Evangelista Torricelli - Opera Geometrica - 1644 | L

29 Mar, 2026

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[1.1-64-85|148]

1 Analisi di un trattato geometrico rinascimentale sulla misura di superfici cilindriche e coniche

Studio sulle proporzioni tra superfici laterali di solidi di rotazione e le loro basi, con metodo dimostrativo euclideo-archimedeo.

Il testo presentato costituisce una serie di proposizioni estratte dal Liber Primus di un’opera intitolata De Solidis Sphaeralibus, dedicata allo studio geometrico di solidi, in particolare cilindri, prismi e coni. Lo stile è quello rigoroso e deduttivo della geometria classica, ereditato da Euclide e Archimede, con enunciati seguiti da costruzioni e dimostrazioni per assurdo o per proporzionalità.

Un elemento peculiare è il sistematico ricorso al metodo di esaustione, tipico di Archimede, per confrontare aree curve (come la superficie cilindrica) con aree di poligoni inscritti e circoscritti. Questo è evidente nella Proposizione III, dove si dimostra l’uguaglianza tra la superficie di un cilindro e l’area della sua base sotto una specifica condizione d’altezza. La dimostrazione procede per assurdo: si suppone che il cerchio di base sia maggiore o minore della superficie cilindrica e, tramite la costruzione di prismi su poligoni regolari inscritti e circoscritti, si giunge a una contraddizione con proposizioni precedentemente stabilite. Il processo è descritto in dettaglio: “Sir primum circulus maior quam cylindri fuperficies ; & fuppofita differentia G , defcribarur intra circulum aliquod poligonum … quod quidem deficiat a circulo minori defectu , quam fit fpatium G” - (fr:105) [Sia dapprima il cerchio maggiore della superficie del cilindro; e posta la differenza G, si descriva dentro il cerchio un qualche poligono … il quale difatti manchi dal cerchio di un difetto minore dello spazio G].

Il testo è ricco di definizioni e relazioni proporzionali fondamentali. Nella Proposizione I si stabilisce che segmenti di superficie cilindrica tagliati da piani paralleli alle basi stanno tra loro come i corrispondenti segmenti dell’asse o del lato: “erunt fegmenta fuperficiei cylindricae inter fe, vc fegmenta axis, fiue lateris cylindri , homologe fumpta” - (fr:89) [i segmenti della superficie cilindrica tra loro, o i segmenti dell’asse, o del lato del cilindro, presi omologamente, saranno…]. La Proposizione IV enuncia un rapporto chiave: “Cylindri redi fuperficies ad circulum fug bafis efi vt latus cylindri ad quartam partem diametri eiufdem bafis” - (fr:119) [La superficie del cilindro retto al cerchio della sua base è come il lato del cilindro alla quarta parte del diametro della stessa base]. Questo lega una misura lineare (l’altezza del cilindro) a un rapporto tra aree.

Viene dato grande rilievo a un caso particolare significativo: quando l’altezza del cilindro è esattamente un quarto del diametro di base, la sua superficie laterale è uguale all’area del cerchio di base. Questo è il teorema dimostrato nella Proposizione III: “S I fuerit cylindrus rectus, cuius altitudo equalis fit quartse parti diametri fuf bafis i erit cylindrica fuperficies aqualis circulo fu£e bafis” - (fr:102) [Se sarà un cilindro retto, la cui altezza sia uguale alla quarta parte del diametro della sua base, la superficie cilindrica sarà uguale al cerchio della sua base]. La dimostrazione di questo caso speciale funge da lemma per le proposizioni successive sulle proporzioni generali.

Il metodo si estende ad altri solidi. Nella Proposizione VII si tratta la piramide retta a base poligonale regolare, stabilendo che “bafis pyramidis ad reliquam ipfius fuperficiem, vt femi catetus bafis ad catetum fuperficiei” - (fr:140) [la base della piramide alla sua restante superficie, come il semi-cateto della base al cateto della superficie]. Analogamente, per il cono retto (Proposizione VIII), si afferma che “circulus bafis, ad reliquam conicam fiiperficiem,efle vtDA,adAC” - (fr:147) [il cerchio di base, alla restante superficie conica, è come DA ad AC], dove DA è il raggio e AC l’apotema.

Il significato storico del testo è quello di testimoniare la ricezione e la rielaborazione della geometria solida di Archimede nel periodo rinascimentale. L’autore si colloca esplicitamente nella scia del siracusano (“confiat ex Commentariis in Archimedem” - (fr:105)) e di Euclide. L’opera rappresenta un esempio di matematica pre-calculistica, che affronta problemi di misurazione di superfici curve con strumenti puramente geometrici e logici, basati sul confronto tra rapporti e sul principio di esaustione. La struttura per proposizioni numerate, le espressioni conclusive fisse (“Quod erat demonfirandum”), e l’uso sistematico di costruzioni ausiliarie riflettono il canone della trattatistica matematica antica e medievale, preservato e sviluppato in età moderna.

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2 Dimostrazioni geometriche sulle superfici coniche e cilindriche

Trattato sulle relazioni proporzionali tra superfici curve di coni, tronchi di cono e cilindri, con riferimenti ad Archimede.

Il testo costituisce un estratto di un trattato di geometria solida, probabilmente ispirato agli studi archimedei, come esplicitamente citato nella frase 215: “quidem Archimedis Propofitio eft 1 6, libri primi de Sph. & cyl.” [Infatti la Proposizione 16 di Archimede è del primo libro della Sfera e del Cilindro.]. L’argomento centrale è lo studio delle superfici laterali (curve) delle figure rotonde, con l’obiettivo di stabilire rapporti di uguaglianza o proporzionalità tra di esse attraverso il confronto di aree di rettangoli chiave.

Un concetto fondamentale è l’uso sistematico di **rettangoli “propri” o costruiti su elementi geometrici delle figure (come lati, assi e raggi) come termini di paragone. Ad esempio, si dimostra che “conica fuperficies ABC ad cylindricam DE, efi: vtredanguiura BAH ad redangulum DE” - (fr:176) [la superficie conica ABC sta a quella cilindrica DE, come il rettangolo BAH sta al rettangolo DE.]. Questo metodo riduce il confronto tra superfici curve a un confronto tra aree di rettangoli, di più facile gestione.

Un risultato peculiare è l’equivalenza tra una superficie conica curva e l’area di un cerchio determinato. Viene dimostrato che “curuafuperficies coni^pqualis efi circulo cui» dam 9 cuius femidiameter med. prop, fit inter C A 9 AD” - (fr:165) [la superficie curva del cono è uguale a un certo cerchio, il cui semidiametro è medio proporzionale tra CA e AD.]. Questo teorema è corredato da un corollario che precisa la costruzione: “cuius femidiameter media proportionalis fit inter CA9 AD” - (fr:171) [il cui semidiametro è medio proporzionale tra CA e AD.].

