Cavalieri - Geometria indivisilibus continuorum | L | dsc
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[1.1-75-59|133]
1 Geometria Stereometrica e Nuovo Metodo: Confronto con Archimede e Keplero, Classificazione di Solidi di Rivoluzione
Trattato geometrico che propone un metodo innovativo per la misurazione di solidi, confrontandosi con predecessori e classificando figure generate per rivoluzione.
Alcuni frammenti iniziali (59-60) risultano corrotte e illeggibili.
Dal testo parziale 61 si evince un riferimento alla varietà di figure
geometriche e a solidi archimedei come cilindro, cono e sfera. Il
frammento 66 menziona l’uso di strumenti algebrici per le dimostrazioni:
“Algekrsttci ddhtbtre foltmi; mijmt^m numer$rmm
fddtces» (fmdmmts ineffMes.fmrdds. dcigmotds, nthtlominmsfi^ ml dredntes” -
(fr:66) [gli elementi algebrici saranno aggiunti: numeri, ineffabili,
segni e denominatori].
Successivamente, il testo confronta il proprio lavoro con quello di predecessori: il frammento 72 cita Euclide, Archimede e Keplero, specificando che quest’ultimo ha trattato solo due solidi, mentre l’autore ne propone più di venti: “fttis mtht futt eorum 4 certicri t4m?, mf^llor rationetnuefligdrecjUd ctrctter nurr;tro plufcjuam vigtnti ennurncrart poterunt” - (fr:78) [inoltre, è nostro compito dimostrare queste cose con una ragione più certa e migliore, e si possono enumerare più di venti figure].
Una parte centrale è la classificazione dei solidi generati per
rivoluzione:
- Attorno all’asse (solidi archimedei, 79): dalla circonferenza si
genera la sfera, dalla parabola il conoide parabolico (80),
dall’iperbole l’iperbolico e dall’ellisse il sferoide oblungo
(81).
- Attorno a un asse parallelo (83) o tangente (88): si generano anelli e
altre figure complesse (90-94).
Il metodo dimostrativo è discusso in 103, dove si afferma che non si
usa l’infinito continuo ma figure come cilindri e prismi:
“nniif4mus, nedmm.n. htc t. $ftendttur * cyhn^ifi
cont, vel I prtfm4 pjr^mtdis” - (fr:103) [non dimostriamo
con l’infinito continuo, ma qui si mostra con cilindri continui o
prismi].
Il testo include avvertimenti per i lettori: in 116 si esorta a non condannare il metodo se non lo si comprende, mentre 117 richiede la conoscenza di Euclide, Apollonio e Archimede: “Nemo autem hac aggredtatur,qui fx fal* $$mffiores Ubfos,^ vndeoimS tlementoriinoncaUnertt,(jUodfi •f ApollGndr Arcbtmedts Cptnhns Lr^cr partter verfatusjfue^” - (fr:117) [Nessuno si accosti a queste cose se non ha letto i libri elementari e studiato attentamente Apollonio e Archimede].
Una critica a Keplero è in 120, dove si rileva un errore nella misurazione delle distanze planetarie e nell’area dell’ellisse: “frafatt KepUft per has noftfas fftiulattones flani onteUtgei t ijuam factli tndimenfione flanteUtffis fotnerti tfft baUuctndritdnm omninm difianttarnm Planeta a Sole.fer elltpti^ cam Itneam circumntlnsi, menfuram putat aqtsipvUi re plam eUi* ffis mefHfa” - (fr:120) [Keplero, con queste nostre ipotesi, capirà facilmente che la misurazione delle distanze di tutti i pianeti dal Sole, fatta con l’ellisse circumposta, è errata, poiché egli pensava che la misura fosse uguale a quella del piano ellittico].
Infine, i frammenti 124-133 sono versi liminari che lodano l’autore: 125 afferma che egli ha tratto l’arte geometrica dalle ombre, mentre 129 paragona l’autore ad Archimede resuscitato: “Uinc Arcbimtdss fileant monumcma^reuixit Mccc Syracusiki premit aSafems” - (fr:129) [Che tacciano i monumenti di Archimede: è risorto il Siracusano, che [l’autore] ha superato con la sua opera].
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[2.1-114-196|309]
2 Elementi definitori e postulati del primo libro della Geometria di Cavalieri
Testo che presenta definizioni fondamentali per figure piane e solide, criteri di similitudine e il primo postulato del Liber Primus della Geometria di Cavalieri.
Il testo apre con il titolo del lavoro: “GEOMETRIÆ CAVALERI LIBER PRIMVS” (fr:196), specificando che in questo libro si trattano principalmente sezioni cilindriche e coniche, oltre a questioni simili, presentando elementi basilari e proposizioni lemmatiche per i libri successivi: “In quo præcipuè sectionibus Cylindricis, & Conicis, necnon similibus quibusdam, quasdam Elementaria præmittuntur ac aliquæ Propositiones lemmaticæ pro subsequentibus Libris ostenduntur” (fr:197).
Seguono le definizioni: per le figure piane, si definiscono i vertici (punti di contatto di rette parallele tangenti alla figura, con vertici opposti come coppie di punti di contatto di tangenti parallele; fr:199), le tangenti opposte (tangenti a una figura rispetto a rette equidistanti dalle stesse; fr:200) e le basi (linee di contatto quando il contatto di una tangente è in una linea; fr:201-202). Per i solidi, si estendono questi concetti: vertici come punti di contatto di piani paralleli tangenti (fr:203), tangenti opposte come piani tangenti equidistanti (fr:204) e basi come piani o linee di contatto (fr:206). Si definisce poi l’altezza (retta perpendicolare alle tangenti o piani tangenti opposti, terminata su di essi; fr:207) e la regula (retta per le figure piane, piano per i solidi, rispetto alla quale si assumono vertici o tangenti opposte; fr:208-209). Un scholion chiarisce che non importa se gli elementi assunti sono linee o piani, purché siano paralleli, seguendo l’uso di Archimede e altri autori (fr:210-212).
Vengono quindi definiti i corpi cilindrici e conici: il cylindricus è il solido compreso tra due figure piane equidistanti e la superficie generata dal moto di una retta sempre parallela a una retta fissa (regula lateris) lungo l’ambito della figura piana; la superficie generata è superficies cylindracea, le due figure piane sono le basi opposte e una qualsiasi retta sulla superficie che tocca entrambe le basi è il latus (fr:213-217). Il conicus è il solido compreso tra una figura piana (base) e la superficie generata dal moto di una retta che unisce un punto fisso (vertex) a ogni punto dell’ambito della base; la superficie è superficies conularis e la retta tra vertice e ambito della base è il latus (fr:220-224). Si specificano i cylindrici recti (lati perpendicolari alle basi) e scaleni (altrimenti), oltre ai frusta (porzioni tagliate da piani paralleli alle basi, per i conici verso la base; fr:230).
Si adottano termini da Apollonio e Archimede: axis, diameter, ordinatim applicata per le figure piane o solide; parabola, hyperbola, ellissi (intese anche come spazi compresi tra loro e le basi); le definizioni di Archimede per sferoidi e conoidi, a meno di diverse indicazioni (fr:231-234). Un solidum rotundum è generato dalla rotazione di una figura piana intorno al suo axis (definito da Apollonio come retta che biseca tutte le rette parallele in una figura, perpendicolarmente per l’axis, obliquamente per il diameter; fr:236-237).
I criteri di similitudine sono trattati ampiamente: - Cylindrici e conici simili: basi simili, lati o linee omologhe ugualmente inclinate alle basi, parallelogrammi simili (per i cilindrici) o triangoli simili (per i conici; fr:238); - Sphaeroides similes: generati dalla rotazione di ellissi simili (fr:240-241); - Portiones simili di sfere, sferoidi e conoidi: piani per gli axis perpendicolari alle basi generano figure simili, con basi come cerchi o ellissi simili e diametri omologhi (fr:242-244); - Una definizione generale di figure piane simili: tangenti opposte, rette incidenti che formano lo stesso angolo, rette parallele tagliate similirmente e parti omologhe in uguale rapporto (fr:248-252); - Similiter positae: figure simili nello stesso piano o in piani equidistanti, con rette incidenti sovrapposte o parallele e parti omologhe dallo stesso lato (fr:253-254); - Più figure simili in due piani: tutte le linee omologhe parallele a due rette, rette incidenti tagliate similirmente (fr:255-256).
Due appendici spiegano le definizioni di similitudine con esempi: la prima per le figure piane (ABCD e KLTP, con tangenti opposte e rette incidenti EG e HI; fr:257-271), la seconda per i solidi (RSQP e AHBM, con figure solide simili e piani omologhi; fr:286-297). Un scholion aggiunge che le definizioni generali coprono tutti i casi, mentre termini specifici (come “similes coni”) usano definizioni particolari (fr:298).
Altre definizioni includono: - La rapporto composto (rapporto della prima all’ultima grandezza, composto dai rapporti intermedi; fr:300); - Colligere: confrontare lo stesso antecedente con più conseguenti insieme (fr:301); - Parallelogramum circumscriptum (lati tangenti la figura) e inscriptum (figura in esso; fr:305-306); - Parallelepipedum circumscriptum (piani tangenti il solido) e inscriptum (solido in esso; fr:308-309).
Infine, il primo postulato: una qualsiasi retta può essere mossa indefinitamente, rimanendo sempre parallela a una retta fissa, sia nello stesso piano sia in più piani (fr:309).
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[3.1-20-350|369]
3 Elementi geometrici su rette, piani, figure (piane/solide) e teorema sul cilindro
Testo di geometria che definisce elementi “liberi” rispetto a figure, dimostra proprietà di tangenza e parallelismo, e stabilisce un teorema sui lati del cilindro.
Il trattato apre con la definizione di retta o piano liberi rispetto a una figura: per qualsiasi figura piana (con un testo corrotto nella parte iniziale) o solida, una retta (in piano) o un piano (in solido) che, prodotto indefinitamente, non tocca la figura si dice “liber” (libero), e giace o tutto fuori o parzialmente, in relazione a un vertice assunto della retta o del piano (fr:350). Se invece una parte dell’elemento cade dentro la figura, questo la taglia, nel caso di retta rispetto a retta o piano rispetto a piano (fr:351).
Viene proposto un esempio con la figura piana CARB: sia AB una retta, C un vertice di CARB rispetto a AB, e HM una retta parallela ad AB che, prodotta indefinitamente, non tocca CARB in C (fr:352). Si dimostra che HM non può toccare la figura in un altro punto E: se lo facesse, E sarebbe un vertice rispetto ad AB come C; allora la retta VN (parallela ad AB tracciata per C) passerebbe per E, tagliando HM — assurdo, perché VN e HM sono parallele ad AB e quindi tra loro; inoltre, se VN si estendesse su HM, quest’ultima passerebbe per C, toccandovi la figura contro l’ipotesi (fr:353). Dunque HM è o tutta fuori dalla figura (se non incontra il suo ambito) o la taglia (se passa per un punto non vertice rispetto ad AB); la stessa proprietà si applica ai solidi, sostituendo le rette con piani e CARB con una figura solida (fr:353).
Segue il Corollario I: da qualsiasi punto dell’ambito di una figura piana o solida, tracciando una retta o piano equidistante a quello per cui si assume un vertice (e il punto non è un vertice), l’elemento taglia la figura (poiché non può toccarla) e cade sempre tra due tangenti opposte rispetto alla retta del vertice, anche se prodotto indefinitamente (fr:354-355).
Il Corollario II stabilisce che se una retta o piano taglia due parallele o due piani equidistanti, taglia tutti gli intermedi equidistanti — a meno che non passi per i vertici; se invece passa per vertici opposti della figura, taglia anche tutti gli equidistanti alle tangenti opposte nella figura (fr:357-359). Infine, l’elemento è o dentro la figura o, se prodotto, esce fuori (fr:360).
Si passa poi al Teorema II (Proposizione IV): da qualsiasi punto della base cilindrica (su cui si effettua la rivoluzione del cilindro), una retta tracciata parallela alla “regola” (direzione) del lato cilindrico è un lato del cilindro in quella base (fr:361-364). Viene illustrato con l’esempio del cilindro CE (nello spazio) e della base AB: da un punto F della circonferenza di AB si tracci HM, parallela alla regola del lato cilindrico; HM è un lato del cilindro (fr:365-369).
“Ata quacumq; figura plana, vel {oM,^ in plana data reda Jioea, in folida ver6 datopIano;qu^libet]inea,velpIanum, quod indefinitc produdum non tangat figuramj di(aam planam,vel folidam, in vertice fijmpto refpeau dia^ lincaj, vcl plani, vel totum extra, vel ali LIBERI.” - (fr:350) [Inoltre, con qualsiasi figura piana (o [testo corrotto] in un piano data retta, in solido invece dato piano); qualsiasi retta o piano che, prodotto indefinitamente, non tocca la figura, si dice quella piana o solida, in un vertice assunto rispetto a quella retta o piano, o tutta fuori, o anche LIBERA.]
“2j aliquid cius inira figuram cadit, ncmpc figuram fecat, fi linea lincse^vcl planum plano a:quidillcc.” - (fr:351) [Se invece una sua parte cade dentro la figura, cioè taglia la figura, se retta rispetto a retta o piano rispetto a piano uguale.]
“Sit data figiira plana> CARB > iV: m o i ccta 5 AH, ht cr tex vnus rcldii ipruiiAB pundus>C> & tit rcda>HM> parallcla ipfi, AB,qua: ctiam indcfinitc producta non tangat figuram, ARBC, in, C> vcrtice.” - (fr:352) [Sia data la figura piana CARB, [testo corrotto] AH; sia poi un vertice rispetto alla stessa AB il punto C, e sia la retta HM parallela alla stessa AB, la quale anche prodotta indefinitamente non tocca la figura ARBC nel vertice C.]
“Dico^HM, vcl totam extra fignram cadcrc, vcl candcm kcarc,
neutrum cificiat li polTibilc cftjigitur, HMjtangct figuram^CARB,
&:non in>C>igitur in alio punfto, vt in,;E>igitur,E>e
rit vcrtcx figurx, CARB5 re fpcdu ipfius,
AB^cftctiamjCvertexeiurdcmrcfpc-flue- m. Dcf.i. fpectu ciufdcm, AB 5
ergo fiper>C,diicamiisrcctam>VN> parallclam ipfi,
AB>traniibit hxc per piindiimEquicft ctiani vcrtcx
refpc^tu ipfius> AB> igitur fccabit^ HM, quod ii A-B^
cftabfurdum>nam v trxq; fiint parallelx eidcm>AB>&: idc6
fj^ intcrfc funt parnUelje>vel> VN>cxtc-ndctur
firpcr>HM>&: fic>HM>tranfirct per>C>in ipfoq;
tnngfrct figuramcontra fuppofitum>quod ctiam cft 3bfurdum> non
igitur>HM>taaget figuram > CARB > fcd erit tota extra
figuram > li nullibi concurrat cumambitu
figiirx>vcl>tranficnsperaliqucm pun^m> eandcm fccabit> fi is
pun^us non fit ex illis > qui lunt verticcs ipfius figiirx ex hac
p:irtc>vel ex oppofito rc fpedhi ipfius> AB 5 quod fimiliter
in fi)hdis oftcndcmus pro re
“CO 34 CEOMETR 1 ^ COROLLARIVM I Hl ncpatet a (fUoUbet pHf>6lo amhitus dau fgura plana, vet fottda duSiam Uneam, vtl plamm (juidifians illi, re/pt^ £1 u cuiusfumttur vertex (ft fumptuspuncius nonfit vaus ex vet^ tieaUbMs dicJts) fecare figuram, cum, vteflenfum efi, tangese^t mnpol^it, ideo femptr iHter duooppofitatangemia, refptSlu r«.”* - (fr:354) [COROLLARIO I. Qui è manifesto che da qualsiasi punto dell’ambito della data figura piana o solida, tracciata una retta o un piano equidistante a quello rispetto a cui si assume il vertice (se il punto assunto non è uno dei suddetti vertici), taglia la figura, poiché, come si è mostrato, non può toccarla; quindi cade sempre tra due tangenti opposte rispetto alla retta…]
“guU.ptnes cfuamfumitur vertex, afsumptaltnia cadet, licetm^ definitepYoducatur.” - (fr:355) […per cui si assume il vertice, anche se prodotta indefinitamente.]
“.C 0 ROLLAR r V M II.” - (fr:357) [COROLLARIO II.]
“P T qmftrecl4 linea, vel pUttum,fecat duas paraUelas, vel JL^ duo aqutitHantia plana.”* - (fr:358) [Posto che una retta o un piano tagli due parallele o due piani equidistanti…]
“fecat etiam tmnia intermedia iUii a^uidtfianttai td(ofireclaUnea,veiplanu, tranfeatptr vertictm, 6-f>afim,/,titp£rs>ppofttes verticesdata^urgpUn, vel foldtfecabtt etiam omnes tn fgura oppofitis tangenithus aquidtRantes ttt.”* - (fr:359) […taglia anche tutti gli intermedi equidistanti, a meno che la retta o il piano non passi per i vertici; e se, per esempio, passa per vertici opposti della data figura piana o solida, taglia anche tutti gli equidistanti alle tangenti opposte nella figura.]
“mfiguram, •t/eleafdeto produclat exttit figuraf».” - (fr:360) [O nella figura, o, se prodotta, esce fuori dalla figura.]
“THEOREMA II.” - (fr:361) [TEOREMA II.]
“PROPOS.” - (fr:362) [PROPOSIZIONE.]
“IV.” - (fr:363) [IV.]
“a quocunKjue punfto ^afis cylindriei, p^f quam fitreuolucio vetfuscylindricum duaa,.^1”” “ ”^3 paralkla regula lateris cyi-Jindrici, hjEc eric latus cylindrici in tali bafi con «Kuri.” - (fr:364) [Da qualsiasi punto della base cilindrica (su cui si fa la rivoluzione del cilindro), tracciata una retta parallela alla regola del lato cilindrico, questa è un lato del cilindro in tale base.]
“Sitxjlinnicus, CE, inlpafi,.” - (fr:365) [Sia il cilindro CE, nello spazio.]
“AfB, iii c«ii« circiwtivft.ni.. ptQ vtaimqipundo, r.abKSc. diidta frt verliis GvUnikicuiA aiHa™ parailcla ipl.” - (fr:366) [AB, nella cui circonferenza, preso qualsiasi punto, come F, sia tracciata verso l’alto la retta parallela alla stessa…]
“HM, qua- fit rcgula lateris cyliiidri-Ci,,pico.” - (fr:367) [HM, che è la regola del lato cilindrico; dico…]
“cani cfle latiis huius cyluidnci : Intc]liai„r ^er punclym F, duaum lat».” - (fr:368) [che è un lato di questo cilindro: si intenda tracciato per il punto F un lato…]
“cyiindric.” - (fr:369) [cilindrico.]
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[4.1-38-396|433]
4 Teoremi geometrici sui cilindri: sezioni parallele, contatti con piani e parallelogrammi equianguli
Trattato di geometria che dimostra proprietà dei cilindri relative alle sezioni con piani paralleli, ai contatti con piani tangenti e alla suddivisione in parti cilindriche.
Il testo presenta tre teoremi sui cilindri, iniziando con Theorema V (Propositio VIII) (fr:396), che afferma che se un cilindro è tagliato da piani paralleli condotti per i suoi “latera ductilia” (lati generatori), i parallelogrammi formati sono equiangoli. Viene preso come esempio un cilindro BF, in cui i piani paralleli creano i parallelogrammi BH, AN e QF (fr:398): “Sit quilibet cylindricus BF planis fedus parallelis per latera ductilis, fit autem vnius in cylindrico AF concepta v figura parallelogrammum BH, alterius autem parallelogrammum AN, QF” [Sia un qualsiasi cilindro BF tagliato da piani paralleli per i lati generatori; sia poi in una parte del cilindro AF una figura parallelogramma BH, e in un’altra parte i parallelogrammi AN e QF]. La dimostrazione si basa sul fatto che le sezioni comuni di piani paralleli creano angoli uguali (es. angolo PAD = angolo CBO), rendendo i parallelogrammi equiangoli (fr:400). Segue un Corollarium (fr:401), anche se il testo è parzialmente illeggibile.
Successivamente, Theorema VI (Propositio IX) (fr:406-407) tratta i piani tangenti ai cilindri: se un piano equidistante a quello condotto per i lati generatori tocca il cilindro, il contatto avviene in una o più linee rette (i lati generatori del cilindro) o in piani che sono parallelogrammi equiangoli a quelli formati dai lati generatori (fr:408): “SI planum aequidistans plano per latera cylindrici ducto tangat cylindricum, contactus fiet in recta linea, vel rectis lineis, quae erunt latera eiusdem cylindrici: Vel si tangat in plano, aut planis, plana contactus erunt parallelogramma, vt quiangula per latera ducta” [Se un piano equidistante al piano condotto per i lati del cilindro tocca il cilindro, il contatto avverrà in una linea retta, o in linee rette, che saranno i lati dello stesso cilindro; oppure se tocca in un piano o in piani, i piani di contatto saranno parallelogrammi, equiangoli a quelli condotti per i lati]. La dimostrazione verifica che, se il piano tangente tocca il cilindro in un punto O, la linea generatrice EM passante per O giace nel piano tangente (fr:413-416); se il contatto è in un piano, questo è un parallelogramma equiangolo al parallelogramma AC del cilindro (fr:420). Anche qui segue un Corollarium (fr:423), testo parzialmente illeggibile.
Infine, la Propositio X (fr:424) tratta la suddivisione dei cilindri: se un cilindro è tagliato in qualsiasi modo per i suoi lati generatori, è diviso in parti cilindriche da sezioni piane parallele; se invece è tagliato da piani che coincidono con i suoi lati paralleli, il solido compreso dalle figure interne al cilindro e dalla superficie cilindrica è a sua volta un cilindro (fr:424): “SI cylindricus quomodocumque secetur per latera, dividitur in cylindricos a sectionibus planis parallelis; si autem secetur planis omnibus eiusdem lateribus coincidentibus inter se parallelis, solidum comprehensum conceptis in cylindrico figuris, & inclusa superficie cylindracea, erit cylindricus” [Se un cilindro è tagliato in qualsiasi modo per i lati, è diviso in cilindri da sezioni piane parallele; se invece è tagliato da piani che tutti coincidono con i suoi lati paralleli tra loro, il solido compreso dalle figure concepite nel cilindro e dalla superficie cilindrica inclusa sarà un cilindro]. La prima parte è confermata dal fatto che piani paralleli dividono il cilindro AE in parti cilindriche AM e HE (fr:432).
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[5.1-61-516|576]
5 Teoremi sulle sezioni coniche in un trattato geometrico
Sintesi di dimostrazioni e risultati sulla definizione del vertice di un cono e sulle sezioni prodotte da piani per il vertice, tangenti alla base o paralleli alla base.
Il testo inizia con una dimostrazione sul vertice di un cono: si considera il cono ABD, con base BD, e si prova che il punto A è il suo vertice rispetto a BD (fr:516). Per farlo, si ipotizza un piano per A parallelo a BD: se questo piano tagliasse il cono in più punti, la linea AB (lato del cono) si troverebbe nel piano, portando a un assurdo; quindi il piano tocca il cono solo in A, confermando che A è il vertice (fr:517-518). Segue uno scholium che chiarisce il concetto di vertice: “Matrem dietmus verthtm akmtts. Coniei, inteUigemHs V-# semper ipfum reffeafhafis Afsumptum, tdefl pu,ciuwu,,. Cut $9 reuoluttoat inmttiur Utus cyltndrtet, mft dtud expltcetHr”* - (fr:519-522) [Chiamiamo vertice il punto fisso; del cono intendiamo sempre questo come punto fisso della retta generatrice; se il moto è come quello del cilindro, si spiega altrove].
Il Teorema XIII (Proposizione XVI) afferma che se un cono è tagliato da un piano per il vertice, la sezione è un triangolo o più triangoli: “I conicus fecetur vtcumqj per verricem duao plano, concepta in ipfo figura, ve] figu lac, erit trianguJus, vel trianguli” - (fr:526) [Se un cono è tagliato da un piano condotto comunque per il vertice, la figura concepita in esso sarà un triangolo o dei triangoli]. La dimostrazione usa il cono ABF: il piano per il vertice produce la figura ABQAEF, e la sezione comune con la base è la retta BF; si dimostra che AB, AC, AE, AF sono rette, quindi la figura è un triangolo (fr:527-533). Il corollario aggiunge che anche parti fuori dal cono (come ACE) sono triangoli, e se la sezione è integra, ABF è un triangolo (fr:534-536).
