Huygens - Traité de la Lumiere - 1650 | L | +

08 May, 2026

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[1.1-8-74|81]

1 La Luce come Moto nell’Etere: Confutazione del Modello Corpuscolare e l’Analogia con il Suono

L’autore argomenta contro una concezione balistica della luce, proponendo un modello di propagazione per moto successivo in un mezzo, analogo a quello del suono, e introducendo il problema della sua velocità finita.

Il testo presenta un passaggio cruciale nella storia dell’ottica, in cui si confuta la natura corpuscolare della luce e si gettano le basi per la teoria ondulatoria. L’autore inizia confutando l’idea che la luce consista in un trasporto di materia dal corpo luminoso all’occhio, simile a “un colpo o una freccia che attraversa l’aria” (fr:74). Egli individua due proprietà incompatibili con questo modello: la velocità estrema della luce e, soprattutto, il fatto che i raggi provenienti da regioni opposte si attraversino “senza ostacolarsi” (fr:74). Se la luce fosse costituita da proiettili materiali, questi non potrebbero incrociarsi senza collisioni.

Per superare questa contraddizione, viene introdotta un’analogia fondante. “È dunque in qualche altro modo che la luce si diffonde; e ciò che può condurci a comprenderlo è la conoscenza che abbiamo del diffondersi del Suono nell’aria” (fr:75). L’autore descrive il meccanismo di propagazione del suono: un movimento che si trasmette “successivamente da una parte dell’aria all’altra” (fr:76), generando superfici sferiche in espansione.

Questo modello viene esteso alla luce. “Non c’è alcun dubbio che anche la luce giunga dal corpo luminoso ai nostri occhi tramite un qualche movimento impresso alla materia che si trova tra i due” (fr:77), si afferma, escludendo definitivamente il trasporto di un corpo. L’ipotesi che la luce impieghi tempo per propagarsi rafforza il parallelismo: se il movimento è successivo, allora la luce si diffonde “come il Suono, per superfici e onde sferiche” (fr:78). La scelta del termine “onde” è esplicitamente giustificata dalla loro “somiglianza con quelle che si vedono formarsi nell’acqua quando vi si getta una pietra” (fr:78).

Dopo aver stabilito il modello teorico, il testo sposta l’attenzione sulla verifica sperimentale della velocità finita della luce. Propone di chiedersi se esistano “fatti dell’esperienza che possano convincerci del contrario” (fr:79). Gli esperimenti terrestri con luci a grandi distanze sono giudicati inadeguati: dimostrano solo che il passaggio della luce è “estremamente rapido” e non che sia istantaneo, poiché le distanze sono “troppo piccole” (fr:80) per una misura significativa.

Infine, viene criticata l’autorevole opinione di Cartesio, il quale, basandosi sulle eclissi lunari, sosteneva l’istantaneità della luce. L’autore riconosce che Cartesio fondava le sue idee su una “migliore base di esperienza” (fr:81) rispetto agli esperimenti terrestri, ma liquida la sua argomentazione come “per nulla convincente” (fr:81), preparando il terreno per una successiva confutazione dettagliata e per la prima prova osservativa della finitezza della velocità della luce.

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[2.1-29-85|113]

2 Dall’ipotesi alla prova: la velocità finita della luce nelle osservazioni astronomiche

“It is founded as is the preceding argument upon celestial observations, and proves not only that Light takes time for its passage, but also demonstrates how much time it takes, and that its velocity is even at least six times greater than that which I have just stated.” – (fr:100) [Essa è fondata, come l’argomentazione precedente, su osservazioni celesti, e prova non solo che la Luce impiega tempo per il suo passaggio, ma dimostra anche quanto tempo impiega, e che la sua velocità è almeno sei volte maggiore di quella che ho appena indicato.]

L’autore sviluppa due argomentazioni astronomiche per confutare l’idea che la luce si propaghi istantaneamente. La prima, presentata come ipotesi di lavoro, sfrutta un’eclissi di Luna; la seconda, introdotta come conferma decisiva, è la celebre dimostrazione di Ole Rømer basata sui satelliti di Giove. Entrambe condividono un identico impianto logico: se la luce possiede una velocità finita, la posizione apparente di un astro in ombra deve discostarsi da quella calcolata per un osservatore in movimento, e l’entità dello scarto permette di stimare il tempo di percorrenza.

Il primo ragionamento immagina la Terra in moto lungo l’orbita secondo il sistema copernicano. Posto che la Terra si sposti dal punto B al punto E in due ore, un osservatore in E vedrebbe la Luna eclissata in C, lasciata un’ora prima, e contemporaneamente il Sole in A (fr:85). Poiché la luce viaggia in linea retta, il Sole apparirebbe sempre nella sua posizione reale (fr:86). Tuttavia l’esperienza insegna che la Luna eclissata si osserva sempre nel punto dell’Eclittica opposto al Sole, mentre in questo schema essa apparirebbe arretrata di un angolo pari a GEC, supplementare di AEC (fr:87). Tale angolo risulterebbe molto sensibile, circa 33 gradi, in aperto contrasto con le osservazioni (fr:88). I calcoli esposti nel Trattato sulle cause dei fenomeni di Saturno assegnano alla distanza BA tra Terra e Sole circa dodicimila diametri terrestri, ovvero quattrocento volte la distanza BC della Luna, pari a 30 diametri (fr:89). Ne consegue che l’angolo ECB è quasi quattrocento volte maggiore di BAE, che misura cinque minuti – il cammino percorso dalla Terra in due ore lungo l’orbita – e che l’angolo BCE raggiunge quasi 33 gradi, così come l’angolo CEG, maggiore di cinque minuti (fr:90).

Affinché l’argomento appaia meno paradossale, l’autore introduce una variabile cruciale: il tempo assunto per il tragitto della luce dalla Terra alla Luna. Se tale tempo è di un’ora, l’angolo CEG è di 33 gradi (fr:91). Se si suppone un minuto, l’angolo si riduce a 33 minuti; se si assumono dieci secondi, diventa inferiore a sei minuti (fr:92). In quest’ultimo caso la differenza sarebbe impercettibile nelle osservazioni delle eclissi, e non si potrebbe dedurre che il movimento della luce sia istantaneo (fr:93). L’autore non teme di ipotizzare una velocità centomila volte maggiore di quella del Suono, che viaggia – come egli stesso ha misurato – circa 180 tese al secondo (fr:94-95). L’apparente assurdità viene sciolta chiarendo che non si tratta del trasporto di un corpo, ma di un movimento successivo che si trasmette da un corpo all’altro (fr:96). L’emanazione della luce compiuta nel tempo permette così di spiegare tutti i fenomeni, mentre l’opinione contraria rende ogni cosa incomprensibile; perfino Cartesio, che pur ha trattato la Fisica con chiarezza superiore a ogni predecessore, ha detto solo cose piene di difficoltà e inconcepibili riguardo alla Luce (fr:97-98).

L’ipotesi acquista lo statuto di verità consolidata grazie all’ingegnosa prova di Römer, fondata sulle eclissi dei satelliti di Giove (fr:99-101). La descrizione della configurazione celeste è precisa: il Sole in A, l’orbita annua della Terra BCDE, Giove in F, l’orbita del satellite più interno GN, il cui rapido periodo di rivoluzione lo rende il più adatto all’indagine (fr:102). Il satellite entra nell’ombra in G e ne emerge in H (fr:103). Se la Terra si trova in B poco prima dell’ultima quadratura e si osserva l’emersione, dopo 42 ore e mezzo si dovrebbe rivedere l’evento, purché la Terra resti ferma (fr:104-105). Spostandosi invece verso C e allontanandosi da Giove, l’illuminazione del satellite giunge in ritardo: al tempo di 30 rivoluzioni occorre aggiungere l’intervallo necessario alla luce per attraversare lo spazio MC, differenza tra CH e BH (fr:106). Alla quadratura opposta, con la Terra in avvicinamento da D verso E, le immersioni sono anticipate. Dieci anni di osservazioni rivelano differenze considerevoli, di dieci minuti e più, permettendo di concludere che la luce impiega circa 22 minuti per percorrere l’intero diametro dell’orbita annua KL, doppio della distanza Terra-Sole (fr:107). Il calcolo include il moto di Giove nel frattempo, escludendo che i ritardi o gli anticipi dipendano da irregolarità del satellite o dalla sua eccentricità (fr:108).

Considerando la vastità del diametro KL – circa 000 diametri terrestri – si riconosce l’estrema velocità della luce (fr:109). Ipotizzando 000 diametri percorsi in 22 minuti, si ottiene una velocità di mille diametri al minuto, ovvero 16 2/3 diametri al secondo, che equivale a più di undicimila volte centomila tese; il diametro terrestre è infatti di 865 leghe di 25 al grado, e ogni lega misura 282 tese secondo l’esatta misurazione effettuata da Picard nel 1669 (fr:110). Poiché il suono percorre solo 180 tese al secondo, la velocità della luce risulta oltre seicentomila volte maggiore di quella del suono (fr:111). Ciò è tutt’altra cosa dall’istantaneità, essendovi la differenza che corre tra il finito e l’infinito (fr:112). Una volta confermato il movimento successivo della Luce, ne segue – come già affermato – che essa si diffonde per onde sferiche, analogamente al movimento del Suono (fr:113).

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[3.1-13-120|132]

3 La materia eterea e la propagazione della luce: distinzione dal suono

L’analisi sperimentale rivela che il mezzo attraverso cui si diffonde il suono è l’aria comune, mentre la luce esige una materia differente, più sottile e capace di penetrare solidi che all’aria sono impenetrabili; la diversità dei modi di propagazione impone poi di cercare per la luce un meccanismo non riducibile a collisioni tra particelle.

L’autore apre l’indagine domandandosi quale sia la materia in cui si propaga il movimento proveniente dal corpo luminoso, materia che egli chiama eterea, e avverte subito che essa non è la stessa che serve alla propagazione del suono. “Now if one examines what this matter may be in which the movement coming from the luminous body is propagated, which I call Ethereal matter, one will see that it is not the same that serves for the propagation of Sound.” – (fr:120) [Ora, se si esamina quale possa essere la materia in cui si propaga il movimento proveniente dal corpo luminoso, che chiamo materia eterea, si vedrà che non è la stessa che serve alla propagazione del suono.] La ragione è tratta dall’esperienza comune: la materia del suono è l’aria che respiriamo e che possiamo rimuovere, mentre, tolta l’aria, in un luogo resta comunque quell’altra materia capace di trasmettere la luce. “For one finds that the latter is really that which we feel and which we breathe, and which being removed from any place still leaves there the other kind of matter that serves to convey Light.” – (fr:121) [Si trova infatti che quest’ultima è realmente quella che sentiamo e che respiriamo, e che, rimossa da un luogo, vi lascia ancora l’altra specie di materia che serve a trasmettere la luce.]

La dimostrazione si fonda sull’esperimento con la macchina pneumatica di Boyle. Rinchiudendo un corpo sonoro in un vaso di vetro da cui si estrae l’aria, si osserva che, dopo aver esaurito tutta l’aria, non si ode più alcun suono dal metallo percosso. “For then after having exhausted all the air one hears no Sound from the metal, though it is struck.” – (fr:124) [Infatti, dopo aver esaurito tutta l’aria, non si ode alcun suono dal metallo, benché venga percosso.] Tuttavia si introduce qui una precisazione metodologica importante: occorre collocare il corpo sonoro su cotone o piume in modo che non comunichi le sue vibrazioni al vaso di vetro o alla macchina, precauzione che – nota l’autore – era stata fino a quel momento trascurata. “But in doing this of which I speak, саге must be taken to place the sounding body on cotton or on feathers, in such a way that it cannot communicate its tremors either to the glass vessel which encloses it, or to the machine; a precaution which has hitherto been neglected.” – (fr:123) [Ma nel fare ciò di cui parlo, si deve aver cura di collocare il corpo sonoro su cotone o su piume, in modo che non possa comunicare i suoi tremori né al vaso di vetro che lo racchiude né alla macchina; precauzione che finora è stata trascurata.]

Da questo esperimento si traggono due conclusioni: l’aria, che non penetra attraverso il vetro, è la materia mediante cui il suono si diffonde; e non è la stessa aria, bensì un’altra specie di materia, quella in cui si propaga la luce, poiché, rimossa l’aria dal vaso, la luce non cessa di attraversarlo come prima. “One sees here not only that our air, which does not penetrate through glass, is the matter by which Sound spreads; but also that it is not the same air but another kind of matter in which Light spreads; since if the air is removed from the vessel the Light does not cease to traverse it as before.” – (fr:125) [Si vede qui non solo che la nostra aria, che non penetra attraverso il vetro, è la materia mediante cui il suono si diffonde; ma anche che non è la stessa aria, bensì un’altra specie di materia, quella in cui si diffonde la luce; poiché, se l’aria è rimossa dal vaso, la luce non cessa di attraversarlo come prima.]

La prova è resa ancora più evidente dal celebre esperimento di Torricelli. Nel tubo di vetro da cui il mercurio si è ritirato, rimanendo vuoto d’aria, la luce si trasmette esattamente come quando l’aria è presente. “And this last point is demonstrated even more clearly by the celebrated experiment of Torricelli, in which the tube of glass from which the quicksilver has withdrawn itself, remaining void of air, transmits Light just the same as when air is in it.” – (fr:126) [E quest’ultimo punto è dimostrato ancor più chiaramente dal celebre esperimento di Torricelli, in cui il tubo di vetro da cui il mercurio si è ritirato, rimanendo vuoto d’aria, trasmette la luce proprio come quando l’aria vi è contenuta.] Ciò dimostra che nel tubo esiste una materia diversa dall’aria, e che tale materia deve aver penetrato il vetro o il mercurio, entrambi impenetrabili all’aria. “For this proves that a matter different from air exists in this tube, and that this matter must have penetrated the glass or the quicksilver, either one or the other, though they are both impenetrable to the air.” – (fr:127) [Ciò prova che in questo tubo esiste una materia differente dall’aria, e che questa materia deve aver penetrato il vetro o il mercurio, l’uno o l’altro, sebbene siano entrambi impenetrabili all’aria.] La stessa conclusione si ottiene se nell’esperimento si introduce un poco d’acqua sopra il mercurio: la materia luminosa passa attraverso il vetro o l’acqua, o attraverso entrambi.

Chiarita la distinzione dei mezzi, il testo si sofferma sul modo di propagazione del suono. L’aria è comprimibile e tende a riacquistare il proprio volume, proprietà che, unita alla sua penetrabilità, suggerisce che essa sia costituita da piccoli corpi fluttuanti agitati rapidamente nella materia eterea composta da parti molto più piccole. “And in proportion as it is compressed the more does it exert an effort to regain its volume; for this property along with its penetrability, which remains notwithstanding its compression, seems to prove that it is made up of small bodies which float about and which are agitated very rapidly in the ethereal matter composed of much smaller parts.” – (fr:130) [E in proporzione a quanto è compressa, tanto più esercita uno sforzo per riacquistare il suo volume; questa proprietà, insieme alla sua penetrabilità che permane nonostante la compressione, sembra provare che essa è costituita da piccoli corpi che fluttuano e che sono agitati molto rapidamente nella materia eterea composta di parti molto più piccole.] La propagazione del suono è quindi ricondotta allo sforzo che queste particelle compiono, urtandosi tra loro, per riacquistare libertà quando sono più costrette nelle onde di compressione. “So that the cause of the spreading of Sound is the effort which these little bodies make in collisions with one another, to regain freedom when they are a little more squeezed together in the circuit of these waves than elsewhere.” – (fr:131) [Così che la causa della propagazione del suono è lo sforzo che questi piccoli corpi fanno, urtandosi reciprocamente, per riacquistare libertà quando sono un po’ più pigiati insieme nel circuito di queste onde che altrove.]

Un simile meccanismo di propagazione per urti tra particelle non può però applicarsi alla luce. La sua estrema velocità e le altre proprietà che possiede non ammettono una tale propagazione del moto; l’autore conclude annunciando che mostrerà il modo in cui concepisce debba invece avvenire la trasmissione della luce. “But the extreme velocity of Light, and other properties which it has, cannot admit of such a propagation of motion, and I am about to show here the way in which I conceive it must occur.” – (fr:132) [Ma l’estrema velocità della luce, e altre proprietà che essa ha, non possono ammettere una tale propagazione del moto, e mi accingo qui a mostrare il modo in cui concepisco che debba aver luogo.]

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[4.1-36-138|173]

4 Il modello meccanico della propagazione luminosa: elasticità e onde nell’etere

“I have then shown in what manner one may conceive Light to spread successively, by spherical waves” - (fr:158) - Ho dunque mostrato in che modo si possa concepire che la Luce si diffonda successivamente per onde sferiche.

Il ragionamento si apre con l’analogia di una fila di sfere elastiche per spiegare come il movimento si trasmetta in modo successivo e non istantaneo. Se l’impulso non passasse progressivamente attraverso tutti i corpi, questi acquisirebbero il moto tutti insieme, cosa che contraddice l’esperienza: “For the last one leaves the whole row and acquires the speed of the one which was pushed” - (fr:139) [Infatti l’ultima lascia l’intera fila e acquista la velocità di quella che è stata spinta]. Questo comportamento è reso possibile dalla capacità dei corpi di deformarsi leggermente e recuperare la forma, agendo come molle. Anche i materiali più duri conosciuti possiedono questa proprietà: “Moreover there are experiments which demonstrate that all the bodies which we reckon of the hardest kind, such as quenched steel, glass, and agate, act as springs and bend somehow, not only when extended as rods but also when they are in the form of spheres or of other shapes” - (fr:140) [Inoltre vi sono esperimenti che dimostrano che tutti i corpi che consideriamo tra i più duri, come l’acciaio temprato, il vetro e l’agata, agiscono come molle e si piegano in qualche modo, non solo quando sono estesi come aste ma anche quando hanno forma di sfere o di altre figure]. Percuotendo una superficie piana di vetro o agata appannata dal fiato con una sfera dello stesso materiale, rimangono impronte circolari di dimensione proporzionale alla forza del colpo, prova che le sostanze cedono nel punto d’impatto e poi rimbalzano: “This makes it evident that these substances yield where they meet, and spring back: and for this time must be required” - (fr:143) [Ciò rende evidente che queste sostanze cedono dove si incontrano e rimbalzano: e per questo è necessario del tempo].

Nulla vieta di estendere questa concezione alle particelle dell’etere, immaginandole dotate di una durezza quasi perfetta e di un’elasticità pronta quanto si vuole. Non occorre indagare la causa ultima di tale elasticità, benché di passaggio se ne possa abbozzare una spiegazione meccanica fondata sul moto rapido di una materia sottile che penetra i corpuscoli e ne vincola la struttura, in accordo con la spiegazione cartesiana della molla, ma senza supporre pori a forma di canali rotondi. “This accords with the explanation which Mr. Des Cartes gives for the spring, though I do not, like him, suppose the pores to be in the form of round hollow canals” - (fr:147) [Ciò concorda con la spiegazione che il signor Descartes dà della molla, sebbene io non supponga, come lui, che i pori siano sotto forma di canali cavi rotondi]. In ogni caso, l’esistenza dell’elasticità in corpi visibili basta a renderne plausibile la presenza nei corpuscoli invisibili dell’etere: “But though we shall ignore the true cause of springiness we still see that there are many bodies which possess this property; and thus there is nothing strange in supposing that it exists also in little invisible bodies like the particles of the Ether” - (fr:149) [Ma sebbene ignoreremo la vera causa dell’elasticità, vediamo comunque che vi sono molti corpi che possiedono questa proprietà; e così non vi è nulla di strano nel supporre che esista anche in piccoli corpi invisibili come le particelle dell’Etere].

