Cavalieri - Geometria indivisilibus continuorum | A | k

07 Apr, 2026

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1 Il metodo degli indivisibili nella Geometria di Bonaventura Cavalieri

Il testo presenta estratti dalla Geometria indivisibilibus continuorum, trattato fondamentale di Bonaventura Cavalieri pubblicato nel 1635, conservato presso la Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze con la segnatura CFMAGL 7.136. L’opera si propone di fondare una nuova disciplina geometrica basata sul metodo degli indivisibili, sviluppando una teoria originale della misura dei solidi e delle figure continue attraverso la composizione di elementi infinitesimali.

1.1 Il metodo e i fondamenti teorici

L’autore espone sin dalla prefazione l’intento di promuovere la geometria attraverso una via innovativa, garantendo tuttavia la solidità dei fondamenti matematici. “Geometriam… inconcussa… fundamenta” - (fr:1524) [La geometria… fondamenti inconcussi…], afferma Cavalieri, richiedendo che le dimostrazioni resistano agli attacchi anche dei più grandi ingegni. Il cuore del metodo risiede nella concezione del continuo come composto da indivisibili: “circa compositionem continui ex indivisibilibus… solum enim continua sequi indivisibilium proportionem” - (fr:1526) [riguardo alla composizione del continuo dagli indivisibili… poiché solo i continui seguono la proporzione degli indivisibili…]. Questa posizione filosofico-matematica, che suscitava perplessità per l’apparente oscurità del concetto di “tutte le linee” o “tutti i piani”, viene difesa dall’autore attraverso la negazione dell’esclusione di alcun elemento: “nulla linearum, seu planorum, excludi intelligatur” - (fr:1526) [nessuna delle linee o dei piani si intenda esclusa…].

1.2 Solidi rettangoli e figure omologhe

Il trattato definisce concetti geometrici specifici quali i solidi rettangoli (rectangula solida), generati da figure piane poste in determinati rapporti spaziali. “Intelligatur rectanguli solidi… sub duabus figuris” - (fr:2041) [Si intenda del solido rettangolo… compreso tra due figure…], dove la comprensione avviene mediante linee parallele che dividono le altezze. Particolare rilevanza assumono le linee omologhe (regulae homologae) nelle figure simili: “regulae homologarum… figurarum tam distantium… incidentes” - (fr:269) [le linee omologhe… delle figure sia distanti… incidenti…], che permettono di stabilire proporzioni tra figure piane poste in piani paralleli o distinti, come triangoli, parallelogrammi e sezioni coniche.

1.3 Proporzioni e rapporti tra solidi

Cavalieri sviluppa un sistema di proporzioni basato sulla similitudine e sulla composizione dei solidi. “Quotuplex est solidum… ex duobus… compositum” - (fr:1676) [Di quante specie è il solido… composto da due…], stabilendo che se i solidi sono composti da figure multiple, le basi risultano proporzionali. Il testo applica questi principi a figure classiche come cilindri e coni: “cylindrus et conus… habebunt… datam rationem” - (fr:2818) [il cilindro e il cono… avranno… data proporzione…], dimostrando che solidi con le stesse basi e altezze in rapporto dato mantengono proporzionalità reciproca. La trattazione include anche sezioni coniche, distinguendo tra diametri e assi: “diametri… axes… hyperbolam… sectiones oppositas” - (fr:1193) [i diametri… gli assi… l’iperbole… le sezioni opposte…], specificando che quanto vale per le sezioni intere vale anche per le porzioni tagliate da piani paralleli agli assi.

1.4 Centri di gravità e applicazioni

Il testo affronta il calcolo dei centri di gravità (centra gravitatum), applicando il metodo degli indivisibili alla statica. “Centra gravitatum… varietatem… admiratio” - (fr:58) [dei centri di gravità… la varietà… ammirazione…], esprime la meraviglia dell’autore di fronte alla molteplicità dei casi geometrici risolvibili con questo approccio, particolarmente nei triangoli e nelle figure mistilinee. La tecnica consiste nel considerare figure generate da rotazioni e composte da anelli infinitesimi, la cui sommatoria fornisce il volume totale attraverso proporzioni note.

1.5 Testimonianza storica e materiale

Il documento costituisce una testimonianza diretta della ricezione manoscritta e a stampa dell’opera cavalieriana, con evidenti riferimenti alle immagini e alle figure geometriche (indicate con sigle alfabetiche come ABCD, KLTP, MEGF) che accompagnavano il testo originale. I riferimenti alla Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze (fr:1825, fr:2243, fr:2537, fr:2908, fr:2909) confermano la conservazione dell’esemplare come documento della tradizione scientifica europea del Seicento, testimoniando la diffusione del metodo degli indivisibili che avrebbe preparato le basi per il calcolo infinitesimale.

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2 Solidi di rivoluzione e sezioni coniche: definizioni e proprietà fondamentali

Il trattato esamina le proprietà geometriche di coni, cilindri e solidi generati per rivoluzione, ponendo particolare attenzione ai concetti di vertice e asse. Il vertice viene definito come punto di contatto di tangenti parallele: “cum illis in eodcm plano conftitutattL-., vnun qiiodq; pui <flum conndus iliits vcrtcx dicatur” - (fr:199) [quando in uno stesso piano sono costituite con quelle, ciascun punto di contatto di quelle viene detto vertice], specificando che i vertici opposti sono i punti di contatto di tangenti parallele considerate simultaneamente. Per i solidi, il vertice si identifica come punto esterno da cui si proiettano raggi all’ambito della figura generatrice: “fumptum punaum ent vcrtcx fo lidi” - (fr:220) [il punto assunto sarà vertice del solido].

La ricerca del vertice rispetto a una base o un piano dato avviene mediante costruzioni specifiche. Per le figure piane, si determina conducendo parallele alla direzione data: “Sumatur in plano figurx, ABC, iadefiiiitc produ(fto, vtcumq-, punaum, N , & pcr, ^4, ipll, BC, ducatur parallclj,KV” - (fr:317) [Sia preso nel piano della figura ABC, indefinitamente prodotto, un punto N qualunque, e per A sia condotta KV parallela a BC]. Per i solidi, si opera con piani paralleli: “fumpto igitur cx tra plan-mi fignrx, vtcumquc punao^N, pcr ipfum agatur planum, KHVX, ipfi, BECD,xquidiftans” - (fr:321) [assunto dunque un punto N qualunque fuori dal piano della figura, per esso sia condotto un piano KHVX equidistante da BECD].

Le sezioni per l’asse producono figure specifiche: nei solidi rotondi generano cerchi, nei coni triangoli. Quando un solido rotondo viene sezionato con un piano perpendicolare all’asse, “fiet conccpta in ipfo figura circulus” - (fr:1017) [sarà concepita nella figura un cerchio], il cui centro giace sull’asse. Se il piano passa per l’asse, nel cono si ottiene un triangolo: “SI conus fccciur plano per axem” - (fr:1082) [Se il cono è sezionato con un piano per l’asse], mentre nel solido rotondo la sezione produce una figura circolare.

3 Natura geometrica delle sezioni piane

Le sezioni oblique generano coniche diverse secondo l’inclinazione del piano rispetto all’asse. Per i conoidi iperbolici, sezionati da piani non perpendicolari all’asse che incontrano tutti i lati del cono, “feaio erit ellipfis” - (fr:1137) [la sezione sarà un’ellisse], con diametro maggiore dato dalla intersezione dei piani secante e quello per l’asse perpendicolare al primo. Analogamente per gli sferoidi: “SI fpharroidcs plano fccctur no rceto ad axcm kaio erit cllipfis” - (fr:1144) [Se lo sferoide è sezionato con un piano non retto all’asse, la sezione sarà un’ellisse].

Il cono scaleno presenta caratteristiche particolari quando sezionato da piani perpendicolari alla base del triangolo assiale e paralleli a uno dei lati: le ordinate applicate all’asse o diametro risultano equidistanti e i quadrati di esse stanno tra loro come i rettangoli delle ascisse. Per i solidi rotondi sezionati da piani non passanti per l’asse, la sezione è comunque un’ellisse, come emerge dalla costruzione dove “communis fedio erit ellipfis, diameter vero ipfius maior eric linea concepta inconoidc ab interfetone faa planorum” - (fr:1132) [la comune sezione sarà un’ellisse, e il diametro maggiore di essa sarà la linea concepita nel conoide dall’intersezione fatta dei piani].

