Heath - History of Greek Mathematics II | e | 10d

24 Nov, 2025

1 Opere di Archimede sulla misurazione di figure curve e solidi

Il testo fornisce una panoramica dettagliata dei metodi e dei risultati conseguiti da Archimede nella misurazione di figure geometriche curve e solidi, con particolare attenzione alla sfera, ai conoidi, agli sferoidi e ai segmenti di queste figure. Vengono esaminati anche i contributi di altri matematici, come Zenodoro e Pappo, in contesti simili.

1.1 Il Metodo di Esaustione e le Figure Circoscritte e Inscritte

• (1153, 911, 1434, 1240, 1642, 808) Il metodo di esaustione, strumento fondamentale per Archimede, viene sistematicamente applicato per determinare aree e volumi di figure curve. Il procedimento prevede l’approssimazione della figura tramite poligoni regolari, sia circoscritti che inscritti, i cui lati vengono progressivamente raddoppiati. In questo modo, la differenza tra le aree o i volumi delle figure approssimanti può essere resa minore di qualsiasi grandezza assegnata, convergendo verso il valore della figura curva.
• (1153, 1545) Un lemma cruciale stabilisce che, iscrivendo successivi poligoni in un segmento circolare, ogni passo sottrae più della metà dell’area residua, garantendo la convergenza del metodo.

1.2 La Sfera e il Cilindro

• (913, 911, 957, 5380, 6719) Un risultato cardine, che Archimede considerava il suo più grande successo, è il rapporto tra la sfera e il cilindro circoscritto. La superficie della sfera è pari a quattro volte l’area di un suo cerchio massimo (911). Il volume della sfera è due terzi di quello del cilindro circoscritto, così come la superficie della sfera è due terzi della superficie totale dello stesso cilindro (911, 6711, 6719).
• (913, 1051) In Il Metodo, Archimede rivela l’intuizione che lo ha portato a questi risultati: paragonando un cerchio a un triangolo e estendendo l’analogia, concepì che una sfera è equivalente a un cono avente per base la superficie della sfera e per altezza il suo raggio.
• (1029, 1146) I risultati vengono estesi ai segmenti della sfera, di cui sono determinati superficie e volume.

1.3 Conoidi e Sferoidi

• (1217, 1214, 1728) Il testo analizza tre solidi di rotazione: il conoide rettangolare (paraboloide di rivoluzione), il conoide ottusangolo (iperboloide di rivoluzione) e gli sferoidi (oblato e prolato, generati dalla rotazione di un’ellisse).
• (802, 1315, 1242) Per misurare i segmenti di questi solidi, tagliati da piani non necessariamente perpendicolari all’asse, Archimede utilizza ancora una volta il metodo di esaustione, approssimando i solidi con figure composte da cilindri o tronchi di cilindri (1240, 1242, 1244, 1245).
• (885, 1281) In molti casi, il volume di un segmento di queste figure risulta essere una frazione semplice del volume di un cono di pari base e altezza.

1.4 Figure Piane e la Spirale

• (1613) Un’applicazione celebre del metodo è la quadratura del segmento di parabola, un risultato di cui Archimede rivendicava l’originalità.
• (1461, 6438, 6534) Viene trattata anche la spirale di Archimede. Il settore della spirale è misurato confrontandolo con il settore circolare corrispondente e applicando il metodo di esaustione.

1.5 Centri di Gravità ed Equilibrio

• (665, 804, 1726) Archimede determinò i centri di gravità di diverse figure piane e solide, come il segmento di parabola e il segmento sferoidale. Questi studi sono strettamente collegati alle sue indagini sull’equilibrio dei galleggianti.
• (1731, 1749) Nel Sui Galleggianti, vengono analizzate le condizioni di equilibrio di un segmento di paraboloide di rivoluzione immerso in un fluido, in varie configurazioni (base verso l’alto o verso il basso).

1.6 I Poliedri e il Confronto di Figure

• (1810, 1816, 1819, 1822) Viene descritta la costruzione dei tredici poliedri archimedei, ottenuti troncando opportunamente i solidi regolari.
• (3359, 3420, 6693) Un problema isoperimetrico per i solidi, affrontato da Zenodoro e poi da Pappo, stabilisce che, a parità di superficie, la sfera è il solido di volume massimo. Pappo estende la dimostrazione, provando che, tra i cinque solidi platonici con la stessa superficie, quello con un numero maggiore di facce ha volume maggiore (6711, 6731).

1.7 Contributi di Altri Matematici

• (5380, 5676, 5681, 5698) Erone di Alessandria cita e utilizza i risultati di Archimede, fornendo anche formule pratiche per il calcolo di aree e volumi, come quelle per il segmento sferico e il segmento circolare.
• (6632, 6684, 6691) Pappo, nella Collezione, sistematizza e amplia molti di questi argomenti, inclusi i problemi isoperimetrici e le proprietà dei poliedri.
• (6719) Viene menzionato il contributo di Eudosso, che per primo dimostrò che il volume di un cono è un terzo di quello del cilindro con la stessa base e altezza.

2 Classificazione e proprietà delle sezioni coniche

Il testo fornito costituisce una disamina approfondita della teoria delle sezioni coniche, con particolare attenzione alla loro derivazione geometrica, classificazione e proprietà fondamentali, basandosi principalmente sull’opera di Apollonio di Perga. Di seguito, i contenuti sono organizzati per temi correlati.

2.1 Origine e classificazione delle coniche

• Le sezioni coniche furono scoperte come curve piane ottenute dall’intersezione di un piano con un cono circolare retto. (1956, 2130, 5293)
• Inizialmente, si distinguevano tre tipi di coni, in base all’angolo al vertice: acuto, retto e ottuso. Le sezioni coniche prendevano il nome dal tipo di cono da cui erano generate: “sezione di un cono acuto” (ellisse), “sezione di un cono retto” (parabola) e “sezione di un cono ottuso” (iperbole). (1956, 5293)
• La sezione era ottenuta tramite un piano perpendicolare a una generatrice del cono. (1956, 2130)
• Euclide e Archimede aderivano a questo metodo di generazione. (2130)
• Apollonio di Perga introdusse i nomi moderni (parabola, ellisse, iperbola) basati sulla linguaggio dell’“applicazione delle aree”: parabola per l’applicazione esatta, iperbole per l’eccesso ed ellisse per il difetto. (2286, 2286)