Il trattato introduce definizioni operative per semplificare le dimostrazioni successive. Per il tronco di cono (frustum conici), definisce la ”media aritmetica” dei raggi delle basi opposte: “Vocabimus imposterum breuitatis caufa Utieam EM medii tAritmeticamfrufticonici” - (fr:195) [Chiameremo in seguito, per brevità, la retta EM media aritmetica del tronco di cono.]. Definisce poi il ”rettangolo proprio del tronco di cono” come il prodotto del suo lato (AB) per questa media aritmetica (EH): “EeB angulum vero fub EH it* AB latere frujli conici # dtce - iwtfj redangulum proprium frUUi conici” - (fr:195) [Il rettangolo invece sotto EH e il lato AB del tronco di cono si chiamerà rettangolo proprio del tronco di cono.]. Questi strumenti consentono di esprimere in modo compatto i rapporti tra superfici, come in: “curua frufti conici ABCD uiperficies ad curuam coni EFG fuperficiem eft vt redan.coutentum fub AB , & vtraque AL, BI ad redangulum FEH” - (fr:202) [la superficie curva del tronco di cono ABCD sta alla superficie curva del cono EFG come il rettangolo contenuto sotto AB, e sotto entrambe AL, BI sta al rettangolo FEH.].

La struttura logica è deduttiva e rigorosa. Ogni proposizione è enunciata, seguita da una costruzione geometrica (“Efto…”) e da una dimostrazione (“Dico…”) che fa uso di rapporti noti, proprietà delle figure e della tecnica dell’“ex aequo” (per ugualianza di rapporti). Si notano riferimenti a figure, i cui dettagli sono descritti nel testo, come la costruzione per la Proposizione XIII: “Efto circulus ADBC, quem duse diametri AB,CD fecent ai angur LiberVnmus. 43 angulos redos” - (fr:224-225) [Sia il cerchio ADBC, che due diametri AB, CD secanti ad angoli retti.]. La dimostrazione spesso procede per assurdo, come nell’argomento iniziale (fr. 157-162), dove si assume una base minore del dovuto per giungere a una contraddizione sulle uguaglianze tra segmenti.

Il testo ha un significato storico come testimonianza della ricezione e della rielaborazione della geometria di Archimede in epoca moderna (lo stile tipografico e linguistico suggerisce il XVI-XVII secolo). Rappresenta un esempio di trattazione matematica che mira a sistematizzare e dimostrare con coerenza interna un corpus di teoremi sulle aree delle superfici di rotazione, strumenti essenziali per la geometria e le sue applicazioni.

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[3.1-107-342|448]

3 Sulla misura delle superfici curve: dalla sfera ai solidi di rotazione

Un estratto di trattato geometrico rinascimentale che dimostra, con metodo sintetico, relazioni di equivalenza tra superfici sferiche, coniche, cilindriche e aree di cerchi.

Il testo presenta una serie di proposizioni geometriche incentrate sul calcolo delle superfici curve, in particolare di solidi di rotazione come la sfera, il cono e il cilindro, e di porzioni di essi. Il metodo dimostrativo è di tipo sintetico, tipico della geometria euclidea e archimedea, e stabilisce equivalenze tra aree di superfici curve e aree di cerchi, utilizzando principi di proporzionalità e le proprietà delle figure.

Un concetto cardine è l’equivalenza tra la superficie sferica e quella cilindrica circoscritta di pari altezza. Si dimostra che “Superficies enim cylindri FEHG fine basibus, eft ad circulum suae basis circa FG… hoc est quadrupla” - (fr:345) [La superficie del cilindro FEHG senza le basi, sta al cerchio della sua base intorno a FG… cioè è quadrupla]. Poiché la superficie sferica è uguale a quella cilindrica, ne consegue che “propterea coni’ superficies sphaerae quae cylindricae est aequalis, qua $7Jced’, circuli circa AC descripti, qui in sphaera maximus est” - (fr:348) [perciò la superficie della sfera, che è uguale a quella cilindrica, è quadrupla del cerchio descritto intorno ad AC, che è il massimo nella sfera]. Questo risultato fondamentale, cioè che l’area della sfera è quadrupla dell’area del suo cerchio massimo, è esplicitamente attribuito ad Archimede: “Tria haec Theoremata, quae sequuntur, ex Archimede desumpta sunt” - (fr:358) [Questi tre teoremi che seguono sono desunti da Archimede].

Il trattato estende poi questo principio alle porzioni di sfera (calotta sferica), affermando che “Cuiuscunq; portionis sphaerae superficies aequalis est circulo, cuius semidiameter aequalis fit lineae quae ex polo portionis perducitur ad circulum, qui in eiusdem portionis basi est” - (fr:350) [La superficie di una qualunque porzione di sfera è uguale al cerchio il cui raggio è uguale alla linea che dal polo della porzione è condotta alla circonferenza che sta alla base della porzione stessa].

La seconda parte del testo si occupa di stabilire relazioni di uguaglianza o proporzionalità tra volumi di coni e rombi solidi (figure composte da due coni). Le dimostrazioni si basano sul confronto tra rapporti di basi (spesso equiparate a superfici curve) e di altezze. Ad esempio, nella Proposizione XXII, si postula che se due coni hanno la superficie curva di uno uguale alla base dell’altro e un’altezza opportunamente definita, allora i coni sono equivalenti: “Dico conos ABC, DEF, esse aequales” - (fr:360). Un corollario precisa la relazione proporzionale nel caso le altezze non siano uguali.

Successivamente, il testo analizza i solidi residui (“excaucatum solidum”) che rimangono dopo aver sottratto un cono o un rombo solido da un cono, un cilindro o un tronco di cono più grandi. Per ognuno di questi solidi cavi, si dimostra l’esistenza di un cono equivalente, la cui base è definita dall’area di una specifica superficie curva del solido originale e la cui altezza è un segmento perpendicolare definito nella figura. Un esempio è dato dalla proposizione sulla sfera: “Dico reliquum excauatum solidum, dempto cono BEC, aequale esse cono FIL” - (fr:399), dove la base del cono FIL è “aequalis fit superficiei curvae cylindri” - (fr:397) e la sua altezza è “aequalis rectae NB, hoc est semidiametro basis cylindri” - (fr:398).

