Avogadro - Fisica de' corpi ponderabili - I | L

15 May, 2026

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1 La Sistematizzazione della Fisica dei Corpi Ponderabili nell’Opera di Amedeo Avogadro

L’opera si propone di colmare una lacuna nella letteratura scientifica italiana, presentando per la prima volta un quadro compiuto e sistematico della “Fisica de’ corpi ponderabili”, intesa come ramo distinto della Fisica generale.

Il trattato nasce dall’osservazione che, in Italia, la parte della fisica riguardante la costituzione dei corpi ponderabili non aveva ancora formato l’oggetto di un lavoro che ne presentasse il complesso e lo stato attuale. L’autore, Amedeo Avogadro, dichiara: “Nacque perciò in me il desiderio di riempiere questa lacuna, e di comporre un Trattato, che tutte riunisse, per quanto fosse possibile, tra loro concatenate e connesse le ricerche” - (fr:5/p.10). La motivazione è duplice: da un lato l’utilità scientifica, dall’altro il debito verso il sovrano protettore delle scienze, a cui l’opera è dedicata (fr:2/p.2, fr:7, fr:9/p.11).

Avogadro procede a una precisa classificazione delle scienze fisiche per delimitare l’oggetto della sua opera. Distingue le scienze fisiche (corpi sensibili) da quelle metafisiche (enti intellettuali), e all’interno delle prime separa la Matematica pura dalla Fisica in senso ampio. La Fisica generale si articola in Meccanica, Fisica propriamente detta (o Chimico-meccanica) e Chimica (fr:22/p.15). La Fisica propriamente detta, a sua volta, si divide in Fisica de’ corpi ponderabili e Fisica de’ corpi imponderabili (fr:26/p.17), e quest’ultima comprende Elettrologia e Ottica (fr:34/p.20). La Fisica speciale, invece, si occupa dei corpi particolari (Zoologia, Botanica, Mineralogia, Meteorologia, Astronomia) (fr:49/p.22). L’autore discute anche la classificazione di Ampère, ritenendola meno appropriata per l’uso didattico: “senza cercar di togliere a quella ingegnosa classificazione il merito che essa possa avere […] ho creduta la divisione che ho sopra indicata, più conforme alle idee ricevute” - (fr:55/p.24).

Il ramo specifico del trattato è la Fisica de’ corpi ponderabili, definita come lo studio della costituzione generale dei corpi dotati di massa sensibile, delle loro molecole e delle forze che le animano, della capacità termica, della dilatazione, della densità e dell’elasticità dei vapori (fr:3/p.2, fr:58/p.25). L’autore giustifica la necessità di un’opera separata, poiché mentre l’Elettrologia e l’Ottica erano già state trattate in monografie, “la sola Fisica de’ corpi ponderabili rimase come nocciuolo per dir così della Fisica” - (fr:68/p.27), senza limiti precisi. Per colmare questa lacuna, Avogadro ha raccolto materiali da memorie accademiche, opere speciali e trattati di Meccanica e Chimica, svolgendo il ruolo di raccoglitore e commentatore (fr:80, fr:82/p.31).

Nel primo volume, l’autore espone le basi della costituzione dei corpi, partendo dal concetto di molecola e di porosità. Le molecole sono distinte e separate da intervalli, come dimostrato dalla dilatazione termica e dalla comprimibilità: “la prova più generale […] è che tutti i corpi si dilatano pel calore, e si condensano pel freddo” - (fr:128/p.44). La porosità è intesa come interstizi tra molecole, non come forellini macroscopici (fr:131/p.44). L’opera tratta poi la costituzione dei solidi, con un’attenzione particolare alla cristallografia, sia nella sua parte geometrica (derivata dai lavori tedeschi di Naumann) sia in quella fisica (teoria di Haüy), aggiungendo le ricerche recenti sull’isomorfismo e dimorfismo (fr:99/p.34, fr:104, fr:105/p.36). L’autore sottolinea che questi argomenti erano stati trascurati nei corsi di fisica generali.

Il resoconto si conclude con l’esposizione del metodo seguito: l’opera suppone nel lettore una conoscenza della matematica pura e dei principi della Meccanica, mentre le nozioni di Chimica e di Fisica speciale vengono introdotte solo come applicazioni, per non appesantire la trattazione (fr:108/p.36, fr:112/p.37). La prima parte del volume, dedicata alla costituzione dei corpi a temperatura fissa, si articola in due libri: il primo sulle generalità, il secondo sulla costituzione dei corpi solidi, includendo sia i lavori matematici sulle forze molecolari sia i risultati sperimentali su coesione, elasticità e vibrazioni sonore (fr:87, fr:89/p.32).

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2 Analisi delle forze molecolari e della costituzione dei corpi

“L’affinità o attrazion molecolare non solamente si esercita tra le molecole di un medesimo genere, … ma anche tra le molecole eterogenee” – (fr:198/p.53) [L’affinità o attrazione molecolare non si esercita solo tra molecole dello stesso genere, ma anche tra molecole eterogenee.]

Il testo esamina la natura delle forze che agiscono tra le molecole, distinguendo tra attrazione molecolare e attrazione newtoniana. La prima, a differenza della gravità universale, non segue la legge dell’inverso del quadrato della distanza ed è sensibile solo a distanze “insensibili”, variando inoltre in intensità in base alla natura chimica delle sostanze. Come si legge: “Questa forza poi di attrazione molecolare è, come si vede, d’una natura diversa da quella che si esercita tra tutte le parti di materia qualunque, la quale è in ragione inversa del quadrato della distanza” – (fr:184/p.50). La funzione matematica che ne descrive il decrescimento è comunque “affatto ignota” – (fr:183/p.50).

Poiché la sola attrazione porterebbe le molecole a toccarsi, occorre postulare una forza ripulsiva opposta, responsabile dell’equilibrio a una distanza determinata. Questo equilibrio è descritto come il risultato di una forza attrattiva e di una ripulsiva: “convien dunque supporre che vi sia un’altra forza opposta alla prima, cioè una forza ripulsiva, che tenda ad allontanare le molecole le une dalle altre” – (fr:186/p.50). La natura di tale forza ripulsiva viene ricondotta al calore. Il testo presenta due ipotesi principali: quella del calorico come fluido materiale e quella del moto vibratorio (teoria dell’etere). Nella prima, “il calorico, considerato come fluido distinto, esercita … che le molecole di questo fluido si rispingono reciprocamente” – (fr:188/p.51). Nella seconda, “si concepisce che da esso risultino urti reciproci tra le molecole de’corpi, e quelle del fluido frapposto, detto etere” – (fr:190/p.51). L’autore discute le difficoltà della teoria vibratoria, osservando che le vibrazioni non possono appartenere alle molecole stesse (altrimenti produrrebbero onde sonore), ma devono essere attribuite a “atomi o molecole parziali di cui le molecole integranti … debbono supporsi composte” – (fr:192/p.52), riprendendo le idee di Ampère. L’aumento di temperatura corrisponde, in quest’ultima ipotesi, “all’aumento di rapidità nelle vibrazioni degli atomi” – (fr:194/p.52).

Il trattato introduce poi una distinzione fondamentale tra affinità di aggregazione (coesione tra molecole dello stesso genere) e affinità di composizione (tra molecole eterogenee, che dà luogo a sostanze composte). Si precisa che la fisica propriamente detta si occupa solo della prima, mentre la chimica si occupa della seconda. Viene inoltre chiarita la differenza tra molecole integranti e molecole costituenti (atomi): “in una sostanza composta convien distinguere due ordini di molecole, cioè le molecole costituenti … e le molecole integranti” – (fr:201/p.53).

La parte centrale del testo – basata sulla memoria di Poisson (1829) – formalizza matematicamente l’azione tra due molecole. La forza risultante R è funzione della distanza r e composta da termini attrattivi e ripulsivi: “La materia propria delle due molecole eserciterà … un’attrazione reciproca proporzionale al prodotto delle loro masse … e le due quantità di calorico … eserciteranno tra loro una forza ripulsiva, proporzionale al prodotto dì queste due quantità” – (fr:213/p.55). L’espressione completa è R = cc’γ – mm’d – mc’β – m’cβ’ (fr:216-217/p.56), dove i coefficienti dipendono dalla natura delle molecole. Per una certa distanza si ha R = 0, condizione di equilibrio. L’autore sottolinea che, sebbene la legge precisa della forza molecolare sia sconosciuta, si può comunque calcolare l’azione totale considerando tutte le molecole entro una sfera di raggio insensibile. La densità locale e l’intervallo medio tra molecole vengono definiti, e l’azione molecolare riferita all’unità di volume è proporzionale al prodotto delle densità (fr:226/p.57).

L’equilibrio delle forze su ogni molecola deve essere nullo affinché il corpo non cambi stato (fr:234/p.58). Tuttavia, l’autore distingue due grandi classi di corpi: quelli in cui la distanza molecolare è fissata dall’equilibrio o da pressioni esterne (solidi e liquidi), e quelli in cui non lo è (implicitamente i gas, non trattati qui). I solidi si differenziano dai liquidi per l’invariabilità della posizione relativa delle molecole: “le molecole de’ primi hanno una posizione relativa invariabile … mentre quelle de’secondi scorrono quasi con intiera libertà le une sulle altre” – (fr:238/p.58). L’intero discorso è presentato come propedeutico alla seconda parte del trattato, che tratterà gli effetti delle variazioni di temperatura (fr:195/p.53).

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3 La determinazione del peso specifico: metodi, strumenti e correzioni in un trattato scientifico dell’Ottocento

Il testo affronta sistematicamente la misura della quantità di materia attraverso il peso, definendo il peso specifico come rapporto tra il peso di un corpo e quello di un ugual volume d’acqua a una temperatura fissa, con particolare attenzione alle correzioni necessarie per ottenere risultati precisi. Viene distinta l’operazione di pesare, con la bilancia come strumento fondamentale, dalla successiva determinazione del peso specifico: “Supponendo dunque, che si sappia pesare esattamente un corpo, basterà conoscerne il volume espresso in un’unità qualunque per dedurne il suo peso specifico, ossia la densità” (fr:267/p.63). La definizione standard è specificata più avanti: “Ordinariamente però si intende sotto il nome di peso specifico o densità d’un corpo, il rapporto del suo peso specifico a quello dell’acqua ad una data temperatura” (fr:270/p.64).

La temperatura di riferimento è quella del ghiaccio fondente, indicata come zero nei termometri centigradi, come spiegato: “A questa temperatura del ghiaccio fondente, ossia a o° di temperatura, si suppone ordinariamente trovarsi l’acqua, colla densità della quale si paragona quella degli altri corpi” (fr:273/p.64). Tuttavia, la dipendenza dalla temperatura è critica, poiché “il volume, e quindi la densità dell’acqua variando colla temperatura secondo una legge diversa” (fr:271/p.64) rende necessario specificare la temperatura costante.

Un aspetto peculiare è la discussione sulla definizione del grammo e la sua relazione con il peso dell’acqua. Il testo osserva che “il gramma che si è preso per unità di peso differisce pochissimo dal peso d’un centimetro cubo d’acqua alla temperatura del ghiaccio fondente” (fr:276/p.64), ma precisa che la corrispondenza non è esatta: “il peso d’un centimetro cubo d’acqua alla temperatura del ghiaccio fondente è 0,999925 o più precisamente 0,99992521 di gramma” (fr:277/p.65). Questa discrepanza, dovuta a differenze di temperatura nella fissazione del campione, porta a confronti internazionali: “gli Inglesi hanno apprezzato il peso d’un dato volume d’acqua, ad una stessa temperatura, di più grande che i Francesi” (fr:284/p.66), citando uno studio di Weber del Il testo conclude pragmaticamente che “si potrebbe anche prendere il peso di un centimetro cubo d’acqua a o° per un gramma senza error considerevole” (fr:285/p.66), ma sceglie di mantenere il numero 0,999925 per uniformità.

Le correzioni per l’aria sono fondamentali: “i pesi osservati, che chiameremo apparenti, sono dunque minori d’una piccola quantità che i pesi reali, e bisognerà calcolare, e aggiunger loro questa quantità per ridurli a quelli che si sarebbero osservati nel vacuo” (fr:290/p.66). Viene quindi presentato il metodo per i liquidi con un fiasco a turacciolo smerigliato, descrivendo la procedura per ottenere il peso apparente dell’acqua e del liquido (fr:298-300/p.68), e le formule per convertire questi dati in peso specifico, tenendo conto della dilatazione del vetro e del liquido stesso (fr:305/p.69-321/p.70). Un risultato storico rilevante è la determinazione della densità del mercurio: “i signori Biot e Arago per esempio determinarono la densità o peso specifico del mercurio” (fr:324/p.71), trovando che “il peso di un centimetro cubo di mercurio, alla temperatura del ghiaccio fondente è gram. 13,597190” (fr:325-326/p.71), con un rapporto di densità di 13,598207 rispetto all’acqua.

Gli strumenti alternativi, come l’areometro di Fahrenheit, vengono descritti in dettaglio. Questo strumento, “un fiaschette di vetro, di forma ovale, terminato nella parte superiore in tubo sottile che sostiene uno scodellino F” (fr:329/p.71), funziona per immersione in liquidi, richiedendo pesi addizionali per raggiungere un tratto fisso (fr:330/p.71-332/p.72). Viene poi introdotto l’areometro a immersione variabile, detto “pesa-liquori”, in cui “si giudica della maggiore o minor densità dei liquidi […] dalla maggiore o minore immersione che vi si osserva” (fr:341/p.73), con due scale separate per liquidi più pesanti e più leggeri dell’acqua. Il testo attribuisce la costruzione comparabile di tali strumenti al farmacista Baume (fr:349/p.74), che fissò i punti fissi nell’acqua pura e in una soluzione salina di 9 parti d’acqua e 1 di sale (fr:350/p.74). Tuttavia, non esiste una determinazione precisa della densità di tale soluzione: “una determinazione precisa a questo riguardo negli Stromenti, quali sono in uso, non è possibile, stante che nè Baume, nè gli altri costruttori hanno prese ed indicate le precauzioni necessarie” (fr:358/p.76). Per ovviare, si assume, seguendo Bellani, che la densità della soluzione salina sia 1,0733 (fr:360/p.76).

Il testo conclude con le formule di conversione tra gradi dell’areometro di Baume e peso specifico, derivate dalla relazione inversa tra volume immerso e densità (fr:362/p.76-365/p.77). Queste formule, come “146,4 / (146,4 – A)” per liquidi più pesanti dell’acqua, mostrano il tentativo di rendere quantitativi gli strumenti, sebbene l’autore riconosca che tali areometri “servono più per l’uso delle arti e del commercio, che per le ricerche de’ fisici” (fr:347/p.74). La figura citata (fr:354/p.75) illustra la posizione relativa delle due scale, sottolineando il carattere pratico, ma approssimativo, di questi metodi.

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4 Metodi e strumenti per la determinazione del peso specifico nel trattato scientifico analizzato

Il testo descrive in dettaglio la graduazione degli areometri di Baumé, le formule per convertire i gradi in peso specifico, e i metodi diretti e indiretti per trovare il peso specifico di liquidi e solidi, con particolare attenzione alle correzioni per temperatura, dilatazione e peso dell’aria.

