscono simboli come UM e UB per i testi di Erone, UP ed UE per le trascrizioni di Pappo e di Eutocio, e AJ ed AE per i metodi di Apollonio presso Filopono ed Eutocio. Analogamente, per la Parte II vengono introdotte sigle per i documenti arabi e le fonti greche collegate, come A per la duplicazione del cubo di Abū Bakr al-Harawī, B per la trisezione dell’angolo di Aḥmad ibn Mūsā, C per quella di Thābit ibn Qurra, e così via. Nella Parte III, dedicata al De mensura circuli e a Sfera e cilindro, si istituiscono simboli come DC, SC, P, T, e sigle per le versioni medievali (AF, H, LP, LG). Ogni famiglia di testi è accompagnata da un rinvio preciso alle pagine in cui vengono citate per esteso, creando un fitto apparato di rinvii interni.

Le convenzioni di traslitterazione sono altrettanto dettagliate. Per il greco si impiega “circumflex for the long vowels eta and omega” – (fr:118) [accento circonflesso per le vocali lunghe eta e omega]. Per l’arabo, l’autore segue in linea di massima il sistema Wehr-Cowan, ma per lettere con segni diacritici scomodi come quelle con barra sottoscritta (ḍ, ṭ, ḍ) o con háček (š) preferisce forme con h, ossia “kh, th, dh, sh” – (fr:121-122) [kh, th, dh, sh], e le vocali lunghe sono denotate da macron (ā, Ī, ū) nella Parte II, ma da circonflesso nella Parte I e III per coerenza con il greco. Per l’ebraico, nella breve Appendice III, si utilizza la traslitterazione standard delle consonanti, “roughly equivalent to the cognate Arabic letters” – (fr:132) [grossomodo equivalente alle corrispondenti lettere arabe].

L’insieme di questi materiali preliminari testimonia la complessa architettura filologica del volume: ogni simbolo e ogni ringraziamento istituzionale corrisponde a un percorso di ricerca tra manoscritti, edizioni critiche e collaborazioni internazionali. Il frontespizio e le note riflettono una pratica storiografica in cui geometria antica e medievale viene ricostruita incrociando le versioni greche, arabe, ebraiche e latine, con un apparato di sigle e rimandi che funge da impalcatura per l’intera trattazione. La capillare dichiarazione di diritti, fonti e debiti intellettuali colloca il libro nella tradizione degli studi testuali della fine del XX secolo, offrendo al lettore un documento sull’organizzazione del lavoro filologico e sulla rete di scambi che lo rese possibile.

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2 La tradizione testuale come cura: obiettivi e metodo di un’indagine filologica

L’introduzione delinea un programma di ricerca sulla trasmissione dei testi matematici antichi, dove la ricostruzione storica si affianca all’emendazione dei testi secondo un paradigma medico.

Lo studio si apre con un omaggio all’opera di Heiberg, ma segnala subito i limiti legati alla scarsa disponibilità di materiali medievali alla sua epoca: “For at his time the availability of the medieval materials was limited.” - (fr:192) [Infatti ai suoi tempi la disponibilità dei materiali medievali era limitata.] Il lavoro recente, come l’edizione critica della tradizione latina medievale di Archimede curata da Marshall Clagett e gli strumenti bibliografici per la tradizione araba approntati da Fuat Sezgin, consente di rivedere radicalmente molte posizioni di Heiberg, in particolare su Sfera e Cilindro e Misura del Cerchio: “In the light of the medieval resources one finds in many quite surprising ways that positions assumed by Heiberg […] must be radically modified.” - (fr:193) [Alla luce delle risorse medievali si scopre in modi spesso sorprendenti che le posizioni assunte da Heiberg […] devono essere radicalmente modificate.] Tuttavia, l’emendazione dei testi non è l’unico scopo; l’autore rivendica con forza il valore autonomo della comprensione storica del processo di trasmissione.

A questo proposito viene sviluppata un’analogia con la medicina antica: “Recalling the ancient medical paradigm, although restoring health is one’s primary aim, one must nevertheless acknowledge the limitations of one’s expertise.” - (fr:195) [Richiamando l’antico paradigma medico, sebbene ripristinare la salute sia l’obiettivo primario, si devono nondimeno riconoscere i limiti della propria competenza.] Anche dove l’intervento è limitato o la prognosi è senza speranza, l’osservazione e il tentativo di dare un senso a ciò che si osserva non cessano. “For whatever reasons, understanding the course of a disease, even an incurable one, merits one’s effort.” - (fr:197) [Per qualsiasi ragione, comprendere il decorso di una malattia, anche incurabile, merita il nostro sforzo.] La pura curiosità intellettuale porta con sé le sue ricompense e il progetto di tracciare il processo storico – sia esso la malattia negli uomini o la corruttela nei testi – si affianca a quello di dominarlo e invertirne il prodotto: “The knowledge thereby obtained can be hoped, in subtle and unanticipatable ways, to contribute eventually to the restorer’s art.” - (fr:200) [Si può sperare che la conoscenza così ottenuta, in modi sottili e imprevedibili, contribuisca infine all’arte del restauratore.]

L’indagine concreta si propone di compilare una storia redazionale di un insieme specifico di opere matematiche antiche, cominciando dai problemi di duplicazione del cubo e trisezione dell’angolo e concentrandosi in seguito sulla tradizione della Misura del Cerchio di Archimede. “I propose in the chapters that follow to trace out the transmission and development of a specific set of ancient mathematical works, in effect, to compile a redaction history of them” - (fr:201) [Propongo nei capitoli successivi di tracciare la trasmissione e lo sviluppo di uno specifico insieme di opere matematiche antiche, in pratica di compilarne una storia redazionale.] Le figure prese in esame sono in massima parte esposizioni formali di proposizioni geometriche, un genere che facilita l’osservazione dei mutamenti redazionali.

Uno sguardo ravvicinato alle testimonianze rivela una tipologia variegata: la maggior parte delle citazioni è costituita da enunciati casuali senza dimostrazione, mentre quando viene data una versione completa della costruzione o della prova essa può essere riprodotta fedelmente, abbreviata, amplificata o altrimenti modificata. “One might suppose that new editions of a work will adhere closely to the source, but even here editorial changes of a similar kind are common.” - (fr:209) [Si potrebbe supporre che le nuove edizioni di un’opera aderiscano strettamente alla fonte, ma anche qui modifiche editoriali di tipo simile sono comuni.] A queste si aggiungono le alterazioni introdotte dalla traduzione e dai successivi interventi di editori e commentatori all’interno della tradizione derivata.

Il metodo adottato per districare queste stratificazioni si distingue da quello consueto dei filologi classici. Mentre il filologo collaziona varianti di copie della stessa opera e misura la distanza attraverso gli errori, qui il materiale di base è costituito da versioni edite e parafrasi, nelle quali la latitudine editoriale è molto ampia. “In our case, however, the document base consists of edited versions and paraphrases. […] textual differences are generally of little significance. On the other hand, similarities become a measure of affiliation.” - (fr:233-235) [Nel nostro caso, tuttavia, la base documentaria consiste di versioni edite e parafrasi. […] le differenze testuali sono generalmente di scarso significato. D’altro canto, le somiglianze diventano una misura dell’affiliazione.] Se versioni diverse concordano su dettagli non obbligati, come espressioni caratteristiche o l’ordine di passi arbitrari, si può argomentare una dipendenza testuale. L’autore produrrà diagrammi ramificati simili agli stemmata filologici, pur con la consapevolezza che un elemento soggettivo entra inevitabilmente in queste analisi.

La rassegna delle figure antiche e medievali che hanno plasmato la tradizione è un altro cardine dell’introduzione. Tra i commentatori greci spiccano Erone di Alessandria, che “relies heavily on Archimedean materials, and sometimes preserves evidence of lost works.” - (fr:258) [si basa pesantemente su materiali archimedei e talvolta conserva testimonianze di opere perdute]; Pappo, la cui imponente Collezione preserva una ricchezza di materiale geometrico, ma che fu soprattutto influente come commentatore di Tolomeo ed Euclide; Teone di Alessandria, le cui nuove versioni degli Elementi e dell’Ottica soppiantarono le recensioni più antiche; Ipazia, di cui sappiamo che compose commentari su Apollonio e Diofanto; Proclo, il cui commento al primo libro di Euclide è una risorsa preziosa; ed Eutocio di Ascalona, i cui commentari ad Archimede e Apollonio influenzarono grandemente la tradizione manoscritta successiva. La tradizione araba, attiva soprattutto nella Baghdad del IX secolo, è rappresentata da traduttori come Thabit ibn Qurra, i Banu Musa e Qusta ibn Luqa, e da edizioni e commenti arabi alla Misura del Cerchio; quella latina medievale, dalle traduzioni di Platone di Tivoli e Gerardo da Cremona fino alle parafrasi del XIII secolo.

Un aspetto paradossale emerge con chiarezza: sebbene la traduzione possa sembrare il canale di maggiori alterazioni, essa tende invece a introdurre i mutamenti minori, perché i traduttori miravano a un accordo verbatim con le fonti. “Remarkably, the process that would have been thought to introduce the greatest changes, namely, that of translation, tends actually to introduce the least.” - (fr:222) [Notevolmente, il processo che si sarebbe pensato introducesse i maggiori cambiamenti, cioè quello della traduzione, tende in realtà a introdurne di meno.] La loro politica di resa letterale produce documenti di considerevole valore per lo studio dei testi antichi.

L’introduzione si chiude con una riflessione sulla natura della tradizione. I testi esaminati appartengono a un genere – edizioni e parafrasi basate su fonti canoniche – che non è caratterizzato da novità, proprio come i moderni manuali didattici. Eppure, “in the modern case original research is indeed undertaken, whereas little evidence of comparable activity is to be found among the writers of late antiquity.” - (fr:327) [nel caso moderno si intraprende effettivamente ricerca originale, mentre poche prove di un’attività paragonabile si trovano tra gli scrittori della tarda antichità.] Pur riconoscendo che la tradizione araba medievale incorpora spesso risultati di ricerche originali, l’autore invita alla cautela: “one must be careful not to assume that the absence of a known ancient prototype implies the originality of the medieval effort.” - (fr:330) [bisogna stare attenti a non presumere che l’assenza di un prototipo antico conosciuto implichi l’originalità dello sforzo medievale.] Districare i fili della tradizione permette non solo di documentare come certi testi matematici sono stati studiati e redatti, ma anche di ottenere indizi sull’esistenza e la forma di prototipi perduti, facendo così progredire gli scopi più familiari del filologo. “While time is not with us, opportunity sometimes is.” - (fr:337) [Mentre il tempo non è dalla nostra parte, l’opportunità talvolta lo è.]

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3 Il metodo anonimo per la duplicazione del cubo tra innovazione approssimativa e critica testuale

L’ostilità di Pappo verso un metodo di duplicazione del cubo, che pure possiede un merito intrinseco come procedura approssimativa, offre uno spaccato dell’atmosfera accademica contendente di Alessandria e delle complesse affiliazioni testuali tra resoconti matematici antichi.

Il resoconto si apre collocando l’opera di Pappo nel suo contesto storico, riflettendo “l’atmosfera contendente che poteva caratterizzare la vita accademica ad Alessandria al suo tempo” (fr:1678). L’attenzione si concentra sulla prima sezione dell’opera, dedicata all’esposizione della duplicazione del cubo (fr:1680), e in particolare sul resoconto di un metodo anonimo. Nonostante l’ostilità di Pappo, la critica moderna ha riconosciuto a questo metodo un merito, non come costruzione esatta della soluzione, ma come “procedura approssimativa” (fr:1682). L’analisi proposta intende superare la comune adozione di una modalità algebrica per presentarne una versione geometrica che possa “cogliere meglio la base euristica del metodo” (fr:1683). La chiave di questa interpretazione risiede nella sua “affiliazione con il metodo di Eratostene” (fr:1684).

Nella procedura di Eratostene, per trovare due medi proporzionali tra due linee date (fr:1685), si costruiscono tre piastre rettangolari identiche con diagonali parallele (fr:1686-1688, rif. Fig. 1a). Facendo scorrere le piastre fino ad allineare su una retta i punti di intersezione delle diagonali con i bordi occludenti, si trovano i due medi proporzionali (fr:1689-1690, rif. Fig. 1b). Si ipotizza che la collinearità potesse essere ottenuta tramite un aggiustamento continuo: si posiziona la piastra centrale arbitrariamente, determinando la posizione della terza e il punto G’ (fr:1692-1694, rif. Fig. 2a). Se G’ non coincide con il punto G dato, si sposta la piastra centrale “verso il basso se G’ giace a destra di G, verso l’alto se a sinistra” (fr:1695). Questo schema viene poi modificato fissando la distanza BE e lasciando variare l’inclinazione delle diagonali parallele (fr:1698-1699). Qui, si imposta prima un segmento BN’ arbitrariamente, determinando a cascata i punti L’, M’ e G’ (fr:1701-1702, rif. Fig. 2b). L’effetto cruciale è che “mantenere le diagonali parallele assicura che le lunghezze EB, EN’, EM’, EA siano sempre in proporzione continua” (fr:1703). Anche qui, se G’ non coincide con G, si aggiusta BN’ nella direzione opposta rispetto allo schema precedente (fr:1704).

È in questo quadro che il metodo anonimo descritto da Pappo viene reinterpretato. Esso tenta di stabilire una serie determinata di posizioni discrete che convergono al limite G, invece della variazione continua dello schema modificato di Eratostene (fr:1705). Fissati i parametri e determinato il punto E (fr:1706, rif. Fig. 3), si sceglie una posizione iniziale arbitraria S sul segmento KR. A partire da S, si trovano punti T e F tali che le linee siano in proporzione continua (fr:1710). Se F non coincide con R, si tracciano parallele che determinano un nuovo punto Z, concepito come il livello aggiustato per la prima orizzontale (fr:1710-1712). La procedura è ricorsiva: nel riquadro successivo, si imposta la prima orizzontale al livello di Y (uguale a KZ) e si trovano nuovi punti A’, B’ in proporzione continua (fr:1713). Accade che B’ si trovi “sullo stesso lato del livello limite… ma che B’ sia più vicino di F” (fr:1714), e si ripete il procedimento all’infinito, con la discrepanza tra il punto ottenuto e quello limite che viene “continuamente diminuita” (fr:1715-1717).

Il metodo anonimo introduce un’interessante modifica nella terza posizione (EHDB). Trovato il nuovo livello E’, si determinano i punti Z’, e’ tali che DH, E’H, Z’H, e’H siano in proporzione continua (fr:1719). Invece di unire l’ultimo punto ad A per determinare la posizione successiva, lo si unisce a G, e si tracciano le parallele a WG fino a incontrare DE (fr:1720). L’autore afferma che le orizzontali per questi punti sono i due medi cercati (fr:1721-1722). L’effetto di questa modifica è far coincidere la figura terminale con il diagramma di Eratostene, dove le linee medie sono segmenti paralleli delimitati dalla diagonale e dal lato (fr:1723). Ciò introduce una “complicazione non necessaria” (fr:1724), poiché si sarebbero potute assegnare le lunghezze date direttamente a AE e EB e trovare i medi proporzionali tra esse con un procedimento più diretto (fr:1725-1726, 1729). Configurare il problema in termini della sequenza di segmenti orizzontali AG, M’K’, N’L’, BD appare non avere altra funzione se non quella di “uniformare la figura finale con quella di Eratostene” (fr:1730).

Questa affinità tecnica è rafforzata da corrispondenze testuali tra il resoconto anonimo trascritto da Pappo e quello di Eratostene in Eutocio (fr:1731). In entrambi, si inizia con le due lunghezze date poste ad angolo retto (pros orthas) (fr:1732, 1733), e l’intera figura consiste in una serie di rettangoli uguali con basi su una linea di riferimento (fr:1735). La frase per determinare il punto di convergenza è identica: “e converga con BA in E” (kai sympipteto fei BA kata to E) (fr:1736). Inoltre, lo stile espositivo di entrambi i testi è altamente ripetitivo e dettagliato fino alla ridondanza (fr:1737-1743), in netto contrasto con la concisione e l’assenza di ripetizioni che caratterizzano altri resoconti, come quello dello stesso Pappo su Eratostene o la seconda versione di Eutocio (fr:1751). Su queste basi testuali e tecniche, si argomenta un’affiliazione tra il resoconto pappiano del metodo anonimo e la prima versione eutociana del metodo di Eratostene, supportando l’idea che il metodo anonimo fu concepito come una “variante tecnica della procedura di Eratostene” (fr:1752-1753).

La critica di Pappo a questo metodo è definita come “completamente negativa”: egli vi si dilunga su due presunti difetti senza comprenderne il merito essenziale o la ragione precisa del suo fallimento (fr:1754-1755). La prima obiezione di Pappo è che non si può trovare il punto F senza aver prima supposto il rapporto tra BE e EA, un’accusa che viene giudicata priva di validità poiché i punti sono determinabili tramite costruzioni euclidee (fr:1757-1765). Pappo argomenta poi che la posizione di F rispetto a R varia a seconda del rapporto dato (fr:1766-1767), ma questo è “irrilevante per il funzionamento del metodo”, poiché le parallele possono essere tracciate da F e S indipendentemente dalla loro posizione, e la stima iniziale S è arbitraria (fr:1769-1770).

La seconda e più estesa obiezione coglie correttamente che, come metodo per trovare medi proporzionali esatti, esso cade in un ragionamento circolare: se il punto F non coincide con R, le linee finali non saranno i medi esatti (fr:1771-1773). Pappo accusa l’autore di aver “assunto ciò che si cerca come se fosse concesso” (fr:1774-1775). Tuttavia, Pappo amplifica la critica affermando che il problema di dividere le linee in quel modo è “impossibile per mezzo della teoria planare… poiché è per natura solido” (fr:1776-1778). Tale contro-argomentazione è a sua volta definita circolare: sostenere che la costruzione è invalida perché il problema è “solido” e quindi non risolvibile con mezzi planari, presuppone proprio ciò che si dovrebbe dimostrare, specialmente in un contesto in cui il collega anonimo dissente (fr:1784-1786). Pappo non possiede una prova di tale impossibilità (fr:1783), e la sua psicologizzazione finale, dove ipotizza che l’autore si sia ingannato da solo piuttosto che ingannare deliberatamente, viene ritenuta “plausibile” (fr:1787-1790).

L’errore dell’autore anonimo potrebbe derivare da un’analogia ingannevole con il metodo di Eratostene. In quel metodo, la proporzionalità tra i segmenti di ED e BE è garantita dal parallelismo delle diagonali (fr:1795-1797). L’autore anonimo potrebbe aver supposto che, essendo E’L, K’Z, Ge’ parallele, i segmenti di DH e DE fossero nella stessa proporzione, per cui dalla proporzione continua costruita in DH seguirebbe quella in DE e quindi in BD. Il ragionamento sarebbe valido solo se anche EH fosse parallelo a Ge’, “e non è questo il caso” (fr:1798-1801). Paradossalmente, un’esecuzione grafica della procedura avrebbe potuto confermarlo nell’errore, poiché le linee critiche EH e Ge’ “diventano progressivamente più vicine alla condizione di parallelismo con ogni applicazione successiva della procedura” (fr:1801-1802). Due ricorsioni oltre la stima iniziale produrrebbero probabilmente risultati di utilità pratica, rendendo questo aspetto della costruzione meno arbitrario in un contesto applicativo (fr:1803). Inoltre, gli spazi vuoti nel diagramma (MPXL e HOND) potrebbero servire come area di lavoro per costruire i segmenti proporzionali, suggerendo che il metodo anonimo, così come presentato da Pappo, si raccomanderebbe come una procedura grafica (fr:1804-1805). Esso costituirebbe, in tal caso, un esemplare “molto raro, se non unico, di una tecnica grafica approssimativa all’interno della letteratura matematica esistente dell’antichità” (fr:1806-1807). Si esprime pertanto un forte rammarico per l’atteggiamento ostile di Pappo che gli ha impedito di coglierne le caratteristiche interessanti (fr:1807).

La critica di Pappo funge da preludio a una sua trattazione sulla classificazione dei problemi geometrici in “planari”, “solidi” e “lineari” e sulle soluzioni della duplicazione del cubo, che egli colloca nella classe dei “solidi” (fr:1808-1810). L’analisi delle sue fonti rivela che, dei quattro resoconti che fornisce (di Erone, Eratostene, Nicomede e il proprio), quelli di Erone e Nicomede sono trascrizioni letterali da opere meccaniche (fr:1814-1815). Anche il resoconto di Eratostene è presumibilmente una trascrizione, sebbene differisca notevolmente dalla versione di Eutocio (fr:1816). Si nota un’incongruenza testuale nel resoconto del metodo dello stesso Pappo nel Libro III della Collezione: egli lo introduce rivendicandone la generalità, affermando che risolve non solo la duplicazione ma anche la moltiplicazione del cubo in qualsiasi rapporto (fr:1821). Questa osservazione risulta “stonata nel contesto del passo nel Libro III”, poiché la stessa cosa è vera per tutte le costruzioni precedenti, ed è anzi superata dalla generalità del metodo di Eratostene che, in linea di principio, permette di trovare un qualsiasi numero di medi (fr:1822-1824). Tale rivendicazione è invece perfettamente appropriata nel Libro VIII, dove il problema è introdotto in termini più ristretti. Si deduce quindi che la versione del Libro III è derivativa, una trascrizione di quella del Libro VIII, dove Pappo “non ha percepito con noncuranza che la sua osservazione sulla generalità era diventata inappropriata nel nuovo contesto” (fr:1827).

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4 L’Antologia delle duplicazioni del cubo di Eutocio e la trasmissione dei metodi geometrici tardo‑antichi

Il capitolo esamina la lunga digressione che Eutocio inserisce nel suo commento a Sfera e Cilindro II 1 di Archimede, dove il problema della ricerca di due medie proporzionali offre lo spunto per una rassegna sistematica delle soluzioni disponibili. L’intento dichiarato del commentatore è di rendere accessibile il pensiero dei “molti uomini ingegnosi” che si sono cimentati con questo problema, scrivendo «the manner of the discovery of each will also here be written down» – (fr:2096) [il modo della scoperta di ciascuno sarà qui trascritto]. A differenza di Pappo, che opera una scelta selettiva, Eutocio mira a comunicare il maggior numero di metodi di cui ha notizia, persino quando non ne riconosce un particolare merito, come nel caso di Nicomede, incluso «in order that nothing be lacking for those who labor over this problem» – (fr:2098) [affinché nulla manchi a chi si affatica su questo problema].

L’analisi delle omissioni di Eutocio consente di formulare inferenze sulla disponibilità delle fonti. Egli non riporta il metodo dell’anonimo collega criticato da Pappo, conosce le soluzioni di Erone ed Eratostene in forme testuali notevolmente diverse da quelle trasmesse da Pappo e ignora del tutto la soluzione per via di coniche di Apollonio e quella mediante i luoghi solidi di Aristeo, menzionate di sfuggita da Pappo. Ciò conferma che «Eutocius did not consult Pappus’ Collection in the form extant to us» – (fr:2100) [Eutocio non consultò la Collezione di Pappo nella forma a noi pervenuta] e che la sua pretesa di completezza era inevitabilmente condizionata dall’accesso alle fonti. Perciò, l’assenza di un metodo di origine greca come quello di al‑Harawi non costituisce un argomento contro la sua provenienza ellenica, poiché «the commentator’s aim to be comprehensive would necessarily be conditioned by his access to sources» – (fr:2103) [il proposito di completezza del commentatore sarebbe stato necessariamente condizionato dal suo accesso alle fonti].

La rassegna prende avvio dal metodo attribuito a Eudosso, che Eutocio si rifiuta di esporre perché nella prefazione l’autore dichiara di averlo trovato mediante linee curve, mentre nella dimostrazione non solo non utilizza linee curve, ma impiega una proporzione discreta come se fosse continua, cosa che sarebbe «absurd to imagine, not to mention for Eudoxus, but for anyone even moderately versed in geometry» – (fr:2107) [assurdo da immaginare, non solo per Eudosso ma per chiunque sia anche moderatamente versato in geometria]. È improbabile che Eutocio avesse sott’occhio un’opera originale di Eudosso; egli doveva lavorare su una fonte secondaria, probabilmente un’antologia di frammenti. L’assenza delle linee curve e la presenza di una mera condizione geometrica suggeriscono un parallelo con le versioni di Erone e Filone tramandate da Filopono, e persino con il modo in cui Nicomede rinvia a «this is possible, as has been proved by means of the conchoid» – (fr:2113) [ciò è possibile, come è stato dimostrato per mezzo della concoide], isolando la descrizione dell’apparato meccanico nei preliminari. Emerge così la possibilità che la fonte eudossiana anteponesse la descrizione di uno strumento per tracciare una curva alla dimostrazione geometrica, e che il metodo “platonico” immediatamente successivo rappresenti la controparte meccanica.

La costruzione attribuita a Platone, pur essendo il frutto di un intervento editoriale di Eutocio – come mostrano le numerose frasi ricorrenti in altre sezioni, ad esempio l’espressione «the rule KL has a position such as has EA» – (fr:2118) [il regolo KL ha una posizione quale ha EA] – conserva caratteri distintivi della fonte. La descrizione meccanica è insolitamente dettagliata, con riferimenti ai «hatchet‑shaped grooves» – (fr:2125) [scanalature a forma di scure] e ai perni, e risulta affine al trattamento di Nicomede. L’attribuzione a Platone è evidentemente erronea, ma spiegabile con l’associazione tra Platone ed Eudosso e con la circolazione di un dialogo eratostenico, il Platonicus, che metteva a confronto le due figure proprio sul tema dell’ammissibilità dei meccanismi in geometria. Una variante della costruzione platonica sopravvive in arabo presso i Banū Mūsā, come seconda soluzione di duplicazione del cubo, e la figura terminale del loro dispositivo risulta identica a quella platonica. Mentre la versione araba astratta descrive solo il movimento di linee, la recensione latina e quella araba derivata da al‑Tūsī includono anche un resoconto meccanico completo, con tanto di assi e perni. La presenza di una trisezione dell’angolo da effettuarsi «with this device» – (fr:2148) [con questo dispositivo] immediatamente dopo la duplicazione permette di riferire il resoconto meccanico a Menelao, il quale avrebbe incluso nel suo trattato sia il metodo di Archita sia quello platonico, prima in forma astratta e poi in forma meccanica. Questo schema a doppio trattamento si ritrova anche in Nicomede, Diocle ed Eratostene, e porta alla conclusione che il testo eudossiano rifiutato da Eutocio fosse proprio la versione astratta, mentre quello platonico ne costituiva la controparte meccanica.

Il confronto tra Eutocio e Pappo per i metodi di Erone, Filone e Apollonio mostra che Eutocio attinge a fonti secondarie e applica un certo grado di omogeneizzazione editoriale, pur conservando tratti peculiari. La comune affinità tecnica e concettuale di questi tre metodi, e forse anche con il metodo platonico, fa ritenere plausibile che Eutocio li derivasse da un unico compendio di soluzioni meccaniche, la cui omogeneizzazione sarebbe già iniziata prima di lui; un possibile candidato è l’enciclopedia matematica di Gemino, da cui attinsero anche Pappo e Proclo.

La trattazione di Diocle offre un caso esemplare del modo di operare di Eutocio. Il testo originale, noto oggi solo nella traduzione araba del Sugli specchi ustori, contiene due proposizioni sulla duplicazione del cubo (prop. 11‑16) che Eutocio riduce a tre proposizioni con due figure, stravolgendone però la dimostrazione. Dove Diocle si accontenta di concludere sinteticamente, Eutocio amplia e ristruttura l’argomento, finendo per appesantire quello che era un trattamento conciso ed elegante. Nel costruire la curva che serve da luogo dei punti, Diocle prescrive di tracciarla con un regolo flessibile di corno che si piega, mentre Eutocio, fraintendendo, parla di un regolo rigido con cui congiungere i punti con segmenti rettilinei. Eutocio conosceva invece bene la costruzione punto per punto delle coniche, essendo un procedimento familiare nella tradizione pratica della geometria, come mostra la sua osservazione che «since to those writing on mechanics it seems not without use, because of the inadequacy of the instruments, quite frequently to draw through sequences of points the conic sections in the plane» – (fr:2197) [poiché a coloro che scrivono di meccanica sembra non privo di utilità, a causa dell’inadeguatezza degli strumenti, tracciare assai spesso mediante sequenze di punti le sezioni coniche nel piano]. Eutocio modifica Diocle anche nell’impostazione generale del problema, passando dalla moltiplicazione del cubo alla ricerca diretta delle due medie, e assimilando elementi delle proposizioni 14‑16 così da condensare liberalmente la soluzione.

L’atteggiamento di Eutocio diviene più fedele quando, più avanti nel commentario, deve colmare la lacuna archimedea del problema del taglio proporzionale della sfera. Qui, per le prop. 7‑8 di Diocle, egli riproduce quasi alla lettera la prima, mentre per la seconda inizia a inserire chiarimenti e, soprattutto, compone di suo pugno le sintesi che Diocle aveva omesso, dopo che questi si limitava a dire «and the synthesis of that is obvious» – (fr:2262) [e la sintesi di ciò è ovvia]. Questo comportamento rivela una strategia a più livelli: riproduzione verbatim, ampliamento, condensazione e composizione originale, a dimostrazione che, nonostante gli interventi, la sostanza dei testi archimedei da lui trasmessi può essere ritenuta ragionevolmente fedele. La scoperta di un antico manoscritto con tracce di dialetto dorico e terminologia arcaica delle coniche lo aveva inizialmente allertato; Eutocio stesso racconta di aver faticato a emendare un esemplare pieno di errori e di averlo riscritto «in a more familiar and clearer style» – (fr:2284) [in uno stile più familiare e chiaro], intervenendo con l’adozione di forme apolloniane e con citazioni esplicite dei Conici, ma la struttura della doppia analisi‑sintesi risale ad Archimede.

La vicinanza testuale così stretta tra Eutocio e la traduzione araba di Diocle dimostra che quest’ultima rappresenta la versione dell’opera a disposizione del commentatore. La compresenza di proposizioni sul problema archimedeo e sulla duplicazione del cubo in un’opera intitolata Sugli specchi ustori è di per sé una forte prova di parentela, ma le frequenti corrispondenze testuali la rendono indubitabile.

I metodi di Pappo e Sporo vengono presentati da Eutocio come tecnicamente equivalenti a quello di Diocle. Di Pappo, Eutocio assicura di riportare il testo «verbatim (kata lexin)» – (fr:2298) [parola per parola], e il confronto con il Libro VIII della Collezione lo conferma, nonostante alcune divergenze puntuali con il Libro III. La prova di Sporo, viceversa, è conservata in una forma alquanto goffa, mentre quella di Pappo è condotta con abile uso dei rapporti composti. Eutocio, consapevole dell’equivalenza logica dei due metodi, non avrebbe avuto alcun interesse a manipolare il testo di Sporo, che anzi conserva un lessico e una tecnica dimostrativa assenti altrove. Ciò induce a trattare il testo eutociano di Sporo come un esemplare ragionevolmente fedele. Poiché Pappo cita Sporo solo per la quadratura del cerchio e avanza esplicite pretese di originalità per il proprio metodo – presentandolo come «a certain elaboration (epexergasia) of mine» – (fr:2313) [una certa elaborazione mia] –, è da escludere che Pappo conoscesse la duplicazione di Sporo o ne dipendesse; lo stesso Pappo sarebbe incorso in una grave accusa di plagio se lo avesse taciuto, proprio nel contesto in cui attacca l’invenzione di un collega anonimo. Le costruzioni mostrano che Sporo ha elaborato il metodo di Diocle sotto forma di neusi (il segmento KL’, compreso tra la curva e il cerchio, è bisecato dal diametro verticale), mentre Pappo ha riconcettualizzato il metodo platonico, introducendo linee ausiliarie che estendono la figura al cerchio intero e riconducendo la condizione risolutiva all’uguaglianza di due segmenti, He e eK. La dimostrazione di Pappo e quella di Sporo procedono quindi per vie indipendenti: la prima si basa sulla figura dei tre triangoli rettangoli simili propri della costruzione platonica, la seconda manipola gli stessi rapporti di Diocle ma con un percorso più tortuoso, fermandosi alla relazione AB²:Bθ² = Bθ:BG, che è l’equivalente di quanto Diocle assume per le linee iniziali nella prop. La convergenza tecnica finale non intacca l’indipendenza delle due linee di sviluppo, e la rivendicazione di originalità di Pappo risulta quindi una valutazione ragionevole del suo risultato.

L’analisi si estende anche alla datazione di Sporo. Il titolo Aristotelian Honeycombs (Kcria Aristotelika) citato da Eutocio richiama l’elogio delle api nel libro V della Collezione di Pappo, dove si dimostra che le celle esagonali realizzano il massimo spazio con la minima superficie. Questo legame suggerisce che Pappo abbia attinto proprio all’opera di Sporo per i teoremi isoperimetrici, e ciò obbliga a collocare Sporo ben prima di Pappo, verosimilmente nel II secolo d.C., rendendo del tutto plausibile che Pappo non conoscesse la duplicazione del cubo dello stesso autore.

Il capitolo dedicato a Menecmo presenta due soluzioni, una mediante l’intersezione di un’iperbole e una parabola, l’altra mediante due parabole. La seconda soluzione è stata a lungo ritenuta di Menecmo, ma il ritrovamento della prop. 10 di Diocle, che fornisce anch’essa una soluzione con due parabole, ha indotto alcuni a ipotizzare che Eutocio l’abbia composta ispirandosi a Diocle. Tuttavia, la versione di Eutocio non mostra alcuna somiglianza testuale con Diocle: Eutocio impiega il metodo analitico‑sintetico, del tutto assente in Diocle, e definisce le coniche con la terminologia apolloniana, mentre Diocle descrive minuziosamente il tracciamento punto per punto e solo in una nota, quasi un’interpolazione, le chiama parabole. Il modello compositivo della seconda soluzione di Eutocio non è Diocle, bensì la prima soluzione menecmea, da cui riprende l’analisi e la sintesi e la rappresentazione apolloniana della parabola. Tuttavia, un esame ravvicinato svela discrepanze notevoli: nella prima analisi il punto è detto β trovarsi «on a parabola drawn through D» – (fr:2497) [su una parabola tracciata attraverso D], nella seconda il punto Z «touches the parabola about the axis BE» – (fr:2499) [tocca la parabola intorno all’asse BE]. La prima sintesi fornisce una designazione apolloniana completa della parabola, con asse, latus rectum e parametro, la seconda una forma abbreviata. L’insieme di queste differenze esclude che le due soluzioni provengano dalla stessa mano. Eutocio non era solito produrre soluzioni alternative complete; i suoi interventi sono circoscritti a singoli passaggi dimostrativi. La seconda soluzione è quindi un’interpolazione post‑eutociana, opera di un discepolo di Isidoro di Mileto, come denuncia la chiosa finale: «And the parabola is drawn by means of the compass invented by the Milesian mechanician, Isidore, our teacher, and this has been described by him in the commentary made by him on Hero’s Arches» – (fr:2529) [E la parabola è tracciata per mezzo del compasso inventato dal meccanico milesio Isidoro, nostro maestro, e ciò è stato da lui descritto nel suo commento alle Arche di Erone]. Questa aggiunta manifesta l’interesse pratico a mostrare l’utilità del compasso parabolico isidoriano, non già a rivendicare un nuovo metodo geometrico.

Quanto alla prima soluzione menecmea, l’analisi porta i segni di un’origine pre‑apolloniana: nell’analisi l’iperbole è concepita come luogo dei punti per cui il prodotto di ordinata e ascissa è costante, e la parabola è introdotta in forma scarna, mentre la sintesi è arricchita con la terminologia apolloniana degli “elementi” e delle ordinate. Nell’analisi l’iperbole è data attraverso la proprietà del prodotto costante, che Apollonio dimostra in Coniche II 12 ma del cui inverso Eutocio fa un uso tacito. Il confronto con alcuni lemmi di Pappo nel libro IV, dove una parabola è caratterizzata dalla semplice uguaglianza «the (square) on DH is equal to the (rectangle) under a given (line) and ZH» – (fr:2473) [il quadrato su DH è uguale al rettangolo sotto una linea data e ZH], e un’iperbole dalla relazione «the (square) on HE is to the (rectangle) under KH, H8 in a given ratio» – (fr:2475) [il quadrato su HE sta al rettangolo sotto KH, H8 in un dato rapporto], suggerisce che sia l’analisi menecmea sia i lemmi pappiani discendano da una tradizione pre‑apolloniana. Ne segue che l’analisi pervenuta a Eutocio risaliva a una fonte antica, mentre la sintesi fu composta dal commentatore stesso, così come aveva fatto per le proposizioni 7 e 8 di Diocle.

L’ultimo metodo discusso è quello di Archita, trasmesso da Eutocio con l’intestazione «The discovery of Archytas, as Eudemus reports» – (fr:2557) [La scoperta di Archita, come riferisce Eudemo]. Il testo, però, manca delle caratteristiche linguistiche attese per un frammento del IV secolo a.C.: non compaiono le designazioni arcaiche del tipo “la linea su cui AB”, ma la forma standard “la linea AB”, né la convenzione della dynamis, mentre si incontrano termini come parallelogrammon, probabilmente coniati dopo Euclide. Inoltre, la formulazione del problema – «let AD, G be two given lines— one must find two mean proportionals of AD, G» – (fr:2564) [siano AD, G due linee date—bisogna trovare due medie proporzionali di AD, G] – coincide con quella usata da Eutocio in quasi tutti gli altri casi. D’altra parte, sopravvivono vocaboli insoliti per il lessico eutociano: i verbi di rotazione periágein, periagogé, antiperiágein, l’uso di perigráphein per indicare il tracciamento di un cerchio da parte di un punto in movimento, e symbállein nel senso di “convergere, intersecare”. Questi indizi fanno pensare che Eutocio abbia rimaneggiato linguisticamente la fonte eudemea per renderla accessibile a un pubblico abituato alla terminologia standard, conservando però alcuni tratti lessicali dell’originale. Egli agisce da commentatore, non da archivista: il suo scopo è «to provide material that will assist in the study of Archimedes’ geometry» – (fr:2573) [fornire materiale che aiuti nello studio della geometria di Archimede], e una veste arcaizzante avrebbe costituito un ostacolo. Un comportamento analogo si riscontra nella sua edizione del problema archimedeo del taglio della sfera, dove ogni dorismo e ogni termine arcaico per le coniche furono sistematicamente eliminati. La versione araba della stessa costruzione, riportata dai Banū Mūsā sulla scorta di Menelao, mostra una sorprendente concordanza strutturale e dimostrativa con il testo di Eutocio, pur senza menzionare né Archita né Eudemo. Il confronto suggerisce che la distanza tra la redazione di Eutocio e l’originale di Eudemo, sebbene reale, non sia tale da oscurare la sostanza della costruzione architea; ma la limpida riscrittura di Eutocio ha comportato la perdita di un inestimabile frammento pre‑euclideo.

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[5.1/1-164-2761|2921]

5 La duplicazione del cubo nei commentari di Pappo ed Eutocio: fedeltà alle fonti e pratiche editoriali

Un esame comparato delle soluzioni rivela come Eutocio, pur con interventi redazionali, risulti nel complesso più affidabile di Pappo, spesso superficiale e acritico.

“The surveys of cube duplications in Pappus and Eutocius have provided a useful body of evidence for comparing their methods as commentators.” – (fr:2761) [Le rassegne delle duplicazioni del cubo in Pappo ed Eutocio hanno fornito un utile insieme di prove per confrontare i loro metodi come commentatori.] L’analisi delle fonti mostra differenze sostanziali nella fedeltà e nell’acutezza dei due autori. Pappo, nel Libro III della Collezione, attinge spesso direttamente ai testi originali: per i metodi di Erone, Nicomede e per quello da lui stesso proposto, “one infers from collations with other versions that Pappus has consulted primary sources for at least three … and has reproduced them accurately” – (fr:2762) [si deduce dai confronti con altre versioni che Pappo consultò fonti primarie per almeno tre … e le ha riprodotte fedelmente]. Anche per il metodo di Eratostene cita per titolo il Mesolabos, verosimilmente la sua fonte, e “a few lines of his text can be marked off as likely interpolations by Pappus, but on the whole, the mechanical terminology adopted in this section is consistent with 3rd century B.C. technical writing” – (fr:2769) [alcune righe del suo testo possono essere segnalate come probabili interpolazioni di Pappo, ma nel complesso la terminologia meccanica adottata in questa sezione è coerente con la scrittura tecnica del III secolo a.C.]. Pappo si dimostra quindi capace di trascrizioni letterali, ma quando interviene in prima persona emergono limiti vistosi.

All’inizio della sua rassegna Pappo include un metodo anonimo che critica aspramente: “While this method purports to construct the exact mean proportionals, it in fact sets out a graphical procedure leading only to an approximate solution” – (fr:2771) [Mentre questo metodo pretende di costruire i medi proporzionali esatti, in realtà espone un procedimento grafico che conduce solo a una soluzione approssimata]. Lo stile è “considerably verbose, uncharacteristic of Pappus” – (fr:2773) [notevolmente prolisso, insolito per Pappo] e la concezione tecnica della procedura è collegabile al metodo di Eratostene, perché “the latter defines the same geometric configuration that the former aims at through its consecutive approximations” – (fr:2774) [quest’ultimo definisce la stessa configurazione geometrica cui il primo mira attraverso le sue approssimazioni successive]. Eppure Pappo non dice nulla di favorevole, né commenta il principio basilare della costruzione né menziona il legame con Eratostene. Inoltre “Pappus slips into error himself when he uses the ‘solid’ character of the problem as grounds for rejecting the proposed construction, which is of the ‘planar’ type” – (fr:2778) [Pappo cade in errore lui stesso quando usa il carattere ‘solido’ del problema come motivo per respingere la costruzione proposta, che è di tipo ‘piano’], perché il suo argomento richiederebbe una dimostrazione dell’impossibilità di costruzioni piane, “and this has not been (and cannot be) provided on the basis of the geometric techniques available to the ancients” – (fr:2779) [e ciò non è stato (né può essere) fornito sulla base delle tecniche geometriche disponibili agli antichi].

Per Eutocio la valutazione è più complessa: “The situation for Eutocius is more difficult to assess, since several of his texts have no direct parallels in other extant works, and even where such do exist, his performance as editor is variable” – (fr:2780) [La situazione per Eutocio è più difficile da valutare, poiché molti dei suoi testi non hanno paralleli diretti in altre opere superstiti, e anche quando questi esistono, la sua prestazione come editore è variabile]. Nel caso del metodo di Eudosso, Eutocio respinge un resoconto che considera spurio per incoerenze tecniche e testuali, mostrando così di lavorare criticamente su una fonte. Il metodo attribuito a Platone coinvolge un apparato meccanico, ma il testo è composito: “Eutocius’ text is mixed, including features of mechanical terminology that conform well with comparable specimens … but the text also includes several lines that … betray his editorial changes” – (fr:2786) [Il testo di Eutocio è misto, comprendendo tratti di terminologia meccanica che ben si accordano con esemplari comparabili … ma include anche diverse righe che … tradiscono i suoi interventi redazionali]. È molto più probabile che un estratto dal Platonicus di Eratostene sia stato poi erroneamente attribuito a Platone, piuttosto che uno scritto originale sia stato tramandato fuori dal corpus platonico. “Since Eratosthenes also is reported to have linked Archytas, Menaechmus, and Eudoxus as colleagues criticized by Plato for their mechanical solutions of the cube duplication, one may propose an association of the unknown solution by Eudoxus with the Platonic method” – (fr:2789) [Poiché è riferito che anche Eratostene collegò Archita, Menecmo ed Eudosso come colleghi criticati da Platone per le loro soluzioni meccaniche della duplicazione del cubo, si può proporre un’associazione della sconosciuta soluzione di Eudosso con il metodo platonico].