Il linguaggio è tecnico e denso, con un uso costante di lettere per denotare punti e figure (es. “sphaera ABCD”, “cylindrus FEHG”). Il procedimento logico segue lo schema euclideo: esposizione, specificazione, costruzione, dimostrazione e conclusione (“Quod erat demonstrandum”). Il riferimento esplicito ad Archimede colloca il testo nella tradizione di recupero e sistematizzazione della scienza antica, tipica del Rinascimento. La presenza di termini come “rombus solidus” e l’attenzione per i solidi cavi o troncati mostra uno sforzo di estendere i principi fondamentali a casi più complessi.

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[4.1-65-686|750]

4 Trattato sui solidi sferici: proporzioni geometriche e rivoluzioni di poligoni

Analisi di proposizioni geometriche sui solidi generati dalla rotazione di poligoni inscritti e circoscritti alla sfera, con dimostrazioni basate su rapporti di aree e volumi.

Il testo è un estratto di un trattato di geometria solida, probabilmente del periodo rinascimentale o primo-moderno, come suggerito dall’uso del latino e dallo stile dimostrativo euclideo. Il nucleo concettuale riguarda lo studio dei solidi sferali (o “folidis fphæralibus”), ossia solidi di rotazione generati facendo ruotare poligoni regolari (con numero pari o dispari di lati) attorno a un asse specifico (cateto o diagonale) all’interno o all’esterno di una circonferenza o di una sfera.

Le proposizioni stabiliscono relazioni di proporzionalità tra la sfera e i solidi a essa inscritti o circoscritti, utilizzando sistematicamente il rapporto tra quadrati di segmenti (duplicata ratio). Un metodo ricorrente è il confronto tra la sfera e il solido, ottenuto come rapporto tra il quadrato del diametro della sfera e il quadrato di un elemento del poligono (come il cateto). Ad esempio, si afferma che “fphæra ad inscription fibi folidum fphærale eſt vt quadratum diametri ad quadratum cateti AC” - (fr:738) [la sfera al solido sferale in essa inscritto è come il quadrato del diametro al quadrato del cateto AC].

Un concetto peculiare è la distinzione tra rotazione attorno al cateto (l’asse perpendicolare a un lato passante per il centro) e attorno alla diagonale (un diametro del cerchio circoscritto). La scelta dell’asse determina la forma del solido generato. Il testo tratta sia poligoni con numero di lati pari che dispari, specificando che per questi ultimi, nella rotazione attorno al cateto, la proporzione coinvolge “quatuor ſimul maximi termini , ad-maiorem reliquorum ſemel , & medium bis ; de minorem ſemel ſumptura” - (fr:695) [i quattro termini massimi insieme, al maggiore dei restanti preso una volta, e il medio due volte, e il minore preso una volta].

Le dimostrazioni si basano su triangoli simili, teoremi sulle proporzioni (come la converſio rationis) e sull’uguaglianza di aree. Un passaggio dimostrativo tipico mostra che “tres rectæ GF, GE, GB . funt in proportione Arithmetica ; ideo E G bis ſumpta æqualis erit duabus F G, GB” - (fr:692, 693) [le tre linee GF, GE, GB sono in proporzione aritmetica; perciò EG presa due volte sarà uguale alle due FG, GB].

Un risultato significativo è che la superficie della sfera si comporta come medio proporzionale tra le superfici dei due solidi (uno inscritto e uno circoscritto) quando i solidi sono simili: “fuperficies fphæræ media proportionalis erit inter fuperficies duorum folidorum” - (fr:716). La dimostrazione (fr:718-721) conduce alla conclusione che le tre superfici sono “in continua proportione”.

Il testo introduce anche un corollario pratico: la differenza di volume tra la sfera e un solido inscritto è collegata al volume di un cono specifico. Si afferma che il cono con base uguale a un cerchio massimo e altezza uguale a un certo segmento “erit ſubduplus folidi fphæralis” - (fr:737) [sarà la metà del solido sferale], mentre un cono con la stessa base ma altezza diversa “erit ſubduplus differentiæ, quæ inter fphæram, & folidum fphærale eſt” - (fr:737) [sarà la metà della differenza che è tra la sfera e il solido sferale].

Nello Scholium finale (fr:742-747) si accenna a una generalizzazione, affermando che è possibile dimostrare come i singoli solidi rotondi anulari descritti nella rotazione di figure mistilinee “æqualia eſſe ſingulis sphæroidibus” - (fr:743) [sono uguali a singoli sferoidi], il cui asse è uguale a una porzione della linea AB. Questo cenno a figure mistilinee e sferoidi indica un tentativo di estendere i risultati a forme più complesse.

Il significato storico del testo risiede nella sua collocazione nella tradizione della geometria dei solidi di rotazione, che da Archimede in poi ha cercato di determinare rapporti di volume e superficie. L’uso metodico del latino, la struttura in proposizioni e scolii, e il riferimento esplicito a dimostrazioni precedenti (per præcedentem, per huius) lo inquadrano come parte di un’opera sistematica, testimoniando il rigore matematico dell’epoca nella trattazione di problemi di geometria solida.

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[5.1-100-883|982]

5 Studio sulle proporzioni geometriche dei solidi di rivoluzione generati da poligoni

Analisi di proposizioni geometriche cinquecentesche relative ai rapporti tra solidi sferici generati dalla rotazione di poligoni regolari.

Il testo, estratto da un trattato scientifico rinascimentale, presenta una serie di proposizioni geometriche che stabiliscono rapporti di proporzionalità tra solidi di rivoluzione, detti “solidi sferali”, generati dalla rotazione di poligoni regolari attorno ai loro assi (diagonali o cateti). Il nucleo concettuale risiede nel confronto sistematico dei volumi di questi solidi attraverso il rapporto tra parallelepipedi costruiti su elementi lineari delle figure piane generatrici. Il metodo dimostrativo si basa costantemente sull’inscrizione e circoscrizione di sfere ai solidi, sfruttando poi proprietà delle proporzioni e medie (aritmetica e geometrica) per giungere ai risultati.

Un elemento peculiare è l’uso di una notazione ibrida, con termini latini (“solidum sphaerale”, “catetus”, “diagonalis”) e una sintassi che mescola latino e volgare, tipica dei testi scientifici del XVI secolo. Il riferimento a figure è esplicito e cruciale per la comprensione, anche se le figure stesse non sono fornite nel testo: “Ducatur , D£ perpendicularis ad GB,& EF ad GC” - (fr:917). Le dimostrazioni procedono per costruzioni geometriche, applicazione di teoremi precedenti (citati con “per 7, huius”) e passaggi algebrici sulle proporzioni.

