Keplero - Astronomia Nova(b) | eL | m

27 Jan, 2026

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1 La correzione dell’eccentricità di Marte: calcoli e iterazioni nel trattato kepleriano

Un resoconto delle misurazioni e degli aggiustamenti progressivi che portarono Keplero a definire l’orbita marziana.

Il testo riporta una sequenza di calcoli astronomici volti a determinare l’eccentricità dell’orbita di Marte, caratterizzati da un approccio iterativo e da correzioni successive. Le prime frasi (6804-6818) elencano valori angolari e differenze, probabilmente riferiti a osservazioni o posizioni calcolate: ad esempio, “Hinc EÒ~ • W ’I E<XO 21 .2” (6806) indica un angolo di 21°2’, mentre “diffi 43· lO” (6807) segnala una discrepanza di 43’10”. Questi dati sembrano confrontare angoli attesi e osservati, con scarti che spingono l’autore a rivedere le ipotesi iniziali.

La prima correzione emerge in (6819), dove si ammette che “Cum ergo non penitus prodierint aequales hi anguli” (“poiché questi angoli non risultano del tutto uguali”), si introduce una seconda posizione, spostando la linea di riferimento <X’Y di 2’ tra le stelle fisse. Il risultato (6820-6823) mostra però un peggioramento: “differentes minutis 18, quod est duplum prioris discordantiae” (“differiscono di 18 minuti, il doppio della precedente discrepanza”). Da qui la decisione (6824) di “non promovendam sed retroagendam <X’Y) in antecedentia” (“non avanzare, ma retrocedere <X’Y all’indietro”).

La terza iterazione (6825-6832) fissa l’eccentrico di Marte nel 1585 a 5°20’2” e ottiene angoli più coerenti: “prodiit EO~ 21° 15’ 54”, EY~ 21° 13’ 54”“ (6827-6831), con una differenza residua di soli 2’ (6832), considerata trascurabile (“quam tuto neglexerimus”).

Il passaggio chiave (6833) rivela la logica sottostante: “anticipandum hoc loco Martis eccentricum per 2 %, uti prius […] per auctionem eccentricitatis et nonnullam retractionem aphelii” (“occorre anticipare l’eccentrico di Marte di 2’, come prima […] attraverso un aumento dell’eccentricità e un certo ritiro dell’afelio”). Questo suggerisce che le correzioni non sono arbitrarie, ma seguono una regola geometrica: l’orbita viene aggiustata modificando sia l’eccentricità che la posizione dell’afelio.

Le frasi successive (6834-6847) estendono l’analisi agli altri elementi orbitali. Si assume una riduzione degli angoli cercati a 21°13’ (6836-6837), calcolando poi triangoli sferici: ad esempio, “In ~IXE triangulo est angulus ~IXE 42° 6’ 57”“ (6841-6842), con lati dati da una “nova correctio” (6843). I valori numerici (es. IX~ 62177, IXE 61525) sono proporzioni relative a un raggio unitario, tipiche dei calcoli trigonometrici dell’epoca. La chiusura (6846-6847) confronta lunghezze di corde (“Eadem vero ~E ex angulo E […] est 72379”), arrivando a determinare i rapporti finali tra i segmenti orbitali (“IXl) est 162818, et ideo IXE 100174”).

Il testo testimonia il metodo di Keplero: un’alternanza tra osservazioni, calcoli geometrici e correzioni progressive, dove ogni iterazione riduce gli scarti fino a raggiungere una precisione accettabile. La menzione dell’anno 1585 (6825) e il riferimento al capite XXII (6833) collocano il lavoro nel contesto delle Astronomia Nova (1609), dove Keplero abbandonò il modello circolare perfetto per abbracciare orbite ellittiche. Le discrepanze residue (es. i 2’ in 6832) riflettono i limiti strumentali dell’epoca, ma anche la volontà di non forzare i dati oltre una soglia ragionevole.

2 L’analisi kepleriana del moto di Marte e la verifica dell’eccentricità solare

Un resoconto delle osservazioni e dei calcoli con cui Keplero verifica l’ipotesi dell’eccentricità terrestre e determina la posizione dell’afelio di Marte.

Il testo riporta una fase cruciale delle ricerche di Keplero sul moto di Marte, in cui l’astronomo tedesco confronta le proprie osservazioni con i calcoli derivati da un’ipotesi geometrica. Il nucleo del ragionamento ruota attorno alla determinazione dell’afelio (punto di massima distanza dal Sole) e dell’eccentricità dell’orbita marziana, nonché alla verifica della correttezza dell’eccentricità solare assunta per la Terra (1800 parti, come indicato in “eccentricitas vero <X~ 16B” e ribadito in “eccentricitate terrae 1800”).

2.1 Posizione dell’afelio e eccentricità di Marte

Keplero fissa l’afelio di Marte a 10° (“Quare aphelium in 10°”), con un’eccentricità di 1666 parti (interpretabile come 0,1666 in unità relative, dato che “eccentricitas vero <X~ 16B” suggerisce un valore vicino a 16/100). Questa posizione è frutto di un’approssimazione progressiva: l’autore nota che i calcoli si avvicinano a “dimidium ipsius 3600” (metà dei 3600 secondi d’arco, o gradi, considerati), e che la precisione sarà completa “ubi et ipsissimum apogaeum attigerimus” (quando si raggiungerà l’esatto apogeo). L’ipotesi iniziale, tuttavia, è definita “vicaria” (“hypothesin illam esse vicariam tantum, non naturalem”), cioè provvisoria e soggetta a correzioni basate sulle osservazioni.

2.2 Verifica empirica e discrepanze

Il confronto tra calcoli e osservazioni rivela piccole discrepanze, come nel caso delle “visiones” (osservazioni) elencate in sequenza (es. “26 0 • 55’ 6ì 1 180 • 11%’ 111’” e successivi). Keplero sottolinea che, se si assume un’orbita terrestre non perfettamente circolare ma “angustiorem ad latera” (più stretta ai lati), la distanza Terra-Sole (“distantia terrae”) risulterebbe “paulo minorem quam 163100” (leggermente inferiore a 163100 unità). Questa correzione porta a risultati più coerenti, come dimostrato dall’osservazione del 29 febbraio (o 10 marzo) 1604, quando Marte culminò a “2.6 0• 18 4/5 ‘“ (”culminantem Martem inveni meis instrumentis in 6 0• 18 4/5’”). Il calcolo basato sui nuovi parametri restituisce una posizione quasi identica (“calculus ipsum refert in 26 0• 17W ~”).

Un aspetto peculiare è la latitudine di Marte, che introduce una correzione alla distanza calcolata: la distanza “modo inventa” (appena trovata) si riferisce al punto proiettato sul piano dell’eclittica, mentre la distanza reale del pianeta dal Sole è “paulo fiet longior per 37 particulas” (leggermente maggiore di 37 parti), come spiegato in riferimento al capitolo XX.

2.3 Metodologia e obiettivi

Il capitolo XXVIII (“CAPVT XXVIII ASSVMPTIS NON TANTVM LOCIS SOLIS…”) enuncia lo scopo principale: verificare se, utilizzando le distanze Terra-Sole derivate dall’eccentricità di 1800 parti, una serie di osservazioni di Marte nello stesso punto dell’eccentrico (“in eodem loco eccentrici versantis”) produca sempre la stessa distanza Marte-Sole e la stessa posizione eccentrica. Questo approccio serve a “comprobatum erit, eccentricitatem Solis 1800 justam esse” (dimostrare che l’eccentricità solare di 1800 è corretta).

Keplero sottolinea la necessità di metodi alternativi (“variae habere demonstrationes”) per esplorare le distanze di Marte in ogni punto dell’orbita, evitando di presupporre la posizione eccentrica (“non praesuppono, ut is ex hypothesi acronychiarum… extruitur”). Le osservazioni elencate (anni 1583 e 1585, con date e longitudini precise come “XXII April. IX % fuit in 1 1 i 6L 1 5°%’ B”) servono proprio a questo scopo, fornendo dati empirici per testare l’ipotesi.

2.4 Significato storico

Il testo testimonia il passaggio dalla geometria tolemaica a un modello eliocentrico dinamico, in cui le orbite non sono più cerchi perfetti ma curve determinate da leggi fisiche (precursori delle leggi di Keplero). La correzione dell’orbita terrestre da circolare a “angustiorem” anticipa la scoperta delle orbite ellittiche, mentre l’attenzione alle discrepanze tra calcolo e osservazione riflette il rigore metodologico che porterà alla formulazione della prima legge (orbite ellittiche con il Sole in un fuoco). L’uso di dati osservativi precisi (come quelli del 1604) e la ricerca di coerenza interna tra misure diverse segnano un momento chiave nella rivoluzione astronomica del XVII secolo.

3 Osservazioni astronomiche di Marte e calcolo delle distanze Terra-Sole nel trattato kepleriano

Un resoconto delle misurazioni e dei metodi geometrici impiegati da Keplero per determinare le posizioni di Marte e le distanze eliocentriche, fondamento delle sue leggi sul moto planetario.

Il testo riporta una serie di osservazioni astronomiche condotte tra il 1583 e il 1590, con particolare attenzione al pianeta Marte, e i successivi calcoli per determinare le distanze tra Terra e Sole in specifici momenti. Le annotazioni seguono una struttura rigorosa, alternando date, orari e misure angolari a spiegazioni metodologiche e diagrammi geometrici.

3.1 Cronologia e dati osservativi

Le prime frasi (6894–6906) elencano date e orari delle osservazioni, espresse nel calendario giuliano e in un sistema di misura temporale non standardizzato (probabilmente ore e frazioni di ora prima dell’alba o dopo il tramonto). Ad esempio: - “(6894) - 21% B. lO Anno MDLXXXVII” (21 ottobre 1587), - “(6896) - V mane in 4· 4 1% ~ 3· 26 B. XXIIX Janu.” (28 gennaio 1588, alle 4:04 del mattino), - “(6900) - 44% B. XV Dece.” (15 dicembre 1589).

Le misure sono spesso accompagnate da valori percentuali (es. “35% ~1” in 6902) o frazioni di grado (es. “57% ~1” in 6906), che rappresentano probabilmente scarti angolari o correzioni applicate ai dati grezzi. La frase (6907) introduce il nucleo del lavoro: > “Accommodatis reliquarum observationum temporibus, ut restituant Martem in eum locum eccentrici qui fuit tempore ultimo, prodeunt nobis haec momenta: quibus adscripta loca Solis requisita, et distantiae Solis et terrae ex hypothesi hactenus stabilita computatae.” Qui Keplero spiega di aver riallineato le osservazioni per riportare Marte alla stessa posizione sull’orbita eccentrica (rispetto al Sole) e di aver così ottenuto i “momenta” (istanti chiave) con le relative distanze Terra-Sole, calcolate secondo l’ipotesi eliocentrica allora in via di definizione.

3.2 Tabella delle distanze Terra-Sole

Le frasi (6911–6927) presentano una tabella riassuntiva delle distanze, organizzata per data, ora e angoli: - (6913–6915): “XXIII Aprilis [1583] VIIP/ 10 1°. 29%’ 6L 12°. 1O’. 3” 8 101°49” → Distanza Terra-Sole di 101°49’ (in unità relative, probabilmente raggi terrestri o parti dell’orbita). - (6920–6921): “XXVI Januarii [1588] VII 1/6 4· 41% ~ 5· 55 - 9 861 3” → Distanza di 861,3 (unità non esplicitate). - (6924): “XXXI Octobr. [1590] VI ~ 57% ~ 17· 33 t1t 9 8 77 0” → Distanza di 877,0.

Questi valori sono fondamentali per la successiva dimostrazione delle orbite ellittiche: Keplero li usa per verificare la coerenza tra osservazioni e modello teorico, come sottolineato in (6908): > “Sunt autem eae ipsae, ob quas probandas hunc laborem suscipimus.” (“Queste sono proprio le [distanze] per la cui dimostrazione abbiamo intrapreso questo lavoro”).

3.3 Metodologia e correzioni

Il testo affronta anche le sfide tecniche delle osservazioni: 1. Conversione dei tempi (6928–6932): > “Quod observationum deductionem attinet ex diebus observationum ad nostra momenta, primo tempore diurnus ex MAGINO fuit trans sumptus […] Caetera tempora observationibus ante et post sunt munita.” Keplero spiega di aver usato un tasso diurno (variazione giornaliera) per convertire le date osservative in istanti precisi, citando valori come “30’” (30 minuti) per il 15 dicembre e “32’” per il 5 dicembre.

2. Effetti della rifrazione atmosferica (6933–6934): > “Vltimo tempore etsi Mars in altitudine 23 graduum refractionibus est obnoxius, ita ut facile 2 scrupula in latitudine desiderari possint […] tamen haec refractio parum nocet longitudini Martis.” Keplero riconosce che Marte, osservato a 23° di altezza, è soggetto a rifrazione (che può introdurre errori fino a 2’ di latitudine), ma nota che l’effetto è trascurabile per la longitudine. La discussione rimanda a un dibattito contemporaneo (Tycho Brahe) sull’estensione delle rifrazioni solari rispetto a quelle stellari, citando la sua opera “Astronomia Optica” (fol. 137).

3.4 Modello geometrico e calcoli

Le frasi (6935–6960) descrivono un diagramma geometrico per determinare la posizione di Marte rispetto al Sole e alla Terra. Keplero introduce punti e linee con notazione simbolica: - “Sit lX. corpus Solis” (il punto lX rappresenta il Sole), - “lX.~ eccentricitas orbis terrae 1800” (l’eccentricità dell’orbita terrestre è 1800 unità), - “linea augium in t 5 ~ §” (la linea degli apsidi è orientata in una certa direzione).

Il metodo si basa su triangolazioni tra posizioni della Terra (e:, ~), del Sole (lX.) e di Marte (Yj), come spiegato in (6946–6949): > “Sint primum e:~. Et in triangulo e:lX.~ datis lateribus, e:oc 99770, oc~ 20 98613, et angulo e:oc~, quaeruntur reliqua, anguli scilicet ~. e. et latus oe.” Keplero risolve il triangolo con lati noti (e:oc = 99770, oc~ = 98613) e un angolo dato, per trovare gli altri elementi. Seguono calcoli dettagliati con tavole di seni, tangenti e differenze angolari (es. (6952–6959)), culminanti nella determinazione della distanza lX.’Yj (Sole-Marte) e della sua posizione zodiacale.

3.5 Significato storico e scientifico

Questo testo è una testimonianza diretta del lavoro di Keplero per confutare il modello tolemaico e perfezionare il sistema copernicano. Le osservazioni di Marte furono cruciali per: 1. Dimostrare l’eccentricità delle orbite: I dati sulle distanze Terra-Sole variabili (es. da 823 a 10149 nelle tabelle) smentivano l’idea di orbite circolari perfette. 2. Formulare la prima legge di Keplero (orbite ellittiche): La frase (6907) menziona esplicitamente il “locus eccentrici” di Marte, concetto chiave per la successiva scoperta delle ellissi. 3. Affrontare problemi osservativi: La discussione sulla rifrazione (6933–6934) mostra l’attenzione ai dettagli sperimentali, tipica del metodo scientifico nascente.

Le unità di misura (come i valori numerici nelle tabelle) non sono sempre chiare, ma riflettono un sistema di riferimento interno al trattato, probabilmente basato su raggi terrestri o parti dell’orbita media. La precisione dei calcoli (fino a secondi d’arco) evidenzia l’ambizione di Keplero di fondare l’astronomia su basi matematiche rigorose.

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4 La dimostrazione geometrica delle distanze planetarie e l’anomalia coequata in Keplero

Un’analisi rigorosa della relazione tra angoli, distanze e punti orbitali nel modello eccentrico di Marte, con riferimenti critici a Tolomeo e Reinhold.

Il testo presenta una trattazione geometrica avanzata relativa al moto di un pianeta (probabilmente Marte) lungo un’orbita eccentrica, focalizzandosi sulla determinazione delle distanze dal centro dell’eclittica e sulla posizione dell’anomalia coequata. Il nucleo concettuale ruota attorno alla costruzione di triangoli simili e all’uso di seni e angoli per derivare relazioni quantitative tra punti orbitali, con implicazioni dirette sulla teoria delle equazioni planetarie (correzioni angolari necessarie per prevedere la posizione apparente di un pianeta).

4.1 Elementi geometrici e definizioni chiave

Il passaggio (7146) introduce la distanza OC~ come misura legata all’anomalia coequata (anomaliam coaequatam), specificando che essa è uguale a una distanza (aex~) nel semicerchio opposto. Questa simmetria è cruciale: > “ilfa distantia ad anomafiam coaequatam aoc&, haec ad coaequatam aex~, quae habet sibi aequafem etiam in priori semicircufo”. La frase (7147) chiarisce che la distanza da un punto (ò&) all’afelio (aphelio) in un semicerchio è identica a quella tra un altro punto (aYj) e il medesimo afelio nell’altro semicerchio, stabilendo una corrispondenza speculare tra le posizioni orbitali.

La costruzione geometrica prosegue con l’introduzione di rette e perpendicolari: - In (7148), viene tracciata la retta !J.V che interseca il cerchio, formando un angolo !J.oca uguale a x~ex’. La perpendicolare ~À biseca !J.V in À, e i punti vengono connessi per formare triangoli simili. - La frase (7149) sfrutta la proprietà degli angoli: poiché xoc~ è un angolo di gradi interi, anche il suo residuo x~ex (e l’uguale !J.oca) lo è. Nei triangoli ~xoc e fìÀoc, i lati sono proporzionali: “fatus xoc fateri À~, et x~ ipsi Àoc”.

4.2 Seni, distanze e triangoli simili

Il testo definisce esplicitamente i seni degli angoli e dei loro complementi: > “Est autem À~ sinus angufi À!J.~, ÀV~’ et ipsius À!J.~ compfementum esn~!J., À~v’ ejusque sinus linea À!J.” (7150). Qui, À~ è il seno dell’angolo À!J.~, mentre ÀV~ è il seno del suo complemento. La differenza tra OC!J. e exv corrisponde alla distanza Àoc (7150).

La frase (7152) sintetizza il risultato pratico: “unius trianguli ope, quatuor inveniri possunt distantiae aequalibus angulis ad ex”, ovvero, tramite un solo triangolo, è possibile determinare quattro distanze corrispondenti ad angoli uguali rispetto al punto ex, purché siano remote dalla linea degli apsidi (apsidum) e dalla sua perpendicolare ~’Y.

4.3 Distanze estreme e media

Il testo distingue tra: 1. Distanza massima (longissima) nel punto a (afelio). 2. Distanza minima (brevissima) nel punto E (perielio). 3. Distanza media, che non coincide con la linea ~’Y (perpendicolare agli apsidi) né con una parallela a OC passante per ~, ma è uguale al raggio (7154).

Le frasi (7155)-(7156) spiegano perché: - ex~ è minore di perché sottende un angolo minore (ex < _oc, che è retto). - oc~ è maggiore di perché sottende un angolo maggiore (<X, retto, vs. _ex, minore).

Per localizzare geometricamente il punto di distanza media, in (7157) si biseca oc~ nel punto O’ e si traccia una perpendicolare 7tp che interseca il cerchio in 7t. La frase (7158) afferma che 7t è equidistante da ex e ~, come dimostrato in (7160)-(7161) tramite triangoli rettangoli congruenti.

4.4 Critica a Reinhold e conferma di Tolomeo

Un passaggio critico riguarda la posizione dell’equazione massima (massima correzione angolare dovuta all’eccentricità). La frase (7163) ipotizza che, poiché in 7t la distanza 11.7t è uguale al raggio ~7t, l’angolo ~7tOC dovrebbe essere maggiore di oc, portando all’equazione massima in 7t. Tuttavia, il testo respinge questa conclusione: > “Atqui verum non est, quod erat propositum” (7164).

La ragione, spiegata in (7165)-(7167), è che ~oc “guarda” ~ più obliquamente (obfiquius) rispetto a 7t, rendendo 7t più distante. La dimostrazione di Tolomeo (ripresa da Reinhold nelle Theoricae) è quindi corretta: l’equazione massima si verifica in ~, non in 7t (7168). Il testo propone infine una dimostrazione alternativa in forma compendiaria (7169)-(7171), ribadendo che la distanza media è intermedia tra afelio e perielio.

4.5 Significato storico e tecnico

Il brano riflette il metodo geometrico kepleriano per risolvere problemi di meccanica celeste, in particolare: - L’uso di triangoli simili e seni per calcolare distanze planetarie, anticipando tecniche poi formalizzate nel calcolo differenziale. - La correzione delle teorie tolemaiche (e dei loro epigoni come Reinhold), con una rigorosa verifica geometrica delle posizioni orbitali. - L’attenzione alla simmetria e alle proprietà degli angoli, tipica della Astronomia nova (1609), dove Keplero abbandona il moto circolare uniforme in favore di orbite ellittiche.

Il riferimento a Marte (DE MOTIBVS STELLAE MARTIS in 7172) colloca il testo nel contesto delle osservazioni di Tycho Brahe, che Keplero utilizzò per confutare i modelli tradizionali. La precisione delle misure e la complessità delle costruzioni geometriche testimoniano la transizione verso una scienza quantitativa basata su dati empirici e dimostrazioni matematiche.

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5 La dinamica planetaria tra modelli geometrici e causa motrice solare

Un’analisi delle proporzioni matematiche nei moti planetari e l’ipotesi di una forza motrice residente nel Sole.

Il testo affronta due temi centrali: la relazione tra medie aritmetiche e geometriche nella descrizione dei moti planetari secondo Tolomeo, e l’ipotesi di una virtù motrice solare come causa della variazione di velocità dei pianeti. L’autore dimostra come le discrepanze tra i modelli matematici siano minime ma sistematiche, e come queste conducano a una riflessione fisica sulla natura della forza che governa i moti celesti.

5.1 Le proporzioni nei moti planetari: aritmetica vs geometria

Il passaggio chiave (7671) introduce il concetto di media aritmetica come strumento per descrivere le posizioni planetarie: “patet inde, quia ~8 est medium arithmeticum inter y8 et ex8” (“è evidente che ~8 è la media aritmetica tra y8 ed ex8”). Tuttavia, l’autore nota una differenza sostanziale rispetto alla media geometrica, che risulta sempre leggermente inferiore quando la proporzione tra i termini è piccola. L’esempio numerico (7674) chiarisce la discrepanza: “inter 10 et 12 medium arithmeticum est 11: medium Geometricum est 10 19/20 fere” (“tra 10 e 12, la media aritmetica è 11, quella geometrica è circa 10 e 19/20”). La differenza, pur minima (“minus una vicesima unius particulae”, 7675), assume rilevanza nel caso di Marte, il pianeta con la maggiore eccentricità nel sistema tolemaico (7676).

Le successive proposizioni (7677-7689) sviluppano una dimostrazione geometrica per compensare queste discrepanze. L’autore mostra come, attraverso permutazioni di proporzioni e l’introduzione di archi uguali (“aequalibus igitur sumptis arcubus o~ et EW”, 7687), si possa approssimare una relazione di doppia proporzionalità tra i tempi di percorrenza (morae) e le distanze dal centro dell’eccentrico. Il risultato finale (7689) stabilisce che “proportio morae ux ad moram cp’t” aequalis erit proportioni exo ad OCEO“* (”la proporzione del tempo di sosta in ux rispetto a cp’t” sarà uguale alla proporzione tra exo e OCEO”), con una precisazione cruciale: ”quanto longior est oco quam exE, tanto diutius moratur Planeta in certo aliquo arcu eccentri apud o, quam in aequali arcu eccentri apud E”* (“quanto più lungo è oco rispetto a exE, tanto più a lungo il pianeta permane in un dato arco dell’eccentrico presso o rispetto a un arco uguale presso E”). Questa conclusione, derivata dal modello tolemaico, introduce una legge di proporzionalità inversa tra distanza e velocità, che l’autore utilizzerà per fondare la sua ipotesi fisica.

5.2 La virtù motrice solare: una causa fisica per i moti planetari

Il capitolo XXXIII (7692-7715) abbandona l’analisi matematica per indagare la causa fisica della variazione di velocità dei pianeti. L’autore parte da un assioma filosofico (7693): “Eorum, quae simul et eodem modo fiunt, et easdem ubique dimensiones accipiunt, alterum alterius causam aut utrumque ejusdem causae effectum esse” (“Di quelle cose che accadono simultaneamente e nello stesso modo, e assumono ovunque le stesse dimensioni, l’una è causa dell’altra o entrambe sono effetto della stessa causa”). Applicato al moto planetario, questo principio implica che la variazione di velocità (intentio et remissio motus) e la variazione di distanza dal centro (accessu et recessu a centro mundi) debbano condividere una causa comune (7694-7698).

L’argomentazione procede per esclusione: 1. Il pianeta non può essere la causa (7706-7708): né la sua massa (che non varia con la distanza) né una vis animalis (che richiederebbe organi di movimento inesistenti, come ali o zampe, e implicherebbe una fatica insostenibile per un corpo celeste) possono spiegare la variazione di velocità. 2. La distanza non può essere effetto della velocità (7701-7703): la distanza dal centro è un prerequisito logico e ontologico per il moto in longitudine (“motus in longum nunquam est citra distantiam a centro”). 3. La distanza deve quindi essere la causa della variazione di velocità (7704-7705): “Ergo distantia erit causa vigoris in motu, et major minorque distantia, majoris minorisque morae” (“Dunque la distanza sarà causa della forza nel moto, e una distanza maggiore o minore comporterà una sosta maggiore o minore”).

La conclusione (7709-7715) identifica nel Sole il termine fisico in cui risiede la virtus motrix. L’analogia con la leva (7712-7714) chiarisce il meccanismo: “Planetae pene ratione statèrae seu vectis moveantur” (“i pianeti si muovono quasi come su una stadera o una leva”), dove la velocità diminuisce all’aumentare della distanza dal fulcro (il Sole), proprio come un peso diventa “più pesante” man mano che si allontana dal punto di appoggio. L’autore menziona esplicitamente Copernico e Tycho Brahe, ma si schiera con il primo nell’identificare il Sole come centro della forza motrice (7715), anticipando la legge delle aree di Keplero.

5.3 Significato storico e scientifico

Il testo rappresenta un momento di transizione tra la tradizione tolemaica e la rivoluzione copernicana. Da un lato, l’autore utilizza strumenti matematici classici (medie, proporzioni) per affinare il modello geocentrico, mostrando come le discrepanze tra teoria e osservazione possano essere minimizzate. Dall’altro, introduce un principio fisico radicalmente nuovo: la forza motrice solare, che anticipa concetti chiave della meccanica celeste moderna. La scelta di Marte come caso di studio (7676) non è casuale: la sua elevata eccentricità rendeva le discrepanze del modello tolemaico più evidenti, spingendo verso una revisione teorica.

L’assenza di riferimenti espliciti a Keplero suggerisce che il testo sia precedente alla pubblicazione delle sue leggi (1609-1619), ma la direzione argomentativa è chiaramente kepleriana. L’enfasi sulla proporzionalità inversa tra distanza e velocità e l’ipotesi di una forza emanante dal Sole prefigurano la seconda legge di Keplero, pur rimanendo ancorati a un linguaggio ancora aristotelico (la virtus come qualità intrinseca piuttosto che come interazione dinamica).

6 Il Sole come centro del sistema planetario e la natura della forza motrice

Un trattato scientifico che fonde geometria, osservazione astronomica e metafisica per dimostrare il ruolo centrale del Sole nel moto dei pianeti.

Il testo analizzato appartiene a un’opera in cui l’autore – con ogni probabilità Johannes Kepler – sviluppa una teoria eliocentrica raffinata, fondata su principi geometrici e osservazioni empiriche. L’argomentazione si concentra su tre nuclei concettuali: la posizione del Sole come centro del sistema planetario, la natura immateriale della forza motrice solare, e la critica alle ipotesi alternative (in particolare quella di Tycho Brahe).

6.1 1. Il Sole come centro del moto planetario: dimostrazione geometrica e osservativa

L’autore richiama esplicitamente una dimostrazione geometrica precedentemente esposta (“Plane tam moveri debiliter, cum discedit a puncto, unde ejus computatur eccentricitas”, 7717), che giustifica la scelta del Sole come punto di riferimento per il calcolo delle eccentricità planetarie. Questa premessa gli consente di riproporre un argomento probabilistico (“argumentatus sum probabiliter”, 7718) a favore della centralità solare, contrapponendola sia al geocentrismo tolemaico sia a ipotesi alternative che collochino il centro in un punto “vuoto” dello spazio.

La conferma osservativa emerge dall’analisi delle opposizioni di Marte con il Sole apparente (“Phaenomena sub noctium extrema pulchre sequi”, 7720). Kepler sottolinea come, adottando il Sole come centro, si ottengano simultaneamente: - La corretta eccentricità dei pianeti. - Le distanze planetarie misurate a partire dal corpo solare. - La collocazione del Sole stesso al centro del sistema (“Solem in centro mundi”, 7723) o almeno al centro della “virtù motrice” (“virtutem motricem in centro systematis”, 7722).

L’argomentazione si articola in due livelli: 1. Probabilità fisica: basata su principi meccanici e geometrici (“alterum nititur probabilitate Physica”, 7726). 2. Necessità osservativa: derivata dall’impossibilità di spiegare i fenomeni senza riferire le posizioni di Marte al Sole (“demonstrare ex observatis, quod fieri aliter non possit”, 7727). Questa parte è rimandata a un capitolo successivo (“caput LII”), dove si afferma che le osservazioni sono l’unico dato assunto (“Nihil enim ibi assumitur, nisi merae observationes”, 7729).

6.2 2. Critica alle ipotesi alternative e adesione al copernicanesimo

Kepler contrappone la propria teoria a quella di Tycho Brahe, che pur collocando il Sole al centro del sistema planetario, mantiene la Terra immobile. L’autore evidenzia una contraddizione logica in questa posizione: - Se gli orbite planetarie sono reali (come sostenuto da Tycho), allora il moto del Sole dovrebbe variare in intensità a seconda della sua distanza dalla Terra (“Solem a terra moveri sequeretur”, 7735). - Se invece è la Terra a muoversi, essa sarà mossa dal Sole con velocità variabile (“a Sole et ipsa quoque movebitur, et id celerius vel tardius”, 7736), mentre la forza solare rimane costante.

La dichiarazione di adesione al copernicanesimo è netta: “Ego in COPERNICO acquiesco, et tellurem unam ex Planetis esse patior” (7738). Tuttavia, Kepler riconosce un problema analogo per la Luna: se essa è mossa dalla Terra, come può essere trascinata dal Sole insieme agli altri pianeti? La soluzione proposta è pragmatica: accettare che la Luna sia mossa dalla Terra (per la sua affinità con essa), piuttosto che attribuire alla Terra il moto di tutti i corpi celesti (“malo tamen unam Lunam […] quam eidem terrae etiam Solis […] motus transscribere”, 7739).

6.3 3. La natura immateriale della forza motrice solare

Il secondo grande tema è la caratterizzazione della “virtù motrice” (virtus motrix) che emana dal Sole. Kepler ne descrive le proprietà attraverso un parallelo con la luce**, evidenziando analogie e differenze:

6.3.1 Analogie con la luce

• Diffusione geometrica: La forza motrice si distribuisce secondo le stesse proporzioni della luce, con intensità inversamente proporzionale alla distanza (“ut exo ad exl::, sic fortitudo virtutis in l:: ad fortitudinem virtutis in o conversim”, 7743). Ciò significa che la quantità totale di forza rimane costante, indipendentemente dalla distanza (“tantundem virtutis esse in universo ambitu circuli per o, quantum in ambitu angustioris circuli per l::”, 7745).
• Immaterialità: Come la luce, la forza motrice è una specie immateriale (“species immateriata”, 7746) del corpo solare, non soggetta a dispersione nello spazio (“nihil igitur periit de hac virtute in itinere”, 7754). Essa non è un corpo geometrico, ma una superficie (“superficies quaedam”, 7747), analoga alla luce che illumina gli oggetti.

6.3.2 Differenze e obiezioni

Kepler affronta due obiezioni principali: 1. Impedimento da parte degli opachi: Se la forza motrice usasse la luce come veicolo, gli oggetti opachi dovrebbero bloccare il moto (“tenebras insequeretur quies mobilium”, 7752). Tuttavia, la forza motrice agisce circolarmente (da ovest a est), mentre la luce si diffonde in tutte le direzioni. 2. Assenza di dispersione: A differenza del calore (che si diffonde riempiendo lo spazio intermedio), la forza motrice non si disperde (“non qualis caloris ab aestuante fornace”, 7755), ma rimane “concentrata” nei corpi mobili.

La conclusione è che la forza motrice è una emanazione immateriale del Sole, paragonabile alla luce ma con proprietà dinamiche distinte: “virtus haec […] sit species immateriata ejus virtutis, quae in ipso Sole residet, inaestimabilis vigoris, adeoque actus primus omnis motus mundani” (7756).

6.4 4. Significato storico e scientifico

Il testo rappresenta un momento chiave nella rivoluzione astronomica, in cui: - Geometria e osservazione si fondono per superare i modelli antichi (Tolomeo) e quelli ibridi (Tycho Brahe). - Si afferma una visione dinamica del sistema solare, dove il Sole non è solo un centro geometrico, ma la sorgente fisica del moto. - Si anticipano concetti che saranno centrali nella fisica newtoniana, come la forza a distanza e la conservazione dell’energia (intesa come costanza della “virtù” solare).

L’insistenza sulla natura immateriale della forza motrice riflette inoltre l’influenza della metafisica neoplatonica, che vedeva nel Sole un principio vitale e ordinatore. Kepler, pur adottando un approccio empirico, non rinuncia a una dimensione quasi teologica del Sole come fonte di luce, calore e movimento (“fons vitae mundi”, 7731).

7 La natura immateriale e geometrica della forza motrice celeste: analogie tra luce e virtù solare in Keplero

“Come la luce, pur non essendo materiale, obbedisce alle leggi geometriche dello spazio, così la virtù motrice del Sole governa i pianeti attraverso principi che trascendono la materia ma si manifestano nel tempo e nel movimento.”

Il testo analizza la natura della forza motrice solare che, secondo Keplero, agisce sui pianeti, proponendo un parallelismo tra questa e la luce. Il nucleo concettuale ruota attorno all’idea che tale forza, benché immateriale (“virtutem hanc esse speciem immateriatam sui fontis”, 7761), non sia indipendente dalle leggi geometriche e fisiche che regolano il cosmo. Essa, infatti, “non liberam esse a legibus Geometricis” (7763), poiché, pur non essendo materiale, è destinata a “vehere” (trasportare) i corpi planetari, interagendo così con la materia.

7.1 La doppia natura della forza motrice: immaterialità e vincoli geometrici

Keplero affronta un’apparente contraddizione: come può una forza immateriale (“materia carere”, 7762) essere soggetta a dimensioni geometriche e diffondersi nello spazio? La risposta risiede nella sua funzione di trasporto (“vehendo destinatur”, 7763): la forza motrice, pur non essendo corporea, opera attraverso il movimento dei pianeti, e quindi “non liberam esse a legibus Geometricis” (7763). Questa necessità geometrica emerge chiaramente quando Keplero osserva che i moti planetari “perfici in loco et tempore” (7765), cioè si compiono nello spazio e nel tempo, e che la forza si diffonde dal Sole attraverso “spacia mundi” (7765), entità intrinsecamente geometriche.

L’analogia con la luce (“exemplum lucis pIane genuinum”, 7767) serve a chiarire questo paradosso. La luce, come la forza motrice, non è materiale (“Quis quaeso dixerit, lucem esse materiale quippiam?”, 7768), eppure “operationes suas exercet ratione loci” (7769): viene riflessa, rifratta, e assume quantità misurabili, come quando “densa vel rara esse […] possit” (7769) su una superficie. La luce, inoltre, “in spacio inter fontem et illustrabile intermedio, non est” (7770), ma “ibi quasi fuit” (7770), suggerendo una presenza effimera, simile a quella della forza motrice che “perpetuo et sine temporis intervallo, illic ex Sole adest” (7775) dove c’è un corpo mobile idoneo.

7.2 Tempo e materia: la chiave della distinzione

La differenza tra luce e forza motrice emerge nel rapporto con il tempo. La luce agisce istantaneamente (“in momento”, 7772) quando non interagisce con la materia (ad esempio nell’illuminare una superficie), ma richiede tempo quando deve modificare la materia stessa (“dealbat colores in tempore”, 7774), perché “hic in materiam agit quatenus materia” (7774). Analogamente, la forza motrice è sempre presente dove c’è un pianeta (“sine temporis intervallo”, 7775), ma lo muove nel tempo (“Movet autem in tempore; quia mobile materiatum est”, 7776). La materia, quindi, introduce la dimensione temporale nell’azione di entrambe le entità.

Keplero sintetizza questa relazione con una proporzione: “sicut se habet Iux ad illustrationem, sic certum est sese habere virtutem ad motum” (7777). Come la luce non riesce a illuminare perfettamente un colore (perché questo “diversam suam speciem cum lucis illustratione confundit”, 7779), così la forza motrice non trasmette ai pianeti la sua stessa velocità (“non ideo tanta est Planetae celeritas”, 7780), a causa della resistenza della materia (“repugnante vel intermedio, nempe aurae aetheriae materia”, 7783) o dell’inerzia del pianeta stesso.

7.3 Il Sole come fonte magnetica e rotante

Il testo prosegue ipotizzando che il corpo solare sia di natura magnetica (“CAPVT XXXIV CORPVS SOLIS ESSE MAGNETICVM”, 7784) e che ruoti su se stesso (“in suo spacio converti”, 7784). Questa rotazione è necessaria perché la forza motrice, essendo immateriale e diffusa in modo rettilineo (“non rectis sed curvis lineis a corpore delaberetur”, 7792), possa trascinare i pianeti in orbite circolari. Keplero usa un’analogia visiva: come un oratore che ruota su se stesso per guardare tutti gli spettatori in cerchio (“oratorem […] convertere semet”, 7795), così il Sole, ruotando, “circumfert luculae illius radios” (7800) della sua forza motrice, rendendola accessibile a tutti i pianeti.

L’argomentazione si basa su due punti chiave: 1. La forza motrice non può muoversi da sola (“seipsa igitur hunc motum nequit perficere”, 7804), perché, essendo immateriale, non può avere una velocità infinita (che implicherebbe una trasmissione istantanea, impossibile per i corpi materiali). 2. La rotazione del Sole è la causa della rotazione della forza (“corpus Solis […] moveri necesse est”, 7793), poiché la “species immateriata” (7791) della forza segue la direzione delle particelle solari da cui emana.

7.4 Implicazioni cosmologiche e storiche

Il testo riflette la transizione tra la fisica aristotelica e la nuova scienza meccanicistica. Keplero cerca di conciliare l’idea di una forza immateriale (eredità neoplatonica e magico-naturalistica) con la necessità di una spiegazione geometrica e quantitativa del moto planetario. L’analogia con la luce, già usata da autori come Ficino e Bruno, qui assume un ruolo strumentale: serve a giustificare come una causa non materiale possa produrre effetti misurabili nello spazio e nel tempo.

La rotazione del Sole, inoltre, anticipa concetti che saranno centrali nella fisica newtoniana, come l’idea di una forza centrale che agisce a distanza. Tuttavia, Keplero rimane legato a un modello in cui la forza è ancora “divinum quippiam” (7786), paragonabile all’anima che muove un proiettile (“ex quo effluat species ista Planetas circumagens, uti ex anima jaculantis lapillos”, 7786). Questa ambivalenza tra metafisica e meccanica è tipica della sua epoca e segna il passaggio verso una visione più rigorosamente matematica del cosmo.

8 La rotazione solare e il moto dei pianeti: un modello dinamico basato sull’analogia magnetica

La forza motrice del Sole, immateriale e diffusa come le linee di un magnete, governa i pianeti secondo una proporzione inversa tra distanza e velocità, rivelando una gerarchia di resistenze materiali e una rotazione solare più rapida di ogni periodo planetario.

Il testo propone un modello fisico per spiegare il moto dei pianeti, fondato su due principi cardine: la rotazione del corpo solare come causa primaria del movimento celeste, e l’inerzia intrinseca dei pianeti come fattore che modula la loro velocità. L’autore rifiuta l’idea che un moto locale possa essere attribuito a entità immateriali (“Rursum enim immateriato cuipiam localis motus cum tempore non recte tribuituro”, 7806), sostenendo invece che sia il Sole stesso a ruotare su sé stesso, con i suoi poli allineati a quelli dello zodiaco (“corpus ipsum Solis […] gyretur, et polis suae conversiorus […] monstret polos zodiaci”, 7806). Questa rotazione, stimata in un periodo inferiore ai tre mesi (“citius quam trimestri spacio”, 7817), precede temporalmente ogni rivoluzione planetaria e genera una “virtù motrice” immateriale, analoga a un campo di forza.

8.1 La gerarchia delle velocità planetarie e la resistenza materiale

Il testo affronta un paradosso osservativo: i pianeti più lontani dal Sole (Saturno, Giove) impiegano tempi maggiori per completare le loro orbite rispetto a quelli vicini (Mercurio, Venere), nonostante la “virtù motrice” solare si propaghi con la stessa velocità in tutto lo spazio (“aequali cum corpore Solari vertigine, et eodem tempore torqueatur”, 7812). La spiegazione risiede nella natura materiale dei pianeti, che possiedono una tendenza innata alla quiete (“Planetarum corporibus inesse materialem inclinationem ad quietem”, 7809) e una resistenza proporzionale alla loro distanza dal Sole. Saturno, ad esempio, è “inhabilior” (meno capace) di Giove perché la sua maggiore inerzia lo rende meno sensibile alla forza motrice (“Saturnus enim inhabilior est quam Jupiter, quia tardius restituitur”, 7813). Questa dinamica è descritta come una “pugna” tra la virtù solare e la resistenza planetaria: vince il pianeta più debole (più lontano), che si muove più lentamente (“superat igitur plus ille Planeta, qui in virtute imbecilliore consistit”, 7815).

L’analogia con il sistema Terra-Luna rafforza il modello. La Terra, ruotando su sé stessa, trasmette alla Luna una forza immateriale che ne determina il moto mensile (“Lunae motus capitalis et menstruus […] omnino ex tellure ceu fonte est”, 7826). Tuttavia, la Luna impiega 27 giorni (non 60, come suggerirebbe la proporzione tra le distanze) per completare la sua orbita, a causa della sua “magna raritas et imbecillis repugnantia” (7830): la sua resistenza materiale è minima, ma non nulla. Se non vi fosse alcuna resistenza, la Luna verrebbe trascinata alla stessa velocità della Terra, compiendo un giro in 24 ore (“rapi eadem plane celeritate cum ipsa specie telluris immateriata”, 7831).

8.2 Il Sole come magnete cosmico

Per spiegare la natura della forza motrice solare, l’autore ricorre all’analogia con il magnete (“exemplo paulo ante memorati magnetis”, 7835). Come un magnete attrae il ferro entro un certo raggio e orienta le sue fibre secondo linee di forza, così il Sole: 1. Genera una virtù motrice diffusa in orbite concentriche, più debole alle distanze maggiori (“virtus Planetas movens […] partibus remotioribus illius orbis est imbecillior”, 7845). 2. Non attrae i pianeti (altrimenti cadrebbero sul Sole), ma li dirige lungo orbite circolari, grazie a fibre magnetiche disposte secondo il piano dello zodiaco (“fibras habere circulares in eam plagam circumporrectas, quae monstratur a cuculo zodiaco”, 7847). 3. Ruota su sé stesso, trascinando con sé la sua virtù motrice come un magnete che, spostandosi, trascina il ferro (“Sole itaque sese vertente perenniter, convertitur et in orbem vis motrix”, 7848).

Il corpo solare è descritto come “totius mundi densissimum” (7836), capace di emettere una forza tanto più intensa quanto maggiore è la sua densità. Tuttavia, a differenza del magnete, il Sole non possiede una forza attrattiva, ma solo “directoria” (7846-7847): i pianeti sono spinti lungo traiettorie circolari, non attirati verso il centro.

8.3 Proporzioni geometriche e stime quantitative

Il testo include calcoli per stimare il periodo di rotazione solare, basati su proporzioni geometriche e osservazioni: - La distanza Terra-Luna è 60 volte il diametro terrestre, e il periodo lunare (27 giorni) è circa 30 volte quello di rotazione terrestre (1 giorno). Poiché la proporzione tra distanze e tempi è doppia (“proportio amplitudinum dupla ad proportionem temporum periodicorum”, 7819), l’autore applica lo stesso rapporto al sistema Sole-Mercurio. - Il diametro solare è stimato in 1/60 del raggio dell’orbita di Mercurio (7819), e il periodo di Mercurio è di 88 giorni. Da qui, il periodo di rotazione solare è calcolato in circa 3 giorni (“Solem triduo circiter gyrari”, 7819), un valore che l’autore considera “verisimile”.

L’ipotesi di una rotazione solare diurna (24 ore) non è esclusa (“Sin autem mavis diurnum Soli tempus praescribere […] haud equidem repugnaverim”, 7820), ma la preferenza va a un periodo più breve, coerente con la natura “rapida” di un corpo che è “primus actus omnis motus” (7821).

8.4 Significato storico e innovazioni concettuali

Il testo riflette una fase cruciale della rivoluzione astronomica, in cui: 1. Si abbandona il modello delle sfere solide (tipico della cosmologia aristotelico-tolemaica) in favore di una forza immateriale che agisce a distanza, precorrendo concetti newtoniani. 2. Si introduce l’inerzia come proprietà intrinseca della materia (“materialem inclinationem ad quietem”, 7809), anticipando la prima legge del moto di Newton. 3. Si usa l’analogia magnetica per spiegare le interazioni celesti, un approccio che influenzerà Gilbert e, indirettamente, la teoria della gravitazione. 4. Si attribuisce al Sole un ruolo attivo nel generare il moto planetario, in linea con il sistema copernicano ma con una fisica dinamica (non solo cinematica).

L’ambiguità più rilevante riguarda la natura della forza solare: pur descritta come immateriale e infinita (“virtus emanans immateriata sit, suaque natura infinitae celeritatis”, 7812), essa è vincolata alla rotazione del corpo solare e si propaga con una velocità finita, decrescente con la distanza. Questa tensione tra infinito e finito riflette la difficoltà di conciliare osservazioni empiriche con un modello teorico ancora privo di una matematica rigorosa.

9 La teoria magnetica dei moti celesti in Keplero: tra analogie fisiche e limiti dell’intuizione

“Come la Terra, dimostrata da Guglielmo Gilbert come un grande magnete, ruota quotidianamente secondo Copernico, così la Luna è trascinata dalla sua rivoluzione magnetica, pur essendo trenta volte più lenta.”

Il testo presenta una riflessione avanzata di Johannes Kepler sulla natura delle forze che governano i moti planetari, fondata su un’analogia tra magnetismo terrestre e influenza solare. L’autore sviluppa una teoria in cui il Sole agisce sui pianeti attraverso una “specie immateriale” (“per speciem”), paragonabile alla virtù magnetica (“virtutis magneticae translatione”, 7852), ma con caratteristiche proprie che la distinguono dalla luce visibile.

9.1 Il modello magnetico come chiave interpretativa

Kepler riprende esplicitamente le scoperte di William Gilbert (“GVLIELMO GILBERTO Anglo demonstrante”, 7852), secondo cui la Terra è un magnete gigante le cui fibre magnetiche (“fibras habet magneticas”) determinano l’orientamento dei poli e la rotazione quotidiana. Questa analogia viene estesa al sistema solare: - La Terra funge da punto di riferimento (“cynosuram”, 7855) per la Luna, così come il Sole lo è per gli altri pianeti. - L’eccentricità dei pianeti (“Planetae a Sole fiunt eccentrici”, 7855) è spiegata come effetto di una forza motrice solare, simile a quella che attrae il ferro verso un magnete. - La Luna, pur partecipando alla rotazione terrestre, ha un periodo 30 volte più lento (“triginta tamen vicibus tardiorem”, 7852), suggerendo una dipendenza gerarchica tra i corpi celesti.

L’ipotesi centrale è che il Sole sia un corpo magnetico (“Solem itaque similiter corpus esse magneticum”, 7856), la cui virtù motrice si propaga nello spazio come una “specie” immateriale, analoga ma non identica alla luce. Questa distinzione è cruciale: mentre la luce è ostacolata dagli oggetti opachi (“Lux opaco impeditur”, 7861), la forza motrice agisce direttamente sui corpi (“Virtus in corpus agit sine opaci respectu”, 7862), senza essere bloccata da materia interposta.

9.2 Critica all’analogia luce-forza motrice

Kepler affronta due obiezioni principali all’equiparazione tra luce e virtù motrice: 1. L’oscuramento reciproco dei corpi celesti (“offuscatio siderum mutua”, 7857): se la forza motrice fosse come la luce, i pianeti dovrebbero ostacolarsi a vicenda quando si trovano sulla stessa linea visuale rispetto al Sole. Tuttavia, l’autore osserva che la forza motrice non è impedita dalla materia (“corpore non impeditur”, 7861), come dimostra l’esempio del magnete che attrae il ferro anche attraverso lamine di metallo o vetro (“transit laminas argenteas, cupreas… trahitque ferrum”, 7867). - L’unico ostacolo è un altro magnete (“impeditur interjectu magneticae tabellae”, 7868), perché in quel caso la forza viene “assorbita” (“combibit virtutem magnetis”, 7872) dall’oggetto interposto.

2. La legge di attenuazione della forza: Kepler aveva dimostrato che la velocità dei pianeti varia in proporzione semplice alla loro distanza dal Sole (“motus intensionem et remissionem sequi proportionem distantiarum simplicem”, 7888). Tuttavia, una forza che si propaga sfericamente dovrebbe attenuarsi secondo una proporzione quadratica (“proportione duplicata”, 7889), come la luce. Questa discrepanza lo porta a concludere che la forza motrice non si comporta come un’emissione radiale, ma come un’azione diretta e immateriale (“speciei immateriatae”, 7884).

9.3 Limiti e ambiguità del modello

Nonostante l’originalità dell’ipotesi, Kepler riconosce i limiti della sua teoria: - Il moto degli apsidi: L’avanzamento degli apsidi planetari (“motus apogaeorum”, 7879) non può essere spiegato solo con l’interferenza della forza solare, poiché osservazioni mostrano che essi progrediscono (“observationes testentur ipsa progredi”, 7880), mentre un’eventuale “oscuramento” della forza dovrebbe rallentarli o farli retrocedere. - La natura della forza solare: Kepler ammette che la relazione tra Sole e pianeti è meno immediata di quella tra magnete e ferro (“natura magnetis a natura ferri: nec ut a magnete ferrum eandem subito virtutem combibit, sic a Sole Planetas”, 7875). La questione se i pianeti “assorbano” in qualche modo la virtù solare (“aliquam qualemcunque combibant”, 7876) viene rimandata a un capitolo successivo (LVII).

9.4 Significato storico

Il testo testimonia una fase cruciale della rivoluzione scientifica, in cui: 1. Si tenta di sostituire le sfere celesti aristoteliche con una fisica delle forze, anticipando concetti newtoniani. 2. Si esplora il magnetismo come modello per spiegare l’azione a distanza, un’idea che influenzerà le teorie gravitazionali successive. 3. Si evidenzia la tensione tra matematica e fisica: Kepler è consapevole che le leggi empiriche (come la proporzionalità semplice tra velocità e distanza) non trovano ancora una giustificazione teorica soddisfacente (“me diu fatigavit improvidum”, 7885).

L’analogia magnetica, pur rivelatasi inadeguata, rappresenta un ponte concettuale tra la filosofia naturale rinascimentale e la meccanica classica, mostrando come la scienza proceda per ipotesi audaci e successive correzioni.

10 La legge dell’inverso del quadrato e le illusioni ottiche nella propagazione della luce e della forza motrice

Keplero corregge un errore concettuale nell’applicazione della proporzionalità tra distanza e intensità luminosa, distinguendo tra apparenza ottica e realtà fisica.