4 Proprietà dei piani tangenti

I piani tangenti ai coni possono essere condotti per il vertice o parallelamente alla base. Quando un piano passa per il vertice e una tangente alla base, “hoc tan^cc ipfum conicum in vna, vcl pluribiis xcCt^s lineis” - (fr:556) [questo toccherà il cono stesso in una o più linee rette], costituendo i lati del cono o un triangolo. Un piano parallelo alla base, invece, tocca il cono in un solo punto: “non, igitur planum duclum pcr, A, bafi , BD, squidiftans coni,- cum tangit i , alio , quam in pundo» A” - (fr:518) [dunque il piano condotto per A, equidistante dalla base BD del cono, se lo tocca, non lo tocca in altro punto che in A], rendendo A vertice rispetto a quella base.

Per i cilindri, i piani tangenti equidistanti da quello per i lati producono contatti lineari: “SI planum cquidiftans planoperlateracylin drici dudo tangat cylindricum , contaftus fiet in refta Hnea” - (fr:408) [Se un piano equidistante dal piano condotto per i lati del cilindro toccherà il cilindro, il contatto avverrà in una linea retta]. Tali piani formano parallelogrammi equiangoli a quelli passanti per i lati: “plana contaaus erunt parallelogram.- ma,vTquiangula per latera dudo” - (fr:420) [i piani di contatto saranno parallelogrammi, equiangoli a quello condotto per i lati].

5 Rapporti metrici e proporzioni

Il testo stabilisce rigorosi rapporti tra aree di figure simili e sezioni omologhe. Per i frusti di cono e i cilindri aventi stessa base e altezza, il rapporto è dato da: “erit vt redangulum fub maiori,& tripla minons, vna cum quadrarodifferentix earundcm homologarum , ad maioris quadratum” - (fr:1875) [sarà come il rettangolo sotto la maggiore e la tripla della minore, insieme con il quadrato della differenza di quelle omologhe, al quadrato della maggiore].

Nella parabola, si dimostra che il triangolo inscritto sta al segmento parabolico come il quadrato della tangente al rettangolo composto dalla tangente e dalla secante più il quadrato della differenza: “Dico i-itur ninngulum , ABC, ad trilineum , ABl , elle vt Quadr”tum, DA, ad rcaangulum, DAE, vna cum n. quadrati,DE” - (fr:2591) [Dico dunque che il triangolo ABC sta al trilineo ABI come il quadrato di DA al rettangolo DAE insieme con il quadrato di DE].

6 Costruzioni geometriche speciali

Il trattato include costruzioni complesse come la quadratura della spirale. Data una spirale ASRMB di prima rivoluzione e il cerchio primitivo ECDB, si espone un triangolo rettangolo FHG con un cateto uguale al raggio e l’altro alla circonferenza: “exponatur triangulum rccbnguliim,OQR, cuius btus^OQ circa rcclum^OQRjiit scqualc ipd, AEi &^QRjcircumfc rcntiacj SME” - (fr:2463) [si esponga il triangolo rettangolo OQR, il cui lato OQ attorno al retto OQR sia uguale ad AE e QR alla circonferenza SME]. Attraverso successive divisioni e condotte parallele alla base, si dimostra l’uguaglianza tra lo spazio sotto la spirale e il triangolo generato.

Per le sezioni coniche, si utilizzano costruzioni con piani paralleli che producono figure simili: “fecctur autcm alio plano bafi parallclo, qui iii conico producat figuram, VBOi &: fint earum, & plani pcr vcrticem communcs fcdiones, BR, DQIO^EF” - (fr:614) [sia sezionato poi con un altro piano parallelo alla base, che produca nella figura conica la forma VBO, e siano le loro comuni sezioni con il piano per il vertice BR, DQ, IO, EF], dimostrando che le sezioni omologhe mantengono proporzionalità nelle linee corrispondenti.

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7 La geometria dei solidi simili: definizioni e proporzionalità

Il trattato espone una teoria rigorosa della similitudine applicata alle figure geometriche solide, estendendo i principi euclidei alle forme tridimensionali. L’autore propone definizioni originali che integrano il corpus geometrico classico, stabilendo criteri di similitudine per cilindri e coni basati sulla proporzionalità delle basi e sull’inclinazione omologa delle generatrici.

Definizioni di similitudine solida

Il testo introduce una definizione operativa di solidi simili che collega le proprietà delle basi piane all’inclinazione spaziale delle generatrici. Per i solidi cilindrici e conici, la similitudine richiede non solo che le basi siano figure simili, ma che le linee omologhe generino, attraverso piani estesi, inclinazioni uguali verso le basi, producendo parallelogrammi simili nei cilindri e triangoli simili nei coni: “Similes Cylindrici,& Conici dicatur,quorum bases sunt similes… in quibus sumptis duabus homologis lineis… horumque concepta in eisdem figure sunt similes,nempe similia parallelogramma in cylindricis, & similia triangula in conicis” - (fr:238) [Si dicono simili i cilindrici e i conici le cui basi sono simili… nei quali, prese due linee omologhe… le figure concepite in essi sono simili, cioè parallelogrammi simili nei cilindrici e triangoli simili nei conici].

Figure similmente poste

Un concetto chiave riguarda la disposizione reciproca delle figure simili. Quando due figure piane simili si trovano nello stesso piano o in piani paralleli, con i loro incidenti e le tangenti opposte (regulae) sovrapposte o equidistanti, e con parti omologhe costituite dalla stessa parte, esse si definiscono “similmente poste”: “Cum vero duae similes figurae planae in eodem plano, vel in planis aequidistantibus ita positae fuerint… ipsae figurae similes dicantur etiam, inter se similiter positae” - (fr:253) [Quando poi due figure piane simili nello stesso piano o in piani equidistanti sono state così poste… quelle figure si dicono anche simili, poste similmente tra loro].

Divisione di figure simili

Il trattato stabilisce che linee rettilinee condotte nei poligoni simili, dividendo lati omologhi nella stessa proporzione dalla stessa parte, generano figure parzialmente simili e lati omologhi nelle sezioni risultanti: “Si in similibus rectilineis figuris,iuxta Euclidem,ducantur rectilineae quae cum duabus homologis lateribus similiter ad eandem partem dividentes; ipsae divident easdem in similes figuras… & ipsae secantes earundem erunt homologa latera” - (fr:807) [Se nelle figure rettilinee simili, secondo Euclide, si conducano linee rettilinee che con due lati omologhi dividano similmente dalla stessa parte; esse divideranno quelle stesse in figure simili… e quelle stesse secanti saranno lati omologhi di quelle].

Proporzionalità di triangoli e solidi

Emergono teoremi fondamentali sulle proporzioni: i triangoli condividono rapporti diretti con le basi quando hanno uguali altezze, e con le altezze quando hanno basi uguali o inclinate ugualmente: “Triangula ergo,quae sunt in eadem altitudine inter se sunt vt bases; Et quae sunt in eadem, vel aequalibus basibus,vt altitudines; vel vt latera, quae aequaliter basi, seu basibus, inclinantur” - (fr:1786) [I triangoli dunque che sono nella stessa altezza sono tra loro come le basi; e quelli che sono nella stessa o in basi uguali, come le altezze; o come i lati che inclinano ugualmente alla base o alle basi].

Per i coni, la stessa altezza implica proporzionalità diretta alle basi: “Sint quicunque conici in eadem, vel aequalibus altitudinibus… Dico hos esse inter se, vt ipsorum bases” - (fr:1803) [Siano dei conici qualsiasi nella stessa o in uguali altezze… Dico che questi sono tra loro come le loro basi].

Solidi generati e proporzionalità reciproca

Il testo affronta la generazione di solidi simili da figure piane e stabilisce che solidi con assi e basi in proporzione reciproca risultano uguali in volume: “ergo duo cylindri… quorum axes reciproce basibus respondent, erunt aequales” - (fr:2882) [dunque due cilindri… i cui assi corrispondono reciprocamente alle basi, saranno uguali].

La trattazione testimonia lo sforzo rinascimentale di estendere sistematicamente la geometria euclidea alle dimensioni superiori, definendo con precisione le condizioni di similitudine spaziale e le relazioni proporzionali tra elementi omologhi di solidi corrispondenti.

