Galileo - Dialogo sopra due nuove scienze | A | 10d
0.1 Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze
Opera di Galileo Galilei del 1638, presentata come dialogo, che espone e dimostra geometricamente i fondamenti di due nuove discipline scientifiche.
Sommario: L’opera tratta della “resistenza de i corpi solidi all’essere spezzati” e del “moto locale”. La prima scienza, “intorno alla resistenza, che fanno i Corpi solidi, all’essere per violenza spezzati”, è di “grande utilità, et massime nelle Scienzie et Arti Mecaniche” ed è “piena d’accidenti, et Propositioni, sin qui non osservate”. La seconda scienza, anch’essa “da i suoi principii dimostrata”, riguarda un “suggetto eterno, principalissimo in Natura”, il “Moto Locale”, su cui “ci sono moltissimi volumi scritti” ma del quale “nessuno de’ quali è sin quì stato trovato, non che dimostrato da alcuno”. Il metodo impiegato è rigorosamente geometrico, procedendo “dà i loro primi principii, et fondamenti, concludentemente, cioè Geometricamente dimostrate”. L’autore viene celebrato per “haver mostrato la non concludenza di molte ragioni, intorno à varie Conclusioni, con salde dimostrazioni” e per le scoperte astronomiche. Si fa riferimento ad altri temi minori, come lo studio dei pendoli, considerati da alcuni “materia che à molti parrebbe assai arida”, e “alcuni problemi attenenti alla Musica”. L’opera riconosce il contributo di matematici precedenti, tra cui Archimede, “da una sola proposizione del quale, dimostrata da esso ne gli equiponderanti dependono le ragioni non solamente della Leva, mà della maggior parte de gli altri strumenti Mecanici”, e Luca Valerio, definito “nuovo Archimede dell’età nostra”.
0.2 Sulla coerenza dei solidi e la resistenza del vuoto
Sulla natura del legame che tiene unite le parti dei corpi solidi e il ruolo della repugnanza al vuoto.
Sommario L’argomento principale riguarda le cause della coerenza delle parti nei corpi solidi. Viene proposta l’ipotesi che una di queste cause sia “quella decantata repugnanza che hà la natura all’ammettere il vacuo”. Viene discussa la possibilità che questa repugnanza al vuoto, da sola, non sia sufficiente a spiegare la tenacia di certi materiali, suggerendo la necessità di un “glutine, visco ò colla, che tenacemente colleghi le particole”. Per separare l’effetto del vuoto da altre cause, si propone l’uso dell’acqua come materiale ideale per l’esperimento, poiché le sue parti “manchino di ogni altra resistenza alla separazione fuor che di quella del Vacuo”. Un tema minore è l’indagine sulla resistenza dei solidi allo strapparsi, che considera anche il peso proprio del materiale e la sua lunghezza, come nel caso di “un fil di rame di qualsivoglia grossezza, e lunghezza” che, appeso, si strappa quando il suo peso supera un certo limite. Un altro tema minore è la discussione sulla limitazione della crescita delle strutture in natura, poiché “crescendogli a smisurata altezza si vedrebbono dal proprio peso opprimere e cadere”. Viene anche esplorato il metodo sperimentale per misurare la forza del vuoto, utilizzando un dispositivo con un “Cilindro di legno” e un “Zaffo” per misurare la forza necessaria per separare due superfici.
0.3 La natura del continuo e degli infiniti nella filosofia naturale
Sommario delle proprietà del continuo e degli infiniti, con particolare riferimento alla composizione della materia e alle quantità discrete. L’argomento esplora la struttura del continuo, considerato composto “di infiniti indivisibili” (319), e le paradossali proprietà degli insiemi infiniti, dove “gli attributi di eguale, maggiore, e minore non haver luogo ne gl’infiniti, mà solo nelle quantità terminate” (309). Viene proposta una posizione intermedia per le parti del continuo, che “non esser nè finite, nè infinite, mà tante che rispondono ad ogni segnato numero” (346). La discussione si estende alla fisica, applicando il concetto di indivisibili per spiegare fenomeni come la rarefazione e la condensazione “senza necessità d’introdurre la penetrazione de i corpi, ò gli spazii quanti vacui” (472), e per risolvere l’apparente contraddizione per cui nel numero infinito “i quadrati non possono esser manco che tutti i numeri” (316), nonostante nella serie numerica finita siano progressivamente più radi. Vengono toccati temi minori, tra cui il moto, la resistenza dei materiali e le proprietà geometriche delle figure.
