Huygens - Percussion - 1659/66 | fL | +

07 May, 2026

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1 L’elaborazione della teoria huygensiana dell’urto: ritardi, manoscritti e influenze

Il testo ripercorre il travagliato iter che portò Christiaan Huygens a sviluppare e pubblicare la sua teoria del choc direct des corps durs. Benché già nel 1652 fosse in possesso di risultati sufficienti a risolvere ogni caso di urto diretto tra corpi duri, la pubblicazione venne a lungo rimandata per ragioni che vanno oltre il semplice dissenso con i contemporanei. Huygens stesso, in un manoscritto tardo, confessa di aver sospeso la divulgazione perché “praeter eas leges superessent quaedam de motus natura nondum penitus mihi nec satis liquido perspecta, quae longiorem meditationem requirebant” – (fr:150) [oltre a quelle leggi restavano alcune cose sulla natura del moto non ancora da me abbastanza approfondite né abbastanza chiare, che richiedevano una più lunga meditazione].

Il sospetto che a trattenerlo fosse stato il parere contrario di van Schooten è infondato. Questi, in una lettera del 25 ottobre 1654, mostrava anzi una fiducia quasi assoluta nell’ingegno di Huygens: “il peut croire à peine qu’un esprit si sublime et perspicace aurait publié quelque chose qui ne serait pas conforme à la vérité” – (fr:120) [può a stento credere che uno spirito così sublime e perspicace avrebbe pubblicato qualcosa che non fosse conforme alla verità]. Van Schooten sconsigliava all’amico di occuparsi dell’argomento per non sprecare tempo e fatica, ma Huygens replicò che, se avesse conosciuto quanto egli aveva già faticosamente messo per iscritto, avrebbe giudicato in modo ben diverso. La sicurezza di Huygens emerge netta: “si les règles de Descartes, à l’exception de la première, ne sont toutes fausses et contraires à ses propres principes, lui, Huygens, ne saurait plus discerner ce qui est vrai ou faux” – (fr:122) [se le regole di Descartes, ad eccezione della prima, non sono tutte false e contrarie ai suoi stessi principi, lui, Huygens, non saprebbe più discernere il vero dal falso].

Il rapporto con il principio cartesiano è ambivalente. Huygens non respinse mai completamente l’enunciato di Descartes, pur sapendo che non era vero se interpretato alla lettera. Ritenne che in molti casi potesse essere applicato senza indurre errori, segnatamente “lorsque toutes les vitesses, avant et après le choc, sont dirigées vers le même côté” – (fr:126) [quando tutte le velocità, prima e dopo l’urto, sono dirette verso lo stesso lato], come nell’urto di un corpo più grande contro uno più piccolo in quiete. Questa consapevolezza spiega perché, nei calcoli della Terza Parte, le soluzioni restino corrette fintanto che il corpo B è minore di A, e come la seconda soluzione numerica sia derivata dalla prima aggiungendo una velocità comune che annulla la velocità originaria del corpo maggiore, in accordo con il principio di relatività.

La vera ragione del rinvio va cercata in meditazioni più profonde sulla natura del moto e delle forze che accompagnano l’urto. Il manoscritto del 1654 e le annotazioni coeve mostrano Huygens affascinato dalla potenza della percussione. Egli osserva che “aucun instrument ne surpasse en efficacité le marteau qui utilise cette puissance” – (fr:146) [nessuno strumento supera in efficacia il martello che utilizza questa potenza] e che senza di esso nessun edificio potrebbe essere costruito, nessun chiodo conficcato. La grandeur del fenomeno lo spinge a chiedersi: “Ne vaut-il donc pas la peine de comprendre la puissance infinie de la percussion, si grande qu’un seul homme muni d’un marteau pourrait mettre en mouvement une sphère aussi grande que toute la terre” – (fr:148) [Non vale dunque la pena di comprendere la potenza infinita della percussione, così grande che un solo uomo armato di un martello potrebbe mettere in movimento una sfera grande come tutta la terra?]. Galileo, da lui costantemente citato, si era già cimentato con il problema ma non era andato oltre una dissertazione sulle difficoltà del tema. Huygens non riuscì comunque a penetrare compiutamente il meccanismo della percussione, ostacolato dallo stato imperfetto della dinamica. Principi che oggi appaiono elementari – l’uguaglianza tra impulso e variazione della quantità di moto, e l’uguaglianza di azione e reazione – gli erano ignoti, e senza di essi non poté dedurre la grande forza della percussione come effetto della brevità del tempo in cui essa si compie, né dare alla conservazione della quantità di moto la generalità e il significato primordiale che avrebbe assunto con Newton.

Nel 1656 Huygens intraprese la redazione sistematica del trattato, strutturandolo con ipotesi, lemmi e proposizioni dotate di dimostrazioni geometriche “à la mode des anciens”. Il manoscritto di quell’anno, riprodotto nell’Appendice II, presenta già le cinque ipotesi fondamentali. Tra queste, l’Ipotesi V è notevole perché relativa al caso in cui la somma algebrica delle due quantità di moto è nulla; essa afferma che se per uno dei corpi la velocità non cambia in valore assoluto, lo stesso deve valere per l’altro. Accanto alle ipotesi, il trattato sviluppa proposizioni di grande rilievo, già in parte note a Huygens dal 1652: la Proposizione V sulla reversibilità dell’urto, la Proposizione IX con la soluzione completa del choc direct e le Proposizioni XII e XIII dedicate all’effetto dell’interposizione di uno o più corpi in quiete tra un corpo in movimento e un altro in quiete.

Il manoscritto definitivo, scritto da una mano diversa, riprende quasi testualmente la stesura del 1656, ma con alcune differenze significative. La prefazione, che doveva contenere un aperçu dei lavori di Galileo e Descartes, viene soppressa. In compenso Huygens introduce la celebre finzione dei due uomini, uno su una barca e l’altro sulla riva, che uniscono le mani per combinare i movimenti, una rappresentazione che fonda la dimostrazione della Propositio Prima e chiarisce in termini di relatività i fenomeni dell’urto.

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2 Scelte editoriali e limiti del modello fisico nel Trattato sulla Percussione di Huygens

Il resoconto analizza le motivazioni dietro le modifiche alle dimostrazioni del trattato di Huygens, la sua controversa omissione riguardo a Cartesio e la successiva critica fisica che dimostra l’inesistenza in natura dei suoi “corpi duri” ideali, culminando con la soluzione ondulatoria di Cauchy.

L’analisi del testo si concentra su due aspetti distinti del Traité de la Percussion di Huygens: le scelte espositive e le omissioni operate dall’autore, e una successiva confutazione fisica del suo modello di corpo rigido. Per quanto riguarda la genesi dell’opera, viene evidenziato l’uso di un “artificio” dimostrativo, introdotto per la prima volta in una nota inviata alla Royal Society nel Come specificato, “D’après la lettre qui accompagna l’envoi il devait servir à convaincre même les plus sceptiques de la justesse du principe de la relativité” - (fr:221) [Secondo la lettera che accompagnava l’invio, doveva servire a convincere anche i più scettici della giustezza del principio di relatività]. L’adozione di questo metodo comportò una revisione delle dimostrazioni, che “en sont devenues moins concises, mais on peut douter si elles sont plus convaincantes qu’elles ne l’étaient auparavant” - (fr:223) [divennero meno concise, ma si può dubitare che siano più convincenti di quanto non lo fossero in precedenza].

Un punto cruciale è l’analisi di un’omissione volontaria, definita “à première vue très surprenante” - (fr:227) [a prima vista molto sorprendente], relativa alla correzione del principio cartesiano di conservazione della quantità di moto. Nel trattato, Huygens si limita a esporre l’errore di Cartesio, ma nel manoscritto del 1656, egli “ne se borne pas à démontrer l’erreur de Descartes, il indique ensuite par quelle modification son Principe peut être rectifié” - (fr:232) [non si limita a dimostrare l’errore di Descartes, ma indica successivamente con quale modifica il suo Principio può essere rettificato]. L’omissione di questa indicazione nel trattato è percepita come “un’ingiustizia verso Descartes” (fr:233). Il testo propone due spiegazioni per questa scelta. La prima è un deliberato attacco all’autorità di Cartesio, che “menaçait de devenir un obstacle au progrès” - (fr:234) [minacciava di diventare un ostacolo al progresso] della scienza. La seconda spiegazione, ritenuta più probabile, è di natura pratica: “il est certain que Huygens aurait pu composer une telle démonstration du Théorème de la conservation de la quantité de mouvement dans sa vraie forme… Toutefois cela lui aurait coûté un certain effort pour lequel il lui manquait probablement l’inspiration, occupé comme il l’était toujours de nouveaux projets” - (fr:255, 259) [è certo che Huygens avrebbe potuto comporre una tale dimostrazione… Tuttavia ciò gli sarebbe costato un certo sforzo per il quale probabilmente gli mancava l’ispirazione, occupato com’era sempre da nuovi progetti]. Questa stessa mancanza di ispirazione spiegherebbe l’assenza di altri risultati, come le soluzioni per il caso di corpi molli e semi-duri (fr:271).

La seconda parte del testo si addentra in una critica fisica stringente del concetto di corpo duro. L’affermazione è categorica: “Des corps durs, possédant les propriétés que Huygens leur attribue, n’existent pas dans la nature” - (fr:278) [Dei corpi duri, che possiedano le proprietà che Huygens attribuisce loro, non esistono in natura]. La motivazione è che in un urto tra corpi perfettamente elastici, ma reali, si generano vibrazioni interne che assorbono parte dell’energia cinetica, cosicché “la somme des forces vives de leurs mouvements progressifs ne sera plus ce qu’elle était auparavant” - (fr:279) [la somma delle forze vive dei loro movimenti progressivi non sarà più quella che era prima]. Questo contraddice direttamente due proprietà dei corpi duri di Huygens, relative all’uguaglianza della velocità relativa in avvicinamento e allontanamento, e alla conservazione della forza viva.

Viene quindi presentata la soluzione rigorosa di Cauchy del 1826 per l’urto centrale di due cilindri omogenei e isotropi che seguono la legge di Hooke. Si analizza il caso in cui i cilindri siano di lunghezza uguale (lA = lB): dopo l’urto, “le résultat du choc est donc conforme à la théorie de Huygens” - (fr:304) [il risultato dell’urto è dunque conforme alla teoria di Huygens]. Tuttavia, se le lunghezze sono diverse (lB < lA), il processo di interazione termina con il cilindro più corto che si comporta come se avesse urtato un cilindro di lunghezza uguale alla propria, portando a una perdita di energia del moto progressivo. Il testo fornisce la formula per questa perdita, dimostrando che la teoria di Huygens è valida solo in un caso ideale e geometricamente molto specifico. Si nota infine che la soluzione di Poisson, che prevedeva la separazione dei cilindri solo nel caso di lunghezze uguali, soppiantò per un certo periodo quella di Cauchy (fr:321).

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3 Validità e limiti della teoria dell’urto di Huygens e il suo principio energetico

La teoria dell’urto di Huygens, benché inadeguata per i cilindri vibranti, viene qui giustificata per i corpi a superficie convessa grazie ai risultati di Hertz sul contatto, riconoscendo al contempo nel principio huygensiano del centro di gravità un precursore della conservazione dell’energia.

Le prime righe del testo tracciano un percorso di scoperta e correzione scientifica. Viene menzionato un errore nel ragionamento di Poisson, segnalato da de Saint-Venant, il quale “élabora plus amplement la solution de Cauchy et la trouva juste” - (fr:322) [elaborò più ampiamente la soluzione di Cauchy e la trovò giusta]. La soluzione corretta fu poi riscoperta indipendentemente da F. Neumann, Thomson e Tait, e A. Ritter (fr:323). Tuttavia, questa soluzione teorica si scontra con la realtà sperimentale. Il testo afferma chiaramente che “cette solution ne soit vérifiée que très imparfaitement par les expériences” - (fr:324) [questa soluzione non è verificata che molto imperfettamente dagli esperimenti], e la ragione risiede nella perdita di forza viva causata dalle vibrazioni indotte dall’urto, un fenomeno particolarmente rilevante nel caso dei cilindri. Di conseguenza, per questa geometria, “la théorie de Huygens n’y peut pas rendre compte des phénomènes” - (fr:354) [la teoria di Huygens non può qui render conto dei fenomeni].

Un passaggio storiograficamente peculiare collega queste difficoltà sperimentali alla modellizzazione fisica. Si osserva come, nelle figure 11 e 13 dei manoscritti di Huygens, “les ressorts indiqués joueraient dans le choc précisément le même rôle que la couche intermédiaire plus compressible dont Voigt a besoin pour expliquer comment les cylindres se comportent en réalité” - (fr:347-349) [le molle indicate giocherebbero nell’urto precisamente lo stesso ruolo dello strato intermedio più comprimibile di cui Voigt ha bisogno per spiegare come i cilindri si comportano in realtà]. Si crea così un legame inaspettato tra l’idealizzazione seicentesca e la sofisticata teoria elastica ottocentesca. Se si suppone poi che la massa delle molle sia trascurabile, si ricade nel caso sperimentale studiato da Ramsauer, dove “les lois de Huygens du choc des corps durs sont suivies presque parfaitement” - (fr:351) [le leggi di Huygens sull’urto dei corpi duri sono seguite quasi perfettamente].

La prospettiva cambia radicalmente quando si considerano corpi a superficie convessa, che si toccano su un’estensione ridotta. In questo scenario, la teoria di Huygens può essere mantenuta, a patto che “les vitesses des corps sont très petites par rapport aux vitesses avec lesquelles des ondes élastiques se propagent à leur intérieur” - (fr:356) [le velocità dei corpi sono molto piccole rispetto alle velocità con cui le onde elastiche si propagano al loro interno]. Per giustificare questa affermazione, ci si appoggia ai risultati di H. Hertz sul contatto dei corpi elastici. Il problema semplificato di Hertz considera una sfera elastica sottoposta a una pressione P su una piccola area e a una forza opposta -P distribuita uniformemente nel volume. Hertz riuscì a calcolare l’appiattimento nel punto di contatto usando la teoria dell’elasticità (fr:367), introducendo due costanti del materiale isotropo: il modulo di rigidità K e il coefficiente di Poisson μ (fr:368).

La chiave per applicare queste formule statiche al dinamismo dell’urto sta nella lentezza delle variazioni della forza. Si possono trascurare le vibrazioni e applicare le formule dell’equilibrio a ogni istante se il tempo T di variazione della forza è molto maggiore del periodo delle vibrazioni proprie del corpo. Per una sfera di raggio R, la condizione è “T R/ct ou T R/cl” - (fr:371) [T molto maggiore di R/ct o T molto maggiore di R/cl]. Hertz derivò una formula per la durata dell’urto T. Esprimendola in funzione della velocità relativa v e ponendo il coefficiente di Poisson μ = ⅓, si ottiene una condizione esplicita: “(v/ct) 3,76” - (fr:377) [(v/ct) molto minore di 3,76]. La teoria è quindi valida se la velocità d’impatto è sufficientemente piccola. Per l’acciaio, con velocità delle onde trasversali ct ≈ 3,2·10⁵ cm/s, imponendo un rapporto T = 20 R/ct si trova un limite pratico: “v = 75 cm par sec.” - (fr:380-381) [v = 75 cm al secondo]. Questo spiega perché gli esperimenti di Huygens con le sfere apparivano confermare quasi perfettamente la sua teoria (fr:382), la quale può essere considerata “rigoureusement exacte dans un cas limite” - (fr:390) [rigorosamente esatta in un caso limite], quello di corpi perfettamente duri con K = ∞, dove non si produrrebbero vibrazioni interne.

Il testo si conclude con una riflessione sul principio cardine della teoria dell’urto di Huygens: il principio del centro di gravità comune, che non può salire per effetto della sola gravità (fr:397). Questo principio, che Huygens stesso definì “le grand Principe des mechaniques” - (fr:399) [il grande principio della meccanica], viene interpretato come un’anticipazione della conservazione dell’energia in un campo gravitazionale uniforme. Esprimendo matematicamente questo principio per un sistema di corpuscoli, si ottiene un’equivalenza tra la somma delle energie cinetiche e potenziali prima e dopo un fenomeno reversibile (fr:416). Per l’urto centrale di due corpi duri, la conservazione della forza viva è una conseguenza diretta. Storicamente, sebbene Huygens non utilizzasse la reversibilità dell’urto per dedurla (fr:417-421), la scoperta della validità di questo principio energetico in un campo gravitazionale rappresenta una delle prime tappe verso la sua formulazione definitiva, e “on doit en donner l’honneur à Huygens” - (fr:409) [se ne deve dare l’onore a Huygens].

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4 I fondamenti della teoria della percussione secondo Huygens e la nascita dei principi di conservazione

Il testo analizza lo sviluppo delle idee di Huygens sull’urto dei corpi, mettendo in luce le ipotesi iniziali, la progressiva correzione degli errori cartesiani e l’utilizzo del principio di relatività come strumento di ricerca, fino alla formulazione dei teoremi di conservazione.

Il commento editoriale ripercorre le tappe attraverso cui Christiaan Huygens costruì la sua teoria del moto per percussione. L’indagine prende le mosse da alcune proposizioni fondamentali, in particolare la “Prop. VIII et sa démonstration” – (fr:428) [Prop. VIII e la sua dimostrazione], la quale poggia sull’“Hypothèse V (p. 41), laquelle ne fait en réalité que supposer la réversibilité dans un cas spécial” – (fr:430-431) [Ipotesi V (p. 41), la quale in realtà non fa che supporre la reversibilità in un caso particolare]. L’interrogativo centrale riguarda proprio la genesi di questa ipotesi: “Peut-on croire que cette Proposition fut obtenue si tôt par la voie compliquée que nous venons d’esquisser, et n’est-il-pas beaucoup plus plausible que dès l’abord Huygens ait considéré la réversibilité du choc comme une hypothèse admissible du moins provisoirement?” – (fr:442) [Si può credere che questa Proposizione sia stata ottenuta così presto per la via complicata che abbiamo appena abbozzato, e non è molto più plausibile che fin dall’inizio Huygens abbia considerato la reversibilità dell’urto come un’ipotesi ammissibile almeno provvisoriamente?].

Il principio che il centro comune di gravità non possa salire per effetto della gravità, combinato con il principio di relatività di Huygens, conduce direttamente al teorema della conservazione della quantità di moto in una data direzione, e ciò “sans supposer cette fois la réversibilité des phénomènes” – (fr:444) [senza supporre questa volta la reversibilità dei fenomeni]. L’argomentazione è riportata in forma analitica: immaginando un insieme di urti tra corpi duri, semi-duri o molli, e aggiungendo a tutte le velocità una velocità comune x, si ottiene una disuguaglianza che può essere soddisfatta per ogni x solo se “Σ mvx = Σ mv’x” – (fr:447) [la somma delle quantità di moto prima e dopo l’urto è uguale]. Huygens applicò questo ragionamento al caso particolare degli urti di corpi molli e semi-duri, dimostrando che allora “nécessairement mA v’A+mB v’B s’annule aussi, d’où il suit: v’A/vA = v’B/vB = e, où e varie entre 1 (pour les corps durs) et 0 (pour les corps mous)” – (fr:453) [necessariamente anche mAv’A + mBv’B si annulla, da cui segue che il rapporto tra le velocità dopo e prima dell’urto è una costante e, che varia tra 1 (per i corpi duri) e 0 (per quelli molli)].

Il percorso storico mostra come Huygens abbia inizialmente accettato la formulazione erronea di Descartes del principio di conservazione del moto: “Huygens a commencé par l’admettre dans la forme erronée sous laquelle Descartes l’avait formulée” – (fr:457). Già nel 1652, con i primi tentativi di costruire una teoria coerente dell’urto dei corpi duri, ne riconobbe la falsità in alcuni casi, ma “ne douta pas de son applicabilité dans d’autres cas” – (fr:459). Non potendo fare a meno di ipotesi evidenti, mutuò due ipotesi dal principio cartesiano, finché nel 1654 scoprì la vera formula del teorema di conservazione della quantità di moto. La pubblicò nel Journal des Sçavans del 18 marzo 1669, ma la forma stessa della comunicazione mostra che “il n’avait pas reconnu le fondement simple sur lequel nous basons ce Théorème depuis l’édition des ‘Principia’ de Newton” – (fr:483) [non aveva riconosciuto il fondamento semplice su cui noi basiamo questo teorema dall’edizione dei Principia di Newton]. Qui Huygens parla di una “loy admirable de la Nature” – (fr:484) [legge meravigliosa della Natura] secondo cui il centro comune di gravità di più corpi avanza sempre nella stessa direzione prima e dopo l’urto, ma limita la sua dimostrazione ai “corps Spheriques” – (fr:485) [corpi sferici], rivelando così la natura ristretta della prova.

Per Huygens il teorema della conservazione della forza viva (l’energia cinetica) era di gran lunga più importante di quello della quantità di moto, e anzi stupisce “qu’il ait échappé à sa perspicacité que ce dernier Théorème peut se déduire facilement du premier, dans le cas des corps durs, à l’aide du Principe de la relativité” – (fr:486) [che sia sfuggito alla sua perspicacia che quest’ultimo teorema può dedursi facilmente dal primo, nel caso dei corpi duri, con l’aiuto del principio di relatività]. L’equazione della conservazione della forza viva, aggiungendo alle velocità una velocità comune x, permette di ricavare la conservazione della quantità di moto; ma Huygens, a causa del suo metodo geometrico, avrebbe dovuto distinguere diversi casi a seconda del senso dei moti.

Un altro pilastro della teoria è il teorema dell’uguaglianza della velocità di allontanamento e di avvicinamento. Esso afferma che, in un urto diretto tra pezzi di meccanismi senza attrito formati da corpi duri, la velocità relativa nella direzione perpendicolare al piano tangente comune “change de sens par le choc sans changer de grandeur” – (fr:496) [cambia segno nell’urto senza cambiare di grandezza]. Questo teorema, che Huygens pensò persino di porre come assioma, permette di sostituire l’unica equazione quadratica (legata alle forze vive) con un’equazione lineare. Una generalizzazione interessante, ma limitata alle sfere omogenee, è che “par le choc la vitesse relative des centres change de direction mais pas de grandeur” – (fr:499) [nell’urto la velocità relativa dei centri cambia direzione ma non grandezza].

Fondamentale in tutto lo sviluppo è il principio di relatività di Huygens. Fin dall’inizio delle sue ricerche “Huygens a senti tout le profit qu’il pouvait tirer de ce Principe” – (fr:507) [Huygens intuì tutto il vantaggio che poteva trarre da questo principio], e lo impiegò sistematicamente per arrivare a una teoria consistente dell’urto. Il commento sottolinea che, diversamente dai sostenitori del moto della Terra che lo usavano solo come argomento, “ce mérite était réservé à Huygens” – (fr:512) [questo merito era riservato a Huygens]. Quanto alle questioni metafisiche sul moto assoluto e sulla rotazione, Huygens nella fase giovanile considerava la questione “comme une de celles qui n’ont pas d’issue” – (fr:517) [come una di quelle senza via d’uscita].

Il testo si chiude con l’esposizione delle ipotesi poste alla base del trattato Sul movimento dei corpi per percussione. La prima enuncia il principio di inerzia: “Un corps quelconque, une fois en mouvement, si rien ne s’oppose, continue de se mouvoir avec perpétuellement la même vitesse et selon une ligne droite.” – (fr:523) [Un corpo qualsiasi, una volta messo in movimento, se nulla vi si oppone, continua a muoversi con perpetua la medesima velocità e in linea retta.]. La seconda riguarda la reversibilità dell’urto elastico tra corpi duri: “deux corps durs, égaux entre eux, de même vitesse, lorsqu’ils se rencontrent directement, rejaillissent chacun avec la même vitesse avec laquelle il était venu.” – (fr:525) [due corpi duri, uguali tra loro, di eguale velocità, quando si incontrano direttamente, rimbalzano ciascuno con la medesima velocità con cui era venuto.]. Il testo commenta che il manoscritto latino fu redatto da un’altra mano, ma corretto dallo stesso Huygens, segno della cura con cui questi approntava i propri lavori.

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5 Dalle speculazioni cartesiane alla conservazione dell’energia: gli abbozzi di Huygens sulla percussione (1652)

Nelle carte preparatorie del De Motu corporum ex percussione Christiaan Huygens abbandona ben presto la regola di Descartes, esplora il principio di relatività e giunge, già intorno al 1652, a formulare la conservazione della vis viva.

Il testo proviene dall’edizione critica delle Œuvres complètes di Huygens e raccoglie frammenti manoscritti del 1652 dedicati alla percussione, accompagnati dalle note dei curatori. Esso mostra il percorso tortuoso con cui Huygens si staccò dalla fisica cartesiana per gettare le basi della moderna teoria dell’urto.

Il punto di partenza è la prima regola di Descartes sulla percussione, ripresa dalla Pars secunda dei Principia philosophiae: “Primò, si duo illa corpora, puta B & C, essent planè aequalia, & aequè velociter moverentur … cùm sibi mutuò occurrerent, reflecterentur, & postea pergerent moveri, B versus dextram & C versus sinistram, nullâ parte suae celeritatis amissâ” – (fr:1754) [In primo luogo, se quei due corpi, supponiamo B e C, fossero perfettamente uguali e si muovessero con uguale velocità … quando si incontrassero reciprocamente, si rifletterebbero e continuerebbero poi a muoversi, B verso destra e C verso sinistra, senza perdere alcuna parte della loro velocità]. Tale regola ricompare, come ricordano i curatori, nella seconda ipotesi del trattato De Motu corporum ex percussione (fr. 1756).

Tuttavia Huygens imbocca quasi subito una via sbagliata, ammettendo un teorema e la dimostrazione che segue (fr. 1758). L’errore consiste nel supporre che, dovendo la velocità di allontanamento eguagliare quella di avvicinamento, un corpo in quiete urtato da un corpo uguale debba retrocedere a velocità doppia: “quum B maneat post collisionem immotum, necesse est A duplo celerius retrocedere quam advenerat, ut aequali tempore aequalis fiat elongatio et accessus” – (fr:1762) [quando B dopo l’urto rimane immobile, è necessario che A retroceda al doppio della velocità con cui era arrivato, affinché in pari tempo l’allontanamento eguagli l’avvicinamento]. Huygens si accorge presto dell’errore e cambia radicalmente approccio (fr. 1759).

Il nuovo punto di partenza, datato 1652, è un diverso principio di uguaglianza tra velocità di separazione e velocità di avvicinamento, che Huygens enuncia come assioma: “Eadem est celeritas separationis post duorum corporum concursus, quae fuit appropinquandi” – (fr:1792) [La velocità di separazione dopo l’urto di due corpi è uguale a quella di avvicinamento]. A questo principio egli affianca l’uso sistematico della relatività del moto, illustrato con l’immagine della nave in moto: “Iis qui in navi sunt quae progreditur, corporum sibi in navi occurrentium motus non alius apparet quam si navis immota staret, vel ipsi una cum ijs extra navem essent” – (fr:1812-1813) [A coloro che si trovano su una nave che avanza, il moto dei corpi che si urtano nella nave non appare diverso da quello che si avrebbe se la nave fosse ferma, o se essi insieme a quelli fossero fuori della nave]. Con questo espediente Huygens riesce a dimostrare che, per corpi uguali con uno in quiete, tutto il moto si trasferisce al corpo quieto e l’urto lascia immobile il corpo inizialmente in moto (fr. 1815); si tratta della futura Propositio I del trattato De Motu.

Dopo aver cancellato l’assioma iniziale – non perché dubitasse della sua correttezza, ma perché aveva scoperto un altro principio più fecondo (fr. 1805) – Huygens si spinge a considerare ciò che oggi chiamiamo quantità conservate. Dapprima osserva che non sempre dopo l’urto la somma dei prodotti «grandezza × velocità» rimane costante: “non semper post duorum corporum collisionem, tantundem motus remanere quantum erat antea, eo videlicet sensu, ut corporum magnitudines cum velocitatibus multiplicatae, eundem numerum producant quem prius producebant” – (fr:1817) [non sempre dopo l’urto di due corpi rimane tanto moto quanto ce n’era prima, intendendo con ciò che le grandezze dei corpi moltiplicate per le velocità producono lo stesso numero che producevano prima]. Subito dopo introduce una grandezza che invece si conserva: “Sed necesse est quadrata velocitatum ducta in magnitudinem corporum semper eundem numerum producere” – (fr:1818) [Ma è necessario che i quadrati delle velocità moltiplicati per la grandezza dei corpi producano sempre lo stesso numero].

I curatori sottolineano la portata di quest’ultima affermazione: già verso il 1652 Huygens aveva intuito la legge di conservazione dell’energia per il caso particolare di un campo gravitazionale uniforme, astraendo da attrito e resistenza del mezzo. Essi ipotizzano che vi sia giunto combinando la reversibilità della percussione con il principio che il centro di gravità comune non può salire per effetto della sola gravità, convertendo le velocità orizzontali in verticali (fr. 1835–1836).

Il valore storico del documento è duplice: da un lato testimonia il faticoso superamento della fisica di Descartes, dall’altro rivela come Huygens, nel pieno del suo periodo giovanile, avesse già posto le basi teoriche che lo condurranno alla stesura definitiva del De Motu e all’enunciazione della conservazione della vis viva, anticipando temi che saranno centrali nella meccanica successiva.

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6 La correzione di Huygens al principio cartesiano: relatività, urti e conservazione

Dalla difficoltà di calcolare il moto nei corpi reali alla formulazione di leggi ideali per l’urto, emerge il nucleo di una critica fondamentale al principio di conservazione di Descartes.

Il testo si apre constatando una difficoltà pratica: calcolare come il moto di un corpo sia alterato dall’incontro con altri è un’impresa ardua, perché “nulla in mundo corpora esse possunt à reliquis omnibus ita divisa, & nulla circa nos esse solent planè dura” - (fr:1970) [nessun corpo al mondo può essere così separato da tutti gli altri, e nessuno intorno a noi suole essere perfettamente duro]. È necessario considerare tutto ciò che circonda il corpo, i cui effetti variano a seconda che i corpi siano duri o fluidi (fr:1971). Di questa diversità, afferma l’autore, “in quo consistat, hîc est quaerendum” - (fr:1971) [in che cosa consista, è qui da indagare].

Per superare questa complessità, Huygens decide di adottare un metodo ipotetico-deduttivo, stabilendo principi generali conformi alla natura del moto e che non fatichino a essere accettati, “Quibus concessis circa reliquas demonstrationes nulla supersit dubitatio” - (fr:1975) [concessi i quali, sulle restanti dimostrazioni non permanga alcun dubbio]. Le premesse sono in gran parte cartesiane, con poche discrepanze (fr:1976). Si introduce così una fisica idealizzata: si fingono corpi perfettamente duri che si urtano in un luogo dove l’ambiente circostante non ne rallenta né favorisce il moto (fr:1977). A margine si specifica inoltre “quod aer non remoretur motum” - (nota a fr:1978) [che l’aria non rallenti il moto]. A queste condizioni si aggiunge l’assenza di gravità o leggerezza che spinga verso il basso o l’alto (fr:1992). Queste idealizzazioni sono riassunte nei titoletti “Corpora dura” e “Nullum aeris impedimentum nec gravitatis attractionem” - (fr:2006-2007) [Corpi duri. Nessun impedimento dell’aria né attrazione di gravità].

Su queste basi si innesta una chiara formulazione del principio di relatività del moto. Il movimento e la quiete sono definiti solo in relazione ad altri corpi con cui un oggetto cambia o mantiene distanza e posizione: “Nam si quis naturam motus in uno corpore absque aliorum respectu investigare contendat operam se ludere inveniet” - (fr:2027) [Se qualcuno pretendesse di indagare la natura del moto in un singolo corpo senza riferimento ad altri, scoprirebbe di star sprecando fatica]. Non esiste un corpo o punto nell’universo a cui riferire necessariamente il moto di tutti gli altri (fr:2029). Da ciò deriva una conseguenza fisica cruciale: l’esito di un urto tra due corpi in movimento rispetto al suolo terrestre deve essere identico sia che si creda la Terra immobile, sia che la si sappia soggetta ad altri movimenti (fr:2030). Analogamente, gli urti che avvengono all’interno di una nave in moto uniforme hanno lo stesso esito che se la nave fosse ferma, “Et hoc experientia quoque comprobat” - (fr:2032) [E ciò è comprovato anche dall’esperienza]. Si citano esempi di biglie che collidono su un tavolo nella nave o proiettili lanciati in aria da un marinaio. Se i corpi sono uguali e lanciati a uguale velocità, ciascuno rimbalzerà con la stessa velocità (fr:2033). Per fugare il dubbio di chi, per pregiudizio, ritiene la Terra più in quiete di una nave, si invoca l’argomento cartesiano: “non magis terram quiescere quam navim quae flumine defertur” - (fr:2037) [la Terra non è più in quiete di una nave portata dalla corrente].

Poste queste fondamenta, il testo enuncia i principi dinamici e le ipotesi per gli urti. Si assume che un corpo in moto prosegua con la stessa velocità in linea retta finché non sia ostacolato (fr:2010). Viene poi introdotto il principio di conservazione, affermando con Cartesio che la quantità di moto di un insieme di corpi dopo l’urto si conserva, non sempre nei singoli corpi ma nella loro somma (fr:1994). Tuttavia, immediatamente, si solleva una riserva fondamentale: questo principio “non in omni casu eodem modo accipi debeat neque possit” - (fr:1995) [non deve né può essere inteso allo stesso modo in ogni caso]. Lo si applicherà prima ai casi evidenti, per poi dimostrare che altrove va interpretato in modo diverso da come faceva Cartesio (fr:1995). La formulazione precisa del principio, si anticipa, è che il moto non si distrugge né si crea, ma ciò che è perso da un corpo è acquisito dall’altro (fr:1998).

Seguono le ipotesi per casi specifici di urto tra corpi duri. * Se due corpi uguali si urtano frontalmente a pari velocità, conservano tutto il moto e rimbalzano con la stessa velocità (fr:1999). Non può esserci disparità nel rimbalzo, “Cum enim aequalia sint et aequali celeritate delata” - (fr:2000) [Essendo infatti uguali e dotati di uguale velocità]. * Se un corpo maggiore urta uno minore in quiete, gli conferisce del moto e di conseguenza perde qualcosa del proprio (fr:2002). * Se in una collisione tra due corpi uno conserva tutto il suo moto, anche l’altro non ne perde nulla. Ciò è evidente per i corpi uguali, ma si afferma che vale anche per i disuguali (fr:2003-2005).

Il testo si conclude con la confutazione di una specifica tesi cartesiana e l’annuncio di una legge di separazione. Si osserva che quando un corpo maggiore ne urta uno minore in quiete, non gli rimane unito, ma la velocità di separazione è uguale a quella di avvicinamento (fr:2038-2039). Proprio perché ciò accade sempre, “Falsus ergo Cartesius” - (fr:2041) [Dunque Cartesio è in errore], specialmente quando sostiene che un corpo maggiore possa essere mosso da uno minore. La nota storica chiarisce il nocciolo della correzione: Huygens, già nel 1654, sapeva di dover riformulare il principio cartesiano della conservazione della quantità di moto. La versione corretta, pubblicata nel 1669, specifica che non è la quantità totale a conservarsi, bensì: “La quantité du mouvement qu’ont deux corps, se peut augmenter ou diminuer par leur rencontre, mais il y reste toûjours la mesme quantité vers le mesme costé, en soustrayant la quantité du mouvement contraire” - (nota 2 a fr:2012) [La quantità di moto che hanno due corpi può aumentare o diminuire per il loro urto, ma rimane sempre la stessa quantità verso lo stesso lato, sottraendo la quantità del moto contrario]. È notevole, annota il curatore, che Huygens nel “De Motu” non avesse ancora dato la regola corretta, limitandosi a contraddire il principio di Descartes (fr:2013).

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7 Dalla confutazione delle regole tradizionali alla fondazione della teoria della percussione

Un resoconto dell’introduzione di Christiaan Huygens al suo trattato sulla percussione, dove egli motiva la necessità di una nuova teoria, ne stabilisce le ipotesi fondamentali e riconosce i contributi dei predecessori.

Christiaan Huygens, nel volume XVI delle sue Oeuvres complètes (fr:2055-2056), dedica una sezione alla percussione, muovendo dalla constatazione di una lacuna fondamentale nella scienza del suo tempo. L’autore osserva criticamente che nessuno, prima di lui, aveva affrontato il problema in modo corretto e sistematico, fatta eccezione per pochi casi evidenti per esperienza comune: “Impulsus regulas nemo recte tradidit paucis exceptis quae experientia” - (fr:2061) [Nessuno ha tramandato correttamente le regole dell’urto, eccettuate poche che [derivano] dall’esperienza]. Cita come esempio il caso di “aequales sphaerae e materia dura aequali celeritate sibi mutuo occurrentes &c.” - (fr:2062) [sfere uguali di materia dura che si scontrano reciprocamente con uguale velocità, ecc.]. La semplice osservazione empirica non è sufficiente: mentre un fenomeno come l’arresto di una sfera che ne colpisce una uguale e ferma (“sphaera in sphaeram sibi aequalem quiescentem impacta &c.”, fr:2063) suscitava meraviglia, ne mancava totalmente una dimostrazione del perché ciò accadesse necessariamente: “demonstrationem autem quod hoc necessario contingat nemo &c.” - (fr:2064) [nessuno invece [ha fornito] una dimostrazione che ciò accada necessariamente, ecc.]. La situazione era ancora più confusa per i casi generali: “de inaequalibus autem, atque inaequali celeritate motis nihil bene definitum est” - (fr:2065) [riguardo a corpi disuguali e mossi a disuguale velocità, nulla è stato definito correttamente].

Fu proprio questa molteplicità di regole discordanti e false—“variae a diversis regulae traditae sunt inter se dissidentes quarumque nullae veritatem rei assequerentur” (fr:2071)—a spingere Huygens a cercare una soluzione definitiva. La posta in gioco intellettuale e pratica era altissima. L’autore definisce la questione come “non levis disquisitio neque exigui momenti” - (fr:2072) [un’indagine non lieve né di poco momento], sottolineando l’immensa utilità della potenza dell’urto. In un passaggio di grande efficacia retorica, afferma che senza di essa la civiltà stessa non potrebbe esistere: “Non edificia sine hoc construi possent non cuneus non clavus adigi non ullum paene opificium exerceri” - (fr:2074) [Senza di esso non si potrebbero costruire edifici, né conficcare un cuneo né un chiodo, né quasi esercitare alcuna attività artigianale]. Compresa la funzione cruciale di questa “moltiplicazione delle forze”, diventa necessario padroneggiarla con criteri razionali certi: “aequum est atque utile ut ratione certa expendere noverint qua vi quid commovendum sit” - (fr:2075) [è giusto e utile che sappiano valutare con metodo certo con quale forza si debba mettere in movimento qualcosa].

Uno dei concetti più peculiari e controintuitivi che Huygens introduce è la potenza infinita della percussione. L’affermazione è radicale: “adeo ut si vel terrae universae aequalis sphaera detur unus homo mallei percussu eam loco pulsurus sit” - (fr:2098) [a tal punto che, se anche si desse una sfera di massa uguale a quella della Terra intera, un solo uomo con un colpo di martello la smuoverebbe dal suo posto]. Consapevole della natura paradossale di questa idea—“Aliquibus hoc absurdum prima specie existimatum iri credo” (fr:2099)—, Huygens assicura che le sue dimostrazioni ne proveranno la verità inconfutabile, e non manca di riconoscere un precursore in Galileo Galilei: “ante hoc idem subtilissimus Galileus scivisse videtur, licet nulla ejus circa haec extet demonstratio” - (fr:2100) [prima di noi, sembra che l’argutissimo Galilei abbia intuito la stessa cosa, sebbene di ciò non esista alcuna sua dimostrazione]. Cita poi un passo dai dialoghi galileiani sull’argomento (fr:2101-2103), ma rileva che Galilei non scrisse altro sulla percussione o sull’urto, pur avendo considerato la natura del moto in varie parti del suo sistema (fr:2105).

La costruzione della teoria della percussione richiede, per Huygens, una preliminare opera di pulizia concettuale, liberando la mente del lettore da pregiudizi radicati: “Haec omnia perpendisse utile fuerit haec nostra lecturis, quoniam varijs inveteratis praejudicijs mentem solvant” - (fr:2106) [Sarà utile che i lettori di queste nostre cose abbiano soppesato tutto ciò, poiché scioglie la mente da vari pregiudizi inveterati]. In questo confronto critico con la tradizione, un ruolo centrale è giocato dalle teorie di René Descartes sul moto, esposte nei Principia philosophiae. Huygens ammette un debito intellettuale, pur preannunciando una confutazione radicale: “Quamvis enim contraria ipsi tradituri sumus in his, attamen &c. et praeclare multa explicasse et multum eo nomine ipsi nos debere fatemur” - (fr:2109-2110) [Sebbene infatti siamo sul punto di esporre in queste cose tesi a lui contrarie, tuttavia […] confessiamo che ha spiegato molte cose egregiamente e che per questo gli siamo molto debitori]. La sua posizione si fa più tagliente quando ricorda che un principio cartesiano, a lungo considerato plausibile—“quod diu nobis verisimile visum” (fr:2112)—, si rivelò in seguito falso (fr:2113).

Dopo questa pars destruens, Huygens delinea le ipotesi fondative della sua dinamica degli urti, isolando il fenomeno in un modello astratto. Riprende da Cartesio l’idea metodologicamente corretta di concepire i corpi come perfettamente duri e mossi in uno spazio quasi vuoto, libero da influenze esterne: “Principio recte cavisse videtur perfectam corporum sese impellentium duritiem animo concipiendam esse, eaque moveri in spatio quasi vacuo in quo nulla alia corpora motum eorum juvare possint aut imminuere” - (fr:2114). A questo aggiunge l’eliminazione della gravità, un principio cardine: “Ergo haec etiam nos supponemus sed neque gravitatis proprietate deorsum trahi ipsa, aut prae levitate sursum efferri fingemus” - (fr:2115) [Dunque supporremo anche noi queste cose, ma non immagineremo che i corpi siano tirati verso il basso dalla proprietà della gravità o portati in alto per la loro leggerezza]. Il modello è completato dall’enunciazione del principio di inerzia, già formulato da Cartesio e Galilei (fr:2116): “Statuemus porro unumquodque corpus natura ferri secundum lineam rectam, quâque celeritate semel motum est ea pergere moveri nisi ab alio impediatur” - (fr:2116) [Stabiliremo inoltre che ciascun corpo, per sua natura, si muove in linea retta e continua a muoversi con la medesima velocità con cui è stato messo in moto una volta, a meno che non sia ostacolato da un altro]. Infine, enuncia un ultimo postulato sulla conservazione del moto nell’urto, che nega l’annichilazione reciproca: “ponemus occursu mutuo duorum corporum motum tamen eorum non omnino interverti atque ad nihilum redigi sed superstitem remanere” - (fr:2135) [nell’urto reciproco di due corpi, porremo che il loro moto non venga tuttavia completamente sovvertito e ridotto a nulla, ma permanga superstite].

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8 Relatività del moto, urti e percossa: appunti del giovane Huygens

Un insieme di frammenti manoscritti mostra come Christiaan Huygens, intorno al 1654, fondasse la teoria dell’urto sulla relatività galileiana del moto, correggendo e superando le regole cartesiane, pur incorrendo in un errore di calcolo in una prima dimostrazione.

Il testo si apre con una limpida definizione del moto e della quiete come concetti esclusivamente relativi. “Quiescere unumquodque dicitur eorum respectu quibuscum eandem distantiam situmque servat” – (fr:2222) [Si dice che un corpo è in quiete rispetto a quelli con cui mantiene la stessa distanza e posizione] – e “Moveri vero respectu eorum quibuscum distantiam situmve non servat” – (fr:2223) [Si dice invece che si muove rispetto a quelli con cui non mantiene distanza o posizione]. L’esempio della nave rende tangibile questa duplicità: “Ita quidem puppis quiescit respectu prorae quocunque modo navis moveatur” – (fr:2224) [Così la poppa è in quiete rispetto alla prua in qualunque modo la nave si muova]; eppure “Haec vero navigans movetur respectu terrae” – (fr:2225) [La nave invece si muove rispetto alla terra], mentre “et rursus quiescit eorum respectu qui in ipsa sedent” – (fr:2226) [e di nuovo è in quiete rispetto a chi è seduto in essa]. La conseguenza è tratta con nettezza: “Adeo ut corpus idem moveri et quiescere possit, ad diversa scilicet alia corpora attendendo” – (fr:2227) [Tanto che lo stesso corpo può muoversi ed essere in quiete, a seconda dei diversi altri corpi cui si guarda].

Proprio questa relatività viene posta a fondamento delle leggi dell’urto. Huygens immagina un naviglio che si sposta da A verso B con un osservatore seduto nei pressi di un punto C; due corpi uguali D ed E si avvicinano l’uno all’altro con eguale velocità e moto uniforme rispetto alla nave (fr:2228‑2230). Dopo l’impatto mutuo, relativamente all’osservatore i due corpi si allontanano da C con la medesima velocità. Se però durante quel brevissimo intervallo in cui D ed E giungono al contatto la nave percorre lo spazio CE, allora, rispetto alla riva G o a uno spettatore su di essa, “necesse est corpus E immotum mansisse respectu ripae G aut spectatoris ibi sedentis. corpus verò D confecisse spatium DE” – (fr:2232‑2233) [è necessario che il corpo E sia rimasto immobile rispetto alla riva G ovvero a uno spettatore lì seduto; il corpo D invece ha percorso lo spazio DE]. Se ne ricava un enunciato preciso: “Apparet itaque quod si respectu hom. is G. quiescat corpus E et ab aequali corpore D impellatur, omnem ab eo motum accipiet, ipsumque D corpus relinquet immotum in loco E” – (fr:2247‑2248) [È quindi evidente che se rispetto all’uomo G il corpo E è in quiete e viene urtato dal corpo uguale D, riceverà da esso tutto il moto e lascerà il corpo D immobile nel luogo E].

