Bernoulli - Hydrodynamica - 1738 | L | +

20 May, 2026

[1]

[1.1-142-15|154]

1 L’idrodinamica come scienza unificata: la «Prefazione» e la «Sezione Prima» dell’opera di Daniel Bernoulli

Nelle pagine introduttive della sua «Hydrodynamica» (1738) Bernoulli colloca la nuova disciplina nel solco dell’Accademia di Pietroburgo, traccia una storia critica della scienza dei fluidi e rivendica un metodo in cui le ipotesi fisiche, dedotte razionalmente, sono confermate dall’esperimento.

Il trattato si apre con una dedica al duca Ernesto Giovanni di Curlandia, firmata a Basilea il 10 marzo 1731 (fr:20-22), ma già la frase successiva chiarisce che l’opera è soprattutto figlia di un’istituzione: «On aufus fuiflem Sereniflimo Nomini Tuo Hydrodynamicam hanc infcriberc, nifi illa Academiae Scientiarum, fub umbone Tuo Petropoli florentis, confilio & fubfidiis a me conferipta fiiiflet» – (fr:16) [Non avrei osato dedicare quest’Idrodinamica al Tuo Serenissimo Nome, se non fosse stata scritta per consiglio e con i sussidi dell’Accademia delle Scienze di Pietroburgo, fiorente sotto il Tuo patronato]. Del resto, «Praecipuas enim huius operis partes aufpiciis, consiliis, subsidiisque Academiae Scientiarum Petropolitanae deberi lubens profiteor» – (fr:25) [Confesso volentieri che le parti principali di quest’opera sono dovute agli auspici, ai consigli e ai sussidi dell’Accademia delle Scienze di Pietroburgo]. Scopo dichiarato è servire quel consesso, «cuius omnes labores eo collimant, ut bonarum litterarum incrementa publica commoda promoveat» – (fr:28) [i cui sforzi sono tutti rivolti a promuovere il bene pubblico attraverso il progresso delle buone lettere].

L’indice delle sezioni, posto subito dopo la prefazione, mostra l’architettura dell’opera. Le tredici sezioni coprono: a) l’equilibrio dei fluidi stagnanti (idrostatica, «agit de fluidis stagnantibus corumque aequilibrio» – fr:34); b) la velocità di efflusso da vasi di forma qualsiasi e per fori di qualunque grandezza (fr:36); c) i tempi di svuotamento (fr:38); d) il moto sotto carico costante («de motu aquarum ex vasis constanter plenis» – fr:39); e) le oscillazioni dei fluidi in tubi (fr:41); f) il moto in condotti sommersi, dove «exemplis ostenditur, quam insigniter utile sit principium conservationis virium vivarum, vel in iis casibus, quibus continue aliquid de illis perdi censendum est» – (fr:43) [si mostra con esempi quanto sia straordinariamente utile il principio di conservazione delle forze vive, anche nei casi in cui si deve ritenere che una parte venga continuamente perduta]; g) i fluidi in condotti irregolari, trattati mediante la teoria delle forze vive con assorbimento continuo (fr:45-46); h) le macchine idrauliche e il loro massimo grado di perfezione raggiungibile (fr:46); i) l’aria e i fluidi elastici (fr:50-51); l) i fluidi in vortice e in recipienti in moto (fr:54); m) la statica dei fluidi in movimento, battezzata «idraulico-statica» («staticam fluidorum motorum, quae hydraulico-statica vocari potest» – fr:56); n) la reazione dei getti e la propulsione navale (fr:58). Già da questo sommario si comprende come Bernoulli intendesse fondare una meccanica dei fluidi completa, che unisse equilibrio e moto sotto un’unica teoria.

La Sezione Prima è un’ampia introduzione che ripercorre la storia del sapere idraulico e ne fissa i limiti, chiarendo nel contempo il proprio metodo. L’autore dichiara esplicitamente l’unità programmatica della disciplina: «utramque vero tam ardo nexu inter fe cohaerere perciperem, ut adtera alterius ope plurimum egeat, haud dubitavi eas confundere, quantum id ordo rerum postulare videbatur, ambafque nomine communi & generaliori Hydrodynamicae complecti» – (fr:62) [percepii che entrambe – idrostatica e idraulica – sono così strettamente connesse tra loro, che l’una ha grande bisogno dell’altra; perciò non esitai a confonderle per quanto l’ordine delle cose sembrava richiederlo, e a comprenderle sotto il nome comune e più generale di Idrodinamica].

Il giudizio sul passato è netto. Gli antichi, da Archimede in poi, «intelligebant […] veras autem rationes accuratasque mensuras in Hydraulicis rebus plane ignorabant, atque fere in limine subsistebant» – (fr:64) [comprendevano l’equilibrio dei fluidi stagnanti e dei corpi immersi, ma ignoravano del tutto le vere ragioni e le misure accurate nelle questioni idrauliche, fermandosi quasi sulla soglia]. Frontino, pur avendo intuito che la velocità di efflusso cresce con l’altezza dell’acqua sopra il foro, «in computandis aquarum modulis […] turpes & iniustos commiserit errores» – (fr:67) [nel calcolare i moduli delle acque commise errori vergognosi e ingiusti]. La prima legge quantitativa è attribuita a Benedetto Castelli, che però immaginò una proporzionalità diretta tra velocità e altezza. Soltanto Torricelli «observavit, velocitates crescere in subduplicata ratione altitudinum» – (fr:69) [osservò che le velocità crescono in ragione sotto-doppia delle altezze, cioè con la radice quadrata]. Tuttavia, la misura assoluta della velocità rimase incerta: l’esperimento di Guglielmini, più volte ripetuto, indicava una velocità tale da far risalire l’acqua soltanto a un quarto dell’altezza (fr:70); altri, come Mariotte, ottenevano la metà o due terzi. Bernoulli, con sicurezza, afferma che in realtà le velocità vere corrispondono sempre all’intera altezza, e le discrepanze nascono dal modo di valutare la portata.

La discussione investe direttamente Newton, il quale, nella prima edizione dei Principia, aveva sostenuto che l’acqua uscendo verticalmente da un foro minimo potesse salire solo a metà dell’altezza del liquido nel vaso (fr:75-76). Poi, di fronte alle evidenze contrarie, «sententiam suam mutavit in secunda Operis sui editione, rursusque aliquantum in tertia, affirmans aquam ad totam quidem altitudinem ascendere, venam autem, quam efformat, prae foramine contrahi seu gracilescere» – (fr:81) [mutò parere nella seconda edizione, e ancora un poco nella terza, affermando che l’acqua sale sì fino all’intera altezza, ma la vena che forma si contrae o si assottiglia davanti al foro]. Bernoulli riconosce la realtà della contrazione della vena, ma nega che su di essa si possa costruire una teoria stabile, perché «accidentalis est, nec sibimet ubique constans» – (fr:82) [è accidentale e non sempre uguale a se stessa]; le vere cause di variazione sono l’attrito, la tenacità dell’acqua e simili. Per dimostrare l’insufficienza di ogni deduzione basata sulla sola pressione, rinvia al flusso mirabile descritto da Mariotte, in cui l’acqua attraversa due fori separati da un diaframma (fr:85-86).

Proprio la difficoltà di pervenire a leggi geometricamente pure senza ipotesi fisiche conduce Bernoulli a una celebre dichiarazione metodologica: «neque ego credo posse ea quae in hoc opere expositurus sum, omnem rigorem mathematicum subire: Principia Theoriae physica sunt & non sine largitione acceptanda ut proxime vera; admissis autem principiis, omnia erunt Geometrica, & nullis obnoxia restrictionibus» – (fr:91) [né io credo che ciò che esporrò in quest’opera possa sottostare a tutto il rigore matematico: i princìpi della teoria sono fisici e vanno accettati con una certa concessione, come approssimativamente veri; ammessi però i princìpi, tutto diventerà geometrico e non soggetto ad alcuna restrizione]. La forza di questo approccio è subito illustrata da una confessione: Bernoulli concepì l’intera teoria, scrisse il trattato e lo discusse con gli amici «priusquam ullum experimentum instituerim» – (fr:91) [prima di aver istituito alcun esperimento]; solo in un secondo momento gli esperimenti, condotti pubblicamente, «ita convenisse cum Theoria, quantum ipse vix sperare poteram» – (fr:91) [concordarono con la teoria quanto io stesso potevo appena sperare].

Delineati questi fondamenti, l’autore anticipa i principali contributi originali. In idrostatica darà nuovi teoremi sulla figura delle vesciche, sulla resistenza degli acquedotti e su affini questioni (fr:124-125). Riguardo all’efflusso, la sua teoria si distingue perché «extendit enim se ad positionem foraminis cuiuscunque magnitudinis, imo & vasis cuiuscunque figurae» – (fr:126) [si estende a fori di qualunque grandezza e a vasi di qualunque figura], uscendo dal caso ideale del foro infinitamente piccolo. Analizzando il moto variabile dall’inizio del flusso – con infiniti gradi di velocità che si susseguono in un tempo talvolta impercettibile – egli può determinare fenomeni che i sensi da soli non colgono. L’esempio centrale, indicato come il più importante, è questo: «fieri non posse, ut pressio aquae, per canalem data velocitate fluentis, in eiusdem latera definiatur, nisi mutationes illae, quas momentaneas dicimus utcunque sensibus imperceptibiles recte animo intelligantur» – (fr:131) [non è possibile determinare la pressione che l’acqua, fluente con una data velocità in un canale, esercita sulle pareti laterali, se quelle mutazioni che chiamiamo momentanee, per quanto impercettibili ai sensi, non vengono rettamente comprese dalla mente]. Su questa base Bernoulli rivendica di aver aggiunto una branca interamente nuova: «novam Theoriae aquarum partem addidi, quae; quia fluidorum tum motum tum pressionem simul respicit, hydraulico-statica aptissime vocari visa fuit» – (fr:132) [aggiunsi una nuova parte della teoria delle acque, la quale, poiché considera insieme il moto e la pressione dei fluidi, sembrò essere chiamata giustamente idraulico-statica]. È il germe della futura equazione di Bernoulli.

La sezione introduttiva si chiude con l’esame dei getti d’acqua. La teoria nega che l’acqua possa salire molto al di sopra del livello della sorgente; tuttavia Bernoulli segnala un fenomeno singolare, da lui osservato più volte e riproducibile a piacere, in cui una fontana zampilla fino a «altitudinem triplam, aut quadruplam eius, quae respondet aquae superficiei supremae» – (fr:143-144) [un’altezza tripla o quadrupla di quella corrispondente alla superficie superiore dell’acqua], per poi ricadere alla quota consueta. Di questo evento straordinario, registrato negli atti dell’Accademia di Parigi nel 1702, egli promette di dare la ragione genuina e le vere misure attinte alla propria teoria (fr:144-145). Anche da questi cenni si vede come la Hydrodynamica intenda trasformare l’idraulica da collezione di pratiche e di osservazioni slegate in una scienza deduttiva, sorretta da ipotesi fisiche e controllata dall’esperienza.

[2]

[2.1-109-164|271]

2 Il disegno dell’Hydrodynamica e i suoi fondamenti teorici

Nell’introduzione al trattato, Daniel Bernoulli delinea il piano dell’opera, espone i principi meccanici adottati e discute con cautela la natura dei fluidi, l’utilità delle ipotesi e i limiti di ogni teoria applicata all’esperienza.

L’autore, dopo aver trattato l’equilibrio dei fluidi stagnanti, passa a questioni più complesse, ovvero il moto di fluidi omogenei ed eterogenei spinti attraverso uno o più fori prima di essere proiettati in aria, dove la regola comunemente accettata sull’innalzamento dell’acqua si dimostra largamente fallace: “Poli hxc ad alia magis compofita progredior, motum nempe fluidorum confiderans five homogeneorum five heterogeneorum, qux per unum aut plura foramina transfluere coguntur, priufquam ejiciantur in aerem, ubi regula illa communiter recepta de faltu aqux ad fupremam aqux libellam vehementer felht, celfantibus etiam legibus preflionis ordinariis” – (fr:165) [Dopo queste cose procedo ad altre più complesse, considerando cioè il moto dei fluidi, sia omogenei sia eterogenei, i quali sono costretti a fluire attraverso uno o più fori prima di essere lanciati in aria, dove quella regola comunemente accolta sul salto dell’acqua fino al livello più alto inganna grandemente, venendo meno anche le leggi ordinarie della pressione]. Su questi argomenti Bernoulli lamenta che non esista quasi traccia presso gli autori, tranne quanto riferito da Mariotte, il quale “ubique fluxum aquarum retardari, fuilfe fe experientia edodum, teflatur” – (fr:170) [testimonia, istruito dall’esperienza, che il flusso delle acque viene ovunque ritardato]; Mariotte, tuttavia, rimase ben lontano dalla vera teoria di tali moti, mentre le esperienze condotte da Bernoulli non gli lasciano più dubbi sulla verità dei propri risultati. L’utilità di queste ricerche risiede, fra l’altro, nel perfezionamento delle macchine idrauliche.

Seguono infatti studi sulle macchine idrauliche, nei quali si dimostra che esiste un limite preciso di perfezione oltre il quale non si può andare; i difetti rispetto a questo limite sono calcolati numericamente per molte macchine di uso comune. Come esempio viene portata la celebre macchina di Marly, della quale si mostra che “non ultra quinquagesimam sextam prope partem fuppeditet ejus aquae quantitatis, quam exteris paribus machina perfectissima theoretice subministrare queat” – (fr:174) [non fornisce nemmeno la cinquantesima-sesta parte della quantità d’acqua che, a parità di condizioni, una macchina perfettissima potrebbe teoricamente somministrare]. Viene poi esaminata la coclea di Archimede, “attentione Geometrarum non indigna, tam ratione eorum, qux ad Geometriam puram, quam qux ad Hydraulicam pertinent” – (fr:176) [degna dell’attenzione dei geometri, tanto per ciò che spetta alla geometria pura quanto per l’idraulica].

L’opera prosegue con il moto dei fluidi elastici, come l’aria e la polvere da sparo accesa, proposti come ipotesi fisiche, e con la stima delle forze vive in essi contenute; si dimostra per esempio che “unius lbrx pulveris pyrii accenfi effectum in elevandis ponderibus majorem esse posse, quam vel centum homines robustissimi labore continuo intra unius diei fpatium efficere posse” – (fr:180) [l’effetto di una libbra di polvere da sparo accesa nel sollevare pesi può essere maggiore di quanto possano compiere cento uomini robustissimi con lavoro continuo nell’arco di un giorno]. Si tratta poi del moto circolare dei fluidi e dei fluidi in vasi mossi; le osservazioni sul moto circolare, aggiunge con cautela, possono servire a illustrare i fenomeni della gravità spiegati mediante vortici, ma il loro valore resta limitato.

Uno dei passaggi centrali dell’opera è la determinazione della pressione dei fluidi in movimento a partire dal moto stesso, invertendo la via consueta: “Mirum est, cum alias motus ex pressione definiatur, hic inversa methodo pressionem ex motu peti, prius ex circumdantus definiendo” – (fr:185) [È sorprendente che, mentre di solito il moto si definisce a partire dalla pressione, qui con metodo inverso la pressione venga ricavata dal moto, definendola prima dalle circostanze circostanti]. Bernoulli considera un canale “amputato” nel punto e nell’istante opportuni e, tramite le regole già premesse, indaga l’accelerazione della particella d’acqua che sta per uscire; da tale accelerazione ricava la compressione, uguale, per la natura dei fluidi, alla pressione sulle pareti. Nota la pressione, si può stabilire quanto accadrebbe se il canale fosse perforato: l’acqua salirebbe in un tubo laterale fino a un’altezza determinata, creando un equilibrio tra acque fluenti e stagnanti. L’autore chiama questa teoria “hydraulico-staticam” – (fr:187) [idraulico-statica]. Essa costituisce il fondamento di altri moti prima sconosciuti e permette la stima esatta della pressione delle acque correnti negli acquedotti, da cui dedurre le necessarie resistenze dei tubi; da essa dipendono anche le misure precise dell’acqua erogata tramite moduli inseriti lateralmente in un corso d’acqua e una migliore comprensione del moto degli umori nel corpo animale.

Bernoulli esamina poi il rinculo prodotto dall’acqua che fuoriesce da un foro: “aqua, dum per foramen effluit, in contrarium premit vas non aliter, atque globus retropellit tormentum, ex quo exploditur” – (fr:193) [l’acqua, mentre esce da un foro, preme in direzione contraria il vaso, non diversamente da come la palla respinge il cannone da cui è sparata]. Le nuove proprietà di questa retropulsione illustrano egregiamente la natura delle pressioni. L’autore confessa di aver intrapreso tali ricerche perché intravedeva la possibilità di una nuova navigazione senza remi né vento, pur sapendo che “omnium hujusmodi rerum primordia per se plerisque videri ridicula” – (fr:194) [gli inizi di tutte le cose di questo genere appaiono di per sé ridicoli ai più].

Quanto ai principi meccanici, Bernoulli dichiara di aver impiegato principalmente l’uguaglianza tra discesa attuale e ascesa potenziale, ossia la conservazione delle forze vive: “Praecipuum est conservatio virium vivarum, seu, ut ego loquor, aequalitas inter descensum actualem ascensumque potentialem” – (fr:208) [Il principale è la conservazione delle forze vive, o, come dico io, l’uguaglianza tra discesa attuale e ascesa potenziale]. Preferisce questa seconda denominazione per evitare le ostilità che il termine “forza viva” suscita presso alcuni filosofi, specialmente in Inghilterra. Ricorda come Huygens, a partire dall’insegnamento galileiano, formulò l’assioma secondo cui il centro comune di gravità di più corpi che si muovono sotto la gravità può risalire all’altezza primitiva; da qui discende il principio di conservazione delle forze vive. Bernoulli ricorda che suo padre Johann aveva già mostrato l’estensione di questo principio, e che egli stesso lo ha applicato ai fluidi ponendo che le velocità delle particelle siano tali che, se ciascuna fosse spinta verticalmente verso l’alto fino a quiete, il loro centro di gravità comune risalirebbe all’altezza iniziale.

Pur essendo universale, il principio richiede circospezione, perché spesso il moto passa in materia estranea: una parte dell’ascesa potenziale si disperde e non viene restituita ai corpi. Analogamente, nel moto delle acque “quandoque manifestum est, partem ascensus potentialis continue perdi” – (fr:233) [talvolta è manifesto che una parte dell’ascesa potenziale viene continuamente perduta]; di ciò bisogna tener conto nel calcolo, e proprio questa attenzione ha permesso di scoprire nuovi teoremi sul flusso dell’acqua. Tuttavia, poiché non si può prevedere quanta parte venga assorbita, la determinazione dei moti dei fluidi non può essere del tutto accurata con nessun metodo. Il lettore è perciò avvertito di usare cautela nel trarre corollari, perché “saepe propter mutatas circumstantias non accurate cum experimentis convenire poterunt” – (fr:239) [spesso, a causa del mutare delle circostanze, non potranno concordare con gli esperimenti in modo preciso].

Alla base del metodo sta l’ipotesi che il fluido sia diviso in strati perpendicolari alla direzione del moto e che le particelle di uno stesso strato abbiano uguale velocità, inversamente proporzionale alla sezione del vaso. È un’ipotesi comune, benché si sappia che il fluido scorre più lentamente presso le pareti per attrito; tuttavia un errore notevole può derivarne molto raramente.

A illustrare e confermare la conservazione delle forze vive nel moto dei fluidi, Bernoulli porta fenomeni quotidiani: una goccia che cade in acqua stagnante eccita cerchi che si propagherebbero all’infinito senza la tenacità del liquido; goccioline minute proiettate verso l’alto possono risalire oltre l’altezza di caduta, specialmente se l’acqua gocciola da un foro grande. Descrive anche l’effetto di un canale orizzontale chiuso da un coperchio forato: quando l’acqua raggiunge il coperchio, poche gocce schizzano via con grande impeto e subito ogni moto si arresta, quasi un’esplosione, in pieno accordo con la conservazione delle forze vive.

Riguardo alla natura dei fluidi, Bernoulli segue l’opinione comune che in tutti i fluidi esista un moto intestino, senza il quale non si spiegherebbero fluidità, effervescenze, dissoluzioni, evaporazioni; le particelle non sono contigue ma piuttosto “volitano”, cedendo senza attrito al minimo impulso, a differenza di un mucchio di sabbia. Il calore intensifica questo moto e dilata i fluidi; il congelamento avviene quando il moto interno cessa o diminuisce molto, le particelle collassano ed espellono le particelle eterogenee. Per spiegare la durezza dei corpi congelati e le differenze tra fluidi, Bernoulli avanza l’ipotesi di un’attrazione mutua tra particelle, più o meno forte a seconda delle sostanze; osserva però che “Infinita sunt alia corporum tum solidorum tum fluidorum phaenomena, quae mire admodum cum principio mutuae gravitationis conveniunt, ita, ut dolendum sit, principium ipsum tam alte supra mentem humanam positum esse, ut neminem esse putem, qui id ullo modo intelligere possit” – (fr:261) [Innumerevoli sono gli altri fenomeni dei corpi solidi e fluidi, che meravigliosamente concordano con il principio di mutua gravitazione, tanto che è da dolersi che il principio stesso sia posto tanto al di sopra della mente umana che penso non vi sia nessuno che possa in qualche modo comprenderlo].

L’autore dichiara infine di considerare il trattato più come opera fisica che matematica, senza voler affettare un rigore geometrico eccessivo nelle ipotesi e definizioni preliminari; si riserva tuttavia di dare dimostrazioni complete per i risultati nuovi e definizioni chiare per i termini inusuali. Confessa con modestia di non aver potuto dedicare all’opera tutta la diligenza e l’attenzione desiderate, e che pertanto qualche errore di calcolo sarà rimasto, benché ne abbia corretti alcuni durante una rapida rilettura. L’introduzione si chiude con l’avvio della Sezione Seconda, dedicata all’equilibrio dei fluidi stagnanti, il cui primo teorema stabilisce che “Superficies fluidi stagnantis horizonti est parallela” – (fr:269) [La superficie di un fluido stagnante è parallela all’orizzonte].

[3]

[3.1-56-333|386]

3 Dalla vescica gonfiata alla pressione nei condotti fluenti: un’indagine idrodinamica nel XVIII secolo

Lo studio della figura di una vescica sottoposta a carico e gonfiaggio, basato sulla meccanica delle fibre, conduce a un’equazione generale per curve sotto forze periferiche e culmina nella fondamentale distinzione tra pressioni di acque stagnanti e fluenti, cardine per il corretto dimensionamento delle condotte.

Il testo prende le mosse da un problema apparentemente marginale: immaginiamo una vescica DC a cui è appeso un peso P e che è collegata a un tubo DA di lunghezza incomparabilmente maggiore di DC. “Fuerit vefica DC (Fig. ff.) eidemque appenfum pondus P, fimulque alligata tubulo DA , cujus rurfus longitudinem compendii ergo in comparabiliter majorem longitudine DC fingemus.” – (fr:335-337) [Sia una vescica DC (Fig. 6) a cui è appeso un peso P, e insieme legata a un tubulo DA, la cui lunghezza, per brevità, fingeremo essere incomparabilmente maggiore della lunghezza DC.] Quando il sistema è riempito, la vescica si gonfia e solleva il peso, ma – osserva l’autore – “nemo autem intelliget flatum xquilibrii figuramque ventricofam , nifi plane inteUigatur flruclura veficae ejusdemque fibrarum” – (fr:338) [nessuno comprenderà lo stato di equilibrio e la figura rigonfia se non si conosce appieno la struttura della vescica e delle sue fibre]. Perciò egli esamina alcuni casi particolari che si presentano con maggior frequenza.

Caso I: sole fibre longitudinali. Se la vescica è composta di fibre longitudinali disposte come meridiani, convergenti ai poli D e C, perfettamente flessibili e uniformi, connesse da fibrille trasversali così lasche da offrire una resistenza trascurabile, “Sic quaelibet fibra DpC incurvabitur in figuram elaflicx, totaque vefica formam affiimet foUdi , qu jd generatur ex revolutione illius curvx circa axem DC.” – (fr:342) [Così ciascuna fibra DpC si incurverà nella figura di un’elastica, e l’intera vescica assumerà la forma del solido generato dalla rivoluzione di quella curva attorno all’asse DC.] Nel caso limite di altezza AD infinita, l’elastica diventa rettangola e la massima decurtazione della vescica raggiunge circa i tre quinti della lunghezza dell’asse, “ita ut maxima elevatione ponderis velica tribus quintis partibus deoutetur” – (fr:344) [cosicché nella massima elevazione del peso la vescica si accorcia di tre quinti].

Caso II: fibrille trasversali resistenti. Se invece i minimi filamenti trasversali np, mp (perpendicolari alle fibre longitudinali) oppongono resistenza all’estensione, la figura della fibra non può essere determinata senza introdurre due generi di forze agenti in ogni punto: una perpendicolare alla curva che preme verso l’esterno, l’altra perpendicolare all’asse DC che tira verso l’interno. “fecile etiam intelligitur infinitas poQe harum preflionum excogitari leges , ut ad curvam quamvis datam fibra D «p C fe componat , atque adeo edam v. gr. ad circularem , qux figura ^ plerisque Phyfiologis tribuitur fibrillis, qux pertinent ad machinulas mufculares” – (fr:349-350) [è anche facile capire che si possono escogitare infinite leggi di queste pressioni affinché la fibra DpC si conformi a una qualsiasi curva data, e quindi anche, per esempio, a una circolare, la quale figura è attribuita dalla maggior parte dei Fisiologi alle fibrille che appartengono alle macchinette muscolari]. Esiste però un’altra via per ottenere un arco circolare: l’assenza completa delle fibrille trasversali. In tal caso, durante il gonfiaggio, il fluido erompe attraverso le fessure tra fibre longitudinali vicine e, non potendo defluire abbastanza rapidamente, le distende in cerchi. In questa situazione la massima decurtazione, che nel primo caso era 3/5 della lunghezza iniziale, diventa soltanto circa 1/4.

L’autore riconosce l’estrema difficoltà di determinare con esattezza la figura di una vescica gonfiata sotto carico, poiché nessuno conosce perfettamente l’indole delle fibrille microscopiche. Ciononostante, trascrive alcuni esempi “qux maxime videntur probabilia , ex fchedis meis fine demonftradone, quam fi quis defideret , reperiet in tom. Comm. AcaJ, Sc. Petrof.” – (fr:352-356) [che sembrano massimamente probabili, dalle mie schede senza dimostrazione, che se qualcuno desiderasse, troverà nel tomo 3 dei Commentari dell’Accademia delle Scienze di Pietroburgo].

Prima di tutto, però, egli fornisce un’equazione generale per una curva generata da due tipi di forze variabili – perpendicolari alla curva e perpendicolari all’asse – applicate a un filo fissato agli estremi (Fig. 7). Senza entrare nei dettagli della lunga derivazione, i casi particolari sono istruttivi. Quando agiscono soltanto le forze perpendicolari alla curva, “radius ofculi ubique fequitur rationem inverfam potentiae refpondentis” – (fr:366) [il raggio osculatore segue ovunque la ragione inversa della potenza corrispondente]. Quando invece sono presenti solo le forze perpendicolari all’asse, l’equazione si integra e mostra che “potentiam dudam in radium ofculi ubique efle in ratione reciproca quadrati finus , quem applicata facit cum curva” – (fr:368) [la potenza moltiplicata per il raggio osculatore è ovunque nella ragione reciproca del quadrato del seno dell’angolo che l’applicata fa con la curva]. Se le forze normali alla curva sono proporzionali alle ordinate y, l’equazione copre, come casi limite, la catenaria e l’elastica, e in generale serve a determinare la curvatura di un telo uniformemente grave su cui grava un fluido. Il caso più semplice (costanti di proporzionalità nulle) conduce al semicerchio: se un filo pesante AEG (Fig. 8) è disposto a semicerchio con il diametro AG orizzontale e un fluido lo sovrasta fino a quel diametro, “dico (I fluidi pondus fit tequale ponderi fili , fore ut filum perfeifle flexile & uni- formis crafiitiei figuram femicircularem confervet” – (fr:372) [dico che se il peso del fluido è uguale al peso del filo, il filo perfettamente flessibile e di spessore uniforme conserverà la figura semicircolare].

Tornando alla vescica, l’ipotesi più verosimile è che entrambi i tipi di forza siano proporzionali alle ordinate corrispondenti, il che permette di ridurre l’equazione canonica del terz’ordine a un’equazione differenziale semplice risolubile per quadrature; in essa la costante n assume valore negativo quando si tratta della vescica gonfiata (Fig. 6).

L’autore non si sofferma oltre su questi temi, “quod non proxime pertinent ad Hydrodynamicam” – (fr:378) [che non appartengono prossimamente all’Idrodinamica], e rimanda a una trattazione separata per i fluidi elastici. Passa invece alla questione centrale delle opere idrauliche: la resistenza dei condotti che portano l’acqua alle fontane. Qui introduce una distinzione che, a suo dire, nessuno aveva ancora notato: “Probe diftinguendx funt preffiones aquarum in canalibus flagnantium k preflionibus fluentium” – (fr:380) [Bisogna distinguere accuratamente le pressioni delle acque stagnanti nei canali dalle pressioni delle fluenti]. Le regole tramandate, benché espresse con parole che potrebbero far credere il contrario, valgono esclusivamente per acque stagnanti.

Per rendere evidente la differenza, propone un esempio con un vaso amplissimo ABCD (Fig. 9), riempito fino a EF e munito di un tubulo cilindrico orizzontale O m O. Si consideri il punto N sulla parete verticale, all’altezza della linea NG. “dico fi orificium O 0 totum digito obflruatur , pundum N premi extrorfum fecundum totam altitudinem N G ; fi dimidium orificium obturetur, hanc prefiionem quarta fui parte diminui , & fi denique remoto digito aqux liberrime effluant , omnem prefiionem evanelcere” – (fr:386) [dico che se l’orifizio OO è tutto ostruito col dito, il punto N è premuto verso l’esterno secondo l’intera altezza NG; se si ostruisce metà orifizio, questa pressione viene diminuita di un quarto; e se infine, rimosso il dito, l’acqua effluisce liberissimamente, ogni pressione svanisce]. In tal modo, osserva, la pressione piena, parziale o nulla viene confusa dagli Autori, che non distinguono tra condizioni statiche e dinamiche.

Questo frammento, tratto dalla Sezione Seconda di un trattato che reca tutti i caratteri dell’Hydrodynamica di Daniel Bernoulli (1738), testimonia un metodo che intreccia meccanica delle strutture fibrose, calcolo differenziale e fisica dei fluidi. La netta separazione tra pressione idrostatica e pressione in regime di deflusso – qui esemplificata con l’annullarsi della spinta laterale in presenza di efflusso libero – costituisce un passaggio concettuale decisivo, anticipatore del principio che avrebbe poi preso il nome dallo stesso Bernoulli, e segna un distacco dalla tradizione idraulica precedente, offrendo un criterio razionale per il dimensionamento delle condotte.

[4]

[4.1-27-419|443]

4 Indagini sperimentali sull’attrazione capillare del mercurio e sulla tenacità dei metalli nell’«Hydrodynamica»

Resoconto di osservazioni sulla sospensione del mercurio in tubi capillari e sulla resistenza meccanica di fili metallici, condotte secondo i principi dell’attrazione molecolare.

