Galileo - Le operazioni del compasso geometrico e militare - 1606 | L | m

03 Mar, 2026

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1 L’uso dello strumento matematico per la divisione proporzionale e il ridimensionamento delle piante

Un trattato seicentesco descrive un dispositivo meccanico per risolvere problemi geometrici con precisione e rapidità, superando i limiti del calcolo manuale.

Il testo presenta le applicazioni pratiche di uno strumento matematico (probabilmente un compasso di proporzione o un regolo calcolatore) per operazioni geometriche fondamentali, come la divisione di segmenti in parti proporzionali e il ridimensionamento di piante architettoniche. L’autore sottolinea la superiorità dello strumento rispetto ai metodi tradizionali, evidenziando come esso renda immediate operazioni altrimenti “difficilissime” da eseguire senza ausilio meccanico.

1.1 Divisione proporzionale di segmenti

Il primo procedimento descritto riguarda la suddivisione di una linea in parti proporzionali, un problema ricorrente in geometria applicata. L’autore illustra un esempio concreto: “Quando dunque ci bisognasse d’una linea, proposta prendere qualunque parti ci venissero ordinate; come per esempio delle 197 parti dobbiamo prendere le 113” - (fr:42). La soluzione proposta sfrutta lo strumento in modo intuitivo: 1. Si misura la lunghezza della linea data con un compasso (“Piglisi […] con un Compasso la lunghezza della data linea” - fr:44). 2. Si apre lo strumento fino a far coincidere la misura con i punti segnati 197 sulla scala. 3. Senza modificare l’apertura, si preleva con il compasso la distanza tra i punti 113, ottenendo così il segmento corrispondente a 113/197 della linea originale (“che tanto senza alcun dubbio sarà la porzione della linea proposta, che alli centotredici centonovantasettesimi si agguaglia” - fr:45). Questo metodo elimina la necessità di calcoli intermedi, riducendo l’operazione a una manipolazione meccanica delle scale graduate.

1.2 Ridimensionamento di piante architettoniche

Il secondo ambito applicativo riguarda il trasferimento di disegni in scala, una pratica essenziale in architettura e cartografia. L’autore introduce il concetto di due scale distinte, una fissa e una mobile, per garantire la proporzionalità: “Manifesto, che qualunque volta ci bisognasse […] cavare da un disegno un altro maggiore, o minore, secondo qualivoglia proporzione, fa di mestiero che ci serviamo di due scale esattamente divise” - (fr:49). La procedura prevede: - Una scala stabile (fissa sullo strumento) per misurare le linee della pianta originale (“una delle quali ci serva per misurare il disegno già fatto” - fr:49). - Una scala mobile, ottenuta regolando l’apertura dello strumento, per tracciare la nuova pianta in scala diversa (“l’altra […] deve potersi crescere e diminuire ad arbitrio nostro” - fr:49). L’esempio pratico chiarisce il metodo: “Siaci dunque proposta la Pianta ABCDE, alla quale se ne deve disegnare un’altra simile, ma sopra la linea FG, la quale sia omologa, cioè risponda alla linea AB” - (fr:50). Qui, la corrispondenza tra elementi omologhi (AB e FG) diventa il punto di partenza per applicare le due scale, garantendo che tutte le linee della nuova pianta mantengano le proporzioni originali.

1.3 Innovazione e limiti del testo

Il trattato riflette una transizione metodologica nel XVII secolo, dove strumenti meccanici iniziano a sostituire calcoli astratti per problemi concreti. Tuttavia, emergono alcune ambiguità: - La terminologia tecnica è talvolta approssimativa: ad esempio, “scala tabile” (fr:49) sembra indicare una scala fissa, ma il termine non è standardizzato. - La descrizione dello strumento rimane vaga: non viene specificato se si tratti di un compasso di proporzione, di un regolo o di un altro dispositivo, lasciando spazio a interpretazioni. - L’assenza di unità di misura esplicite suggerisce che lo strumento fosse adattabile a qualsiasi sistema metrico, ma rende difficile una ricostruzione precisa delle operazioni.

1.4 Significato storico

Il testo testimonia l’evoluzione degli strumenti scientifici nel Seicento, periodo in cui la precisione meccanica diventa un requisito per discipline come l’astronomia, l’architettura e la navigazione. La capacità di risolvere problemi geometrici “in uno istante” (fr:41) rappresenta un vantaggio competitivo per artigiani, ingegneri e scienziati, riducendo errori e tempi di lavoro. Inoltre, l’enfasi sulle scale mobili anticipa concetti moderni di ridimensionamento dinamico, oggi automatizzati ma all’epoca affidati all’abilità manuale dell’operatore.

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2 La risoluzione della Regola del Tre con strumenti geometrici e aritmetici nel trattato galileiano

Un metodo pratico per calcolare proporzioni numeriche attraverso l’uso del compasso e delle “linee aritmetiche”, esteso a casi complessi con accorgimenti tecnici.

Il testo descrive procedure per risolvere problemi di proporzionalità, in particolare la Regola del Tre (o regola aurea), utilizzando strumenti come il compasso e le linee aritmetiche – scale graduate che facilitano calcoli proporzionali. L’autore integra approcci geometrici e aritmetici, mostrando come superare limiti pratici degli strumenti stessi.

2.1 Costruzione geometrica di angoli e proporzioni

Le frasi iniziali (61-62) illustrano un metodo per riprodurre un angolo dato (B) e una lunghezza proporzionale (BC) mediante il compasso: - “E notifi tanto per questa, quanto per la precedente operazione, che non basta aver trovato la lunghezza HI, se non si trova ancora a qual punto si deve dirigere, acciocché costituisca l’angolo H eguale all’angolo B” (fr:61) [Si sottolinea che la semplice misura di un segmento non è sufficiente: occorre anche orientarlo correttamente per replicare l’angolo]. - La procedura prevede di tracciare archi con il compasso, intersecandoli per individuare il punto I che garantisca l’uguaglianza degli angoli e la proporzionalità dei segmenti (“farà senza dubbio l’angolo H eguale all’angolo B, e la linea HI proporzionale alla BC”, fr:62). Questo passaggio rivela un approccio costruttivo, tipico della geometria pratica rinascimentale, dove strumenti come il compasso servivano a risolvere problemi di similitudine.

2.2 **La Regola del Tre e le “linee aritmetiche”

Il nucleo del testo (66-81) è dedicato alla Regola del Tre, presentata come estensione del quarto proporzionale di Euclide (“quella, nella quale Euclide c’insegna, proposti tre numeri trovare il quarto proporzionale”, fr:66). L’autore ne propone una versione operativa, basata su uno strumento graduato (le linee aritmetiche), che semplifica i calcoli: 1. Procedura base (fr:69-71): - Dati tre numeri (es. 80, 120, 100), si prende il secondo (120) “rettamente” (lungo la scala lineare) e lo si applica “trasversalmente” al primo (80). - Si prende poi il terzo (100) “trasversalmente” e lo si misura “rettamente”, ottenendo il quarto numero (150). - La flessibilità del metodo è evidenziata dalla possibilità di scambiare secondo e terzo numero (“l’istesso avverria, se in vece di prendere il secondo numero pigliassi il terzo”, fr:71), purché si mantenga la coerenza tra misure “rette” e “trasversali”.

2. Casi particolari e accorgimenti:
   • Numeri troppo grandi o piccoli (fr:72-81):
     • Se i numeri superano la scala dello strumento (es. 25 dà 60, che darà 75?), si raddoppia o moltiplica il primo numero (“piglieremo o il secondo, o il terzo rettamente, e l’applicheremo al doppio del primo trasversalmente”, fr:72), poi si dimezza il risultato.
     • Per numeri molto grandi (es. 60 dà 390, che darà 145?), si scompone il terzo numero in parti (“piglierò 90 trasversalmente […] poi 100 trasversalmente”, fr:78) e si sommano i risultati parziali.
     • Per numeri inferiori a 15 (limite dello strumento), si usano le decine come unità (“ci serviremo delle decine de’ punti, come se fossero unità”, fr:80), ad esempio trattando 7 come 70 e 10 come 100.

2.3 Regola del Tre inversa

Le frasi finali (83-86) accennano alla Regola del Tre inversa, dove la proporzionalità è rovesciata. L’esempio proposto (“Quella vittovaglia, che basterebbe per mantener 60 uomini per 90 giorni, per quanti giorni basterebbe a 90 uomini?”, fr:86) suggerisce un’applicazione pratica in ambito logistico, ma il testo si limita a indicare che la risoluzione segue un metodo “non dissimile” da quello diretto.

2.4 Significato storico e tecnico

Il trattato riflette la transizione tra geometria pratica e aritmetica strumentale tipica del XVII secolo, con influenze galileiane (le linee aritmetiche richiamano il compasso di proporzione descritto da Galileo nel 1606). Gli accorgimenti per superare i limiti fisici dello strumento (scale troppo piccole o grandi) mostrano una attenzione alla praticità, rivolta a mercanti, ingegneri o artiglieri che necessitavano di calcoli rapidi senza ricorrere all’algebra. La presenza di termini come “regola aurea” e riferimenti a Euclide colloca il testo in una tradizione che univa eredità classica e innovazioni tecniche.

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3 Metodi geometrici e aritmetici per il calcolo degli interessi composti e la proporzionalità delle figure

Il testo presenta due procedure per risolvere problemi di interesse composto mediante l’uso di strumenti matematici, seguite da una trattazione sulle linee geometriche e la loro applicazione per modificare proporzionalmente superfici. Le tecniche descritte riflettono un approccio pratico tipico della matematica rinascimentale, dove strumenti come il compasso e scale graduate (linee aritmetiche e geometriche) erano essenziali per calcoli complessi.

3.1 Calcolo degli interessi composti: due metodi operativi

Il problema centrale è determinare il montante di un capitale (140 scudi) investito al 6% annuo con capitalizzazione degli interessi, su un periodo di 5 anni. Il testo propone due approcci distinti, entrambi basati sull’uso delle linee aritmetiche (scale numeriche graduate).

3.1.1 Primo metodo: iterazione con il compasso

1. Impostazione iniziale: “Cercafi quanto fiano per guadagnare 140 | fcudi in Anni a ragione di 6 per 100, l’Anno, lafciando gli interessi sopra il capitale, e sopra gli altri interessi, acciocché continuamente guadagnino” - (fr:102). Il capitale iniziale (140) viene moltiplicato per il fattore 1,06 (100% + 6%) per ciascun anno, tramite operazioni ripetute con il compasso.

2. Procedura:

   • Si prende il capitale (140) e lo si proietta “trasversalmente” sulla scala al punto 100 (fr:103).
   • Si misura la distanza tra i punti 100 e 106 (che rappresenta il 6% di interesse) e la si applica al capitale per ottenere il montante del primo anno.
   • L’operazione viene ripetuta per ogni anno: “replicando questa medesima operazione tante volte, quanto è il numero degli anni del merito” - (fr:104).
   • Dopo 5 iterazioni, il risultato finale è 187 scudi e 1/3 (fr:106).

3. Nota pratica: “se ti tornasse più comodo di servirti in cambio del 100 e 106 del 200 e 212 […] il medesimo sarà ritrovato” - (fr:106). Si suggerisce di usare multipli (es. 200 e 212) per evitare errori di precisione con numeri piccoli.

3.1.2 Secondo metodo: calcolo diretto senza riaggiustare lo strumento

1. Impostazione unica: “L’altro modo di operare non richiede altra mutazione nello Strumento, che un solo primo accomodamento” - (fr:107). Si fissa una volta per tutte il rapporto 100:106 sul compasso (fr:108).

2. Procedura:

   • Si misura il capitale iniziale (140) “trasversalmente” e lo si proietta “rettamente” per ottenere il montante del primo anno: 148 scudi e 2/5 (fr:108).
   • Si ripete l’operazione per ogni anno, usando il risultato precedente come nuovo capitale:
     • Secondo anno: 157 e 1/3 (fr:108).
     • Terzo anno: 166 e 3/4 (fr:109).
     • Quarto anno: 176 e 3/4 (fr:110).
     • Quinto anno: 186 e 1/3 (fr:110). Il risultato finale differisce leggermente dal primo metodo (186,33 vs 187,33), probabilmente per approssimazioni nelle misurazioni manuali.

3. Limitazioni e soluzioni: “quando il primo capitale proposto fosse somma tale che eccedesse il numero de’ punti 250 segnati sopra le linee Aritmetiche, devi operare a pezzi” - (fr:112). Per capitali elevati, si suggerisce di dividerli in frazioni (metà, terzo, ecc.), calcolare il montante parziale e poi moltiplicare il risultato.

3.2 Linee geometriche: proporzionalità delle figure

Il testo introduce le linee geometriche (scale basate su progressioni geometriche fino a 100), utili per modificare le dimensioni di figure mantenendo le proporzioni.

3.2.1 Principio teorico

“le linee […] sono dette linee Geometriche; per esser divise secondo la Geometrica proporzione procedente fino al 100” - (fr:116). Queste scale permettono di trovare lati di figure simili con aree in rapporto dato, sfruttando la proprietà per cui l’area varia con il quadrato del lato.

3.2.2 Esempio pratico: ingrandire un triangolo

1. Dati: Si vuole costruire un triangolo con area 1,5 volte (rapporto sesquialtero) quella di un triangolo dato ABC (fr:116).

2. Procedura:

   • Si scelgono due numeri nel rapporto desiderato (es. 12:8, poiché 12/8 = 1,5).
   • Si apre il compasso sulla distanza tra i punti 8 delle linee geometriche e si misura la distanza tra i punti 12 (fr:117-118).
   • La lunghezza ottenuta sarà il lato del nuovo triangolo: “se faremo una linea di tal grandezza lato di un triangolo rispondente alla linea BC, sarà la sua superficie indubitatamente sesquialtera del triangolo ABC” - (fr:119-120).

3. Applicazione alle piante: “la presente operazione è quella che c’insegna crescere o diminuire tutte le piante superficiali” - (fr:121). Per ridisegnare una pianta da 10 campi a 34 campi:

   • Si prende una linea qualsiasi della pianta originale e la si proietta “trasversalmente” sui punti 10 delle linee geometriche.
   • Si misura la distanza tra i punti 34 e si usa questa lunghezza per disegnare la nuova pianta (fr:122).

3.3 Significato storico e tecnico

1. Strumenti matematici: Le linee aritmetiche e geometriche erano scale incise su strumenti come il compasso di proporzione, diffusosi nel XVI-XVII secolo. Questi strumenti permettevano di eseguire calcoli complessi (interessi, radici quadrate, proporzioni) senza algebra, rendendo la matematica accessibile a mercanti, architetti e artigiani.

2. Interesse composto: La trattazione riflette l’importanza economica del calcolo finanziario nell’Italia rinascimentale, dove il commercio e i prestiti richiedevano metodi rapidi per stimare rendimenti. La capitalizzazione degli interessi (“lasciando gli interessi sopra il capitale”) era un concetto avanzato per l’epoca.

3. Proporzionalità geometrica: L’uso delle linee geometriche per modificare superfici anticipa tecniche di scala grafica, fondamentali in cartografia e progettazione. La precisione richiesta (“precisamente di 34 campi”) testimonia l’esigenza di accuratezza in ambiti come l’agrimensura.

4. Limiti e approssimazioni: Le discrepanze tra i due metodi di calcolo degli interessi (187,33 vs 186,33) evidenziano i limiti degli strumenti manuali, dove errori di misurazione si accumulavano nelle iterazioni. La soluzione di “operare a pezzi” (fr:112) mostra una consapevolezza pratica dei vincoli tecnici.

Il testo unisce rigore matematico e applicazioni concrete, tipico della trattatistica scientifica del periodo, dove teoria e pratica si intrecciavano per risolvere problemi quotidiani.

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4 Metodi geometrici e aritmetici per il calcolo delle differenze tra cerchi e l’estrazione di radici quadrate

Il testo descrive procedure pratiche per risolvere problemi geometrici e aritmetici mediante uno strumento di misura, probabilmente un compasso proporzionale o un dispositivo analogo, utilizzato per operazioni su linee geometriche e aritmetiche. Le istruzioni si articolano in due sezioni principali: la determinazione di un cerchio equivalente alla differenza tra due cerchi dati e l’estrazione della radice quadrata di numeri di diversa grandezza.

4.1 Differenza tra cerchi e determinazione del diametro equivalente

La prima parte (fr:141-142) illustra come trovare il diametro di un cerchio la cui area sia pari alla differenza tra due cerchi di diametri noti. Il metodo prevede: 1. L’uso di un compasso per misurare il diametro maggiore (“la linea maggiore A”) e applicarlo alle linee geometriche dello strumento, ad esempio al punto 2. La misurazione del diametro minore (“la linea B”) sulle stesse linee, trovando un valore corrispondente (es. 8). 3. La sottrazione del valore minore da quello maggiore (“20 – 8 = 12”), per ottenere la distanza tra i punti 12-12, che rappresenta il diametro del cerchio differenza (“il cui cerchio sarà eguale alla differenza delli due”).

