Capire Hegel 41 | A
1 L’essenza del limite nella sfera dell’esserci quantitativo
Il passaggio dalla quantità indeterminata alla grandezza discreta come esserci determinato.
Il sommario tratta della natura del limite all’interno della sfera determinata dell’esserci, in particolare in relazione alla grandezza discreta e alla quantità. Nella qualità, il limite “compenetra l’esserci, va fin dove va l’esserci” (417), definendo internamente il qualcosa come finito. Nella quantità, invece, il rapporto iniziale sembra differente: il limite appare come “negazione si trovava esternamente sul margine dell’esserci” (405), un margine indifferente. Tuttavia, la grandezza discreta, il cui principio è l’uno, non è quantità in generale ma “una quantità sotto la luce dell’esserci” (91). In essa, l’uno si configura come “esserci escludente, cioè limite” (73), e la sua “determinatezza è l’uno che in questo essere posto ed esserci è uno escludente, limite dell’unità” (70). Pertanto, la determinatezza quantitativa diventa essa stessa un limite, sebbene di tipo diverso: “il limite che mi fa cessare a 1 è un limite indifferente” (399), ma al contempo “il limite non è indifferente loro” (399). Il tema minore del ritorno all’astratto è accennato: per tornare “alla quantità indeterminata, dobbiamo togliere dal quantum il limite” (636). La trattazione si muove dunque dal riconoscimento del limite come costitutivo nell’esserci qualitativo alla sua problematica applicazione nella sfera quantitativa, dove l’unità discreta assume la funzione di limite.
2 Il quantum come porzione di spazio limitato: una delimitazione
Definizione operativa del quantum a partire dalle determinazioni di limite, continuità e discretezza nello spazio geometrico.
Sommario
L’argomento definisce il quantum come una “porzione di spazio limitata”, ossia come qualcosa di continuo e delimitato. Questo si comprende dal contrasto con il limite puro, rappresentato dal cerchio che “limita una porzione di spazio, essendo un’unica linea”: il quantum, invece, è “la porzione di spazio limitata” stessa. La sua natura emerge dal rapporto tra continuità e discretezza. Da un lato, “lo spazio ci si presenta come continuo” e “la grandezza continua non non è altro che la porzione di spazio”. Dall’altro, la discretezza è presente, come nel numero tre, che è “unità e continuo” ma in cui “il momento della discrezione 1 + 1 + 1 vi si presenta esplicitamente e posto”. Questa tensione si risolve nel quantum, poiché “il momento della continuità di questa quantità porta a superare il limite e quindi noi sappiamo che questa quantità ha un oltre e questo ribadisce il suo carattere di quantità limitata e lo pone come quantum”. Il limite, quindi, non è una mera linea separatrice, ma una determinazione interna: “Grandezza estensiva e grandezza intensiva sono determinatezze del limite quantitativo stesso e il quantum è identico al suo limite”. Viene così superata l’immagine iniziale del quantum come semplice “porzione di spazio racchiusa da una linea”, per coglierlo come unità di continuità e limite. Un tema minore è la distinzione tra grandezza estensiva, che “presenta la discrezione, ma la discrezione è connessa alla continuità”, e grandezza intensiva, a cui essa è “direttamente opposta”. Un ulteriore accenno, di carattere esemplificativo, distingue il numero cardinale (sette concorrenti) dalla sua manifestazione in un singolo ente: “Il settimo concorrente, bene, come dire, non presenta sette concorrenti nella sua costituzione fisica”.
3 Il quantum discreto come limite esplicito della quantità
La determinazione del quantum attraverso il limite posto e la sua relazione con la continuità e la discrezione.
