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Heath - History of Greek Mathematics  I | e | 10d

1 La concezione platonica della matematica e il suo contesto storico

(1) La posizione di Platone sulla matematica: teoria vs. pratica

Platone attribuisce alla matematica un valore primariamente teoretico e formativo per l’anima, piuttosto che pratico. (4966) La geometria e il calcolo aritmetico, nelle loro parti più avanzate, tendono a “elevare la mente in alto” e a condurla verso “l’idea del Bene”, attirando l’anima verso la verità e creando un “abito filosofico della mente”. (4992) L’importanza della geometria risiede nel fatto che è uno studio di “oggetti eterni e immutabili”. Questo approccio è illustrato dalle sue vedute peculiari su astronomia e musica, che la gente comune considera invece come aventi un lato pratico importante. (4966)

(2) Matematica nell’educazione: élite e cittadini

Nel definire il curriculum educativo, Platone opera una distinzione tra una conoscenza profonda riservata a pochi e una conoscenza pratica necessaria a tutti. (493) Nelle Leggi, menziona tre discipline adatte agli uomini liberi: calcolo e scienza dei numeri, misurazione e astronomia. Tuttavia, una conoscenza profonda e accurata di questi soggetti “non è per la gente in generale ma solo per pochi”. (327) È altresì evidente che l’aritmetica pratica, necessaria per la guerra, la gestione della casa e il governo, doveva essere un soggetto per tutti, dopo le lettere e la lira. (493)

(3) L’influenza di Platone e la sua scuola

L’entusiasmo di Platone per la matematica ebbe un’enorme influenza sul suo sviluppo. (5339) Proclo osserva che Platone “causò un grandissimo avanzamento della matematica in generale e della geometria in particolare” grazie al suo zelo, riempiendo i suoi libri di illustrazioni matematiche e cercando di accendere l’ammirazione per queste discipline. (3060, 5339) Questo influenzò direttamente allievi come Eudosso di Cnido ed Eraclide Pontico, che portarono enormi avanzamenti in matematica e astronomia. (568, 5461) La scuola platonica era selettiva: si dice che Platone avesse posto all’ingresso la nota “Nessuno che non sappia geometria entri qui”. (573, 4962) Allo stesso modo, Senocrate respingeva i candidati che non conoscevano la geometria. (573)

(4) La classificazione delle scienze matematiche

Platone e i suoi successori classificavano le scienze matematiche. Egli riconosceva sia le discipline puramente teoriche sia le “arti” matematiche pratiche o applicate. (5341) Oltre all’aritmetica pura, menziona l’arte della misurazione (per il commercio o l’artigianato) e quella del pesare. (5341) Chiama ottica, armonica e astronomia i “rami più fisici” della matematica, osservando che queste materie e la meccanica dipendono per le loro dimostrazioni dalle discipline matematiche pure. (434) Una successiva classificazione distingue sei rami concernenti oggetti sensibili: meccanica, astronomia, ottica, geodesia, canonica e logistica. (436)

(5) Riferimenti a scoperte e teorie matematiche

Il testo contiene riferimenti a specifiche scoperte e problemi matematici del tempo. * Irrationalità: Un argomento si basa su un passaggio delle Leggi in cui si menziona l’ignoranza dei Greci sul fatto che non tutte le grandezze geometriche siano commensurabili, un riferimento all’irrazionalità di √2. (2841) * Duplicazione del cubo: Si racconta che Platone biasimò Eudosso, Archita e Menecmo per aver tentato di risolvere la duplicazione del cubo con costruzioni meccaniche, poiché questo avrebbe “perso e distrutto il bene della geometria”. (5002) Viene riportata la risposta di Menecmo a un re (forse Alessandro) che chiedeva una scorciatoia per la geometria: “in geometria non c’è una via regia”. (4462, 591) * Teoria delle Proporzioni: Un autore anonimo attribuisce a Eudosso la scoperta della teoria generale delle proporzioni contenuta nel Libro V degli Elementi di Euclide. (5654)

(6) Contesto storico e fonti della matematica greca

Il testo colloca la nascita della matematica greca in un contesto più ampio di scambio culturale. * Influenze esterne: Si sostiene che i Greci appresero la geometria dagli Egiziani, dove ebbe origine a causa della necessità di misurare i terreni dopo le inondazioni del Nilo. (2211, 2239) Tuttavia, si osserva che la geometria egiziana, nelle mani dei sacerdoti, non sembra essere avanzata oltre la pura pratica, diventando una “scienza” solo con i Greci. (2238, 2239) Talete, Pitagora e altri filosofi viaggiarono in Egitto e Babilonia per apprendere. (266, 256, 3189) * Merito greco: Il genio greco viene identificato nella capacità di trasformare le conoscenze pratiche in scienze teoriche. (314) I Greci, con la loro “limpida chiarezza di mente” e libertà di pensiero, furono soli capaci di creare le scienze come “cose viventi basate su sani primi principi”. (315) Pitagora, in particolare, “trasformò lo studio della geometria in un’educazione liberale”, esaminandone i principi in modo “immateriale e intellettuale”. (2557)

(7) Figure matematiche contemporanee e precedenti

Vengono menzionati diversi matematici e le loro contribuzioni. * Pitagora e i Pitagorici: A Pitagora si attribuisce il merito di aver reso la geometria un’educazione liberale e di aver scoperto “la teoria degli irrazionali e la costruzione delle figure cosmiche” (i solidi regolari). (2557) La scuola pitagorica applicò la matematica alla filosofia, vedendo nei numeri i principi di tutte le cose. (1153, 1178) * Ippocrate di Chio: Viene citato come il primo a scrivere Elementi e per la sua quadratura delle lunule. (542) * Teodoro di Cirene: Descritto come maestro di matematica di Platone, esperto in geometria, astronomia, calcolo e musica. (3645) * Archita, Eudosso, Menecmo: Matematici associati alla scuola platonica, noti per i loro contributi alla geometria e per le soluzioni al problema della duplicazione del cubo. (3823, 4464, 5002) * Democrito: Viene menzionato per il suo lavoro in geometria, sebbene Platone lo ignorasse. (3171) Si vanta di aver superato in abilità geometrica persino gli “arpedonapti” in Egitto. (3215)

