Keplero - Astronomia Nova | fL | +

02 May, 2026

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1 L’Astronomia Nova: la ‘cattura’ di Marte e il trionfo dell’astronomia fisica

L’estratto presenta il frontespizio originale, una polemica prefazione contro la lettura strumentalistica dell’astronomia e la solenne dedica a Rodolfo II, dove Keplero trasforma la soluzione dell’orbita marziana in un racconto epico di guerra e conquista.

Il testo proviene dall’edizione critica moderna dell’Astronomia Nova, come attestano i frammenti bibliografici iniziali: “JOHANNES KEPLER GESAMMELTE WERKE… BAND III ASTRONOMIA NOVA… , unveränderte Auflage… 1990” (frr. 1, 16‑22). Il vero cuore scientifico si apre però con il frontespizio latino, che dichiara già il programma rivoluzionario di Keplero: un’astronomia fondata sulle cause – termine reso dal greco αἰτιολογητός – e quindi una physica coelestis, costruita commentando i moti del pianeta Marte grazie alle osservazioni di Tycho Brahe e pubblicata sotto gli auspici di Rodolfo II (frr. 23‑27). La formula riassuntiva è:

“ASTRONOMIA NOVA ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΤΟΣ, seu PHYSICA COELESTIS, tradita commentariis DE MOTIBVS STELLAE MARTIS, Ex observationibus G. V. TYCHONIS BRAHE” – (fr:23) [Astronomia nuova fondata sulle cause, ossia fisica celeste, esposta in commentari sui moti della stella di Marte, dalle osservazioni di Tycho Brahe].

1.1 Le ipotesi non sono favole: la polemica con Ramo e la difesa di Copernico

Prima ancora di entrare nel merito dei moti planetari, Keplero imposta la questione epistemologica riportando un passo del filosofo Pierre de la Ramée (Petrus Ramus) tratto dagli Scholarum Mathematicarum libri (frr. 28‑39). Ramo condanna con forza le ipotesi astronomiche fittizie, lodando piuttosto gli antichi – Eudosso, Aristotele, Callippo – che in buona fede credettero vere le loro costruzioni, mentre i moderni hanno reso il tutto una “fabula longe absurdissima, naturalium rerum veritatem per falsas causas demonstrare” – (fr:32) [una favola di gran lunga più assurda: dimostrare la verità delle cose naturali per mezzo di cause false]. Ramo giunge ad auspicare che Copernico si fosse dedicato a un’astronomia “senza ipotesi” (fr:34).

Keplero raccoglie la provocazione e risponde in prima persona. Annuncia che Ramo, ormai morto, ha disertato il proprio “vadimonium” (la scommessa di un’astronomia libera da finzioni), ma rivendica per sé il premio grazie proprio all’opera che sta presentando (frr. 39‑41). La mossa decisiva consiste nello smascherare l’origine del cosiddetto “strumentalismo” che tanti attribuivano a Copernico: la celebre prefazione al De revolutionibus non fu scritta dall’astronomo polacco, bensì da Andreas Osiander, che curò l’edizione a insaputa dell’autore o dopo la sua morte. Keplero lo documenta con precisione:

“ANDREAS OSIANDER annotatus est in meo exemplari, manu HIERONYMI SCHREIBER Noribergensis.” – (fr:47) [Andrea Osiander è annotato sul mio esemplare, di mano di Hieronymus Schreiber di Norimberga];

“cum editioni COPERNICI praeesset, praefationem illam … ipse … censuit prudentissimam, posuit in frontispicio libri; COPERNICO ipso aut jam mortuo, aut certe ignaro.” – (fr:48) [quando presiedeva all’edizione di Copernico, egli stesso giudicò quella prefazione assai prudente e la pose in capo al libro; Copernico era frattanto già morto, o comunque all’oscuro].

Di conseguenza Copernico non “mitologizza”, ma “serio παραδοξολογεῖ, hoc est, φιλοσοφεῖ· quod tu in Astronomo desiderabas” – (fr:49) [seriamente discorre di paradossi, cioè filosofa, ciò che tu chiedevi all’astronomo]. Keplero è perentorio: le ipotesi copernicane non sono strumenti di calcolo, sono vere, e l’Astronomia Nova ne fornisce la prova. “Fabula haec non est in COPERNICO: quippe qui veras et ipse arbitratus est, Hypotheses suas … neque tantum est arbitratus, sed et demonstrat veras; testem do hoc Opus” – (fr:45).

1.2 Marte prigioniero: la dedica all’Imperatore e la guerra astronomica

Dopo aver rivendicato la serietà filosofica dell’impresa, Keplero si rivolge direttamente a Rodolfo II con una solenne dedica che trasfigura l’intera ricerca in una campagna militare. Il pianeta Marte è presentato come un nobile prigioniero conquistato dopo una guerra difficile (frr. 58‑60). La personificazione è spinta fino al paradosso: la stella stessa sembra compiacersi di essere incatenata, “depositis clypeo paulisper et armis sese ipsum vincendum vinciendumque praebere lubentem et ludentem” – (fr:61) [deposto per un po’ scudo e armi, offrirsi volentieri e per gioco a esser vinto e incatenato].

L’autore ricorda come prima di lui l’astro fosse ritenuto inafferrabile. Plinio il Vecchio lo aveva definito “Martis inobservabile sidus” – (fr:81) [stella inosservabile di Marte]. Celebre è l’aneddoto su Georg Joachim Rheticus, allievo di Copernico, che, incapace di districare il moto di Marte, si sarebbe rivolto a un genio familiare e ne avrebbe ricevuto in risposta solo uno scuotimento violento del capo contro il soffitto (fr:82). Keplero non esita a paragonare la frustrazione di Retico allo sconforto di Augusto dopo la disfatta di Varo, quasi che il pianeta fosse un avversario germanico capace di annientare intere legioni (fr:85).

A rendere possibile la vittoria furono gli strumenti e le osservazioni di Tycho Brahe, il “ducis in hac militia summi diligentia; qui … pene continuis viginti annorum noctibus, omnes nobis hostis hujus consuetudines exploravit” – (frr. 88‑92) [condottiero di somma diligenza in questa milizia, che per quasi continue notti di vent’anni esplorò tutte le abitudini di questo nemico]. Keplero, subentrato a Brahe, smise di temere il pianeta e cominciò ad appostarsi ai “temporum articuli” – i momenti in cui Marte tornava nei luoghi già registrati – puntando le macchine ticoniche come verso un bersaglio sicuro, mentre la Terra stessa fungeva da carro mobile (fr.93).

La campagna non fu però priva di ostacoli: gli strumenti mancavano quando più servivano, le strade fangose ne ritardavano il trasporto, il sole, la luna o le nubi ingannavano la vista, e l’aria viziata deviava i colpi (frr. 94‑95). Marte si rivelava un nemico astuto, capace di rifugiarsi in fortezze sempre diverse, con passaggi ignoti o interrotti da fiumi e rovi (fr.96). Nel campo di Keplero intanto imperversavano altre sciagure: la perdita di Tycho, sedizioni, peste, malattie, una nuova stella (la supernova del 1604), un drago cometa dalla coda lunghissima che vomitava fuoco, diserzioni, ignoranza delle reclute e, sopra ogni cosa, l’estrema penuria di vettovaglie (frr. 97‑98). Tutto ciò, annota l’autore, è registrato nel commentario.

Alla fine il pianeta, vistosi braccato in ogni angolo del suo regno, mutò strategia e “animum ad pacis consilia traduxit; missaque Natura parente, victoriae mihi confessionem obtulit; libertatemque pactus inter arbitraria vincula, brevi post Arithmetica et Geometria stipantibus, in mea castra, magna cum alacritate transivit” – (fr:99) [rivolse l’animo a consigli di pace; per mezzo della madre Natura mi offrì la confessione della vittoria; e patteggiata la libertà tra vincoli arbitrari, poco dopo, scortato dall’Aritmetica e dalla Geometria, passò con grande allegria nel mio campo]. Marte non è più un nemico: ora convive con Keplero sotto le leggi dell’amicizia, sebbene ogni tanto, irrequieto, tenti ancora qualche illusione per spaventarlo, salvo poi confermare la propria fedeltà (frr. 100‑101).

1.3 Il significato storico: una nuova astronomia di cause fisiche

L’intero brano costituisce una straordinaria testimonianza del passaggio da un’astronomia di tipo matematico‑descrittivo a una scienza che cerca le cause fisiche dei moti celesti. Lo stesso titolo αἰτιολογητός annuncia il programma: non più semplici ipotesi atte a “salvare i fenomeni”, ma una physica coelestis capace di mostrare perché i pianeti si muovano così. La rivendicazione della verità delle ipotesi copernicane, unita alla rivelazione del ruolo di Osiander, ristabilisce la statura filosofica di Copernico e libera Keplero dall’obbligo di presentare le proprie scoperte come espedienti.

La dedica a Rodolfo II colloca l’opera nel quadro del mecenatismo imperiale e della cultura tardocinquecentesca, dove la retorica bellica esalta il valore del sovrano che rende possibili simili conquiste intellettuali. Il racconto delle difficoltà pratiche – strumenti, clima, eventi astronomici contemporanei come la supernova del 1604 e la grande cometa – radica la scoperta scientifica in una cronaca reale, fatta di notti insonni, calcoli estenuanti e penuria di mezzi. Soprattutto, la “cattura” di Marte non è solo una metafora: simboleggia il momento in cui, grazie ai dati di Tycho Brahe e alla tenacia con cui Keplero li interpretò, il pianeta ribelle svelò le due leggi che portano il suo nome, mutando per sempre la nostra immagine dell’universo.

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2 Allegoria della conquista celeste e testimonianza di un’impresa scientifica

Tra suppliche finanziarie, epigrammi mitologici e dichiarazioni programmatiche, il testo offre uno spaccato vivido della lotta intellettuale e materiale per svelare i moti di Marte, incastonata nel rapporto tra Keplero e l’eredità di Tycho Brahe.

Il testo si apre con una supplica allegorica rivolta a una «Mtà.» (Maestà), in cui Marte è personificato come un avversario da sottomettere con una vera e propria spedizione militare. La richiesta di fondi è esplicita: “aerarii praefectis imperet, ut de nervis belli cogitent, novamque mihi pecuniam ad militem conscribendum suppeditent” – (fr:109) [comandi ai prefetti dell’erario di pensare ai mezzi della guerra e mi forniscano nuovo denaro per arruolare soldati]. L’argomentazione si fonda sulle potenti parentele celesti del dio (“est quippe pater ipsi Jupiter, avus Saturnus, Venus soror, eademque amica… Mercurius frater” – fr:104) e sulla promessa di un’impresa ormai prossima alla vittoria, condotta da un veterano esperto del terreno (“quippe exercitatus in pugnacissimo, gnarusque locorum” – fr:108). La data apposta, “IV. Cal. Apr. anno aerae Dionysianae M.DC.IX” (fr:114-118), colloca questa petizione metaforica nel 1609, lo stesso anno della pubblicazione dell’Astronomia Nova di Keplero, opera che effettivamente “sconfisse” Marte svelandone l’orbita ellittica.

Segue una serie di epigrammi che rafforzano l’immagine bellica e il mito di Marte incatenato. Un primo scambio contrappone l’invito della Musa a desistere dalla lotta – “Desine Kepleride o, Martem contendere contra: Submittit nulli Mars, nisi se ipse sibi” – (fr:121) [Smetti, o Kepleride, di combattere contro Marte: Marte non si sottomette a nessuno, se non a se stesso] – e la replica di Keplero, che invoca l’aiuto di Minerva per domare il pianeta, come già Pallade atterrò il feroce Gradivo. L’identificazione tra l’impresa mitica e quella scientifica è sancita dal verso “Adspice quem dedimus, Rudolphino omine librum, Gradivum dices, nunc quoque dura pati” – (fr:128) [Guarda il libro che abbiamo dato, sotto gli auspici di Rodolfo; dirai che Gradivo anche ora soffre dure pene]. Un secondo epigramma riprende la metafora della cattura con le reti: Vulcano incatenò Marte sorpreso con Venere, ma ora il pianeta è preso con le stesse reti, con la differenza che “Nec Venus in culpa est: culpa Minerva tua est” – (fr:130) [Né Venere è in colpa: la colpa è della tua Minerva]. La trasmissione del sapere è raffigurata come un passaggio di strumenti: “Minerva dedit Tychoni haec retia: Tycho Keplerio: hic Martis cruribus inseruit” – (fr:131) [Minerva diede queste reti a Tycho: Tycho a Keplero: questi le mise alle gambe di Marte]. Mentre le catene di Vulcano furono temporanee, “aeternum haec Kepleriana manent” – (fr:133) [queste kepleriane rimangono eterne], a rivendicare la validità durevole della conquista intellettuale.

Un ulteriore epigramma di J. Seussius sintetizza il paradosso copernicano dell’astronomo terrestre che esplora i cieli: “Coelos Keplerius Terrarum oppugnat alumnus: De scalis noli quaerere; Terra volato” – (fr:134) [Keplero, allievo delle Terre, assalta i Cieli: non chiedere delle scale; vola con la Terra]. La nota a piè di pagina “Subintellige Poli ruentes” (fr:135) e la successiva precisazione chiariscono che l’accusa di imperfezione è rivolta all’astronomia tradizionale, “non vero Hypotheses COPERNICI, Terram mobilem facientes” – (fr:136) [e non alle ipotesi di Copernico, che rendono la Terra mobile].

Il testo prosegue con il Paraeneticum di Tycho Brahe, un’esortazione agli astronomi affinché colgano l’occasione epocale dischiusa dal suo lavoro. Tycho celebra la via ormai aperta “multis prius invia saeclis” (fr:139) per “Scandere inaccessi liceat qua culmina Coeli” (fr:139) [salire le vette del cielo inaccessibile]. Invita i giovani ingegni a non curarsi del giudizio del volgo e a soccorrere i giganti del passato – Alfonso e Copernico – affinché non cedano sotto il peso diseguale, causando il crollo dei poli e della Terra e sprofondando il mondo nel caos: “antiquoque Chao miscentes atria Mundi” – (fr:140). L’appello si fa incalzante: “Hoc prohibete nefas” – (fr:141) [Impedite questo sacrilegio].

A questo segue un’ampia risposta dell’autore, identificabile con lo stesso Keplero, che si rivolge direttamente a Tycho Brahe come a un «Eroe» di natali illustri, rimproverandolo quasi per averlo trascinato in un’impresa tanto superiore alle sue forze. Confessa un amore fatale per l’astronomia: “Dirus amor quid non mortalia pectora cogit?” – (fr:155) [A cosa non spinge i cuori mortali un amore crudele?]. L’ispirazione divina, tuttavia, lo ha spinto sullo stesso cammino: “Nona tamen Dium coeli inspiravit amorem” – (fr:153) [la nona delle Dee (Urania) gli ispirò l’amore del cielo]. Keplero racconta di aver affrontato l’immane compito di stabilizzare l’edificio celeste proprio a partire dalle fondamenta gettate da Tycho, decidendosi a “succedere tanto oneri” e a “stabilire novis coeli laquearia transtris” – (fr:162) [rafforzare i soffitti del cielo con nuove travi]. Descrive poi il suo debito intellettuale: Tycho gli aprì le sue notti e le invenzioni di lungo tempo; se fosse vissuto, avrebbe visto che le sue osservazioni non avrebbero rivelato orbite diverse da quelle che le “nuove travi” kepleriane avevano saldamente fissato: “Non alios visu… Pandere sese Orbes… Expertus, quam quos firmant mea transtra, fuisses” – (fr:164). L’intero libro è quindi offerto come un atto di devozione alla memoria del maestro scomparso, in una scena carica di sacralità in cui Tycho è immaginato come un “Magnus stellata in veste Sacerdos” (fr:167) presso un altare cosmico.

Il testo contiene poi una sezione intitolata ”Suspiciendo despicio”, che condensa il programma copernicano in un distico: “Terra mihi aerios nectat licet astrica gyros; Terra eadem Centri stet tibi fixa loco: Sententia ARISTARCHI et COPERNICI” – (fr:174) [La Terra per me percorra pure orbite celesti; la stessa Terra per te stia fissa nel luogo del centro: opinione di Aristarco e Copernico]. Questa relatività del punto di vista trova eco in una elegia successiva dove Keplero, rivolgendosi ancora a Tycho, spiega come solo grazie alle osservazioni notturne del maestro lui potesse “guardare in basso” e dedurre il corso della Terra: “Non nisi suspiciens regeres Tu rite Dioptram, Telluris cursus inde Ego despicerem” – (fr:187) [Solo tu, guardando in su, reggevi rettamente la diottra, e io da lì guardavo in basso il corso della Terra].

Chiude la serie una lettera al lettore di Franz Gansneb Tengnagel, praefectus aerarii imperiale, datata Praga L’alto funzionario previene il lettore dal turbarsi per la libertà con cui Keplero dissente da Brahe su questioni fisiche, “Tabularum Rudolphearum Operi nequicquam incommodans” – (fr:194) [che non reca alcun danno all’Opera delle Tavole Rudolfine], e certifica il carattere osservativo del lavoro: “ipsum in fundo Brahaei… aedificasse, materiamque omnem… Brahaei opera fuisse congestam” – (fr:195) [che ha edificato sul fondo di Brahe, e che tutta la materia è stata ammassata per opera di Brahe]. Invita infine a godere di questo assaggio (Prodromus) in attesa di tempi più felici per la pubblicazione delle Tavole stesse, offrendo una preziosa testimonianza delle difficoltà pratiche – “inter hos rebellionum et bellorum subinde repullulantium tumultus” – (fr:196) [tra questi tumulti di ribellioni e guerre che continuamente risorgono] – in cui la scienza doveva farsi strada.

L’introduzione si chiude con una lapidaria constatazione delle difficoltà della comunicazione scientifica in ambito matematico-astronomico: “Durissima est hodie conditio scribendi libros Mathematicos, praecipue Astronomicos” – (fr:202) [Durissima è oggi la condizione di chi scrive libri matematici, specialmente astronomici]. Una frase che, nella sua scarna prosa, riassume la fatica intellettuale, la ricerca di patronaggio finanziario e la resistenza del contesto storico che tutto il brano precedente ha messo in scena in forma retorica, poetica e allegorica.

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3 Kepler e la difficile arte di comunicare la nuova astronomia: l’introduzione all’Astronomia Nova

Un’autoanalisi dello stile matematico e una strategia divulgativa per convincere i fisici: Keplero svela i principi della sua riforma celeste.

Il testo, che costituisce l’introduzione all’Astronomia Nova, si apre con una confessione di metodo che è già una chiave di lettura dell’intera opera. Keplero riconosce l’intrinseca tensione del trattato scientifico: “Nisi enim servaveris genuinam subtilitatem propositionum, instructionum, demonstrationum, conclusionum; liber non erit Mathematicus: sin autem servaveris; lectio efficitur morosissima, praesertim in Latina lingua, quae caret articulis, et illa gratia quam habet graeca, cum per signa literaria loquitur” – (fr:203) [Se infatti non conserverai l’autentica sottigliezza delle proposizioni, delle istruzioni, delle dimostrazioni, delle conclusioni, il libro non sarà matematico; se invece la conserverai, la lettura diventerà oltremodo noiosa, soprattutto in lingua latina, che è priva di articoli e di quella grazia che ha il greco quando si esprime per mezzo di simboli]. Da qui il lamento sulla scarsità di lettori adatti (fr:204) e la fatica personale: “Ipse ego, qui Mathematicus audio, hoc meum opus relegens fathisco viribus cerebri, dum ex figuris ad mentem revoco sensus demonstrationum, quos a mente in figuras et textum ipse ego primitus induxeram” – (fr:207) [Io stesso, che vengo chiamato matematico, nel rileggere questa mia opera affatico le forze del cervello, mentre richiamo dalle figure alla mente il senso delle dimostrazioni, che io stesso avevo originariamente trasferito dalla mente alle figure e al testo].

Il tentativo di rimediare all’oscurità della materia con circonlocuzioni rischia di farlo cadere nel vizio opposto: “jam mihi contrario vitio videor in re Mathematica loquax” – (fr:208) [ora mi sembra di apparire, per il vizio contrario, loquace in una materia matematica], perché anche la prolissità ha la sua oscurità non minore della brevità concisa (fr:209). Per questo concepisce una duplice strategia introduttiva: anzitutto una Tabula Synoptica dei capitoli, in cui “termini igitur omnes, molitiones omnes juxta invicem positae, unoque conspectu comprehensae, collatione mutua sese invicem detegant” – (fr:213) [tutti i termini, tutte le procedure posti l’uno accanto all’altro e abbracciati in un solo colpo d’occhio, si svelino a vicenda per mezzo del confronto reciproco]; e poi un’introduzione discorsiva, pensata specialmente per i fisici, a cui intende “sistam ob oculos omnia demonstrationum principia, quibus conclusiones meae, tantopere ipsis inimicae, innituntur” – (fr:222) [porre davanti agli occhi tutti i principi delle dimostrazioni sui quali poggiano le mie conclusioni, a loro tanto ostili]. Qui si colloca il nocciolo storico e testimoniale del brano: Keplero si rivolge a chi si adira contro Copernico e il moto della Terra, offrendo la scelta tra lo studio faticoso delle dimostrazioni e la fiducia nel metodo geometrico di un matematico di professione, ma a patto che si esaminino i principi, perché senza il loro rovesciamento la dimostrazione sovrastante non crolla (fr:223).

Viene poi introdotta la bipartizione delle sette astronomiche – “alteram coryphaeo Ptolemaeo … alteram recentioribus tributam, licet sit antiquissima” – (fr:227) [l’una guidata da Tolomeo, l’altra attribuita ai moderni, benché antichissima]: la prima considera ogni pianeta separatamente, la seconda compara i pianeti e deduce una causa comune. A sua volta la setta moderna si divide tra Copernico, che assegna le stazioni e retrogradazioni alla traslazione della Terra – “quibus et ego subscribo” (fr:228) – e Tycho Brahe, che le ascrive al Sole, facendo circuire attorno alla Terra immobile il nodo degli eccentrici insieme al corpo solare. Keplero dichiara subito il suo programma: “Meum jam institutum in hoc Opere potissimum quidem est, Astronomicam doctrinam (praecipue de Martis motu) in omnibus tribus formis emendare” – (fr:236) [Il mio scopo in quest’opera è principalmente riformare la dottrina astronomica in tutte e tre le forme], affinché i calcoli corrispondano alle apparenze celesti. L’urgenza nasce da errori macroscopici: la posizione di Marte nell’agosto 1608 differiva dal calcolo prutenico di quasi quattro gradi, e nel 1593 di quasi cinque (fr:238-239).

Il cuore teorico del brano è il percorso verso le cause fisiche. Keplero non si limita all’astronomia, ma “excurro etiam in Metaphysicam ARISTOTELIS, seu potius Physicam coelestem et causas motuum naturales inquiro” – (fr:240) [mi spingo anche nella Metafisica di Aristotele, o piuttosto nella fisica celeste, e indago le cause naturali dei moti], convinto che solo l’opinione copernicana, con poche modifiche, risulti vera. Il primo gradino verso le cause fisiche è la dimostrazione che “concursum illum Eccentricorum non alio loco (prope Solem) contingere, quam in ipsissimo centro corporis Solaris, contra quam COPERNICUS et BRAHEUS crediderant” – (fr:241) [il concorso degli eccentrici non avviene in un luogo prossimo al Sole, ma nell’identico centro del corpo solare, contrariamente a quanto avevano creduto Copernico e Brahe]. Questa correzione, se introdotta nell’opinione tolemaica, costringerebbe a ridefinire i punti equanti. Keplero deve rispondere all’obiezione di temerarietà dei braheani, mostrando nella prima parte dell’opera che con la sua nuova ragione si ottengono gli stessi risultati, e nella seconda parte che esprime anzi meglio le osservazioni di Marte (fr:246-247). Solo nella quarta parte, con osservazioni inattingibili alla vecchia teoria, dimostra solidamente che il centro del Sole coincide con la linea degli apsidi (fr:252), e nella quinta parte conferma la stessa cosa con le latitudini (fr:253).

La via alle cause fisiche è spianata anche dalla scoperta che in tutte e tre le opinioni vi è una mescolanza tra le cause della prima e della seconda ineguaglianza (fr:255), per cui in Tolomeo gli epicicli non hanno come centro il punto equabile, in Copernico l’orbita terrestre ha un punto equante distinto dal centro, e lo stesso vale per il circuito del nodo degli eccentrici in Tycho (fr:256-258). Quando invece il nodo è fissato nel centro solare, l’eccentricità del Sole (o della Terra) si dimezza, e nell’epiciclo tolemaico compare l’intera teoria solare con tre punti notevoli (fr:266-268). Queste dimostrazioni geometriche conducono a una congettura fisica dirompente: “Nam sive Terra moveatur, sive Sol; demonstratum certe est, id corpus, quod movetur, moveri inaequabili ratione; tarde scilicet, cum longius abest a quiescente: velociter, cum ad quiescens proxime accessit” – (fr:270) [Sia che si muova la Terra, sia che si muova il Sole, è stato certamente dimostrato che il corpo che si muove si muove con velocità ineguale: lentamente quando è più lontano dal corpo in quiete, velocemente quando si avvicina ad esso]. Da ciò scaturisce la supposizione che il Sole sia la fonte del moto dei cinque pianeti (fr:289) e quindi, per verosimiglianza, anche del moto della Terra (fr:290), mentre il Sole stesso resta nel centro del mondo proprio perché in esso risiede la fonte del moto (fr:292). Se invece si segue Tycho, si dovrebbe ammettere l’assurdo che il Sole con tutto il suo carico di eccentrici sia mosso dalla Terra (fr:295-303).

A questo punto Keplero introduce la dimensione magnetica, superando le intelligenze motrici: “At si Terra movetur; pleraque effici posse demonstro facultatibus non animalibus sed corporeis, magneticis nimirum” – (fr:283) [Se invece la Terra si muove, dimostro che la maggior parte delle cose possono essere prodotte da facoltà corporee, non animali, cioè magnetiche]. L’argomentazione culmina con le obiezioni contro il moto terrestre, tra cui la dottrina della gravità, definita erronea (fr:301-303), chiudendo così un’introduzione che è, insieme, una dichiarazione di metodo, una difesa della nuova fisica celeste e una testimonianza del travaglio di Keplero nel rifondare l’astronomia su basi insieme matematiche e fisiche.

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4 Argomenti fisici e teologici per il moto della Terra: una sintesi dall’Introduzione all’Astronomia Nova di Keplero

Keplero introduce una serrata difesa del sistema copernicano, affrontando dapprima il problema del corpo centrale, poi ridefinendo la natura della gravità e delle maree, e infine sciogliendo le obiezioni legate all’esperienza comune e alle Sacre Scritture.

L’autore pone immediatamente la questione del corpo motore con un’alternativa secca: “Ma si osservino entrambi i corpi, del Sole e della Terra, e si giudichi a quale dei due spetti maggiormente di essere la fonte del moto dell’altro corpo: se il Sole muova la Terra, lui che muove gli altri pianeti; o la Terra muova il Sole, motore di tutti gli altri, tante volte più grande di lei?” - (fr:304). Poiché è assurdo che il Sole sia mosso dalla Terra, “al Sole va concessa l’immobilità, alla Terra il moto” - (fr:305). Un ulteriore argomento di armonia cosmica è tratto dalla collocazione del periodo orbitale terrestre di 365 giorni, che è “intermedio quanto a quantità tra il periodo di Marte di 687 giorni e quello di Venere di 225”; Keplero vi legge un segno della natura che il circuito di 365 giorni deve essere spazialmente “intermedio tra i circuiti di Marte e di Venere intorno al Sole, e che quindi anche questo circuito sia intorno al Sole, e sia perciò della Terra e non del Sole intorno alla Terra” - (fr:306).

Dopo aver rimandato al suo Mysterium Cosmographicum e a Copernico per le argomentazioni metafisiche sulla dignità del centro, Keplero chiede venia al lettore per introdurre alcune risposte preventive alle obiezioni che turbano gli animi, poiché non sono estranee alle cause fisiche del moto planetario che tratterà nell’Opera (fr:316-317). Il primo grande ostacolo è la dottrina volgare della gravità, che impedisce di credere al moto animale o magnetico della Terra. Keplero la smonta punto per punto: il punto matematico del centro del mondo non può muovere i gravi né in modo efficiente né finale, non essendo un corpo ma una pura relazione (fr:319-320). È impossibile che la forma di una pietra cerchi un punto matematico “prescindendo dal corpo in cui quel punto si trova” - (fr:321), e i fisici dovrebbero dimostrare che le cose naturali provano simpatia per ciò che è nulla (fr:322). Né vale l’idea che i gravi tendano al centro per fuggire le estremità del mondo rotondo, perché la proporzione della loro distanza dal centro è invisibile e inefficace rispetto alla distanza dalle estremità (fr:323-324), e sarebbe insensato attribuire loro tanta forza e sapienza per fuggire un nemico che li circonda (fr:325-327). Confutata anche l’idea che siano scagliati al centro dal vortice del primo mobile, Keplero conclude che “la dottrina volgare sulla gravità è erronea” - (fr:330).

La “vera dottrina della gravità” - (fr:331) si fonda su assiomi nuovi: la gravità è un’affezione corporea e mutua tra corpi affini, analoga alla facoltà magnetica, “così che la Terra attrae la pietra molto più di quanto la pietra tenda alla Terra” - (fr:334). I gravi non sono attratti dal centro del mondo in quanto tale, ma “come al centro di un corpo rotondo affine, ossia della Terra” - (fr:335); pertanto ovunque sia trasportata la Terra, i gravi la seguiranno (fr:336). Questa concezione relazionale e magnetica della gravità è esemplificata con esperimenti mentali: se la Terra non fosse rotonda, i gravi non cadrebbero verso il suo centro ma verso punti diversi (fr:337); due pietre isolate nello spazio, fuori dall’orbita di virtù di un terzo corpo, si unirebbero in un punto intermedio in proporzione alle loro masse (fr:338); se Terra e Luna non fossero trattenute nei loro circuiti da una forza animale, la Terra salirebbe verso la Luna per un cinquantaquattresimo della distanza e la Luna scenderebbe per circa cinquantatré parti (fr:339).

Da questa forza trattoria deriva la spiegazione del “flusso e riflusso del mare” - (fr:341). L’orbita della virtù trattoria della Luna si estende fino alla Terra e attira le acque sotto la Zona Torrida, sollevando l’oceano in un flusso che poi, per l’inerzia delle acque, si infrange e rifluisce quando la Luna si allontana (fr:345-348). Keplero inserisce qui un’ampia digressione geostorica: questo moto perenne, unito a qualche terremoto universale, ha eroso e sommerso terre antiche. L’isola di Taprobane (l’antico nome di Ceylon) sarebbe stata sommersa dall’irruzione dell’Oceano Cinese nell’Oceano Indiano, e oggi di essa non resterebbero che “le cime dei monti, che mostrano l’aspetto di innumerevoli isole sotto il nome di Maldive” - (fr:351). L’odierna Sumatra sarebbe invece l’antica Chersoneso d’oro, un tempo unita all’India da un istmo (fr:353).

Completata la dottrina fisica, Keplero definisce la levità: “Nulla assolutamente è lieve, se consta di materia corporea, ma è relativamente più lieve ciò che è più raro, o per sua natura o accidentalmente per il calore” - (fr:357). I corpi lievi non fuggono verso la superficie del mondo, ma sono semplicemente meno attratti e perciò espulsi dai gravi, finendo per essere trattenuti dalla Terra nel loro luogo naturale (fr:360). Quanto all’obiezione dei proiettili, Keplero sostiene che, se fossero lanciati a distanze enormi, il loro moto violento si comporrebbe con quello della Terra, ma poiché nessun proiettile si allontana dalla superficie di una parte sensibile del diametro terrestre, la forza magnetica della Terra li trascina inscindibilmente con sé, così che “ciò che è scagliato perpendicolarmente verso l’alto ricade nel suo luogo, senza alcun impedimento da parte del moto della Terra, che non può essere sottratta, ma rapisce insieme a sé gli oggetti che volano nell’aria, ad essi concatenata dalla forza magnetica non meno che se toccasse quei corpi” - (fr:373). Aggiunge che Copernico preferiva attribuire questo legame a un’unica anima motrice diffusa, ma che per i corpi staccati dalla Terra è sufficiente la facoltà corporea magnetica (fr:375-376).

Di fronte al timore per la prodigiosa velocità del moto terrestre e per l’immensità del cielo, Keplero replica che proprio l’immensità e la velocità sarebbero sproporzionate e mostruose se fosse il cielo a dover ruotare mentre la Terra sta immobile (fr:381). L’ultima e più delicata serie di obiezioni è quella dei devoti, che temono di accusare di menzogna lo Spirito Santo se si afferma che la Terra si muove e il Sole sta fermo (fr:382). Keplero sviluppa una sottile ermeneutica dell’accomodamento: è impossibile per l’uomo separare il linguaggio quotidiano dall’apparenza sensibile. Si dice che le città arretrano quando si salpa dal porto, che un’ampia pianura “si apre” quando si esce da una valle stretta, e Cristo stesso disse a Pietro “Prendi il largo”, come se il mare fosse più alto dei lidi, perché “così appare agli occhi” - (fr:387-388). Le Sacre Scritture, il cui scopo non è istruire sulle cose naturali, “parlano con gli uomini in modo umano, per essere comprese dagli uomini; si servono di nozioni che sono presso gli uomini comunemente ammesse, per insinuarne altre più sublimi e divine” - (fr:397). Così il Salmo XIX, descrivendo il Sole che esce come uno sposo dal suo talamo, allude poeticamente al corso del Vangelo, e il Salmista, pur sapendo che il Sole non esce letteralmente da una tenda, usa entrambe le immagini perché “entrambe così appaiono agli occhi”, senza che si debba giudicare falso il suo dire, poiché “anche alla percezione degli occhi appartiene una sua verità” - (fr:398-404). Questa verità fenomenica è strumento idoneo all’intento segreto del Salmista di adombrare il corso del Figlio di Dio.

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5 La difesa dell’eliocentrismo e l’impianto dell’Astronomia Nova: esegesi biblica, fisica celeste e architettura dell’opera

Il brano appartiene all’introduzione dell’Astronomia Nova di Keplero e svolge due compiti: mostrare come le Scritture vadano interpretate quando sembrano opporsi al moto della Terra, e delineare il percorso che conduce a un’astronomia fondata su cause fisiche anziché su ipotesi fittizie. Keplero comincia dall’episodio di Giosuè. Respinta la sterile contrapposizione verbale, scrive: «Sol stetit, id est, Terra stetit; non perpendentes, quod haec contrarietas tantum intra limites Optices et Astronomiae nascatur» – (fr:407) [Il Sole si fermò, cioè la Terra si fermò; non considerano che questa contraddizione nasce soltanto entro i confini dell’ottica e dell’astronomia]. Giosuè chiedeva che il giorno si prolungasse comunque avvenisse, e Dio, comprendendo il desiderio, «praestititque inhibito motu Terrae; ut illi stare videretur Sol» – (fr:410) [lo esaudì arrestando il moto della Terra, affinché gli sembrasse che il Sole stesse fermo]. La richiesta riguardava l’apparenza sensibile, e il miracolo consistette proprio nel renderla vera per gli occhi.

La ragione del parlare biblico secondo il senso della vista è radicata nella comune esperienza umana. Keplero rimanda al capitolo X della parte ottica dell’astronomia: il Sole appare piccolo, la Terra grande, e il suo moto non è percepibile direttamente ma solo con il raziocinio. Perciò «Impossibile igitur est, ut ratio non prius monita sibi aliud imaginetur, quam Tellurem cum imposito coeli fornice esse quasi magnam domum, in qua immobili, Sol tam parva specie, instar volucris in aere vagantis, ab una plaga in aliam transeat» – (fr:412) [È impossibile che la ragione, se non precedentemente avvertita, immagini altro se non che la Terra con la volta celeste sovrapposta sia come una grande casa, nella quale, immobile, il Sole – di apparenza così piccola, come un uccello vagante nell’aria – passi da una regione all’altra]. E «Quae adeo imaginatio hominum omnium, primam lineam dedit in sacra pagina» – (fr:413) [Questa immaginazione di tutti gli uomini ha fornito la traccia primaria alla sacra pagina]. Mosè, narrando la creazione, si adegua ai due elementi che più colpiscono gli occhi: il cielo sopra e la terra sotto (fr:414‑415). Le domande del libro di Giobbe sull’altezza del cielo e la profondità della terra non vogliono circoscrivere l’indagine astronomica, ma esprimere l’impossibilità di una misura reale per il corpo umano confitto alla terra (fr:416‑417).

La stessa chiave di lettura si applica ai Salmi e all’Ecclesiaste. Chi volesse dedurre dal Salmo 24 che la Terra galleggia su fiumi, anziché semplicemente essere solcata da grandi fiumi e circondata dal mare, farebbe violenza al testo: il Salmista allude a ciò che gli uomini già sanno e sperimentano quotidianamente (fr:420‑421). Se si accetta questo modo di leggere, perché non adottarlo anche per i passi opposti al moto della Terra? (fr:422) Quanto all’Ecclesiaste, quando dice che la Terra sta in eterno mentre le generazioni passano, «Nullum audis dogma Physicum» – (fr:425) [Non senti alcun insegnamento fisico]. L’intento è morale: Salomone vuole che si rifletta sulla perpetua vicenda della vita, non che si disputi di astronomia (fr:423‑424, 426‑430).

Il Salmo 104, che a molti pare contenere una discussione fisica perché parla di stabilità della Terra, è invece un inno al Creatore che percorre con lo sguardo il mondo come appare. Keplero vi legge un commentario all’Hexaemeron della Genesi: i versetti si susseguono in sei parti analoghe alle sei giornate, descrivendo luce, acque superiori e meteore, terra e suoi abitanti, astri, mari e animali (fr:435‑436). La preoccupazione del Salmista non è insegnare su che cosa poggi la Terra, ma richiamare alla mente la potenza divina che ha fatto una mole così salda: «Non vult docere quod ignorent homines, sed ad mentem revocare, quod ipsi negligunt, magnitudinem scilicet et potentiam Dei in creatione tantae molis, tam firmae et stabilis» – (fr:441) [Non vuole insegnare ciò che gli uomini ignorano, ma richiamare loro ciò che trascurano, cioè la grandezza e la potenza di Dio nella creazione di una mole così stabile e ferma]. Se un astronomo dimostra che la Terra si muove tra gli astri, non rovescia ciò che il Salmista dice né scuote l’esperienza umana: le terre, opera dell’architetto divino, non crollano, i monti e i lidi restano saldi contro venti e onde (fr:442‑443). L’assenza di ogni menzione dei cinque pianeti conferma che il salmo non vuole fare l’astronomo, perché nulla è più ammirevole del loro moto per chi intende (fr:447).

Dopo aver separato il linguaggio biblico dalla fisica, Keplero si rivolge al lettore con un’esortazione accorata: lo invita a lodare con lui la sapienza del Creatore svelata dalla spiegazione più profonda della forma del mondo, dall’indagine delle cause e dallo smascheramento degli errori della vista, riconoscendo la bontà divina tanto nella stabilità della Terra quanto nel suo moto ammirevole e nascosto (fr:452). A chi non è in grado di afferrare la scienza astronomica o di accogliere Copernico senza turbamento della pietà, consiglia di lasciar perdere la scuola astronomica, tornare a coltivare il suo campo e, guardando il cielo visibile, effondersi in ringraziamenti a Dio; non presterà un culto inferiore a quello dell’astronomo (fr:453).

Presenta poi l’ipotesi di Brahe: «mediam quodammodo viam incedens» – (fr:454) [percorrendo in certo modo una via di mezzo]. Essa da un lato libera gli astronomi da molti epicicli, accoglie le cause dei moti con Copernico e pone il Sole al centro del sistema planetario; dall’altro serve il volgo dei letterati eliminando il difficile moto della Terra, benché complichi le teorie e turbi la fisica celeste. Keplero la raccomanda come onesta mediazione, ma per sé rivendica la verità dimostrata con la filosofia: «Terram et rotundam, et Antipodibus circumhabitatam, et contemptissimae parvitatis esse, et denique per sidera ferri» – (fr:464) [La Terra è rotonda, abitata agli antipodi, di piccolezza estremamente ridotta e infine trasportata tra gli astri], contro Lattanzio, Agostino e i moderni che negano il moto pur concedendo l’esilità.

Chiarito questo, Keplero riprende il filo dell’introduzione per esporre la struttura fisica del suo sistema. Non userà ipotesi fittizie ma cause fisiche, e vi è giunto per tre gradi. Il primo: nel corpo del Sole concorrono gli eccentrici planetari. Il secondo: la Terra possiede un circolo equante e la sua eccentricità va bisecata. Il terzo – dimostrato confrontando la seconda e la quarta parte dell’opera – è che anche l’eccentricità dell’equante di Marte dev’essere bisecata con precisione, cosa che Brahe e Copernico avevano lasciato dubbia (fr:467‑468). Poiché gli orbi solidi sono inesistenti, come Brahe ha mostrato con le traiettorie delle comete, «Solis igitur corpus esse fontem Virtutis, quae Planetas omnes circumagit» – (fr:469) [Il corpo del Sole è dunque la fonte della virtù che trascina attorno tutti i pianeti]. Keplero precisa il modo: il Sole ruota su se stesso ed emette una specie immateriale analoga alla luce, la quale ruota come un rapidissimo vortice per tutta l’ampiezza del mondo e trasporta in giro i pianeti con intensità proporzionata alla rarefazione o densità (fr:470‑472). Stabilito questo meccanismo comune, aveva in un primo momento attribuito a ciascun pianeta un motore interno, ma questi motori, legati a circoli perfetti da un pregiudizio volgare, producono equazioni viziate e discordanze dalle osservazioni; non sono falsi in sé, ma resi inutili dai ceppi con cui li aveva legati (fr:473‑475).

Il brano si conclude con la sinossi dell’opera. La Prima Parte tratta della distinzione tra prima e seconda ineguaglianza delle orbite e delle ipotesi ottiche: inequaglianza semplice o composta, luogo fermo o mobile, e l’esposizione della forma copernicana, tolemaica e braheana della seconda ineguaglianza (fr:477‑497). La Seconda Parte è dedicata all’edificio astronomico, con una sezione preparatoria di osservazioni e una di adattamento geometrico: esame dell’ipotesi della prima ineguaglianza e tavole comparative (fr:498‑504). L’intero disegno testimonia la svolta kepleriana da un’astronomia descrittiva a una fisica celeste unificata, in cui la potenza motrice del Sole sostituisce le sfere solide e le ipotesi meramente geometriche.

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6 La struttura e i fondamenti della teoria fisica dei moti celesti

L’autore espone la sinossi dell’opera, rivendica la scoperta dell’orbita ellittica e della sua causa magnetica, e dichiara il metodo storico-oratorio con cui guida il lettore attraverso le proprie invenzioni.

Il testo presenta l’architettura argomentativa di un trattato astronomico, organizzato in una serie di capitoli che procedono dalla costruzione di ipotesi fisiche alla loro verifica geometrica e osservativa. Dopo aver scartato opinioni false e dimostrato ipotesi alternative, si giunge a un percorso che dall’ovale conduce all’ellisse: “deficiente: ubi ovalem et cuculum” – (fr:654) [quella deficiente: dove tratta dell’ovale e della figura a cuculo]. La teoria viene poi resa operativa: “Theoria Ad usum accommodatur Methodo aequationum genwna demonstrata” – (fr:656) [La teoria è adattata all’uso con il metodo delle equazioni, dopo averne dimostrato i fondamenti].

La sezione centrale dell’indice (frasi 659-664) distingue due disuguaglianze fondamentali del moto planetario: una prima, propria del pianeta, legata all’eccentrico e derivante da cause fisiche, e una seconda, relativa alla longitudine, in cui le due disuguaglianze si compongono. La quinta parte dell’opera (fr:665-700) è interamente dedicata alla misurazione geometrica dei principi, con capitoli che trattano separatamente i limiti delle inclinazioni massime, le singole cause fisiche, la latitudine massima in congiunzione e opposizione, e la mescolanza delle disuguaglianze. Un passaggio cruciale riguarda la conferma della forma: “Ad confirmandam hactenus IFormam, quod ejus fundamentum sit Sol ipse, non punctum ejus vicarium” – (fr:681) [A conferma della Forma fin qui esposta, che il suo fondamento sia il Sole stesso, non un suo punto vicario], e l’esame della proporzione della teoria costruita rispetto al diametro terrestre, ovvero l’analisi della parallasse (fr:684).

Il cuore della scoperta è espresso con intensità autobiografica. L’autore dichiara di aver costruito il quarto gradino verso le Ipotesi Fisiche soltanto dopo estenuanti dimostrazioni: “laboriosissimis demonstrationibus, observationumque plurimarum tractationibus deprehenso iter Planetae in Coelo non esse circulum, sed viam Ovalem, perfecte Ellipticam” – (fr:700) [dopo aver scoperto, con faticosissime dimostrazioni e il trattamento di moltissime osservazioni, che il percorso del Pianeta in Cielo non è un cerchio, ma una via Ovale, perfettamente Ellittica]. L’intervento della geometria ha poi insegnato che tale percorso si realizza assegnando ai motori propri dei pianeti il compito di far oscillare il loro corpo lungo una linea retta estesa verso il Sole (fr:701). Questa librazione non solo genera l’orbita ellittica, ma produce equazioni dell’eccentrico giuste e conformi alle osservazioni (fr:702). Il coronamento dell’edificio teorico consiste nella dimostrazione geometrica che simile librazione è prodotta da una facoltà corporea magnetica: “librationem hujusmodi effici solere a Magnetica corporea facultate” – (fr:703). I motori propri dei pianeti appaiono quindi come affezioni intrinseche dei corpi planetari, analoghe alla polarità e alla capacità attrattiva della calamita (fr:704). L’intero sistema dei moti celesti è così retto da facoltà puramente corporee, cioè magnetiche, “excepta sola turbinatione corporis Solaris in suo spacio permanentis: cui vitali facultate opus esse videtur” – (fr:705) [fatta eccezione per la sola rotazione del corpo Solare che permane nel suo spazio: per la quale sembra esserci bisogno di una facoltà vitale].

La coerenza complessiva della teoria è ribadita poco oltre: la quinta parte ha dimostrato che le ipotesi fisiche introdotte soddisfano anche le latitudini (fr:706). L’autore concede tuttavia un’apertura a chi, intimorito da obiezioni speciose, diffidasse della natura corporea: si può ammettere che una Mente, congiunta a una facoltà animale di muovere il globo, utilizzi il diametro apparente del Sole come misura della librazione e possieda la sensazione degli angoli ricercati dagli astronomi (fr:709).

Il metodo espositivo è dichiarato con lucida autocoscienza. L’autore sa che il metodo richiesto dalla natura della cosa differisce da quello richiesto dalla nostra conoscenza, ed egli non segue né l’uno né l’altro in modo puro. Il suo scopo non è solo spiegare i moti celesti, né solo condurre il lettore dai principi primi alle conclusioni ultime come fece Tolomeo; vi aggiunge un terzo elemento, comune agli oratori: “ut quia nova multa trado, id coactus fecisse manifestus sim; itaque demeream et retineam assensum lectoris, et amoliar suspicionem de studio novandi” – (fr:716) [poiché tramando molte cose nuove, sia manifesto che le ho fatte per necessità; e così mi guadagni e mantenga l’assenso del lettore, e allontani il sospetto di una smania di innovare]. Egli mescola ai metodi superiori un terzo metodo, storico, familiare agli oratori: non si preoccupa solo di condurre il lettore per la via più breve, ma soprattutto di mostrare “quibus Ego author seu argumentis seu ambagibus seu fortuitis etiam occasionibus primitus eodem devenerim” – (fr:717) [con quali argomenti o ambagi o anche occasioni fortuite io, autore, vi sia giunto per primo]. Questo procedere, che ricorda i resoconti di esploratori come Colombo e Magellano con i loro errori e scoperte, è giustificato dal piacere che procura al lettore e non deve essergli ascritto a colpa (fr:718).

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7 L’architettura argomentativa dell’Astronomia Nova attraverso i suoi «Argomenti dei Capitoli»

Il tracciato di un’indagine che, partendo dalla scelta fisica del moto apparente del Sole, giunge al punto in cui ogni ipotesi circolare cede, costringendo all’abbandono del cerchio.

Il testo fornisce la prima mappa del contenuto dell’Astronomia Nova, redatta dallo stesso Keplero. L’autore premette alcune avvertenze sulla composizione tipografica: «Dedi autem operam, ut quoties textus aliquam demonstrationem Geometricam, delineationemve aut praeparationem expediret; litera cursoria (ut appellant officinae) exscriberetur» – (fr:721) [Ho fatto in modo che ogni volta il testo richieda una dimostrazione geometrica, un disegno o uno schema, venga stampato in carattere corsivo (come dicono in tipografia)]. L’operazione non è esente da difetti, perché «Id si non undiquaque obtinet, vel materiae tribues, quae Geometricis miscet Physica, vel Typothetis, qui mea signa non undiquaque perceperunt» – (fr:722-724) [Se ciò non risulta pienamente, lo attribuirai o alla materia che mescola la fisica con la geometria, o ai compositori che non hanno sempre compreso i miei simboli]. La lettura stessa è faticosa, ma «existent … qui superatis perceptionis difficultatibus, hac integra inventionum serie simul ob oculos posita, ingenti voluptate perfundantur» – (fr:719) [esistono tuttavia persone che, superate le difficoltà di comprensione, vedendo l’intera catena delle scoperte posta davanti agli occhi, provano un immenso piacere].

La prima parte (capp. I–VI) nasce da un confronto serrato con Tycho Brahe. Keplero ricorda che, giunto presso di lui, «deprehenderem ipsum cum PTOLEMAEO et COPERNICO secundam Planetae inaequalitatem censere a Solis motu medio» – (fr:726) [mi accorsi che egli, con Tolomeo e Copernico, riteneva che la seconda ineguaglianza dipendesse dal moto medio del Sole]. Da quattro anni invece, per ragioni fisiche, egli era persuaso che «incipienda a Solis motu Apparente» – (fr:727) [si dovesse partire dal moto apparente del Sole]. Brahe obiettava di aver salvato tutte le osservazioni della prima ineguaglianza usando il moto medio; Keplero ribatteva che anch’egli poteva farlo con il moto apparente, sicché «in Secunda inaequalitate cernendum, uter rectius faciat» – (fr:729) [bisognava giudicare nella seconda ineguaglianza chi dei due avesse ragione]. Perciò tutta la prima parte è una dimostrazione di questa tesi.

Il discorso prende le mosse dall’equivalenza geometrica fra eccentrico e concentrico con epiciclo (cap. II). Keplero non si limita alla geometria, ma «disputavi super causis et Physicis et Rationalibus … utramque hypothesium aequipollentiam administrari … aliter, si concedantur orbes solidi; aliter etiam, si negentur» – (fr:732) [discussi sulle cause fisiche e razionali con cui si può governare l’equivalenza delle ipotesi in un modo se si ammettono sfere solide, in un altro se si negano], appoggiandosi a Brahe che «ex trajectionibus Cometarum demonstravit, nullos esse orbes solidos» – (fr:733) [con le traiettorie delle comete aveva dimostrato che non esistono sfere solide]. Nel capitolo III viene esaminato come l’effetto sensibile o le cause naturali mutino se si scambia il Sole medio con il Sole apparente nell’eccentrico semplice. Si passa poi all’eccentrico con equante, l’ipotesi tolemaica (cap. IV). Di essa si mostra la compatibilità fisica solo in assenza di sfere solide; si descrivono le trasformazioni copernicane in concentrico con due epicicli, di cui Keplero dimostra «deficere illam a Geometrica pulchritudine in itinere Planetae» – (fr:744) [che è priva di bellezza geometrica nel percorso del pianeta] e non perfettamente equivalente all’eccentrico di Tolomeo. La medesima trasposizione del ponto di vista – dal Sole medio a quello apparente – viene applicata all’ipotesi copernicana nel capitolo V: si dimostra che «duabus admissis lineis apsidum, altera antiqua, altera ex transpositione orta … sequuturas duorum generum datas apparitiones» – (fr:758) [ammettendo due linee degli absidi, una antica e una nata dalla trasposizione, ne seguono due serie di apparizioni date] e si calcola geometricamente la massima aberrazione.

Il capitolo VI porta il confronto sul terreno della seconda ineguaglianza, confrontando le tre ipotesi principali. In quella copernicana Keplero mostra come l’eccentricità della prima ineguaglianza sia derivata dal Sole medio e argomenta fisicamente che «debere Eccentricitatem computari ab ipso centro corporis Solis» – (fr:781) [l’eccentricità deve essere calcolata a partire dal centro stesso del corpo solare]. Adottando il moto apparente per la seconda ineguaglianza, si trova che in longitudine le posizioni variano poco, «multum vero differre distantias corporis Planetae a corpore Solis» – (fr:785) [mentre le distanze del pianeta dal Sole variano molto], con errori che «excurrere posse ad unum gradum et 20 circiter minuta» – (fr:789) [possono arrivare a un grado e circa 20 minuti]. Nell’ipotesi tolemaica si sollevano obiezioni metafisiche e fisiche contro il moto medio; in quella ticonica si contesta l’attacco del centro del concentrico di Marte accanto al Sole, «contendens affixionem … in ipso centro corporis Solis fieri debere» – (fr:804) [sostenendo che tale attacco debba avvenire proprio nel centro del corpo solare]. Si delineano così nuove ipotesi nate dallo spostamento dei punti di riferimento.

La seconda parte (capp. VII–XIX) applica l’intera macchina al caso concreto di Marte. Keplero spiega le occasioni che lo spinsero a seguire il Sole apparente (cap. VII), presenta l’ipotesi braheana con le osservazioni acroniche (cap. VIII), e introduce le necessarie correzioni sui luoghi osservati, confutando le uguaglianze degli archi e stabilendo il modo corretto di ridurre le posizioni all’eclittica tramite l’angolo di inclinazione dei piani (cap. IX). Seguono l’esame della tabella (cap. X), l’indagine sulle parallassi diurne di Marte – «insensibiles pene esse, et minores quam putamus esse Solares» – (fr:823) [risultano pressoché insensibili e minori di quelle solari] – e la determinazione dei nodi e dell’inclinazione dei piani con tre diversi metodi (capp. XI–XIII). Il capitolo XIV mostra che l’inclinazione non è librabile come volevano gli antichi, perché «intra quidem unius vel alterius seculi terminos, esse constantem» – (fr:841-842) [entro l’arco di uno o due secoli rimane costante].

Giunto al punto di costruire l’orbita, Keplero confessa di procedere, per necessità di calcolo, «dissimulatis causis Physicis»: «ponitur, iter Planetae esse circulum; poniturque intra ejus complexum esse punctum aliquod, circa quod aequalibus Planetae temporibus aequales absolvat angulos; interque illud et centrum Solis versari centrum circuli Planetarii, distantia incognita» – (fr:845) [si suppone che il percorso del pianeta sia un cerchio; si suppone che al suo interno vi sia un punto attorno al quale il pianeta descrive angoli uguali in tempi uguali; e che il centro del cerchio planetario si trovi tra quel punto e il centro del Sole a una distanza incognita]. Con quattro osservazioni acroniche e un «Methodo laboriosissima» (fr:846) [metodo estremamente laborioso] egli determina tutti i parametri, servendosi anche del moto secolare di afelio e nodi (cap. XVII). L’ipotesi così ottenuta, fondata sul Sole apparente, «salvari omnem observatum longitudinis motum circa Solis oppositum, idque multo certius» – (fr:848) [salva tutto il moto osservato in longitudine attorno all’opposizione del Sole, e in modo molto più sicuro] di quanto non facesse l’ipotesi braheana.

Subito, però, si manifesta un fallimento: in latitudine l’accordo non regge, né per l’ipotesi costruita né per quella di Brahe (cap. XIX). Keplero identifica la ragione: «errorem circa latitudines in eo esse, quod non fuerit bisecta Eccentricitas» – (fr:856) [l’errore sulle latitudini sta nel fatto che l’eccentricità non è stata bisecata]. Ma ecco il vicolo cieco: «At si bisecetur Eccentricitas, tunc hypotheses aberrare in longitudinis motu» – (fr:858) [se invece si biseca l’eccentricità, allora le ipotesi sbagliano nel moto in longitudine]. Questa aporia, lucidamente annunciata nell’ultima riga del sommario, condensa il punto di svolta: il cerchio, con qualunque artificio, non può rappresentare simultaneamente le osservazioni di longitudine e di latitudine, ed è proprio questa contraddizione a preparare la necessità dell’orbita ellittica e della legge delle aree che Keplero formulerà subito dopo. L’intero «Argomento dei Capitoli» diventa così la cronaca di un serrato confronto tra fisica, geometria e dati, dove ogni ipotesi viene progressivamente smontata fino a rendere inevitabile la vera forma del moto planetario.

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8 Dalla geometria dell’equante alla fisica solare: i capitoli dell’Astronomia Nova

Sommario dei capitoli XX–XXXIX in cui Keplero abbandona le vecchie ipotesi, svela l’errore dell’equante e fonda una nuova astronomia fisica basata su una virtù motrice di origine solare.

Il testo raccoglie gli argumenta capitum di una sezione cruciale dell’Astronomia Nova, in cui Keplero passa dalla critica delle ipotesi tradizionali a una ricostruzione completa del moto planetario. L’intero percorso è scandito da un metodo geometrico sempre più audace, che dapprima smonta l’errore dell’ipotesi tolemaico-braheana e poi, partendo dalla seconda disuguaglianza, estrae dalla sola osservazione di Marte gli elementi dell’orbita terrestre per approdare infine a una speculazione fisica sulla causa del moto.

La Parte II si chiude mostrando come l’ipotesi corrente venga confutata sia mediante il moto in latitudine sia mediante il moto in longitudine: “Vt priori capite per motum latitudinis circa Solis oppositum, sic nunc per motum longitudinis extra oppositum Solis, erroris convincitur haec mea hypothesis” – (fr:860) [Come nel capitolo precedente attraverso il moto in latitudine intorno all’opposizione del Sole, così ora attraverso il moto in longitudine fuori dall’opposizione del Sole, questa mia ipotesi è convinta d’errore.]. La confutazione tocca anche l’ipotesi di Brahe fondata sul moto medio del Sole (fr:862), e la dimostrazione viene estesa alla forma dei moti sia tolemaica sia braheana (fr:864). Keplero dichiara di essere stato spinto ad abbandonare le vecchie teorie proprio dall’evidenza di queste incongruenze (fr:859). Prima di chiudere la parte, un capitolo geometrico indaga come mai un’ipotesi falsa possa talvolta restituire il vero – “Causae ex Geometria petuntur, efficientes, ut falsa Hypothesis verum prodat” – (fr:869) [Si ricercano cause tratte dalla geometria che fanno sì che un’ipotesi falsa produca il vero] – e si inserisce un protheorema sulle linee da sostituire nel piano dell’eclittica quando il pianeta possiede latitudine (fr:868).

Con la Parte III l’autore annuncia un nuovo inizio: “Mea igitur methodo usus, totum negocium de novo incipio, non a prima sed a secunda inaequalitate” – (fr:871) [Usando dunque il mio metodo, ricomincio da capo l’intera questione, non dalla prima ma dalla seconda disuguaglianza]. Emerge subito il sospetto che il circolo equante domini anche nella teoria del Sole (fr:872). In tre forme di ipotesi, Keplero dimostra che, posto l’equante, l’orbe magno (o l’epiciclo tolemaico) appare aumentare e diminuire, proprio come sosteneva Brahe (fr:874). Viene quindi insegnato un metodo per selezionare osservazioni idonee a provare l’equante (fr:875), e la dimostrazione poggia su due osservazioni scelte, sempre supponendo la restituzione braheana basata sul moto medio del Sole (fr:877).

I capitoli successivi innalzano il rigore geometrico. Note le distanze Sole-Terra in due luoghi dello Zodiaco e aggiunto il luogo dell’apogeo solare (o afelio terrestre), si ricerca l’eccentricità del circolo solare supposto perfetto (fr:878‑879). Quattro osservazioni di Marte, prese quando il pianeta occupa la medesima posizione sull’eccentrico, mostrano che una parte dell’eccentricità terrestre va attribuita al circolo equante, e il risultato vale per tutte e tre le forme di ipotesi (fr:880‑881). Il passo più notevole è contenuto nei capitoli XXV‑XXVI: “Inventis igitur superiori capite trium et trium in Zodiaco locorum distantiis Solis a Terra; demonstratione Geometrica … inquiritur non tantum Eccentricitas circuli Solis vel Terrae … sed etiam ipsius Apogaei Solis … locus, idem fere, qui a BRAHEO est inventus ex observationibus Solis propriis, cum hic sint observationes tantummodo Martis” – (fr:882‑885) [Trovate … le distanze del Sole dalla Terra; con dimostrazione geometrica … si ricerca non solo l’eccentricità del circolo del Sole o della Terra, ma anche il luogo dell’apogeo solare, pressoché identico a quello trovato da Brahe con le proprie osservazioni del Sole, mentre qui si tratta solo di osservazioni di Marte]. In questo modo, dalle sole posizioni di Marte si deducono gli stessi parametri solari ottenuti da Brahe con osservazioni dirette del Sole. Keplero compie poi un passo ancora più ardito nel capitolo XXVII, abbandonando del tutto la restituzione di Marte e determinando, oltre all’eccentricità e all’afelio, persino la posizione eccentrica di Marte sotto le stelle fisse (fr:889). Il capitolo XXVIII conferma la stabilità del risultato usando cinque osservazioni e accettando eccentricità e afelio già verificati (fr:890‑891).

In tutti questi capitoli, è bene ricordarlo, si assume che il percorso della Terra sia un circolo perfetto, come appare ai sensi – “Memineris autem in omnibus praecedentibus Partis III. capitibus praesupponi viam Terrae perfectum circulum; ut est quidem ad sensum” – (fr:892‑893) – e che la piccola eccentricità dell’ellisse non possa togliere molto (fr:894). Il capitolo XXIX fissa l’eccentrico perfettamente circolare con eccentricità nota e la sua duplice per il punto equante, e calcola geometricamente le distanze apogea, perigea e quelle a varie anomalie, compreso un punto in cui una parte dell’equazione diventa massima (fr:895‑899). Le distanze Sole-Terra sono infine raccolte in una tavola, ma Keplero avverte che il metodo di estrazione eccede i limiti dei principi e produce un percorso ovale dell’astro – “Distantiae Solis et Terrae in Tabula exponuntur: modusque docetur excerpendi, qui etsi ostenditur excedere limites principiorum, et circuitum sideris ovalem efficit” – (fr:900), rinviando ai capitoli successivi dove lo scrupolo verrà tolto.

Il capitolo XXXI scioglie un timore di Brahe: “Metuebat BRAHEVS, ne bisecta Solis Eccentricitate suas ipsi aequationes Solis turbarem. Hic ergo metus tollitur, demonstrato, … semper eandem in Sole prodire aequationem” – (fr:905‑906) [Brahe temeva che, dimezzando l’eccentricità solare, io sconvolgessi le sue equazioni del Sole. Questo timore viene qui rimosso, dimostrando che … risulta sempre la medesima equazione solare]. I due scrupoli – quello sulle distanze (cap. XXX) e quello sulle equazioni braheane (cap. XXXI) – sono tenuti distinti: nel primo caso si temeva la figura del percorso, nel secondo la ragione dell’eccentricità (fr:907‑911).

Con il capitolo XXXII si passa decisamente alla fisica. Keplero fa un’induzione: “omnes omnino Planetas uti Aequante circulo, seu bisectione Eccentricitatis puncti Aequatorii” – (fr:912) [tutti i pianeti si servono del circolo equante, ossia della bisezione dell’eccentricità del punto equante], e su questo fondamento costruisce la proposizione universale: “Moras Planetae in aequalibus arcubus Eccentri proportionari cum discessu Planetae a puncto, unde consurgit Eccentricitas” – (fr:913) [i ritardi del pianeta in archi uguali dell’eccentrico sono proporzionali all’allontanamento del pianeta dal punto da cui sorge l’eccentricità]. Il tono si fa esortativo: “Arrigite aures Physici” – (fr:914) [Drizzate le orecchie, fisici], poiché si prepara a invadere la loro provincia.

Il capitolo XXXIII trae le conseguenze fisiche: le distanze dal centro dell’eccentricità sono le cause che dispensano i ritardi (fr:916); tali cause risiedono nel termine comune a tutte le distanze, ossia nel centro del sistema planetario (fr:917). Attraverso dimostrazioni probabili e geometriche, si stabilisce che il corpo del Sole è in quel centro (fr:918‑919), e di conseguenza “virtutem motricem seu morarum dispensatricem esse in corpore Solis” – (fr:919) [la virtù motrice, o dispensatrice dei ritardi, risiede nel corpo del Sole]. Di passaggio si inferisce che il Sole è immobile al centro del mondo e che la Terra gli ruota intorno (fr:920). Keplero avverte che queste speculazioni fisiche, benché appoggiate sul moto della Terra, sono dedotte altrove e valgono sia nell’ipotesi di Brahe sia in quella di Copernico; anzi, proprio esse edificano ora il moto terrestre e la quiete solare (fr:921‑922). La virtù motrice viene trattata come la luce: “Virtutem motricem plane ut Lucem, recipere quantitates, extenuarique in majori ambitu, condensari in minori” – (fr:923) [La virtù motrice, proprio come la luce, riceve quantità e si attenua in un ambito maggiore e si condensa in uno minore]. Infine, ciò che muove i pianeti è dichiarato una specie immateriale di quella virtù che è nel Sole, simile alla specie immateriale della luce (fr:924).

Proseguendo la speculazione fisica, il capitolo XXXIV descrive quella virtù come un fiume o un vortice che percorre l’ampiezza del mondo più velocemente dei pianeti stessi (fr:925‑926); dimostra che il Sole ruota su se stesso e ne indaga il periodo (fr:927); e prova che il corpo solare è quasi magnetico, portando l’esempio della Terra e affermando che esistono magneti in cielo (fr:928‑929).

Le obiezioni vengono affrontate nei capitoli XXXV‑XXXVI. La prima chiede se il moto degli astri sia impedito dall’interposizione di corpi come accade per la luce (fr:930). Keplero risponde con principî ottici, negando che si debba partire da un punto o una linea per calcolare l’effetto fisico, e mostra che il modo di diffusione della luce è pienamente commisurato alle distribuzioni dei moti planetari (fr:933‑937). La seconda obiezione sostiene che la luce, diffondendosi anche verso i poli, sarebbe inadatta a essere compagna del moto; la soluzione, geometricamente dedotta dai principî fisici assunti, svela la causa naturale dello Zodiaco e perché i pianeti non abbandonino mai la fascia zodiacale (fr:938).

Il capitolo XXXVII applica i principî fisici alla Luna: cerca le cause della variazione braheana – che rende la Luna nuova e piena più veloce – e spiega perché l’equazione lunare sia maggiore nelle quadrature che nelle sizigie (fr:939‑941), aggiungendo altre considerazioni sulla virtù peculiare che muove la Luna (fr:942). Il capitolo XXXVIII dimostra, attraverso i moti di longitudine e latitudine, che ogni pianeta possiede, oltre alla comune forza motrice solare, cause motrici proprie che ne dispensano il moto (fr:943).

Il capitolo XXXIX infine introduce sei assiomi fisici necessari per investigare la virtù attribuita singolarmente a ciascun pianeta. Dominano due opinioni preconcette: l’orbita planetaria è disposta in un circolo perfetto, e il percorso è governato da una Mente. Keplero disputa come tale Mente possa produrre un circolo dal moto del pianeta e dimostra che ciò sarebbe possibile se una virtù propria spingesse il corpo lungo un epiciclo perfetto mentre il corpo è al contempo rapito dalla virtù solare (fr:945‑947); a questo modo, tuttavia, vengono opposti cinque assurdi fisici (fr:948).

L’insieme di questi capitoli restituisce la struttura argomentativa dell’Astronomia Nova: dalla confutazione geometrica delle vecchie ipotesi, attraverso la determinazione empirica dell’eccentricità e dell’afelio terrestre mediante Marte, fino all’edificazione di una dinamica celeste incentrata su una virtù motrice solare di natura quasi luminosa e magnetica, che prepara il terreno alla legge delle aree e all’abbandono definitivo del cerchio a favore dell’ellisse.

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9 L’abbandono del cerchio e la nascita dell’orbita ovale: la rivoluzione fisica e geometrica di Keplero

Il testo espone il cuore pulsante dell’Astronomia Nova di Keplero: la drammatica demolizione del dogma dell’orbita planetaria perfettamente circolare, condotta attraverso un intreccio serrato di confutazioni fisiche e dimostrazioni geometriche, fino all’inevitabile e rivoluzionaria conclusione che la traiettoria di Marte è una figura ovale.

Il passo si apre con una critica radicale all’idea che un pianeta possa percorrere un cerchio perfetto. Vengono esaminate e respinte diverse ipotesi, in un crescendo di confutazioni. Si parte dalla possibilità che il pianeta osservi un punto fisso esterno al Sole, un’idea bollata come assurda: “Verum et haec certi puncti incorporei observatio refutatur tribus absurdis.” - (fr:950) [In verità anche questa osservazione di un punto fisso e incorporeo è confutata da tre assurdità.] Si prosegue con l’ipotesi di una forza propria del pianeta che lo faccia librare lungo il diametro di un epiciclo verso il Sole, ma si dimostra subito l’impossibilità di descrivere librazioni che rispondano correttamente agli archi dell’eccentrico e ai tempi: “At simul ostenditur non posse describi justas librationes a Planeta, si versetur is in Epicycli diametro” - (fr:952) [Ma allo stesso tempo si mostra che il pianeta non può descrivere le corrette librazioni, se si muove sul diametro dell’epiciclo].

La confutazione si spinge fino a negare che una “Mente” planetaria possa concepire un eccentrico o un epiciclo immaginario per regolare le distanze necessarie a un’orbita perfettamente circolare (“vinti Planetae propriam Mente quodammodo concipere imaginarium Eccentricum…” - (fr:953)). Il dubbio si insinua quindi in modo pervasivo: se l’orbita è un cerchio perfetto, su quale norma la mente del pianeta regola le proprie librazioni? (“manet in dubio, ad quam normam Mens Planetae propria librationes has sui corporis expendat” - (fr:955)). Viene quindi proposta un’alternativa sorprendente e fisicamente plausibile: la mente del pianeta non guarda a costrutti geometrici astratti, ma al diametro apparente del Sole, usandolo come argomento diretto della propria distanza dalla sorgente di luce e motore del sistema.

Tuttavia, l’autore non si ferma a una semplice discussione qualitativa. Il fine ultimo di queste speculazioni è esplicitamente dichiarato: minare la fede nell’orbita perfettamente circolare e nella mente che la governa, usando dapprima argomenti fisici per insinuare il dubbio, per poi confutarla definitivamente con la geometria. “illud unicè agitur, ut opinio, quae hactenus erat praeconcepta, de itinere Planetae perfecte circulari (partim etiam de gubernatrice librationis hujus Mente) in dubium vocaretur rationibus Physicis; paulo post penitus convellenda Geometricis” - (fr:962) [si mira unicamente a questo: che l’opinione finora preconcetta sul percorso perfettamente circolare del pianeta (e in parte anche sulla Mente che governa questa librazione) sia messa in dubbio con ragioni fisiche, per essere poco dopo del tutto sradicata con ragioni geometriche].

Questa strategia si dipana attraverso gli argomenti dei capitoli successivi. Viene introdotto un metodo geometrico-cardine: la misura della “mora” fisica del pianeta in un arco dell’eccentrico, che si scopre essere proporzionale all’area compresa tra l’arco e le linee che lo congiungono al Sole. “Ibi est Geometrica demonstratio, quomodo infinitorum arcus punctorum distantiae a Sole, quamproxime insint in area, quae est inter arcum et lineas, quae Solem ad terminos arcus connectunt.” - (fr:965) [Qui è data una dimostrazione geometrica di come le distanze dal Sole degli infiniti punti di un arco siano contenute, con la massima approssimazione, nell’area compresa tra l’arco e le linee che congiungono il Sole agli estremi dell’arco.] Si dimostra così una relazione intima tra l’area spazzata e la distanza dal Sole, gettando le fondamenta per la seconda legge planetaria.

Armato di questi nuovi strumenti, Keplero passa all’attacco geometrico del cerchio. Utilizzando le distanze di Marte dal Sole dimostrate in precedenza, egli dimostra rigorosamente che, se si assume un’orbita perfettamente circolare, i dati osservativi portano a conclusioni false: l’apogeo, l’eccentricità e le proporzioni risultanti sono in conflitto con l’esperienza. “Posito, iter Planetae perfectum esse circulum, et assumptis trium Eccentrici locorum distantiis… Geometrica demonstratione elicitur locus Apogaei falsus, Eccentricitas falsa, et proportio falsa.” - (fr:984) [Posto che il percorso del pianeta sia un cerchio perfetto e assunte le distanze… si deduce con dimostrazione geometrica un luogo falso dell’apogeo, un’eccentricità falsa e una proporzione falsa.]

La sintesi di queste disamine è raggiunta nel capitolo XLIV, dove la sentenza è emessa con la forza di due argomenti inoppugnabili. Il primo argomento dimostra che le distanze dedotte da un’orbita circolare non corrispondono a quelle osservate, le quali sono più brevi ai lati. “Alias quippe distantias efficit perfectus circulus… alias et quidem breviores ad latera, requirunt observationes… Sed ovalis figura admittit tales. Orbita igitur est ovalis.” - (fr:1003-1007) [Un cerchio perfetto produce infatti certe distanze… ma le osservazioni ne richiedono altre, e precisamente più brevi ai lati… Ma una figura ovale ammette tali distanze. Dunque, l’orbita è ovale.] Il secondo argomento, basandosi sulle “more” del pianeta testimoniate dall’esperienza, giunge alla stessa conclusione: la figura circolare non le ammette, mentre quella ovale sì. “Moras, de quibus experientia testatur, non admittit circularis figura, admittit vero Ovalis. Orbita igitur Planetae Ovalis est.” - (fr:1010-1011).

L’intero percorso è inframmezzato da un appassionato preambolo che costituisce una rara e vivida testimonianza della lotta intellettuale dello scienziato. Keplero invita il lettore a contemplare i pericoli della sua “milizia” e le nubi oscure da cui emergerà il Sole della verità. “nubibus Sol exit… contemplare nubes nigredine horrendas; contemplare inquam. nam post has nubes certò Sol veritatis latet, et brevi emerget.” - (fr:1015-1017) [dalle nubi esce il Sole… contempla le nubi orrende per la loro nerezza; contemplale, dico, perché dietro queste nubi si nasconde certamente il Sole della verità, e presto emergerà.] In questo contesto, egli spiega che l’idea dell’orbita ovale nacque ipotizzando un duplice meccanismo: il pianeta, mosso da una forza propria, tenta di percorrere un epiciclo perfetto, mentre viene contemporaneamente trascinato in modo non uniforme dalla forza esterna del Sole. “Explicantur igitur occasiones, quae me invitarunt, ut ponerem denuo falsum, Planetam vi insita moliri Epicyclum perfectum… eundem vero Planetam rapi a vi extranea Solis, aequalibus temporibus inaequaliter… Hinc igitur demonstratur, Orbitam… evadere in figuram Ovalem.” - (fr:1018-1019).

Infine, si compie un passo di precisione definitoria cruciale. Dopo aver esplorato vari modelli per descrivere la linea del moto, si arriva a una distinzione fondamentale: la figura generata non è un’ellisse, ma una forma ovale specifica. “Demonstratur, lineam sic creatam verè esse Ovalem, non Ellipticam.” - (fr:1033) [Si dimostra che la linea così creata è veramente ovale, non ellittica.] Questa puntualizzazione, che segna una fase intermedia ma decisiva del pensiero kepleriano, apre subito nuovi problemi, come quello della misurazione geometrica dell’area di questa figura oviforme, per la quale vengono provocati i migliori geometri del tempo: “Ostenditur necessariam esse etiam Geometricam sectionem illius areae Oviformis in data ratione: ubi provocantur Geometrae.” - (fr:1036) [Si mostra essere necessaria anche la divisione geometrica di quell’area oviforme in una data proporzione: qui vengono provocati i geometri.]

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10 Il faticoso cammino verso l’orbita ellittica: dall’ovale di Kepler alla linea degli absidi solare

La ricerca della vera forma dell’orbita di Marte costringe a superare l’ovale, a riconoscere l’ellisse e a collocare il centro del Sole – non un punto equante – sul diametro maggiore.

I frammenti presentano gli argomenti sommari di una sezione cruciale dell’Astronomia Nova di Johannes Kepler. Vi si segue il tormentato passaggio dal cerchio all’ovale e infine all’ellisse, attraverso continue verifiche geometriche e fisiche, sempre sotto il vincolo delle osservazioni di Marte. Il testo è un concentrato di autocritica: ogni scorciatoia geometrica viene abbandonata quando produce errori nelle equazioni del centro.

L’indagine prende le mosse da un’area differenziale che Kepler chiama menisco (la differenza tra l’area dell’ovale e quella di un cerchio). Di esso si tenta un’estensione rettilinea: “Meniscus, quo differt Ovalis area a circulo, in rectum extenditur Geometrice, quantum potest. Geometris proponitur contemplandum, an sic extensus duplus sit ad verum Meniscum.” – (fr:1038-1040) [Il menisco, per il quale l’area ovale differisce da un cerchio, viene esteso in retto geometricamente, per quanto possibile. Si propone ai geometri di considerare se, così esteso, sia il doppio del vero menisco.] Poiché non è agevole dividere un’ellisse isolata, si mostra come utilizzare un cerchio per sezionarla comodamente: “Cum non sit in promptu ratio dividendi Ellipsin vel Ovalem per se solitariam; demonstratur, Ellipsin beneficio circuli commode dividi posse.” – (fr:1042) [Poiché non è disponibile un metodo per dividere un’ellisse o un’ovale isolatamente, si dimostra che l’ellisse può essere comodamente divisa con l’aiuto di un cerchio.] Sulla base di ellisse e cerchio divisi si calcolano distanza ed equazione; il computo dell’equazione per l’anomalia 90° è espresso in numeri del quadrato del diametro.

Presto emerge l’insufficienza dei procedimenti puramente areali. Per eliminare “le imperfezioni della geometria” del Capitolo XLVI, Kepler si rifugia dalle aree alle sezioni numeriche della circonferenza ovoidale (fr:1056). Insegna allora come, a partire da distanze corrispondenti a particelle di tempo uguali, si possa ricercare geometricamente la porzione di percorso ovale, supposta nota la lunghezza totale dell’ovale. Tre espedienti vengono descritti e criticati: l’uso della distanza del punto medio di un arco al posto delle due distanze estreme; l’avvicinamento al centro dell’eccentrico e il calcolo dell’angolo al centro e poi di quello al Sole; infine una via che si serve di due cerchi e delle loro medie. Qui si legge un passo rivelatore sul rapporto tra ellisse e cerchio: “Dantur enim duo circuli, eorumque duo media, alterum Arithmeticum, alterum Geometricum, quorum illo major circulus efficitur, hoc minor. Duobus igitur argumentis, Ellipsis probatur aequalis medio Arithmetico: altero communiori a contractu extremorum; altero Geometrico plane, quo demonstratur Ellipsis certo superare minus medium; igitur aequare majus medium probabile.” – (fr:1065-1066) [Sono dati infatti due cerchi, e le loro due medie, una aritmetica e una geometrica, con la prima si genera un cerchio maggiore, con la seconda uno minore. Con due argomenti, pertanto, si prova che l’ellisse è uguale alla media aritmetica: il primo, più comune, dalla contrazione degli estremi; il secondo, prettamente geometrico, con cui si dimostra che l’ellisse supera certamente la media minore; quindi è probabile che eguagli la media maggiore.] L’ellisse viene così collocata tra i due cerchi, e identificata con la media aritmetica solo in via probabile. Un ulteriore modo di procedere, che trascurava gli effetti di ingrandimento visivo e di accorciamento degli archi ellittici, è dimostrato non valido perché le compensazioni parziali non si verificano.

Poiché neppure questi metodi basati sull’ovale eliminano gli errori, Kepler decide di tornare alle cause fisiche (Cap. XLIX). Si rimprovera al procedimento precedente di aver trasposto l’epiciclo sull’eccentrico, mescolando la virtù propria del pianeta con quella proveniente dal Sole. Viene perciò ripreso l’epiciclo con il concentrico e applicate le cause fisiche del Capitolo XLV come fondamento per ricercare le equazioni. Nondimeno, le equazioni costruite su questa base risultano ancora viziate, il che conduce a un verdetto tagliente: “concluditur, peccare Hypothesin ipsam cap. XLV” (fr:1091-1092) [si conclude che l’ipotesi stessa del capitolo XLV è in errore].

