Avogadro - Fisica de' corpi ponderabili - II | L | +

24 May, 2026

[1]

[1.1/1-142-3|142]

1 Il Tomo II della Fisica de’ corpi ponderabili e il compimento della statica molecolare

Avogadro completa la prima parte del suo trattato dedicata alla costituzione dei corpi a temperatura costante, esponendo la teoria aggiornata dei liquidi e dei gas e rivendicando con chiarezza la sua ipotesi molecolare.

L’Avvertimento che apre il volume dichiara subito il suo scopo: esso contiene «la continuazione, ed il compimento della 1a delle due Parti in cui ho diviso quest’ Opera, cioè di quella che riguarda la costituzione de’ corpi considerati ad una temperatura costante» (fr:3/p.9). La seconda parte, di là da venire, si occuperà delle modificazioni indotte dalle variazioni di temperatura (fr:4/p.9). Con questo tomo, Avogadro porta a termine i Libri 3° e 4° della Prima Parte, dedicati rispettivamente ai liquidi e ai gas, dopo aver già trattato le considerazioni generali e i solidi nei primi due libri (fr:5/p.9).

Il Libro 3° è incentrato sulla capillarità e sulla compressibilità dei liquidi. Per la teoria dell’azione capillare, Avogadro segue fedelmente i principî di Poisson esposti nella Nouvelle théorie de l’action capillaire (1831), offrendone «un sunto, o se si vuole come una porzione dell’ opera stessa di Poisson, posta sotto una forma conveniente al nostro scopo» (fr:10/p.10). L’autore evita di riprodurre ogni passaggio analitico, giudicandone le particolarità «troppo estranee all’oggetto della mia opera» (fr:9/p.10), e arricchisce il testo con propri esperimenti recenti, con i risultati di Gay‑Lussac, Dutrochet e altri, e con osservazioni sull’endosmosi che Poisson aveva riguardato come applicazione della sua teoria (fr:15‑17). Un paragrafo è riservato al moto dei liquidi nei tubi capillari, considerato come la parte dinamica di una disciplina la cui statica è formata dai fenomeni capillari classici (fr:20/p.12). Il terzo capitolo esamina la compressibilità dei liquidi alla luce delle esperienze di Canton, Oersted, Perkins e, con particolare risalto, di Colladon e Sturm (fr:22‑23).

Il Libro 4° passa ai fluidi aeriformi. Vi sono esposte le proprietà statiche (barometro, legge di Mariotte, macchina pneumatica, decremento della pressione con l’altezza) senza ancora entrare nelle correzioni termiche, «per quanto se ne può trattare indipendentemente dalle variazioni di temperatura» (fr:28/p.14). La dinamica dei gas è affrontata attraverso il moto per orifizi e tubi, e specialmente mediante i moti vibratorî e la propagazione del suono, riallacciandosi ai solidi con i lavori di Savart, Cagniard‑La‑Tour e Willis sulla voce umana, e rinviando alla seconda parte l’applicazione dei dati di Dulong sui calori specifici (fr:33‑38). Nel trattare la densità dei gas, Avogadro enuncia esplicitamente la propria ipotesi: «… che sotto pressione e temperatura uguale tutti i gaz contengano in un dato volume un ugual numero di molecole integranti, e che perciò la loro densità esprima la massa relativa di queste molecole», precisando di averla proposta per primo e che fu poi adottata da Ampère e dalla maggior parte dei fisici e chimici (fr:41/p.17). L’esposizione si allarga alle modifiche apportate da Dumas e Mitscherlich e al rapporto tra atomi chimici e molecole gassose (fr:42‑43). Il volume si chiude con l’azione di solidi e liquidi sui gas, dall’assorbimento al passaggio per fessure – considerato come «un’ estensione dei fenomeni della capillarità , e dell’ endosmosi ai fluidi aeriformi» (fr:49/p.18) – e con l’effetto catalitico del platino spugnoso scoperto da Döbereiner (fr:50/p.18), giustificando le incursioni nella chimica con la «necessità di tali escursioni imposta dalla connessione medesima delle materie» (fr:51/p.18).

Entrando nel merito del Libro 3°, il Capo Primo (Considerazioni generali sull’azione delle forze molecolari ne’ corpi liquidi) stabilisce la distinzione fondamentale tra liquidi e solidi: nei liquidi le molecole si attraggono indifferentemente da tutti i lati e le forze secondarie, legate alla forma, sono nulle, «quindi risulta la perfetta mobilità delle loro molecole» (fr:71/p.24). Di conseguenza, l’intervallo medio fra molecole consecutive rimane uguale in tutte le direzioni attorno a un punto anche quando il liquido è deformato da una pressione esterna; ciò non accade nei solidi, dove le forze secondarie generano dissimmetrie direzionali (fr:77/p.26). Il Capo Secondo (Dell’azione capillare) ripercorre la storia della teoria, dal rapporto inverso di Jurin al tentativo di Laplace. Questi, pur fondandosi su forze attrattive molecolari a distanza insensibile, «ha omesso ne’ suoi calcoli una circostanza fisica di cui la considerazione era essenziale , cioè la variazione rapida di densità che il liquido prova […] presso alla sua superficie libera , e presso alle pareti del tubo, e senza cui i fenomeni capillari non avrebbero luogo»; così il suo calcolo «rinchiude implicitamente principii tra loro Contradittoiii» (fr:131/p.33). Poisson, al contrario, partendo dalla medesima base molecolare ma includendo la variazione di densità superficiale, perviene a equazioni formalmente simili a quelle di Laplace, ma con costanti del tutto differenti, esprimibili mediante integrali delle forze intermolecolari e determinabili solo con la sperienza (fr:135/p.34). La teoria coeva di Gauss (1830) è respinta perché fondata sugli stessi dati fisici di Laplace e quindi soggetta alle medesime obiezioni (fr:140/p.35).

Il testo offre così una testimonianza storicamente densa. Da un lato documenta la diffusione della fisica molecolare in Italia, con un’esposizione aggiornata alle più recenti sistemazioni teoriche e a un’ampia raccolta di fatti sperimentali; dall’altro, la limpida rivendicazione dell’ipotesi che lega il volume dei gas al numero di molecole – la futura legge di Avogadro – mostra l’autore pienamente consapevole della sua portata. L’attenzione alla variazione di densità come requisito indispensabile per la capillarità segna un passaggio decisivo verso una descrizione più realistica della struttura fine dei fluidi, mentre la scelta di espungere i dettagli analitici non essenziali, per «renderà forse a taluno più facile il seguire il filo dei ragionamenti, e abbracciare il complesso della teoria» (fr:11/p.10), ne fa un singolare esempio di trattatistica scientifica in lingua italiana, capace di coniugare rigore e chiarezza espositiva.

[2]

[2.1/1-62-270|331]

2 L’equilibrio delle superfici capillari: dalla teoria dei due liquidi al metodo del filetto cilindrico

Il testo espone in modo analitico la teoria dell’equilibrio capillare per liquidi sovrapposti, sviluppando dapprima le equazioni della superficie di separazione e della superficie libera, per poi presentare un metodo alternativo fondato sull’equilibrio di un filetto fluido di sezione costante. Si colloca nel solco dei lavori di Laplace e Poisson, con l’intento esplicito di tenere conto della variazione rapida di densità in prossimità della superficie, elemento trascurato nella prima formulazione laplaciana.

La trattazione prende avvio dalla definizione di una funzione ( R_1 ), che compare nell’espressione delle azioni molecolari quando si considerano due liquidi distinti. Tale funzione “varierà pure rapidissimamente con s ed ( s_1 ), del che l’analogo non avea luogo per la funzione R che entrava nelle equazioni (2)” (fr:271/p.55). A seconda della posizione reciproca dei punti ( m ) ed ( m_1 ) rispetto alla superficie di separazione ( MO ), la funzione ( R_1 ) assume tre forme diverse, indicate con ( S ), ( S’ ) e ( S_1 ): “Così essa sarà una funzione che potremo chiamare S pei valori di s ed ( s_1 ) amendue minori di MO come nella figura; un’altra funzione S’ pei valori di ( s’ ) ed ( t ), amendue maggiori di MO; ed una terza funzione ( S_1 ) quando l’una delle due variabili … sarà più grande, e l’altra più piccola che MO.” (fr:272/p.56). Queste tre funzioni sono ignote e il loro valore “non può esserci dato che dall’esperienza” (fr:273/p.56), stabilendo così un legame tra la teoria e la misura.

Sostituendo nelle prime due equazioni del sistema (3), si ottiene che “la quantità ( q+q’+q_1 ) dee essere costante in tutta l’estensione della loro superficie di contatto” (fr:274/p.56). Posta questa somma uguale a ( -G ), la grandezza ( G ) diviene una costante dipendente dalla natura e dalla temperatura dei due liquidi, determinabile sperimentalmente. L’equilibrio richiede quindi che tale somma sia uniforme sull’intera interfaccia.

Dalla terza equazione (3) si ricava l’equazione della superficie di separazione (4), che, dopo aver introdotto le pressioni nei liquidi (( p = - g z ), ( p’ = c’ - g z )), assume la forma

[

- c’ - (- ’) g z + ( + ) + G = 0,

]

dove ( , ’ ) sono i raggi principali di curvatura, “riguardato come positivo o come negativo secondo che al punto O la linea di curvatura … rivolge la concavità o la convessità all’infuori del liquido inferiore” (fr:280/p.57). L’espressione di ( 1/+ 1/’ ) in termini delle derivate della superficie è data con una regola di segno che coinvolge l’angolo tra la normale uscente e la verticale ascendente (fr:281/p.57).

Per la superficie libera del liquido superiore a contatto con l’atmosfera si giunge a un’equazione analoga (5), “surrogando II a G, ( ) e ( ’ ) a ( ) e ( ’ ), ( c’ ) a ( ), ( ) a ( c-g z ), ( p’ ) a ( p ), ( z’ ) a ( z )” (fr:286/p.58). La costante ( c’ ) si determina uguagliando il volume calcolato della porzione di liquido superiore al valore noto del volume stesso (fr:288-289/p.59).

Il caso particolare di un unico liquido (i due liquidi della stessa materia) semplifica radicalmente le equazioni: “si avrà ( p=p’ ), ( q=-q’ )” e “la quantità che abbiamo chiamata ( q_1 ) diverrà dunque … —2q” (fr:294/p.59), con la conseguenza che ( G=0 ) e ( c’=). L’equazione (4) svanisce, rendendo arbitraria la superficie di separazione, e la (5) si riduce alla classica equazione della superficie libera di un liquido unico:

[

g z = H ( + ) (6),

]

“indipendente dalla pressione ( ) dell’aria atmosferica” (fr:299/p.60). Lo stesso risultato si ottiene sopprimendo idealmente il liquido superiore o inferiore e applicando le opportune sostituzioni (fr:300-302/p.60). Le equazioni (6) e (7) descrivono così le superfici superiore e inferiore di un liquido pesante sospeso in un tubo di forma qualunque.

Il secondo metodo, definito “secondo metodo per la determinazione della superficie capillare” (fr:308/p.61), muove dall’equilibrio di un filetto cilindrico di spessore uniforme, a differenza del primo basato sul filetto di spessore variabile. L’autore osserva che “Laplace avea seguito [questo metodo] … senza tener conto della variazione rapida di densità del liquido alla superficie” (fr:311/p.62), mentre Poisson lo impiegò introducendo tale correzione (fr:313/p.62). La presente esposizione si propone come sintesi di quell’analisi.

Considerato un solo liquido nel vuoto e un punto ( O ) sulla superficie libera (fig. 3), si isola un filetto normale cilindrico ( OE ) di base ( ). Preso un punto ( F ) a distanza piccola ma sufficiente affinché l’azione del liquido oltre il piano ( CFD’ ) (parallelo al piano tangente in ( O )) non risenta della variazione rapida di densità, la componente di tale azione è ( p) con ( p = -g z ) (fr:320/p.62). Indicata con ( ) l’azione esercitata dalla porzione compresa tra ( CFD’ ) e la superficie, l’equilibrio di ( FO ) impone ( p + = 0 ) (fr:323/p.63). Il calcolo di ( ) viene imbastito considerando due punti ( M ) sul filetto e ( M’ ) nel liquido circostante, con coordinate locali ( t, t’ ) e proiezione ( u ) sul piano tangente. L’azione mutua è espressa da ( R, , u, du, dt, dt’, d), dove ( R ) è “la misura dell’azione molecolare riferita alle unità di volume” (fr:328/p.63) e il coseno di scomposizione è ( (t-t’)/r ) (fr:329/p.63). L’integrazione coinvolge i limiti geometrici imposti dal piano ( CFD’ ) e dalla superficie ( AOB ) (fr:330-331/p.64), benché il testo si interrompa prima di giungere al risultato finale.

La sequenza espositiva mette in luce la gerarchia tra le costanti ( G ) e ( H ), il ruolo delle funzioni incognite ( S, S’, S_1 ) nel raccordo tra i due liquidi, e la centralità della determinazione sperimentale dei parametri. Il documento testimonia lo sforzo di conciliare la meccanica molecolare con le osservazioni capillari, offrendo un esempio storicamente significativo della fisica matematica del primo Ottocento.

[3]

[3.1/3-98-336|432]

3 Analisi dell’azione capillare e determinazione delle equazioni della superficie e del contorno in un trattato di fisica molecolare

Testimonianza dell’evoluzione della teoria della capillarità, in cui Poisson corregge l’approssimazione di Laplace e stabilisce l’equazione differenziale della superficie libera e l’equazione al contorno per liquidi in tubi, gettando le basi per il calcolo del volume sollevato e per la trattazione delle forze molecolari agenti alla periferia del menisco.

Il testo costituisce una sezione avanzata di un trattato scientifico, verosimilmente opera di Siméon Denis Poisson, dedicato allo studio dell’azione capillare nei liquidi. L’argomento è svolto con rigore analitico e si articola in due momenti principali: la derivazione dell’equazione della superficie capillare a partire dall’interazione molecolare, con la discussione critica del metodo di Laplace, e la successiva determinazione di un’equazione specifica per il contorno della superficie, là dove le distanze dalle pareti del recipiente diventano insensibili rispetto ai raggi d’attività molecolare.

Il punto di partenza è l’analisi della funzione R₁, che descrive l’azione reciproca tra porzioni di liquido poste a distanza variabile. La sua variazione è rapida in certe direzioni e insensibile in altre, il che consente sviluppi in serie e integrazioni semplificate. Lo stralcio mostra come Poisson manipoli queste quantità per ottenere l’azione risultante su un filetto liquido:

“La quantità R₁ sarà una funzione di r che diverrà insensibile per ogni valore sensibile di questa variabile, il che ha permesso di stendere all’infinito l’integrale relativo ad essa” – (fr:335/p.64)

“Ma R₁ varierà rapidissimamente relativamente a t e a f, secondo la diversa distanza dei punti M ed M’ dalla superficie AOB.” – (fr:337/p.65)

Grazie alla simmetria della funzione rispetto alle distanze dei due punti dalla superficie AOB, e introducendo la perpendicolare M’L (sostituita con M’K al grado di approssimazione scelto), si giunge a un’espressione semplificata dell’integrale che regola l’azione complessiva. Il calcolo è condotto sviluppando al primo ordine e sfruttando l’annullamento di termini antisimmetrici durante l’integrazione; si perviene così a una formula che distingue due contributi fisici:

“Il primo termine di questo valore di W esprime la parte di ttf che proviene dall’azione del menisco compreso tra la superficie AOB e il piano tangente COD, sul filetto OE; il secondo è la parte proveniente dall’azione del liquido compreso tra i due piani COD, e C’FD’ su questo stesso filetto” – (fr:346/p.67)

La rapidissima variazione di R₁ rispetto alla coordinata t’ fa sì che il secondo termine non sia trascurabile. Questo è il punto in cui Poisson segnala e corregge l’errore di Laplace:

“L’errore del metodo di Laplace consisteva in ciò che vi si trascurava quest’ultimo termine di ttf, o altrimenti, che vi si considerava come nulla l’azione del liquido compreso tra i due piani paralleli COD, e C’FD’ sul filetto OF che ne fa parte, il che si sarebbe potuto fare se la densità nella direzione di t’ non variasse che insensibilmente, come Laplace lo supponeva.” – (fr:348/p.67)

La conclusione di questa prima parte è che, una volta incluso correttamente il termine omesso, l’equazione differenziale della superficie libera ottenuta con il secondo metodo (quello discusso nel testo) coincide con l’equazione (6) trovata con un primo metodo, purché si trascuri l’azione dell’aria atmosferica. L’identità dei risultati conferma la coerenza interna della teoria:

“Poisson fa vedere colle convenienti trasformazioni […] che quest’equazione coincide, ossia è identica con quella (6) trovata col primo metodo, per la superficie libera d’un liquido solo contenuto nel tubo” – (fr:351/p.67)

La seconda parte del brano (art. IV e art. II) è dedicata all’utilizzo di tale equazione per calcolare il volume di liquido sollevato o depresso in un tubo capillare e alla formulazione dell’equazione relativa al contorno. Senza integrare esplicitamente l’equazione differenziale, si ricava il volume V del cilindro troncato dalla superficie capillare, collegandolo all’angolo ω tra la normale alla superficie libera e la normale alla parete del tubo:

“Tale equazione avrà ancora luogo ugualmente quando il contorno non fosse tagliato soltanto in due punti da ciascuna linea retta come si è dapprima supposto; ed essa farà conoscere il valore di V, ossia il volume del liquido elevato nel tubo, quando quello di cos ω […] sarà dato in funzione di s, cioè pei diversi punti qualunque del contorno.” – (fr:382/p.71)

Nel caso di un contorno posto a distanza insensibile dalla parete, l’angolo ω diventa costante e il peso del liquido sollevato Δ è direttamente proporzionale al perimetro c della sezione del tubo:

“Si vedrà in seguito che l’angolo ω è costante per tutti i punti della superficie capillare, di cui la distanza alla parete del tubo è insensibile, e tuttavia più grande che i raggi d’attività delle molecole del tubo e del liquido. Se dunque si suppone che l’intersezione […] sia per tutto ad una distanza insensibile dalla parete del tubo, […] l’equazione precedente diverrà ρgV = – Hc cos ω, ovvero Δ = – Hc cos ω” – (fr:385/p.71-387/p.72)

Il segno di Δ discrimina i menischi concavi (ω ottuso, liquido che sale) da quelli convessi. L’estensione al caso di due liquidi sovrapposti conduce a due equazioni che legano i pesi dei liquidi superiore (P) e inferiore (Q) agli angoli ω e φ e ai coefficienti H e G:

“P + Q = – Hc cos ω – Gc cos φ” – (fr:398/p.73)

Nell’ultima parte (Art. II) il testo si concentra sulla condizione meccanica al contorno. Riconoscendo che l’equazione differenziale vale solo lontano dalle pareti, si imposta un bilancio di forze su una porzione liquida prismatica di spessore infinitesimo, situata in prossimità della superficie libera e della parete. Le azioni considerate comprendono le forze esercitate dal tubo e quelle mutue tra gli strati liquidi adiacenti. L’influenza della parete è ricondotta alla condensazione locale e non a una forza direttamente agente sulla forma macroscopica:

“la prima di queste forze è inutile a considerarsi pel nostro presente oggetto, tale forza non tendendo in alcuna maniera a modificare la figura della superficie del liquido vicino al tubo, […] cosicché l’influenza dell’azione del tubo non consiste qui che nella condensazione che ne risulta vicino alla parete, e che modifica poi le azioni che le diverse parti del liquido stesso esercitano tra loro.” – (fr:423/p.76)

L’analisi è condotta scomponendo le forze parallelamente al piano di figura e quindi in direzioni perpendicolare e parallela alla parete, trascurando il peso della porzione considerata e l’azione dell’aria. La condizione di equilibrio viene posta nella forma compatta:

“Secondo ciò tutto si richiederà per l’equilibrio di questa parte del liquido, che si abbia S + τ + P + Q + T + F = ” – (fr:427/p.77)

Le approssimazioni successive (sostituzione delle superfici curve con piani tangenti, rettificazione delle linee di curvatura verticale del tubo, omissione della variazione di densità dovuta al peso) sono giustificate dalla natura delle espressioni in gioco e dall’ipotesi che le distanze in gioco siano estremamente piccole ma superiori al raggio d’attività molecolare.

Il testo, nella sua densità analitica, costituisce una preziosa testimonianza del passaggio dalla teoria di Laplace a una formulazione più rigorosa e completa dell’azione capillare, fondata sul concetto di forze molecolari rapidamente decrescenti con la distanza. L’introduzione esplicita dell’equazione al contorno rappresenta un avanzamento metodologico che sarà ripreso e sviluppato nei lavori successivi di Gauss e altri, ma che qui viene condotto con il tipico approccio di Poisson, volto a dare fondamento meccanico‑molecolare ai fenomeni di superficie.

[3.2/3-98-433|530]

4 La riduzione analitica delle forze agenti sul liquido capillare

“Così l’equazione ( r) dell’ equilibrio si riduce realmente a ■a + j°-f-Q÷ T+ ∕z=o , e non vi sono che le cinque quantità st, P1 Q1 T, Zz da determinarsi.” – (fr:437/p.78)

[Così l’equazione (r) dell’equilibrio si riduce realmente a π + P + Q + T + Z=0, e non vi sono che le cinque quantità π, P, Q, T, Z da determinarsi.]

Il testo descrive con rigore analitico la riduzione delle forze che agiscono su una porzione di liquido in prossimità di un tubo, nel quadro della teoria dell’azione capillare dovuta a Poisson. L’intero ragionamento mira a semplificare l’espressione delle componenti agenti, per giungere a un’equazione di equilibrio contenente soltanto cinque grandezze: la forza π dovuta allo strato liquido che comprime il fluido contro la parete, le forze P, Q, T legate a diverse porzioni di liquido sul menisco e la componente Z (o Γ). Attraverso una catena di approssimazioni, annullamenti di azioni reciproche e riduzioni di integrali quintupli, si isolano i contributi essenziali.

4.1 La compressione e le variazioni rapide di densità

Vicino alla superficie del tubo il liquido subisce una compressione e una variazione di densità rapidissime. Tali effetti vanno considerati nella forza π (indicata nel testo con π o con il simbolo ■a) e nella forza T, mentre “quanto alla parte di AA’MN in cui questa densità varia insieme , e nella direzione normale alla superficie del liquido, per l’azione di questo sopra se stesso, e nella direzione perpendicolare alla superficie del tubo per l’ azione di questo sul liquido , sebbene AA’MN sia compreso nell’ azione di queste due forze, essa non influisce sul valore di tó e T” – (fr:434/p.78). L’annullamento di S è immediato: “è facile vedere che si ha 5~ o , poiché le azioni di tutti i filetti dello strato … si distruggono reciprocamente due a due” – (fr:436/p.78). Così l’equazione generale dell’equilibrio si riduce a π + P + Q + T + Z =

4.2 Dalle azioni molecolari alla doppia integrazione

La forza π viene tratta dall’azione di uno strato liquido la cui sezione è EGFC sulla porzione C (fig. 6). Si introduce un sistema di coordinate con origine in G, e si esprime l’azione mutua fra due punti mediante una funzione φ(r, y, y’) che “varierà Tapidissimamente con ciascuna di queste quantità in ragione della compressione del liquido vicino alla superficie del tubo” – (fr:444/p.79). Fuori dello strato compresso, tale funzione si confonde con la funzione R dell’attrazione interna. L’integrale quintuplo che ne deriva viene ridotto da Poisson, “per mezzo d’un artifizio analitico” – (fr:452/p.80), a un integrale triplo che non può più semplificarsi e “dipenderà dalla compressione del liquido nello strato aggiacente al tubo, e conseguentemente dalla materia del tubo, e da quella del liquido” – (fr:453/p.80). Questo integrale viene conservato come una quantità indicata con una lettera (probabilmente U o V), di cui segno e valore vanno assegnati caso per caso.

4.3 Forze P, T e il loro valore esplicito

La forza P è calcolata a partire dall’espressione di π, trasportando l’asse delle ascisse in F (fig. 5 e 6) e introducendo le coordinate u e u’. Poiché in questo caso non vi è variazione rapida di densità, “la funzione p nella funzione R relativa all’ interno del liquido” – (fr:458/p.81), e si può estendere all’infinito il limite superiore delle integrazioni in u e u’. Confrontando con la quantità η del n. 354 si conclude P = –q – (fr:461/p.81). Per la forza T, che agisce attraverso BNMB’ sulla porzione A’MNA, si osserva che la densità varia solo normalmente alla superficie libera, perciò la componente normale si annulla: “la parte più elevata e meno densa di C provando uguale azione da alto in basso dalla parte inferiore, e più densa di BNMB’, che la parte inferiore e più densa di C prova da basso in alto dalla parte più elevata e meno densa di BNMB’” – (fr:463/p.82). La forza risultante è quindi perpendicolare a MN, indicata con U, e la sua componente utile è T = –U cos α (fr:468/p.82). Sostituendo allo spessore h la lunghezza l = MN e modificando la funzione in ψ, dipendente dalla variazione di densità nello strato superficiale, si trova U = –γ₁ e infine T = γ₁ cos ω – (fr:474/p.83).

L’equazione dell’equilibrio diventa così π – q + γ₁ cos ω + Q + Γ = 0 – (fr:475/p.83, nell’edizione indicata come equazione (3)), e restano da determinare Q e Γ.

4.4 Il calcolo di Q e Γ mediante prismi indefiniti

Per ottenere Q e Γ si considera il sistema di due prismi liquidi con uno spigolo comune indefinito e facce illimitate (fig. 8). Le loro sezioni ACB e B’CA’ sono definite dagli angoli a, b, a’, b’ rispetto a una retta DE. La forza Z diretta parallelamente a DE, esercitata dal primo prisma su un segmento del secondo, viene espressa da un integrale quintuplo che Poisson riduce a due forme equivalenti (4) e (5), contenenti seni e tangenti degli angoli.

Applicando queste formule al caso di Γ (indicato con V nel testo), si scelgono gli angoli che corrispondono alle linee della figura 5: a = 0, b = π – ω, a’ = ω – π, b’ = π/2. Sostituendo nella (5) si semplificano tutti i termini tranne uno, dando Z = –q sin ω = V – (fr:508/p.86). Per Q si ricade invece nel caso indeterminato a = 0, a’ = –π, con il prisma agente rappresentato da ECB (fig. 9) e il prisma soggetto con una faccia coincidente con CE. L’indeterminazione viene sciolta sfruttando la condizione che, quando b = π/2 e b’ = –π/2, l’azione risulta nulla; così si ottiene l’espressione finale Z = –½ q (cos b + cos b’) – ½ q (sen b + sen b’) tang ((b+b’)/2) – (fr:528/p.89), applicabile poi a Q con i valori di b e b’ propri della configurazione NMF e A’MF.

4.5 Significato storico e metodologico

Il brano appartiene a un trattato di fisica matematica ottocentesco, quasi certamente la Nouvelle théorie de l’action capillaire di Siméon Denis Poisson. Esso rappresenta uno dei momenti più alti della riduzione analitica delle forze molecolari in meccanica dei fluidi: a partire dalle ipotesi di azioni a distanza insensibile, si calcolano le componenti di forza attraverso integrali multipli, se ne riconoscono le simmetrie e le cancellazioni, e si perviene a espressioni maneggevoli che legano le costanti materiali (q, γ₁) alla geometria del menisco. L’uso sistematico di coordinate, funzioni rapidamente variabili, limiti all’infinito e integrazioni polari mostra il passaggio dalla fisica qualitativa alla fisica quantitativa, reso possibile dal calcolo integrale. Le figure numerate (5, 6, 7, 8, 9) accompagnano il lettore lungo i diversi sistemi di riferimento, testimoniando l’intreccio fra intuizione geometrica e sviluppo analitico tipico della scuola francese del primo Ottocento.

[3.3/3-98-531|628]

5 L’equilibrio delle superfici capillari e l’angolo di contorno nell’analisi di Poisson

Il testo espone un’analisi teorica avanzata dei fenomeni di capillarità, concentrandosi sulla determinazione dell’equazione di equilibrio per la superficie libera di un liquido a contatto con una parete solida. L’autore deriva e discute l’equazione che governa l’angolo di contorno, dimostrandone l’invariabilità rispetto alla curvatura del tubo e la dipendenza dalle azioni molecolari tra liquido e solido.

Si inizia con un’analisi delle forze in gioco per definire l’equazione di equilibrio al contorno. Viene introdotta una formola non esplicitata nel testo, ma applicata al caso specifico per quantificare l’azione Q di FMN sopra FMA’. Attraverso passaggi geometrici che coinvolgono gli angoli, si giunge a determinare che la formula fornisce “q (sema -+- cosa)” (fr:533/p.90). Questo risultato conduce direttamente all’equazione fondamentale per l’equilibrio del contorno della superficie capillare:

“Tale è dunque 1’ equazione dell’ equilibrio che si trattava di trovare, relativa al contorno della superficie capillare, l’angolo ω essendo 1’ angolo KMN della fig. ” - (fr:535/p.90)

L’interpretazione geometrica dell’angolo ω viene generalizzata. In un punto O sulla superficie capillare, a una distanza dalla parete del tubo maggiore del raggio d’azione molecolare ma ancora insensibile, l’angolo ω è definito come quello compreso tra la normale esterna alla superficie del liquido e la perpendicolare alla parete del tubo. Un punto cruciale è la sua invarianza: esso è “indipendente dalla curvatura del tubo, tanto nella direzione verticale che nell’ orizzontale , e cosi lo stesso in tutto il suo contorno qualunque sia la figura della sezione del tubo” - (fr:538/p.90). L’angolo è determinato dall’equazione (8), dipendendo dalle quantità q e q₁ (intrinseche al liquido) e dalla quantità ω che dipende dall’azione combinata del liquido su se stesso e del tubo sul liquido, la quale genera la variazione di densità del liquido prossimo alle pareti.

L’analisi si estende al caso di due liquidi sovrapposti, con il punto O appartenente alla superficie di separazione. Viene introdotto un angolo ρ analogo a ω, e l’equazione (8) è sostituita da una nuova condizione di contorno, sintetizzata come “K=Gcoιφ” - (fr:543/p.92), dove G è un coefficiente già noto dall’equazione della superficie di separazione, e K è una nuova costante. Il testo sottolinea una differenza fondamentale tra K e G: K dipende dalla natura dei due liquidi e del tubo, ma può essere dedotto dai valori F e F’ calcolati per i due liquidi liberi presi separatamente, essendo K = -F - F’ (fr:545/p.92). Al contrario, G dipende dall’azione diretta di un liquido sull’altro, e non è deducibile dalle proprietà singole. L’angolo di contorno ρ, come ω, rimane costante per tutto il perimetro se il tubo è omogeneo.

L’applicazione di queste equazioni al contorno per determinare le costanti arbitrarie nell’integrale della superficie capillare richiede due condizioni, poiché l’equazione della superficie è del secondo ordine. La proiezione del contorno è una curva chiusa, e l’equazione di condizione al contorno, dovendo valere per due valori di y per ogni x, fornisce proprio le due equazioni necessarie (fr:556/p.93). Con le equazioni della superficie, del suo contorno e quella relativa al volume del liquido, si raggiunge una soluzione completa del problema, che “non può più cosi presentare che difficoltà d’analisi” - (fr:559/p.94), spesso insuperabili per una soluzione rigorosa in forme generiche.

Il testo offre poi una via alternativa per calcolare il peso del liquido sollevato per azione capillare in un tubo cilindrico verticale, basandosi sull’equilibrio delle forze agenti sullo strato di contorno. Il peso Δ del liquido sollevato (o abbassato) è sostenuto dall’azione verticale dello strato che circonda il volume. Eguagliando la somma delle forze costanti T, F e Q su tutto il contorno c al peso Δ si ottiene un’equazione che, con le opportune sostituzioni, “coincide coll’equazione (io) del n. 364” - (fr:572/p.96). Questo dimostra la coerenza tra l’approccio basato sull’equazione della superficie e quello basato sulla condizione al contorno, sebbene il primo metodo sia giudicato “più diretto, e più generale, poiché esso non suppone al tubo alcuna forma particolare” - (fr:573/p.96).

Le conseguenze più generali delle equazioni trovate vengono discusse introducendo le costanti sperimentali H e F. L’equazione della superficie (1) e quella del contorno (2) sono riscritte come H = gρz + H(1/λ + 1/λ₁) e F = H cos α (fr:581/p.97-588/p.99). Dall’equazione del contorno risulta che “qualunque sia il segno di H […] vi sarà in generale elevazione o abbassamento del liquido , secondo che F sarà negativo o positivo” - (fr:595/p.100). Per un tubo cilindrico, il peso del liquido sollevato Δ è proporzionale al contorno c, e l’elevazione media k risulta “in ragione inversa del contorno c, o più generalmente in ragione inversa delle linee omologhe delle sezioni orizzontali che si suppongono figure simili” - (fr:599/p.100).

Si entra poi nel caso specifico del tubo capillare cilindrico a base circolare, dove la superficie è di rivoluzione. Al centro del tubo, dove i raggi di curvatura sono uguali a γ, l’ordinata h del punto centrale C è data da h = 2H/gργ (fr:606/p.101). L’esperienza mostra che l’elevazione è sempre accompagnata da concavità e l’abbassamento da convessità, implicando che “H sia sempre una quantità positiva” - (fr:611/p.102). Ciò prova che l’azione attrattiva della massa di liquido inferiore sul suo strato superficiale è preponderante. In prima approssimazione, per un raggio a molto piccolo, la superficie è assunta sferica, per cui cos ω = -a/γ, il che porta ai valori espliciti γ = -Ha/F e h = -2F/gρa (fr:621-624/p.103). Questo mostra che l’elevazione o l’abbassamento del punto centrale è, in prima battuta, inversamente proporzionale al diametro del tubo, una legge che sarà poi raffinata.

[4]

[4.1/3-84-718|800]

6 Dalla prima alla seconda approssimazione: correzione dell’elevazione capillare e trattazione unificata per geometrie complesse

Il testo sviluppa la teoria dell’elevazione e depressione capillare nei tubi, passando da una prima approssimazione, dove la curvatura della superficie liquida è trascurata, a una seconda approssimazione che tiene conto del termine legato alla curvatura stessa. “Nella prima approssimazione questa differenza non si presentava, perchè in essa si trascurava essenzialmente, cogli altri termini, il termine — su cui essa cade, e che dipende dalla curvatura della superficie.” – (fr:718/p.120) L’effetto di tale curvatura è descritto geometricamente: “per la seconda, poiché la curvatura della superficie aggiunge una porzione di volume al cilindro abgh, e la toglie al cilindro db’gh’.” – (fr:717/p.120)

6.1 Correzione della legge classica e determinazione sperimentale di a²

Per il caso più ordinario – tubo bagnato dal liquido, con angolo di contorno ω = 180° (b = cos ω = –1) – l’espressione dell’elevazione h derivata dalla seconda approssimazione mostra che la proporzionalità inversa col raggio a del tubo, fornita dalla prima approssimazione, non è esatta. “I termini aggiunti dalla nuova approssimazione fanno vedere che tale proporzionalità non è esatta, … e che essa non può aver luogo affatto prossimamente se non per le elevazioni aumentate della quantità — cioè del terzo del raggio del tubo, ossia del sesto del suo diametro, onde ridurre l’elevazione osservata al primo termine della sua espressione più esatta.” – (fr:724/p.121) In altre parole, per ricondurre l’elevazione osservata al termine dominante 1/a, occorre incrementare il raggio di a/3.

Questo risultato consente di usare un’unica misura di h in un tubo di raggio a noto per calcolare la costante a² (legata alla natura e temperatura del liquido) e quindi prevedere h per qualunque altro raggio: “Relativamente ad un liquido di cui la materia e la temperatura siano date, si potrà dedurre, per mezzo di questa espressione di h, il valore di a² dal valore di h che si sarà osservato in un tubo di raggio a dato; e la formola farà quindi conoscere l’altezza h che dee corrispondere ad un altro raggio qualunque a della sezione dei tubi, con tanto maggior esattezza quanto sarà meno considerevole la frazione —, cioè quanto sarà più piccola la sezione del tubo relativamente al valore di a².” – (fr:725/p.121)

Quando la superficie capillare non è tangente alla parete (ω ≠ 180° per il caso concavo, ω ≠ 0 per il convesso), la determinazione di b (cos ω) richiederebbe la misura diretta della freccia del menisco, combinata con quella di h, per ottenere b e a² da due equazioni. Tuttavia “la misura diretta della freccia del menisco è poco suscettibile di precisione, e vedremo in seguito che vi sono altri mezzi di ottenere i valori di a e b, nei caso in cui la superficie del liquido fa un angolo con quella del tubo.” – (fr:727/p.122)

6.2 Cilindro interno coassiale e due piani paralleli

La sezione 381 introduce un caso più complicato: un cilindro interno, eventualmente di materiale diverso, disposto coassialmente entro il tubo cilindrico. “Se gli angoli ω alle pareti, relativi alla materia del cilindro, e a quella del tubo, sono amendue ottusi, la generatrice di questa superficie sarà concava all’insù; essa sarà convessa, se questi due angoli sono amendue acuti; e se l’uno di essi è acuto, e l’altro ottuso, essa presenterà un punto di inflessione.” – (fr:730/p.122) I tre casi sono illustrati nella fig. 15 (n.i 1, 2, 3), dove A è il cilindro interno e B, B le pareti del tubo (fr:732/p.122).

Nei primi due casi esiste una circonferenza orizzontale (CC nella fig. n.1) lungo la quale le normali alla superficie sono verticali e uno dei raggi principali di curvatura è infinito. Se la distanza tra cilindro e parete è molto piccola rispetto alla costante a², la generatrice si confonde col suo cerchio osculatore e si ottiene un risultato notevole: “quando l’angolo ω sarà anche lo stesso alla superficie del cilindro interno, il punto C si troverà ugualmente distante dalla superficie del tubo e del cilindro, … d’onde si vede, che l’elevazione o l’abbassamento del liquido tra questi due corpi della stessa materia non è che la metà dell’elevazione o dell’abbassamento del liquido in un tubo capillare di cui il diametro è uguale alla loro mutua distanza.” – (fr:738/p.123) Questo risultato, indipendente dalla curvatura delle superfici e valido finché la distanza è molto piccola e uniforme, si estende immediatamente al caso di due piani paralleli verticali della stessa materia, nei quali l’elevazione (o abbassamento) è metà di quella in un tubo capillare avente diametro pari alla distanza tra i piani, “il che si trova infatti, come vedremo, conforme all’esperienza.” – (fr:743/p.125)

Se i materiali sono differenti, il punto C divide l’intervallo in due parti a e a’ tali che l’elevazione in C è la stessa che si avrebbe in un tubo di raggio a della materia del tubo esterno o in un tubo di raggio a’ della materia del cilindro; queste parti soddisfano la relazione a cos ω’ = a’ cos ω (fr:740-741/p.124). Anche qui la trattazione approssimata richiede che la distanza tra le superfici sia sufficientemente piccola; se la costante a² non è grande rispetto allo spessore di liquido, oppure se i materiali portano a un’inflessione della superficie (concava per uno, convessa per l’altro), si deve ricorrere a metodi più generali che verranno esposti in seguito.

6.3 Tubo a superficie di rivoluzione qualunque

A partire dal n. 382, l’analisi è estesa al caso in cui la superficie interna del tubo sia una qualunque superficie di rivoluzione con asse verticale e diametro molto piccolo in tutta la sua lunghezza. La fig. 16 mostra la superficie del liquido e del tubo per i casi di concavità e convessità (fr:749-750/p.125). Per un punto O del contorno si conducono le normali ON alla superficie liquida, OK alla parete e OH alla verticale; l’angolo KON = ω, mentre l’angolo i tra OK e il prolungamento di OH non è più nullo come nel tubo cilindrico. Il coseno dell’angolo GON, indicato con β, soddisfa β = cos(±ω) = cos ω cos i ± sen ω sen i = b cos i ± √(1 – b²) sen i (fr:754-755/p.126). L’equazione di contorno (6) del caso cilindrico è allora sostituita da un’equazione (9) dove al posto di b compare β (fr:755/p.126).

Si distinguono due situazioni, illustrate dalle figg. 16 e 17: la verticale condotta da O può non incontrare di nuovo la superficie, oppure incontrarla in un secondo punto O’. Nel primo caso basta sostituire b con β nelle formule del n. Nel secondo caso esiste un punto T intermedio in cui la tangente è verticale e il segno del radicale cambia; Poisson dimostra che la superficie è ancora descritta dalla stessa equazione (7) del caso semplice, prendendo il radicale √(γ’² – t²) con il segno di γ’ dal centro fino alla linea dei punti T (dove il piano tangente è verticale) e con segno opposto da tale linea al contorno. Il limite tra i due casi si ha quando β = ±1, ossia quando la normale alla superficie nel contorno è orizzontale; allora il punto T si confonde con il contorno stesso e γ’ = ±a (fr:769-771/p.129). Le espressioni approssimate di γ’, h e delle altre quantità differiscono da quelle del tubo cilindrico solo per la sostituzione di β a b e, nel caso di doppia intersezione, per il segno del radicale √(1 – β²) (fr:768/p.128). Se il tubo è raccordato al fondo del vaso (liquido a superficie convessa), basta cambiare a² in –a² e contare le z positive verso il basso.

La determinazione del raggio a al quale il liquido si arresta lungo un tubo di sezione variabile si ottiene uguagliando i due valori di z al contorno: quello dato dall’equazione della superficie capillare con t = a e quello dato dall’equazione della generatrice del tubo; da tale sistema si ricava a e, tramite l’equazione della superficie del tubo, anche l’angolo i, che può variare da punto a punto.

6.4 Effetti alle estremità del tubo e limite di traboccamento

La dipendenza da i (e quindi da β) spiega il comportamento del liquido quando il menisco raggiunge un’estremità del tubo. La fig. 18 mostra un tubo cilindrico terminato da superfici di rivoluzione (fr:777/p.129-778/p.130). Finché il punto O di contorno non ha oltrepassato il punto D (inizio della raccordatura), superficie e ordinata del vertice C restano invariate (fr:783/p.130). Superato D, la normale KO cessa di essere orizzontale e la configurazione cambia: si applicano le formule con β determinata dall’inclinazione i di KO. Nel caso di perfetta bagnabilità (b = –1, ω = 180°), KO e ON giacciono sulla stessa retta, cosicché la concavità diminuisce man mano che O sale sull’orlo; quando O raggiunge il vertice P, dove il piano tangente all’orlo è orizzontale, la normale combinata KO+ON è verticale e la superficie del liquido diventa piana, al livello esterno (fr:785/p.130). Effetti analoghi valgono per il menisco convesso (fig. 18 n.2) quando il tubo viene sollevato.

Anche in presenza di uno spigolo vivo (in realtà sempre un poco arrotondato), la normale KO ruota attorno allo spigolo mentre O si sposta di pochissimo; si può determinare β dall’equazione della superficie capillare applicata al contorno, usando il raggio noto della parte cilindrica e l’ordinata fissa del punto D, e da qui calcolare h, il raggio di curvatura γ e l’intera superficie (fr:788/p.131-793/p.132). Lo stesso ragionamento vale per l’estremità inferiore nel caso di liquido a superficie convessa.

Infine, quando il tubo comunica lateralmente con un vaso, si può innalzare il livello esterno al di sopra dell’estremità superiore del tubo. L’equilibrio è possibile fino a un limite preciso: se ω è ottuso (menisco concavo), il punto O sale dapprima fino a P; per ω = 180° la superficie diviene piana e il livello esterno uguaglia quello interno. Se ω < 180°, il menisco, dopo essere passato per la configurazione piana, diventa convesso e O discende lungo la curva esterna PQ. L’innalzamento può continuare finché gli ultimi elementi della superficie liquida non diventano verticali (normale ON orizzontale). “Quando il punto O, per l’ulteriore innalzamento del liquido nel vaso, si troverà ad un tal luogo di questa curva, che gli ultimi elementi della superficie del liquido siano divenuti verticali, … non si potrà più aumentare l’altezza del liquido nel vaso, senza che il liquido ne sgorghi dall’orlo del tubo, e si spanda, poiché la convessità del medesimo sull’orlo del tubo non potrà più crescere, come si richiederebbe per fare equilibrio alla maggior pressione corrispondente.” – (fr:798/p.133) Per ω = 180° (perfetta bagnatura) questo limite si raggiunge nel punto L dove la curvatura dell’orlo si raccorda con la superficie esterna verticale (fr:800/p.133); per ω = 90° il traboccamento avverrebbe già nel punto P.

L’insieme dei risultati mostra come la seconda approssimazione unifichi e corregga le leggi elementari della capillarità, fornendo al contempo gli strumenti per affrontare geometrie non cilindriche e per interpretare fenomeni di bordo che la prima approssimazione non poteva descrivere.

[4.2/3-84-801|884]

7 Analisi dell’equilibrio capillare al contorno dei tubi e formazione delle gocce

Il testo esamina i limiti dell’equilibrio di un liquido nei tubi capillari, le condizioni per lo sversamento, l’effetto degli spigoli vivi e delle irregolarità superficiali, la determinazione del peso massimo di una goccia sospesa e l’equilibrio di un liquido sospeso tra due superfici libere, mostrando il superamento dell’ipotesi laplaciana sulla costanza dell’angolo di contatto.

Il brano affronta il comportamento del liquido all’estremità superiore di un tubo immerso in un vaso. Raggiunto un limite in cui la superficie liquida diviene orizzontale e la normale ON si confonde con OG, si ha “cos GOK = cos NOK = cosω = b” e “β ≡ cos(z— ω) = coso=ι” (fr:801/p.133). In questo stato limite, noto l’angolo ω, l’equazione della curva PQ fornisce la distanza dall’asse e l’ordinata z, permettendo di determinare la figura del liquido e l’elevazione del livello esterno al di sopra del vertice della superficie nel tubo (fr:801/p.133). Quando il tubo è terminato da una porzione di superficie piana raccordata da spigoli vivi in D ed L, il punto O non può arrestarsi tra D ed L, ma “tostochè la superficie del liquido avrà oltrepassata la curvatura che si dee riguardare come formante lo spigolo in D … il liquido si spanderà subito in maniera da raggiungere lo spigolo in L” (fr:807/p.134). La massima elevazione prima dello sgorgo si calcola allora impiegando le formule del n. 378 con il raggio esterno a’ e β=1 (fr:808-809/p.134). Se si indica con l l’altezza del livello nel vaso sopra il piano che termina il tubo nell’istante in cui l’equilibrio sta per rompersi, si trova che “tale altezza l è eguale al valor negativo di z contato dal livello del liquido nel vaso” e che, trascurando il termine logaritmico, “z si ridurrà qui … a Zn-γ’ = A—et’”, donde l = —h — a, cosicché “se si elevasse ancora di più il livello del liquido nel vaso … esso comincerebbe a sgorgare dal tubo, sulla sua superficie esterna” (fr:811-812/p.135). Per un tubo discendente verticale o adattato a un orifizio nel fondo del vaso, la convessità che la superficie liquida assume all’orlo inferiore può equilibrare la pressione di una colonna anche più elevata di liquido (fr:819/p.136).

Un passaggio significativo riguarda la spiegazione degli effetti osservati nei tubi tagliati da un piano. L’autore contesta l’ipotesi di Laplace, affermando che “gli effetti di questo genere … si spiegano … coll’ assimilare a superficie curve di estensione insensibile, questi spigoli in apparenza vivi, cosicché la perpendicolare alla superficie vi cangi realmente di posizione, senza supporre che l’angolo ω … vi subisca alcuna alterazione” (fr:820/p.136). Questa concezione chiarisce perché, con lo stesso liquido e lo stesso tubo non precedentemente bagnato (ω=180°), i fisici abbiano ottenuto elevazioni diverse: “qualunque sia il grado di politura della parete interna del tubo, vi si trovano sempre sinuosità, di cui le altezze sono incomparabilmente più grandi che il raggio d’ attività molecolare”, facendo variare l’angolo i e quindi l’angolo δ da punto a punto, senza che ω cessi di essere costante, dando luogo a “diversi stati d’ equilibrio nei quali il liquido è più o meno elevato e la curvatura della superfìcie più o men grande” (fr:823-824/p.136). L’indeterminazione scompare quando il tubo è interamente bagnato o quando ω è nullo (fr:825/p.136-826/p.137).

L’analisi della goccia sospesa all’estremità inferiore del tubo fissa il momento del distacco. Se ω è ottuso (liquido a menisco concavo nel tubo) la goccia termina allo spigolo esterno, se acuto allo spigolo interno; in entrambi i casi si ha “β≈ι, la perpendicolare alla superfìcie del liquido dovendosi concepire nel punto 0 divenuta orizzontale … al limite in cui il liquido è sul punto di staccarsene” (fr:833/p.137). L’equazione della superficie (fr:838/p.137) e l’integrazione del volume sottostante portano a un’espressione del peso massimo m che “non dipende … da ó, nè per conseguenza dalla materia del tubo, ma solo da a che si riferisce alla materia del liquido” (fr:843/p.139). Il valore approssimato è proporzionale alla densità ρ, con una correzione dipendente da a. Importante è la distinzione: per ω ottuso (b negativo) il contorno è lo spigolo esterno e si impiega a’ , per ω acuto (b positivo) lo spigolo interno richiede di sostituire a (raggio interno) nell’espressione di m (fr:844-845/p.139). Tuttavia, l’osservazione mostra che “la goccia sospesa all’ estremità del tubo si allunga gradatamente, sinché una parte se ne stacchi”, e i pesi delle gocce cadute non seguono esattamente questi risultati statici (fr:846/p.139).