Il concetto centrale è espresso nella Proposizione XLIV: il rapporto tra il solido generato dalla rotazione attorno alla diagonale e quello generato dalla rotazione attorno al cateto dello stesso poligono è uguale al rapporto tra il doppio dell’area del rettangolo costruito sui segmenti e la somma dei loro quadrati. Questo è enunciato come: “Dico solidum ex diagonali ad solidum ex cateto esse, vtre<6 angulum BED bis sumptum , ad quadrata ex & ex ED” - (fr:886) [Dico che il solido dalla diagonale al solido dal cateto è, come il rettangolo BED preso due volte, ai quadrati di BE e di ED]. Un corollario importante afferma che il solido generato attorno alla diagonale è sempre minore di quello generato attorno al cateto: “solidum ex diagonali factum semper minus esse solido quod fit ex cateto” - (fr:901).

Il testo procede con confronti tra solidi generati da poligoni regolari inscritti e circoscritti (Proposizioni XLV e XLVI), stabilendo ulteriori proporzioni basate sui quadrati delle diagonali e dei cateti. Un passaggio significativo generalizza il confronto tra solidi qualsiasi, affermando che i solidi parilateri (a lati pari) rivoluti attorno alla diagonale stanno tra loro come parallelepipedi aventi per base il quadrato del cateto e per altezza la diagonale: “solida sphaeralia parilatera circa diagonalem revoluta, inter se sunt vt parallelepipeda bafi quadr. cateti, altitudine vero diagonali eorumdem” - (fr:923-924). Analoghe relazioni sono stabilite per solidi generati attorno al cateto (Prop. XLVIII) e per solidi “imparilateri” (a lati dispari, Prop. L).

Il significato storico del testo risiede nella sua testimonianza dello stato avanzato della geometria solida nel Rinascimento, in particolare nell’ambito della stereometria, che studiava i volumi mediante metodi di esaustione e proporzionalità ereditati da Archimede, ma applicati a nuove famiglie di solidi. L’opera si colloca nel solco della riscoperta e sistematizzazione della matematica classica, con un’impostazione deduttiva rigorosa ed un linguaggio formale che cerca di conciliare la tradizione latina con le esigenze espositive dell’epoca. La minuziosa classificazione dei casi (parilateri/imparilateri, rotazione attorno a diagonale/cateto) riflette uno spirito enciclopedico e sistematico caratteristico della scienza del periodo.

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[6.1-67-1770|1836]

6 Dimostrazione geometrica della simultaneità nel moto dei gravi su piani inclinati

Analisi di proposizioni sul moto composto di corpi lungo piani inclinati e orizzontali, con dimostrazioni geometriche basate su proporzionalità di tempi, spazi e velocità.

Il testo, estratto da un trattato scientifico probabilmente del XVII secolo, presenta una serie di proposizioni e dimostrazioni geometriche relative al moto dei gravi. Il nucleo concettuale verte sulla comparazione dei tempi di caduta lungo percorsi differenti, combinando tratti inclinati e orizzontali, con l’obiettivo di dimostrare la simultaneità dell’arrivo in un dato punto. Il metodo è rigorosamente geometrico e proporzionale, tipico della fisica pre-newtoniana.

Un elemento peculiare è la struttura logica delle dimostrazioni, che procedono per costruzioni di figure geometriche (triangoli, parabole) e applicano principi di proporzionalità tra spazi, tempi e velocità. Ad esempio, si stabilisce che “Velocitates enim funt vt tempora cafuum” - (fr:1772) [Le velocità infatti sono come i tempi delle cadute], un principio chiave che lega cinematica e geometria. La dimostrazione principale mostra che due gravi, partendo da altezze diverse (punti A e B), possono incontrarsi nello stesso istante nel punto D dopo aver percorso cammini differenti (AC+CE e BC+CE), poiché “tempora lationum a c e … b c e … æqualia esse” - (fr:1781, 1782, 1783) [i tempi delle percorrenze AC e … BC e … sono uguali].

Una seconda dimostrazione, definita “Idem aliter demonstrabimus” - (fr:1777) [Lo stesso dimostreremo in altro modo], introduce l’uso della parabola come strumento analitico. Si costruisce una parabola con vertice in C e si usano le sue proprietà (“Notum est in parabola ita esse a f. ad h h. vt est a c ad c d” - (fr:1787) [È noto che nella parabola sta AF a HH come AC sta a CD]) per confrontare i segmenti AF e BH, che rappresentano i tempi di percorrenza. Questo rivela un’applicazione sofisticata delle sezioni coniche all’analisi del moto.

I corollari che seguono estraggono regole generali. Il Corollarium II afferma una relazione di reciprocità: “tempora perpendicularium, & tempora horizontalium lationum reciproce æqualia esse” - (fr:1807) [i tempi delle [cadute] perpendicolari, e i tempi delle percorrenze orizzontali sono reciprocamente uguali]. Questo principio è esemplificato nella figura, dove si nota che “tempus perpendiculi … eademq; af, est tempus horizontis c e” - (fr:1808, 1809) [il tempo della [caduta] perpendicolare … che è lo stesso AF, è il tempo della percorrenza orizzontale CE].

Le proposizioni successive (LI, LII, LIII) generalizzano il problema a piani inclinati in modi diversi. La Propositio LI considera piani di diversa lunghezza ma uguale inclinazione, dimostrando che, prese opportune medie proporzionali (come “h e … media proportionalis inter longitudines planorum” - (fr:1812, 1813) [HE … media proporzionale tra le lunghezze dei piani]), i gravi si incontreranno comunque nello stesso punto G. La Propositio LII distingue ulteriormente casi in cui i moti orizzontali successivi siano “contrariæ inuicem” - (fr:1824) [contrari tra loro] o “ad easdem partes” - (fr:1825) [verso le stesse parti], notando che nel primo caso le direzioni orizzontali devono essere opposte, altrimenti “grauia nunquam convenient” - (fr:1835) [i gravi non si incontrerebbero mai].

Storicamente, il testo è una significativa testimonianza del metodo galileiano. L’uso della geometria per analizzare quantitativamente il moto, la ricerca di relazioni proporzionali e l’interesse per la simultaneità e gli incontri di corpi in caduta sono temi centrali nella fondazione della cinematica moderna. L’assenza di riferimenti espliciti alle forze o alla dinamica, concentrandosi invece su tempi, spazi e velocità, colloca il pensiero in una fase in cui la fisica si stava emancipando dalla filosofia naturale aristotelica attraverso il linguaggio matematico. La complessità delle costruzioni geometriche e l’eleganza delle dimostrazioni rispecchiano l’ideale di una scienza deduttiva ed esatta.

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[7.1-38-2155|2192]

7 Analisi delle proposizioni galileiane sul moto dei proiettili

Studio geometrico delle relazioni tra impulso, altezza, ampiezza e direzione nel moto parabolico.

