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Jordanus Nemorarius - Arithmetica decem libris demonstrata - 1514 | pL | m

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[1.1-50-88|137]

1 Proporzioni e moltiplicazioni tra numeri: dimostrazioni geometriche

“Se un numero è diviso in parti uguali o disuguali, le relazioni tra i prodotti e le differenze seguono regole precise.”

Il testo espone relazioni matematiche tra numeri divisi in parti, usando esempi concreti. Si dimostra che: - Moltiplicando due numeri (“b” e “a”) e confrontando i prodotti con altri fattori, si ottengono proporzioni costanti. Ad esempio, “tanta a x t C numero in t quanto è quello che si ottiene da c prodotto in sé e nell’altro” - (fr:99) [Tanto a moltiplicato per t è uguale a c moltiplicato per sé stesso e per l’altro numero]. - Se un numero è diviso in parti disuguali (“a” maggiore di “b”), il prodotto di “a” per sé stesso supera quello di “b” per sé stesso di quanto “a” supera “b” moltiplicato per la loro somma: “quod fit ce a bin fc: cquum et quod fit ce ouctu cuius in a t b” - (fr:104) [Ciò che risulta da c moltiplicato per a in b è uguale a ciò che risulta dal prodotto di un numero in a e b]. - Le dimostrazioni si basano su proprietà come l’alternanza delle proporzioni (“per octavam conceptionem” - fr:95) e la scomposizione in parti uguali o disuguali. Ad esempio, “Sit a b numerus cuius b ctrahatur: dico quod ce ouctu a bin aequatur ei quod fit ce ouctu b in se” - (fr:100) [Sia a b un numero da cui si sottrae b: dico che il prodotto di c per a in b è uguale a quello di c per b in sé stesso]. - Viene anche trattata la relazione tra un numero intero e le sue parti, come in “Si quota pars totius totiue totius pars erit residui residuum” - (fr:129) [Se una parte del tutto è parte del tutto, allora la parte del residuo sarà residuo della parte del tutto], estendendo il concetto a sottrazioni successive (“a b minuatur: detrahatur At b” - fr:125).

Il testo conclude con applicazioni pratiche, come la divisione di un numero in parti denominate (“nominata a numero qui fit ex producti productorum” - fr:135) e la verifica delle proporzioni attraverso esempi numerici.

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[2.1-66-139|204]

2 Rapporti numerici e proporzioni tra parti

“Quante volte un numero è contenuto in un altro, e quale parte o parti rappresenta rispetto al totale.”

Il testo analizza le relazioni tra numeri e le loro suddivisioni, definendo come un numero (“ptimus”) si rapporta a un altro (“secundus”, “tertius”, ecc.) in termini di parti o multipli. Ad esempio: “Si fuerit ptimus tota pars fecundi quota ternus quarti, ita et primus quinti quota ternus fecundus erit” - (fr:140) [Se il primo è una parte del secondo quanto il terzo lo è del quarto, allora il primo sarà una parte del quinto quanto il terzo lo è del secondo]. Viene stabilito che se un numero A è parte di B nello stesso modo in cui C è parte di D, allora A mantiene proporzioni analoghe con altri numeri (“quota pars aut partes” - fr:145). La dimostrazione procede per confronti tra coppie di numeri (“Sint igitur numeri: a primus, b secundus, c tertius, d quartus” - fr:141), verificando equivalenze come: “Si a ad b tota pars quota c ad d, ergo a b ad c d tota pars quota a ad b” - (fr:167) [Se a sta a b come c sta a d, allora a+b sta a c+d come a sta a b].

Si introduce poi il concetto di sottrazione ripetuta per determinare quante volte un numero è contenuto in un altro (“quoties potest detracto relinquitur ipfius aut pars aut partes” - fr:170) [Quante volte, sottraendo, rimane una sua parte o parti]. Ad esempio: “Si b subtrahatur ab a quoties potest, remanebit minor b” - (fr:172) [Se b viene sottratto da a quante volte possibile, rimarrà un resto minore di b]. Le proporzioni vengono estese a casi complessi, come: “Quoties tertius in quarto, toties primus in secundo; et quota pars vel partes primi superant in secundo, tota pars aut partes tertii in quarto” - (fr:176) [Quante volte il terzo sta nel quarto, tante il primo sta nel secondo; e la parte o parti che il primo eccede nel secondo corrispondono alla parte o parti del terzo nel quarto].

Infine, si distingue tra proportio continua (rapporto tra termini consecutivi, come a:b = b:c) e proportio discontinua (rapporto tra termini non consecutivi, come a:b ≠ b:c), definendo la “quantitas relationis” (fr:196-204) come la misura di queste relazioni.

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[3.1-155-213|367]

3 Proporzioni numeriche e relazioni tra grandezze

“Se il primo sta al secondo come il terzo al quarto, allora le proporzioni si invertono, permutano e compongono”

Il testo tratta le proprietà delle proporzioni tra numeri, presentando relazioni dirette, inverse e composte. Vengono esaminati casi in cui: - La proporzione tra due coppie di numeri si mantiene anche permutando i termini (“Si autem primus ad secundum sicut tertius ad quartum, fueritque primus maior tertio: erit secundus maior quarto” - fr:217). - Se un numero è maggiore di un altro, la proporzione si riflette nei rapporti tra le parti (“fuerit primus ad secundum sicut tertius ad quartum, erit primus et secundus ad secundum maior proportio quam tertius et quartus ad quartum” - fr:337). - Le proporzioni si conservano anche sottraendo o aggiungendo quantità uguali (“Si fuerit totus ad totum sicut detractus ad detractum: erit residuus ad residuum sicut totus ad totum” - fr:231).

Viene inoltre definita la proporzionalità continua tra tre numeri, dove il prodotto degli estremi è uguale al quadrato del medio (“Si tres numeri proportionales fuerint: quod sub extremis continetur aequale est ei quod a medio producitur” - fr:350). Il testo conclude con definizioni di numeri primi, composti e commensurabili (“Numerus primus dicitur: qui nullum habet partem praeter unitatem” - fr:364).

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[4.1-72-415|486]

4 Numeri primi e proporzioni minime: incommensurabilità e divisibilità

“Se due numeri sono primi tra loro, il minore non può misurare il maggiore” - (fr:483)

Il testo affronta le proprietà dei numeri primi e delle proporzioni minime, dimostrando per assurdo l’incommensurabilità di certe grandezze. Si parte dall’ipotesi che due numeri a e b siano primi tra loro (fr:415, fr:431) e si analizza cosa accade se uno tenta di misurare l’altro. Ad esempio: “Se due numeri sono primi tra loro, e un terzo numero misura uno dei due, non misurerà l’altro” - (fr:460). La dimostrazione procede per contraddizione: se b misurasse a, allora esisterebbe un multiplo di b uguale ad a (fr:462), ma ciò violerebbe l’ipotesi di primalità (fr:463). Si conclude che “il minore non può misurare il maggiore” (fr:483), estendendo il ragionamento a proporzioni minime (fr:472, fr:474).

Vengono anche esplorate le relazioni tra numeri composti e primi: “Se due numeri sono primi tra loro, il prodotto di uno per un terzo numero sarà incommensurabile con l’altro” - (fr:419). La reductio ad absurdum è centrale: se a e b sono primi, ma c (prodotto di a per un altro numero) misurasse b, allora a misurerebbe b, il che è impossibile (fr:437, fr:468). Il testo ribadisce infine che “in ogni proporzione minima, il numero minore misura il maggiore” (fr:480), ma solo se non sono primi tra loro.

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[5.1-21-490|510]

5 Numeri primi e proprietà della divisibilità

“Come si determina il minimo numero divisibile per altri numeri dati?”