Infine, il testo considera l’equilibrio di un liquido omogeneo sospeso in un tubo capillare sotto pressione atmosferica. Qui “l’equilibrio non potrà aver luogo in un cilindro verticale nè per un liquido a superficie concava, nè per un liquido a superficie convèssa; la forma sola del tubo può renderlo possibile”, facendo sì che la superficie inferiore sia meno concava (o più convessa) della superiore, in modo che l’azione capillare equilibri il peso (fr:852/p.140). Poste le equazioni per superfici di rivoluzione (fr:854-855/p.140) e le condizioni al contorno con le quantità x, β e x’, β’ (fr:859-861/p.141), si arriva a un sistema risolubile quando i rapporti analoghi a b/a sono piccoli (fr:866-867/p.142). La costante c e le ascisse x, x’ si determinano dal volume totale del liquido e dalle equazioni delle due superfici (fr:876-879/p.143). Il metodo è poi applicato a un tubo conico, fornendo l’inclinazione limite dell’asse perché una goccia (con ω ottuso) resti in equilibrio: “la formola che Poisson trova a questo riguardo limitata al suo primo termine per approssimazione … … essendo α l’angolo della parete del cono col suo asse” (fr:882/p.144). La stessa analisi si estende al caso di un sifone a rami verticali, dove l’equilibrio è sempre possibile fissando opportunamente il rapporto delle altezze (fr:884/p.144).

[4.3/3-84-885|968]

8 L’equilibrio di più liquidi sovrapposti in un tubo capillare

Il testo, tratto da un trattato di fisica matematica, sviluppa la teoria dell’azione capillare in tubi di piccola sezione, estendendola dal caso di un liquido singolo al problema generale dell’equilibrio di più liquidi sovrapposti. L’analisi procede per gradi di complessità, partendo da configurazioni semplificate per giungere a risultati di portata generale, fondati sulla geometria delle superfici e sulle forze molecolari in gioco.

Si considera dapprima un tubo a due rami verticali cilindrici. Assumendo un piano orizzontale al di sopra della parte curva, il volume del liquido al di sopra di esso è pari alla somma delle capacità interne dei due rami comprese fra tale piano e i contorni delle superfici libere. “Si potrà prendere in questo caso per e3 il volume del liquido contenuto nei due rami, al dissopra d’un piano orizzontale superiore alla parte curva del tubo” – (fr:885/p.144). Se le superfici interne sono cilindriche di raggi dati, le espressioni per le ordinate z e z' delle due superfici si semplificano, e la loro determinazione dipende unicamente dalla costante c, ricavabile dall’equazione (13). Un’osservazione rilevante è che la differenza di livello dei due punti centrali non dipende dal volume del liquido, poiché la costante c scompare da tale differenza: “la differenza di livello dei due punti C, e C, cioè dei valori h e K di z e z’ corrispondenti a tzzzo, non dipenderà dal volume del liquido” – (fr:890/p.145). Essa dipende, per un dato liquido, soltanto dalle curvature delle due superfici.

Viene poi analizzato il caso di un tubo verticale interamente cilindrico, terminato inferiormente da un piano orizzontale raccordato da spigoli vivi. L’equilibrio nella parte cilindrica è impossibile: “il liquido discenderà sino a quest’estremità del tubo, poiché l’equilibrio è impossibile nella parte cilindrica” – (fr:893/p.145). Il liquido si arresta perciò a uno degli spigoli, la cui curvatura insensibile funge da superficie di contorno. Il suo comportamento dipende dal segno della quantità b (legata all’angolo di contatto). Se il liquido è convesso superiormente (b positiva), deve esserlo anche inferiormente, ma in misura maggiore per compensare il peso della colonna; può arrestarsi solo allo spigolo interno. Se invece è concavo superiormente (b negativa), può essere concavo anche inferiormente, ma la concavità diminuisce con l’altezza del liquido fino ad annullarsi quando quest’altezza eguaglia quella che si avrebbe per immersione del tubo. Aumentando ulteriormente il liquido, la superficie inferiore diviene piana, poi convessa, e il contorno si sposta sullo spigolo esterno.

Il testo introduce quindi il concetto di volume massimo di liquido sopportabile dal tubo prima che l’equilibrio venga meno. “il più gran volume di liquido che il tubo possa sostenere, avanti che l’equilibrio cessi di potersi stabilire, facendo β=1 nel valore di e3 dato dall’equazione (13)” – (fr:902/p.147). Chiamando μ il peso di questo volume massimo, Poisson ricava espressioni esplicite per i casi di b negativa (spigolo esterno) e b positiva (spigolo interno). “nel caso di b negativo […] si ha μ=πfg {x’ - bx) + (x² - x’²); nel caso di b positivo […] conviene fare in quest’espressione x = χ’, il che la riduce a μ=πfgx’(1-b)” – (fr:904/p.147). Tale quantità, legata unicamente al peso del liquido, potrebbe servire a determinare b per un dato liquido e una data sostanza del tubo, noto il raggio.

La parte centrale del brano è dedicata all’estensione al caso di più liquidi sovrapposti, giudicata necessaria per completare la generalità della teoria. “Per compire la generalità delle applicazioni della teoria dell’azion capillare […] ci resta a considerare l’equilibrio di più liquidi sovraPosti e contenuti in un tubo capillare” – (fr:908/p.148). Si suppongono due liquidi, con costanti H, F per il liquido inferiore (che si estende indefinitamente all’esterno) e H', F' per il superiore. Viene introdotta una nuova costante G, analoga a H e F ma relativa all’interazione reciproca tra i due liquidi: “F—F’ = K e rappresenteremo con G un’altra costante […] relativa alla materia dei due liquidi” – (fr:911/p.148). Le equazioni delle due superfici e le condizioni al contorno sono date dalle equazioni (a) e (b), che coinvolgono gli angoli φ (alla superficie di separazione) e ω (alla superficie libera superiore).

Nel caso più semplice di un tubo cilindrico verticale a base circolare, le equazioni si riducono a forme analoghe a quelle per una superficie unica, complicate però dalla costante c e dalla presenza delle due densità p e ρ. Con approssimazioni che suppongono le superfici prossime alle loro sfere osculatrici nei centri, si giunge a esprimere le ordinate centrali h e h' delle due superfici in funzione dei raggi di curvatura al centro (γ e γ') e del volume noto del liquido superiore (espresso da un’altezza equivalente e). L’espressione approssimata per h ed h' è data dalle equazioni (d): “Le equazioni (c) danno allora per approssimazione […]” – (fr:936/p.152).

L’analisi del segno della differenza X tra l’altezza del liquido superiore quando è sovrapposto e quella che il liquido inferiore avrebbe se fosse solo nel tubo, rivela che l’aggiunta di un secondo liquido può innalzare o abbassare il centro della superficie superiore a seconda delle proprietà capillari relative. “il centro della superficie superiore della colonna composta dei due liquidi si troverà più alto o più basso di quello che era il centro della superficie del liquido primieramente osservato solo, secondo che questo valore di X sarà positivo o negativo” – (fr:940/p.153). Se il liquido aggiunto differisce solo per peso specifico, si ha sempre innalzamento. Ma se la sua curvatura è diversa, l’abbassamento del centro della superficie superiore è possibile. Tuttavia, un risultato notevole di validità generale è l’invariabilità del peso totale della colonna liquida al di sopra di un piano orizzontale arbitrario passante per il liquido inferiore, indipendentemente da quanti e quali liquidi siano sovrapposti. “il loro peso totale al dissopra di un piano orizzontale scelto arbitrariamente […] è lo stesso che se il tubo non rinchiudesse che questo solo liquido” – (fr:945/p.154). Ciò discende dal fatto che la forza ripulsiva esercitata dalla porzione inferiore di liquido sulla colonna sovrastante dipende solo dalla natura del liquido inferiore e da quella del tubo, non dalle modificazioni di forma o curvatura introdotte dai liquidi superiori. La somma dei pesi è esprimibile direttamente in funzione della quantità F relativa al liquido inferiore, come mostra l’equazione “—cF” – (fr:954/p.156), indipendente dalle costanti del liquido superiore.

Infine, si considera il caso in cui la parete interna del tubo sia rivestita da uno strato sottilissimo di uno dei due liquidi, di spessore superiore al raggio d’azione molecolare. La superficie di separazione risulta allora tangente alla parete. Se lo strato è del liquido superiore, essa è convessa verso l’alto (concava verso il liquido superiore); se è del liquido inferiore, è concava verso l’alto: “un liquido che si trova in un tubo a cui aderisce uno strato dello stesso liquido […] rivolgendo la sua concavità all’infuori di se stesso […] ritiene questa stessa proprietà, anche quando questa superficie è in contatto con un altro liquido qualunque” – (fr:958/p.157). In sostanza, il liquido che bagna la parete si comporta, rispetto alla curvatura della superficie di separazione, come se l’altro liquido non fosse presente, generalizzando così i risultati già noti per un singolo liquido in un tubo che non esercita azione sulla densità.

[5]

[5.1/2-85-1034|1117]

9 Misurazioni di capillarità condotte da Gay-Lussac e loro analisi teorica

Il testo espone con dettaglio sperimentale e teorico la determinazione delle altezze capillari in tubi di vetro per acqua, alcool, olio di trementina e mercurio, nonché il comportamento di miscele liquide, confrontando i dati con la teoria dell’azione capillare.

Per calibrare con esattezza i tubi, Gay-Lussac ne determinava il diametro interno a partire dal peso di una colonna di mercurio in essi contenuta. “Per conoscere con molta precisione il diametro de’tubi impiegati, Gay-Lussac si servi d’un mezzo suscettibile di molta esattezza, supponendo che questo diametro sia ben uniforme in tutta la lunghezza de’ tubi, cioè lo calcolò dal peso d’una colonna di mercurio che essi potevano contenere.” – (fr:1033/p.169) [Per conoscere con molta precisione il diametro dei tubi impiegati, Gay-Lussac si servì di un mezzo suscettibile di molta esattezza, supponendo che questo diametro sia ben uniforme in tutta la lunghezza dei tubi, cioè lo calcolò dal peso di una colonna di mercurio che essi potevano contenere.] Introdotto mercurio per una lunghezza nota l, l’aumento di peso P forniva il volume, e quindi il raggio r, tramite l’equazione P = π r² l m, dove m è il peso di un millimetro cubo di mercurio – “secondo le più esatte sperienze 0gr,0135978 a zero del termometro” – (fr:1037/p.169) [secondo le più esatte esperienze 0,0135978 grammi a zero del termometro], corretto per la dilatazione termica. “Si avrà dunque l’equazione P = π m r² l, d’onde r = √(P/(π m l)) per l’espressione cercata del raggio del tubo.” – (fr:1039/p.169) [Si avrà dunque l’equazione P = π m r² l, da cui r = √(P/(π m l)) per l’espressione cercata del raggio del tubo.]

Per misurare l’altezza della colonna liquida elevata, Gay-Lussac impiegò un apparato di sua concezione (fig. 2⅛). Un largo vaso cilindrico di vetro ABDC, livellato tramite tre viti e un livello, conteneva il liquido; il tubo capillare TSH era fissato verticalmente in una scanalatura su una lamina appoggiata all’orifizio del vaso. Un cannocchiale a corto fuoco, munito di micrometro con due fili incrociati ad angolo retto, scorreva lungo una riga verticale RB. “Si fa muovere il cannocchiale finché il filo orizzontale del micrometro divenga tangente alla convessità inferiore della sommità della colonna liquida, e si legge sulla divisione RR il punto in cui esso è allora fissato.” – (fr:1049/p.170) [Si fa muovere il cannocchiale finché il filo orizzontale del micrometro divenga tangente alla convessità inferiore della sommità della colonna liquida, e si legge sulla divisione RR il punto in cui esso è allora fissato.] Per individuare il livello naturale, si ritirava lateralmente il tubo senza estrarre il liquido e si abbassava una spranga verticale con punta t fino al contatto con la superficie; dopo aver sottratto una minima quantità d’acqua, la punta rimaneva sospesa sopra il liquido, e il cannocchiale veniva portato a coincidere con essa, così da misurare sulla riga l’altezza HS dalla base H al punto più basso S della concavità del menisco.

Con queste precauzioni, Gay-Lussac trovò per l’acqua in un tubo di vetro bianco, perfettamente bagnato, di diametro interno 1mm,29441 (raggio 0mm,6472), alla temperatura di circa 8°,5 centigradi, un’elevazione del punto più basso di 23mm,1634, che diveniva 23mm,3791 aggiungendo il sesto del diametro – correzione necessaria per ottenere l’elevazione media inversamente proporzionale al diametro. In un secondo tubo di diametro 1mm,90381 (raggio 0mm,9519) l’elevazione osservata di 15mm,5861, corretta con lo stesso metodo, diveniva 15mm,90345. “L’elevazione nel primo tubo, cosi corretta, dà per l’elevazione corretta nel secondo tubo, secondo la legge della ragion inversa dei diametri, 15mm,893, il che differisce pochissimo dall’elevazione risultante dall’osservazione.” – (fr:1060/p.171) [L’elevazione nel primo tubo, così corretta, dà per l’elevazione corretta nel secondo tubo, secondo la legge della ragione inversa dei diametri, 15mm,893, il che differisce pochissimo dall’elevazione risultante dall’osservazione.] Ciò confermava la legge di reciprocità e l’indispensabilità della correzione. L’elevazione media in un tubo di 1 mm di diametro risultava così di 30mm,300 (o 30mm,262 dal solo primo tubo), e quella corretta per un tubo di 2 mm di diametro di circa 14mm,8. Valori ottenuti con la formula completa del n. 380, che teneva conto del termine aggiuntivo, davano per l’acqua una costante a² = 15,1299 e, per il tubo di raggio 0mm,9519, un’altezza calcolata di 15mm,5829, con una differenza di soli 0mm,0032 dall’osservazione. “Per un tubo di 1 millimetro di diametro, ossia ½ millimetro di raggio, la formola dà allora 30mm,2578 – 0,1667 + 0,0011 = 30mm,0942.” – (fr:1068/p.172) [Per un tubo di 1 millimetro di diametro, ossia ½ millimetro di raggio, la formula dà allora 30mm,2578 – 0,1667 + 0,0011 = 30mm,0942.] Si nota che le elevazioni osservate erano più che doppie di quelle riportate da Haüy, Tremery e altri che avevano trascurato di bagnare perfettamente il vetro.

Gay-Lussac estese le misure all’alcool (spirito di vino, peso specifico 0,81961 a 8°) e all’olio di trementina (peso specifico 0,869458 a 8°). Per l’alcool, nel primo tubo l’altezza corretta fu 9mm,39808, che proiettata a un tubo di 1 mm di diametro dava 12mm,1649 di elevazione media; per l’olio di trementina, l’elevazione corretta di 10mm,16729 conduceva a 13mm,1603. I valori di a² calcolati con la formula completa risultarono 6,0787 per l’alcool e 6,5767 per l’olio. “Le elevazioni medie o corrette di questi fluidi in un tubo di vetro di un millimetro di raggio, che abbiamo qui conchiuse dalle sperienze del sig. Gay-Lussac, non sono altro, come per l’acqua, che i valori approssimati della quantità che abbiamo indicata con a² nella teoria, per rapporto all’attrazione che in un tubo formato da ciascun di questi fluidi esercita lo stesso fluido sopra se medesimo.” – (fr:1084/p.174) [Le elevazioni medie o corrette di questi fluidi in un tubo di vetro di un millimetro di raggio, che abbiamo qui concluso dalle esperienze del sig. Gay-Lussac, non sono altro, come per l’acqua, che i valori approssimati della quantità che abbiamo indicata con a² nella teoria, in rapporto all’attrazione che in un tubo formato da ciascuno di questi fluidi esercita lo stesso fluido sopra se medesimo.] L’autore aggiunge un proprio riscontro sull’acqua in un tubo di 1mm,6 di diametro a 12 °C, che fornì a² = 13,62, valore prossimo a quello di Gay-Lussac, ma avverte che “vi è probabilmente in questo genere d’osservazioni qualche cosa d’arbitrario nel fissarsi al risultato definitivo, che fa, che quello a cui si arresta un osservatore non è intieramente comparabile con quello d’un altro” – (fr:1088/p.175) [vi è probabilmente in questo genere di osservazioni qualcosa di arbitrario nel fissare il risultato definitivo, che fa sì che quello a cui si ferma un osservatore non sia interamente confrontabile con quello di un altro].

Per le lamine parallele immerse verticalmente, la distanza di 1mm,069 (regolata con un filo di ferro) diede un’elevazione media di 13mm,574 a 16°. Riportata a 8°,5 e confrontata con la metà dell’elevazione in un tubo di uguale diametro (14mm,0644), si confermò la previsione teorica che l’elevazione tra due piani è metà di quella in un tubo di diametro uguale alla distanza.

Quanto al mercurio, che non bagna il vetro e forma menisco convesso, la determinazione diretta di a² è impossibile. Laplace, confrontando fenomeni capillari, adottò a² = 6,5 e un angolo di raccordo ω = 48° centesimali (43° 12′ sessagesimali, coseno 0,72897), da cui una depressione media in un tubo di 1 mm di circa 9mm,48. Gay-Lussac trovò invece una depressione di 4mm,69 in un tubo di raggio 0mm,9525, mentre la formula di Laplace dava per quel raggio 4mm,975 per la parte inversamente proporzionale e 4mm,77 per la depressione al vertice, “il che poco differisce da quel risultato” – (fr:1094/p.176) [il che poco differisce da quel risultato]. L’accordo tra calcolo e osservazione resta comunque approssimato a causa delle difficoltà sperimentali dovute all’attrito e alla misura dell’angolo di contatto.

Nell’ultima parte, Poisson applicò la formula per miscele liquide ai dati inediti di Gay-Lussac su acqua-alcool e acqua-acido nitrico. Per l’acqua-alcool, le altezze osservate in un tubo di diametro 1mm,296 a 8–9 °C, con proporzioni variabili, mostravano scostamenti sistematici: i valori calcolati con i coefficienti dedotti dalle miscele estreme e dalla miscela al 50% davano differenze e fino a +2,838 e –1,535. “Le grandezze considerevoli di questi valori di e mostrano, che l’ipotesi sulla quale la formola è fondata non conviene alle mescolanze d’acqua e d’alcool.” – (fr:1106/p.178) [Le grandezze considerevoli di questi valori di e mostrano che l’ipotesi sulla quale la formula è fondata non si addice alle miscele d’acqua e d’alcool.] L’effetto della miscelazione sull’elevazione risultava meno rapido di quanto previsto per piccole quantità d’acqua e più piccolo per grandi quantità. Possibili cause addotte sono lo sviluppo di calore, la formazione di un idrato in proporzioni definite che altera il numero di molecole integranti, oltre alle approssimazioni della teoria.

Per l’acqua-acido nitrico, invece, in un tubo di diametro 1mm,313 a 10–12 °C, i valori osservati e calcolati concordavano ottimamente: con f, f′ e γ determinati, gli scarti e erano contenuti tra –0,024 e +0,017. Poisson osservò che le densità delle due classi di miscele mostravano condensazioni paragonabili, quindi la discrepanza nel caso dell’alcool non poteva attribuirsi alla sola condensazione. Il testo si conclude con un riferimento a un lavoro di Emmet pubblicato sul Philosophical Magazine and Annals.

[5.2/2-84-1118|1201]

10 Esperimenti sulla capillarità del mercurio e sulle miscele di alcol e acqua

Il testo, datato “febbraio 1827 e seg.” – (fr:1118/p.208), costituisce una parte organica di una memoria scientifica consacrata a misure di azione capillare, con esteso risalto al comportamento del mercurio e alla determinazione delle costanti fondamentali della teoria di Laplace.

L’autore richiama sue precedenti osservazioni sull’innalzamento di miscele in tubi capillari, dove l’alcol esercita “la grande influenza che l’alcol esercita per diminuire l’elevazione dell’acqua, in una proporzione molto più considerevole di quella che sarebbe dovuta alla sua quantità nella mescolanza” – (fr:1119/p.180). In un tubo dove l’acqua saliva di 4,55 pollici e l’alcol puro di 1,15, una miscela con un decimo di alcol non raggiungeva che 3,20 pollici, mentre uno spirito di vino al 50 % d’alcol dava ancora circa 1,15, “cosicché nell’alcol rettificato, un grado notabilmente diverso di rettificazione non produce differenza sensibile di elevazione” – (fr:1120/p.181). Egli aveva anche sviluppato formule generali per calcolare l’innalzamento teorico delle miscele, ma per il sistema acqua‑alcol trovava “divario notabilissimo” – (fr:1121/p.181), in accordo con quanto Poisson riscontrò applicando le proprie formule ai dati di Gay‑Lussac.

Il corpo centrale della memoria riguarda la determinazione diretta della grandezza α² relativa all’azione del mercurio su se stesso. A tale scopo l’autore si servì di un tubo di rame internamente amalgamato, che si comporta come un tubo del metallo liquido stesso. Per superare l’ostacolo dell’opacità, ideò un apparecchio a vite con scala millimetrata: immergendo gradualmente il tubo nel mercurio di un vaso, faceva coincidere l’orlo della superficie concava con l’orifizio superiore e misurava l’altezza di quest’ultimo sul livello esterno; “la freccia della concavità che dovea essere, e che pareva infatti all’occhio poco diversa dal raggio del tubo, cioè di 1mm,4” – (fr:1127/p.183). Dopo numerose prove, condotte sia elevando il tubo già bagnato sia ri‑immergendolo, e battendo piccoli colpi per vincere gli attriti, ottenne un’elevazione media di “3mm,5 per l’elevazione del mercurio, che avea luogo nel tubo amalgamato dell’indicato diametro” – (fr:1130/p.183), con temperatura media di 12 °C. Applicando la formula ridotta ai primi due termini per i liquidi che bagnano il tubo, dedusse “α²=5,56, in vece di 6,5 che Laplace avea adottato” – (fr:1132/p.183).

Combinando questo valore con l’osservazione di Gay‑Lussac (depressione di 4,69 mm in un tubo di raggio 0,9525 mm) per determinare il coseno b dell’angolo di contatto ω fra vetro e mercurio, trovò “b = cos ω = 0,8440, che dà ω = 32° circa in vece di 43° 3′” – (fr:1134/p.184). La formula generale per la depressione diveniva così “h = 4,0920/a – 0,1170·a” – (fr:1135/p.184), che per un tubo di 1 mm di diametro dà 9,16 mm contro i 9,38 di Laplace.

Desiderando però un risultato fondato interamente su esperienze proprie, misurò la depressione del mercurio in un tubo di vetro ricorrendo a un tubo curvo comunicante con un serbatoio, “disposto in maniera da poter misurare esattamente la differenza di livello tra il mercurio del vaso, e quello contenuto nel ramo ascendente del tubo” – (fr:1139/p.184). Il tubo adoperato aveva raggio 0,80 mm. Dopo numerose osservazioni, con inclinazioni opposte e colpetti laterali, la depressione media risultò di “5mm,125” – (fr:1142/p.185). Introdotta nella formula insieme con α²=5,56, fornì “b=0,7621, il che corrisponde a ω = 40°” – (fr:1145/p.185), solo 3° in meno del valore di Laplace. La nuova formula “h = 4,241/a – 0,2146·a” – (fr:1146/p.185) produce per un tubo di 1 mm di diametro “h = 8mm,363” – (fr:1147/p.186), circa un nono in meno dei valori laplaciani. Il risultato si colloca “a un dipresso il mezzo tra quelli di Laplace e di Gay‑Lussac da una parte, e quello di Haüy e Tremery, dall’altra” – (fr:1149/p.186). Confrontando con le correzioni barometriche di Charles Cavendish, la formula fornisce depressioni leggermente minori, forse perché nel barometro a sifone la colonna “si tenesse meno depressa all’interno che all’esterno” – (fr:1151/p.186). Si ricorda inoltre che, nell’uso rigoroso, il primo termine va corretto di 1/5800 per ogni grado centigrado di scostamento dalla temperatura di taratura, data la proporzionalità tra depressione e densità del mercurio (fr:1152/p.186).

Una lunga sezione è dedicata al dubbio se il vetro esposto all’aria rechi un velo umido capace di modificare l’angolo di contatto col mercurio. Casbois, facendo bollire a lungo il mercurio nei tubi, aveva ottenuto superfici piane o concave, “e a distruggere così la depressione, e produrre al contrario un’elevazione” – (fr:1156/p.187), attribuendo il fenomeno alla rimozione del velo d’acqua. Dulong ripeté l’esperienza e, pur confermando i fatti, osservò che il mercurio si ossida e che l’ossido disciolto altera l’azione capillare; “questa circostanza non ha più luogo secondo le sue sperienze, quando l’ebollizione del mercurio si fa in un’atmosfera di gas idrogeno” – (fr:1159/p.188). L’autore volle dirimere la questione con due esperimenti diretti nel vuoto secco.

Nel primo, collocò l’apparecchio a tubo curvo sotto una campana pneumatica con acido solforico concentrato. Dopo oltre 24 ore di vuoto, “non si osservò alcun cambiamento nella posizione del mercurio nel tubo” – (fr:1168/p.190), e il vertice della colonna conservò la convessità ordinaria. Tuttavia si poteva obiettare che a temperatura ambiente il velo umido non venisse rimosso. Pertanto costruì un dispositivo (descritto con rinvio alla figura, fr:1174‑1175) in cui un tubo di vetro del diametro di 1,4 mm era piegato a U e inserito in un anello di legno; un vaso con mercurio in un sacchetto di vescica veniva posto sotto vuoto, il tubo riscaldato quasi al calor rosso, lasciato raffreddare e infine il sacchetto lacerato dall’esterno per far colare il mercurio senza contatto con l’aria. “Si osservò tosto che il vertice della colonna presentava la solita convessità” – (fr:1186/p.192) e la depressione era la stessa che all’aria libera. Dopo aver reintrodotto l’aria e atteso 40 ore, il livello non mutò. “Pare adunque provato da questa sperienza che la superficie del vetro intieramente disseccata con un forte calore nel vuoto secco, non ha altra azione sul mercurio, che quella che le appartiene nello stato ordinario” – (fr:1189/p.192). La sostanza del vetro, non il preteso velo umido, governa dunque i fenomeni capillari.

Quanto agli effetti Casbois, se non si adotta la spiegazione chimica di Dulong, si può ipotizzare che “il vapor di mercurio penetrasse nelle piccole cavità della superficie del vetro, e vi formasse come un velo di mercurio” – (fr:1190/p.193) simile a quello dei tubi amalgamati. La memoria preannuncia infine l’applicazione della capillarità alla correzione del barometro (fr:1192/p.193).

In appendice alle ricerche principali, l’autore esaminò anche l’azione sul mercurio di metalli non amalgamabili, come ferro e platino. A tale scopo modificò l’apparato a vite in modo da poter immergere un corto tubo metallico dentro un più largo tubo di vetro recante una scala millimetrica (fig. 26, fr:1196‑1198). L’immersione veniva aumentata finché “il vertice della colonna di mercurio nel tubo, … corrispondesse all’orlo stesso del tubo metallico” – (fr:1201/p.194); la quota dell’orifizio sotto il livello forniva la depressione cercata. I risultati sono contenuti nella medesima memoria già citata.

[6]

[6.1/1-36-1245|1278]

11 La misura della sinafia nei liquidi e l’opera di Frankenheim: costanti di Poisson, precauzioni sperimentali e confronto critico dei dati

Una disamina minuziosa dei valori di elevazione capillare per acqua, acidi e soluzioni alcaline, con attenzione alla distinzione tra azione interna (sinafia) e adesione ai solidi, all’influenza della temperatura e alla fedeltà delle misure rispetto alla teoria.

Lo stralcio, che si apre con un rinvio a pagina “398.” – (fr:1245/p.200), si inserisce in una più ampia trattazione sulla capillarità. L’autore muove da un’osservazione comparativa sul contatto mercurio-cera: “Ne segue che la superficie del mercurio è un po’ meno convessa al contatto della cera che al contatto del vetro, cioè che la cera esercita sul mercurio un’ azione capillare più forte che il vetro” – (fr:1243/p.200). Tale effetto è quantificato dalla formula di depressione in un tubo di cera, per cui, con un parametro λ₂=5,56, “la depressione del mercurio in un tubo capillare di cera del raggio λ è espressa … dalla formola Zi= … 0,20.«, la quale dà ⅛ = 3mm,5j per a un tubo di un millimetro di raggio , e 7mm,44 Per quello di un millimetro di diametro” – (fr:1244/p.200).

L’attenzione si sposta quindi sul lavoro di Frankenheim, autore di un “Trattalo della coesione de’ corgi” – (fr:1247/p.200) di cui l’estensore aveva già parlato. Frankenheim condusse un vasto insieme di esperienze “sull’ azione dei liquidi sopra loro medesimi, da cui dipende l’elevazione loro nei tubi capillari suscettibili di esserne compiutamente bagnati, che è quanto dire sul valore della costante che Poisson ha indicata con α3 nelle sue formole” – (fr:1248/p.201). Introduce due termini per distinguere i fenomeni: “Egli chiama quest’ azione dei liquidi sopra loro stessi sinafìa, per distinguerla dall’azione tra i liquidi e i solidi, che egli chiama prosafia” – (fr:1249/p.201); un estratto di questo lavoro apparve negli Annali di fisica e chimica di Poggendorff e nella Bibliothèque universelle (fr:1249/p.201).

L’affidabilità delle misure fu perseguita con meticolose precauzioni. Frankenheim “ebbe gran cura di bagnare prima esattamente i tubi coi liquidi su cui voleva sperimentare, per evitare i gravi errori … e per tal fine pose pure attenzione ad adoperare i tubi ben ripuliti, e scevri d’ogni intonacatura estranea che impedisse quella perfetta adesione dei liquidi alla loro superficie” – (fr:1251/p.201). I tubi, scelti tra molti di commercio, “erano larghi da 0,60 sino a 2,00 millimetri” – (fr:1252/p.201) e venivano impiegati in gran numero per ciascun liquido, senza riutilizzo per un altro se non dopo puliture accuratissime. I diametri furono determinati “esattamente col mezzo del mercurio” – (fr:1253/p.201). Il peso specifico dei liquidi, riportato accanto ai risultati, fu quasi sempre misurato dall’autore rispetto all’acqua alla stessa temperatura, trascurando la correzione per la riduzione a una temperatura fissa data la piccola variazione di densità dell’acqua tra 0° e 20° (fr:1254/p.201). La temperatura annotata si riferisce alla sinafia, osservata raramente a temperature notevolmente diverse da quella della misura del peso specifico (fr:1255/p.201).

Il dato centrale della tavola è il valore indicato con H, che “non è altro che la costante a delle formole di Poisson, cioè l’ordinata media in millimetri dell’elevazione del liquido in un tubo di un millimetro di raggio”* – (fr:1256/p.202); se ne può dedurre il valore approssimato dell’elevazione del centro della superficie e, per un tubo di raggio qualsiasi, mediante una formula che trascura il terzo termine.

L’estensore estrae gli articoli più notevoli. Per l’acqua, a 0° H = 15,30 e a 16°,5 (peso specifico 0,999 rispetto a 0°) H = 14,84; la media dei due valori è circa 15, in accordo con il 15,13 trovato da Gay-Lussac a 8°,5 (fr:1258/p.202). Le misure personali dell’autore darebbero però “un valore alquanto minore” – (fr:1259/p.202). Sull’influenza della temperatura, la teoria suggerisce che H debba crescere con la densità; riducendo il valore da 0° a 16°,5 per sola variazione di densità si avrebbe 15,28, mentre il dato sperimentale è 14,84. La differenza di 0,44 imputabile all’effetto proprio della temperatura corrisponderebbe a una diminuzione di circa 0,03 per grado, ossia di -⅟500 del valore di H a 0° – (fr:1260/p.202). L’autore manifesta scetticismo: “probabilmente l’esattezza di questi risultati non è tale che vi si possa fondare un tal calcolo” – (fr:1260/p.202). A sostegno del dubbio riporta che Frankenheim trovò per l’acqua a 100° un H ancora intorno a 14, il che darebbe una diminuzione di appena ⅟77 per grado senza correggere per la densità (fr:1261/p.202).

La rassegna prosegue con gli acidi. Per l’acido solforico concentrato (densità 1,849 a 14°,35) H = 6,85, ma l’autore nota “essere difficile di determinare esattamente tale valore … variando rapidamente il suo grado di concentrazione quando è esposto all’aria nei tubi” – (fr:1262/p.203). Questo valore, molto inferiore a quello dell’acqua, cresce con l’aggiunta di acqua (fr:1263/p.203). L’acido fosforico in soluzione (densità 1,141 a 13°) dà H = 13,00 (fr:1264‑1265), quello arsenico (densità 1,309, stessa temperatura) H = 11,9 (fr:1266/p.203). L’acido idroclorico concentrato (densità 1,153 a 17°,5) ha H = 12,40 e si avvicina all’acqua all’aumentare della diluizione (fr:1267‑1268). L’acido nitrico al massimo di concentrazione (densità 1,5 a ~18°) mostra un H = 5,70, “valore notabile per la sua piccolezza” – (fr:1269/p.203), anch’esso incrementato dall’aggiunta di acqua. La varietà contenente molto acido nitroso non si discosta sensibilmente, a pari densità, dall’acido nitrico puro (fr:1270/p.203). Gli acidi citrico e malico, isomeri, hanno sinafia vicina: a 13° il primo (densità 1,140) H = 11,14, il secondo (1,136) H = 12,26 (fr:1271/p.203). L’acido tartrico (densità 1,114, 19°) H = 13,30 (fr:1272/p.203). L’acido acetico concentrato (densità 1,068, 19°) H = 7,16, valore che sale con la diluizione (fr:1273‑1274). L’acido formico (densità 1,060, 13°) H = 8,74 (fr:1275/p.203). Frankenheim spiega la piccolezza della sinafia di acetico e formico rispetto a citrico, malico e tartrico osservando che questi ultimi sono idrati solidi che richiedono acqua di soluzione per diventare liquidi, perciò contengono più acqua libera e partecipano maggiormente alla sinafia elevata dell’acqua (fr:1276/p.204).

Infine, cinque soluzioni di potassa da densità 1,405 a 1,059, alla temperatura di 19°, hanno fornito valori di H compresi tra 6,50 e 12,40 (fr:1277/p.204). Per le soluzioni concentrate l’osservazione è resa difficile dall’alterabilità all’aria, ma “il più alto punto d’ascensione … è tuttavia sufficientemente costante” – (fr:1278/p.204). L’insieme dei dati costituisce così un solido contributo alla conoscenza delle costanti di coesione e della loro dipendenza dalla natura chimica e dalla concentrazione, vagliato con la cautela critica di chi non accetta senza verifica i risultati sperimentali.

[7]

[7.1/3-92-1473|1564]

12 L’azione capillare e le pressioni nei liquidi secondo la teoria di Poisson

Il testo, tratto da un trattato scientifico, espone in modo analitico gli effetti della capillarità sulle pressioni verticali e orizzontali esercitate dai liquidi su corpi immersi o galleggianti, riprendendo e sviluppando i lavori di Poisson. L’analisi distingue con precisione il contributo dello strato superficiale e mostra come le forze molecolari modifichino le leggi ordinarie dell’idrostatica solo quando il corpo non è completamente sommerso.

L’eccesso di pressione interna, legato allo strato superficiale, è descritto da un coefficiente q che non coincide esattamente con il coefficiente -H usato per l’ascensione capillare nei tubi: «il coefficiente q, da cui dipende quest’eccesso di pressione interna, non è esattamente il coefficiente -H. che unitamente affanni goìo alle pareti determina l’ascensione o la depressione d’un liquido in un tubo capillare ; ne differisce per una quantità relativa allo strato superficiale del liquido» (fr.1473). Poisson stima che in una sfera d’acqua di raggio un millesimo di millimetro tale eccesso equivalga all’immersione a circa 15 metri nello stesso liquido (fr.1475), rivelando l’enorme intensità delle forze coesive su scala microscopica.

Per un corpo interamente immerso, le componenti aggiuntive della forza normale e le forze tangenziali si elidono: «la seconda parte della forza N e le forze T T’ applicate a tutti i punti della superficie di questo corpo, si distruggono senza il soccorso d’alcun’altra forza, e non possono far prendere alcun moto di rotazione nè di traslazione al corpo» (fr.1477). Di conseguenza, vale il principio ordinario di Archimede: la diminuzione di peso è uguale al peso del volume di liquido spostato (fr.1479).

La situazione cambia radicalmente per un corpo galleggiante. Qui l’azione capillare produce una differenza nelle pressioni orizzontali che può mettere il corpo in moto parallelamente alla superficie, e altera in direzione verticale la spinta idrostatica (fr.1480). L’analisi si concentra dapprima sulla componente verticale per un solido di rivoluzione ad asse verticale e superficie omogenea, cosicché le forze orizzontali si annullano e restano solo quelle verticali (fr.1481).

Considerando un punto M del liquido vicino alla superficie del corpo e alla superficie libera (fig. 3a), l’azione del liquido L sullo strato Γ adiacente al corpo viene suddivisa in cinque contributi: P, Q, R, S, T (fr.1496‑1500). Con calcoli integrali che coinvolgono il volume del corpo, l’angolo di raccordo ω e l’inclinazione i della normale alla superficie del corpo nel punto di contorno (fr.1502‑1510), si giunge a un’espressione generale della pressione totale verticale (opposta alla gravità):

«la pressione totale esercitata sul corpo galleggiante in direzione contraria a quella della gravità , avrà per espressione πr∏ ÷ πgpbr* +∙gpPr— gp [πkri — v—πra3∙cos (1 ÷ w)]»* (fr.1510),

dove r è il raggio del corpo alla sezione di contatto, P il volume immerso, b una costante legata alla pressione di riferimento, a² la costante capillare e k l’altezza del contorno rispetto al piano di riferimento.

Nel caso di un liquido indefinitamente esteso (livello orizzontale a grande distanza), la costante b si annulla e l’angolo η diventa retto, permettendo di legare la quantità fra parentesi quadre al volume U di liquido sollevato o abbassato dall’azione capillare attorno al corpo (fr.1523). La pressione totale si riduce allora a:

«πr²Π+gp(V— U)» (fr.1524).

L’equilibrio del corpo richiede che il suo peso nel vuoto W soddisfi W = gp(V— U) (fr.1528), invece della usuale W = gpV. Se U > 0 (liquido innalzato), la spinta è minore; se U < 0 (liquido depresso), la spinta aumenta. Ciò spiega la possibilità che un corpo specificamente più pesante del liquido possa galleggiare, come un sottile cilindro d’acciaio verniciato o avvolto da un velo d’aria che impedisce la bagnatura (fr.1529‑1530). Esperienze di Gillieron e Pichard, apparse nella Biblioteca Universale del 1824, supportano tali conclusioni (fr.1531‑1533). Un ragionamento alternativo basato su un canale curvo a due rami (fig. 34) riconduce allo stesso risultato (fr.1534‑1538).

L’effetto diventa misurabile attaccando il corpo al piatto di una bilancia: per mantenere l’equilibrio occorre una trazione aggiuntiva Δ tale che Δ = gp(U— V) (fr.1540). Inserendo il valore di U, si ottiene per un cilindro o disco circolare con contorno sulla base la formula:

«Δ = πgpr(kr— a²cos(i + ω))» (fr.1542).

Quando il contorno del liquido giace esattamente sulla base (i = retto), si semplifica in Δ = πgpr(kr + a² sen ω), e sia Δ che k possono variare al variare del raggio di contatto (fr.1543). Se invece il contorno è sullo spigolo del disco, l’angolo i può assumere tutti i valori tra 0 e π/2, permettendo a Δ e k di cambiare senza che r si discosti dal raggio del disco (fr.1544). Questa relazione servirà in seguito per studiare l’adesione dei dischi alla superficie dei liquidi.

Per ciò che riguarda le pressioni orizzontali, il testo considera un corpo galleggiante terminato lateralmente da due piani verticali paralleli di grande larghezza (fig. 35). In tal caso l’elevazione o depressione capillare su ciascuna faccia assume valori diversi k e k₁ a causa della diversa natura delle superfici o della vicinanza di altri corpi (fr.1552). La pressione orizzontale complessiva sulla parte del corpo al di sopra del livello naturale, dovuta alla pressione idrostatica p = gp(h—z), fornisce una spinta netta per la differenza tra le due facce:

«S 1’ eccesso della pressione dovuta alla forza p che spinge il corpo da sinistra a destra della figura , si avrà ρl(kl-k11)» (fr.1558),

cioè S = (ρl/2)(k² – k₁²), con l larghezza del corpo. L’analisi prosegue calcolando le componenti orizzontali delle forze superficiali Q′, R′, S′, T′ in modo analogo a quanto fatto per le componenti verticali, partendo dalla forza U e dalle geometrie dei prismi fluidi (fr.1562‑1564 e seguenti, testo troncato). Il contributo dello strato superficiale – benché di spessore insensibile – è sensibile e non può essere trascurato (fr.1559).

In sintesi, il testo espone un’indagine teorica di grande rigore che, a partire dai concetti di pressione molecolare e di strato superficiale, rivede due pilastri dell’idrostatica per tenere conto della capillarità: la spinta di Archimede sui galleggianti viene corretta dal peso del liquido capillarmente sollevato o depresso, e la comparsa di forze orizzontali nette può mettere in moto un corpo galleggiante. Le numerose formule e i riferimenti a figure mostrano l’attenzione a rendere calcolabili e verificabili sperimentalmente gli effetti previsti, in un periodo in cui la fisica dei fluidi cercava conferme quantitative alla teoria di Laplace e Poisson.

[7.2/3-92-1565|1656]

13 Pressioni orizzontali e analisi capillare: correzioni a Laplace e lo studio dell’equilibrio tra piani paralleli

Un’analisi raffinata dell’azione capillare svela termini trascurati da Laplace e conduce, attraverso l’uso delle funzioni ellittiche, a risultati che legano la curvatura del liquido alla natura delle superfici e alla loro distanza, confrontandosi con le osservazioni di Gay-Lussac.

Il testo presenta una disamina critica e un’estensione della teoria dell’azione capillare, muovendo dalla correzione di un risultato di Laplace per giungere all’applicazione dettagliata al caso di un liquido compreso tra due piani verticali paralleli. In apertura, si considera la pressione orizzontale su un corpo immerso, introducendo una forza supplementare dipendente dagli angoli di contatto ω e ω1. Si stabilisce che l’eccesso di pressione ε che spinge il corpo orizzontalmente è dato da “ε = — gρl[ (k₁—k₂) + a( sen ω — sen ω₁ ) ]” (fr:1568/p.242). Il punto di svolta rispetto alla tradizione è immediatamente esplicitato: “Questo risultato differisce da quello dato da Laplace… in ciò che Laplace non ha tenuto conto della pressione particolare che ha luogo vicino alla superficie del liquido” (fr:1569/p.242). Tale pressione, legata alle immediate vicinanze del corpo, non è trascurabile come supposto da Laplace, se non nel caso particolare in cui “i due angoli ω ed ω₁ sono uguali o supplementi l’uno dell’altro” (fr:1569/p.242). Si chiarisce inoltre che questo eccesso di pressione “è nullo, qualunque siano i valori ω ed ω₁, quando il corpo è isolato” (fr:1570/p.243), poiché la differenza di elevazione dipende solo dalla diversità degli angoli e i termini si elidono; esso sussiste solo in presenza di altri corpi che alterino i livelli del liquido (fr:1571/p.243). Quando non nullo, questo eccesso mette in moto il corpo in direzione perpendicolare alle facce laterali e, a causa della diversa curvatura del liquido ai due lati, induce anche una rotazione attorno al centro di gravità (fr:1572-1573/p.243).

Dopo questa premessa, l’analisi si focalizza su “l’equilibrio d’un liquido contenuto tra due piani verticali, e paralleli” (fr:1575/p.244), riprendendo una questione già trattata incidentalmente. L’equazione differenziale della sezione della superficie capillare, ridotta al caso di curvatura funzione della sola coordinata x, conduce a “un’equazione differenziale ancora del primo ordine” (fr:1580/p.245). Si distinguono i casi in cui la curva del liquido presenta un punto con tangente orizzontale (C) o un punto di flesso (I). Per il primo caso, si introduce la costante h, ordinata del punto C, e si imposta l’integrazione: “Poisson vi perviene facendo uso delle funzioni ellittiche di Legendre” (fr:1591/p.246). L’autore del resoconto si limita a riportare i risultati approssimati per piani molto vicini. Quando i due piani sono della stessa natura e a distanza δ molto piccola, l’elevazione h diventa “h = ± (a²/δ) [1 – (1/3) (δ²/8a²) …]” (fr:1601/p.248), mostrando che il primo termine coincide con quello di un tubo capillare di raggio uguale alla distanza, mentre la correzione differisce. Con questa formula viene analizzata l’osservazione di Gay-Lussac sull’acqua tra due piani di vetro: per una distanza di 1,069 mm, l’elevazione osservata (corretta per temperatura) di 13,5872 mm conduce a un valore “a² = 14,647” (fr:1604/p.248), intermedio tra quello dedotto da Gay-Lussac dai tubi (15,13) e quello ottenuto da esperienze successive (13,62). Nel caso generale di angoli ω e ω’ diversi, se i piani sono vicinissimi, la curva si riduce a un arco di cerchio e l’elevazione “è la semi-somma di quelle che si osserverebbero, se questi due piani fossero successivamente della stessa natura che ciascuno di essi” (fr:1609/p.249).

Segue l’analisi della situazione con un solo piano verticale, dalla quale emerge una definizione fisica della costante a. L’equazione della curva assintotica (fr:1619/p.250) permette di calcolare l’elevazione l in contatto col piano: “l = a √(1 – sen ω)” (fr:1621/p.250). Di conseguenza, “la costante a relativa alla materia di un liquido esprime la sua elevazione al dissopra del livello lungo un piano verticale che è stato prima bagnato in tutta la sua altezza da questo stesso liquido” (fr:1622/p.250), poiché in tal caso ω=π e l=a. Per l’acqua a 8,5 °C, secondo Gay-Lussac, tale elevazione è 3,8888 mm (fr:1623/p.250). Viene così stabilito che “la quantità a²… dipendente dall’azione d’un liquido sopra se stesso, è rappresentata dal quadrato del numero di millimetri, di cui il liquido… si eleverebbe lungo un piano bagnato da esso liquido” (fr:1625/p.250).

L’ultima parte considera il caso con punto di flesso I, la cui ordinata è nulla, trovandosi al livello del liquido (fr:1631/p.251). L’angolo i della tangente in I (fig. 36, fr:1627/p.251) è minore degli angoli alle estremità. L’equazione differenziale porta ad “a² / (1 + (dz/dx)²) = a² cos i – z²” (fr:1635/p.252). L’integrazione, ancora tramite funzioni ellittiche, fornisce l’espressione per l’ordinata k al contatto: “k² = a² (cos i – sen ω)” (fr:1638-1639/p.253). Quando i è molto piccolo (un piano soppresso), si ritrova la curva assintotica precedente (fr:1640/p.253). Se gli angoli alle estremità sono μ e μ’ (con |μ’|>|μ|) e i è vicinissimo a μ, il punto I è prossimo al piano corrispondente e l’ordinata al contatto è “A = a tang μ” (fr:1645/p.254). Nel caso simmetrico μ’=-μ, con distanza δ molto piccola, l’angolo i è circa μ, e la curva del liquido “si ridurrà molto prossimamente ad una linea retta” (fr:1648/p.254) che taglia il livello sotto l’angolo i, con elevazione proporzionale a δ. Infine, nel caso limite in cui l’angolo μ è retto, la superficie è tangente ai piani e la curva diventa “una parabola cubica”; l’elevazione risulta “proporzionale alla radice cubica della distanza mutua dei due piani” (fr:1652/p.255). Lo studio si conclude con la nota che le formule permettono di determinare la figura del liquido in ogni caso e che l’equazione della pressione orizzontale per ciascuna lamina, “dietro ai valori che abbiamo trovati per le ordinate verticali dei punti estremi” (fr:1656/p.255), assume forma semplice.

[7.3/3-92-1657|1748]

14 Equilibri capillari multipli e forze tra lamine immerse: attrazione e repulsione apparente nella teoria di Poisson

Lo studio analizza il comportamento di due lamine verticali parallele parzialmente immerse in un liquido, concentrandosi sulle forze apparenti di attrazione o repulsione che nascono dalla curvatura capillare. La quantità ε indica la forza per unità di larghezza e viene determinata a partire dagli angoli di contatto ω e ω′ che il liquido forma con le facce interne.

Quando il liquido si solleva o si abbassa lungo entrambe le facce interne (angoli entrambi ottusi o entrambi acuti), la superficie presenta un punto C a tangente orizzontale. L’eccesso di pressione spinge ciascuna lamina verso l’altra: “L’eccesso di pressione che spinge ciascuna lamina da fuori in dentro è dunque una quantità positiva , il che mostra che in questo primo caso le due lamine si avvicineranno … qualunque sia lo stato delle loro faccie esterne” (fr:1660/p.256). La forza ε, uguale per i due corpi, è proporzionale al quadrato dell’ordinata h del punto C e, per piccole distanze fra le lamine, h varia pressoché inversamente alla distanza stessa. Ne segue che “questa forza sarà in ragion inversa del quadrato della distanza delle due faccie interne delle lamine” (fr:1661/p.256).