Il testo, parte integrante della sezione HYDRODYNAMICÆ come segnalato dal riferimento “Digilized by Googie , ii HYDRODYNAMIC^.” - (fr:424), espone una serie di fenomeni e deduzioni concernenti il comportamento del mercurio in tubi di vetro. L’autore dichiara un principio generale secondo cui, in assenza di una forza attrattiva, un fluido fuoriesce immediatamente: “movetur , protinus omnis effluit Priora Phoenomena , ni fallor , indicant mercurio & aliis fluidis idem contingere , cum vi attradrici nullus efl lo> cus ; mercurium autem fortiflime fe attrahere docet phoenomenon ultimum.” - (fr:418) [si muove, immediatamente fuoriesce tutto. I precedenti fenomeni, se non erro, indicano che al mercurio e ad altri fluidi accade lo stesso quando non c’è alcuna forza attrattiva; l’ultimo fenomeno insegna invece che il mercurio si attrae fortemente]. L’indagine si concentra quindi sulle condizioni in cui tale attrazione è sufficiente a contrastare la gravità.

L’esperimento cardine prevede l’uso di un tubo cilindrico di vetro dal diametro di 3 o 4 linee, il cui fondo è costituito da carta sottile o una lamina di ferro traforata al centro da un minuscolo foro, come illustrato: “Sumatur tubus cylindricus vitreus diametri 3 aut 4 ’ linearum,’ fundo inflrudhis ex Charta fubtili , aut tenuiflima lamina ferrea parato & in medio minimo foraminulo perforato, ut oftendit (Figura )” - (fr:420). Riempito il tubo inclinato di mercurio e riportandolo gradualmente alla posizione verticale, si osserva che, nonostante l’ampiezza del tubo, il mercurio non fuoriesce completamente: “Inclinetur Fig.is. tubus A C B D & impleatur totus mercurio , dein fenfim erigatur ; fiet quod antea , & quamvis tubus fit ampliflimus , non tamen effluet omnis mercu- rius .” - (fr:421). La porzione di mercurio che rimane sospesa, identificata dalle sezioni M C D N, è inversamente proporzionale all’ampiezza del foro sul fondo: “fed fufpenfa hxrebit ejus pars , veluti M C DN, hxcque eo major erit, quo minus efl ejus Toraminulum” - (fr:422).

L’indagine procede con una variante cruciale: immergendo solo parzialmente l’estremità inferiore del tubo in una vaschetta di mercurio, non solo il fluido non risale fino a un ipotetico punto Z, ma fuoriesce quasi del tutto, finché la superficie libera interna non raggiunge un punto di equilibrio : ”mercurio, in vafe alio fervato, tantillum , fic ut pars Tubmerfa tubi fit C<» r non folum non afcendit mercurius in tubo ufquein Z ( lumta idlicct C <t^ ]G ) fed & omnis fere effluit , donec fuperficies M N pervenit in .” - (fr:425). Successivamente, se il tubo viene immerso fino a una quota tale da eguagliare l’altezza della colonna prima sospesa (C M), il mercurio rientra di colpo ristabilendo il livello a quell’altezza: “Por- ro tubum A C D B vacuum fat proiiinde mercurio , qui erat in vafe alio fubmerfi , nec tamen prius quicquam influere coepit ex vafe in tubum , quam ad altitudinem C M effet fubmerfus ; & tunc fiatim eo usque influit donec ab utraque parte ad libellam fit confiitutus, nempe usque in MN, fi ad eum locum usque erat fubmerfus.” - (fr:426). L’autore riconduce con sicurezza l’intera fenomenologia a una causa precisa: “Omnia haec ex mutua particularum mercurialium attraflione facile deducuntur.” - (fr:427) [Tutte queste cose si deducono facilmente dalla mutua attrazione delle particelle di mercurio].

Si tenta quindi di quantificare la relazione tra l’altezza della colonna sospesa (M C) e il diametro del foro, ipotizzando un rapporto di reciprocità inversa: “verifimile utique efi altitudinem illam efie in ratione recipro- ca diametri ad foraminulum pertinentis” - (fr:428). L’autore, tuttavia, ammette di non aver potuto confermare pienamente la congettura con l’esperimento a causa di due difficoltà: l’impurità del mercurio, che rendeva i risultati non perfettamente riproducibili a parità di foro, e la complessità di misurare con precisione fori così piccoli, necessari perché l’altezza di mercurio sospeso non supera le sei-otto linee quando il diametro del foro è un sesto di linea. Viene descritto il metodo ingegnoso per realizzare i fori: “Filis nempe aeneis , quibus in infirumentis muficis utun- tur, diverfac crafiitiei , quorum diametros minimas ex longitudine & pondere eorum redlifflme cognovi , chartulam C D perforavi” - (fr:429) [Perforavo la cartina con fili di rame, quali si usano negli strumenti musicali, di diverso spessore, i cui diametri minimi conobbi con massima precisione dalla lunghezza e dal peso degli stessi]. L’uso di tali fili comportava però la formazione di sbavature irregolari attorno al foro che ostacolavano il deflusso, rendendo l’apertura effettiva maggiore dello spessore del filo: “fed fic folent oriri circa latera foraminis fimbriae quae effluxum impediunt, & facile fucce- dit ut foramen majus fit quam efi crallities fili.” - (fr:429).

Segue una sezione nettamente distinta, introdotta da un titolo dedicato: “DeJirmitate tuborum.” - (fr:432) [Sulla resistenza dei tubi]. Si riportano osservazioni sulla resistenza meccanica dei materiali. Viene testato un filo di rame che si spezza solo dopo l’applicazione progressiva di un peso cresciuto fino a 18 libbre di Norimberga: “Filum aeneum rotundum , cujus dia- meter erat lin. … prius non difruptum fuit , quam ad i8. lib. Norimb. pondus excrevifiet.” - (fr:433,434,436) [Un filo di rame rotondo, il cui diametro era di una linea, non si spezzò prima che il peso fosse cresciuto a 18 libbre di Norimberga]. Si confronta questo dato con la resistenza di una sottilissima lamina di piombo a sezione rettangolare: “Dein tenuilFimam lamellam plumbeam , cui reflangularis figura erat, £ lin. latam, tIt lin. crafiam rumpi obfervavi cum eidem appenfum effet pondus trium unciarum cum dimidia.” - (fr:438,439,440) [Poi osservai che una sottilissima lamina di piombo, di figura rettangolare, larga 1/2 linea e spessa 1/3 di linea, si rompeva quando le era applicato un peso di tre once e mezza].

Dall’incrocio di queste due osservazioni scaturisce una conclusione comparativa sulla tenacità dei materiali: “Ex hifce obfervationibus dua- bus fequitur exteris paribus filum ex xre plus quam 2S. vicibus fortius efie* quam filum ex plumbo.” - (fr:441,442) [Da queste due osservazioni segue che, a parità di altre condizioni, un filo di rame è più di 29 volte più resistente di un filo di piombo]. Il valore quantitativo di questo rapporto, dedotto da dati sperimentali puntuali, costituisce un elemento di testimonianza sulla pratica scientifica del periodo. Il testo applica infine questo risultato a una potenziale struttura tubolare in rame, deducendo dal primo esperimento che un tubo di tale materiale con un diametro di un piede e una parete spessa una linea avrebbe una resistenza proporzionale: “Ex priori experimento quoque deducitur, fi tubus xreus diametrum habuerit unius pedis, & craflities laterum fuerit lin.” - (fr:443).

[5]

[5.1-32-505|532]

5 Flusso da un recipiente e il principio dell’ascesa potenziale nell’Hydrodynamica di Bernoulli

Dal calcolo dell’incremento di ascensus potentialis di una goccia effluente, alla determinazione del moto del fluido omogeneo da un foro.

Il frammento appartiene alla Sectio Tertia dell’Hydrodynamica di Daniel Bernoulli e affronta il moto di un fluido omogeneo che esce da un recipiente attraverso un foro, utilizzando i concetti fondamentali di ascensus potentialis (ascesa potenziale) e descensus actualis (discesa effettiva). L’autore abbandona il trattamento per fluidi in movimento dentro i vasi senza deflusso e introduce un calcolo apposito per l’efflusso, che procede analizzando prima la perdita di una goccia infinitesima.

Già nella frase iniziale Bernoulli dichiara il cambio di prospettiva: “Poterunt hae propofitiones infervire pro motu fluidi intra vafa moti, id est, non effluentis definiendo, uti fuo loco oflendam: at vero cum fluidum per foramen effluit, aptius instituetur aliter calculus nempe ut fequitur.” – (fr:501) [Queste proposizioni potranno servire per definire il moto del fluido che si muove dentro i vasi, cioè che non effluisce, come mostrerò a suo luogo; ma quando il fluido effluisce attraverso un foro, si imposterà in modo più adatto un calcolo diverso, appunto come segue.]

La scena è costruita con un recipiente dal fondo forato; dopo che una certa quantità d’acqua è già uscita, la superficie libera residua è cd. In un tempuscolo infinitamente piccolo una goccia pntl effluisce e la superficie scende da cd a ef: “Fingamus aquam effluere ex vafe … utcunque foraminato, fundum sit perforatum foramine fl: quantitas aquae, postquam jam data ejus quantitas effluxit, residua in vafe fit c / m li; effluat autem tempusculo infiniti parvo guttula pntl superficie cd descendente in situm ef.” – (fr:506, 508) [Immaginiamo che l’acqua effluisca da un recipiente … comunque forato, il fondo sia perforato dal forame fl: la quantità d’acqua residua nel vaso, dopo che già ne è effluita una data quantità, sia c/m li; e in un tempuscolo infinitamente piccolo effluisca una gocciolina pntl mentre la superficie cd discende nella posizione ef.]

Per calcolare il mutamento dello stato meccanico del sistema, Bernoulli introduce una sezione orizzontale intermedia gh e associa a ogni particella una velocità capace di farle raggiungere una certa altezza. Prima dell’efflusso della goccia questa altezza è qt, dopo l’efflusso diviene qz (o v d v). La grandezza cercata è l’incremento dell’ascesa potenziale dell’acqua nel passaggio dalla configurazione iniziale a quella finale: “Omnibus his ita positis, quaeritur incrementum ascensus potentialis aquae postquam situm cimJ commutavit cum situ tifnolmf, id est, postquam guttula emanavit.” – (fr:509) [Poste tutte queste cose, si cerca l’incremento dell’ascesa potenziale dell’acqua dopo che ha mutato la posizione cimJ con la posizione tifnolmf, cioè dopo che la gocciolina è fuoriuscita.]

Per esprimere le ampiezze del vaso e del foro Bernoulli ricorre a un’ingegnosa rappresentazione geometrica. Le curve CGI (Fig. 16, detta «scala delle ampiezze») e TRU traducono in aree le grandezze coinvolte: CD o EF rappresentano l’ampiezza della superficie liquida prima e dopo l’efflusso, GH un’ampiezza scelta a piacere, IL la grandezza del fondo e PL la grandezza del foro. Un minimo parallelogrammo PNOL corrisponde a una goccia cilindrica pnol. La curva TRU ha ordinate pari al quadrato di GH diviso per l’ordinata corrispondente della curva CGI, e un parallelogrammulo LOYX con lato LX = GH² / PL. Da questa costruzione risulta che l’ascesa potenziale prima dell’efflusso è la quarta proporzionale tra l’area DCIPL, l’area DTUL e l’altezza qt; analogamente dopo l’efflusso è la quarta proporzionale tra l’area FEIPNOL, l’area FWUXYOL e l’altezza qz: “Jam igitur apparet ascensum potentialem aquae ante effluxum guttulae esse quartae proportionali ad spatium DCIPL, spatium DTUL & altitudinem qt eundemque post effluxum guttulae esse quartae proportionali ad spat. FEIPNOL, spat. FWUXYOL & altit. qz.” – (fr:511-513, compendio) [Ora dunque appare che l’ascesa potenziale dell’acqua prima dell’efflusso della goccia è la quarta proporzionale tra lo spazio DCIPL, lo spazio DTUL e l’altezza qt, e la stessa dopo l’efflusso della goccia è la quarta proporzionale tra lo spazio FEIPNOL, lo spazio FWUXYOL e l’altezza qz.]

Poiché i primi termini di entrambe le analogie sono uguali (lo spazio DCIPL e lo spazio FEIPNOL), posto quell’area comune = M, l’area DTUL = N, l’area FWUXYOL = N+dN, e indicate con v e v+dv le altezze dovute alla velocità, l’incremento dell’ascesa potenziale durante l’efflusso della goccia si scrive: “erit incrementum ascensus potentialis durante guttulae effluxu = …” – (fr:515) [sarà l’incremento dell’ascesa potenziale durante l’efflusso della goccia = …] Il calcolo esplicito conduce a un’espressione che dipende da N dx e da M, conclusa dalla sigla Q. E. I. (Quod Erat Inveniendum), ma il frammento conserva solo la struttura senza fornire il risultato finale completo a causa della corruzione del testo.

Il passo successivo riguarda la discesa effettiva infinitesima dell’acqua durante l’efflusso della goccia, determinata con l’ausilio della Figura Qui Bernoulli osserva che nel passaggio dalla configurazione edmi a quella efmhnpi il centro di gravità della parte d’acqua efmi rimane nello stesso luogo, sicché si può immaginare che solo la particella cd/r sia discesa di una lunghezza x. Ponendo b l’altezza del centro di gravità della massa efmi dal fondo, il dislivello richiesto risulta proporzionale alla goccia effluita moltiplicata per l’altezza dell’acqua sopra il foro, divisa per la quantità d’acqua presente: “quae aequatio indicat, guttulam quae effluxerit multiplicandam esse per altitudinem aquae supra foramen, productumque dividendum per quantitatem aquae, dum guttula effluit, ut habeatur descensus actualis, qui fit” – (fr:526) [la qual equazione indica che la gocciolina che è effluita deve essere moltiplicata per l’altezza dell’acqua sopra il foro, e il prodotto diviso per la quantità d’acqua presente mentre la goccia effluisce, per ottenere la discesa effettiva, che risulta Q. E. I.]

Infine, il Problema 8 si propone di determinare il moto del fluido omogeneo che effluisce, ed è risolto richiamando il principio che «l’ascesa potenziale è in ogni momento uguale alla discesa effettiva», quindi l’incremento dell’una durante il passaggio di una goccia uguaglia l’incremento dell’altra nello stesso tempuscolo: “Quoniam per hypothesin nostram ascensus potentialis singulis momentis aequalis est descensui actuali, erit incrementum prioris dum guttula effluit aequale incremento posterioris, quod simili tempusculo oritur.” – (fr:529) [Poiché per la nostra ipotesi l’ascesa potenziale in ogni istante è uguale alla discesa effettiva, l’incremento della prima mentre effluisce la gocciolina sarà uguale all’incremento della seconda, che nasce in un simile tempuscolo.]

Vengono quindi introdotte le notazioni per la superficie liquida dopo una data efflusione (y), l’ampiezza del vaso ovunque presa ad arbitrio (m), l’ampiezza del foro (n) e l’altezza dell’acqua sopra il foro (a). La quantità N è costruita secondo la regola del §6, e v indica l’altezza dovuta alla velocità in quel luogo. Il frammento si interrompe con un richiamo proprio al §6, lasciando sottintesa l’equazione finale che, nello sviluppo completo dell’Hydrodynamica, condurrà alla celebre relazione per la velocità di efflusso (oggi nota come teorema di Torricelli generalizzato).

Dal punto di vista storico e testimoniale, il brano documenta il cuore della meccanica dei fluidi bernoulliana: la trasformazione dell’energia potenziale del fluido in energia cinetica durante il deflusso, analizzata con infinitesimi e con l’inedito strumento dell’ascensus potentialis. Le figure richiamate – Fig. 2 (probabilmente geometria del vaso nel paragrafo iniziale), Fig. 15 (spostamento del centro di gravità) e Fig. 16 (curve CGI e TRU, scala delle ampiezze) – testimoniano il metodo geometrico-analitico dell’epoca, in cui le aree sotto curve rappresentavano grandezze fisiche e ne permettevano la manipolazione. La corruzione testuale (caratteri greci, abbreviazioni errate dovute alla digitalizzazione) non impedisce di riconoscere la potenza di un ragionamento che, eguagliando ascesa potenziale e discesa effettiva, fonda su basi dinamiche la legge dell’efflusso.

[6]

[6.1-41-587|625]

6 La teoria dell’efflusso nei vasi cilindrici secondo la Hydrodynamica di Daniel Bernoulli

Il testo, tratto dalla terza sezione di un trattato settecentesco di idrodinamica (la Hydrodynamica di Daniel Bernoulli, 1738), espone una teoria generale del moto dei fluidi che fuoriescono da recipienti cilindrici, integrando le osservazioni empiriche di Mariotte con un’analisi matematica basata sulle forze vive. L’autore si propone di andare oltre la semplice relazione torricelliana, mostrando in quali condizioni essa valga e come debba essere modificata quando la sezione del foro non è trascurabile rispetto a quella del vaso, oppure quando il moto parte da uno stato impulsivo.

6.1 La legge generale e il caso del foro molto piccolo

Dopo aver impostato l’equazione differenziale generale del moto, Bernoulli osserva che quando il foro è molto piccolo rispetto all’ampiezza del vaso il problema si semplifica notevolmente. Egli scrive infatti:

“Si vero foramen est veluti infinite parvum ratione amplitudinis vasis, … ponendum est … & tunc fit v = x, quod indicat, aquam ea constantur effluere velocitate, qua ad totam aquae altitudinem ascendere possit.” – (fr:586) [Se il foro è come infinitamente piccolo rispetto all’ampiezza del vaso, … si deve porre … e allora diventa v = x, il che indica che l’acqua effluisce con la velocità con cui potrebbe salire fino all’intera altezza dell’acqua.]

In questa approssimazione il fluido esce quindi con una velocità che corrisponde esattamente all’altezza del pelo libero sopra il foro: è la ben nota legge di Torricelli, che Bernoulli identifica però come caso limite della propria trattazione.

6.2 L’evoluzione della velocità e il punto di massimo

La velocità dell’acqua in uscita non è però costante. L’autore descrive un andamento non monotono, confermato dall’esperienza:

“Velocitas aquae effluentis ab initio crescit posteaque decrescit, estque alicubi maxima, nempe eo in loco, quo aqua descendit ad altitudinem … ; id quoque experientia edoctus indicavit Mariottus in tract. de motu aquarum part. disc. j. exp.” – (fr:593) [La velocità dell’acqua che effluisce dapprima cresce, poi decresce, ed è massima in un certo punto, cioè là dove l’acqua scende fino all’altezza … ; ciò, ammaestrato dall’esperienza, ha indicato anche Mariotte nel trattato sul moto delle acque, parte 3, disc. 1, esp.]

La posizione di tale massimo viene determinata analiticamente più avanti; la sua esistenza era già stata osservata negli esperimenti di Edme Mariotte.

6.3 Il tempo per raggiungere la velocità massima

Una conseguenza importante riguarda la rapidità con cui si raggiunge lo stato di massima velocità. Bernoulli afferma:

“Intelligitur ex istis formulis tempus, quo velocitas a nihilo in maximam vertitur, plane imperceptibile esse, quando foramen vel mediocriter parvum tubusque non admodum longus est: notabile autem fieri, cum res secus se habet, quod videmus in fontibus salientibus, ad quos aquae per longos tractus vehuntur.” – (fr:596) [Dalle formule si comprende che il tempo in cui la velocità passa da zero alla massima è del tutto impercettibile quando il foro è anche solo moderatamente piccolo e il tubo non eccessivamente lungo; diventa invece notevole quando le cose stanno altrimenti, come vediamo nelle fontane zampillanti, alle quali le acque sono condotte attraverso lunghi condotti.]

Poco oltre aggiunge che quasi tutta l’acqua viene espulsa solo dopo che la velocità massima è stata raggiunta, il che sarà chiarito nella sezione successiva. Questa distinzione ha un rilievo pratico: mentre nei dispositivi di laboratorio il transitorio sfugge ai sensi, nei lunghi tubi delle fontane esso assume un peso rilevante.

6.4 L’influenza della grandezza del foro e la critica agli altri autori

L’autore dedica ampio spazio a confutare l’idea che la dimensione del foro non debba mai essere presa in considerazione:

“Videtur id tantum apud nonnullos Auctores valuisse, ut censuerint, nullam magnitudinis in foramine rationem unquam esse habendam, quantumvis magnum ponatur foramen, quae res certe ridicula est saltem nemo hactenus quod sciam magnitudinem foraminis pro hoc negotio recte consideravit.” – (fr:606) [Sembra che presso alcuni Autori abbia prevalso l’opinione che non si debba mai tenere in alcun conto la grandezza del foro, per quanto grande lo si supponga; cosa certamente ridicola, e almeno finora nessuno, che io sappia, ha considerato correttamente la grandezza del foro per questo problema.]

Per illustrare quanto l’errore sia comunque piccolo quando il foro non è amplissimo, Bernoulli propone un esempio: un cilindro il cui diametro è appena quattro volte quello del foro – un caso già generoso per le applicazioni idrauliche (“Ponamus igitur cylindrum, cujus diameter quadrupla tantum sit diametri foraminis, cujusmodi magna foramina in instrumentis hydraulicis raro occurrere solent” – fr:607-608). Supponendo che la superficie dell’acqua scenda di un centesimo dell’altezza iniziale, la differenza tra la velocità calcolata con la formula semplificata (v = x) e quella esatta risulta assai modesta, e diminuisce ulteriormente per fori più piccoli o per abbassamenti maggiori del pelo libero.

6.5 Scostamento dalla teoria volgare

Il confronto con la cosiddetta teoria “volgare” (quella torricelliana non corretta) mette in luce due differenze sistematiche:

“Igitur differt hic Theoria a vulgari potissimum circa fluxus initium, quo minor est motus, quam statutum fuit; e contrario circa fluxus finem majori velocitate aqua ejicitur, quam secundum principia solita deberet.” – (fr:609) [Dunque questa Teoria differisce da quella volgare soprattutto all’inizio del flusso, dove il moto è minore di quanto stabilito; al contrario, verso la fine del flusso l’acqua è espulsa con velocità maggiore di quanto dovrebbe secondo i principi abituali.]

L’approccio dinamico di Bernoulli prevede quindi un avvio più lento e un finale più rapido rispetto alla semplice radice dell’altezza, un effetto che diviene percettibile quando il rapporto m/n non è estremamente grande.

6.6 La rappresentazione grafica della natura delle velocità

Per chiarire meglio l’andamento della velocità in funzione dell’abbassamento del pelo libero e della grandezza del foro, viene introdotta una figura:

“Natura velocitatum melius intelligitur ex apposita Figura decima septima, in qua AB repraesentet totam altitudinem fluidi supra foramen ab initio fluxus, expriment curvae AiCB, AaCB, AfCB, A4CB, scalas altitudinum respondentium, ad quas fluidum effluens sua velocitate ascendere possit in diversis foraminum magnitudinibus.” – (fr:597) [La natura delle velocità si comprende meglio dall’annessa Figura diciassettesima, in cui AB rappresenta l’intera altezza del fluido sopra il foro all’inizio del flusso, mentre le curve AiCB, AaCB, AfCB, A4CB esprimono le scale delle altezze corrispondenti alle quali il fluido che effluisce può salire con la sua velocità per diverse grandezze del foro.]

La curva si avvicina alla forma A_iCB quando il foro è molto piccolo rispetto al vaso; diviene A_2CB per un foro più grande; con un rapporto di 1 a un qualche valore (indicato nel testo) si ha la curva A_3CB, per la quale la velocità massima è la minore di tutte e corrisponde a un’altezza di poco inferiore alla metà di quella iniziale; infine la scala tende a A_4CB quando non resta quasi più fluido nel recipiente. L’immagine sintetizza così visivamente l’intera famiglia di soluzioni.

6.7 Effetti di un impulso iniziale e osservazioni sulle fontane

L’attenzione si sposta poi sul caso in cui all’acqua venga impressa una velocità iniziale superiore a quella dovuta alla sola gravità. L’esperienza mostra che, cessata la forza estranea, la velocità decade bruscamente:

“Hactenus consideravimus motum aquae a propria sua gravitate ortum; ponamus nunc vi aliena aquam ejectam fuisse praeter vim gravitatis … dein subito vim illam alienam evanescere, et aquam sibi relinqui; id autem si fiat, experientia docet citissime aquae velocitatem decrescere et mox talem esse, ut notabiliter non superet velocitatem eam, quae ex sola aquae gravitate oritura fuisset.” – (fr:611) [Finora abbiamo considerato il moto dell’acqua originato dalla sua propria gravità; immaginiamo ora che l’acqua sia stata espulsa da una forza estranea oltre alla gravità … poi all’improvviso quella forza estranea svanisca e l’acqua sia abbandonata a se stessa; se ciò avviene, l’esperienza insegna che la velocità dell’acqua diminuisce rapidissimamente e ben presto è tale da non superare sensibilmente la velocità che sarebbe sorta dalla sola gravità dell’acqua.]

Questo fenomeno si manifesta talvolta nelle fontane:

“Ita videmus fieri aliquando in fontibus salientibus … ut aqua ad triplam vel quadruplam majoremve altitudinem adsiliat quam est ordinaria; quod cum ita contingit, saltus iste protinus cessat solitamque altitudinem, quantum id sensibus percipi potest, non excedit; loquor autem de tubis foraminibus non valde magnis perforatis; nam cum foramen est aliquanto majus, non ita cito decrescit aquae saltus.” – (fr:612) [Così vediamo accadere a volte nelle fontane zampillanti … che l’acqua schizzi a un’altezza tripla o quadrupla o anche maggiore di quella ordinaria; quando ciò si verifica, quel getto immediatamente cessa e non supera l’altezza consueta, per quanto si possa percepire con i sensi; parlo però di tubi forati con aperture non molto grandi; quando infatti il foro è un po’ più grande, il getto d’acqua non decresce altrettanto rapidamente.]

La formulazione analitica, sviluppata nelle equazioni successive e in particolare nell’esempio con m/n = 1000, mostra che l’eccesso di altezza dovuto all’impulso iniziale diventa infimo dopo che la superficie è scesa anche solo di una millesima parte dell’altezza iniziale, confermando così la rapidissima estinzione del getto sovralimentato.

6.8 Condotti obliqui e verifica sperimentale

Infine l’autore estende brevemente il discorso ai tubi inclinati, tipici delle lunghe condotte delle fontane:

“Poftquam sic ex Theoria nostra generali deduximus, quae motum fluidorum ex cylindris verticaliter positis spectant, jam etiam considerabimus tubos oblique positos, qui praelongi esse solent in fontibus salientibus. In his enim id singulare est, quod acceleratio motus non ita repente fiat, veluti cum cylindri sunt verticales atque sic liceat sensibus percipere consensum Theoriae cum motu aquarum reali.” – (fr:623-625) [Dopo aver dedotto dalla nostra teoria generale le cose che riguardano il moto dei fluidi da cilindri posti verticalmente, considereremo ora anche i tubi disposti obliquamente, che nelle fontane zampillanti sono solitamente molto lunghi. In questi infatti vi è la particolarità che l’accelerazione del moto non avviene così bruscamente come quando i cilindri sono verticali, cosicché è dato ai sensi di percepire l’accordo della Teoria con il moto reale delle acque.]

L’accelerazione graduale nei tubi obliqui offre quindi la possibilità di una verifica empirica più accessibile della dinamica efflusso, aprendo la strada a un confronto quantitativo fra calcolo e osservazione.

[7]

[7.1-38-716|751]

7 Il getto d’acqua eccezionale: dalla meraviglia all’analisi idrodinamica

Nella Sezione Terza dell’Hydrodynamica, Bernoulli risolve il paradosso dei getti d’acqua che superano di molte volte l’altezza del serbatoio, mostrando come una sacca d’aria nel condotto trasferisca l’impulso dell’intera colonna d’acqua a una piccola massa, producendo velocità enormi ma effimere. L’analisi quantitativa e l’escogitazione di cilindri obliqui per la verifica sperimentale confermano la portata della nuova teoria idrodinamica per orifizi di ogni dimensione.

Il fenomeno curioso dei getti d’acqua che, per un brevissimo istante, raggiungono altezze molto superiori a quanto previsto dalla semplice legge idrostatica era già stato segnalato nelle fontane. “multis mirum fortasse videbitur, exstinguere aliquando in fontibus salientibus, ut aqua ad temporis momentum jaciunt saltum longe altiorem, quam secundum regulas nostras fieri posse judicetur” – (fr:715) [A molti sembrerà forse meraviglioso che talvolta nelle fontane a zampillo l’acqua compia, per un istante, un salto di gran lunga più alto di quanto si giudicherebbe possibile secondo le nostre regole]. Le leggi ordinarie, tuttavia, non vengono indebolite da questo fatto: “Verum tantum abeft, ut hi inde aliquid roboris perdant, quin potius egregie confirmentur” – (fr:716) [Ma lungi dal perdere vigore da ciò, esse piuttosto vengono egregiamente confermate].

La questione era stata discussa all’Académie Royale des Sciences di Parigi nel 1702 (fr:722-723), dove si leggeva: “On voit quelquefois, … l’eau qui sort par un ajutage saillir trois ou quatre fois plus haut que ne lui permet la hauteur du reservoir; aussi retombe-t-elle bientôt a la hauteur que lui prescrivent les loix de l’hydrostatique. Mais comment a-t-elle pu sortir en un instant?” – (fr:724) [Si vede talvolta l’acqua che esce da un ugello zampillare tre o quattro volte più in alto di quanto le consenta l’altezza del serbatoio; ma ben presto ricade all’altezza che le prescrivono le leggi dell’idrostatica. Come ha potuto uscire in un istante?]. De la Hire aveva attribuito l’effetto all’aria intrappolata: “De la Hire attribue cela a de l’air enfermé dans la conduite, qui ayant été pressé mis en ressort par l’eau, qui descendoit toujours, s’est débandé contre celle qui montoit, & lui a donné cette vitesse momentanée.” – (fr:726) [De la Hire attribuisce ciò all’aria rinchiusa nella condotta, la quale, compressa e messa in tensione dall’acqua che scendeva continuamente, si è rilasciata contro quella che saliva e le ha dato questa velocità momentanea].

Bernoulli riconosce l’importanza dell’osservazione di De la Hire, ma ne corregge la dinamica. L’aria entra nel tubo insieme all’acqua presso la sorgente: “Recteque observavit Dn. De la Hire non fieri hujusmodi saltus irregulares, nisi aer una cum aqua tubum prope scaturiginem fuerit ingressus” – (fr:718) [Giustamente De la Hire osservò che tali salti irregolari non avvengono se l’aria non entra nel tubo insieme all’acqua vicino alla sorgente]. Quell’aria viene trasportata fino all’orifizio di efflusso e, quando erompe, la massa d’acqua acquista un impulso che si converte nell’espulsione violenta del liquido rimanente, producendo il salto enorme: “Ille vero aer simul cum aqua fertur usque ad orificium effluxus, per quod mox erumpit: id dum fit, massa aquea impetum tum acquirit, qui in expellendas aquas solus impenditur, hocque pacto enormem saltum producit” – (fr:719-720) [Quell’aria viene portata insieme all’acqua fino all’orifizio di efflusso, attraverso il quale presto erompe; mentre ciò accade, la massa d’acqua acquista un impulso che viene speso unicamente nell’espellere le acque, e in tal modo produce un salto enorme].