Il Capitolo L espone sei diversi tentativi di ricavare l’equazione dalle distanze stesse. Essendo certo (dal Cap. XXXIII) che i ritardi dipendono dalle distanze, e poiché esistono tre anomalie – temporale, dell’arco eccentrico e angolare al Sole – Kepler assegna a ciascuna delle 360 parti uguali una propria distanza, generando tre classi di terze proporzionali. Da qui sei modi. Nel primo e nel secondo, basati sulle distanze dell’anomalia eccentrica, si imbatte in una proprietà geometrica sorprendente: “Summa enim 360 linearum tertiarum aequavit summam 360 radiorum, seu primarum linearum. Id proponitur Geometris demonstrandum.” – (fr:1103-1104) [La somma di 360 linee terze eguagliò la somma di 360 raggi, ossia delle linee prime. Si propone ai geometri di dimostrarlo.] Il confronto globale svela la logica dei modelli: “Quatuor vero reliqui coincidunt cum modis capitum praecedentium, ex quibus duo (secundus et tertius) ponunt iter Planetae esse circulum, duo vero (primus et sextus) transferunt distantias, et ovale iter praestant, ex sententia capitis XLV. Et quantum illi excessu, tantum hi peccant defectu: habentque veritatem in medio.” – (fr:1107) [I quattro rimanenti coincidono con i modi dei capitoli precedenti, dei quali due pongono che il percorso del pianeta sia un cerchio, mentre due trasferiscono le distanze e producono un percorso ovale, secondo il parere del capitolo XLV. E quanto quelli errano per eccesso, tanto questi errano per difetto: e la verità sta nel mezzo.]

Stabilita la viziosità dell’ovale, Kepler verifica se esso fallisca anche nel riprodurre le distanze (Cap. LI). Utilizzando unicamente le osservazioni e le distanze Sole-Terra dimostrate nella terza parte, ottiene le distanze di Marte dal Sole in numerosi punti dell’eccentrico, scelti a coppie simmetriche rispetto all’afelio. Viene così confermato l’afelio e messa alla prova l’ipotesi vicaria. Dal confronto scaturisce la dimostrazione che punti egualmente distanti dall’afelio sono equidistanti dal Sole, ma non da qualsiasi altro punto fuori dalla retta che unisce il Sole all’afelio. Di conseguenza la linea degli absidi di Marte passa per il corpo del Sole, altrimenti l’eccentrico sarebbe diviso in due segmenti disuguali – cosa che le osservazioni smentiscono. Ciò porta a un rigetto del punto equante di Copernico: “Eodem modo demonstratur, cum Sol sit in Eccentrici Ovalis diametro longiore, punctum igitur Solis vicarium, super quo COPERNICVS extruit Eccentricum, esse extra illam longiorem diametrum. At verisimile nequaquam esse, ut Eccentrici Ovalis alia sit linea Apsidum quam longior Ovalis diameter: igitur lineam Apsidum non praeter Solem transire: et sic omnium Planetarum lineas Apsidum in ipso centro Solis concurrere, non in puncto aliquo medii loci Solis.” – (fr:1116-1117) [Allo stesso modo si dimostra che, essendo il Sole sul diametro maggiore dell’eccentrico ovale, il punto vicario del Sole su cui Copernico costruisce l’eccentrico è fuori da quel diametro maggiore. Ma non è affatto verosimile che la linea degli absidi di un eccentrico ovale sia diversa dal diametro maggiore dell’ovale: quindi la linea degli absidi non passa oltre il Sole; e così le linee degli absidi di tutti i pianeti concorrono nel centro stesso del Sole, non in un qualche punto del luogo medio del Sole.] Viene poi presentato un metodo peculiare per le distanze di Marte prossime all’opposizione (Cap. LIII), dove si valuta l’errore massimo nella distanza.

Dopo un’attenta raccolta delle dimostrazioni sparse (Cap. LIV) e la costituzione della proporzione tra eccentricità e orbite, l’opera ritorna infine sulla strada abbandonata nel Capitolo XLV. L’ultimo frammento – “Inductione enim omnium demonstratur, uti circulus capite XLIV…” – allude al momento decisivo: per induzione di tutto quanto esposto, si dimostra che l’orbita non è né cerchio né ovale ma, come il cerchio del Cap. XLIV, si trasforma in ellisse. Qui si sigilla il passaggio storico dall’astronomia dei moti circolari uniformi alla dinamica celeste ellittica, con il Sole collocato fisicamente in uno dei fuochi e le leggi che legano aree e tempi finalmente in via di formulazione. Il testo conserva intatta la tensione tra rigore geometrico ed esigenza fisica, restituendo la testimonianza viva di una scoperta che si costruisce per confutazioni successive.

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11 Dalla falsificazione dell’ovale alla librazione fisica: un percorso argomentativo

Il testo costituisce la testimonianza serrata di un’indagine scientifica colta nel suo vivo farsi, un resoconto in cui la confutazione di un modello geometrico (l’orbita ovale) diventa la premessa per l’elaborazione di una nuova dinamica celeste, interamente fondata su cause fisiche. L’autore ripercorre le tappe di un ragionamento che, partendo dal fallimento predittivo dell’ipotesi ovale, approda a una teoria della librazione planetaria governata da facoltà naturali analoghe a quelle magnetiche, per poi concludere con la genesi di un errore fecondo: l’orbita “buccosa”.

L’argomentazione si apre con la constatazione di un duplice fallimento del modello ovale precedentemente elaborato. Il primo argomento, “Argumenta duo sunto Alterum à distantiis ductum” – (fr:1129) [Gli argomenti siano due. Il primo tratto dalle distanze], mostra come le distanze osservate e quelle calcolate a partire dall’ipotesi dell’ovale (Cap. XLV) divergano sistematicamente: “Et ostenditur observatas esse longiores” – (fr:1135) [E si dimostra che quelle osservate sono più lunghe]. Il secondo argomento è ricavato dalle equazioni del moto: “Alterum argumentum sumitur ab aequationibus” – (fr:1136) [Il secondo argomento è tratto dalle equazioni]. Se le equazioni calcolate con il modello del cerchio (Cap. XLIII) erravano in una direzione, quelle derivate dall’ovale (Cap. XLV-XLIX) erravano in misura uguale nella direzione opposta: “tantundem peccabant in partem alteram” – (fr:1144) [peccavano in egual misura nella parte opposta].

Viene quindi enunciata la soluzione geometrica che scaturisce da questa doppia confutazione: le distanze del pianeta non devono essere calcolate a partire dalla circonferenza dell’epiciclo, ma dal suo diametro. “Hinc jam demonstratur, distantias […] sumendas esse ex Epicycli diametro” – (fr:1145-1149) [Di qui ormai si dimostra che le distanze […] si debbono ricavare dal diametro dell’epiciclo].

Chiarito il vero effetto geometrico, il discorso si sposta sul piano delle cause, in una sezione densa di implicazioni che rappresenta il cuore speculativo del testo. “jam patefacto genuino effectu, instaurantur illae rationes Physicae” – (fr:1152) [una volta svelato l’effetto genuino, si ripristinano quelle ragioni fisiche]. Si stabilisce un’analogia stringente tra il pianeta e un magnete, postulando due facoltà distinte: “altera directionis, altera appetentiae” – (fr:1159) [l’una di direzione, l’altra di appetenza]. La facoltà di direzione orienta il pianeta verso le stelle fisse e presiede al moto e alla posizione dell’afelio; quella di appetenza lo rivolge al Sole e governa l’eccentricità. La natura dell’opera di direzione resta in dubbio, “initio in dubio relinquo, sitne Mentis an Naturae” – (fr:1161) [in un primo momento lascio in dubbio se sia propria della Mente o della Natura], mentre l’appetenza è saldamente attribuita alla Natura.

L’autore si sforza poi di dimostrare come la librazione osservata possa essere prodotta da cause fisiche, ricorrendo al principio della stadera e a una proporzionalità della forza appetitiva con il seno retto dell’anomalia coequata. “sinum rectum anomaliae coaequatae metiri fortitudinem appetentiae” – (fr:1166) [il seno retto dell’anomalia coequata misura la forza dell’appetenza]. La misura della librazione compiuta è invece individuata nel seno verso dell’anomalia dell’eccentrico: “nempe sinus versus anomaliae non coaequatae sed Eccentri” – (fr:1170) [ossia il seno verso dell’anomalia non coequata, ma dell’Eccentrico]. Il ragionamento non nasconde le difficoltà; vengono esplicitamente sollevate due obiezioni, che l’autore si premura di risolvere mostrando come le apparenti discrepanze tra le somme dei seni nei due semicircoli trovino una coerenza fisica nel diverso tempo impiegato dal pianeta e, quindi, nel diverso dispendio di forza.

Il dibattito tra Mente e Natura come principio motore della librazione viene riacceso e portato a compimento. Si esamina la possibilità che una Mente planetaria possa misurare l’incremento del diametro solare apparente e la forza corrispondente, “ostenditur probabile esse, Mentem Planetae comprehendere posse sinum (id est Physice fortitudinem) anguli hujus” – (fr:1195) [si dimostra essere probabile che la Mente del Pianeta possa comprendere il seno (cioè fisicamente la forza) di quest’angolo]. Tuttavia, la conclusione finale è netta: “concluditur denique pro Natura, repudiata Mente” – (fr:1197) [si conclude infine a favore della Natura, ripudiata la Mente]. L’argomento decisivo è l’incertezza geometrica ineliminabile se si ammette il ministero di una mente, una possibilità che pure avrebbe potuto fornire una comoda spiegazione per il progresso degli afeli.

Il resoconto si chiude con una nota di onestà intellettuale. Trovata la vera ragione della librazione, l’autore rivela come essa, combinata con il moto di circumlazione, possa generare un’orbita di forma “buccosa”, e confessa come proprio un verosimile errore lo abbia condotto in passato a quella forma: “et quomodo per verisimilem errorem in hanc buccosam inciderim” – (fr:1213) [e in che modo per un verosimile errore io sia incappato in questa (orbita) buccosa]. L’errore viene ora smascherato proprio grazie alle equazioni, laddove in precedenza, quando si errava simultaneamente su distanze ed equazioni, esso poteva rimanere celato.

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[5.1/1-32-1401|1431]

12 La Confutazione delle Spirali Planetarie e la Separazione delle Disuguaglianze

Il testo descrive il percorso analitico che, partendo dall’osservazione dei moti planetari, in particolare di Marte, porta a svelare l’inadeguatezza dei modelli cosmologici di Tolomeo e Tycho Brahe, culminando nella soluzione eliocentrica copernicana. Il nucleo dell’argomentazione risiede nella natura del moto retrogrado dei pianeti e nella meticolosa separazione delle anomalie ottiche da quelle fisiche.

L’osservazione empirica dei moti celesti mostrava un ordine preciso nei fenomeni di retrogradazione. Si notava infatti che gli spettacoli di “arretramento” e di variazione luminosa si spostavano attraverso i segni zodiacali con un ordine che andava “ab occidentis plaga per meridianam in orientalem tenderet” - (fr:1401) [dalla plaga occidentale, attraverso quella meridionale, verso oriente]. Questo suggeriva una dinamica legata alla posizione del Sole: i pianeti si innalzavano allontanandosi dalla Terra quando il Sole si avvicinava, per poi ridiscendere quando esso si allontanava, come chiarito in (fr:1400).

Accettando i presupposti dei modelli geocentrici di Tolomeo e Tycho Brahe, che volevano la Terra immobile e il Sole in moto annuo reale attraverso lo zodiaco, si giungeva a una conseguenza geometrica inevitabile. I percorsi dei tre pianeti superiori non potevano che essere descritti come veri moti a spirale nell’etere, non semplici spire ordinate come un gomitolo, ma intricate e mai chiuse su sé stesse, paragonate alla figura di un dolce quaresimale: “sed verius in figura panis quadragesimalis, in hunc fere modum” - (fr:1405). Di tale complessità, se la Terra fosse stata davvero statica, la continuazione di queste spire sarebbe stata un compito intricato, poiché la loro connessione è “infinita est, nunquam in se ipsam recurrens” - (fr:1407). Questa inestricabile complessità è condensata nella mappa del moto di Marte tra il 1580 e il 1596, descritta come “accurata delineatio” - (fr:1406) del caos richiesto dal sistema tolemaico.

A questo modello contorto, Copernico oppose una semplicità radicale. Attribuendo un singolo moto annuo alla Terra, egli spogliò completamente i pianeti di queste “spiris hisce perplexissimis” - (fr:1411), collocando ciascuno di essi in orbite “nudissimas” e quasi circolari. La differenza è quantificabile: mentre Marte, nel diagramma geocentrico, percorre nove volute intricate verso il centro, la Terra, nel modello copernicano, compie sedici ricorrenze del proprio cerchio.

L’analisi prosegue approfondendo la natura delle irregolarità osservate nelle retrogradazioni. Gli “snodi” delle spire planetarie non erano uniformi: gli archi di retrogradazione e i tempi impiegati variavano in modo non proporzionale e senza un incremento luminoso costante. L’osservazione cruciale fu che esisteva una regolarità sottostante: per ciascun pianeta vi era un segno zodiacale a partire dal quale, attraverso entrambi i semicicli fino al segno opposto, tutte queste quantità aumentavano progressivamente, come testimonia (fr:1415). Ciò portò alla comprensione fondamentale che in ogni pianeta si confondevano due distinte disuguaglianze: una legata al ritorno del pianeta allo stesso segno zodiacale, l’altra al ritorno del Sole in congiunzione col pianeta.

Per indagare cause e misure era imperativo separare queste disuguaglianze confuse. Si decise di iniziare dalla prima, ritenuta più costante e simile a quella osservata nel moto solare. L’unico metodo per isolarla era osservare i pianeti nelle notti in cui sorgevano al tramonto del Sole, da cui il termine “acronici”. La scelta del punto di riferimento per questa separazione divenne oggetto di un disaccordo cruciale. Mentre Tolomeo, seguito convenzionalmente da Copernico e Tycho, usava il moto medio del Sole per semplificare i calcoli, ritenendo la differenza con il moto apparente non rilevabile dalle osservazioni, l’autore del testo dissente radicalmente. Egli stabilisce come punto di riferimento il luogo apparente e il corpo stesso del Sole, promettendo di dimostrare che questa scelta conduce a una statuizione dell’orbita planetaria nell’etere completamente diversa da qualsiasi opinione celebre sul mondo, una dimostrazione che si fonda sull’equivalenza delle ipotesi.

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[6.1/1-107-1440|1540]

13 L’equivalenza delle ipotesi e le cause fisiche dei moti planetari nel De Motibus Stellae Martis

Kepler esamina l’identità geometrica tra eccentrico ed epiciclo su concentrico per la prima anomalia, discute la natura fisica dei moti celesti contro il sistema aristotelico delle sfere solide, e mostra come ipotesi diverse possano descrivere il medesimo percorso reale del pianeta.

Il testo, tratto dal Capitolo II del De Motibus Stellae Martis, si apre con la dimostrazione tolemaica della semplice equivalenza tra un eccentrico e un epiciclo collocato su un deferente concentrico, già esposta da Tolomeo e Copernico (“et COPERNICO lib. III. cap. XV. demonstratam aequipollentiam hypothesium, quae pro prima inaequalitate salvanda sunt susceptae” – fr.1437-1443). La costruzione geometrica (frasi 1444-1451) stabilisce che, se l’eccentricità uguaglia il semidiametro dell’epiciclo e le linee degli apsidi restano parallele, le distanze apparenti e gli angoli risultano identici: “Dico, distantias AC, ocγ, aequales esse: sic AE, ocε … et Planetam, quamvis aequabilis motus, utrinque tamen visum iri tardum ex A α, cum est in C γ, velocem, cùm est in D ο.” – (fr.1448) [Dico che le distanze AC e oγ sono uguali, così come AE e oε …, e il pianeta, benché di moto uniforme, da A apparirà lento quando è in C, veloce quando è in D]. Kepler sottolinea che non servono parole: “Schema loquitur Geometrae.” – (fr.1451) [Lo schema parla ai geometri].

La riflessione si sposta quindi sulle cause fisiche, differenziando nettamente i due schemi: “Quod Physicam horum schematum explicationem attinet, plus alterum ab altero differt.” – (fr.1453) [Per quanto riguarda la spiegazione fisica di questi schemi, l’uno differisce non poco dall’altro]. Dopo aver riassunto il modello aristotelico delle sfere solide, con i suoi 49 orbi (o 55 secondo Callippo) mossi da motori immateriali e anime motrici – “motum aequabilissimum in orbe superiore … praestaret” – (fr.1457), Kepler ricorda che Tycho Brahe ha distrutto la solidità degli orbi: “TYCHO BRAHE certissimis argumentis soliditatem orbium destruxit” – (fr.1472) [Tycho Brahe con argomenti certissimi ha distrutto la solidità degli orbi]. Di conseguenza, i pianeti si muovono nell’etere puro come uccelli nell’aria, e occorre una nuova filosofia.

Kepler pone allora un principio fondamentale: “vim omnem, qua motus hujusmodi administrantur, ipsius Planetae corpus inhabitare, nec extra id quaerendam” – (fr.1473) [Tutta la forza che governa questi moti risiede nel corpo stesso del pianeta, e non va cercata fuori di esso]. Ma poiché il moto circolare richiede non solo una facoltà di trasporto ma anche la capacità di riconoscere la traiettoria, conclude che nel motore planetario deve albergare una specie di mente: “manifestum est, duo motoris hujus fore munia; alterum, ut facultate polleat transvectandi corporis; alterum, ut scientia praeditus sit, inveniendi circularem limitem … quod mentis opus est.” – (fr.1474) [È evidente che due sono i compiti di questo motore: l’uno, disporre della facoltà di trasportare il corpo; l’altro, essere dotato di scienza per trovare il limite circolare … il che è opera della mente]. Nessun moto perenne non retto può essere privo di un presidio mentale: “nego enim, ullum motum perennem non rectum a DEO conditum esse praesidio mentali destitutum” – (fr.1476-1477) [Nego infatti che alcun moto perenne non retto sia stato creato da Dio privo di un presidio mentale]. La definizione stessa del cerchio – “aequalitate scilicet distantiae a medio” – (fr.1490) [cioè l’uguaglianza della distanza dal centro] – esige che il motore immagini il centro e la propria distanza da esso (fr.1494-1496). Kepler ammette che queste speculazioni fisiche sono provvisorie: “Haec explicavi ὑποθετικῶς, si nempe Astronomia de schematibus his testetur, quod iter Planetae sit talis perfectus circulus eccentricus; quae si quid aliud invenerit, speculationes quoque Physicae mutabuntur.” – (fr.1509) [Ho spiegato ciò in via ipotetica, se cioè l’astronomia attesta che il percorso del pianeta è un perfetto cerchio eccentrico; se troverà qualcosa di diverso, anche le speculazioni fisiche cambieranno].

Nel Capitolo III si dimostra l’equivalenza e la cospirazione di diverse visioni nella formazione del medesimo itinerio planetario. Si costruiscono cerchi e si varia la posizione dell’occhio (da ο ad α), mostrando che “manente itaque via sideris eadem, oculo vero translato ex ϛ in α, diversae sequentur apparentiae, idque iisdem temporum momentis” – (fr.1526) [Rimanendo identica la via dell’astro ma spostando l’occhio da ϛ ad α, ne seguiranno apparenze diverse, e negli stessi istanti di tempo]. L’utilità pratica è notevole: se la prima anomalia dei pianeti superiori potesse essere salvata con l’ipotesi semplice del Capitolo II, “nulla oriretur difficultas, sive quis hanc inaequalitatem examinaret in media sive in apparenti oppositione cum Sole” – (fr.1532) [non sorgerebbe alcuna difficoltà, sia che si esamini questa disuguaglianza nell’opposizione media sia in quella apparente col Sole]; il percorso reale resterebbe lo stesso e il pianeta si troverebbe nei medesimi punti a ogni istante (fr.1533).

Il Capitolo IV avverte però che l’equivalenza perfetta vale solo per l’ipotesi semplice. Tolomeo, per rendere conto della prima anomalia dei pianeti, adotta un’ipotesi più laboriosa: “Verum PTOLEMAEVS ad Planetarum primam et simplicem inaequalitatem demonstrandam operosiori utitur hypothesi.” – (fr.1537). Il testo introduce così la costruzione di un eccentrico con equante, segnando il passaggio verso modelli più complessi che Kepler dovrà affrontare.

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[7.1/1-139-1692|1825]

14 L’aequipollentia delle ipotesi e la variazione delle apparenze nel primo moto di Marte

Per conservare l’identità del percorso planetario non si può mantenere la medesima forma dell’ipotesi quando muta il punto di osservazione; il punto equante deve restare fisso, e la distinzione fra ritardazione fisica e ottica diviene criterio decisivo.

Il capitolo s’interroga su come la stessa disposizione dei circoli – restando «reipsa una eadem (vel proxime una et eadem)» – possa generare spettacoli differenti a seconda che il pianeta venga osservato in opposizione media o apparente al Sole («CAPVT V QV ATENVS HAEC QVOQVE DISPOSITIO ORBIVM … DIVERSA VNO ET EODEM MOMENTO SPECTACVLA EXHIBERE POS SIT, PROVT PLANETAE VEL IN MEDIA VEL IN APPARENTE OPPOSITIONE CVM SOLE OBSERVENTVR» – fr:1689). L’indagine si articola in due modi: uno in cui la forma tolemaica e quella copernicana sono equipollenti, l’altro – più estraneo allo scopo – peculiare della sola forma copernicana, che viene liquidato per primo («Fit duobus modis: uno, in quo aequipollent forma Ptolemaica et Copernicana: altero, qui peculiaris est formae Copernicanae; quem ut alieniorem a nostro instituto prius expediemus» – fr:1688).

La forma copernicana di partenza descrive un eccentrico il cui raggio è pari alla semidiametro dell’epiciclo maggiore; il centro dell’epiciclo minore percorre l’eccentrico, non la stella («sic ut e:1~ eccentricum percurrat non stella sed centrum epieycli stellam ferentis» – fr:1694). Kepler dichiara di aver espresso quella forma e di volerne istituire un’altra equivalente quanto alla verità del percorso planetario, ma capace di restituire un’apparenza diversa, «idque praestabimus translatione Opoc» (fr:1697‑1698). Il termine “eccentrico” assume qui un’accezione speciale (fr:1699).

Spostando il punto di vista fuori dalla linea degli apsidi, si traccia una nuova linea apsidale e si colloca il pianeta nell’epiciclo mediante un angolo doppio; in tal modo «ad unguem eadem veritas manet compositi itineris Planetarii, apparentia vero mutatur» (fr:1704‑1707). Le linee visorie, ora inclinate, vanno a cadere in luoghi diversi sotto le stelle fisse, mentre se fossero parallele la differenza non sarebbe sensibile, a meno che la distanza fra le parallele non sia ragguardevole rispetto alla sfera delle fisse (fr:1708‑1711). In una prospettiva fisica, per ottenere l’identità del percorso a fronte dell’apparenza cangiante occorrerebbe addirittura che l’intelligenza motrice dell’epiciclo minore guardasse a un differente punto della circonferenza rispetto a quella dell’epiciclo maggiore («hoc quoque ad impetrandam hanc itineris identitatem in variata apparentia erit statuendum; mentem, cui minor epicyclus est commissus, ad aliud punctum ambitus respicere quam mentem majoris epicycli» – fr:1714). Se si vuole riprodurre la stessa forma ipotetica nella seconda posizione, il percorso planetario effettivo muta (fr:1717‑1718). Da ciò si inferisce che «non posse neri, ut prima inaequalitas expendatur aeque in media ac in apparenti oppositione Planetarum … cum Sole: nisi simul vel ipsa orbita Planetae situ suo emoveatur … vel mutetur forma Ptolemaica capitis IV» (fr:1721‑1723).

Una digressione storica mostra l’uso concreto di queste trasposizioni: Maestlin adoperò tale schema per compilare la tavola del capitolo XV del Mysterium Cosmographicum (fr:1724). Copernico, traducendo le ipotesi tolemaiche nella sua forma generale, fingeva il visus in un punto prossimo al Sole, distante dal centro del corpo solare quanto l’intera eccentricità dell’orbita solare; Kepler, dovendo adattare Copernico alla materia del proprio libro, trasferì invece il visus «in ipsissimum centrum corporis Solaris per imaginationem» (fr:1725‑1727). Lo spostamento della linea degli apsidi produsse una differenza trascurabile nel libretto, ma in seguito Kepler rinuncia all’eccentrico copernicano – che non descrive il percorso reale della stella, bensì quello del centro dell’epiciclo – perché «Differt enim ab ipsissimo itinere Planetae, quod altius fit in perigaeo, humilius in apogaeo» (fr:1730‑1731). D’ora in avanti userà “eccentrico” solo per designare il vero percorso della prima ineguaglianza, ossia l’eccentrico tolemaico (o pressoché tale) in cui il calcolo dell’equazione si scosta al massimo di due minuti da quello copernicano ed è più semplice e aderente alla natura (fr:1732‑1738). Resta comunque lecito, grazie all’equipollenza, sottintendere il ciclo eccentricocopernicano (fr:1739).

La seconda parte del capitolo affronta il metodo comune per stabilire l’equipollenza, dimostrandolo in forma tolemaica (fr:1740‑1741). Viene disegnato l’eccentrico con centro ~, linea apsidale L~, visus in ex e punto equante y; fisicamente, più che un visus, in ex va collocata la virtus movens che imprime al pianeta la variazione di velocità (fr:1742‑1745). Dalle osservazioni astronomiche si possono ricavare gli angoli misurati da ex e da un secondo punto ~, e questi risultano compatibili con ipotesi di uguale forma ma diversa eccentricità (fr:1750‑1752). Poiché il pianeta percorre in cielo un solo e identico itinerario, non può apparire con moto uguale ai due osservatori: l’arco LYj, compiuto in venti giorni, appare maggiore da ex che da ~ per ragioni ottiche, e la periodicità costante impone che la lentezza venga compensata da altrove (fr:1753‑1760). Tuttavia la vera lentezza fisica si manifesta in un unico luogo dell’orbita, mentre la lentezza ottica si verifica nel punto più lontano dal singolo osservatore. Se l’osservatore ex si trova sulla retta centro‑equante, le due lentezze coincidono verso L; se invece il visus si sposta in ~, la lentezza ottica migra in Yj, mentre quella fisica permane in L, e le due «altera alteram diluit, accumulanturque in locum intermedium inter LYj» (fr:1764‑1765). Un calcolo che conservasse la stessa forma d’ipotesi porterebbe a risultati contraddittori, con il pianeta tardissimo ora in un punto ora in un altro, e la forma ipotetica non potrebbe restare identica perché il centro dell’eccentrico non sarebbe più medio fra visus ed equante (fr:1766‑1769).

Se si tenta di trasferire il punto equante sulla linea mantenendo ~fL eguale a ~y, il sito del percorso resta, ma «PIaneta non in L sed in Yj fit tardissimus tarditate Physica», il che è inammissibile perché la lentezza fisica non segue l’osservatore (fr:1771‑1773). Inoltre la distribuzione temporale delle parti dell’arco viene sconvolta e l’equazione per l’osservatore in ex si altera sensibilmente (fr:1774‑1777). Neppure si può riprodurre la proporzione oc~ : ~y = o~ : ~fL senza accrescere ~fL, il che aumenterebbe l’eccentricità e vizierebbe l’equazione massima (fr:1780‑1783). Appare quindi che l’equipollenza non può essere ottenuta facendo passare la linea apsidale per il centro dell’eccentrico; è invece indispensabile conservare lo stesso punto equante y («cumque simul patuerit, quanti intersit ut idem y punctum aequantis retineatur, omnino igitur aut hac perrumpendum aut nuspiam» – fr:1784‑1785).

Se si traccia la nuova linea apsidale da o per l’antico punto equante y e si fissa il centro -& con la proporzione oc~ : ~y = o-& : -&y, il percorso planetario non rimane immutato: il nuovo eccentrico fa sì che il pianeta risulti ora più vicino ora più lontano dal visus, e l’apogeo si sposta da L a x (fr:1786‑1792). Nondimeno, questa contemperazione lascia al precedente visus in oc le sue apparenze quasi inalterate, «quod quidem hic solum quaeritur» (fr:1793‑1794).

Un esempio numerico per Marte (con valori di Brahe, anche se leggermente diversi da quelli noti) illustra il procedimento. Dati i lati ooc = 3584 (eccentricità del Sole), oy = 3°138 (eccentricità di Marte) e l’angolo ocôy = 47° 59′ (differenza fra gli apogei del Sole e di Marte), si ottiene la nuova eccentricità marziana 27971 e l’angolo oyôc = 5° 27′ 47″; l’apogeo di Marte passa da 23° 32′ 16″ del Leone a 29° 0′ 3″ del Leone (fr:1798‑1809). Assunto ~1; = 100000, ocy diventa 18034 e oy 19763; le linee -&~ vengono bipartite in proporzione 1260 : 756, ricavando i segmenti per costruire l’ipotesi tolemaica della prima ineguaglianza (fr:1810‑1813). Con queste dimensioni -&~ (o 01;) misura 1344 quando ooc vale 3584, e 880 quando ~1; è 100000 (fr:1814‑1816). Per indagare la variazione delle apparenze si usa il centro comune y come riferimento temporale: a un medesimo istante, se il pianeta percorre l’eccentrico EO si trova in E con l’equazione ae;y, se percorre l’eccentrico LI; è in L con equazione nulla. Dopo un tempo misurato dall’angolo LY~ (pari al già trovato angolo di 5° 27′ 47″), nel primo modello il pianeta è in x senza equazione, nel secondo in ~ con equazione y~oc (fr:1817‑1825). L’esempio numerico conferma che l’identità del percorso e la conservazione del punto equante possono conciliarsi soltanto attraverso un’oculata trasposizione, la quale prelude al superamento del cerchio perfetto che occuperà le parti successive dell’opera.

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[8.1/2-91-1826|1916]

15 L’Equivalenza delle Ipotesi Astronomiche: la Trasposizione del Punto di Vista e del Punto Equante

L’analisi geometrica dimostra che, variando l’ipotesi astronomica tramite la trasposizione del punto di vista o del punto equante, la discrepanza nella posizione apparente del pianeta rimane confinata entro pochi minuti d’arco, risultando trascurabile per la prima disuguaglianza.

Il testo si addentra nel cuore di una delicata questione di modellistica astronomica, esplorando le conseguenze geometriche dello spostamento del punto di osservazione o del centro dell’equante all’interno di un modello a eccentrico. L’obiettivo è dimostrare un principio di “aequipollentia”, ovvero di equivalenza pratica, tra configurazioni ipotetiche differenti.

L’analisi inizia determinando in quale punto della circonferenza la distanza tra i due eccentrici appaia massimamente sensibile all’occhio posto in un punto specifico. Tre sono i fattori che concorrono a questa sensibilità: “primùm, ut distantia se ipsa sit magna” (fr:1830) [in primo luogo, che la distanza in sé sia grande], “deinde, ut quam fieri potest recte objiciatur visui” (fr:1831) [in secondo luogo, che sia posta il più possibile direttamente di fronte alla vista], e “tertiò, ut sit propinqua ipsi [visui]” (fr:1833) [in terzo luogo, che sia vicina al punto di vista stesso]. Si procede quindi con una complessa costruzione geometrica per calcolare la differenza angolare percepita, quantificando la distanza tra i punti u e φ (uqφ). Tramite una serie di triangoli e calcoli trigonometrici, si perviene a una misura precisa: “Ergo uqφ quaesita est 692” (fr:1850) [Dunque la distanza uqφ cercata è 692]. Calcolando l’angolo sotteso da questa distanza dal punto di vista a, si ottiene un valore angolare minimo: “differentia horum angulorum 4 min. 24 sec.” (fr:1860-1861) [la differenza di questi angoli è 4 minuti e 24 secondi], formando “angulus scilicet uaqφ” (fr:1862) [ovvero l’angolo uaqφ].

Il testo prosegue chiarendo la portata di questa discrepanza. Nonostante si introduca un’ipotesi radicalmente nuova, essa rimane quasi inavvertibile dalla posizione di osservazione: “Vides igitur quam propinque relinquatur visui in a sua apparentia, etsi novum iter Planetae in coelo per translationem visus et mutationem hypotheseos supponatur” (fr:1864) [Vedi dunque quanto da vicino sia lasciata la sua apparenza alla vista in a, sebbene si supponga un nuovo percorso del Pianeta in cielo tramite la traslazione della vista e il mutamento dell’ipotesi]. Questa ambiguità è un’arma a doppio taglio: l’artefice del modello può sfruttarla per variare le proporzioni senza introdurre errori macroscopici, “ad obliterandam hanc qualemcunque quinque minutorum discrepantiam” (fr:1865) [per cancellare questa qualunque discrepanza di cinque minuti]. Tuttavia, l’Autore avverte che questa equivalenza si applica principalmente alla “primam inaequalitatem” (fr:1866) [prima disuguaglianza], mentre per la seconda disuguaglianza, come già osservato in precedenza, non si possono tollerare differenze dell’ordine di 880 o 1344 parti.

Il fulcro argomentativo si sposta poi su una variante della trasposizione. Dopo aver spostato il punto di vista (ex a in α), si dimostra che un effetto analogo si ottiene mantenendo fisso il punto di vista e spostando il punto equante (y). La costruzione geometrica è speculare: viene abolita la linea yα e dal punto a si traccia una parallela ABΓ uguale alla traslazione precedente. “erit igitur Γy translatio puncti y aequatorii, aequalis priori αa translationi visus” (fr:1878) [sarà dunque Γy la traslazione del punto equante y, uguale alla precedente traslazione del punto di vista αa]. Il risultato è, ancora una volta, una differenza minima nella posizione calcolata del pianeta, quantificata in una discrepanza angolare leggermente diversa ma dello stesso ordine: “qui prius erat 4 min. 24 sec. jam est 4 min. 43 sec.” (fr:1887-1890) [che prima era 4 min 24 sec, ora è 4 min 43 sec].

L’Autore conclude questa sezione riaffermando l’equivalenza pratica dei modelli e la sua applicabilità anche nel sistema copernicano o ticonico che impiega epicicli. La costruzione geometrica finale, che trasforma l’eccentrico con equante in un sistema di epicicli concentrici, serve proprio a visualizzare questa trasformazione che lascia “invariatum” (fr:1896) [invariato] il percorso fisico del pianeta attraverso l’etere. L’intera dimostrazione serve a preparare il terreno per il capitolo successivo, dove verrà affrontata la grande “diversitas… in viso loco Martis” (fr:1869) [diversità… nel luogo osservato di Marte] generata da queste differenti scelte ipotetiche, in particolare per la seconda disuguaglianza, che rappresenta il vero nodo problematico del negozio astronomico.

[8.2/2-91-1917|2007]

16 L’equivalenza geometrica delle ipotesi e la correzione fisica di Keplero: il Sole come centro reale della seconda disuguaglianza

Nel capitolo VI dell’Astronomia Nova, Keplero esamina l’equivalenza delle tre grandi ipotesi planetarie – tolemaica, copernicana e ticonica – per la seconda disuguaglianza, mostrando al contempo come l’uso del Sole medio anziché di quello apparente introduca un errore sostanziale e, soprattutto, come l’equante debba essere abbandonato in favore di un centro fisico reale: il Sole.

Lo scopo dichiarato è dimostrare la perfetta intercambiabilità geometrica delle tre forme, dopo aver accantonato la prima disuguaglianza per non complicare inutilmente i ragionamenti con accumuli di epicicli:

“ideo in sequentibus et hanc formam Copernicanam seu Tychonicam primae inaequalitati tributam valere jubebimus.” – (fr:1917)
[“perciò nel seguito lasceremo valere anche questa forma copernicana o ticonica attribuita alla prima disuguaglianza.”]

La seconda disuguaglianza, che si compie nella congiunzione o opposizione col Sole e non in un segno zodiacale fisso, aveva suscitato meraviglia per il comportamento dei pianeti: veloci, diretti, alti e piccoli quando uniti al Sole; retrogradi, bassi e grandi quando opposti. Gli antichi Latini attribuirono il fenomeno a una forza insita negli aspetti e nei raggi solari, ma Keplero liquida questa posizione come non astronomica e manifestamente falsa, perché i pianeti iniziano a retrogradare a distanze angolari variabili dal Sole (quadratura per Saturno, trigono per Giove, biquintile per Marte).

Tolomeo spiegò il moto con un epiciclo il cui centro è trasportato dal cerchio principale, facendo sì che il pianeta appaia retrogrado quando percorre la parte inferiore dell’epiciclo mentre il centro è all’opposizione del Sole:

“formam motus hanc esse, ut si centrum epicycli sit cum Sole, PIaneta quoque sit in epicycli summo … cum autem motus epicycli sit velocior circa suum centrum quam motus centri circa terram, hinc fieri, ut cum PIaneta partes epicycli inferiores peragrat centro epicycli versante in opposito Solis, compositione motuum revera sit retrogradus.” – (fr:1927)
[“la forma del moto è questa: quando il centro dell’epiciclo è col Sole, anche il pianeta è nel punto più alto dell’epiciclo … ma poiché il moto dell’epiciclo attorno al suo centro è più veloce del moto del centro intorno alla Terra, ne segue che quando il pianeta percorre le parti inferiori dell’epiciclo mentre il centro si trova all’opposizione del Sole, per composizione dei moti esso è realmente retrogrado.”]

Ma Tolomeo non eliminò lo stupore: restava da cercare la causa che connette tutti gli epicicli al Sole.

Copernico, con i Pitagorici e Aristarco, negò che la seconda disuguaglianza fosse reale: essa è solo apparente, prodotta dal moto annuo della Terra intorno al Sole immobile. Come il moto diurno è separato dai moti propri dei pianeti, così la seconda disuguaglianza viene separata dalla prima:

“COPERNICVSneque inesse per se neque inferri concedit extrinsecus sed affingi tantum illis per fallaciam visus.” – (fr:1934)
[“Copernico non ammette che sia insita di per sé né che venga impressa dall’esterno, ma che sia soltanto attribuita ai pianeti per un’illusione visiva.”]

Tycho Brahe, invece, immagina che i pianeti «adulano» il Sole, sforzandosi di tenerlo al centro delle loro circonduzioni mentre percorrono insieme ad esso la via solare, componendo così un moto a spirale identico a quello tolemaico:

“TYCHO BRAHE simile quid habet cum Latinis, non SoIem quidem attrahere Pianetas per aspectum, sed Planetas adulari Soli. niti enim, ut illum (quamvis euntem) in medio fere suarum circuitionum retineant, ipsos vero genuinam viam circa SoIem ordinare.” – (fr:1938-1939)
[“Tycho Brahe ha qualcosa di simile ai Latini, non che il Sole attragga i pianeti per l’aspetto, ma che i pianeti adulino il Sole: si sforzano infatti di trattenerlo (benché in moto) quasi al centro delle loro circonduzioni, e ordinano la loro vera via intorno al Sole.”]

Keplero unisce le tre forme, promettendo di dimostrarne l’equivalenza geometrica perfetta e ricordando la richiesta di Tycho morente di condurre ogni dimostrazione nella propria ipotesi. Tuttavia, l’obiettivo immediato è ben più radicale: mostrare che un grave errore si commette nella seconda disuguaglianza se si adotta il moto medio del Sole anziché quello apparente, al momento in cui il pianeta si trova in opposizione.

L’analisi prende le mosse dall’impianto copernicano. Si tracci l’eccentrico terrestre con centro nell’equante ⃰ e il Sole fisso in x. Copernico, traducendo i numeri tolemaici, calcolò le eccentricità planetarie non dal Sole ma dal punto ⃰, centro stimato dell’uguaglianza del corso terrestre. Quando la Terra e il pianeta si trovano su una linea uscente da ⃰, si supponeva che il pianeta fosse spogliato della seconda disuguaglianza. Così Copernico collocò fittiziamente il luogo della visione proprio in ⃰, facendone il punto comune di tutte le linee visive:

“Ergo punctum ~ est concursus Iinearum visoriarum omnium, et sic commune punctum fictum visionum omnium. revera autem visio hoc est tellus domicilium nostrum in circuli O”yu aliis atque aliis punctis invenitur diversis temporibus.” – (fr:1958-1959)
[“Dunque il punto ~ è il concorso di tutte le linee visive, e così è il punto fittizio comune di tutte le visioni. In realtà, però, la visione – ossia la Terra, nostra dimora – si trova in punti sempre diversi del circolo O”yu in tempi diversi.”]

Individuate le opposizioni con il Sole medio, Copernico costruì l’ipotesi della prima disuguaglianza basandosi su quel centro fittizio. Ma Keplero obietta: analizzando il moto del pianeta tra i punti X e ç, l’angolo al Sole mostra che il pianeta è realmente più lento quando è in X e più veloce in ç, senza che in X sia massima la distanza dal Sole né in ç minima. Ogni evidenza indica che il ritardo nasce dall’allontanamento dal corpo solare, l’accelerazione dall’avvicinamento:

“Contra ne cogitatione quidem comprehendi pot est, inesse vim in puncto ~ (quod caret corpore) potius quam in x omnino proximo (in quo Sol, cor mundi) quae vis Planetam pro ratione abcessus et recessus sui tarde vel velociter circumagat.” – (fr:1973)
[“Al contrario, non si può neppure concepire che risieda una forza nel punto ~ (privo di corpo) piuttosto che in x, del tutto prossimo (dove sta il Sole, cuore del mondo), forza che faccia ruotare il pianeta lentamente o velocemente a seconda del suo allontanarsi o avvicinarsi.”]

Anche ammettendo anime motrici interne ai pianeti, sarebbe insensato che esse guardassero a un punto vuoto, distante appena quattro semidiametri solari dal Sole, anziché al corpo solare stesso, dotato di grandezza e affinità geometrica col moto. Lo stesso Copernico, nel libro V, riconosce che il Sole è fisso in x e che il punto ⃰ si è spostato nel corso dei secoli, non potendo quindi fungere da centro del mondo né da riferimento per le menti motrici.

La conclusione di Keplero è netta: la linea degli apsidi per la prima disuguaglianza deve passare per il Sole stesso (x), non per l’equante:

“His adductus verisimilituclinibus conclusi, lineam apsidum, quae pro inaequalitate prima PIanetae efficienda usurpatur, non debere per ~ sed per ipsissimum x transire.” – (fr:1985)
[“Condotto da queste verosimiglianze, ho concluso che la linea degli apsidi, impiegata per realizzare la prima disuguaglianza del pianeta, non deve passare per ~ ma per lo stesso x.”]

Ciò si ottiene impiegando i luoghi planetari che il pianeta possiede nell’istante dell’opposizione con il luogo apparente del Sole:

“Tunc autem id obtinebimus, cum Ioca PIanetae sub Fixis ea adhibemus, quae PIaneta possidet in articulo oppositionis sui et apparentis Ioci Solis.” – (fr:1986)
[“Otterremo questo quando useremo i luoghi del pianeta sotto le stelle fisse che esso possiede nel momento dell’opposizione con il luogo apparente del Sole.”]

La differenza pratica è illustrata con una costruzione alle longitudini medie: quando la Terra è in l e il Sole medio in Ariete, il pianeta in Libra si oppone al Sole medio lungo la linea l ⃰, ma la linea del Sole apparente l x è spostata in conseguenza; l’opposizione apparente precede quella media e la linea visiva del pianeta (.& ~) risulta più avanzata in longitudine rispetto a quella calcolata col Sole medio. In tali posizioni intermedie al luogo osservato va aggiunta una correzione e al tempo sottratta, e viceversa nel punto opposto:

“in ~ veI .o. additur loco viso, quia .&~ magis in consequentia vergit quam l).o.’ adimitur tempori interlapso, quia .&~ est visio tempore prior quam l).o.. In opposito loco fit contrarium, tempori scilicet additur, loco adimitur.” – (fr:2005-2007)
[“in ~ o .o. si aggiunge al luogo visto, perché .&~ tende più in conseguenza di l).o.; si sottrae al tempo intercorso, perché .&~ è una visione temporalmente anteriore a l).o.. Nel luogo opposto avviene il contrario: si aggiunge al tempo e si sottrae al luogo.”]

Storicamente, queste pagine segnano il passaggio cruciale dall’astronomia geometrica a quella fisica: Keplero rigetta il punto equante come pura finzione matematica e pone il Sole – corpo reale, centro del mondo – quale origine della forza che governa le variazioni di velocità planetaria. È il fondamento su cui edificherà, di lì a poco, la legge delle aree e la traiettoria ellittica, sfruttando proprio le osservazioni dell’opposizione apparente anziché media.

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17 Oltre il Punto Matematico: La Transizione di Keplero verso una Fisica Celeste Unificata

Un’analisi serrata delle ipotesi astronomiche basate su punti e intelligenze incorporee, che culmina con la proposta di ancorare il sistema planetario direttamente al corpo fisico del Sole, gettando le basi per una riforma radicale della teoria dei moti celesti.

Il passo si configura come una serrata critica ai fondamenti dell’astronomia matematica tradizionale, in particolare quella tolemaica, e un tentativo di riformarla alla luce di nuove esigenze fisiche. L’autore contesta l’uso di entità incorporee come centri di forza motrice. La confutazione inizia con una domanda retorica: se una forza motrice risiede in un “non corpo”, come può questa da un “non corpo” effluire verso il pianeta? “Quod si etiam dividas munia, et motricum… intelligentiam unam in centro epicycli colloces, alteram in corpore PIanetae; ea quae in centro, terram (corpus nempe) respiciet… quae vero in puncto circumferentiae (nempe in corpore Planetae) circumibit centrum incorporeum et id aequaliter.” - (fr:2174) [Che se pure tu dividessi i compiti, e delle intelligenze motrici ne collocassi una nel centro dell’epiciclo, l’altra nel corpo del Pianeta; quella che è nel centro guarderà la terra (un corpo, ovviamente) e le girerà intorno in modo diseguale, mentre quella che è nel punto della circonferenza (ovvero nel corpo del Pianeta) girerà intorno al centro incorporeo e lo farà in modo uniforme.]

Questa divisione dei compiti porta a un vicolo cieco: come può un punto geometrico incorporeo muoversi e, ancor più, trasmettere movimento senza un supporto materiale? L’argomento si fa stringente: “Jam enim sustulimus hunc virtutis effluxum, divisis muniis compositi motus inter binas mentes.” - (fr:2180) [Abbiamo già eliminato questa effusione di virtù, avendo diviso i compiti del moto composto tra due menti.] L’autore estende il dubbio anche al moto eccentrico, chiedendosi se una virtù naturale possa esistere in un punto privo di corpo e, ancora più, se una tale virtù incorporea possa comunicare il moto ad un altro corpo “senza appoggiarsi a nessun corpo come a un nido”. Conclude marcando una netta separazione tra la discussione sulle gerarchie angeliche e quella sui fenomeni naturali, oggetto della sua indagine: “Disputamus enim de rebus naturalibus dignitatis Ionge inferioris… de mentibus minime sane separatis cum sint conjunctae et alligatae corporibus coelestibus vehendis.” - (fr:2185) [Discutiamo infatti di realtà naturali di dignità di gran lunga inferiore… di menti per nulla separate, essendo congiunte e legate ai corpi celesti che devono essere trasportati.]

Dopo la critica generale, l’analisi si concentra sul problema specifico della variazione del moto solare nel sistema tolemaico. L’autore interroga la logica di collegare il moto del pianeta a un punto immaginario ’Y, che “ora precede, ora segue, ora sta sopra, ora sta sotto” il Sole stesso, invece che al corpo solare. La domanda cruciale è: “aut quomodo virtus illa motum ipsius Y circa K terram percipere omnino possit, cum in ’Y corpus non sit?” - (fr:2189) [o in che modo quella virtù possa assolutamente percepire il moto di Y intorno alla terra K, se in Y non c’è un corpo?] La soluzione più verosimile è che l’epiciclo sia riferito alle linee del luogo apparente del Sole. L’analisi prosegue mostrando le conseguenze geometriche dell’adozione del moto apparente al posto di quello medio. Utilizzando il luogo apparente, il centro dell’epiciclo viene promosso o ritardato nella sua linea di moto, il che altera i tempi e, di conseguenza, la stima dell’eccentricità dell’equante, rendendola minore. “Apparet itaque quid in hac reductione a medio ad apparentem Solis motum in linea centri epicycli mutetur.” - (fr:2203) [Appare dunque che cosa venga mutato in questa riduzione dal moto medio a quello apparente del Sole nella linea del centro dell’epiciclo.]

Questa revisione geometrica porta a un nuovo sistema che, sebbene costruito diversamente, lascia quasi inalterate le osservazioni precedenti, come dimostrato nel capitolo V. L’autore introduce poi nel quadro l’ipotesi di Tycho Brahe, dove l’orbita di Marte interseca quella del Sole, rendendo la necessità di punti incorporei ancora più palese e problematica. In questo sistema, il “centro del sistema planetario” o “punto di affissione” si muove con il Sole medio. L’autore però sposta radicalmente la prospettiva: non è più un punto geometrico, ma il Sole stesso a dover essere il centro dell’orbita planetaria. L’argomento è fisico e intuitivo: “breviter, Si axis systematis Planetarii… quo ceu clavo orbes Planetarum orbi Solis annexi sunt, si hic inquam est proxime Solem, cur non in ipso Sole?” - (fr:2265) [In breve, se l’asse del sistema planetario… col quale come con un chiodo gli orbi dei Pianeti sono connessi all’orbe del Sole, se questo, dico, è vicinissimo al Sole, perché non nel Sole stesso?] La conclusione è perentoria: il centro del sistema planetario va collocato “nell’identico cammino del Sole, anzi nel Sole stesso”, e per liberare il pianeta dalla seconda anomalia bisogna usare le opposizioni con il luogo apparente del Sole, non con quello medio.

L’adozione del corpo solare come centro del moto planetario ha come effetto geometrico lo spostamento della linea degli apsidi. L’operazione viene descritta meticolosamente: tracciata la nuova linea degli apsidi dal punto di equazione D verso il nuovo centro S o G, e divisa nella stessa proporzione di prima, si ottiene un nuovo punto M, centro di un nuovo eccentrico. Questo nuovo eccentrico non solo soddisfa le osservazioni recenti, ma è in grado di salvare anche quelle precedenti con una precisione di cinque minuti d’arco. L’autore conclude questa sezione cardine con una nota personale sulla complessità del lavoro svolto, definendolo un passaggio quasi inestricabile per via dei “labirinti di opinioni” e di “perpetue ambiguità di vocaboli”, segnalando così al lettore la natura rivoluzionaria e faticosa di questa transizione concettuale da un’astronomia di punti matematici a una fisica celeste.

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18 Analisi delle osservazioni di Tycho Brahe sulle opposizioni di Marte

Keplero, nel capitolo X dell’Astronomia Nova, esamina le fondamenta osservative su cui Tycho Brahe aveva costruito i momenti di opposizione di Marte rispetto al Sole medio. Già in precedenza aveva notato che la riduzione impiegata nelle tavole, pur non superando teoricamente 1 minuto nella zona intorno a 45° dal nodo, in alcuni punti raggiungeva valori di 8 e 20 minuti: “circiter, reductio quoque circa gradum 45 a nodo omnium t maxima non superat 1 minutum, pro quo tamen tabula alicubi IIX et 20 X min.” – (fr:2708) [circa, anche la riduzione intorno al 45° grado dal nodo non supera al massimo 1 minuto, per la quale tuttavia la tavola in alcuni punti dà 8 e 20 minuti].

Per questo motivo l’ipotesi poteva errare fino a 7–9 minuti, poiché le osservazioni che facevano da fondamento avevano subito un danno da quella stessa riduzione: “Quare ob hanc quoque causam peccare potest hypothesis ad 7 et 9 minuta, eo quod observationes, quae erant fundamenti loco, per hanc reductionem nonnihil damni sunt passae.” – (fr:2710) [Perciò anche per questa causa l’ipotesi può sbagliare fino a 7 e 9 minuti, poiché le osservazioni, che erano alla base, attraverso questa riduzione hanno subito qualche danno]. Di conseguenza Keplero si sentiva molto meno ostacolato nella ricerca di una nuova ipotesi (fr:2711).

Il capitolo è intitolato “CONSIDERATIO IPSARVM OBSERVATIONVM, EX QVIBVS VENATVS EST TYCHO BRAHE MOMENTA OPPOSITIONVM CVM MEDIO SOLIS” – (fr:2712) [Considerazione delle osservazioni stesse, dalle quali Tycho Brahe ricavò i momenti delle opposizioni con il Sole medio] e Keplero precisa che Brahe gli aveva concesso l’uso delle proprie osservazioni (fr:2713). Segue l’esame di cinque opposizioni.

Prima opposizione (1580, 12 novembre, ore 10)
Marte fu posto a 8° 36′ 50″ dei Gemelli, senza alcuna menzione delle «variazioni orizzontali», termine con cui Keplero intende le parallassi diurne e le rifrazioni: “sine mentione variationum horizontalium, quo nomine parallaxes diurnas et refractiones in sequentibus intellectas volo.” – (fr:2719) [senza menzione delle variazioni orizzontali, con cui intendo in seguito le parallassi diurne e le rifrazioni]. L’osservazione è giudicata “longinqua et solitaria” (fr:2720) [antica e isolata]. Fu ridotta al momento dell’opposizione adottando il moto diurno tratto dalle tavole pruteniche (fr:2721). Keplero confronta i valori del moto in cinque giorni presso diversi autori: Maestlino indica 1° 55′, Stadio 1° 52′, generando un’incertezza di tre minuti. Perciò conclude che questa opposizione è “paulo incertiorem, quod utatur diurno non observato sed aliunde mutuato, qui ipse apud diversos authores per hos V dies tribus scrupulis a se ipso dissidet.” – (fr:2749) [un po’ più incerta, perché utilizza un moto diurno non osservato ma preso altrove, il quale presso diversi autori in questi cinque giorni differisce da sé stesso di tre minuti].

Seconda opposizione (1582, 28 dicembre, ore 11)
Il luogo osservato di Marte era 16° 47′ del Cancro. Il momento dell’opposizione assegnato da Tycho è 16° 46′ 16″ dello stesso segno, con un arretramento di meno di un minuto. In questa occasione, con l’aggiunta di un foglietto si tentò una correzione per rifrazione di 2 minuti, che Keplero interpreta come il primo abbozzo dell’opinione allora nascente sulle rifrazioni: “Hic adjectu schedae affectabatur correctio per refractionem 2 scrupulorum, quam puto fuisse rudimentum nascentis tunc opinionis de refractionibus.” – (fr:2760) [Qui con l’aggiunta di un foglietto si cercava una correzione di 2 minuti per rifrazione, che credo fosse il rudimento dell’opinione allora nascente sulle rifrazioni]. Tuttavia Tycho mantenne intatto il luogo osservato (fr:2761), ritenendo la correzione non necessaria perché il pianeta si trovava in posizione elevata e nel mezzo del cielo, dove non agisce la parallasse in longitudine: “nec opus erat, utpote in Cancro extra refractiones, et in medio coeli ubi in longitudinis parallaxis nulla est.” – (fr:2763) [né era necessario, poiché era nel Cancro lontano dalle rifrazioni e nel mezzo del cielo, dove non c’è parallasse in longitudine].

Terza opposizione (1585, 31 gennaio, ore 12)
Marte fu riposto a 21° 18′ 11″ della Vergine. Il moto diurno ricavato dalle osservazioni fu di 24′ 15″, e il momento dell’opposizione portò il pianeta a 21° 10′ 30″ dello stesso segno. Keplero nota: “Nulla parallaxeos mentio.” (fr:2780) [Nessuna menzione di parallasse]. Quanto alla rifrazione, “non erat necessarium, quia d’ altus et in M. C.” (fr:2781) [non era necessario, perché Marte era alto e in Mezzo Cielo]; nella tabella l’avvertenza sulla rifrazione fu perciò giustamente trascurata.

Quarta opposizione (1587, 7 marzo, ore 19:10)
Dalle osservazioni si dedusse che Marte si trovava a 25° 10′ 20″ dell’Aquario. Nella tabella fu mantenuta la posizione, ma l’ora dell’opposizione venne cambiata in 17:22. La differenza di 1 ora e 48 minuti, con un moto diurno di 24′, produce uno spostamento di appena 1 minuto e 48 secondi, cosicché la posizione sarebbe dovuta essere 25° 8′ dell’Aquario, più vicina all’opposizione solare; la differenza resta tuttavia “nullius fere momenti” – (fr:2796) [di quasi nessun momento].

Quinta opposizione (1589, 15 aprile, ore 12:05)
Con grande diligenza si stabilì il luogo di Marte in 3° 58′ 21″ del Cancro, dopodiché “correxerunt per parallaxin longitudinis, ut esset 3 gr. 57 min. 11 sec.” – (fr:2800) [lo corressero mediante la parallasse in longitudine, cosicché fosse 3° 57′ 11″]. Tenendo conto del moto retrogrado per le ore rimanenti (1′ 2,2″), il pianeta venne fissato in 3° 57′ 11″ del Cancro. È l’unica opposizione in cui compaia esplicitamente la correzione di parallasse.

Attraverso questa rassegna, Keplero valuta la solidità delle osservazioni che sorreggono l’ipotesi di Tycho, segnalando sia le approssimazioni accettate sia i primi tentativi di correzione per rifrazione e parallasse.

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19 Analisi critica delle osservazioni planetarie: il caso di Giove e Marte nei manoscritti post-tychonici

Il resoconto di un’analisi astronomica postuma, volta a verificare l’accuratezza delle tavole planetarie e la qualità delle osservazioni originali attraverso un esame minuzioso di dati, correzioni e discrepanze.

Il testo presenta un’analisi dettagliata e critica di una serie di osservazioni astronomiche, principalmente del pianeta Giove (indicato con il simbolo J), condotte in date specifiche alla fine del XVI secolo. Il metodo di lavoro è quello tipico dell’astronomia pre-telescopica di precisione: si parte da un’osservazione grezza, la si corregge per riportarla a un momento di riferimento (come l’opposizione), si calcola la posizione risultante e la si confronta con il valore riportato in una tavola (la “tabula”), evidenziando sistematicamente le differenze. L’unità di misura predominante è il grado (gr.), suddiviso in minuti (min.) e secondi (sec.).

La prima sequenza di osservazioni riguarda Giove. Per l’anno 1591, viene riportata una posizione iniziale: “Anno MDXCI D. VI Jun. H. XII M. XX ponitur J in 7 gr. 15 min.?” (fr:2814-2816) [Nell’anno 1591, il giorno 6 giugno, ore 12 e 20 minuti, si pone Giove a 2,7 gradi, 15 minuti?]. Dopo una correzione temporale e di moto, si giunge a una nuova posizione: “Itaque ad momentum J in 6 gr. 35 min. 31 sec.” (fr:2821-2823) [E così al momento dato Giove è in 2,6 gradi, 35 minuti, 31 secondi]. Il confronto con il dato tabulare, che per 2,6 gradi “habet” (fr:2830) [riporta] un valore di 32 minuti (fr:2828), mostra una discrepanza minima in corso di verifica.

Il processo si ripete per l’osservazione del 24 agosto 1593, dove si nota esplicitamente un vantaggio osservativo: “observato idque circa nonagesimum ubi parallaxis longitudinis nulla” (fr:2836) [osservato ciò nei pressi del nonagesimo dove la parallasse in longitudine è nulla]. Questa è un’informazione cruciale perché indica la consapevolezza e la scelta di un momento in cui un effetto perturbatore (la parallasse) è eliminato, garantendo una misura più pura della posizione. Dopo le correzioni per il tempo trascorso dall’opposizione, la posizione calcolata è “in gr. 43 min. 48 sec.” (fr:2840-2842), mentre la tavola riporta un valore leggermente diverso: “Et tabula gr. 43 min. 45 sec. habet” (fr:2844-2847) [E la tavola per 12 gradi riporta 43 minuti, 45 secondi].

Un’osservazione del 1595 introduce un elemento di critica più esplicita. Dopo aver compensato il moto, la posizione calcolata risulta “in 17 gr. 59 mi. 7 sec.” (fr:2857-2859), ma il testo annota: “Sed projectus erat in orientem ob parallaxin” (fr:2860) [Ma era stato proiettato verso oriente a causa della parallasse]. A causa di questo errore noto, gli autori della tavola sembrano aver adottato un valore diverso e corretto, basato su un’altra osservazione: “Itaque illi forsan ex alia meridiana observatione ponunt in tabula 17 gr. 56 mi. 15 se.” (fr:2861-2863) [E così quelli, forse da un’altra osservazione meridiana, pongono in tavola 17 gradi, 56 minuti, 15 secondi].

Il caso più emblematico di analisi critica è l’osservazione del 10 dicembre 1597, definita “crassae” (grossolana). Dopo aver preso un valore medio tra due misure discordanti, si calcola che al momento dell’opposizione Giove sarebbe stato in una certa posizione. La tavola, tuttavia, riporta un altro valore. La spiegazione fornita è una testimonianza storica diretta delle difficoltà pratiche dell’osservazione astronomica sul campo: “Causa observationis crassae per radium, ex tempore DJ patet. Excesserat TYCHO ex insula, relictis instrumentis praeter radium: neque tamen negligere omnino volebat hanc oppositionem.” (fr:2882-2883) [La causa dell’osservazione grossolana con il raggio è chiara dal momento. TYCHO aveva lasciato l’isola, abbandonati gli strumenti eccetto il raggio: e tuttavia non voleva affatto trascurare questa opposizione]. Segue una riflessione sull’eccezionale importanza scientifica di quell’evento mancato: “Eximia enim erat hujus oppositionis opportunitas (nec intra hominis aetatem adeo saepe recurrens) ad parallaxes Martis probandas.” (fr:2885) [Eccellente era infatti l’opportunità di questa opposizione (né entro l’arco di una vita umana così spesso ricorrente) per verificare le parallassi di Marte].

L’ultima sezione del testo sposta l’attenzione su un’osservazione di Marte effettuata in un periodo successivo, con Tycho Brahe ormai in Boemia. Vengono elencate diverse misurazioni di ascensione retta ottenute da stelle di riferimento, che mostrano una dispersione nei risultati. L’autore del resoconto conclude con una nota metodologica di grande onestà intellettuale: “Porro hanc discrepantiam ascensionum rectarum posui ideo, ut ostenderem etiam in ipsa observatione aliquot minutorum incertitudinem inesse, nisi ubique summa diligentia adhibeatur nullis destituta commoditatibus.” (fr:2904) [Ho riportato inoltre questa discrepanza delle ascensioni rette proprio per mostrare come anche nell’osservazione stessa risieda un’incertezza di alcuni minuti, a meno che non si applichi ovunque la massima diligenza senza esser privi di alcuna comodità]. La situazione non ideale è subito spiegata dalla logistica precaria: “Venerant tunc instrumenta (nec ea maxima) in Bohemiam; nec dum satis erant bene collocata et praeterea affecta ab itinere.” (fr:2905) [Gli strumenti (e non quelli più grandi) erano allora giunti in Boemia; né erano ancora stati collocati in modo sufficientemente buono e per di più erano danneggiati dal viaggio].

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20 L’indagine sulla parallasse diurna di Marte e il superamento dell’errore di Tycho Brahe

Kepler, dopo aver mostrato l’inconsistenza dei calcoli pubblici di Tycho, ricorre direttamente ai registri osservativi del 1582-1583 per dimostrare che la parallasse di Marte è in realtà trascurabile, sgombrando così il campo per la restaurazione dei moti planetari.

Kepler prosegue la ricostruzione dei moti di Marte là dove aveva interrotto, dedicando il capitolo XI alle parallassi diurne. Egli chiarisce subito perché sia indispensabile partire proprio dalla parallasse. Dalla prima parte dell’opera risulta che per eliminare la seconda ineguaglianza non basta assumere i luoghi di Marte alle opposizioni vere col Sole; occorre riportare l’arco contato sull’eclittica all’orbita reale del pianeta. Ma orbita, inclinazione e nodi “nequeunt sine parallaxi diurna cognosci, siquidem haec sit grandiuscula” – (fr:2914) [non possono essere conosciuti senza la parallasse diurna, se questa è un po’ grande]. Di conseguenza, “A parallaxi igitur incipiendum” – (fr:2915) [Dalla parallasse bisogna dunque cominciare]. Kepler promette due metodi, ma esamina anzitutto quello usuale sulle osservazioni braheane.

L’attenzione si concentra sull’opposizione del Tycho aveva condotto una campagna meticolosa, come testimonia un titolo di suo pugno per la ricerca delle parallassi di Marte, ma da quelle osservazioni “aut plane nullam aut perexiguam elicueris Martis parallaxin” – (fr:2918) [se ne ricaverebbe una parallasse di Marte o del tutto nulla o assai esigua]. Il modo di operare è rivelatore: di consueto si confrontava Marte con stelle vicine all’eclittica, ma per il moto retrogrado la stella utilizzata al mattino spesso al vespro tramontava o diventava inutilizzabile per la rifrazione, “Alia igitur substituenda fuit” – (fr:2922) [Bisognava dunque sostituirne un’altra]. Kepler sottolinea la debolezza del procedimento: “si stellae Fixae aliae aliis permutentur, semper minor fides est negotio quam si eadem retineatur” – (fr:2923) [se si scambiano stelle fisse diverse, l’impresa è sempre meno affidabile che se si conserva la medesima].

Ben più grave è la scoperta fatta esaminando il libro di calcoli. Tycho aveva ripetutamente affermato che dalle osservazioni di quell’anno risultava una parallasse di Marte notevolmente maggiore di quella solare. Kepler, volendo ispezionare a fondo l’operazione, trovò sì un titolo che prometteva di indagare la parallasse, ma “en rem inopinatam” – (fr:2926) [ecco una cosa inaspettata]: i luoghi osservati di Marte erano stati adattati a uno schema copernicano delineato con enorme fatica, risolvendo tutti i triangoli che nascevano da un doppio epiciclo su un concentrico con calcoli prolissi. Lo scopo finale era stato dichiarare che “parallaxin Martis vere fieri majorem Solari” – (fr:2929) [la parallasse di Marte risultava veramente maggiore di quella solare]. Kepler denuncia l’equivoco: “Aliud igitur BRAHEVS proposuerat, aliud ministri calculi sunt exsecuti” – (fr:2930) [Tycho aveva proposto una cosa, i suoi aiutanti di calcolo ne eseguirono un’altra]. Tycho voleva che si ricavasse la parallasse dal confronto fra osservazioni mattutine e serali; i calcolatori invece avevano calcolato quanta parallasse producesse lo schema copernicano. Se Tycho si fosse fidato solo della parola dei suoi collaboratori, resta “incompertum” a Kepler, che decide di consultare direttamente le osservazioni.

L’esame dei dati del 1582 è minuzioso. Nella notte tra il 23 e il 24 novembre le distanze di Marte dalle stelle fisse rimasero identiche a ore diverse: era una stazione. Il moto dei due giorni successivi fu di 11 e 15 minuti. La notte del 26 dicembre Marte transitò fra la seconda e la settima dei Gemelli, a distanze misurate al radio: dalla seconda 2°25′ o 2°26′, dalla settima 1°6′ o 1°7′, con latitudine 4°9′ circa. Alle ore VIII 28′ vespertine distava dall’occhio del Toro 44°41′, e la longitudine ricavata per la fine del 1582 è 17°38′ ε, con altezza di 40°50′, perciò “Extra refractionem igitur” – (fr:2960) [Fuori dalla rifrazione, dunque]. La mattina successiva, 27 dicembre alle ore VII 15′, la distanza dal cuor di Leone era 36°43’, che fornisce una longitudine di 17°28½′ ε e un’altezza di soli 14°4′, sicché “in refractione igitur” – (fr:2969) [in rifrazione, dunque].

Nell’intervallo di 10h 46½′ Marte apparve retrogradare di 9½ minuti. Poiché nei giorni 29 e 30 il moto diurno ricavato dalla distanza dal piede australe di Erittonio fu di 25 minuti in 24h 21′, e tale diurno rimase valido anche per il 27, nelle 10h 46½′ sarebbero spettati 11½ minuti. Kepler ragiona sugli effetti contrapposti di parallasse e rifrazione. La parallasse serale proietta Marte verso oriente, quella mattutina verso occidente, così dovrebbe accelerare il moto retrogrado apparente, come la parallasse lunare rallenta quello diretto. Qui invece il moto osservato è diminuito: “Nulla igitur parallaxis” – (fr:2982) [Nessuna parallasse, dunque]. È invece sensibile la rifrazione. A un’altezza di circa 13°-14° la rifrazione in longitudine, tenendo conto dell’obliquità della discesa del Cancro, ammonta al massimo a 3 minuti. Sommata ai 9½ minuti osservati si ottengono 12¾ minuti di moto libero da rifrazione, contro i 11½ attesi. L’eccesso, “1⅓ est parallaxis longitudinis utriusque observationis. quod est plane minimum infidum et contemptum” – (fr:2991-2992) [1⅓ minuto è la parallasse in longitudine di entrambe le osservazioni, il che è del tutto minimo, inaffidabile e disprezzabile]. La parallasse diurna di Marte è così ridotta a una quantità irrilevante.

Kepler cita infine un’osservazione del gennaio La sera del 16 gennaio, alle ore VII 30′, Marte distava dal piede lucido di Erittonio 23°29′ a un’altezza di 51°. Il mattino seguente, alle ore V 0′, la distanza dal cuor di Leone era 43°58′ a 15° di altezza, e “Mars per regulam apparebat exquisite cum utraque stella in eadem recta” – (fr:2998) [Marte, lungo la riga, appariva esattamente sulla stessa retta con entrambe le stelle]. Poiché Marte si muoveva su quella linea, Tycho annotò che se ne poteva trarre una parallasse in longitudine applicando il moto diurno. Fornisce quindi le distanze successive dal piede di Erittonio il 16 gennaio alle ore X ½ (23°27′) e il 17 alle ore X 31ˢ (23°12½′), lasciando intravedere il metodo con cui si cercava di isolare l’effetto parallattico.

Attraverso l’esame diretto dei registri, Kepler smonta la pretesa braheana di una parallasse marziana cospicua, mostrando che quella ricavata dai soli dati è trascurabile e che la valutazione gonfiata nasceva da una commistione fra osservazione e schema copernicano. Così facendo, libera il campo per una trattazione dell’orbita di Marte in cui la parallasse diurna non rappresenta più un ostacolo.

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21 La ricerca della parallasse di Marte tra misure dirette e correzioni strumentali

Keplero confronta distanze mattutine e serali di Marte da stelle fisse per isolare l’effetto della parallasse, trovandolo trascurabile; poi illustra un secondo metodo con i propri strumenti, segnandone gli errori.

Il testo riporta una serie di calcoli e osservazioni finalizzati a stabilire se Marte possieda una parallasse significativa. Il procedimento si basa sul costante confronto tra distanze misurate al mattino e alla sera: la variazione osservata, depurata del moto diurno atteso, fornisce un limite superiore alla parallasse stessa.

Per obbedire all’invito di Tycho Brahe, occorre innanzitutto determinare la distanza fra il piede di Erittonio e il cuore del Leone, “quae invenitur 67 gr. 21 min.” (fr:3006-3007) [che si trova essere 67 gradi e 21 minuti]. Sottraendo la distanza di Marte dalla lucida del piede di Erittonio, “23 gr. 29 min.” (fr:3008-3009) [23 gradi e 29 minuti], si ottiene la distanza di Marte dal cuore del Leone, “43 gr. 52 min.” (fr:3010-3011) [43 gradi e 52 minuti]. La sera alle ore VII tale distanza saliva a 43 gradi 58 minuti, mentre al mattino alle V era di 43 gradi 58 minuti, con una differenza di soli 6 minuti. Su un intervallo di circa nove ore, al moto diurno competono appena “5 5/s min.” (fr:3019) [5 e 5/6 minuti]; l’aggregato delle due parallassi non supera quindi “0 3/5’ nisi quod ei tantum accedit, quanta est Martis refractio longitudinis in altitudine 15 gr.” (fr:3020) [3/5 di minuto, a meno che non vi si aggiunga la rifrazione in longitudine di Marte a 15 gradi di altezza]. Un valore giudicato davvero esiguo, anche perché Cancro e Leone discendono molto obliquamente e la latitudine boreale di Marte mantiene il pianeta quasi alla stessa altezza del cuore del Leone.

Le osservazioni del 17, 18 e 19 gennaio confermano la modestia della parallasse. Il 17 gennaio la sera la distanza dal piede di Erittonio risulta “23 gr. 16 min.” (fr:3025-3026) [23 gradi e 16 minuti]; il mattino del 18 è “23 gr. 9 min.” (fr:3028-3029) [23 gradi e 9 minuti] e la sera successiva “23 gr. 1 ~ min.” (fr:3030-3031) [23 gradi e 1 minuto e mezzo]. Il moto in 10 ore e 23 minuti è di circa 14 minuti e mezzo, mentre in 9 ore e 40 minuti ammonterebbe a 7 minuti, ma dovrebbero essere “Retinemus pro parallaxi longitudinis non plus 1 min.” (fr:3033) [Tratteniamo per la parallasse di longitudine non più di 1 minuto]. La rifrazione non disturba, giacché Marte si trovava a circa 30 gradi di altezza in entrambi i casi. Un altro confronto, fra le VII e trentaquattro minuti e le IV e LII del mattino, indica una distanza dalla medesima stella di “7 gr. 51 min.” (fr:3035-3036) [7 gradi e 51 minuti] e “7 gr. 59 min.” (fr:3037-3038) [7 gradi e 59 minuti], con un guadagno di 8 minuti su 9 ore e 18 minuti, che fornisce “uno minuto sumus instructiores quam antea” (fr:3039) [siamo meglio informati di un minuto rispetto a prima].

Brahe stesso spiega il criterio adottato: “distantiam d’ ab hac stella accipio, quia cursus ejus quasi ab ea procedit, ut mane et vesperi distantia collata parallaxin d’ ostendat” (fr:3041) [prendo la distanza di Marte da questa stella perché il suo corso quasi procede da essa, così che la distanza confrontata al mattino e alla sera mostri la parallasse di Marte]. Keplero trascrive la nota per mostrare che a Brahe non mancava un disegno preciso. Le misure del 18 e 19 gennaio, relative alla distanza tra Marte e il cuore del Leone, danno valori come 44 gradi 22 minuti la sera, 44 gradi 27 minuti e mezzo il mattino, con un moto di 5 1/3 minuti in quasi 8 ore. Sommando le variazioni, “Lucramur pro parallaxi circiter 1 ~ minuta” (fr:3049) [Guadagniamo per la parallasse circa 1 minuto e mezzo].

Keplero spinge il calcolo ipotizzando una parallasse solare di 3 minuti e, per Marte, di In base a ciò, il moto orario avrebbe dovuto apparire maggiore di 4 minuti rispetto a quello dedotto proporzionalmente dal moto diurno. “Quod cum observationes repudient, non est igitur d’ parallaxis tanta.” (fr:3070) [Poiché le osservazioni respingono ciò, la parallasse di Marte non è tanto grande]. Negli anni 1585, 1595 e in molte altre occasioni “parallaxis invenitur perexigua, saepe nulla” (fr:3071) [si trova piccolissima, spesso nulla]; talvolta si ebbe perfino l’effetto contrario. Questo costituisce il primo metodo per indagare la parallasse marziana.

Viene poi introdotto un secondo procedimento, “per bellezza”, nel quale Keplero non può valersi delle osservazioni braheane. “Meis igitur dum utor, exhibebo tibi spectaculum ridiculum, et docebo exemplo, ad quid BRAHEO opus fuerit tanta diligentia, instrumentorum subtilitate, ministris, et reliquo apparatu.” (fr:3075) [Usando dunque i miei, ti mostrerò uno spettacolo ridicolo e insegnerò con l’esempio a che cosa servisse a Brahe tanta diligenza, sottigliezza di strumenti, assistenti e il rimanente apparato]. Keplero possiede due strumenti: un sestante di ferro e un quadrante azimutale d’ottone, “iste duum semis ille trium et semis pedum diametro in singula scrupula uterque distinctus” (fr:3078) [questo di due piedi e mezzo, quello di tre e mezzo di diametro, entrambi divisi in minuti primi]. Nel 1604, mentre riflette sulle parallassi, Marte staziona immobile in longitudine e latitudine circa al grado 29 di un segno, probabilmente Scorpione. In questa condizione l’angolo tra l’orizzonte e l’eclittica cala progressivamente dall’alba al levare del Sole; per il capitolo IX dell’Astronomiae Opticae, la parallasse di latitudine, se esiste, cresce di continuo. Variazioni misurate consentono di risalire, tramite colonne parallattiche, alla parallasse orizzontale complessiva.

Le osservazioni della notte fra giovedì e venerdì 21 febbraio (o 11, a seconda della lettura) danno: Marte dista da Spica “9 gr. 44 min.” (fr:3092) [9 gradi e 44 minuti], dalla Lance borea “17 gr. 41 min.” (fr:3094) [17 gradi e 41 minuti] e da Arturo “29 gr. 13 m.” (fr:3097) [29 gradi e 13 minuti]. Per verificare il sestante si misura anche Arturo–Spica, ottenendo “32 gr. 57 min.” (fr:3098) [32 gradi e 57 minuti], mentre il calcolo corretto con i valori di Tycho assegna “33 gr. 1 m. 45 sec.” (fr:3100) [33 gradi, 1 minuto e 45 secondi]. Le distanze kepleriane risultano quindi più corte del giusto di “4% minuta” (fr:3102) [4 minuti e mezzo], errore con cui l’autore corregge le proprie misure, riportando ad esempio la distanza Marte–Spica a 9 gradi circa.

L’intero brano testimonia lo sforzo ossessivo di quantificare la parallasse di Marte, partendo da dati osservativi di ineguagliabile precisione (Brahe) e giungendo a strumenti più modesti (Keplero). L’esiguità della parallasse, spesso nulla, è un dato cruciale per l’astronomia copernicana: mostra che Marte è lontano e non vincolato a sfere rigide. Il resoconto restituisce il clima di verifica empirica, in cui la fiducia nei calcoli si scontra con la dura realtà degli errori strumentali, spingendo a una continua ricerca della precisione.

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22 Misure celesti e travagli strumentali: determinare latitudine e longitudine di Marte

L’osservazione diretta, tra incertezze meccaniche e avversità atmosferiche, conduce a una latitudine marziana di 2° 48’ 31”, valore confermato dal calcolo tabulare entro un singolo minuto d’arco.

Il brano costituisce una finestra sulla pratica astronomica di inizio Seicento, in cui la riduzione dei dati osservativi procede per passaggi minuziosi e fonti multiple, non senza intoppi strumentali. Si tratta di una sequenza di osservazioni di Marte, condotte nell’arco di alcuni giorni di febbraio, mirate a fissarne la posizione eclittica – longitudine e latitudine – mediante misure di altitudine meridiana e distanze angolari da stelle fisse di riferimento come Spica (α Virginis), Arturo (α Bootis), la Vindemiatrix (ε Virginis) e il dorso del Leone.

L’osservatore annota innanzitutto dati grezzi: altitudini e distanze espresse in gradi, minuti e secondi, quali “a Lance 17 grado 45 min. 45 sec.” (fr:3106‑3107) e “ab Arcturo 29 gr. 17 min. 43 sec.” (fr:3108‑3110). Con un quadrante misura l’altezza meridiana di Spica in 30° 50’ (fr:3112‑3113) e quella di Marte culminante in 32° 6’ (fr:3122‑3123). Emerge subito una nota critica: “Ostendebat autem 68 altitudo Spicae non sat bene habere meum perpendiculum.” (fr:3118) [Tuttavia l’altezza di Spica mostrava che il mio perpendicolo non era sufficientemente a posto.], sospetto che condurrà a correggere la posizione dello strumento nei giorni successivi.

Dalla declinazione di Spica (9° 2’, fr:3113‑3114) e dall’altezza misurata si deduce la declinazione di Marte pari a 7° 48’ (fr:3115‑3117). Con declinazione e distanza da una fissa, tramite trigonometria sferica o tavole, si ottiene l’ascensione retta del pianeta: “Ex declinatione igitur c! et distantia a Fixa prodiit ejus asc. recta o If 20 a Spica 3°5 57 a Lance 3°6 3 17· Differentia ° 5 Medium ergo 3 06 °” (fr:3124‑3127) [Dunque dalla declinazione e dalla distanza dalla stella fissa derivò la sua ascensione retta … da Spica 3s 5° 57’ 36“, da Lance 3s 6° 3’ 17”. Differenza 0° 5’ 41“. Medio quindi 3s 6° 0’ 26”.]. Il ricorso al valore medio tra due stelle tradisce la consapevolezza di possibili errori.

Il calcolo prosegue appoggiandosi alle tavole di Tycho Brahe: dall’ascensione retta si ricava il grado co‑nascente in sfera retta, 28° 1’ ″ ~ (fr:3129‑3132), la cui declinazione è 10° 48’ 30” (fr:3133‑3135), mentre quella marziana è 7° 48’ (fr:3136‑3137). La differenza mostra quanto Marte disti dall’eclittica in circulo declinationis: 3° 0’ 30” (fr:3138). A questo punto entra in gioco uno strumento descritto come parallactica: con un’operazione di “regola del tre” applicata a valori tabulari per un angolo di 68° 59’ e al suo complemento 21° 1’ (fr:3139‑3157), si moltiplica per tre lo scrupolo letto sotto il valore 60, ottenendo una latitudine eclittica di “2 gr. 48 min. 31 sec.” (fr:3150‑3152). La sottrazione legata al co‑nascente produce un fattore correttivo di 1° 2’ 41” (fr:3155‑3157). Il metodo è dichiarato con un titolo quasi programmatico: “Ex ascensione recta et declinatione stellae inquirere longitudinem et latitudinem ejusdem citra calculum tabularum adminiculo.” (fr:3158‑3160) [Dall’ascensione retta e declinazione di una stella, indagare la sua longitudine e latitudine senza il calcolo, con l’ausilio di tavole.].