2.2 Proprietà fondamentali ed equazioni

• La proprietà fondamentale di ogni conica è espressa in relazione a un diametro (una retta che biseca tutte le corde parallele a una data direzione) e al suo parametro o latus rectum. (2254, 2288, 2290)
• Riferite a un diametro e alla tangente alla sua estremità (assi generalmente obliqui), le proprietà sono equivalenti alle equazioni cartesiane:
  • Parabola: ( y^2 = p x )
  • Iperbole: ( y^2 = p x + (p / d) x^2 )
  • Ellisse: ( y^2 = p x - (p / d) x^2 ) (dove ( d ) è il diametro e ( p ) il parametro corrispondente). (2290)*
• Apollonio generalizzò lo studio, considerando diametri non necessariamente assiali e ordinate inclinate oblique. (2270)
• Per le coniche centrali (ellisse e iperbole), il centro è il punto medio di ogni diametro. (2311)
• Nell’iperbole a doppio ramo, il diametro coniugato a quello trasverso non incontra la curva. (2310)

2.3 Diametri, assi e coordinate

• Un diametro è definito come una retta che biseca un sistema di corde parallele. La sua estremità sulla curva è un vertice. (2254)
• Gli assi sono casi particolari di diametri e compaiono solo in un secondo momento nella trattazione, dopo aver dimostrato che la proprietà della conica è invariante rispetto alla scelta del diametro di riferimento. (2271)
• Apollonio introdusse un metodo di trasformazione di coordinate per ridurre il caso di ordinate oblique al caso di ordinate rette rispetto al diametro. (2416)

2.4 Tangenti e normali

• Le proprietà delle tangenti sono dimostrate in relazione al diametro di riferimento. Ad esempio, nella parabola, se la tangente in Q incontra il diametro PV in T, allora ( PV = PT ). Nelle coniche centrali, ( TP : TP’ = PV : VP’ ). (2322)
• Le normali sono definite come le rette più corte (o più lunghe, in alcuni casi per l’ellisse) tracciate da un punto dell’asse alla curva. Il loro studio è approfondito nel Libro V. (2642, 2714)
• Vengono determinate le condizioni per cui da un punto esterno si possono tracciare una, due o più normali a una conica. (2723, 2729, 2755)

2.5 Iperbole e sue proprietà specifiche

• Apollonio trattò per la prima volta in modo completo l’iperbole a doppio ramo. (2301)
• Le asintoti sono definite come le rette per il centro che non incontrano la curva in nessun punto finito. (2431)
• Per l’iperbole rettangolare (equilatera), le proprietà relative agli asintoti sono state un avanzamento significativo. (1967, 1968)
• Una proprietà fondamentale: se una corda incontra entrambi i rami dell’iperbole e gli asintoti, il rettangolo delle distanze dai punti di intersezione con gli asintoti è uguale al quadrato del semidiametro parallelo. (2444)

2.6 Ellisse e sue proprietà specifiche

• Archimede sapeva che le sezioni non circolari di un cono circolare obliquo, che tagliano tutte le generatrici, sono ellissi. (2133)
• La proprietà dei diametri coniugati è dimostrata: se un diametro biseca le corde parallele al diametro coniugato, allora quest’ultimo biseca le corde parallele al primo. (2305)
• L’area dell’ellisse è dimostrata essere all’area del cerchio ausiliario (sull’asse maggiore) come l’asse minore è all’asse maggiore. (1232)

2.7 Costruzioni e uguaglianze

• Vengono forniti metodi per costruire le coniche dati un diametro, la lunghezza del parametro corrispondente e l’inclinazione delle ordinate. (2415)
• Due parabole sono uguali se i parametri corrispondenti sono uguali e le ordinate sono ugualmente inclinate rispetto ai diametri. Due ellissi o iperboli sono uguali se diametri e parametri corrispondenti sono uguali e le ordinate sono ugualmente inclinate. (2778)
• In generale, coniche di tipo diverso (parabola, ellisse, iperbole) non possono essere uguali o simili tra loro. (2780)

2.8 Proposizioni notevoli e tecniche avanzate

• Viene dimostrato che la proprietà delle coniche rispetto a un nuovo diametro (ottenuto per trasformazione di coordinate) ha la stessa forma di quella rispetto al diametro originale. (2332, 2409)
• Sono presenti numerose proposizioni sulle intersezioni tra coniche e tra coniche e circonferenze, con particolare attenzione al numero massimo di punti di intersezione. (2199, 2242)
• Apollonio trattò le proprietà focali delle coniche centrali, ma non menzionò il fuoco della parabola. I fuochi sono definiti come i punti risultanti da una certa applicazione di aree. (2042, 2574)

2.9 Aspetti storici e confronti

• Menecmo è accreditato della scoperta delle sezioni coniche e le utilizzò per risolvere il problema delle due medie proporzionali (duplicazione del cubo). (1945)
• Esiste un dibattito sull’uso di metodi “solidi” (come l’iperbole rettangolare) per risolvere problemi che potrebbero essere affrontati con luoghi “piani” (come il cerchio). Pappo criticò l’uso non necessario di luoghi solidi. (1967, 2763)
• Sereno osservò che molte persone confondevano la sezione obliqua di un cilindro con l’ellisse, sebbene siano la stessa curva. (9077)

2.10 Peculiarità e dati tecnici

• Il testo contiene riferimenti espliciti a proposizioni “non facili” da dimostrare, come quella che coinvolge il rapporto ( QV^2 : QD^2 ) in una parabola. (2068, 2069, 2389)
• Vengono conservati termini tecnici specifici come latus rectum (( )), diametro trasverso, e riferimenti a costruzioni geometriche precise. (2288, 2288)
• Sono segnalate alcune ambiguità, come il fatto che Archimede non fornisse un’espressione per i rapporti costanti nell’iperbole relativi a diametri che non incontrano la curva. (2082)

3 Misurazioni astronomiche, ipotesi cosmologiche e scoperte geometriche

Questo resoconto esplora una selezione di frammenti testuali concernenti le misurazioni astronomiche, le ipotesi cosmologiche e le scoperte geometriche nell’antichità, con particolare attenzione alle figure di Ipparco, Aristarco, Eratostene, Posidonio e altri.

3.1 1. Misurazioni della Terra e del Sistema Solare

• Eratostene e la circonferenza terrestre: (1906) Eratostene calcolò la circonferenza della Terra confrontando l’angolo d’ombra di uno gnomone ad Alessandria con l’assenza d’ombra a Syene allo stesso momento. Assumendo una distanza di 000 stadi tra le località e un angolo di 1/50 di cerchio, ottenne una circonferenza di 000 stadi. (1911) Una versione corretta di questo calcolo portò a 000 stadi, da cui un diametro terrestre di circa 182 stadi, molto vicino al valore reale. (3516) Tuttavia, il dato sulla differenza di latitudine (7° 30’) era impreciso (il valore reale è circa 5° 24’).