Tuttavia, la spiegazione di De la Hire attribuiva il fenomeno all’azione dell’aria compressa sull’acqua che la precedeva. Bernoulli, dopo aver riflettuto e condotto facili esperimenti, giunse a una conclusione diversa: l’aria fra le masse d’acqua non subisce alcuna pressione se non quella dell’acqua soprastante (e neppure quella nei condotti in flusso, come dimostrerà in seguito) e, quindi, l’aria compressa non può spingere l’acqua che la precede con più forza di quanta ne avrebbe l’acqua stessa. Egli previde che “non esse aquam ante aerem positam solito altius assurgentem, sed illam, quae aerem sequitur” – (fr:727-729) [non è l’acqua posta davanti all’aria a sollevarsi più alta del solito, ma quella che segue l’aria]. In altre parole, è l’acqua retrostante che riceve l’impulso dell’intera colonna quando la sacca d’aria fuoriesce.

Per quantificare il meccanismo, Bernoulli introduce la Figura vigesima: un condotto cilindrico CADB quasi interamente pieno d’acqua, tranne un piccolo tratto mfhB occupato dall’aria (fr:730-731). Trascurando il peso dell’aria, posta la lunghezza del canale e lo spessore della sacca d’aria molto piccoli, e fissate le sezioni del tubo e dell’orifizio, egli perviene a un’espressione dell’altezza cinetica v della prima goccia al momento dell’uscita. L’energia potenziale dell’intera massa si converte in velocità della massa stessa, ma la quota parte di acqua che subisce l’espulsione è assai ridotta; di qui l’enorme velocità: “ascensus potentialis omnis aquae eo ipso momento pariter ~v: Descensus actualis autem est per §. tertiae proportionalis ad totam massam aquae, particulam aquæ … & altitudinem verticalem HB” – (fr:733-734) [il salto potenziale di tutta l’acqua in quel medesimo istante è ugualmente ~v; la discesa effettiva è invece, per il §7, la terza proporzionale alla massa totale dell’acqua, alla particella d’acqua … e all’altezza verticale HB].

Un esempio concreto chiarisce l’ordine di grandezza. Con un dislivello a = 100 piedi, uno spessore della sacca d’aria di un pollice e un diametro del tubo decuplo di quello dell’orifizio, il calcolo fornisce “altitudinem … plusquam octies majorem altitudine solita a” – (fr:735) [un’altezza più di otto volte maggiore dell’altezza usuale a]. La prima goccia zampillerebbe perciò a oltre 800 piedi, se non intervenissero numerosi e notevoli impedimenti: “perditur nempe aliquid de motu ab impulsu superficiei aqueae … in latera, dein etiam ab ingenti attritu … multum etiam abest, quominus aqua … omni sua celeritate moveatur ob adhaesionem aquae ad latera tubi” – (fr:736) [si perde infatti parte del moto per l’urto della superficie dell’acqua … contro le pareti, poi anche per l’enorme attrito … e molto manca perché l’acqua … si muova con tutta la sua velocità a causa dell’adesione dell’acqua alle pareti del tubo]. Ciononostante, Bernoulli ribadisce con forza che “veram hanc esse solutionem phaenomeni nullum potest esse dubium, istique solutioni experimenta quae feci in omni extensione satisfaciunt” – (fr:737) [non può esservi dubbio che questa sia la vera soluzione del fenomeno, e gli esperimenti che ho fatto in ogni estensione soddisfano a questa soluzione].

Un ulteriore tratto del fenomeno, la sua durata impercettibile, discende naturalmente dalla teoria. Applicando una regola leggermente modificata del §18, si trova che la quantità d’acqua da espellere perché il getto non superi più di una millesima parte il getto ordinario – mentre all’inizio era otto volte maggiore – è così piccola che il tempo di efflusso “nullo modo percipi possit” – (fr:739) [non può in alcun modo essere percepito].

Dopo aver risolto il paradosso, Bernoulli si rivolge alla verifica sperimentale della sua nuova teoria idrodinamica, che per la prima volta tratta l’efflusso da orifizi di qualunque ampiezza, non solo dai fori molto piccoli considerati dagli autori precedenti (fr:742-743). Nei cilindri verticali, quando l’orifizio è ampio, la velocità di efflusso non può essere misurata facilmente in modo diretto. Per superare l’ostacolo, Bernoulli ricorre a un ingegnoso stratagemma basato sui paragrafi 16 e 20: aveva infatti dimostrato che il moto nei cilindri obliqui è identico a quello nei verticali, a parità di altezza verticale, e aveva determinato la velocità massima di efflusso dai cilindri verticali. Di conseguenza, “Commode igitur utemur cylindris oblique positis, ut ex maxima amplitudine saltus aquei possit velocitas maxima aquae seu altitudo eidem debita experimento haberi: & hac quidem ratione accurate velocitas illa maxima, qualis revera est, explorari potest, etiamsi foramina sint quantumlibet magna” – (fr:745-747) [Perciò convenientemente useremo cilindri posti obliquamente, affinché dalla massima gittata del getto d’acqua si possa avere sperimentalmente la velocità massima dell’acqua, ossia l’altezza ad essa dovuta; e in questo modo quella velocità massima, qual è realmente, può essere indagata con precisione, anche se gli orifizi sono grandi quanto si voglia]. Se i dati raccolti con tale metodo concorderanno con le regole teoriche, non potrà rimanere alcun dubbio sull’intera teoria. Prima di procedere alla realizzazione pratica, Bernoulli premette un lemma meccanico illustrato nella Figura 21 (fr:748-751).

[8]

[8.1-36-835|868]

8 Esperimenti sul flusso d’acqua, mescolamento con aria e canali ricurvi: misure e discrepanze teoriche

Il testo descrive una serie di osservazioni sperimentali sul comportamento dell’acqua in condotti, registrando con precisione dimensioni, velocità e anomalie riscontrate, e confrontando i dati empirici con le previsioni teoriche. L’attenzione si concentra su tre aspetti: la geometria degli orifizi e il calcolo delle altezze di velocità, il fenomeno del mescolamento dell’aria nell’acqua fluente e le sue conseguenze, e infine il comportamento dei canali ricurvi, dove le discrepanze fra calcolo ed esperimento portano a riflessioni sull’adesione laterale e sulla curvatura.

L’autore fornisce innanzitutto le misure fondamentali degli orifizi. Il diametro dell’apertura G F è indicato come “diameter orificii G F erat HZ 3 ,” - (fr:833) [il diametro dell’orifizio G F era di 3 pollici e 36 linee]. Poco oltre, dopo aver riportato che il diametro di un’altra apertura (M N ZH) superava le 48 unità, precisa: “erant proin amplitudines orificiorum ut ad 8 proxime , amplitudo vafis fat magna erat , ut infinita cenferi pofTet prae amplitudine tubi.” - (fr:835) [le ampiezze degli orifizi erano pertanto all’incirca come 3 a 8; l’ampiezza del vaso era tanto grande da potersi ritenere infinita rispetto all’ampiezza del tubo]. La volontà di documentare ogni dettaglio è esplicitata con la dichiarazione “Volui omnes menfuras allegare, ut quivis experimentum repetere poffit.” - (fr:836) [Ho voluto riferire tutte le misure affinché chiunque possa ripetere l’esperimento].

Con il vaso riempito d’acqua, l’autore osserva l’ampiezza del getto e, note tutte le grandezze necessarie, imposta il calcolo dell’altezza corrispondente alla velocità dell’acqua fluente nei due tratti G F e N x M. Tale altezza risulta “proxime undecim linearum” - (fr:837) [approssimativamente undici linee], mentre l’altra altezza è indicata come “rz: poU. lin.” - (fr:837-838) [pollici e 6 linee]. Le stesse altezze sono verificate con un diverso tipo di esperimento: “cum duabus nonis lineae partibus , quas^sdem altitudines alio etiam experimenti genere inveni.” - (fr:839) [con due none parti di linea trovai le medesime altezze anche con un altro genere di esperimento]. La maggiore altezza di 6 pollici e una linea conferma la teoria dell’accelerazione interna dell’acqua causata dall’ampliamento del tubo verso l’estremità, sebbene si riconosca che l’effetto reale è molto inferiore a quanto sarebbe richiesto in base al paragrafo 24, rimossi gli ostacoli non considerati nel calcolo. “quin tantum revera acceleretur quantum vi §, remotis obftaculis, quorum in cal- culo nulla ratio habita fuit, deberet” - (fr:843-844) [che in realtà non venga accelerata tanto quanto dovrebbe in forza del § 24, rimossi gli ostacoli di cui nel calcolo non si tenne alcun conto].

Un’ampia sezione è dedicata all’interazione con l’aria. L’autore osserva incidentalmente che in molti modi l’aria può mescolarsi all’acqua che scorre nei tubi, e che da ciò deriva una minore quantità d’acqua effluente ma non una minore velocità. Per verificare entrambi gli effetti, pratica un piccolo foro su due tubi (A A e A B della Fig. 24 e 25) non lontano dalla loro origine: “non procul ab eorun- dem Origine parvulum utrobique feci foramen ; faflumelt, ut aquie per tubos < cum aliquo ftrepitu ferrentut & turbidx effluerent, fuperficies au- tem folito multo lentius defeenderet” - (fr:849) [non lontano dalla loro origine praticai su entrambi un piccolo foro; accadde che le acque scorressero con un certo strepito nei tubi e defluissero torbide, mentre la superficie scendeva molto più lentamente del solito]. Un foro analogo viene eseguito poco distante da G sul tubo della Figura 19, e si osserva nuovamente un lento abbassarsi della superficie interna, misurato contando le oscillazioni di un pendolo per un dato spazio percorso.

Le modalità di efflusso variano a seconda delle condizioni: a volte l’acqua esce a pieno orifizio ed è meno limpida del solito, con getto normale o di poco maggiore; più spesso acqua e aria procedono affiancate, l’acqua nella parte inferiore del tubo vicino a F M e l’aria nella parte superiore vicino a G N. In questo caso l’acqua risulta limpida e la velocità di eiezione “non solum haud minori , fed & multo majori” - (fr:850) [non solo non minore, ma anche molto maggiore di quella solita], realizzando esattamente quanto l’autore aveva previsto in modo non oscuro. Rimanda poi a un esperimento più accurato nella sezione successiva e accenna alla possibilità di dimostrare che l’acqua, quando è satura di aria, defluisce pressappoco nella stessa quantità con cui defluirebbe se il tubo fosse reciso nel punto in cui è praticato il foro: “Dabitur autem fortaffe alibi locus demonflrandi aquas fuffldend a£ris quantitate permittas, ea proxime effluere copia, qua effluerent refeifTo tu- bo eo in loco ubi efl perforatus” - (fr:852) [si offrirà forse altrove l’occasione di dimostrare che le acque, corrette con una quantità d’aria, defluiscono approssimativamente nella quantità con cui fluirebbero se il tubo fosse tagliato nel punto in cui è perforato].

La terza parte del testo, intitolata “De canalibus recurvis” - (fr:853) [I canali ricurvi], esamina un tubo cilindrico C D B pieno d’acqua con entrambi i bracci verticali e paralleli, posizionato in modo che l’estremità B sfiori una linea orizzontale M N. L’autore misura l’altezza massima raggiunta dal getto e il massimo abbassamento della superficie in E, operando in due condizioni: senza coperchio in B e con un coperchio forato di luce tale che il rapporto fra l’ampiezza del foro e quella del tubo sia 1:√. Le misure registrate sono: “CA 34^ ; 530; BP j3 ; & A 88 - particulis , quarum jyy longitudinem Pedis Lond. cxxquabant.” - (fr:859-860) [CA 34 e 530, BP 3 e A 88 particelle, di cui 355 eguagliavano la lunghezza di un piede londinese]. I valori osservati furono, nel primo caso, B P = 64 e A E = 54; nel secondo, con coperchio forato, B P risultò 64 e A E

Un’ulteriore verifica dello svaso massimo A E, inclinando il tubo fino a portare l’acqua quasi a fuoriuscire da B, diede una distanza dal punto A molto inferiore a quanto atteso. Ciò fece comprendere che parte dell’acqua effluita da B durante l’esperimento era rientrata nel tubo. “unde edoctus fui partem aquae , quae in experimento jam per B effluxerat , tubum rurfus ingreflam fuilTe.” - (fr:862) [dal che appresi che una parte dell’acqua, che durante l’esperimento era già uscita attraverso B, era rientrata nel tubo].

Il calcolo teorico secondo il § 27 (ponendo prima m e poi 2m per il coefficiente) fornisce valori sistematicamente discordanti. Nel primo caso B P teorico risulta 79, mentre l’esperimento non supera 3; il massimo abbassamento A E calcolato è circa 240 contro un dato sperimentale di Nel caso con m e 2m il valore calcolato di B P è circa il doppio di quello osservato, e A E teorico 186 contro 54 particelle osservate. L’autore attribuisce queste enormi differenze principalmente all’adesione dell’acqua alle pareti del tubo: “Enormes has differentias maxima ex parte adhaefioni aquae ad latera tu- bi tribuo, quae certe adhaeCo in hujusmodi cafibus incredibilem exercere po- teft effedum , ufus enim fum tubo vix ultra duas lineas in diametro habentem” - (fr:866) [Attribuisco queste enormi differenze per la maggior parte all’adesione dell’acqua alle pareti del tubo, la quale adesione in casi del genere può esercitare un effetto incredibile; usai infatti un tubo di diametro appena superiore a due linee]. Ritiene inoltre verosimile che anche la curvatura della parte inferiore del tubo contribuisca a ridurre il moto. “Interim verifimile efl, curvaturam tubi in parte inferiore, aliquid etiam motui derogare.” - (fr:866) [È peraltro verosimile che anche la curvatura del tubo nella parte inferiore tolga qualcosa al moto.]

[9]

[9.1-35-899|933]

9 Il fenomeno della vena contracta e la correzione della teoria dell’efflusso

Il cardine della questione ruota attorno alle modificazioni della vena fluida, di cui occorre esaminare e spiegare più diffusamente i fenomeni (“Igitur cum in hifce venae mutationibus cardo rei vertatur, re erit phaenomena uberius examinare & explicare” – fr:899) [Poiché in queste trasformazioni della vena sta il punto nodale, occorrerà esaminare e spiegare più diffusamente i fenomeni]. Assunto un cilindro verticale con un foro al centro del fondo orizzontale, e immaginando l’acqua suddivisa in strati orizzontali, si era supposto che il moto di ciascuno strato, esclusi quelli prossimi al foro, conservasse l’orizzontalità; un’approssimazione che non introduceva errori sensibili nella velocità di efflusso (fr:902). Tuttavia, quando entrano in gioco fenomeni legati al moto obliquo dell’acqua interna, specialmente negli strati vicini al foro, è necessario indagarli.

Bernoulli concepisce il moto interno come se l’acqua fosse trasportata da infiniti tubicini affiancati: quelli intermedi scendono quasi in linea retta dalla superficie verso il foro, mentre gli altri si incurvano gradualmente in prossimità di esso, come illustrato nella Fig. 28 (“Mihi autem videtur motum aquae internz talem elTe concipiendum , qualis foret fi aqua ferretur per tubulos infinitos juxta fe pofitos -quorum intermedii proxime redla ^ fuperficie verfus foramen defeendunt , reFig.ag. liquis fenfim fe incurvantibus prope foramen , uti Fig. ollendit” – fr:904-905) [Mi sembra che il moto interno dell’acqua debba essere concepito come se l’acqua fosse trasportata per infiniti tubicini affiancati, dei quali quelli intermedi scendono quasi rettilinei dalla superficie verso il foro, mentre gli altri si incurvano gradualmente vicino al foro, come mostra la Fig. 28]. In questo modo le singole particelle scendono dapprima con moto quasi verticale fino a raggiungere il fondo, poi incurvano il loro corso verso il foro: quelle più vicine al fondo si muovono quasi orizzontalmente, le altre in direzione via via più verticale (fr:906). Questo tipo di moto fu più volte osservabile facendo galleggiare particelle di cera di Spagna sull’acqua (fr:907).

Ne consegue che le particelle in arrivo al foro non possono mantenere la loro direzione originaria né piegarsi tanto da divenire parallele all’asse; piuttosto la vena effluente si contrae fino al punto in cui risulta notevolmente più sottile che all’orifizio. Questa contrazione della vena che scorre verticalmente non va confusa con l’altra contrazione dovuta all’accelerazione dell’acqua (fr:908). Inoltre, poiché la direzione delle singole particelle adiacenti al foro è diversa, l’urto reciproco che esse esercitano le une sulle altre comprime la vena e la fa assottigliare ulteriormente (fr:909-910). Da tale compressione deriva un effetto che altrimenti apparirebbe contraddittorio: l’acqua appena uscita accelera ancora, aumentando l’altezza potenziale di risalita, anche senza considerare l’accelerazione comune a tutti i corpi che cadono, che qui non è pertinente (fr:911).

Per trattare ordinatamente la questione, Bernoulli propone di considerare la vena fino al punto in cui le velocità delle particelle non mutano più – il che, pur non accadendo mai in senso rigoroso, si può assumere non lontano dal foro, per esempio nel tratto d t. Se si suppone che l’acqua esca dal vaso ABCD attraverso il foro a c, allora al posto del vaso semplice si deve immaginare un vaso composto AB…CD, munito di un sottile tubo contratto (“Erit loco vafis flmplicis A B C O concipiendum aliud compofltum AB <«ieeCD” – fr:913) [Al posto del vaso semplice ABCD si dovrà immaginare un altro vaso composto AB…CD]. Tutto ciò che nella sezione precedente era stato premesso per determinare le velocità resta valido, purché si sostituisca il vaso reale con quello dotato di tubulo contratto (fr:914). La correzione, per la brevità del tubulo, non produce una variazione sensibile nella determinazione della velocità, ma diventa molto significativa per la quantità d’acqua, poiché questa non va considerata come uscente dall’orifizio d c ma dalla sezione contratta d e (fr:915).

Nei vasi di grande ampiezza la velocità in diversi punti della vena è inversamente proporzionale alle sezioni corrispondenti, e poiché la velocità teorica corrisponde all’intera altezza d’acqua, mentre gli esperimenti mostrano che la sezione contratta sta all’orifizio circa come 1 a √2, Newton ritenne di poter così confermare la propria teoria secondo cui l’acqua esce con la velocità dovuta alla semi‑altezza sopra il foro. Bernoulli dissente: la contrazione della vena è accidentale e il rapporto tra orifizio d c e sezione d e non è costante; essa può essere interamente impedita applicando al foro un corto tubo cilindrico o aumentando lo spessore della lamina in cui il foro è praticato, e in tal caso i teoremi della sezione precedente valgono senza correzioni sia per le velocità sia per le quantità (fr:917). La contrazione varia con le circostanze: diminuisce all’aumentare dello spessore laterale del foro; l’altezza dell’acqua potrebbe accrescerla leggermente, ma si prevede che l’effetto sia piccolo. È inoltre verosimile che la contrazione di una vena verticale sia tanto minore quanto maggiore è il rapporto tra l’ampiezza del foro e l’ampiezza del cilindro, perché il moto dell’acqua vicino al fondo diventa meno obliquo; se il foro occupa l’intera base del cilindro, non può esservi alcuna contrazione (fr:918). Chi fosse tentato di tener conto della contrazione nella determinazione della velocità dovrebbe notare che quando il foro è quasi grande quanto il vaso la contrazione è insignificante, e quando il foro è molto piccolo una sua modifica non altera sensibilmente le velocità (fr:919).

Analogamente si comporta l’acqua che effluisce orizzontalmente o in altre direzioni: il fluido affluisce da tutte le parti, persino salendo dalla parte inferiore fino al foro, come spesso osservato (fr:920). Nell’efflusso orizzontale si produce una simile contrazione della vena, che è anzi più facile da scorgere perché qui non interviene la seconda contrazione legata all’accelerazione dell’acqua già uscita (fr:921-922). Per determinare l’entità della contrazione – cioè il rapporto tra l’ampiezza dell’orifizio e la sezione minima della vena orizzontale – si possono misurare direttamente i diametri corrispondenti oppure servirsi della quantità d’acqua erogata in un dato tempo e delle velocità; in quest’ultimo caso le velocità vanno dedotte più dalla gittata del getto che dalla sola altezza d’acqua, perché gli impedimenti ora maggiori ora minori non permettono mai all’acqua di raggiungere l’intera velocità teorica (fr:924).

Bernoulli introduce allora il concetto di una sezione virtuale della vena contratta: se al foro reale del vaso si sostituisce un foro mentale ridotto, la cui ampiezza non superi la sezione di massima contrazione, la quantità e la velocità d’efflusso saranno perfettamente coerenti, indipendentemente dal punto (a valle o a monte) in cui tale foro viene collocato, poiché le velocità corrisponderanno sempre, con buona approssimazione, all’intera altezza d’acqua sopra di esso. Questa ampiezza immaginaria viene da lui chiamata d’ora in poi sezione della vena contratta (“amplitudinem hujus foraminis mente concipiendi vocabo deinceps Seilitnem veiM df contraSt»” – fr:926) [Chiamerò in seguito Sezione della vena contratta l’ampiezza di questo foro da concepire mentalmente]. Se tale sezione avesse un rapporto costante con l’orifizio, basterebbe ridurre in proporzione il foro ideale e calcolare la quantità erogata; ma poiché il rapporto è variabile con le circostanze, non si possono dare regole a priori. Esso cambia soprattutto con lo spessore della lamina, e qualcosa contribuiscono anche la grandezza del foro, le ampiezze assolute e relative del vaso e forse l’altezza del fluido (fr:929-930). Assumendo una lamina sottile, un vaso molto ampio e un foro di 4‑6 linee di diametro, il rapporto tra orifizio e sezione contratta non si discosta molto da quello indicato da Newton, cioè √2 : 1; tuttavia altri sperimentatori hanno osservato valori ora maggiori ora minori (fr:932). Qualunque esso sia caso per caso, Bernoulli lo indicherà con un coefficiente – μ – e su questa base costruirà il calcolo dei tempi di svuotamento, limitandosi ai vasi cilindrici ed esaminando in particolare il tempo che individua il punto di massima velocità e quello corrispondente al completo svuotamento (fr:933).

[10]

[10.1-37-944|973]

10 L’efflusso da un vaso cilindrico: dalla vena contratta alla massima velocità nell’Hydrodynamica di Bernoulli

Un frammento della Sectio Quarta del trattato, tra sviluppi in serie e osservazioni sperimentali, indaga il tempo di svuotamento e la dinamica del getto d’acqua.

La sezione affronta il problema dell’efflusso di un liquido da un vaso cilindrico verticale attraverso un forame praticato sul fondo, ricorrendo a un formalismo che combina equazioni differenziali, sviluppi in serie e l’ipotesi della vena contratta. Il testo è un estratto dell’Hydrodynamica di Daniel Bernoulli e testimonia il passaggio da una meccanica dei fluidi puramente empirica a una trattazione matematica capace di produrre previsioni quantitative, confrontate con l’esperienza quotidiana.

La modellizzazione parte dalla geometria del sistema. Posto un cilindro verticale pieno d’acqua, con altezza iniziale a, sezione m, forame d’uscita n e vena contratta di sezione γ, si considera l’altezza residua x a un generico istante t. La velocità della superficie interna e l’elemento di tempo vengono espressi mediante una relazione che conduce a un’equazione differenziale:

“Jam ut squatiodeGderata per feries exhiberi poflit, confiderabimus quantitatem.” – (fr:940) [Ora, affinché l’equazione desiderata possa essere espressa mediante serie, prenderemo in esame la quantità.]

Per risolvere l’equazione si introduce un’approssimazione in serie, assumendo che il fattore α (legato alla contrazione della vena) sia costante, giacché le variazioni di altezza e velocità vi contribuiscono in modo impercettibile:

“At quoniam pro reda aquarum erogatarum menfura requiritur , ut foramini n fubffitnatur fe8io vena contracta ^ , … ope cujus aequationis omnia tempora defiderata deHniri pofTunt per approximationes, feu feries, fi modo in lingulis pundis valor ipfius « innotefcat: AfTumemus autem e(Te illum conflantis valoris, quandoquidem in praefenti cafu nihil fit , k quo mutari poflit praeter diverfas altitudines & velocitates fluidi , quae parum vel nihil quantum fenfibus percipi potefl ad id negotii conferunt.” – (fr:939) [Ma poiché per una corretta misura dell’acqua erogata è necessario sostituire all’orifizio n la sezione della vena contratta γ, … con l’aiuto di questa equazione tutti i tempi desiderati possono essere determinati per approssimazioni, ossia mediante serie, purché sia noto il valore di α in ogni punto: assumeremo però che esso sia di valore costante, poiché nel caso presente nulla è in grado di mutarlo, tranne diverse altezze e velocità del fluido, le quali contribuiscono poco o nulla, per quanto si possa percepire coi sensi, a questa questione.]

L’integrazione, eseguita sviluppando in serie, produce un’espressione per il tempo t in funzione dell’altezza, dove compare il termine z√a, che rappresenta il tempo di caduta libera da un’altezza a:

“X J ubi z V « exprimit tempus quod corpus impendit dum libere altitudinem ” – (fr:946) [Dove z√a esprime il tempo che un corpo impiega cadendo liberamente da un’altezza a.]

L’analisi si concentra poi sul comportamento limite di vasi infinitamente larghi. Quando m è infinito, l’altezza dell’acqua corrispondente al punto di massima velocità diventa infinitesima, e il tempo per raggiungerla è pure infinitesimo. Bernoulli mostra che, in tale ipotesi, la quantità d’acqua fuoriuscita è anch’essa infinitamente piccola, dissipando il dubbio che un cilindro di base infinita e altezza infinitesima potesse contenere una massa finita. La conclusione è corroborata dall’esperienza:

“Indicat haec aequatio defcenfum aquae in vafe infinite amplo infinite parvum efte, cum aqua jam maximum velocitatis gradum attigerit : … at fequitur ex noftra aequatione, hanc quoque quantitatem infinite parvam eife, & nominatim aequalem mna … Atque convenit hoc egregie profedo cum phaenomenis , quae in effluxu aquarum ex caftellis per llmplex foramen toto die experimur.” – (fr:957) [Questa equazione indica che l’abbassamento dell’acqua in un vaso infinitamente ampio è infinitamente piccolo quando l’acqua ha già raggiunto il massimo grado di velocità: … ma dalla nostra equazione segue che anche questa quantità è infinitamente piccola, e precisamente uguale a mna … E ciò concorda egregiamente con i fenomeni che ogni giorno osserviamo nell’efflusso dell’acqua dai castelletti attraverso un semplice foro.]

L’evidenza sperimentale citata è quella del getto orizzontale: tappato il foro con un dito e subito rilasciato, non si scorge alcuna goccia intermedia fra il punto di massimo getto e la verticale del foro, segno che la vena raggiunge immediatamente la gittata piena. Lo stesso fenomeno è descritto con il linguaggio della teoria:

“Cum enim foramen digito obturamus , moxque remoto digito aquas horizontaliter effluere (Inimus , nullam guttulam in tertam delapfam obfervamus mediam inter jadum longifEmum & locum , qui foramini ad perpendiculum relpondeat.” – (fr:958) [Quando infatti tappiamo il foro con un dito e subito, rimosso il dito, vediamo l’acqua scorrere orizzontalmente, non osserviamo alcuna goccia caduta a terra in una posizione intermedia tra il getto più lungo e il punto perpendicolare al foro.]

Tuttavia, Bernoulli precisa che tale comportamento è proprio dei vasi amplissimi; in vasi di ampiezza solo moderata, alcune gocce dovrebbero staccarsi con impeto minore prima del raggiungimento della massima velocità, cadendo in posizioni intermedie. Lo conferma con un’osservazione diretta:

“Dixi autem in citato paragrapho cum aqua horizontaliter effluit , primam guttulam totam ftatim obtinere amplitudinem jadus atque idem hoc quidem indicat theoria pro vafis amplifflmis ; at vero in vafis mediocriter amplis , quaedam guttulae minori impetu effluere deberent, priusquam pundlum maximae velocitatis adfit , haeque guttulae incidere deberent in locum aliquem medium inter maximum jadhim & pundlum , quod foramini verticaliter refpondet ; atque hoc etiam ita fieri obfervavi , ex vafis amplitudinis veluti decies foramine majoris.” – (fr:971) [Ho detto nel paragrafo citato che quando l’acqua sgorga orizzontalmente, la prima goccia ottiene subito l’intera estensione del getto, e questo è quanto indica la teoria per vasi del tutto ampi; ma in vasi moderatamente ampi, alcune gocce dovrebbero fuoriuscire con impeto minore prima che sopraggiunga il punto di massima velocità, e queste gocce dovrebbero cadere in un qualche luogo intermedio fra il massimo getto e il punto che corrisponde verticalmente al foro; e ho osservato che ciò avviene da un vaso la cui ampiezza era circa dieci volte maggiore del foro.]

In un vaso alto mezzo piede e di sezione circa cento volte quella del foro, invece, nemmeno la più piccola particella d’acqua mostrava scostamenti apprezzabili dal getto principale:

“Verum cum experimentum aliquando fumerem de vafe pedem dimidium alto , quodam- plitudincm prxter propter centuplam haberet foraminis , ne minima quM^ particula aquae , quantum videre potui , notabiliter k jadlu aquae pletMmP fecit.” – (fr:972) [Ma avendo una volta eseguito un esperimento con un vaso alto mezzo piede, che aveva un’ampiezza circa centupla rispetto al foro, neppure la più piccola particella d’acqua, per quanto potei vedere, deviò in modo notevole dal getto pieno.]

La sezione si chiude con una stima della quantità d’acqua emessa prima della massima velocità, espressa come volume di un cilindro di pari base e altezza data da una formula che coinvolge m, n e a, rimarcando la coerenza fra il calcolo approssimato e il comportamento osservato. L’insieme del testo costituisce una testimonianza della nascente idrodinamica matematica, in cui la ricerca delle soluzioni esatte si accompagna all’uso giudizioso di approssimazioni e alla convalida sperimentale, secondo un metodo che sarebbe divenuto norma nella fisica moderna.

[11]

[11.1-27-1284|1307]

11 L’Analisi dell’Efflusso e dell’Afflusso Idrico in un Trattato del XVIII Secolo

L’indagine si concentra sulla determinazione della velocità di efflusso di un liquido da un recipiente, distinguendo due regimi di afflusso – superiore e laterale – che conducono a equazioni del moto notevolmente diverse, la cui validità è discussa anche mediante un esperimento mentale con vasi comunicanti.

Il testo analizza matematicamente il comportamento di un fluido in efflusso, concentrandosi sul calcolo dell’ascensus potentialis, una misura legata all’energia potenziale del sistema. L’autore distingue due casi fondamentali basati sulla modalità con cui una particella fluida (guttula) si aggiunge alla massa principale in movimento.

Nel primo caso, la particella plon che effluisce è rimpiazzata da una particella c d f e che si affonde dall’alto con una velocità già comune alla superficie sottostante. L’ascesa potenziale di questa nuova massa d’acqua è definita come: “(1282) - …erit afcenfus potentialis ejusdem aquas infitu efmltnpit aqualis tertiae proportionali ad fpatium EFLONPIE… + fpatium tPuxjOLF…” (fr:1282) […l’ascesa potenziale della stessa acqua nella situazione efmltnpit sarà uguale alla terza proporzionale allo spazio EFLONPIE… più lo spazio tPuxjOLF…]. In questa modalità, l’ascesa potenziale della particella aggiunta viene esclusa dal computo delle forze interne, poiché si suppone che essa sia mossa da una forza estrinseca e non generi una velocità interna: “(1285) - Non confideramus in hoc cafu primo afienfum potentialem guttulx c dfe… quia ifte afcenfus non generatu»vi interna… fed… hanc vi quadam extrinfeca continue affundi confideramus…” (fr:1285) [In questo primo caso non consideriamo l’ascesa potenziale della gocciolina c dfe… poiché questa ascesa non è generata da una forza interna… ma… consideriamo che essa venga continuamente aggiunta da una qualche forza estrinseca…].