Nel caso opposto, in cui il liquido sale lungo una faccia interna e scende lungo l’altra, la curva interna possiede un punto di flesso I. L’espressione della forza diventa ε = gρ l a²(cos i – 1), quantità negativa, e quindi le lamine si respingono: “qualunque sia lo stato delle faccie esterne delle due lamine, esse si scosteranno sempre … nel caso in cui la curva interna presenta un punto d’inflessione” (fr:1664/p.257). In un’approssimazione di curva simmetrica, la forza diviene indipendente dalla distanza reciproca: “la forza ε si troverà … indipendente dalla distanza delle due lamine” (fr:1667/p.257).

Un risultato notevole, sottolineato da Poisson, è che “la forza ε non dipenda mai dalla figura esterna del liquido, e dallo stato delle faccie esterne delle due lamine ; come pure che si possa sempre determinare questa forza senza conoscere la curva interna del liquido , e per mezzo solo dell’ordinata h , o dell’angolo i” (fr:1670/p.258). Per una lamina isolata la forza risultante è nulla; ciò risolve un’obiezione di Young alla teoria di Laplace, la quale avrebbe condotto a un moto orizzontale perpetuo: “T. Young … ne traeva un obbiezione contro la teoria di Laplace , che non ha luogo contro Ia teoria di Poisson la quale non conduce a un tale risultato” (fr:1679/p.259).

Quando uno dei due angoli di contatto è acuto e l’altro ottuso, la trattazione mostra che esistono altri stati di equilibrio oltre a quello con flesso fra le lamine: “vi sono … altri stati d’equilibrio possibili” (fr:1685‑1686). Utilizzando porzioni di curve capillari il cui prolungamento contiene un punto a tangente orizzontale C o un punto di flesso I all’esterno della regione compresa fra i piani, si ottengono figure in cui il liquido si solleva (o si abbassa) contemporaneamente su ambo i lati, benché i coseni degli angoli siano di segno contrario. Come illustrato dalla fig. 87, la curva ACB offre un punto C con tangente orizzontale; il caso in cui l’angolo ω è ottuso ma formato da una superficie convessa è mostrato dalla fig. 38, mentre la fig. 37 si riferisce alla curva AA′ prolungata sino al punto C esterno. Complessivamente “il liquido potrà prendere generalmente tra loro tre forme diverse; nell’una … la curva … presenterà un punto d’inflessione; nelle due altre … il suo prolungamento al di fuori delle due lamine conterrà un punto dell’una o dell’altra di queste due specie” (fr:1715/p.263). La forma con punto C esterno produce attrazione: “le due lamine galleggianti saranno spinte l’una verso l’altra, qualunque sia lo stato o natura delle loro faccie esterne” (fr:1707/p.262). La forma con flesso esterno genera invece repulsione (fr:1714/p.263).

Poisson illustra queste possibilità con un esempio: ω = π (lamina bagnata completamente) e ω′ = 2v piccolissimo (lamina quasi non bagnabile). Per distanze δ molto piccole, la forma senza flesso ma con punto C esterno richiede δ < a v²; in essa il liquido si innalza e l’attrazione è inversamente proporzionale a δ²: “la forza ε … sarà in ragion inversa del quadrato di questa distanza” (fr:1722/p.264). La forma con flesso esterno è invece possibile quando δ > a v² e dà repulsione. Al valore critico δ = a v² la forza si annulla; riducendo ulteriormente la distanza, la repulsione cede il passo all’attrazione: “la prima forma succederà alla seconda, e la ripulsione si cangierà allora in attrazione” (fr:1727/p.266). Alla stessa piccolissima distanza resta sempre possibile anche la forma con flesso compreso fra le lamine, con forza repulsiva indipendente da δ.

Quale configurazione si realizzi dipende dalla storia del sistema. Poisson ipotizza che, se le lamine sono inizialmente molto lontane e poi avvicinate gradualmente fino a far scomparire il tratto orizzontale del menisco, si stabilisca la figura con flesso interno; se invece, dopo aver bagnato una lamina, si immerge verticalmente la seconda nella porzione curva del liquido, può instaurarsi una delle due figure senza flesso a seconda che δ sia maggiore o minore di a v². Laplace, nella sua teoria dell’azione capillare, aveva già ammesso un’attrazione a distanze molto piccole per lamine di natura opposta, ma “egli avea considerato questo caso come solo possibile a tale distanza, ad esclusione di ogni altra maniera d’equilibrio … e di cui la teoria di Poisson ammette ancora la possibilità alla stessa distanza” (fr:1740/p.267). Il testo mostra così come, a parità di parametri geometrici, possano coesistere più equilibri capillari, con attrazione e repulsione determinate unicamente dallo stato interno e dalla storia di avvicinamento, segnando un raffinamento decisivo rispetto alle formulazioni precedenti.

[8]

[8.1/1-48-1802|1849]

15 Analisi approssimata delle superfici liquide: gocce e strati sottili

Il testo sviluppa l’integrazione approssimata dell’equazione differenziale che governa la forma di una superficie liquida in equilibrio, trattando separatamente i casi di gocce molto piccole e di strati liquidi di grande estensione laterale. Dopo aver impostato l’equazione generale, vengono introdotte semplificazioni successive che conducono a soluzioni esplicite o ridotte alle funzioni ellittiche.

L’integrazione prende avvio dall’equazione (b), moltiplicata e integrata una prima volta, ottenendo un’espressione con una costante arbitraria. “In questo caso moltiplicando l’equazione (b) per ldt e integrando una prima volta per quanto è possibile senza conoscere t in funzione di z , si ha … essendo una costante introdotta dall’ integrazione.” (fr:1802/p.276). La costante viene determinata sfruttando il comportamento nel punto C, dove z si annulla e dz diviene infinito, stabilendo così un legame tra h e y (fr:1803/p.276). Una prima approssimazione trascura i termini contenenti a² al denominatore, riducendo l’equazione a una forma che, a seconda dei casi, è integrabile tramite funzioni ellittiche o, più semplicemente, mediante archi di cerchio e logaritmi (fr:1804-1806/p.277). La soluzione così ottenuta funge da base per un metodo di approssimazioni successive, che genera una serie ordinata secondo le potenze inverse di a², permettendo di raffinare il risultato quanto desiderato (fr:1807/p.277-1809/p.278). Imponendo le condizioni ai limiti t=r e t=r’ e utilizzando le equazioni sussidiarie, si determinano infine tutte le incognite del problema: r, r’, h, y e gli integrali coinvolti, cosicché “non vi resterà così nulla d’ignoto nell’ espressione di z, che sarà la soluzione compiuta del problema” (fr:1812/p.278).

Quando lo spessore k della goccia è molto piccolo rispetto sia ad a sia alla larghezza, la generatrice si approssima a un arco di cerchio. “Se lo spessore k della goccia è molto piccolo non solamente a riguardo di a, ma anche relativamente alla sua larghezza, la generatrice della superficie laterale del liquido si confonderà a un dipresso col suo circolo osculatore al punto C.” (fr:1813/p.278). In tale regime, trascurando i termini in y e A², si ottengono espressioni semplificate per le costanti e, integrando, si perviene all’equazione di un cerchio di raggio y, con ascissa contata dal vertice C: “integrando z≡ √(2yt’—t’²), non aggiungendo costante, perché z=o quando t=h ossia t’=o; questa è, come si vede l’espressione dell’ ordinata d’ un circolo, di raggio y” (fr:1815/p.278). Il radicale assume segno positivo o negativo a seconda del ramo della curva sopra o sotto C.

Il caso di una goccia piccolissima su un piano orizzontale viene affrontato sopprimendo il piano superiore e ponendo r=0. “Se si vogliono applicare le equazioni (f) e (g) al caso d’ una piccolissima goccia di liquido posta sopra un piano orizzontale , e libera alla sua parte superiore , basterà sopprimere il piano superiore … e fare conseguentemente r=o.” (fr:1820/p.279). Al vertice il piano tangente è orizzontale, quindi ω=0 (fr:1821/p.279). Poisson fonda su queste condizioni un calcolo approssimativo, fornendo per il valore di r’ un’espressione in funzione di h, ω’ e a: “r’= (7/3) h senω’ + (2h³/(3a² senω’))(1+cosω’) cos²ω’” (fr:1830/p.280), con una forma limite per ω’ nullo. L’altezza h è espressa introducendo il raggio ε della sfera equivalente al volume della goccia, e l’altezza del vertice sopra la base k si scrive infine come “k = (ε²/a) (1+ cosω’) + (4ε⁴/(3a³)) log sen(ω’/2) + …” (fr:1832/p.281).

Il testo passa poi al caso opposto, “in cui le dimensioni orizzontali del liquido sono molto grandi relativamente al suo spessore verticale tra due piani” (fr:1834/p.281). Qui la variabile t è molto grande, cosicché si può trascurare il termine integrale con t a denominatore, ottenendo un’equazione differenziale del primo ordine (fr:1835/p.281). Supponendo ulteriormente z molto piccolo rispetto ad a, si omette il termine quadratico e si integra con la condizione t=h per z=0, giungendo a un’equazione contenente le sole costanti h e β (fr:1838-1840/p.282). Imponendo le condizioni ai limiti, per il caso simmetrico ω=ω’ si ricava la relazione βk=cosω e quindi 1/(2β)=k/(2cosω) (fr:1841-1842/p.282). Se ω è molto diverso da un angolo retto, cosω è prossimo a ±1 e k risulta piccolissimo; si ottiene allora un’espressione approssimata per k in termini di ω e del volume.

Qualora lo spessore non sia fissato ma determinato da un peso ∏ applicato al piano superiore, l’analisi conduce, dopo opportune semplificazioni, alla formula “k = a √(∏/(pμ cosω))”, con v volume del liquido (fr:1845/p.283). Il segno di cosω decide la natura del carico e la forma del liquido: “Quando l’angolo ω sarà ottuso , bisognerà , perché questo valore di k sia reale , e l’equilibrio possibile , che il piano superiore in vece di essere carico d’un peso dato sia al contrario tirato da basso in alto … Quando ω sarà acuto il peso ∏ dovrà agire nella direzione della gravità” (fr:1846-1847/p.283). Nel primo caso la superficie è concava, nel secondo convessa (fr:1848/p.283), e lo spessore dello strato varia con la radice quadrata del rapporto tra peso del liquido e carico applicato (fr:1849/p.284).

[9]

[9.1/1-45-1898|1941]

16 Studio sperimentale e teorico sull’altezza delle gocce di mercurio e sull’elevazione capillare in tubi di grande diametro

L’autore analizza il comportamento di gocce di mercurio poggiate su un piano e l’innalzamento o la depressione di un liquido in tubi cilindrici verticali di grande diametro, confrontando sistematicamente i propri dati sperimentali con le formule di Poisson. Il testo testimonia il tipico procedimento della fisica ottocentesca: una teoria approssimata viene messa alla prova con misure numeriche per affinare le costanti capillari e per saggiare i limiti di validità delle approssimazioni.

Per le gocce di mercurio, l’autore osserva che “Le altezze surriferite delle goccie di mercurio crescono viemeno rapidamente, per uguali accrescimenti de’ volumi o pesi delle medesime, a misura che questi pesi, e per conseguenza le larghezze divengono più considerevoli” – (fr:1898/p.293). La formula teorica prevede tuttavia che, al crescere ulteriore del diametro, l’altezza raggiunga un massimo e poi decresca asintoticamente: “quando il diametro della goccia è divenuto molto grande, le altezze debbono in fine decrescere avanti di giungere ad una grandezza costante” – (fr:1899/p.293). Il valore limite per una goccia infinitamente estesa è calcolato in 3 mm 3318 con i parametri di Poisson, mentre diviene 3 mm 125 adottando i valori ricavati dalle sue esperienze (“ai = 5^56, ω = 40°” – (fr:1899/p.293); la notazione oscilla tra a e ai, ma indica la costante capillare). La goccia più grande da lui misurata, con semidiametro di circa 7 mm, mostrava un’altezza di 3 mm 34, già lievemente inferiore ai 3 mm 378 osservati per una goccia di 50 mm di raggio, cosicché “questo valore, dopo essere cresciuto, tra queste diverse goccie osservate, decrescerebbe come si è detto per l’ulteriore accrescimento del peso, e larghezza delle goccie” – (fr:1901/p.293). L’autore nota peraltro che le altezze osservate nelle gocce maggiori risultano “alquanto eccessive” rispetto ai calcoli basati sulle sue costanti – (fr:1902/p.293). Per le gocce più piccole, l’approssimazione contenuta nelle formule (ó) e (p) non sarebbe applicabile con la stessa precisione, come già avvertito da Poisson, eppure nemmeno la formula per gocce piccolissime si adatta esattamente a quei dati → (fr:1905/p.294).

La seconda parte del testo trasferisce l’analisi a un tubo cilindrico verticale di diametro non più piccolissimo. L’impostazione ricalca quella delle gocce: si indicano con h l’ordinata del vertice della superficie libera sull’asse del tubo e con y il raggio di curvatura in quel punto; il segno di y distingue il menisco concavo dal convesso → (fr:1908-1909/p.294). Vengono distinte due regioni: una porzione centrale, dove il piano tangente è poco inclinato e vale un’equazione derivata dalla (m), e la zona prossima alle pareti, in cui la superficie si inclina sensibilmente e si impiega l’equazione (A) con opportune condizioni al contorno → (fr:1909/p.294-1911/p.295). Trascurando quantità piccole in rapporto al grande raggio y, l’equazione per la regione di transizione si semplifica in una forma integrabile che fornisce una relazione tra z (coordinata verticale) e t (distanza dall’asse) → (fr:1912/p.295-1913/p.296). Integrando e imponendo il raccordo con la regione centrale, si ottiene un’espressione per il semidiametro l del tubo e per il valore c dell’altezza (o depressione) del liquido proprio a contatto con la parete → (fr:1914-1915/p.296).

La determinazione di c si ottiene sfruttando l’angolo di contatto ω: “se si chiama ω l’angolo relativo alla materia del liquido e del tubo… si avrà, come è facile a vedere” – (fr:1919/p.297). Dopo varie approssimazioni, trascurando l’influenza della parte centrale dell’integrale, si giunge a un’espressione in cui compare senω e, posto ω = ½π + 2θ, si perviene alla formula (r) per c → (fr:1924-1925/p.298). Il valore di c assume lo stesso segno di θ, ossia è positivo per angoli ω ottusi (liquido che si eleva) e negativo per angoli acuti (depressione) – (fr:1926/p.298).

Il confronto con i dati sperimentali occupa una parte rilevante del testo. Per il mercurio in un tubo di vetro, secondo Poisson si avrebbe ω = 45°30′, da cui θ = –22°15′ e una depressione all’orlo “c = –1mm,3680” – (fr:1930-1931/p.299). L’autore però oppone i propri risultati: “Se invece di ω = 45°30′, a = 2,5546 si prende, secondo le mie sperienze, ω = 40°26… e α = 2,357, si trova pel valore calcolato di questa quantità, c = 1mm,293” – (fr:1933/p.299). Un valore molto vicino a quello misurato da Gay-Lussac, che “ha trovato, con un’esperienza già riferita nel Supplemento alla Meccanica celeste, 1mm,45 per quest’altezza in un largo vaso” – (fr:1934/p.299). La piccola discrepanza tra calcolo e osservazione è attribuita sia agli errori sperimentali, sia all’influenza del secondo termine della formula (r), non trascurabile se il raggio del vaso non può considerarsi propriamente infinito → (fr:1935/p.300).

Il testo esamina anche il caso limite di un tubo o vaso bagnato dal liquido, dove ω = 180° e θ = 45°. Allora “la formola (r) diverrà c = a + …” – (fr:1936/p.300), e per un raggio molto grande rispetto alla lunghezza capillare a, c tende semplicemente ad a, coerentemente con l’elevazione presso un piano bagnato già trattata al n. 409 → (fr:1938/p.300). Infine, si nota che, poiché il termine esponenziale che regola l’altezza centrale h decade molto più rapidamente del secondo termine della formula (r) per c, “la curvatura del vaso può ancora influire sensibilmente sull’elevazione del liquido vicino alla sua parete, e non aver più alcuna influenza apprezzabile sulla parte centrale” – (fr:1941/p.300). In altre parole, in un tubo largo il menisco centrale rimane piatto come in un recipiente infinito, mentre in prossimità delle pareti l’elevazione o la depressione risente della curvatura del contenitore.

Dal punto di vista storico, il brano costituisce una testimonianza diretta del lavoro di precisione con cui, nella prima metà dell’Ottocento, si cercava di armonizzare la teoria della capillarità di Laplace e Poisson con misure raffinate. La citazione dei valori di Gay-Lussac e del Supplemento alla Meccanica celeste ancora oggi ricorda il legame con la grande scuola francese; le modifiche alle costanti proposte dall’autore (ω = 40°26′, α = 2,357) mostrano come la fenomenologia del mercurio su vetro fosse oggetto di dibattito e di successivi aggiustamenti, anticipando la moderna caratterizzazione degli angoli di contatto. Il testo offre, infine, un esempio istruttivo di come le approssimazioni asintotiche venissero maneggiate analiticamente per estrarre correzioni di ordine superiore prima dell’avvento dei metodi computazionali.

[10]

[10.1/1-79-2032|2109]

17 Adesione di un disco a un liquido e azione capillare: dalle esperienze di Gay‑Lussac e Guyton alla teoria di Poisson e Frankenheim

Il passo esamina la teoria dell’adesione di un disco bagnato alla superficie di un liquido, ne verifica le formule con i dati di Gay‑Lussac, discute le irregolarità nel caso del mercurio e dei metalli amalgamati, e introduce il modulo di sinafia di Frankenheim nonché il comportamento di un cilindro sottilissimo.

Il testo, tratto da un trattato di fisica del primo Ottocento, sviluppa l’analisi matematica e sperimentale della forza necessaria per staccare un disco dalla superficie libera di un liquido che lo bagna. Frutto del lavoro di Poisson e di successivi confronti con le misure di Gay‑Lussac, il discorso intreccia deduzioni teoriche, dati di laboratorio e considerazioni sulla stabilità dell’equilibrio.

Si comincia applicando le formule generali al caso di un disco bagnato completamente. Per un disco di vetro di raggio (r = 5!,9183) alla temperatura di circa (8{,}5^), Gay‑Lussac ha verificato che “Ia materia del disco non ha alcuna influenza sulla sua adesione al liquido , quando questa materia è suscettibile d’esserne bagnata” – (fr:2035/p.318), confermando che l’adesione misura soltanto l’azione del liquido su se stesso. Con l’acqua, il valore della costante (a) ricavato da Poisson è (a = 0{,}38888) (centimetro come unità), e il peso massimo calcolato con la formula (8) risulta “p = Sqsram, 558” – (fr:2038/p.318), mentre l’osservazione dà (59^{},40): un accordo soddisfacente, con lo scarto attribuito a cause accidentali che rompono l’equilibrio prima del massimo teorico.

Per tre tipi di alcol e per l’olio di trementina lo stesso schema dà valori di (p) calcolato e misurato molto vicini. La regolarità è tale che “in queste cinque sperienze il valore di p si accorda […] in una maniera molto soddisfacente” – (fr:2047/p.319); tuttavia il calcolo supera sempre di poco la misura, segno che “i diversi liquidi si sono staccati dal disco un poco avanti che il peso da noi indicato con Δ fosse giunto al suo massimo p” – (fr:2047/p.319). L’instabilità dell’equilibrio vicino al massimo rende plausibile che minime agitazioni provochino il distacco anticipato.

Molto più irregolare è il caso del mercurio a contatto con un disco di vetro. Con il valore (= 0{,}25547) cm di Poisson e l’angolo di contatto adottato, la formula assegna un peso massimo di circa (222^{},464), mentre Gay‑Lussac “non ha trovato costantemente lo stesso valore di p” – (fr:2052/p.320), ottenendo valori compresi fra 158 e 296 grammi. Poisson spiega i valori inferiori con l’instabilità dell’equilibrio, quelli superiori con le irregolarità dello spigolo vivo del disco, perché “a ragione delle irregolarità dello spigolo vivo che termina la base del disco, gli angoli […] sia ottuso in una parte del suo contorno” – (fr:2053/p.320), il che aumenterebbe il massimo di ().

Una testimonianza storica importante è costituita dalle sperienze di Guyton de Morveau del 1773 con dischi di metalli amalgamabili, citate per confronto. Egli non amalgamò preventivamente i dischi, sicché “egli ha ottenute adesioni più o meno considerevoli pei dischi di diversi metalli, secondo la loro maggiore o minore facilità ad amalgamarsi” – (fr:2060/p.321). Il risultato più alto si ebbe con l’oro: 446 grani, ossia 23,68 grammi. Con la costante (a = 2{,}36) del millimetro (ricavata dall’autore da tubi amalgamati) si calcolano circa 24,9 grammi; la differenza è giudicata dovuta al difetto di completa amalgamazione, mentre l’adozione dei valori di Laplace o Poisson darebbe “una discordanza molto maggiore” – (fr:2066/p.322).

La parte successiva introduce il concetto di modulo di sinafia proposto da Frankenheim. Partendo dalla formula approssimata (p = m r a ), si esprime l’adesione per unità di superficie in atmosfere. La grandezza (M), detto appunto modulo, è data da (M = ) e “è appunto quella di cui si serve Frankenheim per calcolare […] il modulo della sinafia” – (fr:2075/p.324). All’acqua corrisponde (M = 536{,}6) milionesime di atmosfera, all’alcol 268,4, al mercurio 4000 (con il valore (a) di Guyton) o 4480 con la costante dell’autore. Tale modulo viene paragonato alla tenacità dei solidi: “il modulo di sinafia di Frankenheim sarebbe analogo al peso del modulo di coesione M pei corpi solidi” – (fr:2081/p.325). Il confronto con il ghiaccio mostra che l’adesione dell’acqua liquida a se stessa è circa 1/60000 della coesione del ghiaccio per la stessa sezione, dando un’idea della “grande differenza che passa […] tra la forza di coesione dei solidi, e quella dei liquidi” – (fr:2084/p.325).

— — —-c) , (ι÷senω)r” – (fr:2103-2104/p.328), da cui il peso () corrispondente. Vi si accenna anche alla necessaria coincidenza delle due descrizioni per valori di (t) molto piccoli rispetto ad (a) ma grandi rispetto a (r), e alla presenza della curva OA illustrata in “fig. 41”* – (fr:2096‑2097).

Nel complesso, il brano documenta un momento in cui la teoria capillare si consolida combinando rigore matematico, esperimenti sistematici e riflessione sulle costanti materiali. La meticolosa discussione delle discordanze, l’attenzione alle condizioni di bagnamento e amalgamazione, e la proposta di un modulo universale di sinafia sono altrettanti segni di un approccio che anticipa la fisica della coesione e dell’adesione modernamente intesa.

[11]

[11.1/1-47-2127|2171]

18 L’equilibrio della goccia fra due piani e l’estensione del metodo di Poisson

Poisson, muovendo dalle soluzioni per superfici a una sola variabile, affronta per approssimazione il caso più complesso di una gocciola tra due piani con un piccolo angolo, ricava una relazione di equilibrio e mostra come ne emerga una forza capillare apparente inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla linea di intersezione; il testo dà poi conto delle misure di Hauksbee commentate da Laplace.

Il brano descrive il passaggio dai casi più semplici della teoria capillare – superfici di rivoluzione o liquidi fra piani paralleli – a una situazione in cui la coordinata verticale della superficie libera dipende da due variabili. Mentre nelle questioni precedenti «l’ordinata verticale della superficie … non dipendeva che da una sola variabile» (fr:2125/p.330) e Poisson aveva risolto l’equazione «o rigorosamente o per approssimazione» (fr:2127/p.331), ora «la soluzione diviene molto più difficile quando l’ordinata verticale dipende da due variabili, la superficie non essendo nè di rivoluzione, nè cilindrica» (fr:2128/p.331). L’autore osserva però che in alcuni problemi si può partire da una superficie di rivoluzione come prima approssimazione e poi «spingere quant’oltre si voglia» (fr:2129/p.331), estendendo così i risultati già ottenuti per i tubi capillari e le lamine vicine. L’esempio del cono inclinato (n. 385) aveva già mostrato questa possibilità; ora si aggiunge un altro caso notevole, «la questione che forma l’oggetto del presente articolo» (fr:2129/p.331), vale a dire «l’equilibrio d’una goccia di liquido, d’un volume poco esteso, contenuta tra due piani che fanno tra loro un piccolissimo angolo, e si tagliano secondo una retta orizzontale» (fr:2130/p.331).

La fisica del sistema è descritta in modo qualitativo: la superficie laterale concava verso l’esterno (angolo di contatto ottuso) presenta una curvatura maggiore dalla parte della linea di intersezione dei piani, perciò la goccia «tenderà ad avvicinarsi a questa retta; per conseguenza perchè essa resti in equilibrio bisognerà che questa tendenza sia controbilanciata dal suo peso, il che richiederà che essa sia sempre al dissotto di questa intersezione» (fr:2132/p.331). Viene quindi introdotta una costruzione geometrica con i piani ABFE, ABDL e la loro intersezione AB (fig. 44). Si conduce un piano intermedio ABHG, inclinato anch’esso sull’orizzonte, e un piano verticale UCZ perpendicolare ad AB, che divide la goccia in due metà uguali. Il punto C, centro del diametro sul piano intermedio, è scelto come origine delle coordinate u (lungo CU, perpendicolare all’intersezione dei piani nel piano intermedio), v (parallela ad AB) e ζ (normale al piano intermedio). La quota verticale z del punto M della superficie laterale si esprime rispetto all’inclinazione S del piano intermedio sull’orizzontale: «z = ξ,cos 6 + usen Si» (fr:2136/p.332), dove una figura sussidiaria ne illustra la scomposizione.

L’equazione della superficie laterale viene data nella forma generale della capillarità: «J∙÷ JS Cosd +usend), (i) fi essendo una costante arbitraria, e λ, λ’ rappresentando i due raggi di curvatura principali» (fr:2139/p.332), che corrisponde a un’equazione differenziale alle derivate parziali (indicata come equazione (5) del n. 35g, con λ, λ’ al posto di μ, μ’). Vi compare una costante β, «necessaria, come c,— ∏ pel liquido superiore a cui si riferiva l’equazione citata, perchè non vi è parte piana del liquido sottoposta alla sola pressione atmosferica» (fr:2142/p.333). L’espressione analitica della curvatura media in termini di derivate di ζ(u,v) viene richiamata con un’espressione estesa, mentre le condizioni al contorno sui due piani sono scritte per mezzo dei coseni direttori della normale e dell’angolo ω (o ω’) che la normale forma con la perpendicolare al piano. Per il contorno superiore si hanno le due equazioni: «t∕∙∕ J= (c—u] tangi, cos ωz=F{ cos i— A seni) , (2)» (fr:2145/p.334), dove i è l’inclinazione del piano superiore sul piano intermedio; per quello inferiore valgono analoghe relazioni con i’ e ω’ (fr:2146-2147/p.334). Se i piani sono della stessa natura gli angoli ω e ω’ sono ottusi e uguali, e il piano intermedio biseca l’angolo fra i due piani (fr:2151-2152/p.335).

Poisson affronta il problema con un metodo di approssimazione, supponendo «che le dimensioni della goccia del liquido siano piccolissime per rapporto alla costante a» e le variabili u e v piccolissime (fr:2150/p.335). Con un’analisi di cui il testo non riporta i dettagli, egli ricava le equazioni necessarie e le applica, tramite ulteriori approssimazioni, al caso in cui «la larghezza della goccia sia molto grande relativamente al suo spessore» (fr:2150/p.335). Il risultato principale è l’equazione di relazione fra l’inclinazione θ del piano intermedio sull’orizzonte e la distanza c del centro della goccia dalla linea d’intersezione, per il caso ω = ω’ (stessa natura dei due piani). Confrontando questa espressione con quella già ottenuta per il cono inclinato (n. 385), il testo nota che «il seno dell’angolo 6, che dee aveì luogo … nel nostro caso presente dei due piani, non è che la metà di quello dell’angolo che si richiede nel caso del cono», a parità di angolo al vertice e di distanza (fr:2153-2154/p.335). In entrambi i casi il seno risulta «in ragion inversa del quadrato della distanza c», e poiché a esso è proporzionale la componente della gravità che bilancia la forza capillare, «l’attrazione apparente verso questa linea, prodotta dall’azione capillare sulla goccia, è anche prossimamente in ragion inversa del quadrato di questa distanza» (fr:2155/p.336). L’applicazione della formula (4) è però soggetta a condizioni ben precise: l’angolo fra i piani, lo spessore della goccia e la sua larghezza devono essere piccolissimi, e quest’ultima trascurabile rispetto sia alla distanza dal centro all’intersezione sia alla costante capillare a (fr:2156/p.336).

Il testo si chiude con il riferimento alle esperienze di Hauksbee, condotte con olio di melarancia su piani di vetro bagnati, che corrispondono al caso ω = π. Laplace, nel Supplemento al libro X della Meccanica celeste, aveva già confrontato quelle osservazioni con la sua teoria. Viene riportata la procedura sperimentale: i piani di vetro, strofinati con olio, venivano disposti in modo che a 20 pollici dalla linea di giunzione la distanza tra loro fosse di una frazione di pollice; la goccia, posta tra di essi, «cominciò ad avanzarsi verso la giunzione» (fr:2160/p.337), e si inclinava il piano inferiore finché la goccia si arrestava, misurando poi distanza e inclinazione (fr:2161/p.337). Per ricondurre le inclinazioni del piano inferiore fornite da Hauksbee a quelle del piano intermedio si sottraeva 5′22″ sessagesimali, essendo l’angolo tra i piani pari a 10′44″ (fr:2162/p.337). La seconda colonna della tavola citata, che dà «Pinclinazione del piano intermedio, in virtù della quale la goccia si arrestava, per ogni distanza» (fr:2163/p.337), è assente nel frammento, mentre la prima colonna riporta le distanze in pollici inglesi: «8 . 16 14 … 12 . 10 . 8 . 6 .» (fr:2165/p.338-2171/p.64). Il testo precisa che Hauksbee non dichiara se le distanze fossero contate dal centro della goccia, ma un passo di Newton nell’Ottica lascia credere che lo fossero (fr:2164/p.337).

[12]

[12.1/1-62-2381|2442]

19 Il moto dei fluidi nei condotti capillari e l’influenza dell’azione molecolare: dalle serie di Navier alle atmosfere liquide di Girard

L’applicazione dell’analisi al moto dei liquidi entro tubi molto sottili rivela un regime in cui pressione, velocità e resistenza obbediscono a leggi profondamente diverse da quelle dell’efflusso ordinario, e mette in luce il ruolo insostituibile delle forze intermolecolari tra fluido e parete.

Il testo espone un percorso teorico e sperimentale che, partendo dalla soluzione analitica di Navier per il moto di un fluido in un tubo capillare, giunge a discutere l’influenza delle azioni molecolari sulla resistenza al moto, anche al di fuori della capillarità stretta.

L’impianto di Navier poggia su sviluppi in serie dei quali si sottolinea subito la convergenza soddisfacente: “Le serie cosi ottenute saranno necessariamente convergenti, e la loro convergenza è abbastanza rapida, perchè il calcolo non ne sia troppo penoso.” – (fr:2381/p.373). Dalle espressioni generali discendono proprietà notevoli. La pressione decresce in modo lineare lungo la massa fluida: “La pressione varia uniformemente da una estremità all’ altra della massa fluida.” – (fr:2384/p.373). In assenza di pressioni esterne e di velocità iniziali, la “prima di queste espressioni si ridurrebbe a p≈fgι cosò” e la celerità si ridurrebbe al suo primo termine (fr:2382/p.373).

Un risultato centrale è che le velocità dei filetti liquidi tendono a limiti invalicabili: “Sia che siansi impresse , o nò, velocità iniziali al fluido , le velocità dei filetti rii cui esso è composto si avvicinano continuamente , col crescere del tempo t , a limiti che esse non possono oltrepassare.” – (fr:2385/p.373). In assenza di velocità iniziali le velocità crescono progressivamente verso tali limiti (fr:2386/p.373). Dopo un tempo tanto più breve quanto più grande è il rapporto P/b e quanto minore è la sezione del tubo, la distribuzione di velocità è ben approssimata da un’espressione in serie doppia di seni con soli termini dispari “ove m, n non rappresentano che numeri impari” (fr:2387/p.373). In regime stazionario il moto diventa uniforme, con velocità nulla alle pareti, massima sull’asse e simmetrica rispetto ai piani mediani (fr:2388/p.373). La velocità media, indicata da una formula che coinvolge il rapporto λ e le dimensioni della sezione, “per tubi diversi essa è proporziortale al rapporto λ […] ed al quadrato del loro lato quando la sezione di questi tubi è quadrata” (fr:2391/p.374). Moltiplicando la velocità media per la sezione si ottiene la portata volumetrica (fr:2392/p.374).

La soluzione è estesa al caso di comunicazione tra due vasi a diverso livello, con λ lunghezza del tubo (fr:2393/p.374), sebbene l’ipotesi che le molecole entrino e escano con le velocità prescritte dalla formula non sia fisicamente realizzabile (fr:2394/p.374). Tuttavia, se il tubo è sufficientemente lungo rispetto alla sua sezione, le formule possono accordarsi con le osservazioni. Per verificare la teoria, Navier si appoggia alle esperienze di Girard sullo sgorgo attraverso tubi capillari cilindrici (fr:2395/p.374). Da queste Girard ricavò una legge empirica secondo cui, al di là di una lunghezza limite, “la legge della velocità è rappresentata […] da u = ⅛⅛ , D essendo il diametro del tubo, l la sua […] lunghezza […] e A l’altezza della carica” (fr:2397/p.374). La lettera a è un coefficiente che “diminuisce quando il diametro aumenta ; cosicché il diametro variando da om,ooι83 a om ,00296, λ si trovò variare a un dipresso nel rapporto di o,oo35 a 0,0027” (fr:2398/p.374). Questi risultati, “contrarii alla teoria ordinaria sono […] tonfarmi alle conseguenze dell’ analisi precedente.” (fr:2399/p.375). Infatti, l’analisi di Navier mostra che la velocità media “è pro- V portionalmente a ossia — r cioè poste le altre cose pari è in ragion diretta della carica , e inversa della lunghezza del tubo” (fr:2400/p.375). Per un tubo a sezione quadrata la velocità cresce come il quadrato del lato; per il caso cilindrico i calcoli sarebbero più complicati ma le esperienze indicano che la velocità aumenta “molto più rapidamente che il diametro”, poiché il numeratore contiene D e il divisore a diminuisce al crescere di D (fr:2402/p.375). L’accordo qualitativo con i dati di Girard conferma così la capacità delle considerazioni molecolari di rendere ragione di tale andamento (fr:2403/p.375).

Il contrasto con l’idrodinamica ordinaria è marcato: per le aperture in parete sottile la velocità è proporzionale alla radice quadrata della pressione √(2gh) e indipendente dalle dimensioni trasversali (fr:2404/p.375, fr:2405/p.375). Navier, fondando le proprie approssimazioni sull’ipotesi di tubo molto lungo rispetto al diametro, non può recuperare il caso limite di tubo corto facendo λ=0: ciò renderebbe la velocità infinita (fr:2406/p.375). Al contrario, la formula di Eytelwein per la portata d’acqua in lunghi tubi cilindrici, “ci aè Ç—20. ’ HDi ^>∖D dove D è il diametro , e L la lunghezza del tubo” (fr:2417/p.377), pur essendo relativa a lunghezze moderate, ammette il limite per L=0 e si riduce all’espressione classica con coefficiente di riduzione 0,813 (fr:2418/p.377-2419/p.378). Tale resistenza al moto, analoga all’attrito, è stata considerata anche da Eytelwein nelle sue memorie (fr:2414/p.377) ma, non essendo collegata direttamente all’azione molecolare, viene solo accennata.

Un aspetto cruciale emerge dalle osservazioni di Girard sulla diversa velocità dell’acqua in tubi di materiale differente: “Così 1’ acqua in tubi d’ un certo diametro e d’ una certa lunghezza , scorre tre o quattro volte più lentamente nel vetro che nel rame.” (fr:2408/p.376). Ciò suggerisce che la parete esercita sul liquido un’azione che non può essere trascurata, e che lo strato aderente ipotizzato nell’analisi precedente non è sufficiente; si deve ammettere che “lo strato per cui il solido è bagnato dal liquido prende esso medesimo lungo le pareti un moto reale, quantunque reso lentissimo dall’azione del solido su quello strato” (fr:2411/p.376). La teoria sarà completa solo quando si terranno in conto le forze particolari emananti dalle pareti (fr:2410/p.376).

In quest’ottica, anche il lavoro di Girard sulle atmosfere liquide diviene pertinente. In virtù dell’azione capillare, i solidi immersi si ricoprono di uno strato di liquido di spessore dipendente dalla natura dei materiali e dalla temperatura (fr:2434/p.380). L’influenza di tale atmosfera sul moto diventa sensibile solo per particelle di grande tenuità e basse velocità (fr:2435/p.380). Girard studiò la precipitazione di polvere di argilla in acqua e in alcool: “Questo abbassamento verso il fondo si è arrestato in certi casi quando le molecole solftle […] erano ancora avvolte da un’atmosfera liquida quadrupla del volume di queste molecole […] in altri quando quest’ atmosfèra d, acqua frapposta avea un volume soltanto doppio” (fr:2438/p.380). Quando le atmosfere si compenetrano, le particelle formano una sorta di tessuto che scende a strati orizzontali; il moto tenderebbe all’uniformità se il vaso fosse infinitamente alto, ma viene rallentato dalle particelle già depositate (fr:2439/p.381). La temperatura agisce sullo spessore delle atmosfere e quindi sulla rapidità della precipitazione (fr:2440/p.381). Sorprendentemente, la precipitazione della stessa argilla risultò più lenta nell’alcool che nell’acqua, sebbene la densità dell’alcool fosse 0,875 (fr:2441-2442/p.381). Girard ne concluse che “lo spessore delle atmosfere, e la viscosità del liquido siano maggiori per 1’ alcool che per l’acqua”, calcolando numericamente i rapporti secondo le sue ipotesi teoriche.

Il testo richiama infine i lavori di Savart sulle vene liquide, i loro alternativi cambiamenti di forma e i suoni prodotti, nonché le osservazioni di Bidone (fr:2422/p.378-2427/p.379). Sebbene non direttamente ricondotte all’azione capillare, tali ricerche mostrano come la viscosità e le forze molecolari abbiano un’influenza marcata sull’urto delle vene fluide, secondo le conclusioni dello stesso Savart (fr:2429/p.379). L’intero percorso espositivo intreccia così il moto capillare con le resistenze di attrito e le atmosfere liquide, delineando un capitolo della fisica in cui le forze a corto raggio non possono più essere trascurate.

[13]

[13.1/1-99-2552|2650]

20 La Compressibilità dei Liquidi e del Vetro nelle Esperienze di Colladon e Sturm

Il resoconto si concentra sulla determinazione sperimentale della compressibilità di vari liquidi, un problema fisico affrontato con un approccio metodico che parte dalla calibrazione dello strumento stesso, il vetro del piezometro, per poi affrontare le difficoltà inerenti alla misurazione delle minime variazioni di volume sotto pressione.

Per determinare la compressione reale di un liquido, era indispensabile conoscere l’effetto della pressione sul contenitore. Innanzitutto, si calibrò la deformazione di una verga di vetro sotto trazione. Con una sezione di 13,3 millimetri quadrati, un peso di 8 chilogrammi produceva una trazione equivalente a 57 atmosfere: “per conseguenza gli 8 chilogrammi producevano una trazione equivalente a 57 atmosfere” - (fr:2552/p.398) [il peso applicato generava una forza paragonabile a 57 volte la pressione atmosferica standard]. Da questo, misurando un allungamento di un sesto di millimetro, si calcolò che per una atmosfera “l’allungamento della verga di vetro di un metro di lunghezza è di 11 diecimilionesime di metro” - (fr:2553/p.398). Assumendo una simmetria nella deformazione, Colladon e Sturm conclusero che sotto la pressione di un’atmosfera, ogni dimensione del vetro si sarebbe ridotta di 11 diecimilionesimi e il suo volume di 33 diecimilionesimi.

Tuttavia, il testo introduce una correzione cruciale a questo calcolo, basata su un principio esposto precedentemente: “la dilatazione o ristringimento di ciascuna dimensione per una pressione applicata ad un corpo in tutte le direzioni, non è che la metà di quella prodotta dalla trazione o pressione longitudinale” - (fr:2556/p.398). Di conseguenza, la compressione cubica reale del vetro non è di 33, ma di 16,5 diecimilionesimi per atmosfera, ossia 1,65 milionesimi. Questa corretta interpretazione della deformazione isotropa diventa un fattore costante nella correzione di tutte le misure successive, e l’autore del resoconto la contrappone spesso al valore di 3,3 milionesimi utilizzato originariamente da Colladon e Sturm.

L’apparato sperimentale per i liquidi prevedeva un manometro ad aria al posto di una colonna di mercurio, giudicata scomoda. Questo manometro era collegato al piezometro, permettendo di trasmettere la compressione e di misurarla indirettamente. “Due piccoli termometri inchiusi nel cilindro verticale… indicavano le variazioni che l’aria del medesimo poteva subire” - (fr:2561/p.399), consentendo di normalizzare le misure a una temperatura uniforme. La gestione della temperatura era la sfida principale, poiché “per la maggior parte di essi, compressioni di 10 o 15 atmosfere non cagionano che una contrazione appena equivalente a quella prodotta da un abbassamento di temperatura d’un grado” - (fr:2562/p.399). Per ovviare a questo, tutti i liquidi furono portati alla temperatura stabile del ghiaccio fondente (fr:2563/p.399) e le compressioni venivano eseguite lentamente per dissipare l’eventuale calore generato (fr:2564/p.399). Le misure erano condotte in due serie, una a pressioni crescenti e una decrescenti, per mediare l’effetto dell’attrito del liquido nel tubo capillare (fr:2565/p.399).

La sperimentazione iniziò con il mercurio, spingendo la pressione fino a 30 atmosfere. Oltre le 8 atmosfere, la compressione apparente si rivelò estremamente uniforme, pari a circa 1,7 milionesimi per atmosfera standard. Corretto per la compressione del vetro, il valore reale risultava essere di 3,38 milionesimi per atmosfera (fr:2567/p.400). Sotto le 8 atmosfere, invece, la compressione apparente era irregolare e maggiore, attestandosi su circa 3 milionesimi. La causa di questa anomalia fu identificata da Colladon e Sturm nella difficoltà di purgare completamente l’aria dal mercurio: “le bolle d’aria in esso rimaste debbono influire, per la loro grande compressibilità, sui risultati delle prime compressioni” - (fr:2568/p.400). Questo fenomeno spiega anche i risultati precedenti di Canton, che aveva misurato una compressione apparente di circa 3 milionesimi limitandosi a sole 3 atmosfere di pressione (fr:2569/p.400).

Per l’acqua distillata e privata d’aria a 0°, la compressione si dimostrò uniforme fino a 24 atmosfere, con una contrazione reale, corretta secondo l’autore del resoconto, di 49,65 milionesimi per atmosfera (fr:2571/p.401). Un risultato analogo fu ottenuto per l’acqua non privata d’aria, la cui compressione reale fu trovata essere di circa 48 milionesimi per atmosfera, leggermente inferiore alla precedente (fr:2574/p.401). Questa differenza, seppur minima e non rilevata da Canton con le sue deboli compressioni (fr:2576/p.402), confermò che la compressibilità dell’acqua contenente aria è minore. La spiegazione fornita è che “quest’aria contenuta nell’ acqua vi è in istato di soluzione allo stato liquido, e non dotata della compressibilità che le apparterrebbe allo stato gazoso” - (fr:2575/p.402).

L’alcool e l’etere solforico posero problemi di aderenza alle pareti del tubo capillare, richiedendo compressioni molto lente e l’uso delle serie incrociate per ottenere dati affidabili (fr:2577/p.402, fr:2578/p.402). A differenza dell’acqua, la loro compressibilità non era costante ma decresceva all’aumentare della pressione. Per l’alcool a 11,6°, la compressione apparente per la seconda atmosfera era di 92,87 milionesimi, mentre per la ventunesima scendeva a 85,86 milionesimi (fr:2579/p.402). Assumendo una diminuzione in progressione aritmetica, si calcolò un decremento di 0,37 milionesimi per ogni atmosfera aggiunta. La compressione reale per la prima atmosfera, corretta dall’autore, risultava così di circa 98 milionesimi (fr:2581/p.403), quasi doppia rispetto a quella dell’acqua, contrariamente a quanto stimato da Ørsted (fr:2583/p.403). Per l’etere a 0°, il fenomeno era ancora più marcato: la compressione apparente calava da 130 a 118,5 milionesimi tra la quarta e la ventiquattresima atmosfera, con un decremento di 0,575 milionesimi per atmosfera (fr:2585/p.404). La sua compressibilità media reale era circa due volte e mezza quella dell’acqua (fr:2589/p.404).

Lo studio dell’influenza della temperatura sull’etere mostrò un comportamento complesso. A 11,4°, il valore assoluto della compressibilità aumentava, ma la rapidità con cui diminuiva per pressioni successive era minore rispetto a 0°, diventando simile a quella dell’alcool (fr:2591/p.405). Questo rappresenta l’unico dato quantitativo sull’effetto della temperatura, da cui si ipotizzò che l’aumento della compressibilità con la temperatura potesse essere una regola generale, in contrasto con l’osservazione di Ørsted per l’acqua (fr:2596/p.405).

L’esperimento sulla soluzione concentrata di ammoniaca, scelta per l’elevata solubilità del gas nell’acqua, rivelò una diminuzione della compressibilità ancora più rapida di quella dell’alcool e dell’etere. La compressione apparente calava di 0,32 milionesimi per atmosfera (fr:2603/p.406). Ancora più significativo, la compressibilità media reale, di circa 38,5 milionesimi (fr:2605/p.406), era notabilmente minore di quella dell’acqua pura, confermando che anche il gas ammoniacale in soluzione perde la sua elasticità.

La ricerca fu estesa ad altri liquidi, catalogandone il comportamento:

• L’etere nitrico, nonostante un punto di ebollizione basso, mostrò una compressibilità costante di 68,2 milionesimi (fr:2614/p.407), contrariamente alle aspettative (fr:2612/p.407).

• L’etere acetico e l’etere idroclorico presentarono invece una compressibilità decrescente (fr:2615/p.407, fr:2618/p.407).

• L’acido acetico e l’acido solforico concentrato mostrarono una compressibilità costante, con valori reali rispettivamente di 40,5 e 30 milionesimi per atmosfera (fr:2619/p.408, fr:2620/p.408). La compressibilità dell’acido solforico, pur essendo molto minore di quella dell’acqua, era sei volte maggiore di quella del mercurio.

• L’olio di trementina, nonostante le difficoltà sperimentali dovute alla sua viscosità (fr:2623/p.408), mostrò una compressione reale di circa 71 milionesimi (fr:2624/p.408).

Il resoconto sottolinea un accordo generale con i risultati di Canton e Ørsted sulla uniformità della compressione di acqua e alcuni liquidi, con differenze contenute per alcol ed etere (fr:2625/p.409). Netta è invece la contrapposizione con i risultati di Perkins, il quale aveva osservato una compressibilità dell’acqua notabilmente decrescente e un valore assoluto doppio per le prime 30 atmosfere (fr:2627/p.409, fr:2628/p.409). Il testo suggerisce che le sperienze di Perkins siano state affette da un errore sistematico “dipendente dalla natura stessa degli apparecchi di cui si è servito” (fr:2629/p.409).

Viene infine menzionato il tentativo di Galy-Cazalat, giudicato non risolutivo dall’Accademia. La critica mossa al suo metodo è sia teorica che pratica. Egli riteneva, erroneamente secondo l’autore, che la pressione esterna aumentasse la capacità interna del piezometro e che il liquido penetrasse nelle pareti, introducendo correzioni di segno opposto e concettualmente inammissibili (fr:2640/p.411, fr:2641/p.411). I suoi risultati sulla compressione dell’acqua, seppur uniformi come quelli di Colladon e Sturm, risultarono quantitativamente inferiori a causa di inesattezze sperimentali (fr:2644/p.412). Anche per l’alcool trovò una compressibilità poco diversa da quella dell’acqua, in disaccordo con i risultati più affidabili di Colladon e Sturm (fr:2648/p.412).

[14]

[14.1/1-42-2759|2799]

21 La correzione delle osservazioni barometriche: temperatura, capillarità e il barometro a sifone

Dalle tavole per la temperatura e la capillarità fino al barometro a sifone, l’estratto ripercorre le cautele sperimentali e le correzioni necessarie per ottenere misure barometriche accurate.

Lo scritto affronta sistematicamente i fattori che alterano la lettura di un barometro a mercurio e le strategie per compensarli. In primo luogo tratta la correzione di temperatura: poiché la colonna barometrica va riportata a una temperatura di riferimento, si fissa un piccolo termometro alla cassa dello strumento e si annota il valore al momento dell’osservazione, che può differire da quello dell’aria libera. “Diremo qui soltanto, die per conoscere esattamente questa temperatura della colonna barometrica si annette un piccolo termometro alla cassa stessa dello Stromento, e si nota il grado che esso indica nel momento dell’osservazione-, questo grado può esser diverso da quello che indica un termometro libero, esposto all’aria” – (fr:2758/p.429). Per comodità si sono costruite tavole che danno la correzione già calcolata per ogni grado di temperatura e per ogni altezza osservata, tenendo conto anche della dilatazione della scala a seconda del materiale (fr:2759/p.429).

