Ernst Mach - Space and Geometry | L | plus

22 Jul, 2026

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1 La natura non euclidea e non metrica dello spazio visivo

Lo spazio della visione si rivela limitato, disomogeneo e privo di una metrica originaria: un dato fisiologico che lo allontana dallo spazio euclideo e lo avvicina a quello dei metageometri.

Lo spazio visivo, indicato da Johannes Müller e Hering come «spazio della vista» o visual space, non possiede le proprietà che la geometria euclidea attribuisce allo spazio fisico. “On the other hand, the space of sight, or ‘visual space,’ as it has been termed by Johannes Miller and Hering, is found to be neither constituted everywhere and in all directions alike, nor infinite in extent, nor unbounded.” – (fr:25/p.11) [D’altra parte, lo spazio della vista, o “spazio visivo”, come è stato chiamato da Johannes Müller e Hering, risulta non essere costituito ovunque e in tutte le direzioni allo stesso modo, né infinito in estensione, né illimitato.] Le direzioni vi appaiono qualitativamente diverse: sensazioni distinte accompagnano l’“alto” e il “basso”, così come il “vicino” e il “lontano” (fr:25/p.11). Anche la differenza tra “destra” e “sinistra” è sentita, benché la simmetria fisiologica renda qui la somiglianza maggiore. “‘Rightness’ and ‘leftness’ are like- … wise the expression of different feelings, although in this case the similarity, owing to considerations of physiological symmetry, is greater.” – (fr:26/p.11, 28) [“Rightness” e “leftness” – termini usati nel senso di Riemann – sono analogamente espressione di sensazioni differenti, sebbene in questo caso la somiglianza, per ragioni di simmetria fisiologica, sia maggiore.] La disuguaglianza delle direzioni si manifesta nei fenomeni di somiglianza fisiologica (fr:29/p.12).

Lo spazio visivo non è rigido: gli oggetti mutano dimensione quando si spostano. L’apparente ingrandimento delle pietre all’imbocco di una galleria viste da un treno in rapido avvicinamento, e il loro rimpicciolirsi all’uscita, sono casi particolarmente netti di un fatto quotidiano. “The apparent augmentation of the stones at the entrance to a tunnel as we rapidly approach it in a railway train, the shrinkage of the same objects on the train’s emerging from the tunnel, are exceptionally distinct cases only of the fact of daily experience that objects in visual space cannot be moved about without suffering expansion and contraction,—so that the space of vision resembles in this respect more the space of the metageometricians than it does the space of Euclid.” – (fr:30/p.12) [L’apparente ingrandimento delle pietre all’imbocco di una galleria quando vi ci avviciniamo rapidamente in treno, e il rimpicciolirsi degli stessi oggetti all’uscita dalla galleria, sono casi eccezionalmente chiari del fatto di esperienza quotidiana che gli oggetti nello spazio visivo non possono essere spostati senza subire espansione e contrazione – cosicché lo spazio della visione somiglia in questo senso più allo spazio dei metageometri che allo spazio di Euclide.] Anche oggetti familiari in quiete mostrano le stesse peculiarità (fr:31/p.12). Un lungo vaso cilindrico di vetro appoggiato sul viso o un bastone da passeggio tenuto di punta contro un sopracciglio appaiono marcatamente conici (fr:33/p.12).

Lo spazio visivo non solo è limitato, ma può presentare confini assai ristretti (fr:34/p.12). L’esperimento di Plateau dimostra che un’immagine postuma proiettata su una superficie non subisce più una diminuzione apprezzabile quando la distanza dall’occhio supera i trenta metri (fr:35/p.12). “All ingenuous people, who rely on direct perception, like the astronomers of antiquity, see the heavens approximately as a sphere, finite in extent.” – (fr:36/p.12, 39) [Tutte le persone ingenue, che si affidano alla percezione diretta, come gli astronomi dell’antichità, vedono il cielo approssimativamente come una sfera di estensione finita.] Lo schiacciamento verticale della volta celeste, noto già a Tolomeo e discusso in epoca moderna da Eulero, prova che lo spazio visivo ha estensione disuguale persino in direzioni diverse (fr:40/p.13). Zoth ne avrebbe fornito una spiegazione fisiologica, riconducendo il fenomeno all’elevazione della linea di sguardo rispetto al capo (fr:41/p.13). La possibilità stessa della pittura panoramica conferma gli angusti confini dello spazio visivo (fr:42/p.13). “Finally, let us observe that visual space in its origin is in nowise metrical.” – (fr:43/p.13) [Infine, osserviamo che lo spazio visivo, nella sua origine, non è in alcun modo metrico.]

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2 Spazio fisiologico e funzioni biologiche

Lo spazio tattile e visivo sono costruzioni anisotrope e non omogenee, modellate esclusivamente dalle necessità biologiche dell’organismo.

Il brano si apre sotto l’intestazione “Thus we 10 SPACE AND GEOMETRY” – (fr:79/p.16) [“Così noi 10 SPAZIO E GEOMETRIA”], segnalando che ci troviamo all’interno di una trattazione dedicata alla natura dello spazio. L’autore mostra come si passi gradualmente da un sistema grezzo di sensazioni a una loro interpretazione fondata sui rapporti fisici più semplici e salienti: “Gradually we are led to the interpretation of this system of sensations by the simpler and more salient relations of the physical world.” – (fr:78/p.15) [“Gradualmente siamo condotti a interpretare questo sistema di sensazioni mediante le relazioni più semplici ed evidenti del mondo fisico.”].

L’esperienza tattile rivela subito la costruzione attiva dello spazio. Con i movimenti degli arti, in particolare di braccia, mani e dita, si aggiunge qualcosa di analogo a una terza dimensione: “1 and movements of the various members of the body (notably the arms, the hands, and the fingers) something analogous to a third dimension is superposed.” – (fr:77/p.15) [“1 e movimenti delle varie membra del corpo (in particolare braccia, mani e dita) si sovrappone qualcosa di analogo a una terza dimensione.”]. Il riferimento alle figure 1 e 2 indica che l’argomentazione era accompagnata da illustrazioni. La precisione di questa percezione aptica è notevole: “Thus we estimate with considerable exactness the thickness of a plate that we grasp in the dark with the forefinger and thumb of our hand; and we may do the same tolerably well also by touching the upper surface with the finger of one hand and the lower with the finger of the other.” – (fr:79/p.16, 80) [“Così stimiamo con notevole esattezza lo spessore di una lastra che afferriamo al buio con indice e pollice; e possiamo fare lo stesso discretamente bene anche toccando la superficie superiore con un dito di una mano e quella inferiore con un dito dell’altra.”].

Emerge tuttavia una distinzione radicale: lo spazio fisiologico del tatto, come quello della vista, non ha nulla a che vedere con lo spazio metrico della geometria. “Haptic space, or the space of touch, has as little in common with metric space as has the space of vision.” – (fr:81/p.16) [“Lo spazio aptico, o spazio del tatto, ha tanto poco in comune con lo spazio metrico quanto lo spazio della visione.”]. Entrambi sono anisotropi e non omogenei: “Like the latter, it also is anisotropic and non-homogeneous.” – (fr:82/p.16) [“Come quest’ultimo, anch’esso è anisotropo e non omogeneo.”]. Le direzioni cardinali dell’organismo – avanti e indietro, alto e basso, destra e sinistra – non sono equivalenti in nessuno dei due spazi fisiologici: “The cardinal directions of the organism, ‘forwards and backwards,’ ‘upwards and downwards,’ ‘right and left,’ are in both physiological spaces alike non-equivalent.” – (fr:83/p.16) [“Le direzioni cardinali dell’organismo, ‘avanti e indietro’, ‘in alto e in basso’, ‘destra e sinistra’, sono in entrambi gli spazi fisiologici ugualmente non equivalenti.”].

La sezione successiva è introdotta dalla formula “SENSE OF SPACE DEPENDENT ON BIOLOGICAL FUNCTION.” – (fr:84/p.16) [“IL SENSO DELLO SPAZIO DIPENDE DALLA FUNZIONE BIOLOGICA.”]. L’idea chiave è che la sensibilità spaziale si sviluppa solo dove possiede un’utilità per l’organismo, e ciò non deve destare meraviglia: “The fact that our sense of space is not developed at points where it can have no biological function, should not be a cause of special astonishment to us.” – (fr:85/p.16) [“Il fatto che il nostro senso dello spazio non si sviluppi in punti dove non può avere alcuna funzione biologica non dovrebbe suscitare particolare stupore.”]. A cosa servirebbe, infatti, percepire la posizione di organi interni su cui non abbiamo controllo? “What purpose could it serve to be informed concerning the location of internal organs over the functions of which we have no control?” – (fr:86/p.16) [“A quale scopo potremmo essere informati circa la localizzazione degli organi interni sulle cui funzioni non abbiamo alcun controllo?”]. Di conseguenza, il senso spaziale non penetra in profondità nell’interno delle narici: “Thus, our sense of space does not extend to any great distance into the interior of the nostrils.” – (fr:87/p.16) [“Così, il nostro senso dello spazio non si estende a grande distanza nell’interno delle narici.”]. Non riusciamo a distinguere se un odore introdotto con una coppia di pipette provenga da destra o da sinistra: “We cannot tell whether we perceive scents introduced by one of a pair of pipettes, at the right or at the left.” – (fr:88/p.16) [“Non sappiamo dire se percepiamo odori introdotti con una di due pipette, a destra o a sinistra.”].

Al contrario, la sensibilità tattile, nel caso dell’orecchio, si spinge fino al timpano e permette di capire se l’impressione sonora più forte arriva da destra o da sinistra – come attestato da Weber (fr:90-91/p.16). “On the other hand, tactual sensibility, in the case of the ear, according to Weber, extends as far as the tympanum, and enables us to determine whether the louder of two sound-impressions comes from the right or the left.” – (fr:92/p.16) [“D’altra parte, la sensibilità tattile, nel caso dell’orecchio, secondo Weber, si estende fino al timpano e ci permette di determinare se la più forte di due impressioni sonore provenga da destra o da sinistra.”]. Si tratta però di un’informazione grossolana, insufficiente per scopi di precisione: “Rough information as to the locality of the source of the sound may be effected in this manner; but it is inadequate for exact purposes.” – (fr:93/p.17) [“Un’informazione approssimativa sulla località della sorgente sonora può essere ottenuta in questo modo; ma è inadeguata per scopi esatti.”].

Il testo possiede un significato storico e testimoniale di primo piano. Esso riflette l’impostazione empirio‑critica di Ernst Mach, quale si trova nella sua opera Spazio e geometria (1906). Smontando la pretesa di uno spazio assoluto e mostrando come le nostre percezioni spaziali dipendano dalla costituzione biologica e dalle necessità pratiche dell’organismo, Mach minava alla base la concezione newtoniana dello spazio e preparava il terreno alla rivoluzione relativistica. La radicale distinzione tra spazio fisiologico – anisotropo, non omogeneo e finalizzato alla sopravvivenza – e spazio metrico geometrico costituisce un tassello essenziale di quel processo che portò, di lì a poco, a pensare lo spazio non più come un contenitore vuoto ma come una rete di relazioni fisiche.

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3 L’adattamento biologico e la natura spaziale della sensazione

L’organizzazione spaziale della sensazione è modellata da esigenze biologiche: gli oggetti vicini, più rilevanti, godono di una graduazione nitida, mentre per quelli lontani si pratica un’economia di indici.

L’indagine si apre con un’osservazione di chiara impronta teleologica: “It is also advantageous that the sensational indices of visual objects which are near by and consequently more important biologically, are sharply graduated; whereas with the limited stock of indices at hand in the case of remote and less important objects economy is practiced.” – (fr:108/p.18) [È altresì vantaggioso che gli indici sensoriali degli oggetti visivi vicini, e quindi biologicamente più importanti, siano nettamente graduati, mentre nel caso degli oggetti lontani e meno importanti, data la limitata scorta di indici disponibili, si pratichi l’economia.] Viene poi introdotta una “simple general consideration, which is again essentially of a teleological nature” – (fr:110/p.18) [semplice considerazione generale, ancora una volta di natura essenzialmente teleologica].

Per illustrarla si ricorre all’esperimento della rana: “Let several distinct spots on the skin of a frog be successively irritated by drops of acid; the frog will respond to each of the several irritations with a specific movement of defense corresponding to the spot irritated.” – (fr:111/p.18) [Si irritino successivamente con gocce d’acido diversi punti della pelle di una rana; la rana risponderà a ciascuna irritazione con uno specifico movimento di difesa corrispondente al punto irritato.] Stimoli qualitativamente simili, applicati a organi elementari differenti, “by different paths give rise to processes which are propagated back to the environment of the animal again by different organs along different paths” – (fr:112-113/p.18) [per vie diverse danno origine a processi che vengono propagati di nuovo all’ambiente dell’animale, ancora una volta, da organi diversi e lungo percorsi diversi]. L’auto-osservazione conferma lo stesso meccanismo: “we not only recognize the sameness of the irritational quality of a burn at whatever sensitive spot it may occur, but we also distinguish the spots irritated; and our conscious or unconscious movement for protection is executed accordingly” – (fr:114/p.18) [non solo riconosciamo l’identità della qualità irritativa di una scottatura in qualunque punto sensibile essa avvenga, ma distinguiamo anche i punti irritati; e il nostro movimento di protezione, conscio o inconscio, viene eseguito di conseguenza]. Lo stesso principio “holds true for itching, tickling, pressure on the skin, etc.” – (fr:115/p.18) [vale per il prurito, il solletico, la pressione sulla pelle ecc.].

Da qui scaturisce un’ipotesi che assegna alla sensazione una componente spaziale intrinseca: “We may be permitted to assume, accordingly, that in all these cases there is resident PHYSIOLOGICAL AND METRIC SPACE 13 in the sensation, which qualitatively is the same, some differentiating constituent which is due to the specific character of the elementary organ or spot irritated, or, as Hering would say, to the locality of the attention.” – (fr:116/p.19) [Ci sia permesso supporre, di conseguenza, che in tutti questi casi nella sensazione, qualitativamente uguale, risieda uno SPAZIO FISIOLOGICO E METRICO 13 – un qualche costituente differenziante dovuto al carattere specifico dell’organo elementare o del punto irritato, o, come direbbe Hering, alla località dell’attenzione.] Il rinvio numerico “13” indica una figura o tavola che accompagna la trattazione originale dello spazio fisiologico-metrico.

Condizioni analoghe valgono per tutte le superfici sensoriali estese, “although, as in the case of the retina, the facts are here somewhat more complicated” – (fr:117/p.19) [sebbene, come nel caso della retina, i fatti siano qui alquanto più complicati]. Inoltre, la qualità dell’irritazione può determinare non solo movimenti di difesa o fuga, ma anche “movements of attack, the form of which is also determined by the spot irritated” – (fr:118/p.19) [movimenti di attacco, la cui forma è anch’essa determinata dal punto irritato]. Esempi ne sono “the snapping reflex of the frog, which is produced optically, and the picking of young chicks” – (fr:119/p.19) [il riflesso di schiocco della rana, prodotto otticamente, e il becchettare dei pulcini]. In questa organizzazione si manifesta “the perfect biological adaptation of large groups of connected elementary organs among one another” – (fr:120/p.19) [il perfetto adattamento biologico di grandi gruppi di organi elementari connessi fra loro].

Il traguardo teorico è sintetizzato dal titolo: “ALL SENSATION SPATIAL IN CHARACTER” – (fr:121/p.19) [OGNI SENSAZIONE HA CARATTERE SPAZIALE]. Questa visione naturale e ingenua conduce alla teoria di William James, secondo cui “every sensation is in part spatial in character; a distinct locality, determined by the element irritated, being its invariable accompaniment” – (fr:122/p.19) [ogni sensazione è in parte di carattere spaziale; una località distinta, determinata dall’elemento irritato, ne è l’invariabile accompagnamento]. Poiché generalmente entrano in gioco più elementi, bisognerebbe ammettere anche la voluminosità. L’autore dichiara di accettare, “in a somewhat modified and extended form, the opinion advanced by Wlassak” – (fr:123/p.19) [in una forma alquanto modificata ed estesa, l’opinione avanzata da Wlassak], richiamando le “beautiful remarks, ‘Ueber die statischen Functionen des Ohrlabyrinths,’ Vierteljahrssch.” – (fr:125/p.19) [belle osservazioni, «Sulle funzioni statiche del labirinto auricolare», Vierteljahrsschrift…].

Il testo possiede un significativo valore storico: siamo nel vivo del dibattito tardo-ottocentesco sulla percezione spaziale, tra fisiologia, psicologia ed evoluzionismo. L’impostazione teleologica ed economica anticipa l’idea di un organismo che modella la sensazione in base ai bisogni biologici, mentre il richiamo a Hering, James e Wlassak mostra il dialogo con le principali figure della psicofisiologia dell’epoca. La presenza di uno “SPAZIO FISIOLOGICO E METRICO 13” accompagnato da una figura testimonia la volontà di ancorare il discorso a dati anatomico-funzionali, ponendo le basi per le successive ricerche sull’organizzazione topografica dei sistemi sensoriali.

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4 Spazio fisiologico e sensazione: la concezione biologica di Mach

Lo spazio non è un’entità astratta e unitaria, ma un prodotto dell’attività biologica, un sistema di sensazioni molteplici e graduate generate dai nostri organi sensoriali.

Il testo affronta la natura dello spazio da una prospettiva biologica, superando una visione astratta o puramente geometrica. Il punto di partenza è la necessità di concepire la sensazione, inclusa la sensazione spaziale, non come un fenomeno isolato, ma nella sua funzione biologica. “If sensation generally, inclusive of sensation of space, be conceived not as an isolated phenomenon, but in its biological functioning, in its biological relationship, the entire subject will be rendered more intelligible.” - (fr:157/p.22) [Se la sensazione in generale, inclusa la sensazione di spazio, viene concepita non come un fenomeno isolato, ma nel suo funzionamento biologico, nella sua relazione biologica, l’intero soggetto diventerà più intelligibile.]

In questa ottica, l’irritazione di un organo innesca movimenti riflessi, e in condizioni più complesse, una parte dell’irritazione originale o un suo ricordo può evocare spontaneamente questi movimenti. Ciò implica che nell’organismo permangano tracce mnemoniche dell’irritazione. Questo processo spiega come ogni campo sensoriale sviluppi un proprio ordine spaziale specifico e immagazzinato. “It is intelligible thus that every sensory field has its own memory and its own spatial order.” - (fr:160/p.22) [È quindi comprensibile che ogni campo sensoriale abbia la propria memoria e il proprio ordine spaziale.] Di conseguenza, lo spazio fisiologico non è unico, ma si configura come una molteplicità di spazi. “The physiological spaces are multiple manifoldnesses of sensation.” - (fr:161/p.22) [Gli spazi fisiologici sono molteplici varietà di sensazione.]

La ricchezza di una di queste varietà spaziali è direttamente proporzionale alla ricchezza degli elementi organici irritati. “The wealth of the manifoldness must correspond to the wealth of the elements irritated.” - (fr:162/p.22) [La ricchezza della varietà deve corrispondere alla ricchezza degli elementi irritati.] L’ordinamento interno di questo sistema di sensazioni si basa su un principio di prossimità biologica: quanto più due elementi sono embriologicamente affini e vicini, tanto più simili sono le sensazioni spaziali che producono. “The more nearly elements of the same kind lie together, the more nearly are they akin embryologically, and the more nearly alike are the space-sensations which they produce.” - (fr:163/p.22) [Quanto più elementi dello stesso tipo giacciono vicini, quanto più sono embriologicamente affini, tanto più simili sono le sensazioni spaziali che producono.]

Questa gradazione continua di sensazioni viene articolata in modo analitico. Per due organi elementari A e B, si può ipotizzare che la sensazione spaziale prodotta da ciascuno sia composta da due parti, una che diminuisce e l’altra che aumenta con l’aumentare della distanza o della differenza ontogenetica tra A e B. “If A and B be two elementary organs, it is permissible to assume that the space-sensation produced by each of them is composed of two constituent parts, a and b, of which the one, a, diminishes the more, and the other, b, increases the more, the farther B is removed from A, or the more the ontogenetic relationship of B to A decreases.” - (fr:164/p.23) [Se A e B sono due organi elementari, è lecito supporre che la sensazione spaziale prodotta da ciascuno di essi sia composta da due parti costituenti, a e b, delle quali l’una, a, diminuisce tanto più, e l’altra, b, aumenta tanto più, quanto più B è lontano da A, o quanto più la relazione ontogenetica di B con A diminuisce.] Gli elementi disposti in una serie come AB formano così una varietà di sensazione continua e unidimensionale. “The elements situated in the series AB present a continuously graduated onefold manifoldness of sensation.” - (fr:165/p.23) [Gli elementi situati nella serie AB presentano una varietà di sensazione unidimensionale e continuamente graduata.]

La dimensionalità di una varietà spaziale deve essere determinata da un’indagine specifica per ciascun organo. Per la pelle, ad esempio, che è una superficie chiusa, sarebbe sufficiente una varietà bidimensionale, anche se una varietà a più dimensioni non è esclusa ed è anzi molto probabile data la diversa importanza funzionale delle sue parti. “The multiplicity of the spatial manifoldness must be determined in each case by a special investigation; for the skin, which is a closed surface, a twofold manifoldness would suffice, although a multiple manifoldness is not excluded, and is, by reason of the varying importance of different parts of the skin, even very probable.” - (fr:166/p.23) [La molteplicità della varietà spaziale deve essere determinata caso per caso da un’indagine specifica; per la pelle, che è una superficie chiusa, una varietà bidimensionale sarebbe sufficiente, sebbene una varietà multipla non sia esclusa, ed è, a causa della diversa importanza delle diverse parti della pelle, persino molto probabile.]