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8 Definizioni e proprietà dei solidi simili nella geometria dei continui

Trattazione sulle definizioni di similitudine per figure piane e solide, con particolare riferimento alla generazione di solidi cilindrici e conici mediante piani paralleli, linee omologhe e regole geometriche, secondo i principi della geometria dei continui e il metodo delle sezioni.

Il testo espone una teoria geometrica fondata sul concetto di similitudine applicata sia alle figure piane che ai solidi, con specifica attenzione ai solidi cilindrici e conici. La definizione fondamentale stabilisce che le figure piane simili sono quelle nelle quali, condotte rette equidistanti a determinate direzioni, le porzioni intercettate mantengono proporzioni costanti: “Figurae planae quaecunque in eisdem parallelis constitutae, in quibus, ductis quibuscunque eisdem parallelis aequidistantibus rectis lineis, conceptae cuiuscunque rectae lineae portiones sunt aequales, etiam inter se aequales erunt” - (fr:1532) [Figure piane qualsiasi costituite negli stessi paralleli, nelle quali, condotte qualsiasi rette equidistanti agli stessi paralleli, le porzioni di qualunque retta concepite siano uguali, anche esse saranno uguali tra loro]. Estendendo questo principio ai solidi, si ottiene che “figurae solidae quaecumque in eisdem planis parallelis constitutae, in quibus, ductis quibuscunque planis eisdem planis parallelis aequidistantibus, conceptae cuiuscunque sic ducti plani in ipsis solidis figurae planae sunt aequales, pariter inter se aequales erunt” - (fr:1532) [e figure solide qualsiasi costituite negli stessi piani paralleli, nelle quali, condotti qualsiasi piani equidistanti agli stessi piani, le figure piane di qualunque piano così condotto concepite nei solidi siano uguali, parimenti saranno uguali tra loro].

La costruzione dei solidi cilindrici avviene mediante la rivoluzione di una linea attorno a una figura base. Si definisce: “Solidum ergo, quod comprehenditur utrisque figuris iam dictis, et superficie linea, quae revolvitur, descripta, dicetur: Cylindricus; superficies in revolutione descripta, necnon quodlibet illius frustum, superficies cylindracea: Cylindrici oppositae bases duae figurae planae inter se aequidistantes; latus autem cylindrici, quaevis recta in superficie cylindracea oppositas bases pertingens, cui coniungitur in revolutione ipsa linea revoluta; et tandem regula lateris cylindrici dicetur illa…” - (fr:216) [Dunque il solido compreso da entrambe le figure già dette e dalla superficie descritta dalla linea che si rivolge, si chiamerà Cilindrico; la superficie descritta nella rivoluzione, e qualunque suo tronco, superficie cilindrica: le basi opposte del cilindrico sono due figure piane equidistanti tra loro; il lato del cilindrico è qualunque retta nella superficie cilindrica giungente alle basi opposte, alla quale si congiunge nella rivoluzione la linea stessa rivoluta; e infine si chiamerà regola del lato del cilindrico quella…]. Per i solidi conici vale una definizione analoga basata su triangoli simili anziché parallelogrammi: “Similes Cylindrici, et Conici dicantur, quorum bases sunt similes… in quibus sumptis duabus homologis lineis, vel lateribus utcunque, et per ipsas, et latera extensis planis ipsa ad eandem partem aeque ad bases inclinantur, horumque conceptae in eisdem figurae sunt similes, nempe similia parallelogramma in cylindricis, et similia triangula in conicis” - (fr:238) [Si chiamino simili Cilindrici e Conici quelli le cui basi sono simili… nei quali, prese due linee omologhe o lati in qualunque modo, e per esse e per i lati estesi piani inclinati alla stessa parte ugualmente alle basi, e di questi concepite nelle stesse figure siano simili, cioè simili parallelogrammi nei cilindrici, e simili triangoli nei conici].

Il concetto di regola (regula) è centrale per la definizione di omologia. Nelle figure simili, le linee omologhe (lineae homologae) e le tangenti opposte (tangentes oppositae) permettono di individuare sezioni corrispondenti: “portiones, quae in similibus figuris iam dictis reperiuntur, vocentur; homologae earundem, sumptae regula qualibet earum; dicantur autem lineae homologae, quae sunt intra ambitum similium figurarum, quae vero in ambitu, latera homologa; ipsae vero tangentes etiam, tangentes earundem homologarum” - (fr:252) [le porzioni, che nelle figure simili già dette si trovano, si chiamino omologhe di quelle, prese con qualunque loro regola; si chiamino inoltre linee omologhe quelle che sono dentro l’ambito delle figure simili, quelle invece nell’ambito, lati omologhi; le tangenti stesse infine, tangenti di quelle omologhe]. Queste regole permettono di costruire piani paralleli che sezionano i solidi generando figure simili: “SI in duobus similibus solidis iuxta def. p. Vndec. Elem. accipiantur, ac in eorumdem ambitu, duae quaecumque similes figurae planae tanquam bases, quibus parallela ducantur quaecumque plana eadem secantia, necnon eorum altitudines, respectu dictarum basium assumptas, similiter ad eandem partem dividentia” - (fr:892) [Se nei due solidi simili secondo la definizione 11 degli Elementi si prendano, e nel loro ambito, due qualsiasi figure piane simili come basi, alle quali si conducano paralleli qualsiasi piani taglianti gli stessi, e anche le loro altezze, prese rispetto delle dette basi, dividano similmente dalla stessa parte].

Il testo si riferisce esplicitamente alla tradizione geometrica classica, citando Apollonio per le sezioni coniche: “Sint similes portiones sectionum coni, DAF, QRK, sit basibus, DF, QK, quarum diametri sint ipsae, AE, RG, secantur autem similiter ipsae diametri in punctis, N, O, V, X… has igitur Apollonius in supradicta definitione similes vocat, mihi autem hoc opus est illi adiungere, quod anguli basibus, et diametris, ad eadem parte contenti sint aequales” - (fr:762) [Siano simili porzioni di sezioni di cono, DAF, QRK, con basi DF, QK, dei quali diametri siano le stesse AE, RG, e siano tagliate similmente le dette diametri nei punti N, O, V, X… queste dunque Apollonio nelle definizioni sopradette chiama simili, ma a me è necessario aggiungere a ciò che gli angoli alle basi e ai diametri, contenuti dalla stessa parte, siano uguali].

Un aspetto peculiare è la definizione di quadrati solidi (quadrata solida) e la loro generazione: “Expositis duabus quibuscumque figuris planis, et in earum unaquaque sumpta utcunque regula, ut quadrata solida earundem figurarum iuxta dictas regulas, ita erunt solida quaecumque ad invicem similiaria ex eisdem genita figuris, iuxta easdem regulas” - (fr:2211) [Esponendo due qualsiasi figure piane, e in ciascuna di esse presa in qualunque modo una regola, come sono quadrati solidi delle stesse figure secondo le dette regole, così saranno solidi qualsiasi tra loro simili generati dalle stesse figure, secondo le stesse regole]. Questi solidi si generano mediante l’estensione continua di figure piane omologhe lungo direzioni parallele: “Ducatur in figura MEGF, utcunque recta, EF, ad illius ambitum terminata, cui ducta parallela SV in figura NSTV… traductis autem aliis quotcumque planis praefatis parallelis, ac ipsa solida secantibus” - (fr:1668) [Sia condotta nella figura MEGF, in qualunque modo, la retta EF, terminata al suo ambito, alla quale sia condotta parallela SV nella figura NSTV… condotti poi altri quanti si vogliano piani paralleli ai predetti, e taglianti gli stessi solidi].

La trattazione include costruzioni specifiche, come la circonscrizione di parallelepipedi: “Cuilibet solido parallelepipedum circumscribere, cuius plana opposita tribus planis, se invicem secantibus, sint parallela… oportet solido parallelepipedum circumscribere, cuius opposita plana praedictis planis sint parallela” - (fr:340) [Circoscrivere a qualunque solido un parallelepipedo, i cui piani opposti siano paralleli a tre piani che si tagliano a vicenda… è necessario circoscrivere al solido un parallelepipedo, i cui piani opposti siano paralleli ai piani predetti], e dimostrazioni relative alle sezioni di cilindrici: “SI cylindricus planis secetur quomodocumque per latera ductis, eiusdem oppositae bases in figuras similes, aequales, et similiter positas dividuntur” - (fr:488) [Se un cilindrico sia tagliato in qualunque modo da piani condotti per i lati, le sue basi opposte sono divise in figure simili, uguali e similmente poste].