0.4 Geometria di poligoni, cerchi e parabole nei metodi di quadratura e proporzione
Definizione e delimitazione dell’argomento relativo alle proprietà geometriche di figure piane e solide, con particolare attenzione ai rapporti di proporzionalità, ai metodi di quadratura e alle dimostrazioni per figure simili e isoperimetriche.
Sommario L’argomento tratta delle proprietà dei poligoni regolari e dei cerchi, in particolare del rapporto tra poligoni circoscritti e isoperimetrici, dove “il cerchio è medio proporzionale trà qualsivoglino due Poligoni regolari tra di loro simili, de i quali uno gli sia circoscritto e l’altro gli sia isoperimetro”. Viene dimostrato che “essendo egli minore di tutti i circoscritti, è all’incontro massimo di tutti gl’isoperimetri”. Sono esaminate le relazioni tra perimetri e circonferenze, come nel caso in cui “il circoscritto Poligono haver al Cerchio la medesima proporzione, che hà il suo perimetro alla circonferenza di esso Cerchio”. Un tema minore riguarda la quadratura della parabola, dove “il triangolo misto bap, i cui lati sono bp, pa, e base la linea Parabolica ba esser la terza parte di tutto ’l rettangolo cp”. Vengono inoltre affrontate questioni relative a cilindri, coni e loro resistenze, con proposizioni come “la resistenza del Cilindro ac alla resistenza del Cilindro df, haver la proporzione composta della proporzione del Cubo del Diametro ab al Cubo del Diametro de, e della proporzione della lunghezza ef alla lunghezza bc”. Le dimostrazioni si basano spesso su lemmi archimedei e sull’uso di figure simili, con considerazioni sugli infiniti lati del cerchio, poiché “i lati del cerchio sono infiniti; quelli son quanti, e divisibili, questi, non quanti e indivisibili”.
0.5 Sulla caduta dei gravi e la resistenza del mezzo
La verifica sperimentale del moto di corpi di diverso peso in mezzi resistenti.
Sommario
L’argomento tratta della caduta dei gravi in diversi mezzi, principalmente aria e acqua, confutando l’opinione aristotelica che la velocità di caduta sia proporzionale al peso. Attraverso esperienze con palle di materiali diversi, come piombo e legno, si dimostra che “due palle di grandezza eguali, ma di peso l’una 10 o 12 volte più grave dell’altra… scendendo dall’altezza di 150 o 200 braccia, con pochissimo differente velocità arrivano in terra”. Ciò indica che l’impedimento dell’aria è piccolo per entrambi. L’analisi si estende al comportamento in mezzi più resistenti, come l’acqua, dove le disuguaglianze di velocità diventano marcate: “di due Mobili, che scendendo per aria pochissimo differiranno in velocità di moto, nell’acqua l’uno si moverà dieci volte più veloce dell’altro”. Viene esplorata l’ipotesi che, in assenza di resistenza del mezzo, tutti i corpi cadrebbero con la stessa velocità: “se noi troveremo in fatto i Mobili differenti di gravità meno, e meno differir di velocità, secondo che in mezzi più, e più cedenti si troveranno… che nel Vacuo sarebbero le velocità loro del tutto eguali”. Un tema minore è lo studio del moto pendolare, utilizzato per investigare il moto con attriti ridotti. Esperimenti con pendoli di uguale lunghezza ma pesi diversi mostrano che “il grave và talmente sotto il tempo della leggiera, che nè in ben cento vibrazioni, nè in mille anticipa il tempo d’un minimo momento; mà camminano con passo egualissimo”. Si discute anche l’effetto ritardante del mezzo, che “opera più i mobili secondo che saranno men gravi” e che, per grandi altezze, può ridurre il moto a uno uniforme. L’argomento include la confutazione di esperienze specifiche attribuite ad Aristotele, sostenendo che “cadendo dall’altezza di cinquanta ò cento braccia, arrivano in terra nell’istesso momento”, a differenza di quanto asserito.
0.6 La Natura Fisica del Suono e delle Consonanze Musicali
Le vibrazioni dei corpi, la loro propagazione e gli effetti uditivi.