Lo spazio sensibile viene definito come un sistema di sentimenti graduati, una sorta di scala in cui le impressioni sensoriali vengono registrate. La localizzazione di uno stimolo non dipende da una singola sensazione, ma dal contrasto tra le sensazioni di località di più organi eccitati. “It may be said that sensible space consists of a system of graduated feelings evoked by the sensory organs, which, while it would not exist without the sense-impressions arising from these organs, yet when aroused by the latter constitutes a sort of scale in which our sense-impressions are registered.” - (fr:167/p.23) [Si può affermare che lo spazio sensibile consiste in un sistema di sentimenti graduati evocati dagli organi sensoriali, il quale, pur non esistendo senza le impressioni sensoriali che sorgono da questi organi, tuttavia, quando è suscitato da queste ultime, costituisce una sorta di scala in cui le nostre impressioni sensoriali vengono registrate.] Questa pluralità di organi eccitati è fondamentale per la nitidezza della localizzazione, come dimostra lo spazio visivo. Esso, quando è ben riempito di oggetti, offre il miglior mezzo di localizzazione, mentre questa diventa incerta e fluttuante per un singolo punto luminoso su uno sfondo scuro. “Visual space, therefore, which ordinarily is well filled with objects, thus affords the best means of localization. Localization becomes at once uncertain and fluctuant for a single bright spot on a dark background.” - (fr:168-169/p.23) [Lo spazio visivo, quindi, che ordinariamente è ben riempito di oggetti, offre il miglior mezzo di localizzazione. La localizzazione diventa immediatamente incerta e fluttuante per un singolo punto luminoso su uno sfondo scuro.]

L’origine della tridimensionalità dello spazio viene infine ricondotta a un dato biologico fondamentale comune a molti animali. Il sistema di sensazioni spaziali è molto simile in tutti gli animali che, come l’uomo, presentano tre direzioni cardinali distintamente marcate sul corpo. “It may be assumed that the system of space-sensations is in the main very similar, though unequally developed, in all animals which, like man, have three cardinal directions distinctly marked on their bodies.” - (fr:172/p.24) [Si può supporre che il sistema di sensazioni spaziali sia sostanzialmente molto simile, sebbene sviluppato in modo diseguale, in tutti gli animali che, come l’uomo, hanno tre direzioni cardinali distintamente marcate sui loro corpi.] L’asimmetria corporea lungo gli assi superiore-inferiore, anteriore-posteriore e destra-sinistra sarebbe quindi il fondamento fisiologico della nostra intuizione di uno spazio a tre dimensioni. “Above and below, the bodies of such animals are unlike, as they are also in front and behind and to the right and to the left.” - (fr:173/p.24) [In alto e in basso, i corpi di tali animali sono diversi, come lo sono anche davanti e dietro e a destra e a sinistra.]

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5 Spazio fisiologico, asimmetria e sensazioni tattili: dalla trinità direzionale alle geometrie dei ciechi

La trinità delle direzioni cardinali come base fisiologica della nostra familiarità con lo spazio tridimensionale, e la correlazione tra spazio visivo e tattile svelano la natura anisotropa e non‑euclidea dello spazio fisiologico.

Il testo esamina lo spazio fisiologico partendo dall’asimmetria degli organismi. Anche le forme esteriormente simmetriche nascondono una marcata asimmetria anatomica e fisiologica: “To the right and the left, these animals are apparently alike, but their geometrical and mechanical symmetry, which subserves purposes of rapid locomotion, should not deceive us with regard to their anatomical and physiological asymmetry.” – (fr:174/p.24) [A destra e a sinistra questi animali sono apparentemente uguali, ma la loro simmetria geometrica e meccanica, che serve a scopi di rapida locomozione, non deve ingannarci riguardo alla loro asimmetria anatomica e fisiologica.] Questa asimmetria non è casuale: “Though the latter may appear slight, it is yet distinctly marked in the fact that species very closely allied to symmetrical animals sometimes assume strikingly unsymmetrical forms.” – (fr:175/p.24) [Sebbene quest’ultima possa apparire lieve, è tuttavia distintamente contrassegnata dal fatto che specie molto vicine ad animali simmetrici assumono talvolta forme notevolmente asimmetriche.] Vengono citati la passera di mare (platessa) e la lumaca, “the externally symmetric form of the slug forms an instructive contrast to the unsymmetric shapes of some of its nearer relatives.” – (fr:176/p.24) [la forma esternamente simmetrica della lumaca costituisce un contrasto istruttivo con le forme asimmetriche di alcuni suoi parenti più stretti.].

Su questa base si innesta il concetto centrale delle tre direzioni cardinali. “This trinity of conspicuously marked cardinal directions might indeed be regarded as the physiological basis for our familiarity with the three dimensions of geometric space.” – (fr:177/p.24) [Questa trinità di direzioni cardinali marcatamente contrassegnate potrebbe effettivamente essere considerata la base fisiologica della nostra familiarità con le tre dimensioni dello spazio geometrico.] È una radice corporea dello spazio euclideo.

L’attenzione si sposta poi sullo spazio tattile, la cui importanza biologica è dichiarata fin dal titolo della sezione: “BIOLOGICAL IMPORTANCE OF TACTUAL SPACE.” – (fr:178/p.24) [IMPORTANZA BIOLOGICA DELLO SPAZIO TATTILE.] Benché lo spazio visivo sia il sistema di sensazioni spaziali più chiaro e preciso, “biologically, tactual space is perhaps more important.” – (fr:179/p.24) [biologicamente, lo spazio tattile è forse più importante.] Le irritazioni cutanee vengono registrate spazialmente sin dall’inizio, scatenando movimenti protettivi; questi a loro volta generano sensazioni nella pelle stirata o contratta, nelle articolazioni e nei muscoli, associate a sensazioni di spazio (fr:180/p.25). Le prime localizzazioni avvengono sul corpo stesso, come quando il palmo della mano percorre la coscia (fr:181/p.25); da tali esperienze si raccoglie la conoscenza dello spazio tattile (fr:182/p.25). Il tentativo di dedurre psicologicamente lo spazio tattile da queste esperienze, facendo ricorso al tempo e postulando sensazioni prive di spazio, è giudicato “an altogether futile one.” – (fr:183/p.25) [del tutto futile].

L’autore propone di concepire allo stesso modo lo spazio tattile e quello visivo, trasferendo allo spazio tattile la concezione di Hering dello spazio visivo (fr:185-186/p.25), soluzione che “accords best with general biological considerations.” – (fr:187/p.25) [meglio si accorda con le considerazioni biologiche generali.] L’esempio del pulcino appena nato che becca un piccolo oggetto illustra il meccanismo: un’area dell’organo centrale è eccitata dall’irritazione e il movimento di orientamento degli occhi e i movimenti di beccata del capo e del collo sono immediatamente e automaticamente disimpegnati (fr:188/p.25-190/p.26). L’eccitazione di quell’area, determinata dalla localizzazione geometrica dello stimolo fisico, è al contempo la base della sensazione spaziale; i movimenti muscolari attivati diventano a loro volta fonte di sensazioni, sebbene nell’uomo le sensazioni che accompagnano i movimenti oculari scompaiano in gran parte mentre i movimenti muscolari legati al lavoro lasciano un’impressione potente (fr:191-192/p.26). Il comportamento del pulcino è paragonato a quello di un infante che vede un oggetto luccicante e cerca di afferrarlo (fr:193/p.26). Irritazioni acustiche, termiche e gustative possono analogamente evocare movimenti di prensione o difesa e, per gli stessi movimenti e parti eccitate dell’organo centrale, corrisponderà la medesima sensazione di spazio; ciò vale soprattutto per i non vedenti (fr:194/p.26). Tuttavia, per essi le irritazioni sono limitate a una sfera più ristretta e meno definite quanto a località, così il loro sistema di sensazioni spaziali è dapprima “meager and obscure; consider, for instance, the situation of a blind person endeavoring to protect himself from a wasp buzzing around his head.” – (fr:196-197/p.26) [scarso e oscuro; si pensi alla situazione di un cieco che cerca di proteggersi da una vespa che gli ronza intorno alla testa.] L’educazione può però perfezionare molto il senso spaziale, come dimostra il geometra cieco Saunderson (fr:198/p.27). L’orientamento spaziale gli restava difficile, come prova la costruzione di una tavola divisa in riquadri quadrati su cui era solito inserire spilli ai vertici e nei centri e collegarne le capocchie con fili (fr:199-200/p.27). La sua opera, originalissima per semplicità, era particolarmente accessibile ai principianti: così dimostrava che il volume di una piramide è un terzo del volume di un prisma di stessa base e altezza, dividendo un cubo in sei piramidi congruenti, ciascuna con una faccia del cubo per base e il vertice nel centro del cubo ¹ (fr:201/p.27). La nota rimanda a Diderot, Lettre sur les aveugles (fr:205/p.27).

Lo spazio tattile condivide infine con lo spazio visivo le peculiarità di anisotropia e la dissimilarità nelle tre direzioni cardinali, differenziandosi in ciò dallo spazio geometrico euclideo (fr:202/p.27). Al contempo, sensazioni ottiche e tattili concordano in molti punti. “If I stroke with my hand a stationary surface having upon it distinct tangible objects, I shall feel these objects as at rest, just as I should feel visual objects to be when voluntarily causing my eyes to pass over them, although the images themselves actually move across the retina.” – (fr:204/p.27) [Se passo la mano su una superficie immobile che reca oggetti tangibili distinti, sentirò quegli oggetti in quiete, proprio come sentirei in quiete gli oggetti visivi quando volontariamente faccio scorrere gli occhi su di essi, benché le immagini si spostino effettivamente sulla retina.] Viceversa, “a moving object appears in motion to the seeing or touching organ either when the latter is at rest or when it is following the object.” – (fr:207/p.28) [un oggetto in movimento appare in movimento all’organo visivo o tattile sia quando questo è a riposo sia quando lo segue.]

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6 Le radici fisiologiche dello spazio e del movimento

L’esperienza spaziale emerge da processi automatici e sensazioni elementari, modellati da necessità biologiche che accomunano animali vedenti e non vedenti.

Il testo amplia il dominio dei fenomeni da considerare, sottolineando la continuità tra comportamenti motori di ordine diverso. L’autore osserva che “A chick can look at an object, pick at it, or even be determined by the stimulus presented to run to it, turn towards or around to it.” – (fr:214/p.28) [Un pulcino può guardare un oggetto, beccarlo, o essere indotto dallo stimolo a correre verso di esso, girarsi verso di esso o attorno ad esso.] e che “A child that is creeping toward an objective point, and then some day gets up and runs with several steps toward it, acts likewise.” – (fr:215/p.28) [Un bambino che striscia verso un punto obiettivo e un giorno si alza e corre verso di esso con diversi passi, agisce analogamente.] Fenomeni di questo tipo, che “pass continuously into one another” – (fr:216/p.28) [passano con continuità l’uno nell’altro], impongono un punto di vista unitario.

Tale unità viene cercata nel sistema nervoso. “There must be certain parts of the brain which, having been irritated in a comparatively simple manner, on the one hand give rise to feelings of space and on the other hand, by their organization, produce automatic movements which at times may be quite complicated.” – (fr:219/p.29) [Devono esservi parti del cervello che, stimolate in modo relativamente semplice, da un lato generano sensazioni spaziali e dall’altro, per loro organizzazione, producono movimenti automatici talora assai complessi.] La locomozione e i cambiamenti di orientamento sono attivati non solo da stimoli visivi ma anche da eccitazioni chimiche, termiche, acustiche e galvaniche, perfino in animali ciechi (fr:220/p.29). “In point of fact, we also observe extensive movements of locomotion and orientation in animals that are constitutionally blind (blind worms), as well as in such as are blind by retrogression (moles and cave animals).” – (fr:221/p.29) [In realtà osserviamo ampi movimenti di locomozione e orientamento anche in animali costituzionalmente ciechi (vermi ciechi) e in quelli ciechi per retrogressione (talpe e animali delle caverne).] Di conseguenza, “We may accordingly conceive sensations of space as determined in a perfectly analogous manner both in animals with and in animals without sight.” – (fr:222/p.29) [Possiamo quindi concepire le sensazioni spaziali come determinate in modo perfettamente analogo sia negli animali dotati di vista sia in quelli che ne sono privi.] La base fisiologica dello spazio prescinde dalla modalità sensoriale specifica.

Il modello di un automatismo motorio ritmico è offerto dal millepiedi. “A person watching a centipede creeping uniformly along is irresistibly impressed with the idea that there proceeds from some organ of the animal a uniform stream of stimulation which is answered by the motor organs of its successive segments with rhythmic automatic movements.” – (fr:223/p.29) [Chi osserva un millepiedi che striscia uniformemente è irresistibilmente colpito dall’idea che da qualche organo dell’animale provenga un flusso uniforme di stimolazione, al quale gli organi motori dei suoi segmenti successivi rispondono con movimenti automatici ritmici.] L’onda longitudinale che si propaga con regolarità meccanica attraverso le zampe (fr:224-225/p.29) non è un caso isolato: “Analogous phenomena cannot be wanting in the higher animals, and as a matter of fact do exist there.” – (fr:228/p.30) [Fenomeni analoghi non possono mancare negli animali superiori e, di fatto, vi esistono.] Nell’uomo, un caso comparabile si ha durante la rotazione attiva o passiva intorno all’asse verticale, quando l’irritazione del labirinto scatena i movimenti nistagmici degli occhi (fr:229/p.30).

L’organismo si adatta a tal punto alle regolari variazioni degli stimoli che, al cessare di queste, compaiono post-immagini negative. L’autore richiama l’esperimento di Plateau e Oppel con la spirale in espansione, che quando viene fermata sembra contrarsi, e i risultati analoghi ottenuti da Dvorak con variazioni d’intensità luminosa (fr:231/p.30). Questi fenomeni suggeriscono che “there corresponded to an alteration of the stimulus u with the time t, i.e., to a rate of alteration, a special process which under certain circumstances might be felt and which is of course associated with some definite organ.” – (fr:232/p.30) [a una alterazione dello stimolo u nel tempo t, cioè a una velocità di alterazione, corrisponde un processo speciale che in certe circostanze può essere sentito e che è naturalmente associato a un organo definito.] La velocità di movimento, entro i limiti di adattamento dell’organo percipiente, “is felt directly; this is therefore not only an abstract idea, as is the speed of the hand of a clock or of a projectile, but it is also a specific sensation, and furnished the original impulse to the formation of the idea.” – (fr:233/p.30) [è sentita direttamente; non è dunque soltanto un’idea astratta, come la velocità della lancetta di un orologio o di un proiettile, ma è anche una sensazione specifica, e fornì l’impulso originario alla formazione dell’idea.] Perciò di una linea si avverte non solo la successione spaziale di punti ma anche la direzione e la curvatura (fr:234/p.30). L’analisi dell’illuminazione conferma questa ricchezza sensoriale: se l’intensità luminosa di una superficie è data da u = f(x, y), allora “not only u but … also … find their expression in sensation, a circumstance which points to a complicated relationship between the elementary organs.” – (fr:235-236/p.31) [non solo u ma anche … trovano espressione nella sensazione, circostanza che indica una relazione complessa tra gli organi elementari.]

L’esistenza di un organo centrale capace di scatenare, con una semplice irritazione, i movimenti complessi propri di un tipo di locomozione, come accade nel millepiedi, conduce a un’interpretazione fisiologica della volontà: “it will be permissible to regard this simple irritation, provided it is conscious, as the will or the attention appurtenant to this locomotion and carrying the latter spontaneously with it.” – (fr:238/p.31) [sarà lecito considerare questa semplice irritazione, purché sia cosciente, come la volontà o l’attenzione connessa a questa locomozione e che la trascina spontaneamente con sé.] Al tempo stesso si riconosce che l’effetto della locomozione deve essere sentito in modo corrispondentemente semplice, come bisogno dell’organismo (fr:239/p.31).

La necessità biologica è il principio guida che domina l’intera indagine. “The perception of space proceeds from a biological need, and will be best understood in its various details from this point of view.” – (fr:242/p.31) [La percezione dello spazio deriva da un bisogno biologico e sarà compresa nei suoi vari dettagli da questo punto di vista.] Anche le specializzazioni della retina rispondono a una logica economica: “The greater distinctness and the greater nicety of discrimination exercised at a single specific spot on the retina of vertebrate animals is an economic device.” – (fr:243/p.31) [La maggiore nitidezza e la maggiore finezza di discriminazione esercitate in un singolo punto specifico della retina dei vertebrati è un accorgimento economico.] Il testo si conclude con un accenno alla possibilità che da ciò derivi la possibilità di movimento (fr:244/p.31).

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7 Sensazioni di movimento e adattamento percettivo: il paradosso risolto teleologicamente

Il brano, tratto dall’Analisi delle sensazioni di Ernst Mach, delinea i fondamenti fisiologici della percezione spaziale e del movimento, mostrando come fenomeni apparentemente paradossali trovino una spiegazione unificata nella logica dell’adattamento biologico. Al centro sta il rapporto tra movimento oculare volontario, spostamento dell’immagine retinica e sensazione di quiete o di moto degli oggetti.

Mach enuncia anzitutto una necessità biologica: “Perception of the movement of an image across the retina when the retina is at rest, perception of the movement of an object when the eye is at-rest, is a biological necessity.” – (fr:246/p.32) [La percezione del movimento di un’immagine sulla retina quando la retina è a riposo, la percezione del movimento di un oggetto quando l’occhio è fermo, è una necessità biologica.] A questa esigenza si accompagna però un vincolo stringente: “ing the eye in response to changes of attention is rendered necessary, but at the same time the disturbing effects of willed movements of the eyes on the sensations of space induced by objects at rest have to be excluded.” – (fr:245/p.32) [Muovere l’occhio in risposta ai mutamenti dell’attenzione è reso necessario, ma allo stesso tempo devono essere esclusi gli effetti disturbanti dei movimenti volontari degli occhi sulle sensazioni spaziali indotte da oggetti in quiete.] Il caso, patologico o artificiale, di un movimento oculare dovuto a cause estranee alla coscienza (pressione meccanica esterna, spasmi muscolari) non riveste invece importanza per l’organismo: “As for the perception of objects at rest in the unfrequent contingency of a movement of the eye due to some occurrence extrinsic to consciousness (external mechanical pressure, or twitching of the muscles), this was unnecessary for the organism.” – (fr:247/p.32) [Quanto alla percezione di oggetti in quiete nell’infrequente eventualità di un movimento dell’occhio dovuto a qualche evento estraneo alla coscienza (pressione meccanica esterna o contrazione muscolare), questa era superflua per l’organismo.]

La conciliazione di tali requisiti è affidata a un meccanismo di compensazione: “The foregoing requirements are to be harmonized only on the assumption that the displacement of the image on the retina of the eye in voluntary movement is offset as to spatial value by the volitional character of the movement.” – (fr:248/p.32) [I requisiti sopra esposti possono essere armonizzati solo ammettendo che lo spostamento dell’immagine sulla retina durante il movimento volontario sia compensato, quanto a valore spaziale, dal carattere volizionale del movimento stesso.] Da qui discende una conseguenza sperimentalmente verificata: “It follows from this that objects at rest may be made, while the eye also is at rest, to suffer displacement in visual space by the tendency to movement merely, as has been actually shown by experiment.” – (fr:249/p.32) [Ne consegue che oggetti in quiete possono, mentre anche l’occhio è in quiete, subire uno spostamento nello spazio visivo per effetto della semplice tendenza al movimento, come è stato effettivamente mostrato sperimentalmente.] Il secondo fattore di compensazione è indicato nello stesso esperimento (fr:250/p.32), e Mach esclude che l’adattamento debba tener conto della seconda contingenza, quella patologica o artificiale (fr:251/p.32). L’insieme di queste condizioni, per quanto enigmatico, acquista senso in una prospettiva teleologica: “Paradoxjcal as the conditions here involved may appear, and far removed as we may still be from a causal comprehension of them, they are nevertheless easily under-” – (fr:252/p.32) “stood when thus viewed teleologically as a connected whole.” – (fr:255/p.33) [Per quanto paradossali possano apparire le condizioni qui in gioco, e per quanto siamo ancora lontani da una loro comprensione causale, esse sono tuttavia facilmente comprese se considerate teleologicamente come un insieme connesso.]

La sezione SENSATIONS OF MOVEMENT (fr:256/p.33) introduce il celebre esperimento del gabinetto rotante. “Shut up in a cylindrical cabinet rotating about a vertical axis, we see and feel ourselves rotating, along with the cylindrical wall, in the direction in which the motion takes place.” – (fr:257/p.33) [Rinchiusi in una cabina cilindrica rotante intorno a un asse verticale, vediamo e sentiamo noi stessi ruotare, insieme alla parete cilindrica, nella direzione del moto.] L’impressione di un movimento in uno spazio assoluto, fisicamente privo di senso, è contrastata dalla spiegazione fisiologica: “An excitation is produced in the labyrinthine canals of the internal ear,’ and this excitation disengages, independently of consciousness, a reflex rotary movement of the eyes in a direction opposite to that of the motion,’ by which the retinal images of all objects resting against the body are displaced exactly as if they were rotating in the direction of the motion.” – (fr:261/p.33) [Un’eccitazione è prodotta nei canali labirintici dell’orecchio interno, e questa eccitazione scatena, indipendentemente dalla coscienza, un movimento rotatorio riflesso degli occhi in direzione opposta a quella del moto, per cui le immagini retiniche di tutti gli oggetti solidali con il corpo sono spostate esattamente come se ruotassero nella direzione del moto.] Fissare intenzionalmente un oggetto non fa scomparire la rotazione: “Fixing the eyes intentionally upon some such object, the rotation does not, as might be supposed, disappear.” – (fr:262/p.33) [Fissando intenzionalmente gli occhi su un simile oggetto, la rotazione non scompare, come si potrebbe supporre.] In tal caso la tendenza al movimento dell’occhio è esattamente controbilanciata da un fattore estraneo alla coscienza: “The eye’s tendency to motion is then exactly counterbalanced by the introduction of a fac-” – (fr:263/p.33) “tor extrinsic to consciousness.” – (fr:269/p.34) [La tendenza al movimento dell’occhio è allora esattamente controbilanciata dall’introduzione di un fattore estraneo alla coscienza.]