(8) La reazione e il contesto educativo più ampio

L’atteggiamento verso la matematica nella società greca non era uniformemente positivo. * Utilità messa in discussione: Isocrate non avrebbe dato il nome di “filosofia” a studi come geometria e astronomia, che considera di nessuna utilità immediata, anche se utili per allenare la mente. (534) Molti li consideravano inutili per la vita quotidiana. (531) * Insegnamento dei Sofisti: I Sofisti, come Protagora, non approvavano la matematica come parte dell’educazione secondaria. (558) Tuttavia, includevano aritmetica, geometria e astronomia nei loro vasti programmi di lezioni. (556) * Storie aneddotiche: Viene raccontato l’aneddoto di uno studente che chiede a Euclide quale vantaggio pratico trarrebbe dall’imparare la geometria, al quale Euclide, dopo aver chiamato uno schiavo, dice: “Dagli una moneta, poiché egli deve trarre un guadagno da ciò che impara”. (566)

2 Sistema numerico e il calcolo pratico nell’antica Grecia

2.0.1 Sistemi di notazione numerica

I greci utilizzavano principalmente due sistemi di notazione numerica: - Sistema Attico o “Erodianico”: basato su simboli composti che rappresentano numeri tramite le lettere iniziali delle parole corrispondenti (ad esempio, P per pénte, 5; Δ per déka, 10). Questo sistema era di tipo additivo e puramente decimale, senza l’uso di simboli per la sottrazione. I multipli intermedi, come 50 o 500, erano formati combinando il simbolo per 5 con quelli per 10, 100, ecc. (656, 663, 664, 665, 666, 672, 673, 674, 675, 926). - Sistema Alfabetico**: utilizzava le 27 lettere dell’alfabeto greco (divise in tre serie di nove per unità, decine e centinaia) per rappresentare i numeri da 1 a Le migliaia erano indicate riutilizzando le stesse lettere con un segno distintivo, spesso un tratto obliquo. Le decine di migliaia (miriadi) erano indicate con la lettera M (per mýrioi). Per distinguere i numerali dal testo, si usavano segni come un trattino orizzontale sopra le lettere, punti o spaziature. Questo sistema, più conciso, richiedeva però la memorizzazione di più segni e, soprattutto, era privo di uno zero posizionale, il che ne limitava l’efficacia come sistema a valore posizionale. (688, 695, 701, 705, 719, 720, 721, 723, 724, 725, 731, 736, 737, 738, 743, 746, 747, 756, 778, 779, 780, 782, 785, 788, 790, 797).

2.0.2 Metodi di calcolo pratico: l’Abaco

Per i calcoli pratici, i greci utilizzavano l’abaco, che compensava le limitazioni della notazione scritta simulando un sistema a valore posizionale. - Struttura: L’abaco era organizzato in colonne verticali, ciascuna riservata a una potenza di 10 specifica (unità, decine, centinaia, ecc.). Le colonne erano spesso divise in due parti: una superiore, con un singolo gettone che rappresentava 5 unità di quella colonna, e una inferiore con quattro gettoni che rappresentavano 1 unità ciascuno. Questo schema quinquedecimale è analogo a quello dell’abaco romano. (888, 889, 891, 892, 893, 894, 895, 897, 898, 899, 900, 902, 905, 911, 916, 928, 929). - Funzionamento: Le operazioni avvenivano spostando gettoni (pietre o bottoni). In addizione e moltiplicazione, quando una colonna accumulava un numero di gettoni pari a una unità della colonna superiore, questi venivano convertiti. In sottrazione, se una colonna non aveva gettoni sufficienti, uno dalla colonna superiore veniva “scomposto” in dieci unità di quella inferiore. (891, 892, 963). - La Tavola Salaminia: Un reperto, la Tavola Salaminia, è oggetto di dibattito. Alcuni studiosi la interpretano come un abaco, proponendo che le sue linee e croci delimitino colonne per calcoli monetari (fino al talento, 6000 dracme) e per frazioni della dracma. Altri, come David Eugene Smith, la considerano semplicemente il tavolo di un cambiavalute. (928, 929, 930, 932, 933, 941, 945, 946, 957, 958, 960, 961, 966).

2.0.3 Frazioni

I greci impiegavano diverse notazioni per le frazioni: - Sottomultipli: Il metodo ortodosso prevedeva di scrivere solo il denominatore con un accento (ad esempio, γʹ per 1/3). Frazioni come 3/4 erano spesso espresse come somma di sottomultipli (ad esempio, 1/2 + 1/4), seguendo l’uso egizio. (811, 812, 816, 817, 818, 830, 831, 833, 847, 855, 860, 861, 862, 863, 864, 868, 870, 872). - Frazioni Sessagesimali: In astronomia, era in uso un sistema sessagesimale di origine babilonese. Un’unità era suddivisa in “primi” (ʹ), “secondi” (ʹʹ), etc. L’assenza di un ordine era indicata dal simbolo Ο (zero). Questo sistema era molto efficiente per i calcoli. (643, 647, 876, 879, 880, 883, 884).

2.0.4 Operazioni aritmetiche con i numerali alfabetici

Nonostante la mancanza dello zero, operazioni complesse come la moltiplicazione erano possibili con i numerali alfabetici, come dimostrano commentatori antichi come Eutocio e studiosi moderni come Tannery. Il metodo consisteva nel separare mentalmente le potenze di 10 (le “basi” o pythménes dei numeri) e moltiplicarle separatamente, per poi ricombinare i risultati. Questo richiedeva una notevole abilità di calcolo mentale. (766, 770, 771, 777, 798, 801, 1003, 1004, 1007, 1010, 1012, 1013, 1014, 1021, 1022, 1023, 1027, 1029, 1057, 2153).