L’elasticità è l’unico meccanismo compatibile con una progressione uniforme della luce su distanze immense: se il moto decrescesse man mano che è condiviso da più materia, non potrebbe conservare l’enorme velocità osservata. Invece, supponendo la materia eterea elastica, le sue particelle rispondono con la medesima rapidità a spinte forti o deboli, garantendo una propagazione a velocità costante. “by supposing springiness in the ethereal matter, its particles will have the property of equally rapid restitution whether they are pushed strongly or feebly; and thus the propagation of Light will always go on with an equal velocity” - (fr:151) [supponendo elasticità nella materia eterea, le sue particelle avranno la proprietà di un ritorno elastico ugualmente rapido sia che siano spinte con forza o debolmente; e così la propagazione della Luce procederà sempre con velocità uguale].

Sebbene le particelle dell’etere non siano disposte in file rettilinee ma in modo confuso, toccandosi a vicenda in più punti, la trasmissione del movimento in avanti non è impedita. Opera qui una legge del moto, verificabile sperimentalmente, secondo cui una sfera che urta simultaneamente molte altre sfere a contatto cede loro tutto il proprio movimento restando immobile. “It is that when a sphere, such as A here, touches several other similar spheres CCC, if it is struck by another sphere B in such a way as to exert an impulse against all the spheres CCC which touch it, it transmits to them the whole of its movement, and remains after that motionless like the sphere B” - (fr:154) [E cioè che quando una sfera, come A qui, tocca molte altre sfere simili CCC, se è colpita da un’altra sfera B in modo da esercitare un impulso su tutte le sfere CCC che la toccano, trasmette loro l’intero suo movimento e rimane poi immobile come la sfera B]. Non serve che le particelle eteree siano sferiche, mentre l’uguaglianza di dimensione appare più necessaria per evitare riflessioni all’indietro nel passaggio da particelle più piccole a più grandi, secondo le leggi della percussione. “Equality of size seems to be more necessary, because otherwise there ought to be some reflexion of movement backwards when it passes from a smaller particle to a larger one, according to the Laws of Percussion which I published some years ago” - (fr:156) [L’uguaglianza di dimensione sembra più necessaria, perché altrimenti si dovrebbe avere una qualche riflessione del movimento all’indietro quando esso passa da una particella più piccola a una più grande, secondo le Leggi della Percussione che pubblicai alcuni anni fa]. Tuttavia, tale uguaglianza non è una necessità assoluta ma una condizione che facilita e potenzia la propagazione; è probabile che la natura l’abbia realizzata almeno nel vasto spazio oltre l’atmosfera, che sembra servire soltanto a trasmettere la luce del Sole e delle stelle.

Ogni piccola regione di un corpo luminoso – il Sole, una candela, un carbone ardente – genera onde sferiche di cui è il centro. Nella fiamma di una candela, ai punti A, B, C corrispondono cerchi concentrici che rappresentano le onde da essi prodotte, e lo stesso va immaginato per ogni punto della superficie e dell’interno. Le percussioni non hanno successione regolare, dunque le onde non sono equidistanti; se nella figura appaiono tali, è solo per segnare la progressione di una stessa onda in intervalli di tempo uguali. L’enorme quantità di onde che si attraversano senza confondersi né cancellarsi non deve sorprendere: una stessa particella di materia può servire a più onde provenienti da direzioni opposte anche nello stesso istante, proprio perché la diffusione del movimento è successiva. Lo prova la fila di sfere dure: spinte simultanee da estremità opposte fanno rimbalzare le due sfere con la stessa velocità d’impatto, mentre l’intera fila resta ferma benché il movimento l’abbia percorsa due volte. “If against this row there are pushed from two opposite sides at the same time two similar spheres A and D, one will see each of them rebound with the same velocity which it had in striking, yet the whole row will remain in its place, although the movement has passed along its whole length twice over” - (fr:168) [Se contro questa fila si spingono da due lati opposti nello stesso tempo due sfere simili A e D, si vedrà ciascuna rimbalzare con la stessa velocità che aveva all’impatto, eppure l’intera fila resterà al suo posto, benché il movimento l’abbia percorsa per l’intera lunghezza due volte]. Se i moti opposti si incontrano in una sfera intermedia, essa cede e agisce come molla da entrambi i lati, trasmettendo all’istante i due impulsi.

Può sembrare incredibile che ondulazioni così minuscole si propaghino dal Sole o dalle stelle fino a noi, dato che la forza di ciascuna onda diminuisce con la distanza. Ma a grande distanza dal corpo luminoso un’infinità di onde, partite da punti differenti, si unisce fino a comporre sensibilmente un’unica onda che acquista forza sufficiente per impressionare la vista. “at a great distance from the luminous body an infinitude of waves, though they have issued from different points of this body, unite together in such a way that they sensibly compose one single wave only, which, consequently, ought to have enough force to make itself felt” - (fr:172) [a grande distanza dal corpo luminoso un’infinità di onde, benché siano uscite da punti differenti di questo corpo, si uniscono insieme in modo tale da comporre sensibilmente una sola onda, la quale, di conseguenza, deve avere forza sufficiente per farsi sentire]. Così, le infinite onde generate nello stesso istante da tutti i punti di una stella fissa, grande quanto il Sole, formano praticamente una sola onda capace di produrre un’impressione sui nostri occhi.

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[5.1-8-178|185]

5 Il principio di Huygens e il suo fondamento mancante nei precursori

L’autore descrive il meccanismo di formazione di un’onda principale a partire da onde elementari, ne rivendica la novità contro i tentativi di Hooke e Pardies e stabilisce la condizione geometrica essenziale per la propagazione rettilinea della luce.

Il brano espone il cuore del modello ondulatorio concepito da Christiaan Huygens. Il meccanismo è illustrato a partire da una costruzione geometrica: ogni particella di una sfera che si espande, qui chiamata DCF, genera una propria onda secondaria (o ondina). “Similarly the other particles of the sphere DCF, such as bb, dd, etc., will each make its own wave.” – (fr:178) [Similmente le altre particelle della sfera DCF, come bb, dd, ecc., produrranno ciascuna la propria onda.] Prese singolarmente, queste ondine sono descritte come “infinitely feeble only as compared with the wave DCF” – (fr:179) [infinitamente deboli soltanto se paragonate all’onda DCF]. La loro debolezza non è però una negazione del loro ruolo: tutte concorrono infatti alla composizione del fronte principale, contribuendo esclusivamente con la porzione della loro superficie che risulta più lontana dal centro A.

La dinamica della formazione del fronte d’onda porta con sé una delimitazione precisa del movimento luminoso. Esiste un’onda DCF che fissa il confine raggiunto in un determinato intervallo di tempo dal moto originatosi in A. Al di là di essa, il moto è del tutto assente; all’interno dello spazio da essa racchiuso, invece, il movimento persiste, ma soltanto in quelle parti delle onde particolari che non toccano la sfera DCF. “there being no movement beyond this wave, though there will be in the space which it encloses, namely in parts of the particular waves, those parts which do not touch the sphere DCF.” – (fr:180) [non essendoci movimento oltre quest’onda, sebbene ve ne sarà nello spazio che essa racchiude, cioè nelle parti delle onde particolari, quelle parti che non toccano la sfera DCF.]

L’autore avverte che questa descrizione non deve apparire come un esercizio di minuzia eccessiva, poiché da essa conseguono principi in grado di unificare i fenomeni luminosi. “And all this ought not to seem fraught with too much minuteness or subtlety, since we shall see in the sequel that all the properties of Light, and everything pertaining to its reflexion and its refraction, can be explained in principle by this means.” – (fr:181) [E tutto ciò non deve sembrare carico di minuzia o sottigliezza eccessive, poiché vedremo in seguito che tutte le proprietà della Luce, e tutto ciò che riguarda la sua riflessione e rifrazione, possono essere spiegati in linea di principio con questo mezzo.] La frase possiede un chiaro valore programmatico: il modello ondulatorio non è una curiosità geometrica, ma la base per una spiegazione unitaria dell’ottica.

Proprio su questa base Huygens traccia una linea di demarcazione netta tra la propria teoria e quelle di chi lo ha preceduto, riconoscendo però i tentativi di Hooke e del padre Pardies. “This is a matter which has been quite unknown to those who hitherto have begun to consider the waves of light, amongst whom are Mr. Hooke in his Micrographia, and Father Pardies…” – (fr:182) [Questo è un punto che è stato del tutto sconosciuto a coloro che finora hanno iniziato a considerare le onde della luce, tra i quali sono il Sig. Hooke nella sua Micrographia, e il Padre Pardies…] A Pardies, che non poté completare il suo trattato, viene riconosciuto il tentativo di dimostrare riflessione e rifrazione tramite le onde, ma gli mancava ciò che Huygens chiama “fondamento principale”. “But the chief foundation, which consists in the remark I have just made, was lacking in his demonstrations; and for the rest he had opinions very different from mine…” – (fr:183) [Ma il fondamento principale, che consiste nell’osservazione che ho appena fatto, mancava nelle sue dimostrazioni; e per il resto aveva opinioni molto diverse dalle mie…] Il passo rappresenta una testimonianza storiografica diretta: Huygens rivendica la priorità e la specificità del proprio principio di composizione dei fronti d’onda, distinguendolo nettamente da ogni trattazione ondulatoria precedente che ne fosse rimasta priva.

Dopo aver introdotto questa transizione – “To come to the properties of Light.” (fr:184) [Per venire alle proprietà della Luce.] – l’autore enuncia immediatamente la condizione geometrica che traduce in modo rigoroso la propagazione rettilinea. “We remark first that each portion of a wave ought to spread in such a way that its extremities lie always between the same straight lines drawn from the luminous point.” – (fr:185) [Notiamo anzitutto che ciascuna porzione d’onda deve diffondersi in modo tale che i suoi estremi giacciano sempre tra le medesime linee rette tracciate dal punto luminoso.] In questa affermazione è contenuto il principio di Huygens nella sua formulazione più generale: il fronte d’onda avanza mantenendo i propri bordi sui raggi geometrici provenienti dalla sorgente, saldando così la descrizione ondulatoria alla legge della propagazione rettilinea.

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[6.1-32-248|279]

6 La natura della trasparenza e dell’opacità nella teoria ondulatoria della luce

Un’indagine sulla propagazione della luce attraverso i corpi, fondata sull’esistenza di una materia eterea che ne pervade gli interstizi, conduce a spiegare la trasparenza, la rifrazione e la natura peculiare dei metalli opachi.

Il testo propone una spiegazione meccanicistica della trasparenza basata sull’esistenza di una materia eterea che riempie tutti gli spazi. Per dimostrarne la penetrabilità anche attraverso corpi solidi, si ricorre a un esperimento mentale con una sfera di vetro cava. L’argomento è che se la sfera, piena d’aria, viene chiusa, “è certo che è piena di materia eterea, tanto quanto gli spazi al di fuori della sfera” - (fr:248) [When light passes across a hollow sphere of glass… it is certain that it is full of ethereal matter…]. Dato che questa materia è composta da particelle a contatto, se fosse intrappolata, essa “sarebbe obbligata a seguire il movimento della sfera quando se ne cambia il posto” - (fr:250) [it would be obliged to follow the movement of the sphere…], offrendo una resistenza paragonabile a quella di un liquido denso. Tuttavia, l’osservazione contraddice questa ipotesi: “si trova che la sfera resiste all’impressione del movimento solo in proporzione alla quantità di materia del vetro di cui è fatta” - (fr:251) [one finds that the sphere resists the impress of movement only in proportion to the quantity of matter of the glass…]. Se ne deduce, quindi, che la materia eterea all’interno non è sigillata, ma “vi fluisce attraverso con grandissima libertà” - (fr:252) [it must be that the ethereal matter which is inside is not shut up, but flows through it with very great freedom]. Questa conclusione è estesa a tutti i corpi, anche opachi, come l’argento, per i quali si osserva lo stesso fenomeno di resistenza proporzionale alla sola massa del metallo (fr:274).

Stabilita questa permeabilità universale, si introduce la spiegazione della trasparenza, che appare come la modalità più probabile: essa consiste nel fatto che “le onde di luce sono trasportate nella materia eterea, che occupa continuamente gli interstizi o i pori dei corpi trasparenti” - (fr:254) [the waves of light are carried on in the ethereal matter, which continuously occupies the interstices or pores of transparent bodies]. Poiché l’etere li attraversa ininterrottamente, si deduce che essi ne sono sempre pieni. Un corollario fondamentale è che in questi corpi gli interstizi occupano molto più spazio delle particelle coerenti che li costituiscono (fr:256). La prova di ciò risiede nel rapporto tra forza, massa e peso: se la forza necessaria a imprimere una velocità a un corpo è proporzionale alla sua materia coerente, e questa proporzione segue la legge dei pesi, allora la quantità di materia costituente segue la proporzione dei pesi stessi (fr:257). Poiché l’acqua pesa solo un quattordicesimo di un ugual volume di mercurio, “la materia dell’acqua non occupa la quattordicesima parte dello spazio che la sua massa ottiene” (fr:258) [the matter of the water does not occupy the fourteenth part of the space which its mass obtains], e ne occupa ancor meno se si considera che il mercurio è meno denso dell’oro e che la materia dell’oro non è per nulla densa (fr:259).

Questa conclusione solleva una difficoltà notevole: come può l’acqua, un corpo di così grande rarità, resistere alla compressione senza mai solidificarsi? (fr:260-261). La soluzione proposta è dinamica: la liquidità è mantenuta dal moto violento e rapido della materia sottile che agita le particelle dell’acqua, preservandone lo stato liquido nonostante la pressione esterna (fr:262).

Data questa struttura porosa, si comprende come le onde luminose possano propagarsi nell’etere interstiziale, ma con una velocità leggermente inferiore all’interno dei corpi a causa delle piccole deviazioni causate dalle particelle (fr:264). Ed è proprio “in questa differente velocità della luce mostrerò consistere la causa della rifrazione” - (fr:265) [In which different velocity of light I shall show the cause of refraction to consist]. Viene inoltre accennata una terza modalità di trasparenza, in cui il movimento ondulatorio si trasmette indifferentemente sia alle particelle di etere negli interstizi sia a quelle che compongono il corpo, ipotesi che servirà a spiegare la doppia rifrazione (fr:266-267).

L’apparente paradosso è che, essendo tutti i corpi facilmente penetrabili dall’etere portatore di luce (fr:272), non si capisce perché alcuni siano opachi. L’ipotesi che le particelle dei metalli siano morbide e smorzino il moto luminoso è subito rigettata, poiché metalli come l’argento e il mercurio riflettono la luce con forza (fr:278). La spiegazione più probabile è che i corpi metallici, quasi gli unici veramente opachi, abbiano mescolate alle loro particelle dure alcune particelle morbide: “così che alcune servono a causare la riflessione e le altre a impedire la trasparenza” - (fr:279) [so that some serve to cause reflexion and the others to hinder transparency]. Al contrario, i corpi trasparenti conterrebbero solo particelle dure con la facoltà di respingere, che insieme a quelle dell’etere permettono la propagazione delle onde luminose.

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[7.1-9-306|314]

7 La dimostrazione della legge di rifrazione attraverso il modello ondulatorio

La proporzione tra i seni degli angoli di incidenza e rifrazione è ricondotta, mediante costruzioni geometriche, al rapporto tra le velocità della luce nei mezzi attraversati, rivelando la reciprocità del cammino ottico e la comparsa di un fenomeno limite.

Il testo procede da una serie di uguaglianze angolari che fondano la dimostrazione geometrica: “But the angle BAC is equal to DAE, since each of them added to CAE makes a right angle.” – (fr:306) [Ma l’angolo BAC è uguale a DAE, poiché ciascuno di essi sommato a CAE forma un angolo retto.] e “And the angle ABN is equal to NAF, since each of them with BAN makes a right angle.” – (fr:307) [E l’angolo ABN è uguale a NAF, poiché ciascuno di essi con BAN forma un angolo retto.]. Da tali premesse discende una proporzione fondamentale: “Then also the Sine of the angle DAE is to the Sine of NAF as BC is to AN.” – (fr:308) [Allora anche il seno dell’angolo DAE sta al seno di NAF come BC sta ad AN.].

Poiché il rapporto tra i segmenti BC e AN era stato precedentemente stabilito coincidere con quello delle velocità della luce nei due mezzi, si giunge al nucleo della legge di rifrazione: “But the ratio of BC to AN was the same as that of the velocities of light in the substance which is towards AE and in that which is towards AF; therefore also the Sine of the angle DAE will be to the Sine of the angle NAF the same as the said velocities of light.” – (fr:309) [Ma il rapporto di BC ad AN era lo stesso di quello delle velocità della luce nella sostanza che è verso AE e in quella che è verso AF; quindi anche il seno dell’angolo DAE starà al seno dell’angolo NAF come le suddette velocità della luce.].

La trattazione considera poi il caso opposto, quando la luce passa in un mezzo più rapido. Il metodo resta invariato, invertendo semplicemente il rapporto numerico: “To see, consequently, what the refraction will be when the waves of light pass into a substance in which the movement travels more quickly than in that from which they emerge (let us again assume the ratio of 3 to 2), it is only necessary to repeat all the same construction and demonstration which we have just used, merely substituting everywhere 3/2 instead of 2/3.” – (fr:310) [Per vedere, di conseguenza, quale sarà la rifrazione quando le onde di luce passano in una sostanza in cui il movimento viaggia più rapidamente che in quella da cui emergono (assumiamo di nuovo il rapporto di 3 a 2), è solo necessario ripetere tutta la stessa costruzione e dimostrazione che abbiamo appena usato, semplicemente sostituendo dappertutto 3/2 al posto di 2/3.]. Con questa modifica si ottiene una diversa proporzione geometrica: “And it will be found by the same reasoning, in this other figure, that when the piece C of the wave AC shall have reached the surface AB at B, all the portions of the wave AC will have advanced as far as BN, so that BC the perpendicular on AC is to AN the perpendicular on BN as 2 to” – (fr:311) [E si troverà con lo stesso ragionamento, in quest’altra figura, che quando il tratto C dell’onda AC avrà raggiunto la superficie AB in B, tutte le porzioni dell’onda AC saranno avanzate fino a BN, cosicché BC, la perpendicolare su AC, sta a AN, la perpendicolare su BN, come 2 a ]. Il rapporto tra i seni si adegua di conseguenza: “And there will finally be this same ratio of 2 to 3 between the Sine of the angle BAD and the Sine of the angle FAN.” – (fr:312) [E ci sarà infine questo stesso rapporto di 2 a 3 tra il seno dell’angolo BAD e il seno dell’angolo FAN.].

Da questa doppia costruzione emerge una relazione di reciprocità essenziale per i percorsi di entrata e uscita da un medesimo corpo trasparente: “Hence one sees the reciprocal relation of the refractions of the ray on entering and on leaving one and the same transparent body: namely that if NA falling on the external surface AB is refracted into the direction AD, so the ray AD will be refracted on leaving the transparent body into the direction AN.” – (fr:313) [Di qui si vede la relazione reciproca delle rifrazioni del raggio entrando e uscendo da uno stesso corpo trasparente: cioè che se NA, incidendo sulla superficie esterna AB, viene rifratto nella direzione AD, allora il raggio AD verrà rifratto uscendo dal corpo trasparente nella direzione AN.].

Infine, l’analisi conduce a riconoscere un fenomeno limite: “One sees also the reason for a noteworthy accident which happens in this refraction: which is this, that after a certain obliquity of the incident ray DA, it begins to be quite unable to penetrate into the other transparent substance.” – (fr:314) [Si vede anche la ragione di un accidente notevole che avviene in questa rifrazione: il quale è questo, che dopo una certa obliquità del raggio incidente DA, esso comincia a non poter più penetrare nell’altra sostanza trasparente.]. L’incapacità di penetrare oltre una data inclinazione corrisponde all’angolo critico che separa la rifrazione dalla riflessione totale.

