Capire Hegel 42b | L | 13d
1 La struttura del numero come unità di discreto e continuo
La determinazione del numero come quantum estensivo.
Il sommario tratta della costituzione del numero a partire dalle categorie fondamentali della quantità: la discrezione e la continuità. La “pluralità del limite” si manifesta come “numerosità”, ossia il momento della discrezione, mentre il fatto che “i discreti siano riuniti in un numero” ne costituisce “l’unità”. Nel numero, quindi, “la discrezione e la continuità […] prendono la forma di numerosità e unità”. Questo “numero in generale”, inizialmente presentato come indeterminato, si rivela essere “un quantum già determinato”, identificato come “quantum estensivo”, che rappresenta la forma immediata in cui il concetto entra “nella fase dell’esserci”.
2 La distinzione tra grandezze come determinazioni del limite e della quantità astratta
La distinzione tra le determinazioni della grandezza in relazione al limite e alla quantità pura.
Il testo tratta della differenza fondamentale tra due coppie di concetti: grandezza estensiva/intensiva e grandezza continua/discreta. Le prime sono presentate come “determinatezze del limite” e “caratteristiche del limite”, identificate con il numero, poiché “il limite che è identico al quantum oppure il quantum che è identico al suo limite è il numero”. Al contrario, le seconde sono “determinazioni della grandezza in sé, cioè della quantità come tale se nel quantum si astrae dal limite”. Viene quindi illustrato come la grandezza estensiva incorpori il momento della continuità, in quanto “il suo molto in generale è continuo” e gli elementi discreti “si pongono in unità”. Il discorso si concentra infine nel “fare la differenza tra grandezza estensiva e grandezza continua”.
3 Grandezza continua e limite
Dalla continuità della grandezza alla limitazione come suo momento intrinseco.
Sommario
Il testo tratta della grandezza continua, definita come “la quantità che si prosegue senza riguardo a un limite”, precedente al “porsi del limite”. Viene specificata la differenza tra grandezza estensiva, che “riguarda il limite”, e grandezza continua, che riguarda “la quantità in generale”. La continuità è illustrata attraverso esempi come lo spazio e il tempo, che “si prosegue, si continua, si espande” in un movimento unitario dove “non è più separato il momento della ripulsione dal momento dell’attrazione”, configurandosi come “una forza espansiva senza che ciò che si espande si strappi”. Il tema del limite viene quindi reintrodotto come atto successivo: “se noi vogliamo limitare lo spazio”, il limite imposto diventa “una limitazione in generale senza che vi sia posta la discrezione”, abolendo “questa pluralità dell’uno” per unire “gli uno”.
4 Il quantum determinato: dalla grandezza discreta al numero
La dialettica della quantità: limite, continuità e determinazione.
Il sommario tratta della relazione tra grandezza discreta e continua per giungere al quantum determinato come numero. La grandezza discreta, se considerata solo nel suo momento della discrezione, ha un limite esterno ed è una “moltitudine, cioè un limitato indeterminatamente”. Affinché diventi un quantum determinato, occorre che “i molti [siano] riuniti in uno”. Questo passaggio richiede di ricordare che la discrezione implica già un’unità di fondo: “i discreti non sono repulsivi, ma sono appunto discreti, cioè nell’essere uno sono anche uguali, sono la stessa unità, sono una continuità”. Solo unendo i due lati – la continuità (che da sola ha “un limite soltanto indeterminato”) e la discrezione – si arriva al numero. Il numero è definito come “quel limite che è come somma di 1” e che, pur essendo un limite unico, è “discreto dentro di lui”. In quanto tale, il numero è “immediatamente quantum estensivo”, una determinatezza semplice che contiene esplicitamente al suo interno il momento della numerosità e della molteplicità: “è una semplicità che è essenzialmente numerosità”.
5 L’esteriorità interna e la critica al discreto
Una discussione tecnica su pareti e quantum, sfociata in una personale ammissione di difficoltà lavorativa, introduce la riflessione principale sull’esteriorità e la natura del molto.