Il metodo prevede infine la costruzione di solidi rettangoli (solida rectangula) contenuti sotto superfici cilindriche: “Dico indefinita numero solida rectangula regulis eisdem pariter dari posse, quorum unumquodque ipsi… aequale erit… Igitur rectangulum solidum… superficiebus cylindraceis comprehendetur” - (fr:1950) [Dico che possono darsi in numero indefinito solidi rettangoli con le stesse regole, ciascuno dei quali sarà uguale a quello… Dunque il solido rettangolo… sarà compreso da superfici cilindriche], evidenziando la possibilità di generare infinite figure omologhe mediante l’estensione indefinita dei piani secanti: “Cum vero in superficie… indefinite producta, indefinitae numero figurae ipsi… homologae, regula plano… supponi possint… inde dicta methodo tot solida rectangula iisdem… construi poterunt” - (fr:1957) [Poiché nella superficie… indefinitamente prodotta, possono supporsi in numero indefinito figure omologhe a quella… con la regola del piano… perciò con il metodo detto si potranno costruire tanti solidi rettangoli con le stesse…].

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9 Il metodo degli indivisibili e le proporzioni geometriche nel trattato di Cavalieri

Il testo espone una trattazione geometrica fondata sul metodo degli indivisibili, stabilendo proporzioni tra figure piane e solidi attraverso la composizione di rapporti che coinvolgono quadrati, rettangoli, cubi e parallelepipedi. L’analisi si concentra sul confronto tra omnia quadrata (tutti i quadrati) di diverse configurazioni geometriche, includendo parallelogrammi, iperbole, triangoli e trapezi, nonché sui solidi generati per rivoluzione.

Le configurazioni geometriche fondamentali prevedono parallelogrammi circoscritti a sezioni coniugate di iperboli. “duo opposita latera, quae sint oppositarum hyperbolarum bases, et reliqua duo latera transverso aequidistantia, regula una dictarum basium” - (fr:1226) [due lati opposti, che sono le basi delle iperbole opposte, e gli altri due lati equidistanti dal trasverso, essendo una delle dette basi la regola], definendo così il sistema di riferimento per le successive dimostrazioni. La trattazione si estende a figure più complesse come quelle comprese tra sezioni coniugate e iperbole opposte, dove “Omnia quadrata descripti parallelogrammi ad omnia quadrata figurae duobus oppositis lateribus parallelogrammi regula aequidistantibus… comprehensae, demptis ab iisdem omnibus quadratis oppositarum hyperbolarum” - (fr:1313) [tutti i quadrati del parallelogramma descritto stanno a tutti i quadrati della figura compresa tra i due lati opposti del parallelogrammo equidistanti dalla regola… dedotti da essi tutti i quadrati delle iperbole opposte], stabilendo un rapporto che esclude i quadrati delle iperbole non aventi il lato trasverso come regula.

Il metodo si articola attraverso la costruzione di rationes compositae (rapporti composti). Il testo dimostra che le proporzioni tra aggregati di quadrati si ottengono componendo sequenze di rapporti più semplici: “habent rationem compositam ex ratione… et ex ratione… et tandem componitur ex ratione” - (fr:1239) [hanno un rapporto composto dal rapporto… e dal rapporto… e infine si compone dal rapporto], evidenziando come il rapporto tra tutti i quadrati delle iperbole opposte FAD, EVQ e tutti i quadrati della figura TN si costruisca attraverso successive relazioni geometriche tra rettangoli e quadrati di segmenti determinati.

Particolare rilevanza assume il confronto tra figure piane con triangoli detratti. Nella stessa figura della Proposizione 2, si confrontano le figure FADCVE e TAYNVM: “IN eadem figura Prop. ostendemus omnia quadrata figurae FADCVE… demptis omnibus quadratis triangulorum KOI, POQ, ad omnia quadrata figurae TAYNVM… demptis omnibus quadratis triangulorum” - (fr:1264) [nella stessa figura della Prop. 2 mostreremo che tutti i quadrati della figura FADCVE… dedotti tutti i quadrati dei triangoli KOI, POQ, stanno a tutti i quadrati della figura TAYNVM… dedotti tutti i quadrati dei triangoli], dove la proporzione finale risulta essere come EC ad MN, ovvero come XL ad HG, che rappresentano i secondi assi o diametri.

La trattazione si estende ai solidi di rivoluzione, stabilendo proporzioni tra sezioni coniche e tronchi. Il rapporto tra un cono BSR e il tronco ISRN si esprime attraverso relazioni cubiche: “ex ratione conici BSR, ad frustum ISRN, quae est eadem quam habet cubus RQ… ad parallelepipedum” - (fr:1878) [dal rapporto del cono BSR al tronco ISRN, che è lo stesso che ha il cubo RQ… al parallelepipedo], dove il cubo di FH equivale alla somma dei cubi di FX e XH con i parallelepipedi che li contengono. Analogamente, per i solidi simili generati per rivoluzione: “solidum similare genitum ex figura… ad sibi similare genitum… esse vt parallelepipedum” - (fr:1510) [il solido simile generato dalla figura… al suo simile generato… è come il parallelepipedo], con la proporzione espressa attraverso cubi e parallelepipedi dei segmenti generanti.

Il significato storico del testo risiede nell’applicazione sistematica del metodo degli indivisibili per la quadratura e la cubatura delle figure, rappresentando un passo fondamentale verso il calcolo integrale attraverso l’aggregazione di elementi infinitesimali (quadrati e cubi). La notazione utilizza regula per indicare la linea di riferimento delle ascisse e omnia quadrata per indicare l’aggregazione degli indivisibili secondo le direzioni ortogonali alla regola stessa.

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10 Il metodo degli indivisibili e la geometria delle superficie nel trattato di Cavalieri

Il testo presenta un estratto dal Liber VII della Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota di Bonaventura Cavalieri, testimonianza fondamentale del passaggio alla geometria infinitesimale del XVII secolo. L’autore sviluppa il metodo degli indivisibili attraverso la comparazione di figure piane e solide mediante superposizione, congruenza e proporzionalità, fondando una nuova disciplina geometrica che anticipa il calcolo integrale.

10.1 La tecnica della superposizione e dei residui

Il metodo cavalieriano si fonda sulla superpositio di figure e sul concetto di residui (residua) come strumento dimostrativo per l’equivalenza delle aree. L’autore procede per successivi accostamenti di figure composte da elementi paralleli, dimostrando che se i residui di una figura possono essere sovrapposti ai residui dell’altra in modo congruente, le figure totali risultano uguali. Come si legge nella procedura dimostrativa: “Fiat ergo denuo residuorum superpositio, ita tamen ut parallelae GH &c sint super parallelis HK, &c constitutae, & congruat pars VAA frusti” - (fr:1556) [Si faccia dunque di nuovo la sovrapposizione dei residui, in modo tuttavia che le parallele GH &c siano costituite sulle parallele HK, &c, e la parte VAA del frusto congruisca]. Questa operazione viene ripetuta iterativamente fino all’esaurimento della figura: “hoc semper fieri intelligatur, donec tota figura BZ& fuerit superposita” - (fr:1556) [si intenda che questo avvenga sempre, finché l’intera figura BZ& sia stata sovrapposta], confermando l’uguaglianza attraverso l’assenza di residui finali: “ergo ita sunt superpositae, ut sibi congruant, ergo figurae BZ& C/SA inter se sunt aequales” - (fr:1556) [quindi sono sovrapposte in modo da essere congruenti tra loro, quindi le figure BZ& e C/SA sono uguali tra loro].

10.2 Figure equianaloghe e generazione per movimento

Cavalieri introduce la nozione di figurae aequaliter analogae (figure equianaloghe), definite come quelle descritte da linee parallele che mantengono proporzioni costanti rispetto a una direzione data. La generazione di tali figure avviene per motus continuo di punti che descrivono ambiti (perimetri) curvilinei: “moveatur autem GM versus AF, semper eidem AF, aequidistanter donec illi congruat, interim autem unum punctum motum in eadem GM, sic mota, describens ambitum figurae aequaliter analogae ipsi DQK” - (fr:1627) [si muova poi GM verso AF, sempre equidistante alla stessa AF, finché le congruisca, e nel frattempo un punto mosso nella stessa GM, così mosso, descrivendo il perimetro della figura equianaloga alla DQK]. Questo processo genera parallelogrammi curvilinei (parallelogrammum curvilineum) la cui equivalenza è stabilita attraverso la corrispondenza delle linee descritte nel movimento.