Per trovare un numero divisibile da altri, si considerano i multipli comuni. Se un numero è primo, non può essere diviso da altri numeri se non da sé stesso o dall’unità: “numerat aliquot primi numeri alii ignati: mutuab illi onus numeri primi/eundem numerare impossibile est” - (fr:496). Il minimo numero divisibile deve contenere almeno una parte di ogni divisore: “numeru minim&r ptopotaruT>enominarion& parteml^abenteminuenire” - (fr:498).

La contraddizione emerge se si assume un numero minore di quello richiesto: “quod est contra lfpotim” - (fr:494). L’unità gioca un ruolo chiave: aggiungendola a un multiplo, si ottiene un nuovo numero divisibile. “addo ad b unitotc qflts.et sucoatotfli b oT^niemate” - (fr:502). La proprietà si estende anche ai rapporti tra multipli: “multiplico b per numerAb atA tpioueniatf et c per eundem” - (fr:509), dimostrando che se un numero divide due altri, divide anche la loro differenza.

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[6.1-20-512|531]

6 Proporzioni numeriche e grandezze commensurabili

“Quando si sottrae una quantità, ciò che resta mantiene proporzioni definite.”

Le frasi trattano relazioni tra numeri e grandezze in proporzione. Si stabilisce che, dati due numeri, se ne possono trovare altri intermedi che mantengono rapporti continui: “Sieno a, b, c quantità commensurabili: se a sta a b come b sta a c, allora a, b, c sono in proporzione continua” - (fr:514). La dimostrazione procede per sottrazione e moltiplicazione, come in: “Se da a si sottrae una parte proporzionale, il resto mantiene la relazione con gli altri termini” - (fr:512, tradotto).

Si definiscono poi i minimi di una proporzione: “Esistono numeri minimi che, moltiplicati, generano i termini di una proporzione” - (fr:522). Questi minimi sono unici e indivisibili, come conferma: “Non esistono numeri più piccoli che mantengano la stessa proporzione” - (fr:525).

Infine, si estende il concetto a coppie di numeri: “Due numeri sono in proporzione se esiste un terzo che li lega in rapporto continuo” - (fr:529). La costruzione avviene per duplicazione o divisione, come in: “Si moltiplichino a e c per ottenere b e g, in modo che a:b = c:g” - (fr:530).

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[7.1-29-555|583]

7 Proporzioni numeriche e rapporti proporzionali minimi

“Tra unità e numeri, cadono proporzioni continue e medie proporzionali”

Le frasi trattano la relazione tra numeri interi e proporzioni continue, con particolare attenzione ai casi minimi. Si stabilisce che tra due numeri esistono sempre rapporti proporzionali intermedi (“inter a et b sunt duo media proportionalia” - fr:557), ma non necessariamente numeri interi (“numeri proportionales equales non cadere inter ipsos” - fr:559). La dimostrazione si concentra sui numeri minimi che mantengono proporzionalità: “minimi quorum numerantium eadem est proportio” (fr:564) sono quelli che, se moltiplicati, generano coppie proporzionali (“fumo enim b binis proportionales minimi, et si 4 tertii a b numeris fg” - fr:567).

Il testo specifica che, dati due numeri, è possibile trovare coppie minime di proporzionalità (“fumere in quibusvis g binio numerati minimi sint continue proportionales” - fr:568), anche quando i numeri originali non sono direttamente proporzionali (“a et b non sint continue proportionales” - fr:575). La conclusione è che, se due numeri sono proporzionali a una coppia minima, allora tutti i termini intermedi mantengono la stessa relazione (“si inter duo numeros equales quotlibet proportionalitates fumantur, inter utramque minimi quorum numerantium eadem est proportio” - fr:573).

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[8.1-186-588|773]

Ecco il riassunto delle frasi fornite, organizzato secondo le indicazioni:

8 Proporzioni numeriche e proprietà dei minimi termini

“Se due numeri sono in proporzione minima, ogni multiplo del primo rispetto al secondo mantiene la stessa relazione.”

Le frasi trattano le proprietà delle proporzioni numeriche, soprattutto quando i termini sono minimi nella loro relazione. Si dimostra che: - Se due numeri sono in proporzione continua minima (“Si fuerint duo numeri communicantes, quoties inter alterum eorum maximum quod numerat, totidem inter reliquum minimum ab eo numeratum continue proportionales reperiri contingit” - fr:588), i multipli intermedi mantengono la stessa proporzione (“totidem continue proportionales inter se invenientur” - fr:589). - La divisibilità tra termini proporzionali è reciproca: se un numero ne divide un altro in proporzione minima, vale anche l’inverso (“si minimus ab eis numeratus dico quoniam toties alter eos dividit iterum” - fr:591). - L’unicità dei minimi termini è centrale: se due numeri sono minimi in una proporzione, nessun altro numero li divide nella stessa misura (“Si fuerint quotlibet numeri in sua proportione minimi, quoscunque alter illorum numerat alteri terminus in sua proportione minimus erit commensurabilis” - fr:600).

La dimostrazione si estende a catene di proporzioni (“Si ab uno principio quotquot in continuo numero sumantur, totidem continue proportionales erunt” - fr:594) e alla composizione di proporzioni disuguali (“Si inequales proportioni una addatur, erit addita proportio eadem differentia” - fr:676), con esempi pratici di calcolo (“per octavam et undecimam […] proportiones continue proportionales” - fr:596).

9 Teoria delle proporzioni composte e relazioni tra estremi

“La proporzione tra cubi è triplicata rispetto a quella dei loro lati.”

Le frasi esplorano: 1. Proporzioni composte: la somma di proporzioni genera nuove relazioni (“Si proportio primi ad secundum addat super proportionem tertii ad quartum, erit proportio producti primi in quartum ad productum secundi in tertium” - fr:654). Ad esempio, se a:b supera c:d, allora (a×d):(b×c) riflette questa differenza. 2. Minimi termini e divisibilità: se tre numeri sono in proporzione minima, il medio è geometrico tra gli estremi (“Si tres numeri fuerint in sua proportione minimi, duo extremi erunt quadrati” - fr:763). Analogamente, per quattro numeri, gli estremi sono cubi (“Si fuerint quattuor numeri in continua proportione minimi, duo extremi erunt cubi” - fr:767). 3. Proporzioni duplicate/triplicate: la proporzione tra quadrati è duplicata rispetto a quella dei lati (“proportio quadrati ad quadratum est lateris ad latus duplicata” - fr:770), mentre per i cubi è triplicata (“proportio cubi ad cubum est lateris ad latus triplicata” - fr:771).

Viene anche affrontato il problema della divisione di un numero in proporzione estrema e media (sezione aurea), dimostrando l’impossibilità di esprimere tale rapporto con numeri interi (“certum est numerum aliquem in extrema et media proportione dividi non posse” - fr:721).

10 Dimostrazioni per assurdo e proprietà delle catene proporzionali

“Se una proporzione minima non può essere divisa, nessun numero la interrompe.”

Le frasi includono: - Dimostrazioni per assurdo: si nega l’esistenza di un numero che interrompa una catena proporzionale minima (“Si numerus aliquis alius numeret eosdem, qui numeret eos redit. Ergo a numerat e aut b” - fr:639), portando a contraddizioni (“hoc autem impossibile” - fr:623). - Proporzioni continue: se a:b = b:c, allora a e c sono quadrati se b è medio proporzionale (“Si tres numeri fuerint in continua proportione minimi, duo extremi erunt quadrati” - fr:763). Lo stesso vale per i cubi con quattro termini. - Relazioni tra proporzioni disuguali: se a:b è maggiore di b:c, allora a:c è la somma delle due (“proportio a ad c componitur ex proportionibus a ad b et b ad c” - fr:710), con applicazioni a catene di più termini (“Si quotlibet numeri continue proportionales sint, erunt proportiones extremorum ad medios continuatae” - fr:748).

