Cardano - De Subtilitate - Sul Moto - 1550 | eL | +
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1 La teoria del moto dei proiettili nel De Subtilitate: antiperistasi, successione d’aria e impulso acquisito
Cardano passa in rassegna le dottrine antiche e aristoteliche sul movimento violento, costruendo con puntuali schemi geometrici e analogie una critica che lo conduce a difendere la «prima veduta», la più semplice: un impulso acquisito che permane nel mobile.
Il brano, tratto dal II libro del De Subtilitate, affronta il problema del moto dei proiettili una volta cessato il contatto con la mano che li scaglia. Cardano richiama la domanda pseudo-aristotelica: “Why, again, does a body travel at all except by its own motion, when the discharging force does not follow and continue to push it?” – (fr:3764) [Perché un corpo continua a viaggiare se non per il proprio moto, quando la forza che lo ha lanciato non lo segue né continua a spingerlo?]. La discussione abbandona subito la risposta che esaurisce il moto con la resistenza o il peso (fr:3762) per concentrarsi su tre spiegazioni che chiamano in causa l’aria, e su una quarta, quella aristotelica, per poi approdare a una teoria dell’impulso impresso.
La seconda veduta: Platone e l’antiperistasi.
Cardano la presenta con il tipico linguaggio geometrico a punti (A, B,
C…): “A second view was Plato’s, that, for instance, 0 through
motion B is transferred by a moving thing right to B; when it is left
there by the c moving thing, the mobile air previously at the space
(i.e. at A) fills the D space between A and B, and so it touches the
movable A with motion, E and in this way it always fills up the space
which the movable A abandons (…)” – (fr:3766) [Una seconda
veduta era quella di Platone: l’aria mobile che si trovava in A riempie
lo spazio tra A e B, tocca con moto il mobile A e riempie via via lo
spazio che A abbandona, per il movimento di rarefazione]. Il meccanismo
viene esplicitato poco oltre: “air follows after anything
moved by whatever impulse, by filling up the space by the same impulse,
and it touches the A that has been moved, therefore the air itself will
move A by the same impulse as at first, by making an unbroken
movement.” – (fr:3768) [l’aria segue ogni cosa mossa da un
impulso qualsiasi, riempiendo lo spazio con il medesimo impulso, e tocca
A che è stato mosso, sicché l’aria stessa muoverà A con lo stesso
impulso iniziale, realizzando un movimento ininterrotto]. Platone chiama
questo stile di movimento antiperistasi, ossia “mutamento
per successione di luoghi” (fr:3769; fr:3782-3783).
L’obiezione aristotelica, riportata da Cardano, è che in tale schema un mobile non potrebbe essere il primo motore, e il moto cesserebbe quando la forza che spinge è vinta dal peso (fr:3770). Cardano aggiunge una critica più stringente: “things that make movement by antiperistasis are also being moved, so while they are not being moved, they do not make movement. But when the air present in A was in B, at that time it is not being moved by anything (…) so it cannot move A from its location while A is in B.” – (fr:3793-3794) [le cose che muovono per antiperistasi sono anch’esse mosse; quando l’aria che era in A si trova in B, in quel momento non è mossa da nulla, quindi non può muovere A mentre A è in B]. L’argomento, dice Cardano, “was not grasped by the commentators, and yet it shows clearly that Plato’s view is false” – (fr:3796) [non fu colto dai commentatori, eppure mostra chiaramente che la veduta platonica è falsa].
La terza veduta: l’aria che precede il mobile e lo
trascina.
Secondo alcuni antichi, l’aria posta davanti al proiettile (C) viene
spostata verso D, e per evitare il vuoto il mobile (B) si trasferisce in
C, e così via (fr:3797). Cardano traduce il meccanismo in un’immagine
concreta: “It is as if an ox were to occupy the place or the
role of the air going ahead, and a cart that of the weight or the
movable thing, and the link by which the ox pulls the cart is
rarefaction or the compulsion of a vacuum.” – (fr:3798) [È
come se un bue occupasse il posto dell’aria che precede, un carro quello
del peso o del mobile, e il legame con cui il bue tira il carro fosse la
rarefazione o la necessità di evitare il vuoto]. In questo modo, per
quanto l’aria si muova, il proiettile la segue con la stessa velocità, e
il moto diventa continuo (fr:3799).