Segue la descrizione del trasporto e messa in stazione di un barometro a serbatoio (verosimilmente il tipo Fortin). “Quando si vuol trasportare il barometro or ora descritto, si fa girare la vite inferiore che eleva il livello del serbatoio, cosicché venendo a diminuirsi la sua capacità, il mercurio la riempia per intiero, e faccia pure risalir la colonna sino alla sommità del tubo” – (fr:2760/p.429). Poi si rovescia lo strumento, privo d’aria, lo si ripone in una custodia e lo si trasporta (fr:2761/p.429). Per osservare nuovamente lo si riporta in verticale, si abbassa il fondo mobile finché il livello del mercurio nel serbatoio tocca l’estremità inferiore della punta d’avorio e si completa l’osservazione (fr:2762/p.429).

Il nucleo più esteso è dedicato alla correzione per capillarità. L’altezza della colonna mercuriale è infatti diminuita dalla depressione che il mercurio subisce nel tubo, mentre l’azione capillare nel recipiente è trascurabile; così la forza che produce la depressione non è equilibrata (fr:2764/p.429). Note il diametro interno del tubo, una tavola (quella di Bouvard, fondata sulle basi di Laplace) indica di quanto le altezze osservate sono troppo piccole, e si devono aggiungere tali quantità per ridurle al valore che avrebbero in un tubo abbastanza largo da rendere trascurabile l’effetto capillare (fr:2763/p.429, fr:2765/p.430). Tale correzione presuppone che le altezze siano misurate dal punto medio della superficie libera nel recipiente, o comunque da un punto abbastanza lontano dalle pareti da non risentire di curvature sensibili (fr:2766/p.430).

Si introduce poi una criticità specifica dei barometri di Fortin. La punta d’avorio che segna il livello non è sempre in posizione tale da soddisfare la condizione precedente (fr:2767/p.430). Ciò richiederebbe una correzione sottrattiva, anziché quella additiva dovuta al tubo; si può però sperare in una compensazione se la punta è collocata a una distanza dalle pareti per cui l’abbassamento locale uguaglia esattamente la depressione nel tubo, purché quest’ultimo non abbia diametro troppo piccolo (fr:2768/p.430). Laplace fornì le formule per calcolare tale distanza, basate sulla figura di una larga goccia di mercurio (fr:2769/p.430); Bouvard ne pubblicò una tavola per diametri non inferiori a 7 mm. “Per esempio per un tubo di 20mm, questa distanza dee essere di 22mm,43, e per un tubo di 7mm, di 1mm,04” – (fr:2771/p.430). Quando la distanza reale non è quella compensativa, la stessa tavola permette di ricavare la correzione sottrattiva da sommare algebricamente a quella additiva del tubo: si cerca il diametro per cui la distanza effettiva darebbe compensazione, si legge la depressione corrispondente, e la si assume come effetto capillare del recipiente nella posizione della punta (fr:2772/p.431).

L’impiego di quelle tavole presuppone che l’azione capillare mercurio-vetro sia identica nel vuoto barometrico e all’aria libera. La concordanza approssimata con le esperienze di Cavendish e con quelle riportate al n. 395, dove il mercurio non alterato si deprimeva in ugual misura in tubi capillari esposti al vuoto secco o all’aria, conforta questa assunzione (fr:2773/p.431). Tuttavia, l’autore segnala una rilevante complicazione: le lunghe ebollizioni a cui si sottopone il mercurio nella costruzione del barometro possono modificarne il contatto col vetro. Secondo esperienze di Casbois e Dulong, ciò rende la superficie del mercurio meno convessa, piana o persino concava, riducendo o invertendo la depressione capillare e quindi la correzione stessa (fr:2774/p.431). “Ora che nella costruzione di molti barometri, in cui bisogna pure far bollire il mercurio, come sopra si è detto, per cacciare intieramente l’acqua, e l’aria, si spinga talvolta l’ebollizione al punto che si produca alcuno di questi effetti, è provato dalle osservazioni di molti autori sopra barometri costrutti dai migliori artefici” – (fr:2775/p.432). Di conseguenza, appare necessario verificare sperimentalmente su ciascun barometro la correzione effettiva da applicare (fr:2776‑2777).

Vengono citate osservazioni comparative che confermano la variabilità. Bohnenberger impiegò un barometro normale con tubo da 14,5 linee di diametro, quindi praticamente esente da capillarità, e vi immerse altri tubi più sottili per confrontare le altezze (fr:2778‑2779). “Egli osservò in generale che la depressione dovuta alla capillarità in questi tubi, quale risultava da tale comparazione, era minore di quella che avea luogo in tubi di ugual diametro all’aria libera” – (fr:2780/p.432). Trovò, per esempio, che in un tubo di 5,81 linee la depressione era 0,034, in uno di 3 linee 0,333 e in uno di 1,5 linee 0,578, mentre la tavola di Bouvard per l’aria libera dava rispettivamente 0,124, 0,408 e 0,609 (fr:2781/p.432). Anche Bessel, con barometri a largo tubo, riscontrò che la superficie superiore della colonna poteva assumere convessità variabili e quindi depressioni non costanti, ma non riuscì a determinare con precisione le circostanze responsabili (fr:2782/p.432).

Un’ulteriore causa di alterazione è l’attrito e l’aderenza del mercurio al vetro. Quando la colonna scende, il mercurio tende a prendere una superficie meno convessa, diminuendo la depressione; quando sale, accade il contrario. “Ma tali accidentali variazioni non sono suscettibili di misura, e l’unica maniera d’impedirne, o diminuirne gli effetti, è di dare piccole scosse al barometro avanti l’osservazione, onde distrarre per quanto è possibile l’effetto di quella aderenza o legamento del mercurio col vetro” – (fr:2783/p.433).

Infine, per eliminare la necessità di mantenere costante il livello del serbatoio, si introduce il barometro a sifone (fig. 49). “Questo barometro non ha serbatoio, o piuttosto il tubo stesso ne fa le veci” – (fr:2786/p.433). Il tubo, ricurvato inferiormente, forma due rami; dopo aver introdotto il mercurio e averlo fatto bollire nel ramo più lungo, lo si ricurva alla lampada e si raddrizza verticalmente il ramo maggiore (fr:2787‑2789). L’eccesso di peso della colonna del ramo lungo, che è superiore a quella barometrica ordinaria, la fa in parte rifluire nel ramo corto. La differenza di livello tra i vertici della convessità nei due rami corrisponde esattamente alla colonna sostenuta dalla pressione atmosferica, che agisce sulla superficie del ramo corto aperto all’aria (fr:2790‑2791). Per la misura si usa un cursore orizzontale con un piccolo cannocchiale dotato di un filo finissimo, spostabile lungo una divisione verticale; si punta il vertice superiore, poi quello inferiore e si legge la distanza corrispondente (fr:2792‑2797). Spesso la scala reca una doppia divisione a partire da un punto intermedio, così che la somma dei due numeri associati ai vertici fornisce immediatamente la differenza di livello (fr:2798/p.434). “Si è supposto generalmente che la correzione per la capillarità si potesse evitare facendo uso del barometro a sifone, nel quale i due rami, di cui l’uno tiene il luogo del ricettacolo, avendo un diametro uguale, l’azion capillare parrebbe dover essere la stessa in direzione opposta, epperciò senza effetto per alterare l’altezza della colonna barometrica” – (fr:2799/p.434). L’estratto si chiude qui, lasciando intatta la questione se davvero la simmetria dei rami annulli l’effetto capillare in tutte le condizioni.

[15]

[15.1/3-102-2946|3046]

22 Variazioni del barometro e loro correlazioni meteorologiche e geografiche

L’estensione e le cause delle oscillazioni barometriche, indagate attraverso osservazioni sistematiche e modelli matematici, rivelano una complessa rete di relazioni con venti, temperatura e fenomeni atmosferici su scala continentale.

La sensibilità dello strumento barometrico risulta tanto maggiore quanto minore è la differenza di peso specifico tra i liquidi impiegati; tale differenza può essere ridotta miscelando all’acqua una certa quantità d’alcool per approssimarne il peso specifico a quello dell’olio, come proposto da Wollaston: “Si vede adunque che la sensibilità dello Stromcnto sarà tanto più grande , quanto minore sarà la differenza del peso specifico dei due liquidi, differenza che si può diminuire tra Γ acqua e l’olio , mescolando , come ha proposto Wollastou, coll’acqua una certa quantità d’ alcool per diminuirne il peso specifico , e approssimarlo quanto si voglia a quello dell’ olio.” - (fr:2947/p.453). Passando all’impiego ordinario del barometro, la colonna barometrica non rimane mai costante e le sue variazioni mostrano una relazione con i cambiamenti del tempo, innalzandosi generalmente col bel tempo e abbassandosi con la pioggia: “qualunque delle disposizioni sovra indicate si dia a questo Stromento , se si osserva per lungo tempo la lunghezza della colonna barometrica , o ciò che si chiama comunemente l’altezza del barometroi si scorge che essa non rimane costantemente la stessa , e le variazioni che vi si osservano hanno una certa relazione coi cangiamenti di tempo , l’elevazione della colonna essendo generalmente più grande quando il tempo e bello, e un abbassamento notabile della medesima pronosticando in generale , od accompagnando la pioggia.” - (fr:2949/p.453). La pressione atmosferica media a livello del mare è fissata convenzionalmente a circa 28 pollici, ovvero 0,76 metri di mercurio: “quello che abbiamo detto essere la pressione dell’atmosfera equivalente a un dipresso a 28 pollici, oppure om ,76 di mercurio non dee intendersi che di una pressione media tra quelle che essa esercita nei luoghi di pianura” - (fr:2952/p.454).

L’ampiezza delle oscillazioni barometriche varia principalmente con la latitudine: all’equatore l’escursione media ordinaria è di circa 2 linee (4,5 mm), mentre nel nord Europa raggiunge le 15 linee (34 mm). Anche la longitudine esercita un’influenza, come osservato da Kanitz, risultando l’escursione molto maggiore sulla costa orientale dell’America rispetto alla costa occidentale europea a parità di latitudine, e diminuendo ulteriormente verso l’interno del continente antico. Tracciando sulla superficie terrestre linee che uniscono i punti di uguale escursione media barometrica – denominate iso-allasso-barometriche – queste non seguono i paralleli geografici, ma piegano verso nord partendo dalla costa americana e proseguono fino all’interno dell’Asia, declinando poi verso sud sulla costa orientale asiatica: “Sesirimiiscono con linee i punti della superfìcie del globo terrestre in cui l’estensione media delle variazioni barometriche è uguale, queste linee che si potrebbero chiamare iso-allasso-baromelriche i in vece di seguire esattamente la direzione dei paralleli all’ equatore , piegano verso il Nord partendo dalla costa d, America , e continuano in questa direzione sino all’ interno dell’ Asia , ed esse paiono quindi declinare verso il Sud nella costa orientale dell’Asia stessa.” - (fr:2960/p.454). Nell’emisfero australe l’escursione è generalmente maggiore che in quello settentrionale, e la loro direzione sembra connessa con quella delle isoterme. L’escursione varia inoltre con le stagioni, essendo più ampia d’inverno che d’estate.

La connessione empirica tra variazioni barometriche e stato del tempo fu indagata sistematicamente fin dai primi anni del XIX secolo. Già nel 1808, Cotte pubblicò una tavola basata su un gran numero di osservazioni che metteva in rapporto le altezze del barometro a Parigi con i venti e le condizioni meteorologiche, giungendo a probabilità numeriche sulla pioggia in corrispondenza di determinati livelli barometrici. Ramond, nelle sue memorie sulla misura delle altezze, fornì tavole comparative da cui concluse che la connessione dipende principalmente dalla temperatura degli strati atmosferici, e che i venti influiscono sul barometro solo in quanto caldi o freddi. Nel 1812, Prevost analizzò le osservazioni di Ginevra per determinare il grado di connessione tra variazioni barometriche e giorni di pioggia: “sopra tre pioggie iniziali è accaduto due volte che il barometro si è abbassato nei due giorni che hanno preceduta la pioggia, e una volta che esso non si è abbassato , od anche si è elevato, risultato favorevole all’ opinione dell’ influenza della pioggia sul barometro , ossia dei pronostici barometrici.” - (fr:2971/p.456). Lo stesso Prevost rilevò che su 61 giorni di bel tempo, 20 erano annunciati da un innalzamento del barometro e solo 6 da un abbassamento, ma non trovò alcuna relazione tra l’entità dell’abbassamento e la quantità di pioggia caduta. Marcet, esaminando 34 anni di osservazioni ginevrine, calcolò che su 1458 cambiamenti di tempo, in 1073 casi il barometro aveva dato un’indicazione corretta (circa 3 volte su 4).

Parallelamente si sviluppò lo studio della relazione tra barometro e venti. De-Buch trovò differenze considerevoli tra le altezze barometriche corrispondenti ai diversi venti, con un massimo per il Nord-Est (336,62 linee) e un minimo per il Sud (333,06 linee), e dedusse la regola pratica che non ci si deve attendere pioggia decisa finché il barometro non scende al di sotto della media corrispondente al vento dominante. Chiamò rosa barometrica dei venti il rapporto delle altezze medie barometriche con i diversi venti, rapporto che varia da luogo a luogo in funzione della situazione geografica. Bouvard confermò che i venti settentrionali fanno ascendere il barometro mentre quelli meridionali lo fanno discendere, con una differenza media di 7 mm tra vento esattamente settentrionale e meridionale. Burkardt, su osservazioni di Messier, aveva trovato una differenza di soli 5 mm.

Dove sviluppò un approccio matematico sistematico, esprimendo l’altezza barometrica in funzione della direzione del vento mediante una formula periodica circolare. La forma generale scelta fu: “b ∙ 4>ι√sen(m.—- ÷ 0∕’)÷ w” sen(?n . ~ -+- U“) H-ecc.” - (fr:3007-3008/p.461). Per gli otto venti principali, limitandosi a tre termini e applicando il metodo dei minimi quadrati, determinò per Berlino l’espressione numerica che diede un massimo di 336,69 linee per il Nord-Est e un minimo di 333,08 linee per il Sud, con piccoli scarti rispetto alle osservazioni. Per Parigi, sulla base di 27 anni di osservazioni di Messier, ottenne una formula simile nei coefficienti, dimostrando l’attitudine del modello a rappresentare i dati.

Dove stabilì inoltre che le variazioni barometriche legate ai venti seguono una legge inversa rispetto alle variazioni di temperatura: i venti caldi deprimono il barometro, quelli freddi lo innalzano. Riducendo anche l’andamento medio del termometro a una formula analoga, trovò che il meridiano meteorologico termico e quello barometrico per Parigi differivano di soli 6° circa. Chiamò meridiano meteorologico la retta che individua le posizioni di massimo e minimo barometrico e termico, rispetto alla quale lo stato del barometro e del termometro è distribuito simmetricamente. Coerentemente, le precipitazioni acquee venivano classificate in due tipi: quelle legate alla successione di un vento più freddo a uno più caldo, che accompagnano l’innalzamento barometrico e il passaggio dal cattivo tempo alla serenità, e quelle inverse, associate all’abbassamento. Dove notò che le prime accadono generalmente con vento d’Ovest e le seconde con vento d’Est, confermando la rotazione regolare dei venti nell’ordine Sud-Ovest-Nord-Est.

Questa successione regolare fu però contestata da Schouw, il quale sostenne che la direzione media dei venti segue con uguale frequenza l’ordine indicato o quello contrario. Ciononostante, Galle confermò i principi di Dove con osservazioni di Danzica e, importante, durante viaggi di un vascello prussiano, constatò che nell’emisfero meridionale il barometro segue un andamento opposto rispetto all’emisfero settentrionale: mentre in Europa il vento Nord-Ovest lo innalza e il Sud-Est lo abbassa, a sud dell’equatore accade il contrario, coerentemente con l’inversione della direzione dei venti rispetto ai poli e all’equatore.

Un ultimo carattere rilevante delle variazioni barometriche è la loro simultaneità su vaste distanze. Pictet, costruendo graficamente l’andamento del barometro per Londra, Parigi e Ginevra, fece notare come le curve presentassero a un dipresso la stessa forma, corrispondendosi nelle principali elevazioni e depressioni simultanee. L’attenzione fu richiamata su estremi straordinari come l’elevazione del 26 dicembre 1778, osservata lo stesso giorno e alla stessa ora a Londra, Parigi e Ginevra, e quella rapida e considerevole del 7 febbraio 1821, registrata contemporaneamente a Firenze, Ginevra e al Gran San Bernardo.

[15.2/3-102-3047|3148]

23 Oscillazioni barometriche straordinarie e periodiche: dalle prime osservazioni coordinate alla ricerca delle maree atmosferiche

Un trattato scientifico ottocentesco raccoglie e discute le evidenze sulle variazioni della pressione atmosferica in Europa, dalla propagazione delle grandi perturbazioni ai delicati effetti delle fasi lunari, offrendo uno spaccato del metodo meteorologico e delle controversie del tempo.

Il testo esamina in modo sistematico le oscillazioni del barometro, distinguendo tra variazioni straordinarie e regolari. Un primo nucleo di osservazioni riguarda un’imponente ascensione barometrica rilevata simultaneamente in luoghi distanti. “Infatti il barometro a Firenze cominciò ad ascendere il 5 febbraio , e si trovò al suo massimo il 7; a Dieppe, esso cominciò ad ascendere un giorno prima , e giunse al suo massimo il 6 , onde parrebbe che la causa produttrice di quella variazione procedesse nella direzione dal Nord-Ovest al Sud-Est” – (fr:3049/p.467). Altre osservazioni, raccolte da Pictet in Danimarca, Germania, Inghilterra, Francia e Italia, mostrano che la medesima oscillazione si manifestò in tutti questi paesi con il massimo concentrato tra il 6 e l’8 febbraio (fr:3050/p.467). L’attenzione si sposta poi su una tempesta eccezionale: “egli ha perciò radunate le osservazioni barometriche fatte nei diversi paesi d’Europa a quell’epoca, e ne ha conchiuso che una causa incognita ha operato sull’oceano Atlantico , vicino alle coste della Francia, il 24 dicembre a 6 ore della sera una sottrazione nella massa dell’atmosfera , e quindi una grande diminuzione di pressione , la quale si è propagata, con intensità decrescente, verso la parte orientale dell’Europa” – (fr:3052/p.468). Il centro di minima pressione si spostò successivamente in punti più orientali del continente, documentando il carattere progressivo del fenomeno (fr:3053/p.468). Queste osservazioni, discusse nell’opera di Brandes del 1826, segnano un momento in cui la meteorologia comincia a delineare la dinamica delle grandi perturbazioni su scala europea (fr:3051/p.467).

Con l’intensificarsi delle osservazioni a ore fisse e la loro rappresentazione grafica mediante curve, emerge una corrispondenza più o meno precisa tra le ondulazioni principali delle curve di località anche molto lontane (fr:3055/p.468). Vengono citati i risultati di Daniell, basati sulle Effemeridi della Società meteorologica del Palatinato, che confermano tale coincidenza con qualche modifica, valida “per tutti i luoghi dell’Europa, dalle Spiaggie del mar Baltico a quelle del Mediterraneo , e dal livello del mare sino a 7000 piedi di elevazione al dissopra di esso” – (fr:3056/p.468). Si evidenziano però differenze sistematiche: le oscillazioni decrescono dall’equatore verso il polo e i movimenti minori delle curve settentrionali scompaiono in quelle meridionali (fr:3058/p.468). Confrontando curve a uguale latitudine ma longitudini diverse, si nota che i punti si corrisponderebbero meglio se le curve orientali venissero spostate verso occidente, ovvero se le modificazioni venissero applicate in un secondo momento; curiosamente la differenza non è dovuta allo scarto orario legato alla longitudine, perché “il divario ha luogo in opposta direzione” – (fr:3059/p.469). Inoltre le curve di luoghi più elevati mostrano curvature meno rapide e angoli più smussati rispetto a quelle di luoghi bassi, specialmente d’inverno (fr:3061/p.469), e in tutte le curve le porzioni invernali presentano angolosità maggiori e più repentine di quelle estive, con rapide salite che seguono rapide discese (fr:3062/p.469). L’autore osserva che le grandi oscillazioni mostrano una asimmetria: “quelle d’abbassamento sono in generale più grandi, relativamente alla media elevazione del barometro in ciascun luogo, … che quelle di elevazione” – (fr:3065/p.470), indizio che le cause ignote agiscono con maggiore intensità nel produrre depressioni. Viene infine ricordato che il barometro offre variazioni locali durante i temporali: secondo Rosenthal e Strehlke, lo strumento sale all’avvicinarsi della nube procellosa, raggiunge il massimo quando essa è sopra il luogo e ridiscende quando si allontana (fr:3066-3067/p.470).

Accanto a queste variazioni irregolari esistono oscillazioni diurne periodiche, legate all’azione termica del sole, da non confondere con un possibile flusso e riflusso atmosferico prodotto dall’attrazione gravitazionale del sole e della luna (fr:3069/p.470-3072/p.471). La seconda parte del testo ripercorre la storia dei tentativi di calcolare e osservare questo fenomeno. Dai calcoli di Bernoulli, che stimava una differenza di 20 linee per il sole e 50 per la luna, si passa alle correzioni di d’Alembert (circa 3 linee), Frisi (1/144 di linea per il sole, 1/48 per la luna), Fontana (0,0027 linee per la sola azione lunare) e Toaldo (0,0625 linee per l’effetto totale lunare) (fr:3073/p.471-3079/p.472). Laplace ottiene un valore di circa 0,26 linee all’equatore per l’azione combinata, giudicato ancora verificabile con lunghe serie (fr:3082/p.472). Le osservazioni dirette danno risultati contrastanti: Lambert non osò decidere se l’altezza del barometro fosse maggiore all’apogeo o al perigeo lunare (fr:3084/p.472); Toaldo trovò il barometro più alto all’apogeo e nelle quadrature; Cotte vide un eccesso all’apogeo di 1/3 di linea e nelle lune nuove; Howard sostenne l’opposto per le quadrature; Mayer rilevò un eccesso nelle sizigie e all’apogeo (fr:3087/p.472-3093/p.473). Laplace stesso, affinando teoria e osservazioni, ridusse l’ampiezza dell’oscillazione lunare a soli 0,0492 linee (fr:3094/p.473) e più tardi Bouvard, con nuove serie, la portò a soli 0,01763 millimetri, una quantità talmente piccola da restare incerta (fr:3107/p.475).

Un contributo di grande rilievo è quello di Flaugergues che, servendosi di quasi vent’anni di osservazioni al mezzogiorno a Viviers, trova una variazione regolare in una rivoluzione sinodica: “il barometro a mezzo giorno ascende per un moto regolare dal secondo ottante … sino alla seconda quadratura … ove è il più elevato , e discende quindi sino al secondo ottante della rivoluzione seguente” – (fr:3097/p.473-3098/p.474). L’escursione totale è di 0,74 linee e, a differenza della marea marina, vi sarebbe un solo massimo e un solo minimo nel giorno lunare; il minimo si verifica quando la luna è a 135° a oriente del meridiano, il massimo quando è a 90° a occidente (fr:3099-3100/p.474). Flaugergues trova inoltre che la pressione è minore con declinazione australe e quando la luna è al perigeo, e calcola che l’attrazione lunare causa una riduzione media dell’altezza barometrica di circa 1,5 linee a Viviers (fr:3102/p.474-3106/p.475).

Il testo collega infine le variazioni lunari della pressione alle meteore acquee. Flaugergues aveva rilevato che il numero di giorni piovosi è minore ai noviluni che ai pleniluni, maggiore al primo quarto che all’ultimo, e maggiore al perigeo che all’apogeo, coerentemente con le corrispondenti altezze barometriche (fr:3111-3115/p.476). Schübler, su 28 anni di dati, ottiene la distribuzione dei giorni piovosi (148 al novilunio, 156 al primo quarto, 162 al plenilunio, 130 all’ultimo quarto) (fr:3120/p.477), mentre Marcet a Ginevra, su 34 anni, trova un minimo di piovosità all’ultimo quarto e una quantità di pioggia caduta sensibilmente inferiore in quella fase (87,9 linee contro una media di 93,6) (fr:3128/p.478). Marcet riscontra anche un eccesso di cangiamenti di tempo nei giorni di sizigia e in quelli immediatamente successivi (115 osservati contro 98,6 attesi, con 63 passaggi al bello e solo 42 alla pioggia) (fr:3131-3133/p.478). Eisenlohr, da osservazioni a Karlsruhe e Strasburgo, conferma il minimo barometrico in prossimità del plenilunio e il massimo all’ultimo quarto, con una differenza di 1,17 linee, e ammette un accordo tra l’andamento del barometro e il numero di giorni piovosi, sebbene le variazioni non siano molto regolari (fr:3137-3141/p.479). La tavola riassuntiva per Strasburgo mostra che “il minimo dell’altezza del barometro coincide col massimo dei giorni di pioggia , e della quantità della medesima , ma che il massimo del barometro precede d’una fase il minimo dei giorni e della quantità di pioggia” – (fr:3147/p.480). Nonostante le incertezze e le disparità tra gli autori, il quadro complessivo delinea una possibile influenza lunare sulla pressione e sui fenomeni acquatici, mediata forse da deboli correnti atmosferiche, sebbene Laplace avesse calcolato che il flusso lunare non potesse generare vento sensibile (fr:3143/p.480).

[15.3/3-101-3149|3249]

24 Pressione atmosferica, influenze lunari e livelli marini nel dibattito ottocentesco

Una rassegna critica degli studi sulla pressione barometrica al livello del mare, le sue variazioni geografiche e le presunte influenze lunari, tra dati osservativi e prime correzioni gravitazionali.

Il testo costituisce un denso compendio delle conoscenze che, nella prima metà del XIX secolo, si andavano accumulando intorno alla pressione atmosferica, alle sue variazioni periodiche e permanenti e alle difficoltà di misurarla in modo confrontabile su scala globale. Particolare attenzione è riservata alla relazione tra la Luna e i fenomeni meteorologici, un tema che sollecitava sia lo spirito sistematico degli osservatori sia la cautela verso le credenze popolari.

Già Eugène Bouvard, in una memoria letta all’Accademia di Parigi, aveva sottoposto a verifica statistica l’influenza lunare. Analizzando osservazioni parigine per un intervallo di tre quarti di secolo, trovò che “l’altezza del barometro era , per una media , minore di circa un millimetro nell’ottante intermedio tra il primo quarto , e il plenilunio , che nell’ ultimo quarto, e che la quantità di pioggia è al contrario alquanto più grande alla prima epoca che alla seconda” (fr:3153/p.481). A ciò si aggiungeva una differenza in funzione della distanza lunare: “il barometro è di circa un mezzo millimetro più elevato nell’apogeo lunare , che nel perigeo” (fr:3154/p.481). Dall’altra parte del mondo, Everest, servendosi delle serie di Calcutta, notò che “nei primi quattro mesi dell’anno il numero dei giorni piovosi, e la quantità di pioggia avanti e dopo la nuova luna , era notabilmente più grande che nel rimanente del periodo lunare” (fr:3155/p.481). Lo stesso Everest osservò anche un’inversione nell’effetto della declinazione lunare: “la quantità di pioggia a Calcutta diminuiva col crescere della declinazione lunare , finché questa fosse tra 10° e 15°, dopo che il contrario avea luogo” (fr:3158/p.481), con corrispondenti depressioni barometriche per declinazioni superiori a 20° (fr:3158/p.481). Malgrado tali indizi, il commento che chiude la sezione è improntato a grande cautela: “tutte le osservazioni tendano ad indicare una certa connessione tra l’azione della luna , le elevazioni e depressioni medie del barometro , e i fenomeni meteorologici, ma quest’ influenza non è in generale rappresentata che da piccolissime differenze , corrispondenti alla piccolezza del flusso e riflusso atmosferico che essa può produrre, e che sono ben lontane dalla grande efficacia, che volgarmente le si attribuisce a tale riguardo” (fr:3161/p.481). L’affermazione è significativa perché separa nettamente il dato scientifico da una tradizione che attribuiva alla Luna un ruolo assai più massiccio sul tempo meteorologico.

Il cuore del documento è dedicato alla determinazione dell’altezza media della colonna barometrica al livello del mare nelle diverse regioni del globo. Humboldt, nel 1799, sulla spiaggia di Cumaná, aveva misurato 758,59 mm ridotti a 0°C (fr:3166/p.482). Più tardi Boussingault, dotato di due barometri di Fortin tarati con Arago e Rivero rispetto a quello dell’osservatorio di Parigi (la cui media su nove anni era 760,85 mm), trovò a La Guayra una media di 760,17 mm a zero di temperatura (fr:3170/p.482). Tuttavia lo stesso Humboldt, citando il risultato nel suo Viaggio alle regioni equinoziali, faceva osservare che “un intervallo di 12 giorni non essendo sufficiente , nemmeno nella zona torrida , per dare la vera elevazione media di tutto l’anno , e giudica che l’errore potrebbe esserne d’un millimetro in più o in meno” (fr:3170/p.482). Per l’Europa, Schuckburgh aveva fissato 761,18 mm a 0°C (fr:3173/p.483), mentre una serie di osservazioni condotte a Danzica, Königsberg e Apenrade, ridotte da Riese, davano per il mar Baltico 0,76019 m e per il mare Settentrionale 0,76043 m, valori “notabilmente minori di quello che si supponeva” (fr:3182/p.484). Emergeva già il problema della capillarità e della purgazione d’aria, che rendeva incerti molti dati antichi: il valore di 28 pollici francesi ammesso da Richer, Bouguer e La Condamine era ritenuto troppo basso perché “i loro barometri erano senza dubbio imperfettamente purgati d’aria , il che li faceva tener troppo bassi” (fr:3173/p.483).

La questione più dibattuta riguardava la variazione della pressione media con la latitudine. Riese, in una memoria del 1830, introduceva un argomento teorico forte: “l’equilibrio dell’intiera atmosfera in tutta l’estensione della superficie del globo terrestre , richiede che l’aria abbia per tutto una forza elastica uguale, il che suppone un’uguale pressione ; una differenza di elasticità non potrebbe aver luogo dall’ equatore al polo , senza cagionare una corrente generale d’aria” (fr:3184/p.484). Poiché la gravità cresce dall’equatore al polo, ne discende che la colonna barometrica, a parità di pressione, deve essere più alta dove la gravità è minore. La formula di correzione proposta è “b = … , e per la riduzione dell’altezza b che corrisponda ad una latitudine p a quella che dee aver luogo ad un’altra latitudine p’ , si avrà in generale b ∙ … ” (fr:3186-3187/p.484), e si valuta che la differenza complessiva tra equatore e polo sarebbe di poco più di tre millimetri (fr:3188/p.485). Tuttavia i dati osservativi sembravano contraddire questa previsione: Muncke, raccogliendo tutte le osservazioni note, concludeva che la pressione “cresce , in vece di decrescere coll’accrescimento della latitudine” (fr:3192/p.485), assegnando 760,22 mm all’equatore e 764,41 mm al polo – una differenza di circa 4 mm in senso opposto. Erman, invece, dalle stesse osservazioni deduceva che la pressione “è decrescente dall’equatore al polo” con un gradiente più rapido di quello dovuto alla sola gravità (fr:3194/p.486), e ipotizzava differenze fino a 9 mm su tutto l’arco latitudinale (fr:3195/p.486). Schouw tentò una sintesi introducendo un andamento non lineare: la pressione “va aumentando … sino a circa 30 gradi di latitudine ; ma che per le latitudini più elevate essa comincia al contrario a decrescere … sino alla latitudine di circa 65°, al di là della quale essa ricomincia a crescere di nuovo” (fr:3203/p.487). La sua tavola esemplificativa (fr:3206/p.488), qui riprodotta come appariva nell’originale con valori in linee e in metri, mostrava un massimo di 339,0 linee (0,7647 m) a 30° e un minimo di 333,0 linee (0,7512 m) a 65°, con un’escursione di circa 13 mm. La consapevolezza che queste altezze non fossero ancora vere pressioni atmosferiche è immediatamente successiva: Poggendorff, nella sua nota a Humboldt, faceva presente che le altezze barometriche andavano corrette per l’aumento della gravità, con una formula del tipo “b’ = b (1 – 0,0026 cos 2φ)” (fr:3213/p.489). Ne risultava che all’equatore la correzione era di –0,874 mm, cioè circa 2 mm in meno (fr:3214/p.489), sicché il valore di Schouw per l’equatore, 0,7602 m, diventava 0,758 m come pressione effettiva, mentre intorno a 45° la correzione era nulla (fr:3215/p.489). In tal modo, la differenza di pressione tra zone equatoriali e latitudini medie, già indicata da Herschell come una depressione di 5–7 mm (fr:3210/p.489), risultava accentuata, non attenuata.

Oltre alle variazioni su larga scala, il testo registra numerose anomalie locali, come la “valle atmosferica” di minor pressione costante tra il Baltico e la costa francese notata da De-Buch (fr:3221/p.490) o l’inversione rilevata da Erman tra Jakutzk e Ochozk, dove il barometro indica una pressione più alta in Siberia che sulla costa, benché il corso dei fiumi mostri che Jakutzk è molto più elevata (fr:3222/p.491). Per ridurre tali incertezze, veniva raccomandato di “usare ogni diligenza per avere barometri affatto comparabili tra loro” e di paragonarli direttamente con uno strumento di riferimento, come fece D’Hombres-Firmas con i barometri della Società Elvetica, confrontandoli con quello di Parigi (fr:3223/p.491).

Un’applicazione cruciale di queste ricerche riguarda l’influenza della pressione atmosferica sul livello medio del mare. Daussy, sulla base di 150 osservazioni a L’orient, trovò che “la differenza del livello sarebbe per una media uguale a 13,5 volte la differenza dell’altezza barometrica , contando l’una e l’altra dal livello e dall’altezza media , il livello del mare abbassandosi quando il barometro si eleva” (fr:3230/p.492). Separando l’effetto dei venti deboli, il fattore cresceva a 13,3, prossimo al rapporto teorico tra peso specifico del mercurio e acqua di mare (fr:3231/p.493). La discrepanza residua poteva dipendere da “che la pressione barometrica dee essere alquanto diversa sui diversi punti più o meno distanti della superficie d’uno stesso mare” (fr:3234/p.493) o dal fatto che il livello marino non risponde istantaneamente. Lubbock, al contrario, annunciò che a Londra le osservazioni di marea “non indicavano alcuna influenza barometrica” (fr:3237/p.493), suggerendo l’intervento di circostanze locali. Su scala planetaria, la minor pressione permanente all’equatore doveva produrre un “rigonfiamento annulare” dell’oceano (fr:3242/p.494), e le variazioni diurne della pressione avrebbero dovuto generare un’onda che attraversa l’oceano da levante a ponente (fr:3241/p.494). Malgrado ciò, il testo insiste nel dire che non si può ricavare una differenza di livello tra mari dalle sole misure barometriche, perché “per una parte la differenza di pressione atmosferica può avervi luogo, … e per l’altra questa stessa differenza di pressione dee cagionarvi una differenza di livello nelle acque del mare” (fr:3244/p.494). I livellamenti geodetici condotti fino a quel momento non avevano rivelato i grandi dislivelli sospettati: quello trigonometrico in Francia aveva dato l’Atlantico più alto del Mediterraneo di 0,88 m, ma Puissant, applicando il calcolo delle probabilità, concluse che “questa differenza potrebbe non esser dovuta che agli errori delle osservazioni” (fr:3247/p.495), e analogamente il livellamento geodetico attraverso l’istmo di Panama confermò l’assenza di una grande differenza tra Pacifico e Atlantico (fr:3248-3249/p.495).

Il testo, dunque, testimonia un momento di riorganizzazione del sapere fisico-geografico, in cui l’accumulazione di dati barometrici, la consapevolezza delle correzioni gravitazionali e il confronto con livellamenti geodetici cominciavano a dare forma a una visione globale dell’atmosfera e dei mari, pur tra incertezze che solo una metrologia più raffinata avrebbe potuto dirimere.

[16]

[16.1/2-105-3452|3555]

25 La legge di Mariotte e la macchina pneumatica: dalla verifica sperimentale ai limiti del vuoto

Il brano presenta la legge di Mariotte, le sue condizioni di validità e le deviazioni note, i procedimenti per ridurre i volumi gassosi a pressione costante e una dettagliata descrizione della macchina pneumatica – dai primi meccanismi a due chiavette fino ai perfezionamenti di Fortin e Ritchie – chiudendo con la misura della rarefazione e la consapevolezza dell’impossibilità di un vuoto perfetto.

Il testo muove dall’applicabilità della legge di Mariotte ai vapori, affermando che “la legge di Mariotte dee in generale applicarsi anche ai vapori de’ liquidi, finche la pressione , e la temperatura sono tali che essi possano mantenersi in questo stato di vapori” – (fr:3451/p.519). Tale estensione trova conferma nelle esperienze di Despretz a pressioni inferiori a quella atmosferica; tuttavia, “secondo le sopra citate sperienze di Oersted e di Despretz istesso sopra alcuni gaz suscettibili di condensarsi in liquidi ad una pressione un po’ forte , che perciò si debbono considerare come vapori di questi liquidi , parrebbe che questa legge fosse alquanto alterata nelle pressioni più vicine a quelle per cui i gaz o vapori si condensano in liquidi” – (fr:3452/p.519). Anche i lavori di Cagniard‑Latour sulla vaporizzazione sotto forti pressioni indicano alterazioni più estese, ma lo sviluppo è rinviato alla seconda parte dell’opera.

Poiché la legge è “ben provata dalla sperienza , non si ha più bisogno di verificarla , e si adopera come un fatto” – (fr:3453/p.520), il testo mostra come essa serva quotidianamente per calcolare volumi e per “ridurre ad una pressione costante i volumi d’aria osservati sotto diverse pressioni” – (fr:3453/p.520), operazione “necessaria in un gran numero di esperienze” – (fr:3454/p.520). La riduzione può essere effettuata sperimentalmente immergendo il tubo o il recipiente nel mercurio “sinché il livello interiore uguagli il livello esteriore” – (fr:3457/p.520); in tal caso il volume “sarà esattamente definito purché si indichi nello stesso tempo la sua temperatura , e l’altezza p del mercurio nel barometro ; oppure si potrà anche ridurre col calcolo ad una pressione costante , per esempio a quella di 0m,76” – (fr:3458/p.520). Quando l’esperienza diretta è impossibile – ad esempio perché il tinello non è abbastanza profondo – si ricorre al calcolo misurando lo spazio x occupato dal gas, l’altezza h del vertice del tubo sul serbatoio e la pressione atmosferica p (fr:3460/p.520). La frase “nella nostra equazione fondamentale … tutto è conosciuto , fuorché v ; … in questo caso la pressione sostenuta dal volume x osservato , essendo p—(h—x) , cioè uguale alla pressione esterna meno l’altezza della colonna di mercurio nel tubo , per ridurre questo volume a quello che avrebbe luogo sotto la pressione esterna p, conviene moltiplicarlo pel rapporto delle pressioni, preso inversamente” – (fr:3461/p.521) compendia il metodo. Per recipienti non cilindrici occorre che siano “diviso in parti di capacità uguali e conosciute” – (fr:3462/p.521), mentre operando con acqua la colonna interna va divisa per 13,6, benché normalmente “quando si opera sopra un tinello pieno d’acqua si può stabilire il livello per esperienza , e ciò evita ogni riduzione” – (fr:3464/p.521). La riduzione finale a 0m,76 si esegue con la formula V·p / 0,76 (fr:3465/p.521). Tutto questo vale a temperatura costante: “qualunque sia la temperatura , purché essa sia costante , se si sottopone una stessa massa d’aria o di gaz a pressioni diverse, i volumi che essa occupa sono sempre sensibilmente in ragion inversa di queste pressioni” – (fr:3470/p.522).

Dopo avere inquadrato la legge come applicazione della meccanica dei fluidi elastici, l’autore ritiene indispensabile illustrare “una macchina di cui la costruzione è fondata sulla stessa legge , ma che è di un grandissimo uso presso i Fisici” – (fr:3475/p.522): la macchina pneumatica, seguendo in gran parte l’esposizione di Biot (fr:3477‑3478). Il fondamento è “la forza elastica dell’aria stessa , per la quale essa tende a dilatarsi quando gli si apre una comunicazione con uno spazio vacuo” – (fr:3479/p.523). Nel dispositivo iniziale (fig. 61) un recipiente O munito di chiavetta R è connesso a un cilindro con stantuffo; una seconda chiavetta R’ regola il passaggio con l’esterno. La sequenza operativa è così descritta: “le cose essendo cosi disposte , e la chiavetta R essendo chiusa, si apra la chiavetta R’, e si abbassi lo stantuffo PP sino in AB. L’aria contenuta nella capacità interna del cilindro uscirà per la chiavetta R’; si chiuda allora questa chiavetta , e si apra al contrario quella del recipiente. Se ora si eleva di nuovo lo stantuffo si formerà un vacuo sotto di esso … Per conseguenza l’aria contenuta nel recipiente O si dilaterà … e passerà in parte nella canna” – (fr:3482‑3485). L’operazione va poi ripetuta molte volte (fr:3489/p.523).

Per semplificare, le due chiavette possono ridursi a una sola con un foro laterale (fig. 62, fr:3491‑3492) oppure si adottano animelle, ma il meccanismo più vantaggioso è quello di Fortin (fr:3495/p.524). In esso (fig. 63) “lo stantuffo è attraversato da una spranga d’ottone … lungo la quale esso monta e discende … porta alla sua estremità inferiore un turacciolo b, che essa va ad applicare precisamente all’orifizio o, per cui la canna comunica col recipiente” – (fr:3498‑3499). La spranga si ferma contro il fondo, lo stantuffo prosegue con fregamento, e l’orifizio rimane opportunamente aperto o chiuso. Una versione ancora più perfezionata sostituisce il turacciolo mobile con “una lamina d’ottone che scorrendo sotto al fondo della canna, vi porta , e ne ritira alternativamente un foro che dà la comunicazione della canna col recipiente” – (fr:3507/p.525). Quando è necessario un ampio spazio di lavoro, si adopera un tubo ricurvo con piano orizzontale (fig. 64) su cui si posa una campana; un poco d’olio o una sostanza grassa ne assicura la tenuta, ma “è bene tener la campana compressa contro il piano ne’ primi istanti dell’operazione … dopo alcuni colpi di stantuffo , questa pressione diviene inutile , perché quella dell’atmosfera vi supplisce” – (fr:3512/p.525). Per esperienze su sostanze, queste si pongono direttamente sul piano e si ricoprono con la campana (fr:3514/p.526); per recipienti a collo stretto si utilizza una vite K1 (fr:3515/p.526).

La fatica dell’operatore cresce man mano che l’aria interna si rarefà perché lo stantuffo è premuto dal basso con forza minore; tuttavia “si è felicemente imaginato d’impiegare questa seconda potenza per aiutar l’altra … facendo muovere contemporaneamente per mezzo d’una ruota dentata le spranghe parallele di due stantuffi, di cui l’uno ascende , mentre l’altro discende” – (fr:3517‑3519, fig. 65). Così la pressione atmosferica che spinge verso il basso uno stantuffo equilibra esattamente la resistenza che oppone l’altro, e “non si ha mai altro sforzo da fare, che quello che si richiede per vincere i fregamenti” – (fr:3520/p.526).

Ritchie propose in seguito una disposizione che elimina l’animella tra recipiente e tromba (fr:3521‑3522). In questo schema (fig. 66) la canna è chiusa al fondo, lo stantuffo scorre tra due basi e il vuoto si produce chiudendo e aprendo un foro superiore E: “il vacuo si produce facendo giuncare lo stantuffo tra le due basi della tromba contro le quali esso viene ad appoggiarsi esattamente” – (fr:3526/p.527). Con successive corse, l’aria del recipiente viene a più riprese estratta ed espulsa. Lo stesso Ritchie ideò un sistema per muovere gli stantuffi con moto rotatorio continuo mediante ruote dentate a metà spessore, in cui “i denti della prima ruota addentrandosi dapprima tra quelli della verga , elevano lo stantuffo … allora i denti della seconda ruota la colgono , e la fanno discendere” – (fr:3534/p.528). Altre costruzioni, come quelle di Stiles e di Lowenthal, sfruttano il fregamento della verga per operare il vuoto sia al di sopra sia al di sotto dello stantuffo (fr:3536‑3537). In generale, si cerca di evitare “i piccoli spazi che potessero rimanervi , sui quali il vacuo prodotto dallo stantuffo non potesse agire” – (fr:3538/p.528).

Per misurare il grado di rarefazione raggiunto si adatta un tubo barometrico vuoto in comunicazione con il recipiente (fig. 67): “a misura che si fa il vacuo nel recipiente , il mercurio si eleva nel tubo … la densità dell’aria nel recipiente starà a quella dell’aria esterna, come p—h a p” – (fr:3542‑3444). Un manometro alternativo (fig. 68) consiste in un tubo ricurvo chiuso e pieno di mercurio, il cui ramo aperto è posto nel recipiente: quando la forza elastica interna diviene insufficiente a sostenere l’intera colonna, “l’eccesso del suo livello sopra quello dell’altro ramo … dà la misura della pressione che l’aria interna sostiene ancora” – (fr:3547/p.529).

Il calcolo teorico dell’esaurimento mostra che, indicando con R il volume del recipiente e con T quello della canna, dopo n colpi la quantità residua di aria è espressa dalla progressione geometrica R/(R+T)ⁿ. Di conseguenza “non si potrà mai fare perfettamente il vacuo , qualunque sia il numero di colpi di stantuffo che si danno ; poiché la frazione … va sempre diminuendo … ma non può mai divenir nulla eccetto che n sia infinito” – (fr:3552/p.530). Nella pratica, tuttavia, anche le macchine meglio costruite non raggiungono neppure un vuoto insensibile, e “ciò dipende da molte cause fisiche … Tra queste cause bisogna annoverare in primo luogo i vapori acquei che si sviluppano nell’apparecchio stesso , e che emanano dalle pareti del recipiente, e delle canne, a misura che l’aria vi si rarefa” – (fr:3554‑3555).

[16.2/2-104-3556|3659]

26 La rarefazione, la compressione e la misura dell’aria: macchine e procedimenti sperimentali in un trattato scientifico

Il testo esamina gli strumenti e i metodi impiegati per agire sull’aria – rarefacendola o condensandola – e per misurarne le proprietà, muovendo dal funzionamento della macchina pneumatica fino ai gazometri, e chiudendo con un accenno alle conseguenze della legge di Mariotte sull’atmosfera.

Nella pratica sperimentale, il vuoto perfetto non è raggiungibile né necessario. Il rendimento della macchina pneumatica è limitato da diversi fattori: “Bisogna aggiungere il fregiamento delle animelle, lo sforzo che bisogna fare per sollevarle, e il difetto della loro giunzione, che non può mai essere perfetta.” – (fr:3556/p.531). Queste imperfezioni si oppongono all’ulteriore rarefazione quando l’elasticità dell’aria residua non è più sufficiente a superarli. Tuttavia, “Fortunatamente un vacuo perfetto non è mai necessario.” – (fr:3558/p.531). È sufficiente rarefare l’aria fino a un grado elevato; il barometro accoppiato alla macchina indica la quantità d’aria ancora presente, e con il calcolo si correggono gli errori che ne deriverebbero nelle deduzioni sperimentali. In una buona macchina pneumatica la pressione residua nel recipiente si riduce a uno o due millimetri di mercurio, e in quelle più perfette anche meno; se la chiavetta è ben lavorata, chiudendola si può mantenere il vuoto con la stessa esattezza per un tempo indefinito.

Il testo mostra poi come la macchina stessa serva a confermare le proprietà dell’aria. Il suo effetto dimostra l’elasticità: l’aria si rarefà nel recipiente proprio perché, dilatandosi, passa a riempire il vuoto lasciato dallo stantuffo, mantenendo la densità uguale nel recipiente e nella canna. Altre esperienze rendono visibile questa elasticità: una vescica flaccida, posta sotto il recipiente e ben legata, si gonfia man mano che si fa il vuoto attorno ad essa, poiché l’aria al suo interno si espande per portarsi in equilibrio con l’aria rarefatta esterna; reintrodotta l’aria, la vescica torna flaccida. Similmente, una bolla d’aria lasciata sul fondo di un fiasco pieno d’acqua e rovesciato in un vaso d’acqua, sotto vuoto, cresce di volume spingendo fuori l’acqua, per poi ridursi a bolla quando si restituisce l’aria nel recipiente. Tali esperienze, variabili all’infinito, “danno luogo a molti giuochi di fisica, che si intenderanno facilmente, per mezzo di quello che precede, ogni qual volta se ne saranno veduti gli apparecchi.” – (fr:3566/p.532).