Il testo affronta la relazione tra distanza e intensità della radiazione luminosa (e, per analogia, della forza motrice) emessa dal Sole, confutando un’interpretazione errata basata su presupposti geometrici. L’argomentazione si sviluppa attraverso tre posizioni progressive: un punto luminoso, un cerchio massimo e un disco apparente del Sole, per poi estendersi alla superficie sferica reale.

10.1 La proporzionalità apparente e l’errore geometrico

Keplero inizia descrivendo un cerchio massimo luminoso sul Sole (“Sit deinde circulus aliquis maximus ~E in corpore Solis lucidus”, 7896), i cui punti infiniti proiettano raggi in proporzione inversa alla distanza (“densior autem etiam cuiuslibet puncti radiatio e propinquo ~ quam e longinquo y”, 7899). L’errore emerge quando si assume che: 1. Il diametro apparente del cerchio vari in proporzione semplice alla distanza (“diametri vero Solis apparentes in simpla proportione distantiarum”, 7900). 2. La superficie apparente del disco segua una proporzione quadratica (“disci igitur circulares apparebunt in dupla proportione distantiarum”, 7901). 3. La densità della radiazione (intensità per unità di superficie) risulti tripla rispetto alla distanza (“videtur hinc radiatio disci […] tripla uti proportione distantiarum”, 7905).

L’esempio numerico chiarisce l’equivoco: se la distanza raddoppia (oc~ = 1, ocy = 2), la radiazione di un punto si dimezza (1 → 2), il diametro apparente si dimezza (2 → 1), ma la superficie apparente si riduce a un quarto (4 → 1). La combinazione di questi fattori porta a concludere che l’intensità totale del disco diminuisca di otto volte (“radiationis […] densitas […] esset ut 1 ad 8”, 7910), non di due come inizialmente ipotizzato.

10.2 La correzione: realtà fisica vs. illusione ottica

Keplero smonta l’argomentazione identificando tre errori concettuali: 1. Il punto matematico non emette luce: “quod punctum attinet, cum id nullam obtineat quantitatem […] sequitur puncti radiationem per se nullam esse” (7919). La radiazione non può derivare da un’entità priva di estensione. 2. Il cerchio geometrico non è una sorgente luminosa: “circulus mathematicus, carens latitudine, fingitur lucere” (7924). Un cerchio è un’astrazione; la luce richiede una superficie fisica. 3. L’ampliamento ottico non aumenta l’intensità: “amplificatio Optica […] est tantum deceptio visoriae facultatis” (7927). L’apparente ingrandimento del disco solare con la distanza è un’illusione, non un fenomeno fisico.

La realtà è che la specie (l’immagine o l’influenza) del Sole si propaga inalterata nello spazio (“nihil enim perit in itinere”, 7929), ma si diluisce sulla superficie di sfere via via più ampie (“sphaerarum extensionibus attenuatur”, 7931). L’intensità in un punto è quindi inversamente proporzionale al quadrato della distanza (“in proportione conversa distantiarum”, 7931), non per una diminuzione intrinseca della sorgente, ma per la distribuzione su una superficie maggiore.

10.3 Analogia con la forza motrice e il magnetismo solare

Keplero estende il ragionamento alla forza motrice che governa i pianeti, basandosi sull’analogia con la luce (“eadem igitur […] videntur et de vi motrici concipi debere”, 7916). Tuttavia, emerge una distinzione cruciale: - La luce si diffonde sfericamente in tutte le direzioni. - La forza motrice agisce principalmente lungo il piano dell’eclittica (“filamenta magnetica Solis […] in longum tantummodo porrigi”, 7937), seguendo i “filamenti” magnetici del Sole.

L’obiezione che la forza dovrebbe essere minore su orbite più ampie (perché distribuita su una superficie maggiore) viene respinta: come per la luce, la specie della forza si conserva (“tantundem sparget virtutis […] in orbe ~ y laxiorem, quantum in ~ angustiorem”, 7928), ma la sua densità diminuisce con il quadrato della distanza. La differenza sta nel fatto che la forza agisce su un piano (l’orbita planetaria), non su una sfera, quindi la diluizione è meno marcata.

10.4 Conclusione: la legge fisica e i limiti della percezione

Il testo culmina con una confutazione definitiva dell’illusione ottica: la diminuzione di luminosità con la distanza non è dovuta a una perdita di energia, ma alla geometria della propagazione. Keplero riconosce l’errore iniziale (“rideo miseras meas trepidationes ex hac caligine ortas”, 7934) e ribadisce che: - La legge dell’inverso del quadrato vale per la densità della radiazione (“in proportione conversa distantiarum”, 7931). - L’apparenza del disco solare è ingannevole: una superficie sferica è quattro volte più estesa di un cerchio massimo (“Sphaerica vero superficies […] quadrupla esse ad planum circuli”, 7913), ma la sua luminosità totale si distribuisce su sfere concentriche. - La forza motrice segue principi analoghi, ma con vincoli direzionali legati alla struttura magnetica del Sole.

L’argomentazione unisce rigore geometrico e intuizioni fisiche, anticipando concetti che saranno formalizzati solo con Newton: la conservazione dell’energia (o della “specie”) e la dipendenza dell’intensità dalla distanza.

11 La dinamica dei moti planetari e lunari nella fisica celeste di Keplero

Un tentativo di spiegare le irregolarità nei moti dei pianeti e della Luna attraverso forze immateriali emanate dal Sole e dalla Terra, rifiutando le sfere solide ma mantenendo una struttura geometrica e causale.

Il testo affronta due temi centrali: l’origine del moto planetario e l’anomalia del moto lunare, proponendo una fisica celeste basata su specie immateriali e virtù motrici anziché su meccanismi solidi. Keplero rifiuta l’idea che i pianeti si muovano in modo indifferenziato nello spazio (“At non ideo sequitur, ut […] Planetae […] quaquaversum moveatur sine discrimine”, 7941), introducendo una direzionalità privilegiata legata all’azione del Sole. La sua teoria si articola su tre assi: la natura della forza solare, il ruolo della Terra nel moto lunare, e la composizione dei moti planetari.

11.1 1. La forza motrice del Sole e la geometria del moto planetario

Keplero descrive il Sole come una sorgente di filamenti magnetici (“filamenta Solis magnetica”, 7942) che, ruotando con esso, trascinano i pianeti non per contatto diretto, ma attraverso una specie movente – un’emanazione immateriale che si propaga nello spazio. Questa forza non agisce uniformemente in tutte le direzioni, ma è concentrata lungo il piano dell’eclittica (lo zodiaco), spiegando perché i pianeti non deviano verso i poli (“Non igitur ibit Planeta in adversum […] neque Sol eam in plagam volvitur”, 7943-7944).

La chiave sta nella geometria della specie solare: - Nel piano zodiacale, i filamenti semicircolari si allineano in una direzione unica (“tota est filamentorum semicircularium, eodem una tendentium”, 7948), generando un moto coerente. - Verso i poli, invece, la specie risulta dalla sovrapposizione di filamenti opposti (“species componetur ex filamentis in contraria tendentibus”, 7950), annullando la forza motrice (“Minus igitur apta est species ista […] ad motum Planetis inferendum”, 7952). Questo spiega perché i pianeti “semper maneant prope zodiacum” (7949).

La rotazione solare è quindi il motore primario: i pianeti sono trascinati dalla specie come da una corrente, ma solo lungo la fascia zodiacale, dove la forza è massima e unidirezionale.

11.2 2. L’anomalia del moto lunare e la “catena” terrestre

Keplero affronta un problema osservativo: la Luna accelera nelle congiunzioni/opposizioni col Sole (“intendatur sub conjunctiones et oppositiones”) e rallenta nelle quadrature (“remittatur in quadraturis”, 7956), anche in assenza di epicicli o eccentricità. Tycho Brahe aveva già notato questa terza anomalia (oltre a quelle mensile e dell’epiciclo), ma Keplero ne cerca una spiegazione fisica.

11.2.1 Le ipotesi scartate

• Moto comune con i pianeti: Se la Luna accelerasse perché si muove nella stessa direzione dei pianeti (“motus ejus eo loci sit in easdem partes cum omnium Planetarum motu”, 7960), dovrebbe essere più lenta nelle congiunzioni (dove il suo moto proprio si oppone a quello terrestre), non più veloce. Keplero lo esclude: “At haec vera causa non est” (7961).
• Variazione della forza solare: Se il Sole intensificasse la sua azione nelle opposizioni (“Virtus motrix Solis in O sit remissior, in C incitatior”, 7964), la Luna dovrebbe essere lenta in entrambi i punti (O e C), il che contraddice le osservazioni (“Muito minus hoc dixero”, 7965).

11.2.2 La soluzione: la “catena” terrestre

Keplero propone che la Terra possieda una virtù retentiva (“vis retentiva Lunae, ceu catena quaedam”, 7969), una forza che trattiene la Luna come una fune, indipendentemente dal suo moto orbitale. Questa forza non è statica, ma deriva dal Sole: la Terra “assorbe” la virtù motrice solare lungo la linea che congiunge i due corpi (“continuatione lineae TS conservato”, 7970), diventando essa stessa una sorgente secondaria di moto.

• Diametro virtuoso: La linea Terra-Sole (“diameter virtuosa”, 7970) è il canale privilegiato di trasmissione della forza. Quando la Luna si trova su questa linea (congiunzione/opposizione), la virtù terrestre è più “robusta” (“robustior sit virtus, ex terra delapsa”, 7976), accelerandola. Nelle quadrature, invece, la forza è più debole.
• Spirale del moto lunare: La Luna si muove lungo una traiettoria a spirale (“motum spirales lineae”, 7963), combinando il proprio moto orbitale (verso destra) con quello terrestre (verso sinistra). Nelle congiunzioni, i due moti si sommano; nelle quadrature, si oppongono, spiegando l’anomalia.

Keplero sottolinea che questa forza terrestre non è autonoma, ma dipende dal Sole: “Esse autem Solem […] praecipuum directorem ejus motus” (7977). La Luna, quindi, non è mossa direttamente dal Sole, ma dalla Terra, che a sua volta è guidata dalla virtù solare.

11.3 3. La doppia causa del moto planetario: forza solare e virtù intrinseca

Keplero distingue due componenti nel moto dei pianeti: 1. Forza solare uniforme: Una virtù che trascina i pianeti intorno al Sole con velocità costante, se la distanza rimane invariata (“aequabilissime circumferretur, nullam sensurus intentionem, nullam remissionem motus Solaris”, 7980). 2. Virtù intrinseca dei pianeti: L’eccentricità (o l’epiciclo in Copernico) non è spiegabile solo con la forza solare. Keplero invoca una causa esterna (“ab extraneis causis”, 7985), coerente con la sua visione di una natura semplice: le variazioni di distanza dal Sole (e quindi di velocità) derivano da una forza propria del pianeta, che lo spinge ad allontanarsi o avvicinarsi al Sole (“unde eveniat, ut Planeta a Sole ascendat et descendat?”, 7982).

Questa doppia causalità (“Est inquam, quomodo ex Sole; est, quomodo non ex Sole”, 7984) risolve il paradosso delle orbite non circolari: il Sole fornisce il moto circolare di base, ma è la virtù interna del pianeta a generare le irregolarità (eccentricità, variazioni di velocità).

11.4 Significato storico e scientifico

Il testo rappresenta un momento di transizione tra la fisica aristotelica e la meccanica newtoniana: - Rifiuto delle sfere solide: Keplero accetta le osservazioni di Brahe che dimostrano l’assenza di sfere cristalline (“orbes solidi nulli sunt”, 7982), ma sostituisce la meccanica con una dinamica di forze immateriali. - Precedente per la gravitazione: La vis retentiva terrestre e la diameter virtuosa anticipano il concetto di azione a distanza, anche se Keplero non quantifica la forza (rimane una “specie” qualitativa). - Metodo empirico: L’analisi delle anomalie lunari si basa su dati osservativi (“per diutinas et creberrimas observationes”, 7956), mostrando come Keplero integri matematica e fisica.

La teoria, pur errata nei dettagli (ad es., i “filamenti magnetici”), è rivoluzionaria perché sostituisce le cause finali aristoteliche con cause efficienti, aprendo la strada a Newton. La Luna, in particolare, diventa un caso di studio per comprendere come le forze si trasmettano attraverso lo spazio vuoto.

12 Il moto dei pianeti tra virtù solare e forze intrinseche: la dinamica celeste secondo Keplero

“La virtù che emana dal Sole è un torrente rapido che trascina i pianeti da occidente a oriente, ma sono le forze proprie dei pianeti a governarne le traiettorie eccentriche e le deviazioni latitudinali.”

Il testo analizza la complessità del moto planetario attraverso un’analogia idrodinamica e una rigorosa distinzione tra forze esterne e intrinseche. Keplero parte da un principio fisico fondamentale: “nel fiume, la semplice proprietà dell’acqua è discendere verso il centro della Terra” (7986), ma questa tendenza lineare è alterata da fattori esterni come l’alveo, la pendenza o gli ostacoli, che generano “deviazioni, ristagni, vortici e ogni varietà di fenomeni” (7987). La chiave interpretativa è netta: “l’acqua stessa, per forza insita, non fa altro che tendere alla discesa verso il centro terrestre con proprietà semplice; la deviazione, il ristagno, i flutti e i vortici nascono da cause assegnate come estranee e accidentali” (7988). Questa distinzione tra proprietà intrinseca e cause esterne diventa il paradigma per spiegare il moto dei pianeti.

12.1 L’analogia idrodinamica e la navigazione fluviale

Keplero introduce un esempio pratico per chiarire il ruolo delle forze: la navigazione su un fiume. Se una barca (“cymba”) è ancorata a una fune tesa tra le sponde e il remo è fissato in modo opportuno, “la barca, trascinata dalla semplice forza del fiume che scorre verso il basso, si sposta trasversalmente da una riva all’altra” (7990). In fiumi più larghi, le barche “vengono spinte in giri, scagliate qua e là, compiono mille evoluzioni, senza toccare il fondo o le sponde, ma solo grazie all’uso del remo, convertendo l’unico e semplicissimo corso del fiume nei loro desideri” (7991). Questo passaggio è cruciale: mostra come un flusso unidirezionale (la corrente del fiume o, metaforicamente, la forza solare) possa essere modulato da forze locali (il remo o le virtù intrinseche dei pianeti) per produrre traiettorie complesse.

12.2 La virtù solare e le forze planetarie

Keplero estende l’analogia al sistema solare: “la virtù che dal Sole si diffonde nel mondo è come un torrente impetuoso che trascina tutti i pianeti, e forse l’intera aura eterea, da occidente a oriente” (7992). Tuttavia, questa forza “non è adatta a portare i corpi verso il Sole o a spingerli lontano da esso” (7992), compito che richiederebbe un’opera “di infinita sollecitudine”. Qui emerge il dualismo kepleriano: 1. Forza solare: unidirezionale, responsabile del moto generale dei pianeti lungo l’eclittica (da occidente a oriente). 2. Forze planetarie intrinseche: agiscono come “vettori o traghettatori” (7993), governando: - L’avvicinamento e l’allontanamento dal Sole (eccentricità, primo argomento – 7994). - Le deviazioni latitudinali (inclinazioni rispetto all’eclittica, secondo argomento – 7995).

I pianeti, “come barche”, “vengono trasportati da una riva all’altra, cioè da settentrione a meridione e viceversa, da questo fiume [la virtù solare] che di per sé seguirebbe solo il percorso dell’eclittica” (7993). Questa immagine sintetizza la necessità di forze aggiuntive per spiegare le orbite non circolari e le variazioni di latitudine, fenomeni che la sola attrazione solare non può giustificare.

12.3 Gli assiomi del moto planetario

Keplero enuncia sei assiomi fondamentali (7996–8010), che costituiscono il nucleo teorico del suo ragionamento: 1. Inerzia locale: “Il corpo del pianeta è per natura inclinato alla quiete in ogni luogo in cui viene posto isolatamente” (8004). Questa affermazione anticipa il principio di inerzia, pur con una formulazione ancora legata all’idea aristotelica di “luogo naturale”. 2. Trasporto solare: “Il pianeta è trasportato da un luogo all’altro lungo la longitudine dello zodiaco dalla virtù che emana dal Sole” (8005). 3. Orbita circolare ideale: “Se la distanza del pianeta dal Sole non variasse, il suo percorso sarebbe circolare” (8006). Questo assioma riflette l’influenza del modello tolemaico, ma Keplero lo supera riconoscendo che le distanze variano. 4. Legge dei periodi: “Per un pianeta che permane in due distanze diverse dal Sole durante l’intera orbita, i tempi periodici saranno in proporzione doppia rispetto alle distanze o alle ampiezze dei cerchi” (8007). Questa è una formulazione embrionale della terza legge di Keplero (pubblicata nel 1619), qui applicata a orbite circolari. 5. Insufficienza della forza intrinseca: “La nuda e solitaria virtù residente nel corpo del pianeta non è sufficiente a trasportarlo da un luogo all’altro, poiché manca di piedi, ali o pinne con cui muoversi nell’aura eterea” (8008). Keplero rifiuta l’idea di una forza motrice autonoma nei pianeti, tipica della fisica aristotelica. 6. Origine delle variazioni di distanza: “L’avvicinamento e l’allontanamento del pianeta dal Sole derivano da una virtù propria del pianeta” (8009). Questo assioma sancisce la necessità di forze intrinseche per spiegare le eccentricità.

Gli assiomi sono presentati come “consoni con la natura e dimostrati finora” (8010), sottolineando il loro fondamento empirico e teorico.

12.4 Il modello geometrico: epicicli e eccentrici

Keplero passa a una dimostrazione geometrica per rappresentare le orbite planetarie, assumendo inizialmente un’orbita circolare eccentrica (8011–8013). Introduce un epiciclo (un cerchio minore il cui centro si muove su un cerchio maggiore) per spiegare le variazioni di distanza dal Sole (8014–8015). Il modello prevede che: - Il centro dell’epiciclo (oc) si muova lungo un cerchio concentrico al Sole (A). - Il pianeta (L, À) si muova sull’epiciclo, generando distanze variabili dal Sole (OCL, OCÀ) equivalenti a quelle misurate sull’eccentrico (AD, AE).

Tuttavia, Keplero identifica due problemi fondamentali (8020–8025): 1. Conflitto con l’assioma 5: Se il pianeta si muovesse sull’epiciclo “per forza insita”, violerebbe il principio che la sua virtù intrinseca non è sufficiente a generare moto autonomo. 2. Assurdità cinematiche: Il modello richiederebbe che il centro dell’epiciclo (N) si muova con la stessa velocità angolare del pianeta (D) intorno al centro dell’eccentrico (B), ma con intensità variabile in base alla distanza del pianeta dal Sole. Questo implicherebbe che “il centro dell’epiciclo, pur rimanendo alla stessa distanza [dal Sole], si muoverebbe lentamente o velocemente a seconda che il pianeta sia più lontano o più vicino al Sole” (8025), un paradosso fisico.

12.5 Critica al modello tradizionale e prospettive

Keplero respinge il modello basato su epicicli mossi da forze intrinseche (8027–8028), definendolo fonte di “assurdità” (8028). La sua analisi evidenzia come le orbite planetarie non possano essere spiegate né dalla sola virtù solare (troppo semplice) né da forze intrinseche autonome (insufficienti). La soluzione richiederà l’introduzione di una forza magnetica (sviluppata nelle opere successive, come l’Astronomia Nova) e l’abbandono delle orbite circolari in favore delle ellissi.

12.6 Significato storico e scientifico

Il testo rappresenta una transizione cruciale tra la cosmologia antica e la meccanica celeste moderna: - Superamento del modello tolemaico: Keplero rifiuta gli epicicli come entità fisiche, pur usandoli come strumenti geometrici provvisori. - Dualismo forze esterne/intrinseche: Anticipa la distinzione tra forze centrali (gravità) e moti inerziali, pur senza una formulazione matematica definitiva. - Empirismo e geometria: Combina osservazioni (come le variazioni di distanza di Marte) con dimostrazioni geometriche, un metodo che porterà alle leggi dei moti planetari. - Critica all’aristotelismo: Respinge l’idea di moti “naturali” circolari e introduce il concetto di forza come causa del moto, avvicinandosi alla dinamica newtoniana.

Il passaggio è anche una testimonianza della crisi del modello geocentrico: Keplero cerca una spiegazione fisica per i moti celesti, non più basata su sfere cristalline o motori intelligenti, ma su forze misurabili e leggi matematiche. La sua insistenza sulle “virtù proprie dei pianeti” (8009) prelude alla scoperta che queste forze sono di natura magnetica (come ipotizzato nell’Astronomia Nova), un’intuizione che influenzerà Newton nella formulazione della gravitazione universale.

13 Il moto di Marte e la critica ai modelli astronomici tradizionali

Un’analisi delle contraddizioni tra geometria celeste e principi fisici nel trattato kepleriano.

Il testo affronta la complessità del moto di Marte, mettendo in luce le tensioni tra i modelli geometrici ereditati dalla tradizione tolemaica e le esigenze di una spiegazione fisicamente coerente. L’autore, pur riconoscendo la maggiore velocità della “virtù motrice” che trasporta i pianeti rispetto ai corpi celesti stessi (“et quamvis virtus Planetas vehens celerior est omnibus omnino Planetis”, 8036), respinge le soluzioni basate su ipotesi puramente immaginative, come l’idea di un raggio solare (“unus virtutis ex Sole radius AN”, 8037) che funga da guida per il moto planetario. Tale modello, seppur geometricamente plausibile, viene giudicato assurdo (“Absurda”, 8034) perché richiederebbe al pianeta una capacità di calcolo e adattamento dinamico incompatibile con una spiegazione naturale: “Planetam vero deberemus ponere sese evolventem ex hoc imaginario radio AN in partes contrarias temporibus aequalibus inaequaliter” (8038).

La critica si estende anche al concetto di epiciclo e di centro eccentrico, ritenuti artificiosi. L’autore sottolinea come sia “absurdissimum” (8046) attribuire a un pianeta la capacità di immaginare un centro privo di un corpo fisico di riferimento (“in quo centro nullum peculiare corpus pro nota insit”, 8046). Anche l’ipotesi che il pianeta possa regolare le proprie distanze dal Sole basandosi su una memoria delle posizioni (“depromeret ex memoria […] tanquam ex tabulis Prutenicis aut Alphonsinis”, 8051) viene respinta come inconciliabile con i principi aristotelici, secondo cui “infiniti nulla sit scientia” (8052). La soluzione proposta abbandona i modelli circolari perfetti in favore di un moto libratorio lungo il diametro di un ipotetico epiciclo (“iter libratorium in diametro […] Solem tendente”, 8054-8055), ma anche questa ipotesi solleva problemi di misurazione.

La ricerca di una “mensura” (8056) per determinare le distanze del pianeta dal Sole rivela ulteriori contraddizioni. L’autore esclude che tale misura possa derivare dal tempo trascorso, dagli archi percorsi sull’eccentrico o dagli angoli formati rispetto al Sole (“neque tempus est, neque spacium eccentrici confectum, neque angulus ad Solem”, 8069), poiché queste grandezze non si correlano linearmente con le variazioni di distanza osservate. Ad esempio, a archi uguali dell’eccentrico (“aequalibus partibus eccentrici CD, DE, EF”, 8060-8062) corrispondono discese disuguali lungo il diametro (“inaequales descensus Planetae in diametro”, 8063), con un andamento non intuitivo: “non supremi sint minimi, imi maximi, sed ut medii sint maximi” (8063). Questa complessità rende impossibile stabilire una proporzionalità diretta tra le grandezze in gioco (“haec eadem causa impedit, quo minus […] proportionentur”, 8065).

Il testo si conclude con un rifiuto definitivo delle spiegazioni basate su epicicli reali o immaginari (“Nec ex epicycli […] imaginato”, 8074), lasciando aperta la questione su come il pianeta possa “comprehendat suam a Sole distantiam” (8076). La soluzione, anticipata come oggetto di trattazione successiva (“Infra capite L vn aperietur”, 8075), sembra implicare una revisione radicale dei fondamenti astronomici, in cui la geometria cede il passo a una fisica dei moti ancora da definire. L’insistenza sul termine “absurdum” (8034, 8046, 8052) e la ripetuta negazione di ipotesi (“non posse”, 8050; “neque […] neque”, 8069) riflettono una fase di crisi concettuale, in cui le certezze tradizionali vengono smantellate senza che emerga ancora un paradigma alternativo pienamente coerente.

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14 L’ipotesi della mente planetaria e la misurazione del moto celeste

Un trattato che intreccia meccanica celeste, metafisica e osservazione empirica, dove Keplero difende l’idea di una “mente” nei pianeti per spiegare le loro orbite irregolari.

Il testo affronta la questione della misurazione del moto planetario, partendo dall’assunto che le orbite non siano perfettamente circolari (“iter Planetae non esse circulum”, 8083). Keplero riconosce la difficoltà di conciliare le osservazioni con le teorie tradizionali, ammettendo che, in mancanza di spiegazioni migliori, si debba accettare provvisoriamente l’ipotesi corrente (“in penuria melioris sententiae, in praesens nobis est acquiescendum in hac”, 8082). Tuttavia, sottolinea come questa soluzione sia insoddisfacente per i suoi numerosi absurda (8083), anticipando che un fisico futuro potrebbe accoglierla solo se confermata da dati empirici.

Il nucleo del ragionamento ruota attorno alla librazione planetaria (un’oscillazione periodica nella distanza dal Sole) e alla necessità di determinarne non solo l’ampiezza, ma anche il meccanismo che la regola. Keplero critica l’idea che i pianeti possano misurare autonomamente la propria distanza dal Sole, paragonandoli a marinai che, in assenza di punti di riferimento, non possono stimare lo spazio percorso (“Planetae mens locum seu spacium versus Solem confectum metiri se ipsa non potest”, 8091). Propone tre alternative, tutte problematiche: 1. L’uso del tempo e di una forza costante, già confutato in precedenza. 2. Un meccanismo corporeo (come ruote o pinne), ritenuto ridicolo (“ridiculum”, 8091) per corpi celesti sferici come i pianeti. 3. L’osservazione di segni variabili nella distanza dal Sole, tra cui l’unica opzione plausibile è la diametro apparente del Sole (“praeter unicam Solis diametrum apparentem”, 8091).

Qui emerge l’ipotesi più audace: Keplero suggerisce che i pianeti siano dotati di una mente (“mens Planetae”, 8086) capace di percepire la variazione della dimensione angolare del Sole e regolare di conseguenza la propria distanza. Questa “mente” non agirebbe come un’intelligenza astratta, ma come un principio attivo che risponde a stimoli fisici, analogamente a come gli esseri umani stimano la distanza del Sole in base alla sua dimensione apparente (“Sic nos homines scimus Solem a nobis abesse 229 suis diametris, quando ejus diameter habet 30 minuta”, 8092). L’idea non è del tutto assurda per Keplero, purché si ammetta che la virtù motrice dei pianeti non sia puramente materiale (come una forza magnetica) né animale, ma guidata da una facoltà superiore (“gubernari a Planetae mente”, 8093).

Il testo approfondisce poi il rapporto tra i pianeti e il Sole, evidenziando come le latitudini planetarie (deviazioni dall’eclittica) dimostrino che i corpi celesti “osservano” costantemente il Sole (“testantur et latitudines”, 8094). Se così non fosse, le loro orbite apparirebbero come cerchi minori paralleli all’eclittica, mentre invece descrivono cerchi massimi che intersecano l’eclittica in punti opposti al Sole (“describunt omnes Planetae maximos circulos, qui eclipticam in locis ex Sole oppositis secant”, 8096). Questo conferma che la diametro libratoria (l’asse di oscillazione) è sempre orientata verso il Sole (“diameter libratoria versus Solem ipsum tendit”, 8101), rafforzando l’idea di una relazione dinamica tra i pianeti e la stella.

Keplero affronta poi l’obiezione sulla piccolezza del diametro solare come strumento di misura, notando che la sua variazione è comunque rilevabile in tutti i pianeti (“in nullo Planetarum penitus evanescere”, 8104). Fornisce dati precisi: sulla Terra il diametro solare è di 30 minuti d’arco, su Marte 20, su Giove 7, su Saturno 3, su Venere 40 e su Mercurio fino a 120 (“in Mercurio plane octoginta, et usque ad centum et viginti”, 8105). La limitazione non è nella natura del fenomeno, ma nella grossolanità dei sensi umani (“sensuum humanorum inepta crassitie”, 8106), incapaci di percepire variazioni così sottili. Keplero ricorda che lo stesso piccolo corpo solare è sufficiente a illuminare il mondo (“De illuminatione mundi a tantillo corpusculo sciunt omnes”, 8108) e a muovere i pianeti (“aptum tamen est […] ad movenda in circulum tam remota corpora”, 8107), suggerendo che le facoltà percettive dei pianeti siano proporzionalmente più acute delle nostre.

L’ultima parte del testo si interroga sulla natura di queste facoltà percettive. Keplero respinge l’idea di attribuire ai pianeti occhi fisici (“An ergo binos singulis Planetis tribues oculos, KEPLERE? Nequaquam”, 8110), così come non è necessario dotarli di piedi o ali per muoversi (“Neque enim ut moveri possint, pedes ipsis atque alae sunt tribuendae”, 8112). La sua riflessione si estende a fenomeni terrestri, come l’influenza degli aspetti astrologici (configurazioni planetarie) sulle facoltà animali e umane (“quibus oculis astrorum loca in zodiaco speculentur facultates animales corporum sublunarium”, 8116). Citando persino la propria nascita sotto una particolare configurazione di Saturno e Giove (“Mater mea loca siderum […] ut sciret se natam in configuratione Saturni”, 8117), Keplero suggerisce che esista una sensibilità innata negli esseri viventi verso i corpi celesti, benché non mediata da organi fisici.

Il testo si chiude con un elenco di possibili obiezioni alla sua teoria (8119-8127), tra cui la debolezza dei sensi solari (“Exilitas”, 8121) e i limiti degli strumenti percettivi (“Defectus instrumentorum sensualium”, 8123), ma anche con l’affermazione che la natura possiede tesori ancora inesplorati (“Neque exhausit nostra speculatio omnes naturae thesauros”, 8114). L’ipotesi della mente planetaria, per quanto bizzarra, si inserisce in una visione più ampia: quella di un universo animato e interconnesso, dove le leggi fisiche si intrecciano con principi metafisici, e dove la matematica celeste deve fare i conti con l’imperfezione delle osservazioni umane.

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15 L’innovazione kepleriana nel calcolo delle aree come misura del moto planetario

Un passaggio rivoluzionario dalla geometria classica alla dinamica celeste, dove le aree sostituiscono gli archi nel determinare le anomalie planetarie.

Il testo presenta un metodo geometrico sviluppato da Keplero per calcolare le anomalie planetarie – in particolare quelle di Marte – attraverso l’uso delle aree anziché degli archi, segnando una rottura con la tradizione tolemaica e archimedea. L’analisi si concentra su due concetti chiave: la sostituzione degli archi con le aree come misura del tempo e del moto, e la critica all’approssimazione archimedea nella suddivisione del cerchio.

15.1 La sostituzione degli archi con le aree

Keplero introduce un cambio di paradigma: invece di dividere la circonferenza in 360 parti (come nella tradizione), propone di suddividere il piano dell’eccentrico in altrettante sezioni, tracciate da raggi partenti dal punto di calcolo dell’eccentricità (8171). Questo approccio si basa su una proprietà geometrica fondamentale: - I triangoli con la stessa altezza sono proporzionali alle loro basi (8183). Poiché i settori circolari minimi (come CG, GH) possono essere approssimati a triangoli rettilinei, Keplero deduce che l’area di un settore è proporzionale al suo arco (8185-8186). Da qui, la conclusione cruciale: > “Quare nihil peccatur, si pro arcubus, areae in hunc modum tractentur” (8187). Le aree possono quindi sostituire gli archi nel calcolo delle anomalie, semplificando la misura delle distanze planetarie e dei tempi di percorrenza.

Il ragionamento si estende alle distanze dal Sole (A) e dal centro dell’eccentrico (B): poiché entrambe le famiglie di raggi (da A e da B) riempiono lo stesso semicerchio, Keplero ipotizza che l’area descritta da un raggio mobile (ad esempio CAH) possa rappresentare la somma delle infinite distanze percorse dal pianeta lungo un arco (8188-8189). Questa intuizione anticipa la seconda legge di Keplero (le aree descritte dai raggi vettori sono proporzionali ai tempi), anche se qui è ancora legata a un modello eccentrico e non ellittico.

15.2 La relazione tra aree e anomalie

Keplero definisce tre tipi di anomalie: 1. Anomalia eccentrica (CBG): misurata dall’angolo al centro B, con l’area CGB come sua misura (8193). 2. Anomalia media (CAG): proporzionale al tempo, rappresentata dall’area CGA (8192). 3. Anomalia coequata (GAC): risultante dalla correzione ottica e fisica.

Il triangolo BGA assume un ruolo centrale: la sua area rappresenta la differenza tra anomalia media e eccentrica (8194-8195), mentre l’angolo BGA è la parte ottica dell’equazione (8193). Keplero dimostra che la conoscenza di questo triangolo fornisce entrambe le componenti dell’equazione (8196), unificando così due aspetti precedentemente trattati separatamente.

15.3 Critica all’approssimazione e verifica empirica

Nonostante l’eleganza del metodo, Keplero riconosce un errore sistematico nell’argomentazione iniziale (8270-8271). L’approssimazione archimedea, che suddivide il cerchio in triangoli rettangoli con vertice al centro, non è valida per triangoli con vertice sulla circonferenza (come A), perché i raggi tagliano obliquamente la circonferenza (8271). Per verificarlo, Keplero somma le distanze AC, AG, AH per ogni grado dell’angolo CBG e ottiene un totale maggiore di 000.000 (8275), mentre la somma delle distanze da B (raggio fisso) dovrebbe dare esattamente quel valore. La discrepanza dimostra che: > “distantiae ab A […] collectae in unam summam, esse minores quam 36000000” (8282-8283). Questo errore, seppur piccolo, è significativo per Marte a causa della sua elevata eccentricità (8214), mentre per la Terra (o il Sole) è trascurabile (8209).

15.4 Calcolo pratico delle aree

Per quantificare l’errore, Keplero propone un metodo geometrico basato su triangoli equivalenti (8219-8234). Utilizzando il teorema di Euclide (8237), calcola l’area del triangolo rettangolo BEA (con BE = raggio = 000) per un’anomalia eccentrica di 90°: > “area trianguli BEA per XLII primi EVCLIDIS se. 90000000” (8238). Confrontando questa area con quella del cerchio (31.415.926.536, secondo i calcoli di Adriaan van Roomen), deduce che essa corrisponde a 1° 1’ 53” di anomalia media (8240-8246). Questo valore coincide con l’angolo BEA (8247-8252), dimostrando che per un’anomalia di 90° le due parti dell’equazione (ottica e fisica) sono uguali.

Per anomalie diverse, Keplero suggerisce di usare la proporzione: > “ut EB altitudo […] ad HL vel GM altitudines caeterorum […] ita 3713” ad areas reliquorum triangulorum” (8254). Moltiplicando 3713” per il seno dell’angolo all’eccentrico e scartando le ultime cinque cifre, si ottengono i secondi di equazione fisica (8255). Ad esempio, per un angolo di 45° 43’ 46”, l’area corrisponde a 44’ 19” (8260-8261), con una differenza massima di 33” rispetto alla parte ottica (8262).

15.5 Conclusione: limiti e validità del metodo

Keplero riconosce che l’errore introdotto dalla sostituzione degli archi con le aree è trascurabile per orbite poco eccentriche (come quella terrestre), ma rilevante per Marte (8214-8215). Tuttavia, il metodo rimane valido se applicato a un’orbita ellittica (8284), anticipando la soluzione definitiva delle Astronomia Nova. Il testo si chiude con un problema geometrico aperto: la quadratura dello spazio tra una concoide e la sua base (8285), a testimonianza della continua ricerca di precisione matematica.

Le misure chiave citate includono: - Raggio dell’eccentrico: 000 unità. - Area del cerchio: 415.926.536 (per raggio = 000). - Area del triangolo BEA (90°): 000.000 → 1° 1’ 53” di anomalia. - Differenza massima tra parti dell’equazione: 33” (per Marte).

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16 La revisione kepleriana dell’orbita marziana: tra misurazioni e critica al modello circolare

Un’analisi meticolosa che smantella le certezze tolemaiche e prepara il terreno per la scoperta delle orbite ellittiche.

Il testo presenta una fase cruciale delle indagini di Johannes Kepler sull’orbita di Marte, dove l’astronomo tedesco mette in discussione il modello circolare tradizionale attraverso una serie di calcoli e osservazioni empiriche. Il nucleo concettuale ruota attorno alla determinazione dell’eccentricità e della posizione dell’afelio, con una critica serrata ai metodi precedenti.

16.1 La fallacia del modello circolare

Kepler parte da una constatazione radicale: “jam vidisti lector, de novo nobis incipiendum esse” (8451), riconoscendo che le tre posizioni eccentriche di Marte e le relative distanze dal Sole, ricondotte forzatamente a un cerchio, contraddicono la posizione dell’afelio precedentemente stabilita. La frase chiave “unde nobis suspicio orta, viam Planetae non esse circulum” (8451) segnala il passaggio epocale: l’orbita non è un cerchio. Questa presa di coscienza emerge dall’analisi dei dati, dove ogni tentativo di adattare le osservazioni a un modello circolare produce risultati incoerenti (“quotiescunque pro una vel pluribus usurpatarum distantiarum […] aliam adhibueris […] toties omnia ista prodeunt aliter”, 8439-8443). La critica si estende ai metodi precedenti, definiti “vitiosa” (8439), poiché basati su assunzioni errate.

16.2 Dati osservativi e calcoli

Il testo riporta una sequenza di misurazioni precise, fondamentali per la revisione del modello: - Angoli e distanze: L’angolo 1)OC (8425) viene utilizzato per calcolare l’eccentricità, che risulta essere 9768 (8435) in unità dove il raggio YJ”Y è 000. Tuttavia, nel capitolo successivo (8444-8445), Kepler corregge questo valore a 9264, con un rapporto orbitale di a 640. - Posizione dell’afelio: Nel 1590 (“Anno MDXC”, 8446), l’afelio di Marte è fissato a 28° 53’ del Leone (8448), con una conferma a ±11’ nel capitolo seguente (8450). Questa precisione è cruciale per la successiva scoperta delle leggi del moto planetario. - Osservazioni chiave: Vengono elencate tre osservazioni di Marte in prossimità dell’afelio e del perielio (8455-8468), con dati di longitudine, latitudine e ora. Ad esempio: - 1585, 17 febbraio, h. 10: Marte a 15° 12’ 30” del Cancro, con latitudine boreale di 4° 16’ (8457-8458). - 1586, 27 dicembre, h. 4: Marte a 29° 42’ 30” del Leone, latitudine 2° 46’ 3/5’ (8460-8462).

16.3 Metodologia e gerarchia concettuale

Kepler adotta un approccio empirico-deduttivo: 1. Critica al metodo precedente: Le distanze calcolate con il modello circolare sono inaffidabili (“reliquae disci non poterunt”, 8452), quindi ogni posizione deve essere derivata da osservazioni indipendenti (“ex suis propriis observationibus”, 8453). 2. Focus su afelio e perielio: Questi punti sono prioritari perché la loro comparazione rivela l’eccentricità genuina (“ex quarum comparatione de genuina eccentricitate discimus”, 8453). 3. Rappresentazione geometrica: La figura descritta (8454) mostra il centro del mondo (cx), la linea degli apsidi (cx~), l’eccentrico (~&), l’afelio (~) e il perielio (&), un modello che anticipa la futura ellisse.

16.4 Significato storico

Il testo testimonia il passaggio dalla cosmologia tolemaica a quella kepleriana, segnando: - L’abbandono del dogma circolare, che dominava l’astronomia da Aristotele a Copernico. - L’introduzione di un metodo basato su dati osservativi ripetibili, con correzioni continue (es. l’eccentricità passa da 9768 a 9264). - La preparazione delle leggi del moto planetario: la seconda legge (aree uguali in tempi uguali) e la prima (orbite ellittiche) affondano le radici in queste analisi.

Le ambiguità residue (come la discrepanza tra i valori di eccentricità) riflettono la natura iterativa della ricerca scientifica, dove ogni correzione avvicina alla verità.

17 Osservazioni astronomiche di Marte tra il 1588 e il 1600: metodi, dati e incertezze

Un resoconto delle misurazioni di posizione di Marte, con particolare attenzione alle declinazioni, latitudini e ascensioni rette, evidenziando le difficoltà osservative e le correzioni per refrazione e parallasse.

Il testo riporta una serie di osservazioni astronomiche di Marte condotte tra il 1588 e il 1600, con dettagli sulle coordinate celesti (declinazione, latitudine, ascensione retta) e sulle incertezze legate alle misurazioni. Le annotazioni seguono un formato tecnico tipico dell’astronomia pre-telescopica, basato su strumenti come quadranti e astrolabi, e riflettono le sfide metodologiche dell’epoca.

17.1 Dati osservativi e coordinate

Le prime osservazioni risalgono al 10 novembre 1588 (“Anno MDLXXXVIII D. X Novemb.”), quando Marte fu misurato “mane hora VI M. XXX” (alle 6:30 del mattino). Le coordinate riportate includono: - Declinazione boreale: “Declinatio Martis Borea 3° 16 %‘“ (3° 16′ e frazioni, dove ”%“ indica probabilmente un sottomultiplo non standard). - Longitudine eclittica: ”in 25° t 20°1 31’ n1’” (25° con ulteriori specifiche, forse riferite a un sistema di riferimento zodiacale o a una correzione). - Latitudine: “lat. l° 36’ 45” B.” (1° 36′ 45″ boreale).

Il 5 dicembre 1588 (“D. V Decembris”), alle 6 del mattino, le misure mostrano una variazione: - Latitudine: “1° 46’ 43””, con Marte in “Cor ~ 45°” (probabilmente una longitudine eclittica di 45°) e declinazione australe di “2° 5’”.

Un’osservazione chiave è quella del 6 ottobre 1590 (“Anno MDXC D. VI Octobris”), alle 4:45 del mattino, dove Marte fu localizzato “in altitudine 12 %° graduum a cauda Leonis et corde Hydrae” (a 12° e frazioni dalla coda del Leone e dal cuore dell’Idra). Qui emerge un problema metodologico: “quod neutra Fixarum a Marte in longitudinem recta porrigeretur” (nessuna delle stelle fisse si trovava in linea retta con Marte in longitudine), causando una discrepanza di “6’ minutis” nelle ascensioni rette calcolate. L’autore attribuisce l’errore a una possibile imprecisione nella declinazione misurata, suggerendo che la distanza da “cauda ~” (coda del Leone) fosse più affidabile per determinare la latitudine di Marte, data la sua deviazione laterale (“distantia omni in latum abeunte”).

Le coordinate finali per questa osservazione, dopo correzioni, sono: - Ascensione retta: “168° 56 %‘“. - Longitudine eclittica: ”17° 16 %’ 1l1’” (dove “1l1’” potrebbe indicare minuti e secondi). - Latitudine: “1° 16 %’ Borea”.

17.2 Correzioni per refrazione e parallasse

Il testo affronta esplicitamente l’effetto della refrazione atmosferica, che altera la posizione apparente degli astri. Viene citata una “Fixarum tabella refractionis” (tabella di refrazione per le stelle fisse) che, per l’altitudine osservata, indica una correzione di “4’ minuta”. Tuttavia, si nota che la refrazione solare è maggiore (“Solis refractio majorem exhibet”), suggerendo di aggiungere “circiter 3 minutis aut […] plusculis” (circa 3 minuti o più) alla longitudine di Marte per compensare lo spostamento apparente verso est (“in consequentia”).

La parallasse è menzionata come trascurabile (“Parallaxis exigua admodum fuit”), concludendo che “parum igitur detraxit refractionibus” (ha sottratto poco alle correzioni per refrazione). La posizione finale corretta per il 6 ottobre 1590 è quindi “17° 20’ nv.” (dove “nv.” potrebbe indicare una correzione applicata).

17.3 Osservazioni successive e coerenza dei dati

Le ultime annotazioni risalgono al 1600, con due misurazioni: 1. 10 marzo 1600 (“Anno MDC x~ Martii hora VIII % post merid.”): Marte in “29° 12 % §.” (longitudine) con latitudine “3° 23’ Bor.”. 2. 11 marzo 1600, stessa ora: Marte in “29° 18’ §.”, senza variazioni significative di latitudine.

Un passaggio critico è la nota “Non sunt autem hae observationes confirmatae per Fixas sequentes” (Queste osservazioni non sono state confermate dalle stelle fisse successive), che sottolinea la mancanza di verifica indipendente per alcune misure. Questo limite era comune nell’astronomia pre-kepleriana, dove la precisione dipendeva dalla ripetibilità delle osservazioni e dalla stabilità dei punti di riferimento (le stelle fisse).

17.4 Termini e notazioni peculiari

• Simboli e abbreviazioni:
  • “~” e “§.” sembrano indicare gradi o frazioni di grado in un sistema non standard.
  • “%” e “l°” sono usati per minuti e secondi in modo non convenzionale (es. “16 %’” per 16 minuti e frazioni).
  • “Borea” e “Austrina” distinguono declinazioni/latitudini boreali e australi.
• Sistemi di riferimento:
  • Le coordinate sono espresse in longitudine eclittica (riferita allo zodiaco) e latitudine eclittica, oltre che in declinazione (distanza dall’equatore celeste).
  • L’ascensione retta è calcolata indirettamente tramite declinazione e posizione rispetto alle stelle fisse.

17.5 Contesto storico e significato

Queste osservazioni rientrano nel lavoro di Tycho Brahe (o dei suoi collaboratori), che tra il XVI e XVII secolo raccolse dati estremamente precisi per l’epoca, fondamentali per le leggi di Keplero. Il testo riflette: 1. L’importanza delle stelle fisse come riferimento per calibrare le misure planetarie. 2. Le difficoltà tecniche legate alla refrazione e alla parallasse, ancora non pienamente comprese. 3. L’approccio empirico che combinava osservazioni ripetute con correzioni teoriche, anticipando il metodo scientifico moderno.

L’assenza di conferma tramite stelle fisse (“Fixas sequentes”) evidenzia un limite metodologico, ma anche la trasparenza con cui venivano registrate le incertezze, un tratto distintivo della scienza rinascimentale.

18 Il metodo di Keplero per la determinazione dell’orbita marziana: osservazioni, riduzioni e geometria orbitale

Un resoconto delle osservazioni di Marte tra il 1585 e il 1600, con la procedura di riduzione dei dati e la costruzione geometrica dell’eccentricità orbitale.

Il testo presenta una sezione del Astronomia Nova (1609) di Johannes Kepler, focalizzata sulla determinazione dell’orbita di Marte attraverso osservazioni dirette e calcoli geometrici. Le frasi (8514)-(8530) riportano una sequenza di dati osservativi raccolti tra il 1585 e il 1600, con coordinate eclittiche, orari e posizioni del pianeta rispetto al Sole. Le misure sono espresse in un sistema misto di gradi (°), minuti (‘) e secondi (’’), con riferimenti a latitudini boreali (“19%’ Bor.”, 8516) e longitudini eclittiche. Ad esempio, l’osservazione del 17 febbraio 1585 (8520) registra un orario di “H. p. m. lO” (ore 10 post meridiem) e coordinate “° 12.3° Q 22.37” (8522), dove “Q” indica probabilmente la distanza angolare dal Sole.

La riduzione dei dati (8531-8550) è il passaggio cruciale per correggere le osservazioni grezze e renderle confrontabili. Kepler nota che nel 1587 (8532) il moto diurno di Marte era in decremento, come evidenziato sia dalle tavole di Magini sia dalle osservazioni dirette. Elenca quindi una serie di valori diurni (in minuti d’arco) decrescenti: “17, 16, 16, 16, 15, 15, 14, 14, 13, 13, 13, 12, 12” (8532-8544), utilizzati per interpolare le posizioni. Per il 1588, rileva discrepanze tra le osservazioni e le tavole di Magini: “D. X Novemb. observatio minus habet meridiano MAGINI loco 39’ minutis” (8546), mentre il 5 dicembre la differenza è di “33’” (8547). Propone quindi un valore intermedio di “36’” (8549) per la correzione. L’osservazione del 1590 è invece scartata perché “deserta est observatio, et per se male habita” (8550), sebbene Magini riporti un moto diurno costante di “3 i minutorum” (3 minuti e 10 secondi).

La parte conclusiva (8551-8560) introduce il metodo geometrico per determinare l’eccentricità dell’orbita marziana. Kepler afferma di voler seguire un approccio “commodissimus” (8553), nonostante abbia già descritto altri metodi. La costruzione si basa su un diagramma in cui: - La Terra è posizionata in punti a, e, x, À, y (8554-8556), con a.y a sinistra e E.x.À a destra dell’eccentrico. - Sono date le linee oca, OCE, OCX, ocÀ, ocy e gli angoli OCaL, OCEL, OCXL (8558-8560), dove “O” rappresenta probabilmente il centro dell’orbita o il Sole.

Il testo testimonia il passaggio dall’astronomia tolemaica a quella eliocentrica: Kepler non si limita a registrare posizioni, ma cerca di modellare fisicamente l’orbita, introducendo il concetto di moto non uniforme (evidenziato dalla variazione dei moti diurni) e la necessità di correggere le osservazioni per effetti prospettici. Le discrepanze con Magini (8546-8547) riflettono la transizione dalle tavole tradizionali a un approccio basato su dati empirici e geometria. La menzione di un’osservazione “male habita” (8550) sottolinea l’importanza della qualità dei dati, un principio metodologico innovativo per l’epoca.

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19 La correzione delle discrepanze orbitali nei calcoli kepleriani

Un’analisi tecnica delle variazioni angolari e delle compensazioni necessarie per allineare i dati osservativi con il modello eliocentrico.

Il testo presenta una discussione dettagliata sulle correzioni da apportare alle posizioni planetarie calcolate, con particolare attenzione alle discrepanze tra previsioni teoriche e osservazioni. Il nucleo del ragionamento ruota attorno alla necessità di adattare la distanza angolare di 140 unità (probabilmente gradi o una misura analoga) per ottenere una corrispondenza tra i punti orbitali designati come y e e:.

La frase (8617) “Certamente i cinque luoghi non avrebbero dovuto differire se non per quanto è la differenza della precessione degli equinozi” introduce il principio che le variazioni osservate nei punti orbitali devono essere proporzionali a fenomeni astronomici noti, come la precessione degli equinozi. Questo suggerisce che le discrepanze non sono casuali, ma legate a fattori sistemici.

Le istruzioni operative si concentrano sugli effetti di una riduzione o aumento della distanza di riferimento: - (8618) “Vedi però dallo schema che, se tutto il resto rimane invariato, assumendo una distanza più breve di 140, si giungerà a y ~” indica che una correzione verso valori inferiori sposta la posizione calcolata verso il punto y. - (8621) “in antecedenza, non tuttavia ovunque con uguale spazio” e (8624) “avrai giovato in y e:, al contrario se l’avrai prolungata” chiariscono che le modifiche non sono uniformi: accorciare la distanza avvantaggia i punti y e e:, mentre allungarla produce l’effetto opposto. - (8622) “Ma appena avrai fatto questo, avrai danneggiato in ~” e (8625) “Ma è coerente che questi piccoli errori siano distribuiti per tutti i luoghi” sottolineano un compromesso: ogni correzione locale introduce inevitabilmente discrepanze altrove, richiedendo una distribuzione equilibrata degli “errorcoli”.

La conclusione (8626) “Dunque nulla deve essere mutato nella distanza di 140, e il Pianeta è nei luoghi da ultimo elencati ai tempi prescritti” sancisce che, nonostante le tensioni tra i punti, la distanza di 140 unità rappresenta la soluzione ottimale per mantenere la coerenza complessiva del modello.