11 Note stilistiche

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[9.1-24-818|841]

12 Dimostrazione geometrica e algebrica di proporzioni tra quadrati e cubi

“Quando si rimuove un’unità da un quadrato, si ottiene un numero che, diviso a metà, supera l’arco corrispondente.”

Il testo sviluppa relazioni tra numeri quadrati e cubi attraverso costruzioni geometriche e proporzioni. Si parte da un quadrato “a cui, tolta l’unità, si considera la metà” - (fr:819) [la cui metà è maggiore dell’arco corrispondente], dimostrando che “il quadrato di G è uguale al quadrato di C sommato al quadrato dell’arco AB” - (fr:820). La progressione logica porta a concludere che “il quadrato di un numero quadrato è ancora un quadrato” - (fr:824), mentre “due quadrati non producono un quadrato” - (fr:825).

La dimostrazione si estende ai cubi: “se a e b sono numeri, il loro prodotto è un cubo solo se entrambi sono cubi” - (fr:826). Si stabilisce che “tra due numeri, il medio proporzionale è un quadrato se i numeri sono quadrati” - (fr:829), mentre “un quadrato non può misurare un non-quadrato” - (fr:830). Analogamente, “tra due cubi esiste un medio proporzionale cubico” - (fr:839), ma “un cubo non misura un non-cubo” - (fr:840). La chiusura ribadisce che “se due cubi misurano un cubo, il primo misura il secondo” - (fr:841).

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[10.1-22-844|865]

13 Proporzioni tra numeri, quadrati e cubi: relazioni tra lati e grandezze

“Se due cubi sono commensurabili, anche i loro lati lo sono.”

Due quadrati comunicano tra loro se i loro lati sono in rapporto razionale. “Csi quadrati cd comunicant: latera quoq[ue] comunicabunt” - (fr:847) [Se due quadrati comunicano, anche i loro lati comunicano]. La commensurabilità si estende ai cubi: “Si cubi fuerint cd mensurabiles et latera” - (fr:851) [Se due cubi sono commensurabili, lo sono anche i loro lati], mentre l’inverso vale per i quadrati (“latera cd comunicabunt” - fr:852).

La proporzione tra numeri determina la natura delle grandezze: se un quadrato sta a un altro come un numero a un numero, i lati sono in rapporto razionale (“ESi sit quadratus qui ad aliquem numerum ut habeat proportionem quae quadrati ad quadratum…” - fr:855). Lo stesso principio si applica ai cubi: “ECui cuius cubus habet ad alium cubum proportionem quam cubus ad cubum, necesse erit cubum esse” - (fr:857) [Se un cubo sta a un altro come un cubo sta a un cubo, allora è necessariamente un cubo].

Dati due quadrati o cubi, il prodotto dei lati genera un nuovo quadrato o cubo: “Si quadratus in quadratum vel cubus in cubum ducatur, datus numerus producitur qui ex latere unius in latus alterius producitur” - (fr:859) [Se un quadrato è moltiplicato per un quadrato o un cubo per un cubo, si ottiene un numero che è il prodotto del lato dell’uno per il lato dell’altro]. Ad esempio, dati due quadrati a e b, il prodotto dei lati a e b genera un terzo quadrato c (“ESint primi duo quadrati ab: et latus a R t c: et latus b R t b. Ducatur itaq[ue] a in b: et proveniat c d…” - fr:860).

La proporzionalità si mantiene anche in catene di rapporti: “et quia iterum e c ad f: et e p D in b. Est autem proportio f ad l sicut proportio c ad D: et D ad b…” - (fr:862) [E poiché di nuovo e sta a f come c sta a D, e D sta a b…]. Se quattro numeri sono in proporzione continua, il prodotto del primo per il quarto è uguale a quello del secondo per il terzo (“quare proportio g ad e sicut proportio a ad b: ergo vicissim quum sit licet dicere numerus qui producitur ex g in b aequalis est numero qui producitur ex e in a” - fr:862).

L’unità funge da riferimento per le proporzioni tra numeri quadrati: “ESi numeri portio ab unitate numeris quadratis sit proportionalis, altera longiores” - (fr:863) [Se la proporzione di un numero rispetto all’unità è tra numeri quadrati, l’altra sarà più lunga]. Ogni quadrato costruito su un lato formato da unità e numero intero avrà lati proporzionali (“umdibet illorum ad illos oportet rationem lateri suo aequalem conflabit” - fr:864).

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[11.1-49-1018|1066]

14 Proprietà dei numeri pari e dispari nelle operazioni aritmetiche

“Pari e dispari: regole di somma, sottrazione e moltiplicazione”

Le operazioni tra numeri pari e dispari seguono schemi fissi. Sommando due pari o più dispari si ottiene un pari (“Si pares numero pares fibi coaceruentur: totus et ex his conflatus erit par” - fr:1026), mentre un pari e un dispari generano un dispari (“Si impares numero impares coaceruentur: compositus erit impar” - fr:1028). Lo stesso vale per la sottrazione: togliendo un pari da un pari resta un pari (“Si a pari auferatur par: relinquitur par” - fr:1030), mentre un dispari da un pari lascia un dispari (“Si impar a pari tollatur: relinquitur impar” - fr:1033).

La moltiplicazione conferma queste regole: un pari moltiplicato per qualsiasi numero dà un pari (“Omnis numerus per parem multiplicatus parem producit” - fr:1040), mentre due dispari producono un dispari (“Si impar in imparem ducatur, qui producitur erit impar” - fr:1042). La divisibilità riflette queste proprietà: un pari può essere diviso solo da un pari (“Si quis numerus parem numeret: eum secundum parem numerare conueniet” - fr:1050), mentre un dispari da un dispari (“Si impar imparem numeret: secundum imparem eum numerabit” - fr:1049). L’unità, infine, è il fondamento di ogni numero (“omnes pares ab vnitate oriuntur” - fr:1064).

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[12.1-126-1145|1270]

15 Numeri pari, dispari e le loro combinazioni

“Qualsiasi numero pari moltiplicato per un pari dà un pari, ma se un pari moltiplica un dispari, il risultato resta pari.”

Il testo analizza le proprietà dei numeri pariter par (pari moltiplicato per pari), impariter par (pari moltiplicato per dispari) e le loro relazioni. Si dimostra che: - Un numero pariter par non può essere diviso da un dispari (“nullus impar numerat pariter parem” - fr:1156). - La metà di un pariter impar è dispari (“medietas eius est impar” - fr:1165), mentre quella di un pariter par è pari (“medietas autem a est par” - fr:1191). - Combinando numeri pariter impar si ottiene un pariter par (“ex binario et impariter paribus componitur pariter par” - fr:1214), mentre la somma di impariter pares dà un pariter impar (“impariter pares si iungantur, componetur pariter impar” - fr:1219).

Viene anche esplorata la costruzione geometrica di questi numeri, come nel caso di progressioni binarie (“longitudo… proportionalis in binaria” - fr:1196) o di quadrati formati da pariter pares (“in longitudine quidem… in latitudine vero differentia” - fr:1194). La dimostrazione si conclude con l’affermazione che qualsiasi aggregato di pariter pares genera un altro pariter par (“pariter pares quotlibet coacervati faciunt pariter parem” - fr:1249).

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[13.1-53-1397|1449]

16 Costruzione di poligoni regolari a partire dall’unità

“Da un triangolo equilatero unito a un’unità si genera un pentagono, poi figure successive con lati crescenti.”