Un altro fenomeno mostrato dalla macchina è la pressione atmosferica. Un recipiente a larga apertura applicato al piatto della macchina vi aderisce con forza crescente man mano che si toglie l’aria, senza bisogno di pressione esterna; quando il vuoto è spinto al massimo, l’adesione è così forte che separare il recipiente senza romperlo diventa impossibile. L’effetto è spiegato dal peso della colonna d’aria che preme sul recipiente contro il piatto, non più controbilanciato dall’elasticità dell’aria interna. La campana non si schiaccia solo grazie alla sua forma convessa, in cui le parti si sostengono a vicenda. L’effetto della pressione è reso più spettacolare dagli emisferi di Magdeburgo: due calotte di ottone dagli orli ben spianati, eventualmente con un anello di cuoio bagnato, formano una sfera cava. Applicato uno degli emisferi alla macchina tramite un tubo con chiavetta, si fa il vuoto all’interno; chiusa la chiavetta e staccati dalla macchina, “se essi sono d’una assai grande dimensione, nissuna forza potrà più disgiungerli l’uno dall’altro” – (fr:3572/p.533). La forza richiesta per separarli è proporzionale alla loro dimensione, cioè alla base della colonna atmosferica che li comprime. Questi emisferi “si dicono di Magdeburgo, perché inventati a Magdeburgo in Allemagna da Ottone Guericke, a cui si attribuisce pure l’invenzione della macchina pneumatica stessa.” – (fr:3574/p.533).

Una delle applicazioni più utili della macchina pneumatica è la possibilità di pesare direttamente un volume d’aria per determinarne il peso specifico. Il procedimento, qui descritto solo in generale, consiste nel pesare un pallone di vetro munito di chiavetta dapprima aperto nell’aria libera, ottenendo un peso P (pari al vetro meno l’aria spostata), e poi dopo avervi fatto il vuoto, ottenendo un peso P′ minore. La differenza P−P′ corrisponde al peso dell’aria contenuta nel pallone, purché temperatura e pressione atmosferica restino esattamente costanti e il vuoto sia perfetto. Tuttavia, queste condizioni non sono mai pienamente realizzabili: residui d’aria, variazioni di pressione e temperatura, e la presenza di vapor acqueo alterano la misura. Con le opportune correzioni, il testo riporta un risultato di riferimento: “alla temperatura del ghiaccio fondente, cioè a zero del termometro e sotto la pressione atmosferica equivalente a 0m,76 di mercurio, un litro d’aria atmosferica secca alla latitudine di 45°, e al livello del mare pesa ιKraιn j2q907 5” – (fr:3588/p.534), da cui si ricava per un centimetro cubo un peso di 0,001299075 grammi. Il rapporto tra il peso specifico dell’aria secca e quello dell’acqua distillata a 0° fornisce il valore 0,0012991724; l’aria risulta quindi circa 769,78 volte meno densa dell’acqua. Il confronto con il mercurio, di cui un centimetro cubo a 0° pesa 13,59719 grammi, dà un rapporto di circa 1 a 10466,82, ossia il mercurio ha un peso specifico oltre diecimila volte maggiore di quello dell’aria.

Il testo introduce poi la macchina condensatoria, che invece di rarefare l’aria la comprime. Il meccanismo è basato su uno stantuffo solido che scorre in una canna con due animelle disposte in modo tale che, alzando lo stantuffo, l’aria esterna entra nella canna mentre l’aria del recipiente non può uscire, e abbassandolo l’aria viene spinta nel recipiente senza poter tornare indietro. Ripetendo il movimento, si introducono nel recipiente volumi d’aria successivi. Per comodità si usa un cilindro di vetro spesso chiuso da piani di ottone uniti da spranghe e viti, e circondato da una graticola di protezione contro il rischio di scoppio. Il grado di condensazione è misurato con un manometro a mercurio: un tubo ricurvo con un ramo chiuso contenente aria secca. Durante la condensazione, il mercurio sale nel ramo chiuso comprimendo quell’aria, e la differenza di livello permette, tramite la legge di Mariotte, di calcolare la pressione interna. Se all’inizio la forza elastica dell’aria rinchiusa era p−a (con a dislivello iniziale e p pressione esterna), dopo la compressione, con nuovo dislivello b e volume ridotto K, la pressione nel recipiente è “b+(p-a)•(K/K’)” – (fr:3616/p.537). La densità attuale, prendendo come unità quella iniziale, è espressa da “b/p + (p−a)/p • (K/K’)” – (fr:3616/p.537). Con questo tipo di macchina si condensano aria nei palloni da gioco, negli schioppi a vento, e nelle fonti di compressione in cui l’aria spinge l’acqua in un getto. L’effetto della compressione si ottiene anche con una colonna di liquido: è il caso della campana del palombaro, dove un uomo può scendere sott’acqua; l’aria all’interno è compressa dalla colonna d’acqua soprastante, e l’uomo vi sperimenta particolari affezioni dovute all’aumento di pressione.

Segue una trattazione estesa dei gazometri, strumenti destinati a produrre correnti continue di gas a pressione regolabile e a misurarne il volume erogato. Il primo modello descritto è attribuito a Lavoisier e Meusnier: una campana metallica sospesa a una bilancia e immersa nell’acqua di un vaso esterno; aggiungendo pesi si esercita una pressione sul gas contenuto, che fuoriesce da un tubo con chiavetta. La pressione è mantenuta pressoché costante grazie a una lente pesante scorrevole lungo una leva, il cui momento crescente compensa la resistenza opposta dall’acqua man mano che la campana si immerge. La pressione è indicata da due tubi di vetro comunicanti con l’acqua del vaso e con l’interno della campana, la cui differenza di livello fornisce la misura. Il volume erogato si ricava dall’abbassamento della campana, misurato su un arco graduato e tarato preliminarmente con fiaschi di capacità nota, riducendo poi i volumi a pressione e temperatura costanti (temperatura rilevata da un termometro interno). Questo gazometro, sebbene complesso, può fungere anche da recipiente per raccogliere gas.

Più semplice è il gazometro basato sul principio della caduta d’acqua. Un vaso superiore A, chiuso superiormente con un tubo TH che pesca fino a una certa altezza dal fondo, lascia cadere acqua in un vaso inferiore B pieno di gas. Finché la superficie dell’acqua in A non scende sotto l’imboccatura di TH, l’efflusso è costante: l’acqua sopra tale livello è sostenuta dalla pressione atmosferica che agisce sulla colonna nel tubo TH, e non contribuisce alla velocità di uscita. Di conseguenza, il gas spinto fuori da B forma una corrente continua di rapidità uniforme. Ricevendo il gas in un recipiente C munito di tubo di scarico per l’acqua, la corrente non subisce resistenze che ne alterino la velocità, poiché la pressione nel vaso C è determinata dalla pressione del gas in arrivo e il punto di immissione h è allo stesso livello dello scarico o. Disponendo due sistemi simili in serie, si può far passare il gas da un gazometro all’altro, sottoponendolo ripetutamente a operazioni fisiche o chimiche. In tutti questi apparecchi, la rapidità della corrente dipende dalla distanza verticale tra l’apertura di adduzione dell’acqua e l’estremità inferiore del tubo nel vaso superiore: “diminuendola si ritarda la corrente, aumentandola si accelera.” – (fr:3656/p.545).

L’ultima sezione introduce l’Articolo Secondo, dedicato alle conseguenze della legge di Mariotte per il decrescimento della densità dell’atmosfera con l’altezza. Il testo qui si interrompe dopo aver ricordato che tutto quanto esposto sinora si riferisce a fenomeni osservati al livello del mare, con una pressione media di circa 0,76 m di mercurio e la densità corrispondente.

[17]

[17.1/1-126-3707|3832]

27 Dalla pressione atmosferica alla dinamica dei gas: la legge di Mariotte, le sue basi fisiche e il moto effusivo

Un’indagine ottocentesca che, partendo dalla progressione della densità atmosferica, giunge a discutere le forze repulsive molecolari, la condizione di uguaglianza di temperatura e le leggi sperimentali dell’efflusso dei fluidi aeriformi attraverso condotti.

Il testo si apre illustrando la progressione geometrica che governerebbe pressioni e densità nell’atmosfera supposta a temperatura uniforme. “E la stessa progressione si applicherebbe alle densità, cosicché chiamando 1 la densità che ha luogo al livello del mare, questa densità diverrebbe 0,998744 a 10 m d’altezza, (0,998744)² a 20 m, ecc.” – (fr:3708/p.553) [E la stessa progressione si applicherebbe alle densità, cosicché, chiamando 1 la densità al livello del mare, questa diventerebbe 0,998744 a 10 m, (0,998744)² a 20 m, ecc.]. Per intervalli di 100 m il rapporto diviene 0,98761 (essendo (0,998744)^10) e per intervalli di 1 km esso vale 0,8819, “onde verrebbe la densità a diminuirsi di circa 12 centesime dalla superficie della terra all’altezza d’un chilometro” (fr:3711/p.554). Poiché la temperatura diminuisce con la quota, la legge reale si discosta da una progressione geometrica, ma è necessario chiarire la supposizione più semplice prima di affrontare quella complicata (fr:3712/p.554).

Se la legge di Mariotte si estendesse fino all’infinito nella rarefazione, l’atmosfera non avrebbe alcun limite d’altezza, divenendo sempre più rara senza mai ridursi a zero (fr:3713/p.554). Tuttavia l’indivisibilità fisica delle molecole integranti impone un confine: l’ultimo strato sarebbe quello in cui la pressione è così bassa che, per produrla, sono necessarie tutte le molecole dello strato stesso, senza poterle ulteriormente separare. “In questo punto adunque queste molecole che compongono l’ultimo strato sarebbero in equilibrio tra la forza ripulsiva … ed il loro proprio peso; e l’atmosfera finirebbe così con quello strato.” – (fr:3715/p.555). Non si può precisare a quale altezza ciò avvenga, poiché si ignora la massa assoluta delle molecole e il loro numero nei due gas che compongono l’aria (fr:3716/p.555). Questa considerazione viene contrapposta all’ipotesi di Poisson, che faceva liquefare l’aria per freddo intensissimo nelle alte regioni, idea che all’autore “pare non potersi conciliare colle idee che i principii conosciuti ci suggeriscono” (fr:3717‑3718). L’ultimo strato, pur essendo gassoso e costituito da molecole che si respingono, sarebbe privo di elasticità per estendersi in altezza, comportandosi quasi come un liquido (fr:3719/p.555).

Il discorso prosegue con l’Articolo Terzo – Della cagion fisica della legge di Mariotte (fr:3721/p.556). Ci si domanda se la legge sia rigorosamente vera a qualunque densità e rarefazione (fr:3722/p.556). Per rispondere occorre indagare le forze che animano le molecole dei gas. Nello stato gassoso le attrazioni tra molecole ponderabili sono trascurabili, come dimostra il fatto che la legge di Mariotte è comune a tutti i gas; se vi fosse attrazione, essa varierebbe da un gas all’altro e modificherebbe la legge (fr:3724‑3725). Anche le forze attrattive del calorico accumulato attorno a ciascuna molecola ponderabile vanno escluse: ogni molecola trattiene il proprio calorico, ma le «sfere» caloriche non esercitano attrazione sensibile sulle altre molecole ponderabili (fr:3726‑3727). Resta così, per l’equilibrio, soltanto la forza ripulsiva che il calorico delle une esercita su quello delle altre e la pressione esterna (fr:3728/p.557). L’esperienza mostra che, a temperatura costante, il volume di una data massa gassosa è inversamente proporzionale alla pressione; ciò significa che la distanza media tra le molecole deve essere inversamente proporzionale alla radice cubica della pressione (fr:3729/p.557).

Newton osservò per primo che, se la ripulsione agisce soltanto tra molecole contigue, per soddisfare la legge di Mariotte la forza repulsiva a parità di temperatura deve stare in ragione inversa della semplice distanza, ossia della radice cubica del volume. “Newton ha osservato il primo, che non considerando questa forza ripulsiva se non tra le molecole immediatamente attigue … la legge di cui si tratta suppone che a temperature uguali due molecole … si rispingono con una forza che è in ragion inversa della semplice distanza delle stesse molecole” – (fr:3731/p.557). Comprimendo un gas a un ottavo del volume, la densità diventa 8 volte maggiore, il numero di molecole che agiscono su una superficie aumenta come il quadrato della radice cubica (ossia 4 volte), mentre la distanza si dimezza e la forza per molecola deve raddoppiare per rendere la pressione complessiva 8 volte più grande; dunque la tensione risulta inversamente proporzionale alla distanza (fr:3732‑3734). L’elasticità cresce così con la pressione perché il numero di molecole agenti aumenta come (p)^(2/3) e la loro forza repulsiva come (p)^(1/3), prodotto che dà proporzionalità diretta (fr:3735/p.558).

Tuttavia questo ragionamento ipotizza che ciascuna molecola respinga soltanto quelle immediatamente vicine, mentre è più naturale ammettere che la ripulsione si estenda a una certa distanza, per quanto piccola, coinvolgendo molte molecole circostanti (fr:3736/p.558). Ampère (1815) affrontò il problema in questo quadro: suppose che la forza repulsiva divenga insensibile a una distanza sensibile e che l’uguaglianza di temperatura consista nel fatto che “le particelle poste a ugual distanza esercitino sempre la stessa forza ripulsiva”. In tal caso, la legge di Mariotte diventa una conseguenza necessaria. Diviso un cilindro di gas in rotelle infinitamente sottili parallele alla base, tutte le particelle di una stessa rotella esercitano la medesima ripulsione sul piano. Quando il gas viene compresso, il numero di particelle in ciascuna rotella aumenta nello stesso rapporto della densità, mentre la loro distanza dal piano non cambia; perciò la pressione totale cresce esattamente come la densità (fr:3746‑3748). “Se dunque supponiamo che l’uguaglianza di temperatura … consista in che le particelle poste a ugual distanza esercitino sempre la stessa forza ripulsiva, … la ripulsione totale … è aumentata nel rapporto del numero delle particelle comprese in un volume dato, il che è appunto la relazione indicata dalla legge di Mariotte.” – (fr:3748/p.561).

L’autore rileva però un difetto: il ragionamento sottintende che il piano contro cui le molecole spingono sia composto di molecole sempre identiche, mentre, secondo lo stesso Ampère, la pressione dovrebbe essere calcolata come se il piano fosse uno strato del gas medesimo. Raddoppiando la densità si raddoppia anche il numero di molecole nello strato-parete, il che quadruplicherebbe la ripulsione totale se la forza per molecola a ugual distanza restasse invariata. Affinché la pressione diventi solo doppia — come vuole l’esperienza — occorre che l’uguaglianza di temperatura richieda che la forza repulsiva di una molecola sull’altra sia, nello stato più denso, la metà di prima, cioè risulti inversamente proporzionale alla radice quadrata della densità (fr:3750‑3755). Questa correzione spiega anche lo svolgimento di calore che accompagna la condensazione: per mantenere la stessa temperatura, la quantità di calorico per punto materiale deve essere essa stessa inversamente proporzionale alla radice quadrata della densità, mentre nella formulazione originaria di Ampère non si vedeva perché una molecola dovesse cedere calorico (fr:3756‑3757).

Un ulteriore vizio è l’ipotesi di continuità della massa gassosa, che in natura non sussiste. Il metodo delle rotelle sottili esige che ciascuna abbia uno spessore almeno pari alla distanza iniziale fra le molecole, altrimenti, aumentando la densità, un numero sensibile di molecole passerebbe da una rotella all’altra. Con l’ausilio di una figura (Fig. 75), il testo mostra che se lo spessore in cui la forza repulsiva si può ritenere costante è metà della distanza tra gli strati molecolari, una compressione di 8 volte conserva ancora l’applicabilità del ragionamento di Ampère, perché tutti i nuovi strati intermedi rimangono entro i limiti di costanza. Ma per una compressione di 27 volte alcuni strati cadono fuori da tali limiti e la ripulsione totale cresce più che in proporzione della densità (fr:3761‑3777). In generale, più piccolo è l’intervallo di forza costante rispetto alla distanza iniziale, tanto minore è la condensazione che fa emergere lo scarto. Siccome la forza repulsiva in realtà aumenta per ogni minima diminuzione di distanza, qualunque compressione dovrebbe produrre un incremento di ripulsione maggiore di quello proporzionale alla densità, a meno che l’intervallo di forza costante non sia ampio almeno quanto la distanza iniziale, ipotesi giudicata priva di probabilità (fr:3780‑3781). Conseguentemente, se si vuole tener conto della discontinuità, l’uguaglianza di temperatura non può consistere in una semplice proporzionalità inversa rispetto alla radice quadrata della densità, ma deve subire un’alterazione ancora ignota, probabilmente diversa da gas a gas (fr:3782/p.566).

La legge di Mariotte fornisce soltanto la condizione che l’uguaglianza di temperatura in un gas a diverse densità si ha quando la forza elastica rimane proporzionale alla densità, ovvero al numero di molecole in un dato spazio (fr:3783/p.566). Da questa condizione non è possibile dedurre a priori la quantità di calorico che si deve svolgere durante la condensazione, perché rimane incognita la legge di diminuzione della forza repulsiva con la distanza (fr:3784/p.566). In sostanza, le considerazioni di Ampère così modificate non spiegano la legge di Mariotte a partire da un’ipotesi preesistente su ciò che costituisce l’uguaglianza di temperatura; conducono piuttosto a una condizione di equilibrio che non ha nulla di improbabile (fr:3785/p.566).

Un modello più preciso viene introdotto mediante una seconda figura (Fig. 76): un piano AB separa due porzioni dello stesso gas a diversa densità, impedendo il riequilibrio della densità ma lasciando libero il calorico. La temperatura è uguale quando cessa il flusso di calorico, ossia quando la forza con cui le molecole del gas D respingono il calorico di C eguaglia quella con cui C respinge il calorico di D sulla superficie di separazione (fr:3786‑3787). Questa concezione dell’uguaglianza di temperatura come equilibrio di forze caloriche viene utilizzata per fissare le idee, pur ammettendo che in una teoria più completa si dovrebbe parlare di scambi di calorico o di vibrazioni (fr:3788‑3789). In tale ipotesi, la temperatura è uniforme quando le forze elastiche dei due gas sono proporzionali alle loro densità; se ciò non si verifica, il calorico si sposta fino a che la condizione è soddisfatta (fr:3790/p.567). L’attrazione delle molecole per il calorico gioca un ruolo diverso nella pressione e nell’equilibrio termico, potendo compensare le disuguaglianze di repulsione dovute alla densità (fr:3791/p.568).

L’autore si domanda quindi se la legge di Mariotte, con tale quadro, sia rigorosamente esatta a qualsiasi densità. Tutto il ragionamento suppone che la forza repulsiva divenga nulla o insensibile a una distanza sensibile, per quanto piccolissima. Se la ripulsione fosse ancora sensibile a distanza finita, la condizione di costanza di temperatura non permetterebbe una verifica esatta della legge sulla pressione di un piano finito. Poiché è improbabile che la ripulsione si annulli del tutto a una data distanza, ma piuttosto decresca in modo continuo divenendo fisicamente trascurabile, la legge di Mariotte può essere solo sensibilmente esatta, e tanto più quanto più trascurabili sono le forze a distanza rispetto a quelle a corto raggio che dominano alle densità ordinarie (fr:3794‑3796). A pressioni e densità crescenti la legge dovrebbe diventare ancor più precisa, fino al passaggio allo stato liquido, mentre a pressioni e densità molto basse dovrebbero manifestarsi deviazioni sensibili, perché le forze a distanza diventano comparabili a quelle attuali (fr:3797‑3798). Se la ripulsione fosse matematicamente nulla a una distanza determinata, la legge di Mariotte cesserebbe bruscamente quando la distanza molecolare raggiungesse quel valore, ma ciò è giudicato improbabile; piuttosto la legge si allontana gradualmente dalla proporzionalità senza mai annullare completamente l’elasticità (fr:3799‑3800). Inoltre la stessa condizione di uguaglianza di temperatura potrebbe essere solo approssimata, rendendo ancora più incerto il comportamento dei gas al di fuori dei limiti esplorati con gli strumenti disponibili; si auspica pertanto una nuova serie di esperienze condotte con la massima esattezza possibile (fr:3801/p.570). La legge di Mariotte e le congetture sulla temperatura si connettono necessariamente con le proprietà termiche dei gas, che verranno trattate in seguito (fr:3802/p.570).

Il testo introduce poi il Capo Secondo – Delle leggi del moto de’ fluidi aeriformi, e particolarmente delle loro vibrazioni sonore (fr:3803/p.571). Dopo le conseguenze statiche (equilibrio), si passa a quelle dinamiche: il moto effusivo e le vibrazioni sonore. La prima sezione riguarda il moto dei fluidi aeriformi nell’uscire da vasi attraverso aperture anguste (fr:3811‑3812).

Le esperienze di Banks (1800) avevano mostrato che “l’efflusso dei fluidi compressibili per orifizii in sottili pareti … è prossimamente sottoposto alla stessa legge che si stabilisce nell’idrodinamica pei fluidi incompressibili”, sostituendo all’altezza di colonna liquida quella di una colonna dello stesso gas alla densità del vaso; anche la contrazione della vena fluida risulta simile, con un coefficiente di circa 0,61 (fr:3814‑3816). Le misure di Faraday (1817) su condotti angusti non avevano portato a risultati precisi (fr:3818/p.573). Più sistematiche furono le ricerche di Girard (1819), condotte insieme a Cagniard-Latour, sfruttando il gas di illuminazione dell’ospedale di Saint-Louis a Parigi. Il gas era contenuto in un gasometro a una pressione pari all’atmosfera più una colonna d’acqua di 33,85 mm e fluiva in un tubo di 81 mm di diametro e 23 m di lunghezza, che poteva essere aperto in punti diversi per simulare lunghezze variabili (fr:3819‑3824). “In tre prime sperienze sull’efflusso del gaz idrogeno carbonato, le lunghezze del tubo di condotta essendo come i numeri 1288, 8758, e 6228, le quantità di gaz uscito furono come i numeri 1281, 710, e 541, d’onde si conchiude che … i prodotti ne diminuiscono a misura che le lunghezze dei tubi … divengono più considerevoli” – (fr:3825/p.573). Lo stesso andamento si osservò per l’aria atmosferica, con valori 902, 541, 394 (fr:3826/p.574). Sostituendo il condotto con canne da fucile (diametro interno di 15,79 mm), la portata per unità di sezione diminuiva ulteriormente, palesando l’effetto dell’attrito con le pareti (fr:3827/p.574). Girard trovò inoltre che l’uscita da un semplice orifizio in parete sottile era circa 11 volte maggiore di quella ottenuta con un tubo di pari diametro lungo 127 m (fr:3828‑3829). Ne dedusse che la resistenza delle pareti si trasmette a tutta la massa in moto attraverso l’aderenza degli strati concentrici, cosicché “uno strato qualunque sia rallentato dallo strato che gli è attiguo dalla parte della parete, e accelerato da quello che gli è attiguo andando verso l’asse del tubo” (fr:3830/p.574). Dalle sue formule, la quantità di gas erogata risulta direttamente proporzionale alla radice quadrata della pressione e alla radice quadrata della quinta potenza del diametro (∼d^(5/2)), e inversamente proporzionale alla radice quadrata della lunghezza; la velocità media, di conseguenza, cresce con la radice quadrata del diametro e decresce con la radice quadrata della lunghezza (fr:3831/p.575). Esperienze successive di Lagerhjelm in Svezia, relazionate da Girard nel 1822, confermarono queste tendenze (fr:3832/p.575).

[18]

[18.1/1-105-4333|4437]

28 Il meccanismo delle onde sonore e la teoria degli strumenti a fiato: sovrapposizione, nodi e ventri in tubi chiusi

Il testo espone un’analisi dettagliata della generazione e propagazione delle onde sonore, con particolare attenzione alla dinamica delle vibrazioni in una colonna d’aria contenuta in un tubo, come avviene negli strumenti a fiato. L’autore procede per modelli successivi: dapprima descrive il moto di una superficie piana vibrante, poi estende il ragionamento alla sovrapposizione di onde in un condotto cilindrico, fino a dedurre la serie dei suoni possibili in un bordone (tubo chiuso a un’estremità) e le proprietà che permettono di comprendere anche i tubi aperti.

L’indagine prende avvio immaginando una superficie piana che vibri perpendicolarmente a una colonna d’aria, con escursioni comprese tra i limiti CC, e un tempo brevissimo T per passare da un estremo all’altro:

“Supponiamo che il corpo sonoro sia una superficie piana, che vibri perpendicolarmente a questa colonna , cosicché CC, CC rappresentino i limiti delle sue escursioni , e indichiàrtió eon T il tempo brevissimo , che essa impiega a passare da una di queste posizioni all’altra.” – (fr:4333/p.643)

Si suddivide idealmente l’estensione totale AA’ delle vibrazioni in infinite lamine d’aria scosse l’una dopo l’altra. Se la superficie si fermasse subito dopo il primo urto, si produrrebbe un’onda sonora di lunghezza insensibile che si propagherebbe con la velocità ordinaria del suono a; una particella a distanza x verrebbe scossa dopo un tempo t = x/a e la scossa durerebbe un istante infinitamente piccolo (fr:4334/p.643-4338/p.644). Tuttavia, poiché nei suoni udibili la velocità delle parti vibranti è piccolissima rispetto a quella del suono – confronto che si può fare usando il numero di vibrazioni per secondo e la velocità del suono determinata in precedenza – quando la superficie giunge alla seconda lamina, l’agitazione prodotta dalla prima onda è già cessata e la lamina si trova in riposo (fr:4339-4340/p.644). In tal modo ogni lamina è urtata come se fosse la prima, generando una successione di ondulazioni indipendenti che si propagano l’una dietro l’altra (fr:4341/p.644).

Dopo un tempo T la superficie raggiunge l’estremo A’ e parte l’ultima ondulazione. L’epoca a cui essa arriva a una particella a distanza x dall’origine A si ottiene considerando l’intervallo AA’ = ω e applicando la formula generale dello spazio percorso dal suono, giungendo a un tempo t’ = T + (x−ω)/a. Sottraendo il tempo t = x/a della prima ondulazione, si trova la durata durante la quale una stessa particella è agitata dalla serie di ondulazioni eccitata da una vibrazione intera (fr:4342/p.644-4346/p.645). Se l’estensione ω è molto piccola, questa durata si riduce semplicemente a T, la durata della vibrazione stessa (fr:4347/p.645). La lunghezza complessiva dell’onda sonora composta – indicata con α –, ottenuta come differenza fra le ascisse della prima e dell’ultima ondulazione in uno stesso istante, risulta α ≈ aT, ovvero lo spazio che il suono percorre nel tempo T dell’escursione (fr:4348-4349/p.645):

“[…] la lunghezza totale dell’onda sonora composta […] sarà espressa da a≈aT+ω, o semplicemente a = aT trascurando ω in paragone di aT, cioè sarà uguale allo spazio che il suono percorre nel tempo T dell’escursione della superficie vibrante.” – (fr:4349/p.645)

Fin qui si è considerata solo l’andata da A ad A’; il ritorno da A’ ad A eccita una seconda serie di ondulazioni, che forma un’altra onda totale della stessa lunghezza α e segue immediatamente la prima. Le due onde hanno carattere opposto: l’una ha spinto le particelle condensandole, l’altra le attira rarefacendole, cosicché la densità passa da D a D+d, poi a D e quindi a D−d (fr:4350-4353/p.645). Tra un’ondulazione e l’altra ogni particella torna per un istante alla densità naturale, perché ai limiti delle oscillazioni la velocità della superficie vibrante diventa nulla e le ultime impulsi sono debolissime (fr:4354/p.645). Dopo n vibrazioni si hanno n onde uguali, separate da punti di riposo e di densità naturale, che occupano insieme una lunghezza n·α a partire dal corpo sonoro (fr:4355/p.646). Un orecchio posto sulla linea riceve la sensazione del suono, e la periodicità, la durata e la forza delle onde permettono di distinguere i suoni fra loro; tuttavia il principio e la fine di ciascuna onda impressionano poco l’organo, ma la persistenza delle sensazioni fa sì che l’impressione prodotta dal mezzo delle onde copra la debolezza delle estremità, dando una sensazione continua (fr:4356-4358/p.646).

Da qui l’autore introduce la teoria degli strumenti a fiato, intesi come tubi nei quali l’aria è messa in vibrazione longitudinale. Non si tratta di spingere l’intera colonna, bensì di eccitare a un’estremità una successione di rapide condensazioni e dilatazioni, come farebbe un corpo solido vibrante. Il metodo più semplice consiste nel soffiare in modo che una sottile lamina d’aria si rompa contro il taglio degli orli, meccanismo comune al fischio con chiave bucata, ai zufoli e alle canne d’organo dette da bocca; nelle canne a linguetta il suono si produce diversamente (fr:4359/p.646-4365/p.647). Anche nel flauto si dirige il soffio obliquamente contro l’orlo tagliente dell’imboccatura (fr:4366/p.647). In tutti questi casi, la materia del tubo influisce solo sul timbro, probabilmente a causa del fregamento e di una debole vibrazione del tubo stesso; il suono dipende principalmente dalle vibrazioni della colonna d’aria (fr:4367/p.647).

Per analizzare il fenomeno, l’autore considera un tubo cilindrico chiuso a un’estremità (bordone). La sottile lamina d’aria all’imboccatura agita i primi strati con leggi complicate, ma a poca distanza il moto diviene regolare (fr:4369/p.647-4370/p.648). Si può allora modellizzare l’eccitazione come limitata a un primo strato sottilissimo, mentre la lamina all’orifizio non fa che entrare e uscire alternativamente senza subire condensazioni o dilatazioni. Tali scosse ripetute eccitano ondulazioni di lunghezza costante α, alternativamente condensanti e rarefacienti, che si propagano verso il fondo e vi si riflettono, sovrapponendosi alle onde dirette senza confondersi (fr:4371-4374/p.648).

Analizzando in dettaglio la riflessione, l’autore esamina il momento in cui il punto di mezzo della prima onda (supposta di condensazione) giunge esattamente al fondo. In quell’istante, l’inizio O e la fine O’ dell’onda coincidono nel punto M (fig. 85); lì la densità rimane al valore naturale, mentre al fondo la condensazione è raddoppiata. Le velocità di traslazione, invece, si annullano in tutta la regione perché le due metà dell’onda hanno velocità uguali e contrarie (fr:4375/p.648-4378/p.649). Successivamente, lo strato aereo M, situato a distanza α/2 dal fondo, subisce contemporaneamente l’azione opposta dell’onda successiva rarefaciente e dell’onda riflessa condensante: i loro effetti sulla densità si elidono, perciò M conserva densità invariabile, pur venendo trasportato alternativamente verso l’orifizio e verso il fondo (fr:4379-4381/p.649). Altri strati situati a distanze α, 2α, 3α, … dal fondo (indicati con N₁, N₂, …) rimangono invece sempre immobili – perché sollecitati in direzioni opposte da due onde della stessa natura, una diretta e una riflessa – ma subiscono la somma delle condensazioni o rarefazioni (fr:4382-4390/p.650). Emerge così una struttura a nodi e ventri: i punti fissi (nodi di traslazione) a distanze multiple di α dal fondo sono sede delle massime variazioni di densità; i punti a distanze α/2, 3α/2, … sono ventri di movimento con densità costante (fr:4391/p.650-4395/p.651).

Poiché la lamina all’imboccatura non deve subire variazioni di densità, essa va collocata in un ventre, ossia nel mezzo di un’onda. In tal modo il moto dello strato d’aria all’orifizio risulta compatibile con quello del resto della colonna, e le vibrazioni interne vengono trasmesse all’aria esterna come nuove onde sonore della stessa lunghezza α (fr:4396-4397/p.651).

Le condizioni che la colonna d’aria deve soddisfare sono quindi due: il fondo otturato è un nodo di vibrazione (particelle immobili), l’orifizio aperto è un ventre (densità costante). Queste ammettono infiniti modi di vibrazione (fr:4399-4400/p.652). Il più semplice, che dà il suono più grave, ha l’onda di estensione doppia del tubo: metà onda occupa l’intera lunghezza, la densità all’apertura è costante e cresce verso il fondo, mentre il moto di traslazione è massimo all’orifizio e nullo al fondo (fr:4401-4403/p.652). Poiché la durata T di un’oscillazione è legata alla lunghezza d’onda da α = aT, ponendo α = 2l (con l lunghezza del tubo) si ottiene T = 2l/a e il numero di oscillazioni per secondo 1/T = a/(2l) (fr:4404-4405/p.652).

I modi superiori corrispondono all’introduzione di nodi immobili interni. Con un nodo N₁ (fig. 86), il tratto BN₁ è uguale alla lunghezza d’onda α e il tratto AN₁ è α/2, sicché la lunghezza totale l = 3α/2, da cui α = 2l/3 e la frequenza è tripla di quella fondamentale. Il suono passa così da 1 a 3; con due nodi si ha l = 5α/2, frequenza quintupla, e in generale con n nodi oltre al fondo si ottiene l = (2n+1)α/2 e la frequenza corrisponde al fattore (2n+1). La serie dei suoni possibili è dunque espressa dai numeri dispari 1, 3, 5, 7, … senza alcun suono intermedio (fr:4406/p.653-4418/p.654).

L’autore attribuisce a Daniele Bernoulli la prima esposizione chiara e rigorosa di questa teoria, e riporta che Bernoulli la verificò con un flauto a tutti i fori otturati e l’estremità chiusa, ottenendo la progressione prevista soffiando con diversa intensità (fr:4419/p.654). Una verifica più controllata fu condotta dai signori Biot e Hamel, che adoperarono un tubo di vetro con bocca di piombo collegato a un mantice d’organo: la forza del vento doveva aumentare per forzare la colonna a dividersi in più parti e produrre suoni più acuti, ma la serie restava quella dei numeri dispari. Restringendo con una lamina di piombo la fessura d’ingresso si ottenevano analoghi salti di suono senza mai raggiungere, per esempio, il suono 2 (fr:4420/p.12-4425/p.654). Inoltre, la rapidità delle vibrazioni risultava inversamente proporzionale alla lunghezza del tubo per ciascun modo, e passando da un modo all’altro proporzionale al numero di divisioni vibranti, senza che la grossezza del tubo avesse influenza (fr:4426-4427/p.655).

Un’osservazione fondamentale riguarda i punti a metà strada tra un nodo e l’altro, nei quali non si ha né condensazione né dilatazione. Praticare un foro laterale in tali punti non altera il suono, perché l’aria non tende né a uscire né a entrare; la proprietà è indipendente dalla dimensione dell’apertura, al punto che si può addirittura tagliare il tubo in corrispondenza di uno di questi ventri senza modificare il suono (fr:4429-4432/p.655). Ciò conduce naturalmente a considerare un tubo aperto a entrambe le estremità: la parte compresa tra l’orifizio e il taglio diventa un tubo interamente aperto, nel quale le ondulazioni giunte all’estremità lontana vengono ripercosse dall’aria esterna in modo che la densità resti costante, proprio come all’imboccatura. Le due estremità si comportano quindi entrambe come punti a densità invariabile (ventri di traslazione), e il moto della colonna è determinato dalla sovrapposizione di due serie di onde uguali in lunghezza, con la condizione che la densità sia costante ai due orifizi (fr:4433/p.655-4437/p.656).

Il testo fornisce così una testimonianza dello stato della fisica acustica tra XVIII e XIX secolo, mostrando il passaggio da modelli di propagazione in aria libera alla comprensione delle risonanze in tubi. La chiara distinzione tra nodi e ventri, l’individuazione della serie armonica dispari per i tubi chiusi e il legame con la lunghezza d’onda, nonché il ruolo degli esperimenti di Biot e Hamel nel confermare tali predizioni, rappresentano passaggi fondanti per la teoria degli strumenti musicali a fiato.

[19]

[19.1/6-98-4594|4690]

29 Fenomeni vibratori e strumenti musicali: dal calcolo delle frequenze ai limiti dell’udibile

Il testo offre una sintesi delle conoscenze acustiche del primo Ottocento, intrecciando determinazioni quantitative delle vibrazioni, metodi sperimentali e teorie sulla propagazione del suono in tubi di varia geometria.

La discussione prende le mosse dal numero di vibrazioni di una colonna d’aria. Un valore calcolato risulta “intermedio tra il numero 128 che si deduce come abbiamo detto dalle vibrazioni delle lamine elastiche, e che è stabilito sulle osservazioni di Chladni, e il numero 131 trovato da Sarti per mezzo delle vibrazioni trasversali delle corde” – (fr:4594/p.677). Il dato viene confrontato con quello di Bernoulli, il quale “non avea trovato che 115 vibrazioni in un secondo pel tuono d’una corda unisona al tubo di cui si tratta” – (fr:4595/p.677). Le discrepanze sono imputate a diverse cause: agli errori sperimentali, ma anche “all’influenza delle imboccature, che qui abbiamo trascurata” – (fr:4596/p.677) e “alla ineguaglianza delle temperature, per le quali sono calcolati i risultati che paragoniamo” – (fr:4597/p.677). La temperatura agisce modificando l’elasticità dell’aria e quindi la velocità del suono; “questo effetto è sensibile negli organi, ed anche nei flauti ordinarii; quando l’aria, che questi rinchiudono si è riscaldata dal fiato con cui vi si soffia, essi rendono un suono più alto che quando si è cominciato a servirsene” – (fr:4599/p.677). Per quantificare la variazione basta impiegare un coefficiente termico, “secondo la formola che ne abbiamo data a suo luogo” – (fr:4600/p.678).

L’autore definisce quindi l’estensione dei suoni udibili. Il suono più grave percepibile corrisponde a “32 vibrazioni per minuto secondo” – (fr:4601/p.678), generato da una verga rigida e riprodotto da un tubo aperto di 32 piedi. L’ut fondamentale dell’organo, prodotto da un tubo aperto di 4 piedi, equivale a 128 vibrazioni al secondo, poiché “questo suono è lo stesso che sarebbe anche prodotto, secondo la teoria precedente, da un tubo chiuso all’estremità, e della lunghezza di 16 piedi, e che perciò dee essere di due ottave più basso di quello dell’ut, prodotto dal tubo di 4 piedi” – (fr:4602/p.678). Il limite acuto è fissato convenzionalmente all’ut8, ossia alla settima ottava sopra ut1, raggiungendo “128.128, ossia 16384 vibrazioni per minuto secondo” – (fr:4603/p.678). Le dimensioni dei tubi che produrrebbero questo suono sono minime: il tubo chiuso misurerebbe “4,5 linee, e il tubo aperto da ambe le parti, che lo produrrebbe pure, ossia la lunghezza dell’onda sonora, che corrisponde a questo suono, sarebbe di 9 linee” – (fr:4605/p.678). Onde più corte, in circostanze ordinarie, “o non iscuotono abbastanza l’orecchio per formare suoni sensibili, o si succedono con troppa rapidità” – (fr:4606/p.679), benché l’autore precisi che “questo limite non è assoluto, e che suoni molto più acuti sono ancora percettibili dall’orecchio, purché abbiano una intensità sufficiente” – (fr:4606/p.679). L’intera gamma udibile abbraccia nove ottave, con frequenze da 32 a 16 384 vibrazioni al secondo e lunghezze d’onda da 32 piedi (circa 10,4 m) a 9 linee (circa 20,3 mm), “numeri che hanno tra loro il rapporto di 2⁹ ossia 512 ad 1 indicato dalla distanza di 9 ottave a cui si trovano” – (fr:4607/p.679).

Per determinare il numero assoluto di vibrazioni, oltre al metodo delle lamine elastiche, Sauveur propose di sfruttare i battimenti: producendo sull’organo due suoni vicini, il suono risultante diviene una serie di colpi percepibili, “come colpi di tamburo” – (fr:4610/p.680). Se si riesce a contare i battimenti in un tempo noto, “si avranno facilmente col calcolo i numeri delle vibrazioni che convengono a ciascuno de’ suoni componenti” – (fr:4609/p.679). Tuttavia il metodo è reso difficoltoso dal fatto che con suoni molto bassi è arduo accordarli, mentre con suoni acuti i battimenti sono troppo rapidi (fr:4611/p.680). Biot suggerì di ovviare determinando i suoni non a orecchio ma “per mezzo delle lunghezze de’ tubi che li danno” – (fr:4613/p.680), ottenendo così un rapporto esatto. Un progresso decisivo fu la Sirena inventata da Cagniard-Latour (1819). Un disco rotante forato, posto davanti a un getto d’aria, produce una successione regolare di urti; “questa celerità si può facilmente misurare per mezzo d’un sistema di ruote dentate, e quindi calcolare il numero degli urti che hanno luogo in un dato tempo, e che equivalgono a doppie vibrazioni” – (fr:4620/p.680). Lo strumento funziona anche immerso in acqua, e “per questa proprietà di essere sonoro nell’acqua, l’autore ha dato a questo strumento il nome di Sirene” – (fr:4622/p.681). Un apparecchio analogo era stato descritto da Robison già nel 1801, ma poteva raggiungere solo 720 vibrazioni al secondo, mentre la sirena arrivava a “7000 vibrazioni per minuto secondo” – (fr:4623/p.681).

La trattazione si estende ai tubi di geometria composta. Negli organi si impiegano tubi chiusi con una piccola apertura sul fondo a cui è adattato un tubo aperto di piombo; il suono è “intermedio tra quello dei tubi di diametro uniforme affatto aperti, e quello dei tubi affatto chiusi all’estremità” – (fr:4627/p.681). Bernoulli analizzò il sistema costituito da un tubo piccolo aperto (AB) connesso a un tubo maggiore chiuso (BD). Nel modo fondamentale, al punto di giunzione le escursioni si riducono bruscamente e le vibrazioni dei due tratti devono accordarsi, conducendo a un’equazione con la tangente: “tang(⅛)ta’lg(⅛)’⅛” – (fr:4640/p.683). Le verifiche sperimentali mostrarono che “il calcolo non si scostava mai di più d’un quarto di tuono dall’osservazione” – (fr:4640/p.683). Se il tubo maggiore è aperto, si forma un nodo intermedio la cui posizione soddisfa la medesima relazione, ma con lunghezza equivalente modificata (fr:4644/p.683-4646/p.684). I suoni ottenibili sono compresi tra quello di un tubo uniforme aperto di lunghezza totale e quello di un tubo uniforme chiuso di pari lunghezza del tratto maggiore; “e per conseguenza il suono prodotto dal sistema dei due tubi sarà più grave del primo, e più acuto del secondo” – (fr:4649/p.684). Questi tubi composti servono nell’organo per variare il timbro (fr:4650/p.684).

Altrettanto importante è la teoria dei tubi conici, sviluppata da Bernoulli ed Eulero. In un cono chiuso alla punta e aperto alla base, la colonna d’aria si suddivide in n porzioni vibranti uguali tra ventri, e “il vertice del cono, quantunque chiuso, fa a questo riguardo la funzione d’un ventre” – (fr:4658/p.685); la successione dei suoni è quindi identica a quella di un tubo cilindrico aperto di uguale lunghezza. I nodi sono disposti in modo non uniforme, ma per molti modi di vibrazione tendono a regolarizzarsi (fr:4659/p.685). Queste previsioni si possono verificare tagliando via porzioni del cono corrispondenti alle distanze tra ventri: il suono non cambia (fr:4663-4665/p.686). La trattazione si applica direttamente alla propagazione in aria libera, immaginando l’onda sferica suddivisa in infiniti coni col vertice nel centro della perturbazione. In un tubo conico le escursioni e le condensazioni si attenuano meno rapidamente che all’aperto perché l’energia resta confinata; “la forza dell’urto con cui queste particelle colpiscono l’orecchio, ossia l’intensità del suono decrescerà dunque meno rapidamente nel tubo conico, che nell’aria libera” – (fr:4675/p.688). Tale principio spiega l’efficacia delle trombe parlanti e marine, e dei corni acustici, la cui sezione longitudinale è spesso “di un ramo d’iperbola che ha per assintota l’asse del tubo” – (fr:4680/p.688). I corni acustici funzionano in senso inverso, concentrando i raggi sonori nell’orecchio (fr:4681/p.688).

Infine sono esaminati gli strumenti a fiato con fori laterali, come il flauto. Aprendo un foro, il suono si innalza come se il tubo fosse accorciato, ma l’effetto dipende dalla posizione rispetto a ventri e nodi. “Se venisse ad aprirsi un foro in un tubo risuonante, in un luogo corrispondente ad un ventre di vibrazione, in cui non vi è condensazione né dilatazione, il suono non si cangierebbe” – (fr:4686/p.689); al contrario, un’apertura in un nodo altera profondamente il suono perché mette in comunicazione l’interno con l’esterno proprio dove le variazioni di densità sono massime. La disposizione dei fori sul flauto è frutto dell’esperienza pratica (fr:4688/p.689). Quanto ai tubi curvi, come nel corno da caccia, “questa curvatura non influisce per nulla sui suoni che se ne traggono; essa non serve che per ripiegare il tubo sopra se stesso, e dargli molta lunghezza sotto un piccol volume” – (fr:4690/p.689).

Il testo costituisce una testimonianza della maturità raggiunta dall’acustica nel primo Ottocento, con un costante intreccio tra elaborazione teorica (Bernoulli, Eulero, Poisson), verifica sperimentale e applicazione pratica agli strumenti musicali e ai dispositivi per l’udito.

[19.2/6-98-4691|4788]

30 Compensazione acustica e misura del suono nei tubi a linguetta: Weber e Savart

«…uno Stromento che desse un tuono costante, e cosi atto a servir di misura ben determinata a qualunque altro tuono…» – (fr:4700/p.690)

L’estratto offre una trattazione estesa degli strumenti a fiato muniti di linguetta, soffermandosi sulla teoria fisica elaborata da Wilhelm Weber intorno al 1828‑1829 e sulle verifiche sperimentali di Félix Savart. Vengono distinti fin dall’inizio i «Stromenti da fiato» nei quali il suono è prodotto dalla vibrazione di una colonna d’aria, da quelli in cui «concorrono anche a produrre il suono le vibrazioni d’una lamina elastica, posta in moto dalla corrente d’aria stessa» – (fr:4692/p.689). In questi ultimi, l’imboccatura è occupata da un apparecchio la cui parte principale è «una linguetta metallica applicata agli orli d’un canaletto» – (fr:4693/p.689); è la linguetta che, sollevandosi e abbattendosi alternativamente per l’impulso dell’aria, determina il tono insieme alla colonna contenuta nel tubo.

Il contributo di Weber nasce dall’osservazione che in una colonna d’aria vibrante il tono «divenga alquanto più alto per un rinforzamento qualunque o aumento d’intensità, e più basso per l’indebolimento» – (fr:4701/p.690), mentre una lamina che vibra trasversalmente si comporta in modo opposto. L’obiettivo esposto nella memoria del 1828 è costruire uno strumento in cui i due effetti si elidano, ottenendo «un tuono costante» – (fr:4700/p.690) insensibile alla forza del soffio. Il principio è chiarito poco oltre: «Se dunque fosse possibile mettere una lamina metallica risuonante che vibra trasversalmente, ed una colonna d’aria che vibra longitudinalmente, in una tal connessione, e mutua azione, che esse potessero fare l’una e l’altra vibrazioni ugualmente rapide, e sincrone, sarebbe anche possibile comporre un istromento di musica di cui il suono non si altererebbe» – (fr:4704/p.691).

Negli strumenti a linguetta ordinari il suono risultante è un terzo tono, diverso da quello che linguetta e colonna emetterebbero separatamente; può prevalere l’uno o l’altro a seconda delle proporzioni, ma esiste una «disposizione intermedia nella quale il tuono dello strumento partecipi dei due tuoni» – (fr:4706/p.691) così che non si alzi né si abbassi variando l’intensità. Weber realizzò tale compensazione impiegando linguette «dette libere» – (fr:4707/p.691), cioè non battenti sull’orlo del canale ma fissate a un’estremità e libere di oscillare chiudendo l’apertura per la precisione dell’accoppiamento. La figura che le rappresenta (fig. 9r) mostra «la parete vi manca in cd e vi è surrogata la lamina elastica cd metallica fissa in d alla parete, e che può muoversi in tutto il rimanente del suo orlo, sebbene riempia esattamente l’apertura cd» – (fr:4709/p.692).

Il suono emesso non è però attribuibile immediatamente alle vibrazioni della lamina o dell’aria; l’autore osserva che esso «è propriamente l’effetto d’una corrente d’aria che passa dalla cassa a vento … nel tubo, e dà urti all’aria esterna, il passaggio essendole alternativamente aperto e chiuso dalla lamina vibrante, come da un’animella» – (fr:4713/p.692). È il numero di questi urti nell’unità di tempo a fissare il tono, mentre l’elasticità dell’aria regola la successione delle aperture. Le esperienze mostrano che, nel sistema reale, la colonna d’aria non agisce solo come mezzo resistente ma «esercita sulla lamina una pressione molto variabile, cioè che essa prende, non altrimenti che la lamina, un moto di vibrazione» – (fr:4717/p.693), e le oscillazioni delle due parti risultano sincrone.

Per sviluppare una teoria completa, Weber introdusse un modello ideale: un tubo a linguetta in cui la lamina non è laterale ma forma una sezione trasversale, vibrando «nella stessa direzione che le particelle d’aria della colonna» – (fr:4719/p.693). In base all’isocronismo osservato, la lamina deve esercitare sulle porzioni d’aria contigue la stessa pressione che si avrebbe tra strati distanti due divisioni oscillanti (fig. 92). Sopprimendo una parte della colonna e conservando una porzione opportuna, si ottengono due configurazioni complementari: nella prima le oscillazioni esterne della lamina coincidono con le condensazioni, nella seconda con le rarefazioni, pur producendo il medesimo suono – (fr:4726‑4727). La realizzazione pratica esige che nel primo caso «il lato esterno della linguetta o lamina comunichi con un serbatoio d’aria condensata» – (fr:4728/p.695), come avviene nelle canne d’organo; il secondo caso richiederebbe un serbatoio d’aria rarefatta. L’apertura e la chiusura devono essere sincronizzate con lo stato della divisione finale della colonna, altrimenti le oscillazioni permanenti verrebbero perturbate – (fr:4729/p.695).