Il riferimento metodologico (8627-8628) “Se vuoi esplorare la concordanza, usa il metodo del cap. XXVIII” rimanda a una procedura standardizzata per verificare l’allineamento tra calcoli e osservazioni, mentre i dati numerici (8630-8633): - e: 74°58’36” - ~e:cx 68° forniscono valori angolari specifici per i punti e: e ~e:cx, probabilmente riferiti a longitudini eclittiche o posizioni orbitali.

Il testo testimonia un momento cruciale nella storia dell’astronomia: la transizione dai modelli geometrici puri (come quelli tolemaici) a quelli dinamici kepleriani, dove le discrepanze osservative non vengono più mascherate con epicicli, ma analizzate per affinare la comprensione delle orbite reali. La necessità di “distribuire gli errori” riflette l’approccio empirico di Keplero, che accetta l’imperfezione dei dati pur di preservare la coerenza del sistema eliocentrico.

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20 Osservazioni astronomiche di Marte tra il 1589 e il 1593: dati posizionali e discrepanze con i calcoli di Magini

Un resoconto di misurazioni celesti che rivela tensioni tra osservazioni dirette e modelli teorici dell’epoca.

Il testo riporta una serie di osservazioni astronomiche relative alla posizione di Marte, condotte tra il 1589 e il 1593, con particolare attenzione alle discrepanze tra i dati rilevati e i calcoli del matematico e astronomo Giovanni Antonio Magini. Le annotazioni includono coordinate eclittiche (longitudine e latitudine), orari precisi e confronti sistematici con le effemeridi maginiane, evidenziando errori progressivi nel modello di riferimento.

20.1 Dati osservativi e coordinate

Le misurazioni sono organizzate per data e ora, con indicazioni di longitudine eclittica (espressa in gradi, minuti e secondi) e latitudine rispetto al meridiano. Alcuni esempi chiave: - “(8664) - D. 6 Sept. H. 7 M. lO in 18°‘36’;” (2 settembre 1591, ore 7:10, longitudine 18°36’). - “(8670) - D. 31 Julii mane H. 1% in 17°.” (31 luglio 1593, ore 1:30, longitudine 17°). - “(8684) - H.6% P.M. 0°.59%’ .:6 19°·,13’.” (1 novembre 1589, ore 18:30, longitudine 19°13’ con ulteriori specifiche).

Le latitudini sono riportate con precisione, come “(8666) - °.49 1 15’ Merid.” (2°49’15” a sud del meridiano) o “(8680) - 6°. 18 5/6’ Merid.” (6°18’5/6” a sud). Questi dati suggeriscono un metodo osservativo rigoroso, basato su strumenti come quadranti o astrolabi, con una risoluzione al minuto d’arco.

20.2 Confronto con le effemeridi di Magini

Il nucleo del testo riguarda le discrepanze tra le osservazioni dirette e i calcoli di Magini, citato esplicitamente: - “(8689) - Anno MDXCI oportet nos uti confidentia, diurnos eosdem esse cum diurnis MAGINI. nam observatio solitaria est.” (“Nel 1591 dobbiamo fidarci che i moti giornalieri siano gli stessi di quelli di Magini, poiché l’osservazione è isolata”). Tuttavia, le misurazioni successive rivelano scostamenti significativi: - “(8695) - Circa stationem in 207 lO XVI veli XVII Julii promotior fuit in calculo per l°. 16’ circiter, quam apud MAGINVM.” (“Intorno alla stazione [retrograda] del 16 o 17 luglio, [Marte] era più avanzato nel calcolo di circa 1°16’ rispetto a Magini”). - “(8696) - Jam XXVI Sept. adhuc per 0°. 53’ est promotior.” (“Ancora il 26 settembre, era più avanzato di 0°53’”). - “(8698) - Diebus itaque LXX deminuta est differentia circiter 3 minutis.” (“In 70 giorni, la differenza si è ridotta di circa 2-3 minuti”).

La differenza cumulativa viene quantificata e analizzata: - “(8699) - Si etiam proportionaliter argumentemur, grandior erit XIX Sept. haec differentia circiter minutis.” (“Se argomentiamo proporzionalmente, questa differenza sarà maggiore il 19 settembre di circa 2 minuti”). - “(8700) - Credemus igitur, Martem ad nostram horam esse in 14°. 0’ .:6.” (“Riterremo quindi che Marte, alla nostra ora, sia a 14°2’0””).

20.3 Evoluzione delle discrepanze nel 1593

Per il 1593, le osservazioni mostrano un aumento progressivo dello scarto, con una tendenza alla riduzione della velocità di divergenza: - *“(8702) - Et cum XXX Julii locus Martis media nocte sequente discrepet a meridiano MAGINI per 3°. 5%” (“E poiché il 30 luglio la posizione di Marte, alla mezzanotte seguente, differisce dal meridiano di Magini di 3°2’5”). - ”(8703) - die vero X Augusti per 3°.59%‘, ita ut augeatur differentia, paulatim tamen minus atque minus” (“ma il 10 agosto [differisce] di 3°59’, così che la differenza aumenta, seppur sempre meno”). - ”(8704) - assumsi differentiam die VI Augusti 3 46’, ut sit 20 hora 1% mediae noctis sequentis in 16°. ’” (”ho assunto una differenza di 3°46’ il 6 agosto, così che alle 20:30 della mezzanotte seguente [Marte] sia a 16°52’“).

20.4 Significato storico e metodologico

Il testo testimonia: 1. L’affidamento critico ai modelli esistenti: L’autore inizialmente si appoggia ai calcoli di Magini (“oportet nos uti confidentia”), ma le osservazioni ripetute lo costringono a correggere il modello. 2. La precisione osservativa: Le misurazioni, con dettagli al minuto d’arco, riflettono l’uso di strumenti avanzati per l’epoca e una metodologia sistematica (osservazioni multiple, confronto con dati precedenti). 3. La sfida ai paradigmi astronomici: Le discrepanze evidenziano i limiti delle effemeridi geocentriche (come quelle di Magini, basate sul sistema tolemaico), anticipando la necessità di modelli più accurati, come quelli kepleriani. 4. Un approccio empirico: L’autore non forza i dati per adattarli al modello, ma registra le anomalie e cerca di quantificarle (“proportionaliter argumentemur”).

20.5 Termini e concetti chiave

• Longitudine eclittica: Posizione di Marte lungo l’eclittica, espressa in gradi e minuti.
• Latitudine meridionale: Distanza angolare dal piano dell’eclittica, con indicazione del verso (sud).
• Stazione retrograda: Momento in cui un pianeta appare fermo nel cielo prima di invertire il moto apparente (es. “circa stationem in 207 lO XVI veli XVII Julii”).
• Effemeridi: Tabelle con le posizioni previste dei corpi celesti (qui, quelle di Magini).
• **Differenza “promotior”: Scarto in avanti rispetto al calcolo teorico.

20.6 Ambiguità e notazioni peculiari

• Alcune annotazioni presentano simboli non standardizzati (es. “1%” per indicare 1 ora e 30 minuti, “2.0°.59%’” per 2°0’59”).
• La frase “(8681) - PARSQVARTACAPVT / XLII 279 Respondent autem tempora in hunc modum” suggerisce un riferimento a un capitolo o sezione di un’opera più ampia (forse “Pars Quarta, Caput XLII”), ma il contesto rimane parziale.
• L’uso di frazioni (es. “18 5/6’” per 18’5/6”) e notazioni decimali (es. “2.3 minutis”) riflette una transizione tra sistemi di misura.

Il testo rappresenta una testimonianza preziosa del lavoro astronomico tardo-rinascimentale, dove l’osservazione diretta inizia a mettere in discussione i modelli consolidati, ponendo le basi per la rivoluzione scientifica del XVII secolo.

21 Il moto retrogrado di Marte e le osservazioni di Tycho Brahe

Un’analisi tecnica delle discrepanze nel calcolo della posizione di Marte, con riferimenti alle condizioni osservative e ai dati geometrici del XVI secolo.

Il testo presenta una discussione dettagliata sul moto apparente di Marte, con particolare attenzione alle discrepanze tra le osservazioni e i calcoli teorici. L’autore (presumibilmente Keplero, data la menzione di Tycho Brahe) evidenzia come il pianeta superi il tempo previsto di ”8 ore e 30 minuti” (8707: “Superatur nostrum tempus horis VIII M. XXX”), attribuendo questa differenza a un moto retrogrado di circa ”4 minuti” (8708: “circiter 4 minuta de retrogrado motu”). La posizione calcolata per l’epoca è fissata a ”16° 56’ X” (8708), con un margine di errore dichiarato minimo: ”non oltre un minuto d’arco” (8710: “ultra unum scrupulum ultro citrove aberrare”).

Un elemento peculiare riguarda le difficoltà osservative. Marte non è stato rilevato ”spesso al perigeo” (8711: “Saepius in perigaeo non est observatus”), a causa di condizioni sfavorevoli. Nel 1595, ad esempio, il suo passaggio al perigeo coincise con ”la metà dell’estate, quando in Danimarca le crepuscoli durano tutta la notte” (8712: “Anno MDXCV incidit ejus in perigaeum adventus in mediam aestatem, crepusculis in Dania pernoctantibus”), rendendo impossibile l’osservazione. Nel 1597, invece, Tycho Brahe era in viaggio (8713: “Anno MDXCVII TYCHOBRAHE in itinere fuit”), ulteriore ostacolo alla raccolta dati. Nei mesi invernali, Marte ”si nasconde a lungo vicino al Sole” (8714: “Prope Solem vero in hyemali semicirculo diu latet”) a causa della sua velocità, paragonabile a quella solare.

La sezione geometrica (8715-8740) introduce un diagramma schematico (implicito in “Sit in schemate”) per calcolare la posizione eccentrica di Marte. Vengono elencati dati angolari precisi, come: - ”19° 13’ 56” l1t”** (8720-8722), - ”5° 47’ 3” - 23° 26’ 13” bl” (8724-8726), - ”20° 59’ 15” (l& 14° 18’ 30“)” (8727-8729).

Questi valori convergono in un calcolo finale che stima la longitudine di Marte in ”138400” (8741: “in longitudine 138400”), con una posizione risultante di ”29° 53’ 6” = 29° 59’ 10” = 54’ 36’“ (8743-8747). Tuttavia, emerge una discrepanza: se Marte fosse stato a ”55’ 20” in un punto“, avrebbe dovuto trovarsi a ”56’ 56” in un altro” e ”58’ in un terzo” (8748-8750), suggerendo un errore sistematico nei modelli dell’epoca.

Il testo testimonia lo sforzo di affinare i modelli planetari pre-kepleriani, combinando osservazioni dirette (o la loro mancanza) con calcoli geometrici. La precisione dichiarata (errore entro un minuto d’arco) riflette l’ambizione di Tycho Brahe e dei suoi successori di superare i limiti degli strumenti e delle condizioni osservative, preludio alle leggi di Keplero.

22 L’analisi kepleriana dell’orbita di Marte: calcoli, correzioni e ipotesi sulle apsidi

Un resoconto delle osservazioni e dei calcoli con cui Keplero corregge la longitudine del raggio orbitale di Marte e determina la posizione delle apsidi, confrontando dati empirici con ipotesi teoriche.

Il testo presenta una fase cruciale del lavoro di Keplero sulla determinazione dell’orbita di Marte, caratterizzata da un metodo iterativo di correzione basato su osservazioni astronomiche e schemi geometrici. L’autore parte da una discrepanza iniziale tra i dati osservati e quelli calcolati, attribuibile a un valore errato del raggio orbitale (“quod fit caeteris manentibus, quia cx& nimis brevem assumpsi”, 8754). La frase “tanta enim est praecessio aequinoctiorum” (8752) introduce un elemento fondamentale: la precessione degli equinozi, che influisce sulla misurazione delle posizioni celesti nel tempo.

22.1 Correzione della longitudine del raggio orbitale

Keplero modifica il valore iniziale del raggio (“si uno centenario longiorem faciam scilicet 138500”, 8755) e ricalcola le posizioni di Marte per tre punti distinti (indicati con i simboli cx&, fL, e t)). I risultati mostrano una convergenza migliorata ma ancora imperfetta: - “ex ~ 29°. 57’. 10”~“ (8756), - “ex fL 29°· 55’· 36”~“ (8757), - “ex”t) 29°· 58’. 17“~” (8758).

L’autore nota che le posizioni di cx& e fL sono ora “nimis propinqua invicem” (8761), suggerendo che l’errore si sia spostato dalla distanza alla vicinanza. La soluzione proposta è un valore intermedio: “verissima longitudo […] ipsius cx& erit 13843° circiter” (8762). Segue un calcolo di correzione basato sull’inclinazione del piano orbitale (“Inclinatur hic planum […] 1°. 48’”, 8763-8764) e sulla relazione tra raggio e secante (“secans abundat supra radium particulis 49”, 8765). La proporzione “Vt 100000 ad 13843°, sic haec 49 ad 68” (8766) porta alla conclusione: “correcta longitudo radii est quamproxime 13850°” (8767).

22.2 Determinazione delle apsidi

Keplero passa poi a localizzare le apsidi (punti di afelio e perielio) di Marte, confrontando tre osservazioni distanziate nel tempo: 1. 1589, 1 Novembre, h. 6:30 postmeridiane: “in 29°· 54’ 53” ~“ (8770). 2. 1591: “in 29°. 56’. 30’”~“ (8771-8772). 3. 1593: “in 29°. 58’. 6” ~“ (8773-8774).

L’ipotesi vicaria del Capitolo XVI (8775-8777) fornisce una posizione iniziale per il 1589 (“29°. 52’. 55” ~“), mentre un’osservazione precedente (1588, 22 Novembre, h. 9:02) colloca Marte in ”29°. 20’. 12” 61,“ (8779-8781). Il calcolo dell’intervallo temporale tra il 1588 e il 1589 (”dies CCCXLIV minus H. II M. LII ~“, 8784) rivela che esso ”paucis horis exuere medietatem temporis restitutorii” (8784-8785), cioè si avvicina alla metà del periodo orbitale di Marte (“integra revolutio […] dies DCLXXXVII minus H. ° M. XXVIII”, 8784).

La differenza angolare tra le posizioni del 1588 e del 1589 (“gradus 180°. 34’. 41”“, 8790-8792) viene corretta per la precessione (”subtracta praecessione 48“~”, 8792), ottenendo “180°. 33’ 53”“ (8794). Keplero deduce che, se “horis X M. VI ~” (8794) corrispondono a un moto diurno al perigeo, l’afelio deve trovarsi in “29 gr. 20 min. 12 sec. 61,” (8795-8798). Il riferimento finale (“Scimus autem diurnos Martis in eccentrico circa apogaeum et perigaeum, ex jam inventis distantiis, et ex demonstratis capitis XXXII”, 8800) collega i risultati alle distanze orbitali calcolate in precedenza, confermando la coerenza del modello.

22.3 Elementi peculiari e significato storico

• Precisione metrica: L’uso di gradi, minuti e secondi (es. “29°. 58’. 17”~“, 8758) e di frazioni di ora (”H. VI% postmerid.”, 8769) riflette lo standard astronomico del XVI-XVII secolo.
• Simboli e abbreviazioni: Notazioni come cx&, fL, e t) indicano punti specifici dell’orbita, mentre “~” e “61,” (8781) rappresentano unità di misura o correzioni minori.
• Metodo empirico-teorico: Keplero confronta osservazioni dirette (date precise, es. 1588-1593) con ipotesi geometriche (Capitolo XVI), tipico del suo approccio induttivo.
• Correzioni iterative: L’errore iniziale (“cx& nimis brevem assumpsi”, 8754) e la successiva rettifica (“correcta longitudo radii”, 8767) mostrano un processo di raffinamento progressivo, anticipatore del metodo scientifico moderno.
• Precessione degli equinozi: La sua menzione (8752) sottolinea la necessità di correggere i dati storici per variazioni secolari, un problema centrale nell’astronomia pre-newtoniana.

Il testo testimonia una fase intermedia delle ricerche di Keplero, dove la prima legge (orbite ellittiche) non è ancora formulata, ma emergono già le basi per superare il modello tolemaico. La tensione tra dati osservativi e modelli teorici è evidente, così come l’importanza attribuita alla precisione numerica come criterio di validità.

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23 La costruzione geometrica dell’orbita planetaria: tra ipotesi vicaria e ovale kepleriana

“Neque mihi difficile videbatur […] per minima circumcirca dissipare” (9066): l’eliminazione delle discrepanze residue attraverso l’approssimazione infinitesimale.

Il testo affronta il problema della descrizione geometrica dell’orbita planetaria, partendo dalle ipotesi esposte nel capitolo XLV del trattato. L’autore — con ogni probabilità Johannes Kepler nel Astronomia Nova (1609) — si confronta con la difficoltà di tradurre in una figura precisa il moto di un pianeta (Marte) che, secondo la teoria esposta, devia da un’orbita perfettamente circolare a causa di un epiciclo inclinato e di una forza motrice solare variabile. Il nucleo del ragionamento ruota attorno a tre concetti chiave:

1. L’ipotesi dell’epiciclo e la sua trasformazione in eccentrico fittizio La causa della deviazione dall’orbita circolare è attribuita all’epiciclo, la cui inclinazione varia con la longitudine (“epicyclus inclinatur pro longitudine distantiarum”, 9070). Tuttavia, poiché la somma delle distanze tra il pianeta e il Sole giace sul piano dell’eccentrico (“summa distantiarum inest in plano eccentri”, 9071), l’epiciclo deve essere “trasmutato” in un eccentrico fittizio per calcolare tali distanze. La costruzione geometrica proposta (9072) prevede:

   • Un cerchio concentrico di raggio pari alla distanza media Sole-pianeta (IX).
   • Un epiciclo di raggio IX~’ inscritto in esso.
   • Un eccentrico di centro ~ e raggio /)À, con eccentricità IX~’.
   • La suddivisione delle circonferenze (epiciclo ed eccentrico) in parti uguali, in modo che le distanze dai punti di divisione a un punto fisso IX siano identiche.

   Questa procedura, già dimostrata nei capitoli precedenti (II, XXXIX, XL), consente di sostituire l’epiciclo con un eccentrico equivalente per semplificare i calcoli, pur mantenendo l’ipotesi che il moto reale sia governato dall’epiciclo (“methodumque computandi distantias”, 9073).

2. La genesi dell’orbita ovale: tra approssimazione e realtà fisica L’autore introduce un semicerchio fittizio (9075-9078) per rappresentare le escursioni del pianeta dall’eccentrico, come se questo si muovesse su un cerchio perfetto (“semicirculus hic eccentricus est mere fictitius”, 9077). Tuttavia, la realtà fisica è più complessa:

   • Il pianeta non si muove con velocità costante rispetto al Sole: “promovetur vero a Sole aequalibus temporibus inaequaliter” (9079). La velocità è maggiore quando il pianeta è vicino al Sole (perielio) e minore quando è lontano (afelio), in accordo con la legge delle aree (cap. XXXII).
   • Di conseguenza, l’orbita non è un cerchio, ma una curva ovale (“Planetae iter esset […] ovalis”, 9098), che si discosta dal cerchio fittizio in modo asimmetrico: “ingreditur igitur Planeta ab instituta circuli amplitudine ad punctum IX centro ~ vicinum, nec unquam in circulum hunc incidit” (9089).

   La relazione tra tempo, distanza e arco percorso è cruciale: il pianeta impiega lo stesso tempo per coprire archi di lunghezza diversa a seconda della distanza dal Sole (“arcus itineris Planetarii […] sint in proportione distantiarum conversa”, 9094-9095). Questa proporzionalità inversa è alla base della seconda legge di Kepler (aree uguali in tempi uguali), qui ancora in forma embrionale.

3. Le aporie geometriche e il ricorso all’approssimazione numerica Il tentativo di descrivere geometricamente l’ovale si scontra con tre ostacoli principali (9100-9122):

   • L’inesattezza dell’equivalenza tra area del cerchio e somma delle distanze: l’area del cerchio non coincide perfettamente con la somma delle distanze dal Sole, come dimostrato nel cap. XL (“parvum admodum esse defectum”, 9101).
   • L’impossibilità di una proporzione geometrica esatta: mentre le singole distanze sono inversamente proporzionali agli archi percorsi, la somma di più distanze non mantiene la stessa proporzione con la somma degli archi (“proportio […] non est exquisite Geometrica”, 9102). L’esempio numerico (9105-9116) mostra come la media aritmetica (20) tra le distanze (12+11=23) e gli archi (8⅓+9¹⁄₁₁≈17.42) si avvicini alla media geometrica, ma senza coincidere perfettamente.
   • L’assenza di strumenti geometrici per risolvere il problema: non esiste un metodo per dividere un angolo in una proporzione data (“desideratur adhuc a Geometricis ratio, angulum datum in data proportione secandi”, 9119) o per costruire settori equivalenti in una figura non circolare (“nondum tamen idem est […] sector circuli et […] sector plani ovalis”, 9120).

   Di fronte a queste difficoltà, l’autore propone due approcci alternativi:

   • Un metodo numerico approssimato (9124-9139), basato sulla costruzione di settori equivalenti in un cerchio fittizio, che tuttavia richiede correzioni per la deviazione dell’ovale dalla circonferenza (“proxime quidem verum hoc est: sed tamen tria et hic desiderantur”, 9133).
   • Il ricorso all’ipotesi vicaria (cap. XVI), che utilizza un punto equante (D) per misurare il tempo in modo conforme alla tradizione tolemaica (“Haec est in hypothesi vicaria […] mensura temporis propria”, 9147-9148). Questa soluzione, pur essendo un artificio matematico, offre uno strumento pratico per i calcoli, anche se non risolve il problema geometrico in modo rigoroso.

   Il testo si chiude con una distinzione terminologica (9141-9142): il termine “sector” è impropriamente applicato a figure non circolari, sottolineando la tensione tra la precisione geometrica e la necessità di approssimazioni operative.

Significato storico e testimoniale Il brano documenta una fase cruciale della rivoluzione astronomica: il passaggio dal modello tolemaico (epicicli ed equanti) a una descrizione fisicamente fondata del moto planetario. Kepler, pur partendo da ipotesi tradizionali (l’epiciclo), le rielabora per derivare un’orbita non circolare, anticipando la prima legge (orbite ellittiche). L’ovale qui descritta non è ancora un’ellisse, ma ne condivide le proprietà qualitative: asimmetria, variazione di velocità e dipendenza dalla distanza dal Sole. Le difficoltà geometriche evidenziate riflettono i limiti degli strumenti matematici del tempo, che costringono Kepler a un compromesso tra rigore e praticità, preludio all’adozione definitiva delle coniche nei Principia newtoniani. Il testo testimonia inoltre il metodo kepleriano: un intreccio di speculazione teorica, calcolo numerico e verifica empirica, in cui l’errore e l’approssimazione sono parte integrante del processo scientifico.

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24 L’ovale planetaria di Keplero: tra geometria e fisica celeste

Un tentativo di descrivere le orbite planetarie come figure ovali, non ellittiche, fondato su una complessa interazione tra distanze, velocità e cause fisiche.

Il testo analizza la forma delle orbite planetarie, proponendo una figura ovale anziché ellittica come soluzione geometrica per rappresentare il moto dei pianeti. Keplero, attraverso una serie di argomentazioni geometriche e fisiche, dimostra come la distribuzione delle distanze e delle velocità lungo l’orbita generi una forma asimmetrica, simile a un uovo (“ovum enim duobus turbinatum verticibus, altero tamen obtusiori, altero acutiori”), con un lato più schiacciato e uno più allungato.

24.1 La costruzione dell’ovale e le sue peculiarità

Il nucleo del ragionamento ruota attorno alla distribuzione non uniforme delle distanze dal Sole. Keplero osserva che: - Le distanze maggiori (fino al 92% del raggio) superano in numero quelle minori (dal 3° al 87° e 30’), come dimostrato nel capitolo XXIX (9194). - Queste distanze lunghe, concentrate in un arco più stretto dell’eccentrico, si “stipano” verso l’alto, mentre quelle brevi si distribuiscono in uno spazio più ampio (9195). - Ne consegue che le distanze brevi vicino al perielio sono più distanziate tra loro rispetto a quelle lunghe vicino all’afelio, generando una asimmetria nella forma dell’orbita.

La frase chiave (9191) chiarisce la natura della figura: “vere esse ovalem, non ellipticam, cui Mechanici nomen ab ovo ex abusu collocant” (“è veramente ovale, non ellittica, alla quale i meccanici danno impropriamente il nome di ‘uovo’”). L’ovale, a differenza dell’ellisse, presenta due vertici asimmetrici e lati inclinati (9192), risultato delle variazioni di velocità del pianeta: più veloce al perielio (À), più lento all’afelio (o), con una transizione graduale tra i due estremi (9194).

24.2 Cause fisiche e ottiche: l’equazione planetaria

Keplero distingue due componenti nell’equazione planetaria (9212-9214): 1. Parte ottica: la parallasse dei punti dell’eccentrico, legata alla posizione apparente del pianeta. 2. Parte fisica: la “mora” (mora), ovvero il tempo impiegato dal pianeta per percorrere un tratto dell’orbita, che dipende dalla distanza dal Sole e dalla forza motrice (una prima intuizione della legge delle aree).

Il problema centrale è misurare l’area dell’ovale per determinare i tempi di percorrenza. Keplero riconosce che, sebbene l’area sia una buona approssimazione del tempo, la figura non è un’ellisse perfetta (9215, 9229), e la sua quadratura richiede strumenti geometrici avanzati. Invoca l’aiuto dei matematici (“appello Geometras”, 9222), citando Archimede (De Sphaeroidibus, 9223-9227) per il caso ellittico, ma sottolineando che l’ovale reale si discosta leggermente da esso (“parum enim differt”, 9229).

24.3 Significato storico e metodologico

Il testo testimonia una fase cruciale dell’astronomia kepleriana, in cui la ricerca di una descrizione matematica precisa delle orbite si scontra con i limiti degli strumenti geometrici disponibili. Due aspetti emergono con forza: 1. Il superamento dell’ellisse: Sebbene Keplero avesse già formulato le sue prime due leggi (orbite ellittiche e legge delle aree), qui esplora una correzione fine alla forma ellittica, motivata da dati osservativi più dettagliati (probabilmente relativi a Marte, come suggerisce il titolo DE MOTIBVS STELLÆ MARTIS, 9202). 2. L’integrazione tra fisica e geometria: La “mora” introduce un principio dinamico, anticipando la terza legge di Keplero (1619) e il concetto di forza gravitazionale. La frase (9213) è esplicita: “justas extruxerimus aequationes, non minus quam distantias” (“dobbiamo derivare equazioni giuste, non meno delle distanze, dalle cause fisiche”).

24.4 Critica e autocorrezione

Keplero ammette i limiti del suo approccio: - La figura ovale è una approssimazione (9229), e la sua quadratura rimane irrisolta (“quadraturam ooidis”, 9220). - Riconosce un errore nel capitolo XLV (9201), dove aveva ipotizzato una forma diversa, ora corretta. - La complessità della concoide (una curva geometrica usata in precedenza, 9203-9206) viene superata dall’ovale, che meglio rappresenta l’asimmetria osservata.

24.5 Dati e termini tecnici

• Distribuzione delle distanze: 92% del raggio per le distanze lunghe, 87°30’ per quelle brevi (9194).
• Anomalia media vs. anomalia eccentrica: 92°30’ di anomalia media corrispondono a ~87°30’ di anomalia eccentrica (9195).
• Concoide: curva usata per descrivere lo spazio percorso dal pianeta, più larga nella parte inferiore (9203-9204).
• Ooide/metopoide: termini usati per l’ovale planetario (9222).

Il testo si chiude con un appello ai geometri (9220-9222), evidenziando come la soluzione definitiva richieda strumenti matematici ancora in via di sviluppo. La quadratura dell’ovale rimarrà un problema aperto, ma l’intuizione di Keplero — l’interdipendenza tra geometria, velocità e forze fisiche — segna un passaggio fondamentale verso la meccanica celeste newtoniana.

25 La costruzione geometrica della “lunula” e la longitudine media nei moti planetari di Keplero

Un’analisi geometrica dettagliata per dimostrare che la differenza tra orbita circolare ed ellittica è “insensibile” in prossimità della longitudine media.

Il testo presenta una dimostrazione geometrica tratta dal De Motibus Stellae Martis di Keplero, volta a quantificare la differenza tra un’orbita circolare e una ellittica in corrispondenza della longitudine media del pianeta. L’obiettivo è mostrare che la cosiddetta lunula – la regione compresa tra il semicerchio e l’ellisse – risulta trascurabile quando il pianeta si trova a metà strada tra l’afelio e il perielio.

25.1 La costruzione della lunula e il ruolo dell’eccentricità

Keplero parte definendo la lunula come la porzione di spazio “ooÀ& a semicirculo resectam” (9231), cioè ritagliata da un semicerchio, e afferma che questa sarà “insensibilmente maggiore” rispetto a un semicerchio il cui raggio sia pari all’eccentricità (“eccentricitas ipsa 9264 seu ex~”). La dimostrazione procede attraverso una serie di passaggi geometrici: 1. Si divide l’eccentricità ex~ in due parti uguali nel punto (J) (9232), da cui si traccia una perpendicolare (J’t”) (9234). 2. Si costruiscono parallele e archi di circonferenza per individuare punti chiave (t“, ljJ, ç), che rappresentano rispettivamente la posizione media del pianeta, il suo “luogo di traslazione” sull’orbita circolare e un punto di intersezione con l’ellisse (9236).

26 La longitudine media e la sua definizione

Il concetto di longitudine media è centrale: Keplero lo definisce come “distantia mediocri Planetae’t” a Sole ex“ (9237), cioè la distanza media del pianeta dal Sole, e precisa che questo corrisponde al punto in cui il pianeta è “aequaliter remotum ab IX~” (equidistante dagli apsidi). La nota (9262-9263) chiarisce che gli Arabi usavano il termine per indicare la posizione intermedia tra afelio e perielio, mentre nel linguaggio moderno si intende “punctum circumferentiae, quod habet longitudinem mediam” (il punto sulla circonferenza con longitudine media).

26.1 La dimostrazione della duplicità della lunula

Il cuore della dimostrazione riguarda la relazione tra la lunula e la sua misura. Keplero afferma che la linea çrp (parte di ~rp) è “dupla ipsius IXU” (9243), cioè doppia rispetto a un segmento perpendicolare tracciato dall’ellisse al diametro. La prova si basa su: - La congruenza di triangoli (“Triangulum igitur yrp~ triangulo ~’t”1X congrui!“, 9249). - L’uguaglianza di segmenti paralleli (”aequales erunt ~yrp, 1X~’t”“, 9245). - La proprietà delle perpendicolari in un’ellisse (”recta ex puncto circumferentiae ’t” perpendiculariter incidit”, 9272), che richiama il teorema della potenza di un punto rispetto a una circonferenza.

La conclusione (9270) ribadisce che “1;ep est dupla ad IXU”, confermando che la larghezza della lunula (~1jJ) è proporzionale al quadrato dell’eccentricità, rendendola trascurabile per orbite poco eccentriche come quella di Marte.

26.2 L’ellisse e la sua approssimazione circolare

Keplero definisce l’ellisse come “figura ordinata, resultans ex sectione coni per axem” (9259), o “circulum oblongum” (9260), e sottolinea che la differenza tra le due figure è minima quando il semiasse minore (~1;) si avvicina al semiasse maggiore (1;tp). La nota (9265-9266) precisa che se ~1; fosse esattamente uguale al semiasse minore, la proporzione tra le aree del cerchio e dell’ellisse sarebbe identica, ma “~1; non est omnino ipsissima brevior semidiameter” (non è esattamente il semiasse minore), lasciando intendere che l’approssimazione è valida solo in prima istanza.

26.3 Significato storico e scientifico

Il testo testimonia il passaggio cruciale dalla teoria tolemaica (orbite circolari) alla prima legge di Keplero (orbite ellittiche), dimostrando come l’autore cercasse di conciliare i dati osservativi con un modello geometrico più accurato. La “lunula” rappresenta la correzione necessaria per passare da un’orbita circolare a una ellittica, e la sua piccolezza giustifica perché, per secoli, gli astronomi avessero considerato le orbite come perfettamente circolari. La trattazione riflette inoltre l’influenza della matematica araba (“propriissi 20, ne cum Arabibus loquendo”, 9237) e l’uso di strumenti geometrici classici (come la teoria delle proporzioni) per risolvere problemi di meccanica celeste.

27 La quadratura delle lunule e la misurazione delle aree planetarie in Keplero

Un tentativo geometrico di approssimare l’area di figure ovali attraverso la scomposizione in lunule e la relazione con cerchi ed ellissi, con implicazioni per la cinematica planetaria.

Il testo analizza un problema geometrico e astronomico centrale nell’opera di Keplero: la determinazione dell’area descritta da un pianeta lungo un’orbita non circolare, approssimata come un ovoide (figura ovale). L’autore cerca di risolvere la quadratura di questa figura attraverso la scomposizione in lunule (porzioni di piano delimitate da archi di cerchio) e la loro relazione con cerchi ed ellissi, ricorrendo a metodi approssimati e a riferimenti classici come Archimede.

27.1 La relazione tra lunule, cerchi ed ellissi

Il nucleo del ragionamento si basa sulla proporzionalità tra aree. Viene stabilito che: - “Et quia cp₁ dupla ad CPX, rectangulum igitur sub cp₁ […] et sub cp semidiametro, aequat quadratum IX” (9278): il rettangolo formato da una lunghezza cp₁ (doppia di CPX) e dal semidiametro cp è equivalente al quadrato di IX. Questa equivalenza è cruciale perché collega le lunule a figure geometriche note. - “lunulae sunt etiam differentia inter ellipsis et circuli plana” (9279): le lunule rappresentano la differenza tra l’area di un’ellisse e quella di un cerchio. Questa definizione permette di esprimere l’area dell’ovoide come somma o sottrazione di aree elementari. - “ut quadratum ~cp ad rectangulum çcp, cp~, hoc est ad quadratum IX~, sic fere circuli planum ad planum duarum lunularum” (9281): la proporzione tra il quadrato di ~cp e il rettangolo (equivalente al quadrato di IX) è approssimativamente uguale a quella tra l’area del cerchio e l’area delle due lunule. Questa relazione è usata per calcolare l’area complessiva dell’ovoide.

L’approssimazione è giustificata dall’osservazione che “planum circuli, cujus cx.~ radius, insensibili superat utramque resectam lunulam” (9286): l’area del cerchio con raggio cx.~ supera di un valore trascurabile l’area delle due lunule. L’errore è attribuito alla differenza infinitesima tra !;cp e IjJcp (“quia !;cp insensibili est longior ipsa IjJcp”, 9287).

27.2 L’ovoide e la sua approssimazione ellittica

Keplero introduce una semplificazione fondamentale: “concessis itaque, quae posuimus, quod planum ellipsis a plano nostri ooidis insensibiliter differat” (9288). L’area dell’ovoide è considerata indistinguibile da quella di un’ellisse, grazie a una “compensatio” tra eccessi e difetti locali. Questa ipotesi permette di ricondurre il problema a una figura geometrica trattabile con i metodi classici, come quelli di Archimede (“Nam circuli et quadrati proportionem docet ARCHIMEDES”, 9289).

Il passaggio successivo è il calcolo dell’area dell’ovoide attraverso un cerchio eccentrico (un cerchio con raggio variabile). Viene stabilita una proporzione doppia tra le aree e i quadrati dei raggi: - “Est autem planorum proportio dupla ad proportionem diametrorum” (9292): la proporzione tra le aree è il quadrato della proporzione tra i diametri. - “ut ~cp 100000 ad ~cx. 9264, sic ~cx. ad ~cp dupla igitur et proportio inter ~cp et çcp” (9295): dati i valori numerici, si calcola l’area del cerchio eccentrico (“planum circelli 269500000”) e, per sottrazione, quella dell’ovoide (“planum ooidis 31146400000”, 9297), equivalente a 360 parti di tempo orbitale.

27.3 La divisione dell’area per la cinematica planetaria

Il problema pratico è determinare la posizione di un pianeta lungo l’orbita in un dato istante. L’area dell’ovoide deve essere suddivisa in porzioni corrispondenti a intervalli di tempo: - “non sufficit sciri amplitudinem plani ooidis. Quin etiam rationem calcularemus necesse est, dividendi illius, ex centro ~, vel puncto cx., in ratione data” (9299-9301): non basta conoscere l’area totale; occorre calcolare come dividerla in base a una proporzione data, ad esempio in funzione dell’angolo &cx.~ e della distanza cx.&. - “Sed quia ovalem interiorem descripsit, non complexus omnem perfecti circuli aream […] opus est scitu nobis, quanta portio de ooide lineis acx., cx.&, intercipiatur” (9305): poiché il pianeta percorre un’orbita ovale, non un cerchio perfetto, è necessario determinare quale porzione dell’ovoide sia delimitata dalle linee acx e cx.&, per poi sottrarla all’area del cerchio e ottenere il tempo impiegato.

27.4 Limiti geometrici e approssimazioni

Keplero riconosce l’impossibilità di una soluzione esatta con gli strumenti disponibili (“ubi nunc iterum Geometra aliquis, qui hoc nos doceat?”, 9307). Propone quindi un metodo grafico approssimato: 1. Estende un semicerchio in una retta (“semicirculus in rectum extensus”, 9308) e lo divide in parti uguali. 2. Costruisce lunule di larghezza variabile (“GfL sit paulo brevior quam Kp”, 9313), riflettendo la variazione della distanza del pianeta dal Sole. 3. Congettura che lo spazio tra la curva CfLV07tpD e la retta CED sia doppio dell’area di una lunula (“spaciolum inter curvam CfLV07tpD et rectam CED, duplum sit futurum ad lunulam”, 9316), ma ammette che “hoc quidem, ò Geometrae, non est demonstrare” (9321).

27.5 La soluzione ellittica e il metodo di Archimede

Di fronte alle difficoltà, Keplero torna all’ipotesi ellittica (“Resumatur itaque schema prius capitis XLVI”, 9327), che semplifica drasticamente il problema: - “si planum ~oÀ, quod est ooides, perfecta esset ellipsis […] semper portiones ellipsis v~C ad portiones circuli B~C in eadem manerent proportione” (9329): se l’ovoide fosse un’ellisse perfetta, le porzioni dell’ellisse e del cerchio sarebbero proporzionali, come dimostrato da Archimede (“ARCHIMEDES de sphaeroidibus prop. V”, 9330). - “Pro plano enim ellipsis planum circuli, et pro partibus ellipsis similes partes circuli adhiberemus” (9332): l’area dell’ellisse può essere calcolata usando l’area del cerchio e le proporzioni tra le loro parti.

Il metodo pratico prevede: 1. Data una distanza oc~ (raggio vettore), si calcola l’angolo a corrispondente al tempo trascorso (“ut tempus periodicum ad 4 rectos, sic propositum tempus ad angulum circa ~”, 9341). 2. Si determina l’area del settore ocBa proporzionale al tempo (“ut dimidium tempus periodicum ad aream semicirculi […] sic tempus propositum ad aream ocBa”, 9342). 3. Si trova l’angolo B~a tale che l’area del triangolo ocB~ sommata al settore B~a dia l’area calcolata (“conjectatione et regula Falsi opus est”, 9345). 4. Si risolve il triangolo B~oc per ottenere l’angolo voca, che fornisce la posizione corretta del pianeta (“Planetam esse in v susceptum tempus”, 9348).

27.6 Significato storico e scientifico

Il testo testimonia il passaggio cruciale dalla geometria classica alla modellizzazione delle orbite planetarie. Keplero: - Supera il dogma delle orbite circolari, introducendo figure ovali e poi ellissi, per adattarsi ai dati osservativi di Marte. - Sviluppa metodi approssimati per la quadratura di figure complesse, anticipando il calcolo integrale. - Collega geometria e cinematica, usando le aree come misura del tempo orbitale (seconda legge di Keplero). - Riconosce i limiti della geometria euclidea, invocando l’aiuto dei matematici (“Juvabitis itaque me”, 9322) per risolvere problemi al di là delle sue capacità.

L’uso di Archimede e dei Conici evidenzia il debito verso la tradizione, mentre l’adozione dell’ellisse segna una rottura con il passato, ponendo le basi per la meccanica celeste newtoniana.

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28 Il calcolo delle anomalie di Marte: metodo iterativo e approssimazioni geometriche in Keplero

Un resoconto delle procedure geometriche e computazionali impiegate da Keplero per determinare l’orbita marziana, tra iterazioni laboriose, correzioni ottiche e la ricerca di una misura affidabile della circonferenza ovale.

Il testo estratto dal De motibus stellae Martis documenta le fasi avanzate del metodo con cui Keplero calcola l’anomalia coequata di Marte, combinando geometria, ottica e un approccio iterativo estenuante. L’autore descrive un procedimento che si articola in tre momenti principali: la determinazione preliminare di angoli e distanze, la correzione delle approssimazioni ottiche, e la stima della lunghezza dell’orbita ovale — quest’ultima necessaria per validare l’intero calcolo.

28.1 1. La costruzione geometrica dell’anomalia

Keplero parte da dati noti: l’angolo EBD (9500), derivato dalla conoscenza di CD, e i lati EB e BA del triangolo EBA, da cui ricava la lunghezza di AE. Sottraendo AC (o 30 AG, già computata), ottiene CE (9501). La procedura assume un carattere iterativo: “Bisecto igitur CE (nam hoc ad sensum lice!)” (9502) suggerisce una suddivisione approssimativa, giustificata dalla necessità pratica di semplificare calcoli altrimenti ingestibili. L’obiettivo è stimare la distanza CF, un’approssimazione di CD rispetto al centro B, presupponendo un moto uniforme del pianeta (9503). Tuttavia, questa ipotesi è corretta introducendo la parallasse ottica — l’angolo CBD — che rappresenta la “visibilis quantitas” di CD vista da B (9504). La correzione di CBD permette infine di determinare l’anomalia coequata CAD, dato l’angolo corretto, il lato CA e l’eccentricità BA (9505).

Il metodo rivela una dipendenza gerarchica tra le equazioni: la prima anomalia media (1°) può essere calcolata indipendentemente, ma le successive (fino a 180°) richiedono il risultato della precedente (9506-9507). Questa catena computazionale, ripetuta per 180 posizioni orbitali e tre volte (con eccentricità variabile), è descritta come fonte di “taedium” (9509) e di un lavoro estenuante: “quantum molestiarum hauserimus (ego et calculator meus)” (9511). La fatica è aggravata dall’assenza di un “principium expeditum” (9512): il calcolo presuppone infatti la conoscenza della lunghezza totale dell’orbita ovale (9513), un dato non disponibile a priori.

28.2 2. La stima empirica della circonferenza ovale

Di fronte all’impossibilità di una derivazione diretta, Keplero adotta un metodo iterativo di prova ed errore: assume una lunghezza per l’ovale, esegue l’intero calcolo per 180 anomalie, e verifica se il risultato finale corrisponde a 180° (9516-9517). Se il totale eccede o difetta, l’assunzione iniziale è corretta di conseguenza. Questo approccio “inartificialis” (9515) — privo di eleganza geometrica — è giustificato dalla necessità: “non subterfugi illam inartificialiter praesupponere” (9516). Tuttavia, Keplero non rinuncia a una guida geometrica per stimare l’ovale: costruisce una serie di circonferenze ausiliarie per approssimarne la lunghezza.

La procedura si basa su proporzioni tra segmenti: - Si definisce DH come quarto proporzionale tra BD e BA (9519), risultando uguale alla “latitudo lunulae” (9522), una misura legata all’eccentricità (9520). - Si tracciano due circonferenze: una con centro I (punto medio di HD) e raggio ID, tangente all’eccentrico in D; l’altra con centro B e raggio BH, tangente alla prima in K (9523). La circonferenza DK risulta media aritmetica tra le due (9527), e Keplero ipotizza che l’ovale — tangente ai cerchi maggiore e minore — non si discosti troppo da essa (9528).

Per affinare la stima, introduce un medio geometrico BO tra BH e BD, tracciando un cerchio OP di raggio BO (9530). Per il principio di Archimede (“Sphaeroideon”, 9531), l’area di OP è uguale a quella dell’ellisse con semiassi BD e BH. Poiché il cerchio è la figura isoperimetrica di massima area, l’ellisse — avendo la stessa area — avrà una circonferenza più lunga (9532-9533). La differenza tra BO (medio geometrico) e ID (medio aritmetico) è minima (9534), ma sufficiente a rendere DK leggermente più grande di OP (9541). Keplero conclude che l’ovale è “paulo longior quam circulus DK” (9543), con una differenza trascurabile data la piccolezza di DH rispetto a DB (9542).

28.3 3. Dati numerici e correzioni ottiche

I calcoli numerici forniscono misure concrete: DH è 858 parti su 000 di DB (9546), e la circonferenza dell’ovale risulta più corta di quella del cerchio di un fattore 100.000/99.571 (9547). Convertendo in gradi, Keplero stima che la semicirconferenza ovale sia più corta di 46’ 20“ (9551), o addirittura 45’ 15” (9554), rispetto ai 180° del cerchio. Questa “decurtatio” è compensata dall’amplificazione ottica: l’ovale, pur più corta, appare sotto un angolo di 180° (9557). Tuttavia, le due variazioni non si annullano reciprocamente (9571), perché: - L’amplificazione ottica è massima nelle longitudini medie** (dove il pianeta è più vicino a B) e nulla agli apsidi (9564). - La decurtazione dell’ovale è invece quasi uniforme lungo tutta l’orbita (9566), come confermato da “experimento” (9567).

Ne consegue che la compensazione è imperfetta: vicino agli apsidi, la decurtazione (14” per grado) supera di gran lunga l’amplificazione ottica (meno di 1”) (9569-9570). Keplero risolve il problema mantenendo separate le due correzioni nel calcolo delle equazioni (9576), evitando di semplificare eccessivamente il modello.

28.4 4. Significato storico e metodologico

Il testo testimonia il passaggio dalla geometria pura al calcolo numerico nella scienza seicentesca. Keplero, pur ancorato alla tradizione euclidea (citazioni esplicite ai libri V e VI degli Elementi), adotta soluzioni pragmatiche — come la bisezione approssimata di CE (9502) o l’iterazione per 180 anomalie — che anticipano l’analisi numerica moderna. La sua insistenza sulla verifica empirica (“experimento res est comprobata”, 9567) e la consapevolezza dei limiti delle approssimazioni (“insensibiliter”, 9542) riflettono una tensione tra rigore e praticità che caratterizzerà la rivoluzione scientifica.

L’orbita marziana, descritta come un’ellisse imperfetta (“ovale”), diventa il banco di prova per un metodo che unisce geometria, ottica e computazione, segnando un distacco dalle sfere omocentriche tolemaiche. La fatica documentata (“ter absolvimus”, 9511) non è solo retorica: è il prezzo di una precisione senza precedenti, che getterà le basi per le leggi del moto planetario.

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29 La ricerca kepleriana delle anomalie planetarie: tra geometria e correzioni empiriche

Un tentativo di conciliare le discrepanze tra teoria e osservazione attraverso la revisione delle anomalie e delle orbite planetarie.

Il testo analizza le difficoltà incontrate da Keplero nel calcolare le anomalie planetarie – ovvero le deviazioni apparenti del moto dei pianeti rispetto a un’orbita circolare perfetta – e le soluzioni geometriche proposte per risolverle. Il nucleo del ragionamento ruota attorno alla discrepanza tra le distanze reali (CAD) e quelle teoriche (settore CBD), che porta a risultati assurdi se non corrette.

La prima contraddizione emerge quando Keplero osserva che “le distanze sparse per CAD quasi eguagliavano numericamente il settore CBD, conducendo all’assurdo” (9850). Il problema risiede nel fatto che il piano CAD, misurando le distanze reali, risulta più esteso del settore teorico CBD, implicando che le distanze CD debbano essere maggiori di quanto previsto. La domanda cruciale è se le proporzioni tra le linee AC, AD e AF, AG possano esprimere correttamente i tempi di percorrenza del pianeta lungo CD, mantenendo CAD come anomalia “veramente eguagliata” (9850). La risposta è negativa (“At contra”, 9851), poiché ciò implicherebbe un’orbita perfettamente circolare (“Ergo AC distantia manebit suo loco […] Erit igitur orbita perfectus circulus”, 9852-9853), ipotesi già confutata nel capitolo XLIV** (9854).

La soluzione proposta si basa sull’effetto delle distanze medie in longitudine, che risultano più lunghe del previsto e causano un ritardo del pianeta in quelle posizioni, rendendolo invece più veloce agli apsidi (“Distantiae igitur in longitudines medias, longiores justo incidentes, faciunt Planetam justo tardiorem ibi; quare in apsidibus velociorem”, 9855). L’analisi empirica conferma questa correzione: per un’anomalia media di 45° 52’ 39” 40”’ (9857-9858), i dati mostrano una differenza vicaria che evidenzia come il pianeta percorra meno strada del previsto in un tempo dato (9867-9869). Ad esempio, in 52° 39’ 1/5“ il pianeta copre la stessa distanza che, nella teoria vicaria, richiederebbe **52° 53’ 13” (9868-9869).

La correzione dell’eccentricità – inizialmente stimata con un’equazione massima di 10° 29’ 1/5“ (9864) – porta a un aumento delle anomalie eguagliate, riducendo il tempo necessario per percorrere la stessa distanza. Così, con un’eccentricità emendata, il pianeta impiega solo 37° 44’ (complemento a 142° 16’) per coprire 45° di orbita, contro i 37° 51’ della teoria vicaria (9870-9874). La differenza residua dopo la correzione è minima (“non maggiore di 2’ 8” e 7’“, 9875), ma sufficiente a dimostrare che ”non ci si può fidare dell’effetto” (9876).

Il testo sottolinea poi la necessità di una via mediana tra due ipotesi estreme: l’orbita circolare perfetta (cap. XLIV) e quella ovale (cap. XLV). Come già anticipato nel capitolo XLVII, la verità risiede in una soluzione intermedia, che richiede di “tagliare dal cerchio perfetto solo mezzelune di metà larghezza” rispetto a quelle previste dall’ipotesi ovale (9877-9881). Questa conclusione anticipa la futura formulazione dell’orbita ellittica, dove le deviazioni dal cerchio sono minime ma decisive.

Nella seconda parte, Keplero descrive un terzo e quarto metodo per calcolare le distanze, abbandonando l’approccio iniziale in cui CBD era l’anomalia di riferimento. Ora, le distanze vengono ricavate per gradi interi dell’angolo CBD (9882) e poi ridotte proporzionalmente da anomalie medie “scrupolari” (non intere) a anomalie medie di gradi interi (9884). Questa riduzione trasforma CBD da anomalia media a anomalia dell’eccentrico (9885), analogamente al secondo metodo. Segue un calcolo delle distanze proporzionali rispetto al raggio (100.000), benché non strettamente necessario (“Sed non erat necesse”, 9887), ma utile per completezza.

La terminologia tecnica distingue tra: - Anomalia scrupolare: espressa in gradi e frazioni (scrupoli), non intera (9890). - Anomalia media (prima): rappresentata dal piano CAD, somma delle linee AD e AC (9893). - Anomalia seconda (CD): nel terzo metodo (9892). - Anomalia terza (CBD): nel quarto metodo, dove CAD diventa la seconda (9894).

L’analisi si chiude con un riferimento alla fisica del cerchio perfetto (cap. XLIII), suggerendo che i nuovi metodi si avvicinino a essa, pur senza coincidere pienamente (9889). La complessità del problema emerge nella stratificazione delle correzioni, dove ogni tentativo rivela nuove discrepanze, spingendo Keplero verso una sintesi sempre più raffinata tra geometria e dati osservativi.

30 L’analisi kepleriana delle orbite di Marte: metodi e correzioni

Un resoconto delle procedure geometriche e numeriche impiegate da Keplero per determinare le anomalie e le distanze di Marte, evidenziando i limiti dei modelli circolari e l’introduzione di correzioni basate sull’ipotesi vicaria.