Per i metodi di Erone, Filone e Apollonio, Eutocio lavora con fonti secondarie ed edita considerevolmente. Il resoconto eroniano non è testualmente vicino a quelli che Eutocio cita espressamente, benché la tecnica sia nella stessa tradizione; la versione filoniana nella Belopoeica è profondamente diversa. Quanto ad Apollonio, la tradizione è confusa: “Neither of the forms of this construction, as transmitted by Philoponus, is related to the text in Eutocius, his contemporary” – (fr:2796) [Nessuna delle forme di questa costruzione, come trasmesse da Filopono, è in relazione con il testo in Eutocio, suo contemporaneo], e il testo contiene linee dovute a Eutocio, che ha introdotto modifiche significative per armonizzare i resoconti.

L’intervento redazionale di Eutocio sul trattamento di Diocle è ancora più marcato. Egli condensa sei proposizioni (11-16) in un’unica costruzione con due lemmi preliminari, e amplifica le dimostrazioni con passaggi intermedi. Una discrepanza sottile riguarda il tracciamento della curva ausiliaria: “Diocles … envisions a pointwise construction, where a series of points on the curve is connected graphically by means of a flexible ruler; Eutocius describes how one can use a conventional straight ruler to connect the same points consecutively by small rectilinear segments” – (fr:2802-2803) [Diocle … immagina una costruzione punto per punto, in cui una serie di punti della curva è connessa graficamente tramite un regolo flessibile; Eutocio descrive come si possa usare un normale regolo dritto per connettere gli stessi punti con piccoli segmenti rettilinei]. Eutocio ha probabilmente reinterpretato il metodo diocleo secondo una tecnica alternativa a lui nota da altre fonti, usata anche da Antemio per specchi ustori.

Accanto ai testi molto rimaneggiati, Eutocio offre fedeli trascrizioni. Il resoconto del metodo di Pappo concorda letteralmente con quello del Libro VIII della Collezione, ed Eutocio lo riproduce per intero anche se tecnicamente equivalente a quello di Diocle. Anche per Sporo, benché manchi un parallelo esterno, la piena dimostrazione “a somewhat convoluted affair with distinctive elements (like the application of ‘duplicate’ ratios)” – (fr:2813) [vicenda piuttosto involuta con elementi distintivi (come l’applicazione di rapporti ‘duplici’)] fa presumere una trascrizione fedele della fonte. La congettura di Tannery, secondo cui Pappo avrebbe tratto il metodo da Sporo, cozza contro la rivendicazione di originalità di Pappo; è più probabile che un secondo scritto di Sporo, non accessibile a Pappo, abbia fornito a Eutocio il testo della duplicazione del cubo di Sporo.

Per Menecmo, Eutocio presenta un’analisi che può risalire a una scrittura più antica, ma la sintesi reca la terminologia apolloniana di un editore posteriore. La costruzione alternativa con due parabole, in forma di analisi e sintesi, è assegnabile all’editore di Eutocio, discepolo di Isidoro di Mileto, e non mostra affinità testuale con la sintesi dioclea della medesima soluzione. La soluzione di Archita è attribuita a Eudemo come autorità, e “while the text bears none of the features especially characteristic of pre-Euclidean writing, it contains features unusual in Eutocius, and so is likely to represent an accurate transcription from a source” – (fr:2829) [sebbene il testo non presenti nessuno dei tratti particolarmente caratteristici della scrittura pre-euclidea, contiene tratti insoliti in Eutocio, e quindi è probabile che rappresenti una trascrizione fedele da una fonte]. Il confronto con la versione araba dei Banū Mūsā, che citano esplicitamente Menelao, conferma la sostanziale fedeltà.

Il caso più eclatante è la lettera di Eratostene a Tolemeo, a lungo contestata. Wilamowitz la riteneva in gran parte un falso, ma “a close literary analysis of the rejected part … calls into question any hypothesis of its being a forgery” – (fr:2839) [un’attenta analisi letteraria della parte respinta … mette in dubbio qualsiasi ipotesi di falso]. Anche se l’autenticità non può essere provata in modo conclusivo, il documento, se fosse un falso, sarebbe insolitamente accurato, basato su fonti storiche e tecniche contemporanee. Eutocio la colloca subito prima della lunga parafrasi di Nicomede, accettando la lettera come scritto autentico di Eratostene e riproducendola con un editing minimo; infatti, “Eutocius marks his own paraphrasing by third-person expressions … a form of interpolation absent from the Eratosthenes letter” – (fr:2845) [Eutocio segnala le proprie parafrasi con espressioni in terza persona … forma di interpolazione assente dalla lettera di Eratostene].

In sintesi, all’interno della raccolta eutociana, “the account of Pappus and extensive parts of the account of Nicomedes are literal transcripts … Internal evidence indicates that the accounts of Sporus, Menaechmus (the first analysis only), Archytas, and Eratosthenes are also literal transcripts from appropriate primary or secondary sources” – (fr:2849-2850) [il resoconto di Pappo e ampie parti di quello di Nicomede sono trascrizioni letterali … Prove interne indicano che anche i resoconti di Sporo, Menecmo (solo la prima analisi), Archita ed Eratostene sono trascrizioni letterali da appropriate fonti primarie o secondarie]. I resoconti di Diocle e di Menecmo subiscono modifiche di dettaglio e aggiunte sintetiche, mentre i primi quattro – “Platone”, Erone, Filone e Apollonio – recano segni dell’editing di Eutocio, ma solo la versione apolloniana risulta sostanzialmente alterata. Anche nella soluzione di Archimede al problema solido, pur inserendo “modernizzazioni” come la terminologia apolloniana, Eutocio segue fedelmente la sostanza del ragionamento archimedeo, fornendo la sintesi completa dopo l’analisi come nelle altre proposizioni di Sfera e cilindro II.

Un tratto unificante di tutte le duplicazioni presentate da Pappo ed Eutocio è il loro carattere meccanico. Esse si dividono in quattro tipi: strumentale a neusis (Erone, Filone, Apollonio, Pappo, Sporo), strumentale ad apparato (Platone, Eratostene e, con riserve, Archita), strumentale per il tracciamento di curve (Nicomede, probabilmente Eudosso, e la soluzione isidoriana delle due parabole) e infine grafico (entrambi i metodi di Diocle, e verosimilmente quello di Menecmo). La procedura anonima criticata da Pappo è descritta in una forma che suggerisce un’implementazione grafica ricorsiva. Colpisce che questa natura meccanica offuschi la questione teorica: solo il metodo anonimo tenta una forma “canonica” limitata a riga e compasso, e solo quello di Menecmo impiega sezioni coniche, che per lui erano ausiliari ad hoc, non elementi definitori di una classe speciale di problemi. In effetti, “the work of Apollonius serves as the watershed … his compilation of conic theory and his efforts to produce planar constructions for certain broad classes of problems would establish the precedent for regularizing the whole activity of problem solving” – (fr:2876) [l’opera di Apollonio funge da spartiacque … la sua compilazione della teoria delle coniche e i suoi sforzi di produrre costruzioni piane per certe ampie classi di problemi avrebbero stabilito il precedente per regolarizzare l’intera attività di risoluzione dei problemi]. Ma gli sforzi successivi sulla duplicazione del cubo non sono mossi dalla ricerca di una costruzione piana, bensì dall’interesse di fornire forme pratiche: “Hero affirms his neusis to be the ‘most convenient for practical use,’ and Pappus repeats this judgment; Eutocius notes the practical advantages of the Philonian form; both Sporus and Pappus devise neuses of their own … Isidore invents a compass for tracing parabolas” – (fr:2878) [Erone afferma che la sua neusis è la “più comoda per l’uso pratico”, e Pappo ripete questo giudizio; Eutocio rileva i vantaggi pratici della forma filoniana; Sporo e Pappo escogitano ciascuno proprie neuses … Isidoro inventa un compasso per tracciare parabole]. In conclusione “the practical element overshadows any concern over theoretical questions throughout the later discussions of these constructions” – (fr:2880) [l’elemento pratico mette in ombra qualsiasi preoccupazione teorica in tutte le discussioni tarde di queste costruzioni].

L’indagine, per quanto circoscritta, illumina le pratiche redazionali dei due commentatori. Entrambi attingono estesamente alle fonti primarie, ma Pappo, pur presentando più sistematicamente trascrizioni, si rivela spesso sorprendentemente poco perspicace: “His criticisms of the cube duplication of his unnamed contemporary fault it on details, but miss entirely its geometric conception; his account of the history of the class of ‘solid’ problems in Book III conflicts with the parallel account in Book IV; his own contribution to Nicomedes’ cube duplication … fills in a step either implicit or explicit in every other method since Hippocrates; while his own method must be directly modeled on some other … that he has chosen not to include” – (fr:2885) [Le sue critiche alla duplicazione del cubo del contemporaneo anonimo la riprendono su dettagli, ma ne mancano completamente la concezione geometrica; il suo resoconto della storia della classe dei problemi ‘solidi’ nel Libro III contrasta con il resoconto parallelo nel Libro IV; il suo personale contributo alla duplicazione di Nicomede … colma un passaggio che è implicito o esplicito in ogni altro metodo sin da Ippocrate; mentre il suo stesso metodo deve essere modellato direttamente su un altro … che ha scelto di non includere]. Eutocio, al contrario, ha la tendenza a interferire con i testi, ma le sue osservazioni sono sempre accurate e pertinenti. “On balance, a careful reading of the two commentators in the context of their source traditions finds less to praise in Pappus, and more to praise in Eutocius, than the conventional treatments do” – (fr:2888) [Tutto sommato, una lettura attenta dei due commentatori nel contesto delle loro tradizioni di fonti trova meno da lodare in Pappo, e più da lodare in Eutocio, di quanto facciano le trattazioni convenzionali].

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[6.1/1-497-3494|3987]

6 L’autenticità della lettera di Eratostene in Eutocio:

6.1 analisi stilistica, confronto con Pappo e confutazione della tesi di Wilamowitz

Il capitolo esamina la testimonianza di Eutocio sul metodo di Eratostene per la duplicazione del cubo, riportata come lettera al re Tolomeo, muovendo dalla controversia sollevata da U. von Wilamowitz. Secondo Wilamowitz, solo l’epigramma finale e la breve introduzione in prosa che lo precede riproducono fedelmente l’iscrizione del monumento eratostenico, mentre i restanti tre quarti del testo euteciano – la lettera di accompagnamento con storia e funzionamento dello strumento – sarebbero un falso. Il presente studio propone una revisione approfondita degli argomenti interni ed esterni, concludendo che l’ipotesi di autenticità presenta fondamenti assai più solidi.

La cornice critica e i dubbi di Wilamowitz

L’interesse primario dei dotti ottocenteschi si concentrava sull’epigramma che chiude la comunicazione eratostenica. “Among 19th century scholars, greatest interest attached to the epigram with which it closes.” – (fr:3515) [Fra gli studiosi del XIX secolo, il maggiore interesse si rivolgeva all’epigramma con cui essa si chiude.] Wilamowitz difese l’autenticità dell’epigramma, posizione divenuta pressoché definitiva grazie all’avallo di Heiberg. L’intero testo di Eutocio, tuttavia, è composto da due sezioni finali che riproducono l’iscrizione e, per più del 70%, da una lettera introduttiva. “For in his view, all the rest of Eutocius’ text – that is, more than 70% of it … consisting of a covering letter explaining the history and operation of the device, is taken to be a forgery.” – (fr:3520) [A suo avviso, tutto il resto del testo di Eutocio – ossia più del 70% di esso … costituito da una lettera di accompagnamento che spiega storia e funzionamento dello strumento – è ritenuto un falso.] Lo studioso tedesco giudicava le sezioni [A], [B] e [C] un goffo falso che amplia particolari già presenti nell’iscrizione genuina. “But he views [A], [B], and [C] to be a clumsy forgery, elaborating details already present in the genuine inscription.” – (fr:3529) [Ma egli considera [A], [B] e [C] un goffo falso che elabora dettagli già presenti nell’iscrizione genuina.]

Due testimoni a confronto: Eutocio e Pappo

Il racconto di Pappo, diviso in descrizione fisica dell’apparato e dimostrazione geometrica, differisce in modo significativo da quello di Eutocio. “Although the content of the two passages is essentially the same, the manner of presentation is quite different.” – (fr:3534) [Benché il contenuto dei due passi sia sostanzialmente lo stesso, il modo di presentazione è del tutto differente.] Le discrepanze tecniche sono numerose e illuminanti. Pappo chiama le guide kanones, mentre Eutocio usa choledrai; Pappo descrive le piastre come triangoli rettangoli, Eutocio come rettangoli. “For Pappus, the plates are triangular; … For Eutocius they are rectangular.” – (fr:3541‑3542) [Per Pappo le piastre sono triangolari; … Per Eutocio sono rettangolari.] Inoltre in Pappo la prima piastra è fissa, in Eutocio lo è quella centrale. “In Pappus the first plate is fixed, in Eutocius the middle plate.” – (fr:3543) [In Pappo la prima piastra è fissa, in Eutocio quella centrale.] Anche la terminologia del moto diverge: Pappo impiega kinesis e pheresthai, mentre Eutocio parla di piastre “thrustible” (epostoi). “By contrast, Eutocius speaks of the plates’ being ‘thrustible’ (epostoi).” – (fr:3540) [Per contro, Eutocio dice che le piastre sono ‘spingibili’ (epostoi).] Queste differenze, per Wilamowitz, bastano a insospettire: Pappo sarebbe il testimone più antico e affidabile; l’errore di Eutocio ne screditerebbe la versione. Tuttavia una tale conclusione non è obbligata. “But one can hardly agree with Wilamowitz that such differences discredit the witness of Eutocius.” – (fr:3557) [Ma difficilmente si può convenire con Wilamowitz che tali differenze screditino la testimonianza di Eutocio.] La configurazione euteciana potrebbe rappresentare un «Mark II», un modello perfezionato rispetto al prototipo meno riuscito registrato da Pappo. “To the contrary, one could easily regard Eutocius’ model as a ‘Mark II’, incorporating modifications based on experience with the undoubtedly less successful prototype recorded by Pappus.” – (fr:3558) [Al contrario, si potrebbe facilmente considerare il modello di Eutocio come un ‘Mark II’, che incorpora modifiche basate sull’esperienza con il prototipo, indubbiamente meno riuscito, registrato da Pappo.]

Implicazioni delle varianti tecniche e dell’orientamento del diagramma

La versione di Pappo racconta che le piastre vengono “separate” (diistas), mentre in Eutocio sono “brought together” (synagesthai). “For Pappus … one ‘separates’ (diistas) them … For Eutocius … they are then ‘brought together’ (synagesthai).” – (fr:3541‑3542) [Per Pappo … uno le ‘separa’ (diistas) … Per Eutocio … esse vengono ‘avvicinate’ (synagesthai).] L’orientamento della figura di Eutocio è capovolto rispetto a quella di Pappo; se le piastre fossero triangoli come in Pappo, nella posizione illustrata da Eutocio cadrebbero. “Furthermore, Eutocius’ figure is oriented upside down relative to Pappus’; thus, Pappus’ triangles would not operate at all if held in the manner illustrated by Eutocius.” – (fr:3545) [Inoltre, la figura di Eutocio è orientata sottosopra rispetto a quella di Pappo; di conseguenza, i triangoli di Pappo non funzionerebbero affatto se tenuti nel modo illustrato da Eutocio.] Se ne deduce che lo strumento reale operava in piano orizzontale, ma il modello votivo sul monumento, in piano verticale, richiedeva rettangoli per restare stabile. Pertanto le due descrizioni possono essere varianti egualmente accettabili: il modello dimostrativo di Eutocio e il modello di lavoro forse più antico di Pappo. “Both can be construed as acceptable variants of the device: Eutocius’ form would represent the demonstration model attached to the monument, while Pappus’ might be a working model, perhaps of an earlier vintage.” – (fr:3621) [Entrambe possono essere interpretate come varianti accettabili dello strumento: la forma di Eutocio rappresenterebbe il modello dimostrativo fissato al monumento, mentre quella di Pappo potrebbe essere un modello di lavoro, forse di epoca anteriore.]

La strategia del presunto falsario e l’analisi stilistica

Avanzando l’ipotesi di inautenticità, si deve supporre che Eutocio abbia forgiato il documento o lo abbia ripreso da una fonte già falsificata. “The hypothesis of inauthenticity embraces two possibilities: either Eutocius forged the document, or he unwittingly reproduced a forgery from a source.” – (fr:3572) [L’ipotesi di inautenticità comprende due possibilità: o Eutocio ha falsificato il documento, o ha riprodotto inconsapevolmente un falso da una fonte.] L’analisi lessicale fornisce elementi decisivi. Nell’epigramma [E], già ritenuto genuino da Wilamowitz, si contano una cinquantina di parole ed espressioni assenti altrove nel commentario di Eutocio ad Archimede. “By this count 50 words and phrases of the epigram are either unique to it within the context of Eutocius’ Archimedes commentaries or shared only with the Eratosthenes letter that precedes it.” – (fr:3584) [Secondo questo conteggio, 50 parole ed espressioni dell’epigramma sono o uniche all’interno dei commenti di Eutocio ad Archimede, o condivise solo con la lettera di Eratostene che lo precede.] Di queste, ben 17 sono tecniche o discorsive per cui Eutocio altrove sceglie alternative diverse: teuchein, phrazein, sterea physis, eurys, anametrein, dysmechanos, konotomein, trias, pinax, mesographon, ecc. “Thus, one can identify some 17 terms of the epigram for which Eutocius prefers alternatives in his own writing.” – (fr:3588) [Si possono quindi identificare circa 17 termini dell’epigramma per i quali Eutocio nelle sue opere predilige alternative.] Ciò sostiene la paternità eratostenica dell’epigramma. Se ora si estende l’analisi alle parti della lettera che Wilamowitz respinge (sezioni [A], [B], [C]), emerge un quadro analogo: vi ricorrono numerosi termini non euteciani, come archaios, diplasiazein, organikē lēpsis, epōstos, homoiōtēs in senso generale, kat’ eutheian, e molti altri. “For in [A], [B], and [C], as in [D] and [E], there is a high incidence of terms not appearing elsewhere in Eutocius’ Archimedes commentary.” – (fr:3635) [Infatti in [A], [B] e [C], come in [D] ed [E], si riscontra un’alta incidenza di termini che non compaiono altrove nel commentario di Eutocio ad Archimede.] Inoltre, il lessico del movimento è evitato a favore di forme prefissate particolari (synōthein, epōstos), ben diverse dal comune kinein che Eutocio impiega regolarmente. “Another discrepancy … is the absence of forms of kinein … in the Eratosthenes letter one meets synothein … and epostos.” – (fr:3643) [Un’altra discrepanza … è l’assenza di forme di kinein … nella lettera di Eratostene si incontrano synothein … ed epostos.]

Indizi di unità compositiva e legami con la coeva letteratura meccanica

Se il corpo della lettera fosse un falso costruito sull’iscrizione autentica, ci si aspetterebbe un massiccio riutilizzo del vocabolario distintivo di quest’ultima. Invece i punti di contatto sono sorprendentemente scarsi e per lo più banali. La frase “until the points A, B, G, D come into a straight line” (heōs an kat’ eutheian genētai ta A, B, G, D sēmeia), che ricorre quasi identica in [D1] e in [B], è in realtà condivisa anche da Pappo, quindi verosimilmente genuina. “Since the very same phrase appears in Pappus’ account [D I’], we have good cause for viewing it as genuinely from Eratosthenes’ own account.” – (fr:3715) [Poiché la stessa identica frase compare nel racconto di Pappo [D I’], abbiamo buone ragioni per considerarla genuinamente proveniente dal resoconto di Eratostene.] Per il resto, le presunte sezioni false mostrano una variazione lessicale che è tipica di un autore che evita consapevolmente la ripetizione, non di un falsario che sfrutta maldestramente il modello. “Indeed, the correspondence is such as to suggest an author consciously avoiding repetition.” – (fr:3732) [In effetti, la corrispondenza è tale da suggerire un autore che evita deliberatamente la ripetizione.]

A ciò si aggiungono forti affinità con la letteratura meccanica ellenistica, in particolare con la Belopoeica di Filone di Bisanzio. Numerose espressioni tecniche – katatreseis (aperture), choinikides (rondelle), emballomena neura (corde inserite) – compaiono nella lettera di Eratostene esattamente nello stesso contesto del progetto delle catapulte, dimostrando che il testo affonda le radici nell’ambiente tecnico del III secolo a.C. “Precisely this context leads Philo to introduce his solution of the problem in the Belopoeica: solving a cubic relation … leads to the determination of the catapult’s ‘aperture’ (trema), from which all other dimensions follow …” – (fr:3756) [Proprio questo contesto spinge Filone a introdurre la sua soluzione del problema nella Belopoeica: risolvere una relazione cubica … conduce alla determinazione dell’‘apertura’ (trema) della catapulta, da cui seguono in proporzione tutte le altre dimensioni …] La fitta rete di coincidenze verbali e concettuali fra i due autori (per es. archaioi, kathistanai, hypographein, homalōs, diaporein, cheirourgein) rende assai difficile attribuire la lettera a un falsario posteriore che avrebbe dovuto conoscere alla perfezione quel linguaggio specialistico senza lasciarsi sfuggire prestiti evidenti dall’epigramma. “Wilamowitz’ hypothesis can be saved, it appears, only on the assumption of a forger so clumsy that he cannot make effective stylistic use of the authentic Eratosthenian inscription … yet so clever that he perceives the appropriateness of imitating extensively the style of 3rd century B.C. mechanical sources.” – (fr:3785) [L’ipotesi di Wilamowitz può essere salvata, a quanto pare, solo supponendo un falsario tanto maldestro da non saper sfruttare stilisticamente l’autentica iscrizione eratostenica … eppure tanto astuto da percepire l’opportunità di imitare estesamente lo stile delle fonti meccaniche del III secolo a.C.]

Datazione e cronologia relativa

La lettera e l’epigramma si inseriscono coerentemente nella biografia di Eratostene. L’invocazione del dedicatario come pater … phila suggerisce che il Tolomeo in questione sia il quarto, Filopatore, non il terzo Evergete come spesso si assume. “But in the very line of the epigram where Ptolemy is invoked directly, we encounter the words pater … phila, and this suggests that the fourth Ptolemy, Philopator, is intended.” – (fr:3794‑3795) [Ma proprio nel verso dell’epigramma in cui Tolomeo è invocato direttamente, incontriamo le parole pater … phila, e ciò suggerisce che il quarto Tolomeo, Filopatore, sia il destinatario.] La datazione risulterebbe quindi spostata al 210‑204 a.C., epoca tarda dell’attività eratostenica, coerente con l’idea che il testo euteciano segua un resoconto anteriore dello strumento, quello conservato da Pappo. “The writing would now fall very late in Eratosthenes’ activity, rather than early, and this is nicely consistent with our view that it follows an earlier account of the instrument, i.e., the one on which Pappus’ text is based.” – (fr:3801‑3802) [Lo scritto cadrebbe ora molto tardi nell’attività di Eratostene, anziché agli inizi, e ciò è perfettamente coerente con la nostra idea che esso segua un resoconto anteriore dello strumento, cioè quello su cui si basa il testo di Pappo.]

Conclusioni e criterio di prova

Né l’ipotesi di un falso euteciano né quella di un falsario anonimo regge all’esame combinato dello stile, della terminologia e dei rapporti con la tradizione meccanica. L’assenza di motivi plausibili per un falso, l’elevata competenza tecnica e storica che traspaiono dalla lettera, e la concordanza delle sezioni che Wilamowitz stesso dichiara autentiche con il resto del documento portano a preferire la tesi dell’autenticità. “We thus conclude, on the basis of present evidence, that the view of authenticity is better founded than that of forgery.” – (fr:3788) [Concludiamo pertanto, sulla base delle prove disponibili, che la tesi dell’autenticità è meglio fondata di quella del falso.] La lettera di Eratostene, così come trasmessa da Eutocio, costituisce una testimonianza preziosa non solo per la geometria della duplicazione del cubo, ma anche per l’interazione fra teoria e pratica meccanica nel III secolo a.C., offrendo uno spaccato vivido della cultura alessandrina e del genio eratostenico, capace di unire epigramma, dimostrazione geometrica e applicazione ingegneristica in un unico monumento votivo.

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[7.1/1-36-4034|4067]

7 Analisi dell’attribuzione dell’epigramma di Eratostene e delle interpolazioni in Eutocio

Un commento critico esamina l’epigramma eratostenico, la sua paternità e le sospette modifiche testuali.

Il brano si apre con un rinvio bibliografico: “34Cf. Knaack, ‘Eratosthenes,’ col. 360, ” – (fr:4032-4033) [“34 Cfr. Knaack, ‘Eratosthenes,’ coll. 360, ”]. Si affronta quindi il consenso sull’identità del dedicatario: “Wilamowitz, like, to my knowledge, all commentators on the epigram, assumes without question or argument the association with Euergetes.” – (fr:4034) [“Wilamowitz, come, a mia conoscenza, tutti i commentatori dell’epigramma, assume senza discussione né argomentazione l’associazione con Euergete.”]. Lo stesso studioso spiega in dettaglio come i versi conclusivi rifletterebbero i rapporti di Eratostene con Euergete e Filopatore: “He explicates in detail how the closing lines of the epigram would reflect the relationships of Eratosthenes to Euergetes and Philopator (‘Weihgeschenk,’ pp. 60-66).” – (fr:4035-4036) [“Egli spiega nei dettagli come i versi conclusivi dell’epigramma rifletterebbero i rapporti di Eratostene con Euergete e Filopatore (‘Weihgeschenk,’ pp. 60-66).”]. Alcuni aspetti di questa ricostruzione sono stati messi in dubbio – per esempio, se Eratostene fosse realmente precettore del re – ma apparentemente non l’identità del dedicatario: “Some other aspects of this scenario have been doubted – for instance, whether Eratosthenes was indeed royal tutor, but apparently not the identity of the dedicatee; cf. R. Pfeiffer, History of Classical Scholarship, pp. 154-155.” – (fr:4037-4039) [“Alcuni altri aspetti di questo scenario sono stati messi in dubbio – per esempio, se Eratostene fosse effettivamente precettore reale, ma apparentemente non l’identità del dedicatario; cfr. R. Pfeiffer, History of Classical Scholarship, pp. 154-155.”].

Il testo dell’epigramma è riportato con un gioco di parole: “35‘0 Ptolemy, fortunate father (pater), that while enjoying youth with son, all things dear (phi/a) both to Muses and kings you yourself have bestowed on him.’” – (fr:4040) [“35 ‘O Tolemeo, padre fortunato (pater), che mentre godi della giovinezza con il figlio, tutte le cose care (phila) sia alle Muse che ai re tu stesso hai donato a lui.’”]. Segue l’annotazione “Note the ” – (fr:4041) [“Nota la ”], che introduce l’osservazione sulla posizione enfatica dei termini chiave: “Eutocius’ Text of Eratosthenes 153 emphatic position of the terms at issue: Euaion Ptolemaie pater begin lin. 13, where pater falls at the caesura; phila terminates lin. ” – (fr:4042-4044) [“Posizione enfatica dei termini in questione nel testo eutociano di Eratostene 153: Euaion Ptolemaie pater apre la linea 13, dove pater cade alla cesura; phila chiude la linea ”].

Nel suo commento, Wilamowitz segnala ambiguità che il lettore può penetrare solo con una conoscenza speciale del contesto: “36In his commentary on the epigram, Wilamowitz points to ambiguities that the reader could penetrate only through special knowledge of the context.” – (fr:4045) [“36 Nel suo commento all’epigramma, Wilamowitz segnala ambiguità che il lettore potrebbe penetrare solo attraverso una conoscenza speciale del contesto.”]. Egli considera ciò un punto a favore dell’autenticità, poiché riferimenti oscuri e giochi di parole sono caratteristici di questo genere colto: “He considers this a point in favor of the authenticity of the epigram, since obscure references and word play are characteristic of this highly intellectual genre; ‘Weihgeschenk,’ pp. 58, 65-66.” – (fr:4046-4047) [“Egli considera ciò un punto a favore dell’autenticità dell’epigramma, poiché riferimenti oscuri e giochi di parole sono caratteristici di questo genere altamente intellettuale; ‘Weihgeschenk,’ pp. 58, 65-66.”]. Un simile gioco di parole si trova nell’epitaffio per Eratostene composto da Dionisio di Cizico: “One may note that in the epitaph to Eratosthenes by Dionysius of Cyzicus (Greek Anthology, ed. Gow and Page, I, p. 80) there occurs a similar wordplay: ‘Eratosthenes, … / Aglaos’ son, dear in a foreign land you are covered/ near this edge of Proteus’ shore [aigialos].’” – (fr:4048-4049) [“Si può notare che nell’epitaffio per Eratostene di Dionisio di Cizico (Antologia Greca, a cura di Gow e Page, I, p. 80) ricorre un simile gioco di parole: ‘Eratostene, … / figlio di Aglaos, caro in terra straniera sei coperto / presso questa riva di Proteo [aigialos].’”]. La risonanza tra Aglaos (letteralmente “splendente”) e aigialos (“spiaggia”) appare però senza scopo: “The resonance between Aglaos (lit.: ‘radiant one’) and aigialos (‘seashore’), however, seems pointless.” – (fr:4050) [“La risonanza tra Aglaos (lett.: ‘splendente’) e aigialos (‘spiaggia’), tuttavia, sembra senza scopo.”]; ci si chiede se alluda obliquamente a qualche scherzo privato o epiteto: “One wonders whether it alludes obliquely to some private joke or epithet.” – (fr:4051) [“Ci si chiede se alluda obliquamente a qualche scherzo privato o epiteto.”]. La nota successiva rimanda al verso già citato: “37Note the line of the epigram quoted in note ” – (fr:4052) [“37 Nota il verso dell’epigramma citato nella nota ”].

La cronologia di Eratostene è così riassunta: “38According to ancient testimonia, Eratosthenes was born during the 126th Olympiad (276-273 B.C.), and died at age 80, hence c. 195; this is consistent with an account that he died during the reign of the fifth Ptolemy (204-180).” – (fr:4053) [“38 Secondo testimonianze antiche, Eratostene nacque durante la 126ª Olimpiade (276-273 a.C.) e morì a 80 anni, quindi intorno al 195; ciò è coerente con il racconto che morì durante il regno del quinto Tolemeo (204-180).”]. La data di nascita è considerata affidabile perché l’uso delle Olimpiadi come schema cronologico ebbe origine proprio con Eratostene: “The birthdate, at any rate, is likely to be trustworthy: since Eratosthenes originated the scheme of dating by Olympiads, it could well derive from his own witness; cf. Pfeiffer, Classical Scholarship, p. 153 and Knaack, ‘Eratosthenes,’ col. 358-361.” – (fr:4054-4055) [“La data di nascita, in ogni caso, è probabilmente attendibile: poiché Eratostene diede origine allo schema di datazione per Olimpiadi, potrebbe ben derivare dalla sua stessa testimonianza; cfr. Pfeiffer, Classical Scholarship, p. 153 e Knaack, ‘Eratosthenes,’ coll. 358-361.”]. Per una rassegna delle prove e un’argomentazione a favore di questa datazione si rimanda a E. W. Marsden: “39For a synopsis of the evidence and an argument for this dating, see E. W. Marsden, Greek and Roman Anillery: Technical Treatises, pp. 6-8.” – (fr:4056-4057) [“39 Per una sintesi delle prove e un’argomentazione a favore di questa datazione, si veda E. W. Marsden, Greek and Roman Artillery: Technical Treatises, pp. 6-8.”].

L’attenzione si sposta quindi sulle interpolazioni nel testo. Un’espressione grammaticalmente scorretta insospettisce: “40The ungrammatical hote bouloito (which Hultsch amends to hotan bouletai) casts suspicion on the line ‘when someone … double of a cube.’” – (fr:4058) [“40 Lo scorretto hote bouloito (che Hultsch corregge in hotan bouletai) getta sospetti sul verso ‘quando qualcuno … doppio di un cubo.’”]. Un altro verso appare un’interpolazione: “The line ‘for this … follow’ is in the manner of an interpolation, and is bracketed by Hultsch; cf. also Pappus’ version of Archimedes’ circle theorem (line [q] of text P in Part III, chap. 1).” – (fr:4059-4061) [“Il verso ‘poiché questo … segue’ ha l’aspetto di un’interpolazione ed è posto tra parentesi da Hultsch; cfr. anche la versione di Pappo del teorema del cerchio di Archimede (linea [q] del testo P nella Parte III, cap. 1).”]. Anche l’ultimo verso è espunto da Hultsch: “41The last line, ‘~nd from this … via the planes,’ is bracketed by Hultsch.” – (fr:4062) [“41 L’ultimo verso, ‘~nd da questo … attraverso i piani,’ è posto tra parentesi da Hultsch.”]. Tale espunzione concorda con la posizione di Pappo, che più volte aveva sostenuto l’impossibilità di risolvere il problema della duplicazione del cubo con metodi piani, trattandosi di un problema di tipo ‘solido’: “It is consistent with Pappus’ view, expressed several times earlier, that the cube duplication problem, being of the ‘solid’ type, cannot be solved by planar methods (cf. note 34 in chap. 4).” – (fr:4063-4065) [“È coerente con la posizione di Pappo, espressa più volte in precedenza, secondo cui il problema della duplicazione del cubo, essendo di tipo ‘solido’, non può essere risolto con metodi piani (cfr. nota 34 nel cap. 4).”]. Si sospetta quindi che questi versi, compreso probabilmente un altro segnalato, siano stati inseriti da Pappo nella sua fonte: “Presumably this line, as well as the two indicated in the preceding paragraph, have been inserted by Pappus into his source.” – (fr:4066) [“Presumibilmente questo verso, così come i due indicati nel paragrafo precedente, sono stati inseriti da Pappo nella sua fonte.”]. Infine, si avanza il sospetto anche per un verso precedente: “One may suspect the preceding line, ‘But if the cube … the rest similarly,’ to be interpolated by Pappus; for it resembles a line he adds to Nicomedes’ method later; cf.” – (fr:4067) [“Si può sospettare che il verso precedente, ‘Ma se il cubo … il resto similmente’, sia interpolato da Pappo; poiché somiglia a un verso che egli aggiunge più tardi al metodo di Nicomede; cfr.”].

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8 L’Attribuzione a Eutocio e la Questione del Rapporto Composto

L’estratto analizza criticamente la tesi di J. Mogenet, il quale propone di attribuire al matematico e commentatore Eutocio la paternità dell’anonima Introduzione (Prolegomena) alla Syntaxis di Tolomeo. L’argomentazione si concentra sul confronto tra tre testi che trattano il rapporto composto: due redazioni certamente autentiche di Eutocio (il commento ad Archimede, indicato come A, e il commento ad Apollonio, indicato come C) e il capitolo sull’argomento presente nell’Introduzione anonima, indicato come B.

L’analisi condotta mira a confutare la validità delle prove testuali portate da Mogenet a sostegno della sua ipotesi, dimostrando come le divergenze sostanziali tra i testi rendano insostenibile l’attribuzione dell’Introduzione a Eutocio.

8.1 La tesi di Mogenet e le versioni autentiche di Eutocio (A e C)

Mogenet fonda il suo “argomento principale” sul resoconto del rapporto composto. Eutocio, nelle sue opere riconosciute, cita una propria precedente discussione sull’argomento, affermando che si trova “in ciò che abbiamo pubblicato [ekdedomena] sul quarto teorema del secondo libro del trattato Sfera e Cilindro di Archimede, e nel commentario [scholia] del primo libro della Syntaxis di Tolomeo” - (fr:4098). Mogenet identifica proprio nell’Introduzione anonima questo commentario a Tolomeo.

I due resoconti autentici di Eutocio, A e C, si somigliano molto. In entrambi, Eutocio critica i commentatori precedenti per aver trattato l’argomento in modo “induttivo” e non dimostrativo: in A afferma che “presentano il detto non in modo dimostrativo (apodeiktikos), ma per induzione (epagoge)” - (fr:4114), mentre in C sostiene che “è discusso dai commentatori piuttosto induttivamente (epaktikoteron), e non nel modo necessario (anankaion)” - (fr:4114). La parte principale di A e C è una dimostrazione generale del teorema, condotta tramite l’introduzione di termini ausiliari che rappresentano la “grandezza” (pelikotes) dei rapporti, intesa come quel numero che, moltiplicato per il conseguente, produce l’antecedente. Eutocio è consapevole di fornire una prova di natura aritmetica, come esplicita in C: “Coloro che leggono questo non siano turbati dal fatto che è stato dimostrato aritmeticamente (dia ton arithmetikOn)” - (fr:4131). La versione C è, di fatto, un compendio della versione A.

8.2 Il resoconto dell’Introduzione (B) a confronto

Il resoconto B, al contrario, presenta differenze radicali. Innanzitutto, l’argomento centrale del capitolo non è la composizione dei rapporti, ma piuttosto “il modo di sottrarre (aphelein) un rapporto da un altro” - (fr:4161), un’operazione inversa che nei testi di Eutocio non viene nemmeno menzionata. B include una lunga digressione sul significato di “grandezze omogenee”, assente in A e C, e omette completamente la discussione sulla “grandezza” (pelikotes) del rapporto, che è invece un punto cruciale per Eutocio.

La differenza più sostanziale risiede nel metodo espositivo. Mentre A e C forniscono una dimostrazione generale del teorema, B la omette del tutto, sviluppando invece l’esposizione solo attraverso esempi numerici specifici. Per il caso di un termine medio, B mostra che il rapporto 100:5 è composto da 100:20 e 20:5, perché 5 moltiplicato 4 fa L’esposizione è definita tortuosa e molto più elementare: “Allora se il rapporto pentaplasios e il tetraplasios, essendo rapporti medi, sono stati moltiplicati in se stessi, essi contengono l’estremo, così che la loro grandezza, quando moltiplicata, formerà il rapporto sotto i termini estremi iniziali, cioè l’eikosaplasios” - (fr:4224). Questo approccio basato su esempi specifici è esattamente il metodo “induttivo” che Eutocio critica esplicitamente nei suoi scritti autentici. Nei suoi testi, Eutocio usa esempi numerici (hypodeigmata) solo dopo aver completato la trattazione generale, concludendoli con la formula “che si proponeva di esemplificare (hypodeixai)” - (fr:4220), in contrasto con il “che si doveva dimostrare (deixai)” - (fr:4251) usato per la prova generale. In B, invece, l’esempio termina con formule tipiche della dimostrazione formale, un uso inappropriato per un’esposizione meramente induttiva.

Si rilevano inoltre differenze significative nella terminologia. In A e C Eutocio associa la pelikotes (“grandezza”) di un rapporto a un numero intero; in B la pelikon (“ammontare”) è associata a una relazione “paronima”, rendendo il passaggio critico dal rapporto al numero corrispondente al massimo implicito. L’analisi stilistica mostra poi che B utilizza una lunga serie di termini che sono rari o del tutto assenti nei commentari di Eutocio, tra cui aphairein, Stoicheiotes, homoeides, prologos e hypologos, evidenziando una differenza di stile e vocabolario.

8.3 La confutazione della tesi

L’autore conclude che non esiste alcuna “unità di piano, metodo e vocabolario” tra le tre versioni, come invece sostenuto da Mogenet. Al contrario, “la disparità su tutti e tre i fronti tra A e C contro B è, nonostante trattino lo stesso argomento, la più grande possibile” - (fr:4248). La versione B, basandosi su valori specifici, è proprio del tipo “induttivo” che Eutocio critica, rendendo impossibile identificarla con il commento a Tolomeo da lui citato. Sarebbe inspiegabile che Eutocio, potendo attingere alla sua impeccabile versione A, ne avesse poi prodotta una alternativa così inadeguata come B. Private di questa corrispondenza testuale, le prove a sostegno della tesi di Mogenet sono giudicate seriamente compromesse, rendendo l’attribuzione dell’Introduzione a Eutocio non più sostenibile e mettendo in dubbio l’esistenza stessa di un suo commentario a Tolomeo.

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9 Dalla tradizione manoscritta alla terminologia dei rapporti: note da un commento a Tolomeo

Un’analisi critica affronta la notazione di Teone, l’autenticità della definizione euclidea di rapporto, il carattere dell’Introduzione e l’uso di paronymos e homonymos.

Il complesso di annotazioni, tratto da “Ancient Texts on Geometric Problems, 29: Commentary on Ptolemy’s Book I, ed.” (fr:4502–4505) [Antichi testi su problemi geometrici, 29: Commentario al Libro I di Tolomeo, ed., Roma, pp. 532-535; l’argomento è riassunto da Mogenet, Introduction, pp. 26-27], esamina questioni filologiche e matematiche legate ai rapporti composti.

Teone, commentando Tolomeo, introduce una notazione lineare per le grandezze: “In expressing the three given magnitudes as AB, GD, EZ, Theon establishes the linear notation in his text” (fr:4506) [Nell’esprimere le tre grandezze date come AB, GD, EZ, Teone fissa la notazione lineare nel suo testo]. Presenta quindi tre esempi. Nel primo, con AB:GD = 2:1 e GD:EZ = 3:1, il rapporto composto AB:EZ risulta 6:1, “for when we double the triple of something, its sextuple results” (fr:4507) [perché raddoppiando il triplo di qualcosa si ottiene il suo sestuplo]; Teone considera paradigmatico (kyriōs, «in senso proprio») il caso in cui il primo termine è maggiore del secondo e il secondo maggiore del terzo. Il secondo esempio (3:1 e 1:2) dà come composto 3:2; il terzo, componendo 1:2 e 4:3, produce 2:3 (fr. 4508). Teone conclude: “and similarly also for several and for the remaining cases” (fr:4509) [e similmente anche per più e per i restanti casi], formula che alcuni manoscritti omettono (fr. 4510). “The ‘inductive’ aspect is thus clear: by examining the theorem in particular cases, we grasp its sense in general” (fr:4511) [L’aspetto “induttivo” è così chiaro: esaminando il teorema in casi particolari, se ne coglie il senso generale].

Per quanto riguarda Euclide, la Definizione 3 degli Elementi è stata respinta come aggiunta successiva principalmente perché non viene mai applicata, manca in alcuni manoscritti e non offre una nozione operativa di rapporto, “indeed, it hardly seems to be claiming anything at all” (fr:4519) [in effetti sembra non asserire quasi nulla]. Tuttavia, “the author of the definition may be supposing that the expression ‘relation with respect to size’ is clear enough to serve as a basis for grasping what ‘ratio’ is” (fr:4520) [l’autore della definizione potrebbe supporre che l’espressione “relazione rispetto alla grandezza” sia abbastanza chiara per far comprendere cosa sia il rapporto]. La definizione sarebbe perciò descrittiva – denota un termine che si assume già intuitivamente compreso – piuttosto che operativa, ma ciò è coerente con altre definizioni degli Elementi (fr. 4521). Senza la Def. 3, Euclide resterebbe privo di qualsiasi definizione di rapporto, il che sarebbe un’omissione sorprendente, soprattutto alla luce di ciò che altrove egli si cura di definire (ad esempio «punto» e «linea» nel Libro I, «unità» e «numero» nel Libro VII) (fr. 4526). “But his performance over all would lead us to expect from him some form of definition of ‘ratio’” (fr:4528) [Ma il suo comportamento complessivo ci indurrebbe ad aspettarci da lui una qualche forma di definizione di “rapporto”].