Il testo presentato costituisce una serie di proposizioni (dalla XI alla XVII) tratte da un trattato sul moto dei proiettili, verosimilmente di matrice galileiana. Il nucleo concettuale è l’applicazione della geometria euclidea, in particolare delle proprietà del cerchio e del triangolo rettangolo, per risolvere problemi cinematici relativi alla traiettoria parabolica. Il metodo è sintetizzato nella costruzione di un semicerchio su una data linea (spesso la metà dell’ampiezza o l’impulso) per determinare gli elementi incogniti.

Un elemento peculiare è l’uso del termine ”impetus” (fr:2155, 2168, 2173), che non denota la forza ma la grandezza che determina la velocità iniziale del proiettile, assimilabile al parametro cinematico che fissa la gittata massima. La trattazione è interamente geometrica: l’impulso, l’ampiezza (gittata orizzontale) e l’altitudine (altezza massima) sono rappresentate da segmenti di linea legati da relazioni di proporzionalità fissate dalla geometria della parabola. Ad esempio, si stabilisce che “l’amplitudo quadrupla erit linese ad” - (fr:2158) [l’ampiezza sarà quadrupla della linea ad], definendo un rapporto costante tra gittata e un cateto del triangolo di costruzione.

Il procedimento risolutivo standard è illustrato nella Proposizione XI: dati l’impulso e l’ampiezza, si deve trovare la direzione e l’altezza. La soluzione prescrive: “Sit datus impetus ^ ^ fit ^ <3^ quarta pars datse amplitudinis. Fiat circa ab semicirculus” - (fr:2156, 2157) [Sia dato l’impulso, e sia la quarta parte della data ampiezza. Si faccia intorno ad ab un semicerchio]. L’intersezione di questo semicerchio con una linea determina le possibili direzioni di lancio (“directionem siue a e, siue a e” - fr:2158).

Un passaggio di notevole rilevanza pratica e teorica si trova nella Proposizione XII. Dopo aver spiegato come ricavare impulso e altezza da ampiezza e direzione, l’autore estende il ragionamento a un caso fisico concreto: “Ex hac propositione colligere possumus quantu ascendere posset globus, si quando ab aliquo tormento sursum perpendiculariter iaciatur” - (fr:2175) [Da questa proposizione possiamo dedurre quanto potrebbe ascendere un globo, se qualche volta da qualche cannone venga lanciato perpendicolarmente verso l’alto]. Questo collegamento esplicito tra il modello geometrico-astratto e l’applicazione balistica (il “tormento”, ovvero l’artiglieria) segna il significato storico del testo: è una testimonianza diretta della transizione della meccanica da disciplina speculativa a scienza applicata agli armamenti, caratteristica della rivoluzione scientifica del Seicento.

La Proposizione XVI contiene una definizione tecnica fondamentale: “Dico d d, esse latus rectum huius parabolae” - (fr:2183) [Dico che dd è il latus rectum di questa parabola]. Il ”latus rectum” è un parametro geometrico specifico della sezione conica che, in questo contesto, risulta essere uguale all’intera ampiezza della traiettoria quando l’angolo di elevazione è di 45 gradi (“ad elevationem anguli semirecti” - fr:2182). Ciò conferma la piena consapevolezza dell’autore che le traiettorie dei proiettili sono paraboliche.

La proposizione finale (XVII) enuncia un principio di ottimizzazione balistica: “Ad proiectiones aequales faciendas, minor impetus requiritur in ea, quae ad elevationem semirectam fieri debeat” - (fr:2188) [Per effettuare proiezioni uguali, si richiede un impulso minore in quella che deve essere fatta ad elevazione semiretta (45°)]. Questo teorema, dimostrato geometricamente, stabilisce l’efficienza massima del lancio a 45 gradi per una data gittata, un risultato cardine della balistica teorica.

Il testo non presenta ambiguità interne ma presuppone nel lettore una familiarità con il metodo delle proporzioni e con le costruzioni geometriche che fungono da algoritmo grafico per la soluzione dei problemi. L’assenza di calcoli algebrici e l’uso pervasivo di figure (a cui si allude continuamente, come nel riferimento al “semicirculus propositionis huius” - fr:2175) sottolineano il carattere pre-moderno, ma estremamente rigoroso, dell’analisi.

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[8.1-36-2497|2532]

8 Determinazione sperimentale della velocità e della quantità d’acqua effluente da un foro

Analisi di un metodo geometrico per calcolare la traiettoria parabolica e la portata di un getto d’acqua, con verifica sperimentale.

Il testo, estratto da un trattato scientifico post-galileiano (probabilmente della scuola di Castelli o Torricelli), presenta un’indagine idrodinamica sul moto dei fluidi. L’obiettivo principale è stabilire una relazione matematica precisa tra l’altezza del liquido in un vaso e la velocità di efflusso da un foro praticato sul fondo, nonché la quantità d’acqua emessa. Il metodo combina rigorosamente dimostrazioni geometriche con prescrizioni per una corretta sperimentazione, sottolineando la necessità di far coincidere teoria e osservazione.

L’analisi si fonda sul concetto che la velocità dell’acqua in uscita è proporzionale alla velocità di discesa della superficie libera (libella) nel vaso. Questo legame è espresso attraverso la costruzione di parabole: “Quando libella aquae in vase est… per doctrinam Castellij, ipsa a e. velocitas libellae da in descendendo” - (fr:2511-2512). La relazione di proporzionalità è costante e dipende esclusivamente dal rapporto tra le sezioni del vaso e del foro: “velocitas aquae exeuntis ad velocitatem libellae descendentis… semper erit vt linea applicata in maiori parab. ad applicatam in minori” - (fr:2516). Un corollario fondamentale stabilisce che, a parità di foro e tempo, le quantità d’acqua effluente stanno tra loro come la radice quadrata delle rispettive altezze del liquido: “Quantitates aquarum ab eodem… foraminibus erumpentium eodem tempore, sunt inter se in subduplicata ratione altitudinum” - (fr:2519). Ciò viene confermato dalla proporzione “vt recta ac ad hl” - (fr:2524).

La trattazione è fortemente visuale e geometrica. Il procedimento per tracciare la parabola del getto richiede costruzioni con tangenti, perpendicolari e linee parallele al diametro della parabola stessa: “Producatur b a dy & erigatur perpendiculum cd… Ducantur iam tres lineae a e, ef, fh, quarum prima fit ex angulo vtcunque, secunda parallela tangenti, tertia parallela diametro” - (fr:2507). Il riferimento alla figura è esplicito e cruciale per la comprensione, come indicato dalla frase “vt constat ex demonstratione dc fic desingulis punctis parabolae quaesitae” - (fr:2508).

