Galileo - Le operazioni del compasso geometrico e militare - 1606 | A
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1 Istruzioni per l’uso dello Strumento a linee multiple
Procedure operative per la risoluzione di problemi aritmetici, geometrici e stereometrici mediante le scale graduate dello Strumento.
Lo Strumento è dotato di diverse scale: linee Aritmetiche, Geometriche, Stereometriche e Poligrafiche. Le operazioni si eseguono prendendo distanze rettamente da una scala e applicandole trafverfalmente a un’altra. Le istruzioni coprono la regola del tre, come descritto: “chiamo, prendi fopra lo Strumento rettamente 1l fecondo numero de’ propofti ,: cioè 120, ed RPRLICaO Trai 10 DELLE LINEE rtafverfalmente al primo, cioè all’ 80, dipoi prendi tranfverfalmente il terzo numero, cioè 100 ;e mifurato rettamente fopralafcala, e quelloche troverai; cioè 150, farà ilquartonumero cercato” - (fr:71). Si spiegano casi particolari, ad esempio quando i numeri eccedono la scala, operando con metà o multipli: “Potrìainoltre occorrere, che fe il fecondo, ò il ter= zode numeri propolti non fi potefle applicare al priemo, per eller eflo primo troppo grande, ficchè ecce= defle il numero fegnato foprale linee, cioé .. in tal cafo prefo rettamente il 130 fi butterà trafverfalmente alla metà di 280” - (fr:76). Viene dettagliata l’estrazione di radici quadrate: “con l’accomodare trae verfalmente al 16 delle linee Geometriche lo fpazio dì 40 punti prefo rettamente dalle linee Aritmetiche; di poi delnumero propoîto leva via le due ultime figure… e quel numero, che refta, prendi traverfalmente dalle lince Geometriche, e mifuralo rerramente fopra le Aritmetiche, e quello che trovi farà la radice quadrata” - (fr:145). Per le radici cubiche si procede similmente usando le linee Stereometriche: “piglia dunque trafverfalimente 80 dalle linee Stereometriche , e mifuralo rettamente, ‘oprale Aritmetiche, e trovetai 43, quantaèla radice prolfima del daro numero” - (fr:213). Sono presenti applicazioni geometriche: trovare la proporzione tra figure (fr:128), dividere una linea in parti uguali (fr:8, fr:16), descrivere poligoni regolari con le linee Poligrafiche (fr:320). Si risolvono problemi finanziari come il calcolo dell’interesse composto: “pigilia 100 col fuo primo intereite, cioè 106 rettamente, ed aperto lo Strumento applicalo trafverfalmente al .. piglia poi trafverfalmente la fomma de’ danari propolta, che fù 140 , € mifurala rettamente , e vedrai già il guadagno del rimo anno effer 148” - (fr:108), e la conversione di valute (fr:98). Vengono trattati problemi militari come lo schieramento di soldati (fr:175), la determinazione di medi proporzionali (fr:187, fr:238) e la costruzione di figure equivalenti, ad esempio un quadrato uguale a un triangolo dato (fr:355). Si forniscono accorgimenti per numeri fuori scala, utilizzando parti o multipli (fr:112, fr:149, fr:220). Altre operazioni includono il calcolo di distanze o altezze mediante differenze di numeri (fr:409, fr:430) e la somma di più linee (fr:136).
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2 Strumento per il calibro delle artiglierie e la trasformazione dei materiali
Uso di un compasso di proporzione per determinare pesi, diametri e dimensioni di palle e pezzi d’artiglieria in diversi metalli e materiali.