Riguardo all’Introduzione di Mogenet, si cerca di spiegare la discrepanza tra il carattere sistematico che le si vorrebbe attribuire e la natura ancillare dei commentari di Eutocio. “Mogenet attempts to explain the discrepancy on the grounds that the arithmetic chapters of the Introduction … presume to be systematic – hence, the author would find it appropriate to provide a background discussion of ratio in general” (fr:4531) [Mogenet tenta di spiegare la discrepanza sostenendo che i capitoli aritmetici dell’Introduzione … presumono di essere sistematici – perciò l’autore riterrebbe opportuno fornire una discussione preliminare sul rapporto in generale]. Questa spiegazione, però, contraddice l’ipotesi che l’Introduzione sia l’opera che Eutocio cita come proprio commentario a Tolomeo: “it is difficult to see why Eutocius would choose to execute the task of commenting on Ptolemy via the medium of a systematic investigation” (fr:4533) [è difficile capire perché Eutocio avrebbe scelto di commentare Tolomeo tramite un’indagine sistematica], mentre i suoi commentari su Archimede e Apollonio seguono il consueto formato passo per passo. Inoltre, altri commenti a Tolomeo (Pappo, Teone), ampiamente sfruttati dall’anonimo autore, non mostrano alcuna preoccupazione per un’esposizione sistematica (fr. 4534). Anzi, “the Introduction’s account of the arithmetic operations … appears to be a loose compilation of chapters on multiplication, division, and square roots taken from the various Ptolemy commentaries” (fr:4535) [la trattazione delle operazioni aritmetiche nell’Introduzione … appare come una compilazione poco organica di capitoli su moltiplicazione, divisione e radici quadrate tratti dai vari commentari a Tolomeo]. “Certainly, the Introduction would be judged far from successful as a systematic treatment” (fr:4536) [Certamente l’Introduzione sarebbe giudicata tutt’altro che riuscita come trattazione sistematica].

In relazione alla Tavola 1 di Mogenet, si nota che le espressioni “enunciazione del teorema sui rapporti composti” nelle colonne A e B si riferiscono a teoremi diversi: in A è l’enunciato formale con un solo termine medio, che non ha corrispondente in B; in B è l’enunciato con più termini medi, che in A compare come “per linee per più rapporti” (fr. 4537‑4538). La colonna C non presenta alcun analogo di queste formulazioni (fr. 4539).

L’analisi terminologica mette in luce oscillazioni significative. Verso la fine di B, al posto di pelikotes viene usato megethos (lett. «grandezza») (fr:4542). Il termine paronymous ricorre sia in Eutocio sia nell’Introduzione, ma la semplice coincidenza non è ritenuta significativa (fr:4556). Eutocio trae l’uso da opere perdute di Nicomaco ed Erone (fr:4544). In Nicomaco e Giamblico, paronymia indica la relazione tra un numero e una sua parte (tre e un terzo, quattro e un quarto) (fr:4545‑4549); Teone di Smirne adotta in un contesto affine il termine homonymos: “the lesser number is that part of the greater which is homonymous with the ratio – for the double, the half, for the triple, the third” (fr:4551) [il numero minore è quella parte del maggiore che è omonima al rapporto – per il doppio, la metà, per il triplo, il terzo]. Diofanto impiega homonymos per designare la relazione tra potenze e sottopotenze (es. arithmos – arithmoston), ma in una proposizione (I 14) lo usa esattamente come paronymos in Eutocio: “it is necessary that the multitude of units of one of the numbers be greater than the (number) homonymous with the given ratio” (fr:4553‑4554) [è necessario che la moltitudine di unità di ciascuno dei numeri sia maggiore del (numero) omonimo al rapporto dato]. L’uso di questi termini nell’aritmetica antica è dunque variabile (fr. 4555).

Infine, nel capitolo sulla sottrazione di rapporti, prologos (19 occorrenze) e hypologos (16) superano di gran lunga hegoumenos (3) e hepomenos (5), benché le coppie siano trattate come sinonimi (fr:4559). In Nicomaco, prologos e hypologos indicano di solito «numeratore» e «denominatore»; in una proporzione continua ogni termine è prologos del termine minore e hypologos del maggiore adiacente (fr:4561‑4562). In un passo, tuttavia, significano il rapporto tra un rapporto e il suo reciproco (fr:4563). Diofanto non usa nessuna delle due coppie: chiama i numeratori «il numero della parte (meros)» e i denominatori «le parti (moria)» o semplicemente «nella parte (en moriōi)» (fr:4564‑4565).

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10 La composizione dei rapporti nei commentari di Eutocio e nell’Introduzione alla Sintassi

Il testo raccoglie due redazioni eutociane (A e C) e un estratto più tardo (B) dedicati a chiarire il concetto di rapporto composto, muovendo dalla definizione degli Elementi fino alle sue applicazioni nei Conici di Apollonio e nella Sintassi tolemaica. L’esposizione vuole supplire a una trattazione giudicata non pienamente rigorosa da parte dei commentatori precedenti, come Pappo, Teone e Arcadio, che presentarono l’argomento «rather inductively, and not in the necessary manner» — (fr:4752) [piuttosto induttivamente e non in forma necessaria].

10.1 Il teorema principale e la definizione di rapporto composto

Il nucleo del testo è il teorema secondo cui, dati due numeri o grandezze A e B con un medio G, il rapporto di A a B è composto del rapporto di A a G e di G a B. Così lo enuncia Eutocio: «I say then, that if of two numbers or magnitudes some mean term has been taken, the ratio of the initial numbers is compounded of the ratio of the first to the mean and that of the mean to the third» — (fr:4754) [Dico dunque che, se tra due numeri o grandezze si assume un termine medio, il rapporto dei numeri iniziali è composto del rapporto del primo al medio e di quello del medio al terzo].

Al fondamento sta la definizione di rapporto composto ripresa dagli Elementi: «a ratio is said to be compounded of ratios, whenever the sizes of the ratios, having been multiplied into themselves make a certain » — (fr:4756) [un rapporto si dice composto di rapporti quando le grandezze dei rapporti, moltiplicate tra loro, formano un certo ]. Il termine «grandezza» (pelikotes) indica qui il numero paronimo al rapporto dato — quello che, moltiplicato per il termine conseguente, produce l’antecedente.

10.2 La nozione di «grandezza» del rapporto e il problema delle frazioni

La determinazione della pelikotes è immediata per i rapporti multipli, perché risulta un numero intero. Per i rapporti epimori ed epimerici, invece, «it is necessary for the size to be a number plus a part or parts» — (fr:4760) [è necessario che la grandezza sia un numero più una parte o parti]. L’unità aritmetica indivisibile va quindi divisa secondo la parte che nomina il rapporto, operazione che spetta alla logistica: «for those cases one must divide the unit, (a thing) which if not fitting in arithmetic, nevertheless is so in logistic» — (fr:4764) [per quei casi bisogna dividere l’unità, cosa che se non conviene in aritmetica, tuttavia conviene in logistica]. L’esempio addotto è il rapporto emiolio 9:6, la cui grandezza è l’unità più la metà; moltiplicando 1 + 1/2 per il conseguente 6 si ottiene appunto l’antecedente 9 — (fr:4766‑4767).

10.3 La dimostrazione e le illustrazioni numeriche

La versione A offre una dimostrazione in forma generale. Poste le grandezze A, B, il medio Γ, e dette Δ ed Ε le grandezze dei rapporti A:Γ e Γ:B, si costruisce Z = Δ·Ε. Attraverso passaggi di proporzioni si mostra che Z è la grandezza del rapporto A:B, perché Z moltiplicato per B produce A — (fr:4771, 4772, 4775). La conclusione è netta: «Therefore, the ratio of A to B is compounded of that of A to G and (that of) G to B» — (fr:4778) [Dunque il rapporto di A a B è composto di quello di A a G e di quello di G a B].

Seguono tre esempi numerici: - tra 12 e 2 si interpone il medio 4: il rapporto 12:2 (esaplasios) risulta dal triplasios 12:4 e il diplasios 4:2, con grandezze 3 e 2, il cui prodotto è 6 — (fr:4781‑4783); - tra 9 e 6 si colloca un medio maggiore di entrambi, 12: l’ipepitrito 9:12 (grandezza 3/4) composto col diplasios 12:6 (grandezza 2) dà l’emiolio 9:6 (grandezza 1+1/2) — (fr:4785‑4788); - infine, tra 9 e 6 si pone un medio minore, 4: il diplasiepitetarto 9:4 (grandezza 2+1/4) composto con l’ipemiolio 4:6 (grandezza 2/3) restituisce ancora l’emiolio — (fr:4789).

In tutti i casi «the same account will apply» — (fr:4790) [la stessa spiegazione varrà].

10.4 Estensione a più medi e osservazioni finali

Il corollario enuncia che, se si interpongono più termini medi tra A e B, il rapporto degli estremi è composto di tutti i rapporti successivi; lo dimostra per induzione: «there being two terms A, B, let there be interposed more than one, the (terms) G, D. I say that the ratio of A to B is compounded of that of A to G and (that of) G to D and (that of) D to B» — (fr:4792) [essendo dati due termini A, B, si interpongano più di uno, G, D. Dico che il rapporto di A a B è composto di quello di A a G e di G a D e di D a B].

La redazione C chiude rassicurando i lettori sul fatto che la dimostrazione è condotta per via aritmetica, ma ciò non deve turbare perché gli antichi — e lo stesso fine aritmetico della ricerca — giustificano tale metodo: «For even the ancients have used such proofs, as being mathematical rather than arithmetical on account of the proportions» — (fr:4794) [Anche gli antichi infatti usarono simili dimostrazioni, in quanto matematiche piuttosto che aritmetiche, a causa delle proporzioni]. L’importanza della nozione è ribadita dal fatto che «practically the whole corpus of the conics uses it» — (fr:4753) [praticamente l’intero corpus dei conici ne fa uso].

10.5 La testimonianza del testo B: rapporto, omogeneità e sottrazione

Il terzo testo (B) riporta definizioni più ampie. Il rapporto è «of two homogeneous magnitudes a sort of relation to each other, (namely) that according to size» — (fr:4873) [di due grandezze omogenee una sorta di relazione reciproca, cioè secondo la grandezza]. L’omogeneità non esclude il confronto tra figure dissimili, come dimostrano le opere di Eudosso e Archimede su coni, cilindri e sfere — (fr:4875). Si offre poi un esempio numerico: il rapporto eikosaplasios tra 100 e 5 può essere composto da due rapporti tramite un medio; e in generale, se i rapporti da comporre sono n, i medi saranno n‑1 — (fr:4884‑4886).

Nel complesso, i tre testi consegnano una riflessione stratificata sulla composizione dei rapporti, mostrando come la definizione elementare, con la sua delicata nozione di «grandezza», fu ripresa, esplicitata e applicata nei campi più avanzati della geometria ellenistica e dell’astronomia. La cura con cui Eutocio distingue il caso epimorico e sconfina nella logistica testimonia il carattere di frontiera tra aritmetica e geometria proprio di questa dottrina.

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11 Composizione e sottrazione di rapporti nell’Introduzione alla Sintassi di Tolomeo e in Domnino: un capitolo di geometria aritmetica

Le pagine illustrano, attraverso un dettagliato resoconto di due redazioni antiche, le tecniche di composizione e scomposizione dei rapporti, fondamento operativo per l’astronomia e la geometria greche, e le connesse questioni di tradizione manoscritta e attribuzione.

Il brano commenta un estratto dell’Introduzione alla Sintassi di Tolomeo (sezione B), opera che prepara i fondamenti matematici dell’Almagesto. Il nucleo tecnico è il trattamento della composizione e sottrazione dei rapporti, ricondotto a un teorema di Pappo: “But the geometer Pappus has shown that if there are two magnitudes, and there are set out between them however many (others), the ratio under the extreme magnitudes - that is, the initial ones - is equal to that < compounded> from all the mean ratios.” – (fr:4890) [Ma il geometra Pappo ha dimostrato che se vi sono due grandezze, e quante mai altre se ne pongono in mezzo, il rapporto fra le grandezze estreme – cioè quelle iniziali – è uguale a quello composto da tutti i rapporti medi.]

Il testo espone il principio con esempi numerici. Dati gli estremi 100 e 5, assunto come medio 20, si generano il rapporto pentaplasios (100:20, quintuplo) e il tetraplasios (20:5, quadruplo). “Then if the pentaplasios ratio and the tetraplasios, being mean ratios, have been multiplied into themselves, they contain the extreme, such that their size, when multiplied, will make the ratio under the initial extreme terms, that is, the eikosaplasios.” – (fr:4893) [Se poi il rapporto pentaplasios e il tetraplasios, che sono rapporti medi, vengono moltiplicati per se stessi, essi comprendono l’estremo, cosicché la loro grandezza, moltiplicata, produrrà il rapporto fra i termini estremi iniziali, cioè l’eikosaplasios (ventuplo).] Con due medi (20, 10, 5) si combinano pentaplasios, diplasios e diplasios per ottenere ancora l’eikosaplasios. L’esposizione precisa che il procedimento vale anche quando i numeri dei rapporti non sono interi ma includono moria (parti) o esclusivamente parti (fr:4899-4900).

La seconda parte è dedicata alla sottrazione. L’obiettivo è “to subtract from the eikosaplasios ratio the tetraplasios ratio, that is, from the 100 to ” – (fr:4902) [sottrarre dal rapporto eikosaplasios il rapporto tetraplasios, ossia da 100 a ] Non si possono mantenere invariati numeratore (prologos) e denominatore (hypologos) perché si ricadrebbe nello stesso rapporto o nel suo reciproco: “Which is absurd.” – (fr:4907) [Il che è assurdo.] Si individuano pertanto quattro casi, a seconda che i termini coincidano o meno. “Thus, because of this there remains either that the numerator has the same as the numerator of that from which it is to be subtracted, or as its denominator, or conversely, the denominator of that about to be subtracted is the same, that is, either as the numerator of that from which it is to be subtracted or its denominator; or neither is the same as either.” – (fr:4908) [Così, resta o che il numeratore sia lo stesso del numeratore (del rapporto) da cui si deve sottrarre, o del suo denominatore, o viceversa il denominatore del rapporto da sottrarre sia lo stesso, cioè o come il numeratore di quello da cui si deve sottrarre o come il suo denominatore; oppure nessuno dei due è lo stesso dell’altro.]

La trattazione esamina metodicamente ogni caso. Con numeratori uguali, sottraendo il tetraplasios 100:25 dall’eikosaplasios 100:5, si moltiplica il denominatore del sottratto (25) per il numeratore di partenza (100) e si divide per 100, ottenendo 25 come medio; ne risulta il rapporto residuo pentaplasios 25:5 (fr:4910-4916). Con denominatori uguali, si aggiusta la proporzione 100:25 = x:5 ottenendo x = 20; 20:5 è tetraplasios, 20:100 è sub-pentaplasios, e la sottrazione dà ancora il pentaplasios (fr:4917-4921). Il terzo caso, con il denominatore del sottratto uguale al numeratore dell’intero, impiega 400:100; tramite la proporzione 400:100 = 10:x si trova x = 2½, e poi dai rapporti 40plo e subduplo si ricava il resto (fr:4922-4928). Quando nessun termine coincide (80:20), si calcolano i medi 25 e 20 usando alternativamente la “procedura del numeratore” e “del denominatore” (fr:4929-4931). Un ulteriore esempio sottrae il sub-eikosaplasios (5:100) dall’eikosaplasios (100:5), generando rapporti 400plo e sub-20plo, e mostrando come la sottrazione per composizione inversa restituisca il 20plo (fr:4932-4938).

L’autore conclude che ogni modalità di trasformazione (metalepsis) è stata esposta e non ne esiste altra (fr:4939). Le trasformazioni sono necessarie quando si desidera che il resto non compaia tra i termini originali, ma in un diverso numeratore o denominatore (fr:4940). Ciò si realizza con la regola del quarto proporzionale: ad esempio, nell’eikosaplasios 100:5, sottratto il tetraplasios 100:25, il resto pentaplasios 25:5 può essere trasposto in 50:10 tramite la metathesis (fr:4941-4943). Il metodo generale è sempre lo stesso: “For in general we must do the said always by multiplying and dividing.” – (fr:4945) [In generale dobbiamo sempre fare quanto detto moltiplicando e dividendo.] Il capitolo si chiude dichiarando che l’esame della moltiplicazione e divisione, non di poco conto, è stato perseguito con zelo (fr:4946-4947).

Il documento offre poi l’edizione del testo greco con preziose indicazioni sulla tradizione manoscritta. “We have consulted two manuscripts for our text: Venice marc. gr. 313, f. 24v-28r (denoted V), and Paris BN gr. 2390, f. 12r-13v (P).” – (fr:4951-4954) [Abbiamo consultato due manoscritti: Venezia, Marc. gr. 313, ff. 24v-28r (indicato V), e Parigi, BN gr. 2390, ff. 12r-13v (P).] I due codici testimoniano indipendentemente l’archetipo; l’editore ha scelto la lezione più sensata (fr:4960). Sono segnalati simboli inusuali come disegni di archi, cerchi, triangoli e quadrati al posto delle parole (fr:4962), e le differenze nell’uso dei numerali e della frazione un mezzo (fr:4965-4966). L’apparato fornisce i numeri di folio e di riga del manoscritto V per agevolare il riferimento al facsimile (fr:4971-4973).

La parte successiva introduce il frammento D, attribuito a Domnino di Larissa (V secolo). Il curatore osserva la forte somiglianza tra D e il brano B dell’Introduzione. “The fragment D closely resembles the Introduction to the Syntaxis (passage B) in its treatment of ratios.” – (fr:5120) [Il frammento D assomiglia molto all’Introduzione alla Sintassi (passo B) nel trattamento dei rapporti.] Entrambi definiscono la sottrazione come risoluzione di un rapporto composto, condividono la terminologia (prologos, hypologos) e le due procedure “rispetto al numeratore” e “rispetto al denominatore”, e adottano un’esposizione induttiva (fr:5121). D è tuttavia più chiaro e conciso, il che suggerisce che attinga a una fonte in ordine migliore di B (fr:5122). Lo studioso ipotizza una dipendenza parallela da un testo comune, forse lo stesso Pappo o un suo derivato (fr:5125). Se D è genuino, l’insegnamento di Siriano potrebbe costituire il tramite con l’Introduzione, poiché Domnino fu suo allievo e Siriano è citato altrove nell’opera (fr:5126-5127). “Issuing from fellow disciples of this teacher, our two accounts would reasonably share basic features of terminology and technique, at the same time reflecting the very different styles of their authors.” – (fr:5128) [Provenendo da condiscepoli di questo maestro, i nostri due resoconti condividerebbero ragionevolmente caratteristiche basilari di terminologia e di tecnica, riflettendo al contempo gli stili molto diversi dei loro autori.] Questa connessione colloca l’Introduzione nella prima metà del V secolo, contraddicendo i tentativi di attribuirla a Eutocio, vissuto oltre mezzo secolo più tardi (fr:5129).

Il frammento di Domnino precisa la natura della sottrazione: “Whenever we propose to subtract a ratio from a ratio, it is evident that this is nothing other than to resolve [dialyein] the ratio from which the subtraction occurs into the subtracted (ratio) and that left over [kataleipomenos] after it.” – (fr:5135) [Ogni volta che ci proponiamo di sottrarre un rapporto da un rapporto, è evidente che ciò non è altro che risolvere il rapporto da cui avviene la sottrazione nel (rapporto) sottratto e in quello che rimane dopo di esso.] Ciò perché il rapporto di partenza è composto dal sottratto e dal resto (fr:5136). L’operazione si può eseguire adattando il minore al maggiore o trasferendo il maggiore nel minore, in ciascun caso agendo sul numeratore o sul denominatore (fr:5148-5149). Vengono illustrati esempi concreti. “I make thus: as 6 to 4 so 12 to some other (number), This will be done according to the method handed down in the Elements, by which we find the fourth proportional of three given numbers” – (fr:5151-5152) [Faccio così: come 6 sta a 4, così 12 sta a qualche altro (numero). Ciò si farà secondo il metodo tramandato negli Elementi, mediante il quale troviamo il quarto proporzionale di tre numeri dati.] Il testo è accompagnato da due illustrazioni, contrassegnate come “[4] (Fig. )” – (fr:5205) e “Firl. 2 b” – (fr:5237) (sic, probabilmente Fig. 2). La limpida esposizione di Domnino, che riconduce la composizione alla moltiplicazione delle grandezze e la sottrazione alla risoluzione inversa, offre un saggio della pedagogia aritmetica tardo-antica.

Nel complesso, il testo costituisce una testimonianza significativa dell’insegnamento dei rapporti compositi nella matematica greca, scandita da sottili distinzioni operative e dall’uso sistematico del quarto proporzionale. Il confronto filologico tra le due recensioni (B e D) illumina la trasmissione del sapere geometrico da Pappo ai commentatori neoplatonici e fornisce un argomento per una datazione più alta dell’Introduzione, svincolandola dalla figura di Eutocio.

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12 Metodi di trisezione dell’angolo in Pappo e i loro paralleli arabi

L’analisi della Collezione di Pappo mostra come i diversi metodi antichi di trisezione dell’angolo, pur tramandati in modo frammentario, trovino precisi riscontri nelle versioni arabe, rivelando una trasmissione testuale fatta di estratti e rielaborazioni più che di trattati completi.

Pappo, nel Libro IV della Collezione, espone una serie di costruzioni per la trisezione dell’angolo. Dopo aver trattato problemi classici – costruire un arco circolare su una data retta come base in modo che l’arco abbia un dato rapporto con la base (prop. 39), trovare il cerchio la cui circonferenza eguagli un segmento dato (prop. 38), inscrivere in un cerchio un poligono regolare con un numero qualsiasi di lati (prop. 37), costruire un triangolo isoscele con angoli alla base in rapporto dato rispetto all’angolo restante (prop. 36) – il testo approda al tema centrale della divisione dell’angolo (prop. 40). Di queste, la proposizione 38 è trattata come corollario “ovvio” di quanto precede; per le altre quattro si procede per analisi, ma solo per la 37 si fornisce la sintesi completa, per la 40 uno schizzo abbreviato, per la 39 la sintesi è detta “ovvia” e per la 36 manca persino tale annotazione. La sezione si chiude con una costruzione di angoli e archi incommensurabili (prop. 41).
“Because of Pappus’ generalized attributions, the provenance of these methods is obscure.” (fr:5458) [A causa delle attribuzioni generiche di Pappo, la provenienza di questi metodi è oscura.]

La trisezione mediante neusis (metodo 1) richiede proprio quel tipo di costruzione per cui furono sviluppate le concoidi, cosicché si può supporre che tale neusis fosse già implicita nella soluzione di Nicomede. “11 We have already observed how it represents a minor variant on the Archimedean neusis construction implied in the Lemmas.” (fr:5460) [Abbiamo già osservato come rappresenti una variante minore della costruzione per neusis archimedea sottintesa nei Lemmi.] La riformulazione di quella neusis come problema solido, cioè risolto mediante coniche come fa qui Pappo, sarebbe sorta più tardi. Poiché questo tipo di progetto riduttivo è caratteristico di molti sforzi analitici di Apollonio, è plausibile collocare questa forma di trisezione all’interno della geometria apolloniana o di chi ne fu ispirato. Tuttavia, sebbene il problema ausiliario di costruzione dell’iperbole (prop. 33) rechi segni di redazione posteriore ad Apollonio, il metodo di trisezione a cui è collegato – e perfino il testo riferito da Pappo – potrebbe aver avuto origine prima di Apollonio, dato che Archimede e Diocle usavano già quella stessa costruzione dell’iperbole decenni prima.

Il metodo (2), “senza neusis, per mezzo di un luogo solido”, segue la definizione apolloniana delle coniche in termini di orthia (lato retto), plagia (lato trasverso), eidos (“figura di applicazione”). Il metodo (3), invece, pur introducendo la medesima curva, la esprime in modo diverso: nell’analisi si stabilisce che il punto variabile B giace su un’iperbole perché i quadrati delle sue distanze da un punto dato (G) e da una retta data (DE) hanno un rapporto dato. Questa proprietà fuoco–direttrice è risolta nei lemmi di Pappo agli Sphaerica di Euclide nel Libro VII della Collezione. “The link between the passages in Books IV and VII is made evident by their common adoption of the method of analysis and by their agreement on the particular form for expressing the locus, not as a given ratio of distances, but as a ratio of the squares of those distances.” (fr:5469) [Il legame tra i passi dei Libri IV e VII è reso evidente dall’adozione comune del metodo di analisi e dalla concordanza sulla forma particolare di esprimere il luogo, non come un dato rapporto di distanze, ma come rapporto dei quadrati di quelle distanze.] Inoltre, l’iperbole del problema dei luoghi nel Libro VII è specificata nella forma a due ascisse, caratteristica della teoria pre-apolloniana, il che colloca anche la trisezione associata nel periodo anteriore ad Apollonio.

Se ne deduce una stratificazione storica: la neusis del metodo (1) è attribuibile a Nicomede; la sua riduzione a problema solido, espressa sempre nel metodo (1), al tempo di Apollonio; il metodo (3) a un geometra che operava con le convenzioni pre-apolloniane (per es. Aristeo); e il metodo (2) a un geometra che riformulò il (3) secondo la teoria di Apollonio. È sorprendente, ma non atipico, che Pappo non abbia percepito che i metodi (2) e (3) sono del tutto equivalenti, differendo solo nel modo di esprimere l’iperbole. Per quanto riguarda i metodi (4a) e (4b), basati su quadratrice e spirale, Pappo li assegna a “geometri più recenti”; è concepibile che attingesse a Sporo o Menelao, ma le informazioni sono troppo scarse per determinarlo. Tuttavia, “we would hardly wish to assign to any such later compilers as Pappus or his immediate sources the first discovery of these applications of the curves.” (fr:5475) [Difficilmente vorremmo assegnare a compilatori posteriori come Pappo o alle sue fonti immediate la prima scoperta di queste applicazioni delle curve.] La definizione di tali curve tramite movimenti coordinati angolari e rettilinei è così strettamente legata alla divisione dell’angolo che appare più probabile che la loro introduzione – sicuramente anteriore ad Archimede – fosse finalizzata proprio a questo problema.

Pappo trasmette materiali da fonti: lo dice esplicitamente per i metodi (3) e (4), e per implicazione vale anche per il (2), equivalente al (3). Per il metodo (1), la mancata rivendicazione di paternità da parte sua, insieme alla prefazione che critica gli “antichi” per non aver risolto il problema finché non ebbero padroneggiato le tecniche delle coniche, è segno sufficiente che non è originale. La sua sommaria storia è inesatta, giacché i più antichi metodi di neusis di Archimede e Nicomede non impiegano le coniche, né lo fa il metodo della quadratrice, che potrebbe risalire addirittura a Dinostrato. Ma con una tale introduzione, Pappo intende certo presentare il suo metodo (1), “via neusis”, come rappresentante della fase antica della soluzione mediante coniche, non come frutto di sue recenti ricerche.

Esaminando i cinque o sei metodi di trisezione dell’angolo censiti da Pappo, più la neusis archimedea e le varianti con le concoidi, si arriva a circa una dozzina di soluzioni proposte dai geometri antichi. Data l’enorme distruzione della documentazione antica, non si può certo pensare che questa lista esaurisca l’intera gamma delle soluzioni. Al-Sijzi, nel X secolo, afferma che nessuno dei geometri antichi o moderni, tranne Thābit ibn Qurra e Abū Sahl al-Qūhī, era riuscito a risolvere il problema. “And nothing which pertained to this problem was solved by any of the ancients or moderns, save for these two geometers.” (fr:5487) [E nulla che riguardasse questo problema fu risolto da alcuno degli antichi o dei moderni, fatta eccezione per questi due geometri.] In realtà, al-Sijzi stesso sa che l’affermazione è esagerata, perché una delle otto soluzioni che presenta è attribuita a “uno degli antichi” ed è di fatto la neusis archimedea dei Lemmi (prop. 8). Limitato nell’accesso alle opere antiche, al-Sijzi non annovera Pappo tra le sue fonti.

Eppure il metodo che al-Sijzi ascrive a Thābit altri non è che il metodo per neusis (1) di Pappo. La versione nel codice autografo di al-Sijzi (Paris ms. arab. 2457/45) è suddivisa in tre parti: costruzione dell’iperbole con rette date come asintoti (cfr. prop. 33 di Pappo); soluzione mediante iperbole del problema di neusis consistente nell’inserire una linea di data lunghezza entro un dato angolo (cfr. prop. 31); e trisezione dell’angolo per mezzo di tale neusis (cfr. prop. 32). “Clearly, Thiibit’s treatment agrees with Pappus’ both in its geometric techniques and in its tripartite division of the construction.” (fr:5503) [È chiaro che il trattamento di Thābit concorda con quello di Pappo sia nelle tecniche geometriche sia nella divisione tripartita della costruzione.] Vi è però un’inversione nell’ordine delle sezioni, e Thābit presenta solo sintesi mentre Pappo dà anche le analisi dei due lemmi (prop. 31 e 33). La versione di Thābit ha comunque un legame testuale con quella di Pappo o con un testo paragonabile.

Ancora più stringente è la corrispondenza con la versione di Aḥmad ibn Mūsā, uno dei Banū Mūsā. Aḥmad enuncia il problema della costruzione dell’iperbole senza dimostrazione, rinviando alla prova di Apollonio; poi affronta la neusis con il solo trattamento sintetico. “A~mad’s diagram follows Pappus’ lettering precisely, an unusual sign of close textual dependence.” (fr:5513) [Il diagramma di Aḥmad segue con precisione la nomenclatura di Pappo, segno insolito di stretta dipendenza testuale.] Il testo concorda quasi parola per parola con la sintesi di Pappo, fatti salvi errori di copia. Anche la successiva trisezione dell’angolo presenta identico diagramma e accordo letterale. Si potrebbe pensare che Aḥmad abbia preparato la sua versione come traduzione dal greco di Pappo, ma un secolo dopo al-Sijzi non aveva accesso alla Collezione e attribuiva quel metodo a Thābit. Non vi è prova che i bibliografi arabi conoscessero la Collezione nella forma greca superstite; piuttosto, sembra che estratti miscellanei di Pappo – o da fonti antiche comparabili – furono tradotti in arabo e circolarono sotto il nome dei traduttori.

L’opera di Pappo è una miscellanea e si prestava alla frammentazione già tra i commentatori greci. “Pappus had done the same himself: his four methods of cube duplication each derived from a different source; four or five others provided him with his angle trisections, and so on.” (fr:5528) [Pappo stesso aveva fatto lo stesso: i suoi quattro metodi di duplicazione del cubo derivavano ciascuno da una fonte diversa; altri quattro o cinque gli fornirono le trisezioni dell’angolo, e così via.] Gli autori arabi ebbero accesso alla compilazione di materiali geometrici di Menelao tramite la traduzione di Thābit, e in questo modo poterono disporre di raccolte di estratti non attribuiti. Quando si riscontra una corrispondenza letterale con Pappo, come nel testo di Aḥmad, la fonte è probabilmente un estratto greco derivato in ultima analisi da Pappo o da un testo simile a quello da lui utilizzato.

Tornando alla trisezione di Thābit, essa non è altrettanto vicina a Pappo quanto lo è il testo di Aḥmad. Thābit apre con la sintesi della costruzione dell’iperbole, ma questa concorda letteralmente non con la sintesi di Pappo (prop. 33) bensì con Coniche II 4 di Apollonio nella recensione araba. È plausibile che il copista al-Sijzi, piuttosto che Thābit, abbia inserito il lemma introduttivo attingendo direttamente all’arabo delle Coniche, mentre nei lemmi successivi Thābit traduceva con cura dal greco. “One thus infers that the copyist al-Sijzl, rather than Thiibit, was responsible for inserting the introductory lemma by quotation from the Arabic of the Conics, while in the neusis lemma and the trisection based on it, Thiibit (whom al-Sijzl presumably now transcribes) was carefully translating from the Greek, not loosely paraphrasing a Greek source or revising an Arabic one.” (fr:5543) [Si deduce quindi che il copista al-Sijzi, piuttosto che Thābit, fu responsabile dell’inserimento del lemma introduttivo per citazione dall’arabo delle Coniche, mentre nel lemma della neusis e nella trisezione basata su di esso Thābit (che al-Sijzi verosimilmente ora trascrive) stava traducendo con cura dal greco, e non parafrasando liberamente una fonte greca o rivedendone una araba.]

Vi è poi una sottile differenza tra le due versioni arabe: Aḥmad (come Pappo) descrive la neusis come inserzione di una lunghezza data tra due rette date; Thābit, invece, la concepisce come il taglio attraverso un angolo dato. Il primo modo è comune nella geometria antica, mentre il secondo compare solo nei testi nicomedei conservati in Pappo ed Eutocio. “We thus may have in the text underlying Thiibit’s angle trisection a vestige of the Nicomedean studies which, as already observed, provided the appropriate background for Pappus’ method (I).” (fr:5554) [Possiamo quindi avere, nel testo sottostante alla trisezione dell’angolo di Thābit, una traccia degli studi nicomedei che, come già osservato, fornirono lo sfondo appropriato per il metodo (1) di Pappo.] Se Thābit e i Banū Mūsā attinsero a Menelao, la sua sezione sulla trisezione avrebbe incluso: la neusis archimedea, una variante risolta con la concoide e la stessa variante risolta con l’iperbole. Da tali frammenti si spiegherebbero le diverse versioni arabe, senza dover presupporre ricerche indipendenti.

Infine, riguardo ai metodi di al-Qūhī e Pappo (2), che impiegano entrambi un’iperbole senza ricorso alla neusis, i testi superstiti mostrano varianti e copie errate. Al-Sijzi, nel proprio codice (BN ms. arab. 2457), riporta lo stesso metodo senza attribuzione e con un errore: designa una certa retta come “lato inclinato” (latus transversum) anziché “lato retto” (latus rectum). “It would appear, then, that al-Sijzi has miscopied a version by al-Quhi, or perhaps copied out an earlier draft by al-Quhi, later improved by the latter in the form extant under his name.” (fr:5579) [Apparirebbe, quindi, che al-Sijzi abbia copiato male una versione di al-Qūhī, o forse abbia trascritto una bozza anteriore di al-Qūhī, in seguito migliorata dallo stesso nella forma esistente sotto il suo nome.] Questi dettagli confermano come la trasmissione dei metodi di trisezione, già frammentata nell’antichità greca, si sia ulteriormente articolata nella tradizione araba attraverso estratti, traduzioni e rimaneggiamenti, più che per opera di scoperte originali.

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13 Il lavoro dei commentatori antichi: Pappo ed Eutocio tra compilazione, edizione e trasmissione della geometria

Un capitolo che ridefinisce il ruolo di Pappo ed Eutocio non come creatori originali ma come abili compilatori e editori, il cui maggiore contributo fu la conservazione e la sistematizzazione del sapere geometrico classico.

La differenza di atteggiamento tra il geometra creativo, attento ai metodi euristici come l’analisi, e il commentatore tardoantico, dedito alla regolarità formale e alla chiarezza espositiva, è un filo conduttore del capitolo. “Nothing could exemplify better the contrast in attitude between the commentator with his commitment to regularity of form and the creative geometer with his emphasis on suggestive heuristic methods like analysis.” – (fr:5776). Tale contrasto anima la figura di Pappo di Alessandria (IV secolo) e di Eutocio di Ascalona (VI secolo), i due principali commentatori di cui si esamina l’opera. Essi non furono puristi storici: “the commentators, despite the archival appearance of their activity, were not historical purists; they wanted versions appropriate for the level of expertise and resources characteristic of their time.” – (fr:5766). Questo li portava a integrare passaggi mancanti, modificare la struttura delle dimostrazioni, o eliminare ciò che appariva superfluo, producendo interventi talvolta anacronistici ma funzionali alla didattica (fr:5764, fr:5772-5774).

Pappo è noto per la sua Collectio, otto libri di materiale eterogeneo ad alto livello, un’opera che tuttavia si rivela per lo più una raccolta di estratti da fonti precedenti. “One thus comes to the very different supposition, that most of the Collection is constructed of excerpts from sources.” – (fr:5802). La derivazione da fonti diverse spiega le frequenti sconnessioni e ripetizioni: “Such disparities can be understood as signs that Pappus is following different sources uncoordinated with each other; but they would be difficult to explain on the assumption of Pappus’ originality.” – (fr:5806). Persino dove Pappo rivendica un proprio trattamento, come nelle critiche alle duplicazioni del cubo dei contemporanei, risulta meno convincente, mancando il punto degli sforzi altrui e proponendo alternative di scarso valore (fr:5807-5808). La sua dimostrazione di un lemma nei teoremi isoperimetrici è difettosa perché assume un passo falso (fr:5810). L’opera non ebbe circolazione significativa nell’antichità e nel medioevo, né tra gli Arabi né presso Eutocio, il quale sembra ignorare il contenuto del Libro VII della Collectio in merito ai luoghi piani e solidi: “Eutocius misconstrues the ‘three and four line locus’ as equivalent to the problem of finding two mean proportionals, whereas Pappus gives an accurate statement of the locus.” – (fr:5814-5815) e “it seems remarkable that Eutocius does not exploit the Collection at any of those places where it would be of obvious pertinence” – (fr:5818). L’unico libro a circolare in forma indipendente fu il Libro VIII, noto agli Arabi come Introduzioni Meccaniche (fr:5820). L’ipotesi di A. Jones, secondo cui la Collectio come la conosciamo sarebbe un insieme di carte di lavoro di Pappo messe insieme dopo la sua morte, offre una prospettiva più ragionevole: un assortimento di versioni provvisorie di commentari e antologie, e non uno strumento di riforma degli studi geometrici (fr:5831-5835).

Eutocio, attivo all’inizio del VI secolo sotto Ammonio, compose commentari su opere di Archimede e Apollonio. La sua edizione delle Coniche di Apollonio fu un lavoro di collazione e consolidamento di vari manoscritti annotati: “His own edition, as he himself explicitly testifies, represents a collation and consolidation of the more valuable variants held in this collection of manuscripts.” – (fr:5964). Un esempio notevole del suo intervento editoriale è la costruzione dell’iperbole con asintoti dati, oggi Proposizione II 4 delle Coniche. Eutocio la presenta come supplemento alla discussione di un problema archimedeo, osservando che essa non appare «al suo posto» (autothen) negli Elementi Conici (fr:5862). Il suo testo corrisponde quasi alla lettera a II 4 del testo ricevuto, e ciò suggerisce che la dimostrazione di Eutocio sia stata successivamente inserita nell’edizione delle Coniche su cui si basa tutta la tradizione manoscritta greca e araba (fr:5864-5866). “It seems likely that Eutocius himself was responsible for this interpolation.” – (fr:5867). Il commentario di Eutocio nacque probabilmente come una serie di note marginali a un’edizione di Apollonio, e in un secondo momento la costruzione dell’iperbole fu integrata come proposizione autonoma (fr:5871-5874, 5989).

La relazione tra le due versioni della costruzione dell’iperbole presenti in Pappo (Libri IV e VII) e quella di Eutocio chiarisce ulteriormente i meccanismi di trasmissione. La versione del Libro VII commette l’errore di omettere che una certa retta deve essere tangente all’iperbole, difetto che si ritrova nella versione di Eutocio e nel testo ricevuto di II 4 (fr:5880-5885, 5897). Al contrario, la versione del Libro IV è corretta. Eutocio concorda con il Libro VII nell’ordinamento della costruzione, nel modo di citare i parametri apolloniani della curva e nel concludere con un esplicito rimando al teorema II 1 delle Coniche (fr:5898-5903). Ciò indica che Eutocio, se ha attinto a una versione di Pappo, lo ha fatto da quella del Libro VII. Eppure, Eutocio non cita mai Pappo come fonte per il commentario ad Apollonio, e il suo utilizzo dei lemmi di Pappo alle Coniche è limitato a pochi casi. In generale, “except for (3) and (6), where the correspondence is good (although not verbatim), Eutocius either adopts alternative (sometimes less effective) procedures or omits altogether the equivalent in Pappus’ lemmas—and even in these two cases, he fails to cite Pappus as source.” – (fr:5956). Una spiegazione plausibile è che Pappo stesso abbia composto il proprio commentario come note marginali alle Coniche, e che quelle note siano poi confluite in parte nel testo, mentre Eutocio ebbe a disposizione copie annotate in cui tali scoli erano mescolati a quelli di altri, rendendone impossibile l’attribuzione (fr:5968-5975). “For it would in general be impossible to extricate the scholia of one annotator from those of another without more troubling over hands and literary styles than the effort was worth.” – (fr:5974).

L’edizione di Eutocio divenne l’archetipo dell’intera tradizione manoscritta, sia greca sia araba. “But it is clear that Eutocius’ edition served as the prototype for the entire extant manuscript tradition, in both Greek and Arabic. Thus, we may well owe to him the survival of the work in any form.” – (fr:6016-6017). Il suo apporto fu quindi essenziale per la sopravvivenza delle Coniche, nonostante le inevitabili alterazioni.

L’analisi complessiva dei due commentatori mostra come la geometria tardoantica e medievale araba fosse profondamente radicata in una tradizione di trasmissione parallela di testi molto antichi. “Throughout the extended span separating this period of active research from the commentators, both Greek and Arabic, one is struck by how little difference there is not only in the methods of solution, but even in the very words used to express the constructions and proofs.” – (fr:6023). L’originalità individuale è un criterio fuorviante: “To insist on isolated cases of originality is senseless, for it invites us to overlook the most significant point: the close adherence of all these scholars to the received tradition.” – (fr:6032). Il merito dei commentatori non sta nell’invenzione, ma nell’opera di selezione, chiarificazione e soprattutto conservazione di un patrimonio che altrimenti sarebbe andato perduto. Pappo fornì con la Collectio un testamento unico dell’antica analisi geometrica, la cui vera influenza si dispiegò solo nel Rinascimento (fr:6037). Eutocio, con la sua edizione di Archimede e Apollonio, “made the difference between the survival and the extinction of the Conics.” – (fr:6039). Fu questo, insieme alle occasionali testimonianze di ricerche geometriche classiche che egli conserva, un contributo non piccolo alla matematica del suo tempo e di quello successivo (fr:6040).

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14 La trasmissione di un testo scientifico: il caso della trisezione dell’angolo di Thābit ibn Qurra

Il testo costituisce un’analisi filologica e storica della tradizione manoscritta araba di un trattato sulla trisezione dell’angolo, attribuito al matematico Thābit ibn Qurra. L’indagine si concentra sulle relazioni tra le diverse versioni del testo, sul loro rapporto con le fonti greche (Apollonio, Pappo, Eutocio) e sulla natura del processo di traduzione e interpolazione. L’argomento centrale è la determinazione dell’origine e dell’autenticità delle sezioni che compongono il testo C.

Una prima questione riguarda la variabilità intrinseca al processo traduttivo, anche in contesti altamente tecnici. Dopo aver confrontato la versione araba di una proposizione con il testo delle Coniche, si osserva che la versione araba «può quindi essere vista come una traduzione indipendente di questa proposizione dalle Coniche, a condizione che il traduttore non abbia consultato l’arabo delle Coniche per assistenza» (fr:7028). Il confronto testuale conferma che «nessuna consultazione del genere fu tentata» (fr:7029), fornendo così «una misura della variabilità comportata dal processo di traduzione, anche laddove, come qui, il testo di partenza segue una terminologia tecnica del tutto standard e i traduttori mirano a produrre una resa letteralmente fedele» (fr:7030).

L’analisi si addentra poi in minuziosi confronti testuali, come la collazione della sezione iniziale di C con Coniche II, 4 (testo C2). Vengono elencate discrepanze specifiche, come la presenza o l’omissione di termini: ad esempio, «qualsiasi (rna) : C2 omette» o «le linee AB, AG : C2 le linee su cui AG, AB» (fr:7048). Un’omissione significativa in C, ovvero l’assenza della frase «E ciascuno dei quadrati GD, DB è uguale a un quarto della superficie di DE per H», è spiegata come probabile «aplografia» (fr:7051), una perdita testuale dovuta a un salto dell’occhio del copista su termini simili (homoion teleuton).

Il testo mette in luce una peculiarità terminologica di Thābit. Nella sezione iniziale di C, come in C2, appare il termine arabo standard per iperbole, qaṭ‘ zā’id. Tuttavia, più avanti, Thābit introduce la curva con una perifrasi inusuale: «la sezione chiamata ubirbuli» (fr:7149), una traslitterazione del termine greco hyperbolē. Questa scelta è descritta come «difficilmente un modo per ricordare al lettore la precedente apparizione del lemma sulla costruzione di questa curva» (fr:7150), sollevando dubbi sull’unità autoriale del testo.