Da questa analisi discendono conseguenze precise sul tono. Quando l’aria esterna è condensata, il suono del sistema è più grave di quello della lamina isolata; quando è rarefatta, è più acuto, perché nell’un caso e nell’altro la pressione dell’aria agisce sempre in opposizione alla forza elastica della lamina, rallentandone o accelerandone i movimenti – (fr:4730/p.696). L’effetto di rallentamento o accelerazione cresce man mano che la lamina viene collocata più vicino a un punto di escursione nulla, cioè a un nodo, dove le compressioni e dilatazioni sono massime, mentre si annulla nei ventri di oscillazione; parallelamente, l’ampiezza delle escursioni e quindi l’intensità del suono diminuiscono fino a potersi annullare prima ancora di giungere al nodo – (fr:4737‑4739).

Weber pervenne a una formula analitica che lega il numero di vibrazioni semplici n’ del tubo a linguetta a quello n della lamina libera, coinvolgendo la lunghezza l del tubo, la velocità c del suono, il coefficiente k di accrescimento di pressione con la densità e una quantità μ che tiene conto del rapporto tra superficie oscillante della lamina laterale e sezione della colonna. Adattando il modello ideale alla situazione reale, in cui la lamina è fissa a un’estremità e oscilla con massima escursione all’estremità libera, la forma finale per il caso ordinario (serbatoio d’aria condensata) diviene

n’² = n² + (2a·k·n’ / π·c) · tang(π·n’·l / c)

dove a è una costante dipendente dalla lamina e dalla pressione barometrica – (fr:4740/p.698, 4755‑4762). Il confronto con i dati sperimentali «ha trovato per tutto un accordo soddisfacente tra la formola e le sperienze» – (fr:4763/p.702).

Confermata la formula, essa consente di determinare una qualsiasi delle quantità incognite quando le altre sono note. Un’applicazione immediata riguarda la misura della velocità del suono. Senza correzione, i tubi a linguetta davano per c valori che stavano alla velocità conosciuta «a un dipresso come 103 a 105» – (fr:4711/p.692); applicando la correzione dedotta dalla teoria, il rapporto si riduce a circa 106:107, ossia l’errore scende a meno dell’1% – (fr:4775/p.703). Weber utilizza per k il valore laplaciano 1,375; con il valore 1,41 desunto da esperienze dirette si otterrebbe una prossimità anche maggiore – (fr:4776/p.704). L’autore suggerisce inoltre la possibilità di impiegare tubi a linguetta pieni di gas diversi per determinare k in questi mezzi, ottenendo forse risultati più esatti che con i semplici tubi – (fr:4779/p.704).

Un’ulteriore conseguenza teorica, rilevante per la pratica musicale, è che esistono rapporti di dimensioni per cui l’intervallo tra i suoni di più tubi «non si altererà pel cangiamento che c … venga a subire dalla diversità di temperatura» – (fr:4780/p.704). Costruendo una serie di tubi con tali rapporti si realizzerebbe un sistema compensato termicamente, sebbene il tono assoluto di ciascuno vari con la temperatura – (fr:4781/p.705). Weber osserva però che l’applicazione di questa teoria agli strumenti a linguetta ordinari (clarinetto, oboe) rimane problematica «per difetto di tale regolarità» nelle linguette reali, la cui influenza sfugge a una trattazione semplice – (fr:4782/p.705).

A complemento, il testo introduce le esperienze di Savart, condotte attorno al 1823‑1825. Mentre Daniel Bernoulli aveva determinato i nodi delle colonne d’aria solo indirettamente, Savart vi pervenne in modo diretto calando in una canna d’organo verticale una membrana tesa sopra un anello e ricoperta di sabbia: «l’intensità dell’agitazione della sabbia sulla superficie della membrana, indicava, secondo che essa era più o men grande, o nulla, i luoghi della lunghezza del tubo in cui erano più o men grandi le escursioni delle particelle dell’aria, e quelli in cui queste escursioni erano nulle» – (fr:4788/p.706). Questo metodo fornì una verifica visiva della posizione dei nodi e contribuì a estendere le conoscenze sull’imboccatura degli strumenti da fiato e sul suo effetto.

[19.3/6-98-4789|4886]

31 Le ricerche sperimentali di Savart sulle colonne d’aria vibranti e la propagazione del suono in spazi limitati

Le esperienze descritte confermano e approfondiscono l’analisi del comportamento dell’aria posta in vibrazione, con particolare riguardo all’influenza dell’imboccatura nei tubi sonori e alla complessità dei moti vibratori in spazi aperti o parzialmente chiusi. Savart muove dalla constatazione che «Egli confermò cosi ciò che Bernoulli già avea stabilito , che il nodo di vibrazione in un tubo aperto vibrante nella maniera più semplice è sempre situato, in ragione dell’influenza dell’imboccatura più vicino a questa che all’orifizio intieramente aperto» (fr:4789/p.706). L’insufflazione diretta introduce però un disturbo: «la colonna d’aria nei tubi d’organo rinnovandosi continuamente per l’insufflazione , i movimenti che vi si producono non hanno tutta quella nitidezza di cui sarebbero suscettibili» (fr:4791/p.706). Per ovviare a ciò, «Savart ha quindi cercato di avere colonne d’aria vibranti in una maniera esente insieme, e da questa continua traslocazione, e dalla complicazione dell’imboccatura medesima» (fr:4792/p.706). Il metodo consiste nel «mettere in moto una colonna d’aria per comunicazione, cioè per mezzo d’un corpo vibrante solido, suscettibile di produrre lo stesso numero di vibrazioni che la colonna d’aria medesima» (fr:4793/p.706), analogamente a due corde all’unisono.

A tale scopo si impiega, ad esempio, una campana da orologio posta all’orifizio di un tubo di lunghezza variabile tramite pezzi scorrevoli o stantuffo, finché il suono non sia rinforzato al massimo (fr:4795‑4797). Confrontando poi la lunghezza così determinata con quella del tubo d’organo che dà la stessa nota, si osserva una differenza sistematica. Se il tubo è di piccolo diametro, «la lunghezza se ne trova quasi esattamente uguale a quella che esso dovrebbe presentare teoricamente, … e così più considerevole che quella del tubo d’organo atto a rendere questo stesso suono» (fr:4800/p.707); inoltre «il nodo di vibrazione era situato a un dipresso nel mezzo della sua lunghezza, onde segue che non ha luogo, in questa maniera di eccitare le vibrazioni, alcuna influenza dell’imboccatura» (fr:4803/p.708). Per tubi di diametro maggiore, la lunghezza richiesta diminuisce progressivamente all’aumentare del diametro, sino a diventare molto minore di quella del tubo d’organo corrispondente (fr:4804‑4805), ma il nodo resta ancora a metà. La spiegazione è un’altra: «ne risulta solo che le colonne d’aria d’un grande diametro … non sono suscettibili di produrre gli stessi suoni che quelle d’una stessa lunghezza dotate di minor diametro, ma danno suoni più gravi; … la legge che i numeri delle vibrazioni delle colonne d’aria sono in ragione inversa delle lunghezze non è quindi esatta in questo caso, se non per piccoli diametri» (fr:4806/p.708). Ciò indica che nei tubi larghi si generano vibrazioni in diverse direzioni che complicano le semplici escursioni longitudinali.

Queste osservazioni «confermano la teoria dell’effetto delle imboccature nei tubi d’organo data da Bernoulli … facendo vedere che questi divarii, e queste irregolarità nella situazione dei nodi non hanno più luogo , quando … si rimuove quell’influenza dell’imboccatura» (fr:4807/p.709). Savart trova inoltre che otturando parzialmente e gradualmente le estremità aperte di un tubo si varia il suono rinforzato, con una progressione di cui non è stata determinata la legge, che pure suppone una complicazione di movimenti vibratorii (fr:4808/p.709). Un’altra peculiarità è il diverso comportamento in relazione al diametro: «un cilindro di alcuni pollici di lunghezza, e di circa un piede di diametro rinforza molto notabilmente più tuoni vicini a quello che è veramente unisono col tubo, mentre al contrario per un tubo lungo e stretto bisogna che l’unisono sia esattamente stabilito» (fr:4809/p.709). La colonna può entrare in vibrazione anche con un corpo che emette uno degli armonici del suo tono fondamentale (fr:4810/p.709). Queste circostanze «paiono poter render ragione, secondo Savart, della funzione che l’aria adempie nella cassa degli Stromenti da corda» (fr:4811/p.710), suggerendo che la costruzione potrebbe essere migliorata regolando il volume d’aria affinché funga da risonatore unisono o armonico.

Savart estende poi l’indagine agli spazi più ampi. Eccitando un suono intenso in una camera per mezzo di una campana posta all’orifizio di un tubo di dimensioni opportune, e spostando una membrana tesa ricoperta di sabbia lungo una linea, «la membrana vibra dapprima con molta forza … si trova ben presto un punto in cui tale agitazione è nulla … Continuando ancora … il suo moto torna ad essere più intenso … Allontanando ancora … si trova un nuovo punto d’indifferenza, e poi un nuovo centro d’azione … gli stessi fenomeni si rinnovano sempre periodicamente» (fr:4816‑4818). La distanza tra due massimi non è costante, ed è sempre maggiore della lunghezza d’onda aerea corrispondente; per suoni diversi queste distanze non seguono il rapporto atteso (fr:4819/p.711). L’analogia con il tubo d’organo è evidente: «esso offre sopra una stessa linea un’alternativa di nodi, e di ventri di vibrazione» (fr:4820/p.711). Quando si esplora l’estensione dei luoghi di maggior forza in una galleria, si scopre che «la linea che così si segue è inclinata all’asse della galleria , e … va a raggiungere l’altra parete laterale , e così successivamente , sempre strisciandosi in forma d’elice attorno alla galleria» (fr:4821/p.712). Con finestre aperte compaiono zone di forza anche all’esterno, e la disposizione a spirale sembra continuare con raggi rapidamente crescenti (fr:4822/p.712). La conclusione generale è che «le masse d’aria limitate … possono entrare in vibrazione per comunicazione … e una persona che si trovi in una camera … è come in un vasto tubo d’organo, ove le onde sonore … formano ventri di vibrazione, e superficie nodali» (fr:4823/p.712). La formazione di nodi e superfici nodali è ricondotta all’analogo delle interferenze luminose: «I nodi e superficie nodali debbono … formarsi per questi incrocicchiamenti di raggi sonori in diverse direzioni, nei luoghi ove un periodo d’onda rarefaciente s’incontra con un periodo d’un’onda condensante» (fr:4824/p.713).

In una seconda Memoria Savart analizza minuziosamente l’effetto di un’imboccatura parziale su un tubo prismatico quadrato chiuso a un’estremità. La massa d’aria realmente posta in vibrazione non è l’intero volume: essa «ha la forma d’un cilindro di cui la base si approssima più ad una ellisse che a qualunque altra forma , e di cui l’asse è parallelo all’imboccatura» (fr:4829/p.714). Riducendo artificialmente il volume a quella porzione il suono non varia, e la membrana esploratrice mostra che la superficie curva del cilindro è una superficie nodale che separa la parte vibrante dal resto (fr:4832/p.714). Per un tubo cubico gli assi delle ellissi corrispondono alle diagonali delle pareti laterali (fr:4833/p.714). Se si immagina di suddividere il tubo in lamine perpendicolari all’imboccatura, ciascuna vibra nello stesso modo e dà la stessa nota: questa è la chiave per comprendere il caso più semplice. Infatti, «il caso di cui si tratta preso nella sua massima semplicità è quello di una lamina d’aria rettangolare infinitamente sottile … che riceva la commozione per uno de’ suoi angoli» (fr:4835/p.715). Per lamine siffatte, fintanto che la larghezza supera un sesto della lunghezza e la superficie rimane costante, la nota non cambia; «il numero delle vibrazioni che esse eseguiscono sono sensibilmente in ragione inversa della radice quadrata di queste stesse superficie» (fr:4839/p.716). Quando invece la larghezza è meno di un dodicesimo della lunghezza, il numero di vibrazioni segue la ragione inversa della sola lunghezza (fr:4840/p.716). Savart osserva inoltre che «l’imboccatura si può considerare da se sola come uno strumento sonoro, di cui il tubo non fa che rinforzare il suono prodotto» (fr:4843/p.716), poiché soffiando nell’imboccatura con la medesima forza anche senza il tubo si ottiene lo stesso tono, seppur più debole. Per tubi geometricamente simili e con imboccatura similmente disposta, i numeri di vibrazioni sono «in ragione inversa delle dimensioni lineari di questi tubi» (fr:4848/p.717); nei tubi cubici e nei prismatici entro certi rapporti di forma ciò si traduce in una proporzionalità inversa alla radice quadrata della superficie delle facce laterali (fr:4849‑4851).

La memoria tratta infine altri modi di generare suoni. I suoni prodotti dal rapido passaggio dell’aria su un disco sottile vicino a un orifizio, già descritti da Clément e Hachette, non sono dovuti a una serie di battimenti dell’aria esterna, bensì alle vibrazioni proprie del disco: «Savart … fece vedere che i suoni di cui si tratta sono prodotti dalle vibrazioni proprie dei dischi stessi» (fr:4857/p.718); per dischi di ugual spessore e diverso diametro «i numeri delle vibrazioni … sono in ragione inversa dei quadrati dei diametri» (fr:4858/p.719). Se il centro del disco non coincide con l’orifizio, esso vibra come una lamina circolare appoggiata su un punto del contorno (fr:4860‑4861). Per quanto riguarda i suoni da urti rapidi, come quelli della ruota dentata o della Sirena, la loro altezza corrisponde «al numero delle vibrazioni doppie d’un corpo vibrante … e per conseguenza alla metà soltanto di quello delle vibrazioni semplici che darebbero lo stesso tuono» (fr:4865/p.720). Questo principio permette di dirimere vecchie controversie sul “tuono russante” (klirrtone) di Chladni. Norremberg aveva mostrato che il suono prodotto dalla corda vicina al cavalletto è una quarta sopra il fondamentale e non un’ottava sotto (fr:4867/p.720); Seebeck precisa poi che il numero di colpi, essendo pari alle vibrazioni doppie, dà proprio quel tono, sicché la spiegazione di Chladni, correttamente applicata, coincide con quella di Norremberg (fr:4871/p.721). Inoltre, accanto al tono alla quarta superiore, si ode realmente anche un tono all’ottava inferiore del fondamentale, la cui origine resta oscura (fr:4872/p.721). Un effetto analogo si verifica con un diapason appoggiato leggermente su una tavola: «un diapason può dare in questo caso tuoni, per cui il numero di colpi dee essere in un tempo dato 2, 3, 4, 5, 6 volte minore che il numero delle oscillazioni intiere o doppie del diapason» (fr:4878/p.722), spiegati da Seebeck con un moto saltellante del piede che tocca la tavola solo a intervalli multipli del periodo di vibrazione (fr:4879/p.722). Ai suoni da urto si possono ricondurre, secondo Burmeister, anche i ronzii degli insetti, prodotti dall’«alternativo ristringimento e dilatazione del torace … per cui si espelle, e si aspira pure alternativamente l’aria da fori che vi si trovano» (fr:4881/p.723), in stretta analogia con la Sirena. Rimangono invece ancora misteriosi i sibili dei proiettili e i fischi prodotti dal vento su spigoli o fessure (fr:4882‑4884).

L’insieme di queste ricerche sperimentali, condotte con ingegnosi apparati quali le membrane esploratrici, i tubi a lunghezza variabile e le lamine sagomate, fissa una serie di elementi peculiari: la separazione della massa d’aria in un volume vibrante di forma cilindrica con superficie nodale, l’indipendenza dell’altezza del suono dalla larghezza del tubo entro certi limiti se l’imboccatura occupa l’intero lato, la legge dell’inverso della radice quadrata della superficie per le lamine sottili, il manifestarsi di interferenze con nodi e ventri periodici elencanti in una galleria secondo traiettorie elicoidali, e il ruolo del numero di vibrazioni doppie nel definire l’altezza dei suoni d’urto. Sul piano storico, il testo testimonia un momento in cui l’acustica sperimentale, partendo dai problemi pratici degli strumenti musicali e delle canne d’organo, sta elaborando leggi quantitative e gettando un ponte verso la teoria ondulatoria, anticipando la piena comprensione dei fenomeni di interferenza e la modellizzazione matematica dei campi sonori confinati.

[19.4/6-97-4887|4983]

32 L’organo della voce e la natura del suono: dalle pulsazioni idrauliche alle teorie di Savart

Il testo ripercorre le indagini acustiche ottocentesche sulla produzione dei suoni, con particolare attenzione all’organo vocale umano e animale, contrapponendo la teoria della linguetta a una nuova ipotesi fondata su tubi a pareti elastiche.

Il trattato affronta il problema della generazione dei suoni a partire da fenomeni vibratori elementari. Si osserva come i rumori, purché composti da almeno due colpi equivalenti a quattro oscillazioni semplici, “hanno un certo grado di acutezza o di gravità che un orecchio esercitato può distinguere, cosicché debbono considerarsi come veri suoni di pochissima durata” – (fr:4887/p.723) [hanno un certo grado di acutezza o di gravità che un orecchio esercitato può distinguere, cosicché devono considerarsi come veri suoni di brevissima durata]; ciò basta, secondo quanto si vedrà in seguito, “per produrre suoni comparabili” – (fr:4888/p.724) [per produrre suoni comparabili]. Un caso particolare è quello studiato da Savart nei getti liquidi: la velocità di efflusso non è uniforme ma “periodicamente variabile, cosicché ne risulta una serie continua di pulsazioni che si succedono abbastanza rapidamente per dar luogo a tuoni tra loro comparabili” – (fr:4892/p.724) [periodicamente variabile, cosicché ne risulta una serie continua di pulsazioni che si succedono abbastanza rapidamente da dar luogo a toni tra loro comparabili]. Il numero di pulsazioni, da cui dipende l’altezza del suono, “è direttamente proporzionale alla velocità dello sgorgo, e inversamente al diametro dell’apertura” – (fr:4893/p.724) [è direttamente proporzionale alla velocità dello sgorgo e inversamente al diametro dell’apertura]. Per una carica di 51 millimetri d’acqua e un orifizio di 3 millimetri, Savart trovò un tono corrispondente a “600 vibrazioni in un secondo” – (fr:4895/p.724) [600 vibrazioni in un secondo]. Il suono, di per sé sordo e debole, si rinforza facendo colpire il getto su una membrana tesa o sul fondo di un vaso metallico.

La questione centrale diviene il meccanismo della voce umana. L’opinione tradizionale, avanzata da Dodart nel 1700 e a lungo accettata, assimila l’organo vocale a uno “Stromento a linguetta” – (fr:4898/p.724) [strumento ad ancia]. All’estremità superiore della trachea si trovano due lamine membranacee rettangolari, parallele e ravvicinate, la cui fessura costringe l’aria espirata; queste lamine, “suscettibili di vibrazione, dalla loro estremità libera; e vibrano infatti rapidamente quando la voce si produce in una maniera continua” – (fr:4900/p.725) [suscettibili di vibrazione dalla loro estremità libera; e vibrano infatti rapidamente quando la voce si produce in maniera continua]. L’apparato prende il nome di glottide, la parte della trachea che lo ospita è la laringe. Le lamine sono contrattili ed estensibili, atte a produrre suoni più o meno acuti; l’epiglottide, membrana elastica fissata per la base al di sopra della glottide, può modificarne l’inclinazione e quindi il suono. Il condotto gutturale e la bocca, come i tubi negli strumenti ad ancia, influiscono sulle qualità del suono.

Savart, in una memoria del 1820, propone una teoria radicalmente diversa. Egli obietta che in uno strumento ad ancia, perché si produca suono, l’ancia deve essere quasi a contatto con le pareti del canale, così che l’efflusso d’aria sia periodico; nella laringe, invece, i legamenti vocali inferiori quando sono scostati non dovrebbero rendere suono, e per produrlo bisognerebbe che fossero “prossimamente in contatto, e che l’aria compressa nella trachea facendo sforzo per uscire li costringesse a scostarsi, e che di poi l’uscita venendosi di nuovo a chiudere quando la forza elastica dell’aria fosse insufficiente a superare quella dei legamenti, si facesse una nuova condensazione nella trachea, e così di seguito” – (fr:4909/p.726) [quasi in contatto, e che l’aria compressa nella trachea facendo sforzo per uscire li costringesse a scostarsi, e che poi l’uscita venendo di nuovo a chiudersi quando la forza elastica dell’aria fosse insufficiente a superare quella dei legamenti, si facesse una nuova condensazione nella trachea, e così di seguito]. Ciò richiederebbe grandi sforzi, poiché i muscoli tiro-aritnoidei sono troppo potenti per cedere a una debole corrente d’aria. Inoltre, in tale ipotesi non si spiegherebbe la funzione dei ventricoli, dei legamenti superiori e delle pieghe mucose che formano un piccolo tubo membranoso sopra la glottide. Asportando queste parti da una laringe priva di vita e portando i muscoli al contatto, soffiando con forza si ottengono suoni, ma “questi suoni non hanno alcun rapporto colla voce umana” – (fr:4912/p.726) [questi suoni non hanno alcun rapporto con la voce umana], e si producono solo con un forte mantice. Lasciando invece tutte le parti allo stato naturale e soffiando leggermente, si ottengono suoni molto più dolci e prossimi alla voce, sebbene i muscoli allentati lascino un orifizio ellittico, il che esclude un meccanismo ad ancia.

La proposta di Savart è che la voce sia analoga al suono di flauti con pareti elastiche, capaci di rinforzare suoni di diversa altezza prodotti all’imboccatura. Nei tubi d’organo molto corti rispetto al diametro, la velocità della corrente d’aria ha grande influenza: lo stesso tubo può produrre toni compresi in un intervallo di quinta. Tale variazione è ancora maggiore nello strumento usato dai cacciatori per imitare gli uccelli, un tubo cilindrico chiuso da lamine forate al centro o un piccolo vaso emisferico con due orifizi opposti. Soffiando con forza variabile, “se ne possono ottenere tutti i tuoni compresi nell’estensione d’un’ottava e mezza, o due ottave” – (fr:4920/p.727) [se ne possono ottenere tutti i toni compresi nell’estensione di un’ottava e mezza, o due ottave]. La larghezza degli orifizi tende a rendere i suoni più gravi. Nei tubi molto corti, la natura delle pareti e la loro tensione hanno un’influenza determinante: se le pareti sono elastiche e la tensione può variare, il suono “potrà abbassarsi indefinitamente senza perdere della sua intensità” – (fr:4923/p.728) [potrà abbassarsi indefinitamente senza perdere di intensità]. Un tubo cubico di carta o pergamena tesa su telai quadrati dà un suono tanto più grave quanto meno le pareti sono tese. Questi tubi membranacei sono “in certa maniera il rovescio degli Stromenti da corda” – (fr:4925/p.728) [in certa maniera il rovescio degli strumenti a corda]: in questi ultimi l’aria è messa in vibrazione dalle parti solide, nei tubi membranacei è l’aria il corpo direttamente mosso, che comunica poi le vibrazioni alle pareti.

Savart mostra inoltre che un’imboccatura d’organo separata dal suo tubo rende lo stesso suono del tubo cui era adattata, e che questo non fa che rinforzarlo. Se si fissa un porta-vento a un piccolo strumento emisferico e si pone un tubo davanti alla lamina piana (come nella fig. 294), il sistema produce il suono corrispondente alla colonna d’aria nel tubo, purché tra i suoni del piccolo vaso ve ne sia uno identico a quelli di cui la colonna è suscettibile. Il piccolo strumento tiene il luogo dell’imboccatura dei tubi d’organo; configurato diversamente (come nella fig. 95), il risultato è identico. Se un tubo con simile imboccatura avesse pareti a tensione variabile, potrebbe rendere qualunque suono entro certi limiti, anche molto gravi, nonostante il volume d’aria modesto. La capacità di rendere suoni diversi dipenderebbe dunque dalla natura dell’imboccatura, capace di produrre molti toni a seconda della velocità del soffio, e dalla estensibilità del tubo, che può rinforzare qualsiasi di quei toni.

La laringe presenta una notevole analogia con tale apparecchio: le cavità ventricolari, il restringimento formato dai legamenti vocali e dai muscoli tiro-aritnoidei, il restringimento dei legamenti superiori, e il tubo superiore formato dalla membrana mucosa tra epiglottide e aritnoidi. L’organo vocale, composto da laringe, fondo della bocca e bocca, può considerarsi un tubo conico in cui l’aria si muove come nei flauti d’organo. Esso gode delle proprietà necessarie affinché la massa d’aria, pur piccola, possa rendere suoni anche molto gravi: la parte inferiore ha pareti elastiche a tensione variabile, la bocca modificando l’apertura “trasformano a piacimento il tubo vocale in un tubo conico, ora aperto, ora quasi chiuso” – (fr:4939/p.730) [trasformano a piacimento il tubo vocale in un tubo conico, ora aperto, ora quasi chiuso]. La trachea termina superiormente con una fessura che funge da imboccatura: il getto d’aria attraversa l’intervallo tra i ventricoli e colpisce i legamenti superiori, che svolgono la funzione della bisellatura dei tubi d’organo; l’aria nei ventricoli entra in vibrazione, e il suono si propaga nel tubo vocale determinando un modo di movimento analogo a quello dei tubi corti membranacei. Le pieghe della membrana mucosa che ondeggiano nell’aria, con la loro diversa tensione, modificano il numero delle vibrazioni; una disposizione analoga si trova negli organi vocali degli uccelli cantanti.

In un’altra memoria del 1826, Savart esamina l’organo vocale degli uccelli per spiegare come, nonostante la tenuità del tubo, esso renda suoni estesi e intensi. L’estensibilità ed elasticità delle pareti ha la stessa influenza nei tubi lunghi e stretti come in quelli di grande diametro relativo. Una serie di tubi prismatici quadrati di un piede di lunghezza e 9 linee di lato, con pareti di legno via via più sottili fino a due soli spessori di carta, rese suoni sempre più gravi per un’intera ottava; inumidendo le pareti il tono si abbassava ulteriormente. Ciò accade perché le pareti elastiche, scosse dalle alternative di condensazione e dilatazione della colonna d’aria, entrano in vibrazione e reagiscono sulla durata delle oscillazioni. L’unità di suono risultante dall’unione delle vibrazioni dell’aria e delle pareti è un fenomeno di comunicazione di moto: quando due o più corpi vibrano l’uno per l’altro, i modi di vibrazione si stabiliscono sempre in maniera conveniente perché rendano lo stesso suono, che spesso è molto diverso da quello che renderebbero separatamente. Nei tubi cilindrici di cartone non si ha modificazione notevole perché manca tensione trasversale; ma tubi cilindrici di carta tesa longitudinalmente tra anelli di legno danno un tono “più elevato ancora di quello che apparterrebbe alla colonna d’aria da se sola, quando la loro tensione è molto grande, e possono di nuovo dar tuoni più bassi di quelli della colonna d’aria, quando la tensione se ne diminuisce al di là d’un certo limite” – (fr:4951/p.732) [più elevato ancora di quello che apparterrebbe alla colonna d’aria da sola, quando la loro tensione è molto grande, e possono di nuovo dare toni più bassi di quelli della colonna d’aria quando la tensione se ne diminuisce al di là di un certo limite]. Un tubo le cui pareti potessero rendersi flessibili o resistenti, molli o elastiche in punti diversi, sarebbe suscettibile di rendere un’infinità di suoni entro certi limiti. La trachea degli uccelli, composta di anelli cartilaginei che lasciano spazi formati da membrane di estrema tenuità, capaci di tendersi o allentarsi, soddisfa queste condizioni. A ciò si aggiunge la natura dell’imboccatura, analoga a quella umana. Un organo a semplice linguetta non potrebbe produrre tanta varietà e nitidezza; le note rauche del canto degli uccelli richiamano piuttosto il tramezzo membranoso situato nella parte superiore dell’organo vocale dei migliori cantori. Il tubo vocale degli uccelli presenta inoltre una doppia imboccatura; costruendo un tubo d’organo a forma di Y con un’imboccatura per ramo, quando si soffia in entrambi “il suono acquista un’intensità e una pienezza a cui non possono giungere i tubi d’organo ordinarii con una sola imboccatura” – (fr:4959/p.733) [il suono acquista un’intensità e una pienezza a cui non possono giungere i tubi d’organo ordinari con una sola imboccatura], perché le ondulazioni si sovrappongono perfettamente aumentando l’ampiezza delle oscillazioni.

Il testo prosegue dando conto di lavori successivi che completano o modificano le conclusioni di Savart. Bennati, in un’opera premiata dall’Accademia delle Scienze di Parigi nel 1833, mette in evidenza l’influenza della lingua e della parte superiore del tubo vocale, distinguendo le note di falsetto, da lui chiamate “note super-laringiane” e riunite sotto il nome di “secondo registro”, dalle note di petto o laringiane del primo registro. Cagniard-La-Tour, in comunicazioni alla Società Filomatica, attribuisce alle due paia di labbra della glottide un’influenza maggiore, come in uno strumento ad ancia. Egli riproduce una sorta di laringe artificiale con le dita e la bocca, producendo suoni variati dirigendo il soffio tra due dita avvicinate a formare un’apertura allungata analoga alla glottide quasi chiusa. Nell’emissione di suoni che si avvicinano a quelli di strumenti ad ancia, le labbra superiori e inferiori della glottide subirebbero urti vicendevoli, mentre l’aria nei ventricoli subisce condensazioni e dilatazioni rapidissime. Con esperienze su sirene a ventricoli, Cagniard-La-Tour sostiene che nella voce di petto le labbra superiori e inferiori vibrano simultaneamente, mentre nella voce di testa o di falsetto “le labbra superiori sono principalmente quelle che divengono la sede di moti vibratorii, vibrando inoltre l’aria delle cavità ventricolari più nel primo caso che nel secondo” – (fr:4973/p.734) [le labbra superiori sono principalmente quelle che divengono la sede di moti vibratori, vibrando inoltre l’aria delle cavità ventricolari più nel primo caso che nel secondo].

Infine, il testo si interroga sulla differenza tra le vocali pronunciate con la stessa forza e sullo stesso tono. Euler aveva pensato che tale differenza dipendesse dalla forma della funzione che esprime la legge delle velocità successive delle particelle d’aria in ciascuna vibrazione, funzione legata ai valori iniziali di celerità e densità, e che l’organo vocale sapesse darle la forma conveniente, mentre l’orecchio saprebbe apprezzarne le diverse forme. La natura di questa funzione per le diverse vocali resta ignota a priori; i primi lavori scientifici sull’argomento sono quelli di Kratzenstein (1780) e Kempelen, che cercarono empiricamente di imitare le vocali con strumenti artificiali.

[19.5/6-97-4984|5080]

33 Sintesi dei suoni vocalici e loro meccanismi secondo gli esperimenti di Willis

Un trattato ottocentesco di acustica espone il percorso sperimentale e teorico che, dalle prime imitazioni delle vocali con tubi a linguetta, giunge a una spiegazione fondata sulla rapida ripetizione di toni brevissimi, illustrando poi la classificazione delle consonanti e un cenno all’orecchio esterno.

Gli studi antichi sulla voce artificiale partono da tentativi empirici: “I saggi di Kratzenstein si limitarono alla produzione di suoni imitanti le diverse vocali per mezzo d’ un tubo a linguetta 718 adattato ad altri tubi di forme particolari, cercate unicamente per esperienza” – (fr:4984/p.736) [Gli esperimenti di Kratzenstein si limitarono a produrre suoni imitanti le varie vocali mediante un tubo a linguetta accoppiato ad altri tubi dalle forme particolari, cercate solo per via empirica]. Kempelen, invece, intraprese considerazioni teoriche sulla forma e sul modo d’azione dell’organo vocale e degli strumenti sonori, ma “non 1’ hanno condotto ad alcun risultato positivo” – (fr:4985/p.736) [non lo condussero ad alcun risultato positivo].

Un progresso decisivo si ebbe con Robert Willis, il quale “ha riprese queste ricerche sotto un altro aspetto , ed ha creduto trovare una certa analogia o relazione tra le modificazioni particolari che costituiscono le diverse voc⅞li , e i tuoni stessi resi dai tubi e dagli altri corpi sonori” – (fr:4986/p.736) [ha ripreso queste ricerche sotto un altro aspetto, e ha creduto di trovare una certa analogia o relazione tra le modificazioni particolari che costituiscono le diverse vocali e i suoni stessi emessi dai tubi e da altri corpi sonori]. Willis usò costantemente tubi a linguetta, preferendo però linguette a suono dolce e puro, cioè “linguette liberamente vibranti … che in vece di colpire l’orlo del tubo a cui sono applicate , ne chiudono solo esattamente Γ apertura” – (fr:4987/p.736) [linguette liberamente vibranti, le quali invece di colpire l’orlo del tubo cui sono applicate ne chiudono soltanto esattamente l’apertura]. Tali linguette, secondo Biot, sarebbero state inventate da Grenié, ma Willis osservò che già Kratzenstein le aveva impiegate. Kempelen aveva intuito la necessità di suoni più dolci e aveva rivestito di pelle le linguette (fr:4988-4989/p.736).

L’apparecchio di Willis era costituito da un mantice a pressione costante, una cassa a vento e uno stantuffo forato, rivestito di pelle, nel quale stava la linguetta; facendo scorrere un tubo sullo stantuffo si variava la lunghezza della colonna d’aria (fr:4990/p.736, 4992). I risultati sono rappresentati nella fig. 96 (fr:4993/p.737-4994/p.193). La linea abcd indica l’asse del tubo; i segmenti ab, bc, cd sono ciascuno uguali alla metà della lunghezza d’onda del suono prodotto dalla linguetta (fr:4995-4996/p.737). Facendo scorrere il tubo, il suono assume le vocali nell’ordine I, E, A, O, U (fr:4998/p.737). Superata la lunghezza ab, la stessa serie ricompare in ordine inverso (fr:4999/p.737), poi di nuovo diretto oltre c, e così via in cicli successivi, con intensità decrescente (fr:5000-5001/p.737). La distanza di ciascuna vocale dai rispettivi punti a, c, ecc. rimane invariata (fr:5002-5003/p.737).

Willis precisò di usare la pronuncia europea, non quella inglese: per l’U intendeva “il suono che si dà a questa lettera in Italiano , in Tedesco ecc.” – (fr:5004/p.737-5005/p.738). Se si cambiava linguetta, la lunghezza dell’ondulazione variava, ma la distanza tra le vocali restava la stessa; in generale, se λ è la lunghezza d’onda, una vocale si ottiene per lunghezze di tubo a partire da a pari a v + nλ (con n intero o zero) (fr:5006-5007/p.738). Con linguette troppo acute alcune vocali diventano impossibili: se la semi-lunghezza d’onda è inferiore alla lunghezza corrispondente all’U, la serie si ferma a O e oltre b ricompare O invece dell’U (fr:5008/p.738). Con linguette più gravi, l’U dapprima “corto inglese” si trasforma via via in un “U distinto”, che gli Inglesi indicano con OO (fr:5009/p.738), e tale U rimane su un’estesa zona attorno ai punti b, d, tanto più ampia quanto più grave è il suono della linguetta, cosicché sembra che “questa la vocale naturale d’ un tubo a linguetta” – (fr:5011/p.738).

Tubi di uguale lunghezza ma diverso diametro, accordati sullo stesso suono, riproducono la stessa vocale (fr:5012/p.738). Willis misurò in pollici inglesi le distanze assolute di ciascuna vocale dai punti medi dei cicli: I = 0,38; E chiuso 0,6; E aperto 1,0; A partecipante dell’E aperto 1,8; A = 2,2; A partecipante dell’O 3,05; A più prossimo all’O 3,8; O = 4,7; O chiuso e U indeterminati (fr:5013-5016/p.739). Inoltre nel primo mezzo ciclo le distanze sono leggermente minori a causa di una perturbazione analoga all’effetto delle imboccature (fr:5017/p.739). La distanza tra I e O è più di 12 volte quella dell’I, e se si prende 16 × 0,38 = 6,08 come approssimazione per l’U distinto, le lunghezze di tubo che danno U e I corrisponderebbero a colonne d’aria capaci di produrre suoni distanti quattro ottave, con l’I più acuto dell’U (fr:5021-5022/p.740). Manca nella serie l’“U stretto lombardo o francese”, che secondo la progressione forse dovrebbe succedere all’U oltre i punti b, d se l’intensità fosse sufficiente (fr:5022-5023/p.740). Con linguette assai gravi, tra le lunghezze corrispondenti all’U e i punti b, d compaiono nuove serie di vocali più oscure e incomplete, in ordine inverso, con distanze doppie rispetto alle vocali della serie principale, come schematizzato nella fig. 97 (fr:5024-5029/p.740).

Da queste esperienze Willis trasse una teoria: la colonna d’aria nel tubo viene eccitata da ciascuna vibrazione della linguetta a vibrare con rapidità indipendente, determinata dalla lunghezza del tubo. Se l’intervallo tra due vibrazioni primarie è a, e il tubo è così corto che le vibrazioni secondarie hanno un periodo s molto minore di a, si ottiene una successione di suoni acutissimi e brevissimi, ripetuti con la frequenza più grave della linguetta. “Ora secondo che il tubo sarà più o meno corto, epperciò l’intervallo di tempo 5 minore o maggiore tra i limiti indicati, questi Suonisecondarii saranno più o meno acuti, ed è questa successione di tuoni di pochissima durata che corrisponde secondo Willis alle diverse vocali, i più acuti all’/ , ed i più gravi all’ Ui” – (fr:5031/p.741) [Ora, a seconda che il tubo sia più o meno corto, e quindi l’intervallo di tempo s minore o maggiore entro i limiti indicati, questi suoni secondari saranno più o meno acuti, ed è questa successione di suoni di brevissima durata che corrisponde, secondo Willis, alle diverse vocali: i più acuti all’I, i più gravi all’U]. Quando la lunghezza del tubo si avvicina a quella corrispondente al suono della linguetta, il carattere vocalico si confonde (fr:5032/p.741). Se invece l’intervallo secondario è quasi uguale ad a (a – s), le pulsazioni secondarie delle precedenti vibrazioni primarie si accumulano riproducendo la stessa vocale, ma con una distanza doppia dal punto b; ciò spiega le serie oscure I’, E’, A’ attorno ai punti di divisione dei cicli (fr:5033/p.742). Il fenomeno si ripete per tutti gli intervalli multipli di a, generando i cicli successivi (fr:5034/p.742-5036/p.743).

In sintesi, per Willis i suoni vocalici sono “la rapida ripetizione d’ un tuono musicale brevissimo ; 1’ elevazione di questo tuono brevissimo determinerebbe il carattere di ciascuna vocale , il tuono più elevato o acuto corrispondendo all’Z, e il più basso o grave all’ U. e ciò in un intervallo di più ottave ; mentre la rapidità della ripetizione di questo tuono costituirebbe il tuono propriamente detto” – (fr:5037/p.743) [la rapida ripetizione di un suono musicale brevissimo; l’altezza di questo suono brevissimo determinerebbe il carattere di ciascuna vocale, il suono più alto o acuto corrispondendo all’I e il più basso o grave all’U, e ciò su un intervallo di più ottave; mentre la rapidità della ripetizione di questo suono costituirebbe il tono propriamente detto]. Tale idea si accorda con quella di Eulero, ma specifica che la vibrazione totale sarebbe composta da un numero più o meno grande di condensazioni e rarefazioni parziali (fr:5038/p.743).

Willis confermò la teoria con un esperimento alternativo: sostituendo una molla di orologio alla penna di una ruota dentata rotante. La molla, urtando i denti, emetteva un suo suono, la cui altezza dipendeva dalla lunghezza libera, mentre la successione degli urti determinava la rapidità di ripetizione. Si ottenevano così suoni vocalici diversi al variare della velocità della ruota e della lunghezza della molla, benché il suono risultasse aspro (fr:5039-5043/p.744). Osservò inoltre che “il carattere dei diversi suoni vocali che risulta dalla rapida ripetizione di tuoni più o meno acuti , si annunzia anche nella semplice successione d’impulsi” – (fr:5044/p.744) [il carattere dei diversi suoni vocalici, che risulta dalla rapida ripetizione di suoni più o meno acuti, si manifesta anche nella semplice successione di impulsi], per un’analogia per cui i suoni acuti richiamano l’I, i medi l’A e i gravi l’U.

Nell’esposizione, Willis aveva assunto che il sistema linguetta-tubo rendesse lo stesso suono della linguetta isolata; ma Weber aveva già mostrato che il suono varia con la lunghezza del tubo. Lo stesso Willis notò un fenomeno rimarchevole: per certe lunghezze prossime a un multiplo intero di mezze lunghezze d’onda il sistema può emettere due suoni diversi senza cambiare apparentemente disposizione, passando “come per salto” dall’uno all’altro (fr:5047-5050/p.745). Allungando il tubo, il suono si abbassa gradualmente e poi risale di colpo; accorciandolo, il salto avviene in direzione opposta per lunghezze leggermente minori, dando luogo a due suoni possibili per la stessa posizione intermedia (fr:5050/p.745-5051/p.746). Willis non propose una spiegazione teorica (fr:5052/p.746).

La trattazione passa poi alle consonanti, definite come modificazioni che aprono o chiudono l’uscita dell’aria producendo la vocale (fr:5054-5055/p.746). Viene proposta una classificazione ispirata da Marshal Hall, resa “più compiuta e più regolare” (fr:5057/p.746): I. Labiali (P, B, M); II. Labio-dentali (F, V), con carattere sibilante; III. Dentali o linguo-dentali (T, D), con le sibilanti corrispondenti (S duro e dolce) e la nasale N; IV. Palatine o lingua-palatine (C, G duro come in italiano davanti a e, i), con le sibilanti (SC, J francese) e la nasale GN; V. Gutturali (C, G duro davanti a a, o, u, K), con la nasale gutturale (come in ancora); VI. Linguali (L, R), di cui la R può proseguire come le sibilanti (fr:5057/p.746-5073/p.748). In tutto si contano venti consonanti. A queste si aggiungono i dittonghi, dove “1’ i e 1’ u” precedono o seguono la vocale principale assumendo carattere consonantico (j, w) (fr:5074/p.748). La sillaba è definita dalla vocale o dittongo accompagnato da una o più consonanti (fr:5076/p.748). Si auspica infine un sistema ortografico uniforme per questi elementi della parola (fr:5077/p.749).

Il testo si chiude con un breve accenno all’organo dell’udito: l’orecchio esterno, descritto come una specie di “padiglione dilatato al di fuori , come il corna acustico che ne è un’imitazione” – (fr:5079-5080/p.749) [padiglione dilatato verso l’esterno, come il corno acustico che ne è un’imitazione].

[19.6/6-97-5081|5177]

34 La fisiologia dell’udito e i limiti della percezione sonora nel pensiero scientifico del primo Ottocento

«Basta che succedessero sette od otto colpi, ossia 14 o 16 vibrazioni semplici per minuto secondo; onde si rendeva così percettibile un suono a un dipresso all’ottava grave al disotto del limite che si era finqui assegnato ai suoni sensibili» – un riassunto delle ricerche sperimentali che, a partire dalla membrana del timpano, giungono a interrogare i confini estremi dell’udibile.

Il testo descrive la struttura dell’orecchio e analizza le funzioni delle sue parti secondo le conoscenze anatomiche e fisiche dei primi decenni del XIX secolo, per poi esporre in dettaglio le ricerche di Savart sui limiti di gravità e acutezza dei suoni percepibili. Il padiglione si restringe in un condotto chiuso dalla membrana del timpano, che è «secca, e tesa» (fr. 5081). Poiché le ondulazioni sonore non possono oltrepassarla, «egli è verisimile, che essa è destinata a raccoglierle, e trasmetterle all’interno colle vibrazioni di cui la sua elasticità la rende suscettibile» (fr. 5082). Tuttavia la trasmissione ossea resta possibile: la membrana può essere lacerata o distrutta «senza che la facoltà di sentire ne sia notabilmente alterata» (fr. 5083). Dietro di essa si trova la cassa del timpano, che comunica con la gola tramite la tromba di Eustachio, e contiene la catena degli ossicini – martello, incudine, staffa e lenticolare – collegati da una parte alla membrana e dall’altra al labirinto, cavità a spirale (coclea) ripiena di un liquido in cui si immerge il nervo acustico (fr. 5084‑5086). Il quadro classico concepisce il suono come propagazione attraverso l’aria della cassa, gli ossicini, le pareti del labirinto, il liquido e infine il nervo; tuttavia «quale poi sia l’uso particolare di queste parti, e qual maggior perfezione diano all’udito quelle che non paiono assolutamente indispensabili, questo è soggetto a discussioni» (fr. 5088).

Le ricerche di Savart, presentate in una memoria del 1822 e in note successive (fino al 1830‑1831), cercano di fare luce su questi usi. Contro l’ipotesi che la membrana del timpano si accordi di volta in volta ai suoni tramite i muscoli del martello, Savart dimostra che le membrane tese – e persino quelle non propriamente tese – «per le diverse divisioni che possono prendere, e la diversa direzione in cui le loro parti possono vibrare separatamente, sono suscettibili di mettersi in vibrazione per qualunque suono» (fr. 5094). L’osservazione della sabbia sparsa sulla membrana di un cadavere conferma che i granelli si muovono all’avvicinarsi di un disco vibrante, senza bisogno di variare la tensione; anzi, quando il muscolo interno del martello tende la membrana «era molto più difficile di produrre moti distinti» (fr. 5096), il che suggerisce una funzione protettiva contro impressioni troppo forti. La membrana del timpano risulta perciò un corpo capace di eseguire sempre un numero di vibrazioni uguale a quello della sorgente, e la variazione della direzione delle vibrazioni molecolari permetterebbe di giudicare la direzione del suono (fr. 5097).

L’azione del padiglione e del condotto uditivo non si limita a concentrare le onde sonore; secondo Savart essi «partecipano esse medesime alle vibrazioni dell’aria, e le trasmettono alla membrana del timpano collo stesso grado di forza, qualunque sia la loro direzione» (fr. 5098). La forma espansa del padiglione umano, con i suoi piccoli muscoli che possono tenderlo, lo rende un ausiliare elastico che presenta all’aria superfici orientate diversamente, in modo che vi sia sempre qualche porzione normale alla direzione del moto molecolare (fr. 5099). Il manico del martello, applicato alla faccia interna della membrana, oltre a regolare la tensione, partecipa ai movimenti e li comunica all’incudine e alla staffa; questa catena trasmette le vibrazioni alla finestra ovale, come «le vibrazioni della tavola superiore d’uno strumento si comunicano alla tavola inferiore per mezzo dell’anima» (fr. 5100‑5101). La base della staffa esercita così una pressione variabile sulla finestra ovale, aumentabile o diminuibile a seconda dell’azione del suo muscolo. Le articolazioni tra gli ossicini servirebbero a impedire che moti troppo rapidi nuocciano all’organizzazione (fr. 5103); un meccanismo preservatore analogo si trova all’entrata del labirinto (fr. 5104‑5105).

Una domanda sorge spontanea: a che cosa servono la membrana e la cassa del timpano, se le parti più interne potrebbero produrre da sé la sensazione? La risposta chiama in causa la protezione termica: se le membrane del labirinto fossero a contatto diretto con l’aria atmosferica, i continui cambiamenti di temperatura altererebbero i modi di divisione delle vibrazioni, e l’organo «avrebbe perduto la facoltà che esso possiede di riconoscere suoni che esso abbia già percepiti» (fr. 5107). La cassa del timpano e le cellule mastoidee formano un ricettacolo in cui l’aria riscaldata proveniente dalla bocca si porta alla temperatura costante del corpo, creando davanti alle aperture del labirinto un’atmosfera di proprietà costante (fr. 5108).

L’estensione della membrana timpanica influisce sui limiti della percezione: una membrana più piccola risponde male ai suoni gravi, e poiché nell’uomo si cominciano a sentire suoni di circa 30 vibrazioni al secondo, «pare quindi naturale il pensare che gli animali che hanno la membrana del timpano più estesa che quella dell’uomo, sentano suoni molto più gravi» e, al contrario, quelli con membrana ridotta sentano solo suoni acutissimi (fr. 5110‑5111). Tuttavia spessore, elasticità e tensione potrebbero ridurre le differenze tra specie (fr. 5112). Savart nota che nel vitello la membrana ha superficie più che doppia e pare più sottile, compatibile con la percezione di suoni più gravi almeno di un’ottava rispetto all’uomo (fr. 5113).

Il liquido labirintico trasmette le vibrazioni in ogni direzione senza alterare il numero di oscillazioni: Savart ha mostrato che la comunicazione del moto vibratorio attraverso i liquidi conserva la direzione molecolare del corpo primitivamente posto in movimento, purché non intervengano inflessioni di parti solide (fr. 5114‑5115).