Il manoscritto passa poi a considerare il caso di velocità disuguali. La proposizione enuncia che “si inaequali celeritate mutuo sibi occurrant facile probabitur permutata invicem celeritate recessura hoc est ut quod celerius fertur omnem motum suum lentiori conferat contraque omnem tardioris motum sibi accipiat” – (fr:2249) [se si scontrano con velocità disuguali, si dimostrerà facilmente che si allontaneranno scambiandosi reciprocamente le velocità; cioè il più veloce cederà tutto il suo moto al più lento e prenderà su di sé tutto il moto del più lento]. Una nota editoriale precisa che quanto segue può essere considerato “une rédaction antérieure de la démonstration de la ‘Propositio Prima’ (p. 33‑37) du Traité ‘De Motu’” – (fr:2235) [una stesura anteriore della dimostrazione della Propositio Prima del trattato De Motu]. In questo tentativo Huygens introduce una nave con velocità CF per far sì che i due corpi appaiano muoversi con velocità uguali verso il punto d’incontro E. Gli editori però mettono in luce un errore: la velocità attribuita alla nave, pari a ½ EB, fa sì che le velocità relative rispetto alla nave siano uguali soltanto se il rapporto fra le velocità iniziali è p=2q; e per caso nella figura AE = 2EB, circostanza che indusse Huygens a non accorgersi dello sbaglio. La nota dichiara senza mezzi termini: “La démonstration est fausse, quoique la Proposition soit vraie” – (fr:2266) [La dimostrazione è falsa, sebbene la proposizione sia vera]. La velocità della nave avrebbe dovuto essere la semisomma delle velocità dei corpi, non la metà dello spazio EB. Questo svela un passaggio significativo del laboratorio mentale di Huygens, in cui una figura quasi perfetta nascondeva un’inferenza indebita.

La riflessione sulla relatività diviene poi un netto rifiuto del moto assoluto. “Simpliciter autem nulliusque corporis alterius respectu corpus aliquod moveri vel quiescere” – (fr:2282) [Non ha senso dire che un corpo si muova o sia in quiete semplicemente e senza riferimento a un altro corpo]. Coloro che credono la Terra veramente in quiete, spiega Huygens, dovrebbero definire un luogo fisso nell’universo, ma la quiete di quel punto rimanda a sua volta a un altro riferimento. “Quidnam in corporibus quies sit aut motus nisi aliorum corporum respectu non videtur intelligi posse” – (fr:2286) [Cosa siano quiete e moto nei corpi, se non rispetto ad altri corpi, non sembra si possa comprendere]. La conclusione è radicale: “Neque nobis necesse sit quaerere an aliquid in universo hoc revera quiescat aut quidnam illud sit” – (fr:2289) [Né dobbiamo chiederci se qualcosa nell’universo sia veramente in quiete e che cosa sia]. Da questo impianto discende un principio metodologico: “inter bina aut plura corpora motus animadvertitur quodlibet eorum tanquam quiescens reputare liceat” – (fr:2299‑2300) [quando si osserva il moto tra due o più corpi, è lecito considerare uno qualsiasi di essi come in quiete]. L’intero edificio della meccanica dell’urto poggia su tale scelta di riferimento.

La considerazione sulla scienza degli urti è esplicitamente pratica: “de impulsu corporum scientiam haberi utile. nam et percussionis vires simul innotescunt” – (fr:2302‑2303) [è utile possedere la scienza dell’urto tra corpi, perché così si conoscono allo stesso tempo le forze della percossa]. Le forze sviluppate dalla percossa hanno la massima importanza nelle arti meccaniche: “AEque enim ad omnes fabricas adhibentur et sepe quod ponderibus exequi non possemus, percussione perficimus” – (fr:2305) [Infatti sono impiegate in ogni costruzione, e spesso ciò che non potremmo realizzare con i pesi lo realizziamo con la percossa]. Tuttavia la materia è “difficilem… contemplationem habet propterea quod motus natura perplexa est” – (fr:2306) [presenta una difficile contemplazione per il fatto che la natura del moto è ingarbugliata].

Huygens chiama in causa Galileo. Nei Dialoghi di Galileo, Sagredo confessa lo stupore di fronte all’immensa forza di un colpo di martello, che sembra infinita eppure deve essere limitata (fr:2311‑2313). Salviati racconta di aver speso moltissimo tempo in quella caligine, finché non ricevette conforto dall’Accademico (Galileo), il quale, “multis millibus horarum in hanc contemplationem absumptis, tandem aliqua perspexisse … longe ab ijs quae prima facie videri soleant diversa atque esse nova omnino eoque magis mirabilia” – (fr:2326) [dopo aver consumato molte migliaia di ore in questa contemplazione, aveva infine intravisto qualcosa … molto diverso da ciò che si suole pensare a prima vista, e del tutto nuovo e perciò ancor più meraviglioso]. Huygens nota che l’affermazione galileiana sulla potenza immensa della percossa concorda con le proprie dimostrazioni, perché egli mostrerà che “maximum quodque corpus minimi corporis impulsu moveri” – (fr:2332) [un corpo, anche il più grande, può essere mosso dall’impulso di un corpo minimo].

La netta presa di distanza da Descartes è altrettanto istruttiva. “Cartesij regulis experimenta omnia contrarium ostendunt, nostris vero adamussim consentiunt” – (fr:2333) [tutti gli esperimenti mostrano il contrario delle regole di Cartesio, mentre concordano esattamente con le nostre]. L’argomento cartesiano secondo cui la mancata verifica sperimentale dipenderebbe dalla durezza imperfetta dei corpi e dall’aria circostante è respinto: se le teorie fossero false e le imperfezioni compensassero sempre l’errore, sarebbe un miracolo che le predizioni si avverassero (fr:2335). Perciò Huygens decide di assumere corpi perfettamente duri e di collocarli in uno spazio libero da ostacoli: “nos perfectam singemus corporum duritiem ijsque in spatijs librata sumemus quibus neque impediatur eorum motus a circumfusis corporibus neque adjuvetur” – (fr:2336) [noi immagineremo una durezza perfetta dei corpi e li considereremo sospesi in spazi dove il loro moto non sia né ostacolato né favorito dai corpi circostanti].

Il manoscritto si chiude con una fugace ma rivelatrice riduzione all’assurdo per il teorema del moto uniformemente accelerato: un corpo che parte da fermo percorre lo stesso spazio che percorrerebbe con moto uniforme a velocità pari alla metà di quella finale (fr:2352‑2361). La nota editoriale (fr:2362‑2365) collega questo frammento al Teorema I, Proposizione I della Giornata terza dei Discorsi di Galileo, osservando che Huygens mira a una dimostrazione più rigorosa di quella galileiana.

Storicamente, queste pagine del 1654 documentano il crogiolo in cui si forgia il trattato De Motu. Vi si trovano già, con mirabile chiarezza, il principio di relatività del moto, la regola dello scambio delle velocità per gli urti elastici, il rifiuto del moto assoluto, la critica a Cartesio e il dialogo con Galileo. L’errore messo in luce dagli editori – una velocità della nave calcolata in modo troppo semplice – è la spia di un percorso tortuoso, in cui la geometria delle figure poteva trarre in inganno anche uno scienziato del calibro di Huygens, e mostra come la versione definitiva delle leggi dell’urto sia nata da un lavoro di correzione e affinamento continuo.

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9 La velocità relativa e gli urti elastici nel manoscritto “Percussione” di Huygens

Huygens definisce operativamente la velocità relativa e dimostra i primi teoremi sugli urti tra corpi uguali, fondando la cinematica relativa e la dinamica delle collisioni.

Il testo proviene dal Tomo XVI delle Oeuvres complètes di Christiaan Huygens, nella sezione intitolata Percussion, e riporta un estratto della Nona Parte del manoscritto, databile L’argomento è interamente dedicato a stabilire, su basi geometriche e cinematiche, le leggi che governano il moto reciproco dei corpi e il loro comportamento nell’urto perfettamente elastico.

In apertura viene introdotto il concetto fondamentale di velocità relativa tra due corpi A e B che si muovono sulla stessa retta. Servendosi delle linee AE e BH come rappresentazione grafica delle rispettive velocità, Huygens afferma:

“Percussion spatio ex utrisque AE et BH composito manifestum lineam utrique simul AE et BH aequalem mensuram esse celeritatis qua corpora A B mutuo respectu feruntur, cum nimirum AE linea celeritatem denotat corporis A et BH corporis B.” – (fr:2519) [Nell’ambito della percussione, dallo spazio composto da entrambe AE e BH è manifesto che la linea uguale a entrambe AE e BH prese insieme è la misura della velocità con cui i corpi A e B si muovono l’uno rispetto all’altro, quando cioè la linea AE denota la velocità del corpo A e BH quella del corpo B.]

Se invece i corpi si muovono nella stessa direzione, la velocità relativa è data dalla differenza delle due velocità assolute, poiché la distanza varia proprio di quella quantità. Il principio viene così espresso:

“Evidens est hanc eandem differentiam mensuram esse velocitatis qua corpora mutuo respectu moventur, cum AE et BH mensuram referunt velocitatum in corporibus A et B. Corporis cujusvis velocitas, alterius corporis respectu quod in eadem recta movetur aestimetur secundum augmentum vel diminutionem ejus quae inter utrumque est distantiae.” – (fr:2522) [È evidente che questa stessa differenza è la misura della velocità con cui i corpi si muovono l’uno rispetto all’altro, quando AE e BH rappresentano la misura delle velocità dei corpi A e B. La velocità di un qualsiasi corpo, rispetto a un altro che si muove sulla stessa retta, si stima secondo l’aumento o la diminuzione della distanza che intercorre tra i due.]

Da ciò deriva un criterio di equiparazione: si attribuisce uguale velocità relativa a tutti i corpi che, in tempi eguali, si allontanano o si avvicinano di spazi eguali:

“Atque adeo aeque velociter aliorum respectu moveri dicantur quae eodem vel aequali tempore pari quoque spatio ab alijs recedant vel accedant.” – (fr:2526) [E così si dice che si muovono con uguale velocità rispetto ad altri quei corpi che nello stesso tempo, o in tempo uguale, si allontanano o si avvicinano agli altri di uno spazio uguale.]

Grazie a queste definizioni il manoscritto può analizzare i quattro casi possibili di moto rettilineo uniforme per due corpi A e B, illustrati nella Fig. 11 (parti 1, 2, 3, 4): moti in direzioni opposte accedendo o recedendo, oppure moti nello stesso verso con il corpo che precede più lento o più veloce del successivo. In ciascun caso la distanza tra i corpi varia, in intervalli di tempo uguali, di quantità costanti – somma o differenza delle velocità – cosicché il moto reciproco risulta uniforme. Il testo lo enuncia in forma di teorema:

“Sicorporaduoineademrectainaequaliceleritateferantur, dummodoutrumquemotuaequabili, etiamalterumalterius respectuaequabilimotuprocedet.” – (fr:2532) [Se due corpi sulla stessa retta sono portati con velocità disuguale, purché entrambi con moto uniforme, anche l’uno rispetto all’altro procederà con moto uniforme.]

Si giunge quindi ai teoremi sulla percussione. Il Teorema 1 (Fig. 13 e 14) considera l’urto tra un corpo in movimento e un corpo uguale in quiete. L’enunciato è netto:

“Quiescenti corpori A occurrat aequale corpus B, dico post occursum quiescere hoc debere, celeritatemque qua advenerat omnem transferre in corpus A.” – (fr:2551) [Se un corpo B, uguale, incontra un corpo A in quiete, dico che dopo l’urto questo deve fermarsi, e tutta la velocità con cui era giunto trasferirsi nel corpo A.]

La dimostrazione impiega in modo ingegnoso un osservatore solidale con una nave che si muove a velocità dimezzata (Fig. 14). Rispetto a tale osservatore i due corpi si avvicinano e, dopo l’urto, si allontanano con eguale velocità; riportando il risultato all’osservatore fisso sulla riva, si ottiene che il corpo B si arresta e il corpo A ne acquisisce l’intera velocità. Huygens stesso avverte di voler esporre il ragionamento con maggiore evidenza:

“idcirco paulo manifestius ob oculos ponenda videtur demonstratio primi hujus theor.” – (fr:2569) [perciò sembra che la dimostrazione di questo primo teorema debba essere posta davanti agli occhi con un po’ più di chiarezza].

Il Teorema 2 (Fig. 15 e 16) estende il risultato a due corpi di massa uguale ma velocità differenti, sia che provengano da direzioni contrarie, sia che viaggino nella stessa direzione (con il corpo più lento davanti a quello più veloce). In entrambi i casi si verifica lo scambio delle velocità:

“Sicorporaduoaequaliainaequaliceleritatemoveanturet velàcontrarijspartibusvenientiaintersecollidantur, v e l ineandempartemtendenteutroquetardiùspraecedensà subsequentepropellatur;permutatainvicemceleritateexinde ferentur.” – (fr:2581) [Se due corpi uguali si muovono con velocità diversa, e o venendo da parti contrarie si urtano tra loro, o tendendo entrambi nella stessa parte il precedente più lento è spinto dal successivo; dopo si muoveranno con le velocità scambiate tra loro.]

Anche qui interviene un osservatore fittizio in moto con velocità opportuna, il quale riduce il problema al caso di velocità relative uguali in avvicinamento e, per la simmetria dell’urto elastico, in allontanamento. La costruzione geometrica con i punti H, G, K, L, M e le distanze uguali permette di concludere che, rispetto al suolo, il corpo B percorrerà una linea CE pari alla velocità iniziale di A, mentre A percorre CD pari alla velocità iniziale di B.

I passaggi qui raccolti, che le note a margine mettono in esplicita relazione con le Proposizioni I e II e con l’Hypothesis II del trattato De Motu, costituiscono una testimonianza di come Huygens, già attorno al 1654, avesse chiarito il principio di relatività del moto e le fondamentali leggi dello scambio di velocità negli urti tra corpi uguali, anticipando con rigore geometrico i successivi sviluppi della meccanica classica.

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10 Il principio di relatività negli urti: la “Dixième Partie” di Huygens

Dai manoscritti di Christiaan Huygens, una dimostrazione generale sull’urto tra corpi diseguali con un corpo in quiete, fondata sulla rappresentazione geometrica delle velocità e sull’impiego di un osservatore in moto.

Il testo appartiene al sedicesimo tomo delle Oeuvres complètes di Christiaan Huygens e raccoglie una serie di proposizioni manoscritte dedicate alla percossa dei corpi, concepite come “Decima Parte” di un più ampio lavoro. L’autore mira a stabilire una regola generale: quando un corpo maggiore ne urta uno minore in quiete, i due corpi si separano con la stessa velocità relativa che avevano prima dell’urto e, in particolare, il corpo maggiore conserva la medesima celerità che possedeva inizialmente.

Il metodo adottato è di natura geometrico‑cinematica. Le velocità vengono misurate attraverso gli spazi percorsi in tempi uguali con moto uniforme, secondo un principio dichiarato sin dall’inizio: “Ideo velocitatum rationem ratione spatiorum metiemur quae ijsdem vel aequalibus temporibus percursa sunt.” – (fr:2621) [Perciò misureremo il rapporto delle velocità mediante il rapporto degli spazi percorsi in tempi uguali o eguali.]. Così, quando si dice che il corpo A si muove con celerità AC e il corpo B con celerità BC, si intende che in uno stesso intervallo di tempo A ha percorso lo spazio AC e B lo spazio BC, e le celerità stanno tra loro come le linee AC e BC. L’ordine con cui si nominano gli estremi delle linee indica inoltre la direzione del moto: “Veluti cum corpus A dicetur moveri celeritate AC id significabit certo temporis intervallo pervenisse aequabili motu ab A ad C, non à C ad A.” – (fr:2627) [Per esempio, quando si dirà che il corpo A si muove con celerità AC, ciò significherà che in un determinato intervallo di tempo è giunto con moto uniforme da A a C, e non da C ad A.].

La proposizione fondamentale (caso generale per un corpo in quiete) è enunciata in questi termini: “Si majus corpus minori quiescenti allidatur eadem celeritate à se invicem corpora discedunt, qua movebatur majus” – (fr:2628) [Se un corpo maggiore urta uno minore in quiete, i corpi si allontanano l’uno dall’altro con la stessa celerità con cui si muoveva il maggiore.]. La dimostrazione si articola considerando tre possibili comportamenti del corpo maggiore A dopo l’urto: che prosegua nella stessa direzione, che retroceda, o che si arresti del tutto. Huygens annota che l’ultimo caso (che il maggiore prosegua) è quello che si verifica sempre, ma per il momento intende provare l’enunciato qualunque delle tre ipotesi si scelga.

Il ragionamento introduce un osservatore fittizio che si muove con celerità HK, scelta in modo tale che, rispetto a questo spettatore, il corpo A abbia la stessa celerità prima e dopo l’urto. Il punto cruciale è che, per l’ipotesi V del trattato De Motu (richiamata nelle note editoriali), rispetto a un tale osservatore anche il corpo B deve conservare interamente la propria celerità. Poiché inizialmente B è in quiete rispetto al suolo, rispetto allo spettatore che si muove con celerità HK il corpo B possiede proprio quella celerità. Dopo l’urto, B non può conservare la medesima celerità nella stessa direzione, altrimenti sarebbe rimasto sempre in quiete (il che è impossibile perché A lo ha spinto); perciò B inverte il moto rispetto allo spettatore: “Ergo in contrariam. quum igitur primo tempore appropinquarit ad spectatorem celeritate HK, sequenti tempore pari celeritate ab ipso recedere necesse est.” – (fr:2659‑2660) [Dunque in direzione contraria. Poiché dunque nel primo tempo si era avvicinato allo spettatore con celerità HK, nel tempo successivo è necessario che si allontani da lui con pari celerità.]. Tradotto in termini di distanze assolute, ciò conduce esattamente alla conclusione voluta: la distanza CD tra i due corpi dopo l’urto è sempre uguale allo spazio AB percorso dal corpo A prima dell’urto. La dimostrazione, con le opportune modifiche, è applicata sia al caso in cui A prosegue, sia a quello in cui retrocede (con celerità BC minore di AB), sia al caso limite in cui A si arresta dopo l’urto, e in quest’ultimo il corpo B deve percorrere uno spazio BD esattamente uguale ad AB.

Il testo contiene anche elementi significativi per la storia del pensiero scientifico. Le note editoriali in francese chiariscono che questa “Dixième Partie” costituisce una raccolta di considerazioni preliminari che Huygens, in un dato momento, intendeva anteporre ai teoremi sulla percossa dei corpi: “Ce qui suit encore dans cette Neuvième Partie constitue évidemment des considérations préalables dont Huygens, à une époque donnée, a voulu faire précéder ses Théorèmes sur la percussion des corps.” – (fr:2615). Viene inoltre segnalata una frase tra parentesi, poi cancellata, che aiuta a comprendere il senso dell’argomentazione: Huygens si limita a sfere i cui centri si muovono sulla stessa retta, perché sarebbe assurdo supporre che l’urto faccia deviare più da una parte che dall’altra, e aggiunge che per gli altri corpi lo stesso accade quando il punto di contatto cade sulla retta che unisce i centri di gravità. La nota (fr:2616) osserva che questa frase, sebbene cancellata, è utile per spiegare ciò che segue, mentre una precisazione successiva (fr:2617) rileva un’omissione: Huygens dimentica di richiedere che nel punto di contatto il piano tangente comune sia perpendicolare alla retta dei centri.

Il valore storico di queste pagine risiede nel modo in cui Huygens costruisce una prova che anticipa e semplifica i teoremi del De Motu. La nota (fr:2638‑2640) sottolinea che la proposizione presente è meno generale di quella che diventerà la Prop. IV del trattato, ma proprio grazie al principio di relatività – la possibilità di trasferire il moto a un osservatore – da essa si può dedurre facilmente il caso più generale. È quanto Huygens realizza subito dopo, come indicato dal rimando alla pagina

Dopo aver trattato l’urto con un corpo in quiete, Huygens estende il principio di conservazione della celerità mutua a tutti gli altri casi: “Quoties duo corpora inter se colliduntur, eadem est, mutuo respectu, discedentibus celeritas, quae fuit appropinquantibus.” – (fr:2682) [Ogni volta che due corpi si urtano tra loro, la celerità con cui si allontanano, l’uno rispetto all’altro, è la stessa che avevano nell’avvicinarsi.]. Poiché il caso di corpi uguali era già stato dimostrato e qui lo si è provato per diseguali con il minore in quiete, restano da indagare quattro casi: il maggiore in quiete, i due corpi che si muovono l’uno contro l’altro, il minore che insegue il maggiore con maggiore velocità, e il caso inverso. A questi quattro casi, annunciati con le figure, Huygens dedicherà la prosecuzione del manoscritto, con l’intento di offrirne una dimostrazione simultanea e generale.

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11 Dalla confutazione di Cartesio alla conservazione della quantità di moto direzionale

Huygens sviluppa un’analisi rigorosa della percussione tra corpi, confutando sistematicamente le regole di Cartesio e gettando le basi per un principio di conservazione più raffinato. Il ragionamento muove da un teorema sulla velocità relativa post-urto: se due corpi A e B si avvicinano con una certa velocità relativa AB, dopo l’impatto si separeranno con la medesima velocità relativa. Ciò è dimostrato adottando il punto di vista di un osservatore in movimento, per il quale il corpo A è in quiete e solo B si muove con velocità BA; “Est autem A minus quam B. Ergo per antecedens […] ejusdem praetervecti respectu etiam eadem celeritate AB corpora post occursum a se invicem recedent” - (fr:2706-2707) [A è minore di B. Dunque, per quanto precede, rispetto allo stesso osservatore in movimento i corpi dopo l’urto si allontaneranno l’uno dall’altro con la stessa velocità AB].

Il nucleo centrale dell’estratto è la confutazione di un assunto cartesiano. Cartesio sosteneva che “corpus scilicet majus quiescens nullo ictu vel tantillo minoris moveri posse” - (fr:2731) [un corpo maggiore in quiete non può essere mosso da alcun urto, per quanto piccolo, di un corpo minore]. Huygens dimostra il contrario con un teorema: “Corpus omne quiescens à quamlibet exiguo corpore et celeritate qualibet impactu movetur” - (fr:2711) [Ogni corpo in quiete è mosso dall’urto di un corpo, per quanto piccolo e con qualsiasi velocità]. La prova è costruita immaginando nuovamente uno spettatore in movimento con la stessa velocità del corpo urtante: per questo spettatore, il corpo urtante è fermo e tutta la velocità è attribuita al corpo inizialmente in quiete. Dopo l’urto, “debet […] moveri corpus B, A vero remisisse aliquid de sua celeritate aut omnem amisisse” - (fr:2725) [il corpo B deve muoversi, mentre A ha ceduto parte della sua velocità o l’ha persa tutta]. Se il corpo maggiore fosse rimasto immobile, non avrebbe sottratto alcuna velocità all’altro, il che è impossibile. Ne consegue che “motum accepit corpus A occursu corporis minoris B” - (fr:2729) [il corpo A ha ricevuto moto dall’urto del corpo minore B], e lo spazio percorso da A sarà minore di quello che il corpo urtante avrebbe percorso nello stesso tempo, perché la velocità acquisita è inferiore.

Stabilita la falsità della regola cartesiana, Huygens esamina il principio di conservazione della quantità di moto, che pure Cartesio per primo aveva considerato. Inizialmente lo stesso Huygens lo riteneva “unicum hic videri minimeque dubium” - (fr:2758) [l’unico principio qui evidente e per nulla dubbio], ovvero che “Eandem scilicet motus quantitatem in corporibus simul sumptis post impulsum conservari quae prius inerat” - (fr:2758) [si conserva dopo l’impulso la stessa quantità di moto che era prima nei corpi presi insieme]. Tuttavia, un controesempio numerico mostra l’insostenibilità di questo assioma. Se un corpo B con 10 parti di velocità ne imprime 1 a un corpo A di massa doppia, per mantenere la stessa velocità di separazione B deve rimbalzare con 9 parti di velocità. Ma “pars autem celeritatis una in corpore duplo A tantam motus quantitatem constituit quantam duae partes in corpore B. Ergo post impulsum ea jam motus quantitas existit quantam constituunt partes undecim celeritatis in corpore B, cum prius decem tantummodo fuerint” - (fr:2783) [una parte di velocità nel corpo doppio A costituisce tanta quantità di moto quante due parti nel corpo B. Dunque dopo l’impulso esiste ormai una quantità di moto pari a quella costituita da undici parti di velocità nel corpo B, mentre prima ce n’erano solo dieci]. La quantità di moto totale aumenta quando un corpo maggiore in quiete è urtato da uno minore; in altri casi, essa diminuirebbe.

La soluzione di Huygens non è l’abbandono del principio, ma la sua riformulazione mediante un’interpretazione più corretta: “Eandem nimirum motus quantitatem servari vult natura, sed in eandem quoque partem” - (fr:2789) [la natura vuole che si conservi la stessa quantità di moto, ma anche nella stessa direzione]. Questa precisazione è cruciale: non la quantità di moto scalare, bensì la somma vettoriale che include la direzione del movimento. Come argomenta Huygens, una simile legge “fieri naturae consentaneum” - (fr:2791) [è conforme a natura], poiché la determinazione (la direzione) del moto dei singoli corpi può variare affinché il tutto non perisca, ma la quantità di moto complessiva del sistema in una data direzione rimane inalterata.

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12 La genesi della teoria dell’urto di Huygens: critica a Descartes e nuove ipotesi

Il manoscritto preparatorio rivela il percorso intellettuale che condusse Huygens a confutare le regole cartesiane sull’urto dei corpi, ritenendole in disaccordo sia con l’esperienza sia con la coerenza interna, e a fondare la propria teoria su principi più solidi, tra cui spicca un’originale formulazione del principio di relatività galileiana.

Il testo, tratto da una fase redazionale preparatoria di Christiaan Huygens, documenta il suo confronto critico con le leggi sull’urto dei corpi formulate da Cartesio e il processo di elaborazione delle proprie ipotesi. L’autore esprime fin dall’inizio la convinzione che la ricerca di una conoscenza più certa in questo campo non sia vana, poiché si tratta di una scienza utile alla vita umana e alla contemplazione della natura: “Nam et usibus humanis utilem scientiam et ad naturae contemplationem plurimum conducere posse visum est.” - (fr:2951) [Infatti è sembrato che una tale scienza sia utile agli usi umani e possa condurre grandemente alla contemplazione della natura.]

Huygens riconosce un debito intellettuale verso Galileo, il cui contributo viene menzionato nonostante il presunto scetticismo dello scienziato italiano sulla possibilità di comprendere appieno la materia. Nel testo si legge infatti: “cumque tandem reperissem licet certissimum ejusmodi tamen fuit ut verissima agnoscerem quae circa materiam hanc à subtilissimo Galileo olim praedicta fuere, in Dialogis de Motu quos Italico sermone conscripsit.” - (fr:2952) [e quando infine ebbi trovato un principio, sebbene certissimo, fu tuttavia tale che riconobbi come verissime le cose che riguardo a questa materia furono un tempo predette dal sottilissimo Galileo nei Dialoghi sul Moto che scrisse in lingua italiana.]

La critica alle regole cartesiane si articola in due momenti distinti. Il primo è di natura sperimentale: Huygens osserva una palese discrepanza tra quanto prescritto da Cartesio e i fenomeni realmente osservati. L’esperienza cruciale riguarda l’urto di due sfere uguali, dove si nota che quella urtata, da ferma, si muove mentre l’altra si arresta, in contraddizione con la sesta regola cartesiana. Egli afferma: “nam quiescente sphaera ab aequali pulsam hanc ab ictu quiescere motumque omnem in illam transferri saepissimè observaveram” - (fr:2977) [infatti, stando ferma una sfera e venendo urtata da una uguale, avevo osservato spessissimo che questa dopo l’urto si ferma e tutto il moto si trasferisce in quella]. Una nota al testo precisa ulteriormente il contrasto con la regola cartesiana, che prevedeva un comportamento differente.

Il secondo momento della critica è di natura logica e smaschera una contraddizione interna alle stesse leggi di Cartesio. Huygens rileva un’incoerenza tra la seconda e la quinta regola. La quinta, spiega, afferma che un corpo maggiore che ne urti uno minore in quiete perde parte della sua velocità: “Quinta nimirum docet quod si corpus majus B occurrat minori C quiescenti, aliquid de celeritate sua amittet.” - (fr:2980) [La quinta infatti insegna che se il corpo maggiore B urta il minore C in quiete, perderà qualcosa della sua velocità.] Tuttavia, la seconda regola sostiene che se lo stesso corpo B urta C che gli viene incontro con uguale velocità, B non perde nulla della propria velocità. Questa discordanza è per Huygens inaccettabile, a meno di non ammettere l’assurdo che un corpo in quiete offra maggiore resistenza di uno in moto contrario: “quod profecto absonum est” - (fr:2982) [il che è certamente assurdo]. L’insoddisfazione per le regole di Descartes, a cui molti aderivano più per autorità che per verosimiglianza (“haud scio verisimilitudine magis an autoritate subtilissimi Viri Philosophi permoti” - fr:2976), lo spinge a cercare principi alternativi.

Dopo aver scartato le regole altrui, Huygens enuncia i fondamenti della propria teoria. Un aspetto centrale è l’ipotesi sulla conservazione del moto e il principio di inerzia, qui formulato come tendenza di ogni corpo, non considerata la gravità, a perseverare nel moto rettilineo uniforme: “corpus unumquodque, non considerata gravitatis proprietate, tendere ut moveatur secundum lineam rectam, quaque celeritate semel motum est, eâ pergere moveri nisi ab alio impediatur” - (fr:3004). Per l’urto tra corpi duri, stabilisce che il moto totale di entrambi non viene annientato, ma si conserva in quantità da definire.

L’elemento di maggiore rilevanza concettuale è l’introduzione del principio di relatività del moto. Huygens postula che l’urto tra due corpi che condividono un moto comune si svolge, per un osservatore solidale con quel moto, esattamente come se tale moto comune non esistesse: “concedi petimus, ut corporibus duobus mutuo sibi occurrentibus etiamsi alteri adhuc motui utrumque simul obnoxium fuerit haud aliter illa se mutuo repellant respectu ejus qui eodem quoque motu defertur, quam si omnibus adventitius iste motus abesset” - (fr:3035). A sostegno di questa affermazione, ormai suffragata — come egli ricorda — dalla ragione e da una “molteplice esperienza”, porta il celebre esempio della nave che si muove di moto uniforme. L’osservatore al suo interno, facendo scontrare due sfere, le vedrà rimbalzare con la stessa velocità relativa che avrebbero se l’esperimento fosse condotto a terra: “dicimus aequali quoque celeritate utramque resilire oportere, neque id quisquam negabit qui sciat in navi quae aequabili cursu provehatur caetera quae ad motum spectant omnia eodem plane modo evenire, atque in navi quiescente aut in terra constitutis” - (fr:3037). Il richiamo esplicito a Galileo, di cui si cita l’esempio della goccia che cade e del lancio di un oggetto da poppa a prua, ancora questo principio alla tradizione galileiana di confutazione degli argomenti contro il moto della Terra.

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13 Huygens e la teoria dell’urto: dalla corrispondenza privata alla Royal Society

Il passo ripercorre il travagliato percorso di Christiaan Huygens verso la comunicazione delle sue leggi sull’urto dei corpi, intrecciando metodo, controversie cartesiane, dimostrazioni sperimentali e il confronto con la Royal Society.

Fin dalle prime discussioni con gli ambienti cartesiani, Huygens tiene a separare il proprio approccio dalla pura verifica empirica: «Ne pensez pas que je m’appuie uniquement sur des expériences, car je sais qu’elles sont trompeuses» – (fr:3692) [Non pensate che mi appoggi unicamente sulle esperienze, perché so che sono ingannevoli]. Subito dopo, egli enuncia le due ipotesi principali, corrispondenti alle Hypothèses IV e V del Trattato, tra le quali è da annoverare un impiego del principio di relatività che lo stesso Huygens definì come «une facon de demonstrer fort estrange mais qui pourtant est evidente» (cfr. fr:3710). La rottura con l’ortodossia cartesiana è dichiarata senza mezzi termini: «Mais ce que j’apporte, ils l’ignorent entièrement, sachant seulement que je leur ai dit que c’est contraire aux conceptions de celui-ci» – (fr:3691) [Ma ciò che porto, essi lo ignorano del tutto, sapendo solo che ho detto loro che è contrario alle concezioni di costui]. Persino van Schooten e altri «più adonnés que de juste à Descartes» lo sconsigliavano dal pubblicare (fr:3690). Tuttavia, verso interlocutori come de Sluse, Huygens confida che se costui accetta i postulati proposti, «il admettra sans doute les autres postulats qui sont encore plus évidents» – (fr:3693) [ammetterà senza dubbio gli altri postulati che sono ancora più evidenti]; e de Sluse, nella replica, non insiste più sulla propria teoria ma lo esorta a pubblicare presto la sua (fr:3694).

Nell’ottobre 1660 Huygens si reca a Parigi e poi a Londra. A Parigi, il 16 dicembre, si intrattiene con Auzout «des reigles du mouvement des corps qui se rencontrent, dont il en auoit des fausses» – (fr:3696) [delle regole del moto dei corpi che si incontrano, delle quali ne aveva di false]. Il 22 gennaio 1661, nel salotto di Madame de Bonneveau, dove si tenevano conferenze scientifiche e letterarie, «on le pria fort […] qu’il expliquât ses principes concernant la rencontre des corps» – (fr:3697) [lo pregarono insistentemente di spiegare i suoi princìpi circa l’incontro dei corpi]; in quello stesso salotto si sarebbero poi letti i vortici di Descartes e confutata la dottrina cartesiana della luce (fr:3713).

La tappa londinese segna il momento più denso di verifiche pubbliche. Il 23 aprile 1661 (V. St.) si riunirono nel dopopranzo nella camera di Huygens «M. Morre [Moray], mil. Brouncker, S.r P. Neal [Neile], D.r Wallis. M. Roock [Rooke], M. Wren. de Godart [Goddard]. parlames de la maniere de former les verres, et je leur dis ma methode. Resolus les cas qu’ils me proposerent touchant les rencontres de deux spheres» – (fr:3698‑3706) [si riunirono … parlammo del modo di formare le lenti e dissi loro il mio metodo; risolsi i casi che mi proposero riguardo all’incontro di due sfere]. Della medesima conferenza dà notizia una lettera di Oldenburg a Spinoza: «un poids d’un livre fut suspendu à la manière d’un pendule simple; ce poids élevé à un angle de 48° et lâché, en frappa un autre d’un demi-livre» – (fr:3718) [un peso di una libbra fu sospeso a mo’ di pendolo semplice; questo peso elevato a un angolo di 48° e lasciato andare, ne colpì un altro di mezza libbra]. Huygens, «après un petit calcul algébrique, prédit l’effet du choc, qui répondit exactement à cette prédiction» – (fr:3719) [dopo un piccolo calcolo algebrico, predisse l’effetto dell’urto, che rispose esattamente a questa predizione]. I valori teorici registrati sono 65°40′ per l’angolo massimo raggiunto dal pendolo più leggero e 15°35′ per quello più pesante, supponendo pendoli di uguale lunghezza (fr:3727). Ulteriori esperienze proposte da Brouncker furono calcolate con successo da Huygens; egli stesso ricordò in seguito a Oldenburg: «je me souviens que Messieurs Wren et Rooke me firent veoir leur experiences quand j’estois en Angleterre, et qu’elles s’accordoient tres bien avec ce que j’en avois determinè sur le champ suivant mes hypotheses» – (fr:3728) [mi ricordo che i signori Wren e Rooke mi fecero vedere le loro esperienze … e che si accordavano benissimo con ciò che ne avevo determinato sul momento secondo le mie ipotesi].

L’interesse inglese per il problema dell’urto si riaccese nell’ottobre 1666 e approdò ufficialmente alla Royal Society. Il 22 ottobre 1668 il presidente Brouncker osservò che forse non era necessario ripetere le esperienze, poiché Huygens e Wren avevano già lavorato a fondo sulla materia e si credeva avessero trovato una teoria che spiegava tutti i fenomeni del moto (fr:3743‑3744). Si decise pertanto di chiedere a entrambi, e successivamente anche a Wallis, la comunicazione dei loro risultati. La lettera a Huygens fu spedita il 26 ottobre 1668; nella risposta del 13 novembre egli chiese «des éclaircissements pour savoir “de quelle partie du mouvement” ils voulaient qu’il traiterait en premier lieu» – (fr:3747) [chiarimenti per sapere “di quale parte del movimento” volevano che trattasse in primo luogo], dichiarandosi pronto a inviare regole e teoremi e aggiungendo che sarebbe stato ben lieto di vedere cosa avessero trovato loro e se si fossero incontrati sul medesimo cammino. Nella seduta del 12 novembre 1668 (V. St.) si intanto esperì la prova delle tre sfere, già menzionata in sedute precedenti, e si discusse il perché la sfera intermedia restasse pressoché in quiete (fr:3751‑3762).

Dei tre dotti invitati, Wallis fu il più sollecito: il suo manoscritto, datato 15 novembre 1668 (V. St.), fu ricevuto il 26 novembre; quello di Wren fu letto il 17 dicembre; quello di Huygens il 7 gennaio Il testo di Huygens «est beaucoup plus complet que les autres. Il ne donne pas seulement la solution du cas le plus général du choc central, […] mais de plus les hypothèses et les démonstrations qui y appartiennent» – (fr:3770‑3771) [è molto più completo degli altri. Non dà soltanto la soluzione del caso più generale dell’urto centrale, ma inoltre le ipotesi e le dimostrazioni relative], e su di esse egli desiderava conoscere il parere della Royal Society. L’invio di Wallis, invece, «contient la théorie moderne du choc des corps mous» – (fr:3772) [contiene la teoria moderna dell’urto dei corpi molli], con risultati assai diversi da quelli di Huygens. Della piena rilevanza del lavoro di Huygens è testimonianza il fatto che, dopo la lettura, si ordinò di trarne copie da distribuire ai membri che si erano occupati della materia.

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14 Priorità e controversie sulla teoria dell’urto: Huygens, Wren e la Royal Society

Il carteggio e gli atti del 1668-1669 mettono in luce la complessa vicenda editoriale e la disputa di priorità sulle regole della percussione.

L’invio del manoscritto di Christiaan Huygens alla Royal Society nel 1669 si inserisce in una fitta trama di scambi scientifici. Huygens, dopo aver trattato l’urto di corpi uguali con due proposizioni, cercò di giungere rapidamente alla regola generale, ma non vi riuscì completamente: “Après avoir donné les deux propositions sur le choc des corps égaux et leurs démonstrations […] Huygens s’efforce d’arriver aussi vite que possible à la démonstration de la règle générale, ce qui ne lui réussit pas entièrement puisqu’il devait laisser une lacune dans cette démonstration” – (fr:3785) [Dopo aver fornito le due proposizioni sull’urto dei corpi uguali e le loro dimostrazioni, Huygens si sforza di arrivare il più velocemente possibile alla dimostrazione della regola generale, cosa che non gli riesce del tutto poiché dovette lasciare una lacuna in questa dimostrazione]. Per questo motivo, “Il laisse donc de côté tous les autres théorèmes élégants qui se trouvent dans le Traité” – (fr:3786) [Lascia quindi da parte tutti gli altri eleganti teoremi che si trovano nel Trattato]; tuttavia, “il composa des anagrammes qui les contiennent et qui étaient déstinées évidemment à être envoyées à la ‘Royal Society’; ce qui ne paraît pas avoir eu lieu” – (fr:3787) [compose degli anagrammi che li contengono e che erano evidentemente destinati a essere inviati alla Royal Society; cosa che non sembra aver avuto luogo]. Di questi anagrammi viene conservato solo il primo, che non trova un corrispondente nel Trattato: “Centrum gravitatis ante et post occursum | duorum corporum aequabili motu | pergit in eandem semper partem” – (fr:3789) [Il centro di gravità prima e dopo l’urto di due corpi con moto uniforme procede sempre nella stessa direzione]; gli altri corrispondono alle Proposizioni IV, VII, VI, VIII, XI, XII-XIII e V.

Dal punto di vista terminologico e concettuale è rilevante la scelta di Huygens di chiamare i corpi “absolute dura” ma assegnando loro le proprietà di corpi assolutamente molli: “Il est vrai qu’il nomme les corps considérés par lui ‘absolute dura’, mais il leur donne les propriétés des corps absolument mous en ce sens qu’étant indésormables ils sont dépourvus de toute elasticité” – (fr:3803) [È vero che chiama i corpi da lui considerati ‘absolute dura’, ma attribuisce loro le proprietà dei corpi assolutamente molli nel senso che, essendo indeformabili, sono privi di ogni elasticità]. Accenna appena al caso in cui, non essendo tali, i corpi possano respingersi dopo l’urto grazie a una forza elastica. In una fase successiva, però, Huygens chiarirà che l’assoluta indeformabilità non implica necessariamente l’assenza di elasticità, in opposizione a Wallis: “d’après Huygens (contrairement à l’opinion de Wallis) les corps absolument durs, c. à. d. absolument indéformables, ne seraient pas nécessairement dépourvus d’élasticité” – (fr:3828-3829) [secondo Huygens, contrariamente all’opinione di Wallis, i corpi assolutamente duri, cioè assolutamente indeformabili, non sarebbero necessariamente privi di elasticità]. Quanto a Wallis, nella sua Mechanica sive de Motu (1671), egli ripresenta per i corpi “perfecte dura” le stesse regole inviate alla Royal Society, mentre nel Cap. XIII. De Elatere, & Resilitione deduce per i corpi elastici le regole di Huygens.

Sul versante della Royal Society, l’invio di Christopher Wren conteneva regole identiche, ma prive di dimostrazioni: “ses règles pour le choc sont identiques à celles de Huygens. Aucune démonstration ne les accompagne” – (fr:3814-3815) [le sue regole per l’urto sono identiche a quelle di Huygens. Nessuna dimostrazione le accompagna]. Wren sostenne di possederle già all’epoca della fondazione della Society (1660 ca.), e Neile, Ball e Hill confermarono. Il 7 gennaio 1669 (V. St.), lo stesso giorno in cui fu letto il plico di Huygens, si decise di pubblicare il manoscritto di Wren nelle Philosophical Transactions. Pochi giorni prima, tuttavia, Oldenburg aveva già inviato a Huygens una copia di quel manoscritto, e Huygens lo ringraziò il 6 febbraio riconoscendo che le regole di Wren erano “tout à fait conformes aux siennes et ‘assurement les veritables’” – (fr:3824) [del tutto conformi alle sue e ‘sicuramente le vere’]. Lo stupore di Huygens giunse quando ricevette le Transactions di gennaio, che contenevano i soli contributi di Wallis e Wren, senza alcuna menzione del suo. Oldenburg si giustificò dicendo che Huygens non aveva dato il permesso di stampa né un sommario; in tal caso, “en aurait ‘enrichi les mesmes Transactions de grand coeur’” – (fr:3826) [ne avrebbe arricchito le medesime Transactions di gran cuore]. Secondo i curatori, Oldenburg avrebbe potuto almeno segnalare che le regole comunicate da Huygens erano in sostanza le stesse di Wren.

Per rimediare al torto e prevenire l’impressione che la sua teoria fosse modellata su quella di Wren, Huygens scrisse un articolo per il Journal des Sçavans (18 marzo 1669). Quando seppe della pubblicazione, il 30 marzo indirizzò tre lettere: a Oldenburg con toni moderati, a Moray con maggiore vigore, a Duhamel perché gli facesse da patrono in Inghilterra. Oldenburg, ricevuto quell’articolo prima di sigillare la propria replica, vi notò omissioni e decise di colmarle nelle Transactions di aprile, che ospitarono la traduzione dell’articolo e un dettagliato resoconto della vicenda dal suo punto di vista.

La priorità effettiva di Huygens è acclarata: “Huygens savait résoudre déjà en 1652 tous les cas du choc central des corps durs et qu’il formula ses règles en 1656” – (fr:3837-3838) [Huygens sapeva già risolvere nel 1652 tutti i casi dell’urto centrale dei corpi duri e formulò le sue regole nel 1656], ben prima delle rivendicazioni di Wren. L’intera sequenza mostra le tensioni e i meccanismi di comunicazione scientifica del primo periodo della Royal Society.

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15 Materia sottile, teoria del choc e cosmologia negli ultimi manoscritti di Huygens

Dagli appunti sulla pressione della materia sottile alle riflessioni sul moto assoluto e sull’infinità dello spazio, i manoscritti del Tome XVI mostrano un Huygens ancora attivo nel chiarire i fondamenti della meccanica e nel confrontarsi con la tradizione cosmologica.

Il testo si apre con un interrogativo di meccanica dei fluidi legato all’ipotesi della materia sottile: “Percussion mouvement rapide de la matiere subtile, pourquoy estant pressee ne se reduit elle point à moindre espace, aussi bien que l’air” – (fr:4115) [Percussione: movimento rapido della materia sottile, perché quando è pressata non si riduce a uno spazio minore, come l’aria?]. La risposta avanzata chiama in causa due possibilità: o la pressione che possiamo esercitare è troppo debole per contrastare l’agitazione che la materia sottile imprime alle particelle d’acqua già disposte le une sulle altre (a differenza dell’aria dove le particelle “volteggiano”), oppure “la pression que nous sommes capables de faire n’est pas considerable aupres de celle que l’eau soustient desia non seulement du poids de l’air mais de cette autre matiere plus subtile dont on a connu la pression par mon experience du vuide” – (fr:4117) [la pressione che siamo in grado di esercitare non è considerevole rispetto a quella che l’acqua già sostiene non solo dal peso dell’aria ma da quell’altra materia più sottile di cui si è conosciuta la pressione attraverso la mia esperienza del vuoto]. L’esperienza del vuoto a cui si allude è documentata nell’Extrait d’une lettre de M. Hugens del Journal des Sçavans del 25 luglio 1672 e riprodotta alle pagine 201-206 del Tome VII (fr:4118).