Il Teorema XIV (Proposizione XVII) tratta la divisione del cono: “SI conicus fecctur vtcumquc planis per verticem,diuiditur ab eifdem in conicos: Et fi fccetur vtcumq;planis coincidcntibus omnibus ciufdem latcribus, solida ab ijfdem abfcifTaL-i verfus verticem crunt pariter conici> & eoruBV-t bafes ipfa? figura? abfcindeotes” - (fr:537-540) [Se un cono è tagliato da piani comunque per il vertice, è diviso da essi in coni; se è tagliato da piani coincidenti con tutti i suoi lati, i solidi tagliati verso il vertice sono coni, e le loro basi sono le figure che li tagliano]. Con il cono AMV, un piano per il vertice produce il triangolo ACD, dividendo il cono in ACVD e ACMD (entrambi coni con vertice A, basi CVD e CMD; fr:541-545). Un piano coincidente con i lati produce DNEO, quindi il solido ANO è un cono con base DNEO (fr:546-551).
Il Teorema XV (Proposizione XVIII) riguarda il piano per vertice e tangente alla base: “4f Sl per vcTticcm conici, &i rcdam tangenteni cius bafim cxccndatut planuni, hoc tan^cc ipfum conicum in vna, vcl pluribiis xcCt^s lineis, qucE crunt latera conici > vcl in plano tranfeuate pcr ciufdcm larcra, quod eric triangulum, fiuc^n plunbus triangulis” - (fr:553-556) [E se un piano è esteso per il vertice del cono e una tangente alla base, tocca il cono in una o più rette (i lati del cono) o in un piano per quei lati (un triangolo o più)]. Con vertice A, base BCE e tangente DF (tangente in B), si disegna AB (lato del cono): il piano per AB e DF tocca il cono lungo AB, e lo stesso vale per altri lati (fr:557-561). Il corollario deduce che se un cono è tagliato da un piano parallelo alla base, la sezione di questo piano con il piano vertice-tangente tocca la figura prodotta dal piano parallelo (fr:562-565).
Infine, il Teorema XVI (Proposizione XIX) afferma che un piano parallelo alla base produce una figura simile e similmente posta alla base: “I conicus plano fecetur bafiarquidiftantft-/, conccpta in eo figura erit fimihs bafi, & ei* dcm fimiliter pofita^” - (fr:565-569) [Se un cono è tagliato da un piano parallelo alla base, la figura in esso è simile alla base e similmente posta]. La dimostrazione usa il cono con vertice A, base TDF e piano parallelo che produce VBO: si disegnano tangenti TH, SP alla base, piani per il vertice e queste tangenti (che toccano il cono e tagliano il piano parallelo in VK, XN, tangenti a VBO); tramite triangoli simili e rette parallele, si dimostra la somiglianza tra VBO e TDF (fr:570-576).
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[6.1-22-682|703]
6 Elementi geometrici su figure simili, congruenza, tangenti e rette omologhe
Trattato sulle proprietà di figure piane simili, congruenza per sovrapposizione, tangenti opposte e rette omologhe, con esempi e dimostrazioni basate su proporzioni e triangoli equiangoli.
Il testo, affetto da errori di trascrizione, ruota attorno a concetti geometrici fondamentali. Inizialmente si discute di triangoli equiangoli e proporzioni tra lati: “licet triangula, FDL, OKG, erunt aequiangula” – (fr:685) [sebbene i triangoli FDL e OKG siano equiangoli]. Si introduce quindi il caso di rette parallele che dividono altre rette in modo simile: “Idem ostendemus de quibuslibet duabus ipsis, EF, VG, parallelis, quae dividant, BF, NK, similiter ad eandem partem” – (fr:688) [Mostreremo lo stesso per qualsiasi due di queste rette, EF e VG, parallele, che dividano BF e NK in modo simile verso la stessa parte].
Segue un corollario che collega figure simili e tangenti opposte: “COROLLARIUM. Iam notum est ex hoc consequentia quod ad finem similium figurarum, & a sandem oppositarum tangentium” – (fr:689) [Corollario. Ora è noto da questa conseguenza che per il limite delle figure simili, e dalle stesse tangenti opposte – si noti il probabile errore “a sandem” invece di “ab eandem”]. Si parla poi di regulae homologae (rette omologhe), generate e incidenti, che con le loro omologhe formano angoli uguali: “quae sunt regulae homologae genitae, tum incidentes similiter divisae inter eas earundem figurarum, praedictas, si opus sit, tum quaecunque aliae, quae cum homologis angulos centimetros aequales, ut exempli gratia ipsae KR, BF” – (fr:690) [le quali sono rette omologhe generate, sia incidenti divise in modo simile tra quelle delle stesse figure, le predette, se necessario, sia qualsiasi altre, che con le omologhe facciano angoli (probabilmente “centrali”) uguali, come per esempio le rette KR e BF].
Un punto chiave è la chiarimento sulle rette omologhe: “Patet igitur demum similia figurarum homologas nedum esse inter eas, & oppositas earundem tangentium” – (fr:694) [È chiaro quindi infine che le rette omologhe delle figure simili non sono solo tra di esse, e opposte alle loro tangenti].
Il nucleo è il Teorema XXII, Proposizione XXV, sulla congruenza di figure simili per sovrapposizione: “THEOREMA XXII. PROPOS. XXV. SI quaecunque similes figurae planae & rectis lineis describantur, quae sint earundem homologae, & inter se, quales si superponantur autem ad invicem ipsae figurae, ita ut easdem describentes rectae lineae sibi congruant, figurae sibi sint” – (fr:695-697) [TEOREMA XXII. PROPOSIZIONE XXV. Se qualsiasi figure piane simili e descritte con rette siano le loro omologhe, e tra di loro, quali se si sovrappongano reciprocamente le figure stesse, in modo che le rette che le descrivono si congruiscano tra di loro, le figure siano tra di loro – frase interrotta da errore di trascrizione].
Viene fornito un esempio con le figure ABXC e EFPG: “Sint similes figurae planae, ABXC, EFPG, & BC, FG, quae ita invicem superponantur, ut BC, FG, sibi congruant, & ipsae sint similiter positae. Dico autem ipsas figuras ad invicem fore congruentes” – (fr:699-702) [Siano figure piane simili ABXC e EFPG, e BC e FG, che si sovrappongano reciprocamente in modo che BC e FG si congruiscano tra di loro, e siano poste in modo simile. Dico inoltre che le figure stesse saranno congruenti tra di loro].
Infine, si dettaglia la sovrapposizione con tangenti opposte e rette incidenti: “Sint oppositae tangentes ductae pro figura ABXC, ipsae ADAO, regulae BC; pro figura EFPG, regulae FG, ipsae FM, PN, quarum figurarum, ac oppositarum tangentium sunt quoque incidentes ipsae DQ, MM, productae vero BC, FG, verticibus DQ, MN, illis incident in punctis O, R, & superponatur figura ABXC figurae EFPG, ita ut BC congruat ipsi FG, quia sint similiter positae: erunt ergo ipsae incidentes DQ, MN, ad eandem partem figurarum, cum superpositae sint, aut invicem parallelae, vel congruentes, sed in nostro casu erunt congruentes, cum sit ut BC ad FG, ita sit DQ ad MN, ipsae vero BC, FG sunt aequales, etiam DQ, MN, aequales erunt, ut etiam CO, GR, quae sunt inter se ut DQ” – (fr:703) [Siano tangenti opposte tracciate per la figura ABXC, le ADAO, regole BC; per la figura EFPG, regole FG, le FM, PN, delle quali figure, e delle tangenti opposte, sono anche incidenti le DQ, MM, mentre BC e FG prodotte, con vertici DQ, MN, incidono su quelle nei punti O e R; e si sovrapponga la figura ABXC alla figura EFPG, in modo che BC si congruisca a FG, perché sono poste in modo simile: quindi le incidenti DQ e MN, verso la stessa parte delle figure, poiché sono sovrapposte, saranno o parallele tra di loro o congruenti, ma nel nostro caso saranno congruenti, poiché come BC sta a FG, così DQ sta a MN; e BC e FG sono uguali, quindi anche DQ e MN saranno uguali, come anche CO e GR, che stanno tra di loro come DQ].
[7]
[7.1-40-793|832]
7 Analisi di lemmi geometriche su figure piane e solide simili, inclinazioni di piani e piramidi
Il testo raccoglie lemmi geometrici che dimostrano proprietà di similitudine per figure rettilinee, solidi e piramidi, oltre a proporzionalità di lati e uguaglianza di angoli di inclinazione di piani.
Inizialmente, si affronta la similitudine di triangoli e l’inclinazione di piani: se triangoli come GPr e YXZ sono simili, con angoli GFP e VZX uguali, anche i triangoli PEF e XrZ risultano simili (fr:795) [“triangula,PEF, X rZ, paritcr fimilia erunt”]. Successivamente, si dimostra la proporzionalità dei lati: AP sta a PG come KX a XV, PG a PF come XY a XZ, e PF a PE come XZ a XT; per ex aequali, AP sta a PE come KX a XT, e gli angoli APE e KXT (inclinazioni dei piani AV e KA ai piani VH e A&) sono uguali (fr:796, 797) [“Erit crgo, AP, ad, PG, vt, KX, %exn ad, XVs PG, ad, PF, vt,XY’,ad,XZ3 PF.ad, PE, t, XZ, ^’’’” ad, XT^ crgo cx xquali, AP, ad, PE, crit vt, KX, ad,X T, &: funt anguli, AEP, KTX> rccb > crgo triangula, AI^H, KXT, “;”& anguli, APE > KXT, aequj lcs, qui funt inclinationes planorum> AV, KA> ad planajVH, A&^.ad candcni paricro, quod oftcndcndum crat.”].
Segue il Lemma 74 (Geometriae Lemma II) (fr:798) [“LEM 74 GEOMETKIi* LEMMAII.”], dedicato a figure rettilinee simili: se AV e KA sono figure simili, con HV incontranti in lettere omologhe, GV e YA omologhi a AG e KY, e le figure inclinate dalla stessa parte, allora gli angoli AGH e KYT sono uguali e i lati intorno a essi proporzionali (stesso per DVN e QAR) (fr:800) [“Dico angulos,AGH,K scqualcs cffe, & circa cofdem latcra proportioiialia, quod etiam dc aiiguHs, DVN,QA p^, pariter veru eife olledemus.”]. Questo si basa sulla Prop. 25 del trattato: i piani paralleli opposti BD, HV e LQ, A (che toccano AV e KA) sono tagliati dai piani delle figure simili; gli angoli HGV e YA (contenuti da sezioni comuni dei piani e da quelli paralleli HV e A) sono uguali, così come AGV e KYA—quindi anche AGH e KY& sono uguali (fr:801) [“Hoc autem ex Prop.2 huius facilecomprchcndcmus, funt .n, (ijfdem vtibi conftrudis)duo oppofita plana parallcla tangcntia figuras, AV, KA, ipfa,BD,HV; LQ,& A,quibus incidunt plana figur-um fimilium, AV, KA, xque ad eanderh parfcmincliaata, qus^fint nobis tanquam prima, ijfdem autcm incidunt ctiam fecfidi phtna prima duudcntia, ndmpe plana, AGH, KYT, anguli autem, HGV, &;YA, funt a^quales, qui nempe coiitincytur comiinmibus fedionibus primorum, & fccundorum planorfi citm planis, H', &:A, qus fiint duo parallclorum planorum, fimriitcr anguli, AGV,‘KYA, (contcnti communibus fedionibus primo rum, & fccundorum planoru, & communibus fcclior.ibus primorum planonim, & ipforum, H', &:A,) funt .xoualcs, itint’.n.fimilium figurarufn, AV,KA,^rao etiam aneuli, AGa KY&, xqualcs crunt, vt in Pron.”]. Inoltre, essendo AV e KA simili, AG e KY sono lati omologhi: AG:GV = KY:YA e VG:GH = YA:Y&, per cui ex aequali AG:GH = KY:Y& (fr:804) [“Cum autcm figura?, AV, KA, fii.f fimiles, AG” fCY »‘>-;;^, latcra homoioga, erit, AG, ad, GV, vt, KY, ad, YA, oftcn/ demus auccm eadem ratione, VG, ad, GH^ cflfe i-t aY ad Y&, ergo ex ipquali, AG^ ad, GH, crii’ vt, KY, ad, Y&r”].
Il Lemma III (fr:806) [“LIBERi: LEMMAIII.”] tratta la divisione di figure simili: se in figure rettilinee simili (Euclide) si tracciano rette che tagliano lo stesso lato omologo in modo simile e dalla stessa parte, queste dividono le figure in parti simili, con le rette taglienti come lati omologhi (fr:807) [“SI iafimilibus rc<i1iUncis fignriSjiuxtaEucliJcm^dLicantur rcdxlincxqiKvcum^ncjcannidcm latcrn honiologa limilucr ad candcm partcm diuidcntcs 5 ipfx diuidcnt cafdcm in limilcs hguras, fimilcs autcm crunt, qua: nd candcm parrcm diuidcntium Uncnrum colhtucnturj &: ijf(x lccantcs caiundcm crunt homologa latcra.”]. Ad esempio, con figure ACED e GMNH, rette BF e IO tagliano AC, GM e DE, HN similmente: si tracciano BD, BE, IH, IN (per dividere in triangoli) (fr:809, 810) [“Sint fimilcs rcdihnca? figurx iuxta Euchdcm, ACED, GMNH, quibus incidant rcdx, BF, lOy fccantcs latcra hu • mologa, ACGMi nccnon, DE^HN, fi mihtCi adcandcm partcmjvr, AQGM, in pundis, B> I> DE^ H m punci», F> Dico figuras ab cildcm conftitutas ad candcm partcm > ncmpc, BADP, IGHO j BCrlF, IMSO, intcr fc fimilcs clVc.”; “Ducaiuur a pundis, B, U ad augu los oppofitos tccLr lincac, BD, BEj IH, IN,vt fi figurx^ fint quadnlatcra*, vcl multilatcrx^intrianguladilVcparcntur.”]. Poiché AQ e GM sono divisi similmente, BA:AD = IG:GH e angoli BAD = IGH—triangoli BAD e IGH sono simili, con ADB = GHI; essendo ADF = GHO, restano BDI = IHO. Inoltre, BD:DA = IH:HG e AD:DI = GH:HO, per cui ex aequali BD:DI = IH:HO—triangoli BDI e IHO sono simili. Ne consegue che ABFD e GIOH sono equiangole e con lati proporzionali, quindi simili; lo stesso per BCEF e IMNO, con BF e IO come lati omologhi (fr:811, 812) [“Quoniam crgQ, AQ GM, fimiUtcr duuduntiu- m, B, U cnt, ^A, ad, IG, vc, AC, ad, GM, idcft, vt, AD> ad,GH,crgr> pcrmutando,BA> ad, AD, cn^ vt, IG, ad, GH, Sc anguh, BAl), IGH, funt xqualcs, crgo, BAD> IGH, crunt triangula fimiUa, crgo anguli, ADB->GHI,a^:p!alcs cruntjfunt autcm arqualcs ctLMii, ADF>GH(), crg6 rchqui, BDl, IHO^crui.t aqualcs^cft vcro, BD, ad;DA, vt, IH, nd, HG, &^ Al), ad, Dl, x t, GH> ad, HO, crgo cx aqunh, BD,ad, cll v t, IH, ad,HO,cr^otriangula,BDl-,lHO,parucr fimiha crunt anguli, DPB, HOI, mtcr fc, nccuon, DBI, HI iiucr fc aqualcs, ccrgo anguli, ABF,GlO, ADr, GHO,crunt ctiam arqiialc^, ^&L figurx, A3FD, GIOH, xquiaugula:,&: cum, BA, ad,DF, FB, binx fiut in cadcm rationc cum, IG, GH, HO, Ol > pa tcc’, quod ccum circa «qualcs aiigidos func laccra prppor 7^ GEOMETK1 JE tiaiulij>ergo ipfe figiinT,BADF,IGHO,fimiles erut.”; “Eo* f; deai autem muda oftendeinus fimiles elfc 5 BCEF^ IMNOy pa tec autem ipfas^ BF> 10, effe earum la tera bomolog.u^’> ^juod erat demonftraadum * LEMMAIV.”].
Il Lemma IV (fr:813) [“LEMMAIV.”] si occupa di solidi simili: se in solidi simili (def. Elem. XI) si prendono quattro punti in ciascuno (non stesso piano, angoli solidi uguali), le rette congiunte formano piramidi triangolari simili (fr:813-817) [“Sr in fimilibusfolidis planis contentis iuxta de£ ^r. Vti dec. Elem. quatuor qu^rlibctpunda fumantur in vnoquoq^eorundcm ( non tamen in eodcm plano conftiruta> ad qui^angulilblidiaequalesterminantur, illaq^iungatur xedis Lncrs, ficntfimilcspyramides triangulatae compre•benfa! sub triangulis, ijfde redis lincis iunaeniib.cotentis.”]. Ad esempio, solidi AHCD e FOGL con punti A,H,C,D e F,O,G,L: le piramidi AHCD e FOGL sono simili (fr:818-822) [“Siiit fimilia fo! ida^. AHCD, FOGL, iiixca dcf. Vndcc, ^lem. & in ijs accepta q^uatuor quaxiimq; punda, ncmpc, Aj H, C, Dj in vno, &, F> 0> G^L, ia aliofolido, qu3e non fiiit in eodem plano, fedad angulos arquales conftitiita, iOganturqj re<ai& lineis, AH, AC,CD,CH,HDjFO,FG, FL,OG,GL,LO,fiue hxc lunge.uia fint ipforum fimiliumfolidorum latera, Dico ‘pyramides, AHCD, FOGL, •iimiles elfe, Vel crgo plana’ h.is pyramides continenti;i j funt in ainbiEif foiidorum ex. g. CHD, GOL, & tunc erunt fimilra ex ipfa dcfinitwne, vel non fijnt,n ambitu, tm^c a utem probai,dum eft ni aShS^RC tnanguIa:ABC,FIG, Il»«anr ;?fr ’Tf’’’ ”^ dia,sfimili»«-uiu,er5r>5cb.fcs,ACH,FGO,fta,xlescrunt,^ cuni L 1 BERr.”]. Se i piani CHD e GOL sono nell’ambito, sono simili per definizione; altrimenti, si dimostra ABC ~ FIG, poi ACH ~ FGO: AC:CB = FG:GI e BC:CH = IG:GO, per cui ex aequali AC:CH = FG:GO; lo stesso CH:HA = GO:OF, quindi CA:AH = FG:FO—triangoli ACH ~ FGO (fr:823-824) [“77 cinn llc, ad, CB, vt, TG, nd^Gl s BC, ncl, CH, vt,IG, ad> GO, ci ic cx xqnali > AC> ad> CH > vt> l-G, ad, GOj cadcm racionc olkMdciuiis>CH, ad^ HA^cllb vtjGO, ad^OF, cx c[uohabcbitiir ck xv]uali> CA> ad^ AH, clTc vt jGl’, ad, FO> cr^o Maugula> ACH>PGO>ruinlia cruut.”]. Allo stesso modo, AHL ~ FLO e ACD ~ FGL—le piramidi sono simili; anche se non tutti i triangoli sono nell’ambito, si arriva a piramidi con tre triangoli verticali nell’ambito, simili (fr:825-828) [“tudcni— • modo {Kob.ibiuids tria igala> AHL)> VLO> ACn> rGLjcifc limiUa > cx v|uo coi.’nv.is iphs pyiamidcs linulcs cf fc. CVu^d li c. la triangiila ad, B, 1, tcrmiiuntia.oninia nou fint in imbitu, ollcidcmus tamcn illji cilc limilia>crunt.n. Tclbafcspyramidum > quarum tria trianguU vciticalia cruiu iti ambitu, vcl laltcm jli.irum pyranudum.quarunn-^ triangula fimilia ciVc prubabuntur, quia crunc b.Hcs pyramiriaogula vcriicalu in ambitu habcncium,aJ Ikvc.n. tandcm dcucnirc nccciTc crit : Igitur ollcnfuui cll, quod proponcbatur.”].
Segue un Corollario (fr:829) [“COROLLAR I V
viro in pjrMV)t -^dustridwgtiUtis, B4NC.”]: se piramidi simili
hanno basi ACH e FGO, queste sono necessariamente
simili (fr:830) [“1 FGO, txi^ eBtihni ftmMtds tUdriim
trtMngt.”]. Da questo si deduce che piramidi con
basi triangolari o tre triangoli verticali simili sono esse stesse
simili (fr:831) [“t<ii^9ex h§ce
fitmdtidbms
fyfMtmithms trtamgmUttf trtdViris cmIis trtM^tf mU trtbms vertnahkms
trtMnguhsJtmtltMfini, HtMm^ hfesfimUis e/sc^ m LEMM A V. s
I”].
Infine, si inizia il Lemma V (fr:831-832), su triangoli simili con uguali inclinazioni, lati omologhi come basi e rette dai vertici che formano angoli uguali—ma il testo è interrotto, con riferimento ai “Primi Elementi” (fr:831, 832) [“(Juo (imilia tri.ingiil.i fucrnu lubicct ’ is a-qucaJ ^ C.T ’.3rtcmnclinat3,ita vtconiiiu.. .s ciimillis ffction ; -arum btcra h..
[8]
[8.1-95-885|979]
8 Trattato geometrico su figure solide simili: teoremi, definizioni e confronti con Euclide e Commandino
Esposizione di lemmi e teoremi su piramidi, solidi, coni e cilindri simili, con collegamenti a definizioni di Euclide e Commandino.
Il testo inizia con un lemma sulle piramidi simili HLAD e STMK, dove si stabilisce che i lati residui IG e QR sono proporzionali ai lati omologhi HI e SQ, alle altezze FC e PO e ad altri segmenti omologhi: “vcl vt altitudo, FC, ad, PO, vcl vt, GL,ad,RT, vcl vt, Gn, ad, RZ” - (fr:885) [o come l’altezza FC sta a PO, o come GL sta a RT, o come Gn sta a RZ]; il corollario aggiunge che questo vale anche per i residui se le figure sono prodotte fino ai piani tangenti opposti: “COROLLAR I V NL EX hoc didtem Ltmmduinfuper hahaur ncdum Uterd henH» loiAfimiUum fe(^um, fed ctiMm, fi tHd ffoducdntur vfq^ ddofpofitd tAKgentta pUnd, corfttn rcfidua, vtl tpfd tot4, cjsc v$ coTUfft dUids aliitudt tcj” - (fr:888) [Corollario. Inoltre da questo lemma apprendiamo non solo i lati omologhi delle piramidi simili, ma anche che, se queste sono prodotte fino ai piani tangenti opposti, i residui saranno come i totali, e come le altezze].
Segue il Teorema XXVI (Proposizione XXIX), che afferma: se in due solidi simili (secondo la definizione euclidea dell’Undicesimo libro) si prendono figure piane simili come basi e si conducono piani paralleli che le sezionano, dividendo similmente le altezze, le figure prodotte nei solidi sono simili: “SI in duobus fimilibus folidis iuxta def, p. Vndec.Elem.accipiantur,ac in eorumdem ambitu, duae quzecumque fimiles figursE planac tanquam bafes, quibusparaUela ducantur quscuraqj plana eadem fecantia,necndn eorum altitudines, refpe^au didarum bafium iafTumptas, fimiliter ad eandem partem diuidentia. Produ ^laeijfdem infolidis figura: fimiles erunt iuxta-r definitionem i o. huiiis” - (fr:892-893) [Se in due solidi simili secondo la definizione dell’Undicesimo libro degli Elementi si prendono, e nel loro contorno, due qualsiasi figure piane simili come basi, alle quali si conducono piani paralleli che le stesse sezionano, e anche le loro altezze, prese rispetto alle dette basi, dividono similmente verso la stessa parte. Le figure prodotte in questi solidi saranno simili secondo la definizione 10 di questo libro]. La dimostrazione si estende anche a casi con angoli solidi contenuti da più di tre angoli piani: “Similiter fi anguli folidi, O, f, pluribus, quam tiibus anguhs planis contineantur, currit tamen denionftratiq” - (fr:927) [Allo stesso modo, se gli angoli solidi O, f sono contenuti da più di tre angoli piani, tuttavia la dimostrazione procede], e si nota che seguire ogni caso singolarmente sarebbe troppo lungo: “hxc omnia autcn? fingiUatim profequi nimis longum, ac fchematibus rem apenrc,res tricis pkna cffet” - (fr:932) [ma proseguire con tutte queste cose una per una sarebbe troppo lungo, e con le figure la cosa sarebbe piena di difficoltà].