Il brano si apre con la trattazione della graduazione dell’areometro per liquidi più leggeri dell’acqua, introducendo una proporzione matematica: “Lr Quanto alla graduazione dell’areometro pei liquidi più leggieri dell’acqua, chiamando A’ le indicazioni di questo , e G, come sopra , il peso specifico corrispondente, si avrà la proporzione I d’onde 1,0733 .” (fr:366/p.77). Subito dopo si fa riferimento a numerosi autori che avevano cercato di stabilire empiricamente la corrispondenza tra gradi e peso specifico, “senza riferirla per mezzo d’ima formola al principio stesso che serve di base a questa graduazione”, citando ad esempio la tavola di Nicholson pubblicata sul suo Giornale inglese nell’aprile 1797 e poi riportata negli Annales de Chimie (fr:368/p.18). L’autore osserva che le tavole esistenti differiscono poco dalle formule qui sviluppate, e propone di adattare il calcolo a eventuali dati più precisi (fr:369/p.78). Viene quindi esemplificato il procedimento usando i valori di Nicholson: per i liquidi più leggieri il grado 20 corrisponde al peso specifico 0,817, per i più pesanti il grado 72 al peso specifico 2 (fr:370/p.78). Da questi dati si può ricavare la densità della soluzione che determina il grado 10, che l’autore trova essere 1,0746 per l’areometro dei liquidi più pesanti e 1,0807 per i più leggieri (fr:371/p.78).

Un punto storico rilevante è la descrizione delle soluzioni usate da Baumé: “io ho supposto nell’applicazione di quelle formole che Ia soluzione composta di 9 parti d’acqua e 1 di sale si sia presa per determinare tanto la scala pei liquidi più leggieri dell’acqua , come pei più pesanti ; questa però è una simplificazione introdotta posteriormente alla prima costruzione di Baumé.” (fr:372/p.78). In origine Baumé usava soluzioni diverse: per i liquidi più leggieri una soluzione di 9 parti d’acqua e 1 di sale, per quelli più pesanti una di 85 parti d’acqua e 15 di sale, segnando 15° sul punto d’immersione (fr:373/p.78). L’autore nota che questa divisione non coinciderebbe con quella basata sulla prima soluzione se non ipotizzando una proporzionalità esatta tra sostituzione di sale e diminuzione d’immersione, cosa non vera, ma la differenza è piccola e “può riguardarsi come confusa colle altre inesattezze nella costruzione” (fr:374/p.78). Successivamente vengono menzionate altre varianti come l’areometro di Cartier e proposte alternative, ad esempio la graduazione di Brisson che faceva corrispondere i gradi a millesimi di peso specifico, seguito dall’areometro di Richter (fr:375-377/p.79). L’autore dichiara di non volersi soffermare su questi strumenti, preferendo sempre i metodi diretti per la determinazione dei pesi specifici (fr:378/p.79). Accenna anche agli areometri per miscele, come quelli per l’alcool, ma li rimanda ad altra sede (fr:379/p.79).

Il testo prosegue con i principi di strumenti basati sull’equilibrio di colonne liquide, come il Bliramelro di Hare e il sifone-idrometro di Meikle (fr:381-382/p.79), citando riferimenti al Philosophical Magazine del 1826 e 1828 (fr:383-385/p.79), ma osserva che tali strumenti non furono adottati nell’uso comune (fr:386/p.79).

La sezione successiva è dedicata alla determinazione della densità dei corpi solidi (fr:387/p.80). Viene illustrato il metodo del fiasco: si pesa il corpo nell’aria, poi il fiasco pieno d’acqua a temperatura nota, quindi si introduce il corpo e si pesa di nuovo, ottenendo il peso dell’acqua spostata (fr:393-396/p.80). L’autore precisa che se i pesamenti fossero fatti nel vuoto a 0°, il rapporto tra peso del corpo e peso dell’acqua spostata darebbe direttamente il peso specifico, ma poiché così non è, “bisogna applicare qui le convenienti riduzioni, che indicheremo fra breve” (fr:398/p.80). Viene descritto anche il metodo della bilancia idrostatica, in cui il corpo viene sospeso con un crine e pesato prima nell’aria poi nell’acqua; la differenza dà il peso dell’acqua spostata (fr:399/p.80-401/p.81).

Si affronta poi il caso dei corpi che si imbevono d’acqua: “Vi sono alcuni corpi che s’imbevono d’acqua senza sciogliersi nè scomporsi. Per questi la questione della ricerca del peso specifico presenta una specie d’ambiguità.” (fr:402-403/p.81). Si può cercare il peso specifico considerando il volume esterno (compresi gli interstizii) oppure solo della materia impermeabile. L’autore fornisce un esempio numerico: corpo secco pesa 1000 grammi, assorbe 50 g d’acqua e ne sposta 240 g; il peso specifico apparente (volume esterno) è 1000/240, quello della materia impermeabile è 1000/190 (fr:406-409/p.81). Per i corpi solubili in acqua si consiglia di usare un altro liquido (alcool, olio) e poi moltiplicare il peso specifico relativo a quel liquido per il peso specifico del liquido stesso (fr:410/p.81-412/p.82).

Viene quindi introdotta la parte più formale: “Ma bisogna ora dare a questi metodi il Ior compimento, introducendovi tutte le correzioni che le osservazioni richieggono per divenir esattamente comparabili.” (fr:413/p.82). Si sviluppano le formule tenendo conto della temperatura t, della dilatazione cubica del solido K, della dilatazione del liquido λ, e del peso dell’aria. Si parte dal caso in cui il corpo viene pesato in aria e in un liquido noto; le equazioni portano a una formula per il peso di un centimetro cubo del corpo alla temperatura del ghiaccio fondente (fr:414-420/p.82). Se il liquido è acqua, si semplifica e si introduce il peso di un cm³ d’acqua a 0°, cioè 0,999925; l’autore osserva che tralasciando tutte le correzioni si ottiene una formula approssimata, “Questa è un’approssimazione soventi ammessa; ma si vede qui in che essa consista , e quali cose vi si trascurino.” (fr:421/p.82-422/p.84). Seguono le formule per i metodi con fiasco, distinguendo tre pesamenti (corpo, fiasco pieno di liquido, fiasco con corpo e liquido) o due pesamenti (corpo, e corpo con fiasco pieno di liquido), giungendo a risultati analoghi (fr:424/p.84-435/p.86).

Una parte notevole è dedicata all’areometro di Nicholson (fr:437/p.86-462/p.88). Viene descritta la sua struttura: una piccola secchia metallica traforata HH (fig. 3) per contenere il corpo solido, con una palla di vetro piena di mercurio per tenerlo ritto, e un piattello superiore FF (fr:438-439/p.86). Il procedimento per pesare nell’aria e nell’acqua è spiegato in dettaglio: si immerge l’areometro in acqua distillata a temperatura nota, si aggiungono pesi N per farlo arrivare al tratto T; poi si mette il corpo sul piattello e si aggiungono n grammi (se il corpo è più leggero di N) ottenendo peso apparente N-n (fr:440-443/p.87). Spostando il corpo nella secchia HH, se è più pesante dell’acqua si aggiungono n’ grammi per raggiungere T, e la differenza n’ - n dà il peso dell’acqua spostata (fr:444-448/p.87). L’autore mostra come queste quantità corrispondano a S e S’ delle formule precedenti (fr:449-450/p.87). Per corpi più leggeri dell’acqua si può rovesciare la secchia (H’ H’ nella stessa figura), e le formule restano valide, anche se il peso nell’acqua diventa negativo (fr:457-461/p.88). Si sottolinea che l’uso di questo areometro equivale a quello della bilancia idrostatica, ma i metodi diretti sono sempre da preferire per risultati molto precisi (fr:462-463/p.88).

Infine, viene descritto il metodo di Leslie per corpi porosi o pulverulenti, dove l’acqua penetra difficilmente e si potrebbe dubitare dell’accuratezza: “Leslie si è servito di un mezzo particolare per determinare la densità della parte solida dei corpi molto porosi o pulverulenti, tra le particelle de’ quali l’acqua penetra talvolta difficilmente”. Il metodo consiste nel determinare il volume degli interstizii misurando l’aria contenuta sotto pressione ordinaria e il suo volume quando la pressione è ridotta alla metà, ottenendo così un volume uguale a quello degli interstizii (fr:465-468/p.89).

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5 Resoconto degli studi sulla tenacità dei metalli nel trattato scientifico

Il testo analizza in modo comparativo le determinazioni sperimentali della tenacità (resistenza alla trazione) di vari metalli, confrontando i risultati di Guyton, Muskembroek, Tredgold, Navier, Lagerhielm, Baudrimont e altri, e discutendo l’influenza di fattori come purezza, lavorazione, sezione dei fili e tempra.

L’esposizione si apre con le esperienze di Guyton de Morveau, che ha operato su metalli “alla maggior purezza possibile , e tratti alla filiera , e però alquanto indurati dalla compressione che vi avevano subita” (fr:614/p.108). Le differenze tra la sua tavola e quella di Muskembroek sono attribuite “alla diversa purezza e stato diverso dei metalli adoperati” (fr:616/p.108). Per lo stagno, Guyton ha adottato precauzioni per evitare rotture accidentali, mentre per il piombo è stata necessaria una distinzione tra due risultati “pel grande ristringimento che questo metallo subisce avanti di rompersi” (fr:615/p.108). La tenacità assoluta del ferro da lui riportata (79,5 chilogrammi per un filo di 1 millimetro quadrato di sezione) è giudicata “superiore alla massima di quelle che si attribuiscono al ferro ordinario in ispranga ne’ diversi suoi stati” (fr:619/p.108).

Più recentemente, Tredgold ha condotto esperimenti in Inghilterra, determinando non la forza di rottura, ma “quello al di là di cui il filo senza rompersi ancora comincia a presentare un’alterazione permanente , cioè tolto il peso non ritorna più alla prima lunghezza” (fr:622/p.108). Per i metalli duttili, questa trazione è “tre , quattro , ed anche sei, volte minore di quella a cui il filo si rompe” (fr:622/p.108). Tredgold fornisce una tabella di forze per l’alterazione permanente, con il ferro fuso come unità (1,000 corrispondente a 10,76 chilogrammi per millimetro quadrato) e valori per ferro malleabile (1,120), metallo dei cannoni (0,650), ottone (0,435), zinco (0,365) e stagno fuso (0,182) (fr:631-637/p.109). Successivamente, ha esaminato l’effetto della tempra sull’acciaio, trovando che per l’acciaio temprato al massimo grado, “la forza necessaria per produrre un’alterazione permanente sta a quella che cagiona la rottura come i : 1,66”, mentre per l’acciaio “giallo di paglia” il rapporto è 1:2,56 (fr:641/p.109). In generale, “mentre la tempra rende l’acciajo piu resistente ad una alterazione permanente avanti di rompersi, diminuisce la forza totale di coesione, con cui esso resiste alla rottura” (fr:646/p.110), e l’acciaio stemprato resiste ancora di più, con 000 libbre per pollice quadrato (fr:647-649/p.110).

Tredgold ha anche usato un metodo basato sulla flessione di spranghe, calcolando poi la forza di trazione equivalente con una formula (fr:652/p.110-654/p.111). Il testo precisa che la resistenza alla flessione dipende dalla forma, e che la teoria della resistenza dei solidi è estranea alla fisica propriamente detta (fr:656/p.111).

Navier ha sperimentato su lamine metalliche, trovando per il ferro laminato una tenacità media di 36 chilogrammi per millimetro quadrato, per il rame 21 e per il piombo 1,33 (fr:660-662/p.111). Per il ferro, l’allungamento permanente inizia a circa 5/7 della forza di rottura, valore circa doppio di quello di Tredgold, “ciò dipende forse dalla forma di lamina sotto cui Navier l’ha esaminato, nella quale il ferro dovea essere stato indurato dalla pressione del laminatojo” (fr:664/p.112). Navier ha anche sperimentato su sfere cave di ferro sottoposte a pressione interna, concludendo che la rottura avviene per una trazione simile a quella longitudinale (fr:669/p.112).

Lagerhielm, per incarico della Società metallurgica di Stoccolma, ha osservato che l’allungamento stabile prima della rottura è “in ragion inversa, secondo le sue sperienze, del quadrato della forza richiesta per produrre un cominciamento di allungamento stabile” (fr:672/p.112). Ha anche rilevato una diminuzione di densità nel punto di rottura: “il peso specifico era nel ferro non esteso uguale a 7,821, e nei capi in cui si era fatta la rottura 7,777” (fr:674/p.113), attribuibile a un maggiore aumento dimensionale in lunghezza rispetto alla contrazione trasversale (fr:676/p.113). Tale diminuzione è maggiore nel ferro molle (0,00668) che in quello indurato (0,00451) (fr:679/p.113).

Baudrimont ha studiato l’effetto della ricottura, trovando che “i fili ricotti hanno minore tenacità che gli stessi fili dotati della rigidità che la filiera loro avea compartita” (fr:680/p.113): un filo di ferro da 12 chilogrammi scende a 5 dopo ricottura (fr:681-683/p.114), e analogamente per il rame (fr:684-685/p.114). Egli ha anche determinato per primo la tenacità del cadmio, ricavando 6,52 chilogrammi per millimetro quadrato (fr:689-691/p.114). Per stagno e piombo, i suoi valori sono inferiori a quelli di Guyton (fr:692-693/p.114).

La diversità nei risultati è attribuita anche alla grossezza dei fili: “la tenacità dei fili e spranghe di ferro si è trovata tanto più grande, riferita a ciascun millimetro quadr. della sezione , quanto più questa sezione era piccola” (fr:696/p.114-697/p.115), con una diminuzione di circa un chilogrammo per ogni millimetro quadrato di aumento, fino a un limite di circa 45 chilogrammi per sezione di 40 millimetri quadrati (fr:698-700/p.115). Dufour ha ottenuto risultati analoghi (fr:701-702/p.115).

Il testo confronta poi la tenacità di materiali non duttili: per il vetro, Eytelwein riporta una resistenza equivalente alla pressione di 180 atmosfere, mentre Navier trova circa 2-3 chilogrammi per millimetro quadrato (fr:707/p.115-710/p.111). La tenacità del marmo bianco è di circa 1,27 chilogrammi per millimetro quadrato (fr:713/p.116), e quella di una corda di canapa è inferiore a 2 chilogrammi per millimetro quadrato (fr:714-715/p.116).

Vengono discusse le diverse modalità di espressione della tenacità: oltre al peso per sezione, si può usare l’altezza di una colonna d’acqua (1 chilogrammo per millimetro quadrato corrisponde a 1000 metri d’acqua, fr:718/p.116), o il “modulo della tenacità” (lunghezza di una verga del materiale stesso che si rompe per il proprio peso), ma quest’ultimo è poco adatto perché coinvolge la densità (fr:721-722/p.117). La conversione tra le misure è illustrata.