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[8.1-9-329|337]

8 La riflessione interna ed esterna nei corpi trasparenti e il principio del tempo minimo

L’analisi ondulatoria della luce spiega il brusco insorgere della riflessione totale, la natura delle riflessioni ordinarie e conduce alla dimostrazione del cammino ottico di durata minima.

Il testo descrive il comportamento della luce all’interfaccia tra mezzi diversi, fondandosi su un modello ondulatorio. Quando l’onda incidente, indicata come CA, raggiunge la superficie AB, il movimento si propaga lungo la superficie stessa e all’interno del corpo trasparente, dove rinforza le onde parziali che danno origine alla riflessione interna: “Similarly when the piece H has reached K, the part AH is entirely reduced to the same point K. This makes it evident that in proportion as the wave CA comes to meet the surface AB, there occurs a great quantity of movement along that surface; which movement ought also to spread within the transparent body and ought to have much re-enforced the partial waves which produce the interior reflexion against the surface AB, according to the laws of reflexion previously explained.” – (fr:329) [Similmente, quando il pezzo H ha raggiunto K, la parte AH è interamente ridotta allo stesso punto K. Ciò rende evidente che man mano che l’onda CA giunge a incontrare la superficie AB, si produce una grande quantità di movimento lungo tale superficie; il quale movimento deve anche diffondersi all’interno del corpo trasparente e deve aver molto rinforzato le onde parziali che producono la riflessione interna contro la superficie AB, secondo le leggi della riflessione spiegate in precedenza.]

Il passaggio dalla riflessione interna debole a quella intensa è legato a una soglia angolare ben precisa. Una piccola riduzione dell’angolo d’incidenza DAQ annulla l’onda BN e con essa la possibilità di rifrazione. Nel vetro tale angolo limite è riportato in 49°11′, mentre l’angolo BAN si mantiene ancora a 11°21′; diminuendo l’angolo di un solo grado BAN si azzera e l’onda si riduce a un punto. Perciò: “because a slight diminution of the angle of incidence DAQ causes the wave BN, however great it was, to be reduced to zero, (for this angle being 49 degrees 11 minutes in the glass, the angle BAN is still 11 degrees 21 minutes, and the same angle being reduced by one degree only the angle BAN is reduced to zero, and so the wave BN reduced to a point) thence it comes about that the interior reflexion from being obscure becomes suddenly bright, so soon as the angle of incidence is such that it no longer gives passage to the refraction.” – (fr:330) [E poiché una leggera diminuzione dell’angolo d’incidenza DAQ fa sì che l’onda BN, per quanto grande fosse, si riduca a zero (essendo tale angolo di 49 gradi 11 minuti nel vetro, l’angolo BAN è ancora di 11 gradi 21 minuti, e riducendo lo stesso angolo di un solo grado l’angolo BAN si riduce a zero, e così l’onda BN ridotta a un punto), ne deriva che la riflessione interna da oscura diviene improvvisamente brillante non appena l’angolo d’incidenza è tale da non permettere più il passaggio alla rifrazione.]

La riflessione esterna ordinaria – quella che coesiste con la rifrazione quando l’angolo d’incidenza è ancora ampio – viene attribuita all’urto dell’onda contro le particelle della sostanza situata al di fuori del corpo trasparente: “Now as concerns ordinary external reflexion, that is to say which occurs when the angle of incidence DAQ is still large enough to enable the refracted ray to penetrate beyond the surface AB, this reflexion should occur against the particles of the substance which touches the transparent body on its outside.” – (fr:331) [Ora, per quanto concerne la riflessione esterna ordinaria, cioè quella che si verifica quando l’angolo d’incidenza DAQ è ancora abbastanza grande da permettere al raggio rifratto di penetrare oltre la superficie AB, questa riflessione dovrebbe prodursi contro le particelle della sostanza che tocca il corpo trasparente all’esterno.] Tali particelle sono identificate con quelle dell’aria o con altre mescolate alla materia eterea, di dimensioni maggiori rispetto alle particelle eteree: “And it apparently occurs against the particles of the air or others mingled with the ethereal particles and larger than they.” – (fr:332) [E a quanto pare essa si produce contro le particelle dell’aria o di altre, mescolate alle particelle eteree e più grandi di esse.] Simmetricamente, la riflessione esterna dei corpi trasparenti si produce contro le loro stesse particelle costitutive, anch’esse più grandi di quelle eteree, che fluiscono negli interstizi: “So on the other hand the external reflexion of these bodies occurs against the particles which compose them, and which are also larger than those of the ethereal matter, since the latter flows in their interstices.” – (fr:333) [Così, d’altra parte, la riflessione esterna di questi corpi si produce contro le particelle che li compongono, le quali sono anch’esse più grandi di quelle della materia eterea, poiché quest’ultima scorre nei loro interstizi.]

Una difficoltà sperimentale è segnalata nei casi in cui la riflessione interna avviene in assenza d’aria, come in recipienti sotto vuoto: “It is true that there remains here some difficulty in those experiments in which this interior reflexion occurs without the particles of air being able to contribute to it, as in vessels or tubes from which the air has been extracted.” – (fr:334) [È vero che rimane qui qualche difficoltà in quegli esperimenti in cui questa riflessione interna si verifica senza che le particelle d’aria possano contribuirvi, come in vasi o tubi dai quali l’aria è stata estratta.] Ciò mostra la consapevolezza di un limite del modello corpuscolare ausiliario, che tuttavia non inficia la descrizione ondulatoria.

L’osservazione empirica attesta che riflessione interna ed esterna possiedono intensità quasi uguali e che, in corpi trasparenti diversi, esse crescono al crescere del potere rifrattivo: “Experience, moreover, teaches us that these two reflexions are of nearly equal force, and that in different transparent bodies they are so much the stronger as the refraction of these bodies is the greater.” – (fr:335) [L’esperienza, inoltre, ci insegna che queste due riflessioni hanno forza pressoché uguale e che, nei diversi corpi trasparenti, esse sono tanto più forti quanto maggiore è la rifrazione di quei corpi.] La gerarchia osservata – vetro più riflettente dell’acqua, diamante più del vetro – è riportata come prova manifesta: “Thus one sees manifestly that the reflexion of glass is stronger than that of water, and that of diamond stronger than that of glass.” – (fr:336) [Così si vede manifestamente che la riflessione del vetro è più forte di quella dell’acqua, e quella del diamante più forte di quella del vetro.]

L’esposizione culmina nel principio generale del percorso di durata minima, valido tanto per la rifrazione quanto per la riflessione su superficie piana: “I will finish this theory of refraction by demonstrating a remarkable proposition which depends on it; namely, that a ray of light in order to go from one point to another, when these points are in different media, is refracted in such wise at the plane surface which joins these two media that it employs the least possible time: and exactly the same happens in the case of reflexion against a plane surface.” – (fr:337) [Concluderò questa teoria della rifrazione dimostrando una proposizione notevole che ne dipende; ossia che un raggio di luce, per andare da un punto a un altro, quando questi punti sono in mezzi diversi, viene rifratto nel piano che unisce i due mezzi in modo tale da impiegare il tempo minimo possibile: e lo stesso accade esattamente nel caso della riflessione contro una superficie piana.] In questo modo il trattato fonde la coerenza interna del modello ondulatorio con un risultato che sarà poi centrale nell’ottica geometrica e nel principio di Fermat.

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[9.1-7-441|447]

9 Misura sperimentale del rapporto di rifrazione ordinaria in un cristallo birifrangente

Procedimento geometrico per determinare l’indice di rifrazione del raggio ordinario sfruttando l’allineamento di immagini osservate attraverso il cristallo.

Il brano descrive una serie di operazioni condotte con un cristallo birifrangente posto su un foglio su cui sono tracciate le linee AB e CD. Lo sperimentatore osserva che, portando l’occhio direttamente sopra AB, la linea appare singola e continua anche attraverso il cristallo, mentre CD si sdoppia. L’immagine dovuta alla rifrazione regolare (ordinaria) può essere identificata grazie a due indizi: “when one views it with both eyes it seems raised up more than the other, or again by the circumstance that, when the Crystal is turned around on the paper, this image remains stationary, whereas the other image shifts and moves entirely around” (fr:441) [quando la si osserva con entrambi gli occhi sembra sollevata più dell’altra, oppure per il fatto che, ruotando il cristallo sul foglio, questa immagine resta immobile mentre l’altra si sposta e ruota completamente].

Per ricavare il rapporto di rifrazione occorre fissare sulla superficie del cristallo due punti di riferimento. Dapprima si colloca l’occhio in I, nel piano perpendicolare passante per AB, in modo che l’immagine formata per rifrazione regolare della linea CD appaia in linea retta con il tratto di CD esterno al cristallo (fr:442). In questa condizione si segna sul cristallo il punto H, corrispondente all’intersezione E; tale punto risulta esattamente sopra E (fr:443). Poi si arretra l’occhio verso O, mantenendosi sempre nello stesso piano perpendicolare, finché l’immagine della linea CD per rifrazione ordinaria si allinea con la linea KL osservata senza rifrazione; a questo punto si segna sul cristallo il punto N dove appare di nuovo l’intersezione E (fr:443).

Con i punti così ottenuti si misurano le lunghezze e le posizioni di NH, EM e dello spessore del cristallo HE. Riportate queste linee su un piano, si tracciano NE e la retta NM che taglia HE in P. Il rapporto di rifrazione cercato è dato da EN : NP, perché “these lines are to one another as the sines of the angles NPH, NEP, which are equal to those which the incident ray ON and its refraction NE make with the perpendicular to the surface” (fr:445) [queste linee stanno tra loro come i seni degli angoli NPH e NEP, i quali sono uguali a quelli che il raggio incidente ON e il suo raggio rifratto NE formano con la perpendicolare alla superficie].

Il valore ottenuto è costante per qualsiasi inclinazione del raggio incidente: “This proportion, as I have said, is sufficiently precisely as 5 to 3” (fr:446) [Questo rapporto, come ho detto, è con sufficiente precisione come 5 a 3]. Questa affermazione riveste un significato storico notevole, poiché corrisponde all’indice di rifrazione ordinario dello spato d’Islanda (circa 1,667), misurato da Christiaan Huygens e pubblicato nel suo Traité de la Lumière (1690). Il passo qui riportato costituisce quindi una testimonianza diretta del metodo sperimentale e geometrico con cui, alla fine del Seicento, si giunse a quantificare la rifrazione ordinaria in un cristallo birifrangente, distinguendo con chiarezza i due raggi grazie al diverso comportamento cinematico delle immagini durante la rotazione del cristallo.

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[10.1-11-467|477]

10 La doppia rifrazione come chiave per la doppia emissione di onde luminose

L’osservazione della doppia rifrazione in cristalli di diversa natura spinge Huygens a estendere la sua ipotesi ondulatoria, postulando due serie di onde che si propagano con velocità differenti all’interno dello stesso corpo solido.

Il passo si apre con un’intuizione sulla struttura interna dei cristalli. L’autore nota come la disposizione regolare di particelle uguali e simili possa generare onde di forma sferoidale, poiché il movimento successivo della luce si diffonde con velocità differente a seconda della direzione. Nel cristallo d’Islanda tale regolarità gli appare garantita dalla figura e dagli angoli «determinati e invariabili». «It seemed to me that the disposition or regular arrangement of these particles could contribute to form spheroidal waves (nothing more being required for this than that the successive movement of light should spread a little more quickly in one direction than in the other) and I scarcely doubted that there were in this crystal such an arrangement of equal and similar particles, because of its figure and of its angles with their determinate and invariable measure» – (fr:467) [Mi sembrò che la disposizione o la sistemazione regolare di queste particelle potesse contribuire a formare onde sferoidali (null’altro essendo richiesto se non che il movimento successivo della luce si diffondesse un po’ più rapidamente in una direzione che nell’altra) e dubitavo appena che in questo cristallo vi fosse una tale disposizione di particelle uguali e simili, a causa della sua figura e dei suoi angoli con la loro misura determinata e invariabile]. Le congetture sulla forma e disposizione di queste particelle, insieme agli esperimenti che le confermano, verranno esposte in seguito, come promette in chiusura del Trattato (fr:468).

L’ipotesi della doppia emissione di onde luminose, già formulata per lo spato d’Islanda, acquista maggiore probabilità quando l’autore osserva un fenomeno analogo nel comune cristallo di rocca. Questo cristallo si presenta in forma esagonale e, proprio in virtù di tale regolarità, «sembra anch’esso composto di particelle di figura definita e disposte in ordine». «The double emission of waves of light, which I had imagined, became more probable to me after I had observed a certain phenomenon in the ordinary [Rock] Crystal, which occurs in hexagonal form, and which, because of this regularity, seems also to be composed of particles, of definite figure, and ranged in order» – (fr:470) [La doppia emissione di onde di luce, che avevo immaginato, mi divenne più probabile dopo aver osservato un certo fenomeno nel comune cristallo di rocca, che si presenta in forma esagonale, e che, a causa di questa regolarità, sembra anch’esso composto di particelle di figura definita e disposte in ordine].

Il fenomeno osservato è una doppia rifrazione, sebbene meno evidente di quella del cristallo d’Islanda. «This was, that this crystal, as well as that from Iceland, has a double refraction, though less evident» – (fr:471) [Questo fenomeno era che questo cristallo, così come quello d’Islanda, ha una doppia rifrazione, benché meno evidente]. La verifica sperimentale è condotta con prismi ben levigati di sezioni differenti: guardando attraverso di essi la fiamma di una candela o i riquadri di una finestra, ogni oggetto appare sdoppiato, anche se le due immagini non sono molto distanti tra loro. «For having had cut from it some well polished Prisms of different sections, I remarked in all, in viewing through them the flame of a candle or the lead of window panes, that everything appeared double, though with images not very distant from one another» – (fr:472) [Infatti, avendo fatto tagliare da esso alcuni prismi ben levigati di sezioni diverse, notai in tutti, guardando attraverso di essi la fiamma di una candela o i piombi dei vetri delle finestre, che ogni cosa appariva doppia, sebbene con immagini non molto distanti l’una dall’altra].

Da questa osservazione l’autore ricava anche una conseguenza pratica: la doppia rifrazione spiega perché il cristallo di rocca, pur essendo trasparente, risulti inutilizzabile per telescopi di una certa lunghezza. «Whence I understood the reason why this substance, though so transparent, is useless for Telescopes, when they have ever so little length» – (fr:473) [Da ciò compresi la ragione per cui questa sostanza, benché così trasparente, è inutile per i telescopi, quando questi hanno una pur minima lunghezza].

Il dato sperimentale viene ricondotto alla teoria ondulatoria. La doppia rifrazione, secondo il modello già stabilito, richiede una doppia emissione di onde luminose, entrambe sferiche – perché entrambe le rifrazioni sono regolari – ma con una serie di onde leggermente più lenta dell’altra. «Now this double refraction, according to my Theory hereinbefore established, seemed to demand a double emission of waves of light, both of them spherical (for both the refractions are regular) and those of one series a little slower only than the others» – (fr:475) [Ora, questa doppia rifrazione, secondo la mia Teoria precedentemente stabilita, sembrava richiedere una doppia emissione di onde di luce, entrambe sferiche (poiché entrambe le rifrazioni sono regolari) e quelle di una serie solo un po’ più lente delle altre]. Il fenomeno viene così spiegato in modo naturale, postulando sostanze che fungano da veicolo per queste onde, esattamente come già fatto per il cristallo d’Islanda. «For thus the phenomenon is quite naturally explained, by postulating substances which serve as vehicle for these waves, as I have done in the case of Iceland Crystal» – (fr:476) [Infatti, in questo modo il fenomeno è spiegato in modo del tutto naturale, postulando sostanze che fungono da veicolo per queste onde, come ho fatto nel caso del cristallo d’Islanda].

L’intera sequenza testimonia un progressivo allargamento del quadro teorico: la conferma della doppia rifrazione in un secondo cristallo, il quarzo, riduce la resistenza ad ammettere due emissioni di onde in un unico corpo solido. «I had then less trouble after that in admitting two emissions of waves in one and the same body» – (fr:477) [Ebbi poi minor difficoltà, dopo ciò, ad ammettere due emissioni di onde in un unico e medesimo corpo].

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[11.1-11-506|516]

11 La costruzione della rifrazione straordinaria nell’ipotesi delle onde sferoidali

Huygens presenta un procedimento geometrico, fondato sul principio delle onde parziali, per determinare la direzione del raggio straordinario all’interno di un cristallo birifrangente.

Huygens introduce l’indagine della rifrazione per raggi incidenti obliqui, affermando che essa dipende interamente dal rapporto tra la velocità della luce nell’etere esterno al cristallo e quella all’interno del cristallo stesso. “Now passing to the investigation of the refractions which obliquely incident rays must undergo, according to our hypothesis of spheroidal waves, I saw that these refractions depended on the ratio between the velocity of movement of the light outside the crystal in the ether, and that within the crystal.” – (fr:506) [Passando ora all’indagine sulle rifrazioni che i raggi incidenti obliquamente devono subire, secondo la nostra ipotesi delle onde sferoidali, vidi che queste rifrazioni dipendevano dal rapporto tra la velocità del movimento della luce fuori dal cristallo nell’etere e quella dentro il cristallo.] Posto che nel cristallo la luce generi uno sferoide di propagazione (indicato con GSP) e all’esterno una sfera di semidiametro N, la determinazione del raggio rifratto segue una precisa costruzione geometrica.

“For supposing, for example, this proportion to be such that while the light in the crystal forms the spheroid GSP, as I have just said, it forms outside a sphere the semi-diameter of which is equal to the line N which will be determined hereafter, the following is the way of finding the refraction of the incident rays.” – (fr:507) [Poiché supponendo, per esempio, che questa proporzione sia tale che mentre la luce nel cristallo forma lo sferoide GSP, come ho appena detto, essa forma all’esterno una sfera il cui semidiametro è uguale alla linea N che sarà determinata in seguito, il modo di trovare la rifrazione dei raggi incidenti è il seguente.] Dato un raggio RC che incide sulla superficie CK, si traccia CO perpendicolare a RC; nell’angolo KCO si riporta OK uguale a N e perpendicolare a CO. Da K si conduce la tangente KI all’ellisse GSP; il segmento che unisce il punto di contatto I con il punto di incidenza C fornisce la rifrazione cercata. “Let there be such a ray RC falling upon the surface CK. Make CO perpendicular to RC, and across the angle KCO adjust OK, equal to N and perpendicular to CO; then draw KI, which touches the Ellipse GSP, and from the point of contact I join IC, which will be the required refraction of the ray RC.” – (fr:508-509) [Sia un tale raggio RC che incide sulla superficie CK. Si tracci CO perpendicolare a RC, e attraverso l’angolo KCO si disponga OK, uguale a N e perpendicolare a CO; quindi si tracci KI, che tocca l’ellisse GSP, e dal punto di contatto I si congiunga I con C: IC sarà la rifrazione richiesta del raggio RC.] L’autore tiene a sottolineare che la dimostrazione è del tutto analoga a quella già adoperata per la rifrazione ordinaria. “The demonstration of this is, it will be seen, entirely similar to that of which we made use in explaining ordinary refraction.” – (fr:510) [La dimostrazione di ciò è, come si vedrà, del tutto simile a quella di cui ci siamo serviti per spiegare la rifrazione ordinaria.]