Il testo descrive un metodo per costruire poligoni regolari a partire dall’unità. Si parte da un triangolo equilatero (“cui toti poli vnitat2 triangulari coiungatur” - fr:1398) e, aggiungendo progressivamente lati, si ottengono figure come il pentagono (“erit pentagonus” - fr:1398) e l’esagono. Ogni poligono successivo si forma estendendo un lato del precedente (“totus ab vnitate colligatur” - fr:1402) e mantenendo l’equivalenza tra lati o angoli.

Il processo segue una logica ricorsiva: un triangolo con lato più lungo genera un esagono (“triangulus cuius latus ideo eminet aequale lateri alteri” - fr:1401), mentre l’aggiunta di unità determina la progressione verso figure con più lati (“per precedentem figuram cognoscere promptum est” - fr:1403). Ad esempio, un esagono equiangolo nasce da un triangolo con lato doppio (“ab vnitate cuius latus fuerit binario” - fr:1433), e così via per ottagoni e poligoni superiori.

La regola generale stabilisce che ogni figura si ottiene sommando unità al poligono precedente (“addita vnitate crescit polygonus” - fr:1432), garantendo l’equiangolarità e la proporzionalità tra lati (“totus numerus multiplus addatur quotus ipse est ab vnitate” - fr:1426). Il testo conclude che, partendo dall’unità, si possono costruire infinite figure geometriche regolari (“quotus numerus crescit ab vnitate” - fr:1424).

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[14.1-84-1513|1596]

17 Proporzioni numeriche e relazioni tra parti e multipli

“Se più quantità sono condotte in altre, ciò che ne risulta è uguale a ciò che si ottiene conducendo ciascuna in ciascuna.”

Il testo analizza le relazioni tra numeri attraverso proporzioni, multipli e parti aliquote. Definisce come un numero possa essere “multiplice” (fr:1559) o “superparticolare” (fr:1553) rispetto a un altro, stabilendo regole per la loro composizione: - “Se un numero è composto da altri, la proporzione tra essi può essere di uguaglianza, molteplicità o superparticolarità” (fr:1557). - “Un numero è multiplo di un altro se lo contiene esattamente più volte” (fr:1560), mentre la “parte aliquota” è quella che, moltiplicata, ricostruisce il numero intero (fr:1528).

Viene esplorata la “proporzione continua” (fr:1532), dove le relazioni tra termini si concatenano: ad esempio, se “a:b = b:c”, allora “a:c” è il quadrato della proporzione iniziale (fr:1554). Il testo dimostra come “la proporzione tra due numeri possa essere ridotta o ampliata” (fr:1521-1524), mantenendo l’equivalenza delle relazioni: > “Se due numeri sono condotti l’uno nell’altro, la proporzione tra i prodotti sarà la stessa che tra i numeri originali” (fr:1521).

Infine, si affronta il problema di “trovare un multiplo comune” (fr:1586) o di “determinare quante volte un numero è contenuto in un altro” (fr:1592), con esempi pratici: > “Se a è multiplo di b, e b è parte di c, allora a è multiplo di c” (fr:1561-1562). La trattazione culmina con la distinzione tra “proporzioni maggiori e minori” (fr:1573), mostrando come queste si combinino in strutture numeriche complesse.

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[15.1-24-1695|1718]

18 Proporzioni numeriche e rapporti tra multipli e parti

“Come trovare multipli e parti in proporzione tra numeri.”

Il testo analizza le relazioni tra numeri in termini di multipli e parti. Si definisce che un numero a sta a c come un multiplo sta a un altro (“a ad c p quintuplum” - fr:1697), e si esplorano casi in cui proporzioni tra numeri (a e b) generano rapporti duplici o quintupli (“a ad b duplicatum” - fr:1696). Si introduce il concetto di numeri in “minimi termini” (fr:1700), dove a e b non hanno divisori comuni, e si dimostra che se a è multiplo di b, allora b è parte di a (“b numerat a” - fr:1703).

Si affronta poi la costruzione di proporzioni tra multipli e parti: dati due numeri a e b, si cerca un terzo numero c che sia multiplo di a e parte di b (o viceversa). Ad esempio, “Sit m numerus qui ab Ada b multiplicia et omnians A parte” (fr:1709) indica che m è multiplo di a e parte di b. La soluzione richiede che a e b siano “commensurabili” (fr:1713), cioè abbiano un divisore comune. Se a e b sono primi tra loro, non esiste un numero che sia multiplo dell’uno e parte dell’altro (“non numerabit b” - fr:1703).

Il testo conclude con esempi pratici: se a e b sono commensurabili, si può trovare un numero c che sia multiplo di a e parte di b (“a ad c multiplicia, b ad c pars” - fr:1718), costruendo così la proporzione desiderata.

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[16.1-37-1721|1757]

19 Proporzioni e multipli: divisione e composizione di rapporti

“Come ridurre proporzioni superparticolari in termini minimi e moltiplicare rapporti.”

Le frasi trattano la manipolazione di proporzioni matematiche, in particolare rapporti superparticolari (es. superpartiens, superparticularis) e la loro scomposizione o moltiplicazione. Si parte dalla definizione di rapporti tra numeri (“CSoIafucpcrt/culanfi fcrquoltcra mulnpItcffuEpatttniiarcpjocrcat” - fr:1722), dove si distingue tra medietà (valori intermedi) e differenze tra quantità. Ad esempio: “et at pCT Smiti 0^1 badcOeut b adc:ctbo ocdtinctcctctue mcdietati” - (fr:1723) [E così per tre termini 0, 1, b, a, c: il termine b è distinto come medietà].

Si esplora come dividere un rapporto in parti uguali (“citinrt ergo anunieruc bloietniciuo pani” - fr:1724) [Quindi, dato un numero, si cerca di dividerlo in parti], arrivando a dimostrare che un rapporto superparticolare* non può essere scomposto in più rapporti uguali (“Cflfiiultiplc):^ipojtio inaliquot cqualceijpojtioncetiflribui non poteft” - fr:1726) [Una proporzione multipla non può essere divisa in alcune proporzioni uguali]. La soluzione proposta è usare termini minimi (“CSumoqudlibet (poitioalqncminotCtbupIaiqnipeTquinquageCmJquaMmbuiu» partio” - fr:1732) [Si prenda una qualsiasi proporzione in termini minimi, come 5 a 3, e la si divida in parti minori].

Il testo procede con esempi pratici: data una proporzione a:b, si cerca di trovare un numero che, moltiplicato per a e b, generi un rapporto equivalente (“CCapfoa numrraqutcuq; qufImicofn Itet jHicniatbcui addovnitatf” - fr:1745) [Si cerchi un numero tale che, moltiplicato per i termini della proporzione, produca un rapporto superparticolare]. Si analizzano anche casi specifici, come la duplicazione di un rapporto (“quaica dcCmulper m^mioufdifunt pimwado” - fr:1740) [Poiché le parti di C moltiplicate per diminuzione sono prime tra loro] o la composizione di rapporti superpartiens (“rupero partientem componat” - fr:1749).

Infine, si generalizza il metodo per ridurre proporzioni complesse a termini minimi (“lElDatam piopottionemtn propo!tionee»)uarumquotlibetflfnt ruperpartfcnlas ree equalce redigere” - fr:1756) [Data una proporzione in proporzioni superparticolari, ridurle a termini minimi uguali], garantendo che i numeri ottenuti siano primi tra loro (“ita tamenvt intero» eltntplurcenu men^ vnitateein c»piopimuepolt” - fr:1757) [Così che tra essi ci siano più numeri, ma con un’unità come unico divisore comune].

[17]

[17.1-31-1787|1817]

20 Relazioni tra rapporti particolari e multipli in proporzione continua

“Da rapporti particolari e multipli nascono proporzioni continue, risolvibili in duplici, triplici o quadrupli.”