Infine, vengono esposte le ricerche di Gerstner, secondo cui “l’estensione stabile che precede la rottura del filo, non ha luogo soltanto, come fin qui si è creduto, quando la forza di trazione è giunta ad un certo grado, ma comincia fin dalle più piccole trazioni” (fr:725/p.117). Egli propone una formula empirica p = Ae - Be², con un massimo che corrisponde alla rottura (fr:728-729/p.118). Da questa relazione si deduce che l’allungamento permanente è approssimativamente proporzionale al quadrato dell’allungamento totale e quindi al quadrato della tensione (fr:730/p.119-737/p.120). Per i fili di ferro da lui testati, la rottura avveniva per un allungamento totale di 1/30 della lunghezza, con allungamento stabile pari a circa la metà (fr:738-739/p.120).

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[5.1/1-116-865|978]

6 Resoconto sulle leggi dell’elasticità dei metalli e determinazioni sperimentali

Il testo illustra la legge di proporzionalità tra allungamenti e tensioni nei metalli, le verifiche sperimentali (S’Gravesande, Dulau, Borda) e le definizioni del modulo di elasticità, con tabelle comparative per ferro, ottone, acciaio, vetro e altri materiali.

Il trattato scientifico analizza il comportamento elastico dei metalli e di altri solidi, partendo dalle esperienze di S’Gravesande. Utilizzando una corda metallica e una lamina d’acciaio, egli trovò che “l’aumento di tensione necessario per produrre la stessa freccia di 0,4 di pollice, epperò il medesimo allungamento, era sempre lo stesso per qualunque tensione primitiva che si fosse data alla lamina” (fr:864/p.134), sebbene il valore assoluto differisse tra corda e lamina (circa 1380 dr. contro 129,375 dr.). La legge generale viene enunciata: “quando una corda o lamina metallica è tirata nella direzione della sua lunghezza da una forza qualunque T, se si aumenta questa forza d’una certa quantità t, il nuovo allungamento prodotto da t è sempre il medesimo, qualunque fosse quella tensione primitiva T” (fr:866/p.134), a patto che l’incremento sia piccolo e reversibile. In altri termini, “gli accrescimenti della lunghezza della corda, o lamina metallica sono proporzionali agli accrescimenti di tensione” (fr:867/p.134).

Questa legge viene rappresentata analiticamente con la formula ( = + 1) (fr:868/p.134), dove () è la densità sotto pressione, () la pressione (con segno negativo per trazione), e (K) una costante. L’autore nota che teoricamente Laplace propose una relazione diversa, (d= K , d), che per piccole pressioni si confonde con la legge sperimentale (fr:868/p.134). Si precisa che la legge vale solo per deformazioni lineari nella direzione della forza, trascurando le variazioni di sezione trasversale (fr:869-870/p.136). L’estensione a deformazioni volumetriche è discussa ma limitata dalla complessità del fenomeno (fr:871-872/p.136).

Passando alla determinazione della forza elastica assoluta, si citano le esperienze di Dulau: “una spranga o verga di ferro si allunga di una dieci-millesima parte quando si aumenta di 2 chilogrammi il peso sostenuto da un millimetro quadrato della sua sezione trasversale” (fr:878/p.137), regola valida fino al limite di allungamento permanente. Per l’ottone, da una sperienza di Borda si ricava che per un allungamento di 0,0001 occorrono circa 1,085 kg per mm² (fr:884-886/p.138), portando a un rapporto di forza elastica tra ottone e ferro di circa 1 a 1,85 (fr:888/p.138).

Per la compressione longitudinale, si afferma che “l’accorciamento d’una spranga metallica per una pressione esercitata sopra di essa nella direzione della sua lunghezza … dovesse seguire la stessa legge che l’allungamento prodotto dalla tensione” (fr:890/p.138), confermato da Dulau (fr:891/p.138). Inoltre, “la forza di trazione assoluta necessaria per produrre un dato allungamento … è la stessa che la forza di pressione assoluta che si richiede per produrre un uguale accorciamento” (fr:892/p.138). Esempi per il vetro danno un’elasticità di 0,76 kg per mm² per una dieci-millesima di deformazione, corrispondente a un rapporto con il ferro di 1 a 2,63 (fr:895-897/p.139).

Viene introdotto il concetto di modulo di elasticità secondo i fisici inglesi: “Essi chiamano modulo d’elasticità d’una sostanza qualunque il peso necessario per raddoppiare per trazione la lunghezza d’una verga di quella sostanza” (fr:900/p.139), e l’altezza del modulo come lunghezza di una colonna della stessa sostanza capace di produrre quel peso (fr:901/p.139). Applicando i dati di Dulau, per il ferro si ottiene un modulo di 20000 kg per mm² di sezione, corrispondente a un’altezza di circa 2600000 metri di ferro (fr:903-906/p.140). Tredgold fornisce valori leggermente inferiori, circa 1,75 kg per dieci-millesima di allungamento e un’altezza di 2300000 metri (fr:907-909/p.140). Si critica tuttavia l’uso del modulo perché include il peso specifico, preferendo esprimere la forza elastica direttamente in kg per mm² per una data deformazione (fr:910/p.141).

Il testo riporta quindi una tavola dell’elasticità di vari metalli secondo Tredgold, ridotta a kg per dieci-millesima di allungamento su sezione di 1 mm²: ferro fuso 1,293, ferro malleabile 1,75, acciaio 2,038, stagno fuso 0,824, metallo da cannoni 0,694, ottone fuso 0,628, zinco fuso 0,962 (fr:913-914/p.141). Per l’acciaio, Tredgold assegna un’elasticità simile a quella del ferro malleabile secondo Dulau (fr:915/p.141), mentre Lagerbielm ritiene uguale l’elasticità di acciaio e ferro malleabile (fr:916/p.141). Per l’ottone tirato, da esperienze sonore si ricava 1,026 kg (fr:917/p.141-918/p.142). Bevan determina per rame 1,21 kg e per oro 0,82 kg (fr:919-923/p.142). Per il marmo bianco, l’elasticità è 0,177 kg (fr:924-925/p.142); per il vetro, valori oscillano tra 0,723 e 0,94 kg a seconda degli autori (fr:926-930/p.142). Per il ghiaccio, da esperienze di flessione si deduce un’elasticità di circa 0,058 kg, pari a 0,045 di quella del ferro fuso (fr:931/p.142-939/p.143).

Confrontando le forze elastiche con le forze necessarie a produrre un’alterazione permanente (tenacità), si calcola l’estensibilità (allungamento massimo prima della deformazione permanente). Per il ferro fuso, l’allungamento avanti la rottura è 0,000832 della lunghezza (fr:942/p.143). Segue una tabella per vari metalli: ferro malleabile 0,000714, stagno 0,001042, metallo da cannoni 0,000750, ottone fuso 0,000403, zinco fuso 0,000625 (fr:943/p.143-944/p.144). Per il marmo, l’estensibilità è 0,000717 (fr:947-948/p.144); per il vetro 0,000234 (fr:949-952/p.144). Per l’acciaio temprato durissimo, con una tenacità di 36 kg e un’elasticità di 2,038 kg, l’estensibilità risulta 0,0010, circa il doppio del ferro fuso (fr:952/p.144-958/p.145). La tempra aumenta l’estensibilità perché aumenta la tenacità senza alterare l’elasticità (fr:960/p.145-961/p.146).

Infine, si discutono i lavori di Lagerhielm, che conferma l’uniformità dell’elasticità per tutte le qualità di ferro al di sotto del limite permanente, e nota una leggera deviazione dalla proporzionalità vicino al limite, attribuibile all’indurimento (fr:963-964/p.146). I suoi valori per la forza elastica del ferro in verghe sono 2,103 kg, per il rame 1,348 kg, per l’argento 0,870 kg, per il piombo 0,282 kg (fr:965-970/p.146). Si accenna infine al metodo della flessione per determinare l’elasticità, con la formula di Tredgold (w = ) (fr:972/p.146-974/p.147), applicata alle esperienze di Dulau (fr:975-978/p.147).

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[6.1/1-147-1215|1359]

7 Resoconto delle sperienze di Coulomb e altri sulla torsione dei fili metallici

Il testo presenta una sistematica analisi della torsione dei fili metallici, partendo dalle relazioni fondamentali tra momento torcente, angolo di torsione, lunghezza e diametro del filo, con particolare attenzione alla rigidezza del materiale. Vengono definite le espressioni matematiche che legano queste grandezze, come quella per il momento di forza necessario a torcere un filo: “questo è il momento di fprza richiesto per torcere di Xo un filo di lunghezza L , di diametro D, e di cui la rigidezza sia espressa da μ” - (fr:1214/p.179). Da qui si ricava l’espressione della rigidezza μ in funzione di n, D e L: “μz=” - (fr:1217/p.179).

I calcoli sono applicati a una specifica esperienza su un filo di ferro n.° 12, teso da un peso di 2 libbre, con oscillazioni di 242” per 20 oscillazioni. Il valore di n è calcolato in 7, con la spiegazione che “bisognerebbe, per tenerlo in equilibrio, impiegare un peso di circa —j di libbra” - (fr:1221/p.180). Successivamente si determina il diametro del filo (circa 1/15 di linea) e quindi il valore di μ per il ferro: “μ=Di^-~y = -ITT-=’646’9” - (fr:1229/p.181), espresso in libbre di Francia.

Per l’ottone si utilizza un’esperienza simile di Coulomb, con oscillazioni di 442“. Il valore n’ risulta minore, e “la forza necessaria per torcere il nostro filo d’ottone di 36ò“ […] sarebbe adunque anche più piccola nello stesso rapporto , cioè uguale a grani 6,5” - (fr:1236/p.182). Il confronto tra le rigidezze di ferro e ottone dà un rapporto di circa 3,34 a 1, mentre le tenacità (carico di rottura) sono in rapporto 1,71 a 1: “il rapporto di questi pesi è di 1,71 ad 1, mentre quello delle forze elastiche di torsione ha un valore a un dipresso doppio” - (fr:1241/p.183). Il testo nota che questi rapporti differiscono da quelli di altri autori.

Viene poi esaminato il comportamento elastico oltre il limite di deformazione stabile. Si osserva che per torsioni inferiori a 45° la diminuzione delle ampiezze è proporzionale all’angolo iniziale, ma oltre 45° la legge diventa inesatta. Per l’ottone la diminuzione è meno rapida, “il che pare indicare una maggior perfezione nell’elasticità dell’ottone che del ferro” - (fr:1249/p.184). Il limite di torsione senza traslocazione del centro di reazione è di 180° per fili di ferro sottili, ma solo 45° per fili grossi; per l’ottone i limiti sono maggiori (360° e 50°). Si conclude che l’ottone, pur meno elastico in intensità, ha una maggiore estensione di elasticità.

Le esperienze sulla traslocazione del centro di reazione mostrano che torcendo ripetutamente il filo si allontana progressivamente il limite di elasticità, fino alla rottura. Per il filo di ferro, dopo torsioni successive si arriva a una traslocazione totale di 22 circonferenze + 298°, con estensione di reazione di una circonferenza + 120°. Per l’ottone i valori sono più grandi: traslocazione di 32 circonferenze + 20°, estensione di 2 circonferenze + 60°. “Da tutti questi risultati riuniti si conferma […] che Ie molecole del filo d’ottone possono senza cangiare stabilmente i loro punti di contatto, oscillare attorno alla loro posizione d’equilibrio in una estensione molto più grande che le molecole del filo di ferro” - (fr:1272/p.186).

Esperienze su filo ricotto mostrano che la torsione conferisce elasticità, ma in grado minore rispetto alla compressione della filiera. La forza di torsione sotto il limite di traslocazione rimane invariata: “la compressione che rende i metalli meno duttili […] non altera sensibilmente la forza con cui esse resistono ad un uguale scostamento” - (fr:1284/p.187). Lo stesso vale per acciaio temprato e non temprato.

Come applicazione pratica viene descritta la bilancia di torsione di Coulomb, costituita da un filo verticale con un ago orizzontale, racchiusa in un recipiente di vetro per evitare l’azione dell’aria. “Coulomb ha dato a questo Stromento il nome di bilancia di torsione” - (fr:1292/p.188). Si suggerisce l’uso di fili lunghi e sottili per misurare piccole forze, e l’ottone è preferito al ferro per la sua elasticità più estesa.

Sperienze successive di Dulau su verghe cilindriche confermano la proporzionalità inversa alla lunghezza e diretta alla quarta potenza del diametro. Il confronto tra i risultati di Coulomb e Dulau mostra una buona concordanza: “numero poco diverso da 22 che Dulau ha osservato” - (fr:1321/p.191).

Savart estende le leggi a sezioni triangolari e rettangolari, trovando che gli archi di torsione per un dato momento sono inversamente proporzionali alla quarta potenza delle dimensioni lineari omologhe per sezioni simili, e per sezioni rettangolari non simili valgono leggi più complesse. “Il risultato generale di queste sperienze fu che qualunque sia la figura della sezione trasversale delle verghe , gli archi di torsione per le verghe di sezione uguale e simile sono direttamente proporzionali al momento della forza che le torce , e alla loro lunghezza” - (fr:1325/p.191).

Savart studia anche l’effetto del raffreddamento lento o rapido sulla forza elastica. Per metalli semplici (ferro, rame, platino) non c’è influenza sensibile; per le leghe, il raffreddamento rapido diminuisce la forza di torsione (ad esempio acciaio fuso: rapporto 29/27; ottone: 29/28; lega tam-tam: 19/15). “Questa diminuzione di forza elastica nel rapido raffreddamento delle leghe pare doversi attribuire alla meno perfetta adesione delle particelle” - (fr:1341/p.194).

Infine, Bevan introduce il modulo di torsione per prismi quadrati, definito come la forza necessaria per torcere un’unità lineare all’estremità di un vette unitario. I suoi valori (ferro lavorato e acciaio: 779.090, ferro fuso: 600, metallo per campane: 000 in unità inglesi) vengono convertiti nel sistema metrico e confrontati con quelli di Coulomb, notando che una verga quadrata equivale a una cilindrica con diametro maggiore di 1/10 del lato.

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[7.1/1-136-1425|1558]

8 Analisi matematica delle forze molecolari e delle equazioni di equilibrio nei corpi solidi elastici

Il testo sviluppa la teoria matematica delle forze molecolari in un corpo solido deformabile, derivando le equazioni di equilibrio tramite la riduzione di somme complesse a integrali e l’introduzione di costanti elastiche.

Il testo presenta un’analisi approfondita delle forze che agiscono all’interno di un corpo solido dopo un cambiamento di forma, partendo dall’azione molecolare. In primo luogo, vengono definite le componenti di questa azione. Le somme P, Q, R sono “dopo il cangiamento di forma, le componenti dell’azione d’una parte del corpo sull’ altra riferita all’unità di superficie , e relativa al punto M della loro superficie di separazione” (fr:1424/p.205). Tuttavia, questa forza non è normale alla superficie come nei fluidi e “per uno stesso punto M essa varia in direzione e in grandezza colla direzione di questa superficie” (fr:1424/p.205). Le componenti specifiche sono espresse da ωP, ωQ, ωR, dove ω rappresenta un’area.