La giustificazione fisica poggia sulla propagazione del fronte d’onda. La rifrazione del raggio RC non è altro che il prolungamento nel cristallo della porzione C dell’onda piana CO. “For the refraction of the ray RC is nothing else than the progression of the portion C of the wave CO, continued in the crystal.” – (fr:511) [Infatti la rifrazione del raggio RC non è altro che la progressione della porzione C dell’onda CO, continuata nel cristallo.] Mentre il punto O dell’onda giunge in K, le altre porzioni H raggiungono la superficie lungo le rette Hx e generano, intorno ai centri x, onde parziali emisferoidali simili all’emisferoide GSPg. I diametri maggiore e minore di queste onde elementari stanno ai segmenti xv (prolungamenti di Hx fino a KB, paralleli a CO) nello stesso rapporto in cui i diametri dello sferoide GSPg stanno alla linea CB, ossia a N. “Now the portions H of this wave, during the time that O came to K, will have arrived at the surface CK along the straight lines Hx, and will moreover have produced in the crystal around the centres x some hemi-spheroidal partial waves similar to the hemi-spheroidal GSPg, and similarly disposed, and of which the major and minor diameters will bear the same proportions to the lines xv (the continuations of the lines Hx up to KB parallel to CO) that the diameters of the spheroid GSPg bear to the line CB, or N.” – (fr:512) [Ora le porzioni H di quest’onda, durante il tempo in cui O giunge a K, saranno arrivate alla superficie CK lungo le rette Hx, e avranno inoltre prodotto nel cristallo intorno ai centri x alcune onde parziali emisferoidali simili all’emisferoide GSPg, e similmente disposte, i cui diametri maggiore e minore avranno le stesse proporzioni rispetto alle linee xv (i prolungamenti delle linee Hx fino a KB parallele a CO) che i diametri dello sferoide GSPg hanno rispetto alla linea CB, o N.] La tangente comune a tutte queste ellissi parziali è la retta IK, la quale costituisce il fronte d’onda propagato e il suo punto I corrisponde al punto C di partenza – esattamente come già dimostrato per la rifrazione ordinaria. “And it is quite easy to see that the common tangent of all these spheroids, which are here represented by Ellipses, will be the straight line IK, which consequently will be the propagation of the wave CO; and the point I will be that of the point C, conformably with that which has been demonstrated in ordinary refraction.” – (fr:512)

Per localizzare con esattezza il punto di contatto I senza tracciare materialmente tutte le ellissi, Huygens ricorre a una proprietà delle coniche. “Now as to finding the point of contact I, it is known that one must find CD a third proportional to the lines CK, CG, and draw DI parallel to CM, previously determined, which is the conjugate diameter to CG; for then, by drawing KI it touches the Ellipse at I.” – (fr:513) [Quanto al trovare il punto di contatto I, è noto che si deve trovare CD terza proporzionale alle linee CK, CG, e tracciare DI parallela a CM, determinata in precedenza, che è il diametro coniugato a CG; allora, tracciando KI, essa tocca l’ellisse in I.] La stessa costruzione si applica, simmetricamente, a un raggio rC proveniente dal lato opposto: tracciata Co perpendicolare a rC e proseguendo con le medesime operazioni, si ottiene Ci come rifrazione del raggio rC. “Now as we have found CI the refraction of the ray RC, similarly one will find Ci the refraction of the ray rC, which comes from the opposite side, by making Co perpendicular to rC and following out the rest of the construction as before.” – (fr:515) [Ora, come abbiamo trovato CI quale rifrazione del raggio RC, similmente si troverà Ci rifrazione del raggio rC, che proviene dal lato opposto, tracciando Co perpendicolare a rC ed eseguendo il resto della costruzione come prima.] Se i due raggi incidenti possiedono la stessa inclinazione, la simmetria dell’impianto garantisce Cd = CD, poiché Ck è uguale a CK e Cg a CG. “Whence one sees that if the ray rC is inclined equally with RC, the line Cd will necessarily be equal to CD, because Ck is equal to CK, and Cg to CG.” – (fr:516) [Da cui si vede che se il raggio rC è inclinato come RC, la linea Cd sarà necessariamente uguale a CD, perché Ck è uguale a CK, e Cg a CG.]

L’intero procedimento poggia sulla sostituzione dell’onda sferica con un’onda sferoidale per modellare la propagazione straordinaria, conservando intatto il principio delle onde elementari. La rifrazione non è più governata da una semplice legge dei seni, ma da un rapporto costante, espresso dalla linea N e dai diametri dello sferoide, che lega le velocità nei due mezzi. L’insistenza sull’analogia formale con la rifrazione ordinaria (fr:510, 512) mostra come la differenza fisica sia interamente assorbita dalla forma dell’onda elementare – sfera o sferoide – mentre il linguaggio geometrico (tangenti, terze proporzionali, diametri coniugati) rimane lo stesso.

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[12.1-11-526|536]

12 La costruzione geometrica della rifrazione straordinaria nel Traité de la Lumière di Huygens

Una procedura per determinare il raggio rifratto straordinario in un cristallo, a partire dalla deviazione nota del raggio perpendicolare e da una costante geometrica N, dimostrata attraverso la similitudine di triangoli e la tangenza a un’ellisse.

Il passo descrive un metodo geometrico per ricavare il raggio rifratto straordinario in un cristallo uniassico – con ogni probabilità lo spato d’Islanda – seguendo l’impianto ondulatorio di Christiaan Huygens. La costruzione poggia su elementi già introdotti: “the surface of the crystal gG, the Ellipse GPg, and the line N” – (fr:526) [la superficie del cristallo gG, l’Ellisse GPg e la linea N] – dove l’ellisse rappresenta il fronte d’onda straordinario e N è un segmento di lunghezza fissa legato al rapporto tra le velocità di propagazione. Viene inoltre fissato un dato sperimentale: il raggio perpendicolare FC, dopo la rifrazione, emerge come CM divergendo di un angolo ben preciso – “from which it diverges by 6 degrees 40 minutes” – (fr:526) [dal quale diverge di 6 gradi 40 minuti]; tale deviazione angolare, misurata, costituisce il punto di partenza per ogni altra direzione incidente.

Scelto un nuovo raggio incidente RC del quale si vuole la rifrazione, si traccia anzitutto una circonferenza di raggio CG con centro in C, che incontra il raggio in R; da R si abbassa la perpendicolare RV su CG. Quindi si impone una proporzione dettata dalla costante N: “as the line N is to CG let CV be to CD” – (fr:529) [come la linea N sta a CG così CV stia a CD]. Si conduce poi DI parallela a CM fino a intersecare l’ellisse in I, e si congiunge C con I: “then joining CI, this will be the required refraction of the ray RC” – (fr:529) [allora, congiungendo CI, questa sarà la rifrazione cercata del raggio RC].

La dimostrazione si sviluppa introducendo un’ulteriore costruzione: si traccia CO perpendicolare a CR, si riporta OK = N perpendicolare a CO entro l’angolo OCG, e si congiunge K con I. L’argomentazione si regge sulla proprietà che KI risulti tangente all’ellisse in I: “if it is demonstrated to be a tangent to the Ellipse at I, it will be evident by the things heretofore explained that CI is the refraction of the ray RC” – (fr:531) [se si dimostra che è tangente all’Ellisse in I, sarà evidente per le cose già spiegate che CI è la rifrazione del raggio RC].

La riduzione alla tangente sfrutta la similitudine dei triangoli rettangoli RCV e KCO, resa possibile dall’angolo retto RCO: “since the angle RCO is a right angle, it is easy to see that the right-angled triangles RCV, KCO, are similar” – (fr:532) [poiché l’angolo RCO è retto, è facile vedere che i triangoli rettangoli RCV, KCO, sono simili]. Da questa similitudine discende la proporzione CK : KO = RC : CV; sostituendo KO con N e RC con CG si ottiene CK : N = CG : CV. Poiché per costruzione N : CG = CV : CD, combinando i rapporti si perviene a CK : CG = CG : CD, relazione che garantisce la tangenza di KI all’ellisse e quindi la validità della rifrazione CI.

Il brano assume un rilievo storico notevole: è tratto dal trattato Traité de la Lumière (1690), in cui Huygens formulava compiutamente una teoria ondulatoria della luce, spiegando la doppia rifrazione con l’introduzione di onde sferiche e di un’onda ellissoidale per il raggio straordinario. L’uso di una costruzione puramente geometrica, basata su un’ellisse, una circonferenza e una costante N, traduce in pratica il principio di Huygens e fornisce un metodo operativo per calcolare direzioni di propagazione senza ricorrere a forze o corpuscoli. La deviazione di 6°40’ per il raggio perpendicolare è un dato empirico riportato da Bartholinus, che Huygens assume come pietra di paragone per tutta la sua trattazione, mostrando come da quella misura e dalla forma ellittica del fronte d’onda si possano dedurre tutte le altre rifrazioni straordinarie in modo rigoroso e unitario.

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[13.1-23-574|596]

13 La costruzione del raggio straordinario nella sezione perpendicolare a quella principale e l’effetto visivo della doppia rifrazione

Huygens espone il metodo geometrico per determinare la rifrazione straordinaria in una sezione del cristallo diversa da quella principale, e mostra come la diversa proporzione rifrattiva produca un innalzamento disuguale delle immagini osservate.

L’autore si propone di rendere conto della rifrazione nella sezione attraverso AH, parallelamente alla determinazione già data per la sezione principale FEB. “For which fact we shall show the reason, in the first place, for the section through AH; and we shall show at the same time how one can determine the refraction, according to our hypothesis.” – (fr:574) [Per questo fatto mostreremo la ragione, in primo luogo, per la sezione attraverso AH; e mostreremo al tempo stesso come si può determinare la rifrazione, secondo la nostra ipotesi.] La costruzione parte da un raggio incidente RC giacente nel piano perpendicolare ad AFHE e passante per AH, di cui si cerca la rifrazione nel cristallo (fr:575).

Al centro C, intersezione di AH e FE, si immagina un emisferoide QGqgM, la forma che la luce genererebbe propagandosi nel cristallo. La sua sezione con il piano AEHF dà l’ellisse QGqg, il cui diametro maggiore Qq giace su AH ed è uno dei diametri maggiori dello sferoide, poiché l’asse di quest’ultimo è nel piano per FEB, a cui QC è perpendicolare, rendendo QC anch’essa perpendicolare all’asse e quindi QCq un diametro maggiore (fr:577). Il diametro minore Gg sta a Qq nello stesso rapporto, già definito nell’Articolo 27, tra CG e il semidiametro maggiore CP: “that of 98,779 to 105,032” – (fr:578) [quello di 779 a 032].

Si introduce la linea N, che rappresenta il cammino della luce in aria nel tempo in cui nel cristallo si forma, a partire dal centro C, lo sferoide QCqgM (fr:579). Tracciata CO perpendicolare al raggio CR e giacente nel piano di CR e AH, si riporta OK = N perpendicolare a CO, in modo che incontri AH in K. Assumendo CL perpendicolare alla superficie del cristallo AEHF e CM come rifrazione del raggio che incide perpendicolarmente su tale superficie, si conduce un piano per CM e per KCH, che taglia lo sferoide formando la semiellisse QMq. Questa è determinata perché l’angolo MCL è noto: “of value 6 degrees 40 minutes” – (fr:580) [di valore 6 gradi 40 minuti]. Un piano tangente allo sferoide in M risulterebbe parallelo al piano QGq, come già stabilito (fr:581). Tracciata per K la retta KS parallela a Gg, e quindi anche a QX (tangente all’ellisse QGq in Q), un piano passante per KS e tangente allo sferoide avrà il punto di contatto necessariamente sull’ellisse QMq, poiché questo piano e il piano tangente in M sono entrambi paralleli a QX (fr:582).

Sia I tale punto di contatto. Presi KC, QC, DC in proporzione continua e tracciata DI parallela a CM, si unisce CI. “I say that CI will be the required refraction of the ray RC.” – (fr:584) [Dico che CI sarà la rifrazione richiesta del raggio RC.] Per dimostrarlo si considera CO, perpendicolare al raggio, come porzione dell’onda luminosa, e si mostra che il proseguimento del suo tratto C giunge nel cristallo in I quando O è arrivato in K (fr:585).

L’argomento impiega l’estensione dell’onda, analogamente a quanto fatto per la riflessione. Si considera la larghezza dell’onda CO lungo il diametro Gg (fr:586) e si costruisce il parallelogramma COoc come porzione d’onda; si completano i parallelogrammi CKkc, CIic, Klik, OKko (fr:587). Quando la linea Oo raggiunge la superficie del cristallo in Kk, tutti i punti dell’onda COoc sono giunti al rettangolo Kc lungo linee parallele a OK, e da ciascun punto di incidenza si originano nel cristallo emisferoidi parziali simili all’emisferoide QMq (fr:588). Questi emisferoidi toccano simultaneamente il piano del parallelogramma KIik nell’istante in cui Oo ha raggiunto Kk (fr:589). Infatti, quelli con centro lungo CK toccano tale piano nella linea KI, e quelli con centro in Cc lo toccano nella linea Ii (fr:590). Poiché il parallelogramma Ki tocca tutti questi sferoidi, esso è esattamente il proseguimento dell’onda COoc nel cristallo: “and thus it appears that the piece C of the wave COoc has its continuation at I; that is to say, that the ray RC is refracted as CI.” – (fr:591) [e così appare che il pezzo C dell’onda COoc ha il suo proseguimento in I; vale a dire, che il raggio RC è rifratto come CI.]

Da questa costruzione si ricava la proporzione della rifrazione per questa sezione del cristallo: è il rapporto tra la linea N e il semidiametro maggiore CQ dello sferoide (fr:592). Tale rapporto è minore di quello valido per la sezione attraverso FEB, dove era N a CG, cioè 962 a 779, “very nearly as 8 to 5” – (fr:593) [molto prossimo a 8 a 5]; qui invece è N a CQ, 962 a 032, “very nearly as 3 to 2, but just a little less” – (fr:593) [molto prossimo a 3 a 2, ma di poco inferiore]. L’autore sottolinea che questo accorda perfettamente con le osservazioni (fr:594).

Infine, questa diversità nella proporzione di rifrazione produce un effetto singolare. Se il cristallo è posto su un foglio con lettere o altri segni, osservandolo con entrambi gli occhi situati nel piano della sezione per EF, le lettere appaiono sollevate dalla rifrazione irregolare più di quando gli occhi si trovano nel piano della sezione per AH; la differenza di elevazione si confronta con la rifrazione ordinaria del cristallo, la cui proporzione è 5 a 3, la quale solleva le lettere sempre allo stesso modo e più in alto di quanto faccia la rifrazione irregolare (fr:596).

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[14.1-11-616|626]

14 Costruzione dell’elevazione apparente di un punto nella rifrazione straordinaria

Dalla geometria dei raggi rifratti in un cristallo birifrangente si ricava la posizione apparente di un punto, esprimendo l’elevazione tramite una terza proporzionale che coinvolge il rapporto di rifrazione e il semidiametro della superficie.

La determinazione poggia su una costruzione nella quale, tracciata una parallela al raggio rifratto perpendicolare, si ottengono distanze uguali: “This being so, if one draws ID parallel to CM, which I suppose to be the refraction of the perpendicular ray incident at the point C, the distances DC, Dc, will be equal, as is easy to see by that which has been demonstrated in Article ” – (fr:616) [Stando così le cose, se si traccia ID parallela a CM, che suppongo essere la rifrazione del raggio perpendicolare incidente nel punto C, le distanze DC, Dc saranno uguali, come è facile vedere per quanto dimostrato nell’Articolo ]. Il punto I apparirà quindi in S, ottenuto prolungando le rette RC e rc, e tale punto giace sulla perpendicolare DP a Gg: “Now it is certain that the point I should appear at S where the straight lines RC, rc, meet when prolonged; and that this point will fall in the line DP perpendicular to Gg.” – (fr:617) [Ora è certo che il punto I apparirà in S dove le linee rette RC, rc, prolungate, si incontrano; e che questo punto cadrà nella linea DP perpendicolare a Gg.]. Tracciata IP perpendicolare a DP, la distanza PS che ne risulta misura l’elevazione apparente di I: “If one draws IP perpendicular to this DP, it will be the distance PS which will mark the apparent elevation of the point I.” – (fr:618) [Se si traccia IP perpendicolare a questa DP, sarà la distanza PS a segnare l’elevazione apparente del punto I.].

Per esprimere quantitativamente PS si introduce una semicirconferenza su Gg che incontra CR in B, e da B si abbassa la perpendicolare BV a Gg; il rapporto di rifrazione nella sezione è dato da N : GC, come stabilito in precedenza: “Let there be described on Gg a semicircle cutting CR at B, from which let BV be drawn perpendicular to Gg; and let N to GC be the proportion of the refraction in this section, as in Article ” – (fr:619) [Si descriva su Gg un semicerchio che tagli CR in B, da cui si tracci BV perpendicolare a Gg; e sia N sta a GC come il rapporto di rifrazione in questa sezione, come nell’Articolo ]. Poiché CI è la rifrazione del raggio BC e DI è parallela a CM, per un teorema già dimostrato vale VC : CD = N : GC: “Since then CI is the refraction of the radius BC, and DI is parallel to CM, VC must be to CD as N to GC, according to what has been demonstrated in Article ” – (fr:620) [Poiché allora CI è la rifrazione del raggio BC, e DI è parallela a CM, VC deve stare a CD come N sta a GC, secondo quanto dimostrato nell’Articolo ]. Inoltre, dalla similitudine dei triangoli, BV : DS = VC : CD: “But as VC is to CD so is BV to DS.” – (fr:621) [Ma come VC sta a CD così BV sta a DS.].

A questo punto si sfrutta l’ipotesi che l’occhio sia lontano dal cristallo, cosicché BV è posta uguale al semidiametro CG; ne consegue che DS è la terza proporzionale fra N e CG (N : CG = CG : DS) e che DP è assunta uguale a CL: “And because I consider, again, the eyes to be distant above the crystal, BV is deemed equal to the semi-diameter CG; and hence DS will be a third proportional to the lines N and CG: also DP will be deemed equal to CL.” – (fr:623) [E poiché considero, ancora, gli occhi distanti sopra il cristallo, BV è ritenuta uguale al semidiametro CG; e quindi DS sarà la terza proporzionale alle linee N e CG: inoltre DP sarà ritenuta uguale a CL.]. Il calcolo esplicito impiega valori numerici di alta precisione: CG consta di 778 parti, CM di 000 e N è preso pari a 962: “Now CG consisting of 98,778 parts, of which CM contains 100,000, N is taken as 156,962.” – (fr:624) [Ora, constando CG di 778 parti, delle quali CM ne contiene 000, N è preso come 962.]. Sostituendo, si ottiene DS = (CG²)/N = 163: “Then DS will be 62,163.” – (fr:625) [Allora DS sarà 163.]. La lunghezza CL, già determinata in articoli precedenti, vale 324 parti: “But CL is also determined, and contains 99,324 parts, as has been said in Articles 34 and ” – (fr:626) [Ma anche CL è determinata, e contiene 324 parti, come è stato detto negli Articoli 34 e ]. Poiché DP = CL, l’elevazione apparente PS = DP – DS risulta 161 parti, completando così la costruzione che lega geometria e indice di rifrazione straordinario.

Il passo appartiene al Traité de la Lumière di Christiaan Huygens (1690), capitolo sulla doppia rifrazione dello spato d’Islanda: il valore N : GC (~1,589) corrisponde al rapporto di rifrazione straordinario, e la terza proporzionale DS serve a calcolare lo spostamento apparente dell’immagine. La rigorosa deduzione geometrica, corredata da misure esatte, testimonia il metodo con cui Huygens confermava la sua teoria ondulatoria, fondendo costruzioni euclidee e dati sperimentali.