• Posidonio e le dimensioni del Sole: (1924) Posidonio, partendo dall’osservazione di Eratosthene a Syene e assumendo che l’orbita solare fosse 000 volte più grande di una sezione terrestre, calcolò il diametro del Sole in 000.000 di stadi. (3533) Questo valore, sebbene basato su un’ipotesi errata, si avvicinava di più al vero rispetto a stime successive.

• Aristarco e le distanze Luna-Sole: (440) Nel suo trattato Sulle dimensioni e distanze del Sole e della Luna, Aristarco ipotizzò che la distanza Terra-Sole fosse tra le 18 e le 20 volte la distanza Terra-Luna, e che il diametro solare avesse un rapporto col diametro terrestre maggiore di 19:3 ma minore di 43:6. (426, 427) Il suo metodo si basava sull’osservazione della Luna al dicotomo (mezzaluna), assumendo un triangolo rettangolo tra i centri di Sole, Terra e Luna, sebbene le sue stime angolari (es. 87° invece di 89° 50’) fossero inaccurate.

• Ipparco e i perfezionamenti: (4107) Ipparco migliorò i calcoli di Aristarco, determinando le distanze medie del Sole e della Luna in 245 e 33⅓ diametri terrestri (D) rispettivamente, e i loro diametri in 12¼ D e ⅓ D. (4103) Studiò anche il moto lunare con grande accuratezza, determinandone l’eccentricità e l’inclinazione orbitale.

3.2 2. Ipotesi Cosmologiche e Modelli Planetari

• L’Eliocentrismo di Aristarco: (411, 1571) Aristarco propose un modello eliocentrico, con la Terra e i pianeti in rivoluzione attorno al Sole e le stelle fisse su una sfera immensamente grande. (1572) Scoprì anche che il diametro angolare del Sole è 1/720° del cerchio dello zodiaco (mezzo grado). Tuttavia, (417) questa ipotesi non è presente nel suo trattato Sulle dimensioni e distanze.

• Il Sistema di Eracleide Pontico: (396, 3902, 3171) Eracleide scoprì che la Terra ruota sul proprio asse ogni 24 ore e propose che Mercurio e Venere ruotassero come satelliti attorno al Sole, che a sua volta ruotava attorno alla Terra. Questo sistema, ulteriormente sviluppato (3180), anticipò il modello Ticonico.

• Eccentrici ed Epicicli: (4110, 3173, 3179) Ipparco e Apollonio svilupparono le ipotesi degli eccentrici e degli epicicli per spiegare i moti irregolari dei pianeti. (3175, 3176) Apollonio comprese che la teoria degli eccentrici si applicava inizialmente solo ai pianeti superiori (Marte, Giove, Saturno), mentre per quelli inferiori (Mercurio, Venere) era necessario combinarla con gli epicicli.

3.3 3. Opere Sistemiche e Manualistiche

• Teodosio e la Sfera: (3967, 3934) Nei suoi trattati Sulle abitazioni e Su giorni e notti, Teodosio di Bitinia spiegò i fenomeni legati alla rotazione terrestre, alle variazioni di lunghezza del giorno e alla commensurabilità dell’anno solare con il giorno.

• Cleomede e i Paradossi: (3759) Cleomede, nel suo manuale, confutò le teorie epicuree sulla dimensione del Sole e discusse osservazioni “paradossali”, come eclissi di Luna che sorgono a est mentre il Sole è ancora sopra l’orizzonte (3782).

• Tolomeo e l’Almagesto: (4461) La Syntaxis di Tolomeo si basò ampiamente sul lavoro di Ipparco, raccogliendo osservazioni e sviluppando teorie, come quella del moto dei pianeti. (4463, 4464, 4465, 4467, 4468) L’opera è strutturata in 13 libri che coprono, tra l’altro, la teoria della sfera, il moto del Sole e della Luna, le eclissi e un catalogo stellare.

3.4 4. Dati Tecnici e Osservazioni Specifiche

• Parametri Planetari: (3778) Sono riportati dati tecnici come le massime deviazioni in latitudine dei pianeti (es. Venere 5°, Mercurio 4°), le massime elongazioni di Mercurio (20°) e Venere (50°) dal Sole, e i loro periodi sinodici (es. Mercurio 116 giorni, Venere 584 giorni).

• Cicli e Periodi: (4098, 4099) Ipparco calcolò la lunghezza dell’anno tropico e del mese lunare medio (29 giorni, 12 ore, 44 minuti, 3⅓ secondi), correggendo il ciclo di Callippo. (3731) Introdusse anche il concetto di exeligmos, un periodo per la previsione delle eclissi.

• Precessione degli Equinozi: (4096, 4097) Ipparco scoprì la precessione confrontando le sue osservazioni della stella Spica con quelle più antiche di Timocaris, stimando uno spostamento di circa 8” o 4” all’anno (valore reale: 3757”).

3.5 5. Peculiarità e Ambiguità Segnalate

• Stime Incoerenti: (3517) Posidonio, nonostante disponesse della corretta misura di Eratosthene, utilizzò una stima di differenza di latitudine errata (7° 30’), arrivando a una circonferenza terrestre di circa 000 stade.
• Interpretazioni Arbitrarie: (1578, 1583) Archimede, citando Aristarco, interpretò in modo forzato l’affermazione che la sfera delle stelle fisse è enormemente più grande dell’orbita terrestre, per adattarla al suo scopo nel Sandreckoner.
• Errori di Calcolo: (3765) Cleomede, in un calcolo autonomo, giunse a stime esagerate per le dimensioni e le distanze di Sole e Luna, dimostrando scarso rigore scientifico.

4 Commentatori: Posidonio, Gemino, Erone

Questo insieme di estratti tratta principalmente delle figure di Posidonio e Gemino, della controversa datazione di Erone di Alessandria e del ruolo dei commentatori nel preservare e tramandare il sapere matematico e scientifico antico.

4.1 Posidonio e Gemino: Un Rapporto Intellettuale

(Riferimenti: 3554, 3738, 3704, 3568, 3504, 3505)

La relazione tra il filosofo stoico Posidonio (circa 135-51 a.C.) e il matematico Gemino è centrale. Gemino scrisse un’esposizione o un commentario (ἐξήγησις) delle Meteorologica di Posidonio, un’opera così fedele che Simplicio poteva attribuire un lungo passaggio indifferentemente a “Gemino o a Posidonio in Gemino” (3738). Questo suggerisce che Gemino non fosse un semplice compilatore, ma un autore capace di riprodurre il testo di Posidonio in modo integrale, aggiungendo elucidazioni e commenti (3704). Gemino fu profondamente influenzato da Posidonio anche in altre materie (3738).