3 Classificazione dei Numeri e Teoria delle Proporzioni nella Matematica Greca

Questo insieme di frammenti tratta principalmente della classificazione dei numeri, delle proprietà fondamentali dell’aritmetica greca e della teoria delle proporzioni, con riferimenti a figure chiave come Pitagora, Archita, Filolao, Euclide e Nicomaco.

Classificazione Fondamentale dei Numeri: Pari e Dispari Il testo esplora la distinzione primaria tra numeri pari e dispari, le loro suddivisioni e il ruolo ambiguo dell’unità (1) e della diade (2). * (1295, 1249, 1252) La definizione pitagorica originale di numero pari sembrava escludere il 2, considerato non un numero ma il “principio del pari”. Un numero pari è quello divisibile in due parti uguali o disuguali, ma le sue parti devono essere della stessa specie (entrambe pari o entrambe dispari). Un numero dispari, diviso, dà sempre parti di specie diversa (una pari e una dispari). Nicomaco riporta anche una definizione antica che fa eccezione per la diade (2), che può essere divisa solo in parti uguali. * (1298, 1296, 1297) L’unità (1) occupa una posizione speciale. Una spiegazione attribuita ad Aristotele e Archita sostiene che, poiché aggiunta a un pari rende dispari e a un dispari rende pari, essa partecipa di entrambe le specie. Un frammento di Filolao, tuttavia, menziona una terza specie, l’“pari-dispari” (ἀρτιόπηρος), che potrebbe riferirsi al prodotto di un numero pari e uno dispari, piuttosto che all’unità stessa. L’unità è quindi talvolta chiamata “pari-dispari” in quanto principio di tutti i numeri.

Sottoclassificazioni dei Numeri Pari e Dispari I matematici greci, in particolare i Neopitagorici come Nicomaco e Giamblico, svilupparono una tassonomia complessa. * (1353, 1314, 5063) I numeri pari sono suddivisi in: * Pari-pari (ἀρτιάκις ἄρτιοι): Potenze di 2 (es. 2, 4, 8, 16). * Pari-dispari (ἀρτιοπέριττοι): Il prodotto di 2 e un numero dispari (es. 6, 10, 14). * Dispari-pari (περισσάκις ἄρτιοι): Numeri della forma 2^(n+1) * (2m+1), che possono essere dimezzati più volte ma lasciano un quoziente dispari maggiore di 1 (es. 12, 20). * Si segnala un’ambiguità: per Platone ed Euclide, “pari-dispari” e “dispari-pari” erano termini convertibili, mentre Nicomaco li distingue. * (1353, 1352, 1321) I numeri dispari sono suddivisi in: * Primi e incompositi (πρῶτος καὶ ἀσύνθετος): I numeri primi (escludendo il 2 per i Neopitagorici). * Secondari e compositi (δεύτερος καὶ σύνθετος): Numeri composti i cui fattori sono tutti dispari e primi. * Secondari e compositi in sé, ma primi e incompositi l’uno rispetto all’altro (es. 9 e 25): Sono composti, ma non hanno un divisore comune oltre all’unità. I numeri primi sono talvolta chiamati “rettilinei” perché possono essere rappresentati solo come una linea.

Numeri Figurati e Gnomoni Il testo descrive la rappresentazione geometrica dei numeri. * (1468, 1472, 1503, 1574, 1575) I numeri quadrati sono formati sommando successivi numeri dispari a partire da I numeri triangolari sono formati sommando successivi numeri naturali (1, 1+2, 1+2+3, …). I numeri “oblongui” (rettangolari) sono prodotti di due fattori consecutivi (n(n+1)) e si ottengono sommando numeri pari a partire da I numeri aggiunti per formare queste figure sono chiamati gnomoni. L’aggiunta di gnomoni dispari preserva la forma quadrata, mentre l’aggiunta di gnomoni pari (per formare numeri oblongui) produce sempre forme diverse. Questo veniva interpretato filosoficamente, associando il dispari al “limite” e il pari all’“illimitato”.

Numeri Perfetti e Amicali * (1384, 1377) Un numero perfetto è uguale alla somma dei suoi divisori propri (es. 6, 28). Vengono anche menzionati i numeri “soprabbondanti” (la somma dei divisori è maggiore del numero) e “difettivi” (la somma è minore). La legge di formazione dei numeri perfetti ( (2^(n-1)) * (2^n - 1) ) era nota. I numeri amicali sono coppie di numeri in cui la somma dei divisori propri di uno è uguale all’altro.

Proporzioni e Medie * (1630, 1858) Viene discusso l’origine delle tre medie fondamentali: aritmetica, geometrica e armonica (originariamente chiamata “subcontraria”). Un frammento di Archita le definisce chiaramente. La media armonica è legata alla concezione di “armonia geometrica” di Filolao, associata al cubo (12 spigoli, 8 angoli, 6 facce, dove 8 è la media armonica di 12 e 6).

Operazioni Aritmetiche e Teoria dei Rapporti * (1044, 975, 984) Vengono descritti metodi di moltiplicazione e divisione, incluso un metodo di raddoppio simile a quello egiziano. La divisione è presentata come un processo di sottrazione iterativa. * (6793, 6600) Vengono riportate definizioni euclidee di termini come “parte” (sottomultiplo), “parti” (frazione propria), e numeri proporzionali. La definizione di rapporto maggiore (Def. 7, Libro V) è un’aggiunta che specifica quando un rapporto è maggiore di un altro.

Metodo di Esaurimento e Infinito * (6884, 5693, 5907, 5978, 5980, 5981) Il testo cita il fondamentale metodo di esaustione, basato sul postulato di Eudosso (Elem. X,1): sottraendo da una grandezza più della sua metà, e iterando il processo, si può ottenere una grandezza minore di qualsiasi grandezza assegnata. Aristotele discute il potenziale infinito in relazione a questo metodo, negando che un processo di addizione successiva possa superare ogni grandezza finita, mentre un processo di divisione può rendere una grandezza più piccola di qualsiasi grandezza assegnata.

