Capire Hegel 45 | L | 13d
1 Radici e funzione dell’arte tra tradizione, mito e contemporaneità
Un confronto tra la vitalità dell’arte radicata nella tradizione e la sterilità percepita di alcune espressioni contemporanee.
Il blocco di testo contrappone un’arte autentica, consapevole delle proprie radici storiche e culturali, a una pratica contemporanea giudicata spesso fine a se stessa. Si sostiene che “la vera arte si rende conto che viene da una tradizione che ha delle radici”, come nel Rinascimento, radicato nella cultura classica, o in Giotto. Al contrario, si osserva che in alcune arti contemporanee l’obiettivo sembra essere solo quello di “fare quelli che stupiscono, quelli che ribaltano gli schemi”, un processo a volte “fine a se stesso”. Viene criticata anche una certa ripresa accademica della tradizione, definita “una ripresa vuota della tradizione”, vista come l’altra faccia della medaglia di uno sterile sperimentalismo. Il discorso si approfondisce richiamando Walter Benjamin, secondo cui l’arte fiorisce nel momento della “decadenza del mito”, quando le rappresentazioni perdono il loro potere magico e superstizioso per trasformarsi nell’“incantesimo della bellezza”, svolgendo così una “precisa funzione, quella della liberazione del mito”. Questo passaggio è esemplificato dall’arte rinascimentale, che compie una svolta umanizzante rispetto all’arte sacra e simbolica precedente. Riguardo all’arte attuale, si esprime un giudizio severo: “probabilmente non svolge proprio nessunissima funzione”, essendo diventata “un’arte di retroguardia” ancorata a utopie e a un rifiuto della realtà i cui presupposti storici, come lo shock post-bellico, sarebbero ormai esauriti, tanto da far ritenere che “manc[h]ino completamente i presupposti… per una grande arte”.
2 Il superamento del quantum nel suo altro
Il passaggio dalla relatività del quantum alla sua determinatezza concettuale nel superamento.
Il sommario tratta del superamento del quantum, che non è un semplice negativo ma “il non quantum negativo”, paragonato ai puntini di sospensione che interrompono una progressione. In questo superamento, il quantum “è giunto la sua determinatezza” e trova se stesso nel suo al di là, che è “un altro quantum”. Questo movimento si attua “attraverso l’infinito”, poiché il quantum rimanda necessariamente a un non-quantum. Il superarsi significa quindi che il quantum “salta in un altro quantum”, ponendosi come “altro di un altro” e perdendo la sua indifferenza. La sua qualità e determinatezza concettuale risiedono ormai nella sua esteriorità, ossia “in un altro quantum”, divenendo così “ciò che esso è nel suo al di là”.
3 Il completamento come determinazione del quantum
Il numero incompleto cerca la sua completezza nell’altro numero, determinandosi solo come rapporto tra quanta qualitativi.
Sommario del contenuto Si esamina il movimento per cui un numero, sentendosi incompleto, cerca la propria completezza in un altro numero. Inizialmente, nell’altro vede solo “qualcosa di indifferente”, ma la completezza si realizza nel momento in cui l’altro numero gli appare “come qualcosa in cui completarsi”. Questo processo non è un semplice ingrandimento da quanti “più piccoli a quanti… più grandi”, ma un vero e proprio completamento. L’alterarsi nasce dalla necessità del quantum di determinarsi, potendolo fare esclusivamente come “rapporto tra quanta qualitativi, cioè tra quanta incompleti”. La dinamica è quindi qualitativa: “il numero è incompleto e nell’altro numero si completa”.
4 L’elemento qualitativo della quantità matematica in Hegel
Una difesa del calcolo infinitesimale contro la visione nichilistica e antioccidentale della matematica come pura analisi.
Il blocco presenta la posizione di Hegel sulla matematica come alternativa a una visione nichilistica che vede nella matematica “una pura costruzione dell’uomo senza significato”, capace di far “perdere alla natura ogni significato”. Si sostiene che per Hegel la matematica non è solo addizione, ma anche rapporto, e che è proprio perché “nella matematica si profilano delle differenze qualitative” che essa è “in grado di esprimere la qualità della natura”. La descrizione quantitativa della natura non è quindi incompatibile con le “essenze qualitative della natura”. Si precisa che Hegel si riferisce a una “matematica finita” del suo tempo, che considerava il calcolo infinitesimale “un’eresia” e “qualcosa di implausibile”. Hegel ne diventa apologeta, sottolineando “l’elemento qualitativo che è proprio del rapporto quantitativo”, facendone uno “strumento capace di cogliere le essenze naturali” e prendendo le distanze da una matematica intellettualistica che “fugge l’infinito”. Secondo questa prospettiva, “i rapporti quantitativi nel momento in cui diventano rapporti diventano qualitativi” e la chiarezza di una matematica che rifiuta l’infinito è definita “la completezza dell’incompleto”, ovvero “una chiarezza illusoria”.
