(bis) Galileo - Le operazioni del compasso geometrico e militare - 1606 | A

03 Mar, 2026

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1 Il Compasso Geometrico e Militare

Uno strumento per le scienze matematiche a uso civile e militare.

L’opera presenta uno strumento, il Compasso Geometrico e Militare, concepito per insegnare in pochi giorni i contenuti di geometria e aritmetica necessari per l’uso civile e militare, altrimenti acquisibili solo con lunghissimi studi “Io dunque… mi rivolsi a tentare di aprir questa via veramente regia, la quale con l’aiuto di questo mio Compasso in pochissimi giorni insegna tutto quello, che dalla geometria e dall’aritmetica, per l’uso civile e militare, non senza lunghissimi studii per le vie ordinarie si riceve” - (fr:19). L’autore sottolinea che molte delle invenzioni contenute nello strumento, come la risoluzione istantanea di operazioni aritmetiche complesse, non erano state né tentate né immaginate da altri “(fr:20). Lo strumento è descritto con l’intenzione di rivolgersi principalmente a persone militari, tanto che l’opera è scritta in lingua volgare per una più agevole comprensione ”essendo mia intenzione di esplicare al presente operazioni per lo più attenenti al soldato, ho giudicato esser bene scrivere in favella toscana“ - (fr:34). Tra le sue parti costitutive vi sono le Linee Aritmetiche, le cui divisioni sono in proporzione aritmetica fino al numero 250 e servono per diverse operazioni “(fr:37), le Linee Tetragoniche, il cui uso principale è quadrare le superficie regolari e il cerchio ”(fr:295), e un Quadrante aggiunto che incorpora una Squadra da bombardieri “(fr:331). Vengono dettagliate numerose operazioni pratiche, come diversi modi per misurare con la vista le altezze perpendicolari ”(fr:339, fr:341), l’estrazione della radice quadrata con metodi diversi a seconda della grandezza del numero “(fr:142), e la risoluzione della regola del tre con l’ausilio delle Linee Aritmetiche ”(fr:75, fr:103). Sono menzionate anche applicazioni specifiche, come la necessità di adattare le divisioni di un calibro ai diversi pesi usati nelle varie città “(fr:247). L’autore accenna alla possibilità di risolvere molti altri problemi geometrici e aritmetici, ma si limita, in questa occasione, a trattare gli usi più pertinenti alla professione militare ”(fr:389, fr:390). La pubblicazione dell’opera è motivata anche dalla necessità di prevenire il plagio, essendo giunta notizia che altri si sarebbero potuti appropriare dello strumento e della sua dichiarazione “(fr:22); per questo ne sono state stampate solo sessanta copie da distribuire con diligenza ”(fr:33). L’autore riconosce che alcuni concetti restano più chiari se mostrati praticamente che non descritti per iscritto “(fr:21).

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2 Operazioni con lo Strumento di Misura

Istruzioni per l’uso delle scale trasversali in problemi di geometria pratica.

Le frasi descrivono metodi per utilizzare uno strumento, dotato di diverse scale (Linee Aritmetiche, Geometriche, Stereometriche, Tetragoniche), al fine di risolvere problemi di misurazione e calcolo. Le operazioni principali includono la divisione di una linea retta in parti uguali o secondo una data proporzione: “Col mezo di queste linee potremo dividere una linea retta propostaci in quante parti eguali ne piacerà” - (fr:38). Un metodo prevede di prendere con un compasso la lunghezza della linea e adattarla trasversalmente a due numeri di cui uno sia multiplo dell’altro, per ottenere la frazione desiderata (fr:40, fr:43). Lo stesso principio si applica per trovare la proporzione tra superfici di figure simili, confrontando le lunghezze dei loro lati omologhi applicate alle Linee Geometriche (fr:127, fr:128). Per i solidi, si opera similmente con le Linee Stereometriche per trovare il rapporto tra i volumi (fr:184) o per sommare volumi di solidi simili (fr:188). Lo strumento serve anche per trovare linee medie proporzionali (fr:171), per costruire poligoni regolari data una corda (fr:289), per trasformare un cerchio in un quadrato di area equivalente (fr:296) e per calcolare dimensioni in scala tra un modello e un’opera reale (fr:282). Vengono menzionate applicazioni pratiche eterogenee, come il calcolo degli interessi composti (fr:105), la determinazione delle proporzioni tra pesi di metalli diversi (fr:230, fr:233) e il calcolo dello spessore di un’opera d’artiglieria (fr:270). Alcune frasi forniscono avvertenze operative, come la necessità di rinnovare la misura se la linea non si accomoda precisamente a una divisione (fr:128) o di usare sottomultipli quando i numeri superano il massimo delle scale (fr:116, fr:173).