Il sommario tratta della generazione del suono tramite vibrazioni, come quelle di una corda che “toccata… comincia, e continua le sue vibrazioni” (939), e della loro trasmissione attraverso un mezzo, poiché “queste vibrazioni fanno vibrare, e tremare l’aria che gli è appresso, i cui tremori, e increspamenti si distendono per grande spazio” (939). La percezione del suono avviene quando queste vibrazioni “vanno à ferire il timpano del nostro orecchio” (967). L’argomento include lo studio delle figure d’onda, rese visibili dall’acqua in un bicchiere risonante, dove si vedono “gl’increspamenti nell’acqua regolatissimi” (942). La base fisica delle consonanze musicali è definita non dalle proprietà statiche della corda, ma dalla “proporzione de i numeri delle vibrazioni, e percosse dell’onde dell’aria” (967). L’ottava, la consonanza principale, si produce quando “per ogni percossa che dia la corda grave su ’l timpano, l’acuta ne dà due” (971). La quinta, altra consonanza, è generata quando “per ogni due pulsazioni della corda grave l’acuta ne dà tre” (972), creando un effetto di “titillazione, et un solletico tale sopra la cartilagine del timpano” (984). Vengono citati esperimenti con pendoli di diverse lunghezze per visualizzare la sincronizzazione delle vibrazioni, poiché “le lunghezze delle corde hanno frà di loro la proporzione che hanno i quadrati de numeri delle vibrazioni, che si fanno nel medesimo tempo” (923).
0.7 Resistenza dei solidi e leva
Studio dei principi meccanici della rottura in prismi e cilindri, con particolare attenzione al ruolo della leva, dei momenti delle forze e delle resistenze, considerando sia le figure astratte che i solidi materiali con il loro peso.
Sommario: L’argomento tratta della resistenza dei solidi, come prismi e cilindri, all’essere spezzati. Viene esaminato come questa resistenza cambi in base alla lunghezza e alla grossezza del solido, nonché al punto di applicazione della forza. Il principio della leva è fondamentale: “nell’uso della Leva la forza alla resistenza hà la proporzion contraria di quella, che hanno le distanze tra ’l sostegno, e le medesime forza, e resistenza”. Viene analizzato il “momento della forza”, che è la capacità di una forza di produrre una rotazione, e come esso si relazioni alla resistenza del materiale. Si considera sia il caso di solidi “in astratto, e separate dalla materia” che “in concreto, e congiunte con la materia”, dove il peso proprio del solido modifica i momenti. Vengono stabilite proporzioni matematiche precise: ad esempio, per solidi egualmente lunghi ma di diversa grossezza, “la resistenza all’esser rotti cresce in triplicata proporzione de i diametri delle lor grossezze”, mentre per solidi egualmente grossi ma di diversa lunghezza, i momenti delle forze sono “in duplicata proporzione di quella delle lor lunghezze”. Un tema minore ricorrente è la ricerca di una figura solida che sia “per tutto egualmente resistente”, ovvero che abbia la stessa propensione a rompersi in ogni suo punto sotto un carico. Un altro tema minore è il comportamento dei solidi cavi, le cui resistenze sono paragonate a quelle dei solidi pieni, osservando che “senza crescer peso si cresce grandemente la robustezza”. Viene anche affrontato il problema pratico di determinare la massima lunghezza che un prisma o un cilindro può avere prima di rompersi sotto il proprio peso, essendo “un solo, e unico è quello, che si riduce (gravato dal proprio peso) all’ultimo stato trà lo spezzarsi e ’l sostenersi intero”.
0.8 Composizione dei moti e determinazione dell’impeto
Analisi della combinazione del moto orizzontale uniforme e del moto verticale naturalmente accelerato, con metodo per calcolare la quantità di moto risultante in un punto qualsiasi della traiettoria parabolica.
Il sommario tratta della composizione di due moti: uno orizzontale uniforme e l’altro verticale naturalmente accelerato, il cui risultato è un moto parabolico. “La contemplazione del componimento di questi impeti diversi, e della quantità di quell’impeto che da tal mistione ne risulta, mi giugne tanto nuova, che mi lascia la mente in non piccola confusione”. L’impeto in un punto della parabola si determina considerando sia “l’impeto uniforme orizontale” che “l’impeto del cadente nell’assegnato punto”, quest’ultimo dipendente dal “tempo decorso dal principio della composizione de i 2 moti”. La regola per l’impeto composto da due moti uniformi stabilisce che “l’impeto composto di questi 2 è (come nei moti uniformi) eguale in potenza ad amendue i componenti”, ovvero la sua grandezza è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle due componenti. Per il moto naturalmente accelerato, la velocità non cresce in proporzione allo spazio percorso, “ma ben secondo quella de i tempi, della quale quella degli spazii è maggiore in duplicata proporzione”. Viene discusso l’effetto della percossa, che “non basta рог mente alla sola velocità del proietto”, ma dipende anche dalla “cedenza” del corpo percosso. Sono menzionate le perturbazioni pratiche, come l’“impedimento del mezzo”, che altera il moto teorico.