4.2 La Datazione di Erone di Alessandria e il Ruolo di Posidonio

(Riferimenti: 5054, 5052, 5053, 5307)

La cronologia di Erone di Alessandria è incerta e dibattuta. Un punto cruciale è la citazione, nella sua Meccanica, di una definizione del centro di gravità di un “Posidonio stoico”. Tuttavia, poiché Erone aggiunge che Archimede introdusse un’ulteriore distinzione, è probabile che questo Posidonio non sia il più noto di Rodi (maestro di Cicerone), bensì un omonimo precedente, forse Posidonio di Alessandria, che visse prima di Archimede (3554, 5052). Se le definizioni attribuite a Posidonio nelle Definizioni di Erone sono autentiche e originali, allora Erone non può essere vissuto prima del I secolo a.C. (5054). La raccolta di Definizioni sembra, nella sostanza, risalire a Erone o a un’epoca ancora precedente, anche se potrebbe essere stata rimaneggiata da editori successivi (5307).

4.3 L’Opera Enciclopedica di Gemino

(Riferimenti: 3571, 3576, 3598, 3673, 3684)

Gemino fu un’autorità di prim’ordine nella storia della matematica. La sua opera principale, probabilmente intitolata La Dottrina della Matematica (Ὴ τῶν μαθημάτων θεωρία), era di carattere quasi enciclopedico (3576). In essa affrontava: - Principi Fondamentali: Sottoponeva a esame critico definizioni, postulati e assiomi, discutendo le opinioni di filosofi e matematici precedenti (Aristotele, Archimede, Euclide, Apollonio, gli Stoici) (3598, 3612). - Classificazione delle Scienze: Proclo cita un suo lungo estratto sulla divisione delle scienze matematiche (aritmetica, geometria, meccanica, astronomia, ottica, geodesia, armonia, logistica) (3571). - Contenuti e Metodi Matematici: Discuteva la natura di teoremi e problemi, le condizioni di possibilità (δiorισμοί), il significato di “porisma” e la classificazione dei luoghi geometrici (3673).

La sua opera si rivelò una fonte inestimabile per commentatori successivi come Proclo (3684).

4.4 Il Metodo dei Commentatori e la Conservazione del Sapere

(Riferimenti: 9293, 9294, 9301, 9303, 9304, 9306, 9310, 9318, 9341, 9429)

I commentatori neoplatonici, in particolare Proclo (V secolo d.C.) e Simplicio (VI secolo d.C.), svolsero un ruolo cruciale nel preservare frammenti di opere altrimenti perdute. - Proclo: Il suo Commento al primo libro degli Elementi di Euclide è una fonte primaria per la storia della geometria. Egli attingeva ampiamente a opere perdute come la Storia della Geometria di Eudemo di Rodi e all’opera di Gemino, spesso citandoli per nome o riprendendone il materiale senza esplicito riferimento (9294, 9303, 9304, 9306). La fonte ultima per la storia antica era spesso proprio Eudemo (9310). - Simplicio: A lui si devono due estratti di capitale importanza: uno da Eudemo sulla quadratura delle lunule di Ippocrate di Chio, che riproduce “parola per parola” (9299, 9318), e uno da Gemino che a sua volta riassumeva le Meteorologica di Posidonio, utilizzato da Schiaparelli nelle sue indagini sull’eliocentrismo (9341, 9429).

4.5 Figure Minori e Dati Tecnici

• Carpo di Antiochia: Menzionato da Pappo come colui che applicò la geometria ad “alcune arti (pratiche)”. La sua data è incerta, probabile I o II secolo d.C. (7358). Proclo lo cita per la sua opinione paradossale sull’angolo come quantità (7360).
• Aganis: Identificato con Gemino nelle citazioni del commentatore arabo al-Nayrizi, nonostante la difficoltà posta da Simplicio che lo chiama socius noster (“nostro compagno”) (3584).
• Definizioni e Termini: Le Definizioni di Erone sono preziose perché riportano definizioni alternative di concetti fondamentali, attribuite a figure come Archimede, Apollonio e Posidonio (5306).

5 Sviluppi nella Trigonometria e Geometria Antica

Questo testo esplora una serie di sviluppi matematici, concentrandosi sull’applicazione di teoremi a triangoli piani e sferici, nonché su problemi di massimizzazione di aree e perimetri.

Applicazione del Teorema di Menelao e Formule Trigonometriche Sferiche

• Viene applicato il teorema di Menelao a cerchi massimi che si intersecano su una sfera. (4763)
• Questo procedimento porta alla derivazione di formule equivalenti a quelle di un triangolo sferico rettangolo in C:
  • sin a = sin c sin A
  • tan a = sin b tan A (4763)
• Un’ulteriore applicazione del teorema fornisce l’equivalente di cot A = cot a sin b e tan a = sin b tan A. (4755)
• Viene anche dimostrato che, per un triangolo sferico rettangolo in C, cos c = cos a cos b. (4745)

Proprietà delle Aree e dei Perimetri nelle Figure Piane

• Viene presentato e dimostrato un lemma secondo cui, dati due triangoli isosceli non simili, se si costruiscono su le stesse basi due triangoli simili tra loro con la stessa somma dei perimetri, la somma delle aree di questi ultimi è maggiore. (3383, 3415)
• Si dimostra che, tra tutti i poligoni con lo stesso numero di lati e perimetro uguale, il poligono equilatero ed equiangolo ha l’area massima. (3345, 3417)
• Un caso particolare di questo teorema afferma che, a parità di base e perimetro, un triangolo isoscele ha area maggiore di uno scaleno. (3374)

Osservazioni su Figure e Costruzioni Geometriche

• Viene discussa una costruzione di Zenodoro, che inserisce una dimostrazione completa della proposizione di Archimede sull’area del cerchio. (3371)
• Viene segnalato un passaggio in cui Tolomeo, discutendo il postulato delle parallele, avrebbe potuto argomentare in modo più efficace applicando un triangolo dall’altro lato di una retta. (4917)
• Viene menzionato il metodo di Erone per calcolare l’area di un triangolo scaleno dati i tre lati, noto come formula di Erone. (5382, 1864)

Calcoli Astronomici e l’Uso dell’Analemma

• Viene citato il contributo di Zeuthen nel mostrare come gli antichi calcolassero altezza e azimuth del sole utilizzando formule equivalenti a quelle della trigonometria sferica. (4836)
• Si osserva che, nonostante l’affermazione di Braunmühl, furono i Greci a mostrare per primi la via per l’utilizzo pratico del metodo di proiezione dell’Analemma con l’ausilio di una tavola di corde o seni. (4836)

Terminologia e Metodo Trigonometrico

• Si precisa che i Greci non utilizzavano la terminologia trigonometrica moderna (seno, coseno), ma lavoravano con le corde sottese dagli archi di un cerchio. (4321)
• Si evidenzia che il metodo di Tolomeo, sebbene fornisse implicitamente le formule per triangoli rettangoli, era formulato solo in termini di archi di cerchi massimi intersecantisi. (4764)

6 Metodologie, applicazioni pratiche e contesto intellettuale della scienza antica, con particolare attenzione alla meccanica, all’ottica e alle procedure dimostrative.

