logged-posts

Fabiani - Didattica della Matematica 2017 - Lettura (14v)

1. Reinvenzione Guidata nella Didattica della Matematica

Didascalia: Approfondimento del metodo didattico che promuove l'apprendimento attivo e la scoperta personale della matematica.

Sommario

Il testo esamina il concetto di "reinvenzione guidata" nella didattica della matematica, ispirato al lavoro di Hans Freudenthal. L'approccio si basa sull'idea che gli studenti, attraverso la “re-invenzione da parte del discente” (111), possano appropriarsi delle idee e delle strutture matematiche in modo attivo. Il metodo incoraggia l'apprendimento per salti, con “gli strumenti concettuali ed algoritmici che ad un determinato livello sono utilizzati in pratica diventano oggetto di riflessione ad un livello superiore” (110), e promuove la matematizzazione sia orizzontale, partendo dalla realtà, che verticale, attraverso l'astrazione.

Il testo sottolinea l'importanza di creare "contesti ricchi" che inducono gli studenti a impegnarsi e a inventare la propria matematica, guidati da un adulto che non impone, ma facilita il processo. La reinvenzione guidata, come evidenziato da Freudenthal, “indica la ‘libertà’ operativa dello studente” (124) e “indica la ‘libertà’ dell’adulto che guida, ma non in modo invasivo” (125), e mira a promuovere un atteggiamento attivo e motivato verso la matematica, poiché “la scoperta può dare soddisfazione, e quindi l’imparare con la reinvenzione può essere fondato sulle motivazioni personali” (130).

Infine, il testo evidenzia come la matematica, attraverso l'attività personale, “si dimenticano meno facilmente e vengono utilizzate con maggiore facilità e prontezza di quelle che sono state imposte da altri” (129).

2. Titolo: Il Laboratorio di Matematica: Unità di Gesto e Pensiero

La didattica del laboratorio di matematica mira a coinvolgere l'intera persona, corpo e mente, per favorire un apprendimento significativo e duraturo. “Vogliamo sviluppare l’idea che può essere considerato laboratorio ogni attività didattica che sia occasione di unità di gesto e di pensiero, che si rivolga, perciò, alla persona del bambino e del giovane coinvolgendo tutta la sua persona, corpo e mente.” Questo approccio si discosta dall'insegnamento tradizionale, che si concentra sull'attenzione e la ripetizione, e mira a stimolare la creatività e l'intraprendenza degli studenti.

Sommario

Il testo esplora il concetto di laboratorio di matematica, sottolineando l'importanza di unire gesto e pensiero per un apprendimento completo. “Occorre offrire occasioni in cui si apprenda usando tutti i sensi, usando le mani, addirittura tutto il corpo, particolarmente con i bambini piccoli.” Viene evidenziata la necessità di superare l'addestramento ripetitivo e promuovere la riflessione e la connessione con la realtà, poiché “se ciò che si fa non genera riflessione e giudizio, rimane intrattenimento, e produce non apprendimento ma addestramento.” Il testo propone un metodo che include l'osservazione, la verbalizzazione, la rappresentazione e la connessione tra pensiero e azione, con l'obiettivo di stimolare la creatività e l'innovazione. Vengono inoltre presentate attività pratiche, come la costruzione di solidi geometrici e l'esplorazione di sistemi di numerazione, per favorire l'apprendimento attivo e la collaborazione tra studenti e insegnanti.

3. Analisi e Struttura del Concetto di Numero

Didascalia:

L'acquisizione del concetto di numero, dalla sua rappresentazione orale alla comprensione simbolica e quantitativa, attraverso le diverse fasi dello sviluppo infantile e le attività proposte nella scuola dell'infanzia.