La sezione successiva precisa lo stato di elaborazione del trattato sul choc. “Nous savons que même en 1692 Huygens n’avait pas encore abandonné l’intention de publier ses démonstrations des règles du choc, rédigées déjà en 1656” – (fr:4125) [Sappiamo che anche nel 1692 Huygens non aveva ancora abbandonato l’intenzione di pubblicare le sue dimostrazioni delle regole del choc, redatte già nel 1656]. I manoscritti mostrano che Huygens giudicava l’impianto del De Motu corporum ex percussione (pp. 31-91) ancora valido e superiore a quanto pubblicato senza dimostrazioni da alcuni contemporanei dopo la comparsa del suo articolo sul Journal des Sçavans dell’8 marzo 1669 (fr:4128). Il vero lavoro che intendeva compiere era la stesura di una prefazione comune al trattato sul choc e a quello sulla forza centrifuga (o piuttosto a un unico trattato sulla percussione e la forza centrifuga, come precisa la nota 6 a p. 202), “préface qui en premier lieu doit donner un aperçu de l’historique de la théorie du choc avant et après ses propres découvertes, et en second lieu quelques considérations théoriques sur le mouvement en général ou plutôt sur la nature, absolue ou relative, du mouvement rectiligne et du mouvement circulaire” – (fr:4138) [prefazione che in primo luogo deve dare un quadro storico della teoria del choc prima e dopo le sue proprie scoperte, e in secondo luogo alcune considerazioni teoriche sul movimento in generale o piuttosto sulla natura, assoluta o relativa, del moto rettilineo e del moto circolare]. È proprio la questione del movimento assoluto a richiedere, secondo il curatore, un approfondimento su come essa si presentasse a Huygens e ai suoi contemporanei.

A questo punto il testo si diffonde in un’ampia ricostruzione dossografica. Il punto di partenza è la dottrina aristotelico-tolemaica: “On sait que suivant la doctrine d’Aristote, et de Ptolémée, la terre se trouve dans un état de repos absolu au centre de la sphère des étoiles fixes en dehors de laquelle, d’après Aristote, rien n’existe, pas même l’espace” – (fr:4140) [Si sa che secondo la dottrina di Aristotele e di Tolomeo, la terra si trova in uno stato di quiete assoluta al centro della sfera delle stelle fisse al di fuori della quale, secondo Aristotele, nulla esiste, neppure lo spazio]. L’impossibilità di uno spazio infinito è citata direttamente dalla Fisica di Aristotele (fr:4143-4146). Copernico, come Aristarco, conserva la sfera delle stelle fisse ma colloca il sole immobile al centro; “Il ne se prononce pas sur la question de savoir si l’espace est infini” – (fr:4142) [Non si pronuncia sulla questione se lo spazio sia infinito], benché un’espressione del De revolutionibus I, VI, in cui la terra è detta stare rispetto al cielo come un punto a un corpo, vada intesa solo come enfasi sull’immensità della sfera stellare (fr:4162-4163). Quanto ad Aristarco, le testimonianze di Archimede e di Plutarco (o Pseudo-Plutarco) divergono: per Archimede la circonferenza descritta dalla terra sta al raggio della sfera fissa come il centro alla superficie – proporzione che Archimede stesso giudica impossibile –; per lo Pseudo-Plutarco, invece, Aristarco annovera il sole tra le stelle fisse (fr:4147-4154). La filosofia antica distingueva peraltro tra mondo (finito, terminato dalla sfera stellare) e universo (potenzialmente infinito e contenente più mondi), come attestano Democrito, Epicuro, gli Stoici e Diogene (fr:4155-4159).

Per Huygens il quadro è più netto. “Huygens dès sa jeunesse admet l’infinité de l’espace, comme Descartes et bien d’autres l’avaient fait avant lui.” – (fr:4171) [Huygens fin dalla giovinezza ammette l’infinità dello spazio, come Descartes e molti altri avevano fatto prima di lui.] A sedici anni aveva letto i Principia cartesiani con entusiasmo, e sebbene più tardi ritornò su quella “préoccupation”, non mutò mai opinione sull’infinità spaziale (fr:4173-4174). Descartes, nei Principia II §21, afferma che il mondo o la materia estesa che compone l’universo non ha limiti (fr:4176-4178) e in III §13 e §23 nega che le stelle siano su una superficie sferica e ammette che il sole può essere annoverato tra le stelle fisse. Tra i sostenitori dell’infinità il testo ricorda anche Lucrèce (fr:4180-4181) e Giordano Bruno, il grande apostolo cinquecentesco dell’idea che le stelle fisse siano soli come il nostro e che lo spazio sia infinito (fr:4182-4187). Galileo, al pari di Bruno e Descartes, ritiene le stelle soli non collocati su una sfera, ma “n’ose pas affirmer l’infinité de l’espace” – (fr:4189) [non osa affermare l’infinità dello spazio]; nella lettera a Ingoli del 1624 confessa che la sua mente non sa concepire lo spazio né finito né infinito e si rimette alle scienze superiori (fr:4196). Huygens, da parte sua, non mostra mai di credere a una sfera stellifera o a un involucro del mondo alla maniera di Copernico, Keplero e Bacone (fr:4199). Ancora più significativo è che “Il ne dit nulle part qu’il attribue au soleil (ou aux étoiles fixes) l’immobilité par rapport à l’espace” – (fr:4200) [Non dice da nessuna parte di attribuire al sole (o alle stelle fisse) l’immobilità rispetto allo spazio]; già nel 1654 aveva scritto: “Motum quidem corporum esse liquido percipimus, sed quietem nusquam certo invenimus” (fr:4218). Nel Cosmotheoros (postumo) dichiarerà che le stelle fisse sono altrettanti soli e non infisse su una medesima superficie, affermando l’estensione infinita dello spazio ma senza seguire Bruno nel ritenere infinito il numero delle stelle (fr:4220-4224).

A suggello della sezione, il testo richiama la posizione di Huygens sugli argomenti contro il moto della terra: egli li considera, con Galileo, del tutto infondati. “c’est à bon droit que Galilée admet que les divers phénomènes considérés dans ces discussions doivent être les mêmes sur une terre en mouvement que sur une terre immobile” – (fr:4230) [è a buon diritto che Galileo ammette che i diversi fenomeni considerati in queste discussioni devono essere gli stessi su una terra in movimento e su una terra immobile].

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16 L’evoluzione del pensiero di Huygens sul moto assoluto e relativo

Attraverso annotazioni, lettere e scritti editi, il testo ricostruisce le mutevoli convinzioni di Christiaan Huygens circa la natura del movimento, dal principio di relatività per le traslazioni uniformi fino all’abbandono dell’idea newtoniana di spazio assoluto, documentando un percorso intellettuale segnato da ambiguità e ripensamenti.

Il volume XVI delle Oeuvres complètes di Huygens, dedicato alla percussione, raccoglie testimonianze che permettono di seguire il formarsi e il trasformarsi delle idee del fisico olandese sul moto “vero”, assoluto o relativo. Già prima del 1659 Huygens possedeva una convinzione ferma, che chiama il suo principio di relatività: “il n’y a rien qui distingue le mouvement droit d’avec le repos, et que l’un et l’autre n’est que relatif, l’estendue du monde estant infinie” – (fr:4289) [non vi è nulla che distingua il moto rettilineo dallo stato di quiete, e l’uno e l’altro non sono che relativi, essendo l’estensione del mondo infinita]. Tale principio affonda le radici in un’immagine condivisa con Bruno, Galileo e Gassendi: quella della nave che si muove uniformemente rispetto alla riva, il cui moto è impercettibile per chi si trova a bordo e considera solo il sistema nave (cfr. 4262–4268). In questi anni Huygens ritiene che “Quidnam in corporibus quies sit aut motus nisi aliorum corporum respectu non videtur intelligi posse” – (fr:4259) [Che cosa siano nei corpi la quiete o il moto, se non in rapporto ad altri corpi, non sembra potersi comprendere], e dichiara superfluo chiedersi se qualcosa nell’universo sia veramente in quiete (4270–4271).

La scoperta dei teoremi sulla forza centrifuga, nel 1659, introduce una frattura. Huygens inizia a credere che la rotazione possieda un carattere “assoluto”, benché non adoperi ancora l’espressione “moto assoluto”, che comparirà solo più tardi nella corrispondenza con Leibniz e dopo la pubblicazione dei Principia di Newton (4276–4279). Nelle annotazioni del 1668 egli sostiene che “le mouvement droit n’est que relatif entre divers corps, le circulaire autre chose et a son κριτηριον que le droit n’a point” – (fr:4301) [il moto rettilineo non è che relativo tra corpi diversi, quello circolare è altra cosa e possiede un criterio che il rettilineo non ha]. Tale criterio è la tensione del filo che permette di calcolare il numero di rotazioni al secondo (4313). La convinzione che la rotazione rechi un indice di moto vero lo accompagna a lungo, tanto che nel colloquio parigino con Leibniz, rievocato nel 1694, Huygens aveva indicato proprio il moto circolare come mezzo per riconoscere il vero soggetto del movimento (4297). Lo stesso Leibniz rammenta: “vous me répondites que cela se pouuoit par le moyen du mouuement circulaire, cela m’arresta” – (fr:4297) [voi mi rispondeste che ciò si poteva per mezzo del movimento circolare; questo mi fece riflettere].

Tuttavia, due o tre anni prima del 1694, Huygens muta radicalmente parere. Lo confessa a Leibniz il 24 agosto 1694: “il n’y a que 2 ou 3 ans que j’ay trouvè celuy qui est plus veritable, duquel il semble que vous n’estes pas eloignè non plus maintenant” – (fr:4276) [non sono che 2 o 3 anni che ho trovato quello che è più vero, dal quale mi sembra che neppure voi siate più lontano adesso]. Nella stessa lettera aggiunge di ritenere “tres constant” che non si dia alcun moto reale, ma soltanto relativo, e giudica errate le esperienze newtoniane del secchio rotante (4340–4341). La posizione matura è esposta nelle Pièces successive: la rotazione stessa è soltanto un moto relativo delle parti di un corpo le une rispetto alle altre, la cui direzione muta continuamente mentre le distanze restano invariate (4344). Huygens stesso riconosce il proprio passato errore: “Diu putavi in circulari motu haberi veri motus κριτηριον ex vi centrifuga” – (fr:4317) [A lungo ho creduto che nel moto circolare si avesse un criterio del moto vero grazie alla forza centrifuga].

Nonostante la chiarezza finale, il percorso di Huygens è segnato da ambiguità. L’espressione “motus verus”, che egli impiega in più occasioni, non equivale sempre a “moto assoluto”: nel 1688 scrive “Corpora quae mutuo respectu moventur, ea vere moventur” – (fr:4281) [I corpi che si muovono per mutuo rapporto, quelli veramente si muovono], e altrove “Ego… nullum alium esse motum corporum arbitror quam mutuo respectu. Hunc esse verum.” – (fr:4282-4283) [Io ritengo che non esista altro moto dei corpi se non per mutuo rapporto. Questo essere il vero]. Persino nel 1668 ammetteva che “le mouvement d’un corps peut estre en mesme temps veritablement egal et veritablement accelerè selon qu’on raporte son mouvement a d’autres differents corps” – (fr:4324) [il moto di un corpo può essere al tempo stesso veramente uniforme e veramente accelerato a seconda che lo si riferisca ad altri corpi differenti], affermazione che introduce una relatività delle descrizioni difficilmente conciliabile con la pretesa verità unica del sistema copernicano (4327).

Il testo mette in luce anche la posizione di altri pensatori. Galilei distingue tra traslazione e rotazione terrestre, ma non imposta nettamente la questione del moto “vero” o “assoluto” (4231, 4251). Newton ammette l’immobilità reciproca delle stelle fisse e definisce lo spazio assoluto “immobile”, senza però dichiararlo immobile rispetto alle stelle (4252). Prima di Newton, Bruno aveva chiamato lo spacium o universo “immobile” pur attribuendo movimenti diversi alle stelle (4253). Borelli, nel 1666, parlava di uno spatium mundanum rispetto al quale le stelle fisse sono in quiete, ma due anni dopo assumeva la quiete della Terra, mostrando quanto la nozione di spazio assoluto non fosse ancora un dog-ma (4250).

In definitiva, la raccolta mostra un Huygens che, dopo aver lungamente creduto a un criterio privilegiato del moto vero nella rotazione, approda a una concezione integralmente relazionale, nella quale lo stesso moto circolare perde ogni carattere assoluto. Questa evoluzione, testimoniata dal dialogo con Leibniz e dalle annotazioni personali, rivela la profondità e la complessità di un dibattito che avrebbe attraversato tutto il secolo successivo.

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17 La prefazione incompiuta di Huygens sulla percussione: storia e leggi dell’urto dei corpi

Il testo raccoglie e commenta la prefazione che Christiaan Huygens scrisse per un’opera mai pubblicata in quella forma, nella quale ripercorreva le ricerche sulla percussione da Galileo ai suoi contemporanei e presentava le proprie leggi dell’urto, in parte già anticipate nel

Huygens, nel sedicesimo tomo delle sue Oeuvres complètes, intendeva trattare organicamente due argomenti: la percussione e la forza centrifuga. Nella prefazione qui esaminata – rimasta a lungo inedita e ricostruita dagli editori a partire da diverse stesure manoscritte – egli stesso dichiara di aver già pubblicato «Percussion… quorum illa ante nos aliqui inspicere ceperunt пес multum tamen promoverant, ista vero nemo adhuc attigerat quorum summam publice exposuimus, velut mantissae loco operi jam dicto adjunctam» (fr:4425) [«la percussione, che alcuni prima di noi avevano cominciato ad esaminare ma senza progredire molto, e la forza centrifuga, che nessuno aveva ancora toccato; di entrambe abbiamo esposto pubblicamente la somma, quasi a mo’ di appendice aggiunta all’opera già citata»]. Il proposito di fornire dimostrazioni compiute nasceva dall’urgenza di fondare su basi solide le regole del moto da lui impiegate in opere già edite, come il Traité de la lumière e il Discours de la cause de la pesanteur, quest’ultimo interamente basato sull’esistenza della forza centrifuga (cfr. fr:4427 e fr:4438‑4440).

Per inquadrare il proprio contributo, Huygens ricostruisce l’intera vicenda storica partendo da Galileo. Circa cinquant’anni prima, scrive, «de metienda vi Percussionis quaeri caeptum est» (fr:4430) [«si cominciò a indagare come misurare la forza della percussione»]. Già Galileo, secondo quanto riferisce Alfonso Borelli, aveva composto uno scritto giovanile Della forza della percossa, poi ritrattato e condannato dall’autore stesso (fr:4431‑4432). In età avanzata il pisano si dedicò nuovamente alla questione, ma dopo la sua morte non si trovò nulla di conclusivo nelle sue carte (fr:4433‑4434). Nei Dialoghi delle nuove scienze, Galileo confessa di aver consumato «multa millia horarum in ea meditanda» (fr:4459) [«molte migliaia di ore a meditarvi»] e di essere infine giunto a una conoscenza «primis hominum cogitationibus plurimum discedentem» (fr:4459) [«assai distante dai primi pensieri degli uomini»], promettendo di esporla dopo la dottrina dei proietti. Tuttavia, secondo Huygens, è credibile che l’ingegnosissimo uomo non fosse soddisfatto nemmeno allora e preferisse non tramandare nozioni non sufficientemente esplorate (fr:4460). Nell’ultimo dialogo Galileo anzi rinvia ancora la trattazione, adducendo «summam difficultatem … utpote maximis tenebris obrepti et à primo hominum conceptu prorsus alieni» (fr:4461) [«una difficoltà somma, quasi fossero avviluppati da fittissime tenebre e del tutto estranei al primo concetto umano»].

Contemporaneamente, furono Onorato Fabri e René Descartes a tentare la strada. Essi cercarono di determinare che cosa accada nell’urto di corpi che si muovono in uno spazio non impedito da altra materia (fr:4462‑4463). Poi Alfonso Borelli, professore di matematica a Pisa, riprese l’argomento. Ma tutti costoro, nota Huygens, «non certa satis Principia usurpantes et quibusdam quasi demonstrationibus veris falsa miscuerunt, nonnunquam experimentis consona afferentes, nonnunquam prorsus contraria» (fr:4466) [«non impiegando principi abbastanza certi e mescolando il falso a certe quasi‑dimostrazioni, talvolta portando risultati consonanti con gli esperimenti, talvolta del tutto contrari»].

Fu proprio l’assurdità e il disaccordo con l’esperienza delle leggi cartesiane – difese tenacemente anche dal suo discepolo Frans van Schooten – a spingere Huygens a indagare a fondo. Egli trovò regole più vere già nel 1654, come attestano le discussioni epistolari con Schooten: «Cum autem V. Cl. Fr. Schotenius earundem patrocinium suscepisset atque ego jam veriores invenissem, aliquot epistolis de hac re inter nos fuit disceptatum 1654» (fr:4497‑4500) [«Quando l’illustre Frans van Schooten ne aveva preso le difese e io avevo ormai trovato leggi più vere, discutemmo in più lettere nel 1654»]. Tuttavia Huygens si astenne dal pubblicare, perché «praeter eas leges superessent quaedam de motus natura nondum penitus mihi пес satis liquido perspecta, quae longiorem meditationem requirebant» (fr:4502‑4503) [«oltre quelle leggi restavano alcune questioni sulla natura del moto non ancora del tutto chiare e che richiedevano più lunga meditazione»].

La luce venne nel 1669, quando quasi simultaneamente John Wallis, Christopher Wren e lo stesso Huygens comunicarono a Henry Oldenburg, segretario della Royal Society, le loro regole sul moto generato dall’urto dei corpi. I periodici dell’epoca ne danno testimonianza: «ex actis diarijsque Eruditorum in Gallia Brittanniaque Editis cognoscere licet, quorum haec sunt Mensis Jan. et Aprilis, illa Martij anni 1669» (fr:4488) [«lo si può apprendere dagli atti e giornali eruditi pubblicati in Francia e in Gran Bretagna, dei quali questi sono di gennaio e aprile, quelli del marzo 1669»]. Le regole di Wallis riguardavano però solo i corpi che dopo il contatto non rimbalzano, «quorum numero etiam perfecte dura haberi vult» (fr:4494) [«tra i quali vuole che siano annoverati anche i perfettamente duri»], opinione che Huygens ritiene controversa e da discutere in seguito. Wren non aveva fornito alcuna dimostrazione, ritenendo che non se ne potessero dare senza assumere molte ipotesi non chiare (fr:4527‑4529). Huygens, invece, allegò alle proprie regole inviate in Inghilterra delle dimostrazioni che riscossero grande approvazione: Oldenburg scrive che «Multis e Regia Societate, ac proesertim Presidi Brounckero, valde probari» (fr:4530) [«erano molto approvate da molti della Royal Society, e specialmente dal Presidente Brouncker»], e che il presidente «frequenti consessu multim proedicaverit nemine quicquam contradicente» (fr:4533) [«le lodò più volte in pubblica riunione senza che nessuno contraddicesse»].

Il principio assunto da Huygens – di cui non viene qui esplicitato il contenuto ma che doveva essere la legge di conservazione della quantità di moto o il principio di relatività del moto – era «quod cum sit ab omnibus necessario concedendum, tamen ut in re nova non omnibus aeque perspicuum erat» (fr:4534) [«il quale, benché debba essere necessariamente concesso da tutti, tuttavia, essendo cosa nuova, non era ugualmente chiaro a tutti»]. Ciò gli fu evidente quando lo espose a geometri parigini (fr:4535); in seguito fu accolto senza riluttanza da Brouncker e dallo stesso Wallis, che ne fece uso nella sua grande opera sul moto, giungendo per gli urti dei corpi elastici a risultati concordi con quelli di Huygens e Wren (fr:4536).

Nell’edizione delle Oeuvres complètes si segnala che a margine del manoscritto si trova «la figure reproduite à côté» (fr:4468), un elemento iconografico che accompagnava la trattazione. Vengono inoltre registrate lezioni alternative («adferemus» per proferemus, fr:4442; «longe abeuntem ac paradoxam», fr:4470; «non ignorentur» per cognoscantur, fr:4448) che testimoniano il lungo lavoro di limatura della prefazione. Le proposizioni di Borelli giudicate false o viziate (Prop. 64, 119, 18 e 19, cfr. fr:4478‑4483) riguardano vari casi di urto diretto di corpi duri in cui le soluzioni borelliane differiscono da quelle che si ottengono applicando le regole di Huygens. Quanto alle dimostrazioni altrui, una nota manoscritta le definisce «obscuriores et minus apparentibus consequentijs deductae quam in hujusmodi novae doctrinae Elementis requiratur» (fr:4541‑4542) [«più oscure e dedotte con conseguenze meno evidenti di quanto si richieda negli Elementi di una simile nuova dottrina»].

La prefazione nelle intenzioni avrebbe dovuto introdurre un’opera organica che non vide mai la luce in quella forma. I trattati De motu corporum ex percussione e De vi centrifuga apparvero soltanto nel 1703, negli Opuscula postuma (fr:4434‑4435). Ciò che Huygens ci ha lasciato è una testimonianza preziosa non solo per la ricostruzione della genesi delle leggi dell’urto, ma anche per la lucida consapevolezza con cui distinse il proprio metodo dimostrativo da quello dei predecessori e dei contemporanei, ancorando la fisica a principi chiari e a un serrato confronto con l’esperienza.

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18 La relatività del moto come fondamento della meccanica: Huygens e la critica dell’assoluto

Il brano, tratto dal Tomo XVI delle Oeuvres complètes di Christiaan Huygens e appartenente con ogni probabilità a una prefazione perduta del trattato De Motu, enuncia con straordinaria radicalità il principio di relatività del moto, anticipando temi che saranno centrali nella fisica successiva. La sua collocazione editoriale è chiarita dalle note: “Elle semble antérieure aux autres Pièces (avec l’exception possible de la Pièce II).” – (fr:4761) [Sembra anteriore agli altri pezzi (con la possibile eccezione del Pezzo II).] e “Comme tant d’autres elle devait faire partie d’une préface pour le Traité ‘De Motu’” – (fr:4760) [Come tant’altre doveva far parte di una prefazione per il Trattato ‘De Motu’]. L’editore avverte di riprodurla integralmente (fr:4762).

Il testo si apre con l’affermazione di un principio di equivalenza: “Percussion resilire vel conjuncta ferri, respectu nostri qui eodem communi motu deferimur, ac si omnibus adventitius ille motus abesset.” – (fr:4765) [Il rimbalzo per percussione o il moto congiunto avviene, rispetto a noi che siamo trasportati dallo stesso moto comune, come se quel moto aggiuntivo fosse del tutto assente.]. L’esempio della nave che si muove di moto uniforme è lo stesso che Galileo aveva utilizzato: due sfere dure fatte collidere a bordo rimbalzano con la stessa velocità relativa, esattamente come se la nave fosse ferma, “neque ullo motu corporum aut repercussione quae intra navem accidunt, deprehendi posse utrum ea pergat aequaliter an immota maneat.” – (fr:4768) [né da alcun moto di corpi o rimbalzo che accada entro la nave si può scoprire se essa prosegua uniformemente o rimanga immobile.]. Da qui Huygens estende il ragionamento alla Terra, riprendendo la polemica antiaristotelica: chi sostiene la quiete terrestre non può negare la verità degli esperimenti sulla nave (fr:4771), mentre chi, come gli astronomi moderni, afferma che la Terra si muove, deve riconoscere che tutto accade per chi è a bordo come per chi sta sulla Terra, “cum sciant non magis hos quam illos quiescere, adeoque omnes motus de quibus hic agemus respective ad alia corpora accipiendos esse.” – (fr:4772) [poiché sanno che né questi né quelli sono in quiete, e che quindi tutti i moti di cui qui tratteremo devono essere intesi relativamente ad altri corpi.].

Huygens non si limita a una relatività pratica, ma nega la stessa esistenza di un moto e di una quiete assoluti. Dopo aver liquidato ironicamente chi pretendesse di indagare “quid fiat in motibus veris veraque quiete” – (fr:4774) [cosa accada nei veri moti e nella vera quiete], poiché l’utilità dell’indagine risiede solo in ciò che ci accade sulla Terra (fr:4775-4776), l’autore esprime il nucleo filosofico più dirompente: “Quinimo si diligenter inspiciamus motus naturam, inveniemus verum istum motum veramque quietem, quomodo plerique omnes intelligunt, non solum cognosci non posse, sed neque esse omnino in rerum natura.” – (fr:4780) [Anzi, se esaminiamo diligentemente la natura del moto, troveremo che quel vero moto e quella vera quiete, come li intendono quasi tutti, non solo non possono essere conosciuti, ma non esistono affatto nella natura.]. Un paradosso che egli stesso prevede sarà giudicato strano e lontano dal vero, ma che ritiene necessario per sradicare un errore comune (fr:4781, 4787). In margine riconosce che solo Cartesio aveva intravisto qualcosa di più, senza però saperlo utilizzare (fr:4782-4783).

La demolizione dell’assoluto si fonda sull’impossibilità di definire un luogo privilegiato nello spazio infinito. Chi si immagina la Terra immobile dirà che un corpo è veramente in quiete se mantiene la stessa posizione rispetto a essa; chi invece la crede in moto indicherà le stelle fisse. Ma interrogati su cosa sia «veramente essere in quiete», entrambi risponderanno “hoc contingere cum corpus quodpiam atque omnes partes ejus, eundem locum servant in spatio mundi universi” – (fr:4791) [che ciò accade quando un corpo e tutte le sue parti mantengono lo stesso luogo nello spazio dell’universo.]. Lo spazio mondano però è infinito, senza confini, senza centro né estremi; perciò “nihil esse unde certus locus illic definiri possit; neque etiam esse quo locus à loco differat” – (fr:4792) [nulla vi è da cui un luogo certo possa essere definito, né vi è qualcosa per cui un luogo differisca da un altro]. Dichiarare immobile lo spazio stesso è un circolo vizioso: “non meminerunt, hoc ipsum adhuc quaeri, quid sit esse immobile, adeoque in circulum quem vocant incidunt” – (fr:4793) [non si ricordano che si sta ancora cercando che cosa significhi essere immobile, e così cadono in quello che chiamano circolo vizioso]. Al moto e alla quiete assoluti non si può attribuire senso (fr:4795-4796).

Di conseguenza, i corpi possono dirsi in quiete o in moto solo relativamente gli uni agli altri: “quiescere dici nequeant nisi unius vel plurium respectu quibuscum eundem positum eandemque servant distantiam, nec moveri nisi aliorum item respectu quibuscum ista eadem commutant” – (fr:4807-4808) [non possono dirsi in quiete se non rispetto a uno o più corpi con cui mantengono la stessa posizione e la stessa distanza, né in moto se non rispetto ad altri con cui mutano queste stesse cose.].

Huygens affronta poi alcune obiezioni. La prima riguarda un ipotetico universo con un solo corpo: esso non potrebbe né muoversi né essere in quiete, perché entrambi i concetti sono esclusivamente relativi e in uno spazio infinito senza altri corpi manca ogni riferimento (fr:4813-4816). Una foglietta manoscritta aggiunta dallo stesso Huygens riporta un dialogo in francese sul tema di due corpi A e B: se si immagina A spinto verso il luogo occupato da B, lo si concepisce sullo sfondo di uno spazio immobile, ricadendo nell’idea falsa (fr:4824-4829). La risposta è che l’idea di moto deriva solo dal mutamento di posizione relativa; non si può immaginare un moto senza concepire un mutamento di posizione (fr:4831). “Et jam vidimus non sequi ut corpus quod impulsum est moveatur” – (fr:4832) [E abbiamo già visto che non segue che il corpo che ha ricevuto l’impulso si muova.].

Una seconda obiezione concerne l’impulso: se si dà un colpo a una palla A e poi si scompare, continuerà il moto? L’impressione persiste? Huygens replica che l’impulso ha creato un moto relativo tra chi spinge e la palla: nessuno poteva dirsi in quiete prima o dopo (fr:4838). “Sicut igitur redacta ad nihilum pila A, non potest dici te moveri, per ante dicta sic neque te sublato dici potest moveri pila A, nec erit aliquid in illa quod non erat antequam impelleretur.” – (fr:4839) [Come, dunque, ridotta a nulla la palla A, non si può dire che tu ti muova, per quanto detto prima, così, annientato te, non si può dire che si muova la palla A, né vi sarà in essa qualcosa che non c’era prima di essere spinta.]. L’errore comune sta nell’immaginare una qualità o una forza impressa che resti nei corpi dopo l’impulso; ma l’unico effetto reale è il mutamento di distanza o posizione rispetto ad altri corpi (fr:4841). Inoltre, il moto relativo è perfettamente reciproco: “Ex motu enim quamlibet intenso corpora nihil accipiunt neque patiuntur praeter hoc ipsum quod aliorum respectu distantiam aut positum immutent.” – (fr:4841) [Per quanto intenso sia il moto, i corpi non ricevono né patiscono nulla, se non questo stesso mutare distanza o posizione rispetto ad altri.]. Ne deriva che spingere A contro B o B contro A produce esattamente lo stesso effetto relativo, sebbene lo sforzo richiesto sia molto diverso (fr:4842).

Queste considerazioni, riconosce Huygens, sembreranno a molti stravaganti o assurde, ma a chi le soppesa seriamente appariranno vere (fr:4843-4844). La natura oscura del moto va esplorata ancora oltre; per esempio, quando due corpi mutano distanza reciproca, dal solo moto non si può stabilire se uno sia stato spinto o entrambi (fr:4850-4851). La testimonianza storica è notevole: Huygens, con una limpidezza che supera perfino Galileo, formula un principio di relatività completa, negando ogni sostanzialità al moto assoluto e fondando la meccanica sull’interazione reciproca, in una direzione che prelude alle critiche di Leibniz e di Mach, e che solo con la relatività einsteiniana troverà piena cittadinanza scientifica.

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19 Il moto relativo e i fondamenti della meccanica: frammenti dal De Percussione di Christiaan Huygens

Il manoscritto indaga la natura puramente relativa della quiete e del moto, pone l’inerzia rettilinea come principio, analizza geometricamente l’avvicinamento di corpi in moto uniforme, riconosce il moto circolare mediante la forza centrifuga e critica l’identificazione cartesiana di corpo ed estensione, proponendo una materia dotata di durezza insuperabile.

Il testo si apre con una netta presa di posizione relativistica: se osservo una barca che avanza su un lago, “cymbam in lacu progredi cernam non dubitabo utique cymbam aut hominis aut venti vi impulsam fuisse non autem Terrae totius motione id effectum” – (fr:4855) [Se vedo una barca avanzare in un lago, non dubiterò affatto che la barca sia stata spinta dalla forza di un uomo o del vento, e non che ciò sia stato prodotto dal moto della Terra intera]. Di conseguenza ogni corpo può essere assunto come immobile e fungere da riferimento per i moti altrui: “Itaque quodlibet corpus ut immotum spectari potest, ad quod caeterorum motus ac celeritates referantur” – (fr:4856) [Perciò qualsiasi corpo può essere considerato come immobile, e ad esso si possono riferire i moti e le velocità degli altri]. Quando si parlerà di velocità di un corpo, essa andrà sempre intesa relativamente a un sistema preso per fermo (fr:4857).

Huygens chiarisce subito il significato di “quiete”: non esiste quiete assoluta, ma solo quiete reciproca. “Quoniam verò nullam quietem corporum esse ostendimus nisi inter se ac mutuo respectu, videndum jam est quaenam corpora inter se quiescant” – (fr:4858) [Poiché abbiamo mostrato che non esiste quiete dei corpi se non tra loro e reciprocamente, si deve ora vedere quali corpi siano in quiete tra loro]. La definizione non è banale: non basta conservare distanza e posizione reciproche, perché un insieme di corpi può ora conservare tali parametri senza essere davvero in quiete (fr:4859‑4861). La vera quiete reciproca si ha quando i corpi “cum nullo vinculo aut obice continentur quo minus singula liberè a se mutuo recedant, tamen situm distantiamque inter se eandem servant” – (fr:4862) [pur non essendo trattenuti da alcun vincolo o ostacolo che impedisca loro di allontanarsi liberamente l’uno dall’altro, mantengono nondimeno la stessa posizione e distanza reciproca]. L’esempio proposto è quello di sferette perfettamente rotonde poste su un piano: se non si spostano, sono in quiete tra loro e rispetto al tavolo; anche le parti del tavolo sono in quiete reciproca (fr:4863).

A partire da un sistema di corpi in quiete reciproca, un altro corpo che si muova liberamente “lineam rectam eorundem respectu percurret, progressuque aequabili feretur” – (fr:4864) [percorrerà una linea retta rispetto ad essi e si muoverà di moto uniforme]. Huygens eleva questo fatto a principio, appoggiandosi all’esperienza e a una simmetria razionale: è altrettanto conforme a ragione che un corpo in moto, non impedito, prosegua senza deviare, quanto che un corpo in quiete vi perseveri. “hoc Principij loco habendum est, quod cum experientia manifesto comprobat tum a plurimis ante nos sumtum fuit” – (fr:4865) [questo deve essere considerato come Principio, cosa che l’esperienza conferma manifestamente e che fu assunta da molti prima di noi].

L’autore osserva quindi che il moto rettilineo e uniforme può essere inteso solo in relazione a parti della Terra in quiete reciproca; persino la corsa di una nave menzionata in precedenza si definisce tale solo rispetto a quelle parti (fr:4873). Posti corpi in quiete reciproca, se ne possono muovere altri in direzioni diverse. Huygens analizza il moto di due corpi che procedono con uguale velocità su rette parallele ma opposte (CD per il corpo C, EF per il corpo E, parallela a CD), e mostra che, sebbene ciascuno si muova uniformemente, la loro distanza muta in modo non uniforme. Introduce una perpendicolare GH alle due direzioni e studia il progresso dei corpi da C a K, da E a L e poi da K a G e da L a H (fr:4876‑4879). Dimostra che la variazione della distanza è diseguale in tempi uguali: “mutatio distantiae inter utrumque aequalibus temporibus inaequalis accidit quoniam majore excessu superat CE rectam KL, quam haec rectam GH” – (fr:4879) [la variazione della distanza tra i due avviene in modo disuguale in tempi uguali, perché la retta CE supera la retta KL di un eccesso maggiore di quanto questa superi la retta GH]. Man mano che i corpi si avvicinano alla perpendicolare GH, l’avvicinamento reciproco rallenta; quando se ne allontanano, la velocità relativa cresce continuamente (fr:4880). Le velocità proprie di ciascun corpo lungo le loro direzioni possono essere arbitrariamente più grandi della velocità con cui essi si avvicinano o si separano, a seconda della loro prossimità a GH (fr:4881). Tali grandezze – direzioni e velocità reciproche – sono conoscibili in modo sicuro solo in presenza di un sistema di riferimento in quiete: “directiones porro motuum celeritatesque corporum respectu mutuo certo cognosci possunt praesentibus ijs corporibus quae inter se quiescunt, quoniam utraeque respectu horum definiuntur” – (fr:4882) [le direzioni dei moti e le velocità dei corpi rispetto a loro stessi possono essere conosciute con certezza quando sono presenti quei corpi che sono in quiete tra loro, poiché entrambe sono definite rispetto ad essi]. Tolti quei riferimenti, direzioni e velocità uniformi diventano ambigue (fr:4889).

Nel caso dei corpi legati e in moto circolare, o delle parti di un corpo rotante attorno a un centro, il moto circolare si manifesta in due modi: mediante confronto con corpi in quiete reciproca, oppure, anche in loro assenza, attraverso la forza centrifuga. Se due corpi sono legati a uno stesso filo e posti in rotazione, la tensione del filo rivela il moto; analogamente, se una ruota gira, lo si deduce dal fatto che pesi sospesi sulla circonferenza fuggono dall’asse e vengono trascinati da fili obliqui. “non te spectatorem circa rotam immobilem circumduci, sed illam in sese versari” – (fr:4892) [non che tu, spettatore, sia condotto intorno a una ruota immobile, ma che quella ruota su se stessa]. Con corpi esterni in quiete si possono determinare il numero e la velocità delle rotazioni (fr:4893); senza di essi, una forza centrifuga maggiore indica rivoluzioni più rapide, e la quantità esatta della velocità e il numero dei giri si possono apprendere dai teoremi sulla forza centrifuga (fr:4894). Huygens rimanda ai teoremi che saranno pubblicati, senza dimostrazione, nell’Horologium oscillatorium del 1673 e poi nel trattato postumo De Vi Centrifuga (fr:4901‑4903).

Un secondo nucleo tematico del manoscritto critica i fondamenti della fisica cartesiana. Huygens immagina, per le sue dimostrazioni, corpi perfettamente duri e collocati dove nulla ne ostacoli il moto (fr:4908‑4909). Ribadisce la definizione relativistica: “Quiescere unumquodque dicitur respectu eorum à quibus eandem servat distantiam, similiter moveri respectu eorum quibuscum distantiam commutat” – (fr:4910) [Un corpo si dice in quiete rispetto a quelli da cui mantiene la stessa distanza, e in moto rispetto a quelli con cui muta distanza]. Quanto alla conservazione, Huygens considera il principio secondo cui “AEque multum motus remanere debere” – (fr:4915) [deve rimanere una quantità di moto uguale], precisando che deve rimanere uguale la quantità di moto nella stessa direzione. Sottolinea che mediante il sistema cartesiano non si può spiegare tale conservazione (fr:4916).

La polemica si concentra poi sul concetto di corpo. Per Huygens un vacuum senza corpo esteso si può facilmente pensare (fr:4917); nella sua trattazione porrà una materia che né aiuta né ostacola il moto, simile all’aria che oppone poca resistenza ai corpi metallici più pesanti (fr:4918‑4921). La definizione cartesiana che identifica il corpo con la pura estensione gli appare fallace: “Quod nullius nulla sit extensio captiose dictum videtur” – (fr:4923) [Che non vi sia estensione del nulla sembra un sofisma]. Distingue la nozione di luogo contenente da quella di corpo contenuto (fr:4924‑4925) e osserva che, se al corpo non si attribuisce altro che estensione, esso non si distingue dal vuoto dei filosofi: “Sane si nihil praeter extensionem ei tribuit, non video quomodo alia corpora illisa repellet” – (fr:4928) [Certo, se non gli attribuisce altro che estensione, non vedo come potrà respingere altri corpi in collisione]. La pura impenetrabilità delle dimensioni è giudicata frivola (fr:4929); senza una durezza intrinseca, le figure non potrebbero conservarsi. Cartesio – nota Huygens – implicitamente attribuisce durezza alle particelle quando afferma che conservano la propria figura e ne urtano altre, ma poi la nega scrivendo che le particelle si consumano e diventano sferiche. “Sed male eam non insuperabilem ponit, cum comminus et deteri et sphaericas reddi scribat” – (fr:4933) [Ma a torto la pone come non insuperabile, poiché scrive che negli urti sono consumate e rese sferiche]. La conclusione huygensiana è netta: “Ponamus ergo duritiem insuperabilem” – (fr:4934) [Poniamo dunque una durezza insuperabile], cioè alcune parti di materia possiedono figure immutabili, mentre il resto è una materia diffusa che, essendo soltanto estesa, non oppone resistenza al moto delle particelle dure. L’intero frammento attesta l’impegno di Huygens nel rifondare la meccanica su basi relazionali – con un principio di inerzia rettilinea chiaramente espresso – e nell’emendare la fisica di Cartesio con l’introduzione di atomi perfettamente duri e una chiara distinzione tra corpo e spazio.

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20 La Relatività del Moto e la Critica dello Spazio Assoluto in Huygens e Contemporanei

Il testo esplora l’ambiguità dei concetti di moto “vero” e “relativo” nel dibattito scientifico seicentesco, culminando nella radicale posizione di Huygens che nega ogni significato fisico al moto se non come relazione tra corpi.

Le riflessioni ruotano attorno all’interpretazione del termine spatium mundanum e alla distinzione tra moto reale e apparente. L’autore nota un’ambiguità nell’uso di Borelli: se in un passo “apparemment Borelli prend ici la terre immobile par rapport au ‘spatium mundanum’” – (fr:5040) [apparentemente Borelli prende qui la terra immobile in rapporto allo ‘spazio mondano’], giungendo alla conclusione “Ergo terra ipsi quiescit.” – (fr:5045) [Dunque la terra è in quiete rispetto ad esso.], in un’altra opera, la Theoricae Mediceorum Planetarum del 1666, l’autore descrive lo spazio mondano come un riferimento solidale con le stelle fisse. Qui si legge che i pianeti hanno un periodo di restituzione “in eodem situ universi, seu mundani spatij, quae quidem respectu fixorum syderum considerari solet” – (fr:5047) [nella medesima posizione dell’universo, ossia dello spazio mondano, la quale suole essere considerata rispetto alle stelle fisse.]. Questa oscillazione semantica giustifica il commento sull’“ambiguité des expressions ‘motus verus’ et ‘vere moveri’.” – (fr:5046) [ambiguità delle espressioni ‘moto vero’ e ‘muoversi veramente’.].

Un tentativo di chiarificazione terminologica è offerto da Pardies, che nel suo Discours du mouvement local distingue la velocità assoluta da quella rispettiva: “J’apelle vitesse absolue, celle qui se considère dans un corps comparé avec l’espace dans lequel il se meut; & vitesse respective celle qui se considére dans deux corps comparez ensemble” – (fr:5052) [Chiamo velocità assoluta quella che si considera in un corpo comparato con lo spazio nel quale si muove; e velocità rispettiva quella che si considera in due corpi comparati insieme.]. Tuttavia, l’adesione di Pardies a un cosmo geocinetico è puramente verbale, poiché nella sua Statique afferma che la meccanica “affermit inébranlahlement la terre sous nos pieds” e che “c’est elle qui donne le branle à tous les Cieux” – (fr:5054) [consolida incrollabilmente la terra sotto i nostri piedi ed è essa che dà la spinta a tutti i Cieli.], negando di fatto una velocità assoluta della Terra.

La posizione di Wallis, invece, aggira la definizione di moto “vero”, limitandosi a constatare un persistente errore di valutazione: “Phaenomena… me in circulari motu diu credidisse κριτήριον existere veri motus.” – (fr:5060) [I fenomeni… mi avevano fatto credere a lungo che nel moto circolare esistesse un criterio del moto vero.]. Wallis osserva che chi immagina un moto vero senza riferimento ad altri corpi “viderunt non posse in corporibus liberis simpliciter motis motum discerni vel dijudicari, cum in ipso spatio infinito quod sibi immobile fingunt, nihil inveniat sensus unde judicium ejusmodi exoriatur” – (fr:5061) [videro che nei corpi liberi mossi di moto semplice il moto non può essere distinto o giudicato, poiché nello spazio infinito che fingono immobile, il senso non trova nulla da cui un tale giudizio possa sorgere.]. La speranza di trovare un criterio nel moto circolare è vana perché “motus circulationis est motus relativus in rectis parallelis, mutata continuè directione, et manente distantia propter vinculum” – (fr:5064) [il moto di circolazione è un moto relativo su rette parallele, con direzione mutata continuamente e distanza costante a causa del vincolo.].

Huygens demolisce sistematicamente l’idea di uno spazio assoluto, ponendo la domanda fondamentale: “Jam quomodo spatium immotum concipere te dicis cum nihil aliud de quiete cognoscas quam hoc ut relativa sit ad alia corpora?” – (fr:5084) [Come puoi dire di concepire uno spazio immobile, quando non conosci altro della quiete se non che essa è relativa ad altri corpi?]. L’idea comune di spazio in quiete, come l’aria lasciata vicino al fuoco quando ci si sposta verso la finestra, è solo una relazione con la stanza. L’argomento si radicalizza: lo spazio mondano infinito ed esteso concepito senza corpi “non est substantia sed nihil continet. Ergo illud nihil quiescet.” – (fr:5095-5096) [non è una sostanza ma non contiene nulla. Dunque quel nulla sarà in quiete.].

L’esempio cinematico con i corpi A e C è usato per dimostrare l’inconoscibilità del moto “vero” anche quando il moto rettilineo diventa circolare. Se A e C si muovono su rette parallele AB e CD, sappiamo che si muovono l’uno rispetto all’altro, ma “hoc tamen fatemini non cognosci quatenus utrumque eorum vere moveatur, hoc est spatij mundani respectu.” – (fr:5099-5100) [tuttavia ammettete che non si conosce quanto ciascuno di essi si muova veramente, cioè rispetto allo spazio mondano.]. Quando i corpi vengono agganciati da un filo in B e D, il loro moto rettilineo diventa circolare. Huygens osserva che prima dell’aggancio non si conosceva la quantità di moto vero; dopo, la pretesa di conoscerla è infondata. “Recte vero rem perpendenti manet tantum motus respectivus qui fuit antea, nihilque aliud accidit” – (fr:5113-5115) [A chi soppesa rettamente la cosa, rimane soltanto il moto relativo che c’era prima, e nient’altro accade.]. La variazione è solo nella traiettoria: il moto era su rette parallele, ora è su archi di circonferenza opposti, anch’essi paralleli, con la distanza ora resa costante dal vincolo. Dunque, “et in circulari ejusmodi motu nihil quoque nisi respectivus motus cognoscitur” – (fr:5116) [anche in un tale moto circolare non si conosce altro che il moto relativo.].

La conclusione è drastica: “Frustra inquiritur quis sit verus motus iste, cui bono enim?” – (fr:5086) [Invano si indaga su quale sia questo moto vero; a che pro, infatti?]. L’unico principio fruttuoso è che “motum non alium quam relativum esse” – (fr:5087) [il moto non è altro che relativo]. Da qui discende logicamente il principio d’inerzia: da un corpo in quiete relativa perseverante nel suo stato se non spinto, segue che un corpo liberamente in moto persevera con la stessa velocità, poiché “nihil enim interest inter simul libere moveri et simul quiescere” – (fr:5089) [non c’è infatti alcuna differenza tra il muoversi insieme liberamente e il quietarsi insieme]. Contro chi pensa che un moto violento e rapidissimo possa disperdere o dissolvere i corpi, Huygens replica: “at mihi nihil efficit in corpore quantacunque impressio, nisi ut situm ac positum ejus mutet aliorum relatione” – (fr:5091) [per me, qualsiasi impulso non produce nulla nel corpo, se non cambiare la sua situazione e posizione in relazione ad altri.].

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21 Il moto è soltanto relativo: Huygens e la confutazione dello spazio assoluto

Dagli appunti di Christiaan Huygens emerge una critica serrata al concetto di moto assoluto, fondata sull’impossibilità di attribuire quiete o movimento a uno spazio infinito e vuoto, e una conseguente ridefinizione del moto circolare e della forza centrifuga in chiave puramente relativa.