Lo strumento descritto serve da calibro universale per artiglierie, adattabile a diverse materie e sistemi di peso. Permette di trovare il diametro di una palla di un materiale (come Piombo, Ferro, Pietra, Rame, Stagno, Oro, Argento o Marmo) corrispondente a un dato peso, e viceversa. “dovendofi tirare con l’Artiglieria tal’ ora Palle di Pietra, altre volte di Ferro, ò ancora di Piombo, il medefimo pezzo, che porti tanto di palla di Piombo, porterà meno di Ferro, e molto meno di Pietra” - (fr:277). Le operazioni si eseguono con le linee Metalliche e Stereometriche dello strumento, aprendolo o chiudendolo per adattare le proporzioni. Una funzione principale è la “trasfmutazione della materia”: dato il diametro di un solido in un materiale, si trova il diametro di un solido dello stesso peso in un altro materiale. “Da’‘che poffiamo in un instante venire in cognizione , quanto grande fi dovria far un corpo d’una delle fopranotate materie , acciò fosse in peso eguale ad un’ altro simile d’altra delle materie dette” - (fr:254). Lo strumento risolve anche il problema inverso: dati due solidi simili di materiale diverso, trova la proporzione dei loro pesi. Poiché diversi paesi usano libre di peso diverso, il calibro deve essere mutabile: “aprendo più , è meno si crescono, Ò diminuiscono gl’intervalli, che trà le divisioni di esso si ritrovano, senza punto alterare le loro proporzioni” - (fr:279). Un’applicazione pratica è il ridimensionamento di un modello d’artiglieria in scala per realizzare un pezzo reale di peso e materiale specificati. “Ci viene presentato un piccolo modello d’Artiglieria fatto v. g. di Stagno, e noi abbiamo bisogno di cavare da tal modello tutte le misure particolari per un pezzo grande fatto di Rame, e che pesi per esempio 5000 libre” - (fr:293). In questo caso, dopo aver pesato il modello, si usano le linee Metalliche per adattare la materia e le Stereometriche per scalare il peso. Lo stesso metodo fornisce tutte le altre misure del pezzo (gola, orecchioni, culatta, lunghezza). Le linee servono anche per calibri specifici: si segna il diametro di una palla di riferimento (es. di Piombo di 10 libre locali) su una costa dello strumento e poi si regolano le linee Metalliche per leggere direttamente il peso in palle di quel materiale. “prenderemo con un Compasso il diametro delle 10 libre di Piombo già sopra la costa dello Strumento segnato, ed aprir poi lo Strumento tanto , che detto diametro s’aggiusti alli punti delle linee Stereometriche segnati 10” - (fr:281). Il procedimento si estende alle leghe di metalli (come bronzo di rame e stagno) aggiungendo piccoli punti ausiliari sulle linee Metalliche.
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3 Dello Strumento e delle sue linee per operazioni geometriche
Linee Tetragoniche, Geometriche, Poligrafiche, Stereometriche e Metalliche per la quadratura, trasformazione e proporzione di figure piane e solide.
Lo strumento possiede diverse serie di linee graduate per risolvere problemi geometrici. Le linee Tetragoniche hanno l’uso principale di quadrare tutte le superfici regolari e il cerchio: “Ono quefte lince Tetragoniche così dette dal loro ufo principale, che è di quadrare tutte le faperficie regolari, ed il Cerchio appreflo” - (fr:328). Le linee Geometriche servono a crescere o diminuire qualsiasi figura superficiale in una data proporzione: “DELLE DrELL.E.secDbIEN ELE : GEOMETRICHE, -Che feguono appreflo , e loro ufi; E prima come col mezzo di effe pofffamo crefcere , ò diminuire în qualunque data proporzione tutte le figure fuperficiali.” - (fr:113). Le linee Poligrafiche descrivono poligoni regolari di un numero qualsiasi di lati su una linea data: “Olgendo lo Strumento dall’ altra parte, ci fi rapprefentano le linee più interiori nominate ’Poligrafiche dal loro ufo principale, che è di defcrivere fopra una linea propofta Figure di quanti lati, ed angoli eguali ci werrà ordinato” - (fr:320). Ogni figura rettilinea si risolve in triangoli; si trova un quadrato equivalente a ciascun triangolo e, combinando questi quadrati, si ottiene un unico quadrato pari alla figura originale. La stessa operazione permette anche di ridurre una figura irregolare in un cerchio o in qualsiasi altra figura regolare: “I A prefente operazione è non meno utile, che curioe 4 fa, infegnandoci il modo, non pure di riquadrare tutte le fuperficie irregolari, madi ridarle din cerchio, Ò in qualfivoglia altra figura regolare” - (fr:346). È possibile trovare un cerchio uguale a un quadrato o poligono dato: “Inoltre, quando volelfimo peril converfo, dato un Quadrato, è altro Poiigono regolare, trovar un Cerchio adefto eguale” - (fr:332). Si trattano anche figure come porzioni di cerchio, trapezî curvilinei e lunule: “E quantunque le figure lunulari veramente Ippocratebbio abbia infegnato di quadrare, e gl’angoli ancora lunulari poffano adeguarfi a gl’ Angoli rettilinei” - (fr:773). Per i solidi, le linee Stereometriche e Metalliche determinano la proporzione di peso tra solidi simili di materie diverse: “Congiungendo gl ufi delle Linee Metalliche , e Ssereometriche , dati due lati di due folidi , fimili , e didiverfe materie trovare qual proporzione abbino fradi loro detti folidi an pefo” - (fr:268). Il testo include tavole numeriche e canoni per calcoli, come il canone dei quadrati dei lati: “Il precedente Canone de quadrati de Jati è ftato formato col pigliare il primo femplice quadrato delle parti 10000” - (fr:549). Fornisce metodi per calcolare aree di figure regolari usando la perpendicolare dal centro al lato: “ma quella perpendicolare in ciafcheduna figura fi ritrova per il ’Canone de feni fe fi fà, come 100000 feno totale allatane gente della metà dell’ angolo della figura: così $0009 imetà del lato (imperocché illato totale 100000 noiabe biamo detto efler per pigliare in ciafcheduna figura) aquefta perpendicolare.” - (fr:795).