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3 Dello Strumento geometrico e militare e delle sue operazioni

Istruzioni per l’uso delle linee geometriche, aritmetiche e del quadrante in operazioni di misura, riduzione in scala e calcolo.

Lo strumento descritto, dotato di diverse scale (Linee Geometriche, Aritmetiche, Stereometriche e Tetragoniche) e talvolta di un Quadrante, serve per eseguire operazioni di geometria pratica, topografia e artiglieria. La sua funzione principale è il trasporto di una pianta o disegno in un’altra di dimensioni maggiori o minori, operazione che richiede l’uso di due scale: una fissa e una mobile ottenuta stringendo o allargando lo strumento. “È manifesto che qualunque volta ci bisognasse cavare da un dissegno un altro maggiore o minore… fa di mestiero che ci serviamo di due scale” - (fr:57). Il metodo consiste nel misurare un lato della pianta originale su una scala e trovare la lunghezza proporzionale sull’altra scala per tracciare il nuovo disegno, come illustrato per le linee AB e FG. “tutti gli altri lati della pianta proposta si misureranno sopra la scala retta, ed immediatamente si prenderanno le distanze corrispondenti ad essi traversalmente, per li lati della nuova pianta” - (fr:61). Lo strumento permette anche di dividere una linea retta in parti uguali “in quante parti eguali ne piacerà” - (fr:38), adattando la linea a punti specifici sulle scale e trasportando intervalli. Un’altra operazione è la riduzione di una figura geometrica in un’altra di area equivalente, come la trasformazione di un triangolo in un quadrato. “quando vorremo ridurre qualunque triangolo in quadrato… presa dall’angolo A la perpendicolare… piglieremo… la distanza… la quale ci darà la linea LF, il cui quadrato sarà eguale al triangolo ABC” - (fr:316). Le Linee Aritmetiche servono per calcoli di interesse composto. “Cercasi quanto siano per guadagnare 140 scudi in 5 anni a ragione di 6 per 100 l’anno” - (fr:104). Il Quadrante aggiunto allo strumento, con la sua “Squadra da bombardieri” - (fr:331), è dedicato a operazioni militari, come misurare l’elevazione di un pezzo d’artiglieria. “il qual filo ci mostrerà… quanta elevazione abbia il pezzo” - (fr:332). Con lo stesso quadrante, sfruttando la “scala per misurar altezze, distanze e profondità col mezo della vista” - (fr:340), si possono compiere rilevamenti topografici, calcolando distanze tra luoghi lontani. “vegghiamo il modo di misurar l’intervallo tra due luoghi da noi lontani” - (fr:374). Le istruzioni contengono numerosi avvertimenti pratici, come la possibilità di usare scale diverse da quella dello strumento se troppo piccola “potremo servirci… di qualunque altra ancora” - (fr:172), o come ovviare all’ingombro della nocella che unisce le aste nelle divisioni minute.

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[4.1-40-195|111]

4 Estrazione di radici quadrate e cubiche mediante strumento a linee graduate

Istruzioni operative per il calcolo di radici e la risoluzione di proporzioni con lo strumento matematico.