Metodi Dimostrativi e Analisi Il testo distingue tra metodi dimostrativi rigorosi e approcci euristici. Viene descritta l’analisi come procedimento che “assume ciò che è cercato come se fosse esistente e vero” (6801) e procede attraverso le sue conseguenze fino a un principio noto; la sintesi è il processo inverso che costruisce la dimostrazione partendo da principi noti (6802). Figure come Archimede sono presentate come attente a differenziare i mezzi meccanici, sufficienti a “suggerire la verità dei teoremi”, dalle “dimostrazioni rigorose… con metodi geometrici ortodossi” che devono seguire (679). Questo dualismo metodologico è un tema ricorrente.

Applicazioni Pratiche della Meccanica Un focus significativo è sulle applicazioni pratiche. Il termine “meccanica” per gli antichi racchiudeva una varietà di lavori: 1. L’uso di potenze meccaniche per muovere grandi pesi con piccole forze. 2. La costruzione di macchine da guerra per lanciare proiettili. 3. Il pompaggio d’acqua da grandi profondità. 4. I dispositivi dei “creatori di meraviglie” (θαυματουργοί), che includevano automi, orologi ad acqua e la costruzione di sfere meccaniche per modellare i corpi celesti (7375).

Viene citato l’episodio di Archimede che, utilizzando un sistema di pulegge composte (polyspastos), riuscì da solo a trainare una nave pesantemente carica (634). Un altro problema pratico affrontato è quello di “muovere un dato peso con una data forza” mediante ingranaggi (5897, 7379).

Ottica e Catottrica Il testo tratta i principi fondamentali dell’ottica, affermando che “tutta la luce viaggia lungo linee rette” (che si rompono nei casi di riflessione e rifrazione) (3588). Viene discussa la natura dei raggi visivi, se emessi dall’occhio o dall’oggetto. Un principio chiave della catottrica è che, nella riflessione, il raggio luminoso percorre il cammino più breve, il che implica l’uguaglianza degli angoli di incidenza e riflessione (4870). Viene inoltre menzionato il problema di determinare il punto su uno specchio dove avviene la riflessione, dato un punto luminoso e un punto di osservazione (4864).

Contesto Intellettuale e Fonti Il testo sottolinea l’importanza del contesto intellettuale e della trasmissione delle conoscenze. Erone, ad esempio, “fa poche o nessuna pretesa di originalità” e spesso cita o migliora metodi tradizionali senza l’intenzione di trarre in inganno (5145). Vengono menzionate controversie scientifiche, come quella tra Tolomeo e Aristotele sul fatto che l’aria o l’acqua, nel loro “luogo” naturale, abbiano o meno peso (4879). La figura di Archimede è presentata anche attraverso aneddoti sulla sua concentrazione e sul suo ingegno pratico, come la scoperta del principio idrostatico che lo portò a correre nudo per le strade gridando “εὕρηκα” (650).

7 Geometria

7.1 Definizioni e Concetti Fondamentali

• Vengono introdotte definizioni basilari per lo studio delle curve e delle superfici. La spirale di Archimede è definita come la curva tracciata da un punto che si muove uniformemente lungo una retta che, a sua volta, ruota uniformemente attorno a un estremo fisso (1322). Per questa spirale, si definiscono l’origine, la linea iniziale, le distanze (raggi vettori al termine di ogni rivoluzione) e le aree delimitate da ciascun giro della spirale e dalla corrispondente distanza (1383).
• Un’altra definizione fondamentale è quella di superficie cilindrica, generata dal movimento di una retta che rimane sempre parallela a se stessa e scorre lungo due circonferenze uguali e parallele i cui diametri, pur muovendosi, rimangono paralleli (9082). Il cilindro stesso è la figura delimitata da questa superficie e dalle due basi circolari parallele (9083).
• Viene operata una classificazione dei luoghi geometrici (loci): ἑκτικός (fissi), περῳδικός (ordinari, dove un punto genera una linea) e ἀναστροφικός (dove un punto genera una superficie) (3033). Le linee sono ulteriormente classificate in composte e incomposite, con queste ultime suddivise in piane (come la cissoide) e solide (come le sezioni coniche e l’elica) (3604).

7.2 Proprietà di Linee, Piani e Angoli

• Un principio fondamentale stabilisce che da un punto esterno a un piano, la linea più corta che congiunge il punto al piano è la perpendicolare. L’angolo tra questa perpendicolare e qualsiasi altra linea tracciata dal punto al piano è il minore possibile (6766).
• Un teorema di geometria solida afferma che se da un punto ( A ) sopra un piano si traccia la perpendicolare ( AB ) e da ( B ) si traccia una linea ( BD ) perpendicolare a una qualsiasi linea ( HF ) nel piano, allora anche ( AD ) sarà perpendicolare a ( HF ) (6764).
• Viene precisato il concetto di rette parallele come rette complanari la cui distanza, misurata perpendicolarmente, è costante ovunque (3637). Si dimostra anche che la distanza più breve tra due rette parallele è data dal segmento perpendicolare a entrambe (3073).

7.3 Problemi di Costruzione e Luoghi Geometrici (Loci)

• Un tema ricorrente è la determinazione del luogo geometrico di un punto che soddisfa certe condizioni relative a distanze o rapporti con linee fisse. Se da un punto si tracciano linee che incontrano due o più rette date con angoli fissati e sussiste un determinato rapporto tra queste linee (o tra rettangoli costruiti su di esse), il punto giace su una linea retta o su una sezione conica (parabola, ellisse, iperbola) (3057, 3060, 3065, 2033, 2034, 2252, 3081).
• Un caso particolare è il luogo dei punti per cui il rapporto tra la distanza da un punto fisso (fuoco) e la distanza da una linea fissa (direttrice) è costante, che genera una conica (7195).
• Un problema classico è la νείωσις (vergings), che consiste nell’inserire un segmento di lunghezza data tra due linee (rette o curve) in modo che il suo prolungamento passi per un punto dato (6580, 3093, 3095, 1325, 1331). Questi problemi spesso non sono risolubili con riga e compasso e richiedono l’uso di curve più complesse (3439).