Si realizza così la situazione già descritta: “We have here the case mentioned above, where the eye, held externally at rest, becomes aware of a displacement in the direction of its tendency to motion.” – (fr:270/p.34) [Abbiamo qui il caso menzionato sopra, in cui l’occhio, tenuto esternamente a riposo, percepisce uno spostamento nella direzione della sua tendenza al movimento.] Ciò che prima appariva un’eccezione paradossale diventa un esito naturale dell’adattamento: “But what before appeared as a paradoxical exception is now a natural result of the adaptation of the organism, by which the animal perceives the motion of its own body when external objects at rest remain stationary.” – (fr:271/p.34) [Ma ciò che prima appariva un’eccezione paradossale è ora un risultato naturale dell’adattamento dell’organismo, mediante il quale l’animale percepisce il moto del proprio corpo mentre gli oggetti esterni in quiete permangono stazionari.] Risultati adattivi analoghi, in parte già noti a Purkynje, si riscontrano nel dominio del tatto (fr:272 e rinvii alle ricerche sul senso del tatto del 1820, fr:279‑283).

L’illusione del ponte sull’acqua corrente offre un’ulteriore illustrazione. “The eyes of an observer watching the water rushing underneath a bridge are impelled without noticeable effort to follow the motion of the flowing water and to adapt themselves to the same.” – (fr:273/p.34) [Gli occhi di un osservatore che guarda l’acqua scorrere sotto un ponte sono spinti senza sforzo apprezzabile a seguire il movimento dell’acqua e ad adattarvisi.] Distogliendo poi lo sguardo verso il ponte, “If the observer will now look at the bridge, he will see both the latter and himself moving in a direction opposite to that of the water.” – (fr:274/p.34) [Se l’osservatore guarda ora il ponte, vedrà sia quest’ultimo sia se stesso muoversi in direzione opposta a quella dell’acqua.] Anche in questo caso l’occhio che fissa il ponte deve essere mantenuto fermo da uno sforzo motorio volontario, opponendosi alla tendenza motoria inconscia acquisita, e produce così movimenti apparenti privi di corrispettivo reale (fr:275/p.34). Mach conclude che fenomeni così paradossali svolgono una funzione importante nella locomozione progressiva, come indicato a pagina 71 dell’Analisi delle sensazioni (fr:276‑278).

L’intero passo mostra come la spiegazione fisiologica, ancorata al carattere volizionale del movimento oculare e ai riflessi labirintici, trasformi le illusioni di movimento in prove del finalismo adattativo dell’organismo, dove anche le apparenze più ingannevoli sono ricondotte a un disegno unitario.

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8 Spazio fisiologico e percezione spaziale: una prospettiva biologica

Il saggio distingue uno spazio fisiologico primario, adattativo e non metrico dallo spazio geometrico, radicando la percezione spaziale in sensazioni spaziali prodotte dall’irritazione di organi elementari e aprendo una via filogenetica e ontogenetica alla sua comprensione.

La sezione intitolata “BIOLOGICAL THEORY OF SPATIAL PERCEPTION.” – (fr:314/p.38) [Teoria biologica della percezione spaziale.] muove dal riconoscimento che “Primary space then again enters upon its rights.” – (fr:311/p.37) [Lo spazio primario entra allora di nuovo nei suoi diritti.]. L’assunzione di fondo è che “physiological space is an adaptive result of the interaction of the elementary organs, which are constrained to live together and are thus absolutely dependent upon co-operation, without which they would not exist.” – (fr:315/p.38) [lo spazio fisiologico è un risultato adattativo dell’interazione degli organi elementari, i quali sono costretti a vivere insieme e sono perciò assolutamente dipendenti dalla cooperazione, senza la quale non esisterebbero.]. Questo spazio fisiologico “is in no wise concerned with metrical relations.” – (fr:313/p.38) [non si occupa in alcun modo di relazioni metriche.], differenziandosi radicalmente dallo spazio geometrico che “embraces only the relations of physical bodies to one another, and leaves the animal body in this connection altogether out of account.” – (fr:318/p.38) [abbraccia soltanto le relazioni dei corpi fisici tra loro e lascia completamente fuori conto il corpo animale.].

Per l’animale, ciò che conta in sommo grado sono “the parts of their own body and their relations to one another; outward bodies come into consideration only in so far as they stand in some way in relation to the parts of the animal body.” – (fr:316/p.38) [le parti del proprio corpo e i loro rapporti reciproci; i corpi esterni entrano in considerazione solo nella misura in cui stanno in qualche relazione con le parti del corpo animale.]. Le condizioni qui implicate hanno carattere fisiologico, il che non esclude che ogni parte del corpo continui a far parte del mondo fisico e sia soggetta alle leggi fisiche generali, come mostrano “the phenomena which take place in the labyrinth during locomotion, or by a change of orientation.” – (fr:317/p.38) [i fenomeni che hanno luogo nel labirinto durante la locomozione, o in un cambiamento di orientamento.].

La teoria pone le sensazioni come unica specie di elementi della coscienza: “We are aware of but one species of elements of consciousness: sensations.” – (fr:319/p.38) [Siamo consapevoli di una sola specie di elementi della coscienza: le sensazioni.], e nella percezione spaziale “we are dependent on sensations.” – (fr:320/p.38) [dipendiamo dalle sensazioni.]. Tuttavia “The character of these sensations, and the organs that are in operation while they are felt, are matters that must be left undecided.” – (fr:321/p.38) [Il carattere di queste sensazioni e gli organi che sono in funzione mentre vengono provate sono questioni che devono restare indecise.].

Il nucleo della proposta risiede nella scomposizione del sentire di un organo elementare messo in azione. “The feeling with which an elementary organ is affected when in action, depends partly upon the character (or quality) of the irritation; we will call this part the sense-impression.” – (fr:322/p.39) [La sensazione da cui un organo elementare è affetto quando è in azione dipende in parte dal carattere (o qualità) dell’irritazione; chiameremo questa parte impressione sensoriale.]. Una seconda parte del sentire “may be conceived as determined by the individuality of the organ, being the same for every stimulus and varying only from organ to organ, the degree of variation being inversely proportional to the ontogenetic relationship.” – (fr:323/p.39) [può essere concepita come determinata dall’individualità dell’organo, essendo la stessa per ogni stimolo e variando solo da organo a organo, con un grado di variazione inversamente proporzionale alla parentela ontogenetica.]. Questa porzione riceve il nome di “space-sensation.” – (fr:324/p.39) [sensazione spaziale.]. Ne consegue che “Space-sensation can accordingly be produced only when there is some irritation of elementary organs; and every time the same organ or the same complexus of organs is irritated, every time the same concatenation of organs is aroused, the same space-sensation is evoked.” – (fr:325/p.39) [La sensazione spaziale può quindi essere prodotta solo quando vi è una qualche irritazione di organi elementari; e ogni volta che lo stesso organo o lo stesso complesso di organi viene irritato, ogni volta che la stessa concatenazione di organi è suscitata, viene evocata la stessa sensazione spaziale.].

Le ipotesi sugli organi elementari sono dello stesso tipo di quelle che saremmo del tutto giustificati a fare “with respect to isolated individual animals of the same phylogenetic descent but different degrees of affinity.” – (fr:326/p.39) [rispetto a singoli animali isolati della stessa discendenza filogenetica ma di diverso grado di affinità.]. In tal modo “The prospect is here opened of a phylogenetic and ontogenetic understanding of spatial perception; and after the conditions of the case have been once thoroughly elucidated, a physical and physiological explanation seems possible.” – (fr:327/p.39) [Si apre qui la prospettiva di una comprensione filogenetica e ontogenetica della percezione spaziale; e una volta che le condizioni del caso siano state chiarite a fondo, una spiegazione fisica e fisiologica sembra possibile.]. L’autore non pretende di aver dato una spiegazione assolutamente adeguata od esauriente, ma è convinto “that I have made some approach to the truth by it.” – (fr:328/p.39) [di essersi con essa in qualche modo avvicinato alla verità.].

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9 Spazio fisiologico e metrico: la genesi empirica della geometria

Lo spazio geometrico non è un’intuizione pura, ma un costrutto concettuale che affonda le radici nelle proprietà del nostro spazio sensoriale e nelle deformazioni che esso impone alla metrica rigorosa.

Il testo si apre contrapponendo la posizione kantiana a quella degli indagatori moderni: mentre per Kant lo spazio è un’“intuition a priori,” – “intuition a priori,’ modern inquirers on the other hand are inclined to regard space as a concept, and in addition as a concept which has been derived from experience.” – (fr:335/p.40) [intuizione a priori, i moderni indagatori, d’altro canto, sono inclini a considerare lo spazio come un concetto e, per di più, come un concetto derivato dall’esperienza.] L’illusione di un’intuizione pura nasce dal fatto che, pur non potendo cogliere per sé il sistema delle sensazioni spaziali, trascuriamo le sensazioni degli oggetti come accessorie e dimentichiamo questa operazione: “We cannot intuite our system of space-sensations per se: but we may neglect sensations of objects as something subsidiary; and if we overlook what we have done, the notion may easily arise that we are actually concerned with a pure intuition.” – (fr:336/p.40) [Non possiamo intuire il nostro sistema di sensazioni spaziali di per sé: ma possiamo trascurare le sensazioni degli oggetti come qualcosa di sussidiario; e se non teniamo conto di ciò che abbiamo fatto, può facilmente sorgere l’idea di aver a che fare con un’intuizione pura.] Se tuttavia le nostre sensazioni di spazio sono indipendenti dalla qualità degli stimoli che le producono, è possibile formulare predizioni su di esse senza ricorrere all’esperienza fisica esterna: “If our sensations of space are independent of the quality of the stimuli which go to produce them, then we may make predications concerning the former independently of external or physical experience.” – (fr:337/p.40) [Se le nostre sensazioni spaziali sono indipendenti dalla qualità degli stimoli che le producono, allora possiamo fare predizioni su di esse indipendentemente dall’esperienza esterna o fisica.] Il testo riconosce che “It is the imperishable merit of Kant to have called attention to this point” – (fr:338/p.40) [È merito imperituro di Kant aver richiamato l’attenzione su questo punto], ma precisa subito che tale base a priori è insufficiente per edificare l’intera geometria, perché a questo scopo sono necessari anche concetti, e per di più concetti derivati dall’esperienza: “But this basis is unquestionably inadequate to the complete development of a geometry, inasmuch as concepts, and in addition thereto concepts derived from experience, are also requisite to this purpose.” – (fr:339/p.40) [Ma questa base è indiscutibilmente inadeguata allo sviluppo completo di una geometria, in quanto a tale scopo sono necessari anche concetti, e per di più concetti derivati dall’esperienza.]

L’argomentazione si sposta quindi sul rapporto tra spazio fisiologico e spazio metrico, annunciato dalla rubrica “PHYSIOLOGICAL AND METRIC SPACE 35 PHYSIOLOGICAL INFLUENCES IN GEOMETRY.” – (fr:340/p.41) [SPAZIO FISIOLOGICO E METRICO – INFLUENZE FISIOLOGICHE IN GEOMETRIA.] Lo spazio fisiologico, e specialmente quello visivo, appare come una deformazione dello spazio geometrico quando lo si deriva dai dati metrici di quest’ultimo: “Physiological, and particularly visual, space appears as a distortion of geometrical space when derived from the metrical data of geometrical space.” – (fr:341/p.41) [Lo spazio fisiologico, e in particolare quello visivo, appare come una deformazione dello spazio geometrico quando lo si ricava dai dati metrici dello spazio geometrico.] In tale trasformazione rimangono però conservate la continuità e la triplice molteplicità dimensionale, così che tutte le conseguenze di queste proprietà possono essere dedotte senza ricorrere all’esperienza fisica, solo mediante le nostre facoltà rappresentative: “But the properties of continuity and threefold manifoldness are preserved in such a transformation, and all the consequences of these properties may be derived without recourse to physical experience, by our representative powers solely.” – (fr:342/p.41) [Ma le proprietà della continuità e della triplice molteplicità sono conservate in tale trasformazione, e tutte le conseguenze di queste proprietà possono essere derivate senza ricorrere all’esperienza fisica, soltanto mediante le nostre facoltà rappresentative.] Poiché lo spazio fisiologico, come sistema di sensazioni, è molto più immediato dei concetti geometrici che su di esso si fondano, le sue proprietà si impongono di frequente quando trattiamo lo spazio geometrico: “Since physiological space, as a system of sensations, is much nearer at hand than the geometric concepts that are based thereon, the properties of physiological space will be found to assert themselves quite frequently in our dealings with geometric space.” – (fr:343/p.41) [Poiché lo spazio fisiologico, in quanto sistema di sensazioni, è molto più a portata di mano dei concetti geometrici che su di esso si basano, le proprietà dello spazio fisiologico si faranno valere assai spesso nel nostro rapporto con lo spazio geometrico.] È per ragioni puramente fisiologiche che distinguiamo nelle figure i punti vicini da quelli lontani, la destra dalla sinistra, l’alto dal basso, benché lo spazio geometrico non conosca alcuna relazione con il nostro corpo ma soltanto relazioni reciproche tra i punti: “We distinguish near and remote points in our figures, those at the right from those at the left, those at the top from those at the bottom, entirely by physiological considerations and despite the fact that geometric space is not cognizant of any relation to our body, but only of relations of the points to one another.” – (fr:344/p.41) [Distinguiamo i punti vicini da quelli lontani nelle nostre figure, quelli a destra da quelli a sinistra, quelli in alto da quelli in basso, interamente in base a considerazioni fisiologiche e nonostante il fatto che lo spazio geometrico non conosca alcuna relazione con il nostro corpo, ma soltanto relazioni dei punti tra di loro.] Tra le figure geometriche, la retta e il piano sono particolarmente segnalati dalle loro proprietà fisiologiche, e sono infatti i primi oggetti dell’indagine geometrica: “Among geometric figures, the straight line and the plane are especially marked out by their physiological properties; as they are indeed the first objects of geometrical investigation.” – (fr:345/p.41) [Tra le figure geometriche, la retta e il piano sono particolarmente contraddistinti dalle loro proprietà fisiologiche; e sono infatti i primi oggetti dell’indagine geometrica.] Anche la simmetria si rivela nitidamente grazie ai suoi caratteri fisiologici e attira così immediatamente l’attenzione del geometra: “Symmetry is also distinctly revealed by its physiological properties, and attracts thus immediately the attention of the geometer.” – (fr:346/p.41) [Anche la simmetria è rivelata distintamente dalle sue proprietà fisiologiche, e attira così immediatamente l’attenzione del geometra.] Essa ha probabilmente contribuito, infine, a determinare la suddivisione dello spazio secondo angoli retti: “It has doubtless also been efficacious in determining the division of space into right angles.” – (fr:347/p.41) [Essa è stata senza dubbio anche efficace nel determinare la divisione dello spazio in angoli retti.]

Il brano documenta un momento cruciale del dibattito sui fondamenti della geometria tra Ottocento e Novecento: l’eredità kantiana dell’intuizione pura viene storicamente riconosciuta ma nettamente ridimensionata, e l’origine dei concetti geometrici viene ricondotta all’intreccio tra sensazione, fisiologia e astrazione. La nozione di uno spazio fisiologico come deformazione dello spazio metrico – che conserva tuttavia continuità e tridimensionalità – mette in luce il ruolo attivo del corpo e della percezione nel plasmare anche le nozioni geometriche più elementari, dalla retta al piano, dalla simmetria all’angolo retto.

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10 Le radici sensoriali e corporee della geometria

La geometria non nasce da pure astrazioni, ma dal modo in cui i corpi stimolano le nostre sensazioni spaziali e dalla ricerca di costanza nell’esperienza fisica.

Il testo analizzato delinea una genesi empirica e psicologica della geometria, ancorandola alle sensazioni di spazio, alla manipolazione dei corpi e alla fondamentale nozione di costanza. Le relazioni reciproche tra i corpi divengono geometriche proprio quando sono determinate da sensazioni spaziali o trovano in esse la loro espressione: “The mutual relations of bodies are geometrical in so far as they are determined by sensations of space, or find their expression in such sensations.” – (fr:367/p.44) [«Le relazioni reciproche dei corpi sono geometriche nella misura in cui sono determinate da sensazioni di spazio, o trovano la loro espressione in tali sensazioni.»]. In questo modo si forma un’immagine spaziale del mondo, dapprima istintiva, poi elaborata nelle arti pratiche e infine scientificamente nella geometria (fr:366/p.44).

L’interesse per il comportamento spaziale dei corpi trascende la sensazione momentanea, assumendo un valore mediato e indiretto (fr:365/p.44). La geometria, al pari della teoria del calore, non può fondarsi soltanto sul dominio sensoriale di partenza; entrambe esigono di interrogare l’esperienza concreta dei corpi, spingendosi oltre gli angusti confini della sensazione pura: “both the theory of heat and the theory of geometry stand additionally in need of experiences concerning bodies; that is to say, both must pursue their inquiries beyond the narrow boundaries of the domains of sense that constitute their peculiar foundation.” – (fr:368/p.44) [«tanto la teoria del calore quanto la teoria della geometria necessitano inoltre di esperienze riguardanti i corpi; vale a dire, entrambe devono spingere le loro ricerche oltre gli angusti confini dei domini sensoriali che costituiscono il loro peculiare fondamento.»].

Il ruolo dei corpi diviene centrale. Negli stadi più bassi della vita animale le sensazioni isolate bastano a innescare riflessi, ma a livelli superiori l’attenzione si rivolge ai complessi intimi e intricati di altre sensazioni con sensazioni spaziali, che chiamiamo corpi (fr:370‑371). Sono i corpi a suscitare il nostro interesse e a rappresentare gli oggetti delle nostre attività (fr:372/p.45). Il carattere di tali attività è però codeterminato dalla posizione del corpo – vicino o lontano, sopra o sotto – ossia dalle sensazioni spaziali che lo caratterizzano (fr:373/p.45). La modalità di reazione dipende dalla raggiungibilità del corpo: stendere le braccia, fare pochi o molti passi, scagliare proiettili (fr:374/p.45). Anche il volume, inteso come numero di punti coperti dal corpo, acquista un significato biologico poiché, a parità di altre condizioni, è proporzionale alla capacità di soddisfare i bisogni (fr:375/p.45).

L’esperienza sensoriale diretta coglie soltanto le superfici; tuttavia potenti associazioni spingono l’uomo primitivo a immaginare, o, come egli crede, a percepire più di quanto osservi (fr:376/p.45). Egli riempie di materia i luoghi racchiusi dalla superficie che sola percepisce, specialmente nel caso di corpi familiari (fr:377‑378). La consapevolezza di percepire soltanto le superfici richiede una capacità di astrazione che non può essere attribuita all’uomo primitivo (fr:379/p.46). In questo processo contano anche le forme distintive degli oggetti di preda e di utilità (fr:380/p.46). Alcune combinazioni di sensazioni spaziali, come la linea retta, il piano, il cerchio e la sfera, si impongono per la loro semplicità fisiologica (fr:381‑382); l’affinità tra forme simmetriche e geometricamente simili è rivelata da proprietà puramente fisiologiche (fr:383/p.46). L’esperienza fisiologica offre già un repertorio di forme non trascurabile, cui l’impiego pratico degli oggetti aggiunge ulteriore ricchezza (fr:384‑385).

A consolidare l’edificio geometrico interviene la nozione di costanza. L’esperienza fisica grezza ci induce ad attribuire ai corpi una certa costanza (fr:387/p.46). In assenza di ragioni contrarie, la stessa costanza viene estesa ai singoli attributi del complesso “corpo” – colore, durezza, forma – e in particolare il corpo è considerato spazialmente costante, indistruttibile (fr:388/p.47). Questa assunzione di costanza spaziale, di sostanzialità spaziale, trova la sua diretta espressione nella geometria (fr:389/p.47). La predisposizione a enfatizzare la costanza è radicata nella nostra organizzazione fisiologica e psicologica; in quanto essa stessa fisica, la nostra organizzazione ha dovuto incorporare le costanze fisiche generali che hanno operato nell’adattamento della specie (fr:390/p.47). La memoria, resuscitando le immagini dei corpi nelle loro forme e dimensioni originarie, fornisce la condizione per il riconoscimento e il primo fondamento per l’impressione di costanza (fr:391/p.47).

Il significato storico di queste pagine risiede nella testimonianza di un approccio empirista e psicofisiologico alla scienza, tipico della riflessione tardo-ottocentesca e primonovecentesca. La geometria non è presentata come un sistema di verità a priori, ma come un prodotto stratificato dell’interazione tra sensazioni spaziali, esperienza corporea e spinta biologica alla costanza, anticipando temi che saranno ripresi dalla psicologia della percezione e dalla filosofia della scienza.

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11 Dalla sensazione spaziale alla misura geometrica

La geometria affonda le sue radici non in oggetti ideali ma nell’interesse per le relazioni spaziali dei corpi fisici. “Correct as the oft-repeated asseveration is that geometry is concerned, not with physical, but with ideal objects, it nevertheless cannot be doubted that geometry has sprung from the interest centering in the spatial relations of physical bodies.” – (fr:412/p.49). Il percorso che conduce dal dato sensoriale al confronto quantitativo si snoda attraverso la nozione di corpo rigido, il ruolo del volume e la pratica della misura.

Il punto di partenza è fisiologico: le sensazioni spaziali prodotte da un corpo. Affinché l’esperienza assuma una forma determinata, il corpo in esame deve essere rigido. “In order that the experience in question may assume palpable and perfectly determinate form, the body K must be a so-called rigid body.” – (fr:405/p.48). La rigidità viene qui definita in termini di invarianza sensoriale: se le sensazioni spaziali associate a tre distinti atti percettivi restano inalterate, l’intero complesso di sensazioni spaziali prodotto dal corpo rimane costante. “If the space-sensations associated with three distinct acts of sense-perception remain unaltered, then the condition is given for the invariability of the entire complexus of space-sensations determined by a rigid body.” – (fr:406/p.48). Questa determinazione per mezzo di tre elementi sensoriali caratterizza il corpo rigido dal punto di vista della fisiologia dei sensi, sia per la vista sia per il tatto. “This determination of the space-sensations produced by a body by means of three space-sensational elements accordingly characterizes the rigid body, from the point of view of the physiology of the senses. And this holds good for both the visual and the tactual sense.” – (fr:407-408/p.49). Non si pensa alle condizioni fisiche della rigidità, che costringerebbero a entrare in altri domini sensoriali, ma soltanto al dato offerto al senso spaziale. “In so doing we are not thinking of the physical conditions of rigidity (in defining which we should be compelled to enter different sensory domains), but merely of the fact given to our spatial sense.” – (fr:409/p.49). Diventa così rigido ogni corpo che possieda la proprietà assegnata, compresi i liquidi purché le loro parti non siano in movimento reciproco. “Indeed, we are now regarding every body as rigid which possesses the property assigned, even liquids, so long as their parts are not in motion with respect to one another.” – (fr:410/p.49).