L’incremento di ascesa potenziale in questo regime porta a una prima equazione differenziale del moto. Ad essa viene contrapposto il secondo caso, quello dell’afflusso laterale. Qui la particella c d f e si aggiunge lateralmente e, a causa della sua inerzia, oppone resistenza al moto dell’acqua inferiore con cui non condivide la velocità iniziale. L’analisi si fa più complessa e richiede di confrontare lo stato del sistema prima e dopo l’aggiunta della massa. Prima dell’afflusso, l’ascesa potenziale è solo quella della massa principale, poiché la particella laterale, non avendo ancora acquisito il moto comune, ha ascesa potenziale nulla: “(1292) - Verum afctnfm potentialis omnis prxdi^ae aquae ante afflifionem particuls ejusdemque pofl affulionem ita invenitor: nempe… afct^ fits («tentidis aquae edmlpie t & tfienfus petent, parriculaB* affundi paratx nullus efi, quia lateraliter affufa motum communem nondum habet cum maffa inferiore.” (fr:1292) [La vera ascesa potenziale di tutta la suddetta acqua prima dell’aggiunta della particella, e della stessa dopo l’aggiunta, si trova così: ovvero… l’ascesa potenziale della particella che si appresta ad essere aggiunta è nulla, poiché, aggiunta lateralmente, ancora non possiede il moto comune con la massa inferiore.]. Dopo l’afflusso, la particella ha acquisito il moto comune e la sua nuova ascesa potenziale, calcolata come terza proporzionale a spazi e altezze modificate, genera un eccesso che conduce a una diversa equazione del moto.

La differenza tra le due soluzioni è sostanziale, ma l’autore nota una convergenza in una condizione limite: quando l’ampiezza del vaso superiore è quasi infinita rispetto a quella del foro, i termini specifici che differenziano le due equazioni svaniscono, rendendo il moto identico in entrambe le ipotesi. “(1296) - …fi quidem amplitudo vatis fuprema in c d quafi infinita Iit prx amplitudine foraminis , evanefcit <• prx m litque in priori cafu licut in pofteriori.” (fr:1296) […se invero l’ampiezza sommitale del vaso in c d fosse quasi infinita rispetto all’ampiezza del foro, il termine… svanisce rispetto a m, e così è nel primo caso come nel secondo.].

L’autore non si limita all’astrazione matematica, ma propone una verifica del modello tramite un esperimento fisico mentale per soddisfare la condizione del primo afflusso. Si descrive un sistema di due vasi: un cilindro verticale con un foro sul fondo (G D) e un vaso superiore con un uguale orifizio (R S) posto a minima distanza, in modo che l’acqua del vaso superiore fluisca interamente nel cilindro sottostante. Si suppone che l’acqua dal vaso superiore fuoriesca costantemente con la velocità che la superficie possiede nel cilindro supposto, una condizione che realizza perfettamente il modello di afflusso superiore: “(1304) - • Incipiant aquz ex utroque vafe effluere, ex fuperiori autem conftanter ea effluere velocitate ponantur, quam habet fuperiicies aquxin cylindro (uppolito.” (fr:1304) [Le acque inizino a fluire da entrambi i vasi, e si supponga che dal superiore fuoriescano costantemente con quella velocità che possiede la superficie dell’acqua nel sottostante cilindro.].

Questo passaggio è cruciale: rivela la natura del testo come testimonianza di un metodo scientifico in cui l’elaborazione teorico-matematica, basata sul calcolo infinitesimale e sulla geometria degli indivisibili, viene costantemente messa alla prova con situazioni fisicamente realizzabili, seppur descritte come esperimenti ideali. L’intera Sezione Quinta si configura quindi non solo come una serie di deduzioni analitiche, ma come una raffinata indagine sulle condizioni al contorno che governano il moto dei fluidi, un tema centrale nella nascente idrodinamica del XVIII secolo.

[12]

[12.1-46-1389|1432]

12 Idrodinamica bernoulliana: validazione sperimentale e soluzione del flusso transitorio

L’autore analizza l’accordo tra la propria teoria e le osservazioni di Mariotte sulla fontana di Chantilly, quindi affronta analiticamente la quantità d’acqua che defluisce da un recipiente mantenuto costantemente pieno.

Il testo, tratto dalla Sectio quinta dell’Hydrodynamica (verosimilmente di Daniel Bernoulli), intreccia il confronto con i dati sperimentali e la soluzione matematica del Problema XIV. La prima parte esamina un caso concreto: la misura del tempo necessario affinché un getto d’acqua, in fase di riempimento, raggiunga un quarto dell’altezza finale. L’autore calcola questo tempo e lo paragona alle osservazioni di Edme Mariotte.

“Si vero tempus defideretur, quo altitudo v exaequet tantum quartam partem altitudinis … , reperietur illud aequale … proxime uni minuto secundo cum dimidio. Nefcio an haec conveniant cum iis, quae Mariottus …” – (fr:1387) [Se poi si desidera il tempo in cui l’altezza v eguaglia soltanto la quarta parte dell’altezza …, lo si troverà uguale a … circa un minuto secondo e mezzo. Non so se ciò concordi con ciò che Mariotte …] Il richiamo è a una fontana zampillante situata a Chantilly, descritta con dati precisi: “…fontis salientis, qui est Chantilly, ad quem aquae devehuntur per canalem is^-perticat longum , … summa superficiei aqueae altitudo supra orificium effluxus indicata per 16 pedum; diameter aquaeductus erat poll. …; orificium autem habebat diametrum unius pollicis.” – (fr:1391-1392) [una fontana zampillante a Chantilly, alla quale le acque sono condotte per un canale lungo 15 pertiche, … l’altezza totale della superficie dell’acqua sopra l’orifizio di efflusso era indicata in 16 piedi; il diametro dell’acquedotto era di un pollice; l’orifizio aveva il diametro di un pollice.]

L’autore nota uno scostamento fra il proprio calcolo e il resoconto di Mariotte: “Videtur mihi Mariottus ita loqui ac si accelerationes multo fuissent tardiores, quam ab formula nostra indicantur, quod nefcio an tribuendum fuisse huic quod fortafie alium, praeter orificium de quo hic fermo efl, exitum habuerint aquae, an , quod aquae dudus dum fluxus inciperet non fuerit aqua plenus … si neutrum fuerit, confido phaenomena qualia a Mariotto obfervata fuerunt … plane convenisse cum calculo nostro.” – (fr:1393) [A me sembra che Mariotte parli come se le accelerazioni fossero state molto più lente di quanto indicato dalla nostra formula; non so se ciò sia da attribuire al fatto che forse l’acqua ebbe un’altra uscita oltre all’orifizio di cui si tratta, oppure che il condotto non fosse pieno d’acqua quando il flusso cominciava … se non si verificò nessuna delle due ipotesi, confido che i fenomeni riportati da Mariotte … concordino pienamente con il nostro calcolo.] Vengono così vagliate possibili cause di errore (condotto non completamente riempito, perdite secondarie) che possono giustificare le accelerazioni più lente, mostrando un atteggiamento scrupoloso nella validazione empirica.

A sostegno del suo dubbio, l’autore cita direttamente le parole di Mariotte sul fenomeno transitorio osservato: “Illud insuper, et insigni eidem salui accidit, quod obturato manu orificio per decem aut duodecim scrupulorum secundarum temporis spatium eidem postea reserata, aqua non protinus erumpat, fed paullatim assurgens saltum ascendat ad poll. postea ad pedis altitudinem & deinde ad duos pedes successivè notabilibus intervallis. Sed tandem tamen tote impetu suo aqua exiliebant.” – (fr:1394-1396) [Inoltre a quel medesimo getto accadde questo fatto notevole: dopo aver otturato con la mano l’orifizio per uno spazio di dieci o dodici secondi e averlo poi riaperto, l’acqua non erompe subito, ma salendo a poco a poco il getto sale a 3 pollici, poi all’altezza di un piede, quindi successivamente a due piedi, con notevoli intervalli di tempo. Ma infine le acque zampillavano con tutto il loro impeto.] Questo dettaglio descrive l’inerzia idraulica e la lenta ripresa della portata: informazioni che oggi si inquadrerebbero nel moto vario nei condotti.

La sezione prosegue con la soluzione del Problema 14, introdotto in modo conciso: “Invenire quantitatem aquae per datum vas, constanter plenum confervandum , dato tempore transfluentem.” – (fr:1399) [Trovare la quantità d’acqua che fluisce attraverso un dato recipiente, da mantenere costantemente pieno, in un dato tempo.] La trattazione matematica riprende le posizioni e le denominazioni dei paragrafi 3 e 12 per impostare l’equazione differenziale fra la quantità d’acqua (x) e il tempo (t). L’integrazione conduce a una forma logaritmica: “… cujus integralis eft ctleg. (i+q) + n log.(i—q)” – (fr:1407-1408) [il cui integrale è ct log(1+q) + n log(1−q)]. Mediante sostituzioni e l’impiego di esponenziali si giunge a esprimere (t) in funzione di (x) e, per inversione, la quantità defluita nel tempo.

Corollarium 1 esamina il caso in cui la quantità d’acqua defluita tende all’infinito ((x )). Ponendo (m > n), le quantità esponenziali svaniscono e la relazione si semplifica, mostrando che la differenza tra il flusso reale e quello che si avrebbe se l’acqua uscisse istantaneamente con la massima velocità non supera mai un termine finito: “differentiam tamen nunquam certam transgredi terminum & post tempus infinitum finitis comprehendi terminis.” – (fr:1418) [tuttavia la differenza non supera mai un termine certo e dopo tempo infinito è compresa entro limiti finiti.] Ciò dimostra che l’effetto transitorio iniziale, pur riducendo la portata complessiva, ha un impatto limitato e non cresce oltre una certa quota.

Corollarium 2 fornisce le espressioni esplicite per (x) nei due casi considerati, raccolte nella formula (I) e (II). Per tempi infiniti, la quantità si esprime come (Q_= ) (con opportune costanti), a meno di una piccola quantità residua che compare attraverso i logaritmi di ((1+e^{-f})). L’autore osserva che il medesimo teorema vale approssimativamente anche su intervalli temporali finiti e brevi: “Atque si loco temporis infiniti fumas tempus tantum aliquot scrupulorum secun dorum, idem theorema proxime locum habebit; ita ut si v. gr. post decem prima minuta secunda effluxerit quantitas Q, effluxura fere fit totidem minutis secun dis proxime sequentibus Q + log.i, vel in altero cafu ” – (fr:1430-1431) [E se al posto del tempo infinito prendi un tempo di soltanto alcuni secondi, lo stesso teorema varrà approssimativamente; cosicché se per esempio dopo i primi dieci secondi è defluita una quantità Q, nei successivi dieci secondi defluirà quasi Q + log 2 (oppure 2 nell’altro caso).] Se ne deduce che l’avviamento del flusso comporta un deficit iniziale modesto, dopo il quale la portata si stabilizza rapidamente verso il valore di regime.

Nel complesso, il brano testimonia l’applicazione pionieristica del calcolo differenziale e integrale a un problema idraulico concreto, accompagnata da un rigoroso confronto con i dati di laboratorio raccolti da Mariotte. L’autore mostra piena consapevolezza delle possibili discrepanze sperimentali e utilizza leggi esponenziali e logaritmiche per descrivere l’evoluzione temporale della portata, anticipando concetti moderni di regime transitorio e asintotico nei fluidi.

[13]

[13.1-47-1682|1722]

13 Analisi del moto di efflusso e oscillazione in cilindri sommersi: casi particolari e condizioni al contorno

L’indagine si addentra nei comportamenti limite del deflusso da un cilindro sommerso, esplorando l’influenza della dimensione del foro e delle altezze relative delle superfici fluide, e rivelando un’importante indipendenza del moto dalla grandezza dell’orifizio sotto specifiche condizioni.

Il testo esamina in dettaglio le soluzioni di un’equazione differenziale che governa il moto di un fluido all’interno di un cilindro sommerso, concentrandosi su casi particolari dove le grandezze in gioco assumono valori estremi o specifici. L’analisi si dipana attraverso diversi paragrafi, ciascuno dedicato a una diversa condizione iniziale o a una semplificazione dell’equazione del moto.

In primo luogo, viene considerato il caso in cui il parametro n che descrive il rapporto tra l’area della sezione del cilindro e l’area dell’orifizio sia uguale a 1, ovvero quando l’orifizio è grande quanto l’intero fondo del cilindro. In questa condizione, si raggiunge una prima conclusione sulla velocità massima della superficie interna dell’acqua: “Velocitas fuperficiei aquse internae maxima eft, cum fumitur […] Si proinde » i exiftente fcilicet orificio cyUndri toto aperto , fit , — «e i, & maxima eft velocitas, cum ambae fuperficies funt in eadem altitu- dine pofitse.” - (fr:1678) [La velocità della superficie interna dell’acqua è massima quando si assume […] Se dunque n=1, essendo cioè l’orifizio del cilindro completamente aperto, la velocità è massima quando entrambe le superfici sono poste alla medesima altezza.]

Successivamente, viene affrontata una forma diversa dell’equazione differenziale, portando a una soluzione integrata che permette di identificare i punti di massimo. Viene definito il punto di massima discesa e, introducendo la costante matematica c (il numero il cui logaritmo è l’unità), si individua anche il punto di massima velocità: “^ $, dabit 2: locum maximi de- t— fcenfus ; locus autem maximx velocitatis habebitur , fadendo x~e » a, ubi per c intelligitur numerus , cujus logarithmus eft unitas.” - (fr:1696) [darà il luogo della massima discesa; il luogo della massima velocità si avrà ponendo x = c * a, dove per c si intende il numero il cui logaritmo è l’unità.]

L’indagine prosegue con l’analisi di diversi casi per le altezze a e b, che rappresentano l’immersione del cilindro e l’elevazione iniziale dell’acqua interna. Un primo caso notevole è quando h (la differenza tra le altezze) è nulla, cioè quando il fondo del cilindro lambisce appena la superficie dell’acqua esterna. L’equazione risultante è formalmente analoga a quella per un cilindro che espelle acqua in aria. Questa previsione teorica è confermata da un sorprendente dato sperimentale: “expertus fum cylindrum eodem tempore evacuari , five aqux in aerem eji- ciantur, five fundum aquae flagnanti tantillum fubmergatur.” - (fr:1700) [ho sperimentato che il cilindro si svuota nello stesso tempo, sia che l’acqua venga espulsa nell’aria, sia che il fondo venga immerso appena un poco in acqua stagnante.] L’esperienza insegna che l’aria esterna oppone una resistenza minima all’efflusso, oltre ottocento volte meno influente di quanto ci si potrebbe aspettare.

L’attenzione si sposta quindi sul caso in cui l’elevazione iniziale c dell’acqua interna rispetto all’esterna è molto piccola e trascurabile rispetto all’immersione totale b. Sviluppando l’equazione integrata in serie e trascurando i termini di ordine superiore, si giunge a una conclusione fondamentale: il termine contenente la grandezza dell’orifizio, n, scompare dalla formula semplificata. “prodlt fimpliditer ex qu4 formula […] cum littera n evanuerit , indicium habemus • R nihil magnftudi- […] tudinem orificii pertinere ad motum aqux internae” - (fr:1707) [risulta semplicemente dalla formula […] essendo scomparsa la lettera n, abbiamo l’indicazione che la grandezza dell’orifizio non ha alcuna influenza sul moto dell’acqua interna]. Questo risultato, già intravisto in precedenza, porta a dimostrare che le oscillazioni di questo moto sono isocrone, come quelle di un pendolo semplice.

Tuttavia, l’autore mette in guardia sulla validità di questa approssimazione. È cruciale che in un esperimento le quantità considerate infinitamente piccole in teoria, come c e il rapporto tra le aree, siano rese effettivamente molto piccole per evitare errori notevoli. Vengono forniti esempi pratici di quando l’approssimazione regge, come per un cilindro immerso di 35 pollici con un’elevazione di un solo pollice (rapporto 1:35), e quando invece fallisce, come nel caso di un tubo di diametro doppio rispetto all’orifizio con tre quarti dell’apertura ostruiti (rapporto 4:9), che non è più sufficientemente piccolo per soddisfare la teoria con precisione.

Per i casi in cui le due quantità molto piccole hanno tra loro un rapporto non trascurabile, come quando un cilindro è immerso molto profondamente ma ha solo un piccolo foro sul fondo, si ricorre a una diversa semplificazione dell’equazione differenziale originale. Integrando questa nuova forma, si ottengono tre risultati principali. Il primo, che riemerge per altra via, è l’indipendenza dalla dimensione del foro quando un certo parametro v risulta molto piccolo. Il secondo caso limite mostra che, se una delle grandezze è infinitamente maggiore dell’altra, si ritrova la formula del paragrafo quarto: “At fi viciOim infinites major ponatur quam […] fieri intelligitur — v, ~ .c — a., five v x b, ut §.4.” - (fr:1721) [Ma se al contrario si pone infinitamente maggiore di […] si capisce che risulta v = b, come nel §.4.]. Il terzo punto evidenzia l’esistenza di una situazione intermedia, dove nessuna delle due formule approssimate è applicabile senza un errore significativo, poiché il parametro in questione non è né infinitamente piccolo né infinitamente grande, sebbene le quantità di base c e ω restino infinitesime.

[14]

[14.1-38-1724|1760]

14 Il moto oscillatorio e il riflusso nei fluidi: leggi e calcoli dall’Hydrodynamica

Dall’analisi del moto in tubi sommersi alle leggi del riflusso e al loro potere di illustrare le onde marine, il frammento intreccia fisica intuitiva e calcolo analitico.

Il testo, proveniente dalla Section septima dell’Hydrodynamica (Fig. 133) e in parte offuscato da errori di trasmissione, sviluppa la teoria del flusso e riflusso in vasi cilindrici sommersi. L’autore vi costruisce una meccanica delle oscillazioni liquide che unisce esempi numerici concreti, osservazioni sulle cause delle perdite di energia e un’impalcatura analitica rigorosa.

Un primo esempio, sebbene lacunoso, fissa le grandezze in gioco: “elevatio indicata per e unius pollicis, immersio cylindri h … dein ponatur diameter tubi tripla diametri foraminis” (fr:1725) [l’elevazione indicata sia di un pollice, l’immersione del cilindro …; poi si ponga il diametro del tubo triplo del diametro del foro]. Da esso si ricava un dato spaziale preciso: “spatium integrum, quod superficies percurrit non omnino octo quintarum partium unius pollicis, locusque maximae velocitatis est interpropter sexaginta novem centesimarum partium ejusdem mensurae infra altitudinem initialem” (fr:1727) [lo spazio intero che la superficie percorre non è affatto otto quinti di pollice, e il luogo della massima velocità è all’incirca sessantanove centesimi della stessa misura al di sotto dell’altezza iniziale]. Consapevole della complessità, lo scienziato rinuncia a un’estensione generale a tutte le forme di vasi perché “formulae plerumque adeo prolixae, ut consultius duxerim easdem silendo praeterire, & specimine saltem aliquo particularem ostendere modum” (fr:1728) [le formule sono per lo più così prolisse che ho ritenuto più opportuno tralasciarle in silenzio, e mostrare con qualche esempio il modo particolare di applicare la teoria].

Il cuore teorico riguarda il moto oscillatorio che si produce in tubi inferiormente ampi e molto sommersi. L’autore ne sottolinea il valore euristico perché “in his motus oscillatorius, ut in pendulis, constantis durationis est, & undarum in mari fluxus illustratur ab illis” (fr:1729) [in questi il moto oscillatorio, come nei pendoli, è di durata costante, e il flusso delle onde marine è illustrato da essi]. Il collegamento tra l’idraulica di laboratorio e il fenomeno delle maree conferisce al discorso una portata che supera il mero esercizio tecnico.

Per affrontare l’intero moto oscillatorio, l’autore dichiara di voler trattare prima separatamente il riflusso: “Existimavi autem prius de refluxu aquarum in cylindris submersis generaliter tractandum esse … quam motus totus oscillatorius examinetur” (fr:1730) [Ho ritenuto che prima si dovesse trattare in generale del riflusso … affinché l’intero moto oscillatorio sia esaminato]. Con la Pars Secunda si apre così l’analisi delle cause che impediscono all’acqua di risalire fino alla quota iniziale dopo una caduta.

Due fattori principali sono identificati: “primo excessus altitudinis superficiei externae supra internam & secundo vis viva seu productum ex tensu potentiae in massam illius aquae, quae ex cylindro in aquam circumstagnantem durante descensu ejecta fuit” (fr:1732) [primo l’eccesso dell’altezza della superficie esterna sopra l’interna, e secondo la forza viva, ossia il prodotto della tensione potenziale per la massa dell’acqua che durante la discesa è stata espulsa dal cilindro nell’acqua circostante]. Questa forza viva, non più recuperabile dal fluido interno, è la ragione principale per cui “aquae multum absint, quo minus pristinam, ex qua ceciderant, in refluxu attingant altitudinem” (fr:1732) [le acque manchino molto dal raggiungere nel riflusso l’altezza originaria da cui erano cadute]. A essa si aggiunge una seconda causa, già discussa nel §. 2, la cui misura va dedotta dall’ascensione stessa.

Un ulteriore meccanismo di perdita dipende dalla geometria del foro. L’autore osserva che, in teoria, anche un foro piccolo permetterebbe la risalita con la stessa velocità che si avrebbe in assenza di fondo, ma “plerumque impetum illum totum fere impendi in motum aliquem intestinum, qui nihil ascensum promoveat” (fr:1733) [per lo più quell’impeto è speso quasi interamente in un qualche moto intestino che non promuove affatto l’ascensione]. La precisazione è rilevante: “dico autem notanter plerumque (quod bene notetur velim) quia cum foramen magnum admodum est, non difficulter praevidetur, impetum aquarum influentium ita apte fieri, ut motus internus haud parum inde promoveatur” (fr:1733) [dico però notevolmente “per lo più” (cosa che vorrei fosse ben notata) perché quando il foro è molto grande, si prevede facilmente che l’impeto delle acque entranti disponga un moto interno non poco promosso]. Invece, quando il foro è molto piccolo, l’ipotesi che l’impeto si converta interamente in risalita è corretta, “quia sic omnis impetus infringitur” (fr:1734) [perché così ogni impeto è infranto]; lo stesso vale per il caso limite in cui il fondo manca o è quasi tutto perforato. Per rapporti intermedi tra foro e tubo, ad esempio 1:2 o 2:1, il moto risulta un po’ maggiore di quanto previsto dall’ipotesi semplice, perché “tunc notabilem impetum faciunt aquae irruentes, nec is omnis per rei naturam perditur” (fr:1735-1736) [allora le acque irruenti producono un impeto notevole, e questo non viene interamente perso per natura della cosa].

Da queste premesse è possibile trarre senza calcolo cinque “affezioni” del riflusso:

1. “Nullum nempe fore refluxum sensibilem, si foramen sit valde parvum” (fr:1739) [Non vi sarà alcun riflusso sensibile se il foro è molto piccolo].
2. Poiché la parte sommersa del cilindro resta immutata, l’acqua nel riflusso non supererà mai un termine determinato, nemmeno se la caduta iniziale fosse infinita; “nunquam enim, ex quacunque altitudine incipiat descensus, omnes aquae ex cylindro effluunt” (fr:1740) [mai infatti, da qualunque altezza inizi la discesa, tutte le acque defluiscono dal cilindro].
3. Il prodotto della massa d’acqua compresa tra i livelli XY e CD fino a TV costituisce la misura combinata delle due cause che differenziano l’ascesa dalla discesa; quando il fondo è del tutto rimosso, quel prodotto eguaglia la forza viva dell’acqua espulsa durante la discesa, permettendo di determinare l’ascensione “sine alio calculo, praeter hactenus jam positos” (fr:1744) [senza altro calcolo oltre quelli già posti finora].
4. “Ascensum fore aequalem descensui, cum cylindrus infinite submersus intelligitur evanescentibus tunc praefatis diminutionis causis” (fr:1745) [L’ascesa sarà uguale alla discesa quando il cilindro è considerato infinitamente sommerso, svanendo allora le predette cause di diminuzione].
5. In linea di principio le oscillazioni sarebbero eterne, divenendo infinitesime rispetto all’immersione; tuttavia “impedimenta aliena, quorum nullam hucusque rationem habuimus, faciunt ut omnis motus cito admodum cesset” (fr:1746) [gli impedimenti estranei, di cui non abbiamo finora tenuto conto, fanno sì che ogni moto cessi assai rapidamente].

La sezione si conclude con l’impostazione di un calcolo più accurato, per il quale è promessa una duplice soluzione, “alteram ad principia modo exposita accommodatam, alteram specie quodammodo diversam” (fr:1749) [l’una adattata ai principi ora esposti, l’altra per qualche aspetto diversa nella forma]. Le variabili descrivono la posizione della superficie libera dopo la discesa e durante l’ascesa; la quantità di moto interna è espressa come nv, e di essa si cerca l’incremento “n dv + n v d?” (fr:1755), mentre si considera l’impeto perduto dalla gocciolina entrante che scende per l’altezza b – x (fr:1759). Il frammento mostra così la saldatura tra l’analisi fisica delle perdite e la loro traduzione in termini di incrementi di quantità di moto, offrendo una testimonianza esemplare del metodo con cui la meccanica dei fluidi settecentesca ambiva a comprendere, con pochi principi, tanto le oscillazioni di un fluido in un vaso quanto il periodico respiro del mare.

[15]

[15.1-66-1817|1880]

15 Resoconto sulla Settima Sezione: Esperimenti sulle Oscillazioni dei Fluidi in Tubi Sommersi

Descrizione di esperimenti idrodinamici volti a verificare la teoria delle oscillazioni dei fluidi in tubi sommersi, con l’analisi degli scostamenti dovuti all’adesione e alla contrazione della vena effluente.

Il testo costituisce la parte sperimentale della settima sezione di un trattato di idrodinamica, in cui l’autore mette alla prova le ipotesi teoriche precedentemente esposte. L’apertura dello Scholium Generale dichiara la natura ipotetica di quanto precede e la necessità della verifica empirica: “Qui in hac fedione continentur, quia novis hypothelibus innituntur pleraque, eo magis open pretium erit experimentis tentare” – (fr:1823) [Poiché la maggior parte di ciò che è contenuto in questa sezione si fonda su nuove ipotesi, tanto più varrà la pena di tentare con esperimenti.]. L’autore ammette di non aver potuto realizzare tutto quanto aveva concepito, rinviando a una descrizione successiva degli esperimenti effettivamente compiuti.

Prima di confrontare teoria ed esperimenti, vengono individuate due potenziali fonti di errore sistematico. La prima riguarda la contrazione della vena effluente, la cui natura è stata esposta nella sezione quarta, e che potrebbe “calculum turbare” – (fr:1825) [turbare il calcolo]; per mitigarla si suggerisce di formare un piccolo cilindro ai lati dell’orifizio inferiore, di altezza pari a malapena mezza linea, richiamando il quarto esperimento della quarta sezione. La seconda fonte di errore, ben più influente, è costituita dalle resistenze dovute all’adesione dell’acqua alle pareti: “Deinde etiam animus advertendus ad refiftentias ab adhaefione aquae oriundas, qui quidem parum retardant motos, si tempora ofcillationum refpicias, multum autem excurfionibus detrahunt” – (fr:1826) [Bisogna poi prestare attenzione alle resistenze originate dall’adesione dell’acqua, le quali certo ritardano poco i moti se si considerano i tempi delle oscillazioni, mentre sottraggono molto alle escursioni.]. L’adesione diventa particolarmente rilevante con tubi stretti e lunghi, ragion per cui si giudicheranno più affidabili gli esperimenti condotti sui tempi di oscillazione piuttosto che sulle ampiezze.

Il metodo sperimentale per misurare le escursioni del fluido è ingegnoso e artigianale: un filo viene avvolto attorno al tubo nel punto in cui si prevede che l’acqua arrivi durante la discesa o la salita, e dopo ripetute prove lo si fissa con precisione affinché la superficie oscillante non vada né oltre né prima di esso: “hac ufus fui circumfpectione, ut filum tubo circumvolverem eo in loco, ad quem aquas defcenfuras vel afcenfuras effe exfpectabam, idemque filum poft faepe repetitum experimentum ita tandem locavi, ut fuperficies fluidi ofcillantis nec ultra nec citra excurreret” – (fr:1827) [usai questa accortezza, di avvolgere un filo attorno al tubo in quel punto in cui mi aspettavo che le acque sarebbero discese o salite, e dopo aver ripetuto spesso l’esperimento collocai infine il filo in modo che la superficie del fluido oscillante non andasse né oltre né al di qua.]. Anche gli altri punti notevoli sul tubo vennero marcati con fili. Per i tempi di oscillazione, resi difficili dalla rapidissima diminuzione delle escursioni fino a diventare impercettibili, si escogitò un metodo di sincronizzazione: si esplorava la lunghezza del pendolo semplice isocrono ponendo un dito sull’orifizio del tubo e rimuovendolo nell’istante preciso in cui pendolo e fluido iniziavano l’oscillazione insieme.

Esperimento Un tubo cilindrico di vetro del diametro di circa quattro linee venne immerso in un vaso d’acqua stagnante a una profondità di 44 linee. Tappato con un dito, fu estratto fino a 22 linee, cosicché parte sommersa e altezza dell’acqua interna sopraelevata sull’esterna fossero entrambe di 22 linee. Rimosso il dito, la superficie dell’acqua nel tubo scese di 9 linee e mezza, mentre la teoria (§. 7 e 17) ne prevedeva tredici: “Defectus trium linearum cum dimidia unice fere adhaefioni aquae ad latera tubi tribuendus videtur” – (fr:1839) [La mancanza di tre linee e mezza sembra doversi attribuire quasi unicamente all’adesione dell’acqua alle pareti del tubo.]. Ripetendo l’esperimento per la risalita, l’escursione osservata fu di 8 linee, contro le 9 e mezza attese: lo scarto minore nella seconda fase viene spiegato con la maggiore velocità della prima escursione, che aveva reso più grandi gli impedimenti i quali “una cum velocitatibus crefcunt” – (fr:1842) [crescono insieme con le velocità].

Esperimento Lo stesso tubo venne dotato di una lamina con foro di ampiezza pari a 1/7 della sezione del tubo. Con superficie sopraelevata di 18 linee e fondo sommerso altrettanto, la discesa osservata fu di circa 5 linee, mentre il paragrafo ottavo ne indicava 7 e mezza: lo scarto di oltre 2 linee e mezza è nuovamente ascritto all’adesione. Nell’inverso, con tubo vuoto immerso a 18 linee e poi aperto, l’emersione fu di 8 linee piene, mentre il §. 17 ne indicava La minore discrepanza rispetto alla discesa è ricondotta a quanto esposto nel paragrafo tredicesimo: quando il foro ha un’ampiezza notevole rispetto al tubo (in rapporto di circa 1/√7 a 1), il moto risulta leggermente maggiore di quanto l’ipotesi preveda.