L’autore attribuisce grande importanza alla precisione sperimentale, fornendo istruzioni dettagliate per evitare errori. Insiste che il foro “debet esse in lamella tenui plana adquam perpendicularis sit recta b d” - (fr:2503) e che il tubo di afflusso “usque ad initium aquaeductus debet esse capacissimum; quo enim laxius erit eo exactius experimentum evadet” - (fr:2505). Avverte anche che risultati falsi si ottengono se l’acqua “per angustias transire debuerit” - (fr:2506) o se l’impeto è eccessivo, causando la dispersione in “tenuissimum rorem” - (fr:2506). La validità della speculazione teorica è infine dichiarata conforme all’esperienza: “Haec speculatio convenit exactissime cum experimento a nobis summa cum diligentia facto” - (fr:2529). Un’applicazione pratica del principio è mostrata nel problema di determinare la dimensione di un secondo foro che, sotto lo stesso afflusso, mantenga il vaso ugualmente pieno, risolto tramite una proporzione basata sulla media geometrica delle altezze.

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[9.1-293-2852|3144]

9 Analisi di un trattato di balistica del XVII secolo

Studio teorico-pratico sul tiro dell’artiglieria, basato sulla teoria parabolica di Galileo, con applicazioni per l’uso della squadra militare.

Il testo è un estratto di un trattato scientifico-militare del XVII secolo che si occupa della teoria e della pratica del tiro con l’artiglieria. L’autore (probabilmente un seguace di Galileo Galilei) si propone di correggere e migliorare le pratiche empiriche dei bombardieri dell’epoca applicando i principi geometrici e matematici derivanti dalla scoperta galileiana che la traiettoria dei proiettili è parabolica.

Il nucleo concettuale del trattato è la trasposizione pratica della teoria parabolica del moto dei proiettili per il calcolo preciso dei tiri d’artiglieria. L’autore critica l’uso della squadra militare ordinaria, inventata da Niccolò Tartaglia, perché basata su osservazioni empiriche fallaci: “Ma vaglia il vero, le osservazioni sono tanto fallaci… che l’uso dell’artiglieria… non può avere se non pochissimo di certezza” - (fr:2983). La soluzione proposta è una nuova squadra, o un nuovo metodo per graduare quella esistente, fondato non sull’esperienza ma sulla geometria dimostrativa.

Un passaggio peculiare e rilevante è la spiegazione di come, partendo da un solo tiro sperimentale, si possa calcolare il tiro massimo di una qualsiasi artiglieria. Viene descritto un procedimento geometrico-trigonometrico dettagliato: “Data però l’elevatione e lunghezza di detto tiro… viene ad esser data anco la linea… la quale è la metà del massimo tiro” - (fr:2876). Questo metodo si basa esplicitamente sul “Corollario della Proposizione de proietti” di Galileo, sottolineando la diretta dipendenza dell’autore dalla nuova scienza.

Il testo ha un chiaro significato storico di testimonianza della transizione tra l’arte empirica della guerra e l’applicazione sistematica della scienza moderna. Rappresenta il tentativo di portare “certezza” e “scienza sicura” (fr:2984) in un campo dominato dalla pratica. L’autore si rivolge esplicitamente ai “Filosofi Geometri” (fr:2965), distinguendoli dai “Bombardieri pratici”, e ammette che il suo strumento soddisferà “indubitatamente alla scuola de Matematici, se non a quella de Bombardieri” (fr:3002). Questo evidenzia la frattura tra la nuova conoscenza teorica e la tradizione pratica del tempo.

L’analisi si estende anche a casi complessi, dimostrando l’ambizione universalizzante della teoria: tiri su piani inclinati (“spiaggia decliva”), tiri da altezze (come da una rocca) e tiri contro muri perpendicolari o a scarpa. Per ogni scenario, vengono fornite regole di calcolo geometrico, come per determinare “dove nel sudetto muro ferirà la palla” (fr:2920). Una sezione particolarmente interessante esamina la forza d’impatto del proiettile in relazione all’angolo d’incidenza sul bersaglio. L’autore suppone che “la forza dei colpo sarà maggiore, o minore, secondo che nel medesimo tempo sarà corsa la [distanza] perpendicolare maggiore o minore” (fr:3123) e conclude che “le forze de’ tiri… sono come i seni retti degli angoli delle elevazioni” (fr:3131). Questo tentativo di quantificare matematicamente l’effetto distruttivo, pur con le sue semplificazioni (come trascurare la resistenza dell’aria), è un esempio della spinta ad applicare il metodo scientifico a ogni aspetto del fenomeno.

La parte finale è dedicata alla descrizione della costruzione e dell’uso della nuova squadra. Il principio fondamentale è di graduarla non in base all’angolo di elevazione, ma direttamente in base alla lunghezza del tiro, in modo che le divisioni siano proporzionali agli spazi percorsi: “se a tre punti, tirerà tre di quegli spazi” (fr:3004). L’autore descrive minuziosamente come tracciare le divisioni disuguali su un quadrante utilizzando un semicerchio e linee parallele, creando così una “Tavola” integrata nello strumento. L’obiettivo è l’universalità: “faremo la squadra universale, che serva indifferentemente per tutte le spezie, e tutte le grandezze dell’artiglieria” (fr:3063). Il procedimento prevede una “previa esperienza” con un pezzo ignoto per calibrare lo strumento, dopo di che esso fornisce immediatamente la misura di tutti i tiri possibili con quel pezzo.

Il testo, pur nella sua complessità tecnica, mantiene un tono diretto e didattico, con frequenti richiami alle “cose dimostrate” e riferimenti espliciti alle proposizioni di Galileo. Traspare l’intento di fornire uno strumento pratico e insieme di educare a un nuovo modo, scientifico, di concepire l’arte dell’artiglieria.

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10 Un trattato sulla quadratura della parabola e i fondamenti meccanici della geometria

Una difesa metodologica della quadratura archimedea attraverso principi meccanici astratti, dedicata a un principe mecenate.

Il testo si presenta come la prefazione o il proemio di un libretto scientifico dedicato alla quadratura della parabola, un problema geometrico antico. L’autore, Evangelista Torricelli, si rivolge prima a un principe, invocandone la protezione e la giustizia nel giudicare l’opera, e poi al lettore comune, difendendo il valore e il metodo del suo studio.

La dedica al principe è caratterizzata da un tono umilissimo e cerimonioso, tipico dell’epoca. L’autore, conscio della propria “tenuitatis” (fr:3179) [tenuità], affida il libro a un principe che non solo può proteggerlo, ma anche giudicarlo, lodandone il “non acre iudicium” (fr:3180) [non severo giudizio] e la “incomparabilem humanitatem” (fr:3181) [incomparabile umanità] che lo ha sollevato da una fortuna avversa. L’augurio finale è che la divina provvidenza prosperi tali principi “vt aeterna Prouidentia magis eluceat, & coniunctam aliquando cum potestate sapientiam in terris demonstrare valeamus” (fr:3182) [affinché l’eterna Provvidenza risplenda maggiormente, e possiamo dimostrare in terra la sapienza unita al potere].