Sommario
L’argomento definisce la natura del quantum discreto, identificato come la forma compiuta e “posta compiutamente” in cui la quantità si determina. Questo avviene attraverso l’analisi del limite, che non è un confine esteriore ma “è unità, cioè si riferisce a sé, racchiude, cioè ha una moltitudine, ha una molteplicità ed è esclusivo”. La discussione distingue tra grandezza continua e grandezza discreta. La prima è definita come “la quantità che si prosegue senza riguardo a un limite”, una “limitazione in generale senza che vi sia posta la discrezione”. La seconda, il quantum discreto, implica invece una “moltitudine posta degli uno”, dove gli elementi non sono “una moltitudine disseminata, ma una moltitudine abolita, una moltitudine svanita nel riferimento a se stesso del numero”. Viene chiarito che “il discreto non è il repulsivo” ma è piuttosto il momento in cui la differenza implicita nella quantità diventa esplicita. Un tema minore è il ruolo della numerosità, che “non una moltitudine contro l’uno limitante racchiudente, ma costituisce essa stessa questa limitazione che è un quantum determinato”. Un altro tema minore è la relazione tra continuità e discrezione, dove si afferma che “la continuità posta, essendo anche discrezione, è grandezza continua”, indicando la loro reciproca implicazione nel quantum determinato.
4 Il numero come rapporto indifferente e determinazione quantitativa
Un’indagine sulla natura del numero come grandezza estensiva, sulla sua determinatezza indifferente e sul suo rapporto con l’infinito.
Sommario
L’argomento tratta della natura del numero, identificato come “grandezza estensiva”. La sua essenza risiede nell’essere un limite molteplice, “una unità che è in se stessa una pluralità di uno, una numerosità”. La determinazione del numero è presentata come “una determinatezza indifferente esterna”, poiché scaturisce da una somma di unità discrete e indifferenti. Questa indifferenza costituisce una sua caratterizzazione fondamentale: “Questa indifferenza ad altri del numero ne è determinazione essenziale”. Il numero intrattiene un “rapporto indifferente” con una pluralità di altri numeri, anzi, con infiniti numeri: “un numero è in rapporto con infiniti numeri, appunto perché questo rapporto è con infiniti numeri”. Tale rapporto, proprio perché è con tutti, non costituisce una caratterizzazione qualitativa univoca: “il rapporto a molti altri è un rapporto che non costituisce più la qualità di ciò che è il rapporto” e “Esso non ne costituisce più una caratterizzazione univoca, qualitativa”. Tuttavia, questo stesso rapporto indifferente con l’infinito rimane la qualità che lo determina in sé: “questo rapporto indifferente con infiniti numeri è comunque la qualità del numero, il suo essere determinato in sé”. Viene accennata una distinzione tra numeri estensivi e “numeri ordinali intensivi”, questi ultimi descritti come appartenenti a “una serie che va all’infinito”. Un tema minore riguarda il confronto con la qualità, dove si afferma che “tra i numeri non c’è una differenza qualitativa” e che la quantità, derivando dall’essere per sé, è “indifferente al limite”.
5 La natura contraddittoria del numero
La determinatezza come immediatezza semplice e riferimento esterno.
Sommario
L’argomento concerne la natura del numero come “uno numerico” che è “assolutamente determinato” e possiede “la forma dell’immediatezza semplice”. Questa determinatezza è però contraddistinta da una “esteriorità” costitutiva, poiché il riferimento ad altro è “del tutto esterno” o, in alternativa, è un momento interno al numero stesso, come quando si afferma che “la determinatezza è posta come inclusa nell’uno essente per sé e ha l’esteriorità, il riferimento ad altro all’interno di sé stessa”. Il numero si distingue dalla grandezza continua, la quale “non è veramente determinato in sé” ed è “priva dell’uno”, mentre il numero trova il suo essere determinato nella “numerosità” e nella “molteplicità interna”. Tale struttura porta a una “natura contraddittoria” che si risolve nel “divenire del numero”, dove “l’apparentemente fisso e determinato… scivola nel movimento, scivola nel divenire, nell’alterarsi”. Un tema minore è il rapporto tra determinato e indeterminato, dove “l’indeterminato è esso stesso un determinato” in quanto contrario, il che “muta la visione dell’indeterminato e ne fa un determinato”.
6 Il limite quantitativo e la natura del calcolo meccanico
Un’indagine sulla determinazione del numero e sui rischi di una matematica non filosofica.