La replica è duplice. Anzitutto Aristotele obietta che se l’aria a C è mossa verso D, occorre qualcosa che la muova; non può essere il mobile stesso perché si cadrebbe in un circolo vizioso di causa ed effetto coincidenti (fr:3800). Se si dice che l’aria si trasferisce da sé, si ricade nella prima opinione (fr:3801). Inoltre, se davvero l’aria avesse in sé un principio di moto sempre uguale, “that motion will be perpetual, because this air will always stay the same, and will be moved by its form, always therefore with equal speed” – (fr:3812) [quel moto sarebbe perpetuo, perché quest’aria rimarrebbe sempre la stessa e sarebbe mossa dalla sua forma sempre con eguale velocità]. Un proiettile scagliato viaggerebbe allora attraverso tutto il mondo e con velocità invariata, contro l’esperienza (fr:3813).
La quarta veduta: Aristotele e la catena di aria
spinta.
Per Aristotele l’aria posta in B, messa in moto da chi lancia, spinge
l’aria in C, che spinge quella in D, e così via, finché l’ultimo tratto
d’aria (G) non ha più forza per muovere H e il proiettile si arresta
(fr:3814). Cardano ne trae alcune conseguenze notevoli: “any
part is moved by the one before it, as F is by E, and E by D. Thirdly,
the reason expressed is clear that any portion of the air ceases to be
moved before it ceases doing moving (…)” – (fr:3815) [ogni
parte è mossa da quella che la precede; inoltre ogni porzione d’aria
cessa di essere mossa prima di cessare di muovere]. La prima metà del
moto del motore si salda alla fine del moto successivo, ma il movente
smette prima del mosso, perché in natura il movente è mosso prima di
muovere (fr:3816). Ne deriva che “the movement of a thing that
is projected is made up of an infinity of movements succeeding each
other in turn, and is continuous per accidens” – (fr:3817)
[il movimento di un proiettile è composto da un’infinità di movimenti
che si succedono ed è continuo per accidente]. La successione d’aria,
fatta di infinite componenti, occupa un tempo percepibile dal principio
alla fine del lancio (fr:3823-3824). La compressione dell’aria
(condensatio aeris) giova a sollevare senza limite e spiega
l’accelerazione, permettendo di evitare l’infinità in atto (fr:3825).
Cardano può così affermare, con orgoglio, che questa veduta aristotelica
“was grasped by no one right up to to-day” –
(fr:3826) [non fu compresa da nessuno fino a oggi].
La «prima veduta» e l’impulso
acquisito.
Tuttavia Cardano ritiene più adatta un’altra spiegazione: “But
our need is rather for the first view, the simplest one, and one not
involving such great difficulties.” – (fr:3827) [Ma il
nostro bisogno è piuttosto della prima veduta, la più semplice e non
avvolta in così grandi difficoltà]. Essa si fonda sull’idea che, pur
essendo vero che tutto ciò che è mosso è mosso da qualcosa, il motore è
un impulso acquisito. L’esempio è quello del calore: “what
does the moving is an acquired impulse, such as heat in water, heat
which is channelled there by fire contrary to nature – and yet when the
fire is removed, it burns the hand of anyone touching it, and
accordingly even an accident violently attaching retains its
power.” – (fr:3828) [ciò che muove è un impulso acquisito,
come il calore nell’acqua, immesso dal fuoco contro natura, e che, tolto
il fuoco, scotta ancora la mano; così anche un accidente impresso con
violenza conserva la sua potenza]. È lo stesso argomento che portava
all’esempio del fulmine, capace di abbattere alberi senza toccarli, per
mostrare che l’impulso iniziale basta a propagare il movimento
(fr:3765).
Su questa base, Cardano enuncia quattro cause del movimento violento prolungato e veloce (fr:3829). La prima è che la causa movente operi con rapidità sin dall’inizio; la seconda, che lo faccia su un ampio intervallo. “This is why the longer military equipments are, the further the missiles go; and so the more a bow is bent for both reasons, the further it sends the arrow.” – (fr:3832) [Ecco perché quanto più lunghi sono gli strumenti bellici, tanto più lontano vanno i proiettili; e quanto più un arco è teso, per entrambe le ragioni, tanto più lontano manda la freccia]. Cardano traduce il vantaggio in un rapporto geometrico: se la corda è tesa fino a C, la freccia sarà spinta da C a D, e la gittata aumenterà nella proporzione CD a BD (fr:3833). Inoltre, tornando da C, la corda imprime un impulso maggiore che da B, così la freccia è mossa più velocemente dalla corda di quanto sarà dopo il distacco (fr:3834). La forza del movente, conclude, si manifesta proprio nella capacità di muovere con rapidità (fr:3835-3836). Così l’intera dinamica del lancio violento viene riportata a un principio semplice: l’impulso acquisito, misurabile dalla velocità impressa.