Le frasi descrivono procedure per l’estrazione della radice quadrata e cubica di numeri mediante uno strumento dotato di scale Aritmetiche, Geometriche e Stereometriche. L’operazione base prevede di “aggiustar lo Strumento” (fr:144) con un’impostazione fissa, quindi di levare dal numero proposto un certo numero di cifre finali (due per la radice quadrata, tre per la cubica) e di prendere trasversalmente il numero rimanente dalla scala appropriata per misurarlo rettamente sulla scala Aritmetica, ottenendo la radice “prossima” (fr:145, fr:193). Si devono osservare cautele specifiche: “quando le due ultime figure, che si levano, passassero 50, devi al numero che resta aggiungere uno” (fr:147) e, se il numero residuo eccede i limiti della scala, se ne prende una parte (es. la metà) per poi raddoppiare geometricamente il risultato (fr:148). Per la radice cuba, se il numero residuo supera 148, “allora potrai operare per parti” (fr:194). Vengono distinti metodi per “numeri mediocri”, “grandi” e “piccioli” (fr:142). Le frasi includono anche l’applicazione dello stesso strumento e principio operativo alla risoluzione di proporzioni (Regola del Tre), come nel caso di “Hai dunque tre numeri posti con quest’ordine 80 120 100” per trovare un quarto proporzionale (fr:72), alla conversione monetaria (es. scudi in ducati) (fr:98, fr:99, fr:100) e al calcolo dell’interesse composto “col guadagno de i sei per cento, nello spazio di anni cinque” (fr:105, fr:106). Un’ulteriore applicazione riguarda il calcolo di distanze o altezze tramite triangolazione (fr:378). Tutte le operazioni si svolgono alternando prese “rettamente” e “trasversalmente” dalle varie scale dello strumento, talvolta operando “a pezzi” (fr:116) quando i numeri eccedono la lunghezza della scala.

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[5.1-40-3|88]

5 Il Compasso Geometrico e Militare di Galileo Galilei

Strumento a linee multiple per calcoli matematici e applicazioni pratiche.

Il testo presenta uno strumento denominato “Compasso Geometrico e Militare”, descrivendone le diverse linee incise e le loro operazioni. Lo strumento possiede quattro coppie di linee principali: le Linee Aritmetiche, divise in proporzione aritmetica fino a 250, utilizzate per operazioni come la divisione e la regola del tre “Venendo alla dichiarazione particolare delle operazioni di questo nuovo Compasso Geometrico e Militare, primamente faremo principio da quella faccia di esso nella quale sono notate quattro coppie di linee con loro divisioni e numeri; e tra esse parleremo prima delle più interiori, denominate Linee Aritmetiche” - (fr:37). Seguono le Linee Geometriche, divise secondo la proporzione geometrica fino al 50, usate per operazioni sulle figure piane come modificarne le dimensioni o trovarne le proporzioni “Le linee che seguono appresso le Aritmetiche, di sopra dichiarate, sono dette Linee Geometriche, per esser divise secondo la geometrica proporzione procedente sino al 50; dalle quali trarremo diverse utilità: e prima ci serviranno per trovar il lato di una figura superficiale che ad un’altra proposta abbia una data proporzione” - (fr:119). Le Linee Stereometriche, basate sulla proporzione dei solidi fino a 148, servono per operazioni simili sui corpi tridimensionali “Sono le presenti Linee Stereometriche così dette per esser la lor divisione secondo la proporzione de i corpi solidi, sino a 148; e da esse trarremo molti usi” - (fr:179). Le Linee Metalliche, poste accanto a quelle stereometriche, permettono di calcolare rapporti di peso tra materiali diversi “ESPLICAZIONE DELLE LINEE METALLICHE NOTATE APPRESSO LE STEREOMETRICHE.” - (fr:209). Altre linee specializzate sono le Poligrafiche, per descrivere poligoni regolari “DELLE LINEE POLIGRAFICHE, E COME CON ESSE POSSIAMO DESCRIVERE I POLIGONI REGOLARI” - (fr:286), le Tetragoniche per la quadratura del cerchio e di figure regolari “ESPLICAZIONE DELLE LINEE TETRAGONICHE, E COME COL MEZO D’ESSE SI QUADRI IL CERCHIO ED OGNI ALTRA FIGURA REGOLARE” - (fr:293), e linee aggiunte per la quadratura di parti di cerchio e figure mistilinee “DELLE LINEE AGGIUNTE PER LA QUADRATURA DELLE PARTI DEL CERCHIO E DELLE FIGURE CONTENUTE DA PARTI DI CIRCUNFERENZE O DA LINEE RETTE E CURVE INSIEME.” - (fr:317).