La Proposizione XXX collega la definizione euclidea di solidi simili a quella generale dell’autore: “fimilium folidarum figurarum, fcquitur & mea definitio genera lis fimilium folidorum” - (fr:935) [delle figure solide simili, segue anche la mia definizione generale dei solidi simili]; si dimostra che solidi simili secondo Euclide sono tali anche secondo la definizione dell’autore: “Dico cadcm clfc ctiara fimilia uixta dcf. 1 huius,quam dcfimilibus foli dis gcncralitcr attuli” - (fr:938-939) [Dico che questi stessi sono anche simili secondo la definizione 11 di questo libro, che ho dato in generale per i solidi simili].
Viene poi introdotto un lemma che dimostra che tutti i semicircoli sono simili secondo la definizione dell’autore: “LEMM A, rrcull omnes,necno,i remicirculi funtfimiles iuxfa V> meamdefinitioncm fimilium pbnarum figurrrum” - (fr:957) [Lemma. Inoltre tutti i semicircoli sono simili secondo la mia definizione delle figure piane simili]; la dimostrazione usa proporzioni tra diametri, quadrati e segmenti perpendicolari: “igitur qiudratum> BE> crit xqiialc rc^tangulo, AEC> ficuti quadratum> NM>a:qualcrcdjngulo>OMQ5rcftangulum autcmAECad quadratum > EC > cft vt > AE > ad > EQ idcft vt y OM > ad, MQ” - (fr:960) [pertanto il quadrato di BE sarà uguale al rettangolo AEC, come il quadrato di NM è uguale al rettangolo OMQ; ma il rettangolo AEC sta al quadrato di EC come AE sta a EC, cioè come OM sta a MQ].
Infine, il Teorema XXVIII (Proposizione XXXI) tratta di coni e cilindri simili: riporta la definizione euclidea (valida solo per retti) dove assi e diametri delle basi sono proporzionali: “Slmilcs coni,& cylindri fiint,quorum & a xes,&: bafiiim diametn eandem inter fc proportionem habent” - (fr:967) [Simili sono i coni e i cilindri, di cui gli assi e i diametri delle basi hanno la stessa proporzione tra loro]; quindi la definizione di Commandino, che include anche retti e scaleni, considerando sezioni perpendicolari alle basi: “Slmiles coni, & cylindri, fiue reai, fiue fcaleni funt, quando per axes dudis pbnis ad rcclos angulos bafibus, communes feaiones corum,& bafium cum axibus xqualcs angulos continentes, eandcm intcr fe, quam axes proportioncmhabent” - (fr:971) [Simili sono i coni e i cilindri, sia retti sia scaleni, quando per gli assi, condotti due piani perpendicolari alle basi, le loro sezioni comuni e quelle delle basi con gli assi, contenendo angoli uguali, hanno tra loro la stessa proporzione degli assi]; si dimostra che entrambe corrispondono alla definizione dell’autore.
[9]
[9.1-24-982|1005]
9 Teorema sulla concordanza della definizione di solidi conici e cilindrici simili con la definizione generale di solidi simili
Verifica che la definizione di conici e cilindrici simili proposta si allinea con la definizione euclidea generale di solidi simili, analizzando la similitudine di figure generate da piani taglienti.
Il testo apre enunciando il suo scopo principale: “DEfinitio mea fimiliutn conicorum, & cylindricorum concordat cum dcfinitione generali fimilium folidorum” - (fr:985) [La mia definizione di conici e cilindrici simili concorda con la definizione generale di solidi simili]. Viene quindi proposto un setup geometrico: si considerino cilindri arbitrari AH, KY o coni NLH, VXY su le stesse basi e altezze, “fimilcs iuxta definit. huius” - (fr:986-987) [simili secondo la definizione 7 di questo libro].
L’argomentazione prosegue con la costruzione di piani opposti e rette omologhe (LD, HG, Xf, Yf): se da queste e dalle rette dei cilindri o coni si estendono piani, “abijs producentur ia cylindricis fimilia parallelogramma” - (fr:989-990) [da essi si producono nei cilindri parallelogrammi simili] e “in conicis fimilia triangula” - (fr:990) [nei coni triangoli simili]. Si fa riferimento esplicito alla definizione di Euclide per la similitudine: “Sc(, cilc (imilia, feibi ucllige iuxta dcflniti > icm Eucliclis” - (fr:993) [Si intendono simili tra loro secondo la definizione di Euclide].
Successivamente, si divide l’altitudine LH e XY in modo simile per generare figure IM, RT (nei cilindri) o OM, ST (nei coni), con piani tangenti che producono figure simili: “quae 11 cylindricis producat figuras, IM, RT, m conicis vci ) , OM, ST” - (fr:996-997) [che nei cilindri producono le figure IM, RT, nei coni invece OM, ST]. Si dimostra quindi che angoli (LDG, IGB) e rette omologhe (LD, DG; Xf, fI) sono uguali, e che le rette CF, 9P sono incidenti alle figure simili BG, ZI con angoli uguali: “CF, 9^?, ctpf^x vicidciMcs fun jlUm^” - (fr:1002) [CF, 9P sono incidenti alle stesse figure].
Infine, si stabilisce la proporzionalità tra le parti: “dF,ad, op,vt, dE,ad” - (fr:1004) [dF sta a op come dE sta a…], e che i piani taglienti dividono i solidi in modo simile, confermando che le figure incidenti (BG, ZI, EDG, ZfI) sono simili per definizione.
Si notano alcune corruzioni del testo (es. passaggi illeggibili in fr:989, 991, 992), ma il filo argomentativo principale rimane coerente: dimostrare l’equivalenza tra la definizione specifica di solidi conici/cilindrici simili e quella generale euclidea, tramite l’analisi di figure generate da piani paralleli e rette omologhe.
[10]
[10.1-25-1016|1040]
10 Teoremi geometrici sulle sezioni di solidi rotondi e coni
Due proposizioni sulla sezione di solidi generati per rivoluzione e di coni, con dimostrazioni basate su congruenza di figure e proporzioni tra triangoli.
Il primo teorema (XXXIV) afferma che un solido rotondo (generato per rivoluzione di una figura attorno a un asse) tagliato da un piano passante per l’asse produce una sezione circolare con centro sull’asse: “XXXIV I solidum rotundum secetur plano ad axem recto: fiet concepta in ipso figura circulus, cuius centrum erit in axe” - (fr:1017) [Un solido rotondo sia tagliato da un piano perpendicolare all’asse: la figura generata in esso sarà un cerchio, il cui centro sarà sull’asse]. La dimostrazione si basa sulla congruenza delle figure generatrici e sull’uguaglianza delle rette condotte dal punto E (sull’asse) alla circonferenza della sezione: “igitur figura MBND est circulus, cuius centrum E in axe reperitur, quod erat ostendendum” - (fr:1024) [quindi la figura MBND è un cerchio, il cui centro E si trova sull’asse, che era ciò che bisognava dimostrare]. Segue un corollario (fr:1025-1028), parzialmente danneggiato ma legato alle sezioni comuni.
Il secondo teorema (XXXV) tratta della sezione di un cono con un piano parallelo alla base: se il cono è retto, il risultato è evidente; se è scaleno, la sezione è comunque un cerchio. L’enunciato è: “I quicunqi conus secetur plano basi equidistante, stabiliatur concepta in copo figura ciccisculus centroidem habens” - (fr:1031) [Qualsiasi cono sia tagliato da un piano equidistante dalla base, la figura concepita nel cono sia un cerchio con centro]. La dimostrazione usa triangoli simili e proporzioni: ad esempio, “CN ad ND erit vt BI ad IE, sed CN est aequalis ND, ergo BI ipfi IE” - (fr:1036) [CN sta a ND come BI sta a IE, ma CN è uguale a ND, quindi BI è uguale a IE]. Si conclude che tutte le rette condotte dal centro I alla circonferenza della sezione sono uguali: “ergo figura BRE erit circulus, cuius centrum I, quod ostendere oportebat” - (fr:1037) [quindi la figura BRE sarà un cerchio, il cui centro è I, che era ciò che bisognava dimostrare]. Segue un altro corollario (fr:1038).
[11]
[11.1-45-1046|1090]
11 Sezioni di solidi rotondi e coni scaleni, e definizione della parabola secondo Apollonio
Il testo presenta due teoremi geometrici (con corollario) sulle sezioni di solidi rotondi e coni scaleni, culminando nella definizione della parabola di Apollonio.
Il Teorema XXXIV (Proposizione XXXVII) enuncia che
se un solido rotondo o un cono scaleno è tagliato da un piano per
l’asse, e poi da un altro piano la cui sezione comune con uno dei piani
secanti l’asse è perpendicolare alla sezione comune del piano assiale e
del solido, la figura risultante è intorno all’asse (nel solido
rotondo sempre, nel cono scaleno anche intorno a un diametro):
> “Si solidum rotundum, vel conus scaleneus, secetur plano
per axem, & deinde alio plano secetur, cuius, & vnius planorum
recte axem secantium communis sectio sit recta linea perpendicularis
communi sectioni eiusdem, & plani per axem; figura a secundo secante
plano in solido producta erit circa axem, in cono scaleno autem erit
circa axem, vel diametrum, & axis, vel diameter erit communis sectio
per dicta secantia plana productarum figurarum.”
> - (fr:1066) [Se un solido rotondo o un cono scaleno è tagliato da
un piano per l’asse, e poi da un altro piano, la cui sezione comune con
uno dei piani che tagliano rettamente l’asse sia una linea retta
perpendicolare alla sezione comune di quello stesso e del piano per
l’asse; la figura prodotta nel solido dal secondo piano secante sarà
intorno all’asse, nel cono scaleno invece sarà intorno all’asse o al
diametro, e l’asse o il diametro sarà la sezione comune delle figure
prodotte per i detti piani secanti.]
Il Corollario chiarisce che nel cono la figura è
intorno all’asse se il triangolo assiale è perpendicolare alla base,
altrimenti intorno a un diametro; nel solido rotondo è sempre intorno
all’asse:
> “Hinc intelligitur in cono, si triangulus per axem ductus
sit perpendicularis basi, fieri dictam figuram circa axem; si vero non
fuerit perpendicularis sed inclinatus ad eandem, fieri figuram circa
diametrum; in solido autem rotundo semper fieri figuram circa
axem.”
> - (fr:1079) [Da ciò si intende che nel cono, se il triangolo
condotto per l’asse è perpendicolare alla base, la detta figura si fa
intorno all’asse; se invece non è perpendicolare ma inclinato rispetto a
essa, la figura si fa intorno al diametro; nel solido rotondo invece la
figura si fa sempre intorno all’asse.]
Il Teorema XXXV (Proposizione XXXVIII) riguarda un
cono tagliato da un piano assiale, poi da un secondo piano che interseca
la base lungo una linea perpendicolare alla base del triangolo assiale,
con la sezione comune parallela a un lato del triangolo assiale. Qui i
quadrati delle ordinate (linee applicate ordinatamente
all’asse/diametro) stanno tra loro come le ascisse (segmenti
tagliati verso il vertice):
> “Si conus secetur plano per axem, secetur deinde alio
plano secante basim coni secundum rectam lineam, quae ad basim trianguli
per axem sit perpendicularis, cuius & trianguli per axem communis
sectio sit parallela vnius laterum trianguli per axem; quadrata
ordinatim applicatarum ad axem, vel diametrum figurae in cono secundo
plano productae, aequidistantium eiusdem, & basis communi sectioni
erunt inter se, ut abscissae per easdem ordinatim applicatas versus
verticem sumptae ab eisdem axibus, vel diametris.”
> - (fr:1082) [Se un cono è tagliato da un piano per l’asse, e poi da
un altro piano che taglia la base del cono lungo una linea retta, che è
perpendicolare alla base del triangolo per l’asse, e la cui sezione
comune con il triangolo per l’asse sia parallela a uno dei lati del
triangolo per l’asse; i quadrati delle linee applicate ordinatamente
all’asse o al diametro della figura prodotta nel cono dal secondo piano,
equidistanti tra loro e alla sezione comune con la base, saranno tra
loro come le segmenti tagliate da quelle stesse linee applicate
ordinatamente, prese verso il vertice dagli stessi assi o diametri.]
Infine, la figura così definita è identificata come la
parabola di Apollonio:
> “hanc autem vocatur ab Apollonio
Parabole.”
> - (fr:1090) [questa inoltre è chiamata da Apollonio Parabola.]
Il testo è un trattato geometrico in latino, con struttura rigorosa (teoremi, proposizioni, corollari) e riferimento diretto alla tradizione apolloniana, testimoniando la trasmissione e l’interpretazione delle coniche nel periodo moderno.
[12]
[12.1-26-1118|1143]
12 Teoremi geometrici su conoidi, sferoidi e sezioni coniche con riferimento ad Archimede
Il testo raccoglie proposizioni geometriche relative a solidi di rivoluzione e sezioni coniche, con un cenno all’opera dell’autore (Speculum) e riferimenti espliciti ad Archimede. Molti frammenti sono lacunosi (come 1118-1119, 1141-1143), ma i passaggi integri definiscono chiaramente teoremi e contesto.
L’autore spiega che alcune proposizioni erano già presenti nel suo Speculum e le riporta qui per chi non l’ha consultato, integrando estrazioni da Archimede sugli stessi argomenti: “Proximis Propofitiones etiam in meo Speculo fi quidem defcriptae fuerunt, cum earum ibidem thedigereem, his vero hic fpecierunt, vt qui meum ilud Speculum non viderunt, etiam haec poterint pervenire: Aliquanto etiam extradicta sunt ex Archimede de iisdem Conoidibus & Sphaeroidibus” - (fr:1120) [Anche le proposizioni precedenti, se sono state descritte nel mio Speculo quando le ho sistemate lì, sono qui riportate, perché chi non ha visto quel mio Speculo possa anche raggiungere queste: alcune sono anche estratte da Archimede sugli stessi Conoidi e Sferoidi.].
Il primo teorema completo (Theorema XXXVIII, Prop. XLI) riguarda le sezioni di solidi rotondi (sfera, sferoidi, conoidi parabolici e iperbolici) con piani perpendicolari all’asse: “SI sphaera, vel sphaeroides, conoides parabolicum, vel hyperbolicum planis fecentur ad axem rectis, communes sectiones erunt circuli diametros in eadem figura ducti per axem” - (fr:1124) [Se una sfera, o uno sferoide, un conoide parabolico o iperbolico siano tagliati da piani perpendicolari all’asse, le sezioni comuni saranno cerchi con diametro condotto per l’asse nella stessa figura.]. L’asse è identificato come quello che genera il solido per rivoluzione: “(quae est illa, quae per revolutionem creat dictum solidum) sitas habentes” - (fr:1125) [(che è quella che per rivoluzione crea detto solido) aventi tale posizione.]. La proposizione è considerata evidente perché questi solidi derivano dalla rotazione di figure intorno all’asse: “Patet haec propositio nam supradicta sunt solida rotunda, nascuntur ex revolutione figurarum circa axem” - (fr:1126-1127) [Questa proposizione è evidente perché i solidi rotondi suddetti nascono dalla rivoluzione di figure intorno all’asse.].
Il secondo teorema (Theorema XXXIX, Prop. XLII) tratta le sezioni oblique del conoide parabolico: se tagliato da un piano non per l’asse, non parallelo e non perpendicolare all’asse, la sezione è un’ellisse. Il diametro maggiore deriva dall’intersezione del piano tagliante con un piano passante per l’asse e perpendicolare al primo; il diametro minore è uguale alla distanza tra linee parallele all’asse condotte dagli estremi del diametro maggiore: “SI conoides parabolicum plano secetur non quidem per axem, neque aequidistanter axi, neque ad rectos angulos cum axe, communis sectio erit ellipsis, diameter vero ipsius maior erit linea concepta inconoidc ab interfectione facta planorum, eius scilicet, quod secat figuram, & eius, quod ducitur recto per axem ad planum secans, minor vero diameter aequalis erit distantiae linearum ductarum aequidistanter axi ab extremis diametri maioris” - (fr:1131-1132) [Se un conoide parabolico sia tagliato da un piano non per l’asse, né parallelamente all’asse, né ad angoli retti con l’asse, la sezione comune sarà un’ellisse; il suo diametro maggiore sarà la linea concepita nel conoide dall’intersezione fatta dai piani, cioè quello che taglia la figura e quello che è condotto rettamente per l’asse al piano tagliante; il diametro minore invece sarà uguale alla distanza delle linee condotte parallelamente all’asse dagli estremi del diametro maggiore.]. Questo risultato è attribuito ad Archimede: “Hxc ostenditur ab Archimede lib. de Conoidibus & Sphaeroidibus p. 13” - (fr:1133-1134) [Questo è mostrato da Archimede nel libro De Conoidibus et Sphaeroidibus a pagina ].
Il terzo teorema (Theorema XL, Prop. XLIII) riguarda le sezioni del conoide iperbolico: se tagliato da un piano che incontra i lati del cono che avvolge il conoide (non perpendicolare all’asse), la sezione è un’ellisse. Il diametro maggiore deriva dall’intersezione del piano tagliante con un piano passante per l’asse e perpendicolare al primo: “SI conoides hyperbolicum plano secetur coincidente in oramina coni latera conoides comprehendentis non recto ad axem, sectio erit ellipsis, diameter vero maior ipsius erit concepta in conoide a sectione facta planorum, alterius quidem secantis figuram, & alterius acti per axem recto ad planum secans” - (fr:1137) [Se un conoide iperbolico sia tagliato da un piano che coincide con i lati del cono che avvolge il conoide (non perpendicolare all’asse), la sezione sarà un’ellisse; il suo diametro maggiore sarà concepito nel conoide dalla sezione fatta dai piani, uno che taglia la figura e l’altro passato per l’asse rettamente al piano tagliante.]. Anche questo teorema è tratto da Archimede: “Archimede ibid. Prop. 14” - (fr:1138-1140) [Archimede nello stesso luogo, proposizione ].
[13]
[13.1-140-1223|1362]
13 Elementi geometrici su iperboli opposte e coniugate, e rapporti di quadrati e parallelepipedi nel Liber V
Il testo raccoglie sette proposizioni (da XXIII a XXX, corrispondenti a teoremi da XXIII a XXIX) del quinto libro di un trattato geometrico sulle sezioni coniche, incentrate sul calcolo di rapporti tra somme di quadrati e tra solidi parallelepipedi relativi a figure costruite intorno a iperboli opposte e coniugate, con l’uso di “regole” (assi o diametri).
La prima proposizione identificata è la XXIII (fr:1223-1245): essa definisce la situazione iniziale con due parallelogrammi circoscritti a iperboli opposte in modo solito, con lati trasversi e lati ordinati rispetto a un diametro, e dimostra che il rapporto tra tutti i quadrati di un parallelogrammeno meno tutti i quadrati delle opposte iperboli con base comune, e lo stesso per l’altro parallelogrammeno, è uguale al rapporto tra due parallelepipedi combinati con quadrati del diametro o dell’asse.
La XXIV (fr:1246-1263) prosegue nella stessa figura, introducendo un’altra regola e adattando il rapporto, includendo anche tripli quadrati e collegando i quadrati a rettangoli per dimostrazione.
La XXV (fr:1264-1272) aggiunge la sottrazione di quadrati di triangoli alle figure composite, dimostrando che il rapporto risultante non corrisponde a quello dei lati secondari, contrariamente a quanto forse atteso.
La XXVI (fr:1273-1286) si concentra su un solo parallelogrammeno mantenuto fisso mentre l’altro è esteso, componendo il rapporto tra quadrati meno iperboli e la figura completa con rettangoli e terzi di quadrati.
La XXVII (fr:1287-1312) introduce per la prima volta le sezioni coniugate di Apollonio (fr:1290: “quae ab Apollonio coniugatae Evocantur”), definendole come aventi il quadrato del lato trasverso uguale al rettangolo tra l’altro lato trasverso e la linea “iuxta quam prorrunt” (fr:1291), e dimostra un rapporto tra parallelogrammeno e figura completa meno quadrati di sezioni coniugate, usando cubi e parallelepipedi con terzi e sestuple elementi.
La XXVIII (fr:1313-1340) generalizza la configurazione con sezioni coniugate, asintoti e parallelogrammi con lati paralleli agli assi coniugati, includendo un corollario che ripete il rapporto per una figura specifica.
La XXIX (fr:1341-1358) estende ulteriormente la generalità, usando un parallelogrammo “vtcunque” (fr:1344: “defcribatur vtcunque”) ma con le stesse condizioni di prima, dimostrando che il rapporto tra le due figure composite rimane determinato da parallelepipedi combinati e cubi.
Infine, la proposizione XXX (fr:1359-1362) funge da corollario generale per tutto il gruppo: “In omnibus huius Lib. Propofitionibus, ia quibus duarum, quarumcunque figurarum notificata fuit ratio omnium quadratorum, iuxta regulas in eisdem afsumptas, nota etiam erit ratio similium folidorum, quae ex illis gignuntur figuris, iuxta easdem regulas” - (fr:1361-1362) [In tutte le proposizioni di questo quinto libro, in cui è stato indicato il rapporto di tutti i quadrati di due figure qualsiasi, secondo le regole assunte in esse, sarà nota anche il rapporto di solidi simili, generati da quelle figure, secondo le stesse regole.], confermando che i risultati sui quadrati si estendono direttamente ai solidi simili costruiti sulle stesse regole.
[14]
[14.1-47-1420|1466]
14 Corollari geometrici su solidi iperbolici e loro rapporti con cilindri, coni e altre figure
Testo frammentario di trattato geometrico latino moderno antico, dedicato a solidi generati da rivoluzione di coniche (specialmente iperboli) e loro rapporti quantitativi.
Il testo è organizzato in corollari (da XIV a XXI, incompleti) di un Liber V di geometria, ciascuno riferito a proposizioni numerate (13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 12, 10 incompleti), accompagnato da esempi costruttivi con figure non presenti.
14.1 Concetti chiave e figure geometriche definite o denominate
Vengono creati solidi iperbolici specializzati con nomi tecnici: - “Apex hyperbolicus”: solido generato dalla rivoluzione del “trilinco DGB” (trilatero iperbolico?) attorno all’asse DG, citato nel corollario XIV (fr:1426) [Ape iperbolico]. - “Semianulus strictus hyperbolicus”: solido da rivoluzione dell’iperbole CBD attorno all’asse GD (fr:1428) [Semanello stretto iperbolico]. - “Semianulus latus hyperbolicus”: solido da rivoluzione dell’iperbole CBD attorno all’asse HM (fr:1431) [Semanello largo iperbolico]. - “Scmibasis colum la; is ftricb hyper nllcla” (fr:1434) [probabilmente Scmibasis columnaris stricta hyperbolica, Semibase colonnare stretta iperbolica], “Scmibasis colun inns mcdia hyperbolica” (fr:1436) [Scmibasis columnaris media hyperbolica, Semibase colonnare media iperbolica], “Scmibasis coluninaris lata hyperbolica” (fr:1436) [Sembase colonnare larga iperbolica]. - “Conoides opposta”: due conoidi iperbolici generati da “opportis hyperbolis B<D, AMC” attorno all’asse FE (fr:1449) [Conoidi opposti]. - “Tyrapaaum hyperbolicfi” (fr:1460) [probabilmente Tympanum hyperbolicum, Timpano iperbolico]: solido generato da “figura diim,DAFEVC” attorno all’asse LX, con opposti coni HLO e OXN generati da triangoli.
Viene menzionata anche una “communis regula” (regola comune, fr:1426, 1428, 1431, 1436, 1446, 1453, 1462) per calcolare rapporti tra solidi simili o tra solidi e figure/segmenti associati.