Riferimenti Testuali Chiave per Approfondimenti: * Classificazione di Pari/Dispari e ruolo dell’unità: (1295), (1249), (1298), (1296). * Sottoclassificazioni (Pari-pari, Pari-dispari, etc.): (1353), (1314), (1352), (1321). * Numeri Figurati e Gnomoni: (1468), (1472), (1574), (1575). * Numeri Perfetti: (1384), (1377). * Medie (Aritmetica, Geometrica, Armonica): (1630). * Metodo di Esaurimento e Infinito: (6884), (5907), (5980).

4 Controversie storiografiche riguardanti la matematica greca antica, con particolare attenzione ai metodi di quadratura, all’opera di Ippocrate di Chio e all’affidabilità delle fonti come Eudemo e Simplicio.

4.0.1 La quadratura delle lunule di Ippocrate e la questione delle fonti

4.0.2 La fallacia della quadratura del cerchio e il ruolo del geometra

4.0.3 Questioni tecniche e metodologiche

4.0.4 Aspetti storiografici più ampi

5 Geometria Solida e Metodi di Quadratura nell’Antica Grecia

Questo testo esplora concetti e risultati fondamentali della geometria greca, con particolare attenzione ai solidi regolari, ai metodi di quadratura e alla classificazione dei luoghi geometrici.

5.0.1 I Cinque Solidi Regolari e la Loro Costruzione

5.0.2 Metodi di Quadratura ed Esaustione

5.0.3 Classificazione dei Luoghi Geometrici (Loci)

5.0.4 Soluzioni per la Duplicazione del Cubo e la Trisezione dell’Angolo

5.0.5 Contributi Specifici e Riferimenti Incrociati

5.0.6 Aspetti Peculiari e Tecnicismi

(Fine del resoconto)

6 Geometria greca, con particolare attenzione a curve speciali, costruzioni geometriche, proprietà delle figure e applicazioni per la risoluzione di problemi classici.

Curve speciali e loro generazione * Viene descritta la generazione della spirale di Archimede: “una linea retta con un estremo fisso parte da una posizione fissa e ruota uniformemente attorno all’estremità fissa, mentre un punto si muove uniformemente lungo questa linea retta a partire dall’origine” (4136). * La quadratrice di Ippia è generata dall’intersezione di due movimenti: una linea retta che scende parallelamente a se stessa e un raggio che ruota uniformemente dal punto iniziale fino a sovrapporsi alla linea. Il luogo di questi punti di intersezione è la curva (4075, 4080). * La concoide di Nicomede è generata meccanicamente. Una riga fissa ha un piolo fisso; una seconda riga, con uno scanalatura parallela alla sua lunghezza e un piolo che scorre in essa, viene mossa in modo che il suo bordo passi sempre per un polo fisso. L’estremità di questa seconda riga descrive la concoide. La curva è definita da un “polo”, una “base” (la riga fissa) e una “distanza” costante (4160, 4269). * Viene menzionato l’ippopede di Eudosso, una curva a forma di “frena-cavallo” che descrive il moto di un pianeta e che è anche la sezione piana di un toro (5773).

Applicazioni alla risoluzione di problemi classici * La quadratrice era utilizzata per la trisectione dell’angolo e, più in generale, per dividere un angolo in un dato rapporto (4093). Tuttavia, la sua costruzione presenta una circolarità logica: per definirla è necessario conoscere il rapporto tra una circonferenza e il suo diametro, che è proprio ciò che la curva dovrebbe aiutare a determinare per la quadratura del cerchio (4098, 4000). * La concoide è uno strumento potente per risolvere problemi di veusis (“inclinazione”), dove una linea di data lunghezza deve essere posizionata in modo da “vergere” verso un punto fisso. Questo permette di risolvere la trisezione dell’angolo e la duplicazione del cubo (236, 3466). In pratica, spesso si utilizzava un righello regolabile per tentativi, senza tracciare materialmente la curva (4137). * La duplicazione del cubo è affrontata con metodi solidi. Archita di Taranto utilizza l’intersezione di un cono, un cilindro e un toro (4272, 4394, 4396). Menecmo, invece, riconduce il problema all’intersezione di due coniche: due parabole o una parabola e un’iperbole (4501, 4505, 4506). Le equazioni di queste curve, in linguaggio moderno, sono riconoscibili come quelle di parabole e iperboli riferite a diametri e asintoti (4544).

Proprietà geometriche e teoremi * Sono esaminate in dettaglio le proprietà del cerchio e degli angoli al centro e alla circonferenza. Si dimostra, tra l’altro, che l’angolo in un semicerchio è retto, che angoli nello stesso segmento sono uguali e che la somma degli angoli opposti di un quadrilatero ciclico è due angoli retti (6556, 4271, 3485). * Viene data grande importanza alla divisione in estrema e media ragione (sezione aurea), specialmente in relazione al pentagono regolare. Nei pentagoni, le diagonali si intersecano dividendosi in media ed estrema ragione, e il lato maggiore è il segmento aureo della diagonale (5772, 7552, 2470). * Sono studiate le proprietà ottiche delle figure. Si dimostra, ad esempio, che un occhio che guarda una sfera ne vede meno della metà, e che l’aspetto di un cerchio (ad esempio, una ruota di carro) varia a seconda della posizione dell’osservatore, apparendo circolare solo in condizioni specifiche (7547, 7551, 7130). * Un passaggio peculiare affronta il problema dell’”angolo di contatto” (l’angolo tra un arco di cerchio e la sua tangente), notando che è minore di qualsiasi angolo rettilineo, a differenza dell’“angolo del semicerchio” (6019, 4535).

Figure solide e costruzioni * Viene descritta la costruzione dei cinque solidi platonici. Il cubo, il tetraedro, l’ottaedro e l’icosahedron sono costruiti a partire da due triangoli rettangoli fondamentali (isoscele e mezzo triangolo equilatero), mentre il dodecaedro, con facce pentagonali, richiede un trattamento a parte (4678, 7361). * Un metodo generale per determinare gli angoli diedri tra le facce di un solido regolare prevede la costruzione di un triangolo isoscele il cui angolo al vertice è uguale all’angolo diedro da misurare (7171).