Esperimento Per eliminare quasi del tutto gli impedimenti, si usò un tubo di ferro più corto e largo (diametro oltre 7 linee, lunghezza 4 pollici, 6 linee e mezza; ampiezza n = 1,80 e nn = 3,458). Tappato superiormente, lo si immerse fino a trovare la profondità esatta a cui, riaperto, l’acqua salisse precisamente fino all’orlo senza traboccare. Si trovò una profondità di 3 pollici e 3 linee, con un’ascensione sopra l’acqua esterna di 1 pollice e 3 linee e mezza, mentre il §. 17 prevedeva, anche rimuovendo ogni impedimento, poco più di 11 linee: “Recte igitur praemonitum fuit §. non poffe non afcenfus fieri paullo majores in ejusmodi cafibus, quam hypothefis poftulat” – (fr:1859-1860) [Giustamente dunque fu premesso al §. 13 che in casi del genere le ascensioni non possono non risultare un po’ maggiori di quanto l’ipotesi richieda.]. Con un diverso fondo (n = 13,68), l’osservazione fu resa difficile dalla superficie increspata: il tubo andava immerso a circa 2-3 pollici, lasciando fuori circa 4 linee, proprio come indicato dalla teoria.

Esperimento Un tubo cilindrico di vetro di circa tre linee di diametro, immerso a 20 pollici con acqua livellata dopo un’elevazione di circa un pollice, produsse solo quattro o cinque oscillazioni ben percepibili. La lunghezza del pendolo isocrono fu stimata in 22 o 23 pollici, mentre il §. 19 ne prevedeva 20: se ne dedusse che l’adesione “non folum diminuere excurfiones, fed et morari paulifper tempora ofcillationum” – (fr:1867) [non solo diminuisce le escursioni, ma ritarda anche un poco i tempi delle oscillazioni.]. Con l’orifizio inferiore ostruito per metà non si osservarono né diminuzioni delle escursioni né ritardi, in conformità con i §. 7 e

Esperimento Un tubo conico lungo 21 pollici, con un orifizio poco più che doppio dell’altro, venne immerso dall’estremità più larga lasciando un solo pollice fuori dall’acqua. La lunghezza del pendolo isocrono per le vibrazioni dell’acqua fu trovata di 15 pollici, mentre il §. 23 ne indicava poco meno di Capovolto il tubo, la lunghezza del pendolo isocrono risultò poco più che doppia rispetto alla precedente, così come indicato dal paragrafo citato.

L’ultima frase tronca il resoconto e introduce la sezione successiva, dedicata al moto dei fluidi omogenei ed eterogenei attraverso vasi di forma irregolare, con particolare attenzione ai fenomeni singolari che si manifestano quando i fluidi attraversano più forami.

[16]

[16.1-82-2169|2248]

16 Il lavoro meccanico e l’ottimizzazione delle macchine idrauliche nella Hydrodynamica

Bernoulli introduce la nozione di potenza assoluta, mostra l’equivalenza degli effetti meccanici a parità di lavoro e detta regole precise per ridurre le perdite nelle pompe e negli ingranaggi, anticipando una moderna analisi del rendimento.

Il testo sviluppa una serie di proposizioni e regole che ruotano attorno al concetto centrale di potentia absoluta – la potenza assoluta, intesa come prodotto della forza motrice per la sua velocità. Fondamentale è il principio secondo cui, a parità di altre condizioni, raddoppiare la forza o raddoppiare la velocità di un agente produce lo stesso effetto: «labores … proportionales numero operariorum seu potentia movente» — (fr. 2168) [le fatiche sono proporzionali al numero di operai ossia alla potenza motrice] e, per il tempo, «ex duplicatione temporis oritur» (fr. 2170), mentre per la velocità si afferma che «sive potentiam moventem duplices, sive ejus velocitatem, non diversus oriatur effectus» (fr. 2174) [sia che si raddoppi la potenza motrice, sia che se ne raddoppi la velocità, l’effetto prodotto non è diverso]. Tale equivalenza va però intesa in senso morale, non fisiologico: «moraliter neque plus neque minus aestimo laborem hominis, qui eadem celeritate conatum duplum exercet, quam ejus qui eodem conatu celeritatem duplicat, quia nempe uterque eundem edit effectum; fieri tamen potest, ut alterius labor, quamvis altero non minus robusti, sensu physiologico sit admodum major» — (fr. 2179) [moralmente non valuto diversamente il lavoro di un uomo che esercita uno sforzo doppio con la stessa velocità rispetto a uno che raddoppia la velocità a parità di sforzo, poiché entrambi producono il medesimo effetto; può però accadere che la fatica dell’uno, sebbene non meno robusto dell’altro, sia in senso fisiologico assai maggiore].

Da qui discende una conseguenza pratica per ogni tipo di macchina: «quomodo debeant esse constitutae, ut pro eodem tempore minima hominum defatigatione productum ex conatu eorum in velocitatem omnium maximum sit» — (fr. 2182) [in che modo debbano essere costruite affinché, a parità di tempo, con la minima fatica degli uomini il prodotto del loro sforzo per la velocità sia il massimo possibile]. L’autore esamina il caso dei timpani a ruota (le “ruote da calcàre”) e propone un esperimento mentale: raggiungere un’altezza verticale di molte miglia in dieci ore, scegliendo il percorso inclinato che minimizza la fatica. Stabilisce che «viam hanc minimae defatigationis cum horizontali angulum facere A C B 30 grad.» — (fr. 2187) [questa via di minima fatica forma con l’orizzontale un angolo ACB di 30 gradi]; di conseguenza in un timpano il calcàtore si mantiene a un angolo di 30° dal punto più basso della ruota. Un confronto con le ergate mostra che premendo orizzontalmente con un quarto del proprio peso alla velocità di 200 piedi al minuto si ottiene la medesima fatica che calcando un timpano allo stesso angolo, ma nel secondo caso si solleva un peso doppio perché la pressione esercitata è doppia (fr. 2190‑2191).

La Regola 2 sancisce un postulato di efficienza ideale: «Existente eadem potentia absoluta dico omnes machinas, quae nullas patiuntur frictiones & quae nullos motus ad propositum finem inutiles generant, eundem effectum praestare neque adeo unam alteri praeferendam esse» — (fr. 2194) [A parità di potenza assoluta, tutte le macchine prive di attriti e di moti inutili forniscono lo stesso effetto, e nessuna è da preferire all’altra]. Lo dimostra riducendo ogni macchina idraulica a una leva semplice che aziona uno stantuffo (Fig. 47); qualunque sia la lunghezza del braccio di leva, purché l’ampiezza della pompa mantenga un rapporto costante con esso, la stessa quantità d’acqua viene espulsa con la stessa forza. Chi escogita macchine che promettono di sollevare immense quantità d’acqua con minima fatica «operam perdunt, neque audiendi sunt hujusmodi promissores» — (fr. 2202) [perdono la loro fatica e non meritano ascolto siffatti millantatori]: la macchina migliore è semplicemente quella con i minimi attriti e nessun moto inutile.

L’analisi delle perdite idrauliche si fa serrata a partire dalla Regola 3. Nelle pompe in cui la superficie interna dell’acqua si trova quasi alla stessa quota dell’orifizio di efflusso, la potenza assoluta impiegata in tempi uguali cresce «in triplicata ratione velocitatum aquarum exilientium» — (fr. 2208) [nella ragione triplicata delle velocità dell’acqua che sgorga], perché la forza motrice è proporzionale al quadrato della velocità e la velocità della forza stessa segue la velocità dell’acqua (fr. 2210). Ne deriva un avvertimento di grande rilievo pratico: se si espelle l’acqua con velocità doppia rispetto a quella che basterebbe per salire all’altezza finale FG, la potenza assoluta richiesta diventa otto volte maggiore, mentre l’effetto utile (la quantità d’acqua sollevata) è solo doppio; «hoc igitur nomine tres quartae partes istius potentiae inutiliter impensae dicendae sunt» — (fr. 2214) [a questo titolo i tre quarti di quella potenza devono dirsi spesi inutilmente]. La causa del danno è il moto residuo che l’acqua possiede dopo aver raggiunto la vena di sbocco: «omnis motus qui aquis residuus est postquam altitudinem G attigerunt … superfluus est dicendus» — (fr. 2217) [ogni moto che rimanga nell’acqua dopo aver toccato l’altezza G è da ritenersi superfluo].

Pertanto la Regola 4 e la Regola 5 insegnano a calibrare l’efflusso. La potenza assoluta è proporzionale alla velocità in F moltiplicata per la prevalenza G sopra il pelo libero AB (fr. 2219). Se la prevalenza cinetica FG è piccola rispetto all’altezza del condotto, la differenza fra la crescita della potenza assoluta e quella della portata diventa quasi impercettibile: «quo minori velocitate aquae hauriantur, eo majori cum fructu potentiam absolutam impendi» — (fr. 2226) [quanto minore è la velocità con cui si estrae l’acqua, tanto maggiore è il profitto con cui si spende la potenza assoluta]. Si può compensare la bassa velocità con un orifizio più grande per ottenere comunque una portata notevole. In termini quantitativi, per una pompa aspirante-premente con valvola di fondo, la perdita di potenza assoluta sta alla potenza totale come la differenza FG sta all’intera altezza G sopra AB (fr. 2231‑2234). Un corollario generale per qualunque impianto è che l’acqua, giunta al punto di scarico, non deve conservare velocità notevole, altrimenti «magnum fit potentiae absolutae dispendium» (fr. 2236). Inoltre il condotto di mandata va prolungato verso il basso quanto più è possibile, come illustra la Figura 49: interromperlo nel punto più alto F obbliga a spendere una potenza doppia rispetto a proseguire il tubo fino a G, se le velocità sono piccole (fr. 2239).

L’ultima fonte di spreco analizzata è il trafilamento attorno allo stantuffo. La Regola 6 stabilisce che «ut aggregatum ex foramine effluxus & praedicto hiatu, ad eundem hiatum, ita potentia absoluta, quae impenditur, ad partem illius quae inutilis est» — (fr. 2243) [come la somma dell’orifizio di efflusso e della fessura sta alla fessura stessa, così la potenza assoluta spesa sta alla parte inutile di essa]. La spiegazione è semplice: l’acqua è premuta allo stesso modo attraverso l’orifizio e attraverso le fessure, e la potenza perduta è proporzionale al rapporto tra la sezione della fessura e la sezione totale di passaggio. Qui l’autore esprime un sorprendente dubbio ingegneristico: «Vix autem crediderim, nisi id fiat alio fine, necesse esse ut emboli cavitatem ultima accuratione expleant, quia fortasse sic majus oritur virium dispendium a frictionibus, quam si circumcirca parvulus relictus fuisset hiatus» — (fr. 2247) [Non crederei affatto, a meno che non lo si faccia per un altro scopo, che sia necessario riempire con la massima accuratezza la cavità dello stantuffo, poiché forse così nasce una perdita di forze maggiore per gli attriti che se si fosse lasciata tutt’intorno una piccolissima fessura]. Infatti, se la luce di trafilamento è solo un centesimo dell’orifizio di efflusso, si perde appena un centesimo della potenza assoluta, mentre lo sfregamento di uno stantuffo che tocca perfettamente le pareti potrebbe causare un danno maggiore (fr. 2248).

Il frammento della Hydrodynamica qui raccolto testimonia una fase cruciale in cui il calcolo delle macchine si svincola dalla semplice ricerca del guadagno meccanico ideale per abbracciare il concetto di rendimento reale, imperniato sulla potenza assoluta e sulla consapevolezza che ogni velocità residua e ogni fessura rappresentano un costo energetico. La distinzione fra fatica fisiologica e misura morale del lavoro prefigura la formalizzazione del lavoro meccanico come grandezza fisica oggettiva, mentre le regole sulle pendenze ottimali e sul dimensionamento dei condotti mostrano una precoce attenzione al bilancio fra efficienza e usura – un atteggiamento che sarà pienamente sviluppato solo con la termodinamica e l’ingegneria di processo.

[17]

[17.1-130-2274|2399]

17 Perdite di potenza e limiti delle macchine idrauliche a getto continuo: l’analisi di Bernoulli

Bernoulli esamina le imperfezioni delle macchine che sollevano acqua con impeto, calcolando le perdite di potenza assoluta dovute ai rapporti tra i diametri e ai tempi di azione dei pistoni, per mostrare che la perfezione irraggiungibile coincide con la semplice pompa a stantuffo.

Nella Sectio Nona della sua Hydrodynamica, Bernoulli affronta gli ostacoli che riducono l’efficacia delle macchine idrauliche destinate a proiettare acqua con velocità. Il primo caso discusso è quello di una macchina a getto continuo, ideata per ovviare all’intermittenza dei pistoni alternati: “Huic vero incommodo optimum remedium attulit audor machinx illius, cujus ~ mentionem fecit p. Perrault ki Comment.” – (fr:2274) [A questo inconveniente portò un ottimo rimedio l’autore di quella macchina, di cui fece menzione il Sig. Perrault nei Commentari.] Tuttavia, pur essendo ingegnosa, la continuità perfetta resta irraggiungibile perché “non poterit jactus omnino elTe continuus & xquabilis” – (fr:2273) [il getto non potrà essere del tutto continuo e uniforme] a causa dell’intervallo tra la fine dell’alzata del pistone e l’inizio della sua discesa.

L’attenzione si sposta poi sulle perdite generate dalle strozzature. Se gli orifizi di accesso (come i canalicoli o, f) sono più piccoli dell’orifizio di efflusso H, la potenza assoluta perduta può superare la metà di quella teoricamente disponibile: “quod fi foret plus quam dimidium perderetur fotentU «bfolttu” – (fr:2271) [qualora fosse, si perderebbe più della metà della potenza assoluta]. Per evitare simili dispersioni, occorre ampliare i canali AB e DE per tutto il percorso “ut machina parum de fu^ prxfiantia perdat” – (fr:2272) [affinché la macchina perda poco della sua efficacia].

17.1 La macchina di Perrault come esempio calcolabile

L’esempio che Bernoulli sceglie per un’analisi quantitativa è tratto dalla Biblioteca Reale di Parigi e descritto da Perrault: “ad Fitruviim r»g, 3 1 edit.” – (fr:2275), “2.” – (fr:2276), “Paris, quamque in Bibliotheca Regia Paris.” – (fr:2277), “alTervari dicit ; inferviet nobis hxc machina alterius exempli loco : figuram autem defumam una cum ejusdem de- fcriptione ex ipfoPerraultio.” – (fr:2278) [Si dice sia conservata a Parigi, nella Biblioteca Reale, e ci servirà come secondo esempio; prenderò la figura insieme alla sua descrizione dallo stesso Perrault.] In questa macchina (Fig. 71) l’acqua spinta dal pistone B nel modiolo A entra nel catino FG, dove l’aria, imprigionata dal tubo EF che scende quasi fino al fondo, non può uscire: “fic enim fit , ut aqua propulfa ex modiolo A per diabeten D , imumque catini occupans claudat orifidum tubx in F, aSrique tranfitum neget” – (fr:2282) [così accade che l’acqua spinta dal modiolo A attraverso il diabete D, occupando il fondo del catino, chiuda l’orifizio del tubo in F e neghi il passaggio all’aria]. La compressione dell’aria fa sì che l’acqua continui a zampillare dal tubo FE anche durante la risalita del pistone; tuttavia l’orifizio E è molto più piccolo del diabete D, e questo genera una perdita di potenza assoluta assai maggiore che in altre macchine: se il diabete avesse la stessa ampiezza di E e il pistone si muovesse con tempi uguali in discesa e in risalita, “non perdetqr jam folum dimidia fottraU «bfalut* pars, ut ali^s , fed plane quatuor quintae partes inutiles fient” – (fr:2285) [non si perderebbe soltanto la metà della potenza assoluta, come in altri casi, ma diventerebbero inutili ben quattro quinti]. Per questo motivo la macchina richiede un calcolo separato.

17.2 Moto permanente e determinazione della velocità di efflusso

Bernoulli imposta l’indagine nello stato permanente, trascurando le fasi iniziali in cui la velocità cresce gradualmente, perché “primae agitatione valde differant ^ fequentibus” – (fr:2289) [le prime agitazioni differiscono molto dalle successive]. Chiarisce poi un punto trascurato da Perrault: non è la differenza di ampiezza tra gli orifizi a causare il transitorio, ma il fatto che la pressione dell’embolo non può istantaneamente tradursi in velocità di efflusso (fr:2291-2292). Raggiunto il regime stazionario, la portata si conserva: tanta acqua entra nel catino durante la compressione quanta ne esce in un ciclo intero.

Con le notazioni: tempo di depressione θ, periodo totale τ, area dell’orifizio E pari a f, area del diabete D pari a m, altezza della colonna premente a, altezza rappresentativa della velocità di efflusso x. Bernoulli ricava due espressioni per il rapporto delle velocità nei condotti D ed E. La prima, per continuità, dà “velocitas in D ad velocitatem in E ut ad t & quum pofterior hic velocitas fit “ v’ a: , erit altera H~/x” – (fr:2294) [la velocità in D sta a quella in E come τ sta a θ, e poiché quest’ultima velocità è √x, l’altra sarà (τ/θ)√x]. La seconda, applicando il principio di conservazione dell’energia alle pressioni, fornisce “velocitas aqux in D ad velocitatem aqux in orificio E ut v’ (a — x) ad Vx” – (fr:2295) [la velocità dell’acqua in D sta a quella in E come √(a−x) sta a √x]. Dall’uguaglianza delle due espressioni si ottiene un’equazione per x.

Da essa risulta che l’altezza del getto è minore di a per due cause: “magis nempe deficit, cum celerius deprimitur, tardiurve elevatur embolus tum etiam cum orificium E ratione canaliculi D amplitudine crefcit” – (fr:2297) [è tanto minore quanto più rapidamente è premuto o più lentamente è sollevato il pistone, e quanto più cresce l’ampiezza dell’orifizio E rispetto al canalicolo D]. Se, per esempio, l’orifizio E ha la stessa area del tubo D e i tempi di salita e discesa sono uguali, “prodibit x~^ a, Gc ut ad quintam partem tantum alFurgat vena effluens altitudinis a” – (fr:2299) [si otterrà x = a/5, cosicché la vena effluente si innalza soltanto a un quinto dell’altezza a].

17.3 La potenza assoluta e la sua dispersione

Bernoulli introduce il concetto di potentia absoluta, ovvero il lavoro motore speso in un ciclo completo, e ne calcola la frazione inutilmente dissipata. Se si indica con P la potenza assoluta totale impiegata, la perdita è “XP”, ovvero una quota che dipende dai rapporti tra le aree e i tempi. La conclusione pratica è drastica: “Neceffe igitur eG in hk prs aliis antliis , ut diabetes amplitudine admodum fuperet oriGcium E , vel ut multiplex adfit” – (fr:2302) [è necessario quindi, in questa pompa più che in altre, che l’ampiezza del diabete superi di molto l’orifizio E, oppure che ve ne siano più d’uno]. Se infatti il diabete fosse unico e di ampiezza uguale a E, e il pistone si muovesse con moto uniforme, “difpendium oriretur quatuor quintarum totius partium” – (fr:2304) [si avrebbe una perdita di quattro quinti della potenza totale]; e anche raddoppiandone la sezione, si perderebbe ancora la metà della potenza assoluta. Le pressioni sulle pareti del catino e del modiolo sono proporzionali a x e ad a, fornendo ai costruttori un criterio per il dimensionamento delle robustezze (fr:2305).

17.4 Regole per ridurre le perdite nell’aspirazione

Nella Regula 8, Bernoulli esamina il lavoro speso per sollevare il pistone e richiamare acqua nel modiolo. Poiché l’acqua, trovandosi sotto battente, entrerebbe da sola se le si concedesse tempo sufficiente, la potenza assoluta impiegata nell’aspirazione è in gran parte sprecata: “omnis fvtnuia abfoluta in hanc attradionem impenfa cafu fupervenit” – (fr:2308) [tutta la potenza assoluta impiegata in questa suzione sopravviene come perdita casuale]. L’analisi lo porta a stimare il lavoro dissipato anche attraverso l’ascensus potentialis dell’acqua in ingresso: la velocità di ammissione è inversamente proporzionale all’area del foro e al tempo; l’energia cinetica inutilmente generata è tanto maggiore quanto più piccoli sono il foro e la durata dell’aspirazione (fr:2312-2315). Ne derivano due prescrizioni concordanti: sollevare lentamente il pistone – così la potenza motrice rimane piccola e gli operai possono rifiatare – e ampliare o moltiplicare i fori di adduzione, “quia fic fufflciens fere aqux quantitas fua fponte influit, minorique adeo potentia me- veate opus efl” – (fr:2319) [perché così una quantità d’acqua quasi sufficiente affluisce spontaneamente, e si richiede una potenza motrice minore].

17.5 Limite intrinseco del getto verticale e conformazione degli ugelli

Anche in condizioni ideali, un getto verticale non raggiunge mai l’altezza corrispondente alla velocità iniziale. La ragione fisica addotta è che le singole gocce, pur partendo verticalmente, vengono deviate lateralmente e in sommità possiedono una velocità orizzontale non trascurabile: “quia perfupremum limbum vel fedionem venx aquex omnis aqua tranflt , qux per foramen effluxit : fac igitur unicuique guttulx eo temporis puncto quo horizontaliter movetur veloci- tatem inefle, quam grave lapfu libero per altitudinem b acquirit : ita vides non pofle venam ultra altitudinem a — b aflurgere” – (fr:2325) [poiché attraverso l’orlo o la sezione sommitale della vena defluisce tutta l’acqua che è uscita dal foro; ammetti che ogni gocciolina, nell’istante in cui si muove orizzontalmente, possieda una velocità che un grave acquisirebbe cadendo dall’altezza b: vedi allora che la vena non può innalzarsi oltre a−b]. La perdita di potenza assoluta corrispondente è b / a. Da ciò l’importanza della conformazione degli ugelli terminali, sui quali Mariotte condusse esperimenti (fr:2328-2331).

17.6 La semplice pompa a stantuffo come ideale irraggiungibile

Dopo aver passato in rassegna gli impedimenti delle macchine che lanciano acqua con impeto, Bernoulli enuncia un principio generale: rimuovendo tutti gli attriti e le perdite, la macchina più perfetta in natura resta la semplice pompa a stantuffo (quella della figura 45). “Si enim ab impedimentis illis expolitis aliifve fimilibus for- talTe excogitandis animum abitrahas , machina in rerum natura perfefliflima erit fimplex antlia hgun quadragelimi quinti” – (fr:2337) [Se infatti distogli l’animo da quegli impedimenti esposti o da altri simili eventualmente immaginabili, la macchina più perfetta esistente in natura sarà la semplice pompa della figura quarantacinquesima]. Nessun artificio può far sì che con minor lavoro la stessa quantità d’acqua venga sollevata alla medesima altezza. Questo traguardo rappresenta il “ultimus perfedionis machinarum gradus , quem transgredi non licet, imo nec attingere quidem” – (fr:2373) [ultimo grado di perfezione delle macchine, che non è lecito oltrepassare e anzi neppure raggiungere].

17.7 Macchine a sollevamento senza impeto e loro difetti peculiari

Il discorso si sposta poi sulle macchine che trasportano acqua senza velocità notevole, come le norie. Bernoulli ne enumera gli ostacoli principali. In primo luogo, gli attriti sono enormi, specialmente quando tavolette quadrate o globi ovali scorrono in un canale adattato: “ut folx maximam potentia partem abforbeant” – (fr:2376) [tali che da soli assorbono la massima parte della potenza]. In secondo luogo, la perdita per gocciolamento è massiccia; se gli elementi sono ben adattati al canale l’attrito diventa quasi insuperabile, se viceversa sono laschi, “maxima aqux quantitas per hiatus relidos deftillat” – (fr:2378) [la massima quantità d’acqua cola attraverso i varchi lasciati aperti], tanto che alla sommità ne giunge solo una minima parte. Vi sono poi lo svantaggio di sollevare l’acqua oltre l’altezza necessaria (fr:2381) e la perdita dovuta all’applicazione obliqua della forza motrice (fr:2383). Per queste ragioni, Bernoulli disapprova simili macchine, soprattutto per acque limpide che possono essere sollevate con pompe, e consiglia di preferire le situlae (tazze) capaci di riempirsi appena immerse e di vuotarsi solo al culmine (fr:2386). Suggerisce inoltre di sfruttare l’impeto dell’acqua in caduta per mettere in moto ruote, come già indicato per la pompa di figura

17.8 Esempi quantitativi: il lavoro umano e la macchina di Marly

Per dare concretezza alle perdite, Bernoulli stima il lavoro utile ottenibile da un uomo. Un individuo di media statura, robusto, che cammina su una via inclinata di 30 gradi, può coprire in un’ora un dislivello verticale di 1800 piedi sollevando il proprio peso di 144 libbre (2 piedi cubici d’acqua). Di conseguenza, “Talis igitur homo poterit ope machinx calcatura circumagendx & perfeflillimx … fingulis horis duos pedes cubicos aqux ad altitudinem verticalem pedum elevare” – (fr:2391) [Un uomo siffatto potrà, con una macchina a calpestio perfettissima, sollevare ogni ora due piedi cubici d’acqua all’altezza verticale di 1800 piedi].

Ben più impressionante è il confronto con la celebre macchina di Marly. Dai dati forniti da Weidler, 14 ruote mosse dalla corrente della Senna ricevono una spinta equivalente a 000.594 libbre e si muovono a circa 3,5 piedi al secondo; ogni giorno vengono sollevate 700.000 libbre d’acqua a 700 piedi di altezza (fr:2397-2398). Bernoulli si appresta a mostrare che la potenza assoluta dissipata da tutti gli impedimenti riuniti è incredibile, e che una macchina semplicissima avrebbe potuto compiere lo stesso effetto con un dispendio enormemente inferiore. L’enorme divario tra la perfezione teorica e le realizzazioni pratiche sancisce il monito finale: “Qui majoribus intendit, putans poiTe minimo, labore feu … minima fosentia ahfeluta quemvis c(fedum in elevandis aquis defideratum pnftari, opinione fallitur, atque oleum & operam perdet” – (fr:2336) [Chi aspira a grandi risultati, credendo di poter ottenere con minimo lavoro, ossia con minima potenza assoluta, qualsiasi effetto desiderato nel sollevare le acque, si illude e perderà olio e fatica].

[18]

[18.1-86-2413|2496]

18 La coclea di Archimede nell’analisi di Daniel Bernoulli

Dalla Sezione Nona dell’Hydrodynamica (1738): una disamina geometrica e meccanica della vite idraulica, che ne ridimensiona le presunte virtù speciali e fissa le condizioni matematiche per il suo impiego ottimale.

Bernoulli apre la sua trattazione annotando come molti autori abbiano insegnato a costruire la coclea – un canale avvolto su una superficie cilindrica – imponendo che il canale mantenga ovunque la medesima inclinazione rispetto all’asse del cilindro, inclinazione che Vitruvio, «senza necessità», fissa per tutte le viti all’angolo di mezzo retto (45°):
“canalis … ubique eandem habeat inclinationem ratione axis cylindri, quam Vitruvius praeter neceflitatem in omnibus cochleis fieri jubet ad angulum femiredlum” – (fr:2413) [il canale abbia ovunque la stessa inclinazione rispetto all’asse del cilindro, che Vitruvio, senza necessità, prescrive per tutte le coclee essere di mezzo angolo retto].

Contro un’opinione diffusa, Bernoulli chiarisce che la macchina non possiede alcuna efficacia singolare: a parità di potenza assoluta e trascurando gli attriti, essa fa esattamente ciò che fanno tutte le altre macchine.
“falluntur autem qui ita cogitant: nam si obllaculorum accidentalium nulla habeatur ratio, idem praeflat eadem petentia abfolnta, quod reliquae machinae omnes” – (fr:2411) [sbagliano però coloro che pensano così: se infatti non si tiene conto di ostacoli accidentali, la medesima potenza assoluta realizza lo stesso risultato di tutte le altre macchine].

18.1 Tracciamento della spirale e sua legge primaria

La legge fondamentale della spirale è l’inclinazione costante rispetto all’asse. Per tracciarla sul cilindro con la massima facilità, Bernoulli propone un metodo assai semplice, specialmente quando le spire devono essere distanziate: far compiere a uno spago teso alcuni giri attorno alla superficie levigata del cilindro; il filo, da solo, formerà la linea desiderata, poiché una spirale che abbia inclinazione costante è anche la linea più breve fra due punti sulla superficie cilindrica.
“circumvolvendo eidem aliquoties funiculum: hic enim tenfus fua fponte defideratam lineam faciet” – (fr:2414) [avvolgendovi attorno più volte uno spago: questo infatti, tenuto teso, formerà spontaneamente la linea desiderata];
“indolem funiculo extenfo competere palam efl” – (fr:2416) [è chiaro che questa proprietà compete allo spago teso].
Se l’attrito impedisse il corretto posizionamento, basterà tendere il filo per tratti più brevi.

La costruzione geometrica formale consiste nell’immaginare la superficie cilindrica sviluppata in un parallelogramma rettangolo (Figure 52 e 53), in cui segmenti uguali presi sui due lati opposti vengono collegati da rette; riavvolgendo il piano sul cilindro quelle rette formano una linea continua, che è appunto la spirale cercata (fr:2418–2425).

18.2 Condizione geometrica per il sollevamento dell’acqua

Affinché la coclea possa sollevare acqua, il cilindro deve essere inclinato sull’orizzonte in maniera che l’angolo formato dalla base con l’orizzontale sia maggiore dell’angolo formato dalle tangenti al cerchio di base e alla spirale nel loro punto comune.
“angulus a AI H … sit major quam angulus t a», qupm faciunt tangentes circuli & fpiralis in communi pundo a” – (fr:2429) [l’angolo a A I H sia maggiore dell’angolo t a … formato dalle tangenti del cerchio e della spirale nel comune punto a].

Questa condizione è analizzata in dettaglio per i punti estremi di una spira: il punto più discosto dall’orizzonte (o), quello più basso (t) e quello situato alla stessa altezza di o nella spira sottostante (q). La determinazione di tali punti conduce a un’importante limitazione. Indicando con m il seno dell’angolo della spirale e con n il seno dell’angolo d’inclinazione del cilindro, Bernoulli dimostra che se m fosse maggiore di n non esisterebbe alcun punto più basso: la spirale salirebbe continuamente senza poter trattenere l’acqua.
“colligitur fieri non poiTe, ut m fit major quam n; neque enim in hoc cafu pundfum datur infimum … Neque etiam inferviet fic cochlea ad elevandas aquas” – (fr:2433) [si deduce che non può accadere che m sia maggiore di n; in questo caso infatti non si dà un punto più basso … e neppure così la coclea servirà a sollevare acqua].

18.3 Massima quantità d’acqua per giro e immersione corretta

In una spira, l’acqua non può riempire l’intero canale, altrimenti essa fuoriuscirebbe dall’imbocco inferiore. La porzione realmente occupata è l’arco di elica compreso tra il punto più alto o e il punto q di pari livello nella spira successiva: la massima quantità sollevata in una rivoluzione è proporzionale al rapporto fra l’arco opq e l’intera spira.
“pars igitur aqua plena cRepq, atque fi haec pars ponatur ad longitudinem totius helicis … erit maxima aquae quantitas una revolutione ejicienda” – (fr:2446) [la parte piena d’acqua è dunque o p q, e se questa parte si rapporta alla lunghezza dell’intera elica … si avrà la massima quantità d’acqua da sollevare in una rivoluzione].

L’immersione del fondo del cilindro deve essere regolata con precisione: sommergere l’intero fondale impedirebbe all’aria di entrare e separare l’acqua; farlo emergere troppo ridurrebbe o annullerebbe del tutto la presa. L’immersione ottima arriva fino al punto g, che rende massimo l’arco opq capace di trattenere il liquido.
“Debita autem fiet immerfio usque ad pund^mg, quia fic arcus helicis opq, qui aquam retinere valet maximus fet” – (fr:2447) [l’immersione appropriata si farà fino al punto g, perché così l’arco di elica o p q, che può trattenere l’acqua, sarà massimo].
Bernoulli aggiunge di non aver mai eseguito la prova, ma di preferire la ragione all’autorità di molti autori che non hanno prestato attenzione a questo aspetto (fr:2448).