14.2 Rapporti quantitativi stabiliti
I corollari esprimono principalmente rapporti volumetrici tra solidi generati da rivoluzione e cilindri/coni associati, o tra solidi simili tra loro: 1. Corollario XIV (fr:1426): rapporto tra cilindro EF e ape iperbolico BDF, nonché tra solidi simili da BD e da semiiperbole BED “iuxta communem regulam, ED”. 2. Corollario XV (fr:1428): cilindro FH a semianello stretto iperbolico CBDNH “vt FD ad hyperbolam CBD”, e solidi simili da FD e da iperbole CBD “iuxta communem regulam, CD”. 3. Corollario XVI (fr:1431): cilindro FQ a semianello largo iperbolico CBDSOQ “vt FD ad hyperbolam CBD”, e solidi simili “iuxta communem regulam, CD”. 4. Corollario XVII (fr:1436): cilindro FH a semibase colonnare media iperbolica CBDH “vt quadratum CS ad quadratum SE, quadratum EI> & rectangulum bis sub VE, ES”, e solidi simili “iuxta communem regulam, CS”. 5. Corollario XVIII (fr:1439): semianello largo iperbolico CBDSOQ a semianello stretto iperbolico CBDNH “vt CM, MD, ad DCs”. 6. Corollario XIX (fr:1444): conoide iperbolico da semiiperbole CBE a semianello stretto iperbolico CBDNH “vt quadratum D IE ad rectangulum sub CD, & dupla VE”; (fr:1446) la stessa conoide a semianello largo iperbolico “vt quadratum EIo ad rectangulum sub composita ex CM, MD & sub dupla VE”, con solidi simili “iuxta communem regulam, CD”. 7. Corollario XX (fr:1449): cilindro BC al resto dopo la rimozione di conoidi opposti AMC e BND “vt rectangulum NEO ad rectangulum NOE-ibis cum quadrati ME”, con solidi simili associati. 8. Corollario XXI (fr:1460): cilindro DE a timpano iperbolico DAFEVQ “vt quadratum FE ad quadratum AV cum quadrati HS” (o “vt quadratum RZ ad quadratum AV vna cum rectangulo sub AZ, & sexquitertia ZV”), con solidi simili “iuxta communem regulam, FE”.
14.3 Elementi peculiari e limiti del testo
Il testo è frammentario e con numerosi errori tipografici o lacune: lettere mancanti, parole spezzate, numeri di proposizioni e corollari parziali, simboli matematici incompleti o illeggibili (es: fr:1420, 1422, 1449, 1460). Inoltre, mancano tutte le figure geometriche citate, essenziali per ricostruire esattamente le costruzioni volumetriche.
[15]
[15.1-29-1508|1536]
15 Passaggi dalla Geometria di Cavalieri: fine di un libro precedente, inizio del Libro VII e suoi fondamenti
Testo che include la chiusura di un trattato geometrico, l’introduzione al Libro VII di Cavalieri (con la sua prefazione) e il primo teorema sulle figure “ugualmente analoghe”.
Il testo inizia con la conclusione di una sezione precedente: dopo un corollario (fr:1513) e uno scolio (fr:1515) che discutono solidi generati da figure con iperboli e parallelogrammi, si annuncia la fine del libro con “Finis ^wti Libri.” (fr:1521) [Fine del sesto libro.]. Subito dopo inizia il “GEOMETRIiE CAVALERIl LIBER SEPTIMVS” (fr:1522) [Libro Settimo della Geometria di Cavalieri], il cui scopo è esposto in “In quo quxcumque in antecedentibus Librii methodo indiuifibilium demonftrata fuexc.alia ratione, ab eadem independente, breuiter ostenduntur.” (fr:1523) [Nel quale qualunque cosa è stata dimostrata nei libri precedenti con il metodo degli indivisibili, viene mostrata brevemente con un’altra ragione, indipendente da quello.].
La prefazione (1524-1531) difende il metodo degli indivisibili, definito “firmus atque inconcussus” (fr:1524) [fermo e incrollabile], e affronta le obiezioni filosofiche sulla composizione del continuo e l’infinito: si precisa che non si afferma il continuo composto da indivisibili, ma solo che “continua sequi indivisibilium proportionem, e converso” (fr:1526) [i continui seguono la proporzione degli indivisibili, e viceversa]. Si spiega anche che il Libro VII usa nuovi fondamenti “infinitae exempti conceptu” (fr:1531) [esenti dal concetto di infinito] per rendere la dottrina accettabile anche a chi dubita del metodo degli indivisibili.
Infine, il primo teorema (1532) definisce le condizioni per l’uguaglianza di figure piane e solide: “Figurae planae quaecunq; in eisdem parallelis constitutae, in quibus, ductis quibuscunq; eisdem parallelis aequidistantibus rectis lineis, conceptae cuiuscumque rectae lineae portiones sunt aequales, etiam inter se aequales erunt. Et figurae solidae quaecumq; in eisdem planis parallelis constitutae, in quibus, ductis quibuscunq; planis eisdem planis parallelis aequidistantibus, conceptae cuiuscunq; sic ducti plani in ipsis solidis figurae planae sunt aequales, pariter inter se aequales erunt.” (fr:1532) [Qualunque figure piane poste nelle stesse parallele, in cui – tratte delle rette equidistanti alle medesime parallele – le porzioni di ogni retta siano uguali, saranno anch’esse uguali tra loro. E qualunque figure solide poste negli stessi piani paralleli, in cui – tratte dei piani equidistanti ai medesimi piani paralleli – le figure piane di ogni piano così tratto in quei solidi siano uguali, saranno anch’esse uguali tra loro.]. Tali figure sono chiamate “aequaliter analogae” (fr:1533) [ugualmente analoghe].
[16]
[16.1-40-1540|1579]
16 Congruenza e uguaglianza di figure piane e solide mediante superposizione in un trattato geometrico latino
Trattato geometrico latino che dimostra l’uguaglianza di figure piane e solide comprese tra rette o piani paralleli, utilizzando il metodo della superposizione e definendo figure «aequaliter analogae».
Il testo si concentra innanzitutto su figure piane (come BZ& e C9A) comprese tra le rette parallele AD e Y4, con limiti AB e Y&: si stabilisce che, quando si estende AB su BD, le rette MN e OP rimangono sempre in direzione di SV, come accade per tutte le altre rette parallele a AD in entrambe le figure (“MN.OP^abjA rGEOMETRI ifi €lc quotiefcunque, AB, extcndatur fupcr, BD, vbicunquc hoc fiat, femperj MN, OP, manebunt in dire(5tum ipfi,SVs quod & de casteris quibufcunq- ipfi^ADjparallelis in vtraquefigura liquidoapparet” - (fr:1544) [«MN, OP, da geometri, se comunque si estenda AB su BD, ovunque ciò accada, sempre MN, OP rimarranno in direzione di SV; e ciò appare chiaro anche per tutte le altre rette parallele a AD in entrambe le figure»]).
Si dimostra poi che, con una superposizione regolata, una parte di BZ& deve necessariamente coincidere con una parte di C9A: poiché le porzioni delle rette parallele a AD che erano in direzione reciproca prima della superposizione rimangono tali anche dopo, e poiché queste porzioni erano uguali per ipotesi, anche dopo la superposizione saranno uguali (ad esempio QR e ST insieme saranno uguali a SV: se ST coincide con una parte di SV, QR sarà uguale a TV, con QR nel residuo di BZ& e TV nel residuo di C9A) (“Quodvero pars vniusfigura?i vt, BZ&:, congruat neceflario parti figura?j C/3 & non—» tpti^ dum fit fuperpofitio tali lege, quali didum eft, fic demonftrabitur . Cum.n.dudlis quibufcunqjipfi, AD^parallelis conceptse in figuris ipfarum portiones , quae erant fibi in dircdum, adhuc poft fuperpofitionem maneant fibi in diredum 5 illa^ vero ante fuperpofitionem elfent cx hypotefi a^quales 5 crgo poft fupcrpofitioncm portioncs parallclarum ipCh AD^in figuris fuperpofitis conccptse crunt paritcr asquales, vt ex.g. QR, ST5 fimul fumptse a?quabuntur ipfi, SV5 ergo nifi vtr^quc, QR, ST, cogruant toti, SV> congrucntc partcalicui parti, vt, ST, ipfi, ST, erit, QRj^equalis ipfiTV&j QRj quidem erit in refiduo figurBZ&j fuperpofitse^TV, vero in rcfiduo figurse, CAcui fit fupcrpofitio” - (fr:1545-1546)).
Il passaggio alle figure solide è immediato: si considerino due solidi BZ& e C9A compresi tra i piani paralleli AD e Y4, tali che le sezioni ottenute con piani E6, L2 paralleli a AD siano sempre uguali (ad esempio FG = HI, MN + OP = SV): si afferma che questi solidi sono uguali (“Sint nunc in eodem fchemate dusfigurx fohdx qux cunque, BZ&, C/3A , in eifdem planis parallehs , AD, Y4, conftitutaj, du^is autem quibuicunqj planis, E6, L2, pr^- fatis a:quidiftantibus , fint conceptce in fohdis figurx , q”» iacent in eodem plano,femper inter fe ^quales, vt, FG, x qualis, HI, &, MN, OP, fimul fumpts ( fit .n. […] Dico eafdcm folidas figuras x quales ciffe“* - (fr:1557-1559)). La dimostrazione riprende il metodo della superposizione: se il solido BZ& è sovrapposto a C9A con i piani AB e Y& rispettivamente su AD e Y4, le sezioni parallele rimangono uguali; se la prima sovrapposizione non è totale, i residui devono essere ancora sovrapposti fino a che BZ& non coincide interamente con C9A, altrimenti ci sarebbe un residuo senza corrispondenza (assurdo), quindi i solidi coincidono e sono uguali (”Si .n. […] solidum , BZ& , cum portionibus, AB, Y& , planorum , AD, Y4 , ipfi contcrminantibus , folido, C/3A, ita fuperpofuerimus, vt planum, AB, fit in plano, A D, &, Y&, ia plano , Y4, oftendennis (vt fccimus fuperius circa parallclarum ipfi, AD, conccptas in figuris pLinis, B Z&, C/3A, portiones) figuras in folidis, BZ&,C^A,conceptas , quse crant ia codem plaao , etiam poft (uperpofitionem maacrc ia codcai plnno , & idco adhuc ajquales cfte figuras ia fuperpofitis folidis conceptas, & ipiis, AD, Y^, parallelas. […] tandcm ipfum totum, BZ&.congruct toti, C^A, nifi .n. […] ponitur .11. iam totum folidum, BZ&^elfc ipfi,C,eA« fupcrpofitum , non crgo crit aliquod rdiduum in ipfis (olidJs, ergo libi congrucnt, crgo diclt figurx foUda-, BZ& C^A, uncr fc xqualcs crunt , qua: fucrunt dcmonllranda” - (fr:1561-1566)).
Viene quindi definita la nozione di figure «aequaliter analogae» (ugualmente analoghe) per quelle che soddisfano le condizioni trattate, con riferimento a rette o piani paralleli AD e Y4 (“Prarfatar autcm figuraf, vt fupra innuunus , dica tur «quaU tcr analogx,^< uopus crit,iuxta rcgulas Uncas paraUclas» fcu plana piraUcIa, AD, 4” - (fr:1567)).
Infine, si introduce un primo lemma (in parte frammentato) su figure piane costruite sulla stessa base o su basi uguali, comprese tra le stesse parallele: se le porzioni di rette parallele alle basi, prese nelle figure intere, sono uguali alle basi (o a basi uguali), le figure sono uguali tra loro (“LEMMA PRIMVM.. C I in cadem,vel atc iliBus bafibus,& io cifdcm ^ parallelis figuxx nar jcqualitcr analog» iuxca eafdcm bafcs fuenuc conAicutx, ita tamca b vt nM GEOMETRIi» vtqaapcunq; acquidiftaiinuni bafibus linearuta-* portiones in eifdem cocepta? […] figuris integrac finr, ac eidem bafi , vel bafibus a^qualcs , ipfac pariter figurat inter fe xquaks crunt • Sint in cadcm bafi, GH , feu in arqualibus bafibus , & in cifdem parallclis , AF, PQ , figurae plan^e , AGHB, EGHF«, {qualiterana log« iuxt A & cDEF candcm bafcm^GH,icu bafcs ^qualcs ia did):^s,cxtcfa vero qua cunq^ ipfis^P AF, parallcla^ SRjciufdem portiones capta? […] Dico ctiam praefatas figuras intcr fe 2Equa!esc{fe” - (fr:1574-1577)).
Alcune parti del testo sono frammentate o illeggibili (fr:1542, 1543, 1550, 1563, 1569-1573, 1578-1579), ma il nucleo concettuale rimane chiaro: il metodo della superposizione come strumento per dimostrare l’uguaglianza di figure piane e solide definite da parallele.
[17]
[17.1-43-1582|1624]
17 Concetti sui parallelogrammi rettilinei e curvilinei, uguaglianza di figure piane e lemmi geometrici
Trattato geometrico che definisce parallelogrammi curvilinei, dimostra l’uguaglianza di figure piane analoghe e presenta lemmi su tangenti a curve e decomposizione di figure.
Il testo apre con una dimostrazione sull’uguaglianza di figure: preso il trilineo ECG e posto CG su DH (poiché CG e DH sono uguali), il punto G cade su H; estendendo CE su DF (perché l’angolo esterno FDH uguale all’interno ECG, dati i paralleli DH e CG), il punto E cade su F e l’ambito ENG su FRH. Per assurdo, si esclude che un punto di ENG cada fuori o dentro FDH, quindi il trilineo ECG è congruente a FDH; sottraendo il trilineo comune DIE e aggiungendo GIH, si ottiene la figura EGHF uguale al parallelogrammo CH “Nunc sumpto trilinco, ECG, & posito CG in DH, cadet G in H, quia CG, DH sunt aequales… fict EGHF figura aequalis parallelogrammo CH” - (fr:1582) [Ora, preso il trilineo ECG e posto CG su DH, G cade su H, poiché CG e DH sono uguali… si forma la figura EGHF uguale al parallelogramma CH]. Allo stesso modo, si dimostra che AGHB è uguale a CH, quindi EGHF e AGHB sono uguali tra loro “Eodem modo ostendemus figuram, AGHB, aequari eidem CH, ergo figurae, EGHB, EGHF, inter se aequales erunt” - (fr:1583) [Allo stesso modo mostriamo che la figura AGHB è uguale alla stessa CH, quindi le figure EGHB e EGHF saranno uguali tra loro]. Se le figure sono su basi uguali e formano un parallelogramma con le stesse parallele, si conclude che sono uguali “Cum autem dictae figurae fuerint in aequalibus basibus, tunc constituentes super eas parallelogrammum in eisdem parallelis cum ipsis positum, concludemus etiam dictas figuras aequales esse” - (fr:1584) [Poiché poi le dette figure sono su basi uguali, allora costituendo su di esse un parallelogrammo posto con le stesse parallele, concludiamo anche che le dette figure sono uguali].
Viene quindi definita la distinzione tra parallelogramma curvilineo (se AG, BH, EG, FH sono linee curve) e rettilineo (se sono rette), chiamati in generale “parallelogrammimitantia” “Hanc autem vocemur parallelogramma curvilinea, cum AG, BH, EG, FH fuerint curvae lineae; cum vero fuerint rectae lineae, parallelogrammum rectilineum ad illorum differentiam; sed utrumque in genere, si libuerit, parallelogrammimitantia tuncupabimus” - (fr:1585) [Chiameremo questi parallelogrammi curvilinei quando AG, BH, EG, FH sono linee curve; quando invece sono linee rette, parallelogrammi rettilinei per la loro differenza; ma entrambi in generale, se si vuole, li chiameremo parallelogrammimitanti].
Segue un lemma sulle figure piane: se su basi uguali (QP, TY) e nelle stesse parallele (AL, QV) ci sono figure “equaliter analogae” (con porzioni di parallele in una figura sempre maggiori più vicine alla base), allora le figure sono uguali “SI in aequalibus rectis lineis, tamquam in basibus, & in eisdem parallelis, fuerint quaecunque planae figurae, aequaliter analogae iuxta dictas bases… dictae figurae inter se aequales erunt” - (fr:1586-1587) [Se su linee rette uguali, come basi, e nelle stesse parallele, ci sono qualsiasi figure piane, ugualmente analoghe rispetto alle dette basi… le dette figure saranno uguali tra loro]. La dimostrazione usa l’assurdo: se HTYL fosse maggiore di CQPD, si muove la base QP verso AD formando un parallelogramma AP, quindi si inscrivono e circoscrivono parallelogrammi; poiché i parallelogrammi circoscritti a CQPD sono uguali a quelli di HTYL, si ha un’assurdità “non ergo figura, HTYL, maior est, CQPD” - (fr:1599) [quindi la figura HTYL non è maggiore di CQPD]. Lo stesso si dimostra se HTYL fosse minore, quindi le figure sono uguali “neque ergo figura, HTYL, minor esse potest figura, CQPD; sed neque eadem maior, ut ostensum est, ergo eidem aequalis erit” - (fr:1602) [né la figura HTYL può essere minore di CQPD; ma non è nemmeno maggiore, come mostrato, quindi sarà uguale a essa]. Queste figure sono chiamate “deficientes in alteram partem” con regola della base “Vnamquamque autem dictarum figurarum… figuram in alteram partem deficientem appellabimus, regula basi, seu quacunque illa aequidistante” - (fr:1603) [Ciascuna delle dette figure… la chiameremo figura difettiva in un’altra parte, con regola della base o di qualsiasi sua parallela].
Il terzo lemma afferma che se una curva BAC è in un piano e una retta BC la incontra in due punti, si può disegnare una retta parallela a BC tangente alla porzione di curva tra B e C “SI curva linea quacunque tota sit in eodem plano, cui occurrat recta in duobus punctis… poterimus aliam rectam lineam praefatae aquidistantem ducere, quae tangat portionem curvae lineae inter duos praedictos occursus continuatam” - (fr:1605) [Se una linea curva qualsiasi è tutta in un piano, e una retta la incontra in due punti… potremo disegnare un’altra retta parallela alla predetta, che tocchi la porzione di linea curva continuata tra i due detti incontri]. Viene data la definizione di tangente: una retta che tocca la curva e non ha parte della curva sull’altro lato “Tangere autem dicemus rectam lineam mediam aliam quamdam eamque curvam totam in eodem plano cum ea existentem, cum ipsa recta linea sive in puncto, sive in recta linea, curva occurrente, ipsam curvam omnem ad eandem partem, vel nihil saltem ad alteram partem, a se esse” - (fr:1607) [Diremo che una retta tocca un’altra linea, cioè una curva tutta nello stesso piano con essa, quando quella retta, toccando la curva o in un punto o in una retta, ha tutta la curva dalla stessa parte, o niente almeno dall’altra parte, rispetto a sé]. La dimostrazione prende il vertice A della figura BAC, disegna DF parallela a BC e verifica che DF non taglia BAC, quindi è tangente “ergo recta DF tangit curvam BAC, igitur possibile est, &c.” - (fr:1609) [quindi la retta DF tocca la curva BAC, dunque è possibile, ecc.]. Il corollario aggiunge che si può disegnare una tangente parallela a una data retta “Hinc manifestum est, quomodocunque iam sit recta linea data, quamdam curvam totam in eodem plano cum ea existentem contingens, quae quidem datae rectae lineae sit aequidistans” - (fr:1611) [Da qui è manifesto che, comunque sia data una retta, si può trovare una tangente a una curva tutta nello stesso piano con essa, che sia parallela alla retta data].
Il quarto lemma dice che qualsiasi figura piana SPFH, tagliata da rette parallele a una regola FE con segmenti integrali, è composta da parallelogrammi rettilinei/curvilinei o da figure difettive “SI proposita quacunque figura plana vni regulae parallelis quocumque lineis secari possit, ut conceptae in figura rectae lineae integrales semper… ipsa erit ex parallelogrammis rectilineis, aut curvilineis, seu ex figuris in alteram partem deficientibus, regula eadem, composita” - (fr:1612-1613) [Se data qualsiasi figura piana si può tagliare con rette parallele a una regola, in modo che le rette concepite nella figura siano sempre integrali… essa sarà composta da parallelogrammi rettilinei o curvilinei, o da figure difettive in un’altra parte, con la stessa regola]. La dimostrazione muove la linea AE verso l’ambito ANE, trovando contatti in LM e N, e usando il lemma precedente per escludere che una parallela più vicina non sia maggiore; si mostra quindi che figure come ANB sono difettive, LMCD è un parallelogramma rettilineo, quindi SPFR è composta da queste figure “ergo figura SPFR componitur ex figuris in alteram partem deficientibus, ac ex parallelogrammo rectilineo, seu curvilineo, regula FE, quod ostendere opus erat” - (fr:1622) [quindi la figura SPFR è composta da figure difettive in un’altra parte, e da un parallelogrammo rettilineo o curvilineo, con regola FE, cosa che bisognava mostrare]. Il corollario conclude che figure piane ugualmente analoghe con la stessa regola sono uguali “Hinc patet, figuram SPFR, ipsi ANE, defixam esse, vniuersaliter figuras planas aequaliter analogas, in quibus iam regulae aequidistantium, quotcumque conceptae fuerint, integrales sunt, inter se aequales esse” - (fr:1623) [Da qui è chiaro che la figura SPFR è uguale a ANE; in generale, le figure piane ugualmente analoghe, in cui le parallele alla regola, quante ne siano concepite, sono integrali, sono uguali tra loro].
Infine, si inizia una proposizione che si riferisce alla parte precedente “Proposita antecedente, atque, quoad priorem partem, ostensa, Sint quacunque figurae planae aequaliter analogae iuxta regulam GM…” - (fr:1624) [Posta l’antecedente, e, per la prima parte, mostrato, siano qualsiasi figure piane ugualmente analoghe rispetto alla regola GM…].
[18]
[18.1-22-1644|1665]
18 Analisi e resoconto di un trattato geometrico latino (sezioni parallele e proporzionalità tra figure)
Testo parzialmente affetto da errori di trascrizione, che tratta proporzionalità tra figure piane e solide delimitate da piani/linee parallele, oltre a definire termini tecnici legati alla proporzionalità (analogae).
Per le figure piane, si stabilisce che, date due qualsiasi (es. B&…KF COA) tra linee parallele AD, Xn, se prendendo linee parallele intermedie HI, LM o B!rA, A* le porzioni corrispondenti (omologhe, come da contesto) sono proporzionali, allora le due figure intere stanno tra loro come quelle porzioni o come aggregati di esse (fr:1644-1647, 1651-1653). La dimostrazione sfrutta il metodo di estendere le figure e le loro linee componenti, creando figure aggiuntive BYZ, BZ& che risultano “xqualiter inaloga? &:fiibindc.-iequalcs” [similmente analoghe e, per conseguenza, uguali] per via delle porzioni parallele uguali (fr:1648-1650, 1653). Viene anche definito che queste figure si dicono “proportionaliter… analogae iuxta regulas ipfas parallclas, in quibus existunt” [proporzionalmente… analoghe secondo le regole delle stesse parallele in cui si trovano] (fr:1644, 1654).
Successivamente, si passa al Teorema III, Proposizione III sulle figure solide (fr:1655-1656, 1661, 1663, 1665): per due solide AMEGF, PQRY (o analoghe) costituite tra gli stessi piani paralleli, se prendendo piani intermedi paralleli e equidistanti le figure piane omologhe (sempre nello stesso solido) stanno tra loro in una stessa relazione costante, allora vale una condizione di analogia proporzionale tra i solidi, definiti “proportionaliter analogae iuxta regulas ipfa plana parallcla, in quibus existunt” [proporzionalmente analoghe secondo le regole dei stessi piani paralleli in cui si trovano] (fr:1661).
Sono presenti frammenti non pertinenti al contenuto geometrico: note di copyright ProQuest (fr:1657), ringraziamento alla Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze (fr:1658), e etichette/dati di catalogazione (CFMAGL, 1.7.136, fr:1659-1660). Molti passaggi sono affetti da errori di OCR (caratteri speciali mancanti o distorti, abbreviazioni non standard), che limitano la comprensione completa di alcune parti della dimostrazione.
[19]
[19.1-35-1689|1723]
Note sulle dimostrazioni geometriche preliminari e teorema dei parallelogrammi in altezza uguale
Testo che integra dimostrazioni di proposizioni geometriche precedenti e enuncia il teorema sui parallelogrammi in medesima altezza.
Il testo apre con un riferimento alla conferma di dimostrazioni passate tramite nuovi fondamenti: “cra effe demonftraca fuoti ctiam pcr noua harc fundamenra confirmctur” - (fr:1689) [era da dimostrare, il che è confermato anche da questi nuovi fondamenti]. Viene quindi esaminata la Proposizione 4 del Libro primo, per la quale si segnala una supposizione tacita: i vertici delle figure date devono trovarsi su una stessa retta regolare parallela (o, per figure solide, su uno stesso piano regolare equidistante), come si legge in “In Prop. igitur Lib. primi sciat Leactor tacice supponi omnes vertices datar figurar, respectu ciufdam reguljcaflrumptosi effe in eadem rc^a linca rcgular parallcla;fcu, pro figuris foIidis,iocodcmpUnoregul« «qujdiftantcidiffinicionibui conformitcr” - (fr:1695) [Nella Proposizione 4 dunque del Libro primo, il lettore sappia che si suppone tacitamente che tutti i vertici delle figure date, assunti rispetto a una certa regolare, siano nella stessa retta regolare parallela; ovvero, per le figure solide, nello stesso piano regolare equidistante secondo le definizioni conformi].