Termini tecnici e riferimenti Il testo è ricco di termini geometrici specifici come lunula (3465), spirale (4136), cissoide (4570), veusis (3466), ipotome e apotome (irrazionali, 7361), e diastema (distanza, 4269). Si fa riferimento a figure chiave come Archimede, che “anticipò il calcolo integrale” (7551), e a opere come gli Elementi di Euclide e i Data.

7 Ipotesi sul Continuo e Metodi Matematici nei Testi Antichi

Questo resoconto esplora una serie di concetti chiave emersi dalle letture, concentrandosi sulle ipotesi riguardanti la natura del continuo, la definizione degli elementi geometrici e le metodologie dimostrative.

Il Dilemma del Continuo e le Argomentazioni di Zenone Le fonti analizzano estesamente le argomentazioni di Zenone di Elea sul movimento, che pongono un dilemma fondamentale sulla natura del continuo. * (4872) Si evidenzia un dilemma: da un lato, l’ipotesi che le grandezze continue siano divisibili all’infinito conduce a difficoltà; dall’altro, l’ipotesi che siano composte da elementi indivisibili è altrettanto problematica e sembra essere stata considerata solo dopo aver compreso appieno le difficoltà della prima. * (4812) Le quattro argomentazioni di Zenone formano un “dilemma completo”: le prime due procedono sull’ipotesi della divisibilità all’infinito di spazio e tempo, le ultime due su quella opposta, che spazio e tempo siano composti da elementi indivisibili. * (4870, 4876) In relazione a queste aporie, si mette in risalto la successiva riforma del calcolo infinitesimale, che ha reso “imperativo” rifiutare gli infinitesimi e concetti come la velocità come proprietà fisiche istantanee, definendoli piuttosto come limiti di rapporti. * (4751) I matematici greci, riconoscendo la letalità degli argomenti di Zenone verso gli infinitesimali, bandirono l’idea dell’infinito (anche potenziale) dalla loro scienza, utilizzando invece grandezze finite che potevano essere rese grandi o piccole a piacere.

Definizioni e Natura degli Elementi Geometrici Sono presenti approfondimenti sulle definizioni degli enti geometrici fondamentali e dibattiti sulla loro natura. * (5069) Un passo platonico (Eutifrone, Parmenide) discute la definizione di “figura”, associandola praticamente a una “superficie” e al “limite” (πέρας) di un solido. Questo richiama il termine pitagorico per superficie, “χροιά” (colore o pelle), spiegato da Aristotele come qualcosa di inseparabile dal “πέρας”. * (5071) Viene sottolineato che Platone sembrava obiettare alla definizione pitagorica del punto come “monade con posizione”, considerando il punto un “inizio di linea” e usando il termine “linee indivisibili” in senso analogo. Aristotele criticava queste idee come inscientifiche. * (6429, 6430) Si attribuisce a Platone la definizione di linea retta come “quella il cui medio copre gli estremi” (per un occhio che guarda lungo di essa). La definizione euclidea (“una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa”) viene interpretata come un tentativo di esprimere questo concetto senza fare appello alla visione.

La Struttura e la Tecnologia della Dimostrazione Geometrica Viene analizzata in dettaglio la struttura formale di una proposizione geometrica e i metodi di indagine. * (6384) Una proposizione completa è descritta come composta da sei parti: 1) Enunciazione generale (πρότασις), 2) Esposizione (ἔκθεσις) con dati particolari, 3) Definizione o specificazione (διορισμός) del compito, 4) Costruzione (κατασκευή), 5) Dimostrazione (ἀπόδειξις), 6) Conclusione (συμπέρασμα). * (6402) L’analisi inizia con una riduzione (ἐπαγωγή) della proposizione originaria, ipotizzata vera, a qualcosa di più semplice. La reductio ad absurdum è identificata come una varietà di analisi. * (5526, 5527) Viene riconosciuta l’importanza del διορισμός come criterio per determinare le condizioni di possibilità della soluzione di un problema, rappresentando un avanzamento nella tecnologia della matematica.

Porismi, Lemma e Corollari È dedicata attenzione alla distinzione tra diversi tipi di enunciati matematici. * (7430) Un “porisma” è definito come un “teorema incompleto” che esprime relazioni tra cose variabili secondo una legge comune, ma che necessita di essere completato determinando la grandezza o posizione di certe conseguenze delle ipotesi. * (5227) Ciò che oggi chiamiamo “corollario” era per i Greci un “porisma”, inteso come un risultato rivelato incidentalmente nel corso della dimostrazione di una proposizione principale, un “guadagno accessorio”. * (7438, 7440) Si discute la relazione tra i “porismi” di Euclide e i “lemmi” che Pappo fornisce per essi. L’analogia con altre opere di Pappo suggerisce che questi lemmi fossero prove di semplici proposizioni assunte da Euclide senza dimostrazione, piuttosto che porismi essi stessi. Si sottolinea comunque che i Porismi dovevano essere un’opera avanzata.

Ipotesi e Metodo Dialettico Viene esaminato il ruolo delle ipotesi nella matematica e nella filosofia. * (5028) Si distingue tra un metodo che utilizza le ipotesi come punti di partenza per costruire conclusioni (tipico della geometria) e un metodo dialettico che, trattando le ipotesi come tali, le usa come trampolini per ascendere a un principio primo non ipotetico, per poi discendere nuovamente alle conclusioni. * (3831, 3832) Si riporta la tradizione secondo cui Platone comunicò a Leodamante di Taso “il metodo di indagine per analisi”, descritto come il metodo più fine per scoprire lemmi, che “per mezzo dell’analisi conduce la cosa cercata fino a un principio riconosciuto”.

Riferimenti Specifici alla Meccanica e alla Terminologia Sono presenti riferimenti incrociati a testi meccanici e alla storia della terminologia. * (6007) Si analizza il trattato Mechanica incluso nel corpus aristotelico, concludendo che, sebbene non sia di Aristotele, è molto vicino alla sua epoca. La sua terminologia mostra una fase di transizione prima che Euclide rendesse il linguaggio matematico più uniforme. * (7610) Una proposizione sulla leva in Archimede richiama una dimostrazione simile nella Mechanica pseudo-aristotelica.