Sommario:

Il testo esamina lo sviluppo del concetto di numero nel bambino, partendo dalla fase di apprendimento delle forme orali delle notazioni numeriche, passando per la rappresentazione formale e simbolica, fino all'associazione del numero al suo valore quantitativo. “Il bambino che sbaglia a dire il nome dei numero commette errori lessicali”, evidenziando l'importanza della competenza simbolica. La scuola dell'infanzia svolge un ruolo cruciale nell'offrire “occasioni di esperienza matematica, che facciano leva sull’esperienza matematica occasionale del bambino, completandola e rafforzandola”, attraverso attività che stimolano i processi lessicali, semantici, sintattici e di counting. L'analisi si concentra sulla comprensione del significato dei numeri, indipendentemente dalle dimensioni, e sull'induzione della riflessione sull’indipendenza della numerosità da altri attributi, come ad esempio le dimensioni. “È importante anche lavorare • sulle stime di numerosità, capacità innata per le piccole quantità e quindi facilmente sviluppabili”. Il testo sottolinea come la familiarità con i numeri possa nascere a partire da quelli che si usano nella vita di ogni giorno, accompagnandole con i gesti dell’indicare, del togliere e dell’aggiungere. “Si avviano così alla conoscenza del numero e della struttura delle prime operazioni, suddividono in parti i materiali e realizzano elementari attività di misura”.

4. Analisi e Sintesi di Metafore Concettuali nell'Aritmetica

Didascalia:

Esplorazione delle metafore concettuali alla base dell'aritmetica, dalla collezione di oggetti al moto lungo un percorso, con un'analisi dettagliata delle correlazioni tra operazioni fisiche e concetti numerici.

Sommario:

Il testo analizza le metafore concettuali che strutturano la nostra comprensione dell'aritmetica, evidenziando come i concetti astratti siano radicati in esperienze concrete. "La metafora concettuale, quindi, è un meccanismo cognitivo che permette di ragionare su un tipo di cose come se fosse un altro" (659). Si esaminano quattro domini principali: la collezione di oggetti, la costruzione di oggetti, l'asta di misurazione e il moto lungo un percorso. Ogni dominio fornisce una lente attraverso cui interpretare i numeri e le operazioni, come "l’aritmetica come collezione di oggetti" (668).

Le correlazioni tra azioni fisiche e operazioni aritmetiche sono cruciali, con esempi come "si osservano correlazioni regolari tra l’azione di aggiungere ad una collezione di oggetti e l’operazione di addizione" (666). La metafora dell'asta di misurazione, ad esempio, introduce concetti come la relazione d'ordine e la legge di tricotomia, come dimostrato dall'esempio "la proprietà commutativa Aggiungere la collezione A alla collezione B dà lo stesso risultato che aggiungere la collezione B alla collezione A" (671).

L'analisi si estende anche alla comprensione dello zero e dei numeri negativi, evidenziando come la metafora del moto lungo un percorso permetta di estendere l'aritmetica oltre i numeri positivi. "Lo zero Nella nostra esperienza quotidiana cosa succede quando da una collezione togliamo tutti gli oggetti?" (682). La discussione include anche un'analisi dei sistemi di numerazione, come la numerazione romana, e delle difficoltà cognitive associate ai calcoli, sottolineando l'importanza di stimolare la consapevolezza durante le operazioni. "Per tale ragione è necessario, nelle operazioni, stimolare continuamente la consapevolezza" (766).

5. Analisi e Sintesi di Modelli di Calcolo

Didascalia

Esplorazione dei modelli di calcolo di McCloskey e Dehaene, con un focus sulle strategie di calcolo mentale e didattiche.

Sommario

Il testo presenta due modelli di calcolo: quello di McCloskey, che prevede un sistema modulare con sottosistemi di comprensione, calcolo e produzione, e quello del triplo codice di Dehaene, che coinvolge il processamento di codice arabico, verbale e analogico. Il modello di McCloskey richiede una rappresentazione semantica per ogni compito numerico, mentre il modello di Dehaene permette una comunicazione tra codici senza trasformazione in rappresentazione astratta. Vengono discusse strategie per il calcolo mentale, come il conteggio esplicito e il recupero di fatti aritmetici, e metodi didattici come il metodo analogico di Bortolato. Il testo sottolinea l'importanza dell'acquisizione di automatismi, della diversificazione delle situazioni e degli approcci, e suggerisce l'utilizzo di tecniche come il calcolo semiscritto e la moltiplicazione a gelosia.

6. Lo Zero: Origini, Significato e Introduzione Didattica

La storia e le proprietà dello zero, dal suo mancato riconoscimento nelle civiltà antiche al suo ruolo cruciale nel sistema di numerazione posizionale, con un focus sull'introduzione didattica per i bambini.