Sommario del blocco Si precisa che “quelle pareti da 1 m stanno già dentro la parete da 6 m”, chiudendo un punto tecnico. Segue un ringraziamento per l’“esteriorità” portata dagli interlocutori, che si rivela preziosa data la condizione di lavoro difficile dell’autore, il quale confessa: “Oggi ho dovuto spiegare Parmenide, ad un certo punto mi veniva da piangere”, pur avendo fornito una spiegazione esemplare. Il tema dell’esteriorità viene quindi ripreso in ambito filosofico, notando che “nel quantum estensivo è una esteriorità all’interno del quarto”. La riflessione centrale attacca la concezione del molto come discreto. Si afferma che “il molto in generale, [è] non un disuguale dentro di sé, ma un continuo” e che “Ciascuno dei molti è ciò che l’altro è”. Ne consegue che “il molto come molto disperso, come discreto, non costituisce perciò la determinatezza come tale”, concetto ribadito più volte. La conclusione è che “il discreto, il molteplice, il plurale della numerosità non è una pluralità che esclude la continuità”, negando così una contrapposizione assoluta tra discreto e continuo.
6 L’unità della pluralità e il mutare del quantum
La transizione dal molto discreto al continuo come fondamento del quantum.
Sommario Il testo esamina la natura del “molto” e la sua relazione con l’unità, affermando che una pluralità di elementi identici costituisce essa stessa un’unità: “è una pluralità di uno identici che quindi sono una unità”. Si precisa che questa pluralità “muove, potremmo dire, verso l’unità”. La determinatezza non nasce dal molto inteso come dispersione e dislocazione di elementi irrelati: “Il molto come molto disperso, come discreto non costituisce perciò la determinatezza come tale”. Viene infatti chiarito che se il molto è concepito “solamente discreto, come soltanto disperso, dislocato, cioè separato in uno irrelati”, e se viene a mancare la continuità, allora viene meno il “quantum estensivo”. La strategia argomentativa, pur riprendendo il concetto che “la discrezione è anche continua in realtà”, mira a sottolineare “la continuità, l’unità del molto del discreto” per dimostrare come il quantum estensivo si trasformi in quantum intensivo, come esplicitato nell’idea che “il quantum estensivo è il suo mutare in quantum intensivo”.
7 Genesi logica ed empirica del numero
Una digressione linguistica a supporto della priorità del cardinale sull’ordinale.
Sommario Si distingue tra una genesi logica, che “corre sui suoi binari”, e una genesi empirica. Viene introdotta un’osservazione di natura linguistica, che esce dal contesto di Boole e della matematica, per portare una prova empirica. Si afferma che “nelle principali lingue derivate dal ceppo induropeo […] il numero ordinale è costruito grammaticalmente sulla base del numero cardinale”. Questa costruzione viene interpretata come una prova plausibile del fatto che, nella concezione dei numeri come concetti astratti, sia nata prima “la versione astratta e determinata” (il cardinale) e solo successivamente quella “negata” (l’ordinale). L’intervento è accolto positivamente e si apre a un ulteriore contributo.
8 L’ordine logico del semplice e del complesso nel numero
Dalla priorità dell’astratto al quantum intensivo come mistero.
Il blocco affronta la questione dell’origine logica e della semplicità nel pensiero matematico-filosofico. Si sostiene che, sebbene la riflessione possa cominciare dall’astratto, dal punto di vista dello sviluppo teorico “è più logico che ci siano prima il semplice e poi il complesso, perché il complesso è un’elaborazione del semplice”. Questo principio viene applicato alla distinzione tra numeri cardinali e quanti intensivi (gradi). Il numero cardinale è presentato come più semplice perché in esso “il momento della pluralità, il momento del molto” è posto esplicitamente. Al contrario, il quantum intensivo o grado è descritto come “questa cosa un po’ misteriosa di una cosa semplice che però semplice non è”, una semplicità apparente poiché elementi come “il decimo è semplice come il quinto ed è semplice come il terzo”, ma che possiede una sua determinazione specifica. La discussione accenna anche a una dialettica che “tace” riguardo all’utilità empirica e all’applicazione dei numeri, riconoscendo la potenziale circolarità (“prima l’uovo o prima la gallina”) di tale questione pratica.
9 La determinatezza completa del quantum nel grado
La contraddizione del numero, tra interno ed esterno, trova un suo visibile esserci.