Peculiarità e Ambiguità Segnalate * (4799, 4800) Si osserva che, sebbene le argomentazioni di Zenone contengano idee profonde che precorrono teorie matematiche successive (come quelle di Weierstrass), è improbabile che per Zenone avessero lo stesso significato. Il suo merito non è sminuito da questo, ma va contestualizzato. * (4925, 4926) Nell’argomento di Zenone delle file mobili (A, B, C), si segnala l’ipotesi di elementi indivisibili di spazio e tempo. L’assurdità emerge quando, per avere movimento, un oggetto deve occupare due posizioni in un singolo “istante” indivisibile, contraddicendo l’ipotesi stessa.

8 Sistemi Astronomici Greci

Questo resoconto esplora le teorie astronomiche greche, con particolare attenzione ai sistemi geocentrici ed eliocentrici, ai modelli di sfere omocentriche e alle scoperte chiave sui corpi celesti. Le informazioni sono organizzate per temi correlati.

8.0.1 1. Sistemi Cosmologici e Movimenti Planetari

I primi modelli proponevano una Terra immobile al centro dell’universo. (2960) - “Per Pitagora la terra era ancora al centro, mentre intorno ad essa si muovevano (a) la sfera delle stelle fisse che ruotava quotidianamente da est a ovest… (b) il sole, la luna e i pianeti che si muovevano in orbite circolari indipendenti in senso opposto alla rotazione quotidiana, cioè da ovest a est”. (5373) - “Il sole, la luna e i cinque pianeti sono anch’essi trasportati nel moto della sfera esterna, ma hanno movimenti circolari indipendenti propri in aggiunta”.

Successivamente, emerse la teoria pitagorica che spodestava la Terra dal centro. (2959) - “È improbabile che lo stesso Pitagora fosse responsabile del sistema astronomico noto come pitagorico, in cui la terra fu deposta dal suo posto di riposo al centro dell’universo e divenne un ‘pianeta’, come il sole, la luna e gli altri pianeti, che ruotano attorno al fuoco centrale”. (2970) - “Più vicino al fuoco centrale ruota la anti-terra, che accompagna sempre la terra, l’orbita della terra viene dopo quella della anti-terra; accanto alla terra, procedendo in ordine dal centro verso l’esterno, viene la luna, poi il sole, poi i cinque pianeti, e infine, all’esterno, la sfera delle stelle fisse”. (2975) - “Poiché quest’ultima rivoluzione della terra era ritenuta produrre il giorno e la notte, è una naturale inferenza che la terra fosse supposta completare una rivoluzione attorno al fuoco centrale in un giorno e una notte, o in ventiquattro ore”.

Un’importante modifica fu l’introduzione della rotazione terrestre. (5425) - “Tuttavia, una tale visione è del tutto inconsistente con l’intero sistema descritto nel Timeo… inoltre, non c’è motivo di dubitare della testimonianza che fu Eraclide Pontico il primo ad affermare la rotazione della terra sul proprio asse in 24 ore”. (2976) - “Questo moto da parte della terra con il nostro emisfero sempre rivolto verso l’esterno sarebbe, naturalmente, equivalente, come spiegazione dei fenomeni, a una rotazione della terra attorno a un asse fisso”.

8.0.2 2. Il Sistema delle Sfere Omocentriche di Eudosso e le sue Modifiche

Per spiegare i moti planetari apparentemente irregolari, Eudosso ideò un sistema geometrico di sfere concentriche. (5733) - “Ogni pianeta era fissato in un punto sull’equatore della sfera che lo trasportava, la sfera ruotando a velocità uniforme attorno al diametro che univa i poli corrispondenti; cioè, il pianeta ruotava uniformemente in un cerchio massimo della sfera perpendicolare all’asse di rotazione”. (5734) - “Ma un tale moto circolare non era sufficiente; per spiegare i cambiamenti nella velocità apparente del moto dei pianeti, le loro stazioni e retrogradazioni, Eudosso dovette assumere un numero di tali moti circolari che agivano su ciascun pianeta e producevano per la loro combinazione quell’unico moto apparentemente irregolare che l’osservazione ci mostra”. (5735) - “Egli sosteneva di conseguenza che i poli della sfera che porta il pianeta non sono fissi, ma essi stessi si muovono su una sfera maggiore concentrica con la sfera portante e muovendosi su due diversi poli con velocità uniforme”. (5745) - “Per i pianeti fu richiesta ancora una quarta sfera, similmente relazionata alle altre; per il sole e la luna Eudosso trovò che, con una scelta adeguata delle posizioni dei poli e delle velocità di rotazione, poteva far bastare tre sfere”. (5758) - “Di ogni set la prima e più esterna produceva la rotazione quotidiana in 24 ore; la seconda, il moto lungo lo zodiaco in periodi che nel caso dei pianeti superiori sono uguali ai periodi siderali di rivoluzione, e per Mercurio e Venere (in un sistema geocentrico) un anno. La terza sfera aveva i suoi poli fissi in due punti opposti sul cerchio zodiacale… la rivoluzione della terza sfera attorno ai suoi poli era di nuovo uniforme e veniva completata nel periodo sinodico del pianeta”. (5731) - “Tutte le sfere erano concentriche, il centro comune era il centro della terra; da qui il nome di sfere ‘omocentriche’ usato nei tempi successivi per descrivere il sistema”.

Callippo e Aristotele modificarono il sistema per renderlo più accurato. (5787) - “Callippo (circa 370-300 a.C.) tentò di rendere il sistema delle sfere concentriche più adatto ai fenomeni aggiungendo altre sfere; lasciò il numero delle sfere a quattro nel caso di Giove e Saturno, ma ne aggiunse una ciascuno per gli altri pianeti e due ciascuno nel caso del sole e della luna (facendo cinque in tutto)”. (5789) - “Aristotele modificò il sistema in senso meccanico introducendo tra ogni pianeta e quello sottostante sfere reagenti, una in meno di numero di quelle che agiscono sul pianeta precedente, e con moti uguali e opposti a ciascuna di esse, rispettivamente… neutralizzando i moti di tutte tranne la sfera più esterna che agisce su qualsiasi pianeta”.