Il procedimento si basa su una proporzionalità geometrica, dove le aree dei cerchi sono correlate ai quadrati dei loro diametri. La citazione “prendendo con un Compasso la lunghezza della linea maggiore A, ed applicandola allo Strumento” (fr:142) sottolinea l’uso pratico dello strumento per operazioni di confronto diretto.

4.2 Estrazione della radice quadrata: metodi differenziati per numeri mediocri, grandi e piccoli

Il testo distingue tre casi per l’estrazione della radice quadrata, ognuno con regole specifiche legate alla scala delle linee geometriche e aritmetiche dello strumento.

4.2.1 Numeri mediocri (intorno a 1000)

Per numeri “tanto nel meno, quanto nel più intorno al 1000” (fr:143), il metodo prevede: - Preparazione dello strumento: si allinea lo spazio di 40 punti delle linee aritmetiche al punto 16 delle linee geometriche (“accomodare traverfalmente al 16 delle linee Geometriche lo spazio di 40 punti preso rettamente dalle linee Aritmetiche”, fr:145). - Elaborazione del numero: si eliminano le ultime due cifre (unità e decine) del numero dato. Ad esempio, per 4630, si considera 46 (“levate le due ultime figure, cioè il 30, resta 46”, fr:146). - Misurazione: si prende il valore rimanente (46) dalle linee geometriche e lo si misura sulle linee aritmetiche, ottenendo la radice quadrata approssimata (68 per 4630).

Cautele: - Se le due cifre eliminate superano 50, si incrementa di 1 il numero rimanente (“quando le due ultime figure […] passassero 50, devi […] aggiungere uno”, fr:147-148). Esempio: per 4192, si considera 42 invece di - Se il numero rimanente supera 100 (limite delle linee geometriche), si prende una sua parte (metà, terzo, ecc.), si raddoppia o triplica geometricamente, e si moltiplica il risultato per il fattore corrispondente (“se […] resta 84, piglierai la sua metà, cioè 42”, fr:150). Ad esempio, per 8412: - Si prende 42 (metà di 84). - Si raddoppia geometricamente aprendo lo strumento fino a trovare un intervallo doppio (es. 20 → 40). - Si misura 40 sulle linee aritmetiche, ottenendo 91,7 come radice approssimata (“mifurato finalmente sopra le linee Aritmetiche, rimostrerà 91 e due terzi”, fr:151).

4.2.2 Numeri grandi (intorno a 000)

Per numeri “maggiori” (fr:154), la procedura è simile, ma con adattamenti: - Preparazione dello strumento: si allineano 100 punti delle linee aritmetiche al punto 10 delle linee geometriche (“pigliando 100 rettamente dalle linee Aritmetiche, aggiustandolo poi traverfalmente ai punti 10,10 delle Geometriche”, fr:154). - Elaborazione del numero: si eliminano le ultime tre cifre. Esempio: per 32140, si considera 32 (“Tolte le tre ultime figure resta 32”, fr:156). - Misurazione: si procede come per i numeri mediocri, applicando le stesse cautele (aggiunta di 1 se le cifre eliminate superano 500, uso di parti se il numero supera 100).

4.2.3 Numeri piccoli (inferiori a 100)

Per numeri “minimi” (fr:143), il metodo è semplificato: - Preparazione dello strumento: si allineano 40 punti delle linee aritmetiche al punto 16 delle geometriche (“aggiufterai lo Strumento […] buttando 40 preso dalle linee Aritmetiche rettamente al 16 delle Geometriche”, fr:157). - Misurazione diretta: si prende il numero intero dalle linee geometriche senza eliminare cifre e si misura sulle aritmetiche. Esempio: per 30, si ottiene 5,5 (“troverai punti 55, che importano 5 intieri e 5 decimi”, fr:165). - Interpretazione dei risultati: le decine delle linee aritmetiche valgono come unità, le unità come decimi (“le decine delle linee Aritmetiche ti devono servire per unità, e le unità per decimi di unità”, fr:162-163).

4.3 Significato storico e tecnico

Il testo riflette una pratica scientifica rinascimentale (probabilmente del XVI-XVII secolo), in cui strumenti come il compasso proporzionale erano essenziali per calcoli complessi in assenza di metodi algebrici avanzati. Le linee geometriche (scale logaritmiche ante litteram) e aritmetiche (scale lineari) permettevano di risolvere problemi di proporzionalità, quadrature e radici mediante misurazioni fisiche, come evidenziato dalle istruzioni dettagliate: - “Prendi con un Compasso la lunghezza della linea maggiore A” (fr:142) → uso empirico dello strumento. - “Geometricamente sia raddoppiato” (fr:151) → operazioni di scala basate su rapporti spaziali.

Le cautele descritte (aggiustamenti per numeri oltre i limiti dello strumento, uso di frazioni) testimoniano una consapevolezza dei limiti tecnici e la necessità di approssimazioni, tipica della scienza pre-moderna. L’assenza di simboli algebrici e la dipendenza da procedure manuali sottolineano un approccio geometrico-costruttivo, in linea con opere come quelle di Galileo o dei matematici della scuola italiana del Cinquecento.

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5 Il metodo stereometrico per il calcolo delle proporzioni tra solidi simili

Il testo presenta un procedimento geometrico per determinare le proporzioni tra solidi simili, basato sull’uso di uno strumento di misura (probabilmente un compasso o uno strumento graduato) e di linee stereometriche. L’autore descrive operazioni pratiche per risolvere problemi di proporzionalità tra lati e volumi di figure solide, con un approccio che unisce teoria e applicazione strumentale.

5.1 Definizione del problema e metodo risolutivo

Il nucleo del discorso ruota attorno alla proposizione fondamentale enunciata in (194): > “come dato un lato di qualsivoglia corpo solido si possa trovare il lato d’un altro, che ad esso abbia una data proporzione; come per esempio: sia la linea A diametro v. g. d’una sfera, o palla per dirlo più volgarmente; ovvero lato d’un cubo, o altro solido, e ci sia proposto di dover trovare il diametro, o lato d’un altro, che a quello abbia la proporzione, che ha 20 a 26” - (fr:194) [Traduzione letterale].

Qui viene formalizzato il problema: data una figura solida (sfera, cubo, ecc.) e un rapporto numerico (es. 20:26), trovare le dimensioni di un solido simile che rispetti tale proporzione. La soluzione si basa su un metodo strumentale che sfrutta le linee stereometriche, una scala graduata probabilmente incisa sullo strumento di misura.

5.2 Procedura operativa

La risoluzione pratica è dettagliata in (195): > “Piglia col Compasso la linea 4, ed aprendo lo strumento applicala al punto 36 delle linee Stereometriche; il che fatto prendi immediatamente l’intervallo tra i punti 20, che sarà la linea B diametro al voluto 26 delle linee lato del solido all’altro, il cui lato A nella proporzione data di 20 a 36” - (fr:195) [Traduzione].

Il procedimento si articola in tre passaggi: 1. Misurazione della linea data (es. lato A) con il compasso. 2. Applicazione dello strumento su un punto fisso delle linee stereometriche (es. 36). 3. Determinazione della nuova linea (B) leggendo l’intervallo corrispondente al rapporto desiderato (es. 20).

Questo metodo permette di trasferire proporzioni numeriche in misure geometriche senza calcoli espliciti, sfruttando la corrispondenza tra le graduazioni dello strumento e i rapporti tra solidi simili.

5.3 Estensione del metodo a casi complessi

Il testo generalizza poi l’applicazione: - Proporzione tra due solidi (199): > “Proposte due linee AB, e dimandato qual proporzione abbino fra di loro i loro solidi simili, prenderemo una di esse col Compasso, e sia v. g. presa A, la quale applicheremo aprendo lo Strumento a qualche numero delle presenti linee, e sia applicata v.g. al 30, e subito presa la lunghezza dell’altra linea B veggasi a qual numero si accomodi, e trovato adattarsi per esempio al 21, diremo il solido A al solido B avere la proporzione di 30 a 21” - (fr:199) [Traduzione]. Qui il metodo viene invertito: date due linee (lati di solidi simili), si determina il rapporto tra i loro volumi leggendo le posizioni corrispondenti sulle linee stereometriche.

• Somma di solidi simili (200-204): > “Proposti solidi simili quanti ne piacerà trovarne uno solo eguale a tutti quelli” - (fr:200) [Traduzione]. L’autore estende il procedimento per trovare un solido equivalente alla somma di più solidi simili, combinando le misure delle loro linee rappresentative. Ad esempio, in (203-204), si descrive come: > “prenda con un Compasso la linea A, quale si applichi a qualche punto delle linee Stereometriche; e sia per esempio al punto 30, e non movendo lo Strumento consideri a qual numero s’adatti la linea B, e trovato per esempio adattarsi al 12, aggiungi questo numero […]” - (fr:203-204) [Traduzione parziale]. La somma dei valori numerici (es. 30 + 12) fornisce la dimensione del solido equivalente.

5.4 Significato storico e tecnico

Il testo testimonia un approccio pratico alla geometria solida, tipico del periodo rinascimentale e barocco, in cui strumenti come il compasso e le scale graduate erano essenziali per risolvere problemi altrimenti complessi. Le linee stereometriche rappresentano una tecnologia di calcolo ante litteram, che semplificava operazioni oggi risolte con formule algebriche.

Due elementi peculiari emergono: 1. L’assenza di formule esplicite: la soluzione è interamente basata su operazioni strumentali, senza ricorso a equazioni o dimostrazioni teoriche. 2. La generalità del metodo: applicabile a qualsiasi solido simile (sfere, cubi, ecc.), purché le proporzioni tra i lati siano note.

5.5 Ambiguità e limiti

Il testo presenta alcune imprecisioni terminologiche e lacune: - In (196) e (201), frasi come “II, abbino frà di loro” e “ET Oper.” risultano frammentarie o corrotte, forse per errori di trascrizione. - La descrizione dello strumento (linee stereometriche) è implicita: non viene spiegato come siano costruite le scale, né se seguano una progressione aritmetica o geometrica. - Il riferimento a “20 a 26” (fr:194) e “20 a 36” (fr:195) suggerisce una approssimazione pratica dei rapporti, forse legata a esigenze di misurazione empirica.

5.6 Concetti chiave

• Solidi simili: figure geometriche con la stessa forma ma dimensioni diverse, i cui volumi stanno tra loro come i cubi dei lati corrispondenti.
• Linee stereometriche: scala graduata su uno strumento di misura, progettata per convertire rapporti lineari in proporzioni volumetriche.
• Metodo strumentale: procedura che sostituisce il calcolo numerico con operazioni meccaniche (apertura del compasso, lettura delle scale).

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6 Metodi per l’estrazione della radice cubica e la ricerca di medie proporzionali nelle Linee Stereometriche

Il testo descrive procedure matematiche per risolvere problemi geometrici e algebrici mediante uno strumento di calcolo, probabilmente un compasso o regolo stereometrico, basato su scale graduate. Le operazioni si concentrano su due ambiti principali: l’estrazione della radice cubica di numeri e la determinazione di medie proporzionali tra grandezze date.

6.1 Estrazione della radice cubica: metodi differenziati per numeri medi e massimi

Il testo distingue due approcci a seconda dell’ordine di grandezza del numero proposto, introducendo una soglia critica (148) come limite operativo delle linee stereometriche.

1. Numeri “mediocri” (≤ 148) La procedura per numeri inferiori o uguali a 148 è diretta:

   • “Aggiufterà lo Strumento con l’applicare trafverfalmente alli punti 54 delle linee Stereometriche il 40 prefo rettamente dalle linee Aritimetiche” - (fr:211) [Si aggiusta lo strumento applicando trasversalmente ai punti 54 delle linee stereometriche il 40 preso rettamente dalle linee aritmetiche].
   • Si eliminano le tre ultime cifre del numero proposto (es. da 80216 resta 80), si misura questo valore sulle linee stereometriche e si riporta sulle aritmetiche per ottenere la radice cubica approssimata. Ad esempio: “cerchiamo la radice Cuba di 80216 […] piglia dunque trafverfalimente 80 dalle linee Stereometriche, e mifuralo rettamente fopra le Aritmetiche, e troverai 43, quanta è la radice prossima del dato numero” - (fr:213).

   Il metodo sfrutta una corrispondenza biunivoca tra le scale stereometriche (che rappresentano volumi) e aritmetiche (che rappresentano lunghezze), riducendo il problema a una semplice misurazione.

2. Numeri “massimi” (> 148) Per numeri che eccedono il limite delle linee stereometriche, si adotta un approccio per scomposizione:

   • “quando de’ restar le trè ultime note restasse più di 148 […] potrai operare per parti” - (fr:213).
   • Si dimezza il numero residuo (es. 186 diventa 93), si misura questo valore sulle stereometriche, e si duplica lo spazio ottenuto applicandolo a un multiplo (es. 20 sulle stereometriche per ottenere 40 sulle aritmetiche). Il risultato finale è la radice cubica approssimata: “pigliando poi il 80, che mifurato fopra le linee Aritmetiche ci mostrerà 57, ch’è la prossima radice del numero proposto” - (fr:219) [per 185840].

   Una variante per numeri ancora più grandi (con quattro cifre residue) prevede:

   • “aggiuftare lo Strumento applicando la distanza di 100 punti prefa rettamente dalle linee Aritmetiche al 100 delle Stereometriche” - (fr:220).
   • Si eliminano quattro cifre (es. da 1404988 resta 140), si misura il residuo sulle stereometriche e si riporta sulle aritmetiche: “il qual numero prefo trafverfalmente dalle linee Stereometriche, e mifurato rettamente fopra l’Aritmetiche ci darà 112 radice prossima” - (fr:221).

   Entrambi i metodi per numeri “massimi” si basano su approssimazioni successive e sfruttano la proprietà che la radice cubica di un prodotto è il prodotto delle radici cubiche.

6.2 Invenzione delle due medie proporzionali

Il testo affronta un classico problema geometrico: trovare due segmenti intermedi tra due grandezze date che formino una progressione geometrica continua. La soluzione proposta è puramente strumentale: - Date due linee AD (es. 108 e 32), si apre il compasso sulla maggiore (108) e si adatta lo strumento a questo valore sulle linee stereometriche. - Si misura poi l’intervallo tra i punti corrispondenti alla minore (32), ottenendo la seconda media proporzionale (B = 72): “prefala maggior con un Compasso adattifi aperto lo Strumento alli num. 108 […] e poi prendasi l’intervallo trà li punti 32, il quale sarà la lunghezza della seconda linea B” - (fr:227-230). - Ripetendo l’operazione con B come nuova base, si ottiene la terza media (C = 48): “adattifi pure di nuovo […] la linea B alli punti 108, e tornisi di nuovo a pigliare la distanza trà i punti 32, che tale sarà la grandezza della terza linea C” - (fr:231-232).

Il risultato soddisfa la proporzione AD : B = B : C = C : AE, dove AE è la linea minore (32). Il metodo è simmetrico: invertendo l’ordine delle linee di partenza, si ottengono gli stessi valori intermedi.

6.3 Riduzione di un parallelepipedo a cubo equivalente

L’ultima operazione descritta riguarda la trasformazione di un solido parallelepipedo in un cubo di volume equivalente, problema centrale nella stereometria classica. Il testo fornisce un esempio pratico: - “ciascun solido Parallelepipedo si può col mezzo delle Linee Stereometriche ridurre in Cubo” - (fr:233). - Dato un parallelepipedo con dimensioni disuguali (es. 72, 32, 8), si utilizza lo strumento per determinare il lato del cubo equivalente, probabilmente applicando una variante del metodo delle medie proporzionali.

6.4 Significato storico e peculiarità del testo

1. Contesto strumentale Le procedure descritte presuppongono l’uso di uno strumento graduato (forse un regolo o compasso stereometrico), che incarna una tecnologia matematica pre-moderna. La precisione dipende dalla scala delle linee, limitata a 148 per le stereometriche, suggerendo un dispositivo progettato per calcoli pratici (es. ingegneria, architettura).

2. Approccio empirico Il testo privilegia metodi operativi rispetto a dimostrazioni teoriche, tipico della trattatistica scientifica del XVI-XVII secolo (es. opere di Galileo o Tartaglia). Le istruzioni sono algoritmiche, con esempi numerici che fungono da verifica.

3. Termini e concetti chiave

   • Linee Stereometriche/Aritmetiche: scale graduate per volumi e lunghezze, rispettivamente.
   • **Radice “prossima”: approssimazione accettabile, data la natura pratica dello strumento.
   • **Operare “per parti”: tecnica di scomposizione per superare i limiti fisici dello strumento.
   • Medie proporzionali: soluzione geometrica a problemi di proporzionalità continua, con applicazioni in ottica e meccanica.