Sommario

Il testo esamina l'evoluzione del concetto di zero, evidenziando come “popoli di antichissima civiltà, come gli Egizi, e popoli di raffinatissima civiltà, come i Greci, non hanno conosciuto lo zero come cifra” (940). Il testo spiega che lo zero è essenziale per i sistemi di numerazione posizionali, come il nostro, che è “decimale, posizionale e polinomiale” (946-949). Il testo sottolinea che “il valore del numero si ottiene sommando i prodotti parziali (monomi) che compaiono nel polinomio” (950). Il testo evidenzia come “i matematici indiani, nel VII secolo dopo Cristo, ma forse anche prima, sapevano fare le quattro operazioni utilizzando lo zero” (953). Il testo afferma che “lo zero è • Una cifra del nostro sistema di numerazione” (961). Il testo suggerisce che lo zero può essere introdotto “in vista della costruzione della linea dei numeri” (965). Il testo propone esempi pratici, come “Presenze/assenze degli alunni nei giorni di scuola” (968) e “l’ascensore: come possiamo chiamare il piano terra? Piano zero” (975). Il testo spiega che “lo zero è quindi l’elemento neutro o indifferente rispetto alla addizione” (978). Il testo afferma che “quando lui entra in scena come fattore, non c’è scampo: il risultato è sempre zero” (982). Il testo conclude con suggerimenti didattici, come “Si possono fare giochi con tappi, stecchini, cannucce, proponendo ai bambini di raggrupparli per cinque, per tre, per dieci…” (991).

Note

Il testo presenta una panoramica completa sull'evoluzione e l'utilizzo dello zero, con particolare attenzione al suo ruolo nel sistema di numerazione posizionale e alle strategie per introdurlo in ambito didattico.

7. Evoluzione e Natura della Geometria

Didascalia: Analisi storica e concettuale della geometria, dalla sua nascita come strumento pratico alla sua evoluzione in una scienza formale e astratta.

Sommario

Il testo traccia l'evoluzione della geometria, partendo dalle sue origini come strumento pratico per risolvere problemi quotidiani, come evidenziato da: "Inizialmente è uno strumento che si presenta sotto la forma di un insieme di semplici regole prive di connessione fra loro, rispondenti a problemi che nascono nella vita quotidiana della gente." Il passaggio cruciale avviene nel mondo greco, con l'introduzione di un approccio logico e dimostrativo, come si evince da: "È solo nel mondo greco, intorno al 600 a.C., che avviene il passaggio che fonda la geometria come scienza formale, le cui dimostrazioni si conducono per via logica, anziché con l’ausilio di metodi sperimentali."

Successivamente, la geometria si evolve fino a diventare una teoria ipotetico-deduttiva, dove gli assiomi non descrivono più la realtà fisica, ma sono punti di partenza per ragionamenti astratti, come espresso da: "gli assiomi non descrivono più proprietà dello spazio fisico, ma sono solo affermazioni prese come punto di partenza." La scoperta delle geometrie non euclidee porta a una revisione dei concetti di verità ed evidenza, come si legge in: "La scoperta delle geometrie non euclidee costringe i matematici a rivedere: •il concetto di verità."

Infine, il testo introduce la teoria dei Van Hiele, che evidenzia l'importanza di favorire lo sviluppo del pensiero geometrico nei bambini, come sottolineato da: "Il lavoro dei Van Hiele rende evidente l’importanza di un insegnamento capace di favorire lo sviluppo del pensiero geometrico e non di impedirlo."

8. Definizione e Delimitazione di un Blocco di Testo Omogeneo

Didascalia

Analisi e descrizione del percorso formativo nella geometria, dalla spontaneità all'astrazione, con particolare attenzione all'esperienza del bambino e all'importanza della manipolazione e dell'osservazione.