La parte centrale dell’analisi riguarda la riduzione matematica delle somme che esprimono queste componenti. Il testo rimanda alla memoria del signor Poisson per i dettagli analitici, limitandosi a indicare i risultati. Un passaggio cruciale è la trasformazione di somme doppie in somme semplici, introducendo la variabile ζ = ζ₁ − Z₁, e successivamente la sostituzione, per approssimazione, della distanza r’ (dopo il cambiamento) con la distanza r (nello stato naturale), attraverso la relazione dr’/dr. Si passa poi da variabili cartesiane (x₁, y₁, ξ) a variabili polari, dove r è la distanza, β è l’angolo con l’asse z, e γ è l’angolo sul piano xy, ottenendo una forma p Fr.

Un punto metodologico fondamentale è la trasformazione di una doppia somma in un integrale doppio. Questo viene fatto descrivendo una superficie sferica dal punto M, dividendola in parti abcd su cui la quantità p è costante. Il numero di molecole in una porzione sr² di superficie si assume essere s/a², dove a è la distanza media tra molecole, supponendo che r sia molto maggiore di a. La doppia somma diventa un integrale su β e γ della quantità p senβ dβ dγ. Il testo riconosce però i limiti di questa approssimazione: essa richiede che r sia un multiplo considerevole di a per avere un gran numero di molecole nella porzione, condizione che non vale per r piccoli (fr:1441/p.208). Per superare questa difficoltà, si assume che il raggio d’attività delle molecole sia molto grande rispetto agli intervalli che le separano, e che la rapida diminuzione dell’azione non avvenga che a grandi distanze (fr:1444/p.209). Questo permette di trascurare i termini per piccoli r e di estendere l’integrazione su r da 0 a ∞.

Dopo queste riduzioni e integrazioni, si ottengono le espressioni definitive delle componenti P, Q, R in termini di coefficienti K e k e di derivate parziali degli spostamenti u, v, w (fr:1451-1452/p.210). Vengono poi esplicitati i casi particolari in cui la normale alla superficie di separazione è parallela agli assi z, y e x, ottenendo le componenti P₁, Q₁, R₁, P₂, Q₂, R₂ e P₃, Q₃, R₃ (fr:1455/p.211-1459/p.212).

Da queste basi si costruiscono le equazioni di equilibrio. Considerando un parallelepipedo infinitesimo, l’equilibrio delle forze di traslazione porta alle tre equazioni (A):

<mark>*"dP₁/dz + dP₂/dy + dP₃/dx + Xp = 0"*</mark> (fr:1470/p.215)

e analoghe per Q e R. Il testo nota che queste equazioni sono le stesse che si otterrebbero con un parallelepipedo infinitamente piccolo, ipotesi non possibile a priori per un corpo discontinuo (fr:1470/p.215).

Oltre alle equazioni interne, sono necessarie condizioni al contorno (equazioni B) per i punti sulla superficie del corpo, ottenute dall’equilibrio di una porzione di corpo vicina alla superficie (fr:1474/p.215-1492/p.217). Queste sono:

<mark>*"X₁ + P₁c″ + P₂c′ + P₃c = 0"*</mark>

e analoghe per Y₁, Z₁, dove c, c′, c″ sono i coseni della normale esterna (fr:1485/p.216-1486/p.217).

Il testo discute poi lo stato naturale del corpo, in assenza di forze esterne. In questo stato, con u=v=w=0, le equazioni si riducono a K=0, che implica ∑r³fr=0. Il significato fisico è che la somma delle azioni delle molecole moltiplicate per il cubo della distanza è nulla (fr:1515/p.221). Viene sottolineato che la costante k non è nulla in questo stato, a differenza di K. La trasformazione di K e k in integrali è criticata: il testo mostra che, se fossero trasformabili, k risulterebbe nullo, il che “non é ammissibile” (fr:1520/p.222). Questo dimostra che queste somme appartengono a una categoria che non può essere cambiata in integrali (fr:1521/p.222). Di conseguenza, nello stato naturale, le forze P, Q, R sono nulle, ma k mantiene un valore che dipende dalla natura e dal calore del corpo, rappresentabile come un peso per unità di superficie (fr:1523/p.222-1525/p.223).

Infine, il testo applica la teoria al caso di un corpo omogeneo e sferico soggetto a una pressione normale N costante su tutta la superficie. In questo caso, gli spostamenti sono tali che il corpo si comprime o dilata uniformemente, con una variazione lineare δ della distanza tra molecole ( r′ = r(1-δ) ). Le equazioni di equilibrio portano a 5kδ = N, mostrando che k è positiva e funge da misura della resistenza alla compressione (fr:1544/p.226). Il testo osserva che questa legge lineare è approssimativa e vale solo per piccole deformazioni (fr:1546/p.226). Inoltre, si menziona che, secondo Poisson, la pressione per compressione uniforme può essere espressa da una serie in funzione della densità p, riducendosi a p = aρ² + bρ³ per piccole variazioni. Da questa si deriva la costante k = 3P/2β’, che è determinabile sperimentalmente dalla condensazione β’ prodotta da una pressione P (fr:1554/p.227-1558/p.229).

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[8.1/2-109-1715|1821]

9 Studio delle vibrazioni delle corde e dei suoni armonici

Il trattato illustra la relazione tra lunghezza, tensione e grossezza delle corde nella produzione dei suoni, verificata sperimentalmente sul monocordo, e approfondisce i fenomeni degli armonici, della risonanza e dei suoni di combinazione.

Il testo descrive innanzitutto l’uso di un ponticello mobile per variare la lunghezza della corda: “E primieramente per far variare sola la lunghezza l della corda, possiamo servirci d’un piccolo ponticello mobile, di forma triangolare, che sipone sotto la corda in qualunque punto della sua lunghezza si voglia” - (fr:1715/p.251). Si afferma che “le conseguenze indicate della teoria possono facilmente verificarsi colla sperienza sul monocordo” - (fr:1714/p.251).

Dimostrando la relazione tra lunghezza e frequenza, dimezzando la corda si ottiene l’ottava acuta: “Suppongasi ora il ponticello posto sotto Ia corda , precisamente alla inetà della sua lunghezza … il numero delle vibrazioni in un dato tempo sarà … doppio” - (fr:1717/p.252), e “il suono … è ciò che in musica si chiama Vottava acuta” - (fr:1718/p.252). La divisione al terzo produce la quinta: “Collochiamo ora il ponticello al terzo della corda … il numero delle vibrazioni … diverrà triplo” - (fr:1719/p.252), “il suono … è relativamente al primo ciò che si chiama la sua quinta” - (fr:1723/p.252). Al quarto si ha la quarta: “Mettiamo ora il ponticello al quarto … il suono … è ciò che si chiama la quarta del suono fondamentale” - (fr:1725/p.253).

Procedendo si ricava la scala diatonica: “limitandoci qui a quelli che compongono la serie de’ suoni che chiamasi la gamma o la scala diatonica , si avranno i valori seguenti” - (fr:1726/p.253), con una tabella che associa nomi e numeri di vibrazioni (fr:1727/p.253). Vengono indicate le notazioni musicali: “Negli Stromenti di musica a tasti le diverse note della gamma si sogliono indicare … colle lettere a, b, c, d, e, f, g” - (fr:1733/p.253), e “In Italia si indica il suono ut nella scala colla sillaba do” - (fr:1737/p.254). Si discute l’elevazione assoluta dei suoni: “il tuono più grave discernibile corrisponde a un dipresso a 32 vibrazioni per minuto secondo” - (fr:1738/p.254). Le misure del diapason mostrano piccole diversità: “Il sig. Fischer … trovò piccole diversità dall’uno all’altro, onde si sarebbero dedotti pel primo ut diversi numeri di vibrazioni tra 243 e 260” - (fr:1741/p.254). Si precisa che “Per queste vibrazioni s’intende ancora qui una sola andata 0 ritorno del corpo vibrante” - (fr:1742/p.254).

Il testo passa poi agli armonici: “ascoltando con attenzione il suono prodotto da una corda metallica, vi si può facilmente riconoscere la mescolanza di molti altri suoni più acuti che il suono fondamentale” - (fr:1749/p.255). “Questi suoni diconsì armonici relativamente di suono fondamentale” - (fr:1752/p.255). Il fenomeno è spiegato supponendo che “ciascuna corda nel vibrare si divide in molte parti che vibrano isolatamente” - (fr:1755/p.256). Vengono descritte le configurazioni con una, due, tre curvature, facendo riferimento alle figure: “La più semplice di queste configurazioni è quella che non offre che una sola concavità verso l’asse (fig. 17, n.° 1)” - (fr:1757-1758/p.256), “Ma si potrebbe anche concepire che la corda si dividesse in due metà di curvature uguali e contrarie (fig. 17, n.° 2)” - (fr:1759-1760/p.256), “Sipotrebbe ugualmente concepire che la corda si dividesse in tre parti uguali di curvatura contraria attorno all’asse (fig. 17, n.α 3)” - (fr:1761-1762/p.256). Si introducono i termini: “si indicano i vertici … col nome di ventri e si chiamano nodi i punti … che restano immobili” - (fr:1763/p.256-1764/p.257).

Applicando il principio di sovrapposizione, “il moto composto sarà la somma di tutti questi moti parziali” - (fr:1771/p.258), e “una stessa corda può riunire tutti insieme i generi d’oscillazioni” - (fr:1772/p.258). Combinando le prime due forme si ha la figura 18: “la prima e la seconda forma … darà la specie di curvatura rappresentata nella fìg. 18 , n.0ι” - (fr:1773-1774/p.258), e “I due generi d’ oscillazioni … produrranno la doppia sensazione d’un suono fondamentale , e della sua ottava” - (fr:1775/p.258). Continuando, “si avrà una terza specie di curvatura che farà sentire ad un tratto i suoni 1, 2, 3” - (fr:1776-1777/p.258).

Sperimentalmente, si possono creare nodi: “le diverse divisioni possibili d’una corda … possono realizzarsi … mettendo … un ponticello di cartone” - (fr:1784/p.259), e “si potrà rendere sensibile la posizione de’ nodi , e de’ ventri collocando cartoline piegate sulla corda” - (fr:1786/p.259). “Questa sperienza si crede essere stata fatta Ia prima volta da Sauveur” - (fr:1787/p.259).

La risonanza tra due corde è descritta: “avendo due corde di ugual grossezza e lunghezza … facendone vibrar una , l’altra entrerà pure in vibrazione” - (fr:1790/p.259). Ciò accade anche per rapporti armonici: “quando due corde … la lunghezza dell’una è a quella dell’altra nel rapporto dell’unità ad un numero intiero” - (fr:1791/p.259). “la trasmissione del moto non si può fare se non per l’intermezzo dell’aria” - (fr:1793/p.260). “Perchè si stabilisca un moto sensibile … bisogna che la sua lunghezza sia un multiplo esatto della prima corda” - (fr:1794/p.260).

Infine, si trattano i suoni di combinazione o di Tartini: “si possono anche eccitare … nuovi suoni col solo concorso di molti altri , senza alcuna comunicazione di moto” - (fr:1799/p.260). “ogni qual volta l’orecchio riceve l’impressione continuata d’una serie di colpi … esso prova la sensazione distinta d’un suono” - (fr:1800/p.261). L’esempio con ut2 (2) e sol2 (3) produce ut1 (1): “I numeri delle vibrazioni … saranno 2 e 3 … l’orecchio … affetto dal loro ritorno periodico … da un suono ut, più grave d’una ottava” - (fr:1801-1803/p.261). “la scoperta di questo fenomeno si attribuisce al celebre musico Tartini” - (fr:1803/p.261). “Equesto fenomeno offre … una prova sicura … per riconoscere se questo Strumento sia esattamente accordato” - (fr:1805/p.262). La regola generale è: “la ricerca del suono risultante dalle coincidenze di due suoni si riduce … a trovare il suono più acuto, di cui i due suoni proposti siano amendue armonici” - (fr:1812/p.262). Si forniscono esempi numerici: con 2 e 3 si ottiene 1 (fr:1814/p.262); con mi1 e fa1 si ricava un suono più grave (fr:1815/p.262-1820/p.263).

[8.2/2-108-1822|1929]

10 Il Dibattito Ottocentesco sui Tuoni di Combinazione: Teorie a Confronto tra Hallstrom, Weber e Scheibler

Il testo analizza la natura dei tuoni di combinazione (o tuoni di Tartini), confrontando la teoria comune con le innovazioni proposte da Hallstrom e le successive verifiche di Scheibler, mostrando l’evoluzione della comprensione acustica dei fenomeni di battimento e della loro applicazione all’accordatura musicale.

Il trattato si apre con l’analisi del principio di Weber, secondo cui per ottenere un tuono risultante non è necessaria una coincidenza matematica esatta dei battimenti, ma solo un’approssimazione sufficiente alla percezione uditiva. Come spiega il testo, “non è necessario che la coincidenza dei battimenti che lo costituiscono sia matematicamente esatta , ma solo sufficientemente approssimata perchè l’orecchio vi sia sensibile” (fr:1822/p.263). Da ciò deriva la possibilità che “per certi tuoni si abbiano due intervalli diversi , in cui questa coincidenza approssimata dei battimenti abbia luogo sensibilmente” (fr:1822/p.263), principio con cui Weber spiega alcune osservazioni di Blein, sebbene “i risultati di queste osservazioni non siano intieramente esatti” (fr:1825/p.264).

Un’analogia fondamentale viene stabilita tra l’osservazione dei tuoni risultanti e l’uso del nonnio nella misura delle lunghezze. Il testo afferma che tali coincidenze “offrono, come osserva Weber, all’ orecchio lo stesso soccorso che un nonnio presenta all’ occhio per Ia misura delle lunghezze” (fr:1827/p.264). Nel caso acustico, “un solo e stesso intervallo di tempo è diviso in due numeri diversi di parti uguali, di cui l’uno supera l’altro d’un’unità” (fr:1827/p.264). Questo metodo consente una precisione notevolmente superiore: “mentre un orecchio esercitato può determinare immediatamente il rapporto di due tuoni dati, colla differenza , per esempio , di una vibrazione su cento , si può col mezzo dei battimenti che essi presentano giungere all’ esattezza d’una vibrazione su mille” (fr:1828/p.264), da cui deriva “l’uso già accennato di questi battimenti per accordare più esattamente gli Stromenti di musica , e particolarmente gli organi” (fr:1829/p.264).

Il testo prosegue analizzando le implicazioni per la teoria dell’armonia. Se i suoni componenti sono espressi da numeri interi, “il suono risultante sarà il più gran divisore comune de’ due numeri n ed n’ da cui sono espressi i valori de’ suoni componenti” (fr:1831/p.264). Con una serie di corde corrispondenti ai numeri naturali 1,2,3,4,5…, “facendo risuonare insieme le due prime corde della serie, o le tre prime , o le quattro prime , o un numero qualunque di esse , preso di seguito , comprendendovi la prima , non si sentirà che un solo suono , che sarà il suonq più grave utl” (fr:1834/p.264). La ragione risiede nel fatto che “tutte le combinazioni possibili concorrono colle loro risuonanze a rinforzare il suono utl, che essendo altronde dato dalla corda i predominerà su tutti gli altri” (fr:1837/p.265). Il testo attribuisce a questo concorso di suoni armonici l’origine dell’armonia: “Egli è probabilmente a questo concorso di tutti i suoni armonici d’un suono dato , per produrre quest’ ultimo colle loro coincidenze , e cosi una impressione sola e semplice nel senso dell’udito , che si dee attribuire l’armonia o sensazion grata che risulta dalla loro riunione col suono principale” (fr:1838/p.265).