4. Ambiguità e limiti

   • La soglia di 148 non è giustificata teoricamente, ma deriva probabilmente dalla lunghezza fisica delle scale dello strumento.
   • Il testo non chiarisce come gestire numeri con cifre decimali o residui non interi (es. 185 arrotondato a 186 in fr:215).
   • La riduzione del parallelepipedo a cubo è solo accennata, senza dettagli operativi.

6.5 Testimonianza di una matematica applicata

Il trattato riflette una transizione tra matematica teorica e pratica, dove strumenti come il regolo stereometrico democratizzavano calcoli complessi (radici cubiche, medie proporzionali) per artigiani, architetti e scienziati. La precisione era sacrificata in favore della velocità e della riproducibilità, anticipando l’uso di tavole logaritmiche e regoli calcolatori successivi.

[7]

[7.1-44-271|314]

7 Il compasso geometrico e militare di Galileo: misure, proporzioni e calibri universali

Il testo descrive le applicazioni pratiche di uno strumento matematico – probabilmente il compasso geometrico e militare ideato da Galileo Galilei – per risolvere problemi di proporzionalità tra solidi di materiali diversi, con particolare attenzione alle palle d’artiglieria e alla progettazione di pezzi d’artiglieria in scala. Le linee metalliche e stereometriche dello strumento permettono di convertire misure tra materiali (ferro, piombo, marmo, rame, stagno) e di adattare calibri a pesi e unità di misura variabili, superando i limiti dei calibri fissi tradizionali.

7.1 Principi teorici e operativi dello strumento

Lo strumento si basa su due serie di linee incise: 1. Linee Metalliche: consentono la trasmutazione tra materiali diversi mantenendo il rapporto di peso o volume. Ad esempio, per determinare il diametro di una palla di piombo equivalente in peso a una di ferro, si applica la misura del ferro ai punti Fe. e si legge l’intervallo corrispondente ai punti Pi. (piombo). > “Fe, che farà quanto la linea X, la quale fe farà eguale alla B, diremo li due folidi 4, B effere di pefo eguali” - (fr:273) [Il ferro (Fe) corrisponde alla linea X, che se risulta uguale a B, i due solidi A e B hanno peso uguale]. > “applicando il diametro X alli punti del Marmo trafverfalmente, pigliando poi fenza muoverlo Strumento l’intervallo trà li punti del Piombo” - (fr:275) [Per convertire il marmo in piombo, si posiziona il diametro del marmo sui punti del marmo e si legge la distanza tra i punti del piombo].

2. Linee Stereometriche: servono per scalare le dimensioni in base al peso desiderato, sfruttando la proporzionalità cubica tra diametro e volume (e quindi peso, a parità di materiale). > “ricorreremo all’ajuro delle linee Stereometriche, e applicato quefto inpierallo trafverfalmente alli BUE 7, prenderemo mar 9 te ln 34 DELLE LINEE toladiftanza pur erafverfale trà li punti 20” - (fr:275) [Per passare da un peso di 7 libre a 20 libre, si usa la proporzione cubica tra i punti 7 e 20 sulle linee stereometriche].

7.2 Applicazioni pratiche: calibri per artiglieria e modelli in scala

Il testo si concentra su due problemi principali: 1. Calibro universale per palle d’artiglieria: - I calibri tradizionali, tarati per un solo materiale (es. ferro) e un solo sistema di pesi (es. libbre veneziane), sono inutilizzabili per altri materiali o località. Lo strumento galileiano risolve questo limite grazie alla sua adattabilità: > “un Calibro, che fi adatti ad ogni forte di materia, e ad ogni differenza di pefo bifogna, che per neceffità fia mutabile” - (fr:279) [Un calibro deve essere regolabile per adattarsi a materiali e pesi diversi]. - Procedura: - Si parte da una palla di riferimento (es. piombo da 10 libbre veneziane) e si segna il suo diametro sullo strumento. - Per trovare il diametro di una palla di ferro da 10 libbre, si applica il diametro del piombo ai punti Pi. e si legge l’intervallo tra i punti Fe. (fr:283-286). - Per adattare il calibro a un altro sistema di pesi (es. libbre fiorentine), si scala proporzionalmente il diametro di riferimento (fr:288).

2. Progettazione di artiglieria in scala:
   • Data un modello in scala (es. un cannone di stagno), lo strumento permette di ricavare le misure del pezzo reale in un altro materiale (es. rame) e con un peso diverso (es. 5000 libbre).
   • Esempio pratico (fr:293-304):
     • Si pesa il modello (17 libbre di stagno).
     • Si misura una dimensione chiave (es. diametro della “gioia”, la parte anteriore del cannone) e la si applica ai punti St. (stagno) sulle linee metalliche.
     • Si legge l’intervallo corrispondente ai punti Ra. (rame) per ottenere la dimensione equivalente in rame.
     • Si usa poi la proporzione cubica (linee stereometriche) per scalare il peso da 17 a 5000 libbre.
     • Per le leghe metalliche (es. bronzo: 3 parti di rame + 1 di stagno), si segnano punti intermedi tra Ra. e St. sulle linee metalliche (fr:306-308).

7.3 Innovazioni e limiti

• Vantaggi dello strumento:
  • Universalità: funziona per qualsiasi materiale (tra quelli incisi) e sistema di pesi, a differenza dei calibri fissi.
  • Precisione: le linee stereometriche garantiscono la corretta proporzionalità cubica tra dimensioni e peso.
  • Flessibilità: permette di lavorare con modelli in scala e di adattare progetti a materiali diversi senza rifare calcoli complessi.
• Ambiguità e limiti:
  • Materiali non inclusi: lo strumento è utile solo per i materiali incisi sulle linee metalliche (ferro, piombo, rame, stagno, marmo, ecc.). Per altri materiali, occorrerebbero estensioni.
  • Leghe metalliche: la procedura per le leghe richiede di segnare manualmente punti intermedi sulle linee, introducendo una possibile fonte di errore (fr:306-308).
  • Lunghezze eccessive: per misure troppo grandi (es. lunghezza di un cannone), lo strumento non può aprirsi abbastanza; si ricorre allora a misurare una frazione del modello e scalare proporzionalmente (fr:304).

7.4 Significato storico

Il testo testimonia l’evoluzione degli strumenti scientifici nel XVII secolo, in particolare: - La matematizzazione dell’artiglieria: Galileo applica principi geometrici e proporzionali a problemi pratici, come la progettazione di cannoni, superando metodi empirici. - L’interdisciplinarità: lo strumento unisce meccanica, geometria e metallurgia, riflettendo la tendenza rinascimentale a integrare scienze teoriche e tecniche. - Il contesto militare: la necessità di calibri universali risponde alle esigenze degli eserciti dell’epoca, che utilizzavano palle di materiali diversi (pietra, ferro, piombo) e sistemi di pesi locali.

“Come propoffo un corpo di qualfivoglia materia poffiamo ritrovare tytte le mifure particolari Vuno d’altra materia, e che pefi un dato pefo” - (fr:289) [Dato un solido di un materiale qualsiasi, possiamo trovare tutte le misure di un solido equivalente in un altro materiale e di peso assegnato].

Questo passaggio sintetizza l’obiettivo dello strumento: trasformare la complessità delle misure reali in un sistema di proporzioni gestibile con un solo dispositivo.

[8]

[8.1-33-324|356]

8 Le linee tetragoniche e la quadratura delle figure geometriche

Un trattato sulle tecniche di trasformazione tra figure regolari e irregolari attraverso strumenti matematici.

Il testo descrive un metodo per quadrare il cerchio e altre figure geometriche regolari mediante l’uso di uno strumento dotato di linee tetragoniche, così chiamate per la loro funzione principale: “queste linee Tetragoniche così dette dal loro ufo principale, che è di quadrare tutte le superficie regolari, ed il Cerchio appresso” (fr:326). L’operazione si basa su una procedura meccanica che sfrutta un compasso e una scala graduata, permettendo di convertire una figura in un’altra di area equivalente con “facilissima operazione” (fr:328).

8.1 La quadratura del cerchio e dei poligoni regolari

Il procedimento per costruire un quadrato equivalente a un cerchio dato si articola in pochi passaggi: 1. Si prende il semi-diametro del cerchio e lo si applica alle linee tetragoniche dello strumento, allineandolo ai punti segnati con due piccoli cerchietti. 2. Senza modificare l’apertura dello strumento, si misura la distanza tra i punti contrassegnati con “4, 4”, che corrisponde al lato del quadrato equivalente: “si avrà il lato del quadrato eguale al dato Cerchio” (fr:329). Lo stesso metodo si estende ad altri poligoni regolari: per un pentagono o un esagono, si utilizzano rispettivamente i punti “5, 5” e “6, 6” (fr:331). L’operazione è reversibile: dato un poligono, è possibile trovare un cerchio equivalente applicando il lato del poligono ai punti corrispondenti delle linee tetragoniche e misurando la distanza tra i punti del cerchio (fr:332-335).

Un esempio pratico illustra come trasformare un pentagono in un ottagono equivalente: “dovendo noi costituire un ottangolo eguale a un dato Pentagono, s’aggiusterà lo Strumento, sì che il lato del Pentagono proposto s’accomodi alli punti 5, 5, e non mutando lo Strumento, l’intervallo fra i punti 8, 8 sarà il lato dell’ottangolo” (fr:336-337). Il testo sottolinea la generalità del metodo, che consente di “ritrovare il lato di qualsivoglia figura regolare eguale a qualunque altra proposta” (fr:335).

8.2 La somma di figure diverse in un’unica figura equivalente

Un problema più complesso riguarda la costruzione di una figura regolare equivalente alla somma di più figure, anche dissimili tra loro. La soluzione proposta si basa su due passaggi: 1. Si convertono separatamente le figure date in quadrati equivalenti, utilizzando le linee tetragoniche. 2. Si applica un’operazione precedente (indicata come “X”) per ridurre i quadrati ottenuti in un unico quadrato equivalente alla somma delle aree: “prima per l’operazione precedente troveremo separatamente 4 quadrati eguali alle 4 dette figure; dipoi col mezzo dell’operazione X. troveremo un solo quadrato eguale a quelli 4” (fr:342). Questo quadrato finale può poi essere trasformato in qualsiasi altra figura regolare desiderata.

8.3 La quadratura delle figure irregolari

Il trattato affronta anche la conversione di figure irregolari in figure regolari, un problema di particolare interesse pratico. Poiché ogni poligono irregolare può essere scomposto in triangoli, la soluzione si riduce a trovare un quadrato equivalente a un triangolo dato. Una volta ottenuti i quadrati per ciascun triangolo componente, si applica nuovamente l’operazione X per sommarli in un unico quadrato, che può poi essere trasformato in un cerchio o in qualsiasi altra figura regolare: “quando noi sapremo costituire un quadrato eguale a qualsivoglia triangolo […] riducendo tutti questi quadrati in uno solo, sarà ritrovato il quadrato eguale al proposto rettilineo” (fr:346-347).

8.4 Il lemma per la quadratura del triangolo

La quadratura di un triangolo è risolta attraverso un lemma che descrive una costruzione geometrica precisa: 1. Si tracciano due linee perpendicolari (DF e FG). 2. Si usa un compasso a quattro punte, con un’apertura doppia su un lato, per misurare la metà dell’altezza del triangolo rispetto alla base. 3. Si riporta questa misura sulle linee perpendicolari, ottenendo infine il lato del quadrato equivalente: “avremo la linea LF lato del quadrato eguale al triangolo ABC” (fr:354). Il testo precisa che questa operazione può essere eseguita anche con lo strumento, applicando la misura dell’altezza e della metà della base alle linee geometriche dello strumento stesso (fr:355).

8.5 Estensione alle figure curvilinee

L’ultima parte del trattato accenna alla possibilità di estendere questi metodi alla quadratura di “parti del Cerchio, e delle figure contenute da parti di circonferenze, o da linee rette, e curve insieme” (fr:356), suggerendo un approccio sistematico anche per le figure non rettilinee.

8.6 Significato storico e tecnico

Il testo riflette una fase della matematica rinascimentale in cui la geometria pratica si intrecciava con lo sviluppo di strumenti di calcolo e misura. Le linee tetragoniche rappresentano un esempio di come venissero progettati dispositivi per risolvere problemi classici, come la quadratura del cerchio, in modo approssimato ma operativo. L’uso di scale graduate e compassi a più punte testimonia l’attenzione verso soluzioni meccaniche che potessero essere applicate da artigiani, ingegneri o astronomi, senza richiedere dimostrazioni teoriche complesse. La procedura descritta anticipa, in forma embrionale, concetti che verranno formalizzati solo con il calcolo integrale, come la riduzione di aree complesse a figure elementari equivalenti.

[9]

[9.1-13-362|374]

9 La quadratura delle porzioni di cerchio e l’uso dello strumento geometrico

Il testo descrive un metodo pratico per quadrare porzioni di cerchio utilizzando uno strumento geometrico, probabilmente un compasso o uno strumento graduato simile a quelli impiegati nel XVII secolo per risolvere problemi di geometria applicata. L’autore propone una procedura sistematica per trasformare superfici curvilinee in quadrati equivalenti, estendendo il metodo a figure complesse come settori, trapezi curvilinei e lunule.

9.1 Procedura per la quadratura di una porzione di cerchio

Il nucleo del ragionamento si concentra sulla riduzione di una porzione di cerchio in un quadrato di area equivalente, partendo dalla corda che la delimita. Il processo si articola in passaggi precisi: 1. Divisione della corda e misurazione dell’altezza: “Dividafila {ua corda AC nel mezzo del punto D, e prefa con un Compaffo la diftanza 4D s’accommodi, aprendo lo Strumento, alli punti fegnarigg, ce lafciato lo Strumento in tale ftato prendafi l’altezza delia porzione, cioè la linea DB” - (fr:364) [Si divida la corda AC a metà nel punto D, e presa con un compasso la distanza AD, si adatti lo strumento ai punti segnati; lasciando lo strumento in tale posizione, si misuri l’altezza della porzione, cioè la linea DB]. L’altezza DB viene poi confrontata con una scala graduata sullo strumento per determinare un rapporto numerico (ad esempio, “alli punti fegnati 2” - fr:365), che guida la costruzione del quadrato.

2. Costruzione del quadrato equivalente: “doviamo con un Compaffo prender fubito l’intervallo trà i punti 2 dell’ordine interiore, e fopra una linca diquefta grandezza fi deve formare il quadrato” - (fr:365-366) [Si prenda con il compasso l’intervallo tra i punti 2 della scala interna e, su una linea di tale lunghezza, si costruisca il quadrato]. Il quadrato così ottenuto avrà area pari alla porzione di cerchio ABC.

9.2 Estensione del metodo a figure complesse

L’autore generalizza la procedura a figure composte da più porzioni di cerchio, come: - Superfici delimitate da due archi (es. figura ABCD): “potremo facilmente ridurla in quadrato tirando la corda AC […] si troveranno due quadrati eguali alle due porzioni separate, e questi […] si ridurranno in un solo” - (fr:367-368). La strategia consiste nel scomporre la figura in porzioni elementari, quadrare ciascuna e poi combinare i risultati.

• Settori circolari: “porrafli riquadrare ancora il settore del cerchio, perche tirata la corda fottolafia circonferenza farà tagliato in una porzione di cerchio e in un triangolo” - (fr:369). Il settore viene suddiviso in una porzione di cerchio e un triangolo, entrambi riducibili a quadrati.

• Porzioni maggiori di mezzo cerchio, trapezi curvilinei e lunule: “quadrare la porzione maggiore di mezzo Cerchio […] il trapezio contenuto da due rette e due curve […] la lunula” - (fr:369-370). Per la porzione maggiore di un cerchio, si quadra prima la porzione minore residua e si sottrae dal quadrato equivalente all’intero cerchio (“caveremo dal quadrato eguale a tutto il cerchio” - fr:370). Analogamente, per il trapezio curvilineo e la lunula, si sfrutta la differenza tra quadrati di porzioni opposte (“la differenza de’ quali farà il quadrato eguale alla Lunula” - fr:370).

9.3 Strumento e applicazioni pratiche

Lo strumento descritto non è solo teorico, ma adattato a usi concreti, come dimostra la sezione dedicata al quadrante per artiglieri: “Giugnendo allo Strumento il Quadrante […] abbiamo la Squadra de bombardieri divisa secondo il solito in punti 12” - (fr:374). Qui lo strumento assume una funzione pratica: misurare l’elevazione di un pezzo d’artiglieria (“il filo ci mostrerà, segando detta circonferenza, quanta elevazione abbia il pezzo” - fr:374), con una scala graduata in punti (es. 0, 2, 3).