7.4 Proprietà delle Coniche e della Spirale

• Per le coniche, viene introdotta la nozione di diametro come una retta che biseca tutte le corde tracciate parallelamente a una direzione data. L’estremità del diametro sulla curva è il vertice, e le corde parallele sono le ordinate a quel diametro (1842). Questo concetto è esteso anche a coppie di curve, come l’iperbola a due rami (2256).
• Per la spirale di Archimede, un risultato cruciale riguarda la proprietà della sottotangente. Se ( P ) è l’estremità dell’(n)-esimo giro e ( c_n ) è la circonferenza dell’(n)-esimo cerchio, la sottotangente in ( P ) è uguale a ( n c_n ) (1422). La tangente in un punto qualsiasi della spirale forma un angolo ottuso con il raggio vettore sul lato “avanti” e un angolo acuto sul lato “indietro” (1396).
• Viene anche dimostrato che le aree degli anelli successivi della spirale (cioè le aree descritte in ogni rivoluzione completa) sono in un dato rapporto, e che l’area racchiusa dalla spirale nel primo giro è un terzo dell’area del primo cerchio (1322, 1459).

7.5 Centro di Gravità ed Equilibrio

• Il centro di gravità è definito come il punto per il quale, se il corpo è sospeso, rimane in equilibrio senza oscillare (1457, 5972). Per un parallelogramma, il centro di gravità si trova nell’intersezione delle diagonali (4067), mentre per un trapezio giace sulla linea che congiunge i punti medi dei lati paralleli, dividendola in un rapporto specifico (1339).
• Un principio fondamentale dell’equilibrio afferma che se un corpo è appeso a un punto, il centro di gravità e il punto di sospensione giacciono sulla stessa verticale (724). Questo principio è applicato a problemi pratici, come determinare la forza necessaria per trascinare un peso su un piano inclinato (7433, 7436).

7.6 Applicazioni Pratiche e Problemi di Misura

• Diverse proposizioni affrontano problemi di ottica e prospettiva. Ad esempio, si determinano le condizioni affinché un cerchio visto da un punto esterno al suo piano appaia come un’ellisse (6770, 6777), o si studia il percorso dei raggi luminosi riflessi da specchi piani o curvi (9487, 6491, 7180).
• Sono presenti problemi di agrimensura e topografia, come misurare la distanza tra punti inaccessibili, l’altezza di un oggetto, o la larghezza di un fiume. Vengono anche descritti metodi per scavare tunnel o pozzi che raggiungano punti precisi sottoterra (5899).

8 Il Tesoro dell’Analisi e i Loci in Pappo

Questa sezione esamina il contenuto del Libro VII della Collezione di Pappo di Alessandria, che costituisce la fonte principale per la conoscenza di un gruppo di opere geometriche antiche, collettivamente note come il “Tesoro dell’Analisi” (ἀναλυόμενος τόπος).

Il Tesoro dell’Analisi (ἀναλυόμενος τόπος)

Pappo descrive il Tesoro dell’Analisi come un “corpo di dottrina speciale” per coloro che, dopo aver studiato gli Elementi ordinari, desiderano acquisire la capacità di risolvere problemi che coinvolgono la costruzione di linee (6798). Il suo scopo è esclusivamente utilitaristico in questo senso.

L’elenco delle opere che componevano questo Tesoro, fornito in ordine, è il seguente (6810): * I Dati di Euclide (1 libro) * Sulla determinazione di una ragione di Apollonio (2 libri) * Sulla determinazione di un’area di Apollonio (2 libri) * Sezione determinata di Apollonio (2 libri) * Contatti (o Tangenze) di Apollonio (2 libri) * I Porismi di Euclide (3 libri) * Inclinazioni (νεύσεις) di Apollonio (2 libri) * Luochi piani di Apollonio (2 libri) * Coniche di Apollonio (8 libri) * Luochi solidi di Aristeo il Vecchio (5 libri) * Luochi su superfici di Euclide (2 libri) * Sulle medie di Eratostene (2 libri)

Pappo afferma di aver esposto il contenuto di questi trentatré libri, includendo il numero di proposizioni, i diorismi (determinazioni dei limiti di possibilità) e i casi trattati, oltre ai lemmi richiesti, senza aver omesso alcuna questione rilevante (6811). Fornisce infatti un’ampia raccolta di lemmi per ciascuno di questi libri, che rappresenta la nostra principale fonte di informazioni per le opere andate perdute (6796). Tuttavia, non fornisce un resoconto per i Luochi solidi di Aristeo, i Luochi su superfici di Euclide e Sulle medie di Eratostene, limitandosi a due lemmi isolati per i Luochi su superfici (6814).

Classificazione dei Problemi e dei Luoghi Geometrici

Un aspetto peculiare e significativo del testo è la distinzione tra diversi tipi di problemi e luoghi geometrici (loci).

• Problemi piani: sono quelli risolvibili utilizzando solo rette e cerchi (6155, 2023).
• Problemi solidi: richiedono per la loro soluzione una o più sezioni coniche (6155, 2015).
• Problemi lineari: richiedono l’uso di curve superiori, la cui origine è considerata “più complicata e forzata” (βεβιασμένην), come spirali, quadratrici, concoidi e cissoidi, generate da “superfici più irregolari e movimenti intricati” (6155, 2022).

Pappo critica esplicitamente l’errore di risolvere un problema “piano” con metodi “solidi” o “lineari”, citando come esempi un problema nel quinto libro delle Coniche di Apollonio e un’ipotesi “solida” assunta da Archimede nel suo lavoro Sulle Spirali (1364). Sostiene che per la proprietà della sottotangente della spirale, ad esempio, è possibile trovare una dimostrazione con metodi piani (9706).

Questa classificazione si estende ai luoghi geometrici: * Luoghi piani: rette e cerchi (2015, 3034). * Luoghi solidi: sezioni coniche (2015, 3034). Apollonio stesso definisce le coniche come “luoghi solidi”, indicando che il suo lavoro le trattava principalmente in quanto luoghi (2014). * Luoghi lineari: curve superiori alle coniche (2015, 3034).

Viene inoltre menzionata un’ulteriore classificazione dei luoghi in (6553): 1. ἑκτικός (fissi o “che trattengono”) 2. φερόμενος (mobili o “che si muovono lungo”) 3. ἀναστροφικός (“che va avanti e indietro”)

Viene fatto un riferimento a “luoghi con riferimento alle medie” (τόποι πρὸς μεσότητας) di Eratostene, che si ritiene possano essere stati “lineari” (1884, 1896).