La parte centrale del testo è dedicata alla teoria di Hallstrom, che costituisce una modificazione della teoria comune. Il punto cruciale è che per ottenere i battimenti di coincidenza “non è necessario, come si suppone in quella teoria, che numeri intieri di vibrazioni de’due corpi sonori che li producono si compiscano nello stesso istante” (fr:1846/p.266), ma “basta che esse siano giunte ad un altro punto di periodo comune , sebbene diverso dal primo” (fr:1846/p.266). Il testo illustra con un esempio: se i numeri di oscillazioni sono 3 e 5, la coincidenza comune richiede tre oscillazioni dell’uno e cinque dell’altro; ma “alla metà di quel tempo , il primo corpo avrà fatta una vibrazione e mezza , e il secondo due vibrazioni e mezza , e si troveranno cosi questi corpi amendue alla metà di una delle loro vibrazioni” (fr:1847/p.266), il che produce una coincidenza e quindi un tuono di combinazione corrispondente a due vibrazioni.

La conseguenza matematica è che “il numero di oscillazioni in un secondo di tempo, che costituisce il tuono cercato è dunque la differenza tra i due numeri d’oscillazioni in un secondo, che costituiscono i due tuoni produttori” (fr:1852/p.267). Il testo precisa che “la teoria di Hallstrom non coincide dunque con quella comune , se non nel caso in cui b—a è realmente l’unità , cioè in cui i due numeri corrispondenti ai tuoni produttori […] non differiscono tra loro che d’un’unità” (fr:1854/p.268). Se i numeri sono 3 e 5, che differiscono di due, il numero sarà 2 nella teoria di Hallstrom “in vece di 1 soltanto che la teoria comune avrebbe dato” (fr:1855/p.268). Inoltre, il suono risultante non è sempre più grave dei tuoni produttori: “secondo la relazione tra s ed r , il numero s—r può essere più grande di r ; cosi per esempio se r=3, s=11, si avrebbe s—r=8” (fr:1856/p.268). Questo tuono viene considerato come il principale di una serie, poiché il tuono s—r “dee generare nella stessa maniera col tuono r che è il più grave dei tuoni dati un altro tuono r — (s—r) = 2r—s” (fr:1858/p.268), e così successivamente, sebbene il numero di questi tuoni sia limitato e non tutti siano percepibili.

Le esperienze di Hallstrom, descritte nel testo, confermarono la sua teoria: “I numeri di battimenti , e i tuoni ottenuti si trovarono , secondo le tavole che egli ne ha date, affatto prossimamente conformi a quelli calcolati colla sua teoria” (fr:1862/p.269), mentre quelli della teoria comune non si accordavano con la stessa esattezza. In particolare, furono osservati “tuoni di combinazione molto più elevati di quelli che risultano dalla teoria comune” (fr:1863/p.269). La capacità dell’orecchio di sentire questi diversi tuoni “pare dipendere dalla elevazione relativa dei medesimi , e dal loro rapporto coi tuoni che li producono” (fr:1865/p.269). Il testo conclude che “tutto pare dunque concorrere a far riguardare questa teoria de’ tuoni di combinazione di Hallstrom come più conforme che la teoria ordinaria ai fatti conosciuti a tale riguardo” (fr:1868/p.270).

Le ricerche di Scheibler, descritte successivamente, apportano un’ulteriore modificazione. Egli osservò che “il numero dei battimenti prodotti immediatamente da due tuoni, di cui sono dati i numeri delle oscillazioni in un dato tempo , è la metà soltanto del numero di vibrazioni che forma la differenza dei due tuoni dati” (fr:1870/p.270). La ragione è che “questi battimenti corrispondono agli istanti , in cui le vibrazioni semplici dei due tuoni generatori non solamente sono ad uno stesso punto del loro periodo , ma si fanno inoltre nella stessa direzione” (fr:1871/p.271). Il testo spiega che le vibrazioni semplici si fanno “alternativamente in due opposte direzioni, cosicché nell’una l’aria è condensata, nell’ altra è rarefatta” (fr:1873/p.271), e solo la coincidenza di due vibrazioni “amendue condensanti , o amendue rarefacienti forma sola un massimo di impressione nell’ orecchio, e quindi un battimento” (fr:1873/p.271).

Questa spiegazione viene resa sensibile dalla figura 19, che presenta “una costruzione grafica dell’ andamento delle condensazioni e dilatazioni alternative e delle loro coincidenze tra due tuoni” (fr:1876/p.271). Il testo descrive la rappresentazione: “le condensazioni e dilatazioni prodotte dalle escursioni de’ corpi vibranti da una parte e dall’altra della loro posizione di equilibrio vi sono rappresentate dalle ordinate di curve” (fr:1878/p.271). Nel punto p coincidono due massimi dello stesso segno, e “questa coincidenza torna ad aver luogo in q dopo due intervalli di 4 vibrazioni semplici di uno de’tuoni, e di 5 vibrazioni dell’ altro , cosicché il numero di questi massimi d’impressione non è che la metà del numero delle coincidenze delle vibrazioni semplici che hanno luogo in n e in q” (fr:1881/p.272). Il tuono di combinazione che risulta da queste alternative “quando esse sono abbastanza rapide , perchè non si possano più sentire i battimenti, corrispondono al numero totale di coincidenze p, n, q ecc. doppio di quello dei battimenti” (fr:1887/p.273).

Il testo approfondisce la nomenclatura di Scheibler: “i tuoni di combinazione prodotti immediatamente dalla riunione di due tuoni ordinarii tuoni di combinazione del i.° grado ; quelli che risultano dalla riunione di due tuoni di combinazione del i.° grado, o di uno di questi tuoni con un tuono ordinario , tuoni di combinazione del ° grado” (fr:1891/p.274), e così via. Questi diversi gradi “sono successivamente più difficili a distinguersi coll’ orecchio , e al di là del ° grado divengono insensibili” (fr:1892/p.274). Grazie a questi rapporti e usando diapason come meno soggetti a variazione, Scheibler “pervenne a determinare l’elevazione d’un tuono colla precisione di 1/13000 od anche maggiore” (fr:1893/p.274), ottenendo un metodo per accordare gli strumenti musicali con perfezione superiore.

La parte finale del testo è dedicata ai rapporti tra i suoni consecutivi della gamma musicale. Il testo analizza l’intervallo di re a ut, chiamato “tuono maggiore” (rapporto 9/8), e l’intervallo da mi a re, chiamato “tuono minore” (rapporto 10/9). Viene poi il “semituono maggiore” tra mi e fa (rapporto 16/15). Oltre a questi, il testo segnala un altro intervallo: il rapporto 6/5, che “è un po’ minore di quello di ut a mi che si chiama terza maggiore, e che ha per valore 5/4” (fr:1924/p.277). L’intervallo 6/5 riceve “il nome di terza minore, e il fattore 24/25 , che misura il suo intervallo alla terza maggiore si chiama un Semituono minore” (fr:1926/p.277). Il testo spiega che per alzare una nota “d’un semituono minore , cioè di moltiplicarne il valore per 25/24 , oppure di abbassarla nella stessa proporzione moltiplicandone il valore per 24/25” (fr:1927/p.278), si aggiungono rispettivamente il nome “diezi” (segno #) o “bemolle” (segno b).

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11 Vibrazioni di corde e verghe elastiche: analisi di un trattato scientifico

Il testo esamina le leggi delle vibrazioni sonore, passando dalle corde tese alle verghe elastiche, con particolare attenzione ai diversi modi di vibrare e ai rapporti tra i suoni, supportati da sperienze di Chladni e sviluppi teorici di Euler, Riccati, Fourier e Poisson.

La prima parte del testo è dedicata alle vibrazioni delle corde tese e ai sistemi di alterazione dei suoni, detti temperamenti. Un esempio è fornito da una serie di numeri che rappresentano i rapporti di vibrazione corrispondenti a note musicali alterate, con l’avvertenza che “i suoni corrispondenti a questi numeri di vibrazioni non differiranno sensibilmente all’orecchio da quelli di cui essi prendono il nome nella gamma primitiva” (fr:1945/p.281). Viene poi introdotta l’idea generale che i suoni possono essere prodotti da qualunque serie d’impulsi che l’aria riceva a intervalli determinati, purché sufficientemente rapidi; l’acuto o grave dipende dalla “maggior o minor rapidità della loro successione” (fr:1946/p.281). A titolo di esempio, si cita la sirena di Cagniard-Latour (fr:1947–1948) e gli strumenti a fiato a linguetta (fr:1949/p.281).

Passando alle corde tese, il testo distingue le vibrazioni trasversali da quelle longitudinali. Per queste ultime viene riportata la relazione teorica di Poisson che lega la lunghezza l della corda, l’allungamento a dovuto alla tensione e i numeri di vibrazioni longitudinali n e trasversali n', con il rapporto n / n' = sqrt(l / a) (fr:1952–1954). Una conclusione importante è che “il numero delle vibrazioni, e per conseguenza il suono d’una corda che vibra longitudinalmente è indipendente dalla tensione” (fr:1958/p.282), anche se l’osservazione mostra un lieve innalzamento del suono all’aumentare della tensione, attribuito alla diminuzione di peso per allungamento (fr:1959/p.282).

La parte centrale del trattato è dedicata alle vereghe o spranghe elastiche, inizialmente con vibrazioni trasversali. Si osserva che la loro dinamica è diversa da quella delle corde, perché “la forza elastica agisce sulla curvatura stessa” e non si può supporre costante, mentre “nelle corde la tensione non agisce che nella direzione della lunghezza” (fr:1967/p.283). Vengono definiti sei casi a seconda delle condizioni agli estremi: fisso, libero, appoggiato; e per ciascuno si descrivono i modi di vibrazione e i rapporti dei suoni, sulla base delle sperienze di Chladni. Ad esempio, nel primo caso (un capo fisso, l’altro libero) il suono fondamentale e i successivi seguono rapporti specifici: “I suoni corrispondenti alla seconda, terza ecc. … sono tra loro, quanto al numero delle vibrazioni, come i quadrati de’ numeri 3, 5, 7, ecc.” (fr:1984/p.285), ma il primo suono fa eccezione (fr:1986/p.285). Nel secondo caso (un capo appoggiato, l’altro libero) la serie è data dai quadrati di 5, 9, 13, 17 ecc. (fr:2003/p.286). Il testo spiega queste discrepanze supponendo che le porzioni estreme vibranti abbiano una natura diversa e non equivalgano alle parti intermedie (fr:2005/p.287). Nel terzo caso (due estremità libere) il primo suono sta al fondamentale “come 25 a 4” (fr:2012/p.287). I casi successivi mostrano analogie o identità con i precedenti: il quarto (due capi appoggiati) porta a suoni come i quadrati dei numeri naturali; il quinto (due capi fissi) dà gli stessi suoni del terzo caso; il sesto (un capo fisso, l’altro appoggiato) gli stessi del secondo caso (fr:2032/p.289, 2041).

Infine, il testo delinea lo sviluppo storico della teoria. Viene attribuita a Euler la prima trattazione compiuta, perfezionata da Giordano Riccati (fr:2044/p.290). Successivamente, Plana, Fourier e Poisson contribuirono all’integrale generale dell’equazione differenziale, superando le difficoltà analitiche (fr:2045–2047). La formula finale per il numero N di vibrazioni al secondo è espressa in funzione della lunghezza, della forza di allungamento, del peso e di una costante n dipendente dal modo e dal caso considerato: “N = …” (fr:2049/p.291, formula incompleta nel testo originale).

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12 Vibrazioni circolari e torsionali delle verghe: dalle sperienze di Chladni alle teorie di Poisson e Cauchy

Didascalia: L’analisi delle vibrazioni delle verghe, sia rettilinee che curvilinee, si fonda su un intreccio di osservazioni sperimentali e formulazioni matematiche, con un’attenzione particolare ai rapporti tra frequenze e alla natura dei moti oscillatori.

Il testo affronta dapprima le vibrazioni circolari delle verghe rettilinee, un fenomeno che si produce quando, in luogo di un filo sottile, si utilizza una verga cilindrica rigida: “Se dunque in vece d’un filò sottile, prendiamo una verga cilindrica abbastanza grossa, e abbastanza rigida per sostenersi da sé stessa in qualunque posizione, quando essa sarà fissata in uno de’ suoi punti le oscillazioni risultanti dalla torsione potranno divenire abbastanza rapide per produrre un suono.” (fr:2145/p.302). Il modo più semplice è quello in cui tutte le parti della verga girano nella stessa direzione, ma possono prodursi anche modi più complessi con nodi intermedi (fr:2147/p.302).

Chladni è riconosciuto come il primo studioso di questo genere di vibrazioni (fr:2149/p.303). Egli trovò che le divisioni dei modi seguono le stesse leggi delle vibrazioni longitudinali, ma il valore assoluto dei suoni è differente: “il suono d’una verga cilindrica o prismatica che fa vibrazioni circolari è sempre la quinta grave circa di quello che essa renderebbe vibrando longitudinalmente nella stessa maniera.” (fr:2151/p.303). Per spiegare questo rapporto, Biot congetturò che le escursioni delle particelle avvengano secondo una direzione inclinata di 45° rispetto alla lunghezza della verga, formando un’elica (fr:2153/p.303). Sviluppando geometricamente l’elice, si ottiene che i suoni delle vibrazioni longitudinali sono inversi delle lunghezze delle linee vibranti, e il rapporto √2 ≈ 1,414 si avvicina a 1,5 (la quinta), “Conformemente alle sperienze di Chladni.” (fr:2155/p.303).

Successivamente, Poisson fornisce una base teorica più precisa: “ha fissato in una maniera più precisa la natura di queste vibrazioni, e il loro rapporto colle vibrazioni longitudinali.” (fr:2158/p.304). Per una verga cilindrica incastrata a un’estremità e libera all’altra, il rapporto tra il numero delle vibrazioni giratorie (n’) e longitudinali (n) è indipendente dalla materia e dalle dimensioni, e vale “— Zìo =— -3,162 = ι,58ι circa.” (fr:2160/p.304). I dati sperimentali di Chladni (1,5) e di Savart (1,6668) danno una media di 1,5834, molto vicina al risultato teorico di Poisson (fr:2162/p.304). Cauchy, con altri ragionamenti, ottiene invece il valore teorico di 1,9364 (fr:2164/p.304). Il testo sottolinea che per verghe a sezione rettangolare il rapporto non è più costante, ma dipende dal rapporto tra spessore e larghezza (fr:2167-2168/p.304); per lamine sottili e larghe, il tuono è in ragione diretta dello spessore e inversa del prodotto delle altre due dimensioni (fr:2169/p.305).