L’ipotesi che questa interpolazione sia opera del copista al-Sijzī viene scartata, poiché egli è «meticoloso nella sua specificazione delle fonti in tutto il codice» (fr:7152). Appare più probabile che «l’interpolazione sia stata fatta nel testo di Thābit prima che giungesse nelle mani di al-Sijzī» (fr:7153), nonostante la bassa frequenza di discrepanze scribali che accompagnerebbe una simile interposizione sia «notevole, ma difficilmente implausibile» (fr:7154).

Un confronto più ampio tra le versioni B (di Aḥmad), B2 (Pappo) e C (Thābit) rivela una struttura logica di base comune: un lemma sulla costruzione dell’iperbole, un lemma per effettuare la neusis tramite l’iperbole, e la trisezione dell’angolo. Tuttavia, emergono differenze cruciali. Thābit e Aḥmad «mancano dell’analisi che Pappo include» (fr:7121) e Thābit, a differenza di Pappo, «colloca il lemma per primo e fornisce solo la sintesi» (fr:7124).

Nonostante le somiglianze strutturali, un’analisi dettagliata esclude che la versione di Thābit sia un derivato o un miglioramento di quella di Aḥmad. Le loro scelte terminologiche «decisamente non lo sono» (fr:7156). Ad esempio, per il prodotto di due linee, Aḥmad usa «semplicemente “AB per GD”», mentre Thābit impiega «espressioni più lunghe, ma non più chiare» (fr:7158). Una differenza sostanziale è nella formulazione della neusis: Aḥmad cerca di posizionare una linea tale che «ciò che cade tra GD e BG» eguagli una linea data (fr:7169), mentre Thābit cerca di tracciare una linea tale che «ciò che sottende l’angolo G da essa» sia uguale a una linea data (fr:7171). Qui, il segmento dato è visto come sotteso a un angolo, piuttosto che compreso tra due linee. Questa divergenza è interpretata come il riflesso di diverse espressioni nelle rispettive fonti greche: «Entrambe le forme hanno precedenti antichi» (fr:7229).

L’evidenza testuale, in particolare la citazione di Coniche II, 12, porta a una conclusione dirimente. L’enunciato del teorema in Thābit «è in accordo letterale con il greco di Apollonio», ma Thābit «non dà segno di seguire l’arabo come modello» (fr:7202). Al contrario, si discosta dalla traduzione araba delle Coniche per rimanere più fedele al greco. Un esempio calzante: dove il traduttore delle Coniche parla di linee che «contengono un angolo qualsiasi», Thābit parla di linee estese «ad angoli qualsiasi che capitino», concordando più strettamente con il greco «condotte ad angoli casuali (en tychousais goniais)» (fr:7204). Ne consegue che «la versione di Thābit della trisezione dell’angolo deve essere vista come una traduzione dal greco, non meno di quanto lo sia quella di Aḥmad» (fr:7218), e che entrambi i traduttori produssero «la propria traduzione indipendente dal greco» (fr:7215).

L’analisi culmina in una proposta di schema di trasmissione. Si ipotizza un trattato originale (i) composto intorno all’epoca di Apollonio, inserito in un corpus di problemi solidi, che usava la forma di neusis con riferimento all’angolo. Una versione leggermente rivista (ii) adottò la forma a due linee e aggiunse il corollario sull’angolo ottuso. Pappo riprese questa versione con modifiche minori (iii). Rielaborazioni separate e indipendenti di questi archetipi, con la comune rimozione delle analisi, avrebbero generato la fonte di Aḥmad (dal ramo ii) e quella di Thābit (dal ramo i). Questa ricostruzione spiega le peculiarità del testo di Thābit, come la sua formulazione più generale del lemma della neusis e l’assenza della trattazione separata per i casi di angolo retto e ottuso, caratteristica invece di un «ripensamento su un punto di questo genere» tipico dei «redattori successivi» (fr:7234).

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15 Tradizione e varianti della prima proposizione della Misura del cerchio di Archimede

Da un esame delle antiche testimonianze emerge una visione stratificata della prima proposizione dell’opera archimedea Sulla misura del cerchio (Kyklou Metrēsis). La versione giunta fino a noi è, per ammissione unanime, un estratto ampiamente rimaneggiato: “Scholars have long noted that the extant version of the Dimension of the Circle (Kyklou Metresis) is at best an edited extract from the original composition” – (fr:8387) [Gli studiosi hanno da tempo notato che la versione esistente della Misura del cerchio è al più un estratto rimaneggiato della composizione originale]. Eppure, anche in questa forma, “a close reading reveals unexpected subtleties, and for all its brevity it represents well the objectives and methods evident throughout the Archimedean corpus” – (fr:8386) [una lettura attenta rivela sottigliezze inaspettate e, nonostante la brevità, rappresenta bene gli obiettivi e i metodi evidenti in tutto il corpus archimedeo]. L’indagine condotta in questo capitolo si concentra sulla prima proposizione e sulla pluralità delle sue formulazioni presso i commentatori antichi, mettendo a confronto il testo ricevuto (DC) con le redazioni di Pappo (P) e Teone (T).

Il testo attuale della prima proposizione recita: “Every circle is equal to a right-angled triangle of which the (line) from the center [sc. the radius of the circle] is equal to one of the (sides) about the right (angle), and the perimeter (is equal) to the base.” – (fr:8400‑8401) [Ogni cerchio è uguale a un triangolo rettangolo del quale la linea dal centro è uguale a uno dei lati intorno all’angolo retto e il perimetro alla base]. Tre testimoni di V‑VI secolo – Proclo, l’anonimo autore dell’Introduzione all’Almagesto ed Eutocio – confermano questa forma (fr:8402‑8409). Tuttavia, se si risale a testimonianze più antiche la formulazione cambia radicalmente. Lo stesso Archimede, nel Metodo, cita il risultato in questi termini: “… every circle is equal to a triangle having as base the periphery of the circle, and (its) altitude equal to the (line) from the center of the circle” – (fr:8411) [ogni cerchio è uguale a un triangolo avente come base la periferia del cerchio e altezza uguale alla linea dal centro]. Questa seconda dizione, che non specifica triangolo rettangolo ma solo base e altezza, è in perfetta sintonia con lo stile di altri enunciati archimedei, come quello sul segmento parabolico (fr:8412‑8413).

Il contrasto è netto: “in DC one speaks of the legs of a triangle conceived specifically as a right-angled triangle, whereas in the other statements from Hero and Archimedes, this triangle is specified only as having its altitude and base of given dimensions” – (fr:8416) [in DC si parla dei cateti di un triangolo concepito specificamente come triangolo rettangolo, mentre negli altri enunciati di Erone e Archimede questo triangolo è specificato solo come avente altezza e base di dimensioni date]. La restrizione al triangolo rettangolo è, in realtà, “superfluous and distracts from the intuition underlying Archimedes’ result: that the circle can be conceived as a sort of wrapped-around triangle” – (fr:8417) [superflua e distrae dall’intuizione che sta alla base del risultato di Archimede: che il cerchio può essere concepito come una sorta di triangolo avvolto su sé stesso].

Accanto alla forma «triangolare» esiste una tradizione parallela, espressa nella forma del «prodotto», che Erone cita direttamente dalla Misura del cerchio: “Archimedes proves in the Dimension of the Circle that the product of the periphery of the circle and the (line) from the center is double of the circle” – (fr:8421) [Archimede dimostra nella Misura del cerchio che il prodotto della periferia del cerchio e della linea dal centro è doppio del cerchio]. La medesima espressione si ritrova identica in Pappo e Teone (fr:8432, 8433, 8441). Il «prodotto» – spiega il testo – è l’abbreviazione per «il rettangolo compreso dalle linee A e B» (fr:8425), e la sua natura computazionale è esplicitata da Tolomeo e nel corpus metrologico eroniano (fr:8427‑8431).

L’anonimo autore dell’Introduzione all’Almagesto fornisce la chiave per comprendere il rapporto tra le due forme. Egli cita il teorema due volte di seguito: “His odd double citation of Archimedes first phrases the theorem in the product form, then repeats it in the right‑triangle form of the extant DC. It thus becomes clear that the latter statement is an editorial intrusion, presumably by the compiler of the Introduction; apparently, that editor, active in the middle of the 5th century, no longer recognized the product form as an actual quotation of the Archimedean theorem, and so inserted a citation from the currently familiar version of DC” – (fr:8451‑8452) [La sua strana doppia citazione di Archimede enuncia dapprima il teorema nella forma del prodotto, poi lo ripete nella forma del triangolo rettangolo del DC esistente. Diventa così chiaro che la seconda formulazione è un’intrusione editoriale, presumibilmente del compilatore dell’Introduzione; quell’editore, attivo a metà del V secolo, non riconosceva più la forma del prodotto come una citazione effettiva del teorema archimedeo, e inserì quindi una citazione dalla versione corrente di DC]. La forma del triangolo rettangolo è quindi una tardiva revisione editoriale, mentre la forma del prodotto – corrispondente all’enunciato con triangolo qualsiasi – rappresenta la tradizione più antica e autentica.

La seconda metà del capitolo esamina nei dettagli le redazioni della dimostrazione del teorema del cerchio conservate da Pappo (nella Collezione, libro V) e da Teone (nel commento al I libro di Tolomeo), entrambe collocate in un contesto isoperimetrico. Le versioni sono allestite in parallelo nell’Appendice (fr:8461), e la loro analisi rivela una dipendenza testuale precisa: “It is clear that Theon’s text (T) somehow depends on Pappus’ (P)” – (fr:8479) [È chiaro che il testo di Teone (T) dipende in qualche modo da quello di Pappo (P)]. La fonte immediata di entrambi è un perduto commento di Pappo al I libro di Tolomeo (P), dal quale Teone riprende materiali che dichiara di epitomare da Zenodoro (fr:8472‑8475). Pappo esplicitamente dichiara di inserire la dimostrazione ”so as not to require the Archimedean collection (or: writing, syntagma) for the sake of this one theorem alone”* – (fr:8465) [per non dover richiedere la raccolta archimedea per questo solo teorema], confermando così che la sua fonte è un’opera archimedea indipendente.

Dal confronto puntuale emergono discrepanze istruttive. Entrambi i commentatori ricorrono alla procedura di esaustione basata sugli Elementi di Euclide XII,2, ma “Theon’s text … lacks a precise equivalent of [Pappus’ convergence statement]” – (fr:8480, 8511) [il testo di Teone manca di un equivalente preciso della dichiarazione di convergenza di Pappo]. La citazione esplicita di Euclide al punto [e], comune a P e T, è giudicata non originale: “The explicit citation of the Elements in [e], shared by both P and T, is doubtless not original to the Archimedean source; for citations of this kind are infrequent within the extant Archimedean corpus, and where they arise they are invariably suspect as later interpolations” – (fr:8484) [L’esplicita citazione degli Elementi in [e], condivisa da P e T, non è senza dubbio originale della fonte archimedea; poiché citazioni di questo genere sono rare nel corpus archimedeo esistente, e quando compaiono sono invariabilmente sospette come interpolazioni posteriori]. Inoltre, Pappo riempie in modo autonomo le lacune della fonte con un linguaggio modellato su Euclide (fr:8486‑8488; 8509‑8510), mentre Teone introduce miglioramenti formali che rendono il suo testo più nitido ma meno rappresentativo dello stato antico: “In all these respects, the variants held in T constitute improvements, albeit quite minor ones, in the formal precision of the argument. They are thus well understood as ameliorations introduced by Theon, so that the text of Pappus would seem better to represent the source version” – (fr:8504‑8505) [In tutti questi aspetti, le varianti presenti in T costituiscono miglioramenti, benché assai minori, nella precisione formale dell’argomentazione. Sono pertanto ben comprensibili come perfezionamenti introdotti da Teone, cosicché il testo di Pappo sembrerebbe rappresentare meglio la versione della fonte].

L’inferenza finale è che la fonte comune – direttamente o indirettamente l’originale archimedeo – non conteneva dettagli sulla procedura di convergenza: “I thus infer that here, as before, the common source was silent on the details of the convergence procedure, so that the commentators were compelled to devise their own explications” – (fr:8517) [Deduco quindi che qui, come in precedenza, la fonte comune taceva sui dettagli della procedura di convergenza, cosicché i commentatori furono costretti a escogitare le proprie spiegazioni]. Attraverso questo esame comparativo il capitolo getta le basi per una ricostruzione del prototipo testuale sottostante alle versioni di Pappo e Teone, che sarà contrapposto al testo ricevuto di DC (fr:8396, 8399). Emerge così un quadro della genesi del testo giunto a noi e del modo in cui i redattori antichi e medievali hanno trattato – e talvolta alterato – la lettera e lo spirito dell’argomentazione archimedea.

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16 L’analisi testuale delle versioni della dimostrazione sul teorema dei settori: P, T e la prova alternativa S

Il testo esamina le discrepanze fra tre versioni di una dimostrazione antica – indicate come P (Pappo), T (Teone) e S, una prova alternativa composta dallo stesso Pappo – allo scopo di ricostruire la fonte comune perduta. L’indagine si concentra su varianti lessicali, omissioni, aggiunte e sul diverso trattamento della procedura di convergenza, gettando luce sui processi di trasmissione e rielaborazione dei testi matematici tardo-antichi.

16.1 Discrepanze generali e scelte lessicali

L’autore osserva innanzitutto che la maggior parte delle divergenze prosegue uno schema già noto, come la predilezione di P per dizioni complete – ad esempio “the circle ABGD” (“il cerchio ABGD”) – e l’abitudine di dichiarare impossibile il risultato prima di spiegarne il motivo (fr:8526). Un caso esemplare è la resa del concetto di impossibilità:

“Note that P’s ‘impossible’ (adynaton) here appears as ‘absurd’ (atopon) in T; both are found in the general mathematical literature, but P’s term with considerably higher frequency than T’s.” – (fr:8527) [Si noti che l’“impossibile” (adynaton) di P compare qui come “assurdo” (atopon) in T; entrambi si trovano nella letteratura matematica generale, ma il termine di P con frequenza considerevolmente maggiore di quello di T.]

16.2 Varianti puntuali e sviste scribali

Differenze circoscritte rivelano chiari errori di copiatura. In [r], T omette la frase “to one of its tangencies” (“a una delle sue tangenze”), elemento richiesto dal testo: per l’autore si tratta senza dubbio di una svista scribale (fr:8528). Di segno opposto è il caso della chiusura [t], assente in P ma opportunamente aggiunta da T, perché P, senza di essa, risulta stranamente privo dell’enunciato conclusivo verso cui l’intera dimostrazione è indirizzata (fr:8529). Tuttavia, se quella chiusura era presente nella fonte, Teone l’avrebbe leggermente modificata per adattarla alla propria formulazione iniziale del teorema (fr:8530).

Un’altra discrepanza istruttiva si trova in [h], dove S conserva una riga omessa in P ma presente in T. Il confronto mostra che T contiene un lapsus (l’omissione di “greater”, “maggiore”) che ha prodotto un senso accettabile ma diverso (fr:8540). Poiché T non dipende da S bensì da P* (il perduto commento di Pappo al Libro I di Tolomeo), si deduce che [h] era effettivamente nella fonte usata da P, ma per qualche motivo – forse un errore scribale – fu omesso nella versione confluita nella Collezione di Pappo (fr:8541–8542).

16.3 La prova alternativa S: struttura e peculiarità

Dopo aver ricordato che Pappo, nel commento al Libro VI di Tolomeo, dimostra il teorema secondo cui le aree dei settori nello stesso cerchio stanno come gli archi corrispondenti (fr:8532), e ne deduce il corollario che il settore è la metà del prodotto dell’arco per il raggio (fr:8533), l’autore presenta la prova designata come S, composta da Pappo “a mo’ di commento” (fr:8534–8535). S è modellata strettamente su una versione del teorema del cerchio, e perciò offre ulteriori indizi sulla fonte comune a P e T (fr:8535).

Nel complesso, S aderisce bene alla struttura e alla formulazione di P. Per esempio, là dove P inserisce la procedura di convergenza in [f], S fa lo stesso, ma in termini che rivelano ancora più chiaramente la dipendenza da Elementi XII, 2 (fr:8536–8537). In [i], invece, S si discosta da P omettendo il riferimento al prodotto dell’arco circolare e del raggio e al suo essere maggiore del prodotto del corrispondente arco rettilineo e della perpendicolare; cosicché l’inferenza in [k] giunge senza adeguata preparazione (fr:8538). L’autore non vi scorge tuttavia indizi di errore scribale, e suppone che Pappo abbia questa volta giudicato i passaggi intermedi sufficientemente ovvi da non doverli esplicitare (fr:8539).

16.4 La procedura di convergenza: P, T e il tentativo di S

Nella seconda metà della dimostrazione, S segue generalmente lo schema di P, senza le aggiunte di T. Mentre P e T, ciascuno a proprio modo, tentano di giustificare la convergenza in [m], [o] e [p], S introduce in [n] un diverso approccio, facendo ricorso a un poligono “simile” a quello già usato in [g] per le figure inscritte (fr:8543). L’autore ravvisa qui l’influsso del trattamento archimedeo della convergenza nei teoremi iniziali di Sfera e Cilindro I: per ogni poligono inscritto in un cerchio o settore si prende il corrispondente poligono circoscritto simile, mostrando che il rapporto delle loro grandezze può essere reso arbitrariamente prossimo a 1:1 (il testo ha “1:150”, probabilmente un refuso tipografico), sicché la differenza tra le aree può essere resa arbitrariamente piccola (fr:8544).

Tuttavia S sbaglia nell’applicare questi risultati, perché trascura che l’area D sotto l’ipotesi della seconda parte della dimostrazione ha una relazione quantitativa con l’area del settore diversa da quella che ha sotto la prima ipotesi (fr:8545). In linea di principio l’approccio è valido, ma non è stato condotto con precisione (fr:8546). Da ciò, e dal fatto che S diverge sia da P sia da T nella concezione della procedura di convergenza, si inferisce che Pappo, in assenza di un modello chiaro nella fonte, abbia fornito una propria elaborazione per quel passaggio (fr:8547).

16.5 Peculiarità terminologiche

Chiudono l’analisi alcune notazioni su singole stranezze lessicali. Il termine “since” (epeiper) in [r] risulta problematico e non viene sanato dall’emendamento di Rome in “moreover” (etiper) (fr:8549). Il confronto con P suggerisce che in origine vi fosse “let there be joined” (epezeuchthō), poi alterato forse per influsso di “since” (epei) all’inizio della frase successiva (fr:8550). L’uso scorretto di “segments” (tmēmata), invece, va ascritto interamente a Pappo (fr:8551).

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17 La formazione del testo della Dimensione del cerchio e la sua tradizione antica

L’analisi comparata delle versioni di Pappo, Teone e del testo superstite svela i meccanismi di trasmissione, le interpolazioni e le strategie editoriali che hanno plasmato uno dei trattati archimedei più studiati.

Il testo indaga la storia della tradizione manoscritta del De dimensione circuli di Archimede, concentrandosi sul rapporto tra i testimoni principali – P (Pappo), T (Teone), S (una versione anonima) e il testo greco pervenuto (DC) – e ricostruendo le fasi che portarono alla forma oggi nota. Il teorema del cerchio è collocato nel suo contesto originario: “The circle theorem is auxiliary to proving that the circle is greater than any regular polygon whose perimeter equals the circumference of the circle” – (fr:8983) [Il teorema del cerchio è ausiliare alla dimostrazione che il cerchio è maggiore di qualsiasi poligono regolare di perimetro uguale alla circonferenza]. Le prime sezioni ripercorrono le conoscenze geometriche presupposte, come i teoremi sui segmenti circolari esposti da Pappo nella Collectio V, 11‑18 (fr:8988‑8989), tra cui la proporzionalità delle circonferenze ai diametri e dei settori agli archi. Tali risultati, osserva l’autore, “long antedate Zenodorus” – (fr:8999) [precedono di molto Zenodoro] – e affondano le radici nello stesso Archimede e in Ippocrate di Chio.

Il cuore dell’argomentazione è la ricostruzione della fonte comune (A) e della versione perduta di Pappo (P). Il principio guida è enunciato all’inizio del capitolo 2: “Where P and T are in verbatim agreement, they must both be transcribing the source P; but where they are significantly divergent, as in their handling of the convergence arguments, the source must have been tacit, leaving the commentators to their own resources to supply what is missing” – (fr:9009) [Dove P e T concordano alla lettera, devono entrambi trascrivere la fonte P*; dove divergono in modo significativo, come nella gestione degli argomenti di convergenza, la fonte doveva essere silente, lasciando ai commentatori il compito di colmare le lacune]. L’ipotesi è che Pappo, nel suo commentario perduto, seguisse con minime modifiche una più antica fonte archimedea A, mentre il testo DC sia il prodotto di un rimaneggiamento posteriore. Punti di forza di questa ricostruzione sono le concordanze fra le citazioni di Erone e la forma adottata da Pappo: “as Hero cites both the circle theorem and the sector theorem […] in essentially the same form used in A, we may infer that the version consulted by Pappus was already known to Hero three centuries earlier” – (fr:9025) [Poiché Erone cita sia il teorema del cerchio sia quello del settore […] sostanzialmente nella stessa forma usata in A*, possiamo dedurre che la versione consultata da Pappo fosse già nota a Erone tre secoli prima]. Ciò conferisce ad A un’ottima pretesa di rappresentare la versione archimedea della fine del III secolo a.C.

L’esame ravvicinato della prima metà del teorema (passi [b]‑[k]) e poi della seconda ([l]‑[t]) porta alla luce le peculiarità stilistiche che allontanano DC dalla tradizione P‑T. Sebbene la struttura della dimostrazione sia la stessa, DC si segnala per una concisione spinta: omette sistematicamente le formulazioni con prodotto presenti in A* (fr:9040, 9058) e introduce una terminologia anomala. Vengono censite quattro idiosincrasie: l’uso di Me (“at last less than …”), l’impiego di euthygrammon (“figura rettilinea”) laddove sarebbe più naturale polygonon, la presenza sospetta di eti (“further”) e la preferenza per atopon (“assurdo”) al posto del più frequente adynaton (“impossibile”) (fr:9046‑9052). Tali tratti suggeriscono che DC sia stato “rather freely adapted by an editor whose stylistic preferences tend to clash with those both of his sources and of the Archimedean corpus generally” – (fr:9053) [piuttosto liberamente adattato da un editore le cui preferenze stilistiche tendono a scontrarsi sia con quelle delle sue fonti sia con il corpus archimedeo in generale]. Un errore terminologico macroscopico compare in [p], dove si legge tomeus (“settore”) invece di tmema (“segmento”) (fr:9056).

Il dato più rilevante per la cronologia e la genealogia del testo è il legame tra DC e Teone. Mentre per le figure inscritte DC esplicita un argomento di convergenza che in T è solo presupposto, per le figure circoscritte accade il contrario: in [m] DC fornisce una versione abbreviata, mentre T sviluppa un lemma completo. Il confronto sinottico – corredato dalle Figure 1 e 2 (fr:9068) – mostra che l’intero argomento di DC è contenuto nel lemma di Teone. “It follows that DC must depend on T, either directly or via an intermediary version, whence that the editor of DC, in the treatment of the circumscribed figures at DC: [m], has abridged Theon’s lemma” – (fr:9072) [Ne consegue che DC deve dipendere da T, direttamente o tramite una versione intermedia, e che l’editore di DC, nel trattamento delle figure circoscritte, ha abbreviato il lemma di Teone]. Lo schema complessivo della tradizione è sintetizzato in una tavola: l’originale archimedeo → A* → P* (perduto) → P e T; S attinge ad A*; DC è una condensazione tarda fondata su T (fr:9077). L’intervallo di composizione di DC viene così circoscritto: posteriore al commento di Teone a Tolomeo (dopo la metà del IV secolo) e anteriore a Eutocio (inizi del VI secolo), che già lo cita come autentico (fr:9082).

L’autore si spinge a ipotizzare un possibile coinvolgimento di Ipazia, dato che lo stile di DC non trova forti paralleli in Teone e che la filosofa alessandrina, collaboratrice del padre, era attiva nell’edizione di testi matematici antichi; tuttavia, in assenza di suoi scritti, si limita a registrare la possibilità (fr:9085‑9089).

Un ultimo aspetto messo in luce è il silenzio di A* – e dello stesso DC – su due punti delicati: la giustificazione del fatto che la circonferenza è minore del perimetro di ogni poligono circoscritto (fr:9091) e l’esplicitazione delle procedure di convergenza per le figure inscritte e circoscritte (fr:9096). Il primo si può ricondurre ai postulati di Sfera e cilindro I, ma il testo non li richiama mai, segno forse di una fase arcaica della ricerca archimedea in cui tali assunzioni erano ancora da precisare. Il secondo rivela come la trattazione originaria potesse dare per scontato il ricorso al metodo di esaustione di Euclide, Elementi XII 2, lasciando ai commentatori il compito di esplicitarlo.

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18 La tradizione testuale del “De mensura circuli” di Archimede: il ruolo del prototipo DC* e le sue relazioni con Teone

L’esame delle varianti tra il manoscritto greco DC e la versione arabo‑medievale AF rivela come AF conservi un testo più antico e completo (il prototipo DC*), modellato sull’edizione di Teone (T), mentre DC ne costituisce un riassunto fortemente abbreviato e talora difettoso, offrendo una chiave per ricostruire la genealogia della tradizione archimedea e il suo contesto storico tra IV e VI secolo.

Il punto di partenza è il riconoscimento di numerose discrepanze fra il testo greco tradito in DC e quello conservato dalla famiglia medievale AF. “1, however, there are numerous discrepancies between the texts in DC and AF.” – (fr:9458) [1, tuttavia, vi sono numerose discrepanze fra i testi di DC e AF.] T. Satō, utilizzando LG come rappresentante della recensione medievale, aveva già osservato che “Since the medieval version invariably preserves more satisfactory readings, in better keeping with general usage in the ancient Archimedean tradition than DC is, Sato argues that the Greek prototype underlying the medieval tradition must be a better text form than DC.” – (fr:9460) [Poiché la versione medievale conserva invariabilmente lezioni più soddisfacenti e meglio allineate all’uso generale dell’antica tradizione archimedea di quanto non faccia DC, Satō sostiene che il prototipo greco soggiacente alla tradizione medievale debba essere una forma testuale migliore di DC.] Tuttavia, egli non identifica quel prototipo con l’originale di Archimede: “he suggests that some later scholar, like Theon of Alexandria, may have been responsible for it.” – (fr:9461) [suggerisce che un qualche erudito posteriore, come Teone di Alessandria, possa esserne stato responsabile.]

L’indagine presente intende affinare questa ipotesi, perché “From the evidence of the ancient versions, as examined in chaps. I and 2, however, we have perceived signs of DC’s specific dependence on Theon (T) as source.” – (fr:9462-9463) [Dall’esame delle versioni antiche, condotto nei capitoli I e 2, abbiamo invece percepito segni di una specifica dipendenza di DC da Teone (T) come fonte.] Di conseguenza, “the close relation of the medieval recension to DC is textually more significant than Sato has supposed.” – (fr:9464) [la stretta relazione della recensione medievale con DC è testualmente più significativa di quanto Satō abbia supposto.] Il progetto centrale diventa allora “to examine the discrepancies between AF and DC, and to see how these relate to the text of T.” – (fr:9466) [esaminare le discrepanze tra AF e DC e vedere come esse si rapportino al testo di T.] L’obiettivo è descrivere con maggior precisione il modo in cui tanto DC quanto il prototipo delle versioni medievali (designato DC*) dipendono dall’antica tradizione editoriale.

La superiorità del testo medievale rispetto a DC è subito percepibile. “The superiority of the medieval text relative to DC is readily perceived.” – (fr:9467) [La superiorità del testo medievale rispetto a DC è immediatamente percepibile.] Nel presentare le varianti principali, l’autore nota che “it will be seen that AF* gains support from the ancient tradition – in particular, from the version T held in Theon’s Commentary to Ptolemy.” – (fr:9468) [si vedrà come AF* riceva sostegno dalla tradizione antica, in particolare dalla versione T contenuta nel Commento di Teone a Tolomeo.] L’analisi è organizzata attraverso un confronto puntuale dei passi.

(a) L’enunciato della proposizione 1 esemplifica subito la differenza di qualità. In DC si legge: “DC: [b] Every circle is equal to a right-angled triangle, of which the (line) from the center is equal to one of the (sides) about the right (angle), while the perimeter (is equal to) the base.” – (fr:9472) [DC: [b] Ogni cerchio è uguale a un triangolo rettangolo, di cui la (linea) dal centro è uguale a uno dei (lati) attorno all’(angolo) retto, mentre il perimetro (è uguale) alla base.] La sintassi è maldestra: il pronome “of which” dovrebbe riferirsi a “triangolo” ma per senso deve riferirsi a “cerchio”. Al contrario, il dettato di AF è privo di ambiguità: “AF: [b] Every circle is equal to the right-angled triangle, of which one of the two sides which contains the right angle is equal to half of the diameter of the circle and its other side is equal to the line containing the circle [sc. the circumference].” – (fr:9475-9476) [AF: [b] Ogni cerchio è uguale al triangolo rettangolo di cui uno dei due lati che contengono l’angolo retto è uguale alla metà del diametro del cerchio e l’altro lato è uguale alla linea che contiene il cerchio [sc. la circonferenza].] La bontà di questa formulazione riceve conferma autorevole: Eutocio, nel suo commento, riporta un enunciato parallelo; e “the agreement with AF on the wording indicates that the enunciation of the theorem in Eutocius’ source agreed with AF rather than DC.” – (fr:9479) [l’accordo con AF sulla formulazione indica che l’enunciato del teorema nella fonte di Eutocio concordava con AF piuttosto che con DC.] Anche un anonimo scritto isoperimetrico premesso all’Almagesto cita la medesima versione. La spiegazione più diretta è che “the prototype of the medieval tradition, DC, is the form of the text quoted by these ancient commentators, and that the extant DC is a subsequent modified version of DC.” – (fr:9481) [il prototipo della tradizione medievale, DC, è la forma del testo citata da questi commentatori antichi, mentre l’attuale DC è una versione modificata successiva di DC.]

(b) L’inizio della dimostrazione per assurdo rivela parentele ancora più stringenti. DC ha una versione drasticamente abbreviata: “DC: [e] For if possible, let the circle be greater.” – (fr:9485) [DC: [e] Se possibile, sia il cerchio maggiore.] Al contrario, AF e T condividono una formulazione analoga: “AF: [d] For if it is not thus, then the circle is greater or less than it [sc. the triangle E]. [e] Then let it first be greater than it.” – (fr:9486-9488) [AF: [d] Se infatti non è così, allora il cerchio è maggiore o minore di esso [sc. il triangolo E]. [e] Sia esso dapprima maggiore.] “T: [d] For if not, either it [sc. the area D] is less than it [sc. the circle] or greater. [e] Let it first be less.” – (fr:9489-9492) [T: [d] Se no, o esso [sc. l’area D] è minore di esso [sc. il cerchio] o maggiore. [e] Sia dapprima minore.] Poiché la linea manca nelle versioni greche alternative P e S, è probabile che essa sia un’innovazione introdotta da Teone. Il fatto che AF (e quindi DC) la contenga colloca quella tradizione proprio sulla linea di T. Nello sviluppo successivo della seconda parte della prova, si osserva un analogo schema di abbreviamento progressivo: ”Again, one perceives a pattern of successive modification from T to DC* (as in AF) to DC.” – (fr:9503) [Ancora una volta si percepisce un modello di modificazione successiva da T a DC* (come in AF) a DC.] In particolare, l’inserimento di “possible” al punto [e] di DC è una semplice anticipazione della formulazione usata più avanti. Nell’insieme, ”the simplest textual scheme would be to assume that the prior source T has been modified slightly by DC, and then DC in its turn has been considerably abridged by DC.”* – (fr:9505) [lo schema testuale più semplice consiste nel supporre che la fonte anteriore T sia stata leggermente modificata da DC, e che DC sia stata a sua volta considerevolmente abbreviata da DC.]

(c) La costruzione dei poligoni inscritti mostra con chiarezza il meccanismo: AF è molto più esplicito di DC e segue da vicino il modello offerto da Euclide, Elementi XII 2, con continui riferimenti alla bisezione degli archi, alla congiunzione delle corde e all’osservazione che ogni passo sottrae più della metà. DC invece è “the barest skeleton extracted from an account like that in AF.” – (fr:9515) [lo scheletro più spoglio estratto da un resoconto come quello di AF.]

(d) La parte conclusiva della prima metà della dimostrazione mette in luce una lacuna argomentativa di DC. In DC, l’affermazione che “la figura rettilinea è minore del triangolo E” non segue direttamente dai passi precedenti. AF la colma inserendo i prodotti (rettangoli) che legano il perimetro del poligono e la perpendicolare, osservando che il doppio del triangolo è maggiore del doppio del poligono e che quindi il triangolo è maggiore del poligono. T presenta una formulazione analoga ma più estesa. “Thus, in the provision of these product statements AF appears to modify a text like T by streamlining the repetitious wording (e.g., by incorporating [j] into [i]).” – (fr:9527) [Così, nel fornire queste relazioni di prodotto, AF sembra modificare un testo come T snellendo la formulazione ripetitiva (per es., incorporando [j] in [i]).] Inoltre, sia AF sia T includono l’uguaglianza delle “metà” dei prodotti, che DC tace del tutto. Nel passo finale, AF funge da ponte tra T e DC: tralascia l’ultima linea di T e muta “impossibile” (adynaton) in “assurdo” (arabo khulf, presumibilmente per il greco atopon), e in entrambi i particolari è seguito da DC. “Thus, the specific form in T provides an exact model for AF.” – (fr:9539) [Pertanto, la forma specifica in T fornisce un modello esatto per AF.]

(e) Le figure circoscritte ripetono lo schema. Anche in questo caso AF è più ricco di dettagli e mostra paralleli precisi con T. Per esempio, tutti e tre i testimoni osservano che determinati angoli sono retti: “T: ‘thus, the angles under EKL, EKM are right’ (Fig. 1); AF: ‘and NQ is perpendicular to ZT’ (Fig. 2); DC: ‘thus, the angle OAR is right’ (Fig. 3)” – (fr:9550-9553), con riferimento alle Figure 1, 2, 3. In un passaggio argomentativo successivo, AF segue la medesima struttura in quattro passi di T (marcata da “likewise”, “a fortiori”, i triangoli “interi” e le “figure contenute da” linee e archi), ma anticipa un’operazione di somma (synthenti), ottenendo il risultato senza il passo supplementare richiesto in T. DC, al contrario, riporta soltanto la conclusione finale. “This section is of particular significance for us, since it establishes a clear link between the medieval prototype and T, where the latter differs from the earlier tradition of the theorem (as in P).” – (fr:9574) [Questa sezione è per noi di particolare significato, poiché stabilisce un legame chiaro tra il prototipo medievale e T, laddove quest’ultimo si discosta dalla tradizione più antica del teorema (come in P).] Anche nella conclusione della costruzione, quando si tratta di ridurre i segmenti restanti, AF impiega una formulazione modellata su Euclide, mentre DC la condensa in poche parole. Il termine “sector” usato da DC potrebbe essere un neologismo, e si nota che DC conserva una sola volta l’aggettivo “simili” (homoioi), che invece AF inserisce otto volte, adottando una strategia intermedia fra l’esplicitazione completa euclidea e l’assunzione tacita di Teone.

(f) Nella conclusione complessiva della seconda parte AF amplia la versione scarna di DC con locuzioni confrontabili a quelle di T; anche qui omette i prodotti, ma mantiene un ponte fra i due testimoni. In particolare, AF sposta l’affermazione di impossibilità all’inizio, alterando la simmetria che T conservava, e in questo è seguito da DC, segno che l’innovazione risaliva già a DC*.

(g) Oltre il termine della proposizione 1 di DC, T e AF proseguono. T ribadisce l’identità del doppio dell’area con il prodotto di circonferenza e raggio; AF presenta un corollario in due parti. La prima corrisponde esattamente a T; la seconda, tuttavia, è problematica perché formula il risultato per il “triangolo” anziché per il “cerchio”, generando un’incongruenza. “Thus, the appearance of ‘triangle’ in (2) seems to be a mistake in AF.” – (fr:9622) [Così, la comparsa di “triangolo” in (2) sembra essere un errore in AF.] L’autore propende per un intervento successivo di un correttore, che ha mutato “cerchio” in “triangolo” credendo di chiarire, e osserva che la responsabilità potrebbe ricadere tanto su uno scoliaste greco quanto sul traduttore arabo.

La rete di dipendenze emersa dai punti (a)–(g) è sintetizzata in una tavola genealogica che parte dalla composizione originale archimedea, passa per recensioni antiche, il commentario perduto di Pappo, la versione T di Teone, e da qui si diparte in due rami: l’adattamento DC* (conservato in arabo in AF e poi nei derivati latini H, LP, LG) e il testo greco DC. “The pattern of textual dependence indicated by items (a) through (g) is set out in the accompanying table.” – (fr:9631) [Lo schema di dipendenza testuale indicato dagli elementi da (a) a (g) è esposto nella tavola annessa.] I dati mostrano che “the medieval versions, stemming from the Arabic prototype of AF, perpetuate the line of a Greek prototype (DC), which is clearly affiliated with the extant Greek version DC.” – (fr:9632) [le versioni medievali, che derivano dal prototipo arabo di AF, perpetuano la linea di un prototipo greco (DC*), chiaramente affiliato all’attuale versione greca DC.] Se a prima vista si potrebbe supporre che DC sia la versione anteriore e DC* un suo miglioramento, l’evidenza offerta da T spinge inequivocabilmente verso la priorità di DC. Infatti, là dove DC (rappresentato da AF) diverge da DC, trova costante sostegno nelle lezioni di T; un editore avrebbe avuto poco senso a ricostruire T sulla base di DC. ”Thus, when AF and DC agree in contradistinction to T, the reading in DC must be an inheritance from the Greek prototype DC.” – (fr:9638) [Così, quando AF e DC concordano in opposizione a T, la lezione di DC deve essere un’eredità proveniente dal prototipo greco DC*.] DC* funge quindi da ponte tra T e DC: per un verso condensa il trattamento di Teone (come quando assimila il suo lemma preliminare nel corpo della seconda metà della prova), per l’altro viene ulteriormente abbreviato da DC, talvolta a danno della coerenza argomentativa.

Anche le figure confermano questa relazione. Teone impiega due diagrammi palesemente incompatibili: per il lemma un quadrato circoscritto con il lato AB bisecato (Fig. 4a), per la dimostrazione principale un esagono inscritto con i corrispondenti punti di tangenza per il caso circoscritto (Fig. 4b). “In DC* a composite diagram like the second one in T is adopted, but the initial figures are squares, as in the lemma (Fig. 5).” – (fr:9649-9650) [In DC* si adotta un diagramma composito simile al secondo di T, ma le figure iniziali sono quadrati, come nel lemma (Fig. 5).] DC riprende la medesima figura e le stesse lettere per il caso inscritto, ma ruota il quadrato circoscritto di 45 gradi rispetto a DC*, ottenendo una letteratura completamente diversa per l’ottagono finale (Fig. 6). In entrambi i casi, viene incorporato l’equivalente del lemma di Teone.

Il testo di DC* manifesta inoltre una spiccata sensibilità per la simmetria della proposizione, più acuta che in T o in DC. Si notano coppie simmetriche come [e2]/[m1], [e3]/[p], [e4]/[r1], [g]/[r3], [i]/[r4]; solo l’assenza di un corrispettivo di [k] potrebbe spiegarsi con un’omissione scribale. “Nevertheless, the symmetry of DC* is notable, and, as we shall see in chap. 11, this has possible implications for identifying its author.” – (fr:9661-9662) [Nondimeno, la simmetria di DC* è notevole e, come si vedrà nel capitolo 11, ciò ha possibili implicazioni per l’identificazione del suo autore.]

Sul piano storico, le testimonianze medievali rafforzano il legame tra l’attività editoriale di Teone e la forma testuale di DC, corroborando l’ipotesi che l’edizione del trattato archimedeo sia stata influenzata dall’insegnamento di Teone e possa essere avvenuta nella sua cerchia. Eutocio (inizi VI sec.) cita la proposizione 1 nella forma delle recensioni medievali, e così pure, poco prima di lui, l’anonimo isoperimetrico; entrambi devono essersi riferiti a DC. Al contrario, la citazione di Proclo (metà V sec.) concorda con DC. ”Assuming the priority of DC, then, we would have to set its composition very close to Theon, at the end of the 4th century, in order to allow the derivative version DC time to become established as a standard Archimedean reference with Proclus.” – (fr:9669) [Ipotizzando la priorità di DC*, si dovrebbe collocare la sua composizione molto vicino a Teone, alla fine del IV secolo, per dare alla versione derivata DC il tempo di affermarsi come riferimento archimedeo standard presso Proclo.] Ma ciò creerebbe una sequenza scomoda: Eutocio continuerebbe a usare DC* mentre DC finirebbe per circolare insieme al suo stesso commento. Inoltre, risulterebbe oscuro il motivo per produrre una versione ridotta (DC) così a ridosso del suo modello. Appare quindi plausibile che il passo di Proclo sia un’interpolazione posteriore. Se si accetta questa ipotesi, l’edizione di DC potrebbe essere assegnata a un periodo successivo a Eutocio, e l’interpolazione in Proclo a un tempo ancora più tardo.

Infine, benché AF riproduca fedelmente il dettato di un DC* modellato quasi esclusivamente su T, si colgono alcuni apporti supplementari. L’imitazione del linguaggio di Euclide (Elementi XII 2) nelle costruzioni indica una consultazione diretta degli Elementi, operazione comunque alla portata di qualsiasi editore matematico antico. Interventi di copisti sono sospettati, come nell’errore sopra ricordato. Un altro esempio di slittamento linguistico è offerto dalle espressioni di prodotto, che nella versione araba (e nei testi che ne dipendono) assumono una veste più marcatamente “algebrica” rispetto all’ellittica formulazione geometrica greca. Infine, la locuzione anomala “if we have done like this according to what follows” (in arabo cala ma yatla), che traduce il greco “doing this continually” (aei), si è conservata in AF ed è confermata da LG e dall’edizione di Abū l‑Rāshid, segno di un intervento parafrastico deliberato, che altri traduttori hanno poi cercato di normalizzare.

Nell’insieme, il lavoro di collazione conferma che l’intera tradizione medievale di Archimede risale, attraverso DC*, a un adattamento dell’edizione di Teone, e che il codice greco DC non è altro che un suo riassunto fortemente contratto.

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19 Tradizione testuale e pratiche di traduzione nel “De mensura circuli” di Archimede

L’analisi delle varianti nella tradizione medievale rivela una fedeltà letterale dei traduttori e getta luce sulla trasmissione e sull’evoluzione del testo archimedeo.

Lo studio comparato delle versioni araba, ebraica e latina della Dimensione del cerchio di Archimede consente di ricostruire la storia del testo e di valutare il ruolo delle traduzioni medievali come testimoni delle opere antiche. Attraverso l’esame di passaggi specifici e di dettagli terminologici, l’autore discute interpolazioni, omissioni e attribuzioni, offrendo un quadro della meccanica della trasmissione del sapere matematico.