La longitudine risultante per Marte è 26° 56’ ~ (fr:3165‑3167), e l’osservatore annota con soddisfazione che essa coincide “quantum etiam ex calculo, cujus hoc Opere fundamenta sum traditurus, elicio intra unum minutum.” (fr:3168) [quanto anche dal calcolo, di cui in quest’Opera sto per consegnare i fondamenti, ricavo entro un unico minuto.]. La verifica incrociata della latitudine viene condotta misurando la distanza da Arturo e impiegando la longitudine appena trovata insieme alle coordinate della stella tratte da Tycho: si ottengono 2° 47’ 48” (fr:3169‑3171), valore assai prossimo ai 2° 48’ 31” precedenti (fr:3172‑3174). La concordanza rassicura sulla bontà della procedura.

La cronaca si fa vivida quando descrive le condizioni materiali del lavoro. Il giorno 19 febbraio (fr:3175, D · XIX Fb .), dopo aver trasposto i traguardi (pinnacidia), si osserva Marte sorgente (fr:3177). Le distanze da Arturo lette sono “lO 20 22”, ma l’astronomo sospetta un errore di un decina di minuti perché la luce per leggere le divisioni era data solo da un carbone ardente, mentre il vento soffiava (fr:3179). L’altezza di Marte in quel momento era 11° (fr:3180). Dopo la culminazione del dorso del Leone a un’altezza di 62° 37’ con il perpendicolo corretto (fr:3181‑3184), si stima l’altezza dell’equatore in 39° 55’ (fr:3185‑3186), valore giudicato quasi esatto. A questo punto Marte era salito a 23° (fr:3188) e la distanza da Arturo ripetuta divenne 29° 14’ (fr:3189), portando a correggere la precedente lettura sospetta. L’osservatore spiega l’anomalia iniziale con la rifrazione atmosferica: “Refractio enim Martem horizonti vicinum primum attollebat versus Arcturum, post demittebat, altitudinem aliquam acquirente.” (fr:3190) [La rifrazione infatti dapprima sollevava Marte, prossimo all’orizzonte, verso Arturo, poi lo abbassava man mano che acquistava altezza.]. Ma la variabilità improvvisa nelle misure è anche attribuita al “frigus et penetrantissimi venti” (fr:3191), che rendevano impossibile maneggiare il ferro a mani nude, chiudere le carrucole e fumigare la regola per segnare il minuto esatto: “Nudis enim manibus ferrum tractari, claudi trochlea nequibat, tectis non secure fumabatur regula, quoad minutum notaretur.” (fr:3192).

Le misure finali collimano con quelle di due giorni prima: Marte culminante a 32° 6’, Arturo a 61° 13’ (giudicata giusta), Spica a 30° 54’ (entro un minuto dal valore corretto), mentre la Vindemiatrix mostrava un’altezza leggermente sovrastimata di 53° 5’ (fr:3193‑3202). L’intero resoconto è la cronaca di una verifica meticolosa, dove la fiducia nelle tavole tychoniche si sposa con la consapevolezza dei limiti fisici dell’osservatore e della strumentazione, in particolare la regola di ferro pesante che, “impetu ruens, solutis trochieis et impingens (quod factum aliquoties) pinnacidia loco moverit, quae sunt luxatilia et exemptitia.” (fr:3128) [precipitando con impeto, allentate le carrucole e urtando (cosa accaduta alcune volte) può aver spostato i traguardi, che sono mobili e amovibili].

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23 La campagna osservativa per Marte e la calibrazione del sestante nell’Astronomia Nova

Un resoconto di misure e verifiche strumentali condotte con precisione per fissare la posizione di Marte, testimoniando il metodo della nascente astronomia moderna.

Il passo è tratto dal De motibus stellae Martis e illustra una sequenza di osservazioni destinate a stabilire le coordinate del pianeta Marte (indicato con il simbolo ~) mediante distanze angolari con stelle fisse. L’autore riferisce innanzitutto una stima preliminare: “Hinc distantia J et Arcturi colligebatur 29 gr. 18 Ya min. per calculum.” – (fr:3203‑3205) [Da qui la distanza tra Giove e Arturo risultava di 29 gradi 18 minuti e mezzo per calcolo.]

Poiché Giove (J) era stazionario in longitudine, come confermato dalle tavole pruteniche e dal calcolo proprio, l’altezza meridiana non poteva subire alterazioni dovute allo spostamento sull’eclittica, e l’osservatore ne trae una condizione di stabilità: “Cum igitur hoc tempore J stationarius fuerit secundum longitudinem consentiente Prutenico et meo calculo, nihil igitur ratione divagationis in ecliptica potuit mutari in altitudine meridiana.” – (fr:3206) [Poiché dunque in questo tempo Giove era stazionario in longitudine, come concordano le tavole Pruteniche e il mio calcolo, nulla quindi poté cambiare nell’altezza meridiana a causa della divagazione nell’eclittica.] “Quare cum penitus eadem manserit (nam de uno scrupulo relinquit nos in dubio instrumentum meum) altitudo meridiana, neque latitudinis ulla interea accidit mutatio.” – (fr:3207) [Perciò, essendo rimasta perfettamente la stessa altezza meridiana (poiché il mio strumento ci lascia in dubbio di un solo minuto), e non essendo nel frattempo sopravvenuta alcuna variazione di latitudine.]

La campagna poggia su un controllo ripetuto del sestante, il cui comportamento veniva verificato misurando coppie di stelle di cui erano note le distanze grazie ai cataloghi di Tycho Brahe. Il 22 febbraio (o 3 marzo) il controllo tra il Cane Minore e la spalla superiore di Orione diede: “Die XXII Febr. vel III Martii probavimus sextantem, uti eo superius eramus usi, invenimusque inter Canem minorem et superiorem … humerum Orionis 26 gr. 2 min. quam ostendit calculus 26 gr. 2 minuto 15 sec.” – (fr:3209‑3212) [Il 22 febbraio o 3 marzo provammo il sestante, come lo avevamo usato in precedenza, e trovammo tra il Cane Minore e la spalla superiore di Orione 26 gr. 2 min., mentre il calcolo mostra 26 gr. 2 min. 15 sec.] Analogamente, tra il Cane Minore e Aldebaran (Palilicium) lo strumento fornì un valore coincidente con quello indicato da Tycho: “Sic inter eundem Canem minorem et Palilieium inventi 46 gra. 22 ~ mi. quam TYCHO in epistolis indicat esse 46 gr. 22 min.” – (fr:3213‑3216) [Così tra lo stesso Cane Minore e il Palilicio trovammo 46 gr. 22 min., che Tycho nelle lettere indica essere 46 gr. 22 min.]

Fissata l’affidabilità del sestante, l’attenzione si concentra sulla distanza tra Arturo e Marte. Durante la culminazione della quinta stella del Leone, l’asta dello strumento venne posta dapprima a 29° 17′, poi a 29° 13½′ e infine a 29° 15′, dove la coincidenza delle immagini risultò soddisfacente: “Ergo cum culminaret V Leonis, firmata regula instrumenti super gradum 29 minuto 17, minus distabant Arcturus et ~, at super 29 gr. 13 ~ min. jam plus. distabant, denique in 29 grado 15 min. culpari nihil poterat.” – (fr:3217‑3221) [Così quando culminava la quinta stella del Leone, fissata la riga dello strumento sul grado 29 minuto 17, Arturo e Marte distavano meno, ma sul 29 gr. 13 min. e mezzo già distavano di più; infine a 29 gradi 15 min. non si poteva trovare alcun difetto.]

Il sereno fu interrotto da nubi impreviste (“Secuta insperata nubila per totum coelum” – fr:3222 [Seguirono nuvole inaspettate per tutto il cielo]), ma il mattino del 4 marzo, dopo il culmine di Antares, l’esame venne ripreso. Con la riga su 29° 19′ le stelle apparivano equidistanti, mentre a 29° 20′ si eccedeva già: “Rediit tamen mane IV Martii serenitas, et cum jam culminasset Antares, posita regula super 29 grado 19 min. cernebantur stellae utrinque aequaliter. videbatur tamen addendum aliquid: sed per 29 gr. 20 min. jam nimium erat additum.” – (fr:3223‑3227) [Tornò tuttavia il sereno il mattino del 4 marzo, e quando già era culminato Antares, posta la riga su 29 gradi 19 min., si vedevano le stelle uguali da entrambe le parti; sembrava però si dovesse aggiungere qualcosa: ma a 29 gr. 20 min. già si era aggiunto troppo.]

La sequenza prosegue con ulteriori misure in notti successive (29 febbraio/10 marzo), durante le quali si sospetta un allentamento dello strumento, registrando valori variabili tra 29° 9′ e 29° 13′. L’osservatore è consapevole dell’effetto della rifrazione e della necessità che la stella sia sufficientemente alta: “quod jam altior esset et liber a refractionibus” – (fr:3239) [perché ormai era più alta e libera dalle rifrazioni].

A questo punto il resoconto inserisce una prova decisiva della calibrazione del sestante. Confrontando distanze note con la Spiga, emergono discrepanze sistematiche di cinque minuti primi in eccesso: “Pro sextantis exploratione capiebatur quod est inter Spicam et Lancem 27 gr. 39 min. debuit autem esse 27 gr. 34 min. Sic inter Spicam et Boream frontis lTl 39 gr. 32½ min. debuit esse 39 gr. 26½ min. Itaque quinque minutis abundavit sextans.” – (fr:3262‑3270) [Per la verifica del sestante si misurava ciò che è tra la Spiga e la Bilancia settentrionale: 27 gr. 39 min., mentre avrebbe dovuto essere 27 gr. 34 min. Così tra la Spiga e la parte boreale della fronte dello Scorpione 39 gr. 32½ min., doveva essere 39 gr. 26½ min. Pertanto il sestante sovrabbondava di cinque minuti.]

Questa correzione sistematica viene applicata alle distanze di Marte dalle fisse, portando a un risultato coerente che chiude il cerchio: l’ascensione retta, la declinazione e la posizione eclittica vengono determinate con precisione, e si nota che la latitudine è rimasta invariata nonostante il moto retrogrado del pianeta: “Nisi enim distantias ~ a Fixis quinis minutis minuas, ascensio recta per Spicam et Lancem X minutis discrepabit: at subtractis (ita ut examen jubet), exactissime coincidet, eritque 205 gr. 27 min. 10 sec. declinatio 7 gr. 35½ min. quare locus 26 gr. 18 min. 48 sec. ~. latitudo 2 gr. 47 min. 20 sec.” – (fr:3272‑3283) [Infatti, se non si sottraggono cinque minuti alle distanze di Marte dalle stelle fisse, l’ascensione retta calcolata mediante Spiga e Bilancia differirà di dieci minuti; ma sottratti (come prescrive la verifica), coinciderà esattamente, e sarà 205 gr. 27 min. 10 sec., declinazione 7 gr. 35½ min., per cui la posizione è 26 gr. 18 min. 48 sec. di Marte, latitudine 2 gr. 47 min. 20 sec.] “Vides manifeste latitudinem eandem, cum interim Planeta XXXIIX minutis retrocesserit longitudinis.” – (fr:3284) [Vedi chiaramente che la latitudine è la stessa, mentre nel frattempo il pianeta è retrogradato di 38 minuti in longitudine.]

Infine, dopo una nuova verifica con la stella polare e la coda del Cigno che conferma il ripristino delle condizioni strumentali, viene fissata la distanza definitiva tra Marte e Arturo, che nello strumento corretto risulta 29° 13′: “Quod si per hunc in 40 ventum locum ~ inquiras ejus ab Arcturo distantiam, prodibit 29 gr. 9½ min. et in vitioso instrumento 29 gr. 14 min.” – (fr:3285‑3288) [Che se per questa posizione trovata di Marte indaghi la sua distanza da Arturo, risulterà 29 gr. 9½ min., e nello strumento difettoso 29 gr. 14 min.] L’intero passo si conclude con una frase di chiusura dell’autore: “Haec igitur observationum series.” – (fr:3301) [Questa è dunque la serie delle osservazioni.]

La pagina costituisce una testimonianza esemplare del modo di lavorare dell’astronomia di primo Seicento: ogni misura è sorvegliata da confronti con i cataloghi di Tycho, gli errori strumentali sono quantificati e sottratti, e l’osservatore tiene conto della rifrazione, della stazionarietà dei pianeti di riferimento e della stabilità meccanica del sestante. Il brano illustra così il percorso che, attraverso un controllo meticoloso, condusse Kepler a risultati essenziali per la determinazione dell’orbita di Marte.

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24 L’analisi delle parallassi di Marte e la determinazione dei nodi

L’autore, consapevole della difficoltà del compito, dichiara: “ex quibus amens sim si rem subtilissimam extruere nitar.” - (fr:3302) [dalle quali sarei folle se cercassi di costruire una cosa sottilissima.] Invece di argomentazioni compiute, offre esempi a chi sarà più capace: “Itaque non argumenta sed exempla exhibeo alii diligentiori et feliciori.” - (fr:3303) [Pertanto non presento argomenti, ma esempi, a qualcuno più diligente e fortunato.] Confida che il fastidio per queste incertezze spingerà il lettore a desiderare le ben più sicure osservazioni di Tycho Brahe.

I primi tentativi di misura sono dedicati alla stazionarietà del moto di latitudine. In quei giorni la stella di riferimento, Arturo, mantenne una distanza di “29 gr. 18 min.” - (fr:3307-3308) [29 gradi 18 minuti], mentre l’altezza in meridiano fu di “32 gr. 7 min. vel 6 min.” - (fr:3309-3311) [32 gradi 7 minuti o 6 minuti]. L’autore lamenta la mancanza di strumenti adeguati.

Il fulcro dell’indagine è la variazione della distanza angolare tra Marte e alcune stelle fisse, interpretata come effetto della parallasse di latitudine. Vengono registrate le distanze in momenti diversi: “Martii cum os Leonis culminaret, distantia fuit 29 gr. 15 min.” - (fr:3313-3314) [A marzo, quando culminava la bocca del Leone, la distanza fu 29 gradi 15 minuti]; “cum cor Scorpii, 29 gr. 19 min. plus.” - (fr:3315-3317) [con il cuore dello Scorpione, 29 gradi 19 minuti e più]. La differenza nel tempo intercorso risulta di “4½ min. circiter.” - (fr:3318-3319) [circa 4½ minuti]. Poiché Arturo e la stella di confronto hanno quasi la stessa longitudine, tale mutazione è attribuita alla variazione della parallasse di latitudine.

Applicando un procedimento basato su una tavola parallattica, l’autore calcola quale colonna della tavola produca uno spostamento di 4½ minuti quando la distanza dallo zenit passa da 32½ a 69½ gradi. Ottiene così una parallasse massima di Marte di “9 min.” - (fr:3337). In base al rapporto approssimato delle distanze Marte-Terra e Marte-Sole (28 a 60, desunto dalle ipotesi di Tycho e Copernico), la corrispondente parallasse solare massima sarebbe “circiter 4 min. 24 sec.” - (fr:3340-3341) [circa 4 minuti 24 secondi], a fronte di un valore comunemente assunto di “3 min. 0 secund.” - (fr:3342-3343) [3 minuti 0 secondi].

A questo punto l’analisi si sposta sul ruolo della rifrazione atmosferica. Marte fu osservato a un’altezza di circa 12½ gradi, ancora soggetto agli effetti refrattivi. Applicando la tavola di rifrazione delle stelle fisse costruita a Hven e in uso a Praga, a quell’altezza la rifrazione ammonta a “4 min. 20 sec.” - (fr:3346-3347) [4 minuti 20 secondi], dei quali “2 min. 18 sec. debentur latitudini” - (fr:3348-3350) [2 minuti 18 secondi spettano alla latitudine], facendo sì che Marte apparisse più vicino ad Arturo. Se invece si impiega per Marte la più marcata rifrazione solare, questa raggiunge “8 min. 45 sec.” - (fr:3351-3352) [8 minuti 45 secondi] – più del doppio – il che raddoppierebbe anche la parallasse di latitudine, portandola a “4 min. 36 sec.” - (fr:3354-3355). L’autore conclude che, in entrambi gli scenari, “Hoc modo omnis varietas, quam prae se tulit observatio, duobus his diversis momentis, esset a sola refractione.” - (fr:3356) [In questo modo tutta la varietà che ha mostrato l’osservazione in questi due diversi momenti sarebbe dovuta alla sola rifrazione.] La rifrazione rende quindi sospetti e inutilizzabili anche i dati del terzo giorno.

Il quarto giorno sembra annullare completamente la parallasse di Marte. La distanza attesa, con uno strumento corretto, sarebbe dovuta essere “29 gr. 9½ min.” - (fr:3367-3368), ma lo strumento difettoso dava “29 gr. 14 min.” - (fr:3369-3370) e la misura effettiva fu “29 gr. 13½ min.” - (fr:3371-3372). Quando la parallasse di latitudine, se esistente, avrebbe dovuto aumentare la distanza da Arturo, si trovò un valore quasi identico (“29 gr. 12½ min.” - fr:3375-3376), con un incremento finale di un solo scrupolo. Altre osservazioni, come quelle con la culminazione della Hydra, restituirono ancora distanze intorno a “29 gr. 9 min.” - (fr:3383-3384), pur in presenza di rifrazione. L’autore è spinto a chiedersi se la rifrazione non abbia avuto alcun effetto iniziale, oppure se lui stesso abbia commesso errori, specialmente a causa della lunghezza del cilindro dello strumento.

Nonostante tutto, da queste osservazioni si ricava un limite superiore: “parallaxes latitudinis Martis certe non fuisse majores 4 minutis, […] valde exiguas esse.” - (fr:3389) [le parallassi di latitudine di Marte non furono certamente maggiori di 4 minuti, […] sono molto esigue.] L’autore rinvia a ulteriori argomenti nel capitolo LXIV.

Il problema si allarga poi alla parallasse solare. Le due ipotesi cosmologiche (Tychonica e Copernicana) implicano che le parallassi di Marte siano maggiori di quelle del Sole, ma il valore esatto di queste ultime rimane incerto. La distanza del Sole non è inferiore a 236 semidiametri terrestri, ma nemmeno infinita, e oscilla – in base al Mysterium Cosmographicum e alle osservazioni di eclissi – tra “700 et 2000 semidiametros” - (fr:3395), senza che un numero preciso sia stato ancora dimostrato.

Il testo si chiude con l’apertura della sezione successiva: la determinazione dei nodi di Marte. L’autore si propone di seguire il metodo degli astronomi precedenti, pur annunciando opinioni contrarie su alcuni punti. Punto di partenza è la conoscenza dei nodi: “Principio nobis est opus cognitione nodorum. Hos TYCHOBRAHE sic solitus est investigare.” - (fr:3398-3399) [In primo luogo abbiamo bisogno della conoscenza dei nodi. Tycho Brahe soleva investigarli così.] Viene introdotto uno schema geometrico, nel quale “sit A locus nodi, E locus Planetae in ecliptica anno MDXCV, C locus Planetae visus sub Fixis in 17 gr.” - (fr:3400) [sia A il luogo del nodo, E il luogo del pianeta nell’eclittica nell’anno 1595, C il luogo del pianeta visto sotto le stelle fisse a 17 gradi.], che costituisce la base per i calcoli successivi.

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25 La determinazione empirica dei nodi di Marte e il superamento del metodo fondato sulla massima latitudine

“Aliter igitur EGOnodos investigavi, idque ex ipsis observationibus ad diem quo in nodo essent.” – (fr:3419) [Dunque indagai i nodi in altro modo, e cioè a partire dalle osservazioni stesse del giorno in cui si trovavano nel nodo.]

Il brano, tratto dal capitolo XII della seconda parte del DE MOTIBVS STELLAE MARTIS, mette a confronto due vie per individuare i nodi dell’orbita marziana. Inizialmente si descrive un procedimento geometrico che sfrutta l’angolo formato tra l’eclittica e la traiettoria del pianeta. Compare una costellazione di punti (E, A, C) in cui EC rappresenta la latitudine osservata in un’opposizione prossima al nodo, che risulta “EC visa latitudo o gr. 5 min. 15 sec. Borea” – (fr:3403-3406) [latitudine EC osservata 0° 5’ 15” boreale]. L’angolo EAC è presupposto valere “quam proxime esse 4gr.” (fr:3407) e “3412 min.” (fr:3408) [circa 4 gradi e 34 minuti e mezzo], valore tratto dalla massima latitudine boreale osservata nel 1585 (fr:3409). Con questi dati, nel triangolo rettangolo CEA (o nell’isoscele CBA, giudicato indifferente, fr:3410-3411) “ex latere CE et angulo EAC inquisivit longitudinem EA distantiae loci ecliptici a nodo” (fr:3412) [dal lato CE e dall’angolo EAC si cercò la lunghezza EA, distanza del punto eclittico dal nodo]. L’operazione è ritenuta momentaneamente accettabile perché “EC parva est et propinqua nodo” (fr:3413) [EC è piccola e vicina al nodo].

Subito dopo, però, il ragionamento viene demolito. L’angolo EAC non è costante: “Dictum enim est cap.” (fr:3416) e “IX angulum EAC non esse constantem: unde per diversas diversarum oppositionum latitudines diversa etiam loca pro nodo exibunt” (fr:3417) [È stato detto nel capitolo IX che l’angolo EAC non è costante; quindi, da latitudini diverse in opposizioni diverse, usciranno anche luoghi diversi per il nodo]. Inoltre, “neque enim EAC tam est magnus quam magna latitudo maxima visa, quia AC inflexus est arcus: neque etiam AC sed 30 interior aliqua (puta AF) via est Planetae, qualis ex centro Solis videretur: quare neque necessario A nodus erit, in hac quidem operatione” (fr:3418) [EAC infatti non è tanto grande quanto la massima latitudine osservata, perché AC è un arco incurvato; e non è AC, ma una traiettoria interna (poniamo AF) quella del pianeta vista dal centro del Sole; perciò A non sarà necessariamente il nodo]. Dopo un passo corrotto che promette un’altra dimostrazione (fr:3414-3415), la via geometrica viene abbandonata.

Si introduce così la procedura alternativa, basata sulle osservazioni condotte proprio nei giorni in cui Marte attraversa il nodo. Il metodo, che pure richiede conoscenze preliminari e verrà trattato più accuratamente nella parte quinta, viene qui anticipato “ob consensum solum praelibanda est” (fr:3420-3421) [per il solo consenso è da prelibare]. Il suo presupposto fondamentale è che quando il pianeta si trova realmente nel nodo secondo il moto eccentrico, nessuna configurazione della Terra o del Sole può farlo apparire fuori di esso: “Praesupponebam autem, cum Planeta vere motuque eccentrico est in nodo, nulla dispositione terrae vel Solis fieri posse ut appareat extra nodum” (fr:3422-3423). L’autore mostra che ciò è coerente con tutte e tre le ipotesi cosmologiche: nella copernicana “ut motrix facultas stellae alicujus non sit alligata ad observandam stellam alienam … sed circuitus sui proprias habeat leges” (fr:3424); nella tolemaica equivale a dire che l’epiciclo non guarda la linea dal Sole ma punti fissi sotto le stelle fisse (fr:3425); nella ticonica lo stesso vale per l’eccentrico (fr:3426).

La verifica sperimentale è affidata a quattro osservazioni del nodo ascendente, riportate con precisione e accompagnate dalle necessarie correzioni di parallasse e rifrazione:

• I. 4 marzo 1590, sera: declinazione di Marte 9° 26’, ascensione retta 22° 35’ 10’‘, luogo 24° 22’ 56’’ del Toro, latitudine meridiana 3’ 12’’; parallasse e rifrazione praticamente si elidono (fr:3428-3437).
• II. 23 gennaio 1592, sera: Marte a 11° 34’ 30’’ del Toro, latitudine 0° 2’ meridiana, altezza 25°. Rifrazione nulla, parallasse quasi solare (Marte e Sole in sestile e circa ugualmente distanti dalla Terra); “cedit autem pene omnis in latum” (fr:3446) [va quasi tutta in latitudine], perciò occorre innalzare Marte di circa due minuti verso settentrione, così che “incidet in eclipticam” (fr:3447-3448) [cade nell’eclittica].
• III. 10 dicembre 1593, sera: Marte osservato nel nodo ascendente; dopo correzione delle variazioni orizzontali conserva non più di 0° 0’ 45’’ di latitudine boreale (fr:3452-3455).
• IV. 27-28 ottobre 1595: il 27 la latitudine vera, tolta la parallasse, è 0° 2’ 20’’ meridiana; il 28 diviene 0° 0’ 25’’ settentrionale; “intermedio ergo tempore in nodo evehente fuit” (fr:3457-3464) [nel tempo intermedio si trovò dunque nel nodo ascendente].

Il legame tra queste date scaturisce dal periodo della rivoluzione eccentrica di Marte, pari a 687 giorni. “Numera jam dies 687 revolutionis Martis eccentrice a meridie XXVIII Octobris retro incidet terminus illorum in X Decemb. anno XCIII” (fr:3465-3466) [Conta ora 687 giorni della rivoluzione eccentrica di Marte a partire dal mezzogiorno del 28 ottobre, e il termine cadrà nel 10 dicembre 1593]; ripetendo il conteggio altre due volte si arriva rispettivamente al 23 gennaio 1592 e al 7 marzo 1590, tutte date in cui il pianeta fu osservato nel nodo (fr:3467-3469). Ciò dimostra che la posizione del nodo non dipende né dalla disposizione della Terra rispetto a Marte né da quella del Sole rispetto all’epiciclo (sistema tolemaico) o all’eccentrico (sistema ticonico). Basti questa “crassa argumentatio praesenti instituto” (fr:3470-3472). In capitoli successivi (LXI e LXVII) si raffina il calcolo, collocando il passaggio al nodo il 29 alle ore 15, e si ribadisce che nei tre sistemi la linea dei nodi è sempre la stessa o parallela a se stessa, con un lentissimo trasporto secolare che in sei anni non si avverte (fr:3473-3476).

Il testo passa quindi alla ricerca del nodo opposto (“Sed age et alterum oppositum nodum quaeramus”, fr:3477) servendosi di due osservazioni minuziosamente corrette.

• 4 gennaio 1595, mattino: Marte osservato presso Spica e il Cuore del Leone, latitudine apparente 0° 3’ 46’’ boreale, longitudine 13° 36’ 40’’ del Sagittario (fr:3478-3484). La parallasse è piccola (Marte dista più del doppio del Sole), mentre la rifrazione è grande: 6 minuti e 45 secondi dalle tavole delle fisse, 11 minuti e 40 secondi dalle tavole solari, e “quae omnis fere abit in latum propter humilitatem nonagesimi” (fr:3487) [va quasi tutta in latitudine a causa della bassezza del nonagesimo]. Corretto l’effetto, Marte risulta in austro per alcuni scrupoli (2 o 3 minuti, o più) (fr:3488-3489).
• 15 aprile 1589, notte: latitudine boreale osservata 1° 7’, fortemente accresciuta dalla parallasse annua per la vicinanza di Marte alla Terra (fr:3490-3491). Dopo 21 giorni la latitudine è calata a “6%’ Bor.” (fr:3492) [6 minuti e mezzo boreali]. Poiché il 6 maggio la diminuzione rallenta pur restando proporzionale, si calcola che Marte abbia raggiunto l’eclittica il 9 maggio successivo (fr:3493-3494).

Contando all’indietro tre periodi di 687 giorni a partire dal 9 maggio 1589 si arriva al mattino del 30 dicembre 1594, e poi, con uno slittamento di cinque giorni, al 4 gennaio 1595, quando l’osservazione attribuisce al pianeta una piccola latitudine meridiana (fr:3495-3497). L’autore ammette che Marte non fu osservato spesso in quella posizione eccentrica, ma ritiene sufficiente l’accordo con l’osservazione del 1595; riguardo al 1589 non vi è motivo di dubitare, sebbene due giorni e mezzo abbiano prodotto un moto in latitudine di 6 ½ minuti (fr:3498-3499). La pagina, pur tra lacune testuali, mostra il passaggio da una determinazione approssimativa dei nodi, viziata dall’ipotesi di costanza dell’angolo, a un metodo fondato sulla ripetizione delle osservazioni dirette e sulla regolarità del moto eccentrico, coerente con i tre grandi sistemi del mondo.

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26 L’indagine sull’inclinazione dell’orbita di Marte e il metodo dell’equidistanza

Keplero distingue nettamente tra inclinazione e latitudine e descrive un procedimento geometrico per isolare l’inclinazione del piano orbitale di Marte, sfruttando rare configurazioni in cui il pianeta è equidistante dal Sole e dalla Terra, con riferimento a osservazioni compiute tra il 1581 e il

Nel capitolo XIII dell’opera, Keplero affronta il problema di misurare l’angolo di cui il piano dell’orbita di Marte è inclinato rispetto al piano dell’eclittica. Egli premette che la latitudine osservata del pianeta non coincide con l’inclinazione reale, perché la parallasse annua dell’orbita terrestre la altera sensibilmente: ”Nam ut in hoc Opere apparebit, latitudo per orbis annui parallaxes plurimum in conjunctione cum Sole (ut MDXCV) attenuatur, in oppositione (ut MDLXXXIX) augetur.” – (fr:3501) [Infatti, come apparirà in quest’Opera, la latitudine viene molto attenuata nella congiunzione con il Sole – come nel 1595 – e aumentata nell’opposizione – come nel 1589 – a causa delle parallassi annuali dell’orbita.] Di conseguenza, ”Convenit igitur, minorem videri anno MDXCV motum diurnum latitudinis, majorem anno MDLXXXIX.” – (fr:3502) [È quindi coerente che il moto giornaliero in latitudine appaia minore nel 1595 e maggiore nel ] Per questo motivo, occorre separare l’effetto prospettico dal dato fisico dell’inclinazione.

La difficoltà è subito dichiarata: ”Id ab ipsis observationibus deducere non ita promptum est.” – (fr:3528) [Non è così immediato dedurlo dalle osservazioni stesse.] L’angolo di inclinazione ha il suo vertice nel centro del sistema planetario, cioè nel Sole per Copernico e Tycho, ma non si può traguardare direttamente il Sole per misurare tale angolo sotto le stelle fisse. Per chiarire i termini, Keplero introduce una distinzione essenziale:

”Inclinatio et latitudo differenter intelligantur. Inclinatio de angulo ad Solem vel centrum systematis Planetarii, quem COPERNICO faciunt lineae in corpus Martis et locum ejus eclipticum ejectae. Latitudo sit angulus, quo quaelibet inclinatio ex terra spectatur.” – (fr:3538-3540) [Inclinazione e latitudine vanno intese in modo differente. L’inclinazione riguarda l’angolo al Sole, o centro del sistema planetario, formato, secondo Copernico, dalle linee condotte al corpo di Marte e al suo luogo proiettato sull’eclittica. La latitudine è l’angolo sotto cui una qualunque inclinazione è osservata dalla Terra.]

Nel sistema tolemaico la definizione cambia: ”In PTOLEMAEO inclinatio est angulus rectarum ex terra per centrum epicycli et per locum ejus in ecliptica ejectarum. Latitudo est angulus, quem faciunt rectae ex centro terrae, altera per corpus Planetae, altera per locum qui ei in ecliptica respondet, ejecta.” – (fr:3541-3542) [In Tolomeo, l’inclinazione è l’angolo delle rette condotte dalla Terra attraverso il centro dell’epiciclo e attraverso il suo luogo proiettato sull’eclittica. La latitudine è l’angolo formato dalle rette condotte dal centro della Terra, l’una attraverso il corpo del pianeta, l’altra attraverso il luogo che gli corrisponde sull’eclittica.]

Per aggirare l’impossibilità di una misura diretta, Keplero si affida a metodi indiretti: ”Licebit igitur nobis uti modis iis qui de inclinationis quantitate testimonium eminus perhibent: quorum tres ponemus.” – (fr:3544) [Sarà dunque lecito servirci di quei metodi che forniscono una testimonianza indiretta sulla quantità dell’inclinazione: ne esporremo tre.]

Il primo metodo sfrutta un’osservazione in cui Marte si trovi alla stessa distanza dalla Terra e dal Sole mentre la linea Sole-Marte cade in corrispondenza dei limiti, ossia intorno a 16°-17° del Leone o dell’Aquario. In tale configurazione, ”tunc nos rectissime adjutum iri, si observationem nanciscamur stellae Martis ad tale momentum, ubi Mars aequaliter et a terra et a Sole absistens linea ex Sole per se ducta in 16 vel 17 gr. … (loca limitum) referatur” – (fr:3545-3547) [saremo aiutati nel modo più corretto se otteniamo un’osservazione di Marte in un momento in cui, distando ugualmente dalla Terra e dal Sole, la linea condotta dal Sole attraverso di esso cada in 16° o 17° … (luoghi dei limiti).]

La geometria della situazione è descritta con precisione: ”Sit B Sol, A terra. constituatur super AB isosceles ACB, et sit Planetae locus, C punctum eclipticae plani: erectaque perpendiculari CE in orbitam Martis, corpus Martis in E sito. Aequaliter igitur apparebit EC et ex B Sole et ex A terra: per se patet.” – (fr:3550-3551) [Sia B il Sole, A la Terra. Si costruisca su AB il triangolo isoscele ACB, e sia C il punto del piano dell’eclittica corrispondente al pianeta; innalzata la perpendicolare CE nell’orbita di Marte, il corpo di Marte sia in E. Allora EC apparirà uguale sia dal Sole B sia dalla Terra A: è di per sé evidente.]

Keplero calcola quindi le distanze angolari necessarie perché il triangolo sia isoscele, utilizzando il rapporto tra i raggi delle orbite di Marte e della Terra (o del Sole, a seconda del sistema) assunto approssimativamente come 1525 a Nei limiti del Leone e dell’Aquario i rapporti diventano rispettivamente 5:3 e 11:8. Ne deriva il calcolo dell’angolo al vertice: ”Cum ergo triangulum ACB sit isosceles … erit AC 3’333 Y:3. Quae inter secantes quaesita refert CAD vel CBD angulos 72 gr. 33 min.” – (fr:3566-3569) [Poiché dunque il triangolo ACB è isoscele … AC sarà 3333 1/3. Questa, cercata tra le secanti, restituisce gli angoli CAD o CBD di 72°33’.] Analogamente, per l’Aquario si ottiene un angolo di 68°40’. Ciò significa che, quando il luogo eccentrico di Marte si trova nei pressi di 16°-17° del Leone, la distanza angolare tra il luogo apparente di Marte e il Sole deve essere di circa 72,5°; quando invece è nell’Aquario, la distanza richiesta è di circa 68,75°.

Queste condizioni geometriche si traducono in configurazioni celesti concrete, elencate con i relativi anni in cui si verificarono approssimativamente: ”Primum fieri proxime potuit, mense Nov. anno MDLXXXVI, vel MDLXXXIIX. Alterum Aprili anno MDLXXXI, MDLXXXIII, MDXCVI, MDXCVIII. Tertium Septembri vel Octobri MDLXXXVII, MDLXXXIX.” – (fr:3593-3597) [La prima poté verificarsi approssimativamente nel novembre del 1586 o La seconda nell’aprile del 1581, 1583, 1596, La terza nel settembre o ottobre del 1587, ] Tali date costituiscono il riferimento osservativo su cui Keplero fonderà la determinazione empirica dell’inclinazione, mostrando come la via geometrica gli permetta di selezionare i momenti in cui l’effetto della parallasse annua è neutralizzato e la latitudine osservata coincide con l’inclinazione vera.

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27 La determinazione dell’inclinazione massima dell’orbita di Marte

Attraverso una serie di osservazioni condotte tra il 1583 e il 1597, l’autore determina la massima inclinazione del piano orbitale di Marte rispetto all’eclittica, stimandola in circa 1 grado e 50 minuti, correggendo l’effetto prospettico dovuto alla variazione della distanza del pianeta dalla Terra.

Il testo riporta un’indagine astronomica volta a determinare con precisione l’inclinazione massima dell’orbita di Marte. Le osservazioni, compiute in diverse opposizioni e configurazioni planetarie, sono datate tra il “Quartum Majo ve! Junio MDLXXX, MDLXXXII, MDXCV, MDXCVII.” - (fr:3598-3599) [4 maggio o giugno 1580, 1582, 1595, ], sebbene si segnali l’impossibilità di ottenere dati per l’ultimo caso a causa della posizione di Marte in Ariete, una costellazione di breve ascensione che, con il Sole in Gemelli, rende il pianeta difficilmente osservabile: “Ad ultimum casum observationes idoneae desunt, eo quod Mars in Ariete brevium ascensionum (Sole in II noctes claras efficiente) observari vix possit, aut omnino videri.” - (fr:3600) [Per l’ultimo caso mancano osservazioni idonee, poiché Marte in Ariete, (costellazione) di brevi ascensioni, con il Sole in Gemelli che produce notti chiare, può essere osservato a stento, o per nulla visto.].

Il metodo si fonda sul principio geometrico per cui, per ottenere una misura dell’inclinazione non distorta dall’effetto prospettico, la distanza Terra-Marte deve essere uguale a quella Marte-Sole, condizione verificata quando l’elongazione del pianeta dal Sole è di circa 72 gradi. Qualora la distanza angolare si discosti da questo valore, la latitudine eclittica osservata risulta alterata: se Marte è più vicino alla Terra che al Sole, la latitudine apparente è maggiore di quella reale; se è più lontano, risulta minore. L’analisi si snoda attraverso diverse campagne osservative, correggendo via via i valori misurati per isolare l’inclinazione reale del piano orbitale.

Osservazioni del 1588 e il calcolo iniziale Il 10 novembre 1588, Marte fu osservato in una posizione sfavorevole. Il Sole distava dal pianeta solo 62 gradi, molto meno dei 72 richiesti. Ne consegue che Marte era più lontano dalla Terra che dal Sole: “Ergo quia Sol tantummodo 62 gradibus distat a Marte, cum debeat distare per 72 grado ut triangulum (quod requirit problema) fiat aequicrurum: Mars igitur adhuc longius a terra abest quam a Sole.” - (fr:3606) [Poiché dunque il Sole dista solo 62 gradi da Marte, mentre dovrebbe distarne 72 affinché il triangolo (richiesto dal problema) sia isoscele: Marte pertanto è ancora più lontano dalla Terra che dal Sole.]. La latitudine apparente di 1 grado, 36 minuti e 45 secondi boreali risultava perciò minore dell’inclinazione reale per quel punto dell’orbita.

Appena un mese dopo, il 5 dicembre 1588, la distanza angolare era salita a 73 gradi e mezzo. Superando di poco il valore di riferimento, la distanza Terra-Marte era diventata minore di quella Marte-Sole, il che rendeva l’inclinazione apparente maggiore del vero. Tuttavia, in quella data Marte aveva già superato il limite boreale della sua orbita, il punto di massima latitudine, e le sue digressioni reali dall’eclittica stavano quindi diminuendo. L’autore deduce che le digressioni nel limite stesso dovevano essere state più ampie. Compensandosi gli effetti opposti, l’inclinazione massima dei piani orbitali viene fissata in “circiter 1 gr. 5° min.” - (fr:3620-3621), ovvero circa 1 grado e 50 minuti.

Conferma con le opposizioni del 1586 Una verifica giunge dalle osservazioni dell’autunno Il 22 ottobre, con il Sole in 8 gradi dello Scorpione a 68 gradi di distanza (inferiore ai 72 previsti), la linea Terra-Marte era più lunga, e di conseguenza la latitudine vista di 1 grado e 36 minuti era inferiore alla digressione reale del pianeta, che si trovava ben prima del limite.

Il 2 novembre 1586 la distanza Sole-Marte risultò di 73 gradi e mezzo, “pene justo modulo” - (fr:3647) [quasi nella giusta misura]. La latitudine apparente di 1 grado e 47 minuti era quindi prossima a quella reale, ma poiché Marte precedeva ancora il limite boreale di circa 16 gradi, si arguisce che nel limite stesso essa sarebbe stata maggiore, quantificata in circa 1 grado e 50 minuti.

L’osservazione del 1° dicembre 1586 fornisce un’ulteriore prova. Con il Sole in 18 gradi del Sagittario, la distanza angolare raggiunse gli 88 gradi, ben oltre il valore di 72 e mezzo. Essendo la linea tra Marte e la Terra più corta di quella tra Marte e il Sole, la digressione apparente risultò esagerata: “Quare minor est facta linea inter Martem et terram quam inter Martem et Solem: et digressio ex appropinquatione major apparuit quam erat revera.” - (fr:3668) [Per cui la linea tra Marte e la Terra è diventata minore di quella tra Marte e il Sole: e la digressione, per l’avvicinamento, apparve maggiore di quanto fosse in realtà.]. La latitudine osservata di 2 gradi e 16 minuti e mezzo era quindi molto maggiore di quella reale, che tuttavia l’autore stima non di molto superiore a 1 grado e 47 minuti. Il valore dell’inclinazione massima di 1 grado e 50 minuti viene così “confirmatur eminus” - (fr:3674) [confermato a distanza].

Osservazioni del 1583 e del 1596 L’analisi prosegue con una configurazione opposta. Il 22 aprile 1583, il Sole in 11 gradi del Toro distava 80 gradi da Marte, più dei 72 e mezzo di riferimento. La Terra era dunque più vicina del giusto, e la latitudine apparente di 1 grado e 50 minuti e mezzo era maggiore della digressione reale. Poiché però Marte si trovava oltre ventuno gradi oltre il limite boreale, la sua digressione reale dall’eclittica sarebbe stata di nuovo maggiore proprio sul limite. Ancora una volta, compensandosi le cause contrarie, si ottiene per l’inclinazione massima il valore di 1 grado e 50 minuti: “Rursum itaque tollentibus se mutuo contrariis causis inclinatio maxima est 1 gr. 50 min.” - (fr:3690-3691).

L’ultima misura riportata, del 9 marzo 1596, registra Marte in 15 gradi e 49 minuti dei Gemelli, con una latitudine boreale di 1 grado e 49 minuti e mezzo, un dato che si allinea strettamente con la quantità precedentemente determinata.

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28 L’inclinazione del piano orbitale di Marte secondo Keplero

Dall’esame minuzioso di latitudini apparenti, Keplero estrae con due diversi metodi il valore dell’inclinazione massima dell’orbita di Marte rispetto all’eclittica, fissandolo intorno a 1° 50′.

L’estratto appartiene alla Parte seconda, Capitolo XIII del trattato De motibus stellae Martis e illustra la determinazione dell’angolo che il piano dell’orbita marziana forma con l’eclittica. Il problema è aggredito prima con un metodo che presuppone una conoscenza approssimata delle proporzioni delle sfere, poi con uno più elegante che ne fa interamente a meno.

Il primo procedimento si appoggia su osservazioni in cui la latitudine osservata differisce dalla reale digressione dall’eclittica a causa della posizione del pianeta rispetto al limite. Keplero nota che quando il Sole dista 76° dal luogo di Marte, “itaque paulo minor vera Martis ab ecliptica digressio quam latitudo visa” – (fr:3700) [e così la digressione vera di Marte dall’eclittica è un po’ minore della latitudine osservata]. Poiché Marte non si trova ancora al limite, le discrepanze si compensano e si può concludere che “Rursum itaque stabilitur eminus maxima limitis digressio 1 gr. 50 minuto eireiter” – (fr:3702‑3703) [Di nuovo quindi si stabilisce a distanza la massima digressione al limite di circa 1 grado e 50 minuti].

Una conferma giunge dall’osservazione del 15 settembre 1589, quando Marte appare in 16° 47′ e qualcosa con latitudine meridiana di 1° 41½′. Applicando la correzione per rifrazione – il pianeta era basso sull’orizzonte – la posizione rettificata diventa 16° 45½′ e la latitudine 1° 52⅓′ meridiana. Poiché il Sole si trovava in 2° 30′ dell’Ariete, la sua distanza da Marte era 74° ⅔, mentre “debuit tantum 68% gr.” – (fr:3717) [avrebbe dovuto essere soltanto 68½°]. Ne segue che “visa latitudo paulo major est digressione puncti ejus ab ecliptica” – (fr:3718) [la latitudine osservata è un po’ maggiore della digressione del suo punto dall’eclittica]; ma poiché Marte era ancora molti gradi prima del limite, anche qui le cause di errore si elidono reciprocamente. Un’analoga conclusione scaturisce dall’osservazione del 1° novembre successivo (16° 59′ e qualcosa, latitudine 1° 36′ meridiana, col Sole in 19° dei Pesci), dove la latitudine visiva risulta minore della digressione vera, ma il punto non coincide con il limite; perciò “multo major est inclinatio maxima quam 1 gr. 36 min.” – (fr:3727) [l’inclinazione massima è molto maggiore di 1° 36′] e si avvicina al valore di 1° 50′ già emerso.

A questo punto Keplero introduce un secondo metodo, indipendente da ogni ipotesi sulle dimensioni delle orbite: “Nunc alium subjiciam, cui selectioribus et rarioribus observationibus opus est: quae si habeantur, jam sine ulla praeconceptione proportionis orbium quaesitum nobis proditur nullo etiam calculi labore implicitum.” – (fr:3734) [Ora ne sottoporrò un altro, che necessita di osservazioni più selezionate e rare: le quali, se si hanno, ci forniscono il risultato cercato senza alcuna preconoscenza della proporzione delle orbite, e senza coinvolgere fatica di calcolo].

Il fondamento geometrico è che “Cum duo plana se mutuo secant, quaecunque binae lineae ad idem punctum lineae sectionis in utroque plano ducuntur, rectae ad sectionis lineam, unum et eundem semper angulum concludunt.” – (fr:3735) [Quando due piani si intersecano, due qualsiasi linee condotte per uno stesso punto della linea di sezione, perpendicolari alla linea di sezione in ciascun piano, formano sempre lo stesso angolo]. Applicando questa proprietà al piano dell’eclittica e a quello dell’orbita di Marte, se si riesce a trovare un istante in cui la linea Terra‑Sole coincide con la linea di sezione (nodo) e Marte è esattamente in quadratura (90° di distanza dal Sole), allora la latitudine apparente del pianeta uguaglia l’inclinazione massima dei due piani.

Un’occasione del genere si presentò il 22 aprile In quel giorno il Sole si trovava circa 5° o 6° sotto il nodo, e la Terra si trovava quindi dalla parte opposta rispetto alla linea di sezione. Ciò introduceva due opposte alterazioni: la vicinanza di Marte accresceva la latitudine apparente, mentre il mancato raggiungimento dei 90° esatti la riduceva. Assumendo che le due deviazioni si annullino, “inclinatio plana rum igitur proxime […] aequabit visam latitudinem” – (fr:3749‑3750) [l’inclinazione dei piani uguaglierà perciò prossimamente la latitudine osservata]. Poiché “Visa latitudo fuit 1 gr. 50% minuto Proxime igitur tanta planorum inclinatio.” – (fr:3751‑3752) [La latitudine osservata fu di 1 grado e 50 minuti e mezzo. Dunque l’inclinazione dei piani è prossimamente di tanto].

Altre osservazioni selezionate portano allo stesso valore. Il 26 aprile 1585 Marte fu visto in 21° 26′ della Bilancia, con latitudine boreale di 1° 49½′, mentre il Sole era in 16° dell’Ariete, prossimo al nodo. Keplero ne deduce che “Ergo angulus inclinationis maximae planorum paulo admodum major quam 1 gr. 49% min. scilicet 1 gr. 50 min. aut paulo quid amplius.” – (fr:3777‑3781) [Dunque l’angolo di inclinazione massima dei piani è di pochissimo maggiore di 1° 49½′, cioè 1° 50′ o poco più]. Intorno all’altro limite, il 16 ottobre 1591 la latitudine meridiana di Marte era ancora di 2° 10⅚′ ma in rapida diminuzione, confermando indirettamente che il valore cercato è 1° 50′.

In tutto il brano colpisce la tenacia con cui Keplero incrocia osservazioni scarse e imperfette, sfruttando le compensazioni fortuite degli errori per estrarre un parametro fisico – l’inclinazione massima – che oggi sappiamo essere 1°,850 (circa 1° 51′), a testimonianza di un metodo scientifico già maturo, fondato sull’uso accorto della geometria e su un’attenzione costante alle incertezze osservative.

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29 L’inclinazione dell’orbita di Marte e la sua misurazione

L’analisi geometrica conferma come l’inclinazione massima dell’orbita marziana, dedotta dalle osservazioni, si attesti intorno a 1 grado e 50 minuti, in contrasto con riduzioni ipotetiche.

Il frammento affronta il problema della determinazione dell’inclinazione massima del piano orbitale di un pianeta, verosimilmente Marte, rispetto al piano dell’eclittica. L’autore confuta l’idea che la latitudine osservata possa diminuire secondo una proporzione costante all’allontanarsi della Terra dal corpo celeste, utilizzando una serie di dimostrazioni geometriche e calcoli basati su dati osservativi.

Viene innanzitutto stabilita una confutazione logica di un’ipotesi di proporzionalità diretta. Se dopo quattordici giorni, con il Sole in prossimità del nodo, la latitudine fosse calata di ventotto minuti, ne resterebbe 1 grado e 45 minuti. Tuttavia, “At non manet proportio eadem imminutionis terra discedente a sidere vel hoc a terra. Semper enim in remotioribus minor est imminutio.” – (fr:3797-3798) [Ma non rimane la stessa proporzione di diminuzione quando la Terra si allontana dall’astro o questo dalla Terra. Sempre, infatti, alle distanze maggiori la diminuzione è minore.]. Di conseguenza, “Nihil igitur hinc contra inclinationem maximam 1 gr. 50 min. depromi potest. quin potius ea eminus confirmatur.” – (fr:3799-3802) [Nulla dunque da ciò può essere dedotto contro l’inclinazione massima di 1 grado e 50 minuti; anzi, essa viene piuttosto da lontano confermata.]. L’osservazione ravvicinata, perciò, mostra una latitudine maggiore dell’inclinazione reale: “Itaque ex appropinquatione major fuit visa latitudo quam inclinatio plani ecliptici.” – (fr:3794) [Così, a causa dell’avvicinamento, la latitudine osservata risultò maggiore dell’inclinazione del piano dell’eclittica.].

Per suffragare questa tesi, viene proposta una “Demonstratio” geometrica che “latius extendi potest.” – (fr:3803) [può essere estesa più ampiamente.]. Si costruisce un modello in cui dalla Terra (B) si osserva il pianeta (G) in un punto qualsiasi dello zodiaco. La latitudine apparente di G non misura l’inclinazione del punto reale, ma quella di un altro punto (H), situato su una parallela e alla stessa longitudine. “Latitudo igitur, quam habere videtur, metitur inclinationem puncti de plano tantum vere distantis a limite quantum &’ abesse videtur a limite.” – (fr:3806) [La latitudine, dunque, che sembra avere, misura l’inclinazione di un punto sul piano che dista veramente dal limite tanto quanto &’ sembra distare dal limite.]. L’esempio è tratto da un’osservazione del 26 aprile 1585, dove con il Sole a 16 gradi e il pianeta (&’) a 21 gradi e 26 minuti, la latitudine osservata fu di 1 grado e 49 minuti e mezzo. Poiché il pianeta dista 5 gradi dal limite, con un seno di 85 gradi inferiore al seno totale di 1/250, l’inclinazione massima risulta maggiore di 1/250 di sé stessa, attestandosi “scilicet 1 gr. 50~ min. circiter.” – (fr:3821-3823) [cioè circa 1 grado e 50 minuti.].

Viene poi introdotta la “Ptolemaica hypothesi” – (fr:3824) [ipotesi tolemaica] come base per un’ulteriore dimostrazione. Si disegna un sistema con la Terra in A, il Sole sulla linea AB, e la linea di visione di Marte AD. Si assume che il piano dell’epiciclo sia perpetuamente parallelo al piano dell’eclittica per ottenere l’equipollenza delle ipotesi. Si dimostra la similitudine dei triangoli rettangoli ADD e AEE, dove D è Marte ed E è un punto equivalente al centro dell’epiciclo C quando questo è al limite. Ciò porta a una coincidenza visiva cruciale: “linea ex A terra per D Martem educta, in hoc situ incidet in E locum centri epicycli, quando id est in limite. Et sic idem erit angulus et inclinationis maximae limitis et visae latitudinis Martis in hoc situ.” – (fr:3839-3840) [la linea condotta dalla Terra A attraverso Marte D, in questa situazione, cadrà in E, luogo del centro dell’epiciclo, quando esso è al limite. E così lo stesso angolo sarà sia della massima inclinazione del limite, sia della latitudine osservata di Marte in questa situazione.].

Infine, si deliba un “Tertius modus” – (fr:3840) [terzo modo] di calcolo, che richiede una proporzione prestabilita tra le orbite. Utilizzando i dati dalle tavole delle opposizioni di Tycho Brahe, con Marte a 21 gradi e 16 minuti e una latitudine osservata di 4 gradi e 32 minuti e mezzo, si imposta un calcolo trigonometrico. Posto il Sole in A, la Terra in B e Marte in C, con distanze BA=1000 e AC=1664, e noto l’angolo EBC di 4 gradi e 32 minuti e mezzo, si ricava l’angolo BCA e, per sottrazione, l’angolo di latitudine cercato BAC. “relinquit angulum BAC quaesitum 1 gr. 48 min. 43 sec. qui in ipso limite esset hinc circiter 1 gr. 49 min.” – (fr:3854-3859) [lascia l’angolo BAC cercato di 1 grado, 48 minuti e 43 secondi, che al limite stesso sarebbe da qui di circa 1 grado e 49 minuti.]. Il valore finale, seppur con minime variazioni, converge con le dimostrazioni precedenti verso l’inclinazione massima di circa 1 grado e 50 minuti, chiudendo il capitolo con un rimando all’Epitomen Astronomicam di Maestlin per la trattazione completa delle “Latitudinum efficientia.” – (fr:3862) [cause efficienti delle latitudini.].

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30 Il calcolo minuzioso delle opposizioni di Marte e la correzione dell’arco orbitale

Il passo espone, con il linguaggio di un laboratorio astronomico, la determinazione raffinata delle posizioni di Marte alle opposizioni degli anni 1582, 1585 e 1587, combinando osservazioni ticoniche, riduzioni trigonometriche e la dottrina dei triangoli di Filippo Lansberge. Vi si coglie l’estrema cura per i minimi incrementi, indispensabile per costruire la futura orbita ellittica.

L’autore apre con un calcolo di anticipo sull’orbita: “Cupio scire, quanto fiat Iongior arcus orbitae a nodo usque ad arcum Iatitudinis per 6°. 28’ II continuatus” – (fr:3946) [Desidero sapere quanto diventi più lungo l’arco dell’orbita dal nodo fino all’arco di latitudine passando per 6°28′ Gemelli]. A tal fine ricorre ai mezzi resi disponibili da Lansberge, “quem virum honoris et gratitudinis caussa nomino … qui optimas et aptissimas secures ad substructiones Astronomicas in copia et e propinquo et vili temporis precio mihi suppeditavit” – (fr:3948-49) [che nomino per onore e gratitudine … il quale mi fornì le scuri migliori e più adatte per le costruzioni astronomiche in abbondanza, a portata di mano e a buon prezzo di tempo; senza di lui si sarebbero dovute cercare lontano, con manici inadatti e grande impaccio delle operazioni]. Impiegando la trigonometria di Lansberge, “tangens lateris 20° multiplicatus in secantem anguli 1° 50’ inclinationis, abjectis 5 ultimis, excrescit tantum 18~ particulis, quibus circiter 35 secunda respondent” – (fr:3950-51) [la tangente del lato di 20° moltiplicata per la secante dell’angolo di inclinazione 1° 50′, scartate le ultime 5 cifre, cresce di circa 18 particelle, alle quali rispondono circa 35 secondi]. Ne segue che “Mars igitur stans e regione 6°. 28’ II, promotior est in sua orbita per 35“” – (fr:3952-53) [Marte, stando all’opposizione di 6°28′ Gemelli, è più avanzato nella sua orbita di 35″] e va pertanto collocato “in 6°. 28’. 35” II, correctiuncula sane non necessaria” – (fr:3954-56) [in 6°28′35″ Gemelli, correzioncella davvero non necessaria]. La latitudine resta “1° 40’ Borealis” – (fr:3957-58) [1°40′ boreale].

La parte osservativa si apre con il primo evento: “Anno MDLXXXII D. XXIIX Decembris hora noctis sequentis XI M. xxx visus est Mars in 16°. 47’ §, cum esset Solis locus verus 10 17°. 13’. 45” ;6.” – (fr:3960-63) [Nell’anno 1582, il 28 dicembre, all’11a ora e 30 minuti della notte seguente, Marte fu visto in 16°47′ Sagittario, mentre il luogo vero del Sole era 10s 17°13′45″ Capricorno]. L’opposizione era ormai superata (“Transierat igitur articulus oppositionis” – fr:3964). Conosciuti i moti diurni del Sole (61′18″) e di Marte (24′) per una somma di 85′18″ e la distanza attuale tra i due astri di 26′45″, l’autore applica la proporzione: “Vt igitur 1° 25’. 18” ad XXIV horas, sic 26’. 45” ad horas VII M. XXXII” – (fr:3971-74) [Come 1°25′18″ sta a 24 ore, così 26′45″ sta a 7 ore 32 minuti]. Sottraendo queste ore dall’istante dell’osservazione, “relinquunt articulum verae oppositionis die XXVIII Decembr. hora III M. LVIII post meridiem” – (fr:3975-76) [lasciano il momento dell’opposizione vera il 28 dicembre alle 3h 58m pomeridiane]. Il luogo in eclittica diviene 16°54′32″ Sagittario, che la riduzione porta a circa 16°55′. La latitudine è “4° 6’ Boreae ex fide tabulae Braheanae oppositionum” – (fr:3981-83) [4°6′ boreale secondo la tavola braheana delle opposizioni], con oscillazioni notturne registrate tra 4°2′ e 4°10′.

L’opposizione del 1585 è trattata con analogo rigore. “Anno MDLXXXV D. XXXI Jan. hora XII M. o. visus fuit Mars in 21°. 18’. 11” bì. Sol in 22°. 21’ 31” ~” – (fr:3992-96) [Nell’anno 1585, il 31 gennaio a 12h 0m, Marte fu visto in 21°18′11″ Pesci, Sole in 22°21′31″ Aquario]. Anche qui “Transierat itaque oppositio vera” – (fr:3997). La distanza fra i due corpi è 1°3′20″ e la somma dei moti diurni ammonta a 85′31″. La proporzione “Vt autem 1° 25’. 31” ad horas XXIV, sic 1° 3’. 20” ad horas XVII M. XLVI quibus de motu Martis respondent 18’ proxime” – (fr:4006-10) [Come 1°25′31″ sta a 24 ore, così 1°3′20″ sta a 17h 46m, a cui corrispondono circa 18′ nel moto di Marte] conduce all’opposizione vera il “XXX Januar. hora XIX M. XIV” – (fr:4011-12) e al luogo 21°36′10″ Pesci. L’arco dell’orbita si prolunga in antecedenza, ma poiché Marte dista solo 4 o 5 gradi dal nodo la sottrazione per la riduzione è “plane insensibilis” – (fr:4018). La latitudine secondo la tavola ticonica è 4°32′10″ boreale, mentre l’osservazione del 31 gennaio dà 4°31′10″, con un residuo ticonico aggiunto a motivo della parallasse diurna.

Infine l’opposizione del 1587: “Anno MDLXXXVII nocte quae sequebatur quartum Martii hora I. M. XVI post mediam noctem inventus est locus Martis ex corde ♌ et spicaVirginis 26°.26’. 17” ♒, cum latitudine visa 3°. 38’. 16” Boreali” – (fr:4026-29) [Nell’anno 1587, nella notte successiva al 4 marzo, all’1h 16m dopo mezzanotte, fu trovato il luogo di Marte dal cuore del Leone e dalla Spiga della Vergine a 26°26′17″ Aquario, con latitudine osservata 3°38′16″ boreale]. Marte si trovava alto circa 37½° sull’orizzonte e la parallasse diurna “adimit longitudini parum aliquid, ut hoc nomine Planeta sit in 26°.26’ ♒ cum latitudine paulo majore” – (fr:4030) [toglie un poco alla longitudine, cosicché il pianeta è in 26°26′ Aquario con latitudine leggermente maggiore]. Il confronto con il Sole è rivelatore: “Nam quia Sol pene duplo ejus distat a terra quod Mars ab ea distat, pene itaque duplo major erit Martis parallaxis quam Solis. et posita Solis 3’, Martis fiet 5’ circiter.” – (fr:4031-32) [Poiché il Sole dista dalla Terra quasi il doppio di Marte, la parallasse di Marte sarà quasi doppia di quella solare; supposta quella del Sole di 3′, quella di Marte risulterà circa 5′].

L’intero brano testimonia la meticolosa officina osservativa e calcolatrice che preparò la strada alla Astronomia nova: un intreccio di misure ticoniche, strumenti matematici forniti da Lansberge e continue verifiche sulla parallasse e sulla riduzione degli archi orbitali.

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31 Misurazioni, parallassi e rifrazioni nelle opposizioni di Marte

“Id infra parte quinta serviet nobis ad parallaxes Martis accuratius examinandas” – (fr:4038)
[Questo ci servirà in seguito, nella quinta parte, per esaminare più accuratamente le parallassi di Marte.]

Il testo presenta il lavoro di Keplero sulle osservazioni di Marte compiute da Tycho Brahe, volte a determinare con la massima precisione i momenti delle opposizioni e la posizione del pianeta, correggendo gli effetti della parallasse diurna e della rifrazione atmosferica. Ogni calcolo si appoggia sull’uso del punto nonagesimo e su laboriose proporzioni tra i moti giornalieri del Sole e di Marte.

La prima serie di correzioni riguarda un’opposizione di marzo. Il nonagesimo dista dal vertice 55 gradi e dalla corrispondente regione «sub titulo 5’ in parallactica nostra exhibetur latitudinis parallaxis 4’» (fr:4034) [sotto il titolo 5’ nella nostra parallattica si mostra una parallasse in latitudine di 4’]. Rimossa tale parallasse, «Itaque latitudo ex centro terrae visa fuisset 3°. 42’. 22” Borea» (fr:4035‑4037) [Così la latitudine vista dal centro della Terra sarebbe stata 3° 42’ 22” Nord]. Il luogo vero del Sole «in 23°. 59” 11’’ X. Sequebatur igitur oppositio vera» (fr:4039) [in 23° 59’ 11” Bilancia, dunque seguiva l’opposizione vera]. La distanza osservata tra i due astri è di 2° 26’ 49“, con moti diurni di 59’ 35” (Sole) e 24’ (Marte); la somma di 1° 23’ 35” permette di calcolare il tempo al momento esatto: «Itaque tempus verae oppositionis VI Martii H. VII M. XXIII» (fr:4048‑4049) [Pertanto il tempo della vera opposizione fu il 6 marzo, alle ore 7 min. 23]. Per ridurre la longitudine al piano dell’orbita occorre sottrarre 55”: «Subtrahenda vero sunt 55” pro reductione ad orbitam» (fr:4052) [Si devono però sottrarre 55” per la riduzione all’orbita], ottenendo 25° 43’ 11”. La latitudine, che andava decrescendo, risultava poco meno di 3° 38’ Nord, oppure 3° 42’ corretta mediante la parallasse (fr:4056‑4059).

Il 15 aprile 1589, alle 12h 5m della notte seguente, Marte è osservato «in 3°. 58’. 20” m cum latitudine 1°. 4’. 20” Bor. decrescente» (fr:4060‑4065) [in 3° 58’ 20” … con latitudine 1° 4’ 20” Nord e decrescente]. L’altezza del pianeta è di 22 1/5 gradi, dove la rifrazione delle stelle fisse è nulla, mentre dalla tavola solare si ricava un valore di circa 3’. La parallasse orizzontale è valutata doppia di quella solare: «parallaxis vero duplo circiter major Solari, nempe in horizonte VI minutorum» (fr:4067) [la parallasse è circa il doppio di quella solare, ossia 6 minuti all’orizzonte]. Con il nonagesimo a 64° dal vertice, la parallasse diurna in latitudine diventa 5’ 24” (fr:4069‑4070). Keplero avverte che la verifica di tale valore spetterà a un esame più accurato delle latitudini: «quae an tanta fuerit, infra ex accurata latitudinum consideratione apparebit» (fr:4071) [quanto essa sia stata esattamente, apparirà in seguito dall’attenta considerazione delle latitudini]. Liberata dalla parallasse diurna e supponendo nessuna rifrazione, la latitudine boreale risulterebbe «1°.9’.45” Bor.» (fr:4072) [1° 9’ 45” Nord]. La parallasse in longitudine, data l’altezza del nonagesimo di 26°, è di 2’ 38” all’orizzonte, ma Marte dista 40 gradi dal nonagesimo e la correzione effettiva di longitudine è 1’ 42” in avanti, «quibus Mars in consequentia projectior est quam si ex centro terrae fuisset inspectus» (fr:4079) [per cui Marte appare più avanzato nel senso del moto di quanto sarebbe se fosse stato osservato dal centro della Terra].

Keplero introduce poi una considerazione fisica sulla rifrazione: mentre le stelle fisse si osservano in aria purissima, l’opposizione di Sole e Marte agita l’atmosfera, perciò è più probabile che Marte subisca le stesse rifrazioni solari, maggiori di quelle delle fisse: «mihi probabilius est, easdem cum Sole … refractiones subisse, eo quod oppositio Solis et Martis cieat aerem, Fixae vero observentur aere defaecatissimo» (fr:4080) [a me sembra più probabile che abbia subito le stesse rifrazioni del Sole, poiché l’opposizione di Sole e Marte agita l’aria, mentre le stelle fisse sono osservate in aria purissima]. Tuttavia, posto che non vi sia rifrazione, e collocando Marte a 3° 57’, il Sole si trovava a 5° 36’ 20“; Marte aveva superato l’opposizione di 1° 39’ 20” (fr:4081‑4086). Usando il moto diurno di Marte (22’ 8“) e del Sole (58’ 10”), somma 1° 20’ 18“, il tempo che manca all’opposizione è di 1h 5m 42s: «Ergo articulus oppositionis fuit die XIV Aprilis hora VI M. XXIII. P. M.» (fr:4095) [Dunque il momento dell’opposizione fu il 14 aprile, alle 6h 23m pomeridiane]. La longitudine risultante è 4° 24’ 30”, ma potrebbe essere leggermente maggiore se ci fu rifrazione o se la parallasse diurna fu assunta troppo grande (fr:4096‑4098). Poiché il pianeta dista appena 12 gradi dal nodo, la riduzione all’orbita comporta soltanto 24” circa, un’inezia: «Pro reductione ad orbitam insensibile quippiam esset adimendum, cum vix XII gradibus absit a nodo, secunda circiter 24, quae sunt nullius momenti» (fr:4099) [Per la riduzione all’orbita sarebbe da togliere un che d’insensibile, poiché dista appena 12 gradi dal nodo, circa 24 secondi, che non hanno alcun peso]. La latitudine, in diminuzione dall’8 marzo, non raggiunse il massimo all’opposizione: «Etenim latitudo inde ab octavo Martii decrescebat, neque maxima fuit in oppositione» (fr:4101) [Infatti la latitudine dall’8 marzo in poi decresceva, né fu massima all’opposizione].

La terza opposizione risale al 6 giugno 1591, Marte osservato alle 12h 20m «in 27°. 14’. 42” ? cum latitudine 3°· 55’ Meridiana» (fr:4103‑4106) [in 27° 14’ 42” … con latitudine meridiana di 3° 55’]. La rifrazione era notevole perché il pianeta aveva un’altezza non superiore a 6 gradi, e per sicurezza si usava la tavola delle fisse, mentre non fu fatta menzione della parallasse (fr:4107). Marte distava dalla Terra metà della distanza solare, per cui la parallasse orizzontale superava 6’; Keplero la omette, in parte perché la rifrazione solare, più probabile, è di 4’ maggiore di quella impiegata da Brahe, tanto da annullare quasi la parallasse, e in parte perché Marte sul meridiano e prossimo al punto del solstizio invernale non possedeva parallasse in longitudine: «partim quia refractio ex tabula Solis … suppeditatur per 4’ auctior … quibus parallaxis pene tollitur: partim quia Mars in meridiano et prope punctum brumale nullam habuit longitudinis parallaxin» (fr:4109) [in parte perché la rifrazione ricavata dalla tavola solare … fornisce un valore aumentato di 4’ … col che la parallasse viene quasi eliminata; in parte perché Marte sul meridiano e prossimo al punto del solstizio invernale non aveva parallasse in longitudine]. La latitudine andrà comunque verificata, perché la parallasse spinge il pianeta troppo verso sud: «De latitudine tamen videndum infra parte quinta, annon aliquot scrupulis minor fuerit, parallaxi scilicet Planetam nimis in Austrum projiciente» (fr:4110) [Quanto alla latitudine, è da vedere in seguito nella quinta parte se non sia stata di qualche minuto più piccola, poiché la parallasse spinge il pianeta troppo verso Sud]. A calcolo effettuato, la differenza tra gli astri è 2° 16’ 10“, i moti diurni sommano 1° 15’ 20”; l’intervallo corrispondente è 1d 19h 20m 24s, che aggiunto al 6 giugno porta l’opposizione all’8 giugno, 7h 43m, con Marte in 26° (fr:4111‑4129).

L’insieme di queste riduzioni mostra come Keplero, ereditando le osservazioni di Brahe, affrontasse le incertezze strumentali e atmosferiche con un rigore che anticipa la moderna analisi degli errori sistematici. Ogni correzione – parallassi di latitudine e longitudine, scelta della tavola di rifrazione, riduzione al piano orbitale – viene vagliata e rimandata, quando necessario, a verifiche successive. È la cronaca di un passaggio essenziale verso la determinazione della vera orbita di Marte e, più in generale, delle leggi del moto planetario.

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32 Osservazioni delle opposizioni di Marte nel De Motibus Stellae Martis

Una serie di determinazioni scrupolose della posizione di Marte all’opposizione, condotte in anni diversi e corredate da calcoli di riduzione, che testimoniano la meticolosità necessaria per fondare una nuova astronomia.

Il testo raccoglie osservazioni e calcoli relativi alla posizione di Marte in prossimità della sua opposizione al Sole, eseguiti da Keplero basandosi principalmente su dati di Tycho Brahe. L’obiettivo è fissare con la massima precisione possibile longitudine e latitudine eclittiche del pianeta, elementi cruciali per la determinazione della sua orbita. I dati sono organizzati in sezioni numerate, corredate da una gran quantità di misure angolari e calcoli di correzione.

L’osservazione del 24 agosto 1593, “hora X M. XXX inventus est locus Martis eclipticus in 12°. 38’ X cum latitudine 6°. 5’. 30” Australi“ (fr:4138-4141), fornisce una prima posizione. Si nota come la latitudine sia “Latitudo sex scrupulis major quam VI Junii, quia ex Qbservationum fide hic crescit latitudo usque ad diem ab oppositione quadragesimum” (fr:4134) [Latitudine maggiore di sei scrupoli rispetto al VI Giugno, poiché in base all’attendibilità delle Osservazioni la latitudine cresce qui fino al quarantesimo giorno dall’opposizione], evidenziando un’analisi dinamica del dato. Keplero calcola poi l’istante esatto dell’opposizione, stimata per il 26 agosto mattina, con il luogo di Marte corretto a “12°. 16’ X. Latitudo 6°. 2’ meridiana proxime” (fr:4161-4163). Già qui si affaccia un tema ricorrente dell’opera: la difficoltà e l’incertezza delle correzioni, poiché si spera che le variazioni orizzontali “se mutuo confecerint” (fr:4163) [si siano elise a vicenda].

Il metodo per trovare l’opposizione vera è mostrato in dettaglio. Dalla distanza angolare tra Marte e il Sole e dalla somma dei loro moti diurni, si ricava il tempo necessario per colmare la distanza residua. È il procedimento usato per il 31 ottobre 1595, dove dalla distanza di “56’. 45”“ (fr:4173-4174) e dalla somma dei moti diurni del Sole e di Marte, “prodeunt 40’. 4i’ diei, vel horae XVI M. XIX. Itaque vera oppositio D. XXXI Octob. H. ° M. XXXIX post meridiem” (fr:4180-4183) [risultano 40’ (frazione) di giorno, ovvero ore XVI M. XIX. Perciò la vera opposizione il giorno XXXI Ottobre, ore ° M. XXXIX pomeridiane]. In questo caso, al nodo, la riduzione all’orbita non serve, dato che Marte “pene in ipso nodo versetur” (fr:4187) [si trova quasi nello stesso nodo].

Un diverso grado di fiducia nei dati traspare nell’opposizione del 14 dicembre Stimata la posizione, Keplero commenta la necessaria riduzione all’orbita definendola “ridicula sane hoc loco, cum observatio ipsa aliquot scrupulorum incertitudinem habeat” (fr:4212) [certamente ridicola in questo caso, poiché l’osservazione stessa ha un’incertezza di alcuni scrupoli], a testimonianza di una consapevolezza critica sul limite dei dati. Nella stessa notte, viene confrontata l’osservazione indipendente di Fabricius in Frisia: “invenit FABRICIVS in Ostfrisia locum Martis in 3°. 40Y4,’ § cum latitudine 3°. 23’ B.” (fr:4218-4220). La differenza viene discussa con pacatezza, concludendo che “res pene eodem recidit” (fr:4221) [la cosa coincide quasi perfettamente], e che correggendo per il moto nel frattempo trascorso, Brahe e Fabricius differiscono di soli due scrupoli.

L’ultima sezione, relativa all’anno 1600, riporta scarni dati di posizione, “visus est PIaneta in 10°. 38’” (fr:4224-4225), che si legano idealmente alla sequenza di opposizioni con cui Keplero costruì la sua indagine nel De Motibus Stellae Martis, capitolo VIII da cui questo estratto è tratto. La precisione ostinata, le correzioni meticolose e l’uso comparato di osservazioni indipendenti mostrano la trasformazione dell’astronomia in una disciplina guidata dal confronto serrato tra modello e osservazione.

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33 Determinazione della posizione di Marte presso l’opposizione del 1602 con strumenti ticonici

Misure angolari, correzioni strumentali e trigonometriche, e calcolo della parallasse conducono alla longitudine e latitudine di Marte, fissando un caposaldo per la riforma dell’astronomia.

La sera del 21 febbraio 1602, con l’ausilio degli strumenti costruiti da Tycho Brahe e la collaborazione del suo ex allievo Matthias Seiffart, vennero eseguite misure cruciali per fissare la posizione di Marte in prossimità di un’opposizione. Il nucleo dell’operazione fu la determinazione della distanza angolare tra il pianeta e alcune stelle fisse di riferimento.

«Anno MDCII D. X::I Febr. vesperi horaX M. XXX instrumentis Tychonicis (adjuvante studioso MATTHIAE SEIFFARDO a TYCHONE relicto) accepi distantiam Martis a media caudae Ursae majoris 52°.» – (fr:4249) [Nell’anno 1602, il 21 febbraio, di sera alle ore 10 e 30, con gli strumenti ticonici (con l’aiuto dello studioso Matthias Seiffart, lasciato da Tycho) presi la distanza di Marte dalla stella media della coda dell’Orsa Maggiore: 52°.]

La precisione dello strumento venne verificata immediatamente misurando l’arco tra Regolo (Cor Leonis) e Procione. L’esito rivelò un errore sistematico del sestante:

«Cumque distantia inter Cor ḥ et Procyonem fuerit 37°. 22′. 20″, quae debuit esse 37°. 19′ 50″, hinc intellectum, abundare Sextantem 2~ minutis.» – (fr:4257-4258) [E poiché la distanza tra il Cuore del Leone e Procione risultò 37° 22′ 20″, mentre doveva essere 37° 19′ 50″, da ciò si comprese che il sestante eccedeva di 2 minuti.]

Di conseguenza, tutte le distanze osservate di Marte furono corrette: quella dalla coda dell’Orsa Maggiore divenne 52° 19′ 30″. Poiché la latitudine della stella fissa è 56° 22′, una semplice sottrazione avrebbe dato una latitudine di Marte di 4° 2′ solo se i due astri avessero condiviso la stessa longitudine. La piccola differenza in longitudine, ricavabile dalle osservazioni successive, impose una correzione trigonometrica:

«quia interfuit differentia 3% graduum (ut ex sequentibus observationibus apparet), correctiuncula est adhibenda. Sit enim AB in parallelo eclipticae proximo 3°. 43′. 30″, B Mars, C Fixa, et BC 52°. 19′ 30″. Diviso secante BC per secantem AB prodit lO secans CA 52°. 14′. qui ablatus a 56°. 22′ (latitudine Fixae) relinquit 4°. 8′ Boream visam latitudinem Martis.» – (fr:4263-4271) [Poiché vi fu una differenza di 3 gradi e oltre, si deve applicare una piccola correzione. Sia AB, nel parallelo prossimo all’eclittica, 3° 43′ 30″, B Marte, C la stella fissa, e BC 52° 19′ 30″. Dividendo la secante di BC per la secante di AB si ottiene la secante di CA 52° 14′. Sottratta questa da 56° 22′ (latitudine della stella) lascia 4° 8′, latitudine boreale osservata di Marte.]

Contemporaneamente furono misurate le distanze da Regolo e dalla stella lucida dell’ala della Vergine (Spica), ottenendo rispettivamente 19° 20′ 30″ e 21° 17′ 30″ dopo correzione. Combinando questi valori con le latitudini note delle stelle e con la latitudine di Marte appena determinata, si giunse a una longitudine concorde:

«Ex quibus duabus distantiis (mediantibus latitudinibus stellarum et Martis) inventa est longitudo Martis in 13°. 19′ 6″ llV, consentientibus vicibus.» – (fr:4277-4278) [Dalle quali due distanze (mediante le latitudini delle stelle e di Marte) si trovò la longitudine di Marte in 13° 19′ 6″ Leone, in accordo reciproco.]

Un procedimento alternativo, basato sull’altezza meridiana di Marte ottenuta con due quadranti, fornì una longitudine di 13° 19′ 30″ Leone, confermando il risultato principale.

Poiché Marte si trovava a una distanza dalla Terra superiore alla metà della distanza Terra-Sole, la parallasse non era trascurabile. Con il nonagesimo distante dal vertice circa 32°, si calcolò la parallasse in latitudine:

«Itaque distabat nonagesimus a vertice circiter 32°. Et quia Mars amplius dimidio ejus quo Sol abest a terra abfuit, parallaxis igitur circiter 5 minutorum e regione gr. 32° (in Parallactica nostra) exhibet latitudinis parallaxin 2′.41″ : ut fuerit latitudo Septentrionalis quanta ex centro terrae spectaretur 4°. 10′.» – (fr:4292-4293) [Pertanto il nonagesimo distava dal vertice circa 32°. E poiché Marte distava più della metà della distanza del Sole dalla Terra, la parallasse di circa 5 minuti nella regione di grado 32° (nella nostra Parallattica) fornisce una parallasse in latitudine di 2′ 41″: cosicché la latitudine settentrionale vista dal centro della Terra sarebbe 4° 10′.]

La correzione in longitudine venne dalla parallasse orizzontale e dalla distanza angolare dal nonagesimo (38°), che diede 2′ 36″ da sottrarre:

«Sed quia Mars a nonagesimo abest 38 gradibus, respondet hujus loci parallaxis longitudinis 2′. 36″, qua liberatus Mars reponeretur in 13°. 18′ nv proxime.» – (fr:4298-4300) [Ma poiché Marte dista dal nonagesimo 38 gradi, la parallasse in longitudine di questo luogo corrisponde a 2′ 36″, tolta la quale Marte si collocherebbe in 13° 18′ Leone circa.]

La posizione del Sole in quell’istante era 10° 16′ 42″ Pesci, e la distanza tra gli astri risultava 3° 1′ 18″. Con i moti diurni noti – il Sole avanzava di 19′ 4″ e Marte di 24′ 5″ – si poté calcolare il momento esatto dell’opposizione vera. Essa si verificò dopo il 21 febbraio, nelle ore antelucane del 3 marzo, con Marte collocato in 12° 27′ 35″ Vergine. Una volta depurata la posizione per la riduzione all’orbita sottraendo 40 secondi, la longitudine eliocentrica di Marte venne fissata a 12° 27′ Vergine. L’intera procedura mostra come la combinazione di misure di precisione, correzione strumentale, trigonometria sferica e calcolo della parallasse consentisse di ottenere dati di base imprescindibili per il successivo lavoro teorico sulle orbite planetarie.

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34 Le osservazioni di Marte e la ricerca della sua esatta posizione

Metodi di calcolo e dati osservativi per determinare la longitudine e la latitudine di Marte, nel confronto con le stelle fisse e nel quadro dell’eredità di Tycho Brahe.

Il resoconto si apre con un richiamo a un metodo già esposto, la cui spiegazione è rinviata a un altro scritto: “llV A’t’E:Xv(o;C; ratioest rcdditainlibro destellaSerpentarii.” - (fr:4321) [La ragione del calcolo è stata resa nel libro sulla stella del Serpentario]. Si forniscono poi coordinate di riferimento, come per Procione: “l) Procyonis 19· 39) 12 grado 17 min.” - (fr:4322) [Procione 39) 12 gradi 17 minuti]. Si entra subito nel vivo della questione marziana: “DE MOTIBVSSTELLAEMARTIS latitudine paulo minore quam prius.” - (fr:4323) [Sui moti della stella di Marte, con latitudine un poco minore di prima], precisando che “decrescebat enim latitudo.” - (fr:4324) [infatti la latitudine decresceva]. I valori sono stimati intorno a “circiter 4 gr. lO min. aut 4 gr. 7Y:3 min.” - (fr:4325-4328) [circa 4 gradi e 10 minuti, oppure 4 gradi e 7 minuti e mezzo], il tutto “neglecta parallaxi.” - (fr:4329) [trascurata la parallasse].