Il cuore dell’argomentazione di Huygens ruota attorno al rifiuto di un moto «vero» distinto da quello apparente. Tutti coloro che hanno trattato la questione, osserva, ritengono che “esse motum quendam verum, alium vero apparentem, qui aestimatur respectu aliorum corporum quae ut quiescentia considerantur” – (fr:5168) [esista un certo moto vero, e un altro apparente, che è stimato rispetto ad altri corpi considerati come in quiete]. Per i sostenitori di questa tesi, il moto vero consiste nel mutare luogo nello spatium mundanum immobile. Huygens rovescia l’impostazione: “Ego autem contra nullum alium esse motum corporum arbitror quam mutuo respectu. Hunc esse verum. Illum autem quem isti verum dicunt, non solum cognosci non posse, sed neque omnino esse in rerum natura.” – (fr:5170-5172) [Io invece ritengo che non esista altro moto dei corpi se non quello reciproco. Che questo sia vero. E che quello che costoro chiamano vero, non solo non può essere conosciuto, ma non esiste affatto nella natura delle cose].

La premessa metafisica da smontare è l’immobilità dello spazio infinito. Huygens lo dichiara senza mezzi termini: “Visum est autem mihi falsam hanc esse notionem” – (fr:5141) [A me questa nozione è parsa falsa]. L’idea stessa di quiete, argomenta, proviene esclusivamente dalla quiete relativa dei corpi fra loro; il moto e la quiete convengono soltanto alla sostanza corporea: “cum igitur motus et quies non nisi corpori conveniant, quomodo jam immobilitatem spatio tribuunt, et quidem in infinitum undique extenso” – (fr:5147) [poiché dunque moto e quiete convengono soltanto al corpo, in che modo attribuiscono allo spazio l’immobilità, e per giunta esteso all’infinito in ogni direzione?]. La conclusione è radicale: “spatio illi infinito et inani neque motus neque quietis idea aut appellatio convenit” – (fr:5176) [a quello spazio infinito e vuoto non si addice né l’idea né il nome di moto o di quiete].

Perfino il moto circolare, che a lungo Huygens aveva considerato un possibile criterio di moto vero grazie alla forza centrifuga – “Diu putavi in circulari motu haberi veri motus κριτηριον ex vi centrifuga” – (fr:5192) [Per molto tempo ho creduto che nel moto circolare si avesse un criterio di moto vero dalla forza centrifuga] –, viene ricondotto a un moto relativo delle parti. L’esempio del lapis sulla circonferenza di un orbe rotante mostra soltanto che “partes rotae motu relativo ad se invicem in partes diversas impulsas fuisse” – (fr:5194) [le parti della ruota sono state spinte in direzioni opposte da un moto relativo fra loro]. Il moto circolare è perciò “relativus partium in partes contrarias concitatarum sed cohibitus propter vinculum aut connexum” – (fr:5195) [relativo di parti eccitate in direzioni contrarie ma frenate da un vincolo o collegamento].

Questa reinterpretazione si accompagna a una notazione terminologica di rilievo: la distinzione fra peso e massa. Le note redazionali lo segnalano esplicitamente: “On voit apparaître ici la distinction entre le poid d’un corps et sa masse, sans doute sous l’influence des ‘Principia’ de Newton” – (fr:5157) [Qui appare la distinzione tra il peso di un corpo e la sua massa, senza dubbio per influenza dei ‘Principia’ di Newton]. Huygens invita ad “auferre gravitatem versus terram cogitatione, quod non tollit molem et materiam resistentiamque” – (fr:5165) [rimuovere col pensiero la gravità verso la terra, il che non elimina la mole e la materia e la resistenza], separando così ciò che dipende dall’attrazione terrestre da ciò che è inerente al corpo.

Sul piano storico, questi frammenti documentano un momento cruciale del dibattito post-cartesiano e post-newtoniano sul moto assoluto. Huygens contesta l’immobilità delle stelle fisse invocata dai copernicani con un argomento puramente cinematico: “Sint sane inter se immotae sed omnes simul sumtae cujus alterius corporis respectu quiescere dicentur, vel qua in re different a celerrime motis in partem aliquam?” – (fr:5212) [Siano pure immobili fra loro, ma prese tutte insieme, rispetto a quale altro corpo si dirà che sono in quiete, o in che cosa differiranno da corpi mossi con estrema velocità in qualche direzione?]. La nozione di luogo fisso si dissolve nell’estensione infinita: “cum infinite spatium undique extensum sit quae potest esse definitio aut immobilitas loci?” – (fr:5210) [dato che lo spazio è infinitamente esteso in ogni direzione, quale definizione o immobilità di luogo può mai esserci?].

L’apparato critico, con rinvii ad Aristotele, Galileo e Duhamel, mostra come Huygens si muova all’interno di una tradizione che cerca di liberarsi dalle nozioni assolute, anticipando posizioni relazioniste che verranno poi sistematizzate. La sola occorrenza del termine aether – (fr:5179-5181) – lascia intravedere la tensione fra lo spazio vuoto (spatium inane) e il mezzo sottile della fisica meccanicistica, ma non indebolisce il principio secondo cui “quies et motus tantum relativa sunt” – (fr:5213) [la quiete e il moto sono soltanto relativi].

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22 La tensione centrifuga e il moto relativo: l’analisi di Huygens del conatus nei corpi rotanti

Il testo esamina il conatus – la tendenza al moto – che si manifesta in un corpo vincolato a una ruota in rotazione, mostrando come la tensione del filo venga percepita esattamente come se il corpo cercasse di allontanarsi lungo il raggio, benché la direzione istantanea del moto tangenziale sembri suggerire il contrario. Huygens fonda l’intera trattazione su due premesse generali: l’indipendenza del conatus dalla causa che lo produce, purché esso sia presente, e la necessità di concentrarsi esclusivamente sull’istante iniziale del moto.

“Neque referre qua ex causa conatus ejusmodi oriatur, dummodo adsit.” – (fr:5631) [Né importa da quale causa nasca un tale conato, purché sia presente.]

“Adest autem idem conatus, si data facultate seu non inhibito conatu, idem circa motum continget.” – (fr:5632) [E il medesimo conato è presente, e se ne viene data la possibilità ovvero non inibito il conato, lo stesso accadrà rispetto al moto.]

“Idque in initio motus tantum spectandum est, accepta parte temporis quamlibet exigua.” – (fr:5633) [E ciò va considerato soltanto all’inizio del moto, presa una parte di tempo comunque piccola.]

Per chiarire il fenomeno, l’autore ricorre dapprima all’esempio di un globo sospeso a un filo e appoggiato lateralmente a una superficie concava (Fig. 3). Quando la retta che unisce il centro del globo al punto di contatto è perpendicolare sia al filo sia alla tangente alla curva, il globo non riceve alcun sostegno dalla superficie e tira il filo con la stessa forza che eserciterebbe se pendesse liberamente. Se invece il globo viene separato dal filo, la sua caduta lungo la superficie non segue la proporzione dei numeri dispari (1, 3, 5, 7) caratteristica della caduta libera verticale. Da ciò emerge che per determinare l’intensità del conatus non bisogna guardare a quanto accade dopo un tempo finito dalla separazione, ma occorre isolare un intervallo temporale arbitrariamente piccolo a partire dall’inizio del moto. Subito dopo il distacco, la determinazione del moto del globo è infatti diretta lungo la retta AB, la quale risulta parallela alla tangente alla curva nel punto C, e quindi il moto inizia come se il globo cadesse perpendicolarmente.

“si globus B [Fig. 3] pendeat a filo AB, tangat autem a latere superficiem cavam CD, verum ita ut quae a centro sphaerae B ad contactum ducitur sit & filo AB & tangenti curvam perpendicularis, scimus jam globum neutiquam à superficie CD sustineri, sed aeque valide trahere funem AB ac si planum CD non tangeret sed libere suspensus esset.” – (fr:5636‑5637) [Se il globo B pende dal filo AB e tocca lateralmente la superficie cava CD, in modo però che la linea condotta dal centro della sfera B al contatto sia perpendicolare al filo AB e alla tangente alla curva, sappiamo già che il globo non è affatto sostenuto dalla superficie CD, ma tira la fune AB con la stessa forza come se non toccasse il piano CD e fosse liberamente sospeso.]

“Attament si à fune separetur decidatque, non descendet eodem modo, ac si libere suspensus fune excidisset, sed per superficiem CD devolutus ne quidem accelerationis proportionem secundum numeros impares 1, 3, 5, 7 accurate servabit.” – (fr:5638) [Se invece viene separato dalla fune e cade, non scenderà allo stesso modo come se, liberamente sospeso, fosse sfuggito alla fune, ma rotolando lungo la superficie CD non conserverà affatto la proporzione dell’accelerazione secondo i numeri dispari 1, 3, 5, ]

“Itaque apparet non illud respiciendum quid aliquandiu post separationem à fune gravi futurum sit, sed quamlibet minimam temporis particulam ab incepto motu considerandam, si vim conatus determinare velimus.” – (fr:5639) [Così appare che non bisogna guardare a ciò che accadrà un certo tempo dopo la separazione dalla fune gravosa, ma considerare una particella di tempo comunque minima a partire dall’inizio del moto, se vogliamo determinare la forza del conato.]

“Incipit autem hîc globus B, post separationem à fune, ita moveri, quemadmodum si perpendiculariter decidisset, quoniam initio eam determinationem motus habet quae est secundum rectam AB, quoniam haec tangenti curvam in C parallela est.” – (fr:5640) [Qui il globo B, dopo la separazione dalla fune, comincia a muoversi come se fosse caduto perpendicolarmente, perché all’inizio ha quella determinazione di moto che è lungo la retta AB, poiché questa è parallela alla tangente alla curva in C.]

L’analisi si sposta quindi sulla ruota rotante (Fig. 4). Una ruota BG molto grande ruota attorno al centro A con l’asse equidistante dal piano dell’orizzonte. Un piccolo globo legato alla circonferenza nel punto B ha il conatus di proseguire lungo la retta BH, tangente alla ruota in B. Se fosse lasciato libero, volerebbe via lungo quella tangente, salvo essere deviato dalla gravità o da altri ostacoli. Tuttavia il filo che lo trattiene al centro (o alla mano di un uomo che si trova presso il bordo) appare teso esattamente come se la tendenza fosse diretta lungo il raggio AB, il che a prima vista risulta difficile da comprendere.

“Nunc videamus quis quantusque conatus sit corporibus filo vel rotae quae circumgyratur alligatis, ut à centro recedant.” – (fr:5641) [Ora vediamo quale e quanto grande sia il conato che hanno i corpi legati a un filo o a una ruota che viene fatta girare, di allontanarsi dal centro.]

“globulus ad circumferentiam ligatus, ubi ad B punctum venerit, conatum habet pergendi secundum rectam BH, quae rotam in B contingit” – (fr:5645) [Il piccolo globo legato alla circonferenza, quando è giunto al punto B, ha il conato di proseguire lungo la retta BH, che tocca la ruota in B.]

“Hoc vero primo intuitu difficile intellectu” – (fr:5647) [Ciò a prima vista è difficile da comprendere.]

Per sciogliere la difficoltà, Huygens propone un esperimento mentale: un uomo è fissato alla ruota presso la circonferenza, in modo da esserne trasportato senza poter essere sbalzato via; tiene in mano un filo cortissimo, all’altro capo del quale è attaccata una palla di piombo. Il filo risulta teso con la medesima forza sia che venga trattenuto dalla mano vicino al bordo, sia che si prolunghi fino al centro A e vi sia fissato. La ragione della tensione diventa manifesta se si considerano archi uguali BE, EF molto piccoli (ad esempio centesimi di circonferenza). Mentre l’uomo percorre l’arco BE in un dato tempo, la palla, se fosse rilasciata in B, percorrerebbe la retta BC uguale a quell’arco; al termine del secondo intervallo l’uomo è in F e la palla si troverebbe in D, dopo aver percorso CD. Adesso, i punti C e D non giacciono esattamente sui prolungamenti dei raggi AE e AF, ma se ne discostano di pochissimo verso B. Se vi giacessero, sarebbe certo che la palla tende ad allontanarsi dall’uomo proprio lungo la linea che dal centro passa per il luogo occupato dall’uomo stesso, e le distanze EC, FD crescerebbero come la serie dei quadrati 1, 4, 9, 16… Ora, quanto più piccoli si prendono gli archi BE, EF, tanto più esattamente le distanze EC e FD seguono quella serie; al primissimo inizio del moto devono essere considerate come se non differissero affatto da essa.

“Prenons des arcs égaux BE, EF, petits par rapport à la circonférence entière, par exemple des centièmes parties ou de plus petites encore.” – (fr:5656) [Prendiamo archi uguali BE, EF, piccoli rispetto all’intera circonferenza, per esempio centesimi o ancora più piccoli.]

“L’homme … parcourt donc ces arcs en des temps égaux, tandis que le plomb, s’il était abandonné à lui-même, parcourrait les droites, égales à ces arcs, BC et CD, dont les extrémités C et D ne tombent … pas précisément sur les droites qui relient le centre A aux points E et F, mais s’en écartent extrêment peu dans la direction vers B.” – (fr:5657) [L’uomo … percorre dunque questi archi in tempi uguali, mentre il piombo, se fosse abbandonato a se stesso, percorrerebbe le rette, uguali a questi archi, BC e CD, le cui estremità C e D non cadono … esattamente sulle rette che collegano il centro A ai punti E e F, ma se ne discostano pochissimo in direzione di B.]

“Que si les points C et D étaient sur les prolongements des droites AE et AF, il serait certain que le plomb tend à s’éloigner de l’homme suivant la droite même qui émanant du centre passe par l’endroit qu’il occupe … Or ces distances EC, FD etc. croissent de la même manière que la série des carrés depuis l’unité: 1, 4, 9, 16 etc.” – (fr:5658‑5660) [Se i punti C e D fossero sui prolungamenti delle rette AE e AF, sarebbe certo che il piombo tende ad allontanarsi dall’uomo proprio lungo la retta che emanando dal centro passa per il luogo che egli occupa … Ora queste distanze EC, FD ecc. crescono allo stesso modo della serie dei quadrati a partire dall’unità: 1, 4, 9, 16 ecc.]

“elles s’accordent d’autant plus exactement avec cette série que les particules BE, EF sont prises plus petites: elles doivent par conséquent être considérées comme n’en différant absolument pas au tout premier commencement.” – (fr:5661) [Esse concordano tanto più esattamente con questa serie quanto più piccole sono prese le particelle BE, EF: di conseguenza devono essere considerate come non differenti affatto al primissimo inizio.]

La conseguenza è che la tendenza centrifuga è del tutto analoga a quella che si avverte tenendo sospeso un globo a un filo: anche in quel caso il corpo cerca di allontanarsi lungo la direzione del filo con un moto uniformemente accelerato, percorrendo distanze proporzionali ai quadrati dei tempi. Nel caso della ruota, poiché i punti C e D deviano leggermente dalle rette condotte dal centro, il globo non tende ad allontanarsi dall’uomo lungo la retta radiale, bensì lungo una curva che tocca quella retta nel punto in cui l’uomo si trova.

“Il est donc évident que la tendance qui existe en ce cas sera tout-à-fait semblable à celle qu’on sent lorsque le globe est tenu en suspension à un fil, parce que dans ce dernier cas aussi le corps tend à s’éloigner suivant la direction même du fil d’un mouvement semblablement accéléré; de sorte qu’à la fin du premier laps de temps le corps aura parcouru la petite distance 1, après deux laps de temps 4 petites distances, après trois 9 petites distances, etc.” – (fr:5662, 5699) [È dunque evidente che la tendenza che esiste in questo caso sarà del tutto simile a quella che si sente quando il globo è tenuto sospeso a un filo, perché anche in quest’ultimo caso il corpo tende ad allontanarsi lungo la direzione stessa del filo con un moto similmente accelerato; cosicché alla fine del primo intervallo di tempo il corpo avrà percorso la distanzetta 1, dopo due intervalli 4 distanzette, dopo tre 9 distanzette, ecc.]

“Mais maintenant comme ces points s’écartent un peu des droites nommées dans la direction de B, il s’ensuit que le globe tend à s’éloigner de l’homme non pas suivant la ligne droite qui part du centre A, mais suivant une certaine courbe qui touche cette droite à l’endroit où l’homme se trouve.” – (fr:5701) [Ma poiché questi punti si scostano un poco dalle rette nominate nella direzione di B, ne segue che il globo tende ad allontanarsi dall’uomo non lungo la linea retta che parte dal centro A, ma lungo una certa curva che tocca quella retta nel luogo in cui l’uomo si trova.]

Per precisare la natura di questa curva, Huygens introduce un piano PQ solidale con la ruota e tangente in B (Fig. 5). Rispetto a questo piano e al punto B che continuano a muoversi, il globo, se lasciato libero, descrive la curva BRS, la quale tocca in B il prolungamento del raggio AB. La costruzione della curva è sorprendentemente semplice: basta avvolgere un filo sulla circonferenza BNM e muoverne l’estremità B verso RS mantenendo tesa la parte che si svolge; l’estremità descriverà proprio la curva BRS. La proprietà fondamentale di questa linea è che, condotta da un qualsiasi punto N della circonferenza una tangente che incontri la curva in R, il segmento NR è uguale all’arco NB. In altri termini, la curva è l’evolvente della circonferenza.

“En effet, si au point B un plan PQ touche la roue, plan que nous supposons attaché à la roue et tournant avec elle, le globe B, s’il se détache de la roue ou du plan nommé, décrira par rapport à ce plan et au point B, lesquels continuent leur mouvement, une courbe BRS qui touchera en B le prolongement du rayon AB animé du même mouvement.” – (fr:5702‑5704) [Infatti, se nel punto B un piano PQ tocca la ruota, piano che supponiamo attaccato alla ruota e rotante con essa, il globo B, se si stacca dalla ruota o dal detto piano, descriverà rispetto a questo piano e al punto B, i quali continuano il loro movimento, una curva BRS che toccherà in B il prolungamento del raggio AB animato dallo stesso movimento.]

“Si nous voulons décrire cette courbe, il suffira d’enrouler un fil quelconque sur la circonférence BNM et de mouvoir son extrémité B vers RS de telle manière que la partie qui a quitté la circonférence BNM reste toujours tendue, car par ce mouvement le fil décrira de son extrémité la dite ligne BRS, ce qu’il est facile de démontrer.” – (fr:5705) [Se vogliamo descrivere questa curva, basterà avvolgere un filo qualsiasi sulla circonferenza BNM e muovere la sua estremità B verso RS in modo tale che la parte che ha abbandonato la circonferenza BNM resti sempre tesa; con questo movimento il filo descriverà con la sua estremità la detta linea BRS, cosa facile da dimostrare.]

“Or, cette ligne possédera la propriété suivante: en quelque point, tel que N, de la circonférence qu’on mène une tangente à la circonférence coupant la courbe en R, cette droite NR sera égale à l’arc NB; ce qui est évident d’après la genèse de la courbe.” – (fr:5706) [Ora, questa linea possiederà la proprietà seguente: in qualsiasi punto, come N, della circonferenza, se si conduce una tangente alla circonferenza che tagli la curva in R, questa retta NR sarà uguale all’arco NB; il che è evidente dalla genesi della curva.]

Per dimostrare che la curva e la retta AB si toccano in B, si prende una tangente NR parallela ad AB. L’intera porzione BR della curva giace tra le due parallele AB e NR, perché per un qualunque punto O su BR, tracciando la tangente alla circonferenza VOL, si ha LO uguale all’arco LB, e quindi LO è minore della tangente LV; di conseguenza il punto O cade tra V e L. Se la retta BV (il raggio) non fosse tangente alla curva in B, si potrebbe tracciare da B un’altra retta BK, inclinata di un angolo comunque piccolo su BV, che non intersechi la curva. Ma conducendo il raggio AL parallelo a BK e la perpendicolare LH, si trova che LH, essendo il seno dell’arco BL, è minore dell’arco stesso; d’altra parte il segmento LHO compreso fra il punto di contatto L e la curva BR è uguale proprio a quell’arco. Pertanto una parte della curva BR, con il punto O, cade sempre all’interno dell’angolo VBK, per quanto piccolo esso sia. Dunque BK taglia la curva, e BV risulta tangente in B.

“Constat curvae partem BR totam intra rectas parallelas AB, NR jacere …” – (fr:5722) [È stabilito che la parte BR della curva giace interamente tra le rette parallele AB, NR …]

“si curvam BR dicatur non tangere recta BV in B, ergo poterit duci ex B recta quaepiam BK tam exiguo angulo super BV inclinata ut curvam BR non secet. sit ea BK. Ducatur AL radius parallelus BK, sitque LH ad eandem BK perpendicularis. … Est igitur LH aequalis sinui arcus BL ideoque minor eodem arcu. Sed recta LHO … aequalis est huic ipsi arcui. … certa igitur pars curvae BR, cui punctum O, incidet intra angulum VBK quantumlibet exiguus sumatur is angulus. Unde manifestum est rectam BK secare curvam, atque adeo rectam BV eam tangere in puncto B.” – (fr:5724‑5736) [Se si dicesse che la retta BV non tocca la curva BR in B, allora si potrebbe condurre da B una qualunque retta BK inclinata su BV di un angolo così piccolo da non tagliare la curva BR. Sia essa BK. Si conduca il raggio AL parallelo a BK, e sia LH perpendicolare alla stessa BK. … LH è dunque uguale al seno dell’arco BL e perciò minore del medesimo arco. Ma la retta LHO … è uguale a questo stesso arco. … quindi una certa parte della curva BR, sulla quale si trova il punto O, cadrà all’interno dell’angolo VBK, per quanto piccolo si prenda quest’angolo. Da ciò è manifesto che la retta BK taglia la curva, e di conseguenza la retta BV la tocca nel punto B.]

La conclusione unifica l’intera trattazione: il globo che ruota con la ruota tende, rispetto al raggio su cui è posto, a descrivere una curva che tocca il raggio medesimo nel punto occupato dal corpo. Perciò il filo non può che essere teso come se il globo cercasse di muoversi proprio lungo il prolungamento radiale. L’analisi, fondata sulle quantità infinitesime e sul conatus valutato al primo istante del moto, mostra come l’apparente paradosso tra direzione tangenziale della velocità e tensione radiale si risolva nella perfetta equivalenza tra la tendenza centrifuga e la gravità: in entrambi i casi, il moto nascente è uniformemente accelerato lungo la direzione del vincolo.

“Comme le globe qui tourne avec la roue tend donc à décrire une courbe par rapport au rayon sur lequel il est situé, savoir une courbe telle qu’elle touche le rayon, il apparaît qu’en vertu de cette tendance le fil auquel le globe est lié ne doit pas être tendu d’autre façon que si le globe avait la tendance de se mouvoir suivant le prolongement même du rayon.” – (fr:5736) [Poiché il globo che ruota con la ruota tende dunque a descrivere una curva rispetto al raggio sul quale è situato, ossia una curva tale che tocca il raggio, appare che in virtù di questa tendenza il filo a cui il globo è legato non deve essere teso in modo diverso che se il globo avesse la tendenza a muoversi lungo il prolungamento stesso del raggio.]

Storicamente, il brano testimonia in modo nitido il metodo con cui Huygens giunse a esprimere la forza centrifuga senza ancora disporre del calcolo differenziale formalizzato, sfruttando in suo luogo un’acuta scomposizione geometrica del moto in archi infinitesimi, lo studio del limite iniziale e la costruzione di curve come l’evolvente. L’insistenza sul fatto che il conatus sia indipendente dalla causa e vada valutato solo “in initio motus” (fr:5633) costituisce un precoce principio di inerzia istantanea, mentre la riduzione della spinta centrifuga a un moto accelerato lungo il filo, identico a quello di un grave sospeso, segna un passaggio decisivo verso l’unificazione newtoniana della meccanica celeste e terrestre.

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23 La forza centrifuga e la gravità: le proposizioni IV e V del “De vi centrifuga” di Huygens

Nel Tomo XVI delle Œuvres complètes, sotto il titolo “Percussion”, Christiaan Huygens espone due proposizioni che legano la forza centrifuga al periodo di rivoluzione e la equiparano, sotto precise condizioni, alla forza di gravità.

Il testo presenta, in edizione bilingue latino-francese, il cuore della trattazione huygensiana della forza centrifuga. La struttura argomentativa poggia su una cinematica degli archi infinitesimi e sulla legge galileiana della caduta dei gravi, sintetizzando in proporzioni geometriche i rapporti tra velocità, tempo e tendenza a recedere dal centro.

La Proposizione IV stabilisce la relazione tra i tempi di rivoluzione di due mobili uguali che percorrono circonferenze disuguali con la medesima forza centrifuga. L’enunciato francese recita: «Lorsque deux mobiles égaux, décrivant des circonférences inégales, ont une force centrifuge égale, le temps de révolution dans la plus grande circonférence sera au temps de révolution dans la plus petite dans un rapport égal à la racine carrée du rapport des diamètres» – (fr:5893) [Quando due mobili uguali, descrivendo circonferenze disuguali, hanno una forza centrifuga uguale, il tempo di rivoluzione nella circonferenza maggiore starà al tempo di rivoluzione nella minore in un rapporto uguale alla radice quadrata del rapporto dei diametri]. La versione latina lo condensa in: «Si mobilia duo aequalia in circumferentiis inaequalibus circumlata vim centrifugam aequalem habuerint, erit tempus circuitus in majori circumferentia ad tempus circuitus in minori in subduplicata ratione diametrorum» – (fr:5914) [Se due mobili uguali, portati in giro su circonferenze disuguali, avranno forza centrifuga uguale, il tempo di un giro sulla circonferenza maggiore starà al tempo di un giro sulla minore in rapporto dimezzato dei diametri, cioè come la radice quadrata del rapporto dei diametri]. La dimostrazione introduce un terzo mobile fittizio che percorre un arco CE nello stesso tempo: «La vitesse de ce mobile supposé sera donc à celle de l’un et l’autre de ceux-là comme l’arc CE est à l’arc BD, c. à d. dans le rapport AC:AB» – (fr:5885) [La velocità di questo mobile supposto starà alla velocità dell’uno e dell’altro di quelli come l’arco CE sta all’arco BD, cioè nel rapporto AC:AB]. Applicando le Proposizioni I e II, sulle forze centrifughe in funzione del raggio e della velocità, si giunge alla conclusione che «la force centrifuge du mobile qui parcourt l’arc BD est à la force de celui qui pendant le même temps parcourt l’arc égal CF, comme BA est à AG, c’est-à-dire comme AC est à AB» – (fr:5891) [la forza centrifuga del mobile che percorre l’arco BD sta alla forza di quello che nello stesso tempo percorre l’arco uguale CF, come BA sta ad AG, cioè come AC ad AB], da cui segue il rapporto tra i tempi.

La Proposizione V rappresenta un vertice teorico, poiché dimostra che, sotto una condizione ben precisa, la forza centrifuga uguaglia esattamente il peso del mobile. L’enunciato latino afferma: «Si mobile in circumferentia circuli feratur ea celeritate, quam acquirit cadendo ex altitudine, quae sit quartae parti diametri aequalis, habebit conatum à centro recedendi aequalem suae gravitati, hoc est, aeque validè filum, quo retinetur, trahet, atque cum ex illo suspensum est» – (fr:5947) [Se un mobile è portato sulla circonferenza di un cerchio con la velocità che acquista cadendo da un’altezza uguale alla quarta parte del diametro, avrà una tendenza ad allontanarsi dal centro uguale alla sua gravità, cioè tirerà il filo che lo trattiene con la stessa forza di quando vi è sospeso]. La costruzione geometrica parte da un cerchio di raggio AB parallelo all’orizzonte: «Soit donné un cercle à centre A et à rayon AB, parallèle à l’horizon, sur la circonférence duquel se meuve un mobile d’un mouvement uniforme, avec une vitesse égale à celle qu’il acquerrait en tombant verticalement d’une hauteur égale à la moitié de AB, c’est-à-dire à CB» – (fr:5931-5932) [Sia dato un cerchio di centro A e raggio AB, parallelo all’orizzonte, sulla cui circonferenza si muova un mobile di moto uniforme, con una velocità uguale a quella che acquisterebbe cadendo verticalmente da un’altezza uguale alla metà di AB, cioè CB]. Poiché il diametro è 2AB, la quarta parte del diametro è proprio CB = ½AB, che è l’altezza di caduta che genera la velocità tangenziale del moto circolare.

La dimostrazione utilizza un elemento infinitesimo BE della tangente BD, tracciando la retta EAH che interseca la circonferenza in F, e impone la proporzione «comme le carré de DB est au carré de BE, ainsi BC à CG en longueur» – (fr:5935) [come il quadrato di DB sta al quadrato di BE, così BC sta a CG in lunghezza]. In tal modo si costruisce un segmento CG che rappresenta lo spazio che il mobile percorrerebbe in caduta accelerata nello stesso tempo in cui percorre BE con la velocita di rivoluzione: «l’espace CG est parcouru d’un mouvement accéléré partant du repos dans le même temps que l’espace BE d’un mouvement uniforme avec la vitesse que le mobile possède par hypothèse en décrivant la circonférence» – (fr:5968) [lo spazio CG è percorso di moto accelerato a partire dalla quiete nello stesso tempo in cui lo spazio BE è percorso di moto uniforme con la velocità che il mobile possiede per ipotesi descrivendo la circonferenza]. L’argomento chiave consiste poi nel mostrare che CG è uguale al segmento FE, il quale rappresenta la distanza di cui il mobile si allontanerebbe dal cerchio se fosse lasciato libero. Dimostrata l’uguaglianza, se ne deduce che «la tendance du mobile suspendu à choir d’un mouvement accéléré, est absolument égale à la tendance du même mobile par laquelle, lorsqu’il décrit sa circonférence, il s’essorce à s’éloigner de son fil d’un mouvement semblablement accéléré» – (fr:5971) [la tendenza del mobile sospeso a cadere di moto accelerato è assolutamente uguale alla tendenza del medesimo mobile, quando descrive la sua circonferenza, a sforzarsi di allontanarsi dal suo filo con moto similmente accelerato].

L’insieme di queste pagine assume un rilievo storico e testimoniale notevole. Huygens vi condensa i risultati ottenuti già nel 1659, fondando la legge della forza centrifuga (proporzionale al quadrato della velocità e inversamente proporzionale al raggio) e mostrando per la prima volta un’equivalenza esatta fra tale forza e la gravità quando la velocità di rivoluzione è quella che un grave acquisterebbe cadendo da un’altezza pari a metà del raggio. Il testo attesta inoltre il metodo caratteristico di Huygens: l’impiego sistematico di proporzioni, la rappresentazione dei tempi con segmenti, l’uso dell’infinitesimo geometrico prima del calcolo differenziale. La compresenza del latino originale e della traduzione francese riflette l’edizione postuma curata dagli editori delle Œuvres complètes, che intendevano rendere accessibile l’opera al pubblico colto del XVIII secolo, ma nel farlo conservano intatta la struttura logica e la precisione terminologica che avrebbero influenzato profondamente Newton e la meccanica classica.

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24 Il moto di globuli su superfici concave e la misura del tempo per mezzo della forza centrifuga

Huygens indaga le condizioni di equilibrio e il periodo di rivoluzione di un globulo in rotazione entro superfici coniche, paraboliche e sferiche, traendo considerazioni sulla stabilità del moto e sulla possibilità di costruire un misuratore del tempo più esatto del pendolo.

L’analisi prende le mosse dal comportamento di un globulo posto all’interno di un cono concavo rovesciato, nel quale il moto circolare è in grado di autosostenersi per un certo intervallo temporale. L’osservazione è diretta: «si enim in vitrum hujus formae imponatur conversoque celeriter vitro, dein firmato, circumcursare in eo globulus coeperit, puta in circulo CD; aliquamdiu hunc motum continuare cernitur, ut nec altius ascendat nec deorsum labatur» – (fr:6764) [se infatti si introduce un globulo in un vetro di questa forma e, fatto ruotare rapidamente il vetro e poi tenuto fermo, il globulo avrà cominciato a correre in circolo, poniamo nel circolo CD; si osserva che continua questo moto per un certo tempo, senza salire più in alto né scivolare in basso]. La ragione risiede nell’equilibrio tra la forza centrifuga e la componente della gravità lungo la superficie inclinata. A differenza di quanto avverrebbe in un tubo inclinato – dove l’equilibrio è instabile, come annota Huygens con l’appunto marginale «Huygens veut dire que cet équilibre est instable, tandis qu’au contraire celui d’un globe tournant dans une cavité en forme de cône renversé est stable» – (fr:6769), nel cono concavo il globulo tende a riportarsi da solo verso l’alto se scende verso un circolo minore: da un lato, se si immagina che salga a un circolo maggiore, la minor forza centrifuga sviluppata lo farebbe ricadere; dall’altro, se perde velocità per attrito, scenderà solo gradualmente, come indicato in «ne quidem descendet itaque ex DC, nisi cum celeritatem paulatim amiserit, occursu aëris et vitri globique asperitate nonnulla» – (fr:6773) [e non scenderà affatto da DC, se non quando avrà perso a poco a poco velocità per l’incontro con l’aria e per una certa asperità del vetro e del globulo].

Il medesimo fenomeno si presenta nel calice parabolico, con una proprietà notevole: tutte le rivoluzioni sono isocrone, qualunque sia il circolo descritto. «Hoc autem pulcrum in hujusmodi calice vel speculo parabolico, quod globus in eo circumiens omnes revolutiones σοχρόνους habet, quocunque loco currens» – (fr:6776) [Questo poi è bello in un calice o specchio parabolico di tal genere, che il globo che vi ruota compie tutte le rivoluzioni in tempi uguali, in qualunque punto stia correndo]. La dimostrazione muove dalla constatazione che, nel paraboloide, la forza richiesta per sostenere il globulo è la medesima che servirebbe in un canale parabolico: «Est enim globo ad se sustinendum eadem vi hîc opus atque in canali parabolico» – (fr:6778). Se ne deduce che il tempo di percorrenza di un circolo deve essere identico a quello di ogni altro, perché una variazione comporterebbe un eccesso o un difetto di forza centrifuga rispetto a quella necessaria all’equilibrio. «Itaque apparet eodem tempore utrumque percurri; eâdemque ratione quemcunque alium in calice circulum» – (fr:6783) [Così risulta che entrambi sono percorsi nello stesso tempo; e per la stessa ragione qualunque altro circolo nel calice].

Da questa regolarità scaturisce una proposta di strumento cronometrico: «Minimo motu calicis, ita ut vertex ejus circellum exiguum describat, continuari potest motus globuli; cujus si circuitus numerentur, exacta temporis mensura hoc pacto habebitur, pendulo accuratior» – (fr:6784) [Con un minimo moto del calice, in modo che il suo vertice descriva un piccolo cerchietto, si può mantenere il moto del globulo; e se se ne contano i giri, si otterrà in questo modo una misura esatta del tempo, più precisa di un pendolo]. La precisione è però subordinata alla forma della superficie: se si sostituisce lo specchio parabolico con uno sferico di raggio 9½ once, l’effetto è solo approssimativamente analogo e i circuiti più ampi risultano leggermente più rapidi. «Si loco speculi parabolici sumas sphaericum radio 9½ unc. […] effectum videbis, sed erunt tamen circuitus paulo celeriores, et ij maxime qui erunt latissimi» – (fr:6787-6798) [Se al posto dello specchio parabolico prendi uno sferico di raggio 9½ once, vedrai l’effetto, ma i circuiti saranno tuttavia un po’ più rapidi, e soprattutto quelli che saranno i più ampi].

Il confronto tra superficie conica, parabolica e sferica si allarga allo studio del pendolo conico, ossia del globulo sospeso a un filo e fatto ruotare in modo da descrivere un cono. Huygens fissa una condizione quantitativa precisa: affinché il globulo percorra un circolo orizzontale con angolo al vertice semiretto, occorrono specifici valori di lunghezza. Nella prima stesura si leggeva «AG autem vel GB ∞ 8 3/10 unc. pedis Rhenol. […] ei oportet singulis secundis circulum BE horizontalem percurri» – (fr:6805-6807), valore che una correzione marginale rettifica in 9½ once, come indicato anche in «5) En marge: 9½» – (fr:6819). Con tale lunghezza del filo e angolo di 45°, il giro completo si compie esattamente in un secondo, fornendo così un ulteriore metodo per scandire il tempo attraverso la forza centrifuga.

L’analisi si estende infine a una determinazione più generale del tempo di rivoluzione necessario a mantenere il globulo in un circolo di quota differente sulla medesima superficie sferica. «In concavo autem sphaerico eandem esse apparet temporum circulationis determinationem, ideoque tempora in ejusmodi concavo inaequalia esse» – (fr:6827) [Nel concavo sferico appare esservi la medesima determinazione dei tempi di circolazione, e perciò i tempi in un siffatto concavo sono disuguali]. La procedura si serve di medie proporzionali per calcolare il tempo cercato a partire dalla geometria del sistema: «Hoc est si fiat ut BG vel GA ad mediam proportionalem inter GA et HA, ita 1” ad aliud; id erit tempus quo circuitus in K absolvi debet, ut se illic sustinere globulus possit» – (fr:6825) [Ciò significa: se si fa come BG o GA sta alla media proporzionale tra GA e HA, così 1” sta a un altro tempo; quello sarà il tempo in cui il circuito in K deve compiersi, affinché il globulo possa lì sostenersi]. Quest’ultimo risultato è coerente con le proposizioni precedenti, compreso il Lemma II richiamato da Huygens e le correzioni di numerazione appuntate dagli editori, come «1) Les éditeurs (bien qu’ils n’aient pas publié ce texte) ont corrigé le ‘8’ en ‘prop. 3’» – (fr:6788-6789).

[14.2/2-76-6833|6908]

25 Dimostrazione dell’attrazione centrifuga e teoremi fondamentali nell’appendice al «De vi centrifuga»

Dall’equivalenza con un sistema di pesi e piani inclinati fino ai teoremi sul pendolo conico: il nucleo manoscritto della dinamica huygensiana.

Il testo proviene dall’Appendice II all’opera De vi centrifuga di Christiaan Huygens, contenuta nel Tomo XVI delle Oeuvres complètes. Vi si trova una dimostrazione dell’attrazione centrifuga trasmessa al centro di rotazione, annotazioni marginali e una lista di teoremi tratti dagli Excerpta ex Adversarijs huygensiani.

Huygens imposta il problema attraverso un’equivalenza meccanica. Per un globo B fatto ruotare con un filo AB e descrivente il cerchio BC, la forza centrifuga che lo sostiene è la stessa che lo sosterrebbe sul piano BE, perpendicolare ad AB, qualora venisse tirato lungo la retta DBG. Affinché ciò accada occorrerebbe che il filo BG fosse tirato da un peso che stia alla gravità del globo come BF a FE, e a quel peso la forza centrifuga fa ora equilibrio: “Est enim vis centrifuga qua globus sese sustinet eadem atque ea qua se sustineret in plano BE (perpendiculari ad AB) si traheretur secundum rectam DBG, ad hoc autem opus esset funem BG trahi pondere [Fig. 12] 1) quod esset ad gravitatem globi sicut BF ad FE, per 9, cui ponderi nunc aequipollet vis centrifuga.” – (fr:6833-6834) [La forza centrifuga con cui il globo si sostiene è infatti la stessa con cui si sosterrebbe sul piano BE (perpendicolare ad AB) se fosse tirato lungo la retta DBG; per questo bisognerebbe che il filo BG fosse tirato da un peso [Fig. 12] 1) che sta alla gravità del globo come BF a FE, per la Proposizione 9, e a questo peso ora fa equilibrio la forza centrifuga.]

Mentre la forza centrifuga agisce come quel peso, il globo è simultaneamente tratto verso il basso dalla sua intera gravità lungo la perpendicolare BF: “Idem vero globus tota gravitate sua deorsum trahitur secundum perpendiculum BF.” – (fr:6835) [Ma lo stesso globo è tirato verso il basso per l’intera sua gravità lungo la perpendicolare BF.] La situazione è perciò assimilabile a quella in cui l’estremità del filo B fosse collegata a due fili, BG e BF: BF sorregge un peso uguale al globo, BG è tirato da una gravità che sta a quella del globo come BF a FE. “Itaque sic se res habet tanquam si extremus funis B duobus alijs colligatus sit nimirum BG, BF, [Fig. ] quorum BF appensam habeat gravitatem ipsi B globo aequalem, alter vero BG trahatur à gravitate quae sit ad gravitatem globi B ut BF ad FE.” – (fr:6836-6837) [E così la situazione è come se l’estremità del filo B fosse collegata a due altri fili, cioè BG e BF [Fig. 12], dei quali BF porta un peso applicato uguale al globo B stesso, e l’altro BG è tirato da una gravità che sta alla gravità del globo B come BF a FE.]

Di conseguenza, in A occorre un peso L per sostenere il sistema. Dalle leggi meccaniche si ricava che L sta a H (il peso appeso a BF) come AB sta ad AD. “Invenitur ex mechanicis pondus L se habere ad H ut AB ad AD.” – (fr:6839) [Dalla meccanica si trova che il peso L sta ad H come AB sta a AD.] Perciò quando il globo ruota, in A si avverte un’attrazione esattamente uguale al peso L: “tanta igitur attractio quanta est ponderis L, sentitur in A, cum globus B circumducitur fune AB in circulo BC.” – (fr:6840) [Quindi un’attrazione pari al peso L si avverte in A, quando il globo B viene fatto ruotare con il filo AB nel cerchio BC.] Da questo risultato Huygens conclude che, per una data massa B, l’attrazione al vertice A rimane costante qualunque sia la lunghezza del filo, purché l’angolo del cono descritto dal filo resti invariato: “Sequitur hinc, quaecunque fuerit funis AB longitudo, si angulus coni quem is funis describit idem existat idemque pondus maneat B, eandem sentiri attractionem in A vertice.” – (fr:6842) [Ne consegue che, qualunque sia la lunghezza del filo AB, se l’angolo del cono che il filo descrive rimane lo stesso e il peso B rimane invariato, si avverte la medesima attrazione nel vertice A.]

Un appunto marginale, siglato Percussione, offre una via più diretta: basta considerare che il conato di allontanarsi dal centro è diretto orizzontalmente come BG, e nella rotazione si aggiunge alla gravità o attrazione del peso B tanto quanto si aggiungerebbe se un filo BG parallelo all’orizzonte lo trattenesse. “Percussion Considera tantum conatum recedendi a centro esse secundum horizontalem lineam ut BG, ideoque in gyratione fili in situ AB tantundem accedere gravitati vel attractioni ponderis B, quantum accederet si quis filo BG horizonti parallelo in situ illo ipsum retineret” – (fr:6851) [Percussione: Considera soltanto che il conato di allontanarsi dal centro è diretto secondo la linea orizzontale BG, e perciò nella rotazione del filo nella posizione AB si aggiunge alla gravità o attrazione del peso B tanto quanto si aggiungerebbe se qualcuno, con il filo BG parallelo all’orizzonte in quella posizione, lo trattenesse.] Segue che per equilibrare B occorre un peso L tale che L stia a B come PB a BO, ovvero come BA a AD. “Percussion vitati accedere ut opus sit pondere L ad aequilibrandum B, ut nempe L sit ad B sicut PB ad BO, hoc est, ut BA ad AD.” – (fr:6859) [Percussione: ne segue che occorre il peso L per equilibrare B, ossia L sta a B come PB a BO, cioè come BA a AD.] Ruotando il peso nell’estensione AB, l’attrazione in A è quella che darebbe il semplice peso L appeso, e si può quindi tralasciare sia il piano BE sia il peso K. “Ergo apparet gyrando pondus B in extensione AB, sentiri in A attractionem quantam facit pondus L simpliciter appensum. Itaque пес planum BE пес pondus K considerare opus est” – (fr:6860-6861) [Quindi è chiaro che, ruotando il peso B nell’estensione AB, si avverte in A un’attrazione pari a quella che produrrebbe il semplice peso L appeso. E così non è necessario considerare né il piano BE né il peso K.]

Le note editoriali in francese fanno luce sull’apparato grafico e sulle scelte dei curatori. Huygens aveva tracciato in margine una figura poco diversa dalla Fig. 12, dove il peso K e la puleggia in G sono sostituiti da una mano che tira nella direzione BG; gli editori aggiunsero nella Fig. 12 le lettere O e P, che compaiono solo in quest’ultima versione (fr:6843-6847, 6852-6856). Inoltre, la nota 3 (fr:6862) spiega perché furono soppressi i paragrafi 1-8 e 10-17: Huygens aveva continuato la numerazione fino al § 20, ma i §§ 18, 19 e 20 corrispondevano già alle dimostrazioni delle Proposizioni IX, XVI e XVII del trattato pubblicato. Dopo il § 20 seguivano le considerazioni sulla pesantezza che aprono il trattato a stampa (fr:6870).

La porzione successiva è costituita dall’Appendice II all’opera De vi centrifuga. Raccoglie tredici teoremi tratti dalle pp. 43-45 del Manoscritto n. 13, intitolato Excerpta ex Adversarijs Christiani Hugenij, dove Huygens era solito registrare le sue principali scoperte (fr:6884-6885). Le date apposte vanno dal 26 febbraio 1663 al 5 maggio 1673 (fr:6888). I teoremi pongono le basi quantitative della forza centrifuga e del pendolo conico, molti dei quali confluirono nel trattato edito da de Volder e Fullenius.

I principi sono esposti con nitido rigore:

1. “Si mobile in circumferentia circuli feratur ea celeritate quam acquirit cadendo ex altitudine quae sit quartae parti diametri aequalis; habebit conatum a centro recedendi aequalem suae gravitati; hoc est, aeque valide filum quo retinetur intendet atque cum ex eo suspensum est” – (fr:6875) [Se un mobile si muove sulla circonferenza di un cerchio con la velocità che acquista cadendo da un’altezza uguale alla quarta parte del diametro, avrà il conato di allontanarsi dal centro uguale alla sua gravità; ossia tenderà il filo da cui è trattenuto con forza pari a quando vi è sospeso.]
   
2. “Si duo mobilia aequalia aequali velocitate feruntur in circulis inaequalibus, erunt eorum vires centrifugae in ratione contraria diametrorum” – (fr:6877) [Se due mobili uguali sono portati con uguale velocità in cerchi disuguali, le loro forze centrifughe staranno in ragione inversa dei diametri.]
   
3. “Si duo mobilia aequalia aequalibus in circulis gyrentur, celeritatibus inaequalibus, sed utraque motu aequabili; erit vis centrifuga velocioris ad vim tardioris, in duplicata ratione celeritatum” – (fr:6879) [Se due mobili uguali sono fatti ruotare in cerchi uguali, con velocità disuguali ma entrambi con moto uniforme, la forza centrifuga del più veloce a quella del più lento starà nel rapporto duplicato delle velocità.]
   