Le operazioni descritte sono numerose e sistematiche, come indicato nell’indice “Operazione I Divisione della Linea … Operazione XXXII” - (fr:3). Esse includono calcoli aritmetici e finanziari “REGOLA DE GL’INTERESSI SOPRA INTERESSI, CHE ALTRIMENTI SI DICE DE I MERITI A CAPO D’ANNO.” - (fr:101), trasformazioni geometriche di figure piane e solide, ricerca di proporzioni, riduzioni di più figure o solidi in uno equivalente “PROPOSTI SOLIDI SIMILI QUANTI NE PIACERÀ, TROVARNE UN SOLO EGUALE A TUTTI QUELLI.” - (fr:185), e estrazione di radici quadrate e cubiche. Lo strumento ha applicazioni militari e pratiche, come la regola per le ordinanze degli eserciti, la misurazione di altezze e dell’inclinazione delle mura “L’altra circonferenza … è per prender l’inclinazione della scarpa di tutte le muraglie” - (fr:337), e funge da calibro universale per palle di cannone di qualsiasi materiale e peso “COME QUESTE LINEE CI SERVONO PER CALIBRO DA BOMBARDIERI ACCOMODATO UNIVERSALMENTE A TUTTE LE PALLE DI QUAL SI VOGLIA MATERIA ED A TUTTI LI PESI” - (fr:248). Il testo è dedicato a Cosimo de’ Medici, Principe di Toscana “PRINCIPE DI TOSCANA D. COSIMO MEDICI” - (fr:3).

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[6.1-40-253|371]

6 Calibro universale per artiglieria mediante linee stereometriche e metalliche

Istruzioni per l’uso dello Strumento come calibro da bombardieri, adattabile a ogni materia e sistema di peso.