Sommario

Il testo esplora il valore formativo dell'insegnamento della geometria nella scuola primaria, sottolineando come il "fare geometria" sia un processo di organizzazione e comprensione del contesto spaziale ("il fare geometria è un primo passo con il quale un soggetto umano cerca di organizzare in un quadro coerente ciò che l’osservazione del proprio contesto spaziale gli offre"). Si evidenzia il legame stretto tra geometria e mondo fisico ("il rapporto tra geometria e mondo fisico è molto stretto"), e come la spontaneità infantile nella percezione di forme e simmetrie ("E’ spontanea nel bambino la percezione delle forme, delle simmetrie"), possa essere stimolata attraverso attività pratiche e manipolazione ("un’attività che ha preso spunto da figure e relazioni geometriche, e ha fatto leva sul disegno e sulla manipolazione"). Il testo descrive la progressione dalla geometria intuitiva, basata sull'esperienza sensoriale, alla geometria formale, astratta e deduttiva, sottolineando come la capacità di immaginare e creare immagini mentali ("la fantasia mette in atto delle operazioni che si potrebbero chiamare di 'estrapolazione'") sia cruciale per la comprensione dei concetti geometrici. Infine, si evidenzia come l'esperienza geometrica possa portare a una positiva esperienza di conoscenza ("se c’è una disciplina bella da insegnare, perché permette di assistere alla positiva esperienza del conoscere, questa è la geometria").

9. Trasformazioni Geometriche e Simmetrie: Un Sommario

Didascalia:

Esplorazione delle trasformazioni geometriche, dalla riflessione alla rotazione, con un focus sulle simmetrie e le loro applicazioni pratiche.

Sommario:

Il testo presenta un'analisi dettagliata delle trasformazioni geometriche, iniziando con la definizione di una trasformazione come "una corrispondenza biunivoca del piano in se stesso" (1875). Si distingue tra isometrie, similitudini e affinità, basandosi sulla congruenza di lati e angoli, e sulla proporzionalità dei lati stessi. Le trasformazioni sono classificate in base alle loro proprietà, come "trasforma rette in rette, segmenti in segmenti" (1877).

Il testo approfondisce le simmetrie assiale e centrale, evidenziando come "una retta r asse di simmetria per una figura F se, la sua simmetrica rispetto ad r coincide con F" (1881). Vengono poi introdotte la traslazione, definita come "una trasformazione che sposta ogni punto di una figura della stessa distanza e nella stessa direzione" (1884), e la rotazione, descritta come "una trasformazione del piano in sé che fa corrispondere ad ogni punto P del piano il punto P’, anch’esso del piano" (1889).

Le isometrie, che mantengono "forma e dimensioni delle figure" (1894), sono ulteriormente distinte in congruenze, come "rotazione e traslazione" (1898), e isometrie indirette, come la simmetria assiale. Il testo conclude con un'analisi delle applicazioni pratiche, come il caleidoscopio e le tassellazioni, che sfruttano le proprietà delle trasformazioni geometriche.

10. Analisi e Sintesi di un Test sulle Misure

Didascalia:

Il testo esamina il concetto di misura, analizzandone le diverse implicazioni in fisica, matematica e nella vita quotidiana, con un focus sull'importanza di un sistema di unità di misura condiviso.

Sommario:

Il testo inizia definendo il risultato del processo di misura come un numero, specificando che il tipo di numero utilizzato dipende da cosa si misura, come evidenziato da: “Se contiamo gli elementi di un insieme discreto usiamo i numeri naturali”. Viene poi introdotta la differenza tra la misura in fisica, che richiede il confronto tra oggetti reali, e la misura in matematica, che è un'operazione concettuale, sottolineata da: “La misura in fisica è un’operazione materiale, che richiede il confronto tra oggetti reali”.

Il testo prosegue con l'analisi di esempi pratici, come la gara dei 100 metri e la superficie dell'Ucraina rispetto all'Italia, per illustrare l'importanza della differenza e del rapporto tra le misure. Viene inoltre evidenziata la necessità di un sistema di misure unico, come dimostrato dal caso del Mars Climate Orbiter, dove l'uso di unità di misura diverse ha portato alla distruzione della sonda, come si evince da: “La sonda non era in grado di effettuare conversioni tra le due unità di misura”.

Infine, il testo esplora l'uso delle misure nella scuola dell'infanzia e primaria, suggerendo attività pratiche per far apprezzare la differenza tra confronto diretto e indiretto, e l'importanza di un approccio didattico che contempli tutte le possibilità, come si può dedurre da: “È importante quindi che gli esempi che si fanno contemplino tutte le possibilità”.

11. Analisi e Sintesi di un Blocco di Frasi Statistiche

Didascalia:

Analisi di dati statistici relativi a studenti, con particolare attenzione a frequenze, grafici e indici statistici.