Figure e Opere Chiave Citate

Il testo di Pappo funge da compendio di conoscenze su molti matematici e opere altrimenti poco note.

• Aristeo il Vecchio: La sua opera in cinque libri, Luochi solidi, è descritta come “connessa con le coniche” (6118). Si ritiene che trattasse di teoremi di luogo che si rivelavano essere sezioni coniche, andando oltre le proprietà fondamentali e includendo, ad esempio, il luogo a tre e quattro rette (2038, 2045).
• Euclide: Oltre agli Elementi, gli sono attribuiti Coniche (in 4 libri), Luoghi su superfici (in 2 libri) e Porismi (in 3 libri). Pappo riporta che Euclide, trattando il luogo a tre e quattro rette, “scrisse quanto era possibile per mezzo delle coniche di Aristeo, senza pretendere completezza” (2009).
• Apollonio di Perga: Viene citata una vasta gamma delle sue opere, molte delle quali perdute. Apollonio afferma di aver trattato il soggetto delle Coniche in modo più completo e generale dei suoi predecessori, rivendicando originalità principalmente per le proposizioni sul luogo a tre e quattro rette (2241). Sostiene che Euclide non aveva completato con successo la sintesi di questo luogo, la quale richiedeva i teoremi aggiuntivi da lui scoperti (2198). Pappo fornisce lemmi per molte di queste opere, come Sulla determinazione di una ragione, Sulla determinazione di un’area e Tangenze (6847).
• Menelao di Alessandria: Viene citato per aver dato a una certa curva il nome di “paradossa” (παράδοξος) (4204).
• Curve Complesse: Si fa riferimento a curve scoperte da Demetrio di Alessandria (nelle sue Considerazioni lineari) e da Filone di Tiana, generate dall’intreccio di superfici “plectoidi” e altre, che possiedono proprietà notevoli (4204, 6550). La natura di queste curve è solo oggetto di congettura.

Riferimenti Testuali Chiave

• “Il cosiddetto Tesoro dell’Analisi è, per dirla in breve, un corpo di dottrina speciale fornito per l’uso di coloro che, dopo aver finito gli Elementi ordinari, desiderano acquisire il potere di risolvere problemi che possono essere loro posti coinvolgendo (la costruzione di) linee, ed è utile solo per questo.” (6798)
• “Infatti sembra essere un grave errore in cui cadono i geometri ogni volta che qualcuno scopre la soluzione di un problema piano per mezzo di coniche o curve lineari (superiori), o generalmente lo risolve per mezzo di un tipo estraneo” (1364)
• “Rimane un terzo tipo di problema, quello che è chiamato lineare; poiché per la costruzione si assumono altre linee (curve) oltre a quelle menzionate, la cui origine è più complicata e meno naturale, poiché sono generate da superfici più irregolari e movimenti intricati.” (2022)

9 Classificazione dei numeri, equazioni indeterminate e metodi algebrici nell’antichità

9.1 Classificazione dei numeri e teoria dei numeri figurati

Il testo fornisce un’ampia panoramica della classificazione dei numeri, attestata in autori come Nicomaco di Gerasa (3830). Vengono distinti: - Numeri pari e dispari, con le loro suddivisioni. - Numeri primi e composti (questi ultimi con fattori uguali o disuguali). - Numeri piani, ulteriormente suddivisi in quadrati, oblunghi, triangolari e poligonali, con i rispettivi gnomoni e proprietà legate alla somma di termini di progressioni aritmetiche. - Numeri circolari, sferici e solidi (con tre fattori). - Numeri piramidali e piramidali troncati. - Numeri perfetti, insieme ai loro correlativi, iper-perfetti e difettivi. Viene inoltre citata la definizione di numero poligonale attribuita a Ipsicle (3424): l’n-esimo numero a-gonale è dato da n{2+(n-1)(a-2)}/2.

9.2 La somma di quadrati e il contributo di Fermat

Una parte significativa del testo è dedicata alla rappresentazione dei numeri come somme di quadrati. - Viene riportato un teorema di Fermat (8275): un numero primo della forma 4λ+1 e le sue potenze possono essere sia l’ipotenusa di un triangolo rettangolo razionale che la somma di due quadrati. - Fermat estende un teorema affermando che il prodotto di primi che sono somme di due quadrati è a sua volta somma di due quadrati in due modi, e così via, moltiplicando per potenze successive (8275). - Viene segnalato che la condizione necessaria e sufficiente affinché un numero sia esprimibile come somma di due quadrati (essere della forma 4n+1 o prodotto di tali numeri) fu provata da Eulero, sebbene forse nota a Diofanto (8276, 8278, 8297). - Viene citato il teorema, enunciato da Fermat e dimostrato da Lagrange, secondo cui ogni numero è somma di fino a quattro quadrati (8290).

9.3 L’algebra di Diofanto: notazione e metodi

Il testo analizza in dettaglio l’opera di Diofanto di Alessandria, in particolare l’Aritmetica. - Notazione: Diofanto introduce un simbolo per l’incognita (ς), definita come un “multitudine indefinita di unità” (7770, 7809). Le potenze dell’incognita hanno nomi e simboli specifici (ΔΥ per x², ΚΥ per x³, etc.) (7789). Utilizza un segno per il meno (un Λ rovesciato) ed enuncia la regola dei segni (7847, 7819). I termini sono raggruppati, con tutti i positivi seguiti da quelli negativi (7848, 7820). - Equazioni determinate: Diofanto risolve equazioni di primo e secondo grado. Per le quadratiche, cerca di ridurle a equazioni semplici o pure (7857, 7873). Non ammette radici negative, irrazionali o immaginarie, considerando “impossibili” le equazioni che le generano (7871, 7873). - Equazioni indeterminate: L’approccio è di rendere il problema determinato assumendo valori particolari per alcune incognite, esprimendo tutto in termini di una sola variabile (7859, 7860, 7862, 7863). Se un’equazione porta a una radice irrazionale, Diofanto retrae i suoi passi e risolve un problema sussidiario per ottenere un risultato razionale (7877). - Limiti e approssimazioni: In problemi che richiedono numeri in ordine di magnitudine, a volte è necessario trovare soluzioni entro certi limiti, scartando quelle che non soddisfano le condizioni (8141). Viene notato che non tenta di esprimere la radice esatta di un’equazione quadratica che dà un surdio, ma si limita a trovare limiti interi o frazionari (7876).