A questo punto si introduce una collaborazione esterna, preziosa per colmare una lacuna. L’autore, rimasto con osservazioni più rade dopo la scomparsa di Tycho Brahe, si rivolge a un corrispondente: “Sed quia observationes a morte TYCHONIS rariores a nobis I sunt 88 habitae nec continuatis diebus, lubet securitatis causa consulere etiam illas observationes, quas DAvID FABRICIVS in Frisia Orientali sedulus Astronomiae cultor mecum communicavit.” - (fr:4330) [Ma poiché dopo la morte di Tycho le osservazioni da noi condotte sono state più rare e non in giorni continuativi, per sicurezza è opportuno consultare anche quelle osservazioni che David Fabricius, diligente cultore di astronomia nella Frisia Orientale, ha condiviso con me]. Viene quindi descritta l’osservazione di Fabricius del 16 febbraio (stile antico), alle cinque del mattino. Egli misurò le distanze del pianeta dalla coda del Leone per la latitudine, e dal collo del Leone e dalla stella australe dell’ala della Vergine per verificare con un duplice argomento la longitudine.

L’autore considera la possibilità di usare il metodo di Tycho, ma lo scarta per brevità: “Possim uti argumentatione TYCHONIS, qua uti solebat tomo primo Progymnasmatum, quando declinatio Planetae (ut hic) defuit. Sed quia modus ille diffunditur in decem operationes, malo brevitatis caussa agere ut prius in meis observationibus. Nam nihil subest periculi.” - (fr:4332-4334) [Potrei servirmi del procedimento di Tycho, che era solito usare nel primo tomo dei Progymnasmata, quando la declinazione del pianeta (come qui) mancava. Ma poiché quel metodo si dilunga in dieci operazioni, preferisco per brevità procedere come in precedenza nelle mie osservazioni. Non vi è infatti alcun pericolo]. Seguono le coordinate stellari di partenza: l’ala della Vergine è a 4° 36’ 30” della Vergine con latitudine boreale di 2° 50”. “Ab ea invenit FABRICIVS distare Martem in antecedentia 20°. 18’.” - (fr:4338-4339) [Da essa Fabricius trovò che Marte distava verso occidente 20° 18’]. Ne consegue una prima stima della posizione: “Ergo reponitùr Mars proxime in 14°. 18’.3°” 11p. quod praesciendum est crassa Minerva. paulo post corrigetur haec longitudo.” - (fr:4340-4343) [Quindi Marte si colloca approssimativamente a 14° 18’ dei Pesci, cosa che va saputa alla buona; poco dopo questa longitudine verrà corretta].

Viene integrata una seconda stella di riferimento: la coda del Leone, posta a 16° 4’ della Vergine con latitudine boreale di 12° 18’. “Et Mars a Cauda inventus est distare per 8°! 17’.” - (fr:4347-4348) [E Marte fu trovato distare dalla Coda di 8° 17’]. Si procede quindi con un calcolo trigonometrico per trovare la distanza angolare sul parallelo, dato che la differenza in longitudine è di 1° 45’. Il procedimento è descritto in dettaglio: “Quaeritur distantia ejus paralleli a Cauda, cum sit longitudinis differentia 1°. 45’. Diviso secante 8°. 17’ per secantem 1°. 45’, prodit secans 8°. 6’ arcus quaesiti.” - (fr:4349-4354) [Si cerca la distanza del suo parallelo dalla Coda, essendo la differenza di longitudine 1° 45’. Diviso il secante di 8° 17’ per il secante di 1° 45’, risulta il secante di 8° 6’ dell’arco cercato]. Questo arco, sottratto dalla latitudine boreale della stella fissa, fornisce la latitudine di Marte: “Qui a 12°. 18’ Boreali Fixae latitudine ablatus relinquit Martis Borealem latitudinem 4°. 12’.” - (fr:4355-4356) [Il quale, sottratto dalla latitudine boreale della stella fissa di 12° 18’, lascia la latitudine boreale di Marte di 4° 12’].

Assunta questa latitudine come certa, l’autore applica leggi trigonometriche per calcolare la longitudine dalle varie stelle, ottenendo valori leggermente diversi: 14° 19’ della Vergine dall’ala, 14° 23’ 36” dal collo del Leone. La media di questi risultati è “14°. 21’. 18” 11V” - (fr:4362-4363) [14° 21’ 18” della Vergine]. Si nota una discrepanza strumentale: “ut sextans distantias justo auctiores prodiderit, unde et latitudo prodiret 4°. 14’ Borealis.” - (fr:4363-4364) [cosicché il sestante avrebbe prodotto distanze un po’ troppo grandi, da cui risulterebbe anche una latitudine di 4° 14’ boreale].

La notte successiva al 23 febbraio, a mezzanotte, Fabricius osserva Marte da cinque stelle fisse: dalla coda del Leone e da Arturo per la latitudine, dalla Spica della Vergine per la longitudine, e dal collo e cuore del Leone come verifica incrociata. L’autore prevede la posizione in modo approssimativo: “Mechanice seu conjectando praevideo Martem incidere in 11 ~ ° 11p.” - (fr:4366) [Meccanicamente, o per congettura, prevedo che Marte cada a 11 gradi del Leone]. Vengono riportate le distanze misurate: 9° 24’ dalla coda della Vergine, che produce una latitudine di 4° 6’. Con questa latitudine e le distanze dalle altre stelle (Regolo 17° 26’, collo della Vergine 17° 51’, Spica 37° 28’, Arturo 44° 15’), si ricavano longitudini nuovamente discordanti. Marte risulta spinto meno verso oriente dal Cuore e dal Collo del Leone, e più verso occidente da Spica e soprattutto da Arturo, “quia is magnam habet latitudinem 40 Septentrionalem” - (fr:4383) [perché esso ha una grande latitudine settentrionale, 40]. Ancora una volta le distanze misurate “peccant excessu” - (fr:4382) [peccano per eccesso]. Escludendo Arturo, il valore medio di longitudine è “11°. 19’ 20” 11V“ - (fr:4385) [11° 19’ 20” della Vergine], ritenuto prossimo alla verità, con una latitudine pure maggiore di “4°. i. 40” Borealis“ - (fr:4386-4388) [4° 1’ 40” boreale].

L’autore calcola quindi il moto del pianeta tra le due osservazioni: “Igitur a XV Februarii hora XVII ad XXIII Februarii hor. XII per dies VII horas XIX motus est Mars gradus 3 minuto o. Horis CLXXXVII minuta CLXXX. V na hora propemodum unum minutum.” - (fr:4389-4391) [Dunque dal 15 febbraio, ore 17, al 23 febbraio, ore 12, in 7 giorni e 19 ore, Marte si è mosso di 3 gradi e 0 minuti. In 187 ore, 180 minuti. Circa un minuto ogni ora]. Introduce poi una riflessione critica sull’effetto della parallasse: essa potrebbe aver sottratto qualcosa alla longitudine il 16 febbraio e avervi aggiunto qualcosa il Considerando che l’ultima osservazione precede di pochi giorni il momento dell’opposizione da lui calcolato, viene applicata una correzione temporale per estrapolare la posizione esatta all’opposizione. “adde igitur motum huic tempori respondentem prodibit locus 12°.26’ l1V.” - (fr:4395-4396) [si aggiunga dunque il moto corrispondente a questo tempo, 1° 0’ 1’‘; risulterà la posizione 12° 26’ della Vergine]. Questo risultato è celebrato per la sua straordinaria concordanza, considerando le condizioni osservative: “Consensus itaque pulcherrimus est nec major esse potest, quod soli simus uterque nec iis instructi commoditatibus quibus TYCHO BRAHE.” - (fr:4396) [L’accordo è dunque bellissimo, né può essere maggiore, dato che eravamo entrambi soli e non forniti di quei comodi di cui disponeva Tycho Brahe].

Le latitudini sono riviste alla luce delle correzioni: il 16 febbraio era 4° 12’, il 23 era 4° 7½’, cosicché nel giorno intermedio, il 21, doveva essere coerentemente 4° 9’, valore leggermente maggiore per la detrazione della parallasse. L’autore concorda, avendo egli stesso ipotizzato un valore appena inferiore a 4° 10½’, ovvero 4° 10’ XII.

Un’ultima verifica osservativa viene condotta anni dopo, nel 1604, basandosi sulla sua stessa effemeride. “Denique anno MDCIV, cum jam scriptam Ephemerida exhib . . PI . XXIX et XXX Martii Ulssem, m qua aneta nocte mter VIII et IX Aprilis reponeretur in lineam ex Arcturo in Spicam, id quidem manifeste apparuit.” - (fr:4405-4406) [Infine nell’anno 1604, quando mostrai l’effemeride già scritta il 29 e 30 marzo, nella quale era previsto che la notte tra l’8 e il 9 aprile Marte si sarebbe allineato sulla retta tra Arturo e Spica, ciò effettivamente si manifestò]. L’osservazione diretta della notte è descritta con chiarezza: la sera dell’8 aprile il pianeta pendeva verso oriente, mentre il 9 aveva già oltrepassato la linea. Con un sestante, l’autore e il suo assistente misurarono la distanza tra Arturo e Spica in 33° 4’, contro un valore calcolato di 33° 1½’, con un eccesso di 2½’. Misurarono poi la distanza Arturo-Marte in 29° 43½’, corretta quindi a 29° 41’. “Cumque sit Arcturi latitudo 31°. 2~’ Borealis, relinquebatur latitudini Martis 2°.” - (fr:4414-4415) [Ed essendo la latitudine di Arturo 31° 2½’ boreale, rimaneva per la latitudine di Marte 2°].

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35 La determinazione dei luoghi eccentrici di Marte e la ricerca dell’ipotesi per la prima disuguaglianza

Keplero espone il laborioso calcolo di una posizione marziana, la riduzione per parallasse e la compilazione di dodici luoghi eccentrici, confessando il lungo errore che lo aveva fuorviato; apre poi il capitolo sul metodo tolemaico per la prima disuguaglianza.

L’analisi si apre con una serie di misurazioni di distanze angolari fra Marte e stelle fisse. L’autore annota: «21 W. Tunc inter Cor 6ì et Martem 54°. 8~‘, et statim inter Cor 6ì et Spicàm tantundem.» (fr.4416–4417) [Allora, tra il Cuore del Leone e Marte 54° 8′, e subito tra il Cuore del Leone e la Spica altrettanto.]. Il valore vero però «debuit autem 54°. 2’» (fr.4418–4419) [doveva essere 54° 2′], cosicché «Abundassent itaque 6~ minuta.» (fr.4420) [sarebbero pertanto ecceduti 6 minuti.]. Dapprima l’eccedenza era parsa di soli 2 minuti (fr.4421), ma lo scarto reale di 4 minuti rimane inspiegabile: «Haec ambiguitas 4 minutorum unde esset, discerni non potuit impedimentis objectis, ut pergere observando non potuerimus.» (fr.4422) [Questa ambiguità di 4 minuti, da dove provenisse, non si poté discernere a causa di impedimenti che si opposero, così che non potemmo proseguire ad osservare.]. L’osservatore sospetta un errore d’identificazione, «et peccatum circa Spicam, forte quod pro Spica Mars resumptus. erant enim propinqui invicem.» (fr.4426–4427) [e un errore intorno alla Spica, forse perché Marte fu preso per la Spica; erano infatti vicini tra loro.].

Accettando infine un eccesso di 2 primi (fr.4423) e fissando la distanza Marte‑Cuor di Leone a 54° 6′ (fr.4424–4425), si ricavano latitudine e longitudine marziane: «Prodit hinc latitudo Martis 2°. 21 W, longitudo 18°. 25’ ~.» (fr.4428–4430) [Di qui risulta la latitudine di Marte 2° 21′ W, longitudine 18° 25′ ~.]. L’ora dell’osservazione è desunta dal culminare del dorso del Leone, «cujus ascensio recta 163°. 13’ tempore observationis.» (fr.4431–4432) [la cui ascensione retta al momento dell’osservazione era 163° 13′.], e dal luogo del Sole a mezzogiorno, «Solis vero in meridie locus 18°. 56’. 24” ‘V’, cujus ascensio recta 17°. 55’’» (fr.4433–4435) [Il luogo del Sole a mezzogiorno è 18° 56′ 24″ in (segno) ‘V’, la cui ascensione retta è 17° 21′ 55″]. La differenza delle ascensioni rette, 145° 45′, equivale a «horas IX M. XLIII» (fr.4437) [ore 9 e 43 minuti], mentre «Oriebatur 22~0 lTl.» (fr.4438) [Sorgeva 22° lTl.].

La posizione del nonagesimo e la distanza Terra‑Marte offrono la base per la parallasse. «Ergo nonagesimi distantia a vertice 39°, distantia Martis et terrae paulo major dimidia Solis et terrae. Parallaxis ergo 5~’ circiter, et latitudinis 3’. 28“.» (fr.4439–4440) [Dunque la distanza del nonagesimo dal vertice è 39°, e la distanza di Marte dalla Terra è poco più della metà di quella Sole‑Terra; perciò la parallasse circa 5′, e per la latitudine 3′ 28″.]. Rimossa la parallasse, la latitudine libera sale a «2°. 25’» (fr.4442–4443), ma Keplero aggiunge cautela: «quae an recte liberata sit, infra considerabimus.» (fr.4444) [se sia stata correttamente liberata, lo considereremo più avanti.]. Con l’altezza del nonagesimo di 51° e la distanza di Marte da esso di 56°, «ergo longitudinis parallaxis 3’. 32”.» (fr.4445–4446) [perciò la parallasse in longitudine 3′ 32″.]; la posizione corretta diventa «Esset itaque Mars in 18°. 21~’ ~.» (fr.4447) [Sarebbe quindi Marte in 18° 21′ ~.]. Il luogo del Sole al momento dell’osservazione è «19°. 20’. 8” ‘V’.» (fr.4449) [19° 20′ 8″ in ‘V’.], le distanze angolari e i moti diurni — «Solis diurnus 58’. 38”, Martis 22’. 36”» (fr.4452–4454) — e il confronto con anni precedenti (1587: 24′, 1589: 22′ 8″; fr.4455–4456) permettono di calcolare il momento dell’opposizione vera: «Quibus elementis concluditur oppositionem veram praecessisse horis XVII M. XX nempe die XXIX Martii h IV M II . … VIII Aprilis hora XXI matutina.» (fr.4460–4462) [Con questi elementi si conclude che la vera opposizione precedette di 17 ore e 20 minuti, cioè il giorno 29 marzo alle ore 4 e 2 minuti; … l’8 aprile all’ora 21 mattutina.]. Il luogo marziano all’opposizione si fissa a 18° 37′ 50″ (fr.4463–4465) e, sottraendo circa 39 secondi per la riduzione all’orbita, «ut sit locus Martis in 18 grado 37 minuto 10 secund. ~.» (fr.4467–4468). La latitudine è «exiguo major quam 2 gr. 25 min. Borealis» (fr.4470) [di poco maggiore di 2° 25′ boreale], sebbene senza parallasse fosse 2° 22′ (fr.4472–4473).

A questo punto Keplero dichiara di aver ricavato con la massima cura dodici luoghi eccentrici di Marte, totalmente spogliati della seconda disuguaglianza in longitudine. Il commento che accompagna la lista è carico di pathos e di consapevolezza storica: «Atque haec duodecim loca eccentrica Martis (exuta scilicet quo ad longitudinem omni inaequalitate secunda) omni possibili diligentia constituta sunto. Si quid me in tam spinoso labore fugit etiamnum (fugerat autem aliquando per octodecim mensium spacium, me falso fundamento falso inquam applicatae observationi inniti et in vanum tam diu laborare), id equidem nulla ratione possum animadvertere.» (fr.4475) [E questi dodici luoghi eccentrici di Marte (spogliati cioè, quanto alla longitudine, di ogni seconda disuguaglianza) siano stabiliti con ogni possibile diligenza. Se qualcosa in un così spinoso lavoro mi è ancora sfuggita (e mi era già sfuggita talvolta per il periodo di diciotto mesi, appoggiandomi a un falso fondamento, dico falso, applicato all’osservazione, e lavorando invano per tanto tempo), ciò davvero non posso in alcun modo accorgermene.].

Segue, sotto la dicitura «Stylo veteri Longitudo Latitudo Long. media» (fr.4481), la tabella dei dodici luoghi. L’autore spiega di aver aggiunto le longitudini medie tratte da Tycho Brahe, non già per un bisogno immediato — «Nam si correctione indigebit motus medius, postmodum eam inveniet. In praesentia nobis serviet nihilominus ad interstitia temporum metienda sine errore sensibili.» (fr.4479–4480) [Se il moto medio avrà bisogno di correzione, la si troverà in seguito; frattanto ci servirà per misurare gli intervalli di tempo senza errore sensibile.] — e che avrebbe potuto servirsi delle tavole pruteniche o di un calcolo particolare, ma ciò non era necessario (fr.4476–4478). La tabella abbraccia un arco di ventiquattro anni, dal 18 novembre 1580 al 28 marzo 1604; ogni riga riporta anno e giorno, longitudine osservata (con segno zodiacale), latitudine boreale o meridionale e longitudine media.

L’estratto si chiude con l’inizio del capitolo dedicato al metodo per costruire l’ipotesi della prima disuguaglianza. «METHODVS INQVIRENDI HYPOTHESIN PRO INAEQV ALITATE PRIMA SALVANDA. PTOLEMAEVS libro IX Operis Magni capite IV primam inaequalitatem Planetarum aggressurus praemittit superficiariam quandam declarationem suppositionum quibus velit uti.» (fr.4496) [Metodo per investigare l’ipotesi atta a rendere ragione della prima disuguaglianza. Tolomeo, nel libro IX del Grande Opera, capo IV, affrontando la prima disuguaglianza dei pianeti, premette una dichiarazione superficiale delle supposizioni di cui intende servirsi.]. La premessa tolemaica è che «Cernimus Planetam in oppositis semicirculis inaequaliter immorari.» (fr.4497) [Vediamo il pianeta trattenersi in modo disuguale in semicircoli opposti.]. Per Marte, l’arco da un punto in Ariete a un punto in Vergine è minore di un semicircolo, mentre l’arco opposto è maggiore; eppure «inventus est Planeta diutius commorari in illo quam in hoc, cum ex aequalitatis lege contrarium oportuerit.» (fr.4499) [si trova che il pianeta dimora più a lungo nel primo che nel secondo, mentre per la legge di uniformità sarebbe dovuto accadere il contrario.]. L’esempio numerico riportato (fr.4500–4506) mostra che il tratto più breve eccede il semicircolo e occupa più della metà del tempo periodico, un’anomalia che motiva la costruzione di un eccentrico o di un epiciclo. Con questo richiamo all’Almagesto, Keplero getta le basi per il proprio esame teorico della prima ineguaglianza, fondato sui dati appena esposti.

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36 I calcoli di Keplero per l’ipotesi vicaria di Marte

Un frammento aritmetico dall’Astronomia Nova, parte seconda, capitolo XVI, dove Keplero saggia il modello a eccentrico mobile con equante tramite una sequenza serrata di correzioni precessionali, posizioni osservate e rapporti trigonometrici.

Il testo riporta il procedimento con cui Giovanni Keplero, fondandosi sulle osservazioni di Tycho Brahe, ricava le posizioni di Marte a diverse opposizioni e ne stima le distanze dal punto A (centro dell’equante). L’incipit richiama il dato braheano della precessione: “40”, motus annuus Fixarum est 5 1 secunda, ut BRAHEVS demonstravit in Progymnasmatis.“ – (fr:4634) [il moto annuo delle stelle fisse è di 51 secondi, come Brahe dimostrò nei Progymnasmi]. Su questa base, Keplero calcola l’effetto accumulato fra gli intervalli di tempo che separano le osservazioni. Per il periodo dal 6 marzo 1587 all’8 giugno 1591, ovvero “IV anni III menses” – (fr:4635), assegna “de motu praecessionis 3’· 37”“ – (fr:4636). Analogamente, dal 6 marzo 1587 al 25 agosto 1593 intercorrono ”VI anni menses V~“ – (fr:4641) a cui compete un moto di precessione di ”5’. 30’’“ – (fr:4642‑4643), e dal 1587 al 31 ottobre 1595 ”anni IIX menses VII fere” – (fr:4648) che corrispondono a “motus i. 18”“ – (fr:4649‑4650). Tali valori permettono di collocare Marte nei tre istanti: per il 1591 “in 26°. 39” 23”’ ?, longitudo media 9 s• 8°· 50’· 40’’ . 18’’“ – (fr:4637‑4640); per il 1593 “in 12°. 10’. 30” X” – (fr:4643‑4645); per il 1595 “in 17°. 24’. 22” ~“ – (fr:4651‑4654).

Keplero fissa quindi l’afelio di Marte all’epoca di partenza: “Ponemus autem primo apogaeum vel aphelium anno MDLXXXVII in ° 44’. o” ~.“* – (fr:4656‑4658) [Porremo dapprima l’apogeo o afelio nell’anno 1587 a 28°44’0” in Vergine]. Subito dopo incrementa le longitudini medie di 3’16” per armonizzarle con le osservazioni, ottenendo i valori: ”6 s• 0°. 5 o’ . 56“. 9 s• 5°. 43’ . 34” 11 s. 9°. 52’. 5 o“. 1 s • 7°. lO’. i’.” – (fr:4660‑4670). A questo punto introduce lo schema geometrico del modello vicario. Il punto C è il centro dell’eccentrico, H l’afelio, mentre F, G, D, E sono le posizioni di Marte proiettate sull’orbita. Con CH già noto (28°44’ in Vergine) e le distanze angolari CF, CD, CG, CE dedotte dalle osservazioni, Keplero calcola gli angoli al centro C come FCH, HCD, HCG, HCE e i rispettivi complementi (fr:4671‑4692). La frase ”Pro angulis aequationum”* – (fr:4693) introduce l’equazione del centro.

Per le distanze dal punto A fissa la scala: “Capiat AC nomen” – (fr:4704) [Si prenda AC come 10000]. Poi applica la proporzione trigonometrica: “Vt igitur anguli aequationum ad AC, sic anguli C ad lineas ex A. Dividendi sunt igitur sinus angulorum C in 10000 multiplicati per sinus angulorum aequationum.” – (fr:4705) [Come dunque gli angoli delle equazioni stanno ad AC, così gli angoli C stanno alle linee condotte da A. Si devono pertanto dividere i seni degli angoli C moltiplicati per 10000 per i seni degli angoli delle equazioni]. Nella tavoletta che segue compaiono i seni di FCH (53163), GCH (79928), DCH (19240), ECH (92966) e i seni degli angoli in A: CFA 8945, CGA 15764, CDA 4004, CEA I calcoli forniscono le lunghezze AF, AG, AD, AE e i corrispondenti angoli: “AF 25°. 43’. o” nv AG 26°. 39’ . 23” .,l’ AD 12°. lO’. 3° X AE 17°· 24· 22” ~“ – (fr:4713‑4726). Vengono infine determinati gli archi compresi tra queste direzioni, quali FAG “90°. 56’. 23” (fr:4719‑4721), GAD “75· 7” e il complemento a semicerchio “89· 3· 37” e “104· 53” (fr:4721‑4722), DAE “65. 13· 52” e EAF “128. 38” (fr:4726‑4729).

Significato storico. Il brano, collocato sotto il titolo “DE MOTIBVS STELLAE MARTIS” – (fr:4706) e nel capitolo XVI della parte seconda, documenta il tentativo di Keplero di salvare l’ipotesi vicaria con un equante. Il rigore ossessivo con cui viene trattata ogni correzione precessionale e ogni rapporto trigonometrico mostra la volontà di ridurre gli scarti a pochi minuti d’arco. Tuttavia, proprio il confronto tra le distanze AF, AG, AD, AE e le posizioni osservate metterà in luce un disaccordo irriducibile, spingendo Keplero ad abbandonare l’equante e a cercare la forma ellittica dell’orbita. Questo frammento di calcolo rappresenta quindi un crocevia della rivoluzione astronomica, il momento in cui l’evidenza numerica incrina il paradigma tolemaico e prepara la prima legge di Keplero.

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37 Analisi di un calcolo astronomico per l’orbita di Marte

Un denso frammento di calcolo iterativo mostra la meticolosa ricerca della corretta geometria orbitale, regolando angoli e distanze per far coincidere le somme teoriche con i dati osservativi, tra correzioni di errori e approssimazioni successive.

Il testo espone una procedura di raffinamento di parametri orbitali, molto probabilmente legati al moto di Marte, come suggerisce il titolo della sezione “DE MOTIBVS STELLA E MARTIS” (fr:4762). Il nucleo del problema ruota attorno alla determinazione di angoli in specifici punti (A, F, D) di una configurazione geometrica e alla verifica di una proprietà fondamentale: la somma di due angoli, indicati come F e D, deve tendere a un valore teorico. L’intero brano è un esempio vivido di calcolo astronomico pre-moderno, dove la geometria euclidea e la trigonometria sono gli strumenti per dare un ordine ai dati fisici.

La struttura logica del ragionamento si dipana in questi passaggi chiave:

La relazione geometrica fondamentale Si parte da una proprietà degli angoli attorno al punto A e delle linee che da esso si dipartono verso F e D. Viene stabilito un principio di compensazione tra gli angoli formati in F e in D. L’enunciato teorico è chiaro: “Anguli AFG, AFE, ADG, ADE, sunt propemodum dimidia de complementis angulorum A ad semicirculum: minores tamen qui ad F, eo quod lineae AG 50703 AE 52302 breviores sunt inventae quam AF 59433: et majores qui ad D” - (fr:4733) [Gli angoli AFG, AFE, ADG, ADE sono approssimativamente la metà dei complementi degli angoli A al semicerchio: minori tuttavia quelli in F, poiché le linee AG 50703 e AE 52302 sono state trovate più corte di AF 59433, e maggiori quelli in D]. La conseguenza è una regola di bilancio: “Quantum ergo qui ad F, deficiunt a dimidiis suorum complementorum, tantundem oportet eos qui ad D, excedere sua complementa” - (fr:4736) [Quanto dunque quelli in F sono minori della metà dei loro complementi, di tanto è necessario che quelli in D eccedano i loro complementi].

Il processo iterativo e la correzione degli errori Il calcolo procede in due momenti distinti, confrontando un tentativo precedente con uno attuale. Inizialmente, si registra un errore per difetto: l’apogeo (o afelio) era stato collocato troppo indietro. Il testo nota: “Seio vero ex multiplici reiteratione hujus laboris, additione 3’. 20” ad aphelium summas coire“ - (fr:4757-4758) [So peraltro, dalla molteplice ripetizione di questo lavoro, che con l’aggiunta di 3’ 20’’ all’afelio le somme coincidono]. Aggiustando il parametro, si passa però a un errore per eccesso, benché minimo: “Itaque jam nimium promovimus apogaeum, atque id per 12” alia est retrahendum” - (fr:4783) [E così abbiamo già spinto troppo avanti l’apogeo, ed esso va ritratto di 12 secondi].

Tuttavia, la differenza è giudicata trascurabile per un processo di compensazione: “Sed de tantula differentia cura est non necessaria. Componemus illam ex aequo et bono, ut in methodo nostra ulterius progredi possimus” - (fr:4784-4785) [Ma di una differenza così piccola non è necessario preoccuparsi. La comporremo secondo equità e buon senso, per poter procedere oltre nel nostro metodo]. Viene quindi eseguita un’interpolazione per trovare il valore di correzione ideale, confrontando gli errori: “Cum itaque 31 minuta fuerint in summa differentiarum 18 minutorum, ergo 1 4/5 minuta faciunt propemodum 1 minutum, ut justissima summa evadat 12°. 18’. 44” - (fr:4791-4793) [E poiché dunque 31 minuti corrisposero nella somma delle differenze a 18 minuti, allora 1 e 4/5 minuti producono approssimativamente 1 minuto, affinché la somma più corretta risulti 12° 18’ 44’’].

Dati, misure e riferimenti a errori di calcolo Il testo è costellato di valori numerici di segmenti (es. AF 59433, AG 50703, AD 48°52, AE 52302) e di angoli (es. FAG 44° 31’ 48“, FAE 25° 50’ 41”). Le tabelle di tangenti, seni, somme e differenze mostrano un lavoro di calcolo aritmetico massiccio. La presenza di annotazioni come “In 88875 Rechenfehler” (fr:4740) [Errore di calcolo in 88875] o “In 3142 Rechenfehler” (fr:4761) e i successivi “4) 44752 In 88875 Rechenfehler 6) 28018 4-10) In 47815 Rechenfehler” (fr:4781) sono testimonianze dirette di un processo di revisione e autocorrezione. L’autore sta verificando e criticando i propri stessi calcoli, segnalando dove sono stati commessi degli sbagli nelle cifre.

Questo frammento è una cronaca di laboratorio scientifico. Non espone una teoria finita, ma il farsi stesso della scoperta: la determinazione della somma corretta per gli angoli F e D, fissata in “summa vel ad F vel ad D” di “6°. 9’ 22”“ (fr:4794-4795), e il calcolo finale del lato GE a partire dai lati “GA 5°739” e “AE 5 2282” e dall’angolo GAE, applicando la formula della tangente (fr:4821-4824). Il documento non è solo un calcolo, ma la stratificazione di tentativi, errori e correzioni che caratterizza il metodo scientifico.

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38 L’approssimazione della verità attraverso ipotesi false e la nascita dell’orbita ovale

Nel tentativo di conciliare le osservazioni di Marte con il modello tolemaico, Keplero scopre una discrepanza insanabile nell’eccentricità, la quale lo conduce a confutare i due pilastri dell’astronomia tradizionale — l’orbita perfettamente circolare e il punto equante fisso — e a gettare le basi metodologiche per la sua riforma, dimostrando come un’ipotesi falsa possa generare risultati apparentemente veri.

Il passo si apre con una serie di calcoli raffinati sull’eccentricità dell’orbita di Marte. Keplero introduce una distanza EA di 100000 unità, sebbene avverta che «infra (ut jam dictum) paulo major est futura» (fr:5668) [in seguito, come già detto, risulterà leggermente maggiore]. Da qui derivano le distanze AD di 1373°0 (fr:5669), corretta in 137285 per il perigeo e aumentata a 168860 per l’apogeo (fr:5670-5671). A queste si aggiungono le correzioni per l’inclinazione del piano orbitale, producendo i valori finali: AB 168942, AD 137357, e un’eccentricità complessiva espressa con BK 15315° e KA 15792, da cui si ricava l’eccentricità dal punto medio. Tuttavia, il valore di BK ottenuto (10312 unità, assumendo BK=100000) confligge con quello richiesto dalla restituzione delle acronichie secondo il modello di Tycho Brahe, che esigeva una quantità maggiore per BK, «scilicet 12352» (fr:5674). La conclusione è netta: anche il sistema ticonico soffre della medesima incongruenza, poiché «alia eccentricitas eccentrici prodeat ex acronychiis, alia ex reliquis observationibus» (fr:5675) [un’eccentricità dell’eccentrico risulta dalle acronichie, un’altra dalle restanti osservazioni].

Keplero identifica la radice del problema non in un errore di calcolo, ma in un vizio di fondo delle assunzioni condivise. «Culpam autem hujus discrepantiae… sustinet solum vitium assumptionum, quae mihi fuere consultò cum TYCHONE et artificibus hucusque communes» (fr:5685) [la colpa di questa discrepanza… la sostiene unicamente il vizio delle assunzioni, che furono deliberatamente comuni a me, a Tychone e agli artefici finora]. Da questa discrepanza segue una confutazione capitale: non esiste un punto fisso sull’eccentrico attorno al quale il pianeta descriva angoli uguali in tempi uguali. Se si volesse mantenere l’assunzione dell’orbita circolare, quel punto dovrebbe oscillare lungo la linea degli apsidi: «illud omnino… librandum nobis esset in linea apsidum sursum deorsum» (fr:5687) [esso dovrebbe essere fatto oscillare su e giù nella linea degli apsidi], una soluzione che Keplero giudica inconciliabile con le ragioni naturali. L’alternativa, preannunciata, è la distruzione della seconda assunzione: «orbitam sideris non esse perfectum circulum, sed ovalem: et longissimam omnium esse diametrum apsidum; brevissimam vero, quae per centrum figurae transit in longitudinibus mediis» (fr:5690) [l’orbita dell’astro non è un cerchio perfetto, ma ovale: e il diametro più lungo di tutti è quello degli apsidi; il più corto, invece, quello che passa per il centro della figura nelle longitudini medie].

La seconda parte del testo (Caput XXI) costituisce una lunga digressione metodologica su come un’ipotesi falsa possa produrre il vero. Keplero prende le distanze dall’assioma dialettico secondo cui «ex falso verum sequi» (fr:5693) [dal falso segue il vero], che veniva usato per attaccare Copernico. Egli osserva che l’ipotesi falsa da lui utilizzata non ha prodotto appieno il vero, poiché «nostra falsa suppositio invexit quidem Planetam debitis temporibus in debita loca longitudinis, at non debitam ei praestitit altitudinem» (fr:5695) [la nostra falsa supposizione ha sì condotto il pianeta nei debiti luoghi di longitudine ai debiti tempi, ma non gli ha fornito la debita altezza]. L’effetto apparentemente corretto riguarda solo la longitudine, e anche lì può celare un minuscolo scarto al di sotto della soglia dei sensi.

Keplero procede quindi a una dimostrazione geometrica per gradi. Data una linea MP per il centro del mondo A, un pianeta che in metà del suo tempo si trovi a sinistra e nell’altra metà a destra di essa può essere rappresentato da un qualsiasi cerchio o via tortuosa che abbia centro su MP e abbracci A, purché sezionato a metà da MP. Il cerchio concentrico OP, con moto regolare attorno ad A, fallisce però quando il pianeta deve trovarsi sulle linee AK e AL, angoli minori di un retto. Qui l’errore del modello concentrico raggiunge il massimo, un angolo «KA V. LAX» che in Marte ammonta a «graduum 10½» (fr:5721-5722).

Per correggere questo primo errore, si introduce un cerchio eccentrico con centro C, dove C è l’intersezione tra MP e la retta KL che connette i punti AK e AL. Questo secondo modello assorbe l’errore massimo ai quarti di periodo, ma ne introduce uno nuovo, più piccolo, agli ottavi di periodo. L’errore, misurato dagli angoli QAF e SAG, è ora di «9’ circiter scrupulorum» e «circiter 28’ scrupulorum» rispettivamente (fr:5742-5743). La correzione successiva sposta il centro dell’eccentrico da C a B e modifica la distanza del pianeta dalle linee CQ, CR, CS, CT, in modo che gli errori angolari agli ottavi di periodo siano assorbiti: «ut QAF, EAR fiant 9 scrupulorum, et SAG, TAD 28 scrupulorum» (fr:5746).

Il processo di approssimazione successiva mostra come un errore iniziale di 10 gradi e mezzo si riduca a una settantacinquesima parte, e si prevede che ripetendo il procedimento l’errore residuo ai sedicesimi di periodo diventi impercettibile ai sensi. «planè intra sensuum defectum negotium coegerimus etiam circa sedecimas temporis» (fr:5754) [avremo costretto la faccenda entro il difetto dei sensi anche intorno ai sedicesimi di tempo]. Il principio è che il falso nei modelli è un particolare contingente e rimovibile, mentre ciò che impone la necessità della verità appartiene a una ragione generale ed è del tutto vero. L’ottusità dei sensi copre l’errore residuo, la cui esistenza è comunque dimostrabile: se si traccia un eccentrico perfetto da B, non si può determinare arbitrariamente l’angolo SAG, che diviene inevitabilmente necessario una volta fissata la geometria del sistema. Il calcolo si chiude con i parametri dell’ultimo eccentrico: «AC (ut supra) 18564, qualium CQ 100000» (fr:5764).

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39 La confutazione dell’epiciclo di dimensione variabile e la scoperta della chiave dell’astronomia più profonda

Un’analisi stringente dimostra l’incoerenza dell’ipotesi di un’orbita annua dalla grandezza mutevole, svelando come la vera causa della seconda ineguaglianza risieda nell’eccentricità del punto di equazione del moto terrestre.

Il testo si apre con una serrata dimostrazione geometrica volta a quantificare l’esigua discrepanza angolare derivante da una specifica assunzione. Viene calcolato l’angolo “TAD vel SAG minor est quam 18’. 8”“. differentia, eo quod TD sit minor quam 2217” - (fr:5796-5798) [TAD o SAG è minore di 18’ 8“, una differenza che deriva dal fatto che TD è minore di ]. Questo minuscolo scarto è cruciale perché viene confrontato con il valore atteso: “Ecce hic necessarium angulum TAD, qui debuit esse 27 3/5 minuto” - (fr:5799) [Ecco qui l’angolo necessario TAD, che sarebbe dovuto essere di 27 e 3/5 minuti.]. La conclusione è immediata e radicale: se si forza il modello per ottenere un angolo maggiore, si introduce un errore sistematico. Infatti, “Itaque si QAF pro 9 minutis facias 12’, fiet TAD 24’. Atque utrinque Planeta 3 scrupulis fiet altior justo. Aequatio ergo nimis videbitur magna. quare eccentricitas nimis magna” - (fr:5799-5802) [Pertanto, se per QAF ponessi 12’ invece di 9’, TAD diventerebbe 24’. E il pianeta risulterebbe da entrambe le parti 3 scrupoli più alto del giusto. L’equazione apparirà dunque troppo grande, e perciò l’eccentricità troppo grande.].

L’analisi si sposta poi su una riflessione metodologica di straordinaria potenza, dove l’autore svela un meccanismo di compensazione degli errori che può mascherare la falsità di un’ipotesi. Egli spiega come, aggiustando i parametri, si possa far sì che “errore altero alterum compensante calculus intra sensuum subtilitatem adducatur deprehendique non possit specialis hypotheseos falsitas” - (fr:5804) [compensandosi un errore con l’altro, il calcolo sia ricondotto entro la sottigliezza dei sensi e non si possa cogliere la falsità della specifica ipotesi.]. Questa consapevolezza è espressa attraverso una celebre e tagliente metafora: “Itaque gloriari non possit haec vafra meretricula de veritate (pudicissima puella) in suum lupanar pertracta” - (fr:5805) [E così questa astuta meretrice non può gloriarsi di aver trascinato nel suo lupanare la verità (vergine pudicissima).]. L’allegoria si completa con l’immagine dei critici incapaci di distinguere: “Honesta quaedam foemina meretricem praeeuntem arcte sequebatur… quam stulti et lippi Logicarum argutiarum professores, qui frontem ingenuam a perfricata nequeunt discernere, censuere meretricis esse pedissequam” - (fr:5806) [Una donna onesta seguiva da vicino una meretrice che la precedeva… quanto stolti e miopi sono i professori di sottigliezze logiche, che non riescono a distinguere una fronte ingenua da una sfrontata, giudicarono che fosse una serva della meretrice.].

Dopo aver demolito la vecchia ipotesi, l’autore annuncia un cambiamento radicale di metodo, una vera e propria svolta. Di fronte a un bivio e a osservazioni contraddittorie, decide di “cogitandum fuit de tota ratione itineris aliter instituenda” - (fr:5817) [si è dovuto pensare di impostare l’intero percorso in modo diverso]. L’obiettivo è chiaro: “Primum hac parte tertia aggrediar secundam inaequalitatem, et in illa per observationes indubias demonstrabo vel confirmabo vel refutabo, quae hucusque in principiis posui” - (fr:5818-5820) [Innanzitutto in questa terza parte affronterò la seconda ineguaglianza, e in essa per mezzo di osservazioni indubbie dimostrerò o confermerò o confuterò ciò che finora ho posto come principi]. Questa è la “clavis astronomiae penitioris” - (fr:5816) [chiave dell’astronomia più profonda] che, una volta trovata, “reliqua patebunt” - (fr:5821) [dischiuderà il resto].

Il nucleo della nuova comprensione scaturisce da un’intuizione avuta in risposta all’idea di Tycho Brahe che l’orbita annua variasse di dimensione. L’autore confessa: “Jam tum, cum orbem annuum audirem augeri minuique, dictabat mihi genius, id phantasma oriri ex eo, quod orbis annuus COPERNICI vel epicyclus PTOLEMAEI non aequaliter a centro illo distet, circa quod aequalibus temporibus aequales conficere ponitur angulos” - (fr:5836-5837) [Già allora, quando sentivo che l’orbita annua cresceva e diminuiva, il genio mi suggeriva che quel fantasma nasceva dal fatto che l’orbita annua di Copernico, o l’epiciclo di Tolomeo, non dista in modo uguale da quel centro attorno al quale si suppone che percorra angoli uguali in tempi uguali.]. La vera spiegazione è che “alibi Solem… vel centrum systematis Planetarii… longius distare, alibi brevius: atque id proculdubio in linea apsidum” - (fr:5841-5843) [altrove il Sole… o il centro del sistema planetario… dista di più, altrove di meno: e ciò senza dubbio sulla linea degli apsidi.].

Questa intuizione viene formalizzata in un nuovo schema geometrico. Viene introdotto un punto C, distinto dal centro dell’orbita terrestre B, che funge da centro di equazione del moto. “Esto ut incipiat inaequalitas secunda a linea medii motus Solis… et consurgat in schemate praesenti eccentricitas Planetae apud COPERNICVM, non a centro Solis A, sed a C puncto circa quod regularis esse ponitur terrae motus” - (fr:5846) [Sia che la seconda ineguaglianza inizi dalla linea del moto medio del Sole… e nel presente schema risulti un’eccentricità del pianeta presso Copernico, non dal centro del Sole A, ma dal punto C, attorno al quale si suppone che il moto della terra sia regolare.]. La chiave è che “Id vero punctum C sit non orbis terreni DE sed tantum aequalitatis centrum, longius ab A Sole distans quam B centrum orbis terreni ED” - (fr:5847) [E questo punto C non sia il centro dell’orbita terrestre DE, ma soltanto il centro di equazione, che dista dal Sole A più di quanto non faccia il centro B dell’orbita terrestre ED.]. Questo spiega l’illusione ottica: un osservatore che presume che il punto di equazione coincida con il centro dell’orbita, vedendo variare la parallasse, “censebit totum orbem annuum interdum fieri ampliorem, mensura CE, interdum angustiorem, mensura CD” - (fr:5858-5859) [giudicherà che l’intera orbita annua diventi a volte più ampia, secondo la misura CE, a volte più angusta, secondo la misura CD.], mentre la causa reale è l’eccentricità del punto C.

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40 La determinazione dell’eccentricità dell’orbita terrestre da due osservazioni marziane di pari anomalia di commutazione

Due osservazioni di Marte a distanza di sei anni, con identica anomalia di commutazione, rivelano una disuguaglianza nella prostaferesi annua che l’ipotesi copernicana spiega come eccentricità del percorso terrestre.

Nel procedimento esposto nel terzo libro dell’Astronomia Nova, Keplero affronta la ricerca dell’eccentricità dell’orbita del Sole (o della Terra, in chiave copernicana) a partire dalla variazione periodica dell’anomalia di commutazione. Una rivoluzione di Marte dura 687 giorni, mentre due rivoluzioni solari durano 730 giorni; la differenza di 43 giorni equivale a un moto medio del Sole di 42° 54′ 23″.
“30 Vna Martis revolutio dies habet 687, duae Solis habent 730~: differentia dierum 43~, quibus de motu medio Solis ‘respondent 42°.” – (fr:5891) [Una rivoluzione di Marte ha 687 giorni, due del Sole ne hanno 730: differenza di giorni 43, a cui nel moto medio del Sole corrispondono 42°.] ”54’.” – (fr:5892) [54′.] “23”.“ – (fr:5893) [23″.] Di conseguenza, “Tanto igitur variatur anomalia commutationis ad finem cujuslibet revolutionis Martis.” – (fr:5894) [Di tanto quindi varia l’anomalia di commutazione alla fine di ciascuna rivoluzione di Marte.]

Per ottenere due anomalie di commutazione uguali con Marte nella stessa posizione sull’eccentrico, entro un biennio occorre un angolo di 210° 27′; in quattro anni servono 42° 54′, in sei anni 64° 22′ e in otto anni 85° 49′. “Intra IV annos requiritur 42°. 54’: intra sex annos 64°. 22’ : intra oeto annos 85°.49’” – (fr:5897-5899) [In quattro anni richiede 42° 54′; in sei anni 64° 22′; in otto anni 85° 49′.] Poiché Keplero avrebbe desiderato un angolo di 90° in otto anni, “binas nostras observationes quaerere oportebat distantes annis octo.” – (fr:5900) [bisognava cercare due nostre osservazioni distanti otto anni.] Tuttavia, “Talis vero observationum biga non reperiebatur in catalogo 40 habitarum observationum.” – (fr:5901) [Una tale coppia di osservazioni non si trovava nel catalogo delle 40 osservazioni disponibili.]

Si rivolse allora a un intervallo di sei anni e identificò due osservazioni adatte: 18 maggio 1585 e 22 gennaio “Conversus igitur sum ad distantiam sex annorum, invenique tandem, quod anno MDLXXXV D. XVIII Maji et anno MDXCI D. XXII Januarii extarent observationes idoneae.” – (fr:5902) [Mi rivolsi pertanto a una distanza di sei anni, e trovai finalmente che nell’anno 1585 il 18 maggio e nel 1591 il 22 gennaio esistevano osservazioni idonee.] I momenti corrispondenti, dopo riduzioni, sono il 30 maggio 1585 alle ore 5 e il 20 gennaio 1591 alle ore 0, con longitudine media di Marte uguale a 6 s 8° 43′ in entrambi i casi. “Nam correspondebant anno MDLXXXV D. XXX Maji H. V et MDXCI D. XX Januarii H. o. Vtrinque Martis longitudo media fuit 6 8• 22°. 43’.” – (fr:5903-5904) [Infatti corrispondevano: nell’anno 1585 il 30 maggio alle ore 5 e nel 1591 il 20 gennaio alle ore In entrambi la longitudine media di Marte fu 6 s 8° 22′, 43′.] Sottraendo l’equazione ticonica di 9° 14′ 52″ (“Aequatio Tychonica 9°. 14· 52” auferenda.” – fr:5905-5906 [Equazione ticonica 9° 14′ 52″ da sottrarre.]) si ottenne la posizione sull’eccentrico.

Le osservazioni, corrette con cura e raffrontate con i dati di Magini, fornirono per il 30 maggio 1585 una posizione di Marte di 6° 37′ e per il 20 gennaio 1591 (ridotto dal 22 gennaio con il moto diurno) una longitudine di 21° 34′. Dopo ulteriori elaborazioni, l’anomalia di commutazione «coaequata» risultò identica nei due casi: nel 1585 il pianeta distava 64° 23′ 30″ oltre il perigeo dell’epiciclo e nel 1591 altrettanto prima del perigeo. “Commutatio coaequata anno MDLXXXV erat 8 4°. 23’.3°”, qua arguebatur, more Ptolemaico, Planetam esse ultra perigaeum epicycli 64°. 23’. 30” gradibus.” – (fr:5910-5913) [La commutazione coaequata nell’anno 1585 era 8 s 8° 23′ 30″, da cui si deduceva, secondo l’uso tolemaico, che il pianeta si trovava oltre il perigeo dell’epiciclo di 64° 23′ 30″.] “Sic commutatio coaequata anno MDXCI erat 3 8• 25°. lO 36’. 30”, qua arguebatur, Planetam esse ante perigaeum epicycli 64°. 23’. 30” partibus.” – (fr:5914-5918) [Così la commutazione coaequata nel 1591 era 3 s 8° 25′ 10″ 36 ? 30″? e il pianeta era prima del perigeo di 64° 23′ 30″.] Nel diagramma, gli angoli di commutazione FCD e FCE (ovvero CFI, CFH) sono perciò uguali: “Aequalis igitur utrinque commutationis angulus in schemate, FCD et FCE, ve! CFI, CFH.” – (fr:5919-5920) [Uguale dunque da entrambe le parti l’angolo di commutazione nel diagramma, FCD e FCE, ovvero CFI, CFH.]

Tuttavia il Sole si trovava in posizioni asimmetriche rispetto agli apsidi: nel 1585 era a 18° Gemelli, 18 gradi prima dell’apogeo; nel 1591 a 9° Sagittario, 33 gradi oltre il perigeo. “Erat autem anno MDLXXXV Sol in 18° II XVIII gradibus ante apogaeum, anno MDXCI in 9°~ XXXIII gradibus ultra perigaeum.” – (fr:5921) [E nell’anno 1585 il Sole era a 18° dei Gemelli, 18 gradi prima dell’apogeo; nel 1591 a 9° del Sagittario, 33 gradi oltre il perigeo.] Questa disuguaglianza non poteva essere evitata (fr:5922).

Dopo aver trascurato la precessione – “Praeccssio temporis intermcdii nOnefficit 5minuta. Hic igitur est neglecta.” – (fr:5965-5966) [La precessione del tempo intermedio non raggiunge i 5 minuti. Qui dunque è trascurata.] – e impiegato i dati tychonici, Keplero calcola nel triangolo FCD gli angoli DFC = 36° 51′, FCD = 64° 23′ 30″ e quindi FDC = 78° 45′ 27″. Con FC = 100000, si ha DC = “Et quia DFC est 36°. 51 et FCD 64°. 23’. 30” : ergo residuus FDC est 78°. 45’ . 27” . Et tlt sinus bujus anguli ad FC 100000, sic SÙ1US DFC ad DC “ – (fr:5980-5986). Per l’altra osservazione, EFC = 38° 5′ (circa), FCE = 64° 23′ 30″, sicché FEC = 77° 31′ 0″ ed EC = ”Eodem modo quia EFC 38°. 5%’ minus, et FCE 64°. 23” 30“: erit FEC 77°. 31’. o” plus. Ergo EC 63186 mrnus.” – (fr:5987-5992).

Ora, pur essendo identica l’anomalia di commutazione, le prostaferesi dell’orbe annuo (angoli DFC e EFC) differiscono notevolmente: “Ecce magnam .differentiam prosthaphaereseon orbis annui, cum tamen anomalia commutationis utrinque eandem polliceatur.” – (fr:5972) [Ecco una grande differenza delle prostaferesi dell’orbe annuo, sebbene l’anomalia di commutazione prometta la stessa da entrambe le parti.] La causa è additata dall’ipotesi copernicana: la Terra, creduta equidistante dal punto equante C, in realtà si trova a distanze disuguali, e il centro della sua orbita giace in B verso il Sole. “Causam indicat nobis hypothesis Copernicana. Terra in D et E putabatur aequaliter distare a C puncto aequalis motus: invenitur vero distare inaequaliter, ut centrum ejus circuitus sit in B versus A Solem.” – (fr:5973-5974) [La causa ce la indica l’ipotesi copernicana. La Terra in D ed E si riteneva distasse ugualmente dal punto C del moto equabile: si trova invece che dista in modo disuguale, cosicché il centro del suo percorso è in B verso il Sole A.] Per equipollenza, nel modello tolemaico l’epiciclo non ruota uniformemente attorno al punto F, ma il suo centro G tende verso il perigeo solare: “Per aequipollentiam igitur epicyclus HI in forma Ptolemaica non aequaliter circumjectus est puncto F, … et vergit G centrum epicycli ad E in partes perigaei Solaris.” – (fr:5975-5976) [Per equipollenza, dunque, l’epiciclo HI nella forma tolemaica non è mosso uniformemente intorno al punto F, … e il centro dell’epiciclo G tende verso E in direzione del perigeo solare.] Analogamente nel sistema ticonico il deferente non descrive un cerchio uniforme intorno alla Terra C, giacché il suo centro M tende anch’esso verso il perigeo solare: “In Tychonica similiter KL deferens systemata Planetaria non aequabiliter ambit C terram, … sed vergit M centrum ejus circuitus in partes perigaei Solis.” – (fr:5977) [Nel sistema ticonico, similmente, il deferente KL delle sistemazioni planetarie non percorre uniformemente intorno alla Terra C, … ma il suo centro M tende in direzione del perigeo solare.]

Il capitolo XXIII utilizza queste distanze per misurare l’eccentricità BC. Posto FC = 100000, noti DC = 61148 ed EC = 63186, e l’angolo ECD = 128° 47′ 19″ (“Est igitur EC et CD in iisdem numeris cognita, et notus angulus ECD, nempe 128°. 47’ . 19’” – fr:5994-5996), si costruiscono le perpendicolari DO, CP, BQ e si ricava la linea BC, chiave dell’orbita terrestre.

Il passo documenta così uno snodo capitale dell’Astronomia Nova: la rottura con l’equante e la determinazione dell’eccentricità per via geometrica, fondata sulle osservazioni di Tycho Brahe e interpretata con la nuova fisica celeste copernicana.

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41 L’eccentricità dell’orbita terrestre e la bisezione dell’eccentricità solare: dalla trasformazione dei modelli planetari alle osservazioni di Marte

Keplero, con un paziente esame delle posizioni di Marte e un serrato confronto fra ipotesi tolemaiche, copernicane e ticoniche, fissa in 1800 parti su 100000 l’eccentricità della Terra e mostra la necessità di dimezzare l’eccentricità solare, fondamento per la futura legge delle ellissi.

Il brano offre uno spaccato del procedimento con cui Keplero raffinò i parametri dell’orbita terrestre servendosi delle osservazioni di Tycho Brahe. Il punto di partenza è la correzione, spesso minimale, dei dati osservativi attraverso piccoli spostamenti. L’autore stesso segnala come l’aggiustamento di appena uno o due scrupoli possa modificare le linee tracciate nel diagramma celeste: “Prolongatur autem !XE, si dicamus Planetam visum esse scrupulo uno atque altero ante 9°” – (fr:6612) [La linea !XE viene prolungata, se diciamo che il pianeta fu visto uno o due scrupoli prima dei 9°]. Consapevole che tale libertà di ritoccare i dati potesse apparire sospetta, Keplero invita il lettore a confrontare le mutazioni da lui introdotte con quelle altrui, giudicando quali restino entro il difetto dei sensi: “Si vero quis hanc libertatem mutandi minima in datis, suspectam habet; … utra mutatio intra sensuum defectum consistat” – (fr:6615) [Se qualcuno guarda con sospetto questa libertà di mutare minime quantità nei dati, … giudichi quale delle due mutazioni rientri nei limiti del difetto dei sensi]. E, poco oltre, mette in guardia contro l’euforia di un singolo successo: “quin etiam id caveat, ne fiducia unius hujuscemodi processus elatus, in caeteris postea sese tanto turpiorem det, diversissimis Solis apogaeis inventis” – (fr:6616) [Anzi si guardi pure, per non essere poi tanto più disonorato nel resto, qualora montato in superbia per un unico procedimento di tal fatta trovasse apogei del Sole diversissimi]. Traspare l’onestà intellettuale di Keplero, che dichiara di aver messo in piazza tutti i propri pregiudizi, “ut magis metuam ne importunus quam ne parum fidus lectori videar” – (fr:6617) [così da temere più di apparire importuno che poco fedele al lettore].

Procedendo con il calcolo, compaiono i valori numerici fondamentali. Assunto un segmento y–? (probabilmente il raggio dell’orbita terrestre) pari a 100 000, la distanza del punto & risulta 147 443 e potrà aumentare quando altre quantità saranno determinate correttamente: “Porro et hoc obiter dicendum in futurum usum, si Y~ fiat 100000, proditurum ex.& 147443, et majorem etiam, ubi quae adhuc desiderantur, recte habuerint” – (fr:6618) [Inoltre, di sfuggita, per uso futuro, se Y~ fosse 100 000, ne risulterà ex.& 147 443, e anche maggiore quando quanto ancora manca sarà stato ben stabilito]. Conclude questo primo bilancio con un valore tondeggiante: “Concludo hac vice, ex.& esse circiter 147750” – (fr:6625) [Concludo per questa volta che ex.& è circa 147 750].

Ma l’obiettivo principale è la determinazione dell’eccentricità terrestre. Applicando l’eccentricità della Terra in 1800, un percorso ovale per la Terra (come sarà esposto nei capitoli XXX e XLIV) e i dati di Marte, le posizioni calcolate combaciano con le osservazioni entro 24° 21′: “i’ 8, et eccentricitas terrae 1800, et iter terrae ovale, ut dicetur capite XXX et XLIV: prodibunt visiones 24°.21’” – (fr:6621) [8′ (?) e l’eccentricità della Terra 1800, e il percorso della Terra ovale, come si dirà ai capitoli XXX e XLIV, daranno le visioni 24° 21′]. L’esito conferma l’eccentricità terrestre in 1800, contro i 3600 che si sarebbero dovuti adottare se si fossero seguiti rigidamente i reperti di Tycho nella forma copernicana: “Et sic demonstratum est, exy esse circiter 1800, cum debuerit esse 3600, si TYCHONIS inventa formae Copernicanae et apparentibus Solis motibus accommodentur” – (fr:6632) [E così è dimostrato che exy è circa 1800, mentre avrebbe dovuto essere 3600 se i ritrovati di Tycho fossero adattati alla forma copernicana e ai moti apparenti del Sole].

Da qui scaturisce la necessità di cercare il punto π di uguaglianza del moto terrestre sulla retta exπ, in modo che le distanze yπ e yex siano uguali. Il moto uniforme della Terra intorno a π rende conto delle osservazioni solari di Tycho con eccentricità 7tεx pari a 3600, mentre le stesse distanze dai punti γ fanno quadrare anche le osservazioni di Marte (fr:6634-6637). Keplero può così mostrare come questa conclusione si trasformi nelle tre ipotesi principali. Nella forma tolemaica, l’artificio si sdoppia: o si colloca la Terra al posto del corpo solare, oppure si mantiene la Terra al centro del mondo con un epiciclo triplo. La prima delineazione genera un epiciclo descritto dal punto &, il cui centro v non ruota uniformemente né rispetto ad & né rispetto a v, ma intorno al punto o, con &o doppio di &v, conservando il parallelismo con la linea del Sole (fr:6645-6648). Il testo fa esplicito rinvio alle figure: “I 27· Theoriae epicycli delineatio. Punctum affixionis. Vide parte prima” – (fr:6649-6651). Keplero enfatizza che i tre punti notevoli dell’epiciclo – v centro, & punto di affissione, o punto di eguaglianza – generano altrettanti eccentrici, i cui apogei non sono tutti propriamente tali, ingarbugliando senza motivo il modello (fr:6675-6685).

Il confronto con il sistema ticonico è altrettanto serrato. Tycho aveva immaginato che il centro del circolo di Marte ruotasse uniformemente in un concentrico solare attorno al punto IX, ma Keplero, forte dei ragionamenti geometrici e fisici esposti nella prima parte, lo ha persuaso a cercare quel centro proprio nel corpo del Sole: “TYCHO igitur cum dixisset, centrum circuli Martii … circumire in concentrico Solis aequaliter circa IX, … a me permotus … ut illud … potius in ipsissimo centro corporis Solaris quaereret” – (fr:6702-6704). Ora, nel capitolo XXVI, dimostra che il centro del concentrico di Marte non si trova sull’eccentrico tracciato dal punto T dell’uguaglianza solare, bensì sull’eccentrico descritto da ~, punto medio tra IX e T. Perciò, se quel centro accompagna il Sole nel suo moto, anche il Sole stesso si muoverà su un eccentrico descritto da ~, con moto regolare intorno a T. Ne discende che l’eccentricità solare IXT deve essere dimezzata in ~ (fr:6714-6716). A sostegno, l’argomento di verosimiglianza: non sarebbe credibile che due centri – quello del concentrico di Marte e quello del Sole – descrivendo percorsi uguali, con gli stessi tempi e velocità, generassero allontanamenti dalla Terra di ampiezza diversa (fr:6717). La conclusione viene presentata come un bilancio comune alle tre ipotesi: “Atque hactenus hanc demonstrationis formam in tribus hypothesibus proposuisse sufficiat” – (fr:6718) [E basti fin qui aver proposto questa forma di dimostrazione nelle tre ipotesi].

Il capitolo successivo (XXVII) annuncia la verifica dell’eccentricità terrestre con altre quattro osservazioni di Marte fuori dal sito acronico, riportate con data e posizione (fr:6724-6734). L’intento è svincolare le conclusioni dal solo aphelio del pianeta, perché un errore di un solo scrupolo nella longitudine zodiacale può recare molto disturbo: “quae si unicum scrupulum in definienda longitudine Planetae sub zodiaco peccent, … multum nobis in hoc negocio incommodant” – (fr:6722) [le quali se sbagliano di un solo scrupolo nel definire la longitudine del pianeta sotto lo zodiaco, … ci sono di molto impaccio in questo negozio]. Questa cautela riassume lo spirito dell’intero procedimento: una minuziosa revisione dei parametri, un’onesta esposizione delle approssimazioni e la continua comparazione fra le ipotesi, che condurrà poco più tardi all’abbandono dei moti circolari uniformi e alla legge delle ellissi. Il brano costituisce dunque una testimonianza viva del momento in cui l’astronomia abbandonava l’apparato degli equanti e dei deferenti concentrici per avviarsi, con la bisezione dell’eccentricità solare, verso la moderna dinamica celeste.

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42 La determinazione iterativa dell’eccentrico di Marte e la verifica dell’eccentricità solare di 1800

Nell’intreccio fra geometria e osservazioni, Keplero regola la posizione della linea absidale marziana fino a ottenere angoli uguali, approda a un’eccentricità solare di 1800 e conferma il risultato con le proprie misure del 1604, dichiarando al contempo il carattere provvisorio dell’ipotesi vicaria.

Il capitolo XXVII della Parte Terza si apre con la necessità di rendere uguali due angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco ~E, in virtù della proposizione III.21 degli Elementi di Euclide. La frase “~YE’ oportet hos aequales esse” –(fr:6786) [è necessario che questi siano uguali] enuncia il vincolo. Per soddisfarlo, il punto della linea absidale indicato con <X'Y) deve essere mosso in avanti e indietro sotto lo zodiaco: “et ut aequales evadant, tantisper <X’Y) super <X sub zodiaco ante retroque motanda est” –(fr:6787) [e affinché diventino uguali, <X'Y) su <X sotto lo zodiaco deve essere spostata un poco avanti e indietro].

Data una prima posizione di <X'Y), si verifica se gli angoli ~ÒE e ~YE possono risultare uguali: “ergo probetur an ~ÒE, ~YE, possint aequales esse: tunc constabit positionem ipsius <X’Y) recte habere” –(fr:6788) [si verifichi dunque se ~ÒE, ~YE possono essere uguali: allora risulterà che la posizione di <X'Y) è corretta]. A questo scopo vengono calcolati sistematicamente gli angoli di ben dieci triangoli (elenco in fr:6791‑6800). Gli angoli al vertice <X sono forniti dalle posizioni solari tratte da Tycho Brahe, corrette per la precessione equinoziale: “Atqui in quolibet horum triangulorum dantur anguli ad <X per loca Solis ex IO TYCHONE, et correctionem per praeceflionem aequinoctiorum” –(fr:6801) [d’altra parte in ciascuno di questi triangoli sono dati gli angoli presso <X mediante i luoghi del Sole desunti da Tycho e la correzione per la precessione equinoziale]. I lati che comprendono quegli angoli sono già stati trovati (fr:6802), quindi gli angoli si determinano.

Il calcolo numerico nella prima posizione porta a ~<XÒ = 85°11′11″, ~Ò<X = 48°8′59″ e successivamente ai valori dei due angoli richiesti. Tuttavia “non penitus prodierint aequales hi anguli” –(fr:6819) [questi angoli non risultarono affatto uguali]; si tenta allora una seconda posizione, promuovendo <X'Y) sotto le stelle fisse di 2′. Con tale spostamento si trovano EÒ~ = 21°40′9″ ed EY~ = 21°22′14″, con una differenza di 18″, che è “duplum prioris discordantiae” –(fr:6823) [il doppio della precedente discordanza]. Ciò rende chiaro che il punto non andava avanzato, ma ritratto in direzione dei segni precedenti: “unde 20 intellectum, non promovendam sed retroagendam <X’Y) in antecedentia” –(fr:6824) [dal che si comprese che <X'Y) non doveva essere avanzata ma retrocessa verso i segni antecedenti].

In una terza posizione, fissato l’eccentrico di Marte per l’anno 1585 a 5° 20′ 2″ (sotto il simbolo ~), si ottiene EÒ~ = 21°15′54″ e EY~ = 21°13′54″; la differenza è di soli 2′, che “tuto neglexerimus” –(fr:6832) [possiamo tranquillamente trascurare]. Ciò nonostante, “proportione tamen usi intelligimus, anticipandum hoc Ioco Martis eccentricum per 2 %, uti prius capite XXII in opposito semicirculo per l’ fuit promotus: quorum utrumque fit per auctionem eccentricitatis et nonnulIam retractionem aphelii” –(fr:6833) [applicando tuttavia la proporzione comprendiamo che in questo luogo l’eccentrico di Marte deve essere anticipato di 2′, così come prima, nel capitolo XXII, nel semicircolo opposto era stato promosso di 1′; entrambe le cose avvengono mediante un aumento dell’eccentricità e un leggero ritrarre l’afelio].

Proseguendo, poiché entrambi gli angoli cercati sono diminuiti, diminuiranno ulteriormente ritraendo <X'Y), cosicché si assume ciascuno uguale a 21°13′, e quindi ~~E = 42°26′ (il doppio al centro). Dalla catena di triangoli successivi, in particolare dal triangolo ~IXE con angolo ~IXE = 42°6′57″ e lati IX~ = 62177, IXE = 61525, si ricava ~E = 44518. Riferendo tutto alla distanza E~ = 100000, la corda ~E diventa 72379, e di conseguenza “1Xl) est 162818, et ideo IXE 100174” –(fr:6846‑6847) [1Xl) è 162818 e perciò IXE è 100174]. Togliendo l’angolo ~E~ da ~EIX resta “~EIX 0°. 56′. 31″ et ~IXE 83°. 30″. Quare aphelium in 10°. 19′ ;6, eccentricitas vero <X~ 16B” –(fr:6848‑6852) [~EIX = 0°56′31″ e ~IXE = 83°30″; per cui l’afelio in 10°19′ del Leone, l’eccentricità <X~ = 168]. Subito si commenta che si è ormai “admodum propinque dimidium ipsius 3600 attigimus” –(fr:6855) [raggiunto molto da presso la metà di 3600], ossia il valore di 1800 che esprime l’eccentricità solare.

Si fa altresì notare che, se si ammette che il cammino della Terra non sia un cerchio perfetto ma più stretto ai lati, la distanza 1Xl) diventa “paulo minorem quam 163100” –(fr:6857‑6858) [un po’ minore di 163100]. Impiegando perciò l’eccentricità della Terra di 1800 e l’afelio a 5° del Cancro, le posizioni calcolate vengono confrontate con i valori osservati: “prodeunt hae visiones 26°. 55′ … Debuit 54 1/2 12 … Consentit haec positio etiam meis observatis anno MDCIV D. XXIX 10 Febr. vel X Martii” –(fr:6859‑6866) [risultano queste visioni … doveva … Questa posizione concorda anche con le mie osservazioni del 10 febbraio o 10 marzo 1604]. La notte successiva allo stesso giorno Keplero trova Marte culminante a “26°. 18 4/5′ ~”, mentre il calcolo lo riporta in “26°. 17 1/2′ ~” –(fr:6867‑6868), confermando la bontà dell’assunzione. Poiché il pianeta possiede una latitudine, la distanza 1Xl) esprime quella del punto dell’eclittica su cui cade la perpendicolare dal corpo di Marte; la vera distanza dal Sole risulta più lunga di 37 particelle (fr:6870‑6872).

Il capitolo XXVIII si propone un controllo ancora più stringente, dichiarato nel titolo: “ASSVMPTIS NON TANTVM LOCIS SOLIS SVB ZODIACO, SED ETIAM DISTANTIIS SOLIS A TERRA, PER ECCENTRICITATEM 1800 EXTRVCTIS; PER ALIQVAMMVLTAS OBSERVATIONES MARTIS IN EODEM LOCO ECCENTRICI VERSANTIS VIDERE, AN VNANIMI CONSENSV EADEM DISTANTIA MARTIS A SOLE, IDEMQUE LOCVS EJVS ECCENTRICVS VBIQUE ELICIATVR” –(fr:6873) [Assunti non solo i luoghi del Sole sotto lo zodiaco ma anche le distanze del Sole dalla Terra costruite con eccentricità 1800; esaminare, attraverso parecchie osservazioni di Marte che si trovi nel medesimo luogo eccentrico, se con unanime accordo si ottengano ovunque la medesima distanza di Marte dal Sole e il medesimo suo luogo eccentrico]. Keplero mette in guardia il lettore: per la terza volta non presuppone un luogo eccentrico fisso come si ricaverebbe dalle osservazioni acroniche, perché “dixi hypothesin illam esse vicariam tantum, non naturalem; itaque tantam ejus esse fidem, quantum ab observationibus cogitur; et posse Iocis inter observationes intermediis nonnihil exorbitare” –(fr:6875) [ho detto che quell’ipotesi è soltanto vicaria, non naturale; perciò la sua attendibilità è tanta quanta ne è imposta dalle osservazioni, e può discostarsi alquanto nelle posizioni intermedie fra un’osservazione e l’altra]. È utile perciò avere a disposizione più metodi (fr:6876‑6878); il testo si chiude con l’elenco delle osservazioni da utilizzare, con giorno, ora e latitudine (fr:6879).

L’intero brano illustra il procedere per tentativi, la fusione di geometria euclidea e misure ticoniche e la transizione da un’ipotesi matematica provvisoria verso una descrizione fisica che condurrà alle orbite ellittiche. La fiducia nell’eccentricità solare di 1800, il calcolo minuzioso fino ai secondi d’arco e la verifica incrociata con osservazioni personali ne fanno una testimonianza esemplare del metodo kepleriano.

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43 Riduzione delle osservazioni di Marte e calcolo delle distanze Terra-Sole (Parte Terza, Cap. XXVIII)

Il brano presenta un insieme strutturato di dati osservativi e calcoli finalizzati a determinare le distanze Terra-Sole e la posizione di Marte sul suo eccentrico: un passaggio cruciale per la dimostrazione della nuova ipotesi planetaria. La sequenza si apre con una lista di registrazioni abbreviate (frr. 6880–6906), che fissano i tempi e i luoghi apparenti del pianeta in date comprese fra il 1583 e il 1590, utilizzando un codice stenografico in cui compaiono simboli per gradi, minuti e probabili segni zodiacali. Ad esempio:

“Anno MDLXXXIII. XXII April. IX % fuit in 1 1 i 6L 1” – (fr:6880-6883) [Anno 1583, 22 aprile. IX % fu in 1° 0’. 1° 6’ 1” 0”’.]
“5°%’ B. Anno MDLXXXV. IX Mart. IX 1/6fuit in 491/106L 29 1/10 B. XI Mart. V fuitin” – (fr:6884-6889) [5° %’ B. Anno 1585, 9 marzo. 9 1/6 fu in 49 1/6 L 29 1/10 B. 11 marzo. 5 fu in ]
Le annotazioni proseguono in modo analogo fino all’ultima: “AnnoMDXC. XXXI Octob. VI ~ mane in 57% ~1. 15% B.” – (fr:6903-6907) [Anno 1590, 31 ottobre. VI ~ di mattina in 57% ~ 15% B.]

Da queste osservazioni, opportunamente adattate, vengono ricavati i “momenti” corretti e le corrispondenti distanze. Keplero lo dichiara esplicitamente:

“Accommodatis reliquarum observationum temporibus, ut restituant Martem in eum locum eccentrici qui fuit tempore ultimo, prodeunt nobis haec momenta: quibus adscripta loca Solis requisita, et distantiae Solis et terrae ex hypothesi hactenus stabilita computatae.” – (fr:6907) [Adattati i tempi delle restanti osservazioni, per riportare Marte nella posizione dell’eccentrico che aveva l’ultima volta, emergono questi momenti: a cui sono aggiunte le posizioni richieste del Sole e le distanze del Sole e della Terra calcolate secondo l’ipotesi finora stabilita.]
“Sunt autem eae ipsae, ob quas probandas hunc laborem suscipimus.” – (fr:6908) [Sono proprio queste, per dimostrare le quali intraprendiamo questo lavoro.]
“Porro artificium computandi hasce distantias paulo post sequetur cap. XXX.” – (fr:6909-6910) [Inoltre, il metodo per calcolare queste distanze seguirà poco dopo, nel capitolo XXX.]

Segue una tavola di cinque momenti osservativi completi (frr. 6911–6928), dove ogni riga riporta data, ora ante meridiem, la posizione misurata e la distanza Terra-Sole calcolata. La prima riga recita: “MDLXXXIII. XXIII Aprilis VIIP/ 10 1°. 29%’ 6L 12°. 1O’. 3” 8 101°49“; l’ultima: ”MDXC. XXXI Octobr. VI ~ 57% ~ 17· 33 t1t 9 8 77 0”, mostrando una notazione via via più compressa ma dalla struttura riconoscibile.

Per la riduzione delle osservazioni ai momenti voluti, Keplero attinse a fonti esterne. Nel primo tempo utilizzò il moto diurno tratto dalle tavole di Magino, data la breve estensione temporale: “Quod observationum deductionem attinet ex diebus observationum 30 ad nostra momenta, primo tempore diurnus ex MAGINOfuit trans sumptus, cum in spacio paucarum horarum non sit periculum erroris.” – (fr:6928) [Per quanto riguarda la riduzione delle osservazioni dai giorni di osservazione ai nostri momenti, nel primo tempo il moto diurno è stato tratto da MAGINO, poiché nello spazio di poche ore non c’è pericolo di errore.] Per i tempi successivi la sicurezza era maggiore: “Caetera tempora observationibus ante et post sunt munita.” – (fr:6929) [Gli altri tempi sono corroborati da osservazioni prima e dopo.] E per il penultimo tempo controllò personalmente la serie dei moti diurni in Magino, notando che il moto diurno fu di 30’ verso il 15 dicembre e di 32’ intorno al 5 dicembre (frr. 6930-6932).

L’affidabilità dell’ultima osservazione è discussa in relazione alla rifrazione atmosferica, potenzialmente insidiosa alla bassa altezza di 23 gradi. Keplero richiama il dibattito con Tycho Brahe:

“Vltimo tempore etsi Mars in altitudine 23 graduum refractionibus est obnoxius, 28” 2.0 DE MOTIBVS STELLAE MARTIS ita ut facile 2 scrupula in latitudine desiderari possint (nam TYCHO contendit refractiones Fixarum Planetis etiam adhibendas desinere quidem in hac altitudine, Solares vero altius pertingere, esseque in hac altitudine scrupulorum circiter quae distinctio ventilata et conquassata est in Astronomia mea Optica fol. 137, et amplius etiam redderetur dubia, si quid esset in parallaxibus Solis mutandum.): tamen haec refractio parum nocet longitudini Martis.” – (fr:6933-6934) [Nell’ultimo tempo, sebbene Marte a un’altezza di 23 gradi sia soggetto a rifrazioni, così che facilmente potrebbero mancare 2 scrupoli in latitudine (Tycho infatti sostiene che le rifrazioni, da applicare anche ai pianeti e alle stelle fisse, cessino a quest’altezza, mentre quelle solari si estendono più in alto, essendo di circa 4 scrupoli; tale distinzione è stata discussa e messa a soqquadro nella mia Astronomia Optica a fol. 137, e diventerebbe ancor più dubbia se qualcosa dovesse essere modificato nelle parallassi del Sole): tuttavia questa rifrazione nuoce poco alla longitudine di Marte.]

L’ultima sezione del testo (frr. 6935–6973) è dedicata alla costruzione geometrica per il calcolo delle distanze. In riferimento a un diagramma, vengono fissati gli elementi nodali: il Sole in α; l’eccentricità dell’orbita terrestre pari a 1800 parti (su un raggio di 100000); la linea degli apsidi; i luoghi della Terra β, ε, γ, δ; e il pianeta Marte posto per cinque volte nel medesimo punto η dell’eccentrico, essendo trascorse esattamente 10 rivoluzioni del pianeta.

“Sit lX. corpus Solis, lX.~ eccentricitas orbis terrae 1800, et linea augium in t 5 ~ §, loca terrae ~. e:. ~. y. &. et corptts Planetae quinquies in’Yj eodem loco eccentrici, utpote post integras 10 ~ lVf.artis periodos. Et connectantur puncta omnia.” – (fr:6935-6942) [Sia α il corpo del Sole, αβ l’eccentricità dell’orbita terrestre 1800, e la linea degli apsidi in t 5 β §, i luoghi della Terra β, ε, γ, δ, e il corpo del pianeta cinque volte in η nel medesimo punto dell’eccentrico, poiché dopo 10 intere rivoluzioni di Marte. E si congiungano tutti i punti.]

Si vuole determinare la distanza αη e la sua posizione sotto lo zodiaco, cioè l’angolo che η forma con i punti di riferimento: “Lubet inquirere lX.’Yj, ejusque locum sub I zodiaco, hoc est an- 11J gulum ’Yjoc&, ’YjlX.Y, ve! aliquem alium ad oc.” – (fr:6943-6945) [Vogliamo trovare αη, e la sua posizione sotto lo zodiaco, cioè l’angolo η con δ, oppure η con α e γ, o qualche altro angolo riferito ad α.]

La triangolazione procede a partire dai luoghi terrestri ε e β. Nel triangolo εαβ sono noti i lati εα (99770), αβ (98613) e l’angolo εαβ; da qui si risolvono gli angoli e il lato εβ. Tutto il calcolo trigonometrico è riversato in lunghe serie di logaritmi: esemplificative sono le stringhe numeriche come “Tang. 249813 3 61 3 8 66483 5 8 3 2801 3 3 5 1 7 1 – - 12 49 1 812 5 517 1998 747° 8 737°°” (fr:6959) e i successivi passaggi che portano agli angoli finali. Con questi elementi si ascende infine al triangolo εβη, sfruttando gli angoli già noti (come αεη calcolato come 132° 7’ 16’’ da εα = 29° 41’ 4’’ e altre quantità) per ottenere, al termine della catena, la distanza e la longitudine di Marte sotto lo zodiaco.

L’intero passo costituisce un saggio della fatica computazionale e del rigore geometrico con cui Keplero fonda la sua Astronomia Nova, intrecciando osservazioni ridotte, correzioni fisiche (rifrazione), dati tabulari (Magino) e infine una serrata triangolazione.

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44 Dalla costruzione geometrica delle distanze alla tabella pratica: il problema della media distanza e della massima equazione

L’estratto si articola in due sezioni strettamente connesse: una sofisticata indagine geometrica volta a stabilire il luogo della distanza media e il punto di massima equazione in un’orbita eccentrica, e la presentazione di uno strumento di calcolo – la tabella delle distanze Sole-Terra – accompagnata da un’avvertenza che già incrina il presupposto del cerchio perfetto.

La costruzione prende le mosse da una retta !J.V che taglia la circonferenza e forma un angolo !J.oca uguale all’angolo x~ex; da ~ si conduce la perpendicolare ~À che biseca !J.V in À e si unisce !J.v con ~. Sfruttando la similitudine dei triangoli, si perviene a un risultato di notevole economia: “Ergo unius trianguli ope, quatuor inveniri possunt distantiae aequalibus angulis ad ex, remotae a linea apsidum ejusque perpendiculari ~’Y) per ex ducta” (fr:7152) [Quindi con l’aiuto di un solo triangolo si possono trovare quattro distanze di angoli uguali in ex, lontane dalla linea degli apsidi e dalla sua perpendicolare ~’Y) condotta per ex].

All’interno di questo schema, le distanze estreme sono immediatamente riconoscibili: “Est itaque longissima distantia in a, brevissima in E, mediocris vero, et aequalis ipsi , non in ~‘Y) sed neque in linea per ~, ipsi ~oc parallelo, quae sit ~o” (fr:7154) [Pertanto la distanza più lunga è in a, la più corta in E, quella media invece, uguale a , non si trova in ~’Y) né in una linea per ~ parallela a ~oc, che sia ~o]. Per designare geometricamente il luogo della distanza media si biseca oc~ nel punto 0’ e da questo si conduce una perpendicolare a oc~ che interseca la circonferenza in 7t (e nel suo opposto). La dimostrazione prova che tali punti 7t sono equidistanti da ex e da ~: ”Connectatur enim afterutrum signorum 7t cum ex et cum~. erunt 7tex, 7t~, aeqtalibus (utpote rectis) angufis 7tO’oc, 7t0’~ subtensae, et M, O’~, aequafes, et 7tO’ communis. Ergo 7tex, 7t~, aequafes” (fr:7159-7161) [Si congiunga infatti uno dei due punti 7t con ex e con ~: 7tex e 7t~, sottese ad angoli uguali (in quanto retti) 7tO’oc e 7t0’~, con M e O’~ uguali e 7tO’ comune, saranno uguali. Quindi 7tex e 7t~ sono uguali]. L’autore riabilita così, correggendone la portata, la dimostrazione che Reinhold aveva impiegato: “Et sic REINHOLDO usupata demonstratio de tota exy, et ejus medio puncto ~, vera manet de puncto 0’, et dimidia oc~” (fr:7162) [E così la dimostrazione adoperata da Reinhold sull’intera exy e sul suo punto medio ~ resta vera per il punto 0’ e la metà oc~].