9.4 Significato storico e tecnico

Il testo riflette pratiche geometriche del XVII secolo, quando la quadratura del cerchio e delle sue parti era un problema centrale, sia per la matematica pura che per le applicazioni ingegneristiche (balistica, architettura). L’uso di uno strumento graduato per risolvere problemi di equivalenza tra superfici curvilinee e poligonali testimonia: 1. Un approccio empirico alla geometria, tipico di un’epoca in cui la formalizzazione algebrica era ancora in sviluppo. 2. L’integrazione tra teoria e pratica, come dimostra il passaggio dal metodo di quadratura all’applicazione militare del quadrante. 3. La ricerca di soluzioni approssimate ma funzionali, data la complessità di quadrare esattamente figure curvilinee con riga e compasso (problema irrisolvibile in termini esatti, come dimostrato solo nel XIX secolo).

9.5 Termini e concetti chiave

• Porzione di cerchio: parte di cerchio delimitata da una corda e un arco.
• Corda: segmento che unisce due punti di una circonferenza (es. AC).
• Altezza della porzione (sagitta): distanza tra il punto medio della corda e l’arco (es. DB).
• Lunula: figura delimitata da due archi di cerchio (es. simile a una “X”).
• Squadra de bombardieri: strumento per misurare l’angolo di elevazione dei cannoni, graduato in punti.

9.6 Ambiguità e limiti

Il testo presenta alcune imprecisioni linguistiche e tecniche: - La frase “Vogliamov.” - (fr:362) appare incompleta o corrotta, forse un refuso per “Vogliamo trovare”. - La descrizione dello strumento è vaga: non è chiaro se i “punti fegnarigg” (fr:364) siano tacche su una scala lineare o su un arco, né come venga calibrata la misura dell’altezza DB. - La procedura per la quadratura si basa su approssimazioni pratiche, non su dimostrazioni rigorose, come suggerisce l’assenza di riferimenti a teoremi geometrici noti (es. il metodo di Archimede per la quadratura della parabola).

In sintesi, il trattato documenta un metodo operativo per risolvere problemi di equivalenza tra superfici, tipico di un contesto in cui la geometria era ancora strettamente legata alla manualità e agli strumenti materiali. La sua rilevanza storica risiede nell’illustrare come concetti matematici astratti venissero tradotti in procedure concrete, utili sia per la scienza che per la tecnica militare dell’epoca.

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[10.1-15-380|394]

10 Misurazione delle strutture architettoniche e strumenti geometrici nel trattato scientifico

Il testo descrive metodi e strumenti per la misurazione di altezze, pendenze e distanze, con particolare attenzione alle mura inclinate e alle torri perpendicolari. L’autore illustra l’uso di uno strumento geometrico (probabilmente un quadrante o una squadra da bombardieri) e di tecniche di calcolo basate sulla proporzionalità e sulla divisione di scale graduate.

10.1 Strumento e misurazione delle pendenze

Il passaggio chiave riguarda la misurazione dell’inclinazione delle mura, espressa come rapporto tra altezza e pendenza: > “cominciando da quelle, che averanno per ogal 10 d’altezza uno di pendenza, fino a quelle, che abbino uno di pendenza per ogni uno e mezzo d’altezza” - (fr:381) [Partendo da quelle che hanno, per ogni 10 unità di altezza, 1 di pendenza, fino a quelle che ne hanno 1 per ogni 1,5 di altezza.]

Lo strumento viene descritto come dotato di una circonferenza divisa in linee trasversali (fr:380) e di un filo a piombo (fr:382), utilizzato per determinare l’inclinazione: > “Volendo servirci di tale Strumento, dobbiamo sospendere il filo da quel piccolo foro […] applicandolo sopra la costa opposta dello Strumento” - (fr:382) [Per usare lo strumento, si deve appendere il filo a un piccolo foro e posizionarlo sulla costa opposta, osservando dove il filo interseca la scala graduata.]

La lettura dei valori avviene tramite scale numeriche (es. 4, 5, 6), che indicano il rapporto pendenza/altezza: > “tagliando il numero 5, diremo quella tal muraglia aver per ogni 5 braccia d’altezza 1 di pendenza” - (fr:383) [Se il filo interseca il numero 5, la muraglia ha 1 unità di pendenza ogni 5 di altezza.]

10.2 Misurazione delle altezze perpendicolari

Per le altezze accessibili (come torri), si propone un metodo basato sulla proporzionalità geometrica, usando un’asta o pali misurati a terra: > “venendo nel punto B ci discosteremo verso C piantando 160 pali […] notando i punti tagliati dal filo DI […] tanti pali diremo contenersi nell’altezza AB” - (fr:388) [Allontanandosi dalla base della torre e piantando pali, si osserva dove il filo dello strumento interseca la scala: il numero di pali corrisponde all’altezza.]

Per le altezze inaccessibili, si introduce una regola di calcolo basata sulla divisione di 000 per il valore letto sullo strumento: > “divideremo per esso il numero 10000, e l’avvenimento sarà il numero delle misure che nell’altezza si conterranno” - (fr:388) [Esempio: se il filo taglia il punto 50, si divide 10000 per 50, ottenendo 200 come misura dell’altezza.]

10.3 Scala graduata e compasso aritmetico

Lo strumento è descritto come una circonferenza divisa in 200 parti (fr:386), utilizzabile per misurare altezze, distanze e profondità. L’autore sottolinea la versatilità del metodo, che riduce i calcoli complessi grazie alle linee aritmetiche di un compasso: > “voglio che i computi più laboriosi […] siano senza fatica alcuna ritrovati col mezzo del Compasso sopra le linee Aritmetiche” - (fr:392-394) [I calcoli difficili vengono semplificati usando un compasso con scale aritmetiche.]

10.4 Significato storico e tecnico

Il testo riflette una pratica ingegneristica rinascimentale, dove la misurazione delle strutture (mura, torri) era essenziale per la fortificazione e l’architettura militare. L’uso di strumenti graduati e di proporzioni matematiche testimonia l’adozione di metodi empirici e geometrici tipici del XVI-XVII secolo, precedenti allo sviluppo del calcolo infinitesimale. La menzione di ”Squadra di Bombardieri” (fr:382) suggerisce un’applicazione anche in ambito balistico, legata alla traiettoria dei proiettili.

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[11.1-50-407|456]

11 Metodi geometrici per la misurazione indiretta di distanze e altezze nel trattato scientifico

Un sistema di calcolo pratico basato su strumenti ottici e proporzioni aritmetiche per determinare grandezze inaccessibili.

Il testo descrive tecniche di misurazione indiretta di altezze, profondità e distanze mediante l’uso di uno strumento ottico (probabilmente un quadrante geometrico o un simile dispositivo di rilevamento) e calcoli proporzionali. Le procedure si fondano su principi di geometria euclidea e trigonometria elementare, applicati attraverso osservazioni angolari e rapporti tra segmenti noti e incogniti.

11.1 Misurazione delle altezze

Il metodo per calcolare l’altezza di un monte o di una torre si basa su due stazioni di osservazione e sulla proporzionalità tra i segmenti visivi. Ad esempio: 1. Prima osservazione (fr:407): > “È fivedeile, come faria l’altezza del Monte 4B; fendo nel punto C traguarderemo la fommità 4 notando i punti I tagliati dal perpendicolo DI, i quali siano, per esempio 20” Si registra il numero di punti (20) tagliati dal filo a piombo dello strumento. 2. Seconda osservazione (fr:407): > “dipoi accostandoci verso il Monte 109 pali innanzi, venendo nel punto E traguarderemo l’istessa fommità, notando i punti F, i quali siano 22” Si ripete la misura da una distanza minore (109 pali), ottenendo 22 punti. 3. Calcolo (fr:407): > “devonsi multiplicare tra loro questi due numeri 20, e 22, fanno 440, e questo si divida per la differenza delli medesimi numeri, cioè per 2, ne viene 220, e tanti pali diremo esser alto il Monte” La formula applicata è: [ = = = 220 . ] Questo metodo sfrutta la similitudine dei triangoli formati dalle linee di vista e dal suolo.

Per altezze poste su altre altezze (es. una torre su un monte), il procedimento si complica: - Si misura prima l’altezza complessiva (torre + monte) da due stazioni (fr:411). - Si sottrae l’altezza della base (monte) misurata separatamente (fr:412), ottenendo l’altezza della torre: > “mifurinsi i passi tra le due Stazioni DF, quali siano per esempio 130, e questo numero si multiplichi per 18 punti, ne verrà 2340, il qual numero si divida per 100, ne viene 23; e due quinti, e tanti passi sarà alta la Torre” Qui la formula è: [ = . ]

11.2 Misurazione delle profondità

Per pozzi o dislivelli, il testo propone due approcci: 1. Profondità tra linee parallele (fr:416): > “voltando l’occhio dello Strumento […] notando il numero tagliato dal filo, il quale sia […] 56; poi si consideri quante volte questo numero entra in 100, e tante volte diremo la torre essere contenuta nella profondità BD” Se il filo taglia 56 punti, la profondità è ( ) volte l’altezza dello strumento (o di un segmento noto). 2. Profondità senza visibilità della base (fr:417): > “alziamoci sopra il Monte […] notando i punti tagliati dal filo FG, che siano v.g. 32, dipoi scendendo nel punto D […] notando parimente i punti 30, e presa la differenza di questi due numeri, cioè 2, veggasi quante volte entra nel minor dei due numeri, e veduto che vi entra 15 volte diremo l’altezza del Monte essere 15 volte più dell’altezza FD” Qui si usa la differenza tra le due misure (32 e 30) per determinare il rapporto tra l’altezza incognita e un segmento noto (FD).

11.3 Misurazione delle distanze

Il testo distingue tra distanze accessibili e inaccessibili, proponendo soluzioni diverse:

1. Distanza tra due punti visibili da una linea retta (fr:420): > “traguarderemo con la costa AF l’estremità B notando i punti DE tagliati dal perpendicolo, quali siano […] 5, e quante volte questo numero entra in 100, tante volte diremo l’altezza AC entrare nella larghezza CB” Se il filo taglia 5 punti, la distanza CB è ( = 20 ) volte l’altezza AC (misurata separatamente).

2. Distanza con angolo retto (fr:425-427): Si usa un triangolo rettangolo con base nota (100 pali) e angoli misurati dallo strumento. La formula finale (fr:427) è: [ = = = 975 . ] Questo metodo combina il teorema di Pitagora e la proporzionalità.

3. Distanza tra due punti non allineati (fr:436-446): Si misurano due angoli da due stazioni diverse e si applica una formula complessa basata su:

   • Prodotto delle distanze tra stazioni e punti osservati.
   • Differenza tra i quadrati dei punti tagliati dai raggi.
   • Radice quadrata della somma di quadrati (fr:437): > “multiplichisi il numero de passi tra le due stazioni, cioè 160 per 100 fa 160000, e questo si deve divider per i due numeri de punti separatamente […] e ne verranno due numeri 8000 e 10667, de quali se ne deve pigliar la differenza […] e questa si deve multiplicar in se stessa […] e aggiungere al quadrato del numero de passi”. Il risultato finale è la radice quadrata di questa somma.

11.4 Uso dello strumento e calcoli pratici

Il testo insiste sull’uso delle linee aritmetiche (probabilmente scale logaritmiche o proporzionali) incise sullo strumento per semplificare i calcoli. Ad esempio (fr:429-431): > “aggiusta lo Strumento, sicché le linee Aritmetiche siano tra di loro ad angoli retti […] prendi la distanza trasversale tra il punto 100 e il maggior de’ due numeri tagliati da raggi […] e applicala trasversalmente alla differenza dei due numeri”. Questo permette di evitare calcoli manuali complessi, riducendo le operazioni a misurazioni dirette sullo strumento.

11.5 Significato storico e tecnico

1. Contesto scientifico: Le tecniche descritte risalgono probabilmente al XVI-XVII secolo, periodo in cui la geodesia pratica e l’astronomia osservativa si svilupparono grazie a strumenti come quadranti, astrolabi e compassi. Il testo riflette l’influenza di autori come Galileo Galilei (per l’uso di strumenti ottici) o Simon Stevin (per i metodi proporzionali).

2. Innovazione metodologica:

   • Standardizzazione delle misure: L’uso di “pali” o “passi” come unità di misura unificate.
   • Riduzione degli errori: Le formule proporzionali minimizzano l’impatto di misurazioni angolari imprecise.
   • Applicabilità pratica: I metodi sono pensati per ingegneri, architetti o topografi, con esempi concreti (monti, torri, pozzi).

3. Limiti e ambiguità:

   • Dipendenza dalla visibilità: Le tecniche richiedono punti di riferimento visibili (es. la base di un monte).
   • Approssimazioni: I calcoli usano spesso valori arrotondati (es. “in circa” in fr:415).
   • Strumento non descritto: Non è chiaro se il “quadrante” sia un semplice goniometro o un dispositivo più complesso con scale aritmetiche.

11.6 Termini e concetti chiave

• Traguardare: Osservare un punto attraverso lo strumento, allineando il filo o la costa.
• Punti tagliati: Unità di misura angolare o lineare lette sullo strumento (es. 20, 22, 56).
• Linee Aritmetiche: Scale incise sullo strumento per calcoli proporzionali.
• Pali/passi: Unità di misura lineare (probabilmente equivalenti a ~1.5-2 metri).
• Similitudine dei triangoli: Principio geometrico alla base di tutti i metodi.

[12]

[12.1-15-462|476]

12 Lo strumento delle proporzioni: fabbrica e applicazioni geometriche

Un trattato seicentesco rivela la costruzione e l’uso di uno strumento matematico per risolvere problemi euclidei, bilanciando praticità artigianale e rigore teorico.

Il testo descrive la fabbrica e l’applicazione di uno strumento geometrico, probabilmente un compasso di proporzione o un regolo calcolatore ante litteram, concepito per risolvere problemi di geometria pratica senza richiedere profonde conoscenze teoriche. L’autore giustifica la scelta di ometterne la costruzione nel trattato precedente (fr:466), motivandola con l’intento didattico di guidare all’uso piuttosto che alla fabbricazione: “il di lui instituto fù folamente […] di guidare ifuoi Scolari alla pratica, È CTS ed all’ ufo dello Strumento già fabbricato”, rivolgendosi a chi “la cagione nella Geometria, o non vogliano imparare, o non poffono”. Tuttavia, per soddisfare chi desidera comprenderne a fondo il funzionamento, ne illustra ora la costruzione dettagliata.

12.1 La fabbricazione dello strumento

La descrizione tecnica (fr:468) prevede la realizzazione di due regole identiche in ottone o altro materiale rigido, lunghe un piede e larghe due dita, incernierate a un’estremità tramite un chiodo che ne consenta il movimento simmetrico: “Faccianfi adunque due Regole totalmente eguali […] le quali foprapofti simoponghino, e fi congiunghino con un chiodo tondo in guisa, che intorno di lui fi poffino le Regole muovere uniformemente”. La massima apertura forma una linea retta di due piedi, mentre la presenza di cerchi incisi su una delle regole limita la vicinanza al centro, problema risolto aggiungendo due lamine rettangolari (fr:469) per estendere le divisioni fino all’origine: “torna molto in acconcio il coniccare congruentemente due altre lamine rettangole […] in guifa che gli Angoli dell’uno, e l’altro convenghino nel centro”.

12.2 Le linee e le loro divisioni

Lo strumento ospita multiple scale proporzionali, ciascuna identificata da una lettera (fr:473), per evitare confusione: “per fuggire la confufione, ciafcheduna linea fi fegnarà con lettera d’alfabeto”. Tra queste, la linea aritmetica (fr:475) occupa un ruolo centrale, essendo divisa in parti uguali secondo la progressione aritmetica: “la quale è contrafegnata con la Lettera A […] divifa feconde l’Aritmetica proporzione, cioè a dire, con un’ eccetto eguale”. La sua versatilità è sottolineata dalla capacità di replicare divisioni proporzionali su qualsiasi segmento dato (fr:471): “molte linee in qualunque maniera divife in lui potfono eflerinferitte, col beneficio delle quali, data qualunque altra linea, potiamo noi dividere nella proporzione medefima”.

12.3 Finalità e limiti

L’autore dichiara esplicitamente di non voler esaurire tutte le possibili applicazioni dello strumento (fr:472), lasciando spazio all’ingegno individuale: “il voler di tutte difcorrere farebbe cofa infinita […] con la quale ogn’ uno potrà ritrovare altri ufi”. Tuttavia, ne enfatizza l’eccellenza (fr:470) e la capacità di risolvere problemi sia euclidei che di altro tipo (fr:462): “Nella Terza fî dimoftra l’ufo del medefimo Strumento nel rifolvere î Problemi, sì d’Euclide, come degl’ altri”. La scelta di privilegiare la praticità emerge anche nella decisione di descrivere le divisioni solo su una metà dello strumento, data la simmetria delle scale (fr:473): “dall’ una, el’altra parte, è la medefima raggione della divifione”.