4. “Si mobilia duo aequalia, aequalibus temporibus, circulos inaequales percurrant, erit vis centrifuga in majori circulo ad eam quae in minori, sicut diameter majoris circuli ad minoris diametrum” – (fr:6881) [Se due mobili uguali percorrono in tempi uguali cerchi disuguali, la forza centrifuga nel cerchio maggiore a quella nel minore starà come il diametro del cerchio maggiore al diametro del minore.]
   
5. “Si mobilia duo aequalia, in circumferentijs inaequalibus circumlata, vim centrifugam aequalem habuerint, erit tempus circuitus in majori circumferentia ad tempus circuitus in minori, in subdupla ratione diametrorum” – (fr:6883) [Se due mobili uguali, portati su circonferenze disuguali, hanno forza centrifuga uguale, il tempo di un giro nella circonferenza maggiore a quello del giro nella minore starà nel rapporto sottomultiplice (subduplicato) dei diametri.]
   
6. “Si mobilia duo ex filis suspensa gyrentur ita ut circulos horizontales describant, capite altero fili immoto manente, fuerint autem conorum quorum superficies fila hoc motu describunt, altitudines aequales: tempora quoque aequalia erunt quibus utrumque mobile circulum suum percurrit” – (fr:6901) [Se due mobili, sospesi a fili, vengono fatti ruotare in modo da descrivere cerchi orizzontali, restando fermo l’altro capo del filo, e le altezze dei coni le cui superfici i fili descrivono con questo moto sono uguali, anche i tempi con cui ciascun mobile percorre il suo cerchio saranno uguali.]
   
7. “Si mobilia duo, ex filis suspensa, gyrando describant circulos horizonti parallelos, erunt tempora circulationum in subduplicata ratione altitudinum conorum, quorum superficiem fila percurrunt” – (fr:6903) [Se due mobili, sospesi a fili, ruotando descrivono cerchi paralleli all’orizzonte, i tempi delle circolazioni staranno nel rapporto sottomultiplice delle altezze dei coni le cui superfici sono percorse dai fili.]
   
8. “Hinc sequitur, si mobile ex filo suspensum, cujus alterum caput sixum manet, descripserit circulos inaequales horiz. parallelos, tempora circulationum fore in subduplicata ratione sinuum angulorum quibus filum ad planum horizontis inclinatur” – (fr:6905-6906) [Da qui segue che, se un mobile sospeso a un filo, il cui altro capo rimane fisso, descrive cerchi disuguali paralleli all’orizzonte, i tempi delle circolazioni staranno nel rapporto sottomultiplice dei seni degli angoli di cui il filo è inclinato rispetto al piano dell’orizzonte.]
   
9. “Si in ejusmodi gyratione fuerit angulus, quo filum ad horizontis planum inclinatur, semirectus; erit tempus circuitus unius ad tempus casus perpendicularis ex dimidia coni, quem filum describit, altitudine, ut circumferentia circuli ad radium” – (fr:6907) [Se in una tale rotazione l’angolo di inclinazione del filo rispetto al piano dell’orizzonte è semiretto, il tempo di un giro al tempo di caduta perpendicolare dalla metà dell’altezza del cono descritto dal filo starà come la circonferenza del cerchio al raggio.]

La maggior parte di questi teoremi riappare nel trattato a stampa, con una redazione leggermente diversa (cfr. Proposizioni I-V e IX, fr:6889-6897); l’undicesimo e il tredicesimo, invece, rimasero inediti (fr:6886-6887). L’insieme costituisce una testimonianza decisiva del percorso che, partendo dagli studi di Huygens sul moto circolare, aprì la strada alla formalizzazione della forza centrifuga, anticipando per molti aspetti la sintesi newtoniana.

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26 La definizione storica di “momento” e il centro di gravità da Commandino a Varignon

Un’estesa nota delle Oeuvres complètes di Huygens (Tomo XVI, Percussion) ricostruisce l’evoluzione del termine “momento” e chiarisce come il significato moderno di prodotto di una forza per una distanza sia emerso solo gradualmente, distinguendosi dall’originaria idea di equilibrio.

Il testo si apre citando la definizione di centro di gravità data da Federico Commandino nel 1565: “Si enim per tale centrum ducatur planum figuram quomodocumque secans semper in partes aequiponderantes ipsam dividet” – (fr:7334) [Se infatti per un tale centro si conduce un piano che tagli la figura in un modo qualunque, la dividerà sempre in parti di egual peso]. Tuttavia, la nota avverte subito che l’espressione “aequalia momenta” impiegata in quel contesto non va intesa nel senso preciso che le si potrebbe attribuire oggi: “Percussion mais ici l’expression ‘aequalia momenta’ n’a nullement le sens précis qu’on serait tenté de lui attribuer: l’auteur parle en somme de parties qui se tiennent en équilibre puisqu’elles possèdent l’une par rapport à l’autre une vertu équilibrante égale” – (fr:7337) [Qui però l’espressione ‘aequalia momenta’ non ha affatto il senso preciso che si sarebbe tentati di attribuirle: l’autore parla insomma di parti che stanno in equilibrio perché possiedono l’una rispetto all’altra una capacità equilibrante uguale]. La stessa idea è ribadita da Guldin nel 1635, il quale ripete quasi le stesse parole di Commandino e aggiunge: “Notandum vero partes illas binas… aequiponder antes esse respectu centri gravitatis totius: hoc enim est esse aequalium momentorum” – (fr:7338) [Si deve notare che quelle due parti… sono equilibrate rispetto al centro di gravità dell’intero: questo significa infatti essere di momenti uguali].

Galileo, nella Meccanica, offre una definizione simile di centro di gravità: “Centro della gravità si diffinisce essere in ogni corpo grave quel punto, intorno al quale consistono parti di eguali momenti: si che, imaginandoci tale grave essere dal detto punto sospeso e sostenuto, le parti destre equilibreranno le sinistre, le anteriori le posteriori, e quelle di sopra quelle di sotto” – (fr:7339) [Centro di gravità si definisce essere in ogni corpo grave quel punto intorno al quale si trovano parti di eguali momenti, cosicché, immaginando quel grave sospeso e sostenuto da detto punto, le parti destre controbilanceranno le sinistre, le anteriori le posteriori e quelle di sopra quelle di sotto]. Il termine “momento”, però, in Galileo non ha un’accezione univoca. Da un lato egli lo definisce come “Momento è la propensione di andare al basso, cagionata non tanto dalla gravità del mobile, quanto dalla disposizione che abbino tra di loro diversi corpi gravi… È dunque il momento quell’impeto di andare al basso, composto di gravità, posizione e di altro, dal che possa essere tal propensione cagionata” – (fr:7341) [Il momento è la propensione ad andare verso il basso, causata non tanto dalla gravità del mobile quanto dalla disposizione che diversi corpi gravi hanno tra loro… È dunque il momento quell’impeto di andare verso il basso, composto di gravità, posizione e d’altro da cui possa essere causata tale propensione]. Dall’altro, nel concreto funzionamento di una leva, Galileo osserva: “io non ho nominato la gravità totale del sasso, ma ho parlato del momento che egli tiene ed esercita sopra ‘l punto A, estremo termine della leva BA, il quale è sempre minore dell’ intero peso del sasso” – (fr:7342) [non ho nominato la gravità totale del sasso, ma ho parlato del momento che esso possiede ed esercita sul punto A, estremità della leva BA, il quale è sempre minore dell’intero peso del sasso]. Qui il momento indica una forza parziale. In un altro passo, relativo a una trave incastrata in un muro, Galileo afferma che essa “ha momento doppio di quello che arebbe pendendo dal mezzo” – (fr:7370) [ha momento doppio di quello che avrebbe pendendo dal mezzo]; la nota commenta che in questo caso l’espressione “momento” “se rapproche du moment statique moderne” – (fr:7373) [si avvicina al moderno momento statico]. Ciononostante, “même dans des passages de ce dernier genre, Galilée ne définit jamais la grandeur d’un moment par le produit d’une force et d’une distance” – (fr:7374) [persino in passaggi di quest’ultimo genere, Galileo non definisce mai la grandezza di un momento come il prodotto di una forza per una distanza].

La prima opera in lingua moderna che definisce esplicitamente il momento come prodotto è, secondo la nota, quella di Pierre Varignon del Varignon scrive: “l’on voit que l’action d’une puissance ne se prend pas seulement de la grandeur de la force, mais aussi de la distance de sa ligne de direction au point d’appui du levier sur lequel elle agit: de sorte que le produit de cette distance par la force de cette puissance, est la juste mesure de son action, ou de l’impression qu’elle fait sur ce levier” – (fr:7376) [si vede che l’azione di una potenza non dipende solo dalla grandezza della forza, ma anche dalla distanza della sua linea di direzione dal punto d’appoggio della leva su cui agisce: cosicché il prodotto di questa distanza per la forza di tale potenza è la giusta misura della sua azione, ovvero dell’impressione che essa produce sulla leva]. Più tardi, lo stesso Varignon battezza questo prodotto col nome di “momento”: “Le produit de chaque poids ou puissance absolue par sa distance à l’appui du Levier auquel elle est appliquée, s’appelle en Latin Momentum… nous ne laisserons pourtant pas de l’appeler aussi Moment” – (fr:7377) [Il prodotto di ciascun peso o potenza assoluta per la sua distanza dall’appoggio della leva a cui è applicata, si chiama in latino Momentum… non mancheremo tuttavia di chiamarlo anche Momento].

La nota precisa che, benché Huygens già nel 1662 considerasse effettivamente il momentum come il prodotto di un peso per una distanza, non si può attribuire a Varignon la paternità di un linguaggio comune tra gli autori latini. Né il padre Fabri né Maurolico, che pure parlano di momenta in senso prossimo al prodotto, osano mai moltiplicare semplicemente un peso per una distanza per dire che quel prodotto costituisce il momentum. Il primo a parlare apertamente del momento in termini di prodotto è John Wallis: nel 1659, nella sua lettera a Huygens, descrive i momenti degli elementi di superficie come una serie in cui ogni termine è il prodotto di un elemento per una distanza; nello stesso anno, nel trattato sulla cicloide, Wallis scrive: “Per momentum autem, tum hic, tum passim alibi, intelligo factum ex magnitudine in distantiam ab aequilibrii plano ducta; ut quae momentis sunt proportionalia” – (fr:7423) [Per momento, poi, sia qui sia altrove, intendo il prodotto della grandezza per la distanza dal piano di equilibrio; di modo che siano proporzionali ai momenti stessi]. Wallis si ispira ai metodi degli indivisibili di Cavalieri e giunge a dimostrare l’unicità del centro di gravità di ogni corpo.

La nota sottolinea infine come la nozione di momento inteso come proporzionale al prodotto di peso e distanza affondi le radici nella scienza greca, mediata dagli arabi: essa è già presente nel Jordani Opusculum de ponderositate edito da Tartaglia (1565) e, ancor prima, nell’Elevatore di Erone d’Alessandria, che a sua volta si appoggia al trattato perduto Περὶ ζυγῶν di Archimede. L’analisi complessiva restituisce, attraverso una puntuale citazione delle fonti, la lenta stratificazione di un concetto fondamentale: dalla semplice proprietà di equilibrio espressa da aequalia momenta fino al prodotto astratto che sarà alla base della meccanica razionale.

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27 La genesi della misura universale e lo sviluppo della dinamica huygensiana: dal pendolo semplice alla formulazione del centro di oscillazione

Il testo, tratto dall’edizione delle Oeuvres complètes di Christiaan Huygens (Tomo XVI, sezione Percussion), ricostruisce il cammino intellettuale che condusse lo scienziato olandese a concepire il pendolo come strumento per una misura invariabile e universale, e a sviluppare i principi della meccanica necessari a renderla praticabile. Già nel 1660, prima di ricevere la lettera di Sir Robert Moray, Huygens annotava in un sommario del suo trattato sull’orologio l’espressione “mensura universalis ope penduli” – (fr:7772) [misura universale per mezzo del pendolo], mostrando come l’idea di una lunghezza campione fondata sul pendolo fosse antecedente ai contatti con la Royal Society.

La proposta iniziale era quella di assumere come unità la lunghezza di un pendolo di forma determinata, capace di battere il secondo o il mezzo secondo: “On peut en effet prendre un pendule de forme déterminée … qui marque les demisecondes ou les secondes, et dire que la longueur de la tige ou du fil (ou cette longueur augmentée du rayon, ou du diamètre, de la sphère) constitue l’unité de longueur” – (fr:7773) [Si può in effetti prendere un pendolo di forma determinata … che segni le mezze secondi o i secondi, e dire che la lunghezza dell’asta o del filo (o questa lunghezza aumentata del raggio, o del diametro, della sfera) costituisce l’unità di lunghezza]. Nel 1661 Huygens misurava la “longueur… pour marquer une demie-seconde… depuis le point de suspension jusqu’au centre de la boule” – (fr:7775) [lunghezza… per segnare un mezzo secondo… dal punto di sospensione fino al centro della palla], trascurando però un fatto cruciale: “le fait qu’il prend des boules de différents rayons et que suivant lui, la distance nommée restant invariable, la période reste également la même, fait bien voir qu’il ne savait pas encore que le centre d’oscillation de la sphère se trouve en dessous du centre de figure, et que la distance des deux centres dépend du rayon” – (fr:7776) [il fatto che prenda sfere di raggi diversi e che secondo lui, rimanendo invariata la distanza suddetta, anche il periodo resti lo stesso, mostra bene che egli non sapeva ancora che il centro di oscillazione della sfera si trova al di sotto del centro di figura, e che la distanza fra i due centri dipende dal raggio]. Questa lacuna teorica è confermata dalla lettera del 10 febbraio 1662 a Moray, in cui Huygens afferma per esperienza che “pour avoir un pendule dont chaque vibration soit de demie seconde, il suffit de faire en sorte que le diametre de la boule soit moindre seulement que la 6e partie de la hauteur du pendule, et qu’il est tout un si la boule est de plomb, d’yvoire ou de cristal, quand on ne prend que les petites vibrations” – (fr:7782) [per avere un pendolo in cui ogni vibrazione sia di mezzo secondo, basta far sì che il diametro della palla sia soltanto minore della sesta parte dell’altezza del pendolo, e che è lo stesso se la palla è di piombo, d’avorio o di cristallo, quando si prendono solo le piccole vibrazioni]. Le esperienze condotte e progettate dalla Royal Society nel 1663 su corpi di materiali e forme differenti, volte principalmente a determinare la resistenza dell’aria, stimolarono probabilmente Huygens ad ampliare le sue ricerche dai pendoli lineari alle superfici piane e ai corpi di forma qualsiasi.

La consapevolezza che la definizione esatta della misura universale richiedesse la conoscenza del centro di oscillazione era ben presente: “il se rendait très bien compte du fait que pour donner une définition exacte et vraiment pratique de la mesure universelle il faut connaître le centre d’oscillation; de cette façon le pendule qui bat les secondes ou les demi-secondes peut avoir une forme quelconque pourvu que la distance du point de suspension au centre d’oscillation ait une longueur donnée” – (fr:7788) [egli si rendeva perfettamente conto del fatto che per dare una definizione esatta e veramente pratica della misura universale bisogna conoscere il centro di oscillazione; in tal modo il pendolo che batte i secondi o i mezzi secondi può avere una forma qualsiasi purché la distanza dal punto di sospensione al centro di oscillazione abbia una lunghezza data]. Di conseguenza, Huygens poté poi dichiarare nell’Horologium oscillatorium (Proposizione XXV, De mensurae universalis, & perpetuae, constituendae ratione) che il desiderio di trovare il mezzo per definire una lunghezza invariabile mediante il pendolo era stato per lui un motivo per cercare il centro di oscillazione. Egli osserva che per la sfera la posizione del centro di oscillazione dipende dal raggio, e aggiunge: “Facile autem apparet cur necessaria sit hujus centri consideratio, ad accuratam pedis Horarii constitutionem, etc.” – (fr:7791) [Appare facilmente perché sia necessaria la considerazione di questo centro per la precisa costituzione del piede orario, ecc.].

La ricerca di un fondamento matematico per il centro di oscillazione si innesta su un principio dinamico che Huygens aveva già adottato nella Statica: “en mécanique c’est un axiome très certain que par un mouvement des corps qui résulte de leur gravité le centre commun de leur gravité ne peut pas s’élever” – (fr:7808) [in meccanica è un assioma molto certo che per un movimento dei corpi risultante dalla loro gravità il centro comune di gravità non può sollevarsi]. Per il caso delle oscillazioni ideali (prive di attrito e di resistenza dell’aria), egli ammette inoltre la reversibilità del fenomeno, ossia la risalita del centro di gravità esattamente all’altezza da cui è disceso, con velocità finali nulle. Tutti i suoi procedimenti, sia quelli in cui gli elementi del corpo urtano al punto più basso altri elementi uguali immaginandoli perfettamente duri, sia quelli in cui gli elementi stessi si svincolano l’uno dall’altro, si basano sull’idea che il “motus” si conservi e che ogni elemento, con l’espressione “motum sursum convertere” – (fr:7832) [convertire il moto verso l’alto], risalga fino al punto in cui la sua velocità è interamente esaurita.

Queste considerazioni, benché Huygens non impieghi la nozione moderna di energia cinetica, prefigurano una forma di conservazione. Più tardi, nel 1690, egli scriverà che “les corps doivent garder leur force ascensionelle & que pour cela la somme des quarrez de leurs vitesses [c.à.d. Σ mv²] doit demeurer la même” – (fr:7900-7901) [i corpi devono conservare la loro forza ascensionale e che perciò la somma dei quadrati delle loro velocità deve rimanere la stessa]. Il testo sottolinea che Huygens non ritenne che le speculazioni metafisiche di Leibniz sulla vis viva apportassero elementi ulteriori rispetto a quanto da lui già trovato. Tali riflessioni gli permisero di passare dai casi più semplici (pendolo lineare, superfici oscillanti nel loro piano) a un metodo generale per trovare il pendolo isocrono con una superficie oscillante perpendicolarmente al suo piano, fino alla formula generale, coronamento di un percorso in cui l’aspirazione a una misura universale “ope penduli” si intreccia inestricabilmente con lo sviluppo della dinamica del moto oscillatorio.

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28 Metodi di calcolo di Huygens per il centro di oscillazione e l’evoluzione del “metodo dei tre quarti”

Un’analisi dei procedimenti impiegati da Christiaan Huygens nel 1664 per determinare la lunghezza del pendolo isocrono, con particolare attenzione al cosiddetto “metodo dei tre quarti”, ai suoi limiti e alla sua successiva generalizzazione.

I calcoli dedicati alla percussione e al centro di oscillazione, confluiti nel Tomo XVI delle Oeuvres complètes di Huygens, furono in gran parte eseguiti nei mesi di settembre e ottobre del “La plupart de ces calculs ont été exécutés aux mois de septembre et d’octobre de l’année 1664” - (fr:7929) [La maggior parte di questi calcoli sono stati eseguiti nei mesi di settembre e ottobre dell’anno 1664]. In queste carte Huygens, pur non avendo ancora formulato la legge generale nella sua piena evidenza, utilizza una molteplicità di procedimenti ingegnosi per ridurre corpi e superfici a pendoli lineari equivalenti. L’indagine si fonda sul principio per cui “la longueur du pendule isochrone avec un corps oscillant quelconque est égale, comme on dira plus tard, au moment d’inertie du corps par rapport à l’axe de suspension, divisé par le produit de la ‘masse’ du corps par la distance de son centre de gravité à l’axe nommé” - (fr:7916) [la lunghezza del pendolo isocrono con un corpo oscillante qualsiasi è uguale, come si dirà più tardi, al momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse di sospensione, diviso per il prodotto della ‘massa’ del corpo per la distanza del suo centro di gravità dall’asse suddetto]. Questa formula generale, che permette di ottenere la “réduction cherchée de l’oscillation plane à l’oscillation perpendiculaire au plan de la figure” - (fr:7916) [riduzione cercata dell’oscillazione piana all’oscillazione perpendicolare al piano della figura], è il fondamento su cui si reggono le dimostrazioni successive, sebbene Huygens l’abbia probabilmente trovata solo poco dopo l’esecuzione dei calcoli in questione, e comunque prima del 10 ottobre

Per trovare il centro di oscillazione di un numero finito o infinito di punti pesanti, Huygens impiega inizialmente la cosiddetta “metodo diretto”, che scaturisce immediatamente dal principio fondamentale. “Pour trouver le centre d’oscillation d’un nombre fini ou infini de points pesants composant un pendule linéaire, Huygens se sert de ce qu’on peut appeler la ‘méthode directe’” - (fr:7932) [Per trovare il centro di oscillazione di un numero finito o infinito di punti pesanti che compongono un pendolo lineare, Huygens si serve di quella che si può chiamare la ‘metodo diretto’]. In alcuni casi specifici, per effettuare la somma dei prodotti dei diversi pesi per le altezze raggiunte nel moto libero, egli introduce una parabola, procedimento che viene definito “‘méthode de la parabole’” - (fr:7936) [‘metodo della parabola’]. Il metodo diretto trova applicazione non solo per pendoli lineari ma anche per sistemi di due punti pesanti su una linea orizzontale, per diverse linee oscillanti nel loro piano – come la semicirconferenza sospesa al centro, una linea orizzontale o una linea spezzata – e per superfici e solidi particolari, quali “une paire de surfaces triangulaires infiniment aigues” e “une paire de pyramides possédant la même propriété” - (fr:7938, 7939) [un paio di superfici triangolari infinitamente acute; un paio di piramidi che possiedono la stessa proprietà]. In tutti questi casi, “toutes ces figures sont décomposées, comme nous l’avons dit, en une infinité d’éléments pouvant exécuter chacun le mouvement ascensionnel libre” - (fr:7942) [tutte queste figure sono decomposte in un’infinità di elementi che possono ciascuno eseguire il movimento ascensionale libero].

Tra le tecniche elaborate da Huygens, un posto centrale è occupato dal cosiddetto “metodo dei tre quarti”, la cui applicazione più diretta è descritta per figure piane sospese a un punto. Esso consiste nel “calculer d’abord la longueur du pendule isochrone correspondant à ce qu’on peut appeler la ligne basale de la surface considérée (demi-circonférence de cercle, ligne brisée, ou ligne droite horizontale dans les trois cas considérés par Huygens), suspendue au même point et oscillant latéralement, et à multiplier ensuite cette dernière longueur par ¾” - (fr:7957) [calcolare dapprima la lunghezza del pendolo isocrono corrispondente a quella che si può chiamare la linea basale della superficie considerata, sospesa allo stesso punto e oscillante lateralmente, e moltiplicare poi quest’ultima lunghezza per ¾]. In questo contesto, per la figura piana OAB, “la ligne basale de la figure plane OAB est AB, OA et OB étant des lignes droites” - (fr:7959) [la linea basale della figura piana OAB è AB, essendo OA e OB delle linee rette]. Il fondamento intuitivo del metodo risiede nella riduzione dell’oscillazione di una superficie a quella di un pendolo lineare equivalente: “Huygens trouve la ‘méthode des trois quarts’ en réduisant l’oscillation d’une surface dans son plan à l’oscillation d’un pendule linéaire” - (fr:7963) [Huygens trova il ‘metodo dei tre quarti’ riducendo l’oscillazione di una superficie nel suo piano all’oscillazione di un pendolo lineare]. Questo pendolo lineare è composto dalle masse degli anelli o bande di larghezza costante in cui la superficie è scomposta, ciascuna concentrata nel proprio centro di oscillazione.

Tuttavia, le giustificazioni fornite da Huygens non appaiono pienamente convincenti. “Huygens motive plus ou moins son procédé aux p. 442 et 453, mais, comme nous le disons aussi dans la note 2 de la p. 442 et dans la note 6 de la p. 453, son explication ne suffit guère pour convaincre le lecteur de la justesse de cette méthode” - (fr:7960) [Huygens motiva più o meno il suo procedimento, ma la sua spiegazione non è affatto sufficiente per convincere il lettore della giustezza di questo metodo]. Dalle sue parole si evince che il metodo non è universalmente applicabile, senza che siano chiariti con precisione i casi in cui lo sia; Huygens stesso, infatti, non lo impiega per il settore di cerchio sospeso al centro, dove pure sarebbe valido. L’analisi successiva mostra che il metodo è corretto solo quando le bande che suddividono la superficie sono simili e hanno il punto di sospensione come centro di similitudine. “Ceci indique que dans la pensée de Huygens la méthode n’est applicable que lorsque les lignes A’B’ qui découpent la surface en bandes ayant toutes la même largeur constante sont semblables et ont le point O comme centre de similitude” - (fr:7977) [Ciò indica che nel pensiero di Huygens il metodo è applicabile solo quando le linee A’B’ che suddividono la superficie in bande aventi tutte la stessa larghezza costante sono simili e hanno il punto O come centro di similitudine].

Per colmare le lacune lasciate da Huygens, si ricorre alla formula generale del pendolo isocrono, espressa nella forma l = I / (M b), dove I è il momento d’inerzia della superficie rispetto all’asse di oscillazione, M la sua massa e b la distanza del centro di gravità dall’asse di sospensione. “Il est vrai que Huygens n’avait apparemment pas encore trouvé cette formule générale au moment d’exécuter les calculs en question, mais il doit l’avoir trouvée peu de jours après” - (fr:7995) [È vero che Huygens apparentemente non aveva ancora trovato questa formula generale al momento di eseguire i calcoli in questione, ma deve averla trovata pochi giorni dopo]. Essa permette di dimostrare la validità della sostituzione della superficie oscillante con l’insieme delle masse delle bande simili concentrate nei rispettivi centri di oscillazione. Considerando una superficie composta da un numero finito di bande simili con centro di similitudine in O, le lunghezze dei pendoli isocroni delle singole bande formano una progressione geometrica: “Les longueurs des pendules isochrones correspondant aux différentes bandes seront l = λo, k λo, k² λo, k³ λo…” - (fr:8016) [Le lunghezze dei pendoli isocroni corrispondenti alle diverse bande saranno…]. La lunghezza del pendolo isocrono dell’insieme delle masse concentrate risulta identica a quella della figura intera, legittimando così il procedimento.

Quando il numero delle bande cresce all’infinito e il punto O giunge ad appartenere al contorno della superficie o a coincidere con essa, la lunghezza limite del pendolo isocrono tende a ¾ λo, dove λo è la lunghezza del pendolo isocrono con la “linea basale”. Quest’ultima risulta omogenea proprio nel caso considerato da Huygens, in cui le linee simili dividono la superficie in un’infinità di bande di larghezza costante. In tal caso il fattore ¾ emerge naturalmente e il nome del metodo resta giustificato. L’analisi conduce tuttavia a un risultato più ampio: la restrizione a bande di larghezza costante non è indispensabile affinché il metodo dei tre quarti sia applicabile. Come viene sottolineato, “ce qui évidemment n’est pas vrai dans le cas de la Fig. 5 p.e. sans que pour cela la méthode des trois quarts cesse d’être applicable” - (fr:8028) [il che evidentemente non è vero nel caso della Fig. 5, senza che per questo il metodo dei tre quarti cessi di essere applicabile]. L’intera trattazione serve dunque non a ricostruire il percorso storico delle idee di Huygens – percorso che rimane in parte intuitivo – ma a “justifier, et en même temps à étendre, sa méthode” - (fr:7987) [giustificare, e allo stesso tempo estendere, il suo metodo], elevando un’intuizione geometrica al rango di una procedura generale e rigorosamente fondata.

[17.2/2-113-8029|8141]

29 Metodi di Huygens per la determinazione del pendolo isocrono

L’analisi dei manoscritti rivela l’evoluzione delle tecniche di riduzione e calcolo che condussero Huygens dalle soluzioni particolari alla formula generale del centro di oscillazione.

Il testo ripercorre lo sviluppo del pensiero di Christiaan Huygens riguardo al problema del pendolo isocrono, analizzando metodi alternativi e successive generalizzazioni. Inizialmente, per il caso di un cerchio oscillante nel proprio piano, si stabilisce che “le pendule isochrone avec le cercle lui-même, suspendu en un point de son contour et oscillant dans son plan (cas de la Fig. 32 à la même page) a une longueur égale aux trois quarts du diamètre” – (fr:8030) [il pendolo isocrono con il cerchio stesso, sospeso in un punto del suo contorno e oscillante nel suo piano (caso della Fig. 32 alla stessa pagina) ha una lunghezza pari a tre quarti del diametro]. Questo risultato discende dalla dimostrazione che un pendolo lineare isocrono a una circonferenza materiale omogenea ha lunghezza pari al diametro.

L’autore esamina poi la validità della concentrazione delle masse in punti. Considerando una superficie divisa da linee simili con centro in O in bande di larghezza costante, “nous pouvons maintenant démontrer comme suit que la concentration des masses des bandes en leurs points d’oscillation est permise dans le cas d’une pareille surface ainsi divisée en bandes, du moins lorsque le nombre des bandes devient infini” – (fr:8031) [possiamo ora dimostrare come segue che la concentrazione delle masse delle bande nei loro punti di oscillazione è permessa nel caso di una superficie siffatta così divisa in bande, almeno quando il numero delle bande diventa infinito]. La dimostrazione procede indicizzando le bande e mostrando che, al limite per N infinito, la lunghezza del pendolo isocrono con l’insieme delle masse concentrate nei centri di oscillazione uguaglia quella del pendolo isocrono con la superficie reale (“Ce qu’il fallait démontrer” – fr:8044).

Un metodo analogo si applica ai corpi solidi scomponibili in strati delimitati da superfici simili con centro di similitudine nel punto di sospensione O. Nella Fig. 6 o 7 (fr:8050), per strati successivi definiti da distanze OA = r, OB = kr, OC = k²r, le masse e i momenti di inerzia seguono progressioni geometriche con ragioni k³ e k⁵. Le lunghezze isocrone degli strati isolati sono “λo, k λo, k² λo, etc.” – (fr:8053). Anche in questo caso limite, “la longueur du pendule isochrone correspondant au corps donné sera d’après la même formule, c.à.d. elle sera égale à la longueur précédente” – (fr:8055-8056) [la lunghezza del pendolo isocrono corrispondente al corpo dato sarà secondo la stessa formula, cioè sarà uguale alla lunghezza precedente]. All’aumentare indefinito del numero di strati verso il punto O, la lunghezza tende a un valore limite. Questo procedimento è definito “méthode des quatre cinquièmes” (fr:8061) [metodo dei quattro quinti], analogo al “metodo dei tre quarti” per superfici piane.

L’efficacia di tale metodo è illustrata con esempi: due pesi puntiformi O e R nella Fig. 27 (fr:8062-8064) possono avere qualsiasi forma purché infinitamente piccoli; prendendo per O e R due piccoli archi di circonferenza, il risultato si ottiene immediatamente con il metodo dei tre quarti. Se invece a O e R si dà “la forme de deux petites surfaces planes perpendiculaires respectivement aux droites AO et AR de la Fig. 27” – (fr:8067) [la forma di due piccole superfici piane perpendicolari rispettivamente alle rette AO e AR della Fig. 27], il calcolo si risolve con il metodo dei quattro quinti. Il testo osserva che, se Huygens avesse conosciuto questo metodo, “aurait pu en déduire celle du pendule isochrone avec un cône droit suspendu en son sommet” – (fr:8070) [avrebbe potuto dedurne quella del pendolo isocrono con un cono retto sospeso al suo vertice]; il valore da lui ottenuto per altra via nella Prop. XXII dell’Horologium oscillatorium concorda con quello trovato moltiplicando la lunghezza del pendolo isocrono con il cerchio basale per il fattore (x²/y²).

L’indagine si sposta sulla riduzione dell’oscillazione laterale a oscillazione perpendicolare al piano della figura. La Pièce IX mostra come Huygens, partendo dal metodo diretto, elaborò la “méthode de l’onglet” per superfici sospese a un punto del contorno e la “méthode du tronc” per assi di sospensione esterni – (fr:8077). In questo modo, la lunghezza isocrona si trova prendendo la distanza dall’asse di sospensione alla proiezione del baricentro dell’onglet o del tronco. Ne seguì lo sforzo di “réduire l’oscillation d’une surface dans son plan à celle d’une autre surface oscillant perpendiculairement à son plan” – (fr:8082) [ridurre l’oscillazione di una superficie nel suo piano a quella di un’altra superficie oscillante perpendicolarmente al suo piano], operazione compiuta ruotando di 90° le strisce orizzontali.

Questi progressi consentirono di affrontare il “problema capitale” della sfera omogenea sospesa a un filo. Huygens “réduit la sphère d’une manière ingénieuse (Pièce XI, à la p. 470) à une surface oscillant perpendiculairement à son plan” – (fr:8086) [riduce la sfera in maniera ingegnosa… a una superficie oscillante perpendicolarmente al suo piano], applicando poi il metodo del tronco. Per il calcolo, utilizza la relazione tra proiezione del baricentro di un tronco e proiezione del baricentro dell’onglet corrispondente, relazione equivalente al Teorema XIX della Pars Quarta.

Sebbene in possesso di tali metodi, Huygens nel 1664 non aveva ancora attribuito alla formula generale “la place éminente qu’elle occupe à bon droit dans l’‘Horologium oscillatorium’ de 1673” – (fr:8084) [il posto eminente che occupa a buon diritto nell’‘Horologium oscillatorium’ del 1673]. Un anagramma del 1669 formula il teorema generale: “Figurae cuilibet oscillatorio motu agitatae isochronum est pendulum simplex cujus longitudo aequalis ei quae fit cum quadrata omnium perpendicularium […] dividuntur per distantiam centri gravitatis ab axe oscillationis multiplicem per numerum earundem particularum” – (fr:8088) [Per una figura qualsiasi, mossa di moto oscillatorio, il pendolo semplice isocrono ha lunghezza uguale a quella che si ottiene dividendo i quadrati di tutte le perpendicolari […] per la distanza del centro di gravità dall’asse di oscillazione moltiplicata per il numero delle medesime particelle].

Per l’ellissoide di rivoluzione, non riducibile a superficie piana, Huygens scompone la formula generale x = Σ r²/(n b) in Σ y² + Σ z² – (fr:8098). Per calcolare Σ z² di una superficie piana, impiega formule che ricompaiono nelle Proposizioni VIII-XI della Pars Quarta e applica all’ellisse un metodo che conduce a “une méthode générale pour les surfaces planes symétriques oscillant dans leur plan” – (fr:8104) [un metodo generale per le superfici piane simmetriche oscillanti nel loro piano]. La lunghezza l del pendolo isocrono è espressa in funzione di l₁ (lunghezza per oscillazione perpendicolare), l’ (lunghezza per la semi-figura oscillante attorno all’asse di simmetria), z’ e b’ – (fr:8110). Questo metodo è applicato al settore circolare, a triangoli infinitamente acuti, all’esagono regolare, al rettangolo e al triangolo isoscele.

Infine, viene sviluppata “une méthode générale pour les corps de révolution” – (fr:8118) e applicata al paraboloide e all’iperboloide di rivoluzione. La Pièce XIX mostra un calcolo del Σ z² di un corpo che utilizza la nozione di “figura à latere”, una superficie piana costruita in modo che la lunghezza p di una sua sezione orizzontale sia proporzionale alla superficie P della sezione corrispondente del corpo: “p = k P” – (fr:8131). Attraverso la scomposizione in cilindri infinitesimi e l’integrazione, Huygens perviene alla relazione tra Σ z², il volume V e i momenti delle sezioni, dimostrando che la conoscenza di tali somme è indispensabile per determinare sia il pendolo isocrono della superficie piana oscillante nel proprio piano, sia quello del corpo di rivoluzione ottenuto per rotazione.

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30 Dalla percussione dei pendoli composti alla scoperta della cicloide

“Quaeritur quam rationem habeat tempus minimae ofcillationis penduli ad tempus casus perpendicularis ex penduli altitudine. Hinc data fuit occasio inventi de Cycloide.” – (fr:8607, 8606) [Si cerca quale rapporto abbia il tempo della minima oscillazione del pendolo col tempo della caduta perpendicolare dall’altezza del pendolo. Da qui fu data occasione per la scoperta della cicloide.]

Il manoscritto, datato 1° dicembre 1659 e confluito nelle Chartae Mechanicae, testimonia un momento decisivo delle ricerche di Christiaan Huygens sul moto dei pendoli. La trattazione si articola in due movimenti distinti ma collegati: l’analisi del pendolo composto a due masse attraverso il metodo della percussione, e la domanda sulla relazione tra oscillazione minima e caduta libera – quesito che, per stessa ammissione dell’autore, aprì la via alla scoperta del tautocronismo della cicloide.

L’indagine prende avvio da un problema meccanico preciso. Data un’asta priva di peso ABC con AB uguale a BC, sono fissati in B e in C due globi di uguale massa. “Quaeritur cujus longitudinis pendulum oscillationes aeque veloces habiturum sit cum pendulo ABC, bina pondera habente” – (fr:8490) [Si cerca di quale lunghezza sia il pendolo che avrà oscillazioni ugualmente veloci col pendolo ABC, che ha due pesi.]. La risposta è che il pendolo semplice isocrono risulta avere una lunghezza AE che sta alla lunghezza AC del pendolo composto secondo un rapporto determinato – un risultato che le note editoriali definiscono “le résultat du calcul qui suit” (fr:8496).

Per ottenere questa soluzione Huygens introduce un espediente ingegnoso: immagina che i due globi C e B, giunti nel punto più basso della loro traiettoria, urtino due globi liberi D e S uguali a essi, comunicando loro l’intera velocità. “Quo fiet ut pendulum post hunc occursum omni motu privetur” – (fr:8493) [per cui avverrà che il pendolo dopo questo urto sia privato di ogni moto.]. Il principio di conservazione impone allora che il centro di gravità dei due globi percossi salga esattamente alla stessa altezza che avrebbe raggiunto il pendolo ABC proseguendo il moto. “Ergo percussorum globorum centrum gravitatis eo usque ascendere debet” – (fr:8494) [Dunque il centro di gravità dei globi percossi deve salire fino a lì.]. L’uguaglianza delle somme dei prodotti delle masse per le altezze raggiunte nei due sistemi diventa così la condizione risolutiva: “Percussion igitur utrobique magnitudines in altitudines ad quas ascendunt, unde summae productorum utrobique aequales fieri debent” – (fr:8505) [Percussione dunque in entrambi i casi le grandezze per le altezze a cui salgono, onde le somme dei prodotti in entrambi i casi devono essere uguali.].

La traduzione analitica di questo principio conduce a un’espressione ricorrente nell’intero manoscritto: ca/x. Le note editoriali ne illustrano la derivazione con un ragionamento basato sulle velocità. Indicata con x la lunghezza AE del pendolo semplice isocrono, con a la distanza AC del globo inferiore dal punto di sospensione e con c l’altezza DH da cui esso è disceso, la proporzione tra le radici delle lunghezze e le velocità libere fornisce dapprima la velocità coacta del punto C quando è vincolato al pendolo composto. Da essa si ottiene l’altezza a cui il globo urtato D può salire con la velocità coacta: “Cette dernière hauteur est donc ca/x, ce qu’il fallait trouver” – (fr:8572). La velocità che il globo B comunica al proprio corrispondente è metà di quella comunicata da C, sicché “altitudo ad quam impellit B O coactum erit ¼ ca/x” – (fr:8575) [l’altezza a cui spinge B O coactum sarà ¼ ca/x.].

Il dettaglio delle notazioni rivela un’imprecisione materiale di Huygens, che scrive ripetutamente celeritas BO in luogo di celeritas BS, confondendo la lettera S con una O. “La lettre S de la Fig. 4 a d’ailleurs plus ou moins la forme d’une lettre O corrigée en S” – (fr:8549) [La lettera S della Fig. 4 ha d’altronde più o meno la forma di una lettera O corretta in S.].

Un passaggio di notevole portata concettuale è l’osservazione che ca/x non dipende dalla distribuzione dei pesi lungo il pendolo composto lineare. “L’expression ca/x déduite plus haut est indépendante […] de la distribution des poids du pendule composé linéaire” – (fr:8593). Poiché a e c variano insieme, il prodotto ca – e con esso l’altezza ca/x – è proporzionale al quadrato della distanza del globo dal punto di sospensione. Da ciò discende che, disponendo orizzontalmente le altezze ca/x a partire dai singoli globi N colpiti, le loro estremità giacciono su una parabola con vertice in P. “Si l’on suppose tracées dans la figure dans le sens horizontal les hauteurs ca/x, chacune à partir du globule N correspondant, les extrémités se trouveront donc sur une parabole” – (fr:8596). È la stessa parabola già tracciata nella Fig. 2 della p. 385, a conferma della coerenza interna dell’intera analisi.

Il 1° dicembre 1659 Huygens annota la domanda che farà da ponte verso la cicloide: “Quaeritur quam rationem habeat tempus minimae ofcillationis penduli ad tempus casus perpendicularis ex penduli altitudine” – (fr:8607). L’interrogativo non è casuale. La nota editoriale lo contestualizza con precisione: “Il apparaît donc que c’est la considération de la période d’une oscillation suivant un très petit arc de cercle qui a conduit aux recherches dont est sorti la découverte du tautochronisme de la chute suivant des arcs cycloïdaux” – (fr:8614). La ricerca di un pendolo il cui periodo fosse indipendente dall’ampiezza – condizione essenziale per la regolarità dell’orologio – trovò così nella curva cicloidale la sua risposta, radicata in quegli stessi principî di conservazione e in quelle stesse tecniche di calcolo che il manoscritto mostra all’opera nell’analisi della percussione.

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31 La ricerca del pendolo isocrono per una semicirconferenza nel Manoscritto B di Huygens (1664)

Un frammento di calcolo in cui Huygens, combinando la scomposizione in particelle con il teorema di Pappo-Guldino, tenta di determinare la lunghezza del pendolo semplice isocrono a una semicirconferenza sospesa — un procedimento rimasto incompiuto ma ricco di indizi sul suo metodo di lavoro.

Il brano proviene dal Tome XVI delle Oeuvres complètes (fr:9360, fr:9370, fr:9371), all’interno della sezione Percussion VI (fr:9372), e riproduce fedelmente le pagine 61-64 del Manoscritto B (fr:9377 nota 1). La datazione è ricostruita attraverso le annotazioni del manoscritto: la p. 59 reca la data del 7 ottobre 1662, mentre le pp. 62 e 63 sono datate 18 settembre 1664 (fr:9378-9379). Poiché le pagine immediatamente precedenti non trattano di centri d’oscillazione, mentre le pp. 61-64 vi sono interamente dedicate, è probabile che la p. 61 sia stata scritta poco tempo prima delle successive (fr:9380-9381). A conferma di ciò, nella lettera del 10 ottobre 1664 a Moray, Huygens confida: “Ces jours passez je suis tombè dans une speculation… J’ay cerchè des pendules simples isochrones a des triangles et autres figures et corps, diversement suspendus” (fr:9382-9383) [«In questi giorni mi sono imbattuto in una speculazione… Ho cercato pendoli semplici isocroni a triangoli e ad altre figure e corpi, variamente sospesi»].

L’oggetto dello studio è chiarito da una nota editoriale: “Comme la figure l’indique, Huygens se propose de calculer la longueur du pendule isochrone avec une demi-circonférence de cercle, suspendue au centre de ce cercle; il suppose à cet effet la demi-circonférence composée d’une infinité de globules” (fr:9385) [«Come indica la figura, Huygens si propone di calcolare la lunghezza del pendolo isocrono con una semicirconferenza di cerchio, sospesa al centro del cerchio; a tale scopo suppone la semicirconferenza composta da un’infinità di globuli»]. Questo espediente ― la discretizzazione di un corpo continuo in una moltitudine di particelle ― è uno dei tratti distintivi del suo approccio alla dinamica delle percussioni e all’oscillazione.

Il ragionamento prende le mosse da una sbarra (virga) suddivisa in parti uguali e, i cui centri di gravità sono designati con O, P, Q. La somma dei prodotti delle altezze condotte per queste parti deve essere uguale al prodotto della distanza del centro di gravità della sbarra dal punto di sospensione (½a) per la sbarra stessa a, poiché così esige la condizione sul centro di gravità: “ductis porro singulis hisce altitudinibus in partes virgae aequales e, quarum centra gravitatis sunt O, P, Q, fit summa productorum quae quidem summa aequalis esse debet producto ex distantia centri gravitatis virgae à puncto suspensionis quae est ½ a in ipsam virgam a, quia ita centrum gravitatis” (fr:9359) [«Condotte poi le singole altezze nelle parti uguali e dell’asta, i cui centri di gravità sono O, P, Q, si ottiene una somma di prodotti che deve essere uguale al prodotto della distanza del centro di gravità dell’asta dal punto di sospensione — che è ½ a — per l’asta stessa a, perché così il centro di gravità»]. Il brano si chiude con un “et sic de caeteris” (fr:9358) [«e così per il resto»], a indicare l’estensione del procedimento.

Huygens enuncia quindi un principio di conservazione verticale legato alla percossa: le particelle e, una volta liberate dall’asta e mosse verso l’alto, risalgono di una quantità esattamente pari a quanto il centro di gravità dell’asta (ovvero di tutte le medesime particelle) è disceso, come mostrato in una proposizione precedente: “Percussion partium omnium e, sursum motarum postquam a virga liberae sunt, tantundem ascendisse reperietur atque centrum gravitatis virgae, hoc est partium earundem omnium, descendit, quod necessario fieri debere ostensum est supra prop… 1)” (fr:9361) [«La percossa di tutte le parti e, mosse verso l’alto dopo essere state liberate dall’asta, si troverà aver salito tanto quanto il centro di gravità dell’asta, cioè di tutte le medesime parti, discende; cosa che si è mostrato dover necessariamente accadere nella proposizione precedente»].

Il passaggio algebrico successivo introduce la lunghezza incognita del pendolo isocrono: “Est itaque ductisque omnibus in x, fit 2)” (fr:9362) [«Così è, e moltiplicando tutti per x, si ottiene 2)»]. Poi la scrittura si sposta su una costruzione geometrica: “Sit jam BD aequalis AB cui insistat ad angulos rectos, et sit AN aequalis distantiae centri gravitatis trianguli ABD ab recta AC, hoc est, sit AN ∞ ⅔ a 3)” (fr:9363) [«Sia ora BD uguale ad AB cui stia perpendicolarmente, e sia AN uguale alla distanza del centro di gravità del triangolo ABD dalla retta AC, cioè sia AN = ⅔ a 3)»].