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[15.1-10-629|638]

15 La rifrazione regolare e irregolare nel cristallo: leggi geometriche e riscontri sperimentali

Attraverso proporzioni numeriche e costruzioni geometriche, si dimostra che l’elevazione apparente delle immagini per rifrazione regolare e irregolare segue rapporti costanti, confermati dall’esperienza in diverse orientazioni del cristallo.

Il testo si apre con l’analisi della rifrazione regolare, per la quale è stata stabilita una proporzione di 5 a Si spiega che, osservando un punto P attraverso una superficie rifrangente, esso appare sollevato in S, e che l’elevazione PS corrisponde ai 2/5 dell’altezza DP: “But by the regular refraction of the crystal, of which we have above said that the proportion is 5 to 3, the elevation of the point I, or P, from the bottom, will be 2/5 of the height DP; as appears by this figure, where the point P being viewed by the rays PCR, Pcr, refracted equally at the surface Cc, this point must needs appear to be at S, in the perpendicular PD where the lines RC, rc, meet when prolonged: and one knows that the line PC is to CS as 5 to 3, since they are to one another as the sine of the angle CSP or DSC is to the sine of the angle SPC.” – (fr:629) [Ma per la rifrazione regolare del cristallo, della quale abbiamo detto sopra che la proporzione è 5 a 3, l’elevazione del punto I, o P, dal fondo sarà 2/5 dell’altezza DP; come appare in questa figura, dove il punto P viene visto mediante i raggi PCR, Pcr, rifratti ugualmente sulla superficie Cc, questo punto deve necessariamente apparire in S, sulla perpendicolare PD dove le linee RC, rc, prolungate si incontrano: e si sa che la linea PC sta a CS come 5 a 3, poiché esse stanno tra loro come il seno dell’angolo CSP o DSC sta al seno dell’angolo SPC.]

Tale rapporto viene ribadito assumendo che gli occhi siano molto al di sopra del cristallo: “And because the ratio of PD to DS is deemed the same as that of PC to CS, the two eyes Rr being supposed very far above the crystal, the elevation PS will thus be 2/5 of PD.” – (fr:630) [E poiché si ritiene che il rapporto tra PD e DS sia lo stesso di quello tra PC e CS, supponendo i due occhi Rr molto lontani sopra il cristallo, l’elevazione PS sarà quindi 2/5 di PD.]

A questa costruzione si aggiunge una suddivisione concreta dello spessore del cristallo, rappresentato da un segmento AB. Tre punti C, D, E marcano le altezze a cui appaiono sollevate le immagini a seconda del tipo di rifrazione, basate su rapporti numerici determinati sperimentalmente: “If one takes a straight line AB for the thickness of the crystal, its point B being at the bottom, and if one divides it at the points C, D, E, according to the proportions of the elevations found, making AE 3/5 of AB, AB to AC as 99,324 to 70,283, and AB to AD as 99,324 to 62,163, these points will divide AB as in this figure.” – (fr:632) [Se si prende una linea retta AB come spessore del cristallo, con il suo punto B sul fondo, e la si divide nei punti C, D, E secondo le proporzioni delle elevazioni trovate, rendendo AE 3/5 di AB, AB sta ad AC come 99,324 a 70,283, e AB sta ad AD come 99,324 a 62,163, questi punti divideranno AB come in questa figura.]

Il passo successivo è il riscontro sperimentale, che conferma pienamente il modello. Ponendo gli occhi nel piano del diametro minore del rombo cristallino, la rifrazione regolare solleva le lettere sul fondo fino ad E, mentre quella irregolare le innalza fino a D: “And it will be found that this agrees perfectly with experiment; that is to say by placing the eyes above in the plane which cuts the crystal according to the shorter diameter of the rhombus, the regular refraction will lift up the letters to E; and one will see the bottom, and the letters over which it is placed, lifted up to D by the irregular refraction.” – (fr:633) [E si troverà che questo concorda perfettamente con l’esperimento; vale a dire che ponendo gli occhi sopra nel piano che taglia il cristallo secondo il diametro più corto del rombo, la rifrazione regolare solleverà le lettere fino a E; e si vedrà il fondo, e le lettere su cui è posto, sollevate fino a D dalla rifrazione irregolare.]

Cambiando orientazione, cioè collocando gli occhi nel piano del diametro maggiore, la rifrazione regolare solleva ancora le lettere fino a E, ma quella irregolare le porta soltanto fino a C, quadruplicando l’intervallo tra le due immagini: “But by placing the eyes above in the plane which cuts the crystal according to the longer diameter of the rhombus, the regular refraction will lift the letters to E as before; but the irregular refraction will make them, at the same time, appear lifted up only to C; and in such a way that the interval CE will be quadruple the interval ED, which one previously saw.” – (fr:634) [Ma ponendo gli occhi sopra nel piano che taglia il cristallo secondo il diametro più lungo del rombo, la rifrazione regolare solleverà le lettere fino a E come prima; ma la rifrazione irregolare le farà, al contempo, apparire sollevate solo fino a C; e in modo tale che l’intervallo CE sarà quadruplo dell’intervallo ED, che si era visto in precedenza.]

Un’osservazione importante riguarda la posizione reciproca delle immagini: in entrambe le configurazioni le immagini dovute alla rifrazione irregolare non compaiono esattamente sotto quelle regolari, ma risultano spostate, allontanandosi dall’angolo solido equilatero del cristallo: “I have only to make the remark here that in both the positions of the eyes the images caused by the irregular refraction do not appear directly below those which proceed from the regular refraction, but they are separated from them by being more distant from the equilateral solid angle of the Crystal.” – (fr:636) [Devo solo far osservare qui che in entrambe le posizioni degli occhi le immagini causate dalla rifrazione irregolare non appaiono direttamente sotto quelle che provengono dalla rifrazione regolare, ma ne sono separate essendo più distanti dall’angolo solido equilatero del cristallo.]

Il fenomeno si estende a qualsiasi altra posizione dello sguardo: ruotando attorno al cristallo, l’immagine irregolare del punto I si sposta con continuità tra i limiti D e C, mentre quella regolare rimane fissa in E. L’autore osserva che il punto I appare per rifrazione irregolare nel punto S sulla perpendicolare DP, e che l’immagine regolare di P si forma sulla stessa linea, ma quella di I sarà quasi direttamente sopra lo stesso punto, più in alto di S: “That follows, indeed, from all that has been hitherto demonstrated about the irregular refraction; and it is particularly shown by these last demonstrations, from which one sees that the point I appears by irregular refraction at S in the perpendicular line DP, in which line also the image of the point P ought to appear by regular refraction, but not the image of the point I, which will be almost directly above the same point, and higher than S. But as to the apparent elevation of the point I in other positions of the eyes above the crystal, besides the two positions which we have just examined, the image of that point by the irregular refraction will always appear between the two heights of D and C, passing from one to the other as one turns one’s self around about the immovable crystal, while looking down from above.” – (fr:637) [Ciò segue, in effetti, da tutto quanto è stato finora dimostrato sulla rifrazione irregolare; ed è mostrato in particolare da queste ultime dimostrazioni, dalle quali si vede che il punto I appare per rifrazione irregolare in S sulla linea perpendicolare DP, nella quale linea dovrebbe apparire anche l’immagine del punto P per rifrazione regolare, ma non l’immagine del punto I, che sarà quasi direttamente sopra lo stesso punto, e più in alto di S. Ma quanto all’elevazione apparente del punto I in altre posizioni degli occhi sopra il cristallo, oltre le due posizioni che abbiamo appena esaminato, l’immagine di quel punto per rifrazione irregolare apparirà sempre tra le due altezze D e C, passando dall’una all’altra mentre ci si gira intorno al cristallo immobile, guardando dall’alto.]

Il brano si chiude annunciando che tutto rimane coerente con l’ipotesi di partenza e che verrà in seguito mostrato il metodo per determinare le rifrazioni irregolari in qualunque altra sezione del cristallo: “And all this is still found conformable to our hypothesis, as any one can assure himself after I shall have shown here the way of finding the irregular refractions which appear in all other sections of the crystal, besides the two which we have considered.” – (fr:638) [E tutto ciò si trova ancora conforme alla nostra ipotesi, come chiunque potrà constatare dopo che avrò mostrato qui il modo di trovare le rifrazioni irregolari che appaiono in tutte le altre sezioni del cristallo, oltre alle due che abbiamo considerato.]

Il testo documenta la fase di verifica della teoria della doppia rifrazione, offrendo misure precise (i rapporti 99,324 : 70,283 e 99,324 : 62,163) e descrivendo il comportamento delle immagini in funzione dell’orientamento del cristallo. Esso costituisce una testimonianza del metodo scientifico seicentesco, in cui la deduzione geometrica si salda con il controllo sperimentale, e contiene continui rimandi a figure che dovevano guidare il lettore nella comprensione delle costruzioni ottiche.

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[16.1-20-642|661]

16 Costruzione geometrica e verifica delle rifrazioni nel cristallo

“there are different sections of this Crystal, the surfaces of which, thereby produced, give rise to refractions precisely such as they ought to be, and as I had foreseen them, according to the preceding Theory.” – (fr:656) [Esistono diverse sezioni di questo Cristallo, le cui superfici, così prodotte, danno luogo a rifrazioni esattamente come devono essere, e come le avevo previste, secondo la Teoria precedente.]

Per determinare la rifrazione di un raggio incidente su uno sferoide, l’autore sviluppa una costruzione geometrica che conduce al punto di contatto di un piano tangente. Dapprima, “nel piano dell’Ellisse HDE si tracci KT, passante per il punto K, perpendicolare a BCK” – (fr:642) [Quindi nel piano dell’Ellisse HDE si tracci KT, per il punto K, perpendicolare a BCK]. Se si immagina un piano condotto per la retta KT e tangente allo sferoide HME nel punto I, “la retta CI sarà la rifrazione del raggio RC” – (fr:643) [la retta CI sarà la rifrazione del raggio RC]. Per trovare I, si costruisce una retta HF parallela a KT e tangente all’ellisse HDE in H; tracciata CH fino a incontrare KT in T, si considera il piano per CH e per CM – rifrazione del raggio perpendicolare – che genera la sezione ellittica HME (fr:645). In virtù di un lemma, “il piano che passerà per la retta KT, e che toccherà lo sferoide, lo toccherà in un punto dell’Ellisse HME” – (fr:646) [È certo che il piano che passerà per la retta KT, e che toccherà lo sferoide, lo toccherà in un punto dell’Ellisse HME]. Tale punto è necessariamente I, poiché il piano per TK può toccare lo sferoide in un solo punto (fr:647). La determinazione è semplice: “basta tracciare dal punto T, che giace nel piano di questa Ellisse, la tangente TI, nel modo mostrato in precedenza” – (fr:648) [E questo punto I è facile da determinare, poiché è sufficiente tracciare dal punto T, che è nel piano di questa Ellisse, la tangente TI, nel modo mostrato in precedenza].

L’ellisse HME gode di proprietà che ne facilitano l’impiego. I suoi semi-diametri coniugati sono CH e CM; una retta per M parallela a HE tocca l’ellisse, perché un piano condotto per M e parallelo al piano HDE tocca lo sferoide in M, come stabilito dagli Articoli 27 e 23 (fr:649). Nota la posizione dell’ellisse rispetto al piano contenente il raggio RC e CK, si trova agevolmente la posizione di CI, rifrazione del raggio RC (fr:650). L’ellisse HME non serve soltanto per quel singolo raggio: “la stessa ellisse HME serve a trovare le rifrazioni di qualunque altro raggio che si trovi nel piano per RC e CK” – (fr:651) [Ora bisogna notare che la stessa ellisse HME serve a trovare le rifrazioni di qualsiasi altro raggio che sia nel piano per RC e CK], poiché ogni piano parallelo a HF (o TK) che tocchi lo sferoide lo farà in punti di questa ellisse, in base allo stesso lemma (fr:652).

L’autore sottolinea il rigore dell’indagine: “Ho investigato così, in minuzioso dettaglio, le proprietà della rifrazione irregolare di questo Cristallo, per vedere se ciascun fenomeno dedotto dalla nostra ipotesi si accorda con quanto osservato nei fatti” – (fr:653) [Ho investigato così, in minuzioso dettaglio, le proprietà della rifrazione irregolare di questo Cristallo, per vedere se ogni fenomeno che viene dedotto dalla nostra ipotesi si accorda con ciò che si osserva in realtà]. La concordanza riscontrata “fornisce una prova non lieve della verità delle nostre supposizioni e dei nostri princìpi” – (fr:654) [E questo essendo così fornisce una prova non lieve della verità delle nostre supposizioni e princìpi]. Una conferma ulteriore, giudicata meravigliosa, è offerta dall’esistenza di sezioni del cristallo le cui superfici producono rifrazioni esattamente conformi alle previsioni teoriche (fr:656).

Per spiegare queste sezioni, si introduce la sezione principale ABKF passante per l’asse del cristallo ACK, nella quale giace l’asse SS di un’onda sferoidale che si propaga dal centro C; la retta PP, che taglia SS per il suo punto medio e ad angolo retto, è uno dei diametri maggiori (fr:657). Nella sezione naturale del cristallo, rappresentata dalla linea GG e parallela a due facce opposte, la rifrazione delle superfici è governata dagli emi-sferoidi GNG (fr:658). Tagliando il cristallo lungo NN, con un piano perpendicolare al parallelogramma ABKF, la rifrazione è retta dagli emi-sferoidi NGN; analogamente, un taglio lungo PP, sempre perpendicolare al parallelogramma, dà rifrazione governata da PSP, e così per altre sezioni (fr:659-660). L’osservazione cruciale riguarda l’inclinazione reciproca dei piani: “se il piano NN era quasi perpendicolare al piano GG, formando l’angolo NCG, che giace sul lato A, un angolo di 90 gradi 40 minuti, gli emi-sferoidi NGN diventavano simili agli emi-sferoidi GNG, poiché i piani NN e GG erano ugualmente inclinati di un angolo di 45 gradi 20 minuti rispetto all’asse SS” – (fr:661) [Ma vidi che se il piano NN era quasi perpendicolare al piano GG, formando l’angolo NCG, che è sul lato A, un angolo di 90 gradi 40 minuti, gli emi-sferoidi NGN diventavano simili agli emi-sferoidi GNG, poiché i piani NN e GG erano ugualmente inclinati di un angolo di 45 gradi 20 minuti rispetto all’asse SS]. Questa uguaglianza di inclinazione spiega la similitudine degli emi-sferoidi e salda ulteriormente il legame tra la costruzione geometrica e i fenomeni osservati.

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17 La doppia rifrazione del cristallo e le tecniche per tagliarlo e lucidarlo

Dall’analisi dei tagli lungo piani caratteristici e dalla possibilità di sagomare il cristallo in forme arbitrarie emerge che la rifrazione irregolare non ha origine nella stratificazione del minerale; l’autore espone poi il metodo empirico per ottenere superfici lucide, indispensabili allo studio dei fenomeni ottici.

Lo studio si apre con due osservazioni cruciali sul comportamento della luce quando il cristallo viene tagliato secondo piani ben definiti rispetto al suo asse SS. Tagliandolo con un piano passante per PP e perpendicolare all’asse, “the perpendicular ray should suffer thereby no deviation; and that for oblique rays there would always be an irregular refraction” – (fr:665) [il raggio perpendicolare non subirebbe alcuna deviazione; mentre per i raggi obliqui si avrebbe sempre una rifrazione irregolare] – e gli oggetti apparirebbero meno sollevati che con l’altra rifrazione. Se invece il cristallo è tagliato da un piano contenente l’asse SS, “the perpendicular ray ought to suffer no refraction; and that for oblique rays there were different measures for the irregular refraction according to the situation of the plane in which the incident ray was” – (fr:666) [il raggio perpendicolare non dovrebbe subire rifrazione; e per i raggi obliqui si avevano diverse entità della rifrazione irregolare a seconda dell’orientazione del piano in cui si trovava il raggio incidente].

Verificata sperimentalmente la validità di queste previsioni, l’autore ne deduce che il fenomeno ha carattere universale (“a similar success could be met with everywhere” – fr:667 [un simile successo si sarebbe potuto incontrare ovunque]) e che è possibile costruire solidi artificiali che, a differenza dei cristalli naturali, non si sfalderebbero secondo piani paralleli alle facce, ma manterrebbero esattamente la stessa doppia rifrazione su ogni superficie: “one might form from this crystal solids similar to those which are its natural forms, which should produce, at all their surfaces, the same regular and irregular refractions as the natural surfaces, and which nevertheless would cleave in quite other ways” – (fr:668) [si potrebbero formare da questo cristallo solidi simili a quelli che sono le sue forme naturali, i quali produrrebbero, su tutte le loro superfici, le stesse rifrazioni regolare e irregolare delle superfici naturali, e che tuttavia si sfalderebbero in modi del tutto diversi].

Fra le forme ottenibili, si descrivono piramidi a base quadrata, pentagonale, esagonale o con un numero qualsiasi di lati: “all the surfaces of which should have the same refractions as the natural surfaces of the crystal, except the base, which will not refract the perpendicular ray” – (fr:669) [tutte le superfici delle quali avrebbero le stesse rifrazioni delle superfici naturali del cristallo, eccetto la base, che non rifrangerà il raggio perpendicolare]. Queste superfici formano con l’asse un angolo costante di 45 gradi e 20 minuti, mentre la base è la sezione perpendicolare all’asse (fr:670). L’autore aggiunge che si possono realizzare anche prismi a sezione triangolare o con qualsiasi numero di facce laterali: in essi “neither the sides nor the bases would refract the perpendicular ray, although they would yet all cause double refraction for oblique rays” – (fr:671) [né le facce laterali né le basi rifrangerebbero il raggio perpendicolare, sebbene producano tutte una doppia rifrazione per i raggi obliqui]. Tra questi prismi rientra pure il cubo, con basi perpendicolari all’asse e facce laterali parallele all’asse stesso (fr:672).

Da ciò si trae una conclusione di grande rilievo sulla natura del cristallo: “it is not at all in the disposition of the layers … that the cause resides of its irregular refraction; and that it would be in vain to wish to seek it there” – (fr:673) [la causa della sua rifrazione irregolare non risiede affatto nella disposizione degli strati … e sarebbe vano volerla cercare lì].

Allo scopo di permettere a chiunque possieda un esemplare del minerale di verificare direttamente quanto esposto, viene fornito il procedimento impiegato per tagliarlo e lucidarlo. Il taglio non presenta difficoltà, eseguibile “by the slicing wheels of lapidaries, or in the way in which marble is sawn” – (fr:675) [con le ruote da taglio dei lapidari, o nel modo in cui si sega il marmo]; la lucidatura è invece assai ardua e, impiegando i mezzi ordinari, “one more often depolishes the surfaces than makes them lucent” – (fr:675) [più spesso si depuliscono le superfici di quanto le si renda lucenti]. Dopo molti tentativi l’autore ha scoperto che non si deve usare una piastra metallica, bensì un pezzo di vetro da specchio reso opaco e smerigliato (fr:676). Su questo supporto, con sabbia fine e acqua, il cristallo viene levigato a poco a poco come le lenti per occhiali, e lucidato semplicemente proseguendo il lavoro ma riducendo la grana dell’abrasivo (fr:677). La trasparenza perfetta non viene raggiunta, ma la planarità ottenuta permette di osservare gli effetti di rifrazione meglio che sulle superfici di sfaldatura naturale, che recano sempre qualche disuguaglianza (fr:678). Anche una superficie solo moderatamente levigata, “if one rubs it over with a little oil or white of egg, it becomes quite transparent, so that the refraction is discerned in it quite distinctly” – (fr:679) [se vi si passa sopra un po’ d’olio o albume d’uovo, diventa del tutto trasparente, così che la rifrazione vi si discerne molto distintamente]. Questo accorgimento si rivela indispensabile quando si vogliono lucidare le facce naturali per eliminarne le irregolarità, poiché esse non divengono mai lucide quanto le superfici di altri tagli, i quali si lucidano tanto meglio quanto meno si avvicinano ai piani naturali (fr:680).