Su questa base si innesta la misura come confronto tra corpi. La conoscenza del comportamento spaziale dei corpi nasce dal paragone delle sensazioni spaziali che essi suscitano. “Our knowledge of the spatial behavior of bodies is based upon a comparison of the space-sensations produced by them.” – (fr:414/p.49). Già senza alcun ausilio artificiale o scientifico accumuliamo un’abbondante esperienza dello spazio, e sappiamo valutare approssimativamente se corpi rigidi percepiti in posizioni e distanze diverse produrranno sensazioni simili o dissimili una volta portati successivamente nella stessa posizione. “Without the least artificial or scientific assistance we acquire abundant experience of space. We can judge approximately whether rigid bodies which we perceive alongside one another in different positions at different distances, will, when brought successively into the same position, produce approximately the same or dissimilar space-sensations.” – (fr:415-416/p.49). Tuttavia, le sensazioni spaziali soggiacciono a circostanze fisiologiche che non possono mai essere assolutamente identiche per i termini del confronto; in ogni caso, a rigore, si confronta una traccia mnestica con una sensazione reale. “Our sensations of space are, however, subject to physiological circumstances, which can never be absolutely identical for the members compared. In every case, rigorously viewed, a memory-trace of a sensation is necessarily compared with a real sensation.” – (fr:418-419/p.50). Per ottenere rapporti spaziali esatti, occorrono caratteristiche che dipendano il meno possibile dalle difficilmente controllabili condizioni fisiologiche. “If, therefore, it is a question of the exact spatial relationship of bodies to one another, we must provide characteristics that depend as little as possible on physiological conditions, which are so difficult to control.” – (fr:420/p.50).

La soluzione è il confronto diretto tra corpi. “This is accomplished by comparing bodies with bodies.” – (fr:422/p.50). Si può stimare con grande precisione se un corpo A coincide con un corpo B, ossia se può occupare esattamente lo spazio riempito dall’altro e se, in circostanze simili, entrambi producono le stesse sensazioni spaziali. “Whether a body A coincides with another body B, whether it can be made to occupy exactly the space filled by the other—that is, whether under like circumstances both bodies produce the same space-sensations—can be estimated with great precision.” – (fr:423/p.50). Tali corpi vengono considerati spazialmente o geometricamente uguali sotto ogni aspetto, congruenti. “We regard such bodies as spatially or geometrically equal in every respect,—as congruent.” – (fr:424/p.50). Qui il carattere della sensazione non è più determinante; conta soltanto l’uguaglianza o la disuguaglianza. “The character of the sensations is here no longer authoritative; it is now solely a question of their equality or inequality.” – (fr:425/p.50). Se entrambi i corpi sono rigidi, è possibile trasferire al corpo B tutte le esperienze raccolte sul corpo A, più maneggevole e trasportabile, che funge da campione. “If both bodies are rigid bodies, we can apply to the second body B all the experiences which we have gathered in connection with the first, more convenient, and more easily transportable, standard body A.” – (fr:426/p.50). I primi campioni naturali sono le mani, i piedi, le braccia e le gambe, la cui invarianza durante il trasporto è sempre sotto gli occhi. “The most convenient bodies of comparison, though applicable only after a crude fashion,—bodies whose invariance during transportation we always have before our eyes,—are our hands and feet, our arms and legs.” – (fr:428/p.51). I nomi delle misure più antiche lo attestano: palmi, cubiti (avambracci), piedi (passi). “The names of the oldest measures show distinctly that originally we made our measurements with hands’breadths, forearms (ells), feet (paces), etc.” – (fr:429/p.51). L’introduzione di campioni convenzionali e conservati con cura segna soltanto l’inizio di una maggiore esattezza, non un cambiamento di principio. “Nothing but a period of greater exactitude in measurement began with the introduction of conventional and carefully preserved physical standards; the principle remains the same.” – (fr:430/p.51). La misura consente di confrontare corpi difficili da spostare o praticamente immobili. “The measure enables us to compare bodies which are difficult to move or are practically immovable.” – (fr:431/p.51).

Un ruolo particolare spetta al volume, perché l’interesse più forte non è rivolto alle proprietà spaziali ma a quelle materiali dei corpi. “As has been remarked, it is not the spatial, but predominantly the material, properties of bodies that possess the strongest interest.” – (fr:433/p.51). Questo fatto si manifesta già agli albori della geometria: il volume di un corpo viene istintivamente preso come indice della quantità delle sue proprietà materiali e diventa oggetto di contesa ben prima che le sue proprietà geometriche ricevano una considerazione approfondita. “This fact certainly finds expression even in the beginnings of geometry. The volume of a body is instinctively taken into account as representing the quantity of its material properties, and so comes to form an object of contention long before its geometric properties receive anything approaching to profound consideration.” – (fr:434-436/p.51). La misurazione dei volumi acquista così la sua importanza iniziale e si colloca tra i primi e più rilevanti problemi della geometria primitiva. “It is here, however, that the comparison, the measurement of volumes acquires its initial import, and thus takes its place among the first and most important problems of primitive geometry.” – (fr:437/p.51). Le prime misure di volume riguardarono probabilmente liquidi e frutti, effettuate con recipienti cavi. “The first measurements of volume were doubtless of liquids and fruit, and were made with hollow measures.” – (fr:438/p.51). Lo scopo era accertare comodamente la quantità di materia simile o il numero di corpi omogenei e di forma identica. “The object was to ascertain conveniently the quantity of like matter, or the quantity (number) of homogeneous, similarly shaped (identical) bodies.” – (fr:439/p.52). Inversamente, la capacità di un magazzino o granaio fu con ogni probabilità stimata in origine in base alla quantità o al numero di corpi omogenei che poteva contenere. “Thus, conversely, the capacity of a store-room (granary) was in all likelihood originally estimated by the quantity or number of homogeneous bodies which it was capable of containing.” – (fr:440/p.52). La misura del volume mediante un’unità di volume rappresenta una concezione molto più tarda, sviluppatasi solo a un livello più elevato di astrazione. “The measurement of volume by a unit of volume is in all probability a much later conception, and can only have developed on a higher stage of abstraction.” – (fr:441/p.52).

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12 Dalla definizione astratta alla misura concreta: punti, linee e superfici come confini e come corpi

Il brano mette a confronto due modi di intendere gli enti geometrici – come puri confini privi di spessore oppure come corpi di estensione piccolissima – e segnala il disagio che nasce quando si cerca di fondare la misura a partire dalla prima impostazione, proponendo infine una concezione omogenea in cui ogni misura è un conteggio di spazi corporei adiacenti e idealmente identici.

Il testo adotta inizialmente la definizione classica secondo cui “A surface is commonly defined as the boundary of a space” – (fr:465/p.54) [«Una superficie è comunemente definita come il confine di uno spazio»]. Tale confine non appartiene né all’uno né all’altro dei corpi che separa, come mostra l’esempio della sfera metallica: “Thus, the surface of a metal sphere is the boundary between the metal and the air; it is not part either of the metal or of the air; two dimensions only are ascribed to it” – (fr:466/p.54) [«Così, la superficie di una sfera metallica è il confine tra il metallo e l’aria; non fa parte né del metallo né dell’aria; le si attribuiscono soltanto due dimensioni»].

Questa gerarchia di confini prosegue con la linea e il punto. “Analogously, the one-dimensional line is the boundary of a surface; for example, the equator is the boundary of the surface of a hemisphere” – (fr:467/p.54) [«Analogamente, la linea unidimensionale è il confine di una superficie; per esempio, l’equatore è il confine della superficie di un emisfero»] e “The dimensionless point is the boundary of a line; for example, of the arc of a circle” – (fr:468/p.54) [«Il punto privo di dimensioni è il confine di una linea; per esempio, dell’arco di un cerchio»]. Il movimento di tali enti genera poi le dimensioni superiori: “A point, by its motion, generates a one-dimensional line, a line a two-dimensional surface, and a surface a three-dimensional solid space” – (fr:469/p.54) [«Un punto, con il suo movimento, genera una linea unidimensionale, una linea una superficie bidimensionale e una superficie uno spazio solido tridimensionale»]. L’autore osserva che “No difficulties are presented by this concept to minds at all skilled in abstraction” – (fr:470/p.54) [«Nessuna difficoltà presenta questo concetto per menti minimamente esercitate all’astrazione»].

Tuttavia, questa impostazione astratta porta con sé un limite significativo: “It suffers, however, from the drawback that it does not exhibit, but on the contrary artificially conceals, the natural and actual way in which the abstractions have been reached” – (fr:471/p.54) [«Soffre però del difetto di non mostrare, anzi di nascondere artificialmente, il modo naturale ed effettivo in cui le astrazioni sono state raggiunte»]. Da questa forzatura scaturisce un disagio operativo che il brano colloca esplicitamente nell’ambito della “Psicologia e sviluppo della geometria”: “A certain discomfort is therefore felt PSYCHOLOGY AND DEVELOPMENT OF GEOMETRY 49 when the attempt is made from this point of view to define the measure of surface or unit of area after the measurement of lengths has been discussed” – (fr:472/p.55) [«Un certo disagio si prova quindi PSICOLOGIA E SVILUPPO DELLA GEOMETRIA 49 quando si tenta da questo punto di vista di definire la misura della superficie o l’unità di area dopo aver discusso la misurazione delle lunghezze»].

Per superare l’artificiosità, il testo propone una concezione più omogenea: “A more homogeneous conception is reached if every measurement be regarded as a counting of space by means of immediately adjacent, spatially identical, or at least hypothetically identical, bodies, whether we be concerned with volumes, with surfaces, or with lines” – (fr:473/p.55) [«Una concezione più omogenea si raggiunge se ogni misurazione è considerata come un conteggio di spazio per mezzo di corpi immediatamente adiacenti, spazialmente identici, o almeno ipoteticamente identici, sia che si tratti di volumi, di superfici o di linee»]. In questo quadro, superfici e linee riacquistano uno spessore, per quanto evanescente: “Surfaces may be regarded as corporeal sheets, having everywhere the same constant thickness which we may make small at will, vanishingly small; lines, as strings or threads of constant, vanishingly small thickness” – (fr:474/p.55) [«Le superfici possono essere considerate come lamine corporee, dotate ovunque dello stesso spessore costante che possiamo rendere piccolo a piacere, evanescente; le linee, come corde o fili di spessore costante ed evanescente»]. Anche il punto perde la sua pura astrazione e diventa “a small corporeal space from the extension of which we purposely abstract, whether it be part of another space, of a surface, or of a line” – (fr:475/p.55) [«un piccolo spazio corporeo dalla cui estensione facciamo deliberatamente astrazione, che faccia parte di un altro spazio, di una superficie o di una linea»]. I corpi impiegati nel conteggio “may be of any smallness or any form which conforms to our needs” – (fr:476/p.55) [«possono essere di qualsiasi piccolezza e di qualsiasi forma che si adatti alle nostre necessità»]. La naturalità di queste immagini, ottenute recuperando il percorso genetico delle astrazioni, può infine essere idealizzata senza perdere coerenza: “Nothing prevents our idealizing in the usual manner these images, reached in the natural way indicated, by simply leaving out of account the thickness of the sheets and the threads” – (fr:477/p.55) [«Nulla impedisce di idealizzare al modo consueto queste immagini, raggiunte nella maniera naturale indicata, semplicemente trascurando lo spessore delle lamine e dei fili»].

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13 Dimostrazioni empiriche della somma degli angoli di un triangolo

La geometria sperimentale esplora metodi fisici come la rotazione e la piegatura per rendere visibili verità astratte, pur con limiti pratici intrinseci.

Il testo introduce esempi di quello che viene definito un approccio di conoscenza sperimentale della geometria – “EXPERIMENTAL KNOWLEDGE OF GEOMETRY.” (fr:561/p.64) – concentrandosi su dimostrazioni fisiche della proprietà della somma degli angoli interni di un triangolo.

Il primo metodo descritto utilizza un semplice righello. Facendo scorrere un righello lungo i lati di un triangolo, si osserva che l’orientamento del suo bordo cambia progressivamente. Completato il percorso, il bordo ha invertito la sua direzione iniziale: se all’inizio era rivolto verso l’esterno del triangolo, alla fine sarà rivolto verso l’interno. “he will find on reaching the first side again that if the edge of his ruler lay toward the outside of the triangle on starting, it will now lie toward the inside.” (fr:551/p.63) [scoprirà, una volta raggiunto di nuovo il primo lato, che se il bordo del righello era rivolto verso l’esterno del triangolo all’inizio, ora sarà rivolto verso l’interno.]. Questo movimento, come sintetizzato nella frase successiva, dimostra che “the ruler has swept out the interior angles of the triangle in the same direction, and in doing so has performed half a revolution.” (fr:553/p.63) [il righello ha spazzato gli angoli interni del triangolo nella stessa direzione, e così facendo ha compiuto metà rivoluzione.]. L’azione è illustrata in figura (riferimento in fr:552 alla Fig. 6). Una nota personale dell’autore rivela un’osservazione spontanea: “Noticed by the writer of this article while drawing.” (fr:556/p.63) [Notato dallo scrittore di questo articolo mentre disegnava.], suggerendo l’immediatezza di tali scoperte empiriche.

Viene poi citata un’osservazione dell’antropologo Tylor, il quale ipotizza che tecniche con materiali tessili o carta possano aver condotto a risultati simili. “Tylor remarks that cloth or paper-folding may have led to the same results.” (fr:554/p.63) [Tylor osserva che la piegatura di stoffa o carta potrebbe aver portato agli stessi risultati.]. Il testo descrive quindi un procedimento di piegatura della carta: “If we fold a triangular piece of paper in the manner shown in Fig. 7, we shall obtain a double rectangle, equal in area to one half the triangle, where it will be seen that the sum of the angles of the triangle coinciding at a is two right angles.” (fr:555/p.63-558/p.62) [Se pieghiamo un pezzo di carta triangolare nel modo mostrato in Fig. 7, otterremo un doppio rettangolo, di area uguale a metà del triangolo, dove si vedrà che la somma degli angoli del triangolo che coincidono in a è due angoli retti.].

Tuttavia, lo stesso testo ridimensiona immediatamente l’importanza storica di questi processi di piegatura per lo sviluppo della geometria. Nonostante i risultati sorprendenti, “it can scarcely be assumed that these processes were historically very productive for geometry.” (fr:559/p.64) [difficilmente si può supporre che questi procedimenti siano stati storicamente molto produttivi per la geometria.]. La ragione addotta è la limitatezza intrinseca del metodo: il materiale ha un’applicazione troppo limitata e chi lo lavora non ha sufficienti stimoli per un’osservazione scientifica rigorosa. “The material is of too limited application, and artisans employed with it have too little incentive to exact observation.” (fr:560/p.64) [Il materiale è di applicazione troppo limitata, e gli artigiani che lo impiegano hanno troppo poco incentivo all’osservazione esatta.].

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14 La geometria nasce dall’esperienza: carpenteria, fili tesi e sensazioni spaziali

«La retta è caratterizzata dalla sua semplicità fisiologica.»

L’analisi si apre con un’osservazione sul mestiere del falegname, il quale sa istintivamente che da un tronco cilindrico si può ricavare una trave a sezione rettangolare simmetrica in infiniti modi grazie alla perfetta simmetria del cerchio: “Every carpenter knows instinctively and almost without reflection that a beam of rectangular symmetric cross-section may, owing to the perfect symmetry of the circle, be cut out from a cylindrical tree-trunk in an infinite number of different ways.” – (fr:581/p.66) [Ogni falegname sa istintivamente, quasi senza riflettere, che una trave a sezione rettangolare simmetrica può, grazie alla perfetta simmetria del cerchio, essere ricavata da un tronco cilindrico in un’infinità di modi diversi.] I bordi della trave appartengono alla superficie cilindrica e le diagonali della sezione passano per il centro: “The edges of the beam will all lie in the cylindrical surface, and the diagonals of a section will pass through the center.” – (fr:582/p.67) [I bordi della trave giaceranno tutti sulla superficie cilindrica e le diagonali di una sezione passeranno per il centro.] Da questa pratica manuale scaturirono immediatamente le prime suddivisioni del cerchio in parti – la divisione in sei parti mediante il raggio, in tre parti e così via – come indica la frase: “Thus resulted immediately the simplest instances of the division of a circle into parts,—namely its division into six parts by the radius, its division into three parts, etc.” – (fr:580/p.66) [Ne risultarono immediatamente i casi più semplici di divisione del cerchio in parti, ovvero la sua divisione in sei parti mediante il raggio, la sua divisione in tre parti, ecc.]

Proprio in questo modo, secondo Hankel e Tylor, fu probabilmente scoperto che tutti gli angoli inscritti in un semicerchio sono retti: “It was in this manner, according to Hankel and Tylor, that the discovery was probably made that all angles inscribed in a semicircle are right angles.” – (fr:583/p.67) [Fu in questo modo, secondo Hankel e Tylor, che probabilmente si scoprì che tutti gli angoli inscritti in un semicerchio sono retti.] L’enunciato attribuisce al teorema di Talete un’origine radicata nell’esperienza materiale del taglio del legno.

Il ruolo dell’esperienza fisica viene poi dichiarato esplicitamente dalla sezione “ROLE oF PHYSICAL EXPERIENCES.” – (fr:584/p.67) [RUOLO DELLE ESPERIENZE FISICHE.] Un filo teso offre la visualizzazione distintiva della linea retta: “A stretched thread furnishes the distinguishing visualization of the straight line.” – (fr:585/p.67) [Un filo teso fornisce la visualizzazione distintiva della retta.] La retta si distingue per la sua semplicità fisiologica: “The straight line is characterized by its physiological simplicity.” – (fr:586/p.70) [La retta è caratterizzata dalla sua semplicità fisiologica.] Tutte le sue parti producono la medesima sensazione di direzione; ogni punto evoca la media delle sensazioni spaziali dei punti vicini; ogni parte, per quanto piccola, è simile a ogni altra per quanto grande: “All its parts induce the same sensation of direction; every point evokes the mean of the space-sensations of the neighboring points; every part, however small, is similar to every other part, however great.” – (fr:587/p.67) [Tutte le sue parti inducono la stessa sensazione di direzione; ogni punto evoca la media delle sensazioni spaziali dei punti vicini; ogni parte, per quanto piccola, è simile a ogni altra, per quanto grande.]

Nonostante questa caratterizzazione fisiologica abbia influenzato le definizioni di molti autori, il geometra può trarne poco vantaggio: “But, though it has influenced the definitions of many writers, the geometer can accomplish little with this physiological characterization.” – (fr:588/p.67) [Ma, sebbene abbia influenzato le definizioni di molti autori, il geometra può fare ben poco con questa caratterizzazione fisiologica.] Per diventare geometricamente utilizzabile, l’immagine visiva deve essere arricchita dall’esperienza fisica con oggetti corporei: “The visual image must be enriched by physical experience concerning corporeal objects, to be geometrically available.” – (fr:589/p.67) [L’immagine visiva deve essere arricchita dall’esperienza fisica riguardante oggetti corporei per essere geometricamente disponibile.] L’esempio addotto è quello di una corda fissata a un’estremità in A e fatta passare attraverso un anello fissato in B: “Let a string be fastened by one extremity at A, and let its other extremity be passed through a ring fastened at B.” – (fr:590/p.67) [Si fissi una corda per un’estremità in A e si faccia passare l’altra estremità attraverso un anello fissato in B.] Tirando l’estremità in B, si vedono le parti della corda che prima si trovavano tra A e B uscire in B: “If we pull on the extremity at B, we shall see parts of the string which before lay between A and B pass out at B, while at the same…” – (fr:591/p.67) [Se tiriamo l’estremità in B, vedremo parti della corda che prima si trovavano tra A e B uscire in B, mentre allo stesso…] Il frammento si interrompe (la citazione rinvia a «loc. cit., pp.»). L’esperimento rende tangibile come la manipolazione fisica conferisca concretezza al concetto di retta, mostrando il passaggio dalla sensazione soggettiva alla nozione geometrica operativa.

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15 L’Origine Empirica dei Concetti di Retta e Piano

La geometria non nasce da pure intuizioni fisiologiche, ma dall’idealizzazione di esperienze fisiche concrete con oggetti corporei, dove le proprietà di retta e piano emergono come minimi assoluti e vengono poi celate dietro deduzioni formali.

Il nucleo del testo è una serrata critica alla presentazione formale della geometria, in particolare euclidea, che viene smascherata nelle sue radici empiriche. L’autore sostiene che la conoscenza geometrica, anche quando apparentemente dedotta con rigore, ha la sua vera fonte nell’esperienza fisica. Ad esempio, riguardo alla verità per cui il lato maggiore di un triangolo si oppone all’angolo maggiore, si afferma che Euclide la deduce in modo tortuoso, ma la fonte di questa conoscenza è l’esperienza, “l’esperienza del movimento del lato di un triangolo fisico; questa fonte è stata, tuttavia, laboriosamente celata dalla forma della deduzione” - (fr:613/p.69), e ciò non a vantaggio della chiarezza. Senza aver prima assistito a questo procedimento in connessione con oggetti corporei, non si sarebbe mai giunti a tale rappresentazione mentale (fr:611/p.69).

Il testo procede quindi a svelare l’origine fisica di due concetti geometrici fondamentali: la linea retta e il piano. La definizione di una retta come linea determinata da due punti non è primitiva, ma “l’idealizzazione della nozione empirica derivata dall’esperienza fisica menzionata” - (fr:620/p.70), nozione che l’atto fisiologico della visualizzazione non fornisce affatto direttamente. Questa esperienza fisica è descritta in dettaglio: un filo di forma arbitraria, se vincolato a due chiodi e fatto scorrere, cambia posizione; più è dritto, minore è la variazione (fr:615-616/p.69). Un filo perfettamente dritto, sottoposto alla stessa operazione, “scivola su se stesso” - (fr:617/p.69) e, ruotato attorno a due suoi punti fissi, mantiene la sua posizione ruotando dentro di sé (fr:618/p.69-620/p.70). L’autore riconosce un debito storico a Leibniz, che in una lettera a Vitale Giordano usò proprio questa proprietà fisica per definire la retta (fr:627-629/p.70). Viene inoltre specificato che, mentre la proprietà di essere spostabile in se stessa è condivisa con il cerchio e la spirale cilindrica circolare, la proprietà di essere rotabile dentro di sé e di essere determinata da due punti sono esclusive della linea retta (fr:630/p.70).