Proprio a questo punto l’editore avverte che “Huygens n’a pas achevé ce morceau” (fr:9366) [«Huygens non ha terminato questo pezzo»]. Tuttavia, spiega come si possa determinare il limite della somma coinvolta: “On peut tronver la limite de la somme considérée en multipliant la surface du triangle ABD par le double de la distance de son centre de gravité à la droite AB, c.à.d. par AN, suivant le théorème de Pappus, mieux connu sous le nom de théorème de Gulden ou Guldin, dont Huygens fait mention en 1653 (voir la note 5 de la p. 280 du Tome XIV): il faut considérer le cône engendré par la révolution du triangle ABD autour de AB” (fr:9367‑9368) [«Si può trovare il limite della somma considerata moltiplicando la superficie del triangolo ABD per il doppio della distanza del suo centro di gravità dalla retta AB, cioè per AN, secondo il teorema di Pappo, meglio noto come teorema di Gulden o Guldino, di cui Huygens fa menzione nel 1653: bisogna considerare il cono generato dalla rivoluzione del triangolo ABD intorno ad AB»]. Conclude quindi che “On trouve ainsi x = ⅔a” (fr:9369) [«Si trova così x = ⅔a»].

L’apparato iconografico è essenziale. La figura 23, richiamata nel testo, riporta i simboli e le grandezze implicate: “[Fig. ] BR ∞ q [Fig. 23 4)] RA ∞ r M centrum gravitat is AM ∞ rr/q MW ∞ c AN ∞ x 5) 6)” (fr:9375‑9377) [«BR = q, RA = r, M centro di gravità, AM = rr/q, MW = c, AN = x»]. La nota 5 precisa che “C’est la longueur du pendule isochrone” (fr:9386) [«È la lunghezza del pendolo isocrono»], mentre la nota 6 ricava la relazione NS = cxq/r² (fr:9388) dalla proporzione r²/q : c = x : NS (fr:9387). L’ultimo lacerto, benché mutilo, evoca il principio di proporzionalità della percossa al quadrato della velocità: “Percussion ut qu.” (fr:9391) [«Percussione come il quadrato»], “celer.” (fr:9392) [«della velocità»], “is ponderis N ad qu.” (fr:9393) [«del peso N al quadrato»], “celer.” (fr:9394) [«della velocità [di un altro corpo]»], da intendersi come Percussionis ut quadratum celeritatis ponderis N ad quadratum celeritatis alterius.

L’insieme di queste carte mostra un Huygens impegnato a tradurre una questione continua — la semicirconferenza — in una somma discreta di contributi particellari, risolta per via geometrica grazie al teorema di Pappo-Guldino. Pur rimasta senza la stesura definitiva, la ricerca si colloca nel vivo della speculazione che di lì a pochi anni avrebbe condotto alla teoria compiuta del centro d’oscillazione e all’Horologium oscillatorium.

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32 Dal triangolo al rettangolo: la riduzione dell’oscillazione piana a quella «solida» e il calcolo del pendolo isocrono in Huygens

Il manoscritto descrive, attraverso note e figure, il procedimento con cui Christiaan Huygens calcolò la lunghezza del pendolo semplice isocrono a figure piane – il triangolo isoscele e il rettangolo – trasformandone l’oscillazione piana in un’oscillazione perpendicolare al piano e applicando la formula generale del centro di oscillazione, in un momento in cui non possedeva ancora il metodo generale per tale riduzione.

La discussione prende le mosse dal triangolo isoscele ABC [Fig. 41]. Il punto di partenza è la possibilità di sezionare il triangolo in strisce orizzontali infinitamente sottili e di ruotare ciascuna striscia di un angolo retto attorno al proprio baricentro, portandola in posizione verticale: “Le triangle isoscèle ABC [Fig. 41] qui oscille dans son plan peut être découpé en tranches horizontales infiniment minces; chacune de ces tranches peut alors être placée dans la position verticale par une rotation d’un angle droit autour de son centre de gravité” – (fr:9800) [Il triangolo isoscele ABC [Fig. 41] che oscilla nel suo piano può essere tagliato in fette orizzontali infinitamente sottili; ciascuna di queste fette può allora essere posta in posizione verticale mediante una rotazione di un angolo retto attorno al suo centro di gravità].

La legittimità dell’operazione poggia sulla formula generale del pendolo isocrono per un corpo composto da n punti pesanti uguali: x = Σ r² / nb, dove b è la distanza del baricentro dall’asse di oscillazione e r la distanza di un punto qualsiasi dall’asse. Poiché la rotazione non altera né il denominatore nb né i singoli r², la grandezza Σ r² si conserva per ogni striscia e per l’intero insieme: “la longueur x du pendule isochrone correspondant à chaque tranche restera la même; d’après la formule générale … x = Σ r² / nb … Σ r² conservera donc aussi après la rotation la même valeur pour chaque tranche et il en sera de même pour le Σ r² de toutes les tranches” – (fr:9802) [la lunghezza x del pendolo isocrono corrispondente a ciascuna fetta resterà la stessa; secondo la formula generale … x = Σ r² / nb … Σ r² conserverà dunque anche dopo la rotazione lo stesso valore per ogni fetta e lo stesso accadrà per il Σ r² di tutte le fette].

Inoltre il baricentro dell’insieme delle strisce ruotate rimane alla medesima altezza, cosicché il pendolo isocrono con il triangolo ABC oscillante nel piano risulta uguale a quello di un pendolo lineare AE a densità non uniforme, ottenuto affiancando le strisce ruotate: “Comme d’autre part le centre de gravité de l’ensemble des tranches restera pendant la rotation à la même hauteur, la longueur du pendule isochrone avec le triangle ABC oscillant dans son plan sera, d’après la formule, égale à la longueur du pendule isochrone avec le pendule linéaire AE de densité inégale obtenu par la rotation des tranches” – (fr:9803) [Poiché d’altra parte il centro di gravità dell’insieme delle fette resterà durante la rotazione alla stessa altezza, la lunghezza del pendolo isocrono con il triangolo ABC oscillante nel suo piano sarà, secondo la formula, uguale alla lunghezza del pendolo isocrono con il pendolo lineare AE di densità disuguale ottenuto mediante la rotazione delle fette].

Questo pendolo lineare è poi equivalente a una figura piana GFE (o alla figura doppia EGFHE, più facile da concepire nell’oscillazione attorno all’asse GH) ottenuta allontanando le strisce in modo da rendere ovunque uniforme la densità dei punti pesanti, senza alterare Σ r² e nb: “Mais ce pendule linéaire est évidemment équivalent à un pendule de la forme GFE obtenu en écartant les tranches de telle manière que la densité des globules ou points pesants qui les constituent est partout égale dans la figure plane GFE, laquelle oscille autour de l’axe GH. En effet, de cette façon Σ r² et nb conservent leurs valeurs pendant l’écartement” – (fr:9804-9805) [Ma questo pendolo lineare è evidentemente equivalente a un pendolo della forma GFE ottenuto allontanando le fette in modo tale che la densità dei globuli o punti pesanti che le costituiscono sia ovunque uguale nella figura piana GFE, la quale oscilla attorno all’asse GH. Infatti, in questo modo Σ r² e nb conservano i loro valori durante l’allontanamento].

Il testo non manca di sottolineare una condizione geometrica e una questione cronologica: l’angolo BAC deve essere acuto o retto, altrimenti il punto F si troverebbe sopra A; inoltre, appare improbabile che Huygens conoscesse già il teorema generale della Prima Parte di questo scritto prima di affrontare il caso del triangolo. “L’angle BAC est supposé aigu (ou droit), faute de quoi le point F serait situé au-dessus du point A. Cependant, comme nous l’avons déjà dit dans la note 3 de la p. 461, il paraît peu probable que Huygens ait connu le théorème général de la Première Partie de cette Pièce avant de discuter le cas du triangle considéré” – (fr:9808) [L’angolo BAC è supposto acuto (o retto), altrimenti il punto F si troverebbe al di sopra del punto A. Tuttavia, come abbiamo già detto nella nota 3 di p. 461, sembra poco probabile che Huygens conoscesse il teorema generale della Prima Parte di questo Pezzo prima di discutere il caso del triangolo considerato].

Piuttosto, è verosimile che Huygens abbia dapprima dimostrato l’isocronismo di una retta omogenea sospesa per il punto medio, e che solo in seguito si sia interrogato sulla possibilità di estendere il risultato a una retta inclinata e a figure piane o a corpi qualsiasi: “On admettra plutôt, qu’il ait démontré d’abord (ce qui est facile) l’isochronisme d’une tranche ou ligne droite homogène de longueur donnée suspendue en son point milieu à un fil de longueur donnée et faisant un angle droit ou nul avec la verticale. Il peut s’être demandé ensuite si une proposition analogue existe pour une droite faisant un autre angle avec la verticale et pour une figure plane (ou même pour un corps, voir la Prop. XVI de la Pars Quarta de l’‘Horologium oscillatorium’) quelconque” – (fr:9809-9811) [Si ammetterà piuttosto che egli abbia dapprima dimostrato (cosa facile) l’isocronismo di una fetta o linea retta omogenea di data lunghezza sospesa nel suo punto medio a un filo di data lunghezza e facente un angolo retto o nullo con la verticale. Può essersi chiesto poi se una proposizione analoga esista per una retta che faccia un altro angolo con la verticale e per una figura piana (o anche per un corpo, vedi Prop. XVI della Pars Quarta dell’‘Horologium oscillatorium’) qualsiasi].

L’analisi storica è puntellata da dati certi: Huygens raggiunse il calcolo per il triangolo prima del 10 ottobre 1664, quando ancora non possedeva il metodo generale per ridurre l’oscillazione piana a quella solida. “Mais il est certain qu’il a fait d’une façon ou d’une autre le calcul pour le triangle avant le 10 oct. 1664 … alors qu’il n’avait pas encore trouvé cette méthode générale” – (fr:9817) [Ma è certo che egli ha fatto in un modo o nell’altro il calcolo per il triangolo prima del 10 ott. 1664 … quando non aveva ancora trovato questo metodo generale]. Nella lettera a Moray dello stesso giorno, infatti, annunciava la scoperta del centro di oscillazione della sfera, segno di un lavoro febbrile e ancora in evoluzione.

La terza parte del manoscritto applica lo stesso schema al rettangolo ABCD [Fig. 42], sospeso in E e fatto oscillare lateralmente. Costruendo i segmenti PF, PG uguali a PA, PD e SL, SM uguali a QB, QC, si formano il parallelogramma FLMG e la sua copia simmetrica FGNK: “PF, PG aequales PA, PD. SL, SM aequales QB, QC. junctisque FL, GM factum FLMG. cui simile ab altera parte FGNK. haec bina ex eodem E puncto suspensa et mota circa axem EV, isochronas vibrationes habent rectangulo ABCD uti dictum agitato” – (fr:9825-9829) [PF, PG uguali a PA, PD. SL, SM uguali a QB, QC. e congiunte FL, GM si è formato FLMG. a cui simile dall’altra parte FGNK. queste due figure sospese dal medesimo punto E e mosse attorno all’asse EV, hanno vibrazioni isocrone con il rettangolo ABCD fatto oscillare come detto].

Anche in questo caso le figure sono ottenute per rotazione delle strisce orizzontali e conducono a un’oscillazione «solida» della figura doppia LFKNGML attorno all’asse EV: “Le parallélogramme FLMG (de largeur MO quelconque) et la figure double LFKNGML [Fig. 42] sont obtenus par rotation des tranches horizontales, de la même manière que les figures EFG et EGFHE dans le cas du triangle … Le pendule isochrone avec le rectangle donné ABCD oscillant dans son plan a donc la même longueur que le pendule isochrone avec la figure LFKNGML oscillant perpendiculairement à son plan” – (fr:9833-9835) [Il parallelogramma FLMG (di larghezza MO qualsiasi) e la figura doppia LFKNGML [Fig. 42] sono ottenuti per rotazione delle fette orizzontali, allo stesso modo delle figure EFG e EGFHE nel caso del triangolo … Il pendolo isocrono con il dato rettangolo ABCD oscillante nel suo piano ha dunque la stessa lunghezza del pendolo isocrono con la figura LFKNGML oscillante perpendicolarmente al suo piano].

Per determinare la lunghezza del pendolo semplice isocrono a entrambe le figure, Huygens ricorre al metodo del tronco: si deve trovare il centro di gravità della parte di un parallelepipedo eretto perpendicolarmente sulla base LFKNGML e tagliato da un piano inclinato condotto per EV. “Ut igitur longitudo penduli simplicis utrique isochroni inveniatur, quaerendum centrum gravitatis partis parallelepipedi super LFKNGML basi perpendiculariter erecti et plano inclinato quod per EV ducitur abscissi” – (fr:9830) [Per trovare dunque la lunghezza del pendolo semplice isocrono a entrambe, si deve cercare il centro di gravità della parte del parallelepipedo eretto perpendicolarmente sulla base LFKNGML e tagliato dal piano inclinato condotto per EV].

Il manoscritto rivela che Huygens aveva inizialmente abbozzato un calcolo sulla pagina 100 recto, ma poi lo cancellò giudicandolo troppo prolisso e ne trovò uno migliore in un foglio allegato: “On trouve en effet à la p. 100 recto une figure du genre indiqué et un calcul relatif à cette figure. Mais ce calcul a été biffé par Huygens qui observe: ‘hic nimis prolixus fieret calculus. aliter melius idem quaesivimus invenimusque in folio adjuncto’. C’est le calcul qui suit” – (fr:9837-9840) [Si trova infatti a p. 100 recto una figura del genere indicato e un calcolo relativo a questa figura. Ma questo calcolo è stato cancellato da Huygens che osserva: ‘hic nimis prolixus fieret calculus. aliter melius idem quaesivimus invenimusque in folio adjuncto’ – qui il calcolo diventerebbe troppo prolisso. altrimenti meglio abbiamo cercato e trovato la stessa cosa nel foglio allegato. È il calcolo che segue].

La via più elegante escogitata da Huygens consiste nel trasformare la figura LFKNGML in una figura simmetrica F12 C43 [Fig. 43], sfruttando la libertà offerta dall’oscillazione solida: qualsiasi forma è ammessa purché ogni punto mantenga la stessa distanza dall’asse. Così la parte inferiore della figura viene ridotta a un unico triangolo F13, mentre la parte superiore conserva la sua forma originaria. “La surface LFKNGML … a été transformée en F12 C43 … puisqu’il s’agit d’une oscillation ‘solide’ … on peut donner à la figure toutes les formes qu’on veut, pourvu que chaque élément de surface … reste à la même distance de l’axe d’oscillation … La partie … située en dessous de cette droite a été changée en un triangle unique; c’est le triangle F13. La figure totale F12 C43 a maintenant une forme symétrique” – (fr:9848-9855) [La superficie LFKNGML … è stata trasformata in F12 C43 … poiché si tratta di un’oscillazione ‘solida’ … si può dare alla figura tutte le forme che si vuole, purché ogni elemento di superficie … resti alla stessa distanza dall’asse di oscillazione … La parte … situata al di sotto di questa retta è stata cambiata in un triangolo unico; è il triangolo F13. La figura totale F12 C43 ha ora una forma simmetrica].

Su questa base Huygens considera il tronco delimitato da un piano obliquo a 45° passante per l’asse AΛ (corrispondente all’asse EV della Fig. 42). La lunghezza cercata è la distanza dal punto A al piede della perpendicolare condotta dal baricentro del tronco sulla base: “Huygens considère le tronc … ayant la figure F12 C43 pour base et limité par le plan oblique incliné à 45° passant par l’axe d’oscillation AΛ. La longueur du pendule isochrone avec le pendule F12 C43 est égale à la distance du point A au pied de la perpendiculaire, abaissée sur la base, du centre de gravité de ce tronc” – (fr:9858-9859) [Huygens considera il tronco … avente la figura F12 C43 per base e limitato dal piano obliquo inclinato a 45° passante per l’asse di oscillazione AΛ. La lunghezza del pendolo isocrono con il pendolo F12 C43 è uguale alla distanza dal punto A al piede della perpendicolare, abbassata sulla base, del centro di gravità di questo tronco].

Per calcolare tale distanza, Huygens trasforma il tronco in una superficie piana CFRSC le cui ordinate (come QR e KS) sono proporzionali alle corrispondenti sezioni rette. Le linee FR e SC risultano archi di parabola, mentre RS è un segmento rettilineo, e scegliendo QR = QA il trapezio QRSK rappresenta una sezione ribattuta del tronco. “Pour trouver cette distance Huygens transforme le tronc en une surface plane CFRSC, toutes les ordonnées, telles que QR et KS, étant prises proportionnelles aux sections droites correspondantes du tronc … les lignes FR et SC sont des paraboles … RS est une droite; puisqu’on a pris … QR = QA, le trapèze QRSK peut être considéré comme la section (rabattue) faite dans ce tronc par un plan passant par AF perpendiculairement au plan du papier” – (fr:9860-9862) [Per trovare questa distanza Huygens trasforma il tronco in una superficie piana CFRSC, prendendo tutte le ordinate, come QR e KS, proporzionali alle corrispondenti sezioni rette del tronco … le linee FR e SC sono parabole … RS è una retta; poiché si è preso … QR = QA, il trapezio QRSK può essere considerato come la sezione (ribattuta) fatta in questo tronco da un piano passante per AF perpendicolarmente al piano del foglio]. Il problema si riduce così a determinare la distanza del baricentro di una superficie piana dal suo asse, operazione che Huygens può eseguire con gli strumenti della sua geometria delle parabole.

Questo denso apparato di trasformazioni testimonia il carattere ancora artigianale del metodo precedente alla scoperta del teorema generale: Huygens procede per casi particolari (triangolo, rettangolo) e si serve di ingegnose riduzioni a figure solide, arrivando tuttavia a risultati esatti già prima dell’ottobre Il manoscritto, con le sue correzioni e i rinvii alle figure 41‑43, rivela la stratificazione del lavoro – dal primo calcolo per il triangolo alla ricerca di una via più elegante per il rettangolo – e costituisce una preziosa testimonianza dell’evoluzione del pensiero di uno dei protagonisti della meccanica seicentesca.

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33 Calcolo del pendolo isocrono per un tronco e per una sfera nei manoscritti di Huygens (1664)

Il testo documenta il procedimento con cui Christiaan Huygens, nell’ottobre del 1664, determina la lunghezza del pendolo isocrono – ovvero del pendolo semplice che oscilla con lo stesso periodo – per un corpo solido sospeso, riconducendo il calcolo a superfici piane e a proprietà delle parabole.

Huygens considera un tronco i cui punti pesanti sono proiettati su una superficie piana CFRSC mantenendo inalterate le distanze dall’asse di oscillazione AΛ; in questo modo ottiene una distribuzione superficiale di densità uniforme:

“En supposant tous les points pesants qui constituent le tronc, distribués (ou rabattus) sur la surface plane CFRSC ainsi construite, en conservant leurs distances à l’axe AΛ, on voit que la densité superficielle de ces points peut être uniforme.” – (fr:9891) [Supponendo tutti i punti pesanti che costituiscono il tronco distribuiti (o ribattuti) sulla superficie piana CFRSC così costruita, conservando le loro distanze dall’asse AΛ, si vede che la densità superficiale di questi punti può essere uniforme.]

La lunghezza del pendolo isocrono con il rettangolo di partenza coincide con la distanza tra l’asse AΛ e il centro di gravità della superficie CFRSC. Per trovarla occorre calcolare il momento di questa superficie rispetto ad AΛ e la sua area, quindi eseguire la divisione tra le due grandezze:

“Pour calculer la distance de l’axe AΛ au centre de gravité de la surface CFRSC (distance égale à la longueur du pendule isochrone avec le rectangle considéré, d’après la note 1), Huygens doit calculer le moment de cette surface par rapport à AΛ, ainsi que l’aire CFRSC (et diviser ensuite ce moment par cette aire).” – (fr:9898) [Per calcolare la distanza dall’asse AΛ al centro di gravità della superficie CFRSC (distanza uguale alla lunghezza del pendolo isocrono con il rettangolo considerato, secondo la nota 1), Huygens deve calcolare il momento di questa superficie rispetto ad AΛ, così come l’area CFRSC (e dividere poi questo momento per tale area).]

La tecnica impiegata consiste nel sommare le aree di due superfici paraboliche (AFWA e CLAC) e nel sottrarre le aree di altri due segmenti (ALCSA e ARWA); lo stesso schema si applica ai momenti rispetto all’asse:

“À cet effet il calcule la somme des aires AFWA et CLAC, diminuée de la somme des aires ALCSA et ARWA, ainsi que la somme des moments des aires AFWA et CLAC, diminuée de celle des aires ALCSA et ARWA.” – (fr:9899) [A tal fine calcola la somma delle aree AFWA e CLAC, diminuita della somma delle aree ALCSA e ARWA, così come la somma dei momenti delle aree AFWA e CLAC, diminuita di quella delle aree ALCSA e ARWA.]

Il calcolo delle aree paraboliche si appoggia su risultati archimedei. Per il segmento parabolico ARWA, ad esempio, l’area è data dai ⅔ del prodotto della base AQ per il suo diametro, e il diametro stesso è pari al quadrato di AX (semibase) diviso per il latus rectum della parabola:

“Pour trouver l’aire du segment de parabole ARWA, il faut prendre les ⅔ du produit de AQ par le diamètre de ce segment (Archimède, ‘De Conoidibus et Sphaeroidibus’ cap. III. La partie gauche de la Fig. 43 est une reproduction de la figure d’Archimède à cet endroit).” – (fr:9925-9928) [Per trovare l’area del segmento di parabola ARWA, bisogna prendere i ⅔ del prodotto di AQ per il diametro di questo segmento (Archimede, ‘De Conoidibus et Sphaeroidibus’ cap. III. La parte sinistra della Fig. 43 è una riproduzione della figura di Archimède in quel punto).]

Il latus rectum della parabola FR (o FRWA) è uguale a FQ, e l’area della superficie AFRWA si ottiene dal prodotto dell’asse di simmetria PW per ⅔ della corda AF:

“PW est l’axe de symétrie de la parabole FWA, et le produit de cet axe par ⅔ AF donne l’aire de la surface AFRWA.” – (fr:9897) [PW è l’asse di simmetria della parabola FWA, e il prodotto di quest’asse per ⅔ AF dà l’area della superficie AFRWA.]

Il manoscritto introduce le quantità geometriche che definiscono il rettangolo sospeso: a, b, c corrispondono rispettivamente ad AK, AC e AG; i lati del rettangolo sono m (orizzontale) ed n (verticale), con m = 2c – a – b e n = a – b. Una volta calcolati il momento e l’area, la divisione fornisce la distanza tra A e il centro di gravità della figura CFRSC, ossia la lunghezza del pendolo isocrono con il rettangolo che oscilla nel proprio piano:

“En divisant le moment de l’aire CFRSC par rapport à AΛ par cette aire, on trouve la distance du centre de gravité de cette aire à AΛ. Comme nous l’avons dit dans la note 1 de la p. 464, cette distance est la longueur du pendule isochrone avec le rectangle considéré, oscillant dans son plan.” – (fr:9954-9955) [Dividendo il momento dell’area CFRSC rispetto ad AΛ per quest’area, si trova la distanza del centro di gravità di tale area da AΛ. Come detto nella nota 1 di p. 464, questa distanza è la lunghezza del pendolo isocrono con il rettangolo considerato, oscillante nel suo piano.]

Il testo riporta quindi la formula finale, indicando che quando il rettangolo è sospeso per il punto medio di un lato (c = ½ n), essa si riduce a un risultato già noto dalla pagina Le date annotate – “13 Octobr. 1664” (fr:9960-9961) – e le note successive precisano che all’epoca Huygens non possedeva ancora il teorema generale per le sospensioni remote e che questo calcolo, faticoso, sarà poi sostituito da un metodo più agevole per le superfici piane simmetriche (pp. 521-523).

Nella parte conclusiva compare un problema diverso: la determinazione del pendolo isocrono per una sfera sospesa in A, il cui centro è D, con la condizione AD maggiore del lato del quadrato inscritto nel cerchio BCE. Qui la soluzione è espressa sinteticamente:

“dico pendulum isochronon sphaerae ita suspensae esse aequale AD una cum DO quae sit tertiae proportionalis ipsis AD, DC.” – (fr:9984) [Affermo che il pendolo isocrono della sfera così sospesa è uguale ad AD più DO, che è la terza proporzionale tra AD e DC.]

La brevità dell’enunciato e il richiamo a una figura (Fig. 44) mostrano come Huygens alterni dimostrazioni analitiche distese a risultati ottenuti per via geometrica, segnando il passaggio verso trattazioni più generali del centro di oscillazione.

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34 Il calcolo del centro di oscillazione per una sfera e un ellissoide nei manoscritti di Huygens

La scoperta del centro di oscillazione della sfera e il metodo di riduzione di un corpo a superficie piana costituiscono un passaggio cruciale verso la formulazione generale di Huygens, basata sull’equazione del pendolo isocrono.

Il testo espone le annotazioni e i calcoli tratti dai manoscritti di Christiaan Huygens, relativi alla determinazione del centro di oscillazione per una sfera e per un ellissoide di rivoluzione. Le prime frasi identificano l’origine dei frammenti: “Cette Pièce est empruntée aux p. 165-168 et 174 du Manuscrit B, à une des feuilles collées dans ce Manuscrit” – (fr:9986) [Questo brano è tratto dalle pp. 165-168 e 174 del Manoscritto B, da uno dei fogli incollati in questo Manoscritto]. La scoperta del centro di oscillazione della sfera, datata 10 ottobre 1664, è menzionata esplicitamente: “Voir la note 2 de la p. 435, et la note 3 de la p. 462, où nous avons fait mention de la découverte du centre d’oscillation de la sphère.” – (fr:9987) [Vedi la nota 2 di p. 435 e la nota 3 di p. 462, dove abbiamo menzionato la scoperta del centro di oscillazione della sfera].

Il nucleo dei ragionamenti di Huygens, come chiariscono i curatori, si fonda sulla formula generale per la lunghezza del pendolo isocrono con un corpo oscillante qualunque, formula che egli aveva già trovato: “Pour pouvoir expliquer les raisonnements de Huygens de la Première et de la Deuxième Partie, nous devons admettre qu’il avait trouvé en ce moment la formule générale pour la longueur du pendule isochrone avec un corps oscillant quelconque.” – (fr:9995) [Per poter spiegare i ragionamenti di Huygens della Prima e della Seconda Parte, dobbiamo ammettere che egli avesse trovato in quel momento la formula generale per la lunghezza del pendolo isocrono con un corpo oscillante qualsiasi]. Questa formula, derivata dalla considerazione delle velocità e delle altezze, assumeva la forma x = Σmr/²Mb, dove x è la lunghezza del pendolo isocrono, b la distanza del centro di gravità dall’asse di sospensione, M la massa totale e r la distanza di un punto generico dall’asse di oscillazione. Il testo lo esplicita: “Si l’on donnait aux points des masses quelconques, égales ou inégales, la formule prendrait la forme x = Σ mr 2 /M b. Lorsque toutes les masses sont égales, on peut écrire (Σ r 2 ) m = b M x.” – (fr:10006) [Se si attribuiscono ai punti masse qualsiasi, uguali o disuguali, la formula assumerebbe la forma x = Σmr² / M b. Quando tutte le masse sono uguali, si può scrivere (Σ r²) m = b M x].

Un aspetto caratteristico del metodo di Huygens è l’artificio di ridurre un corpo solido a una superficie piana per semplificare il calcolo delle somme dei quadrati delle distanze. Per la sfera, dopo aver considerato una sfera concentrica di raggio √2 a², si trasportano orizzontalmente tutti i punti su un piano, generando una figura dal contorno parabolico. “Tous ces points doivent donc être transportés horizontalement de la sphère agrandie à une surface plane, et si l’on veut que cette dernière (KLMN) ait une forme symétrique […] il faut nécessairement composer son contour de deux paraboles comme le texte et la Fig. 44 l’indiquent.” – (fr:10016-10017) [Tutti questi punti devono dunque essere trasportati orizzontalmente dalla sfera ingrandita a una superficie piana, e se si vuole che quest’ultima (KLMN) abbia una forma simmetrica (…) bisogna necessariamente comporre il suo contorno di due parabole come indicano il testo e la Fig. 44]. Questo processo di riduzione è indicato come un espediente di calcolo: “Comparez sur cet artifice de calcul, la réduction d’un corps à une surface plane, la note 2 de la p. 282 du T. XIV.” – (fr:10019) [Confronta su questo artificio di calcolo, la riduzione di un corpo a una superficie piana, la nota 2 di p. 282 del T. XIV].

Nella Prima Parte, relativa alla sfera, per ottenere la distanza cercata AO Huygens utilizza le proprietà del tronco e dell’onglet costruiti su tale superficie. Il calcolo si avvale dell’equazione dei momenti attorno a una retta del piano di base: “On a généralement, lorsque la figure plane a un contour quelconque symétrique par rapport à son axe vertical […] (Vol. cunei) (b+λcunei)+(vol. trunci-vol.cunei). b = (vol. trunci) (b+λ trunci)” – (fr:10028-10032) [Si ha generalmente, quando la figura piana ha un contorno qualsiasi simmetrico rispetto al suo asse verticale (…) (Vol. onglet) (b+λonglet) + (vol. tronco) - vol. onglet) · b = (vol. tronco) (b+λ tronco)]. Nel caso della sfera, la λ dell’onglet vale √2 a² e la lunghezza cercata si ricava dalla proporzione che lega b a b’.

La Seconda Parte affronta il centro di oscillazione dell’ellissoide di rivoluzione sospeso per un punto qualsiasi del suo asse. Per calcolare Σ y² e Σ z², Huygens riduce nuovamente il corpo a una superficie piana, questa volta limitata da parabole tracciate all’interno dell’ellisse. “Comme la formule l = Σ y 2 /nb à elle seule représenterait la longueur d’un pendule isochrone avec la surface BCDE oscillant perpendiculairement à son plan, on sait, d’après le théorème de la Deuxième Partie de la Pièce IX (p.458), que Σ y 2 est le produit de nb par une longueur égale à la distance entre l’axe d’oscillation et le pied de la perpendiculaire […] du centre de gravité d’un tronc construit sur cette figure” – (fr:10049) [Poiché la formula l = Σ y²/nb rappresenterebbe da sola la lunghezza di un pendolo isocrono con la superficie BCDE oscillante perpendicolarmente al suo piano, si sa, in base al teorema della Seconda Parte della Sezione IX, che Σ y² è il prodotto di nb per una lunghezza uguale alla distanza tra l’asse di oscillazione e il piede della perpendicolare (…) del centro di gravità di un tronco costruito su questa figura]. Per calcolare Σ z² si procede analogamente, elevando sulla figura piana un cilindro e sezionandolo con un piano obliquo: emerge così il prodotto FG·FH, dove FG = ⅜c e FH = 8/15 c, ottenendo Σ z² = n FG·FH.

Dal punto di vista storico, il testo testimonia il percorso di Huygens prima della pubblicazione ufficiale. La scoperta del centro di oscillazione della sfera fu comunicata a Moray il 10 ottobre “Huygens annonce la découverte du centre d’oscillation de la sphère dans sa lettre à Moray du 10 oct. 1664 (voir la p. 120 du T. V), et il lui communique le résultat du calcul dans sa lettre du 21 nov. 1664” – (fr:10039-10040) [Huygens annuncia la scoperta del centro di oscillazione della sfera nella sua lettera a Moray del 10 ott. 1664 (vedi p. 120 del T. V), e gli comunica il risultato del calcolo nella sua lettera del 21 nov. 1664]. Nell’Horologium oscillatorium verrà poi pubblicato il calcolo per la sfera (Prop. XXII), ma con un metodo non identico a quello dei manoscritti, mentre quello per l’ellissoide, presente in queste carte, non vi troverà spazio. “Dans l’‘Horologium oscillatorium’ on ne trouve pas le calcul du centre d’oscillation de l’ellipsoïde de révolution […] mais seulement celui du centre d’oscillation de la sphère (Prop. XXII de la Pars Quarta); la méthode de calcul de ce centre […] n’y est pas cependant identique à la méthode de la Première Partie, ni aux méthodes de la Deuxième Partie de cette Pièce.” – (fr:10041-10042) [Nell’‘Horologium oscillatorium’ non si trova il calcolo del centro di oscillazione dell’ellissoide di rivoluzione (…) ma solo quello del centro di oscillazione della sfera (Prop. XXII della Quarta Parte); il metodo di calcolo di questo centro (…) non è tuttavia identico al metodo della Prima Parte, né ai metodi della Seconda Parte di questo brano].

Permane un’ambiguità circa l’uso da parte di Huygens di due metodi diversi per calcolare Σ y² e Σ z² nell’ellissoide, il che potrebbe suggerire che non conoscesse ancora un’equazione simmetrica che le legava. Il testo lo rileva con cautela: “Le fait que Huygens se sert de deux méthodes différentes pour calculer les deux sommes Σ y 2 et Σ z 2 pourrait faire croire qu’il ne connaissait pas encore l’équation de l’alinéa précédent” – (fr:10074) [Il fatto che Huygens si serva di due metodi diversi per calcolare le due somme Σ y² e Σ z² potrebbe far credere che non conoscesse ancora l’equazione del capoverso precedente]. Viene inoltre notato un dettaglio relativo alla figura: “Il y a deux points E dans la figure. Ici il s’agit du point inférieur E. Plus haut, à gauche, on voit une troisième lettre qui ressemble à un E, mais qui est en réalité un M tourné de 90 o.” – (fr:9991-9992) [Ci sono due punti E nella figura. Qui si tratta del punto inferiore E. Più in alto, a sinistra, si vede una terza lettera che assomiglia a una E, ma che in realtà è una M ruotata di 90°].

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35 Il calcolo dei centri di gravità e di percussione nei manoscritti di Huygens

I frammenti tratti dal Tome XVI degli Oeuvres complètes di Christiaan Huygens documentano momenti distinti della ricerca sul centro di oscillazione e sul braccio di leva di solidi parziali (onglets, cunei), condotta attraverso l’uso di curve ausiliarie dette paraboloides e di decomposizioni geometriche di figure piane e solide.

35.1 Dalla semiparabola al cuneo: l’uso delle paraboloidi

Una prima sequenza (Fig. 46) mostra come trovare il braccio TE di un cuneo staccato da una semiparabola mediante il segmento DA. Huygens introduce una paraboloides DLM in cui la relazione tra ordinate e ascisse segue una proporzione ben determinata:

“semiparabola, per trovare il braccio TE del cuneo tagliato da DA sulla semiparabola, sia DLM una paraboloides in cui i cubi delle ordinate all’asse DV, cioè i cubi di LS, MV, stanno come i quadrati delle ascisse SD, VD.” – (fr:10081)

Le sezioni del cuneo vengono così messe in corrispondenza con le ordinate della paraboloides, e si dimostra che il braccio del cuneo DQP e quello del piano DPM, rispetto alla retta ADV, sono uguali. Poiché il braccio del piano è noto dalle regole precedentemente stabilite, si ottiene il valore cercato:

“Ma il braccio del piano secondo le nostre regole è 5/7 DP. Dunque anche del cuneo.” – (fr:10085‑10086)

Gli editori precisano che l’equazione della paraboloides DLM in questo caso è y² = kx³ e che il metodo proviene da un foglio separato incollato nel Manoscritto B.

35.2 Scomposizione di onglets e bracci di leva

Un calcolo successivo (Fig. 47) riguarda un cuneo su DQP scomposto nella differenza tra due onglets, entrambi delimitati da un piano obliquo passante per DP. L’onglet sulla base DAQP ha il centro di gravità a distanza ⅓ AD dalla retta AQ; l’onglet sulla base DAQ viene trasformato sostituendo le sezioni con ordinate proporzionali, ricavando ancora una paraboloides y = kx³:

“Sostituendo le sezioni rette dell’onglet su DAQ […] con ordinate […] si trova una ‘paraboloides’ y = kx³, il cui centro di gravità si trova a una distanza AD dalla retta AQ.” – (fr:10105)

Poiché i volumi dei due onglets parziali sono uguali, per ottenere il braccio dell’onglet su DQP basta prendere CE = CB, in modo che l’onglet su DQP “sospeso” in E e l’onglet su DAQ “sospeso” in B equivalgano all’onglet totale “sospeso” in C. Il risultato finale è netto:

“Si trova infine: DE o NE = 8/15 AD.” – (fr:10108)

35.3 La superficie ellittica e il pendolo isocrono

Nella Quarta Parte (Fig. 48), l’obiettivo è la lunghezza del pendolo isocrono per una lamina ellittica sospesa a un punto sull’asse BD e oscillante nel proprio piano. Huygens calcola separatamente le somme Σy² e Σz². Per Σy² costruisce un cuneo sopra l’ellisse, limitato da un piano obliquo passante per la tangente in B, ricavando la λ del cuneo come ¼a e quella del tronco corrispondente come ¼a²/b.

Il calcolo di Σz² sfrutta una sostituzione ingegnosa: la semiellisse BGD è rimpiazzata da un semicerchio ottenuto moltiplicando le ordinate dell’ellisse parallele a DB per un fattore costante, mantenendo così costante la densità dei punti sul semicerchio:

“Huygens sostituisce […] la semiellisse BGD con un semicerchio, cosa che si può fare, poiché la circonferenza di questo cerchio si ottiene moltiplicando tutte le ordinate dell’ellisse […] per un fattore costante.” – (fr:10122)

Elevato un cilindro sul semicerchio e tagliato con un piano obliquo passante per BD, si ottiene un cuneo il cui centro di gravità ha distanza ⅜q dall’asse BD (q è il quarto di circonferenza). Poiché il centro di gravità del semicerchio dista ⅔ c²/q dall’asse BD, Σz² si calcola come:

“… formando il prodotto di ⅔ c²/q per ⅜ q e per n, non per n/2, poiché si tratta di calcolare Σz² per la superficie ellittica intera.” – (fr:10124)

Il quoziente finale, diviso per nb, fornisce l’espressione cercata per la lunghezza del pendolo. Gli editori notano che questo procedimento è interamente conforme al metodo generale per le superfici piane simmetriche oscillanti nel loro piano, metodo che Huygens probabilmente formulò proprio dopo averlo applicato all’ellisse, annunciandone la scoperta – insieme a quella per i corpi oscillanti – a de Sluse nella lettera del 28 ottobre

35.4 Centro di oscillazione di una superficie ellittica e rapporto tra gli assi

Nella Quinta Parte (Fig. 49) Huygens si chiede quale rapporto tra gli assi renda il centro di oscillazione coincidente con il punto D quando la lamina è sospesa in B. Il risultato, c² = 3 a², conferma un calcolo precedente. La determinazione del braccio di leva dell’onglet APBC (arco AB di 60°) è generalizzata a un arco qualsiasi; l’equilibrio tra l’onglet APBC sospeso in Q, la piramide CPBD sospesa in L e il corpo totale APBD sospeso in K permette di determinare la distanza KQ.

Infine ricompare il riferimento ad Archimede con un’espressione sintetica:

“Dall’Archimede, l’unghia APBC sta alla piramide PBCD come 5 a ” – (fr:10152)

La nota degli editori richiama il teorema del De sphaera et cylindro (II, cap. II) che eguaglia un segmento di sfera a un cono di pari base e altezza opportuna. Il rapporto 5:3 viene poi impiegato nella Sesta Parte (Fig. 50) per calcolare la distanza KQ moltiplicando la lunghezza LK per il rapporto tra il volume della piramide PBCD e quello dell’onglet APBC.

Nel loro insieme, questi frammenti mostrano la strumentazione geometrica con cui Huygens affrontava il problema del centro di percussione prima della sistemazione generale: le paraboloides come curve di trasformazione, la scomposizione di solidi in onglets, l’impiego di equivalenze archimedee e la riduzione di superfici curve a figure di densità costante. Tutto ciò costituisce un capitolo importante nella preistoria del calcolo integrale applicato alla dinamica dei corpi rigidi.

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36 Metodo Huygens per la percussione e il pendolo isocrono di solidi di rivoluzione

Appunti dal Manoscritto B di Christiaan Huygens sul calcolo del centro di percussione per cilindri, ellissoidi, paraboloidi e figure piane sospese.

Il testo raccoglie una serie di annotazioni tecniche tratte dalle Oeuvres complètes di Christiaan Huygens (Tomo XVI), dedicate alla determinazione del centro di percussione e della lunghezza del pendolo isocrono per varie figure geometriche. L’approccio è fondato sull’uso di “onglets” (cunei), porzioni di solidi ottenute tagliando un corpo con un piano obliquo, il cui momento statico fornisce le somme necessarie al calcolo.

Per un cilindro tagliato, si stabilisce un risultato fondamentale sul braccio di leva dell’onglet. Quando l’arco alla base diventa un quarto di circonferenza, il braccio di leva CQ vale ⅜ di quel quarto, un valore che rimane identico per la semicirconferenza: “Lorsque l’arc AB ou p devient égal à un quart de circonférence (AE), on trouve AC = a = r; et CB = b = r, donc CQ = ⅜p” - (fr:10174) [Quando l’arco AB o p diventa uguale a un quarto di circonferenza (AE), si trova AC = a = r; e CB = b = r, dunque CQ = ⅜p]; “On trouve évidemment le même bras de levier lorsque la base du cylindre est la moitié du cercle” - (fr:10176) [Si trova evidentemente lo stesso braccio di leva quando la base del cilindro è la metà del cerchio].

L’analisi si estende allo sferoide generato dalla rotazione di un’ellisse attorno all’asse verticale AC, il cui diametro orizzontale BD è doppio di quello verticale. Un tale sferoide, sospeso per il punto A, possiede oscillazioni isocrone con un pendolo di lunghezza AC: “Percussion Sphaeroides ex conversione ellipsis ABCD circa axem AC subduplum diametri BD, si suspendatur ex puncto A, isochronas vibrationes habet pendulo longitudinis AC” - (fr:10184) [Percussione. Uno sferoide dalla rotazione dell’ellisse ABCD attorno all’asse AC, metà del diametro BD, se sospeso dal punto A, ha vibrazioni isocrone con un pendolo di lunghezza AC]. Il luogo di tutti i cerchi sospesi in A che possiedono lo stesso pendolo isocrono è proprio questo ellissoide.

Nella Settima Parte, il metodo si generalizza per qualsiasi figura piana o solido di rivoluzione sospeso in A. Per una figura piana BAL, la chiave risiede nella somma dei cubi di OP, equivalente al centro di gravità dell’onglet elevato sulla superficie: “Plano BAL suspenso ex A pendulum isochronon habebitur si sciatur summa cuborum OP sive centrum gravitatis ungulae super ACB, plano per AC abscissae” - (fr:10197) [Sospesa la figura piana BAL in A, si avrà il pendolo isocrono se si conosce la somma dei cubi di OP, ovvero il centro di gravità dell’onglet su ACB tagliato dal piano per AC]. Per un solido generato dalla rotazione del trilineo ABC attorno ad AC, la conoscenza richiesta è invece la somma delle quarte potenze di OP (Σ(OP)⁴).

L’Ottava Parte applica questi principi al paraboloide di rivoluzione. Per un segmento di paraboloide sospeso in A, Huygens scompone il problema calcolando Σz² e Σy² rispetto a piani di riferimento. Il valore Σz² per il semi-paraboloide risulta essere un terzo di quello del semicilindro corrispondente, poiché per ogni tranche orizzontale Σz² è proporzionale alla quarta potenza del raggio, relazione descritta da una parabola: “Pour le demi-paraboloïde de révolution Σ z² est le tiers de la somme Σ z² pour le demi-cylindre. En effet, pour chaque tranche horizontale le Σ z² est proportionnel à la 4iéme puissance du rayon de cette tranche, donc au carré de sa distance au plan AV” - (fr:10245-10246) [Per il semi-paraboloide di rivoluzione Σz² è il terzo della somma Σz² per il semicilindro. Infatti, per ogni tranche orizzontale il Σz² è proporzionale alla quarta potenza del raggio di questa tranche, dunque al quadrato della sua distanza dal piano AV]. Analogamente, Σy² per il semi-paraboloide è un quarto di quello per il semicilindro (frasi 10251 e 10261, ripetute identicamente). Il calcolo può essere verificato alternativamente tramite la formula n·FG·FH, che coinvolge il numero di particelle, la distanza del baricentro dal punto di sospensione e il piede della perpendicolare abbassata sul piano di base dal baricentro di un onglet costruito su una figura piana S, la quale risulta essere un triangolo isoscele il cui onglet è una piramide scalena.

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37 La percossa nei settori circolari: tra indivisibili e parabole di terzo grado

All’interno del Tomo XVI degli Oeuvres complètes di Christiaan Huygens, dedicato allo studio della percossa (centro di percussione), sono raccolti frammenti di calcoli e dimostrazioni datati Il testo, tratto dai manoscritti B, affronta il problema del pendolo isocrono con corpi rigidi di forma complessa, in particolare settori di cerchio, adoperando tecniche proprie del metodo degli indivisibili.

Il problema centrale è esposto apertamente: “Super sectore DBAO … quaeritur MD brachium super ND, solidi absciffi, basin habentis sectorem DBAO” – (fr:10285,10287) [Sul settore DBAO si immagini eretto un parallelepipedo, e lo si sechi con un piano passante per NDN parallelo a BO; si cerca il braccio MD rispetto a ND del solido tagliato che ha per base il settore DBAO.] Come chiarisce il curatore, “on cherche la longueur DM ou x du pendule isochrone avec le secteur de cercle DBAO, lorsque D est le point de suspension, et que le mouvement est solide” – (fr:10293) [si cerca la lunghezza DM o x del pendolo isocrono con il settore circolare DBAO, quando D è il punto di sospensione e il moto è solido.] Lo stesso DM, una volta noto, permette di determinare la lunghezza del pendolo isocrono nel caso in cui il settore oscilli nel suo piano (fr:10309,10320).

Per giungere a DM, Huygens passa attraverso la determinazione di punti notevoli e centri di gravità. Introduce una porzione di superficie cilindrica e, con un ragionamento sulle corde YZ egualmente distanziate e normali a CO, conclude: “erit G punctum sub centro gravitatis superficiei curvae propositi solidi” – (fr:10289) [il punto G sarà sotto il centro di gravità della superficie curva del solido proposto.] Infatti, “partes dictae superficiei curvae aequales inter binas quasque YZ, YZ intercipiuntur … momentum omnium simul istarum gravitatum super CO aequale omnibus YZ in YY” – (fr:10290) [le parti di detta superficie curva sono uguali fra ogni coppia di YZ, YZ … il momento di tutti questi pesi presi insieme rispetto a CO è uguale a tutte le YZ moltiplicate per YY]. Così G risulta il punto in cui si concentrano i pesi sospesi nei punti Z.