5 Il superamento della fatica
Dal progresso faticoso all’espressione elegante in un colpo solo.
Il passaggio dalla fatica del calcolo a un risultato netto e visibile genera un senso di bellezza ed eleganza, come nel caso del “rapporto tra circonferenza e diametro”. Questo superamento dell’imprecisione e della meccanicità, dove “se fossero soltanto addizioni […] non si potrebbe parlare di eleganza”, avviene quando una singola espressione riesce a condensare tutto ciò che un processo laborioso “voleva esprimere”. L’eleganza risiede proprio in questo rapporto di sintesi, che sostituisce la freddezza del procedimento incrementale con la compiutezza di una formula finita.
6 L’esponente come differenza qualitativa interna del quantum
Il quantum realizzato come rapporto in cui unità e numerosità, divenendo momenti qualitativi, perdono la loro indifferenza esterna.
Sommario Il testo sviluppa la determinazione qualitativa dell’esponente di un rapporto, mostrando come esso sia “determinato qualitativamente soltanto in quanto ha una differenza interna”. Questa differenza interna è identificata come “la differenza tra l’unità e la numerosità”, i due momenti fondamentali del quantum che nel rapporto cessano di essere indifferenti. Si precisa che, mentre in precedenza unità e numerosità erano momenti del quanto in generale, nel “quantum realizzato” ciascuno di questi momenti “appare un quantum proprio”, assumendo una determinazione qualitativa fissa, come accade nel rapporto espresso da numeratore e denominatore. Il nucleo concettuale è che l’esponente “si riferisce a sé in lui stesso, solo in quanto ha in lui stesso la sua differenza, il suo al di là ed essere altro”, diventando così una determinazione non più puramente esterna ma fondata sulla relazione interna dei suoi termini.
7 L’esponente come determinatezza semplice
La transizione dei momenti del quantum nel rapporto.
Il testo tratta della relazione tra unità e numerosità all’interno del rapporto, dove cessano di essere momenti impliciti per diventare quanti propri. L’unità appare come denominatore e la numerosità come numeratore, ciascuno come “un quantum proprio e come determinazioni del suo esserci, come limitazioni”. Questa conversione è esemplificata dall’espressione “2 potrebbe essere 10/2”, mostrando come un quantum (il 5, o l’esponente) si manifesti attraverso il rapporto di altri due quanti (10 e 2). L’elemento centrale che emerge è l’esponente, che viene definito come “questa differenza come determinatezza semplice”, ossia la grandezza fissa che risulta dal rapporto e che possiede una “grandezza indifferente esteriore”. Il sommario cita: “prima unità e numerosità erano momenti del quantum, momenti impliciti. Eh, ora sono venuti fuori nel rapporto” e “l’esponente […] ha una grandezza indifferente esteriore”, chiarendo il passaggio concettuale dalla potenzialità alla manifestazione esplicita della determinazione quantitativa.
8 Le insufficienze del rapporto diretto
Osservazioni sul carattere incompleto dei quanta e sulla duplicità funzionale dell’esponente nel rapporto diretto.
Sommario
Viene analizzato il rapporto diretto, evidenziando come i suoi termini – numeratore e denominatore, o dividendo e divisore –, pur sembrando “de quanta completi”, siano in realtà “quanta incompleti”. La loro incompletezza deriva dal fatto che “l’uno dipende dall’altro e tutte e due dipendono dall’esponente”. Questa condizione, essendo “solamente in sé” e non ancora manifesta, richiede di essere mostrata, trasformando la variabilità parallela e indifferente dei due termini in una relazione negativa: “la variabilità dell’uno deve essere la variabilità negativa dell’altro”. Un’ulteriore insufficienza riguarda l’esponente, il quale, pur dovendo essere “il quantum completo perché vi decorre la determinazione dei due lati”, di fatto, “come quoziente esso stesso ha solo il valore di numerosità oppure di unità”. Esso, infatti, “ora svolge la funzione di numerosità, ora svolge la funzione di unità”, potendo assumere entrambe le funzioni ma non “contemporaneamente, ma alternativamente”, e dunque non è “quello che dovrebbe essere, doveva essere determinante”.
9 Risoluzione dei difetti e variabilità nel rapporto inverso
Transizione dal rapporto diretto a quello inverso: superamento della negatività interna.