Prima di chiudere la trattazione sul cristallo, l’autore annuncia che aggiungerà un ultimo, stupefacente fenomeno, scoperto dopo aver scritto tutto quanto precede (fr:681), lasciando così aperto l’orizzonte su un’ulteriore proprietà ottica.

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18 L’enigma della doppia rifrazione e l’onestà intellettuale di un’indagine scientifica

Di fronte a un fenomeno ottico controintuitivo, l’autore descrive minuziosamente il comportamento della luce attraverso due cristalli, ne trae una conclusione sulla natura delle onde luminose, ma riconosce con altrettanta chiarezza il limite invalicabile della propria capacità di spiegarlo.

Il testo si addentra nel cuore di un celebre esperimento di ottica sulla doppia rifrazione, condotto con due cristalli, probabilmente di spato d’Islanda. L’autore parte dalla confutazione di un ragionamento intuitivo ma errato: l’idea che un raggio, nell’attraversare il primo cristallo, perda qualcosa di necessario per un tipo di rifrazione. Lo si deduce dalla critica iniziale: “One would say that it must be that the ray DG in passing through the upper piece has lost something which is necessary to move the matter which serves for the irregular refraction; and that likewise CE has lost that which was necessary to move the matter which serves for regular refraction: but there is yet another thing which upsets this reasoning.” - (fr:688) [Si direbbe che il raggio DG, passando attraverso il pezzo superiore, abbia perso qualcosa di necessario a muovere la materia che serve per la rifrazione irregolare; e che allo stesso modo CE abbia perso ciò che era necessario a muovere la materia che serve per la rifrazione regolare: ma c’è un’altra cosa che sconvolge questo ragionamento.]

L’elemento che manda in crisi l’ipotesi della “perdita” è un’osservazione sperimentale cruciale, che rivela la dipendenza del fenomeno dall’orientamento dei cristalli. Quando questi sono disposti con i piani delle sezioni principali ad angolo retto, si verifica un’inversione netta di comportamento: “It is that when one disposes the two crystals in such a way that the planes which constitute the principal sections intersect one another at right angles, whether the neighbouring surfaces are parallel or not, then the ray which has come by the regular refraction, as DG, undergoes only an irregular refraction in the lower piece; and on the contrary the ray which has come by the irregular refraction, as CE, undergoes only a regular refraction.” - (fr:689) [Il fatto è che quando si dispongono i due cristalli in modo tale che i piani che costituiscono le sezioni principali si intersechino ad angolo retto, siano le superfici adiacenti parallele o meno, allora il raggio giunto per rifrazione regolare, come DG, subisce solo una rifrazione irregolare nel pezzo inferiore; e al contrario il raggio giunto per rifrazione irregolare, come CE, subisce solo una rifrazione regolare.]

La complessità aumenta ulteriormente. L’autore specifica che l’inversione netta appena descritta è un caso particolare. In tutte le altre infinite posizioni, la divisione dei raggi si ripropaga: “But in all the infinite other positions, besides those which I have just stated, the rays DG, CE, divide themselves anew each one into two, by refraction in the lower crystal so that from the single ray AB there are four, sometimes of equal brightness, sometimes some much less bright than others, according to the varying agreement in the positions of the crystals: but they do not appear to have all together more light than the single ray AB.” - (fr:690) [Ma in tutte le altre infinite posizioni, oltre a quelle che ho appena indicato, i raggi DG, CE si dividono nuovamente ciascuno in due, per rifrazione nel cristallo inferiore, cosicché dal singolo raggio AB se ne originano quattro, a volte di eguale luminosità, a volte alcuni molto meno brillanti di altri, secondo il variare dell’accordo nelle posizioni dei cristalli: ma non sembrano avere tutti insieme più luce del singolo raggio AB.]

Di fronte a questa variabilità, l’autore formula una conclusione che è un tassello fondamentale nella storia del concetto di polarizzazione della luce, sebbene il termine non venga ancora usato. L’osservazione che il destino dei raggi CE e DG dipende interamente dalla posizione del cristallo inferiore porta a un’inevitabile deduzione sulla natura della luce dopo il primo passaggio: “When one considers here how, while the rays CE, DG, remain the same, it depends on the position that one gives to the lower piece, whether it divides them both in two, or whether it does not divide them, and yet how the ray AB above is always divided, it seems that one is obliged to conclude that the waves of light, after having passed through the first crystal, acquire a certain form or disposition in virtue of which, when meeting the texture of the second crystal, in certain positions, they can move the two different kinds of matter which serve for the two species of refraction; and when meeting the second crystal in another position are able to move only one of these kinds of matter.” - (fr:691) [Quando si considera qui come, mentre i raggi CE, DG rimangono gli stessi, dipenda dalla posizione che si dà al pezzo inferiore se esso li divide entrambi in due o se non li divide, e come tuttavia il raggio AB sopra sia sempre diviso, sembra che si sia obbligati a concludere che le onde di luce, dopo aver attraversato il primo cristallo, acquisiscano una certa forma o disposizione in virtù della quale, incontrando la tessitura del secondo cristallo in certe posizioni, possono muovere i due diversi tipi di materia che servono per le due specie di rifrazione; e incontrando il secondo cristallo in un’altra posizione sono in grado di muovere solo uno di questi tipi di materia.]

Tuttavia, il passo successivo e storicamente più significativo è l’ammissione di un limite. Dopo aver descritto il fenomeno e aver intuito la necessità di una “forma o disposizione” acquisita dalle onde, l’autore si arresta con una sincerità radicale: “But to tell how this occurs, I have hitherto found nothing which satisfies me.” - (fr:692) [Ma per dire come ciò avvenga, non ho finora trovato nulla che mi soddisfi.] Non si tratta di un semplice scrupolo, ma della testimonianza di un metodo scientifico che distingue nettamente tra la descrizione fenomenologica e la sua spiegazione causale ultima.

L’estratto si conclude con un netto cambio di argomento, che suggerisce come l’indagine sulla doppia rifrazione fosse parte di uno studio più ampio sulla struttura stessa del cristallo: “Leaving then to others this research, I pass to what I have to say touching the cause of the extraordinary figure of this crystal, and why it cleaves easily in three different senses, parallel to any one of its surfaces.” - (fr:693) [Lasciando dunque ad altri questa ricerca, passo a ciò che devo dire riguardo alla causa della figura straordinaria di questo cristallo, e al perché si sfaldi facilmente in tre sensi diversi, paralleli a una qualsiasi delle sue superfici.]

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19 La struttura a sferoidi e le proprietà di sfaldatura del cristallo d’Islanda

Un’ipotesi corpuscolare sulla disposizione interna delle particelle spiega con precisione i piani di rottura, la differenza di durezza direzionale e le osservazioni sperimentali, confermando la fecondità del metodo meccanico applicato ai corpi solidi.

Nel tentativo di rendere conto delle proprietà di sfaldatura del cristallo (spato d’Islanda), l’autore propone che le particelle che lo compongono siano piccoli sferoidi impilati a formare una piramide. Se questi corpuscoli fossero tenuti insieme da una debole coesione, la rottura della piramide avverrebbe secondo piani paralleli alle facce che ne costituiscono la punta, generando prismi analoghi a quelli osservati nel cristallo reale. “I say, further, that if these corpuscles were lightly stuck together, on breaking this pyramid it would break along faces parallel to those that make its point: and by this means, as it is easy to see, it would produce prisms similar to those of the same crystal as this other figure represents.” – (fr:706) [Dico inoltre che, se questi corpuscoli fossero leggermente attaccati insieme, rompendo questa piramide essa si romperebbe lungo facce parallele a quelle che formano la sua punta: e con questo mezzo, come è facile vedere, produrrebbe prismi simili a quelli dello stesso cristallo, come quest’altra figura rappresenta.]

La ragione risiede nel fatto che, rompendo in questo modo, un intero strato si separa facilmente dallo strato vicino, poiché ogni sferoide deve staccarsi solo da tre sferoidi dello strato adiacente: uno tocca la superficie appiattita e gli altri due i bordi. “The reason is that when broken in this fashion a whole layer separates easily from its neighbouring layer since each spheroid has to be detached only from the three spheroids of the next layer; of which three there is but one which touches it on its flattened surface, and the other two at the edges.” – (fr:707) [La ragione è che, rompendo in questo modo, un intero strato si separa facilmente dallo strato vicino, poiché ogni sferoide deve staccarsi soltanto dai tre sferoidi dello strato successivo; dei quali tre ve n’è uno solo che lo tocca sulla superficie appiattita, e gli altri due ai bordi.] Inoltre le superfici di separazione risultano nette e levigate perché, se qualche sferoide della superficie confinante tentasse di rimanere attaccato alla superficie che si sta separando, dovrebbe staccarsi da altri sei sferoidi che lo bloccano, quattro dei quali premono tramite le superfici appiattite. “And the reason why the surfaces separate sharp and polished is that if any spheroid of the neighbouring surface would come out by attaching itself to the surface which is being separated, it would be needful for it to detach itself from six other spheroids which hold it locked, and four of which press it by these flattened surfaces.” – (fr:708) [E la ragione per cui le superfici si separano nette e levigate è che, se qualche sferoide della superficie vicina venisse via attaccandosi alla superficie che si sta separando, dovrebbe staccarsi da altri sei sferoidi che lo tengono bloccato, quattro dei quali lo premono tramite queste superfici appiattite.]

L’accordo tra gli angoli del cristallo e il suo modo di sfaldarsi con quanto osservato nell’assemblaggio di tali sferoidi fornisce una forte ragione per credere che le particelle siano realmente conformate e disposte in questo modo. “Since then not only the angles of our crystal but also the manner in which it splits agree precisely with what is observed in the assemblage composed of such spheroids, there is great reason to believe that the particles are shaped and ranged in the same way.” – (fr:709) [Poiché dunque non solo gli angoli del nostro cristallo ma anche il modo in cui si sfalda concordano esattamente con quanto si osserva nell’assemblaggio composto da tali sferoidi, vi è grande ragione di credere che le particelle siano conformate e disposte nello stesso modo.] Vi è inoltre la probabilità che i prismi del cristallo siano prodotti dalla rottura di piramidi, poiché il signor Bartholinus riferisce di aver occasionalmente trovato pezzi di figura piramidale triangolare. “There is even probability enough that the prisms of this crystal are produced by the breaking up of pyramids, since Mr. Bartholinus relates that he occasionally found some pieces of triangularly pyramidal figure.” – (fr:710) [Vi è persino una probabilità sufficiente che i prismi di questo cristallo siano prodotti dalla rottura di piramidi, poiché il signor Bartholinus riferisce di aver occasionalmente trovato alcuni pezzi di figura piramidale triangolare.]

Anche se una massa fosse composta internamente soltanto da questi piccoli sferoidi impilati, qualunque forma esterna avesse, rompendola si produrrebbero prismi simili, per lo stesso ragionamento. “But when a mass is composed interiorly only of these little spheroids thus piled up, whatever form it may have exteriorly, it is certain, by the same reasoning which I have just explained, that if broken it would produce similar prisms.” – (fr:711) [Ma quando una massa è composta internamente soltanto da questi piccoli sferoidi così impilati, qualunque forma abbia esternamente, è certo, per lo stesso ragionamento che ho appena spiegato, che rompendola produrrebbe prismi simili.] L’autore si interroga quindi se vi siano altre ragioni a conferma della congettura e se ve ne siano di contrarie. “It remains to be seen whether there are other reasons which confirm our conjecture, and whether there are none which are repugnant to it.” – (fr:712) [Resta da vedere se vi siano altre ragioni che confermano la nostra congettura, e se non ve ne siano di ripugnanti.]

Un’obiezione possibile è che il cristallo così composto potrebbe sfaldarsi in altri due modi: lungo piani paralleli alla base della piramide (triangolo ABC) e lungo un piano la cui traccia è segnata dalle linee GH, HK, KL. “It may be objected that this crystal, being so composed, might be capable of cleavage in yet two more fashions; one of which would be along planes parallel to the base of the pyramid, that is to say to the triangle ABC; the other would be parallel to a plane the trace of which is marked by the lines GH, HK, KL.” – (fr:713) [Si potrebbe obiettare che questo cristallo, essendo così composto, potrebbe essere in grado di sfaldarsi in altri due modi; uno dei quali sarebbe lungo piani paralleli alla base della piramide, cioè al triangolo ABC; l’altro sarebbe parallelo a un piano la cui traccia è segnata dalle linee GH, HK, KL.] L’autore replica che entrambe queste divisioni, benché possibili, sono più difficili di quelle parallele alle tre facce della piramide; perciò, colpendo il cristallo per romperlo, esso si fenderà sempre piuttosto lungo questi tre piani che non lungo gli altri due. “To which I say that both the one and the other, though practicable, are more difficult than those which were parallel to any one of the three planes of the pyramid; and that therefore, when striking on the crystal in order to break it, it ought always to split rather along these three planes than along the two others.” – (fr:714) [A ciò rispondo che sia l’uno che l’altro, benché praticabili, sono più difficili di quelli che erano paralleli a uno qualsiasi dei tre piani della piramide; e che perciò, colpendo il cristallo per romperlo, esso dovrà sempre fendersi piuttosto lungo questi tre piani che lungo gli altri due.]

La maggiore difficoltà si spiega considerando la disposizione degli sferoidi: quando si dispone un certo numero di essi a formare una piramide, si vede perché i due metodi di divisione siano più difficili. “When one has a number of spheroids of the form above described, and ranges them in a pyramid, one sees why the two methods of division are more difficult.” – (fr:715) [Quando si ha un certo numero di sferoidi della forma sopra descritta, e li si dispone in una piramide, si vede perché i due metodi di divisione sono più difficili.] Nel caso della divisione parallela alla base, ogni sferoide dovrebbe staccarsi da tre altri che lo toccano sulle superfici appiattite, che tengono più saldamente dei contatti ai bordi. “For in the case of that division which would be parallel to the base, each spheroid would be obliged to detach itself from three others which it touches upon their flattened surfaces, which hold more strongly than the contacts at the edges.” – (fr:716) [Infatti nel caso di quella divisione che sarebbe parallela alla base, ogni sferoide sarebbe costretto a staccarsi da tre altri che tocca sulle loro superfici appiattite, le quali tengono più saldamente dei contatti ai bordi.] Inoltre tale divisione non avverrebbe lungo strati completi, perché ciascuno sferoide di uno strato è a malapena trattenuto dai sei dello stesso strato che lo circondano, toccandolo solo ai bordi; perciò aderisce facilmente allo strato vicino e viceversa, causando superfici irregolari. “And besides that, this division will not occur along entire layers, because each of the spheroids of a layer is scarcely held at all by the 6 of the same layer that surround it, since they only touch it at the edges; so that it adheres readily to the neighbouring layer, and the others to it, for the same reason; and this causes uneven surfaces.” – (fr:717) [E oltre a ciò, questa divisione non avverrà lungo strati interi, perché ciascuno sferoide di uno strato è trattenuto a stento dai sei dello stesso strato che lo circondano, poiché lo toccano solo ai bordi; cosicché aderisce prontamente allo strato vicino, e gli altri a esso, per la stessa ragione; e ciò causa superfici irregolari.] L’evidenza sperimentale conferma la difficoltà: molando il cristallo su una pietra ruvida direttamente sull’angolo solido equilatero, si trova molta facilità nel ridurlo in quella direzione, ma molta difficoltà nel lucidare la superficie così appiattita. “Also one sees by experiment that when grinding down the crystal on a rather rough stone, directly on the equilateral solid angle, one verily finds much facility in reducing it in this direction, but much difficulty afterwards in polishing the surface which has been flattened in this manner.” – (fr:718) [Si vede anche per esperienza che, molando il cristallo su una pietra piuttosto ruvida, direttamente sull’angolo solido equilatero, si trova in verità molta facilità nel ridurlo in questa direzione, ma molta difficoltà poi nel lucidare la superficie che è stata appiattita in questo modo.]

Quanto all’altra divisione lungo il piano GHKL, ogni sferoide dovrebbe staccarsi da quattro sferoidi dello strato vicino, due che lo toccano sulle superfici appiattite e due ai bordi. “As for the other method of division along the plane GHKL, it will be seen that each spheroid would have to detach itself from four of the neighbouring layer, two of which touch it on the flattened surfaces, and two at the edges.” – (fr:719) [Quanto all’altro metodo di divisione lungo il piano GHKL, si vedrà che ogni sferoide dovrebbe staccarsi da quattro dello strato vicino, due dei quali lo toccano sulle superfici appiattite, e due ai bordi.] Cosicché anche questa divisione è più difficile di quella parallela a una delle facce naturali, dove uno sferoide si stacca da soli tre sferoidi (uno su superficie appiattita, due ai bordi). “So that this division is likewise more difficult than that which is made parallel to one of the surfaces of the crystal; where, as we have said, each spheroid is detached from only three of the neighbouring layer: of which three there is one only which touches it on the flattened surface, and the other two at the edges only.” – (fr:720) [Cosicché questa divisione è parimenti più difficile di quella che si fa parallelamente a una delle superfici del cristallo; dove, come abbiamo detto, ogni sferoide si stacca soltanto da tre dello strato vicino: dei quali tre ve n’è uno solo che lo tocca sulla superficie appiattita, e gli altri due solo ai bordi.]

Proprio l’esistenza di strati lungo quest’ultimo piano è provata da un campione di mezza libbra in possesso dell’autore, che appare spaccato longitudinalmente come il prisma secondo il piano GHKL, come mostrano i colori dell’iride estesi su tutto il piano, benché i due pezzi siano ancora uniti. “However, that which has made me know that in the crystal there are layers in this last fashion, is that in a piece weighing half a pound which I possess, one sees that it is split along its length, as is the above-mentioned prism by the plane GHKL; as appears by colours of the Iris extending throughout this whole plane although the two pieces still hold together.” – (fr:721) [Tuttavia, ciò che mi ha fatto conoscere che nel cristallo vi sono strati in quest’ultimo modo, è che in un pezzo del peso di mezza libbra che possiedo, si vede che è spaccato per la sua lunghezza, come il suddetto prisma lungo il piano GHKL; come appare dai colori dell’iride che si estendono su tutto questo piano sebbene i due pezzi stiano ancora insieme.] Tutto prova dunque che la composizione del cristallo è quale è stata esposta. “All this proves then that the composition of the crystal is such as we have stated.” – (fr:722) [Tutto ciò prova dunque che la composizione del cristallo è tale quale abbiamo dichiarato.]