Il discorso si sposta quindi alle verghe curvilinee e anelli. Vengono prese in esame le “doppie verghe, ossia d’una verga piegata a forma di forchetta” (fr:2174/p.305), note come diapason. La figura 26 illustra lo strumento; la figura 27 mostra una verga cilindrica curvata nel mezzo. Il suono più grave si ottiene quando ciascun ramo vibra tutto intero, con due nodi vicini alla flessione di mezzo (fr:2180-2181/p.306). Questo moto è analogo alle vibrazioni trasversali delle verghe rettilinee libere alle estremità, ma il suono è più grave “nel rapporto di 16 a , cioè del quadrato di 4 aI quadrato di 5” (fr:2184/p.306). Nel secondo modo si formano cinque divisioni con quattro nodi (fr:2186/p.306). Per produrlo si deve tenere la forchetta per un nodo e far passare l’archetto su una delle parti che vibrano (fr:2187/p.306). La serie dei suoni per i modi successivi (a partire dal secondo possibile) segue i quadrati dei numeri 3, 4, 5, 6, ecc. (fr:2191/p.306). Confrontando con una verga rettilinea appoggiata alle estremità, si nota che la serie è la stessa a partire dal terzo caso possibile (fr:2196/p.307). Il testo spiega che i nodi nei due rami producono l’effetto di punti d’appoggio (fr:2197/p.307); nei modi con due nodi vicini, le vibrazioni avvengono come in una verga fissa a un’estremità e libera all’altra, con suoni più acuti di due ottave (fr:2198/p.307).

Infine, si accenna alle vibrazioni di un annello circolare ottenuto saldando le estremità di una verga curvata a forchetta: “Se si continua ad incurvare la verga ridotta a forchetta, sino a formarne un annello circolare, di cui si saldino insieme le due estremità, vi si potranno ancora produrre vibrazioni diverse, e trarne diversi suoni” (fr:2199/p.307). Questo costituisce il secondo esempio di vibrazioni di verghe curve, rimandando ai risultati sperimentali di Chladni (fr:2173/p.305).

Il testo si distingue per la ricchezza di dati sperimentali (Chladni, Savart) e di elaborazioni teoriche (Biot, Poisson, Cauchy), che dialogano tra loro per identificare le leggi dei suoni prodotti da torsione e curvatura. La presenza di riferimenti alle figure (fig. 26, 27) e a pubblicazioni coeve (Annales de Chimie, Bulletin de Ferussac) conferisce al passo un valore di testimonianza storica nello sviluppo dell’acustica fisica dell’Ottocento.

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13 Resoconto degli esperimenti di Savart sulle linee nodali elicoidali nei cilindri vibranti

Il testo descrive una serie di esperimenti di Savart volti a determinare le linee nodali in lamine vibranti e, successivamente, in cilindri sottoposti a vibrazione longitudinale. Le osservazioni iniziali riguardano lamine piatte eccitate da una corda o un cilindro mosso da archetto: a seconda della direzione delle vibrazioni (tangenziali o normali alle facce), i granelli di sabbia si comportano diversamente. In particolare, “nelle vibrazioni tangenziali , i granelli di sabbia si muovevano per collocarsi nelle linee di riposo, parallelamente alla direzione delle faccie, strisciando sopra di esse , mentre al contrario quando le vibrazioni erano normali alle faccie, i granelli saltellavano perpendicolarmente alle faccie per disporsi nelle linee nodali” (fr:2455/p.334). Inoltre, le linee nodali su facce opposte possono non corrispondersi, collegandosi tramite linee sulle facce laterali dello spessore e formando “una o più linee continue che percorrono in ziczac la lunghezza della lamina” (fr:2457/p.334).

Queste osservazioni condussero Savart allo studio di linee nodali elicoidali su verghe cilindriche vibranti longitudinalmente. Egli “si servì per esse di cilindri 0 di tubi di vetro della lunghezza per esempio di 2 metri , che faceva vibrare longitudinalmente per mezzo d’ un pezzo di panno bagnato, che faceva strisciare lungo una delle metà della lunghezza dei cilindri, mentre li riteneva in direzione orizzontale, stringendoli tra le dita nel mezzo della lunghezza” (fr:2459-2460/p.334). In tali condizioni si produceva il suono fondamentale, con una sezione nodale al centro. Savart scoprì che “in ciascuna di queste metà si formava una linea nodale in forma d’ elice , la quale in una delle metà girava in un verso , per esempio da destra a sinistra , e nell’ altra metà in verso opposto , per esempio da sinistra a destra” (fr:2462/p.335).

Poiché la sabbia non poteva essere usata sui cilindri, Savart “vi sostituì un anello formato d’ una stretta fascia di carta, che appoggiandosi con uno de’suoi punti sulla linea superiore della superficie del cilindro su cui veniva infilato, dovea necessariamente portarsi, pel moto longitudinale delle molecole della medesima, verso il più vicino punto di una linea nodale, e fermarvisi” (fr:2463/p.335). Facendo ruotare il cilindro e osservando la posizione dell’anello, si poteva tracciare l’elice completa (fr:2464/p.335-2468/p.336). Ruotando in senso opposto, l’anello tornava indietro (fr:2469/p.336). Sull’altra metà si formava un’elice di direzione opposta, ma entrambe giacevano sullo stesso lato anteriore del cilindro (fr:2470-2471/p.336).

Savart notò che “le escursioni delle molecole … sono piccolissime nei punti … più vicini al punto di mezzo della lunghezza del cilindro , e vanno successivamente crescendo andando da quel punto verso ciascuna delle due estremità” (fr:2473/p.231). Ciò era dedotto dalla maggiore vivacità dello spostamento dell’anello e dalla possibilità di inclinare il cilindro contro il peso proprio. Inoltre, “l’inclinazione di questa linea in forma d’ elice non è la stessa … in tutti i punti delle sue spire”: “nei punti … che corrispondono alla linea da cui essa parte … è quasi perpendicolarmente trasversale alla lunghezza del cilindro , mentre nei punti … corrispondenti alle linee intermedie, essa prende una direzione quasi parallela all’asse del tubo” (fr:2474-2475/p.337). Le spire si allungano man mano che ci si allontana dal centro (fr:2477/p.337).

Infine, Savart dedusse l’esistenza di una seconda elica nodale intermedia, a causa del moto opposto delle molecole tra spire consecutive: “Partendo dunque dal punto di mezzo debbono formarsi in ciascuna metà della lunghezza del cilindro due elici che corrono a un dipresso parallelamente, amendue da destra a sinistra per una delle metà , e da sinistra a destra per 1’ altra metà” (fr:2478-2479/p.337). Questo insieme di osservazioni costituisce un contributo fondamentale alla comprensione delle vibrazioni nei solidi, documentato con dettaglio sperimentale e interpretazione geometrica.

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14 Analisi e Resoconto del Trattato sulla Densità dei Corpi Solidi

Il testo analizza criticamente le relazioni tra densità, massa molecolare e volume atomico nei corpi solidi, proponendo un modello alternativo a quello di Royer e Dumas.

Il trattato si apre con una critica approfondita alla regola che vorrebbe la densità dei solidi proporzionale alla massa della molecola chimica. Secondo l’autore, Royer e Dumas “paiono supporre per la maniera stessa con cui hanno espressa questa regola , che 1’ atomo o molecola rimanga in tutti i corpi solidi tal quale essa risulta dalle considerazioni chimiche” (fr:2574/p.354). Tuttavia, l’autore osserva che se la regola fosse vera, “sarebbe più semplice il concepire che la distanza delle molecole integranti, e per conseguenza il volume di ciascuna di queste molecole , quale essa si trova nel corpo solido che si considera, fosse sempre costante” (fr:2575/p.354), portando quindi a una divisione della molecola chimica in un numero indeterminato di “molecole parziali” (fr:2576/p.354), che “si estenderebbe da 2 sino a più di 100” (fr:2577/p.354).

La validità della regola stessa è messa in dubbio: “questa regola in qualunque maniera se ne concepisca il principio non pare realmente provata” (fr:2578/p.354), poiché “la loro unità di volume I 3ι5 degli atomi essendo arbitraria , si concepisce che se ne può prendere una tale che i suoi mùltipli sufficientemente grandi possano rappresentare prossimamente i volumi degli atomi dei diversi corpi, dati dall’ osservazione” (fr:2579/p.354). L’arbitrarietà è dimostrata dal fatto che, avendo preso per unità “la terza parte del volume dell’atomo del diamante” (fr:2580/p.355), i multipli vanno fino a 128, e “se per le diverse sostanze essi non avessero trovato un’ approssimazione sufficiente in uno dei mùltipli com presi tra 2 e 128, essi vi sarebbero giunti prendendo un’unità ancora più piccola” (fr:2581/p.355). Conclude quindi che “Non pare adunque, che si possa considerare la regola di cui si tratta come un risultato generale dell’ osservazione” (fr:2582.

L’autore contrappone a questa visione l’influenza di altre qualità, “indipendente dalla massa delle molecole , sulla loro distanza , qual è particolarmente la qualità elettro-positiva o elettro-negativa delle diverse sostanze” (fr:2584/p.355), elemento che Royer e Dumas non hanno considerato. La discussione si sposta poi sui corpi solidi composti, distinguendo tra “semplici leghe che risultano dalla fusione dei diversi corpi in proporzioni indeterminate” (fr:2588/p.355) e “combinazioni propriamente dette in proporzioni determinate” (fr:2588/p.355). Nelle leghe, la densità può essere maggiore o minore di quella calcolata con la “semplice regola d’ alligazione” (fr:2591/p.356), e “Il caso però d’ una densità maggiore pare essere il più frequente” (fr:2592/p.356). Vengono poi analizzati in dettaglio gli esperimenti di Kupffer sulle leghe di piombo e stagno e sui loro amalgami, notando che “lo zero , o il minimo di dilatazione o di contrazione corrisponda ad un rapporto semplice in volume” (fr:2600/p.357).

Passando alle combinazioni chimiche in proporzioni determinate, l’autore espone il modello in cui “un certo numero di molecole integranti o totali dell’uno dei componenti si unisca con 3ι8 T un altro numero di molecole integranti del secondo componente, per formare una molecola composta” (fr:2602/p.357). La densità del composto, nell’ipotesi che la distanza tra le molecole composte sia uguale a quella di uno dei componenti, può essere calcolata. Tuttavia, “se quest’ aumento o diminuzione di densità è molto notabile , diverrà probabile che due o più di quelle supposte molecole risultanti immediatamente nella maniera più semplice dalla combinazione si siano riunite in una sola molecola integrante del composto” (fr:2607/p.359), o che la molecola si sia divisa. L’autore critica l’approccio comune di molti autori che paragonano il peso specifico del composto con quello calcolato con la regola di alligazione, “come se le molecole dei componenti dovessero tra loro mescolarsi” (fr:2610/p.359).

Viene poi presentato il lavoro di Polidoro Boullay, che calcola il volume dell’atomo di un corpo come “il quoziente della massa dell atomo o molecola, che gli si suppone , pel suo peso specifico” (fr:2616/p.360) e lo confronta con quello osservato. L’autore applica il proprio metodo di comparazione a due esempi portati da Boullay: il solfuro di mercurio e lo ioduro di mercurio. Per il solfuro, usando le stime di Boullay, si trova che “vi è dunque diminuzione di volume*” (fr:2631/p.361). L’autore mostra come, per ottenere una densità calcolata prossima a quella osservata, sia necessario supporre una divisione della molecola composta, e che tali risultati siano influenzati dalla stima della molecola del mercurio (quella di Berzelius, doppia rispetto a quella di Boullay, si accorda meglio con l’ipotesi di proporzionalità tra densità e massa molecolare).

Per lo ioduro di mercurio, Boullay trova “dilatazione” (fr:2649/p.364). Tuttavia, l’autore osserva che, secondo il suo principio, “questa dilatazióne, e cosi una densità dell’ ioduro minore di quella che corrisponderebbe alla sua molecola composta, relativamente al mercurio, non pare ammessibile secondo il nostro principio” (fr:2658/p.365) perché la qualità elettro-negativa dell’iodio dovrebbe tendere a dare una maggior densità. Per ottenere conformità, “basta supporre che la molecola dell’ ioduro soffra ancora una divisione in 2 di più, cioè in 8 in tutto” (fr:2659/p.365), risultando poi in una densità osservata maggiore di quella calcolata, attribuibile alla condensazione dovuta alla combinazione e alla natura elettro-negativa. L’autore conclude che, applicando i propri principi, “si toglierebbero le anomalie che Boullay ha trovate, e che dovea trovare per la semplice applicazione della regolà d’alligazione, hei diversi composti” (fr:2680/p.368), e vi sarebbe sempre una condensazione prodotta dalla combinazione stessa, tenuto conto della possibile divisione della molecola.

Infine, il testo discute la possibilità di ricavare la densità di un componente sconosciuto, come l’ossigeno allo stato solido, dalla densità dei suoi composti. Boullay, calcolando il volume dell’atomo di ossigeno da diversi composti come se fossero leghe, trovò “risultati affatto diversi tra loro” (fr:2683/p.369), confermando che “l’ipotesi della semplice giustaposizione delle molecole non è ammissibile nei composti” (fr:2683/p.369). L’autore, invece, suggerisce che usando la sua maniera di calcolo “si arriverebbe a risultati non molto diversi tra loro” (fr:2684/p.369). Propone anche una stima diretta della densità dell’ossigeno solido per confronto con lo zolfo, considerando la sua qualità elettro-negativa, e che la densità di un ossido potrebbe essere calcolata “nella supposizione che la distanza delle molecole integranti rimanga in quell’ ossido la stessa che nel metallo medesimo” (fr:2688/p.369).

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15 Analisi di un trattato scientifico sulla cristallografia: forme derivate e loro combinazioni nel sistema regolare

Il testo è un estratto di un trattato scientifico che espone in modo sistematico la teoria matematica delle forme cristalline derivate nel sistema regolare (cubico). L’autore sviluppa formule per il calcolo di spigoli, angoli piani e diedri di numerosi poliedri – esacis-tetraedro, triacis-ottaedro, deltoido-dodecaedro, diacis-dodecaedro, pentagono-dodecaedro, ecc. – a partire da un ottaedro fondamentale, utilizzando coefficienti di derivazione (m) e (n). Il discorso si estende poi alle combinazioni tra forme oloedriche ed emiedriche, definite da condizioni di parallelismo e coincidenza di spigoli e vertici.

Un elemento peculiare è la trattazione unitaria di tutte le forme del sistema regolare mediante l’esacis-ottaedro come rappresentante generale oloedrico e l’esacis-tetraedro per l’emiedria a facce non parallele. L’autore afferma: “L’esacisOttaedro è il rappresentante generale di queste forme” – (fr:3160/p.437) e “Γ esacis-tetraedro essendo come già abbiamo veduto il rappresentante generale di ogni forma emiedrica a faccie non parallele” – (fr:3213/p.446). Ciò mostra una chiara gerarchia: tutte le altre forme sono casi particolari ottenuti assegnando specifici valori ai coefficienti.

— .”* – (fr:3149/p.436). Sebbene la frase risulti danneggiata, il senso è chiaro: l’irrazionalità del coefficiente di derivazione ((n = )) impedisce la realizzazione in un cristallo.

La metodologia è rigorosamente analitica: si parte dalle coordinate dei vertici sulle facce dell’ottaedro fondamentale, si determinano le lunghezze degli spigoli con la formula della distanza tra punti, e si ricavano angoli piani e diedri mediante formule di geometria analitica. Ad esempio, per il diacis-dodecaedro: “Conoscendo così le co- 3g3 ordinate del punti estremi di ciascuno di questi spigoli , se ne conchiuderà , colla nota espressione, la distanza, due a due , ossia la lunghezza di ciascuno spigolo” – (fr:3135/p.433). Questo approccio è tipico della cristallografia matematica dell’Ottocento, che applicava la geometria cartesiana allo studio dei poliedri.