Sommario
L’argomento tratta della natura del limite quantitativo e del numero, considerati “elementi che si sono già presentati” (24) e caratterizzati da unità omogenee, poiché “essenzialmente, quanto alla loro qualità [sono] omogenee, uguali” (455). Questo differire “non diventa determinatezza qualitativa, bensì resta quantitativo, rientra nella riflessione soltanto esterna” (449). La discussione mira a mostrare il numero “sotto un aspetto un po’ diverso” (491), suggerendo una visualizzazione alternativa dove “ogni unità, insomma, sta tutta nella periferia” (443). Un tema minore è il rifiuto come atto connesso a “un desiderio determinato” (569), contrapponendo la scelta tra “il nulla al qualcosa” (561). Il nucleo centrale verte poi sulla definizione della matematica come “calcolo meccanico” (499) e sulle conseguenze di questa visione. Si sostiene che “l’interpretazione di questo calcolo meccanico non appartiene alla matematica, è extra, cioè è metatematica” (502). Senza la filosofia, “la matematica e rischia di parlare di cose di cui non ha capito la natura più intima” (496), riducendosi a un’“attività meccanica incomprensibile” (506). Questo approccio è giudicato “pericoloso perché perché ho uno strumento e non so i suoi limiti di applicazione” (506). L’indagine procede spesso come una ripetizione o un riordino di concetti già visti: “sta ripetendo le caratteristiche del limite quantitativo in un ordine leggermente diverso” (260); “qui stiamo veramente soltanto ripetendo quello che abbiamo visto” (674).
7 Uso filosofico e uso comune dei termini nella dialettica hegeliana: contraddizione, negazione, quantità
Una disamina delle differenze terminologiche tra il linguaggio filosofico hegeliano e il linguaggio comune, con focus sulle implicazioni concettuali di “contraddizione”, “negazione” e “quantità”.
Sommario L’argomento affronta il confronto tra l’uso specialistico dei termini nel pensiero di Hegel e la loro accezione nel linguaggio ordinario. Viene sottolineato come termini come “contraddizione” e “negazione” assumano in Hegel un significato diverso e non “cervellotico”, ma più rigoroso e produttivo per l’indagine filosofica, poiché “porta a proseguire l’indagine” (523). L’uso comune è percepito come “limitato” (587) e talvolta “non rigoroso” (557), mentre quello hegeliano, pur essendo “tecnico e specifico” (110), mira a far emergere aspetti che normalmente “non emergono” (588). Un tema minore è la discussione sulla concretezza e la natura del numero, definito come qualcosa di “più concreto” (296) e “contraddittorio in se stesso” (523), che rappresenta un problema aperto. Un ulteriore tema minore riguarda le scelte lessicali e di traduzione, come l’adozione del termine latino “quantitate” (115, 131) invece del tedesco “Größe”, per marcare il passaggio a una quantità determinata e all’“esserci” (51), evidenziando anche le difficoltà di resa in italiano dove “quantitate suona un po’ straniero” (125). Viene infine accennata la natura relazionale dei termini qualitativi, dove “la relatività è rispetto a un unico altro” (465).
Riferimenti minori (590), (295), (545), (523), (588), (110), (587), (493), (125), (548), (546), (128), (115), (557), (296), (51), (131), (112), (313), (465)
8 La negazione della negazione come principio dialettico e struttura del numero
Dalla forma indeterminata del concetto alla concretezza del numero: la negazione seconda e l’essere-per-sé.
Sommario
L’argomento si sviluppa attorno al principio logico della “negazione della negazione”, identificata come “negazione seconda” che supera la semplice “negazione prima”. La negazione prima è intesa come un limite qualitativo iniziale, una pura esclusione, come quando “il limite qualitativo da prima era la negazione del qualcosa”. Tuttavia, questa negazione si rivela insufficiente perché, “essendo la negazione dell’altro qualcosa, esso è anche l’essere del primo qualcosa”, mostrando già un movimento verso una positività. La negazione seconda, o negazione della negazione, è invece ciò che conferisce un carattere attivo e concreto, producendo un risultato positivo: se “la pena è negazione del delitto e il delitto è negativo”, allora “la pena non è soltanto negativa, ma è positiva nel senso di affermazione della legge, del diritto e del giusto”. Questo principio strutturale trova la sua esemplificazione paradigmatica nella concezione del numero. Il numero è presentato come una “grandezza discreta” ma che “ha ugualmente la continuità nell’unità”. L’unità (l’uno) è interpretata come l’esito della negazione della negazione: “l’uno è essere per sé e l’essere per sé è la negatività del limite, è negazione della negazione, negazione della negazione prima”. In quanto “negazione dei molti uno”, l’uno opera come “un escludere da sé il suo essere altro, una determinazione di sé contro altri quanti”, dimostrando come la determinazione concreta nasca da un processo dialettico di precisazione: “la nuova determinazione nasce dal guardare con più esattezza la determinazione precedente”. Il metodo procede dall’astratto al concreto, iniziando “dal concetto qual è in sé, cioè nella sua forma più semplice, cioè nella sua forma indeterminata” per giungere, attraverso successive determinazioni, alla forma compiuta del quantum, il numero, che rappresenta “la determinazione nella sua fissità”. Un tema minore è l’osservazione sulla trascuratezza pedagogica di questi fondamenti logici, poiché “la negazione seconda, come dire, è una cosa che in genere si trascura” e le discussioni in classe sono rare a causa della passività degli studenti.