Il testo presenta una fase avanzata delle indagini di Keplero sul moto di Marte, concentrata sulla quantificazione delle anomalie (angoli che descrivono la posizione del pianeta) e delle distanze dal Sole. L’autore confronta diversi metodi di calcolo, rivelando le incongruenze del modello circolare tradizionale e introducendo correzioni basate su un’orbita ovale, precorritrice della futura prima legge kepleriana.

30.1 Metodi di calcolo e somme delle distanze

Keplero inizia sommando le distanze e le loro “proporzionali” (valori corretti o mediati) per determinare l’anomalia. Le frasi (9895) e (9896) definiscono il contesto: > “Summa vero FA, GA linearum confertiorum, anomalia Prima” > “DE MOTIBVS STELLAE MARTIS Septimo et Octavo rursum addidi singulas, tam distantias AD, AC, quam earum proportionales AG, AF”.

Il risultato numerico (9897) mostra una somma delle distanze pari a 36.075.562, mentre (9900) riporta per le proporzionali 36.384.621. La discrepanza rispetto al valore atteso di 000.000 (9899) è giustificata nel capitolo XL, dove si spiega perché la somma superi tale soglia. Questo scarto rivela un problema strutturale: le distanze calcolate nelle longitudini medie risultano eccessive, mentre quelle agli apsidi (punti di massima e minima distanza dal Sole) sono troppo brevi (9905): > “necesse est ergo distantias in longitudinibus mediis hic usurpari nimis longas, moras itaque fieri prolixiores justo, et in apsidibus breviores”.

30.2 Critica al modello circolare e introduzione dell’orbita ovale

Keplero procede con un approccio dimostrativo (9901-9902), calcolando l’anomalia eccentrica (angolo CBD) e derivando da essa la somma delle distanze. Tuttavia, il modello circolare si rivela insufficiente: (9903-9904) afferma che se l’orbita fosse un cerchio perfetto (“DC orbita erit perfectus circulus”), la teoria collasserebbe, come già dimostrato nel capitolo XLIV. L’autore introduce allora un quarto metodo (9922), basato sulla sostituzione delle distanze con le loro proporzionali, ma anche questo genera errori duplicati (9925-9926): > “Cum enim ipsae distantiae tolerari nequeant, ob nimiam suam in longitudinem; minus erunt tolerabiles proportionales, utpote longiores”.

Il calcolo esemplificativo (9927-9930) mostra un’anomalia media di 53°23’56“** che, tramite il modello, produce un’anomalia”coequata” (corretta) di 46°0’, mentre l’ipotesi vicaria restituisce solo 45°27’, con una differenza di 33’**, giudicata “plane absurda”.

30.3 L’ipotesi vicaria e la riduzione degli errori

Dopo il fallimento dei primi quattro metodi (9931), Keplero adotta un approccio innovativo: utilizza le tavole dell’ipotesi vicaria (descritta nel capitolo XVI), che sostituisce l’orbita circolare con una forma ovale. Le frasi (9932-9938) descrivono la procedura: 1. Si riprendono le distanze (AF) corrispondenti a gradi interi dell’anomalia media (IBF) e si riducono a gradi dell’anomalia coequata (IAH) (9934-9935). 2. Si calcolano le proporzionali (9937) e si sommano: le distanze totali ammontano a 35.770.014, le proporzionali a 35.692.048 (9938).

La chiave del miglioramento sta nella ridistribuzione delle distanze: nell’orbita ovale, gli archi vicini all’afelio (punto più lontano dal Sole) sono più estesi, riducendo il numero di distanze lunghe e aumentando quelle brevi (9939). Questo spiega perché la somma delle distanze (e delle proporzionali) risulti inferiore a 360 volte il semidiametro medio: > “non tantum 360 distantiarum summa minor evadat quam 360 semidiametrorum, sed etiam proportionalium summa minor evadat quam erat summa ipsarum distantiarum”.

30.4 Errori residui e eccentricità

Nonostante i progressi, permangono discrepanze. (9918) segnala un’eccentricità inferiore al valore reale (“Eccentricitas rursum justo minor arguitur”), mentre (9919-9920) nota che gli errori sono analoghi a quelli del metodo precedente, con un’inversione di segno dovuta al passaggio dall’anomalia media a quella coequata: > “Nam quod signa excessuum signis defectuum permutantur, fit quia hic differentia ostendit errores anomaliae coaequatae, illie anomaliae mediae”.

30.5 Sintesi dei metodi

Il testo enumera sei approcci, di cui i primi quattro falliscono: 1. Primo metodo: somma diretta delle distanze. 2. Secondo metodo: uso delle proporzionali. 3. Terzo metodo: calcolo dimostrativo dell’anomalia coequata (9921). 4. Quarto metodo: sostituzione delle distanze con proporzionali, con errori raddoppiati (9922-9926). 5. Quinto e sesto metodo: applicazione dell’ipotesi vicaria, con riduzione delle distanze lunghe e miglioramento della precisione (9931-9939).

30.6 Significato storico

Il passaggio documenta la transizione dal modello tolemaico (orbite circolari con epicicli) alla prima legge di Keplero (orbite ellittiche). L’ipotesi vicaria, pur non essendo ancora l’ellisse definitiva, rappresenta un passo cruciale: introduce una forma non circolare e corregge sistematicamente le distanze, anticipando la scoperta che i pianeti si muovono su traiettorie ovali con velocità variabile. Le somme numeriche e le anomalie calcolate riflettono un metodo empirico-matematico che combina osservazioni di Tycho Brahe con una rigorosa analisi geometrica, segnando la nascita della meccanica celeste moderna.

31 L’analisi kepleriana delle anomalie e la ricerca di un modello fisico per il moto di Marte

Un trattato matematico e fisico che tenta di conciliare le osservazioni astronomiche con ipotesi geometriche e dinamiche, attraverso una complessa stratificazione di metodi correttivi.

Il testo esamina il quinto e sesto metodo per determinare le anomalie nel moto di Marte, confrontandoli con approcci precedenti e introducendo una sintesi tra ipotesi geometriche e fisiche. L’autore (Keplero) procede per successive approssimazioni, evidenziando limiti e correzioni necessarie per allineare i calcoli alle osservazioni.

31.1 Il quinto metodo: anomalie e distanze

Il quinto approccio si basa sulla somma delle distanze e sulla loro relazione con le anomalie. Viene richiamato lo schema del primo metodo (9942-9943), dove l’anomalia distantiaria (angolo CAD) era divisa in 30 gradi uguali, ma ciò portava a una suddivisione ineguale dell’arco CD e a poche distanze misurate (9944). Per correggere questo errore, si adottava una “medicina accidentale” (9945): sommando le distanze in CD, si attribuiva loro un arco ED più breve, in modo che AC potesse essere trasferito in AE e ED fosse diviso in parti uguali, ciascuna associata a una distanza.

Tuttavia, nel quinto metodo, la traslazione di AC in AE non avviene più tramite la somma delle distanze, ma attraverso una “commixtio” tra l’ipotesi vicaria (K) e l’ipotesi delle distanze (cap. XLVI), già completata in precedenza (9946). L’anomalia media (27°) viene così ricondotta a DE (9946), e l’arco ED non è più parallelo a BE e AC come nel primo metodo (9949). La domanda centrale diventa: le poche distanze raccolte in questo modo producono la stessa equazione fisica ottenuta artificialmente con le due ipotesi combinate? (9951).

L’analisi rivela che, dividendo l’angolo EAD in gradi uguali e assegnando una distanza ogni 10° (9953), l’arco ED assume una forma ovale e riceve troppo poche distanze (9954). Di conseguenza, la somma delle distanze in EAD non può generare l’anomalia media prevista dall’ipotesi vicaria (9955). Si propone allora una correzione analoga al primo metodo: sostituire ED con un arco ND, più adatto a quelle distanze (9956-9958).

Un esempio numerico illustra il procedimento: - Si assume un’anomalia media CBD di 48°44’ (9959). - Con angolo B e distanze CB e DA date, si calcolano CA (1.5784) e CB (45°) (9963). - L’anomalia vicaria indica per ED un valore di 41°22’ (9965-9966). - Dividendo EAD in gradi uguali, si raccolgono solo 41 distanze, insufficienti per misurare ED, ma adeguate per l’arco DN (9966-9967). - La somma di queste distanze dovrebbe corrispondere all’anomalia media DAN (9968).

31.2 Il sesto metodo: proporzionalità e fisica del moto

Il passaggio al sesto metodo introduce un principio fisico fondamentale: le durate (morae) del pianeta negli archi della sua orbita sono proporzionali alle distanze dal Sole (9977-9980). Poiché archi uguali visti dal Sole hanno lunghezze diverse nell’orbita reale (proporzionali alle distanze), e il pianeta impiega più tempo a percorrere archi più lontani, le durate risultano in doppia proporzione rispetto alle distanze (9980).

Questo principio permette di calcolare le durate come linee proporzionali (AG, AF) corrispondenti ai gradi dell’anomalia coaequata (9982). Si verifica così che la somma delle distanze per 360° (35.692.048) corrisponde a una durata di 360° (9984), e si estende il calcolo a qualsiasi grado dell’anomalia (9985).

I risultati sono confrontati con le anomalie medie derivate dall’ipotesi vicaria (9986-9994), mostrando una buona approssimazione (9997), sebbene emerga una leggera discrepanza: l’eccentricità risulta minore del reale, con errori di ~8’ sopra e ~7’ sotto i 41° (9995). Ciò implica che il pianeta è troppo lento agli apsidi e troppo veloce nelle longitudini medie (9996).

31.3 Sintesi tra ipotesi fisiche e geometriche

Il testo culmina in una riflessione metodologica (9998-10019). Il sesto metodo rappresenta un avanzamento rispetto al capitolo XLIX, dove l’equazione ottica e quella fisica erano calcolate separatamente (10000). Lì, si introducevano raggi fittizi per giustificare il moto epiciclico (10001-10002), mentre qui la forza motrice è interamente attribuita al Sole, e l’epiciclo serve solo a regolare le distanze (10003). Le distanze sono derivate dall’anomalia media, ma poi ridistribuite secondo l’anomalia coaequata (10005).

Il sesto metodo è preferibile perché: 1. Elimina la finzione del moto epiciclico (10006), avvicinandosi alla verità fisica. 2. Mantiene solo la librazione lungo il diametro (10018), sebbene questa rimanga imperfetta. 3. Coincide con i risultati del cap. XLIX (9997, 10017), pur essendo più semplice.

Viene ribadito che l’obliquità delle parti intermedie dell’orbita (rispetto alla linea Sole-pianeta) non altera la proporzionalità delle durate, poiché il pianeta compensa con un discesa verso il Sole (10015). Solo due metodi risultano compatibili con l’ipotesi del cap. XLV: - Quello del cap. XLIX (ipotesi fisica + epiciclo). - Il sesto metodo, che riduce l’epiciclo a un semplice meccanismo di discesa verso il Sole (10018).

31.4 Gerarchia dei concetti

1. Concetto centrale: La ricerca di un modello che unisca geometria (anomalie, distanze) e fisica (durate, forze) per spiegare il moto di Marte.
2. Metodi correttivi: Passaggio dal primo al sesto metodo, con progressiva eliminazione di artifici geometrici (epicicli) a favore di principi dinamici.
3. Dati chiave:
   • Proporzionalità doppia tra distanze e durate (9980).
   • Somma delle distanze per 360°: 692.048 (9984).
   • Errori residui nell’eccentricità (~8’/7’) (9995).
4. Termini tecnici:
   • Anomalia distantaria (angolo CAD), anomalia media (CBD), anomalia coaequata (EAD).
   • Ipotesi vicaria (K), epiciclo, librazione.
   • Morae (durate), apsidi (punti estremi dell’orbita).

Il testo testimonia la transizione da un’astronomia geometrica a una fisica, dove le leggi del moto devono emergere dalle osservazioni senza ipotesi ad hoc. La complessità dei calcoli riflette la difficoltà di superare il paradigma tolemaico, pur mantenendo una coerenza matematica.

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32 Osservazioni astronomiche su Marte e calcoli di posizione (1594-1595)

Un resoconto tecnico delle misurazioni di Keplero per determinare la longitudine e la latitudine di Marte, con correzioni per rifrazione e parallasse.

Il testo riporta una serie di osservazioni e calcoli astronomici relativi alla posizione di Marte, condotti tra il 28 dicembre 1594 (frase 10054-10056) e il 4 gennaio 1595. L’autore – verosimilmente Johannes Kepler – descrive una metodologia geometrica per determinare la longitudine eclittica del pianeta, correggendo gli effetti di rifrazione atmosferica e parallasse.

32.1 Misurazione della longitudine media di Marte

Il nucleo del resoconto riguarda la determinazione della posizione di Marte rispetto alla stella Spica Virginis (α Virginis). Alle ore 7 del mattino del 28 dicembre 1594, viene registrata la longitudine media di Marte come “7 s• 26° 13’ 39’, paucis minutis priorem superans” (10057-10060), dove ”7 s” indica il segno zodiacale (7° della Bilancia, equivalente a 187° in longitudine assoluta). La precisazione “paucis minutis priorem superans” suggerisce un confronto con una misura precedente, probabilmente per verificarne l’accuratezza.

32.2 Calcolo geometrico della posizione

L’osservazione si basa su un triangolo rettangolo formato da: 1. Spica Virginis (di cui è nota la latitudine eclittica: “1° 59’” – frase 10066). 2. Marte. 3. Il punto di intersezione tra l’eclittica e la linea che congiunge i due corpi.

La distanza angolare tra Marte e Spica è misurata in “50° 34’” (10062-10063). Applicando il teorema di Pitagora sferico, l’autore ricava la distanza tra Marte e l’eclittica (“50° 32’ 18’‘“ – 10067-10069), da cui deduce: - La longitudine eclittica di Spica in ”18° 11’” (10070). - La longitudine di Marte in “8° 43’ 18’’” (10071-10073), corrispondente al segno dello Scorpione (8° = 218° in longitudine assoluta).

32.3 Correzione per latitudine e declinazione

Marte mostra una piccola latitudine boreale (“aliquantulam Septentrionalem latitudinem, scilicet 9’ 20’‘“ – 10078), confermata da una seconda osservazione il 4 gennaio 1595 (”Borealem latitudinem 3’” – 10079). La declinazione del pianeta (“21° 41’” – 10077) è confrontata con quella del suo luogo eclittico (“21° 50’ 20’‘“ – 10075), evidenziando una discrepanza di ”9’ 20’’” (10078), attribuibile alla latitudine.

L’autore sottolinea che, anche assumendo una latitudine esatta per Marte, la sua longitudine eclittica (“8° 43’” – 10081-10082) non subirebbe variazioni “sensibili”, a conferma della solidità del metodo.

32.4 Effetti di parallasse e rifrazione

Il testo affronta due correzioni sistematiche: 1. Parallasse: Marte, essendo “prope Solem” (vicino al Sole) e “valde altus a Terra” (molto distante dalla Terra), presenta una parallasse “multo minori quam Sol” (10083). La distanza Terra-Marte è implicita nei calcoli, ma non esplicitata numericamente. 2. Rifrazione atmosferica: L’autore dichiara di non poter “negligere” la rifrazione (10089), che altera le misure di altezza. Viene fornita una stima della rifrazione in altitudine (“6’” – 10098), basata su tabelle per le stelle fisse, e si descrive il contesto osservativo: - Posizione del Sole: “16° 47’ 10’‘“ (10090-10091), con distanza dalla Terra di ”98232” (unità non specificate, probabilmente raggi terrestri). - Ascensione retta del Sole: ”288° 12’” (10093-10094), corrispondente a un sorgere a “306° 57’” (10095). - Angolo tra eclittica e orizzonte: “26°”, con complemento a 90° di “64°” (10096-10097).

32.5 Metodologia generale

Le frasi finali (10084-10088) introducono un compendio metodologico per determinare la longitudine di un pianeta privo di latitudine, data la sua distanza da una stella fissa di latitudine nota. Vengono menzionati: - La necessità di “refractiones in longum et latum diducendae” (correggere la rifrazione in longitudine e latitudine – 10085). - L’uso della parallasse nei calcoli di latitudine (“Parallacticae usus in latitudinibus computandis” – 10087). - Una distinzione tra gli effetti di parallasse (trascurabili per Marte) e rifrazione (non trascurabili – 10089).

32.6 Significato storico

Il testo rappresenta una testimonianza diretta del lavoro di Kepler nel periodo precedente alla formulazione delle leggi del moto planetario. Le osservazioni del 1594-1595 rientrano nella sua indagine sulla teoria di Marte, che culminerà nell’Astronomia Nova (1609). La precisione dei calcoli – con correzioni per rifrazione e parallasse – riflette l’approccio osservativo e matematico che caratterizzerà la rivoluzione astronomica del XVII secolo. La menzione di “tabella Fixarum refractionis” (10098) suggerisce l’uso di dati empirici consolidati, probabilmente derivati da Tycho Brahe.

33 Calcolo della parallasse e della distanza di Marte: un’analisi delle osservazioni kepleriane

Un resoconto delle misurazioni astronomiche di Giovanni Keplero per determinare la posizione e la distanza di Marte, con particolare attenzione agli effetti della rifrazione e della parallasse.

Il testo riporta una serie di calcoli e osservazioni condotte per determinare la latitudine eclittica e la distanza di Marte dal Sole, integrando correzioni per la rifrazione atmosferica e la parallasse. L’autore (presumibilmente Keplero) confronta due metodi di correzione della rifrazione – uno basato sulle stelle fisse, l’altro sul Sole – e ne valuta l’impatto sui risultati.

33.1 Latitudine e rifrazione: due approcci a confronto

Le prime frasi introducono le misure di latitudine e le correzioni per la rifrazione. La latitudine osservata di Marte viene corretta in base a due ipotesi: 1. “vel 9” 53“· Latitudo illic 3’· 29” Sept: hic o’“* (10101): una latitudine settentrionale di 3’ 29” o nulla, a seconda del metodo. 2. ”33’ Austr.”* (10102): una latitudine australe di 33’, con una correzione per la rifrazione in longitudine di 2’ (10103).

L’autore opta per il metodo che “per latitudines comprobatur” (10105), ovvero quello validato dalle latitudini osservate. Le due osservazioni di Marte mostrano: - Nella prima, una latitudine visibile di 6’ 30” boreale (10106), con angoli di 10° 17’ rispetto al Sole e 28° 41’ rispetto alla Terra (10107–10110). Ciò richiede un’inclinazione di **2’ 30” (10111–10112). - Nella seconda osservazione, l’inclinazione è leggermente minore (“pauloque minor”, 10113) perché la Terra è più vicina al nodo orbitale di Marte.

Assumendo un’inclinazione di 2’ 30“, con angoli di 61° rispetto al Sole e 38° rispetto alla Terra, la latitudine risultante è di 1’ 50” australe (10115), in accordo con le tavole parallattiche (10116). Tuttavia, l’applicazione della rifrazione delle stelle fisse lascia una latitudine residua di 3’ 29” settentrionale (10117), mentre quella solare la riduce a 0’ 33” australe (10118–10119). L’autore conclude che la rifrazione adottata era eccessiva in un caso e insufficiente nell’altro, proponendo un valore intermedio di 3’ 36” (10121–10122).

33.2 Determinazione della distanza di Marte

Il testo passa poi al calcolo della distanza di Marte dal Sole, utilizzando un modello geometrico. Marte è posizionato a 8° 46’ di longitudine (10123–10124), e viene costruito un triangolo con: - O (Sole), - A e B (posizioni della Terra nelle due osservazioni), - M (Marte).

Le linee OM, OA e OB formano angoli noti: - MAO = 28° 41’ 14” (10130–10132), - OA = 101365 (unità non specificate, probabilmente raggi terrestri o unità kepleriane, 10133).

Assumendo una distanza iniziale OM = 154200 (10134), l’angolo OM risulta di 15° 31’ 3” (10135–10136). Tuttavia, nella seconda osservazione, OM deve essere ridotta perché Marte è più vicino: un grado di differenza nell’eccentricità modifica la distanza di 240 unità (10138). Poiché la differenza nelle longitudini medie è di 13’, e sottraendo la precessione rimane 8’, la correzione proporzionale è di 32 unità (10139), portando OM a 154168 (10140).

Infine, noto l’angolo OBM = 38° 0’ 40” (10141–10142) e OB = 98232 (10143), il modello geometrico permette di verificare la coerenza delle misure.

33.3 Significato storico e metodologico

Questo testo testimonia il metodo empirico e iterativo di Keplero, che combina osservazioni, correzioni per effetti atmosferici e modelli geometrici per affinare le misure astronomiche. La discrepanza tra i due metodi di rifrazione (“hinc justo plus fuit in nostra refractione suscepta, inde minus”, 10120) riflette la difficoltà di quantificare fenomeni ottici con strumenti dell’epoca. La scelta di un valore intermedio (“Intermedia itaque refractio Justa”, 10121) mostra un approccio pragmatico, tipico della rivoluzione scientifica del XVII secolo, in cui l’accuratezza delle misure era limitata ma migliorabile attraverso il confronto sistematico.

34 Correzione delle osservazioni di Marte e rifinitura del modello orbitale

Un’analisi meticolosa delle discrepanze tra previsioni e misurazioni porta a ricalibrare la distanza tra i punti orbitali di Marte, con implicazioni per la teoria eliocentrica.

Il testo presenta una serie di calcoli e osservazioni astronomiche finalizzate a perfezionare la descrizione dell’orbita di Marte, confrontando dati empirici con le previsioni teoriche. L’autore registra una discrepanza di 9 minuti d’arco tra la posizione attesa e quella osservata del punto OM (probabilmente un riferimento a un nodo orbitale o a un punto di intersezione tra orbite), come evidenziato in: «Quare OM secunda vice in 15°. 40” 9” lll, differens a priori loco eccentricoper 9’ minuta» (10148). La differenza risulta leggermente superiore a quanto atteso («Debuit differre paulo amplius», 10149), poiché le anomalie medie differivano solo di «8’. 3”» (10150-10151).

Il nucleo del ragionamento verte sulla necessità di aggiustare la distanza tra le linee rappresentate da OM, aumentando la separazione di circa «2½ minuti» (10161) per allineare le osservazioni. L’autore propone una correzione specifica: «Terra enim in A versante, debet OM in antecedentia moveri; et in consequentia, Terra in B. Id autem fit, si OM attuleris: Vt primo loco sit 15°44’0, secunda vice 15°43’68» (10162). Questo aggiustamento porta OM a cadere rispettivamente in «15°. 29’ 34“» (10163-10164) e «15°. 42’ 18”» (10165-10167), valori coerenti con le anomalie medie registrate («87°. 9’ 24”» e «87°. 16’ 30”», 10168-10172).

Il testo sottolinea l’importanza di osservazioni ripetute e validate per consolidare il modello. Viene citata un’osservazione chiave del dicembre 1595 («anni MDXCV mense Decembri», 10173), confermata da dati raccolti in giorni consecutivi e supportata da una «hypothesis Vicaria» (probabilmente un modello ausiliario) che riproduceva con precisione la posizione acronittica di Marte nell’ottobre precedente. Per coerenza, si menziona anche un’osservazione dell’ottobre 1597 («Octobrem anni MDXCVII», 10174), benché per altri anni non siano disponibili dati comparabili a causa di limitazioni osservative: «Anno MDLXXXII in Octobrem incidit ejus in hunc locum adventus, cum nondum ferveret observandi studium; […] quibus temporibus Soli vicinus ob brevitatem et claritatem noctium in Dania, neglectus fuit» (10177). La scarsità di dati è attribuita alla vicinanza di Marte al Sole durante alcuni periodi, che ne rendeva difficile l’osservazione, o alla priorità data ad altri corpi celesti («cum stellis Fixis, Lunae, Planetisque reliquis […] essent intenti», 10177).

Un esempio concreto di misurazione è fornito per il 17 dicembre 1595 («anni MDXCV d. XVII Dece.», 10179), quando Marte fu osservato alle «H. VII M. VI» in «11°. 31’ 27“» di longitudine, con una latitudine boreale di «1°. 40’ 44”» (10180-10183). La posizione del Sole era «5°. 39’ 3”», e la distanza di Marte dalla Terra era stimata in «98200» unità (10184-10185). Da questi dati si ricava una longitudine media di Marte pari a «2°. 4’. 22”» (10186-10188), valore che contribuisce a definire la geometria orbitale.

L’analisi rivela una tensione tra teoria e osservazione, risolta attraverso correzioni sistematiche. L’autore dimostra come piccoli scarti (dell’ordine di minuti d’arco) possano accumularsi in errori significativi, richiedendo una revisione dei parametri orbitali. Il metodo adottato — basato su misurazioni ripetute, confronto con modelli ausiliari e aggiustamenti incrementali — riflette un approccio empirico tipico della rivoluzione astronomica del XVI-XVII secolo, volto a superare le limitazioni dei modelli tolemaici.

35 L’orbita di Marte e le osservazioni di Keplero: calcoli, anomalie e testimonianze storiche

Un’analisi meticolosa delle posizioni di Marte, basata su dati numerici e confronti tra osservazioni, rivela la precisione e i limiti del modello eliocentrico kepleriano.

Il testo presenta una serie di calcoli astronomici relativi all’orbita di Marte, condotti con l’obiettivo di verificare la coerenza tra le osservazioni e il modello teorico proposto. Il nucleo del ragionamento ruota attorno alla posizione dell’afelio (il punto dell’orbita più lontano dal Sole) e alla distanza angolare di Marte da esso, espressa in gradi, minuti e secondi d’arco. Le frasi (10189)-(10191) definiscono l’afelio a **4° 5• 28’ 58’ 10“, mentre la distanza di Marte da questo punto è indicata come 86° 53’ 48” (10192)-(10194), con un confronto con una posizione precedente quasi identica: “Prius pene erat eadem porro, nempe 87° 9’ 24”“ (10195)-(10196). La conclusione “Ergo haec duo loca pene absunt aequaliter ab aphelio” (10197) sottolinea la simmetria delle posizioni rispetto all’afelio, un dettaglio cruciale per la validazione del modello.

Il testo introduce poi il concetto di anomalia coequata, ovvero la correzione dell’anomalia media per tenere conto dell’eccentricità dell’orbita. L’anomalia coequata è calcolata in 76° 25’ 48“ (10198)-(10199), e sottratta dalla posizione dell’afelio lascia un **angolo di 12° 32’ 22” (10200)-(10202), che rappresenta la posizione eccentrica di Marte (“nlocum Martis eccentricum”).

Segue una dimostrazione geometrica basata su un triangolo definito dai punti Terra (A), Sole (O) e Marte (M). Le distanze e gli angoli sono specificati con precisione: - La distanza Terra-Sole (AO) è fissata a 98200 (unità non esplicitate, probabilmente parti di un raggio orbitale standardizzato) (10204). - L’angolo AMO (tra Marte, Terra e Sole) è di 31° 0’ 55“ (10206)-(10208), derivato dalle posizioni di OM (“in 12° 32’ 22” II”) e AM (“in 11° 31’ 27” ~“) (10205). - L’angolo complementare OAM risulta 54° 1’ 40” (10214)-(10215), e da questi dati si ricava la distanza Sole-Marte (OM) come 154432 (10218), applicando la relazione trigonometrica ”ut sinus AMO ad AO, sic sinus complementi OAM ad OM”.

Un passaggio critico riguarda la correzione della distanza in base alla vicinanza all’apogeo (il punto dell’orbita più lontano dalla Terra). Poiché la posizione del 1615-1617 è 15’ più vicina all’apogeo rispetto a quella del 1589, e “hoc eccentri loco unus gradus efficit 240 particulas”, si sottraggono 60 particulae (10219), ottenendo una distanza corretta di 154372. Questa correzione riflette il principio che “distantiae ab aphelio, in locis remotioribus, sunt breviores”, evidenziando la non uniformità dell’orbita.

Il testo affronta poi l’inclinazione orbitale di Marte rispetto al piano dell’eclittica. Il nodo ascendente è posto a 16° 20’ ~ (10220)-(10221), e la distanza angolare da esso è di 26° 12’ (10223). L’inclinazione massima dei piani orbitali è di 1° 50’ (10225)-(10226), da cui si deriva un’inclinazione locale di 48’ 32“ (10227)-(10228). Il secante di questo angolo supera il raggio di 10 particulae, equivalenti a 15 1/2 nella scala di misura adottata (10229)-(10230), portando la distanza finale Sole-Marte a 154387. Il confronto con una distanza precedente (“154400 proxime”) (10231) mostra una differenza di sole 13 particulae, considerata trascurabile: “sunt impraestabiles” (10234). La tolleranza dichiarata è di 100 particulae (“Gaudebo, si intra 100 particularum incertitudinem ubique consistere potero”), (10235), un margine che riflette la consapevolezza dei limiti strumentali e teorici dell’epoca.

La parte finale del testo assume un tono più narrativo, introducendo osservazioni dirette relative all’anno 1597 (10236). L’obiettivo non è tanto confermare i calcoli precedenti (“non tam ad confirmanda priora quae sunt per sese certissima”), quanto offrire al lettore un confronto tra le osservazioni di Tycho Brahe e quelle di altri astronomi. Keplero sottolinea il debito verso Brahe, “quanto nos beneficio vir ille affecerit”, (10236), riconoscendo il valore delle sue misurazioni, anche quando condotte in condizioni non ideali (“radio capta in loco peregrino”) (10237). Le discrepanze nei dati (“diversissimae eodem momento distantiae”) (10238) sono attribuite a correzioni non uniformemente applicate.

Segue un resoconto dettagliato di osservazioni personali condotte da Keplero in Stiria, in contemporanea con Brahe (che si trovava sul Baltico), il 29 ottobre 1597 (10242)-(10243). La posizione di Marte è descritta con riferimento alle stelle fisse: - “Mars nondum erat in linea ex duodecima Geminorum in quartam” (10244), indicando che il pianeta non era ancora allineato tra la 12ª stella dei Gemelli e la 4ª di un altro asterismo. - Il giorno successivo, Marte era “egressus illam: vicinior nonae quam duodecimae”, e allineato “ex in” e “ex in” (10245), con la quinta stella come punto mediano tra la prima e Marte (10246).

La determinazione della posizione di Marte si basa sul catalogo stellare di Brahe, “certissimis stellarum locis ex catalogo TYCHONISBRAHEI” (10247), ma emerge un problema: la “Nona” stella non è inclusa nel catalogo, sostituita da un’altra “distans a Ptolemaica ultra 3 gradus” (10248). Keplero ricorre quindi alla latitudine di Marte come parametro ausiliario, ritenendo sufficiente una “mediocris ejus cognitio” (10249)-(10250). La longitudine media di Marte per la mattina del 29 ottobre è infine calcolata, chiudendo il ciclo di osservazioni.

Il testo testimonia un momento cruciale nella storia dell’astronomia: la transizione da modelli geometrici approssimativi a una descrizione quantitativa e predittiva delle orbite planetarie. La precisione dei calcoli, pur con i limiti dichiarati, e il ricorso sistematico a dati osservativi riflettono il metodo scientifico kepleriano, che avrebbe poi portato alla formulazione delle tre leggi del moto planetario. La menzione di Brahe, infine, non è solo un omaggio, ma un riconoscimento del ruolo fondamentale delle osservazioni empiriche nel superare i dogmi aristotelici e tolemaici.

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36 Osservazioni astronomiche su Marte e calcolo della sua distanza dal Sole

Un resoconto di misurazioni e calcoli geocentrici ed eliocentrici per determinare la posizione e l’orbita di Marte nel XVI secolo.

Il testo riporta una serie di osservazioni e calcoli relativi alla posizione di Marte, condotti in due distinti periodi: il 25 novembre 1584 e tra il 12 e il 20 novembre di un anno non specificato (presumibilmente successivo). L’autore si concentra su dati angolari, distanze e anomalie orbitali, con l’obiettivo di determinare la distanza di Marte dal Sole e la sua posizione nel piano dell’eclittica.

36.1 Prima osservazione: 25 novembre 1584

L’osservazione iniziale fissa la posizione di Marte in “15°.49’” (10419) con una latitudine non esplicitamente dettagliata, ma menzionata come “12” IL Lat.“ (10420) e “l°” (10421), probabilmente riferita a una latitudine boreale. L’angolo geocentrico (tra Terra, Marte e Sole) è calcolato in “76°” (10423), mentre l’angolo eliocentrico (tra Marte, Sole e Terra) risulta “36°.29’” (10425-10426). Da questi dati, la distanza di Marte dal Sole è stimata in “162994” (10428), specificando che si tratta della distanza “del punto nel piano dell’eclittica che è perpendicolare al corpo di Marte” (10428). L’autore sottolinea la necessità di confermare il risultato con un’ulteriore osservazione (“Sed et huic securitatis causa adjungatur observatio alia”, 10429).

36.2 Seconda osservazione: 12-20 novembre (anno non specificato)

La seconda serie di misurazioni si concentra su tre date: 1. 12 novembre: Marte è osservato “hora XIII M. XXVI” (10436) in “23°.14’.5”” (10437-10439) con una latitudine boreale di “2°.12’.24”” (10440-10441). 2. 20 novembre: alle “hora 18°.30’ astronomice” (10444-10445), il pianeta appare in “26°.0’.30”” (10445-10447), con uno spostamento di “2°.46’.25”” (10448-10449) in “8 giorni e 5 ore” (10447). 3. Data intermedia: si introduce un confronto con dati di “MAGINO” (10450), probabilmente un astronomo coevo, che riporta uno spostamento di “2°.48’” (10451). L’autore corregge il proprio calcolo aggiungendo “1°.21’” (10454-10455) per allinearsi ai dati precedenti, arrivando a una posizione stimata di “27°.21’.30”” (10456-10458).

Da queste misure, si ricalcola l’angolo geocentrico in “73°.21’” (10459-10460) e quello eliocentrico in “35°.18’.46”” (10461-10462). La distanza di Marte dal Sole risulta “163051” (10463), con una differenza di “57” rispetto alla prima stima (10428), attribuita a “una minima variazione della posizione dell’eccentrico” (10463). L’autore conclude che il metodo utilizzato non è “fedele fino all’ultimo scrupolo” (10463), evidenziando i limiti della precisione strumentale.

36.3 Significato storico e metodologico

Il testo testimonia la transizione tra modelli geocentrici e eliocentrici, tipica della rivoluzione astronomica del XVI secolo. Le misurazioni angolari e le distanze sono espresse in un sistema misto, con riferimenti alla precessione degli equinozi (“praecessionem 9’.45” subtrahas“, 10433) e alla longitudine eclittica. La citazione di ”MAGINO” (10450) suggerisce un confronto tra osservatori, pratica comune nell’astronomia pre-kepleriana. La distanza di Marte dal Sole (~163.000 unità, probabilmente raggi terrestri) riflette un tentativo di quantificare le dimensioni del sistema solare, benché con approssimazioni dovute agli strumenti dell’epoca.

L’attenzione ai dettagli angolari (scrupoli, minuti, secondi) e la correzione delle discrepanze (“levissima mutatione loci eccentrici”, 10463) rivelano un approccio rigoroso, seppur vincolato dalle conoscenze del tempo. La menzione dell’“anomalia media” (10432) e del moto dell’afelio (“aphelii motus est paulo admodum velocior”, 10432) anticipa i futuri studi sulle orbite ellittiche.

37 La precisione delle osservazioni e la correzione dell’orbita marziana in Keplero

Un’analisi meticolosa delle discrepanze tra dati osservativi e modelli teorici, dove l’errore di un minuto d’arco diventa testimonianza della rivoluzione copernicana.

Il testo estratto dal De Motibus Stellae Martis di Keplero documenta il processo di affinamento del modello orbitale di Marte, rivelando come anche minime imprecisioni nelle osservazioni (“Sed et in applicatione observationis peccari levissimum aliquid facile potuit”) potessero influenzare i calcoli. L’autore confronta sistematicamente le distanze calcolate attraverso due metodi: la prosthaphaeresis (correzione trigonometrica) e le “purae observationes”, ottenendo valori leggermente divergenti (1631°° vs. 162818 nel piano dell’eclittica). Questa differenza, apparentemente trascurabile, assume rilevanza storica poiché riflette la transizione da modelli geometrici approssimativi (come quelli tolemaici) a un approccio empirico basato su dati osservativi diretti.

Il nucleo del ragionamento ruota attorno alla correzione dell’anomalia media e alla posizione dell’afelio. Keplero riporta dati precisi per due osservazioni chiave: 1. 11 febbraio 1589 (“anno MDLXXXIX D. XI Feb. mane hora V 4 0 M. XIII”), con longitudine media di Marte a 6s • 12° 38’.44” e afelio a 4s • 28° 50’.57”. 2. 11 novembre (probabile riferimento a un’osservazione successiva), dove l’anomalia media di 43° 47’.48” risulta “humilior quam prior nostra, per minuta 4’”, corrispondente a una distanza di circa 163100 unità (contro i 163051 del semicerchio precedente).

La correzione del locus eccentrici emerge come tema ricorrente: Keplero nota che le osservazioni degli anni 1585-1590 (“observationes annorum MDLXXXV. MDLXXXVII. MDLXXXIX. MDXC”) impongono di sottrarre 1’30” alla posizione calcolata dal modello “vicaria” (un’approssimazione preliminare). Questa correzione non è uniforme: per il 1589 in 5° ♐, si riduce a 2’1/5’, mentre nel 1591 in 2° ♐ si limita a 1’. La costanza di tali aggiustamenti (“hoc sic constans est circa longitudinem mediam”) suggerisce una sistematicità negli errori del modello, che Keplero attribuisce alla necessità di abbandonare l’ipotesi circolare per un’orbita ellittica.

Particolarmente significativo è il confronto tra i due semicerchi orbitali (ascendente e discendente). Nel semicerchio discendente, per un’anomalia media di 11°37’, la distanza è di 166180 unità (“166180 vel 08”), mentre nel semicerchio ascendente (osservazione del 24 gennaio 1585) la distanza cala a Keplero sottolinea come la sottrazione di 1’30” al modello vicario (“si vicariae hypothesi hic adimas 1’.30” scrupula”) porti a una coerenza tra i dati, evidenziando la asimmetria dell’orbita che sfugge ai modelli circolari.

I dati tecnici — come la latitudine di Marte (4°31’ bor.), gli angoli al centro (9°0’.2.5” alla Terra, 5°20’.30” al pianeta) e le coordinate eclittiche — non sono mere registrazioni, ma prove della necessità di riformulare le leggi del moto planetario. La ripetuta menzione di capitoli precedenti (“capite XXVII”, “capite XVIII”) dimostra come Keplero costruisca la sua argomentazione su un corpus di osservazioni pluriennali, dove ogni discrepanza diventa un tassello per superare il paradigma tolemaico. L’insistenza sulla “impraestabili propinquitate” (prossimità inaspettata) tra valori corretti e osservati anticipa la formulazione delle leggi che porteranno alla prima legge di Keplero (orbite ellittiche).

38 La determinazione delle distanze di Marte dal Sole nelle osservazioni di Keplero

Un’analisi meticolosa delle misurazioni orbitali di Marte, basata su dati osservativi e calcoli geometrici, rivela le sfide e le correzioni necessarie per stabilire la distanza del pianeta dal Sole.

Il testo presenta una serie di osservazioni e calcoli relativi alla posizione di Marte, condotti tra il 1586 e il 1591, con l’obiettivo di determinarne la distanza dal Sole e la geometria orbitale. L’autore – verosimilmente Keplero, data la struttura e il contesto – affronta il problema dell’opposizione acronica (10510), ovvero la configurazione in cui Marte è in opposizione al Sole rispetto alla Terra, ma visibile solo all’alba o al tramonto. In questa condizione, l’angolo tra Marte e il Sole, visto dalla Terra, è stimato in “50° 19′ e 16″” (10510), mentre la distanza di Marte dal Sole è calcolata in “166580” unità (probabilmente raggi terrestri o una scala proporzionale).

La variabilità delle distanze emerge come tema centrale. L’autore osserva che “facile hic mutatur distantia, ob Martis et Terrae propinquitatem” (10512), sottolineando come la vicinanza tra Marte e la Terra renda le misurazioni particolarmente sensibili a piccole variazioni. Per ridurre l’incertezza, vengono introdotte “loca alia” (10513), ovvero osservazioni supplementari in date diverse, al fine di verificare la coerenza dei risultati.

38.1 Dati osservativi e correzioni

Le osservazioni sono riportate con precisione cronologica e posizionale: - 16 dicembre 1586 (10514): il Sole è a “4° 16′ 51″”, la Terra dista “98200” unità, e la longitudine media di Marte è “4s 18° 39′ 9″”. La distanza di Marte dal Sole è calcolata in “166311”, ma corretta a “166208” dopo una sottrazione di “1′ 30″” dal “loco eccentrico” (10521-10522). L’autore nota che la distanza è “minor in priore distantia ab aphelio” (10523), con una differenza di “70 particulis” (10524), proponendo valori alternativi: “166241” o “166138” (10525). - 6 novembre 1588 (10526): il Sole è a “24° 3′ 43″”, la Terra dista “98630”, e la longitudine media di Marte è “4s 20° 47′ 35″”. La distanza finale di Marte dal Sole è “166511”, ridotta a “166396” dopo correzioni, con una discrepanza di “150” unità rispetto alla prima osservazione (10541). L’autore suggerisce che l’errore possa derivare da una “retractio aphelii” (10542), ovvero una correzione della posizione dell’afelio marziano. - 13 maggio 1591 (10548): il Sole è a “2° 8′ 43″”, la Terra dista “101487”, e la longitudine media di Marte è “8s 22° 18′ 4″”. La distanza di Marte dal Sole è calcolata in “147802” o “147683” (10558), con un errore di “120 particulas” attribuito a un “scrupuli errore” nel calcolo del “loco eccentrico” (10558). L’autore avverte che “minima hic non sunt persequenda” (10559), data la difficoltà delle misurazioni in prossimità del perigeo.

38.2 Confronto tra semicircoli orbitali

Un aspetto cruciale è il confronto tra le distanze di Marte dal Sole nei due semicircoli orbitali (ascendente e discendente rispetto all’afelio). L’autore osserva che, “proxime aphelium”, le distanze sono “easdem invenimus […] in eadem utriusque semicirculi habitudine ad aphelium” (10543), suggerendo una simmetria orbitale. Tuttavia, emergono discrepanze: - Per un’anomalia media di “113° 24′” nel semicircolo ascendente, la distanza è stimata in “147743” o “148000” (10583-10584), mentre nel semicircolo discendente è “147820” (10585). La differenza è di “350” o “180 particulas” (10587-10588), giudicata “nullius” o “incertiuscula” (10589), anche a causa della “humilitas Zodiaci” (10590) e di altre difficoltà osservative.

38.3 Metodologia e incertezze

L’autore adotta un approccio empirico-correttivo, basato su: 1. Osservazioni multiple (1586, 1588, 1591) per ridurre gli errori sistematici. 2. Correzioni geometriche, come la sottrazione di valori dal “loco eccentrico” (10521) o la “retractio aphelii” (10542). 3. Analogia tra osservazioni vicine (10554), per stimare posizioni non direttamente misurate. 4. Confronto tra semicircoli, per verificare la coerenza della distanza in punti simmetrici dell’orbita.

Le fonti di incertezza includono: - La “propinquitas” tra Marte e Terra (10512), che amplifica gli errori di misura. - La vicinanza al Sole in opposizione (10558), che rende difficile osservare Marte. - La scarsità di osservazioni con Marte in posizione occidentale (10544-10545), che limita la verifica dei dati.

38.4 Significato storico

Il testo riflette il metodo scientifico di Keplero nella fase di transizione tra il modello tolemaico e la formulazione delle leggi del moto planetario. Le misurazioni riportate sono parte del lavoro che porterà alla seconda legge di Keplero (le aree uguali in tempi uguali), dimostrando: - L’abbandono dell’orbita circolare perfetta, con l’introduzione di correzioni eccentriche. - L’uso di dati osservativi grezzi (come le posizioni di Arturo e Spica per il calcolo dell’ascensione retta, 10517) per derivare parametri orbitali. - La consapevolezza dei limiti strumentali, con errori quantificati in “particulae” e la necessità di mediare tra valori discordanti.

Le discrepanze residue (es. “150” unità tra osservazioni del 1586 e 1588) anticipano la ricerca di una legge matematica che spieghi la forma dell’orbita, culminata nell’Astronomia Nova (1609). Il testo testimonia quindi un momento cruciale nella storia dell’astronomia, in cui l’accuratezza delle misurazioni diventa il banco di prova per nuove teorie.

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39 L’analisi kepleriana delle orbite di Marte: precisione osservativa e correzione dei modelli eccentrici

“La scienza procede per approssimazioni successive, dove l’errore di un minuto d’arco può alterare le distanze di cinquanta parti su mille.”

Il testo presenta una dettagliata analisi delle osservazioni di Marte condotte da Johannes Kepler tra il 1582 e il 1587, con particolare attenzione alla correzione dei modelli orbitali eccentrici. L’autore (presumibilmente lo stesso Kepler) confronta dati osservativi con previsioni teoriche, evidenziando discrepanze e proponendo aggiustamenti metodologici.

39.1 Correzione dei parametri orbitali e precisione osservativa

Il nucleo concettuale ruota attorno alla necessità di correggere i valori eccentrici derivati da un modello “vicario” (probabilmente un’approssimazione precedente). Le frasi (10935) e (10938) stabiliscono due principi fondamentali: - “È certo, attraverso quattro giorni di osservazioni, che in questo luogo si debba sottrarre circa 1 minuto e mezzo ai luoghi eccentrici, ricavati dalla nostra vicaria”. - “È evidente che se l’angolo [simbolo] è viziato da un solo minuto, entrambe le distanze risultano alterate di circa 50 parti, non di più”.

Queste affermazioni rivelano una sensibilità estrema alla precisione: un errore di 1 minuto d’arco nell’angolo osservato si traduce in un’incertezza di ~50 unità (su una scala di 000) nelle distanze Terra-Marte. La frase (10939) sottolinea la riduzione dell’incertezza: “In queste distanze, a malapena si può sbagliare di un centesimo della precedente incertezza”, indicando un miglioramento di due ordini di grandezza rispetto a stime precedenti.

39.2 Validazione del modello attraverso osservazioni pluriennali

Kepler utilizza osservazioni distribuite su più anni per testare la coerenza del modello: 1. Opposizione del 1585: Le frasi (10952-10953) descrivono l’opposizione di Marte del 31 gennaio 1585, con osservazioni intensive nei due mesi precedenti e successivi. I dati raccolti (latitudine, longitudine eclittica, distanza dalla Terra) sono elencati in tabelle (10960-10985), dove emergono discrepanze tra valori attesi e osservati: - “Le due medie differiscono di 118 [unità], mentre avrebbero dovuto differire di 187 in direzione opposta” (10986-10987). - La correzione proposta sposta i valori calcolati a 18°48’47“ e 23°34’48” (10988-10992)**, confermando la validità del modello vicario con un aggiustamento minimo.

2. Osservazioni del 1582-1583: Le tabelle (11004-11029) riportano dati per il novembre-dicembre 1582 e gennaio 1583, con colonne che confrontano:
   • Locus eccentricus (posizione calcolata),
   • Locus observatus (posizione misurata),
   • Differentia (scarto tra i due, espresso in minuti d’arco). Ad esempio, il 26 gennaio 1583 (11020-11028) mostra uno scarto di -2’33”, evidenziando una sistematica sottostima del modello.
3. Dati del 1584-1587: Le tabelle successive (11030-11050) estendono l’analisi a osservazioni sparse, come il 21 dicembre 1584 (scarto di +3’31“) e il 24 gennaio 1585 (scarto di -4’31”). La frase (11000)** quantifica la discrepanza attesa: “Dovevano differire di 488 [unità] secondo l’ipotesi delle distanze, abbastanza certa e preconosciuta, mentre differiscono di 570”.

39.3 Meccanismi di correzione e ipotesi fisiche

Kepler propone due strategie per riconciliare teoria e osservazioni: 1. Aggiustamento dell’eccentricità: La frase (10998) suggerisce che “se si sottrae un minuto al quarto [del segno zodiacale]”, la distanza calcolata (lX&) si riduce di 100 unità, portandola a 164.934 (contro un valore osservato di 166.206). Un aggiustamento di 2’30” (10999) permetterebbe di allineare i dati del 1583 e 1585. 2. Distribuzione dell’errore: La frase (11001) ipotizza che “quella variazione del luogo eccentrico di 2’30” possa essere trasferita per metà alle osservazioni“, mentre (11002) precisa che ”se una delle due [osservazioni] erra di un minuto, ciò può causare un errore di 50 parti in entrambe le distanze”.

Un elemento peculiare è l’attenzione alla posizione zodiacale: la frase (10997) nota che “il quarto del Leone è vicino al diciottesimo del Cancro, dove prima si doveva sottrarre qualcosa al luogo eccentrico della vicaria”, suggerendo una dipendenza della correzione dalla longitudine eclittica.

39.4 Significato storico e metodologico

Il testo testimonia: - La transizione dai modelli tolemaici a quelli kepleriani: L’uso di un modello “vicario” (probabilmente basato su deferenti ed epicicli) e la sua successiva correzione riflettono il passaggio verso le orbite ellittiche, formalizzate nelle Leggi di Kepler (1609-1619). - La precisione strumentale dell’epoca: L’errore di 1 minuto d’arco era il limite pratico degli strumenti del XVI secolo (come i quadranti di Tycho Brahe), e Kepler ne quantifica l’impatto sui calcoli orbitali. - Il metodo induttivo: L’autore non si limita a registrare dati, ma li usa per validare o falsificare ipotesi, come nella frase (10940): “Se una certa longitudine assunta delle distanze soddisfa le osservazioni di questi quattro giorni, essa esprimerà anche le osservazioni dei giorni intermedi”.

39.5 Dati tecnici rilevanti

• Unità di misura: Le distanze sono espresse in parti per 000 (es. 98.210, 166.206), mentre gli angoli usano gradi (°), minuti (’) e secondi (“).
• Coordinate: Le posizioni di Marte sono date in longitudine eclittica (es. 61°, 18°49’0”) e latitudine boreale (es. 4°31’ Bor.).
• Opposizioni osservate: Le date chiave includono 31 gennaio 1585 (opposizione), 27 novembre 1582, e 26 gennaio 1583.
• Anomalie medie: Valori come 29°46’53“ e 12°4’21” (10980-10981)** sono parametri orbitali usati per calcolare le posizioni.

39.6 Ambiguità e limiti

• Simboli non decifrati: Termini come lX&, lX’Y), o ~’Y) non sono immediatamente chiari, ma sembrano riferirsi a parametri orbitali specifici (forse distanze o angoli).
• Errori di trascrizione: La frase (10940) riporta un anno errato (MDLXXXV invece di 1583), mentre (10955) elenca date in formato criptico (IV Februarii I XII Martii Decemb.).
• Ipotesi sottintese: Non è esplicitato il modello “vicario” di partenza, né come vengano calcolate le distanze Terra-Marte.

Il testo rappresenta un esempio paradigmatico della scienza osservativa del Rinascimento, dove la precisione quantitativa si scontra con i limiti strumentali, spingendo verso modelli sempre più raffinati.

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40 La correzione kepleriana dell’orbita di Marte: dalla latitudine lunare alla scoperta della librazione

Un passaggio cruciale nell’Astronomia Nova in cui Keplero, attraverso l’analisi delle discrepanze tra osservazioni e modello tolemaico, giunge a ipotizzare la natura non circolare dell’orbita marziana e la necessità di una “librazione” lungo il diametro dell’epiciclo.

Il testo rappresenta un momento chiave nella terza parte dell’Astronomia Nova (1609), dove Keplero affronta le incongruenze del modello tradizionale per spiegare il moto di Marte. L’analisi parte dalla latitudine lunare (una correzione angolare) derivata nel capitolo XLV, che aveva prodotto un valore di “partium 858, qualium circuli semidiameter est 100000” (11227). Questo dato, tuttavia, si rivelava eccessivo: Keplero deduce che solo metà di tale valore (“dimidiam tantum assumendam, scilicet 429, correctius 432”) fosse da considerare, corrispondente a circa “660” unità nella scala in cui il raggio dell’orbita marziana era fissato a “152350” (11230).