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4 Misurazioni geometriche con il quadrante e metodi visuali
Procedure pratiche per il rilevamento di altezze, distanze e profondità mediante strumenti ottici e calcoli.
Il testo descrive metodi per misurare altezze, come quelle di una torre o di un monte, utilizzando uno strumento a quadrante. Si colloca lo strumento in uno o più punti di osservazione, si traguarda la sommità dell’oggetto e si nota il numero di punti tagliati da un filo a piombo o da un raggio visivo su una scala graduata. Mediante operazioni aritmetiche (moltiplicazione, divisione, estrazione di radice quadrata) e proporzioni, si determina la misura cercata. Ad esempio, per misurare un’altezza “drizzando la cofta dello Strumento … alla fommità A, noteremo li punti tagliati dal filo” e, dopo una seconda osservazione, “veggafi poi quante volte quefto minor numero … fia contenuto nell’altro” per ricavare la proporzione (fr:402). Per le distanze tra due punti non accessibili, si eseguono osservazioni angolari da due stazioni di misura note, come nel caso della distanza tra i luoghi C e D: “Prima aggiuftata una cofta dello Strumento al punto C … traguardifi … l’altro punto D”; si misurano poi i passi tra le stazioni e si applicano calcoli specifici (fr:437). Sono trattate anche le misurazioni di profondità, come quella di un pozzo, “contenuta trà le linee Parallele”, dove “si confideri quante volte quefto numero … entra in 100, e tante volte diremo, la tried ellerttontenuta nella profondità” (fr:416). Per le larghezze, si impiega un metodo simile: “quante volte quefto numero entra in 100, tante volte diremo, altezza AC entrare nella larghezza CB” (fr:420). Le operazioni fanno largo uso del compasso per trasferire misure dalla scala dello strumento al disegno, come per “prendi col Compaffo la diftanza BC, e quefta applica dal centro dello Strumento rettamente fupra la scala” (fr:53). Vengono forniti esempi numerici dettagliati per ciascuna procedura.
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5 Strumento matematico a linee aritmetiche e geometriche
Manuale per la fabbricazione e l’utilizzo di uno strumento di calcolo, con regole per problemi lineari, aritmetici e militari.
Il testo tratta di uno strumento dotato di linee aritmetiche e geometriche, utilizzato per risolvere problemi lineari e aritmetici. “Ervonci le prefenti linee , montanto perla refoluzione di diverfi problemi lineari, quanto per alcune regole di Arirmetica” - (fr:66). Lo strumento applica la regola del tre per trovare il quarto proporzionale. Fornisce metodi per l’estrazione della radice quadrata per numeri mediocri, grandi e piccoli. “XII, dn differenti modi di operare nell’ eftrazione della tidice quadrarataranno rel prefente Capitolo dichiarati” - (fr:143). Viene impiegato nel calcolo delle ordinanze militari, determinando fronte e fianco di soldati secondo proporzioni date. “Regola per le ordinanze degli eferciti di fronte, e fianco difuguali” - (fr:167). “fronte, ciii fianco di 4335 Soldati meffi in ordinanza inmanie=, rà, che perogni cinque, che faranno nella fronte, né fiano g neltianco; allora pet confeguir l’intento con P’ajuto del noflro Strumento” - (fr:172). Permette di trovare la media proporzionale tra due linee o numeri. “Onl’ajuro diquefte lince, e loro divifioni potremo trà due linee, ovvero due numeri dati trovare con granfacilità la linea, ò,il numero medio proporzionale” - (fr:180). La costruzione dello strumento richiede una divisione accurata delle linee, basata sui divisori primi dei numeri. “dimoftrarò inqual maniera efdidevino dar di mano all’ opera, ed inftituire Pefatta divifione artiticiofa di tutte le lince del fopradetto Strumento” - (fr:467). “quando