Nel suo insieme, il testo documenta un momento di transizione nella meccanica. Cardano conosce e discute le teorie dell’antiperistasi, della successione d’aria e della trazione per rarefazione – con riferimenti ad Aristotele, Simplicio, Averroè e Oresme –, ma le supera affidandosi a una nozione di impetus che rinuncia alla catena infinita dei motori intermedi e si concentra sulla qualità motrice trasmessa al mobile. La chiarezza delle analogie (i buoi, il carro, la corda dell’arco, l’acqua scaldata) e l’impiego sistematico di punti, distanze e proporzioni fanno del passo un tassello significativo nella storia della fisica, colto nel momento in cui il linguaggio della dinamica medievale comincia a fondersi con l’osservazione quantitativa.
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2 La Meccanica del Moto Violento e la Traiettoria dei Proiettili nel De Subtilitate di Cardano
Un’indagine cinquecentesca sulle cause del moto dei proiettili che, confutando la fisica aristotelica, giunge a intuire la natura parabolica della traiettoria e a definire le condizioni per il massimo impatto balistico.
Il testo, tratto dal De Subtilitate di Girolamo Cardano, costituisce una serrata analisi del movimento violento, quello cioè impresso da un agente esterno a un corpo. L’indagine si snoda attraverso la confutazione delle spiegazioni tradizionali, l’enunciazione di cause fisiche alternative e la formulazione di una teoria composita del moto, la quale spiega perché un proiettile scagliato da una macchina o da una balestra infligga colpi più potenti non nel punto di partenza, bensì a una certa distanza, e perché la sua traiettoria non sia una semplice linea spezzata, ma una curva complessa.
Cardano individua quattro cause fondamentali che permettono a un colpo di essere veloce e prolungato nello “spatium,” che può essere di spazio o di tempo (fr:3847). La terza causa risiede nella rarefazione del mezzo: “qualcosa può essere scagliato velocemente nell’aria, lentamente nell’acqua e a stento nella terra” (fr:3850). Questa osservazione ha un immediato riscontro pratico nell’arte bellica navale; chi attacca navi nemiche evita di colpire sotto la linea di galleggiamento perché “l’impatto della palla di cannone è compromesso dal contatto con l’acqua” (fr:3851). La quarta causa è l’acutezza del missile, il quale “è meno ostacolato poiché ha una minor quantità d’aria sul suo cammino” (fr:3852). Queste affermazioni portano Cardano a rigettare la spiegazione aristotelica del moto violento, in particolare la teoria dell’antiperistasis platonica. L’idea che l’aria, spostandosi davanti e di lato, sospinga il proiettile è logicamente insostenibile: se l’aria fosse così molle da non poter essere costretta con forza, “non potrebbe muovere nemmeno una palla di ferro” (fr:3856). Inoltre, se la teoria del vuoto o quella dell’aria circostante fossero valide, “le cose pesanti dovrebbero essere trasportate non più lentamente di quelle leggere” (fr:3858), il che contraddice l’esperienza.
La confutazione si estende anche all’interpretazione di un passo aristotelico sul climax del moto. Secondo i commentatori antichi, Simplicio e Averroè, che leggevano un testo “con lettera corrotta” (fr:3892) e scambiavano i “proiettili” per “animali” (fr:3871), il culmine del moto violento si troverebbe all’inizio e quello del moto naturale alla fine, mentre i proiettili, non rientrando in nessuna delle due classi, creavano un’aporia. Cardano scioglie il nodo chiosando Aristotele con una sintesi originale: “il movimento naturale alla sua conclusione, quello violento all’inizio, quello dei proiettili nel mezzo, diventa più potente” (fr:3870). La ragione è che nel proiettile coesistono un moto violento e uno naturale; il primo, impresso dall’aria messa in movimento, è massimo all’inizio, il secondo, dovuto alla gravità, è massimo alla fine. Di conseguenza, il moto composto che ne deriva “è più potente nel mezzo” (fr:3897). Questa teoria è coerente con l’osservazione delle macchine belliche: “gli scorpioni e i missili scagliati a mano infliggono colpi più potenti a una certa distanza che non quando sono troppo vicini” (fr:3898).