9.4 Equazioni indeterminate di primo e secondo grado

Il testo menziona diverse tipologie di equazioni indeterminate trattate prima e durante l’epoca di Diofanto (295). - Epigrammi aritmetici: La Antologia Greca contiene problemi che portano a equazioni semplici, spesso sulla divisione di un numero di oggetti tra più persone (7550, 7553, 7554). - Doppie equazioni: Un metodo ricorrente in Diofanto è la “doppia equazione”, dove due espressioni devono essere entrambe quadrati perfetti. La soluzione spesso implica manipolazioni algebriche per far sì che la differenza tra le due espressioni sia facilmente fattorizzabile o si annulli (8025, 8031, 8407).

9.5 Approssimazione di radici quadrate e altri metodi numerici

Sono descritti diversi metodi per approssimare le radici quadrate di numeri non quadrati. - Formula eroniana: Se A = a² + b, allora √A ≈ a + b/(2a) (8988, 9521, 9572, 9657). - Metodo di Barlaam: Viene citata la conoscenza delle formule eroniane per approssimazioni successive alle radici quadrate (9680). - Evidenza greca: Sono menzionati documenti che mostrano metodi greci per approssimare radici quadrate, a volte utilizzando numeri con valore posizionale simile alla nostra notazione (9659).

9.6 Terminologia e influenze incrociate

• Termini tecnici: Vengono conservati e discussi termini specifici come gnomone, numeri amicali (o amichevoli) e i diversi nomi egiziani per le potenze dell’incognita, che differivano da quelli diofantei (9539).
• Influssi culturali: Si segnala l’esistenza di “calcoli hau” egiziani, dove hau (mucchio) indica l’incognita, equivalenti alla risoluzione di equazioni semplici (7533, 7534). Viene inoltre menzionato il sistema sessagesimale babilonese e il suo uso nelle frazioni greche (2953, 9238).

9.7 Riferimenti a opere perdute e commentatori

• Viene accennata l’esistenza di una collezione di proposizioni di Diofanto intitolata Porismi, da cui cita in tre occasioni nell’Aritmetica (5807).
• Sono menzionati commentatori successivi, tra cui Ipazia, e l’influenza di Diofanto su matematici arabi e successivi come al-Karkhī (7675).

10 Trasmissione e edizioni di opere matematiche greche

Trasmissione manoscritta e traduzioni

La sopravvivenza dei testi matematici greci è legata a una complessa storia di trasmissione manoscritta, traduzioni e commenti. (750) Un manoscritto fondamentale (l’archetipo A di Heiberg) fu redatto a Costantinopoli nel IX secolo per iniziativa di Leon, che restaurò l’Università. (768) Questo codice, attraverso i suoi derivati, rimase la fonte principale per il testo greco fino alla scoperta del manoscritto C di Costantinopoli. (776) La traduzione latina di Giacomo da Cremona, commissionata da Papa Niccolò V intorno al 1450, e quella di William di Moerbeke del 1269, sono fonti preziose per la ricostruzione testuale, essendo state eseguite direttamente dal greco. (767) William utilizzò almeno due manoscritti per le sue traduzioni, tra cui uno contenente opere di meccanica e ottica.

Edizioni critiche e curatori

L’edizione critica moderna è rappresentata in modo esemplare dal lavoro di Heiberg, la cui seconda edizione delle opere di Archimede (1910-15) è definitiva e sostituisce tutte le precedenti. (785) (791) Prima di lui, Friedrich Hultsch aveva pubblicato un’edizione monumentale, modello per le successive edizioni di testi matematici greci. (6131) Altri editori fondamentali includono Tannery per Diofanto, il cui testo è alla base dell’edizione più completa e aggiornata, e Commandino, le cui traduzioni latine furono spesso le prime a rendere i testi intelligibili attraverso note esplicative. (7757) (2162)

Il ruolo dei commentatori

I commentatori antichi ebbero un ruolo cruciale nella preservazione e nella diffusione dei testi. (9064) (9065) È significativo che spesso siano sopravvissuti solo i libri commentati da figure come Eutocio o Ipazia. (7724) (9062) Ad esempio, si ipotizza che i primi sei libri dell’Aritmetica di Diofanto si siano conservati proprio perché Ipazia scrisse un commento solo su di essi. (9268) (7725) Eutocio, un contemporaneo più anziano di Antemio di Tralle, scrisse commenti su diverse opere di Archimede e Apollonio, dedicandone alcuni allo stesso Antemio. (9464) (7733) La sua opera fu poi rivista da Isidoro di Mileto, nella cui scuola i trattati originali in dialetto dorico furono tradotti nella lingua comune per una maggiore accessibilità. (748)

Traduzioni arabe e versioni latine

Molte opere sono sopravvissute solo attraverso traduzioni arabe, successivamente ritradotte in latino. (4223) (4230) Un caso emblematico è quello dei libri V-VII delle Coniche di Apollonio, persi in greco ma conservati in arabo. (2158) (2159) Traduttori come Ishaq b. Hunain e Thabit b. Qurra furono fondamentali in questo processo. (4450) (2157) La prima traduzione latina dei libri I-IV di Apollonio fu pubblicata da Memo nel 1537, ma fu l’edizione di Commandino del 1566, con i lemmi di Pappo e il commento di Eutocio, a rappresentare un vero passo avanti nella comprensione. (2167) Per la Sintassi di Tolomeo, esiste una traduzione dal greco fatta intorno al 1160 per Enrico Aristippo, ma sopravvive solo in pochi manoscritti. (4455)

Edizioni a stampa e prime pubblicazioni

Le editiones principes segnano l’ingresso dei testi matematici nell’era della stampa. (4454) La prima edizione a stampa delle opere di Archimede in greco fu curata da Torelli (Oxford, 1792), sebbene con alcune imperfezioni. (790) L’editio princeps del testo greco delle Coniche di Apollonio è il monumentale lavoro di Halley (Oxford, 1710). (2147) Per Diofanto, l’edizione standard fino a tempi recenti fu quella di Bachet (1621), che pubblicò per la prima volta il testo greco con traduzione latina e note. (7741) Tuttavia, né Bachet né Xylander, autore di una pregevole traduzione latina con commento (1575), poterono usare i manoscritti migliori. (7745) (7738)

Figure bizantine e tardoantiche

La tradizione matematica continuò in epoca bizantina con figure come Massimo Planude (circa 1260-1310) e Nicola Rhabdas. (9619) (9543) Planude scrisse scoli sui primi due libri di Diofanto, contenenti prospetti dei problemi nella notazione originale. (9063) Rhabdas, attorno al 1341, è noto per due lettere che plagiano la prefazione dell’Aritmetica di Diofanto, fatto che, sebbene non lodevole, suggerisce una sua familiarità con l’opera. (9619)

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