piacerà dividere ‘una: linea propofta in 100 particelle eguali, primieramente fi cerchino i divifori primi di quelto numero” - (fr:492). L’uso può essere affetto da errori dovuti a fabbricazione imperfetta o imprecisioni. “nulladimeno nell’ ifperimentare, ed operare per molte caufe alcune volte accadono errori ; Avvenga che ò l’inttrumento non è efquifitamente fabbricato” - (fr:1076). Il testo accenna a ulteriori applicazioni nella misura a vista e in problemi geometrici e aritmetici. “Ma non folamente avrei potuto diffondermi più aflai nelle Regole del mifurar con la vifta ; ma molto… nel moftrare la refoluzione… di infiniti altri Problemi di Geometria; ‘e di Aritmetica” - (fr:458). Menziona l’uso di una tavola delle radici quadrate per trasferire le scale. “il quale sappoggia all’ ajuto d’una certa Tavola volgarmente nota delle radici quadrate” - (fr:539). Include considerazioni sulla natura delle linee rette e oblique e sulla quadratura. “Malalinea retta, edobliqua non li comprendone fotto il medefimo genere: ma hanno diverfilfima natura” - (fr:772).
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6 Proporzioni ponderali e volumetriche dei metalli
Tavole comparative e metodi stereometrici per la determinazione dei pesi specifici.
Il testo tratta delle proporzioni di peso e volume tra diversi metalli, come oro, argento, rame, piombo, ferro, stagno e argento vivo. Le proporzioni sono espresse numericamente: “Così l’oro all’ argento in ragione di pefo è ficcome il 100 al 60, ovvero con termini minori come 5 al 3” - (fr:630); “l’oro allo stagno… hà quasi tripla proporzione, cioè che è del 18 al 7” - (fr:862). Il rapporto tra peso e volume è costante: “Ne Metalli la proporzione del volume , Ovvero della grandezza è la medesima che de pesi, ma con ragione contraria” - (fr:865). Per determinare queste proporzioni si usano sfere (globi) di metallo della stessa grandezza per confrontare i pesi, o di ugual peso per confrontare i diametri. “Perciocchè… da tutti i Metalli si formino globi della medesima grandezza; ovvero si tirino le fila della medesima lunghezza per il medesimo foro, i pesi conosciuti di questi globi, ovvero fili dimostrano la proporzione de’ Metalli tra loro” - (fr:620). I diametri così ottenuti si riportano su uno strumento stereometrico per ricavare le proporzioni: “Avuti dunque i diametri dell’uno, e l’altro globo egualmente pesanti , non sarà difficile conferir quelli tra di loro nella linea Stereometrica , e andar cercando la proporzione di questi Metalli” - (fr:622). Si cita l’opera di Francesco Fusco, definito “grande Archimede del secol nostro” - (fr:860), e si fa riferimento a tavole che riassumono le proporzioni, come quelle che mostrano i “diametri delle sfere egualmente pesanti” - (fr:873) per ciascun metallo rispetto all’oro. Un’applicazione pratica è per i bombardieri, per cui “si disegni quivi la proporzione della pietra a Metalli” - (fr:619), o per la fusione di statue, per calcolare “quanto Argento v’anderia per farne una della medesima grandezza” - (fr:265). Viene menzionata anche l’associazione tradizionale tra metalli e pianeti: “il Sole all’ oro; Saturno al piombo, l’argento alla Luna, Venere al rame, Giove allo stagno , Marte finalmente al ferro” - (fr:698). Si notano possibili discrepanze nella pesatura degli stessi metalli a causa di diversi gradi di purezza o lavorazione: “l’oro si ritrovi più grave, e più leggiero dell’ oro; il piombo più grave, e più leggiero del piombo” - (fr:641).
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7 Calcolo e costruzione dei poligoni regolari inscritti nel cerchio
Dalle tavole dei seni alla costruzione pratica: metodo per determinare i lati e dividere la circonferenza.