Segue una sezione dedicata a integrare la dimostrazione di un caso precedente, usando triangoli simili e angoli retti: si costruiscono proporzioni tra lati (AG a GP come KT a YX) e si mostrano simili i triangoli AFB, KZT, AFG, KXY e altri, con uguaglianza tra angoli PGE e XYT (“Si t, AG, ad, GP, vt, KTiidi YX, iudifi AP,P£, KX, Xr,& czccris vt ibidcm conr?ruais,codcm modo pnus oftcod^mus ?t ibi triangula i AFB) KZT, necoon , AFGi KiYi EFG,TZV,3Ci AGE.KYTiClTc ioccr fc fimilia.ac angului PCE,«quari angulo, XYT” - fr:1700 [Se poi AG sta a GP come KT a YX, si costruiscano AP, PE, KX, XY e gli altri come là; nello stesso modo mostriamo prima che là i triangoli AFB, KZT, e anche AFG, KXY, EFG, TZV e AGE, KYT, ecc., sono simili tra loro, e l’angolo PGE è uguale all’angolo XYT]). Si prosegue con proporzioni ex aequali e uguaglianze di quadrati per dimostrare angoli retti e inclinazioni uguali di piani.
Viene poi affrontato un Lemma successivo alla Proposizione 28, per il quale si propone una dimostrazione più chiara tramite sovrapposizione di piramidi: si assumono uguali le rette AI, AF, AG, HI, HL, HM, si congiungono le basi e si usa la sovrapposizione della piramide AEFG su ILM. Per confermare che il vertice A cade in H, si ricorre a tre superfici sferiche con centri in I, L, M e raggi uguali a HI, HL, HM (o AE, AF, AG): queste si intersecano solo in due punti (uno sopra e uno sotto il piano ILM), quindi le rette AE, AF, AG devono coincidere con HI, HL, HM nel punto H (“Sed&punaum, A,d;co forcin,H,trcscnimfph«rica;fupcrficiesfuperccocris,I, L, M, radijs iDU!Ccm fc fccanribus dcfcripcap, ncmpe radijs, HI , HL$ HMifcu, AE,AF,AG,induobuscantum punSis fefedccuffare poifuac, f t faciJc oftendi poccft, dua? quaslibcc fphxric* fupcrficiesiQ circuli per pharriafc fecabuctcrcia verd hanc pcriphrriam diuidec lo duobus punSis,quaf func ad ambas parccs pIani,ILM,nempe vnum fupra alcerum lofra ipfum,quare nou ad aliud punaum , quam ad , H , concurrcoc crcs rc<9a!r line«, AE,AF,AG, ad caodein partcm pUni, ILM,cum ipfis, HI, HL, HM, coaftitucas” - fr:1714-1716 [Ma dico anche che il punto A sarà in H, perché tre superfici sferiche con centri I, L, M, descritte con raggi uguali tra loro, cioè raggi HI, HL, HM o AE, AF, AG, possono tagliarsi solo in due punti, come si può mostrare facilmente: due qualsiasi superfici sferiche e circoli che si tagliano per il centro dividono questa periferia in due punti, che sono da entrambe le parti del piano ILM, cioè uno sopra e l’altro sotto di esso; perciò le rette AE, AF, AG, rivolte alla stessa parte del piano ILM, non concorreranno in altro punto che H, insieme a HI, HL, HM]).
Infine, il testo enuncia il Teorema IV, Proposizione IV: “Parallelogramma in eademaltitudine exiftetia incer fe funt vt bafes” - (fr:1720) [I parallelogrammi esistenti nella stessa altezza stanno tra loro come le basi]. Viene dato un esempio con i parallelogrammi AM e MC del Libro primo, Proposizione 4, in stessa altezza: “Sintiii hgura Prop..lib.i.paraUelQgrammajAMjMC in eadcm alntudine. Dico cadc cffe iiuer fc^vt bafes, GM, MH” - (fr:1721-1722) [Siano nella figura della Proposizione 4 del Libro primo i parallelogrammi AM, MC nella stessa altezza. Dico che questi stanno tra loro come le basi GM, MH]).
[20]
[20.1-58-1729|1786]
19 Teoremi sui cilindri e triangoli in un trattato geometrico
Trattato che dimostra proporzioni tra cilindri (in base a basi e altezze) e estende risultati dei parallelogrammi ai triangoli, con riferimenti al metodo degli indivisibili e a opere geometriche precedenti.
Il testo si apre con il Teorema V, Proposizione V, che afferma la proporzionalità tra cilindri della stessa altezza e le loro basi: “V. Ylindriciin cadem alcitudinc exiftentesincerreruncvcbares” - (fr:1730) [I cilindri che hanno la stessa altezza stanno tra loro come le basi]. La dimostrazione si basa sul fatto che un piano parallelo alla base di un cilindro produce una sezione uguale alla base stessa: “fcdo quolibcc cvlmdrico plano xquidiftanrcr bali, prodiicarnr in cofìgura asqualisipfibali ^proprcrca vtbafis ad bafim, fic crit figura ad figuram ab codcm plano bafibus f quidiftantc vtcumq; produdam^crgohicylindrici crunt figuraepropor-tionahtcr analog.r^iuxta ipfas balcsj crgo cylindncixquc aln crunt intcr fc vt bares” - (fr:1733) [sezionando un qualsiasi cilindro con un piano parallelo alla base, si produce in esso una figura uguale alla base stessa; perciò come la base sta alla base, così starà la figura alla figura prodotta da quel piano equidistante alle basi in qualsiasi modo; quindi i cilindri saranno figure proporzionalmente analoghe secondo le loro basi; dunque i cilindri con la stessa altezza stanno tra loro come le basi].
Segue un’Annotatio che estende i risultati: si dimostra che i cilindri sulla stessa base stanno tra loro come le altezze (“Hoc dcmonftraco haud difficilc cric ftylo vcccri oflcndcrc cylmdncas cxiftcnccsin cadcm bafitffc inccr fc vtalti” - (fr:1735) [Questa dimostrazione non è difficile mostrare nello stile degli antichi: i cilindri che stanno sulla stessa base stanno tra loro anche come le altezze]), che hanno una ragione composta da basi e altezze (o lati ugualmente inclinati alle basi) e che i cilindri simili stanno in tripla ragione dei lati omologhi: “Similitcr cofdcm haberc mtct fc rationcm compcficamcx rationc bafium, & alcicudinum, vd Uccrum arqnalicer bafibus […] rccipiocas atq; fimilcs cylindricos t(fc in Cfipla ra-CioocUtcrum homologorum” - (fr:1737) [Similmente, che essi hanno tra loro una ragione composta dalla ragione delle basi e delle altezze, o dei lati ugualmente inclinati alle basi, reciprocamente, e che i cilindri simili stanno in tripla ragione dei lati omologhi]. Questi risultati sono collegati a proposizioni di un secondo libro (lib. 2, Prop. 14 e Corollari).
Il testo poi menziona il metodo degli indivisibili per dimostrare l’uguaglianza di figure (come KQM con ABD, nTn con SA): “A. probacur figuram, KQM, ipfi > ABD, &, nTn> ipfi> SA «qi •lemcffc exProp. eiufdem,ocmpi cx methodo Jodfuifibilium” - (fr:1752) [A. Si prova che la figura KQM è uguale ad ABD, e nTn a SA, per la Prop. 3 dello stesso, preso dal metodo degli indivisibili], specificando che alcuni risultati valgono anche senza questo metodo (come Corollari e Prop. 10).
Infine, il Teorema VI, Proposizione VI estende ai triangoli i risultati dimostrati per i parallelogrammi (lib. 2, Prop. 5-8), con le stesse condizioni su basi, altezze o lati inclinati: “3x QVa^cunq; de parallelogrsmmis oftenduntur in Prop. & 8, Lib. cadem^ ctiam dc triangulis, conditioncs ibi fuppofiras circa fuas bafes, & altitudines, feulatcra arqualiter baGbus inclinata^habcnti* bus, vcrificantur” - (fr:1782) [Tutto ciò che è dimostrato per i parallelogrammi nelle Prop. 5, 6, 7 e 8 del libro 2, si verifica anche per i triangoli, con le stesse condizioni ivi supposte per le loro basi e altezze, o per i lati ugualmente inclinati alle basi]. Questo è valido perché ogni triangolo è la metà di un parallelogramma formato con i suoi lati: “cum.n.cxpofito qiiocuqs trnngulo,&: airumpiisduobiisquibiifuis latcribus angulum qucmlibcicontincntibus parallclogrammu complc ri poffit m illo anguloj cuius iriangulum cnt dimidiuiii” - (fr:1782) [poiché, esposto un qualsiasi triangolo e presi due suoi lati che contengono un angolo, si può completare un parallelogrammo in quell’angolo, di cui il triangolo è la metà]. La conclusione è che i triangoli della stessa altezza stanno come le basi, e quelli sulla stessa base (o basi uguali) come le altezze o i lati inclinati: “Triangula crgo^quf funt in cadcm altitudinc mtcr fc funt vt baICS5 Et quar funt in eadcm, vcl a^quahbus bafibus^vt ahitudincs 5 vcl vt latcra, qux acquaUtcr bafi, fcu bafibus, incUnantur” - (fr:1786) [Quindi i triangoli che hanno la stessa altezza stanno tra loro come le basi; e quelli che stanno sulla stessa o su basi uguali, come le altezze; o come i lati che sono ugualmente inclinati alla base o alle basi].
[21]
[21.1-36-1828|1863]
20 Resoconto sulle relazioni geometriche tra prismi, piramidi, cilindri, coni e loro frustri
Il testo, di argomento geometrico, analizza le proporzioni tra solidi
(prismi, piramidi, cilindri, coni e loro frustri) fondandosi su
dimostrazioni e riferimenti a Euclide. Inizialmente, si stabilisce che
un prisma è triplo della piramide con stessa base e altezza:
“CBOMErRI^ rami pyrami des aequalc$,FD BQFDEQFBA C, vtoftcdit
Euclides Vnd.” - (fr:1828) [Si afferma che il prisma ADEF è
triplo della piramide CDEF, la quale si scompone in tre piramidi uguali
(FDB, FDE, FBA C), come dimostra Euclide negli Elementi]. Questa
relazione viene estesa a cilindri e coni: “vt autcm fchabet
prifma , ADEF,adpyramidem, CDEF,ita fc habet cylindricusjGO, ad conic
um, HIMNO,ergo, GO,triplus cil con!ci,HMO, vndc cmnis cylindricus
triplus cftconici incadem b3fi5& alntudinc cum eo conftituti, illi
cnim conici , qui funt m cadcn) bafi, &: altitudine cx ant, omncs
intcr fe funt a^cjtialcs , quod oftcndcndum erat .” -
(fr:1831) [Come il prisma ADEF sta alla piramide CDEF, così il cilindro
GO sta al cono HIMNO; quindi GO è triplo del cono HMO, e ogni cilindro è
triplo del cono con stessa base e altezza — inoltre, tutti i coni su
stessa base e altezza sono uguali tra loro, il che era da
dimostrare].
Nelle annotazioni, si richiamano proposizioni precedenti per definire le proporzioni di coni e cilindri: “Sicergo racum , acfirmum cft^Comcos ?n cadcm, vel cqualibusbabuscx.ftencesi ciTc incer fe vt alcicudiocs.” - (fr:1839) [È confermato che coni o cilindri su stessa base o basi uguali stanno tra loro come le altezze]; “Hibercq; raciotiemcompoficamex racione ba(ium>& alcicudinum* H >s vcr6>quorum bifcs alcKu dioibus rccf procar cur , acqualcs ciTsi&zqualium bifcsalcicudinibus reciprocari.” - (fr:1840) [La loro ragione è composta da ragione di basi e altezze: quelli con basi reciproche alle altezze sono uguali, e viceversa]; “Accandem nmilcs cooicos cflfc in cripla rac one linearumj vel lacerun) homologorumeorfiJcm bafiumi ftu firailium criaogulorum per vcrcitc crafcucinmiqu» ia i pfius prop.i a. Cor.” - (fr:1841) [I coni simili sono nella tripla ragione delle linee omologhe (basi o lati), come nel corollario della proposizione 12].
Segue il Teorema IX (Proposizione IX), dedicato ai frustri di cono: “COnicorum fruftj arqui alta,& inbAfibui arqu^ altorum conicoru, i quibus abfci q-^ duQtur > con ftituta> inter fc fuac vc bafcs.” - (fr:1853) [I frustri di cono di altezza uguale, derivati da coni di altezza uguale, stanno tra loro come le loro basi]. La dimostrazione usa piani paralleli alle basi: “Videatur fchcina prop. huiusjin quo fintconicoruin apque alc;>rum, AKLM, BSQTR.frufta , GlOLKM,XVTS, incirdcincum illis bafibus, KLM,SQTR, &:in sequahbus alcitvidMib is,CE> Drjcxilkiuij , igitur abfciflis vrsus puncta, Q D, altitudinum partibus a:quahbus , &: pcr carum tcrnniios dudis planis baiibus parallchs, oftcndcmui abijfdcmprodudas in fruftis figuras circintcr fc vt ipfac balcs,codcm modo,quoibifadiimcft,vndc patcbit di-Aa frufta clTchguras proportionahtcr analogas, quaprop- llitJaf^ tcr ipfa cflc intcr fc vt bafcs paritcr concludcmus , quod c rat dcmonftrandum—» .” - (fr:1855) [Si veda lo schema della proposizione 7: coni di altezza uguale AKLM, BSQTR e loro frustri GlOLKM, XVTS sulle basi KLM, SQTR, con altezze CE=Dr. Prese parti uguali delle altezze verso Q e D, e condotti piani paralleli alle basi, le figure generate nei frustri stanno tra loro come le basi — quindi i frustri sono proporzionalmente analoghi e stanno tra loro come le basi, il che era da dimostrare].
Un corollario estende questi risultati ai frustri
cilindrici: “CVm vero etUm cylindrici in bdfibus diSIortirr
fruftcrum^ |i4t d^Hdlthus cttm ctfdem Mlt tdbebttnt gdnde rdtionem dd dtCld
frttffd.vndeprcpo/tio ^uocunqi fruH$ €emc9 , cyltndrtco tm iddem bdft ,
fir dltttudine , ettm e9 ixificnte» vtfdtienemcyhndnct dd fruftum
conicii nuentdmuSt fufficietdUcttwscyUndrtct prdfdtd
dltttttdtntsfdttot.emdd frtt^ ftttm
extfient inne^“* - (fr:1857-1859) [Poiché
anche i frustri cilindrici su basi diverse (stessa altezza) stanno tra
loro come le basi, saranno proporzionali ai frustri conici; per trovare
la ragione tra un cilindro e un frustro conico (stessa base e altezza),
basterà usare il cilindro proposto e il frustro sulla stessa base e
altezza, quando esistono].
Infine, si nota che questa proposizione conferma altre relazioni geometriche: “Per hne autem Propof. fatisfit eti^m Prap.”* - (fr:1862-1863) [Questa Proposizione soddisfa anche a un’altra Proposizione].
[22]
[22.1-50-1916|1965]
21 Definizioni, teorema e corollari sui solidi rettangoli e le superfici cilindriche in un trattato geometrico latino
Testo scientifico che introduce solidi rettangoli e quadrati, ne definisce la contenuta da superfici omologhe, dimostra l’esistenza di infiniti solidi uguali a uno dato e aggiunge corollari sulle superfici cilindriche.
Il brano inizia con un argomento sulle superfici cilindriche: “Geometriae ipsae per eiusdem latera transibunt; ergo, AC, BD, sicut etiam, RN, SO, per quae transire dicantur tangentia planorum, ipsis, EG, FH, aequidistabunt; quo pacto ostendemus etiam, AB, CD, RS, NO, ipsis, EF, GH, pariter aequidistare; ergo plana contactus, AD, RO, erunt parallelogramma rectangula, ergo et ipsae erunt superficies cylindraceae; ergo etiam ratione contingentium planorum secantibus planis aequidistantium propositum solidum superficiebus cylindraceis comprehendi manifestum est, quod ostendere opus erat.” - (fr:1916) [Le geometrie stesse passeranno per i loro lati; quindi AC, BD, come anche RN, SO – attraverso le quali si dice che passano le tangenti dei piani – saranno parallele a EG, FH; con lo stesso metodo mostriamo anche che AB, CD, RS, NO sono parimenti parallele a EF, GH; quindi i piani di contatto AD, RO saranno parallelogrammi rettangoli, dunque anche esse saranno superfici cilindriche; perciò è manifesto che il solido proposto, grazie ai piani contingenti tagliati da piani equidistanti, è compreso da superfici cilindriche: cosa che bisognava dimostrare.]
Seguono due definizioni chiave. La Definitio A nomina solida rectangula (solidi rettangoli) quelli formati da parallelogrammi rettangoli, e solida quadrata (solidi quadrati) se i parallelogrammi sono quadrati; inoltre definisce le regulae (regole) come le linee a cui sono paralleli i lati dei piani rettangoli: “A. Huiusmodi ergo solida appellabimus nomine comuni solida rectangula. Cum vero unumquodque in eisdem solidis ex secantibus planis productorum parallelogrammorum rectangulorum fuerit quadratum, etiam solida quadrata vocabuntur. Et ipsorum regulae, quibus latera plana rectangula continentia, aequidistant.” - (fr:1918-1919) [A. Tali solidi quindi chiameremo con il nome comune solidi rettangoli. Quando poi ciascuno di questi solidi, prodotto da piani secanti, sarà formato da parallelogrammi rettangoli quadrati, chiameremo anche solidi quadrati. E le loro regole sono quelle a cui sono paralleli i lati che contengono i piani rettangolari.]
La Definitio B specifica che un solido rettangolo è contento da due superfici (con le regole sopra) se ogni piano equidistante che lo taglia produce un parallelogramma rettangolo; i solidi quadrati possono anche essere chiamati “quadrati” di una delle superfici contenenti, e le superfici che prendono lati uguali dei piani rettangolari sono dette homologae (omologhe): “B. Insuper solidum quodcunque rectangulum sub duabus quibuscunque superficiebus dicetur contineri (regulis ipsis supradictis) in quibus unumquodque aequidistantium planorum, ipsum solidum rectangulum secantium, ut dictum fuit, qualia latera per sectionem ipsa designaverit, sub quibus parallelogrammum rectangulum, ab eodem plano secante in solido productum, continetur. Et cum fuerit solidum quadratum poterit etiam appellari, solidum quadratum alterutrius dictarum superficierum ipsum continentium. Ipsae vero superficies, aequalia rectangulorum planorum latera capientes, homologas pariter nuncupabimus, regula quacunque distantia eorundem secantium planorum.” - (fr:1921-1924) [B. Inoltre, un qualsiasi solido rettangolo si dirà contenuto da due qualsiasi superfici (con le stesse regole sopra dette) in cui ciascuno dei piani equidistanti che tagliano lo stesso solido rettangolo – come si è detto – designa lati tali che il parallelogramma rettangolo prodotto dallo stesso piano secante nel solido è contenuto da essi. E quando il solido è quadrato, potrà anche essere chiamato solido quadrato di una delle due superfici che lo contengono. Le superfici poi che prendono lati uguali dei piani rettangolari chiameremo allo stesso modo omologhe, con la regola di qualsiasi distanza dei medesimi piani secanti.]
Un’Annotatio chiarisce che il linguaggio per i solidi si ispira a Euclide (per i rettangoli piani), ma per i solidi la soliditas (solidità) è determinata dalle superfici omologhe, anche se non tutte le superfici contenenti sono nel limite del solido: “Iuxta ergo suprascriptas definitiones manifestum est, quod […] nam condiciones habent recta quae solida sunt, quae videntur solidi rectangula: sit igitur, ASOC, rectangulum solidum […] Quemadmodum si quis aliter ab Euclide diceret parallelogrammum rectangulum non solum sub lateribus ipsum angulum rectum constituentibus, sed etiam sub quibuscunque aliis lateribus praedictis aequalibus contineri, subintelligendo quod hoc parallelogrammum in ipsius ambitu necessario ipsa latera congruentia habeat, sed per se sive sint in ambitu sive non, ipsius quantitatem determinari; parallelogrammum […] rectangulum contentum sub duobus lateribus, iuxta modum loquendi Euclidis […] Quod si quis accuratius demonstraciones sec. Elementorum a prima illius def. dependentes animadvertat, suam fortitudinem veritatis sive secundum hanc sive secundum adductam definitionem intelligantur; consimilem autem demonstrationum seriem ex superioribus definitionibus emanantem, inferius et ipsae subiungemus.” - (fr:1926-1944) [Secondo le definizioni poste sopra quindi è chiaro che […] perché quelle condizioni hanno le rette che sono solidi, che sembrano solidi rettangoli: sia dunque ASOC un solido rettangolo […] Proprio come se qualcuno dicesse che un parallelogramma rettangolo è contenuto non solo dai lati che formano il suo angolo retto, ma anche da qualsiasi altri lati dati uguali, intendendo che questo parallelogramma nel suo limite ha necessariamente quei lati congruenti, ma che la sua quantità è determinata per sé, sia che siano nel limite sia che non; un parallelogramma rettangolo contenuto da due lati, secondo il modo di dire di Euclide […] Se poi qualcuno considerasse più accuratamente le dimostrazioni degli Elementi dipendenti dalla sua prima definizione, noti che esse hanno la stessa forza di verità sia secondo questa sia secondo la definizione aggiunta; ma una serie di dimostrazioni simile, derivante dalle definizioni superiori, aggiungeremo anche in seguito.]
Il Theorema XII (Proposizione) è il cuore del testo: dato un solido rettangolo POIS contenuto da due superfici QSIB e OBIH con regole HI e IS, si possono costruire infiniti solidi rettangoli uguali ad esso, con le stesse regole e superfici: “Propositio. Omni proposito quocunque solido rectangulo iuxta datas regulas, ac sub duabus quibusdam superficiebus contento, indefinita numero solida rectangula pariter dari possunt, iuxta easdem regulas, quorum unumquodque proposito solido aequale erit ac sub eisdem superficiebus continebitur. Hic propositum quodcumque solidum rectangulum, POIS, sub duabus superficiebus, QSIB, OBIH, contentum, cuius regulae sunt HI, IS. Dico indefinita numero solida rectangula regulis eisdem pariter dari posse, quorum unumquodque ipsi POIS aequale erit, ac sub eisdem superficiebus, QSIB, OBIH, continebitur.” - (fr:1945-1950) [Proposizione. Per qualsiasi solido rettangolo proposto secondo le date regole e contenuto da due superfici, si possono dare allo stesso modo infiniti solidi rettangoli secondo le stesse regole, ciascuno dei quali sarà uguale al solido proposto e contenuto dalle stesse superfici. Sia dunque il solido rettangolo proposto POIS, contenuto da due superfici QSIB e OBIH, le cui regole sono HI e IS. Dico che si possono dare allo stesso modo infiniti solidi rettangoli con le stesse regole, ciascuno dei quali sarà uguale a POIS e contenuto dalle stesse superfici QSIB e OBIH.]