9 La natura del numero e della grandezza tra discrezione e continuità
La costituzione del quantum e le sue determinazioni fondamentali.
Sommario
L’argomento tratta della natura del numero e della grandezza, identificando in “discrezione e continuità” i due ingredienti fondamentali da cui derivano “tutte le determinazioni aritmetiche, matematiche”. Il numero, nella sua forma cardinale, pone l’accento “sulla numerosità, sulla discrezione”. La sua determinatezza è però descritta come “una somma di uno indifferenti, di uno discreti, indifferenti, è una determinatezza indifferente esterna”. Questi “uno come indifferenti esterni a sé sono aboliti nell’essere ritornato dentro di sé del numero”. Il processo logico mostra come “la discrezione si ponga in continuità” e come questa “continuità crei di nuovo un uno… che è l’uno limitante”. Questo “uno limitante” è “dato dalla continuità degli uno discreti” e assume “il significato… di limite”. Viene specificato che “il quantum è identico al suo limite”.
Viene analizzata la distinzione tra grandezza continua e grandezza discreta, presentate come “determinazioni della grandezza in sé, cioè della quantità come tale, quando nel quantum si astrae dal limite”. La grandezza discreta è definita come “immediatamente soltanto il molto differenziato in generale che se dovesse avere come tale un limite sarebbe solo un insieme, cioè un limitato indeterminatamente”. In essa, “i discreti… sono in unità, sono aboliti”, come in “un contenitore degli uno discreti che però sono in lui aboliti, posti in continuità”. Un tema minore riguarda la natura della “discrizione” (o disseminazione), per la quale, “affinché la descrizione sia determinatezza di un numero, i molti che determinano quel numero devono essere aboliti, devono svanire nell’uno come riferimento a se stesso”. Un ulteriore tema minore tocca la determinatezza numerica di una grandezza, che “non ha bisogno della differenza da qualcos’altro di grande”.
10 La numerosità e il quantum: determinatezza semplice e somma
Dalla dialettica tra numero e limite: il quantum estensivo e la sua unità
Sommario
L’argomento distingue tra due specie di quantum: quello estensivo e quello intensivo. Il quantum estensivo è il numero inteso come “quantum estensivo”, ovvero una “determinatezza semplice che è essenzialmente come numerosità”. La sua natura è quella di una “discrezione” il cui limite è costituito dalla “somma degli 1”, come illustrato dalla domanda “Qual è la numerosità del 3?” e dalla risposta che vede in “1 + 1 + 1” la formazione dell’ “unità semplice del 3”. Questa numerosità è una “pluralità” o “somma”, dove “la numerosità sarebbe la discrezione qual è nel numero esattamente qual è nel limite che determina il numero”. Tuttavia, esiste una forma opposta di determinatezza numerica: il quantum intensivo, o “grado”. Contrariamente alla numerosità, il grado è una “determinatezza semplice”, come nel caso del “decimo e il 20o grado”, che “non ne è la numerosità e la somma”. La sua determinatezza, pur essendo espressa da un numero, “non è come numerosità, bensì è semplice, solo un grado”. Il passaggio concettuale chiave è dunque la mutazione del limite: da “numerosità esterna a se stessa”, il quantum estensivo muta “in determinatezza semplice”, inaugurando la logica del grado.
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