Cardano introduce un secondo elemento decisivo per la stabilità del volo: la forma del missile. Per impedire deviazioni, il proiettile è dotato di alette. La descrizione è geometrica: “La punta è A; le quattro grandi alette sottili sono poste ad angoli retti sull’asta BA” (fr:3861). In questo modo, durante il moto, “non può deviare, perché una o più alette incontreranno l’aria frontalmente” (fr:3862), assicurando che il missile “si conficcherà dritto” (fr:3863) anche quando la potenza del lancio inizia a esaurirsi.
La parte più innovativa dell’analisi riguarda la scomposizione del movimento e la forma della traiettoria. Cardano delinea un modello teorico su una linea AB parallela all’orizzonte, tagliata ad angolo retto da CD, con CA uguale a CB. Posto un punto E e un punto da raggiungere F, analizza l’intensità dei colpi lungo diverse direzioni. L’esperienza mostra che l’impatto più debole è quello diretto frontalmente lungo la linea FA (verso l’alto contro gravità), mentre il più potente non è quello verticale FC, come una teoria semplicistica suggerirebbe, bensì quello lungo la linea FE, la quale corrisponde a un’inclinazione di quarantacinque gradi. La ragione è che lungo tale linea l’aria viene mossa in massima misura e la gravità del peso oppone una resistenza minore rispetto alla verticale pura: “il risultato è che dove l’aria è mossa maggiormente, e il peso possiede meno gravità (cioè lungo la linea FE), è dove la palla viene scagliata con la massima potenza” (fr:3912). Da questa analisi discende la regola pratica dell’artiglieria: “coloro che fanno tremare le mura posizionano le loro artiglierie a metà di un angolo retto, lungo la linea FE – l’impatto viene aumentato di quasi un terzo” (fr:3915).
Osservando il moto complessivo, Cardano descrive con acume la traiettoria risultante. Essa non è formata da due segmenti rettilinei, bensì da una curva: dopo la salita in linea retta (fase violenta), il proiettile “non ridiscende subito lungo un cerchio o una linea retta, ma su una linea intermedia, che quasi riproduce una linea circoscritta attorno a una parabola” (fr:3916), per poi concludere con la caduta verticale. La traiettoria risulta così composta da “tre movimenti: prima uno violento, infine uno precisamente naturale, e nel mezzo una mistione dei due” (fr:3917). Questa intuizione della forma parabolica, apparsa già nella prima edizione del De Subtilitate nel 1550, rappresenta una tappa fondamentale nella storia della balistica e della meccanica, anticipando le successive dimostrazioni galileiane e testimoniando il graduale superamento della cinematica aristotelica. Cardano è comunque consapevole della difficoltà di misurare con esattezza un fenomeno così composito: “essendo la base del movimento così molteplice, misurare con precisione tali cose è manifestamente impossibile, ma vi si può giungere per stima” (fr:3918).
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3 Il moto, la rarefazione e l’ingegno tecnico: osservazioni dal De Subtilitate
Cardano indaga la natura del movimento, partendo da un fenomeno oscillatorio per giungere a considerazioni sulla propulsione e alla descrizione di ingegnose macchine del suo tempo, testimoniando un momento di passaggio tra fisica qualitativa e meccanica pratica.
L’analisi prende avvio dal comportamento di un anello sospeso, un vero e proprio pendolo. Cardano osserva che, una volta spostato dalla sua posizione di riposo, l’anello vi ritorna con una forza paragonabile a quella impiegata per allontanarlo. Da questo principio deduce la persistenza del moto oscillatorio: l’anello, spostato di un certo intervallo, dovrà deviare di una distanza uguale nella direzione opposta, giungendo alla quiete in modo graduale, con un “continuo ac alternato reditu” – che è, come annotato, la definizione stessa di un pendolo – “and so to come to rest very gradually, with unending to-and-fro motion” (fr:3934-3944). Questo movimento, seppur lieve, può essere talmente amplificato da cause impercettibili come il moto invisibile dei respiri (“occulta spirituum motione”), da sembrare generato da una forza occulta, quasi che “there seems to be a demon in the ring to move it” (fr:3936).