La dimostrazione dell’equivalenza tra figure equianaloghe si estende ai frusti (sezioni di figure composte): “Eadem ratione patebit frustum yRX aequari figurae 5&2T, ergo frusta QR, 7RX2, simul sumpta aequabuntur figurae Tas”* - (fr:1630) [Per la stessa ragione sarà evidente che il frusto yRX è uguale alla figura 5&2T, quindi i frusti Q*R, 7RX2, presi insieme, saranno uguali alla figura Tas], mostrando come la somma di frusti parziali ricomponga figure totali equivalenti.

10.3 Solidi cilindrici e sezioni piane

Il trattato applica il metodo anche ai solidi, definendo superfici cylindricae generate dal moto di linee parallele. Le sezioni di cilindri vengono analizzate attraverso piani secanti: “Unde CE, secantur piano quodam, quorum sectiones, nempe OV, DV, sint invicem parallelae, sed etiam OD, MV, sunt parallelae, ergo OV est parallelogrammum” - (fr:380) [Per cui CE, sezionate da un certo piano, le cui sezioni, cioè OV, DV, siano tra loro parallele, ma anche OD, MV, sono parallele, quindi OV è un parallelogramma]. Viene dimostrato che le superfici cilindriche opposte sono comprese tra piani paralleli: “istae autem vocantur cylindricae oppositae bases” - (fr:380) [queste però sono chiamate basi cilindriche opposte].

Per i solidi rettangoli, l’autore dimostra la composizione attraverso superfici indivise e divise: “ergo solidum rectangulum contentum sub indivisa superficie HI & sub divisa AC, aequale est solidis rectangulis contentis sub eadem indivisa HC & sub partibus divisae DEC, DECBA” - (fr:2014) [quindi il solido rettangolo compreso dalla superficie indivisa HI e dalla divisa AC, è uguale ai solidi rettangoli compresi dalla stessa indivisa HC e dalle parti della divisa DEC, DECBA], stabilendo un principio di additività delle misure attraverso le regulae (linee generatrici) mantenute costanti.

10.4 Proporzioni e similitudini

Il testo sviluppa estese catene di proporzioni tra segmenti corrispondenti in figure simili. La relazione fondamentale stabilisce che in triangoli equiangoli i lati sono proporzionali: “Scuti angulos latera proportionalia, igitur HP ad PA erit ut KN ad NA, & permutando HP ad NK erit ut PA ad AN” - (fr:652) [Poiché i lati sono proporzionali agli angoli, quindi HP a PA sarà come KN a NA, e permutando HP a NK sarà come PA ad AN]. Da queste proporzioni deriva l’allineamento di punti significativi: “ergo puncta G, M, A erunt in una recta linea” - (fr:652) [quindi i punti G, M, A saranno in una linea retta].

Per le figure simili, viene stabilita la proporzione duplicata dei lati omologhi: “alia quaelibet figura plana descripta ab EF ad sibi similem descriptam ab HM, praedictae homologa, habet duplicatam rationem eius, quam EF habet ad HM, ergo ut quadratum EF ad quadratum HM, ita est figura EF ad sibi similem figuram descriptam ab HM” - (fr:2215) [qualunque altra figura piana descritta da EF rispetto alla simile descritta da HM, omologa alla predetta, ha il rapporto duplicato di quello che EF ha rispetto ad HM, quindi come il quadrato di EF al quadrato di HM, così è la figura EF alla figura simile descritta da HM].

10.5 Metodo delle circonferenze e della spirale

Una sezione significativa riguarda la quadratura della spirale e del cerchio attraverso triangoli e trilinei (figure con tre lati, di cui uno curvo). L’autore dimostra l’equivalenza tra spazi sottesi a spirali e figure rettilinee: “Sed dico neque esse minorem in eodem spatio GMSIB… igitur figura circumscripta spatio GMSIB erit eodem minor, quod est absurdum, igitur trilineus LflQ neque est maior, neque minor spatio GMSIB, ergo est eidem aequalis” - (fr:2648) [Ma dico che neppure è minore nello stesso spazio GMSIB… quindi la figura circoscritta allo spazio GMSIB sarà minore di esso, il che è assurdo, quindi il trilineo LflQ non è né maggiore né minore dello spazio GMSIB, quindi è uguale a esso]. La dimostrazione utilizza il metodo di esaustione con figure inscritte e circoscritte: “figura circumscripta intelligatur ex triangulo HMG, & trapeziis P3, Ji4, Ftf, composita, & inscripta ex trapeziis M4, P^, DK, pariter composita” - (fr:2544) [si intenda la figura circoscritta composta dal triangolo HMG e dai trapezi P3, Ji4, Ftf, e quella inscritta composta dai trapezi M4, P^, DK].

10.6 Significato storico e scientifico

Il testo costituisce una testimonianza cruciale della geometria indivisibilistica che precede il calcolo infinitesimale newtoniano e leibniziano. Il linguaggio adotta la reductio ad absurdum classica (“quod est absurdum”, “non ergo”) per dimostrare l’impossibilità della disuguaglianza, mentre introduce concetti operativi di congruenza, analogia e superposizione che fondano una nuova matematica delle grandezze continue. La costante referenza a figure letterate (triangoli ANB, solidi BZ&, trilinei LflQ) riflette la pratica geometrica rinascimentale, mentre la nozione di figure generate da moto continuo (“describens ambitum”) anticipa il concetto di funzione e integrale.

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11 Il metodo degli indivisibili e la generazione dei solidi simili

Il trattato espone il metodo di generazione dei solidi per rivoluzione o traslazione di figure piane, stabilendo rigorosi rapporti di proporzionalità tra figure simili attraverso l’uso delle regole geometriche e il calcolo dei quadrati solidi. L’opera si colloca nel contesto della geometria del XVII secolo, sviluppando il metodo degli indivisibili per la quadratura e la cubatura delle figure, con specifici riferimenti alle opere di Apollonio sulle sezioni coniche.

Il testo introduce il concetto di solidi simili generati secondo regole comuni, definiti come figure prodotte dalla rotazione o dal movimento di figure piane (similare genitum) lungo un asse o una linea di riferimento (regula). Si stabilisce che tra questi solidi sussistono proporzioni analoghe a quelle delle figure generatrici: “Dico igitur vt quadratum folidum figuræ, ABC, ad quadratum folidum figuræ, DEF, regulis iam dictis ita esse quodcunque solidum similare genitum ex, ABC, ad sibi similare genitum ex, DEF, iuxta easdem regulas” - (fr:2213) [Dico dunque che come il quadrato solido della figura ABC al quadrato solido della figura DEF, così è qualunque solido simile generato da ABC al solido simile generato da DEF secondo le stesse regole]. Questa proporzionalità viene dimostrata attraverso la relazione tra i quadrati delle basi e le figure descritte: “solidum, ABC, et solidum aliud quodcunque similare genitum ex figura, DEF, iuxta communem regulam, BC, esse inter se, vt figuræ, BC, descriptæ… ergo et dicta solida proportionalia erunt” - (fr:2219) [il solido ABC e un altro solido qualunque simile generato dalla figura DEF secondo la regola comune BC, sono tra loro come le figure descritte BC… dunque anche i detti solidi saranno proporzionali].

Particolare attenzione viene dedicata alla distinzione tra solidi rettangoli e quadrati solidi, questi ultimi corrispondenti a cubi o parallelepipedi con basi quadrate. Quando il solido rettangolare diventa un quadrato, basta esporre una sola figura generatrice: “Adverte autem cum solidum rectangulum fuerit quadratum, tunc vnam sufficiet exponi figuram, vt ex. gr. triangulum, ABC, quod tunc æquipollet duobus expositis, ABC, ACD; et contentum solidum sub, ABC, ACD, tunc etiam dicimus quadratum solidum ipsius, ABC” - (fr:2003) [Nota però che quando il solido rettangolare è un quadrato [solido], allora basta esporre una figura, come ad esempio il triangolo ABC, che allora equivale a due esposti ABC, ACD; e il contenuto solido sotto ABC, ACD, lo chiamiamo anche quadrato solido dello stesso ABC].