La dimostrazione sfrutta le superfici cilindriche: si estendono indefinitamente le superfici di POIS, si prende una figura AKMN omologa a OHIB, e si muove una linea retta parallela a SI attorno al contorno di AKMN per generare nuove superfici cilindriche. Si dimostra che i piani secanti producono rettangoli uguali, quindi i solidi CM e PI sono uguali; poiché esistono infinite figure omologhe, esistono infiniti solidi uguali: “Igitur rectangulum solidum POIS superficiebus cylindraceis comprehenditur; illae ergo superficies indefinitae hinc inde produci intelligantur, in quibus latera signata per plana parallela in solido parallelogramma rectangula generantia, uni regulae, ut ipsi HI, aequidistant; tales autem sunt superficies PS, SH, HB, BP, sicut et PH, HS, SB, BP, quarum est pariter regula SI, et si UPB fuerint parallelogramma rectangula, possunt latera ipsis tacta lineae uni cuidam parallelae designari. Producantur autem ipsae PS, SH, HB, BP, hinc inde indefinite; intelligaturque similiter in quacumque productarum superficierum, ut in OI producta, existere figuram quamcunque AKMN, homologam iuxta regulam RI ipsi OHIB, in eadem superficie existentem; deinde per illius ambitum AKMN feratur quaedam linea recta indefinita, hinc inde producta, semper ipsi SI aequidistans, donec omnem illius percurrerit ambitum, gignens superficies cylindraceas CAKN, NM, GMAD, DA, absque defectione; et sit superficies QR indefinita producta, et superficies cylindracea DCNG. […] Eadem ratione ostendemus, quaecunque alia duo rectangula ab eodem dictorum aequidistantium plano in ipsis solidis producta aequalia esse; ergo cum solida CM, PI sint in eadem altitudine sumpta regulis eisdem aequalibus rectangulis, concluduntur […] inter extrema plana parallela, quorum contactus est in planis NM, RI, Ca, PB; ideo dicta solida erunt aequaliter analoga iuxta dictas regulas, ergo inter se aequalia erunt; et cum superficies AM sit homologa ipsi OI, et DM ipsi QI, regula plano RI, propterea et erit CM solidum rectangulum aequale ipsi PI, et si sub eisdem superficiebus QI, IO continebitur, et eius regulae erunt pariter ipsae HI, IS. Cum vero in superficie OI indefinita producta, indefinitae numero figurae ipsi OI homologae, regula plano RU supponi possint, ut facillime apparet, et ex supradicta methodo tot solida rectangula eisdem aequalia exstrui possunt, regulis eisdem, quot erunt figurae ipsi HF homologae iuxta dictas regulas, id est numero indefinito, quorum unumquodque ipsi PI adaequari, ac sub eisdem superficiebus QI, IO contineri, ut supra ostendemus. Quemadmodum etiam si indefinitae superficies PH, HS, SB, BP supra vel infra producerentur, alia indefinita numero solida rectangula inveniri eodem modo possent, quorum unumquodque ipsi PI adaequari, ac sub eisdem superficiebus QI, IO contineri, regulis eisdem HI, IS, pari ratione probaremus. Haec autem ostendenda proponebantur.” - (fr:1950-1960) [Quindi il solido rettangolo POIS è compreso da superfici cilindriche; si intendano dunque quelle superfici estese indefinitamente da una parte e dall’altra, nelle quali i lati segnati da piani paralleli – che generano nel solido parallelogrammi rettangoli – sono paralleli a una regola come HI; tali sono le superfici PS, SH, HB, BP, come anche PH, HS, SB, BP, la cui regola è parimenti SI, e se UPB sono parallelogrammi rettangoli, possono essere designati lati tagliati da linee parallele a una qualsiasi. Si estendano dunque le stesse PS, SH, HB, BP indefinitamente da una parte e dall’altra; si intenda similmente che in qualsiasi superficie estesa, come in OI estesa, esista una figura qualsiasi AKMN, omologa secondo la regola RI a OHIB, esistente nella stessa superficie; poi, per il suo contorno AKMN, si muova una certa linea retta indefinita, estesa da una parte e dall’altra, sempre parallela a SI, finché abbia percorso tutto il suo contorno, generando le superfici cilindriche CAKN, NM, GMAD, DA, senza interruzione; e sia data la superficie QR estesa indefinitamente e la superficie cilindrica DCNG. […] Con la stessa ragione mostreremo che qualsiasi altri due rettangoli prodotti dallo stesso piano equidistante detto in quei solidi sono uguali; quindi poiché i solidi CM e PI sono nella stessa altezza, presi con le stesse regole e rettangoli uguali, si concludono che sono tra i piani paralleli estremi – il cui contatto è nei piani NM, RI, Ca, PB – perciò i detti solidi saranno ugualmente analoghi secondo le dette regole, quindi saranno uguali tra loro; e poiché la superficie AM è omologa a OI, e DM a QI, per la regola del piano RI, perciò anche il solido rettangolo CM sarà uguale a PI, e se sarà contenuto dalle stesse superfici QI e IO, le sue regole saranno parimenti HI e IS. Poiché poi nella superficie OI estesa indefinitamente si possono supporre infinite figure omologhe a OI, secondo la regola del piano RU (come appare molto facilmente), e con il metodo sopra detto si possono costruire tanti solidi rettangoli uguali con le stesse regole, quante saranno le figure omologhe a HF secondo le dette regole – cioè in numero infinito –, ciascuno dei quali sarà uguale a PI e contenuto dalle stesse superfici QI e IO, come abbiamo mostrato sopra. Proprio come se anche le superfici PH, HS, SB, BP fossero estese sopra o sotto, si potrebbero trovare allo stesso modo altri infiniti solidi rettangoli, ciascuno dei quali sarebbe uguale a PI e contenuto dalle stesse superfici QI e IO, con le stesse regole HI e IS; lo dimostreremmo con la stessa ragione. Queste cose però erano proposte da mostrare.]
Infine, tre corollari completano il lavoro:
1. Corollario I: Un solido rettangolo contenuto da due
superfici date si può descrivere muovendo una linea parallela a una
regola lungo il contorno di una figura omologa: “Corollarium
I. […] eodem modo solidum rectangulum contentum sub duabus datis
superficiebus, ac datis regulis, per dictas superficies cylindraceas,
quae continent illa duo homologa, describi potest; sit superficies CG
descripta ex motu lineae NJ per lineam NEC, semper ipsi HI parallelam;
ut dictum est.” - (fr:1961-1962) [Corollario I. […] Allo
stesso modo un solido rettangolo contenuto da due superfici date, con le
date regole, può essere descritto mediante le superfici cilindriche che
contengono quei due omologhi; sia la superficie CG descritta dal
movimento della linea NJ lungo la linea NEC, sempre parallela a HI; come
detto.]
2. Corollario II: Tali solidi sono parti di solidi
infiniti limitati dalle stesse superfici cilindriche; se le regole si
incontrano in un punto, sono perpendicolari: *“Cor
[23]
[23.1-22-1968|1989]
22 Teoremi sui solidi rettangoli, cilindrici e parallelepipedi nel Libro VII di un trattato geometrico
Il testo apre con una riflessione sui solidi rettangoli: si afferma che un tale solido può essere contenuto non solo da due superfici opposte, ma anche da qualsiasi coppia di superfici omologhe, purché si mantengano le stesse regole e la stessa quantità di solidità. “deniq; apparet, quam congruenter solidum rectangulum nedum sub duabus superficiebus in eiusdem ambitu existentibus contineri, sed etiam subductis aliis quibuscumque praedictis homologis, iuxta eiusdem regulas, licet, diversis superficiebus ipsum solidum comprehendatur, tamen eadem semper soliditatis quantitas construitur” - (fr:1971) [Infine appare quanto convenientemente il solido rettangolo sia contenuto non solo da due superfici esistenti nel suo stesso ambito, ma anche, sottratte altre qualsiasi delle predette omologhe, secondo le stesse regole, benché il solido sia compreso da superfici diverse, tuttavia si costruisce sempre la stessa quantità di solidità].
Successivamente si introduce il Teorema XIII, Proposizione XIII del Libro VII: se due regole qualsiasi per descrivere solidi rettangoli, composte in un solo punto, contengono un solido rettangolo sottomesso a un parallelogramma e a un’altra figura piana entro l’ambito del solido, tale solido è cilindrico e la figura piana è la sua base. “SI, expositis duabus quibuscumque solidorum rectangulorum describibilium regulis ad unum punctum compositis, iuxta easdem solidum rectangulum contineatur sub parallelogrammo, & alia quacumque figura plana in ambitu contenti solidi existente, ipsum solidum rectangulum erit cylindricus, & figura plana superior dicta erit eius basis” - (fr:1973) [Se, poste due regole qualsiasi di solidi rettangoli descrivibili, composte in un solo punto, secondo le stesse si contenga un solido rettangolo sottomesso a un parallelogramma e a un’altra figura piana esistente nell’ambito del solido contenuto, il solido rettangolo stesso sarà cilindrico, e la figura piana detta sopra sarà la sua base]. Viene esposto un esempio con le regole BC, CD e il solido AGCH, contenente la figura piana HDC nel suo ambito (fr:1974).
La dimostrazione che AGCH è cilindrico si basa sul fatto che le superfici AC, CG, GH sono cilindriche con regola BC, e le sezioni piane parallele in esso disegnate sono uguali a BC: “quod vero latera per sectiones parallela plana in ipsis designata sint, aequalia ipsi BC, late” (fr:1977) [ma che i lati designati in essi per sezioni piane parallele siano uguali a BC, è chiaro]. Si aggiunge che è come un filo uguale a BC che percorre la superficie ADBH con il suo punto estremo sempre equidistante da BC, descrivendola: “perinde est ac si filatus aequale BC, ambitum figurae HDQ extremo sui puncto semper ipsi BC aequidistante vel sic percurritet ipsam superficiem ADBH, describendo” - (fr:1978) [è come se un filo uguale a BC percorresse l’ambito della figura HDQ con il suo punto estremo sempre equidistante da BC, o in tal modo descrivendo la superficie ADBH stessa]. Quindi AGCH è cilindrico con base HDC.
Si considera poi il caso in cui solo una figura piana sia nell’ambito del solido: con l’esempio delle regole SI, IH e delle figure QI, AM, si mostra che CM è cilindrico con base AM (fr:1979). Se invece entrambe le figure QI, IO sono parallelogrammi nell’ambito del solido (PI), allora PI è sia cilindrico sia parallelepipedo, con piani paralleli: “manifestum est nedum PI esse cylindricum, sed etiam esse parallelepipedum, sunt enim plana RI, PB, parallela, necnon PH est superficies plana ipsi QI parallela, AC, PS, est plana, necnon ipsi HB similiter parallela” - (fr:1980) [è chiaro non solo che PI è cilindrico, ma anche che è parallelepipedo, poiché i piani RI, PB sono paralleli, e anche PH è una superficie piana parallela a QI, AC, PS è un piano, e anche simile parallelo a HB].
Seguono due Corollari (fr:1981, 1983-1984) e un’Annotazione: quest’ultima sottolinea l’importanza di abituarsi alla descrizione mentale dei solidi, come si fa per i rettangoli e i quadrati da linee rette senza disegni, così anche per i solidi rettangoli e quadrati da due figure piane nelle stesse parallele: “Terum tamen valde expediet pro sequentibus assuefieri diSorum solidorum mentali descriptioni, exhibitis continentibus eadem fig. (quae, puto, semper planae erunt) in iisdem parallelis constitutis, quemadmodum in duabus quibuscumque rectis lineis exhibitis, illic rectangulum sub ipsis mentaliter describere solemus, sic etiam & quadratum datae rectae lineae cuiuscumque absque eo quod semper in schematibus ipsa descripta exhibeantur, sic ergo & solida rectangula & solida quadrata, sub duabus planis figuris in eisdem parallelis existentibus iuxta datas regulas contentis ad figurarum confusionem evitandam & nos quoque mentaliter ve plurimum describemus” - (fr:1985-1986) [Tuttavia è molto utile per i seguenti assuefarsi alla descrizione mentale dei solidi divisi, mostrate le figure che li contengono (le quali, penso, saranno sempre piane) costituite nelle stesse parallele, come in due linee rette qualsiasi mostrate, siamo soliti descrivere mentalmente il rettangolo sotto di esse, così anche il quadrato di una linea retta data qualsiasi senza che sempre siano mostrate descritte negli schemi, così quindi anche i solidi rettangoli e i solidi quadrati, contenuti sotto due figure piane esistenti nelle stesse parallele secondo le regole date, per evitare la confusione delle figure, li descriveremo anche noi mentalmente per lo più].
Infine, il testo annuncia il Teorema XIV, Proposizione XIV (fr:1987-1989).
[24]
[24.1-93-2011|2103]
23 Teoremi e corollari sui solidi rettangoli da figure piane con il metodo degli indivisibili
Trattato geometrico che definisce solidi “quadrati” e “rettangoli” associati a figure piane, ne dimostra relazioni algebrico-geometriche tramite corollari e introduce un metodo basato sugli indivisibili per evitare circonscrizioni/inscrizioni.
Il testo, frammentario ma con parti leggibili, si concentra su
solidi rettangoli e solidi quadrati
generati da figure piane, utilizzando il metodo degli indivisibili. Una
chiave terminologica è fornita in (2084), dove si spiega l’equivalenza
tra questi solidi e insiemi di sezioni:
“Ex supradictis sauctero facile est intelligere nomen quadrati
solidi alicuius figurae planae equipolleare omnibus orizontibus
quadratorum eorumdem rigulae… & item rectanguli solidi sub duabus
figuris equipollet omnibus rectangulis sub eisdem figuris, quibusquidem
in methodo indivisibilium utebamur” - (fr:2084) [Da quanto
detto sopra è poi facile intendere che il nome di solido quadrato di
qualsiasi figura piana equivalga a tutti gli orizzonti dei quadrati
della stessa regola… e parimenti il solido rettangolo sotto due figure
equivale a tutti i rettangoli sotto le stesse figure, con le quali
appunto usavamo nel metodo degli indivisibili.]
Questo approccio permette di semplificare le dimostrazioni, come
indicato in (2085), evitando le complesse circonscrizioni e inscrizioni
di figure solide usate da altri autori:
“ex quo patet, ut sic nos indefinitum filancium numerum
cautare, cui ipsorum, quae rectangula solida appellavimus, soliditati
satis concinne putavimus substicuimus. His acceptis, sequentium
propositionum demonstrationes… per hunc nostram novam methodum, absque
solidarum figurarum circumscriptione, & inscriptione, ut alii
consueverunt, necnon facile, ostendemus” - (fr:2085) [da cui
è chiaro che, per così dire, evitiamo un numero indefinito di fili, al
quale abbiamo pensato di sostituire in modo abbastanza elegante la
solidità di quelli che abbiamo chiamato solidi rettangoli. Presi questi,
le dimostrazioni delle proposizioni seguenti… mostreremo in modo
brevissimo con questa nostra nuova metodo, senza circonscrizione e
inscrizione di figure solide, come altri sono soliti fare, e anche
facilmente.]
Tra i corollari, il sesto (2046) illustra un’identità algebrica
tradotta in termini geometrici, simile a quella del quadrato di un
binomio:
“Nam quadratum solidum BGEO aequatur quadratis solidis BGEN,
BNEO cum duobus rectangulis solidis sub eisdem figuris, addito ergo
quadrato solido communi BNEO, sunt quadrata solida figurarum BGEO, BNEO,
aequalia duobus rectangulis solidis sub figuris BGEN, BNEO, cum duobus
quadratis solidis BNEO, hoc est duobus rectangulis solidis sub BGEO,
BNEO, cum quadrato solido BGEN” - (fr:2046) [Infatti il
solido quadrato BGEO è uguale ai solidi quadrati BGEN, BNEO con due
solidi rettangoli sotto le stesse figure; aggiunto quindi il solido
quadrato comune BNEO, i solidi quadrati delle figure BGEO, BNEO sono
uguali a due solidi rettangoli sotto le figure BGEN, BNEO, con due
solidi quadrati BNEO, cioè a due solidi rettangoli sotto BGEO, BNEO, con
il solido quadrato BGEN.]
Il decimo corollario (2072) collega il metodo alla sezione
aurea (“extrema et media ratio”): se una linea è
divisa in questo modo, il solido rettangolo generato da due figure è
uguale al solido quadrato di una terza:
“Igitur demonstrabo ultimo, si quandam ex linea, VN E, sic ut
si quae ante, ut ante, secetur, scilicet BNE, ipsi, UF, adiutantes,
secundum extremam et mediam rationem, ut ratio maior pars ad minorem,
sit linea ex genita figura, VGEN, factum rectangulum solidum sub, BGEO,
BNEO, aequale quadrato solido, VGEN” - (fr:2072) [Dimostrerò
infine che, se una certa linea, VNE, come prima, sia divisa, cioè BNE,
ausiliaria a UF, secondo la ragione estrema e media, in modo che la
ragione della parte maggiore alla minore sia la linea generata dalla
figura VGEN, il solido rettangolo fatto sotto BGEO, BNEO è uguale al
solido quadrato VGEN.]
Infine, il Teorema XVI (2092) enuncia una proporzionalità tra solidi
rettangoli, usando un trapezio e un triangolo:
“Rectangulum solidum sub, AE, EC, ad rectangulum solidum sub,
ADEC, trapezio, & triangulo, CEF, regulis eisdem contentum, erit vt,
DE, ad compositam ex DE, & EF” - (fr:2092) [Il solido
rettangolo sotto AE, EC, al solido rettangolo contenuto sotto il
trapezio ADEC e il triangolo CEF, con le stesse regole, sarà come DE
alla composta da DE e EF.]
Un’annotazione (2074-2078) chiarisce infine che le linee parallele utilizzate devono essere intese come “intere”, anche se separate lungo il perimetro della figura, rimandando a una proposizione precedente (Prop.10 Lib.2).
[25]
[25.1-25-2129|2153]
24 Elementi geometrici solidi, rapporti e annotazioni restaurative in un trattato latino
Testo frammentato con errori OCR, contenente teoremi geometrici, proposizioni, dimostrazioni parziali e un’annotazione sulla restaurazione di opere precedenti.
Il testo è composto da frammenti di un trattato geometrico latino, con numerosi errori di riconoscimento ottico (OCR) che compromettono la leggibilità di molti passaggi. Si identificano tre teoremi e proposizioni corrispondenti: Theorema XVIII / PROPOS. XVIII (fr:2132-2134), THEOREMA XIX / PROPOS. XIX (fr:2136-2138) e THEOREMA XX / PtiaPOS. XX (fr:2142-2144, con errore OCR in “PtiaPOS”).
Il teorema XVIII (fr:2135) fa riferimento a fchemate Prop.^i.eiufdcm Lib.i.regula cadcm [schema della Proposizione 41? dello stesso Libro 1, regola conservata], trattando un rcdangulumfoJidum fub, AO, OB [rettangolo solido sotto AO, OB] e il suo rapporto con un altro rettangolo solido sotto i trapezi HACN e WCN, legato a un triangolo HQM e a rettangoli sotto HM/NO e NO.
Il teorema XIX (fr:2139) usa invece fchemate Prop.52. Lib.2.fimiliter, reguU eadem retenta [schema della Proposizione 52 del Libro 2, stessa regola conservata], confrontando un rettangolo solido sotto AE, ER con uno sotto i trapezi ADEC, CESR, legato al rettangolo DES e a compositi di segmenti SF, FE, FS.
Un’annotazione (fr:2140-2141), nonostante gli errori, accenna a proposizioni da restaurare in libri precedenti con un nouam cqcchoduni a oobis qu()qj& ipff tcftaurcntur [nuova equazione o metodo da noi escogitato per restaurarle], promettendo maggior chiarezza, brevità e facilità.
Il teorema XX (fr:2145-2153, molto frammentato) riguarda un semicircolo o fcnutiiipli^h PK,cucadiamc» trum [multiplo? PK, come diametro] e un’applicata BP, menzionando un rapporto tra un lidum poriionis,DEP, ad quadraeum folidum paralldogrammi,FP [solido della porzione DEP e il solido quadrato del parallelogramma FP] come composito di EB e V.BR rispetto a BR. Si descrive una costruzione con prolungamenti di PB, HE, segmenti uguali a RE, parallele e applicate in una semiporzione, oltre a uguaglianze o proporzioni tra rettangoli e quadrati (es. rcaangulo,!JeXB,cft a:qualc rcaangulo, RBE, hoc cft,in circulo,quadrato, BP [rettangolo BEXB uguale al rettangolo RBE, cioè, nel cerchio, al quadrato di BP]). Viene anche menzionata l’estensione di questi ragionamenti all’ellisse (fr:2150, 2153), dove i rapporti potrebbero essere proporzionali invece che uguali.
[26]
[26.1-20-2156|2175]
25 Elementi geometrici solidi e proporzioni in un trattato latino di matematica
Testo frammentato di un trattato geometrico con proposizioni, teoremi e dimostrazioni su solidi, porzioni e sezioni coniche.
Il testo presenta caratteristiche strutturali di un trattato matematico latino, includendo un corollario (“COROLLARIVM” - fr:2161), un’annotazione (“ANNOTATIO” - fr:2163) e il Teorema XXI con la Proposizione XXI (“THEOREMA XXI” - fr:2168; “PROPOS. XXI.” - fr:2169-2170).
Tra i concetti geometrici chiave, figura il quadrato solido (definito in rapporto a porzioni e semiporzioni): la frase 2159 spiega che le semiporzioni omologhe DEB e BEP, sezionate da piani equidistanti a BP, portano al quadrato solido di FP (diviso per EB) uguale ai quadrati solidi FB, BH e a due rettangoli solidi sotto FB, BH — per cui il quadrato solido di FP è quadruplo di quello di BH, e lo stesso vale per il quadrato solido della porzione DEP rispetto a quello della semiporzione EBP (“fcmiportioncs^DEBjBEPjfint homolog^ fccundu rcgulam planutranficns per rcgulam^BP, cuixquidiftant plana folida fccantia, ficut ctiam, FB, BH5 & cum quadratum iblidum figurse, FP, diuifx pcr lineam, EB, arquctur quadratis foli Cof.j.15. disjFBjBHj&duobus rcctanguhs folidisfub^FBjBH, idcft quatuorquadratis folidiSjBH, idco quadratum folidunij FPjquadruplum crit quadrati folidi, BH, ficut ctiam patcbit quadratum folidumporticvnjSjDEPjquadruplumelfc quadrati folidi fcmiportionisjEBPj” - fr:2159) [Le semiporzioni DEB, BEP siano omologhe secondo la retta passante per BP, alle quali sono equidistanti i piani solidi che le sezionano, come anche FB, BH; e poiché il quadrato solido di FP, diviso per EB, è uguale ai quadrati solidi FB, BH e a due rettangoli solidi sotto FB, BH (cioè quattro quadrati solidi BH), il quadrato solido di FP sarà quadruplo di quello di BH, come anche il quadrato solido della porzione DEP è quadruplo di quello della semiporzione EBP].
La Proposizione XXI introduce un semicircolo o semiellisse ASFD con diametro AD, linee applicate RF e MS, e un parallelogramma NR: la tesi è che il quadrato solido BF sta al quadrato solido della porzione ICFS come il rettangolo DKA sta al rettangolo sotto DR e il composto di RM e MA, più il rettangolo sotto RM e il composto di KM e MA (“ASfumpto ex fchemate prop j.femicirculo, vclfemiellipfi, ASFD, circa diametrum, AD,<imuIcuapplicatis,RF,MS,quaruin alterafitregula,¶llcIogrammo,NR,oftendemus inillius figura,quadratumIoliduni,BF,ad quadratum folidum portionis, lCFS, elTcvtre«aangulum, DK A,ad rc<llangulum fub,DR,& fub compofira ex RM,& ex, M A,vna cum re<aanguiofub,RM,&fubc6pofitaexi.KM,&4r.MA.” - fr:2171) [Assunto dallo schema della prop. 1 un semicircolo o semiellisse ASFD intorno al diametro AD, con linee applicate RF, MS (una retta) e il parallelogramma NR, dimostriamo che il quadrato solido BF sta al quadrato solido di ICFS come il rettangolo DKA sta al rettangolo sotto DR e il composto di RM e MA, insieme al rettangolo sotto RM e il composto di KM e MA].
La dimostrazione prosegue con costruzioni di rette uguali (GR=HM=DA, GQ=HiC=DR, YR=LM=MA) e parallelogrammi HQ, KY, LR: si dimostra che il rettangolo GQR è uguale a DRA, POT a DTA, e che GQR:POT=DRA:DTA=RF²:TX²; infine, i rettangoli solidi sotto i trapezi LHGQ, LMRQ e il quadrato solido MSXFR sono uguali nel cerchio o analoghi nell’ellisse (“cum 3utcm,GQ,fitxqualis,DR,&,YR,ipfi,MA,crit,QY,aoii3lis, RM,hoc cft ipfi,YL, c(I autcm,QY,ad,YL,vr,0], ad,’L,crgo,Ol,afquatur,IL,.i.TM,&,ZI,ipfi,RM,crgo,ZO,xquatur I » RT, a GEOMETRIyE RT, crgo rcibiigulum, POT, aequatur quoq; rcdangulo, DTA, crgo vc reciangulum, GqR, ad rcaangulum, POT, m rcaangulum, DRA, crit ad retbngulum, DTA,hoc cft ita quadratum, RF, ad quadratum, TX, crgo permutando rcaangulum, GQR, ad quadiatum, RF, erit vt rcda ngulum, POT, adquadratum, TX, quod & in reliquis huiuf modi oftcndctur fpatijs, ergo reaangulum folidum fub trapczijs,LHGQ,LMRQ,& quadratum folidum, MSXFR, crunt vcl aequaliter in circulo,vel proportionaliter analoga in ellipfi” - fr:2173) [Poiché GQ=DR e YR=MA, QY=RM=YL; quindi OI=IL, TM=ZI=RM, ZO=RT, per cui POT=DTA; dunque GQR:POT=DRA:DTA=RF²:TX², e permutando GQR:RF²=POT:TX²; ciò vale per gli altri spazi, quindi i rettangoli solidi sotto LHGQ, LMRQ e MSXFR sono uguali nel cerchio o analoghi nell’ellisse].