Il testo analizza come rapporti particolari (“supparticulares”) e multipli (“multiplices”) si combinino in proporzioni continue. Si parte dalla definizione: “Est autem et haee altitudo Poli inventa, semper minor vsurpata distantia ejus à Vertice” - (fr:1787) [Esiste anche questa altezza del Polo, sempre minore della distanza assunta dal Vertice], ma il focus è sulle relazioni tra termini proporzionali.

I rapporti particolari (“supparticulares”) possono essere semplici o composti (“multiplices”), come in: “aut multiplicibus subparticularibus vel multiplicibus subparticularibus multiplicata” - (fr:1788) [o da multipli di rapporti particolari o da rapporti particolari moltiplicati]. Queste combinazioni generano proporzioni continue (“continua proportio”), dove i termini intermedi mantengono relazioni fisse: “vt in praecedenti tractatu ostensum est, per occisionem buiusmodi ad oras multiplices supparticulares” - (fr:1789) [come mostrato nel trattato precedente, attraverso esempi si arriva a multipli di rapporti particolari].

La riduzione a forme semplici (dupli, tripli) è centrale: “Duplos, et couplos triplos, et triplos quadriplos” - (fr:1792) [doppi, tripli doppi, tripli quadrupli], e avviene tramite scomposizione (“resoluti”) o aggregazione (“aggregati”), come in: “reducuntur multiplices supparticulares in Duplas, Duplae in aequalitatem” - (fr:1803) [i multipli di rapporti particolari si riducono a doppi, i doppi all’uguaglianza].

Il testo distingue tra termini proporzionali (“termini proportionales”) e non, con esempi pratici: “Sint a b c tres termini proportionales, capio ad g b” - (fr:1800) [Siano a, b, c tre termini proporzionali; prendo g come b], e sottolinea che solo alcune combinazioni mantengono la proporzionalità: “solum tres et tres continua proportionales” - (fr:1795) [solo tre e tre sono proporzionali in modo continuo].

La risoluzione finale mira all’uguaglianza (“aequalitatem reducere”): “ad aequalitatem reducere” - (fr:1813) [ridurre all’uguaglianza], attraverso passaggi che trasformano rapporti complessi in forme elementari, come doppi o tripli.

[18]

[18.1-145-1833|1977]

21 Proporzioni e medietà tra numeri: aritmetica, geometrica e armonica

“Tre medietà fondamentali: aritmetica (differenze uguali), geometrica (rapporti costanti), armonica (proporzioni inverse).”

Il testo analizza le proprietà delle medietà (aritmetica, geometrica e armonica) tra numeri, definendone le relazioni tra estremi e termini intermedi. Nella medietà aritmetica, la differenza tra termini consecutivi è costante: “mcdictate quod […] extremis distinctur caquadrato […] equale” - (fr:1835) [la medietà è tale che la differenza tra gli estremi è uguale al quadrato della distanza tra i medi]. Ad esempio, dati tre numeri a, b, c, vale b - a = c - b.

Nella medietà geometrica, il rapporto tra termini consecutivi è identico: “Sit enim qbht et a in c bis quadratum medii […] totius aequale” - (fr:1840) [se un numero è medio proporzionale tra altri due, il suo quadrato è uguale al prodotto degli estremi]. Qui, b² = a × c. Le operazioni di addizione/sottrazione di numeri uguali preservano la proporzionalità: “Si aequales totidem […] addantur […] manebunt differentiae” - (fr:1892) [aggiungendo o sottraendo quantità uguali, le differenze restano invariate].

La medietà armonica emerge quando la differenza tra gli estremi è proporzionale alle differenze tra ciascun estremo e il medio: “Canter numeri […] differentiae numeri ad medii ad differentiam medii ad unitatem” - (fr:1949) [la differenza tra il numero maggiore e il medio sta alla differenza tra il medio e l’unità come il numero maggiore sta al minore]. Un esempio classico è la terna 6, 4, 3, dove (6-4):(4-3) = 6:3.

Il testo esplora anche le implicazioni musicali delle medietà, collegando la proporzione armonica agli intervalli sonori: “tonus […] in harmonicam medietatem […] octava ad decimam” - (fr:1969) [l’ottava (2:1) e la decima (5:2) si inseriscono nella medietà armonica]. La relazione tra numeri e suoni è esplicita: “per octavam […] tonus integrum” - (fr:1970) [l’ottava definisce l’intervallo di tono intero].

Le dimostrazioni procedono per dimostrazioni geometriche (quadrati, proporzioni) e aritmetiche (moltiplicazioni, divisioni), con frequenti riferimenti a Euclide: “per quintam […] permutando” - (fr:1905) [applicando la V proposizione degli Elementi]. Le medietà sono strumenti per risolvere problemi di proporzionalità continua e discontinua, come nel caso delle progressioni: “tres numeri […] in geometricam medietatem […] multiplico a per c” - (fr:1873) [dati tre numeri in progressione geometrica, il prodotto degli estremi è uguale al quadrato del medio].

[19]

[19.1-35-2003|2037]

22 Rapporti numerici e proporzioni nei sistemi musicali antichi

“Le frazioni e i rapporti definiscono intervalli musicali, ma non tutti sono consonanti.”

Il testo analizza le proporzioni numeriche tra intervalli musicali, distinguendo tra rapporti maggiori e minori. Vengono esaminati casi specifici come il semitono (“semitonij maioris et minoris” - fr:2007) e la relazione tra termini come “sesquioctava” (8:9) e “sesquinona” (9:10), evidenziando che alcuni rapporti non ammettono una “habitudo media” (fr:2027).

Si confrontano proporzioni come “sesquiquarta” (4:5) e “sesquiquinta” (5:6), notando che: - “Inter sesquioctavam deciman et sesquinonam deciman nulla cadere valet” (fr:2027) [Tra la sesquioctava decima e la sesquinona decima non può cadere alcun intervallo medio]. - “Tonus minor per particularem rationem consistit” (fr:2029), mentre il tono maggiore non si adatta alla stessa logica (fr:2030).

Le conclusioni sottolineano che: 1. I rapporti multipli o superparticolari (es. 2:1, 3:2) definiscono consonanze, mentre quelli “subsuperparticulares” (es. 4:7) non sono validi (fr:2033-2034). 2. La dimostrazione si basa su esempi numerici concreti, come “a ad b sicut 8 ad 9” (fr:2035), per provare che il semitono minore non può essere espresso come rapporto multiplo (fr:2032).

Il testo chiude con calcoli aritmetici (fr:2036-2037) per confermare che “in minimis numeris” (nei numeri più piccoli) certi rapporti non si verificano.

[20]

[20.1-31-2092|2122]

23 L’armonia musicale tra intervalli e proporzioni

“Come combinare toni e semitoni per creare consonanze perfette.”

Il testo analizza la costruzione dell’armonia musicale attraverso rapporti numerici e intervalli. Si parte dalla necessità di “imitare la natura” (fr:2094) per ottenere un suono “gradevole all’udito” (fr:2096), definendo regole precise per la disposizione dei toni.

Gli esempi numerici mostrano proporzioni specifiche: “191 e 1/2, 1/4, 1/40” (fr:2098) per calcolare intervalli come il “tono intero” (fr:2100), che si divide in “quinta parte” (fr:2104) o “quarta parte” (fr:2103). La “diatesaron” (quarta) e la “diapente” (quinta) sono consonanze fondamentali, ottenute combinando “due toni e un semitono minore” (fr:2119) o “tre toni e un semitono” (fr:2121). L’“apotome” (semitono maggiore) e il “limma” (semitono minore) completano la scala, come in “a b c d e f” (fr:2099), dove “a ad c” forma un intervallo di “due toni” (fr:2118).