Chiarita la distanza media, si affronta la questione della massima equazione. L’opinione che essa si verifichi in 7t, dove la distanza è media, viene esaminata e respinta con un argomento stringente: “Atqui verum non est, quod erat propositum. Nam quanto obfiquius ~oc respicit~, tanto fongius vicijim distat 7t quam ~” (fr:7164-7165) [Ma non è vero ciò che ci si era proposti: quanto più obliquamente ~oc guarda verso ~, tanto più lontano dista a sua volta 7t rispetto a ~]. La ragione geometrica sta nel fatto che 7t0’ è più lunga di ~oc e che l’angolo 7t~0’ è maggiore dell’angolo oc cui ~oc è sottesa. La conclusione ribadisce l’autorità della tradizione astronomica: “Demonstravit igitur recte PTOLEMAEVS, et ex eo REINHOLDVS in Theoricis, maximam aequationem (eccentri quidem solitariam seu Opticam) contingere in ~” (fr:7168) [Dimostrò dunque correttamente Tolomeo, e sulla sua scia Reinhold nei Theorici, che la massima equazione – quella del solo eccentrico, ovvero ottica – si verifica in ~].

A scopo di compendio viene fornita una dimostrazione alternativa di validità generale. Presi punti arbitrari sopra e sotto ~ (.& e L) e tracciate da ex le perpendicolari sulle linee per oc, si sfrutta l’iscrizione in un semicerchio di diametro uguale a , .&, L. Poiché ~oc, in quanto più lunga, sottende un arco maggiore di qualsiasi perpendicolare ~x, ne consegue che “major erit ejus angulus oc quam ~.&x, aut cujuscunque puncti alterius supra ~, utpote 7t vel~, angulus prosthaphaeresos” (fr:7181) [maggiore sarà il suo angolo oc rispetto all’angolo ~.&x, o all’angolo di prosthaphairesi di qualsiasi altro punto sopra ~, come 7t o ~]. Così si conferma, con uno strumento visivo e sintetico, che la massima equazione spetta al punto ~.

Le procedure descritte per il calcolo delle distanze Sole-Terra sono dichiarate valide anche per Marte, ma soltanto entro il presupposto di orbite perfettamente circolari: “Quae hoc capite de computandis distantiis Solis et terrae sunt dieta, valebunt etiam in Marte, quantisper erit in suppositis, Planetarum orbitas esse circulos perfectos” (fr:7183) [Quanto detto in questo capitolo sul calcolo delle distanze del Sole e della Terra varrà anche per Marte, finché si supporrà che le orbite dei pianeti siano cerchi perfetti]. Una volta accertata la falsità di tale ipotesi, “alia methodus tradetur eas computandi” (fr:7184) [verrà fornito un altro metodo per calcolarle].

Il CAPVT XXX introduce una tabella pratica delle distanze del Sole dalla Terra. Essa si compone di tre colonne: la prima riporta gli angoli dell’anomalia media, composti da gradi interi e dalle rispettive equazioni ottiche (o dell’eccentrico) come ~!Loc, ~.&oc, ecc.; la seconda elenca le distanze oc!L, oc.&, oc~, ocL, ocv corrispondenti; la terza, sotto il titolo di anomalia coaequata, raccoglie gli angoli ottenuti sottraendo le equazioni ottiche oc!L~, oc.&~, oc, ocL~, ocv~ dai rispettivi angoli 8oc!L, 8oc.&, 8oc~, 8ocL, 8ocv di gradi interi. Non viene invece assegnata una colonna specifica a questi ultimi angoli integri perché “sunt medium arithmeticum inter columnarum lateralium angulos, et sic seipsis facile intelliguntur, nec usui sunt” (fr:7203) [sono la media aritmetica tra gli angoli delle colonne laterali, e così si comprendono facilmente di per sé, né sono di utilità]. Per ottenere una distanza si entra con il valore di anomalia media o coaequata, eventualmente prendendo il complemento a 360° quando l’angolo supera il semicerchio; la distanza è espressa in parti del raggio orbitale (100000) con eccentricità

L’uso pratico della tabella cela però una tensione con la forma reale del moto. L’autore avverte che, nel momento in cui si attribuisce al percorso della Terra (o del Sole) attorno al punto tX una distanza calcolata con un angolo già decurtato della prosthaphairesi, si sta implicitamente imponendo una figura circolare a una traiettoria che circolare non è più: “affingitur circuitui terrae (vel Solis) circa tX via non plane circularis sed ovalis” (fr:7208) [si attribuisce al percorso della Terra (o del Sole) attorno a tX una via non perfettamente circolare, ma ovale]. La discrepanza è esemplificata con il valore di 90 gradi: la distanza tX~ costruita originariamente per un’anomalia coaequata di 90° dava 99984, ma entrando in tabella con 90° si trova un’anomalia coaequata di 88° 58’ e la distanza 99953; la differenza si genera perché l’angolo di ingresso è stato ridotto della prosthaphairesi, denunciando che il cerchio perfetto è già, di fatto, abbandonato.

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45 La virtù motrice solare e la dinamica planetaria nell’Astronomia Nova

Keplero, basandosi sulla dimostrazione geometrica del capitolo precedente riguardo la proporzionalità tra le dimore planetarie e le distanze dal punto equante, si propone di individuare la causa fisica di tale variazione di velocità. L’argomentazione si sviluppa a partire da un principio ormai dimostrato: “Atque hoc sequitur ex ordinatione formae Ptolemaicae, ejusque puncto aequatorio, certa et legitima demonstratione” - (fr:7689), ovvero che quanto più un pianeta è lontano dal punto da cui si computa l’eccentricità, tanto più debolmente è incitato a muoversi attorno a quel punto, o più semplicemente, “quo longius abest Planeta a puncto illo, quod pro centro mundi assumitur, hoc debilius illum incitari circa illud punctum” - (fr:7692).

Stabilita questa correlazione, Keplero si interroga sulla sua causa, applicando un assioma fondamentale della filosofia naturale: “Eorum, quae simul et eodem modo fiunt, et easdem ubique dimensiones accipiunt, alterum alterius causam aut utrumque ejusdem causae effectum esse” - (fr:7693). Poiché l’indebolimento e il rafforzamento del moto coincidono sempre con l’allontanamento e l’avvicinamento dal centro del mondo, si delineano tre possibilità: o la debolezza del moto causa l’allontanamento, o l’allontanamento causa la debolezza, oppure entrambi hanno una causa comune. Keplero esclude la causa comune, sostenendo che le due bastano a sé stesse e che non è necessario inventare un terzo elemento: “in sequentibus capitibus patebit, non esse nobis necesse tale quippiam confingere, cum sufficiant duo ista sibi ipsis” - (fr:7699).

L’analisi procede per esclusione. Non è conforme a natura che la forza o debolezza nel moto longitudinale sia la causa della distanza dal centro, poiché “Distantia enim a centro prior est cogitatione et natura quam motus in longum” - (fr:7702), in quanto il moto richiede uno spazio in cui compiersi, mentre la distanza può essere concepita senza moto. Ne consegue che la distanza è la causa del vigore nel moto. Appartenendo la distanza alla categoria delle relazioni, la cui efficienza non può risiedere nella relazione in sé ma nei suoi termini, la causa della variazione del vigore deve risiedere in uno dei due termini: il corpo del pianeta o il centro del mondo. Keplero scarta l’idea che la causa sia nel pianeta. Non è verosimile che una forza animale, residente nel corpo mobile del pianeta, si intensifichi e si indebolisca senza affaticamento, né si comprende come un’anima possa trasportare un corpo sferico attraverso l’etere senza l’ausilio di ali o piedi, in assenza di sfere solide, come dimostrato da Tycho Brahe: “Adde quod intelligi nequit, quomodo vis haec animalis corpus suum per spacia mundi transvectet, cum nulli sint orbes solidi, ut TYCHO BRAHE demonstravit” - (fr:7708). Di conseguenza, la causa deve risiedere nell’altro termine, il centro del mondo: “Relinquitur igitur, ut causa hujus debilitationis et intensionis resideat in termino altero, scilicet in ipso suscepto mundi centro” - (fr:7709). Se l’allontanamento dal centro causa la tardità e l’avvicinamento la velocità, allora in quel centro deve trovarsi la fonte della virtù motrice. Keplero spiega il meccanismo con l’analogia della stadera o della leva: come un peso diventa più gravoso quanto più è lontano dal fulcro, non per sé stesso ma per la virtù del braccio che lo sostiene, così il pianeta è mosso più difficilmente quanto più è lontano dalla virtù centrale.

Stabilito che la virtù motrice risiede nel centro, Keplero identifica quale corpo occupi tale centro. Basandosi su argomenti fisici già discussi e sulla dimostrazione geometrica del capitolo XXXII, conclude che il Sole, e non un punto vuoto o la Terra (se non nel sistema tolemaico), è il candidato più probabile. La dimostrazione fenomenologica delle opposizioni di Marte conferma che le distanze vanno computate dal centro del corpo solare: “Deinde memineris, me demonstrasse parte secunda, Phaenomena sub noctium extrema pulchre sequi, si oppositiones Martis cum apparenti Solis in consilium adhibeamus: quo facto, simul eccentricitatem et distantias ex ipso corporis Solaris centro extruimus” - (fr:7720). Keplero si spinge oltre, affermando che il Sole è la fonte della vita del mondo, vita che si manifesta nel moto degli astri, essendo anche la fonte della luce e del calore che tutto vivificano.

Keplero esplora poi la stretta parentela tra la virtù motrice solare e la luce. La fortitudo della virtù è inversamente proporzionale all’ampiezza del cerchio su cui si diffonde, proprio come la luce: “quanto sparsior virtus, tanto imbecillior: et contra quanto collectior, tanto fortior” - (fr:7744). Da ciò deduce che la virtù motrice è una specie immateriale del corpo solare, proprio come la luce è una specie immateriale del fuoco solare. Come la luce, non è un corpo geometrico ma è come una superficie, e non si disperde nello spazio intermedio tra la fonte e il mobile, ma esiste solo dove è raccolta nel corpo che muove: “non possit considerari ut per spacium intermedium dispersa, fontem inter et corpus mobile, sed ut collecta in mobili, quantum de ambitu a mobili occupatur” - (fr:7758). La luce stessa, osserva Keplero, non esiste nello spazio tra la fonte e l’oggetto illuminato, ma è come se vi fosse stata: “lux quoque, aeque atque haec virtus motrix, in spacio inter fontem et illustrabile intermedio, non est, etsi hoc transiit, sed ibi quasi fuit” - (fr:7770).

Infine, Keplero trae le conclusioni cosmologiche. La virtù motrice che risiede nel Sole e muove tutti i pianeti, necessariamente muove anche la Terra. Non esiste una via di mezzo tra un sistema in cui il Sole immobile muove i pianeti (inclusa la Terra) e uno in cui la Terra immobile muove il Sole e i pianeti a lui concatenati. Poiché Tycho stesso ha distrutto la realtà delle sfere solide e Keplero ha dimostrato l’esistenza di un equante anche nella teoria del Sole, ne segue che se il Sole si muovesse, il suo moto sarebbe soggetto a intensificazione e remissione in base alla distanza dalla Terra, il che implicherebbe che la Terra muova il Sole. Keplero trova invece riposo nel sistema copernicano: “Ego in COPERNICO acquiesco, et tellurem unam ex Planetis esse patior” - (fr:7738), accettando così il moto della Terra come parte integrante della dinamica unificata dalla virtù motrice solare.

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46 Il Sole magnetico e la virtù motrice immateriale: l’indagine di Keplero sul movimento planetario

Keplero indaga la natura della virtù motrice emanata dal Sole, paragonandola alla luce e al magnetismo, e mostra come la rotazione del corpo solare sia la causa fisica del moto dei pianeti, secondo una dinamica che anticipa il principio d’inerzia.

Keplero imposta la sua analisi su un parallelo tra luce e virtù motrice: «Movet autem in tempore; quia mobile materiatum est» – (fr:7776) [Muove tuttavia nel tempo, perché il corpo mosso è materiale.] Il confronto si precisa con l’analogia «si sicut se habet Iux ad illustrationem, sic certum est sese habere virtutem ad motum» – (fr:7777) [se come la luce sta all’illuminazione, così certamente la virtù sta al moto.] La luce, pur operando tutto il possibile per l’illustrazione massima, non raggiunge mai l’illuminazione perfetta di un colore, perché il colore mescola la propria specie con la luce e produce un terzo effetto (fr:7778‑7779). Così la virtù motrice non cessa di agire, ma i pianeti non acquistano la celerità che essa possiederebbe da sola, a causa della loro costituzione materiale; dalla contemperazione tra lo sforzo della virtù e la disposizione del mobile alla quiete — «repugnante vel intermedio, nempe aurae aetheriae materia qualicunque, vel dispositione mobilis ipsius ad quietem (alii dicerent, pondere)» – (fr:7783) – scaturisce il periodo periodico di ciascun pianeta.

La virtù motrice è una species immateriata, simile alla luce, che si diffonde dal Sole senza ritardo temporale. «Cum autem species haec immateriata sit, sine temporis mora ex corpore suo in hanc distantiam egressa» – (fr:7791) [Essendo questa specie immateriale, uscita dal suo corpo fino a questa distanza senza indugio di tempo.] Poiché tale specie è legata alle particelle del corpo solare sin dalla creazione, essa deve seguire la rotazione del Sole: «non tantum necesse est ex natura speciei… ut cum corporis seu fontis sui particulis et ipsa dividatur, et quam in plagam mundi vergit una aliqua particula corporis Solaris, in eandem plagam perpetuo vergat etiam particula speciei immateriatae» – (fr:7791) [non solo è necessario per la natura della specie… ma anche probabile di per sé, per la parentela con la luce, che essa si divida con le particelle del suo corpo‑fonte, e la particella immateriale guardi perpetuamente la stessa plaga del mondo verso cui guarda la corrispondente particella del corpo solare.] Se così non fosse «species non esset, пес rectis sed curvis lineis a corpore delaberetur» – (fr:7792) [non sarebbe una specie, né si staccherebbe dal corpo in linee rette, ma curve.] È quindi necessario che, per imprimere il moto ai pianeti, lo stesso corpo solare ruoti sul proprio centro, restando nella medesima regione del mondo (fr:7793).

A conferma di questa conclusione Keplero porta l’esempio dell’oratore che volge lo sguardo tra gli astanti: la specie immateriale della sua luce ruota con lui, così che tutti vedono a turno i suoi occhi. «Hic vides manifeste, speciem immateriatam luds vel drcumferri vel stare, una cum drcumlata vel stante re sua, cujus est species» – (fr:7801) [Qui vedi chiaramente che la specie immateriale della luce o viene portata in giro o sta ferma, insieme alla cosa ruotata o ferma di cui è specie.] Dunque «cum itaque spedes fontis, seu virtus Planetas movens, gyretur drca centrum mundi; rem ipsam quoque cujus est spedes, Solem nempe gyrari, hoc jam dicto exemplo non absurde concludo» – (fr:7802) [poiché la specie della fonte, ossia la virtù che muove i pianeti, ruota intorno al centro del mondo, concludo non assurdamente che anche la cosa di cui è specie, cioè il Sole, ruota.] L’argomento è rafforzato dalla constatazione che il moto locale nel tempo non può appartenere a una nuda specie immateriale, incapace di ricevere passivamente il moto; se la virtù ruota e non può avere velocità infinita, dev’essere mossa dal corpo da cui dipende (fr:7803‑7804).

I pianeti non raggiungono la velocità della virtù motrice perché la loro natura materiale li inclina alla quiete. «Necesse est igitur, ut Planetariorum globorum natura sit materiata, ex adhaerente proprietate, inde a rerum principio, prona ad quietem seu ad privationem motus» – (fr:7814) [È necessario dunque che la natura dei globi planetari sia materiale e, per una proprietà inerente fin dal principio, incline alla quiete ovvero alla privazione del moto.] L’intero circolo della virtù emanante dal Sole ruota con lo stesso periodo, ma i pianeti oppongono una resistenza tanto maggiore quanto più sono lontani. Così Saturno impiega trent’anni, Giove dodici, Marte ventitré mesi, la Terra dodici, Venere sette mesi e mezzo, Mercurio tre (fr:7812‑7813). «Quarum rerum contentione cum nascatur pugna; superat igitur plus ille PIaneta, qui in virtute imbecilliore consistit, eaque tardius movetur; minus ille, qui Soli propior» – (fr:7815) [Dal conflitto di queste cose nasce una lotta; perciò prevale quel pianeta che si trova in una virtù più debole e si muove più lentamente; meno quello più vicino al Sole.]

Poiché la rotazione solare deve essere molto più rapida di qualsiasi periodo planetario, Keplero ne stima la durata. Richiamando il sistema Terra‑Luna, dove il raggio dell’orbita lunare è circa sessanta volte il raggio terrestre e il mese lunare è circa trenta volte il giorno, si ha che il rapporto delle ampiezze è doppio di quello dei periodi (fr:7818‑7819). Applicando la stessa proporzione doppia al Sole e a Mercurio — il diametro solare è un sessantesimo del diametro dell’orbita di Mercurio — il tempo di conversione del globo solare diviene un trentesimo degli 88 giorni del periodo di Mercurio, «adeo ut verisimile sit, Solem triduo circiter gyrari» – (fr:7819) [così che è verosimile che il Sole ruoti in circa tre giorni.] Non è escluso tuttavia un periodo di un giorno, se si preferisse sincronizzare magneticamente la conversione diurna della Terra con quella del Sole (fr:7820).

L’esempio Terra‑Luna offre un’ulteriore conferma. «Dum nempe tellus haec nostra, et cum ea species ejus immateriata, vicies novies semis convolvitur circa suum axem; species haec emissa tantum potest in Lunam, ut illam interim semel in orbem agat, in plagam quidem eandem, in quam tellus ipsa praeit» – (fr:7827) [Mentre infatti questa nostra Terra, e con essa la sua specie immateriale, si convolge ventinove volte e mezza intorno al proprio asse, la specie emessa ha soltanto il potere di spingere la Luna una volta in giro, nella medesima direzione in cui la Terra stessa precede.] Benché la distanza della Luna sia sessanta volte il raggio terrestre, essa non impiega un tempo sessanta volte maggiore, perché la materia lunare oppone una repugnanza debole ma non nulla. Se non vi fosse alcuna resistenza, la Luna sarebbe trascinata con la stessa celerità della Terra e circuirebbe in 24 ore (fr:7831‑7833).

Il Sole, come la Terra secondo Gilbert, è un corpo magnetico. «Stio terrae filamenta ejusdemque motus aequatorem signare… cum ipsa tellus… magnus quidam sit magnes» – (fr:7852) [Le fibre della Terra e il suo moto segnano l’equatore… poiché la Terra stessa… è una grande calamita.] La virtù motrice solare si diffonde orbicularmente e si indebolisce con la distanza, ma — a differenza della calamita che attrae il ferro — non trascina i pianeti verso il Sole; «sed tantum directoriam, ideoque fibras habere circulares in eam plagam circumporrectas, quae monstratur a [circulo] zodiaco» – (fr:7847) [ma solo direttiva, e perciò ha fibre circolari distese intorno nella plaga indicata dal cerchio zodiacale.] Ruotando il Sole, la sua forza motrice ruota con lui, traendo i pianeti nel medesimo verso (fr:7848). L’analogia con il magnete è così calzante che Keplero la considera quasi la realtà stessa (fr:7849‑7850).

Il capitolo XXXV affronta un’obiezione: se i pianeti, interponendosi tra il Sole e un altro corpo, oscurano la luce, possono allo stesso modo impedire la virtù motrice? Keplero risponde che l’analogia non va forzata. La luce è bloccata da un opaco perché agisce sulla superficie, mentre «Virtus in corpus agit sine opaci respectu» – (fr:7862) [La virtù agisce sul corpo senza riguardo dell’opaco.] La forza magnetica, benché immateriale, passa attraverso argento, rame, oro, vetro, osso e legno senza indebolirsi; viene fermata solo da un’altra calamita che compie la medesima azione (fr:7867‑7870). Perciò «Vt igitur negare possimus, motus siderum impediri centralibus duorum conjunctionibus: necesse est dicere, Solis naturam plus differre a naturis siderum caeterorum, quam differt natura magnetis a natura ferri» – (fr:7875) [Affinché possiamo negare che i moti degli astri siano impediti dalle congiunzioni centrali di due di essi, bisogna dire che la natura del Sole differisce da quella degli altri astri più di quanto la natura della calamita differisca da quella del ferro.] I moti degli apogei non si spiegano quindi con un impedimento della virtù motrice, ma potrebbero avere una causa animale (fr:7878).

L’ultima obiezione, introdotta nel capitolo XXXVI, riguarda l’attenuazione della virtù motrice con la distanza. Keplero riconosce che il punto è difficile e lo affaticò a lungo, perché contrasta con la stretta parentela fra luce e virtù (fr:7883‑7885). Il frammento si interrompe con «Demonstratum est cap.» – (fr:7886), lasciando in sospeso una legge quantitativa che avrebbe dovuto completare il quadro della dinamica celeste.

I frammenti qui raccolti documentano un momento cruciale della rivoluzione scientifica. Keplero abbandona le anime motrici medievali e cerca una causa fisica per i moti planetari. L’introduzione di una species immateriata, l’analogia con la luce e il magnetismo, il riconoscimento di un’inclinazione materiale alla quiete — precoce principio d’inerzia — e il calcolo della rotazione solare pongono le basi per una dinamica celeste che, pur con i suoi limiti, prepara il terreno alla sintesi newtoniana.

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47 La ricerca delle cause fisiche dei moti planetari e lunari nell’Astronomia Nova

La variazione del moto planetario non deriva dall’attenuazione della virtù solare, ma dalla diluizione sferica della specie e dall’azione congiunta di una forza comune solare e di virtù insite nei pianeti, in un cosmo senza sfere solide.

Keplero, nell’Astronomia Nova, affronta le disuguaglianze osservate nei moti celesti a partire da una constatazione empirica: “Planetarum motus intensionem et remissionem sequi proportionem distantiarum simplicem” – (fr:7888) [L’intensificarsi e il diminuire del moto dei pianeti segue una proporzione semplice delle distanze]. Tuttavia, se la virtù motrice emanasse dal Sole, la sua intensità dovrebbe seguire una proporzione “duplicata ve! triplicata distantiarum seu linearum effluxus” – (fr:7889‑7890) [duplicata o triplicata delle distanze, ossia delle linee di efflusso]. Perciò “intensio et remissio motus Planetarum non erit ex attenuatione virtutis ex Sole emanantis” – (fr:7891) [l’intensificazione e la remissione del moto dei pianeti non deriverà dall’attenuazione della virtù che emana dal Sole]. Per esplorare la questione, Keplero imbastisce un esperimento mentale ottico, che poi sottopone a una spietata autocritica.

Nello schema geometrico (dove compaiono i punti oc, β, γ e il disco solare oce), immagina dapprima un punto luminoso sul Sole: i raggi si diffondono su sfere di raggio crescente e la densità della luce sta alle ampiezze delle superfici sferiche in proporzione inversa. Passando a un cerchio e al disco apparente, l’ingrandimento prospettico sembrerebbe generare una radiazione che varia col cubo della distanza, sicché un corpo distante il doppio “videtur octuplo obscurius lucere debuisse in y quam in ~, non tantummodo duplo” – (fr:7914) [sembrerebbe dover brillare otto volte più debolmente in γ che in β, non soltanto il doppio]. Keplero replica con fermezza: “in prima puncti positione falsum assumi. Nam etsi sic ego in Opticis quoque locutus sum: at cum Opticis me locutum memineris, quorum puncta et lineae non sunt pIane indivisibiles” – (fr:7917‑7918) [nella prima posizione del punto si assume il falso. Infatti, sebbene io abbia parlato così anche nell’Ottica, ricorderai che nel discorso ottico i punti e le linee non sono affatto indivisibili]. Un punto matematico privo di quantità non emette radiazione reale; una linea circolare senza larghezza non può brillare. Quanto all’ingrandimento ottico, “cum sit tantum deceptio visoriae facultatis, et ex genere rationalium entium; quibus nulla est efficientia” – (fr:7927) [poiché è solo un inganno della facoltà visiva, appartenente al genere degli enti di ragione, privi di ogni efficienza], esso non aggiunge alcuna forza fisica.

La vera causa dell’indebolimento con la distanza non è una perdita di sostanza, bensì la diluizione della specie su sfere sempre più ampie. Il Sole, restando il medesimo, “idem etiam perpetuo praestabit et efficiet, et tantundem sparget virtutis vel lucis in orbe y laxiorem, quantum in ~ angustiorem. nihil enim perit in itinere. pervenit species integra quam lubet remotissime. tantummodo sphaerarum extensionibus attenuatur … in proportione conversa distantiarum oc~ ad ocy” – (fr:7928‑7931) [compirà e produrrà sempre lo stesso effetto, e spanderà tanta virtù o luce nell’orbe più ampio γ quanta in quello più stretto β. Nulla infatti perisce nel tragitto. La specie giunge integra a qualsiasi distanza. Soltanto si attenua per l’estensione delle sfere, … in proporzione inversa delle distanze ocβ a ocγ]. E con un sorriso di sollievo esclama: “rideo miseras meas trepidationes ex hac caligine ortas” – (fr:7934) [rido delle mie misere trepidazioni nate da questa caligine].

La conclusione è che luce e virtù motrice obbediscono alla medesima legge: “causam lucis et virtutis motricis esse pIane eandem, et deceptionem inesse in ratiocinatione” – (fr:7938) [la causa della luce e della virtù motrice è esattamente la stessa, e nel ragionamento si cela un inganno]. Non si tratta di raggi emessi da punti isolati, ma di un efflusso dall’intero emisfero lucente del Sole. Qui Keplero introduce i filamenti magnetici del corpo solare, ordinati lungo lo zodiaco e trascinati in rotazione dal Sole stesso; la specie motrice composta da tutti i filamenti avvolge il pianeta, che “vehitur ad modulum densitatis, hujus integrae speciei, ex filamentis omnibus compositae” – (fr:7940) [è trasportato secondo la misura di densità di questa specie integrale, composta da tutti i filamenti]. Proprio questa disposizione spiega perché i pianeti non si allontanano dallo zodiaco: lontano da esso, filamenti orientati in direzioni opposte si elidono, rendendo “minus igitur apta est species ista versus polos delapsa ad motum Planetis inferendum” (fr:7952) [meno adatta è quella specie, scivolata verso i poli, a imprimere il moto ai pianeti].

Il capitolo XXXVII applica lo stesso schema alla Luna. Tycho Brahe aveva scoperto che, oltre alle note anomalie, “ipse etiam medius motus … intendatur sub conjunctiones et oppositiones cum Sole, remittatur in quadraturis” – (fr:7956) [lo stesso moto medio … si intensifica sotto le congiunzioni e opposizioni con il Sole, e si attenua nelle quadrature]. Keplero rifiuta l’idea di un’azione diretta della virtù solare, che produrrebbe l’effetto opposto. La causa è invece una forza ritentiva della Terra: “tribuenda telluri vis retentiva Lunae, ceu catena quaedam” – (fr:7969) [va attribuita alla Terra una forza ritentiva della Luna, come una catena]. La Terra ha attinto dal Sole la virtù di muovere la Luna e la conserva lungo la linea che collega i centri dei due corpi. Per questo la linea TS, il diametro che unisce Terra e Sole, “merito diameter virtuosa appellari potest, cum hi duo fontes sint omnis motus nempe T et S” – (fr:7970) [a ragione può chiamarsi diametro virtuoso, poiché queste due fonti, T e S, sono all’origine di ogni moto]. Quando la Luna incide su quel diametro, la forza risultante è più robusta e il moto si fa più celere, dando origine all’accelerazione osservata nelle sizigie.

Resta da spiegare l’eccentricità e le variazioni di latitudine. Se non esistono sfere solide, perché il pianeta si avvicina e si allontana dal Sole? La risposta è sfaccettata: “Est, quomodo ex Sole; est, quomodo non ex Sole” – (fr:7984) [È, in un certo modo, dal Sole; è, in un certo modo, non dal Sole]. La virtù solare, da sola, è un torrente uniforme che trascina i pianeti da occidente a oriente, ma “se ipso non aptus corpora ad Solem adducere vel ab eo longius propellere; quod esset infinitae sollicitudinis opus” – (fr:7992) [di per sé non è atta ad avvicinare i corpi al Sole né ad allontanarli; ciò sarebbe un’opera di infinita sollecitudine]. Occorrono perciò cause concorrenti: come le barche governate dai barcaioli che, con un semplice remo, convertono la corrente uniforme in mille giochi di avvicinamento e attraversamento, così i pianeti “ceu quaedam cymbae, peculiares virtutes motrices, quasi quosdam vectores seu portitores habeant, quorum providentia non tantum accessus ad Solem et recessus a Sole, sed etiam … declinationes latitudinum administrant” – (fr:7993) [come delle barche, abbiano proprie virtù motrici, quasi fossero barcaioli o traghettatori, la cui provvidenza amministri non solo l’avvicinamento e l’allontanamento dal Sole, ma anche le declinazioni in latitudine]. L’indagine culmina nell’assioma “Quid Planeta per motum sui corporis affectet” – (fr:7997) [Che cosa il pianeta persegua con il moto del proprio corpo], che conferisce alla dinamica celeste una dimensione quasi teleologica.

Queste pagine rappresentano un passaggio epocale. Abbandonate definitivamente le sfere celesti, Keplero tenta per primo una fisica dei movimenti planetari basata su cause efficienti misurabili: la diluizione sferica della virtù solare prefigura la legge dell’inverso del quadrato; la composizione tra forza comune del Sole e virtù insite nei pianeti anticipa la sintesi newtoniana di gravitazione e inerzia; le analogie con la luce, i filamenti magnetici e i corsi d’acqua immettono la spiegazione dei cieli entro una cornice meccanica. Al tempo stesso, la serrata autocritica ottica e il costante appello alle osservazioni di Tycho Brahe testimoniano un metodo che non si accontenta più di salvare i fenomeni, ma vuole portarne alla luce le cause fisiche, segnando la nascita dell’astronomia moderna.

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48 Alla ricerca della misura celeste: la librazione, la mente del pianeta e il crepuscolo del cerchio perfetto

Nel capitolo XXXIX dell’Astronomia Nova, Keplero saggia la tenuta fisica del modello circolare eccentrico, esplorando la natura della virtù motrice, il bisogno di un meccanismo di librazione e il problema di come un pianeta possa «conoscere» la propria distanza dal Sole, fino ad ammettere, come ipotesi estrema, una mente planetaria guidata dalla variazione del diametro solare apparente.

Il capitolo si apre con una premessa che è già una crepa nell’edificio dell’astronomia tradizionale. Se la virtù che emana dal Sole è semplice – «Certum enim est ex antedictis, virtutem quae ex Sole, simplicem esse» – (fr:8000) [È infatti certo da quanto detto in precedenza che la virtù che proviene dal Sole è semplice], il fatto che gli eccentrici planetari non solo deviino dall’eclittica ma si intersechino reciprocamente impone di ammettere che «aliae causae virtuti motrici ex Sole conjunguntur» – (fr:8002) [altre cause si uniscono alla virtù motrice proveniente dal Sole]. Per indagare come le virtù insite nei pianeti debbano cooperare con la virtù solare per produrre un’orbita circolare – «qualem vulgo credunt» – (fr:8003) [quale comunemente si crede], Keplero pone sei assiomi che costituiscono il fondamento della sua fisica celeste provvisoria.

Il pianeta è per natura incline alla quiete se isolato (fr:8004); è la virtù solare a trasportarlo lungo lo zodiaco (fr:8005) e, se la distanza dal Sole fosse costante, il suo percorso sarebbe un cerchio perfetto (fr:8006). Se invece il pianeta stazionasse alternativamente a due distanze diverse, i periodi sarebbero in dupla proportione distantiarum – (fr:8007) [nella proporzione doppia delle distanze, cioè nel rapporto dei quadrati]. La sola virtù insita nel pianeta è insufficiente a trasportare un corpo privo di organi di sostegno nell’etere (fr:8008). Tuttavia – ed è il sesto assioma – l’avvicinamento e l’allontanamento dal Sole sorgono ex virtute, quae est propria Planetae – (fr:8009) [da una virtù che è propria del pianeta]. Nasce dunque l’esigenza di combinare una spinta tangenziale continua, di origine solare, con un moto radiale di origine planetaria.

Per visualizzare questa combinazione Keplero analizza uno schema geometrico: un eccentrico CD con centro B, il Sole in A, l’eccentricità BA, e un epiciclo di raggio pari a BA suddiviso in archi uguali, le cui distanze dal centro dell’epiciclo oc riproducono esattamente le distanze variabili CA, DA, EA… del pianeta dal Sole (fr:8012‑8016). L’obiettivo è ottenere che la distanza OCL eguagli la distanza AD (fr:8021‑8022). Ma non appena si tenta di animare fisicamente questa geometria, emergono difficoltà che assumono la forma di «modi» di generare il moto e dei corrispondenti assurdi.

Il primo modo – che il pianeta percorra realmente l’epiciclo con virtù insita (fr:8027) – urta contro l’assioma quinto, che nega alla virtù interna la capacità di trasportare il corpo, e comporta un paradosso cinematico: per far coincidere il moto angolare visto dal centro dell’eccentrico con quello visto dal centro dell’epiciclo, il centro dell’epiciclo, pur rimanendo a distanza fissa dal Sole, dovrebbe subire variazioni di velocità dipendenti dalla lontananza del pianeta, il che contraddice l’uniformità della virtù solare a parità di distanza (fr:8024‑8025). Il secondo modo – che il pianeta compia direttamente l’eccentrico (fr:8033) – si scontra con l’impossibilità, già discussa nel capitolo II, di supporre che un pianeta, per quanto dotato di mente, possa immaginare un centro privo di un corpo fisico di riferimento e mantenere da esso una distanza costante (fr:8045‑8046). Né basta ipotizzare una memoria delle distanze e dei tempi, perché comporterebbe una prescienza dell’effetto di una virtù bruta, in mescolanza con l’infinito – «infinitum autem misceatur huic intensi ani et remissioni» – (fr:8052) [l’infinito si mescoli a questa intensificazione e remissione].

La via più plausibile diventa allora il terzo modo: abbandonare tanto il percorso reale dell’epiciclo quanto la fissità dell’eccentrico, e ridurre il compito del pianeta a un iter libratorium in diametro y~ ad x, Solem tendente – (fr:8054‑8055) [un percorso librazionale sul diametro y~ verso x, tendente verso il Sole]. Il pianeta oscilla lungo il raggio vettore, e la sua orbita complessiva risulta dalla composizione della circolazione solare e di questa librazione radiale. Ciò sposta la questione su un piano interamente nuovo: «Quaeritur jam mensura, qua Planeta justas quolibet tempore distantias metiatur?» – (fr:8056) [Si cerca ora la misura con cui il pianeta misura le giuste distanze in qualsiasi tempo].

Keplero passa in rassegna le possibili misure e le esclude una per una. La geometria dello schema ci dà la regola – uguagliare l’angolo al centro dell’eccentrico con l’angolo sull’epiciclo – ma questa regola è accessibile all’astronomo, non al pianeta (fr:8058). Se l’orbita fosse un cerchio perfetto, gli archi uguali dell’eccentrico corrisponderebbero a discese disuguali e disordinate nel diametro: «ut medii sint maximi… extremi minores, et summi paulo minores imis» – (fr:8063) [cosicché i medi siano massimi… gli estremi minori, e i superiori un po’ minori degli inferiori]. Le librazioni non sono proporzionali né ai tempi, né agli archi percorsi, né agli angoli al Sole (fr:8065‑8068). Tutte queste misure sono ripudiate dalla fisica (fr:8070). Resta da chiedersi se il pianeta possa regolarsi su un epiciclo o eccentrico «immaginario»: ma ciò significherebbe attribuirgli la conoscenza di una velocità futura che ancora non è stata causata, il che è incredibiliora quam priora – (fr:8073) [più incredibile delle ipotesi precedenti].

A questo punto il testo tocca il suo snodo più audace. Costretto dall’assunzione del cerchio perfetto a dotare il pianeta di una mente che presieda alla librazione, Keplero propone che tale mente tragga la misura dall’unico segno variabile con la distanza: il diametro apparente del Sole. «Sic nos homines scimus Solem a nobis abesse 229 suis diametris, quando ejus diameter habet 30 minuta, et 222 diametris, quando habet 31’» – (fr:8092) [Così noi uomini sappiamo che il Sole dista da noi 229 suoi diametri quando il suo diametro ha 30 minuti, e 222 diametri quando ha 31 minuti]. Come i naviganti, che non possono misurare lo spazio percorso direttamente dal mare, ma ricorrono a segni esterni – il tempo, il vento, l’altezza del polo o strumenti meccanici (fr:8087‑8091) – così il pianeta non può misurare se stesso nell’aura eterea uniforme, e deve usare l’unico indizio ottico disponibile: la grandezza apparente del Sole.

Keplero sa che l’ipotesi di una mente planetaria è un espediente metodologico, e scrive che se fosse certo che il moto librazionale non può essere realizzato da una facoltà materiale o magnetica, «nihil absurdi statueretur» – (fr:8093) [non si stabilirebbe nulla di assurdo]; ma avverte subito che trasporterà più avanti queste speculazioni a mentis partibus ad naturae partes et magneticas facultates – (fr:8102) [dalle parti della mente alle parti della natura e alle facoltà magnetiche]. Il capitolo si chiude con una difesa della variazione del diametro solare come possibile regola, quantificandone i valori: trenta minuti primi sulla Terra, venti su Marte, sette su Giove, tre su Saturno, quaranta su Venere, fino a centoventi su Mercurio (fr:8105). All’obiezione che simili differenze siano troppo piccole per essere percepite, oppone che non è il corpo solare a essere esiguo, ma i sensi umani a essere inepta crassitie – (fr:8106) [di inetta grossolanità]; e conclude con un’immagine potente: «Ecce hoc quantulumcunque corpus aptum tamen est, quod in superioribus demonstravi, ad movenda in circulum tam remota corpora» – (fr:8107) [Ecco, questo corpo per quanto piccolo è tuttavia adatto, come ho dimostrato sopra, a muovere in circolo corpi così lontani].

Significato storico e testimonianza. Il capitolo XXXIX è un testimone eccezionale del metodo kepleriano. Sotto la pressione di far coincidere la physica coelestis con la geometria del cerchio, Keplero esplora sistematicamente ogni opzione meccanica, smascherandone gli assurdi e registrando onestamente la penuria melioris sententiae – la mancanza di un’ipotesi migliore. L’intero edificio del cerchio perfetto è qui mantenuto in vita artificialmente, tramite un’architettura di virtù semplici, librazioni e, in extremis, una mente che legge il diametro del Sole. È proprio questa tensione a rendere storicamente inevitabile il passaggio all’ellisse, annunciato poco più avanti nell’opera, quando Keplero dichiarerà che le osservazioni perfectum circulum… non sunt passurae (fr:8053). Il capitolo rappresenta così il punto in cui l’astronomia dei Veterum suppositiones (fr:8041) tocca il proprio limite fisico, e la ricerca della mensura librationis costringe a ridefinire sia il soggetto del moto (non più un punto geometrico, ma un corpo dotato di facoltà naturali) sia la natura dell’orbita.

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49 Dalla somma delle distanze all’area come misura del tempo: il metodo delle aree e la scoperta dell’orbita ellittica

Keplero espone la quarta e più compendiosa via per calcolare l’equazione del centro, fondata sull’area del cerchio eccentrico; qui emerge per la prima volta la legge delle aree e si annuncia il superamento dell’orbita circolare, con la rivelazione che il duplice errore si annulla esattamente nell’ellisse.

Keplero introduce una nuova tecnica per determinare la parte fisica dell’equazione, abbandonando la tediosa enumerazione delle singole distanze. Dopo aver suddiviso l’eccentrico in 360 parti uguali e calcolato le distanze dal Sole all’inizio di ogni grado con il metodo del capitolo XXIX, egli cumula quelle distanze e le mette in proporzione con il tempo del periodo siderale, assunto pari a 360 gradi di anomalia media: “Ut ergo summa distantiarum ad summam temporis, sic habere feci quamlibet distantiam ad suum tempus” – (fr:8162) [Come dunque la somma delle distanze sta alla somma del tempo, così feci in modo che ogni distanza stesse al suo tempo]. Accumulando poi i tempi grado per grado, confrontando i gradi dell’anomalia media con i gradi dell’anomalia eccentrica, ottenne l’equazione fisica, cui andava aggiunta l’ottica.

Per aggirare la meccanicità della procedura, Keplero ricorre a una intuizione geometrica: “Cumque scirem infinita esse puncta eccentrici, et distantias earum infinitas; subiit, in plano eccentrici has distantias omnes inesse” – (fr:8168) [E poiché sapevo che i punti dell’eccentrico sono infiniti e infinite le loro distanze, mi venne in mente che nel piano dell’eccentrico sono contenute tutte queste distanze]. Ricordando Archimede, che per trovare la proporzione tra circonferenza e diametro divise il cerchio in infiniti triangoli, egli suddivise il piano del cerchio eccentrico in parti uguali mediante rette condotte dal punto da cui si misura l’eccentricità. Nella costruzione (figura) il punto A è il Sole, B il centro dell’eccentrico, CD il semicerchio diviso in archi CG, GH, HE ecc. Le rette da A ai punti di divisione danno le distanze AC (massima), AD (minima) e intermedie AG, AH, AE, AI, AK. Poiché i triangoli con vertice in B e base su archi infinitesimi sono tutti uguali, l’area CDE sta all’arco CED come l’area CBG sta all’arco CG. Pertanto “nihil peccatur, si pro arcubus, areae in hunc modum tractentur, et pro angulis anomaliae eccentri CBG, CBH, areae CGB, CHB” – (fr:8187) [non si commette errore se al posto degli archi si trattano le aree in questo modo, e al posto degli angoli dell’anomalia eccentrica CBG, CBH le aree CGB, CHB].

Keplero estende il ragionamento alle rette uscenti da A: esse riempiono il semicerchio e rappresentano proprio le distanze di cui si cerca la somma. Calcolando l’area CAH o CAE si ottiene la somma di infinite distanze in CH o CE, non perché l’infinito si possa percorrere, ma perché l’area contiene la misura delle facoltà che le distanze hanno di accumulare ritardi temporali. L’area CGA diviene così misura del tempo o dell’anomalia media corrispondente all’arco eccentrico CG: “Itaque CGA area fiet mensura temporis seu anomaliae mediae, qua arcui eccentrici CG respondet” – (fr:8192) [Così l’area CGA diventerà misura del tempo ossia dell’anomalia media, cui risponde l’arco eccentrico CG]. La parte CBG dell’area CGA era già misura dell’anomalia eccentrica, la cui equazione ottica è l’angolo BGA. Il residuo, il triangolo BGA, è l’eccesso dell’anomalia media sull’eccentrica, e lo stesso angolo BGA è l’eccesso dell’anomalia eccentrica sull’anomalia coequata. Dunque la conoscenza di questo solo triangolo fornisce entrambe le parti dell’equazione.

La teoria del Sole, per la piccola eccentricità, poteva trattare le due parti come quasi uguali; per Marte l’eccentricità è troppo grande per trascurare la differenza. Keplero esamina l’area del triangolo aequatorio. Richiamando un teorema di Adriano Romano – triangoli di uguale base stanno fra loro come le altezze – riduce il calcolo dell’area a una proporzione col seno dell’anomalia eccentrica. Sull’esempio del grado 90, dove BE è perpendicolare a CD, l’area BEA vale L’area del cerchio di raggio 100000, secondo la recente misura di Adriano Romano, è 31415926536, che corrisponde a 360° di anomalia media ovvero 296.000 secondi. In proporzione, l’area 90000000 corrisponde a 3713″ ovvero “1 gr. 1 min. 53 sec.” – (fr:8244–8251) [1 grado, 1 minuto, 53 secondi]. E proprio lo stesso valore era già stato ottenuto per l’angolo BEA nei capitoli XXIX e XXX: “Aequationis igitur utraque pars aequalis est hoc loco” – (fr:8252) [dunque entrambe le parti dell’equazione sono uguali in questo punto]. Per un’anomalia eccentrica HBC di 45° (sin 71605), moltiplicando 3713″ per il seno e scartando le ultime cinque cifre si ottengono 2659″ cioè 44′ 19″; valore prossimo a 43′ 46″ assunto nella tavola come uguale alla parte ottica. La differenza massima, rappresentata dall’areola ABO, non supera i 33″ verso l’apogeo.

Keplero riconosce tuttavia un paralogismo nella propria argomentazione: Archimede sezionò il cerchio in infiniti triangoli che insistono sulla circonferenza con angoli retti, con vertice nel centro B. Ma i triangoli che da A (sulla circonferenza) vanno ai punti di divisione non sono dello stesso tipo, perché le rette da A intersecano la circonferenza obliquamente tranne che in C e D. Calcolando la somma di tutte le distanze da A ai singoli gradi interi dell’angolo al centro B, si ottiene una somma maggiore di 36000000, mentre la somma delle distanze da B è esattamente La ragione è che, presa una corda EF passante per B e i punti E, F sulla circonferenza, le distanze EA+AF sono sempre maggiori di EF (per Euclide, I.22); l’area del cerchio contiene la somma di tutte le EF, quindi contiene una somma minore di tutte le EA,AF. Ugualmente, la somma delle distanze da A corrispondenti ai 360 gradi dell’angolo in A risulta minore di

Ciò conduce al nodo cruciale. Il metodo delle aree è compendiosissimo e si fonda sulle cause naturali dei moti fin lì spiegate, e nella teoria del Sole o della Terra soddisfa scrupolosamente le osservazioni. Tuttavia “in duobus peccat; Primo, quod ponit orbitam Planetae esse perfectum circulum, quod verum non esse infra demonstrabitur cap. XLIV; Secundo, quod plano utitur non exacte metiente distantias omnium punctorum à Sole: quarum tamen causarum altera alteram, quod miraculi loco sit, exactissime tollit” – (fr:8291-8292) [pecca in due cose: primo, perché pone che l’orbita del pianeta sia un cerchio perfetto, il che si dimostrerà falso più avanti al cap. XLIV; secondo, perché usa un piano che non misura esattamente le distanze di tutti i punti dal Sole: tuttavia, una causa annulla l’altra con la massima esattezza, il che ha quasi del miracolo]. Subito dopo, una delle frasi più celebri del testo indica la via d’uscita: “Posita elliptica orbita Planetae, nihil peccat haec methodus.” – (fr:8283, sebbene l’identificativo preceda una didascalia) [Posta l’orbita ellittica del pianeta, questo metodo non commette errore.]

Il brano documenta così il passaggio dalla macchinosa somma delle distanze all’impiego dell’area come misuratore del tempo (la futura seconda legge di Keplero), la scoperta dell’ellisse come forma vera dell’orbita, e la consapevolezza che il duplice errore insito nell’assumere il cerchio e nel misurare le distanze con l’area si compensa esattamente. Vi si trovano inoltre un problema proposto ai geometri – la quadratura dello spazio compreso tra concoidi – e i riferimenti alle misure di Adriano Romano, che testimoniano il dialogo serrato con la matematica contemporanea.

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50 L’indagine sull’orbita di Marte: dal dubbio sul cerchio alla ricerca dell’eccentricità genuina

Come le discordanze tra le distanze osservate e il modello circolare portarono Keplero a mettere in discussione la forma dell’orbita e a intraprendere una nuova determinazione dell’afelio e dell’eccentricità.

Fin dalla fine del Capitolo XLII della Parte Quarta, Keplero mette in guardia il lettore: l’intero edificio dei calcoli precedenti è viziato. “Quae omnia quam sint vitiosa, ex eo colliges, quod quotiescunque pro una vel pluribus usurpatarum distantiarum … aliam adhibueris, competentem ali! loco eccentrici, et inventa m aeque certa irrefutabilique argumentatione, toties omnia ista prodeunt aliter” – (fr:8439‑8443) [Quanto siano viziate tutte queste cose, lo dedurrai dal fatto che ogni volta che, al posto di una o più delle distanze assunte, ne avrai adottata un’altra adatta a un diverso luogo dell’eccentrico, con argomentazione altrettanto certa e irrefutabile, tutto risulterà ogni volta diverso]. La conclusione è netta: “Et sequenti capite invenietur certissime ea, quae est 100000 ad 152640 circiter” – (fr:8444) [E nel capitolo seguente si troverà con la massima certezza quella proporzione che è circa 100000 a 152640], con una eccentricità di “9264, qualium radius 100000” – (fr:8445). L’afelio, già individuato nel capitolo XVI per l’anno 1590 il 31 ottobre a “28 grado 53 min. Leonis” – (fr:8446‑8449), sarà confermato “intra XI scrupula” – (fr:8450) [entro undici scrupoli].

Il Capitolo XLII si apre con un nuovo programma. Il titolo annuncia l’intento: “PER ALIQVOT OBSERVATIONES EXTRA SITVM ACRONYCHIVM, MARTE CIRCA APHELIVM, ITEMQVE ALIAS ALIQVOT, MARTE CIRCA PERIHELIVM VERSANTE, INQVIRERE CERTISSIMVM LOCVM APHELII, CORRECTIONEM MOTVS MEDII, ECCENTRICITATEM GENVINAM, ET PROPORTIONEM ORBIVM” – (fr:8451) [Indagare, per mezzo di alcune osservazioni al di fuori della posizione acronica, con Marte che si trova vicino all’afelio e parimenti con alcune altre che si trova vicino al perielio, il luogo certissimo dell’afelio, la correzione del moto medio, l’eccentricità genuina e la proporzione degli orbi]. E subito spiega la necessità di ricominciare: “cum tres Martis locos eccentricos, totidemque a Sole distantias ad legem circuli revocatas, aphelium (supra non incertissime constitutum) negare cerneres; unde nobis suspicio orta, viam Planetae non esse circulum” – (fr:8451) [poiché vedevi che tre luoghi eccentrici di Marte, e altrettante distanze dal Sole ricondotte alla legge del cerchio, negavano l’afelio (sopra stabilito non senza incertezza); da ciò ci è sorto il sospetto che la via del pianeta non sia un cerchio].

Per dirimere la questione, le distanze dei singoli luoghi vanno costruite a partire dalle proprie osservazioni, “omnium maxime aphelia et perihelia, ex quarum comparatione de genuina eccentricitate discimus” – (fr:8453) [soprattutto afelî e perielî, dal cui confronto apprendiamo la genuina eccentricità]. Viene quindi introdotta una figura con il centro del mondo α, la linea degli absidi αβ, l’eccentrico centrato in β, l’afelio δ e il perielio ε (fr:8454). Keplero elenca poi una serie di osservazioni di Marte prossime all’afelio. La prima è del 17 febbraio 1585, con il pianeta “in 15°. 12% β” e latitudine borea “4°.16’” – (fr:8457‑8458). La seconda del 27 dicembre 1586, “in 29°.42%’ ♓” con latitudine “2°. 463/5’ B.” – (fr:8460‑8462). Seguono rilevamenti del 1° gennaio 1587 e ancora del novembre 1588, quando Marte viene osservato in declinazione borea “3°. 16 %‘” e quindi “in 25°. 31’ ♏” con latitudine “1°. 36’. 45” B.” – (fr:8474‑8480). Non mancano i dati per il 5 dicembre 1588, con declinazione austrina “2°. 5’.” e posizione “in 9°. 19 2/,’ ♐”, latitudine “1°. 53%’ Borea” – (fr:8481‑8486).

Alcune osservazioni presentano difficoltà. Quella del 6 ottobre 1590, condotta misurando Marte a 12½° d’altezza dalla coda del Leone e dal cuore dell’Idra, non è confermata dalle stelle fisse: “Non sunt autem hae observationes confirmatae per Fixas sequentes” – (fr:8487). Le ascensioni rette, ricavate per entrambe le vie tramite la declinazione, “6’ minutis discreparent” – (fr:8488) [differivano di 6 minuti]. Keplero sospetta un piccolo errore nella declinazione e, trattenendo “declinatione 6°. 14’” e la distanza “a corde hydrae 34°. 33 %‘”, calcola l’ascensione retta “168°. 56%’” e il luogo “17°. 16%’ ♒” con latitudine “1°. 16%’ Borea” – (fr:8490‑8498). Le correzioni per rifrazione sono essenziali: la tabella fissa dà “4’ minuta”, ma “Solis refractio majorem exhibet” – (fr:8499), e poiché “Virgo ardua surgit” – (fr:8500) [la Vergine sorge ripida], il pianeta va proiettato “circiter 3 minutis … in consequentia” – (fr:8501) [circa 3 minuti … in avanti], onde recuperare quanto la rifrazione aveva sottratto. La parallasse, “exigua admodum fuit” – (fr:8502), e quindi “parum igitur detraxit refractionibus” – (fr:8503). Il luogo corretto risulta così “in 17°. 20’ ♒” – (fr:8504‑8505).

Alla lista delle posizioni seguono i tempi che riportano Marte nello stesso luogo eccentrico e le corrispondenti distanze del Sole (fr:8517‑8531). Per il 17 febbraio 1585, ad esempio, si ha un luogo eccentrico del Sole di 9°22’37″ ♐ e distanza 99170; per il 5 gennaio 1587, luogo eccentrico del Sole 25°21’16″ ♒ e distanza 98300; e così via fino al 6 marzo Queste riduzioni temporali richiedono attenzione. Keplero spiega che nell’anno 1587 “diurni Martis sint in decremento” – (fr:8532), e assume una serie di moti diurni decrescenti da 16 a 12 minuti (fr:8533‑8544). Per il novembre 1588, l’osservazione “minus habet meridiano MAGINI loco 39’ minutis” – (fr:8546) [ha 39 minuti in meno del luogo del meridiano di Magini], e per dicembre “minus 33’ minutis” – (fr:8547), sicché si adotta “intermediam differentiam 36’” – (fr:8549). Anche per il 1590 il moto diurno in Magini è di 31 minuti (fr:8550).

Infine, pur avendo già insegnato “multos … modos … inquirendi vel comprobandi loci eccentrici et distantiae” – (fr:8551‑8552) [molti modi di indagare o comprovare il luogo eccentrico e la distanza], Keplero sceglie qui un metodo alternativo, “commodissimus” – (fr:8553). Esso si appoggia ai luoghi della Terra contrassegnati dalle lettere α, ε, ξ, λ, γ (fr:8554‑8556), preparando il terreno per i calcoli che condurranno all’eccentricità genuina e alla proporzione degli orbi.

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51 Determinazione delle distanze di Marte dal Sole e analisi delle osservazioni al perigeo (Parte Quarta, Capitolo XLII)

Calcoli dell’eccentricità, della distanza afelia e perigea di Marte, con correzioni per l’inclinazione orbitale e confronto critico con le effemeridi di Magini, tratti dall’Astronomia Nova di Keplero.

La sezione, tratta dalla “PARS QUARTA CAPVT XLII” (fr:8681) [Parte Quarta, Capitolo 42], espone una serie di determinazioni angolari finalizzate a ricavare l’eccentricità e la linea degli apsidi di Marte. Dopo aver congiunto i punti geometrici, si ottengono progressivamente gli angoli: “connexis punctis, invenies ~e: 74°58” (fr:8629–8630) [congiunti i punti, troverai l’angolo dell’eccentrico di Marte di 74°58]; “~e:cx 68°36′0″” (fr:8631–8633) [l’angolo eccentrico cx 68°36′0″]; e “e:~cx 67°21′3″” (fr:8634–8636) [l’angolo cx 67°21′3″]. Da questi derivano “~e:t 88°28′50″” (fr:8637–8639) [l’angolo e:t 88°28′50″], “~e:L 44°36′46″” (fr:8640–8642) [l’angolo e:L 44°36′46″] e “e:L~ 46°54′24″” (fr:8643–8645) [l’angolo e:L~ 46°54′24″]. Tali valori permettono di calcolare il semiasse “te: 101380” e l’elemento “cxt 33°58′33″” (fr:8646–8647) [la distanza cxt 33°58′33″].

Per l’anno 1587 la posizione di Marte risulta in “29°19′49″ Geminorum” (fr:8648–8649) [29°19′49″ Gemelli], mentre era già stato eletto 29°18′36″ (fr:8649–8650); la differenza di un solo minuto è mantenuta per conservare la coerenza con gli altri luoghi (fr:8651). Il calcolo successivo conduce a “cxt 5” e l’autore osserva che, poiché “cum 166666⅔ sit radii 100000 sesquialtera” – 166666⅔ è i 3/2 di 100000 –, “credibile est hanc esse proportionem distantiae mediocris terrae a Sole et longissimae Martis a ☉” (fr:8652) [è credibile che questa sia la proporzione tra la distanza media della Terra dal Sole e la massima di Marte dal Sole]. Tuttavia viene subito aggiunto con cautela: “sed nihil conjecturis tribuam in praesens” (fr:8652) [ma per ora non darò peso alle congetture].

Poiché il piano dell’eccentrico è inclinato sull’eclittica di 1°48′, la cui secante eccede di 49 particelle che nel sistema di misura impiegato valgono 82, la distanza viene corretta: “verissima igitur distantia d’ et ☉ erit 166780, quantum quidem ex his observationibus colligendum” (fr:8653–8654) [la distanza più vera tra d’ e il Sole sarà dunque 166780, per quanto si può dedurre da queste osservazioni]. L’avvertenza è che le osservazioni sono state condotte in modo prolungato e non perfettamente comparabili nei giorni esatti (fr:8654).

Si passa quindi all’analisi del perigeo. Vengono elencate le osservazioni disponibili più prossime a questo punto (fr:8655):

• I. 1589, 1° novembre, ore 6½ di sera, Marte in 20°59′ Gemelli con latitudine 1°36′ meridionale (fr:8658–8661).
• 2. 1591, 26 settembre, ore 10, in 18°36′ Gemelli, latitudine 2°49′15″ meridionale (fr:8664–8666).
• 3. 1593, 31 luglio, mattina ore 1½, in 17°39′ Sagittario, latitudine 6°6½′ meridionale (fr:8670–8674); e 11 agosto, mattina ore 1½, in 16°7′ Sagittario, latitudine 6°18⅚′ meridionale (fr:8676–8680).

I tempi e le corrispondenti distanze del Sole e della Terra sono riassunti in una tabella (fr:8681–8689). Per il 1591, l’osservazione è isolata e si deve ricorrere ai moti diurni di Magini: “Anno MDXCI oportet nos uti confidentia, diurnos eosdem esse cum diurnis MAGINI. nam observatio solitaria est.” (fr:8689–8690) [Nell’anno 1591 occorre fidarsi che i moti diurni siano gli stessi di Magini, perché l’osservazione è isolata].

Secondo Magini, in 7 giorni Marte percorre 4°16′ (fr:8691–8692). Di conseguenza il 19 settembre alle 7½ si trovava in 14°20′ Gemelli e alle 6½ in 14°18½′ Gemelli (fr:8693–8695). Intorno alla stazione, verso il 16 o 17 luglio, il calcolo mostrava un anticipo di circa 1°16′ rispetto a Magini (fr:8695–8696); il 26 settembre l’anticipo si era ridotto a 0°53′ (fr:8696–8697). In 70 giorni la differenza era diminuita di circa 23 minuti; proporzionalmente, il 19 settembre essa doveva aggirarsi intorno ai 2 minuti (fr:8698–8699). Si conclude perciò: “Credemus igitur, Martem ad nostram horam esse in 14°20′ Gemelli” (fr:8700–8701) [Crederemo dunque che Marte, alla nostra ora, fosse in 14°20′ Gemelli].

Per il 1593, dopo la stazione, il 30 luglio a mezzanotte successiva la posizione di Marte differisce da Magini di 3°25½′, e il 10 agosto di 3°59½′, con un aumento graduale ma decrescente (fr:8702–8703). Si assume per il 6 agosto una differenza di 3°46′, cosicché il giorno 6 alle 1½ dopo la mezzanotte seguente Marte si trovi in 16°52′ Sagittario e il moto diurno sia 10 (fr:8704–8706). Poiché il tempo dell’osservazione supera quello di riferimento di 8h30m, cui spettano circa 4 minuti da sottrarre per il moto retrogrado di Marte, “Igitur nostro tempore fuit in 16°.” (fr:8708) [Perciò al nostro tempo fu in 16°…]. L’estratto riflette il procedimento kepleriano di intrecciare geometria degli eccentrici, correzioni per l’inclinazione e confronto critico con le effemeridi coeve, al fine di stabilire le distanze reali e di affinare il modello planetario.

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52 Dalla scarsità di osservazioni alla rettifica della linea delle apsidi di Marte

Il resoconto mostra come Keplero, partendo da osservazioni limitate e da un processo iterativo, giunga a correggere il raggio dell’eccentrico e a fissare con precisione la longitudine della linea delle apsidi di Marte.

La scarsità di misure dirette impone cautele che Keplero registra con precisione. Il pianeta «Saepius in perigaeo non est observatus» – (fr:8711) [Spesso non è stato osservato al perigeo.] – e le occasioni favorevoli sono state ostacolate da circostanze concrete: «Nam Anno MDXCV incidit ejus in perigaeum adventus in mediam aestatem, crepusculis in Dania pernoctantibus» – (fr:8712) [Infatti nel 1595 il suo arrivo al perigeo cadde in piena estate, quando in Danimarca i crepuscoli durano tutta la notte.] – e «Anno MDXCVII TYCHOBRAHE in itinere fuit» – (fr:8713) [Nel 1597 Tycho Brahe era in viaggio.] Inoltre, «Prope Solem vero in hyemali semicirculo diu latet, ob celeritatem, Solari non multo minorem» – (fr:8714) [Vicino al Sole, nel semicerchio invernale, rimane a lungo nascosto, a causa della velocità non di molto inferiore a quella solare.] – il che rende difficile cogliere il pianeta in posizioni cruciali.

Ciò nonostante, Keplero costruisce un metodo di calcolo basato su tre osservazioni acroniche e su scelte iterative. «Sit in schemate locus Martis eccentricus &» – (fr:8715) [Sia nello schema il luogo eccentrico di Marte &.] – e «Loca terrae ~» – (fr:8716) [I luoghi della Terra ~.] – delineano lo spazio geometrico dove confrontare ipotesi e misure. Egli assume un valore comune per la distanza α♂ (dal centro dell’eccentrico al pianeta) e vi calcola le corrispondenti longitudini geocentriche. Dal confronto emerge subito un difetto sistematico: «Apparet igitur ex schemate, lineam α♂ per “t) nimis in consequentia abire; per fL ~ respectu ipsius “t), nimis in antecedentia. quod fit caeteris manentibus, quia α♂ nimis brevem assumpsi.» – (fr:8753-8754) [Appare dunque dallo schema che la linea α♂ attraverso “t) si allontana troppo in senso diretto; attraverso fL rispetto a “t) troppo in senso retrogrado. Ciò accade, restando uguali le altre cose, perché ho assunto α♂ troppo corta.]

Aumentato il raggio a 138500, le posizioni calcolate diventano troppo vicine tra loro, indicando che il valore reale si trova a metà strada: «Quare verissima longitudo ipsius α♂ erit 138430 circiter.» – (fr:8762) [Perciò la vera lunghezza di α♂ sarà di circa ] Un’ulteriore correzione tiene conto dell’inclinazione del piano e della secante: «Inclinatur hic planum … 1°. 48’. et secans abundat supra radium particulis Vt vero 100000 ad 138430, sic haec 49 ad Ergo correcta longitudo radii est quamproxime 138500: ex his quidem observationibus longe deductis.» – (fr:8763-8767) [Il piano è qui inclinato … 1°48’, e la secante supera il raggio di 49 parti. Come 100000 sta a 138430, così 49 sta a Dunque la lunghezza corretta del raggio è all’incirca 138500, dedotta da queste osservazioni lontane.]

Con il raggio aggiustato, Keplero affronta la linea delle apsidi, facendo riferimento alle tre osservazioni stesse. «Assumatur respectu omnium trium observationum locus lineae α♂ Anno MDLXXXIX D.I Novemb. H.VI½ postmerid. in 29°· 54’ 53” ~, ut sit MDXCI in 29°. 56’. 30’’ et Anno MDXCIII in 29°. 58’. 6’’ ~.» – (fr:8768-8774) [Si assuma, rispetto a tutte e tre le osservazioni, il luogo della linea α♂ nell’anno 1589 il 1° novembre alle 6½ pomeridiane in 29°54’53” ~, così che nel 1591 sia in 29°56’30” e nel 1593 in 29°58’6” ~.] La variazione progressiva di questi valori è giustificata dalla precessione degli equinozi: «tanta enim est praecessio aequinoctiorum» – (fr:8752) [tale è infatti la precessione degli equinozi.] Il confronto con l’ipotesi vicaria del capitolo XVI dà un primo riscontro: «Vicaria hypothesis capitis XVI exhibet illam primo tempore in 29°. 52’. 55’’ ~.» – (fr:8775-8777) [L’ipotesi vicaria del capitolo 16 mostra quella (linea) al primo tempo in 29°52’55” ~.] Keplero richiama anche un’assunzione precedente per l’anno 1588 e calcola l’intervallo temporale tra le osservazioni, mostrando che esso «paucis horis exuere medietatem temporis restitutorii» – (fr:8784) [si discosta di poche ore dalla metà del periodo restitutorio.] Controlli di questo genere garantiscono che il lavoro proceda su basi solide e che il modello regga la prova dei tempi di rivoluzione.

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53 La correzione dell’afelio di Marte e la verifica della legge delle aree nella Quarta Parte dell’Astronomia Nova

Il testo appartiene ai capitoli XLII‑XLIII della Quarta Parte dell’Astronomia Nova di Keplero. Vi si compiono due passaggi cruciali: la rettifica del luogo dell’afelio marziano sfruttando l’eccesso di arco descritto nel semiperiodo, e la dimostrazione che la bisezione dell’eccentricità del punto equante – già impiegata in via ipotetica – scaturisce con precisione dai dati osservativi, consentendo di costruire le equazioni ottica e fisica (delle aree) e di confrontarle con l’ipotesi vicaria.

53.1 Rettifica del luogo dell’afelio

Keplero osserva che, a causa della variazione della velocità diurna del pianeta lungo l’eccentrico, se Marte iniziasse il moto un giorno dopo il passaggio all’afelio, nel tempo di mezzo periodo (che lo porta al perielio) percorrerebbe un arco superiore ai 180°:

“Perpende itaque, quod si Mars a puncto apogaei eundo dimidium temporis restitutorii insumat, fine hujus temporis omnino confectis 180 gradibus, sit futurus in puncto perigaei. At si jam hoc spacium temporis auspicetur uno die post quam in apogaeo fuit, incipiet igitur cursum a 26’. 13” minuto ah apogaeo finietque in 180°.38’. 2”. Itaque dimidio temporis plus dimidio itineris curret per 11’. 49”.” – (fr:8808‑8812)
[Considera dunque che, se Marte partendo dal punto dell’afelio impiegasse la metà del tempo di rivoluzione, alla fine di questo tempo, percorsi esattamente 180 gradi, si troverebbe nel punto del perielio. Ma se questo intervallo di tempo cominciasse un giorno dopo che fu all’afelio, allora inizierà il corso dal minuto 26′ 13″ dopo l’afelio e lo terminerà a 180° 38′ 2″. Così nella metà del tempo percorrerà più della metà del cammino di 11′ 49″.]

Poiché il tempo reale osservato esibisce un arco ancora maggiore, occorre posticipare l’afelio. Keplero riferisce metà delle ore prima dell’afelio e metà dopo il perielio, assegna il moto a partire da 5′ 16″ prima dell’afelio e trova che l’arco eccedente i 180° misurato è di 33′ 53″:

“At deprehensum est iter fuisse 33’. 53” supra ” – (fr:8823)
[Ma si è rilevato che il cammino è stato di 33′ 53″ oltre i 180°.]

Il modello iniziale dava un eccesso di soli 13′ 11″; restano quindi 20′ 36″ ancora da guadagnare. Poiché un giorno intero corrisponde a un avanzamento di 26′ 13″ dall’afelio, la regola delle proporzioni indica che per ottenere l’incremento richiesto il pianeta deve allontanarsi dall’afelio di 45′ 42″. Di conseguenza l’afelio, in precedenza stimato a 29° 25′ 28″ (in un dato segno zodiacale), va spostato in direzione opposta al moto di 45′ 42″, collocandosi a 28° 39′ 46″ per l’epoca del 22 novembre 1588:

“Ergo aphelium a Ioco quem ei jam dederamus in 29°. 25’. 28” , removendum in antecedentia per 45’. 42”. Cadetque in 28°. 39’ 46” , Anno MDLXXXVIII D. XXII Novemb.” – (fr:8832‑8837)
[Pertanto l’afelio dal luogo che gli avevamo già assegnato a 29° 25′ 28″ va spostato in senso contrario al moto di 45′ 42″. Cadrà allora a 28° 39′ 46″ nell’anno 1588, il 22 novembre.]

Keplero nota che una differente determinazione differisce di appena 10′ 58″ e ammette l’incertezza: errori di osservazione di 4 minuti d’arco – due per parte – potrebbero alterare l’afelio fino a 2 minuti. Tuttavia qui giudica più affidabile il procedimento appena esposto: “Hic tamen par est, nos fidere operationi praesenti” (fr:8846). Lo spostamento dell’afelio comporta anche una correzione del moto medio, perché l’istante che prima si credeva coincidere con l’afelio ora si trova 2 minuti oltre di esso, generando un’equazione sottrattiva di 4 minuti.

53.2 Determinazione dell’eccentricità e conferma della bisezione

Nel capitolo XLIII si passa all’eccentricità. Le distanze degli apsidi, ancorché lievemente discoste dai luoghi or ora trovati (40′ all’afelio, 75′ al perielio), non subiscono variazioni sensibili. L’afelio misura 166 780 unità, il perielio 138 500, sicché il semidiametro dell’orbita è (166 780 + 138 500)/2 = 152 640, e l’eccentricità lineare è 14 140. Ridotta al raggio medio di 100 000, diventa:

“Vt autem 152640 ad 100000, sic 14140 ad 9264 eccentricitatem.” – (fr:8857)
[Come 152 640 sta a 100 000, così 14 140 sta a 9 264 per l’eccentricità.]

Il valore della semieccentricità del punto equante, precedentemente adottata nell’ipotesi vicaria, era 9 282. La differenza è di sole 18 unità, giudicata del tutto trascurabile. Keplero sottolinea il significato fisico di questa coincidenza:

“Vides quam praecise bisecanda sit in Marte eccentricitas aequatorii puncti, ad constituendam centro rum eccentrici et mundi distantiam.” – (fr:8860)
[Vedi con quanta precisione si debba dimezzare in Marte l’eccentricità del punto equante per stabilire la distanza fra i centri dell’eccentrico e del mondo (il Sole).]

La bisezione, già assunta come fondamento nel capitolo XXXII, è ora comprovata.

53.3 Verifica delle equazioni mediante la legge delle aree

Nell’ultima parte (cap. XLIII) Keplero controlla le equazioni che scaturiscono dalla bisezione dell’eccentricità e dall’area triangolare, ipotizzando ancora (sebbene il cap. XLI induca a dubitarne) un’orbita perfettamente circolare. Con l’eccentricità 9 264, all’anomalia eccentrica di 90° la tangente determina la parte ottica dell’equazione, 5° 17′ 34″. L’area del triangolo rettangolo, calcolata come raggio (100 000) per metà eccentricità (4 632), fornisce 463 200 000; confrontata con l’area del cerchio (31 415 926 536), essa rappresenta 19 108″ ovvero 5° 18′ 28″, parte fisica dell’equazione. Sommando, l’equazione totale è 10° 36′ 2″, cosicché all’anomalia media 95° 18′ 28″ corrisponde l’anomalia coequata 84° 42′ 26″.

Il confronto con il metodo dell’ipotesi vicaria (cap. XVIII) è immediato: la stessa anomalia media dà una coequata di 84° 42′ 2″, con uno scarto di appena 24″. Anche per le anomalie eccentriche di 45° e 135°, la parte fisica calcolata (3° 45′ 12″) conduce a anomalie medie di 48° 45′ 12″ e 138° 45′ 12″, e l’anomalia coequata derivata è 41° 28′. La quasi perfetta concordanza con l’ipotesi vicaria, che in longitudine era “sat fida”, mostra come le equazioni fondate sulla bisezione e sull’area triangolare riproducano fedelmente i dati osservativi, preparando il terreno alla successiva generalizzazione fisica valida per tutti i pianeti.

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54 Il superamento dell’epiciclo e la geometria imperfetta dell’orbita di Marte

Nel pieno della Quarta Parte dell’Astronomia Nova, Keplero mette in scena il momento esatto in cui una convinzione errata viene abbandonata e si affaccia una descrizione più fedele del moto planetario. L’estratto offre una testimonianza diretta del travaglio intellettuale che accompagna il passaggio dall’epiciclo a un’orbita ovale, mettendo a nudo tanto le conquiste quanto i limiti degli strumenti geometrici del tempo.

L’autore confessa di aver a lungo creduto che il pianeta percorresse fisicamente la circonferenza dell’epiciclo: “XXXIX feliciter refutare coeperam, Planetaria e virtutis proprium esse, Planetae corpus in epicyclii semita circumducere” – (fr:9060) [Avevo cominciato felicemente a confutare nel capitolo XXXIX che fosse proprio della virtù planetaria il condurre il corpo del pianeta lungo il sentiero dell’epiciclo]. Tale errore sarebbe stato evitabile se il diametro dell’epiciclo fosse rimasto parallelo a una linea di riferimento; in quel caso, tutto l’avanzamento in longitudine sarebbe stato attribuito al Sole, lasciando al pianeta la sola librazione: “Si diameter epicycli ND mansisset ipsi AB aequidistans, poteram exuisse hanc meam opinionem erroneam, poteramque, quod est verissimum, omnem promotionem in longitudinem zodiaci, transscribere Soli, solam Planetae librationem in diametro y~ relinquere” – (fr:9061) [Se il diametro dell’epiciclo ND fosse rimasto equidistante da AB, avrei potuto liberarmi di questa mia opinione erronea, e avrei potuto – cosa verissima – attribuire ogni avanzamento in longitudine zodiacale al Sole, lasciando al pianeta solo la librazione nel diametro γδ]. Le osservazioni, tuttavia, mostravano che il diametro si inclinava, confermando erroneamente l’idea del moto sulla circonferenza e impedendo di immaginare un’alternativa: “quia non putavi fieri ullo alio medio posse, ut Planetae orbita redderetur ovalis” – (fr:9064) [poiché non pensai che per nessun altro mezzo si potesse rendere ovale l’orbita del pianeta]. Sicuro del consenso dei numeri, Keplero celebrò così un secondo trionfo su Marte (fr:9065).

La necessità di tradurre l’ipotesi ovale in una descrizione geometrica si scontra però con una difficoltà: l’epiciclo si inclina in funzione delle distanze, e queste dipendono a loro volta dalla sua conversione. Poiché la somma delle distanze risiede nel piano dell’eccentrico, per calcolarla occorre trasformare l’epiciclo in un eccentrico fittizio (fr:9070-9072). Si delinea così un espediente: “Igitur semicirculus hic eccentricus est mere fictitius” – (fr:9077) [Dunque questo semicerchio eccentrico è puramente fittizio], disegnato soltanto per computare una qualche somma di distanze (fr:9078). Se il pianeta percorresse archi uguali in tempi uguali su questo cerchio, il suo itinerario sarebbe il cerchio stesso, ma poiché il moto è disuguale, esso non vi giace mai, se non nei punti estremi α e λ (fr:9079-9080, 9088-9090). Keplero descrive così un’orbita che si discosta dal cerchio e si avvicina al centro, generando una figura ovale: “Ingreditur igitur Planeta ab instituta circuli αλ amplitudine ad punctum α centro β vicinum, nec unquam in circulum hunc incidit praeterquam in α, λ punctis” – (fr:9088-9090) [Il pianeta dunque si allontana dall’ampiezza del cerchio αλ stabilito verso il punto α vicino al centro β, e non cade mai su questo cerchio se non nei punti α e λ].

L’indagine si fa poi minuziosa nel soppesare le discrepanze tra il modello e la perfezione geometrica. Il settore piano non equivale esattamente alla somma delle distanze (fr:9101), e la proporzione tra archi percorsi e distanze non è geometricamente esatta quando si considerano somme di più termini: “summae tamen distantiarum aliquot, ad summam totidem mediocrium, proportio non manet eadem, quae est summae arcuum totidem ad summam mediocrium conversa” – (fr:9103) [tuttavia la somma di alcune distanze, rispetto alla somma di altrettante medie, non conserva la medesima proporzione che ha la somma di altrettanti archi rispetto alla somma delle medie, invertita]. Keplero mostra con un esempio numerico (fr:9105-9109) che la media aritmetica funziona, mentre quella geometrica introduce un piccolo scarto. Poiché però in questo contesto la differenza fra le due medie è trascurabile, anche l’errore resta contenuto (fr:9115-9116). Ma quand’anche l’area fosse un medio geometrico perfetto, la sua costruzione sarebbe impossibile con i soli strumenti della geometria euclidea: “At desideratur adhuc a Geometris ratio, angulum datum in data proportione secandi” – (fr:9119) [Ma i geometri non dispongono ancora del metodo per secare un angolo dato in una proporzione data].

Di fronte a questi ostacoli, Keplero tenta un’altra strada. Poiché la geometria lo abbandona, egli ricorre all’ipotesi vicaria del capitolo XVI, quella che fornisce la corretta posizione del pianeta sotto lo zodiaco a tempi giusti, e la fonde con l’eccentrico fittizio, il quale invece fornisce le distanze corrette: “age, subsidium ab ἀπάτῃ petamus, accersita vicaria nostra capitis XVI, quae lineas αη, αγ, &c. in quibus Planeta existit, justis temporibus in justa zodiaci loca infert; et cum ea confundamus, praesentem fictitium eccentricum αδλ, ex quo speculatio capitis XLV justas longitudines linearum αε, αζ, hoc est αη, αγ, depromi persuasum habet” – (fr:9149-9150) [Orsù, chiediamo aiuto all’inganno, facendo intervenire la nostra ipotesi vicaria del capitolo XVI, la quale colloca le linee αη, αγ, ecc., su cui si trova il pianeta, nei giusti luoghi dello zodiaco a tempi giusti; e confondiamola con il presente eccentrico fittizio αδλ, dal quale la speculazione del capitolo XLV ritiene di poter ricavare le giuste lunghezze delle linee αε, αζ, cioè αη, αγ]. Viene così allestito un diagramma in cui convivono due ipotesi: una fondata sulla bisecazione dell’eccentricità per le distanze vere ma con luoghi falsi, e l’altra vicaria per i luoghi veri ma con distanze false (fr:9164-9177). L’autore sa che ciascuna è ingannevole in parte, ma insieme permettono di progredire verso la descrizione dell’itinerario planetario.

Questa pagina di Keplero è una cronaca intellettuale di prim’ordine. L’abbandono dell’epiciclo non avviene per via di una dimostrazione improvvisa, ma attraverso il riconoscimento dell’errore, l’uso di modelli fittizi e la consapevolezza dei limiti della geometria disponibile. La rinuncia al cerchio perfetto e l’accettazione di una figura ovale imperfetta segnano uno dei passaggi fondativi dell’astronomia moderna, consegnandoci la testimonianza vivida di un pensiero che costruisce le proprie verità anche attraverso l’inganno controllato e l’approssimazione.

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55 Tentata quadratura dell’ovoide e approssimazione ellittica: il moto di Marte in un nuovo piano

Nel tentativo di dare forma concreta alle cause fisiche della velocità planetaria, Keplero costruisce un tracciato ovoidale e si impegna nella sua quadratura, approdando all’ellisse quasi insensibilmente diversa e alla proporzione archimedea delle aree.

Keplero presenta la figura con cui ha cercato di descrivere l’orbita di Marte come un uovo dotato di due vertici: “Ovum enim duobus turbinatum verticibus, altero tamen obtusiori, altero acutiori, et lateribus inclinatis cernitur” – (fr:9192) [L’uovo infatti si presenta rigonfio di due vertici, l’uno più ottuso, l’altro più acuto, e con i lati inclinati]. Questa forma ovoidale, dichiara, è stata creata appositamente: “Talem figuram dico nos creasse” (fr:9193).