12.4 Significato storico

Il testo testimonia la transizione tra teoria e pratica nella matematica del XVII secolo, riflettendo un approccio didattico che antepone l’operatività alla speculazione. Lo strumento, probabilmente ispirato a dispositivi come il compasso di Galileo (1597), incarna l’ideale rinascimentale di un sapere accessibile anche ai non specialisti, pur senza sacrificare il rigore. La menzione di Euclide e la cura nelle divisioni proporzionali rivelano inoltre il tentativo di conciliare la tradizione classica con le esigenze di una scienza sempre più applicata.

[13]

[13.1-17-484|500]

13 La scomposizione in fattori primi e la divisione geometrica nel trattato scientifico

Il testo presenta un metodo sistematico per la scomposizione in fattori primi di numeri composti e ne applica i principi alla divisione geometrica di una linea in parti uguali. L’autore illustra un procedimento algoritmico, basato sulla divisione ripetuta per numeri primi, che rivela sia una finalità aritmetica sia una pratica, legata alla misurazione e alla costruzione di strumenti.

13.1 La scomposizione in fattori primi: metodo e esempio

Il nucleo concettuale ruota attorno alla ricerca dei divisori primi di un numero composto, descritta come un processo iterativo in cui il numero dato viene diviso per il più piccolo numero primo possibile, ripetendo l’operazione sul quoziente ottenuto fino a ottenere un risultato primo. La frase (484) enuncia il principio generale: > “Si ritrovano poi i primi divifori de’ numeri compotti, (eil dato compotto numero fino a quanto si puole , dal minimo primo venga divifo, e il numero quoziente , è per il medesimo primo, ovvero per un’altro seguente fino a tanto si divida , che finalmente il quoziente fia [primo].” La procedura è chiarita attraverso l’esempio del numero 462, come indicato in (486): > “Sia per cagion d’esempio il dato composto 462, di cui primi divisori faccia mestieri di ritrovare.” Il testo dettaglia passo dopo passo le divisioni successive: 1. Divisione per 2 (il più piccolo numero primo), che dà quoziente 231 (487-488). 2. Divisione di 231 per 3, ottenendo 77 (488). 3. Divisione di 77 per 7 (non per 5, poiché non divisibile), ottenendo 11, che è primo (488). La rappresentazione tabellare in (489) sintetizza il processo: > “462 | 2 > 231 | 3 > 77 | 7 > 11” I fattori primi risultanti (2, 3, 7, 11) sono elencati in (490), e il testo sottolinea che moltiplicandoli si ricostruisce il numero originale (491): > “Pertanto il dato numero composto a questi quattro divisori primi 11, dalli quali dotati artienat; multiplicati quell’ istesso si formerà.”

13.2 Applicazione geometrica: divisione di una linea

Il metodo aritmetico viene esteso a un problema pratico: la divisione di una linea in parti uguali, illustrato per i casi di 100 e 1000 segmenti. L’autore suggerisce di scomporre il numero di parti desiderato nei suoi fattori primi e di applicare le divisioni geometriche in sequenza, seguendo l’ordine dei divisori. Per 100, i fattori primi sono 2, 2, 5, 5 (492-494). La procedura descritta in (494) prevede: > “la linea proposta doversi prima dividere in due parti eguali, e di queste qual tu vuoi di nuovo in due, e di queste qual piaci in 5, e di queste qual piace di nuovo in 5, conforme i primi divisori sono ordinatamente succedenti, e sarà tutta la linea divisa in 100 particelle cercate.” Analogamente, per 1000 (fattori primi: 2, 2, 2, 5, 5, 5 (495-498)), si ripete la divisione per 2 tre volte e per 5 tre volte (498): > “si farà primieramente la divisione in due parti eguali, dipoi di ciascheduna di nuovo in due ecc., conforme l’ordine de’ divisori, e si averanno le parti ricercate.” Il testo accenna infine a un’applicazione concreta, citando il numero 250 come misura ottimale per uno strumento di lunghezza pari a un piede (500), suggerendo un legame tra la teoria e la costruzione di dispositivi di precisione.

13.3 Significato storico e peculiarità

Il brano riflette una metodologia pre-moderna di calcolo e misurazione, tipica dei trattati scientifici del XVI-XVII secolo, dove l’aritmetica e la geometria erano strettamente interconnesse. La scomposizione in fattori primi, sebbene oggi considerata elementare, rappresentava all’epoca uno strumento avanzato per risolvere problemi pratici, come la taratura di strumenti o la suddivisione di spazi. Due aspetti peculiari emergono: 1. L’approccio algoritmico: il testo descrive un procedimento meccanico, quasi “ricorsivo”, che anticipa l’idea di algoritmo, pur senza formalizzarlo in termini moderni. 2. L’integrazione tra teoria e pratica: la transizione dalla scomposizione numerica alla divisione geometrica mostra come la matematica fosse concepita come disciplina applicata, al servizio di esigenze tecniche o artigianali.

L’assenza di simboli algebrici e l’uso di una notazione verbale e tabellare (come in (489)) testimoniano inoltre lo stadio evolutivo della matematica dell’epoca, ancora legata a una tradizione retorica piuttosto che simbolica.

[14]

[14.1-10-557|566]

14 La misurazione geometrica nei trattati scientifici del XVII secolo: precisione e strumenti

Il testo analizzato affronta il problema della misurazione accurata di lunghezze e proporzioni geometriche, con particolare attenzione alla suddivisione di intervalli minimi e all’uso di strumenti come il Canone. Emergono due temi centrali: la precisione nella divisione delle unità di misura e la rappresentazione numerica delle proporzioni attraverso esempi concreti.

14.1 La suddivisione delle unità di misura

Il passaggio chiave riguarda la difficoltà di dividere intervalli estremamente piccoli, come una decima parte di una linea o di un diametro. La soluzione proposta è gerarchica: 1. Si divide dapprima l’unità in 10 parti (decimi). 2. Ciascuna di queste parti viene ulteriormente suddivisa in 100 particelle (centesimi), ma per limiti pratici si procede a una divisione in 10 parti (decimi di decimo), affidando all’”attenta avvertenza dell’occhio” la stima delle frazioni residue. > “Ma qualunque decima parte, ovvero certamente una di queste l’istessa balterebbe, dovrebbe dividersi in 100 particelle, ma per la picciolezza dell’intervallo, non potendosi cotal divisione istituire, si faccia la divisione in parti 10, e di queste decime ciascuna con un’attenta avvertenza dell’occhio in altre 10 particelle si divida” - (fr:558) [Traduzione letterale].

Questo metodo riflette una tensione tra precisione teorica e limiti pratici, tipica delle misurazioni pre-moderne, dove l’occhio umano e la manualità dello strumento giocano un ruolo cruciale.

14.2 Il Canone come strumento di calcolo

Il Canone è presentato come uno strumento per determinare lunghezze proporzionali, come i lati di quadrati in rapporto geometrico (es. doppio, triplo). Gli esempi numerici sono espressi in un sistema misto: - Punti cardinali: unità di base (es. diametro principale o decima parte della linea). - Centesimi di decima: frazioni residue, spesso stimate visivamente. > “Il lato del secondo quadrato, il quale è doppio al primo, si ritrova nel Canone 141, con i quali numeri s’accenna la quantità del lato proposto essere una lunghezza, la quale consta d’una decima parte di tutta la linea, ovvero d’un diametro principale, ed in oltre di 41 centesimi d’una decima, de’ quali centesimi 40 certamente dalla linea divisa prender si possono, uno poi rimanente alla stima dell’occhio si lascia” - (fr:560) [Traduzione letterale].

Qui emerge una gerarchia di precisione: - Le 40 parti sono misurabili con certezza. - La 41ª parte è affidata alla stima visiva, introducendo un margine di approssimazione.

Analogamente, per il triplo quadrato (fr:561), il Canone fornisce il valore 173, composto da: - 1 diametro principale (decima parte della linea). - 73 centesimi di decima.

14.3 Progressione geometrica e limiti pratici

Il testo descrive una sequenza di quadrati (secondo, quarto, quinto) i cui lati sono determinati tramite il Canone e suddivisi in unità sempre più piccole. Tuttavia, si suggerisce un metodo alternativo per evitare errori: > “Benchè se tu passerai il diametro non comporta la spesa che ad uno, ad uno vadi cercando gli altri diametri, avvenga che basti il proseguire con una divisione per cinque, e dividere li spazzi intermedi in cinque parti eguali, perciò che in questa forma non si può commettere alcun errore sensibile” - (fr:565-566) [Traduzione letterale].

Questo passaggio rivela una preoccupazione per l’efficienza: la divisione in cinque parti (invece che in dieci) riduce la complessità operativa senza compromettere la precisione percepibile.

14.4 Significato storico e metodologico

Il testo testimonia: 1. L’evoluzione degli strumenti di misura: il Canone rappresenta un tentativo di standardizzare le proporzioni geometriche, anticipando strumenti come il regolo calcolatore. 2. La matematizzazione della realtà: l’uso di frazioni (decimi, centesimi) riflette l’influenza della rivoluzione scientifica seicentesca, che cercava di tradurre fenomeni naturali in numeri. 3. I limiti della tecnologia: la dipendenza dall’”occhio” e dalla stima visiva evidenzia come la precisione fosse ancora vincolata alle capacità umane e agli strumenti dell’epoca.

Le ambiguità terminologiche (es. diametro principale vs. punti cardinali) suggeriscono un linguaggio tecnico in via di definizione, tipico di un sapere in transizione tra tradizione artigianale e scienza moderna.

[15]

[15.1-31-622|652]

15 Proporzioni e misurazioni dei metalli nella scienza rinascimentale

Un trattato sulle relazioni ponderali tra metalli e materiali, basato su esperimenti e fonti autorevoli, con riflessioni sulle variazioni intrinseche alla materia.

Il testo analizza le proporzioni di peso tra metalli e altri materiali, fondandosi su principi geometrici e sperimentali. L’autore parte dalla stereometria – la disciplina che studia i volumi solidi – per determinare i rapporti tra masse di metalli diversi, sia in condizioni di volume uguale che di peso uguale. La chiave interpretativa risiede nella relazione tra diametro, volume e densità, come espresso in:

“Avuti dunque i diametri dell’uno, e l’altro globo egualmente pesanti, non farà difficile conferir quelli trà di loro nella linea Stercometrica, e andar cercando la proporzione di questi Metalli” - (fr:622) [Ottenuti i diametri di due sfere di peso uguale, non sarà difficile confrontarli nella scala stereometrica per determinare il rapporto tra i metalli.]

Il metodo si articola in due approcci complementari: 1. Sfere di uguale grandezza: il peso rivela direttamente la proporzione tra i metalli (“quando i globi sono eguali in grandezza, […] si conosce per il numero del peso” - fr:623). 2. Sfere di uguale peso ma diversa grandezza: i diametri, riportati su una scala stereometrica, permettono di dedurre il rapporto (“quando è globi sono egualmente pesanti, ma di grandezza ineguali” - fr:623).

L’esempio pratico dell’oro e del rame illustra il principio. Una sfera d’oro e una di rame di pari volume mostrano che “la palla d’oro pesa il doppio della palla di rame” (fr:625-626). Viceversa, se le sfere hanno lo stesso peso, il diametro della sfera di rame sarà maggiore: “se tu stabilirai il diametro della palla d’oro nelle linee Stercometriche tra 1 e 1, tu vedrai il diametro della palla di rame essere congruente al 2” (fr:628). L’autore precisa che non è il rame a essere doppio dell’oro, ma l’oro a essere doppio del rame (“non già che il rame sia doppio all’oro, ma all’incontro questo è doppio di quello” - fr:629), sottolineando l’importanza dell’ordine nella proporzione.

Le proporzioni tra metalli sono presentate con precisione numerica, attingendo a fonti autorevoli. Per l’oro e l’argento, il rapporto è di 100:60 (o semplificato in 5:3), definito “superbipartiens” (fr:630). Tuttavia, l’autore cita Lazarus Ercker, sovrintendente boemo alle miniere, che riporta un rapporto diverso: “l’oro puro all’argento puro essere come 46 libre e 8 fermioni a 22 libre e 4 fermioni” (fr:630), equivalente a 6438:3636 (ridotto a 1622:909, ovvero 1,78:1). Pur riconoscendo la competenza di Ercker (“A questo come valoroso e peritissimo artefice non gli negheremo il credergli” - fr:632), l’autore ammette discrepanze tra le fonti.

Le proporzioni tra altri metalli sono derivate per composizione di rapporti. Ad esempio, noto che l’oro sta al rame come 2:1 e l’argento all’oro come 909:1622, si ottiene che l’argento sta al rame come 909:800 (circa 1,14:1). Analogamente, l’oro al piombo è 20:13 (“superseptupartiens decimatertia” - fr:636), mentre il piombo all’argento risulta 10543:5090 (semplificato in 105:91). Le relazioni tra ferro, stagno e altri metalli seguono lo stesso principio, con rapporti come 12:5 (oro/ferro), 126:125 (stagno/ferro), e 42:45 (stagno/piombo) (fr:637-639).

L’autore riconosce però che queste proporzioni non sono assolute. Le variazioni dipendono dalla purezza del metallo, dal trattamento (battuto vs fuso) e persino dalla provenienza: “l’oro si ritrovi più grave, e più leggiero dell’oro; il piombo più grave, e più leggiero del piombo” (fr:641). Il battere un metallo ne aumenta la densità rispetto allo stato fuso, poiché “le di lui parti […] si costringono e più solidamente s’uniscono” (fr:641). Questa consapevolezza porta a una conclusione pragmatica: “tu invano l’esattezza cercheresti” (fr:641).

Oltre ai metalli, il testo estende l’analisi ad altri materiali. Lazaro Rivio e Adriano Romano forniscono dati sul rapporto tra ferro e pietra: il primo stima 38:15 (circa 100:40), il secondo 20:9 (fr:644-645). L’autore conferma sperimentalmente un rapporto di 100:32, basato su misurazioni di palle d’artiglieria: una sfera di ferro di 66 libre e 6 once e una di pietra di 43,5 libre (fr:646). La proporzione tra i diametri (68:190) elevata al cubo (“triplicata la proporzione”) restituisce il rapporto ponderale (fr:647).

Infine, il marmo pario è incluso nella scala comparativa, con proporzioni derivate da strumenti fabbricati secondo le indicazioni dell’autore: rispetto all’oro è 31:200, all’argento 167:606, al piombo 31:130, e alla pietra comune 93:64 (fr:649). Per facilitare l’uso pratico, le proporzioni discrete sono convertite in proporzioni continue (fr:650-651), dove ogni metallo è rapportato a un termine di riferimento (es. oro = 65, argento = 50).

Il trattato riflette una metodologia scientifica rinascimentale, che unisce: - Geometria solida (stereometria) per correlare volumi e pesi. - Sperimentazione diretta (misurazione di palle d’artiglieria). - Fonti autorevoli (Ercker, Rivio, Romano) come base teorica. - Consapevolezza dei limiti della precisione, data la variabilità intrinseca dei materiali.

Le proporzioni elencate non sono mere astrazioni, ma strumenti operativi per artigiani, ingegneri e scienziati, utili nella lavorazione dei metalli, nella costruzione di strumenti e nella valutazione delle materie prime.

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[16.1-18-719|736]

16 Calcolo dei lati dei poligoni regolari inscritti in un cerchio: un trattato geometrico rinascimentale

Il testo presenta una serie di calcoli geometrici relativi ai lati dei poligoni regolari inscritti in un cerchio di raggio 100.000, espressi attraverso archi, seni e rapporti trigonometrici. L’autore adotta un sistema di misura basato su gradi, scrupuli primi (minuti) e scrupuli secondi (secondi), tipico della tradizione astronomica e matematica pre-moderna, e fornisce valori numerici approssimati per i lati di figure da 3 a 20 lati.

16.1 Metodo di calcolo e definizioni chiave

Il procedimento si basa sulla relazione tra l’arco sotteso da un lato del poligono e il seno della metà di tale arco, moltiplicato per due per ottenere la lunghezza del lato. Ad esempio, per l’esagono (6 lati): > “L’arco dell’efagono feritto è di gradi 60, la cui metà è gradi 30, il feno de quali g0000; il quale raddoppiato è lato dell’efagono, il quale torna il medesimo con’il raggio 100000” - (fr:719) [L’arco dell’esagono inscritto è di 60°, la cui metà (30°) ha seno 000; raddoppiato, dà il lato dell’esagono, che coincide con il raggio di 000]. Questo caso evidenzia una proprietà nota: il lato dell’esagono regolare inscritto è uguale al raggio del cerchio.

Per poligoni con un numero maggiore di lati, i calcoli diventano più complessi. Ad esempio, per il dodecagono (12 lati): > “L’arcodel dodecangolo è di gradi 30, la cui metà gradi 15 ne dà il feno 25882, il cui duplo 51764 è lato del dodecangolo” - (fr:725) [L’arco del dodecagono è di 30°, la cui metà (15°) ha seno 882; raddoppiato, dà il lato di 764]. Qui, il valore del seno di 15° (25.882) è approssimato, ma coerente con le tavole trigonometriche dell’epoca.