Successivamente, prendendo “GM ∞ ¼ GD”, dichiara: “dico M esse sub centro gravitatis solidi propositi” – (fr:10302-10303) [dico che M è sotto il centro di gravità del solido proposto]. La dimostrazione si fonda sulla scomposizione del solido in infinite superfici cilindriche equidistanti, le cui aree stanno tra loro come i quadrati dei diametri. I pesi appesi alla retta GD crescono quindi come i quadrati dei numeri naturali, e il loro centro di gravità divide GD come l’asse di un cono con vertice D, ossia con GM = ¼ GD (fr:10305). Noto il centro di gravità del solido, Huygens può affrontare il braccio dell’ongletta tagliata sulla porzione BAO da un piano inclinato passante per BO, sfruttando la composizione del solido in piramide, parallelepipedo e ongletta stessa (fr:10306).

Un secondo approccio, più sintetico, compare nella Deuxième Partie ed è illustrato con la Figura 55: “dans ce cas-ci le secteur est divisé en anneaux très minces” – (fr:10336) [in questo caso il settore è diviso in anelli sottilissimi]. L’oscillazione considerata è di 180° e la grandezza x è ricavata eguagliando due integrali che esprimono il prodotto della massa per l’altezza di innalzamento. La lunghezza “rr/x correspond à la longueur bb/x … c’est la hauteur à laquelle tous les points d’un anneau … pourraient s’élever librement” – (fr:10338) [rr/x corrisponde alla lunghezza bb/x … è l’altezza alla quale tutti i punti di un anello potrebbero salire liberamente]. La superficie dell’anello è 2p (dove 2p è l’arco e 1 la dimensione infinitesima radiale), e l’espressione 2prr/x ne rappresenta il “momento”. La somma di tali espressioni su tutti gli anelli è condotta mediante la curva “y = 2 prr/x (où les variables sont y et r tandis que x est une constante)”, che risulta una “paraboloïdes du troisième degré” – (fr:10343) [paraboloide di terzo grado]; l’integrale cercato, espresso da un’area, è ¼br con b = 2pr²/x (fr:10344-10345). Parallelamente, l’altezza del centro di gravità del settore è ⅔ dr/p, e moltiplicando per l’elemento di superficie si integra 2 dr, ottenendo ⅓ar con a = 2 dr. L’uguaglianza delle due somme dà la relazione “2 prr/x:2 dr = 4:3” – (fr:10350), da cui si ricava x.

Il testo sottolinea come il valore di x così determinato concordi con quello trovato da Roberval (fr:10351) e, applicato al caso particolare del semicerchio, restituisca “x = ¾p, conformément au résultat obtenu plus haut” – (fr:10352) [x = ¾p, conformemente al risultato ottenuto in precedenza], in coerenza con la Figura 24 della Pièce VI.

L’insieme dei frammenti mostra il caratteristico intreccio di dimostrazioni alternative che Huygens esplorava: il calcolo più articolato con parallelepipedo e coni (Percussion XII, Prima Parte), la variante con la proporzione “si fiat ut subtensa BO ad arcum BAO ita radius AD ad DV” – (fr:10316) [se si faccia che la corda BO sta all’arco BAO come il raggio AD sta a DV], che porta a ⅜ CV = DM (fr:10317), e infine l’integrazione mediante parabola cubica. I riferimenti manoscritti (Manuscrit B, pp. 169‑173, 213) e l’annotazione “a = addendo, m = multiplicando” – (fr:10323) testimoniano il lavoro concreto di laboratorio matematico di Huygens, mentre i rinvii alle pagine dell’edizione (p. 484, 505, 507, 527) consentono di intravedere l’architettura complessiva del Tomo XVI. La costante ricerca di un pendolo isocrono per corpi estesi, qui declinata sui settori circolari, riflette il ruolo storico di questi studi nel perfezionamento dell’orologio a pendolo e nella fondazione della dinamica del corpo rigido.

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38 Metodo e definizioni per il pendolo isocrono nelle note di Huygens del 1664

Dai manoscritti di Christiaan Huygens riuniti nel Tomo XVI delle Oeuvres complètes sotto il titolo “Percussion”, emergono con chiarezza sia il procedimento di verifica dei risultati sul centro di oscillazione, sia la terminologia geometrica con cui lo scienziato costruiva i suoi calcoli. L’estratto alterna la revisione di casi particolari – il semicerchio e l’esagono regolare – a definizioni rigorose di solidi ideali come la superficie prismatoide, l’onglet (unghia) e il tronco, restituendo una testimonianza diretta delle tecniche impiegate per determinare la lunghezza del pendolo isocrono.

La verifica per il semicerchio. In più luoghi del testo si insiste sul controllo dell’uguaglianza tra due espressioni della lunghezza del pendolo. Nella nota relativa alla Fig. 58, l’autore osserva che, ponendosi nel caso di un settore semicircolare, « La longueur du pendule isochrone (avant-dernier aliréa de la même note) se réduit ici, puisque » – (fr:10397) [La lunghezza del pendolo isocrono (penultimo capoverso della stessa nota) si riduce qui, poiché], lasciando intendere l’introduzione di una condizione semplificatrice. Con l’impiego ripetuto della formula generale, il calcolo diretto viene confrontato con la riduzione precedente: « Il faut que les deux expressions soient égales, ce qui est effectivement le cas » – (fr:10399) [Bisogna che le due espressioni siano uguali, e in effetti è così]. Il brano compare due volte in forma quasi identica (fr:10396‑10413 e fr:10414‑10421), a sottolineare forse una duplice redazione o l’intenzione editoriale di conservare stesure differenti; in entrambe si richiama la costruzione del tronco a base semicircolare, limitato da un piano parallelo a BG e passante per V, e si ribadisce la relazione λ trunci = GF/VF (λ cunei). In questo modo Huygens conferma che l’espressione del pendolo isocrono per un solido oscillante – la lunghezza è VF o q, con F centro di gravità del semicerchio, più il termine che dipende dal tronco – coincide con quella ottenuta per via generale.

Il caso dell’esagono regolare. Un problema più articolato è il calcolo della lunghezza x per un esagono regolare di lato d sospeso a distanza c dal centro e oscillante nel proprio piano, secondo lo schema della Fig. « Huygens se propose de calculer la longueur x du pendule isochrone avec la surface d’un hexagone régulier de côté d, suspendu, comme la Fig. 60 l’indique, en un point situé à la distance c de son centre et oscillant dans son plan » – (fr:10439‑10440) [Huygens si propone di calcolare la lunghezza x del pendolo isocrono con la superficie di un esagono regolare di lato d, sospeso – come indica la Fig. 60 – in un punto posto a distanza c dal suo centro e oscillante nel suo piano]. A tale scopo si appoggia al teorema di p. 515 e al risultato del 13 ottobre 1664 per la figura F12 C43F (di cui l’esagono è caso particolare), utilizzando la formula di p. 469 (sesta linea) che dà la lunghezza per il moto solido. Per passare al moto piano, occorre aggiungere la frazione l’z’/c, dove l’ è la lunghezza per la mezza figura oscillante con moto solido attorno all’asse verticale e z’ la distanza del suo baricentro dall’asse stesso. I valori espliciti sono « l’ = ⅝p et z’ = 4/9 p, où p désigne la moitié de la diagonale horizontale de l’hexagone » – (fr:10448) [l’ = ⅝p e z’ = 4/9 p, dove p indica la metà della diagonale orizzontale dell’esagono]. Un appunto a margine (fr:10465) dà il caso limite “si c ∞ d fit 17/12 d ∞ x”, ossia per c = d si ottiene x = 17/12 d. Il manoscritto ricorda infine che Huygens giunse più tardi a una formula generale per ogni poligono regolare oscillante nel proprio piano, comunicata nel 1669 alla Royal Society.

Il lessico dei solidi di riferimento. La sezione XV (1664) introduce i termini con cui Huygens schematizza le figure oscillanti e i volumi ausiliari necessari al calcolo del momento d’inerzia. L’asse di oscillazione è definito come « une droite parallèle à l’horizon, passant par le point de suspension, et autour duquel, tandis qu’il reste immobile lui-même, l’oscillation du pendule idéal considéré a lieu » – (fr:10469) [una retta parallela all’orizzonte, passante per il punto di sospensione, attorno alla quale – rimanendo essa immobile – ha luogo l’oscillazione del pendolo ideale considerato]. Il moto oscillatorio di una superficie piana è chiamato solido quando l’asse giace nel piano stesso, mentre è detto piano se l’asse è perpendicolare alla superficie, ovvero quando la superficie oscilla nel proprio piano (fr:10470‑10471). A partire da una figura piana e da una retta generatrice perpendicolare ad essa che ne percorre il contorno, si genera la superficie prismatoide; il solido prismatoide è il volume compreso tra due piani paralleli che tagliano ortogonalmente la generatrice e la porzione di superficie prismatoide tra essi (fr:10472‑10473). Viene poi descritto l’onglet (unghia) – Fig. 61 – come il corpo delimitato da due piani di cui uno perpendicolare alla generatrice e l’altro inclinato, passante per una tangente esterna alla figura; il tronco – Fig. 62 – si ha invece quando il piano inclinato interseca una retta posta a una certa distanza dalla figura (fr:10474‑10477). Se l’inclinazione del piano obliquo è di 45°, si parla di onglet o tronc à angle demi-droit (fr:10478). La proprietà fondamentale, che consente di ridurre ogni problema di centro di oscillazione a misure di volumi, è enunciata con chiarezza: « Un onglet ou tronc quelconque construit au-dessus d’une figure plane est égal au prismatoïde sur la même base dont la hauteur est égale à la perpendiculaire à la base élevée au centre de gravité de la figure plane et terminée par le point où elle rencontre le plan opposé dutronc » – (fr:10479) [Un’unghia o un tronco qualunque costruito sopra una figura piana è uguale al prismatoide sulla stessa base la cui altezza è uguale alla perpendicolare alla base innalzata nel baricentro della figura piana e terminata dal punto in cui essa incontra il piano opposto del tronco].

Questo insieme di definizioni e verifiche mostra in modo esemplare lo stile di lavoro di Huygens: la riduzione di configurazioni meccaniche complesse a solidi geometrici elementari (onglet, tronco, prismatoide) di cui era già noto il legame con il centro di gravità, e la costante conferma incrociata dei risultati ottenuti per via diretta e per via generale. I brani, benché privi delle espressioni matematiche complete, rappresentano una finestra sui procedimenti che, a partire da queste note manoscritte del 1664, condurranno all’Horologium Oscillatorium del 1673 e, più tardi, alle formule generali per poligoni regolari comunicate alla Royal Society.

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39 II cuneo e il tronco come strumenti geometrici per la percussione: un capitolo dai manoscritti di Huygens

Il testo definisce con precisione i solidi “cuneus” e “truncus” sopra una figura piana e ne dimostra l’equivalenza con un “prisma toide”, rivelando l’uso di tecniche infinitesimali che anticipano il calcolo integrale moderno.

Il brano appartiene al sedicesimo tomo delle Oeuvres complètes di Christiaan Huygens e proviene dalla sezione intitolata Percussion XV, basata sul Manoscritto B. Vi si elabora un apparato geometrico finalizzato allo studio del moto oscillatorio dei corpi, e in particolare alla determinazione della lunghezza del pendolo semplice isocrono a una figura piana oscillante. La terminologia impiegata ha radici in lavori precedenti dello stesso Huygens. Già nel 1650, nel trattato De iis quae liquido supernatant, egli aveva considerato il cuneus cylindricus, mentre il truncus corrispondente era chiamato portio cylindri:

“Huygens avait déjà considéré en 1650 le ‘cuneus cylindricus’ dans son Traité ‘De iis quae liquido supernatant’; voir les p. 159-160 et 204-210 du T. XI.” – (fr:10482) [Huygens aveva già considerato nel 1650 il ‘cuneo cilindrico’ nel suo Trattato ‘De iis quae liquido supernatant’; vedere le pp. 159-160 e 204-210 del T. XI.]

Nel 1651, nell’ξέτασις Cyclometriae di Gregorio di San Vincenzo, Huygens designa invece il cuneus parabolicus con il nome di ungula parabolica. Di qui la traduzione del termine:

“On peut donc traduire ‘cuneus’ par ‘onglet’.” – (fr:10486) [Si può dunque tradurre ‘cuneus’ con ‘onglet’.]

A ciò si accompagna una nomenclatura di solidi strettamente legati all’oscillazione. L’asse di oscillazione è definito con precisione:

“Axis oscillationis dicatur recta horizonti parallela, quae per punctum suspensionis ducitur, ac circa quem immotum penduli agitatio fieri concipitur.” – (fr:10490) [Si chiami asse di oscillazione la retta parallela all’orizzonte, condotta per il punto di sospensione, e attorno alla quale si concepisce che avvenga il movimento del pendolo.]

Per una superficie piana, il moto oscillatorio si dice solido se l’asse giace nello stesso piano della superficie, piano se l’asse è ortogonale alla superficie e questa non esce dal proprio piano durante il moto. Vengono poi introdotte la superficie prismatoide e il solido prismatoide, generati da una retta perpendicolare al piano della figura che ne percorre il contorno. Su queste basi si innestano le definizioni di cuneus e di truncus. Il cuneo è un solido compreso tra due piani e una porzione di superficie prismatoide, dove uno dei piani è perpendicolare alla figura piana e l’altro, inclinato, passa per una retta che tocca esternamente la figura. Il tronco (truncus) differisce perché il piano inclinato passa per una retta situata a distanza dalla figura. Entrambi possono essere detti “ad angolo semiretto” quando il piano inclinato forma un angolo di 45° con la figura piana.

Il cuore della trattazione è un teorema di uguaglianza che lega questi solidi al prismatoide:

“Cuneus vel truncus quilibet super figura plana aequalis est prismatoidi super eadem, cujus altitudo aequalis rectae quae a centro gravitatis figurae planae super ipsam perpendicularis educta pertingit usque ad planum trunci oppositum.” – (fr:10502) [Qualsiasi cuneo o tronco sopra una figura piana è uguale al prismatoide sopra la stessa figura, la cui altezza è uguale alla retta condotta perpendicolarmente dal centro di gravità della figura piana fino al piano opposto del tronco.]

La dimostrazione, riportata sia in latino sia in francese, mostra un metodo di scomposizione infinitesimale. Dato un onglet AFC o un tronco AEFC sulla figura ABCD, limitato da un piano obliquo passante per la retta GH, si pone K come centro di gravità della figura e si eleva la perpendicolare KL fino al piano obliquo. Costruito il prismatoide AMNC di altezza KL, si dimostra che esso eguaglia il tronco o l’onglet.

L’argomento si snoda suddividendo il piano ABCD in un numero grandissimo di “minima rectangula” O, con linee parallele a GH. Di ogni rettangolo si considera la distanza del proprio centro di gravità dalla retta GH, moltiplicata per l’area del rettangolo stesso: la somma di questi prodotti uguaglia il prodotto dell’intera figura per la distanza GK. Se GK = KL, ogni distanza OG corrisponde esattamente all’altezza del parallelepipedo costruito sul rettangolo O e delimitato dal piano obliquo. La somma di questi parallelepipedi compone l’onglet o il tronco, mentre il prodotto di KL per l’intera figura corrisponde al prismatoide. Se le distanze GK e KL non sono uguali, i solidi variano secondo il medesimo rapporto, cosicché l’uguaglianza si conserva.

Una marginalia rivela un’attenzione ulteriore alla regolarità della partizione:

“melius in minima quadratula dividetur” – (fr:10527) [sarà meglio dividere in piccolissimi quadrati.]

Il manoscritto prosegue con un lemma che oggi riconosciamo come il calcolo del momento d’inerzia rispetto a un asse passante per il centro di gravità del tronco. Sopra una figura piana ABC, limitata da un piano passante per la retta esterna ED, si costruisce un tronco ad angolo semiretto ALMC. Siano EH la distanza di ED dal piede della perpendicolare abbassata dal centro di gravità del tronco, ed EG la distanza di ED dal centro di gravità della figura piana. La proposizione afferma:

“Je dis que la somme des produits obtenus en multipliant chacun des carrés par le carré de la perpendiculaire abaissée de son centre de gravité sur la droite ED est égale au produit de la figure ABC par le rectangle des droites HE et EG.” – (fr:10559) [Dico che la somma dei prodotti ottenuti moltiplicando ciascun quadratino per il quadrato della perpendicolare abbassata dal suo centro di gravità sulla retta ED è uguale al prodotto della figura ABC per il rettangolo delle rette HE e EG.]

La dimostrazione considera il tronco come somma di parallelepipedi a base quadrata, ciascuno moltiplicato per la propria distanza perpendicolare da ED, sfruttando il fatto che l’altezza di ogni parallelepipedo è proprio tale distanza. La somma richiesta diviene così il prodotto del volume del tronco per la distanza EH, e poiché il tronco stesso è uguale al prodotto dell’area ABC per la distanza EG del suo baricentro, si ottiene il risultato voluto.

Il lemma conduce infine a un’applicazione meccanica diretta: il pendolo semplice isocrono a una figura piana qualsiasi che oscilla di moto solido ha lunghezza pari alla distanza fra l’asse di oscillazione e la perpendicolare alla figura condotta dal centro di gravità di un onglet o tronco costruito su di essa e limitato dal piano passante per l’asse stesso. Il testo offre così un singolare esempio della sintesi secentesca tra geometria degli indivisibili e dinamica del pendolo composto, prefigurando con nitore gli strumenti del calcolo integrale.

[21.3/3-85-10568|10652]

40 Il lemma di percussione e la lunghezza del pendolo isocrono per una figura piana

Huygens stabilisce, mediante un lemma geometrico, che il pendolo semplice isocrono a una figura piana oscillante solidamente ha lunghezza uguale alla distanza tra l’asse e il piede della perpendicolare condotta dal baricentro del tronco costruito sulla figura.

Il Lemma di percussione (Percussion Lemma) considera una figura piana qualsiasi ABC e una retta ED giacente nello stesso piano ma esterna alla figura. La figura viene suddivisa in quadratini minimi uguali mediante linee ortogonali. Da ciascun centro di gravità dei quadratini, come dal centro F del quadratino F, si conduce una perpendicolare alla retta ED (per es. FK). Sopra l’intera figura ABC si eleva poi un tronco d’angolo semiretto (45°) ALMC, tagliato da un piano passante per ED. Siano EH la distanza tra ED e il piede della perpendicolare abbassata dal baricentro del tronco sul piano ABC, ed EG la distanza tra la stessa ED e il baricentro della figura ABC.

L’enunciato chiave afferma: “Dico summam productorum quae fiunt ductis quadratulis singulis in quadrata perpendicularium ex suis centris gravitatis in rectam ED dimissarum, aequari producto ex figura ABC in rectangulum linearum HE, EG.” – (fr:10578) [Affermo che la somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando ciascun quadratino per il quadrato delle perpendicolari condotte dai loro centri di gravità sulla retta ED, è uguale al prodotto della figura ABC per il rettangolo dei segmenti HE, EG.]

La dimostrazione procede immaginando di erigere su ciascun quadratino un parallelepipedo la cui altezza è uguale alla rispettiva perpendicolare (come su F si eleva il parallelepipedo FN, di altezza FK). L’insieme di tutti questi parallelepipedi costituisce il tronco ALMC. Moltiplicando ciascun parallelepipedo per la sua perpendicolare (cioè ciascun quadratino per il quadrato della sua distanza da ED) si ottiene una somma che eguaglia il prodotto dell’intero tronco per la distanza EH, perché il tronco grava sul punto H. Poiché inoltre il tronco ALMC è equivalente al prodotto della figura ABC per la distanza EG, la somma dei prodotti cercata risulta appunto ABC × HE·EG: “Patet igitur summam dictorum productorum … aequari producto ex plano ABC in rectangulum distantiarum HE, EG.” – (fr:10582) [È dunque chiaro che la detta somma dei prodotti … uguaglia il prodotto della figura piana ABC per il rettangolo delle distanze HE, EG.]

Da questo lemma discende immediatamente la regola per il pendolo isocrono nel moto solido di una figura piana: “Planae cuivis figurae, motu solido agitatae, isochronum est pendulum simplex cujus longitudo aequalis distantiae inter axem oscillationis et perpendicularem quae in figuram demittitur ex centro gravitatis cunei vel trunci super eadem figura erecti abscissique plano per axem oscillationis ducto.” – (fr:10584) [Per una qualunque figura piana, agitata di moto solido, il pendolo semplice isocrono ha lunghezza uguale alla distanza tra l’asse di oscillazione e la perpendicolare condotta sulla figura dal centro di gravità del cuneo o tronco eretto sulla stessa figura e tagliato dal piano passante per l’asse di oscillazione.]

Nella Figura 66, presa una figura ABC oscillante attorno all’asse ED, sia Q il punto sotto il baricentro del tronco (o onglet) costruito sulla figura e limitato dal piano per ED, e QE la perpendicolare a ED. Si afferma: “Je dis que cette perpendiculaire est la longueur du pendule isochrone avec la figure ABC.” – (fr:10591) [Affermo che questa perpendicolare è la lunghezza del pendolo isocrono con la figura ABC.]

Per dimostrarlo Huygens suppone la figura divisa in quadratini minimi uguali e introduce un pendolo GH isocrono. Dopo una semi-oscillazione massima (un quarto di circonferenza), la velocità del peso H sta a quella del quadratino F come la lunghezza GH sta alla distanza DF. Chiamate GH = x e DF = b, per le leggi della caduta l’altezza a cui può risalire H è x, mentre l’altezza a cui salirebbe il quadratino F se convertisse verso l’alto il suo moto è b²/x: “Ergo quia xx ad bb ut x ad bb/x, erit bb/x altitudo ad quam, uti dictum est, ascenderet quadratulum F.” – (fr:10619) [Poiché x² sta a b² come x sta a b²/x, l’altezza a cui salirebbe il quadratino F sarà b²/x.] La somma delle altezze per tutti i quadratini è allora c²/x, dove c² è la somma dei quadrati delle loro distanze da ED. Moltiplicando ciascuna altezza per l’area del corrispondente quadratino (chiamata f), la somma di tali prodotti diviene c² f/x.

Per la conservazione dell’energia, questa somma deve uguagliare il prodotto dell’intera figura ABC (detta p) per l’altezza di discesa del suo baricentro durante la massima semi-oscillazione, cioè EM (chiamata g). Si ha quindi c² f/x = p g, e moltiplicando per x: c² f = p g x. Ma per il Lemma di percussione la medesima somma c² f è anche uguale al prodotto della figura per il rettangolo delle distanze ME e QE, ossia p · g · k, se QE = k. Dunque p g k = p g x, da cui k = x, cioè: “EQ = GH, ce qu’il fallait démontrer.” – (fr:10628) [EQ = GH, come si doveva dimostrare.]

Conseguentemente, per trovare la lunghezza del pendolo isocrono occorre conoscere il baricentro dell’onglet costruito sulla figura (asse che tocca la figura) oppure quello del tronco (asse esterno). Una volta nota la distanza per l’onglet e il baricentro della figura base, la distanza corrispondente per il tronco si ottiene con una costruzione geometrica (Fig. 67). Dato il tronco AKLC con base AC perpendicolare all’asse EE, lo si divide con un piano parallelo ad AC passante per K in un onglet KLT e un prismatoide AKTC. Se il piano del baricentro dell’onglet interseca perpendicolarmente AC nel punto S, e si costruisce MQ in modo che EM : MA = SM : MQ, allora Q giace nel piano perpendicolare ad AC passante per il baricentro del tronco: “je dis que Q se trouve dans un plan perpendiculaire à AC et passant par le centre de gravité du tronc AKLC.” – (fr:10635) [affermo che Q si trova in un piano perpendicolare ad AC e passante per il centro di gravità del tronco AKLC.] In tal modo la distanza QE fornisce la lunghezza del pendolo isocrono per l’oscillazione attorno all’asse esterno.

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41 Il metodo del cuneo per il pendolo isocrono delle figure piane

Huygens determina la lunghezza del pendolo semplice isocrono a una figura piana agitata di moto solido, facendo ricorso al centro di gravità di un “cuneo” costruito sulla figura e a costruzioni equivalenti in termini di momenti statici.

Il testo, tratto dalle Oeuvres complètes di Christiaan Huygens (Tomo XVI, sezione Percussio), espone un procedimento geometrico per trovare la lunghezza del pendolo isocrono di una figura piana che oscilla di moto solido intorno a un asse giacente nel suo piano o parallelo a esso. La trattazione, mista di latino e francese con note editoriali, si fonda sulla nozione di cuneo (cuneus) eretto sulla figura, tagliato da un piano passante per l’asse di oscillazione, e su quella di prismatoide (prismatoides). Il principio generale è così enunciato:

“Oportet igitur novisse centrum gravitatis cunei supra plana aut saltem distantiam inter axem oscillationis et planum ipsi parallelum quod per centrum gravitatis cunei in basin ejus perpendiculare est ut figurae agitatae motu solido circa axem qui ipsam contingat, pendulum isochronon reperiri possit.” – (fr:10654) [Bisogna dunque conoscere il centro di gravità del cuneo sopra la figura piana, o almeno la distanza fra l’asse di oscillazione e il piano parallelo a esso condotto per il centro di gravità del cuneo perpendicolarmente alla sua base, affinché si possa trovare il pendolo isocrono per la figura agitata di moto solido intorno a un asse che la tocchi.]

Quando l’asse non tocca la figura ma è situato a distanza, occorre prima determinare il centro di gravità del tronco (truncus) o la distanza del piano condotto per esso:

“Ut autem habeatur agitatae circa axem remotum, oportet trunci centrum gravitatis aut dictam distantiam plani per ipsum ducti prius invenire.” – (fr:10655) [Per ottenere poi il caso della figura agitata intorno a un asse remoto, bisogna prima trovare il centro di gravità del tronco ovvero la detta distanza del piano condotto per esso.]

Il legame tra cuneo e tronco è garantito da una proporzione ricavabile dal centro di gravità della figura piana di base:

“Semper autem data illa distantia in cuneo, itemque centro gravitatis figurae propositae quae basis ejus est, etiam distantia in trunco ea dabitur, reperieturque hoc modo.” – (fr:10656) [Sempre poi, data quella distanza nel cuneo e dato il centro di gravità della figura proposta che ne è la base, sarà data anche la distanza nel tronco, e si troverà nel modo seguente.]

La costruzione fondamentale è illustrata nella Figura 67. Sopra una figura piana qualsiasi, rappresentata in veduta laterale dalla linea AC, si erige un tronco AKLC, tagliato da un piano per la retta EE giacente nello stesso piano della figura; la retta CAE passa per il centro di gravità M della figura piana ed è perpendicolare a EE. Il tronco viene poi diviso, con un piano KL parallelo ad AC, in un cuneo KLT e un prismatoide AKTC. Il punto S è il centro di oscillazione rispetto all’asse per A, Q quello rispetto all’asse per E; la proporzione chiave è EM : MA = SM : MQ (fr:10661, 10670‑10671). Come spiega il commento francese:

“En effet, prolongeons le prismatoïde AKTC […] jusqu’en PO de telle manière que le corps entier APOC soit égal au tronc AKLC, savoir en faisant passer un plan parallèle à AC par le point N où la perpendiculaire élevée au centre de gravité M rencontre le plan KL.” – (fr:10665‑10666) [Infatti, prolunghiamo il prismatoide AKTC […] fino a PO in modo che l’intero corpo APOC sia uguale al tronco AKLC, ossia facendo passare un piano parallelo ad AC per il punto N in cui la perpendicolare innalzata al centro di gravità M incontra il piano KL.]

Ne segue che il prismatoide APOC sta a KPOT come EM sta a MA, e quindi come SM sta a MQ; ripartendo, il rapporto del prismatoide AKTC al cuneo KLT risulta SQ : QM (fr:10668‑10672, 10694‑10695). Poiché il peso del cuneo grava su S e quello del prismatoide su M, il punto Q, che divide SM in modo inversamente proporzionale a tali pesi, è il punto di equilibrio della gravità composta rispetto alla retta EE (fr:10673‑10674, 10710). Di conseguenza EQ è la distanza cercata, ossia la lunghezza del pendolo isocrono:

“Par conséquent EQ sera la distance cherchée et en même temps la longueur du pendule isochrone avec la figure AC oscillant autour de l’axe EE.” – (fr:10675) [Di conseguenza EQ sarà la distanza cercata e al tempo stesso la lunghezza del pendolo isocrono con la figura AC oscillante intorno all’asse EE.]

Il resto del frammento applica questo metodo a figure particolari.

Rettangolo oscillante intorno a un lato. Per un rettangolo ABCD che oscilla di moto solido intorno al lato AB, la lunghezza del pendolo isocrono EF è uguale a due terzi del lato AD perpendicolare all’asse (fr:10676‑10677 e 10699‑10701). Una nota editoriale avverte che nel testo originale si leggeva erroneamente AB al posto di AD (fr:10711). Lo stesso vale per un’asta o linea pesante: il centro di oscillazione dista dal punto di sospensione due terzi della lunghezza dell’asta.

“Unde facile intelligitur etiam virgae seu lineae ponderantis centrum oscillationis seu terminum penduli isochroni ab eodem puncto suspensi, distare ab hoc puncto duabus tertijs longitudinis virgae.” – (fr:10702) [Da qui si comprende facilmente che anche il centro di oscillazione di una barra o linea pesante, ovvero l’estremità del pendolo isocrono sospeso allo stesso punto, dista da questo punto due terzi della lunghezza della barra.]

Triangolo isoscele sospeso al vertice. Quando un triangolo isoscele BAC oscilla intorno al vertice A, il centro di oscillazione D dista da A tre quarti del diametro AE (fr:10680‑10681, 10703‑10704). Il cuneo costruito sul triangolo e tagliato dal piano passante per FAF parallelo a BC è una piramide scalena con vertice in A, la cui altezza è proprio il diametro AE del triangolo (fr:10682). Il centro di gravità di tale piramide determina la lunghezza cercata.

“quia nempe cuneus super triangulo ABC, abscissus plano per FAF basi BC parallelam, nihil aliud est quam pyramis scalena verticem habens A, perpendicularem […] ipsam AE trianguli diametrum.” – (fr:10705, 10728) [perché il cuneo sopra il triangolo ABC, tagliato dal piano per FAF parallelo alla base BC, non è altro che una piramide scalena avente il vertice in A e come perpendicolare del vertice sulla base lo stesso diametro AE del triangolo.]

Triangolo isoscele oscillante intorno alla base. Se il triangolo isoscele BAC oscilla intorno alla base CB, il centro di oscillazione divide a metà il diametro EA (fr:10717‑10719, 10730‑10731). In questo caso il cuneo è una piramide avente per base il triangolo stesso e un lato AH perpendicolare al piano del triangolo. Il centro di gravità K della piramide si trova a un quarto dell’altezza GH dal centro di gravità G del triangolo; la proiezione D di K sul piano del triangolo dà GD = ¼ GA. Poiché EG = ⅓ EA, si ha ED = EG + GD = ½ EA (fr:10720‑10723, 10732‑10734). Pertanto:

“Est autem ED longitudo penduli triangulo ABC isochroni, cum in D cadat perpendicularis a centro gravitatis cunei super triangulo abscissi plano per CB.” – (fr:10734) [ED è poi la lunghezza del pendolo isocrono col triangolo ABC, poiché in D cade la perpendicolare dal centro di gravità del cuneo costruito sul triangolo e tagliato dal piano per CB.]

Cerchio oscillante intorno a una tangente. Per un cerchio AB agitato intorno alla tangente DA, il pendolo isocrono AE è pari a ⅝ del diametro AB (fr:10724‑10725, 10735‑10738). Qui si considera il cuneo AFB e un cono scaleno AFB con vertice in F, entrambi tagliati da piani paralleli ad AD. Le sezioni del cuneo sono rettangoli; quelle del cono sono parabole inscritte, la cui area è due terzi di quella del rettangolo corrispondente, sicché cono e cuneo hanno il centro di gravità sopra lo stesso punto della base AB (fr:10726‑10743). Congiungendo F col centro C della base e prendendo CG = ¼ CF, si ottiene il centro di gravità G del cono; la perpendicolare GE su AB dà E tale che CE = ¼ CB, e quindi AE = ⅝ AB (fr:10744‑10746, 10759‑10762).

“Et quia GE est parallela FB erit CE ∞ ¼ CB, ideoque AE ∞ ⅝ AB. Ergo tanta quoque erit longitudo penduli circulo isochroni.” – (fr:10760‑10762) [E poiché GE è parallela a FB, si avrà CE = ¼ CB, e perciò AE = ⅝ AB. Tale sarà dunque anche la lunghezza del pendolo isocrono col cerchio.]

Il testo contiene numerosi interventi redazionali: vengono segnalati e corretti i refusi, come la scritta “opposito OC” che va letta “parallelo ad AC” (fr:10683‑10684, 10707‑10708), o lo scambio di lettere nelle figure (AB per AD; E per D) (fr:10711, 10729). Una porzione di manoscritto, relativa ai casi di figure staccate dall’asse, fu soppressa da Huygens stesso con un rinvio a fogli successivi, a testimonianza di un lavoro in evoluzione (fr:10747‑10755).

Il frammento si colloca nel solco delle ricerche di Huygens sul centro di oscillazione e sulla percussione, che culminarono nell’Horologium oscillatorium; il metodo del cuneo per le figure piane si ricollega esplicitamente al Teorema XIX della Pars Quarta dell’opera (fr:10661). L’uso sistematico di confronti tra solidi equivalenti e la riduzione del problema dinamico a una bilancia di momenti statici mostrano la continuità tra statica e dinamica perseguita dallo scienziato olandese.

[22.2/3-111-10765|10875]

42 Determinazione del pendolo isocrono per figure piane: il teorema e la dimostrazione di Huygens

Dalle carte di Christiaan Huygens, un metodo per comporre la lunghezza del pendolo isocrono di una figura piana simmetrica a partire da due pendoli noti e dal centro di gravità della mezza figura.

Il nucleo del brano è costituito dall’enunciazione e dalla dimostrazione di una proposizione relativa al centro di oscillazione di figure piane, datata La questione è esposta sia in latino che in francese, offrendo uno sguardo diretto sul metodo di lavoro e sull’edizione critica degli Oeuvres complètes.

Il problema è definire la lunghezza del pendolo isocrono per una figura piana simmetrica rispetto a un asse, sospesa a un punto sul prolungamento di quest’asse e oscillante di moto piano (motus planus). La soluzione è presentata come una composizione a partire da tre grandezze note, che riguardano la stessa figura in configurazioni differenti. L’enunciato stabilisce:

“Figurae cuivis planae circa axem ordinatae et a puncto in axe producto suspensae motuque plano agitatae pendulum isochronon habebitur, si detur pendulum isochronon figurae eidem ab eadem suspensione motu solido agitatum; alterumque item isochronon dimidiae figurae motu solido agitatae circa figurae axem ac praeterea centrum gravitatis figurae dimidiae.” – (fr:10794) [Per una qualsiasi figura piana ordinata attorno a un asse e sospesa a un punto sul prolungamento dell’asse, agitata di moto piano, si avrà il pendolo isocrono, se sono dati il pendolo isocrono della stessa figura agitata di moto solido dalla stessa sospensione; e inoltre il pendolo isocrono della mezza figura agitata di moto solido attorno all’asse della figura, e inoltre il centro di gravità della mezza figura.]

La versione francese è più esplicita sul carattere “simmetrico” della figura (symétrique par rapport à un axe). La regola di composizione è lineare:

“Componitur enim quaesiti penduli longitudo, ex priore datorum pendulorum et ex ea linea quae sit ad posterius pendulum datum sicut distantia centri gravitatis figurae dimidiae ab axe figurae, ad distantiam centri gravitatis figurae a puncto suspensionis.” – (fr:10795) [La lunghezza del pendolo cercato è infatti composta dal primo dei pendoli dati e da quella linea che sta al secondo pendolo dato come la distanza del centro di gravità della mezza figura dall’asse della figura sta alla distanza del centro di gravità della figura dal punto di sospensione.]

La costruzione geometrica è riferita alla Fig. 72. La figura piana BAC è simmetrica rispetto all’asse AD. Il punto di sospensione per il moto piano è E, sul prolungamento dell’asse. Vengono dati: * EH, lunghezza del pendolo isocrono per la figura intera che si muove di moto solido (motus solidus), sospesa anch’essa in E. * HK, lunghezza del pendolo isocrono per la mezza figura ADC che oscilla di moto solido attorno all’asse AD. * L, centro di gravità della figura intera ABC; M, centro di gravità della mezza figura DAC.

Costruita la distanza HN tale che EL : LM = KH : HN, Huygens afferma che la lunghezza EN è quella del pendolo isocrono cercato per il moto piano: “Dico EN esse longitudinem penduli isochroni motui plano figurae ABC ex E suspensae” – (fr:10805).

La dimostrazione procede scomponendo la mezza figura ABD in un numero elevatissimo di minutissimi quadrati uguali, detti quadratula. Per uno di essi, di centro F, si tracciano le perpendicolari FO e FG su ED ed EG, e si congiunge F con E. Si ipotizza che il pendolo di lunghezza incognita x e la figura ABC eseguano insieme una semi-oscillazione massima, la cui ampiezza è un quadrante di cerchio. In base alla dipendenza della velocità del punto F dalla sua distanza EF = b dal punto E, si stabiliscono rapporti sulle altezze di ascesa.

“Sicut vero quadr. QP sive xx ad quadr. EF sive bb ita est altitudo ad quam ascendit peracta semioscillatione pondus P, ad altitudinem ascensus quadratuli F…” – (fr:10831-10833) [Come il quadrato QP, ossia x², sta al quadrato EF, ossia b², così è l’altezza a cui ascende, compiuta la semi-oscillazione, il peso P, all’altezza di ascesa del quadratino F…]

Poiché l’altezza di ascesa del peso P è x stesso, l’altezza a cui potrebbe salire il quadratino F se convertisse liberamente il suo moto verso l’alto è bb/x. Il prodotto di tale altezza per il quadratino F diventa b²f/x. Dato che EF² = FG² + FO², la somma di tutti questi prodotti su tutti i quadratini viene ad essere uguale alla somma di tutti i quadrati delle perpendicolari a ED e EG, moltiplicata per un quadratino f e divisa per x.

Qui il testo introduce una notazione simbolica: la somma dei quadrati di tutte le perpendicolari a EG è indicata con c², quella dei quadrati delle perpendicolari a ED con d². L’intera somma dei prodotti dei quadratini per le loro altezze d’ascensione è allora rappresentata da (c²f + d²f)/x. D’altra parte, per il principio di conservazione, la stessa somma deve uguagliare il prodotto dell’intera mezza figura ABD (di area p) per l’altezza EL = g di cui è disceso il suo centro di gravità durante la semi-oscillazione. Si ha dunque l’equaglianza pg = (c²f + d²f)/x.

A questo punto, la dimostrazione riconduce le somme c²f e d²f a prodotti notevoli. d²f, la somma dei quadrati delle perpendicolari ad AD, è uguale al prodotto dell’area della mezza figura p per il rettangolo KH · ML, in virtù del fatto che HK è il pendolo isocrono per la mezza figura oscillante attorno ad AD e ML è la distanza del suo centro di gravità dall’asse. Analogamente, c²f, la somma dei quadrati delle perpendicolari a EG, è uguale al prodotto di p per il rettangolo HE · EL.

Operando le sostituzioni con HE = k, EL = g, KH = m, ML = n, e semplificando p e g, si perviene alla formula finale per il pendolo incognito: x = k + mn/g. Ciò corrisponde perfettamente alla costruzione geometrica iniziale, dove EN = EH + HN e HN = (KH · ML) / EL.

42.1 Testimonianza del processo editoriale e storico

Il brano è un frammento di un manoscritto di lavoro (Manuscrit B, p. 200-211) e conserva le tracce di cancellature e ripensamenti. Un intero passaggio è stato soppresso, come testimonia la nota che lo precede: “En marge du texte biffé on lit: hic sequi debent quae scripta folio quod incipit, Porro ex inventa &c.” – (fr:10765). L’editore fa notare la perdita o la mancanza del foglio contenente il passo indicato: “Nous ne trouvons aucun feuillet ou feuille séparée qui contienne un passage commençant par les mots cités” – (fr:10766). Il testo cancellato riguardava un’estensione del problema ad agitazioni attorno a un asse che non tange la figura, ed è introdotto da un esplicito riferimento a una figura: “Le texte biffé est le suivant: Quod si circulus aut triangulum isosceles aut rectangulum agitetur circa axem qui non tangat figuram sed ab illa distet ut in fig. sequenti [nous supprimons cette figure]…” – (fr:10767-10768). La rimozione deliberata della figura (nous supprimons cette figure) indica un intervento redazionale che fissa il testo in una forma specifica, scartando materiale preparatorio.

Un ulteriore aspetto filologico riguarda la Fig. 72 stessa. Una lunga nota ripetuta più volte nel testo (dalla frase 10848 alla 10861) segnala che Huygens, nel manoscritto, ha riprodotto la figura anche sul retro della pagina invertendo le lettere A e B. L’edizione critica mantiene il testo latino originale ma uniforma il testo francese alla versione scelta della figura: “Nous n’avons rien changé dans le texte latin, mais dans le texte français nous nous sommes conformés à la Fig. 72” – (fr:10850-10856).

Il significato storico di questo passo risiede nel suo essere una testimonianza diretta del metodo di Huygens per determinare il centro di oscillazione di corpi composti, problema centrale per la costruzione dell’orologio a pendolo di precisione. La distinzione tra moto planus e solidus, le definizioni di figura simmetrica (intesa come “cujus medietates duae circa axem rotatae donec sibi mutuo occurrant, altera alteri congruant” – fr:10799) e l’uso di una notazione quasi-algebrica mescolata a grandezze geometriche mostrano un momento di transizione verso la meccanica razionale, dove la scomposizione infinitesimale (i quadratula minima) si combina con l’impiego del principio di equivalenza delle altezze di caduta e ascesa.

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43 La percussione e il pendolo isocrono per le figure piane: un metodo geometrico da Huygens

Il passo, tratto dal Tome XVI delle Oeuvres complètes di Christiaan Huygens, espone una via per determinare la lunghezza del pendolo isocrono per una figura piana qualsiasi, a partire dalla nozione di percussione e dai centri di gravità di figure intere, metà e solidi “a unghia”. La trattazione, densa di algebra geometrica e di costruzioni, rivela il cuore tecnico delle ricerche che condussero alla teoria del centro di oscillazione.

Il principio fisico di partenza è che, durante una semi-oscillazione, i singoli elementi in cui si può scomporre la figura (i quadratula) risalgono a un’altezza tale che il loro centro di gravità comune ritorna al livello iniziale. Huygens traduce ciò in un’uguaglianza di prodotti: la somma dei prodotti di ciascun quadratino per l’altezza che raggiungerebbe deve eguagliare il prodotto della semifigura per la distanza verticale percorsa dal proprio baricentro.

“Atqui illa productorum summa, ex quadratulis in eas quo ascenderent altitudines, aequalis esse debet producto ex omnibus quadratulis hoc est ex dimidio figurae ABC in altitudinem unde descendit ejus centrum gravitatis, quae est EL; ita enim necesse est fieri quo centrum gravitatis quadratulorum omnium, postquam facta semioscillatione singula deinde liberae 1) sursum ascenderunt, aeque altum inveniatur atque ante coeptam semioscillationem fuerat.” – (fr:10878) [Ma quella somma di prodotti, dai quadratini per le altezze a cui ascenderebbero, deve essere uguale al prodotto di tutti i quadratini, cioè della metà della figura ABC, per l’altezza da cui discende il suo centro di gravità, che è EL; così infatti è necessario che avvenga affinché il centro di gravità di tutti i quadratini, dopo che, compiuta una semi-oscillazione, ciascuno poi è salito liberamente verso l’alto, si trovi alla stessa altezza di prima dell’inizio della semi-oscillazione.]

Conseguenza immediata è che la somma anzidetta uguaglia il prodotto della mezza figura ABD per la retta EL, come affermato subito dopo.

“Ergo summa praedicta aequabitur producto figurae dimidiae ABD in rectam EL.” – (fr:10879) [Dunque la suddetta somma sarà uguale al prodotto della semifigura ABD per la retta EL.]

Chiamando p l’area della semifigura ABD e g la retta EL, tale prodotto è indicato con pg (fr:10880). L’analisi procede esprimendo le somme dei quadrati delle perpendicolari condotte dai centri dei quadratini agli assi di riferimento. La somma dei quadrati relativi alla retta BD risulta uguale al prodotto della semifigura per il rettangolo delle due distanze KH e ML, dove ML è la distanza del baricentro della figura DBC dall’asse BD e KH è la distanza da cui “pesa” il tronco eretto sulla stessa figura e tagliato da un piano per BD (fr:10882). Analoga relazione vale per la somma dei quadrati relativi a EG (fr:10883).

Da queste relazioni scaturisce il risultato centrale sulla percussione, espresso in latino e ripreso in francese:

“Percussion aequatur producto ex dimidia figura ABD ducta in rectangulum duarum HE, EL.” – (fr:10907) [La percussione è uguale al prodotto della semifigura ABD moltiplicata per il rettangolo delle due HE, EL.]

Ponendo HE = k, EL = g, KH = m, ML = n, e manipolando le proporzioni, si giunge a individuare la lunghezza incognita x (cioè il braccio del pendolo isocrono) come la quarta proporzionale dopo g, n, m, che per costruzione risulta uguale a HN, e quindi l’intera EN è pari a x (fr:10909, 10912-10914). In simboli, x = QP = EN.

Da qui Huygens trae la conclusione generale, che espone sia in latino sia in francese, sulla possibilità di trovare il pendolo isocrono per una qualsiasi figura piana sospesa a un punto arbitrario dell’asse prolungato.