Rivolgendosi al lettore, l’autore riconosce che la quadratura della parabola è un argomento trito e antico: “Nullum in universo Mathematicarum disciplinarum Theatro fortasse tritior pulvis reperitur, quam parabola quadratura” (fr:3185) [Forse in tutto il teatro delle discipline matematiche non si trova polvere più trita della quadratura della parabola]. Tuttavia, giustifica il suo lavoro sostenendo che, se la conclusione è antica, gli argomenti per confermarla saranno nuovi: “Sed esto quod conclusio antiqua sit; argumenta certe, quibus illa confirmabitur plurimum nova erunt & inaudita” (fr:3192). Promette anzi una seconda parte sul solido iperbolico acuto contenente un teorema “inexcogitatum & ita dicam paradoxicum” (fr:3192) [inimmaginabile e, per così dire, paradossale] e un metodo di dimostrazione inusitato.

Un punto cruciale è la difesa del metodo meccanico di Archimede, spesso criticato. L’autore prende le difese del matematico siracusano e di suoi successori come Luca Valerio, indignato che “cum optimam causam suscepisset, pestilima defensione usum fuisse” (fr:3203) [avendo assunto un’ottima causa, si sia servito di una difesa pessima]. La critica principale ai fondamenti meccanici è duplice: presuppongono che superfici senza gravità ne abbiano, e che le linee di sospensione di una bilancia siano parallele, mentre dovrebbero convergere al centro della Terra. L’autore ribatte con un audace ragionamento astratto: “Falsum enim est, quod circulus habeat centrum; sphara superficiem; conus soliditatem” (fr:3206) [È falso che il cerchio abbia un centro, la sfera una superficie, il cono una solidità]. Queste proprietà esistono solo per definizione e intelletto. Allo stesso modo, si può concepire la bilancia non sulla Terra, ma “in altissimis regionibus supra orbem Solis” (fr:3212) o addirittura “in infinitam distantiam” (fr:3213) [a distanza infinita], dove le linee di sospensione sarebbero esattamente parallele. Il geometra ha il privilegio di operare con l’intelletto, astraendo dalla realtà fisica: “Peculiare quoddam beneficium habet Geometra, cum ipsi ab abstractionis ope omnes operationes suas mediante intellectu exequatur” (fr:3216) [Il geometra ha un certo peculiare beneficio, poiché con l’astrazione esegue tutte le sue operazioni mediante l’intelletto].

Per chiarezza, l’autore decide di usare comunque la terminologia consueta, chiamando “Centrum terrae” (fr:3218) il punto verso cui le grandezze sulla bilancia sono supposte gravitare. La parte finale del testo presentato enuncia una serie di definizioni e postulati meccanici di base per fondare le dimostrazioni successive. Si definisce la natura del centro di gravità (I), l’equiponderanza di una figura liberamente sospesa (II, III, IV) e come una figura sia detta appesa centralmente a un punto della bilancia (V). Una figura illustrativa è richiamata nella frase: “Concipimus figuram ABC, suspensam ex sui puncto D, per medium fili ED ducti” (fr:3220) [Concepiamo una figura ABC, sospesa per il suo punto D, mediante il filo ED].

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11 Dimostrazione geometrica dell’area della parabola

Trattato sulla misura della parabola mediante metodi geometrici e meccanici.

Il testo è un estratto di un trattato scientifico rinascimentale (probabilmente del XVI o XVII secolo) che presenta una serie di dimostrazioni geometriche per stabilire l’area di un segmento parabolico. Il problema centrale è dimostrare che “parabola fefquitertia est trianguli eandem ipfi basim, & eandem altitudinem habentis” - ovvero che l’area di un segmento parabolico è uguale a quattro terzi dell’area del triangolo inscritto che ha la stessa base e la stessa altezza. Questo risultato, attribuito ad Archimede, viene qui dimostrato attraverso una molteplicità di approcci, principalmente basati sul principio di equilibrio delle figure (leve e baricentri) e su metodi di esaustione con figure inscritte e circoscritte.

11.1 Elementi peculiari e concetti chiave

Il testo si caratterizza per un approccio sinottico al problema, offrendo diverse dimostrazioni (Propositiones) corredate da lemmi preparatori (Lemmata). Il metodo principale è meccanico-statico: le figure geometriche (triangoli, segmenti parabolici) vengono concepite come figure materiali di densità uniforme, sospese lungo una leva. La condizione di equilibrio permette di stabilire rapporti tra le loro aree.

Un concetto fondamentale è quello di ”figura mixta”, ovvero una figura composta, come quella delimitata da un arco parabolico e dalle sue tangenti. Il testo fa ampio uso della costruzione di tangenti e di linee parallele al diametro (asse) della parabola. Un passaggio ricorrente è la scomposizione del segmento parabolico in una serie infinita di triangoli più piccoli, il cui studio conduce al risultato finale. Viene anche utilizzato il principio di esaustione, confrontando l’area della parabola con somme di aree di poligoni inscritti e circoscritti, dimostrando che la differenza può essere resa minore di qualsiasi grandezza assegnata.

Il linguaggio è quello della geometria sintetica classica, con un forte utilizzo della proporzionalità e della similitudine. Sono presenti riferimenti espliciti ad Archimede: “Hoc Lemma demonstratur ab Archimede Prop. 2” - (fr:3397) [Questo Lemma è dimostrato da Archimede nella Proposizione 2].

11.2 Significato storico e testimonianza scientifica

Il testo è una testimonianza significativa della ricezione e della rielaborazione dell’opera di Archimede nel periodo rinascimentale. L’autore non si limita a riprodurre le dimostrazioni classiche, ma le moltiplica, mostrando diverse vie per giungere allo stesso risultato. Questo riflette un interesse tipicamente umanistico-rinascimentale per la varietà dei metodi e per l’eleganza della dimostrazione.

L’uso del metodo meccanico (equilibrio dei pesi) è particolarmente rilevante. Archimede stesso, nella lettera a Eratostene che accompagna il Metodo, aveva usato concetti meccanici per scoprire risultati geometrici, pur fornendo poi dimostrazioni rigorosamente geometriche. Questo testo sembra rientrare in quella tradizione, applicando il principio della leva per determinare aree. È una testimonianza dell’intreccio tra meccanica e geometria che caratterizza gran parte della scienza fino a Newton.