Analogamente, per il piano si evidenzia un doppio livello di caratterizzazione: uno fisiologico, legato alla sua semplicità e aspetto uniforme in tutte le sue parti (fr:621-623/p.70), e uno fisico, indispensabile per un uso geometrico (fr:624/p.70). La costruzione empirica di un piano è emblematica: “si costruisce un piano strofinando tre corpi insieme fino a ottenere tre superfici, A, B, C, ciascuna delle quali si adatta perfettamente alle altre” - (fr:633/p.71), come illustrato dalla Fig. 9 (fr:634/p.71). Le convessità e concavità vengono eliminate dallo sfregamento (fr:635/p.71). Una volta prodotta una superficie con la stessa forma in ogni punto e su entrambi i lati (fr:638/p.71), si scoprono le sue proprietà: è spostabile e rotabile in se stessa (fr:639/p.72); un filo teso tra due suoi punti giace interamente in essa (fr:640/p.72); un panno tirato su una sua porzione vi coincide (fr:641/p.72). Da qui la conclusione che “il piano rappresenta il minimo di superficie entro i suoi confini” - (fr:642/p.72). La determinazione completa del piano, che richiede tre punti non allineati a differenza dei due della retta, emerge dall’esperienza di appoggiarlo su due punte acuminate, dove può ancora ruotare, a meno che un terzo punto fuori dalla linea non lo fissi (fr:643/p.72).

La simmetria e l’uniformità di retta e piano sono dunque interpretate come conseguenze del loro essere minimi assoluti. Per i confini dati, il minimo deve esistere senza altre condizioni collaterali (fr:650/p.73); è unico e singolo nel suo genere, da qui la simmetria rispetto ai punti di confine (fr:651/p.73). A causa dell’assolutezza del minimo, “ogni porzione, per quanto piccola, esibisce di nuovo la stessa proprietà minimale; da qui l’uniformità” - (fr:652/p.73).

In questo quadro, le definizioni di Leibniz, citate come uso franco dell’esperienza con oggetti corporei, diventano esemplari: la superficie che divide un solido illimitato in due parti congruenti è il piano; la linea che divide un piano illimitato in due parti congruenti è la retta (fr:644-645/p.72). La simmetria del piano permette anche un’altra formulazione: preso un punto su un lato e il suo simmetrico sull’altro, ogni punto del piano è equidistante da essi (fr:648/p.73). La perfezione dei concetti geometrici non è quindi il punto di partenza, ma il risultato di un processo di rettifica materiale, come quello descritto per ottenere una retta più vera usando un righello imperfetto e facendo la media tra due linee ruotate di 180° (fr:636-637/p.71).

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16 Dalla misura del campo alla dipendenza delle forme geometriche

Lo sviluppo della geometria come scienza delle relazioni necessarie tra grandezze, radicata nell’esperienza fisica della misura e della rigidità dei corpi.

Il progresso dalla misurazione pratica alla scienza geometrica astratta fu quasi inevitabile non appena “le superfici cominciarono a essere misurate da superfici” - (fr:673/p.75). L’atto iniziale, semplice ma fondamentale, consistette nel comprendere che contare unità di area rendeva superflua l’enumerazione diretta. In un campo a forma di parallelogramma suddivisibile in m file di campi parziali, ciascuno contenente m campi, “il conteggio di questi campi era superfluo” - (fr:674/p.75). Bastava moltiplicare i numeri che misuravano i lati: “l’area del campo risultava essere uguale a m×m campi di questo tipo, e l’area di ciascuno dei due triangoli formati tracciando la diagonale era prontamente scoperta essere uguale a metà di tali campi” - (fr:675/p.75). Questa fu “la prima e più semplice applicazione dell’aritmetica alla geometria” - (fr:676/p.75).

Contestualmente, emerse la scoperta cruciale: “la dipendenza delle misure di area da altre misure, lineari e angolari” - (fr:677/p.76). L’osservazione diretta mostrava che “l’area di un rettangolo era maggiore di quella di un parallelogramma obliquo avente lati della stessa lunghezza; l’area, di conseguenza, non dipendeva solo dalla lunghezza dei lati, ma anche dagli angoli” - (fr:678/p.76). Tuttavia, la stessa esperienza pratica rivelava un’invarianza: “un rettangolo costruito con strisce di legno parallele alla base può, come è facile vedere, essere convertito per spostamento in qualsiasi parallelogramma di uguale altezza e base senza alterare la sua area” - (fr:679/p.76). La conoscenza comune di un falegname rifletteva questa comprensione: “I quadrilateri con i lati dati sono ancora indeterminati nei loro angoli, come ogni falegname sa” - (fr:680/p.76). Per irrigidire la forma, il falegname “aggiunge diagonali e converte il suo quadrilatero in triangoli, i quali, dati i lati, sono rigidi, vale a dire sono inalterabili anche nei loro angoli” - (fr:681/p.76).

“Con la percezione che le misure erano reciprocamente dipendenti, fu introdotto il vero problema della geometria” - (fr:682/p.76), un problema che Ernst Mach identifica nell’indagine sistematica di come le figure geometriche si determinino a vicenda. Cita a sostegno l’opera principale di Steiner, intitolata “Systematische Entwicklung der Abhängigkeit der geometrischen Gestalten von einander” - (fr:685/p.76) [Sviluppo sistematico della dipendenza delle figure geometriche le une dalle altre], e il trattato di geometria elementare di Snell, dove “il problema in questione è reso ovvio persino al principiante” - (fr:683/p.76). L’esempio portato è quello di un triangolo fisico piano costruito con fili metallici. “Se uno dei lati viene ruotato attorno a un vertice, in modo da aumentare l’angolo interno in quel punto, il lato spostato si vedrà cambiare posizione e il lato opposto crescere con l’angolo” - (fr:684/p.76, 687). Per completare il lato che si è allungato, “saranno necessari nuovi pezzi di filo oltre a quelli precedentemente presenti” - (fr:688/p.77). Questo esperimento fisico è il fondamento della conoscenza geometrica, poiché “l’esperimento mentale non è mai altro che una copia dell’esperimento fisico” - (fr:689/p.77) e “sarebbe impossibile se l’esperienza fisica non ci avesse antecedentemente condotti a una conoscenza di corpi fisici spazialmente inalterabili — al concetto di misura” - (fr:690/p.77).

Da tali esperienze si giunge alla verità fondamentale che “delle sei grandezze metriche scopribili in un triangolo (tre lati e tre angoli) tre, includendo almeno un lato, sono sufficienti a determinare il triangolo” - (fr:692/p.77). Il principio di determinazione è rigoroso: “Se un solo angolo è dato tra le parti che determinano il triangolo, l’angolo in questione deve essere o l’angolo compreso tra i lati dati, o quello opposto al lato maggiore — almeno se la determinazione deve essere unica” - (fr:693/p.77). La conseguenza logica della percezione che un triangolo è determinato dai tre lati, e che la sua forma è indipendente dalla sua posizione, è immediata: “ne consegue che in un triangolo equilatero tutti e tre gli angoli e in un triangolo isoscele i due angoli opposti ai lati uguali devono essere uguali” - (fr:694/p.77). L’intera costruzione della geometria euclidea, come annota l’autore in calce, reca le tracce di questo fondamento empirico.

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17 Dimostrazioni cinematiche in geometria: dal teorema di Pitagora alla legge del coseno

L’equivalenza di aree generate dallo spostamento di un corpo rigido conduce in modo diretto al teorema di Pitagora e alla sua generalizzazione, mostrando come relazioni puramente geometriche possano essere lette attraverso condizioni di volume.

Il testo distingue preliminarmente le proprietà dei corpi rigidi da quelle dei liquidi. “Nel caso dei corpi rigidi, abbiamo l’attributo aggiuntivo che le distanze tra tutte le parti sono conservate, mentre nel caso dei liquidi le proprietà dei corpi rigidi esistono solo per i più piccoli elementi di tempo e spazio.” – (fr:721/p.79). Questa osservazione introduce un principio fisico di invarianza che viene immediatamente applicato allo studio delle figure geometriche tramite spostamenti.

Si considera un triangolo obliquo di lati a, b, c. “Se un triangolo obliquo avente i lati a, b e c viene spostato nella direzione del lato b, solo a e c, per il principio sopra enunciato, descriveranno parallelogrammi equivalenti, che sono simili in una coppia uguale di lati paralleli sulle stesse parallele.” – (fr:722/p.80). L’equivalenza delle aree descritte dai lati durante il moto costituisce il nucleo del ragionamento.

Il caso rettangolo – con a perpendicolare a b e spostamento perpendicolare a c – viene illustrato con riferimento alla figura “Se a forma con b un angolo retto, e il triangolo viene spostato perpendicolarmente a c, la distanza c, il lato c, descriverà il quadrato c², mentre gli altri due lati descriveranno parallelogrammi le cui aree combinate sono uguali all’area del quadrato.” – (fr:723-724/p.80). Applicando la precedente osservazione sullo spostamento lungo b, “i due parallelogrammi sono, per l’osservazione che appena precede, equivalenti rispettivamente ad a² e b², — e con ciò si raggiunge il teorema di Pitagora.” – (fr:725/p.80). La dimostrazione è ottenuta per via puramente cinematica, senza costruzioni ausiliarie.

Lo stesso risultato può essere conseguito con un diverso percorso di spostamento, sempre raffigurato in Fig. “Lo stesso risultato può anche essere ottenuto (Fig. 11) facendo prima scorrere il triangolo per una distanza a perpendicolarmente ad a, e poi per una distanza b perpendicolarmente a b, dove a² + b² sarà uguale alla somma delle superfici spazzate da c, che è ovviamente c².” – (fr:726/p.80-728/p.81). L’area generata dal terzo lato coincide in ogni caso con la somma delle aree generate dai due cateti.

L’estensione al triangolo obliquo è immediata. “Prendendo un triangolo obliquo, lo stesso procedimento dà in modo altrettanto semplice ed evidente la proposizione più generale, c² = a² + b² – 2ab cos γ.” – (fr:729-731/p.81). La generalizzazione conserva la logica fondata sullo spostamento e sull’equivalenza di aree.

Il legame tra il terzo lato e gli altri due viene quindi reinterpretato in termini spaziali e volumetrici. “La dipendenza del terzo lato del triangolo dagli altri due lati è di conseguenza determinata dall’area del triangolo racchiuso; o, nella nostra concezione, da una condizione che coinvolge il volume.” – (fr:732/p.81). Il testo sottolinea poi che “si vedrà anche direttamente che le equazioni in questione esprimono relazioni di area.” – (fr:733/p.81), e aggiunge che l’angolo compreso può essere a sua volta assunto come determinante del terzo lato: “È vero che l’angolo compreso tra due dei lati può anche essere considerato come determinante del terzo lato, nel qual caso le equazioni assumeranno apparentemente una forma del tutto diversa.” – (fr:734/p.81). Viene così segnalata una dualità di rappresentazione che non altera la sostanza geometrica del risultato.

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18 La linea retta come immagine fisiologica e le basi metriche della geometria

L’esperienza fisica e l’organizzazione fisiologica generano le immagini geometriche elementari; la misura delle lunghezze si rivela il fondamento unico e sufficiente per ogni determinazione spaziale, mentre le differenze di direzione e simmetria appartengono alla percezione sensibile, non allo spazio astratto.

L’autore esamina la natura psicologica degli enti geometrici partendo dall’immagine concreta della linea retta. Essa non è un concetto astratto originario, ma un’immagine fisiologica plasmata su corpi fisici di carattere specifico:

“A straight line is primarily a unique concrete image characterized by physiological properties;—an image which we have obtained from a physical body of a definite specific character, which in the form of a string or wire of indefinitely small but constant thickness interposes a minimum of volume between the positions of its extremities,—which can be accomplished only in one uniquely-determined manner.” – (fr:740/p.81, 741) [La linea retta è innanzitutto un’immagine concreta unica, caratterizzata da proprietà fisiologiche; un’immagine che abbiamo ottenuto da un corpo fisico di un ben determinato carattere specifico, il quale, nella forma di una corda o di un filo di spessore indefinitamente piccolo ma costante, interpone un minimo di volume fra le posizioni dei suoi estremi – cosa che può essere realizzata in un unico modo determinato.]

La semplice visualizzazione non basta a cogliere le relazioni invarianti; occorre un esperimento mentale che poggia sull’esperienza fisica e la riproduce. Muovendo, ad esempio, un’asticella b fino a prolungare e poi a far coincidere con a, si verifica un fatto che la sola intuizione visiva non rivelerebbe:

“Visualization alone cannot inform us of this fact; we can learn it only from experimenting in thought,—a procedure which both reposes on physical experience and reproduces it.” – (fr:738/p.81) [La sola visualizzazione non può informarci di questo fatto; possiamo apprenderlo soltanto sperimentando nel pensiero – un procedimento che al contempo riposa sull’esperienza fisica e la riproduce.]

Questa indagine sulle misure conduce a una proprietà fondamentale dei segmenti: se due rette di lunghezze a e b si incontrano in un estremo, la lunghezza c del segmento che unisce gli estremi liberi è compresa fra limiti definiti, ossia c < a + b e c > a – b (fr:736/p.81, 737). È una disuguaglianza triangolare ricavata dalla manipolazione di corpi rigidi.

18.1 Direzione: proprietà fisiologica e assenza nello spazio astratto

Quando più rette passano per un punto, noi le distinguiamo fisiologicamente mediante le loro direzioni. Nello spazio astratto, ottenuto per via di esperienze metriche con oggetti fisici, le differenze di direzione non esistono; una retta per un punto può essere determinata completamente solo assegnando un secondo punto fisico su di essa.

“But in abstract space obtained by metrical experiences with physical objects, differences of direction do not exist.” – (fr:743/p.82) [Ma nello spazio astratto ottenuto mediante esperienze metriche con oggetti fisici, le differenze di direzione non esistono.]

“To define a straight line as a line which is constant in direction, or an angle as a difference between directions, or parallel straight lines as straight lines having the same direction, is to define these concepts physiologically.” – (fr:745/p.82) [Definire una retta come linea di direzione costante, o un angolo come differenza tra direzioni, o rette parallele come rette aventi la stessa direzione, significa definire questi concetti in modo fisiologico.]

18.2 La misura dell’angolo e la convenienza della misura circolare

La misura degli angoli può essere ottenuta assegnando la distanza tra due punti fissi situati ciascuno su un lato dell’angolo al di fuori del vertice. Si vorrebbe rendere uniforme la definizione scegliendo punti a distanza fissa e invariabile dal vertice, ma ciò comporterebbe un inconveniente: equimultipli di un angolo giustapposti non sarebbero misurati dagli stessi equimultipli della distanza tra quei punti. Per questo motivo tale metodo non entrò nella geometria elementare.

Si preferì un’altra via: prendere la parte aliquota della circonferenza o dell’area del cerchio intercettata dall’angolo con vertice nel centro.

“A simpler measure, a simpler characterization of an angle, is obtained by taking the aliquot part of the circumference or the area of a circle which the angle intercepts when laid in the plane of the circle with its vertex at the center.” – (fr:750/p.83) [Una misura più semplice, una caratterizzazione più semplice dell’angolo, si ottiene prendendo la parte aliquota della circonferenza o dell’area di un cerchio che l’angolo intercetta quando è posto nel piano del cerchio con il vertice nel centro.]

In realtà, anche usando un arco di cerchio, non si fa altro che misurare un volume: il volume occupato da un corpo di forma semplice introdotto tra due punti sui bracci dell’angolo equidistanti dal vertice. La scelta è dettata da chiarezza, immediatezza e comodità, non da una necessità logica. Perciò la misura rettilinea della lunghezza e la misura angolare sono i due campioni fondamentali, e le altre misure ne derivano.

“It is in no sense necessary.” – (fr:755/p.83) [Non è in alcun senso necessario.]

“It is a matter of perspicuity, of immediacy, and of the facility and convenience resulting therefrom, that two measures, viz., the rectilinear measure of length and the angular measure, are principally employed as fundamental measures, and that the others are derived from them.” – (fr:754/p.83) [È una questione di chiarezza, di immediatezza e della facilità e comodità che ne risultano, il fatto che due misure, cioè la misura lineare della lunghezza e la misura angolare, siano impiegate principalmente come misure fondamentali e che le altre siano derivate da esse.]

Una retta perpendicolare a un’altra (Fig. 12) può essere individuata senza una misura angolare speciale, rendendo tutti i suoi punti equidistanti da due punti della prima retta a uguale distanza dall’intersezione. Allo stesso modo la bisettrice di un angolo può essere determinata per bisezione ripetuta, derivando un’unità angolare arbitrariamente piccola.

“For example (Fig. 12), it is possible without a special angular measure to determine the straight line that cuts another straight line at right angles by making all its points equidistant from two points in the first straight line lying at equal distances from the point of intersection.” – (fr:756,757) [Per esempio (Fig. 12), è possibile senza una misura angolare speciale determinare la retta che taglia un’altra retta ad angolo retto, rendendo tutti i suoi punti equidistanti da due punti della prima retta situati a uguali distanze dal punto d’intersezione.]

Il parallelismo a sua volta può essere definito per via puramente metrica: una retta è parallela a un’altra se tutti i suoi punti possono essere traslati in punti della prima mediante percorsi congruenti, curvi o rettilinei.

“A straight line parallel to another straight line can be defined as one, all of whose points can be translated by congruent curved or straight paths into points of the first straight line.” – (fr:761,762) [Una retta parallela a un’altra può essere definita come una retta i cui punti possano tutti essere traslati in punti della prima retta mediante percorsi congruenti, curvi o rettilinei.]

18.3 La lunghezza come misura fondamentale e la determinazione spaziale dei punti

È del tutto possibile assumere la sola lunghezza rettilinea come misura fondamentale (fr:763/p.84). Dato un punto fisso a e un altro punto m a distanza r, m può giacere ovunque sulla superficie sferica di raggio r descritta attorno ad a. Un secondo punto fisso b con distanza nota da m irrigidisce il triangolo abm, ma m può ancora ruotare nel cerchio generato dalla rotazione del triangolo attorno all’asse ab. Fissando m, l’intero corpo rigido cui appartengono a, b, m diviene stabile.

Per determinare univocamente m nello spazio occorrono le distanze da almeno tre punti fissi a, b, c. Ma tale determinazione non è ancora unica perché la piramide con spigoli r_a, r_b, r_c e vertice m può essere costruita su entrambi i lati del piano a, b, c. I due lati del piano non sono geometricamente differenti; fissare il lato “con un segno speciale” significherebbe ricorrere a una determinazione fisiologica, non metrica astratta.

“If we were to fix the side, say by a special sign, we should be resorting to a physiological determination, for geometrically the two sides of the plane are not different.” – (fr:769/p.85) [Se dovessimo fissare il lato, poniamo con un segno speciale, ricorreremmo a una determinazione fisiologica, perché geometricamente i due lati del piano non sono differenti.]

Per ottenere una determinazione univoca occorre una quarta distanza r_d da un punto d esterno al piano abc. Punti ulteriori sono completamente determinati da quattro distanze ciascuno; di conseguenza, anche la distanza reciproca fra punti è fissata. Fra quattro punti sono concepibili 6 distanze, e altrettante occorre darne per determinare la forma del complesso. Per un sistema di n punti, le distanze esistenti sono in numero di n(n-1)/2, mentre quelle necessarie per la determinazione sono 4n – 10 (o analogamente con 3n – 6 se si fissa a priori un lato del piano). L’eccedenza delle distanze viene quindi codeterminata.

L’assenza di condizione sul lato del piano fa sì che un sistema di punti possa assumere la configurazione simmetrica rispetto alla prima, o mescolarsi con essa. Le figure geometriche simmetriche, a causa della nostra organizzazione fisiologica simmetrica, sono facilmente scambiate per identiche, mentre metricamente e fisicamente sono del tutto differenti.

“Symmetric geometrical figures are, owing to our symmetric physiological organization, very easily taken to be identical, whereas metrically and physically they are entirely different.” – (fr:777/p.86) [Le figure geometriche simmetriche, a causa della nostra organizzazione fisiologica simmetrica, sono molto facilmente ritenute identiche, mentre metricamente e fisicamente sono interamente differenti.]

Viti destrorse e sinistrorse, o corpi rotanti in sensi opposti, paiono simili alla vista, ma non vanno considerati equivalenti sul piano geometrico o fisico (fr:778-779/p.86). La distinzione fra determinazione fisiologica e determinazione metrica astratta percorre l’intera trattazione e porta a comprendere come le scelte di comodo – l’arco di cerchio per l’angolo, il fissaggio del lato del piano – siano radicate nell’esperienza sensibile e nella struttura corporea del soggetto.

Un’annotazione storica accompagna l’analisi: se si fosse adottata la lunghezza come unico fondamento e si fossero evitate definizioni fisiologiche della direzione, i dubbi sul postulato delle parallele di Euclide sarebbero sorti molto più tardi (nota a fr:766/p.84). Un principio di misura strettamente affine viene peraltro applicato in trigonometria (fr:758/p.83), mentre per l’angolo solido si utilizza la porzione di superficie sferica intercettata dai piani che lo delimitano (fr:759/p.83). La trattazione restituisce così una testimonianza di come la psicologia sperimentale e l’analisi fisiologica abbiano indagato le origini concrete dei concetti geometrici, mostrandone la dipendenza dall’esperienza e dall’organizzazione corporea.

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19 I fondamenti psicologici della conoscenza geometrica: esperienza fisiologica, metrica e radici dell’immaginazione spaziale

La conoscenza geometrica sorge da fonti eterogenee – sensazioni visivo-tattili ed esperienze metriche – indissolubilmente intrecciate, la cui mescolanza spiega le visioni divergenti sulla disciplina; la raffigurazione spontanea dello spazio cartesiano rivela una trama di cubi fantasmatici entro cui i corpi conservano la loro permanenza.