Il trattato applica questi principi alle sezioni coniche, identificando la parabola e l’iperbole secondo le definizioni apolloniane. Per la parabola si dimostra che “quadratum, ED, ad quadratum, MO, erit vt rectangulum, ZVB, ad rectangulum, ZNB, quod ostendere opus erat; hæc autem vocatur ab Apollonio Parabola” - (fr:1090) [il quadrato ED al quadrato MO sarà come il rettangolo ZVB al rettangolo ZNB, che era necessario dimostrare; questa però è chiamata da Apollonio Parabola]. Analogamente per l’iperbole: “quod ostendere opus erat; hæc autem vocatur ab Apollonio Hyperbola” - (fr:1101) [che era necessario dimostrare; questa è chiamata da Apollonio Iperbole].

Vengono poi definiti solidi di rivoluzione specifici come i conoidi, i timpani iperbolici e i semianelli. Il tympanum hyperbolicum (timpano iperbolico) e il semianulus strictus hyperbolicus (semianello stretto iperbolico) sono generati dalla rotazione di iperboli e trapezi attorno a un asse. Per il semianello stretto si ha: “patet ergo cylindrum, FH, ad solidum, CBDNH, esse vt, FD, ad hyperbolam, CBD, et sic esse quodlibet solidum similare genitum ex, FD, ad sibi similare genitum ex hyperbola, CBD, iuxta communem regulam, CD” - (fr:1428) [è evidente dunque che il cilindro FH al solido CBDNH sia come FD all’iperbola CBD, e così sia qualunque solido simile generato da FD al solido simile generato dall’iperbola CBD secondo la regola comune CD]. Per i conoidi si stabilisce un rapporto composto: “ergo conum, HCR, ad conoidem, SOX, esse in ratione composita ex ea, quam habet quadratum, SX, ad quadratum, HR, et rectangulum, AVO, ad rectangulum, BVC” - (fr:1391) [dunque il cono HCR al conoide SOX è in ragione composta da quella che ha il quadrato SX al quadrato HR e il rettangolo AVO al rettangolo BVC].

Il testo testimonia l’evoluzione della geometria verso il calcolo infinitesimale, attraverso il metodo degli indivisibili che permette di estrarre i concetti di solido simile dalle figure piane: “intelligemus nihilominus, licet nonnihil diverso modo, tale id solidum quod dicitur similare… vt hæc similiaria solida a definitatis conceptu et indivisibilium methodo eximerentur” - (fr:2225) [intenderemo tuttavia, sebbene in modo non molto diverso, che tale solido che si dice simile… che questi solidi simili fossero estratti dal concetto dei definiti e dal metodo degli indivisibili].

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12 La nuova geometria dei continui e il metodo degli indivisibili

Il trattato presenta un’opera geometrica in sei libri che si propone di estendere la scienza delle figure oltre i limiti tradizionali, occupandosi di questioni piane, solide e di argomenti più elevati rispetto alla tradizione euclidea e archimedea, pur mantenendo un rigoroso collegamento con essa. L’autore stabilisce fin dall’inizio un progetto scientifico ambizioso: “Propositum mihi est igitur hanc Geometriam in his sex Libris (quam partim planis, partim solidis, partim etiam sublimioribus Euclide, & Archimede servatis…” - (fr:72) [Mi è proposto dunque questa Geometria in questi sei Libri (la quale in parte sui piani, in parte sui solidi, in parte anche più elevata di Euclide e Archimede, conservati…]. Questa impresa richiede al lettore una preparazione specifica, poiché “Nemo autem hæc aggrediatur, qui sex saltem priores libros, & undecim Elementorum non caluerit, quod si Apollonii et Archimedeis Opera legerit pariter versatus fuerit, facilius hæc apprehendet” - (fr:117) [Nessuno però intraprenda queste cose, chi non abbia almeno ben compreso i sei libri precedenti e gli undici degli Elementi, il che se avrà letto ugualmente le Opere di Apollonio e di Archimede, più facilmente comprenderà queste cose].

Il nucleo innovativo risiede nel metodo degli indivisibili, una tecnica che permette di evitare le tradizionali procedure di circonscrizione e inscrizione di figure solide. L’autore difende questa scelta contro le obiezioni dei filosofi e dei geometri che ritengono il metodo “subobscurus” e duro da concepire, affermando che “hunc tu Geometria cum Cæsare nodum aut dissolvas, aut saltem frangas, nisi dissolutus” - (fr:1529) [tu, o Geometria, sciogli con Cesare questo nodo, o almeno spezzalo, se non è sciolto]. Per rispondere ai detrattori, il testo propone una duplice via: da un lato presenta “novis aliis denuo structis fundamentis, quibus et omnia, quæ indivisibilium methodo in Antecedentibus Libris jam ostensa sunt, alia ratione ab infinitatis exempta conceptu probantur” - (fr:1531) [altre nuove fondamenta, sulle quali anche tutte le cose che con il metodo degli indivisibili nei precedenti Libri sono già state mostrate, vengono provate con un altro ragionamento libero dal concetto dell’infinito]; dall’altro ammette che “licet etiam modo solito potuissem demonstrare” - (fr:2767) [sebbene avrei potuto dimostrare anche nel modo consueto], usando parallelepipedi e piramidi al posto della conversione dei quadrati dei parallelogrammi.

Il metodo si fonda su una nozione chiave di figura simile, definita con precisione distintiva: “Admonendum est autem pro similium figurarum nominatione, cum voco eas similes figuras, sive planas, sive solidas, intelligere in his definitiones generales superius datas; cum vero eas particulari nomine appello, intelligere definitiones particulares pro ipsarum similitudine aliis, vel alme inditas” - (fr:298) [Bisogna però avvertire che per la denominazione delle figure simili, quando chiamo quelle figure simili, sia piane che solide, intendo in queste le definizioni generali date sopra; quando invece le chiamo con nome particolare, intendo le definizioni particolari per la loro similitudine impresse ad altre, o ad altre]. Questa distinzione permette di trattare solidi generati da rivoluzione di figure simili attorno agli assi, come “cylindros, conos, sphæras, sphæroides, conoides parabolicas, & hyperbolicas, apices sphærales, atque annulos, apices parabolicos, & semianulos” - (fr:3005) [cilindri, coni, sfere, sferoidi, conoidi paraboliche e iperboliche, apici sferici, e anelli, apici parabolici, e semianelli], dove i piani sono figure simili alle loro genitrici, siano esse “circuli, vel ellipses” - (fr:3005) [cerchi, o ellissi]. La generalità del metodo è tale che “si vice circulorum, vel ellipsium aliæ fuissent assumptæ similes figuræ, quod eadem circa talia solida Theorema, vel Problemata similiter proposita construere potuissemus” - (fr:3005) [se invece dei cerchi o delle ellissi fossero state assunte altre figure simili, avremmo potuto costruire gli stessi Teoremi o Problemi similmente proposti su tali solidi].

La tecnica dimostrativa privilegiata è quella del mutatis nominibus, che permette di trasferire dimostrazioni da una figura all’altra mantenendo la struttura logica: “Prop. ostendetur quoque mutatis nominibus &c.” - (fr:2195); “ex quo deinde concludetur Corollarium eodem modo, quo ibi factum est” - (fr:2192); e ancora “ex quo inde reliqua concludentur mutatis nominibus &c.” - (fr:2338) [da cui poi si concluderanno le restanti cose mutatis nominibus, etc.]. Questo approccio consente di trattare rettangoli solidi e quadrati solidi “sub eisdem figuris” - (fr:2085) [sotto le stesse figure], evitando “indefinitum illum numerum” - (fr:2085) [quel numero indefinito] che altrimenti sarebbe necessario, e permettendo di mostrare le dimostrazioni “absque solidarum figurarum circumscriptione, & inscriptione, ut alii constituunt” - (fr:2085) [senza la circonscrizione e inscrizione delle figure solide, come stabiliscono altri].