La svolta avviene quando Keplero, “dum versor anxie” (11231), si imbatte casualmente nella secante dell’angolo di 5°18’ (11231-11232), che misura “100429” (11234) — valore coincidente con l’equazione ottica massima (la correzione angolare dovuta alla parallasse). Da qui nasce l’intuizione: “In longitudinibus mediis, aequationis pars Optica fit maxima” (11235), e parallelamente, “lunula seu curtatio distantiarum est maxima” (11236), ovvero la riduzione apparente della distanza di Marte dal Sole raggiunge il suo picco proprio dove l’equazione ottica è più marcata. La correlazione è quantitativa: l’eccesso della secante (“100429”) rispetto al raggio (“100000”) corrisponde esattamente all’entità della “curtatio” osservata.

Keplero generalizza il risultato: sostituendo la secante con il raggio nelle longitudini medie (“si pro secante usurpetur radius”), si ottiene un accordo perfetto con le osservazioni (11237). Questa modifica si estende a tutto il modello geometrico: nei diagrammi dei capitoli precedenti (come il XL e il XXXIX), le linee di riferimento (HA, VA, EA) devono essere ricalcolate come HR, VR, EB (11238), applicando sistematicamente la correzione. Il passaggio è cruciale perché implica che l’orbita di Marte non è un cerchio perfetto, ma subisce una librazione (oscillazione) lungo il diametro dell’epiciclo, orientato costantemente verso il Sole (“Planetam in diametro quasi epicycli […] librationem aliquam perficere”, 11242).

L’ipotesi risolve una contraddizione che aveva tormentato Keplero nel capitolo XXXIX: nel modello circolare, le parti della librazione (y~ e À~) risultavano “inaequales” (11244), con le somme brevi e gli estremi lunghi. Abbandonando l’ipotesi del cerchio e adottando le nuove linee corrette (X<X., f.L<X. al posto di o<X., E<X.), le parti della librazione diventano “aequales” (11246), come richiesto dalla coerenza fisica. Il problema, che “diu nos torserat” (11249), si trasforma così in una prova della verità del nuovo modello.

Rimaneva una difficoltà: le parti centrali della librazione (Xf.L) risultavano ancora maggiori degli estremi (yx, f.L~), ma Keplero rimanda la spiegazione al capitolo LVII, sostenendo che ciò fosse “naturae consentaneum” (11250). Allo stesso modo, svanisce un’altra obiezione del capitolo XXXIX: l’aumento apparente del diametro solare non poteva più essere interpretato come segno di avvicinamento/recessione del pianeta (11252), poiché la librazione spiegava già le variazioni di distanza.

Il metodo viene validato attraverso osservazioni ripetute: Keplero calcola le anomalie eccentriche (CBG, CBH) per le posizioni di Marte descritte nei capitoli LI e LIII (11258), utilizzando le equazioni dei capitoli precedenti (da XIX a L, 11260-11266) con un margine di errore inferiore a “minuta octo” (11268). La distanza corretta (EB) sostituisce quella del cerchio perfetto (EA), confermando che la regola scoperta per un caso specifico (“anomaliae eccentri 90°”, 11253) vale per tutte le posizioni.

Il testo testimonia il passaggio epocale da un’astronomia basata su cerchi perfetti a una fondata su orbite variabili e cause fisiche. La “librazione” lungo il diametro dell’epiciclo anticipa, in forma embrionale, la prima legge di Keplero (l’ellitticità delle orbite), mentre l’uso della secante per correggere le distanze prefigura il ruolo centrale della trigonometria nella nuova meccanica celeste. La cronaca di questo processo — fatto di frustrazione (“futilem fuisse meum de Marte triumphum”, 11231), illuminazioni improvvise (“quasi e somno expergefactus”, 11234) e conferme empiriche — rivela la natura rivoluzionaria del metodo kepleriano: un intreccio di geometria, osservazione e ragionamento fisico che avrebbe ridefinito la scienza moderna.

41 La teoria kepleriana della librazione di Marte: tra osservazione e principio fisico

“Appare dunque dalle osservazioni certissime che la traiettoria del Pianeta nell’etere non è un cerchio, ma una figura ovale, e che esso oscilla lungo il diametro di un piccolo epiciclo.”

Il testo estratto dal De Motibus Stellae Martis di Johannes Kepler rappresenta un momento cruciale nella rivoluzione astronomica del XVII secolo, dove l’autore abbandona definitivamente il modello circolare aristotelico-tolemaico in favore di una descrizione fisico-matematica dei moti planetari. Le frasi analizzate documentano il passaggio dalla metodologia osservativa alla formulazione di principi naturali, con particolare attenzione al moto di Marte e al concetto di librazione (oscillazione periodica lungo un diametro).

41.1 1. La rottura con il cerchio perfetto: dati e osservazioni

Kepler fonda le sue conclusioni su un corpus di misurazioni precise, come evidenziato dalle tabelle numeriche (11278) e dai riferimenti ai capitoli precedenti (es. “Ex observationibus cap. LI”, 11279). Le distanze di Marte dal Sole (“distantias Martis a Sole”, 11273) sono calcolate attraverso un metodo di librazione che corregge le discrepanze tra le osservazioni e il modello eccentrico tradizionale. La frase “Vides igitur per omnem eccentrici ambitum, observationibus creberrimis et certissimis confirmari distantias diametrales” (11275) sottolinea come i dati empirici validino la nuova teoria, superando l’ipotesi di un’orbita circolare.

La figura ovale (11280) emerge come soluzione necessaria: “via Planetae […] non sit circulus, sed figurae ovalis”. Kepler introduce qui un concetto rivoluzionario, anticipando l’ellisse delle Leggi successive (1609-1619). La librazione è descritta come un’oscillazione lungo il diametro di un piccolo epiciclo (“libretur in diametro parvi circelli”), che modifica le distanze radiali (“distantias diametrales”) rispetto a quelle circonferenziali (“distantias circumferentialibus”). La differenza tra queste distanze (“differentia […] LX, ÀfL”, 11280) quantifica la deviazione dall’ideale circolare.

41.2 2. Il principio fisico della librazione: tra matematica e natura

Kepler non si limita a descrivere il fenomeno, ma ne ricerca una causa naturale, rifiutando spiegazioni antropomorfiche o finalistiche. La frase chiave è: “Librationis hujus principium probatur esse naturale” (11282). La misura della librazione (“mensura librationis”, 11283) segue il seno verso dell’anomalia eccentrica (“sinus versus anomaliae eccentri”), un’approssimazione geometrica che riflette un processo fisico continuo (“ascensus continua imminutione sensim in descensum mutatur”, 11288), in contrasto con un cambiamento brusco (“subito Planeta proram convertere”, 11289).

La critica al modello mentale è esplicita: la librazione non dipende da una “mens Planetae” (11281, 11290), ma da una “facultas naturalis, aut forte corporalis” (11290). Kepler cerca un meccanismo che spieghi come il pianeta “si adatti allo spazio percorso nell’eccentrico” (“libratio haec sese accommodat ad spacium in eccentrico confectum”, 11281), senza ricorrere a angoli uguali o moti uniformi (“non aequalitate angulorum […] sed fortitudine anguli”, 11287).

41.3 3. L’analogia idrodinamica e i suoi limiti

Per illustrare il principio, Kepler ricorre a un’analogia idrodinamica (11296-11302): un rematore in un fiume circolare che, ruotando il remo con un periodo doppio rispetto al moto del flusso, subisce una spinta variabile. Nel semicerchio discendente (“in descendente”, 11278), la corrente “deprime” la barca verso il centro (“deprimet navem versus A”, 11297), mentre in quello ascendente la “espelle” (“expellet illum a O”, 11299). Questo modello spiega perché la librazione segue spazi uguali nell’eccentrico (“eccentri aequalia spacia”, 11300), con il pianeta che permane più a lungo nelle regioni superiori (“in superioribus Planeta versatur diutius”).

Tuttavia, Kepler riconosce i limiti dell’analogia (11302-11307): - Il periodo del remo (doppio rispetto al flusso) non corrisponde al moto planetario. - La faccia visibile dei pianeti dovrebbe cambiare, ma la Luna (che partecipa dello stesso moto) mostra sempre la stessa faccia alla Terra (“Lunae vero facies […] non mutatur”, 11302). - La forza del flusso è materiale (“vis fluminis sit materialis”, 11303), mentre quella solare è immateriale (“vis Solis immateriata”, 11304).

41.4 4. Verso una spiegazione magnetica

L’insufficienza del modello idrodinamico porta Kepler a ipotizzare una causa magnetica (11309-11314), ispirata dalla Philosophia Magnetica di William Gilbert (11308). La librazione potrebbe derivare da una “dispositio magnetica” intrinseca al corpo del pianeta (“Dispositionem aliquam magneticam in ipso corpore planetae”, 11310), simile all’azione di un magnete. L’esempio della Terra (“Exemplum Telluris”, 11311) suggerisce che i corpi celesti, pur essendo sferici (“rotunda”, 11312), possiedano proprietà fisiche capaci di interagire con la forza solare senza bisogno di “remi corporali” (11305).

41.5 Significato storico e scientifico

Il testo testimonia: 1. Il superamento del dogma circolare: Kepler dimostra che le orbite planetarie non sono cerchi perfetti, ma ovali (poi ellissi), basandosi su dati osservativi. 2. L’integrazione di fisica e astronomia: La librazione non è un artificio matematico, ma un fenomeno naturale con una causa fisica (magnetica o simile). 3. Il metodo induttivo: Le conclusioni derivano da “observationibus certissimis” (11280), non da “rationibus a priori” (11277). 4. L’influenza di Gilbert: L’ipotesi magnetica anticipa la gravità newtoniana, mostrando come le forze a distanza possano spiegare i moti celesti.

Le ambiguità residue (es. la natura esatta della “vis Solis”) riflettono la transizione tra la fisica aristotelica e quella moderna, con Kepler che getta le basi per Newton senza ancora disporre di un quadro teorico completo.

42 Il magnetismo planetario e la dinamica delle orbite: la teoria kepleriana delle librazioni magnetiche

“Un flusso immateriale di virtù magnetica nel Sole governa i moti planetari, trasformando i corpi celesti in giganteschi magneti rotanti.”

Il testo presenta una teoria rivoluzionaria – attribuibile a Johannes Kepler – che interpreta i moti planetari attraverso l’analogia con il magnetismo terrestre, sviluppata in particolare da William Gilbert. L’ipotesi centrale è che i pianeti siano “ingentes quidam rotundi magnetes” (11317), dotati di due poli magnetici: uno rivolto verso il Sole (“Solem persequetur”), l’altro opposto (“a Sole fugiet”, 11321). Questa struttura bipolare spiega le variazioni di distanza tra pianeti e Sole (eccentricità) e i movimenti apparentemente irregolari osservati, come la precessione degli equinozi o la progressione degli afeli.

42.1 La Terra come modello magnetico

Kepler prende la Terra come caso esemplare, citando Copernico e Gilbert. L’asse terrestre, mantenendosi parallelo a sé stesso durante la rivoluzione annuale (“axis telluris annuo centri circumactu sibiipsi […] manet propemodum aequidistans”, 11325), genera le stagioni senza bisogno di “peculiari principio” (11328): l’inclinazione costante dell’asse rispetto al piano orbitale basta a produrre estate e inverno. Solo la lentissima precessione degli equinozi richiede una causa aggiuntiva, ma Kepler minimizza il ruolo di “motoribus Planetae” (11322), suggerendo che anche questo fenomeno possa derivare da proprietà intrinseche del pianeta.

La critica a Copernico è esplicita: questi aveva ipotizzato un meccanismo ad hoc per spiegare l’oscillazione annuale della Terra tra Nord e Sud (“libret”, 11328), necessario per giustificare l’alternanza stagionale. Kepler dimostra invece che “unica constanti directione axis telluris” (11328) si ottengono gli stessi effetti, eliminando la necessità di cause esterne. La librazione (oscillazione) del pianeta lungo l’asse magnetico diventa così un fenomeno naturale, “nihil […] opus sit” (11328) a interventi soprannaturali.

42.2 Il modello magnetico e la dinamica orbitale

Kepler sviluppa un’analogia geometrica tra il moto planetario e il comportamento di un ago magnetico. Il pianeta è rappresentato come un magnete sferico con: - Polo D: attratto dal Sole (“Solis appetens”, 11368). - Polo A: respinto dal Sole (“a Sole fugiens”, 11368). - Asse DA: linea fisica lungo cui si estende la “virtus magnetica” (11368), mantenuta parallela a sé stessa da una forza intrinseca (“vis retentrix”, 11340).

La posizione del pianeta lungo l’orbita determina l’intensità delle forze in gioco: 1. Apsidi (afelio e perielio): l’asse magnetico è allineato con la direzione Sole-pianeta. Qui la “libratio” (oscillazione radiale) è massima: il pianeta si avvicina o allontana rapidamente (“accessus […] fuga est fortissima”, 11334). 2. Punti intermedi (es. C e F): l’asse è perpendicolare alla linea Sole-pianeta. Le forze di attrazione e repulsione si bilanciano (“aequipondium in mechanicis”, 11376), annullando la librazione (“appropinquatio nulla erit”, 11374).

La progressione degli afeli (“progressus apheliorum”, 11330) è spiegata come un effetto secondario della competizione tra: - La tendenza dell’asse magnetico a ruotare verso il Sole (“annutus axis ad Solem”, 11341). - La “vis retentrix” che lo mantiene parallelo, più forte della prima (“multis partibus fortiorem”, 11341).

Nei semicicli orbitali, questa dinamica produce: - In afelio (C): il polo D “annuet parumper in antecedentia” (11357), cioè ruota leggermente in senso antiorario, facendo retrocedere l’afelio. - In perielio (F): il polo D “annuet in consequentia” (11359), ruotando in senso orario e spingendo l’afelio in avanti. La maggiore vicinanza al Sole in perielio (“brevior est AF quam AC”, 11361) rende la rotazione più intensa, causando una progressione netta degli afeli (“apsides progrediantur”, 11362).

42.3 La geometria della librazione magnetica

Kepler formalizza il modello con una dimostrazione geometrica (11367-11380): 1. Si considera un magnete sferico (o il pianeta Marte) con asse magnetico DA. 2. Si traccia una perpendicolare BI all’asse, passante per il centro B. 3. Quando BI punta verso il Sole, le forze di attrazione (polo D) e repulsione (polo A) si equilibrano (“aequipondium”, 11376), corrispondente all’afelio. 4. Ruotando il pianeta di un angolo IC (anomalia coequata), l’asse DA si inclina verso il Sole (punto K). Il polo D forma un angolo DBK con la direzione Sole-pianeta, generando una componente di forza che avvicina il pianeta al Sole (“accessus fit”, 11380).

La velocità della librazione varia con la distanza: “ex intervallo majori lentius ad se mutuo accedunt” (11339), spiegando perché le oscillazioni siano più lente in afelio che in perielio.

42.4 Implicazioni filosofiche e naturali

Kepler riduce il ruolo delle “Mentes” (intelligenze motrici) a un minimo: la “vis retentrix” che mantiene l’asse parallelo è una proprietà naturale del pianeta (“in materia […] potiori jure quaeritur”, 11366), non un intervento divino. L’analogia con il magnete è cruciale: come un ago magnetico devia verso il ferro pur rimanendo orientato verso il polo (“declinat parumper”, 11344), così l’asse planetario cede parzialmente all’attrazione solare senza perdere la sua direzione intrinseca.

L’esempio di Gilbert (11345) è evocativo: la declinazione magnetica terrestre è causata dalla distribuzione asimmetrica di “terrarum tractibus” (regioni continentali), suggerendo che anche le irregolarità orbitali possano derivare da proprietà materiali dei pianeti. Kepler conclude che “eadem opera” (11346) – cioè con lo stesso meccanismo – si spiega sia la librazione che la progressione degli afeli, senza ricorrere a cause oscure o arbitrarie.

42.5 Limiti e contraddizioni

Il modello presenta ambiguità: - La “vis retentrix” è descritta come più forte della tendenza dell’asse a ruotare verso il Sole, ma la sua natura rimane vaga (“naturali vi”, 11349). Kepler ammette che potrebbe essere “multis partibus fortiorem” (11341), ma non ne specifica l’origine. - La progressione degli afeli è spiegata con una spirale (“motus aphelii spiralis”, 11364), ma non è chiaro come questa si concili con la periodicità osservata. - L’analogia magnetica è estesa a tutti i pianeti, ma non si discutono le differenze tra le loro eccentricità o inclinazioni assiali.

Nonostante ciò, il testo rappresenta un passaggio chiave nella transizione dalla fisica aristotelica alla meccanica celeste moderna: sostituisce le sfere cristalline e le intelligenze motrici con forze intrinseche ai corpi, anticipando il concetto di interazione a distanza. La citazione finale (11355) – “Quid mirum, Errones nutibus ire tuis?” (“Perché stupirsi se i pianeti erranti seguono i tuoi cenni?”) – suggella l’idea di un cosmo governato da leggi naturali, non da volontà divine.

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43 La bilancia celeste di Keplero: misura delle forze planetarie e librazione magnetica

Un trattato geometrico e fisico che traduce le leggi del moto planetario in termini di equilibrio meccanico e forze attrattive.

Il testo analizza il moto dei pianeti attraverso una metafora meccanica: la bilancia (libra), strumento chiave per comprendere le dinamiche celesti. Keplero applica principi di statica e proporzioni geometriche per spiegare l’alternanza di attrazione (appetentia) e fuga (fuga) che regola il movimento dei corpi intorno al Sole, anticipando concetti di gravitazione.

43.1 La bilancia come modello fisico

Il nucleo teorico si basa sull’equilibrio di una bilancia sospesa in un punto (P), dove i bracci (BD e BA) rappresentano forze opposte. La frase (11384) stabilisce la proporzione fondamentale: > «Libra enim ex trutina KB suspensa, et manentibus brachiis, angulo DBK, erit pondus brachii BD ad pondus F brachii BA, ut DP ad PA» («In una bilancia sospesa dal fulcro KB, con i bracci fissi e formanti l’angolo DBK, il peso del braccio BD sta al peso F del braccio BA come DP sta a PA»). Qui, DP e PA sono segmenti perpendicolari che misurano l’intensità delle forze: DP simboleggia la fuga (resistenza al moto), mentre PA l’attrazione verso il Sole (11389). La sospensione dei bracci nel punto P (11385) trasforma la bilancia in un sistema dinamico, dove l’angolo DA con CP (perpendicolare) determina l’equilibrio.

43.2 Forze e anomalie planetarie

Keplero introduce una misura quantitativa delle forze in gioco. In (11388), lega la proporzione DP:PA alla “forza” degli angoli: > «Ut igitur DP ad PA, sic fortitudo anguli ABC ad fortitudinem anguli DBC» («Come DP sta a PA, così la forza dell’angolo ABC sta alla forza dell’angolo DBC»). La forza di attrazione solitaria (virtus appetentia solitaria) è data dalla differenza tra PA e DP: se AS = DP, allora SP (11389-11390) diventa la misura di questa forza netta, proporzionale alla distanza AD (11390). La metà di DB (20 unità) misura la forza massima, mentre la metà di PS (cioè PB) corrisponde al seno dell’anomalia coequata (CN, 11391), definita come l’angolo CBI che regola l’avvicinamento del pianeta al Sole. La conclusione (11392) è netta: > «Igitur sinus anomaliae coaequatae est mensura fortitudinis accessus Planetae ad Solem illo loco» («Il seno dell’anomalia coequata è la misura della forza di avvicinamento del pianeta al Sole in quel punto»).

43.3 Librazione e spazio percorso

Il testo distingue tra incremento di forza (11393) e spazio percorso durante la librazione (11394). Keplero osserva che la misura dello spazio non coincide con quella della forza: le osservazioni mostrano che, se IC è l’anomalia coequata e GI l’anomalia dell’eccentrico, allora il seno verso (sinus versus) dell’arco GI (cioè IH) misura la librazione compiuta (11395). La sfida è conciliare questa misura empirica con il modello teorico della bilancia (11396): > «Id si etiam ex ipsa prius indicata mensura celeritatis CN deduci potest, tunc conciliaverimus experientiam cum demonstratione librae» («Se ciò può essere dedotto anche dalla misura della velocità CN indicata in precedenza, allora avremo conciliato l’esperienza con la dimostrazione della bilancia»).

La soluzione proposta si basa sulla somma dei seni: poiché il seno di un arco misura la “forza” del suo angolo (11397), la somma dei seni degli archi precedenti fornisce una misura approssimata della velocità di librazione in un dato punto (11398). La librazione stessa è paragonata a una bilancia (11399), e la misura dello spazio percorso fino a un istante dato è legata al rapporto tra il seno verso di un arco e la somma dei seni retti degli archi precedenti (11401). Keplero nota che questo rapporto è approssimativamente costante (11402), permettendo di applicare il modello magnetico della librazione (dimostrato in precedenza) alla librazione planetaria osservata (11403-11404).

43.4 Significato storico e scientifico

Il testo rappresenta un momento di transizione tra la fisica aristotelica e la meccanica moderna. Keplero: 1. Sostituisce le sfere celesti con un modello di forze dinamiche, anticipando la gravitazione newtoniana. 2. Quantifica le forze usando strumenti geometrici (seni, proporzioni), un approccio che influenzerà la fisica matematica del XVII secolo. 3. Collega osservazione e teoria: le anomalie planetarie (dati di Tycho Brahe) sono interpretate tramite un’analogia meccanica, mostrando come la matematica possa descrivere fenomeni naturali. 4. **Introduce il concetto di “librazione magnetica”, un’idea che, pur errata nella sua formulazione letterale, riflette l’intuizione di una forza variabile con la distanza.

La citazione «Vide Optica mea» (11386) rimanda a un’opera precedente, suggerendo una continuità metodologica. L’invito a non affidarsi solo a «curiosis experimentationibus» (11387) sottolinea la preferenza per la dimostrazione geometrica rispetto alla sperimentazione fine a sé stessa, tipica del suo approccio razionalista.

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44 Le leggi della librazione planetaria e la misura dell’anomalia nei moti di Marte

Un trattato geometrico che lega le variazioni apparenti del diametro solare alle oscillazioni orbitali dei pianeti, fondando la relazione tra anomalia eccentrica e librazione.

Il testo analizza le leggi della librazione planetaria, un fenomeno che descrive le oscillazioni apparenti di un corpo celeste (in questo caso, Marte) lungo il suo asse orbitale. L’autore parte da un’osservazione empirica: “dato et concesso illo, de quo testantur observationes, Planetam scilicet post aequales arcus eccentri, inveniri in signis 20 y. x.” (11467), ovvero che il pianeta, dopo aver percorso archi uguali dell’eccentrico, si trova in posizioni specifiche (indicate con simboli come y, x, L). Da qui, emerge il nucleo teorico: la librazione è misurata dal seno verso dell’anomalia eccentrica, come enunciato in “Leges librationis erant istae, ut anomaliae eccentri sinus versus metiretur partem librationis confectam” (11466).

Il ragionamento si sviluppa attorno a due concetti chiave: 1. La relazione tra diametro solare apparente e anomalia: L’autore sostiene che “diametri Solis incrementum exhibere legitimam mensuram sinus versi anomaliae coaequatae” (11468), cioè l’aumento del diametro apparente del Sole (visto dal pianeta) riflette il seno verso dell’anomalia “coequata” (corretta). Questo legame è cruciale perché permette di tradurre un’osservazione visiva (il diametro solare) in una misura geometrica (l’anomalia). 2. La percezione del pianeta: Il testo ipotizza che “Planetae mens, siquidem ei aliqua adjuncta est, spacia, quae libratione trajecit, non aliter percipit, nisi argumento auctae diametri Solis” (11469). In altre parole, se il pianeta possiede una qualche forma di “coscienza” (o meccanismo di percezione), essa rileverebbe la propria librazione solo attraverso le variazioni del diametro solare, che fungono da indicatore indiretto del moto.

La dimostrazione geometrica (11474–11517) si basa su un modello epiciclico, dove il pianeta si muove lungo un cerchio (epiciclo) il cui centro percorre un’orbita eccentrica. L’autore utilizza costruzioni euclidee per provare che: - In corrispondenza di un’anomalia coequata di 0° (punto C), il seno verso è nullo, e il diametro solare appare minimo (“Sol ex y inspectus, apparet minimus” – 11484). - A 180° (punto F), il seno verso raggiunge il valore massimo (200.000 unità, probabilmente riferite a una scala arbitraria), e il diametro solare è massimo (“Sol ex ~ inspectus apparet maximus” – 11486). - A 90° (punto O), il seno verso è metà del diametro (100.000), e il diametro solare assume un valore intermedio (“diametri Solis in A a. quantitatem visibilem ex o, fore medio loco” – 11505).

La dimostrazione culmina con la prova che “si librationis diameter dividitur a Planeta in proportione sinuum versorum anomaliae eccentri, diameter Solis augeatur in proportione sinuum versorum anomaliae coaequatae” (11518). In sintesi: la variazione del diametro solare segue la stessa proporzione dei seni versi dell’anomalia coequata, confermando la legge enunciata inizialmente.

Il testo rivela un approccio ibrido tra osservazione e geometria, tipico della rivoluzione astronomica del XVII secolo. L’uso del seno verso (una funzione trigonometrica oggi obsoleta, definita come 1 - cos(θ)) e il riferimento a Euclide (“per duodevicesimam tertii” – 11490) testimoniano la continuità con la tradizione classica, mentre l’attenzione alle variazioni apparenti (diametro solare) anticipa metodi moderni di misurazione indiretta. L’ambiguità tra “anomalia eccentri” e “anomalia coaequata” (11468, 11473) suggerisce una distinzione tra moto reale e moto apparente, centrale nelle teorie kepleriane.

Infine, la chiusa “Planetam non posse habere cognitionem anomaliae eccentri” (11512) sottolinea un limite epistemologico: il pianeta non “percepisce” direttamente l’anomalia eccentrica, ma solo le sue conseguenze visibili (il diametro solare). Questo passaggio riflette la tensione tra modelli matematici e realtà fisica, un tema ricorrente nei trattati dell’epoca.

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45 Le leggi del moto planetario e la percezione della “mente” dei pianeti in Keplero

Un’analisi delle orbite non circolari e del meccanismo intuitivo con cui i pianeti “percepiscono” la propria distanza dal Sole, attraverso il linguaggio geometrico e le metafore vitalistiche di Keplero.

Il testo affronta la natura delle orbite planetarie e il modo in cui i pianeti “regolano” il proprio moto, combinando osservazioni astronomiche, geometria e una suggestiva ipotesi sulla loro capacità di “percepire” le distanze. Il nucleo concettuale ruota attorno a tre elementi: l’irregolarità delle orbite, la misura della librazione planetaria e il ruolo attivo attribuito ai pianeti nel modulare la propria distanza dal Sole.

45.1 L’abbandono delle orbite circolari perfette

Keplero esordisce affermando che le orbite planetarie non sono circolari, come dimostrato dalle osservazioni (“Orbitae vero Planetarum non sunt circulares perfecte, quod capite XLII ex observationibus probatum est”, 11558). Questa constatazione, rivoluzionaria per l’epoca, segna il superamento del modello tolemaico e aristotelico. Il pianeta non si dirige verso un punto fisso (“Ergo neque collimant Planetae ad B”, 11559), ma segue una traiettoria eccentrica, dove il centro geometrico (B) non coincide con il percorso effettivo (CD). La posizione di B varia a seconda del punto di osservazione: “Et sic ipsum B quasi centrum, posterius est ipso itinere CD” (11560) se visto dall’esterno, ma “prius esset ipso itinere” (11561) se osservato dal pianeta stesso. Questa relatività spaziale introduce una complessità che Keplero cerca di risolvere attraverso la geometria.

45.2 La librazione e la “percezione” planetaria

Il problema centrale è come il pianeta “misuri” la propria distanza dal Sole per regolare la sua librazione (oscillazione radiale). Keplero rifiuta l’idea che il pianeta utilizzi il sinus versus dell’anomalia eccentrica come misura diretta (“nego sinum versum anomaliae eccentri mensuram subministrare Planetae”, 11562), non perché tale misura non esista, ma perché il pianeta non la “osserva” consapevolmente. Propone invece un modello alternativo: il pianeta varia il diametro apparente del Sole (O) come strumento per raggiungere le distanze corrette, usando l’anomalia eccentrica coequata (una correzione geometrica dell’anomalia) come regola intuitiva (“anomaliam eccentri coaequatam […] a Planetae mente percipiendam”, 11563).

La scelta di O come parametro è giustificata dalla sua percepibilità: “utraque signa sunt perceptibilia: ex parte librationis, crescens et decrescens magnitudo diametri O; ex parte mensurae seu anguli, tria puncta corporibus vestita” (11564). I tre punti chiave sono: - A: posizione del Sole (“ipse O est”), - D: posizione del pianeta, - K: una stella fissa che indica l’afelio (“index aphelii”, 11565). Questa triade permette al pianeta di “leggere” l’angolo KDA come misura della propria distanza.

45.3 La metafora della “mente” planetaria

Keplero ipotizza che i pianeti abbiano una sorta di sensibilità innata alle radiazioni luminose delle stelle fisse e del Sole (“Planetae tributum esse sensum lucis Fixarum Solisque”, 11567), attraverso cui stimano l’angolo dell’anomalia coequata. Tuttavia, emerge un problema: perché il pianeta non usa direttamente l’angolo, ma il suo sinus versus? (“Quamobrem non hic ipse angulus […] sed pro angulo, ejus sinus versus?”, 11569). La risposta risiede nella natura intuitiva di questa percezione, che non richiede calcoli razionali (“nullum hactenus munus […] citra ratiocinationem ullam”, 11571). Il pianeta, come un essere animato, “sente” la forza degli angoli senza bisogno di geometria esplicita (“Planetam posse habere cognitionem anomaliae coaequatae”, 11573).

La distinzione tra sinus rectus e sinus versus è cruciale: - Il sinus rectus dell’anomalia eccentrica indica la forza della librazione (tendenza ad avvicinarsi o allontanarsi dal Sole). - Il sinus versus rappresenta invece la quantità di librazione già compiuta (“sinus vero versus anomaliae eccentri fuit index confectae librationis”, 11576). Analogamente, per l’anomalia coequata: - Il sinus misura la velocità con cui aumenta il diametro apparente del Sole. - Il sinus versus misura l’aumento complessivo accumulato (“sinus vero versus anomaliae coaequatae, est index augmenti jam comparati”, 11576).

45.4 Il meccanismo fisico: forze magnetiche e “facoltà animale”

Keplero propone un modello fisico per spiegare come il pianeta “percepisca” gli angoli. I pianeti sono dotati di una forza magnetica che li orienta verso il Sole (“tractus certi corporis Planetarii, quibus insit vis magnetica, directionis in lineam, quae tendit in Solem”, 11587), ma anche di una facoltà animale (una sorta di istinto) che mantiene il loro asse magnetico allineato con le stelle fisse (“axem illum magneticum ad easdem perpetuo Fixas dirigat”, 11588). Questa tensione tra forza magnetica e facoltà animale genera una “lotta” (“pugna facultatis animalis cum facultate magnetica”, 11588), simile a quella di un vessillifero che solleva un peso contro la gravità (“Brachii humani naturale pondus deorsum vergit […] animalis vero facultas hoc praestat”, 11592). La vittoria della facoltà animale permette al pianeta di “sentire” la forza degli angoli (“Planetae mens […] intelligere et percipere poterit fortitudinem angulorum”, 11593).

L’esempio della Luna (“confirmari videtur etiam per exemplum Lunae”, 11594) rafforza l’ipotesi: la Luna è più fortemente attratta quando si trova sulla linea Sole-Terra, forse proprio a causa della “forza” degli angoli formati.

45.5 La dinamica del moto: un ciclo continuo

Il testo culmina con la descrizione di un meccanismo ciclico e continuo che governa il moto planetario: 1. Il pianeta si trova in afelio (P), dove l’angolo KDA è acuto e la sua spinta verso il Sole è minima (“Planetaconstitutusinaphelio […] nihil ad Solem nititur”, 11595). 2. Si muove in avanti in proporzione alla distanza AC (“provehitur pro ratione distantiae AC”, 11595). 3. L’angolo KDA aumenta (“ad hanc promotionem sequitur angulus KDA”, 11596). 4. In proporzione alla forza di questo angolo, il pianeta aumenta il diametro apparente del Sole (O), avvicinandosi (“ad anguli hujus proportionem fortitudinis ipse PIaneta Solis diametrum auget”, 11597). 5. L’avvicinamento riduce la distanza (AD), accelerando il moto (“minuta distantia celerius provehitur”, 11599). 6. L’angolo KDA cambia più rapidamente (“celerius igitur mutatur KDA angulus”, 11600), portando a un ulteriore aumento di O (“celerius igitur PIaneta […] auget O diametrum”, 11601). Il ciclo si ripete senza interruzioni (“perennis circulatio […] plane continua”, 11602), senza gli errori di approssimazione tipici dei calcoli umani.

45.6 Significato storico e scientifico

Il testo rappresenta un momento di transizione tra la fisica aristotelica e la meccanica newtoniana. Keplero: - Rifiuta il dogma delle orbite circolari, basandosi su dati osservativi (le Tavole rudolfine e le osservazioni di Tycho Brahe). - Introduce una spiegazione dinamica del moto, dove i pianeti non sono semplici sfere mosse da intelligenze celesti, ma corpi dotati di proprietà fisiche (magnetismo) e di una sorta di “istinto” (facultas animalis). - Anticipa il concetto di forza (anche se ancora legato a metafore vitalistiche), che Newton formalizzerà con la gravità. - Suggerisce un legame tra geometria e percezione, dove i pianeti “leggono” le distanze attraverso variazioni angolari e dimensionali (il diametro apparente del Sole).

L’ambiguità tra spiegazione fisica (forze magnetiche) e metafora animistica (la “mente” del pianeta) riflette la difficoltà di conciliare il nuovo paradigma eliocentrico con i residui del pensiero aristotelico. Tuttavia, l’insistenza sulla continuità del moto e sulla regolarità geometrica prefigura la matematizzazione della natura che caratterizzerà la scienza moderna.

46 L’ipotesi magnetica e il ruolo della mente nei moti planetari: Keplero tra fisica e metafisica

“Ho detto queste cose finora con la condizione che, se la librazione – di cui testimoniano le osservazioni – non potesse essere compiuta da una qualche virtù magnetica insita nei corpi planetari, e se fosse assolutamente necessario, dovremmo ricorrere alla Mente.”

Il testo estratto dal De motibus stellae Martis di Keplero affronta il problema della librazione planetaria – ossia la variazione periodica della distanza tra un pianeta e il Sole – e la sua spiegazione attraverso due modelli concorrenti: una causa naturale (magnetica) e una causa mentale (intellettiva). Keplero esplora le implicazioni di entrambe, rivelando una tensione tra fisica e metafisica che riflette la sua ricerca di un ordine cosmico razionale, ma anche i limiti della conoscenza scientifica del suo tempo.

46.1 La librazione e il dilemma tra natura e mente

Il nucleo del ragionamento ruota attorno alla librazione, un fenomeno osservato che richiede una spiegazione dinamica. Keplero introduce due ipotesi: 1. Una forza magnetica insita nei pianeti (“virtus magnetica Planetarum corporibus insita”, 11603), capace di interagire con il Sole e determinare le variazioni di distanza. 2. Un principio mentale (“Mens”, 11603), che agirebbe come regolatore esterno, guidando il moto secondo leggi geometriche.

La prima opzione è preferibile perché autosufficiente: “quella [naturale] sta di per sé, non abbisognando di nulla” (11604). La seconda, invece, richiede un meccanismo aggiuntivo per tradurre l’intenzione della mente in azione fisica (“la mente stessa nulla può sul corpo”, 11604). Keplero esclude che la facoltà motrice possa essere animale (11607-11608), poiché questa non può spostare un corpo senza un supporto esterno (“non può trasportare il suo corpo da un luogo all’altro”, 11608). Rimane quindi solo la facoltà magnetica (11609), definita come “consenso naturale tra i corpi del Pianeta e del Sole” (11609).

Tuttavia, Keplero non abbandona del tutto l’ipotesi mentale. La mente viene “chiamata in soccorso” (11610) quando la spiegazione naturale si rivela insufficiente, soprattutto per rendere conto delle asimmetrie nella librazione. Ad esempio, la mente interviene per compensare le discrepanze tra il tempo impiegato in diverse fasi del moto (“più tempo viene consumato in [una parte della librazione] di quanto il suo eccesso richiederebbe”, 11612) e le variazioni non lineari della distanza (“le parti non aumentano continuamente […] ma sono minori in certi punti”, 11613). Qui Keplero ammette che la mente deve essere “istruita con una facoltà animale e magnetica” (11614), creando un ibrido tra meccanismo fisico e intenzionalità.

46.2 Il magnetismo come spiegazione naturale

Keplero si sforza di naturalizzare il fenomeno, attribuendolo interamente alla “virtù magnetica estranea del Sole e a quella congiunta, insita nel Pianeta” (11616). Il magnetismo, già invocato per spiegare l’orientamento degli assi planetari (come quello terrestre), diventa il candidato ideale per una fisica celeste autonoma. Tuttavia, emergono due problemi: 1. L’autosufficienza del magnetismo: Se le forze magnetiche agiscono “per sé” (11617), perché serve ancora la mente come “direttore”? Keplero riconosce qui una tensione irrisolta. 2. L’interferenza tra pianeti: Keplero ipotizza che i corpi planetari possano schermarsi a vicenda (“antiphraxis”, 11621, 11630-11631), come una lamina di ferro che intercetta il campo magnetico di un ago. Tuttavia, esclude che ciò possa spiegare il moto degli afeli (i punti di massima distanza dal Sole), perché: - L’interferenza sarebbe momentanea (durante le eclissi solari, 11637-11638). - I pianeti sono troppo distanti o troppo deboli per bloccare la “virtù solare” (11647-11648), che “passa attraverso di loro come la luce attraverso una sfera d’acqua” (11648). - La Luna, ad esempio, non librata verso il Sole ma verso la Terra (“non si libra verso il Sole, ma verso la Terra”, 11649), dimostra che l’interferenza non è sufficiente a spiegare i moti secolari.

46.3 La mente come soluzione provvisoria

Di fronte alle difficoltà della spiegazione puramente magnetica, Keplero torna a considerare la mente, ma con cautela epistemologica. La sua obiezione principale è che affidare alla mente compiti geometrici complessi introduce un elemento di incertezza (“una certa indeterminatezza geometrica”, 11625), che sembra incompatibile con la perfezione divina (“che finora si è sempre rivelata procedere per via dimostrativa”, 11625). Inoltre, la mente dovrebbe correggere dinamicamente le discrepanze tra “misura” (l’anomalia coequata, cioè l’angolo geometrico) e “misurato” (la distanza effettiva dal Sole), un compito che richiederebbe un intervento “extra ordinem” (11642).

Keplero propone tre possibili cause per il moto degli afeli, tutte legate all’interazione tra mente e natura: 1. Un effetto collaterale della librazione (11657), dovuto all’“aberrazione” del moto rispetto alle stelle fisse. 2. Un’inclinazione dell’asse magnetico (11655-11656), compensata dalla mente dopo le eclissi solari (“l’inclinazione dell’asse […] quale era all’inizio dell’eclissi”). 3. Un’azione diretta della mente (11658), che modificherebbe l’orientamento dell’asse nel corso dei secoli.

Tuttavia, nessuna di queste soluzioni lo soddisfa pienamente. La conclusione è un compromesso: “Se nessuna di queste cause – e neppure la mente in generale – regge, accontentiamoci della natura” (11659). La natura, infatti, ha fornito “una chiara occasione” per spiegare i moti degli afeli, anche se la via definitiva rimane incerta.

46.4 L’errore metodologico e la scoperta dell’ellisse

Il capitolo si chiude con una confessione di errore (11661-11685), che rivela il processo tortuoso della ricerca kepleriana. Keplero descrive come, dopo aver derivato le distanze corrette (“AE è senza controversia la giusta distanza”, 11673), abbia applicato un metodo geometrico errato, scambiando il punto I per F (11674-11677). Questo lo portò a calcolare aree e tempi discordanti con le osservazioni (“5’ in più nel semicerchio superiore, 4’ in meno in quello inferiore”, 11679).

L’errore lo spinse a respingere la librazione e a tornare alle ellissi (11683), che inizialmente aveva considerato una soluzione “lontanissima” dalle librazioni. Solo in seguito si rese conto che le due ipotesi coincidevano (11684), purché si correggesse il metodo. La metafora virgiliana (“Mi assale Galatea, fanciulla lasciva, / e fugge verso i salici, volendo prima essere vista”, 11661) sintetizza la natura elusiva della verità scientifica: la natura “si sottrae a chi la afferra, ma non smette di invitarci a comprenderla” (11662).

46.5 Significato storico e scientifico

Il testo testimonia una fase cruciale della rivoluzione astronomica: - Il superamento dell’aristotelismo: Keplero rifiuta le sfere celesti e cerca cause fisiche (magnetismo) per i moti planetari, anticipando la gravità newtoniana. - Il ruolo della matematica: La geometria è lo strumento per decifrare l’ordine divino, ma Keplero ammette che la complessità dei fenomeni richiede approssimazioni (“regula falsi”, 11628). - Il metodo sperimentale: L’errore nella costruzione geometrica (11674-11679) mostra come Keplero verifichi le ipotesi con i dati osservativi, un approccio moderno che lo distingue dagli antichi. - La tensione tra fisica e metafisica: La mente come “deus ex machina” riflette l’incapacità di spiegare tutto con leggi naturali, ma anche la ricerca di un principio unificante (Dio come geometra, 11625).

In sintesi, Keplero oscilla tra riduzionismo fisico (magnetismo) e finalismo metafisico (mente), senza risolvere del tutto la dicotomia. La sua soluzione definitiva – le leggi delle orbite ellittiche – emergerà proprio da questa lotta tra ipotesi concorrenti, dimostrando che la scienza procede per tentativi, errori e correzioni, non per intuizioni improvvise.

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47 La dimostrazione kepleriana dell’orbita ellittica di Marte e la confutazione della “via buccosa”

L’analisi geometrica di Keplero rivela come l’ipotesi della librazione lungo il diametro conduca necessariamente a un’orbita ellittica, smentendo le precedenti congetture e fondando la prima legge dei moti planetari.

Il testo presenta una fase cruciale delle indagini di Keplero sul moto di Marte, dove la geometria diventa strumento per confutare ipotesi errate e dimostrare la natura ellittica dell’orbita. Il nucleo concettuale ruota attorno al confronto tra due modelli: la “via buccosa” (una forma irregolare derivante dalla librazione lungo il diametro) e l’ellisse, che emerge come unica soluzione coerente con le osservazioni.

47.1 La critica alla “via buccosa” e l’evidenza geometrica

Keplero parte dall’analisi di una “lunula” (porzione di spazio compresa tra due archi) generata dalla librazione del pianeta. Le frasi (11700-11704) descrivono una disuguaglianza nelle “latitudines lunulae” (larghezze della lunula) nei punti D e P: “Atqui DI et PN, latitudines lunulae, versus centrum extensae, sunt inaequales. et minor DI, major PN”. La spiegazione geometrica è chiara: poiché i raggi dei cerchi coinvolti (AE > AM) determinano circonferenze di diversa grandezza, la larghezza della lunula risulta maggiore nel punto P (dove il raggio è minore) e minore in D. Questa asimmetria è incompatibile con l’ellisse, dove la lunula avrebbe “aequalis latitudinis in punctis aequaliter […] apsidibus remotis” (11705).

La conclusione è netta: “Patet igitur, viam buccosam esse; non igitur ellipsin” (11706). La “via buccosa” (letteralmente “a forma di guancia”, quindi irregolare) non solo non è un’ellisse, ma produce “injustas aequationes” (11707), ovvero equazioni che non corrispondono ai dati osservativi. Keplero sottolinea come non fosse necessario ricalcolare le equazioni dall’ellisse, poiché sapeva che queste avrebbero “ultro facturas officium” (11709), cioè si sarebbero adattate spontaneamente.

47.2 Il superamento dell’incertezza e la svolta concettuale

Nonostante la preoccupazione per le distanze (“De distantiis tantummodo sollicitus eram”) (11710), Keplero aveva già previsto un margine di errore (“incertitudo 200 particularum in distantiis”) (11711), che gli permise di non bloccarsi di fronte a discrepanze minori. Il vero scrupolo, tuttavia, era di natura teorica: “Multo vero maximus erat scrupulus […] invenire non poteram, cur Planeta […] potius ire vellet ellipticam viam” (11713). La domanda centrale era perché Marte, pur essendo descritto con “tanta probabilitate” dalla librazione lungo il diametro, dovesse preferire un’orbita ellittica.

La risposta arriva come una rivelazione: “O me ridiculum! perinde quasi libratio in diametro, non possit esse via ad ellipsin” (11714-11715). Keplero comprende che la librazione non è in contraddizione con l’ellisse, ma ne è anzi il meccanismo generatore. Questa consapevolezza, definita “non parvo mihi constitit” (11716), segna il passaggio definitivo: l’ellisse non è solo una descrizione geometrica, ma il risultato necessario di principi fisici (“a principiis Physicis”) e dell’esperienza osservativa.

47.3 La dimostrazione geometrica dell’ellisse

Il Caput LIX formalizza la dimostrazione attraverso quattro protheoremata (proposizioni preliminari), basati su risultati di Apollonio e Archimede. Il primo (11718-11728) stabilisce che, data un’ellisse inscritta in un cerchio e tangente a esso nei vertici opposti, le perpendicolari condotte dai punti della circonferenza alla diagonale comune si dividono secondo un rapporto costante quando intersecano l’ellisse. Ad esempio, “ut BH ad HE, sic ML ad LK” (11727), dove BH/HE è il rapporto tra i semiassi dell’ellisse.

Il secondo protheorema (11729-11731) lega l’area dell’ellisse a quella del cerchio circoscritto: “Vt enim BH ad HE, sic area ellipsis ABC ad aream circuli AEC” (11730), citando esplicitamente la quinta proposizione delle Sphaeroideon di Archimede. Il terzo (11732-11741) estende il rapporto alle aree dei triangoli formati da un punto sulla diagonale e le intersezioni con circonferenza ed ellisse, dimostrando che “ut ML ad LK, sic esse aream AMN ad AKN” (11735).

Il quarto protheorema (11742-11744) chiarisce come la divisione del cerchio in archi uguali corrisponda a una divisione dell’ellisse in archi disuguali, con proporzioni massime vicino ai vertici e minime nei punti intermedi. Questo spiega perché la curvatura dell’ellisse differisca da quella del cerchio, soprattutto nelle regioni centrali (“minus curvatus, quam circularis”).

47.4 Significato storico e scientifico

Il testo testimonia il momento in cui Keplero abbandona definitivamente il modello tolemaico e le sue varianti (come l’epiciclo con librazione), per abbracciare l’ellisse come unica orbita possibile. La dimostrazione non è solo geometrica, ma anche fisica: l’ellisse emerge come conseguenza di principi dinamici (la “libratio in diametro”) e di una rigorosa corrispondenza con i dati osservativi. La frase conclusiva del capitolo (11716) annuncia la sintesi definitiva: “nullam Planetae relinqui figuram Orbitae, praeterquam perfecte ellipticam”, sancendo la prima legge dei moti planetari (1609), che rivoluzionerà l’astronomia.

48 La misura delle ellissi e la geometria dei gnomoni: un contributo kepleriano alla matematica celeste

“La circonferenza ellittica totale è quasi esattamente la media aritmetica tra il cerchio del diametro maggiore e quello del diametro minore.”

Il testo presenta una serie di proposizioni geometriche e teoremi che affrontano la relazione tra ellissi, cerchi e le loro proprietà metriche, con particolare attenzione ai gnomoni (figure geometriche ottenute sottraendo un quadrato da un altro quadrato più grande, lasciando una forma a “L”) e alle distanze radiali in contesti astronomici. L’autore – verosimilmente Johannes Kepler, data la citazione di De Motibus Stellae Martis (11784) e il riferimento a capitoli precedenti (es. XL, XLVI, LIX) – sviluppa un’analisi che collega la geometria pura alla meccanica celeste, anticipando strumenti fondamentali per la sua seconda legge sul moto planetario.

48.1 1. La circonferenza ellittica e le medie geometriche

Il nucleo iniziale (11746-11751) stabilisce una approssimazione chiave per la circonferenza di un’ellisse: - “Tota elliptica circumferentia est proxime medium Arithmeticum inter circulum diametri longioris, et circulum diametri brevioris” (11746): la circonferenza ellittica è quasi uguale alla media aritmetica tra le circonferenze dei cerchi costruiti sui diametri maggiore e minore. - Tuttavia, l’autore nota che la media geometrica (medio proportionale) tra i diametri fornisce una circonferenza minore rispetto alla media aritmetica (“Sed et medium Arithmeticum, est longius medio proportionali”, 11750), concludendo che le due approssimazioni sono “proxime aequalia” (11751). Questo passaggio rivela un tentativo di quantificare l’errore nell’approssimare l’ellisse con cerchi, problema cruciale per calcolare le orbite planetarie.

Il riferimento alla Sphaeroideon di Archimede (11749) sottolinea l’eredità classica: l’area dell’ellisse è già nota (“aequat aream ellipseos”), ma la sua circonferenza rimane un problema aperto, risolto solo in epoche successive con le serie infinite.

48.2 2. I gnomoni e la proporzionalità dei quadrati

Le proposizioni VI e VII (11752-11768) introducono i gnomoni come strumento per studiare le relazioni tra quadrati e le loro suddivisioni proporzionali: - “Quadratorum proportionaliter divisorum gnomones sunt ad invicem ut quadrata” (11752): se due quadrati sono divisi proporzionalmente, i loro gnomoni stanno tra loro come i quadrati stessi. La dimostrazione (11753-11757) usa un esempio concreto (quadrati PL e SH, con lati KL e EH divisi in M e B) per mostrare che le differenze tra quadrati (i gnomoni) mantengono la stessa proporzione dei quadrati originali. - La proposizione VII (11758-11768) applica questo principio all’ellisse: partendo dal termine del semiasse minore (HB), si traccia un segmento BN uguale al semiasse maggiore (AH). Il segmento residuo HN ha una proprietà notevole: “potest gnomonem, quem quadratum semidiametri longioris, circumponit quadrato semidiametri brevioris” (11758). In altre parole, il quadrato di HN è uguale al gnomone formato dalla differenza tra i quadrati dei semiassi (AH² - BH²), come dimostrato “facilius et expeditius” (11762) rispetto a capitoli precedenti.

Questo risultato è fondamentale per la geometria delle coniche: il gnomone diventa una misura della differenza tra i quadrati dei semiassi, collegando la forma dell’ellisse alla sua eccentricità.

48.3 3. Distanze radiali e aree: il problema della misura

Le proposizioni VIII-XI (11769-11789) affrontano un tema centrale per l’astronomia kepleriana: la relazione tra distanze radiali, archi di circonferenza e aree. L’autore dimostra che: 1. Somma delle distanze da un punto eccentrico: - Se un cerchio è diviso in parti uguali e si connettono i punti di divisione a un punto interno non centrale, la somma delle distanze da questo punto è maggiore della somma delle distanze dal centro (“summa earum quae ex centro, minor erit summa earum quae ex alio puncto”, 11769). - L’eccesso è massimo nelle regioni intermedie tra gli apsidi (punti di massima e minima distanza), mentre si annulla vicino agli apsidi stessi (“excessus iste non crescit aequaliter”, 11772).