Una critica fondamentale a questo modello riguardava la luminosità variabile dei pianeti. (6081) - “La grande difficoltà sulla via di questa teoria fu vista presto, cioè l’impossibilità di riconciliare l’assunzione dell’invariabilità della distanza di ogni pianeta con le differenze osservate nella luminosità, specialmente di Marte e Venere, in tempi diversi, e le apparenti differenze nelle dimensioni relative del sole e della luna”.

8.0.3 3. Scoperte Astronomiche Chiarificate

Furono compresi i meccanismi delle eclissi e della luce lunare. (3095) - “A lui dobbiamo il primo chiaro riconoscimento del fatto che la luna non brilla di luce propria ma riceve la sua luce dal sole; questa scoperta gli permise di dare la vera spiegazione delle eclissi lunari e solari”. (2981) - “Possiamo quindi ritenere che la anti-terra fosse inventata allo scopo di spiegare le eclissi di luna e la loro frequenza”. (281) - “Il fenomeno era apparentemente inconsistente con la spiegazione riconosciuta delle eclissi lunari come causate dall’ingresso della luna nell’ombra della terra; come poteva essere ciò se entrambi i corpi erano sopra l’orizzonte allo stesso tempo?”. Questo paradosso portò alcuni, come Anaxagora, a ipotizzare “altri corpi opachi e invisibili ‘sotto la luna’” che causavano eclissi (288).

Fu riconosciuto il moto indipendente dei pianeti. (1170) - “Pitagora (circa 572-497 a.C. o poco dopo) sembra essere stato il primo greco a scoprire che i pianeti hanno un movimento indipendente proprio da ovest a est, cioè in direzione contraria alla rotazione quotidiana delle stelle fisse”. (2953) - “È probabile che fosse il primo ad affermare la visione… che i pianeti così come il sole e la luna hanno un moto proprio da ovest a est opposto e indipendente alla rotazione quotidiana della sfera delle stelle fisse da est a ovest”.

Eraclide Pontico compì una scoperta cruciale su Venere e Mercurio. (5393) - “Eraclide Pontico, il famoso allievo di Platone, è noto per chiara evidenza aver scoperto che Venere e Mercurio ruotano attorno al sole come satelliti”. (5395) - “La scoperta di Eraclide significava che Venere e Mercurio, mentre accompagnavano il sole nel suo moto annuale, descrivevano ciò che sono realmente epicicli attorno ad esso”.

8.0.4 4. Ordine, Distanze e Velocità dei Corpi Celesti

L’ordine dei corpi celesti dal centro variava tra le scuole di pensiero. (5371) - “L’ordine delle distanze dalla terra è, cominciando dalla più vicina, come segue: luna, sole, Venere, Mercurio, Marte, Giove, Saturno”. (3195) - “Democrito fece l’ordine dei corpi celesti, calcolando verso l’esterno dalla terra, il seguente: Luna, Venere, Sole, gli altri pianeti, le stelle fisse”. (2970) - (Ordine Pitagorico dal Fuoco Centrale): Anti-Terra, Terra, Luna, Sole, Cinque Pianeti, Stelle Fisse.

Le velocità angolari erano ordinate. (5380) - “Le velocità con cui il sole, la luna e i cinque pianeti descrivono le loro proprie orbite… sono nel seguente ordine; la luna è la più veloce; il sole è il prossimo più veloce e Venere e Mercurio viaggiano in sua compagnia… il prossimo in velocità è Marte, poi Giove, e l’ultimo e più lento è Saturno”.

8.0.5 5. Aspetti Peculiari e Dati Tecnici

Il testo contiene diversi riferimenti tecnici e termini specifici: * Periodi Sinodici e Siderali: (5758) fa riferimento ai periodi siderali e sinodici dei pianeti. * Mese Draconitico: (5751) menziona il “mese draconitico o nodale (di 27 giorni, 5 ore, 5 minuti, 36 secondi)”. * Riferimenti Normativi: La descrizione delle sfere di Eudosso e delle loro modifiche da parte di Callippo e Aristotele (5787, 5789) costituisce un riferimento normativo per i modelli astronomici del periodo. * Anno Grande: (3139, 3140, 3141, 3142) discutono il calcolo dell’“Anno Grande” o “Anno Perfetto” come il minimo comune multiplo dei periodi di diversi corpi celesti.

Un concetto peculiare è l’Armonia delle Sfere. (2985) - “Si riteneva che i corpi che si muovono nello spazio producono suoni… i suoni quindi prodotti dai corpi celesti, a seconda delle loro distanze… si combinano per produrre un’armonia; ‘tutto il cielo è numero e armonia’”. (5364) - “Allo stesso modo le diverse note nell’‘armonia delle sfere’… corrispondono alle diverse velocità degli otto cerchi, quello delle stelle fisse e quelli del sole, della luna, e dei cinque pianeti rispettivamente”.

9 Origini e Sviluppo della Teoria delle Grandezze Incommensurabili

La scoperta dell’incommensurabilità, in particolare dell’irrazionalità di √2, risale ai Pitagorici e costituì una sfida significativa per la geometria, poiché la teoria delle proporzioni dell’epoca era applicabile solo a grandezze commensurabili (2833, 3054, 3964). La prima generalizzazione oltre √2 è attribuita a Teodoro di Cirene, che, intorno al 400 a.C., dimostrò separatamente l’irrazionalità delle radici quadrate dei numeri non quadrati da 3 a 17 (2827, 3662, 3664). Il suo allievo, Teeteto, ispirato da queste indagini particolari, generalizzò la teoria per tutte le grandezze incommensurabili di questo tipo (2827, 3659, 3769).