Il trattato non si limita a solidi semplici, ma affronta anche sezioni coniche e loro proprieta, come quando osserva che “si producantur usque ad opposita tangentia plana, constent residua, vel ipsa tota, esse ut coni altitudo” - (fr:888) [se si producono fino ai piani tangenti opposti, i residui, o le parti totali, stanno come l’altezza del cono], o quando definisce le tangenti omologhe nelle sezioni coniche: “secundæ tangentes esse homologas earundem similium figurarum regulis” - (fr:583) [le seconde tangenti essere omologhe delle stesse figure simili secondo le regole]. Si trovano anche riferimenti a settorii e circonferenze: “sectores, AIO, AOB, esse ut omnes eorum circumferentiæ” - (fr:2423) [i settori AIO, AOB, essere come tutte le loro circonferenze].

Nonostante l’ampiezza del metodo, l’autore riconosce i limiti del proprio lavoro: “Ne quis tamen putet me omnium dissitorum solidorum dimensionem fuisse consecutum, (sicuti nec Keplero contingere potuit, nisi paucorum, nec satis feliciter… satis mihi fuit eorum aliqua certiori tamen, faciliorique ratione, investigare, quæ circiter numero plusquam viginti enumerari poterunt” - (fr:78) [Affinché nessuno però pensi che io abbia conseguito la misura di tutti i solidi distinti (come né a Keplero poté accadere, se non di pochi, e non abbastanza felicemente… a me bastò investigarne alcuni con ragione tuttavia più certa e più facile, che potranno enumerarsi in numero circa più di venti]. Questa limitazione non impedisce di stabilire rapporti composti tra figure, come nei “cylindricus… ad conicum… rationem compositam ex rationibus… basium, & altitudinum” - (fr:1895) [il cilindrico… al conico… rapporto composto dai rapporti… delle basi e delle altezze].

Il testo si conclude con un invito alla cautela e allo studio attento: “Sunt tamen hæc nonnullis ita rependentibus… Ne quis igitur hanc novo methodo damnare velit, quam hac ultima pura et sincera, sincero affectu fuerit perlustratus” - (fr:116) [Ci sono tuttavia alcuni che respingono queste cose così… Affinché dunque nessuno voglia condannare questo nuovo metodo, il quale, se sarà stato esaminato con questo ultimo puro e sincero, con affetto sincero…], lasciando al lettore industrioso ulteriori sviluppi: “Mitto autem hic pariter quamplurima, quæ adhuc circa hæc indaganda supersunt, ut Lectori in his laborandi locus relinquatur” - (fr:1519) [Lascio qui inoltre moltissime altre cose, che ancora restano da indagare su queste materie, affinché sia lasciato spazio al Lettore di lavorare su queste].

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13 La geometria della spirale archimedea: definizione, quadratura e solidi elicoidali

Trattato sulle proprietà metriche della spirale generata da moto composto, sulla quadratura del cerchio e degli spazi elicoidali mediante il metodo di esaustione.

Il testo espone la teoria geometrica della spirale definita dal moto simultaneo di un raggio che ruota uniformemente attorno al centro e di un punto che si muove con velocità costante lungo di esso, stabilendo rigorosi rapporti di equivalenza tra aree piane e solidi da essa derivati.

La definizione della curva emerge dalla descrizione del moto meccanico: il raggio, nel percorrere la circonferenza, genera una linea il cui inizio coincide con il centro del cerchio e il termine con l’estremo del raggio stesso. “radium percurrir,ipfa linea,fite3,quam vocofpi ralcra, cuius initiumdicitur ipfum centrum > teriDinus vero aliudextreroum pundum ipfius radijj & initiu circulationis,fiue volura ipfe radius:^ppellacurautemh«c,fpiralisinprimareuolutione genita, ficuti aliae etiam funt iii alijs reuolutio nibusdefcriptibiks, produdoradio,&continua to motu, vt in fecunda , in tcrtia, in quarta reuo lutione, & fic deinceps , vnde & defcripti circuli dicuntur primi >fecundi ,tertij ,&c.” - (fr:2360) [il raggio percorre, sia essa la linea che chiamo spirale, il cui inizio si dice essere il centro stesso, il termine invece l’altro punto estremo del raggio, e l’inizio della circolazione, ovvero la rivoluzione del raggio stesso: si chiama questa, spirale generata nella prima rivoluzione, come anche altre sono descrivibili in altre rivoluzioni, con il raggio prolungato e con moto continuo, come nella seconda, terza, quarta rivoluzione, e così via, donde anche i cerchi descritti si dicono primi, secondi, terzi, ecc.]. La costruzione precisa richiede che il punto si muova lungo il raggio con velocità lineare uguale alla velocità angolare di rotazione: “tpftm vero, £, circtim/trerjtidm, MSE, intno attiem reuolntionts dtfctddt gb, A.pttttcittm motum Atjuettelociter fuftr, AE, cjuMm percttrrdt to ttmport , ijtto puncJttm , £ , ptrtran/it ctrcumfeftn^ tUm, MSE, deftgnans curuam , AIE , hac igitur dtcitur fptralts inpnma rtuolutione oria” - (fr:2364) [esso stesso E descrive la circonferenza MSE, all’inizio però della rivoluzione si distacca da A il punto mosso con uguale velocità lungo AE, che percorre in quel tempo in cui il punto E attraversa la circonferenza MSE, disegnando la curva AIE, questa dunque si dice spirale sorta nella prima rivoluzione].

Il fondamento metrico si basa su un principio di proporzionalità tra spazi e circonferenze: per una curva tracciata dal centro alla periferia, lo spazio compreso tra la curva e il raggio sta al cerchio o al settore come la somma delle circonferenze dello spazio alla somma delle circonferenze del cerchio. “Er it di(flum fpatium ad propoficum circulum , vel quemcunq; fe^aorem, vt omnes ciufdem circum«- ferenti» ad omnes illius circumferentias” - (fr:2426) [Sarà detto spazio al proposto cerchio, o un qualunque settore, come tutte le circonferenze dello stesso a tutte quelle circonferenze].

La quadratura della spirale si realizza mediante l’equivalenza con figure rettilinee. Ogni settore circolare è equiparato a un triangolo rettangolo specifico: “OMnis fedor circuli aequalis eft triagulo rcaangulo, cuius circuli radius eft par vni eorum, qux funt circa re<aum, circumfe rentia verb bafi illius fetois” - (fr:2384) [Ogni settore circolare è uguale al triangolo rettangolo, il cui raggio del cerchio è pari a uno di quelli che sono attorno all’angolo retto, la circonferenza invece alla base di quel settore]. Seguendo questo principio, si dimostra che il cerchio è equivalente a un triangolo rettangolo costruito sul raggio e sulla circonferenza: “triangulus, FHG, reaum habcns jngulum ad, G,ciuus la tus, FG, fit sequalc ipfi, AB, &, HG, circuferentix,ECDB… crit crgo triangulus, FHG, arqualis circulo , ECDB” - (fr:2476) [il triangolo FHG, avendo l’angolo retto in G, il cui lato FG sia uguale a quello AB, e HG alla circonferenza ECDB… sarà dunque il triangolo FHG uguale al cerchio ECDB].

Per quanto riguarda le aree elicoidali, il testo stabilisce che la porzione di cerchio compresa tra la spirale e la linea iniziale è tripla della figura compresa dalla spirale stessa e dalla linea retta: “portio… tripla eft figurae comprehen ff duda linea,& portionefpiralis” - (fr:2539) [la porzione è tripla della figura compresa dalla detta linea e dalla porzione di spirale]. La dimostrazione procede per esaustione, confrontando trilinei curvilinei con spazi residui: “trilineum… neq; maius, neqs minus cft fpatio refiduo iam dido , ergo illi x quale” - (fr:2547) [il trilineo né maggiore né minore è dello spazio residuo già detto, quindi uguale a esso].

Il trattato estende l’analisi ai solidi di rivoluzione, definendo una gerarchia di cilindri e coni associati alle successive rivoluzioni: “prunus cy indrus… fecunduscylwdrus… prxmus cylindricus… fccuadus cylindncus” - (fr:2777) [primo cilindro… secondo cilindro… primo cilindrico… secondo cilindrico]. I rapporti tra questi solidi seguono proporzioni complesse che coinvolgono quadrati e rettangoli dei raggi consecutivi: “eft, vt triplum quadrati radij fccundi circu li) ad reangulum fub radio eiufdcm fecun^- di , & radio primi circuli, vnacum tertia partc-i quadrati diifcrentix eoruadem radiorum” - (fr:2787) [è, come il triplo del quadrato del raggio del secondo cerchio, al rettangolo sotto il raggio dello stesso secondo e il raggio del primo cerchio, insieme con la terza parte del quadrato della differenza dei medesimi raggi], specificato ulteriormente come “Sccundus cnim cylindrus ad fccfidum cylindricum eft, vt… rcdangulum fub radijs primiySc fccundi circuli, vna cum tcrti:i pai tcj quadratiditfcrcntixcorundcm ad horum coniundorum tcrtiam partc” - (fr:2789) [Il secondo cilindro infatti al secondo cilindrico è, come il rettangolo sotto i raggi del primo e secondo cerchio, insieme con la terza parte del quadrato della differenza dei medesimi, alla terza parte di questi congiunti].