La parte sulle combinazioni introduce concetti chiave come bisellamento (sostituzione di uno spigolo con due spigoli paralleli), smuzzamento (sostituzione di un angolo solido con un contorno di spigoli) e troncatura (sostituzione di uno spigolo o angolo con una faccia piana). L’autore spiega: “Questa formazione di tre spigoli paralleli in vece d’ un solo che avrebbero presentato le due forme separate dìcesi bisellamento dello spigolo della forma a cui avrebbe appartenuto lo spigolo ab , considerando questa come dominante.” – (fr:3167/p.439). Tali nozioni sono fondamentali per descrivere le morfologie cristalline osservate.

Vengono analizzate sia le combinazioni regolari (con spigoli di combinazione paralleli a uno spigolo della forma dominante) sia le irregolari (con convergenza verso un vertice). La condizione per la combinazione regolare è la coincidenza o il parallelismo degli spigoli delle due forme, espressa mediante uguaglianza dei semi-assi ottanziali o quadranziali: “Succederà la coincidenza degli spigoli più lunghi… quando t’—t, cioè quando i due semi-assi ottanziali saranno uguali” – (fr:3184/p.442). L’autore riconduce tutte le combinazioni binarie a quelle di due esacis-ottaedri, generalizzando poi alle forme emiedriche.

Il testo fa costante riferimento a figure (fig. 69, 70, 71, 72, 73) per visualizzare le trasformazioni. Ad esempio, nella discussione del bisellamento si cita: “Questo si rende sensibile dalla fìg. 70, ove supponendo che lo spigolo a b d’ una delle forme si fosse trovato coincidere… collo spigolo a’b’ più ottuso d’ un’ altra forma…” – (fr:3165-3166/p.439). Le figure sono parte integrante del ragionamento.

Dal punto di vista storico, il testo testimonia la maturità della cristallografia geometrica nel primo Ottocento, quando si cercava di classificare tutte le forme possibili in un sistema cristallino mediante relazioni algebriche. L’autore distingue nettamente tra calcolo diretto (dati m e n, trovare angoli) e calcolo inverso (dati angoli osservati, trovare m e n), ritenendo quest’ultimo puramente analitico e non parte della teoria: “Ma questa applicazione delle nostre formole essendo per dir cosi estranea alla teoria medesima della cristallizzazione, e un oggetto di puro Calcolo analitico, ci dispensiamo qui dall’ occuparcene.” – (fr:3152/p.436). Questa separazione riflette l’approccio deduttivo dell’epoca.

Infine, il trattato affronta le combinazioni di forme emiedriche a facce parallele, con particolare attenzione al diacis-dodecaedro e al pentagono-dodecaedro. Vengono enumerate sei possibili direzioni di parallelismo degli spigoli di combinazione, e si nota che il caso delle diagonali anisosceliche si verifica quando (m’ + n’ = m + n) – (fr:3244/p.452). L’autore conclude che molte particolarità sono conseguenze dei principi generali e si astiene dall’enumerarle tutte, indicando la portata teorica del lavoro.

In sintesi, il testo rappresenta un compendio avanzato di cristallografia matematica, che unifica sotto un unico formalismo tutte le forme derivate del sistema cubico e le loro combinazioni, gettando le basi per la moderna classificazione dei cristalli.

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16 Analisi delle forme cristalline del sistema tetragonale: serie, limiti ed emiedria

“Le forme di cui abbiamo parlato esauriscono tutto il sistema tetragonale oloedrico” - (fr:3352/p.467)

Il testo tratta del sistema cristallino tetragonale, descrivendo le forme olodriche e le modificazioni emiedriche attraverso serie di bipiramidi e prismi, con limiti che definiscono forme fondamentali come la base (oP) e il prisma infinito (∞P). Viene introdotta la serie principale delle bipiramidi tetragonali, i cui limiti sono “oP e ∞P” - (fr:3323/p.464). Il primo limite, indicato come oP, rappresenta “una bipiramide tetragonale d’asse infinitamente piccolo, e della stessa base di P, cioè questa base stessa” - (fr:3324/p.464). Il secondo limite, ∞P, è “una bipiramide d’asse infinitamente lungo, e della stessa sezione trasversale, cioè un prisma tetragonale, ossia quadratico di lunghezza indefinita” - (fr:3325/p.464). Entrambe le forme-limite non possono esistere isolate, ma solo in combinazione. Il simbolo oP viene esteso a rappresentare “non solamente la base stessa, ma in generale ogni faccia parallela alla base” - (fr:3326/p.464). Il segno di combinazione / viene introdotto per esprimere tali combinazioni - (fr:3327/p.464). oP è anche definito come “un prisma tetragonale con faccie perpendicolari alle sezioni principali diagonali del sistema, indeterminato per se stesso in lunghezza, ma terminato alle due estremità da faccie basiche” - (fr:3328/p.464). La Fig. 75 illustra questa forma, con la bipiramide tetragonale primitiva e il passaggio alla forma prismatica per allungamento dell’asse principale - (fr:3329/p.308-3330/p.464).

Dalla serie principale mP si deriva una serie di bipiramidi ditetragonali (o ottogonali) indicate con mPn. “Da ciascun membro mP della serie principale, si può derivare una serie di bipiramidi di-tetragonali, ossia Ottogonali” - (fr:3331/p.464). Il processo consiste nell’allungare uno degli assi accessorii secondo un coefficiente razionale n maggiore di 1 - (fr:3334/p.465). I limiti di questa serie sono: da una parte la bipiramide normale mP, dall’altra una bipiramide tetragonale diagonale mP× - (fr:3337/p.465). Le basi di tali bipiramidi evolvono da un quadrato a un ottagono, come mostrato nella Fig. 76 - (fr:3338/p.308-3340/p.465). Si osserva che le faccie delle bipiramidi ditetragonali intermedie “non possono essere isosceli” - (fr:3342/p.465).

La serie accessoria dei prismi viene derivata analogamente: “da ciascun membro della serie principale si può derivare la serie … ∞P……….∞Pn………..∞P∞” - (fr:3343-3344/p.466). Questi prismi, tranne i limiti, sono prismi ditetragoni (ottangolari) e “niuno di questi prismi può formare isolatamente una forma chiusa, senza la combinazione di altre faccie” - (fr:3346/p.466). La Fig. 77 rappresenta uno di tali prismi - (fr:3347/p.162-3348/p.466). Viene notato che “il prisma ottangolare regolare, come forma semplice, è impossibile” - (fr:3349/p.466). La combinazione dei due prismi tetragonali (normale e diagonale) dà un prisma ottangolare angoli uguali, ma le sue faccie hanno una situazione diversa rispetto a quelle che deriverebbero da un coefficiente irrazionale - (fr:3350-3351/p.466).

Il complesso delle forme olodriche è rappresentato in uno schema (fr:3352-3358/p.467) che comprende serie orizzontali (principale, intermedie, accessoria) e verticali (forme di uguale lunghezza d’asse). Le faccie laterali dei prismi formano zone orizzontali, mentre le forme con n=∞ danno zone verticali - (fr:3359-3360/p.467).

Si passa poi alle forme emiedriche (fr:3362/p.467). Il rappresentante più generale delle forme olodriche è la bipiramide ditetragonale mPn, a cui si riferiscono tutte le modificazioni emiedriche - (fr:3363/p.467). Si definiscono tre specie di emiedria, applicate a ciascun membro (quaternario di faccie):

a. Emiedria Scalenoedrica o sfenoidica: Produce uno “Scalenoedro tetragonale” formato da “8 triangoli scaleni” con spigoli trasversali a zig-zag - (fr:3369-3371/p.468). La Fig. 79 e la Fig. 78 n. 1 illustrano la soppressione di paia di faccie. Nel caso particolare n=1, la forma olodrica è una piramide tetragonale normale e l’emiedria dà uno “sfenoide tetragonale” (tetraedro isoscelico) - (fr:3376/p.469). Questo sfenoide è il limite degli scalenoedri (fr:3380/p.469). Per n=∞, la forma emiedrica coincide con la bipiramide tetragonale diagonale mP× - (fr:3381/p.469-3382/p.470). Le forme prismatiche (∞P, ∞Pn, ∞P∞) non subiscono cangiamenti apparenti, ma le paia di faccie alterne acquistano una significazione diversa - (fr:3383-3384/p.470). Lo scalenoedro può anche dedursi da uno sfenoide iscritto, con una relazione tra gli assi principale e secondario - (fr:3385/p.470-3393/p.472). Viene introdotta una notazione secondaria: mSn per lo scalenoedro, con mS per lo sfenoide (fr:3392/p.471-3396/p.472).

b. Emiedria piramidale: Produce una terza specie di bipiramide tetragonale, detta “bipiramide tetragonale anormale” - (fr:3398/p.472). La sua base è un quadrato irregolarmente circoscritto a quello normale, come illustrato dalla Fig. 81 - (fr:3400-3401/p.472). Questa emiedria lascia sussistere la forma di doppia piramide a base piana comune, da cui il nome - (fr:3402/p.472). Il simbolo di questa forma emiedrica è mPn o m(An) - (fr:3405-3406/p.473). Per n=1 e n=∞, si ricade nelle forme olodriche corrispondenti - (fr:3407/p.473). I prismi derivati si comportano analogamente (fr:3408-3409/p.473).

c. Emiedria trapezoedrica: Produce un “trapezoedro tetragonale”, rinchiuso da “8 trapezoidi isosceli” con spigoli mediali in zig-zag - (fr:3411/p.473-3413/p.109). Gli assi accessorii riuniscono i punti di mezzo degli spigoli mediali alternativi, distinguendo spigoli mediali normali e diagonali - (fr:3414/p.473). La derivazione per emiedria dalla bipiramide ditetragonale si concepisce osservando che ogni faccia ha tre faccie attigue e quattro alterne; sopprimendo le attigue e ampliando le alterne, ciascuna faccia diviene quadrilatera e forma un trapezoide isoscele - (fr:3415/p.473-3418/p.474).

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17 Analisi del sistema esagonale: forme, emiedria e tetartoedria

Questo estratto delinea la geometria cristallina del sistema esagonale, esplorando la derivazione di forme complesse (bipiramidi, prismi, scalenoedri, romboedri, trapezoedri) attraverso leggi di emiedria e tetartoedria, e proponendo una notazione sistematica per classificarle.

Il testo esamina la struttura geometrica del sistema esagonale partendo dalla serie principale di forme. Da ciascun termine mP si può derivare una serie di bipiramidi di-esagonali (o di-dodecaedri) e una specifica bipiramide esagonale diagonale. Il processo di derivazione prevede il prolungamento degli assi accessorii secondo un coefficiente razionale n, fino al limite di n=2, oltre il quale si genererebbero angoli rientranti, “non possono presentarsi nelle forme semplici dei cristalli” (fr:3652/p.506). Le forme ottenute sono racchiuse da 24 facce triangolari scalene, indicate con mPn. Si sottolinea che “la bipiramide di-esagonale di cui abbiamo parlato, non può mai divenire del resto in natura una bipiramide di 12 lati regolare, perché si richiederebbe per questo un valore irrazionale di n” (fr:3656/p.507).

Viene quindi presentato un quadro sinottico delle forme oloedriche (fr:3662/p.507-3665/p.508) che organizza le serie principali, accessorie e intermedie. La serie orizzontale superiore è la principale, mentre l’inferiore, che include tutte le bipiramidi esagonali diagonali e il prisma analogo, “si chiamerà la serie accessoria” (fr:3666/p.508). Le serie intermedie, in numero variabile a seconda dei valori razionali di n da 1 a 2, contengono bipiramidi e prismi di-esagoni.

Il testo prosegue analizzando l’emiedria in tre modalità, applicate alla bipiramide di-esagonale mPn come forma rappresentativa:

1. Emiedria scalenoedrica (o romboedrica): Il risultato generale è lo Scalenoedro esagonale, una forma di 12 triangoli scaleni con spigoli mediali a zig-zag (fr:3682/p.509). Quando n=1 e mP è la bipiramide esagonale normale, l’applicazione di questa emiedria produce un romboedro, definito come una figura solida terminata da sei rombi paralleli due a due (fr:3687/p.509). Si distingue un romboedro normale, la cui notazione abbreviata introduce la lettera R (es. mR), e viene proposta una notazione secondaria per i romboedri: “indicheremo i due romboedri, in posizione diversa, che si possono derivare per emiedria da una bipiramide esagonale normale qualunque mP, con ÷ mR” (fr:3706/p.512).

2. Emiedria piramidale: Produce bipiramidi esagonali anormali (una terza specie, distinta da normale e diagonale). Le facce hanno una posizione intermedia, e la base è un esagono “circoscritto irregolarmente” (fr:3745/p.517) all’esagono normale. Se n è infinito, si genera un prisma esagonale anormale.

3. Emiedria trapezoedrica: Genera un trapezoedro esagonale, una forma racchiusa da 24 trapezi isosceli, con spigoli mediali ancora a zig-zag. Viene descritta la funzione degli assi: “Gli assi accessorii riuniscono due a due i punti di mezzo di 6 spigoli mediali alternativi, e gli assi intermedii quelli degli altri 6 spigoli” (fr:3754/p.518). I trapezoedri sono notati con segni specifici (es. d e s).

Infine, il testo introduce le forme tetartoedriche, descritte come una emiedria raddoppiata (fr:3762/p.519), in cui tre delle quattro facce di un membro della bipiramide di-esagonale scompaiono, lasciandone una che si amplia. Se ne distinguono due modalità:

• Tetartoedria romboedrica: Produce un romboedro anormale. Da una sola bipiramide mPn si possono dedurre quattro romboedri anormali. Per n=2, si ottiene un romboedro diagonale, introducendo così una terza specie di romboedro (normale, diagonale, anormale) analoga alle tre specie di bipiramidi esagonali (fr:3778/p.520).

• Tetartoedria trapezoedrica: Produce un trapezoedro trigonale, una forma con sei facce quadrilatere (trapezoidi isosceli) e spigoli mediali a zig-zag (fr:3781-3783/p.521). Da mPn si possono derivare quattro trapezoedri trigonali, che per m infinito si trasformano in prismi di-trigonali (esagonali).

L’estratto costituisce una testimonianza della cristallografia geometrica ottocentesca, mostrando un metodo sistematico per dedurre e classificare tutte le forme cristalline possibili a partire da una forma fondamentale, attraverso leggi di simmetria (emiedria, tetartoedria) e notazioni simboliche. Il riferimento a “Hauy” (fr:3687/p.509) e l’uso di termini come “romboide” o “enti-dodecaedro” (fr:3695/p.510) ancorano il testo nel dibattito scientifico dell’epoca. Viene sottolineata la dominanza dell’emiedria romboedrica in natura: “la maggior parte delle serie di cristalli esagonali fin qui osservate in natura, per le diverse sostanze, sono sottoposte alla legge di quest’emiedria romboedrica” (fr:3705/p.511).