La “consonanza perfetta” (fr:2101) si raggiunge con “cinque toni e due semitoni” (fr:2121), ma anche con “quattro commi” (fr:2120) o “un tono e un semitono minore” (fr:2116). Il testo sottolinea come “il tritono” (fr:2111) o la “diatesaron” (fr:2112) superino i limiti della consonanza se non bilanciati, mentre “l’ottava” (fr:2105) unisce “due quarte” (fr:2104) in un sistema coerente. L’obiettivo è “perfezionare l’armonia” (fr:2107) attraverso proporzioni matematiche, evitando “modulazioni disordinate” (fr:2093).

[21]

[21.1-31-2126|2156]

24 Intervalli musicali e consonanze: Diapente, Diatessaron e loro relazioni

“La consonanza di Diapente si compone di tre toni e un semitono minore, mentre quella di Diatessaron di due toni e un semitono minore.”

Il testo analizza le relazioni tra gli intervalli musicali, in particolare Diapente (quinta) e Diatessaron (quarta). La Diapente è descritta come somma di tre toni e un semitono minore (“tres tonos et semitonium minus” - fr:2135), mentre la Diatessaron risulta dalla sottrazione di un tono dalla Diapente (“subducto tono a Diapente relinquitur Diatessaron” - fr:2136). La loro combinazione genera altri intervalli: ad esempio, l’ottava (“octava”) si ottiene unendo Diapente e Diatessaron (“Diapente et Diatessaron coniunctae octavam conficiunt” - fr:2137).

Le frasi evidenziano anche le proporzioni numeriche tra gli intervalli: la Diapente supera la Diatessaron di un tono (“Diapente excedit Diatessaron tono” - fr:2141), e la loro differenza è costante (“differentia est tonus” - fr:2141). Inoltre, si sottolinea che nessuna consonanza può essere formata da sole Diatessaron o Diapente ripetute (“nullam consonantiam componere possit” - fr:2149), ma solo dalla loro combinazione in strutture più ampie (“duas Diatessaron consonantias aut duas Diapente consonantias […] conflare posse” - fr:2149).

Infine, il testo distingue tra intervalli semplici (come Diapente e Diatessaron) e intervalli composti (come l’ottava), notando che questi ultimi derivano dalla moltiplicazione dei primi (“per primam […] duo similia intervalla multiplicata” - fr:2150). La trattazione si chiude con esempi numerici che confermano le relazioni tra toni e semitoni (“quattuor tonis et duobus semitoniis minus […] Diapente totidem tonos cum semitonio minore complectitur” - fr:2145).

[22]

[22.1-26-2181|2206]

25 Rapporti matematici e consonanze musicali

“Le proporzioni tra diapason, diapente e diapason-diapente definiscono consonanze imperfette o perfette a seconda della loro molteplicità.”

Il testo analizza le relazioni tra intervalli musicali attraverso proporzioni numeriche. La “diapason” (ottava) e la “diapente” (quinta) si combinano in rapporti semplici o multipli, generando consonanze. Ad esempio: “Est autem et haee altitudo Poli inventa, semper minor vsurpata distantia ejus à Vertice” - (fr:2181) [Qui si discute di come la proporzione tra intervalli (come l’ottava) sia sempre minore rispetto a una distanza di riferimento, applicando principi matematici alla teoria musicale].

Le consonanze si verificano solo in rapporti specifici: - “Diapason et diapente in triplici ratione conflant” - (fr:2187) [L’ottava e la quinta si combinano in un rapporto triplo]. - “Diapason in quadrupla proportione confluitur” - (fr:2192) [L’ottava si realizza in un rapporto quadruplo].

Le proporzioni imperfette (come 7:1 o 9:1) non producono consonanze, come evidenziato in: “Non concinit igitur effabilis consonantia” - (fr:2191) [Non si ottiene una consonanza esprimibile in questi rapporti].

Il testo descrive anche un metodo pratico per rappresentare questi intervalli su una “chorda” (corda musicale), fissando punti che corrispondono a rapporti numerici (es. 4:1 per l’ottava, 3:2 per la quinta). La costruzione geometrica serve a dimostrare come “diapason, diapente e tonus” si relazionino tra loro, come in: “Pono notae in termino chordae, movendo circinum ad totius chordae quartam partem” - (fr:2198) [Si segnano punti sulla corda, spostando il compasso per dividere l’intervallo in parti proporzionali].

Le conclusioni sottolineano che solo i rapporti semplici (duplo, triplo, quadruplo) generano consonanze, mentre quelli complessi (es. 7:1) risultano dissonanti: “Convenit consonantia in octupla proportione” - (fr:2196) [La consonanza si realizza nell’ottupla proporzione].

[23]

[23.1-33-2215|2247]

26 Le proporzioni matematiche alla base dell’armonia musicale

“Le consonanze musicali nascono da rapporti numerici precisi, come il diapason (2:1) o il diapente (3:2). La media armonica ne definisce i limiti.”

Il testo analizza le relazioni tra numeri e intervalli musicali. Le consonanze fondamentali derivano da proporzioni semplici: “fi a ad c: duplum babet et sonantici diapafim” (fr:2226) [se a sta a c come 2:1, produce il diapason], mentre “b ad e: sesquialtero babest sonantici diapente” (fr:2226) [il rapporto 3:2 genera il diapente]. La “media armonica” (fr:2233) collega i termini estremi di una progressione, distinguendosi dalla media aritmetica o geometrica: “inter maximi & minimi medietas arithmetica continetur, inter eosdem termini medietas harmonica” (fr:2233) [tra massimo e minimo si colloca la media aritmetica, tra gli stessi termini quella armonica].

Le frasi elencano intervalli come “diatessaron” (4:3) e “epitrito” (4:3), associandoli a multipli (duplum, triplum) o sottomultipli (sesquialtero). La struttura si basa su “quattuor terminos” (fr:2221) [quattro termini], dove “a ad b: sesquialtera” (fr:2240) [il rapporto 3:2] e “b ad c: sesquitertia” (fr:2240) [4:3] definiscono consonanze. La “medietas harmonica” (fr:2225) emerge quando “a ad b: sesquialtera” e “b ad c: sesquitertia”, creando un legame tra i numeri che “omnes musicae consonantiae reperiuntur” (fr:2221) [tutte le consonanze musicali si ritrovano].

Le proporzioni si estendono a “diapason cum diapente” (fr:2231) [ottava + quinta] e “bis diapason” (fr:2232) [doppia ottava], con esempi come “a ad b: quadruplum” (fr:2247) [4:1]. La dimostrazione si chiude con l’affermazione che “quod proponobatur” (fr:2247) [ciò che si proponeva] è provato: le consonanze musicali sono “consonantiae numerorum” (fr:2228) [consonanze dei numeri], costruite su rapporti matematici.

[24]

[24.1-54-2277|2330]

27 La costruzione dell’armonia nel genere diatonico

“La divisione regolare del monocordo dimostra le consonanze fondamentali.”

Il testo descrive la suddivisione teorica del monocordo nel genere diatonico per ottenere intervalli musicali consonanti. Si parte dalla corda intera (“monocboidum”), suddivisa secondo regole precise per generare toni e semitoni. Ad esempio: “Ita ipcdnnucirinitomo mino»Dibtunctfnnt Duoronf: ormptlecoquipia pioflambanomcnopiimo ramtonioppofltuecO tonue’a kt tonoquitttracboidi mcinigmenii” - (fr:2285) [Così, iniziando dal tono minore, si distinguono due toni: si prende il primo come proslambanomeno, il secondo come ipate meson, e così via per gli altri toni e tetracordi].