Uno degli esempi analizzati è la giustificazione della disuguaglianza QT > TB nella proposizione La versione araba AF introduce un passaggio aggiuntivo: “and because QZ and QT are greater than TZ, their half is greater than its half, so that line QT is greater than TF, which is equal to TB” – (fr:9698) [e poiché QZ e QT sono maggiori di TZ, la loro metà è maggiore della metà di essa, così che la linea QT è maggiore di TF, che è uguale a TB – Fig. 2]. Il passo (1) di questo ragionamento è assente nelle versioni T e DC, mentre le versioni H, LG e LP lo includono, segno che esso è entrato stabilmente nella tradizione medievale a partire da AF: ”The added step, however, is supported by H, LG, and LP, and it is even elaborated further by al-Tusi (see chap. 7), so its position is secure within the medieval tradition stemming from AF“ – (fr:9701-9703) [Il passo aggiunto, comunque, è sostenuto da H, LG e LP, ed è persino ulteriormente elaborato da al-Tusi (vedi cap. 7), cosicché la sua posizione è sicura entro la tradizione medievale derivante da AF*]. L’autore osserva che, essendo QT ipotenusa del triangolo rettangolo QTF, la conclusione QT > TF segue immediatamente da [m3] senza bisogno del passo (1). La sua introduzione in AF rappresenta una giustificazione alternativa, corretta ma ridondante, e va attribuita al redattore arabo di AF, forse motivata da una nota marginale nella sua fonte DC.

Il trattamento del corollario sul settore circolare (proposizione 1, [w]) illustra un altro aspetto della tradizione. AF, H e LG riportano il corollario, assente invece in DC. L’autore conclude che esso fosse assente anche in DC* e che la sua presenza in AF* sia opera del traduttore arabo. Tuttavia, la conoscenza che la misurazione del settore era già presente in una più antica fonte archimedea (A) anteriore a Pappo, e che Erone la formula in modo analogo, suggerisce che ”the sector corollary must have been written into DC* by its author, aware of the presence of the sector rule in the older tradition of Archimedes’ circle measurement” – (fr:9722) [il corollario sul settore deve essere stato scritto in DC* dal suo autore, consapevole della presenza della regola del settore nella tradizione più antica della misurazione del cerchio di Archimede]. La mancanza di qualsiasi dichiarazione sui settori in T spinge a indagare quali altre fonti siano confluite nella preparazione di DC.

L’esame complessivo delle varianti mostra che le versioni H, LP e LG sono in accordo verbatim con AF, per quanto possibile, e che AF stessa deve essere una resa fedele della sua fonte DC. Questo letteralismo dei traduttori medievali ne accresce il valore per lo studio testuale delle opere antiche, ma occorre distinguere le traduzioni iniziali dalle edizioni e dai miglioramenti successivi di redattori come al-Tusi, presso i quali ”textual fidelity becomes of little concern if it stands in the way of technical clarity or efficiency”* – (fr:9716) [la fedeltà testuale diventa di scarso interesse se ostacola la chiarezza o l’efficienza tecnica].

L’identificazione dei traduttori è affrontata tramite un confronto linguistico tra le versioni arabe del De mensura circuli (AF) e della Sfera e cilindro (ASC), e le corrispondenti versioni ebraiche (H e HSC). Le corrispondenze terminologiche e stilistiche indicano che AF e ASC provengono dallo stesso traduttore, identificabile con Qusta b. Luqa, anche grazie a una nota nel manoscritto ASC che menziona l’uso di un intermediario siriaco. Al contrario, H e HSC mostrano discrepanze significative nell’uso di termini come “poligono”, “rapporto” e “a fortiori”, il che suggerisce due diversi traduttori ebraici: HSC è attribuibile con certezza a Qalonymos b. Qalonymos, mentre per H si ipotizza Moshe ibn Tibbon, sulla base di tratti come la resa di fa- con fm ken.

L’intera indagine conferma che le traduzioni arabe ed ebraiche della Sfera e cilindro e della Dimensione del cerchio preservano varianti testuali significative. Con ulteriori studi, esse potranno integrare la comprensione della tradizione di queste e di altre opere antiche.

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20 Analisi della tradizione testuale del De mensura circuli di Archimede

Lo studio della tradizione manoscritta e delle citazioni antiche rivela un processo editoriale complesso, in cui l’ordine delle proposizioni e la formulazione degli enunciati nel testo greco superstite (DC) divergono dalla probabile forma originaria dell’opera, come attestato da versioni medievali e testimoni indiretti.

L’indagine sulla trasmissione del De mensura circuli si concentra sulle proposizioni 2 e 3, per le quali, a differenza della proposizione 1, mancano versioni alternative antiche paragonabili a quelle di Pappo e Teone. Tuttavia, le citazioni e le applicazioni dei risultati in autori come Erone forniscono indizi su una forma testuale diversa da quella del DC giunto fino a noi: “citations and applications of the results proved in props. 2 and 3, however, can be gleaned from Hero, Theon, and other sources, and these suggest certain ways in which the extant DC represents a text form different from that circulating in the early period” - (fr:10410) [citazioni e applicazioni dei risultati dimostrati nelle propp. 2 e 3, tuttavia, possono essere raccolte da Erone, Teone e altre fonti, e queste suggeriscono certi modi in cui il DC esistente rappresenta una forma testuale diversa da quella circolante nel primo periodo]. La collazione delle versioni araba (AF), ebraica (H) e latine (LP e LG) conferma la fedeltà letterale dei traduttori medievali, ma rivela anche che il loro testo per le proposizioni 2 e 3 differiva molto meno dal DC rispetto a quanto accadeva per la proposizione 1: “It also emerges that their text of props. 2 and 3 differed far less from the extant DC than was the case for prop. 1” - (fr:10413-10414) [Emerge anche che il loro testo delle propp. 2 e 3 differiva molto meno dal DC esistente di quanto non fosse il caso per la prop. 1].

Difficoltà logiche sono state a lungo rilevate contro la seconda proposizione del DC. L’enunciato, che afferma che il cerchio sta al quadrato sul diametro come 11 sta a 14, omette di segnalare la natura approssimativa di questa stima numerica nell’enunciazione stessa, sebbene il modificatore «approssimativamente» appaia più avanti nella dimostrazione: “by framing its enunciation thus: the circle has to the (square) on the diameter the ratio which 11 (has to) 14, it fails to signify the approximative nature of this numerical estimate” - (fr:10423) [formulando il suo enunciato così: il cerchio ha rispetto al (quadrato) sul diametro il rapporto che 11 (ha rispetto a) 14, non riesce a significare la natura approssimativa di questa stima numerica]. È arduo supporre che Archimede sarebbe stato così negligente nella sua espressione, specialmente considerando l’enunciato correttamente qualificato nella Metrica di Erone: “It is difficult to suppose that Archimedes would have been so careless in his expression, especially in view of the properly qualified statement in Hero’s Metrica” - (fr:10424). Eppure, tutte le versioni medievali adottano all’unanimità questa formulazione per l’enunciato, come nel DC

La dimostrazione della regola dell’area nel DC assume che la circonferenza sia approssimativamente 3½ volte il diametro, un risultato stabilito nella proposizione Ma è difficile considerare gli elaborati calcoli della proposizione 3 come un semplice elemento ancillare alla semplice derivazione della regola dell’area nella proposizione Al contrario, la proposizione 2 è meglio interpretata come un corollario minore della proposizione Si suppone dunque che il trattamento originale di Archimede adottasse un ordine inverso rispetto a quello del DC esistente: “one would suppose that Archimedes’ original treatment adopted an order the reverse of that in the extant DC” - (fr:10435) [si supporrebbe che il trattamento originale di Archimede adottasse un ordine inverso rispetto a quello nel DC esistente].

Erone cita l’equivalente della proposizione 2 in termini diversi: «Ora Archimede nel De mensura circuli dimostra che 11 quadrati sul diametro del cerchio diventano uguali, molto approssimativamente, a 14 cerchi»: “Now Archimedes in the Dimension of the Circle proves that 11 squares on the diameter of the circle become equal, very nearly, to 14 circles” - (fr:10439) [Ora Archimede nel De mensura circuli dimostra che 11 quadrati sul diametro del cerchio diventano uguali, molto approssimativamente, a 14 cerchi]. Questa forma del risultato, che coinvolge l’equazione di multipli di aree, sembra essere una modalità specificamente archimedea tra gli scrittori di metrica. Se l’enunciato originario seguisse questa forma (2a), ci si aspetterebbe una derivazione semplice: posto 7 volte la circonferenza uguale, molto approssimativamente, a 22 volte il diametro, il prodotto di ciascuna per il diametro sarà uguale; poiché il prodotto di circonferenza e diametro è 4 volte il cerchio, si trova che 28 cerchi equivalgono a 22 quadrati, ovvero 14 cerchi equivalgono a 11 quadrati.

Invece, il DC segue una linea diversa. Circoscritto un quadrato al cerchio dato, si estende uno dei lati di una lunghezza pari a 2½ volte il diametro; così, il triangolo rettangolo formato dal lato e dal suo prolungamento (= 3½ volte il diametro) e il raggio sta al triangolo formato dal solo lato e dal raggio nel rapporto di 22 a Quattro volte quest’ultimo triangolo equivale al quadrato del diametro, mentre il triangolo precedente equivale al cerchio (per la prop. 1). Ne segue che il cerchio e il quadrato hanno il rapporto di 11 a

Una linea problematica nel DC afferma che «si dimostrerà» (it shall be proved) che la base supera il triplo del diametro di un settimo, riferimento alla proposizione 3 successiva. Heiberg la considera un confuso tentativo di un interpolatore di rimediare all’ordine logico difettoso delle proposizioni. Tuttavia, l’equivalente di questa linea è presente nelle versioni medievali in una forma più soddisfacente: “the base GZ [of the triangle] is equal to its circumference, because the circumference of the circle is greater than three times its diameter by a seventh of the diameter, approximately” - (fr:10456) [la base GZ [del triangolo] è uguale alla sua circonferenza, perché la circonferenza del cerchio è maggiore di tre volte il suo diametro di un settimo del diametro, approssimativamente]. Le versioni medievali collocano diversamente queste linee: in AF si dice «è manifesto da ciò che abbiamo detto», riferendosi all’argomento precedente nella prop. 2, mentre la linea corrispondente nel DC dice «si dimostrerà», riferendosi alla prop. 3 che segue. Inoltre, omettendo di menzionare la circonferenza, il greco ottiene una premessa insufficiente, poiché la prop. 1 diventa applicabile solo quando la «base» è nota essere uguale alla circonferenza. Si nota lo stesso uso idiosincratico di «base» nell’enunciato della prop. 1 nel DC, ma non nel DC*, il prototipo delle versioni medievali.

La tradizione manoscritta offre ulteriori dettagli sulla cronologia: per l’edizione del DC si propone una data intorno alla metà del VI secolo: “a date around the middle of the 6th century is proposed for the editing of DC” - (fr:10199). Il manoscritto più antico del Commento di Proclo (M di Friedlein) è variamente datato al X, XI o XII secolo, mentre le Definizioni eroniane, una compilazione pseudonima contenente estratti da Proclo, sono conservate nei due manoscritti più antichi consultati da Heiberg (N e C, dell’XI e XIV secolo rispettivamente). È possibile che gli estratti eroniani derivino dal manoscritto M di Proclo: “It seems possible that the Heronian extracts are taken from ms. M of Proclus” - (fr:10204). Se il passo in questione è effettivamente secondario, questa evidenza lascia un ampio arco temporale, tra il VI e il X secolo, entro il quale l’interpolazione potrebbe essere avvenuta.

L’analisi testuale tocca anche la citazione di Archimede in Proclo. Il passo procliano, che menziona la quadratura del cerchio, presenta una sottile tensione: letto in isolamento, come avviene negli estratti procliani annessi alle Definizioni eroniane, il riferimento ad Archimede sembra indicare che il suo teorema mostri come risolvere la quadratura del cerchio. Ma Proclo stesso è cauto: “it is worthy of inquiry whether it is possible” - (fr:10193) [è degno di indagine se sia possibile]. Per lui, il teorema di Archimede dovrebbe essere irrilevante rispetto alla questione più profonda della risolvibilità del problema. Come intendono i commentatori, il teorema non dimostra la risolvibilità, ma la presuppone: “the theorem does not prove the solvability, but assumes it” - (fr:10196) [il teorema non dimostra la risolvibilità, ma la presuppone]. Vi è dunque motivo di dubitare che Proclo citerebbe Archimede in questo modo in tale contesto: “We thus have cause to doubt that Proclus would in this connection cite Archimedes in the manner done here” - (fr:10197) [Abbiamo dunque motivo di dubitare che Proclo in questo contesto citerebbe Archimede nel modo qui fatto].

Per quanto riguarda le figure, il testo contiene riferimenti a diagrammi nelle diverse versioni. Nella versione latina In Quadratum Circuli (forse di Platone di Tivoli), si trova: “Sit ergo circulus ABeD [Fig. 1] triangulo E in supradictis omnibus equus” - (fr:10228-10229) [Sia dunque il cerchio ABCD [Fig. 1] uguale al triangolo E in tutto quanto detto sopra]. Nella versione di Gherardo da Cremona (De Mensura Circuli), la figura è la 4: “Sit itaque circulus ABeD [Fig. 4] triangulo E equalis” - (fr:10249-10250) [Sia dunque il cerchio ABCD [Fig. 4] uguale al triangolo E]. Per la proposizione 2, la versione latina presenta: “Sit itaque linea AB circuli diametrus supra quem quadratum CG constituamus [Fig. 2]” - (fr:10310-10311) [Sia dunque la linea AB diametro del cerchio, sul quale costruiamo il quadrato CG [Fig. 2]], mentre la versione di Gherardo usa la Figura 5: “Exempli causa, sit linea AB [Fig. 5] diametrus circuli, et super ipsam quidem faciam quadratum HG” - (fr:10323-10324). Per la proposizione 3, la Figura 3 accompagna la versione latina e la Figura 6 quella di Gherardo, mentre la Figura 7 illustra la seconda parte della dimostrazione relativa al poligono inscritto: “Et sit circulus cuius diametrus sit AG [Fig. 7]” - (fr:10384) [E sia un cerchio il cui diametro sia AG [Fig. 7]]. Le tavole di facsimili delle versioni principali — araba, ebraica e latina — sono riprodotte con il permesso della Süleymaniye Library, della Biblioteca Apostolica Vaticana e della University of Wisconsin Press: “Facsimiles of the principal versions … are reproduced with the kind permission of the Süleymaniye Library (for the Arabic), the Biblioteca Apostolica Vaticana (for the Hebrew), and the University of Wisconsin Press and Marshall Clagett (for Clagett’s editions of the Latin versions)” - (fr:10217).

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21 Tradizione testuale e citazioni del teorema archimedeo sulla circonferenza

L’analisi comparata delle formulazioni del rapporto tra circonferenza e diametro rivela una rete di dipendenze testuali che, dall’antichità al medioevo, ha plasmato la trasmissione della Dimensio Circuli.

Il nucleo della testimonianza è costituito dai limiti stabiliti da Archimede: il perimetro del cerchio sta al diametro in un rapporto minore di 3 + 1/7 e maggiore di 3 + 10/71. Tolomeo e Pappo citano il teorema in una forma molto vicina a quella del trattato archimedeo. Pappo, in particolare, «reads like a direct citation of the Archimedean theorem from the named book (On the Circle), and in fact agrees almost verbatim with the statement from Archimedes’ Sand Reckoner» (fr:10498) [si presenta come una citazione diretta del teorema archimedeo dal libro intitolato Sul cerchio e concorda quasi alla lettera con l’enunciato dell’Arenario]. Lo stesso Tolomeo fornisce un valore intermedio: «the triple-and-a-seventh ratio is that of 3P 8’ 34” to I, while the triple plus 10 seventieths is that of 3P 8’ 27” to I; their mean is the ratio of 3P 8’ 30” to I» (fr:10497) [il rapporto triplo-e-un-settimo è quello di 3 + 8’ 34” a 1, mentre il triplo più 10 settantunesimi è quello di 3 + 8’ 27” a 1; la loro media è il rapporto di 3 + 8’ 30” a 1]. Questa formulazione conferma che i valori numerici della Dimensio Circuli giunta a noi derivano da una tradizione archimedea affidabile.

Il testo del DC si distacca però dagli autori precedenti nella veste linguistica. Mentre Tolomeo e Pappo usano il termine «plus (pros)», il DC adotta «and further (kai eti)» e, anziché «greater (meizon)», impiega «exceeds (hyperechei)» (fr:10503, 10504): «DC subscribes to a pattern of wording that diverges from the others» (fr:10505) [il DC aderisce a un modello espressivo che diverge dagli altri]. L’enunciato completo nel DC suona: «of every circle the perimeter is triple of the diameter and further exceeds by less than a seventh part of the diameter, but by more than ten seventy-firsts» (fr:10502) [di ogni cerchio il perimetro è triplo del diametro e inoltre eccede per meno di una settima parte del diametro, ma per più di dieci settantunesimi].

Teone funge da ponte tra le due tradizioni. La sua formulazione «is clearly a paraphrase of Pappus’, hence of no additional historical value» (fr:10499) [è chiaramente una parafrasi di quella di Pappo, quindi priva di valore storico aggiuntivo], ma quando introduce la locuzione alternativa «triple-and-a-seventh (triplasiephebdomos)» essa «stands out as a paraphrase, either of his own or from a source other than Archimedes’ writing» (fr:10500) [si distingue come parafrasi, sua o tratta da una fonte diversa dallo scritto archimedeo]. In un passo Teone concorda con Tolomeo, in un altro improvvisa alla maniera del DC, attingendo in entrambi i casi dai Commentari di Pappo (fr:10525-10526). Ciò suggerisce che le corrispondenze con il DC derivino da un’influenza di Teone, non il contrario.

Nelle applicazioni geometriche (Erone e il corpus metrico) si impiega soltanto il limite superiore. Erone osserva che i grandi numeri dei rapporti archimedei «are brought down to much smaller numbers, such as 22 to 7» (fr:10508) [sono ridotti a numeri molto più piccoli, come 22 a 7] e calcola la circonferenza moltiplicando il diametro per 22 e dividendo per Gli scoliasti, che dipendono da fonti a noi note – il commento di Teone e il DC –, mescolano le due formulazioni: uno esordisce con la frase «triple-and-a-seventh» di stampo teonino per poi «clearly imitates the wording of DC» (fr:10513-10514) [imitare chiaramente il dettato del DC]. Tuttavia, «their witness cannot be viewed as textually significant» (fr:10516) [la loro testimonianza non può essere considerata testualmente significativa]. Più tardi, Simplicio adotta una dicitura modellata sul DC, mentre i commentatori più antichi (Tolomeo, Pappo) citano il risultato in modo difforme, conforme all’Arenario (fr:10523-10524).

L’analisi delle varianti manoscritte rivela un’edizione del DC quasi immutata rispetto all’archetipo indicato come *DC**. Le discrepanze fra il DC e la versione araba AF sono minime. Tra queste, il commento «by alternating and composing» e la notazione che l’angolo ZEG «has been cut in half four times» sono assenti in AF (fr:10533-10534). Un passaggio intermedio – AK:KG < 36617’:1:240 – è omesso nel DC ma conservato in AF; Heiberg ritiene che tale omissione sia anomala e che AF «appears to represent better the correct Greek text» (fr:10536, 10538) [sembri rappresentare meglio il testo greco corretto]. Se le linee presenti solo nel DC fossero autentiche, fornirebbero indizi preziosi per la datazione dell’edizione, poiché Heiberg sospetta l’influsso del commento di Eutocio: «*The extant DC would thus be a post-Eutocian edition of DC**» (fr:10539-10540) [il DC giunto a noi sarebbe dunque un’edizione post-eutociana di *DC**].

Coincidenze di errori uniscono i manoscritti AF e LP: in entrambi «the large numbers are transmitted as < 34 > 9,450 and <2> 3,409, that is, both omit the coefficients 34 and 2 for the ten-thousands» (fr:10546) [i numeri grandi sono trasmessi come <34> 450 e <2> 409, cioè entrambi omettono i coefficienti 34 e 2 per le decine di migliaia]; inoltre omettono l’incremento frazionario “un ottavo” e scrivono “un quarto” al suo posto (fr:10547-10550). LG e DC, al contrario, conservano le lezioni corrette. Un fenomeno analogo si riscontra nella proposizione 1, dove LP e AF condividono una lezione corrotta per una figura mixtilinea (fr:10555-10560). Poiché è impossibile che Platone da Tivoli, attivo agli inizi del XII secolo, «could have consulted AF as such, the 13th century ms. Fatih 3414» (fr:10561) [abbia potuto consultare AF come tale, il manoscritto Fatih 3414 del XIII secolo], questi errori devono risalire a un archetipo arabo comune, confermando una rete di dipendenze che lega le versioni medievali dell’opera archimedea.

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[22.1/1-213-10567|10776]

22 L’antico sintagma archimedeo A* e le versioni parallele della Misura del cerchio

L’indagine sulla tradizione manoscritta dimostra che il più antico prototipo A* includeva già tutti i risultati principali dell’opera archimedea, in seguito trasmessi con varianti nella redazione greca e in quella araba.

Il passo si concentra sulla ricostruzione di un perduto “sintagma archimedeo” indicato come A, la più antica fonte consultata da Pappo. Secondo l’autore, questo nucleo primitivo conteneva un equivalente delle prime tre proposizioni del trattato convenzionalmente denominato DC** (una ipotetica forma originaria del De dimension circuli). Per la proposizione 1, A* offriva una formulazione corrispondente a quella tramandata da Pappo: “With regard to the older prototype A, the ‘:.<syntagma” consulted by Pappus, it held an equivalent ofDC* prop.” – (fr:10564) [Riguardo al più antico prototipo A, il “sintagma archimedeo” consultato da Pappo, esso conteneva un equivalente della prop. di DC] “1, now best represented by Pappus’ text P (see the reconstructed version in the Appendix to chap.” – (fr:10565) [1, oggi meglio rappresentata dal testo P di Pappo (si veda la versione ricostruita nell’Appendice al cap.)]. La regola dell’area vi era però espressa secondo il formato del prodotto, non tramite il triangolo rettangolo uguale di DC: “2), where the area rule is expressed in the product format, rather than in terms of the equal rightangled triangle of DC.” – (fr:10566) [2), dove la regola dell’area è espressa nel formato del prodotto, anziché nei termini del triangolo rettangolo uguale di DC*]. Al contempo A possedeva anche un equivalente della proposizione 2, con il rapporto 11 : 14 per l’area del cerchio, ma enunciato “in the alternative manner of Hero, as in passage (2a) above.” – (fr:10568) [alla maniera alternativa di Erone, come nel passo (2a) sopra citato]. È significativo che Teone non disponesse di una dimostrazione di questo risultato nella sua fonte archimedea: “Since, however, Theon appears not to have a pro£?fof this result in his Archimedean source, we infer that only its statement appeared there.” – (fr:10569) [Poiché, tuttavia, Teone sembra non avere una dimostrazione di questo risultato nella sua fonte archimedea, deduciamo che lì comparisse solo l’enunciato].

Per la proposizione 3 le testimonianze sono più ambigue. Erone e gli scrittori metricologi quando adoperano il rapporto 22 : 7 per la circonferenza lo attribuiscono ad Archimede, ma non specificamente alla Misura del cerchio. “With regard to the presence of an equivalent of DC prop. 3 in the older source, the evidence from Hero and the metrical writers is ambiguous; for when they use the 22:7 ratio to find the circumference, they ascribe it to Archimedes, but not specifically to the Dimension of the Circle.” – (fr:10570-10571). Tuttavia Tolomeo assegna esplicitamente i limiti 3 1/7 e 3 10/71 ad Archimede e, commentando il passo, Pappo nomina la fonte come “‘:.<’ book On the Circle.” – (fr:10572). Inoltre una citazione di Pappo che riporta la regola dell’area (proposizione 1) la attribuisce al “‘:.<’ book On the Circumference of the Circle” – (fr:10573-10574), specificazione che, benché probabilmente descrittiva e non il titolo esatto, dimostra che lo stesso libro conteneva sia la regola dell’area sia uno o più risultati sulla circonferenza, tanto da caratterizzare l’intera opera. Ciò indica quindi la presenza di un equivalente della proposizione “while this is likely to be only a loose descriptive designation, rather than a quotation of the actual title, it indicates that the same book that contained the area rule also included one or more results on the circumference - and that conspicuously enough to characterize the work itself-so that the presence of an equivalent of prop. 3 is indicated.”* – (fr:10574-10575).

Il risultato di DC* 2, che compare in qualche forma già in A, non è altro che un corollario della stima per eccesso (3 1/7) e non potrebbe essere affermato senza di essa. “The result in DC* prop. 2, which we have seen is present in some form in A, is little other than a corollary to the upper bound estimate ey,) and could not be asserted without access to it.” – (fr:10576-10577). Eutocio riferisce inoltre commenti di autori più antichi, come Sporo ed Eraclide, i quali implicano che le stime della proposizione 3 fossero già contenute nell’opera archimedea. “Furthermore, Eutocius reports comments about the Archimedean work from older writers, like Sporus and Heraclides, which imply that the estimates given in prop. 3 were contained in it.” – (fr:10578). La conclusione è netta: “38 Thus, the three propositions of DC were present in some form in the older source A.” – (fr:10580) [38 Così, le tre proposizioni di DC* erano presenti in qualche forma nella fonte più antica A*].

Resta però da verificare quanto fedelmente DC* abbia conservato quel nucleo originario: “The extent to which DC remained a faithful representative of that source, however, can be established only through consideration of other testimony bearing on Archimedes’ circle measurement. This is the project of the following chapter.”* – (fr:10581-10582) [Fino a che punto DC* sia rimasto un rappresentante fedele di quella fonte, tuttavia, può essere stabilito solo considerando altre testimonianze relative alla misura del cerchio di Archimede. Questo è il progetto del capitolo seguente].

L’Appendice I mette a confronto sinotticamente le traduzioni di due forme testuali delle proposizioni 2 e 3: la versione greca ricevuta (DC) e quella araba medievale (AF). “I here set in parallel the translations of two forms of the text of Archimedes’ Dimension ofthe Circle, props. 2 and 3: the received Greek version (DC) and the medieval Arabic version (AF).” – (fr:10585-10587). Per il greco si segue Heiberg, per l’arabo il manoscritto di Istanbul Fatih “For the Greek I have used the critical text of Heiberg, Arch. Op., I, pp. 234-242; for the Arabic, the text in the Istanbul ms. Fatih 341411, f. 4r-6v.” – (fr:10588-10590). La disposizione permette di osservare varianti significative: ad esempio AF enuncia la proposizione 2 come “The ratio of the area of every circle to the square of its diameter is as the ratio of 11 to ” – (fr:10595) [Il rapporto dell’area di ogni cerchio al quadrato del suo diametro è come il rapporto di 11 a 14], mentre DC formula lo stesso concetto in modo più sintetico: “The circle has to the square on the diameter the ratio of 11 to ” – (fr:10604). Nella proposizione 3, AF suddivide il ragionamento in due parti, numerando la seconda come una “prop. 4”, dedicata al poligono inscritto, mentre DC le tratta come prima e seconda parte della medesima proposizione. Le figure 1, 2 e 3 corredano le due versioni mostrando le costruzioni geometriche adottate.

L’Appendice II elenca le varianti delle versioni medievali ebraica e latina, basate sull’arabo. Il manoscritto ebraico (H) si interrompe dopo l’enunciato della proposizione 3, mentre la versione latina di Platone Tiburtino (LP) manca della seconda parte. “Note that H extends only through the enunciation of prop. 3, while LP lacks the second half of prop. ” – (fr:10708-10710). Viene inoltre segnalata la diversa rappresentazione dei numeri: AF impiega sistematicamente espressioni verbali, mentre LP adotta cifre “arabiche”. “The manner of expressing the numbers in props. 2 and 3 is diverse: AF adheres consistently to full verbal expressions, whereas the principal ms. of LP adopts ‘Arabic’ numerals” – (fr:10711-10713).

Le note finali raccordano l’analisi alle fonti antiche, citando Erone, Pappo, Teone e la tradizione geometrica araba dei Banū Mūsā, preparando il terreno per lo studio delle testimonianze medievali che verrà sviluppato nel capitolo “Related textual evidence drawn from the medieval tradition, in particular, the Arabic geometric tract of the Banu Musil. and the Latin tract De curvis superficiebus of Johannes de Tinemue will be considered in chap. ” – (fr:10755-10758).

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23 Ricostruzione delle Proposizioni Perdute del Prototipo Archimedeo

Il capitolo indaga le proposizioni perdute del trattato archimedeo originario, deducendone i contenuti dalle testimonianze di commentatori successivi come Erone e Pappo, e delineando il processo di epitomazione che portò alla versione giunta fino a noi.

Il capitolo si propone di ricostruire l’insieme delle proposizioni che costituivano la fonte archimedea più antica (A), ma che furono omesse dal redattore del prototipo medievale DC. L’indagine, come dichiarato in apertura, mira a comprendere meglio la “maniera del lavoro editoriale che ha prodotto DC” (”From this survey we will perceive better the manner of the editing that resulted in DC.” - fr:10949).

Sulla base della testimonianza esplicita della Metrica di Erone, sappiamo che la fonte archimedea presentava la regola dell’area per i settori circolari in un formato di prodotto, analogo a quello usato per il cerchio intero (“On explicit testimony from Hero’s Metrica, we know that the Archimedean source presented the area rule for circular sectors in the product format” - fr:10950). Una dimostrazione di questo teorema del settore si trova nel Commentario di Pappo al Libro VI di Tolomeo. L’introduzione a tale dimostrazione è rivelatrice: “In order not to require the Archimedean syntagma, in the scholia to the first book [sc. of Ptolemy] it has been proved that the (rectangle) under the perimeter of the circle and the line from its center is double the area of the circle.” - (fr:10955-10956) [Per non richiedere il syntagma archimedeo, negli scolii al primo libro è stato dimostrato che il rettangolo compreso dal perimetro del cerchio e dalla linea dal suo centro è doppio dell’area del cerchio.] Pappo dimostra poi la proporzionalità dei settori ai loro archi e, subito dopo, aggiunge una prova alternativa del teorema del settore, presumibilmente di sua invenzione (“As if to highlight this result, Pappus adds immediately after it an alternative proof, presumably of his own devising” - fr:10962). L’inferenza che ne deriva è che sia la prima dimostrazione di Pappo dell’area del settore, insieme al suo lemma sulla proporzionalità, fossero contenuti in A* (“We infer, then, that the first of Pappus’ proofs of the area of the sector, together with its lemma on the proportionality of sectors and arcs, was held in A.”* - fr:10969).

Un’analisi simile riguarda il teorema della proporzionalità tra diametro e circonferenza. Sia DC che DC* soffrono di una lacuna logica: la proposizione 3 calcola il rapporto senza aver prima dimostrato che esso è una costante. Questo teorema è però assunto in opere più antiche e la sua dimostrazione è assegnata esplicitamente ad Archimede da Erone, in un passo sulla meccanica: “For example, if diameter GE is double diameter ED, then arc EZG [sc. half the circumference of the former circle] is double arc EHD, as that is what Archimedes has proved.” - (fr:10987) [Per esempio, se il diametro GE è doppio del diametro ED, allora l’arco EZG è doppio dell’arco EHD, come Archimede ha dimostrato.]

L’esame si sposta poi sulle proposizioni relative ai segmenti circolari. Erone, nella Metrica, riferisce di una regola degli “antichi” per i segmenti minori di un semicerchio, per poi introdurre un risultato più sofisticato: il segmento è maggiore di quattro terzi del triangolo con la stessa base e la stessa altezza. La dimostrazione geometrica di questa disuguaglianza, inusuale per Erone, è condotta in modo sintetico e “precisamente alla maniera della dimostrazione di Archimede dell’area dei segmenti parabolici (Quadratura della Parabola, 18-24)” (“The method of proof is precisely in the manner of Archimedes’ proof of the area of parabolic segments (Quadrature of the Parabola, 18-24).” - fr:11015). Il testo evidenzia molti paralleli tecnici e verbali tra i due testi. Per esempio, nel lemma di sommatoria di Erone (I 27) si legge: “let there be however many (hosadepotoun) magnitudes, quadruple of each other, A, B, G, D”, che ad Archimede suona: “then let there be however many (hoposaoun) magnitudes lying in sequence, A, B, G, D, E, each quadruple of that following” (fr:11023). Nonostante ciò, lo studioso argomenta contro l’idea che Erone sia l’autore originale di questa prova, notando come il matematico non utilizzi poi questo risultato più accurato nel problema successivo della sua opera, dove invece avrebbe dovuto, suggerendo che egli “ha prelevato la prova da altrove e l’ha inserita in un resoconto della prima regola” (“far from originating this proof of the segment inequality, Hero has lifted it from elsewhere and spliced it into an account of the first rule” - fr:11033).

L’ipotesi che sia stato un autore post-archimedeo ad adattare la Quadratura della Parabola al segmento circolare incontra difficoltà tecniche: l’adattamento sarebbe stato condotto in modo inefficiente, non sfruttando la possibilità di una conclusione molto più rapida.

L’ultima parte del capitolo delinea la natura dell’opera che conteneva tutti questi risultati, A, che inizia ad assomigliare per forma al trattamento della sfera in Sulla Sfera e il Cilindro* (“Indeed, in shape, if not in magnitude, it begins to resemble Archimedes’ treatment of the sphere in the two books On the Sphere and Cylinder.” - fr:11104). Quest’opera è solo scarsamente rappresentata dalle versioni superstiti DC e DC. L’editore di DC sembra aver basato le sue dimostrazioni su autorità secondarie come Teone, e non sulla fonte archimedea primaria. Aspetti del trattamento in DC prop. 3 sono difficilmente attribuibili ad Archimede, come la “faticosa derivazione delle due identità geometriche su cui si basa l’algoritmo di calcolo” (“Specifically, the labored derivation of the two geometric identities on which the computing algorithm is based could well be the editor’s contribution” - fr:11121). Tuttavia, le cifre del calcolo sono considerate inequivocabilmente archimedee per la loro finezza computazionale (“It is thus clear that the computational figures extant in prop. 3 are due to Archimedes.” - fr:11131-11132).

La conclusione è un’ipotesi sorprendente: DC* non sarebbe una vera edizione dell’opera di Archimede, ma piuttosto una Introduzione al Dimensionamento del Cerchio di Archimede, “una raccolta delle sue parti più accessibili, tratte da resoconti secondari del lavoro di Archimede” (“we may do better to view DC* not as an actual edition of Archimedes’ writing, but rather as an Introduction to Archimedes’ Dimension of the Circle, that is, a collection of its more accessible bits, drawn from secondary accounts of Archimedes’ work.” - fr:11150). Un parallelo moderno a questo metodo di lavoro è addotto citando l’Introduzione al Syntaxis, un testo che consiste esclusivamente di estratti da altri commentari.

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[24.1/1-266-11508|11771]

24 Stratificazione testuale e interventi editoriali nel Commento di Eutocio alla Misura del cerchio

Il capitolo indaga la tradizione manoscritta del De dimensione circuli archimedea attraverso il commento di Eutocio, mostrando come la sua esegesi si fondi su un testo perduto (DC*) diverso dal greco superstite (DC), e come un successivo lavoro editoriale di Isidoro di Mileto abbia introdotto contaminazioni e materiali spuri.

L’indagine prende le mosse dal confronto fra le versioni medievali (araba AF, ebraica, latina) e il greco DC, da cui si è dedotto che DC è una redazione di un archetipo DC, adattamento di materiali archimedei confluiti in Teone e in altri commentatori. ”We now consider the parallel evidence from Eutocius. As an inspection of passages from his Archimedes commentaries reveals, Eutocius did not utilize a very old form of the text for his source, as Heiberg assumed, but rather DC.” (fr:11522–11523) [Consideriamo ora la testimonianza parallela di Eutocio. Dall’esame dei passi dei suoi commenti ad Archimede risulta che Eutocio non utilizzò come fonte una forma molto antica del testo, come Heiberg supponeva, bensì DC*.]

L’analisi parte dalla parafrasi che Eutocio fa della proposizione 1: “for having set out the right-angled triangle, he says, let it have [echeto] one of the (sides) about the right (angle) equal to the (line) from the center, the other (side equal) to the circumference.” (fr:11524) [Dopo aver disposto il triangolo rettangolo, dice, si ponga uno dei lati intorno all’angolo retto uguale alla linea dal centro, l’altro uguale alla circonferenza.] La formulazione segue il dettato medievale di AF e differisce da DC. Inoltre, due fonti greche – lo stesso Eutocio e l’autore isoperimetrico dell’Introduzione alla Sintassi – condividono questa lezione, attestando l’esistenza di DC* già all’inizio del VI secolo: “We thus have two Greek sources that, by here subscribing to the wording of the medieval version, attest to the existence of the associated prototype (DC) no later than the early 6th century.”* (fr:11531) [Disponiamo così di due fonti greche che, sottoscrivendo la formulazione della versione medievale, attestano l’esistenza del prototipo associato (DC*) non oltre l’inizio del VI secolo.]

Il giudizio di Eutocio sulla chiarezza del teorema – “The first theorem appears to entail no elaboration, even on the part of those relatively little trained in mathematics, since Archimedes’ words are clearly set out and sustain the conclusion of the protasis without defect” (fr:11532–11533) [Il primo teorema non sembra richiedere alcuna elaborazione, neppure per chi ha una formazione matematica modesta, poiché le parole di Archimede sono esposte con chiarezza e conducono alla conclusione della protasi senza difetto] – risulta incomprensibile se riferito al lacunoso DC, mentre si adatta perfettamente al più ampio e coerente argomento di DC. ”Thus, Eutocius’ statement can be taken to apply not to DC, but to DC.” (fr:11537) [L’affermazione di Eutocio può quindi essere riferita non a DC, ma a DC*.]

Nel commento alla proposizione 3, l’affinità con DC* emerge in più luoghi. Per il limite superiore, Eutocio scrive: “all the more therefore is the circumference of the circle triple of the diameter and, further, exceeds it by less than a seventh part” (fr:11544) [a maggior ragione dunque la circonferenza del cerchio è tripla del diametro e, inoltre, lo supera di meno di un settimo]. Sebbene la traduzione araba di AF sia incerta sul termine polloi, la frase di Eutocio è più vicina ad AF che a DC; in entrambi manca il “maggiore” di DC. “In particular, AF, like Eutocius, here lacks DC’s word ‘greater’.” (fr:11552) [In particolare, AF, come Eutocio, qui non reca la parola ‘maggiore’ di DC.] Per il limite inferiore, la conclusione “All the more therefore the circumference of the circle is greater than triple and ten seventy-firsts” (fr:11569–11570?) [A maggior ragione dunque la circonferenza del cerchio è maggiore del triplo e dieci settantunesimi] concorda con AF piuttosto che con DC; Eutocio impiega polloi laddove DC usa eti mallon o poly mallon. “It is evident, however, that Eutocius’ wording differs considerably from DC, but is in good agreement with AF.” (fr:11574) [È evidente, tuttavia, che la formulazione di Eutocio differisce notevolmente da DC, ma è in buon accordo con AF.]

Un passo del commento a Sfera e Cilindro I, 10 offre una prova ancora più solida. Eutocio espone un lemma sulla costruzione dei poligoni circoscritti che riproduce l’argomentazione di DC 1, ma nella forma ampia di DC* conservata da AF. La figura 1a ne schematizza i passi [i]–[viii]; il confronto con DC e AF (figure 1b e 1c) mostra che AF contiene tutte le fasi nella stessa successione di Eutocio, mentre DC le omette. “It is evident that the version in AF is far ampler than that in DC and includes all the steps (save [iv] …) that appear in Eutocius’ paraphrase” (fr:11614) [È evidente che la versione in AF è molto più ampia di quella in DC e include tutti i passaggi (tranne [iv] …) che compaiono nella parafrasi di Eutocio.] La corrispondenza lessicale – polloi con “by more than that”, dia ta auta de kai con “and like that”, holon – e l’ordine dei passi confermano che Eutocio attinse a DC* e che DC* funge da tramite tra Teone ed Eutocio. “Thus, we can construe the basis of Eutocius’ comment on SC I 10 to be a version of the circle theorem in the manner of AF—that is, DC—rather than DC.” (fr:11639) [Possiamo dunque ritenere che la base del commento di Eutocio a SC I 10 sia una versione del teorema del cerchio nello stile di AF – cioè DC* – anziché DC.] Di conseguenza, ”Eutocius has consulted DC in the preparation of his commentaries” (fr:11641) [Eutocio ha consultato DC* nella preparazione dei suoi commenti.]

Ciononostante, alcune sezioni del commento mostrano affinità con DC anziché con DC. È il caso del passo (10), in cui Eutocio rimanda alla figura “AZOM” secondo la nomenclatura di DC e non a quella di AF. ”Thus, Eutocius must here refer to DC.” (fr:11657) [Pertanto, Eutocio deve qui riferirsi a DC.] La spiegazione di queste oscillazioni è fornita dalla sottoscrizione finale dell’opera: ”Eutocius of Askalon’s Commentary on Archimedes’ Dimension of the Circle, the edition having been collated by the Milesian mechanician, Isidore, our teacher.” (fr:11676) [Commento di Eutocio di Ascalona alla Misura del cerchio di Archimede, edizione collazionata dal meccanico milesio Isidoro, nostro maestro.] Isidoro, architetto attivo a Costantinopoli pochi decenni dopo Eutocio, non fu un suo discepolo ma un revisore che preparò l’edizione tramite collazione (paranagignoskein, “leggere a fianco”). ”It thus may be possible to account for the discrepancies noted above … by assuming that Isidore has collated Eutocius’ commentary (originally based only on DC) with a different version of the Archimedean tract (DC) and so introduced the appropriate changes in Eutocius’ text.” (fr:11681) [È quindi possibile spiegare le discrepanze sopra notate … supponendo che Isidoro abbia collazionato il commento di Eutocio (originariamente basato solo su DC*) con una diversa versione del trattato archimedeo (DC), introducendo così le opportune modifiche nel testo di Eutocio.]

Il brano (10) sarebbe un’inserzione isidoriana: Isidoro, trovandosi di fronte a un DC troppo stringato, interpolò un’integrazione attingendo al precedente commento eutociano a SC I 10, ma adattandolo alla nomenclatura di DC. “For one, the passage (10) … emerges as a likely candidate for interpolation by the editor. For, as noted, it attempts to elaborate what has before been stated to require no elaboration, and thus suggests two different attitudes toward the text.” (fr:11683–11684) [In primo luogo, il passo (10) … emerge come un probabile candidato per un’interpolazione dell’editore. Infatti, come osservato, tenta di elaborare ciò che in precedenza era stato dichiarato non necessitare di alcuna elaborazione, suggerendo così due atteggiamenti diversi verso il testo.]

Anche le tavole di calcolo (worksheets) che accompagnano l’esegesi delle nove radici quadrate nella proposizione 3 presentano vistose discrepanze rispetto al testo principale. Nel terzo calcolo della seconda parte, la radice è riportata erroneamente e la somma finale coincide con il radicando aumentato di 321, valore citato nel commento, benché il calcolo effettivo darebbe un risultato diverso. “It is thus evident that there is collusion between the text and the appended worksheet, and that the computation in the latter could not have been the basis for the figures stated in the former: the two passages must be the work of different hands.” (fr:11717–11718) [È quindi evidente che vi è collusione tra il testo e il foglio di calcolo allegato, e che il calcolo di quest’ultimo non può essere stato la base delle cifre indicate nel primo: i due passi devono essere opera di mani diverse.] Lo stesso fenomeno si ripete nell’ultima radice. Poiché i valori del testo sono incompatibili con quelli dei fogli di calcolo, “one must assign responsibility for the worksheets to a later editor. By extension, this must hold for all nine of the worksheets. On the simplest view, we would include these among the editorial changes made by Isidore, in his redaction of Eutocius’ commentaries.” (fr:11735–11737) [Si deve attribuire la responsabilità dei fogli di calcolo a un editore successivo. Per estensione, ciò deve valere per tutti e nove i fogli. Nella prospettiva più semplice, li includeremmo tra le modifiche editoriali operate da Isidoro nella sua redazione dei commenti di Eutocio.]