Le frasi illustrano il calcolo dei lati dei poligoni regolari inscritti in un cerchio mediante l’uso di tavole trigonometriche. Il lato di ogni poligono è la corda sottesa all’arco corrispondente alla frazione della circonferenza. Si determina prendendo il seno della metà di quell’arco dalla tavola dei seni e raddoppiandolo. “Prendasi alcuna linea d’arbitraria lunghezza, la qual fia lato del efagono ordinato… il lato del moltangolo ordinato, è fottotendente d’un arco proporzionato… dunque la metà dell’arco… nel Canone de’ feni esibisce il feno, il quale raddoppiato è fortotendente dell’arco proposto, ovvero il lato cercato del moltangolo” - (fr:714). Esempi includono il triangolo equilatero, di lato 173206 per raggio 100000 “Il lato adunque dell’infcritto triangolo equilatero… la metà dell’arco… .. il feno .. raddoppiato… 173206” - (fr:715); il quadrato, lato 141442 “L’arco del quadrangolo inferitto è di gradi .. la metà… .. il feno retto 70711, il quale raddoppiato… 141442” - (fr:715); il pentagono, lato 117558 “L’arcodelquinquangolo feritto è gradi .. il feno .. raddoppiato… 117558” - (fr:718); l’esagono, lato 100000 “L’arco dell’efagono feritto è di gradi .. il feno de quali .. il quale raddoppiato è lato dell’efagono, il quale torna il medesimo con il raggio 100000” - (fr:719); e così per ettagono, ottagono, nonagono, decagono, fino al poligono di 19 lati e oltre. Viene descritto un metodo pratico per dividere un cerchio in archi uguali usando uno strumento geometrico: aperto lo strumento all’intervallo del semidiametro corrispondente alla corda di 60 gradi, si prendono trasversalmente le corde degli archi desiderati per marcare le divisioni sulla circonferenza. “Aperto l’inftrumento, all’ intervallo del femidiametro accommodato alli punti 60, fi prendino tranfverfalmente li gradi, a quali è fottotendente il lato del poligono dadeferiverfi, e con l’ajuto di quefto intervallo, ovvero corda, fi divida il cerchio nelle parti addimandate” - (fr:1099). Si accenna al calcolo dell’area dei poligoni moltiplicando il semiperimetro per l’apotema, determinabile tramite le tangenti. “la metà dell’ambito della figura si multiplichi nella perpendicolare dal centro della figura ad un lato… quella perpendicolare… si ritrova per il Canone de feni” - (fr:795). Una frase menziona la relazione tra circonferenza e diametro, indicando che la circonferenza è tripla e più del diametro, con approssimazione. “la circonferenza del cerchio circonferitto al diametro essere tripla, ed inoltre un poco maggiore” - (fr:776). Vengono anche citate proposizioni euclidee, come la penultima del primo libro riguardante il triangolo rettangolo.
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8 Costruzione e graduazione di strumenti matematici lineari
Istruzioni per la divisione di scale e l’utilizzo di tavole numeriche nella fabbricazione di strumenti geometrici e stereometrici.
Il testo fornisce istruzioni per la fabbrica di strumenti matematici, in particolare per la divisione di linee in scale graduate. Si descrive la suddivisione di una linea in parti eguali, come 10, 100 o 1000, utilizzando un parallelogrammo per ottenere suddivisioni più precise: “divida dal principio la linea deferitta in qualche carta denfa, ovvero altro piano in 10 parti eguali” - (fr:552). Le quantità necessarie – lati di poligoni regolari, raggi di cerchi circoscritti, aree, radici quadrate e cubiche – sono ricavate da tavole numeriche (tavoletta). Ad esempio, “i lati de poligoni dalla propofta tavoletta” - (fr:821) o “la Tavola feguente delle radici cube” - (fr:591). Questi valori vengono trasferiti sullo strumento tramite operazioni di proporzione: “ficcome è .. al .. così il .. al 180” - (fr:754). Le procedure servono per costruire diverse linee dello strumento: la linea Geometrica per i poligoni, la linea Stereometrica per i solidi e una linea per i segmenti circolari. Per le figure piane, si determinano i lati dei poligoni e i raggi dei cerchi circoscritti, spesso usando il Canone dei seni: “il lato del moltangolo ordinato, è fottotendente d’un arco proporzionato” - (fr:714). Per i solidi, si trasferiscono i lati dei corpi regolari, come la piramide: “i lati di ciafchedun corpo eguale… potremo nello Strumento trasferire” - (fr:1035). Si calcolano inoltre le aree dei segmenti circolari estraendone le radici quadrate: “l’Aie de fègmenti ,le radici quadrati delle quali devono eftraerfi, e trasferirfi nell’inftrumento” - (fr:894). I temi secondari includono l’uso di un canone per le corde degli archi e l’assegnazione di numeri e nomi ai punti sulla scala.