0.9 Determinazione del centro di gravità in sistemi di grandezze progressivamente crescenti
Analisi del bilanciamento di grandezze disposte secondo progressioni aritmetiche e quadratiche su leve rigide, con calcolo del punto di equilibrio risultante.
Sommario
L’argomento concerne la determinazione del centro di gravità o di equilibrio di un sistema composto da più grandezze disposte su una bilancia o leva. Le grandezze sono disposte secondo schemi precisi: “Se un numero qualsiasi di grandezze sono disposte tra loro [in rapporto tale] che la seconda sia superiore alla prima del doppio della prima, la terza sia superiore alla seconda del triplo della prima, la quarta sia superiore alla terza del quadruplo della prima, e così ciascuna delle grandezze che si susseguono sia superiore a quella immediatamente precedente di una grandezza multipla della prima secondo il numero [corrispondente alla posizione] che essa stessa occupa nell’ordine”. In un caso specifico, “se queste grandezze vengono ordinatamente appese ad eguali distanze su una bilancia, il centro di equilibrio del composto di tutte [le grandezze] dividerà la bilancia in modo che la parte verso le grandezze minori sarà tripla dell’altra [parte]”. Un’ulteriore variante considera grandezze che “si succedano come i quadrati di linee egualmente eccedentisi l’una l’altra e il cui eccesso sia eguale alla minima”, il cui centro di equilibrio divide la bilancia in modo che “la parte verso le grandezze minori risulterà maggiore del triplo dell’altra [parte], ma minore del triplo della medesima, qualora si tolga una distanza”. Il metodo generale prevede spesso la costruzione di un sistema equivalente su due bilance di diversa lunghezza, dove “il centro di gravità delle suddette grandezze divide la bilancia secondo la medesima proporzione: ma il loro centro è unico, e perciò è un qualche punto comune ad entrambe le bilance”. Vengono anche esaminati casi con “grandezze, che si eccedono egualmente e i cui eccessi sono eguali alla minima di esse”, per le quali “il centro di gravità di tutte [le grandezze] divide la bilancia in modo tale che la parte verso le [grandezze] minori è doppia dell’altra”. Sono presenti riferimenti minori all’applicazione di questi principi a solidi geometrici come cilindri, coni e piramidi, e l’uso di lemmi ausiliari per trattare serie di linee proporzionali.
0.10 Determinazione del centro di gravità in solidi di rotazione
Metodo di approssimazione per il calcolo del baricentro di coni, conoidi e loro tronchi, mediante figure inscritte e circoscritte.
Sommario L’argomento concerne la determinazione del centro di gravità in solidi di rotazione, in particolare coni, “conoidi parabolici” e loro tronchi. Il metodo principale consiste nell’approssimare il solido con figure costituite da cilindri di uguale altezza, una inscritta e una circoscritta. “Si circoscriva poi al cono una figura [costituita] da cilindri aventi eguale altezza, e gli se ne inscriva un’altra”. Il centro di gravità del solido è quindi delimitato dai centri di gravità di queste due figure, la cui distanza reciproca “può essere fatta minore di una qualsiasi linea assegnata”. Per il cono, il centro di gravità “divide l’asse in modo che la parte verso il vertice è tripla della rimanente [parte] verso la base”. Per il conoide parabolico, invece, “il centro di gravità di un conoide parabolico divide l’asse in modo tale che la parte verso il vertice è doppia della rimanente parte verso la base”. Viene anche trattato il centro di gravità dei tronchi (frusti), per i quali “il centro di gravità di un qualsiasi frusto [tronco] staccato da un conoide parabolico si trova sulla linea retta che è l’asse del frusto; diviso tale asse in tre parti eguali, il centro di gravità si trova nella parte di mezzo e la divide in modo che la parte verso la base minore avrà rispetto alla parte verso la base maggiore, la medesima proporzione che la base maggiore ha rispetto alla base minore”. Le dimostrazioni procedono spesso per assurdo, mostrando l’impossibilità che il centro di gravità cada al di fuori dell’intervallo compreso tra i centri delle figure inscritte e circoscritte. “Il centro di gravità del conoide non si trova dunque al di sopra del punto n: ma si è dimostrato che non si trova neppure al di sotto: resta dunque che esso debba necessariamente trovarsi proprio in n”. Viene infine accennato il caso di solidi sezionati da piani non perpendicolari all’asse.
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