La genesi dell’ovale riposa sulla variazione di velocità del pianeta lungo l’orbita. Poiché il pianeta è veloce all’afelio e lento al perielio, e le distanze superiori al semidiametro sono più numerose di quelle inferiori – “Nam usque ad 92% o longiores sunt, o 3 0 inde per gradus 87Y:J° breviores” (parte di fr:9194) – la traslazione di questi archi su un eccentrico produce un addensamento delle lunghe distanze in un arco eccentrico più ristretto e una distensione delle brevi in uno più ampio: “illae plures longae, in angustiorem eccentrici arcum translatione facta sursum stipatae, o haepatlciores in ampliorem distractae” (fr:9195). Il risultato è che le distanze brevi si diradano al perielio, mentre quelle lunghe si concentrano all’afelio. Di conseguenza il segmento di cerchio attorno al perielio si assottiglia più di quello attorno all’afelio: “attenuaretur resegmentum circuli circa e … o. partes magis, quam circa partes p. x. À’ quia in o breviori spacio breves in longiorum locum transponuntur quam in À” (fr:9196-9197). A ciò si aggiunge che le stesse distanze di parti uguali prossime al perielio sono in proporzione maggiore tra loro di quanto non lo siano le distanze prossime all’afelio: “At jam etiam ipsae distantiae, aequalium partium epicycli perihelio propinquarum, in majori sunt proportione” (fr:9198) e “DE MOTIBVS STELLAE MARTIS 9 6 ad invicem, quam distantiae partium aphelio propinquarum” (fr:9202). La dimostrazione già data nel capitolo XL che lo spazio concoidale è più largo nella parte inferiore che in quella superiore (fr:9203) viene ora applicata all’ovoide: “Majoribus igitur intervallis per spacium brevius in mucronem attenuari conchoides necesse est infra, quam supra: et illa intervalla majora comparantur insuper ad breviores lineas” (fr:9204). L’effetto si amplifica per entrambe le ragioni (fr:9205), sicché “apparet resegmentum nostri circuli eccentrici infra multo esse latius, quam supra, in aequali ab apsidibus recessu” (fr:9206). Chiunque può verificarlo numericamente o con una delineazione meccanica assumendo un’eccentricità evidente (fr:9207); figure di questo genere si trovano nei libelli sferici e nei commentari di Reinhold alle teorie di Peurbach per Mercurio (fr:9208).

Per ottenere una teoria predittiva non basta la forma: occorre costruire la giusta equazione a partire dalle cause fisiche del capitolo XLV. “Nihil profecimus, si non ex suscepta hypothesi, et caussis Physicis capitis XLV, quas hic pro veris sequimur, justas extruxerimus aequationes, non minus quam distantias” (fr:9213). L’equazione è composta da una parte ottica – la parallasse dei punti dell’eccentrico – e da una parte fisica – il ritardo o mora (fr:9212, 9214). Poiché la mora può essere misurata, sia pure non perfettamente, dal piano racchiuso dal percorso del pianeta, Keplero torna alla dimensione del piano dell’ovoide eccentrico le cui regole di delineazione sono già state date (fr:9214). Tuttavia un elemento manca ancora: le linee che congiungono il centro dell’eccentrico con i punti dell’ovoide non sono perpendicolari alla circonferenza come nel cerchio perfetto, per cui “nec summa distantiarum exacte mensuretur a plano, nec arcus ooidis sint exacte proportionales distantiis” (fr:9215). Le difficoltà e il piccolo errore residuo potranno essere valutati rileggendo i capitoli XL, XXXII e XLIII (fr:9216-9218). Rimane però il problema di misurare il piano ovoidale e di confrontarlo con il piano di un cerchio, cioè di trovare un quadrato equivalente alla lunula ritagliata: “Quomodo autem planum hoc aliter metiri, ad planum circuli comparare, et in imperatas partes dividere possimus, nisi quadratum inveniamus aequale resegmento sive lunulae resectae?” (fr:9219). Occorre quasi un deus ex machina: “Hic igitur accersendus nobis e Tragoedia &eòs, imo vero "A6yos ‘nç, cbtò fL’Y)Xo(’~ç, qui nos doceat macrunari quadraturam ooidis, aut limbi, … seu lunulae ooÀ” (fr:9220). Perciò, come già fatto per lo spazio concoidale, Keplero chiama in aiuto i geometri (fr:9221-9222).

Se la figura fosse un’ellisse perfetta, il lavoro sarebbe già stato compiuto da Archimede. “Si figura nostra esset perfecta ellipsis, peractum esset ab ARCHIMEDE negocium” (fr:9223). Infatti, Archimede nel De Sphaeroidibus (prop. VI‑VIII) dimostra che il piano dell’ellisse sta al piano del cerchio di uguale diametro maggiore come il rettangolo dei diametri (la “figura della sezione”) sta al quadrato del diametro del cerchio (fr:9227). Keplero assume allora che la sua figura sia un’ellisse perfetta, dato che ne differisce pochissimo: “Sit autem haec figura perfecta ellipsis. parum enim differt.” (fr:9228-9229). Da questa assunzione seguono le conseguenze per la lunula ovoidale. Keplero afferma che la lunula ritagliata dal semicerchio sarà insensibilmente maggiore di un semicerchietto il cui semidiametro è l’eccentricità stessa: “Dico igitur, lunulam ooÀ& a semicirculo resectam, insensibili majorem futuram semicircello, cujus semidiameter est eccentricitas ipsa 9264 seu ex~” (fr:9231). A sostegno sviluppa una dimostrazione geometrica puntuale, introducendo punti α (Sole), κ (centro dell’eccentrico), τ (punto di longitudine media), ψ e ρ. “Bisecetur enim ex~ in (J … et ex (J ipsi ex~ perpendicularis exeat (J’t”’ … connectantur puncta ex. ~.“* (fr:9232 ss.). Tale costruzione serve a collegare la distanza mediocris, la larghezza della lunula e il segmento fondamentali per la quadratura. Dopo aver mostrato che χρ è doppio di αυ (fr:9243) e che il rettangolo sotto φχ e il diametro intero eguaglia il quadrato di ακ (fr:9277), Keplero stabilisce il rapporto che governa le aree: ”Et ut quod sub ç~, ~cp, ad quadratum ~cp’ sic fere planum ellipsis ad planum circuli” e “Ergo etiam, ut quadratum ~cp ad rectangulum çcp, cp~, hoc est ad quadratum IX~’ sic fere circuli planum ad planum duarum lunularum” (fr:9280-9281). Il piano delle due lunule sta al piano del cerchio come il quadrato dell’eccentricità sta al quadrato del semidiametro: una quantità irrilevante, il che giustifica l’uso dell’ellisse al posto dell’ovoide.

Nel corso del testo compaiono definizioni e riferimenti culturali significativi. L’ellisse è definita come “figura ordinata, resultans ex sectione coni per axem” (fr:9259), mentre altri la chiamano “cerchio oblungo” (fr:9260). Un’annotazione sulla locuzione araba longitudo media mostra come Keplero fosse consapevole dell’uso improprio del termine per indicare il punto della circonferenza che ha la distanza media, mentre propriamente indicherebbe la condizione di uguale distanza dai due apsidi: “Arabibus quid sit longitudo media. Hodie abusive dicimus longitudinem mediam, punctum circumferentiae, quod habet longitudinem mediam, hoc est, quod elongatur mediocritatis modulo a centro mundi.” (fr:9262-9263). Un rimando all’artista Dürer – “DVRERVS” (fr:9200) – segnala le curve che avevano ispirato le descrizioni meccaniche dell’ovoide, benché quella via venga qui rifiutata: “Valet tantum in opinione hac erronea capitis XLV, cui hic feriamur” (fr:9201). L’intero capitolo XLVII, di cui questi frammenti sono parte, rappresenta il crocevia in cui l’ipotesi ovoidale viene messa alla prova della quadratura e, pur non essendo perfettamente esatta, viene rimpiazzata dall’ellisse archimedea, sanzionando di fatto l’abbandono del cerchio per la nuova traiettoria che condurrà alla prima legge.

[25.2/2-89-9282|9370]

56 Dalla quadratura dell’ooide all’ellisse: il metodo di correzione dell’eccentricità nel capitolo XLVII dell’Astronomia Nova

Nel proseguire la ricerca della forma dell’orbita di Marte, Keplero affronta la misura delle figure menoidi e il calcolo del tempo impiegato dal pianeta a percorrere archi di orbita. La via geometrica lo conduce dapprima a quadrare l’ooide confrontandolo con cerchi e lunule, poi, constatata l’insensibile differenza fra ooide ed ellisse, abbraccia quest’ultima come approssimazione praticabile per il computo dell’anomalia. Il capitolo offre così la testimonianza del passaggio dal modello ovale alla trattazione ellittica, saldando l’eredità archimedea con il calcolo della posizione celeste.

Il punto di partenza è la proporzione che lega i quadrati di alcune distanze ai piani di cerchi tracciati con quei raggi:
“ut quadratum ~cp ad planum circuli, cujus ~cp radius; ita quadratum cx.~ ad planum circuli, cujus cx.~ radius.” – (fr:9285) [Come il quadrato di ~cp sta al piano del cerchio il cui raggio è ~cp, così il quadrato di cx~ sta al piano del cerchio il cui raggio è cx~.]
Da essa si deduce che il piano del cerchio di raggio cx~ supera ciascuna delle due lunule asportate da un ooide per una quantità insensibile, e che le lunule !;cp sono un poco più larghe del giusto perché !;cp è insensibilmente più lunga di IjJcp (fr:9286‑9287).

Keplero può così affermare che, concedendo come postulato che il piano dell’ellisse differisca in modo impercettibile dal piano dell’ooide – poiché gli eccessi superiori dell’ooide sull’ellisse compensano i difetti inferiori –, “quaclravimus nostras menoides figuras, et sie etiam ooidea; sive proprie loquendo eireulavimus” – (fr:9288) [abbiamo quadrato le nostre figure menoidi, e così anche gli ooidi; o, a parlare propriamente, le abbiamo circolato]. Per l’archimedea proporzione fra cerchio e quadrato (fr:9289), la conversione all’uso pratico richiede di calcolare il piano di un piccolo cerchio descritto dall’eccentricità, in modo da sottrarlo al cerchio massimo e ottenere il piano dell’ooide.

Poiché “planorum proportio dupla ad proportionem diametrorum” – (fr:9292) [la proporzione fra i piani è duplicata rispetto alla proporzione dei diametri], noti i segmenti ~cp 100000 e ~cx 9264, si ricava ~cp Con la duplicata proporzione si ottiene il piano del circello: “~cp 100000 ad!;cp 858, sic planum circuli 31415 900000 ad planum circelli 269500000” – (fr:9296) [come ~cp 100000 sta a !;cp 858, così il piano del cerchio 31 415 900 000 sta al piano del circello 269 500 000]. Sottratto questo valore, “restat planum ooidis 31146400000, aequivalens 360 aequalibus partibus temporis restitutorii” – (fr:9297) [resta il piano dell’ooide 31 146 400 000, equivalente a 360 parti uguali del tempo di restituzione]. L’intera area dell’ooide corrisponde quindi al periodo completo, ma per l’uso occorre saperla dividere a partire dal centro ~ o dal punto cx secondo un rapporto dato, onde ricavare i tempi parziali (fr:9299‑9301).

L’esempio con il punto & mostra come, se il pianeta percorresse un cerchio perfetto, il settore &a~ e il triangolo &~cx darebbero l’area &acx misura del tempo (fr:9302‑9304). Ma il pianeta descrive un ovale interno che non abbraccia tutta l’area del cerchio perfetto; bisogna perciò conoscere “Quanta portio de ooide lineis acx., cx..&, intercipiatur, hoc est, Planum partis lunulae a.&” – (fr:9305) [quanta porzione dell’ooide sia intercettata dalle linee acx, cx&, cioè il piano della parte di lunula a&]. Sottratta dal cerchio perfetto la porzione relativa al circello dell’eccentricità, si ottiene la porzione ovale cercata (fr:9306‑9307). A questo punto Keplero invoca l’aiuto di un geometra, riproponendo lo schema del capitolo XL con il semicerchio eD sviluppato in retta e diviso in parti uguali (fr:9308‑9309). L’idea è che lo spazio fra la curva CfLV07tpD e la retta CED possa essere doppio della lunula asportata dal cerchio, ma egli stesso ammette: “Sed hoc quidem, ò Geometrae, non est demonstrare” – (fr:9321) [Ma questo, o geometri, non significa dimostrare].

Vista la mancanza di una dimostrazione geometrica rigorosa, Keplero dichiara di scendere a patti con l’artificio (τέχνῃ): “paciscemur cum &:t”e:xv(~” – (fr:9325) [scenderemo a patti con l’arte]. E poiché l’opinione nata nel capitolo XLV, che aveva generato quelle difficoltà, è falsa (fr:9327‑9328), si torna allo schema del capitolo XLVI adottando l’ellisse. Se l’ooide fosse un’ellisse perfetta, “semper portiones ellipsis v~C ad portiones circuli B~C in eadem manerent proportione” – (fr:9329) [le porzioni dell’ellisse v~C starebbero sempre nella stessa proporzione rispetto alle porzioni del cerchio B~C], come dimostrano gli autori di coniche e Archimede sui sferoidi, prop. V. Allora non servirebbe più l’area dell’ovale: basterebbe usare il cerchio al posto dell’ellisse e parti simili del cerchio al posto delle parti dell’ellisse (fr:9330‑9332).

Assunta quindi l’ellisse ~oÀ come sostituta quasi perfetta dell’ooide, si traccia la perpendicolare vC fino al cerchio in B. In virtù della Proposizione V sui sferoidi e della supposta perfezione dell’ellisse, “sic CB ad Cv, … ut BC ad Cv, sic area Bac ad aream vac: at etiam ut BC ad Cv sic BocC area ad vocC aream: Vt igitur ~ep ad , sic ocBa area ad ocvo aream” – (fr:9339‑9340) [così CB sta a Cv, … come BC sta a Cv, così l’area Bac sta all’area vac; e parimenti come BC sta a Cv, così l’area BocC sta all’area vocC; dunque come ~cp sta a ~ç, così l’area ocBa sta all’area ocvo].

Di qui la procedura per ricavare l’anomalia dal tempo (metodo di correzione dell’eccentricità, fr:9336). Dato il tempo di partenza del pianeta da a, si fa: come il periodo intero sta a quattro retti, così il tempo proposto sta all’angolo al centro ~, e si calcola la distanza oc~ (a cui è uguale ocv). Poi come il semiperiodo sta all’area nota del semicerchio a’&Λ, così il tempo proposto sta all’area ocBa (fr:9341‑9342). Ottenuta l’area, occorre trovare l’angolo B~a tale che il prodotto del suo seno BC per metà eccentricità oc~ (area del triangolo ocB~) sommato al settore B~a dia l’area prefissata; “Vbi conjectatione et regula Falsi opus est” – (fr:9344) [dove si deve ricorrere alla congettura e alla regola del Falso]. Trovato l’angolo B~a, dal triangolo B~oc si deduce l’angolo Boca, e usando la proporzione nota Bv:BC (il rapporto costante tra le ordinate dell’ellisse e del cerchio) si perviene a Bocv. Sottratto questo, rimane l’angolo equato vero voca, corrispondente al tempo trascorso (fr:9346‑9348).

L’esempio numerico finale mostra la bontà del procedimento. Posta un’anomalia media di 95° 18′ 28″ (fr:9354‑9359), si calcola l’area corrispondente nel cerchio perfetto. Ipotizzando un’anomalia eccentrica di 90°, il settore &~a vale 7 853 981 670 e il prodotto del seno massimo per metà eccentricità (4632) dà 463 200 000 per il triangolo &~oc; la somma 8 317 181 670 supera di pochissimo il valore dovuto (fr:9360‑9362). L’ipotesi è dunque corretta: l’anomalia eccentrica è 90°. Il segmento di lunula &D (858) riduce il semidiametro D~ a 99 142, con un rapporto a 100 000 come 9264 a 9344, che corrisponde a un angolo ocD~ di 5° 20′ 18″. L’anomalia equata Doca risulta così 84° 39′ 42″ (fr:9364‑9367), valore straordinariamente vicino a quello dell’ipotesi vicaria, 84° 42′ 2″ (fr:9368‑9370).

Questo capitolo documenta il momento in cui Keplero, dopo aver cercato di quadrare esattamente l’ooide, abbraccia l’ellisse come strumento di calcolo sufficientemente preciso. La sostituzione dell’ovale con l’ellisse e l’applicazione della proporzionalità archimedea fra cerchio ed ellisse rendono operativa la legge delle aree e preludono alla scoperta della prima legge. L’incessante verifica numerica contro i dati dell’ipotesi vicaria mostra il metodo induttivo‑fisico che guida l’intera Astronomia Nova: la geometria, anche quando imperfetta, è accettata se dà conto dei moti osservati.

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[26.1/1-72-9503|9573]

57 La correzione dell’equazione di Marte e la stima geometrica della via ovale

Keplero espone il travaglio del calcolo iterativo dell’anomalia e ricorre a un’ingegnosa costruzione geometrica per stimare la lunghezza dell’orbita ovale, correggendo poi la parallasse ottica.

Il resoconto affronta il procedimento con cui Keplero, nel De Motibus Stellae Martis, determina l’equazione corretta dell’anomalia tenendo conto della distanza vera del pianeta e della natura ovale dell’orbita. L’autore parte descrivendo la fatica del metodo: dopo aver ottenuto una prima equazione per l’anomalia media di 1°, tutte le successive fino a 180° richiedevano la conoscenza dell’equazione immediatamente precedente, generando un calcolo a catena. Keplero non nasconde lo sconforto: “Non puto quenquam fore, cui haec legenti taedium ex ipsa lectione non obrepat.” – (fr:9509) [Non credo vi sarà qualcuno che, leggendo queste cose, non sia preso da tedio.] E aggiunge: “hinc judicet lector, quantum molestiarum hauserimus (ego et calculator meus) qui hanc methodum per 180° anomalias ter absolvimus, toties scilicet mutata eccentricitate.” – (fr:9511) [Di qui il lettore giudichi quante molestie abbiamo sopportato (io e il mio calcolatore), noi che percorremmo questo metodo per 180° di anomalia tre volte, cambiando ogni volta l’eccentricità.]

Al cuore del problema vi è la necessità di conoscere la lunghezza dell’intera via ovale; Keplero confessa di essersi abbassato a un espediente non rigoroso: presupporre quella lunghezza, portare a termine l’intera sequenza di 180 operazioni e verificare se il risultato finale coincidesse con 180° apparenti. “Nam si pIane lO 180° exivisset, bonam intelligebam assumptionem ipsius longitudinis ovalis; sin autem minus, minorem justo; sin plus, majorem.” – (fr:9517) [Se infatti fosse risultato esattamente 180°, capivo che l’assunzione della lunghezza dell’ovale era corretta; se meno, era minore del giusto; se più, maggiore.]

Tuttavia egli offre anche una guida geometrica per congetturare tale lunghezza. Sfruttando relazioni già dimostrate nel capitolo XLVI, introduce la latitudine della lunula DH, per cui l’eccentricità è media proporzionale tra la latitudine della lunula e il semidiametro: “eccentricitas est medium proportionale inter latitudinem lunulae et semidiametrum” – (fr:9520). Con questa costruzione, il segmento DH rappresenta la massima larghezza della lunula. Preso BI metà di DH e tracciati i cerchi di semidiametro ID (tangente all’eccentrico) e BH, si osserva che il cerchio DK è medio aritmetico tra il cerchio massimo DGR e il minimo HK. Poiché l’ovale tocca il cerchio massimo in afelio e perielio e il minimo nelle longitudini medie, è plausibile che la sua circonferenza non si discosti molto dal cerchio DK: “Consentaneum igitur est, non longe abesse ovalem circumferentiam à longitudine circularis circumferentiae DK.” – (fr:9528) [È dunque ragionevole che la circonferenza ovale non sia lontana dalla lunghezza della circonferenza del cerchio DK.]

Keplero raffina il confronto con il cerchio OP, medio proporzionale tra BD e BH, che per un teorema di Archimede ha superficie uguale all’ellisse di semiassi BD e BH. Poiché a parità di area il cerchio ha perimetro minimo, l’ellisse e quindi l’ovale – se assimilato a un’ellisse – avrà perimetro maggiore di OP. Essendo il semidiametro BO (medio geometrico) di poco inferiore al semidiametro DI (medio aritmetico), il cerchio DK è maggiore di OP. La differenza è però insensibile: “Id tamen insensibiliter, cum DH minor sit quam centesima ipsius DB.” – (fr:9542) [Ma ciò in modo insensibile, essendo DH minore di un centesimo di DB.]

Con i dati numerici del capitolo precedente (DH = 858, DB = 100 000), si calcola la proporzione tra la circonferenza del cerchio e quella dell’ovale: tolta la metà di DH (429) da DB, resta Pertanto la circonferenza ovale sta al cerchio come 100 000 a Tradotto in gradi, la semicirconferenza ovale perde circa 46’ 20”. Keplero ottiene per via di calcolo un difetto della semicirconferenza ovale di 45’ 15”, sicché mentre il semicerchio perfetto è 180°, l’ovale misura “179°. 14’. 15”.“ – (fr:9554–9556). “Omnino quidem ego non per demonstrationem sed per calculum laboriosissimum et pertinacissimum, inveni defectum semicirculi ovalis 45’.” – (fr:9553) [Del tutto, non per dimostrazione ma con calcolo assai faticoso e tenace, trovai il difetto del semicerchio ovale di 45’ 15”.]

L’ultima parte del testo esamina se l’accorciamento dell’ovale e l’amplificazione ottica dovuta all’avvicinamento al centro B si compensino. Keplero osserva che l’amplificazione ottica è massima attorno alle longitudini medie, mentre l’accorciamento della via ovale è quasi uniforme: “Nam amplificatio Optica, quae oritur ex appropinquatione itineris DC ad centrum B, potissima accidit circa longitudines medias; nulla fere in aphelio et perihelio: at contra, decurtatio viae ovalis, quae oritur ex ingressu Planetae ad centrum, circumcirca pene aequalis est.” – (fr:9564) [Infatti l’amplificazione ottica, che nasce dall’avvicinarsi del percorso DC al centro B, è massima intorno alle longitudini medie; quasi nulla in afelio e perielio; al contrario l’accorciamento della via ovale, che nasce dall’ingresso del pianeta verso il centro, è pressoché uguale tutto intorno.] L’esperimento conferma che i due effetti non camminano di pari passo: attorno all’afelio il difetto dell’ovale è di circa 14 secondi, mentre l’amplificazione ottica non raggiunge neppure un secondo. Pertanto l’obiezione – che l’accorciamento e l’amplificazione si annullino – non è corretta, se non in parte, perché solo nelle longitudini medie l’arco ovale è visto direttamente dal centro B.

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[27.1/1-79-9812|9889]

58 La progressiva correzione delle ipotesi sul moto di Marte e l’approssimarsi all’orbita ellittica

Il testo, tratto dal capitolo L della Pars Quarta di un trattato astronomico, espone minuziosamente diversi tentativi di calcolo delle anomalie del pianeta Marte, mettendo in luce errori, successive correzioni e l’affiorare della consapevolezza che la vera forma dell’orbita è intermedia tra il cerchio perfetto e l’ovale.

Lo studio si apre con un risultato paradossale. L’arco CD, cioè l’angolo CBD, era stato trovato prossimo a “48°.” – (fr:9811) –, precisamente “42’.” – (fr:9812) [42 primi] – e “51”.“ – (fr:9813) [51 secondi]. Una simile misura conduceva a un’assurdità: “Quod absurdum, et contra hypothesin; quae vult Planetam esse 40 tardiorem in CD.” – (fr:9814) [Il che è assurdo e contro l’ipotesi, la quale vuole che il pianeta sia 40 volte più lento in CD.] La causa dell’assurdo viene individuata in un difetto del problema geometrico iniziale (fr:9815). Per affrontarlo, l’autore distingue tre anomalie: “Cum alias tres sint anomaliae, quarum dicitur media. eccentri. coaequata” – (fr:9816-9818) [Poiché vi sono tre anomalie, delle quali la prima è detta media, la seconda dell’eccentro, la terza coequata.] E specifica di intendere la prima nell’arco CD o angolo CBD, la seconda nell’angolo CAD o arco ED, la terza nell’angolo EAD (fr:9818-9820). La media è definita “non a quantitate inter tres, sed a motu aequabili et medio temporis quod hic mensurat” – (fr:9821) [non in base alla quantità tra le tre, ma al moto equabile e medio del tempo che qui si misura], cioè in funzione del tempo.

Il primo conato (metodo) viene viziato da un errore nell’uso delle distanze. L’autore si accorge che, dovendo indagare la dimora del pianeta in CD, “decuisset distantias consu/ere, respondentes aequalibus arcubus ipsius CD, cum bae jam usurpatae distantiae respondeant inaequalibus ipsius CD” – (fr:9822) [si sarebbero dovute assumere distanze corrispondenti ad archi uguali dello stesso CD, mentre queste distanze già impiegate corrispondono ad archi disuguali di CD], e perciò sono troppo poche (fr:9824). Per rimediare sottrae l’eccesso del numero della dimora rispetto all’angolo CAD, ottenendo EAD, e pone AC e AE uguali, immaginando che in un tempo CBD il pianeta descriva intorno al centro dell’eccentro B un angolo EBD uguale a CAD (fr:9825-9826). In questo quadro, l’angolo CBD diventa “anomalia media distantiaria, dans angulum CAD, pro quaerendis distantiis CA, ex quibus distantiis angulus CAE, retardatio et translatio Physica ipsius CA in EA, elicitur” – (fr:9827) [anomalia media distanziaria, che dà l’angolo CAD per cercare le distanze CA, dalle quali distanze si ricava l’angolo CAE, ossia il ritardo e la traslazione fisica della stessa CA in EA]. Tale impostazione, però, presuppone che CAD ed EBD siano uguali e perciò CA ed EB paralleli, assunto già confutato in un capitolo precedente (fr:9828-9829). L’autore osserva comunque la vicinanza degli effetti (fr:9830), portando i valori numerici: “Nam ad anomaliam […] mediam coaequata VICatla Paulo distat ab illa 48°. 42’. 59”“ – (fr:9831-9835, adattato) [Infatti l’anomalia coequata vicaria poco dista da quella 48° 42′ 59″]. Seguono ulteriori comparazioni numeriche, tra cui “41°. 13’ . 9”“ – (fr:9834-9835) – e serie di misure che testimoniano lo scarto contenuto (fr:9836-9844).

Il secondo conato riordina le anomalie: “anomalia tertia est CAD, secunda CD, vel CBD, prima, summa linearum AG, AF paucarum, cujus mensura ponitur esse planum CAD” – (fr:9845-9847) [la terza anomalia è CAD, la seconda CD o CBD, la prima è la somma delle poche linee AG, AF, la cui misura si pone come area CAD]. Questo approccio “arguebatur eccentricitas parvitatis, ut quidem vere est major, scilicet non 9165 sed 9264” – (fr:9848) [accusava l’eccentricità di essere troppo piccola, mentre in realtà è maggiore, cioè non 9165 ma 9264], facendo risultare il pianeta troppo lento presso le absidi e troppo veloce alle longitudinali medie. Abbandonato il primo modo, lo sguardo si rivolge perciò al secondo, nato proprio dalla presa d’atto dell’errore iniziale (fr:9849). La riflessione si fa stringente: se le distanze per CAD sparse uguagliassero quasi il settore CBD per numero, e se le distanze proporzionali AF, AG esprimessero giusti tempi di percorrenza in CD, allora CAD resterebbe anomalia coequata (fr:9850). Ma “Si hoc: Ergo AC distantia manebit suo loco, quo locò et computata est. Erit igitur orbita perfectus circulus” – (fr:9852-9853) [Se fosse così, allora la distanza AC rimarrebbe al suo posto, dove è stata calcolata. L’orbita sarebbe dunque un cerchio perfetto], cosa già confutata (fr:9854). Le distanze alle longitudinali medie risultano quindi più lunghe del giusto e rendono il pianeta più lento del dovuto, e viceversa più veloce alle absidi (fr:9855).

Gli effetti vengono mostrati con precisione: a un’anomalia coequata di 45° seguono una media di 52° e una vicaria di 52° 53′ 13″, mentre per altri valori lo scarto differenziale resta nell’ordine di pochi primi (fr:9857-9864). L’eccentricità risulta accusata di essere troppo piccola perché “aequatio maxima prodit 10°. 29 1/5”“ – (fr:9865) – contro i “10°. 34 1/2”“ – (fr:9866) della vicaria. Parimenti, il pianeta in un tempo di 52° 39½′ compie lo stesso tratto dall’abside che nella vicaria richiede il tempo più lungo di 52° 53′ (fr:9867-9869). Se si corregge l’eccentricità, tutte le coequate crescono: il pianeta in 37° 44′ (complemento a 142° 16′) percorrerà lo stesso arco che nella vicaria richiede 37° 51′ (fr:9870-9874). La differenza finale, dopo correzione, non supera ”8’ et 7’ minutorum” – (fr:9875) [8 e 7 minuti]. Ma la conclusione è prudente: “Itaque vides, non esse fidendum effectui” – (fr:9876) [Perciò vedi che non ci si deve fidare dell’effetto]. E qui si colloca l’osservazione più significativa: “veritatem inter hos duos modos, (quorum hic perfectum circulum, ille ovalem ex opinione cap. XLV describit) esse loco medio: unde vel jam, ut et supra cap. XLVII, colligere potes, lunulas dimidiae tantummodo latitudinis ejus, quae sequitur ex opinione cap. XLV, a perfecto circulo resecandas” – (fr:9879-9881) [la verità tra questi due modi – dei quali questo descrive un cerchio perfetto, quello un ovale secondo l’ipotesi del cap. XLV – sta in posizione intermedia: onde già ora, come anche sopra al cap. XLVII, puoi dedurre che dal cerchio perfetto si devono tagliare lunule di ampiezza soltanto dimezzata rispetto a quella che deriva dall’ipotesi del cap. XLV]. È il riconoscimento che l’orbita reale non è né il cerchio né l’ovale pieno, ma una figura intermedia che anticipa l’ellisse.

Infine l’autore introduce il terzo e il quarto metodo. Poiché neppure il secondo metodo reggeva razionalmente, e avendo compreso dalla precedente elaborazione che occorreva “exquirendas distantias respondentes integris gradibus CBD anguli seu aequalibus arcubus eccentri CD” – (fr:9882) [cercare le distanze corrispondenti a gradi interi dell’angolo CBD, ossia ad archi uguali dell’eccentro CD], vi si dedica. Conta come quinta operazione la riduzione proporzionale delle distanze dalle anomalie medie scrupulari (disuguali) alle anomalie medie uguali in gradi interi (fr:9883-9884). A questo punto CBD non è più l’anomalia, ma diventa, grazie a questa riduzione, l’anomalia dell’eccentro (fr:9885). Come sesta, calcola le distanze proporzionali che stanno alle distanze come le distanze al raggio 100000 (fr:9886), sebbene “non erat necesse” – (fr:9887) – e lo fa per essere pronto a ogni evenienza (fr:9888). Il risultato di questo lavoro “Pene coincidit cum Physica perfecti circuli cap.” – (fr:9889) [Quasi coincide con la Fisica del cerchio perfetto del capitolo], a conferma della sottile transizione in atto. L’intero brano costituisce una testimonianza eccezionale del faticoso percorso kepleriano: dalla confutazione del cerchio, attraverso l’ovale, fino alla determinazione della giusta eccentricità e dell’orbita intermedia, documentando il ruolo insostituibile del calcolo numerico e della progressiva autocorrezione nella nascita dell’astronomia moderna.

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[28.1/6-96-10050|10143]

59 Determinazione della longitudine e della distanza di Marte mediante osservazioni e correzioni della rifrazione

Kepler, nei capitoli XLII e seguenti del De Motibus Stellae Martis, illustra un procedimento per ricavare la posizione eliocentrica di Marte a partire da due osservazioni, con un metodo che egli stesso definisce «più libero»: “Verum ut supra quoque cap. adjungam aliam observationem, liberiore tamen Methodo.” – (fr:10050‑10049) [Ma, come ho già detto nel capitolo precedente, aggiungerò un’altra osservazione, con metodo però più libero.] Consapevole della scarsità di dati in quel punto del cielo, l’autore lamenta: “monui, non saepius bis hoc loco est observatus. Duabus igitur observationibus oportet nos esse contentos.” – (fr:10052‑10053) [Ho avvertito che in questo luogo non è stato osservato più di due volte. Dobbiamo quindi accontentarci di due osservazioni.]

Alla prima misura egli associa “altera ex anno MDXCIV. D. XXVIII. Dece.” – (fr:10054‑10056) [un’altra dell’anno 1594, il 28 dicembre.] Di quel giorno, al mattino, “colligitur longitudo media Martis 7 s• 26°. 13’. 39’” – (fr:10057‑10059) [si raccoglie la longitudine media di Marte di 7 segni, 26° 13′ 39″], che supera di poco la precedente. In quell’occasione, con un’altezza di appena 8 o 9 gradi, “observatus est a Spica Virginis 50°. 34’ distare.” – (fr:10062‑10063) [fu osservato distare dalla Spica della Vergine 50° 34′.] Poiché il pianeta si trovava quasi sull’eclittica, si costruisce un triangolo rettangolo: “in rectangulo igitur inter Spicam, ejus locum eclipticum, et Martem, datur basis 50°. et latus inter Spicam et eclipticam 1°. 59” nempe latitudo Spicae. Ergo latus reliquum est 50°. 32’. 18“.” – (fr:10064‑10069) [così, in un triangolo rettangolo tra Spica, il suo luogo eclittico e Marte, è data la base 50° 34′ e il cateto fra Spica ed eclittica 1° 59′, ossia la latitudine di Spica. Pertanto il cateto rimanente è 50° 32′ 18″.] Da qui, nota la posizione di Spica a “18°. 11’ ~” (Vergine), si ottiene che “Mars inciderit in 8°. 43’. 18” ,l.” – (fr:10070‑10073) [Marte cade a 8° 43′ 18″ del Leone.]

Il calcolo successivo mostra come da questa longitudine si deduca la latitudine: “qui locus declinat ab aequatore 21°. 50” 20“. Inventus autem est Mars declinare 21°. 41’. Ergo prae se tulit aliquantulam Septentrionalem latitudinem, scilicet 9” 20“.” – (fr:10074‑10078) [quel luogo declina dall’equatore 21° 50′ 20″; si è trovato però che Marte declinava 21° 41′; esso mostrò perciò una piccola latitudine settentrionale, cioè 9′ 20″.] La bontà del dato è confermata dal giorno successivo: “Habuit autem et sequenti IV Jan. MDXCV adhuc Borealem latitudinem 3’. Quo confirmatur nostra observatio.” – (fr:10079‑10080) [Il successivo 4 gennaio 1595 ebbe ancora latitudine boreale di 3′, il che conferma la nostra osservazione.] La variazione è talmente lieve che “etsi vero assumpseris hanc justam latitudinem Martis, non alterabitur ejus locus eclipticus sensibiliter” – (fr:10081) [anche assumendo questa come latitudine esatta di Marte, il suo luogo eclittico non subirà alterazioni sensibili.]

Prima di passare al calcolo geometrico dell’orbita, Kepler dedica un’ampia sezione alla correzione della rifrazione atmosferica, argomento che non può essere trascurato: “At non itidem et refractionem possumus negligere: quam jam removebo.” – (fr:10089) [Ma non possiamo ugualmente trascurare la rifrazione; ora la rimuoverò.] Per l’osservazione in esame viene fissato il Sole a “16°. 47’. 10” ;6“ (Gemelli) con distanza Terra‑Sole di 98232 parti e un’ascensione retta di 288° 12′. L’astro sorgeva con 306° 57′ dell’equatore, formando un angolo tra eclittica e orizzonte di 26°. Qui l’autore si trova davanti a due diverse tavole di rifrazione: “refractio altitudinis ex tabella Fixarum refractionis exhibetur 6’. 30”, ex Solaribus 11’, in altitudine Sideris 8½° graduum; latitudini igitur debentur 5’. 51”. vel 9” 53”· Latitudo illic 3’· 29” Sept: hic o’. 33’ Austr.” – (fr:10098‑10102) [la rifrazione in altezza dalla tavola delle fisse dà 6′ 30″, da quella delle solari 11′, all’altezza dell’astro di 8°½; perciò per la latitudine si hanno 5′ 51″ ovvero 9″ 53″; là la latitudine è 3′ 29″ settentrionale, qui 0′ 33″ australe.]

Piuttosto che scegliere una tavola a priori, Kepler ricorre a un controllo incrociato basato sull’inclinazione dell’orbita. In un’osservazione precedente, la latitudine boreale osservata era di circa 6°, la qual cosa richiedeva un’inclinazione di 2′ 30″. Applicando lo stesso valore di inclinazione all’osservazione posteriore, con angoli al Sole di 61° e alla Terra di 38°, “necesse est sequi latitudinem 1’. 50” S: circiter“ – (fr:10115‑10116) [ne segue necessariamente una latitudine di 1′ 50″ sud circa.] Confrontando questo risultato con le latitudini ottenute mediante rifrazione, si vede che le fisse davano 3′ 29″ N, le solari 0′ 33″ S, perciò la verità sta nel mezzo: “Intermedia itaque refractio Justa fuerit, scilicet 3’. 36”. Scilicet Mars nobis reponetur in 8°. 46’ ,l.” – (fr:10121‑10124) [Una rifrazione intermedia sarà pertanto quella giusta, cioè 3′ 36″. Così Marte sarà da noi collocato a 8° 46′ del Leone.]

Sgombrato il campo dagli effetti atmosferici e dalla parallasse (per la distanza di Marte, molto minore di quella solare), l’autore passa alla determinazione della distanza del pianeta dal Sole. Il disegno è semplice: “Sit O Sol, B, A, 20 puncta orbitae Telluris, A locus Terrae in priori observatione, B in posteriore, M Mars. Connectantur lineae.” – (fr:10125‑10128) [Sia O il Sole, B e A punti dell’orbita terrestre, A luogo della Terra nella prima osservazione, B nella seconda, M Marte. Si congiungano le linee.] Con i dati raccolti, l’angolo MAO risulta di 28° 41′ 14″ e il segmento AO (distanza Terra‑Sole) di A questo punto si assume, come ipotesi di partenza, una distanza Marte‑Sole MO di 154200, la quale colloca il pianeta in direzione 15° 31′ 3″ (presumibilmente longitudine eliocentrica). Poiché le due osservazioni non sono perfettamente omologhe nella longitudine media, si apporta una correzione: “Vnus quidem gradus hoc eccentrici loco mutat distantiam 240 particulis … Ergo cum hic differant longitudines mediae 13’ minutis, et subtracto modulo praecessionis, tantum octo; pars proportionalis de 240 est Quare in secunda observatione assumpsimus OM” – (fr:10138‑10140) [Un grado in questo luogo dell’eccentrico muta la distanza di 240 particelle … Poiché qui le longitudini medie differiscono di 13′, e sottratto il modulo della precessione rimangono solo 8′, la parte proporzionale di 240 è Perciò nella seconda osservazione abbiamo assunto OM = ] L’angolo OBM è noto, pari a 38° 0′ 40″, con OB =

Questo brano mostra con chiarezza il metodo di lavoro che condurrà Keplero, attraverso ripetute iterazioni, a determinare l’effettiva orbita ellittica di Marte. La testimonianza è di grande valore storico: vi si legge la fusione di osservazioni strumentali, trigonometria sferica, correzione per rifrazione e parallasse, e l’uso di tavole e “compendii”. Il ricorso alla tabula parallactica e il confronto sistematico fra moduli di rifrazione (tratti dalle fisse o dal Sole) rivelano un atteggiamento sperimentale che, insieme alla ricerca di un modello geometrico semplice, costituisce la premessa fondamentale per le leggi del moto planetario.

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60 La determinazione dei parametri orbitali di Marte attraverso le osservazioni di Tycho Brahe

Una minuziosa analisi di dati osservativi per affinare il modello dell’orbita marziana, testimoniando la ricerca della precisione e il debito verso le osservazioni di Tycho Brahe.

Il testo si presenta come un denso resoconto di calcoli astronomici, incentrato sulla determinazione della distanza del pianeta Marte dal Sole (OM) in diversi punti della sua orbita. Si parte dalla constatazione di una discrepanza: un valore precedentemente calcolato per l’angolo OMB è dato in “OMB 23°. 6’. 11’‘.” (fr:10144-10146), che conduce a una distanza OM di ”15°. 40” 9” Ill, differens a priori loco eccentrico per 9’ minuta” (fr:10148) [15° 40’ 9’’, differente dal precedente luogo eccentrico di 9 minuti]. L’autore annota che la differenza “Debuit differre paulo amplius” (fr:10149) [Avrebbe dovuto differire un po’ di più], poiché le anomalie medie differivano di “8’. 3” “ (fr:10151). Di conseguenza, si rende necessario un aggiustamento: “Paulo igitur aliae sunt nobis suscipiendae distantiae OM, et quidem sic alterandae, ut 2%’ minutis circiter plus ab invicem discedant lineae ab OM repraesentatae” (fr:10161) [Dobbiamo quindi assumere distanze OM leggermente diverse, e da alterare in modo tale che le linee rappresentate da OM divergano tra loro di circa 2 minuti in più].

La correzione viene applicata variando la distanza OM in due posizioni opposte della Terra: “Terra enim in A versante, debet OM in antecedentia moveri; et in consequentia, Terra in B. Id autem fit, si OM alteris: Ut primo loco sit 1544°0, secunda vice 154368” (fr:10162) [Infatti, quando la Terra si trova in A, OM deve muoversi in antecedenza; e in conseguenza, quando la Terra è in B. Ciò avviene se modifichi OM: così che al primo luogo sia 154400, al secondo 154368]. Questo aggiustamento porta a nuovi valori per la posizione di Marte, con un’“anomalia media” prima di “87°. 9” 24” “ (fr:10168-10169) e poi di ”87°. 16’. 30” “ (fr:10170-10172) in longitudine media.

L’analisi prosegue integrando un’osservazione cruciale. Per la longitudine media successiva, ci si affida a una rilevazione del dicembre 1595, descritta come “bene munita consensu aliquot dierum continuatorum” (fr:10173) [ben corroborata dalla concordanza di diversi giorni consecutivi]. Viene citata anche un’osservazione dell’ottobre 1597 per consenso, mentre si nota che in altri anni Marte non fu osservato in quella posizione eccentrica a causa della sua vicinanza al Sole, che lo rendeva invisibile per la brevità e la luminosità delle notti in Danimarca (fr:10176-10177).

I dati del 17 dicembre 1595 sono riportati con precisione: il pianeta fu visto “in 11°. 31’. 27” ~, cum latitudine 1°. 40” 44” Bor.“ (fr:10180-10183) [in 11° 31’ 27’’ del Sagittario, con latitudine 1° 40’ 44’’ Nord], con il Sole a “5°· 39” 3” ;6“ (fr:10184) e una distanza Terra-Sole di “98200” (fr:10185). Si calcola quindi la longitudine media di Marte e la sua distanza dall’afelio, che risulta “86°. 53’. 48” “ (fr:10192-10194), quasi identica a quella precedente di ”87°. 9” 24” “ (fr:10196). Ciò conferma che i due luoghi ”pene absunt aequaliter ab aphelio” (fr:10197) [sono pressoché equidistanti dall’afelio].

Servendosi dell’ipotesi vicaria, si ricava l’anomalia coequata e, da questa, il luogo eccentrico di Marte a “12°. 32’. 22” n“ (fr:10201-10202). Con questi dati e le posizioni di Terra (A) e Sole (O), si costruisce il triangolo AMO per calcolare la distanza OM, che risulta “154432” (fr:10218). Poiché questo punto è “15’ minutis est apogaeo propior” (fr:10219) [15 minuti più vicino all’apogeo] rispetto a quello del 1589, e un grado in questo punto dell’eccentrico vale 240 particelle, si sottraggono 60 particelle, ottenendo “154372” (fr:10219).

Segue un ulteriore raffinamento per correggere l’inclinazione del piano orbitale. Nota la posizione del Nodo e l’inclinazione massima, si calcola un’inclinazione locale di “48’. 32” “ (fr:10228). La secante di questo angolo aggiunge 10 particelle, portando la distanza finale del punto nell’orbita di Marte dal Sole a “154387” (fr:10230). Questo valore coincide quasi perfettamente con una precedente stima di “1544°0 proxime” (fr:10231) per la stessa distanza dall’afelio. L’autore conclude con soddisfazione che le distanze sono “ad unguem aequales” (fr:10232), e che le irrilevanti 13 particelle mancanti “sunt impraestabiles” (fr:10234) [sono insignificanti], auspicando di poter “intra 100 particularum incertitudinem ubique consistere” (fr:10235) [rimanere ovunque entro un’incertezza di 100 particelle].

Il testo si conclude con una nota di carattere storico e personale. L’autore aggiunge i dati del 1597 non per necessità di verifica, ma per offrire al lettore l’occasione di confrontare le osservazioni di Tycho con quelle altrui, riconoscendo l’immenso debito verso l’astronomo danese. Si menziona un problema con i dati di Tycho di fine ottobre 1597, presi “radio capta in loco peregrino, пес ad calculum revocata per ipsum authorem” (fr:10237) [col radio in un luogo diverso, e non ricondotte ai calcoli dall’autore stesso]. A queste osservazioni potenzialmente inaffidabili, l’autore contrappone un dato personale di grande forza testimoniale: “Observavi autem ego eodem momento absens in Styria, idque mirabile dictu, TYCHONIS BRAHEI oculis, ad littus maris Balthici versantis” (fr:10239) [Ma io osservai nello stesso momento, assente, in Stiria, e – cosa mirabile a dirsi – con gli occhi di Tycho Brahe, che si trovava sulla riva del Mar Baltico]. Quest’ultima frase rivela in modo suggestivo che l’autore del resoconto è Giovanni Keplero, il quale, pur fisicamente lontano, stava lavorando con i preziosissimi dati osservativi raccolti da Brahe.

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61 L’osservazione di Marte del 29-30 ottobre 1597: calcolo della longitudine mediante latitudine e catalogo di Tycho Brahe

Una serie di annotazioni osservative e di calcoli mostra il procedimento con cui Keplero, partendo da misure di posizione di Marte rispetto a stelle fisse, perviene alla longitudine del pianeta sfruttando la latitudine e i dati braheiani. Il brano documenta la meticolosità del metodo e l’uso della “vicaria” per affinare l’orbita marziana.

Il testo si apre con un’annotazione disincantata: “Risum teneatis amici” – (fr:10241) [Trattenete il riso, amici] – quasi a prevenire lo scetticismo di fronte a una sequenza di stime e approssimazioni. Subito dopo fornisce la prima misura: “I Anno MDXCVII die Saturni VIII Novemb. vel XXIX Octob. mane 2JO Mars nondum erat in linea ex duodecima Geminorum in quartam.” – (fr:10242-10244) [Anno 1597, sabato 8 novembre, ovvero 29 ottobre, al mattino: Marte non era ancora sulla linea dalla dodicesima alla quarta dei Gemelli]. Il giorno seguente la situazione è mutata: il pianeta ha oltrepassato quella linea, si trova “vicinior nonae quam duodecimae, et 30 in linea ex in item in linea ex in praecise: aut paulo admodum orientalior” – (fr:10245) [più vicino alla nona che alla dodicesima, e il 30 esattamente sulla linea dall’undicesima alla nona, e insieme sulla linea dalla prima alla quinta, o leggermente più a oriente]. La quinta stella risulta “media inter primam et Martem” – (fr:10246) [intermedia fra la prima e Marte].

Da queste relazioni geometriche si può ricavare la posizione di Marte, assumendo “certissimis stellarum locis ex catalogo TYCHONIS BRAHEI” – (fr:10247) [i sicurissimi luoghi stellari del catalogo di Tycho Brahe]. Sorge però un problema: la nona stella non è presente nel catalogo braheiano, perché al suo posto ve n’è un’altra “distans a Ptolemaica ultra 3 gradus, et minor omnibus” – (fr:10248) [che dista più di 3 gradi da quella tolemaica ed è la più debole di tutte]. Si ricorre allora alla latitudine di Marte, della quale basta “mediocris ejus cognitio” – (fr:10249) [una conoscenza approssimativa]. Viene così calcolata la longitudine media del pianeta per le ore 5 del mattino del 29 ottobre: “1 s. 29° 10’ 43“” – (fr:10250-10253) [1 segno 29° 10’ 43” (cioè 29° 10’ 43” in Ariete)]. Ne segue il luogo eccentrico in 9° 43’ (del Toro?) a una distanza di 40° 23’ 20” dal nodo; inclinazione 43’ 52”. Il Sole si trova in “15° 40’ m” – (fr:10258-10259) [15° 40’ dello Scorpione].

Una parte del testo appare fortemente corruttibile dalla stampa, ma contiene un riferimento a una costruzione geometrica: “Prodit Prius Differentia Et decimam partem Item et alias 15 particulas, ut pro linea in plano eclipticae efficiatur linea in plano orbitae Martis visus ex anticipato circiter 12~ °” – (fr:10259) [Viene fuori dapprima la differenza e la decima parte, e poi anche altre 15 particelle, affinché da una linea nel piano dell’eclittica si formi una linea nel piano dell’orbita di Marte, vista con un’anticipazione di circa 12½°]. È il tipico procedimento kepleriano di proiezione fra piani orbitali. La latitudine che ne risulta è “1° 36’ 24”” – (fr:10260-10262).

Si calcola poi la longitudine del punto sulla linea che va dalla dodicesima alla quarta stella dei Gemelli, che abbia la latitudine di Marte: “latitudinem 1° 30½’ Boream” – (fr:10264). Poiché la quarta stella ha coordinate “9° 54’ § lat. 7° 43’ Bor.” – (fr:10265-10267) e la dodicesima “12° 56’ § lat. 0° 13½’ Austr.” – (fr:10268-10271), il punto cercato ottiene per proporzione la longitudine “12° 16’ 17” §” – (fr:10272-10274) [12° 16’ 17” dei Gemelli]. Marte il 29 ottobre non era ancora giunto lì, mentre il 30 l’aveva oltrepassato. Avendo il moto diurno “major V minutis, cujus dimidium 2½” – (fr:10276-10277) [maggiore di 5 primi, la cui metà è 2½’], la longitudine per il mattino del 30 risulta 12° 18½’ dei Gemelli (per l’anno 1600), ma per il 1597 è “12° 16’ §” – (fr:10278). Un errore di tre primi in latitudine ne produce appena uno in longitudine, quindi la posizione è ritenuta “sat certus” – (fr:10280) [abbastanza certa].

Una verifica indipendente, condotta usando la prima e la quinta stella, colloca il punto di pari latitudine a “12° 9’ §” – (fr:10282-10283). Marte era “orientalior, hoc est, magis in consequentia, scilicet in 12° 16’ proxime” – (fr:10284-10285) [più orientale, cioè più avanti nel senso delle longitudinali, a circa 12° 16’], restando intermedio anche rispetto alla latitudine: tra la latitudine marziana di 1° 30½’ e quella della quinta (5° 42½’) corrono 4° 12’, mentre tra questa e la prima (10° 2’) la differenza è di 4° 20’, cosicché la latitudine calcolata “comprobatur à nobis computata” – (fr:10286) [viene confermata dal nostro calcolo]. Si fissa pertanto Marte “in 12° 16’ §” – (fr:10293) per il 30 ottobre 1597, al mattino verso le ore In quell’istante il Sole è calcolato a “16° 38’ 8” m” – (fr:10295-10297), la longitudine media del pianeta a “1s 29° 42’ 10”” – (fr:10298-10299), l’afelio a “4s 28° 57’ 10“” – (fr:10301-10303) e il complemento dell’anomalia media 89° 15’; l’anomalia coequata diviene 78° 43’ 23”, da cui il luogo eccentrico “20° 10’ 13’ 47” n” – (fr:10306-10307). La distanza che ne deriva è Poiché la posizione risulta più profonda di 2° 6’ dall’afelio rispetto a una misura precedente, Keplero aggiunge il doppio di 240 particelle (la somma dovuta a un grado). Se poi si sottraessero tre minuti al luogo di Marte portandolo a 12° 13’ dei Gemelli – variazione ammissibile dato che l’ora non fu scritta con precisione – la differenza sarebbe conciliata: “Quod si tria minuta adimas loco Martis, et fuerit in 13 §, quod stante nostra observatione fieri potest, praesertim si et hora alia fuerit, jam conciliata erit haec differentia” – (fr:10308-10309).

Il testo introduce poi una seconda prova “in partibus aphelio propioribus” – (fr:10310) [nelle parti più vicine all’afelio], con l’osservazione del 5 aprile Marte è visto “in 7° 31’ 10” m” – (fr:10311-10313) [in 7° 31’ 10” dello Scorpione] con latitudine “1° 28’ 13” Bor.” – (fr:10314-10315), prossimo al meridiano e perciò esente da variazione orizzontale. La longitudine media risulta “t 9° 46’ 8”” – (fr:10317-10319) [9° 46’ 8” del Toro], l’afelio “4s 28° 51’ 8”” – (fr:10320-10322), l’anomalia media 70° 55’ 0” a cui, tramite la vicaria, risponde un’anomalia coequata di 61° 17’ 35”. Il frammento si chiude con un rinvio al moto di Marte nel 1617 e al luogo eccentrico “in 0° 8’ 43” 111” – (fr:10331-10333) [in 0° 8’ 43” dei Pesci], mentre il Sole è a 25° 52’ di un segno non esplicitato.

Il passo documenta il cuore del metodo di Keplero: trasformare allineamenti visuali con stelle braheiane in coordinate eclittiche, supplire alla mancanza di dati con la latitudine e raffinare i parametri orbitali attraverso il calcolo dell’anomalia media e il confronto con l’ipotesi vicaria. La cura maniacale per i minuti di grado e le piccole correzioni (come l’aggiustamento di 3’ in longitudine) rivela la ricerca di una precisione che porterà di lì a poco alla scoperta della forma ellittica dell’orbita marziana. Dal punto di vista storico, siamo davanti a uno dei taccuini di lavoro che stanno alla base dell’Astronomia Nova (1609), l’opera in cui Keplero enuncia le prime due leggi del moto planetario, segnando il superamento del cerchio perfetto e la nascita dell’astronomia fisica.

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62 Analisi di osservazioni marziane per la determinazione dell’orbita

Un’indagine minuziosa condotta su osservazioni di Marte per affinare la stima della sua distanza dal Sole, vagliando la coerenza interna dei dati e l’affidabilità delle singole rilevazioni attraverso il confronto con un modello eccentrico di riferimento.

Il testo espone una serie di calcoli basati su osservazioni astronomiche di Marte, condotte in date diverse, con l’obiettivo primario di determinare con la massima precisione possibile la distanza del pianeta dal Sole. L’analisi si sviluppa attraverso un processo iterativo di verifica e correzione, dove ogni osservazione viene scomposta nei suoi elementi geometrici fondamentali: longitudine, latitudine, angoli al Sole e alla Terra, e distanze. L’autore non si limita a esporre risultati, ma mette a nudo le incertezze e le possibili fonti di errore, soppesando l’attendibilità di ciascun dato.

Viene innanzitutto presentata una prima determinazione della distanza di Marte, derivata da un insieme di misure angolari: la distanza angolare dalla Terra è di “1°°560” (fr:10336), l’angolo alla Terra è “11°. 38’. 27”“ (fr:10337-10339) e l’angolo al Pianeta è “7°. 22’. 27”“ (fr:10340-10342). Da questi, si conclude che la ”distantia Martis a Sole 158°9°“ (fr:10342). Il risultato è però subito messo in discussione. L’affidabilità del calcolo basato sul semplice luogo eccentrico è minata da un possibile ”errorem duorum vel trium circiter scrupulorum” (fr:10343), ovvero un’incertezza di alcuni primi d’arco. Per corroborare il dato, si ricorre a un’osservazione di controllo del 19 febbraio 1591, quando Marte fu visto “distare ab Australi Lance” (fr:10343) di una quantità specifica.

Questa seconda osservazione fornisce un insieme di dati correttivi. Note le coordinate celesti di Marte (“cadit in 7°. 24~’ ,!” – fr:10347-10348) e la declinazione del luogo eccentrico (“declinet ab aequatore per 21°. 39” 10““ – fr:10350-10351), la declinazione osservata del pianeta è ”20°. 59’. 30”“* (fr:10352-10353). Ne deriva una latitudine di ”48’. 40”” (fr:10354-10355), che consente di correggere la longitudine, portandola a ”7°. 34Y:J’ ,!‘“ (fr:10356). Il cuore del calcolo risiede nel confronto tra i parametri orbitali: la longitudine media è ”8°. 21’. 4i’.” (fr:10357-10359), a cui corrisponde un’anomalia coequata di ”59°.57’.38”” (fr:10360) e un luogo eccentrico di “28°. 51’ ~” (fr:10361). Ne conseguono un angolo al pianeta di ”38°. 43’.20““ (fr:10362-10363) e un angolo alla Terra di ”87°. 20’. o”“* (fr:10366-10368). Con la distanza Sole-Terra nota (”distantia Solis a Terra 99210” – fr:10369), si ricava una nuova distanza di Marte dal Sole:”158428” (fr:10370). Questo valore è “longior quam prius” (fr:10370), una differenza che viene spiegata con la diversa posizione sull’orbita, essendo ora “propriores sumus aphelio per 1°. 26’. 30”“ (fr:10370-10372). Applicando una proporzione basata sulla variazione di distanza per grado dell’eccentrico (”Debentur autem de distantia uni gradui particulae circiter 220 hoc loco eccentri” – fr:10372), si riconciliano le due osservazioni, ottenendo una distanza di “158111” giudicata “admodum praecise” (fr:10372).

L’autore esprime fiducia nel metodo, affermando che le due osservazioni congiunte, trattate con la metodologia precedentemente illustrata, “locum eccentricum ostensuras plane eundem cum nostra vicaria” (fr:10373), nonostante il rischio di errore residuo di uno o due scrupoli. Tuttavia, emergono dubbi sulla qualità della seconda osservazione, poiché la distanza dall’Aquila riportata non concorda con le altre circostanze osservative entro un margine di “12’ minuta” (fr:10376), rendendola “non sit plane certissima” (fr:10376). Si menziona anche la necessità di una piccola correzione addizionale per la latitudine (fr:10377).

L’analisi prosegue spostandosi in un’altra regione orbitale. Viene introdotta un’osservazione del 1582 in una “longitudine simili alterius semicirculi” (fr:10378). Con il luogo del Sole e la distanza Sole-Terra noti, l’elaborazione di longitudine media, afelio e anomalie porta a un luogo eccentrico di “24°· 59” 2” IL” (fr:10389). Marte è osservato in “26°. 35’. 30” §“ (fr:10390-10391). Combinando gli elementi, con un angolo alla Terra di “57°. 0’. 13”“ (fr:10391-10393) e un angolo al pianeta di ”31°. 36’. 28”“ (fr:10394-10395), si calcola che il pianeta sia distante dal Sole “157631” (fr:10396). Poiché l’anomalia è ora maggiore rispetto alla precedente (“prius anomalia fuit 70°. 55’, jam 73°. 34’” – fr:10397-10399), ci si trova in una posizione più vicina al perielio. Applicando nuovamente una correzione proporzionale (“humiliores igitur sumus per 2°. 39” quibus in proportione prius indicata, debentur particulae 586” – fr:10399-10400), si stima che per un’anomalia comparabile alla prima osservazione, la distanza sarebbe “158217” (fr:10401). Anche qui è richiesta una correzione per la latitudine. La differenza residua tra questa stima e le precedenti, quantificata in “127 circiter” (fr:10402), viene minimizzata: è “perexigua et in nostro negocio contemnenda” (fr:10403), soprattutto quando si ha a che fare con quantità dell’ordine di 1800, 3600 o più.

L’indagine culmina con l’esplorazione di regioni ancora più prossime all’afelio, specificamente dove la “luxatio eccentrici per medii motus Solis cum vero permutationem omnium contingere potest evidentissima” (fr:10406), ovvero nell’apogeo solare. L’osservazione del 9 marzo 1596, con il Sole in “29°. 31’. 24” X“ (fr:10407-10409), fornisce un nuovo set di dati. Con un’anomalia media complementare di “43°. 23’ . 31”“ (fr:10414-10415) e un luogo eccentrico di ”22°. 18’. 29” §“ (fr:10418-10419), Marte è avvistato in “15°.49’. 12” IL” (fr:10419-10420). L’angolo alla Terra è “76°. li. 48”“ (fr:10423-10425) e quello al pianeta “36°. 29’. li’” (fr:10426-10427). Il calcolo finale restituisce una distanza di Marte dal Sole di “162994” (fr:10428), specificando che si tratta della distanza “puncti in plano eclipticae, quod corpori Martis perpendiculariter subest” (fr:10428), distinguendo così il punto proiettato sul piano dell’eclittica dal corpo fisico del pianeta. A garanzia di sicurezza, si prevede di affiancare anche a questo dato un’altra osservazione (fr:10429).

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63 Analisi delle distanze eliocentriche di Marte nei semicircoli opposti

Nell’ambito dell’indagine sul moto di Marte, viene condotto un confronto minuzioso tra le distanze del pianeta dal Sole, calcolate in corrispondenza di osservazioni collocate in semicircoli opposti dell’orbita. Lo scopo è verificare la tenuta dell’ipotesi vicaria – un modello eccentrico provvisorio – e la reale configurazione dell’orbita. Le osservazioni si collocano tra il 1584 e il 1591 e vengono ridotte con precisione di primi e secondi d’arco, integrando anche i dati di Magino.

Una prima posizione di Marte è registrata nel 1584: *“Fuit autem Mars praecise eodem in loco sub Fixis anno MDLXXXIV D. XXV Nov. hora X M. XX, cum esset Sol in 14°. o’. 3” ,l’, 20“* (fr:10430-10432) [Marte si trovò esattamente nello stesso luogo tra le stelle fisse il 25 novembre 1584, alle ore 10 e 20 minuti, essendo il Sole a 14° 0’ 3” 20’’ del Sagittario], con una distanza dalla Terra di 98318 e un’anomalia media che non differiva sensibilmente da quella precedente. Il luogo eccentrico corrispondente, depurato della precessione di 9’45”, viene fissato a 22° 8’ 44’’ (fr:10433-10435). Un’altra apparizione, il 12 novembre successivo, mostra il pianeta a 23° 14’ 5’’ con latitudine 2° 12’ 24’’ boreale (fr:10436-10441); in otto giorni e cinque ore il suo moto osservato è di 2° 46’ 25’‘, mentre secondo Magino sarebbe di 2° 48’ (fr:10447-10451). Proiettando il calcolo con l’aggiunta proporzionale di 1° 2’ (fr:10454-10455), Marte appare a 27° 2’ 30’’ circa (fr:10456-10458).

Da queste posizioni si deducono gli angoli alla Terra e al pianeta, e quindi la distanza di Marte dal Sole, che risulta pari a L’autore nota subito una discordanza: “Quare hic distantia Martis a Sole excedens priorem particulis quae levissima mutatione loci eccentrici absorbentur, ut quidem vicaria hic non est usque ad unicum scrupulum fidelis.” (fr:10463) [Pertanto qui la distanza di Marte dal Sole è 163051, superando la precedente di 57 particelle, le quali sono assorbite da una lievissima mutazione del luogo eccentrico, cosicché l’ipotesi vicaria in questo caso non è fedele fino a un singolo scrupolo]. La minima variazione del luogo eccentrico basta a compensare la differenza, ma la vicaria non offre più una corrispondenza esatta.

Per la medesima longitudine nell’altro semicircolo (cap. XXVII) si recupera una distanza di poco inferiore a 163100, dedotta dalla prostaferesi delle osservazioni, mentre le osservazioni pure danno 162818 (fr:10465-10466). Viene poi analizzata un’osservazione dell’11 febbraio 1589, con longitudine media 6s 12° 38’44’’ e afelio 4s 28° 50’57’’ (fr:10467-10470). Qui l’anomalia media è di 43° 47’ 48’‘, più bassa di 2’ 4’’ rispetto alla precedente (fr:10475-10477), il che comporta una correzione di circa 64 particelle. La distanza calcolata in questo semicircolo è pertanto circa 163100, mentre nell’altro era 163051 o 162996; una prossimità definita “impraestabili propinquitate” (fr:10480) [con inapprezzabile vicinanza], a riprova di una sostanziale costanza attorno alla longitudine media del semicircolo: “Itaque hoc sic constans est circa longitudinem mediam hujus semicirculi.” (fr:10490) [E pertanto questo è costante circa la longitudine media di questo semicircolo].

Le osservazioni, tuttavia, obbligano a ripetute correzioni del luogo eccentrico calcolato con la vicaria. Nel capitolo XXVII si deve sottrarre 1’ 30’‘, e nel capitolo XVIII, con l’opposizione acronichia del 1589, occorre toglierne 2’ 1/5 (fr:10481-10487). Ancora, nel 1591 si deve sottrarre uno scrupulo, e per gli anni 1589 e 1594 le osservazioni impongono di togliere circa 3 scrupuli (fr:10488-10489).

Avvicinandosi all’afelio, vengono ripresi i dati del capitolo XXVIII. Con un’anomalia media di 11° 37’ si trova una distanza (non corretta per la latitudine) di 166180 o 166208 nel semicircolo discendente (fr:10491-10492). Nello stesso punto del semicircolo ascendente, intorno al 24 gennaio 1585, con longitudine media 4s 16° 50’ 10’’ e afelio 4s 28° 46’ 41’‘, il residuo dell’anomalia media è 110° 56’ 31’’ e il luogo eccentrico vicario è 18° 49’ 0’’ (fr:10494-10499). Il pianeta è osservato a 24° 9’ 30’’ con latitudine 4° 31’ 0’’ boreale (fr:10500-10502). Senza correggere la vicaria, la distanza è 165792; ma se si sottrae 1’ 30’’, come imposto dal capitolo XVIII, l’angolo al pianeta si modifica e la distanza sale a 166580 (fr:10507-10511). La sensibilità del dato è estrema: “Usque adeo facile hic mutatur distantia, ob Martis et Terrae propinquitatem.” (fr:10512) [A tal punto qui la distanza muta facilmente, a causa della vicinanza tra Marte e Terra].

Per cautela si introducono altre osservazioni. Il 16 dicembre 1586, con Marte a longitudine 26° 6’ 24’’ e latitudine 0° 35’ circa, l’angolo alla Terra è 81° 49’ 33’’ e al pianeta 35° 45’ 54’‘, da cui si ottiene una distanza di 166311; sottraendo 1’ 30’’ dal luogo eccentrico, la distanza diventa 166208 (fr:10514-10522), valore minore rispetto alla distanza precedente dall’afelio di circa 70 particelle (fr:10523-10524).

Testimonianza storica. Il brano documenta il momento in cui l’ipotesi vicaria – fondata su un eccentrico con equante – mostra segni di cedimento: le distanze calcolate nei semicircoli opposti concordano solo a patto di introdurre correzioni empiriche continue al luogo eccentrico. L’espressione “vicaria hic non est usque ad unicum scrupulum fidelis” (fr:10463) fotografa il punto di rottura metodologico. La ricerca della coerenza geometrica tra i due semicircoli, con distanze pressoché uguali ma non perfettamente sovrapponibili, e la sensibilità dei calcoli alla vicinanza Terra-Marte, rappresentano il tessuto vivo da cui maturerà il passaggio all’orbita ellittica.

[28.6/6-95-10525|10619]

64 Verifica della simmetria delle distanze di Marte dal Sole e limiti dell’ipotesi vicaria

Keplero confronta le distanze di Marte ricavate da diverse opposizioni per saggiare l’uguaglianza dei due semicircoli dell’orbita rispetto all’afelio; le piccole discrepanze lo conducono a correggere l’afelio e a riconoscere, presso il perielio, i difetti della vicaria.

Il passo appartiene all’indagine di Keplero sul moto di Marte e costituisce un test diretto della simmetria dell’orbita. Egli muove da un’osservazione del 6 novembre 1588: «Anno MDLXXXVIII D. VI Novemb. mane H. VI M. L, cum esset locus Solis 24°.3′.43″ 1ll; distans a Terra 98630» (fr:10526‑10527) [Nell’anno 1588, il 6 novembre, al mattino ore 6:50, essendo il luogo del Sole 24°3′43″ Sagittario, distante dalla Terra 98630 particelle]. La longitudine media di Marte era «4 s• 20°.» (fr:10527), «47′.» (fr:10528), «35″;» (fr:10529) [4 segni 20°47′35″], con residuo d’anomalia «8°. 2′. 5l″» (fr:10530‑10531) [8°2′51″] e luogo eccentrico vicario «22°.7′.48″ bì» (fr:10531) [22°7′48″ Acquario]; il pianeta fu visto in «23°. 16′ 111′, lat. 1°.37′» (fr:10531‑10533) [23°16′ Pesci, latitudine 1°37′]. Dagli angoli «214 ad Terram I 60°. 47′. 43″, ad Planetam 31°. 8′. 12″» (fr:10534‑10538) [l’angolo alla Terra 60°47′43″, al pianeta 31°8′12″] deriva la distanza dal Sole «166511» (fr:10539) [166511 particelle], che corregge sottraendo 1′30″ dal luogo vicario ottenendo «166396» (fr:10540) [166396]. Con un calcolo analogico per una maggiore distanza dall’afelio (11°37′) trova «vel 166401, vel 166286» (fr:10541) [o 166401 o 166286], con una differenza di 150 rispetto al valore precedente; prendendo la media «166230» e ipotizzando un piccolo errore di osservazione in direzioni opposte nelle campagne del 1586 e del 1588, la discordanza dal semicerchio discendente si riduce a poco. Keplero aggiunge che «Poterit hoc ipsum quoque discrimen aboleri per retractionem nonnullam aphelii, de qua postea» (fr:10542) [Questa stessa discrepanza potrà essere eliminata con un lieve arretramento dell’afelio, di cui si tratterà in seguito]. La conclusione prossima all’afelio è netta: «Itaque etiam proxime aphelium … easdem invenimus distantias a Sole, in eadem utriusque semicirculi habitudine ad aphelium» (fr:10543) [E così anche vicino all’afelio troviamo le stesse distanze dal Sole nella medesima configurazione di entrambi i semicerchi rispetto all’afelio].

Tuttavia egli avverte un limite: «Sunt quidem omnes tres observationes factae, Marte Orientali; nulla, Marte Occidentali» (fr:10544) [Tutte e tre le osservazioni sono state fatte con Marte orientale; nessuna con Marte occidentale], perché «deficiunt enim observata reliqua» (fr:10545) [mancano infatti le altre osservazioni]. Perciò ritiene più prudente appoggiarsi alla distanza del semicerchio discendente.

Scendendo verso il perielio, presenta l’osservazione del 13 maggio 1591, «hora I M. XL post mediam noctem» (fr:10548) [alle ore 1:40 dopo mezzanotte], con Sole «in 2°. 8′. 43″ il» (fr:10548‑10550) [in 2°8′43″ Toro], distante dalla Terra 101487 particelle; Marte ha longitudine media «8 s• 22°. 18′. 4″» (fr:10550‑10552) [8 segni 22°18′4″], anomalia 113°24′4″, coequata 103°15′48″ e luogo eccentrico vicario «12°.9′.48″ ,l′» (fr:10554) [12°9′48″ Gemelli]; il pianeta è osservato in «2°. 24W .6, latitudine 2°. 15′ Merid» (fr:10554‑10556) [2°24′6″ … con latitudine 2°15′ australe]. Il calcolo fornisce «distantia Martis (vel puncti eclipticae) a Sole 147802 vel verius 147683» (fr:10558) [distanza di Marte (o del punto eclittico) dal Sole 147802 o, più esattamente, 147683], e Keplero sottolinea la sensibilità del procedimento: «unius scrupuli errore, in loco eccentrico, perire nobis 120 particulas nostrae dimensionis, in tanta Martis et Terrae propinquitate» (fr:10558) [un errore di un solo minuto nel luogo eccentrico ci fa perdere 120 particelle della nostra unità di misura, in tanta vicinanza di Marte e della Terra]. Nondimeno l’osservazione è «bene munita … circumstantibus aliis frequentium dierum, usque in diem oppositionis cum Sole» (fr:10560) [ben corredata da altre di giorni vicini fino al giorno dell’opposizione]. Tenuto conto dell’inclinazione, la «secans inclinationis superat radium particulis Il circiter, quae sunt in nostra dimensione circiter 15 aut 16» (fr:10567) [secante dell’inclinazione supera il raggio di circa 11 particelle, che nella nostra scala sono circa 15 o 16], la distanza corretta diventa «quam proxime 147820 ve! 147700» (fr:10568) [quanto più prossimamente 147820 o 147700].

Per il confronto con l’altro semicerchio riprende i dati del capitolo XXVI relativi al 4 marzo 1590, con Marte a «1 4 11′. 20″» (fr:10573‑10575) [1 segno 18°4′11″20″?] e complemento dell’anomalia «114°. 41′» (fr:10576‑10577) [114°41′]; là aveva ricavato distanze «circiter 147443 ve! 147700 ve! 147750» (fr:10570‑10572) [circa 147443 o 147700 o 147750]. Qui «hic humiliores sumus ab aphelio quam prius, uno gradu et 17′ minutis» (fr:10578) [qui siamo più bassi dall’afelio di prima, di un grado e 17 minuti]; un grado corrisponde a 230 particelle in quel luogo eccentrico. Di conseguenza, la distanza per l’anomalia di 113°24′ nel semicerchio ascendente sarebbe «147743 ve! 148000 ve! 148050» (fr:10583‑10584) [147743 o 148000 o 148050]. La differenza rispetto al semicerchio discendente (147820 o 147700) è «circiter 350 ve! 180 particularum, ve! nullius; paulo incertiuscula» (fr:10587‑10589) [di circa 350 o 180 particelle, o nulla; un po’ incerta]. Keplero ne spiega la ragione: «etiam pejuscule habent observationes, Marte in perigaeo versante, ob humilitatem Zodiaci et alia multa» (fr:10590) [le osservazioni sono piuttosto scadenti, con Marte in perigeo, a causa della bassezza dello zodiaco e di molti altri fattori]. La distanza vera già nel capitolo XXVI oscillava tra 147443 e 147750, una forbice di 300 particelle, «non magni momenti, Marte tam humili et Soli seu centro Mundi vicino» (fr:10593) [di non grande momento, essendo Marte così basso e vicino al Sole ossia al centro del Mondo].

Spingendosi ancora più verso il perielio, riporta l’osservazione del 3 dicembre 1589, con Marte «visus est Mars in 15 25′. 33″ ~, lat. 1°. 11′. 47″ Mer» (fr:10602‑10607) [Marte fu visto in 15°25′33″ Leone, latitudine 1°11′47″ merid.] e i consueti dati ausiliari. Ma qui emerge un nodo centrale: «quia supra cap. XLII. inventa est vicaria nostra nonnihil peccare circa perihelium: adsciscemus igitur loca alia … atque ex iis methodo capitis XLII quaeremus simul distantiam Martis a Sole, simul etiam locum eccentricum veriorem» (fr:10608‑10610) [poiché nel capitolo XLII si è trovato che la nostra ipotesi vicaria sbaglia alquanto vicino al perielio, prenderemo dunque altri luoghi … e con il metodo del capitolo XLII cercheremo simultaneamente la distanza di Marte dal Sole e anche un luogo eccentrico più corretto]. A tal fine introduce anche l’osservazione del 16 ottobre 1591 (fr:10611‑10619), con il Sole in 2°39′15″ Scorpione e Marte in 1°27′18″ Leone.

Il brano illustra il procedimento di verifica incrociata con cui Keplero testa la simmetria dell’orbita: lontano dal perielio le distanze nei due semicircoli coincidono entro gli errori osservativi, mentre presso il perielio l’ipotesi vicaria — primo modello equante della Astronomia nova — mostra scarti sistematici che lo costringeranno ad abbandonare il cerchio perfetto. La registrazione onesta delle incertezze e la progressiva correzione dell’afelio costituiscono una testimonianza esemplare del metodo empirico che condurrà alle leggi di Keplero.

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65 Affinamento delle distanze marziane e analisi dell’errore osservativo

La variabilità delle distanze eccentriche di Marte, soggette a minime alterazioni angolari, impone un rigoroso processo di selezione e correzione empirica per conciliare osservazioni condotte a distanza di anni.

Il testo illustra il processo iterativo con cui vengono rettificate le distanze eccentriche di Marte, muovendo dalla constatazione che una piccola variazione nell’angolo osservato produce errori notevoli nei valori calcolati. Si parte da una discrepanza iniziale: la distanza posteriore risulta più corta del dovuto, benché avrebbe dovuto essere più lunga di 336 particelle, come attestato da «Et quidem brevior est posterior OC’Y), cum debuerit esse longior per » – (fr:10918) [E invero la posteriore OC’Y) è più corta, mentre avrebbe dovuto essere più lunga di ]. La somma complessiva è fissata in 322°54’ e le metà delle grandezze costituite sono 160859 per oc& e 161363 per OC’Y), valori che collocano rispettivamente la prima in 16° 5’ e la seconda in 17° 55’. Tuttavia la vicaria perderebbe un minuto, mentre le distanze stesse sono giudicate inaffidabili proprio a causa dell’angolo così piccolo: «Ipsae vero distantiae, ob angulum istum tam parvum, sunt infidae.» – (fr:10926) [Le distanze stesse, a causa di un angolo così piccolo, sono inaffidabili.]. La criticità è espressa con precisione numerica: se l’angolo viene alterato di un solo minuto, si generano mille particelle di errore in qualunque distanza, come indicato da «Nam si angulus ~ varietur uno minuto, vitio observandi, quod facile contingit, mille particulis in qualibet distantia aberrabimus.» – (fr:10927) [Se infatti l’angolo ~ varia di un minuto per un difetto di osservazione, cosa che accade facilmente, sbaglieremo di mille particelle in qualsiasi distanza.].

Per aggirare l’incertezza, vengono selezionate due osservazioni più remote che differiscono di 5236 particelle, sapendo in anticipo che la differenza attesa è circa Attraverso una terza operazione condotta come in precedenza, si ottengono valori più veri: oc& a 158792 particelle e OC’Y) a 164364 particelle, corrispondenti rispettivamente a 0° 41’ e 0° 8’ 30”. L’esito è confermato da quattro giorni di osservazioni: «Et fit certum per IV dierum observationes hoc loco adimendum esse locis eccentricis, ex vicaria nostra depromptis, circiter 1 ~ minuta.» – (fr:10935) [E viene stabilito con certezza, mediante osservazioni di quattro giorni, che in questo luogo si deve sottrarre ai luoghi eccentrici, ricavati dalla nostra vicaria, circa 1 minuto.]. Le distanze già trovate risultano confermate in modo mediocre, benché l’analogia suggerisca che dovrebbero essere un poco più lunghe. Il miglioramento è rimarchevole: se l’angolo &~’Y) viene viziato di un minuto, entrambe le distanze sono alterate di circa cinquanta particelle, non di più. Si dichiara perciò che in queste distanze si può errare a malapena per la centesima parte dell’incertezza precedente: «In distantiis igitur his vix centesima pars peccari potest incertitudinis prioris.» – (fr:10939) [Dunque in queste distanze si può sbagliare appena la centesima parte dell’incertezza di prima.].

Il metodo viene esteso all’opposizione del 1585, per la quale il pianeta fu osservato frequentemente per due mesi prima e dopo il 31 gennaio. Dalle quattro osservazioni selezionate, con posizioni del Sole e latitudini boreali registrate, si ricavano nuove distanze: lX& 165101, 166290 e lX’Y) 166182, 166131, poi corrette per latitudine a 165184, 166378, 166260, Le due medie differiscono di 118 particelle, mentre avrebbero dovuto differire in senso contrario di 187, cosicché lX& cadrebbe in 18° 48’ 47” e lX’Y) in 23° 34’ 48”. Anche in questo caso la mutazione del luogo eccentrico è minima e la vicaria ne esce confermata. Resta però la consapevolezza che «unius minuti error in observatione, hoc loco utramque distantiam, 100 particulis circiter sit vitiaturus» – (fr:10994) [l’errore di un minuto nell’osservazione, in questo luogo, vizierà entrambe le distanze di circa 100 particelle].

Per le osservazioni più remote si trova una differenza di 1022 particelle, mentre la precognizione dell’ipotesi suggerisce 1275; la discrepanza è legata alla posizione del quarto del Leone, vicino al diciottesimo del Cancro, dove si era dovuto sottrarre qualcosa al luogo eccentrico della vicaria. Asportando un minuto nel quarto segno, si accorcerebbe lX& di cento particelle, e con due minuti e mezzo si arriverebbe a circa 164934, valore abbastanza corto da permettere a lX’Y) di mantenere la lunghezza 166206 e da conciliarsi con l’ultima osservazione del 1583 che aveva dato Le due quantità avrebbero dovuto differire di 488 secondo l’ipotesi delle distanze, mentre differiscono di Una possibile soluzione è trasferire per metà quella mutazione di due minuti e mezzo del luogo eccentrico sulle osservazioni stesse, dato che se una delle due avesse errato di un minuto, l’effetto sarebbe di cinquanta particelle di errore in ciascuna distanza. Il frammento si chiude con l’intestazione di una tabella per l’opposizione del 1594, che elenca tempo, luogo eccentrico, luoghi calcolato e osservato, differenze, distanze latitudinali ed eclittiche.

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66 Registrazioni osservative di fine Cinquecento: tra stelle di riferimento, strumenti e correzioni

Un tessuto di cifre, simboli e date annotato con rigore testimonia la pratica astronomica pre-telescopica, fatta di distanze angolari, letture di cerchi graduati e riferimenti a un catalogo stellare in costruzione.

Il testo è un insieme di appunti d’osservazione compresi tra il 1582 e il 1591, riconoscibili dalle date abbreviate in latino e dalle sigle orarie. Ogni voce segue uno schema ricorrente: giorno e mese, ora dell’osservazione (indicata con H., dal latino hora), una serie di numeri che rappresentano le letture degli strumenti, sigle di stelle di riferimento e quantità angolari, spesso accompagnate da piccole correzioni segnate con il simbolo +.