Sommario:

Il blocco di frasi presenta un'analisi statistica, iniziando con la definizione di popolazione, unità e variabile statistica, per poi passare alla frequenza assoluta e relativa di una modalità, come l'esempio del mese di nascita degli studenti. Vengono poi descritti diversi tipi di grafici, come l'istogramma e il grafico a barre, per rappresentare i dati raccolti. "I dati raccolti in una indagine statistica si possono efficacemente rappresentare con dei grafici", sottolineando l'importanza della scelta del tipo di grafico in base al carattere statistico. L'analisi prosegue con esempi pratici, come il problema dei nuclei familiari con un numero variabile di componenti, che richiede la costruzione di un grafico a torta. "Per comodità compiliamo la tabella corrispondente al problema", evidenziando l'importanza di organizzare i dati. Infine, si introducono gli indici statistici, come la moda, la mediana e la media, con esempi pratici e calcoli. "La moda è sempre un valore dell’insieme dei dati e rappresenta il valore (o i valori) più ricorrente", sottolineando l'importanza di questi indici per sintetizzare e interpretare i dati.

Struttura:

Titolo 2: Introduzione e Definizioni

Titolo 3:

Titolo 2: Rappresentazione Grafica dei Dati

Titolo 3:

Titolo 2: Indici Statistici

Titolo 3:

Titolo 2: Conclusione

Titolo 3:

12. Analisi del Testo sui Problemi Matematici e la Narrazione

La didascalia del testo fornito è: "Analisi delle difficoltà degli studenti nella risoluzione dei problemi matematici, con particolare attenzione al ruolo della narrazione e della struttura del testo".

Il testo analizza le difficoltà incontrate dagli studenti nella risoluzione dei problemi matematici, evidenziando come l'attenzione eccessiva alla storia e al contesto narrativo possa distrarre dalla struttura matematica e dalle operazioni necessarie per la soluzione. Il testo propone un'alternativa all'utilizzo di materiali autentici, suggerendo di considerare la dimensione narrativa del problema e di analizzare le proprietà della narrazione per formulare testi più comprensibili e funzionali alla soluzione.

Sommario:

  1. “Da qui il fatto che i problemi a scuola sono espressi attraverso un testo (per lo più scritto), e la necessità di comunicare a chi deve risolvere cosa deve risolvere” (2726), evidenziando come la formulazione dei problemi sia spesso legata a un testo scritto.
  2. “Proprio il testo sintetico del problema secondo Nesher può spiegare il fatto che molti allievi seguono scorciatoie cognitive (quali inferire direttamente dal testo le operazioni da fare) invece che rappresentarsi la situazione descritta e su tale rappresentazione costruire il processo risolutivo” (2730), sottolineando come la sintesi del testo possa portare a soluzioni superficiali.
  3. “In contesto italiano ad esempio Bonotto e Baroni (2011) propongono come alternativa ai classici problemi contenuti nei testi scolastici l'utilizzazione di materiali autentici estrapolati dal contesto extrascolastico” (2733), suggerendo un approccio alternativo all'utilizzo di materiali scolastici tradizionali.
  4. “La ricercatrice sostiene che la prima componente in un problema verbale standard è semplicemente un alibi, in quanto la situazione, i personaggi, i luoghi e gli oggetti descritti in genere sono irrilevanti per risolvere il problema cui fa riferimento la seconda componente” (2739), evidenziando come la storia possa essere irrilevante per la risoluzione del problema.
  5. “In definitiva un contesto famigliare, concreto, che fa riferimento al vissuto del lettore, non sembra avere di per sé un ruolo facilitatore nella comprensione e nella soluzione di un problema” (2750), sottolineando come un contesto familiare possa non essere sempre utile.
  6. “L'esempio seguente sembra testimoniare questo effetto 'distrattore' del contesto” (2742), introducendo un esempio concreto per illustrare l'effetto distruttivo del contesto.
  7. “Le proprietà della narrazione Come abbiamo visto all'origine di un problema c'è una struttura matematica che viene contestualizzata in una situazione che si assume familiare per chi legge” (2758), evidenziando come la narrazione sia legata alla struttura matematica del problema.
  8. “Un processo risolutivo significativo si fonda sulla rappresentazione del problema” (2759), sottolineando l'importanza della rappresentazione del problema per la sua risoluzione.
  9. “La comprensione di una storia mette in gioco quindi un tipo di pensiero in grado di comprendere le persone, le loro intenzioni, i loro sentimenti” (2780), evidenziando come la comprensione della storia richieda un tipo di pensiero specifico.
  10. “L'idea di causalità che entra in gioco nella comprensione di una storia è quella tipica del pensiero narrativo, ed è diversa da quella che caratterizza il pensiero logico” (2782), evidenziando come la causalità nella narrazione sia diversa da quella logica.