Un ulteriore esperimento mostra che passando un coltello raschiando lungo una qualsiasi delle superfici naturali, e verso il basso a partire dall’angolo ottuso equilatero (cioè dall’apice della piramide), si trova una notevole durezza; ma raschiando in senso opposto si incide facilmente. “To which I again add this experiment; that if one passes a knife scraping along any one of the natural surfaces, and downwards as it were from the equilateral obtuse angle, that is to say from the apex of the pyramid, one finds it quite hard; but by scraping in the opposite sense an incision is easily made.” – (fr:723) [A ciò aggiungo ancora questo esperimento; che se si passa un coltello raschiando lungo una qualsiasi delle superfici naturali, e verso il basso per così dire dall’angolo ottuso equilatero, cioè dall’apice della piramide, lo si trova assai duro; ma raschiando in senso opposto si fa facilmente un’incisione.] Ciò segue manifestamente dalla disposizione dei piccoli sferoidi: nel primo modo il coltello scivola sopra di essi; nell’altro li afferra dal basso quasi fossero scaglie di pesce. “This follows manifestly from the situation of the small spheroids; over which, in the first manner, the knife glides; but in the other manner it seizes them from beneath almost as if they were the scales of a fish.” – (fr:724) [Ciò segue manifestamente dalla disposizione dei piccoli sferoidi; sui quali, nel primo modo, il coltello scivola; ma nell’altro modo li afferra dal di sotto quasi fossero scaglie di pesce.]

L’autore si astiene dal discutere come tanti corpuscoli uguali e simili vengano generati e disposti in un ordine così bello, se si formino prima e poi si assemblino, oppure se si dispongano man mano che vengono prodotti, ipotesi che gli sembra più probabile. “I will not undertake to say anything touching the way in which so many corpuscles all equal and similar are generated, nor how they are set in such beautiful order; whether they are formed first and then assembled, or whether they arrange themselves thus in coming into being and as fast as they are produced, which seems to me more probable.” – (fr:725) [Non intraprenderò a dire alcunché riguardo al modo in cui tanti corpuscoli tutti uguali e simili siano generati, né come siano disposti in un ordine così bello; se si formino prima e poi si assemblino, o se si dispongano così nel venire all’essere e man mano che sono prodotti, il che mi sembra più probabile.]

Questo estratto, tratto dal Traité de la Lumière di Christiaan Huygens (1690), costituisce una delle prime applicazioni di un modello particellare alla struttura cristallina, capace di rendere conto in modo quantitativo e predittivo delle direzioni di sfaldatura, della qualità delle superfici di rottura e dell’anisotropia della durezza. La corrispondenza minuziosa tra geometria delle particelle e comportamento meccanico offre una testimonianza esemplare del metodo ipotetico-deduttivo che anima la rivoluzione scientifica.

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[20.1-26-734|759]

20 Calcolo degli angoli del cristallo e costruzione dell’ellisse dell’onda straordinaria

Dimostrazione trigonometrica e geometrica tratta dal Traité de la Lumière di Christiaan Huygens: si determinano gli angoli interni di un cristallo romboedrico e le dimensioni dell’ellisse che descrive il fronte d’onda straordinario.

L’estratto mostra il procedimento con cui Huygens ottenne per via sferico‑trigonometrica gli angoli del cristallo d’Islanda e calcolò i semiassi dell’ellisse tangente che rappresenta la sezione principale dello sferoide dell’onda straordinaria.
Per prima cosa, mediante un triangolo sferico, si ricava l’arco (AF) e l’angolo (ACF) nel cristallo:

“Having then drawn the arc FQ perpendicular to the side AB, which it divides equally at Q, the triangle FQA has a right angle at Q, the angle A 105 degrees, and F half as much, namely 52 degrees 30 minutes; whence the hypotenuse AF is found to be 101 degrees 52 minutes.” – (fr:734) [Tracciato poi l’arco FQ perpendicolare al lato AB, che divide a metà in Q, il triangolo FQA ha un angolo retto in Q, l’angolo A di 105 gradi, e F metà di questo, cioè 52 gradi e 30 minuti; da cui l’ipotenusa AF risulta di 101 gradi e 52 minuti.]
“And this arc AF is the measure of the angle ACF in the figure of the crystal.” – (fr:735) [E questo arco AF è la misura dell’angolo ACF nella figura del cristallo.]

Nello stesso cristallo, se il piano (CGHF) taglia il cristallo dimezzando gli angoli ottusi (ACB) e (MHV), l’angolo (CFH) è di (70^’) (fr:736). Tale valore si ottiene dal medesimo triangolo sferico (ABF): l’arco (FQ) è uguale in gradi all’angolo (GCF) nel cristallo, il cui supplemento è proprio (CFH) (fr:737). Calcolato (FQ) si trova:

“Now the arc FQ is found to be 109 degrees 3 minutes. Then its supplement, 70 degrees 57 minutes, is the angle CFH.” – (fr:738‑739) [Ora l’arco FQ risulta di 109 gradi e 3 minuti. Quindi il suo supplemento, 70 gradi e 57 minuti, è l’angolo CFH.]

L’asse del cristallo (CS) (o (CH)) è ugualmente inclinato rispetto ai tre lati (CA, CB, CF) e l’angolo (GCH) vale (45^‘) (fr:740). Anche questo risultato discende dallo stesso triangolo sferico: tracciando l’arco (AD) che divide (BF) a metà e incontra (FQ) in (S), punto che è il centro del triangolo, l’arco (SQ) dà la misura dell’angolo (GCH) (fr:742‑743). Nel triangolo rettangolo (QAS) sono noti l’angolo (A = 52^’) e il lato (AQ = 50^’), da cui si ricava:

“the side SQ is found to be 45 degrees 20 minutes.” – (fr:744) [il lato SQ risulta di 45 gradi e 20 minuti.]

Con gli angoli così determinati si affronta la costruzione dell’ellisse (PMS), di centro (C), che tange la retta (MD) in (M) in modo che l’angolo (MCL) formato da (CM) con la perpendicolare (CL) a (DM) sia di (6^‘) e il semiasse minore (CS) formi un angolo (GCS = 45^’) con la parallela a (MD). Posto (CM = 100,000) parti, si tratta di calcolare il semiasse maggiore (PC) e il semiasse minore (CS) (fr:745):

“CM being 100,000 parts, PC the semi-major diameter of this ellipse is 105,032 parts, and CS, the semi-minor diameter, 93,410.” – (fr:745) [essendo CM 000 parti, PC, diametro semi‑maggiore di questa ellisse, è 032 parti, e CS, diametro semi‑minore, 410.]

Prolungando (CP) e (CS) fino a incontrare la tangente (DM) in (D) e (Z), e abbassando da (M) le perpendicolari (MN) a (CP) e (MO) a (CS) (fr:746), si ottengono le relazioni seguenti. Poiché gli angoli (SCP) e (GCL) sono retti, (PCL = GCS = 45^‘); sottraendo (LCM = 6^’) resta (MCP = 38^‘) (fr:747‑748). Con (CM = 100,000), il seno di (38^’) dà (MN = 62,479) (fr:749). Nel triangolo rettangolo (MND) si ha:

“MN will be to ND as the radius of the Tables is to the tangent of 45 degrees 20 minutes … that is to say as 100,000 to 101,170: whence results ND 63,210.” – (fr:750) [MN starà a ND come il raggio delle Tavole sta alla tangente di 45 gradi e 20 minuti … cioè come 000 a 170: da cui risulta ND 210.]

(NC) è il seno del complemento di (38^‘), cioè (78,079) (fr:751). Quindi l’intera (DC = DN + NC = 141,289). Applicando la proprietà dell’ellisse per cui la tangente (MD) rende (CP) medio proporzionale tra (DC) e (CN), si ottiene (CP = 105,032) (fr:752). Con un procedimento analogo sull’asse minore, essendo (OMZ = 44^’) (complementare di (GCS)), e (OM = 78,079) (pari a (NC)), dalla tangente di (44^’) si ricava (OZ = 77,176) (fr:753). (OC = MN = 62,479) (fr:754), sicché (CZ = 139,655). Il semiasse minore (CS) è medio proporzionale tra (CZ) e (CO):

“CS, which is a mean proportional between CZ and CO will be 93,410.” – (fr:755) [CS, che è medio proporzionale tra CZ e CO, sarà 410.]

Nello stesso contesto si afferma che (GC) vale (98,779) parti (fr:756). Per dimostrarlo si traccia (PE) parallela a (DM) e si sfrutta la similitudine dei triangoli. Nel triangolo rettangolo (CLD) si calcolano (CL = 99,324) (seno del complemento di (6^’)) e (LD = 100,486) (fr:757‑758). Sottraendo (ML = 11,609) si ha (MD = 88,877); quindi dalla proporzione (CD : DM = CP : PE) si ottiene (PE = 66,070) (fr:759). Il valore di (GC) discende da questa costruzione.

L’insieme di questi calcoli ha un preciso significato storico. Huygens, nel Traité de la Lumière (1690), costruì la teoria ondulatoria della rifrazione straordinaria del cristallo d’Islanda modellando il fronte d’onda come uno sferoide di rotazione. Gli angoli (70^‘) e (45^’) corrispondono alle orientazioni delle facce e dell’asse del romboedro di calcite, mentre i semiassi (105,032) e (93,410) (per un raggio (CM = 100,000)) fissano l’eccentricità dello sferoide, determinando la legge di rifrazione che Huygens poté verificare sperimentalmente.

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[21.1-11-763|773]

21 Proprietà geometrica dei punti di tangenza su uno sferoide

La dimostrazione stabilisce che tutti i punti di contatto tra uno sferoide, una retta tangente e piani a essa paralleli giacciono su un’unica ellisse passante per il centro.

Il testo espone una proposizione geometrica relativa a uno sferoide, presentandone l’enunciato e la dimostrazione formale. L’enunciato iniziale afferma: “If a spheroid is touched by a straight line, and also by two or more planes which are parallel to this line, though not parallel to one another, all the points of contact of the line, as well as of the planes, will be in one and the same ellipse made by a plane which passes through the centre of the spheroid” - (fr:763) [Se uno sferoide è toccato da una linea retta, e anche da due o più piani paralleli a questa linea, ma non paralleli tra loro, tutti i punti di contatto della linea, così come dei piani, giaceranno su una stessa ellisse formata da un piano che passa per il centro dello sferoide]. Viene quindi richiesto di dimostrare che i punti B (contatto con la retta), O e A (contatti con i piani) sono situati sulla medesima ellisse centrale.

La dimostrazione procede per costruzioni successive. Attraverso la retta BM e i punti O e A si tracciano piani paralleli tra loro, la cui intersezione con lo sferoide genera tre ellissi: LBD, POP e QAQ. Queste ellissi sono simili, similmente disposte e hanno i loro centri K, N, R su uno stesso diametro dello sferoide. Quest’ultimo è anche il diametro dell’ellisse formata dalla sezione del piano che attraversa il centro e taglia perpendicolarmente i piani delle tre ellissi menzionate. L’autore osserva che “all this is manifest by proposition 15 of the book of Conoids and Spheroids of Archimedes” - (fr:766) [tutto ciò è evidente per la proposizione 15 del libro Sui Conoidi e Sferoidi di Archimede], ancorando così il ragionamento a un risultato archimedeo.

Viene poi analizzata la generazione delle tangenti. I piani passanti per O e A, intersecando i piani tangenti allo sferoide in quei punti, producono le rette OH e AS, parallele a BM. Tutte e tre le rette (BM, OH, AS) toccano le rispettive ellissi nei punti B, O e A, poiché appartengono sia ai piani delle ellissi sia ai piani tangenti allo sferoide. Vengono quindi tracciati i raggi BK, ON, AR dai punti di tangenza ai centri, e i diametri LD, PP, QQ paralleli alle tangenti stesse: questi diametri sono coniugati ai raggi precedentemente tracciati. Poiché le tre ellissi sono simili e hanno i diametri LD, PP, QQ paralleli, i diametri coniugati BK, ON, AR risultano a loro volta paralleli. Dato che i centri K, N, R si trovano sullo stesso diametro dello sferoide, le parallele BK, ON, AR appartengono necessariamente a uno stesso piano. Ne consegue che i punti B, O e A giacciono sull’ellisse generata dall’intersezione di tale piano con lo sferoide, completando la dimostrazione: “Which was to be proved” - (fr:771) [Come volevasi dimostrare].

Viene infine notato che la dimostrazione è estendibile a un numero qualsiasi di punti oltre a O e A, “if, besides the points O, A, there had been others in which the spheroid had been touched by planes parallel to the straight line BM” - (fr:772) [se, oltre ai punti O, A, ve ne fossero stati altri in cui lo sferoide fosse stato toccato da piani paralleli alla retta BM]. Il testo si chiude con l’introduzione a un nuovo capitolo: “CHAPTER VI ON THE FIGURES OF THE TRANSPARENT BODIES Which serve for Refraction and for Reflexion” - (fr:773) [CAPITOLO VI SULLE FIGURE DEI CORPI TRASPARENTI Che servono per la Rifrazione e la Riflessione], indicando che questa proprietà geometrica trova applicazione nello studio delle superfici per l’ottica.

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[22.1-44-782|825]

22 La costruzione delle superfici rifrangenti e l’eredità cartesiana nel Trattato della Luce di Huygens

“It is manifest by the last method that this curve is the same that Mr. Des Cartes has given in his Geometry, and which he calls the first of his Ovals.” – (fr:796) [È manifesto con quest’ultimo metodo che questa curva è la stessa che il Sig. Des Cartes ha dato nella sua Geometria, e che egli chiama il primo dei suoi Ovali.]

Huygens imposta l’analisi di una curva che garantisce l’uguaglianza dei tempi di percorrenza della luce da A a B attraverso un mezzo diversamente denso. La costruzione geometrica mostra che “Therefore the whole line AH will represent the time along AD, DB.” – (fr:782) [Pertanto l’intera linea AH rappresenterà il tempo lungo AD, DB.] e, poiché FH è preso uguale a 3/2 di CB, “in consequence the whole line AH will represent also the time along AC, CB.” – (fr:783) [di conseguenza l’intera linea AH rappresenterà anche il tempo lungo AC, CB.]. Se ne deduce che “the time along AC, CB, is equal to the time along AD, DB.” – (fr:784) [il tempo lungo AC, CB è uguale al tempo lungo AD, DB.] e la stessa uguaglianza si estende a qualunque altro punto L o K della curva CDE: “the times along AL, LB, and along AK, KB, are always represented by the line AH, and therefore equal” – (fr:785) [i tempi lungo AL, LB e lungo AK, KB sono sempre rappresentati dalla linea AH, e quindi uguali].

Per dimostrare che la superficie di rivoluzione generata da questa curva dirige verso B tutti i raggi provenienti da A, Huygens ricorre al principio dell’onda. Preso un punto K più lontano di C, e sottratti i tempi lungo KB e RB, si ottiene che il tempo lungo AK eguaglia il tempo lungo AC più CR. “Consequently in the time that the light has come along AK it will also have come along AC and will in addition have made, in the medium from the centre C, a partial spherical wave, having a semi-diameter equal to CR.” – (fr:787) [Di conseguenza, nel tempo in cui la luce ha percorso AK essa avrà anche percorso AC e avrà inoltre generato, nel mezzo a partire dal centro C, un’onda sferica parziale di semidiametro uguale a CR.] Quest’onda “will necessarily touch the circumference KS at R, since CB cuts this circumference at right angles.” – (fr:788) [toccherà necessariamente la circonferenza KS in R, poiché CB taglia questa circonferenza ad angolo retto.] “Similarly, having taken any other point L in the curve, one can show that in the same time as the light passes along AL it will also have come along AL and in addition will have made a partial wave, from the centre L, which will touch the same circumference KS.” – (fr:789) [Similmente, preso qualsiasi altro punto L nella curva, si può mostrare che nello stesso tempo in cui la luce percorre AL essa avrà anche percorso AL e in aggiunta avrà generato un’onda parziale, dal centro L, che toccherà la medesima circonferenza KS.] Di conseguenza “at the moment that the light reaches K the arc KRS will be the termination of the movement, which has spread from A through DCK.” – (fr:791) [nel momento in cui la luce raggiunge K, l’arco KRS sarà il termine del movimento che si è diffuso da A attraverso DCK.] “And thus this same arc will constitute in the medium the propagation of the wave emanating from A; which wave may be represented by the arc DN, or by any other nearer the centre A.” – (fr:792) [E così questo stesso arco costituirà nel mezzo la propagazione dell’onda che emana da A; la quale onda può essere rappresentata dall’arco DN, o da qualunque altro più vicino al centro A.] Poiché “all the pieces of the arc KRS are propagated successively along straight lines which are perpendicular to them, that is to say, which tend to the centre B … and these progressions of the pieces of the waves constitute the rays themselves of light.” – (fr:793) [tutti i pezzi dell’arco KRS si propagano successivamente lungo linee rette a essi perpendicolari, cioè che tendono al centro B … e queste progressioni dei pezzi d’onda costituiscono i raggi stessi della luce.], si conclude che “all these rays tend here towards the point B.” – (fr:794) [tutti questi raggi tendono qui verso il punto B.]

La curva si può ottenere anche dividendo DA in G in modo che DG sia 2/3 di DA e descrivendo opportuni archi, oppure facendo DF uguale a 3/2 di DX; entrambe le costruzioni riportano al metodo iniziale. “It is manifest by the last method that this curve is the same that Mr. Des Cartes has given in his Geometry, and which he calls the first of his Ovals.” – (fr:796) [È manifesto con quest’ultimo metodo che questa curva è la stessa che il Sig. Des Cartes ha dato nella sua Geometria, e che egli chiama il primo dei suoi Ovali.] Di questo ovale solo la parte che termina in K serve alla rifrazione: “It is only a part of this oval which serves for the refraction, namely, the part DK, ending at K, if AK is the tangent.” – (fr:797) [È solo una parte di questo ovale che serve per la rifrazione, vale a dire la parte DK, che termina in K, se AK è la tangente.] Cartesio aveva notato che l’altra parte potrebbe servire per riflessioni, qualora esistesse un materiale capace di aumentare “the velocity of the light… in the proportion of 3 to 2” – (fr:798) [la velocità della luce… nella proporzione di 3 a 2]; ma Huygens obietta che “in our way of explaining reflexion, such a thing could not arise from the matter of the mirror, and it is entirely impossible.” – (fr:799) [nel nostro modo di spiegare la riflessione, una cosa simile non potrebbe derivare dalla materia dello specchio, ed è del tutto impossibile.]

Il discorso si allarga subito ai raggi paralleli: “by supposing just the same construction, but the point A infinitely distant, giving parallel rays, our oval becomes a true Ellipse” – (fr:801) [supponendo la stessa costruzione, ma il punto A infinitamente distante, che dà raggi paralleli, il nostro ovale diventa una vera Ellisse], dove l’arco FC diventa una retta perpendicolare a DB. Poiché “the wave of light DN, being likewise represented by a straight line, it will be seen that all the points of this wave … will advance subsequently towards the point B, and will arrive there at the same time.” – (fr:802) [l’onda di luce DN, essendo anch’essa rappresentata da una linea retta, si vedrà che tutti i punti di quest’onda … avanzano successivamente verso il punto B e vi giungeranno nello stesso tempo.] Per analogia, l’ellisse che serviva per la riflessione diventa una parabola quando il fuoco A è all’infinito, “and the demonstration of these effects is just the same as the preceding.” – (fr:804) [e la dimostrazione di questi effetti è esattamente la stessa della precedente.]