La struttura per Lemmi e Proposizioni, con un continuo riferimento a figure (sebbene qui non riprodotte), segue il modello euclideo-archimedeo, indicando la persistenza di quel canone espositivo come standard per il trattato scientifico.

11.3 Dati, definizioni e passaggi rilevanti

Il risultato principale è enunciato ripetutamente: l’area del segmento parabolico è i 4/3 di quella del triangolo inscritto. Questo è espresso come rapporto 4:3 o come “fefquitertia” (uno e un terzo). Ad esempio: “parabola ad triangulum ABC erit vt 16, ad 12 nempe fefquitertia” - (fr:3355) [la parabola sta al triangolo ABC come 16 a 12, cioè come uno e un terzo].

Un passaggio tecnico cruciale riguarda la costruzione di tangenti e il loro rapporto. Si dimostra che se si congiunge il punto di contatto della tangente con il punto medio della base, la linea passa per il fuoco (implicitamente). Un lemma tipico afferma: “Si duæ parabola utraque duas tangentes ad basim habuerint ; erunt inter se trilinea mixta sub tangentibus, & curvis parabolicis contenta, ut sunt ipsa triangula sub tangentibus comprehensa” - (fr:3365) [Se due parabole avranno ciascuna due tangenti alla base, i trilinei misti contenuti sotto le tangenti e le curve paraboliche staranno tra loro come i triangoli contenuti sotto le tangenti].

Il metodo di esaustione è esposto chiaramente in un lemma: “Dato trilineo mixto … possibile est in dato trilineo figuram inscribere constantem ex parallelogrammis æqualibus, quæ figura deficiat a trilineo mixto minori differentia quam sit quæcumque data magnitudo” - (fr:3586) [Dato un trilineo misto … è possibile inscrivere nel dato trilineo una figura costituita da parallelogrammi uguali, la quale figura differisca dal trilineo misto per una differenza minore di una qualsiasi grandezza data].

11.4 Figure e costruzioni geometriche

Il testo è fortemente dipendente da figure geometriche, a cui si fa riferimento continuo con lettere (A, B, C, D…). Le costruzioni descritte coinvolgono: 1. Parabola con diametro (asse) BD. 2. Tangenti alla base (AE, CE) e una tangente per il vertice (BF). 3. Linee parallele al diametro (AD, CH, FI, GH). 4. Triangoli inscritti (ABC) e tangenziali (FEG). 5. Figure multilatere inscritte composte da una serie di triangoli o parallelogrammi sempre più piccoli.

Ad esempio, per la Proposizione IV si descrive: “Sit parabola ABC, cuius diameter BD … Ducantur tangentes AE,CF ad basim : FH vero per verticem B; AH fit ipsi diametro parallela” - (fr:3342-3343) [Sia la parabola ABC, il cui diametro è BD … Si conducano le tangenti AE, CF alla base: FH invece per il vertice B; AH sia parallela al diametro].

In conclusione, il testo rappresenta un compendio di metodi classici e rinascimentali per un celebre problema di quadratura. La sua rilevanza storica risiede nella sistematica esposizione di tecniche dimostrative diverse (statica, esaustione, scomposizione in serie) applicate a un unico teorema, testimoniando la vitalità della geometria archimedea in epoca moderna e la ricerca di un rigore che, pur geometrico, si avvale di intuizioni fisiche.

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[12.1-106-4567|4672]

12 Analisi di un trattato geometrico sul solido iperbolico acuto

Studio delle proporzioni tra frusti di solidi acuti e cilindri, con applicazioni di geometria solida e sezione conica.

Il testo costituisce una serie di corollari e dimostrazioni geometriche incentrate sulle proprietà di un solido acuto di rotazione iperbolica. Il nucleo concettuale riguarda il calcolo dei rapporti tra frusti (tronchi) di tale solido e cilindri ad esso inscritti, circoscritti o comunque costruiti su sue sezioni. Il metodo dimostrativo si basa sistematicamente sulla teoria delle proporzioni euclidea e sull’uso di lemmi precedenti.

Un concetto fondamentale è espresso nel Corollarium XVI, dove si stabilisce che un frusto del solido acuto è medio proporzionale tra il cilindro in esso inscritto e quello ad esso circoscritto: “Ergo conBat quodfrufium eB mediuproportionale inter duos cylindros” - (fr:4582). Questa relazione di proporzionalità geometrica è il cardine per molte delle successive costruzioni e problemi di sezione.

Il testo procede con una serie di problemi operativi che illustrano come sezionare il solido per ottenere frusti con rapporti predeterminati rispetto a cilindri dati. Ad esempio, nel Corollarium XVII si spiega come, dato un solido acuto sezionato da un piano, si possa “fruBum accipere … quodfit aquale cuicumq; datocy Mndro” - (fr:4590) [prendere un frusto … che sia uguale a un qualsiasi cilindro dato]. La procedura richiede di stabilire una proporzione tra cilindri e segmenti lineari per determinare il piano di sezione appropriato.

Un passaggio teoricamente rilevante è lo Scholium che segue il Corollarium XVII, il quale dichiara una proprietà essenziale del solido iperbolico: “Ex priori parte huius demonhrationis patet folidum hyperbolicum vcrfus infinitam planitiem ef magnitudine in finitum efTe” - (fr:4600) [Dalla parte precedente di questa dimostrazione risulta che il solido iperbolico verso l’estensione infinita è di grandezza infinita]. Quest’affermazione sottolinea la natura asintotica della figura, capace di estendersi all’infinito pur mantenendo un volume finito in qualsiasi sua parte sezionata, un concetto avanzato per l’epoca.

Le dimostrazioni fanno ampio uso di rapporti composti tra aree di rettangoli, quadrati delle basi e altezze. Per esempio, nel Corollarium XXI si esprime il rapporto tra un frusto e un cilindro come composto dal rapporto dei rettangoli delle basi e delle altezze: “Dico f rufium a c ad cylindrum q ^ efievtreBa i ad o 1” - (fr:4613) [Dico che il frusto ac al cilindro q è come la retta nl a ol]. Successivi corollari (XXII-XXV) generalizzano ulteriormente queste relazioni, introducendo il rapporto tra rettangoli costruiti sui diametri delle basi e sull’altezza del frusto.

Il testo presenta anche una notazione geometrica tipica del periodo, con riferimenti a punti (a, b, c, d…), assi (axis m i), centri (centYum hyperbol<zpunBu h - fr:4666) e piani secanti (plano ab, plano cd). Le figure, sebbene non riprodotte, sono costantemente evocate attraverso queste lettere, che guidano il lettore nella costruzione mentale dei solidi. L’analisi si conclude con problemi su come sezionare un frusto in parti con un dato rapporto, sfruttando le proprietà proporzionali stabilite in precedenza.

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