“Patet igitur cuivis figurae planae a puncto quovis in axe producto suspensae motuque plano agitatae pendulum isochronon inveniri posse, si modo haec centra gravitatis noscantur, nempe figurae totius; figurae dimidiae ab alterutra parte axis.” – (fr:10932) [È chiaro dunque che per qualsiasi figura piana sospesa a un punto qualunque sul prolungamento dell’asse e agitata di moto piano si può trovare un pendolo isocrono, purché si conoscano questi centri di gravità: quello dell’intera figura, quello della semifigura da una parte e dall’altra dell’asse.]

Per la costruzione effettiva occorrono inoltre due distanze legate ai solidi “a unghia” (ungulae):

“Praeterea distantia centri gravitatis ungulae super figura tota plano per axem oscillationis abscissae, a plano per eundem oscillationis axem ducto quod sit plano figurae ad angulos rectos ac denique distantia centri gravitatis ungulae super figura dimidia plano per axem figurae abscissae, à plano per eundem axem ducto atque ad figuram erecto.” – (fr:10933) [Inoltre la distanza del centro di gravità dell’ungula eretta sull’intera figura e tagliata da un piano per l’asse di oscillazione, da un piano condotto per il medesimo asse di oscillazione e perpendicolare al piano della figura; e infine la distanza del centro di gravità dell’ungula eretta sulla semifigura e tagliata da un piano per l’asse della figura, da un piano condotto per il medesimo asse ed eretto sulla figura.]

Il testo illustra il metodo con il caso concreto del rettangolo. Nella prima applicazione, il rettangolo AB (Fig. 73) è sospeso nel punto C che divide il lato AE a metà. Posti CE = a e CD = b, Huygens mostra che la lunghezza del pendolo isocrono per il semi-rettangolo CB, oscillante attorno a CD, è FK = ⅔ a, mentre per l’intero rettangolo oscillante attorno ad AE con moto solido (cioè come corpo rigido) essa vale CG = ⅔ b. Per ottenere il pendolo piano sospeso in C occorre aggiungere una lunghezza FL determinata dalla proporzione CF : FH = FK : FL, da cui FL = ⅔ a²/b. La lunghezza totale cercata è quindi ⅔ b + ⅔ a²/b (fr:10919-10923). L’autore propone anche una costruzione geometrica semplicissima: tracciata la diagonale CB del semi-rettangolo e la perpendicolare BN che incontra il prolungamento dell’asse CD in N, la lunghezza CM = ⅔ CN dà il pendolo isocrono (fr:10943-10944, 10948-10949).

Nel secondo caso il rettangolo è sospeso in un punto O sul prolungamento dell’asse DC (Fig. 74). Posto OF = c, si determina prima la lunghezza OP del pendolo isocrono per l’intero rettangolo oscillante con moto solido attorno a OQ mediante la proporzione OF : FC = GF : FP, ottenendo FP = b²/(12c) e quindi OP = c + b²/(12c). Poi, combinando con FK = ⅔ a e la proporzione OF : FH = FK : (nuova lunghezza), si trova un aggiunta di ⅓ a²/c. Sommando il tutto si ha la lunghezza cercata (fr:10950-10956). Anche qui esiste una costruzione elegante: si cerca FN tale che OF : FE = FE : FN (dove FE è metà della diagonale del rettangolo), poi si prende il terzo FM; la lunghezza OM è il pendolo isocrono (fr:10957-10958).

Il medesimo procedimento è applicato al triangolo isoscele ABC (Fig. 75) sospeso nel punto D sul prolungamento dell’asse BE. Indicati DE = a, BE = b e la semi-base EC = c, la lunghezza del pendolo isocrono è espressa da una formula contenente a, b, c. Huygens osserva che la quantità a – ⅓ b rappresenta la distanza DF dal punto di sospensione al baricentro del triangolo (fr:10984-10986).

Significato storico e testimoniale. Il brano appartiene ai manoscritti di Huygens sulla percussione e sul centro di oscillazione, pubblicati postumi nel Tome XVI delle Oeuvres complètes. Le figure di riferimento (72, 73, 74, 75) e le note redazionali che segnalano l’inversione delle lettere A e B nel disegno originale (fr:10884-10904) mostrano il lavorio di edizione su carte autografe. Il testo documenta il percorso che condusse Huygens al celebre risultato dell’Horologium Oscillatorium (1673): la determinazione geometrica del centro di oscillazione per qualunque figura piana, indispensabile per regolare con precisione gli orologi a pendolo. L’impiego sistematico di semi-figure, tronchi e unghie, insieme al principio di conservazione dell’altezza del baricentro (la “semioscillazione” con ascesa libera), rivela un metodo originale che unisce meccanica e geometria delle grandezze composte. La chiarezza delle costruzioni proposte – come quelle basate sulla diagonale del semi-rettangolo – conferma la volontà di Huygens di tradurre risultati analitici in procedure pratiche e verificabili, testimoniando la transizione dalla scienza del primo Seicento a una meccanica razionale capace di fondare la tecnologia della misura del tempo.

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44 Centri di oscillazione, pendoli isocroni e geometria delle figure piane in un manoscritto di Huygens

Il testo — tratto dai manoscritti di Christiaan Huygens confluiti nel Tome XVI delle Oeuvres complètes — espone procedimenti geometrici per la determinazione del centro di oscillazione di settori circolari, segmenti e figure composte, muovendosi tra equazioni algebriche e costruzioni con riga e compasso. Il valore storico di queste pagine risiede nel tentativo, tipicamente secentesco, di fondare la meccanica su basi geometriche rigorose, in stretta connessione con il progetto dell’orologio a pendolo e con la ricerca del pendolo isocrono.

Il problema centrale è introdotto dalla scomposizione di un cerchio in triangoli “acutissimi”. Se due triangoli simmetrici iscritti tra il punto di sospensione A e la circonferenza ADNC hanno il centro di oscillazione in L, con AL ∞ ¾ diametri AN, allora l’intero cerchio e ogni sua porzione con lati uguali BC e BD hanno lo stesso centro L: “Cum igitur quaelibet duo triangula acutissima quae ex A ad circumferentiam ADNC constituuntur, magnitudine et situ sibi mutuo respondentia, centrum oscillationis habeant punctum L, positâ AL ∞ ¾ diametri AN: cumque circulus totus ex ejusmodi triangulorum paribus componatur, uti et portio ejus quaelibet ut BCND, latera BC, BD aequalia habens: manifestum est, tum circuli totius centrum oscillationis esse in L, tum portionis cujuslibet qualem diximus” – (fr:11228) [Poiché qualsiasi coppia di triangoli acutissimi costruiti da A sulla circonferenza ADNC, corrispondenti per grandezza e posizione, ha il centro di oscillazione nel punto L, posto AL uguale a ¾ del diametro AN; e poiché l’intero cerchio è composto da simili coppie di triangoli, come pure una qualsiasi porzione di esso come BCND, avente i lati BC e BD uguali: è manifesto che tanto il centro di oscillazione dell’intero cerchio è in L, quanto quello di una qualunque porzione siffatta].

Huygens esamina poi il caso in cui un settore circolare, sospeso in un punto A che soddisfa la condizione BA² = ½ BC², ha proprio BL = BA. Se lo stesso settore è appeso a un diverso punto R e se ne conosce il centro di oscillazione P, è possibile trovare il baricentro Q del settore semplicemente dividendo RL in modo che RQ : QL = AR : LP. Da ciò segue un legame tra corda e arco: «si ce secteur, suspendu en un autre point donné R, a un centre d’oscillation P donné, il suffira … de diviser la droite RL en Q de telle manière qu’on ait RQ:QL = AR:LP … pour trouver Q, centre de gravité du secteur … et, ce centre de gravité étant donné, nous savons que la corde CD est à l’arc correspondant comme BQ est à ⅔ du rayon BC» – (fr:11242) [se questo settore, sospeso in un altro punto dato R, ha un centro di oscillazione P dato, basterà … dividere la retta RL in Q in modo che RQ:QL = AR:LP … per trovare Q, centro di gravità del settore … e, dato questo centro di gravità, sappiamo che la corda CD sta all’arco corrispondente come BQ sta a ⅔ del raggio BC].

La costruzione universale dedotta dall’equazione del problema conduce a dividere AL in due parti uguali in E e ad aggiungere a BE la sua terza parte EF: “dividatur longitudo AL bifariam in E, et apponatur ad BE pars tertia sua EF, eritque F centrum describendi circuli” – (fr:11261) [si divida la lunghezza AL a metà in E e si aggiunga a BE la sua terza parte EF; F sarà il centro del cerchio da descrivere]. Il raggio FO ha il quadrato uguale al doppio della differenza dei quadrati di AE ed EF. Tracciando da B due triangoli estremamente acuti fino alla nuova circonferenza, il centro di oscillazione resta L, e tale rimane per qualunque porzione simmetrica della figura, come BCOD o BCMD, e persino per i segmenti di cerchio KON e KMN. Tuttavia Huygens avverte che, al di fuori di questi casi simmetrici, il centro di oscillazione “non nisi supposita arcus dimensione inveniri potest” – (fr:11282) [non può essere trovato se non supponendo nota la lunghezza dell’arco].

Un secondo problema fa intervenire un’asta imponderabile AB sospesa in A, alla quale si fissa nel punto medio C un’altra asta pesante ED. L’equazione isocrona con un pendolo di lunghezza data AB conduce all’ellisse: “Quae aequatio docet locum puncti D vel E esse ad ellipsin, quia habetur -3 xx” – (fr:11287) [l’equazione mostra che il luogo del punto D o E è un’ellisse, perché vi compare -3x²]. Il centro è il punto medio F di AB, il latus rectum è 3a (triplo di AB) e l’asse trasverso è AB stesso. Ne segue che qualunque retta pesante ECD fissata per il suo centro all’asse AB, restando il punto di sospensione in A, oscilla isocronamente con un pendolo di lunghezza AB, e lo stesso vale per l’intera ellisse e per ogni sua parte delimitata da rette perpendicolari all’asse.

Le pagine successive trattano il calcolo dei bracci di leva di cunei tagliati su figure piane. Data una figura piana disposta simmetricamente intorno all’asse BD, e noto il braccio QA del cuneo costruito sull’intera figura con piano secante per AS (parallelo a BD), è possibile determinare il braccio del cuneo sulla metà della figura tagliata da un piano passante per l’asse BD, e viceversa. Mediante sezioni con piani PF e PD, e sfruttando i rapporti tra i solidi coinvolti, si ottiene la relazione “Faciendo itaque ut TD ad DC ita QD ad DR habetur brachium DR cunei DFC” – (fr:11320) [Ponendo quindi che TD stia a DC come QD sta a DR, si ha il braccio DR del cuneo DFC]. Il ragionamento poggia sul fatto che il rapporto tra il volume di un cuneo e quello del solido di riferimento è dato dal rapporto di segmenti notevoli (DT e TC), un risultato che Huygens aveva dimostrato altrove nel suo trattato.

L’ultimo brano affronta invece la somma dei quadrati delle perpendicolari condotte da tutte le particelle di una figura piana a una retta data DE. Il teorema stabilisce che tale somma equivale al prodotto dell’area della figura per il rettangolo GE·EH, moltiplicato per il numero delle particelle: “summam quaesitam quadratorum omnium perpendicularium in rectam ED, aequari rectangulo linearum GE, EH multiplici secundum numerum omnium dictarum perpendicularium” – (fr:11332) [la somma cercata dei quadrati di tutte le perpendicolari alla retta ED è uguale al rettangolo GE·EH moltiplicato per il numero di tutte le dette perpendicolari, ossia di tutte le particelle in cui la figura è divisa]. Qui EG è la distanza del baricentro della figura dalla retta ED, mentre EH è la distanza tra ED e la perpendicolare condotta dal baricentro del “tronco” ottenuto sezionando la figura con un piano passante per ED. La dimostrazione viene fatta risalire al Liber B, lemma א, segno di una rielaborazione coerente di materiali precedenti.

L’intero brano testimonia il progredire della meccanica razionale verso la geometria delle masse e la nozione di momento d’inerzia, formulate con gli strumenti del calcolo geometrico degli indivisibili poco prima dell’avvento del calcolo infinitesimale. Le figure — a cui il testo fa costante riferimento (Fig. 82-87) — sono parte integrante del ragionamento e rivelano la natura visiva e costruttiva della ricerca di Huygens.

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45 Somme di quadrati di distanze e cuneo nelle ricerche di Huygens sulla percussione e sul pendolo

Il manoscritto di Christiaan Huygens sulla Percussione (Tome XVI delle Oeuvres complètes) sviluppa una serie di proposizioni geometrico-meccaniche per determinare la somma dei quadrati delle distanze – grandezza fondamentale per il calcolo del centro di oscillazione – mediante l’uso del «cuneo» (cuneus) sollevato sulla figura piana. L’autore procede per casi, da una retta che taglia la figura fino a un punto qualsiasi, registrando nel margine l’inizio di nuove proposizioni poi confluite nella Pars Quarta dell’Horologium oscillatorium.

Dapprima Huygens considera una figura piana ABC tagliata dalla retta DE in due parti, e la somma dei quadrati delle perpendicolari condotte a DE da tutte le particelle della figura (fig. 88). Se fossero note le distanze dei centri di gravità delle due parti e i punti di appoggio dei cunei tagliati da piani passanti per DE, basterebbe trattare le due metà separatamente. Ma egli mostra che, anche quando quei dati mancano, la somma cercata si può esprimere soltanto con le distanze AG – dal centro di gravità G dell’intera figura alla tangente AP parallela a DE – e AH – dal punto su cui grava il cuneo tagliato dal piano per AP. Il risultato è:

“Summam quaesitam omnium quadratorum, quam nempe aequalem esse dicimus rectangulo AGH una cum quadrato EG multiplicibus secundum numerum particularum in quas figura tota dividitur” – (fr:11348) [La somma richiesta di tutti i quadrati, che diciamo essere uguale al rettangolo AGH insieme al quadrato EG, moltiplicati per il numero di particelle in cui la figura intera è divisa].

La dimostrazione si basa su un’identità algebrica. Poste le notazioni: AE = a, le distanze di due particelle F e O dalla tangente AP (FP = b, OQ = c), la perpendicolare alla retta DE risulta FK = b–a. Sommando su tutte le particelle il quadrato FK² si ottiene la somma dei quadrati delle distanze da AP (chiamata nn), più θ a² (con θ numero delle particelle), meno il doppio rettangolo 2 m a dove m è la somma delle distanze da AP. Poiché m è uguale a θ · GA (per definizione di centro di gravità), l’espressione diventa nn + θ a² – 2 θ · GA·a. Huygens utilizza poi il fatto che la somma dei quadrati delle distanze dalla tangente AP è data dal rettangolo HAG moltiplicato per θ, sicché il tutto si riduce a θ · (HAG + AE² – 2 GA · AE). Un semplice calcolo mostra che questo equivale a θ · (AGH + EG²). Infatti, con AH = h, AG = g, AE = a:

“Nam si AH vocetur h: AG vero g: Et AE, ut ante, sit a. Erit quidem rectangulum HAG, una cum quadrato AE, minus duplo rectangulo GAE, aequale hg+aa-2 ga. At rectangulum AGH erit hg-gg; et quadratum EG, gg-2 ag+aa, quae simul addita efficiunt quoque hg+aa-2 ag” – (fr:11370) [Infatti, chiamando AH = h, AG = g e AE come prima = a, il rettangolo HAG insieme al quadrato AE meno il doppio del rettangolo GAE dà hg+aa–2ga. Ma il rettangolo AGH è hg–gg, e il quadrato EG è gg–2ag+aa, la cui somma produce anch’essa hg+aa–2ag].

Se la retta DE passa per il centro di gravità G (fig. 89), EG è nullo e la somma dei quadrati si riduce al solo rettangolo AGH moltiplicato per il numero delle particelle. Da ciò segue un corollario: quando DE è asse di simmetria della figura e AP le è parallela esternamente, il rettangolo AGH dell’intera figura eguaglia il rettangolo XGV formato con le distanze della metà figura e del suo cuneo relativo all’asse DE:

“his positis sequitur inquam rectangulum AGH aequale esse rectangulo XGV” – (fr:11393) [poste queste cose, ne consegue, dico, che il rettangolo AGH è uguale al rettangolo XGV].

La proposizione successiva (Prop. XI) generalizza al caso di un punto E qualsiasi interno o esterno alla figura piana (fig. 90). La somma dei quadrati delle distanze da E a tutte le particelle si cerca scomponendo ciascuna distanza al quadrato FE² nella somma dei quadrati delle proiezioni su due rette ortogonali passanti per E: EP (perpendicolare a EG) e EG (che unisce E al centro di gravità G). Applicando i risultati precedenti, la somma per la retta EG – passante per G – è data dal rettangolo BGK (con B punto di tangenza della parallela a EG, K punto del cuneo corrispondente), mentre per EP si ha il rettangolo AGH aumentato del quadrato EG. La somma totale è:

“Dico summam quadratorum à rectis quae ducuntur ad punctum E ex omnibus figurae particulis aequari rectangulis BGK, AGH una cum quadrato EG multiplicibus secundum numerum particularum in quas secta est figura” – (fr:11418) [Affermo che la somma dei quadrati delle rette condotte al punto E da tutte le particelle della figura è uguale ai rettangoli BGK, AGH insieme al quadrato EG, moltiplicati per il numero di particelle in cui la figura è tagliata].

Quando EC è asse di simmetria, il rettangolo BGK può essere sostituito dal rettangolo XGV della metà figura, coerentemente con il corollario precedente.

Un frammento del 1665 (fig. 91) applica questi princìpi al calcolo della lunghezza del pendolo isocrono per un segmento di iperboloide di rivoluzione sospeso al vertice. Huygens imposta il problema riducendo il solido a una superficie piana EHB L DE limitata da una parabola, in modo che Σ y² / n (b) rappresenti la distanza dal punto di sospensione al piano orizzontale passante per il centro di gravità del cuneo associato. La parabola è scelta in modo da passare per i punti A e B; il suo asse HM ha misura ¼ bb/a – (fr:11435-11436) – e l’intera costruzione permette di ottenere la lunghezza cercata sfruttando le relazioni generali tra somme di quadrati e rettangoli del cuneo già dimostrate.

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46 Momenti e baricentri nei cunei parabolici: note alla «Percussione» di Huygens

Il testo riunisce annotazioni tecniche relative al calcolo dei momenti nella teoria della percussione di Christiaan Huygens, pubblicate nel tomo XVI delle Oeuvres complètes. Le osservazioni, dense di rimandi interni, sviluppano la determinazione dei bracci di leva e dei baricentri di cunei (onglets) le cui basi sono figure paraboliche e triangoli, impiegando rapporti di momenti e relazioni geometriche tra i segmenti parabolici coinvolti.

Il punto di partenza è il rapporto tra i volumi di due cunei, ricavato da una proposizione precedente (p. 501):
“Les volumes des onglets nommés sont dans le rapport des moments de leurs bases (qui sont le triangle BED et le segment parabolique BMEHB) par rapport à l’horizontale BH, d’après la proposition de la p. 501; ce rapport a ici la valeur (4 a+4 b): b.” – (fr:11474) [I volumi dei cunei in questione stanno nel rapporto dei momenti delle loro basi (il triangolo BED e il segmento parabolico BMEHB) rispetto all’orizzontale BH, secondo la proposizione di p. 501; questo rapporto qui vale (4a + 4b) : b.]
La geometria del problema è precisata da una correzione: “5) Lisez BED.” – (fr:11473) [Leggere BED], che fissa il triangolo di riferimento.

Un’equazione fondamentale stabilisce l’uguaglianza dei momenti di due cunei diversi attorno a una retta orizzontale passante per un punto P, sfruttando il fatto che il momento del cuneo a base triangolare BED rispetto a tale retta è nullo:
“L’équation exprime que les moments des onglets à base EMBKDE et à base BMEB par rapport à une droite horizontale passant par le point P (voir la note 6 de la p. 551) sont égaux, vu que le moment de l’onglet à base triangulaire BED par rapport à cette droite est nul.” – (fr:11476) [L’equazione esprime che i momenti dei cunei con base EMBKDE e con base BMEB rispetto a una retta orizzontale passante per il punto P (vedi nota 6 p. 551) sono uguali, poiché il momento del cuneo a base triangolare BED rispetto a questa retta è nullo.]

Per il cuneo BHEDLB (o BEDLB) si mostra che il suo braccio di leva rispetto all’orizzontale BH coincide con quello del cuneo a base EMBKDE:
“Il ressort de ce que nous avons dit dans le troisième alinéa de la note 4 de la p. 550 que le bras de levier de l’onglet BHEDLB (ou BEDLB) par rapport à l’horizontale BH est identique avec le bras de levier de l’onglet à base EMBKDE par rapport à la même droite.” – (fr:11479) [Da quanto detto nel terzo capoverso della nota 4 p. 550 risulta che il braccio di leva del cuneo BHEDLB (o BEDLB) rispetto all’orizzontale BH è identico al braccio di leva del cuneo a base EMBKDE rispetto alla stessa retta.]
E tale braccio è espresso sinteticamente:
“Ce bras de levier est égal à Σ y 2 /n (b) d’après le deuxième alinéa de la même note ” – (fr:11480) [Questo braccio di leva è uguale a Σ y² / n (b) secondo il secondo capoverso della stessa nota ]
I calcoli successivi mirano a determinare una quantità analoga per un’altra coordinata:
“Les calculs qui suivent servent à déterminer Σ z 2 /n (b).” – (fr:11481) [I calcoli che seguono servono a determinare Σ z² / n (b).]

Per trovare la distanza utile, si introduce il parametro β mediante un’equazione di momenti tra superfici. Il testo riporta:
“L’équation , d’où l’on tire la valeur de β, exprime l’égalité des moments des surfaces EMBKDE et BMEHB par rapport à une horizontale passant par le centre de gravité du triangle BED.” – (fr:11484) [L’equazione, dalla quale si ricava il valore di β, esprime l’uguaglianza dei momenti delle superfici EMBKDE e BMEHB rispetto a un’orizzontale passante per il baricentro del triangolo BED.]
Una volta noto β, si ottiene la distanza dal punto B all’orizzontale passante per il baricentro della superficie EMBKDE:
“En ajoutant ⅔ b à β, on trouve la distance du point B à l’horizontale passant par le centre de gravité de la surface EMBKDE.” – (fr:11485) [Aggiungendo ⅔ b a β, si trova la distanza del punto B dall’orizzontale passante per il baricentro della superficie EMBKDE.]
Tale distanza è proprio la lunghezza indicata con (b) nelle note precedenti:
“C’est la longueur (voir la note 4 de la p. 550) que nous avons désignée par (b).” – (fr:11486) [È la lunghezza (vedi nota 4 p. 550) che abbiamo indicato con (b).]

Le proprietà geometriche dei segmenti parabolici entrano in gioco per collocare i baricentri. Due segmenti parabolici, BMEB e BKDLB, hanno aree uguali; ne consegue l’uguaglianza dei loro diametri:
“Les surfaces des segments paraboliques BMEB et BKDLB étant égales (voir le troisième alinéa de la note 4 de la p. 550), leurs diamètres sont aussi égaux (voir la note 4 de la p. 466).” – (fr:11490) [Le superfici dei segmenti parabolici BMEB e BKDLB sono uguali (vedi terzo capoverso della nota 4 p. 550), perciò anche i loro diametri sono uguali (vedi nota 4 p. 466).]
Ponendo KS uguale al diametro, si individua il baricentro S del segmento parabolico BKDLB:
“En prenant KS = (diamètre), on trouve le centre de gravité S du segment parabolique BKDLB.” – (fr:11491) [Prendendo KS uguale al diametro, si trova il baricentro S del segmento parabolico BKDLB.]
La proiezione orizzontale di questo segmento conserva la stessa lunghezza: “La projection KS a la même longueur.” – (fr:11492) [La proiezione KS ha la stessa lunghezza.]
Inoltre, è immediata la relazione EK = ½ ED (“On a évidemment EK = ½ ED.” – (fr:11493) [Si ha evidentemente EK = ½ ED.]).

Infine, il brano riporta le proiezioni sul lato ED dei baricentri di figure fondamentali. Il punto T è la proiezione del baricentro del triangolo BED:
“Le point T est la projection sur ED du centre de gravité du triangle BED.” – (fr:11496) [Il punto T è la proiezione su ED del baricentro del triangolo BED.]
Da ciò derivano le misure ET = ⅓ ED e KT = ED, mentre ED è già noto:
“On a donc ET = ⅓ ED et KT = ED; or, ED est connue (voir la première ligne de la p. 552).” – (fr:11497) [Si ha quindi ET = ⅓ ED e KT = ED; ora, ED è nota (vedi prima riga p. 552).]
Il punto N è la proiezione del baricentro della superficie BHEDLB:
“N est la projection sur ED du centre de gravité de la surface BHEDLB.” – (fr:11500) [N è la proiezione su ED del baricentro della superficie BHEDLB.]
A N è associato un rapporto tra superfici: “est le rapport des surfaces BHEDLB et BKDLB.” – (fr:11501) [è il rapporto delle superfici BHEDLB e BKDLB.] (La posizione di N viene quindi determinata tramite il rapporto delle due aree).

L’insieme di queste note costituisce una testimonianza del procedimento di Huygens per ricavare, con la sola geometria dei momenti e dei baricentri, le grandezze necessarie allo studio della percussione, mostrando l’intreccio tra calcolo integrale ante litteram e proprietà delle sezioni paraboliche.

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47 Indice delle fonti e dei riferimenti incrociati per gli studi sulla percussione

L’apparato bibliografico del sedicesimo volume delle opere di Christiaan Huygens svela la fitta rete di autori e testi che costituiscono il fondamento e il contesto del dibattito scientifico sulla meccanica e sulla percussione.

La sezione intitolata “Ouvrages cités” (fr:12322) costituisce l’indice bibliografico del Tome XVI delle Oeuvres complètes di Christiaan Huygens (fr:12319, 12356), un volume interamente dedicato al tema della “Percussion III” (fr:12321). Questo elenco non è una semplice lista di testi, ma un sistema di riferimenti incrociati che mappa le influenze, i debiti intellettuali e il dialogo scientifico in cui Huygens era immerso. La sua struttura è regolata da una precisa convenzione, chiarita in apertura: “Les chiffres gras désignent les pages où l’on trouve une description de l’ouvrage” (fr:12323) [Le cifre in grassetto indicano le pagine dove si trova una descrizione dell’opera], mentre “Les chiffres ordinaires donnent les pages où il est question de l’ouvrage, ou qui contiennent dans le cas de Huygens la reproduction de l’ouvrage” (fr:12324) [Le cifre ordinarie danno le pagine dove si parla dell’opera, o che contengono, nel caso di Huygens, la riproduzione dell’opera].

Questa distinzione rivela un doppio livello di analisi: da un lato la mera citazione o discussione di un’opera, dall’altro una sua descrizione formale e, fatto ancor più significativo, la riproduzione diretta di scritti di Huygens stesso. L’indice diventa così uno strumento per tracciare non solo la presenza di un autore nel discorso, ma anche il modo e la profondità con cui è stato integrato.

La costellazione di nomi elencati delinea l’orizzonte intellettuale della ricerca seicentesca e settecentesca sulla meccanica. Spiccano i giganti del pensiero scientifico e filosofico, i cui lavori vengono sezionati attraverso rimandi puntuali. La presenza di Archimede, con riferimenti a opere come il De conoidibus et sphaeroidibus (fr:12326), il De sphaera et cylindro (fr:12327) e un non meglio specificato “πδ ξυγ ν (traité perdu)” (fr:12331), attesta il recupero e l’importanza fondante della geometria e della statica antiche. Per Cartesio (Des Cartes), l’influenza è capillare. L’indice rimanda ai Principia philosophiae (fr:12373), al Le Monde (fr:12366) e alle Lettres (fr:12369), con un rinvio massiccio alle sue OEuvres curate da Charles Adam e Paul Tannery (fr:12372), coinvolgendo decine di pagine del volume di Huygens, segno di un confronto costante e critico con la filosofia naturale cartesiana. Allo stesso modo, la cosmologia di Giordano Bruno è presente con molteplici opere, tra cui il De immenso et innumerabilibus (fr:12351) e La Cena de le Ceneri (fr:12355).

Accanto a loro, si collocano i contributi più direttamente legati alla meccanica e alla teoria dell’urto. L’opera di Giovanni Alfonso Borelli, con i suoi Theoricae Medicaeorum Planetarum (fr:12348) e, soprattutto, il fondamentale De Vi Percussionis Liber (fr:12349), riceve un’attenzione capillare, toccando decine di pagine. Non si tratta di semplici menzioni, ma di un’analisi dettagliata che copre aspetti cruciali della teoria della percussione. La presenza di figure come B. Baldus con le sue esercitazioni sulla meccanica aristotelica (fr:12341) e di Christopher Wren (fr:12317), citato con numerosi riferimenti diretti (172, 173, 174, 175, ecc.), testimonia l’inserimento di Huygens nel vivo del dibattito scientifico europeo, in particolare quello animato dalla Royal Society di Londra, come conferma il rinvio alla History of the Royal Society di Birch (fr:12346).

L’indice getta luce anche sugli sviluppi successivi e sulle riletture moderne. Vengono citati gli studi di G. Coriolis sul calcolo dell’effetto delle macchine (fr:12380, 12381) e il lavoro di Duhamel sui metodi nelle scienze del ragionamento (fr:12393), che proietta l’analisi della meccanica huygeniana nel dibattito metodologico ottocentesco. Completano il quadro i riferimenti a lavori storiografici e critici più tardi, come il saggio di Florian Cajori sul presunto ritardo di Newton nell’annunciare la legge di gravitazione (fr:12363) e l’analisi di G.D. Birkhoff sulla filosofia della gravitazione newtoniana (fr:12347). Quest’ultimo anello bibliografico conferma che l’eredità scientifica di Huygens non è trattata come un capitolo chiuso, ma come un nodo problematico che la storiografia successiva ha continuato a interrogare, connettendo i suoi studi sulla percussione alle fondamentali questioni della meccanica classica.

[25.2/2-79-12394|12472]

48 Le fonti di un trattato sulla storia della meccanica: un repertorio bibliografico

Un denso elenco di riferimenti rivela l’intreccio di testi antichi, moderni e studi storiografici che sostiene un’opera di sintesi sulla statica e sulla percossa.

La sequenza di voci bibliografiche presentata costituisce l’apparato di fonti di un trattato storico-scientifico, con ogni probabilità Les Origines de la Statique di Pierre Duhem. Il primo riferimento, “P. Duhem, Les Origines de la Statique, 1905-1906, 56, 332, 338, 339,” – (fr:12394) [P. Duhem, Le origini della statica, 1905-1906, pp. 56, 332, 338, 339, 342], ne indica le pagine esatte in cui sono discussi i materiali radunati, e le rimanenti voci ne costituiscono il retroterra documentario. L’insieme copre un arco temporale che va dalla geometria euclidea alla relatività einsteiniana, con una netta concentrazione sulla meccanica cinque-seicentesca e sugli studi di Christiaan Huygens relativi all’urto.

La natura stessa dell’elenco è peculiare: non si tratta di una bibliografia sommaria, ma di un repertorio fittissimo di rinvii pagina per pagina. Tra gli strumenti storiografici moderni compaiono anche “E.J. Dijksterhuis, De Ontdekking van het Tautochronisme der Cycloidale Valbeweging, 1929,” – (fr:12395) [E.J. Dijksterhuis, La scoperta del tautocronismo del moto di caduta cicloidale, 1929, p. 392] e “L. Hartmann, Variation systématique de la valeur de la force vive dans le choc élastique des corps, 1916, 1917, 17,” – (fr:12435) [L. Hartmann, Variazione sistematica del valore della forza viva nell’urto elastico dei corpi, 1916, 1917, pp. 17, 18], che testimoniano l’interesse per la precisione concettuale di nozioni come il tautocronismo e la conservazione della vis viva negli urti.

Le fondamenta antiche sono rappresentate da Euclide e dal commento di Clavio: “Euclides, Elementorum libri XV. Auctore Chr. Clavio, 1589, 1607, 56, 57, 75, 300, 526,” – (fr:12398-12400) [Euclide, Elementi in quindici libri, a cura di Chr. Clavio, 1589, 1607, pp. 56, 57, 75, 300, 526, 527]. A queste si affiancano l’Opus geometricum di Gregorio di San Vincenzo e il De centro gravitatis di Guldin, mentre la meccanica ellenistica è richiamata da Erone di Alessandria nelle edizioni di Carra de Vaux e di Nix-Schmidt.

Il nucleo più esteso riguarda la teoria della percossa. Galileo vi compare con una messe imponente di rinvii: dai Discorsi e Dimostrazioni mathematiche (1638) al Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, dal Saggiatore alla Lettera a Fr. Ingoli e alle Mechaniche, quasi sempre con una doppia indicazione delle pagine dell’edizione Tartini-Franchi e dell’Edizione Nazionale. Particolarmente ricco è l’apparato huygensiano. Accanto al trattato a stampa De motu corporum ex percussione, per il quale si specifica “De motu corporum ex percussione, 1-27, 29-91, 93-97, 102-104, 106-110, […] 113, 115-119, 121, 122-125 […]” – (fr:12464-12466), sono elencati con esattezza i manoscritti preparatori: “Chr. Huygens, Adversaria ad tractatum de motu per impulsum omnium prima, 93 (voir Manuscrit de 1652 sur la percussion)” – (fr:12446) [Christiaan Huygens, Primi appunti per il trattato sul moto per impulso, p. 93 (vedi Manoscritto del 1652 sulla percossa)] e “Chr. Huygens, Annotations sur la percussion de 1654 (Manuscrit), 9, 93, 99-136, 137, 140, 141, 150, 151, 193, 194,” – (fr:12450) [Christiaan Huygens, Annotazioni sulla percossa del 1654 (manoscritto), pp. 9, 93, 99-136, 137, 140, 141, 150, 151, 193, 194, 204]. Questi rimandi minuziosi mostrano come la genesi del De motu venga ricostruita sulle carte stesse di Huygens, fino ai progetti di prefazione e alla traduzione tedesca.

Altre voci integrano il quadro della meccanica seicentesca: “Percussion H. Fabri, Dialogi Physici, 1669, 182,” – (fr:12410) [Sulla percossa H. Fabri, Dialoghi fisici, 1669, pp. 182, 183], i commenti di Guevara agli Mechanica aristotelici, le Epistolae tres de Motu e de Proportione di Gassendi. La continuità con la fisica successiva è assicurata da Eulero (Mechanica sive motus scientia, Theoria motus corporum rigidorum), da Hertz (Die Prinzipien der Mechanik e il saggio sul contatto dei corpi elastici) e persino da Einstein con la relatività ristretta e generale.

L’elenco non è meramente cumulativo: le numerazioni di pagina ripetute per autori diversi segnalano luoghi del trattato di Duhem (o dell’opera che lo adotta come base) in cui quei testi vengono discussi congiuntamente, tessendo una fitta rete di confronti storici. Ne emerge il profilo di una ricerca che fa della percossa il filo conduttore per leggere l’evoluzione della meccanica, da Galileo ed Huygens fino alla riformulazione hertziana del contatto elastico e alle riflessioni sulla forza viva. L’intera raccolta è così allo stesso tempo uno strumento di lavoro e una testimonianza storiografica: mostra con quanta acribia filologica un’indagine sulle origini della statica abbia saputo fondare le proprie conclusioni sul corpo integrale delle fonti.

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49 Indice bibliografico del Tome XVI delle Oeuvres complètes di Christiaan Huygens

Questa sequenza di frasi costituisce un elenco bibliografico, molto dettagliato e strutturato, che cataloga le fonti primarie e secondarie relative allo studio della percussione dei corpi, con un focus preponderante sull’opera di Christiaan Huygens. L’elenco si presenta come un indice di riferimenti, dove ogni voce è associata a precisi numeri di pagina.

La struttura è chiara e gerarchica. La fonte principale, che dà il titolo all’intera sezione, è l’opera omnia di Huygens: “Christiaan Huygens, Oeuvres complètes.” - (fr:12508) e “Tome XVI.” - (fr:12509) con il sottotitolo “Percussion” - (fr:12510). Questo volume si configura come la raccolta definitiva degli scritti dell’autore sull’argomento.

L’elenco cataloga le opere di Huygens in ordine cronologico e tipologico, distinguendo tra pubblicazioni a stampa, manoscritti preparatori e lavori giovanili. Per i testi pubblicati, viene specificata la data e il riferimento alle pagine. Emerge un quadro di elaborazione prolungata e stratificata: si va dagli studi giovanili, come “Huygens, Travaux divers de jeunesse: De catena pendente” - (fr:12527) [Lavori diversi di gioventù: La catena sospesa], ai manoscritti preparatori del 1652, 1656 e il manoscritto definitivo del Traité sur la percussion (fr:12498, 12500, 12502), fino alle grandi opere pubblicate come l’“Horologium oscillatorium, 1673” - (fr:12492) [Orologio oscillatorio] e il “Traité de la lumière, 1690” - (fr:12525) [Trattato sulla luce].

Un dato peculiare e di grande rilievo storico è l’attenzione dedicata ai manoscritti, che svela il processo scientifico dietro le pubblicazioni ufficiali. Vengono citati, ad esempio, i “Manuscrits qui ont servi pour les ‘Travaux divers de Statique et de Dynamique de 1659-1666’” - (fr:12505) [Manoscritti che sono serviti per i ‘Lavori diversi di Statica e Dinamica del 1659-1666’] e quelli “concernant l’historique de la théorie du choc des corps et la question de l’existence et de la perceptibilité du ‘mouvement absolu’” - (fr:12507) [riguardanti la storia della teoria dell’urto dei corpi e la questione dell’esistenza e della percettibilità del ‘moto assoluto’]. Quest’ultimo riferimento è una testimonianza diretta del dibattito scientifico-filosofico sul concetto newtoniano/leibniziano di spazio e moto assoluto.

Il significato di questo indice risiede nella sua natura di mappa per lo storico della scienza. Esso non solo elenca le opere, ma collega esplicitamente i contenuti alle pagine specifiche del Tome XVI, creando una fitta rete di rimandi interni. L’elenco non si limita a Huygens: include le opere di predecessori e contemporanei che hanno formato il contesto scientifico, come “J. Kepler, Epitome Astronomiae Copernicanae, 1635” - (fr:12534), “Is. Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, 1687” - (fr:12571) [Principi matematici della filosofia naturale], “G.W. Leibniz, Dynamica de Potentia et Legibus Naturae Corporeae, 1689” - (fr:12540) [Dinamica sulla Potenza e le Leggi della Natura Corporea], e un diretto concorrente nello studio dell’urto, “E. Mariotte, Traitté de la Percussion ou Chocq des Corps, 1673” - (fr:12547) [Trattato sulla Percussione o Urto dei Corpi].

L’elenco, nella sua precisione documentaria, costituisce una testimonianza del lavoro filologico di edizione critica che sta alla base delle Oeuvres complètes e del ruolo centrale giocato dai manoscritti huygensiani nella comprensione dello sviluppo del concetto di percussione e forza centrifuga nella fisica del XVII secolo.

[26.2/2-93-12577|12669]

50 Indice bibliografico e tematico del Tomo XVI delle Opere complete di Christiaan Huygens

Il volume dedicato alla Percussione raccoglie una vasta bibliografia storica e ne organizza i contenuti in otto sezioni disciplinari.

L’estratto proviene dall’apparato di corredo al Tome XVI delle Oeuvres complètes di Christiaan Huygens, specificamente dalla sezione “Percussion” - (fr:12619) e dall’indice delle materie trattate. Il testo non è un’esposizione argomentativa, bensì un elenco strutturato di fonti e di voci tematiche che rivela l’orizzonte storiografico e scientifico entro cui si colloca lo studio huygensiano dell’urto.

La prima parte (riferimenti 12577–12656) costituisce una bibliografia di lavori che spaziano dall’antichità al primo Novecento. Vi figurano autori classici come “Ovidius, Metamorphoses, 406, 407, 412, 413” - (fr:12577) [Ovidio, Metamorfosi] e “Plutarchus, De facie in orbe lunari” - (fr:12581) [Plutarco, Sulla faccia della Luna], affiancati a trattatisti della prima modernità quali “S. Stevin, Beghinselen der Weeghconst, 1586” - (fr:12607) [Stevino, Principi dell’arte della pesatura] ed “Ev. Torricelli, De Motu Gravium naturaliter descendentium et projectorum, 1644” - (fr:12612) [Torricelli, Sul moto dei gravi discendenti naturalmente e proiettati]. L’elenco include molti protagonisti della meccanica secentesca (Wallis, Wren, Roberval, Varignon), spesso con rimandi a dibattiti e corrispondenze, come nel caso di “J. Wallis, A Summary account of the general Laws of Motion, 1669” - (fr:12622) e “C. Wren, Lex naturae de collisione corporum, 1669” - (fr:12631). Fino ai contributi ottocenteschi e primo-novecenteschi sull’urto elastico (“W. Voigt, Die Theorie des longitudinalen Stosses cylindrischer Stäbe, 1883” - (fr:12620), “C. Ramsauer, Experimentelle und theoretische Grundlagen des elastischen und mechanischen Stosses, 1909” - (fr:12591) [Ramsauer, Fondamenti sperimentali e teorici dell’urto elastico e meccanico]), si delinea un percorso che dai principi generali del moto giunge alla specializzazione nella dinamica dell’impatto.

Dal riferimento 12658 si precisa il contesto editoriale: “Christiaan Huygens, Oeuvres complètes. Tome XVI. Percussion” - (fr:12658–12660). La parte finale (12661–12669) è una vera e propria tavola delle materie, introdotta dalla frase “Dans cette Table les matières scientifiques traitées dans ce Volume XVI ont été groupées sous divers articles généraux, savoir: Acoustique. Algèbre. Anagrammes scientisiques. Astronomie. Chronométrie. Cinématique. Géodésie. Géométrie.” - (fr:12662–12669) [In questa Tavola le materie scientifiche trattate in questo Volume XVI sono state raggruppate sotto diversi articoli generali, cioè: Acustica, Algebra, Anagrammi scientifici, Astronomia, Cronometria, Cinematica, Geodesia, Geometria]. Questa ripartizione mostra come lo studio della percussione fosse intrecciato, nell’opera huygensiana, a discipline diverse: dalla geometria e algebra all’astronomia, alla cronometria e all’acustica, testimoniando un approccio integrato alla fisica matematica.

L’insieme documenta il carattere poligenetico della scienza dell’urto e offre una testimonianza storiografica sull’evoluzione dei concetti di forza, massa e quantità di moto attraverso i secoli. L’inclusione di manoscritti (“Quillet, Henritias (Manuscrit)” - (fr:12590), “Fr. van Schooten, Algebra (Manuscrit)” - (fr:12598)) e di fonti secentesche come i “Registres de l’Academie des Sciences” - (fr:12652) e il “Journal des Sçavans, 1669” - (fr:12644) segnala un lavoro editoriale che attinge alle testimonianze coeve, facendo emergere il dibattito vivace della République des Lettres sulla corretta formulazione delle leggi dell’urto.

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51 Errata e correzioni per l’edizione critica del trattato sulla percussione di Christiaan Huygens

Una puntuale lista di rettifiche editoriali riporta il testo al dettato originale, tra varianti manoscritte, sviste tipografiche e precisazioni filologiche.

Il documento raccoglie una serie di annotazioni destinate a emendare il Tome XVI delle Oeuvres complètes di Christiaan Huygens, volume consacrato al trattato sulla Percussio. Si tratta di un elenco di errata corrige e di interventi redazionali che testimoniano la cura posta nell’edizione critica dell’opera, condotta sul principio del rispetto della lettera huygensiana e del confronto con le fonti manoscritte.

Le correzioni spaziano dalla semplice rettifica ortografica alla ricostruzione di riferimenti interni errati. Tra gli esempi più minuti compaiono le sostituzioni di singoli caratteri o accenti: “95 ligne 3 d’en bas symétrie symmetrie” – (fr:13334) [pag. 95, terzultima riga: ‘symétrie’ correggi in ‘symmetrie’] e “101 note 8 ligne 7 chute chûte” – (fr:13334) [pag. 101, nota 8, riga 7: ‘chute’ correggi in ‘chûte’]. Altre riguardano desinenze verbali latine, come “107 note 10 ligne 6 consistat consistet” – (fr:13334) [pag. 107, nota 10, riga 6: ‘consistat’ correggi in ‘consistet’], che ripristina la coerenza sintattica del passo.

Un consistente gruppo di annotazioni riguarda l’apparato dei rimandi: numeri di pagina, di nota e di figura vengono corretti per eliminare confusioni generatesi in fase di composizione. È il caso di “88 ligne 10 note 9 de la p. 159 note 2 de la p. 158” – (fr:13332) [pag. 88, riga 10, nota 9: ‘de la p. 159’ correggi in ‘note 2 de la p. 158’] e del più esteso spostamento di pagine “p. 315-318 p. 63B-66B” – (fr:13346) [pagine 315-318 vanno corrette in pagine 63B-66B]. Analogamente, i riferimenti alle illustrazioni vengono allineati al testo definitivo: “Fig. 17 Fig. 7” – (fr:13353-13354) [‘Fig. 17’ va corretto in ‘Fig. 7’].

La dimensione filologica è resa esplicita dagli interventi che richiamano la lezione dei manoscritti o segnalano errori di copiatura. La nota “Virgule introduite à tort par le copiste” – (fr:13330) [Una virgola introdotta erroneamente dal copista], riferita alla coppia “LQ ad LQ, ad” – (fr:13330) [correzione da ‘LQ ad’ a ‘LQ, ad’], mostra come una semplice punteggiatura possa alterare il senso e vada espunta in base alla fonte manoscritta. L’intera serie di correzioni è punteggiata da rimandi a fascicoli e volumi (cfr. fr:13340-13341, 13355, 13357), confermando che ci si trova di fronte a materiale preparatorio per la pubblicazione definitiva delle Oeuvres complètes.

Storicamente, questo elenco documenta la prassi editoriale della Société Hollandaise des Sciences, che tra fine Ottocento e primo Novecento allestì l’edizione monumentale degli scritti di Huygens. La presenza di termini latini e francesi, l’attenzione ai dettagli tipografici e la volontà di restituire senza alterazioni il pensiero scientifico dell’autore ne fanno una testimonianza significativa del metodo ecdotico applicato a un classico della fisica moderna. Ogni singola rettifica, per quanto minuta, concorre a preservare l’integrità di un’opera capitale per la storia della meccanica e della teoria dell’urto.

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