2. Inadeguatezza dell’area come misura:
   • L’area del cerchio (o dell’ellisse) non è una misura diretta della somma delle distanze radiali (“area igitur circuli non est apta, ad mensuram summae distantiarum”, 11774). Questo perché l’area cresce linearmente con il numero di divisioni, mentre la somma delle distanze dipende dai seni degli archi, introducendo una non-linearità.
3. **Soluzione con distanze “diametrali”:
   • Se invece delle distanze radiali si considerano le proiezioni ortogonali delle distanze su un diametro (11775-11783), la somma diventa uguale a quella delle distanze dal centro (“summa aequat summam earum, quae ex centro ducuntur”, 11778). Questo risultato, dimostrato geometricamente (11779-11782), è cruciale: permette di sostituire la somma delle distanze radiali con un’area, semplificando i calcoli astronomici.
4. Estensione all’ellisse:
   • Per l’ellisse, la situazione è analoga ma più complessa: le distanze da un punto eccentrico in archi uguali variano in modo inverso alla relazione tra archi di ellisse e cerchio (“ratio est contraria, rationi mutuae arcuum circuli et ellipsis”, 11785). Anche qui, l’area dell’ellisse non misura direttamente la somma delle distanze (“area ellipsis non est apta ad mensuram summae distantiarum”, 11788), ma il problema viene risolto con metodi simili a quelli usati per il cerchio.

48.4 Significato storico e scientifico

Questi passaggi rappresentano un momento chiave nella transizione dalla geometria classica alla matematica moderna: - Metodo dimostrativo: Kepler combina dimostrazioni euclidee (es. riferimento al primo libro degli Elementi, 11766) con approcci approssimati (“proxime”, 11751), tipici della scienza rinascimentale. L’uso dei gnomoni e delle medie (aritmetica vs. geometrica) riflette una ricerca di strumenti pratici per risolvere problemi altrimenti intrattabili. - Applicazione astronomica: Le proposizioni VIII-XI anticipano la seconda legge di Kepler (1609), secondo cui il raggio vettore che connette un pianeta al Sole spazza aree uguali in tempi uguali. Il testo mostra come Kepler cercasse di quantificare la relazione tra distanze e aree, superando il modello tolemaico basato su cerchi e epicicli. - Limiti e innovazioni: L’impossibilità di misurare direttamente la somma delle distanze radiali con l’area del cerchio/ellisse spinge Kepler a sviluppare metodi alternativi (es. proiezioni ortogonali), che saranno poi formalizzati con il calcolo infinitesimale. La sua insistenza sulla non-linearità delle distanze è un’intuizione profetica.

48.5 Termini e concetti chiave

• Gnomone: Differenza tra due quadrati concentrici, usata per studiare proporzioni e aree.
• Media aritmetica/geometrica: Strumenti per approssimare la circonferenza ellittica.
• Distanze radiali vs. diametrali: Le prime sono misurate da un punto eccentrico, le seconde sono proiezioni su un diametro.
• Apsidi: Punti di massima (afelio) e minima (perielio) distanza in un’orbita ellittica.
• Area come misura: Il tentativo (fallito) di usare l’area per quantificare la somma delle distanze radiali, poi risolto con metodi geometrici alternativi.

48.6 Ambiguità e contraddizioni

• Il testo oscilla tra rigore dimostrativo (es. proposizione VI) e approssimazioni (“proxime”, 11751), tipiche della scienza pre-newtoniana. Non è chiaro se Kepler considerasse queste approssimazioni come soluzioni definitive o come passaggi intermedi.
• La proposizione VII (11758-11768) usa un linguaggio geometrico complesso, con riferimenti a capitoli precedenti (XLVI, VI) che richiedono una contestualizzazione esterna. La dimostrazione “facilius et expeditius” (11762) suggerisce una semplificazione rispetto a trattazioni più elaborate, ma non ne chiarisce i dettagli.
• La distinzione tra cerchio e ellisse nelle proposizioni VIII-XI è sottile: Kepler applica risultati dal cerchio all’ellisse, ma la generalizzazione non è sempre esplicita. Ad esempio, la frase “ratio est contraria” (11785) richiede una comprensione profonda della relazione tra archi di cerchio e ellisse, trattata nel protheorema IV (non fornito nel testo).

49 La relazione tra archi circolari ed ellittici nelle orbite planetarie: dimostrazione geometrica e implicazioni cinematiche

Un trattato seicentesco che formalizza la corrispondenza tra moti circolari ed ellittici attraverso la scomposizione di distanze e aree, risolvendo il problema della misura delle orbite planetarie.

Il testo presenta una dimostrazione geometrica avanzata, tipica della Astronomia nova di Keplero, volta a stabilire una corrispondenza biunivoca tra archi di circonferenza e archi di ellisse nel contesto delle orbite planetarie. L’argomentazione si articola attorno a tre nuclei concettuali: la classificazione delle linee congiungenti punti omologhi tra circolo ed ellisse, la dimostrazione della loro natura (circonferenziale o diametrale), e l’equivalenza tra aree circolari e somme di distanze ellittiche come misura del moto planetario.

49.1 La costruzione geometrica e la distinzione tra linee

Il passaggio (11790) enuncia il teorema centrale: “Dico, eas quae ducuntur in circuli circumferentiam, esse circumferentiales; quae vero in ellipsiscircumferentiam, esse diametrales”. Le linee tracciate dai punti di divisione di un arco circolare (suddiviso da perpendicolari) verso i corrispondenti punti sull’ellisse si distinguono in due categorie: 1. Linee “circonferenziali”: quelle che terminano sulla circonferenza del cerchio ausiliario (es. NK), la cui lunghezza è proporzionale al seno dell’arco considerato. 2. Linee “diametrali”: quelle che terminano sull’ellisse (es. NM), equivalenti alle distanze tra il centro del Sole (N) e i punti dell’orbita planetaria.

La dimostrazione procede attraverso una costruzione iterativa (11791–11795), dove: - Da un punto K sulla circonferenza si traccia una perpendicolare IV che interseca l’ellisse in Y. - Si collegano i punti N (centro del Sole, definito nel protheorema VII), K, M (sull’ellisse), e I, Y (sezioni della perpendicolare), generando i segmenti NK, NM, NI, NY. Il riferimento ai capitoli precedenti (“Repetatur etiam schema cap. XXXIX et LVII”, 11796–11797) suggerisce una continuità metodologica: l’ellisse è trattata come proiezione di un cerchio eccentrico, e l’epiciclo (un cerchio ausiliario) viene usato per modellare l’eccentricità.

49.2 Dimostrazione della natura delle linee

Il cuore della prova (11799–11821) si basa su relazioni di potenza (quadrati delle lunghezze) e proporzionalità geometriche. Si dimostra che: 1. NK (circonferenziale) è maggiore di NM (diametrale) per un gnomone (differenza tra quadrati), come espresso in (11805): “relinquitur gnomon KOQ, quo excedit potentia KN potentiam seu quadratum ipsius MN”. 2. La proporzione tra i segmenti del cerchio eccentrico (KL/EH) si riflette in quella tra i corrispondenti segmenti dell’epiciclo (KM/EB), come stabilito in (11806–11807): “ut KL ad EH, sic KM ad EB”. 3. L’uguaglianza tra il quadrato di una perpendicolare nell’epiciclo (3x) e il gnomone KOQ (11814–11818) conferma che NK (circonferenziale) e MN (diametrale) sono legate da una relazione di eccesso quadratico, dove MN risulta uguale a una distanza diametrale di riferimento (xcx).

La conclusione (11821) sancisce l’equivalenza tra le distanze diametrali ellittiche e quelle calcolate sul cerchio: “Ergo MN et xcx., diametrales sunt aequales”.

49.3 L’area circolare come misura del moto planetario

Il testo introduce un principio fondamentale per la cinematica celeste (11824–11828): “Area circuli […] sit mensura genuina summae linearum, quibus distant arcus elliptici itineris Planetarii, a centro Solis”. L’area di un settore circolare (KNA) non è solo una costruzione geometrica, ma rappresenta la somma delle distanze tra il Sole (N) e tutti i punti di un arco ellittico (AM) corrispondente. Questa equivalenza è giustificata attraverso: - Il teorema IX (11826), che equipara l’area totale del cerchio alla somma delle distanze diametrali di tutti gli archi. - Il teorema XI (11828), che estende la corrispondenza alle parti dell’area: “pars areae circuli KNA […] aequiparantur illis distantiis diametralibus, quae competunt arcui KA”.

La proporzione (11828) formalizza il rapporto: > “ut area circuli ad summam distantiarum ellipsis, sic pars areae circuli KNA […] ad summam illarum ellipsis distantiarum, quae competunt arcui elliptico AM”.

49.4 Il problema della terminazione dell’arco ellittico

Un punto critico emerge in (11829–11834): “quinam ergo sit ille arcus ellipticus, hoc est, ubi terminetur?”. La domanda riguarda la corrispondenza non lineare tra archi circolari e ellittici. Il testo nota che, se si terminasse l’arco ellittico con una perpendicolare (KL), si otterrebbero archi ellittici disuguali per archi circolari uguali (“elliptici arcus inaequales, respondent aequalibus circuli”, 11834), violando il principio di uniformità. Questo suggerisce che la legge delle aree (seconda legge di Keplero) richiede una definizione più sottile della relazione tra tempo e spazio percorso, anticipando la necessità di integrare le distanze per calcolare il moto effettivo.

49.5 Termini e concetti chiave

• Eccentricità (HN): distanza tra il centro del cerchio eccentrico (H) e il centro del Sole (N), uguale al raggio dell’epiciclo (~y).
• Gnomone (KOQ, ERC): differenza tra quadrati di segmenti, strumento per confrontare potenze di linee.
• Protheoremata: lemmi preliminari (es. protheorema IV per la divisione degli archi, VII per la definizione di N).
• Distanze diametrali (xcx., fJ.cx.): lunghezze calcolate sul cerchio, equivalenti alle distanze ellittiche (MN, NY).

49.6 Significato storico

Il testo appartiene alla transizione tra astronomia tolemaica e kepleriana, dove l’ellisse sostituisce i cerchi deferenti ed epicicli, ma la geometria euclidea rimane lo strumento dimostrativo. La corrispondenza tra aree circolari e somme di distanze ellittiche prefigura la seconda legge di Keplero (1609), che lega il moto planetario alla velocità areolare. L’ambiguità sulla terminazione degli archi (11829–11834) riflette la tensione tra il modello geometrico e la realtà fisica, risolvibile solo con il calcolo infinitesimale successivo.

50 La legge delle aree e la correzione degli archi ellittici nelle orbite planetarie

Keplero dimostra come la suddivisione ineguale degli archi orbitali compensi gli errori di calcolo introdotti dall’uso delle aree ellittiche per misurare i tempi di percorrenza dei pianeti.

Il testo affronta il problema della misurazione dei tempi di percorrenza dei pianeti lungo le loro orbite ellittiche, un tema centrale nella formulazione della seconda legge di Keplero (la legge delle aree). L’autore analizza le discrepanze che emergono quando si applicano metodi geometrici semplificati, come la divisione in archi uguali, e propone una soluzione basata sulla correzione proporzionale degli archi in funzione della loro distanza dal fuoco dell’ellisse.

50.1 La necessità di archi ineguali

Il punto di partenza è la constatazione che archi uguali di un’orbita ellittica non corrispondono a tempi di percorrenza uguali. Come affermato in (11835): > «È necessario che gli archi dell’orbita ellittica siano uguali, se vogliamo stimare e confrontare i tempi che il pianeta impiega a percorrerli». Tuttavia, (11837) corregge questa affermazione: > «L’arco dell’ellisse, di cui l’area AKN misura i tempi, deve essere diviso in parti disuguali, e più piccole vicino agli apsidi». Questo perché, come spiegato in (11839) e (11841), il pianeta impiega più tempo a percorrere archi vicini all’afelio (punto B) rispetto a quelli vicini al perielio (punti A e C), a causa della maggiore distanza dal Sole (fuoco N). La relazione è quantificata in termini di lunghezze dei raggi vettori (NA, NC, NB): > «Il pianeta permane più a lungo nell’arco vicino ad A che in quello vicino a C, tanto quanto NA è più lungo di NC» (11839). > «La somma di NA e NC eguaglia il diametro maggiore dell’ellisse, mentre HB è il semiasse minore: perciò il tempo trascorso dal pianeta negli archi vicino a B e nel suo opposto, presi insieme, sarà minore di quello negli archi uguali A e C presi insieme» (11841).

50.2 La soluzione geometrica: perpendicolari e proporzioni

Per risolvere il problema, Keplero introduce un metodo di correzione basato sulle perpendicolari (KML) tracciati dal centro dell’ellisse (H) alla linea degli apsidi (AC). Come descritto in (11845) e (11870): > «Questo avviene tramite le perpendicolari KML, come risulta dalla stessa obiezione» (11845). > «Gli archi minimi AK e AM, vicino agli apsidi A o e, stanno tra loro nella proporzione di KL a LM, cioè di EH a HB» (11870). Questa proporzione (EH:HB) diventa la chiave per compensare gli errori introdotti dall’uso delle aree ellittiche come misura dei tempi. Infatti, (11873) chiarisce: > «Come prima, nel caso delle rette, così ora nel caso degli archi, la misura media ed equa degli archi sarà, rispetto a questa, piccola vicino agli apsidi A o e, e grande vicino alle longitudini medie B».

50.3 Confronto tra metodi: cerchio vs ellisse

Il testo confronta due approcci: 1. Divisione in archi uguali (come nel cerchio), che porta a errori sistematici: > «Se qualcuno dividesse l’ellisse AMC in un numero qualsiasi di archi uguali e assegnasse a ciascuno le sue distanze da N, usando le aree AMN, ABN, ABCNA come somme delle distanze, incorrerebbe nello stesso errore che si verificò sopra nel capitolo XL, quando tentammo la stessa operazione nel cerchio perfetto» (11848–11854). L’errore consiste nel sottostimare le distanze vicino agli apsidi e sovrastimarle vicino alle longitudini medie, perché le aree ellittiche non tengono conto della variazione della velocità orbitale.

2. Divisione in archi disuguali, corretta tramite le perpendicolari: > «Se invece lo stesso individuo dividesse l’ellisse AMC in un numero uguale di archi disuguali, secondo la legge del protheorema X – cioè dividendo prima il cerchio AKC in archi uguali, poi tracciando da ciascun estremo le perpendicolari KL che intersecano l’ellisse AM – e usasse le aree ellittiche per le distanze di questi archi da N, allora l’errore verrebbe corretto e la compensazione sarebbe perfetta» (11855). Questo metodo trasferisce la proporzione corretta dal cerchio all’ellisse, garantendo che la somma delle aree (e quindi dei tempi) sia accurata.

50.4 Analisi degli errori e compensazione

Keplero esamina in dettaglio dove e come si verificano gli errori: - Agli apsidi (A, C): Le distanze NA e NC sono esatte (nessun errore), ma gli archi sono più piccoli per compensare la minore velocità del pianeta. - Alle longitudini medie (B): Le distanze sono sovrastimate (errore massimo = BE), ma gli archi sono più grandi per bilanciare il tempo in eccesso calcolato. Come sintetizzato in (11861) e (11863): > «Alla fine [del quadrante], se si usa BH al posto di BN (cioè EH), l’errore o difetto è massimo, pari a BE» (11861). > «Come HE sta a EB, così la lunghezza corretta sta all’errore commesso in questo punto» (11863).

La compensazione avviene attraverso una ridistribuzione proporzionale: > «Quanto meno tempo si accumula nel calcolo per una distanza breve vicino agli apsidi, tante più distanze vengono assegnate a tale arco (diviso in piccole parti), e a ciascuna parte la sua distanza. Viceversa, quanto più tempo si accumula per singole distanze vicino alle longitudini medie B, tanto meno il calcolo raccoglie distanze, ottenute da grandi porzioni di arco» (11874–11876). In altre parole: - Vicino agli apsidi: Archi piccoli + molte distanze → tempo corretto. - Vicino a B: Archi grandi + poche distanze → tempo corretto.

50.5 Conclusione: la proporzione come legge universale

Il testo si conclude ribadendo che la stessa proporzione (EH:HB) governa sia la differenza tra archi circolari ed ellittici sia la correzione delle distanze: > «Ho detto dell’inizio e della fine che, nella stessa proporzione in cui EH sta a HB, cominciano a differire gli archi del cerchio da quelli ellittici in A e C, e le distanze corrette da quelle raccolte dall’area dell’ellisse in B e nel suo opposto; e nella stessa proporzione cessano di differire, cioè nella proporzione di uguaglianza, gli archi in BE e le distanze in A e C» (11879). Questa proporzionalità è valida non solo agli estremi, ma anche durante tutto il percorso intermedio (11879), garantendo una soluzione generale al problema.

Elementi chiave evidenziati: - Termini tecnici: apsidi (A, C), longitudini medie (B), raggi vettori (NA, NC, NB), perpendicolari KML, area ellittica (AKN). - Dati geometrici: Proporzione EH:HB, errore massimo = BE, diametro maggiore = NA + NC. - Metodo: Correzione degli archi tramite divisione disuguale basata sulle perpendicolari dal cerchio all’ellisse. - Significato storico: Passaggio cruciale nella formulazione della seconda legge di Keplero, che lega velocità orbitale e distanza dal Sole.

51 La legge delle aree e la correzione delle anomalie planetarie in Keplero

Un’analisi geometrica e fisica della relazione tra moti orbitali, aree descritte e distanze dal Sole, fondamento della seconda legge di Keplero.

Il testo presenta una trattazione matematica e fisica avanzata, riconducibile alle Epitome Astronomiae Copernicanae (1618-1621) di Johannes Keplero, in cui si formalizza la relazione tra le aree descritte dai raggi vettori planetari e i tempi di percorrenza delle orbite ellittiche. L’autore sviluppa una dimostrazione geometrica per giustificare la legge delle aree (seconda legge di Keplero), correggendo al contempo le discrepanze osservative delle precedenti ipotesi “vicarie” (come quella del caput XVI).

51.1 Incrementi e proporzionalità: la dinamica degli archi orbitali

Keplero descrive come le linee NA e NC — rappresentanti distanze o segmenti legati all’orbita — crescano rapidamente a partire da valori iniziali minimi, superando in modo “notevole” la linea AHC, per poi decrescere gradualmente in prossimità del punto B (probabilmente l’apogeo o un punto critico dell’orbita). Il passaggio chiave recita: > «Etenim lineae NA, NC, a parvis initiis, per celeria incrementa, superant aliquo notabili, lineas AHC; et viciJfim, ubi maxime superant, ut BN ipsam HB, ibi incrementa sensim emoriuntur: in medio sunt maxima, circa anomaliam eccentrici 45°» (11880). L’incremento massimo si verifica dunque a 45° di anomalia eccentrica, mentre agli estremi (inizio e fine del quadrante) la crescita è “tarda”. Questa osservazione è corroborata da un’analogia con le proprietà trigonometriche: > «Quantum enim secans anguli aequationis Opticae differt a sinu toto, tantundem fere differt BN a BH» (11882), dove la differenza tra il secante dell’angolo di equazione ottica e il seno totale (raggio unitario) riflette la discrepanza tra BN e BH. Keplero quantifica poi l’incremento massimo dei secanti intorno a 45° in circa 20 unità (11884), sottolineando come questa proporzione si applichi anche agli archi ellittici definiti dalle perpendicolari KL: > «Atque eadem in proportione progrediuntur etiam incrementa arcuum ellipticorum perpendicularibus KL distinctorum» (11887).

La dimostrazione si concentra sulla proporzionalità tra aree e tempi, estendendo il ragionamento agli archi ellittici. Nei punti iniziali (A, C), l’arco AK (misurato da A) cresce secondo il rapporto LK/KM (11888), ma poiché l’arco totale è piccolo, anche l’incremento lo è (11889-11890). Analogamente, vicino al punto B (vicino a un quadrante), il rapporto AE/AB tende all’uguaglianza, riducendo nuovamente l’incremento (11891). Il massimo incremento si verifica quindi a 45° (11892), confermando una proporzionalità costante tra le variazioni degli archi e quelle delle aree: > «Patet igitur, etiam in progressu aequales esse rationes, quantum subtili consideratione licet inquirere» (11893).

51.2 Dalla geometria alla fisica: la dimostrazione della legge delle aree

Keplero definisce la sua dimostrazione come ”certissima” ma ”occulta” (11894), auspicando una trattazione più rigorosa in stile euclideo («geometrice et Èv’τéχνως») per soddisfare anche i critici come Apollonio (11895). Tuttavia, in assenza di alternative, si accontenta del metodo proposto (11896-11897).

Il nucleo della dimostrazione ruota attorno all’area AKN come misura del tempo impiegato dal pianeta per percorrere l’arco AM dell’ellisse. L’argomentazione si articola in due passaggi: 1. Proposizione maggiore: L’area AMN dell’ellisse può sostituire le distanze AM (dal Sole N) nel calcolo dei tempi, senza discostarsi dall’obiettivo (11899-11900). Questa è una finzione utile per semplificare i calcoli, data la complessità di computare direttamente l’area ellittica. 2. Proposizione minore: Derivata da un protheorema precedente (cap. III), stabilisce che il rapporto tra le aree AKC/AKC e AKN/AMN è identico (11902). Da ciò si deduce che l’area del cerchio AKN misura la somma delle distanze diametrali (come KT, TI) o ellittiche (AM), tante quante sono le parti in cui è suddiviso l’arco AK (11903-11904).

Keplero conferma empiricamente la validità del metodo attraverso un esperimento numerico (11906-11910): - Per ogni grado di anomalia eccentrica, calcola le distanze KT e TI dal punto N (Sole), sommandole progressivamente. - La somma totale (36.000.000) corrisponde a 360° (tempo di rivoluzione), e i singoli valori coincidono — fino ai secondi d’arco — con quelli ottenuti moltiplicando il semidiametro dell’eccentricità per il seno dell’anomalia eccentrica e rapportandolo all’area del cerchio (360°).

51.3 Correzione delle anomalie e confutazione delle ipotesi precedenti

Un punto cruciale è la correzione dell’anomalia media. Keplero inizialmente ipotizza che la distanza NM debba essere applicata alla linea KH per ottenere ZN, ma questa assunzione porta a discrepanze di 5 minuti a 45° e 4 minuti a 135° rispetto alle osservazioni (11911-11913). La soluzione corretta emerge quando AM viene proiettata su KL, facendo coincidere l’anomalia “coequata” MNA con quella media AKN (11914). Questo risultato, confermato dalle osservazioni, spinge Keplero a ricercarne la causa fisica (11915), attribuendola ai principi dinamici adottati: > «Quod nisi causae Physicae, initio a me susceptae, loco principiorum, probae essent, nunquam in tanta subtilitate inquisitionis consistere potuissent» (11916).

51.4 Implicazioni metodologiche e storiche

Il testo testimonia il passaggio da un’astronomia geometrica (basata su cerchi e epicicli) a una fisico-matematica, dove le orbite ellittiche e le leggi dei moti sono derivate da principi dinamici. Keplero riconosce la complessità della materia, richiamando alla necessità di meditazione e ruminazione (11922), e difende la scelta di affrontare argomenti “oscuri” ma necessari per risolvere il problema delle anomalie (11917-11918).

La parte “fisica” dell’equazione (11919) — contrapposta a quella puramente geometrica — si riferisce alla causa motrice del Sole, che modula la velocità del pianeta in funzione della distanza. Questa intuizione anticipa la legge di gravitazione universale, pur senza formalizzarla. Il capitolo LX (11923) promette un metodo per estrarre entrambe le parti dell’equazione (fisica e geometrica) e le distanze reali, superando i limiti delle ipotesi vicarie precedenti.

51.5 Sintesi geometrica: aree, distanze e tempi

La dimostrazione si basa su due relazioni chiave: 1. Proporzionalità tra aree e tempi: L’area AKN (settore circolare) misura la somma delle distanze dal Sole per l’arco AM (11928-11930). Data l’anomalia eccentrica (arco AK), si calcola: - Il seno KL (11931). - Il rapporto KL/EH (dove EH è il seno totale), che determina il rapporto tra le aree HKN/HEN (11932-11933). - L’area HEN, ottenuta moltiplicando metà dell’eccentricità (HN) per HE (11934), il cui valore è fissato all’inizio per normalizzare i tempi (11935).

Questo apparato geometrico permette di calcolare i tempi di percorrenza degli archi orbitali senza ricorrere a ipotesi ad hoc, fondando la seconda legge di Keplero su una base sia matematica che fisica.

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52 Le anomalie planetarie nel trattato di Keplero: definizioni e metodi di calcolo

Un’esposizione sistematica delle relazioni tra anomalia media, eccentrica e coequata, con le procedure geometriche per derivarle l’una dall’altra.

Il testo presenta una trattazione tecnica delle anomalie planetarie, concetti fondamentali nella teoria kepleriana del moto di Marte. L’autore (presumibilmente Keplero) organizza il discorso intorno a tre definizioni chiave, ciascuna associata a una diversa prospettiva di misurazione del moto planetario:

1. Anomalia media (“Anomalia media est tempus artificiose denominatum ejusque mensura area AKN” - 11947): rappresenta il tempo trascorso dall’apogeo, espresso come area del settore ellittico AKN. Questa definizione lega il moto planetario a una misura temporale idealizzata, indipendente dalle irregolarità orbitali.
2. Anomalia eccentrica (“Anomalia eccentri est iter Planetae ab apogaeo, arcus se[miellisseos] AM, ejusque denominator, arcus AK” - 11948-11949): descrive la posizione effettiva del pianeta lungo l’orbita ellittica, misurata come arco AK dall’apogeo. Qui emerge la distinzione tra l’arco reale (AM) e la sua proiezione circolare (AK), che funge da “denominatore” per i calcoli.
3. Anomalia coequata (“Anomalia coaequata, est apparentia arcus AK quasi ex N scilicet angulus ANK” - 11950): corrisponde all’angolo osservato dal Sole (punto N), che corregge la discrepanza tra posizione reale e apparente dovuta all’eccentricità.

Il nucleo del testo ruota attorno a due problemi inversi: - Dall’anomalia eccentrica a quella coequata (11938, 11945): data la posizione del pianeta sull’orbita (arco AK), si calcola l’angolo apparente ANK. La procedura sfrutta la geometria del triangolo rettangolo MLN, dove: - LH è il seno del complemento dell’anomalia eccentrica (11952); - HN rappresenta l’eccentricità (11956); - La distanza NM (distanza reale Marte-Sole) si ottiene aggiungendo o sottraendo una “porzione” all’unità di misura (100000), a seconda che l’anomalia eccentrica sia inferiore o superiore a 90° (11953-11954). L’angolo LNM (anomalia coequata) risulta così determinato (11958), con semplici correzioni per il secondo semicircolo (11959).

• Dall’anomalia coequata a quella eccentrica (11942, 11960): il procedimento inverso è più complesso e richiede un’analisi dimostrativa o algoritmica. Keplero propone un metodo basato su “protheoremata” (11962), tra cui:
  • La proporzionalità tra le “lineole d’ingresso” del pianeta (segmenti come KM) e i seni dell’anomalia eccentrica (“Lineolae ingressus Planetae ad diametrum apsidum, crescunt in proportione sinuum anomaliae eccentri” - 11963).
  • La relazione tra tangenti degli angoli al centro e i seni del complemento dell’anomalia eccentrica (11968-11981), con correzioni minime per angoli inferiori a 8’ (11973).

Particolare rilevanza assume la colonna ottica (“separata columna sit, quae partem aequationis bOpticam, id est, angulum NKH exhibet” - 11945), che isola la componente visiva (angolo NKH) dell’equazione del moto. Questa distinzione riflette l’approccio kepleriano di separare gli effetti geometrici da quelli osservativi, anticipando la nozione di “equazione del centro” nella meccanica celeste successiva.

Dal punto di vista storico, il testo testimonia la transizione dalla geometria tolemaica a quella ellittica: Keplero mantiene termini tradizionali (come “anomalia”) ma li ridefinisce in un contesto non circolare, introducendo correzioni basate su aree e proporzioni trigonometriche. L’uso di unità arbitrarie (100000 per la distanza) e la menzione di Marte (11966) collocano il brano nell’ambito dell’Astronomia Nova (1609), dove Keplero formalizzò le sue prime due leggi. La precisione richiesta (errori inferiori a 8’) riflette l’esigenza di adattare i modelli alle osservazioni di Tycho Brahe, superando le discrepanze del sistema copernicano.

53 La teoria kepleriana delle anomalie planetarie: tra geometria e approssimazione

Un trattato che fonde rigore matematico e limiti epistemologici nella descrizione dei moti celesti.

Il testo analizzato appartiene a un’opera scientifica – verosimilmente i Commentaria in motus Martis di Johannes Kepler – e affronta il problema delle anomalie planetarie, ovvero le discrepanze tra le posizioni osservate dei pianeti e quelle previste dai modelli geometrici. Il nucleo concettuale ruota attorno a tre tipi di anomalia: 1. Anomalia eccentrica (anomalia eccentrici): l’angolo misurato dal centro dell’orbita ellittica (eccentrico) rispetto alla linea degli apsidi. 2. Anomalia coaequata (anomalia coaequata): l’angolo corretto per tenere conto dell’eccentricità, misurato dal centro del Sole. 3. Anomalia media (anomalia media): una misura temporale proporzionale all’area spazzata dal raggio vettore del pianeta.

53.1 La relazione tra anomalie e tangenti angolari

Il testo introduce una proporzionalità geometrica tra le anomalie e i seni dei loro complementi, con implicazioni pratiche per il calcolo delle posizioni planetarie. La frase (11983) stabilisce che: > “gli ingressi [dei pianeti], come se provenissero dal centro dell’eccentrico, decrescono in proporzione ai seni dei complementi [degli angoli].” Questo principio è applicato per derivare l’angolo di ingresso (angulus ingressus), ovvero la deviazione apparente del pianeta dalla circonferenza ideale verso il diametro degli apsidi. La (11988) chiarisce che tale angolo è identico sia nell’anomalia eccentrica (misurata dal centro dell’eccentrico) sia in quella coaequata (misurata dal Sole), a parità di gradi: > “L’angolo di ingresso del pianeta dalla circonferenza del cerchio al diametro degli apsidi è lo stesso nell’anomalia eccentrica, presso il centro dell’eccentrico, e nell’anomalia coaequata circolare, di altrettanti gradi, presso il centro del Sole.”

La dimostrazione geometrica (11989–11999) si basa sulla similitudine dei triangoli e sulla costruzione di parallele (es. NG parallela a HD). In particolare: - I triangoli FDH (centro eccentrico) e IGN (centro Sole) sono dimostrati congruenti (11995–11996), garantendo l’uguaglianza degli angoli di ingresso. - La (11997) identifica i centri: “H è il centro dell’eccentrico, N invece il centro del Sole.”

53.2 Massimo ingresso e quadratura

Un passaggio chiave è l’analisi del massimo angolo di ingresso, che si verifica quando l’anomalia è prossima a 45°. La (11985) descrive questo scenario: > “Nell’anomalia di circa 45°, FD [la distanza dal centro] diventa già maggiore della metà, perché il seno di 45° (7071) è maggiore della metà del seno totale (5000). L’angolo EHD è ancora maggiore della metà, poiché il seno del suo complemento è anch’esso” La (11986) conclude che il rettangolo (prodotto tra seno e seno del complemento) è massimo nel quadrante e coincide con un quadrato, pari a metà del quadrato del raggio: > “Il rettangolo del quadrante è il massimo di tutti; e al contempo è un quadrato, uguale alla metà del quadrato del raggio.”

Questo risultato è quantificato numericamente nella (11987) come 5.000.000.000 (unità di misura non specificate, ma coerenti con le tavole trigonometriche dell’epoca). La (12017) fornisce un esempio concreto per Marte: > “Se il seno totale è 000, allora come 000 sta a 7071, così 429 (o più correttamente 432) – il massimo ingresso – sta a 305 per FD.”

53.3 **Differenza tra anomalia “fittizia” e “vera”

Il testo distingue tra due modelli di anomalia coaequata: 1. Coaequata fittizia (coaequata fictitia): basata su un’orbita circolare. 2. Coaequata vera (coaequata vera): basata sull’orbita ellittica reale.

La (12000) definisce la misura genuina della loro differenza come il prodotto tra: - Il seno dell’anomalia coaequata fittizia. - Il seno del complemento dell’anomalia coaequata vera: > “La misura genuina e verissima dell’angolo con cui la coaequata fittizia, che si muove su un cerchio, differisce dalla coaequata vera, che si appoggia all’ellisse, è il rettangolo formato dal seno dell’anomalia coaequata fittizia e dal seno del complemento dell’anomalia coaequata vera.”

La (12003) ribadisce questo principio con una dimostrazione geometrica, mentre la (12005) ne limita la portata pratica: > “Poiché la differenza [tra le anomalie] è piccola e mai maggiore di 8 minuti, ancor più piccola sarà la differenza tra i rettangoli formati dai seni.”

53.4 Metodi di calcolo e limiti geometrici

Il testo propone due approcci per derivare le anomalie: 1. Metodo diretto (12006–12027): - Dato l’angolo di anomalia coaequata vera, si moltiplica il suo seno per il seno del complemento. - Il doppio del risultato (troncato) fornisce l’angolo di ingresso da aggiungere all’anomalia vera per ottenere quella fittizia. - Esempio numerico (12017–12027): per un’anomalia di 45°, l’angolo massimo di ingresso è calcolato come **44°52’34“, con una differenza di soli 26” rispetto a 45°.

2. Metodo analitico (12028–12049):
   • Basato sulla proporzionalità tra segmenti in un triangolo (MN, NL) e l’eccentricità (HN).
   • La (12034) fornisce un esempio numerico dettagliato, risolvendo un’equazione per trovare MN (107.790) e LH (84.084), da cui si ricava l’anomalia eccentrica (AK = 32°46’).

Tuttavia, la (12054) ammette un limite fondamentale: > “Data l’anomalia media, non esiste alcun metodo geometrico per giungere alla coaequata, cioè all’anomalia eccentrica.” La ragione (12055–12057) risiede nella natura composita dell’anomalia media, somma di un settore (proporzionale all’arco) e un triangolo (proporzionale al seno dell’arco). Poiché le proporzioni tra archi e seni sono infinite, non è possibile invertire la relazione senza tavole numeriche precalcolate.

Kepler conclude con un appello ai geometri (12059–12062), sfidandoli a risolvere il problema: > “Data l’area di una parte di semicerchio e un punto sul diametro, trovare l’arco e l’angolo […] o dividere l’area del semicerchio in una data proporzione. A me basta credere che non possa essere risolto a priori, a causa della relazione tra archi e seni. A chi mi indicherà la via, sarà per me un grande Apollonio.”

53.5 Dati e termini tecnici

• Eccentricità (eccentricitas): distanza tra il centro dell’orbita e il Sole (es. HN = 9265 in unità arbitrarie).
• Seno totale: 000 (scala comune nelle tavole trigonometriche del XVII secolo).
• Unità di misura angolare: gradi (°), minuti (’), secondi (“).
• Costanti numeriche:
  • Massimo ingresso per Marte: 432 (12017).
  • Valore di FD (distanza dal centro): 305 (12017), 315 (12049).
  • Eccentricità AN: 7744 (12049).

Il testo rivela una tensione metodologica tra il rigore geometrico e la necessità di approssimazioni numeriche, tipica della rivoluzione scientifica del Seicento. Kepler, pur fondando le leggi dei moti planetari, riconosce i limiti della geometria classica di fronte a problemi non lineari, anticipando l’importanza delle tavole e dei metodi iterativi.

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54 L’analisi kepleriana delle latitudini di Marte e la determinazione dei nodi orbitali

Un resoconto delle osservazioni e dei calcoli con cui Keplero stabilisce la posizione dei nodi dell’orbita marziana, integrando dati empirici, correzioni ottiche e proporzioni geometriche.

Il testo rappresenta un passaggio cruciale del Commentariorum de motibus stellae Martis, in cui Keplero affronta la determinazione della latitudine di Marte e la localizzazione dei suoi nodi orbitali (punti di intersezione tra l’orbita del pianeta e l’eclittica). L’analisi si basa su una serie di osservazioni condotte tra il 1590 e il 1595, combinate con i risultati precedentemente ottenuti sulla proporzione tra le orbite di Marte e della Terra, l’eccentricità e la forma delle traiettorie (“proportione orbium Martis et Terrae, eccentricitate utriusque, et figura itinerum in superioribus certissime inventis” – 12064). L’obiettivo è completare quanto lasciato in sospeso nei capitoli XI-XIV, dove l’indagine era stata condotta con “crassiori Minerva” (12068), ovvero con strumenti concettuali meno raffinati.

54.1 Osservazioni empiriche e correzioni sistematiche

Keplero elenca quattro osservazioni chiave, distanziate di 687 giorni (periodo sinodico di Marte), in cui registra la posizione del pianeta in termini di longitudine eclittica, latitudine meridiana e altezza sull’orizzonte, escludendo inizialmente gli effetti di parallasse e rifrazione atmosferica: 1. 10 dicembre 1593 (12070-12074): Marte è osservato a 4° 44’ ♐ (Scorpione) con latitudine 0° 1’ 15” meridiana e altezza 35°, “immunis ab refractionibus” (12074). 2. 28 ottobre 1595 (12075-12076): Marte si trova a 18° 35’ ♐ con latitudine 4’ meridiana e altezza 51°, “sine parallaxis consideratione” (12076). 3. 23 gennaio 1592 (12077-12078): Latitudine 2’ meridiana e altezza 25°. 4. 4 marzo 1590 (12079-12080): Latitudine 3’ 20” meridiana e altezza 14°.

L’ultima osservazione richiede una correzione per la rifrazione atmosferica, che a un’altezza di 14° introduce un errore di 3’, di cui 2’ influenzano la latitudine. Keplero stima così una latitudine effettiva di 5’ (12082), ma riduce ulteriormente il valore a 2’ per il 7 marzo (12083), considerando l’avvicinamento al nodo (“accessu ad Nodum per gradus 1°”) e la variabilità della rifrazione (“nec enim constantissima est ejus quantitas” – 12084).

54.2 Sintesi delle latitudini e calcolo dell’inclinazione orbitale

Le latitudini osservate nei quattro anni sono riassunte come segue (12085-12089): - 1590: 1’ - 1592: 1.5’ - 1593: 2.5’ - 1595: 4.5’

L’oscillazione di ±1’ tra le misure suggerisce un’inclinazione orbitale di 5’ (12090), corrispondente a una distanza angolare di 40’ dal nodo (12090). Tuttavia, Keplero opta per un metodo più preciso, focalizzandosi sull’anno 1595 (12092).

54.3 Determinazione del nodo ascendente

Tra il 28 ottobre e il 3 novembre 1595, la latitudine di Marte passa da 4.5’ meridiana a 19’ 45” boreale in soli 6 giorni, con una variazione giornaliera di 4’ (12093-12097). Poiché il 28 ottobre la longitudine eclittica è 16° 5’ ♏ (Scorpione) con 4.5’ di latitudine residua (12098-12099), Keplero calcola che il nodo ascendente si trovi a 16° 4’ ♏ (12101), considerando uno spostamento di 37’ in 1.125 giorni (12100).

54.4 Verifica del nodo discendente

Le osservazioni per il nodo discendente sono meno frequenti (12102). Keplero si affida a un’unica misura del 6 maggio 1589, quando Marte aveva una latitudine boreale di 6.5’ (12104). Estrapolando i dati, stima che il nodo discendente si trovi a 16° 47’ ♉ (Toro) nel 1595 (12106-12107), in accordo con la posizione del nodo ascendente (16° 4’ ♏ – 12108).

54.5 Significato storico e metodologico

Il testo testimonia l’approccio kepleriano alla meccanica celeste, che unisce: 1. Osservazioni ripetute su lunghi periodi (687 giorni), per isolare variazioni sistematiche. 2. Correzioni ottiche (rifrazione, parallasse), anticipando la necessità di modelli fisici per gli errori strumentali. 3. Proporzioni geometriche, come la relazione tra latitudine e distanza dal nodo, che prelude alla seconda legge (aree uguali in tempi uguali). 4. Precisione millimetrica: le misure in minuti e secondi riflettono l’ambizione di una scienza quantitativa, benché Keplero ammetta margini di incertezza (“unius minuti peccatum” – 12089).

L’analisi dei nodi è funzionale alla costruzione di un’orbita tridimensionale di Marte, superando il modello tolemaico delle sfere omocentriche. La discrepanza tra i nodi (16° 4’ ♏ vs 16° 47’ ♉) suggerisce una leggera asimmetria, forse dovuta a perturbazioni non ancora comprese, ma il metodo dimostra come Keplero trasformi dati grezzi in una legge fisica, ponendo le basi per la rivoluzione copernicana.

55 Analisi delle osservazioni astronomiche di Marte nel 1593: inclinazione orbitale e latitudini

Un resoconto delle misurazioni kepleriane sull’inclinazione dell’orbita marziana, con dati osservativi e calcoli geometrici.

Il testo riporta una serie di osservazioni e calcoli relativi all’orbita di Marte, condotti tra il 1593 e il 1595, con particolare attenzione all’inclinazione del piano orbitale rispetto all’eclittica e alle latitudini osservate del pianeta. Le annotazioni seguono un approccio metodico, combinando dati empirici con deduzioni geometriche, tipico delle indagini astronomiche pre-newtoniane.

55.1 Osservazioni dirette e latitudini di Marte

Le misurazioni delle latitudini di Marte sono registrate con precisione in giorni specifici, evidenziando una variazione progressiva nel periodo intorno all’opposizione al Sole (25 agosto 1593). Le frasi (12112) e (12114)-(12120) documentano questo processo: - «Anno MDXCIII D. xxv Augusti H. XVII M. XXVII visus est ~Mars Soli oppositus in 12°» (12112): l’opposizione di Marte al Sole avviene a 12° di longitudine eclittica. - «Die XXIII fuit latitudo 6°.7’.30“» (12114) e «Die XXIV fuit 6°.5’» (12115): nei giorni precedenti l’opposizione, la latitudine meridiana di Marte diminuisce da 6°7’30” a 6°5’. - «Die XXIX fuit 5°.52’.15”» (12117-12119): cinque giorni dopo, la latitudine scende a 5°52’15”, con una riduzione totale di 13’15” (12120).

L’autore stima che, al momento esatto dell’opposizione, la latitudine sarebbe stata «6°.2’.30”» (12122-12123), con un margine di errore inferiore a mezzo scrupolo («non dimidii scrupuli error erit», 12124). Le osservazioni sono corrette per l’effetto della rifrazione atmosferica, considerata trascurabile a un’altitudine di «22° graduum» (12125).

55.2 Calcolo dell’inclinazione orbitale

Il nucleo del testo riguarda la determinazione dell’inclinazione del piano orbitale di Marte rispetto all’eclittica, utilizzando un modello geometrico basato su triangolazioni. Le frasi (12126)-(12138) descrivono il procedimento: 1. Distanze relative: «Cum ergo fuerit anomalia coaequata 166°.36’, distantia Martis et Solis fuit 138556, Terrae et Solis 100666» (12126-12127). Si stabiliscono le distanze Terra-Sole (100666 unità) e Marte-Sole (138556 unità) in un dato istante. 2. Triangolazione: «in schemate capitis XIII, si A Sol, B Terra, C Mars […] arguitur C BAC declinatio orbitae ab ecliptica hoc loco l°.39’22“» (12128-12129). L’angolo CBA (latitudine osservata di 6°2’30”) e le distanze permettono di calcolare l’angolo BAC, cioè l’inclinazione locale dell’orbita marziana rispetto all’eclittica: 1°39’22”. 3. Posizione dei nodi: «Nodi igitur anno MDXCV completo sunt in 16°» (12109) e «nodus in 16°.43’ lj» (12130). I nodi (punti di intersezione tra l’orbita di Marte e l’eclittica) sono localizzati a 16°43’ di longitudine. Sottraendo la longitudine dell’opposizione («12°.16’», 12132), si ottiene un arco di «64°.27’» (12133-12134). 4. Inclinazione massima: «ut sinus istius [64°.27’] ad lunae inclinationem l°.39’22”, sic sinus totus ad 1°.50’.10” inclinationem limitis Austrini» (12135-12138). Attraverso una proporzione trigonometrica, si deduce l’inclinazione massima del piano orbitale: 1°50’10”.

L’autore riconosce che la misura potrebbe essere affetta da errori, poiché «locus paulo longius abest a limite» (12139), ovvero il punto osservato non coincide con il limite di massima latitudine. Propone quindi di confrontare altre osservazioni per validare il risultato.

55.3 Verifica con osservazioni aggiuntive

Le frasi (12141)-(12153) introducono un’osservazione indipendente (21 luglio 1593) per generalizzare il metodo: - «Anno MDXCIII Die XXI Julij H. XIV astronomiee, visus est Planeta in 17°.45%’ lj, cum latitudine 5°.46’ Meridiana» (12141-12143): Marte è osservato a 17°45’ di longitudine con latitudine meridiana di 5°46’. - Modello geometrico: Si costruisce un triangolo EAK (Sole-Terra-Marte) dove: - «EA» (Sole-Terra) è a 8°26’ (12145-12147). - «KA» (Marte-Terra) è a 200°1’ (12148-12149). - L’angolo di commutazione vera («EAK») è 11°35’ (12150). - «EK» (direzione Marte) è a 17°45’ (12151). - Relazione trigonometrica: «ut est sinus AEK ad sinum EAK, sic esse sinum inclinationis ipsius K ad sinum latitudinis ejus visae» (12152). Si stabilisce una proporzionalità tra i seni degli angoli per derivare l’inclinazione dalla latitudine osservata.

55.4 Significato storico e metodologico

Il testo rappresenta una testimonianza diretta del lavoro di Johannes Kepler (o di un astronomo coevo) nell’affinare il modello eliocentrico. Le caratteristiche peculiari includono: 1. Precisione osservativa: Le misure di latitudine sono riportate con risoluzione al secondo d’arco («30“», «15”»), tipica degli strumenti dell’epoca (es. quadranti o sestanti). 2. Approccio geometrico: L’uso di triangolazioni e proporzioni trigonometriche riflette il metodo pre-calcolo infinitesimale, basato su Euclide e Tolomeo. 3. Correzioni empiriche: Si tiene conto della rifrazione atmosferica («liberare censetur Fixas a refractione», 12125) e si cerca di minimizzare gli errori confrontando più osservazioni. 4. Terminologia tecnica: - «Anomalia coaequata» (12126): angolo corretto per l’eccentricità orbitale. - «Commutatio vera» (12150): angolo di parallasse tra le posizioni apparenti e reali. - «Limite Austrini» (12138): punto di massima latitudine meridionale dell’orbita.

L’ambiguità nelle frasi (12110), (12111), (12113), (12116), (12118), (12121), (12123), (12129), (12131), (12132), (12136), (12137), (12142), (12144)-(12146), (12149) e (12151) (probabilmente abbreviazioni o simboli non decifrati) suggerisce che il testo sia un estratto da appunti di lavoro, con notazioni stenografiche tipiche dei manoscritti scientifici del XVI-XVII secolo.

56 La relazione tra distanze celesti e angoli apparenti nel trattato di Keplero su Marte

Un’analisi geometrica e trigonometrica per determinare l’inclinazione orbitale di Marte e la sua latitudine osservata.

Il testo presenta una dimostrazione matematica e osservativa relativa all’orbita di Marte, fondata su principi trigonometrici e su dati empirici raccolti tra la fine del XVI e l’inizio del XVII secolo. L’obiettivo centrale è stabilire una relazione proporzionale tra le distanze di Marte dalla Terra e dal Sole e gli angoli apparenti di inclinazione e latitudine, applicando le leggi dei triangoli sferici e piani.

Il nucleo concettuale emerge nelle frasi (12154)-(12156), dove si enuncia la proporzionalità tra distanze e seni degli angoli apparenti: “Erit igitur, ut distantia EK ad distantiam AK, sic sinus apparentiae ipsius lineae K ex A, ad sinum apparentiae eiusdem ex E” (12154). La dimostrazione si basa su un principio trigonometrico già formalizzato da Lansberge nel Libro III dei Triangoli (12156), secondo cui “ut sinus EAK ad sinum AEK, sic distantia EK ad distantiam AK” (12155). Da qui, per transitività, si deduce che “ut sinus EAK ad sinum AEK, sic sinus apparentiae lineae K ex A ad sinum apparentiae eiusdem ex E” (12156), stabilendo una corrispondenza diretta tra rapporti di seni e rapporti di distanze.

La costruzione geometrica successiva (12158-12168) introduce un modello fisico per validare la proporzione. Si traccia una retta VO con due perpendicolari uguali PQ e ML erette dai punti P e M; collegando i loro estremi Q e L con un punto O su VO e descrivendo un arco di cerchio di raggio OL, si ottiene un triangolo in cui “ut PQ ad QO, sic RN ad NO” (12161). Poiché PQ = ML, la proporzione diventa “ut ML ad QO, sic RN ad LO” (12162). Qui, ML rappresenta il seno dell’angolo LOM (“ML sinus anguli LOM”), che misura la dimensione apparente di PQ (o LM) da vicino, mentre LO è la distanza più breve (“distantia brevior”). Analogamente, QO è la distanza maggiore (“distantia longior”), e RN il seno dell’angolo NOR, che misura la dimensione apparente di LM (o PQ) da lontano (12163-12166). La sintesi finale (12167-12168) generalizza la relazione: “ut sinus apparentiae de propinquo ad distantiam longiorem, sic sinus apparentiae de longinquo ad distantiam breviorem”, e per permutazione, “ut distantia brevior ad longiorem, sic sinus apparentiae de longinquo ad sinum apparentiae de propinquo”.

L’applicazione astronomica di questo principio è esplicitata in (12169-12170): “ut distantia Martis a Terra ad distantiam eiusdem a Sole, sic sinus latitudinis ad sinum inclinationis planorum”, e viceversa. Questa proporzione è il cardine per calcolare l’inclinazione orbitale di Marte rispetto all’eclittica, partendo dalle osservazioni di latitudine e dalle distanze relative.

I dati osservativi (12172-12187) forniscono un esempio concreto. Si parte da un angolo apparente di 5°46’4“ osservato da E (12172), da cui, tramite moltiplicazione e divisione di seni, si ottiene un seno pari a 3188 (arco di 1°49’31”), corrispondente all’inclinazione del punto K vista da A. Poiché Marte si trova a 20°1’♐ e il nodo a 16°43’♐, l’elongazione dal nodo è 86°42’. Usando la proporzione “ut sinus elongationis ad totum, sic sinus 1°49’31” ad sinum inclinationis maximae“, si ricava un’inclinazione massima di 1°50’2” (12174-12175). Le osservazioni del 1585 (12176-12186) confermano questi calcoli: con Marte in opposizione al Sole (21°36’♑), la latitudine boreale osservata è 4°31’10“, mentre la distanza di Marte dal Sole è 166334 e quella della Terra dal Sole 98724 (12179). Applicando la proporzione, si ottiene un angolo BCA di 2°40’50”, che sottratto all’angolo EBC (4°31’10“) dà BAC = 1°50’20” (12182-12183). Considerando la distanza dal limite (5°), l’inclinazione limite risulta 1°50’45“ (12184-12185), con una differenza trascurabile (37”) rispetto al valore australe precedente. Il valore medio finale è 1°50’25”, coerente con i risultati del Capitolo XIII (12187-12188).

La tabella (12189-12213) confronta le latitudini osservate con quelle calcolate per diverse opposizioni di Marte tra il 1580 e il 1604, mostrando una sostanziale corrispondenza. Ad esempio, nel 1585 (12191), con distanze 166335 (Marte-Sole) e 98724 (Terra-Sole), l’inclinazione è 1°50’3”, la latitudine osservata 4°30’ boreale, e quella calcolata 4°31’. Le discrepanze minori (es. 1591, 12197) sono attribuite a incertezze osservative, come l’altitudine polare variabile (34°1’ vs 34°5’, 12216) o la parallasse trascurata (12218).