Il passaggio al rapporto inverso risolve i difetti del rapporto diretto, dove i quanti erano “incompleti, negativi l’uno dell’altro”. Nell’inverso, l’esponente è “il prodotto di fattori e quei fattori variano l’uno negativamente rispetto all’altro”. Qui, la negatività non è più assoluta ma “posta nella loro variabilità”, una “variabilità non negativa” che si conferma. Sorge così un rapporto “più reale, più corrispondente alla sua determinazione” in cui l’esponente assume “il significato di loro prodotto”. Il discorso si conclude annunciando i successivi sviluppi: dopo il rapporto inverso, verranno trattati il rapporto potenziale e infine la misura.
10 Incompletezza numerica e concetto di infinito
Differenza tra numero indifferente e numero in rapporto, con riferimento alla difficoltà storica di concepire serie infinite convergenti.
Il numero indifferente, sebbene sembri completo, è in realtà incompleto e “si completa nell’indeterminato, nell’infinito”. Al contrario, il numero in rapporto è un numero “incompleto e appunto perché la sua incompletezza è posta, cioè manifesta, esso si completa in un altro numero”, in un rapporto qualitativo di alterità. Il discorso si sposta sulla percezione dell’infinito, osservando che “i greci non avessero il concetto di infinito”, nel senso che per loro era problematico cogliere come serie infinite “potessero avere valori finiti”. Questo concetto è illustrato con l’esempio del poligono i cui lati aumentano all’infinito mentre la loro lunghezza diminuisce all’infinito, approssimando un cerchio. Nonostante l’uso della tecnica di esaustione, si sottolinea come “il concetto che sommare all’infinito cose positive possa dare un numero finito, questo era un concetto che i greci non avevano”, rimanendo invece estraneo alle “sommatorie analitiche infinite”. Viene infine accennato al paradosso di Achille e la tartaruga come esempio emblematico di questa difficoltà concettuale.
11 Confutazione del paradosso di Achille e la tartaruga: il movimento come vettore
Una soluzione al paradosso zenoniano fondata sulla natura del movimento in fisica, contrapposta a una lettione puramente analitica della serie infinita.
Il blocco presenta una confutazione del paradosso di Achille e la tartaruga, incentrata sulla differenza concettuale tra un punto e un vettore nella rappresentazione del movimento. Si sostiene che la soluzione non risieda unicamente nella convergenza di una serie infinita di vantaggi, in quanto “quel vantaggio è sempre minore e quella serie di vantaggi converge” ma “soltanto all’infinito”. La tesi principale è che Achille supera la tartaruga “per un altro motivo”: mentre un oggetto fermo è in un punto, un oggetto in movimento è su un vettore. Pertanto, “quando il più veloce raggiunge il punto da cui si è mosso il più lento”, essendo in moto, “quel punto per lui non è un punto, ma è un vettore”, il che significa che “mentre è su quel punto è già oltre quel punto”. Questo spiega il superamento: “Il superamento del lento avviene perché il veloce non si ferma nel punto da cui è partito il lento”. Il dialogo riconcilia infine l’approccio geometrico con quello analitico, concordando sul fatto che “in un tempo finito e la progressione infinita finisce”, ma attribuendo l’errore di Zenone alla rappresentazione errata del movimento, come se “l’inseguitore si fermasse avendo raggiunto il punto di partenza dell’inseguito”.
12 Punti, segmenti e l’infinito tra potenza e atto
Un dialogo sulla rappresentazione del movimento e il confronto con il pensiero greco sull’infinito.
Il dialogo verte sul passaggio concettuale dal considerare il movimento come una “sequenza dei punti infinita” al vederlo attraverso i segmenti, poiché “una volta che Achille è partito, per lui non esistono più punti, esistono soltanto segmenti”. Questo approccio, presentato come un modo per “vedere il movimento dei corpi”, è descritto come una gestione “analitica diretta” fondata sulla “distanza tra i punti”. La conversazione si sposta quindi sulla trattazione aristotelica dell’infinito, riconoscendo che “il mondo greco sull’infinito ha fatto delle riflessioni molto molto mature” sui concetti di “infinito potenziale” e “Infinito attuale”, e sulla problematica per cui “l’infinito potenziale non possa diventare l’infinito attuale”. Viene infine osservato che ciò che “mancava loro” era “proprio la gestione analitica matematica dell’infinito”.
13 Il superamento del paradosso di Achille e la tartaruga
Un cambio di prospettiva nel ragionamento matematico risolve l’apparente paradosso.
Il sommario spiega che il paradosso di Achille e la tartaruga, per cui “questo raggiungimento sarà all’infinito” e la distanza “non si colmerebbe mai”, nasce da un modello mentale discreto e frammentato del movimento. La difficoltà, definita “qualcosa molto difficile da accettare, da concepire”, viene superata abbandonando l’idea di punti fermi e “ragionando non più in termini di punti” ma “in termini di segmenti, in termini di vettori”. Questo approccio continuo trasforma il problema in “un campo molto che dà sempre addito a un sacco di riflessioni” e riconosciuto come “sempre molto interessante”.
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