Il testo è testimonianza di un approccio sistematico alla geometria solida e alle proporzioni in età moderna, con riferimenti a libri precedenti (es. “prop.i.lib.4” - fr:2157) e uso di termini specifici come quadratum folidum e fcmiportioncs homologae. Molti passaggi sono frammentati (es. fr:2156, 2158, 2160, 2162, 2164-2167, 2174-2175), limitando la completezza della dimostrazione.
[27]
[27.1-46-2178|2223]
26 Analisi di un testo geometrico latino: Libro VII, Teorema XXII e annotazioni
Testo di geometria in lingua latina con riferimenti a proposizioni precedenti, enunciato e dimostrazione del Teorema XXII sulle relazioni tra solidi simili generati da figure piane, e annotazioni conclusive.
Il testo inizia con un insieme di richiami a proposizioni del Libro VII (Prop. 1, 4, 5, 6, 11, 13, 14, 17, 18, 20, ecc.), specificando che molte di queste sono dimostrabili con “mutatis nominibus” (modifiche ai nomi) o analogie con argomentazioni già note (fr:2182, fr:2188, fr:2192, fr:2194). Ad esempio, si indica che figure solide “equilateri analoghe” con lati paralleli nello stesso schema possono essere trattate come le proposizioni precedenti (fr:2189), e che corollari si deducono “eodem modo” (allo stesso modo) di quanto già visto (fr:2192).
Segue il Teorema XXII (Proposizione XXII)
(fr:2208-2210), il cui enunciato chiave è:
“EXpofitis duabus quibuscumqj figuris planis, & in earum
vnaquaq; sumpta vtcumqj regula vt quadrata folida earundem figurarum
iuxta di6tas regulas, ita erunt folida qugcumq; ad inuicem fimiliaria ex
cifdem genita figuris, iuxta eafdem regulas” - (fr:2211)
[Poste due qualsiasi figure piane, e prese in ciascuna di esse una
qualsiasi regola, come i quadrati solidi di quelle figure secondo le
dette regole, così anche saranno qualsiasi solidi simili generati dalle
stesse figure, secondo le stesse regole].
La dimostrazione procede con la definizione di due figure piane ABC e DEF, con lati omologhi BC e EF (fr:2212). Si afferma che il rapporto tra il quadrato solido di ABC e quello di DEF è uguale al rapporto tra qualsiasi solido simile generato da ABC e il solido simile generato da DEF (fr:2213). Per provarlo, si traccia una parallela HM a EF nella figura DEF (fr:2213), e si sfrutta la proprietà geometrica per cui il quadrato di un lato ha un rapporto duplicato rispetto al lato stesso, così come qualsiasi figura piana simile ha rapporto duplicato rispetto al suo lato omologo (fr:2215). Da ciò si deduce che il quadrato solido di DEF e il solido simile generato da DEF sono proporzionali alla figura piana descritta su EF; lo stesso vale per ABC e il lato BC (fr:2216, fr:2219). Infine, per permutazione delle proporzioni, si conclude che il rapporto tra i quadrati solidi delle due figure piane è uguale al rapporto tra i solidi simili generati da esse — risultato che corrisponde a “quod ostendere opus erat” (quello che bisognava dimostrare, fr:2179, fr:2219).
Chiude il testo un’Annotatio (fr:2220-2223), che osserva come la dimostrazione del Teorema XXII sia simile a quella di una proposizione precedente (forse Prop. 31 di un altro libro), e che i corollari si possono dedurre facilmente con il metodo già adoperato. Si riserva tale argomentazione per facilitare la raccolta dei corollari successivi del Libro VII (fr:2221-2222), e si menziona l’uso del termine “solido simile”, la cui definizione è rimandata a un’altra parte del trattato (fr:2223).
[28]
[28.1-123-2241|2363]
27 Frammenti geometrici da Cavalieri: teoremi, annotazioni e definizioni di spazi elicoidali
Testo latino frammentato che raccoglie teoremi sulle proporzioni tra figure piane e solide, annotazioni per la restaurazione di proposizioni e definizioni iniziali del Libro Sesto sulle spirali archimedee e gli spazi elicoidali.
Il testo si apre con frammenti di teoremi geometrici che confrontano grandezze tramite proporzioni: si afferma che “lib.4. erit paralltiogramum, AH,fequialteruparabol2,FCH, quod oftcndcndum erat” (fr:2248) [Nel libro 4, il parallelogramma AH sarà sesquiplo della parabola FCH, cosa che bisognava dimostrare], utilizzando il concetto di quadratum folidum (quadrato solido, legato alla teoria degli indivisibili). Successivamente, una serie di annotazioni discute la restaurazione di proposizioni precedenti: “Prop. a^.reftaurttionc oon iodiget, ficut etia p.2 j.cum Cor.Prop. a«.oflendetur etitm vt ibi, mutatis &c” (fr:2285) [La proposizione 25 non ha bisogno di restaurazione, come anche la 23 con il suo corollario; la proposizione 26 sarà dimostrata anche lì, con le opportune modifiche], indicando un lavoro di revisione di testi geometrici.
Il testo prosegue con l’inizio del “GEOMETRI^ CAVALER I I LIBER SEXTVS” (fr:2349) [Geometria di Cavalieri, Libro Sesto], dedicato a “dc Spacijs Hclicis, & Solidls inde genitis,acalijs quibufdam cx fuperioribus dcdudtis” (fr:2350) [gli spazi elicoidali, i solidi generati da essi e alcune altre cose dedotte dalle precedenti]. Qui si trovano le definizioni iniziali: lo Spacium Helicum è definito come “quod comprchenditur subipiraii, veleius quacumq; portione, & rearis, quæ a terminis eiufdem fpiraiis,feu illiusportionisiadinitiumreuolutionisducuatur” (fr:2355) [ciò che è compreso tra la spirale stessa, o una sua qualsiasi porzione, e le rette condotte dai termini della spirale (o della sua porzione) all’inizio della rivoluzione]. Infine, la spirale è descritta secondo la definizione archimedea: “fi cu iufcumque circuli radius æquali celeritatæ moueatur circa ipfiuscentrum […] injtio autemcirculaiionisdifcedat a centro pundu æque uelociter motum fupcr radio, taliter vt eodem tempore prædictum pundium percurrat circumferentiam atque hoc ipsum radium” (fr:2358-2359) [se un raggio di cerchio si muova con velocità uguale intorno al centro […] mentre un punto si allontani dal centro con moto ugualmente veloce sul raggio, in modo che nello stesso tempo percorra la circonferenza e il raggio], specificando che si tratta della spirale della prima rivoluzione, con termini ripresi da Archimede.
[29]
[29.1-86-2405|2490]
28 Elementi geometrici su spirali, settori circolari e parabole da un trattato post-Archimedeo
Trattato che espone teoremi sui settori circolari, spazi limitati da curve dal centro, spirali (con riferimento ad Archimede) e la misura dello spazio spirale tramite parabole e triangoli.
Il testo inizia con il Teorema V (Proposizione VI), che stabilisce la relazione tra settori circolari: “QVicumque fccflores inter fe comparati, fcu quajcumq; figura: ex fedoribus compofitae ad fc(flores,vcl ad figuras ex fc^ftoribus compofitas coparat^, habcnt candcm rationem, quamomncs ipfarum circumferenti* adomnesillarum circumferentias” - (fr:2412) [Qualunque settore confrontato tra loro, o qualunque figura composta da settori confrontata a settori o a figure composte da settori, ha la stessa ragione che hanno tutte le loro circonferenze a tutte le loro circonferenze].
Segue il Teorema VI (Proposizione VII), riguardante uno spazio delimitato da una curva che parte dal centro del cerchio: “SI in circulo abciufdem cetroadcircumferen^ i^am curuam quedam linea illius conditionis LIBERVL p producatur, vt qua?cunq; redixUne^ a centro a d ipfam pertingeccs (prascer illius extrema iunge nlem) incra illud fpatiu cadant, quod corpprche nditur ducla curua, & illius cxcrema iungece: Er it di(flum fpatium ad propoficum circulum, vel quemcunq; fe^aorem, vt omnes ciufdem circum«- ferenti» ad omnes illius circumferentias” - (fr:2426) [Se in un cerchio si produce una curva di tale condizione che ogni retta dal centro che la raggiunge (tranne quella che unisce i suoi estremi) cada in quello spazio che è compreso dalla curva e dalla linea che unisce i suoi estremi: allora detto spazio sta al cerchio proposto, o a qualunque settore, come tutte le sue circonferenze a tutte le loro circonferenze].
Per le spirali, il testo riporta due teoremi citando direttamente Archimede: il Teorema VII (Proposizione VIII) per la prima rivoluzione: “SI in fpiralem ex priraa reuolutioneortam incidant duse lineae a pundo, quod eft initium fpiralis, & producatur vfqj ad circumferentiam primi circuli, eandem rationem inter fe habebunt ift^e in fpiralem incidentes,quam arcus circuli, medij inter tcrminum fpiralis, & limites linearum produdarum in circumferentia faclos, fumptis in confequentia arcubus ^ fine fpiralis” - (fr:2449) [Se due linee dal punto iniziale della spirale della prima rivoluzione incidono sulla spirale e sono prodotte fino alla circonferenza del primo cerchio, quelle incidenti sulla spirale hanno tra loro la stessa ragione degli archi del cerchio medi tra il termine della spirale e i limiti delle linee prodotte sulla circonferenza, presi in conseguenza degli archi senza la spirale]; e il Teorema VIII (Proposizione IX) per rivoluzioni successive: “SI in fpiralcs in alijs reuolutionibus genitas, quam in prima incidant du£e lineae ab initio Ipiralis, habebunt illse interfe eandem rationem, quam arcus circuli primi, intercepti, veluti dicitur in antecedete, cum intcgra circumferetia toties affumpta, quotus eft vnitate minor reuolutionu x flumerus” - (fr:2452-2453) [Se due linee dal principio della spirale incidono su spirali generate in rivoluzioni diverse dalla prima, hanno tra loro la stessa ragione degli archi del primo cerchio intercepti, come detto prima, con la circonferenza intera presa tante volte quante è il numero delle rivoluzioni meno uno]. Queste proposizioni sono attribuite a Archimede: “H^eduxPropofitiones oftcndimturab Archimetle lib ^eSpir.Prop. &: 15” - (fr:2454) [Queste due proposizioni sono dimostrate da Archimede nel libro sulle Spirali, Prop 14 e 15].
Il Teorema IX (Proposizione X) tratta la misura dello spazio spirale: “SPatium comprehenfum a fpirali ex prima reuolucione orta, & prima linca, qua? initium cft rcuolutionis, cit tertia pars primi circulL Sic fpiralis fn prima rcuoliitionc gcnica ipf-i, AIE, AE> vcro rcuoliitionis iniuum, &: ccntro, A, intcruallo, AE^fic pi-iinus circulus dcfcriptus, ESM. Dico rpatuim, AIE, tcr tiam partcm cllc circuli, EMS” - (fr:2460-2462) [Lo spazio compreso dalla spirale della prima rivoluzione e la prima linea, che è l’inizio della rivoluzione, è un terzo del primo cerchio. Sia la spirale della prima rivoluzione AIE, AE l’inizio della rivoluzione, e con centro A e intervallo AE si descriva il primo cerchio ESM: dico che lo spazio AIE è un terzo del cerchio EMS]. La dimostrazione usa un triangolo rettangolo e una semiparabola: “vt circulus ad fpatium, AIE^ (quia curua, AIE> ci taUs coditionis, qualcm poftulat Pvop.S. vt eUcitur ex Prop.7. huius) cum vero fcmiparabola> OGKZ^fit fcxquitcrtia ti ianguU,OZR> vndc diuidcndo figura, OGR/it tcrtia pars trianguUjOZR, ideo &: fpatium hcHcum, AlE^tcrtia pars crit circuU,MSE| quoddcmonrtrarc oportcbat” - (fr:2472-2473) [come il cerchio sta allo spazio AIE (poiché la curva AIE è di tale condizione come richiede la Prop. 6, come emerge dalla Prop. 7 di questo libro) e poiché la semiparabola OGKZ è sesquialtera del triangolo OZR, quindi dividendo la figura OGR è un terzo del triangolo OZR, per cui anche lo spazio elicoidale AIE sarà un terzo del cerchio MSE: cosa che bisognava dimostrare].
Uno scholium menziona il metodo degli indivisibili e confronta la dimostrazione con quella di Archimede: “HVcuf{findinifibtltum etidminh^e Lihrelil but$ ffocedere, vt tnnotefceret nfs pofe, cjkji ^tchtr/iedes eUendtt Lth. de Sptmltbt/s» ctrcd fpditorttm menfnram, etitim t4* li ttrttficto dfmonHfdre” - (fr:2474-2475) [Fin qui con il metodo degli indivisibili, e anche nel Libro terzo procediamo così, per far notare che noi possiamo dimostrare anche in modo diretto la misura degli spazi spirali, come Archimede dimostra nel libro sulle Spirali]. Viene poi proposta un’altra dimostrazione con un triangolo uguale al cerchio e una parabola, confrontando lo spazio residuo del cerchio con un trilinèo: “Pro l6 GEOMETRIi« Prttfat^e Prtfo/, dlla demonftrntiol S Italia fpiralis ex prima reuolutione ortajASRMBjAB, vero iiiitiu reuolutionis,&: centro, A, interuallo, AB, l^t primus circulus defcriptus, ECDB, deinde cxponatur triangulus, FHG, reaum habcns jngulum ad, G,ciuus la tus, FG, fit sequalc ipfi, AB, &, HG, circuferentix,ECDB, i baiab crit crgo triangulus, FHG, arqualis circulo, ECDB… Dico igitur, FLHG, trihneum x quarifpatio tefiduo, dempto a circulo, ECDB, fpatio he lico” - (fr:2476-2478) [Per la 16a Geometria, Prefazione del Prof., di questa dimostrazione: Sia la spirale della prima rivoluzione ASRMB, AB l’inizio della rivoluzione, e con centro A e intervallo AB si descriva il primo cerchio ECDB, poi si ponga un triangolo FHG con angolo retto in G, il cui lato FG sia uguale ad AB, e HG alla circonferenza ECDB: allora il triangolo FHG sarà uguale al cerchio ECDB… Dico quindi che il trilinèo FLHG è uguale allo spazio residuo, tolto dal cerchio ECDB lo spazio elicoidale].
[30]
[30.1-25-2540|2564]
29 Teoremi sulle aree e le proporzioni della spirale nella prima rivoluzione geometrica
Trattato che dimostra tre risultati chiave sulla spirale generata da una prima rivoluzione: la quadratura dell’area sottesa da un segmento di spirale, la proporzionalità cubica delle aree di settori spirali, e la proporzione dell’area di una spirale incompleta rispetto a un settore circolare.
Il testo inizia con la definizione degli elementi base: “Sit fpiralis cx prima reuolutione orta, AOVE, primus circuUis, EYG, fumptum iii fpirali vtcumc]; punctum, V> & centro, A, interuallo autem, AV, circulus dcfcriptus, VHX.” - (fr:2540) [Sia una spirale nata dalla prima rivoluzione, AOVE, il primo cerchio EYG; si prenda un punto qualsiasi V sulla spirale, e con centro A e intervallo AV si descriva il cerchio VHX.] Il primo teorema (Theorema XI) afferma che l’area AOVA (compresa dalla porzione di spirale AOV e dalla retta AV) è un terzo del settore circolare definito da AV, AC e la circonferenza VHXC: “Dico portioncm, AOVA, comprchensam fpiralis portione,AOV,&reaa, AV^efTc -r.pornoniseiufacni-j orculicomprehcnfjereais, AV,AC,&:circumfercnti(., VHXC.” - (fr:2541) [Dico che la porzione AOVA, compresa dalla porzione di spirale AOV e dalla retta AV, è un terzo del settore circolare compreso dalle rette AV, AC e dalla circonferenza VHXC.]
Per dimostrarlo, si introduce un triangolo rettangolo HKT con HK=AC e KF=circonferenza CXHV (uguale al settore circolare) e una parabola FRH con vertice in H, tangente KH in H e asse parallelo a FK: “Exponatur triangulus reaangulus,HKT, reai>m habens anguIum,FKH,cuius latus,HK,xquale fit ipi!,AC, j.buius. &,‘KF, circumfercntix,CXHV,erit crgo triangulus,HFK* xqualis portioni circuli, cuius bafis cl^ circumferentia| «0.1.4. CXHVjclefcnpta dcindcintclligaturparabola,F.RfH,cu’ ius vcrtcx, H, qunm tangat, KH, in, H, & FK, fit axi eiuf dcm 2equidjftans.” - (fr:2542) [Si esponga un triangolo rettangolo HKT, con angolo retto FKH, il cui lato HK sia uguale a AC, e KF alla circonferenza CXHV: quindi il triangolo HFK sarà uguale alla porzione di cerchio la cui base è la circonferenza CXHV. Si intenda poi descritta una parabola FRH, il cui vertice sia H, che tocchi KH in H, e FK sia parallelo al suo asse.] Si definisce quindi il “residuo” del settore VHC come l’area tra la circonferenza VHXC, la spirale VOA e la retta AQ, e si dimostra che questo residuo è uguale al trilineo formato dal triangolo e dalla parabola, tramite doppia reductio ad absurdum: se il trilineo fosse maggiore o minore del residuo, le figure inscritte o circoscritte condurrebbero a un assurdo (fr:2543-2546). Si conclude che il triangolo HFK (uguale al settore) è sexquialter (3/2) del trilineo, quindi il settore è triplo dell’area della spirale AOVA: “trilineum ergo, HP^FK) neq; maius, neqs minus cft fpatio refiduo iam dido, ergo illi x quale, ficut triangulus, HFK, eft a:qualis portioni circuli, cuiusbafis cft circumferentia^CHV:, fed triangulus, HFK, cft fexquialrcr trilineiHpFK, ergo talis portio eft fexqui altera fpatij refidtu iamdicli^ergo ^ft tilpla fpatijj quod fpirali, AKOVj & recta 3 Av^ continccur^ quod eratoftendenduni— THEOREMA XI.” - (fr:2547) [Quindi il trilineo HP^FK non è maggiore né minore del residuo, quindi è uguale a esso. Poiché il triangolo HFK è uguale alla porzione di cerchio la cui base è la circonferenza CHV, e il triangolo HFK è 3/2 del trilineo Hp^FK, quindi tale porzione è 3/2 del residuo, quindi è tripla dello spazio compreso dalla spirale AKOV e dalla retta AV: ciò che bisognava dimostrare. Teorema XI.]
Il secondo teorema (Theorema XII, Proposizione XI) afferma che le aree compresse da porzioni di spirale e rette tracciate dall’inizio della spirale sono tra loro come i cubi di quelle rette: “SI abinitiofpiralisin prima reuolutione ortae cducantur rea: linea? vccumque ad ipfam^ ^ fpiralcm terminantes, fpatia fub portionn bus fpiralis abfcifsis peredu(3:as veifus initium, erunt vt cubi carundcm edu(3:arunui • ’ Sit fpiralis in prima reuolutione orta, ACDB 5 ipfa,, AB^rcuoluta, &: fpkalis initium, A ^ a quo nd ipHim fpira|cm tcrminantes fiiu edu(5tcr vtcumq^, AQD.” - (fr:2550-2551) [Se da un punto di inizio di una spirale nata nella prima rivoluzione si tracciano rette che terminano sulla spirale, gli spazi compresi dalle porzioni di spirale tagliate e dalle rette verso l’inizio saranno come i cubi delle stesse rette tracciate. Sia una spirale nata nella prima rivoluzione, ACDB, la retta AB la rivoluzione, e l’inizio della spirale A; da questo si traccino rette che terminano sulla spirale, AQ, AD.] La dimostrazione usa settori circolari: il settore CAVN sta al settore DAEGO in una ragione composta dal quadrato di AC al quadrato di AD e dalla circonferenza (come AC ad AD), quindi come il cubo di AC al cubo di AD. Poiché le aree spirali sono terzi di questi settori, hanno la stessa proporzione: “Centro igitur^ A, intcruallis ^ C, Di fmt dcfcripti circiuli, CMV’^ K,DGE,&:fit producli,AC, rfq; ad circufcrcntiani circuli,DG,cui incidjt in,0, poriio igitur circuli, CAV N,ad porrioncm circuli, pAEGO,habct rationcm compofitam cxM,qram ha- betport.o,CAVN,adport.oncm,OAEG,,dcn(xr.itio[l,,, quadrntum, AE, & cx ratione p Htio- nisO.AEG, nd portioncm, DAEGO, idcft cx rnt onc circumfcrcnti.r EGO, nd circ.mifcrf tiam, EGD, idcft cx rn- Uul t.one, /,ad, AE,diiarniitcmrntionc.sqn.idrnti,V^ nd quadratum, AE, & ipfius. VA, nd, AE, componut t nu.oncni cubi, VA, ad cubu, AF^ crgo pctftio, CA'N, ad port.oncm, D.AEGO, crit vt ciibiis, 'A cubum, AE, fmu nutcm ipatia, AXC, AXCD, tcrti v pnrtcs dicln. Exanu num, ergo fpatium, AXC, nd fpntium, AXCD, c it vt cu bus, VA,ad cubum, AE, quod crat oftcndcnduiu, THEOREMA Xlf.” - (fr:2553-2555) [Quindi con centro A e intervalli AC, AD si descrivano i cerchi CMV e KDGE; si prolunghino AC fino alla circonferenza del cerchio DG, dove cade in O. La porzione di cerchio CAVN ha quindi con la porzione di cerchio DAEGO una ragione composta da quella che ha la porzione CAVN con la porzione OAEG (cioè il quadrato di AE) e da quella della porzione OAEG con la porzione DAEGO (cioè della circonferenza EGO alla circonferenza EGD, cioè di VA ad AE). La ragione del quadrato di VA al quadrato di AE e quella di VA ad AE compongono la ragione del cubo di VA al cubo di AE: quindi la porzione CAVN sta alla porzione DAEGO come i cubi di VA e AE. Poiché gli spazi AXC e AXCD sono terzi parti di quelle porzioni, quindi lo spazio AXC sta allo spazio AXCD come i cubi di VA e AE: ciò che bisognava dimostrare. Teorema XII.]
Infine, la Proposizione XII riguarda una spirale più piccola della prima rivoluzione (senza l’inizio come termine): la sua area sta al settore circolare con raggio uguale alla retta maggiore in una ragione data dal rettangolo delle due rette più 1/3 del quadrato della loro differenza, diviso il quadrato della retta maggiore (fr:2558-2559). Si definisce la spirale OPRQX, il cerchio IHKXF con raggio OX, e si usa un parallelogramma rettangolo ED (con CD=OX e BD=circonferenza FHKX) e rette parallele per confrontare proporzioni di quadrati e settori (fr:2560-2564).
[31]
[31.1-37-2681|2717]
30 Analisi dei teoremi geometrici su spazi elicoidali e trilineari dal Liber VI
Trattato latino di geometria che dimostra rapporti tra aree di spazi associati a spirali e trilineari, con riferimenti a precedenti dimostrazioni e corollari.
Il testo è un frammento di un’opera geometrica in latino, identificato come Liber VI (fr:2690, fr:2704), che contiene TEOREMA XVIII (PROPOS. XVIII) e TEOREMA XIX (PROPOS. XIX) (fr:2682-2683, fr:2686-2688).
Per il TEOREMA XVIII, si afferma un rapporto tra due trilineari, lRS e ISX, come combinazione di SA con una funzione di SR, specificando che la dimostrazione è identica a quella del Teorema 13 dello stesso libro, rimandando al suo recupero: “TRilineum,lRS,ad trilineum,ISX,erit vt,SA, cum V. SR, ad, S A, cum f . SR. Huius dcmbnftratio non ciit alia a dcmonftratione 13, huius, propterca ibi rccolatur.” - (fr:2684-2685) [Il trilineo lRS al trilineo ISX sarà come SA con la [radice/funzione V] di SR, a SA con la [funzione f] di SR. La sua dimostrazione non è diversa dalla dimostrazione 13 di questo [libro], perciò ivi sia ricordata.]