Lo Strumento, dotato di Linee Stereometriche e Linee Metalliche, funge da calibro universale per determinare il peso delle palle d’artiglieria. “COME QUESTE LINEE CI SERVONO PER CALIBRO DA BOMBARDIERI ACCOMODATO UNIVERSALMENTE A TUTTE LE PALLE DI QUAL SI VOGLIA MATERIA ED A TUTTI LI PESI” - (fr:244). Le Linee Metalliche recano i punti per otto materie: Oro (Or.), Piombo (Pi.), Argento (Ar.), Rame (Ra.), Ferro (Fe.), Stagno (St.), Marmo (Ma.), Pietra (Pie.) - (fr:217). I loro intervalli forniscono i diametri di palle di peso eguale ma di materia diversa. “Dalle quali si hanno le proporzioni e differenze di peso, che si trovano fra le materie in esse notate: in guisa che, costituito lo Strumento in qual si voglia apertura, gl’intervalli che cascano fra i punti l’uno all’altro corrispondenti, vengono ad esser diametri di palle, o lati d’altri corpi tra loro simili ed eguali di peso” - (fr:218). Poiché materiali diversi hanno pesi specifici differenti, lo stesso pezzo d’artiglieria porterà una palla di piombo più pesante di una di ferro, e questa più di una di pietra. “dovendosi tirare con l’artigliaria tal ora palle di pietra, altre volte di ferro, o ancora di piombo, il medesimo pezzo che porti tanto di palla di piombo, porterà meno di ferro, e molto meno di pietra” - (fr:246). Il calibro deve quindi essere adattato alla materia della palla. Per le palle di piombo si applica il diametro campione alle Linee Stereometriche; per quelle di ferro o pietra, lo stesso diametro va prima trasferito, tramite le Linee Metalliche, al punto della materia desiderata, per poi essere applicato alle Stereometriche. “se volessimo aggiustare lo Strumento sì che il calibro rispondesse alle palle di ferro, allora prenderemo pur l’istesso diametro delle 10 libre di piombo… e dipoi l’applicheremo a i punti delle Linee Metalliche segnate Pi…. Fe., il quale sarà il diametro d’una palla di ferro di 10 libre; e questo diametro… s’applicherà a i punti delle Linee Stereometriche, segnati 10” - (fr:254, 256). Un’altra variabile è il sistema di pesi locale, che varia da città a città. “appresso diversi paesi s’usano diversi pesi, anzi che non solamente in ogni provincia, ma quasi in ogni città, sono differenti” - (fr:247). Per adattare lo Strumento, è necessario conoscere un solo diametro di riferimento, quello di una palla di piombo da 10 libre secondo il peso locale. “fa di mestiero che ci sia noto un solo diametro d’una palla di qual si voglia materia, e di qual si voglia peso rispondente alle libre, che nel paese dove vogliamo usare lo Strumento si costumano” - (fr:250). Tale diametro, una volta segnato sull’asta dello Strumento, permette di calibrare le Linee Stereometriche per quel luogo. “noteremo sempre diametri di palle di piombo di 10 libre di peso, li quali troveremo esser maggiori o minori secondo la diversità delle libre” - (fr:258). Le frasi descrivono in dettaglio diverse operazioni ausiliarie. La “trasmutazione della materia” permette di trovare le dimensioni di un solido in una materia che abbia lo stesso peso di un solido simile in un’altra materia. “Dal che possiamo in un istante venir in cognizione, quanto grande si doveria far un corpo d’una delle sopranotate materie, acciò fosse in peso eguale ad un altro simile, ma di altra delle materie dette; la qual operazione addimanderemo trasmutazione della materia” - (fr:222). Un’operazione inversa permette di trovare il peso relativo di due solidi di materia diversa ma diametro noto. “È la linea A diametro d’una palla di rame, e la B diametro di una di ferro; vorremmo sapere qual proporzione hanno fra di loro in peso” - (fr:236). Le istruzioni includono esempi pratici, come calibrare lo Strumento a Venezia partendo da una palla di piombo locale da 10 libre. “Supponghiamo, v. g., esser in Venezia, e di voler quivi servirci del nostro calibro per riconoscer la portata d’alcuni pezzi d’artigliaria; prima procureremo d’aver il diametro ed il peso di una palla di alcuna delle materie sopra detto Strumento segnate” - (fr:252). Viene spiegato anche come, in assenza della palla campione di piombo, se ne possa ricavare il diametro da una palla di qualsiasi altra materia nota, utilizzando le operazioni di trasmutazione. “ritrovandoci noi in qual si voglia paese, pur che troviamo una palla di marmo, di pietra, o d’altra materia sopra lo Strumento segnata, potremo in un subito investigare il diametro di una palla di piombo di 10 libre di peso” - (fr:259).

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[7.1-40-274|95]

7 Operazioni pratiche di geometria militare e metallurgica

Trasformazione di misure, leghe metalliche e disposizioni di truppe mediante strumenti matematici.