L’efficienza di questo moto è analizzata in base alla lunghezza del filo di sospensione. Cardano dimostra geometricamente che, a parità di forza motrice e di peso, un pendolo con un filo più lungo compie un’escursione maggiore, ma in un tempo più lungo; di conseguenza, per muovere un peso sospeso più in alto serve un impeto minore, rendendo il moto più facile e con minor lavoro. La combinazione di un lungo filo e di minime cause scatenanti – come “a heedless hand movement, or from the air, or from breaths themselves, whose power descends even along the thread” (fr:3941) – rende ragionevole un fenomeno che altrimenti apparirebbe come mosso da stregoneria (“praecantatio”).
Dall’analisi del moto oscillatorio, il discorso si sposta sulla capacità dei corpi rarefatti di generare un impatto violento. Cardano nota un’apparente contraddizione: i corpi rarefatti non solo accettano un moto rapido, ma lo generano con grande violenza. L’evidenza è data da un’arma pneumatica, descritta come invenzione di un tedesco: un tubo di cipresso lungo venti ulne e di calibro strettissimo, capace di scagliare una pallina di piombo con tale impeto “that it would smash through a plank” (fr:3957). L’arma è descritta come affidabile e silenziosa, priva dello spreco di polvere, ma con gli svantaggi di peso, dimensione e potenza non commisurata alla mole. La ragione della superiore capacità propulsiva del fuoco sull’aria e dell’aria sull’acqua è duplice: le cose più rarefatte si muovono con estrema facilità e quindi con grande impeto, e inoltre possono essere compresse molto di più, poiché la loro densità è lontana dal limite massimo, a differenza dell’acqua che, raggiunta la densità della terra, non può essere ulteriormente compressa. Ecco perché i dispositivi ad aria compressa devono essere grandi per assestare colpi potenti, altrimenti producono solo colpi deboli.
Questa riflessione sulla meccanica dei fluidi introduce la figura di un eccezionale artigiano, un fabbro di Bruxelles, le cui invenzioni incarnano l’applicazione pratica di tali principi. Costui temprò interamente in acciaio uno scorpione (una piccola balestra) grande quanto un palmo, così ben fatto da uccidere l’amante della moglie, nascondendo l’arma sotto un tovagliolo e portando a termine la sua vendetta in tutta sicurezza, “without a bang or suspicion” (fr:3968) e senza l’odore della polvere da sparo che avrebbe potuto tradirlo. Lo stesso artefice realizzò un orologio incastonato nella gemma di un anello, azionato da una molla, che segnava le ore non con una freccia, ma con un colpo secco (“by a thump”). Sebbene Cardano conceda che simili dettagli possano apparire come “mere fussy details” (fr:3990), li ritiene degni di nota come vertici dell’abilità tecnica umana.
L’esempio più estesamente descritto, derivato dalla natura dell’aria, è un raffinato strumento per setacciare la farina, inventato da meno di tre anni. Cardano ne descrive la struttura con precisione: una ruota dentata B con una manovella A mette in rotazione un’asta C dotata di quattro denti di legno. Questi, ruotando, colpiscono una tavola sospesa D-E, mantenendola in perpetuo moto tremulo. Sopra questa tavola è collocato un setaccio obliquo F-G, mentre nella parte superiore un piatto quadrato K, contenente la farina, è scosso da una corda collegata all’altro lato della ruota. L’azione combinata dello scuotimento del piatto e del setaccio permette di separare meccanicamente la farina in tre componenti, raccolte in scomparti distinti di un contenitore a tenuta stagna, così che nulla vada perso. Cardano aggiunge consigli pratici per evitare sprechi, come regolare l’inclinazione del setaccio e aggiungere una partizione, in modo da non perdere “even an obol of flour” (fr:4010). La macchina, inizialmente coperta da un privilegio imperiale concesso all’inventore, aveva già conosciuto una vasta diffusione tra mugnai, collegi religiosi e nobili, attratti tanto dalla sua straordinaria convenienza quanto dalla meraviglia per il suo funzionamento.
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