Ulteriori anomalie – l’interpolazione “and in alternation and by composing” in DC, l’aggiunta “has been cut in half four times”, la riduzione dei rapporti – confermano che il testo di DC ha subito ritocchi a partire dal commento di Eutocio, mentre AF conserva lo stadio anteriore di DC. Complessivamente, il testo eutociano giunto fino a noi è un commento stratificato: il nucleo risale a Eutocio, che utilizzava DC; Isidoro, collazionandolo con DC, vi inserì passi di raccordo, tavole numeriche e adeguamenti della nomenclatura, generando l’attuale fisionomia composita.

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[25.1/1-26-11775|11797]

25 Interpolazioni e stratificazioni nella trasmissione della Dimensione del Cerchio di Archimede

L’analisi filologica di quattro passaggi chiave rivela un processo sistematico di riscrittura del testo archimedeo (DC*) sotto l’influenza del commento di Eutocio, con un probabile intervento dell’editore Isidoro, sollevando complesse questioni cronologiche sulla formazione della versione DC.

Lo studio si concentra su un gruppo di varianti testuali nella Dimensione del Cerchio di Archimede, mettendo in luce un fenomeno di doppia interpolazione. L’analisi prende le mosse da un caso già esaminato: “It follows that we have here another instance of interpolation - indeed, of double interpolation” (fr:11773) [Ne consegue che abbiamo qui un altro caso di interpolazione, anzi di doppia interpolazione]. Nel passaggio [iv], relativo alla riduzione dei termini in [3.6b], si osserva un meccanismo affine. Il testo DC omette il rapporto centrale 3661’XI:240, ma “this is likely to have occurred through a later mishap in the transmission of the manuscripts, since neither AF nor Eutocius indicates an omission” (fr:11777) [è probabile che ciò sia avvenuto per un incidente successivo nella trasmissione dei manoscritti, poiché né AF né Eutocio indicano un’omissione]. Le spiegazioni divergono: AF riporta “since the ratio of each one of the two first numbers to its associate of the two last numbers is as the ratio of 40 to 11” (fr:11778) [poiché il rapporto di ciascuno dei due primi numeri con il suo corrispondente tra gli ultimi due è come il rapporto di 40 a 11], mentre DC ha una formulazione più sintetica e oscura: “for either is I ~o of the other” (fr:11779) [poiché ciascuno è I ~o dell’altro]. Eutocio appare più vicino a DC, ma “his comment can just as well be taken as improvising from AF (representing DC)“* (fr:11782) [il suo commento può altrettanto bene essere inteso come un’improvvisazione a partire da AF (che rappresenta DC*)].

In tutti e quattro i passaggi considerati, “we encounter a process whereby readings in DC* have been changed to those in DC under the influence of Eutocius’ comments” (fr:11784) [incontriamo un processo per cui le lezioni di DC* sono state modificate in quelle di DC sotto l’influenza dei commenti di Eutocio]. Mentre nel caso [i] si tratta della semplice interpolazione di una frase, “in the other three the older text has been partly rewritten” (fr:11785) [negli altri tre il testo più antico è stato parzialmente riscritto]. Nel caso [iii] si registra inoltre un fenomeno di retro-influenza: “the alteration in DC appears to have exerted a back influence on the associated reading in Eutocius’ comment” (fr:11786) [l’alterazione in DC sembra aver esercitato un’influenza di ritorno sulla lezione associata nel commento di Eutocio].

Le interpolazioni e alterazioni possono teoricamente avvenire in qualsiasi fase della trasmissione. Tuttavia, sono già state individuate massicce interpolazioni nel commento di Eutocio – il resoconto delle figure circoscritte (prop. 1) e le tavole di moltiplicazione (prop. 3) – “assignable to the editor of the commentary, Isidore” (fr:11790) [attribuibili all’editore del commentario, Isidoro]. È quindi “plausible to assume that the same editor has an influence on the transmission of the source text underlying the commentary, that is, on the formation of DC” (fr:11791) [plausibile supporre che lo stesso editore abbia avuto un’influenza sulla trasmissione del testo fonte sottostante al commentario, cioè sulla formazione di DC].

Un ostacolo a questa ricostruzione è rappresentato da una citazione di Proclo, che riporta la proposizione 1 del De dimensione circuli in una forma corrispondente a DC. Se autentica, “this citation would conflict with any view assigning to Isidore a major role in the editing of DC, for it would testify to the existence of DC as a recognized Archimedean work in the mid-5th century or earlier, that is, a century before Isidore” (fr:11795) [questa citazione confliggerebbe con qualsiasi ipotesi che assegni a Isidoro un ruolo determinante nell’edizione di DC, poiché testimonierebbe l’esistenza di DC come opera archimedea riconosciuta alla metà del V secolo o prima, cioè un secolo prima di Isidoro]. Le difficoltà sollevate da tale citazione impongono una riflessione cronologica stringente: “We would have to place both the composition of DC* and its revision as DC between Theon and Proclus, that is, within a few decades early in the 5th century: but what would be the reason for producing the second version DC so near the time of its closely related parent version?” (fr:11797) [Dovremmo collocare sia la composizione di DC* sia la sua revisione in DC tra Teone e Proclo, ovvero nell’arco di pochi decenni all’inizio del V secolo: ma quale sarebbe la ragione per produrre la seconda versione DC così a ridosso della sua versione progenitrice strettamente imparentata?]. L’interrogativo resta aperto, segnalando la complessità stratigrafica della tradizione testuale archimedea.

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26 Trasmissione ed elaborazioni del De mensura circuli: Banū Mūsā, Eutocio e Abū l-Rashīd

L’analisi delle versioni arabe e del commentario eutociano mette in luce le divergenze nell’espressione del rapporto, nella gestione dei calcoli intermedi e nelle riflessioni metamatematiche, rivelando un probabile impiego di Eutocio da parte dei Banū Mūsā e l’attività di un editore-calcolatore del XII secolo.

L’opera dei Banū Mūsā (BM) si distingue dal De mensura circuli (DC) per il modo in cui esprime il rapporto tra circonferenza e diametro. Mentre DC fornisce il risultato come lunghezza approssimata, BM lo formula innanzitutto come rapporto: “the ratio of the circumference of the circle to its diameter is greater than the ratio of three and a seventh to one” – (fr:12203) [il rapporto della circonferenza del cerchio al suo diametro è maggiore del rapporto di tre e un settimo a uno]. In uno stadio intermedio compare però anche l’espressione “thus the ratio … is less than three and a seventh” – (fr:12203) [così il rapporto … è minore di tre e un settimo]. Qui il valore è concepito come un’entità numerica (fr:12204). Nella prop. 13 il rapporto diventa addirittura un moltiplicatore: “the quantity which when the diameter is multiplied into that which results is the very circumference” – (fr:12208) [la quantità che moltiplicata per il diametro dà come risultato proprio la circonferenza]. Questo tratto quasi aritmetico, inusuale nel contesto geometrico classico, trova paralleli in Erone e negli antichi scrittori metrici (fr:12209).

DC omette gran parte dei calcoli intermedi; le lacune sono colmate da Eutocio nel suo commentario (fr:12200). Poiché il commento eutociano fu tradotto in arabo da Thābit, è possibile che i Banū Mūsā lo utilizzassero come base per le loro amplificazioni (fr:12210). L’inclusione delle figure di secondo ordine assenti in DC, ad esempio, potrebbe essere stata ispirata proprio dal precedente eutociano (fr:12211). Il passo seguente mostra come i Banū Mūsā esplicitino i quadrati: “it is proved that the ratio of line GB to BU is greater than the ratio of 1162½ to 153; when BU was 153, GB will be more than 1162½; and the square of GB will be more than 1,350,53¼, and the square of BU will be 23,409, and the square of GU will be more than 1,373,943¼; therefore, line GU is more than 1172½” – (fr:12212) [si dimostra che il rapporto di GB a BU è maggiore del rapporto di 1162½ a 153; quando BU è 153, GB sarà più di 1162½; e il quadrato di GB sarà più di 350.53¼, il quadrato di BU sarà 409 e il quadrato di GU sarà più di 373.943¼; pertanto la linea GU è più di 1172½]. Nello stesso punto Eutocio scrive “therefore TE has to TG a greater ratio than 1172½ to 153” – (fr:12213) [dunque TE ha rispetto a TG un rapporto maggiore di 1172½ a 153] e calcola minuziosamente i quadrati con le frazioni, senza però indicare come estrarre la radice, limitandosi a verificare l’accuratezza del risultato (fr:12213‑12215).

I Banū Mūsā riprendono i valori di secondo ordine, ma sostituiscono le pseudo‑uguaglianze eutociane con disuguaglianze e troncano i quadrati al valore intero più vicino, mentre Eutocio conserva sempre le parti frazionarie (fr:12216‑12219). Solo in un passaggio includono l’aumento frazionario, ma con un valore diverso da quello di Eutocio (1i X4; fr:12220), forse per un errore di copia o di calcolo indipendente (fr:12221‑12222). Nella seconda metà della proposizione una disuguaglianza di BM non può derivare dal semplice troncamento del risultato eutociano, poiché quest’ultimo è maggiore: “Eutocius infers correctly from the supposition that AL = 2016X, that AL² = 4064928X6; at the analogous place, BM presumes to infer from the fact that the corresponding line AM < 2016X, that A~ < 4064928” – (fr:12223) [Eutocio deduce correttamente, supponendo AL = 2016X, che AL² = 4064928X6; nel luogo analogo, BM presume di inferire dal fatto che la linea corrispondente AM < 2016X che A~ < 4064928]. Il troncamento invalida la conclusione, ma BM potrebbe aver ottenuto lo stesso risultato errato eliminando scorrettamente il termine frazionario dopo un calcolo esatto, senza che ciò implichi necessariamente dipendenza da Eutocio (fr:12224‑12226).

Anche la spiegazione del dimezzamento degli angoli mostra affinità. DC introduce il passo relativo all’angolo LEG: “since then (angle) ZEG, being a third of a right (angle), has been cut in half four times, (angle) LEG is 1/48 of a right (angle) … and therefore, the line LM is side of the polygon (circumscribed) about the circle and having 96 sides” – (fr:12228) [poiché l’angolo ZEG, essendo un terzo di un angolo retto, è stato dimezzato quattro volte, l’angolo LEG è 1/48 di un angolo retto … e pertanto la linea LM è lato del poligono circoscritto al cerchio e avente 96 lati]. Eutocio spiega la divisione per dimezzamenti successivi fino a 1/48 (fr:12229‑12230). I Banū Mūsā elaborano in modo analogo, ma portano la divisione fino alla 192‑esima parte del cerchio intero (quattro angoli retti) anziché direttamente alla 48‑esima di un angolo retto: “I will divide angle BGE in two halves by line GU; and I will divide angle BGU in two halves by line GD; and I will divide angle BGD in two halves by line GH. It is evident, therefore, that the arc which is subtended by angle BGH is one 192nd part of circle ATB, and that BH is half of a side of the figure having ninety-six sides and circumscribing the circle” – (fr:12232‑12233) [dividerò l’angolo BGE in due metà con la linea GU; e dividerò l’angolo BGU in due metà con la linea GD; e dividerò l’angolo BGD in due metà con la linea GH. È evidente, perciò, che l’arco sotteso dall’angolo BGH è una 192‑esima parte del cerchio ATB, e che BH è metà del lato della figura di novantasei lati circoscritta al cerchio]. La somiglianza con Eutocio suggerisce dipendenza testuale, benché l’annotazione in BM compaia all’inizio del calcolo del limite superiore e manchi la frase “che è stato bisecato quattro volte”, presente in DC ma assente in AF (fr:12234‑12237).

Sul piano metamatematico, Eutocio osserva che Archimede non ha mostrato come costruire la retta uguale alla circonferenza, ma poiché l’esistenza di tale linea non è in dubbio, non vi è errore (fr:12240‑12241). Riguardo alla prop. 3, nota che l’estrazione di radici quadrate irrazionali è richiesta, e il lettore può trovare i metodi in Erone, Pappo, Teone e altri; inoltre è impossibile dare un valore esatto del rapporto, e autori come Apollonio e Tolomeo hanno ottenuto stime più precise con tecniche più avanzate (fr:12243‑12244). I Banū Mūsā, nella prop. 6, affermano: “then let there be proved the ratio of the diameter to the circumference by the method which Archimedes used, since there has not come to us a method which anyone to our times has discovered other than that. And this method, although it doesn’t arrive at knowledge of the relation of one of them to the other as to correspond to the truth, nevertheless it arrives at the discovery of the relation of one of them to the other to any limit of approximation desired by the researcher” – (fr:12258‑12259) [si dimostri dunque il rapporto del diametro alla circonferenza con il metodo usato da Archimede, poiché non ci è pervenuto alcun metodo che qualcuno fino ai nostri tempi abbia scoperto diverso da quello. E questo metodo, sebbene non pervenga alla conoscenza della relazione dell’uno all’altro in modo corrispondente al vero, giunge tuttavia alla scoperta della relazione dell’uno all’altro con qualsiasi grado di approssimazione desiderato dal ricercatore]. Precisano che l’approssimazione può spingersi fino all’unità, al minuto o al secondo (fr:12260‑12262). Tali osservazioni riecheggiano Eutocio – l’irrazionalità del rapporto, la possibilità di stime più accurate, la necessità di approssimare radici sorde – sebbene i Banū Mūsā sembrino estendere indebitamente il commento a ogni stima di radici (fr:12264‑12265). Il riferimento a minuti e secondi potrebbe derivare dall’allusione eutociana ai calcoli di Tolomeo per gradi e minuti (fr:12266). Sorprende che BM insista sull’esclusività del metodo archimedeo, ma essi parlano del metodo di approssimazione, effettivamente sempre basato sulla procedura poligonale di Archimede (fr:12267‑12269).

Complessivamente, l’ipotesi che i Banū Mūsā abbiano utilizzato Eutocio appare altamente probabile, anche se la loro resa è libera e le trascrizioni letterali sono poche, rendendo ambigui i segni di trasferimento testuale (fr:12272‑12273).

La tradizione manoscritta conserva inoltre una parafrasi del De mensura circuli associata al nome di Abū l‑Rashīd ʿAbd al‑Hādī. Il titolo dell’opera – Scritto attribuito ad Archimede sulla misura del cerchio – non identifica l’editore, ma è preceduto da lemmi con l’intestazione “Teoremi applicabili al libro di Archimede, di Abū l‑Rashīd ʿAbd al‑Hādī” (fr:12274‑12277). L’editore è probabilmente lo stesso che ha adattato il testo e ne ha sorvegliato la copia con annotazioni e scoli (fr:12284). Il catalogo di Suter menziona un Abū l‑Rashīd Mubashshir b. Aḥmad b. ʿAlī (m. 1193), insegnante di aritmetica, algebra e astronomia, soprannominato “il Calcolatore” (al‑Ḥāsib) (fr:12279‑12280). La presenza nel manoscritto di note interlineari come “dal calcolatore” rende plausibile l’identificazione con questo maestro del XII secolo (fr:12282‑12283). La qualifica “attribuito” segnala una certa esitazione sull’autenticità, benché la fonte utilizzata (AF) non dia adito a dubbi e gli stessi Banū Mūsā assegnino inequivocabilmente ad Archimede i limiti riportati (fr:12285‑12287).

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27 La trasmissione araba della Misura del cerchio di Archimede: dubbi, lemmi e strategie editoriali

Lo studio comparativo delle versioni arabe del trattato archimedeo rivela un vivace ambiente di revisione critica, dove i dubbi sull’autenticità e l’esigenza di chiarezza didattica guidano profonde trasformazioni del testo originale.

L’analisi si concentra sulla tradizione testuale araba della Dimensione del cerchio di Archimede, individuando nell’edizione di Abu ’l-Rashid e in quella di al-Tusi due momenti distinti di rielaborazione di una medesima fonte. Un elemento peculiare è il sollevarsi di dubbi sull’autenticità dell’opera. L’editore Abu ’l-Rashid non è isolato in queste perplessità: “In a correspondence on the circle measurement and other geometric topics, al-Quhi presents reasons contesting the authenticity of the Dimension of the Circle” – (fr:12289) [In una corrispondenza sulla misura del cerchio e altri argomenti geometrici, al-Quhi presenta ragioni che contestano l’autenticità della Dimensione del cerchio]. Le motivazioni di al-Quhi sono specifiche: osserva che i calcoli “attributed to him [sc. Archimedes] do not befit him” – (fr:12290-91) [attribuiti a lui [sc. Archimede] non si addicono a lui] e che il metodo è rozzo, inferiore all’approssimazione di Tolomeo, concludendo che “this is attributed to Archimedes and this calculation is, in my opinion, not like a work of Archimedes, and it is not a work of proficient calculators either” – (fr:12292-93) [questo è attribuito ad Archimede e questo calcolo, a mio parere, non somiglia a un’opera di Archimede, né è un’opera di abili calcolatori]. Tuttavia, la sua obiezione fondamentale è che la dimostrazione “archimedea” di 1¾ come limite inferiore per π confligge con la sua scoperta che equivale a 3⅐. Si chiarisce però che “al-Quhi’s argument of false attribution is his own improvisation, occasioned by the specific demands of defending his own new findings” – (fr:12295) [l’argomentazione di falsa attribuzione di al-Quhi è una sua improvvisazione, occasionata dalle esigenze specifiche di difendere le sue nuove scoperte]. Diversamente, Abu ’l-Rashid si limita a trasmettere il dubbio, dipendendo da una discussione precedente, cosicché “I would infer Abu ’I-Rashid’s awareness, either direct or indirect, of al-Quhi’s position” – (fr:12297) [dedurrei la consapevolezza di Abu ’I-Rashid, diretta o indiretta, della posizione di al-Quhi]. Questo testimonia un dibattito critico interno alla tradizione scientifica islamica.

L’intervento di Abu ’l-Rashid sul testo si manifesta in modo strutturale. I suoi cinque lemmi prefatori chiariscono assunzioni delle dimostrazioni, come il fatto che il quadrato inscritto in un cerchio costituisce più della metà della sua area, e diversi elaborano aspetti della costruzione dei poligoni circoscritti. In questo, il commentatore arabo ripercorre un approccio editoriale precedente: “In effect, then, the Arabic commentator has retraced the editorial approach of Theon, who also saw fit to fill out his source version (P) by means of an introductory lemma on the circumscribed polygons” – (fr:12303) [In effetti, il commentatore arabo ha ripercorso l’approccio editoriale di Teone, che ritenne anch’egli opportuno integrare la sua versione di partenza (P*) con un lemma introduttivo sui poligoni circoscritti]. Il testo dei lemmi è però afflitto da frequente oscurità e persino errori, con una terminologia a volte non convenzionale, come ”use of gaws for ‘segment’ rather than ‘arc,’ and watr for the side opposite the angle of a triangle, rather than specifically for the chord in a circle”* – (fr:12305) [uso di gaws per “segmento” anziché “arco”, e watr per il lato opposto all’angolo di un triangolo, anziché specificamente per la corda in un cerchio], peculiarità che indicano idiosincrasie dell’editore stesso.

Nel testo principale, nonostante le modifiche, la fonte è identificabile come la versione AF (edizione di Qusta b. Luqa). Vi è una fedeltà sequenza per sequenza, tanto che “unusual dictions in AF are echoed in AR” – (fr:12308) [dizioni insolite in AF riecheggiano in AR], come la frase ridondante “per metà metà” o “secondo ciò che segue”. Si notano interventi correttivi, come l’aggiunta della regola per l’area del cerchio che colma una lacuna di AF, e modifiche nella numerazione delle proposizioni. Abu ’l-Rashid introduce delle amplificazioni pignole, come l’assegnazione di denominazioni esplicite agli elementi della costruzione che AF tralascia: dove AF legge “we divide the arc AFB and those similar to it of the arcs in halves halves at the point F and those similar to it of the points” – (fr:12328) [dividiamo l’arco AFB e quelli simili a esso degli archi a metà metà nel punto F e quelli simili a esso dei punti], AR riscrive “and we divide the arcs ATB, BKG, GLD, DMA by halves halves at the points T, K, L, M” – (fr:12328) [e dividiamo gli archi ATB, BKG, GLD, DMA a metà metà nei punti T, K, L, M], un cambiamento che comporta una completa ri-etichettatura dei diagrammi.

La revisione più significativa riguarda il calcolo dei limiti, dove AR si distacca dallo schema scarno di AF per seguire da vicino il commentario di Eutocio, elencando i grandi valori intermedi che AF omette. La concordanza testuale è notevole: “Not only does AR list all the large numbers (save for one exception) just as Eutocius does […] but AR also imitates the Greek system of myriads (e.g., AR: [4.S], ‘one hundred ten-thousands …’), where the usual form would be in thousands (…)” – (fr:12349-50) [Non solo AR elenca tutti i grandi numeri (tranne un’eccezione) proprio come fa Eutocio […] ma AR imita anche il sistema greco delle miriadi (es. AR: [4.S], ‘cento decine-di-migliaia…’), laddove la forma usuale sarebbe in migliaia]. AR si discosta da Eutocio in un solo punto del calcolo, trovando un valore leggermente discrepante per AG, un errore di arrotondamento che però non invalida la successiva dimostrazione del limite inferiore. Questo suggerisce che “the Arabic editor has been checking Eutocius’ figures, and having derived a slightly discrepant figure […] retains this value for the rest of the computation” – (fr:12357-58) [l’editore arabo ha verificato le cifre di Eutocio e, avendo derivato una cifra leggermente discrepante, mantiene questo valore per il resto del calcolo]. L’intento editoriale di Abu ’l-Rashid è volto a chiarire il testo per gli studenti, senza apportare particolari avanzamenti tecnici.

Diverso è il caso dell’edizione di al-Tusi (AT). Essa esiste in molte copie e, insieme ad altri trattati del curriculum “intermedio”, “effectively displaced the earlier Arabic versions” – (fr:12375) [ha effettivamente soppiantato le precedenti versioni arabe]. L’obiettivo di al-Tusi, dichiarato nella prefazione a Sfera e Cilindro, è fornire versioni tecnicamente accurate ed efficienti, non testi filologicamente puri. AT non è una mera trascrizione e non può essere sfruttata come testimone di linee testuali alternative. Il suo intervento è profondo: confrontando AT con AF, si osserva che AT modifica la terminologia, ad esempio sostituendo “maggiore” con “più lungo”. Un intervento cruciale corregge un’anomalia logica della tradizione: “AT formulates the 11:14 area rule as a simple corollary to the estimate of the circumference-to-diameter ratio, and accordingly orders the area rule third in the series of propositions. This corrects a salient logical anomaly in the main tradition of DC, in both Greek and Arabic” – (fr:12402-403) [AT formula la regola dell’area 11:14 come un semplice corollario alla stima del rapporto circonferenza-diametro, e di conseguenza ordina la regola dell’area come terza nella serie di proposizioni. Questo corregge un’evidente anomalia logica nella tradizione principale di DC, sia greca che araba]. Questo è un esempio istruttivo del tipo di modifica di al-Tusi, che antepone la coerenza tecnica alla fedeltà testuale alla fonte. Nonostante le differenze, il testo di AT per le proposizioni 1 e 2 aderisce alla linea dimostrativa di AF, e corrispondenze testuali alla lettera in punti specifici come la regola per il settore circolare confermano che al-Tusi lavorò a partire da una fonte nella linea di AF, con probabile accesso diretto ai commentari di Eutocio per chiarire il testo.

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28 La Misura del Cerchio nell’Elaborazione Araba: L’Errore di al-Ṭūsī e una Tradizione in Movimento

Un errore di trascrizione nel calcolo del limite superiore di π nel trattato di al-Ṭūsī offre l’occasione per ripercorrere l’evoluzione del De mensura circuli nella cultura araba, dalla fedele esegesi geometrica all’intreccio flessibile di aritmetica e geometria, fino ai raffinamenti computazionali con le tavole delle corde.

Lo studio prende le mosse da una svista nel testo di al-Ṭūsī (AT) relativa alla stima del limite superiore di π. Come osserva l’analisi, “the major contribution to the difference, it appears, lies in a miscomputation of the circumscribed polygon.” (fr:12453) [la principale fonte della differenza, a quanto pare, risiede in un errore di calcolo del poligono circoscritto.] In particolare, “he obtains the upper bound from the lower bound through adjustment by a scale factor (the ratio of the radius to the apothem of the inscribed polygon), this discrepancy is affected by his use of a value for the inscribed figure that is too small.” (fr:12452) [ottiene il limite superiore da quello inferiore tramite un fattore di scala (il rapporto tra il raggio e l’apotema del poligono inscritto), e questa discrepanza è influenzata dall’uso di un valore troppo piccolo per la figura inscritta.] L’errore si concretizza in una mera trascrizione errata: “has simply mistranscribed the figure in his next-to-last step, and thus obtained the faulty low value for the perimeter.” (fr:12455) [ha semplicemente trascritto male la cifra nel penultimo passaggio, ottenendo così il valore difettoso e basso per il perimetro.]

Correggendo la stima del limite superiore sulla base del suo stesso valore per il lato del poligono di 96 lati, si ottiene una coppia di limiti più coerente: “If we correct AT’s upper bound estimate, on the basis of its own value for the side of the circumscribed 96-gon, we obtain the triple plus 10 parts of 70P 36 57” (fr:12456) e il limite inferiore rimane “the triple plus 10 parts of 70P 38 41 21” (fr:12457), cosicché la media dà “the triple plus 10 parts of 70P 37 49 32” (fr:12457). Ne deriva una stima di π equivalente a “3.141582 … , or low by a fractional error of one part in 296,000.” (fr:12458) [3,141582… , con un errore frazionario in difetto di una parte su 000.] L’errore originale era assai più penalizzante: “the triple plus 10 parts of 70P 38 14 29 (or 141568 … ) entails a fractional error slightly more than one part in 127,500” (fr:12459), sicché la svista “has somewhat more than doubled the error in its final result” (fr:12459). Ciononostante, si sottolinea che “this error should not detract from the achievement implied in this report of Abu ’l-Wafa’s computation” (fr:12460), collocando il lavoro in una prospettiva storica più ampia.

Il valore raggiunto si confronta con i paralleli antichi: “Among extant ancient parallels, the nearest to it is Ptolemy’s value, equivalent to 377 for the circumference of the circle of diameter” (fr:12461) [Tra i paralleli antichi superstiti, il più vicino è il valore tolemaico, equivalente a 377 per la circonferenza del cerchio di diametro ] La tradizione araba aveva già spinto oltre la precisione: “The Arabic computists refined the principles of calculating via chord tables to the point of pursuing such estimates further by three, four, or five sexagesimal places.” (fr:12462) [I computisti arabi raffinavano i principi del calcolo tramite tavole delle corde fino a perseguire tali stime con tre, quattro o cinque posti sessagesimali.]

L’aspetto forse più innovativo della digressione in AT è il metodo: “one witnesses a flexible interplay between geometric and arithmetic methods, in striking contrast with the rest of AT, which maintains their strict separation in accordance with the Greek-based model in AF.” (fr:12463) [si assiste a un intreccio flessibile tra metodi geometrici e aritmetici, in netto contrasto con il resto di AT, che mantiene la loro rigida separazione secondo il modello greco di AF.] Così “awkward dictions like ‘the number which is opposite the line’, and ‘by the quantity by which the line is such a number’, are dispensed with in the context of the extended computation.” (fr:12464) [dizioni impacciate come “il numero che è opposto alla linea” e “per la quantità per cui la linea è un tale numero” sono abbondantemente evitate nel contesto del calcolo esteso.]

Il saggio ricostruisce poi la parabola del De mensura circuli archimedeo nella cultura araba. Tradotto nel IX secolo come AF* per opera di Qusṭā e Thābit, “Archimedes’ tract on the circle presented an important piece of geometry, deserving of serious study.” (fr:12466) [il trattato di Archimede sul cerchio rappresentava un importante tassello di geometria, meritevole di studio serio.] I Banū Mūsā lo elaborarono a lungo, ma un secolo dopo, con Abū l-Wafāʾ, e ancor più con al-Ṭūsī tre secoli dopo, “the Dimension of the Circle no longer occupied such a place.” (fr:12468) Per il primo è solo un punto di partenza per stime più accurate delle costanti geometriche; per il secondo “it is an appendage to the greater Archimedean treatise on the sphere” (fr:12469), un elemento del curriculum intermedio verso l’astronomia matematica tolemaica. Con Abū l-Rashīd (XII sec.) il testo richiede un’esegesi minuziosa, ma “one would suppose that the implied audience is not trained geometers, but training ones, and that the editor’s motives are primarily pedagogical.” (fr:12471) [si supporrebbe che il pubblico implicito non sia costituito da geometri esperti, bensì da discenti, e che i motivi dell’editore siano principalmente pedagogici.]

Nonostante i progressi tecnici, la fonte testuale rimase sorprendentemente stabile: “throughout this technical advance within the Arabic tradition of geometry over four centuries, the source text AF remained little changed.” (fr:12472) Persino al-Ṭūsī “retains the entirety of its argument with almost no change whatever.” (fr:12473) Ciò segna una continuità che si estende all’antichità tarda, poiché anche tra i commentatori greci si ravvisa una simile commistione di interessi testuali, esegetici, pedagogici e tecnici. Tuttavia, “the dynamic of the medieval tradition seems quite different from the ancient.” (fr:12476) Per i tardi commentatori greci, come Eutocio e Teone, il corpus tecnico era un corpo fisso di conoscenze; invece “the ancient works stimulated among the Arabic geometers new researches often of considerable sophistication.” (fr:12478) Tali ricerche, anche quando duplicavano risultati antichi non trasmessi, mostrano “the phenomenon of outstripping the parent tradition” (fr:12479).

L’appendice del saggio presenta la traduzione di due trattati arabi sulla misura del cerchio. Il primo (AR) è di Abū l-Rashīd, basato sul manoscritto Columbia University Smith 45/4; il secondo (AT) è di al-Ṭūsī, fondato sul ms. Bibliothèque nationale arabe 2467, collazionato con l’edizione di Hyderabad. Entrambi risalgono a un testo arabo identico ad AF. L’apparato editoriale è minuziosamente descritto: la divisione in sezioni è conforme a quella già introdotta per AF; le parentesi tonde segnalano parole sottintese in espressioni ellittiche, le parentesi uncinate parole omesse nel testo, e “by square brackets, my editorial comments, and in particular, by ‘[!]’ expressions that are held to be in error, and by ‘[?]’ phrases that are illegible or otherwise unclear.” (fr:12488) [con le parentesi quadre, i miei commenti editoriali, e in particolare con “[!]” le espressioni ritenute erronee, e con “[?]” le frasi illeggibili o comunque poco chiare.] I numeri sono talvolta scritti in lettere, talvolta in cifre arabe; l’asterisco indica l’uso della forma verbale piena nel manoscritto.

Il testo di Abū l-Rashīd è preceduto da una serie di lemmi (si vedano le Figure 1–7.4) che adattano i risultati preliminari di Archimede: ogni quadrato inscritto in un cerchio è maggiore della metà del cerchio, ogni segmento sotteso al lato del quadrato è minore della metà del triangolo che lo contiene, e così via. In questi lemmi si insinua un errore terminologico ricorrente: “qaws (‘arc’) is written for qa(a (‘segment’)” (fr:12611), il che costringe il traduttore a frequenti emendamenti. Viene quindi esposta la Proposizione 1 (Figura 5), che dimostra l’equivalenza tra un cerchio e un triangolo rettangolo con cateti pari alla semicirconferenza e al semidiametro, ricorrendo al metodo di esaustione con poligoni inscritti e circoscritti. La Proposizione 2 (che nel testo originale archimedeo è la Prop. 3) stabilisce che il rapporto tra cerchio e quadrato del diametro è come 11 a 14 (Figura 7). La Proposizione 4 (Figura 8 e 9) costituisce il celebre calcolo dei limiti per il rapporto circonferenza/diametro, lavorando con poligoni di 96 lati. La costruzione del limite superiore impiega un poligono circoscritto e una serie di bisezioni dell’angolo, mentre il limite inferiore usa il poligono inscritto. Qui si annida un’ambiguità risolta dall’editore: “the disorder of the text here follows from the editor’s mistake of figuring line KG as diameter of the circle, when it ought to have been taken as semidiameter.” (fr:12652) [il disordine del testo qui deriva dall’errore dell’editore di considerare la linea KG come diametro del cerchio, mentre avrebbe dovuto essere presa come semidiametro.] Di conseguenza, “the line GM cannot be … the side of the circumscribed 96-gon of diameter KG … GM must be taken as half the side of the 96-gon of which KG is radius.” (fr:12653-12654) La proporzione finale non viene alterata. Il risultato conferma che la circonferenza è compresa tra 3 + 10/71 e 3 + 1/7 del diametro.

La versione di al-Ṭūsī (AT) rielabora le stesse tre proposizioni con lievi varianti nella notazione (Figure 10–7.12) e include un commento che introduce un metodo alternativo. Qui il procedimento geometrico-aritmetico di Archimede viene affiancato dall’uso delle tavole delle corde tolemaiche: “they get the chord of a small arc which is part of the circumference of the circle, by the principles which are proved in the book of the Almagest” (fr:12783) [ottengono la corda di un piccolo arco che è parte della circonferenza del cerchio, mediante i principi dimostrati nel libro dell’Almagesto.] Con tale principio calcolano il lato del poligono inscritto di 720 lati (Figura 13). Il testo riporta i valori sessagesimali ottenuti da Abū l-Wafāʾ al-Būzjānī: la corda di mezzo grado è “0 31 24 55 54 55 fifths” (fr:12792) e, tramite essa, il lato del poligono circoscritto simile. I perimetri dei due poligoni consentono di stringere i limiti della circonferenza: essa risulta aggiungere al triplo del diametro “what is greater than ten parts of seventy parts and 38 41 21 thirds, and less than ten parts of seventy parts and 37 47 37 19 thirds.” (fr:12797) [ciò che è maggiore di dieci parti di settanta e 38 41 21 terzi, e minore di dieci parti di settanta e 37 47 37 19 terzi.] L’approssimazione finale è “ten parts of seventy parts and 38 14 29 thirds” (fr:12798), testimoniando l’elevato grado di raffinatezza raggiunto dai computisti arabi.

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29 Il De curvis superficiebus e la tradizione archimedea: vocabolario, fonti e convergenze

Il trattato noto come De curvis superficiebus (CS) viene analizzato nella sua lingua, nelle sue relazioni con le fonti antiche e nel confronto con i Verba filiorum, mostrando un impianto composito che rimanda a un originale greco perduto e a un ambiente di trasmissione anteriore alle versioni latine medievali.

Lo studio prende in esame il De curvis superficiebus a partire dai suoi caratteri linguistici e tecnici. Il testo esibisce una forte impronta greca nel lessico geometrico di base: “CS adheres to a heavily Greek-based vocabulary in its technical body” – (fr:13109) [CS aderisce a un vocabolario tecnico fortemente grecizzato]. Nelle prime linee di una proposizione compaiono termini come ypothenusa, cathetus, orthogonius, piramis, diametros, insieme a numerosi altri calchi greci (tetragonus, axis, basis, poligonium, trigonus, conica, spera, cubus, parallelogramum) che sono tutti standard nelle versioni medievali di Euclide (fr:13110‑13112). Tuttavia l’autore di CS, quando può, preferisce nettamente le forme latine: “Thus, he uses piramis rotunda instead of conus, columpna rotunda instead of cylindrus, circumferentia instead of perijeria, equiangulus instead of isogonius, and so on” – (fr:13115) [Così usa piramis rotunda invece di conus, columpna rotunda invece di cylindrus, circumferentia invece di perijeria, equiangulus invece di isogonius e così via].

Un dato rilevante è la totale assenza di arabismi, che distingue CS dalle traduzioni influenzate dalla sintassi e dal lessico arabo. L’assenza di arabismi, però, non basta a escludere una fonte araba: “But the absence of Arabicisms of itself need not exclude an Arabic source” – (fr:13117) [Ma l’assenza di arabismi di per sé non impone di escludere una fonte araba], poiché anche il rifacimento di Euclide ad opera di Ermanno di Carinzia, pur privo di arabismi, dipende dalla tradizione araba derivata da Adelardo (fr:13118). I test stilistici, quindi, giungono a un punto morto: “Stylistic tests thus reach an impasse” – (fr:13119) [Le verifiche stilistiche giungono così a un’impasse]. I grecismi presenti sono tutti comuni nei volgarizzamenti euclidei del XII secolo, anche quelli di origine araba; i grecismi più vistosi, come le allusioni a “Pallade” e a “Tifi”, ricorrono in passi interpolati che riecheggiano autori latini classici (fr:13120).

L’ipotesi di una composizione latina originale su fonti archimedee è difficilmente sostenibile, perché l’autore mostra una conoscenza di Archimede più particolareggiata di quanto fosse possibile a un Latino del primo Duecento (fr:13121). Se CS fosse un’opera latina originale, la sua fonte principale sarebbe il libro I del De sphaera et cylindro (SC I), reso disponibile in latino solo dalla traduzione di Moerbeke del 1269; l’autore avrebbe quindi dovuto consultare Archimede in greco (fr:13122‑13124). Una seconda fonte sarebbe costituita dai Verba filiorum (VF) dei Banū Mūsā, noti attraverso la versione latina di Gerardo (XII secolo). CS non mostra affinità con le marcate formule arabo‑latine di Gerardo, per cui, se utilizzò VF, dovette rielaborare completamente il testo latino o consultarlo in arabo (fr:13125). Nessuna delle due fonti, da sola, è sufficiente: per le misure dei solidi conici CS segue fedelmente SC I, mentre VF ingloba il teorema del volume entro quello della sfera e non dimostra separatamente la superficie del solido conico (fr:13126‑13130). Nella tecnica di convergenza per la superficie del cono e per la superficie e il volume della sfera, invece, CS concorda con VF, allontanandosi da SC I (fr:13131‑13133). Una tale mescolanza di fonti è difficile da spiegare se si presuppone che l’autore disponesse del testo di Archimede: “Such mixing of sources is difficult to account for, however, in an author assumed to have access to Archimedes’ own treatment” – (fr:13134) [Una simile mescolanza di fonti è però difficile da spiegare in un autore che si suppone abbia avuto accesso al trattato originale di Archimede].

CS contiene risultati assenti sia in SC I sia in VF. Esprime il volume della sfera come uguale al cono che ha per altezza il raggio e per base la superficie sferica (prop. 9), formulazione diversa da quella archimedea e dalla variante di VF (fr:13137‑13139). Fornisce inoltre una stima numerica del volume: la sfera sta al cubo del diametro come 11 a 21 (prop. 10), parallela a valori di Erone e Teone e legata alla tradizione metrica (fr:13140‑13142). Dunque l’autore di CS attinge a materiali archimedei eterogenei, procedimento che sarebbe naturale per un editore antico con accesso a diversi testi e a rielaborazioni già ibride, ma che ci si aspetterebbe meno da un compilatore medievale, solitamente fedele alle poche fonti disponibili. Questo carattere eclettico depone per la natura di traduzione di CS: “This eclectic pattern in CS thus supports the view that it was produced as a translation” – (fr:13146) [Questo disegno eclettico in CS depone quindi a favore dell’ipotesi che sia stato prodotto come traduzione].

Il confronto sistematico con VF rivela una parentela testuale non diretta, bensì una dipendenza parallela da fonti uguali o strettamente affini (fr:13147‑13148). CS segue più da vicino le procedure di SC I, come mostrano le dimostrazioni sulla superficie e sul volume dei solidi conici ausiliari. Nella prop. 5 il solido conico composto, generato dalla rotazione di un poligono regolare inscritto, viene trattato condensando i teoremi archimedei I 21 e 24 ed eliminando la terminologia delle dynamis; l’espressione ottenuta motiva direttamente la superficie sferica nella prop. 6 come prodotto del diametro per la circonferenza massima (fr:13151‑13155). VF, per contro, presenta una riorganizzazione assai compressa: la prop. 13 sviluppa le stesse disuguaglianze aggirando il linguaggio delle dynamis tramite un moltiplicatore quasi‑numerico (“la quantità per cui moltiplicato il diametro dà la circonferenza”) (fr:13166‑13170). Nel caso del volume dei solidi conici, CS condensa in un’unica proposizione (CS 7) l’intera trattazione archimedea, introducendo la “doppia piramide” e solidi differenza, mentre VF non formula mai lemmi espliciti sui volumi dei coni e assume tacitamente il risultato cruciale per la sfera (fr:13172‑13186). L’assenza di questi passaggi in VF, confermata dalla tradizione araba posteriore, suggerisce che la fonte da cui VF attingeva fosse già lacunosa e riuniva in una sola proposizione tutto il materiale sui volumi compositi, proprio come CS. Perciò la fonte di VF concordava nell’organizzazione con quella di CS, ma CS non può derivare da VF; deve dipendere da una fonte cronologicamente anteriore (fr:13193‑13196).

Un ulteriore, decisivo tratto comune è la tecnica di convergenza modellata su Euclide, Elementi XII 18, e non sulle costruzioni archimedee. In CS 6 si inscrive in un cerchio massimo della sfera S un poligono regolare che non tocchi il cerchio massimo di una sfera concentrica minore T; ruotando la figura, si ottiene una superficie conica composita U che contiene T ma ha area minore di quella supposta per T, generando la contraddizione (fr:13198‑13201). Archimede in SC I 33 usa poligoni circoscritti e inscritti con rapporto entro un intervallo assegnato, mentre CS e VF ricorrono alla costruzione di Euclide XII 16 senza mai giustificare l’inserzione del poligono né citare la fonte (fr:13201‑13205). Entrambi i trattati condividono inoltre assunzioni non dimostrate, come l’esistenza di figure curvilinee uguali a grandezze date e la disuguaglianza tra figure contenenti e contenute (fr:13216‑13219). Queste coincidenze non sono casuali: “These shared aspects of the technical executions in CS and VF are unaccountable as mere coincidence” – (fr:13220) [Questi aspetti condivisi dell’esecuzione tecnica in CS e VF non sono spiegabili come semplice coincidenza]. Esse vanno ricondotte a legami testuali tra i rispettivi documenti‑fonte, mentre l’impiego diretto di VF da parte di CS è escluso (fr:13221‑13222).

CS mostra connessioni anche con altre opere antiche, in particolare con lo scritto isoperimetrico anonimo (AI) premesso all’Introduzione alla Sintassi. CS e AI concordano nella formulazione del volume della sfera e forniscono dimostrazioni quasi perfettamente sovrapponibili, pur differendo per scelte lessicali e per l’ordine espositivo di alcuni passaggi (fr:13223‑13244). AI presenta solo un lieve errore logico nella versione latina, assente in CS. Il testo di AI è stringato e cita esplicitamente “le cose di Archimede” come base, mentre CS è più ampio e formale, con citazioni euclidee e archimedee e la derivazione della superficie sferica, necessaria perché la sua prop. 6 adotta una forma diversa da quella di SC I 33 (fr:13245‑13254). Nonostante la vicinanza, un legame testuale diretto è improbabile: la generazione dei solidi conici allinea AI con SC I, non con CS. L’inclusione in CS del lemma sul volume sferico (prop. 9) trova motivazione proprio in questo rapporto con AI, che aveva creato un precedente per quella specifica formulazione (fr:13260‑13262).

Infine, la stima numerica della sfera (11/21 del cubo del diametro) in CS 10 è condotta in strettissimo parallelo con l’esposizione di Teone di Alessandria nel Commento a Tolomeo, sia per la sequenza logica sia per l’uso combinato del rapporto cerchio‑quadrato (14:11) e del rapporto cilindro‑sfera (21:14) (fr:13263‑13287). Questo conferma il carattere composito di CS e il suo radicamento in un ambiente di trasmissione greco‑alessandrino, dove materiali archimedei, euclidei e metrici circolavano già rielaborati in opere come AI e i commentari di Teone, prima di confluire nella traduzione latina anonima che è il De curvis superficiebus.

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30 La versione napoletana della «Dimensione del cerchio» e le sue fonti

L’indagine filologica sulla tradizione latina del trattato archimedeo mostra come la Versione di Napoli (N) risulti da una collazione della Versione di Firenze (F), condivida tratti stilistici con il De motu di Gerardo di Bruxelles e costituisca il tramite per la successiva Versione di Gordanus, delineando così un ambiente di maestri e discepoli intorno a Giovanni di Tynemouth.