Il sommario mostra come il quantum, nel grado, raggiunga la sua piena determinatezza concettuale. La “determinatezza intima del numero” è infatti totalmente legata al suo “rapporto esterno”, una contraddizione che nel grado diventa visibile, “un esserci, un design”. Qui il quantum è “posto nella sua determinatezza completa”, poiché non necessita più di confronto esterno: “non abbiamo bisogno di confrontare”. La sua unità costitutiva è immediatamente visibile “nel limite del numero”, ma come quantum intensivo, cioè posto “come nel suo essere per sé”. In questo modo, il quantum esiste finalmente secondo il suo concetto, ossia “in sé”, realizzando nella forma del grado quella “forma del riferimento a sé” che gli è propria.
10 Il grado come unità e continuità della pluralità
Un grado determinato si costituisce solo nel riferimento esteriore, ribadendo la contraddizione intrinseca del numero.
Il blocco affronta la natura del grado, inteso non come entità separata ma come determinazione che trova il proprio essere solo nella relazione con una pluralità esterna. Ciascun grado, infatti, “non è separato dagli altri, ma ha solo in questi il suo essere determinato”, e la pluralità dei gradi è presentata come “espressione della semplicità di ogni grado”, configurandosi quindi come una “pluralità continua”. Emerge una contraddizione fondamentale: il grado è “riferito a sé” e al contempo è essenziale il suo “riferimento non indifferente all’esterno”, tanto che “è quello che è intimamente, ma soltanto nel suo riferimento esteriore”. Questa dialettica interiore/esteriore è esplicitata nell’affermazione che “il grado non è un esterno a sé all’interno di sé”, distinguendosi così dal “quantum estensivo, cioè come il numero cardinale”. Il testo include anche un breve scambio interlocutorio sul proseguimento della discussione, dove un partecipante si dichiara “rivitalizzato”.
11 L’esteriorità del numero e la natura del “terzo”
Riflessione sulla distinzione tra numero cardinale e grado, e sulla condizione del “terzo” come concorrente non identificabile con l’uno.
Sommario Il testo affronta il concetto di esteriorità del numero, precisando che “il numero ha l’esteriorità degli uno, cioè della numerosità al suo interno”. Si specifica che il grado, a differenza del numero cardinale estensivo, non ha una numerosità interna fatta di “uno posti nel suo limite”, ma possiede una sua esteriorità. Viene ribadito che “non è l’uno indeterminato il principio del numero”, il quale è numerosità solo in senso negativo, come “non essere una numerosità”. Il discorso si focalizza poi sulla figura del “terzo”, affermando che “il terzo concorrente è un concorrente” e quindi è “uno”, ma al contempo “non si identifica completamente all’uno perché è terzo”.
12 La determinatezza dell’uno estensivo e intensivo
Un confronto tra l’uno estensivo e la grandezza intensiva, che non è principio del numero ma un semplice “uno dei plurali”.
Sommario del contenuto Si stabilisce che l’uno estensivo possiede una determinatezza corrispondente a quella del tre estensivo, ma si precisa che non si tratta dell’“uno indeterminato”, il quale è invece “il principio del numero in generale che non è numerosità”, se non nella forma “negativa di non essere una numerosità”. La grandezza intensiva è presentata come un semplice “uno dei plurali”. I suoi gradi sono determinati non come semplice uno né come plurali separati, ma “nell’identità dell’uno e della pluralità”. La loro determinatezza è interna al loro “rimandare alla pluralità di gradi fuori di sé”, nel loro “riferimento di questo essere fuori di sé”. Ne consegue che, se i plurali sono fuori dal semplice grado, la determinatezza risiede proprio in questo riferimento.
13 La doppia natura della determinatezza nel grado intensivo
Il grado intensivo come unità determinata e in relazione esterna.
Il sommario delinea la duplice determinazione del grado intensivo: come unità semplice e definita in sé, e come elemento in relazione di continuità ed esclusione con gli altri gradi. La sua natura è duplice: “per un verso dire 20esimo” indica una determinazione interna, “per altro verso significa dire qualcosa di esterno a quest’uno”. La sua identità scaturisce da questo rapporto dialettico, poiché “la sua determinatezza dipende da questo riferimento ad altro”. Da un lato, come “determinatezza semplice”, il grado “è determinato in sé”; dall’altro, è “determinato rispetto ad altri gradi”, essendo “determinato da altri quanta intensivi ed è in continuità con il suo essere altro”. La sua definizione finale risiede proprio in questa dinamica di esclusione: “Li esclude da sé e ha la sua determinatezza in questo escludere”.
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