18.4 La vite vitruviana e la sua efficienza

A titolo di esempio, Bernoulli calcola il comportamento della coclea costruita secondo Vitruvio: angolo della spirale di 45° (seno e coseno di 45°), e rapporto fra i segmenti N M : M G = 3 : 4, da cui si ricava un angolo di inclinazione del cilindro di circa 36° 52′ (seno n = 0,8, coseno N = 0,6). Ne derivano il punto più alto o corrispondente a un arco a g di 48° 35′, l’arco emerso sul fondo di 97° 10′ e l’arco immerso di 262° 50′ (fr:2455–2458). Il rapporto fra l’arco utile g h M s e l’intera circonferenza risulta circa 207° : 360°, ossia poco più di un terzo. Di conseguenza,
“singulis revolutionibus cochlea <i Vitruvio deicripta proxime ejici illius quantitatis, quam helix integra & plena continet, feu pauUulum ultra trientem” – (fr:2469) [a ogni rivoluzione, la coclea descritta da Vitruvio solleva circa quella quantità che un’elica intera e piena conterrebbe, ossia poco più di un terzo].

18.5 Ottimizzazione e progetto migliorato

Poiché le perdite per attrito sono pressoché costanti, conviene massimizzare la quantità d’acqua sollevata a ogni giro. Bernoulli osserva che il rapporto fra l’arco utile e la circonferenza cresce al diminuire sia dell’angolo della spirale (s a) sia dell’angolo di inclinazione dell’asse (N M G). Diminuire il primo non comporta inconvenienti gravi se non un possibile avvicinamento eccessivo dei fianchi del canale; diminuire il secondo, invece, rende la macchina più verticale, il che agevola il sostegno e consente di sollevare l’acqua più in alto, fermo restando che l’angolo di inclinazione del cilindro deve restare superiore a quello della spirale.
“crefcere rationem arcus g r ad circumferentiam circuli decrefcentibus angulis /ao & NM G uterque igitur minimus efleC condruendus” – (fr:2474) [il rapporto dell’arco g r rispetto alla circonferenza cresce al decrescere degli angoli /a o e N M G: entrambi andrebbero quindi resi minimi].

Egli propone pertanto una spirale con angolo di soli 5° rispetto alla base del nucleo e un’inclinazione dell’asse di 60° (fr:2475 e 2483). In questo caso l’arco utile risulta di 276° 14′, cioè oltre i ⁴⁄₅ dell’intera capacità dell’elica, e la macchina fornisce circa 2⅓ volte l’acqua sollevata dalla corrispondente vite vitruviana, innalzandola inoltre più in alto nel rapporto di 3 a 2 (fr:2485).
“plus quam quatuor quintx partes integrx helicis capacitatis, duplumque cum triente prxterpropter hac machina efficiatur, quam obtinetur (Imili machinatione ad mentem Vitruvii fabricata : altius quoque eodem nucleo elevantur aqux in ratione ut j ad a” – (fr:2485) [più dei quattro quinti della capacità dell’elica piena, e con questa macchina si ottiene circa due volte e un terzo quanto si ottiene con analoga costruzione alla maniera di Vitruvio: anche più in alto, con lo stesso nucleo, le acque sono sollevate nel rapporto di 3 a 2].

Cardano, ricorda Bernoulli, aveva già adottato un angolo più piccolo di quello vitruviano, montando solo tre canali (anziché otto) ma più lunghi, compensando in lunghezza ciò che perdeva in numero (fr:2477).

18.6 Potenza necessaria e principio della leva

Trascurando gli attriti, la potenza assoluta richiesta per trattenere l’acqua ferma in una spira è esattamente quella che si avrebbe se l’intero peso fosse concentrato nel punto più basso t. Bernoulli lo dimostra per via geometrica scomponendo l’azione verticale del peso in una componente parallela all’asse e una perpendicolare, quest’ultima agente su un braccio di leva che corrisponde al seno dell’arco di posizione. Dividendo il momento così ottenuto per il raggio della base (che è il braccio della potenza tangenziale applicata al punto f), si ottiene direttamente la forza equilibrante, in perfetto accordo con la meccanica della leva.
“Facile quidem efl m antecei^ sum prxvidere, in utroque cafu easdem fore potentias ex regalis mechani- cx indiredis; placet tamen hujos rei demonllrationem dare ex natura vedis petitam” – (fr:2492) [È ben facile prevedere che in entrambi i casi le potenze saranno le stesse, per le leggi generali della meccanica; tuttavia piace dare una dimostrazione di ciò ricavata dalla natura della leva].
E poiché la potenza movente è proporzionale alla quantità d’acqua sollevata, ogni variazione di quest’ultima, a parità di altre condizioni, non altera il rendimento assoluto della macchina.

L’intera sezione testimonia il passaggio da una trattazione precettistica di stampo vitruviano a un’analisi razionale basata sulla geometria e sulla meccanica, offrendo al contempo prescrizioni pratiche – come il metodo dello spago e la regola dell’immersione – che conservano intatta la loro validità.

[19]

[19.1-52-2512|2563]

19 Macchine mosse dall’impulso dei fluidi: potenza assoluta, perdite e massimo effetto nella trattazione di Daniel Bernoulli

Il testo, tratto dalla Hydrodynamica, esamina le condizioni di efficienza delle macchine azionate dall’impulso di acqua e vento, partendo da un confronto generale fra dispositivi mossi da forze animate e quelli che sfruttano la gravità o l’urto dei fluidi. L’autore osserva che le stesse leggi valgono per entrambe le categorie, poiché sempre la «potenza» motrice moltiplicata per il tempo e per la velocità del punto di applicazione fornisce un prodotto riconducibile alla quantità d’acqua sollevabile a una certa altezza, “fempus enim patentia mavtns duda in tempus & velocitatem pundi cui potentia cft applicata, dabit produdum ex quantitate aqux & altitudine ad quam ifta quantitas aflumto tempore elevari poffit ope machinx propofitx, fcpofitis impedimentis alienis” – (fr:2515) [sempre infatti la potenza motrice moltiplicata per il tempo e per la velocità del punto a cui è applicata darà il prodotto della quantità d’acqua per l’altezza a cui quella quantità, nel tempo considerato, può essere innalzata mediante la macchina proposta, rimossi gli impedimenti esterni].

La discussione distingue subito il caso ideale, in cui nulla della «potenza assoluta» (potentia absoluta) va perduto, da quello reale, dove la massima parte può disperdersi. Viene richiamato il principio di conservazione dell’effetto nella caduta e risalita dell’acqua: “defcenfu 8 pedum cubicorum ex altitudine unius pedis pofTint totidem rurfus elevari pedes cubici ad fimilem altitudinem aut pedes cubici ad altitudinem duorum pedum, aut unus pes cubicus ad altitudinem pedum” – (fr:2519) [con la discesa di 8 piedi cubici dall’altezza di un piede si possono sollevare altrettanti piedi cubici alla medesima altezza, ovvero 4 piedi cubici a due piedi, o un piede cubico a 8 piedi]. Come esempio concreto è citata la macchina a secchie concatenate di O. Franchini, nella quale la serie discendente, più pesante, trascina in moto perpetuo la serie ascendente che solleva acqua a un livello superiore ma in copia minore; analoghi dispositivi a tubi con rubinetti sincronizzati sono descritti da Carlo Fontana. Subito dopo, però, si mette in guardia dal ritenere che un semplice getto d’acqua cadente sulle pale di una ruota possa ottenere il medesimo risultato: “At fi quis credat poffe ex impetu aquarum ex certa altitudine delapfarum & in madiinx alas impingentium idem obtineri, is longe aberrabit” – (fr:2521) [Ma se qualcuno credesse di poter ottenere lo stesso dall’impulso di acque cadute da una certa altezza e urtanti le ali di una macchina, si sbaglierebbe di gran lunga]. Tale macchina, infatti, apparterrebbe alla classe in cui “maxima /ottatim a^olM$4 pars evanefcit Gne irudo”* – (fr:2523) [la massima parte della potenza assoluta svanisce senza frutto].

Per studiare con precisione l’effetto ottenibile dall’impulso di acqua o vento e le circostanze che lo rendono massimo, Bernoulli imposta un’analisi quantitativa adottando temporaneamente la teoria comune dell’impulso, pur riconoscendola falsa. La teoria comune afferma che se un liquido fuoriesce da un ampio serbatoio attraverso un foro con tutta la velocità dovuta al battente e colpisce frontalmente un piano, l’impulso equivale al peso di un cilindro d’acqua di base uguale al foro e altezza pari al battente. L’autore commenta: “Experimento uidem fallad audores fedudi hanc (labilivemnt theoriam omnino falfam.” – (fr:2528) [Sedotti da un esperimento fallace, gli autori stabilirono questa teoria del tutto falsa]; tuttavia, non avendo ancora esposto la propria teoria vera, si concede di “vulgari fententiae, quamvis erroneae, adhaerere” – (fr:2531) [attenersi all’opinione comune, per quanto erronea].

Il calcolo è condotto sullo schema di una pompa (Fig. 54) che spinge acqua verticalmente da un’apertura C entro un secondo recipiente forato in D; il getto uscente da D colpisce un punto G di una leva incernierata in H, la quale solleva altra acqua all’estremità opposta. Definita a l’area del foro, v la velocità del getto, p il peso del cilindro d’acqua di base a e altezza pari al dislivello CE, e t il tempo, la potenza assoluta spesa per innalzare l’acqua attraverso C è data da “fftcntia ahfohaa in aquas per Cejedas impenfaZ: vxtZZtvt” – (fr:2541) [potenza assoluta impiegata nell’acqua espulsa attraverso C = p v t]. Per la leva, detta V la velocità del punto d’impulso G, la pressione efficace è proporzionale a (v‑V)² secondo la comune legge dell’urto, e la potenza assoluta necessaria a mantenerla in rotazione con velocità V risulta “( —— ) fxVxt”* – (fr:2544), ovvero ((v‑V)²/v²) p V t.

Dal confronto si ottiene il rapporto fra potenza totale e potenza utile: “utp v r ad ( ) pVt, feuutv’ ad (v— V) V” – (fr:2548) [come p v t sta a ((v‑V)²/v²) p V t, ossia come v³ sta a (v‑V)² V]. Ne deriva che il massimo effetto si ha quando V = v/3: in tal caso la potenza assoluta utile è ⁴⁄₂₇ p v t, e “etiamnum viginti tribus vigefimis feptimit partibus deficit , <1 potentia fimili , qux in elevandas aquas ex C in £ F im< penditur” – (fr:2553) [ancora manca di ventitré ventisettesimi rispetto all’analoga potenza che si impiega per sollevare l’acqua da C in EF]. In termini pratici, per sfruttare una caduta d’acqua naturale mediante una ruota a impulso occorre fare in modo che la ruota si muova, nel punto d’urto, a velocità sub‑tripla di quella del fluido: “faciendum ed ut ma- china eo in loco, quo fit impulfus, velocitate moveatur fubtripla velocitatis flui- di impingentis”* – (fr:2554). Condizione sempre realizzabile, come mostra l’esempio della leva, regolando il braccio o la quantità d’acqua sollevata.

L’ultima parte del brano estende il discorso all’azione obliqua dei fluidi sulle pale dei mulini a vento. Vengono riferite due regole tradizionali: per una superficie che ruota immersa in un ambiente tutto pervaso dal vento, l’angolo di massima spinta rotatoria ha il seno pari a √(2/3); per una vena isolata che colpisce una superficie comunque inclinata, l’angolo ottimo è semiretto (45°). Bernoulli osserva però che entrambe le regole presuppongono un moto delle pale trascurabile rispetto a quello del fluido, mentre “in moletrinis enim fxpe obfervavi , extremitates alarum velocitate ferri , iplam fere venti velocitatem exaequante” – (fr:2562) [nei mulini infatti ho spesso osservato che le estremità delle ali si muovono con velocità quasi uguale a quella del vento]. Di conseguenza, quando si tiene conto del moto relativo, le due regole risultano entrambe false, e il testo si conclude con l’introduzione di un nuovo calcolo che considera entrambi i moti, a partire dalla nuova figura (DEBA).

[20]

[20.1-57-2625|2680]

20 Dalla teoria cinetica dei gas alla misura del calore: elasticità dell’aria e termometria in Daniel Bernoulli

Confronto tra ipotesi meccaniche, esperimenti di Amontons e nuove osservazioni condotte a San Pietroburgo per definire una scala di calore fondata sull’elasticità dell’aria.

Il testo indaga il comportamento dell’aria in relazione a pressione, volume e calore, a partire da un modello microscopico in cui le particelle sono considerate sferiche. Vengono definite le distanze medie tra i centri e tra le superfici dei globuli in due configurazioni di un ipotetico opercolo EF, indicando con D la distanza tra i centri nel primo stato e con d il diametro dei globuli, così che la distanza media tra le superfici risulti D − d. Passando a uno stato in cui tutte le particelle si toccano, la distanza tra i centri diviene d e l’autore la denota con m, ottenendo rapporti di forze che esprimono la compressione: “erunt tandem vires aëris naturalis E C D F & compressi «C D/ut t — V» ad i— V»»” – (fr:2624) [saranno infine le forze dell’aria naturale E C D F e dell’aria compressa C D come (t − √…) sta a (i − √…)], stabilendo che “pondera comprimentia fiant fere in ratione inversa spatiorum , quae aër diversimode compressus occupat” – (fr:2624) [i pesi comprimenti stanno quasi in ragione inversa degli spazi che l’aria variamente compressa occupa]. L’autore avverte però che la regola vale con sicurezza solo per aria più rarefatta della naturale, mentre per aria molto densa “non satis exploratum habeo” – (fr:2625) [non ho sufficiente certezza], mancando esperimenti condotti con l’accuratezza necessaria.

L’aumento dell’elasticità non dipende soltanto dalla condensazione: “Elasticitas interim aëris non solum condensatione augetur, sed & ab aucto calore” – (fr:2627) [L’elasticità dell’aria è accresciuta non solo dalla condensazione, ma anche dall’aumento del calore], e poiché il calore cresce con l’intensificarsi del moto intestino delle particelle, ne segue che l’elasticità di un’aria che non muta volume segnala un moto particellare più intenso, in accordo con l’ipotesi dell’autore. Il peso P capace di trattenere l’aria in una data posizione segue la ragione duplicata della velocità delle particelle, perché “ab aucta velocitate tum numerus impetuum tum intensitas eorundem aequaliter crescat” – (fr:2628) [all’aumentare della velocità crescono in egual misura tanto il numero degli impulsi quanto la loro intensità]. Detta v la velocità, il peso risulta “proxime = t v² / P” – (fr:2629) [approssimativamente = t v² / P], una volta considerati i rapporti numerici molto piccoli rispetto all’unità.

Il testo introduce poi il teorema, appreso dall’esperienza, di Guillaume Amontons, secondo cui “aëris cujuscunque densitatis sed eodem caloris gradu gaudeantis elasticitates esse ut densitates” – (fr:2630) [le elasticità di un’aria di qualsiasi densità, ma dotata del medesimo grado di calore, stanno fra loro come le densità], e quindi gli incrementi di elasticità dovuti a un aumento di calore sono proporzionali alle densità. Viene riportato l’esempio numerico tratto dalla Memoria di Amontons del 1702: se un’aria naturale di medio calore sostiene un peso di 100 libbre e, riscaldata, arriva a sopportarne 120, allora la stessa aria condensata a metà spazio e condotta agli stessi gradi di calore potrà sostenere 200 e 240 libbre, cosicché gli incrementi di 20 e 40 libbre generati dall’aumento di calore risultano proporzionali alle densità (fr:2631–2636). Amontons valutava inoltre il rapporto tra l’elaterio dell’aria «temperata» e quello dell’aria a calore di acqua bollente “proxime ut 3 ad 4 vel accuratius ut ff ad 73” – (fr:2637) [approssimativamente come 3 a 4, o più esattamente come 100 a 73].

L’autore contesta questi risultati sulla base di esperimenti propri, dichiarando di aver trovato che “aërem calidissimum, qualis maxime fervente in hisce terris est aestate, tanti nondum esse elateris, quantum D. Amontons aëri tribuit temperato” – (fr:2638) [l’aria caldissima, quale d’estate si ha in queste terre durante la massima calura, non possiede ancora un’elasticità pari a quella che Amontons attribuisce all’aria temperata]. La critica metodologica è esplicita: negli esperimenti di Amontons “aër non conservavit suum volumen ejusque variationis nulla ab Auctore habita fuerit ratio in calculo” – (fr:2639) [l’aria non conservò il proprio volume e l’autore non tenne alcun conto della sua variazione nel calcolo].

Seguono le misure condotte a San Pietroburgo. Il 25 dicembre 1731, nel giorno più freddo, l’elasticità dell’aria stava a quella dell’aria scaldata ad acqua bollente come 1000 a 1000? (il testo riporta “utf23adiooo”, di lettura incerta). Il 21 gennaio 1733 il freddo fu molto più intenso e l’elasticità scese “infra dimidiam ejus quam habet similis aër ad aquam bullientem calefactus” – (fr:2647) [al di sotto della metà di quella che possiede un’aria simile scaldata ad acqua bollente]. Nell’estate del 1731, nel luogo più ombroso, l’elasticità massima raggiunse circa 1 e ¼ (o un valore corretto) rispetto a quella dell’aria più fredda. L’autore osserva che “maximas igitur caloris variationes in aëre hic locorum contineri intra terminos 3 & 4, quos in Anglia non ultra terminos 7 & 8 excurrere legi” – (fr:2649) [le massime variazioni di calore nell’aria, in questo luogo, sono contenute entro i limiti di 3 e 4, mentre in Inghilterra ho letto che non oltrepassano i limiti di 7 e 8]. Un calore la cui elasticità raggiunga i tre quarti di quella dell’aria all’acqua bollente è già, a suo giudizio, “corpori animali fere intolerabilem esse puto” – (fr:2650) [quasi intollerabile per il corpo animale].

Per dare una misura del calore, l’autore propone di ancorarla all’elasticità dell’aria a densità costante: “mihi quidem videtur non incongrue aëris calorem nisi communis sit densitatis proportionalem statui ejus elasticitati” – (fr:2651) [a me pare non incongruo stabilire che il calore dell’aria, purché di densità comune, sia proporzionale alla sua elasticità]. Il primo grado fisso di calore è tratto dall’acqua piovana bollente, “quia huic procul dubio ubique terrarum idem proxime caloris gradus est” – (fr:2652) [poiché questa, senza dubbio, ha ovunque sulla terra approssimativamente lo stesso grado di calore]. Con questa scala, i calori dell’acqua bollente, dell’aria caldissima d’estate e dell’aria freddissima d’inverno in quelle terre stanno fra loro “proxime ut 6, 4 & 3” – (fr:2653) [approssimativamente come 6, 4 e 3].

Lo strumento impiegato per queste determinazioni è un barometro ordinario sigillato ermeticamente in m e trasformato in termometro ad aria, “mutationibus barometricis non obnoxium” – (fr:2659) [non soggetto alle variazioni barometriche]. Se lo spazio occupato dall’aria AF è assai grande rispetto allo spostamento del mercurio, il calore risulta proporzionale all’altezza BD della colonna di mercurio. Immerso verticalmente in acqua bollente, si osserva il punto G raggiunto dalla superficie del mercurio; per un qualunque altro calore che porti il mercurio al punto D, il rapporto fra i calori sarà ut B D ad B G – (fr:2662) [come BD sta a BG]. L’autore consiglia di scegliere un’altezza BE non inferiore a quattro piedi, o maggiore se si vogliono saggiare fluidi bollenti più caldi dell’acqua; per ottenere termometri più piccoli (quattro o sei pollici) si può sigillare l’ampolla sotto la fiamma di una lampada, facendo uso di un tubo capillare che si richiude rapidamente (fr:2666). Lo spazio sopra il mercurio dev’essere reso il più possibile vuoto: la prova del vuoto non va affidata al contatto del mercurio con l’estremità in posizione orizzontale, perché l’aria residua potrebbe annidarsi nei pori del mercurio, ma “tutius erit examen admovendo partem D E flammae: si enim a calore flammae superficies O locum non mutet, indicium erit certum vacuum esse ab aëre spatium E D” – (fr:2669) [sarà più sicura la verifica avvicinando alla parte D E una fiamma: se per il calore della fiamma la superficie O non muta posizione, sarà prova certa che lo spazio E D è vuoto d’aria].

L’assunzione che lo spazio A F sia pressoché infinito rispetto a D G o D E diventa fonte di errore sensibile quando è soltanto otto o dieci volte maggiore: “atque hinc conjicio ortum esse errorem aliquem in definiendo elatere aëris mediocriter calidi in experimentis Amontonianis” – (fr:2670) [e di qui congetturo che sia sorto qualche errore, negli esperimenti di Amontons, nel determinare l’elasticità dell’aria moderatamente calda]. Per condurre l’esperimento con la massima accuratezza occorre inclinare lo strumento finché il mercurio raggiunge il punto g (lo stesso in cui si arrestava per il calore dell’acqua bollente in posizione verticale) e misurare l’altezza verticale g i, la quale sta a G B come l’elasticità cercata sta a quella dell’aria a calore di acqua bollente (fr:2671). In questo modo “calores erunt proprie in ratione altitudinum g b” – (fr:2672) [i calori saranno propriamente in ragione delle altezze g b].

L’autore riconosce che il grado di calore dell’acqua bollente potrebbe non essere perfettamente identico in ogni circostanza e propone un metodo per fissare il primo grado in modo certo: noti la densità dell’aria (gravità specifica) e l’altezza barometrica al momento in cui il termometro inclinato porta il mercurio in g. Ad esempio, se il barometro segna 28 pollici di Parigi e un piede cubo d’aria pesa 500 grani di Norimberga, quell’altezza verticale g b definisce il primo grado di calore; in condizioni diverse (29 pollici e 520 grani) l’altezza corrispondente sarà “X g b” – (fr:2680) [un’altezza verticale proporzionale a g b], così da rendere la scala termometrica trasportabile e indipendente dalla supposta invariabilità dell’acqua bollente (fr:2673–2680).

[21]

[21.1-43-2703|2741]

21 La misura dell’atmosfera e le cause nascoste delle variazioni del barometro

L’analisi si apre con un approfondimento sui principî dell’idrostatica applicati all’aria, muovendo da un apparente paradosso. Se si immaginano due colonne d’aria comunicanti tramite orifizi, si potrebbe credere che la pressione sul fondo di ciascuna sia determinata unicamente dal peso della colonna d’aria sovrastante. Tuttavia, l’autore chiarisce che, a determinate condizioni, “pressiones tam in fundis A & B quam in diaphragmate g & h sint inter se aequales” - (fr:2700) [le pressioni tanto sui fondi A e B quanto sul diaframma g e h siano tra loro uguali]. Questo risultato, che può apparire “mirum id primo intuitu quibusdam fortasse erit” - (fr:2700) [a prima vista parrà forse strano ad alcuni], si basa sulla configurazione per cui i tubicini trasversali rimangono aperti, rendendo il fluido un sistema unico. Solo immaginando i condotti “singula obturata” - (fr:2701) [otturati singolarmente], la pressione sul fondo corrisponderebbe al semplice peso della colonna sovrastante e il fluido si comporterebbe come un “simplex fluidum grave omni elasticitate destitutum” - (fr:2701) [semplice fluido grave privo di ogni elasticità].

Questa introduzione serve a stabilire un principio fondamentale: la densità dell’aria non è costante, ma dipende dal calore. Come sottolinea il testo, “Jam notavi densitatem aeris in quovis tuborum verticalium loco pendere a calore respondente: Et cum diversi esse possint caloris gradus manente aequilibrio, diversae quoque esse poterunt densitates.” - (fr:2699) [Ho già notato che la densità dell’aria in qualunque luogo dei tubi verticali dipende dal calore corrispondente: E poiché possono esserci diversi gradi di calore rimanendo l’equilibrio, diverse potranno essere anche le densità]. Ne deriva che, fissando due strati alla stessa altitudine, “minime requirere rei naturam, ut sint pondera columnarum […] inter se aequalia, quamvis […] suprema strata utrobique esse aeque densa, quia sunt ad aequilibrium posita & communem habent altitudinem.” - (fr. 2699, 2704) [la natura della cosa non richiede affatto che i pesi delle colonne siano tra loro uguali, sebbene gli strati supremi siano ugualmente densi, perché sono posti in equilibrio e hanno altezza comune].

Su queste basi, l’autore demolisce un diffuso equivoco legato all’interpretazione del barometro. Quando lo strumento viene trasportato da un luogo basso a uno più elevato, la discesa del mercurio non va intesa come la misura diretta del peso della colonna d’aria che si è attraversata. “Igitur quum in barometro ex loco humiliori veluti A in altiorem g transportato mercurius descendit, non sequitur pondus columnae mercurialis, quae in barometro descendit aequale esse ponderi columnae aereae ejusdem diametri & altitudinis kg, quod ab aliquibus ita asseritur” - (fr:2706) [Dunque, quando in un barometro trasportato da un luogo più basso come A a uno più alto g il mercurio discende, non ne consegue che il peso della colonna di mercurio, che discende nel barometro, sia uguale al peso della colonna d’aria dello stesso diametro e dell’altezza kg, come da alcuni si asserisce]. A riprova, l’autore osserva che se così fosse, la misura varierebbe con la temperatura, mentre nei fatti “ceteris paribus columna mercurii descendens eadem erit tam tempore hyemali quam aestivo” - (fr:2706) [a parità di altre condizioni, la colonna di mercurio che discende sarà la stessa tanto in tempo invernale quanto estivo].

Analogamente, viene criticato il metodo storico con cui in Inghilterra si tentò di determinare il rapporto tra la gravità specifica dell’aria e del mercurio confrontando direttamente la differenza di altezza del mercurio con l’altezza dei luoghi di osservazione: “Etiamsi aer ejusdem densitatis ponatur ab imo observationis loco ad alterum usque, non licet tamen inde judicare de ejus gravitate specifica ratione mercurii” - (fr:2712) [Sebbene si ponga l’aria della stessa densità dal luogo di osservazione inferiore fino all’altro, non è tuttavia lecito giudicare da ciò la sua gravità specifica rispetto al mercurio]. L’esperimento, infatti, non misura la gravità specifica locale dell’aria, bensì determina un valor medio. Sulle orme dei dati empirici, viene fornita una regola fondamentale: “elevationi 66 pedum proxime descensum respondere unius lineae in barometro” - (fr:2714) [a un’elevazione di 66 piedi corrisponde approssimativamente la discesa di una linea nel barometro]. Da questo dato scaturisce il calcolo della gravità specifica media dell’aria: “ut altitudo unius lineae ad altitudinem 66 ped. id est, ut 1 ad 9504; ergo posita gravitate specifica mercurii = 13, erit gravitas specifica media aeris = 0,000104” - (fr:2715-2716) [come l’altezza di una linea all’altezza di 66 piedi, cioè come 1 a 9504; quindi posta la gravità specifica del mercurio = 13, sarà la gravità specifica media dell’aria = 0,000104]. L’autore mostra stupore per questo valore, notando come sia comparabile a quello dell’aria invernale, e ipotizza una distribuzione geografica della densità: all’equatore sarebbe molto minore, mentre alle latitudini polari crescerebbe fino a diventare forse “aqua vix decies levior, cum est frigidissimus atque densissimus” - (fr:2720) [appena dieci volte più leggera dell’acqua, quando è freddissima e densissima].

La seconda parte del testo è dedicata alla dinamica delle variazioni barometriche. Si analizza cosa accade quando l’aria in un settore viene subitamente riscaldata. Se l’aria fosse priva di inerzia, l’espansione non altererebbe la pressione totale. Ma, “posita autem ista inertia supervenit quaedam pressio in omnes plagas eaque maxime sensibilis in regione A. Crescet igitur ad tempus altitudo mercurii in utroque barometro, magisque crescet in A quam in B.” - (fr:2721) [posta invece quell’inerzia, sopravviene una certa pressione in tutte le direzioni, massimamente sensibile nella regione A. Crescerà dunque per un certo tempo l’altezza del mercurio in entrambi i barometri, e crescerà più in A che in B]. L’effetto opposto si ha con una repentina condensazione. Una modellizzazione mostra come una piccola variazione di calore negli strati bassi e densi possa produrre escursioni notevoli, persino teoricamente illimitate, proprio a causa della “insignem aeris densitatem in partibus inferioribus, qua fieri potest, ut in parte Ag multo plus aeris contineatur […] quam in reliqua gC, etiamsi longitudine infinita” - (fr:2727) [straordinaria densità dell’aria nelle parti inferiori, per la quale può accadere che nella parte Ag sia contenuta molta più aria che nella restante gC, anche se di lunghezza infinita].

Ma qual è l’origine reale di questi improvvisi mutamenti termici nell’atmosfera inferiore? L’autore propone una tesi sorprendente: le variazioni barometriche non derivano primariamente dall’alta atmosfera o dai semplici mutamenti meteorologici superficiali, bensì dalle “celeribus caloris mutationibus in cryptis subterraneis” - (fr:2731) [rapide mutazioni di calore nelle cripte sotterranee]. Si argomenta che esistono immense cavità naturali e reti di pori nella terra solida che possono scambiare calore con l’aria. Anche supponendo che il volume delle cavità raggiunga solo una frazione minima del volume della terra solida fino a 000 o 000 piedi di profondità, l’effetto sarebbe comunque sufficiente “ad maximas barometri mutationes explicandas” - (fr:2732) [a spiegare le massime mutazioni del barometro]. Questa ipotesi spiegherebbe anche perché le variazioni siano più forti in certe regioni continentali rispetto agli oceani: i luoghi vicini alle cripte sono più soggetti a venti e variazioni, “quae fortasse ratio est, quod versus aequatorem, ubi omnia fere pontus, minores variationes in barometro observentur quam in locis hisce septentrionalibus” - (fr:2734) [che è forse la ragione per cui verso l’equatore, dove quasi tutto è mare, si osservano minori variazioni nel barometro che in questi luoghi settentrionali].

L’autore liquida invece le esalazioni di vapore acqueo dal suolo come causa marginale: anche nella più violenta pioggia, il mercurio salirebbe di appena una linea. La vera causa deve essere subitanea, non lenta a distribuirsi. Le variazioni rapide e su larga scala sono ben testimoniate, secondo il testo, dai terremoti che si propagano istantaneamente per centinaia di miglia, chiara prova che “magnas & celeres in terrae visceribus fieri posse mutationes” - (fr:2740) [nelle viscere della terra possono avvenire mutazioni grandi e rapide].

[22]

[22.1-37-2843|2876]

22 Sulla densità dell’aria alle diverse latitudini e la teoria della rifrazione atmosferica

Il testo, tratto dalla Sectio Decima dell’Hydrodynamica di Daniel Bernoulli, indaga il comportamento dell’atmosfera in condizioni non isoterme, proponendo un modello di densità variabile con la latitudine e sviluppando una digressione sulla rifrazione dei raggi luminosi. L’autore parte dall’osservazione che l’ipotesi di temperatura uniforme – la quale condurrebbe a densità elastiche proporzionali e altitudini barometriche logaritmiche – non regge al confronto con l’esperienza:

“Si xqualis effet ubique calor, forent utique denfitates elaflicitatibus ad fenfus proportionales , refponderentque altitudines verticales logarithmis altitudinum barometricarum : At vero id experimentis repugnare pono” – (fr:2841) [Se il calore fosse ovunque uguale, le densità sarebbero certamente proporzionali alle elasticità, e le altezze verticali corrisponderebbero ai logaritmi delle altezze barometriche: ma suppongo che ciò ripugni agli esperimenti.]