Il testo raccoglie poi le indagini sperimentali sui limiti di gravità e acutezza. Wollaston, nel 1820, osservò differenze individuali: persone d’udito ottuso sentivano ancora suoni acuti ma non quelli molto gravi; egli stesso, mediante un’inspirazione forzata che tendeva la membrana del timpano, si rendeva temporaneamente insensibile ai suoni più gravi (fr. 5117). Per Wollaston il limite acuto personale era dato da un tubo che produceva circa 20000 vibrazioni semplici al secondo, e molti udivano appena il canto di certi uccelli o il pipistrello, mentre altri animali, forse i grilli, percepirebbero suoni ancora più acuti «cosicché si potrebbe dire che questi animali hanno un altro senso, che comincia forse a tal riguardo dove finisce il nostro» (fr. 5119‑5122). Tale limite di 20000 oscillazioni era più elevato di quanto ammesso in precedenza (Biot: ~8200, Chladni: 12000) (fr. 5124).

Savart riprese la questione con esperimenti su verghe cilindriche fatte vibrare longitudinalmente. «La maggior parte degli individui sentivano affatto distintamente i suoni di un cilindro di vetro di tre millimetri di diametro, e di 159 millimetri di lunghezza» corrispondenti a circa 31000 oscillazioni per secondo (fr. 5128). Accorciando le verghe arrivò a suoni di oltre 33000 oscillazioni, che egli ora sentiva ora no, indicando un limite approssimativo; verghe d’acciaio in vibrazione trasversale diedero suoni percettibili sino a 30000‑32000 oscillazioni (fr. 5129‑5130). Rimaneva il dubbio che il suono cessasse per mancanza d’intensità anziché per troppa acutezza. Per aggirarlo Savart adoperò una ruota dentata che batteva su una cartina: aumentando il diametro della ruota e il numero di denti si poteva accrescere l’intensità degli urti senza variare la frequenza. Con una ruota d’ottone di 82 cm di diametro e 720 denti, i suoni restavano percettibili sino a 24000 urti al secondo, corrispondenti a 48000 oscillazioni semplici (fr. 5134‑5137). L’intensità cominciava a diminuire, ma non si poté determinare il punto in cui il suono scompariva del tutto perché il motore non consentiva velocità più elevate (fr. 5138). Savart sottolinea che la percezione di suoni tanto alti non era un fatto personale, e che il limite osservato da Wollaston riguarderebbe piuttosto la debole intensità che l’acutezza in sé: «sembra dunque risultare da queste sperienze che … forse questo limite non esiste realmente in natura» (fr. 5139‑5141). L’intervallo già esplorato, da 32 a 48000 oscillazioni semplici, copriva più di dieci ottave (fr. 5142).

Altra questione fondamentale: quanti battimenti successivi sono necessari per produrre la sensazione di un suono continuo e riconoscibile nella scala musicale? Togliendo denti a una ruota, Savart trovò che bastano due urti successivi per costituire un suono comparabile, ossia quattro oscillazioni semplici; l’intervallo di tempo fra i due urti determina l’altezza (fr. 5144‑5147). Perciò «il tempo durante il quale un suono deve durare per essere percepito, dipende unicamente dall’intervallo che esiste fra due battimenti periodici che lo costituiscono, e per conseguenza questo tempo è tanto più corto quanto è più acuto il suono» (fr. 5148). Così, a 20000 oscillazioni (10000 urti/secondo), l’udito apprezza un fenomeno che dura solo 1/10000 di minuto secondo; al limite inferiore, 32 oscillazioni (16 urti) danno un suono ancora percepibile con intervallo di 1/15 di minuto secondo (fr. 5149).

Sulla persistenza della sensazione dopo la cessazione dello stimolo, Savart tolse singoli denti da una ruota per osservare intermittenze. Si accertò che l’impressione perdura per un certo tempo, ma non riuscì a ottenere misure rigorose perché «la sensazione di questa producendosi come per grado, cosicché e l’autore stesso in diverse sperienze, ed i diversi osservatori astanti in ciascuna sperienza portavano giudizii diversi» (fr. 5152). Tuttavia la stessa formazione di un suono continuo esige che la sensazione di ciascun urto si prolunghi quel tanto che eviti una mera successione di colpi, senza però confondere un urto con l’altro, pena la perdita dell’altezza tonale (fr. 5153).

Per spostare verso il grave il limite inferiore, Savart modificò il meccanismo di produzione del rumore: fece girare una ruota i cui razzi interrompevano periodicamente una corrente d’aria contro una lamina, generando vere e proprie esplosioni più intense e durevoli dei semplici urti (fr. 5157‑5158). Con tale dispositivo «tutti trovarono che per la produzione d’un suono continuo bastava che succedessero sette od otto colpi, ossia 14 o 16 vibrazioni semplici per minuto secondo» (fr. 5160), aggiungendo un’ottava grave all’intervallo precedentemente noto. La conclusione complessiva è che non si sono ancora trovati limiti assoluti: se si potesse aumentare proporzionalmente la durata della sensazione, i suoni gravi potrebbero scendere indefinitamente, e analogamente per gli acuti, purché non venga meno l’intensità (fr. 5161).

Il capitolo si chiude con un paragrafo intitolato «B. Delle vibrazioni sonore dei diversi fluidi aeriformi» (fr. 5162). Qui l’attenzione si sposta sulla velocità del suono nei gas. L’apparecchio descritto consiste in un tubo d’organo inserito in un pallone di vetro munito di manometro e alimentato da una vescica che contiene il gas da esaminare; i suoni prodotti vengono confrontati con quelli di un organo per trovare l’unisono (fr. 5166‑5167). Per ottenere risultati comparabili occorrono due condizioni: costanza della pressione di soffio (altrimenti la colonna d’aria si divide in modo diverso), e valutazione dell’influenza dell’imboccatura. Poiché l’imboccatura disturba la regolarità delle vibrazioni nei primi strati d’aria, e «egli è possibile, che questa irregolarità non sia la stessa in tutti i gaz, e che essa si estenda ad una profondità più o meno grande, secondo la loro natura e la loro densità» (fr. 5175), bisogna ripetere per ciascun gas le prove che Bernoulli fece nell’aria per determinare la lunghezza della colonna vibrante a pieno orifizio; solo dopo tale correzione si può calcolare la velocità assoluta del suono nel gas (fr. 5176). Il testo menziona espressamente la figura 98 come illustrazione dell’apparato (fr. 5166‑5167).

[20]

[20.1/2-79-5400|5475]

35 Vibrazioni longitudinali e moti concomitanti nelle verghe solide

Le ricerche di Savart rivelano che le vibrazioni longitudinali nelle verghe sono accompagnate da un complesso moto trasversale secondario, governato da leggi precise di isocronismo, che si manifesta attraverso linee nodali tracciate dalla sabbia.

Il testo analizza in dettaglio la dinamica delle vibrazioni longitudinali nelle verghe rigide, partendo dalla loro formalizzazione matematica fino alla descrizione dei fenomeni vibratori complessi messi in luce dagli esperimenti di Savart. Il punto di partenza è l’espressione della velocità del suono nei solidi secondo la teoria di Laplace, che permette di calcolare il numero di vibrazioni. Come indicato, “il numero delle vibrazioni che fa una verga rigida, vibrando longitudinalmente, in un minuto secondo, è espresso […] da a’/λ” (fr:5398/p.792), dove a’ rappresenta la velocità del suono nella materia. Sostituendo l’espressione di Laplace, il numero di vibrazioni in un minuto secondo diviene “y/λ” (fr:5398/p.792). Il testo prosegue chiarendo che questo valore può essere espresso nella forma “1/√(DT)” (fr:5399/p.792), dove D è la densità della materia rapportata a quella del mercurio e T l’accorciamento o allungamento prodotto da una forza equivalente al peso di una colonna di mercurio.

Questa formalizzazione si raccorda con quanto stabilito per analogia con l’aria, dove il coefficiente rimaneva indeterminato, precisando ora che “la rigidità o forza elastica p della stessa materia […] è infatti in ragione inversa dell’allungamento o l’accorciamento che una data forza vi può produrre” (fr:5400/p.793). Viene fornito un esempio quantitativo di questa forza elastica: “per produrre un accorciamento di 0,0001 in una spranga di vetro di questa sezione, si richiederebbe un peso di 741 grammi” (fr:5397/p.791), valore ottenuto considerando la gravità specifica del vetro.

Un passaggio storicamente rilevante riguarda l’apparente paradosso per cui materiali diversi come vetro, ferro e legno d’abete producono quasi lo stesso suono nelle esperienze di Chladni. La spiegazione risiede nel fatto che “la loro rigidità, e la loro densità si siano compensate reciprocamente” (fr:5401/p.793). Il testo ne dà conferma numerica: dividendo la densità del ferro (7,8) per quella del vetro (2,5) si ottiene 3,12, che è proprio il rapporto tra la rigidità del ferro (2,314 kg) e quella del vetro (0,741 kg).

Vengono poi esplorate diverse formulazioni per la durata di una vibrazione. Nel caso più semplice, con un’estremità libera e l’altra fissa per cui α=4l, la durata di ciascuna oscillazione è “4l√(D/g)” (fr:5403/p.794), mentre il numero corrispondente di vibrazioni è “(1/4l)√(g/D)” (fr:5403/p.794). Utilizzando le costanti relative alla natura della verga, dove b = kl/Q, la durata diviene “a√(b/g)” (fr:5403/p.794). Laplace dedusse direttamente queste espressioni dall’equazione differenziale del moto di vibrazione longitudinale, “equazione che era già stata data da Lagrange nella seconda edizione della sua Meccanica analitica” (fr:5404/p.794).

La parte più corposa e originale del testo è dedicata alle scoperte di Savart sulle vibrazioni concomitanti. Le osservazioni sperimentali mostrano che “le vibrazioni longitudinali delle verghe […] sono accompagnate […] da altre vibrazioni longitudinali concomitanti, che si fanno relativamente a linee nodali continue, giranti in forma d’elice” (fr:5411/p.795). In una memoria del 1832, Savart descrisse il caso più semplice: facendo vibrare longitudinalmente una verga, “si osservano però sulle due sue faccie […] più linee nodali trasversali, indicate da quelle che la sabbia vi traccia, le quali alternano da una faccia all’altra opposta” (fr:5415/p.795). Savart stabilì tre leggi fondamentali per queste linee nodali concomitanti: “Le lunghezze delle parti vibranti separate da queste linee nodali […] restano costanti qualunque sia la larghezza” (fr:5418/p.796); “Queste lunghezze sono proporzionali alla radice quadrata dello spessore” (fr:5419/p.796); “Esse sono proporzionali alla radice quadrata della lunghezza” (fr:5420/p.796).

Queste leggi conducono a una conclusione fondamentale: sono “precisamente quelle che debbono aver luogo, se quelle linee sono prodotte da un moto distinto dalle vibrazioni longitudinali principali, normale, ossia trasversale alla lunghezza delle verghe, e sottoposto alla condizione che le sue vibrazioni siano isocrone” (fr:5421/p.796). La spiegazione è che il numero di vibrazioni longitudinali è indipendente dallo spessore, mentre quello delle vibrazioni trasversali vi è proporzionale (fr:5423/p.796); inoltre, i numeri delle vibrazioni longitudinali sono in ragione inversa della semplice lunghezza, mentre quelli delle trasversali sono inversamente proporzionali ai quadrati delle lunghezze (fr:5424/p.797). Savart confermò direttamente questa relazione “facendo vibrare trasversalmente le verghe o corde che aveano reso un dato suono vibrando longitudinalmente” (fr:5428/p.798), ottenendo lo stesso tuono quando le vibrazioni trasversali avevano per linee nodali quelle tracciate dalla sabbia nel moto concomitante.

Il meccanismo fisico proposto per spiegare queste osservazioni è ingegnoso. Le inflessioni trasversali “sono certamente prodotte dalle contrazioni longitudinali che appartengono a questo moto, per la stessa ragione che quando una verga è compressa nella direzione del suo asse […] essa prende ad un tratto un numero più o men grande di curvature alternative” (fr:5432/p.799). A differenza di un’impulsione singola, qui “alla contrazione longitudinale che ha prodotto una di queste inflessioni, succede una dilatazione longitudinale che tende a raddrizzare la verga, cosicché le inflessioni non possono che scomparire, senza riprodursi dall’altra parte” (fr:5434/p.799). Il moto concomitante è quindi composto di semi-oscillazioni, con la verga che presenta successivamente la forma rettilinea e una delle forme inflesse, “e non mai l’altra” (fr:5436/p.799).

Il testo fornisce una spiegazione dettagliata del moto tangenziale della sabbia, apparentemente paradossale, osservando che nelle inflessioni subitanee “una compressione avrà luogo in N, per l’avvicinamento delle molecole nella concavità, e questa compressione si propagherà contemporaneamente in opposto verso” (fr:5441/p.800). Contemporaneamente, “una dilatazione avrà luogo in N’ cioè nella convessità, ove le molecole debbono allontanarsi” (fr:5442/p.801). Tuttavia, poiché l’inflessione non passa mai dall’altra parte dell’asse ma semplicemente si raddrizza, il moto sensibile della sabbia si manifesta solo nei punti di convessità, facendo sì che “i soli punti N, N’ si mostrano sensibilmente come tali nel movimento della sabbia” (fr:5447/p.802). Questo spiega perché i nodi siano visibili alternativamente sulle due facce. La struttura interna del moto è tale che esiste “una sezione o superficie nodale” (fr:5450/p.802) longitudinale mediana ABCD, dove le molecole non hanno alcun moto.

La conclusione teorica è che “ogni corpo che vibra longitudinalmente diviene la sede di due movimenti, l’uno che è analogo a quello delle colonne d’aria […] l’altro che si compone di inflessioni trasversali alternative” (fr:5455/p.803). Sebbene l’isocronismo perfetto impedisca di distinguere i due suoni, Savart osservò che in certe circostanze, quando il moto longitudinale è molto intenso, si produce “un suono di un’ottava più basso che quello prodotto dalle vibrazioni longitudinali” (fr:5459/p.804), poiché un’escursione trasversale completa richiede il tempo di due escursioni longitudinali.

Il testo esplora infine le diverse configurazioni che possono assumere le inflessioni trasversali. Oltre alla disposizione regolare con un numero impari di ventri, “accade talvolta che la porzione vibrante di mezzo si divida in due parti formanti un nodo di vibrazione trasversale nel punto di mezzo” (fr:5467/p.806). In questo caso (fig. 103), il ventre centrale si sdoppia in due ventri opposti, con le due metà della verga che “si inflettono così indipendentemente l’una dall’altra” (fr:5470/p.806). Savart nota che “questo modo di divisione è quello che si presenta il più sovente […] all’osservazione” (fr:5472/p.806), sebbene le due linee nodali centrali siano spesso mal disegnate e oblique. Quando il moto concomitante prevede un numero pari di ventri, la configurazione più regolare è quella con otto ventri disposti simmetricamente attorno al punto di mezzo, che costituisce un nodo di vibrazione trasversale (fr:5475/p.807).

[20.2/2-78-5476|5553]

36 Moti concomitanti delle vibrazioni longitudinali: sistemi nodali, combinazioni e misure sperimentali

L’analisi dei modi di vibrazione secondaria in verghe, lamine e cilindri messi in vibrazione longitudinale rivela una ricca casistica di nodi, ventri e linee elicoidali, interpretata da Savart attraverso l’interazione tra inflessioni trasversali e dilatazioni.

Nelle verghe di sezione rettangolare che vibrano longitudinalmente si osserva talvolta un fenomeno singolare: «si forma nel mezzo della lunghezza della verga una parte vibrante della metà più breve che le altre , di cui il ventre si trova cosi prendere il luogo del nodo che vi dovrebbe essere nel punto di mezzo» – (fr:5476/p.807). La conseguenza è che il numero totale dei ventri, che sarebbe stato pari, diventa impari, mentre le tre parti vibranti centrali equivalgono nello spazio a due parti di moto regolare. Questa disposizione è illustrata nella fig. 105, con il ventre centrale contrassegnato dalle lettere nv (fr:5477/p.806-5478/p.807).

Per descrivere la varietà dei comportamenti, Savart introduce quattro modi di divisione distinti, validi in direzione normale a due facce opposte, indicandoli con lettere: «A , a i due modi di vibrazione per un numero di ventri di vibrazione trasversale regolarmente ìmpari, ma che diviene pari nel modo a; e colle lettere B, b i due modi di vibrazione di un numero di ventri originalmente pari, ma che diviene impari nella modificazione b» – (fr:5479/p.807). Questa nomenclatura serve a richiamare sinteticamente i tipi di movimento.

Quando si esamina una verga prismatica quadrata, le linee nodali tracciate con sabbia sulle quattro facce mostrano che la verga si inflette simultaneamente in due direzioni ortogonali, e che i due moti di flessione coesistono senza confondersi (fr:5480/p.807). I quattro tipi A, a, B, b possono combinarsi a due a due sulle facce opposte, dando luogo a dieci disposizioni particolari di linee nodali (fr:5481/p.808). In un caso notevole, quando coesistono due tipi uguali A e A (fig. 106), tutto accade come se la verga si inflettesse in una sola direzione, perpendicolarmente a uno dei piani diagonali; le linee nodali del moto longitudinale secondario sono rese visibili dall’accumulo di sabbia e si corrispondono su facce adiacenti, come indicano le linee piene e punteggiate e le frecce che segnano l’opposizione dei moti (fr:5482-5483/p.808).

Un’osservazione cruciale riguarda gli spigoli della verga. Lo spigolo fg (e l’opposto hi), che separa le due paia di facce, giace in mezzo a parti animate da moti longitudinali di verso contrario; esso diviene perciò una linea di riposo, sebbene di natura diversa dalle linee nodali trasversali, perché qui i movimenti delle molecole sono paralleli allo spigolo stesso (fr:5484/p.808). Al contrario, gli altri due spigoli sono linee di movimento: un leggero anello posato sui primi resta immobile, mentre sugli altri si sposta con grande velocità verso la linea nodale trasversale più vicina (fr:5486/p.808). Considerando la massa del prisma, essa è divisa longitudinalmente da una superficie nodale hfξi e trasversalmente da sezioni nodali: il piano hfgi diviene analogo al piano ABCD della fig. 101 per le lamine (fr:5487/p.808-5488/p.809).

Quando i modi si combinano con sé stessi (AA, BB, aa, bb, Aa, Bb), il moto può ancora ridursi a inflessioni in una sola direzione, perpendicolari a un piano diagonale, talvolta con l’inversione della direzione tra le due metà simmetriche della lunghezza (fr:5489-5490/p.809). Nelle restanti quattro combinazioni (AB, ab, Ab, Ba), in cui un tipo con numero originariamente impari di ventri si unisce a uno con numero pari, si manifesta un comportamento differente: le linee di un tipo si riuniscono a quelle dell’altro attraverso porzioni di spigoli, formando «una sola linea nodale strisciante che inviluppa la verga in tutta la sua lunghezza» oppure due linee che partono dal mezzo e girano in versi opposti (fr:5492/p.809). Queste linee elicoidali continue sono state esaminate sperimentalmente da Savart per ogni combinazione; il testo si limita a stabilirne il principio e a prevederne le conseguenze generali (fr:5494-5495/p.810).

Tali modi di divisione si ritrovano in natura, ma sono spesso alterati e irregolari. La ragione risiede nel fatto che il numero delle vibrazioni longitudinali raramente coincide esattamente con quello delle vibrazioni trasversali capaci di produrre lo stesso suono; quando il suono longitudinale cade tra due suoni trasversali possibili, il modo di divisione trasversale si trasforma, alterando la lunghezza delle parti vibranti in modo analogo a quanto accade quando un corpo è posto in moto per comunicazione o quando pressioni forzano lo spostamento dei nodi (fr:5496-5498/p.810).

L’analisi si estende alle verghe a sezione rettangolare allungata: anche qui si manifestano inflessioni nelle due direzioni ortogonali, e Savart trova per via sperimentale che le linee nodali sugli spessori offrono disposizioni analoghe a quelle delle facce, sebbene siano in generale mal disegnate, tanto meno distinte quanto più le verghe sono larghe (fr:5499-5501/p.811).

Nei cilindri liberi vibranti longitudinalmente si osserva una grande analogia con le verghe quadrate. Possono presentare linee nodali semi-anulari (fig. 107) disposte alternativamente e riunite da due linee longitudinali diametralmente opposte, ab e cd, da una parte e dall’altra delle quali il moto longitudinale è ovunque opposto (fr:5502-5505/p.811). Tale configurazione, visibile anche con anelli leggeri, si riscontra sia nei cilindri pieni sia nei tubi. Nei tubi, la superficie interna mostra, secondo le osservazioni di Savart, esattamente la stessa disposizione di linee nodali longitudinali corrispondenti a quelle esterne, mentre le linee trasversali semi-anulari interne cadono in corrispondenza del mezzo degli intervalli che separano quelle esterne, un fatto che solleva una difficoltà interpretativa: la spiegazione data per le lamine piane, basata su semplici inflessioni normali, non sembra potersi applicare immediatamente alla lamina cilindrica del tubo, che subisce condensazioni e dilatazioni tanto all’interno quanto all’esterno (fr:5506-5508/p.812).

Quando nei cilindri la disposizione delle linee di riposo deriva dalle combinazioni dei tipi A con B, oppure a con b, o incrociate, il risultato è una linea nodale continua che gira in elica attorno al cilindro, ora da sinistra a destra e viceversa, ora in versi opposti nelle due metà (fr:5509/p.813). Savart riconosce in questi casi l’esistenza di un’elica nodale intermedia, le cui spire sono frapposte a quelle dell’elice indicata dai moti dell’anello; egli la chiama «elica ventrale», ma il testo la considera impropriamente denominata perché, in un moto di vibrazione longitudinale, una linea verso cui le molecole si muovono alternativamente è una vera linea nodale, anche se i moti prossimi sono troppo deboli per essere rivelati dall’anello (fr:5510/p.813). Nei tubi, la sabbia depositata sulla superficie interna evidenzia un’elica nodale corrispondente al mezzo degli intervalli dell’elica esterna, il che suppone un’altra elica interna insensibile alla sabbia, simmetrica di quella sensibile esterna (fr:5511/p.813-5512/p.814). L’autore suggerisce, per farsi un’idea immediata della posizione relativa di queste linee elicoidali interna ed esterna, di riferirsi alla disposizione di sezioni nodali oblique nello spessore della lamina del tubo, già rappresentata nella fig. 18 del Tomo I (fr:5512-5513/p.814).

Oltre alle verghe libere, anche quelle fissate a una o a entrambe le estremità e le corde tese manifestano moti trasversali concomitanti durante la vibrazione longitudinale. Nelle verghe fissate a un’estremità, il punto fisso impone un nodo di vibrazione; di conseguenza non possono formarsi linee nodali striscianti continue sulle verghe quadrate o cilindriche, e i moti concomitanti restano semplici: le inflessioni nelle due direzioni ortogonali si riducono sempre a inflessioni in una sola direzione relativa ai piani diagonali (fr:5515-5517/p.814). Per le verghe fissate a entrambe le estremità e per le corde, le leggi dei moti concomitanti variano secondo il modo in cui gli effetti delle vibrazioni trasversali si combinano con quelli delle vibrazioni longitudinali; lo studio particolareggiato condotto sulle verghe libere è sufficiente per dare un’idea generale di queste combinazioni (fr:5518/p.815).

Un ulteriore livello di complessità si aggiunge quando alle vibrazioni longitudinali si combinano vibrazioni di torsione, ovvero vibrazioni trasversali che si fanno in verso opposto nelle diverse parti in cui la lamina può dividersi longitudinalmente. Nella fig. 108 una lamina è divisa dalla linea mediana ab in due parti, ciascuna con porzioni vibranti in verso opposto; un ventre sulla faccia anteriore appartiene a una linea nodale del moto concomitante visibile su quella stessa faccia, mentre il corrispondente ventre sull’orlo opposto, che prende convessità verso la faccia posteriore, dà luogo a una linea nodale visibile solo sul retro. Le figure 109, 50 e 49 mostrano come queste linee, combinandosi con moti in direzioni diverse, possano incurvarsi e girare attorno alle facce di una verga prismatica con una complicazione dipendente dalla torsione (fr:5520/p.815-5529/p.816).

Fin qui si è sempre supposto che le vibrazioni longitudinali avvenissero nel modo più semplice, con il punto di mezzo come unico nodo, coincidente con un ventre o un nodo del moto trasversale. Ma già nel primo armonico longitudinale il punto di mezzo non è più un nodo; i centri di contrazione e dilatazione si trovano ai quarti della lunghezza, punti che non coincidono mai esattamente con un ventre o un nodo del moto trasversale. Questa circostanza introduce una varietà ancora maggiore nella disposizione delle linee di riposo, varietà che cresce per gli armonici più elevati. I sistemi nodali conservano tuttavia gli stessi caratteri generali e, vicino ai piani di contrazione e dilatazione, tutto si comporta analogamente a quanto avviene al centro nel caso del suono fondamentale (fr:5531/p.816-5536/p.817).

L’alternanza con cui le linee nodali del moto concomitante sono segnate dalla sabbia su una faccia e non sull’altra dipende dalla resistenza che il materiale offre localmente alle inflessioni. In alcune lamine di vetro o in verghe metalliche tratte alla filiera, tali linee non compaiono affatto, segno che le inflessioni non avvengono; a volte esse divengono visibili dopo un periodo di vibrazione, come se il moto avesse indotto una disposizione permanente diversa delle molecole (fr:5538/p.817-5539/p.818). Savart osservò infatti che una verga metallica sospesa verticalmente e tirata da un peso, fatta vibrare longitudinalmente in quella posizione, subisce un allungamento permanente assai maggiore di quanto farebbe per sola trazione, perché la dilatazione prodotta da ciascuna vibrazione si somma a quella statica (fr:5540/p.818). La stessa disuguaglianza di lunghezza delle porzioni vibranti e la conseguente irregolarità delle distanze tra le linee nodali sono ricondotte a differenze di rigidità elastica, verificate direttamente da Savart misurando il diverso allungamento non permanente di porzioni di uno stesso filo sottoposte a uno stesso peso (fr:5541/p.818).

L’ampiezza delle vibrazioni longitudinali è sorprendente. Savart misurò gli allungamenti alternativi con uno sferometro, ponendo la verga orizzontale e fissata al centro, quindi facendone vibrare un’estremità contro la vite dello strumento fino a percepire urti periodici; dalla posizione dell’indice deduceva la quantità di allungamento. Da queste esperienze trasse tre leggi: gli allungamenti sono proporzionali alla lunghezza della verga; sono tanto maggiori quanto minore è la velocità del suono nel materiale, cioè quanto minore è la resistenza elastica alla compressione e trazione; e, infine, il loro valore è indipendente dalla sezione della verga (fr:5543/p.819-5545/p.215). Valori assoluti esemplificativi: per una verga di rame lunga 1,302 m l’allungamento doppio (esteso a tutta la lunghezza) fu di 0,292 mm, pari a circa 1/4458 della lunghezza; per ottone, 0,250 mm (1/5208); per ferro, 0,22 mm (1/5900 circa); e per una verga di piombo di 1,956 m, 0,398 mm (circa 1/4915) (fr:5546/p.819-5549/p.820). L’indipendenza dalla sezione, apparentemente contraria all’idea che gli allungamenti siano inversamente proporzionali all’area, viene giustificata osservando che il fregamento mette dapprima in moto gli strati superficiali e, se protratto, trasmette il moto all’intera massa come se fosse applicato a ciascun filetto, rendendo così la sezione ininfluente sul moto definitivo (fr:5550/p.820).

La potenza di queste piccole alterazioni dell’equilibrio molecolare è enorme: Savart calcola che per allungare staticamente un cilindro di vetro della quantità prodotta dalle vibrazioni occorrerebbe un peso di 900 chilogrammi, e per l’ottone di 1700 chilogrammi (fr:5551/p.820). Ciò spiega come una leggera vibrazione longitudinale possa talvolta rompere tubi e lamine di vetro (fr:5552/p.820).

[21]

[21.1/1-39-5584|5622]

37 La propagazione delle vibrazioni elastiche e le implicazioni per la luce e il calore nel pensiero di Poisson

Sintesi delle memorie di Poisson del 1828-1830 sulla dinamica dei corpi elastici e fluidi, con particolare attenzione alla generazione di due onde distinte, alle condizioni per la loro esistenza e alla connessione con la teoria ondulatoria della luce e del calore.

L’estratto ripercorre le tappe fondamentali della ricerca di Siméon Denis Poisson sull’equilibrio e il moto dei corpi elastici e dei fluidi, sviluppata in una serie di memorie presentate all’Accademia di Parigi tra il 1828 e il Le nuove formulazioni, basate sull’azione delle molecole disgiunte, correggevano le teorie precedenti che consideravano la materia come continua. Le equazioni generali ottenute, come sottolinea il testo, offrivano una base unificata per lo studio delle vibrazioni longitudinali e della propagazione del suono in solidi, liquidi e gas: “Le formole generali del movimento dei corpi elastici e dei fluidi contenute in queste Memorie , e che arrecano qualche Inodiiicazione a quelle che generalmente si ammettevano dietro a con siderazioni ed ipotesi particolari su questi corpi, considerati come formati di sostanza materiale continua , possono anche servir di base alla teoria sia delle vibrazioni longitudinali delle verghe rigide elastiche , e di quelle delle colonne di fluidi aeriformi, sia della propagazione del suono pei corpi solidi, liquidi, e gazosi” (fr:5587/p.825). Poisson non applicò direttamente queste formule alle vibrazioni longitudinali, ma ne fece uso in una memoria successiva dell’ottobre 1830, in cui giunse a un’integrazione più completa e generale rispetto ai lavori precedenti, inclusa l’addizione dell’aprile In quella memoria, “egli diede l’integrazione di quelle equazioni differenziali , indicò la maniera di determinare, dietro allo stato iniziale del sistema, le funzioni arbitrarie che rendono compiute le loro integrali, e ne dedusse le leggi della propagazione del moto, e la costituzione delle onde mo∙ bili ad una grande distanza dalla commozione primitiva” (fr:5590/p.825).

Per i corpi solidi non cristallizzati (elasticità isotropa), già dalle equazioni stabilite nel T. 8 dell’Accademia risultava che una perturbazione limitata dà origine a due onde mobili sferiche di uguale spessore, che si propagano con velocità differenti. Il rapporto tra queste velocità è indicato dapprima come “quello della radice quadrata di 3 all’unità” (fr:5595/p.826). Più avanti, il testo riporta un rapporto inverso quando descrive le onde trasversali: la loro velocità sta a quella delle onde longitudinali “come 1’unità è alla radice terza di 3” (fr:5601/p.827). La discrepanza numerica (radice quadrata vs. radice terza) riflette probabilmente un refuso tipografico, ma il dato fisico essenziale è la distinzione tra le due specie d’onda. L’analisi dell’ultima memoria permise di precisare la natura delle onde a grande distanza dalla sorgente, superando i limiti delle prime integrali che risultavano “poco atte alla discussione dei fenomeni, di cui esse rinchiudono implicitamente le leggi” (fr:5597/p.827).

I caratteri delle due onde sono nettamente differenziati. In quella che si propaga più rapidamente, le velocità molecolari sono dirette lungo i raggi (longitudinali) e sono accompagnate da dilatazioni proporzionali, configurando un’onda di condensazione analoga a quella dei fluidi. Nell’onda più lenta, le velocità sono invece perpendicolari ai raggi (trasversali) e non comportano variazioni di densità. L’intensità del moto, misurata dalla somma delle forze vive, diminuisce in ragione inversa del quadrato del raggio durante la traslazione dell’onda (fr:5599-5601/p.827). Affinché esista una sola specie d’onda, sono necessarie condizioni molto restrittive sulla commozione primitiva. Se questa è simmetrica attorno a un punto, sopravvivono solo le onde longitudinali, e la propagazione avviene come nei fluidi; viceversa, è difficile realizzare le condizioni per avere solo onde trasversali (fr:5602/p.828).

Un contributo fondamentale di Poisson riguarda la possibilità di estendere questi risultati ai fluidi e, di conseguenza, alla propagazione della luce. Nei fluidi in moto molto rapido, la pressione potrebbe non rimanere uniforme in tutte le direzioni a causa del tempo insufficiente a ristabilire l’equilibrio. In tale circostanza, il fluido si comporterebbe come un solido elastico, dove una forza esterna produce condensazioni diverse nelle varie direzioni a causa dell’ostacolo molecolare. Questo meccanismo spiegherebbe il fenomeno osservato da Clément, in cui aria e vapore in moto in un tubo esercitano una forte pressione frontale e una debole pressione laterale (fr:5592-5593/p.826). Di conseguenza, anche nei fluidi potrebbero generarsi onde con moti molecolari trasversali, qualora le vibrazioni fossero sufficientemente rapide (fr:5603/p.828).

Questa conclusione acquista rilievo centrale nella teoria ondulatoria della luce. Poiché i fenomeni di polarizzazione luminosa, stabiliti da Fresnel, esigono che le vibrazioni dell’etere siano perpendicolari alla direzione di propagazione, si devono realizzare nell’etere le stesse condizioni che nei solidi danno origine alle sole onde trasversali. Secondo Poisson, tale ipotesi è implicitamente contenuta nei calcoli di Fresnel e di Cauchy sulla propagazione della luce (fr:5605/p.828-5609/p.829). Per analogia, e in virtù delle somiglianze tra luce e calore raggiante dimostrate dalle scoperte di Melloni, lo stesso modello andrebbe applicato anche al calore (fr:5611-5612/p.829).

Le ricerche analitiche qui descritte valgono per corpi con elasticità uguale in ogni direzione attorno a un punto. Poisson aveva tuttavia delineato le equazioni per il caso più generale di elasticità diversa nelle diverse direzioni, applicabile ai corpi cristallizzati. In questi, il suono si propagherebbe con velocità variabili a seconda dell’orientamento cristallino, e la teoria del moto vibratorio diviene molto più complessa (fr:5614-5617/p.829). Tale generalizzazione trova un’applicazione fisica diretta proprio nell’ottica dei cristalli, dove la diversa densità ed elasticità che l’etere assume nelle diverse direzioni cristallografiche determina le anomalie di rifrazione e riflessione. Di questo aspetto si era occupato principalmente Cauchy, ma l’estratto dichiara l’argomento estraneo allo scopo dell’opera, limitandosi a menzionare anche i contributi di Challis sul Philosophical Magazine (fr:5618-5622/p.830).

[22]

[22.1/1-99-5653|5749]

38 L’arte di pesare i gas: correzioni, precauzioni e formalismo matematico nel trattato

Un documento che espone, con rigore ottocentesco, le cause di errore nella determinazione della densità dei gas e le procedure sperimentali e analitiche per eliminarle.

Il testo descrive il problema centrale della pesatura dei gas: risultati apparentemente discordanti si ottengono anche usando la stessa apparecchiatura in giorni diversi, segno che le osservazioni, «quantunque esatte, non Sono intieramente comparabili tra loro, e debbono, per divenirlo, subire molte correzioni» – (fr:5651/p.833) [quantunque esatte, non sono interamente comparabili tra loro, e debbono, per divenirlo, subire molte correzioni]. Le correzioni necessarie nascono da variazioni di pressione atmosferica, temperatura, dilatazione del pallone e contenuto di vapore acqueo, che alterano la densità sia dell’aria contenuta nel pallone sia dei gas introdotti (fr:5652/p.833). Agisce inoltre il principio di Archimede: un corpo immerso in un fluido «vi perde sempre una parte del suo peso uguale a quello del volume di fluido di cui occupa il luogo» – (fr:5653/p.833) [vi perde sempre una parte del suo peso uguale a quello del volume di fluido di cui occupa il luogo], per cui la perdita di peso del pallone pieno o vuoto varia con volume, pressione, temperatura e umidità dell’aria esterna (fr:5654/p.833). A ciò si aggiunge l’imperfezione del vuoto: «qualunque cura si prenda per esaurire l’aria nell’interno del pallone, vi resta sempre una quantità di fluidi elastici» – (fr:5655/p.834) [qualunque cura si prenda per esaurire l’aria nell’interno del pallone, vi resta sempre una quantità di fluidi elastici], aria e vapor d’acqua, che esercitano una pressione residua.

Per ottenere gas puri, il testo prescrive minuziose precauzioni. I gas saturi di umidità vanno raccolti sotto campane con acqua «purgata d’aria coll’ ebollizione» – (fr:5658/p.834) [purgata d’aria coll’ebollizione], per evitare lo scambio con altri gas disciolti. La raccolta deve iniziare solo «quando tutta l’aria dei vasi, da cui si svolge, è stata compiutamente scacciata» – (fr:5659/p.834) [quando tutta l’aria dei vasi, da cui si svolge, è stata compiutamente scacciata]. Se si desidera un gas esente da vapor acqueo, lo si raccoglie su mercurio in un apparato pneumato-chimico e lo si fa passare attraverso un tubo «pieno di frammenti di cloruro di calcio» – (fr:5662/p.834) [pieno di frammenti di cloruro di calcio] come essiccante. Nel lavoro su mercurio occorre «staccare esattamente le piccole bolle d’aria» – (fr:5663/p.834) [staccare esattamente le piccole bolle d’aria] dalle pareti con un filo di ferro, perché altererebbero purezza e peso del gas.

L’introduzione del gas nel pallone vuoto si esegue connettendo il pallone a una campana munita di chiavetta (fr:5666/p.835). Tuttavia, aria resta intrappolata tra le due chiavette e «introducendosi poi nel pallone col gaz, ne altera necessariamente la purezza» – (fr:5668/p.835) [introducendosi poi nel pallone col gaz, ne altera necessariamente la purezza], errore sensibile per gas leggerissimi come l’idrogeno. Si rimedia praticando il vuoto nella campana stessa (fr:5669/p.835) o, più comodamente, usando una chiavetta laterale stretta con una piccola chiavetta r, come illustrato nella fig. 110 (fr:5673-5674/p.835). In questo modo si può riempire la campana d’acqua o mercurio senza introdurre aria, e poi far passare il gas nel pallone aprendo le chiavette con ordine (fr:5675/p.835-5679/p.836). Fondamentale è introdurre il gas «assai lentamente» – (fr:5681/p.836) [assai lentamente], perché un ingresso rapido ne causerebbe il raffreddamento per espansione, con conseguente condensazione di vapor acqueo che falserebbe il peso (fr:5679-5680/p.836). Mantenere l’apparato pneumato-chimico a temperatura di uno o due gradi inferiore a quella del pallone aiuta ulteriormente a evitare la precipitazione di acqua (fr:5683/p.836). Per gas secchi su mercurio bisogna invece «fare il vacuo secco nell’interno del pallone» – (fr:5684/p.836) [fare il vacuo secco nell’interno del pallone], assorbendo il vapor acqueo residuo con un sale avido di umidità.

Una volta introdotto il gas, si lascia il pallone in comunicazione con la campana finché il gas interno raggiunge la temperatura dell’aria esterna (fr:5687-5688/p.837). La forza elastica si determina eguagliando i livelli del liquido interno ed esterno: «quando questa uguaglianza ha luogo, il gaz interno fa esattamente equilibrio alla pressione dell’atmosfera» – (fr:5690/p.837) [quando questa uguaglianza ha luogo, il gaz interno fa esattamente equilibrio alla pressione dell’atmosfera]. La massima esattezza nel confronto dei livelli è indispensabile, soprattutto con il mercurio, a causa del suo grande peso specifico (fr:5691/p.837). Per la precisione del calcolo le pesate del pallone vuoto e pieno e l’introduzione del gas devono avvenire «a temperature, e sotto pressioni atmosferiche pochissimo diverse le une dalle altre» – (fr:5692/p.837) [a temperature, e sotto pressioni atmosferiche pochissimo diverse le une dalle altre].

Il formalismo algebrico definisce X come il peso dell’aria secca a 0°C e 0,76 m di pressione che il pallone può contenere, P_r il suo volume interno a 0°C e (P) il peso assoluto del pallone (fr:5697-5698/p.838). Combinando le dilatazioni del gas (coefficiente 0,00375 per °C) e del vetro (k), si esprimono i pesi apparenti nelle due pesate e si ricava l’equazione generale per il peso incognito Y del gas introdotto (fr:5719/p.840-5725/p.842). Se si pesa aria atmosferica, Y = X e la formula fornisce X; in alternativa X si può calcolare dal volume del pallone, determinato con una pesata ad acqua distillata (fr:5727-5728/p.842). Un’osservazione capitale è che «se la temperatura e la pressione sotto cui si sono fatte le pesature del pallone vacuo, e del pallone pieno fossero le stesse tra loro» – (fr:5724/p.842) [se la temperatura e la pressione sotto cui si sono fatte le pesature del pallone vacuo, e del pallone pieno fossero le stesse tra loro] la formula si semplifica, eliminando l’influenza degli errori su X (fr:5729/p.842-5731/p.843). Sulla scorta di Biot, si suggerisce di ripetere la pesata del pallone vuoto dopo quella del pieno e usare la media per compensare le variazioni atmosferiche (fr:5733-5734/p.843); ma «li signori Berzelius e Dulong … hanno creduto questo metodo meno vantaggioso» – (fr:5735/p.844) [i signori Berzelius e Dulong hanno creduto questo metodo meno vantaggioso] a causa del lungo tempo richiesto dalla preparazione di alcuni gas, preferendo pesare il pallone vuoto subito dopo il pieno per ridurre l’intervallo.

L’umidità dell’aria esterna non invalida le formule purché sia la stessa nelle due pesate; condizione ottenibile con un intervallo brevissimo o con la doppia pesata del vuoto (fr:5737-5738/p.844). Quanto al vuoto perfetto, anche dopo un pompaggio prolungato le pareti restano coperte da un sottile strato d’acqua che nel vuoto sviluppa vapor acqueo (fr:5741-5742/p.845). Questo vapore, tuttavia, aiuta a estrarre le ultime tracce d’aria perché «la tensione permanente del vapore è abbastanza forte per sollevare le animelle delle trombe» – (fr:5746/p.845) [la tensione permanente del vapore è abbastanza forte per sollevare le animelle delle trombe]. Raggiunto tale stato, per ottenere un vuoto secco occorre assorbire il vapore con un sale igroscopico introdotto nello spazio tra le due chiavette dell’apparecchio di fig. 110 (fr:5748-5749/p.845).

[23]

[23.1/3-90-5933|6021]

39 L’ipotesi molecolare di Avogadro e la teoria dei volumi nei corpi aeriformi

Il testo espone i fondamenti e gli sviluppi della teoria che lega la densità dei gas alla massa delle loro molecole, a partire dall’ipotesi che “per un dato volume il numero delle molecole integranti sia lo stesso, ossia che la distanza dei centri delle molecole sia costante per tutti i gaz presi a temperatura, e pressione uguale, e che perciò … la loro densità in queste circostanze sia proporzionale alla massa delle loro molecole” – (fr:5932/p.863) [per un dato volume il numero delle molecole integranti sia lo stesso … la loro densità … sia proporzionale alla massa delle loro molecole]. Questa supposizione trova una giustificazione fisica nelle leggi note dei fluidi aeriformi: “Questo principio, una volta che sia ammesso, viene poi, in altri termini a dire, secondo la legge di Mariotte, e quella dell’uguale dilatazione di tutti i gaz dal calore, che a qualunque data temperatura, perché la forza elastica dei diversi gaz … sia uguale, si richiede che i centri di queste molecole si trovino a ugual distanza, qualunque sia la grossezza e qualità delle medesime” – (fr:5933/p.863) [la legge di Mariotte e la dilatazione uniforme dei gas impongono uguale distanza tra i centri molecolari a parità di pressione e temperatura].

Per adattare l’ipotesi anche ai gas composti e per render conto delle combinazioni chimiche, si introducono due livelli di aggregazione. Le molecole integranti dei gas sono concepite come sistemi di più molecole parziali, tenute insieme da forze attrattive simili a quelle che agiscono nei solidi e nei liquidi, mentre tra le molecole totali queste forze non operano più a causa della distanza: “tra le quali molecole parziali, come molto meno distanti tra loro, che le molecole totali, ha luogo una forza attrattiva che le ritiene riunite … mentre al contrario, una simile forza, per la troppo distanza, non ha più luogo tra le molecole totali … il che costituisce il carattere de’ fluidi aeriformi” – (fr:5935/p.864) [le molecole parziali sono unite da attrazione; tra le molecole totali dei gas l’attrazione manca, caratterizzando lo stato aeriforme].

Il fatto sperimentale stabilito da Gay‑Lussac sulle combinazioni gassose in volumi semplici diventa la chiave per connettere l’ipotesi molecolare con le proporzioni definite. La regola più generale osservata è che “il volume del gaz composto è precisamente doppio di quello dei gaz componenti che vi entra per un solo volume, o di quello di ciascuno di essi quando vi entrano a volume uguale, nel qual caso, il volume del composto diviene per conseguenza uguale alla somma di quelli dei componenti” – (fr:5945/p.865) [il volume del gas composto è generalmente doppio del componente che entra per un volume, o uguale alla somma se i volumi sono uguali]. Esempi: il vapor acqueo ha volume doppio dell’ossigeno e uguale a quello dell’idrogeno che vi concorre; l’ammoniaca ha volume doppio dell’azoto; il gas nitroso ha volume uguale alla somma di azoto e ossigeno.

Questa duplicazione del volume – che non si verificherebbe per semplice riunione immediata delle molecole – viene spiegata supponendo “una duplicazione del numero delle molecole composte, cioè una divisione di ciascuna di esse in due, la quale abbia generalmente luogo nella formazione dei gaz composti” – (fr:5947/p.865) [nella formazione del composto ogni molecola si divide in due, raddoppiando il numero delle particelle]. La divisione della molecola composta esige che anche la molecola integrante primitiva del componente che entra per un solo volume si divida, il che implica che essa fosse già formata da almeno due molecole parziali. Così nell’acqua, l’ossigeno si scinde in due metà: “ogni molecola d’ossigeno unita con due d’idrogeno dividendosi in due, formerà la molecola del vapor acqueo composta d’una mezza molecola d’ossigeno, ed una molecola, o se si vuole due mezze molecole d’idrogeno” – (fr:5949/p.866). Nell’ammoniaca si ha mezza molecola d’azoto e tre mezze molecole d’idrogeno (fr:5950/p.866); nel gas nitroso mezza molecola d’ossigeno e mezza d’azoto (fr:5951/p.866). Ulteriori combinazioni possono richiedere divisioni ancora più spinte, portando a supporre che le molecole integranti dei gas semplici contengano quattro o più molecole parziali (fr:5952‑5953). La conclusione generale è che “in generale le molecole integranti dei gaz sono formate di più molecole semplici, sebbene non se ne possa indicare il numero, nè accertare se esso sia costante in tutti i gaz elementari” – (fr:5954/p.866).

Il collegamento con le densità permette di calcolare la massa relativa delle molecole. Nota la densità dei componenti, si ottiene quella del composto; per il protossido d’azoto, ad esempio, “la sua densità calcolata per mezzo di quella de’ suoi componenti, sarà 0,9760 + 0,5513 = 1,5273” – (fr:5959‑5960). Per il vapor acqueo “la densità … calcolata da quella dei gaz idrogeno e ossigeno, sarà … 0,6201, poco diversa da quella osservata da Gay-Lussac 0,6235” – (fr:5964‑5965). Reciprocamente, dalla densità del gas acido idroclorico si può dedurre quella del cloro (fr:5966‑5968) e dall’acido carbonico si calcola la densità dell’ossido di carbonio (fr:5969/p.868).

Sul piano storico, il fatto di Gay‑Lussac “servì a render molto più precisa la teoria delle proporzioni determinate, e l’assegnazione della massa relativa delle molecole o atomi dei corpi, e ne formò come un nuovo ramo, che si può distinguere col nome di Teoria de’ volumi; anzi parve fissare in certa maniera ciò che rimanea d’arbitrario in questa teoria” – (fr:5977/p.869). Accettando l’ipotesi di Avogadro, la massa relativa delle sostanze gassose si determina semplicemente misurandone la densità a uguale pressione e temperatura (fr:5978/p.869). La scelta tra diverse masse atomiche possibili viene risolta dai volumi di combinazione: per l’acqua, ad esempio, se ci si basasse soltanto sul rapporto ponderale 8:1, la molecola dell’ossigeno potrebbe essere considerata otto volte quella dell’idrogeno; ma “la considerazione dei volumi può sola determinarci a quest’ultima supposizione piuttosto che alla prima, o a qualunque altra possibile a tale riguardo” – (fr:5984/p.870), indicando il rapporto 16:1 perché un volume di ossigeno reagisce con due volumi d’idrogeno.

Tuttavia molti chimici rifiutarono l’unificazione tra teoria delle proporzioni definite e teoria dei volumi, preferendo separare la nozione di atomo chimico dalla densità gassosa (fr:5990/p.871). Lo stesso Berzelius utilizzò il metodo di Avogadro per ordinare le masse atomiche senza però accettare l’identità del numero di molecole in volumi uguali (fr:5989/p.871). Il dibattito ricevette nuovi dati dalle misure di densità di vapore condotte da Dumas. Per lo iodio la densità trovata, 8,716 rispetto all’aria, corrisponde a una massa atomica di 790,4 (scala O=100), in ottimo accordo col valore chimico 789,75 (fr:6000/p.873). Per il mercurio, invece, la densità del vapore 6,9760 darebbe una massa di 632,68, mentre l’atomo chimico riconosciuto è circa il doppio, 1260,82, “ne seguirebbe adunque che l’atomo del mercurio, quale si ammette dai chimici, è composto di due atomi di questa sostanza, quali essi sono allo stato gazoso” – (fr:6002/p.874). Analogamente per il fosforo la densità del vapore (4,355) indica circa 398, quasi doppio del peso atomico chimico 196,14 (fr:6010‑6011), suggerendo che la molecola gassosa del fosforo contenga due atomi chimici. Una circostanza favorevole a questa interpretazione viene dalla densità dell’idrogeno fosforato: “un volume di questo gaz non conterrebbe che ¼ di volume di gaz del fosforo preso alla sua densità determinata da Dumas” – (fr:6016/p.876), coerentemente con una divisione in quattro della molecola gassosa di fosforo durante la combinazione, anziché la consueta divisione in due.