Il brano indaga l’origine psicologica della geometria, mostrando come le nostre nozioni spaziali provengano da molteplici radici. “Our geometrical knowledge is thus derived from various sources.” – (fr:806/p.89) [La nostra conoscenza geometrica deriva quindi da varie fonti.] La stessa intitolazione della sezione, pur con un probabile refuso tipografico, lo dichiara: “PSYCHOLOGY AND DEVELOPMENT OF GEOMETRY 83 Various Sources oF Our EDGE.” – (fr:805/p.89) [Psicologia e sviluppo della geometria – Varie fonti della nostra conoscenza (il testo originale riporta «EDGE» in luogo di «knowledge»).]

Due ordini principali di esperienza alimentano i concetti spaziali. Da un lato si ha una familiarità fisiologica immediata: “We are physiologically acquainted, from direct visual and tactual contact, with many and various spatial forms.” – (fr:807/p.89) [Siamo fisiologicamente a conoscenza, attraverso il contatto visivo e tattile diretto, di molte e svariate forme spaziali.] Dall’altro si associano esperienze fisiche di tipo metrico, che altro non sono se non espressioni di rapporti tra sensazioni. Il passo è esplicito: “With these are associated physical (metrical) experiences (involving comparison of the space-sensations evoked by different bodies under the same circumstances), which experiences are in their turn also but the expressions of other relations obtaining between sensations.” – (fr:808/p.89) [A queste si associano esperienze fisiche (metriche) (che implicano il confronto delle sensazioni spaziali suscitate da corpi diversi nelle medesime circostanze), esperienze le quali, a loro volta, non sono altro che l’espressione di altre relazioni sussistenti tra sensazioni.]

Tali ordini di esperienza sono così strettamente intessuti da poter essere separati solo con l’analisi più penetrante: “These diverse orders of experience are so intimately interwoven with one another that they can be separated only by the most thoroughgoing scrutiny and analysis.” – (fr:809/p.89) [Questi diversi ordini di esperienza sono talmente intrecciati fra loro che possono essere separati soltanto dall’esame e dall’analisi più approfonditi.] Proprio da questa fusione scaturiscono le concezioni radicalmente divergenti sulla geometria: “Hence originate the widely divergent views concerning geometry.” – (fr:810/p.89) [Da qui traggono origine le opinioni ampiamente divergenti sulla geometria.] A seconda che si sopravvaluti o si trascuri l’uno o l’altro fattore, la geometria viene fondata ora sulla pura intuizione visiva (Anschauung), ora sull’esperienza fisica: “Here it is based on pure visualization (Anschauung), there on physical experience, according as the one or the other factor is overrated or disregarded.” – (fr:811/p.89)

Entrambi i fattori, tuttavia, hanno concorso allo sviluppo della disciplina e vi permangono attivi, poiché la geometria non si serve affatto di soli concetti metrici: “But both factors entered into the development of geometry and are still active in it to-day; for, as we have seen, geometry by no means exclusively employs purely metrical concepts.” – (fr:812/p.89)

Per rendere palpabile il radicamento intuitivo, l’autore propone un esperimento mentale: se si chiedesse a una persona priva di pregiudizi come si raffiguri lo spazio riferito a un sistema cartesiano, essa descriverebbe “the image of a system of rigid (form-fixed), transparent, penetrable, contiguous cubes, having their bounding surfaces marked only by nebulous visual and tactual percepts,—a species of phantom cubes.” – (fr:813/p.89) [l’immagine di un sistema di cubi rigidi (a forma fissa), trasparenti, penetrabili, contigui, le cui superfici di delimitazione sono segnate soltanto da percezioni visive e tattili nebulose, — una specie di cubi fantasma.] Attraverso e sopra queste costruzioni fantasmatiche si muovono i corpi reali o i loro doppi immaginari, conservando la propria permanenza spaziale, tanto nella geometria pratica quanto in quella teorica o nella foronomia: “Over and through these phantom constructions the real bodies or their phantom counterparts move, conserving their spatial permanency (as above defined), whether we are concerned with practical or theoretical geometry, or phoronomy.” – (fr:814/p.90) [Sopra e attraverso queste costruzioni fantasma i corpi reali o le loro controparti fantastiche si muovono, conservando la loro permanenza spaziale (definita sopra), sia che si tratti di geometria pratica o teorica, sia di foronomia.]

Anche le ricerche più astratte riconducono a esperienze fisiche modellizzate: la celebre indagine gaussiana sulle superfici curve riguarda in realtà l’applicazione reciproca di corpi infinitamente sottili, laminati e perciò flessibili. “Gauss’s famous investigation of curved surfaces, for instance, is really concerned with the application of infinitely thin laminate and hence flexible bodies to one another.” – (fr:815/p.90) [La famosa indagine di Gauss sulle superfici curve, per esempio, verte realmente sull’applicazione reciproca di corpi infinitamente sottili a lamina e perciò flessibili.]

L’assunto centrale è ribadito con forza: la formazione dei concetti geometrici fondamentali è frutto della cooperazione di diversi ordini di esperienza, fatto che non può essere negato. “That diverse orders of experience have co-operated in the formation of the fundamental conceptions under consideration, cannot be gainsaid.” – (fr:816/p.90) [Che diversi ordini di esperienza abbiano cooperato alla formazione dei concetti fondamentali in esame non può essere contestato.] L’ultima frase annuncia il successivo nucleo tematico: “THE FUNDAMENTAL FACTS AND CONCEPTS.” – (fr:817/p.90) [I fatti e i concetti fondamentali.]

Il testo offre così una testimonianza dell’impostazione empirio-critica di fine Ottocento, che riconduce le nozioni spaziali alle sensazioni fisiologiche e alle esperienze metriche, negando una separazione netta tra intuizione pura e dato fisico. La raffigurazione dei “cubi fantasma” entro una griglia cartesiana mostra come persino la geometria più formale riposi su un sostrato immaginativo plasmato dal nostro contatto sensibile con il mondo.

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20 La geometria tra sensazione, esperienza fisica ed esperimento mentale

L’immaginazione spaziale fornisce solo coincidenze e differenze qualitative; la misura e la deduzione geometrica esigono concetti metrici ricavati dall’esperienza fisica, grazie ai quali l’esperimento mentale diventa uno strumento certo e fecondo.

Il testo, tratto da un capitolo intitolato “Psychology and Development of Geometry”, indaga il rapporto tra le intuizioni spaziali, l’esperienza fisica e la possibilità di condurre esperimenti mentali in geometria. L’autore muove da una constatazione metodologica: la rilevanza di un concetto si giudica dal suo campo di applicazione. “The importance of the concepts is estimated by their range of application.” – (fr:832/p.92) [L’importanza dei concetti è valutata in base al loro ambito di applicazione.] Per questo i concetti di retta e di piano sono posti in primo piano: ogni oggetto geometrico può essere scomposto, con sufficiente approssimazione, in elementi delimitati da piani e rette. “This is why the concepts of the straight line and the plane are placed in the foreground, for every geometrical object can be split up with sufficient approximateness into elements bounded by planes and straight lines.” – (fr:833/p.92) [Ecco perché i concetti di retta e di piano sono messi in primo piano, poiché ogni oggetto geometrico può essere scomposto con sufficiente approssimazione in elementi delimitati da piani e rette.]

Tuttavia, quali proprietà della retta o del piano si scelga di mettere in risalto è frutto di una libera decisione, e questa verità ha trovato espressione nelle molteplici definizioni date dello stesso concetto. “The particular properties of the straight line, plane, etc., which we decide to emphasize, are matters of our own free choice, and this truth has found expression in the various definitions that have been given of the same concept.” – (fr:834/p.92) [Le particolari proprietà della retta, del piano ecc., che decidiamo di enfatizzare, sono frutto della nostra libera scelta, e questa verità ha trovato espressione nelle varie definizioni che sono state date del medesimo concetto.] Il riferimento implicito è alla diversità tra le definizioni di retta di Euclide e di Archimede, richiamata nella nota che accompagna la frase successiva: “The very fact that a continuous change in our space-sensation corresponds to a continuous metrical change in physical bodies, enables Compare, for example, the definitions of the straight line given by Euclid and by Archimedes.”* – (fr:838/p.92) [Il fatto stesso che a un cambiamento continuo nella nostra sensazione spaziale corrisponda un cambiamento metrico continuo nei corpi fisici, permette *Si confrontino, ad esempio, le definizioni di retta date da Euclide e da Archimede.]

Sotto il titolo “Experimenting in Thought” (fr:835/p.92), il discorso si addentra nella natura dell’esperimento mentale geometrico. Le verità fondamentali della geometria sono state indiscutibilmente ricavate dall’esperienza fisica, non foss’altro perché le nostre visualizzazioni e sensazioni dello spazio sono assolutamente inaccessibili alla misura e non possono in alcun modo diventare oggetto di esperienza metrica. “The fundamental truths of geometry have thus, unquestionably, been derived from physical experience, if only for the reason that our visualizations and sensations of space are absolutely inaccessible to measurement and cannot possibly be made the subject of metrical experience.” – (fr:836/p.92) [Le verità fondamentali della geometria sono state quindi, indiscutibilmente, derivate dall’esperienza fisica, non fosse altro perché le nostre visualizzazioni e sensazioni dello spazio sono assolutamente inaccessibili alla misura e non possono in alcun modo essere oggetto di esperienza metrica.] È altrettanto indubitabile però che, una volta familiarizzato con le relazioni che collegano le nostre visualizzazioni spaziali alle più semplici esperienze metriche, i fatti geometrici possono essere riprodotti con grande facilità e certezza nella sola immaginazione, ovvero per mezzo di un esperimento puramente mentale. “But it is no less indubitable that when the relations connecting our visualizations of space with the simplest metrical experiences have been made familiar, then geometrical facts can be reproduced with great facility and certainty in the imagination alone,—that is by purely mental experiment.” – (fr:837/p.92) [Ma è non meno indubitabile che, quando le relazioni che collegano le nostre visualizzazioni dello spazio con le più semplici esperienze metriche sono state rese familiari, allora i fatti geometrici possono essere riprodotti con grande facilità e certezza nella sola immaginazione, cioè mediante un esperimento puramente mentale.]

Il passaggio dall’esperienza fisica all’esperimento mentale è reso possibile dalla corrispondenza continua tra mutamento della sensazione spaziale e mutamento metrico dei corpi fisici; ciò consente all’immaginazione di stabilire da sola quali elementi metrici dipendano l’uno dall’altro (fr.838-839). Se poi si osserva che certi elementi metrici entrano in costruzioni differenti, diversamente disposte, esattamente nello stesso modo, allora i risultati metrici vengono considerati uguali – se ne ha un esempio nei triangoli isosceli ed equilateri. “Now, if such metrical elements are observed to enter different constructions having different positions in precisely the same manner, then the metrical results will be regarded as equal. The case of the isosceles and equilateral triangles, above mentioned, may serve as an example.” – (fr:840-841/p.93) [Ora, se si osserva che tali elementi metrici entrano in costruzioni diverse, con posizioni diverse, esattamente nello stesso modo, allora i risultati metrici saranno considerati uguali. Il caso dei triangoli isosceli ed equilateri, menzionato poco sopra, può servire da esempio.]

L’esperimento mentale geometrico ha un vantaggio su quello fisico: può essere condotto con esperienze molto più semplici, acquisite in modo quasi inconscio. “The geometric mental experiment has advantage over the physical, only in the respect that it can be performed with far simpler experiences and with such as have been more easily and almost unconsciously acquired.” – (fr:842/p.93) [L’esperimento mentale geometrico è vantaggioso rispetto a quello fisico solo in quanto può essere eseguito con esperienze molto più semplici e con quelle che sono state acquisite più facilmente e quasi inconsciamente.]

L’autore sottolinea il carattere qualitativo dell’immaginazione spaziale: le nostre immagini sensibili dello spazio sono qualitative, non quantitative né metriche; da esse deriviamo coincidenze e differenze di estensione, mai grandezze reali. “Our sensuous imagings and visualizations of space are qualitative, not quantitative nor metrical. We derive from them coincidences and differences of extension, but never real magnitudes.” – (fr:843-844/p.93) [Le nostre immagini sensibili e visualizzazioni dello spazio sono qualitative, non quantitative né metriche. Da esse ricaviamo coincidenze e differenze di estensione, ma mai grandezze reali.]

L’insufficienza della pura immaginazione viene esemplificata con la Figura 13, che descrive una moneta che rotola in senso orario, senza strisciare, lungo il bordo di un’altra moneta fissa di uguali dimensioni. “Conceive, for example, Fig. 13, a coin rolling clockwise down and around the rim of another fixed coin of the same size, without sliding.” – (fr:845-846/p.93) [Immaginate, per esempio, la Fig. 13, una moneta che rotola in senso orario lungo e intorno al bordo di un’altra moneta fissa della stessa dimensione, senza strisciare.] Per quanto vivida sia la nostra immaginazione, è impossibile determinare con un puro atto di rappresentazione riproduttiva l’angolo descritto in un giro completo. “Be our imagination as vivid as it will, it is impossible by a pure feat of reproductive imagery alone, to determine here the angle described in a full revolution.” – (fr:847/p.93) [Per quanto vivida possa essere la nostra immaginazione, è impossibile con un puro atto di immagine riproduttiva determinare qui l’angolo descritto in una rivoluzione completa.] Non appena però si considerano le relazioni metriche – il fatto che a un quarto di rivoluzione i raggi che toccano il punto di contatto giacciano su una stessa retta – si vede immediatamente che il raggio della moneta mobile ha compiuto mezzo giro. “But if it be considered that at the beginning of the motion the radii a, a’ lie in one straight line, but that after a quarter revolution the radii b, b’ lie in a straight line, it will be seen at once that the radius a’ now points vertically upwards and has consequently performed half a revolution.” – (fr:848/p.93) [Ma se si considera che all’inizio del moto i raggi a, a’ giacciono su una medesima retta, mentre dopo un quarto di rivoluzione i raggi b, b’ giacciono su una retta, si vedrà immediatamente che il raggio a’ ora punta verticalmente verso l’alto e ha di conseguenza compiuto mezzo giro.] La misura della rivoluzione è ricavata da concetti metrici, che fissano esperienze idealizzate su oggetti fisici definiti, mentre la direzione della rivoluzione è trattenuta dall’immaginazione sensibile. “The measure of the revolution is obtained from metrical concepts, which fix idealized experiences on definite physical objects, but the direction of the revolution is retained in the sensuous imagination.” – (fr:849/p.93) [La misura della rivoluzione è ottenuta da concetti metrici, che fissano esperienze idealizzate su oggetti fisici definiti, mentre la direzione della rivoluzione è conservata nell’immaginazione sensibile.] I concetti metrici si limitano a stabilire che in cerchi uguali angoli uguali sottendono archi uguali, che i raggi condotti al punto di contatto giacciono su una retta, e simili. “The metrical concepts simply determine that in equal circles equal angles are subtended by equal arcs, that the radii to the point of contact lie in a straight line, etc.” – (fr:850/p.94) [I concetti metrici determinano semplicemente che in cerchi uguali angoli uguali sottendono archi uguali, che i raggi fino al punto di contatto giacciono su una retta, ecc.] Allo stesso modo, se immagino un triangolo con uno dei suoi angoli che aumenta, vedrò anche il lato opposto all’angolo aumentare: la relazione tra angolo e lato è nuovamente colta grazie a schemi metrici interiorizzati. “If I picture to myself a triangle with one of its angles increasing, I shall also see the side opposite the angle increasing.” – (fr:853/p.94) [Se mi raffiguro un triangolo con uno dei suoi angoli che aumenta, vedrò anche il lato opposto all’angolo aumentare.]

Il brano costituisce una testimonianza storica della posizione empirista e psicologico-evolutiva che, tra Ottocento e Novecento, legge la geometria non come un sistema di verità a priori, ma come una scienza che affonda le proprie radici nell’esperienza fisica, per poi emanciparsi grazie all’esperimento mentale. La netta separazione tra sensazione qualitativa e concetto metrico, insieme alla rivendicazione della libera scelta delle definizioni, anticipa temi centrali del convenzionalismo e della filosofia della scienza successivi.

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21 Dallo spazio vissuto allo spazio geometrico: la genesi dei concetti metrici universali

Solo un’analisi spregiudicata degli esperimenti conduce dall’idiosincrasia corporea e dalle esperienze fisiche più rozze a un sistema di localizzazione che appare antecedente alle qualità sensibili – e infine allo spazio geometrico comune a tutti.

Il testo esamina l’origine della nozione di spazio, mostrando come essa emerga da un intreccio di fattori fisiologici e fisici piuttosto che da una pura intuizione a priori. Fin dall’inizio si riconosce l’impossibilità di ricostruire interamente il processo genetico: «It is impossible for us to ascertain how this notion has been begotten.» – (fr:921/p.101) [«Ci è impossibile stabilire come questa nozione sia stata generata.»]. Tuttavia, solo un’indagine metodica permette di ipotizzare che a questo risultato abbiano cooperato le idiosincrasie innate del corpo insieme a esperienze semplici e rozze di carattere puramente fisico. Come recita il testo: «Only the most thoroughgoing analysis of experiments purposefully and methodically performed has enabled us to conjecture that inborn idiosyncracies of the body have codperated to this end with simple and crude experiences of a purely physical character.» – (fr:922/p.101) [«Solo l’analisi più approfondita di esperimenti condotti con metodo e intenzione ci ha permesso di congetturare che le idiosincrasie innate del corpo abbiano cooperato a questo scopo con esperienze semplici e rozze di carattere puramente fisico.»].

Il punto di partenza è la distinzione tra due tipi di qualità con cui si presentano gli oggetti percepiti. «An object seen or touched is distinguished not only by a sensational quality (as “red,” “rough,” “cold,” etc.), but also by a locative quality (as “to the left,” “above,” “before,” etc.).» – (fr:924/p.101) [«Un oggetto visto o toccato è distinto non solo da una qualità sensoriale (come “rosso”, “ruvido”, “freddo”, ecc.), ma anche da una qualità locativa (come “a sinistra”, “sopra”, “davanti”, ecc.).»]. Le qualità sensoriali possono mutare mentre un medesimo oggetto si sposta, cosicché la qualità locativa cambia in modo continuo (fr:925/p.101). La ripetuta induzione di questi fenomeni da parte di circostanze fisico-fisiologiche rivela un fatto decisivo: per quanto varie siano le qualità sensoriali accidentali, lo stesso ordine di qualità locative si presenta invariabilmente. L’ordine locativo si impone quindi come un registro fisso e permanente entro il quale le qualità sensoriali vengono iscritte e classificate. «[…] it is found that however varied the accidental sensational qualities may be, the same order of locative qualities invariably occurs, so that the latter appear perforce as a fixed and permanent system or register in which the sensational qualities are entered and classified.» – (fr:926/p.101) [«[…] si trova che per quanto varie possano essere le qualità sensoriali accidentali, lo stesso ordine di qualità locative si presenta invariabilmente, cosicché queste ultime appaiono per forza come un sistema o registro fisso e permanente nel quale le qualità sensoriali vengono iscritte e classificate.»].

La regolarità di questo ordine genera l’impressione che il sistema locativo, divenuto più familiare, preesista alle qualità sensibili. «Now, although these qualities of sensation and locality can be excited only in conjunction with one another, and can make their appearance only concomitantly, the impression nevertheless easily arises that the more familiar system of locative qualities is given antecedently to the sensational qualities (Kant).» – (fr:927/p.101) [«Ora, sebbene queste qualità di sensazione e di località possano essere eccitate solo congiuntamente l’una all’altra e possano apparire solo in concomitanza, sorge tuttavia facilmente l’impressione che il sistema più familiare di qualità locative sia dato antecedentemente alle qualità sensoriali (Kant).»]. Qui il testo individua la radice fisiologica dell’apriorismo kantiano, senza negare la forza con cui l’ordine spaziale si presenta stabile.

Da questa base si passa agli oggetti estesi della vista e del tatto, concepiti come composizioni di qualità sensoriali distinguibili congiunte a qualità locative contigue, distinguibili e graduate in modo continuo: «Extended objects of vision and of touch consist […] of more or less distinguishable sensational qualities, conjoined with adjacent distinguishable, continuously graduated locative qualities.» – (fr:928/p.102) [«Gli oggetti estesi della vista e del tatto consistono […] di qualità sensoriali più o meno distinguibili, congiunte con qualità locative adiacenti, distinguibili e graduate in modo continuo.»]. Quando tali oggetti si muovono, specialmente sotto il controllo delle mani, si percepisce che si restringono o si gonfiano, oppure che rimangono identici; in altre parole, i contrasti che caratterizzano le loro qualità locative di confine cambiano o rimangono costanti. «If such objects move, particularly in the domain of our hands, we perceive them to shrink or swell (in whole or in part), or we perceive them to remain the same; in other words, the contrasts characterizing their bounding locative qualities change or remain constant.» – (fr:929/p.102) [«Se tali oggetti si muovono, in particolare nel dominio delle nostre mani, li percepiamo contrarsi o gonfiarsi (in tutto o in parte), oppure percepiamo che rimangono uguali; in altre parole, i contrasti che caratterizzano le loro qualità locative di confine cambiano o restano costanti.»]. Nel caso in cui restino costanti, chiamiamo gli oggetti rigidi (fr:930/p.102). Il riconoscimento della permanenza coincidente con lo spostamento spaziale rende così comparabili i diversi costituenti della nostra intuizione spaziale, dapprima in senso fisiologico: «By the recognition of permanency as coincident with spatial displacement, the various constituents of our intuition of space are rendered comparable with one another,—at first in the physiological sense.» – (fr:931/p.102) [«Riconoscendo la permanenza come coincidente con lo spostamento spaziale, i vari costituenti della nostra intuizione dello spazio vengono resi comparabili tra loro, – dapprima in senso fisiologico.»].