Bernoulli afferma che nonostante il calore si distribuisca rapidamente in un corpo raro, possono sussistere differenze termiche persistenti. Di conseguenza, la densità dell’aria non segue la stessa legge di decremento dell’elasticità. In particolare, nei luoghi più remoti dal sole, come le regioni polari, il forte freddo può rendere l’aria molto più densa ai bassi strati:

“Alia autem res eft in locis remotioribus, nec enim abfurdum puto aerem vel decies denhorem datuere fub polis , quam fub xquatore , fl modo aer utrobique accipiatur fuperheiei terrx proximus” – (fr:2842) [Altra è la situazione nei luoghi più remoti, e infatti non ritengo assurdo supporre che l’aria presso i poli sia anche dieci volte più densa che sotto l’equatore, purché si prenda in entrambi i casi l’aria immediatamente prossima alla superficie terrestre.]

Egli osserva però che in grandi altezze la differenza di densità tra le colonne d’aria polari ed equatoriali si riduce, sicché il decremento di densità con la quota risulta assai disuguale: molto più rapido sotto i poli che sotto l’equatore. Ciò è confermato dal fatto che la cima del Pico di Tenerife è coperta di neve per circa dieci mesi all’anno, mentre sull’isola stessa non nevica mai (fr:2844). Bernoulli stima quindi che le densità medie diminuiscano secondo un rapporto del tipo (aaooo-f-x) a 32000, mentre le elasticità decrescono ovunque in ragione di (xaooo -f-ar) a 22000; e aggiunge che queste grandezze, sulle stesse superfici di livello della terra, possono differire solo per cause fortuite e di breve durata.

Per le terre comprese tra il quarantesimo e il sessantesimo grado di latitudine, Bernoulli giudica probabile che densità ed elasticità calino approssimativamente nella stessa proporzione. È proprio questa ipotesi che lo spinge a saggiare la teoria della rifrazione che ne deriva, dando avvio alla Digressio de refractione radiorum per atmosphaeram transeuntium (fr:2847).

Richiamata la proprietà ottica fondamentale secondo cui il rapporto tra il seno dell’angolo d’incidenza e quello dell’angolo di rifrazione è costante, Bernoulli introduce la nozione di angulus refractionis differentialis, definito come l’angolo compreso tra il raggio incidente prolungato e il raggio rifratto (fr:2849). Per variazioni infinitesime di densità, il seno di tale angolo risulta proporzionale al seno dell’angolo d’incidenza diviso per il suo coseno (fr:2850). L’esperienza mostra inoltre che, a parità di altre condizioni, l’angolo di rifrazione differenziale è proporzionale alla differenza di densità tra i due mezzi (fr:2851).

A sostegno di queste relazioni Bernoulli cita gli esperimenti di Hauksbee, condotti con aria molto condensata e molto rarefatta, fino al vuoto. Da quei dati si ricava che, se un raggio passa dall’aria naturale al vuoto con un angolo d’incidenza di 32 gradi, il seno dell’angolo di rifrazione differenziale sta al seno totale come 5 pollici e ¼ (f 4 pollices) a 2 piedi e 88? (ad 2 f 88 > pedes), cioè circa 1 a 6060; e a parità di condizioni, ma con angolo semiretto, tale rapporto diventa 1 a 3787 (fr:2852). Da qui si deduce il rapporto tra il seno dell’angolo d’incidenza e quello dell’angolo di rifrazione per il passaggio aria-vuoto: 3787 a 3786 (fr:2853). Newton, invece, nella sua Optics, assume il rapporto 3201 a 3200, deducendolo dalla quantità di rifrazione osservata dagli astronomi, supponendo che gli strati rifrangenti siano paralleli e che rimanga invariata la differenza di densità tra il primo e l’ultimo strato (fr:2854). Bernoulli avverte però che la rifrazione dell’aria “naturale” è soggetta a molte variazioni dovute al calore, al freddo e alla pressione atmosferica, che insieme concorrono a determinare la densità cui le rifrazioni sono proporzionali (fr:2855).

Applicando queste idee al profilo curvilineo di un raggio luminoso entro l’atmosfera (Fig. 30), Bernoulli pone la densità dell’aria nella forma D = costante – G, con x esprimente l’altezza in piedi parigini e G la densità nel luogo di osservazione. Attraverso passaggi geometrici e analitici che coinvolgono il seno dell’altezza apparente dell’astro f, il suo coseno F, il raggio terrestre r e il parametro g (angolo di rifrazione differenziale per il passaggio aria-vuoto con incidenza semiretta), egli giunge a un’espressione per l’angolo totale di rifrazione FAH. La formula assume due forme a seconda che il termine C risulti positivo (per altezze apparenti inferiori a 2° 44’) o negativo.

Per il calcolo pratico della rifrazione astronomica, anziché determinare sperimentalmente g con precisione, conviene fissare una rifrazione nota in un caso particolare e da essa dedurre le altre. Assumendo, come molti astronomi parigini, che a 10 gradi di altezza la rifrazione valga 5 minuti (fr:2870), Bernoulli presenta una tavoletta numerica per diverse altezze apparenti. La tabella riporta:

(fr:2871-2876, interpretazione delle cifre lacunose: il testo trascrive «ogrtult S IO M zo JO 3S 40 4f refrad.» seguito da «34SS′/». e poi «9 . . . . f9 - - f .». È plausibile che si tratti di 34′ 58″ per 5°, 5′ 59″ per 10°, e così via.)

L’insieme del brano testimonia lo sforzo settecentesco di collegare le osservazioni meteorologiche e astronomiche con la fisica dei fluidi elastici. Bernoulli integra le misure di Hauksbee e Newton, proponendo un modello di atmosfera a più dimensioni – latitudine e quota – e gettando le basi per un calcolo analitico della rifrazione fondato su ipotesi meccaniche della densità dell’aria.

[23]

[23.1-42-2900|2940]

23 L’aria omogenea e la dinamica dei fluidi elastici

Il testo indaga la relazione tra calore, elasticità e densità dell’aria, introduce il concetto di altitudo aeris homogenei e ne mostra le implicazioni per la propagazione del suono e per il deflusso di aria da un recipiente.

Dai principi sull’agitazione delle particelle aeree, da cui dipende il calore dell’aria, si stabilisce un legame fisico fondamentale: “apparet gradum eundem caloris aeri inesse, quoties eadem ratio intercedit inter ejus elasticitatem atque densitatem” – (fr:2901) [appare che lo stesso grado di calore è presente nell’aria ogni volta che intercorre lo stesso rapporto tra la sua elasticità e la sua densità]. L’elasticità è indicata dal barometro, mentre la densità si deduce dalla gravità specifica dell’aria. Si osserva inoltre che il punto fisso di ebollizione dell’acqua, secondo Fahrenheit, dipende dal peso dell’atmosfera sovrastante (fr:2902-2903).

Il rapporto tra elasticità e densità conduce a una grandezza chiave: l’altezza dell’aria omogenea. “Notandum hic est rationem illam modo dictam inter aeris elasticitatem ejusque densitatem simul exhibere altitudinem aeris homogenei” – (fr:2905) [È da notare che quel rapporto appena menzionato tra elasticità dell’aria e sua densità esibisce al contempo l’altezza dell’aria omogenea]. Essa è definita come l’altezza di una colonna d’aria verticale di densità uniforme che equilibra la colonna di mercurio barometrico: “altitudo quam voco aeris homogenei pro data densitate” – (fr:2909) [altezza che chiamo aria omogenea per una data densità]. Assumendo un rapporto di 1 a 11000 tra la gravità specifica dell’aria mediamente densa e quella del mercurio, e un’altezza media del mercurio di 2 1 piedi parigini (fr:2910-2911), si ottiene un valore di “24666 pedum” – (fr:2912). L’altezza omogenea diminuisce con l’aumentare della densità dell’aria e al diminuire dell’altezza del mercurio barometrico (fr:2913). Se il grado di calore è lo stesso in montagna e al livello del mare, l’altezza dell’aria omogenea rimane identica, perché la densità segue l’elasticità (fr:2914-2915). Dalla superficie marina verso i poli, essa decresce notevolmente a causa del freddo e della maggiore densità, ed è minore d’inverno che d’estate (fr:2916).

Uno degli ambiti in cui l’altezza dell’aria omogenea risulta determinante è la propagazione del suono. “omnes tamen opiniones in eo conveniunt, quod celeritas soni proportionalis sit radici altitudinis aeris homogenei” – (fr:2919) [tutte le opinioni convergono nel fatto che la velocità del suono sia proporzionale alla radice dell’altezza dell’aria omogenea in cui si propaga]. Coerentemente, il suono si propaga più velocemente in aria calda che in aria fredda, e a barometro alto piuttosto che basso (fr:2920). Esperimenti condotti in Italia e in Inghilterra indicano una velocità media di “1140 ped. Angl. intra minutum secundum perficiendis” – (fr:2920-2921) [1140 piedi inglesi da percorrere in un minuto secondo]. Poiché l’altezza omogenea dell’atmosfera in un medesimo luogo varia con i cambiamenti barometrici e di calore in un rapporto da 3 a 4, la velocità del suono, a parità di vento, oscilla entro i limiti “V I & V seu 173 &” – (fr:2922-2923) [√1 e √4, ossia 173 e ] (verosimilmente piedi al secondo, in riferimento a una scala proporzionale).

Il testo affronta poi questioni sul moto dell’aria analoghe a quelle già trattate per i fluidi non elastici (fr:2926). Viene posto il problema del deflusso di aria da un vaso attraverso un piccolo foro in uno spazio infinito privo d’aria (fr:2928). La soluzione si basa sul concetto di altezza potenziale. Poiché il moto locale interno è trascurabile, si considera solo l’ascesa potenziale che la particella d’aria acquista venendo espulsa, comparata con la diminuzione di elasticità interna (fr:2930). Per ricondurre il caso ai metodi dei fluidi non elastici, si immagina un cilindro verticale della stessa ampiezza del vaso e di altezza pari all’altezza dell’aria omogenea interna; tale cilindro, riempito di un ipotetico fluido non elastico di eguale densità, espellerebbe l’aria con la stessa velocità dovuta alla sua altezza (fr:2932-2934). L’altezza del cilindro equivalente resta costante durante l’efflusso perché elasticità e densità diminuiscono nella stessa proporzione, supponendo invariato il calore (fr:2935). Ne segue che, detta A l’altezza dell’aria omogenea interna, l’aria effluisce costantemente con velocità √A; il vaso però non si svuota mai completamente, poiché l’aria che fuoriesce diviene via via più rarefatta (fr:2936). Il processo è descritto dall’equazione differenziale dx = α dt, dove α è una costante che dipende dalle dimensioni del vaso, dall’ampiezza del foro e da A, conducendo alla relazione lx = αt e alla determinazione di α tramite la geometria del sistema e la velocità di efflusso (fr:2937-2939).

[24]

[24.1-68-2995|3060]

24 La determinazione della forza viva dell’aria e della polvere pirica

L’energia latente nell’aria compressa, rarefatta o riscaldata, e soprattutto nella polvere da sparo, è calcolata come vis viva trasferibile a macchinari, rivelando potenze immense ma nessun vantaggio meccanico perpetuo rispetto alla caduta libera.

Il testo espone un metodo per quantificare la vis viva (l’energia cinetica) che un gas, in particolare l’aria, può cedere per muovere macchine, fondandosi sul confronto con la caduta libera di un peso. Si stabilisce innanzitutto il principio generale di calcolo: “Poterunt autem hujusmodi vires vivae hunc in modum determinari.” (fr:2993) [Potranno poi essere determinate in questo modo forze vive di tal genere.] Viene descritto un sistema ideale composto da un cilindro verticale con un pistone mobile (EF) che racchiude aria in equilibrio con l’esterno. Applicando un peso P al pistone, l’aria si comprime e si ottiene una velocità v: “Imponatur eidem sugentaculo pondus P ; fuerit jam aër condensatus in spatium G B C H ; habeatque sugentaculum pondere P oneratum in situ G H velocitatem v” (fr:2996) [Si imponga allo stesso pistone un peso P; l’aria sia ora condensata nello spazio G B C H; e il pistone caricato del peso P abbia nella posizione G H la velocità v]. Dopo l’integrazione delle relazioni, si giunge al risultato cruciale: la parte di vis viva che transita all’aria è espressa da una formula che risulta sempre minore di un’altra quantità definita. “pars igitur vis vivae quae ad aërem transit, est ~ p * «P ^ nae minor est altera f. 4a definita.” (fr:2998) [la parte dunque di forza viva che passa all’aria è ~ p … la quale è minore dell’altra definita in §4a].

Da qui l’autore trae una conclusione di portata generale, negando qualsiasi possibilità di creare lavoro dal nulla tramite la sola compressione dell’aria: il lavoro ottenibile è esattamente equivalente a quello speso per comprimerla. “Perspicuum est ex hoc consensu inter conservationem virium vivarum aëri compresso & corpori e data altitudine delapso insitarum, nullam esse ad usum machinarum perficiendum praerogativam sperandam ex principio aëris comprimendi” (fr:3006) [È chiaro da questo accordo tra la conservazione delle forze vive insite nell’aria compressa e in un corpo caduto da una data altezza, che non si deve sperare alcun vantaggio per l’uso delle macchine dal principio di comprimere l’aria]. L’analisi prosegue quantificando l’energia di un piede cubo d’aria a diverse densità: se è a densità doppia di quella naturale, la sua vis viva equivale a quella generata dalla caduta libera di un corpo di 16 libbre per l’altezza di un piede; “pes cubicus aëris naturali duplo densioris, inveniatur vis viva, quam iste aër amittit… ea quae lapsu libero corporis 16 lib. per altitudinem unius pedis generatur.” (fr:3000-3002). Se la densità è tripla, la vis viva corrisponde alla caduta di 2898 libbre da un piede (fr:3003-3005).

Tuttavia, la vera utilità pratica risiede nei casi in cui la compressione o l’aumento di elasticità avvengono naturalmente o tramite il fuoco. Si apre così la discussione sulle fonti di energia: “Quia vero multis modis fit, ut aër non vi sed natura sit compressus aut elastem naturali majorem acquirat, spes certe est, posse hujusmodi rebus naturalibus magna ad machinas movendas compendia excogitari” (fr:3007) [Poiché tuttavia accade in molti modi che l’aria sia compressa non con la forza ma per natura, o acquisisca un’elasticità maggiore di quella naturale, c’è sicuramente speranza di poter escogitare grandi risparmi per muovere macchine da tali fenomeni naturali]. Tra questi, si cita la combustione del carbone, che non solo aumenta enormemente l’elasticità dell’aria, ma ne genera di nuova. Basandosi sugli esperimenti di Hales, si calcola che un piede cubo di carbone produce 360 piedi cubi d’aria. La vis viva di quest’aria generata, se riscaldata al punto da quadruplicare la sua elasticità, è stimata equivalente alla caduta di un peso immenso: “invenietur illam convenire cum pondere librarum ab altitudine unius pedis delapso : atque si praeterea aëris illius elasticitas a calore carbonum incensorum quadruplo fieri major ponatur, conveniet illa vis viva cum pondere lib.” (fr:3016) [si troverà che essa corrisponde a un peso di 938.000 libbre caduto dall’altezza di un piede: e se inoltre si suppone che l’elasticità di quell’aria diventi quadrupla per il calore dei carboni accesi, quella forza viva corrisponderà a un peso di 752.000 libbre]. Nonostante questa potenza, “Difficile autem est machinam ad hunc finem aptam excogitare.” (fr:3019) [È tuttavia difficile escogitare una macchina adatta a questo scopo.]

Vengono poi menzionate altre fonti naturali di energia, tra cui la calce viva, le fermentazioni e il vapore acqueo, con un riferimento storico alla macchina di Londra: “aquae in vapores vi ignis redactae incredibilis vis inest; machina ad hoc est Londini ingeniosissima quae hoc principio motus aquas toti urbi erogat eamque descripsit Cl. Weidlerus.” (fr:3020-3021) [nelle acque ridotte in vapori per forza del fuoco risiede una forza incredibile; a questo scopo c’è a Londra un’ingegnosissima macchina che con questo principio di moto eroga acqua a tutta la città e che il Chiarissimo Weidler ha descritto].

Il culmine dell’analisi è dedicato alla polvere pirica. Il calcolo, basato su esperimenti di artiglieria, attribuisce alla sua elasticità un valore che supera più di diecimila volte quella dell’aria naturale: “Calculo enim quorundam sumtorum experimentorum subducto… edoctus fui elasticitatem pulveris pyrii accensi plus decies millies superare elasticitatem aëris naturalis” (fr:3022) [Sottoposto infatti a calcolo un certo numero di esperimenti… sono stato istruito che l’elasticità della polvere pirica accesa supera più di diecimila volte l’elasticità dell’aria naturale]. Assumendo che l’elasticità decresca in proporzione alla densità, la vis viva di un solo piede cubo di polvere è stimata capace di sollevare un peso di 391.384 libbre all’altezza di un piede (fr:3024-3027). L’autore stesso ritiene questa cifra prudente, poiché negli esperimenti balistici “maxima pulveris pyrii pars perit” (fr:3028) [la massima parte della polvere pirica va persa].

Il principio viene esteso anche all’aria rarefatta o più fredda. “Interim non solum ab aëre condensato calefactoque vis viva pro machinis movendis impendenda obtineri potest, sed & ab aëre rariore aut frigidiore.” (fr:3032) [Frattanto non solo dall’aria condensata e riscaldata si può ottenere forza viva da impiegare per muovere macchine, ma anche dall’aria più rarefatta o più fredda.] Ogni volta che viene rotto un equilibrio, “vis viva adest, quae impendi potest, si debita machina excogitetur, ad onera elevanda machinamentaque circumagenda.” (fr:3034) [c’è una forza viva, che può essere impiegata, se si escogita una macchina adatta, per elevare pesi e azionare congegni]. Applicando lo stesso formalismo matematico usato per l’aria compressa, si calcola che un piede cubo d’aria a densità dimezzata possiede una vis viva corrispondente alla caduta di 344 libbre da un piede (fr:3044-3047). Se l’aria è quattro volte più rarefatta, la forza equivale a 904 libbre (fr:3048-3050). Il caso limite è il vuoto perfetto, la cui vis viva teorica è calcolata come 2240 libbre per un piede cubo (fr:3051-3052).

La sezione si conclude introducendo l’applicazione di questi principi ai proiettili delle armi pneumatiche e da fuoco. “Pertinet ad praesens argumentum stupenda vis aëris admodum condensati, sed praesertim aurae pulveris pyrii accensi in usu sclopetorum pneumaticorum & tormentorum bellicorum.” (fr:3055-3056) [Appartiene al presente argomento la stupenda forza dell’aria fortemente condensata, ma specialmente dell’aria generata dalla polvere pirica accesa in uso negli schioppi pneumatici e nelle artiglierie belliche.] Viene annunciata una trattazione specifica sulla forza dell’aria compressa e della polvere pirica per scagliare proiettili, corredata da una figura illustrativa (Fig. G, fr:3060).

[25]

[25.1-87-3200|3286]

25 Condizioni di stabilità e critica ai vortici newtoniani

Dopo aver stabilito le equazioni fondamentali, l’autore esamina la possibilità che un vortice omogeneo permanga in uno stato di equilibrio durevole. Il ragionamento si fonda sull’andamento della forza centrifuga delle particelle: se essa crescesse allontanandosi dall’asse, le particelle più interne non troverebbero alcun vincolo sufficiente e si allontanerebbero continuamente dall’asse, impedendo ogni equilibrio.

“Exiflimo autem non poffe vorticem in flatu fuo per tempus aliquod notabile permanere, fi vires centrifugae partium aequalium in fluido homogeneo crefcant ab axe verfus peripheriam” – (fr:3201) [Ritengo che un vortice non possa permanere nel suo stato per un tempo notevole, se le forze centrifughe di particelle uguali in un fluido omogeneo crescono dall’asse verso la periferia.]

Ne segue che la quantità che esprime la forza centrifuga di particelle uguali in fluidi omogenei non può decrescere con la distanza dall’asse; nella fattispecie, se si torna all’ipotesi speciale formulata in precedenza, essa non può essere minore dell’unità (“non poterit esse minor unitate”, fr:3202). Applicando queste condizioni, la superficie del vortice in regime stazionario non sarà mai convessa come nella figura 66, bensì sempre concava (figura 67) o conica. Le velocità devono quindi crescere in proporzione uguale o maggiore rispetto alle radici delle distanze dall’asse.

“fuperficies nunquam convexa erit, ut in figura 66, fed femper aut concava, ut in figura 67 aut conica: & quia n vel major eft unitate vel eidem aequalis, aliter fieri non poteft, quin velocitates aut aequali aut majori ratione crefcant cum radicibus diftantiarum ab axe.” – (fr:3203) [La superficie non sarà mai convessa, come nella figura 66, ma sempre o concava, come nella figura 67, o conica; e poiché n o è maggiore dell’unità o uguale ad essa, non può accadere altrimenti se non che le velocità crescano in ragione uguale o maggiore con le radici delle distanze dall’asse.]

Proprio su questo punto si innesta la critica a Newton. L’autore dichiara di non comprendere come Newton abbia potuto immaginare due vortici di fluido ovunque omogeneo ridotti a uno stato di perpetua durata, in uno dei quali i tempi periodici fossero proporzionali alle distanze dall’asse di un cilindro, nell’altro ai quadrati delle distanze dal centro di una sfera.

“non intelligo quemadmodum Newtonus fingere fibi potuerit duos vortices fluidi ubique homogenei ad flatum perpetuae durationis reductos, in quorum altero tempora periodica partium fint ut earum diftantia ab axe cylindri, in altero autem ut quadrata diftantiarum a centro fphaerae.” – (fr:3204) [Non capisco in che modo Newton abbia potuto immaginare due vortici di fluido ovunque omogeneo ridotti a uno stato di perpetua durata, in uno dei quali i tempi periodici delle parti siano come la loro distanza dall’asse di un cilindro, nell’altro invece come i quadrati delle distanze dal centro di una sfera.]

In quei vortici le velocità sarebbero state ovunque uguali nel primo caso e addirittura decrescenti dall’asse verso la periferia nel secondo (“velocitates ubique effent aequales, & in altero plane decrefcerent ab axe verfus peripheriam”, fr:3205), il che contraddice le condizioni di stabilità.

26 Vortici reali e forma della superficie libera

Più verosimilmente, nella maggior parte dei vortici che abbiano già raggiunto uno stato di durata – siano essi omogenei o eterogenei – i tempi periodici delle singole parti saranno identici, come se l’intero cilindro fosse solido; le particelle specificamente più gravi si disporranno inoltre più vicine alla circonferenza.

“Magis verofimile eft, in plerifque vorticibus, qui flatum perdurationis jam attigerint, fluidi five homogenei five heterogenei partium fingularum tempora periodica eadem fore, quafi totus cylindrus folidus fuerit, partes autem quae fint fpecifice graviores circumferentiae viciniores futuras effe.” – (fr:3206-3207) [È più verosimile che nella maggior parte dei vortici che abbiano già raggiunto uno stato di durata, sia di fluido omogeneo che eterogeneo, i tempi periodici delle singole parti siano gli stessi, come se l’intero cilindro fosse stato solido; e che le parti specificamente più gravi si trovino più vicine alla circonferenza.]

In questo caso la velocità v è proporzionale alla distanza y dall’asse, e la superficie libera EOF assume la forma di una parabola apolloniana con vertice in O e asse OG. Tale configurazione si realizza in particolare quando il vortice è generato dalla rotazione di un vaso cilindrico attorno all’asse HG, oppure dall’agitazione uniforme di una bacchetta lungo le pareti del vaso – fenomeni descritti dal signor Saulmon nei Commentarii Academiae Regiae Scientiarum Parisiensis del 1715 (fr:3208-3212).

Le pressioni esercitate dal fluido sulle diverse parti del cilindro ABCD sono proporzionali alle altezze delle colonne verticali corrispondenti. Non occorre aggiungere lo sforzo dovuto alla forza centrifuga, perché esso ha già prodotto il suo effetto innalzando le acque. Questo principio permette di definire la superficie del vortice per altra via: condotta una linea orizzontale OM e una verticale Na con la sua infinitamente prossima pn, l’altezza Na è proporzionale alla forza centrifuga di tutte le particelle che si trovano in ON, mentre la differenza di altezza tra due sezioni vicine (ovvero ar o gf) è proporzionale alla forza centrifuga della particella Np.

“Apparet ex hoc ipfo poffe fuperficies vorticum ex alio principio quam quo ante ufi fumus definiri: Ducta nempe linea horizontali O M & verticali N a cum fua infinite propinqua p n fequitur altitudinem N a feu proportionalem effe vi centrifugae omnium particularum quae funt in O N & differentiam altitudinum duarum proximarum, nempe a r feu g f, proportionalem vi centrifugae particulae N p” – (fr:3215) [Da ciò appare che le superfici dei vortici possono essere definite in base a un altro principio rispetto a quello usato in precedenza: condotta cioè la linea orizzontale OM e la verticale Na con la sua infinitamente prossima pn, ne segue che l’altezza Na è proporzionale alla forza centrifuga di tutte le particelle che si trovano in ON, e la differenza tra due altezze prossime, cioè ar o gf, è proporzionale alla forza centrifuga della particella Np.]

Da qui si deriva nuovamente l’equazione finale già data nel §2 (fr:3216).

27 Forze su un corpo immerso e difficoltà dell’ipotesi cartesiana

Per analizzare il comportamento di corpi immersi in un vortice, l’autore considera un piccolo globo della stessa gravità specifica del fluido. Tale globo è sollecitato da due forze: una tangenziale, proveniente dall’impulso del fluido, e una centripeta, che nasce dalla forza centrifuga del fluido stesso. Le due forze mantengono una relazione quadratica costante rispetto alla velocità relativa del fluido, sia che il corpo sia fermo sia che si muova di moto circolare.

“Globulus talis fluido commiffus duabus fiadm potentiis follicitatur altera tangentiali ab impetu fluidi ortum trahente, altera centripeta, quae ii vi fluidi centrifugae nafcitur.” – (fr:3218) [Un tale globulo immerso nel fluido è sollecitato da due forze: una tangenziale, che trae origine dall’impulso del fluido, e l’altra centripeta, che nasce dalla forza centrifuga del fluido.]

L’autore sottolinea un punto che i seguaci dei principi cartesiani dovrebbero notare: la forza tangenziale è incomparabilmente maggiore della forza centripeta. Il rapporto tra le due sta come la distanza del corpo dall’asse del vortice sta a due terzi del diametro del globo, come dimostrato nei Commentarii Academiae Petropolitanae (fr:3220-3223). Pur riconoscendo le molte argomentazioni addotte per mostrare che la materia sottile in vortice possa spingere i corpi verso l’asse senza trascinarli tangenzialmente, l’autore non riesce a superare lo scrupolo, sapendo che la forza tangenziale è quasi infinitamente maggiore di quella centripeta.

“non potui tamen hunc mihi fcrupulum eximere, poftquam cognovi vim tangentialem vi centripeta effe pene infinite majorem.” – (fr:3227) [Non ho tuttavia potuto liberarmi di questo scrupolo, dopo aver saputo che la forza tangenziale è quasi infinitamente maggiore della forza centripeta.]

Una possibile soluzione è immaginare due vortici contrari e di uguale intensità sullo stesso asse: gli impulsi contrari distruggerebbero le forze tangenziali di entrambi, mentre entrambi concorrerebbero a spingere il corpo verso l’asse comune (fr:3229). Resta tuttavia una seconda difficoltà: se i vortici contrari agissero lungo lo stesso asse, i corpi tenderebbero non verso un punto comune (o quasi tale) ma verso l’asse, con un moto perpendicolare a esso, in contrasto con la caduta verticale e la rotondità della Terra e dei corpi celesti.

“Ita enim corpora non verfus punctum commune aut quali punctum fed verfus axem gravitarent, motuque ad eundem perpendiculari laberentur, quod cum defcenfu corporum verticali & rotunditate vel quali rotunditate terrae corporumque coeleftium pugnat.” – (fr:3233) [Così infatti i corpi tenderebbero non verso un punto comune o quasi tale, ma verso l’asse, e scivolerebbero con moto a esso perpendicolare, il che contrasta con la caduta verticale dei corpi e la rotondità, o quasi rotondità, della Terra e dei corpi celesti.]

Anche a questa difficoltà si può ovviare immaginando due assi perpendicolari (o quasi), attorno a ciascuno dei quali ruotino due vortici contrari di uguale intensità. La forza composta spingerebbe il corpo approssimativamente verso il punto d’intersezione degli assi, sebbene la Terra risulterebbe alquanto compressa verso il piano passante per entrambi gli assi. Moltiplicando il numero dei vortici, quasi all’infinito, essi potrebbero attraversarsi con la stessa facilità dei raggi luminosi, che non si ostacolano minimamente.

“Poterit autem vel huic incommodo, fi modo incommodum fit, obviam iri, multiplicando admodum vorticum numerum: nam fi vel infiniti fere flatuantur vortices, poterunt omnes eadem facilitate fe trajicere, ac radii luminis, qui fe minime impediunt.” – (fr:3235) [Si potrà poi ovviare a questo inconveniente, se pure di inconveniente si tratta, moltiplicando grandemente il numero dei vortici: se infatti si ipotizzano vortici quasi infiniti, potranno tutti attraversarsi con la stessa facilità dei raggi luminosi, che non si ostacolano minimamente.]

L’autore precisa di aver aggiunto queste considerazioni per coloro che amano i vortici, affinché vedano se il loro moto possa essere concepito più facilmente di quello immaginato da Huygens; entrambi gli approcci spiegano ugualmente bene i fenomeni naturali. La questione è stata esposta più accuratamente in una dissertazione premiata dall’Académie Royale des Sciences di Parigi nel 1734 (fr:3235-3238).

28 Gravitazione planetaria e resistenza del mezzo

Poiché non si può dubitare che tutti i pianeti gravitino verso il Sole, e i satelliti verso i loro pianeti, secondo la concezione newtoniana, e che la causa di questa gravità sia affine a quella per cui i corpi terrestri tendono verso il centro della Terra, l’ipotesi dei vortici dovrà essere estesa all’intero sistema del mondo se la si impiega per spiegare la gravità terrestre. Ma allora i pianeti, immersi nella materia sottile, si muoverebbero in un mezzo resistente e, perdendo gradualmente parte del loro moto, dovrebbero avvicinarsi al Sole con una traiettoria a spirale. Poiché ciò non appare dalle osservazioni più antiche, l’ipotesi dei vortici esige che il fluido vorticoso sia posto oltremodo raro e sottile, e dotato di una velocità che la mente umana stenta a concepire.

“pofiulat vorticum hypothefis, ut fluidum vorticofum ponatur fupra modum rarum atque fubtile idque velocitate, quam mens humana vix affequi poffit, motum” – (fr:3242) [L’ipotesi dei vortici richiede che il fluido vorticoso sia supposto oltremodo raro e sottile, e mosso con una velocità che la mente umana difficilmente può concepire.]

Forse, si suggerisce, la perennità dei moti si spiegherebbe meglio con una sorta di comunicazione reciproca di moto, per cui le particelle che un corpo celeste ha spinto in avanti in un certo momento, in un altro tempo lo spingono a loro volta con forza simile (fr:3242).