Il testo testimonia il metodo kepleriano di unire geometria rigorosa e osservazione empirica, anticipando la formalizzazione delle leggi del moto planetario. La proporzione tra distanze e seni degli angoli non solo risolve un problema pratico (l’inclinazione orbitale), ma riflette una visione unitaria della meccanica celeste, dove le relazioni matematiche governano i fenomeni osservabili.

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57 L’ipotesi fisica delle latitudini planetarie in Keplero: magnetismo, assi inclinati e nodi mobili

“Se si suppone che una qualche diameter della latitudine nel corpo o globo di Marte si estenda verso il luogo dei limiti sotto le Stelle Fisse, e in questa posizione rimanga parallela a sé stessa per tutto l’ambito, la ragione della latitudine si spiega con una speculazione del tutto simile.”

Il testo, tratto dal Caput LXIII dell’Astronomia Nova (1609) di Johannes Kepler, sviluppa un’ipotesi fisica per spiegare le latitudini planetarie – ovvero le deviazioni dei pianeti dal piano dell’eclittica – attraverso un modello che integra meccanica celeste, magnetismo e geometria sferica. L’analisi si concentra su Marte, ma estende le conclusioni a un principio generale, confrontando le osservazioni con le teorie tradizionali (come quella degli orbi solidi di Brahe) e proponendo una visione dinamica, basata su forze corporee e simmetrie geometriche.

57.1 1. Il modello magnetico delle latitudini: assi paralleli e “remi” planetari

Keplero parte da un’analogia con il magnete per spiegare l’inclinazione dell’orbita marziana rispetto all’eclittica. La chiave del ragionamento è l’ipotesi di una diameter latitudinis nel globo di Marte, dotata di una virtus directoria che: - Si orienta verso punti fissi sotto le Stelle Fisse (i limiti boreali e australi, B e D nel diagramma). - Rimane parallela a sé stessa durante l’intero moto orbitale (“manere sibi ipsi parallelos per omnem ambitum”, 12247). - Agisce come un asse di inclinazione, simile a un remo che devia il pianeta dal piano dell’eclittica (“hic inclinationis axis, quidam quasi remus est”, 12257).

La proporzione tra questa forza e quella magnetica terrestre è esplicita: > “Hujus virtutis ad illam proportio haec est, quae est in magnetibus nostris, directionis ad polum, ad vim ferri attractricem” (12248). La virtus directoria (che orienta l’asse verso i limiti) è distinta dalla virtus attractrix (che attrae il ferro): la prima non attrae né fugge i limiti, ma si limita a dirigersi verso di essi, come l’ago di una bussola verso il polo.

57.1.1 Meccanismo geometrico dell’inclinazione

Keplero descrive il moto di Marte attraverso un diagramma sferico (richiamato in 12251-12256): - L’eclittica è rappresentata dal cerchio CBAD, con A e C come nodi (punti di intersezione con l’orbita marziana) e B e D come limiti (punti di massima latitudine). - L’asse di inclinazione del pianeta (GNH, EAF, etc.) è inizialmente tangente al cerchio immaginario CNAO nei nodi, ma nei limiti taglia l’eclittica ad angoli retti (“ad angulos rectos C secet”, 12253), puntando verso il Sole (centro S). - Il pianeta, spostandosi dal nodo C al limite boreale B, viene “trascinato” fuori dal piano dell’eclittica dalla parte dell’asse che precede il moto (“praecedentem partem K verterat”, 12254). Nei limiti, l’asse non devia più in avanti o indietro, ma solo lateralmente (“ad latus, seu ad polum abnuit”, 12255), causando la massima inclinazione.

Questo modello spiega perché: 1. L’inclinazione è massima nei limiti e nulla nei nodi. 2. Il moto di deviazione è simmetrico: superato il limite boreale B, la parte meridionale dell’asse (G) precede, riportando il pianeta verso il nodo discendente A e poi al limite australe O (“trajiciens a Borea in Austrum”, 12257).

57.2 2. Geometria e regolarità: la legge dei seni

Keplero dimostra che l’inclinazione dell’orbita marziana segue una legge matematica precisa, basata sulla relazione tra seni: > “Sinus BD arcus inter sectionem circulorum et quodlibet punctum circuli Martij, ad sinum totum, sic sinus inclinationis DF puncti F, ad sinum CE, inclinationis maximae” (12267).

In altre parole: - L’inclinazione DF di un punto qualsiasi F dell’orbita di Marte è proporzionale al seno dell’arco BD (distanza angolare dal nodo), rapportato al seno dell’inclinazione massima CE (nei limiti). - Questa relazione, già provata nel Caput XIII tramite osservazioni, conferma che l’orbita marziana è un piano inclinato regolare rispetto all’eclittica (“inclinatio ad planum eclipticae regularis erit”, 12266).

La sezione dei due piani (eclittica e orbita marziana) forma un cerchio massimo sulla sfera delle Stelle Fisse (“secat sphaeram Fixarum in forma circuli magni”, 12262), con i nodi opposti rispetto al centro del Sole (“sectiones seu Nodos […] esse in locis ex centro Solis A oppositis”, 12263). Questa simmetria esclude la presenza di parallassi (errori di prospettiva), come confermato nel Caput LXIV (12338-12344), dove Keplero dimostra che i nodi di Marte sono esattamente opposti, invalidando ipotesi di parallasse anche minime (2-3 minuti d’arco).

57.3 3. Natura della forza inclinante: corporea o razionale?

Keplero affronta due questioni cruciali sulla virtus directoria (12272-12297): 1. È una forza naturale (magnetica) o razionale (angelica)? - Inizialmente propende per una spiegazione naturale, data la somiglianza con il magnete (“Naturalem penè credidissem, ob similitudinem ejus virtutis, quae in Magnete naturalis et ipsa est”, 12277). - Tuttavia, la traslazione dei nodi nel tempo (“transpositio Nodorum succedanea”) suggerisce un intervento razionale, seppur non necessariamente consapevole (“opus esse rationis, si non discurrentis, at certe instinctae”, 12277). Keplero risolve il dilemma ipotizzando una collaborazione tra forze magnetiche e una ratio superiore (“Pareat vis magnetica; praesit ratio, illam gubernans”, 12297).

2. L’asse di inclinazione coincide con l’asse magnetico che causa l’eccentricità?
   • No, perché i due assi hanno direzioni diverse:
     • L’asse dell’eccentricità (che determina la distanza variabile dal Sole) punta verso le longitudini medie sotto le Stelle Fisse (“porrigitur in longitudines medias”, 12290).
     • L’asse della latitudine punta verso i limiti (“porrigitur in limites”, 12291).
   • Solo se i nodi coincidessero con le apsidi (perielio/apelio), i due assi sarebbero identici. Ma nei pianeti:
     • Marte: il limite boreale precede l’afelio di 12°.
     • Giove: limite boreale e afelio coincidono.
     • Saturno: il nodo segue l’afelio di 24°.
     • Luna: la brevità del ciclo rende i nodi mobili (“omnia omnibus permutantur”, 12307).
   • Keplero conclude che le due virtutes sono distinte ma coesistenti nello stesso corpo planetario, come fili intrecciati (“intextas esse mutuo virtutes utrasque, ut subtegmina sunt intexta staminibus”, 12310).

57.4 4. Il problema della rotazione planetaria: Terra vs. Luna

La distinzione tra i due assi diventa critica per i pianeti rotanti su sé stessi, come la Terra. Keplero distingue due casi: 1. Pianeti non rotanti (es. Luna): - Se il corpo planetario non ruota (mostrando sempre la stessa faccia al Sole, come la Luna), i due assi possono coesistere senza conflitti, poiché tutti i diametri mantengono un orientamento fisso rispetto alle Stelle Fisse (“omnes omnino tractus in eo rectilinei […] situm retinebunt eundem ad Fixas”, 12311).

2. Pianeti rotanti (es. Terra):
   • Se il globo ruota (come la Terra con il suo moto diurno), l’unico asse che rimane parallelo a sé stesso è quello di rotazione (“unica sola diameter virtuosa […] manet constans et sibiipsi aequidistans”, 12314).
   • Un eventuale secondo asse (per la latitudine) dovrebbe descrivere un cono intorno all’asse di rotazione, annullando la sua funzione direzionale (“jam ad dextras, jam ad sinistras nuens, corpus tandem in mediam plagam inducit”, 12315).
   • Keplero ipotizza due soluzioni:
     • Un meccanismo corporeo interno, come una sfera con un nucleo non rotante (simile a una lampada sferica che non versa olio, 12320-12322).
     • Una forza spirituale (“spiritale quippiam”), ma questa soluzione è scartata perché incompatibile con la natura corporea dei moti celesti (“quomodo plagas tuetur mundi, rem corpoream?”, 12317).

La questione rimane aperta, ma Keplero suggerisce che modelli terrestri (come il magnete) potrebbero non essere sufficienti per comprendere fenomeni celesti più complessi (“posse esse modos aliquos coelestium motionum […] a nemine tamen in terris comprehendi possint”, 12324-12325).

57.5 5. Confronto con le teorie tradizionali: orbi solidi vs. forze magnetiche

Keplero critica l’ipotesi degli orbi solidi (sostenuta da Tycho Brahe), che spiega l’inclinazione come una proprietà geometrica fissa del piano orbitale: > “Qui orbes tuentur solidos, ii facile omnia expediunt […] tribuent inclinationem non libratilem, sed certam et constantem” (12326-12328).

Secondo Brahe, l’inclinazione dell’orbita marziana è immutabile e ruota lentamente intorno al centro del Sole (o della Terra, per Brahe) nel corso dei secoli. Keplero, invece, propone un modello dinamico, dove: - L’inclinazione è variabile e legata a una forza fisica (magnetica). - I nodi si spostano nel tempo (“transpositio Nodorum”), richiedendo una spiegazione che vada oltre la pura meccanica.

La sua teoria anticipa concetti moderni come: - L’inerzia rotazionale (l’asse rimane parallelo a sé stesso). - L’interazione tra forze (magnetismo e “ratio” superiore). - La relatività del moto (il problema della rotazione terrestre).

57.6 6. Dati e misure chiave

• Inclinazione massima di Marte: 1° 50’ 30” (12242-12244).
• Posizione dei nodi: opposti rispetto al centro del Sole (12263).
• Distanza tra limite boreale e afelio di Marte: 12° (12306).
• Parallasse di Marte: esclusa anche per valori minimi (2-3 minuti d’arco, 12341-12344).
• Velocità di traslazione dei nodi: corretta nel Caput LXIX (12337).

57.7 7. Significato storico e scientifico

Il testo rappresenta un punto di svolta nell’astronomia: 1. Superamento della geometria pura: Keplero cerca una causa fisica per i moti celesti, abbandonando il paradigma aristotelico-tolemaico degli orbi solidi. 2. Magnetismo come modello: L’analogia con il magnete (già usata per l’eccentricità nel Caput LVII) diventa uno strumento per spiegare fenomeni complessi, anticipando la gravitazione universale di Newton. 3. Dinamica vs. statica: L’idea che i nodi si spostino nel tempo (“transpositio Nodorum”) introduce una dimensione storica nei moti celesti, incompatibile con l’eternità degli orbi solidi. 4. Problema della rotazione terrestre: Keplero affronta le difficoltà di un modello eliocentrico con una Terra rotante, anticipando questioni che saranno risolte solo con la meccanica newtoniana.

La sua ipotesi, pur con limiti (come l’assenza di una teoria unificata delle forze), segna il passaggio da un’astronomia descrittiva a una fisica celeste, dove i pianeti sono soggetti a leggi dinamiche simili a quelle terrestri.

[51]

58 Correzione della posizione dei nodi di Marte e l’insensibilità della sua parallasse

Un’analisi quantitativa delle discrepanze osservative nella latitudine di Marte porta a ricalibrare la posizione dei nodi orbitali e a escludere effetti significativi di parallasse.

Il testo affronta due questioni centrali: la revisione della posizione dei nodi orbitali di Marte e la dimostrazione dell’insensibilità della sua parallasse diurna. Entrambi i temi emergono da un confronto tra osservazioni astronomiche e calcoli teorici, con particolare attenzione alle discrepanze misurate in minuti d’arco.

58.1 La correzione dei nodi orbitali

L’autore corregge la posizione del nodo ascendente di Marte, inizialmente stimato in 16° 46’, spostandolo a 16° 16’. La revisione nasce da un’osservazione chiave: “Ergo quo die existimabatur esse in Nodo ascendente, jam vere habuisset latitudinem l’ minuti” (12347), ovvero nel giorno in cui si riteneva che Marte fosse esattamente sul nodo ascendente, la sua latitudine reale era già di 1 minuto. Di conseguenza, “jam ultra Nodum 30’ circiter minutis” (12348), il nodo doveva trovarsi circa 30 minuti più avanti. La conclusione è netta: “Nodus igitur ascendens, esset non in 16°. 46’ ~, sed in 16°. 16’ ~” (12349-12351). La posizione del nodo discendente viene invece fissata a 17° 11’, come sintetizzato in “En Nodum descendentem in 17%° , ascendentem in 16₀” (12352), dove il simbolo ~ indica un’approssimazione.

58.2 L’insensibilità della parallasse diurna di Marte

Il nucleo argomentativo ruota attorno alla parallasse diurna di Marte, considerata trascurabile. L’autore si basa su tre osservazioni principali: 1. Confronto tra latitudini osservate e calcolate: “Parallaxin Martis diurnam, esse plane insensibilem: siquidem vera sit 3° observatio utraque latitudinis intra 2’ minuta” (12356). Se le osservazioni delle latitudini boreali e australi differiscono tra loro di meno di 2 minuti, la parallasse risulta irrilevante. Questo principio viene applicato in più capitoli, tra cui il cap. XI (12354-12355) e il cap. LXII (12357-12359), dove si sottolinea che l’inclinazione dei piani orbitali, se correttamente calcolata, non lascia spazio a effetti di parallasse, a meno di interferenze dovute alla rifrazione atmosferica.

2. Analisi di osservazioni specifiche:
   • Anno 1585 (MDLXXXV): “Esto enim, ut Mars habuerit parallaxin […] minuti unius” (12362). Se Marte avesse avuto una parallasse di 1 minuto a un’altitudine di 53°, la latitudine australe osservata sarebbe stata minore di quella reale, portando a un’inclinazione orbitale sottostimata. Tuttavia, “At jam ante paulo minor apparet” (12364), ovvero la discrepanza osservata è già minima, e “sine parallaxi, quantum observationis vitiolo, aut refractioni nonnulli in altitudine 23° tribui potest” (12365): eventuali errori sono attribuibili a imprecisioni osservative o rifrazione, non a parallasse.
   • Anni 1587 (MDLXXXVII) e 1589 (MDLXXXIX): In entrambi i casi, l’applicazione di una parallasse teorica (4’ nel 1587, 5’ nel 1589) porterebbe a latitudini corrette incompatibili con i dati osservati. Ad esempio, nel 1587, “si parallaxin habuisset 4’ minuto rum, latitudo ex 3 31 fuisset effecta 3 41’” (12371-12373), ma “nihil ultra 3 37’ inventum fuit” (12374-12375). Analogamente, nel 1589, la latitudine boreale osservata di 1° 7’ diventerebbe 1° 12 1/2’ con una parallasse di 5’, mentre il calcolo teorico dà 1° 5 1/2’ (12376-12380). L’autore conclude che “vitiolum 2’ minutorum observationi obvenire potuit” (12380), ovvero un errore di 2 minuti è plausibile, ma non giustifica una parallasse significativa.
   • Anni 1602 (MDCII) e 1604 (MDCIV): Nel 1602, la latitudine osservata di 4° 10’ si riduce a 4° 7 2/5’ senza parallasse, coincidendo con il calcolo teorico (12385-12388). Nel 1604, la mancata corrispondenza tra osservazione e calcolo non viene aggravata dall’eliminazione della parallasse (12389-12390).
3. Conclusione generale: “Bisce tribus modis incertitudinem parallaxeos Martis evicimus” (12391). Le tre linee di evidenza (confronto latitudini, analisi per anno, coerenza con l’inclinazione orbitale) portano a escludere una parallasse misurabile. Tuttavia, l’autore ammette che “insensibilitatem autem omnimodam, non omnino demonstravimus” (12391), a causa delle incertezze residue dovute alla rifrazione e alla precisione osservativa (“intra 2’”).

58.3 Significato storico e metodologico

Il testo riflette una fase cruciale dell’astronomia pre-kepleriana, in cui la precisione delle osservazioni (entro 1-2 minuti d’arco) diventa strumento per validare o confutare ipotesi teoriche. La correzione dei nodi di Marte e la negazione della sua parallasse diurna si inseriscono in un dibattito più ampio sulla geometria delle orbite planetarie e sul ruolo della rifrazione atmosferica, temi centrali nelle opere di Tycho Brahe e dei suoi contemporanei. L’approccio quantitativo, basato su dati osservativi ripetuti in anni diversi, anticipa il metodo scientifico moderno, dove la coerenza tra teoria e misura diventa criterio di verità.

59 L’analisi delle latitudini massime di Marte nel trattato kepleriano

Un’indagine geometrica sulle variazioni della latitudine di Marte, tra osservazioni di Tycho Brahe e ipotesi sulle congiunzioni delle apsidi.

Il testo esamina la massima latitudine di Marte rispetto all’eclittica, distinguendo tra valori boreali (settentrionali) e australi (meridionali), sia in congiunzione che in opposizione al Sole. L’autore, verosimilmente Keplero, parte da un’ipotesi teorica per poi confrontarla con dati osservativi e limiti geometrici.

59.1 Ipotesi e calcoli teorici

La discussione si apre con una valutazione della parallasse di latitudine di Marte: “Itaque si quis Marti parallaxin latitudinis maximam 2’ vel 2%’ minutorum tribuere velit, eum observata haec Braheana non magnopere coarguent” (12393). L’autore suggerisce che attribuire a Marte una parallasse massima di 2 o 2,5 minuti d’arco non contraddirebbe le osservazioni di Tycho Brahe, lasciando intendere una certa tolleranza nei margini di errore.

Il nucleo del ragionamento si concentra sulla determinazione della latitudine massima in due scenari: 1. Congiunzione delle apsidi di Marte e del Sole (o Terra), con i limiti di latitudine allineati (“conjungantur apsides Martis et Solis, […] et unà limites latitudinum Martis”, 12399). 2. Condizioni attuali, in cui le apsidi non sono allineate (“hodie apsides Solis et Martis non sunt conjunctae”, 12430).

Nel primo caso, l’autore fornisce valori dettagliati basati su distanze geometriche: - Distanze: Marte alla massima distanza (AC = 465 unità) e il Sole alla minima (AB = 200 unità), con un angolo BAC di 10° (12403). - Latitudini boreali: - In opposizione: 4° 29’ 10” (12404-12405). - In congiunzione: 1° 8’ 34” (12406-12408). - Latitudini australi: - In opposizione: 6° 58’ 24” (12409-12410), leggermente inferiore a 7°. - In congiunzione: 1° 4’ 36” (12412-12414).

Questi valori variano se si inverte la configurazione delle apsidi (“Sin autem contraria ratione jungatur apogaeum Solis perihelio Martis”, 12415): - Boreale: 4° 44’ 12” in opposizione, 1° 9’ 0” in congiunzione (12415-12418). - Australe: 6° 20’ 50” in opposizione, 1° 3’ 32” in congiunzione (12419-12423).

59.2 Critica alle ipotesi storiche e limiti osservativi

L’autore problematizza la possibilità di una congiunzione delle apsidi nel passato o nel futuro, citando Tolomeo: “Certe PTOLEMAEVS apsidibus et Nodis aequales motus tribuit; quod si esset, nunquam fieret ista conjunctio” (12425). Se le apsidi e i nodi avessero moti uguali (come sostenuto da Tolomeo), tale allineamento non si verificherebbe mai. Anche se oggi i moti appaiono diversi, le osservazioni antiche non sono abbastanza precise per stabilire con certezza la periodicità di questi eventi (“non sunt tamen veterum observata adeo certa”, 12426).

59.3 Complessità geometriche nel presente

Il testo passa poi a considerare le difficoltà attuali: 1. Orbite non circolari: “orbitae Planetarum non sunt perfecti circuli” (12431), un riferimento implicito alle orbite ellittiche scoperte da Keplero. 2. Disallineamento delle apsidi: Anche tracciando una nuova linea delle apsidi, la massima vicinanza tra Marte e Terra potrebbe non coincidere con essa (“poterit tamen fieri, ut alibi quam in hac linea, contingat maxima propinquatio siderum”, 12432). 3. Separazione tra limiti di latitudine e punti di massima vicinanza: “locus limitis Borei et Austrini est alius” (12434), con il limite boreale posto a 16° 50’ (12435).

59.4 Significato storico e metodologico

Il passaggio riflette una transizione epistemologica tra astronomia tolemaica e kepleriana: - Rigetto dell’uniformità: La critica a Tolomeo (12425-12426) sottolinea il superamento del modello di moti circolari uniformi. - Precisione osservativa: L’appello alle osservazioni di Brahe (12393) evidenzia l’importanza dei dati empirici per validare le ipotesi. - Geometria variabile: L’ammissione che le orbite non siano cerchi perfetti (12431) prelude alla formulazione delle leggi di Keplero, pubblicate pochi anni dopo (Astronomia Nova, 1609).

Il testo testimonia quindi un momento di crisi e innovazione, in cui la ricerca di una descrizione matematica accurata dei moti planetari si scontra con la complessità dei dati e la necessità di abbandonare schemi tradizionali.

60 La determinazione delle latitudini massime di Marte e il paradosso delle opposizioni

Un’analisi geometrica e osservativa delle anomalie nel moto latitudinale di Marte, basata su dati di Tycho Brahe e su una complessa interazione tra distanza, inclinazione orbitale e posizione relativa Terra-Sole.

Il testo affronta la determinazione delle latitudini massime di Marte, un problema geometrico e osservativo che rivela una discrepanza tra i dati empirici e i modelli teorici dell’epoca. L’autore, probabilmente Keplero (data la menzione di Tycho Brahe e il riferimento a osservazioni del 1585 e 1593), analizza la posizione di Marte rispetto all’eclittica, evidenziando come le massime escursioni latitudinali non coincidano sempre con l’opposizione al Sole, contrariamente a quanto previsto dai canoni astronomici tradizionali.

60.1 La linea degli apsidi e la geometria orbitale

Il passaggio (12437) introduce la retta BC, prolungata fino a un punto identificato come 24Y, che rappresenta una linea parallela a quella degli apsidi (HF) di Marte, come stabilito da Tycho Brahe. La frase “porrigitur in 24Y:!” indica un’estensione geometrica cruciale per il calcolo delle eccentricità. La simmetria è sottolineata in (12438): > “eodem nempe, quo BRAHEo porrigitur linea HF suarum apsidum, cui haec nostra BC parallelos incedit, quippe bisecta utraque eccentricitate, AF in C, et AH in B.” Qui si chiarisce che entrambe le linee (BC e HF) sono bisecate dalle rispettive eccentricità (AF in C, AH in B), suggerendo un modello orbitale in cui la distanza dal centro geometrico è divisa in due parti uguali.

60.2 Osservazioni e calcoli delle latitudini

L’autore confronta dati osservativi con ipotesi teoriche, come nel caso dell’anno 1585 (12439-12443). Dopo aver considerato un valore medio di 21° per la posizione di Marte, viene notato che: > “Sed me retinuit annus MDLXXXV, quo anno in 21°. 36’ ~ observata fuit latitudo non plane maxima.” Le osservazioni del 24 gennaio (4 giorni prima dell’opposizione) e del 31 gennaio (16 ore dopo l’opposizione) mostrano latitudini quasi identiche (4° 31’), ma l’autore deduce che, se l’opposizione fosse avvenuta il 24 gennaio, la latitudine sarebbe stata maggiore per due motivi (12446-12447): 1. Marte sarebbe stato più vicino alla Terra rispetto alla posizione acronittica (massima distanza). 2. Marte sarebbe stato più lontano dall’apogeo (punto più alto dell’orbita) e quindi più basso.

Da qui emerge l’ipotesi che la massima latitudine boreale si verifichi intorno ai 19° (12448), con valori calcolati di: - 4° 31’ 30” per la latitudine boreale massima (12450-12451). - 1° 8’ 30” per la latitudine in congiunzione solare (12452-12453). Per la latitudine australe, i calcoli (12454-12459) indicano una massima di 6° 52’ 20“ e 2° 4’ 20” in congiunzione.

60.3 Il paradosso delle latitudini massime

Il Capitolo LXVI (12460) introduce un paradosso osservativo: le massime escursioni latitudinali di Marte non si verificano sempre in opposizione al Sole, come dimostrato dalle osservazioni di Tycho Brahe del 1593. In particolare (12463): > “Consideratione dignum est, quod Mars circa decimam diem Augusti habuerit maximam latitudinem Austrinam; et postea decreverit; ita ut die XXIV in oppositione, quasi quarta parte gradus propior eclipticae redditus sit, quod tamen Canones, etiam correcto latitudinis maximae loco, in XVIII Aquarii nequaquam exhibent.” Qui si evidenzia che la massima latitudine australe fu raggiunta il 10 agosto, mentre il 24 agosto (in opposizione) Marte era già 0,25° più vicino all’eclittica, contraddicendo i canoni che prevedevano il picco in 18° Aquario.

60.4 Cause del fenomeno e ipotesi dinamiche

L’autore attribuisce la discrepanza a una complessa interazione tra distanza Terra-Marte e inclinazione orbitale (12470-12475). La latitudine massima si verifica quando: - La distanza Marte-Terra diminuisce (o aumenta) in proporzione inversa all’inclinazione delle linee di latitudine. - Se la distanza decresce più rapidamente dell’inclinazione, la latitudine aumenta; viceversa, diminuisce.

Questo meccanismo spiega perché le massime latitudini possano avvenire prima, durante o dopo l’opposizione, a seconda che questa cada vicino al limite dell’orbita inclinata (12476-12478). Le Ephemerides dell’autore (12479-12481) confermano il fenomeno, citando un caso del 1604 in cui la massima latitudine boreale si verificò tra il 25 febbraio e il 6 marzo, ben prima dell’opposizione.

60.5 Implicazioni teoriche

Il testo sottolinea la difficoltà di definire geometricamente i punti di massima latitudine, paragonandola al problema delle stazioni planetarie risolto da Apollonio di Perga (12468-12469). La complessità deriva dalla sovrapposizione di molteplici fattori: 1. La posizione relativa Terra-Sole-Marte. 2. L’inclinazione variabile dell’orbita marziana. 3. La distanza tra i corpi, che modula l’effetto dell’inclinazione.

La soluzione proposta si basa su un’ipotesi dinamica (12468: “vera hypothesis latitudinis”), che supera i modelli statici precedenti, anticipando la necessità di un approccio cinematico per descrivere i moti planetari.

61 L’analisi kepleriana delle latitudini di Marte e la critica al sistema tolemaico

Un resoconto delle osservazioni e dei calcoli che portarono Keplero a confutare le ipotesi tradizionali sul moto di Marte, dimostrando la superiorità del modello eliocentrico e la necessità di un’eccentricità riferita al Sole reale.

Il testo presenta una sezione cruciale del trattato De motibus stellae Martis (1609) di Johannes Kepler, in cui l’astronomo tedesco analizza le variazioni di latitudine di Marte rispetto all’eclittica, confrontando le proprie osservazioni con i modelli astronomici precedenti. Le frasi rivelano tre nuclei tematici interconnessi: 1) la registrazione di dati osservativi, 2) la critica al sistema tolemaico, e 3) la dimostrazione della validità del proprio modello eliocentrico.

61.1 1. Osservazioni delle latitudini massime di Marte

Keplero riporta una serie di misurazioni delle latitudini boreali e australi di Marte in precisi momenti temporali, legandole alle posizioni relative del pianeta rispetto al Sole. Le date e le configurazioni planetarie sono espresse con precisione: - “Il 7 ottobre [1604] vi fu la massima latitudine australe, quando Marte si trovava tra il quintile e il sestile del Sole” (12483). - “Alla fine del 1605 vi fu la massima latitudine boreale, mentre il Sole passava dal quintile al quadrato di Marte” (12484). - “Nel luglio 1606, alla fine del mese, vi fu di nuovo la massima latitudine australe, con il Sole in trigono a Marte” (12485). - “Nel 1607 la massima latitudine boreale si verificò poco dopo la congiunzione di Marte con il Sole” (12486).

Questi passaggi evidenziano un pattern ciclico nelle variazioni di latitudine, correlato alle aspetti planetari (quintile, sestile, quadrato, trigono) e alle congiunzioni/opposizioni con il Sole. La precisione delle date (anni 1604–1607) e delle misure angolari (es. “4° 0’ poco dopo la congiunzione”, 12486) riflette l’approccio empirico di Keplero, basato su osservazioni sistematiche.

61.2 2. Critica al modello tolemaico e ai suoi errori metodologici

Il cuore della critica kepleriana emerge nella Pars Quinta, Caput LXVI (12487), dove l’autore demolisce le basi della teoria degli epicicli di Tolomeo. Le accuse sono radicali: - “La causa principale per cui queste [osservazioni] appaiono straordinarie nell’antica astronomia risiede nel fatto che Tolomeo e coloro che lo imitarono inventarono moti estremamente complicati di inclinazioni, deviazioni e riflessioni” (12487). - “Poiché Tolomeo era vincolato all’immaginazione dell’epiciclo, non appena vide che in opposizione al Sole il pianeta sembrava deviare verso una direzione, subito congetturò che in congiunzione con il Sole – quando non è visibile – deviasse nella direzione opposta, per compensare e mantenere un’equilibrio con il Sole” (12488). - “Questo non è scoprire la verità attraverso l’osservazione, ma inventare osservazioni partendo da un’immaginazione falsa” (12489).

Keplero sottolinea qui un errore epistemologico: Tolomeo proiettava le proprie ipotesi sulle osservazioni, anziché derivarle da esse. L’ammissione “gli si può perdonare, dato che aveva poche osservazioni” (12490) attenua solo parzialmente la critica, che mira a delegittimare un intero paradigma astronomico. La complessità artificiosa del sistema tolemaico (con i suoi epicicli, equanti e deferenti) è contrapposta alla semplicità del modello kepleriano, come si vedrà in seguito.

61.3 3. Verifica del modello kepleriano e superiorità dell’eliocentrismo

Keplero passa quindi a dimostrare la validità del proprio modello attraverso un calcolo dettagliato della latitudine di Marte per una data specifica (10 agosto, 12493). Il procedimento è meticoloso: 1. Posizioni angolari: “Il 10 agosto, alle ore 13:45, la posizione eccentrica di Marte sull’eclittica era 0° 41’ 18” in [segno del] Cancro; il Sole a 27° 31’ 49” in Leone” (12496–12499). 2. Angoli chiave: “L’angolo al Sole era di 5° 3’ 29”; l’angolo alla Terra di 18° 25’“ (12500–12501). 3. Calcolo della latitudine: “Da questi dati, con il metodo del capitolo LXII, si ottiene una latitudine visibile di 6° 21’ 14”, di soli due minuti superiore a quella osservata” (12510–12513).

La precisione del calcolo (con scarti di pochi minuti d’arco) è presentata come prova della bontà del modello. Keplero insiste sulla corrispondenza tra teoria e osservazione: “Le osservazioni su cui si basa il calcolo sono le stesse che esso riproduce” (12495). La metodologia geometrica è descritta attraverso triangoli sferici e relazioni trigonometriche (12514–12534), con riferimenti a schemi e capitoli precedenti (“come si vede nello schema del capitolo XX”, 12514).

Il punto culminante è la confutazione dell’eccentricità tolemaica (Caput LXVII, 12539–12546): - “Si dimostra che l’eccentricità di Marte non sorge dal punto medio del Sole (o dal centro dell’epiciclo solare, secondo Brahe), ma dal centro stesso del Sole” (12540). - “Ho discusso fisicamente nel capitolo VI che, negati gli orbi solidi, le eccentricità dei pianeti non possono derivare da altro punto che dal centro del Sole” (12542). - “La dimostrazione geometrica, dedotta dalle osservazioni, è rimandata ai capitoli XXII, XXIII e LII, dove credo di aver soddisfatto [la questione]” (12543–12546).

Questo passaggio è rivoluzionario: Keplero sposta il centro di riferimento dal punto medio dell’orbita solare (come in Tycho Brahe) al Sole reale, anticipando la prima legge (orbite ellittiche con il Sole in un fuoco). La semplicità del modello è ribadita: “Il nostro modello eccelle proprio per questa sua semplicità, poiché assegna all’eccentrico un’inclinazione costante, che varia solo otticamente a seconda della nostra posizione di osservazione” (12536–12538).

61.4 Significato storico e scientifico

Il testo rappresenta una testimonianza diretta della transizione dall’astronomia geocentrica a quella eliocentrica. Tre aspetti ne evidenziano l’importanza: 1. Empirismo vs. dogmatismo: Keplero smantella il sistema tolemaico non con argomenti filosofici, ma con dati osservativi e calcoli riproducibili. La sua critica a Tolomeo (“inventare osservazioni”, 12489) anticipa il metodo scientifico moderno. 2. Rivoluzione copernicana: La dimostrazione che l’eccentricità di Marte dipende dal Sole reale (non da un punto geometrico) è un tassello fondamentale per le leggi di Keplero, pubblicate pochi anni dopo (Astronomia Nova, 1609). 3. Precisione strumentale: Le misure angolari (es. “16° 3’ in Cancro”, 12502) riflettono l’uso di strumenti come il quadrante di Tycho Brahe, con cui Keplero lavorò a Praga. La riduzione degli errori a pochi minuti d’arco (12513) segna un salto qualitativo rispetto all’astronomia antica.

Il testo, infine, documenta un momento di crisi e innovazione: la complessità del modello tolemaico (con i suoi 80 epicicli) era diventata insostenibile, e Keplero ne offre una soluzione elegante, basata su principi fisici (l’attrazione solare) e geometrici (orbite ellittiche). La sua insistenza sulla “semplicità” (12536) non è solo estetica, ma epistemologica: un modello deve spiegare i fenomeni con il minor numero di assunzioni possibili.

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62 La conferma kepleriana del centro solare come origine dell’eccentricità marziana

L’analisi delle osservazioni acroniche di Marte rivela che i nodi orbitali e l’eccentricità si determinano univocamente solo assumendo il centro del Sole come riferimento.

Il testo affronta la relazione tra la posizione dei nodi orbitali di Marte (i punti in cui l’orbita del pianeta interseca il piano dell’eclittica) e il centro di calcolo dell’eccentricità, dimostrando che solo l’adozione del centro del Sole come origine garantisce coerenza tra teoria e osservazioni. Kepler riprende quanto già provato nel capitolo LXI: “Demonstratum est […] Nodos cadere in partes, ex centro Solis oppositas, praecise admodum, id est, diametrum apsidum, et diametrum sectionis planorum eclipticae et Martis concurrere, seu secare se mutuo in centro eodem, unde eccentricitas computatur; in centro Solis scilicet” (12549). Qui emerge il concetto chiave: la diametro degli apsidi (linea che unisce afelio e perielio) e la linea dei nodi (intersezione tra il piano orbitale di Marte e l’eclittica) si intersecano esattamente nel centro del Sole, confermando che l’eccentricità deve essere calcolata a partire da questo punto.

La domanda successiva (12550) introduce un’ipotesi alternativa: cosa accadrebbe se, invece del moto apparente del Sole, si utilizzasse il suo moto medio (una semplificazione teorica)? La risposta è netta: “Minime vero” (12551). Kepler dimostra, attraverso un riferimento al schema copernicano del capitolo VI (12552-12558), che l’adozione del moto medio sposta il punto di calcolo dell’eccentricità (indicato come ~ anziché x, dove x rappresenta il centro del Sole). Ciò comporta uno scostamento della linea dei nodi: “Igitur ex ~, ipsi xa perpendicularis […] cadet in loca, ex ~ praecise opposita, at non cadet in loca Nodorum” (12561). In altre parole, la perpendicolare alla linea degli apsidi passante per ~ non coincide più con la linea dei nodi, ma si discosta di un intervallo xc;, invalidando la corrispondenza osservativa.

Per quantificare questa discrepanza, Kepler calcola l’angolo formato tra la linea ~ç (con ç come intersezione tra l’eccentrico e la perpendicolare) e la linea xç (centro del Sole). Dalle misure riportate (12563-12565), risulta che l’angolo ~çx è di 49°, mentre la distanza x~ (eccentricità solare) è di 3600 parti su una scala in cui il raggio dell’orbita terrestre è 100.000. Applicando la proporzione trigonometrica, si ottiene che la distanza xç (proiezione dell’eccentricità su Marte) corrisponde a 2717 parti, equivalenti a un angolo di 1° 33’ 1’’ (12567-12568). Questo valore rappresenta lo scostamento atteso dei nodi se si adottasse il moto medio del Sole anziché il suo moto apparente.

La verifica empirica conferma la teoria. Kepler cita due osservazioni: 1. Nel 1595, il 28 ottobre, Marte era nel nodo ascendente, con una longitudine eccentrica calcolata (basata sulle tavole di Brahe, che usano il punto ~) di 16° 48’ 11’’ (12573-12575). 2. Nel 1589, il 9 maggio, Marte era nel nodo discendente, con longitudine eccentrica di 15° 44’ 11’’ (12576-12578).

La differenza tra i due nodi dovrebbe essere di 180° (semicircolo), ma risulta invece di 175° 26’ 33’’ (12580), con uno scarto di 4° 33’ 27’’ rispetto al valore atteso. Tuttavia, correggendo i dati per un ritardo di 1 giorno e 15 ore nell’osservazione del nodo ascendente (12583), la longitudine eccentrica sale a 17° 38’ 45’’ (12585), riducendo lo scarto a 1° 53’ 15’’ (12586-12587). Questo valore è “quam proxime aequalis computatae” (12587), cioè in accordo con la discrepanza teorica di 1° 33’ 1’’ calcolata in precedenza.

La conclusione è perentoria: “Stat igitur omnino punctum x, repudiatur ~” (12589). Il centro del Sole (x) è l’unico punto valido per il calcolo dell’eccentricità e la determinazione dei nodi, mentre il punto ~ (moto medio) introduce errori sistematici. Kepler si interroga infine sulla causa di questa asimmetria (12591), rimandando a dimostrazioni basate sull’inclinazione dei piani orbitali (capitolo LXII) e a schemi precedenti (capitolo XX), ma il dato fondamentale è già acquisito: la geometria dell’orbita marziana richiede il Sole come centro fisico e matematico, non un’astrazione teorica.

63 L’inclinazione dell’orbita di Marte e la stabilità dell’eclittica tra Tolomeo e l’età moderna

Un’analisi quantitativa delle inclinazioni orbitali di Marte e una riflessione sulla variabilità secolare dell’eclittica, fondata su misurazioni precise e confronti con le osservazioni di Tycho Brahe.

Il testo affronta due questioni centrali: la misurazione degli angoli di inclinazione dell’orbita di Marte rispetto all’eclittica e la discussione sulla stabilità secolare di tale inclinazione, con particolare riferimento alle discrepanze tra le osservazioni antiche (Tolomeo) e quelle moderne. Le misurazioni riportate sono di straordinaria precisione per l’epoca e rivelano una simmetria tra i limiti boreali e australi dell’orbita marziana.

63.1 Misurazione degli angoli di inclinazione

L’autore definisce con esattezza gli angoli di deviazione dell’orbita di Marte dall’eclittica, osservati dal Sole (“ex A Sole spectatur”). Per il limite boreale (angolo LAB), l’inclinazione è fissata a: - “1° 5′ 45″” (12593-12595). Per il limite australe (angolo MAD), la misura è quasi identica: - “1° 5′ 8″” (12596-12598). La minima differenza (“duobus circiter minutis”, 12602) tra i due valori suggerisce una sostanziale simmetria dell’orbita rispetto all’eclittica. Da ciò si deduce che i punti B (boreale) e D (australe) giacciono su una stessa linea retta passante per il Sole (A), confermando che l’orbita di Marte è un piano unico (“sit una linea”, 12599). L’estensione di questo ragionamento porta a concludere che l’intera orbita marziana (“quod 20 sub Martis orbita comprehenditur”) costituisce un unico piano (12600).

Un passaggio cruciale (12601) introduce una variabile critica: la posizione del punto di intersezione tra i piani orbitali. Se tale punto (I) non coincide con il centro del sistema (Sole o Terra, a seconda del modello), gli angoli di inclinazione osservati da un punto diverso da A subirebbero variazioni. In particolare, spostandosi lungo la linea BD (che unisce i limiti boreale e australe), l’angolo di visuale del limite boreale (LB) diminuirebbe, mentre quello del limite australe (MD) aumenterebbe. Questa osservazione sottolinea la dipendenza delle misurazioni dalla parallasse, ovvero dallo spostamento apparente degli oggetti celesti dovuto al cambiamento del punto di osservazione.

63.2 Il problema della parallasse e la solidità delle dimostrazioni

L’autore riconosce che le argomentazioni precedenti potrebbero essere indebolite se si ammettesse una parallasse arbitrariamente grande (“si nobis libertas relinquatur statuendi parallaxin pro lubitu magnam”, 12603). Tuttavia, cita prove multiple (“ex documentis pluribus”) che escludono una parallasse così elevata da compromettere la validità delle misurazioni, fissando un limite massimo di 3° (12604). La dimostrazione è presentata come ferma e inconfutabile (“firmissime sit demonstratum”, 12605), tanto da poter essere utilizzata in due modi: 1. Dimostrare l’assenza di parallasse significativa partendo dalla negazione di quest’ultima (cap. LII). 2. Derivare la negazione della parallasse dalla dimostrazione stessa (cap. LXIV). Entrambi gli approcci sono considerati equivalenti (“Vtrum facias, perinde est”, 12610), poiché il tema centrale dispone di altre prove indipendenti (12611). L’autore preferisce la prima via per evidenziare la coerenza interna delle osservazioni (“ut consensum rerum ostenderem”, 12612).

63.3 La stabilità secolare dell’eclittica e le osservazioni di Tycho Brahe

Il capitolo LXVIII affronta un dubbio fondamentale: l’inclinazione dell’orbita di Marte rispetto all’eclittica è rimasta costante nei secoli? (12615). La questione nasce dalle osservazioni di Tycho Brahe (12617-12618), che nel Progymnasmata (tomo I, fol. 233) aveva rilevato una variazione nelle latitudini delle stelle fisse tra l’epoca di Tolomeo e il XVI secolo. Le variazioni seguono uno schema preciso: - Stelle boreali vicino al solstizio d’estate: aumento delle latitudini. - Stelle australi nello stesso periodo: diminuzione delle latitudini. - Stelle boreali vicino al solstizio d’inverno: diminuzione delle latitudini. - Stelle australi nello stesso periodo: aumento delle latitudini. - Minore variazione avvicinandosi ai punti equinoziali, fino a nessuna variazione in prossimità di essi.

Queste osservazioni suggeriscono uno spostamento dell’eclittica rispetto alle stelle fisse, non un movimento delle stelle stesse. L’autore adotta una prospettiva eliocentrica (o almeno compatibile con essa) per spiegare il fenomeno: 1. Le stelle fisse sono poste a una distanza immensa dai pianeti (“Sphaeram Fixarum immenso intervallo supra Planetas elevari”, 12622) e sono prive di moto proprio (“Fixas omni motu de loco in locum esse liberas”, 12623, citando Copernico). 2. L’eclittica è definita come il cerchio massimo della sfera celeste lungo il quale il Sole appare muoversi annualmente, sia che il moto sia attribuito al Sole o alla Terra (“sive Soli sive Terrae competat motus iste”, 12624). Essa non è intrinseca alle stelle fisse, ma dipende dal moto annuo del sistema Sole-Terra. 3. Poiché le latitudini stellari sono cambiate, l’eclittica deve essersi spostata rispetto alle stelle fisse (“non igitur Fixae ab ecliptica sed haec a Fixis recessit”, 12625).

63.4 La causa dello spostamento dell’eclittica

La spiegazione proposta si basa sui principi esposti nel capitolo LXIII (12626). Il Sole, con la sua rotazione rapida (“gyratione rapidissima”, 12627), emette una “specie” (un’influenza dinamica) che governa il moto dei pianeti. Questa rotazione ha poli definiti (A e E nello schema del cap. LXIII), che proiettano punti corrispondenti (F e G) sulla sfera delle stelle fisse. Il cerchio massimo descritto dalla rotazione solare (ML) diventa così un riferimento assoluto (“circulus Regius”, 12634) per tutti i pianeti, compresa la Terra (o il Sole, a seconda del modello).

Ogni pianeta mantiene un’inclinazione costante rispetto a questo cerchio regale, ma tale inclinazione è traslatoria (“translatitiam tamen”), poiché i nodi orbitali (punti di intersezione con l’eclittica) si spostano nel tempo (12635). L’eclittica stessa, essendo l’orbita della Terra (o del Sole), è soggetta a questa dinamica: non può coincidere perfettamente con il cerchio regale (ML), ma deve avere una propria inclinazione rispetto ad esso (12636). L’autore respinge l’idea che l’eclittica sia l’unico piano planetario privo di inclinazione rispetto al cerchio regale, sottolineando l’arbitrarietà di una simile eccezione (“Quid enim causae sit, cur […] sola ecliptica […] praecise cum hoc circulo Regio ML coincidat?”, 12637).

63.5 Implicazioni e gerarchia dei concetti

Il testo stabilisce una gerarchia chiara tra i fenomeni discussi: 1. Misurazioni dirette (angoli di inclinazione di Marte) → confermano la planarità dell’orbita e la simmetria rispetto all’eclittica. 2. Problema della parallasse → introduce una variabile critica, ma risolta attraverso dimostrazioni indipendenti. 3. Variazione secolare dell’eclittica → spiegata tramite un modello dinamico che attribuisce al Sole un ruolo centrale nella definizione dei piani orbitali. 4. Cerchio regale (ML) → diventa il riferimento assoluto per tutte le inclinazioni planetarie, inclusa quella dell’eclittica.

L’ambiguità residua riguarda la scelta del modello (geocentrico vs eliocentrico), ma il testo evita di pronunciarsi esplicitamente, limitandosi a notare che il moto annuo può essere attribuito sia al Sole che alla Terra (“sive Soli sive Terrae”, 12624). Tuttavia, la preferenza per una spiegazione dinamica basata sulla rotazione solare suggerisce una vicinanza alle idee copernicane, pur senza escludere del tutto interpretazioni alternative.

64 La teoria dell’eclittica mobile e la variabilità delle latitudini stellari

Un’analisi geometrica e dinamica dei moti celesti che rivela l’esistenza di un “circolo regale” nascosto, fondamento delle variazioni secolari nell’obliquità dell’eclittica e nelle latitudini delle stelle fisse.

Il testo affronta la complessa relazione tra l’eclittica vera (il piano apparente del moto solare) e un ipotetico circolo regale (circulus regius), un piano di riferimento latente che governa le inclinazioni orbitali dei pianeti. L’autore — con ogni probabilità Keplero, data la trattazione dei moti di Marte e il riferimento a capitoli precedenti (capite LXIII) — sviluppa una teoria che spiega le variazioni secolari delle latitudini stellari e dell’obliquità dell’eclittica attraverso uno spostamento progressivo dei nodi e dei limiti dell’eclittica rispetto alle stelle fisse.

64.1 L’eclittica vera e il circolo medio

Il nucleo concettuale ruota attorno alla distinzione tra: 1. L’eclittica propriamente detta (“eclipticam proprie sic dictam”), inclinata rispetto a un circolo solare regale (“regium illum circulum Solarem”), rappresentato dal cerchio KH tra le stelle fisse (12638). 2. Un circolo medio (“circulum ML, quem mediam eclipticam dicere possemus”), intersezione tra l’eclittica vera e il piano regale, i cui nodi (“Nodi communes”) si spostano più lentamente rispetto a quelli degli altri pianeti (12641).

La chiave interpretativa è la mobilità dell’eclittica vera rispetto alle stelle fisse: “facietque successu saeculorum, ut ubi olim limitem Boreum egit, prope easdem Fixas tandem limitem Austrinum collocet” (12643). Questo spostamento secolare — impercettibile in brevi periodi (“insensibili aliquo variabunt earum latitudines”, 12645) — diventa evidente nei nodi, dove la variazione delle latitudini stellari è massima (“evidentius suarum Fixarum mutabunt latitudines”, 12646). L’osservazione empirica che “circa aequinoctia nulla sentitur mutatio latitudinum Fixarum, circa vero solstitia satis notabilis” (12647) conferma che i limiti dell’eclittica (punti di massima latitudine) coincidono con i solstizi, mentre i nodi con gli equinozi (“Limites latitudinum eclipticae positione mutabilis […] esse circa aequinoctia, Nodos circa solstitia”, 12648-12649).

64.2 Il circolo regale e la costanza delle inclinazioni planetarie

L’ipotesi centrale è l’esistenza di un circolo regale latente (“circulus aliquis regius LOIM”), un piano di riferimento assoluto rispetto al quale i pianeti mantengono inclinazioni costanti, mentre l’eclittica vera (e con essa l’equatore terrestre) varia nel tempo. Questo spiega perché: - L’obliquità dell’eclittica (angolo tra equatore ed eclittica) sia diminuita da 23°51’ (epoca tolemaica) a 23°31’ (12675-12677), con una differenza di 20’ corrispondente alla variazione delle latitudini stellari. - I poli dell’eclittica si spostino lungo un cerchio minore (“circulus minor”, 12695), descrivendo un moto secolare che altera l’orientamento dell’eclittica rispetto alle stelle fisse.

La distinzione tra pianeti superiori (Marte, Giove, Saturno) e la Luna è cruciale: mentre i primi orbitano attorno al Sole e mantengono inclinazioni costanti rispetto al circolo regale, la Luna — che ruota attorno alla Terra — ha limiti di latitudine fissi rispetto all’eclittica mobile (“Luna latitudinum suarum limites, ad eclipticam luxatilem HK, constantes tuetur”, 12689). Questa differenza giustifica perché la teoria non sia applicabile al nostro satellite (“Nec debet nos turbare Lunae exemplum”, 12682).

64.3 Modello geometrico e implicazioni dinamiche

L’autore propone un modello geometrico per rappresentare il moto secolare: 1. Poli dell’eclittica: Il polo tolemaico (I) e quello moderno (O) giacciono su un cerchio minore centrato in A (polo del circolo regale), con raggi rispettivamente di 23°51’ e 23°31’ (12695-12705). 2. Moto dei nodi: I nodi dell’eclittica retrocedono (“Nodi vero retrocedunt”, 12651), come quelli lunari (che completano un ciclo in 19 anni), mentre il perielio terrestre avanza (12652). Questo suggerisce che il circolo regale coincida con il piano dei perieli planetari (“si omnium Planetarum aphelia ordinarentur in uno circulo maximo”, 12656). 3. Inclinazione di Marte: Il polo dell’orbita marziana (F per l’epoca moderna, H per quella tolemaica) si muove lungo un arco centrato in A, mantenendo un’inclinazione costante rispetto al circolo regale, ma variabile rispetto all’eclittica (“hodierna obliquitas […] OF major, Ptolemaica IH minor”, 12710-12711).

La precessione degli equinozi è interpretata come un effetto secondario: l’asse terrestre descrive un cilindro annuale (con diametro pari all’orbita terrestre) e un cono secolare (“describit conos duos”, 12716), la cui sovrapposizione genera una spirale (“spiris apud E depictis”, 12713) responsabile del moto apparente delle stelle fisse.

64.4 Criticità e aperture

Il testo lascia aperte alcune questioni: - Dimensioni del cerchio minore: L’ampiezza del moto dei poli (“de dimensione nobis non constat ipsius circelli 0I”, 12706) è incerta, poiché la variazione di 20’ nell’obliquità potrebbe derivare da combinazioni diverse di parametri. - Generalizzabilità: L’ipotesi del circolo regale richiede che i perieli di tutti i pianeti giacciano su un unico piano (“omnium Planetarum aphelia ordinarentur in uno circulo maximo”, 12656), ma i dati disponibili (per Sole, Marte, Giove, Saturno) mostrano solo un accordo parziale (“apogaea Solis, Martis, Jovis, Saturni, consentiunt mediocriter”, 12660). - Causa fisica: L’autore suggerisce che una diametro virtuosa della Terra (“diameter virtuoja”, 12652) possa spiegare sia l’eccentricità orbitale che l’obliquità, ma rimanda a un’analisi futura (“differenda est plenaria hujus rei consideratio”, 12663).