Il testo si chiude ricordando che Ampère, accogliendo l’ipotesi di Avogadro, aveva tentato di fissare a quattro il numero di molecole parziali costituenti ogni molecola integrante dei corpi semplici (fr:5992/p.872). L’intera costruzione, pur nella sua semplicità originaria, lasciava aperti interrogativi sul numero esatto di particelle elementari all’interno delle molecole gassose e sulla coincidenza tra atomo chimico e molecola aeriforme, un punto che ormai “entra piuttosto nel dominio della chimica di quello che appartenga alla Fisica” (fr:5991/p.872).

[23.2/3-90-6022|6111]

40 Discrepanze tra densità di vapore e atomo chimico: il confronto sui corpi semplici

Le ricerche di Dumas e Mitscherlich sulle densità di vapore rivelano che per alcuni elementi la molecola fisica allo stato gassoso è un multiplo dell’atomo chimico, offrendo argomenti a favore della teoria di Avogadro sulla costituzione dei gas e sulla divisibilità delle molecole nella formazione dei composti.

Il testo analizza le anomalie tra la densità di vapore osservata per alcuni corpi semplici e la massa atomica dedotta dalle proporzioni chimiche, sviluppando una discussione che diventa una testimonianza chiave del dibattito scientifico sulla teoria atomico-molecolare. Per il fosforo, si osserva che la densità del suo vapore è circa il quarto di quella misurata da Dumas: “2,470~3,705 , resta 1,17 per la quantità di gaz di fosforo in esso contenuta , il che è similmente circa il quarto della densità del suo gaz osservata da Dumas” - (fr:6022/p.877).

Per lo zolfo, Dumas e Mitscherlich trovarono una densità di vapore media di 6,551, che corrisponde a un atomo gassoso di 594 (prendendo 100 per l’ossigeno), un valore “circa il triplo di quello che si ammette generalmente per 1’ atomo dello zolfo” (fr:6025/p.877), stimato in 201,17. Se si volesse forzare la conformità tra atomo gassoso e chimico, si giungerebbe a conseguenze inaccettabili: “l’acido solforico in vece di essere composto di un atomo di zolfo e 3 di ossigeno […] lo fosse di un atomo di zolfo e 9 d’ossigeno” (fr:6026/p.877). L’analisi della densità dei composti gassosi noti, come l’acido solforoso, offre una prova della divisibilità della molecola. Sottraendo alla densità dell’acido solforoso (2,223) il contributo dell’ossigeno, si ottiene per lo zolfo un valore di 1,122, che è “il sesto circa della densità 6,551 osservata da Dumas , onde relativamente al gaz di zolfo […] vi sarebbe divisione dell’ atomo in 6 per formare l’atomo del composto” (fr:6028/p.878). Risultati identici giungono dall’analisi dell’idrogeno solforato (fr:6030/p.878). La conclusione è netta: “la vera molecola è quella indicata dalle considerazioni chimiche, e che la molecola gazosa dello zolfo in vapore si forma dalla ri unione di 3 di queste molecole , le quali poi si separano , e subiscono inoltre la solita divisione in due nella formazione dell’acido solforoso” (fr:6029/p.878).

Queste discrepanze non sono viste come errori, ma come una regola che relativizza il legame tra atomo gassoso e atomo chimico. Le ricerche di Dumas mostrano che “la densità delle sostanze semplici allo stato gazoso non sono cosi strettamente collegate col loro atomo suggerito dalle combinazioni chimiche , che l’atomo gazoso , e l’atomo chimico non possano talvolta considerarsi come moltipli l’uno dell’altro” (fr:6031/p.878). Tale osservazione fu ripresa da Berzelius nel suo Rapporto annuo (fr:6032/p.436-6033/p.879).

Il contributo di Mitscherlich, pubblicato negli Annali di Poggendorff e negli Annales de chimie et de physique, conferma e amplia il quadro. Per il mercurio, il vapore ha “solo la metà della densità” rispetto all’atomo, per il fosforo una densità doppia e per lo zolfo tripla (fr:6035/p.879), sebbene con piccole differenze numeriche. Mitscherlich determinò anche la densità del vapore di bromo (5,54) e di arsenico (10,6). Mentre per il bromo la densità si accorda con l’atomo chimico, “quanto all’arsenico il suo vapore presenterebbe […] la stessa anomalia che il vapore di fosforo, […] cioè la sua densità sarebbe doppia” (fr:6042/p.880), essendo l’atomo gassoso di 962 contro l’atomo chimico di L’analisi dei composti gassosi dell’arsenico, come l’idrogeno arseniato, è favorevole all’ipotesi che la molecola integrante sia un multiplo di quella chimica; il peso dell’arsenico in un volume di questo gas risulta “il quarto di 10,6 ; onde converrebbe supporre che vi sia , nella formazione del gaz composto , divisione in 4 della molecola del gaz d’arsenico” (fr:6047/p.880). Un’analisi analoga per il protocloruro d’arsenico conduce a risultati conformi (fr:6048/p.880).

L’analisi si estende ai composti degli elementi già citati. Per l’acido solforico anidro, con densità osservata prossima a 3, il calcolo basato sulla densità dello zolfo (6,55) e 9 volumi di ossigeno porta a una densità di 2,74 “poco diversa da quella osservata 3; cioè bisognerà concepire che l’atomo gazoso dello zolfo si divida anche qui come nella formazione dell’acido solforoso in 6” (fr:6051/p.881). Per il deuto-cloruro di fosforo, la densità trovata da Mitscherlich (4,79) richiederebbe una divisione in 6 dell’atomo gassoso del fosforo, risultato giudicato “affatto straordinario”, tanto da far “sospettare che vi sia occorso qualche errore” o una scomposizione durante la vaporizzazione (fr:6053/p.881-6054/p.882).

L’acido arsenioso rappresenta un caso diverso e meno problematico. La sua densità di vapore (13,85) corrisponde quasi esattamente alla somma di un volume di vapore d’arsenico (10,6) e 3 volumi d’ossigeno, “il che si accorda prossimamente coll’osservazione , e presenterebbe cosi uno dei casi già osservati di costituzione di gaz composto […] in cui non vi è divisione dell’atomo composto” (fr:6057/p.882). Tale risultato è coerente sia che la densità dell’arsenico sia quella corrispondente al vero atomo, sia che sia doppia, se si ammette una riunione di atomi senza divisione (fr:6062-6063/p.883).

Per il mercurio, Mitscherlich determinò le densità dei vapori di cloruro (8,35), clorido (9,8), bromuro e ioduro. Per il cloruro, la densità calcolata immediatamente (16,43) dimezzata dà 8,21, mostrando “la solita divisione dell’atomo composto in due” (fr:6067/p.883), senza però offrire argomenti decisivi sulla natura dell’atomo di mercurio. Per il clorido, invece, la densità calcolata (9,45) coincide quasi con quella osservata (9,8) senza divisione dell’atomo composto, “il caso più ordinario dei composti gazosi” (fr:6072/p.884). Il solfuro di mercurio (cinabro) presenta la maggiore difficoltà: la densità calcolata immediatamente sarebbe 48,4, che per approssimarsi al valore osservato di 5,51 richiederebbe una divisione per 9, “divisione affatto straordinaria” (fr:6076/p.884). Mitscherlich stesso notò circostanze che avevano “gettato qualche incertezza sui loro risultati” (fr:6082/p.885).

L’analisi dell’acido nitroso offre un’ultima verifica della regola generale. La densità osservata (1,72) è prossima alla metà della somma delle densità dei componenti, implicando una “divisione in 2 dell’atomo gazoso immediatamente risultante dalla combinazione” (fr:6086/p.885).

Il testo si conclude con la difesa del principio fondamentale di Avogadro e Ampère, ovvero la “costituzione dei gaz , come formati d’un numero uguale di molecole integranti sotto lo stesso volume”, e la loro divisibilità nella formazione dei composti (fr:6091/p.886). Questo principio non fu universalmente accetto: fu combattuto da Dalton e dai fisici inglesi, e lo stesso Berzelius lo trovava prematuro. Avogadro ribatte osservando l’assenza di una valida alternativa: “non veggo però quale inconveniente vi sia ad ammettere […] l’idea che si presenta naturalmente, e forse esclusivamente ad ogni altra” (fr:6095/p.887). Vengono menzionati anche i lavori di Gaudin e Persoz, le cui speculazioni sulla disposizione degli atomi nelle molecole e sulla loro simmetria sono giudicate eccessivamente ipotetiche, rispetto ai fatti sperimentali (fr:6103/p.887-6111/p.888).

[23.3/3-89-6112|6200]

41 La costituzione dei corpi gassosi secondo le teorie di Persoz e le osservazioni sulla densità dei vapori

Il testo espone e discute criticamente le ipotesi di Persoz sulla composizione molecolare dei gas composti, mettendone in luce il carattere speculativo e il legame con le densità note, per poi passare in rassegna nuovi risultati sperimentali sul polimerismo e sulla costituzione di composti organici complessi, che confermano la complessità del rapporto tra atomo chimico e molecola gassosa.

Trattando la costituzione dei corpi gassosi, l’autore si propone di estrarre le idee di Persoz, esposte in una memoria secondo cui il rapporto in volume tra i gas componenti e il gas composto determina le proprietà del composto stesso. Su queste basi, Persoz fonda le sue ipotesi sulla formazione della molecola integrante, mantenendo la distinzione tra composizione molecolare e composizione atomica o immediata, “quale risulterebbe dall’ unione degli atomi semplici che entrano nel composto” - (fr:6113/p.889). Non potendo specificare tutte le considerazioni, l’autore si limita a elencare i risultati dedotti da Persoz per le principali classi di composti.

Viene quindi descritta la costituzione attribuita a diversi acidi. L’acido carbonico è visto come composto immediatamente da “2 voi. d’ ossido carbonico ed 1 d’ossigeno” - (fr:6115-6116/p.889) [2 volumi di ossido di carbonio e 1 di ossigeno]; l’acido ossalico da “4 voi. d’ossido carbonico e 1 d’ossigeno” - (fr:6116-6117/p.889). Analogamente, l’acido solforico e gli acidi con un atomo di radicale e tre di ossigeno sono concepiti come formati da due volumi di gas acido solforoso e un volume di ossigeno, mentre l’acido ipo-solforico da quattro volumi di acido solforoso e uno di ossigeno. Per gli acidi fosforoso e arsenioso, la combinazione coinvolge “un volume gazoso d’un composto che non contenesse che un mezz’ atomo d’ ossigeno , con un atomo pur d’ ossigeno” - (fr:6117/p.889), mentre i corrispondenti acidi fosforico e arsenico risultano da due volumi del primo e un volume di ossigeno. L’acido nitroso è descritto come composto da “4 voi. di gaz nitroso ossia deutossido d’azoto , ed un volume d’ossigeno” - (fr:6119/p.885-6120/p.889), e l’acido nitrico da quattro volumi di “vapor nitroso , detto acido nitroso-nitrico od ipo-nitrico” - (fr:6122/p.889) e un volume d’ossigeno.

In questo sistema, si delinea una gerarchia di radicali composti: “si considererebbe il gaz ossido di carbonio come il radicale degli acidi ossalico , e carbonico , Γ acido solforoso come il radicale degli acidi ipo-solforico , e solforico […] il gaz nitroso come il radicale degli acidi nitroso e ipo-nitrico ; quest’ ultimo come il radicale dell’acido nitrico ecc.” - (fr:6127/p.889). Passando alle basi, Persoz ipotizza che i protossidi di mercurio e rame siano composti da quattro volumi di vapore metallico e uno di ossigeno. Per la potassa e la soda, si congettura una composizione analoga, nel qual caso “la densità di questo vapore sarebbe il quarto soltanto di quella che corrisponde all’atomo ammesso da Berzelius” - (fr:6133/p.890). Infine, in merito ai sali neutri, si stabilisce che la combinazione tra acido e base allo stato gassoso avviene “o per volumi uguali , o nel rapporto di a volumi di base e i d’acido” - (fr:6134/p.890).

L’autore esprime una valutazione cauta su queste ipotesi, affermando che in generale esse non sono altro che “maniere possibili di concepire la formazione successiva dei gaz composti dai semplici , o meno composti , dietro alle loro densità già conosciute , in vece delle quali altre potrebbero proporsi” - (fr:6139/p.890). Si sottolinea che, anche se fondate, queste idee riguarderebbero più la teoria delle combinazioni chimiche che quella della costituzione dei gas. Il loro limite principale risiede nel fatto che “quando le considerazioni su cui Persoz le ha appoggiate fossero verificate nella loro generalità , il che non pare essersi da Ini fatto” - (fr:6139/p.890), solo allora potrebbero servire come base per congetturare le densità gassose di sostanze non ancora determinabili con l’osservazione diretta.

Il discorso si sposta poi sui risultati sperimentali che hanno modificato le conoscenze sulla costituzione dei gas. Il primo punto riguarda l’esistenza di una stessa sostanza allo stato gassoso sotto due o più densità multiple l’una dell’altra, fenomeno che “secondo la nostra teoria suppone una divisione od una riunione di molecole di uno di questi stati gazosi per formare la molecola integrante dell’ altro” - (fr:6141/p.891). Questa diversa costituzione atomica, già menzionata sotto il nome di polimerismo come caso particolare dell’isomerismo, è esemplificata dai quattro stati dell’idrogeno percarbonato (sostanza del gas oleificante). Questo fatto dimostra chiaramente che “le regole più ordinarie che si presentano nella costituzione dei gaz composti […] non sono d’una costanza tale che sovra di esse si possano fondare conseguenze affatto certe sulla densità dei gaz componenti d’ un gaz composto , quando essa ci sia ignota” - (fr:6143/p.891). L’analisi del metilene, del gas oleifico, del composto di Faraday (tetreria) e della cetena mostra come, all’aumentare della densità, gli atomi gassosi del composto elementare debbano “riunirsi due a due” - (fr:6146/p.892) o “uniti otto a otto” - (fr:6147/p.892) per formare la molecola del vapore. L’autore osserva che se questa unione di atomi avviene nei gas composti, “nulla impedisce che essa si ammetta anche pei corpi semplici” - (fr:6148/p.892), confermando quanto già detto per lo zolfo e il fosforo.

Il secondo punto concerne la densità dei vapori di sostanze organiche che, con un solo volume di un componente, contengono molti atomi di altri. Si è osservato che “questi composti hanno un volume che è uguale o doppio di quello dei gaz componenti che vi entra per un solo atomo” - (fr:6150/p.892). La canfora ne è un esempio: l’ossigeno vi entra per un solo volume con molti atomi di carbonio e idrogeno, e il suo vapore ha volume doppio rispetto all’ossigeno. I calcoli mostrano che la densità teorica ottenuta ipotizzando una condensazione dei gas componenti nel volume dell’ossigeno, e poi dimezzata per la duplicazione di volume, corrisponde esattamente a quella osservata: “ora tale è affatto prossimamente la densità che si è trovata al vapor di canfora” - (fr:6156/p.893). Viene anche citata l’interpretazione alternativa di Laurent, per cui il volume del vapore sarebbe quadruplo di quello dell’ossigeno dell’acqua.

Il terzo punto analizza i gas in cui i rapporti in volume tra i componenti sono espressi da numeri elevati, senza che uno si riduca all’unità. In tal caso, il volume del composto è uguale o doppio di quello di uno dei componenti. L’esempio addotto è il canfogeno o canfene, la cui densità di vapore, determinata da Dumas, dimostra che “i 5 volumi di vapor di carbonio quali qui li ammettiamo , nell’ unirsi agli 8 volumi d’ idrogeno non hanno prodotto che un volume di gaz composto” - (fr:6167/p.894). Ne consegue che un atomo gassoso del suo vapore sarebbe formato da “un quarto di volume 0 atomo gazoso d’ ossigeno , 5 volumi 0 atomi di carbonio, e 8 atomi e mezzo d’idrogeno” - (fr:6180/p.895).

La conclusione riafferma la stretta connessione tra densità dei gas, pressione e temperatura e le molecole integranti dei corpi. Tuttavia, “gli atomi gazosi, e gli atomi chimici possono in vero esser mùltipli l’uno dell’altro , senza che si conosca quale sia precisamente in ciascun caso particolare il numero che esprime questo mùltiplo” - (fr:6185/p.896). Si osserva che sostanze come il cloro e l’idrogeno tendono a unirsi in proporzioni di volume gassoso doppie rispetto all’ossigeno, e che se non fossero state conosciute allo stato gassoso, i chimici avrebbero probabilmente “preso il loro atomo doppio di quello che corrisponde alla densità del loro gaz” - (fr:6187/p.896). Da qui la distinzione, introdotta dai chimici più recenti, tra equivalente chimico e atomo, prendendo per il primo il doppio del secondo, o, come per l’azoto, “riguardare al contrario l’ equivalente dell’ azoto come rappre­ sentato da ½ soltanto del suo atomo” - (fr:6189/p.896). Nonostante queste incertezze, resta possibile calcolare le densità o le proporzioni con buona approssimazione. A tal fine, l’autore suggerisce che sarebbe più comodo “esprimere anche le densità dei gaz e vapori relativamente alla densità del gaz ossigeno , in vece di riferirla a quella dell’ aria che non è che un miscuglio di due gaz diversi , 1’ ossigeno e 1’ azoto” - (fr:6191/p.897). Lo studio del calore specifico, promette infine l’autore, fornirà nella seconda parte del trattato un ulteriore e potente mezzo sussidiario per la determinazione delle molecole.

[24]

[24.1/2-120-6680|6798]

42 L’assorbimento dei gas da parte di corpi porosi e le prime osservazioni sulla catalisi metallica

Il testo ripercorre una serie di esperienze fondamentali sull’assorbimento dei gas da parte di solidi porosi, a partire dal carbone, e culmina con la scoperta della combustione “a freddo” di miscele gassose indotta da metalli divisi. L’indagine si apre osservando che durante la condensazione dei gas nel carbone «si sviluppa del calore che fa ascendere di alcuni gradi il termometro postovi in contatto, ed è più intenso pei gaz che si assorbiscono in maggior quantità e più rapidamente» (fr:6680/p.966). Se dopo un assorbimento a secco si inumidisce il carbone, l’acqua penetra per azione capillare spostando una parte del gas precedentemente condensato (fr:6679/p.966). L’uso del vuoto pneumatico anziché del calore incandescente per svuotare i pori prima dell’esposizione al gas conduce ad assorbimenti «alquanto minori» (fr:6681/p.966).

Saussure verificò se il volume di gas assorbito rimanesse costante al variare della pressione, come accade nell’assorbimento da parte dell’acqua, ma trovò un comportamento diverso. «I volumi assorti, a temperatura uguale, furono molto più grandi sotto le piccole pressioni che sotto le pressioni maggiori, sebbene le quantità assorte in peso fossero sempre minori pei gaz rarefatti o meno compressi» (fr:6684/p.966). Ciò mostra che la pressione coadiuva l’azione del carbone ma con un’efficacia che non cresce proporzionalmente alla riduzione di volume, al contrario di quanto osservato nei liquidi. Un esempio quantitativo: una misura di carbone di bosso assorbe 35 misure di acido carbonico a pressione ordinaria, mentre sotto una pressione di circa un terzo ne condensa 15 misure, quasi il doppio (fr:6685/p.966). Poiché la quantità reale di gas trattenuto cala con la pressione, il carbone posto sotto vuoto pneumatico rilascia la maggior parte dei gas assorbiti (fr:6686/p.966). In coerenza, il rilascio di gas condensati produce raffreddamento: Saussure misurò un abbassamento di circa 14 gradi per un carbone che aveva assorbito acido carbonico, a fronte di un riscaldamento di entità analoga durante la saturazione (fr:6688‑6689).

Morozzo aveva tentato di ottenere un assorbimento simile con altre sostanze porose senza successo, ritenendolo una proprietà esclusiva del carbone. Saussure invece «trovò al contrario questa stessa proprietà in molti altri corpi porosi, come in diverse pietre, nel legno, nella seta, nella lana ecc.» (fr:6692‑6693), sebbene nessuno eguagliasse l’efficacia di certe qualità di carboni (fr:6694/p.967). Per sperimentare, egli vuotava d’aria i corpi con la macchina pneumatica poiché l’incandescenza li avrebbe snaturati (fr:6695/p.967). In tutte le prove i gas manifestavano lo stesso ordine di condensabilità entro ciascuna classe chimica di materiali: gli asbesti trattenevano più acido carbonico che ossigeno, i legni più idrogeno che azoto, ma le quantità assolute differivano a causa della diversa porosità (fr:6696‑6697).

L’influenza della struttura porosa fu approfondita paragonando l’assorbimento dello stesso gas da parte del carbone in massa e in polvere impalpabile. A parità di peso l’assorbimento era minore nello stato polverulento, benché volume e porosità fossero maggiori, perché «la polverizzazione … avendo rotto, aperto, od allargato un gran numero di cellette, che formavano i pori del carbone, ha per tal modo indebolita la sua facoltà di assorbire i gas» (fr:6699/p.968). Il fenomeno viene accostato alla penetrazione capillare dei liquidi: «La condensazione dei gaz nei corpi solidi presenta così un risultato analogo alla penetrazione dei liquidi nei tubi capillari per cui essi vi si elevano in ragione inversa del loro diametro» (fr:6700/p.968). I carboni più densi, con pori più fini, assorbono generalmente più gas di quelli rari purché non si scenda a pori troppo piccoli o scarsi (fr:6701/p.968). La polverizzazione non riusciva a conferire la capacità di condensare gas permanenti a corpi compatti come la piombaggine, perché i pori artificiali risultavano troppo rilassati e aperti; per i vapori, invece, bastava la porosità generata dalla macinazione per un assorbimento efficace (fr:6703‑6704).

Saussure studiò anche l’assorbimento simultaneo di più gas, introducendo carbone vuoto in una miscela oppure carbone già impregnato di un gas nell’atmosfera di un altro (fr:6706‑6707). Quando il carbone caricato di un gas viene immerso in un altro gas, quest’ultimo penetra espellendo parte del gas preesistente. Se il nuovo gas è più condensabile del precedente, si ha assorbimento netto e sviluppo di calore; in caso contrario prevale l’espulsione con raffreddamento (fr:6709‑6711). Il volume del gas espulso cresce con l’eccesso di gas espellente, e si riteneva probabile che in un’atmosfera indefinita il gas preesistente sarebbe stato interamente rimosso, benché Saussure non vi riuscisse in vasi chiusi (fr:6712‑6714). L’assorbimento da una miscela produce risultati analoghi a quelli osservati scambiando i gas impregnanti (fr:6715/p.969). Il quadro ricorda quanto accade nell’assorbimento di gas da parte dei liquidi, ma Saussure dedusse dalle sue esperienze che la legge di Dalton sulle quantità assorbite in una miscela non era sempre rispettata: «i gaz mescolati provano sovente … una condensazione più grande che quando essi sono separati; così la presenza del gaz ossigeno nel carbone favorisce la condensazione del gaz idrogeno» (fr:6718/p.969), come se l’affinità fra i gas cooperasse con l’attrazione del solido. Tale risultato, tuttavia, appariva bisognoso di ulteriori verifiche (fr:6719/p.969). Saussure notò pure che i gas nei pori non formavano combinazioni permanenti; non si osservava produzione d’acqua introducendo a temperatura ambiente carbone impregnato d’idrogeno in ossigeno, contraddicendo le asserzioni di Rouppe e Norden (fr:6720‑6721). Esponendo carbone vuoto all’aria atmosferica, l’ossigeno veniva assorbito in proporzione maggiore dell’azoto, rendendo l’aria residua più povera di ossigeno; l’effetto era modesto a causa della piccola differenza di condensabilità, ma diventava sensibile quando il volume dell’aria residua era piccolo rispetto a quello del carbone (fr:6722‑6723). Comportamenti analoghi si riscontravano in tutti i corpi solidi porosi, con variazioni legate all’ordine di assorbimento dei singoli gas in ciascun materiale (fr:6724/p.970).

La condensazione dei gas negli interstizi dei corpi porosi sviluppa calore, e ciò può spingersi fino ad accendere il corpo stesso se combustibile (fr:6726‑6729). Magnus scoprì nel 1825 che polveri metalliche estremamente suddivise si accendono e si ossidano spontaneamente all’aria. Ossidi di ferro, nichel e cobalto, ridotti con idrogeno a calore inferiore all’incandescenza e mescolati con allumina per impedire l’agglutinazione, divenivano incandescenti all’aria e si riossidavano rapidamente (fr:6730‑6731). Il rame ridotto subiva un’ossidazione senza ignizione (fr:6732/p.971). La proprietà richiedeva metalli poco fusibili, in modo che il calore di riduzione non fondesse o saldasse le particelle, preservando la porosità indispensabile per condensare l’ossigeno che alimenta la combustione (fr:6733/p.971). Probabilmente anche l’idrogeno assorbito durante la riduzione contribuiva alla successiva ossidazione (fr:6734/p.971). Infatti Magnus osservò che le polveri perdevano la loro combustibilità se esposte ad acido carbonico (che spostava l’idrogeno condensandosi a sua volta), e la riacquistavano rimettendole in idrogeno (fr:6735/p.971). Alla stessa condensazione dell’aria e al calore generato si può attribuire l’accensione spontanea di grandi masse di carbone, specialmente in stato di fine divisione, come documentato da Aubert (fr:6736‑6737).

Il fenomeno più notevole descritto è la capacità di un corpo non combustibile, anche in massa non porosa, di determinare per semplice condensazione superficiale la combinazione di gas, in particolare la combustione dell’idrogeno con l’ossigeno. La scoperta si deve a Dobereiner. Precedentemente Edmund Davy aveva osservato che un precipitato nero di platino, da lui ritenuto un nitrito combinato con materia organica, diveniva rovente con l’alcol trasformandolo in acido acetico (fr:6741/p.972). Dobereiner mostrò che il composto di Davy assorbiva idrogeno sviluppando tanto calore da arroventare la sostanza e accendere l’idrogeno in presenza d’ossigeno o aria (fr:6742‑6745). Il solo composto non assorbiva né ossigeno né acido carbonico (fr:6746/p.972). Egli congetturò allora che il platino metallico in forma spugnosa, ottenuto calcinando il precipitato di idroclorato di platino e ammoniaca, avrebbe prodotto lo stesso effetto, e l’esperienza lo confermò (fr:6747/p.972). Il modo più semplice di osservarlo consiste nel dirigere un getto di idrogeno su platino spugnoso esposto all’aria; il getto si accende e produce acqua (fr:6748/p.972). Inserito in una miscela detonante, anche diluita, il platino spugnoso combina tutto l’ossigeno, agendo da strumento eudiometrico (fr:6749/p.972). Dobereiner inizialmente ipotizzò un’azione elettrica, ma in seguito rinunciò a tale spiegazione, riconducendo il fenomeno alla condensazione dei gas negli interstizi della spugna porosa (fr:6751/p.973).

Dulong e Thénard, appena informati, ripeterono e variarono le esperienze. Un getto di idrogeno misto ad aria, diretto su un pezzo di platino spugnoso, lo rendeva incandescente e il gas continuava a bruciare come acceso da una scintilla (fr:6755/p.973). In una miscela di due parti d’idrogeno e una d’ossigeno, l’accensione avveniva con detonazione; allontanandosi dalla proporzione stechiometrica o aggiungendo un gas inerte, la combinazione procedeva lentamente con lieve riscaldamento e condensazione visibile d’acqua (fr:6756/p.973). La spugna di platino fortemente calcinata e compatta perdeva la capacità di diventare incandescente e agiva solo lentamente (fr:6757/p.973); il platino in polvere, fili o lamine non agiva a temperatura ordinaria (fr:6758/p.974). Tuttavia foglie di platino estremamente sottili agivano con rapidità crescente al diminuire dello spessore (fr:6759‑6760). Fili, polvere e lamine spesse diventavano attivi a 200‑300 °C, operando lentamente e senza esplosione (fr:6761/p.974).

Anche altri metalli si dimostrarono attivi. Il palladio in lamine agiva a temperature elevate almeno quanto il platino di pari spessore, il rodio determinava la formazione d’acqua a circa 240 °C, oro e argento in foglie sottili funzionavano solo a temperature elevate (ma inferiori all’ebollizione del mercurio), e cobalto e nichel in massa a 300 °C (fr:6762‑6767). Palladio e iridio spugnosi agivano come il platino (fr:6768/p.974). Furono investigate pure altre combinazioni: la spugna di platino a temperatura ordinaria combinava ossido di carbonio e ossigeno; l’idrogeno sottraeva ossigeno e azoto al gas nitroso e al protossido d’azoto formando acqua e ammoniaca; le foglie sottili di platino ossidavano l’ossido di carbonio solo sopra i 300 °C, mentre l’oro lo faceva a temperature prossime all’ebollizione del mercurio (fr:6769‑6770). Il gas olefiante con aria veniva trasformato completamente in acqua e acido carbonico dalla spugna di platino solo a 300 °C o più (fr:6771/p.975). Queste combinazioni a temperature modeste, ma di per sé insufficienti, si connettevano al fenomeno della lampada “aerogistica” in cui un filo di platino incandescente in vapori di alcol o etere manteneva una combustione senza fiamma (fr:6772/p.975). Dulong e Thénard accostarono il tutto alla decomposizione dell’ammoniaca da parte di metalli (ferro, rame, oro, argento, platino) a temperature a cui essa resisterebbe senza contatto (fr:6773‑6775). Notarono un’apparente complementarità: il ferro, ottimo per scindere l’ammoniaca, favoriva poco la combinazione idrogeno‑ossigeno, mentre il platino, efficacissimo per quest’ultima, decomponeva l’ammoniaca con difficoltà; ciò suggeriva che esistesse una forza specifica di natura particolare, di cui la condensazione superficiale aiutava o modificava l’azione (fr:6776/p.976). In realtà, per ferro e rame oggi si sa che si formano vere combinazioni chimiche con parte degli elementi dell’ammoniaca (fr:6777/p.976).

In ulteriori ricerche del 1823, gli stessi autori trovarono che la combinazione idrogeno‑ossigeno era determinata, a temperature più o meno alte, anche da sostanze non metalliche come pomice, porcellana, vetro e cristallo di rocca, mentre il marmo non agiva neppure a 350 °C (fr:6779‑6781). Le foglie di platino perdevano la loro facoltà per esposizione all’aria e la riacquistavano dopo arroventamento; anche la spugna di platino la perdeva lentamente e la recuperava con l’incandescenza (fr:6782‑6783). L’acido nitrico si mostrava capace di aumentare l’attività delle superfici metalliche (fr:6784/p.977).

Pleischl ripeté le esperienze di Dobereiner e indicò un metodo per ottenere platino ancora più diviso, imbevendo carta da feltro con una soluzione di idroclorato di platino, seccando, ripetendo e infine bruciando la carta (fr:6787‑6788). Dobereiner stesso applicò il principio a un accendino: un filo di platino con l’estremità ricoperta di platino spugnoso, esposto a un getto di idrogeno, si accendeva come per scintilla elettrica (fr:6790/p.977); lo strumento fu in seguito perfezionato da Fyfe (fr:6790‑6795). Le osservazioni furono confermate e ampliate da De‑La‑Rive e Marcet, nonché dai fisici inglesi Herapath, Garden e Henry (fr:6796‑6798).

Nel complesso, il testo documenta il passaggio dalla descrizione dell’assorbimento fisico in materiali porosi alla scoperta che superfici solide—metalliche e non—possono provocare combinazioni chimiche senza consumarsi, ponendo le basi di quella che sarebbe stata chiamata «catalisi».

[24.2/2-119-6799|6917]

43 La catalisi del platino nell’Ottocento: dalla spugna al nero di platino e la teoria dell’ossigeno condensato

Il dibattito sull’azione di contatto del platino su idrogeno e ossigeno si snoda tra le prime osservazioni di Henry e Döbereiner, la sintesi di Liebig e Faraday, e la revisione dello stesso Döbereiner, che trasforma il platino diviso in un “ossiforo” capace di condensare ossigeno nei propri pori.

Il testo ripercorre un capitolo centrale della chimica del primo Ottocento: la comprensione del potere catalitico del platino in varie forme (spugna, nero, lamine) sulle mescolanze di idrogeno e ossigeno. Henry, dopo aver osservato che “l’influenza esercitata da certi gaz per sospendere od impedire totalmente l’azione del platino sulle mescolanze d’idrogeno e d’ossigeno, stata osservata primieramente da Turner” (fr:6800/p.978), trova che l’ossido di carbonio impedisce l’azione della spugna e si combina esso stesso con l’ossigeno, sebbene più lentamente (fr:6801/p.978). La lentezza parrebbe spiegabile con l’aderenza dell’acido carbonico prodotto alla superficie del platino, mentre l’acqua non vi aderisce (fr:6803‑6804), perché “l’azione era accelerata quando si faceva l’operazione al disopra d’una soluzione di potassa caustica che assorbiva il gaz acido carbonico a misura che si formava” (fr:6805/p.978). Rimane tuttavia “qualche oscurità” (fr:6806/p.978). Anche il gaz oleifico ritarda l’azione, ma in modo molto meno sensibile, e Graham aveva già trovato che “il gaz oleifìco ben puro non avea alcuna azione particolare per impedire l’azione della spugna di platino sulla mescolanza di idrogeno e d’ossigeno” (fr:6809/p.979). Invece il gaz idrogeno solforato e il gaz acido solforoso impediscono molto l’azione, senza che si possa applicare loro la spiegazione di Henry (fr:6810/p.979).

Liebig riprende “più diligentemente” l’esame della natura delle preparazioni di platino (fr:6812‑6813). Egli congettura che le preparazioni nere di Davy e di Zeise non consistano essenzialmente che in platino metallico molto diviso, e che le altre sostanze accidentalmente mescolate “fossero affatto straniere alla loro azione sull’idrogeno e l’ossigeno, e sull’alcool, se non in quanto contribuissero ad aumentare lo stato di divisione del platino” (fr:6814‑6815). Produce quindi platino metallico puro in uno stato di divisione tale da superare per intensità la spugna e quei composti stessi (fr:6816/p.979). Il procedimento consiste nel sciogliere cloruro di platino in potassa concentrata e trattare con alcool: si ottiene una polvere pesante e nera come velluto che, dopo purificazioni, “non essere realmente che platino metallico in un grande stato di divisione” (fr:6817‑6818). Liebig la chiama nero di platino (fr:6819/p.980). Inumidita con spirito di vino, “essa comincia tosto ad arroventarsi vivamente”, converte l’alcool in acido acetico, infiamma l’idrogeno e riunisce tutte le proprietà dei composti di Davy, Döbereiner e Zeise (fr:6820/p.980). Persino lo zinco precipita da una soluzione acida una polvere nera con le stesse proprietà (fr:6821/p.980), e la spugna stessa può acquistare il potere di convertire l’alcool in acido acetico se ridotta a polvere finissima con calor rosso poco intenso (fr:6822/p.980).

Liebig attribuisce gli effetti del nero di platino “alla condensazione che esso fa subire ai gaz nell’assorbirli tra’ suoi interstizi” e al calore che si svolge in questa condensazione (fr:6823‑6824). Il nero di platino, appena essiccato nel vuoto, assorbe gaz d’ogni specie e si riscalda al contatto dell’aria; calcolando sul volume poroso e sulla densità media, “un volume di nero di platino di un pollice cubo, condensa l’enorme volume di 745 pollici di gaz idrogeno” (fr:6826/p.981). Da ciò Liebig spiega l’incandescenza e la combustione: il calore di compressione accende il platino, e la reazione prosegue (fr:6827/p.981). Resta da spiegare perché l’assorbimento sia molto maggiore per l’idrogeno che per altri gaz, forse per la tenuità delle sue particelle (fr:6828‑6829). Quanto all’elettricità, Liebig le nega ogni probabilità nei fenomeni osservati (fr:6830/p.982). L’azione sull’alcool si rivela poi legata al vapore: “facendo passare semplicemente vapore d’alcool sul nero di platino, questo si arroventa istantaneamente” (fr:6833/p.982). Se tutto il nero è bagnato da alcool, l’arrovventamento cessa ma l’ossidazione ad acido acetico prosegue, purché l’aria possa accedere ai pori (fr:6834/p.982).

Faraday, occupandosi di elettricità, osserva la scomparsa di una miscela di idrogeno e ossigeno in un apparecchio chiuso con fili di platino che avevano servito da elettrodi (fr:6837/p.982). L’effetto dipendeva dal solo filo che era stato polo positivo (fr:6838‑6839), ma in realtà “questa facoltà non era un effetto diretto dell’azione della pila”, bensì del fatto che la superficie del platino veniva perfettamente pulita da ogni sostanza straniera (fr:6840/p.983). Un platino così pulito può provocare la combinazione anche di altri gaz combustibili con l’ossigeno (fr:6841/p.983). Il potere si conserva a lungo se le lamine sono immerse in acido solforico diluito o in potassa caustica (fr:6842/p.983), e non si perde nemmeno arroventando le lamine (fr:6843/p.983). Lo stesso effetto si può ottenere con mezzi meccanici o trattamenti chimici (fr:6844‑6845), benché il solo arroventamento non sempre basti (fr:6846/p.984). Oro e palladio possono essere resi attivi; argento e rame no (fr:6847/p.984). Faraday riconosce che la facoltà è la stessa scoperta da Döbereiner nella spugna e già nota in lamine (fr:6848/p.984). Anch’egli pensa che i fenomeni dipendano dall’attrazione dei corpi solidi sui gaz, che li condensa alla superficie, facilitata dal calore di condensazione e poi dalla reazione stessa (fr:6849/p.984). La superficie deve essere ben netta: “la semplice esposizione all’aria basta perché la superficie del platino si copra di qualche impurità che rende il metallo incapace di produrre tale effetto” (fr:6850/p.984). La spugna agisce più intensamente di una lamina perché “la sua superficie vi è molto estesa, ben pura, ed eminentemente accessibile ai gaz”, e la sua natura spugnosa trattiene il calore sviluppato (fr:6851/p.984).

Faraday trova poi anomalie simili a quelle di Henry: “una forte proporzione d’aria ordinaria introdotta nella mescolanza esplosiva d’idrogeno e d’ossigeno non impediva l’azione della lamina di platino”, mentre bastava un quarantottesimo di gaz oleifico per arrestare completamente l’influenza, senza che la lamina perdesse il suo potere (fr:6853/p.985). A proporzioni minori il gaz oleifico ritardava l’azione, ma alla fine avveniva l’esplosione (fr:6854/p.985). Il gaz ossido di carbonio esercitava un’influenza analoga ma meno intensa: un ottavo impediva l’azione, un diciottesimo la ritardava con esplosione finale (fr:6855/p.985). Il gaz idrogeno solforato faceva perdere permanentemente al platino la facoltà di agire (fr:6857/p.985). Con la spugna, risultati analoghi: mentre una miscela di 1 vol. di idrogeno e 7 di acido carbonico infiammava la spugna, un getto di volumi uguali di idrogeno e gaz oleifico o ossido di carbonio non la riscaldava (fr:6861‑6862). Faraday lascia incerta la cagione, e si nota una discrepanza con Henry sul grado relativo dell’azione inibente: Henry aveva trovato maggiore l’effetto dell’ossido di carbonio, Faraday minore (fr:6863/p.986).

Le esperienze di Faraday stimolano Henry a studiare la facoltà dei diversi metalli (fr:6865‑6868). Egli ammette con Faraday che l’azione dipenda dall’attrazione dei metalli sui gaz, ma resta da spiegare “quella decisa preeminenza che il platino, ed alcuni altri metalli che più gli si avvicinano nelle loro proprietà, mostrano sugli altri metalli e corpi solidi” (fr:6869‑6870). Henry impiega i metalli in stato di massima superficie e purezza, precipitan-doli dai sali allo stato di ossido e riducendoli nel gaz idrogeno (fr:6873‑6874). I risultati lo portano a concludere che la proprietà di determinare l’unione di idrogeno e ossigeno a temperature ordinarie appartiene solo ai metalli incapaci di combinarsi con l’ossigeno, come platino e oro; gli altri metalli in grande divisione non provocano quell’unione perché “la loro propria affinità più energica per l’ossigeno prevalente su quella più debole dell’idrogeno per lo stesso gaz, cagionando così l’ossidazione del metallo piuttosto che la formazione dell’acqua” (fr:6876‑6877). Tuttavia gli ossidi di questi metalli, riscaldati in contatto con idrogeno e aria, provocano la combustione dell’idrogeno, effetto che Henry interpreta come “una successione di riduzioni, e di riossidazioni alternative, il metallo riprendendo l’ossigeno dall’aria, a misura che lo cede all’idrogeno” (fr:6878/p.987). Perciò la mancanza d’azione dei metalli ossidabili si riconduce all’intervento di un’affinità maggiore, così come Henry aveva spiegato l’effetto inibente di alcuni gaz (fr:6884‑6886).

Henry mette in dubbio che l’assorbimento nei pori della spugna sia la causa della maggiore azione del platino in quello stato, o che tale assorbimento avvenga indipendentemente dalla combustione (fr:6887‑6889). Döbereiner e Liebig ammettevano un grande assorbimento di idrogeno dalla spugna, ma altri sperimentatori lo negavano (fr:6891‑6893). Nelle proprie prove comparative con carbone e spugna di platino, Henry “asserisce non aver mai osservata alcuna diminuzione immediata di volume” per i gaz, e solo per l’idrogeno un leggerissimo assorbimento dopo uno o due giorni (fr:6897/p.989). Anche gaz condensati rapidamente dal carbone, come l’ammoniaca e l’acido idroclorico, non subivano alcun cangiamento immediato a contatto con la spugna (fr:6898/p.989). Solo la polvere nera di Liebig mostra un assorbimento notabile di idrogeno (circa mezzo pollice cubo per cinque grani), ma Henry lo attribuisce a ossigeno preesistente nella polvere (fr:6899/p.990). Se quell’ossigeno era soltanto condensato nei pori, nulla impedisce che la polvere assorbisse anche idrogeno indipendentemente dalla conversione in acqua; la porosità della polvere nera la renderebbe comparabile al carbone (fr:6900/p.990). In ogni caso, non si avrebbe una facoltà di assorbimento specifica per il gaz idrogeno e l’assorbimento della miscela nei pori non farebbe che aumentare l’azione per condensazione (fr:6901/p.990).

La vera svolta giunge dagli ultimi lavori dello stesso Döbereiner, che modificano radicalmente il quadro. Egli trova che l’etiope di platino (il nero di Liebig) “da se solo ancora, cioè senza il concorso dell’aria esterna, poteva esercitare, in virtù dell’ossigeno che contiene, un’azione ossidante” e che, esaurita quest’azione, riprendendo contatto con l’aria ne attrae nuovamente l’ossigeno (fr:6906‑6907). Döbereiner formula così il concetto di platino ossiriforo e ossiforo: il nero di platino è un assorbente di ossigeno e, quando lo ha assorbito, diviene un portatore di ossigeno capace di cederlo (fr:6908/p.991). Il platino disossigenato non agisce sul gaz idrogeno; quello ossiforico, invece, “assorbe rapidamente questo stesso gaz idrogeno, e diviene quindi sovente incandescente, l’idrogeno unendovisi coll’ossigeno per formar l’acqua” (fr:6909/p.991). Operando a freddo sull’idrogeno umido, si trova che il nero di platino assorbe un volume di idrogeno doppio di quello dell’ossigeno che esso contiene, come richiesto per formare acqua (fr:6910/p.992). La quantità di ossigeno condensato dipende dal metodo di preparazione: 10 grani di platino precipitato con zinco contengono 0,210 pollici cubici di ossigeno, con zucchero 0,315, con il metodo di Davy 0,550 (fr:6910/p.992). Rapportando al peso specifico, si ottengono cifre impressionanti: un pollice cubico della preparazione di Davy contiene 253,44 pollici cubici di ossigeno, che, supponendo occupino un quarto del volume poroso, corrisponderebbe a una pressione di circa 1000 atmosfere (fr:6911‑6912). Döbereiner conclude che l’ossigeno è soltanto condensato nei pori e non combinato come ossido, perché nessun ossido di platino cederebbe l’ossigeno allo stesso modo (fr:6914/p.992). Egli arriva persino a preparare una polvere di platino così carica di ossigeno condensato che, riscaldata, “fa esplosione, con un baleno di luce” (fr:6915/p.992). L’insieme di queste ricerche viene infine raccolto nella Chimica del platino da lui pubblicata in tedesco (fr:6917/p.993).

[25]

[25.1/1-22-6978|6998]

44 Dalle vibrazioni sonore ai fluidi aeriformi: struttura e retroscena di un trattato scientifico ottocentesco

Il frammento restituisce l’apparato paratestuale di un’opera di fisica dedicata al comportamento acustico e alle proprietà dei gas, restituendone con precisione l’impianto sistematico, gli errori di stampa corretti e i rinvii alle tavole fuori testo. La sezione principale si apre con il titolo “Delle vibrationi sonore de’fluidi aeriformi” – (fr:6978/p.997), che annuncia il nucleo tematico: lo studio delle onde elastiche nei mezzi aeriformi. Da qui si dipana un indice dettagliato in cui si riconosce una trattazione organizzata per livelli gerarchici. Il primo articolo, “I. Della propagazione del suono in generale” – (fr:6980/p.599), introduce le basi generali, cui seguono sottosezioni specifiche: la propagazione “per l’aria atmosferica” e “pei diversi fluidi aeriformi”, per chiudere con la propagazione “pei corpi solidi e liquidi” – (fr:6981/p.997). L’opera affronta poi in modo distinto i suoni continui e le vibrazioni confinate, come mostra la voce “a. Della propagazione dei suoni continui, e delle vibrazioni dell’ aria , e dei gaz nei tubi” – (fr:6982/p.997), con ulteriori suddivisioni dedicate alle colonne d’aria, ai fluidi aeriformi e all’analogia con le vibrazioni longitudinali di solidi e liquidi.

Un momento di snodo teorico compare nel rinvio alle “Considerazioni teoriche del sig. Poisson sul moto dei fluidi elastici dedotte dalla natura delle forze molecolari” – (fr:6983/p.997). La citazione esplicita del matematico francese Siméon-Denis Poisson colloca il trattato in un contesto di fisica-matematica aggiornata, dove l’acustica dei gas è ricondotta a leggi molecolari. Subito dopo si passa alla determinazione sperimentale della densità: il “3.° Capo Della densità o peso specifico dei diversi fluidi aeriformi sotto alla stessa temperatura e pressione.” – (fr:6983/p.997) viene scandito dal “§ I. Deierminazione della densità dei fluidi aeriformi” – (fr:6985/p.997) (con l’evidente refuso “Deierminazione” per “Determinazione”) e si completa con la “Relazione della densità dei fluidi aeriformi alla loro costituzione” – (fr:6987/p.997). La struttura prosegue con un capitolo quarto “Della mescolanza di fluidi aeriformi tra loro , ed in particolare di quelli che compongono l’atmosfera” e un capitolo quinto “Dell’azione che i corpi solidi e liquidi esercitano sopra i fluidi aeriformi” – (fr:6987/p.997), dimostrando come il volume unisse acustica, proprietà ponderali dei gas ed effetti di superficie.

La concretezza del documento emerge dall’errata corrige e dagli avvertimenti sulle figure. La lista degli “Errori Correzioni” – (fr:6992/p.998) elenca sviste tipiche della composizione tipografica: a rigo 17 “azione, capillare che” diventa “azione capillare, che”, a rigo 22 “ngli” è corretto in “negli”. Particolarmente significativa è la correzione a rigo 3, dove “asceti, decrescere” deve leggersi “crescere”, e a rigo 12 “asceti, arai” è da emendare in “aria”: la lezione asceti tradisce un fraintendimento del termine “aerei” (aeriformi), evidentemente reso irriconoscibile in fase di stampa. Più avanti si prescrive una modifica diretta alla “Tavola 1 fig. 4”: “Si scambino le lettere g/j colle lettere ce , e le lettere gh’ colle lettere c’e’” – (fr:6993/p.998), un intervento su etichette di un disegno scientifico, probabilmente un apparato sperimentale o un diagramma.

Le righe finali ancorano il testo alla sua materialità editoriale. I richiami a “Tau T TotitII” (verosimilmente Tavola II, Tomo II) e a “Taυ.ΠI Torn..” (Tavola III, Tomo …) culminano nella citazione “Tav.IV Tom IT Tcm V. Torino IiIJ-thmψ.1S3f” – (fr:6998/p.1003), che attesta l’esistenza di una tavola IV nel tomo II, stampata a Torino presso uno stabilimento litografico il cui nome appare siglato (forse “Lit. … 183…”). L’insieme, con la sua impaginazione analitica, i rimandi di pagina e le correzioni, costituisce una testimonianza della diffusione italiana della nuova fisica dei fluidi elastici nella prima metà dell’Ottocento, quando l’opera di Poisson cominciava a essere assimilata e discussa fuori dai confini francesi.

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