Pappo, nel suo commento, attribuisce a Teeteto la distinzione delle specie irrazionali fondamentali – il mediale, il binomio e l’apotome – e ne loda il rigore e l’abilità (3812, 3767). Successivamente, Euclide, negli Elementi, sistematizzò e ampliò notevolmente questa teoria, fornendo definizioni precise, stabilendo regole rigorose sull’commensurabilità e classificando un gran numero di ordini di grandezze irrazionali, chiarendone l’intera estensione (3812, 6875, 3813).

9.0.1 Metodi di Dimostrazione e Approfondimenti

9.0.2 La Sistematizzazione Euclidea e la Classificazione delle Irrazionali

Il Libro X degli Elementi è dedicato allo studio sistematico delle rette irrazionali. Data una retta assunta come “razionale”, qualsiasi retta commensurabile con essa (in lunghezza o solo in potenza) è anch’essa razionale; le altre sono “irrazionali” (6879, 6823). Euclide classifica tredici tipi di rette irrazionali, partendo dalle tre specie fondamentali di Teeteto (mediale, binomio, apotome) e suddividendole ulteriormente (3813, 6797, 7000).

9.0.3 Il Contesto dell’Algebra Geometrica e delle Equazioni

La teoria delle irrazionali si sviluppa in parallelo con il metodo dell’“applicazione delle aree”, che costituisce l’equivalente geometrico della risoluzione di equazioni di secondo grado (2736, 3018, 3942). Problemi come Elementi VI.28-29 sono l’equivalente geometrico della soluzione dell’equazione quadratica generale x² ± px ± q = 0 (quando ha radici reali e positive) (2736, 2802, 5256). I Greci, non valutando approssimativamente le radici irrazionali, lavoravano direttamente con le grandezze ottenute dalle costruzioni, il che rese necessaria una classificazione sistematica di tali grandezze (7017, 7015).

9.0.4 Peculiarità e Conseguenze

10 Le traduzioni latine e arabe degli Elementi di Euclide

La trasmissione degli Elementi di Euclide nel mondo latino e arabo avvenne attraverso una serie di traduzioni fondamentali, che determinarono la comprensione dell’opera per secoli.

Traduzioni latine medievali Le prime traduzioni latine complete non derivarono direttamente dal greco, ma dall’arabo. * La prima versione latina completa di cui si ha conoscenza è quella di Adelardo di Bath (circa 1120). Tuttavia, questa non fu un’opera isolata; Adelardo sembra aver avuto a disposizione anche una traduzione più antica delle enunciazioni, basata sul testo greco. (6304, 6298, 6305) * Circa 150 anni dopo, Giovanni Campano produsse un’ulteriore traduzione. La stretta relazione tra le due versioni è dimostrata dal fatto che definizioni, postulati, assiomi ed enunciazioni sono identiche parola per parola. La traduzione di Campano è però più chiara e completa, e segue il testo greco più da vicino, sebbene a distanza. (6313, 6316, 6317) * Un’altra figura cruciale fu Gherardo da Cremona (1114-1187), che tradusse gli Elementi e il commento di an-Nayrizi. La sua traduzione è una resa fedele e parola per parola di un manoscritto arabo contenente una versione rivista e critica di quella di Thabit ibn Qurra. Gherardo, a differenza di Adelardo, mantenne termini greci come rombus e romboides. (6352, 6311, 6310)

Traduzioni arabe Il mondo arabo conobbe diverse versioni degli Elementi, fondamentali per la loro preservazione e studio. * Una prima versione fu realizzata da al-Hajjaj b. Yusuf b. Matar per il califfo al-Ma’mun. (6290) * La traduzione successiva di Abu Ya’qub Ishaq b. Hunain fu condotta direttamente dal greco. Questa versione, andata perduta, ci è giunta attraverso la revisione di Thabit ibn Qurra (morto nel 901). La versione Ishaq-Thabit è considerata un modello di buona traduzione, tecnicamente precisa e fedele al testo greco. (6293, 6295) * Una terza versione accessibile è quella di Nasir al-Din al-Tusi (nato nel 1201). Tuttavia, questa non è una semplice traduzione, ma una riscrittura dell’opera basata sulle versioni arabe più antiche. (6296)

Le prime edizioni a stampa e l’impulso rinascimentale Con l’avvento della stampa, lo studio di Euclide ricevette un grande impulso. * La prima edizione a stampa degli Elementi fu la traduzione di Campano, pubblicata da Ratdolt nel (6369) * Nel 1505, Bartolomeo Zamberti pubblicò la prima traduzione completa dall’originale greco. (6327) * Tuttavia, la traduzione latina più importante è considerata quella di Federico Commandino (1509-75), pubblicata nel Commandino seguì il testo greco più da vicino dei suoi predecessori e arricchì l’opera con scolii antichi e sue ottime note. Questa divenne la base per la maggior parte delle traduzioni successive fino a Peyrard, influenzando anche l’edizione di Simson e, di conseguenza, le numerose edizioni inglesi che si basavano sul “testo del Dr. Simson”. (6328)

Questioni testuali e rapporti tra le versioni La relazione tra le diverse traduzioni e i loro originali è complessa. * Si discute se le differenze nelle dimostrazioni e le aggiunte nelle versioni di Adelardo e Campano siano opera dei traduttori stessi o risalgano a originali arabi diversi. È probabile che Campano abbia agito come un commentatore, migliorando la traduzione di Adelardo servendosi di altre fonti arabe. (6317) * Il cosiddetto Pseudo-Boezio possedeva una traduzione latina di Euclide da cui estrasse delle dimostrazioni. Il testo delle definizioni del Libro I mostra tracce di lezioni estremamente corrette, non riscontrabili nemmeno nei manoscritti greci del X secolo, ma presenti in fonti antiche come Proclo. (6261)

Altri contributi alla trasmissione * Leonardo Fibonacci, nella sua Practica geometriae (1220), mostrò familiarità con l’opera euclidea sulla divisione delle figure, che deve aver incontrato in una versione araba. (7259) * La prima traduzione inglese completa fu un’opera monumentale di Sir Henry Billingsley (1570), con una prefazione di John Dee e note tratte dai commentari più importanti. (6370)

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