Il passo successivo conduce dalla comparabilità individuale a una misura quantitativa che supera i limiti soggettivi. Confrontando corpi diversi e introducendo misure fisiche, la comparabilità diventa quantitativa e più esatta, trascendendo i confini dell’individualità: «By the comparison of different bodies with one another, by the introduction of physical measures, this comparability is rendered quantitative and more exact, and so transcends the limitations of individuality.» – (fr:932/p.102) [«Confrontando corpi diversi tra loro, con l’introduzione di misure fisiche, questa comparabilità viene resa quantitativa e più esatta, e così trascende i limiti dell’individualità.»]. In tal modo, al posto di un’intuizione spaziale individuale e non trasmissibile subentrano i concetti universali della geometria, validi per tutti gli uomini: «Thus, in the place of an individual and non-transmittable intuition of space are substituted the universal concepts of geometry, which hold good for all men.» – (fr:933/p.102) [«Così, al posto di un’intuizione spaziale individuale e non trasmissibile si sostituiscono i concetti universali della geometria, che valgono per tutti gli uomini.»].

La distinzione che ne risulta è netta: ciascuno possiede un proprio spazio intuitivo individuale, mentre lo spazio geometrico è comune a tutti (fr:934/p.102). Il testo conclude con una separazione metodologica irrinunciabile: «Between the space of intuition and metric space, which contains physical experiences, we must distinguish sharply.» – (fr:935/p.102) [«Tra lo spazio dell’intuizione e lo spazio metrico, che contiene esperienze fisiche, dobbiamo distinguere nettamente.»]. Questa partizione segna il passaggio dalla sensazione soggettiva a una fisica oggettivata, mostrando come il sistema delle localizzazioni, nato da idiosincrasie corporee ed esperienze materiali, divenga il fondamento misurabile e comunicabile su cui poggia la geometria.

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22 Le analogie tra spazio e altre varietà sensoriali

Il sistema delle sensazioni spaziali è una varietà tripla continua, ma esso non è l’unico dominio in cui ritroviamo una molteplicità analoga: timbro, colore, tono musicale e persino il tempo mostrano strutture confrontabili, i cui limiti e le cui differenze illuminano tanto la psicofisiologia quanto la possibilità di estendere i simboli geometrici.

Il testo sviluppa un confronto sistematico fra la sensazione di spazio e altri ambiti sensoriali, partendo dalla premessa che, “Hence, if the analogy has any meaning whatever, several dimensions will be found to correspond to timbre and chromatic tone, FROM THE POINT OF VIEW OF PHYSICS 99” – (fr:958/p.105) [Quindi, se l’analogia ha un qualche significato, si troverà che diverse dimensioni corrispondono al timbro e al tono cromatico, DAL PUNTO DI VISTA DELLA FISICA 99]. Già il fatto che “Timbre, like chromatic tone, is dependent on several variables” – (fr:957/p.104) [Il timbro, come il tono cromatico, dipende da diverse variabili] prepara la strada a un’analogia fra spazio e colore. Quest’ultima è formulata in modo netto: “Comparing sensation of space with sensation of color, we discover that to the continuous series “above and below,” “right and left,” “near and far,” correspond the three sensational series of mixed colors, black-white, red-green, blue-yellow.” – (fr:959/p.105) [Confrontando la sensazione di spazio con quella di colore, scopriamo che alle serie continue “sopra e sotto”, “destra e sinistra”, “vicino e lontano” corrispondono le tre serie sensoriali dei colori misti, nero-bianco, rosso-verde, blu-giallo]. L’intero sistema dei luoghi percepiti è quindi una varietà tripla continua, proprio come il sistema delle sensazioni cromatiche (fr:959/p.105).

L’obiezione classica a questa analogia – che nello spazio le tre variazioni sarebbero omogenee e intercambiabili, mentre nel colore sarebbero eterogenee e non intercambiabili – viene respinta con un argomento psicofisiologico: “The objection which is raised against this analogy, viz., that in the first instance the three variations (dimensions) are homogeneous and interchangeable with one another, while in the second instance they are heterogeneous and not interchangeable, does not hold when space-sensation is compared with colorsensation.” – (fr:960/p.105) [L’obiezione sollevata contro questa analogia, cioè che nel primo caso le tre variazioni (dimensioni) sono omogenee e intercambiabili l’una con l’altra, mentre nel secondo sono eterogenee e non intercambiabili, non regge quando si confronta la sensazione spaziale con quella cromatica]. Infatti, “For from the psycho-physiological point of view “right and left” as little permit of being interchanged with “above and below” as do red and green with black and white.” – (fr:961/p.105) [Poiché dal punto di vista psicofisiologico “destra e sinistra” consentono di essere scambiate con “sopra e sotto” tanto poco quanto il rosso e il verde con il nero e il bianco]. L’omogeneità apparente emerge solo se si abbandona la sensazione vissuta per il confronto con lo spazio geometrico: “It is only when we compare geometric space with the system of colors that the objection is apparently justified.” – (fr:962/p.105) [È solo quando confrontiamo lo spazio geometrico con il sistema dei colori che l’obiezione appare giustificata].

Tuttavia, la costruzione di un’analogia completa fra lo spazio dell’intuizione e il sistema delle sensazioni cromatiche incontra limiti precisi. “But there is still a great deal lacking to the establishment of a complete analogy between the space of intuition and the system of color-sensation.” – (fr:963/p.105) [Ma c’è ancora molto che manca per stabilire un’analogia completa fra lo spazio dell’intuizione e il sistema delle sensazioni cromatiche]. Mentre nello spazio sensibile distanze pressoché uguali sono riconosciute immediatamente come tali, “a like remark cannot be made of differences of colors, and in this latter province it is not possible to compare physiologically the different portions with one another.” – (fr:964/p.105) [non si può fare un’osservazione simile per le differenze di colore, e in questo secondo ambito non è possibile confrontare fisiologicamente le diverse porzioni l’una con l’altra]. Anche sul piano fisico, sebbene sia agevole caratterizzare ogni colore di un sistema con tre numeri, “it will nevertheless be difficult to find anything which corresponds to distance or volume and which has an analogous physical significance for the system of colors.” – (fr:965/p.106) [sarà tuttavia difficile trovare qualcosa che corrisponda alla distanza o al volume e che abbia un significato fisico analogo per il sistema dei colori].

Un’analogia che invece viene pienamente concessa è quella fra spazio e tempo, “whether we use the word in its physiological or its physical sense.” – (fr:968/p.106) [sia che usiamo la parola nel suo senso fisiologico o in quello fisico]. In entrambi i significati, “space is a triple, and time a simple, continuous manifold.” – (fr:969/p.106) [lo spazio è una varietà tripla, e il tempo una varietà semplice, continua]. La congruenza temporale esiste esattamente come quella spaziale: eventi fisici che in un dato momento sono temporalmente coincidenti lo sono anche in qualsiasi altro momento (fr:971–972), e vi sono oggetti temporali fisici inalterabili così come esistono corpi rigidi spaziali (fr:973/p.106). Vi è insomma “not only spatial but there is also temporal substantiality.” – (fr:974/p.106) [non solo una sostanzialità spaziale ma anche temporale]. L’autore ricorda che “Galileo employed corporeal phenomena, like the beats of the pulse and breathing, for the determination of time, just as anciently the hands and the feet were employed for the estimation of space.” – (fr:975/p.106) [Galileo impiegava fenomeni corporei, come i battiti del polso e il respiro, per la determinazione del tempo, proprio come anticamente le mani e i piedi erano impiegati per la stima dello spazio].

Anche la serie semplice delle sensazioni tonali è analoga alla varietà tripla dello spazio. Qui la comparabilità delle diverse parti del sistema è data “by the possibility of directly sensing the musical interval.” – (fr:977/p.107) [dalla possibilità di percepire direttamente l’intervallo musicale]. Un sistema metrico corrispondente a quello geometrico si ottiene esprimendo l’altezza tonale mediante il logaritmo del numero di vibrazioni: “For the constant musical interval we have here the expression, , log ae: log n’ — log n = log t — log r’ = const., where n’, 1 denote the rates, and 7’, 7 the periods of vibration of the higher and the lower note respectively.” – (fr:979/p.107) [Per l’intervallo musicale costante abbiamo qui l’espressione log ae: log n’ – log n = log t – log r’ = costante, dove n’, n indicano le frequenze e t’, t i periodi di vibrazione della nota più alta e di quella più bassa rispettivamente]. La differenza tra i logaritmi rappresenta qui la costanza della lunghezza nello spostamento (fr:980/p.107). L’oggetto fisico inalterabile e sostanziale che percepiamo come intervallo è per l’orecchio determinato temporalmente, mentre l’oggetto analogo per la vista e il tatto è determinato spazialmente (fr:981/p.107). La misura spaziale ci appare più semplice soltanto perché abbiamo scelto come misura fondamentale della geometria la distanza, che rimane inalterabile per la sensazione, mentre nel campo dei suoni “we have reached our measure only by a long and circuitous physical route.” – (fr:982/p.107) [abbiamo raggiunto la nostra misura soltanto per una via fisica lunga e tortuosa]. L’autore dichiara di essere stato attirato da questa analogia nel 1863 studiando l’organo dell’udito e di averla poi ulteriormente sviluppata nella sua Analysis of the Sensations (fr:983–984).

Dopo avere insistito sulle coincidenze, il testo passa a sottolineare le differenze. Quando tempo e spazio sono concepiti come varietà sensoriali, gli oggetti i cui movimenti sono resi percepibili dall’alterazione delle qualità temporali e spaziali sono caratterizzati da altre qualità sensoriali, come colori, sensazioni tattili, suoni (fr:987/p.108). Se si considera il sistema delle sensazioni tonali analogo allo spazio ottico del senso, compare il fatto curioso che “in the first province the spatial qualities occur alone, unaccompanied by sensational qualities corresponding to the objects, just as if one could see a place or motion without seeing the object which occupied this place or executed this motion.” – (fr:988/p.108) [nel primo ambito le qualità spaziali si presentano da sole, non accompagnate da qualità sensoriali corrispondenti agli oggetti, proprio come se si potesse vedere un luogo o un movimento senza vedere l’oggetto che occupa quel luogo o esegue quel movimento]. Poiché le qualità spaziali sono sensazioni organiche che possono essere eccitate soltanto in concomitanza con qualità sensoriali, l’analogia non appare particolarmente attraente (fr:989/p.108). Per il matematico delle varietà il caso è essenzialmente lo stesso, sia che un oggetto di un dato colore si muova continuamente nello spazio ottico, sia che un oggetto spazialmente fisso attraversi continuamente la varietà dei colori (fr:990/p.108). Ma per il fisiologo e lo psicologo i due casi sono molto diversi, non solo per quanto detto, ma anche perché “the system of spatial qualities is very familiar to us, whereas we can represent to ourselves a system of color-sensations only laboriously and artificially, by means of scientific devices.” – (fr:992/p.109) [il sistema delle qualità spaziali ci è molto familiare, mentre possiamo rappresentarci un sistema di sensazioni cromatiche solo faticosamente e artificialmente, per mezzo di strumenti scientifici]. Il colore ci appare come un membro estratto di una varietà il cui ordinamento non ci è affatto noto (fr:993/p.109).

L’ultima parte del testo allarga la prospettiva all’estensione dei simboli. Le varietà qui paragonate allo spazio sono, come il sistema dei colori, triple o rappresentano un numero minore di variazioni (fr:995/p.109). Lo spazio contiene superfici come varietà duplici e linee come varietà semplici, alle quali il matematico, generalizzando, può aggiungere i punti come varietà di dimensione zero (fr:996/p.109). Non vi è difficoltà a concepire, con Lagrange, la meccanica analitica come una geometria analitica a quattro dimensioni, con il tempo come quarta coordinata (fr:997/p.109). Le stesse equazioni della geometria analitica suggeriscono al matematico l’estensione di queste considerazioni a un numero illimitato di dimensioni (fr:998/p.109). In modo simile, “physics would be justified in considering an extended material continuum, to each point of which a temperature, a magnetic, electric, and gravitational potential were ascribed, as a portion or section of a multiple manifold.” – (fr:999/p.109) [la fisica sarebbe giustificata nel considerare un continuo materiale esteso, a ciascun punto del quale siano ascritti una temperatura, un potenziale magnetico, elettrico e gravitazionale, come una porzione o sezione di una varietà multipla].

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23 Simboli, significato e conoscenza: la funzione euristica della rappresentazione simbolica

L’impiego di simboli inizialmente privi di significato può generare conoscenza, purché se ne chiarisca il senso ed evitando derive mistiche.

La storia della scienza mostra che l’uso di rappresentazioni simboliche non è affatto sterile, anche quando i simboli sembrano inizialmente del tutto privi di significato. “Employment with such symbolic representations must, as the history of science shows us, by no means be regarded as entirely unfruitful.” – (fr:1000/p.109) [L’impiego di tali rappresentazioni simboliche non deve, come la storia della scienza ci mostra, essere affatto considerato del tutto infruttuoso.] Quei simboli, sottoposti a ciò che potremmo chiamare sperimentazione intellettuale, acquistano gradualmente un significato limpido e preciso. “Symbols which initially appear to have no meaning whatever, acquire gradually, after subjection to what might be called intellectual experimenting, a lucid and precise significance.” – (fr:1001/p.109) [Simboli che inizialmente sembrano non possedere alcun significato acquistano gradualmente, dopo essere stati sottoposti a quella che si potrebbe chiamare sperimentazione intellettuale, un significato lucido e preciso.] Basta pensare agli esponenti negativi, frazionari e variabili dell’algebra, oppure a quei casi in cui estensioni di idee vitali si sono verificate e che altrimenti sarebbero andate del tutto perdute o sarebbero apparse molto più tardi. “Think only of the negative, fractional, and variable exponents of algebra, or of the cases in which important and vital extensions of ideas have taken place which otherwise would have been totally lost or have made their appearance at a much later date.” – (fr:1002/p.110) [Si pensi soltanto agli esponenti negativi, frazionari e variabili dell’algebra, o ai casi in cui hanno avuto luogo estensioni importanti e vitali di idee che altrimenti sarebbero andate totalmente perdute o sarebbero apparse in una data molto successiva.]

Eppure la rappresentazione simbolica porta con sé anche un rischio: l’oggetto rappresentato viene facilmente perso di vista e si continua a operare sui simboli senza che a essi corrisponda più alcunché di reale. “But symbolic representation has likewise the disadvantage that the object represented is very easily lost sight of, and that operations are continued with the symbols to which frequently no object whatever corresponds.” – (fr:1004/p.110) [Ma la rappresentazione simbolica ha altresì lo svantaggio che l’oggetto rappresentato viene perso di vista molto facilmente e che si continua a operare con i simboli ai quali spesso non corrisponde più alcun oggetto.] Proprio per questo gli studi storici sono adatti a sradicare la tendenza al misticismo che un impiego sonnolento di tali metodi alimenta: essi mostrano la funzione euristica dei simboli e chiariscono sul piano epistemologico i punti in cui forniscono il loro aiuto essenziale. “But historical studies are well adapted to eradicating the tendency to mysticism which is so easily fostered and bred by the somnolent employment of these methods, in that they clearly show the heuristic function of them and at the same time elucidate epistemologically the points wherein they furnish their essential assistance.” – (fr:1005/p.110) [Ma gli studi storici sono ben adatti a sradicare la tendenza al misticismo che viene così facilmente alimentata e generata dall’impiego sonnolento di questi metodi, poiché mostrano chiaramente la loro funzione euristica e allo stesso tempo chiariscono epistemologicamente i punti in cui essi forniscono il loro aiuto essenziale.]

Per il matematico, una rappresentazione simbolica di un metodo di calcolo ha lo stesso valore che un modello o un’ipotesi di lavoro visualizzabile ha per il fisico. “A symbolical representation of a method of calculation has the same significance for a mathematician as a model or a visualisable working hypothesis has for the physicist.” – (fr:1006/p.110) [Una rappresentazione simbolica di un metodo di calcolo ha per un matematico lo stesso significato che un modello o un’ipotesi di lavoro visualizzabile ha per il fisico.] Il simbolo, il modello, l’ipotesi corrono in parallelo alla cosa da rappresentare. “The symbol, the model, the hypothesis runs parallel with the thing to be represented.” – (fr:1007/p.110) [Il simbolo, il modello, l’ipotesi procedono in parallelo con la cosa da rappresentare.] Ma questo parallelismo può estendersi più in là, o essere esteso più in là, di quanto si fosse originariamente inteso al momento dell’adozione del simbolo. “But the parallelism may extend farther, or be extended farther, than was originally intended on the adoption of the symbol.” – (fr:1008/p.110) [Ma il parallelismo può estendersi oltre, o essere esteso oltre, quanto era stato originariamente previsto al momento dell’adozione del simbolo.] Poiché la cosa rappresentata e il dispositivo rappresentante sono pur sempre differenti, ciò che sarebbe celato nell’una si manifesta nell’altro. “Since the thing represented and the device representing are after all different, what would be concealed in the one is apparent in the other.” – (fr:1009/p.110) [Poiché la cosa rappresentata e il dispositivo che rappresenta sono in fondo diversi, ciò che sarebbe celato nell’una appare nell’altro.]

Un esempio particolarmente istruttivo viene dalla storia dei numeri immaginari. Non è quasi possibile imbattersi direttamente in un’operazione come (a^b), ma l’operare con tali simboli induce ad attribuire loro un significato intelligibile. “It is scarcely possible to light directly on an operation like ate But operating with such symbols leads us to attribute to them an intelligible meaning.” – (fr:1010/p.110) [Non è quasi possibile imbattersi direttamente in un’operazione come (a^b); ma operare con tali simboli ci porta ad attribuire loro un significato intelligibile.] I matematici lavorarono per molti anni con espressioni come (x + i x) e con esponenziali ad esponenti immaginari prima che, nella lotta per adattare concetto e simbolo l’uno all’altro, l’idea germinata per un secolo trovasse finalmente espressione nel 1806 in Argand: la possibilità di concepire una relazione tra grandezza e direzione, grazie alla quale () veniva rappresentato come una media proporzionale direzionale tra (+1) e (-1). “Mathematicians worked many years with expressions like cos x X VY —1 sin @ and with exponentials having imaginary exponents before in the struggle for adapting concept and symbol to each other the idea that had been germinating for a century finally found expression in 1806 in Argand, viz., that a relationship could be conceived between magnitude and direction by which VY —1 was represented as a mean direction-proportional between ++ 1 snatsl = i.” – (fr:1011/p.110) [I matematici lavorarono per molti anni con espressioni come (x + i x) e con esponenziali ad esponenti immaginari prima che, nella lotta per adattare concetto e simbolo l’uno all’altro, l’idea che era germinata per un secolo trovasse finalmente espressione nel 1806 in Argand, ovvero che si potesse concepire una relazione tra grandezza e direzione grazie alla quale () veniva rappresentato come una media proporzionale direzionale tra (+1) e (-1).]

L’intero percorso mostra come i simboli, da gusci vuoti, si riempiano di senso attraverso la sperimentazione intellettuale, e come il loro potere euristico sia indissolubilmente legato alla capacità di tenere viva la tensione tra l’apparato formale e l’oggetto che si intende rappresentare.

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24 Dalla misura della curvatura di Gauss alla generalizzazione Riemanniana dello spazio

Il percorso che dalla geometria delle superfici curve conduce alla concezione di spazi a curvatura costante e alle loro implicazioni fisiche, segnando un passaggio cruciale verso una visione intrinseca e non euclidea dello spazio.

Il testo traccia l’evoluzione di un concetto geometrico fondamentale, dalla sua formulazione originaria per le superfici bidimensionali fino alla sua audace generalizzazione a spazi con un numero superiore di dimensioni. Il punto di partenza risiede nelle indagini di Gauss sulle superfici curve, da cui Riemann sviluppò le proprie idee. La misura della curvatura in un punto di una superficie, introdotta da Gauss, viene espressa dal testo con una formula che lega un elemento della superficie ds all’elemento superficiale della sfera unitaria dσ: “Gauss’s measure of the curvature’ of a surface at any point is given by the expression k =< where ds is an eles ment of the surface and do is the superficial element of the unit-sphere, the limiting radii of which are parallel to the limiting normals of the element ds.” – (fr:1024/p.112). Lo stesso concetto può essere espresso in funzione dei raggi di curvatura principali nel punto considerato: “This measure of curvature may also be expressed in the form […] Where PiP2 are the principal PiP2 radii of curvature of the surface at the point in question.” – (fr:1025-fr:1026/p.112) [Questa misura di curvatura può anche essere espressa nella forma […] dove P1P2 sono i raggi di curvatura principali della superficie nel punto in questione].

Particolare rilevanza assumono le superfici la cui misura di curvatura è identica in tutti i punti, definite superfici a curvatura costante. “Of special interest are the surfaces whose measure of curvature for all points has the same value,—the surfaces of constant curvature.” – (fr:1027/p.112, fr:1030/p.113). Immaginando queste superfici come corpi infinitamente sottili, inestensibili ma flessibili, si osserva una proprietà notevole: superfici con la stessa curvatura possono essere fatte coincidere mediante flessione, come un foglio di carta piano avvolto su un cilindro o un cono, ma non possono coincidere con la superficie di una sfera. “Conceiving the surfaces as infinitely thin, non-distensible, but flexible bodies, it will be found that surfaces of like curvature may be made to coincide by bending,—as for example a plane sheet of paper wrapped round a cylinder or cone,—but cannot be made to coincide with the surface of a sphere.” – (fr:1031/p.113). Durante tali deformazioni, le proporzioni interne di figure disegnate sulla superficie, come lunghezze e angoli, rimangono invariate fintanto che le misurazioni non abbandonano le due dimensioni della superficie stessa. Da ciò deriva un principio fondamentale: la curvatura di una superficie è una proprietà intrinseca, che non dipende dalla sua conformazione nella terza dimensione dello spazio, ma unicamente dalle sue proporzionalità interne. “Conversely, likewise, the curvature of the surface does not depend on its conformation in the third dimension of space, but solely upon its interior proportionalities.” – (fr:1033/p.113).