Le frasi trattano l’uso di uno strumento matematico, dotato di Linee Aritmetiche, Geometriche, Metalliche e Stereometriche, per risolvere problemi pratici. Una sua applicazione è la trasmutazione delle misure tra metalli diversi o leghe: date le misure di un modello, si possono ricavare le dimensioni di un oggetto reale di peso e materiale differenti. “Ci viene presentato un piccolo modello d’artigliaria fatto, v. g., di stagno, e noi aviamo bisogno di cavare da tal modello tutte le misure particolari per un pezzo grande fatto di rame” - (fr:263). Per le leghe, come il bronzo composto da 3 parti di rame e 1 di stagno, si segnano punti ausiliari sulle Linee Metalliche. “allora verremo con diligenza dividendo, tanto dall’una quanto dall’altra parte, quella breve linea che è tra li punti segnati Ra… in quattro particelle, delle quali tre se ne lascieranno verso lo stagno ed una sola verso il rame” - (fr:275). Una volta trovata una misura fondamentale per la lega, le altre si ricavano con le sole Linee Aritmetiche. Un’altra applicazione è il calcolo delle ordinanze militari, per disporre un dato numero di soldati con fronte e fianco in una proporzione specifica. “Sendoci dunque ordinato che ritroviamo la fronte ed il fianco di 4335 soldati, messi in ordinanza in maniera che per ogni cinque, che saranno nella fronte, ne siano tre nel fianco” - (fr:161). Lo strumento risolve anche problemi di algebra, come i “censi eguali al numero” - (fr:167). Ulteriori usi includono la trasmutazione delle monete “Col mezo di queste medesime Linee Aritmetiche possiamo trasmutar ogni spezie di moneta l’una nell’altra” - (fr:97), la determinazione del lato di un solido di peso dato e la misurazione di altezze e distanze in campo, anche per regolare l’elevazione dei cannoni con una squadra. “L’uso ordinario della quale è che si metta una sua costa nel vacuo del pezzo… il qual filo ci mostrerà… quanta elevazione abbia il pezzo” - (fr:332).

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[8.1-40-308|272]

8 Metodi strumentali per la quadratura di figure piane

Dalle linee tetragoniche alle operazioni composite: procedure per equivalenze di area.

Le frasi descrivono l’uso di uno strumento geometrico, dotato di linee specializzate come le Tetragoniche, le Geometriche e le Aritmetiche, per trasformare qualsiasi figura piana in un quadrato di area equivalente. “Sono queste Linee Tetragoniche così dette dal loro uso principale, che è di quadrare tutte le superficie regolari, ed il cerchio appresso; e ciò si fa con facilissima operazione.” - (fr:295). La procedura fondamentale consiste nel ridurre prima le figure in triangoli, trovare per ciascuno il quadrato corrispondente e poi unire questi quadrati in uno solo mediante un’operazione ausiliaria indicata come “operazione X” (fr:308, fr:304). Per un triangolo, si misura la perpendicolare e la metà della base sulle scale dello strumento per ottenere il lato del quadrato equivalente (fr:316). Lo stesso strumento permette la conversione diretta tra figure regolari: dato un cerchio, si trova il lato del quadrato o di un poligono regolare a esso uguale (fr:296, fr:297); allo stesso modo, da un poligono si può ricavare un cerchio di area equivalente (fr:298). Il metodo si estende a porzioni di cerchio, settori, lunule e trapezi curvilinei, scomponendoli in parti più semplici o operando per differenza tra aree (fr:320, fr:323, fr:325, fr:329, fr:327, fr:328). Temi secondari, menzionati in modo sporadico, includono applicazioni pratiche come determinare equivalenti in peso tra solidi di materiali diversi (fr:232) o misurare la lunghezza di un’artiglieria (fr:272), ma l’argomento centrale rimane il sistema di trasformazioni geometriche per la quadratura.

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[9.1-40-377|373]

9 Misure geometriche con lo strumento a quadrante

Manuale pratico per il rilievo di altezze, distanze e profondità mediante osservazioni angolari e calcolo proporzionale.