Il nucleo dell’analisi riguarda il modo in cui l’estensore di N utilizza il testo F. L’argomentazione di F sulla sottrazione del cerchio dal quadrato non viene colta appieno: “It appears, however, that N has not grasped the intent of this argument in F: that the first remainder after subtraction of the circle from the square is still greater than the hypothesized difference (F:QTSO, N:y) between the triangle and the circle” – (fr:14243) [Sembra, tuttavia, che N non abbia compreso l’intento di questo argomento in F: ossia che il primo resto dopo la sottrazione del cerchio dal quadrato è ancora maggiore della differenza ipotizzata (F:QTSO, N:y) tra triangolo e cerchio]. In F si giunge infatti a “Ergo partes quadrati residue a circulo sunt maiores QTSo” – (fr:14241) [Dunque le parti del quadrato rimanenti dopo la sottrazione del cerchio sono maggiori di QTSO], mentre N si limita a concludere che quei segmenti residui formano una «parte» del quadrato (fr:14245).

La costruzione dell’ottagono circoscritto conferma la natura composita di N. Il testo segue la formulazione di F IB, non quella di IA: “Ducatur a centro linea ad N angulum, et ubi ipsa secabitur [! secabit] periferiam duc contingentem ad circulum, que rectos angulos faciet cum ducta a centro ad N” – (fr:14246‑14247) [Si conduca dal centro una linea fino all’angolo N, e là dove essa taglierà la circonferenza si conduca una tangente al cerchio, la quale formerà angoli retti con la retta condotta dal centro a N], aggiungendo l’indicazione degli angoli retti che colma una lacuna di F (fr:14251). In definitiva, “Every portion of N can be related to some part of either IA or IB that offers a clear model for its reasoning and phraseology” – (fr:14252) [Ogni parte di N può essere messa in relazione con qualche parte di IA o IB che fornisce un modello chiaro per il suo ragionamento e la sua fraseologia], e l’editore “makes his own word choices, and modifies the sources in minor ways … but he never departs notably from their text” – (fr:14253) [sceglie le proprie parole e modifica in modo minore le fonti … ma non si allontana mai sensibilmente dal loro testo]. Poiché la recensione F IA resta vicina alla forma più antica della dimostrazione, quella di Gerardo da Cremona (LG), mentre le aggiunte di F IB sono spesso assenti da LG, si può escludere che N abbia fatto ricorso direttamente a LG (fr:14254).

Un punto delicato è la coincidenza con la Versione di Cambridge (C). N afferma che l’ottagono inscritto è minore della circonferenza “quia quelibet corda minor suo arcu” – (fr:14257) [poiché ogni corda è minore del suo arco], e C enuncia un postulato analogo: “cordam quamlibet esse minorem arcu” – (fr:14257) [che qualunque corda è minore dell’arco]. L’accordo è notevole, ma l’evidenza che N abbia usato F come fonte primaria è solida, e sarebbe strano che N avesse consultato C per questo solo elemento (fr:14259). Inoltre C non impiega mai esplicitamente quel principio nel corso della dimostrazione, mentre N lo inserisce come parte integrante dell’argomento. Si prospetta quindi una spiegazione alternativa: “Since both C and N are adapted from F, it is feasible that their respective editors are analogously related, that is, as two disciples of the same master” – (fr:14264) [Poiché sia C sia N sono adattati da F, è plausibile che i loro rispettivi editori siano analogamente collegati, cioè come due discepoli dello stesso maestro]. La priorità spetterebbe a N; C avrebbe recepito il principio attraverso l’insegnamento comune, non necessariamente tramite il testo di N (fr:14265).

La Versione di Napoli è quindi composita: la prima proposizione si basa interamente su F, mentre le proposizioni 2 e 3 conservano i testi gerardiani di LG (fr:14266‑14268). Il codice che tramanda N associa la quadratura del cerchio al De curvis superficiebus (CS), analogamente al codice fiorentino “D” che contiene F. La sottoscrizione di CS in questo manoscritto reca il nome Gervasius de Essexta invece di Johannes de Tinemue; tuttavia le differenze fra i due testimoni sono puramente scribali, tanto da far pensare che “the name ‘Gervasius de Essexta’ has arisen as a corruption of ‘Gerardus de Brussel’” – (fr:14280) [il nome “Gervasius de Essexta” sia nato come corruzione di “Gerardus de Brussel”]. Diventa così plausibile che l’editore di N sia lo stesso Gerardo di Bruxelles (fr:14281).

Numerosi indizi stilistici rafforzano questa attribuzione. Sia N sia il De motu segnalano le dimostrazioni per assurdo con espressioni esplicite: in N “hoc probatur per impossibile” – (fr:14292‑14293) [ciò si dimostra per impossibile], nel De motu “per impossibile probabis” (II.1.51) e formule affini (fr:14295). Entrambi ricorrono a improbatio: in N “quod sic improbatur” – (fr:14296‑14297) [che così si confuta], in De motu “simili modo improbabitur” (II.3.85). Anche l’abitudine di introdurre i passaggi con probare è condivisa: “quod probatur” (N, lin. 30), “quod sic probatur” (De motu I.2.14) e molte altre occorrenze (fr:14298‑14299). Espressioni come “proba ut superius” – (fr:14300‑14301) [dimostra come sopra] e “age igitur” – (fr:14302‑14303) [orsù dunque] sono attestate in entrambe le opere; “age igitur” compare tre volte nel De motu e due in N (fr:14303‑14306). Anche gli imperativi didattici (fac ut prius, similiter fac de aliis) trovano corrispondenza. L’insieme di queste formule, per quanto possa sembrare banale, esaurisce quasi completamente il repertorio delle espressioni redazionali di N e non è sensibilmente più ricco nel De motu (fr:14311).

I due scritti condividono inoltre il modello editoriale del De curvis superficiebus. L’incipit age igitur deriva dal frequente ratio age di CS; osservazioni come “ne aliquod dubium a tergo relinquamus” – (fr:14317) [per non lasciarci dietro alcun dubbio] ricordano le formule di CS (ad es. “ne tamen diligens lector scrupulum possit reperire”). L’espressione “si sophista opponat” del De motu ricalca l’uso di falsigraphus in CS. Anche la terminologia tecnica – “curva superficies” e “improbatio” – assicura la continuità con CS. Gerardo cita esplicitamente il De piramidibus, che altri non è se non la sua parafrasi di CS, e costruisce il proprio De motu sui teoremi di quest’ultimo (fr:14326‑14332). L’intera operazione rivela un modulo già osservato per l’editore della Versione di Cambridge: “Gerard’s N, like C, is a paraphrase based on the Florence Version F. Furthermore, just as the editor of C produced a version CS2 of CS, so also Gerard paraphrased CS in his De piramidibus and built on it in his De motu” – (fr:14335) [La N di Gerardo, come C, è una parafrasi basata sulla Versione di Firenze F. Inoltre, come l’editore di C produsse una versione CS2 di CS, così Gerardo parafrasò CS nel suo De piramidibus e vi edificò sopra il De motu]. Poiché le versioni di partenza F e CS sono opera dello stesso maestro, Giovanni di Tynemouth, emerge un rapporto di discepolato che lega Giovanni a Gerardo e all’editore di C (fr:14336).

La Versione di Gordanus (Go), databile prima del 1390, conferma la centralità di N. Nell’inserimento del poligono inscritto, entrambe affermano che se la sottrazione dei quattro triangoli non ha reso il resto abbastanza piccolo, si deve reiterare il procedimento; per brevità si assume poi che l’ottagono sia sufficiente. Go elabora il testo di N: “Detractis itaque premissis 4 triangulis, si adhuc dixerit quas residuas 8 portiunculas esse maiores quantitate H, fiat per modum similem detractio ulterior donec de necessitate occurrat et relinquatur quantitas minor quam H. Sed ad presens gratia compendii, ne pressura multarum linearum demonstrationum impediat, concedantur ille 8 portiuncule esse minores quantitate H” – (fr:14343‑14344) [Sottratti dunque i suddetti 4 triangoli, se ancora si dicesse che le rimanenti 8 portiuncule sono maggiori della quantità H, si proceda con una sottrazione ulteriore in modo simile finché necessariamente si verifichi e rimanga una quantità minore di H. Ma per ora, per amore di brevità, affinché la pressione di molte linee non ostacoli le dimostrazioni, si conceda che quelle 8 portiuncule siano minori della quantità H]. N presenta lo stesso nucleo in forma più scarna: “Rursum si etiam hee 8 lunule non sint minores Y, fac ut prius donec occurrat quantitas minor Y. Sed sit causa compendii quod hee 8 lunule sint minores Y” – (fr:14344‑14346) [Di nuovo, se anche queste 8 lunule non fossero minori di Y, procedi come prima finché si ottenga una quantità minore di Y. Ma per brevità si assuma che queste 8 lunule siano minori di Y]. L’analogia lessicale (gratia compendii in Go, causa compendii in N, laddove F scrive causa brevitatis) e l’impiego del medesimo principio della corda nello stesso punto dell’argomentazione – in Go “quod quelibet corda sit maior suo arcu, quod iterum est impossibile” – (fr:14351‑14352) [che ogni corda sia maggiore del suo arco, il che è di nuovo impossibile], in N “quia quelibet corda minor suo arcu” – (fr:14353) [poiché ogni corda è minore del suo arco] – istituiscono un legame diretto fra Go e N (fr:14356). Anche le piccole oscillazioni, come il ritorno a gratia brevitatis in un punto dove N ha causa compendii, non incrinano la fedeltà complessiva di Go all’ordine argomentativo di N (fr:14357‑14360).

Questi intrecci testuali disegnano una tradizione in cui la Versione di Napoli, frutto di una collazione fedele ma non pedissequa della Versione di Firenze, si colloca al centro di una costellazione di scritti – il De piramidibus e il De motu di Gerardo di Bruxelles, la Versione di Cambridge e la più tarda Versione di Gordanus – che condividono stilemi editoriali, terminologia e riferimenti incrociati, tutti riconducibili all’insegnamento di Giovanni di Tynemouth.

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31 La tradizione latina del De quadratura circuli e l’autonomia della versione Cor da Sfera e cilindro

Il testo esamina il rapporto tra la versione Cor del trattato archimedeo Dimensione del cerchio e le redazioni di Cambridge (C) e Firenze (F), contestando l’ipotesi di Clagett di un accesso diretto alla traduzione moerbekiana di Sfera e cilindro (SC). L’autore sostiene invece che Cor sia integralmente costruita su C e F.

La sezione si apre con gli assiomi. Cor utilizza tre postulati chiamati petita, principia e, preferendo il termine di C, petitiones.

«They read thus: (Cor) [1] … quod arcus sit maior corda … [2] … quod linea curva sit equalis recte … [3] … quelibet linea curva duobus terminis arcus circumferencialis conterminata ex parte convexitatis arcus arcum ambiens maior est illo arcu» – (fr:14755) [Recitano così: (Cor) [1] … che l’arco sia maggiore della corda … [2] … che una linea curva sia uguale a una retta … [3] … qualunque linea curva compresa tra due estremi di un arco di circonferenza, giacente dalla parte convessa dell’arco e che racchiude l’arco, è maggiore di quell’arco].

Il [3] di Cor è più elementare del corrispondente [3’] di C, che suona:

«[3’] item ambitum cuiuslibet figure includentis esse maiorem ambitu figure incluse» – (fr:14760) [così pure il perimetro di qualsiasi figura includente è maggiore del perimetro della figura inclusa].

L’editore di Cor sostituisce il postulato più generale con uno specifico per archi e corde, da cui il contenuto di [3’] è poi dimostrato come proposizioni 1-2. In quelle dimostrazioni appare peraltro una formulazione vicina a C:

«Ex primo principio manifestum est quod cuiuslibet poligonii circulo inscripti linea curva ambitus poligonii … minor est circumferentia» – (fr:14767) [Dal primo principio è manifesto che la linea curva perimetrale di un qualsiasi poligono inscritto nel cerchio … è minore della circonferenza].

Ciò conferma che i postulati di Cor e le proposizioni 1-2 sono elaborazioni dirette su C, senza bisogno di attingere al postulato 2 di Archimede nella versione di Moerbeke.

Nella proposizione 3, Cor tratta le formule dell’area per i poligoni regolari inscritto e circoscritto. Mentre C enuncia solo il caso inscritto, Cor formula anche il circoscritto sul modello dell’inscritto:

«… id quod fit ex ductu illius perpendicularis in totalem lineam continentem sive ambientem poligonium est duplum ad poligonium» – (fr:14784) [… ciò che risulta dal prodotto di quella perpendicolare per l’intera linea che contiene o circonda il poligono è il doppio del poligono].

La dimostrazione di Cor ricalca da vicino quella di C, con parallelismi precisi nella costruzione della perpendicolare e nelle citazioni di Euclide:

«… a centro K ducatur linea ad medium punctum lateris poligonii AB … igitur linea KM erit linea perpendicularis ad latus AB ex 3 tercii» – (fr:14796-14797) [dal centro K si conduca una linea al punto medio del lato AB del poligono … dunque la linea KM sarà perpendicolare al lato AB per III, 3].

Anche la preferenza terminologica di Cor per linea ambiens poligonium (anziché ambitus poligonii di C) sembra modellata su F IA. L’articolazione separata dei due casi è un ulteriore indizio di dipendenza da C, poiché una strategia più economica sarebbe stata quella di dimostrare la formula per un poligono regolare qualsiasi e applicarla in seguito.

La prova del teorema del cerchio (prop. 4) mostra un intreccio di fonti. L’enunciato segue C e F IA. Tuttavia, l’impianto ipotetico iniziale – «Circulus propositus aut est maior triangulo aut minor aut equalis. Esto primo quod sit maior» – (fr:14816-14817) [Il cerchio dato o è maggiore del triangolo o minore o uguale. Si ponga dapprima che sia maggiore] – è più vicino a F. Lo svolgimento successivo dell’ipotesi “maggiore” concorda con C:

«Ergo aliquanto est maior eo … Esto itaque G excessus quo circulus est maior triangulo» – (fr:14825) [Dunque è maggiore di esso di una certa quantità … Sia dunque G l’eccesso di cui il cerchio è maggiore del triangolo].

Per il principio di esaustione di Euclide X,1, Cor cita l’enunciato completo secondo la recensione “Adelardo II”, ma poi utilizza la terminologia di C (medietate, et iterum, residuo, occurret) anziché quella di Adelardo II. La sezione successiva, dedicata alla suddivisione degli archi, mostra invece un accordo stretto con F, con espressioni parallele come protrahantur, si parallelograma describantur, consimilis detraccio, causa brevitatis:

«Quatuor arcus … dividantur per equalia … protrahantur 8 corde … Habebimus itaque quatuor triangulos … isti 4 trianguli sunt maiores medietate … si triangulorum parallelograma describantur» – (fr:14842) [I quattro archi … siano divisi a metà … si tirino 8 corde … Avremo così quattro triangoli … questi 4 triangoli sono maggiori della metà … se si descrivono i parallelogrammi dei triangoli].

Questa cucitura di frammenti da C e da F porta Cor a citare due volte Euclide X,1 per lo stesso passaggio. Le disuguaglianze finali tra le forme prodotto per derivare la contraddizione sono invece tratte da C, come mostrano la costruzione della perpendicolare e l’uso comune di relinquitur quod:

«Protrahatur linea a centro E … est itaque EM linea perpendicularis … relinquitur itaque quod circulus datus non est maior triangulo prefato» – (fr:14855-14856) [Si conduca una linea dal centro E … pertanto la linea EM è perpendicolare … rimane dunque che il cerchio dato non è maggiore del predetto triangolo].

Nella seconda parte della dimostrazione (caso “minore”) Cor segue una simmetria espositiva autoconsistente, ma recupera sporadicamente locuzioni come tali continua detraccione da F. La sezione sulle porzioni esterne si avvicina a F nell’omettere la proporzione che C esplicita, e in alcuni punti diverge da entrambe le fonti: per dimostrare che TH > TP, Cor abbandona il ragionamento pitagorico di C e propone un argomento più diretto basato sulla disuguaglianza triangolare.

La conclusione riprende da F IA l’alternativa netta (circulus sit maior vel minor vel equalis) e poi integra la quadratura del cerchio tramite la ricerca del medio proporzionale secondo Euclide VI,13, allontanandosi dalle fonti. La chiusa ricalca C:

«… et sic quadratum EM linee est equale circulo proposito, et sic perfecte invenimus quadratum equale circulo proposito» – (fr:14902) [e così il quadrato della linea EM è uguale al cerchio dato, e così abbiamo perfettamente trovato un quadrato uguale al cerchio dato].

L’intera analisi conferma che Cor è un’elaborazione condotta interamente su C e F, senza alcuna influenza diretta della traduzione moerbekiana di Sfera e cilindro. L’editore di Cor ha attinto a entrambe le redazioni, adattandole e occasionalmente innovando, ma sempre entro l’orizzonte testuale fornito da Cambridge e Firenze.

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[32.1/1-219-16225|16439]

32 Varianti e divergenze nella tradizione dei lemmi isoperimetrici: Pappo, Teone e l’Anonimo a confronto

L’analisi delle tre redazioni superstiti (Pappo, Teone e l’Anonimo) svela stratificazioni testuali, scelte terminologiche e un errore strutturale nella dimostrazione di Pappo, restituendo la fisionomia di un testo archimedeo rimaneggiato.

Il testo esamina in dettaglio le differenze tra la versione di Pappo (PI), quella di Teone (TI) e quella dell’Anonimo (AI) per la sezione del De dimensione circuli dedicata alle figure isoperimetriche. Il teorema principale, la proposizione 10, stabilisce che “the regular polygon is maximal among rectilinear plane figures isoperimetric with it” – (fr:16224) [il poligono regolare è massimo tra le figure piane rettilinee isoperimetriche]. A tale scopo tutte e tre le redazioni premettono una serie di lemmi (proposizioni 4-9) sui triangoli isoperimetrici (16222), ma già nell’enunciazione generale affiorano divergenze. Mentre PI e TI concordano nell’affermare che “of the isoperimetric polygonal figures also having equally many sides, the greatest is both equilateral and equiangular” – (fr:16225) [tra le figure poligonali isoperimetriche con lo stesso numero di lati, la massima è equilatera ed equiangola], l’Anonimo utilizza locuzioni lievemente diverse ma mostra ora affinità con PI ora con TI, ad esempio conservando «it is to be proved» come PI ma adottando «having equally many sides» come TI (16232-16233).

Un tratto formale costante è l’inserimento, da parte del redattore di AI, di enunciati e formule introduttive che PI e TI omettono. “This formalism appears characteristic of the editor of AI, as is also the accompanying phrase, ‘let it be required to make [or: prove] the said’” – (fr:16242) [Questo formalismo appare caratteristico del redattore dell’AI, così come l’espressione di accompagnamento “sia richiesto di fare [o: dimostrare] quanto detto”]. A tale veste più curata si accompagna però in PI l’aggiunta di veri e propri corollari assenti negli altri due testimoni, come quello sul triangolo «più isoscele».

Nella Proposizione 4, che costruisce un triangolo isoscele isoperimetrico a un triangolo dato, Pappo impone una condizione più generale: “Pappus expresses the additional restriction in a more general form (sc. that one of the constructed sides equals E), than do TI and AI (where the constructed sides are equal to each other)” – (fr:16249) [Pappo esprime la restrizione aggiuntiva in forma più generale (ossia che uno dei lati costruiti sia uguale a E) rispetto a TI e AI (dove i lati costruiti sono uguali tra loro)]. Il metodo di Pappo si basa semplicemente sulla condizione euclidea di esistenza del triangolo, mentre AI e TI procedono in modo più articolato: “Having bisected the sum of the given lengths AB, BG to obtain AK (as in AI, Fig. 4b), instead of simply using this for each of the legs of the required isosceles triangle AZG … they next define the altitude DZ such that DZ2= AK2 - AD2” – (fr:16256) [Dimezzata la somma dei lati AB, BG per ottenere AK (come in AI, Fig. 4b), invece di usare semplicemente questo valore per ciascuno dei lati del triangolo isoscele cercato … definiscono poi l’altezza DZ tale che DZ² = AK² – AD²]. In tale contesto emerge un importante indicatore di autenticità: l’Anonimo impiega la terminologia della dynamis (potenza), ad esempio “And by what (amount) KA is greater in square [dynatai] than AD, let DZ be equal in square [dynasthO]” – (fr:16259) [E di quanto KA è maggiore in potenza [dynatai] di AD, di tanto DZ sia uguale in potenza [dynasthO]], là dove Teone usa le consuete perifrasi euclidee. Poiché forme di dynamis sono regolarmente adoperate da Archimede, il testo di AI conserva qui un tratto della fonte, mentre Teone ha normalizzato il dettato (16263-16264).

La Proposizione 5 mostra un’altra peculiarità di Pappo: “PI Of isoperimetric triangles also having the same base, the isosceles is greatest, and always the more isosceles the greater” – (fr:16268) [Dei triangoli isoperimetrici sulla stessa base, l’isoscele è massimo, e sempre quanto più è isoscele tanto maggiore]. Essa enuncia il teorema come proposizione separata e aggiunge il corollario sul «più isoscele», mentre TI e AI lo agganciano semplicemente alla costruzione della prop. 4, senza quel corollario, che non è richiesto per il teorema isoperimetrico principale (16276-16277).

Per la Proposizione 8, la costruzione dei due triangoli isosceli simili, il modello condiviso da PI e TI prevede che “one assumes two isosceles triangles AEB, GDZ, such that base AB > GD, but the four legs are equal … one is to construct two similar isosceles triangles on the same bases such that their four legs together equal the four legs of the two given triangles” – (fr:16301-16302) [si assumono due triangoli isosceli AEB, GDZ, con base AB > GD, ma i quattro lati uguali … si devono costruire due triangoli isosceli simili sulle stesse basi in modo che la somma dei loro quattro lati uguagli la somma dei quattro lati dei due triangoli dati]. L’Anonimo introduce invece un’errata qualifica: “AI incorrectly inserts the term ‘isoperimetric’ to describe the two given dissimilar triangles, as if these were isoperimetric to each other, when in fact they can only be isoperimetric in sum to the required similar triangles” – (fr:16314) [AI inserisce scorrettamente il termine “isoperimetrici” per descrivere i due triangoli dissimili dati, come se fossero isoperimetrici tra loro, mentre possono esserlo solo in somma con i triangoli simili richiesti]. La svista, probabilmente nata dal tentativo di generalizzare la costruzione rimuovendo l’uguaglianza dei quattro lati, compromette il corollario sull’altezza del vertice, essenziale per PI e TI (16327-16329). La Proposizione 6, invece, stabilisce un’identità pitagorica per triangoli rettangoli simili: “(AG + DZ)2 = (BG + EZ)2 + (AB + DE)2” – (fr:16348) [(AG + DZ)² = (BG + EZ)² + (AB + DE)²]. Le versioni differiscono qui solo nella formula per designare il quadrato su più segmenti: PI usa hōs mias («come su una sola»), AI e TI hōs apo mias («come su da una sola»), divergenza che riflette correzioni successive (16354-16355).

Le maggiori tensioni si concentrano nella Proposizione 7, dove si dimostra che i triangoli simili sono maggiori di quelli dissimili. Mentre PI e TI condividono un’argomentazione basata sul fatto che il vertice del triangolo simile sta sopra quello del dissimile, Pappo tenta una via fondata sulle proporzioni e sull’operazione synthenti (composizione). Il commentatore moderno rileva però che “the critical synthenti step is not generally valid; but a sufficient condition for its validity is that the antecedent terms be in proportion … this condition would entail that the bases DB = BG, and this is not generally the case” – (fr:16419-16420) [il passaggio critico di synthenti non è generalmente valido; una condizione sufficiente per la validità è che i termini antecedenti siano in proporzione … ciò comporterebbe l’uguaglianza delle basi DB = BG, cosa non generalmente vera]. Viene anzi prodotto un controesempio con i parametri DB=2a, BG=2na, ZH=b, AM=nb (n>1) in cui “LBG > ABG + ZDB (contrary to the claim of prop. 7) for n > 2 + 1/n²” – (fr:16430-16431) [LBG > ABG + ZDB (in contrasto con l’asserto della prop. 7) per n > 2 + 1/n²]. La vera ragione della fragilità della dimostrazione di Pappo è strutturale: “This difficulty over cases indicates that the source version placed prop. 8 before prop. 7, as in AI and TI, and not according to the inverted order in PI” – (fr:16432-16434) [Questo problema legato ai casi indica che la versione originale collocava la prop. 8 prima della prop. 7, come in AI e TI, e non secondo l’ordine invertito di PI]. Infatti, la costruzione della prop. 8 in PI e TI impone che i quattro lati dei triangoli dissimili siano uguali, restrizione che elimina il caso patologico e rende corretta la dimostrazione per la prop. 10 (16437-16439). Lo spostamento in PI è quindi un’innovazione che introduce una falla.

In conclusione, il confronto serrato mostra che la fonte comune PI, condivisa da PI e TI, presentava già la terminologia della dynamis, l’ordine 8→7 e l’uguaglianza dei quattro lati. Pappo ha alterato l’ordine, aggiunto il corollario «più isoscele» e tentato una dimostrazione proporzionale non valida. Teone vi ha inserito le sue caratteristiche glosse. L’Anonimo, discendendo da un ramo indipendente (AI), ha introdotto formalizzazioni e un ragionamento sugli angoli verticali giudicato da Hultsch «molto più oscuro di quello di Zenodoro e Pappo» (16396-16398), testimoniando così la complessa storia redazionale di questi lemmi.

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[33.1/1-51-16446|16491]

33 Confronto testuale delle proposizioni 7-10 nel Trattato anonimo sulle figure isoperimetriche

Le varianti fra le versioni AI, PI e TI mostrano come la restrizione dell’enunciato, il lemma intermedio e la dimostrazione del teorema isoperimetrico siano stati adattati dai diversi testimoni.

L’analisi si concentra sulle proposizioni finali del Trattato anonimo sulle figure isoperimetriche, esaminando le divergenze redazionali fra tre rami della tradizione indicati come AI, PI e TI. Il confronto tocca le proposizioni 7, 8, 9 e 10, portando alla luce il modo in cui ciascun testimone gestisce la restrizione necessaria al teorema, il lemma abortivo e la dimostrazione principale.

In PI l’enunciato della proposizione 7 appare espresso in forma generale e risulta quindi falso, perché la necessaria limitazione è rinviata al lemma successivo (prop. 9). Lo si ricava da “7 appears to be general (whence it is false), for the restriction is not made until the subsequent lemma prop.” – (fr:16444) [La 7 appare generale (ed è quindi falsa), poiché la restrizione non viene introdotta fino al lemma successivo alla prop.] e dal complemento “But in PI the enunciation of prop. 7 appears to be general…” – (fr:16443) [Ma in PI l’enunciato della prop. 7 sembra generale…]. Viceversa, nell’ordine dei teoremi seguito da TI la restrizione può essere assunta direttamente nella proposizione 10: “Thus, in the order of the theorems followed by TI, the appropriate restriction can be assumed in prop.” – (fr:16440-16441) [Così, nell’ordine dei teoremi seguito da TI, la restrizione appropriata può essere assunta nella prop. 10]. La proposizione 8 è citata solo con il titolo: “Prop.” – (fr:16446, 16445). La proposizione 9 costituisce il lemma «abortito» promesso durante la prop. 7 di PI: “This is the abortive lemma promised in the course of PI, prop. 7 (see above).” – (fr:16448-16449) [Questo è il lemma abortivo promesso nel corso della prop. 7 di PI (vedi sopra)]. Tale lemma non ha alcun corrispondente né in AI né in TI: “There is no analogue in AI or TI.” – (fr:16450) [Non c’è alcun analogo in AI o TI].

La proposizione 10 rappresenta il teorema isoperimetrico per poligoni: “This is the isoperimetric theorem for polygons.” – (fr:16453) [Questo è il teorema isoperimetrico per i poligoni]. Le tre versioni lo enunciano in modo assai simile:

• PI: “PI [a] These things having been proved before, we shall show the proposed, that is, [b] that of isoperimetric rectilinear figures also having equally many sides, the greatest is both equilateral and equiangular.” – (fr:16454) [PI [a] Dopo aver dimostrato queste cose in precedenza, mostreremo quanto proposto, cioè [b] che tra le figure rettilinee isoperimetriche aventi anche lo stesso numero di lati, la massima è sia equilatera che equiangola.]
• AI: “AI [a] These things have been shown, let it be proposed to show the things said first, [b] that of isoperimetric and equally-many-sided rectilinear (figures) the equilateral and equiangular is greater.” – (fr:16455) [AI [a] Dopo aver mostrato queste cose, si proponga di dimostrare ciò che è stato detto per primo, [b] che tra le figure rettilinee isoperimetriche e con lo stesso numero di lati, quella equilatera ed equiangola è maggiore.]
• TI: “TI [b] Of isoperimetric rectilinear figures also having equally many sides, the greatest is both equilateral and equiangular.” – (fr:16456) [TI [b] Tra le figure rettilinee isoperimetriche aventi anche lo stesso numero di lati, la massima è sia equilatera che equiangola.]

Le dimostrazioni nelle tre redazioni sono tecnicamente e testualmente affini: “The proofs in all three cases are quite similar, both technically and textually.” – (fr:16457) [Le dimostrazioni in tutti e tre i casi sono piuttosto simili, sia tecnicamente che testualmente]. Esse adottano procedimenti indiretti, trattando dapprima il caso dei lati – che il poligono massimo sia equilatero – e poi quello degli angoli – che sia equiangolo: “They adopt indirect proofs, considering first the case of the sides – that the maximal polygon is equilateral – and then the case of angles – that the maximal polygon is equiangular.” – (fr:16458) [Adottano dimostrazioni indirette, considerando prima il caso dei lati – che il poligono massimo sia equilatero – e poi il caso degli angoli – che il poligono massimo sia equiangolo]. Una differenza notevole è che AI e TI utilizzano esagoni come illustrazione, mentre PI impiega un pentagono: “Among differences in detail, AI and TI agree in adopting hexagons for purposes of illustration, whereas PI employs a pentagon.” – (fr:16459) [Tra le differenze di dettaglio, AI e TI concordano nell’adottare esagoni a scopo illustrativo, mentre PI impiega un pentagono].

33.1 Prima parte della prova: l’equilaterità

Il confronto dei passi dedicati ai lati si basa sulle seguenti citazioni.

PI argomenta: “PI [a] There being added the quadrilateral AGDE in common, [b] there will be a certain area ZGDEA greater than the greatest ABGDE, isoperimetric with it, and having the same number of sides, [c] which is impossible.” – (fr:16461) [PI [a] Una volta aggiunto in comune il quadrilatero AGDE, [b] ci sarà una certa area ZGDEA maggiore della massima ABGDE, isoperimetrica con essa e avente lo stesso numero di lati, [c] il che è impossibile.] Seguono la conclusione “[d] Thus. ABGDE is equilateral.” – (fr:16462-16463) [[d] Dunque. ABGDE è equilatero.] e un corollario “[e] And it is obvious that the more equilateral is always greater; for also the more isosceles (triangle) is always greater.” – (fr:16464) [[e] Ed è evidente che quanto più è equilatero, tanto maggiore è sempre; infatti anche il triangolo più isoscele è sempre maggiore.]

AI presenta una costruzione analoga: “AI [a] Let the pentagon BDMEG be added in common; [b] thus, the whole eBDMEG is greater than ABDMEG and is isoperimetric with it, [c] which is absurd; for it is supposed greater than all.” – (fr:16465) [AI [a] Si aggiunga in comune il pentagono BDMEG; [b] così, l’intero eBDMEG è maggiore di ABDMEG ed è isoperimetrico con esso, [c] il che è assurdo; poiché si suppone maggiore di tutti.] e chiude con “[d] Thus, it is not unequilateral.” – (fr:16466) [[d] Dunque, non è non-equilatero.]

TI si esprime invece così: “TI [a] And there being added the pentalateral AGEDZ in common, [b] the hexagon AHGDEZ will be greater than ABGDEZ, being greatest, [c] which is absurd.” – (fr:16467) [TI [a] E aggiungendo in comune il pentalatero AGEDZ, [b] l’esagono AHGDEZ sarà maggiore di ABGDEZ, essendo massimo, [c] il che è assurdo.] Prosegue con passi supplementari: “[f] Thus, (side) AB is not unequal to BG. [g] Similarly then we shall show that neither is any (unequal) to any other. [d] Thus, the hexagon ABGDEZ is equilateral.” – (fr:16468-16470) [[f] Dunque, il lato AB non è disuguale a BG. [g] Analogamente mostreremo che nessuno è disuguale a un altro. [d] Pertanto, l’esagono ABGDEZ è equilatero.]

I diagrammi relativi a questa parte della dimostrazione sono indicati dalla sequenza di lettere “PI: A B G D E Z TI: A B G D E Z H AI: G A B D E M e” – (fr:16471) e rinviano alla Figura 10 (fr:16474). AI concorda maggiormente con PI – ad esempio, condivide l’espressione “isoperimetric with it” (fr:16472) – ma manca di tratti peculiari di ciascuno: di PI è assente il termine “same number” (isarithmos) e il corollario sul “più equilatero”, mentre di TI sono omessi i passaggi [f] e [g] (fr:16473-16476). AI conserva però caratteristiche proprie, come l’imperativo “let it be added” e la conclusione con doppia negazione “not unequilateral” (fr:16477). Inoltre, mentre PI e TI impiegano sostanzialmente lo stesso lettering per il diagramma, AI adotta una variante autonoma: “Where PI and TI adopt basically the same diagram lettering, AI employs its own variant.” – (fr:16478) [Mentre PI e TI adottano sostanzialmente lo stesso lettering per il diagramma, AI impiega una sua variante].

33.2 Seconda parte della prova: l’equiangolarità

La medesima struttura si ripete per gli angoli. Ecco i passi corrispondenti.

PI: “PI [a] There being added the triangle AGE, [c] there will be the same absurdity. [b] For AZGHE will be greater than the greatest, ABGDE, and isoperimetric with it.” – (fr:16479-16480) [PI [a] Una volta aggiunto il triangolo AGE, [c] si avrà la stessa assurdità. [b] Infatti AZGHE sarà maggiore della massima ABGDE, e isoperimetrica con essa.] Conclude “[d] (Thus,) also the polylateral ABGDE is equiangular.” – (fr:16481) [[d] (Così,) anche il poligono ABGDE è equiangolo.]

AI: “AI [a] Let the quadrilateral ADME be added in common; [b] thus, the whole AHDMEZ hexagon is greater than ABDMEG, being isoperimetric with it, [c] which is absurd.” – (fr:16482) [AI [a] Si aggiunga in comune il quadrilatero ADME; [b] così, l’intero esagono AHDMEZ è maggiore di ABDMEG, essendo isoperimetrico con esso, [c] il che è assurdo.] e “[d] Thus, it is not unequiangular.” – (fr:16483) [[d] Dunque, non è non-equiangolo.]

TI: “TI [a] There being added the quadrilateral ZBDE in common, [b] ZHB8DE will be greater than the greatest, ABGDEZ, [c] which is absurd.” – (fr:16484) [TI [a] Una volta aggiunto in comune il quadrilatero ZBDE, [b] ZHB8DE sarà maggiore della massima ABGDEZ, [c] il che è assurdo.] Aggiunge i dettagli “[e] Thus, the angle A is not unequal to G. [f] Similarly then we shall show that neither is it (unequal) to any other. [d] Thus, ABGDEZ is equiangular.” – (fr:16485-16486) [[e] Dunque, l’angolo A non è disuguale a G. [f] Analogamente mostreremo che non lo è rispetto a nessun altro. [d] Pertanto, ABGDEZ è equiangolo.]

I punti dei diagrammi per questo secondo momento sono “PI: A B G D E Z H TI: Z A B G D E H 8 AI: D B A G E M H Z” – (fr:16487) e sono rappresentati nella Figura 11. AI mostra anche qui una posizione intermedia: condivide con PI l’espressione “isoperimetric with it” nella frase [b], mentre omette le linee [e] e [f] di TI. Segue invece l’ordine di TI per le battute [b] e [c] (prima la costruzione e poi l’assurdo), anziché la disposizione invertita di PI (fr:16489). AI mantiene inoltre i tratti stilistici già osservati nella prima parte: l’imperativo “let there be added” e la doppia negazione “not unequi-” (fr:16490).

L’insieme di questi riscontri rivela che AI e TI condividono un sottile elemento di stile nell’inquadrare le due sezioni della dimostrazione della proposizione 10: “These passages indicate a subtle element of style shared by AI and TI: their framing of the two parts of the proof of prop.” – (fr:16491) [Questi passaggi indicano un sottile elemento di stile condiviso da AI e TI: la loro strutturazione delle due parti della dimostrazione della prop. 10]. La tradizione manoscritta del trattato riflette così un intreccio di varianti testuali che consente di ricostruire i rapporti fra i testimoni e il loro debito verso il testo archimedeo.

[34]

[34.1/1-187-16500|16685]

34 Analisi dell’ordine argomentativo e della tradizione testuale del trattato isoperimetrico

Il testo esamina criticamente la struttura logica e la trasmissione di un antico trattato sulle figure isoperimetriche, concentrandosi sull’ordine delle proposizioni e sulle discrepanze tra diverse versioni manoscritte.

Un elemento centrale è l’analisi dell’ordine in cui vengono affrontati i casi nelle dimostrazioni geometriche, in particolare nelle proposizioni 7 e L’autore sostiene che l’aver anteposto il caso equilatero non sia frutto del caso, ma di una scelta deliberata e lungimirante. Infatti, se si fosse affrontato per primo il caso equiangolo, “one would have to entertain instances where prop. 7 was not valid” - (fr:16503-16504) [si sarebbero dovuti considerare casi in cui la prop. 7 non era valida]. Stabilire prima che la figura massima deve essere equilatera semplifica l’analisi successiva: “For once it is established first that the maximal figure must be equilateral, it follows that all four sides of the two triangles considered in the equiangular case must be equal” - (fr:16501) [Poiché una volta stabilito che la figura massima deve essere equilatera, ne consegue che tutti e quattro i lati dei due triangoli considerati nel caso equiangolo devono essere uguali].

L’ordine corretto è quindi interpretato come un artefatto di una pianificazione preliminare. L’autore ipotizza che, tentando per primo il caso equiangolo, l’estensore originario avrebbe notato la necessità di considerare casi aggiuntivi, come i triangoli scaleni, rendendosi conto della maggiore efficienza nel trattare prima il poligono equilatero. “I thus think that the adoption of the correct order in prop. 10 is an artifact of the preliminary planning out of the sequence of propositions” - (fr:16516-16517) [Ritengo quindi che l’adozione dell’ordine corretto nella prop. 10 sia un artefatto della pianificazione preliminare della sequenza delle proposizioni]. La sensibilità dell’argomentazione non fu forse pienamente compresa dalla fonte, ma il risultato corretto non è casuale: “it turns out correctly, however, is not merely by chance, but rather through an appreciation of the most economical order” - (fr:16523) [risulta corretto, tuttavia, non per mero caso, ma piuttosto attraverso un apprezzamento dell’ordine più economico].

Il testo procede poi a un’analisi comparativa delle diverse versioni del trattato (PI, AI, TI) riguardo ai solidi isoperimetrici. Pappo (PI) inserisce risultati su coni e cilindri isoperimetrici assenti in AI e TI, mentre queste ultime includono risultati sui solidi conici di Archimede, assenti in PI. L’accordo tra AI e TI suggerisce la forma della fonte comune, mentre le aggiunte di PI sono attribuite a Pappo stesso, il quale allega anche resoconti estesi sui solidi semiregolari e sulle misure della sfera, materiale non originale ma tratto da fonti diverse dall’opera isoperimetrica di Zenodoro.

Il metodo dimostrativo per i solidi si basa su un’analogia con il caso piano: il volume è espresso come un terzo del prodotto tra raggio e superficie, una conseguenza del fatto che ogni solido può essere circoscritto a una sfera. Il ragionamento generale è così sintetizzato: “let a sphere be inscribed in the solid; then the radii of the solid and the sphere are equal, but the surface of the solid is greater than that of the sphere. Thus, the sphere isoperimetric with the solid will have a greater radius.” - (fr:16543-16544) [si inscriva una sfera nel solido; allora i raggi del solido e della sfera sono uguali, ma la superficie del solido è maggiore di quella della sfera. Così, la sfera isoperimetrica al solido avrà un raggio maggiore]. Ne consegue che la sfera ha volume maggiore. Le versioni, tuttavia, forniscono dimostrazioni separate per ogni tipo di solido, senza percepire un risultato generale unico. Questo metodo non si applica ai solidi semiregolari, la cui omissione da parte di Pappo è quindi giudicata ben ponderata.

Il confronto testuale evidenzia differenze significative tra le versioni. Nel caso della proposizione C, AI presenta un lemma separato per dimostrare l’uguaglianza tra sfera e cono, mentre TI inserisce la dimostrazione due volte. L’autore deduce che la fonte comune fosse più simile a PI, dove il risultato è semplicemente assunto in base all’autorità di Archimede, e che le dimostrazioni in AI e TI siano elaborazioni indipendenti dei rispettivi editori.

Analogamente, per la proposizione D sulla sfera e i solidi regolari, PI e TI mostrano strette corrispondenze verbatim, mentre AI presenta una formulazione divergente. L’autore nota con particolare interesse l’uso in AI di una formulazione basata sul “prodotto” per esprimere i volumi, che la rende più chiara e precisa nonostante la brevità, creando un ulteriore legame tra AI e la tradizione medievale.

Le proposizioni E e F di Pappo su cono e cilindro rivelano una delle limitazioni degli scritti isoperimetrici. Pappo dimostra che la sfera è maggiore di un cono e un cilindro specifici, ma sembra suggerire che la relazione valga per il cono e il cilindro generici. “But he seems to suggest that the isoperimetric relation obtains for the generic cone and cylinder.” - (fr:16637) [Ma sembra suggerire che la relazione isoperimetrica valga per il cono e il cilindro generici]. Ciò non è dimostrato, e le figure massime reali sono diverse. Tuttavia, una dimostrazione per il caso generale era alla portata dei metodi antichi, applicando il ragionamento della prop. B.

La consapevolezza di questa incompletezza è espressa vividamente nell’osservazione conclusiva dell’autore di AI, che riconosce come la dimostrazione della proprietà isoperimetrica della sfera richieda un’indagine ben più estesa: “our philosopher has added nothing, but has come to a halt, having rendered (the conclusion) convincing through a certain analogy with the plane (figures), and having turned over to us the project of seeking the proof conformable to geometers.” - (fr:16658-16659) [il nostro filosofo non ha aggiunto nulla, ma si è fermato, avendo reso (la conclusione) convincente attraverso una certa analogia con le figure (piane), e avendo affidato a noi il progetto di cercare la dimostrazione conforme ai geometri]. L’identità di questo “filosofo” rimane un problema aperto, la cui soluzione chiarirebbe la fonte di AI. Il testo conclude che i candidati più probabili sono Pappo e Zenodoro, ma l’identificazione finale dipende da un’analisi complessiva delle evidenze interne, non essendo il termine “filosofo” di per sé dirimente, data la sua applicazione generica a figure accademiche del tardo periodo ellenistico.

[35]

[35.1/1-222-16769|16989]

35 Tradizione e cronologia del trattato anonimo sulle figure isoperimetriche

Il brano analizzato costituisce una densa sezione di un’indagine filologica sulla trasmissione del trattato De figuris isoperimetricis, nel quale si intrecciano l’opera di Archimede, di Zenodoro e dei commentatori tardo-antichi. La ricostruzione muove dal confronto tra le tre versioni superstiti – PI (Pappo), TI (Teone) e AI (l’Introduzione anonima) – per risalire alle fonti perdute Z* e AI* e per collocarle nel tempo.