16.2 Tabella riassuntiva dei lati

Il testo culmina in una tabella sintetica (fr:735) che elenca i lati dei poligoni da 3 a 20 lati, normalizzati per un raggio di 000: - Triangolo (3 lati): 205 - Quadrato (4 lati): 421 - Pentagono (5 lati): 558 - Esagono (6 lati): 000 - Ettagono (7 lati): 776 - Ottagono (8 lati): 536 - Nonagono (9 lati): 404 - Decagono (10 lati): 803 - Undecagono (11 lati): 326 - Dodecagono (12 lati): 764 - Tredicagono (13 lati): 863 - Quattordicagono (14 lati): 504 - Quindicagono (15 lati): 582 - Sedicagono (16 lati): 018 - Diciassettenagono (17 lati): non riportato - Diciottenagono (18 lati): 729 - Diciannovagono (19 lati): 918 - Ventagono (20 lati): 286

La tabella include un errore evidente: il lato del diciannovagono (fr:732) è riportato come 918, ma nella sintesi (fr:735) manca il valore per il 17 lati, mentre il 19 lati è indicato come “3918”* (probabilmente un refuso per 918). Inoltre, il valore per il quattordicagono (fr:728) è 504, ma nella tabella compare come 593, suggerendo un’approssimazione o un errore di trascrizione.

16.3 Significato storico e tecnico

Il testo riflette la tradizione trigonometrica rinascimentale, influenzata da autori come Tolomeo e Regiomontano, che combinava geometria euclidea e calcoli astronomici. L’uso di scrupuli (minuti e secondi) e la normalizzazione del raggio a 000 erano pratiche comuni per semplificare i calcoli manuali, evitando frazioni complesse. La precisione dei valori (ad esempio, il seno di 15° come 882, molto vicino al valore moderno di ~25.8819) testimonia l’affidabilità delle tavole trigonometriche dell’epoca.

Un elemento peculiare è l’assenza di formule generali: ogni poligono è trattato singolarmente, con calcoli ripetuti per archi e seni. Questo approccio, tipico dei trattati pre-algebrici, sottolinea la dipendenza da tavole numeriche e metodi iterativi. La menzione di poligoni come l’undecagono (11 lati) o il tredicagono (13 lati), non costruibili con riga e compasso, suggerisce un interesse per la quadratura del cerchio o la costruzione approssimata di figure regolari, tema centrale nella matematica del XVI secolo.

16.4 Ambiguità e limiti

• Notazione: L’uso di simboli come “g” per gradi o “f” per scrupuli (es. “ferupuli”) è idiosincratico e può generare confusione. Ad esempio, in (fr:721), “gradi g1 con trè ‘fettine parti” indica 91° 25’ 43”.
• Errori: Oltre alle discrepanze nella tabella, alcuni valori sembrano arrotondati in modo grossolano (es. il seno di 10° 35’ 18” in (fr:731) è dato come 375, un valore anomalo rispetto agli altri).
• Omissioni: Non viene spiegato come siano stati ottenuti i valori dei seni, né se si basino su tavole preesistenti o calcoli originali.

Il trattato rappresenta un documento di transizione tra la geometria classica e i metodi analitici moderni, dove la precisione numerica inizia a sostituire le dimostrazioni puramente geometriche. La sua struttura, pur ripetitiva, offre una testimonianza concreta delle tecniche usate per risolvere problemi pratici di misurazione e costruzione.

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[17.1-16-741|756]

17 La costruzione geometrica dei raggi poligonali in un trattato scientifico rinascimentale

Un metodo pratico per determinare i rapporti tra raggi e lati di figure regolari inscritte in cerchi, attraverso tavole numeriche e strumenti di misura.

Il testo analizzato presenta un procedimento geometrico-matematico per calcolare i raggi dei cerchi circoscritti a poligoni regolari, con particolare attenzione alla loro rappresentazione su strumenti di misura. L’autore sviluppa un sistema di proporzioni basato su una tavola numerica di riferimento (fr:741-742), dove i valori sono espressi in parti millesimali per garantire precisione.

Il concetto centrale ruota attorno alla relazione tra lato del poligono e raggio del cerchio circoscritto. La frase “fendo tu per ritrovare il triangolo del cerchio, che circonferive il raggio nelle parti millefime” (fr:742) [essendo tu per trovare il triangolo del cerchio che circoscrive il raggio in parti millesimali] introduce l’uso di una scala normalizzata (1000 parti) per uniformare le misure. Questa scelta permette di stabilire proporzioni come: “come è 173205 (perocché tu vedi nella tavoletta antecedente queste numero convenire al lato del triangolo) al raggio 10000, così il lato dato 1000 al raggio 577” (fr:742). Qui emerge un principio di omotetia: i rapporti tra lati e raggi rimangono costanti indipendentemente dalla scala, purché espressi nelle stesse unità.

La costruzione dello strumento di misura (fr:743) richiede una divisione precisa di una linea in parti uguali, operazione descritta come “dividerai in 1000 parti eguali, cioè primieramente in 10, poi ciascuna di queste decime in altre 100” (fr:743). Tuttavia, l’autore evidenzia una difficoltà pratica: il raggio del ventagono (3196 parti) ha divisori primi scomodi (2 e 799), rendendo “molto difficile” (fr:744) la suddivisione esatta. La soluzione proposta è approssimare il valore a 3200, i cui divisori (2⁶ × 5) sono più maneggevoli (fr:745-751).

Per semplificare il lavoro, l’autore fornisce una seconda tavola (fr:752-756) dove tutti i raggi sono ricalcolati assumendo il raggio del ventagono pari a Il metodo di conversione è esplicitato nell’esempio: “come è 3196 (raggio vent’angolare nella superiore tavoletta) al 577 (raggio triangolare ivi), così il 1000 (raggio vent’angolare ora preso) al 180” (fr:754). Questa normalizzazione permette di trasferire i valori direttamente sullo strumento, usando un “compendio del parallelogrammo” (fr:752) come tecnica di riporto.

La tavola finale (fr:756) sintetizza i risultati, elencando per ciascun poligono (triangolo, quadrato, pentagono, ecc.) il corrispondente raggio in parti millesimali. L’approccio rivela una tensione tra precisione teorica e praticità operativa, tipica della scienza rinascimentale, dove la necessità di strumenti affidabili per artigiani e ingegneri si scontra con i limiti delle tecniche di misura. L’uso di approssimazioni (come il passaggio da 3196 a 3200) e la standardizzazione delle unità riflettono un metodo che anticipa le tabelle trigonometriche moderne, pur rimanendo ancorato a una logica proporzionale pre-newtoniana.

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[18.1-15-862|876]

18 Proporzioni e misure dei metalli: un confronto tra densità e volumi nel trattato scientifico

Il testo analizza le proporzioni di densità e volume tra i metalli, basandosi su osservazioni e misurazioni attribuite a fonti come Bodino e Francesco Fullo Candala (probabile riferimento a Francesco Maurolico o a un errore di trascrizione). L’autore presenta dati quantitativi, spesso espressi in rapporti numerici, per descrivere le differenze di peso specifico e la relazione inversa tra densità e volume a parità di massa.

18.1 Densità relative e proporzioni numeriche

Il nucleo del discorso ruota attorno alla gravità specifica dei metalli, confrontata attraverso rapporti matematici. L’oro emerge come il metallo più denso, con una proporzione tripla rispetto allo stagno: “Mal’oro allo ftagno più leggiero di tutti i Metalli è capaciflimo di corpo hà quafi tripla propor‘zione, cioè che è del 18 al7, ovvero più fottilmente del LOL PARTE PRIMA” - (fr:862) [L’oro rispetto allo stagno, il più leggero dei metalli, ha una proporzione di densità quasi tripla, cioè 18 a 7, o più precisamente 100 a 55 (interpretando “LOL PARTE PRIMA” come errore per “55 PARTE PRIMA”)].

Il ferro e l’argento mostrano una relazione più stretta, con un rapporto di circa 32 a 40 (o 634 a 929 in una misura più accurata): “Ilferro parimente e nell’ampiezza di core po, c nel pefò S’ avvicina all’ argento più degl’ altri; {mperocchè dell’ uno, € dell’altro, è quafi quella proporzione cheèdel3z al 4, ovvero acéuratiffimamente come 634 al 929” - (fr:863) [Il ferro, sia in volume che in peso, si avvicina all’argento più degli altri metalli, con una proporzione di circa 32 a 40, o più precisamente 634 a 929].

L’argento vivo (mercurio) viene descritto come meno denso dell’oro, ma con un volume maggiore a parità di peso, secondo un rapporto di 3 a 4 (o 1158 a 1191): “Finalmente l’argento vivo e in peiò, € in mole di corpo alloro proffimamente accolta, nientedimeno è più leggiere, e più capace dell’oro, ed hanno tràdi loro quafi quella proporzione , che hàil 3 al 4, ovvero accu= ratitlimamente come il 1158 al 11$1” - (fr:864) [Il mercurio, pur avendo un peso e un volume simili a quelli dell’oro, è più leggero e occupa più spazio, con una proporzione di circa 3 a 4, o più precisamente 1158 a 1191].

18.2 Relazione inversa tra densità e volume

L’autore sottolinea che a parità di massa, il volume di un metallo è inversamente proporzionale alla sua densità. Ad esempio, se l’oro è tre volte più denso dello stagno, un campione di stagno della stessa massa occuperà un volume triplo: “Ne Metalli la proporzione del volume , Ovvero della grandezza la medefima che de pefi, ma con ragione contraria, come l’oro è quafi trè volte più grave dello ftagno: adunque il volume dello agno, ovvero la di lui grandezza del medefimo pefo del quale farà la propolta mafla dell’oro, farà auafi trè volte pa grande, della mafla dell’oro” - (fr:865) [Nei metalli, la proporzione dei volumi è la stessa di quella dei pesi, ma inversa: poiché l’oro è quasi tre volte più pesante dello stagno, il volume dello stagno di pari massa sarà tre volte maggiore di quello dell’oro].

18.3 Metodi sperimentali e fonti

Il testo cita Francesco Fullo Candala come il primo a dimostrare queste relazioni attraverso esperimenti pratici, tra cui l’uso di una bilancia e di materiali porosi (come l’osso di seppia) per misurare la densità del mercurio: “Francefco Fullto Candala Archimede Francefe fù il primo, che ciò dimoftrafle pigliati fei corpi de Metalli della medefima longhezza, € Urali per il medefimo forame,.quelli con fottilifimi peli gl’appefe all’équilibrio ; e perché l’argento vivo non 1 poteva tirare impreffe un pezzolino d’oro, ovvero d ar gento in un’oflo di feppia, doppo trattone via l’oro riempì la concavità conl’argento vivo, doppo lo gettò nel concavo della Bilancia, acciò fapetle la gravità del pefo” - (fr:865) [Francesco Fullo Candala, un “Archimede francese”, fu il primo a dimostrarlo prendendo sei campioni di metalli della stessa lunghezza e facendoli passare per lo stesso foro, appendendoli con fili sottili all’equilibrio. Poiché il mercurio non poteva essere impresso in un pezzo d’oro o d’argento in un osso di seppia, dopo aver rimosso l’oro riempì la cavità con mercurio e lo pose sulla bilancia per misurarne il peso].

18.4 Incertezze e interpretazioni

L’autore riconosce limiti e discrepanze nelle misurazioni, attribuendole alla difficoltà di stabilire valori certi: “Quefte cofe dice Bodino, le quali perciò io hò: determinato d’addurle, acciò le cofe dette di foprain parte fi confermino , ed in parte fi lafci all’ elezione dal Lettore in quelle cofe, che fono alquanto differenti” - (fr:866) [Queste cose dice Bodino, e io ho deciso di riportarle affinché quanto detto sopra sia in parte confermato e in parte lasciato alla scelta del lettore per le questioni che presentano differenze]. “Imperocché in quefta materia non fi può {tabilir cofa di certo perla cagione apportata di fepra” - (fr:867) [In questa materia non si può stabilire nulla di certo per le ragioni sopra esposte].

18.5 Applicazioni pratiche: la “linea metallica”

Il testo suggerisce un’applicazione concreta di questi dati: la trasposizione dei diametri dei metalli su una “linea metallica” per confrontarne le proprietà. Le tavole allegate (fr:869-876) elencano i diametri di sfere di metalli di pari peso, con valori numerici per oro, argento vivo, ferro, piombo, stagno, marmo e altri materiali: “Ma fe danque piace ritenere le commemorate proporzioni date dal Bodino fi potranno i diametri deMotallitrasferire nella linea Metallica dall’ una dell’ aggiunte tavolette” - (fr:868) [Se si vogliono adottare le proporzioni riportate da Bodino, si potranno trasferire i diametri dei metalli sulla linea metallica usando una delle tavole allegate].

Le tavole presentano dati come: - Oro: 1000 (fr:875) - Argento vivo: 1000 ; 4084 (fr:876) [probabile errore di trascrizione, forse “1000” per l’oro e “4084” per un altro metallo] - Ferro: 1863 (fr:876) - Piombo: 17463 (fr:873) [valore anomalo, forse errore di lettura].

18.6 Significato storico e scientifico

Il testo riflette la tradizione rinascimentale e seicentesca di misurazione delle proprietà fisiche dei materiali, con un approccio che unisce empirismo e matematica. Le citazioni di Bodino e di un “Archimede francese” suggeriscono un contesto di scambi tra studiosi europei, mentre l’uso di strumenti come la bilancia e materiali naturali (osso di seppia) testimonia metodi sperimentali ancora rudimentali ma innovativi per l’epoca. Le incertezze espresse dall’autore rivelano una scienza in evoluzione, dove i dati quantitativi coesistono con margini di approssimazione e interpretazione.

[19]

[19.1-15-942|956]

19 La costruzione del compasso geometrico e la suddivisione del semicerchio in gradi

Il testo descrive un metodo per la suddivisione del semicerchio in gradi e la costruzione di un compasso geometrico basato su principi trigonometrici, con particolare riferimento alle corde degli archi. L’autore si rifà a una tradizione matematica che risale a Euclide e a trattati di trigonometria, come quello di Pitisco, per definire una procedura pratica di misurazione.

19.1 La divisione ternaria e la suddivisione del semicerchio

Il punto di partenza è la divisione del semicerchio in tre parti uguali, come suggerito da Pefpanfione (“Pefpanfione del compaflo al femudiametro li fomminittra fabito la divifione rernaria del femicircolo” - fr:942). Questa scelta non è casuale: il diametro, infatti, è “fortorendente alla sesta parte del cerchio, ovvero alla terza parte del semicircolo” (fr:942), il che rende la suddivisione ternaria un riferimento naturale. Tuttavia, l’autore osserva che una ulteriore suddivisione in cinque parti (“mala fubdivifione di ciafcheduna terza parte, fatta per cinque” - fr:945) sembra precedere quella in due o in tre, probabilmente per ragioni pratiche: “più facilmente noi distribuiamo l’arco del cerchio mentre è maggiore, che mentre gli è fatto minore” (fr:946-947). Questa preferenza per suddivisioni più ampie deriva dalla necessità di evitare errori di misurazione dovuti alla frammentazione in “particelle” troppo piccole.

19.2 La costruzione delle corde e l’uso del compasso

Il metodo prevede che, una volta stabilita la suddivisione, le corde di ciascun grado siano tracciate posizionando un piede del compasso a un’estremità del diametro e l’altro sui punti corrispondenti ai gradi (“le corde di ciafchedun grado hilaro un piede del compailo in quell’ eftremità del diametro” - fr:948). Tuttavia, l’autore riconosce un limite pratico: le corde degli ultimi gradi del semicerchio presentano differenze così minime da risultare quasi impercettibili (“le corde degli ultimi gradi del femicircolo non abbino tal differenza percettibile in guisa, che appena noi li potiamo pigliare” - fr:948). Per ovviare a questo problema, suggerisce di misurare solo le corde di gradi distanziati (ad esempio, “a 5, a 10, 20, 19” - fr:949) e di suddividere gli spazi intermedi direttamente sull’strumento (“poi fubdivida li spazj intermedj nell’ inftrumento in particelle eguali” - fr:949).

19.3 Il rapporto tra seno e corda: una regola geometrica

Un passaggio chiave riguarda la relazione tra seno e corda, fondamentale per il calcolo delle misure. L’autore spiega che “il seno retto fia la metà della sottotendente dell’arco doppio” (fr:952), ovvero che il seno di un arco è pari alla metà della corda del suo doppio. Questo principio, derivato dalla Proposizione 15 del Libro V di Euclide (“la ragione è per la 15 prop. del d’Euclide” - fr:952), permette di calcolare le corde partendo dai seni. Ad esempio, per trovare la corda di 45 gradi, si prende il seno della metà dell’arco (22°30’) e lo si raddoppia: > “se io voledlì sapere la corda de gradi 45 prendo la metà di quell’arco, cioè a dire 22 gradi, e 30 scrupuli, il cui seno è 38268 raddoppiato dà 76536 per corda dell’arco di gradi 45 nelle parti del raggio 100000” (fr:952).