13. Analisi del Testo sui Problemi Verbali e la Narrazione

Didascalia: Esame delle proprietà narrative necessarie per la comprensione dei problemi verbali, con particolare attenzione alla verosimiglianza e alla connessione tra contesto e domanda.

Il testo analizza le proprietà che un problema verbale dovrebbe avere per favorire la comprensione, sottolineando l'importanza della verosimiglianza narrativa e della connessione tra le parti del testo. "Le varie parti del testo devono essere collegate fra loro dal punto di vista narrativo", afferma il testo, evidenziando come la mancanza di coerenza narrativa possa ostacolare la risoluzione.

Il testo evidenzia come la struttura standard dei problemi verbali spesso manchi di una vera storia, con personaggi animati e una dimensione temporale chiara. "In molti problemi manca una vera e propria storia, o perché manca la dimensione temporale, o perché mancano personaggi animati", si legge nel testo. Questo può portare a "fratture narrative" che impediscono una rappresentazione accurata della situazione.

L'analisi si concentra anche sul collegamento tra la domanda e il contesto narrativo, sostenendo che una domanda che emerge naturalmente dalla storia favorisce la comprensione. "Maggiore è il collegamento fra la domanda e la storia narrata nel contesto, più la comprensione della storia favorirà la comprensione della domanda e in definitiva del problema", si afferma nel testo.

Il testo presenta un'indagine che confronta due versioni di un problema, una con una frattura narrativa e una con uno scopo naturale. I risultati mostrano che la versione con lo scopo naturale porta a risposte corrette e complete. "Il numero delle risposte corrette e complete nella versione A è maggiore rispetto a quelle date alla versione B", si legge nel testo.

14. Analisi e Struttura dei Problemi Matematici in Contesti Narrativi

Didascalia: Esplora come i problemi matematici possono essere integrati in narrazioni per migliorare la motivazione e il processo di risoluzione, analizzando le proprietà e le fratture narrative.

Sommario

Il testo analizza l'integrazione di problemi matematici in contesti narrativi, evidenziando come questa strategia possa migliorare la motivazione e il processo di risoluzione. Si discute della necessità di collegare la domanda al contesto e di garantire che la storia sia ben strutturata. "Inoltre permette di riformulare con poco sforzo qualsiasi tipo di problema matematico". Si introduce un modello (C&D) per la formulazione del testo di un problema, che tiene conto della necessità di una storia ben strutturata e di un collegamento naturale tra contesto e domanda. "Il modello (Fig. 1) descrive quindi le proprietà che abbiamo evidenziato per Contesto e Domanda (da cui modello C&D), organizzandole in tre blocchi". Si analizzano le fratture narrative, come problemi vuoti, spezzati, chiusi, indiretti, oscuri e artificiosi, e si propongono indicazioni per la riformulazione. "Per saldare questo tipo di fratture si rende quindi spesso necessario cambiare completamente il contesto narrativo".

Analisi

Il testo esamina come l'integrazione di problemi matematici in narrazioni possa migliorare la motivazione e il processo di risoluzione. "Inoltre permette di riformulare con poco sforzo qualsiasi tipo di problema matematico". Si introduce un modello (C&D) per la formulazione del testo di un problema, che tiene conto della necessità di una storia ben strutturata e di un collegamento naturale tra contesto e domanda. "Il modello (Fig. 1) descrive quindi le proprietà che abbiamo evidenziato per Contesto e Domanda (da cui modello C&D), organizzandole in tre blocchi". Si analizzano le fratture narrative, come problemi vuoti, spezzati, chiusi, indiretti, oscuri e artificiosi, e si propongono indicazioni per la riformulazione. "Per saldare questo tipo di fratture si rende quindi spesso necessario cambiare completamente il contesto narrativo".