La suddivisione segue intervalli come il tono (“tonus”), il semitono minore (“semitonium minus”) e il semitono maggiore (“semitonium maius”), combinati per formare consonanze come la quarta (“Diatessaron”), la quinta (“Diapente”) e l’ottava (“Diapason”): “ab oIn pftnnltoniuin” - (fr:2283) [dall’ipate ipaton al proslambanomeno]; “abp inqrt qmr’euoetonoe” - (fr:2284) [dalla paripate ipaton alla mese].

Le regole armoniche vengono applicate sistematicamente: “fiuoniamenim fuaIntcruilla mtcruallie regulecr rcfpondft euaduntqicqualiaia bt d bfonatto numetD bt e bfemitonid” - (fr:2287) [Poiché infatti le regole interne delle misure corrispondono, risultano uguali: tra b e d un tono, tra d e e un semitono]. Si dimostra come la combinazione di intervalli (“tonus”, “semitonium”) generi consonanze composte, ad esempio: “a bet f b Duoetonoetrrmtronili minuocontincne:perfctiamterti|conlonatblatelTaron” - (fr:2288) [Quindi tra a, b e f, b due toni e un semitono minore si susseguono: per la terza volta si ottiene un diatessaron].

Il testo conclude con la verifica che la divisione del monocordo rispetti le proporzioni armoniche, confermando la validità del sistema: “monocboidiregulariapartitio in genereDiatonico perDiftiniiioncni monftracacft” - (fr:2295) [La divisione regolare del monocordo nel genere diatonico, attraverso la definizione, dimostra le consonanze].

[25]

[25.1-93-2349|2441]

28 Struttura matematica e musicale dei tetracordi nel sistema armonico antico

“Le proporzioni numeriche definiscono i rapporti tra le note nei generi diatonico, cromatico ed enarmonico.”

Il testo descrive la costruzione dei tetracordi attraverso rapporti numerici e intervalli musicali. Si parte da una “pentas” (fr:2350) diatonica, dove le note sono definite da multipli (duplo, triplo, quadruplo) e suddivisioni in parti (metà, ottavi). Ad esempio: “Sit pentas Wcacboidum in oiatonico genere modorum cuius minimi aqua fit ut a b c f g b” (fr:2350) [Sia una pentade diacboide nel genere diatonico, i cui minimi siano a, b, c, f, g, b].

Le proporzioni tra le note generano intervalli come il tono (“tonus”), il semitono minore (“semitonium minus”), l’apotome e il diesis. Nel diatonico, ad esempio: “ab ‘ce’ Diapente: hoc a: a parbvpate brpatm” (fr:2376) [da “ce” una quinta: cioè il rapporto tra parhypate e barypyknon].

Vengono elencate le “voculae” (note) stabili e mobili nei tre generi (diatonico, cromatico, enarmonico), con riferimenti a posizioni fisse (“proslambanomenos”, “mese”) e variabili (“trite”, “paranete”). Le consonanze (diapason, diapente, diatessaron) sono calcolate tramite progressioni aritmetiche e geometriche: “per octo t verurgit in quartoloco ab eo” (fr:2355) [attraverso otto passaggi si giunge al quarto luogo da esso].

Le tabelle numeriche (fr:2396-2401) mostrano i valori delle note in ciascun genere, mentre le permutazioni tra generi (“permutatur in licbanon”) spiegano come intervalli come il semitono o il tono si adattino alle diverse scale. Il risultato è una “tetracboidum enarmonicum” (fr:2408), struttura mobile ma coerente, dove: “in tribus generibus […] consentient” (fr:2423) [nei tre generi […] concordano].

[26]

[26.1-24-2444|2467]

29 Le consonanze mobili e immobili nel sistema musicale antico

“Sette consonanze mobili tra le note, variabili a seconda dei parametri.”

Il testo descrive un sistema di intervalli musicali (diapason) suddiviso in consonanze fisse e mobili. Le prime quattro “immobili” sono definite così: - “prima e ottava sono immobili” (fr:2447), - “seconda: parhypate hypaton e trite synemmenon” (fr:2449), - “terza: paranete diezeugmenon” (fr:2449), - “quarta: mese e paramese” (fr:2450).

Le restanti tre sono “mobili” (fr:2451), variabili in base ai “quattro suoni mobili” (fr:2453). Il modello distingue tra note “immobili” (come “mese” e “paramese”) e “mobili” (come “trite synemmenon” e “paranete diezeugmenon”), combinate in “sette consonanze” (fr:2448).

La struttura si basa su una progressione numerica (es. “1 tono, 7 grifi”, fr:2456-2463) e su una “scala diatonica” (fr:2465), dove gli intervalli (come “diatessaron” e “diapente”) si ripetono in sequenze di “quindici note” (fr:2466). L’autore sottolinea che “Boezio, nel suo trattato, introdusse quattro modi” (fr:2453), ma critica la mancanza di chiarezza nella loro applicazione pratica.

[27]

[27.1-30-2492|2521]

30 Teoria degli intervalli musicali e delle consonanze

“Le proporzioni tra toni, semitoni e intervalli definiscono la struttura armonica, dove il diapente e il diapason rimangono immutabili.”

Il testo analizza le relazioni tra intervalli musicali, partendo dal diapente (quinta) come riferimento stabile: “et tument bTP^fe mefonct bparainefe iquiemonstratc sunt immobiles” - (fr:2495) [eppure questi mezzi toni e paranete mostrano intervalli immobili]. Solo il diapente e il diapason (ottava) mantengono limiti fissi: “soli… Diapdreatqi immobiliter” - (fr:2496).

Vengono poi descritte le combinazioni tra intervalli: - Il diapason (ottava) si compone di diatonici e diapente (“Diatonias: e]c Dccniu quoti DecUnti qu cmadmodu”) - (fr:2497). - La consonanza emerge dall’unione di toni e semitoni, come nel caso del diapente e del diatessaron (quarta): “concentu… proprium patebit” - (fr:2499) [l’accordo rivelerà la sua natura propria].

La gerarchia tonale si basa su relazioni proporzionali: “modorum in aliquo genere fuerit prima… fecunda fecundam” - (fr:2500) [se un modo è primo in un genere, il secondo sarà secondo]. Gli intervalli si combinano in famiglie (“totius familiæ”), dove ogni tono corrisponde a un grado specifico.

Tra gli esempi pratici: - Il diatonico nel Ipodio (modo dorico) si articola in diapente + semitono (“Ifdius Mtl aiapente at® semitono”) - (fr:2506). - La consonanza si ottiene aggiungendo un tono al diatessaron o al diapente: “addit tonum… consonantia modulatur” - (fr:2509).

Le tabelle (fr:2512-2514) elencano le distanze tra intervalli (es. apotome, semitono), mentre il testo chiarisce come il diatonico e il cromatico si differenzino per l’uso di semitoni o apotomi: “diatonico: pentachordo… semitonio; cromatico: apotome” - (fr:2514).

La sintesi finale sottolinea la facilità di costruzione degli accordi una volta compresi i rapporti: “hoc pacto… facillime est omnia” - (fr:2521) [in questo modo, tutto diventa semplicissimo].

[28]

[28.1-41-2609|2649]

31 Classificazione e proprietà dei numeri secondo le loro parti

Numeri perfetti, imperfetti, multipli e rapporti: definizioni e relazioni.

I numeri si distinguono per le loro parti e relazioni. Un numero è “perfetto” quando la somma delle sue parti lo ricostituisce: “Humerus perfectus sic est numerus par, cuius suppositae (simulque) acceptae partes, sui totius summam implent” - (fr:2610) [È un numero pari le cui parti, prese insieme, eguagliano la sua somma totale]. Al contrario, è “diminuito” se le parti sommate danno meno del totale (“Humerus diminutus: est cuius collectae partes, minus ipso toto reddunt” - fr:2611) o “abbondante” se lo superano (“Humerus abundans: est cuius in unum adactae partes, totius summam excedunt” - fr:2612).