Questa proporzione è giustificata dalla regola delle parti proporzionali: “come il numero tutto 200000, al tutto 76536, così la metà del medesimo 100000 al 38268” (fr:953), poiché “le parti con le parimente multiplici sono nella medesima proporzione” (fr:953). Da qui nasce l’idea di una “aggiunta tavoletta” (fr:953), uno strumento ausiliario che consente di ricavare facilmente le corde da un diametro diviso in 000 parti.

19.4 Standardizzazione delle misure e applicazione pratica

Il testo propone due approcci per la standardizzazione delle misure: 1. Diametro di 000 parti: utile per calcoli diretti, ma meno pratico per la costruzione dello strumento. 2. Diametro di 000 parti: preferito perché semplifica la trasposizione delle corde (“Benchè fia meglio aver tutte quelle corde in tali parti delle quali il diametro totale è 100000” - fr:952). In questo caso, il seno della metà dell’arco corrisponde direttamente alla corda desiderata (ad esempio, il seno di 22°30’ è 38268, che è anche la corda di 45° in un diametro di 000 parti).

La tavola delle corde (fr:955-956) rappresenta il culmine di questo processo: un riferimento pratico per gli archi del cerchio, espressi in un sistema in cui il diametro è fissato a 000 parti. Questa standardizzazione riflette l’esigenza di precisione tipica della trigonometria rinascimentale, dove strumenti come il compasso geometrico dovevano conciliare rigore matematico e applicabilità pratica.

19.5 Significato storico e tecnico

Il testo testimonia un momento di transizione nella storia della trigonometria: - Influenza classica: il richiamo a Euclide e la terminologia (“sottotendente”, “seno retto”) mostrano la persistenza di concetti antichi. - Innovazione strumentale: la descrizione del compasso e delle tavole delle corde anticipa metodi che saranno centrali nella navigazione e nell’astronomia dei secoli successivi. - Precisione vs. praticità: l’attenzione alle “particelle eguali” (fr:949) e alle suddivisioni riflette la tensione tra esattezza teorica e limiti degli strumenti manuali.

L’autore non si limita a esporre regole astratte, ma fornisce istruzioni operative per costruire uno strumento affidabile, dimostrando come la matematica del tempo fosse strettamente legata alla costruzione di dispositivi di misura. La scelta di suddividere il semicerchio in gradi e di calcolare le corde attraverso i seni rappresenta un ponte tra la geometria euclidea e le esigenze di una scienza sempre più orientata alla quantificazione.

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[20.1-15-992|1006]

20 Relazioni geometriche tra solidi platonici e la sfera circoscritta

Il testo analizza le proporzioni tra i lati dei solidi platonici e il diametro della sfera in cui sono inscritti, richiamando teoremi fondamentali della geometria classica. Le dimostrazioni si basano su relazioni algebriche e proporzionali, con riferimenti espliciti a Euclide e Pitagora.

20.1 Rapporti tra diametro della sfera e lati dei solidi

Per il tetraedro e l’ottaedro, il testo stabilisce una relazione di proporzionalità quadratica: “il diametro della sfera è in potenza dupla al lato del Tetrahedro, cioè, de’ quali parti il 2 farà quadrato del diametro de tali 1 farà quadrato del lato del Octahedro” - (fr:992) [Il quadrato del diametro della sfera è doppio rispetto al quadrato del lato del tetraedro, mentre per l’ottaedro il rapporto è 1:1]. La dimostrazione procede con un esempio numerico: se il quadrato del diametro è 000.000.000, il quadrato del lato dell’ottaedro sarà 000.000.008, la cui radice (141.421) rappresenta il lato cercato.

Per il cubo, la relazione diventa cubica: “il diametro della sfera è in potenza tripla al lato del cubo” - (fr:995) [Il quadrato del diametro è triplo rispetto al quadrato del lato del cubo]. Il calcolo esemplificativo mostra che, dato lo stesso diametro, il lato del cubo risulta 115.470 (radice di 333.333.333).

20.2 Fondamenti teorici

Le basi geometriche sono attribuite a Pitagora e Euclide: “Questi lati apportati de corpi derivano da quel Teorema d’oro di Pittagora delle potenze delati nel triangolo rettangolo” - (fr:997) [I rapporti derivano dal teorema di Pitagora applicato ai triangoli rettangoli]. Il riferimento alla “penultima prop. del primo lib. appreffo Eucl.” (fr:998) e alla “prop. 11 del 2 c 30 del sesto” (fr:999) indica l’uso di dimostrazioni euclidee sulle proporzioni e le sezioni coniche.

20.3 Caso dell’icosaedro

L’icosaedro presenta una complessità maggiore. Il testo introduce un raggio intermedio (quello del cerchio circoscritto a una faccia pentagonale) e stabilisce che: “il diametro della sfera è potenza quintupla [al quadrato] di questo raggio” - (fr:1001-1003) [Il quadrato del diametro è cinque volte il quadrato del raggio del cerchio che circoscrive una faccia]. Il calcolo proporzionale (5:1) porta a un valore di 000.000.000 per il quadrato del raggio, la cui radice è 443.

Tuttavia, emerge un problema di approssimazione: “Ora questo raggio deve segarsi secondo la proporzione, che abbia il mezzo, e due estremi […] il che non si può fare precisamente” - (fr:1004) [La sezione aurea richiesta non è esprimibile con numeri interi]. Il riferimento al “Clavio alla prop. 14 C 29 dellib. 9” (fr:1005) suggerisce l’uso di soluzioni numeriche approssimate (“ancora in numeri propinqui al nottet’ instituto soddisfanno”, fr:1006).

20.4 Significato storico

Il testo testimonia l’approccio algebrico-geometrico rinascimentale, dove le dimostrazioni classiche (Euclide, Pitagora) sono integrate con calcoli numerici espliciti. L’uso di potenze e radici quadrate riflette la transizione verso metodi quantitativi, tipica del XVI-XVII secolo, mentre l’attenzione ai solidi platonici richiama l’interesse neoplatonico per la perfezione geometrica. L’impossibilità di una soluzione esatta per l’icosaedro anticipa questioni di irrazionalità che saranno centrali nella matematica successiva.

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[21.1-12-1025|1036]

21 La geometria dei solidi regolari e la loro riduzione proporzionale nel trattato seicentesco

Il testo analizzato affronta la riduzione proporzionale dei solidi regolari (cubo, tetraedro, ottaedro, icosaedro, dodecaedro) attraverso una metodologia geometrica che si basa su una “linea equatrice della sfera e dei corpi regolari” (fr:1026). Questa linea, definita come “reduttrice” tra i solidi, permette di stabilire relazioni di equivalenza volumetrica e di trasformare un solido nell’altro mantenendo una solidità numerata comune (fr:1028). Il procedimento si fonda su analogie matematiche e sull’uso di radici cubiche per determinare lati e diametri, citando esplicitamente il Clavio (Christoph Clavius, matematico gesuita del XVI secolo) come riferimento autoritativo.

21.1 La “linea equatrice” come strumento di riduzione geometrica

Il concetto centrale è introdotto nella frase (1026): “Linea, eqsatrice della sfera, e de corpé regolari, e reduttrice trà di loro tenti +2” [Linea equatrice della sfera e dei corpi regolari, e riduttrice tra di loro (con un rapporto di +2)]. Questa linea funge da asse di conversione tra figure piane e solide: come il cerchio e i poligoni regolari si “quadrano” attraverso una relazione proporzionale, così la sfera e i solidi regolari si “cubano” (cioè si riducono a volumi equivalenti) grazie a questa linea. La spiegazione prosegue in (1027): “imperocchè ficcome per quella è il cerchio, e le figure ordinate multilatere fi quadrano; così per quefta tantola sfera, quanto icorpi fegolarifi cubano; e trà di loro fi rrafmutano” [Poiché come attraverso quella (linea) il cerchio e le figure piane regolari si quadrano, così attraverso questa (linea) tanto la sfera quanto i corpi regolari si cubano; e tra di loro si trasformano]. L’autore sottolinea che la linea “abbraccia i lati di tutti questi (solidi) eguagliandoli”, ovvero normalizza le loro dimensioni rispetto a una solidità di riferimento (fr:1028).

21.2 Procedimento matematico: dalla sfera ai solidi regolari

Il testo descrive un metodo operativo per calcolare i lati dei solidi regolari partendo da una sfera di volume noto. La solidità di riferimento è fissata a: “T0®0060006000000” (fr:1028) [probabilmente un errore di trascrizione per 1.000.000.000.000], il cui lato cubico (radice cubica) è 100.000. Il diametro della sfera equivalente si ricava tramite un’analogia proporzionale citata in (1030-1032): 1. “Si dimoftra dal Clavio nella Geometria pratica [ib. 353, Ot; linea rifponde alla Tetragonica dell’Autore]” (fr:1028-1030) [Il Clavio dimostra nella Geometria Pratica (pagina 353) che la linea corrisponde alla “Tetragonica” dell’autore]. 2. “che così fia il cubo del diametro alla folidità della sfera, come il zi al in” (fr:1031) [Che il cubo del diametro stia alla solidità della sfera come 11 sta a 21 (rapporto 11:21)]. 3. “così la folidità della data sfera 1000000000000 al cubo del riedefirio diametro 1985896909090909; la cui radice 124054 è diametro della proposta sfera” (fr:1032) [Così la solidità della sfera data (1.000.000.000.000) sta al cubo del diametro desiderato (1.985.896.909.090.909), la cui radice cubica (124.054) è il diametro della sfera proposta].

Il procedimento si estende poi ai lati dei solidi regolari, calcolati a partire dal cubo di riferimento: - Tetraedro (piramide): “per il lato del Tetraedro si cerca prima la diagonale della base del dato Cubo, la quale è 141421 […] dalla prima media si estragga la radice cuba, farà quella 203961, cioè il lato ricercato del Tetraedro” (fr:1032). - Altri solidi: “Così parimente degl’ altri corpi regolari i lati hò io investigato, cioè dell’Ottaedro 128480, dell’Icosaedro 4860, del Dodecaedro finalmente 49906” (fr:1033), citando la Proposizione 42 del Libro 8 della Geometria Pratica del Clavio (fr:1034).

21.3 Strumento pratico e tavole di conversione

Il testo menziona un dispositivo meccanico per trasferire i lati dei solidi su una scala graduata: “fe tutta la linea dello Strumento in qualche iano farà fegata in parti 1000, e di là i lati nella Tavola notati fi cavino” (fr:1035) [Se tutta la linea dello strumento sarà divisa in 1000 parti, e da lì i lati notati nella Tavola si ricavino]. La piramide (tetraedro) è indicata come “linea massima” tra quelle considerate, con lato 100.000 (fr:1035-1036), mentre gli altri solidi sono proporzionalmente ridotti. Le “Tavole” (probabilmente tabelle precalcolate) permettono di “commodamente” trasferire i lati sullo strumento, lasciando “le 2 note ultime” (fr:1035) [forse le ultime due cifre decimali] come margine di precisione.

21.4 Significato storico e scientifico

Il trattato riflette la matematica applicata del XVII secolo, caratterizzata da: 1. Influenza del Clavio: La citazione ripetuta della Geometria Pratica (1604) testimonia l’autorità del gesuita nel campo della geometria euclidea e della strumentazione scientifica. Il Clavio fu figura chiave nella riforma del calendario gregoriano e nella diffusione della matematica in Europa. 2. Approccio strumentale: L’uso di una “linea equatrice” e di tavole precalcolate rivela un interesse per la praticità della geometria, tipico dell’epoca barocca, dove la teoria si coniugava con applicazioni ingegneristiche, architettoniche o astronomiche (es. costruzione di sfere armillari). 3. Solidi platonici e riduzione volumetrica: Il testo si inserisce nella tradizione che, da Euclide a Keplero, studiava i solidi regolari come elementi fondamentali della cosmologia e della geometria. La riduzione a una “solidità numerata” comune anticipa concetti moderni di normalizzazione e scaling in matematica. 4. Ambiguità e limiti: La notazione numerica (es. T0®0060006000000) suggerisce errori di trascrizione o un sistema di numerazione non standard. Inoltre, il rapporto zi:in (11:21) per la sfera non è immediatamente chiaro, forse legato a una costante geometrica dell’epoca.

21.5 Conclusione: un ponte tra teoria e pratica

Il trattato documenta un metodo sistematico per convertire volumi tra solidi regolari, combinando: - Teoria geometrica (rapporti proporzionali, radici cubiche). - Autorità scientifiche (Clavio come riferimento). - Strumentazione pratica (linee graduate, tavole).

L’obiettivo è rendere operativa la geometria dei solidi, probabilmente per applicazioni in progettazione architettonica, costruzione di modelli astronomici o calcolo di volumi. La presenza di dati numerici precisi (es. lato del tetraedro = 203.961) e la citazione di fonti specifiche (Clavio, Libro 8) ne fanno una testimonianza preziosa della matematica applicata pre-newtoniana.

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[22.1-16-1051|1066]

22 La costruzione e l’uso dello strumento geometrico: fondamenti teorici e applicazioni pratiche

Il testo analizzato appartiene a un trattato scientifico che descrive la costruzione, la divisione e l’applicazione di uno strumento geometrico, probabilmente un quadrante o un dispositivo di misurazione inclinometrica, con particolare attenzione alla sua utilità in ambito architettonico e geometrico. L’autore intreccia istruzioni operative, dimostrazioni teoriche e riflessioni metodologiche, rivelando un approccio che unisce pratica artigianale e rigore matematico.

22.1 Tecniche di misurazione e inclinazione dei muri

Il passaggio centrale riguarda l’uso dello strumento per determinare l’inclinazione di una superficie, come un muro. La procedura è descritta con precisione: “dall’A fi lafcia andare il filo perpendicolare, il quale trapaflando le linee del già deferitro quadrante darà indizio dell’ inclinazione de’ muri” - (fr:1052) [dal punto A si lascia cadere il filo a piombo, che, intersecando le linee del quadrante già descritto, fornirà l’indicazione dell’inclinazione dei muri]. L’esempio concreto chiarisce il metodo: “sia illaro BG (come quello, che rifponde ad uno de’ lari dello Strumento) s’applicii al muro, ed il perpendicolo fia pendente dall’4, all’E, dico, che al muro è così inclinato, che la perpendicolare da lui somministrata, lascerà andare alla base, e tripla alla base” - (fr:1054) [se il lato BG (corrispondente a uno dei lati dello strumento) viene applicato al muro, e il filo a piombo pende dal punto 4 al punto E, si deduce che il muro è inclinato in modo tale che la perpendicolare da esso generata cada sulla base in un rapporto triplo rispetto alla distanza BA].

Qui emerge un principio geometrico fondamentale: la relazione tra segmenti proporzionali (“4B, e BC tjano trà di loro eguali” - fr:1054-1055) [4B e BC sono tra loro uguali] permette di verificare l’allineamento o la pendenza di una struttura. L’autore sottolinea come la triplicità del rapporto (EB tripla di BA) sia un indicatore chiave per comprendere la fabbrica e l’uso dello strumento, anche se la spiegazione resta legata a un esempio visivo (“con questo efempio solo facilmente s’intende la Fabbrica” - fr:1054).

22.2 Divisione del quadrante: precisione e praticità

Un nodo cruciale è la suddivisione del quadrante, che l’autore affronta con un approccio sia geometrico che operativo. Viene proposta una tecnica di trasferimento delle divisioni da un quadrato al cerchio: “La quefto quadrato del cere chiofi defcrivail quadrante, il quale fia eguale al noftro quadrante da dividerli; doppo due lati del quadra: to, ciocadì quelli, che tagcano il quadrante in 100 partie eguali con la riga afflanel centro del quadrante” - (fr:1059) [Questo quadrato, inscritto nel cerchio, descrive il quadrante, che sarà uguale al nostro quadrante da dividere; poi, sui due lati del quadrato che intersecano il quadrante, si tracciano 100 parti uguali con la riga fissata al centro del quadrante].

L’autore difende la divisione centenaria (“divifione centenaria dell’Autore” - fr:1057) come più pratica rispetto ad altre, poiché la scala totale di 100 facilita i calcoli proporzionali (“tenendo il primo luogo nella regola del 3 rende spedita la divisione” - fr:1057). Questa scelta riflette una tensione tra rigore matematico (divisioni geometriche esatte) e efficienza operativa, tipica dei trattati tecnici del periodo.