Il passo successivo, e più radicale, fu compiuto da Riemann, il quale concepì l’idea di generalizzare la nozione di misura di curvatura applicandola a spazi di tre o più dimensioni. “Riemann, now, conceived the idea of generalizing the notion of measure of curvature and applying it to spaces of three or more dimensions.” – (fr:1034/p.113). In questa visione, trovano posto spazi finiti e illimitati a curvatura positiva costante, analoghi alla superficie bidimensionale, finita ma illimitata, di una sfera. Lo spazio che comunemente consideriamo infinito corrisponderebbe invece al piano illimitato a curvatura zero, mentre una terza specie di spazio corrisponderebbe a superfici a curvatura negativa. “he assumes that finite unbounded spaces of constant positive curvature are possible, corresponding to the unbounded but finite two-dimensional surface of the sphere, while what we commonly take to be infinite space would correspond to the unlimited plane of curvature zero, and similarly a third species of space would correspond to surfaces of negative curvature.” – (fr:1035/p.113).

Questa analogia ha conseguenze dirette sulla mobilità delle figure e dei corpi rigidi. Così come una figura sferica può essere spostata senza distorsioni solo sulla sua sfera, e una figura piana solo sul suo piano, condizioni analoghe dovrebbero valere per le figure spaziali. “Just as the figures drawn upon a surface of determinate constant curvature can be displaced without distortion upon this surface only […] so should analogous conditions necessarily hold for spatial figures and rigid bodies.” – (fr:1036/p.113). Ne consegue che i corpi rigidi sono capaci di libero movimento solo in spazi a curvatura costante, come dimostrato estesamente da Helmholtz. L’analogia si estende anche alle linee di minima distanza: mentre le rette di un piano sono infinite, sulla superficie di una sfera esistono come cerchi massimi di lunghezza finita, chiusi e ricurvi su sé stessi. Riemann concepì analogamente, in uno spazio tridimensionale a curvatura positiva, delle linee e dei piani finiti ma illimitati. “Just as the shortest lines of a plane are infinite, but on the surface of a sphere occur as great circles of definite finite length, closed and reverting into themselves, so Riemann conceived in the three-dimensional space of positive curvature analogues of the straight line and the plane as finite but unbounded.” – (fr:1038/p.114).

L’estensione del concetto, tuttavia, non è priva di difficoltà e introduce un elemento di arbitrarietà. Se si possedesse la nozione di misura di curvatura per uno spazio quadridimensionale, il passaggio al caso speciale tridimensionale sarebbe agevole; al contrario, il percorso inverso, dallo speciale al generale, implica scelte non univoche. “If we possessed the notion of a measure of curvature for a four-dimensional space, the transition to the special case of three-dimensional space could be easily and rationally executed; but the passage from the special to the more general case involves a certain arbitrariness, and, as is natural, different inquirers have adopted here different courses” – (fr:1040/p.114). L’analogia con lo spazio perde così in completezza e potenza stimolante. “The analogy with space loses thereby in completeness, fruitfulness, and stimulating power.” – (fr:1021/p.112). A questa difficoltà si aggiunge un dubbio più profondo, che nasce dalla constatazione che per uno spazio unidimensionale non esiste una misura di curvatura con il significato di misura intrinseca, la quale compare solo per figure bidimensionali. Ciò solleva la domanda cruciale se e in che misura qualcosa di analogo abbia senso per figure tridimensionali, o se non si cada in un’illusione operando con simboli a cui forse nulla di reale corrisponde. “The very fact that for a one-dimensional space (a curved line of any sort) a measure of curvature does not exist having the significance of an interior measure […] forces upon us the question whether and to what extent something analogous has any meaning for threedimensional figures. Are we not subject here to an illusion, in that we operate with symbols to which perhaps nothing real corresponds” – (fr:1041-fr:1042/p.114).

Il testo costituisce una testimonianza storicamente densa del processo di astrazione che, a partire dalla geometria differenziale classica di Gauss, portò alla fondazione delle geometrie non euclidee e alla relativizzazione del concetto di spazio, un passaggio in cui la riflessione sulla natura intrinseca della curvatura e la sua generalizzazione a dimensioni superiori misero in discussione le basi stesse della nostra intuizione spaziale e della fisica.

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25 L’impossibilità di costruire rettangoli e la formulazione del problema delle parallele secondo Saccheri

Senza il quinto postulato non si può decidere la natura degli angoli di un quadrilatero costruito con triangoli rettangoli congruenti: Saccheri trasformò questa impotenza in una indagine sistematica sulle ipotesi dell’angolo retto, ottuso e acuto.

La ricerca sulle parallele coinvolse studiosi di diversa provenienza; tra essi si distinsero l’italiano Saccheri e il matematico tedesco Lambert (fr:1108/p.122). Per comprendere il loro approccio occorre anzitutto osservare che l’esistenza di rettangoli e quadrati, che crediamo di osservare costantemente, non può essere dimostrata senza l’ausilio del quinto postulato (fr:1109/p.122). Il testo lo illustra con una costruzione: due triangoli isosceli congruenti, entrambi rettangoli in A e in D, vengono accostati lungo l’ipotenusa comune BC in modo da formare il quadrilatero equilatero ABCD (Fig. 16). Le prime ventisette proposizioni di Euclide non bastano a determinare il carattere e la grandezza dei due angoli uguali in B e in C, perché misura di lunghezza e misura angolare sono fondamentalmente diverse e non direttamente confrontabili; di conseguenza le proposizioni iniziali sul legame fra lati e angoli sono soltanto qualitative, da cui l’imperativa necessità di un teorema quantitativo sugli angoli, come quello della somma degli angoli interni (fr:1110‑1112). “For measure of length and measure of angle are fundamentally different and directly not comparable; hence the first propositions regarding the connection of sides and angles are qualitative only, and hence the imperative necessity of a quantitative theorem regarding angles, like that of the angle‑sum.” – (fr:1112/p.122) [Poiché la misura della lunghezza e la misura dell’angolo sono fondamentalmente diverse e non direttamente confrontabili, le prime proposizioni sulla relazione tra lati e angoli sono solo qualitative, da qui l’imperativa necessità di un teorema quantitativo sugli angoli, come quello della somma angolare.]

Si osserva inoltre che teoremi analoghi alle ventisette proposizioni planimetriche di Euclide possono essere formulati sulla superficie di una sfera e su superfici a curvatura negativa costante; in questi casi la costruzione analoga produce rispettivamente angoli ottusi e acuti in B e C. Il risultato cardinale di Saccheri fu proprio la sua maniera di impostare il problema (fr:1113/p.123). Se il quinto postulato è implicato nelle restanti assunzioni euclidee, allora sarebbe possibile dimostrare, senza il suo aiuto, che nel quadrilatero ABCD (Fig. 17) con angoli retti in A e in B e AC = BD anche gli angoli in C e in D sono retti (fr:1114‑1115). Nello stesso tempo, ammettere che C e D siano ottusi o acuti condurrebbe a contraddizioni (fr:1116/p.123). Saccheri, in altri termini, cerca di trarre conclusioni dall’ipotesi dell’angolo retto, ottuso o acuto (fr:1117/p.123). Egli mostra che ciascuna di queste ipotesi varrà in tutti i casi se viene dimostrata valida in un singolo caso; basta cioè un solo triangolo con la somma degli angoli uguale a due retti per stabilire la validità universale dell’ipotesi dell’angolo acuto, retto o ottuso (fr:1118‑1119). “It is needful to have only one triangle with its angles = 2R in order to demonstrate the universal validity of the hypothesis of the acute, the right, or the obtuse angle.” – (fr:1119/p.123) [È sufficiente un solo triangolo con gli angoli uguali a due retti per dimostrare la validità universale dell’ipotesi dell’angolo acuto, retto o ottuso.]

È degno di nota che Saccheri faccia appello anche a esperimenti fisico‑geometrici che sostengono l’ipotesi dell’angolo retto (fr:1120/p.123, fr:1124/p.124). L’opera in cui sviluppò queste idee, Euclides ab omni naevo vindicatus, fu pubblicata a Milano nel 1733; una traduzione tedesca apparve nella raccolta di Engel e Staeckel, Die Theorie der Parallellinien, a Lipsia nel 1895 (fr:1121‑1123).

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26 La geometria del triangolo e le ipotesi sull’angolo: Saccheri e Lambert

Costruzioni elementari mostrano che la somma degli angoli di un triangolo è un angolo piatto, mentre il tentativo di dimostrare il Quinto Postulato spinge Saccheri a esplorare l’ipotesi dell’angolo acuto, fino a sfiorare le geometrie di Lobačevskij e Bolyai, senza però abbandonare la visione tradizionale della retta.

Il testo presenta una serie di argomentazioni geometriche con cui si stabilisce sperimentalmente la somma degli angoli di un triangolo. Dapprima si considera un angolo in un semicerchio: “If the angle in a semicircle (Fig. 18) is shown to be a right angle, a+ 8=R, then is 20+ 28 =o2R, the sum of the angles of the triangle ABC.” – (fr:1133/p.124, 1134) [“Se l’angolo in un semicerchio (Fig. 18) è mostrato essere un angolo retto, α + β = R, allora 2α + 2β = 2R, la somma degli angoli del triangolo ABC.”]. Un’altra costruzione ribadisce lo stesso risultato: “If the radius be subtended thrice in a semicircle and the line joining the first and the fourth extremity pass through the center, we shall have at C (Fig. 19) 34 2R, and consequently each of the three triangles will have the angle-sum 2R.” – (fr:1135, 1136) [“Se si sottende il raggio tre volte in un semicerchio e la retta che unisce la prima e la quarta estremità passa per il centro, avremo in C (Fig. 19) 3α = 2R, e di conseguenza ciascuno dei tre triangoli avrà somma angolare 2R.”].

Accanto a queste verifiche, viene introdotto il tema della similitudine. La sua esistenza è considerata passibile di prova empirica: “The existence of equiangular triangles of different sizes (similar FROM THE POINT OF VIEW OF PHYSICS IIg triangles) is likewise subject to experimental proof.” – (fr:1137/p.125) [“L’esistenza di triangoli equiangoli di dimensioni diverse (triangoli simili DAL PUNTO DI VISTA DELLA FISICA IIg) è anch’essa soggetta a prova sperimentale.”]. In Figura 20, una costruzione con quadrilateri mostra che se gli angoli in B e C danno β + γ + δ + ε = 4R, anche il quadrilatero BCB’C’ ha somma angolare 4R. “For (Fig. 20) if the angles at B and C give B + 8 + y + e = 4R, so also is 4R the angle-sum of the quadrilateral BCB’C’.” – (fr:1138/p.61, 1139) [“Infatti (Fig. 20) se gli angoli in B e C danno β + γ + δ + ε = 4R, allora anche la somma angolare del quadrilatero BCB’C’ è 4R.”].

L’importanza della similitudine per il Quinto Postulato è ribadita storicamente: “Even Wallis’ (1663) based his proof of the Fifth Postulate on the assumption of the existence of similar triangles, and a modern geometer, Delbceuf, deduced from the assumption of similitude the entire Euclidean geometry.” – (fr:1140/p.125) [“Già Wallis (1663) fondò la sua dimostrazione del Quinto Postulato sull’assunzione dell’esistenza di triangoli simili, e un geometra moderno, Delboeuf, dedusse dall’assunzione di similitudine l’intera geometria euclidea.”].

Il cuore della testimonianza risiede nell’opera di Saccheri. Egli affrontò le tre ipotesi sull’angolo (ottuso, retto, acuto). “The hypothesis of the obtuse angle, Saccheri fancied he could easily refute.” – (fr:1141/p.125, 1142) [“L’ipotesi dell’angolo ottuso, Saccheri immaginò di poterla confutare facilmente.”]. L’ipotesi dell’angolo acuto, invece, gli oppose resistenza: “But the hypothesis of the acute angle presented to him difficulties, and in his quest for the expected contradictions he was carried to the most far-reaching conclusions, which Lobachévski and Bolyai subsequently rediscovered by methods of their own. Ultimately he felt compelled to reject the last-named hypothesis as incompatible with the nature of the straight line; for it led to the assumption of different kinds of straight lines, which met at infinity, that is, had there a common perpendicular.” – (fr:1143, 1144, 1146) [“Ma l’ipotesi dell’angolo acuto gli presentò difficoltà, e nella ricerca delle contraddizioni attese fu condotto alle conclusioni più lungimiranti, che Lobačevskij e Bolyai riscoprirono in seguito con metodi propri. Alla fine si sentì costretto a respingere quest’ultima ipotesi come incompatibile con la natura della retta; poiché essa conduceva all’assunzione di diversi tipi di rette, che si incontravano all’infinito, ossia avevano in quel punto una perpendicolare comune.”].

L’autore riconosce il contributo di Saccheri ma ne segnala il pregiudizio: “Saccheri did much in anticipation and promotion of the labors that were subsequently to elucidate these matters, but exhibited withal toward the traditional views a certain bias.” – (fr:1147/p.126) [“Saccheri fece molto nell’anticipare e promuovere i lavori che successivamente chiarirono tali questioni, ma mostrò nondimeno una certa inclinazione verso le vedute tradizionali.”]. La sezione si chiude annunciando le indagini di Lambert. “Lambert’s treatise is allied in method to that of Saccheri, but it proceeds farther in its conclusions, and gives evidence of a less constrained vision.” – (fr:1149/p.126) [“Il trattato di Lambert è affine nel metodo a quello di Saccheri, ma procede più oltre nelle conclusioni e mostra una visione meno vincolata.”].

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27 La geometria come scienza fisica: dalla misura degli angoli alla natura delle parallele

Un esperimento mentale basato sulla costruzione di rettangoli dimostra come la somma degli angoli interni di un triangolo e le proprietà delle parallele euclidee possano derivare dall’esperienza, trasformando un postulato in una conseguenza logica.

Il testo espone un argomento di geometria che affonda le sue radici in una questione classica, richiamata dal riferimento iniziale a un lavoro di Gauss del 1856 sul cosiddetto assioma delle parallele, citato come “Das letzte Axiom der Geometrie” (fr:1171/p.128). L’obiettivo è mostrare come la proprietà della somma degli angoli di un triangolo, e di conseguenza la teoria delle parallele, possa essere fondata su basi empirico-costruttive anziché essere assunta come principio primo.

L’argomentazione procede da una premessa sperimentale: si parte da “un grande triangolo ABC avente la somma degli angoli pari a 2R” (fr:1173/p.129). Su questa base, si sviluppa una costruzione geometrica per passi. Si traccia la perpendicolare AD su BC, si completa la figura con i triangoli BAE congruente a ABD e CAF congruente a ACD, e si aggiunge la figura congruente CBH A’G. Il risultato di questa composizione è notevole: “Otteniamo così un singolo rettangolo, poiché gli angoli E, F, G, H sono angoli retti e quelli in A, C, A’, B sono angoli piatti (uguali a 2R), le linee di confine sono quindi linee rette e i lati opposti sono uguali” (fr:1175/p.129). La costruzione dimostra che dall’assunzione di un solo triangolo con somma degli angoli pari a 2R discende l’esistenza di un rettangolo.

La dimostrazione prosegue esplorando le proprietà di scomposizione di questo rettangolo. Un rettangolo “può essere diviso in due rettangoli congruenti da una perpendicolare eretta sul punto medio di uno dei suoi lati, e continuando questa procedura la linea di divisione può essere portata in qualsiasi punto desideriamo sul lato diviso” (fr:1176;1178), e lo stesso vale per i lati opposti. Da un rettangolo ABCD, è quindi possibile “ritagliarne uno più piccolo dMPQ avente lati in qualsiasi proporzione l’uno rispetto all’altro” (fr:1181/p.129). La diagonale di questo rettangolo più piccolo lo divide in due triangoli rettangoli congruenti, e ciascuno di essi, “indipendentemente dal rapporto tra i lati, ha la somma degli angoli pari a 2R” (fr:1182/p.129). A questo punto, poiché ogni triangolo obliquo può essere scomposto in triangoli rettangoli, che a loro volta possono essere ulteriormente suddivisi, si conclude che “2R risulta quindi per la somma degli angoli di ogni triangolo se vale esattamente per uno” (fr:1183/p.130).

Stabilita la validità universale della somma angolare, il testo ne trae le conseguenze per la teoria delle parallele. Basandosi su proposizioni che “riposano sull’osservazione” (fr:1184/p.130), si deduce che i lati opposti di un rettangolo (o di un parallelogramma) sono ovunque alla stessa distanza e non si intersecano mai. Essi possiedono quindi le proprietà delle parallele euclidee e “possono essere chiamati e definiti come tali” (fr:1185/p.130). Coerentemente, segue che due rette tagliate da una trasversale che formano angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti si incontreranno, mentre in direzione opposta si allontaneranno indefinitamente. La conclusione è che “la linea retta è quindi infinita” (fr:1187/p.130).

Il paragrafo si chiude con una riflessione epistemologica che ribalta la prospettiva tradizionale: “Ciò che era un’asserzione infondata, dichiarata come un assioma o un principio iniziale, può come inferenza avere un significato fondato” (fr:1188/p.130). La geometria, qui tratta da un punto di vista fisico, riconduce un postulato alla consequenzialità logica di un fatto osservativo, giustificando il titolo della sezione successiva, “Geometria e fisica a confronto” (fr:1189/p.130).

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28 La geometria delle linee e superfici di confine secondo Lobachevsky

Dall’emergere degli elementi limite nella geometria iperbolica alla loro capacità di unificare geometria sferica, euclidea e non euclidea attraverso funzioni iperboliche e passaggi al limite.

Il testo, tratto da un’opera che affronta spazio e geometria dal punto di vista della fisica, illustra la costruzione e le proprietà della geometria non euclidea di Lobachevsky mediante due oggetti fondamentali: la linea di confine e la superficie di confine. La linea di confine sorge quando un cerchio viene immaginato crescere indefinitamente: “If a circle be imagined to increase indefinitely, its radii will cease to intersect the moment the increasing arcs reach the point where the convergence of the radii corresponds to parallelism.” – (fr:1221/p.134) [“Se si immagina un cerchio che aumenti indefinitamente, i suoi raggi cesseranno di intersecarsi nel momento in cui gli archi crescenti raggiungono il punto in cui la convergenza dei raggi corrisponde al parallelismo.”]. Il cerchio si trasforma allora nella cosiddetta linea di confine (fr:1222/p.134); analogamente, una sfera che si espande all’infinito dà luogo alla superficie di confine (fr:1223/p.134). Queste due entità stanno fra loro come i cerchi massimi stanno alla superficie sferica: “The boundary-lines bear a relation to the boundary-surface analogous to that which a great circle bears to the surface of a sphere.” – (fr:1224/p.134) [“Le linee di confine stanno alla superficie di confine in un rapporto analogo a quello che un cerchio massimo ha con la superficie di una sfera.”].

Sebbene la geometria della sfera sia indipendente dall’assioma delle parallele (fr:1225/p.135), la superficie di confine gode di una proprietà notevole: i triangoli formati su di essa da linee di confine non presentano un eccesso della somma angolare maggiore di quello che si avrebbe su una sfera di raggio infinito, per cui valgono le regole euclidee per questi triangoli di confine (fr:1226/p.135). La costruzione della linea di confine, illustrata dalla Figura 25, procede determinando su un sistema di rette parallele complanari punti a, b, c, d tali che gli angoli formati con un punto di riferimento siano uguali; grazie alla simmetria dell’intera costruzione, ogni parallela può essere considerata l’«asse» della linea di confine, e ruotando la linea attorno a tale asse si genera la superficie di confine (fr:1229/p.135, 1230). Per questa ragione tutte le linee e tutte le superfici di confine sono congruenti (fr:1231/p.135). L’intersezione di un piano con la superficie di confine è un cerchio, e diventa una linea di confine soltanto quando il piano contiene l’asse (fr:1232/p.135).

Nella geometria euclidea non esistono né linea né superficie di confine; i loro analoghi sono la retta e il piano (fr:1233‑1234). L’assenza di una linea di confine porta con sé una conseguenza caratteristica: tre punti qualsiasi non allineati devono giacere su un cerchio (fr:1235/p.136). Fu proprio questa osservazione a permettere al giovane Bolyai di sostituire l’assioma euclideo con tale postulato (fr:1236/p.136).

Le relazioni metriche sulla superficie di confine introducono gli esponenziali e, tramite essi, le funzioni iperboliche. Se si considerano un sistema di parallele e uno di linee di confine che si suddividono in parti uguali (ancora Fig. 25), il rapporto tra due archi di confine compresi fra le stesse parallele dipende unicamente dalla loro distanza x (fr:1239/p.136), e si può esprimere mediante u/u′ = e^{x/k}, dove k è scelto in modo che e sia la base dei logaritmi naturali (fr:1240/p.136). “In this manner exponentials and by means of these hyperbolic functions are introduced.” – (fr:1241/p.136) [“In questo modo vengono introdotti gli esponenziali e, per loro tramite, le funzioni iperboliche.”]. Per l’angolo di parallelismo si ricava la relazione cot(½Π(p)) = e^{p/k}; se p=0 l’angolo vale π/2, se p=∞ vale 0 (fr:1242/p.136).

Per un triangolo rettilineo lobachevskiano con cateti a, b e ipotenusa c, e angoli A, B, C, quando C è retto si ha sinh(a/k) = sinh(c/k) sin A (fr:1244/p.136). La connessione con la geometria sferica diviene esplicita sfruttando le relazioni che legano le funzioni circolari a quelle iperboliche tramite l’unità immaginaria: sin(ix) = i sinh x, sinh(ix) = i sin x. In tal modo la formula lobachevskiana si trasforma nella formula sferica sin(a/k) = sin(c/k) sin A, dove k assume ora il ruolo di raggio della sfera (normalmente posto uguale a 1) (fr:1247/p.137). Se k è molto grande rispetto ad a e c, ci si può fermare al primo termine dello sviluppo in serie di sinh o sin, ottenendo in entrambi i casi a = c sin A, la formula della geometria piana euclidea, che appare così come caso limite per k → ∞ tanto della geometria lobachevskiana quanto di quella sferica (fr:1249/p.137). “It is likewise permissible to say that all three geometries coincide in the domain of the infinitely small.” – (fr:1250/p.137) [“È altrettanto lecito affermare che tutte e tre le geometrie coincidono nel dominio dell’infinitamente piccolo.”]. La trattazione si chiude con il riferimento bibliografico all’edizione di Engel dei due trattati geometrici di Lobachevsky (Lipsia, 1899; fr:1251/p.137), che storicamente ha contribuito a diffondere queste idee.

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