Il metodo comparativo consente di isolare le linee testuali originarie. L’accordo tra PI e TI segnala la presenza di una lezione in PI, mentre il silenzio di AI ne attesta l’assenza da Z:
“If we follow the strategy indicated above, the agreement of PI and TI indicates the presence of line [1] in PI, the silence of AI indicates its absence from Z” – (fr:16791) [Se seguiamo la strategia sopra indicata, l’accordo di PI e TI indica la presenza della linea [1] in PI, il silenzio di AI ne indica l’assenza da Z].
Analogamente, sul rinvio ad Archimede le formule generiche («come si suppone nelle (cose) di Archimede») sono attribuite alla fonte più antica Z, mentre le espressioni tecniche come «è dimostrato da lui» in TI sono ritenute modifiche o aggiunte di Teone:
”Expressions like ‘from the (things) of Archimedes,’ typical of AI (in [4], [5], [6], and [7]) and supported by PI (in [7a]), are to be assigned to both sources in preference to the alternatives, like ‘is proved by him’ in TI … for the latter are best viewed as modifications (in [8], additions) by Theon”* – (fr:16800‑16801) [Espressioni come «dalle (cose) di Archimede», tipiche di AI (in [4], [5], [6] e [7]) e sostenute da PI (in [7a]), sono da assegnare a entrambe le fonti in preferenza alle alternative, come «è dimostrato da lui» in TI … poiché queste ultime sono da considerare al meglio modifiche (in [8], aggiunte) da parte di Teone].

La fisionomia di Z* emerge come un testo sobrio, che si limita a citazioni archimedee generiche:
“These patterns indicate that the older source Z* adhered to generic Archimedean citations – e.g., ‘as is supposed in the (things) of Archimedes.’” – (fr:16802) [Questi schemi indicano che la fonte più antica Z* aderiva a citazioni archimedee generiche – ad es., «come si suppone nelle (cose) di Archimede»].
Il fatto che Z* sopravvivesse dopo l’uso che ne fece Pappo per PI* rende non obbligatorio datare AI* prima di PI o TI:
“Positing Z as source does not compel dating AI* earlier than PI or TI, for Z* would presumably still remain available after Pappus’ use of it for the composition of PI“ – (fr:16805) [Postulare Z* come fonte non obbliga a datare AI* prima di PI o TI, poiché Z* presumibilmente sarebbe rimasta disponibile anche dopo l’uso che ne fece Pappo per la composizione di PI*].

Elemento decisivo per la cronologia è la citazione di Teone in AI. Se tale citazione risale all’autore di AI, si ottiene un termine post quem* intorno al 400 d.C.:
“If AI’s citation of Theon in the lemma after prop. 1 is indeed due to the author of AI, we derive a terminus post quem of ca. 400 for the composition of AI” – (fr:16806‑16808) [Se la citazione di Teone da parte di AI nel lemma dopo la prop. 1 è effettivamente dovuta all’autore di AI, otteniamo un terminus post quem di circa il 400 per la composizione di AI].
L’analisi dei riferimenti di Proclo (ca. 450) fornisce invece un termine ante quem:
“On this view we would obtain a terminus ante quem of ca. 450” – (fr:16817‑16818) [Su questa base otterremmo un terminus ante quem di circa il 450].

La terminologia propria di AI costituisce un marcatore distintivo. L’intestazione di AI adopera l’aggettivo polychoretoteros («più ampio»), assente in PI e TI:
“The heading of AI reads thus: AI [a] That the circle is more spacious [polychOretoteros] than the isoperimetric figures. … The term ‘more spacious’ in [a] appears only here in AI, and nowhere in either PI or TI. … For these reasons, Hultsch plausibly surmises that the term is an innovation by the author of AI” – (fr:16824‑16828) [L’intestazione di AI recita così: AI [a] Che il cerchio è più ampio [polychoretoteros] delle figure isoperimetriche. … Il termine «più ampio» in [a] compare solo qui in AI, e in nessun luogo né in PI né in TI. … Per queste ragioni, Hultsch ipotizza plausibilmente che il termine sia un’innovazione dell’autore di AI].
La stessa voce ricorre in Proclo:
“Perhaps because also [c] the sphere is more spacious [polychOretoteros] than the isoperimetric solids” – (fr:16829‑16830) [Forse perché anche [c] la sfera è più ampia [polychoretoteros] dei solidi isoperimetrici],
e in Simplicio, segnalando la loro dipendenza da AI* o AI:
“That Simplicius’ statement of the theorem is based on AI* or AI would seem to be betrayed in his use of the term ‘more spacious’” – (fr:16860) [Che l’enunciazione del teorema di Simplicio si basi su AI* o AI sembrerebbe tradita dal suo uso del termine «più ampio»].

Proprio la presenza di questo lessico costringe a ipotizzare che Proclo non attingesse a PI* ma a una fonte composita, verosimilmente AI:
”In our comparative survey of the three versions above, we have usually assigned coincident readings to the source PI. But Proclus cannot have found in that work his term ‘more spacious,’ since that is specific to AI” – (fr:16852‑16853) [Nel nostro esame comparativo delle tre versioni sopra, abbiamo di solito assegnato le lezioni coincidenti alla fonte PI*. Ma Proclo non può aver trovato in quell’opera il suo termine «più ampio», poiché questo è specifico di AI];
“On the premise, then, that he has consulted only one source, that would have to hold a suitable composite of the readings in the extant three. It would plausibly be AI, that is, the immediate source underlying the isoperimetric chapter of the Introduction (AI)“* – (fr:16855‑16856) [Sulla premessa, quindi, che egli abbia consultato una sola fonte, questa dovrebbe contenere un adeguato composito delle lezioni presenti nelle tre versioni esistenti. Sarebbe plausibilmente AI*, cioè la fonte immediata sottostante il capitolo isoperimetrico dell’Introduzione (AI)].

Il passo di Quintiliano (I sec. d.C.) rappresenta un’apparente difficoltà. In esso il cerchio è detto capacissima, il che presuppone un termine greco come polychoretotatos, affine a quello di AI. Si deve perciò rivedere l’idea che si tratti di un’innovazione tarda:
“A clue to Quintilian’s source can be inferred from his pairing the terms perfectissima and capacissima” – (fr:16920) [Un indizio sulla fonte di Quintiliano può essere dedotto dal suo abbinare i termini perfectissima e capacissima];
“If so, we must revise our earlier concurrence in Hultsch’s view that the term is an innovation with AI, for it now is associable with the cosmological writers several centuries earlier” – (fr:16926) [Se così, dobbiamo rivedere il nostro precedente accordo con il parere di Hultsch secondo cui il termine è un’innovazione di AI, poiché ora è associabile con gli scrittori cosmologici di diversi secoli prima].
La soluzione proposta è che l’autore di AI* abbia introdotto il termine nella sua edizione del trattato zenodoreo, attingendo però a una tradizione di commento filosofico ben più antica:
“Thus, I would take the author of AI* to be responsible for introducing this term into his edition of the Zenodorean isoperimetric tract; but he would be doing so through familiarity with its much earlier use in the philosophical commentaries” – (fr:16931) [Così, riterrei che l’autore di AI* sia responsabile dell’introduzione di questo termine nella sua edizione del trattato isoperimetrico di Zenodoro; ma lo farebbe attraverso la familiarità con il suo uso molto precedente nei commentari filosofici].

Sul piano della ricostruzione complessiva, il testo mostra una stretta coordinazione tra i tre prototipi AI, DC e CS, tutti edizioni di opere della tradizione archimedea:
”This is one of several indications of coordination among the three writings AI, DC, and CS. All are editions of works in the Archimedean tradition, and just as DC and CS* circulated as works actually by Archimedes, it appears that AI* may also have been issued under the name of Zenodorus” – (fr:16938‑16939) [Questa è una delle varie indicazioni di coordinamento tra i tre scritti AI, DC e CS. Tutti sono edizioni di opere nella tradizione archimedea, e come DC e CS* circolavano come opere effettivamente di Archimede, sembra che anche AI* possa essere stato pubblicato sotto il nome di Zenodoro].
L’ordine compositivo più probabile vede prima DC (la più vicina a Teone), poi AI* e infine CS:
”Moreover, all three imply familiarity with the work of Theon. … One would set the composition of DC* first, … Since AI retains the particular forms for the sphere measurement from Archimedes’ Sphere and Cylinder, while CS works out modified forms, we would set AI* before CS“ – (fr:16956‑16959) [Inoltre, tutti e tre implicano familiarità con l’opera di Teone. … Si collocherebbe la composizione di DC* per prima, … Poiché AI conserva le forme particolari per la misurazione della sfera da Sfera e Cilindro di Archimede, mentre CS elabora forme modificate, collocheremmo AI* prima di CS*].

Infine, l’analisi suggerisce che i teoremi isoperimetrici fondamentali risalgano allo stesso Archimede. Il termine ardito «più poligonale» (polygonoteron), da lui adoperato per un teorema correlato, è lo stesso fissato nella tradizione isoperimetrica:
“It is remarkable that Archimedes states his theorem with the term ‘more polygonal,’ a bold locution for ‘having a greater number of angles,’ for the same term is fixed in the tradition of the isoperimetric correlate, prop. 1, in all three versions PI, TI, AI, as well as the citations in Proclus, Synesius, and Philoponus … The coincidence is nicely accommodated by the thesis that both theorems owe their origin to Archimedes” – (fr:16986‑16988) [È notevole che Archimede enunci il suo teorema con il termine «più poligonale», una locuzione ardita per «avente un maggior numero di angoli», poiché lo stesso termine è fissato nella tradizione del correlato isoperimetrico, prop. 1, in tutte e tre le versioni PI, TI, AI, nonché nelle citazioni di Proclo, Sinesio e Filopono … La coincidenza è ben accolta dalla tesi che entrambi i teoremi debbano la loro origine ad Archimede].
La convergenza di dati filologici, terminologici e dottrinali delinea così un quadro in cui la tarda antichità rielabora, tra scuola e cosmologia platonica, un’eredità archimedea e zenodorea, restituendoci testimonianze decisive per la cronologia e la circolazione dei testi matematici.

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[36.1/1-348-17804|18147]

36 Analisi stilistica e attribuzioni nei commentari matematici tardo-antichi: l’eredità di Ipazia

Il passo in esame conduce un’indagine filologico-stilistica su un corpus di commentari greci di età tardo-antica – in particolare ai libri della Syntaxis tolemaica, alle Coniche di Apollonio e al De dimensione circuli di Archimede – per discernere le mani di Teone di Alessandria e di sua figlia Ipazia. L’analisi poggia sul confronto sistematico delle strategie espositive: scelta degli avverbi connettivi, tempi verbali, strutturazione dei periodi, trattamento dei dettagli computazionali e propensione alla simmetria testuale.

La frattura tra i libri I e III/IV del Commento di Teone

Il primo indizio di una doppia paternità emerge dalla vistosa disparità tra il resoconto computazionale del Libro I e quelli dei Libri III e IV. Nel Libro I la narrazione è sciolta e priva di formule fisse; gli avverbi introduttivi – tutti traducibili con “poi” – si susseguono in un ordine vario: “eita, palin, kai eti, eita palin, epeita, kai eti, palin, epeita palin” (fr:17802) [eita, palin, kai eti, eita palin, epeita, kai eti, palin, epeita palin]. Di contro, nei Libri III e IV l’espressione ricorrente è quasi esclusivamente epeita palin (fr:17803: “Thus, only once do we meet the term (epeita palin) applied almost without exception in Book III” [Così solo una volta si incontra il termine (epeita palin) applicato quasi senza eccezioni nel Libro III]).

Anche l’impalcatura temporale diverge. Nel Libro I dominano forme presente e futuro, mentre i Libri III e IV adoperano aoristo o perfetto (fr:17805: “the main clause generally employs present or future forms, rather than Book Ill’s aorist or perfect” [la proposizione principale impiega generalmente forme presenti o future, anziché l’aoristo o il perfetto del Libro III]). La differenza più macroscopica, tuttavia, è l’assenza nel Libro I di una segmentazione in periodi formali: “Indeed, it does not segment the text into formal periods at all, so that one has difficulty locating the partial quotients” (fr:17807) [In effetti, non segmenta affatto il testo in periodi formali, sicché è difficile localizzare i quozienti parziali]. I quozienti non sono posti in punti cospicui, ma restano immersi nel testo.

L’esempio concreto è la divisione di 1515 20 15 per 60, che fornisce le cifre sessagesimali 60, 7 e Il Libro I si dilunga sui passaggi intermedi, esplicitando la scomposizione dei prodotti parziali e l’operazione di “analizzare”, ossia convertire in unità dell’ordine inferiore (fr:17818-17821). I Libri III e IV, al contrario, espongono l’intero prodotto e il resto in un’unica operazione, senza mai esplicitare l’“analisi” né specificare gli ordini sessagesimali (fr:17822-17823). Inoltre, il conto del Libro I è inaccurato: la cifra finale 33 è in realtà troppo grande e il testo, dopo aver esaurito il resto, interrompe la sottrazione e liquida la questione con un “most nearly” (engista) (fr:17828-17830). Questa trascuratezza “contrasts strikingly with the precise rounding off procedure followed in III” (fr:17831) [contrasta nettamente con la procedura precisa di arrotondamento seguita in III].

Le discrepanze stilistiche sono così profonde da risultare “hardly compatible with the hypothesis of single authorship” (fr:17836) [difficilmente compatibili con l’ipotesi di un unico autore]. Ne consegue che si debbano attribuire il Libro I a Teone e i Libri III e IV a Ipazia.

Il Libro IX e la conferma del profilo di Teone

L’esempio di divisione nel Libro IX segue il medesimo metodo tabulare di III e IV, ma lo stile è nuovamente quello rilassato – persino trascurato – del Libro I. Le congiunzioni sequenziali sono variate con una decisa preferenza per palin ed eti, anziché l’invariabile epeita palin di III/IV (fr:17842). I tempi oscillano fra presente e futuro, come nel Libro I (fr:17843). Anche la modalità di presentare i risultati intermedi richiama il Libro I: “… for which reason we have set out 7 60ths of the 2nd order; … for which reason in turn we have set out 43 60ths of the 3rd order” (fr:17844-17847) [… per la qual cosa abbiamo esposto 7 sessantesimi del 2° ordine; … per la qual cosa a nostra volta abbiamo esposto 43 sessantesimi del 3° ordine]. Inoltre il termine “scrivere” (apegrapsamen) è usato per i multipli associati e non per le cifre del quoziente (fr:17849). Differenze tecniche nella determinazione dell’ultima cifra e nel trattamento delle cifre composte da due decimali separano ulteriormente il Libro IX dai Libri III/IV (fr:17851-17853). Se ne deduce che l’autore del Libro IX è lo stesso del Libro I, ovvero Teone; il che implica che, al momento di comporre il commento al Libro IX, Teone conosceva già la redazione “ipaziana” dei Libri III e IV, avvalorando l’idea di una collaborazione fin dall’inizio (fr:17855-17858).

La cifra di Ipazia: simmetria rigorosa e adesione al modello euclideo

L’impronta stilistica che i brani attribuiti a Ipazia condividono è una geometria espositiva basata sulla simmetria e sulla stretta osservanza del formalismo degli Elementi. Un saggio di questa maniera si coglie in alcune sezioni del commento di Eutocio alle Coniche di Apollonio, in particolare nella discussione dei generatori di un cono scaleno. Eutocio distingue tre casi, a seconda che la perpendicolare dal vertice cada sul cerchio di base, all’esterno o all’interno. I tre testi sono in accordo verbatim per tutta l’estensione consentita dalle differenze geometriche; persino le lettere dei diagrammi sono identiche (fr:17917-17922). La concordanza è riportata in una tavola sinottica (Fig. 1a-c). All’interno di ciascuna prova si osserva una notevole coerenza terminologica: per la sequenza si usa solo palin, per la conseguenza solo epei; espressioni come palin epei ed epei oun dominano, mentre alternative quali gar sono evitate (fr:17923-17926). Questo tratto tradisce una deliberata aderenza al modello espositivo degli Elementi (fr:17926-17927), e il teorema conico ricalca esplicitamente i teoremi euclidei III 7-8 sulle distanze da un punto interno/esterno a una circonferenza.

Pappo, che tratta proprietà analoghe del cono, non mostra analoga preoccupazione per la simmetria (fr:17937-17941). Eutocio, dal canto suo, altrove non persegue affatto tale armonizzazione (fr:17976-17984). Dunque la versione iper-simmetrica dei tre casi va attribuita a un commentatore anteriore, che ha rielaborato lo spunto di Pappo alla luce dei teoremi euclidei. La candidata naturale è Ipazia, autrice di un commento alle Coniche e collocata cronologicamente fra Pappo ed Eutocio (fr:17989-17991). Le lievi incongruenze riscontrabili nel caso (b) – l’introduzione di una citazione esplicita degli Elementi e la trattazione separata del caso concavo – sono verosimilmente ritocchi editoriali di Eutocio (fr:17967-17975).

Il medesimo istinto simmetrico si manifesta nel De dimensione circuli nella forma trasmessa dalla tradizione arabo-latina (DC). La proposizione 3 è divisa in due parti bilanciate, una per il limite superiore e una per il limite inferiore del rapporto circonferenza/diametro. I passaggi computazionali ripetuti sono espressi ogni volta con gli stessi termini, e le due metà mostrano corrispondenze verbali persino in locuzioni facoltative come dia ta auta* (fr:18021-18022). Lo stile serrato richiama i brani sulla divisione dei Libri III e IV ipaziani, in contrasto con la prolissità di Teone nel Libro I. Anche qui si nota la predilezione per epei oun e l’assenza di gar, in linea con il modello euclideo (fr:18029-18031). La proposizione 1, pur mostrando alcune infrazioni alla simmetria – come la posizione asimmetrica dell’“assurdo” (“which is absurd”, fr:18054) – lascia comunque trasparire un impianto più simmetrico della sua fonte teoniana; le deviazioni potrebbero derivare da rimaneggiamenti antichi della tradizione testuale (fr:18070-18074).

Un ulteriore tassello è fornito dallo scritto isoperimetrico anonimo (AI) confluito nell’Introduzione alla Syntaxis. Qui la preoccupazione per l’ordine logico e la simmetria espositiva raggiunge un grado ignoto alle versioni parallele di Pappo e dello stesso Teone. La proposizione 10, in cui si dimostra che fra poligoni isoperimetrici con lo stesso numero di lati l’equilatero e poi l’equiangolo sono massimi, presenta le due parti della dimostrazione perfettamente coordinate (fr:18104-18110). L’autore impiega un identico stampo verbale, sostituendo soltanto gli elementi geometrici necessari: “ei gar dynaton, … esto … meizon; … koinon proskeisthO … holon ara … meizon … hoper atopon” (fr:18105-18110). Tale calibratura non è presente in PI né in TI, e va quindi ascritta a una scelta stilistica consapevole dell’autore di AI (fr:18115). Il tratto unisce AI* proprio ai passi “ipaziani” dei Libri III/IV di Teone, al commento di Eutocio su Apollonio e a DC* (fr:18117-18118).

Infine, il trattato medievale De curvis superficiebus (CS), traduzione latina di un originale greco, esibisce la stessa cura per l’esposizione simmetrica. I teoremi sulla superficie e sul volume della sfera sono organizzati in coppie bilanciate (prop. 5-6 e 7-8), e le dimostrazioni per i solidi archimedei di rotuzione procedono per sezioni ripetute con formulazioni verbali parallele (fr:18128-18144). La figura del dodecagono ruotato attorno al diametro (Fig. 4a) è scomposta in coni e tronchi di cono; per ciascun segmento la superficie è citata da risultati precedenti, e soltanto dopo un resoconto completo dei primi tre segmenti l’autore invoca “the similar manner” per i restanti (fr:18144). L’affinità con il modus operandi di DC* e AI* rinsalda la rete di testi collegati alla mano di Ipazia.

Il quadro complessivo che emerge da queste analisi è quello di una cesura stilistica netta: da un lato Teone, con una scrittura estemporanea, verbalmente diversificata, incline ai futuri “in divenire” e a qualche trascuratezza computazionale; dall’altro Ipazia, la cui prosa matematica persegue un’architettura simmetrica, un’adesione quasi scolastica al dettato euclideo e una precisione terminologica che sembra voler blindare l’autorità scientifica dell’autrice. La veste formale diventa così un marcatore di identità intellettuale, e l’indagine testuale consente di restituire a Ipazia non solo un ruolo di commentatrice, ma anche quello di artefice di uno stile espositivo riconoscibile, capace di influenzare la trasmissione di interi corpora matematici.

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37 Metodi sessagesimali di divisione nell’Almagesto e la tradizione archimedea

Dal confronto di quattro passi tolemaici e da un’appendice su Pappo emergono procedimenti di divisione astronomica stilisticamente distinti, rivelando indizi sulla trasmissione e la paternità dei commentari antichi.

Il testo presenta un’analisi minuziosa di estratti dall’Almagesto (passi A, B, C, D) e dall’Introduzione alla Syntaxis di Pappo. L’obiettivo è duplice: illustrare il metodo con cui gli astronomi antichi eseguivano la divisione lunga in notazione sessagesimale e soppesare le differenze stilistiche utili a chiarire la paternità dei commentari. L’attenzione è posta su elementi peculiari di ogni passo, come l’uso di tavole, la terminologia e le strategie di arrotondamento.

Il passo A (libro III, cap. 1) calcola il moto medio giornaliero del Sole dividendo i 360 gradi del cerchio per la durata dell’anno di 365;14,48 giorni. Il metodo tabulare è il cuore dell’esposizione: si costruisce una tavola dei multipli del giorno ridotto in forma sessagesimale e si procede per sottrazioni successive, scegliendo di volta in volta il valore della seconda colonna più vicino e inferiore al resto. “having divided the 360 parts of a single revolution, we have found the daily uniform motion of the sun in length, 0 59 8 17 13 12 31” – (fr:18236) [avendo diviso i 360 gradi di una singola rivoluzione, abbiamo trovato il moto uniforme giornaliero del sole in longitudine, 0 59 8 17 13 12 31]. Una caratteristica notevole è che il risultato finale non è il limite inferiore esatto, ma “the nearest sexagesimal value for the given order, rather than the nearest lower bound” – (fr:18264) [il più vicino valore sessagesimale per l’ordine dato, anziché il limite inferiore più prossimo]. Lo stile del passo è uniforme e apparentemente privo di variazioni lessicali.

Il passo B (libro IV, cap. 1) ripete la medesima procedura per un diverso gruppo di numeri, mantenendo quasi inalterata la fraseologia. L’unica differenza risiede nella scomposizione di un’espressione: “the two phrases in B, ‘the (number) lying in (the second column) nearest and less than (the remainder)’ and ‘the number in the first column next to which it lies,’ split what was expressed in A as a single phrase” – (fr:18280) [le due locuzioni in B, “il (numero) che giace (nella seconda colonna) più vicino e minore (del resto)” e “il numero nella prima colonna accanto al quale esso giace”, separano ciò che in A era espresso da un’unica locuzione]. Ciò segnala una rielaborazione consapevole, ma fedele al modello originale.

Il passo C (libro I, cap. 10) si discosta vistosamente dai precedenti. Qui la divisione di 1515;20,15 per 25;12,10 viene affrontata in modo improvvisato, senza ricorso alla tavola, scomponendo e moltiplicando per L’analisi parla di “improvisatory manner of this passage – in particular, its free variation of sequential adverbs – by contrast with the tightly uniform style of passage A” – (fr:18301) [stile improvvisatorio di questo passo – in particolare la libera variazione degli avverbi sequenziali – per contrasto con lo stile rigorosamente uniforme del passo A]. Il calcolo si interrompe prima di completare il terzo stadio e il quoziente è fornito “most nearly” senza alcuna giustificazione della troncatura: “The author does not trouble at all to explain what he has done here” – (fr:18306) [l’autore non si preoccupa affatto di spiegare ciò che ha fatto].

Il passo D (libro IX) calcola il moto medio anomalistico (0 57 7 43 41 43 40) dividendo 20520 parti per 21551 giorni. Benché il testo dichiari esplicitamente di seguire gli esempi dei libri III e IV e adotti lo stesso impianto tabulare, lo stile appare assai più affine a C: “In terms of general style, however, passage D seems more like C. Unlike A and B, for instance, but much like C, the sections of D are not closely coordinated with each other (note, for instance, the fluctuation of tenses and person), and synonyms are freely substituted” – (fr:18338) [In termini di stile generale, tuttavia, il passo D sembra più simile a C. A differenza di A e B, ma in modo molto simile a C, le sezioni di D non sono strettamente coordinate tra loro (si noti, per esempio, la fluttuazione di tempi e persona) e i sinonimi vengono sostituiti liberamente]. Il brano è inoltre disseminato di errori di copiatura (fr:18326-18328) e impiega una diversa tecnica di arrotondamento: giunge fino alla settima cifra sessagesimale per poi arrotondare nella sesta, laddove A si limitava a prendere l’indice dell’elemento della tavola più prossimo al resto (fr:18337).

Nell’Appendice II viene esposto il metodo di divisione lunga di Pappo, tratto dall’Introduzione alla Syntaxis. Qui la procedura tabulare è arricchita da un dispositivo grafico: linee che connettono il dividendo al numero più piccolo della tavola, e poi al resto, guidando il lettore nell’esecuzione. L’autore antico prescrive di prendere il numero nella colonna “nearest less than the dividend” e di proseguire fino a resti minimi (fr:18401-18404). I simboli “subt” e “rem” e i tratti ascendenti denotano gli ordini sessagesimali (fr:18410-18411). Questa versione assume rilievo per la questione della paternità: “Since these same terms are rare or absent in Eutocius, the passage may be seen to bear on the question of the authorship of the Introduction, as treated in Part I, chap. 7” – (fr:18348-18349) [Poiché questi stessi termini sono rari o assenti in Eutocio, il passo può essere considerato rilevante per la questione della paternità dell’Introduzione, come trattato nella Parte I, cap. 7]. L’osservazione inserisce il materiale nel dibattito su Ipazia come possibile autrice o curatrice del commentario.

Storicamente, questi estratti documentano la raffinatezza dell’aritmetica sessagesimale alessandrina e la sua trasmissione attraverso un lavoro di riscrittura e commento. Le variazioni stilistiche, unite alle differenze nel trattamento dell’arrotondamento e alla presenza o assenza di determinati termini, forniscono indizi per distinguere le mani dei diversi commentatori, gettando luce sul percorso che dalla misura del cerchio di Archimede conduce, attraverso Ipazia e Pappo, fino all’astronomia tardo-antica.

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[38.1/1-183-19017|19197]

38 La trasmissione della Dimensione del Cerchio: un’indagine sulla formazione del testo e sulla tradizione editoriale antica

Il testo indaga la complessa storia testuale dell’opera di Archimede Dimensione del Cerchio (DC), dimostrando come la versione greca giunta fino a noi (DC) sia il prodotto di un processo editoriale stratificato e distante dall’originale, piuttosto che una copia fedele. L’analisi identifica figure chiave di questa trasmissione, valuta le tradizioni parallele in arabo e latino e propone Ipazia come possibile redattrice di una fase cruciale del testo.

L’indagine si fonda sulla distinzione tra diverse versioni dell’opera. Si postula che Eutocio, nel suo commentario, lavorasse su una versione chiamata DC, mentre il testo finale DC fu curato da Isidoro di Mileto. ”Thus, Eutocius can be seen as working with DC, while Isidore is consulting the adapted version DC.” (fr:19017) [Pertanto, si può ritenere che Eutocio lavorasse con DC*, mentre Isidoro consultava la versione adattata DC.] Le differenze tra le due versioni, in particolare nella terza proposizione, rivelano l’influenza del commentario di Eutocio, rendendo logico identificare Isidoro come l’editore di DC, un lasso di tempo di pochi decenni tra i due studiosi rende difficile trovare un candidato alternativo. “Since some of the differences between the two versions, DC* and DC, particularly in prop. 3, reveal influence from Eutocius’ commentary, it becomes reasonable to identify Isidore as the editor responsible for DC.” (fr:19018-19019) [Poiché alcune differenze tra le due versioni, DC* e DC, in particolare nella prop. 3, rivelano l’influenza del commentario di Eutocio, diventa ragionevole identificare Isidoro come l’editore responsabile di DC.]

Questa ricostruzione corregge le congetture di Heiberg, il quale riteneva che Eutocio avesse ancora accesso a una forma originale dell’opera e che Isidoro avesse introdotto solo modifiche superficiali, come l’eliminazione del dialetto dorico. Secondo Heiberg, le gravi omissioni nel testo greco erano da attribuirsi a un “excerptor” posteriore. “Heiberg assumes that Eutocius still had access to a pristine form of the work, and that Isidore introduced certain essentially trivial changes, like the elimination of its Doric dialect.” (fr:19022) [Heiberg presume che Eutocio avesse ancora accesso a una forma incontaminata dell’opera e che Isidoro avesse introdotto alcuni cambiamenti essenzialmente banali, come l’eliminazione del suo dialetto dorico.] Tuttavia, la nuova documentazione, incluse le fonti arabe medievali, mostra che la visione di Heiberg non è più sostenibile. L’analisi del testo rivela che la proposizione 1 di DC è distante almeno cinque o più passaggi redazionali dall’opera originale di Archimede, mediata dalle versioni DC, T, P, A* e da un numero indeterminato di edizioni precedenti ad A. ”We have found DC (prop. 1) to be at fifth remove or more from an actual work of Archimedes, being mediated by DC, T, P, and A, and an indeterminable number of editions prior to A.”* (fr:19026-19027) [Abbiamo scoperto che DC (prop. 1) è ad almeno cinque o più gradi di separazione da un’opera reale di Archimede, essendo mediata da DC, T, P e A, e da un numero indeterminabile di edizioni precedenti ad A.]

Un elemento peculiare della paternità editoriale è il significato del termine “edizione” (ekdosis). Un’analisi filologica proposta da A. Cameron suggerisce che l’ekdosis preparata da Isidoro, menzionata nelle sottoscrizioni dei commentari di Eutocio, vada intesa come la preparazione di un testo rivisto della fonte archimedea, distinto dal “commentario” (hypomnema). “A. Cameron argues that the ‘edition’ (ekdosis) […] must be taken as distinct from the ‘commentary’ (hypomnema) - in that the former refers to his preparation of a revised text of the Archimedean source…” (fr:19032-19033) [A. Cameron sostiene che l’“edizione” (ekdosis) […] debba essere considerata distinta dal “commentario” (hypomnema) - in quanto la prima si riferisce alla sua preparazione di un testo rivisto della fonte archimedea…] Questa interpretazione, condivisa dall’autore, fornirebbe una testimonianza esplicita del ruolo di Isidoro come editore di DC e di un suo simile contributo al testo di Sfera e Cilindro (SC), rendendolo il principale candidato per l’“interpolatore precedente” ipotizzato da Heiberg.

L’indagine prosegue esaminando le tradizioni testuali in arabo e in latino. La versione araba primaria (AF), forse opera di Qusta ibn Luqa, divenne la base per elaborazioni successive. I Banu Musa, nella loro opera Sulla misurazione delle figure piane e curve, corrispondono alle proposizioni 1 e 3 di AF, attingendo con probabilità al commentario di Eutocio per i loro ampliamenti dei calcoli. “Moreover, precedents for all their amplifications of the computational figures of prop. 3 are held in Eutocius’ commentary, a work available to Arabic geometers through its translation by Thabit ibn Qurra.” (fr:19072-19073) [Inoltre, i precedenti per tutti i loro ampliamenti delle figure computazionali della prop. 3 si trovano nel commentario di Eutocio, un’opera disponibile ai geometri arabi attraverso la sua traduzione di Thabit ibn Qurra.]

Nella tradizione latina, il trattato De curvis superficiebus (CS) di Giovanni di Tynemouth, del XIII secolo, mostra una stretta corrispondenza tecnica con il Sfera e Cilindro di Archimede. Si ipotizza che CS si basi su un prototipo greco (CS), che condivideva con i Banu Musa. ”One thus infers that CS is based on a Greek prototype (CS), and that a form of the same work served independently as prototype for the Banu Musa.” (fr:19091) [Si deduce quindi che CS sia basato su un prototipo greco (CS*), e che una forma della stessa opera sia servita indipendentemente come prototipo per i Banu Musa.] L’altro ramo latino, la tradizione arabo-latina, si sviluppò a partire dalla traduzione di Gerardo da Cremona del testo arabo AF, intitolata De quadratura circuli. Questa versione generò una famiglia di parafrasi e adattamenti, tra cui spicca la “Versione di Firenze” (FV), l’unica basata direttamente su Gerardo, che fu progenitrice di tutte le altre e che, insieme a CS, è attribuibile allo stesso editore, Giovanni di Tynemouth. “The resultant genealogical scheme assigns particular prominence to the ‘Florence Version’ (FV), as being the only one directly based on Gerard, and so serving as progenitor, either directly or indirectly, for all the others.” (fr:19103) [Lo schema genealogico risultante assegna particolare importanza alla “Versione di Firenze” (FV), in quanto è l’unica basata direttamente su Gerardo, e funge quindi da progenitrice, direttamente o indirettamente, per tutte le altre.]

L’ultima sezione affronta la questione dell’identità dell’editore di DC, la fonte di Isidoro. L’ipotesi avanzata è che possa trattarsi di Ipazia, la figlia di Teone. L’analisi stilistica di un passo del Commentario a Tolomeo* di Teone, a cui Ipazia collaborò, rivela una tendenza alla ripetizione e alla regolarità espositiva, tratti che si riscontrano anche in porzioni del Commentario ad Apollonio di Eutocio e, cosa cruciale, in DC. ”When we turn to DC, stylistic tendencies of the same kind are found here.” (fr:19132) [Quando passiamo a DC*, vi si trovano tendenze stilistiche dello stesso tipo.] Stili simili si osservano anche in CS e AI, opere correlate nel contenuto e che citano DC, rendendo plausibile che le loro fonti (CS e AI) siano prodotti dello stesso editore, identificabile con Ipazia. ”In the light of the above considerations, that would plausibly be Hypatia.”* (fr:19136) [Alla luce delle considerazioni di cui sopra, questa sarebbe plausibilmente Ipazia.]

L’analisi culmina in una riflessione sul concetto di autorialità e tradizione nell’antichità. Le opere analizzate (DC, CS, AI) appaiono come adattamenti liberi, fedeli nella sostanza ma non nella forma, realizzati secondo un programma editoriale che ricorda la filosofia espressa da Sinesio nel suo Dione. Sinesio, discepolo di Ipazia, descrive un metodo di lettura creativa in cui si cerca di imitare lo stile dell’autore e si inventa materiale mancante che “assomigli all’armonia dell’opera”. ”Now, the works that have been of particular interest for us - the prototypes DC, CS, and AI* - appear to have been crafted in accordance with just such an editorial program.” (fr:19180) [Ora, le opere che sono state di particolare interesse per noi - i prototipi DC, CS e AI* - sembrano essere state realizzate in accordo proprio con un tale programma editoriale.] Questo approccio, lontano dalla moderna preoccupazione per il testo autentico e la proprietà intellettuale, era proprio di una tradizione “scolastica” dove il confine tra testo e commento era flessibile e lo sforzo dei predecessori era considerato un dominio pubblico da cui attingere liberamente. ”Within such a tradition, to which we might aptly fix the term ‘scholastic’ […] the efforts of one’s predecessors and one’s colleagues fall into a type of public domain which can be exploited without limit in one’s own exegetical efforts.” (fr:19195) [All’interno di una tale tradizione, a cui potremmo giustamente attribuire il termine “scolastica” […] gli sforzi dei propri predecessori e dei propri colleghi ricadono in una sorta di dominio pubblico che può essere sfruttato senza limiti nei propri sforzi esegetici.] La Dimensione del Cerchio* diventa così un caso di studio esemplare su come sfruttare la testimonianza della tradizione antica e medievale, consapevoli che il testo esistente non è un’edizione di un’opera archimedea in senso moderno, ma un adattamento libero da fonti secondarie. La conseguenza ultima è che “the effort to restore the original form can only be viewed as hopeless” (fr:19050) [lo sforzo di restaurare la forma originale può solo essere considerato senza speranza], un monito che invita a una radicale cautela nell’usare le versioni esistenti come testimoni diretti degli originali.

[39]

[39.1/1-647-19219|19863]

39 Stratificazioni editoriali e trasmissione medievale delle opere archimedee

Un passaggio di critica testuale ricostruisce le fasi di assemblaggio del Libro I dell’Equilibrio dei Piani e mostra come i metodi di Archimede siano stati reinterpretati in ambito arabo e latino.

Il testo esamina lo stato del testo archimedeo pervenuto, mettendone in luce sia gli elementi spuri sia i residui autentici. L’autore segnala anzitutto che «Furthermore, the suspect props.» – (fr:19219) [Inoltre, le proposizioni sospette.] Tuttavia, la proposizione 7, relativa al caso incommensurabile del teorema fondamentale dell’equilibrio, difficilmente può essere opera di un editore perché impiega una teoria delle proporzioni non euclidea, di tipo pre‑euclideo – (fr:19218). Ciò mitiga le conclusioni di Berggren sull’inautenticità, poiché si possono osservare indizi di legittimità: «traces of Doric survive, for instance, and the technique of proof in Book I, prop.» – (fr:19217) [sopravvivono tracce del dialetto dorico, per esempio, e la tecnica dimostrativa nel Libro I, prop.] 11‑12 e le dimostrazioni alternative aggiunte a I 10 e 13 riguardano tutte i centri di gravità per figure simili, concezione essenziale per le prove sul segmento parabolico nel Libro II – (fr:19220). L’ipotesi che ne deriva è che l’attuale Libro I rappresenti «the editorial fusion of two or more Archimedean treatments of center of gravity» – (fr:19221) [la fusione redazionale di due o più trattazioni archimedee sul centro di gravità].

Un analogo processo di adattamento editoriale, che produsse la frammentazione di un’opera archimedea, è riconoscibile dietro una serie di trattati latini e arabi sulle bilance – (fr:19222). Le note di approfondimento arricchiscono il quadro: al‑Kashi, all’inizio del XV secolo, calcolò il valore di π con 10 cifre sessagesimali, corrispondenti a 16 decimali, tuttavia «still adheres to the Archimedean method of polygonal approximation» – (fr:19224) [aderisce ancora al metodo archimedeo di approssimazione poligonale]. Viene inoltre osservato come il processo di “latinizzazione” delle opere di origine greca si manifesti anche per un anonimo trattato isoperimetrico, reso come De figuris ysoperimetris, e per un trattato anonimo sulla bilancia, il De canonio, forse derivato da un frammento archimedeo; lo stesso fenomeno toccò testi di base araba quali la Dimensione del cerchio di Archimede e gli Elementi di Euclide – (fr:19227‑19228).

Queste annotazioni, tratte da uno studio moderno di critica testuale, gettano luce sulla stratificazione redazionale del corpus archimedeo e sulla sua vitalità nella tradizione medievale, mostrando come elementi linguistici (il dorico) e matematici (la teoria proporzionale non euclidea) fungano da marcatori di autenticità, mentre la prassi degli adattamenti latini e arabi garantì la continuità del sapere tecnico‑scientifico.

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[40.1/1-61-19879|19938]

40 Indice analitico di un trattato sulla trasmissione della geometria greca e medievale

L’opera indicizzata documenta minuziosamente la rete di testi, autori, versioni manoscritte e concetti che hanno veicolato la geometria antica dall’età ellenistica al Medioevo latino, ebraico e arabo.

Il testo consiste in un denso indice analitico che restituisce la stratificazione di un’ampia ricerca filologico-matematica. Emerge con chiarezza l’attenzione per la terminologia tecnica in più lingue: si registrano usi “in Greek (to h~po tr3n … )” (fr:19879), “in Arabic” (fr:19879), “in Hebrew” e “in Latin (ductus)” (fr:19880), segno di un lavoro sistematico sulle rese traduttive. Altrettanto centrale è il lessico delle proporzioni, con “proportions, terminological variants in Greek 696; Arabic 285; Hebrew 449; Latin 622, 630-631” (fr:19892), e la teoria del rapporto, che include “ratio, compound” e la sua relazione “duplicate” (fr:19886), mostrando la complessa elaborazione tardoantica confluita nei commentari.

Un nucleo rilevante è la figura di Tolomeo e la sua ricezione. L’indice elenca “Ptolemy (Klaudios Ptolemaios) 5, 152n24,417nl; Almagest (Syntaxis), Book I 155” con “Latin translation 614n57; citations in Latin 645, 682n80, 686(nnI38-139)” (fr:19894). Vengono richiamati anche “on Archimedean values 480, 483, 503, 505n4” e la “approximation of circumferencediameter ratio (rr) 550, 593n53” (fr:19894), a testimonianza dell’intreccio fra astronomia e geometria. Non mancano i commentatori: “commentaries on: –> Arcadius; Eutocius; Hypatia; Pappus; Theon” (fr:19896).

La sezione più estesa riguarda il De quadratura circuli e la sua tradizione manoscritta, vera ossatura dell’opera. Vi si distingue un complesso di adattamenti latini: “Abbreviated Version (AV) 648-649; –> Roger Bacon”, “Cambridge Version (C) 625-631”, “Corpus Christi Version (Cor) 655-663”, “Florence Version (F) 614n54, 618-624, 799n85”, “Glasgow Version (Gg) 663-668”, “Gordanus Version (Go) 638-640”, “Munich Version (M) 640-643”, “Naples Version (N) 631-637”, “Vatican (ps.-Bradwardine) Version (V) 644-648” e “Questio of Albert of Saxony (QA) 649-655” (fr:19905, 19906, 19907). Queste sigle rivelano un’intensa attività di copia, adattamento e fusione con altri trattati, come “De curvis superficiebus” e “De ysoperimetris” (fr:19905). La tradizione araba è rappresentata dalla versione di “Abu ‘I-Rashid, cAbd al-Hadi … version of Dim. (AR) 421, 543-546; text 552-576” (fr:19912, 19913).

Compaiono poi nuclei tematici legati a figure e metodi geometrici: la “quadratrix 58n26, 92-93, 114; for angle division 214; for circle quadrature” (fr:19899), la “cube duplication” con i metodi di Apollonio, Erone, Filone, Pappo, Sporo (fr:19915, 19920), e la “rectification of curved lines and surfaces, hypothesis of 541-542, 602-603, 613n44, 625-626, 629,645, 656, 664, 674” (fr:19913), questione che percorre tutto il Medioevo geometrico.

L’indice documenta anche lo stile degli autori, con voci come “style (editorial aims and methods, characteristic terminology, level of competence, originality, etc.)” (fr:19923), e dettaglia fenomeni come “repetition (formulaic) 758-768, 779-780, 796n31; –+ Hypatia, style of” (fr:19914) o la “symmetry (of exposition) 35, 383, 430, 432,664, 715, 767-778, 799(nn75,87); …… Hypatia, style” (fr:19923). Non mancano richiami a Simplicio “on Archimedes’ approximation of circle ratio (n) 482, 494n30” e “on isoperimetrics 730-731, 734, 737, 748(nn64,67), 811” (fr:19919), e a Teone di Alessandria, del quale si elencano i commentari “On Small Astrolabe … On Small Astronomer … On Hero’s Metrica … On Ptolemy’s Almagest … On Ptolemy’s Tables” e lo “lemma to Archimedes’ circle theorem (T) 403-405, 427-428, 518-520, 529n22, 544, 753; text 414-416, 534” (fr:19927-19933).

Nel complesso, il testo fotografa il significato storico di una tradizione ininterrotta di studi: dalla tarda antichità greca, attraverso la mediazione araba ed ebraica, fino ai manoscritti latini medievali e ai primi umanisti. Ogni rimando a numeri di pagina e note (es. “677n15, 683(nnl01-I03) proofs, alternative 94, 96, 98-99” in fr:19881) segnala un’indagine stratigrafica sui testimoni, rendendo questo indice una mappa per chi studia la trasmissione del sapere matematico dall’antichità al Rinascimento.

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