22.3 Fondamenti teorici e dimostrazioni geometriche

Il testo non si limita a istruzioni pratiche, ma si sofferma sulla dimostrazione dei principi che governano lo strumento. L’autore distingue due approcci alla conoscenza: 1. La conoscenza per causa (“per cagione”), superiore perché fondata su principi primi. 2. La conoscenza per esperienza (“come sta”), meno nobile ma necessaria.

“ò noi cognofciamo la cofa come sta, ò veramente per cagione, e da’ primi fondamenti l’inveftighiamo, de’ quali quefto è di gran lunga più ecceliente di quello; ivvenga che per loro fentimento il sapere sia conoscer la cofa per cagione” - (fr:1062) [o conosciamo la cosa come si presenta, o la indaghiamo per causa, a partire dai primi fondamenti; quest’ultimo metodo è di gran lunga più eccellente, poiché attraverso di esso il sapere consiste nel conoscere la cosa per causa].

Questa riflessione metodologica culmina nella proposta di una dimostrazione generale che giustifichi tutti i problemi risolti dallo strumento: “Acciocchè dunque noi potessimo aver la cognizione di questo Strumento, fermata con fondamenti stabili della Geometria, apporterò la generalissima dimostrazione, alla quale tutti i problemi dell’Autore, e seguenti s’appoggiano” - (fr:1063) [Affiché possiamo avere la conoscenza di questo strumento, fondata su basi stabili della geometria, presenterò la dimostrazione più generale, su cui si basano tutti i problemi dell’Autore e quelli successivi].

La dimostrazione promessa si concentra su un triangolo isoscele o equilatero (ADE), i cui lati corrispondono a quelli dello strumento. L’obiettivo è provare che le linee parallele alla base (cioè quelle tracciate trasversalmente sullo strumento) mantengono la stessa proporzione dei segmenti sui lati: “Sia il triangolo isoscele, ovvero sia il triangolo equilatero ADE […] dico essere BC al DE come AB ad AE” - (fr:1065) [Sia il triangolo isoscele o equilatero ADE […] affermo che BC sta a DE come AB sta ad AE].

Questo principio, apparentemente semplice, è alla base della proporzionalità che rende lo strumento affidabile per misurazioni e costruzioni geometriche.

22.4 Contesto storico e limiti pratici

Il testo rivela anche aspetti storico-testimoniali. L’autore ammette di aver dovuto accorciare le dimostrazioni per esigenze editoriali: “Avevo certamente determinato di ciascun problema dell’Autore, e dichiarazione maggiore ridurre […] ma perché alcuni impedimenti frapposti ritardarono questa impresa, e lo Stampatore chiamando già fuori le fiere, addimandò che si ponesse ultima mano all’Opera; sono forzato di tralasciare quello che sia, e nella terza seguente parte esser più breve” - (fr:1064) [Avevo deciso di approfondire ogni problema dell’Autore […] ma ostacoli imprevisti e la pressione dello stampatore, che voleva pubblicare l’opera in tempo per le fiere, mi hanno costretto a omettere alcuni dettagli e a essere più conciso nella terza parte].

Questo passaggio suggerisce che il trattato fosse parte di un’opera più ampia, forse destinata a un pubblico di artigiani, architetti o studiosi, e che la sua pubblicazione fosse legata a scadenze commerciali (le “fiere” del libro). L’urgenza editoriale spiega la brevità delle dimostrazioni e la preferenza per esempi pratici rispetto a trattazioni teoriche estese.

22.5 Ambiguità e termini tecnici

Il testo presenta alcune ambiguità lessicali e termini specialistici che riflettono la lingua tecnica del periodo: - “Lari dello Strumento” (fr:1054): probabilmente indica i lati o bracci dello strumento, ma il termine “lari” (dal latino lares, divinità domestiche) è insolito in questo contesto e potrebbe essere un refuso o un regionalismo. - “Quadrante Geometrico” (fr:1056): si riferisce a un quadrante con divisioni basate su principi geometrici, in contrapposizione a una suddivisione empirica. - “Regola del 3” (fr:1057): la regola del tre semplice, un metodo di calcolo proporzionale ancora oggi usato in matematica elementare.

Inoltre, la descrizione della costruzione del quadrato inscritto (fr:1058-1059) è tecnicamente precisa ma richiede una visualizzazione grafica per essere pienamente compresa, suggerendo che il trattato fosse accompagnato da illustrazioni (non riportate nel testo fornito).

22.6 Conclusione: uno strumento tra teoria e pratica

Il trattato descrive uno strumento di misurazione versatile, capace di risolvere problemi di inclinazione, proporzionalità e divisione geometrica. L’autore bilancia: 1. Istruzioni pratiche (come applicare lo strumento ai muri, dividere il quadrante). 2. Dimostrazioni teoriche (la proporzionalità nei triangoli, la superiorità della conoscenza per causa). 3. Riflessioni metodologiche (l’importanza di comprendere i fondamenti per usare correttamente lo strumento).

La divisione centenaria e la proporzionalità delle linee parallele emergono come i concetti chiave, mentre la fretta editoriale rivela le contingenze storiche che hanno plasmato l’opera. Il testo si colloca così in una tradizione di trattati tecnico-scientifici che, tra Cinquecento e Seicento, cercavano di coniugare innovazione strumentale e rigore matematico, anticipando metodi ancora oggi alla base della geometria applicata.

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[23.1-11-1114|1124]

23 Proporzioni geometriche e costruzione di figure simili: un trattato sulle relazioni tra lati e multipli

Il testo analizzato presenta una serie di enunciati geometrici relativi alla costruzione di figure simili e alle proporzioni tra i loro lati, con particolare attenzione ai rapporti di duplicazione, quadruplicazione e ottuplicazione. Le frasi descrivono procedure per determinare lunghezze di lati in base a intervalli numerici fissi (60 e 90) e introducono concetti chiave come la **proporzione “che ha il mezzo e due estremi”, richiamando esplicitamente Euclide e Pappo.

Il nucleo teorico ruota attorno alla relazione tra figure simili e i loro lati omologhi. La frase (1114) stabilisce un principio fondamentale: “60 fi (tabilifchi, farà quellato omologo della figura fimile duplicata; ma fe illato ora ritrovato fi collochi ‘trà il 60” - (fr:1114) [Se si stabilisce 60, questo sarà il lato omologo della figura simile duplicata; ma se il lato ora trovato si colloca tra il 60]. Qui si definisce che un lato di lunghezza 60 corrisponde al lato di una figura doppia rispetto a un’altra, ma si lascia aperta la possibilità di un valore intermedio. La continuità del ragionamento è confermata da (1115) e (1116), dove l’intervallo 90 viene associato a una figura quadrupla e, per estensione, il lato dell’ottupla risulta “dodici volte maggiore” (probabile errore di trascrizione per “doppio” o “radice di dodici”): “90 farà: illate della figura quadrupla a quella prima è così confeguentemente ritroverai il lato dell’ottupla fedici volte miaggiore cc.” - (fr:1116) [90 sarà il lato della figura quadrupla rispetto alla prima; e conseguentemente troverai il lato dell’ottupla dodici volte maggiore, ecc.].

Il testo esplora anche il caso inverso, ovvero la proporzione subdupla (metà), come indicato in (1118): “Il contrario fi fà ,quandole figure fi conitituifcono in proporzione fubdupla” - (fr:1118) [Il contrario si fa quando le figure si costituiscono in proporzione subdupla]. In questo scenario, il lato della figura diminuisce e si colloca tra 90 e 60, come specificato in (1119): “All’ ora perciocché illato della figura diminuirfiì fi ftabilifec frà il i ;3 CO, - 13% DELLE ANNOTAZIONI go, e darà l’intervallo 60” - (fr:1119) [Allora, poiché il lato della figura diminuisce, si stabilisce tra 90 e 60, e darà l’intervallo 60]. Il risultato è un lato di lunghezza 60 per la figura subdupla (1120).

Un passaggio cruciale è (1121), che introduce una costruzione geometrica classica: “v. Data una linea retta fegarla nella proporzione ch’abbia il mezzo, e due eftremi” - (fr:1121) [Data una linea retta, dividerla nella proporzione che ha il mezzo e due estremi]. Questa è la definizione della sezione aurea, richiamata esplicitamente nelle frasi successive. (1122) e (1123) citano Euclide (Libro XIII, Proposizione 9) per stabilire che il lato del decagono inscritto in un cerchio è il segmento maggiore della divisione aurea del raggio (o lato dell’esagono): “Perciocchè’il lato del decangolo inferitto nel cerchio è maggior fegmen= to del lato del feffangolo , ovvero raggio proporzionalmente fegato, come infegna Euclide lib. 9 prop.” - (fr:1122-1123) [Poiché il lato del decagono inscritto nel cerchio è il segmento maggiore del lato dell’esagono (ovvero del raggio) diviso proporzionalmente, come insegna Euclide, Libro XIII, Proposizione 9]. La menzione di Pappo in (1124) suggerisce un riferimento a ulteriori elaborazioni sulle proporzioni geometriche, probabilmente tratte dalle Collectiones Mathematicae.

23.1 Significato storico e tecnico

Il testo riflette una trattazione rinascimentale o barocca della geometria, con un approccio pratico alla costruzione di figure simili e alla risoluzione di problemi proporzionali. L’uso di valori numerici fissi (60, 90) come unità di misura per i lati evoca metodi di calcolo pre-moderni, mentre il richiamo a Euclide e Pappo colloca l’opera in una tradizione che risale all’antichità classica. La sezione aurea, centrale in (1121)-(1123), era un tema ricorrente nei trattati di matematica e architettura dell’epoca, spesso associato a ideali di armonia e perfezione.

Le ambiguità presenti (come la frase “fedici volte miaggiore” in (1116), probabilmente corrotta) suggeriscono che il testo possa essere una trascrizione di appunti o un estratto da un manoscritto non definitivo. Tuttavia, la struttura logica rimane coerente: le proporzioni tra lati sono governate da rapporti fissi (duplicazione, quadruplicazione, subduplicazione), e la sezione aurea emerge come strumento per risolvere problemi di divisione di segmenti.

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[24.1-20-1145|1164]

24 La “Cubatrice”: uno strumento geometrico per l’equivalenza tra solidi regolari e sfere

Il testo descrive un metodo pratico per determinare le relazioni di equivalenza tra solidi regolari (come tetraedro, ottaedro, cubo, icosaedro e dodecaedro) e sfere, attraverso l’uso di uno strumento chiamato ”Cubatrice”. L’autore propone una soluzione operativa che supera i limiti delle costruzioni geometriche tradizionali, offrendo misurazioni dirette e immediate.

24.1 Definizione e scopo dello strumento

La Cubatrice è presentata come una linea strumentale capace di risolvere problemi di equivalenza volumetrica tra solidi e sfere senza ricorrere a calcoli prolungati. La sua utilità emerge dalla necessità di evitare le complessità delle “linea Geometrica, e Poligratica”, che “non ricercano queste cose, salvo che con lunghezza” (fr:1149). Lo strumento permette invece di ottenere risultati “direttamente” (fr:1149), come sottolineato nella giustificazione della sua esistenza: “Nulladimeno, perchè la linea Geometrica, e Poligratica, | monficercano queste cose, salvo che con lunghezza; | ma qui si hanno direttamente; perciò questa linea può | ritenerfi” (fr:1149).

Il nome stesso dello strumento deriva dalla sua funzione primaria: “Uso della linea, delli Corpi eguagliati; sia fatto lecito il chiamarla Cubatrice” (fr:1150). La scelta del termine riflette l’attenzione verso il cubo, ma la Cubatrice si estende a tutti i solidi regolari.

24.2 Relazioni geometriche fondamentali

Il testo elenca le proporzioni matematiche che legano il diametro della sfera ai lati dei solidi regolari, fornendo una base teorica per l’uso pratico dello strumento: - “il diametro della Sfera è in potenza sesquialtero, al lato del Tetraedro” (fr:1149) [ovvero, il diametro è √(3/2) volte il lato del tetraedro]. - “doppio dell’Ottaedro” (fr:1149) [diametro = 2 × lato dell’ottaedro]. - “triplo del Cubo” (fr:1149) [diametro = 3 × lato del cubo]. - Per il dodecaedro e l’icosaedro, la relazione è più complessa: “il segmento maggiore del lato del Cubo segato secondo la proporzione, che abbia il mezzo, e due estremi, è lato del Dodecaedro” (fr:1149). Inoltre, “il medesimo cerchio contiene il pentagono del Dodecaedro, ed il Triangolo dell’Icosaedro” (fr:1149), suggerendo una connessione tra le loro geometrie inscritte.

Queste proporzioni sono essenziali per comprendere come la Cubatrice operi: lo strumento materializza queste relazioni attraverso punti di riferimento fissi, corrispondenti a ciascun solido.

24.3 Procedura operativa con la Cubatrice

Il testo descrive dettagliatamente come utilizzare lo strumento per risolvere due problemi principali: 1. Trovare il lato di un solido regolare equivalente a una sfera data. 2. Trovare il diametro di una sfera equivalente a un solido regolare dato. 3. Costruire un solido regolare equivalente a un altro solido regolare dato.

24.3.1 Da sfera a solido regolare

Per determinare il lato di un cubo equivalente a una sfera di diametro noto, l’autore prescrive: “Sendo tù per constituir un cubo eguale ad una sfera data, il di lei diametro | preso con il compasso transversalemente, stabiliscilo | fra 8,8, e lasciatol’instrumento immobile, prendi la distanza delli punti C.C, la quale è lato del cubo eguale alla data Sfera” (fr:1154). - Il diametro della sfera viene misurato con un compasso e posizionato tra i punti 8,8 della Cubatrice (corrispondenti al cubo). - La distanza tra i punti C.C fornisce direttamente il lato del cubo cercato.

Analogamente, per altri solidi: “se vuoi la Piramide, ovvero d’altro solido regolare, eguale alla medesima Sfera, prendi la distanza de punti convenevoli al corpo addimandato” (fr:1154). Ad esempio, per l’ottaedro si userebbero i punti 0,0, come specificato in seguito (fr:1159).

24.3.2 Da solido regolare a sfera

Il procedimento inverso è descritto come segue: “Inoltre piacendo all’incontro ritrovar la Sfera eguale al corpo, è ad altro qualsivoglia corpo regolare, il lato del dato corpo preso con il compasso si stabilisca | fra li punti del medesimo corpo; e lasciando l’instrumento così immobile, prendati la distanza £. $, la quale è diametro della Sfera eguale al dato corpo” (fr:1156-1157). - Il lato del solido viene posizionato tra i punti corrispondenti sulla Cubatrice (es. C.C per il cubo). - La distanza tra i punti £. $ (probabilmente un riferimento generico ai punti di misura) fornisce il diametro della sfera equivalente.

24.3.3 Da solido a solido

La Cubatrice permette anche di trovare il lato di un solido equivalente a un altro solido dato. Ad esempio, per costruire un ottaedro equivalente a un icosaedro: “l’Ottaedro eguale al dato Icosaedro si costituirà se il lato dell’Icosaedro proposto si stabilisca tra i punti Z.Z, e non variato punto il sito dell’ | instrumento, si prenda l’intervallo delli punti 0, che | sarà il lato dell’Ottaedro proposto a cercare” (fr:1158-1160). - Il lato dell’icosaedro viene posizionato tra Z.Z. - La distanza tra 0.0 fornisce il lato dell’ottaedro equivalente.

24.4 Problema avanzato: equivalenza tra più solidi

Il testo affronta anche un problema più complesso: “Proposti diversi corpi regolari, costituirne qualcuno a tutti quelli eguali” (fr:1162). La soluzione dipende dai metodi precedenti e da un altro problema (il “problema 17 dell’Autore”), suggerendo un approccio iterativo o combinato per sommare i volumi di più solidi e trovare un equivalente unico.

24.5 Significato storico e innovazione

Il trattato testimonia un approccio strumentale alla geometria, tipico del Rinascimento e del primo Barocco, quando la necessità di applicazioni pratiche (architettura, ingegneria, astronomia) spinse alla creazione di dispositivi in grado di semplificare calcoli complessi. La Cubatrice rappresenta un esempio di geometria operativa, in cui la teoria (le proporzioni tra solidi e sfere) viene tradotta in uno strumento fisico per misurazioni immediate.

L’enfasi sulla direttezza del metodo (“qui si hanno direttamente”, fr:1149) riflette una tensione tra la tradizione euclidea (basata su costruzioni teoriche) e la ricerca di soluzioni pragmatiche. La Cubatrice non sostituisce la geometria classica, ma la complementa, offrendo un’alternativa rapida per problemi ricorrenti.

Inoltre, il testo rivela una classificazione implicita dei solidi regolari, con una gerarchia basata sulle loro relazioni con la sfera. La scelta di nominare lo strumento “Cubatrice” (e non, ad esempio, “Dodecatrice”) potrebbe riflettere l’importanza del cubo come solido di riferimento nella cultura matematica dell’epoca, forse per la sua semplicità o per il suo ruolo nella stereotomia e nell’architettura.

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