La successione cronologica emerge da annotazioni quali “23 Nove.” – (fr:11005) [23 novembre], “26 Dece.” – (fr:11011) [26 dicembre], “1583· 26 Janua.” – (fr:11019) [1583, 26 gennaio], fino a “159L 13 Maji.” – (fr:11079) [1591, 13 maggio] e “7 Aust.” – (fr:11078) [7 agosto]. L’orario è reso con forme come “H.16. ° 11°.” – (fr:11006) [Ore 16, 11 gradi] o “H. 9· 3° lO.” – (fr:11057) [Ore 9 e 3 gradi, forse altezza], a segnalare che il tempo era misurato in concomitanza con un angolo, probabilmente l’altezza sull’orizzonte o l’angolo orario.

I corpi celesti osservati dialogano con un sistema di stelle fisse identificate da un numero e dall’abbreviazione della costellazione. Fra queste spicca la contrazione §, quasi certamente per “stella”, come in “18 § 17· 44· 19§ 17· 4°” – (fr:11014) [stella 18 17°44’, stella 19 17°4’] o “20§ o.” – (fr:11018) [stella 20 16°, lettura]. Le abbreviazioni che seguono il numero richiamano le costellazioni: l, sta per Leonis (“16 l, 9 82°7” – fr:11032), V per Virginis (“14· 34“V L 13” – fr:11032), L per Librae (“30”V L 4” – fr:11033). Non mancano simboli meno trasparenti come ~, forse indicante la Luna, che compaiono in “B~ 9 862 4 164421 o.” – (fr:11022) e “1 ~ 9 8611 1662 32 ” – (fr:11045).

I valori registrati appaiono come lunghe catene di cifre: “41’,{’ 9 8 345 158852 0°.42’.” – (fr:11007). Qui si intravede la struttura della misura strumentale: minuti e secondi («41’» e il simbolo «{‘»), una lettura multipla (9 8 345 158852) derivante dai diversi regoli di un sestante o di un quadrante, e infine la distanza angolare ridotta (0° 42’). In altri casi i dati si avvicinano a una forma più vicina al risultato: “3· 51· 45 61, l. 14· 34”V L 13” – (fr:11032) sembra associare la distanza 14° 34’ alla stella 61 Leonis, con una seconda coppia di valori che richiama il luogo vero (V L).

La presenza di correzioni è esplicita nell’uso del segno + seguito da una piccola quantità: “3O§ 1’.3°” + 2·49” – (fr:11011) [3 stella … + 2,49], “30§ 5· 5° + 4· 8” – (fr:11019), “30”V L 4 + 3· 3l” – (fr:11033). Tali aggiustamenti, dell’ordine di pochi minuti o secondi, rivelano la minuzia con cui si cercava di eliminare errori di parallasse, rifrazione o collimazione.

Il lessico risente di una notazione contratta, tipica dei diari osservativi di un astronomo che lavorava al limite della strumentazione dell’epoca. Termini come m (forse per Marte, in “5° m 4· 45” – fr:11070) e le coppie om (“om 4· 43” – fr:11070) convivono con date e ore espresse in uno stile che mescola latino e cifre. L’assenza di un contesto discorsivo rende il testo una testimonianza grezza, ma proprio per questo straordinariamente fedele alla pratica osservativa quotidiana.

Sul piano storico, queste righe appartengono alla fase in cui l’astronomia europea, grazie a figure come Tycho Brahe, accumulava misure di precisione senza telescopi, combinando quadranti, sestanti e sfere armillari. I dati così raccolti, registrati con identificativi stellari e correzioni, costituirono la base su cui Keplero edificò le leggi del moto planetario. La sequenza copre un arco di quasi un decennio (1582-1591) e include osservazioni condotte in diverse stagioni, come mostrano le date di gennaio (“1585, 24 Janua.” – fr:11034), febbraio (“4 Febr.” – fr:11035), marzo (“12 Mart.” – fr:11038), aprile (“21 Aprii.” – fr:11056), maggio (“6 Maji” – fr:11074), giugno (“lO Junii” – fr:11085) e agosto, segno di un programma sistematico di monitoraggio del cielo.

L’insieme si configura come un frammento di un più vasto diario di lavoro: le frasi non spiegate ma densissime di significato – “17, 57 § ” – (fr:11025), “32 § ” – (fr:11016), “44· 51 ~ 15· 49· 50 “v 15· ” – (fr:11059) – restituiscono l’immagine di un ricercatore che trasforma il cielo in numeri, annotando senza sosta posizioni e differenze, nella consapevolezza che la riforma dell’astronomia passava per l’accumulo di osservazioni esatte e ripetute.

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67 Verifica dell’ipotesi ovale e scoperta della corretta eccentricità dell’orbita di Marte

Un resoconto della revisione critica di Keplero sulla sua precedente ipotesi di orbita ovale, basata sul confronto tra distanze calcolate e osservate, che culmina con l’intuizione di una soluzione intermedia tra il cerchio perfetto e l’ovale stesso.

Il testo presenta un momento cruciale del processo di scoperta scientifica di Keplero: la confutazione della sua stessa ipotesi, formulata nel capitolo XLV, secondo cui l’orbita di Marte sarebbe un ovale. L’indagine procede attraverso una meticolosa revisione di dati osservativi e calcoli. In primo luogo, si stabilisce una distanza di riferimento per l’anomalia media. Dopo aver corretto per la latitudine e aggiustato il calcolo, Keplero fissa un valore: “Sit igitur hoc certum, in anomalia media 52’ distantiam esse 166260” - (fr:11173-11174) [Sia dunque questo certo, che nell’anomalia media di 110° 52’ la distanza sia 166260]. Su questa base, e prefigurando un’ipotesi ancora da confermare, deduce che la distanza all’afelio non può crescere oltre 164 particelle se il raggio è 000, e ancor meno nell’ipotesi di un cerchio perfetto (fr:11175).

Viene quindi condotto un esame comparato delle distanze in afelio e perielio. Combinando i dati del capitolo XLII con le correzioni di latitudine per una posizione specifica di Marte, si ottiene una distanza afelica di 166510 e una perielica di 138173 (fr:11196). Keplero nota subito una discrepanza con le osservazioni, specialmente al perigeo, che non supportano una differenza così ampia. Sospetta che l’ipotesi vicaria, essendo falsa, abbia introdotto un errore nell’eccentricità. Adattando i nuovi dati all’eccentricità del capitolo XLII, emerge una conferma: “Docuit vero etiam multiplex experientia verissimam eccentricitatem, et quae Physicis aequationibus sit convenientissima, esse inter 30 et 9300” - (fr:11200) [La molteplice esperienza ha poi insegnato che l’eccentricità verissima, e che è convenientissima alle equazioni fisiche, è tra 30 e 9300]. Questo porta a concludere con un valore di compromesso, basato sulla fiducia nelle diverse serie di osservazioni: “concludamus apheliam verissimam esse 166465, periheliam 138234, ubi radius 152350” - (fr:11201) [concludiamo che l’afelio verissimo sia 166465, il perielio 138234, dove il raggio è 152350].

La parte centrale del brano è dedicata alla dimostrazione dell’errore dell’ipotesi ovale. Viene introdotto il capitolo LV per esporre la prova decisiva. Calcolando le distanze per tutte le anomalie medie con il modello ovale del capitolo XLV, emerge una tendenza sistematica all’errore: “apparebitque, quo magis ab apsidibus descenderimus, deficere computatas distantias ab observatis distantiis” - (fr:11209) [apparirà che, quanto più ci allontaniamo dalle absidi, le distanze calcolate sono in difetto rispetto a quelle osservate]. Questo è l’esatto opposto di quanto riscontrato in precedenza con il cerchio perfetto, dove le distanze calcolate erano troppo lunghe. Keplero enuncia la conclusione con chiarezza: “Ergo patet, viam Planetae neque circulum esse, neque tantum a circulo ingredi ad latera, quantum ovalis illa […] ingreditur, sed media incedere via” - (fr:11212) [Dunque è chiaro che la via del Pianeta non è un cerchio, né si discosta dal cerchio verso i lati tanto quanto quell’ovale […] ma percorre una via di mezzo].

L’errore dell’ovale è quantificabile ed evidente in specifiche osservazioni. L’effetto è un notevole scarto nelle posizioni apparenti di Marte, particolarmente visibile negli anni 1589, 1591, 1582 e 1595 a seconda del semicerchio ascendente o discendente. “Nam ibi loci peccat Ovalis ista capitis XLV, 660 particulis in defectu, ut circulus perfectus totidem peccat in excessu” - (fr:11217) [Lì infatti quell’Ovale del capitolo XLV sbaglia di 660 particelle in difetto, così come il cerchio perfetto sbaglia di altrettanto in eccesso]. Questa simmetria nell’errore è la chiave logica: “binC argumentamur recte, veritatem esse in utriusque medio” - (fr:11220) [da qui argomentiamo correttamente che la verità sta nel mezzo di entrambi]. La pressione per la scoperta fu tale che persino David Fabricius, a cui Keplero aveva comunicato l’ipotesi, fu sul punto di smascherarne l’errore prima di lui stesso (fr:11218-11219).

L’approdo finale è la conseguenza di questa falsificazione. Nel capitolo LVI, Keplero ricorda come la larghezza della “lunula” (la correzione a mezzaluna rispetto al cerchio perfetto) derivata dall’ipotesi ovale fosse di 858 parti. Le causae physicae e le dimostrazioni precedenti lo avevano già portato a ritenere che la lunula corretta dovesse essere solo la metà, circa 432 (o 660 nella dimensione del raggio di Marte di 152350). Mentre meditava su come realizzare questa riduzione, un’intuizione improvvisa scaturì da un dettaglio numerico: “forte fortuito incido in secantem anguli 5°. 18’, quae est mensura aequationis Opticae maximae. Quem cum viderem esse 100429, hic quasi e somno expergefactus, et novam lucem intuitus, sic coepi ratiocinari” - (fr:11231-11234) [Per caso fortuito mi imbatto nella secante dell’angolo di 5° 18’, che è la misura dell’equazione ottica massima. Vedendo che questa è 100429, come destato dal sonno e scorgendo una nuova luce, cominciai a ragionare così]. L’osservazione che l’equazione ottica massima si verifica alle longitudini medie completa il quadro (fr:11235), fornendo il principio fisico che giustifica la forma corretta dell’orbita, intermedia tra il cerchio e l’ovale precedentemente ipotizzato.

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68 La spiegazione magnetica della librazione planetaria nel De Motibus Stellae Martis

Il cuore del Capitolo LVII dell’opera kepleriana risiede nel tentativo di superare una descrizione puramente cinematica del moto di Marte per fondare una spiegazione fisica e causale del fenomeno della librazione, individuandone i principi naturali.

Il testo prende le mosse dalla solida base empirica costruita nei capitoli precedenti, dichiarando che le distanze diametrali dell’eccentrico sono state confermate da osservazioni numerosissime e certissime: “Vides igitur per omnem eccentrici ambitum, observationibus creberrimis et certissimis confirmari distantias diametrales, cap.” - (fr:11275) [Vedi dunque come per tutto l’ambito dell’eccentrico le distanze diametrali siano confermate da osservazioni fittissime e certissime.] e “a priori inventas.” - (fr:11277) [trovate a priori.]. La conclusione osservativa è netta e segna un distacco dal modello circolare perfetto: “Apparet igitur ex certissimis observationibus, quod via Planetae in aura aetheria non sit circulus, sed figurae ovalis, et quod libretur in diametro parvi circelli” - (fr:11280) [Appare dunque da certissime osservazioni che la via del Pianeta nell’aura eterea non sia un cerchio, ma una figura ovale, e che esso libri nel diametro di un piccolo cerchio.]. Si descrive la rimozione di una “lunulam” dalla perfezione del semicerchio, la cui latitudine è data dalla differenza tra distanze diverse, come la distanza diametrale e circonferenziale.

Vengono poste domande fondamentali sulla natura di queste distanze e sul principio della librazione, la cui risposta viene cercata non in ragioni a priori ma nell’osservazione: “Quid distantia circumferentialis, quid diametralis: *** Librationis hujus principium probatur esse naturale.” - (fr:11282) [Cosa sia la distanza circonferenziale, cosa quella diametrale: *** Si prova che il principio di questa librazione è naturale.]. Si chiarisce che la causa non risiede in una mente planetaria che percorre archi uguali in modo razionale, ma in un modo naturale che segue la forza crescente di un angolo, la quale “fere sequitur sinum Geometris dictum” - (fr:11288) [segue quasi il seno detto dai Geometri]. Questa gradualità è ritenuta più probabile di un brusco cambiamento di direzione, il quale, si afferma, “experimentis observationum repugnare clarissime.” - (fr:11289) [contrasta chiarissimamente con gli esperimenti delle osservazioni.]. La conseguenza è che la misura della librazione, legata al seno verso dell’anomalia eccentrica, indica una causa naturale o forse una facoltà corporea: “causa quoque naturalis erit; nempe non mens Planetae, sed naturalis, aut forte, corporalis aliqua facultas.” - (fr:11290) [la causa sarà anch’essa naturale; non la mente del Pianeta, certo, ma una facoltà naturale o, forse, corporea.].

Per chiarire il concetto, Keplero introduce dapprima un’analogia idraulica, quella del rematore in un fiume circolare, e la sua confutazione. Nel modello proposto, un remo mosso con forza costante ma con inclinazione variabile genera un avvicinamento e allontanamento dal centro. Tuttavia, questo esempio è giudicato inadeguato: “Exemplum hoc solam rei possibilitatem docet. Seipso enim est alienius” - (fr:11301) [Questo esempio insegna soltanto la possibilità della cosa. È infatti inadeguato di per sé.]. Le ragioni sono molteplici: il diverso periodo del remo e del flusso, la mancata mutazione della faccia di Marte (a differenza della Luna), e soprattutto la natura materiale della forza del fiume, che mal si adatta a una virtù solare immateriale: “Adde quod cum vis fluminis sit materialis (aqua enim ibi agit pondere et impetu materiato.) vis Solis immateriata.” - (fr:11303-11304) [Aggiungi che mentre la forza del fiume è materiale (l’acqua lì agisce per peso e impeto materiale) la forza del Sole è immateriale.].

Si rende quindi necessario un esempio più consono, che viene trovato nella filosofia magnetica di William Gilbert. L’idea centrale è che i pianeti stessi siano dei grandi magneti rotondi: “Quid si ergo corpora Planetarum omnia sunt ingentes quidam rotundi magnetes?” - (fr:11317) [E se dunque i corpi di tutti i Pianeti fossero degli enormi magneti rotondi?]. A questo punto viene descritta la disposizione magnetica del pianeta, dotato di due poli, uno diretto verso il Sole (perseguens) e uno che lo fugge (fugiens). L’asse di questa virtù magnetica è pensato come una linguetta (lingula) che punta al Sole, ma che viene mantenuta in un orientamento parallelo a se stesso durante la traslazione del globo. La librazione nasce da questa interazione: mentre il pianeta orbita, l’inclinazione dell’asse magnetico rispetto al Sole varia, causando un accesso o recesso naturali. “In eo manifestissime permixtae sunt duae virtutes, altera directionis ad polum, altera ferri appetens.” - (fr:11343) [In esso sono mescolate in modo evidentissimo due virtù, l’una di direzione verso il polo, l’altra che tende al ferro.]. Nel modello planetario, la forza che mantiene l’asse parallelo e la sua tendenza a puntare il Sole sono in tensione, generando la librazione.

Viene poi fornita una dimostrazione geometrica per provare che i magneti possiedono proprio il tipo di moto osservato nel pianeta. Si considera il globo magnetico o il pianeta stesso, con l’asse DA. Quando l’asse è perpendicolare alla linea che unisce il pianeta al Sole (punti B e I), ci si trova in una condizione di equilibrio, come un “aequipondium in mechanicis” - (fr:11376) [equipondio in meccanica], e il pianeta è all’afelio o perielio. Per calcolare la forza di accesso in una posizione qualunque, si utilizza l’analogia con una stadera: “Libra enim ex trutina KB suspensa… erit pondus brachii BD ad pondus brachii BA, ut DP ad PA” - (fr:11384) [La bilancia infatti, sospesa al fulcro KB… il peso del braccio BD starà al peso del braccio BA come DP a PA.]. La conclusione geometrica è che “sinus anomaliae coaequatae est mensura fortitudinis accessus Planetae ad Solem illo loco.” - (fr:11392) [il seno dell’anomalia coequata è la misura della forza di accesso del Pianeta al Sole in quel luogo.]. Tuttavia, la misura dello spazio effettivamente percorso nella librazione è data dal seno verso dell’arco dell’eccentrico, non dalla semplice somma dei seni. Keplero esamina e giustifica una leggera discrepanza iniziale tra le due misure, che diventa presto insensibile, concludendo che la proporzione tra la somma dei seni retti e il seno verso è praticamente costante: “Proportionem esse fere et ad sensum, constantem.” - (fr:11402) [La proporzione è pressoché costante, anche al senso.]. Si conciliano così l’esperienza osservativa, che lega la librazione al seno verso eccentrico, e la dimostrazione meccanica, che la lega alla forza espressa dal seno dell’anomalia coequata.

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69 La librazione magnetica dei pianeti e la legge del seno verso nel moto di Marte

Keplero, nella quarta parte del cap. LVII del De motibus stellae Martis, giustifica l’ipotesi di una forza magnetica solare che, agendo sui pianeti come magneti, produce una librazione misurata dal seno verso dell’anomalia eccentrica, e mostra come l’incremento del diametro solare apparente segua il seno verso dell’anomalia coequata.

L’indagine muove dal raffronto fra le somme dei seni retti e i corrispondenti seni versi dell’anomalia. Keplero osserva che “100000 Sic summa sinuum 30, qtlae est 792598, ostendit per regulam proportionum, partem librationis 13691 de 100000” – (fr:11423) [La somma dei seni retti dell’arco di 30°, che vale 792598, indica per regola di proporzione la parte di librazione 13691 su 100000]. Per l’arco di 60° il confronto si ripete: “Et summa sinuum 60, quae est 29°8017, ostendit patiI o plus 5°000, cum sinus versus gr. 60° sit 5°000” – (fr:11426‑11427) [E la somma dei seni di 60°, che è 298017, mostra un poco più di 50000, mentre il seno verso di 60° è 50000]. Dunque la somma dei seni retti eccede leggermente il seno verso; tale scarto, unito alle osservazioni che confermano la legge del seno verso, spinge Keplero ad affermare che “valde igitur consentaneum est, Planetarum corpora esse magnetica, sic ad Solem disposita, ut diximus” – (fr:11429) [è quindi assai verosimile che i corpi dei pianeti siano magnetici e così disposti verso il Sole, come abbiamo detto].

Keplero precisa tuttavia che l’impiego degli archi lC e lG come interscambiabili non è del tutto corretto. “Quando dico, lC arcum in corpore Planetae esse mensuram anomaliae coaequatae, tunc loquor proprie … Quando vero dico, lG esse mensuram anomaliae eccentri … loquor improprie, abusus circulo corporis Planetae ad repraesentandum eccentrum” – (fr:11431‑11432) [Quando dico che l’arco lC nel corpo del pianeta è misura dell’anomalia coequata, parlo in senso proprio; quando invece dico che lG è misura dell’anomalia eccentrica corrispondente a lC, parlo impropriamente, usando il cerchio del corpo planetario per rappresentare l’eccentro]. Nel semicerchio discendente, a un arco eccentrico maggiore corrisponde un arco coequato minore, sicché in lG si raccolgono più seni che in lC, e a buona ragione, perché la forza magnetica agisce in ragione del tempo e della vicinanza al Sole. L’errore consiste solo nell’assumere quei seni più lunghi del giusto, come “GH est longior quam CN” – (fr:11436) [GH è più lungo di CN]; tuttavia “hic excessus primum est per se exiguus et insensibilis” – (fr:11437) [questo eccesso è di per sé piccolo e impercettibile], poiché all’inizio del quadrante gli archi differiscono poco e i seni sono minimi, e alla fine, quando l’equazione CG è massima, i seni differiscono poco. Inoltre l’errore è favorevole, perché le somme dei seni superano i seni versi, come mostrato dalle esperienze, e Keplero cerca proprio di “accommodare et conciliare rationes libriles et magneticas” – (fr:11440) [adattare e conciliare le ragioni libratorie con quelle magnetiche]. Egli osserva che “si pro summis rectorum utimur simplicibus sinubus versis; cum summae sinuum non ad unguem paria faciant cum sinubus versis, sed eos excedant effectu librationis” – (fr:11441) [se al posto delle somme dei seni retti usiamo i semplici seni versi – poiché le somme dei seni non coincidono esattamente con i seni versi, ma li superano nell’effetto della librazione – l’errore viene eliminato]. Così “rem igitur intra sensus propinquitatem adduximus optimis rationibus” – (fr:11442) [abbiamo dunque portato la questione entro i limiti della sensibile approssimazione con ottime ragioni].

La conclusione fisica è che “corpus Planetae, instar magnetis, accedere et fugere, lege staterae in imaginaria diametro epicycli in Solem tendente, et diametrum corporis virtuosam et realem DA, in longitudines medias porrigi” – (fr:11443) [il corpo del pianeta, a guisa di magnete, si avvicina e si allontana secondo la legge della stadera, lungo un immaginario diametro dell’epiciclo che tende al Sole, e il diametro reale e virtuoso DA si estende verso le longitudini medie]; per Marte l’afelio cade a “2.9° ,” – (fr:11444) [2.9° del Sagittario]. Questo accesso libratorio avviene senza intervento della mente, mosso da una forza magnetica insita ma la cui definizione dipende dal corpo solare esterno: “Definitur enim, vis, Solis appetens, vel ab eo fugiens” – (fr:11446) [Si definisce infatti come forza che tende al Sole o che da esso fugge]. Keplero ricorda di aver negato, nel cap. XXXIX, una forza attrattiva dei pianeti interpretata come puramente attrattiva, mentre qui “ponitur simul attractrix, simul alio situ repultrix” – (fr:11449) [si pone sia attrattiva sia, in altra posizione, repulsiva], oppure, in alternativa, il Sole si comporta come ferro non ancora magnetizzato, soltanto cercato, con filamenti circolari contrapposti ai filamenti retti dei pianeti. Con questo esempio magnetico egli ritiene sufficiente aver mostrato la possibilità della cosa in generale, pur restando in dubbio sul caso specifico: “Caeterum de re ipsa in specie ambigo” – (fr:11452) [Della cosa stessa nella sua specificità resto in dubbio].

La difficoltà emerge con la Terra: il suo asse, che con direzione equabile e parallela produce le stagioni nei punti cardinali, è “ineptum esse ad hanc librationem et ad aphelium; cum Solis apogaeum, vel Terrae aphelium, hodie pene coincidat cum punctis Solstitialibus, non vero cum aequinoctialibus” – (fr:11453) [inetto a questa librazione e all’afelio; poiché l’apogeo del Sole, o l’afelio della Terra, oggi coincide quasi con i punti solstiziali, non con quelli equinoziali]. E nessun altro tratto del globo sembra idoneo, perché l’intero corpo ruota di continuo attorno a quell’asse. Il difetto di proporzione fra seno verso e somma dei seni risulta compensato da un errore contrario “dum sinus rectos nimis longos colligimus anomaliae eccentri, pro coaequata” – (fr:11456) [nel prendere i seni retti dell’anomalia eccentrica troppo lunghi in luogo di quelli dell’anomalia coequata], mentre la forza magnetica insita nei pianeti viene eccitata e portata all’atto dalla consimile forza del corpo solare.

Se nessuna facoltà materiale e magnetica può assolvere i compiti affidati ai pianeti, a causa della mancanza di un diametro corporeo idoneo che resti parallelo a se stesso nella rotazione (carenza già constatata nella Terra), allora “accersatur ergo mens, quae ut capite XXXIX dictum, ex contemplatione diametri Solis crescentis, in cognitionem veniat distantiarum, quas conficit; et praesideat facultati seu animali seu naturali, sic accommodandi sui globi in situ parallelo, ut debito modo a Solari virtute impellatur, et respectu Solis libretur” – (fr:11460) [si chiami in causa una mente che, come detto al cap. XXXIX, dalla contemplazione del diametro solare crescente pervenga alla conoscenza delle distanze che percorre, e presieda a una facoltà, animale o naturale, di disporre il proprio globo in situazione parallela, così da essere spinta dalla virtù solare nel modo dovuto e da librare rispetto al Sole]. Una mente nuda, priva di facoltà inferiore, non potrebbe agire sul corpo; e tale mente usa un consiglio per non uguagliare del tutto i tempi della librazione alla restituzione periodica, permettendo così il moto delle apsidi.

Poiché dalle osservazioni sono ora note le leggi e la quantità della librazione che fa variare il diametro apparente del Sole, Keplero si chiede se tali leggi possano rendersi note al pianeta. Le leggi sono: “ut anomaliae eccentri sinus versus metiretur partem librationis confectam” – (fr:11466) [che il seno verso dell’anomalia eccentrica misurasse la parte di librazione compiuta]. Egli argomenta che, dati i segni in cui il pianeta si trova dopo archi uguali dell’eccentro – “in signis 20 y. x.. [.L.~.” – (fr:11467) [nei segni dell’Ariete, del Leone e del Sagittario] – l’incremento del diametro solare fornisce la misura legittima del sinus versus dell’anomalia coequata. Poiché la mente planetaria percepisce gli spazi percorsi nella librazione solo attraverso l’aumento del diametro del Sole, dovrà conoscere il seno verso dell’anomalia coequata per regolare l’avvicinamento.

La dimostrazione geometrica, che Keplero sviluppa per il caso dell’anomalia coequata di 90°, mostra come l’incremento del diametro solare visibile dalla Terra (o dal pianeta) segua esattamente il seno verso dell’anomalia coequata. Nel punto C l’anomalia coequata è nulla e l’incremento è nullo; in F, a 180°, l’incremento è totale, pari al diametro intero Per l’anomalia coequata di 90°, eretta la perpendicolare AM e condotte le tangenti opportune, si dimostra che “yo ad o~, sicut MB, BA, junctae, hoc est CA ad AF” – (fr:11499) [yo sta a o~ come CA sta ad AF], cosicché “diametri Solis in A a. quantitatem visibilem ex o, fore medio loco inter quantitatem visi ex y et ex ~” – (fr:11505‑11506) [la quantità visibile del diametro del Sole dal punto O è intermedia fra quella vista da γ e da ω], e metà dell’incremento si è accumulato. La costruzione conferma che l’incremento del diametro solare apparente è governato dal seno verso dell’anomalia coequata, offrendo così al pianeta un indizio accessibile e non l’anomalia eccentrica, della quale “Planetam non posse habere cognitionem” – (fr:11512) [il pianeta non può avere conoscenza].

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70 La Mente Planetaria e la Misura della Librazione

Un’indagine geometrica e fisica sul meccanismo con cui un pianeta percepisce e regola la variazione del diametro solare apparente durante il suo moto, confutando la perfetta circolarità dell’orbita e postulando una facoltà animale che guida il corpo celeste.

La dimostrazione procede da una costruzione geometrica volta a evidenziare un fatto paradossale. Si eriga un segmento perpendicolare e, con centro in un punto A, si tracci un arco che interseca tale perpendicolare in L, connettendo poi A con L. Posto che l’anomalia dell’eccentrico sia di 90 gradi, si assume che il seno verso corrispondente, CB, misuri 100000, ovvero la metà del diametro intero. Di conseguenza, anche la librazione è la metà del suo valore massimo e la distanza risulta essere pari a rx. Poiché per costruzione AL è uguale a questa distanza, “il Pianeta sarà in L” (“quare Planeta erit in L” - fr:11523). La congruenza dei triangoli BMA e ALB dimostra che BL è uguale ad AM, e poiché AM è a sua volta uguale a rxv, anche BL lo è. Tuttavia, rxv, essendo la corda tesa di un angolo retto, è più lunga della corda rxo, che sottende un angolo acuto; di conseguenza, BL è più lunga di rxo, e AL è più lunga di BL. La conclusione è immediata e sorprendente: “Il Sole appare dunque minore nella distanza AL che nella distanza rxo” (“Minor ergo videtur Sol 20 in distantia AL quam in distanlia rxo” - fr:11530). Poiché la distanza rxo era già stata giudicata come intermedia tra la massima e la minima, in AL il Sole appare più piccolo della media, sebbene sia stato percorso metà del semicerchio dell’eccentrico. L’incremento del diametro solare è inferiore alla metà dell’aumento totale, proprio perché “anche l’anomalia coequata LAC è minore della metà di 90°” (“Sane quia et anomalia coaequata LAC minor est dimidia 90°” - fr:11534).

Questo è il nodo che aveva tormentato l’autore nei capitoli precedenti. La ragione della discrepanza viene svelata con un’affermazione capitale: “Il percorso del Pianeta infatti non è un cerchio” (“Planetae enim iter non est circulus” - fr:11543). Se l’orbita fosse un cerchio perfetto, l’aumento del diametro solare misurerebbe gli incrementi dei seni versi dell’anomalia dell’eccentrico, ma questa osservazione è più estranea alla mente del pianeta di quanto non lo sia l’osservazione dell’anomalia coequata.

Viene quindi confutata l’ipotesi che la mente del pianeta utilizzi il seno verso dell’anomalia dell’eccentrico come misura. Se così fosse, la mente sarebbe privata di questo metodo di regolazione della variabilità del diametro solare, non adattandosi a quei seni versi. Per comprendere l’anomalia dell’eccentrico, che è un angolo, la mente dovrebbe percepire tre punti: K, D e B. Mentre D è il centro del globo planetario e K è identificabile in una stella fissa che ospita l’afelio, il punto B è problematico. “Riguardo al solo B si nega che la sua percezione competa alla mente del Pianeta, perché B non è rivestito da alcun corpo” (“De solo B negatur, ejus sensum competere in mentem Planetae, quia B nullo corpore vestitur” - fr:11555). Rimosso lo scopo di guardare a B, poiché le orbite non sono circolari come provato dalle osservazioni, viene meno anche l’effetto. Di conseguenza, “nego che il seno verso dell’anomalia dell’eccentrico fornisca al Pianeta la misura della sua librazione, non perché questa misura non esista, ma perché, anche se esiste, non è tuttavia osservata dalla mente del Pianeta” (“His itaque de caussis nego sinum versum anomaliae eccentri mensuram subministrare Planetae, librationis suae, non quod haec mensura non sit, sed quia etsi sit, a Planetae tamen mente non respicitur” - fr:11562).

La soluzione proposta è radicale: si deve assumere come regola e misura, percepibile dalla mente planetaria, l’anomalia coequata dell’eccentrico, indicata nello schema come DAC o KDA. Entrambi i riferimenti sono costituiti da corpi reali: “in A c’è il Sole stesso, in D il Pianeta, in K la Stella fissa, indice dell’afelio” (“Nam in A ipse O est, in D PIaneta, in K Fixa, index aphe1ii” - fr:11565). Si avanza quindi l’ipotesi che al pianeta sia attribuito un senso per la luce delle stelle fisse e del Sole, capace di stimare l’angolo dell’anomalia coequata tramite l’incontro delle radiazioni presso il centro del corpo planetario.

Resta una difficoltà: perché non sia l’angolo stesso, ma il suo seno verso a costituire la misura per l’operazione planetaria di aumentare il diametro solare. Qui si introduce una distinzione funzionale. “Allo stesso modo in cui poco prima il seno retto dell’anomalia dell’eccentrico […] fu indice della forza della librazione, mentre il seno verso dell’anomalia dell’eccentrico fu indice della librazione compiuta: così qui il seno dell’anomalia coequata stessa è indice della velocità con cui cresce il diametro del Sole; il seno verso dell’anomalia coequata, invece, è indice dell’aumento già ottenuto attraverso tutte le velocità precedenti” (“Quemadmodum paulo ante sinus rectus anomaliae eccentri […] fuit index fortitudinis libra· tionis, sinus vero versus anomaliae eccentri fuit index confectae librationis: Ita hic sinus ipsius anomaliae coaequatae est index cel::ritatis,qua crescit Solis diameter; sinus vero versus anomaliae coaequatae, est index augmenti jam comparati per omnes celeritates antecedentes” - fr:11575-11576). La mente del pianeta è quindi intenta non a stimare la grandezza dell’angolo, ma il suo seno.

Per giustificare come il pianeta possa percepire il seno, si ricorre a un principio di meccanica aristotelica: la forza degli angoli. Due bracci uniti ad angolo ottuso si distendono più facilmente che ad angolo retto, in proporzione ai seni. Se il pianeta ha la sensazione della forza naturale degli angoli, allora, in termini umani, può conoscere i loro seni. Questa facoltà viene radicata in un modello fisico: esistono nel corpo planetario tratti dotati di una forza magnetica di direzione verso il Sole, ma al corpo che regge il pianeta è attribuita una facoltà animale la quale, mentre il pianeta è rapito dal Sole, dirige quell’asse magnetico perpetuamente verso le stesse stelle fisse. “Ne scaturirà dunque una lotta della facoltà animale con la facoltà magnetica, e la vittoria di quella animale” (“Orietur itaque pugna facultatis animalis cum facultate magnetica, et victoria animalis” - fr:11588). L’esempio del vessillifero, il cui braccio è tirato verso terra dal peso naturale ma è sostenuto in alto dalla facoltà animale, rende plastico il concetto di una tensione percepibile tra forze.

In questo schema, la mente del pianeta, stimolata dalla facoltà animale tesa a trattenere l’asse magnetico contro l’attrazione solare, può percepire la forza degli angoli. Il processo diventa un ciclo continuo e autoalimentato. Il pianeta in afelio non tende al Sole, ma è trasportato secondo la distanza; a questa promozione segue l’angolo KDA, in proporzione alla cui forza il pianeta accresce il diametro solare avvicinandosi. La distanza diminuita causa una promozione più celere, che muta l’angolo più rapidamente, portando a un aumento ancora più veloce del diametro. “Così si produce una circolazione perenne, non per intervalli, quali noi stabiliamo nei nostri pensieri e nel calcolo […] ma del tutto continua” (“Ita efficitur perennis circulatio, non per intervalla, qualia nos in nostris cogitationibus et calculo statuimus, insensibilia errata non considerantes, sed pIane continua” - fr:11602).

L’argomentazione si chiude con una riflessione condizionale su quanto esposto: tutto ciò vale qualora la librazione non possa essere compiuta da una virtù magnetica insita nei corpi e sia necessario rifugiarsi nella Mente. Tuttavia, il confronto tra il moto naturale e quello mentale è asimmetrico. Il primo sussiste di per sé, mentre il secondo, per quanto lo si voglia dotare di una facoltà animale, “sembra rendere testimonianza a quella magnetica e accattivarsene i sussidi. In primo luogo, la mente stessa non può nulla sul corpo” (“testimonium illi magneticae perhibere, ejusque subsidia accersere videtur. Primum enim mens ipsa nihil potest in corpus” - fr:11604).

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71 La scelta tra mente e magnetismo e la correzione di un errore geometrico nella librazione planetaria

Keplero indaga la causa della librazione planetaria, escludendo una facoltà animale in favore di una magnetica, prima di esporre un proprio errore di calcolo e la sua successiva emendazione.

L’esposizione affronta il problema della causa che presiede alla librazione dei pianeti, ovvero l’oscillazione che modifica la distanza dal Sole. Si esamina dapprima la natura di questa facoltà regolatrice. L’autore esclude che possa trattarsi di una facoltà animale: “Animalis esse non potest.” – (fr:11607) [Non può essere animale.]. La motivazione risiede nell’incapacità di un principio animale di trasportare un corpo senza il supporto di un altro corpo esterno: “nequit enim facultas animalis transportare corpus suum de loco in locum (ut requiritur in hac libratione) sine potestate alterius corporis adminiculantis.” – (fr:11608) [La facoltà animale non può infatti trasportare il suo corpo da luogo a luogo (come è richiesto in questa librazione) senza l’ausilio di un altro corpo che faccia da supporto.]. Si afferma quindi la natura magnetica del fenomeno, un consenso naturale tra il corpo del pianeta e il Sole: “Erit igitur magnetica facultas hoc est Naturalis consensus inter corpora Planetae et Solis.” – (fr:11609) [Sarà dunque una facoltà magnetica, cioè un consenso naturale tra i corpi del Pianeta e del Sole.]. La mente, in questa visione, si limita a chiamare in soccorso la natura e i magneti: “Itaque mens naturam et magnetes in subsidium vocat.” – (fr:11610) [Pertanto la mente chiama in aiuto la natura e i magneti.].

Viene poi descritta un’incongruenza nel funzionamento di una ipotetica mente direttrice: il suo operato non corrisponde alla regolarità attesa, poiché le parti dell’operazione non rispondono a frazioni di tempo uguali. “Plus morae consumitur in yo, quam ejus supra o~ excessus requirebat.” – (fr:11612) [Si consuma più tempo in yo di quanto il suo eccesso sopra o~ richiedesse.]. Di fronte a tale incostanza, che mal si accorda con la costanza delle opere mentali (“At mentis opera solent esse constantia.” – fr:11613), l’autore è costretto a postulare un conflitto interno tra facoltà animale e magnetica per spiegare le irregolarità.

Il ragionamento si sposta su due possibili cause per il moto degli afeli: la già introdotta facoltà magnetica o l’antiphraxis, un fenomeno di intercettazione delle virtù magnetiche tra pianeti, simile all’ombra proiettata da una calamita su una lamina ferrea. Sebbene l’autore avesse già distinto l’essenza del corpo solare da quella dei pianeti per negare un’intercettazione della virtù solare, non aveva operato la stessa distinzione tra i corpi planetari stessi, lasciando aperta la possibilità. Tuttavia, viene dimostrato che un pianeta interposto tra un altro e il Sole non sposta l’afelio, ma ne modifica solo l’ampiezza del circuito e il tempo periodico: “non transferetur aphelium ex hac quidem ἀντιφράξει.” – (fr:11637) [l’afelio non sarà trasferito a causa di questa antiphraxis.]. Pertanto, la causa del moto degli afeli precedentemente addotta dall’autore rimane l’unica valida: “Igitur causa motus apheliorum a nobis prius allata, adhuc sola regnat, sine socia vel aemula.” – (fr:11638) [Dunque la causa del moto degli afeli da noi prima addotta regna ancora da sola, senza compagna o rivale.].

La discussione culmina nella descrizione di un errore personale di calcolo. L’autore confessa come, dopo aver formulato un’ipotesi verissima sulla librazione (“Quod toto hoc opere spectavi, ut Physicam invenirem hypothesin…” – fr:11663), l’errata applicazione del metodo geometrico lo abbia fatto dubitare dell’intero sistema. Nella costruzione geometrica che coinvolge il circolo GD, l’eccentricità AB e l’epiciclo LDF, l’autore commise uno sbaglio nell’individuare il punto per la distanza corretta. Il punto I, situato sulla linea DB, fu scambiato per il punto corretto F, situato sulla linea DC. “Erravi igitur, usurpata linea AI pro AF.” – (fr:11677) [Sbagliai dunque, avendo usato la linea AI al posto di AF.].

Questo errore produsse una discrepanza misurabile, con un eccesso del 5½% nella parte superiore del semicerchio e un difetto di 4’ in quella inferiore, rispetto al sistema vicario ritenuto certo (“collegi per 5½’ plus, in inferiori per 4’ minus, quam dabat vicaria” – fr:11679). La falsa metodologia portò l’autore a sospettare ingiustamente delle corrette distanze reali e a riconsiderare l’ipotesi ellittica, salvo poi rendersi conto che le due ipotesi coincidevano e che l’errore era unicamente procedurale: “nisi quod, quae peccaveram prius in methodo, hac ratione fuerunt emendata, et F pro I, ita ut debuit, usurpatum.” – (fr:11684) [se non che gli errori che avevo commesso prima nel metodo furono con questa ragione corretti, e F fu usato al posto di I, come si doveva.]. La verità, inizialmente ripudiata, fu simbolicamente descritta come rientrata di nascosto sotto mentite spoglie: “Ipsa veritas et rerum Natura repudiata, et exulare jussa, per posticum se furtim rursum recepit intro, et sub habitu alieno a me recepta fuit.” – (fr:11682) [La stessa verità e la natura delle cose, ripudiata e mandata in esilio, si rintrodusse di nascosto dalla porta sul retro, e fu da me accolta sotto abito altrui.].

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72 Dalla via “buccosa” all’ellisse perfetta: Keplero e la dimostrazione della forma dell’orbita di Marte

Nel groviglio di pensieri che anima il trattato, Keplero ci conduce lungo le tappe di una tormentata scoperta astronomica: il superamento del percorso “buccoso” e la dimostrazione che l’orbita di Marte, generata dalla librazione nel diametro di un epiciclo, è un’ellisse perfetta, la cui legge di percorrenza è misurabile mediante l’area del cerchio. Il testo alterna l’ammissione di un errore a un’illuminazione geometrica, rivelandosi una testimonianza di portata storica capitale per il passaggio dal cosmo circolare alle orbite ellittiche.

L’analisi muove dalla constatazione che un modello fondato su una librazione produce un tracciato non ellittico. Keplero osserva che, pur essendo uguali gli archi GD e QP (“Nam aequales sunt arcus GD et QP.” – fr:11700), le larghezze della lunula asportata risultano disuguali: “Atqui DI et PN, latitudines lunulae, versus centrum extensae, sunt inaequales.” – fr:11702 [Ma DI e PN, le larghezze della lunula, estese verso il centro, sono disuguali.], con DI minore e PN maggiore. L’ellisse, al contrario, mantiene una lunula di larghezza costante in punti simmetrici rispetto alle apsidi. Di qui la conclusione: “Patet igitur, viam buccosam esse; non igitur ellipsin.” – fr:11706 [È dunque chiaro che la via è buccosa; non è quindi un’ellisse.]. Il giudizio è netto: poiché l’ellisse offre equazioni giuste, la via buccosa ne fornisce di ingiuste (“hanc igitur buccosam, jure injustas praebere.” – fr:11707). Keplero non ritenne neppure necessario ricalcolare le equazioni dell’ellisse, fidandosi del loro funzionamento (“Nec erat opus, aequationes ex ellipsi de novo computare.” – fr:11708). L’unica sua preoccupazione riguardava le distanze, ma anche lì si sentiva al riparo grazie a un margine di tolleranza di 200 particelle (“paratum erat mihi latibulum, incertitudo 200 particuiarum in distantiis.” – fr:11711 [avevo pronto un rifugio, l’incertezza di 200 particelle nelle distanze.]).

Il vero scoglio, però, era di natura concettuale e lo portò quasi alla disperazione: “Multo vero maximus erat scrupuIus, quod pene usque ad insaniam considerans et circumspiciens, invenire non poteram, cur Planeta, cui tanta cum probabilitate … libratio LE in diametro LK tribuebatur, potius ire vellet ellipticam viam, aequationibus indicibus.” – fr:11713 [Ma di gran lunga il più grande scrupolo era che, riflettendo … non riuscivo a trovare perché il pianeta, al quale … veniva attribuita la librazione LE nel diametro LK, preferisse piuttosto andare per una via ellittica, come mostravano le equazioni.]. L’improvvisa rivelazione gli appare quasi ridicola: “O me ridicuIum! perinde quasi libratio in diametro, non possit esse via ad ellipsin.” – fr:11714-11715 [Oh me ridicolo! Come se la librazione nel diametro non potesse essere la via all’ellisse.]. Egli comprende così che la librazione conduce esattamente all’ellisse, e che nessun’altra figura orbitale residua se non quella perfettamente ellittica, in accordo con i principi fisici, con l’esperienza osservativa e con l’ipotesi vicaria (“nullam Planetae relinqui figuram Orbitae, praeterquam perfecte ellipticam; conspirantibus rationibus, a principiis Physicis, derivatis, cum experientia observationum et hypotheseos vicariae…” – fr:11716).

La Parte Quarta, nel Capitolo LIX (“DEMONSTRATIO, QVOD ORBITA MARTIS, LIBRATI IN DIAMETRO EPICYCLI, FIAT PERFECTA ELLIPSIS: ET QVOD AREA CIRCVLI METIATVR SVMMAM DISTANTIARVM, ELLIPTICAE CIRCVMFERENTIAE PVNCTORVM” – fr:11717 [Dimostrazione che l’orbita di Marte, oscillante nel diametro dell’epiciclo, diventa un’ellisse perfetta: e che l’area del cerchio misura la somma delle distanze dei punti della circonferenza ellittica.]), espone la dimostrazione per mezzo di preposizioni geometriche. Un’ellisse è inscritta in un cerchio tangente nei vertici opposti, e qualunque perpendicolare condotta dal cerchio al diametro viene tagliata dalla circonferenza ellittica in una proporzione costante, pari a quella tra il semiasse minore e il semiasse maggiore (fr:11718-11728). L’area dell’ellisse sta all’area del cerchio nello stesso rapporto (fr:11729-11731), e ciò vale anche per le porzioni ritagliate da corde condotte da un punto del diametro (fr:11732-11740). Mentre il cerchio può essere diviso in archi uguali, l’ellisse viene divisa in archi disuguali, con variazioni massime in prossimità dei vertici e minime nelle zone intermedie (fr:11742-11744). La circonferenza ellittica risulta prossima alla media aritmetica fra le circonferenze dei cerchi aventi i due diametri (fr:11746-11751). I gnomoni di quadrati divisi proporzionalmente sono a loro volta proporzionali ai quadrati stessi (fr:11752-11757). Collocando un segmento pari al semiasse maggiore condotto dal vertice del semiasse minore fino all’asse maggiore, si ottiene un segmento HN il cui quadrato eguaglia il gnomone formato dalla differenza fra i quadrati dei due semiassi: HN rappresenta cioè l’eccentricità (fr:11758-11768).

Le ultime proposizioni entrano nel vivo della misura del moto. Se si confrontano le somme delle linee condotte dal centro e da un punto eccentrico ai punti di divisione di un cerchio, la somma dal centro è minore; le coppie prossime alle apsidi sono quasi uguali, mentre nelle posizioni intermedie le linee eccentriche divengono assai più lunghe, ma l’eccesso non cresce uniformemente né con il numero delle linee né con i seni. Perciò, l’area del cerchio non si presta a misurare la somma delle distanze eccentriche dalla circonferenza (fr:11769-11774). Tuttavia, se in luogo delle distanze eccentriche si prendono le distanze diametrali, ossia quelle definite dalle perpendicolari calate dal punto eccentrico sulle linee passanti per il centro, la loro somma equivale esattamente alla somma delle linee dal centro, e l’area del cerchio diviene una misura adeguata (fr:11775-11783). Nell’ellisse, le distanze dal punto eccentrico per archi ellittici uguali presentano un rapporto contrario a quello che intercorre fra gli archi di cerchio e gli archi di ellisse, con un eccesso minimo presso le apsidi e massimo alle longitudini medie (fr:11785-11788).

Il brano costituisce una delle testimonianze più nitide del travaglio intellettuale che condusse Keplero ad abbandonare i modelli epiciclici e a stabilire le prime due leggi del moto planetario. L’iter “buccoso” scartato, l’ammissione dello scrupolo “quasi fino alla pazzia”, l’intuizione che la librazione coincida con la via ellittica, e la successiva geometrizzazione con l’area del cerchio come misura del tempo racchiudono il nucleo dell’Astronomia Nova. La presenza di riferimenti a figure geometriche (il cerchio AEC, l’ellisse ABC, le perpendicolari KL, EH, i gnomoni KOQ, CRE) mostra l’apparato dimostrativo, anche se le immagini non sono qui riprodotte. L’incertezza di 200 particelle nelle distanze segnala l’esigenza di precisione osservativa che permeava il lavoro di Keplero, mentre il passaggio dalla “via buccosa” all’ellisse perfetta incarna il ribaltamento di un paradigma millenario.

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73 La dimostrazione della corrispondenza tra l’ellisse e il cerchio eccentrico e l’area come misura delle distanze

Nel capitolo LIX dell’Astronomia Nova, Keplero mostra come l’area del cerchio eccentrico fornisca la misura genuina della somma delle distanze dal Sole per l’orbita ellittica di Marte, e come la divisione dell’ellisse in archi disuguali – determinata dalle perpendicolari abbassate da archi uguali del cerchio – corregga esattamente gli errori che nascerebbero da una suddivisione uniforme.

La costruzione geometrica prende le mosse dal punto N, trovato nel teorema VII, e dalle sezioni ellittiche. Keplero enuncia la relazione fondamentale:
“Si in ellipsi, perpendicularibus, ab aequalibus circuli arcubus demissis, divisa, ut supra protheoremate IV, connectantur puncta divisionum circuli et ellipsis, cum puncto, quod inventum est protheoremate VII : Dico, eas quae ducuntur in circuli circumferentiam, esse circumferentiales; quae vero in ellipsis circumferentiam, esse diametrales: quae constituuntur ad aequalem graduum ab apside epicycli numerum.” – (fr:11790) [Se in un’ellisse, divisa mediante perpendicolari abbassate da archi uguali del cerchio, come sopra nel teorema IV, si congiungono i punti di divisione del cerchio e dell’ellisse con il punto trovato per il teorema VII: dico che quelle condotte alla circonferenza del cerchio sono circonferenziali; quelle invece alla circonferenza dell’ellisse sono diametrali; e corrispondono a un ugual numero di gradi dall’abside dell’epiciclo.]

Servendosi di uno gnomone KOQ, egli dimostra che la linea KN – la distanza circonferenziale – supera la diametrale MN di una quantità pari allo gnomone stesso:
“Ablata igitur potentia LN, et potentia LM, hoc est, quadrato LO, utrinque communibus, relinquitur gnomon KOQ, quo excedit potentia KN potentiam seu quadratum ipsius MN.” – (fr:11805) [Sottratta dunque la potenza LN, e la potenza LM, cioè il quadrato LO, comuni a entrambi, rimane lo gnomone KOQ, di cui la potenza KN eccede la potenza ossia il quadrato di MN.]
“Ergo et gnomon KOQ, aequalis illi, est excessus quadrati 3α, super quadratum xα. Sed KN est aequalis ipsi 3α. Ergo KN excedit ipsam xα, gnomone KOQ.” – (fr:11818) [Dunque anche lo gnomone KOQ, a esso uguale, è l’eccesso del quadrato di 3α sul quadrato di xα. Ma KN è uguale a 3α. Pertanto KN supera xα per lo gnomone KOQ.]
Ne segue l’uguaglianza delle diametrali: “Ergo MN et xα, diametrales sunt aequales.” – (fr:11820) [Quindi MN e xα, diametrali, sono uguali.]

Saldato questo passaggio, Keplero introduce il ruolo centrale dell’area:
“Porro indidem etiam hoc patet, quod Area circuli et totaliter et per partes singulas, sit mensura genuina summae linearum, quibus distant arcus elliptici itineris Planetarii, a centro Solis.” – (fr:11824) [Inoltre da ciò risulta anche chiaro che l’area del cerchio, sia nel totale sia nelle singole parti, è la genuina misura della somma delle linee con cui distano gli archi del percorso ellittico del pianeta dal centro del Sole.]
In particolare, la parte di area KNA, che sorge dal centro solare N, equivale alla somma delle distanze che competono all’arco ellittico AM:
“Ergo ut area circuli ad summam distantiarum ellipsis, sic pars areae circuli KNA, terminata ad Solis centrum N, unde consurgit eccentricitas, ad summam illarum ellipsis distantiarum, quae competunt arcui elliptico AM, totidem graduum, quot habet arcus circuli, AK aream complexus.” – (fr:11828) [Perciò come l’area del cerchio sta alla somma delle distanze dell’ellisse, così la parte dell’area del cerchio KNA, terminata al centro del Sole N da cui sorge l’eccentricità, sta alla somma di quelle distanze dell’ellisse che competono all’arco ellittico AM, di tanti gradi quanti ne ha l’arco del cerchio AK che quell’area racchiude.]

Sorge immediatamente un dubbio: se l’area AKN rappresenta tutte le distanze da N per i punti dell’arco ellittico AM, dove termina esattamente tale arco?
“Oritur vero hic dubitatio: Si area AKN aequivalet distantiis omnibus ab N, arcus elliptici AM, punctorum totidem, quot ponimus inesse AK: quinam ergo sit ille arcus ellipticus, hoc est, ubi terminetur?” – (fr:11829) [Qui sorge però un dubbio: se l’area AKN equivale a tutte le distanze da N dell’arco ellittico AM, di tanti punti quanti supponiamo in AK, quale sia dunque quell’arco ellittico, cioè dove termini?]
La risposta è che l’arco ellittico le cui dimore sono misurate dall’area AKN non può essere uniforme:
“Respondetur, Omnino arcum ellipseos, cujus moras metitur area AKN, debere in partes inaequales dividi, et minores esse eas, quae sunt vicinae apsidibus.” – (fr:11837) [Si risponde che l’arco dell’ellisse, le cui dimore sono misurate dall’area AKN, deve assolutamente essere diviso in parti disuguali, e che quelle vicine agli absidi devono essere minori.]
La motivazione fisica è data dal moto del pianeta: poiché NA è maggiore di NC, un pianeta che percorresse archi uguali impiegherebbe tempi diversi; per ottenere che le somme dei tempi su archi opposti siano uguali, gli archi stessi debbono essere disuguali.
“Vt ergo mora circa A et C fiat brevior, circa B et oppositum longior, et sic semper binorum oppositorum arcuum junctae morae fiant aequales, oportet arcus apud A et C fieri minores, apud B et oppositum majores.” – (fr:11842-11844) [Affinché quindi la dimora presso A e C divenga più breve, presso B e l’opposto più lunga, e così le dimore congiunte di due archi opposti divengano sempre uguali, è necessario che gli archi presso A e C siano minori, presso B e l’opposto maggiori.]
Questa disuguaglianza è ottenuta proprio mediante le perpendicolari KML: “Id autem fit per KML perpendiculares, ut patet ex ipsa objectione.” – (fr:11845) [Ciò si ottiene mediante le perpendicolari KML, come risulta dall’obiezione stessa.]

Keplero conclude il ragionamento con una compensazione perfetta. Se si dividesse l’ellisse in parti uguali e si utilizzassero le aree ellittiche come somma delle distanze, si commetterebbe lo stesso errore già riscontrato nel cerchio perfetto; se invece la divisione dell’ellisse è fatta in archi disuguali secondo la regola descritta, l’errore viene eliminato:
“Si vero idem ille divideret ellipsin AMC, in arcus totidem inaequales, contra quam protheoremate X, hac lege, ut diviso primum circulo AKC in arcus aequales, postea a singulorum arcuum terminis ducerentur in AC perpendiculares KL, secantes ellipsin AM, etiam in arcus; atque pro horum arcuum distantiis ab N usurparetur area elliptica: tunc errori commisso medicina afferetur, et compensatio perfectissima.” – (fr:11855) [Se invece quel medesimo dividesse l’ellisse AMC in altrettanti archi disuguali, contrariamente al teorema X, con questa regola: che, diviso prima il cerchio AKC in archi uguali, poi dai termini dei singoli archi si conducano perpendicolari KL che sechino l’ellisse AM anch’essa in archi; e per le distanze di questi archi da N si usasse l’area ellittica: allora si porterebbe rimedio all’errore commesso, e una compensazione perfettissima.]

Il meccanismo di compensazione è illustrato nei termini seguenti: dove le distanze sono brevi (presso gli absidi), l’arco ellittico è sminuzzato in tanti piccoli segmenti, così che la frequenza delle distanze moltiplica la durata; dove invece le distanze sono lunghe (presso le longitudini medie), l’arco è più ampio e diradato, restituendo la giusta proporzione delle dimore.
“Itaque quanto minus morae nobis in calculo accumulatur per breviculam distantiam circa apsidas, tanto plures distantiae adhibentur tali arcui, utpote in parvas partes secto, et cuilibet tali parti, distantia sua assignata.” – (fr:11874) [Quindi, quanto minore è la dimora che accumuliamo nel calcolo a causa della brevità della distanza intorno agli absidi, tante più distanze vengono impiegate per un tale arco, in quanto tagliato in parti minute, e a ciascuna di tali parti è assegnata la sua distanza.]
“Illic in A. C. quod singulae non possunt distantiae, ob brevitatem in calculo, id crebritate praestant, ut justas moras accumulent: Hic, quod longitudine, quam in calculo sunt nactae, peccarent, id latius et laxius dispersis rursum eripitur.” – (fr:11777-11778) [Là in A e C, ciò che le singole distanze non possono, a motivo della brevità nel calcolo, lo compiono con la frequenza, così da accumulare le giuste dimore; qui, ciò per cui peccherebbero a causa della lunghezza che hanno ottenuto nel calcolo, viene loro nuovamente sottratto con una distribuzione più ampia e più diradata.]

Il brano costituisce una delle testimonianze più dense del metodo kepleriano nell’Astronomia Nova: la dimostrazione che l’area del cerchio eccentrico è misura fedele della somma delle distanze – nucleo della futura “seconda legge” – si intreccia con la necessità di abbandonare l’uniformità degli archi per descrivere correttamente il moto angolare del pianeta lungo l’ellisse. La compensazione perfetta esposta nel capitolo LIX rappresenta un passaggio essenziale per giustificare l’impiego dell’area come grandezza temporale e per consolidare l’ipotesi ellittica, segnando un momento decisivo nel superamento dell’astronomia del cerchio perfetto.

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74 Il perfezionamento dell’equazione fisica e l’area come misura del tempo

Nel cuore dell’Astronomia Nova kepleriana, il progresso della dimostrazione sull’orbita ellittica di Marte si gioca sul confronto tra archi e distanze, sulla verifica sperimentale e sulla definitiva sistemazione geometrica del legame tra tempo e area. Keplero illustra dapprima l’andamento degli incrementi degli archi ellittici e delle distanze, mostrando come essi seguano la medesima proporzione in tutto l’intervallo dell’anomalia eccentrica.

“Dixi de initio et fine, quod eadem proportione, quae est EH ad HB, incipiant differre et arcus circuli ab ellipticis in A et C, et distantiae justae, ab iis, quas area ellipsis colligit, in B, et opposito; eadem etiam proportione desinant differre” – (fr:11879) [Ho detto dell’inizio e della fine, che nella stessa proporzione che c’è tra EH e HB cominciano a differire sia gli archi del circolo dagli ellittici in A e C, sia le distanze vere da quelle che l’area dell’ellisse raccoglie in B e nel punto opposto; e nella stessa proporzione cessano di differire]. Il fenomeno non è limitato agli estremi: le differenze progrediscono con una legge comune.

“lineae NA, NC, a parvis initiis, per celeria incrementa, superant aliquo notabili, lineas AHC; et vicissim, ubi maxime superant, ut BN ipsam HB, ibi incrementa sensim emoriuntur: in medio sunt maxima, circa anomaliam eccentrici 45°” – (fr:11880) [Le linee NA, NC da piccoli inizi, con rapidi incrementi, superano di un certo tratto notevole le linee AHC; e viceversa, dove superano al massimo, come BN supera HB, lì gli incrementi a poco a poco muoiono: nel mezzo sono massimi, attorno all’anomalia eccentrica di 45°]. Ciò è reso evidente dal comportamento delle secanti dell’angolo di equazione ottica: “Quantum enim secans anguli aequationis Opticae differt a sinu toto, tantundem fere differt BN a BH” – (fr:11882) [Quanto la secante dell’angolo dell’equazione ottica differisce dal seno totale, di tanto pressappoco BN differisce da BH]. Gli incrementi delle secanti stesse attorno ai “45° sunt fere 20 maxima; initio et fine quadrantis tarda” – (fr:11884) [45° sono pressoché i massimi 20; all’inizio e alla fine del quadrante sono lenti]. La stessa progressione vale per gli incrementi degli archi ellittici delimitati dalle perpendicolari KL.

La misura del tempo lungo l’ellisse poggiava sull’ipotesi fisica che le dimore del pianeta nei singoli punti fossero proporzionali alla distanza dal Sole. Keplero riprende il teorema centrale già esposto: “summam omnium distantiarum a Sole N punctorum in arcu AM, inesse in area AKN” – (fr:11928) [La somma di tutte le distanze dal Sole N dei punti dell’arco AM è contenuta nell’area AKN]. L’arco ellittico AM è denotato dall’arco di cerchio AK, e l’area AHK è il settore corrispondente. Da qui si sviluppa il calcolo pratico dell’equazione fisica: con la perpendicolare KL, il rapporto tra KL e il seno totale EH dà l’area HKN, e sommando il valore di KHA si ottiene l’area KNA, “mensuram temporis, quod Planeta conficit in AM” – (fr:11936) [misura del tempo che il pianeta impiega in AM].

Keplero non si accontenta della deduzione geometrica; la verifica empirica fu dirimente. “res ipsa prius innotuit per experientiam in hunc modum” – (fr:11906) [La cosa stessa si rese nota prima per esperienza, in questo modo]. Costruì una tavola delle distanze diametrali KT, TI per ogni grado di anomalia eccentrica, le sommò progressivamente e ottenne il totale 36 000 000, “ut par est” – (fr:11909) [come è giusto]. Confrontando le somme parziali con il totale, il tempo ricavato corrispondeva in minuti secondi esattamente al prodotto di metà eccentricità per il seno dell’anomalia eccentrica, rapportato all’area del cerchio equivalente a 360°.

Un passaggio rivelatore mostra la lotta con l’ipotesi sbagliata: quando Keplero applicava la distanza giusta NM alla linea KH, ottenendo ZN e l’anomalia coequata ZNA, “manifeste dissenserunt aequationes a mea hypothesi vicaria capitis XVI” – (fr:11911) [manifestamente le equazioni discordarono dalla mia ipotesi vicaria del capitolo XVI]. Si registravano difetti di “minutorum 5 ~ defectus; circa gr. 135° circiter 4’ minutorum” – (fr:11912-11913) [circa 5 minuti primi di difetto; intorno a 135° circa 4 minuti]. Ma quando la distanza AM era collocata in modo che terminasse sulla perpendicolare KL, l’anomalia coequata MNA applicata all’anomalia media AKN “exquisitissime cum vicaria, hoc est, cum observationibus consensit” – (fr:11914) [coincise perfettamente con la vicaria, cioè con le osservazioni]. Questo accordo spinse Keplero a cercare la causa fisica del fenomeno, esposta “quam potuit fieri artificiosissime et clarissime” – (fr:11915) [nel modo più ingegnoso e chiaro possibile]. Egli aggiunge che senza principi fisici solidi non avrebbe potuto addentrarsi in tanta sottigliezza.

La parte finale inquadra il metodo operativo per estrarre entrambe le parti dell’equazione dalle distanze vere, offrendo le definizioni essenziali. L’anomalia media è “tempus artificiose denominatum ejusque mensura area AKN” – (fr:11947) [il tempo artificialmente denominato e la sua misura è l’area AKN]. L’anomalia eccentrica è l’arco di ellisse AM, rappresentato dall’arco di cerchio AK. L’anomalia coequata è l’angolo ANK, “apparentia arcus AK quasi ex N scilicet angulus ANK” – (fr:11950) [l’apparenza dell’arco AK quasi da N, cioè l’angolo ANK]. Da queste definizioni si ricavano le relazioni trigonometriche: dato AK si ha il seno del complemento LH; dal rapporto tra il raggio e LH si trova la porzione da aggiungere o sottrarre all’eccentricità per ottenere la distanza genuina NM. Nel triangolo LMN, con angolo retto in L, noti MN e LN (composta da LH e HN), si determina l’angolo LNM dell’anomalia coequata. Il procedimento inverso, dalla coequata all’eccentrica, è più laborioso ma si fonda sulla misura dell’angolo d’ingresso del pianeta visto dal Sole.

Il testo lascia trapelare la consapevolezza della difficoltà della materia e un invito alla meditazione: “Meditatione opus est, et creberrima ruminatione dietorum” – (fr:11922) [C’è bisogno di meditazione e di frequentissima ruminazione di quanto detto]. La testimonianza storica è quella di una scienza che unisce deduzione geometrica, verifica numerica e audacia ipotetica, con il passaggio cruciale dall’equante all’area come misura fedele del tempo celeste.

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[35.1/1-118-11969|12085]

75 Le anomalie di Marte e la ricerca kepleriana della vera orbita

Un estratto dai Commentariorum de motibus stellae Martis (1609) mostra il passaggio dal modello circolare all’ellisse, la misura della differenza fra coequata fittizia e vera, e la determinazione dei nodi attraverso osservazioni.

Il brano appartiene alla Pars Quarta e Quinta dell’opera che Giovanni Keplero dedicò ai moti di Marte. Dopo aver stabilito le regole di proporzionalità per una piccola linea (lineola) legata all’eccentrico, egli confronta l’anomalia eccentrica e quella coequata circolare, per poi rivelare la differenza fra l’approssimazione circolare e la vera orbita ellittica. Il testo si chiude con la determinazione dei nodi dell’orbita marziana grazie a osservazioni ripetute.

Le proporzioni della lineola e gli angoli al centro

Nel secondo teorema, Keplero enuncia una relazione che governa l’angolo sotteso da una lineola costante:

«Connexis terminis lineolae unius cum centro; et posito, quod lineola maneat eadem quantitate apud omnia puncta eccentri; Tangens anguli ad centrum decrescit fere in proportione sinuum complementi anomaliae eccentri.» – (fr:11968)
[Congiunti i termini di una lineola con il centro, e posto che la lineola conservi la medesima lunghezza in tutti i punti dell’eccentrico, la tangente dell’angolo al centro decresce quasi nella proporzione dei seni del complemento dell’anomalia eccentrica.]

Il teorema III trasferisce lo stesso principio alla lineola d’ingresso del pianeta verso il diametro degli àpsidi: le tangenti degli angoli al centro (e, nei minimi, gli angoli stessi) crescono in una proporzione composta dai seni e dai seni dei complementi dell’anomalia eccentrica, cioè come i prodotti dei seni per i coseni. Il valore massimo si ha a 45°, dove il rettangolo uguaglia la metà del quadrato del raggio (fr:11981–11986). La dimostrazione poggia sulla geometria elementare: «Cum ergo DVH sit rectus, erit VDH complementum ipsius VHD anomaliae eccentri, ad rectum» (fr:11971), mentre l’effetto di un piccolo angolo come EHD è trascurabile, giacché «ubi maxima, non superet 8’ minuta» (fr:11973).

L’uguaglianza dell’angolo d’ingresso nei due sistemi di riferimento

Un passo cruciale è il teorema IV, che stabilisce la perfetta coincidenza dell’angolo d’ingresso misurato al centro dell’eccentrico e al centro del Sole:

«Angulus ingressus Planetae a circumferentia circuli ad diametrum apsidum, idem est in anomalia eccentri, apud centrum eccentrici, et in anomalia coaequata circulari, totidem graduum, apud centrum Solis.» – (fr:11988)
[L’angolo d’ingresso del pianeta dalla circonferenza del cerchio al diametro degli àpsidi è lo stesso nell’anomalia eccentrica, presso il centro dell’eccentrico, e nell’anomalia coequata circolare, di altrettanti gradi, presso il centro del Sole.]

Mediante linee parallele e triangoli simili (fr:11989–11998), Keplero giunge alla conclusione che l’angolo FHD è uguale all’angolo ING, identificando così il centro dell’eccentrico con il centro del Sole e gettando un ponte fra i due sistemi.

Misura della differenza tra coequata circolare ed ellittica

Il teorema V porta alla luce la differenza fra la coequata calcolata su un cerchio e quella vera che scaturisce dall’ellisse:

«Anguli, quo coaequata fictitia, quae circulo innititur, differt a coaequata vera, quae ellipsi innititur, mensura genuina et verissima, est rectangulum sub sinu anomaliae coaequatae fictitiae, et sinu complementi anomaliae coaequatae verae.» – (fr:12000)
[La misura genuina e verissima dell’angolo per cui la coequata fittizia, che si appoggia al cerchio, differisce dalla coequata vera, che si appoggia all’ellisse, è il rettangolo sotto il seno dell’anomalia coequata fittizia e il seno del complemento dell’anomalia coequata vera.]

Tale differenza è ovunque molto piccola: «nuspiam major 8’ minutis» (fr:12005). Keplero fornisce quindi una pratica operativa: dato l’angolo dell’anomalia coequata vera, si moltiplica il suo seno per il seno del complemento, si raddoppia il prodotto, si trascurano le ultime cinque cifre e si moltiplica per l’angolo massimo d’ingresso a 45°. Il risultato, aggiunto alla coequata vera, dà la coequata fittizia, dalla quale si ricava poi l’anomalia eccentrica (fr:12006–12014).

L’angolo massimo d’ingresso viene calcolato con trigonometria: posta VHD = 45°, si ottiene FD = 305, HV = VD = 7071, VF = 6766 e infine un angolo VHF di 44° 52′ 34″. La differenza, ovvero l’angolo massimo ING, è quindi 7′ 26″ (fr:12016–12027). Un metodo alternativo per via analitica, fondato sulla proporzione fra eccentricità e seno totale, conduce a una radice di 7790 e a un’anomalia eccentrica di 32° 46′ (fr:12034–12044).

Il problema dell’anomalia media e l’appello ai geometri

Dopo aver insegnato a passare dall’anomalia eccentrica a quella media, Keplero riconosce l’insormontabile difficoltà inversa:

«At data anomalia media, nulla Geometrica methodus est, perveniendi ad coaequatam, videlicet ad anomaliam eccentri.» – (fr:12054)
[Ma data l’anomalia media, non esiste alcun metodo geometrico per giungere alla coequata, ossia all’anomalia eccentrica.]

L’anomalia media è composta dall’area del settore e dall’area del triangolo: la prima dipende dall’arco eccentrico, la seconda dal seno dell’arco moltiplicato per il triangolo massimo (fr:12055). Poiché «proportiones inter arcus et eorum sinus, infinitae sunt numero» (fr:12056), non è possibile esprimere la somma con una formula chiusa. L’unica soluzione è costruire delle tavole per tentativi (fr:12057). Egli lancia quindi la celebre sfida:

«Data area partis semicirculi, datoque puncto diametri, invenire arcum, et angulum ad illud punctum … Erranti mihi, quicunque viam monstraverit, is erit mihi magnus Apollonius.» – (fr:12059, 12062)
[Data l’area di una parte di semicerchio e dato un punto sul diametro, trovare l’arco e l’angolo … A me che erro, chiunque mostrerà la via, sarà per me un grande Apollonio.]

E conclude che il problema «solvi a priori non posse, propter arcus et sinus ἑτερογένειαν» (fr:12061), a causa dell’eterogeneità fra archi e seni. È la prima formulazione esplicita dell’equazione di Keplero e della sua irresolubilità algebrica.

La latitudine e l’esame dei nodi

Nella Pars Quinta, Keplero passa alla latitudine di Marte, determinando la posizione dei nodi attraverso osservazioni accurate. Riporta quattro opposizioni successive, scandite dal periodo sinodico di 687 giorni:

«Anno MDXCIII D. X Decembris, vesperi hora VII M. ° visus fuit Mars in 4°. 44’ ‘f, cum latitud. 0°. 1’. 15” Meridiana» – (fr:12070–12073)
[Nell’anno 1593, il 10 dicembre, alle ore 7 di sera, Marte fu visto a 4° 44′ del Sagittario, con latitudine meridiana 0° 1′ 15″.]

Il 28 ottobre 1595 lo trova «in 18°.35’ l:5, cum latitudine 4ʹ meridiana» (fr:12076). A ritroso, il 23 gennaio 1592 la latitudine è di 2′, e il 4 marzo 1590 di 3′ 20″. Keplero corregge quest’ultima misura per la rifrazione atmosferica, osservando che «refractio 20 hujus altitudinis est 3 ½ minutorum; de quibus circiter 2’ cedunt latitudini» (fr:12082). Così affinati, i dati consentono di fissare i nodi e di confermare la piccola inclinazione dell’orbita marziana, in linea con le leggi del moto planetario che andava elaborando.

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76 Determinazione dei nodi e inclinazione dell’orbita di Marte nel capitolo LXII del De Motibus Stellae Martis

Keplero, analizzando le variazioni di latitudine di Marte in opposizione, fissa la posizione dei nodi a 16° 46½′ dell’Aquario e, con una dimostrazione geometrica universale che lega distanze, latitudine e inclinazione, ricava per i limiti il valore di 1° 50′ 25″, confermato poi da un confronto sistematico con le osservazioni.

Il brano si apre con la discussione dei nodi dell’orbita marziana, determinati a partire dai rapidi mutamenti della latitudine registrati fra il 1592 e il Vengono citate misure di latitudine dell’ordine del minuto: “l’ minutum, anno MDXCII” – (fr:12086) [1 minuto, anno 1592], “1~’ minuta, anno MDXCIII” – (fr:12087) [1 minuto e mezzo, anno 1593] e “2~’ minuta, anno MDXCV ad horam XI” – (fr:12088) [2 minuti e mezzo, anno 1595 all’ora XI]. Queste piccole variazioni, spiega Keplero, “ostendetur hisce latitudinibus nobis inclinatio 1~’ minutorum, quae poscunt sibi circiter 40’ minuta distantiae a Nodo” – (fr:12090) [ci mostreranno un’inclinazione di 1 minuto e mezzo, che richiede circa 40 minuti di distanza dal Nodo]. Per giungere a un valore più accurato si concentra sul 1595: il 28 ottobre a mezzogiorno la latitudine meridionale era di 4 minuti e mezzo, il 3 novembre successivo, alla stessa ora, era di 19′ 45″ boreale, con un salto di 24′ in sei giorni (fr:12093‑12094). Combinando questi dati con la posizione eccentrica del pianeta, Keplero colloca il nodo ascendente a “16°. 45 2/5’ lj” – (fr:12100) [16° 45 2/5′ Aquario] all’inizio di novembre del Poiché le osservazioni intorno all’altro nodo sono scarse – “Circa nodum alterum non ita crebrae fuerunt observationes” – (fr:12102) [Intorno all’altro nodo non vi furono osservazioni così frequenti], si affida all’anno 1589, dove per analogia del moto in latitudine ricava il nodo discendente a 16° 47′ Aquario (fr:12104‑12106). La conclusione unifica i due risultati: “Nodi igitur anno MDXCV completo sunt in 16°. 46%’ lj.” – (fr:12108) [I nodi dunque, compiuto l’anno 1595, sono a 16° 46½′ Aquario].

Il capitolo prosegue con l’esame dell’inclinazione dei piani. Viene analizzata l’opposizione del 25 agosto 1593, quando Marte fu osservato in 12° 16′ della Vergine. Le latitudini nei giorni attorno all’opposizione decrescono da 6° 7′ 30″ a 5° 52′ 15″ in cinque giorni, con un decremento di 13′ 15″; per interpolazione si fissa la latitudine all’istante dell’opposizione in 6° 2′ 30″ con un errore inferiore al mezzo secondo (fr:12120‑12124). Keplero nota che queste latitudini furono osservate “in altitudine Martis 22° graduum, quae jam liberare censetur Fixas a refraetione” – (fr:12125) [a un’altezza di Marte di 22 gradi, che ormai si ritiene liberi le stelle fisse dalla rifrazione]. Con l’anomalia coequata di 166° 36′ e le distanze Marte‑Sole 138556 e Terra‑Sole 100666, applicando lo schema del capitolo XIII (dove A è il Sole, B la Terra, C Marte e l’angolo in B è la latitudine osservata), ottiene per l’angolo BAC, cioè l’inclinazione dell’orbita rispetto all’eclittica in quel punto, il valore “l°. 39” 22““ – (fr:12129) [1° 39′ 22″]. Sapendo che il nodo si trova a 16° 43′ Aquario e il luogo dell’opposizione a 12° 16′ Vergine, l’arco di distanza è di 64° 27′; con una proporzione tra i seni ricava l’inclinazione del limite austrino: ”1 5o’ . lO” inclinationem limitis Austrini” – (fr:12138) [1° 50′ 10″ di inclinazione del limite australe].

Per evitare ogni sospetto, Keplero introduce una dimostrazione più generale della relazione tra inclinazione e latitudine apparente, valida per qualsiasi posizione del pianeta. Considera l’osservazione del 21 luglio 1593, con Marte in 17° 45½′ della Vergine e latitudine meridiana 5° 46¼′. Posti i punti del diagramma – “In schemate praesenti sit EA in 8°. z6’ ~, KA in ZOO. 1 W ~.” – (fr:12147‑12148) [Nel presente schema, EA sia a 8° 26′ Vergine, KA a 20° 1′ Scorpione], l’angolo di commutazione vera EAK risulta 11° 35′. Enuncia quindi la proporzione fondamentale: “Dico, ut est sinus AEK ad sinum EAK, sic esse sinum inclinationis ipsius K ad sinum latitudinis ejus visae” – (fr:12152) [Affermo che, come il seno di AEK sta al seno di EAK, così il seno dell’inclinazione del punto K sta al seno della sua latitudine apparente].

La dimostrazione geometrica poggia su una figura ausiliaria: “Sit ergo recta VO, ex cujus duobuspunctis P et M erigantur duae perpendiculares et aequales PQ et ML…” – (fr:12158‑12159) [Sia dunque la retta VO, da due suoi punti P e M si elevino due perpendicolari uguali PQ e ML…]. Con centro O e raggio OL si traccia un arco che individua i punti N e R, e attraverso una catena di rapporti si giunge alla conclusione universale: “ut distantia Martis a Terra ad distantiam ejusdem a Sole, sic sinus latitudinis ad sinum inclinationis planorum” – (fr:12169) [come la distanza di Marte dalla Terra sta alla sua distanza dal Sole, così il seno della latitudine sta al seno dell’inclinazione dei piani], e reciprocamente “ut distantia a Sole ad distantiam a Terra, sic inclinatio ad latitudinem” – (fr:12170) [come la distanza dal Sole sta alla distanza dalla Terra, così l’inclinazione sta alla latitudine].

Applicando la regola al caso del 21 luglio, dove la linea K appariva da E con latitudine 5° 46′ 4″ e noti i seni degli angoli, il calcolo produce un seno di 3188, il cui arco è 1° 49′ 31″, inclinazione del punto K. Poiché Marte si trovava a 20° 1′ Scorpione e il nodo a 16° 43′ Aquario, l’elongazione dal nodo è 86° 42′; per la legge dei seni si ottiene nuovamente l’inclinazione massima australe: “rursum ut prius prodit 1 5 o’ , 2” in Austrum” – (fr:12175) [ancora una volta risulta, come prima, 1° 50′ 2″ verso Sud].

Per l’inclinazione boreale si ricorre all’opposizione del 31 gennaio 1585, con latitudine decrescente 4° 31′ Nord e un’altezza di Marte di 53°, quindi libera da rifrazione. Dalle distanze (Marte‑Sole 166334, Terra‑Sole 98724) e dalla latitudine all’opposizione 4° 31′ 10″ si deduce un angolo BAC di 1° 50′ 20″. La differenza con il valore australe (1° 50′ 8″) è di soli 37 secondi, giudicata trascurabile: “Differentia 37” secunda, nullius momenti“ – (fr:12185) [differenza di 37 secondi, di nessun momento]. Keplero assume quindi la media aritmetica: “Medium horum est l°, 50” 25” . inclinatio justissima, quanta etiam supra cap. XIII, variis modis et operationibus inventa fuit” – (fr:12186‑12188) [La loro media è 1° 50′ 25″, l’inclinazione più corretta, quale fu trovata anche sopra nel capitolo XIII con vari metodi e operazioni].

Infine, per verificare la bontà del valore, Keplero calcola le latitudini di Marte al momento dell’opposizione per undici apparizioni dal 1580 al 1602, utilizzando l’inclinazione limite di 1° 50′ 25″ e le distanze variabili. I risultati, raccolti in una tabella (di cui il testo riporta i valori per gli anni 1580, 1582, 1585, 1587, 1589, 1591, 1593, 1595, 1597, 1600, 1602), mostrano un accordo molto stretto con le latitudini osservate o con quelle della precedente tavola del capitolo XV. Ad esempio, per il 1593 la latitudine calcolata è 6° 3′ australe, mentre la tavola riporta 6° 2½′ o 5° 58′; per il 1585 il calcolo dà 4° 30½′ boreale contro 4° 31′; per il 1595 la latitudine calcolata è 0° 5 1/5′ boreale, prossima a 0° 8′. L’intera operazione conferma così la giustezza dell’inclinazione e la solidità del metodo geometrico che lega le distanze alla proiezione apparente del moto fuori dall’eclittica.

Dal punto di vista storico, il passo costituisce una testimonianza esemplare del passaggio dall’astronomia cinematica alla fisica celeste: la riduzione delle osservazioni di latitudine di Marte non è più solo un problema di posizione, ma si trasforma in una dimostrazione della proporzione universale che connette distanze, latitudine e inclinazione, ponendo le basi per la successiva determinazione della traiettoria ellittica.

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77 L’esame critico delle latitudini di Marte e l’ipotesi fisica dell’asse d’inclinazione

Kepler passa in rassegna dodici osservazioni della latitudine di Marte, ne valuta gli errori e le incertezze, fissa l’inclinazione dell’orbita in 1° 50′ 30″ e fonda su un’analogia magnetica la spiegazione fisica del moto laterale del pianeta.

Il testo si apre con un elenco di misure frammentarie che sembrano annotazioni di lavoro: “4°.” (fr:12210) [4°], “1O′.” (fr:12211) [10′], una stringa di dati numerici come “12 160 4 16°7°5 1°°359 0°, 52′, 9″ 2°, 183h′ Bor, 2°, 21~′ Ve!” (fr:12212) e “2°,26′, JO!” (fr:12213) [2°, 26′, Giove!]. Segue un esame ravvicinato di dodici osservazioni, condotto con un linguaggio denso e abbreviato, tipico di un diario di lavoro.