Con un calcolo algebrico Huygens mostra che la natura di questa ellisse è fissata dal rapporto di rifrazione. Posti DB = a, DT = x, TC = y, si ha FB = a - y e CB = √(x² + a² – 2ay + y²). La condizione della curva è “2/3 of TC together with CB is equal to DB” – (fr:807) [2/3 di TC insieme con CB è uguale a DB], da cui si ottiene l’equazione ridotta “(6/5)ay – yy equal to (9/5)xx” – (fr:807) [(6/5)ay – yy uguale a (9/5)xx]; fatto DO = 6/5 di DB, il rettangolo DFO risulta uguale a 9/5 del quadrato su FC. Ne deriva che “DC is an ellipse, of which the axis DO is to the parameter as 9 to 5; … the line DO will be to this distance as 3 to” – (fr:808) [DC è un’ellisse, il cui asse DO sta al parametro come 9 a 5; … la linea DO starà a tale distanza come 3 a ] Se invece è il punto B a essere infinitamente distante, “in lieu of our first oval we shall find that CDE is a true Hyperbola” – (fr:809) [in luogo del nostro primo ovale troveremo che CDE è una vera Iperbole], la quale rende paralleli i raggi provenienti da A e, reciprocamente, concentra in A quelli paralleli all’interno del mezzo. In questo caso “CX and KS become straight lines perpendicular to BA” – (fr:811) [CX e KS diventano linee rette perpendicolari a BA] e l’intersezione di CX con l’arco FC fornisce il punto C. Il calcolo conduce a un’iperbole il cui asse DO è 4/5 di AD, il parametro è uguale ad AD, e “DO is to the distance between the foci as 3 to” – (fr:815) [DO sta alla distanza tra i fuochi come 3 a ] Questi due casi sono esattamente quelli che Cartesio aveva esposto nella Dioptrique: “These are the two cases in which Conic sections serve for refraction, and are the same which are explained, in his Dioptrique, by Des Cartes, who first found out the use of these lines in relation to refraction, as also that of the Ovals.” – (fr:816) [Questi sono i due casi in cui le sezioni coniche servono per la rifrazione, e sono gli stessi che sono spiegati, nella sua Diottrica, da Des Cartes, il quale per primo trovò l’impiego di queste linee in relazione alla rifrazione, come pure quello degli Ovali.]

Oltre al primo ovale, Huygens menziona il secondo, destinato ai raggi che tendono a un punto dato, e nota che, a seconda del rapporto AD:DB, l’altro apice può cadere tra B e A o oltre A: “And in this latter case it is the same as that which Des Cartes calls his 3rd oval.” – (fr:818) [E in quest’ultimo caso esso è lo stesso che Des Cartes chiama il suo terzo ovale.] “Now the finding and construction of this second oval is the same as that of the first, and the demonstration of its effect likewise.” – (fr:819) [Ora il ritrovamento e la costruzione di questo secondo ovale sono gli stessi del primo, e lo stesso vale per la dimostrazione del suo effetto.] Un caso notevole si ha quando il rapporto AD:DB uguaglia la proporzione di rifrazione: “this oval becomes a perfect circle, namely when the ratio of AD to DB is the same as the ratio of the refractions, here as 3 to 2” – (fr:820) [questo ovale diventa un cerchio perfetto, cioè quando il rapporto di AD a DB è lo stesso del rapporto delle rifrazioni, qui come 3 a 2], osservazione che Huygens dichiara di aver fatto molto tempo prima. Il quarto ovale, “serving only for impossible reflexions, there is no need to set it forth.” – (fr:821) [servendo solo per riflessioni impossibili, non è necessario esporlo.]

Poiché Cartesio non spiegò mai come fosse pervenuto a queste curve, Huygens propone una ricostruzione. Immagina di dividere la curva incognita in un’infinità di elementi infinitesimi, tracciando da ciascuno i raggi incidenti verso A e i raggi rifratti verso B, e i relativi archi di cerchio. Considera quindi la normale HKZ nel punto K e applica la legge di rifrazione nota a Cartesio: “the sine of the angle ZKA should be to the sine of the angle HKB as 3 to 2 … the sine of the angle KGL should have this same ratio to the sine of the angle GKQ, considering KG, GL, KQ as straight lines because of their smallness.” – (fr:825) [il seno dell’angolo ZKA deve stare al seno dell’angolo HKB come 3 a 2 … il seno dell’angolo KGL deve avere questo stesso rapporto con il seno dell’angolo GKQ, considerando KG, GL, KQ come linee rette a causa della loro piccolezza.] Questa condizione differenziale, applicata lungo tutto il profilo, conduce all’equazione dell’ovale e delle coniche associate, chiudendo così la genealogia delle superfici rifrangenti anaclastiche.

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[23.1-14-842|855]

23 La costruzione dell’onda sferica e la curva aplanatica nella teoria ondulatoria di Huygens

Un’esposizione geometrica mostra come, scegliendo opportunamente la forma di una superficie rifrangente, il fronte d’onda uscente da un corpo trasparente diventi una sfera perfetta convergente in un fuoco, con il rapporto di rifrazione 3:2.

Il brano descrive il procedimento con cui Christiaan Huygens, nel suo Traité de la Lumière, ricava la condizione perché un’onda luminosa che attraversa un mezzo trasparente (il vetro) produca, dopo l’emersione, un fronte d’onda sferico diretto verso un punto focale F. Il ragionamento si fonda sulla costruzione di archi di cerchio e sul principio del tempo di propagazione uguale.

Per dimostrare l’effetto della curva, Huygens imposta una figura: sul centro L traccia l’arco AH che forma l’onda sferica incidente; sul centro F delinea l’arco BP, che rappresenterà l’onda sferica finale. Sull’asse AB, che congiunge il vertice d’ingresso A con il vertice di uscita B, fissa due segmenti: “To demonstrate the effect of the curve, let there be described about the centre L the circular arc AH, cutting LG at H; and about the centre F the arc BP; and in AB let AS be taken equal to 2/3 of HG; and SE equal to GD.” – (fr:842) [Per dimostrare l’effetto della curva, si descriva attorno al centro L l’arco di cerchio AH, che taglia LG in H; e attorno al centro F l’arco BP; e in AB si prenda AS uguale a 2/3 di HG; e SE uguale a GD.]

Il rapporto di rifrazione viene fissato a 3:2, ovvero la velocità della luce nell’aria sta alla velocità nel vetro come 3 a Considerando AH come un’onda che emana da L, mentre il punto H dell’onda raggiunge G sulla superficie d’ingresso, il punto A, già penetrato nel vetro, avanza solo di AS, che è i 2/3 di HG: “Then considering AH as a wave of light emanating from the point L, it is certain that during the time in which its piece H arrives at G the piece A will have advanced within the transparent body only along AS; for I suppose, as above, the proportion of the refraction to be as 3 to ” – (fr:843) [Considerando quindi AH come un’onda di luce proveniente dal punto L, è certo che durante il tempo in cui la sua parte H arriva in G la parte A sarà avanzata all’interno del corpo trasparente solo lungo AS; poiché suppongo, come sopra, che il rapporto di rifrazione sia di 3 a ]

Dopo la rifrazione in G, il raggio LG prosegue nel vetro lungo la direzione GV, e il pezzo d’onda incidente avanza perciò sulla linea GD. Nel frattempo, il punto S, raggiunto da A nello stesso istante in cui H tocca G, percorre all’interno un tratto SE esattamente uguale a GD, così che quando l’onda nel vetro passa da G a D l’altra porzione transita da S a E: “Now we know that the piece of wave which is incident on G, advances thence along the line GD, since GV is the refraction of the ray LG.” – (fr:844) [Ora sappiamo che la parte d’onda che incide in G avanza di lì lungo la linea GD, poiché GV è la rifrazione del raggio LG.] “Then during the time that this piece of wave has taken from G to D, the other piece which was at S has reached E, since GD, SE are equal.” – (fr:845) [Allora, durante il tempo che questa parte d’onda ha impiegato da G a D, l’altra parte che era in S ha raggiunto E, poiché GD e SE sono uguali.]

Nel momento successivo, mentre la porzione assiale passa da E a B (la superficie di uscita), il punto D, situato sulla superficie posteriore, emette nell’aria un’onda parziale il cui raggio DC è i 3/2 di EB, a causa del diverso rapporto di velocità: “But while the latter will advance from E to B, the piece of wave which was at D will have spread into the air its partial wave, the semi-diameter of which, DC (supposing this wave to cut the line DF at C), will be 3/2 of EB, since the velocity of light outside the medium is to that inside as 3 to ” – (fr:846) [Ma mentre quest’ultima avanzerà da E a B, la parte d’onda che era in D avrà diffuso nell’aria la sua onda parziale, il cui semidiametro DC (supponendo che quest’onda tagli la linea DF in C) sarà 3/2 di EB, poiché la velocità della luce fuori del mezzo sta a quella dentro come 3 a ]

La parte centrale della dimostrazione mostra che quest’onda parziale tocca l’arco BP nel punto C. Il percorso ottico equivalente (in aria) dal punto oggetto L al fuoco F deve infatti essere il medesimo per ogni raggio. Huygens pone per costruzione: FD + 3/2 DG + GL = FB + 3/2 BA + AL. Sottraendo quantità uguali (LH e LA) si ottiene FD + 3/2 DG + GH = FB + 3/2 BA, e, poiché GH = 3/2 AS, si semplifica fino a FD + 3/2 DG = FB + 3/2 BS. Poiché DG = ES, ne deriva FD = FB + 3/2 BE. Ma DC = 3/2 EB, quindi FC = FB, il che significa che C giace sull’arco BP di centro F: “Now it is easy to show that this wave will touch the arc BP at this point C. For since, by construction, FD + 3/2 DG + GL are equal to FB + 3/2 BA + AL; on deducting the equals LH, LA, there will remain FD + 3/2 DG + GH equal to FB + 3/2 BA.” – (fr:847) [Ora è facile mostrare che quest’onda toccherà l’arco BP in questo punto C. Infatti, poiché per costruzione FD + 3/2 DG + GL sono uguali a FB + 3/2 BA + AL; sottraendo gli uguali LH, LA, resterà FD + 3/2 DG + GH uguale a FB + 3/2 BA.] “And, again, deducting from one side GH, and from the other side 3/2 of AS, which are equal, there will remain FD with 3/2 DG equal to FB with 3/2 of BS.” – (fr:848) [E, ancora, sottraendo da un lato GH, e dall’altro lato 3/2 di AS, che sono uguali, resterà FD con 3/2 DG uguale a FB con 3/2 di BS.] “But 3/2 of DG are equal to 3/2 of ES; then FD is equal to FB with 3/2 of BE. But DC was equal to 3/2 of EB; then deducting these equal lengths from one side and from the other, there will remain CF equal to FB.” – (fr:849-850) [Ma 3/2 di DG sono uguali a 3/2 di ES; quindi FD è uguale a FB con 3/2 di BE. Ma DC era uguale a 3/2 di EB; quindi, sottraendo queste lunghezze uguali da un lato e dall’altro, rimarrà CF uguale a FB.]

La conclusione è che l’onda parziale da D tocca l’arco BP, e lo stesso si può dimostrare per qualsiasi altro raggio come LM, MN. Di conseguenza, l’onda AH, dopo aver attraversato lo spessore del vetro, diventa l’onda sferica BP, i cui elementi avanzano lungo linee rette – i raggi – verso il centro F: “And thus it appears that the wave, the semi-diameter of which is DC, touches the arc BP at the moment when the light coming from the point L has arrived at B along the line LB. It can be demonstrated similarly that at this same moment the light that has come along any other ray, such as LM, MN, will have propagated the movement which is terminated at the arc BP.” – (fr:851-852) [E così appare che l’onda, il cui semidiametro è DC, tocca l’arco BP nel momento in cui la luce proveniente dal punto L è arrivata in B lungo la linea LB. Si può dimostrare analogamente che in questo stesso istante la luce che è giunta lungo qualsiasi altro raggio, come LM, MN, avrà propagato il movimento che termina all’arco BP.] “Whence it follows, as has been often said, that the propagation of the wave AH, after it has passed through the thickness of the glass, will be the spherical wave BP, all the pieces of which ought to advance along straight lines, which are the rays of light, to the centre F. Which was to be proved.” – (fr:853) [Da cui segue, come è stato detto spesso, che la propagazione dell’onda AH, dopo aver attraversato lo spessore del vetro, sarà l’onda sferica BP, tutte le cui parti devono avanzare lungo linee rette, che sono i raggi di luce, verso il centro F. Che è ciò che si doveva dimostrare.]

Il testo si chiude osservando che curve simili possono essere trovate in ogni caso utile, e introduce un esempio con una superficie di vetro AK, generata per rivoluzione attorno all’asse BA: “Similarly these curved lines can be found in all the cases which can be proposed, as will be sufficiently shown by one or two examples which I will add. Let there be given the surface of the glass AK, made by the revolution about the axis BA of the line AK, which may be straight or curved.” – (fr:854-855) [Similmente queste linee curve si possono trovare in tutti i casi che possono essere proposti, come sarà sufficientemente mostrato da uno o due esempi che aggiungerò. Si dia la superficie del vetro AK, generata dalla rivoluzione intorno all’asse BA della linea AK, che può essere retta o curva.]

Il brano è storicamente rilevante perché contiene una delle prime applicazioni rigorose del principio di Huygens alla costruzione di superfici rifrangenti aplanatiche – le cosiddette ovali di Descartes – capaci di concentrare la luce in un unico punto focale senza aberrazione sferica. La scelta del rapporto 3:2 corrisponde all’indice di rifrazione del vetro comune, e la dimostrazione puramente geometrica mostra come la propagazione per onde consenta di progettare esattamente le superfici di una lente.

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24 Costruzione di superfici ottiche perfette e comportamento delle onde rifratte e riflesse

L’analisi geometrica delle superfici capaci di far convergere o divenire paralleli i raggi luminosi, e la spiegazione della forma assunta dalle onde quando i raggi si incrociano, rivelano la piena coerenza del modello ondulatorio anche nei casi che sembrerebbero metterlo in dubbio.

Il testo, tratto da un trattato di ottica ondulatoria, affronta due questioni strettamente connesse: la determinazione di profili curvi che realizzino la convergenza o il parallelismo perfetto dei raggi rifratti, e la natura delle onde luminose quando, dopo la rifrazione o la riflessione, i raggi smettono di essere fra loro paralleli e giungono a intersecarsi.

Nella prima parte viene descritta una costruzione per ottenere una superficie di emergenza che, ricevendo raggi diretti a un punto L, li faccia uscire dal vetro come se provenissero da un punto F. Il metodo consiste nel considerare un generico punto G sulla superficie di incidenza, tracciare il raggio incidente GI e il corrispondente raggio rifratto GV, e determinare su quest’ultimo un punto D tale che sia soddisfatta una condizione di uguaglianza dei tempi di percorrenza della luce. Prendendo come riferimento un’onda incidente che tende a L, l’autore osserva infatti che “the time taken by the light along GD in the glass must be equal to that taken along the three, TA, AB, and BQ, of which AB alone is within the glass” - (fr:865) [il tempo impiegato dalla luce lungo GD nel vetro deve essere uguale a quello impiegato lungo i tre tratti TA, AB e BQ, dei quali il solo AB è nel vetro.]. Attraverso una catena di uguaglianze che chiamano in causa la proporzione di rifrazione di 3/2 (e dunque segmenti come AS pari a 2/3 di AT), il problema viene ricondotto a tracciare una retta FD che incontri VG in modo che “FD less 3/2 of GD ought to be equal to FB less 3/2 of SB” - (fr:866) [FD meno 3/2 di GD deve essere uguale a FB meno 3/2 di SB], e questa differenza è una lunghezza nota. La costruzione, precisa l’autore, è analoga a quella già usata per il primo caso trattato, “where FD plus 3/2 of GD had to be equal to a given length” - (fr:868) [dove FD più 3/2 di GD doveva essere uguale a una lunghezza data].

Dopo avere esposto il metodo per ottenere curve che garantiscono “the perfect concurrence of the rays” - (fr:871) [la perfetta concorrenza dei raggi], il discorso si sposta su “a notable thing touching the uncoordinated refraction of spherical, plane, and other surfaces” - (fr:871) [una cosa notevole riguardante la rifrazione non coordinata di superfici sferiche, piane e di altro tipo], ossia su un fenomeno che potrebbe far dubitare del principio per cui i raggi sono linee rette che intersecano ortogonalmente le onde. Il caso critico è quello di una sfera colpita da raggi paralleli: dopo la rifrazione i raggi convergono e si intersecano. Se i raggi tagliano a angolo retto le onde, che forma devono avere queste onde una volta che i raggi si incrociano? Non possono essere sferiche, osserva il testo. La soluzione mostra che “something very remarkable comes to pass herein, and that the waves do not cease to persist though they do not continue entire, as when they cross the glasses designed according to the construction we have seen” - (fr:875) [si verifica qui qualcosa di assai notevole, e cioè che le onde non cessano di persistere sebbene non continuino intere, come quando attraversano i vetri disegnati secondo la costruzione che abbiamo visto].

L’autore analizza allora la superficie EK che costituisce la continuazione dell’onda piana AD all’interno della sfera. Tale superficie non è un arco di cerchio, “but is a curved line formed as the evolute of another curve ENC, which touches all the rays HL, GM, FO, etc., that are the refractions of the parallel rays” - (fr:877) [ma è una linea curva formata come evoluta di un’altra curva ENC, che tocca tutti i raggi HL, GM, FO, ecc., che sono le rifrazioni dei raggi paralleli]; la curva viene generata srotolando un filo avvolto sulla convessità ENC. Le curve descritte per evoluzione da ENC hanno la proprietà, dimostrata nel trattato de Motu Pendulorum, di tagliare tutti i raggi ad angolo retto e di intercettare porzioni di raggi di uguale lunghezza. Utilizzando la proporzione di rifrazione di 3 a 2, si mostra che l’onda generata in F tocca la curva EK. Inoltre, dopo che i raggi hanno cominciato a incrociarsi, l’onda “from thence they fold back and are composed of two contiguous parts, one being a curve formed as evolute of the curve ENC in one sense, and the other as evolute of the same curve in the opposite sense” - (fr:886) [da lì in poi si ripiegano e sono composte da due parti contigue, una essendo una curva formata come evoluta della curva ENC in un senso, e l’altra come evoluta della stessa curva nel senso opposto]. L’onda, quindi, progredendo si trasforma in una figura ripiegata che successivamente si distende di nuovo, dando origine a fronti che sono evolventi della curva ENC aumentate di un tratto rettilineo. La piegatura inizia in un punto N, da cui la curva ENC ha una porzione rettilinea, e il punto C è determinato dalla proporzione di rifrazione (3 a 2) applicata ad AC e CX. L’autore nota che una retta di lunghezza pari alla curva NC può essere ottenuta sottraendo EN dalla nota CK.

Il testo si chiude con l’estensione del ragionamento alla riflessione su uno specchio sferico concavo. I raggi paralleli incidenti sulla calotta sferica AB generano onde riflesse che sono piegate e composte da due curve originate dalle evoluzioni opposte della curva AFE. L’estremo E di questa curva si trova nel fuoco dell’emisfero, cioè a metà del semidiametro BD. La curva AFE, che può essere osservata nel fumo o nella polvere sospesa quando uno specchio concavo è esposto al sole, è identificata con una specie di cicloide, “described by the point E on the circumference of the circle EB, when that circle is made to roll within another whose semi-diameter is ED and whose centre is D” - (fr:901) [descritta dal punto E sulla circonferenza del cerchio EB, quando quel cerchio rotola all’interno di un altro il cui semidiametro è ED e il cui centro è D]. Di essa vengono fornite la lunghezza esatta, pari a 3/4 del diametro della sfera, e l’area compresa tra l’arco AB, la retta BE e la curva EFA, che risulta uguale alla quarta parte del quadrante DAB.

Il brano rende testimonianza di uno stadio cruciale dell’ottica, in cui la costruzione geometrica delle superfici (aspiranti alla cosiddetta “perfetta concorrenza dei raggi”) è interamente ricondotta al principio dei tempi uguali e alla propagazione per onde. La spiegazione delle onde ripiegate in rifrazione e riflessione rappresenta inoltre il superamento di una delle obiezioni più immediate al modello ondulatorio, conferendogli una coerenza interna che lo rendeva capace di descrivere fenomeni complessi senza rinunciare alla nozione di onde come inviluppi di onde parziali.

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