29 Proprietà della gravità dei corpi nell’ipotesi dei vortici

Passando alle rimanenti proprietà dei corpi gravitanti deducibili dall’ipotesi dei vortici, si considera un corpo in quiete nel fluido vorticoso che non trasmetta alcuna particella di fluido attraverso i suoi pori. Esso tenderà verso il centro del vortice con una forza centripeta esattamente uguale alla forza centrifuga del fluido vorticoso che occupa un uguale volume alla stessa distanza dal centro.

“Ponamus itaque corpus in fluido vorticoso quiefcens, quod nullas fluidi particulas per poros fuos tranfmittat: ita tendet corpus verfus centrum vorticis, eritque vis ejus centripeta praecife aequalis vi centrifugae fluidi vorticosi, quod fub fimili volumine in eadem a centro diftantia pofitum fit.” – (fr:3245) [Poniamo dunque un corpo in quiete in un fluido vorticoso, che non trasmetta alcuna particella di fluido attraverso i suoi pori: il corpo tenderà verso il centro del vortice, e la sua forza centripeta sarà esattamente uguale alla forza centrifuga del fluido vorticoso che si trovi sotto un uguale volume alla stessa distanza dal centro.]

Ne consegue che tutti i corpi posti nel medesimo luogo del vortice possiedono la stessa forza centripeta a parità di volume, anche se le quantità di materia in ciascun corpo sono disuguali; se possono muoversi liberamente verso il centro, si muoveranno con velocità diverse, inversamente proporzionali alle radici quadrate delle quantità di materia (fr:3246). Poiché l’esperienza insegna che tutti i corpi terrestri cadono nel vuoto con la stessa velocità e compiono oscillazioni tautocrone quando sospesi a un filo, si deve concludere che le cosiddette particelle gravi – quelle cioè che il fluido gravifico non può penetrare – hanno in tutti i corpi terrestri uguale densità specifica, contenendo sotto uguali volumi uguali quantità di materia, tanto nell’oro quanto nelle piume.

“particulas graves per quas nempe fluidum gravificum penetrare nequeat, in omnibus corporibus terreftribus effe aequalis denfitatis fpecificae, id eft, fub aequalibus voluminibus aequales quantitates continere, idque non minus in particulis gravibus quae aurum quam quae plumas componunt.” – (fr:3251) [Le particelle gravi, quelle cioè che il fluido gravifico non può penetrare, in tutti i corpi terrestri sono di uguale densità specifica, ossia contengono sotto uguali volumi uguali quantità di materia, e ciò non meno nelle particelle gravi che compongono l’oro che in quelle che compongono le piume.]

Le particelle gravi propriamente dette sono dunque quelle impenetrabili alla materia sottile vorticosale. L’autore non le crede tuttavia perfettamente solide come sembrava presumere Huygens nel suo Trattato sulla gravità; piuttosto, esse possiedono a loro volta pori, attraversati da un fluido ancora più sottile che le trapassa con la stessa libertà con cui il fluido gravifico scorre attraverso i corpi sensibili (fr:3254). La materia che coesiste nelle particelle gravi è chiamata materia solida pertinente a quelle stesse particelle (fr:3255).

Le diverse gravità specifiche dei corpi non derivano quindi da diverse densità delle particelle gravi, bensì dal fatto che queste possono essere presenti in numero disuguale sotto lo stesso volume nei diversi corpi, oppure differire in grandezza: nei corpi più compatti le particelle gravi sono disposte in interstizi minori o sono di volume maggiore (fr:3258-3259). Se invece le particelle gravi avessero densità specifiche differenti, i corpi cadrebbero con velocità diverse, e le leggi del moto sarebbero completamente differenti da quelle attuali, dove le masse sono stimate dai soli pesi (fr:3260-3262).

Quanto ai pianeti, l’autore reputa assai probabile che, confrontati tra loro, possiedano particelle gravi di densità specifica diversa, non vedendo alcuna ragione per cui debbano essere simili in tutti.

“Planetas vero inter fe comparatos particulas fuas graves diverfae denfitatis fpecificae habere mihi admodum eft probabile, quia nullam video rationem, cur in omnibus planetis fimiles effe debeant iftae particulae.” – (fr:3263) [È per me assai probabile che i pianeti, confrontati tra loro, abbiano le loro particelle gravi di diversa densità specifica, poiché non vedo alcuna ragione per cui quelle particelle debbano essere simili in tutti i pianeti.]

Poiché la forza centrifuga di un pianeta (il suo conato di allontanarsi dal Sole) dipende dalla densità delle particelle gravi in quel pianeta, non è ancora lecito dedurre che le forze centrifughe dei pianeti stiano in ragione inversa del quadrato delle distanze dal solo fatto che i tempi periodici seguono la ragione sesquialtera delle distanze; una tale conclusione presupporrebbe densità delle particelle gravi simile in tutti i pianeti.

“Igitur nondum licet colligere planetarum vires centrifugas fe habere in ratione quadrata reciproca eorundem diftantiarum a fole ex eo, quod tempora periodica rationem fequantur fefquiplicatam diftantiarum; talis enim conclufio fupponit fimilem in omnibus planetis particularum gravium denfitatem.” – (fr:3266) [Non è quindi ancora lecito dedurre che le forze centrifughe dei pianeti stiano in ragione inversa del quadrato delle loro distanze dal Sole dal fatto che i tempi periodici seguono la ragione sesquialtera delle distanze; una tale conclusione presuppone infatti simile densità delle particelle gravi in tutti i pianeti.]

Analogamente, non si può stabilire con certezza in quale rapporto mutino rispetto alle distanze dal Sole né le forze centrifughe né le forze di gravità dei pianeti. Nell’ipotesi dei vortici, molte variabili concorrono a formare la forza di gravità: la diversa densità, velocità e distanza della materia vorticosale, nonché la struttura stessa delle particelle gravi. Anche tenendone conto, le forze di gravità potrebbero decrescere con l’aumentare della distanza dal centro, senza che per questo debbano decrescere parimenti le forze centrifughe di uguali volumi di materia vorticosale – circostanza che, per la ragione esposta al §6, l’autore ritiene impossibile (fr:3268-3271).

30 Fluido in vasi con moto accelerato: l’efflusso

L’ultima parte del testo analizza lo stato dei fluidi contenuti in vasi in movimento, argomento fertilissimo ma affrontato solo per esempi. Se un vaso forato contenente acqua viene lasciato cadere liberamente, è evidente che durante la caduta l’acqua non fuoriesce, perché le particelle superiori non gravitano sulle inferiori.

“Si aqua in vase perforato contineatur ipfumque vas libere cadat, ex fe patet, nihil aquae durante vafis lapfu effe effluxurum, quia nempe particulae fuperiores non gravitant in inferiores” – (fr:3275-3276) [Se si contiene acqua in un vaso forato e il vaso stesso cade liberamente, è di per sé evidente che durante la caduta del vaso non fuoriuscirà affatto acqua, perché le particelle superiori non gravitano sulle inferiori.]

Se il vaso scende con moto accelerato ma più lento della caduta naturale nel vuoto, l’acqua fuoriesce ma con velocità minore che a vaso fermo; il contrario accade se il vaso è tirato verso l’alto con moto accelerato. Considerando nello specifico un cilindro ACDB (Fig. 67) pieno d’acqua fino ad AB, con un piccolo foro in E sul fondo CD, e supponendo che il vaso sia tirato verso l’alto da un peso P che scende mediante una fune su due carrucole H e G, si indica con Q il peso del cilindro e dell’acqua in esso contenuta. Ogni goccia d’acqua nel vaso (come se fosse stagnante) è animata da una forza ascensionale che sta alla forza naturale di gravità come P sta a Q. Ne consegue che la pressione totale sul fondo è aumentata in proporzione (P+Q)/Q, e l’altezza generatrice della velocità di efflusso uniforme diventa (P+Q)/Q · AC.

“fundum haud fecus ab incumbente aqua prematur, quam fi cylindrus quiefceret effetque altitudo aquae (P+Q)/Q · AC, ex quo ipso fequitur altitudinem velocitati aquae uniformiter effluentis debitam esse (P+Q)/Q · AC” – (fr:3284) [Il fondo è premuto dall’acqua sovrastante non diversamente che se il cilindro fosse fermo e l’altezza dell’acqua fosse (P+Q)/Q · AC, da cui segue che l’altezza dovuta alla velocità dell’acqua che fuoriesce uniformemente è (P+Q)/Q · AC.]

Se P=0, l’acqua non fuoriesce (il vaso cade naturalmente accelerato); se P=Q, il vaso è fermo e l’acqua fuoriesce con velocità ordinaria; se P=∞, la velocità di efflusso sta a quella ordinaria come √2 sta a

“Si P = 0, nulla effluet aqua, cadente vase motu naturaliter accelerato; si P = Q, effluet aqua velocitate ordinaria, quia tunc vas quiefcit; atque si P = ∞, erit velocitas aquae effluentis ad velocitatem ordinariam ut √2 ad” – (fr:3285) [Se P = 0, non fuoriuscirà alcuna acqua, cadendo il vaso con moto naturalmente accelerato; se P = Q, l’acqua fuoriuscirà con velocità ordinaria, perché in tal caso il vaso è fermo; e se P = ∞, la velocità dell’acqua che fuoriesce starà alla velocità ordinaria come √2 sta a ]

[26]

[26.1-54-3372|3422]

31 La pressione nei fluidi in movimento: la regola a – b e le sue conseguenze

Nella Sezione XII dell’Hydrodynamica, Daniel Bernoulli affronta in modo sistematico la determinazione della pressione esercitata dall’acqua in moto entro condotti di forma qualunque, gettando le basi di quella che si sarebbe poi chiamata idrostatica dei fluidi in movimento. Dopo aver richiamato l’importanza di correggere idealizzazioni teoriche con l’esperienza – in particolare l’effetto della contrazione della vena fluente e delle perdite di carico – egli enuncia una regola di sorprendente semplicità, che collega pressione, velocità effettiva e potenzialità di efflusso.

“Mirum fane efl fimpliciflimam hanc regulam , quam natura affedat, adhuc latere potuifle.” – (fr:3382) [È davvero sorprendente che questa regola così semplice, alla quale la natura si conforma, abbia potuto rimanere nascosta fino ad ora.] Tale regola viene espressa nella forma:

“Erit nempe preflio aquarum conflanter = a – b, ubi per a intelligitur altitudo debita velocitati , quacum aqua abrupto canali vafeque conflanter pleno confervato pofl tempus infinitum effluxura fit, & per b altitudo debita velocitati , qua cum aqua adu transfluit.” – (fr:3381) [La pressione dell’acqua sarà costantemente = a – b, dove per a si intende l’altezza corrispondente alla velocità con cui l’acqua uscirebbe se il condotto fosse troncato e il serbatoio mantenuto costantemente pieno dopo un tempo infinito, e per b l’altezza dovuta alla velocità con cui l’acqua realmente fluisce.]

In termini moderni, a rappresenta il carico totale disponibile (quota piezometrica misurata rispetto al punto considerato) e b il carico cinetico effettivo; la pressione idrostatica equivalente è quindi la loro differenza, ovvero il carico di pressione.

Per giungere a questo risultato, Bernoulli immagina di troncare il condotto in corrispondenza della sezione in cui si desidera la pressione e analizza il moto momentaneo del sistema “vaso decurtato” più goccia effluente, avvalendosi del principio delle forze vive. Introduce un serbatoio infinito NQ pieno fino a NP per garantire l’uniformità della velocità, condizione necessaria perché altrimenti la stessa velocità potrebbe essere generata in infiniti modi e il problema resterebbe indeterminato: “Et fine hac hypothefi problema nofirum foret indeterminatum, quia velocitas eadem in eodem canali infinitis modis ad temporis punclum generari potell & propterea, ut habeatur menfura caufx aquas propellentis, fingenda efi uniformitas in motu aquarum.” – (fr:3391) [E senza questa ipotesi il nostro problema sarebbe indeterminato, perché la medesima velocità nello stesso condotto può essere generata in infiniti modi in un dato istante, e perciò, per avere una misura della causa che spinge l’acqua, bisogna supporre l’uniformità del suo moto.] Il calcolo dell’incremento di forza viva, combinato con la discesa della gocciolina attraverso l’altezza verticale a sopra il punto indagato, conduce infine alla pressione a – b (fr:3396). Il termine b, a meno di impedimenti accidentali e della contrazione della vena, sta all’altezza totale OS come il quadrato della sezione dell’orifizio a quella del condotto nel punto considerato.

La regola implica immediatamente la possibilità di pressioni negative, ossia aspirazione. “Cum b major efl quam a fit quantitas a – b negativa atque fic preflio in fudionem mutatur, id efl, latera canalis introrfum premuntur.” – (fr:3398) [Quando b è maggiore di a, la quantità a – b diventa negativa e la pressione si muta in suzione, cioè le pareti del condotto vengono premute verso l’interno.] In questi casi la colonna d’acqua si comporta come se fosse appesa, e il suo peso è sostenuto dall’attrazione dell’acqua che fluisce. Ciò permette, per esempio, di far salire spontaneamente acqua da un ramo laterale, purché l’orifizio di sbocco di questo resti immerso e l’afflusso sia sufficiente.

Le conseguenze pratiche sono illustrate da quattro esempi. Nel primo, un recipiente con tubo di uscita troncoconico divergente verso il basso (Fig. 75) dà luogo a una pressione negativa nella sezione più larga, cosicché un tubo ricurvo inserito lateralmente può sollevare acqua da un livello inferiore a uno superiore senza alcuna forza esterna (fr:3407). Tuttavia Bernoulli mette in guardia: l’esperienza mostra che l’efflusso da tubi divergenti non raggiunge la velocità teorica; “multum abefle quominus aqux per tubos a vafe, cui implantati funt, divergentes tota fua velocitate, quam vi theorix obtinere deberent, effluant.” – (fr:3409) [Si è ben lontani dal fatto che l’acqua per tubi divergenti, innestati sul vaso, effluisca con tutta la velocità che dovrebbe avere in base alla teoria.] Per correggere l’errore, occorre sostituire il valore teorico di b con l’altezza di velocità realmente misurata, ottenibile da un esperimento sulla quantità d’acqua effluente in un dato tempo (fr:3410). Analogamente, per a si può adoperare non l’altezza della superficie libera rispetto al punto, ma l’altezza corrispondente alla velocità reale di efflusso se il condotto fosse troncato.

Il secondo esempio riguarda un tubo verticale la cui sezione è inversamente proporzionale alla radice quadrata dell’altezza dell’acqua sovrastante (Fig. 75 secondo la numerazione dell’originale). Bernoulli mostra che un simile tubo “nihil afficitur ab aqua prxterfluente> neque ullibi vel preflionem five fudionem fuflinet” – (fr:3413) [non subisce alcuna azione dall’acqua che lo percorre, né in alcun punto sostiene pressione o suzione]. Da ciò deduce che la forma naturale di un getto d’acqua verticale (filum aqueum) è esattamente quella descritta da tale contorno, confermata sia dalla ragione sia dall’esperienza. Il filo liquido si assottiglia tanto più rapidamente quanto minore è l’altezza del pelo libero sull’orifizio, mantenendo però la proprietà che la portata è costante attraverso ogni sezione e la velocità non muta se il getto si rompe (fr:3414).

Il terzo esempio considera un canale che conduce l’acqua da un serbatoio a un getto verticale (fontana zampillante). Affinché la pressione dell’acqua corrente sia ovunque uguale, le sezioni del canale devono seguire una legge che coinvolge le altezze e una costante arbitraria b; ne risulta che la pressione in ogni punto sta alla pressione idrostatica come b sta ad a (fr:3416). Inoltre, poiché i condotti più ampi resistono meno alla rottura, Bernoulli stabilisce la condizione perché il pericolo di scoppio sia uniforme lungo tutto il canale: la sezione deve seguire una particolare equazione dedotta dal rapporto tra le ampiezze (fr:3416). Per un canale a sezione costante, invece, lo sforzo di rottura è proporzionale alla resistenza delle pareti se queste variano secondo una certa funzione della distanza (fr:3417).

Il quarto esempio riguarda i sifoni ricurvi, nei quali l’altezza della superficie libera può essere negativa rispetto al punto considerato; in tal caso “preflio fit duplici titulo negativa, nempe -a – b” – (fr:3419) [la pressione è negativa per due ragioni, cioè -a – b]. La pressione risulta quindi fortemente depressa, governata dall’altezza del punto sopra la superficie libera e dall’altezza cinetica locale.

Prima di enunciare la regola generale, Bernoulli affronta anche il comportamento transitorio. Quando si apre improvvisamente un orifizio, la pressione non cambia istantaneamente; “illa vero preflionum mutatio non fit in instanti; imo fi accurate loquendum eft, fit demum pofl tempus infinitum” – (fr:3375) [quel cambiamento di pressione tuttavia non avviene istantaneamente; anzi, a voler parlare con precisione, si compie solo dopo un tempo infinito]. Ciononostante, l’accelerazione è così rapida che, a meno di condotti molto lunghi, la velocità teorica appare raggiunta senza ritardo sensibile. Nei lunghi acquedotti che portano acqua da serbatoi lontani a getti zampillanti, invece, le variazioni di pressione si possono osservare distintamente e i loro intervalli sono discernibili (fr:3378). In ogni caso, per definire in modo generale lo sforzo dell’acqua in un dato istante e luogo, occorre utilizzare la velocità effettiva in quel punto e momento, ponendola in relazione con l’altezza dovuta (fr:3379).

L’insieme di queste proposizioni costituisce, nelle parole di Bernoulli, quanto basta per “rede intelligendam fluidorum motorum staticam” (fr:3419) [ben comprendere la statica dei fluidi in movimento]. La Sezione XII dell’Hydrodynamica rappresenta un momento fondativo della meccanica dei fluidi: vi compare per la prima volta, in una veste completa e consapevole, la relazione tra pressione e velocità che oggi porta il nome di equazione di Bernoulli. L’intreccio continuo di deduzione matematica, ricorso alla forza viva, esperimenti mentali di troncamento dei condotti e confronto con la realtà empirica testimonia un metodo che unisce rigore teorico e pragmatismo sperimentale, rendendo queste pagine un documento di eccezionale valore storico-scientifico.

[27]

[27.1-88-3503|3588]

32 Esperimenti sulla pressione idrodinamica nei tubi (Hydrodynamica, Sezione XII)

Verifica sperimentale della caduta di pressione nei condotti in flusso e della conseguente compressione delle pareti.

Il brano, tratto dalla sezione XII dell’Hydrodynamica di Daniel Bernoulli, presenta una serie di esperimenti condotti dall’autore per indagare le pressioni generate dall’acqua in movimento attraverso tubi. Bernoulli stesso dichiara di averli allestiti di fronte alla sua Società e di averli già descritti nel tomo dei Commentari: „Experimenta vero quae ad preffiones aquarum per tubos latarum pertinent ipfemet coram Societate noflra inflitui & descripta sunt in tom.“ – (fr:3502) [Gli esperimenti che riguardano le pressioni delle acque fatte passare attraverso tubi, io stesso li ho allestiti di fronte alla nostra Società e sono descritti nel tomo.] e „lUa igitur, ut ibi descripta sunt, hic allegabo.“ – (fr:3505) [Quelle cose, come sono descritte là, qui le allegherò.].

L’apparato principale è costituito da una cassa lignea: „Ufus fum arca lignea , cujus latitudo erat unius pedis, longitudo trium pedum , altitudo pollicum.“ – (fr:3506) [Ho usato una cassa di legno, la cui larghezza era di un piede, la lunghezza di tre piedi, l’altezza di 14 pollici.]. Nell’acqua che la riempie è inserita orizzontalmente una canna di ferro cilindrica, lunga 4½ pollici e di diametro di 7 linee (Fig. 77). A metà di questa si trova saldato un piccolo tubo DE, lungo 6 linee e con diametro di 1½ linea, che comunica con un foro nel fondo. Su questo tubicino viene innestato un tubo di vetro di diametro uniforme, come mostrato nella Fig. Per variare le condizioni di efflusso, Bernoulli fece preparare tre coperchi di ferro, ciascuno forato con un diverso diametro (Fig. 78). Sul tubo di vetro in posizione verticale si osservano i punti n (a riposo) e g (durante il flusso), marcati con fili di seta. L’effetto capillare del vetro viene misurato preliminarmente in 5 linee, cosicché ogni altezza misurata va diminuita di tale quantità.

Le condizioni sperimentali prevedono un’altezza d’acqua AF = 9 pollici e un’altezza Dα = 10 pollici (punti di riferimento della Fig. 79). Aprendo l’orifizio BC si lascia defluire l’acqua e si misura la discesa da n a g. Con il primo coperchio (diametro del foro 2 linee) la discesa „fuit defcenfus n g tantillo major una linea, ita ut nulla differentia inter theoriam & fucceffum experimenti obfervari potuerit.“ – (fr:3522) [fu di poco più di una linea, cosicché non si poté osservare alcuna differenza fra la teoria e l’esito dell’esperimento.]. Con il secondo coperchio (diametro 3 linee o poco più) la discesa è di 6⅔ linee, di nuovo in perfetto accordo con la teoria. Nel terzo esperimento (diametro di 5 linee, ma leggermente inferiore) si osserva un dislivello di 28 linee, mentre la teoria prevedeva circa 19 linee; la differenza è attribuita ai maggiori ostacoli incontrati dall’acqua per l’aumentata velocità all’interno della canna. L’esperimento 4, condotto senza alcun coperchio (orifizio completamente aperto), mostra che quasi tutta l’acqua fuoriesce dal tubo di vetro; rimangono 8 linee, di cui 5 dovute alla capillarità e 3 alle resistenze nel transito da D fino a B.

Il perfetto accordo con la teoria conduce a una previsione di grande rilievo: „Inde autem non difficile eft prxvidere … fieri poffe , ut latera fiftulx non folum non premantur verius exteriora , fed & ut verfus axem fidulx introrfum comprimantur.“ – (fr:3535‑3536) [Da ciò non è difficile prevedere … che possa accadere che le pareti del tubo non solo non siano premute verso l’esterno, ma che vengano compresse verso l’interno in direzione dell’asse del tubo.]. L’idea di una pressione inferiore a quella ambiente durante il flusso viene confermata con l’Esperimento 5: al posto del tubo cilindrico si impiega un tubo conico con orifizio esterno maggiore di quello interno e un tubo di vetro incurvato (Fig. 80). Durante l’efflusso, l’acqua nel tubo di vetro scende fino a un punto g posto al di sotto di D, indicando una compressione subita dal tubo conico. Bernoulli nota che gli impedimenti al moto sono notevoli e che la velocità all’orifizio esterno è molto inferiore a quella teorica, ma il fenomeno è comunque evidente.

L’esperimento più spettacolare (Esperimento 6) fu eseguito l’anno successivo alla presenza del Principe del Portogallo Emanuele. Il dispositivo (Fig. 81) comprende un cilindro con un tubo conico sul fondo, munito lateralmente di un piccolo tubo che accoglie un tubo di vetro ricurvo. L’estremità di quest’ultimo pesca in un vasetto M pieno d’acqua. Aprendo l’orifizio conico GH, l’acqua risale spontaneamente dal vasetto attraverso il tubo di vetro e si unisce al flusso principale svuotando completamente il recipiente. Bernoulli osserva che „Si digito pars orificii GH obtegebatur, facile erat efficere ut , pro lubitu aquae in tubo vitreo /»n furfum deorfumve moverentur.“ – (fr:3555) [Se si ostruiva con un dito una parte dell’orifizio GH, era facile fare in modo che l’acqua nel tubo di vetro si muovesse a piacimento verso l’alto o verso il basso.]. L’esperimento dimostra con immediatezza la caduta di pressione nella strozzatura.

Nella parte finale del testo, Bernoulli riprende la macchina della Fig. 79, aggiungendo un secondo coperchio sul tubo A e fissando l’altezza d’acqua AF a 8 pollici. Oltre alla discesa n g, misura sistematicamente l’ampiezza del getto, ovvero la distanza orizzontale tra la verticale dell’orifizio C e il punto d’impatto al suolo. Vengono condotti gli esperimenti 7‑10, ciascuno con una diversa coppia di diametri degli orifizi interno ed esterno. I dati sono confrontati con le previsioni della teoria esposta al §18. Ad esempio, l’Esperimento 7 „Cum diameter orificii interioris effet a}. Un. & diameter orificii exterioris jJ //ii. fuit defcenlus ng paullo minor, quam j.poU. ampUtnd»Jaia f«U.“ – (fr:3563‑3566) [Con diametro dell’orifizio interno di … e diametro dell’orifizio esterno di …, la discesa ng fu di poco minore di 1 pollice e mezzo, e l’ampiezza del getto di 9 pollici.]. Le piccole discrepanze sono ricondotte alle resistenze che l’acqua incontra nel passaggio attraverso le canne.

L’intera sequenza sperimentale offre una testimonianza storica di prim’ordine: siamo di fronte alla prima verifica quantitativa dell’equazione di Bernoulli in condotti reali, alla scoperta della pressione negativa relativa in un flusso confinato e alla diretta osservazione dell’aspirazione idrodinamica. La presenza di un principe all’esperimento 6 sottolinea la risonanza accademica e cortigiana di queste ricerche. Il metodo è già moderno: correzione della capillarità, sistematica variazione dei parametri (diametri dei fori, forma dei tubi), ripetizione delle misure e confronto con un modello teorico. In queste righe si condensa così un capitolo fondativo della fisica dei fluidi.

[28]

[28.1-32-3744|3774]

33 La revisione della teoria dell’impeto dei fluidi: reazione, deviazione e critica alle regole ordinarie

Il brano, tratto dalla Sectio Decima Tertia di un trattato idrodinamico settecentesco, sviluppa una critica serrata alla dottrina comune sull’impatto delle vene liquide contro superfici solide e delinea i fondamenti di una teoria nuova, basata sull’osservazione diretta del comportamento delle particelle e su un principio di azione e reazione applicato alla deflessione.

Il punto di partenza è un’«affezione dinamica» che descrive il ruolo di una lamina EF nel mutare la direzione delle acque: “H4c afFedione Dynamica , cum utimur in prxfenti noftro negotio, con- fideranda eil lamina E F, quae 1’ua in aquas readione , earundem diredionem mutat” - (fr:3744) [Questa affezione dinamica, quando ce ne serviamo per il nostro presente scopo, è da considerare la lamina EF, che con la sua reazione sulle acque ne muta la direzione], reazione che perdura “ufque dum perpendicularis ad primam fada fuerit” - (fr:3745) [fino a che non sia divenuta perpendicolare alla prima direzione]. L’autore dichiara che la proposizione del paragrafo precedente si può dimostrare proprio grazie a quest’affezione, “ad determinandam vim repellentem ope principii §. expoGti” - (fr:3746-3747) [per determinare la forza repellente mediante il principio esposto al §. 3].

L’idea che occorre farsi dell’impeto delle acque è dunque che le singole gocce rimbalzino lateralmente secondo la direzione della lamina; tuttavia l’autore introduce subito un dato empirico che complica il quadro: “^ qu 4 indole aquas non recedere femper obfervavi: vidi tamen etiam guttulas aliquas fed paucas retrorfum reGlire” - (fr:3748) [per natura ho osservato che le acque non si allontanano sempre di lato; ho visto tuttavia anche alcune gocciole, ma poche, rimbalzare all’indietro]. Queste particelle retroflesse generano una pressione maggiore rispetto a quelle che deviano lateralmente. Da qui nasce un convincimento saldo: se una vena d’acqua colpisce obliquamente un piano, per esempio “fub angulo triginta graduum” - (fr:3749) [sotto un angolo di trenta gradi], la pressione che ne deriva è più della metà di quella che la stessa vena eserciterebbe colpendo direttamente. La regola ordinaria prescriverebbe esattamente la metà; la discrepanza si spiega proprio perché nell’impulso obliquo un numero maggiore di particelle può rimbalzare all’indietro — “imo tere omnes, G magna fuerit velocitas” - (fr:3749) [anzi quasi tutte, se la velocità è stata grande]. Solo nel caso ipotetico in cui tutte le particelle rimbalzassero con angolo di incidenza uguale all’angolo di riflessione, i due impulsi sarebbero da considerarsi equivalenti: “tunc uterque impulfus idem cenfendus erit” - (fr:3750).

Il metodo più affidabile per stimare le pressioni delle acque resta perciò quello “qui ratiocinio k ptfleriori innititur” - (fr:3751) [che si fonda sul ragionamento a posteriori], cioè sulla base delle osservazioni.

L’affezione dinamica consente anche di comprendere un effetto simmetrico: “eundeiH oriri k preflionibus cffeduin iive lamina aquas ad latera dciledat, live caulk lingatur motum omnem, quem particuix aquex cylindrum egreflx acquilive- runt, abforbens” - (fr:3754) [lo stesso effetto nasce dalle pressioni, sia che la lamina devii lateralmente le acque, sia che si immagini la causa che assorbe tutto il moto che le particelle d’acqua, uscite dal cilindro, avevano acquistato]. Applicando il principio al dispositivo della Fig. Sy — dove l’orifizio CM del cilindro ABM è immerso nell’acqua del vaso PQFE — si deduce che, se i vasi non sono fissati tra loro, il cilindro viene respinto verso PQ; se invece i vasi sono vincolati l’uno all’altro, l’intero sistema non subisce alcuna pressione prevalente, perché alla spinta delle acque effluenti verso PQ se ne oppone una uguale e contraria verso EF, generata dalla continua distruzione del moto delle particelle uscite dal cilindro.

Passando all’altra specie di impeto — quello che subiscono le lamine completamente immerse in un fluido — l’autore nega che esso possa definirsi in senso assoluto, poiché ogni particella che urta la lamina devia in modo diverso. Se tuttavia si conoscesse la deviazione di ciascuna goccia, il teorema del §. 17, reso più generale, fornirebbe la soluzione: quando l’angolo della direzione mutata non è retto ma minore di un retto, la somma dei prodotti in questione è minore in ragione del seno della direzione mutata rispetto al seno totale. Bisognerebbe dunque indagare per ogni singola goccia quanto la lamina la costringa a cambiare direzione. Ma simili definizioni, ammette l’autore, “in theoria hu- jufmodi definitiones exhiberi accurate vix pofluntj nec experientia probat theoremata hanc in rem exhiberi folita” - (fr:3761) [nella teoria difficilmente si possono dare con accuratezza, né l’esperienza conferma i teoremi che si sogliono esibire a questo scopo]. Viene così messo in dubbio, ad esempio, il teorema per cui la pressione di un flusso che urta direttamente un cerchio sarebbe doppia rispetto a quella su una sfera dello stesso diametro. L’unico accordo soddisfacente tra la quantità di pressione su una sfera riportata dagli autori e gli esperimenti di Newton e altri è ritenuto un caso fortuito: “id omnibus bene perpenfis cafui fortuito tribuendum eflTe cenfeo” - (fr:3763).

L’autore dichiara di aver già esposto altrove i teoremi relativi al moto in mezzi resistenti considerati teoricamente e diverse osservazioni fisiche, citando i Commentaria Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. Poiché non intende ripeterli né indugiare oltre in queste meditazioni idrodinamiche, “diutius meditationibus hifce hydrodynamicis immutari non vacat” - (fr:3770), si avvia alla conclusione. La nuova teoria sulla reazione e l’impeto dei fluidi, che rovescia l’opinione ricevuta da tutti gli autori su una materia di grande momento, è stata da lui sviluppata in una dissertazione separata, destinata a comparire a suo tempo negli Commentaria Academiae Scientiarum Imperialis — un annuncio che rivela il valore di testimonianza scientifica del testo e la consapevolezza di introdurre un principio destinato a modificare radicalmente la comprensione dell’idrodinamica del tempo.

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