Le dodici osservazioni sotto esame.
Kepler passa in rassegna una ad una le osservazioni, segnalandone limiti e difetti.
La prima è dichiarata mancante: “In prima defuit observatio ad diem, ut vidisti cap. XV.” (fr:12214-12215) [Nella prima mancò l’osservazione al giorno, come hai visto al cap. XV].
Nella seconda segnala un’incertezza di tre minuti, dovuta all’uso di un’altezza del polo oscillante: “In secunda trium scrupulorum incertitudo erat in observando, quia interdum usi sunt altitudine poli 34°, i, quae fuit 34°, 5%.” (fr:12216) [Nella seconda c’era un’incertezza di tre scrupoli nell’osservare, perché talvolta usarono l’altezza del polo 34°, i, che fu 34°, 5%].
La terza e la settima vengono poste a fondamento del calcolo: “Tertia est nobis fundamenti loco.” (fr:12217) [La terza ci serve da fondamento], “Septima rursum fuit nobis fundamenti loco.” (fr:12226) [La settima di nuovo ci servì da fondamento].
La quarta concorda a patto di trascurare la parallasse, che altrimenti corrompe la latitudine osservata: “Quarta ad unguem consentit, si parallaxin negligas, per quam observata latitudo perperam corrigitur, ut sit 3°. 41′, ut vidisti cap. XV.” (fr:12218-12220) [La quarta concorda esattamente, se trascuri la parallasse, a causa della quale la latitudine osservata viene corretta erroneamente, così da risultare 3°. 41′, come hai visto al cap. XV].
Nella quinta mancano due minuti, ma secondo Kepler sono piuttosto in eccesso nell’osservazione per via della rifrazione, poiché Marte era basso sull’orizzonte: “In quinta desunt nobis scrupula: quae potius abundant in observatione, ob refractionem, quia Mars non fuit altior 2. %° gradibus, ut habes cap. XV.” (fr:12221-12222) [Nella quinta ci mancano 2 scrupoli: che piuttosto abbondano nell’osservazione, a causa della rifrazione, poiché Marte non fu più alto di 2. %° gradi, come hai al cap. XV].
La sesta mostra una mancanza di circa due minuti, ma egli invita alla cautela perché “refractionis quantitati non est tanta fides.” (fr:12224) [non si può prestare tanta fiducia alla quantità della rifrazione], e aggiunge: “Quid si namque illa duobus minutis fuerit auctior?” (fr:12225) [Che dire se quella fosse stata maggiore di due minuti?].
L’ottava è palesemente errata perché la declinazione non fu misurata al meridiano: “Octava proculdubio vitiosam habuit deelinationem, quia tunc hora VIII, Mars in Meridiano non fuit.” (fr:12227) [L’ottava ebbe senza dubbio una declinazione errata, poiché allora all’ora VIII, Marte non era nel meridiano]. Qui nota che le armille equatoriali, usate fuori dal meridiano, “facilius fallunt, quam Quadrantes.” (fr:12228) [ingannano più facilmente dei quadranti]. L’analogia con i giorni vicini suggerisce una latitudine di 0° 5′ B, come calcolato: “Docet autem analogia circumstantium dierum, ut est cap. XV, latitudinem fuisse 0°. 5′ B. quantam computavimus.” (fr:12229-12231) [Lo insegna poi l’analogia dei giorni circostanti, come è al cap. XV, che la latitudine fu 0°. 5′ B. quanta ne abbiamo calcolata].
La nona è giudicata inaffidabile: “Nona observatio non est fide digna.” (fr:12232) [La nona osservazione non è degna di fede]; cita una latitudine fabriciana di 3° 0′ che il calcolo esaminato con cura al 10 dicembre quasi raggiunge: “Fabricianam tamen latitudinem gr. 3 3′ calculus ad diem X Decembris accurate examinatus fere assequitur. Dat enim 3°. 1%′ B.” (fr:12233-12237) [la latitudine fabriciana gr. 3 3′ il calcolo al giorno 10 dicembre esaminato accuratamente quasi la raggiunge. Dà infatti 3°. 1%′ B.].
La decima si avvicina al calcolo, l’undicesima, eliminata la rifrazione, corrisponde esattamente, la dodicesima supera il calcolo di appena due minuti, un errore che Kepler attribuisce ai limiti dei suoi strumenti: “Duodecima vix scrupulis major est calculo. credo, quia in instrumentis meis tantum est vitii. Nam in quadrante sescubitali meo, duo minuta non facile discernuntur.” (fr:12239-12241) [La dodicesima è maggiore del calcolo di appena 2 scrupoli. credo, perché nei miei strumenti c’è tanto di errore. Infatti nel mio quadrante di un cubito e mezzo, due minuti non si discernono facilmente].

Dopo questa disamina, conclude di possedere con buona precisione le latitudini acroniche su tutto il cerchio, fissando l’inclinazione a “1 5o′. 30″.” (fr:12242-12244) [1° 50′ 30″]. L’esame delle restanti latitudini fuori dalla posizione acronica lo rimanda ad altri: “Examen vero reliquarum latitudinum, in observationibus extra situm acronychium, quae crebrae inveniuntur hoc libro, relinquo diligentioribus.” (fr:12245) [L’esame poi delle restanti latitudini, nelle osservazioni fuori dalla posizione acronica, che si trovano frequenti in questo libro, lo lascio ai più diligenti].

L’ipotesi fisica della latitudine come effetto magnetico.
Il capitolo LXIII (fr:12246) introduce l’Hypothesis physica latitudinis. Kepler richiama il capitolo LVII, dove aveva supposto che il diametro del globo di Marte possedesse una virtù magnetica, estesa verso le longitudini medie e capace di mantenersi parallela a sé stessa lungo tutto il percorso, dando così una spiegazione fisica completa dell’eccentricità. Ora estende il ragionamento alla latitudine: “Haec suppositio tanto est verisimilior, quod nunc etiam latitudinis ratio pIane consimili speculatione expeditur: si nempe supponatur aliqua diameter latitudinis in corpo re seu globo Martis, quae porrigatur in locum limitum sub Fixis, et in hoc situ maneat sibi ipsi parallelos per omnem ambitum.” (fr:12247) [Questa supposizione è tanto più verosimile, in quanto ora anche la spiegazione della latitudine si risolve con una speculazione del tutto simile: se appunto si suppone un qualche diametro della latitudine nel corpo o globo di Marte, che si estenda verso il luogo dei limiti sotto le stelle fisse, e in questa posizione rimanga parallelo a se stesso per tutto l’ambito].

La proporzione tra le due virtù è esplicitata con un paragone tratto dai magneti: la prima cerca o fugge il Sole, la seconda non punta a navigare verso i luoghi dei limiti sotto le fisse, ma vi si dirige soltanto, come l’ago magnetico verso il polo: “Hujus virtutis ad illam proportio haec est, quae est in magnetibus nostris, directionis ad polum, ad vim ferri attractricem. Illa quippe Solem appetit vel fugit: haec Fixarum illa loca, sub quibus limites latitudinum conficiuntur, non appetit aclnavigando vel fugit […] sed tantum versus illa, ut magnes versus polum, dirigitur.” (fr:12248-12249) [La proporzione di questa virtù a quella è la stessa che c’è nei nostri magneti, tra la direzione verso il polo e la forza attrattiva del ferro. Quella infatti cerca o fugge il Sole: questa non cerca né fugge quei luoghi delle stelle fisse […] ma soltanto si dirige verso di essi, come il magnete verso il polo].

A questa direzione segue l’escursione laterale del pianeta rispetto all’eclittica, sempre verso il lato indicato dalla parte dell’asse che precede nel moto. Kepler descrive la geometria con una figura: “Sit CBAD ecliptica, A. C. Nodi, B. D. limites. Axis latitudinum in corpore Planetae GNH, EAF, LOM, ICK.” (fr:12251-12252) [Sia CBAD l’eclittica, A, C i nodi, B, D i limiti. L’asse delle latitudini nel corpo del pianeta GNH, EAF, LOM, ICK]. L’asse, mantenendosi sempre parallelo a se stesso, nel nodo C sfiora il cerchio dell’orbita, mentre nei limiti lo interseca ad angolo retto puntando verso il Sole. Quando il pianeta transita da un nodo all’altro, l’asse, che prima volgeva la sua parte K verso borea, giunto al limite presenta la parte G verso meridione, così che il pianeta venga sospinto dalla massima inclinazione boreale a quella australe. L’immagine è potente: “Atque hic inclinationis axis, quidam quasi remus est: quia quod nautae remis praestant, ut ab una ripa in alteram trajiciant, hoe PIaneta eonsequitur per hunc inclinationis axem, trajiciens a Borea in Austrum, et vicissim, flumine, hoc est specie immateriata Solis, per viam reetam CBAD ineedente.” (fr:12257) [E questo asse di inclinazione è come un certo remo: poiché ciò che i marinai fanno coi remi, per traghettare da una riva all’altra, il pianeta lo ottiene per mezzo di questo asse di inclinazione, traghettando da borea ad austro, e viceversa, mentre il flusso, cioè la specie immateriale del Sole, procede per la via retta CBAD].

Sul piano geometrico, la costruzione è semplice: una retta trasportata parallelamente a sé stessa genera un piano; quell’asse descrive un piano che taglia la sfera delle fisse secondo un cerchio massimo — lo schema del capitolo XIII mostra che i nodi sono opposti rispetto al Sole, come l’esperienza conferma (fr:12258-12266). Ne segue che l’inclinazione dell’orbita di Marte è regolare, governata dalla legge dei seni: “erit ut sinus BD arcus inter sectionem circulorum et quodlibet punctum circuli Martij, IO puta D, ad sinum totum, sic sinus inc1inationis DF puncti F, ad sinum CE, inc1inationis maximae, E limitis.” (fr:12267) [sarà come il seno dell’arco BD tra la sezione dei cerchi e un qualunque punto del cerchio di Marte, ad esempio D, sta al seno totale, così il seno dell’inclinazione DF del punto F sta al seno CE dell’inclinazione massima, del limite E]. Ciò è già stato provato, osserva, con l’ingegnosa elaborazione delle osservazioni (fr:12268-12270). Perciò “nulla potest afferri instantia nostrae hypothesi.” (fr:12271) [non si può portare alcuna obiezione alla nostra ipotesi].

Rimangono due questioni difficili: se l’inclinazione dell’asse sia naturale o razionale, opera della corporeità o di un angelo; e se l’asse di inclinazione coincida con l’asse magnetico che cerca il Sole, e in caso contrario come possano coesistere nello stesso globo (fr:12272-12276). Kepler sarebbe propenso a ritenerla naturale, per l’affinità con la virtù naturale della calamita, ma la successiva trasposizione dei nodi richiede un principio razionale, almeno istintivo. D’altra parte, nel caso dell’eccentricità l’asse magnetico avrebbe dovuto ruotare seguendo il Sole, e per restare parallelo a sé stesso avrebbe avuto bisogno di una forza direttrice più forte o di un’anima; qui invece l’equidistanza dell’asse di latitudine è ottenuta direttamente dalla virtù direttrice, senza bisogno di un’anima o di una facoltà raziocinante. Tuttavia, il fatto che l’asse, nei limiti, punti dritto al centro del Sole e generi così un cerchio massimo con nodi opposti, potrebbe far pensare a un rispetto solare consapevole. Kepler smorza l’argomento: “Atqui non omnis respectus Solis arguit rationem comitantem.” (fr:12285) [Eppure non ogni rispetto del Sole dimostra una ragione che l’accompagni].

Il testo intreccia così minuzia osservativa e audacia speculativa, in un procedere tipicamente kepleriano: i dati sono soppesati con la consapevolezza dei limiti strumentali e degli effetti fisici (rifrazione, parallasse), mentre l’interpretazione fisica sfrutta analogie magnetiche e meccaniche per rendere conto dei moti celesti senza abbandonare il piano geometrico.

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78 Il diametro reale e il diametro libratorio: virtù magnetiche, nodi e la prova dell’assenza di parallasse in Marte

Keplero indaga la dualità delle cause fisiche del moto di Marte, distinguendo il diametro dell’eccentricità da quello che governa la latitudine, e dimostra, attraverso le latitudini osservate, l’insensibilità della parallasse diurna del pianeta.

Keplero apre la discussione con una riflessione teologica e fisica: colui che per primo ordinò i moti celesti diresse l’asse del pianeta in modo che esso guardasse verso il Sole con somma ragione (“Illud sane verum, eum qui primum ordinavit motus coelestes, hunc axem sic direxisse, ut Solem (in dicto situ) respiceret; et proinde consilio, summaque ratione usum esse” – fr.12286). Tuttavia, aggiunge, questo costante orientamento verso il Sole può ora essere mantenuto senza intervento di una mente, grazie alla sola costanza della facoltà magnetica (“At iste respectus Solis retineri jam porro potest citra mentem, sola constantia magneticae facultatis” – fr.12287).

La distinzione fondamentale che segue è tra due “diametri” del pianeta: uno reale, che causa l’eccentricità dell’orbita, e uno immaginario, detto libratorio, che serve a figurarsi l’effetto del primo (“Aliud est, diameter quae eccentricitatem causatur: aliud, diameter libratoria. Illa reale quippiam est; haec imaginaria, ad imaginandum illius effectum” – fr.12288-12289). Il diametro reale, ovunque si trovi, si estende perpendicolarmente alla linea degli apsidi, cioè sui luoghi delle longitudini medie rispetto alle stelle fisse, mentre quello libratorio, come già detto nel capitolo 39, si dirige sempre verso il corpo del Sole (“haec, ut cap. XXXIX dictum, semper in ipsum corpus Solis porrigitur” – fr.12290-12291). Proprio perché la libratoria è orientata al Sole, può essere affidata a una virtù magnetica corporea: “materialis igitur, non mentalis” (fr.12294).

Resta tuttavia un fenomeno che esige una forza motrice superiore a quella puramente naturale o magnetica: la variazione secolare dell’inclinazione, che Keplero chiama traslazione dei nodi (“Sola igitur variatio hujus inclinationis, quam dicimus translationem Nodorum successu seculorum, adhuc in causa manet, evincens vim motricem, plus quam Naturalem, seu corpoream, seu quales sunt virtutes magneticae” – fr.12295). Egli non rinuncia però a comporre le due nature: preferisce unire la forza magnetica e la guida razionale piuttosto che porre soltanto un principio intelligente. “Pareat vis magnetica; praesit ratio, illam gubernans” (fr.12297): la ragione presiede e governa la forza magnetica.

Se la virtù direttrice è magnetica e corporea, il suo soggetto deve essere un corpo. Nasce allora il problema se lo stesso diametro possa amministrare insieme l’eccentricità e la latitudine (“An igitur fieri possit, ut eadem illa diameter, Solis appetens, vel ab eo fugiens, inclinatione sui ad eclipticam, etiam administret hanc declinationem Planetae ab ecliptica?” – fr.12300). Keplero mostra che ciò sarebbe possibile solo se i nodi coincidessero con gli apsidi e i limiti con le longitudini medie, perché il diametro dell’eccentricità si dirige verso le longitudini medie e quello della latitudine verso i limiti. Ma nei pianeti reali i nodi e gli apsidi non combaciano, tranne che per Giove, dove limite boreo e afelio coincidono esattamente; in Marte il limite boreo precede l’afelio di 12°, in Saturno il nodo segue l’afelio di 24°, nella Luna tutto si mescola rapidamente (“In Marte limes Boreus 12° gradibus est ante aphelium; in Jove praecise coincidunt limes Boreus et aphelium; in Saturno 24° gradibus Nodus sequitur aphelium” – fr.12306). Perciò le due virtù differiscono per tempo e luogo e non possono essere un’unica entità, anche se possono coabitare nello stesso corpo planetario.

Se i pianeti si muovessero come la Luna, senza rotazione e mostrando sempre la stessa faccia, le due virtù resterebbero intessute come trama e ordito in un telaio, mantenendo orientamenti fissi rispetto alle stelle fisse (“Itaque si Planetae moventur ut Luna, quae non convolvitur, sed eandem nobis undequaque ostendit faciem, nihil impedit asserere, intextas esse mutuo virtutes utrasque, ut subtegmina sunt intexta staminibus” – fr.12310). Ma la Terra ruota su se stessa durante la rivoluzione annua, e allora una sola linea virtuosa, quella parallela all’asse di rotazione, rimane costante; se se ne aggiungesse un’altra per le latitudini, essa oscillerebbe a destra e a sinistra, trascinando infine il corpo nel piano medio individuato dall’asse di conversione (fr.12314-12315). Quindi il soggetto della virtù declinatoria, in un globo che ruota, o è spirituale, oppure non è lo stesso corpo.

Se è spirituale, come può mantenere direzioni che sono proprie di un corpo e imprimere al corpo una deviazione dalla “via regia”? Forse il corpo si lascia inclinare più facilmente che trasferire localmente per forza propria (“An fortasse facilius inclinatur corpus, et e via excedit regia … quam de loco in locum vi proprii motoris transfertur?” – fr.12319). Se invece il soggetto è corporeo, Keplero propone un ingegnoso meccanismo: come certe lucerne sferiche che, scagliate e fatte ruotare, non versano l’olio grazie a un’ampolla interna appesantita che non segue la rotazione del globo esterno, così potrebbe esistere all’interno del globo terrestre un globo interiore, non toccato dal moto diurno esterno e trattenuto da una fortissima inclinazione verso certi luoghi delle stelle fisse (“An igitur et in hoc Telluris globo sit interior aliquis globus, ad quem diurnus Telluris exterioris motus non penetret, sed qui fortissima inclinatione ad certa Fixarum loca retineatur…?” – fr.12322). Questa ipotesi, che tocca la Terra e sarà ripresa nel capitolo 68, anticipa la ricerca di una eclittica media per i sei pianeti e la possibilità che i modi del moto celeste, benché corporei come quelli magnetici, restino per noi incomprensibili per mancanza di esempi, così come un tempo l’ignoranza della calamita avrebbe reso oscure molte cause celesti (fr.12323-12325).

Coloro che sostengono gli orbi solidi risolvono ogni cosa assegnando al piano dell’eccentrico di Marte un’inclinazione fissa e costante sopra un diametro di sezione passante per il centro del mondo (o per il centro del Sole, secondo Tycho), e fanno ruotare tale inclinazione sotto l’eclittica nel corso dei secoli, con i poli di Marte che descrivono circoli di raggio 1°50′25″ attorno ai poli dell’eclittica (fr.12328, 12330-12335).

Nel capitolo 64 Keplero esamina le parallassi di Marte mediante le latitudini. Egli aveva trovato i due nodi in luoghi esattamente opposti, con un accordo che esclude ogni parallasse (“inventus uterque Nodus in locis praecise oppositis; mirabili consensu, et qui omnem parallaxin excludat” – fr.12340). Se Marte avesse avuto una parallasse di appena 1′ o 2′, essendo più vicino alla Terra al momento dell’opposizione e osservato a distanze zenitali di circa 38° nel 1595 e di circa 66° nel 1589, le latitudini sarebbero risultate alterate. Nel 1589, quando si credeva che Marte fosse nel nodo, sarebbe apparso ancora quasi 2′ a nord, quindi il nodo discendente si sarebbe dovuto collocare a 17°46′ Pesci anziché a 16°46′; nel 1595 il nodo ascendente sarebbe risultato a 16°16′ Vergine invece di 16°46′. Poiché le osservazioni indicano un nodo unico e coerente, la parallasse diurna di Marte è da ritenersi del tutto insensibile, purché le latitudini osservate siano esatte entro 2′ (“Concludamus igitur cum cap. XI. Parallaxin Martis diurnam, esse plane insensibilem: siquidem vera sit 3° observatio utraque latitudinis intra 2’ minuta” – fr.12356). Un analogo argomento di assenza di parallasse nasce anche dall’indagine sulla vera inclinazione dei piani, a meno che la rifrazione non porti disturbo (fr.12357-12359). Questo test empirico conferma la grande distanza di Marte anche all’opposizione, rendendo trascurabile la parallasse e sgomberando il campo da obiezioni legate alla vicinanza del pianeta alla Terra in un sistema eliocentrico.

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79 L’indagine di Keplero su parallasse e latitudine di Marte dai dati braheani

Dall’esame minuzioso delle osservazioni di Tycho Brahe alla determinazione geometrica delle massime latitudini: la via kepleriana per vincolare posizione e moto del pianeta.

Il testo espone due momenti distinti ma collegati dell’analisi dell’orbita marziana. La prima parte – che chiude il capitolo LXIV – è una serrata discussione della parallasse di Marte, volta a mostrarne l’inconsistenza osservativa. La seconda, corrispondente al capitolo LXV, affronta il calcolo delle massime latitudini boreale e australe sia in opposizione sia in congiunzione col Sole, partendo da presupposti geometrici e da distanze variabili.

Il ragionamento sulla parallasse prende le mosse da un confronto fra due anni: “Esto enim, ut Mars habuerit parallaxin anno MDXCIII in altitudine 22° minutorum saltem 2’, anno vero MDLXXXV in altitudine 53° minuti unius” – (fr:12362) [Si supponga infatti che Marte abbia avuto parallasse nell’anno 1593 ad altezza 22° di almeno 2 primi, nell’anno 1585 ad altezza 53° di un minuto]. Se così fosse, la latitudine osservata a sud risulterebbe minore del previsto e minore sarebbe anche l’inclinazione rispetto al caso boreale (“Minor ergo esset visa latitudo Austrina: minor igitur et inclinatio, quam Borea” – fr:12363). L’introduzione della parallasse, però, condurrebbe a una contraddizione con il postulato che l’orbita di Marte giaccia su un piano passante per il centro del Sole: “Ergo parallaxi adhibita, observatio de majore errore incusaretur: et vicissim observatione stante, perimitur parallaxis: siquidem verum est, orbitam Martis ordinari in perfecto plano, quod planum eclipticae secet in ipso centro Solis” – (fr:12366) [Dunque, applicando la parallasse, l’osservazione verrebbe accusata di un errore maggiore; e viceversa, ferma restando l’osservazione, la parallasse viene eliminata, se è vero che l’orbita di Marte è disposta su un piano perfetto che interseca il piano dell’eclittica proprio nel centro del Sole].

A sostegno viene portata una serie di osservazioni acroniche in cui le latitudini, depurate dalla parallasse, darebbero valori incompatibili con quelli calcolati senza parallasse. Per il 1587, con Marte a 55° dal vertice, una parallasse di 4’ avrebbe trasformato una latitudine di 3° 31’ in 3° 41’, ma “capite LXII nihil ultra 3° 37’ inventum fuit” – (fr:12374-12375) [nel capitolo LXII non fu trovato nulla oltre 3° 37’]. Nel 1589, con distanza dal vertice di 64° e una parallasse marziana di 5 ½ minuti (derivata da una parallasse solare orizzontale di 3’), la latitudine boreale osservata di 1° 7’ sarebbe divenuta 1° 12 ½’ una volta corretta; ma il calcolo non superava 1° 5 ½’ (“nos computavimus nihil supra 1° 5 ½’” – fr:12379-12380). Parimenti, nel 1602 la latitudine osservata con parallasse era 4° 10’, ridotta a 4° 7 ½’ senza, mentre il calcolo dava esattamente 4° 7 2/5’ (“nos computavimus 4° 7 2/5’ praecise admodum” – fr:12388). Nel 1604 la quantità osservata non veniva raggiunta del tutto dal calcolo, per cui l’astrazione della parallasse l’avrebbe solo peggiorata (“Igitur multo minus esse queremur eam, abstractione parallaxeos auctam” – fr:12390 [A maggior ragione, dunque, ci lamenteremmo che essa, aumentata dalla sottrazione della parallasse, sia ancora minore]).

Keplero ammette che con questi tre metodi si è provata l’incertezza della parallasse, ma non se ne è dimostrata l’assoluta insensibilità, a causa della rifrazione e di osservazioni che non scendono sotto i 2’ o 3’ di precisione (“Bisce tribus modis incertitudinem parallaxeos Martis evicimus, insensibilitatem autem omnimodam, non omnino demonstravimus; eludente nos refractionis negocio, et interdum observationibus intra 2’ vel 3’ minuta non descendentibus” – fr:12391-12392). Perciò, se qualcuno volesse attribuire a Marte una parallasse massima di latitudine di 2’ o 2 ½’, “eum observata haec Braheana non magnopere coarguent” – (fr:12393) [queste osservazioni braheane non lo confuterebbero in modo decisivo]. Una parallasse così piccola si accorderebbe comunque con un’inclinazione di 1° 51’ (“Accommodabitur enim et inclinatio, 1° 51’” – fr:12394).

Conclusa l’indagine sulla parallasse, il testo apre il capitolo LXV: “INQVISITIO LATITVDINIS MAXIMAE VTRIVSQVE PLAGAE, TAM IN CONJUNCTIONE, QVAM IN OPPOSITIONE CVM SOLE” – (fr:12395) [Ricerca della massima latitudine di entrambe le plaghe, tanto in congiunzione quanto in opposizione col Sole]. Fissata l’inclinazione, determinare la massima latitudine sarebbe facile, sia che si cerchi la massima assoluta dei secoli, sia quella possibile nell’epoca attuale. Oggi le due differiscono poco perché i limiti sono intermedi tra le absidi di Marte e del Sole, e queste non distano più di 54° né l’eccentricità solare è notevole (“Etsi parum differunt hodie utraque, cum limites sint medii inter apsidas Martis et Solis seu Telluris; nec illi ultra 54° gradus ab invicem distent; nec sit Solis seu Telluris insignis eccentricitas” – fr:12397).

Per il caso ipotetico in cui le absidi e i limiti siano congiunti (come forse in un lontano futuro), Keplero calcola le latitudini massime servendosi dello schema del capitolo XIII e delle distanze: la massima distanza di Marte AC = 166465, la minima del Sole AB = 98200 e l’angolo BAC = 10° 50’ ½ permettono di derivare “Borea latitudo maxima in oppositione cum Sole 4° 29’ 10”“* – (fr:12405) [la massima latitudine boreale in opposizione col Sole, 4° 29’ 10”]. La corrispondente boreale in congiunzione (con distanza Sole-Terra 101800) scende a 1° 8’ 34” (”attenuatur ad 1° 8’ 34““ – fr:12406-12408). La latitudine australe in opposizione, calcolata con distanze di Marte 138234 e del Sole 101800, raggiunge 6° 58’ 24”, poco meno di 7° (”paulo minor gr. 7°“* – fr:12410-12411); in congiunzione (distanza del Sole 98200) si riduce a 1° 4’ 36” (*“ad 1° 4’ 36” extenuatur“* – fr:12412-12414). Se invece si congiungessero l’afelio del Sole e il perielio di Marte, la latitudine boreale in opposizione diventerebbe 4° 44’ 12”, in congiunzione 1° 9’ 48“; l’australe in opposizione 6° 20’ 50”, in congiunzione 1° 3’ 32” (fr:12415-12423).

L’autore avverte che questi valori varrebbero qualora le absidi e i limiti si congiungessero, ma “quod an futurum sit ante occasum totius Machinae, incertum” – (fr:12424) [se ciò avverrà prima del tramonto dell’intera Macchina, è incerto]. Tolomeo attribuiva ad absidi e nodi moti uguali, nel qual caso la congiunzione non si verificherebbe mai; ma anche oggi che i moti appaiono differenti, i dati antichi non sono abbastanza certi per stabilire fra quante miriadi d’anni possano cadere simili eventi (“non sunt tamen veterum observata adeo certa, nec est differentia horum motuum, ne in hodierna quidem Astronomia, adeo magna, ut certissime concludere possimus, quot annorum myriadibus distent hujusmodi conjunctiones apsidum et limitum” – fr:12426).

Rivolgendosi alla propria epoca, Keplero incontra una multiplex ἀμηχανία (una molteplice difficoltà, fr:12428-12429): le absidi di Sole e Marte non sono congiunte, le orbite non sono cerchi perfetti, e nemmeno tracciando una nuova linea absidale per i centri dei circoli (come nello schema del capitolo LII) si può essere certi che la massima vicinanza dei corpi celesti cada su quella linea. Inoltre, “etiamsi constet de loco maximae appropinquationis; locus limitis Borei et Austrini est alius” – (fr:12434) [per quanto sia stabilito il luogo della massima vicinanza, il luogo del limite boreale e australe è diverso]. Il limite si trova a 16° 50’ del Sagittario, mentre la retta BC per i centri dei circoli punta a circa 24° ½ del Sagittario e del Capricorno, parallelamente alla linea delle absidi di Brahe (“eodem nempe, quo Braheo porrigitur linea HF suarum apsidum” – fr:12438). L’autore stava per scegliere come valore medio 21° del Sagittario, ma lo trattenne l’osservazione del 1585, quando a 21° 36’ del Sagittario la latitudine registrata non fu pienamente massima (“quo anno in 21° 36’  observata fuit latitudo non plane maxima” – fr:12439-12440): la sera del 30 gennaio vi fu opposizione, e il 24 precedente si osservò una latitudine di 4° (fr:12441).

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80 Il paradosso delle latitudini massime di Marte e il superamento del modello tolemaico

“De latitudine vero maxima, quae contingere potest in unaqualibet periodo Martis, multo perplexius est negocium, certa loca ejus Geometrice definire: et involvit magnum illud paradoxum…” - (fr:12460) [Quanto alla latitudine massima, che può verificarsi in un qualsiasi periodo di Marte, è un problema molto più intricato definire geometricamente i suoi luoghi certi: e implica quel grande paradosso…]

La determinazione delle latitudini massime di Marte rappresenta un problema di straordinaria complessità, la cui soluzione segna un punto di rottura con l’astronomia antica. Il testo si apre con un’analisi dettagliata delle variazioni di latitudine osservate nel gennaio di un anno non specificato, notando come il 31 gennaio, sedici ore dopo l’opposizione, la latitudine fosse di “4°. 31’” - (fr:12443). Si deduce che se l’opposizione fosse avvenuta il 24 gennaio, la latitudine sarebbe stata maggiore, per due cause: la minore distanza della Terra dal pianeta in posizione acronica e la maggiore vicinanza di Marte al perigeo, essendo più lontano dall’apogeo (fr:12444-12447). Viene quindi stabilito che la massima latitudine borea, con un’anomalia coequata complementare di 10° e una distanza di Marte di 166200, risulta “circiter 4°. 31 %‘“ - (fr:12450-12451), mentre in congiunzione con il Sole appare di soli 1° 8’ 30”. Per la latitudine austrina massima, con un’anomalia di 170° e distanza 138420, si calcola un valore di ”6°. 52’. 20” proxime” - (fr:12456-12457), che in congiunzione si riduce a 2° 4’ 20”.

La parte centrale del testo introduce il grande paradosso che emerge dalle osservazioni di Tycho Brahe del La testimonianza è riportata come un reperto storico di eccezionale valore, un dialogo diretto tra i due astronomi: “Consideratione dignum est, quod Mars circa decimam diem Augusti habuerit maximam latitudinem Austrinam; et postea decreverit; ita ut die XXIV in oppositione, quasi quarta parte gradus propior eclipticae redditus sit, quod tamen Canones, etiam correcto latitudinis maximae loco, in XVIII Aquarii nequaquam exhibent” - (fr:12463) [È degno di considerazione che Marte, intorno al 10 agosto, abbia avuto la massima latitudine austrina; e poi sia diminuita, così che il 24, in opposizione, si sia riavvicinato all’eclittica di quasi un quarto di grado; cosa che i Canoni, anche correggendo il luogo della massima latitudine in 18° dell’Acquario, non mostrano in alcun modo]. L’enigma è condensato nella reazione di Brahe che, sollecitato da Keplero sul tema, esclama: “hoc est mirabile, latitudines fieri maximas, ante ve! post oppositiones cum Sole” - (fr:12466-12467) [questo è straordinario, che le latitudini diventino massime prima o dopo le opposizioni con il Sole].

Keplero offre una spiegazione fisico-geometrica che lega la latitudine alla dinamica delle distanze. La latitudine è massima “quando distantia Martis a Terra crescit ve! decrescit eadem proportione, qua crescunt ve! decrescunt lineae inclinationum Martis” - (fr:12470-12472) [quando la distanza di Marte dalla Terra cresce o decresce nella stessa proporzione in cui crescono o decrescono le linee delle inclinazioni di Marte]. La variazione è continua: la latitudine aumenta se la distanza decresce più rapidamente delle linee d’inclinazione, o se queste crescono mentre la distanza cala; viceversa, diminuisce quando la distanza cresce più delle linee d’inclinazione o quando queste calano all’aumentare della distanza. Il fenomeno si verifica “promiscue fiunt jam in oppositione, jam ante, jam post; prout oppositio ve! in limitem inciderit, ve! ante, aut post limitem” - (fr:12476-12478) [indifferentemente ora in opposizione, ora prima, ora dopo; a seconda che l’opposizione cada nel limite, o prima, o dopo il limite]. Le Effemeridi kepleriane confermano questa variabilità con esempi concreti: nel 1604 la massima latitudine borea si ebbe circa il 25 febbraio o il 6 marzo, con l’opposizione un mese dopo; nel 1605 la massima borea avvenne con il Sole in aspetto di quintile o quadrato; nel luglio 1606 la massima austrina con il Sole in trigono; e nel 1607 la massima borea occorse poco dopo la congiunzione (fr:12480-12486).

Viene poi condotta una verifica puntuale per il 10 agosto Con i calcoli, il luogo eccentricio di Marte nell’eclittica risulta 0° 41’ 18” della Bilancia, il Sole a 7° 31’ 49” del Cancro, l’angolo al Sole di 5° 3’ 29” e l’angolo alla Terra di 18° 25’. Marte calcolato è a 16° 3’ della Bilancia, osservato a 16° 1’. L’inclinazione calcolata è “1°. 46’. 10” - (fr:12505-12507). Applicando il metodo descritto nel capitolo LXII, si ottiene una latitudine vista di “6°. 21’. 14”“ - (fr:12510-12512), superiore di soli due minuti al dato osservativo, un residuo trascurabile che convalida l’ipotesi. Il testo rimanda anche all’uso delle distanze vere e degli angoli veri, con riferimento allo schema del capitolo XX, dove ”differre CB, BA, a CL,LA” - (fr:12514) [differiscono CB, BA, da CL, LA], precisando la sottigliezza geometrica del metodo.

La causa per cui tutto ciò appariva mirabile nell’astronomia antica è individuata nella erronea concezione tolemaica. Tolemaico, “cum haereret in epicycli imaginatione” - (fr:12488) [poiché era invischiato nell’immaginazione dell’epiciclo], vedendo che in opposizione il pianeta deviava in una direzione, suppose per congettura che in congiunzione, quando non è visibile, deviasse nella direzione opposta, “scilicet ut aliqua esset compensatio et restitutionis aequalitas cohaerentiaque cum Sole” - (fr:12488) [evidentemente affinché vi fosse una qualche compensazione e uguaglianza di restituzione e coerenza con il Sole]. Keplero condanna questo approccio non come scoperta della verità tramite osservazione, ma come “falsa concepta imaginatione observationes confingere” - (fr:12489) [inventare osservazioni sulla base di una falsa immaginazione concepita], sebbene conceda indulgenza a chi aveva a disposizione poche osservazioni.

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81 Il centro del Sole e il circolo regio: la dimostrazione dei nodi di Marte e la variabilità dell’eclittica

Keplero, nell’Astronomia Nova, affronta il problema del punto di riferimento per calcolare l’eccentricità e i nodi dell’orbita di Marte, respingendo l’uso del punto medio (ṽ) adottato da Tolomeo, Copernico e Brahe, e dimostrando la necessità di adottare il centro del Sole (x).

Il capitolo LXVII si apre ricordando una dimostrazione già fornita: “Demonstratum est capite LXI, extructa Martis eccentricitate ex ipso centro Solis, sive quod idem est, observationibus acronychiis ex oppositione Planetae cum loco Solis apparenti desumptis, Nodos cadere in partes, ex centro Solis oppositas, praecise admodum, id est, diametrum apsidum, et diametrum sectionis planorum eclipticae et Martis concurrere, seu secare se mutuo in centro eodem, unde eccentricitas computatur; in centro Solis scilicet.” – (fr:12549) [È stato dimostrato nel capitolo LXI, costruita l’eccentricità di Marte a partire dal centro stesso del Sole – ovvero, ciò che è lo stesso, dalle osservazioni acroniche desunte dall’opposizione del pianeta con il luogo apparente del Sole – che i nodi cadono esattamente nelle parti opposte rispetto al centro del Sole; cioè il diametro degli absidi e il diametro della sezione dei piani dell’eclittica e di Marte concorrono, ossia si intersecano reciprocamente nello stesso centro da cui si calcola l’eccentricità, vale a dire nel centro del Sole.]

Posta la questione se, usando il moto medio al posto di quello apparente del Sole, i nodi cadrebbero comunque nei luoghi opposti, la risposta è netta: “Minime vero.” – (fr:12551) [Per nulla.] Richiamando lo schema copernicano del capitolo VI, Keplero mostra che la linea dei limiti (xa) si trova a circa 16° e la linea degli absidi a 29°; la perpendicolare condotta dal punto x (centro del Sole) a xa individua il diametro dei nodi. “Ergo ipsi xa perpendicularis ex x, erit diameter Nodorum.” – (fr:12559) [Dunque la perpendicolare condotta da x alla retta xa sarà il diametro dei nodi.] Se invece si utilizza il punto medio ṽ, la perpendicolare condotta da questo punto cadrà sì in luoghi opposti rispetto a ṽ, ma non coinciderà con i veri nodi, giacché la perpendicolare condotta da x giace più in alto di uno spazio xṽ (fr:12561).

Keplero calcola le conseguenze quantitative: ponendo ṽx a 5° 45′ circa e xṽ come eccentricità solare pari a 3600 (su un semidiametro dell’orbita terrestre di 100 000), trova l’angolo in questione di 1° 1′ 33″ e uno spostamento lineare xṽ di Riducendo tale valore al semidiametro dell’orbita di Marte (152 350), ottiene 1790, corrispondente a un angolo di 1° 1′ 33″ (fr:12563‑12569). “Totidem ergo gradibus et scrupulis debuisset Nodus evehens esse loco anteriore, deprimens posteriore, si male a me factum esset, quod pro ṽ puncto Ptolemaico, Copernicano, Braheano, elegi x centrum Solis.” – (fr:12569) [Di altrettanti gradi e minuti il nodo ascendente avrebbe dovuto essere in posizione anteriore e il discendente in posizione posteriore, se io avessi sbagliato a scegliere il centro del Sole x al posto del punto ṽ tolemaico, copernicano e braheano.]

Il controllo sulle osservazioni del 28 ottobre 1595 e del 9 maggio 1589 mostra che, usando le equazioni braheane basate su ṽ, i luoghi eccentrici cadono rispettivamente a 16° 48′ e a 15° 44′ …, con una differenza di circa 1° 4′ in meno nel semicerchio boreale. Un esame più accurato delle osservazioni conduce a una correzione di circa 50′, cosicché il pianeta si trova a 17° 38′. Ne risulta un accorciamento del semicerchio superiore di 1° 53′, molto prossimo a quello calcolato di 2° 3′ (fr:12573‑12588). La conclusione è perentoria: “Stat igitur omnino punctum x, repudiatur ṽ.” – (fr:12589) [Rimane dunque del tutto il punto x, si respinge ṽ.]

Un’ulteriore conferma giunge dall’inclinazione dei piani, già indagata nel capitolo LXII. L’angolo sotto cui dal Sole si vede lo scostamento del limite boreale dall’eclittica è 1° 50′ 45″, e quello del limite australe è pressoché uguale, 1° 50′ 8″. L’uguaglianza di questi angoli implica che la linea che dal Sole va ai limiti sia rettilinea, cioè che il diametro dei limiti passi per il Sole. Se il punto di intersezione dei piani fosse invece in ṽ (sotto A), l’angolo boreale risulterebbe minore e l’australe maggiore di circa 2′ (fr:12592‑12602). Ciò conferma la scelta di x.

Stabilita la necessità fisica del centro solare, il capitolo LXVIII si interroga se l’inclinazione del piano di Marte rispetto all’eclittica sia la stessa in epoche diverse. Keplero parte dalla scoperta braheana che le latitudini delle stelle fisse sono cambiate rispetto ai tempi di Tolomeo: le stelle boreali presso il solstizio estivo hanno aumentato la latitudine, quelle australi l’hanno diminuita, e viceversa presso il solstizio invernale; presso i punti equinoziali la variazione è nulla (fr:12617‑12618).

Poiché la sfera delle fisse è libera dai moti planetari, la variazione osservata va attribuita a uno spostamento dell’eclittica. Keplero introduce allora un “circolo regio” ML, descritto dalla rotazione del corpo solare attorno al proprio asse, i cui poli sono proiettati tra le fisse. “Procul dubio igitur diversi Planetarum omnium circuli respiciunt hunc circulum Regium ML, à conversione corporis Solaris circa suum axem AE descriptum, et ad hunc quilibet tuebitur inclinationem constantis quantitatis; translatitiam tamen, quia experimur Nodos transferri.” – (fr:12635) [Senza dubbio, dunque, i diversi circoli di tutti i pianeti guardano a questo circolo regio ML, descritto dalla conversione del corpo solare intorno al proprio asse AE, e ciascuno manterrà rispetto a esso un’inclinazione di quantità costante; tuttavia traslatoria, poiché sperimentiamo che i nodi si trasferiscono.]

Anche l’eclittica, in quanto circolo planetario (del Sole o della Terra), possiede una propria inclinazione costante rispetto a quel circolo regio; i suoi nodi con il circolo ML si spostano, provocando uno scivolamento dell’eclittica tra le stelle fisse. Così possono mutare le latitudini stellari, mentre l’obliquità MK o LH, misurata dalla distanza polare FB, resta invariata (fr:12638‑12642). Keplero deduce che i limiti dell’eclittica sono prossimi agli equinozi e i nodi ai solstizi, e che il limite boreo si trova probabilmente in Ariete o in Bilancia (fr:12648‑12650).

L’ipotesi si salda con la teoria della “diametro virtuosa” che produce l’eccentricità: l’afelio terrestre è a 5° ½ Sagittario, mentre il limite (il punto in cui la Terra si trova quando la virtù che causa la latitudine si protende nel Sole) è in Ariete. “Hinc licet ratiocinari probabiliter, in 5½° § et ,1; coincidere circulum hunc coecum seu eclipticam mediam cum vera nobis nota.” – (fr:12655) [Da qui è lecito ragionare probabilmente che a 5° ½ di Sagittario e Gemelli quel circolo cieco, ossia l’eclittica media, coincida con quella vera a noi nota.] Se gli afelî di tutti i pianeti giacessero su un medesimo circolo massimo, si potrebbe identificare quel circolo con il circolo regio, facendo derivare da un’unica diametro virtuosa sia l’eccentricità in altezza sia l’obliquità in larghezza (fr:12656‑12659). Keplero osserva che gli apogei di Sole, Marte, Giove e Saturno concordano mediocramente, con i tre pianeti superiori collocati nello stesso semicerchio e nella medesima regione settentrionale, suggerendo che il limite austrino dell’eclittica vera sia in Bilancia e il boreo in Ariete (fr:12661‑12662).

A ulteriore testimonianza dell’esistenza di un circolo regio latente propagato dal Sole tra le stelle fisse, Keplero adduce l’obliquità dell’eclittica comunemente calcolata dall’equatore, osservando che la si potrebbe più correttamente chiamare latitudine dell’equatore rispetto all’eclittica (fr:12664). L’intera argomentazione mostra come la scelta del centro solare x e l’idea di un circolo dinamico generato dalla rotazione del Sole costituiscano due cardini della riforma kepleriana dell’astronomia, fondata sulla causalità fisica e sui dati osservativi di Tycho Brahe.

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82 La ricerca di un riferimento invariabile: il “circolo regio”, l’eclittica media e la critica alle osservazioni tolemaiche

Nel cuore del suo studio sui moti di Marte, Keplero affronta il problema delle variazioni secolari delle inclinazioni celesti, individuando un principio di stabilità basato sulla distinzione tra eclittica vera ed eclittica media, e mettendo radicalmente in discussione l’affidabilità delle osservazioni di Tolomeo, cardine dell’astronomia tradizionale.

Keplero parte da definizioni fondamentali: l’equatore è il “circulus maximus corporis Telluris, medius inter polos conversionis diurnae Telluris circa axem suum” (fr:12665) [circolo massimo del corpo terrestre, mediano tra i poli della conversione diurna della Terra attorno al suo asse], e il suo nome, assieme a quello dei poli, si estende per proiezione alla sfera delle stelle fisse ad esso sovrastante in una data epoca (fr:12666-12667). Subito dopo, introduce una prova cruciale del mutamento celeste: l’obliquità dell’eclittica non è costante. Infatti, “Olim quidem erat 23 o. 5 1 W : hodie est 23 o. 31 W. differentia 20’ • quanta est et mutatio latitudinis Fixarum” (fr:12675-12677) [Un tempo era di 23° 51½’, oggi è di 23° 31½’, una differenza di 20’, quanta è anche la variazione della latitudine delle stelle fisse.]. È proprio la variazione della latitudine delle stelle in Cancro e Capricorno a testimoniare lo spostamento del piano di riferimento.

Da questa constatazione scaturisce un’argomentazione logica stringente. Se l’equatore avesse dovuto mantenere un’inclinazione fissa, ciò sarebbe dovuto avvenire rispetto a un circolo fondamentale di riferimento; ma poiché l’eclittica vera si è mossa, essa non può essere quel circolo. “Est autem consentaneum, circulum aequatorium cum axe suo et polis, perpetuo aequali et fìxo spacio declinaturum fuisse a polis eclipticae hujus HK, si ecliptica vera praecipuus esset circulus mundi” (fr:12678) [È logico che il circolo equatore con il suo asse e i poli avrebbe dovuto mantenere una distanza angolare perpetuamente uguale e fissa dai poli di questa eclittica HK, se l’eclittica vera fosse il circolo principale del mondo.]. Keplero deduce quindi l’esistenza di un piano di riferimento più profondo e invariabile, un’eclittica media da lui definita “circolo regio”: “Itaque omnibus verisimilitudinibus consurgit nobis circulus aliquis regius LO M medius inter Planetarum circulos, ad quem omnes Planetae et hic etiam Mars tueatur inclinationem constantem” (fr:12681) [E così, secondo ogni verosimiglianza, emerge per noi un qualche circolo regio LO M, intermedio tra i circoli dei pianeti, rispetto al quale tutti i pianeti, e qui anche Marte, mantengono un’inclinazione costante.].

A questa regola universale si sottrae solo la Luna, la cui eccezione viene spiegata con una diversa meccanica celeste. Mentre i pianeti orbitano attorno al Sole, la Luna è trasportata dalla Terra in movimento. “Illos Sol in circulum rapit, Lunam Tellus” (fr:12688) [Quelli il Sole trascina nel cerchio, la Luna la Terra.]. Perciò, è naturale che la Luna mantenga costante la sua inclinazione rispetto all’eclittica mobile (HK), il piano sotto il quale si trova il circolo della Terra, mentre gli altri pianeti guardano al circolo invariabile (fr:12689-12690).

Per rendere conto geometricamente delle variazioni osservate, Keplero costruisce un modello che ruota attorno al polo dell’eclittica media (A). In esso, i punti B e C rappresentano i poli dell’equatore all’epoca di Tolomeo e in quella odierna; I e O i poli dell’eclittica tolemaica e odierna; H e F i poli dell’orbita di Marte. L’obliquità del piano di Marte sull’eclittica non è quindi costante, ma varia a seconda dello spostamento relativo dei poli. “Et ponatur polus circtlfi, sub quo Martis circuilus ordinatur, hodie in F, olim in H. Erit hodierna obliquitas, seu inclinatio plani Martii ad eclipticam OF major, Ptolemaica IH minor” (fr:12710) [E si ponga il polo del circolo, sotto il quale il circolo di Marte si dispone, oggi in F, un tempo in H. L’odierna obliquità, o inclinazione del piano di Marte sull’eclittica OF sarà maggiore, quella tolemaica IH minore.]. Tuttavia, poiché anche il polo dell’eclittica si è spostato da I a O, il moto del polo di Marte appare quasi nullo, dato che le linee di riferimento risultano quasi parallele (fr:12711).

Il discorso si amplia alla precessione degli equinozi, descritta con una potente immagine meccanica: l’asse terrestre, nel suo moto annuale, descrive un cilindro che ha la larghezza dell’orbita del Sole; nel corso dei secoli, il comporsi di infiniti cilindri genera due coni opposti con i vertici confusi nel Sole. “axis aequatoris terrestris continuatus utrinque ad Fixas annis singulis dcscribat cylindrum… At idem axis Telluris successu seculorum describit conos duos…” (fr:12715-12717) [L’asse dell’equatore terrestre, prolungato da entrambe le parti fino alle stelle fisse, descriva ogni anno un cilindro… Ma il medesimo asse della Terra, nel succedersi dei secoli, descrive due coni…].

La teoria deve però confrontarsi con la testimonianza storica delle osservazioni, e qui Keplero diventa un critico feroce dei dati di Tolomeo. Per la massima latitudine boreale di Marte, trova una differenza di soli 12’ minuti rispetto ai dati moderni, ma scredita la precisione tolemaica: “ejus instrumenti partes minimas valere lO’ minuta, et plerunque ab ipso unius hujusmodi partis quantitatem in errore poni” (fr:12732) [le parti minime del suo strumento valevano 10’ minuti, e spesso da lui la quantità di una sola di queste parti veniva posta in errore.]. La vera demolizione avviene nel capitolo LXIX. Keplero contesta la determinazione stessa del principio dell’Ariete, da cui dipendono tutte le misure del moto solare. Accumula sospetti: la possibilità di errori di rifrazione nelle armille alessandrine e, soprattutto, la mancata concordanza dei dati di Tolomeo con la tradizione osservativa indipendente di Ipparco, Albategnio e Brahe. “Alia suspicio se summa vi invito ingerit, quod aequinoctiorum momenta a PTOLEMAEO prodita intra sesquidiem non consentiunt, analogiae praeteritarum HIPPARCHI, et sequentium ALBATEGNII et BRAHEI observationum, quae omnes in unam aequalitatem conspirant” (fr:12758) [Un altro sospetto si insinua con forza contro la mia volontà, cioè che i momenti degli equinozi forniti da Tolomeo non concordano entro un giorno e mezzo con l’analogia delle osservazioni passate di Ipparco e di quelle successive di Albategnio e Brahe, che tutte cospirano in un’unica uniformità.].

Questo singolo errore sul tempo dell’equinozio ebbe un impatto dirompente sulla storia dell’astronomia, generando mostri teorici poi rivelatisi fittizi. “Quae res multis perplexissimis de coelo opinionibus occasionem dedit, motusque trepidationis et librationis peperit” (fr:12767) [Questo fatto diede occasione a molte intricatissime opinioni sul cielo e generò i moti di trepidazione e librazione: i quali sono tutti sovvertiti, una volta scoperto…]. Poiché le osservazioni antiche certe di Marte si riducono a pochissimi eventi mal datati, Keplero è costretto ad arrestare il lavoro e a formulare un appello accorato alla posterità: “cogit nos ipsa rei conditio, hanc de motu Nodorum disputationem, ut multa alia, relinquere posteritati; siquidem DEO placuerit justum humano generi spacium temporis in hoc mundo indulgere, ad residua ista perdiscenda” (fr:12736) [la condizione stessa del problema ci costringe ad affidare ai posteri questa discussione sul moto dei nodi, come molte altre; se a Dio piacerà concedere al genere umano in questo mondo un sufficiente spazio di tempo per apprendere le cose che restano.]. La stessa fondazione dell’astronomia greca si svela qui come un cantiere compromesso da dati inquinati, su cui Keplero tenta di posare nuove pietre angolari, come il “circolo regio”, per una scienza finalmente stabile e fisica.

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83 L’incertezza delle osservazioni tolemaiche e il confronto con i dati di Brahe nell’analisi del moto di Marte

Il testo espone, con rigore tecnico, un passaggio cruciale dell’indagine astronomica moderna: la valutazione dell’affidabilità delle antiche osservazioni di Tolomeo rispetto a quelle, ben più precise, di Tycho Brahe. L’autore, con ogni probabilità Keplero nell’Astronomia Nova, sta verificando se i parametri orbitali di Marte – eccentricità solare, luogo dell’apogeo e posizione delle stelle fisse – possano essere determinati univocamente, o se sussistano ambiguità insormontabili.

Il punto di partenza è una dichiarazione di metodo che privilegia nettamente i dati recenti: “Contemnemus enim, etiamsi majus aliquid, vel sine suspicione erroris Fixarum, insinuarent observationes: cum certum sit, non ferre illas tantam subtilitatem, quantam ferunt Braheanae” – (fr:12856) [Infatti, anche se le osservazioni suggerissero qualcosa di più grande, o senza sospetto di errore delle Stelle Fisse, le trascureremo: poiché è certo che esse non sopportano una sottigliezza tale, quanta ne sopportano quelle di Brahe]. Di conseguenza, si decide di adottare “formam aequationum, ex observatis Braheanis inventam: quasi maneant omnibus saeculis eaedem” – (fr:12857) [la forma delle equazioni trovata dalle osservazioni braheane, come se rimanessero le stesse per tutti i secoli]. L’incertezza intrinseca delle posizioni stellari antiche è tale che, “etsi hoc posterius nobis nihil facesset negotii” – (fr:12855) [anche se quest’ultima cosa non ci darebbe alcun problema], la scelta è comunque obbligata.

L’indagine si articola attorno a “tria bivia” – (fr:12858) [tre bivi], relativi all’eccentricità del Sole, al luogo del suo apogeo e alla collocazione zodiacale delle stelle fisse e di Marte. Da queste alternative discendono molteplici combinazioni possibili per il moto medio e l’afelio. Per esplorare fino a che punto “incertitudo locorum Fixarum in zodiaco attineat observationes Martis” – (fr:12859) [l’incertezza dei luoghi delle Stelle Fisse nello zodiaco riguardi le osservazioni di Marte], si assume come base la “reductio ad Solis apparentem oppositionem” – (fr:12860) [riduzione all’opposizione apparente del Sole] delle osservazioni tolemaiche. La prima analisi, come annunciato dal titolo “DE MOTIBVS STELLAE MARTIS Prima inquisitio retineat omnia Ptolemaica circa Solem et Fixas” – (fr:12861) [SUI MOTI DELLA STELLA MARTE La prima indagine mantenga tutti i parametri tolemaici riguardo al Sole e alle Stelle Fisse], conserva dunque integralmente i valori di Tolomeo.

Il testo prosegue con una minuziosa ricostruzione di tre opposizioni di Marte osservate all’epoca di Adriano e Antonino Pio (con date espresse nel calendario egizio: Tybi, Pharmuthi, Epiphi). Vengono calcolati i luoghi medi e apparenti del Sole, i moti diurni, gli intervalli temporali e le corrispondenti posizioni di Marte. Dai tre intervalli si ricavano il moto medio dalle stelle fisse – “Respondet autem intervallo primo motus medius a Fixis ultra integras periodos gr. 80°. 57’. 14”, secundo gr. 96°. 16’. 24““ – (fr:12915-12921) [Al primo intervallo corrisponde un moto medio dalle Stelle Fisse, oltre i periodi interi, di 80° 57’ 14”, al secondo di 96° 16’ 24”] – e il moto apparente osservato. Si applica quindi l’ipotesi moderna, derivata dalle osservazioni più recenti, per verificare se i conti tornino: ”Jam igitur adhibeatur hypothesis hactenus investigata et constituta ex recentissimis observationibus, et quaeratur, quo loco anomaliae, respondeant mediis motibus tantis, apparentes in eccentrico tanti, quantos jam dixi” – (fr:12929) [Ora dunque si applichi l’ipotesi fin qui investigata e costituita dalle osservazioni più recenti, e si cerchi in quale luogo dell’anomalia corrispondano ai moti medi tanto grandi, gli apparenti nell’eccentrico di tanto, come ho già detto].

Provando diverse configurazioni, si trova che, ponendo l’afelio di Marte a 0° 41′ dell’Ariete e assegnando opportune anomalie medie, le longitudinali calcolate per le tre opposizioni coincidono quasi perfettamente con i luoghi osservati: 21° 7′ Gemelli, 29° Cancro (o Leone? il testo reca 61) e 2° 37′ Leone. Il commento dell’autore è però di estrema cautela: “Non tamen sunt enim fundamenta talia, ex quibus tanta praecisio sperari possit” – (fr:12938) [Non sono infatti tali fondamenti, da cui si possa sperare tanta precisione]. La concordanza è giudicata “fortuita praecisione” – (fr:12937) [con precisione fortuita], proprio perché basata su dati antichi intrinsecamente rozzi.

Anzi, l’autore aggiunge una riflessione significativa sul valore probatorio di un insieme ridotto di osservazioni: “Quod si PTOLEMAEVS plures sui temporis oppositiones annotasset, procul dubio majorem experiremur difficultatem” – (fr:12939) [Che se Tolomeo avesse annotato più opposizioni del suo tempo, senza dubbio sperimenteremmo una difficoltà maggiore]. Accordare tre punti è relativamente semplice, mentre un numero maggiore di dati rivelerebbe inevitabilmente le discrepanze. “Cum tribus enim Solis facile transigitur” – (fr:12940) [Con tre osservazioni del Sole infatti si transige facilmente], conclude lapidariamente. Il riferimento “Compara hoc aphelium cum capite XVII” – (fr:12941) [Confronta questo afelio con il capitolo XVII] indica un rinvio interno all’opera, probabilmente a una discussione più ampia o a una tabella comparativa.

La seconda parte del capitolo (introdotta da “PARS QVINTA / CAPVT LXIX” – fr:12942) esplora una variante: mantenendo l’equazione e l’apogeo solare tolemaici, si aggiungono 30 minuti alle posizioni delle stelle fisse. Il risultato è quasi identico: “Paululum quid aliud prodibit” – (fr:12943) [Ne uscirà qualcosa di poco diverso]. Dopo aver ricalcolato tempi e luoghi, si constata che “Manebunt intervalla cum temporis, tum locorum Zodiaci, quam proxime eadem. Quare eadem etiam erit distributio anomaliae mediae inter has observationes, quae jam modo fuit inventa” – (fr:12957-12958) [Gli intervalli sia di tempo sia di luoghi dello Zodiaco rimarranno quasi gli stessi. Perciò anche la distribuzione dell’anomalia media tra queste osservazioni sarà la stessa che è stata appena trovata]. L’esperimento conferma la sostanziale insensibilità del modello a piccole variazioni sistematiche delle stelle fisse, ma non riscatta la qualità dei dati di partenza.

Nel complesso, il brano testimonia il travaglio metodologico dell’astronomia seicentesca nel tentativo di conciliare la tradizione tolemaica con l’enorme salto di precisione introdotto da Brahe, e mostra come la consapevolezza dei limiti osservativi antichi imponesse di fondare la nuova fisica celeste quasi esclusivamente sul patrimonio braheano.

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84 L’analisi delle osservazioni tolemaiche di Marte e la tensione verso una nuova ipotesi (Astronomia Nova, Capo LXIX)

Il brano, tratto dal Capo LXIX della Astronomia Nova di Keplero, espone un esame minuzioso di come la variazione dei parametri orbitali influenzi l’accordo con le tre opposizioni di Marte registrate da Tolemeo. Il testo procede per casi successivi, spostando l’afelio, l’apogeo solare, l’eccentricità e la longitudine delle stelle fisse, e misurando le differenze che ne conseguono. La discussione è condotta quasi interamente nell’ordine dei minuti d’arco, mostrando la sensibilità del calcolo astronomico e la stretta relazione tra i dati osservativi e la scelta dell’ipotesi.

L’indagine inizia con un piccolo spostamento dell’afelio di Marte: “Tantummodo aphelium transponetur totidem minutis, ut sit ultimo in 1” – (fr:12959) [Soltanto l’afelio sarà trasposto di altrettanti minuti, così che alla fine si trovi in 1° 0′.] A questo aggiustamento si accompagnano correzioni del moto medio, con variazioni dell’ordine di 5′ 15″ per adattarsi agli intervalli di tempo ricavati dalle date egizie (Tybi, Pharmuthi, Epiphi). Il calcolo rivela che il primo intervallo temporale è risultato minore e quindi il moto medio corrispondente deve essere ridotto: “Primum temporis intervallum factum est minus, itaque et motus medius illi per 5′. 15″ minor respondet, ut sit grado 80°. 53′.” – (fr:12994-12996) [Il primo intervallo temporale è risultato più piccolo, e perciò il moto medio relativo risponde minore di 5′ 15″, così che risulti di 80° 53′.]

Nei casi seguenti (terzo, quarto, quinto, sesto, settimo) si interviene in modo incrociato sull’apogeo e sull’eccentricità del Sole, sulla longitudine delle fisse e sull’eccentricità di Marte. Ogni modifica produce scostamenti calcolati con precisione, come quando, spostando l’apogeo solare di 11 o 12 gradi, “primo tempore Sol erit per 20′ minuta loco priori … ultimo per 21′ minuta erit loco posteriori ob Solis aequationes alias.” – (fr:12970) [nel primo tempo il Sole sarà spostato di 20′ in posizione precedente … nell’ultimo tempo sarà di 21′ in posizione posteriore a causa di altre equazioni solari.] L’accumularsi di queste piccole discrepanze conduce a un punto di svolta concettuale.

Keplero osserva che, se ci si abbandonasse alla pura indagine senza vincolarsi all’ipotesi moderna, i dati genererebbero spontaneamente un’altra ipotesi e un’altra eccentricità: “Itaque si indulgeremus inquisitioni, et non propositam haberemus hypothesin modernam, gigneretur omnino nobis alia hypothesis, aliaque eccentricitas.” – (fr:13007) [Pertanto, se ci abbandonassimo all’indagine e non avessimo proposta l’ipotesi moderna, si genererebbe per noi un’ipotesi del tutto diversa e una diversa eccentricità.] Al tempo stesso, se si attribuisse certezza assoluta alle tre osservazioni di Tolemeo, ne deriverebbe che l’apogeo del Sole fu da lui fissato correttamente: “si certissimae essent hae tres observationes PTOLEMAEI, argumentum inde nasceretur, apogaeum Solis ab ipso recte constitutum.” – (fr:13008) [se queste tre osservazioni di Tolemeo fossero certissime, ne scaturirebbe l’argomento che l’apogeo del Sole fu da lui stabilito correttamente.]

La correzione più incisiva riguarda l’eccentricità: per spiegare i moti osservati attorno all’afelio e al perielio “fieri aliter non potest quam auctione eccentricitatis.” – (fr:13030) [non può avvenire altrimenti che con un aumento dell’eccentricità.] Così, dopo aver provato diverse combinazioni, la spinta verso il mutamento dell’ipotesi si fa palese: “Rursum igitur haec adhibita correctio, evidentius quam prior, vocat nos ad mutationem hypotheseos; nisi optimo consilio in verba et numeros hypotheseos hujus saeculi jurassemus.” – (fr:13029) [Di nuovo, pertanto, questa correzione applicata, più evidentemente della precedente, ci chiama a un cambiamento dell’ipotesi; a meno che non avessimo giurato, con ottimo consiglio, sulle parole e i numeri dell’ipotesi di questo secolo.]

Il passo è una testimonianza preziosa del metodo kepleriano: le osservazioni vengono scandagliate fino al limite della precisione strumentale, e la fedeltà ai numeri conduce a riconoscere l’insufficienza del modello ereditato. La tensione fra il rispetto per l’«ipotesi di questo secolo» e la pressione dei fatti anticipa il ribaltamento che porterà all’ellisse marziana. L’intero brano mostra come un’incertezza di pochi minuti d’arco potesse mettere in discussione i fondamenti dell’astronomia planetaria.

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85 Rettifica dell’epoca del moto medio di Marte e critica della longitudine tolemaica delle fisse

L’analisi si sviluppa intrecciando un esperimento computazionale basato su osservazioni tolemaiche, la discussione della rifrazione atmosferica e la determinazione di un’epoca del moto medio di Marte ancorata alle stelle fisse, culminando nella revisione del moto dell’afelio.

Si parte dalla modifica dei dati osservativi iniziali. Viene considerato un caso in cui il primo intervallo rimane invariato mentre l’ultimo muta notevolmente: “Manet igitur intervallum primum, ut casu primo; mutatur ultimum permultum” – (fr:13070) [Rimane dunque il primo intervallo, come nel primo caso; l’ultimo muta di molto.]. A ciò si lega una conseguenza dinamica sul moto planetario: poiché in un tempo minore è stato percorso più spazio, “descendendum igitur versus perigaeum profundius” – (fr:13071) [si deve dunque scendere più profondamente verso il perigeo.]. La variazione nei tempi e negli archi percorsi porta a correggere la posizione: muovendo l’afelio, si ottiene per l’ultimo istante la posizione “in 29°.29’ §” – (fr:13076) [in 29°29’ del Capricorno] con un’anomalia media di 131°45’. Di conseguenza, il moto medio calcolato differisce da quello del primo caso.

Mutando i tre dati desunti da Tolomeo, il risultato complessivo scaturisce dalla composizione del settimo e del secondo caso: “Denique omnibus tribus, quae ex Ptolemaeo sumpseramus mutatis, componetur effectus ex casibus septimo et secundo” – (fr:13085) [Infine, mutati tutti e tre i dati che avevamo preso da Tolomeo, l’effetto sarà composto dal settimo e dal secondo caso.]. Nonostante queste manipolazioni, l’epoca del moto medio misurato dall’equinozio e dalle stelle fisse non viene alterata significativamente, né l’eccentricità del Sole, né il suo apogeo: “Appatet igitut epocham motus medii ab aequinoctio et Fixis non mutati multum, neque eccentticitate Solis, neque apogaeo” – (fr:13086) [Risulta quindi che l’epoca del moto medio dall’equinozio e dalle Fisse non è mutata di molto, né l’eccentricità del Sole, né l’apogeo.].

Il vero scarto emerge nel secondo caso, dove il moto medio dall’equinozio subisce una sottrazione di 10’ e quello dalle fisse di 20’. Ciò impone una delicata questione storiografica e computazionale: “I Hinc igitur duplex constituitur epocha motus ad PTOLEMAEItempora” – (fr:13099) [Da qui dunque si stabilisce una duplice epoca del moto ai tempi di Tolomeo.]. Keplero si chiede se non si possa invece trovare una soluzione che eviti questa sdoppiata epoca, preservando la longitudine tolemaica delle stelle fisse con una combinazione diversa di casi.

La discussione si sposta sulla rifrazione e su un’osservazione lunare di Tolomeo. La distanza misurata tra Luna e Sole di 92°8’ è ritenuta vera da Tolomeo e coerente con la sua ipotesi; Keplero argomenta che, se il Sole fosse stato realmente a 3°5’ del Sagittario come voleva l’ipotesi, la Luna non avrebbe potuto apparire a quella distanza a causa della rifrazione. Poiché il Sole al tramonto appare più alto e quindi spostato in avanti di circa 30’, l’arco osservato di 92°8’ corrispondeva in realtà a un arco vero di 92°38’. Dunque, “Sol verissime non fuit in 3°. 3’ X sed in 2°. 33’ x” – (fr:13111-13112) [il Sole in tutta verità non fu in 3°3’ del Sagittario ma in 2°33’ del Sagittario.]. Questo risultato concorda con il caso quinto, che riduce di 20’ l’equazione massima tolemaica, spostando il Sole a 2°43’ del Sagittario. L’applicazione sistematica della rifrazione, già trattata nell’Ottica, fornisce così un argomento a favore di un’eccentricità solare minore di quella stimata da Tolomeo: “argumentum nobis nascitur, diminutioris eccentricitatis Solis, quam putabatur a PTOLEMAEO” – (fr:13115) [ci nasce un argomento per un’eccentricità del Sole più piccola di quanto ritenuto da Tolomeo.].

Keplero non vede un problema nella differenza residua di 10’ tra la correzione per rifrazione e quella per eccentricità, liquidandola come irrilevante per chi abbia pratica con l’abaco tolemaico delle fisse. Porta un esempio lampante di imprecisione nelle distanze stellari registrate da Tolomeo: la distanza tra il cuore del Leone e la Spiga della Vergine è data in 54°10’, mentre nel cielo moderno essa non supera i 53°59’.

Si giunge così alla scelta definitiva: seguire razionalmente il primo caso e fissare l’epoca del moto medio di Marte per l’anno II di Antonino. Il tempo corrisponde all’anno volgare 139 d.C., il 27 maggio: “Tempus eongruit anno Christi vulgari CXXXIX D. XXVII Maji” – (fr:13127) [Il tempo corrisponde all’anno volgare di Cristo 139, il giorno 27 di maggio.]. Tenendo conto della differenza di meridiano tra Hven e Alessandria, a quell’istante il moto medio di Marte calcolato da Keplero si trova a 8s 11°18’30“. La posizione della stella fissa di riferimento, il cuore del Leone, è invece 4s 2°30’ all’epoca tolemaica. Ne deriva che la distanza del moto medio di Marte dalla stella era di 4s 8°48’30” nel 139, mentre nel 1599, sotto le osservazioni di Brahe, tale distanza risultava di 7s 6°31’45”. La differenza accumulata nell’intervallo consente a Keplero di calcolare con precisione il moto secolare.

L’analisi si conclude con un dato dinamico fondamentale per il modello planetario: il moto dell’afelio risulta diverso da quanto stabilito in precedenza. Nel 139, l’afelio si trovava a 0°41’ del Leone, precedendo il cuore del Leone di 1°49’; nel 1599, la sua longitudine è calcolata in 28°58’50” del Leone.

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86 Analisi delle Osservazioni Ptolemaiche e della Determinazione dei Moti Solare e Marziano

Il testo presenta un’analisi critica, tipica del metodo kepleriano, volta a verificare le osservazioni di Tolomeo su Marte e a stabilire con precisione i parametri fondamentali del moto solare e planetario, utilizzando come riferimento la stella fissa Cor Leonis (Regolo) e i dati osservativi moderni di Tycho Brahe.

L’indagine muove dalla determinazione della posizione dell’afelio solare. Viene calcolato lo spostamento di questo punto nel corso di quattordici secoli, confrontando l’epoca tolemaica con quella moderna. Si legge infatti: “Sequitur ergo aphelium hodie . . 4°. 43’· 5” Praecedebat vero Ptolemaeo . . . 1 49” o” Intervallo annorum MCCCCLX Julian.“ – (fr:13168-13170) [Ne consegue che oggi l’afelio segue a 4° 43’ 5”, mentre al tempo di Tolomeo precedeva di 1° 0’ 49“. In un intervallo di 1460 anni giuliani.]. Ciò fissa un progresso annuo di poco superiore ai 16 secondi, e permette di stabilire l’afelio per l’epoca di riferimento: “Radix Christi igitur ad 1 Januarii 3 0 meridiem habet aphelium hoc ante cor 6ì 0. 1 gradibus.” – (fr:13173) [Alla radice di Cristo, dunque, il 1 gennaio a mezzogiorno, questo afelio si trova davanti al Cuore del Leone di 2 segni, 0 gradi e 21 primi.].

Segue un’analisi per determinare il moto medio del Sole rispetto alle stelle fisse, “per usi futuri”. Si impiega un’osservazione del 139 d.C.: “Cum anno Christi CXXXIX D. IX Pharmuthi, hoc est XXIII Februarii, occidente Sole hora V M. XXX Huennae H. III M. XXX fuerit apparens Solis 3°. 3’ X computatus; medius igitur 0°. 43’ X.” – (fr:13175-13176) [Nell’anno 139 d.C., il 9 Farmuthi, ovvero il 23 febbraio, al tramonto che a Huenna corrisponde alle 3:30, il Sole apparente era a 3° 3’ in Vergine; calcolato, il medio era dunque a 0° 43’ in Vergine.]. Calcolando a ritroso da un’osservazione del 1599, l’autore trova una differenza rispetto alle Tavole Pruteniche: “Colligimus in tot annis per ’.”, minus quam ex Prutenicis, eritque epocha in radice Christi Januarii in meridie S8.7°. 14 36” a corde Leonis.” – (fr:13189-13192) [Raccogliamo in tanti anni una differenza di 2’ 42“, in meno rispetto alle [tavole] Pruteniche, e l’epoca alla radice di Cristo, il 1 gennaio a mezzogiorno, sarà a 7° 14’ 36” dal Cuore del Leone.]. Parallelamente, si determina il progresso dell’apogeo solare in 8° 23’.

Il fulcro dell’estratto è l’analisi del Capitolo LXX, dedicato alla verifica della proporzione delle orbite al tempo di Tolomeo. L’autore esprime un cauto scetticismo sulla precisione del dato utilizzato da Tolomeo, osservando che egli impiegò “un’unica osservazione, e per di più entro tre giorni vicina all’opposizione stessa” – (fr:13201). Viene ribadito che “osservazioni così vicine [all’opposizione] errano enormemente se sbagliano anche di un solo minuto primo” – (fr:13202-13203). Ciononostante, decide di seguire le tracce di Tolomeo e ricalcolare il quarto luogo.

Vengono quindi eseguiti i calcoli comparativi della posizione di Marte. Utilizzando l’eccentricità solare moderna, la differenza tra il Sole opposto e l’eccentrico di Marte risulta “1 5’. 6”“ – (fr:13224-13225) [1 grado, 5 primi, 6 secondi], posizionando Marte in Acquario. Applicando invece l’eccentricità tolemaica, la posizione del pianeta cambia leggermente. Il confronto con la dichiarazione di Tolomeo, che vide Marte a “1 36’ .J’.” – (fr:13235-13236) [1 grado e 36 primi in Acquario], rivela uno scarto: “Plus igitur justo colligimus per 7’ vel 10’.” – (fr:13237) [Raccogliamo quindi più del giusto per 7’ o 10’.].

Questa discrepanza viene immediatamente contestualizzata e assolta considerando i limiti strumentali dell’astronomia antica: “At pars minima instrumenti Ptolemaici, quam semper in errore ponere cogitur, valet IO’.” – (fr:13238) [Ma la parte più piccola dello strumento tolemaico, che è sempre costretto a porre in errore, vale 10’.]. In virtù di questa tolleranza, l’autore conclude che “haec consentiunt” – (fr:13243) [queste concordano]. Si aggiunge anche una nota tecnica sulla propagazione dell’errore: un errore di due minuti nella posizione eccentrica ne produce uno di sette nel luogo osservato.

Poiché un’opposizione così ravvicinata rende irrilevante l’effetto di una diversa eccentricità, l’analisi si estende a un’osservazione più antica, quella del 18 gennaio 272 a.C. Viene calcolato minuziosamente l’intervallo di tempo trascorso: “Inter mane XVIII Januarii anni ante Christum CCLXXII currentis, et meridiem I Januarii anno I Christi, anni sunt Aegyptii CCLXXII dies LI et horae aliquote” – (fr:13245) [Tra il mattino del 18 gennaio dell’anno 272 a.C. corrente, e il mezzogiorno del 1 gennaio dell’anno 1 d.C., ci sono 272 anni egiziani, 51 giorni e alcune ore.]. Per questa data vengono calcolate le posizioni del Sole e di Marte, distinguendo i parametri di Tolomeo da quelli di Brahe, e si impostano due percorsi di calcolo, “primo per eccentricitatem et aequationem Ptolemaicam” – (fr:13266) [prima tramite l’eccentricità e l’equazione tolemaica], per giungere alla fine della verifica.

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87 L’osservazione antica di Marte nella fronte dello Scorpione e la confutazione della proporzione orbitale tolemaica

Keplero smonta l’interpretazione tolemaica di un’osservazione di Marte, mostrando come un errore nell’identificazione della stella abbia condotto a una proporzione errata dei raggi orbitali, e difende la costanza del suo modello planetario attraverso il confronto con i dati di Brahe.

Il passo esamina un’osservazione antica in cui Marte appariva «quasi appositus seu adaptatus Boreali fronti Scorpii» (fr:13289) [come posto o adattato alla fronte boreale dello Scorpione]. Keplero confronta due calcoli della posizione del pianeta: il proprio, che fornisce un’elongazione dalla stella Regolo di «3 S. 4°. 51’. 28“» (fr:13301) [3 segni 4 gradi 51 primi 28 secondi, ossia 94° 51’ 28”], e quello condotto con l’eccentricità e le equazioni di Brahe, giudicando la differenza trascurabile: «Differentia inter utrumque calculum perexigua et nullius momenti» (fr:13285) [La differenza tra i due calcoli è piccolissima e di nessun momento].

Tolomeo, confidando in questa osservazione perché la più antica a cui potesse appoggiarsi, «constituit procul dubio proportionem illam orbium, quam adhuc invenimus in ejus numeris, et quantam requirere videbatur haec observatio» (fr:13305) [stabilì senza dubbio quella proporzione delle orbite che ancora troviamo nei suoi numeri e che quest’osservazione sembrava richiedere]. Keplero lo accusa di aver simulato di ricavare tale proporzione da un’altra osservazione, vicina all’opposizione, mentre in realtà aveva già utilizzato questa, falsando la proporzione per difenderla: «Nam absurde tentari proportionem orbium, per observationem tam vicinam oppositioni, quam fuit illa, qua Ptolemaeus se hanc proportionem demonstrasse simulat, id jam est dictum» (fr:13310) [È già stato detto che è assurdo tentare la proporzione delle orbite con un’osservazione così prossima all’opposizione, come fu quella con cui Tolomeo finge di averla dimostrata].

La discrepanza di fondo sta nell’interpretazione delle parole dell’osservatore. Tolomeo intese la stella principale (Clara) della fronte dello Scorpione, ma Keplero sospetta un errore: «quod Ptolemaeus, qui primam Scorpii intellexit, cum Observator quintam innueret» (fr:13312) [che Tolomeo, il quale intese la prima dello Scorpione, mentre l’osservatore indicava la quinta]. La spiegazione poggia sulla descrizione della costellazione: la fronte dello Scorpione possiede sei stelle brillanti, di cui tre di terza o seconda magnitudine e tre di quarta o terza, e tra queste ultime una è più alta e più boreale (fr:13313‑13315). L’osservatore la chiamò “fronte boreale” e Tolomeo, intendendo la più brillante tra le boreali, si espresse in modo ambiguo: «dum pro clarissima Borealium, simpliciter Borealem dixit, quae Borealissima non fuit?» (fr:13316) [mentre per la chiarissima tra le boreali disse semplicemente ‘boreale’, che non era la più boreale?]. Keplero ritiene perciò più sicuro assumere che l’osservatore si riferisse proprio alla stella più boreale, la quinta (fr:13317).

Il confronto delle longitudini sostiene questa scelta. Posta la stella boreale più settentrionale a 29° 3’ dello Scorpione secondo Brahe (fr:13319) e Regolo a 24° 17’ del Leone (fr:13320‑13321), la sua elongazione da Regolo risulta di 94° 46’. Il calcolo di Keplero colloca invece Marte a 94° 49’ o 94° 51’, con una differenza di soli 3’ o 5’ d’arco (fr:13322). Se si usasse la Clara frontis, la cui elongazione è di «3 S. 3°. 20’. 0”» (fr:13298) [3 segni 3 gradi 20 primi], lo scarto salirebbe a circa un grado e mezzo: «Differentia est sesquigradus» (fr:13304) [La differenza è di un grado e mezzo].

L’indagine si sposta poi sulla latitudine, perché il verbo greco dell’osservazione (reso in latino con «cooperuisse», «superpositum» o, in tedesco, «btangefe~t») sembrava implicare un contatto quasi fisico tra Marte e la stella (fr:13323‑13327). Keplero calcola la latitudine di Marte in quel momento in 1° 7’ (fr:13337) e la confronta con i dati moderni: la Clara ha latitudine 1° 5’, la Borealissima 1° 42’ (fr:13338‑13340). Apparentemente, i numeri suggerirebbero che Marte abbia coperto la Clara. Tuttavia, le latitudini delle stelle boreali sono oggi minori di circa 16’ 20” rispetto all’antichità, a causa dello spostamento dell’eclittica dimostrato da Brahe (fr:13352‑13354). Dunque, all’epoca di Tolomeo la latitudine della Clara non era inferiore a 1° 20’ (fr:13356‑13358), mentre Marte ne possedeva una minore e passò sotto entrambe le stelle. L’espressione dell’osservatore va perciò intesa come semplice apposizione in longitudine, che non esclude una latitudine diversa: «nec aliter illa explicanda est, quam de appositione stellarum in eandem longitudinem» (fr:13365) [né altrimenti va spiegata se non come apposizione delle stelle nella stessa longitudine].

Keplero propone infine un’interpretazione alternativa: nella fronte boreale dello Scorpione si trovano tre stelle disposte a triangolo e Marte fu visto proprio nel mezzo, divenendo così una di esse (fr:13366). A favore depone il fatto che l’osservatore scrisse «Borealifronti», non «Borealifrontis», indicando cioè l’intera regione della costellazione e non una singola stella (fr:13367). Di conseguenza, le due osservazioni antiche non offrono alcun sostegno per determinare né la latitudine né la proporzione orbitale di quel tempo (fr:13368‑13369). L’intera argomentazione conduce a una conclusione netta: «concludamus, eandem esse et hodie proportionem orbium, quae fuit olim, latitudines vero maximas nonnihil hodie esse immutatas» (fr:13370) [concludiamo che la proporzione delle orbite è oggi la stessa di un tempo, mentre le latitudini massime hanno subìto qualche variazione].

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