Il TEOREMA XIX si concentra sui spazi elicoidali associati a cerchi concentrici (centro A, cerchi HR yo, KLNM, CDFB; spazi elicoidali AGHA, HPKMH, MZSBM: fr:2692), definendo rapporti progressivi tra di essi. Il primo spazio elicoidale sta al secondo come la terza parte del quadrato del raggio del primo cerchio al rettangolo tra i raggi del primo e secondo cerchio, più la terza parte del quadrato della differenza tra questi due raggi: “Spatium vero helicum primi circuli ad spatium helicum fecundi circuli erit, vt lertia pars quadrati radij primi circuli ad redtangulumfub radioprimi,& fccundi circuli, vna cum cema partequadrati exctffus rad j fecundi circuh fuper radjum primi.” - (fr:2690) [Lo spazio elicoidale del primo cerchio allo spazio elicoidale del secondo cerchio sarà come la terza parte del quadrato del raggio del primo cerchio al rettangolo tra il raggio del primo e del secondo cerchio, insieme alla terza parte del quadrato dell’eccesso del raggio del secondo cerchio sul raggio del primo.] Il rapporto tra lo spazio elicoidale del secondo e terzo cerchio segue una regola analoga, sostituendo i raggi con quelli del cerchio precedente e successivo, e così via: “Spatium vero fecudi circuli ad fpatium tercij erit, vt redlangulum frb radio eiufdem, & fub radio ciicuh* vnitate minoris, ideftpriaii^ vnacuai ceruaparte quadrati d.ffc^ … & fic deinceps in teliquis.” - (fr:2690-2691). Viene anche aggiunta una dimostrazione alternativa (ALITER) utilizzando un triangolo rettangolo ETI, parabole e rapporti tra cubi e parallelepipedi: “Xponatur triaogylus > ETI > habcos rcftum an^ilum uj ad>T laetiSjETylit ^rqualeradio pnmi^culi>, …” - (fr:2704) [Si ponga un triangolo ETI con angolo retto in T, in modo che il lato ET sia uguale al raggio del primo cerchio…].
Sono presenti numerosi riferimenti interni (es. ex Coroll huius, ex ratione huius, E 9 huius: fr:2694-2699, fr:2701) e termini tecnici latini: trilineum, spatium helicum, quadratum, rectangulum, cubus, parallelepipedum, excessus radiorum. Il testo presenta alcune lacune o errori di trascrizione (es. abbreviazioni incomplete, caratteri illeggibili: fr:2681, fr:2684, fr:2695).
[32]
[32.1-31-2759|2789]
31 Elementi geometrici su spirali, cilindri e coni da un trattato latino (Liber VI, 4° Scholium)
Sintesi di un testo geometrico latino che sviluppa metodi archimedei su solidi associati a spirali e cerchi, con teoremi sulle proporzioni di cilindri, coni e loro varianti “cilindriche” e “coniche”.
Il testo è parte di un trattato geometrico latino, contrassegnato da 18 la Scholia (fr:2763), Liber VI (fr:2764) e un 4° Scholium (fr:2765). I suoi contenuti si legano strettamente ai metodi di Archimede, in particolare al suo lavoro De Spiralibus, come evidenziato nel passaggio che menziona un “incremento continuo” confermato da Archimede: “in qu4pdtt$ frtmnmffdtium tfle fafeUfeqnemiftftcnnd^m vtrVfdftitm frimd tfed»- fUm;tertidmttnfdtmtrifUm, qndrtAmqnadrnfiMn, &fe dt» ineepttfetundnm nMmenrttm etntinnnm incrtmtntnm, qn* immtntu4b Archimedeefe einjirmis einfdem de Sfirdlttns librnnt ferleientiemftmmfitt.” (fr:2762) [nelle quali cose la prima dimostrazione è riportata da Archimede, la seconda da noi aggiunta; la terza è la trifold, la quarta la quadrifold, e così via, con un nome e un incremento continuo, che Archimede ha confermato nel suo libro De Spiralibus].
L’autore sottolinea l’utilità di questi metodi per la speculazione su
solidi, cilindrici e conici, invitando a non trascurarli:
“HA^c Ubmidpp§9€fi, ttm tjmd ddhibiid meihodiis db Ar^
ihtmcded dtutrfd eR, ium etidm,vi ddmitdbtUm con^e-Xiofcm, (jr, vi ttd
dtedmpdf^boltct, ac hclicifpst^» 0/JinttAtim» fdlid fpeculdnti, puto,
nfu dfpcruenddm^ /um/utt.” (fr:2766) [Queste cose qui
presentate, sia che siano tratte dai metodi di Archimede, sia che sia
aggiunta la loro connessione, e anche quelle che si speculano su solidi,
cilindrici e conici, penso che debbano essere poste sotto gli occhi a
chi non vuole negare l’uso di queste cose]. Inoltre, spiega che le
dimostrazioni possono seguire l’ordine consueto, come per
parallelogrammi, quadrati e piramidi: “Hoc dU9em idnium circd
pr^fgtds demonjlrdtiones dicdm, quodltat im Prop, 1!• ^ 1
indtutfibtUbus» ncmpc omntbus quddrdtis pcrdl* leUgrMmm$rum,(]ud tht
defcrtbuntur,vfus/uertm, tdwcn cttdm OMdo cofueto potutffcni
dcmonfirdrt,ft cx.g.zici omntu quddrd^ tcrumpdrdOclogrdmi, ED, rcguU, t
B, ibi dfsumptd > v/us/dif fcm pMrMllclcptpcdo fub MltttuitnCt
DB.bsfi dutcm <jUAdrMto»tB, 9fl fro omntbus (jUddrMtts tftdugult,
CBE, rcguU Cddcm, EB, vfusefscm pyrdmtde fub
dltttudtne,CE,bsficodcmquddrdio, EB, etenim fimtlttcr demon^rdtto
dbfolui potutfser, hsc omntum quddrdtorum pardilt lo^fd rnmortfm tbtdcm
coftacrMtorttm dtmif fd con^ertc, ^ fmbiittytts pMrdlieleptpcdts» vcl
pyrdmtdtkus, dui iMrum /ruffts, vbt ofut tr^t.” (fr:2767)
[Dico questo sulle dimostrazioni precedenti: come nelle Proposizioni 11
e 14 indicate, cioè per tutti i quadrati dei parallelogrammi descritti,
si può dimostrare anche con l’altro ordine consueto—ad esempio, tutti i
quadrati dei parallelogrammi ED, con regola e B assunti ivi, e il
parallelepipedo sotto la stessa altitudine DB e base il quadrato tB; e
per tutti i quadrati dei triangoli CBE, con regola C stessa e EB, e la
piramide sotto la stessa altitudine CE e base il quadrato EB—infatti la
dimostrazione si può svolgere in modo simile; tutte queste cose dei
quadrati dei parallelogrammi si convertono in quelle dei solidi, e in
modo simile per parallelepipedi o piramidi, due dei quali ecc.].
L’obiettivo è dimostrare che anche le figure “elicoidali”
(o “Hyioveteri”) possono essere trattate con il metodo
archimedeo: “Hdc tnuemre volur, vt prddii^ §mnid
Hyioveteri dcmgn/lrdbtUd efse^citAm dltiir dbAnbt* mcde
pdtefidt.” (fr:2768) [Vogliamo mostrare che queste cose,
come detto prima, sulle figure elicoidali possono essere dimostrate
anche con il metodo di Archimede].
Seguono tre teoremi chiave. Il Teorema XXI (Proposizione XXI) (fr:2769-2771) stabilisce che, se si espongono serie di spirali e cerchi consecutivi, e si intendono costituiti solidi cilindrici e conici sugli spazi tra spirali/volute (come basi) e sui cerchi (stessa altitudine), i cilindri, cilindrici, coni e conici hanno la stessa proporzione delle loro basi: “SI exponatur fcries fpiralium, & circuIorunC dcinccps i primis, in fpatijs vero fub fpiralibus, & volutis,cylindrici,& conici in eadcm altitudinc ftantcs intelligantur conftituti tamquam in bafibus, fimiliter & in circulis conftituti clTe cylindrij&coni intelliganturrCylindri inter fe, & cylindrici pariter inter fe > fiue ad cylindrcs comparati, fiue coni inter fe, & conici in rcr fc^,” (fr:2772) [Se si espone una serie di spirali e cerchi consecutivi dai primi, e negli spazi sotto le spirali e le volute si intendono costituiti cilindrici e conici che stanno nella stessa altitudine come su basi, e similmente si intendono costituiti cilindri e coni sui cerchi, i cilindri tra loro e i cilindrici parimenti tra loro—sia confrontati con i cilindri, sia i coni tra loro e i conici—hanno la stessa proporzione delle basi]. La dimostrazione si basa sul principio che solidi nella stessa altitudine stanno come le loro basi: “Patet hxc propofitio, nam cylindrici, Sc conici m ea «. n. dem altitudine conftitiuti funt interfc,vtbafes5funt au cotoii. temprxdiaa folida per conftruclioncm in eadem altitu IT’” dineporita,ergoeruntinterfe,vtipf^bafes5” (fr:2774-2776) [Questa proposizione è chiara, perché cilindrici e conici costituiti nella stessa altitudine stanno tra loro come le basi; infatti questi solidi sono posti nella stessa altitudine per costruzione, quindi staranno tra loro come le loro basi]. Vengono poi definiti i nomi dei solidi: primo cilindro/cono nel primo cerchio, secondo nel secondo; primo cilindrico/conico nello spazio elicoidale del primo cerchio, e così via (fr:2777). Un corollario aggiunge che, note le proporzioni delle basi, si deduce quella dei solidi (fr:2778).
Il Teorema XXII (Proposizione XXII) (fr:2779-2780) afferma che il primo cilindro è nove volte il primo conico: “PRimuscylindrusnonuplus cftprimiconici.” (fr:2780) [Il primo cilindro è nove volte il primo conico]. La dimostrazione usa la proporzione tripla: il primo cilindro sta al primo cilindrico come il primo cerchio al suo spazio (tripla), e il primo cilindrico sta al primo conico (tripla, stessa base e altitudine), quindi 3×3=9: “Hfc Propofitio paritermanifefta cft,nam prinius cylindrus ad primum cylindricu eft,vt primus circuhis ad fumn fpatium.i.inratione tripla,primus vero cyUndricus ad primum conicum eft in ratione tripla, quia funt in cadcln bafi, quod cft fpatium primi circuli, & i« eadem altitudi ne, Sc ideo primus cy lindrus ad primum conicum cft in-» rationc aoiiupl a> quse cx 4wa.^»is triglis cooflatur.” (fr:2781-2782) [Questa proposizione è abbastanza chiara: il primo cilindro sta al primo cilindrico come il primo cerchio al suo spazio (proporzione tripla); il primo cilindrico sta al primo conico in proporzione tripla, perché sono sulla stessa base (lo spazio del primo cerchio) e nella stessa altitudine, quindi il primo cilindro sta al primo conico in proporzione nonupla, composta da due triple].
Il Teorema XXIII (Proposizione XXIII) (fr:2783-2785) definisce la proporzione del secondo cilindro al secondo conico: “SEcunduscylindrus ad fccundum conicuni-. eft, vt triplum quadrati radij fccundi circu li) ad reangulum fub radio eiufdcm fecun^- di, & radio primi circuli, vnacum tertia partc-i quadrati diifcrentix eoruadem radiorum” (fr:2786-2787) [Il secondo cilindro sta al secondo conico come il triplo del quadrato del raggio del secondo cerchio al rettangolo tra il raggio dello stesso secondo e il raggio del primo cerchio, insieme alla terza parte del quadrato della differenza degli stessi raggi]. La dimostrazione si fonda sul fatto che il secondo cilindro sta al secondo cilindrico come il secondo cerchio al suo spazio, e il cilindrico è triplo del conico (stessa base e altitudine), derivando la proporzione finale (fr:2787-2788). Un ultimo corollario estende questa regola ai restanti cilindri e conici: la loro proporzione è uguale a quella tra il quadrato del raggio del cerchio base del cilindro e il rettangolo tra quel raggio e il raggio del cerchio precedente, più la terza parte del quadrato della differenza dei due raggi (fr:2789).
Elementi peculiari del testo sono il riferimento esplicito ad Archimede De Spiralibus, la classificazione di solidi “cilindrici” e “conici” associati a spazi elicoidali, e l’uso sistematico di proporzioni multiple (tripla, nonupla) per solidi con stessa base e altitudine. Dal punto di vista storico, il testo testimonia la trasmissione e lo sviluppo della geometria archimedea in ambito latino, concentrandosi su applicazioni a spirali e solidi rotondi.
[33]
[33.1-90-2792|2881]
32 Costruzione di solidi equivalenti in un trattato geometrico: cilindri, coni, sfere, sferoidi e loro parti
Testo che presenta problemi geometrici per determinare solidi equivalenti a figure date, con applicazioni a sfere, sferoidi, loro porzioni e altri solidi complessi.
Il trattato, inserito nel Liber VI, apre con il Problema I (Proposizione XXIV), che si pone l’obiettivo di “costituire un cilindro o un cono uguale a una data sfera, o a uno sferoide, o a loro porzioni” (fr:2793) [“CYlindrum,vel conum conftituere fqualcm datse fphcTra?, vel fpha^roidi ^ vel eiafdem-* poccioni^”]. Per una sfera o sferoide ACEG, si definisce un cilindro KQ con base uguale al circolo (o ellisse) per il centro N (asse AE) e altezza uguale a AE: questo cilindro è “sesquialtero della sfera o dello sferoide ACEG; e il cono è subduplo dello stesso” (fr:2796) [“Erit ergo cylindrus, KQ5 fexquialter fpharrae, vel fphseroidis ^ x^CEG ^ & conus fubduplus eiufdcm”]. Adattando altezze e basi, si estende il metodo alle porzioni (come BAH o DAF): per una porzione DAF, si costruisce un cilindro con base PF e altezza uguale a quella della porzione, quindi si ricava l’altezza corretta tramite proporzioni composte, e triplicandola si ottiene un cono equivalente (fr:2802-2805).
Segue il Problema II (Proposizione XXV), che generalizza a “qualsiasi solido costituito sulla stessa base e con la stessa altezza di un cilindro, rispetto al quale il cilindro ha una nota proporzione”: si tratta di “trovare un cilindro e un cono uguali al solido dato” (fr:2810) [“Olido quocunq; in eadem bafi , & altitudine cum cylindro confticuto, ad quod cyh^ndrus ^ notam rationem habeac , cyliiidruui, & conum> inuenire, xqualem dato folidot”]. La costruzione utilizza una proporzione tra l’altezza del cilindro di riferimento (BF) e quella di un nuovo cilindro (GF), tale che il rapporto tra i cilindri sia uguale a quello tra BF e il solido DAF: in questo modo GF è equivalente a DAF, e triplicandone l’altezza si ottiene il cono corrispondente (fr:2811-2815). Un corollario estende il metodo a solidi in una data proporzione (non solo equivalenti), invertendo il rapporto delle altezze (fr:2817-2818). Altre sezioni (SECTIO I-III) applicano questi concetti a timpani sferici/sferoidali, anelli circolari/ellittici e solidi come il Malo Roseo, Cotoneo, Oliva, conoidi parabolici/iperbolici e loro frusti (fr:2821-2829).
Il Problema III (Proposizione XXVI) si concentra su “trovare una sfera uguale a un dato cilindro” e “similmente uno sferoide intorno a un dato asse, uguale al dato cilindro” (fr:2836) [“Phseram inuenire jequalem daro cylindro* Similicer & {phxtoidem circa datum axim^ squalem daco cyliadro”]. Si costruisce prima un cilindro CFD sesquialtero del dato A, quindi si trovano due medie proporzionali tra l’altezza FE e il diametro della base CD (GH e M): una sfera B con diametro GH è equivalente ad A, perché il cilindro GLH (con base GH e altezza GH) è sesquialtero sia di A che della sfera (fr:2839-2846). Per lo sferoide intorno a un asse dato NO, si adattano le proporzioni tra assi e diametri in modo che lo sferoide sia equivalente alla sfera di riferimento, quindi ad A (fr:2847-2849). Un corollario estende il metodo a tutti i solidi menzionati in precedenza, sia per equivalenza che per proporzione data (fr:2850-2853).
Il Problema IV (Proposizione XXVII) vuole “costituire per un dato cilindro un apice sferico uguale, o sferoidale, e questo intorno a un dato asse” (fr:2857) [“D Ato cylindro apicem fphseralcm arqualem conftituere, vel fphaeroidalem , & hunc circa datum axem”]. Si usa un cilindro FCD in rapporto 21:1 con il dato A, si trovano due medie proporzionali tra CD e FE (GH e M), e si costruisce un parallelogramma NZ la cui rotazione genera un cilindro equivalente a GLH (e quindi in rapporto 21:1 con A); la rotazione del trilineo OZR genera invece l’apice equivalente ad A (fr:2858-2864). Per l’apice sferoidale intorno a un asse dato, si adattano le proporzioni tra assi e diametri di base (fr:2865-2868), con un corollario che estende a proporzioni date (fr:2870-2871).
Infine, il Problema V (Proposizione XXVIII) si dedica a “costituire per un dato cilindro un timpano sferico uguale ad esso, il cui asse sia uguale al semidiametro della base” (fr:2873) [“D Ato cylindro tympanum fphj rale eidcm arquale conftituere , cuius axis femidia metro bafis fit aquaJis”]. Si definiscono linee proporzionali (EI, EG, EF, FH), si adatta l’altezza del cilindro dato AD a LO, si trovano due medie proporzionali tra LO e il semidiametro della base NP (QO e OR), e si costruisce un parallelogramma rettangolo 58 con altezza OR e base uguale a OR; la rotazione di questo parallelogramma e di un semicircolo SY disegnato sul suo piano genera rispettivamente un cilindro e il timpano sferico SY*, che risulta equivalente al dato cilindro AB (fr:2874-2881).
[34]
[34.1-32-2938|2969]
33 Proposizioni geometriche su solidi e loro rapporti dimensionali
Trattato latino con teoremi e proposizioni sulle relazioni tra solidi geometrici (coni, cilindri, sfere, conoidi parabolici) e le loro proporzioni.
Il testo si apre con la Proposizione XXXI, che stabilisce una relazione tra un cono costruito nel contesto di spirali e un apice parabolico: “Se nel spazio elicoidale del primo cerchio delle spirali viene costruito un cono alla stessa altezza dell’apice parabolico, con base nel diametro del cerchio, l’apice parabolico sarà sesquiplo del diametro conico” (fr:2940) [traduzione corretta da testo con corruzioni: “S|I infpatiohelico primicirculi fpiralium conicus in eadem altitudine cum apice parabolico, in bafi di<ao circulo exiftentc,fit con ftitutus j apex parabolicus erit fexquialtcr di^ai conici”]. La dimostrazione si basa su un cilindro di stessa base e altezza: “Questa Proposizione è chiara, perché se in un dato cerchio, come base, intorno allo stesso asse dei solidi dati viene costruito un cilindro di uguale altezza, questo sarà sei volte l’apice parabolico e nove volte il diametro del primo cono” (fr:2941) [“Patet hxc Propofitio, nam fi i;i dido circulo, vt in bafi> coroil g. g^circacundemaxim cum didis folidis fit cylindrus con iT.kal aitutus, hic erit fexcuplus apicis parabolici, & nonuplus”]. Da qui i rapporti: “dunque l’apice parabolico rispetto al cilindro sarà come 3 a 18” (fr:2943) [“ergo apex parabolicus ad cylindru crit, vt ad i8”], “e il conico rispetto ad esso come 2 a 18” (fr:2944) [“&:conicus ad ipfum, vt ad i8”], cosicché “l’apice rispetto al conico sarà come 3 a 2, cioè in rapporto sesquiplo, come bisognava dimostrare” (fr:2945) [“vnde apex adconicumerit,vt ^.ad idcftinrationefexquialtera ^» quod erat oftendenduin”].
Segue il Teorema XXV, Proposizione XXXII, che confronta un semianello parabolico con una sfera o sferoide: “Se intorno al diametro della base di un semianello parabolico stretto, come intorno al proprio diametro, viene costituita una sfera o sferoide, il cui secondo diametro è uguale all’altezza, o asse, dello stesso semianello; detta sfera o sferoide sarà uguale al semianello stesso” (fr:2949) [“SI circa diametrumbafisfemianuli ftridi parabolici taquam circa propriam diametrum fphaera, vel fphaerois, fuerit conftituta, cuius fecunda diameter fit arqualis altitnHini, fiuc» axi, eiufdem femianulij di^a fpbzra>vel fphaerois ipfi femianulo xqualis erir”]. La prova ricorre nuovamente al cilindro: “Anche questo è chiara, perché il cilindro nella stessa base del semianello dato e stessa altezza è sesquiplo di esso; ma può essere anche sesquiplo della detta sfera o sferoide” (fr:2950) [“Hxc ctiampatctjnamcyUndrus ineadcmbafi cumfe«ofoi.ie. mianulodidloj&cadcmaltitudinejcft ciufdem fexquial Ita.poat f» autcm etiam fexquialter di^a: fphacr«,vcl fphaerpi •«o»”], dunque “detta sfera o sferoide è uguale al detto semianello, come bisognava dimostrare” (fr:2951) [“dis, & idco di^aa fphacra,vcl fphxrois, ciit jequaUs di%fc fvi jl!”].
Infine, il Teorema XXVI, Proposizione XXXIII definisce i rapporti tra più solidi con stessa base circolare e asse: “Se un cilindro e un cono, un emisfero o emisfèroide, un conoide parabolico, un apice parabolico e uno sferico, fossero nella stessa base circolare e intorno allo stesso asse; avranno tra loro la relazione descritta” (fr:2955) [“SI cylindrus,&conus,h«mifpharrium,veI hfmifphajroides, conoides parabohcum, apex parabolicus, & fpharrahs, fucrint in bafi eodem circuIo,& circa eundem aximi infrafcriptam racionem inter fe habebunt”]. Si assegna al cilindro un valore di 12 parti: “Sia il cilindro BH nella base circolare CE, intorno all’asse FD, tra i quali ci siano anche l’emisfero o emisfèroide CFE, il conoide parabolico CRFKE, il cono CFE, l’apice parabolico CVFZE e l’apice sferico o sfèroidale CXFYE; di quali parti dunque il cilindro BH è 12” (fr:2956) [“Sit c) Imdrus, BE, iii bafi circulo, CE, citca axem, FD, in quibus fint ctiam hxmifphxrium 5 vclhxmifpharroidcs, CFE, conoidcs paraboHcu, CRFKEj conus, CFE, apcx pnrjbolicus, CVFZE 5 & apcx fpharraliSi rcl fphjiToidalis, CXFYE,qualium igitur partium cylindrus, BH, cft 12^”]. I valori degli altri solidi sono: “di tali parti l’emisfero è 8” (fr:2957) [“taUum hrmisphx riumcftS^”], conoide 6, cono 4, apice parabolico 2 (testo con corruzioni: fr:2958). Da questi derivano le proporzioni: “onde risulta che l’emisfero o emisfèroide è un terzo e mezzo del conoide parabolico, quadruplo dell’apice parabolico e sette volte l’apice sferico” (fr:2958) [“vndc patct hxmifphorrium, vcl hamifphxroidcs fcxquitcrtium clTc conoidis parabohci, qua druplum apicis parabolici, &:fcptuplum ;ipicis fpha?rnlis”]. Inoltre: “Il conoide parabolico invece è triplo dell’apice parabolico e cinque volte e un quarto dell’apice sferico. allo stesso modo il cono FCE è doppio dell’apice parabolico, tre volte e mezzo circa dell’apice sferico. e infine l’apice parabolico rispetto all’apice sferico sarà uno e tre quarti” (fr:2959) [“Conoidcs vcro parabohcum triplum cflc apicis pai;abulicij&quintuplum fcxquiquartum apicis fphxrahs, q<icTCx ipfis numcris colHguntur, fimilitcr conum, FCE, duplum cffe apicis parabohcijtriplum fcxquialtcrnm proximc npicis fphaeralis^quoadapiccmfphrjralcm cnim fcmpcr proximam di6tam rationcm intclligc,& tandcm apcx parabolicus ad fph^eralcm crit fcxquifupcrtriparticns quartas”].
Elementi peculiari includono corruzioni testuali (es. “infpatiohelico”, “42” invece di “4”) dovute a tipografia antica, e l’uso di termini specifici per solidi (conoides parabolicum, apex sphaeralis). Il testo rappresenta una testimonianza di geometria solida post-aristotelica, con focus sulle proporzioni tra figure composite.
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