Le frasi descrivono le procedure per utilizzare uno strumento ottico-meccanico (chiamato “Strumento”, “Squadra” o “Quadrante”) nella determinazione di grandezze geometriche. Lo strumento è dotato di un filo a piombo e di scale graduate, come indicato in “sospender il filo da quel piccolo foro” - (fr:338). L’operazione base consiste nel “traguardare” un punto e nel “notare i punti tagliati dal filo” - (fr:342) sulla scala. Le applicazioni principali sono la misurazione di altezze (di torri, monti), come in “misurar l’altezza della torre AB” - (fr:342) e “misurar un’altezza la cui radice non si vedesse” - (fr:354); di distanze orizzontali (la larghezza di un fiume, la distanza tra due punti), esemplificate in “misurar la larghezza CB” - (fr:366) e “misurar la distanza tra i due luoghi C, D” - (fr:376); e di profondità (di pozzi), come in “misurar la profondità d’un pozzo” - (fr:362). Per ogni caso sono specificate le stazioni di osservazione, il numero di passi da misurare a terra e la successiva elaborazione aritmetica, che impiega costantemente le proporzioni e l’estrazione di radice quadrata, ad esempio “dividasi per esso 10000” - (fr:368) o “si multiplicherà il numero de i passi… per 100” - (fr:378). Le istruzioni includono varianti operative per condizioni di osservazione limitate, come l’impossibilità di muoversi lungo una linea retta “non potessimo caminare per altra strada che per la AE” - (fr:369), e la correzione dello strumento, ad esempio “con la zanca allungheremo il piede anteriore” - (fr:334). I calcoli possono essere eseguiti manualmente o servendosi delle “Linee Aritmetiche” per maggiore rapidità, come in “potremo fare il computo presente sopra le Linee Aritmetiche” - (fr:385). Un ulteriore uso descritto è la verifica dell’inclinazione di muraglie e dell’elevazione di pezzi d’artiglieria.

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[10.1-40-372|238]

10 Uso dello Strumento Matematico per Calcoli Geometrici e Proporzionali

Procedure operative per la risoluzione di problemi di misura e proporzione mediante scale graduate.

Il testo fornisce istruzioni dettagliate per l’utilizzo di uno strumento dotato di diverse scale di misura (Linee Aritmetiche, Geometriche e Stereometriche) per compiere calcoli matematici e geometrici. Le operazioni descritte includono il trovare distanze e altezze tramite triangolazione, utilizzando raggi e punti di riferimento “Il computo si troverà sopra lo Strumento, pigliando il minor numero de i punti tagliati rettamente sopra le Linee Aritmetiche, ed applicandolo poi trasversalmente alla differenza delli due numeri de i punti” - (fr:355). Viene spiegato come determinare il medio proporzionale tra due numeri o linee “Con l’aiuto di queste linee e loro divisioni potremo tra due linee, o vero due numeri dati, trovare con gran facilità la linea o il numero medio proporzionale” - (fr:170). Lo strumento serve a operare su figure piane e solide: si spiega come trovare una figura simile ed eguale alla differenza di due figure simili proposte “PROPOSTE DUE FIGURE SIMILI E DISEGUALI, TROVAR LA TERZA SIMILE ED EGUALE ALLA DIFFERENZA DELLE DUE PROPOSTE” - (fr:136), e come ridurre un solido parallelepipedo in un cubo di egual volume “COME OGNI SOLIDO PARALLELEPIPEDO SI POSSA COL MEZO DELLE LINEE STEREOMETRICHE RIDURRE IN CUBO” - (fr:205). Sono presentati metodi per trovare un quarto proporzionale a tre numeri dati, che è definito come la “regola aurea” “Proposti tre numeri, trovare il quarto proporzionale; perché altro non è la regola aurea, che del tre domandano i prattici, che trovare il quarto numero proporzionale alli tre proposti” - (fr:70). Le istruzioni coprono anche come adattare le procedure quando i numeri eccedono i limiti delle scale, ricorrendo a doppi, tripli o quadrupli “Notando in oltre, che quando le linee, ed i numeri che le misurano, tra li quali vogliamo trovare il medio proporzionale, fussero assai grandi… si potrà nondimeno conseguir l’intento, operando con parti de i proposti numeri” - (fr:173). Viene descritto l’uso delle varie linee dello strumento in combinazione, con operazioni che richiedono di prendere distanze “rettamente” o “trasversalmente” e di applicarle tra le diverse scale per ottenere il risultato cercato.

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