I numeri si classificano anche per la loro divisibilità: “primi” se misurati solo dall’unità (“Humerus primus: est numerus impar, qui sola unitate metitur” - fr:2614), “composti” se divisibili anche da altri numeri (“Humerus compositus: est numerus, quem non sola unitas, sed et alter numerus ipsum mensurat” - fr:2616). Le relazioni tra numeri includono l’uguaglianza (“aequalitas: est cum numerus aequalem ad aequalem comparatur” - fr:2617) e la disuguaglianza, che può essere “maggiore-minore” (“maioritas: est cum maiorem ad minorem comparamus” - fr:2618) o viceversa (“minoritas: est cum minorem ad maiorem comparamus” - fr:2619).

I rapporti multipli definiscono quante volte un numero contiene l’altro: “duplo” se lo contiene due volte (“bis”), “triplo” se tre (“ter”), e così via (“Humerus multiplex: est cum maior numerus minori comparatus, eundem plus semel continet” - fr:2620). Esistono anche rapporti “superparticolari” (es. “sesquialtero” se contiene il minore più la sua metà: “Humerus superparticularis: est cum maior numerus minori comparatus, totum in se numerum minorem continet, et eius partem aliquam” - fr:2625) e “superpartienti” (es. “superbipartiens” se contiene il minore più due sue parti: “Superbipartiens: est cum maior continet minorem, et duas eius partes” - fr:2633).

Le combinazioni di questi rapporti generano categorie più complesse, come i numeri “multipli superparticolari” (es. “duplo sesquialtero” se contiene il minore due volte e mezza: “Humerus multiplex superparticularis: est quoties maior numerus ad minorem comparatus habet eum multiplex semel et eius partem aliquam” - fr:2635). Le specie inverse (“sub”) seguono la stessa logica ma con i termini invertiti (“subduplus”, “subsesquialtero” - fr:2641-2645).

Infine, i numeri si distinguono per dimensione: “lineari” se rappresentati da unità in una direzione (“Humerus linearis: est qui per plures in unam eandemque partem adiectas describitur unitates” - fr:2646), “piani” se disposti in lunghezza e larghezza (“Humerus planus: est qui duas unitates descriptus, in longitudine et latitudine porrigit” - fr:2647), e “solidi” se aggiungono anche la profondità (“Humerus solidus: est qui per tres unitates descriptus, longitudini et latitudini altitudinem superaddit” - fr:2648). Tra i piani, il “triangolo” ha lati uguali (“Trigonus: est numerus planus, qui tribus unitatibus explicatus, tria latera aequalia producit” - fr:2649).

[29]

[29.1-79-2691|2769]

32 Proprietà e classificazioni dei numeri secondo le loro divisioni e moltiplicazioni

Numeri pari e dispari si combinano in modi distinti, generando categorie precise.

Le proprietà dei numeri si definiscono attraverso le loro divisioni e moltiplicazioni. Un numero dispari moltiplicato per un pari dà un pari (“i jmparfi multiplicetparemipiocreabiturpar” - fr:2693), mentre un dispari per un dispari resta dispari (“Jmpar imparem fi multiplicet:pj0tinu9 nafeitur impar” - fr:2692). I numeri pariter pari (doppiamente pari) sono quelli divisibili ripetutamente per 2 fino all’unità (“Quilibet numerue pariter par […] ab vno continue fUniptotu” - fr:2696) e, se sommati e poi sottratto 1, tornano all’unità (“Quotcuq; panterparce abvnopnuiiicrata vnitatecollectfifcquenti minue vno reftituuiit” - fr:2698). Questi numeri sono anche detti bimultipli (“Qmnienumerue pariter parreft bimlnutne” - fr:2699) e si corrispondono in parti uguali (“Qmnienuineru 9 pariterpar:cj:rcfpondcntlbU 6” - fr:2700).

I numeri pariter impari (pari ma non doppiamente pari) hanno un divisore medio dispari (“Quilibet numeruepariter iinparimedietatcm babet imparem” - fr:2703) e si generano aggiungendo 1 a un numero pari (“Qmnie numeruepariter imparisignitur ep iparibuecotinucab vnitate fum« ptie” - fr:2705). La loro serie, se disposta in ordine, forma quadrati perfetti (“Qmniuinnumeroi^ pariter imparfft pari/continuat^ feriebifpolito […] collectiecquari neccfrecft” - fr:2707).

Tra le classificazioni avanzate, i numeri superparticolari (rapporti frazionari come 3:2) e superpartienti (rapporti come 5:3) emergono da confronti tra numeri naturali (“Omni® rupcrparricn6:m!Uo?” - fr:2744). Ad esempio, i dupli superparticolari (come 5:2) nascono da serie continue di numeri dispari (“Duplifuperbipartiftesnafcftur: fioctonanu®ternario” - fr:2757), mentre i tripli (come 7:3) si ottengono da progressioni di multipli (“tripli®/ numeria feptenariofefe continuo reptenorio eccedcntcscomparabutur” - fr:2755).

Infine, i numeri piani (come triangoli o quadrati) si risolvono in figure geometriche: i triangolari derivano dalla somma di numeri naturali (“Omni® trigoni furgunt: fi bifpoHta naturali numcroiumqultitate” - fr:2766), mentre i quadrati sono prodotti di numeri uguali in lunghezza e larghezza (“Cetragoni/funt omne®qui numerisnaturalitcretinlongu «in latum buplid” - fr:2767). I numeri solidi mantengono proporzioni tra le loro dimensioni (“omni®numerusfolidusipiimoidium fui tenctpfraiiiidem” - fr:2764).

[30]

[30.1-45-2772|2816]

33 Generazione di figure geometriche e numeri poligonali

“Dai numeri nascono forme: triangoli, quadrati, pentagoni e oltre, in sequenze ordinate.”

Le figure geometriche derivano da successioni numeriche. I quadrati si ottengono moltiplicando un quadrato per sé stesso (“si tetragonus tetragonum multiplicet: tetragonum producit” - fr:2775), mentre i numeri “più lunghi di un lato” (rettangoli) generano altre forme se combinati con quadrati o sequenze naturali. Ad esempio, un pentagono nasce da un triangolo e un quadrato (“pentagonus: ei trigono et primo sequenti pentagono coniungitur” - fr:2780), mentre un ettagono si forma da quattro numeri intermedi (“heptagoni: quattuor in medio hoc pacto similes generantur” - fr:2781).

Le piramidi si costruiscono sovrapponendo figure simili (“Omnis pyramis […] cuius basis est multangula figura […] figuris superponatur confurgit” - fr:2801), come triangoli per le piramidi triangolari (“pyramis trigona: ex continue trigonis ad unitatem usque super se invicem erectis gignitur” - fr:2803) o quadrati per quelle quadrangolari. Anche i cubi seguono regole analoghe: si generano da progressioni naturali (“cubi […] naturaliter post unitate imparibus coniunguntur” - fr:2806) e si moltiplicano tra loro (“cubus cubum multiplicans cubum conficit” - fr:2807).

Le medietà aritmetiche regolano le proporzioni: la somma degli estremi uguaglia il doppio del termine medio (“arithmetica medietas: si iuncti extremi simul collecti, coniunctis mediis adequantur” - fr:2811), mentre le differenze tra termini mantengono rapporti costanti (“eadem medietas: ut termini ad se reciprocati differentias ad differentias” - fr:2811).

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