64.5 Significato storico

Il trattato rappresenta un ponte tra la cosmologia tolemaica e quella copernicana, tentando di conciliare: - L’immobilità delle stelle fisse (dogma aristotelico) con la loro variazione di latitudine. - La centralità del Sole (implicita nel circolo regale) con la persistenza di un sistema di riferimento geocentrico (l’eclittica). - L’uniformità dei moti planetari con le irregolarità osservate (precessione, variazione dell’obliquità).

La teoria anticipa concetti moderni come: - La non coincidenza tra eclittica e piano orbitale terrestre (il circolo regale può essere interpretato come il piano invariabile del sistema solare). - La dinamica secolare dei moti celesti, oggi attribuita alle perturbazioni gravitazionali. - L’importanza dei nodi orbitali come indicatori di interazioni tra piani di riferimento.

La trattazione, pur con limiti empirici, segna un passo verso la meccanizzazione del cielo, sostituendo le sfere cristalline con piani mobili e moti relativi.

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65 Riflessioni critiche sulle osservazioni astronomiche di Ipparco e Tolomeo

L’analisi delle discrepanze tra i dati antichi e le moderne correzioni rivela i limiti metodologici e strumentali dell’astronomia tolemaica.

Il testo affronta le incertezze e gli errori sistematici nelle osservazioni astronomiche di Ipparco e Tolomeo, con particolare attenzione al moto del Sole, alla determinazione degli equinozi e solstizi, e alla posizione delle stelle fisse e dei pianeti. Centrale è la critica alla precisione delle misurazioni antiche, spesso viziate da approssimazioni strumentali e fenomeni ottici non considerati.

65.1 L’ingresso del Sole nei tropici e l’apogeo

La questione dell’ingresso del Sole nel Cancro e nel Capricorno (12797) — da cui dipendono l’apogeo solare e la disposizione delle equazioni (correzioni orbitali) — è trattata come un problema di osservazione indiretta. L’autore dubita che Ipparco e Tolomeo abbiano potuto determinare con esattezza il momento esatto del solstizio, data la lentezza del moto solare in quei punti: > «cum ingressus Solis in Cancrum insensibilis plane sit» (12799). La loro presunta precisione è messa in discussione: si ipotizza che abbiano invece confrontato declinazioni simmetriche rispetto al solstizio, prendendo il punto medio tra due misure uguali come momento del solstizio (12800). Questo metodo, se applicato vicino al solstizio, avrebbe introdotto un’incertezza di 52 minuti nell’equinozio tolemaico (12801), pur mantenendo una buona approssimazione per le moderne equazioni solari (12802). Tuttavia, la posizione dell’apogeo solare secondo Tolomeo è ritenuta imprecisa «intra multos gradus» (12803).

65.2 Errori nelle longitudini stellari e nel punto equinoziale

Le longitudini delle stelle fisse nel catalogo tolemaico sono sospettate di un errore sistematico di circa 20 minuti d’arco (12804). Il problema nasce dalla difficoltà di determinare il punto equinoziale («punctum aequinoctii coecum», 12805), riferimento fondamentale per le coordinate celesti. Il testo descrive un metodo di osservazione basato su: 1. Misura della declinazione solare («BE declinatio Solis», 12806) al meridiano (12807). 2. Determinazione della distanza angolare tra Sole e Luna di giorno (12808). 3. Collegamento della Luna a una stella fissa di notte, per risalire alla longitudine della stella rispetto al punto equinoziale (12809-12810).

Tuttavia, questo procedimento è affetto da errori, soprattutto nella misura dell’elongazione Luna-Sole (12821). L’osservazione al tramonto, infatti, è distorta dalla rifrazione atmosferica, che solleva apparentemente il Sole di circa 0,5°, riducendo l’elongazione misurata (12822-12823). Di conseguenza, le longitudini stellari tolemaiche andrebbero corrette aggiungendo 0,5° (12824).

65.3 Implicazioni per le osservazioni di Marte

L’errore nelle longitudini stellari si riflette sulle osservazioni dei pianeti, come Marte, la cui posizione è determinata per confronto con le stelle fisse. Il testo nota che, anche con strumenti precisi, la posizione di Marte nel cielo dipende dalla correttezza del riferimento solare e stellare (12815). Un errore di 15 minuti nel moto solare — equivalente a un quarto di giorno (12812) — può tradursi in una discrepanza di 0,25° nella posizione del Sole e fino a 8° nell’apogeo (12813).

Per Marte, Tolomeo riporta quattro osservazioni con longitudini specifiche (12826-12833), che l’autore propone di correggere aggiungendo 0,5° per compensare l’errore sistematico (12834-12841). Ad esempio: - Tolomeo: 21° 0′ (12826) → Corretto: 21° 30′ (12834). - Tolomeo: 2° 34′ (12830) → Corretto: 3° 4′ (12838).

65.4 Conclusione: limiti e valore delle osservazioni antiche

Il testo riconosce che, nonostante gli errori, le osservazioni tolemaiche rimangono un riferimento prezioso («Bona cum gratia Ptolemaicarum observationum retineri hodiernas aequationes Solis», 12802). Tuttavia, evidenzia come la mancanza di correzioni per la rifrazione e la dipendenza da metodi indiretti abbiano introdotto discrepanze sistematiche. La critica non è distruttiva, ma mira a quantificare gli scarti per affinare la comprensione dei dati storici e delle loro applicazioni moderne.

66 L’analisi kepleriana delle osservazioni tolemaiche su Marte: tra incertezze e correzioni metodologiche

Il testo affronta la revisione critica delle osservazioni di Tolomeo sul moto di Marte, evidenziando le discrepanze tra i dati antichi e le esigenze di precisione richieste dalla teoria eliocentrica. Al centro della discussione vi è la correzione delle posizioni apparenti del pianeta, condizionate da errori sistematici nelle misurazioni tolemaiche e dall’incertezza nella determinazione delle coordinate delle stelle fisse.

66.1 La difesa di Tolomeo e i limiti delle sue osservazioni

Keplero riconosce che Tolomeo basò le sue affermazioni su misurazioni ripetute delle distanze angolari tra Luna, Sole e stelle fisse (“affirmans se saepius unam et eandem rem […] inquisivisse distantiam, inventamque esse perpetuo eandem”, 12842). Tuttavia, emerge un dubbio metodologico: sebbene Tolomeo riporti una sola osservazione esemplificativa, è probabile che abbia considerato più rilevazioni (“tam oriente quam occidente Sole vel Luna”, 12843), mediando i risultati per ridurre le discrepanze. Il passaggio sottolinea come la scelta di un valore intermedio tra dati discordanti fosse una prassi comune, ma insufficiente a garantire l’accuratezza richiesta per lo studio delle ineguaglianze planetarie (prima e seconda ineguaglianza, legate rispettivamente all’eccentricità e all’equante).

66.2 L’errore di 30 minuti e le sue conseguenze

Un nodo cruciale è l’errore sistematico di 30 minuti d’arco nelle osservazioni tolemaiche di Marte. Keplero nota che questo scarto non è trascurabile, poiché: 1. Distorce la posizione media del pianeta: se Marte appare 30’ più avanti nel cielo rispetto alla sua posizione reale, la correzione da applicare al moto medio varia a seconda che il pianeta si trovi in afelio o perielio (“in apogaeo haec triginta minuta […] occupant magnum arcum eccentrici […] in perigaeo fit contrarium”, 12848-12849). In afelio, l’errore corrisponde a un ampio arco dell’orbita eccentrica e a una porzione significativa del moto medio; in perielio, l’effetto è minore. 2. Altera la disposizione delle osservazioni acroniche (osservazioni di Marte in opposizione al Sole): le tre opposizioni utilizzate da Tolomeo perdono coerenza, portando a una stima errata dell’afelio e dell’eccentricità (“unde aliud aphelium, aliamque eccentricitatem pro dire necesse est”, 12854). Keplero minimizza tuttavia l’impatto di questa correzione (“etsi hoc posterius nobis nihil facesset negotii”, 12855), poiché le osservazioni di Tycho Brahe offrono una precisione superiore.

66.3 La riduzione delle osservazioni tolemaiche

Il testo descrive il processo di riduzione delle osservazioni per allinearle alla teoria eliocentrica. Due aspetti sono centrali: - La dipendenza dal punto equinoziale: la corretta determinazione della elongazione di Marte dal Sole richiede la conoscenza della distanza di entrambi i corpi dal punto vernale (“nisi remotio cum Martis tum Solis a communi puncto aequinoctii, praesciatur”, 12846). Tolomeo trascurò questa incertezza, riferendo le posizioni di Marte alle stelle fisse senza considerare la loro posizione assoluta nello zodiaco. - L’opposizione apparente vs. vera: Keplero calcola il momento esatto dell’opposizione tra Marte e il Sole, correggendo i dati tolemaici. Ad esempio, per un’opposizione in cui Marte appare 30’ oltre la posizione solare (“PIaneta videatur ultra vera Solis loca triginta minutis”, 12847), il pianeta è ancora soggetto alla seconda ineguaglianza (legata all’eccentricità), rendendo i dati inutilizzabili per studiare la prima ineguaglianza (moto medio).

66.4 Esempi numerici e calcoli

Il testo include dati specifici per illustrare la correzione delle osservazioni: - Per un’opposizione in cui il moto medio del Sole è a 21° 0’ (segno zodiacale non specificato, ma probabilmente Ariete o Toro), la posizione apparente del Sole è a 21° 40’, mentre Marte è osservato a 21° 8’ (“loca motus Solis medii fuerint 21°. 0’ […] apparentia Solis loca fuerunt 21°. 40’ […] Mars visus fuit in 21° 8’”, 12862-12880). La differenza di 41’ richiede una correzione temporale di 8 ore per allineare l’opposizione vera. - In un altro caso, con Marte a 29° 31’ e il Sole a 2° 41’ oltre l’opposizione, la differenza di 2° 23’ implica un ritardo di 1 giorno e 17 ore (“2°. 23’ differentia postulat 1 diem I horas XVII”, 12884).

66.5 Le incertezze residue e la scelta delle fonti

Keplero elenca tre fonti di incertezza che influenzano la ricostruzione del moto di Marte: 1. L’eccentricità del Sole. 2. La posizione dell’apogeo solare. 3. La posizione delle stelle fisse e di Marte nello zodiaco (“Tria igitur bivia […] de loco Fixarum et Martis in Zodiaco”, 12858).

Queste variabili generano otto possibili configurazioni per il moto medio e l’afelio, anche limitandosi a calcoli basati sulle stelle fisse (“octo exsistent constitutiones motus medii, et aphelii”, 12858). Tuttavia, Keplero opta per una soluzione pragmatica: utilizzare le equazioni derivate dalle osservazioni di Tycho Brahe (“usurpabimus formam aequationum, ex observatis Braheanis inventam”, 12857), ritenendole più affidabili di quelle tolemaiche, incapaci di raggiungere la sottigliezza richiesta (“non ferre illas tantam subtilitatem, quantam ferunt Braheanae”, 12856).

66.6 Significato storico e metodologico

Il testo testimonia il passaggio epocale dall’astronomia tolemaica a quella kepleriana, evidenziando: - La critica alle fonti antiche: Keplero non rifiuta in blocco Tolomeo, ma ne analizza i limiti con rigore matematico, mostrando come errori apparentemente minimi (30’) possano propagarsi in modo non lineare. - L’importanza della precisione strumentale: la superiorità delle osservazioni di Brahe è un leitmotiv, sottolineando come il progresso scientifico dipenda da dati empirici più accurati. - La complessità della riduzione dei dati: la correzione delle osservazioni richiede una comprensione profonda delle ineguaglianze planetarie e delle loro interazioni, anticipando i principi della meccanica celeste newtoniana.

67 Calcoli astronomici e moti di Marte nel trattato di Tolomeo

Un’analisi dettagliata dei moti medi e apparenti di Marte, con correzioni temporali e posizioni zodiacali basate su osservazioni antiche.

Il testo presenta una serie di dati astronomici relativi al moto di Marte, organizzati in tabelle o registri di osservazione. Le misurazioni sono espresse in gradi (°), minuti (’) e secondi (“), con riferimenti a calendari egizi e anni di regni specifici (Adriano, Antonino).

Moti diurni e correzioni temporali Viene riportato il moto diurno di Marte (“Denique in 3° II (hodie §) diurnus Martis est 23’”), seguito da valori per il Sole (“Solis. 57’”) e una somma complessiva (“summa 1 20’”). La frase (12892) introduce una correzione di 7 minuti per un intervallo di 2 ore, 6 minuti e 36 secondi (“quibus indicatur 7 minutis deberi horas II M. VI quando Mars visus in 2°”), suggerendo un aggiustamento per la posizione osservata del pianeta.

Date e posizioni zodiacali Le osservazioni sono collocate in precisi momenti storici: - Adriano XV, Tybi XXVI, Hora V. M. o. I 21° (12894-12896): Marte in 21° con 8’ di longitudine. - Adriano XIX, Pharmuthi VI, Hora XV. M. XXXIX (12897-12900): posizione non esplicitata, ma contestualizzata. - Antonini II, Epiphi XII, Hora VII. M. LIV (12901-12904): 2° con 36’ e frazioni (“36 ,l’ t”).

Intervalli temporali e moti medi Gli intervalli tra le osservazioni sono quantificati in giorni e ore: - 68 giorni, 10 ore, 39 minuti (12907-12908) per il primo intervallo, corrispondente a 68° 23’ (12909-12910). - 97 giorni, 16 ore, 15 minuti (12912-12914) per il secondo, pari a 93° 5’ 20” (12915).

Il moto medio di Marte rispetto alle stelle fisse (“motus medius a Fixis”) è calcolato in due intervalli: 1. 80° 57’ 14” (12915-12917). 2. 96° 16’ 24” (12918-12921).

Moto apparente e precessione Il moto apparente di Marte (“apparens motus Martus”) è di 68° 21’ 20“ (12922-12924), ridotto a 93° 2’ 20” (12926-12928) dopo aver sottratto la precessione degli equinozi (“ablata praecessione temporis intermedii”).

Ipotesi e posizioni dell’apogeo La frase (12929) introduce un’ipotesi basata su osservazioni recenti (“hypothesis hactenus investigata et constituta ex recentissimis observationibus”), cercando di far corrispondere moti medi e apparenti. Si deduce che l’apogeo di Marte (“aphelium Martis”) fosse posto a 0° 41’ (12930) nell’ultima osservazione, con un anticipo di 30’ per la precessione (“ob praecessionem aequinoctiorum paulo anterius”). Nel primo intervallo, l’anomalia media è di 46° (12931).

I dati riflettono un approccio geometrico e osservativo tipico dell’astronomia tolemaica, con correzioni per la precessione e l’eccentricità orbitale.

68 Calcoli e correzioni orbitali di Marte nel trattato astronomico

Un’analisi meticolosa delle posizioni di Marte attraverso osservazioni e ipotesi geometriche, con correzioni ai parametri tolemaici.

Il testo presenta una serie di calcoli astronomici volti a determinare la posizione di Marte in opposizione al Sole, confrontando le osservazioni con le ipotesi teoriche dell’epoca. Le coordinate sono espresse in gradi (°), minuti (’) e secondi (“), con riferimenti a longitudini eclittiche e anomalie medie.

Le frasi (12932-12936) riportano le posizioni di Marte secondo una “moderna ipotesi delle equazioni”: - “primo in 21° 0’ II”, “secundo in 29° 61’”, “tertio in 2°”, dove i valori sembrano riferirsi a tre diverse osservazioni o calcoli. L’uso di “61’” (probabilmente un refuso per 60’) e la notazione “II” (forse indicante un segno zodiacale) suggeriscono una correzione o un’approssimazione. La precisione dichiarata (“fortuita praecisione”, (12937)) è messa in dubbio: “Non sunt enim fundamenta talia, ex quibus tanta praecisio sperari possit” (12938), evidenziando i limiti dei dati osservativi disponibili.

Il confronto con Tolomeo è centrale: “Quod si PTOLEMAEVS plures sui temporis oppositiones annotasset, procul dubio majorem experiremur difficultatem” (12939). L’autore sottolinea che con tre sole opposizioni solari (“Cum tribus enim Solis facile transigitur”, (12940)) i calcoli sono semplificati, ma la scarsità di dati tolemaici rende difficile una verifica accurata. Si invita a confrontare i risultati con un capitolo precedente (“Compara hoc aphelium cum capite XVII”, (12941)).

Le correzioni ai parametri orbitali sono dettagliate in tre scenari: 1. Fissi spostati di 30 minuti (“Fixis addantur 30 minuta”, (12942)): l’effetto è minimo (“Pau10 quid aliud prodibit”, (12943)), ma si nota che Marte è “dimidio gradu ultra oppositum Solis” (12944), suggerendo una correzione dell’opposizione. I calcoli successivi (12945-12953) sommano intervalli diurni (“Aggregata diurnorum fuerunt 1° 24’, 1° 23’, 1° 20’”) e convertono i residui in ore (“hora VIII. minuta XL”, (12950-12951)), ottenendo una correzione di “8’ de motu Martis apparenti” (12952). Il risultato finale è una posizione di Marte in “21° 29’ II” (12954). 2. Apogeo solare invariato, ma fissi spostati: l’apogeo di Marte viene traslato di “totidem minutis” (12959), portandolo a “1° 2’ 61-” (12960). Si corregge la posizione delle stelle fisse (“Inter Fixas igitur 8’ minutis retrahendum”, (12961)) e il moto medio rispetto all’equinozio (“motus medius ab aequinoctio auctior erit priori 21’ minutis”, (12962)), con un ritardo temporale di “H. VIII M. XL” (12950-12951). Il moto medio di Marte rispetto alle stelle fisse risulta “20’ minutis 20” meno avanzato (*“(12967)). 3. Apogeo solare spostato di 11-12 gradi (“apogaeo Solis transposito per 11 vel 12 gradus”, (12968)): le opposizioni di Marte si spostano temporalmente (“prima oppositio sequetur horis IV”, (12971); “ultima prius incidet horis IV ½”, (12973)), con variazioni di “20’-21’” nella longitudine (12970, 12972-12973**).

Le osservazioni specifiche (12976-12993) elencano date e coordinate: - Prima opposizione: “Tybi XXVI. H. IX. M. 21° 4’ II” (12976-12979). - Seconda: “Pharmuthi VI. H. XV. M. XXXIX. 29° 3’ 61-” (12980-12983). - Terza: “Epiphi XII. H. III. M. XXXVII. 1° 2° 40’,1’” (12984-12987). Gli intervalli temporali (“dies LXVIII. H. VI. M. XXXIX”, (12988-12990)) e le anomalie medie (“93° 9’,1”, (12993)) sono calcolati con precisione, notando che i moti medi risultano “5’ 15” e “5’ 40” minori del previsto (12994-12999), portando a valori corretti di “80° 53’” e “96°”.

Il testo rivela un approccio empirico e iterativo, dove le discrepanze tra teoria e osservazione spingono a rivedere i parametri orbitali (apogeo, moto medio, posizione delle stelle fisse). La precisione dichiarata è spesso messa in discussione, riflettendo i limiti degli strumenti e delle teorie dell’epoca.

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69 Riflessioni kepleriane sulla precisione delle osservazioni e l’adattamento delle ipotesi astronomiche

Il testo estratto rappresenta una testimonianza cruciale del metodo scientifico di Johannes Kepler, in particolare della sua lotta per conciliare le osservazioni astronomiche con i modelli teorici. L’autore affronta le discrepanze tra i dati empirici e le previsioni basate sulle ipotesi tradizionali, evidenziando come la precisione delle misurazioni antiche fosse limitata (“Nec enim sperare possumus, tam certas fuisse observationes”, 13017) e come ciò influenzasse la determinazione di parametri fondamentali come l’apogeo solare.

Un concetto centrale è la correzione delle posizioni planetarie attraverso l’analisi di casi specifici. Kepler esplora sistematicamente diverse combinazioni di variabili – eccentricità solare, longitudine delle stelle fisse, apogeo – per ridurre gli scarti tra calcoli e osservazioni. Ad esempio, nel “casus secundi” (13019), propone di invertire le posizioni dell’apogeo e delle stelle fisse, mentre nel “quinto” caso (13020) mantiene l’apogeo tolemaico ma adotta l’eccentricità moderna del Sole. Queste manipolazioni portano a variazioni minime ma significative: “mutabitur apparens locus Solis […] minutis 20’” (13021), con effetti maggiori nelle regioni di massima equazione (13022).

La tensione tra teoria e dati emerge chiaramente quando Kepler nota che le correzioni, pur migliorando alcuni aspetti, introducono nuove discrepanze. In particolare, l’aumento dell’eccentricità spiega perché un pianeta impieghi “maggior tempo” vicino all’apogeo e “minore” al perigeo (13030), ma ciò richiederebbe una revisione radicale delle ipotesi (“vocat nos ad mutationem hypotheseos”, 13029). Tuttavia, l’autore sembra vincolato dai “numeri di questa ipotesi del secolo” (13029), suggerendo una resistenza a scartare del tutto il modello tradizionale.

I dati numerici sono fondamentali: le posizioni planetarie sono espresse con precisione al minuto d’arco (“29°·30’11’”, 13024; “29°·36’ Q”, 13036), e le differenze (“differentia 9’” in 13038) diventano il metro per valutare la validità delle correzioni. Kepler propone soluzioni pragmatiche, come ridurre il moto medio di “3’” (13038) per annullare una discrepanza di “9’”, dimostrando un approccio iterativo e quantitativo.

Infine, il testo documenta un momento storico in cui l’astronomia stava passando da un modello geocentrico a uno eliocentrico più accurato. Le date citate (“Tybi XXVI”, 13054; “Phatmuthi VI”, 13055) e i riferimenti a Tolomeo (13020) collocano la discussione nel contesto della riforma del calendario giuliano e della necessità di tabelle astronomiche più precise, preludio alle Tavole rudolfine. La frase “nisi optimo consilio […] jurassemus” (13029) rivela la consapevolezza di Kepler di operare in un periodo di transizione, dove le vecchie certezze vacillavano ma non erano ancora del tutto abbandonate.

70 La correzione kepleriana delle tavole tolemaiche: moti di Marte e stabilità delle longitudini stellari

Un’analisi quantitativa degli errori sistematici nelle osservazioni di Tolomeo e la loro compensazione attraverso la revisione dei parametri orbitali di Marte.

Il testo presenta una dettagliata disamina dei calcoli kepleriani volti a conciliare le discrepanze tra le osservazioni tolemaiche e i modelli eliocentrici emergenti, con particolare attenzione al moto di Marte. L’autore (presumibilmente Keplero) opera una revisione critica dei parametri orbitali, evidenziando come piccole variazioni nei dati di partenza possano generare effetti cumulativi significativi.

70.1 Intervalli orbitali e correzioni progressive

Il nucleo dell’argomentazione ruota attorno alla modifica degli intervalli temporali e spaziali tra osservazioni successive. La frase “Manet igitur intervallum primum, ut casu primo; mutatur ultimum permultum” (13070) sottolinea come, pur mantenendo invariato il primo intervallo di riferimento, l’ultimo subisca alterazioni sostanziali. Questo principio guida l’intera analisi: le correzioni non sono uniformi, ma si concentrano su specifici segmenti dell’orbita.

La discesa verso il perigeo (“descendendum igitur versus perigaeum profundius”, 13071) emerge come conseguenza diretta di un tragitto maggiore compiuto in minor tempo (“minori tempore plus itineris peractum”), suggerendo una velocità orbitale variabile – anticipazione della seconda legge di Keplero. Le misure temporali sono espresse in ore (VIII, 13072) e minuti d’arco (10’, 30’“, 8’), con conversioni precise: “Horis quidem VIII dc motu medio respondent 10’” (13072) e “30’” quibus adde excessum itineris 8” (13073), che portano a un totale di “18 W” (13074).

70.2 Parametri orbitali e anomalie

L’autore manipola sistematicamente i parametri orbitali: - Apogeo: “si aphelium per l°. 12’ retroegerimus” (13075), spostandolo indietro di 1°12’ per ottenere una posizione finale di “29°.29’ §” (13076). - Anomalia media: fissata a “131°.45’” (13077), con un moto medio di “11 4’” (13078), identico al caso iniziale (“qui primo casu fuit 11 18 W”, 13080-13081). - Longitudini: vengono elencate tre posizioni chiave: “21°.3%’ n” (13082), “29°.26 %’ Q” (13083), “2°.4 1’” (13084), con una correzione finale che combina “casibus septimo et secundo” (13085).

La stabilità dell’epoca del moto medio rispetto all’equinozio e alle stelle fisse (“epocham motus medii ab aequinoctio et Fixis non mutati multum”, 13086) è posta in relazione con tre fattori: 1. Eccentricità solare, 2. Apogeo, 3. Un terzo elemento non esplicitato (“neque utro 7)”, 13086).

70.3 Critica alle osservazioni tolemaiche

Un passaggio cruciale riguarda la precisione delle longitudini stellari di Tolomeo: “Numeros PTOLEMAEI in locis Fixarum non esse scrupulosos” (13091). Keplero rileva che gli errori sistematici nelle osservazioni di Marte si compensano reciprocamente, preservando la distanza angolare tolemaica tra le stelle fisse e il punto vernale (“contrariis erroribus duobus se mutuo tollentibus maneat elongatio Fixarum Ptolemaica a principio Arietis”, 13090).

L’analisi quantifica gli aggiustamenti: - Il terzo caso aggiunge “1’” (13093), - Il quinto sottrae “3’.30’‘“ (13094-13095), - Il settimo sottrae ”4’.30’‘“ (13096), - Il secondo caso riduce il moto medio di ”10’” rispetto all’equinozio e “20’” rispetto alle stelle fisse (13097-13098).

Questa compensazione porta a una doppia epoca per il moto medio marziano (“duplex constituitur epocha motus”, 13099), sollevando il dubbio se sia possibile trovare una soluzione univoca combinando il secondo e il quinto caso (“Quid si vero ex casu secundo et quinto comminiscamur aliquid idoneum…?”, 13100).

70.4 Validazione delle osservazioni lunari di Tolomeo

Il testo si conclude con una difesa parziale delle misurazioni tolemaiche, citando un’osservazione lunare: “PTOLEMAEVS diserte affirmat, se in illa sua observatione distantiam Lunae a Sole invenisse 92° et 8’ minuta” (13101). Keplero riconosce che Tolomeo, pur con strumenti limitati, ottenne risultati coerenti con la sua teoria (“quantam etiam computaverit ex sua hypothesi motuum Lunae”, 13101), specialmente nelle quadrature (“quae circa quadraturas non fefellit”, 13102). L’argomentazione sottolinea come la distanza osservata (92°8’) coincidesse con quella prevista dal modello, suggerendo una precisione strumentale accettabile per l’epoca (“satis dexter fuerit in observando”, 13102).

70.5 Sintesi concettuale

Il trattato rivela: 1. Un metodo di correzione incrementale, dove piccoli aggiustamenti (minuti d’arco) si sommano per risolvere discrepanze macroscopiche. 2. La tensione tra eredità tolemaica e innovazione kepleriana: pur criticando l’imprecisione delle tavole antiche, Keplero ne riconosce la coerenza interna. 3. L’emergere di principi dinamici (velocità variabile, compensazione degli errori) che preludono alle leggi dei moti planetari. 4. Un approccio empirico-matematico, dove i dati osservativi sono continuamente confrontati con i modelli teorici, in un processo di affinamento iterativo.

71 Correzione dell’eccentricità solare e rifrazione: un’analisi critica delle osservazioni tolemaiche

Un confronto tra misurazioni antiche e moderne rivela l’influenza della rifrazione atmosferica e l’errore sistematico nell’eccentricità solare postulata da Tolomeo.

Il testo affronta una revisione delle osservazioni astronomiche tolemaiche, mettendo in luce due fattori critici: l’effetto della rifrazione atmosferica e l’errore nell’eccentricità solare ipotizzata da Tolomeo. L’analisi si concentra su una discrepanza di circa 92° tra la posizione osservata del Sole e quella calcolata secondo il modello tolemaico, attribuendola a due cause principali.

71.1 La rifrazione atmosferica e la posizione apparente del Sole

La rifrazione gioca un ruolo determinante nella discrepanza osservata. L’autore osserva che: - “«eo quod Sol occidens, refracte ad visum pervenit, et altior justo (itaque 30 minutis plus in consequentia) esse apparet quam est» (13106): il Sole al tramonto appare più alto di circa 30 minuti d’arco a causa della rifrazione, spostando la sua posizione apparente verso est. - ”isque in rei veritate, ob refractionem, fuit 92°“* (13109): l’arco di 92° misurato tra Luna e Sole è in realtà influenzato dalla rifrazione, che altera la percezione della loro distanza angolare.

Questo fenomeno spiega perché “Sol verissime non fuit in 3°” (13110), ma piuttosto in “2° 33’ X” (13111), una correzione di 20 minuti d’arco rispetto al modello tolemaico. L’autore sottolinea che la rifrazione non agisce uniformemente: “cum 30 culminaverit 30° lj, occidit igitur tunc 1° X Alexandriae; et sic Sol in 3° X, habuit duorum graduum, fortassis et plurium altitudinem; minorem igitur refractionem 30 minutis” (13117). In altre parole, l’entità della rifrazione varia con l’altezza del Sole sull’orizzonte, riducendosi quando il Sole è più alto.

71.2 L’eccentricità solare e il modello tolemaico

Il testo dimostra che l’eccentricità solare adottata da Tolomeo era sovrastimata. La correzione di 20 minuti d’arco nella posizione del Sole (“adjectoria aequatio maxima Ptolemaei […] fieri 20 scrupulis minorem” (13113)) suggerisce che il modello tolemaico introducesse un errore sistematico. L’autore conclude: - “Itaque posita refractionis universalitate per omnia loca et tempora […] argumentum nobis nascitur, diminutioris eccentricitatis Solis, quam putabatur a Ptolemaeo” (13115): la rifrazione, se considerata costante, implica che l’eccentricità solare fosse minore di quanto ipotizzato.

La differenza di 10 minuti d’arco (“decem minutorum differentiam” (13119)) tra la correzione dovuta alla rifrazione (30’) e quella effettiva (20’) è giustificata dalla compensazione tra l’effetto della rifrazione e l’errore nell’eccentricità. Come spiegato in “itaque quam proxime pares quantitate fuerunt hae duae causae, se mutuo conficientes” (13118), le due cause si bilanciano quasi perfettamente.

71.3 Confronto con le osservazioni stellari

Per contestualizzare l’entità degli errori, l’autore cita un esempio tratto dal catalogo stellare di Tolomeo: - “inter cor Leonis et spicam Virginis Ptolemaeus prodit intervallum 54° 10’, quod est non majus 53° 59’ in ipso codo” (13120-13123): la discrepanza di 11 minuti d’arco tra la misura tolemaica e quella reale è considerata trascurabile per l’epoca, data la precisione degli strumenti.

71.4 Applicazione al moto di Marte

Il testo prosegue con un’analisi del moto medio di Marte, confrontando osservazioni antiche e moderne: 1. Anno 139 d.C. (Antonino Pio): - “motus medius Martis ab aequinoctio 11° 18’ 30’’” (13124-13126), corrispondente al 27 maggio 139 d.C. (13127). - La longitudine del cuore del Leone (Regolo) era “2° 30’ ~” (13133-13136), quindi Marte distava “4° 8° 48’ 30’‘“ (13137-13140) da Regolo. 2. Anno 1599 d.C.: - Il moto medio di Marte era ”8° 0° 41’ 3’‘“ (13140), mentre Regolo si trovava a ”4° 2° 15’ 45’‘“ (13141-13143). - La distanza di Marte da Regolo era quindi ”7° 6° 31’ 45’’” (13144-13146).

Questo confronto evidenzia come le posizioni planetarie siano cambiate nel tempo, ma l’autore non approfondisce le implicazioni dinamiche, limitandosi a fornire i dati per una verifica incrociata.

71.5 Conclusioni implicite

Il testo suggerisce che: - La rifrazione atmosferica fosse un fattore sottovalutato o ignorato nelle osservazioni antiche. - L’eccentricità solare di Tolomeo fosse sovrastimata, portando a errori sistematici nelle previsioni. - Le discrepanze, seppur piccole (dell’ordine di 20-30 minuti d’arco), fossero significative per la precisione richiesta in astronomia.

L’analisi si inserisce in un contesto di revisione critica dei modelli antichi, tipica del periodo rinascimentale e pre-kepleriano, dove la combinazione di osservazioni più accurate e la comprensione dei fenomeni ottici (come la rifrazione) iniziava a mettere in discussione le ipotesi tolemaiche.

72 Il moto di Marte e le correzioni alle tavole astronomiche tra Tolomeo e Copernico

Un’analisi meticolosa delle discrepanze tra le osservazioni antiche e moderne, con calcoli precisi sul moto medio e l’afelio di Marte.

Il testo presenta una serie di calcoli astronomici relativi al moto di Marte, confrontando dati osservativi di epoche diverse per correggere le tavole esistenti. L’autore (presumibilmente Johannes Kepler, data la struttura e i riferimenti) si concentra su due aspetti principali: la posizione media di Marte rispetto alle stelle fisse e lo spostamento dell’afelio nel corso dei secoli.

72.1 Moto medio di Marte e correzioni temporali

Il nucleo del ragionamento riguarda la variazione secolare del moto di Marte. Viene stabilito che, per gli anni egizi (“Annis singulis auferendum est unum fere secundum”, 13152), è necessario sottrarre circa 1 secondo all’anno per mantenere l’accuratezza dei calcoli. Questo dato emerge dal confronto tra le tavole pruteniche (basate su Copernico) e le osservazioni antiche: - “Intervallum MCCCCLXI Aegyptii dant . 8. 5· 56 Differentia 2.. 4” (13152), dove la differenza di 2° 2’ 4” su 1461 anni egizi (equivalenti a circa 1460 anni giuliani) implica una correzione annuale minima ma sistematica.

La posizione media di Marte al meridiano del 1° gennaio dell’anno 1 d.C. (“Huennae”) è calcolata in “58. 8°. ’. 45” a corde Leonis“ (13153-13156), cioè 58° 8’ 52” 45’’’ dalla stella Regolo (α Leonis). Questa misura serve come epoca di riferimento per i calcoli successivi.

72.2 Spostamento dell’afelio di Marte

Un punto cruciale è la variazione della posizione dell’afelio (il punto dell’orbita più lontano dal Sole) nel tempo. L’autore confronta tre epoche: 1. Anno 139 d.C. (Tolomeo): l’afelio era a “0°. 41’ ~” (13159-13160) rispetto a Regolo, che si trovava allora a “2.0. 30’ ~” (13161). La differenza era di “1°. 49”“ (13162). 2. Anno 1599 d.C. (data dell’osservazione): l’afelio è ora a “2.8°. 58’. 50” ~“ (13163-13165), mentre Regolo è a “2.4°. 15’. 45” ~“ (13166-13167). La nuova posizione dell’afelio risulta quindi a ”4°. 43’· 5” ~“ (13168) rispetto al riferimento tolemaico. 3. Differenza secolare: su 1460 anni giuliani (“Intervallo annorum MCCCCLX Julian.”, 13170), lo spostamento totale è di “6. . 5” (13171), cioè 6° 32’ 5“, con un moto annuo di circa 16 secondi (“paulo major 16 secundis”, 13172).

L’afelio al 1° gennaio 1600 (data di riferimento per i calcoli successivi) è quindi fissato a “2.0. 1 gradibus” (13173) da Regolo, confermando una precessione secolare non trascurabile.

72.3 Confronto con il moto solare e le tavole pruteniche

Il testo include anche un confronto tra il moto medio del Sole e la posizione di Regolo, utile per verificare la coerenza dei dati: - Nel 139 d.C. (23 febbraio), il Sole medio precedeva Regolo di “58. 1°.41. o” ~“ (13178-13180). - Nel 1599 d.C. (23 febbraio), la differenza era di “58. 11°.2.1. 49’” ~“ (13185-13186), con una discrepanza di 9° 40’ 49” (13187-13188) rispetto alle tavole pruteniche. Questa differenza porta a una correzione dell’epoca** per il 1° gennaio dell’anno 1 d.C., fissata a “58.7°.” (13192), leggermente inferiore ai valori prutenici (“minus quam ex Prutenicis”, 13191).

72.4 Significato storico e metodologico

Il documento testimonia: 1. La transizione dalle tavole tolemaiche a quelle copernicane: le correzioni apportate riflettono il passaggio da un modello geocentrico a uno eliocentrico, con una maggiore precisione nei calcoli orbitali. 2. L’importanza delle osservazioni storiche: l’uso di dati antichi (come quelli di Tolomeo) per validare o correggere modelli moderni mostra un approccio empirico e cumulativo alla scienza astronomica. 3. La scoperta della precessione degli afeli: lo spostamento secolare dell’afelio di Marte (e di altri pianeti) sarà poi formalizzato da Kepler nelle sue leggi, ma qui emerge già come fenomeno osservabile e misurabile.

Le ambiguità nel testo sono minime, ma alcune notazioni (come i simboli “~” o “X”) potrebbero indicare approssimazioni o unità di misura non standardizzate. La precisione dei calcoli, tuttavia, è notevole per l’epoca, con riferimenti a secondi d’arco e frazioni di grado che testimoniano un rigore metodologico avanzato.

73 L’analisi delle osservazioni tolemaiche e la precisione dei calcoli orbitali

Un confronto tra i dati osservativi di Tolomeo e i calcoli moderni rivela discrepanze minime ma significative, evidenziando i limiti degli strumenti antichi e la coerenza del metodo geometrico.

Il testo esamina le osservazioni astronomiche di Tolomeo, focalizzandosi sulla determinazione della latitudine e delle proporzioni orbitali di Marte, con particolare attenzione alle discrepanze tra i dati registrati e i calcoli derivati da ipotesi geometriche. L’autore sottolinea come Tolomeo avesse utilizzato un numero di osservazioni ben maggiore rispetto a quelle riportate nel suo opus (13200: “PTOLEMAEVM longe plures adhibuisse observationes, quam quae relatae sunt in ipsius Opus”), ma per la trattazione teorica si fosse affidato a un’unica osservazione, vicina all’opposizione, in un arco temporale di tre giorni (13201: “utitur observatione unica, eaque intra triduum vicina ipsi oppositioni”).

Le misurazioni presentano una precisione critica: anche un errore di un solo scrupolo nelle osservazioni ravvicinate può compromettere i risultati (13203: “observationes tam vicinas, immane quippiam peccare, si vel unum scrupulum errent”). L’analisi procede seguendo il metodo tolemaico, applicando l’ipotesi già stabilita per calcolare la posizione di Marte in un quarto caso. I dati tecnici includono: - Anomalia media e coequata: per l’osservazione del 12° giorno del mese di Epiphi, all’ottava ora, l’anomalia media è registrata come “13°· 31· 3°‘“, mentre quella coequata è ”12.3°· 43’. 34”““ (13206-13208). - Posizione dell’apogeo e dell’eccentrico: l’apogeo è indicato a ”132.. 13· 9·“, mentre il locus dell’eccentrico è ”4°. 4· 34”““ (13210, 13213). - Distanza Terra-Marte: ”143660” (13215), con una distanza apogea moderna stimata in “101800” (13223).

Il confronto tra la posizione osservata da Tolomeo e i calcoli moderni rivela una discrepanza di “7’ vel 10’” (13237: “Plus igitur justo colligimus per 7’ vel 10’”), attribuibile alla minima divisione dello strumento tolemaico, che poteva introdurre un errore fino a “10’” (13238: “pars minima instrumenti Ptolemaici […] valet 10’”).

Di rilievo è anche la correzione apportata considerando l’eccentricità solare tolemaica: in questo caso, la posizione del Sole risulta “1 grado 28 minuto 40 sec.” (13228-13229), con una differenza finale di “1 grado 4 minuto 6 sec.” (13230), che porta Marte a “1 grado 43 minuto” (13234), contro i “1° 36’” osservati da Tolomeo (13236). La coerenza del metodo emerge nonostante le imprecisioni strumentali, evidenziando come le ipotesi geometriche fossero solide, ma limitate dalla tecnologia dell’epoca.

74 Calcolo delle discrepanze orbitali di Marte tra Tolomeo e Brahe

Un’analisi comparativa delle osservazioni antiche e moderne per correggere le anomalie nel moto di Marte.

Il testo affronta la verifica delle discrepanze tra le posizioni calcolate e osservate di Marte, confrontando i modelli di Tolomeo e Tycho Brahe. L’autore inizia con una valutazione dell’errore introdotto da una piccola imprecisione nei calcoli: “Et nota, si in loco eccentrico erravimus II scrupulis, jam VII scrupulis errabimus in viso loco” (13239), sottolineando come un errore di 2 scrupoli nella posizione eccentrica si traduca in 7 scrupoli nella posizione apparente. Questa sensibilità ai dettagli è cruciale per le osservazioni astronomiche, dove piccole variazioni nei parametri orbitali possono generare differenze significative nei risultati.

Viene poi presentato un caso specifico: “Referatur enim Mars ratione eccentrici in 4°.22’ .J’: jam videbitur in 1°” (13240), seguito da “36’ .J’.” (13241). Qui si evidenzia come, secondo il modello eccentrico, Marte si trovi a 4°22’ da un punto di riferimento, ma appaia spostato di 1°36’. La conferma arriva da un’osservazione precedente: “lO Supra die XII epiphi abundaverat etiam 1% scrupulis” (13242), dove l’eccesso di 1,5 scrupoli rispetto al calcolo teorico suggerisce una coerenza tra i dati. L’autore conclude: “Igitur haec consentiunt” (13243), affermando che le misure concordano.

Tuttavia, data la vicinanza dell’opposizione, l’effetto dell’eccentricità diventa trascurabile: “Et quia in tanta oppositionis propinquitate nihil notabile efficit diversa eccentricitas” (13244). Per rafforzare l’analisi, si ricorre a un’osservazione più antica, risalente al 18 gennaio del 272 a.C. (calendario egizio). Il testo descrive il contesto temporale: “Inter mane XVIII Januarii anni ante Christum CCLXXII currentis, et meridiem I Januarii anno I Christi, anni sunt Aegyptii CCLXXII dies LI et horae aliquote” (13245). L’osservazione di Marte avviene all’alba, un’ora prima del sorgere del Sole ad Alessandria, corrispondente alle 6:00 locali (ora quarta di Huenna), con otto ore di intervallo fino al mezzogiorno.

Per questo intervallo, si calcola il moto medio del Sole: “Per hoc intervallum temporis, ex 20 fundamentis superioribus, invenitur medius motus Solis, superasse cor JJJ Leonis 25 gr. 32 min. 50 sec.” (13246-13248). La longitudine del Sole al 1° gennaio dell’anno 1 d.C. è data come “234°.54’.34”“ (13249), con un’equazione del tempo derivata da Tolomeo (“2 gr. ° minuto 30 secund.”, 13250-13251) e da Brahe (“1 42’. 54”“, 13252-13253). Le distanze Terra-Sole nei due modelli differiscono leggermente: ”distantia Solis a Terra illic 9879°’ hic 98976” (13254), dove i valori numerici sembrano riferirsi a unità non standard (forse parti per 000 o misure relative).

Per Marte, il moto medio al momento dell’osservazione è “superavit cor Leonis 2 8• 6°. 7’. 12”““ (13255-13257), mentre l’afelio si trova a ”3°. 40’ 20”“ davanti al cuore del Leone (13258-13259). Da qui si ricava l’anomalia di Marte: “anomalia Martis 69°. 47’. 32”“· coaequata 60°. 15’. 27”“” (13260-13263), con una distanza dal Sole di “158320” (13264, unità non specificate). Il calcolo procede per due vie: una basata su Tolomeo, l’altra su Brahe.

Primo metodo (Tolomeo): La longitudine del Sole dal cuore del Leone è “5 sign. 27 grado 33 minuto 20 secund” (13267-13268), mentre la longitudine eccentrica di Marte differisce di “1 26°. 35’. 7”” per 4 0°. 58’. 13”““ (13269-13275). Da questa distanza angolare e dalle distanze Terra-Sole e Sole-Marte, si ottiene un’elongazione apparente di ”82°. 43’. 46”““ (13276-13278), che porta a un’elongazione di Marte dal cuore del Leone di ”3 8• 4°· 49’ 34”““ (13279).

Secondo metodo (Brahe): Assumendo le stesse equazioni di Brahe per l’epoca antica, la posizione apparente del Sole risulta anticipata di “17’. 36”““ (13279-13280), collocandosi a ”58.27°. 15’.44”““ (13281). L’angolo di parallasse è ”48.0°.4°.37”““ (13282), e con la distanza Terra-Sole assunta costante, l’elongazione apparente di Marte diventa ”3 8• 4°“ (13283), senza ulteriori dettagli sui secondi.

Il confronto tra i due metodi rivela una discrepanza minima, ma significativa per la precisione richiesta. L’autore sottolinea come le correzioni di Brahe migliorino l’accordo con le osservazioni antiche, pur mantenendo una struttura concettuale simile a quella tolemaica. Le misure, espresse in gradi, minuti e secondi, riflettono la meticolosità dell’analisi, mentre i riferimenti a Tolomeo e Brahe testimoniano il passaggio da un modello geocentrico a uno eliocentrico “corretto”.

75 L’errore di Tolomeo nella proporzione degli orbite di Marte: analisi di un’osservazione antica

Il testo esamina una discrepanza tra le osservazioni astronomiche di Tolomeo e quelle più recenti di Tycho Brahe, concentrandosi sulla proporzione degli orbite di Marte e sull’interpretazione di un’antica osservazione stellare. L’autore dimostra come un errore interpretativo di Tolomeo abbia portato a una distorsione sistematica nei calcoli orbitali, con conseguenze durature sulla comprensione del moto planetario.

75.1 L’osservazione chiave e la discrepanza nei dati

Il nucleo del ragionamento ruota attorno a un’osservazione citata da Tolomeo, in cui Marte appariva “apposto o adattato alla fronte boreale dello Scorpione” (“Mars videbatur quasi appositus seu adaptatus Boreali fronti Scorpii”, 13289). L’autore confronta le coordinate fornite da Tolomeo e Brahe per due punti di riferimento: - Cuore del Leone (Regolo): - Tolomeo: 2° 30’ del Leone (13292). - Brahe: 24° 1’ del Leone (13295). - Fronte boreale dello Scorpione: - Tolomeo: 6° 20’ dello Scorpione, con un’elongazione di 3° 8’ 30” dal cuore del Leone (13293). - Brahe: 27° 36’ dello Scorpione, con un’elongazione di 3° 8’ 20” (13296-13298).

La differenza tra le elongazioni calcolate per Marte è minima (“Differentia inter utrumque calculum perexigua et nullius momenti”, 13285), ma l’autore rileva una discrepanza di 1° 30’ (“Differentia est sesquigradus”, 13304) rispetto all’osservazione tolemaica. Questa differenza, apparentemente trascurabile, assume rilevanza perché Tolomeo “costituì senza dubbio quella proporzione degli orbite che ancora troviamo nei suoi numeri” (13305), basandosi su un’osservazione “antichissima” (13305) e “distante tre giorni dall’opposizione” (13308).

75.2 L’errore di Tolomeo: un’interpretazione sbagliata

L’autore identifica la radice dell’errore in un fraintendimento terminologico. Tolomeo avrebbe confuso la stella più luminosa della fronte dello Scorpione (“Clara frontis”) con quella più settentrionale (“Borealissima”). L’osservazione originale riportava: > “ἐδόκει ὁ Ἄρης προσκεῖσθαι τῇ βορείᾳ τοῦ Σκορπίου” (“Marte sembrava apposto alla parte boreale dello Scorpione”, 13312).

Tolomeo interpretò questa descrizione come riferita alla stella più brillante (seconda magnitudine, 13314), mentre l’autore dimostra che l’osservatore intendeva la quinta stella della costellazione, la più settentrionale (“Borealissima”, 13317). Questa distinzione è cruciale: - La “Clara frontis” (seconda magnitudine) ha una latitudine di 1° 5’ secondo Brahe (13338). - La “Borealissima” (quinta stella) ha una latitudine di 1° 42’ (13340).

L’autore verifica la sua ipotesi ricalcolando l’elongazione di Marte rispetto al cuore del Leone: - Secondo Brahe, la “Borealissima” si trova a 29° 3’ dello Scorpione (13319). - Sottraendo la posizione del cuore del Leone (24° 17’, 13320-13321), l’elongazione risulta 94° 46’. - Il calcolo dell’autore per Marte dà 94° 49’ o 94° 51’, con una differenza di soli 3’-5’ (13322), confermando l’accuratezza della sua interpretazione.

75.3 Latitudine e parallasse: un’ulteriore conferma

L’analisi si estende alla latitudine di Marte, parametro meno soggetto a errori rispetto alla longitudine (“Minus incertas esse latitudines quam longitudines”, 13299). L’autore calcola che: 1. Il nodo ascendente dell’orbita di Marte (punto di intersezione con l’eclittica) retrocede di 4° 15’ ogni anno cynico (13330-13331). 2. Al tempo di Tolomeo, il nodo si trovava 2° 20’ prima del cuore del Leone (13333), mentre all’epoca dell’autore era arretrato a 1°. 3. Marte, trovandosi 56° 35’ dopo il cuore del Leone (13335), distava 31° dal nodo, con un’inclinazione di 57’ 30” (13336), che la parallasse riduceva a 1° 7’ (13337).

Questo valore è inferiore alla latitudine della “Clara frontis” (1° 5’, 13338) ma superiore a quella della “Borealissima” (1° 42’, 13340). Tuttavia, l’autore riconosce che la coincidenza numerica (“fortuita est ista conspiratio numerorum”, 13342) non è sufficiente a dirimere la questione, poiché le latitudini stellari sono variate nel tempo a causa dello spostamento dell’eclittica (“latitudines hodie sunt minores quam olim circiter 16’ 20” scrupula”, 13352-13353).

75.4 Interpretazione alternativa: un’approssimazione visiva

L’autore propone una lettura meno letterale dell’osservazione tolemaica. Il termine greco “προσκεῖσθαι” (“apposto”) potrebbe indicare una vicinanza apparente piuttosto che una sovrapposizione esatta. Due ipotesi: 1. Marte era visibile tra le tre stelle della fronte boreale dello Scorpione (in formazione triangolare), apparendo come “una di esse” (13366-13367). 2. L’osservatore usò “Borealifronti” (dativo) anziché “Boreali frontis” (genitivo), suggerendo un riferimento alla parte della costellazione piuttosto che a una singola stella (13367).

Questa interpretazione spiegherebbe perché l’osservazione non fornisce dati utili per determinare la proporzione degli orbite o la latitudine di Marte (“Nil igitur juvant nos hae duae antiquae observationes”, 13368-13369).

75.5 Conclusione: la conferma della costanza orbitale

L’autore conclude che: - La proporzione degli orbite di Marte è rimasta invariata nel tempo (“eandem esse et hodie proportionem orbium, quae fuit olim”, 13370). - Le latitudini massime sono invece cambiate (“latitudines vero maximas nonnihil hodie esse immutatas”, 13370), a causa dello spostamento dell’eclittica. - L’errore di Tolomeo derivò da una scelta infelice dell’osservazione (troppo vicina all’opposizione) e da un fraintendimento linguistico (“errorem esse commissum a Ptolemaeo”, 13312).

La critica sottolinea come la precisione strumentale e l’interpretazione dei dati siano inscindibili nella scienza astronomica, anticipando temi centrali nella rivoluzione scientifica del XVII secolo.

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