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9 Strumenti geometrici e matematici: costruzione e utilizzo
Trattato sulla fabbricazione e applicazione di strumenti di calcolo per la geometria, l’aritmetica e le arti militari.
Il testo descrive uno strumento geometrico e militare, le sue parti costituenti e il metodo di costruzione. Lo strumento possiede diverse linee e scale, tra cui le linee Aritmetiche, utilizzate per risolvere questioni matematiche “con due diverfe maniere di operare” - (fr:101). Include un quadrante con varie divisioni: una scala per i Bombardieri per alzare le macchine “ad alzare le machine con una certa altezza” - (fr:1044), un Quadrante Astronomico diviso in gradi e uno per misurare l’inclinazione delle muraglie “per prender l’inclinazione della fcarpa di tutte le imuraglie” - (fr:380). Viene spiegato il modo di dividere le linee, come la linea Aritmetica che “è divifa fecondo l’Aritmetica” - (fr:475), e di trasferire le divisioni mediante il compasso. Uno degli scopi principali è la risoluzione di problemi geometrici, “sì d’Euclide, come degl’altri” - (fr:462), tra cui la quadratura delle figure piane e del cerchio. La quadratura del cerchio è discussa come un problema che dipende “dalla proporzione del diametro alla circonferenza” - (fr:769) e per il quale si cercano approssimazioni pratiche per le opere meccaniche “abbastanza all’opere Mecaniche ritrovare e dimoftrare almeno la propinqua” - (fr:774). L’opera si rivolge principalmente a personale militare, limitandosi alle cose pertinenti a tale professione “la mia presente intenzione è stata di parlar con persone militari solamente” - (fr:458), pur accennando alla possibilità di risolvere molti altri problemi di geometria e aritmetica. Viene menzionato anche un calibro adattabile a diverse materie e pesi “che si adatti ad ogni forte di materia” - (fr:279).
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10 Strumento geometrico e proporzioni dei solidi regolari
Scale e linee per la trasformazione di piante e la determinazione dei corpi regolari.
Il testo descrive uno strumento geometrico dotato di linee che forniscono scale per trasportare una pianta in un’altra maggiore o minore (“come le medefime Linee ci preffano due, anzi infinite (cale per trafportar una pianta în un’ altra maggiore, ò minore” - (fr:46)). Lo strumento utilizza due scale, una fissa e una mobile, per misurare le linee di un disegno esistente e tracciare quelle di un nuovo disegno in proporzione (“servirsi di due scale, l’una per misurare il disegno già fatto, e l’altra per notare le linee del disegno da farsi” - (fr:49)). Viene applicato allo studio dei corpi regolari inscritti nella sfera (“L’uso della Linea delli Corpi inscrittibili, nella medefima sfera” - (fr:1141)). Sono esposte le proporzioni tra il diametro della sfera e i lati dei vari solidi: il diametro è in potenza triplo rispetto al lato del cubo (“il diametro della sfera è in potenza tripla al lato del cubo” - (fr:995)), sesquialtero rispetto al lato del tetraedro (“il diametro della sfera è in potenza sesquialtera al lato della piramide, ovvero del Tetraedro” - (fr:989)), e doppio rispetto al lato dell’ottaedro (“dop* pio dell’Ottaedro” - (fr:1149)). Si spiegano operazioni per trovare il lato di un solido uguale a un altro solido dato o a una sfera data (“ritrovar la Sfera eguale al corpo, e ad altro qualunque corpo regolare” - (fr:1156)). Viene affrontato il problema della duplicazione del cubo (“dupplicare il primo cubo” - (fr:587)) e quello della divisione di una linea in estrema e media ragione (“segar la linea secondo la proporzione, che abbia il mezzo , € due estremi” - (fr:1004)). Lo strumento comprende anche una linea tetragonica per la quadratura del cerchio (“la Linea Tetragonica… per il benefizio di lei si fa il tetragonismo, ovvero quadratura così del cerchio” - (fr:763)). Una tavola riporta corde, lati dei corpi regolari inscritti e le radici dei corpi di uguale volume (“contiene le corde… de’ cinque corpi regolari inscritti nella sfera; terzo contiene i lati, ovvero radici de’ medesimi corpi fra di loro eguali” - (fr:931)).
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