Il metodo dimostrativo adottato è quello dell’esaustione, basato sul confronto di figure inscritte e circoscritte. Le dimostrazioni per assurdo escludono che le aree siano maggiori o minori di quanto stabilito: “circumfcripta^ fupcrabant omnes circumferentias infcriptaMiiinori quantitnte” - (fr:2437) [le circoscritte superavano tutte le circonferenze delle inscritte di una quantità minore], e si conclude che “figura ci ci.mfcripta… minor erit fpatio… cui tamcn cft infcriptn , quod eft abfurdum” - (fr:2648) [la figura circoscritta sarà minore dello spazio a cui tuttavia è inscritta, il che è assurdo], garantendo l’uguaglianza rigorosa tra le grandezze confrontate.

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14 La geometria dei solidi di rotazione e il metodo degli indivisibili

Trattazione delle proporzioni tra cilindri, coni, sfere e conoidi generati dalla rotazione di figure piane attorno ad assi fissi, con l’applicazione del metodo degli indivisibili per la determinazione di solidi equivalenti e la comparazione di volumi attraverso la composizione di rapporti.

Il testo espone una teoria geometrica fondata sulla generazione di solidi mediante rivoluzione di figure piane attorno ad assi immobili. Si stabiliscono proporzioni rigorose tra cilindri, coni, sfere, sferoidi e conoidi parabolici o iperbolici, utilizzando il metodo che equipara le circonferenze generate dalla rotazione alle linee del triangolo generatore. “Intelligantur dictae figurae revoluti circa suos axes vt ex circulo sint sphaera vel ellipsi sphaeroides ex parabola conoides parabolicum & ex hyperbola hyperbolicum” - (fr:1171) [Si immaginino le dette figure ruotate attorno ai loro assi, in modo che dal cerchio si generi la sfera o lo sferoide dall’ellisse, dalla parabola il conoide parabolico e dall’iperbola l’iperbolico]. Questo approccio consente di dimostrare che sezionando tali solidi con piani paralleli all’asse si ottengono figure simili: “Si sphaeroides vel conoides parabolicum seu hyperbolicum secentur quomodocunque planis parallelis ad axem rectis sive inclinatis communes sectiones similes erunt” - (fr:1156) [Se uno sferoide o un conoide parabolico o iperbolico vengono sezionati in qualsiasi modo da piani paralleli all’asse, perpendicolari o inclinati, le sezioni comuni saranno simili].

Il metodo si fonda sul principio di equivalenza tra insiemi di indivisibili, dove le circonferenze dei cerchi sono confrontate con le linee rette del triangolo. In particolare, si dimostra che “circumferentia FZX aequatur ipsi SR” e che “omnes circumferentias circuli DABC aequari omnibus lineis trianguli HOM” - (fr:2406) [la circonferenza FZX è uguale alla stessa SR… tutte le circonferenze del cerchio DABC sono uguali a tutte le linee del triangolo HOM], stabilendo una corrispondenza biunivoca che permette il calcolo delle aree e dei volumi.

Il trattato definisce con precisione le proporzioni tra solidi fondamentali. Si dimostra che il cilindro circoscritto a una sfera o a un conoide mantiene rapporti costanti: il cilindro è sesquialtero (3/2) della sfera e il cono è la metà della stessa. “Erit ergo cylindrus KQ sexquialter sphaerae vel sphaeroidis ACEG & conus subduplus eiusdem” - (fr:2796) [Sarà dunque il cilindro KQ sesquialtero della sfera o dello sferoide ACEG, e il cono la metà dello stesso]. Vengono inoltre determinate le relazioni numeriche specifiche: il conoide parabolico è il triplo del vertice parabolico, mentre l’emisfero è sesquitertio (4/3) rispetto al conoide parabolico. “Conoides vero parabolicum triplum esse apicis parabolici & quintuplum sesquiquartum apicis sphaeralis… unde patet hemisphaerium vel hemisphaeroides sesquitertium esse conoidis parabolici” - (fr:2959) [Il conoide parabolico è il triplo del vertice parabolico e il quintuplo sesquiquarto del vertice sferico… da cui si evince che l’emisfero o l’emisferoide è sesquitertio del conoide parabolico].

Una parte significativa riguarda la costruzione di solidi equivalenti attraverso l’uso di medie proporzionali. Per trovare un cilindro uguale a un dato conoide o sferoide, si ricorre all’inserimento di due medie continue tra altezza e diametro: “Fiat cylindrus rectus CFD sesquialter cylindri deinde inter altitudinem FE & basis diametrum CD duae mediae continue proportionales iuxta methodum ab aliis traditam inveniantur” - (fr:2840) [Si faccia il cilindro retto CFD sesquialtero del cilindro… poi tra l’altezza FE e il diametro della base CD si trovino, secondo il metodo tramandato da altri, due medie continuamente proporzionali]. Analogamente, per costituire un vertice sferico o sferoidale uguale a un dato cilindro attorno a un asse assegnato: “Dato cylindro apicem sphaeralem aequalem constituere vel sphaeroidalem & hunc circa datum axem” - (fr:2857) [Dato un cilindro, costituire un vertice sferico o sferoidale uguale ad esso, e questo attorno a un dato asse].

Il testo tratta anche dei solidi anulari e dei tamburi (tympana). Si definiscono costruzioni per trovare un “anello largo” (anulus latus) uguale a un dato cilindro, specificando che il cilindro deve essere maggiore dell’anello stretto (anulus strictus) generato dallo stesso cerchio: “Dato cylindro anulum latum circularem aequalem invenire dato circulo qui per revolutionem ipsum generat oportet autem datum cylindrum maiorem esse anulo stricto ab eodem circulo per revolutionem genito” - (fr:2905) [Dato un cilindro, trovare un anello largo circolare uguale, dato il cerchio che lo genera mediante rotazione; è necessario però che il cilindro dato sia maggiore dell’anello stretto generato dalla rotazione dello stesso cerchio]. Per il tamburo sferico, si stabilisce che il suo volume equivale a quello di un cilindro costruito con proporzioni specifiche tra altezza e semidiametri: “Dato cylindro tympanum sphaerale eidem aequale constituere cuius axis semidiametro basis sit aequalis” - (fr:2873) [Dato un cilindro, costituire un tamburo sferico uguale ad esso, il cui asse sia uguale al semidiametro della base].

Le sezioni dei conoidi rivelano proprietà importanti. Quando un conoide iperbolico viene tagliato da un piano perpendicolare al piano generatore, la sezione risultante è un’ellisse: “per OX traducatur planum OX erectum plano genitricis hyperbolae ADC cuius pars in conoide concepta erit ellipsis OX cuius maior diameter OX minor autem in figura propositionis linea PO” - (fr:1410) [si conduca per OX il piano OX eretto sul piano dell’iperbola generatrice ADC, della quale la parte compresa nel conoide sarà l’ellisse OX, la cui maggiore diametro è OX, la minore invece nella figura della proposizione è la linea PO]. I conoidi opposti generati da iperbole contrapposte vengono definiti come entità distinte ma correlate: “ex oppositis hyperbolis BND AMC fiant conoides BND AMC quae pariter dicuntur Conoides opposita” - (fr:1449) [dalle iperbole opposte BND e AMC si generino i conoidi BND e AMC, che sono detti conoidi opposti].

Il linguaggio adotta una terminologia specifica dove “apex” indica porzioni specifiche di solidi (come vertici parabolici o sferici), e le proporzioni vengono espresse in termini di rapporti composti da rettangoli, quadrati e parallelepipedi, riflettendo la geometria pre-cartesiana basata su grandezze geometriche piuttosto che su coordinate algebriche.

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