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18 Sintesi del trattato cristallografico: calcolo delle forme esagonali e scalenoedriche

Il testo presenta il calcolo dettagliato degli angoli e degli spigoli della bipiramide diesagonale (forma oloedrica generale del sistema esagonale) e delle sue specializzazioni, per poi estendere il metodo agli scalenoedri emiedrici, evidenziando vincoli geometrici e irrazionalità che escludono configurazioni regolari.

Il brano, tratto da un trattato scientifico di cristallografia geometrica, espone il calcolo delle bipiramidi diesagonali e delle loro derivazioni. Vengono introdotte le notazioni per gli spigoli: “chiamando ξ, v, £ gli angoli che sono rispettivamente opposti agli spigoli che abbiamo indicati con Xi Yi Zi” (fr:3825/p.528) e definite le formule per i coseni e le tangenti di tali angoli. Particolare attenzione è dedicata al significato del parametro n, che determina la lunghezza relativa dello spigolo polare normale rispetto a quello diagonale: “Lo spigolo polare normale nei diversi casi in natura , sarà più lungo o più corto che lo spigolo polare diagonale , secondo che n sarà minore o maggiore di 2” (fr:3824/p.528).

Un elemento centrale è l’impossibilità cristallografica della piramide dodecagona regolare, dimostrata attraverso l’irrazionalità del rapporto che ne deriva: “perchè fosse X=Y1 … bisognerebbe … n = … , valore irrazionale che mostra essere, come già abbiamo annunziato , questa piramide dodecagona regolare impossibile nella cristallografia” (fr:3823/p.527). Analogamente, il prisma dodecagono regolare richiederebbe la stessa condizione inammissibile, e quello osservato in natura è invece una combinazione di forme diverse: “il prisma, dodecagono a àngoli uguali che si presenta soventi , non è che una combinazione xP. X Pt, di cui le faccie hanno un’altra posizione” (fr:3837–3838).

Le espressioni generali vengono poi particolarizzate per i casi particolari:

• n = 2 (prisma diesagonale ooPn): si annulla lo spigolo Z, come indicato da “cos Z = –1” (fr:3836/p.530).

• n = 1 per ottenere le formule della bipiramide esagonale normale mP: “Facendo nelle formole generali n=1, si avranno le espressioni analoghe relative alla bipiramide esagonale normale mP” (fr:3839/p.530). In questo caso si verifica la riunione di facce, per cui “la linea Z diviene qui la metà … lo spigolo Y scompare” (fr:3841/p.530).

• n = –1 per la bipiramide esagonale diagonale mPi (serie accessoria), con procedure analoghe: “Si otterranno similmente le formole della bipiramide esagonale diagonale mPi … facendo n=–1 nelle formole generali” (fr:3846/p.531).

Il testo prosegue con il calcolo delle forme emiedriche, in particolare Scalenoedro esagonale (fr:3855/p.532). Vengono ridefiniti gli spigoli (X polare corto, Y polare lungo, Z mediale) e le facce nel primo sestante, e si riportano le equazioni delle facce F, F’, F’’, F’’’ (fr:3857/p.532) e delle linee degli spigoli (fr:3858–3859). Il procedimento si basa sulla conversione tra sistemi di assi e sull’uso di parametri m, n, i.

Infine, l’autore dichiara di non esaminare il calcolo inverso (dai dati osservativi ai coefficienti di derivazione) per il sistema esagonale, rimandando a trattazioni precedenti (fr:3853/p.532). L’intera esposizione è corredata da riferimenti a figure (fig. 97) e utilizza sistematicamente formule trigonometriche e espressioni algebriche per i coseni, le tangenti e le linee degli spigoli, con l’obiettivo di fornire uno strumento completo per la determinazione delle forme cristalline esagonali.

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19 Resoconto del Trattato sul Sistema Rombico di Cristallizzazione

Il sistema rombico è caratterizzato da tre assi disuguali e dalle forme derivate mediante variazioni razionali degli assi principali e accessori, con limiti in prismi orizzontali e verticali.

Il testo analizza in dettaglio il sistema di cristallizzazione rombico, partendo dalla definizione delle sostanze che vi appartengono. Tra le più note vengono elencate “lo zolfo nativo, il solfuro di rame detto kupferglanz, l’orpimento o solfuro giallo d’ arsenico, la pirite arsenicale, F arragonite, … il salnitro, ossia nitrato di potassa, il topazio, lo spato pesante ossia solfato di barita, il solfato di magnesia ecc.” - (fr:4144/p.575). Il rapporto degli assi varia per ogni specie e le distingue: “Così per lo zolfo si hanno i tre assi a:b:c nel rapporto dei numeri 2,3435 : 1,227: i; nel solfuro di rame in quello di 0,974• 1:0,5822 ; nell’arragonite in quello di 0,720$ : 1 : 0,6215; nel salnitro in quello di 0,701 : i: 0,589 ecc”* - (fr:4146/p.575).

La derivazione delle forme avviene per considerazioni geometriche. Dalla forma fondamentale P si ottiene una serie di bipiramidi rombiche variando l’asse principale con un coefficiente razionale m: “Dalla forma fondamentale P si può primieramente derivare una serie di bipiramidi rombiche di ugual base, e nella stessa posizione.” - (fr:4149/p.575). Tale serie è detta serie principale del sistema e ha come limiti da una parte oP (la base) e dall’altra ∞P (un prisma rombico verticale) - (fr:4152/p.576).

Poiché le diagonali della forma fondamentale sono disuguali, si possono variare separatamente (fr:4153/p.576). Ciò conduce a due famiglie di forme: macro-diagonali (variando la macro-diagonale) e brachi-diagonali (variando la brachi-diagonale), indicate con notazioni prosodiche (fr:4161/p.577). La costruzione per ciascuna serie è descritta: “Per ottenere adunque in primo luogo la serie delle forme macro-diagonali si moltiplicherà la macro-diagonale di mP secondo un coefficiente razionale n maggiore dell’unità…” - (fr:4162/p.577). Il simbolo generale diviene mPn e la forma limite per n=∞ è un prisma orizzontale (fr:4165-4166/p.578). Analogamente per le brachi-diagonali, con limite mP∞ - (fr:4167/p.578). La combinazione di due prismi orizzontali dà un ottaedro a base rettangola, talvolta preso come forma primitiva (fr:4169-4172/p.579).

Il testo presenta uno schema completo delle forme oloedriche del sistema rombico (fr:4179-4185/p.580), organizzato in serie orizzontali e verticali. Le bipiramidi rombiche (forme principali chiuse) sono chiamate “piramidi quadrangolari a gambe disuguali da Mohs ; ottaedri bi-bindrii ossia bi-bimembri da Weiss, ottaedri rombici da altri” - (fr:4186/p.580). Sono costituite da 8 triangoli scaleni con base rombica, differendo dall’ottaedro regolare e da quello tetragonale (fr:4187-4188/p.581). I loro limiti sono prismi orizzontali o verticali (fr:4189/p.581).

La trattazione prosegue con l’emiedria: “Vediamo ora quali modificazioni tali forme prendano per 1’ emiedria di questo sistema.” - (fr:4192/p.581). Per faccie isolate alternative, la bipiramide rombica si cangia in uno sfenoide rombico (tetraedro con faccie scalene), illustrato dalla fig. 104 (fr:4193-4194/p.581). Viene descritta la formazione e la nomenclatura degli spigoli polari e laterali (fr:4195-4198/p.581). Ciascuna bipiramide può dare due sfenoidi in situazione contraria, con simboli generali mPn/mPn e -mPn/-mPn (fr:4199/p.582).

Il testo rappresenta una testimonianza storica della cristallografia geometrica dell’Ottocento, con richiami a Mohs e Weiss e l’uso di figure (102, 103, 104). La sistematica derivazione delle forme mediante coefficienti razionali e la separazione tra serie macro- e brachi-diagonali costituisce un elemento peculiare del sistema rombico rispetto a quelli tetragonale e regolare.

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20 Resoconto del trattato sul sistema cristallino monoclino

Il testo descrive le proprietà geometriche e la notazione del sistema cristallino monoclino, concentrandosi sulla bipiramide fondamentale e sulle sue forme derivate. La forma base è una bipiramide che può scomporsi in due emi-bipiramidi, ciascuna a sua volta divisa in due membri opposti. Come riportato: “La bipiramide intiera si scompone cosi come in due emi-bipiramidi, ossia due sistemi di faccie , le quali però da loro sole, e col loro prolungamento formerebbero un prisma indefinito, e non più una Lipiramide, e ciascuna emi-bipiramide si scompone di nuovρ >n due membri opposti.” - (fr:4315/p.596). Le facce sono disposte in quattro paia simili e uguali, situate negli spazi angolari ottusi o acuti determinati dalla base obliqua e dalla sezione ortogonale: “Quelle tra queste paia che sono dello stesso valore , due a due , come il primo ed il secondo paio tra loro, e il terzo e il quarto paio pur tra loro, si presentano come paia opposte , quelle trovandosi negli spazii angolari ottusi , e queste negli spazii angolari acuti che la base obliqua DcDc’ forma colla sezione ortogonale AcEc’.” - (fr:4314/p.596). La figura 5 illustra questa forma con assi definiti: “io5 che rappresenta questa forma , si avrà AM=a , Mc=b, MD=c i e Parco y misura 1’ angolo obliquo che quest’ ultimo asse fa coll’ asse / 556 verticale a. Si possono distinguere in questa figura quattro paia di faccie simili e uguali tra loro in ciascun paio, come le faccie ADc i ADc1 ; le faccie EDc , EDct ; le faccie EDc,i EDc, e le faccie AD,ci ADc’.” - (fr:4313/p.595) (dove “io5” è probabilmente “fig.5”).

La distinzione tra le due emi-bipiramidi è basata sugli angoli acuti e ottusi: quella sugli angoli acuti è detta positiva, l’altra negativa. La notazione usa i segni ÷ e – preposti alla lettera P (bipiramide fondamentale): “Chiameremo la parte di cui le faccie sono poste sugli angoli acuti y, 1’ emi-bipiramide positiva , e 1’ altra 1’ emi-bipiramide negativa , e le distingueremo nella notazione coi segni ÷ e —, che preporremo insieme alla lettera P indicante la bipiramide fondamentale compiuta , per far vedere la sua necessaria composizione di due parti, come indipendenti Γ una dall’ altra , cosicché il simbolo della forma fondamentale di questo sistema sara ÷P(ι).” - (fr:4316/p.596). Le sezioni principali della bipiramide compiuta sono rombi (basica e orto-diagonale) e un romboide (clino-diagonale): “Le sezioni principali basica e orto-diagonale della Lipiramide compiuta sono rombi ; la sezione clino-diagonale un romboide.” - (fr:4317/p.596). Vengono elencati esempi di minerali appartenenti a questo sistema: “Abbiamo esempi di sostanze appartenenti a questo sistema nel realgar o solfuro d’ arsenico rosso , nella pietra conosciuta sotto il nome di augite o hornblende, nel sai di Glauber ossia solfato di soda , nel gesso o solfato di calce , nel vitaiolo verde o ■ solfato di ferro , nel mica del Vesuvio detto a due assi, nel feldspato detto anche adulare , ontose o ortoclase ecc.” - (fr:4318/p.596). Le specie variano per il rapporto degli assi e per l’angolo d’inclinazione y, con valori specifici per realgar e gesso: “Così nel realgar si ha o,3386: ι :0,6986 , e y=66o 44 nel gesso azbt c: : 0,5970:1 : i,445o, e y=81026’ecc.” - (fr:4321/p.597).

La derivazione delle forme segue una serie principale ottenuta moltiplicando l’asse principale per un coefficiente m (razionale tra 0 e ∞), generando bipiramidi più ottuse o più acute: “Dalla bipiramide fondamentale ÷ P si può primieramente derivare una serie di bipiramidi Inonoclinoedrichc di base uguale a quella della forma fondamentale, c aventi la stessa posizione di faccie. Per questo si moltiplica Γ asse principale della forma fondamentale per un Coefliciente m, che può essere maggiore o minore dell’ unità, e si pongono, per ciascun valore di ni. piani che passino per gli spigoli alla base , e pei punti terminali dell’ asse principale cosi allungato, o raccorciato ; ne risulta una bipiramide Inonoclinoedrica , di cui il segno è ÷ mP ; e siccome si possono impiegare per m tutti i valori razionali tra o ed 00 , ne risulta la serie seguente : m ≤ i m > i oP… - ±mP…. ±P… .” - (fr:4325-4327/p.597). Questa serie è doppia, poiché le emi-bipiramidi positive e negative formano serie indipendenti: “Questa è la serie principale del sistema, ma essa è propriamente parlando una serie doppia , poiché le emi-bipiramidi positive e negative , indicate anche qui col doppio segno ÷ come nella forma fondamentale , formano serie indipendenti 1’ una dall’altra, e ciascun termine -»-«/» non è talmente collegato con —mP ove ni abbia lo stesso valore, che essi debbano sempre mostrarsi insieme, potendo al contrario un ∙+ιnP considerato come forma emiedrica (della specie di Ciniedria particolare a questo si- 558 Ste na) combinarsi con un —niP in cui ni abbia un valore diverso, considerato anch’ esso come forma emiedrica.” - (fr:4330/p.75). I termini limite sono oP (base obliqua) e ∞P (prisma verticale rombico), che perdono la doppia significazione: “Solo nei terminilimiti scompare questa doppia significazione , poiché oP significa la base obliqua , o qualunque faccia che le sia parallela , e <×P un prisma verticale di sezione trasversale rombica che si mostra sempre lo stesso , sia che si consideri come ÷ &>P o come — <×>P, quantunque Ie sue faccie abbiano un valore originariamente diverso, due di loro dovendo riferirsi alla metà superiore , e due alla metà inferiore dell’ asse principale.” - (fr:4331/p.598). La combinazione ∞P, oP dà un prisma rombico verticale terminato da facce oblique, chiamato endioedro da Weiss.

Da ciascun termine della serie principale si derivano due ulteriori serie, moltiplicando per n (>1) l’orto-diagonale o la clino-diagonale: “Da ciascun termine poi della serie principale si possono derivare due serie di forme , nell’ una delle quali la dinadiagonale , e nell’ altra 1’ orto-diagonale della forma fondamentale restano ancora senz’ alterazione , mentre 1’ orto-diagonale nella prima e la clino-diagonale nella seconda si moltiplicano per un numero razionale n. superiore all’ unità.” - (fr:4333/p.598). Vengono distinte come forme ortodiagonali e clino-diagonali, con simboli distinti (quest’ultimo racchiuso tra parentesi). La prima serie (ortodiagonale) ha come termine limite un prisma orizzontale a sezione romboidale, scomposto in due emi-prismi; la seconda serie (clino-diagonale) termina in un prisma inclinato (clino-prisma) a sezione rombica, forma semplice con facce sempre compiute. Se si applicano le stesse derivazioni al prisma verticale ∞P, si ottengono due serie di prismi verticali: la serie orto-diagonale (∞P … ∞P∞) che termina in un paio di facce verticali parallele alla sezione orto-diagonale, e la serie clino-diagonale ((∞Pn) … (∞P∞)) che termina in un paio di facce parallele alla sezione clino-diagonale. Il testo conclude presentando uno schema riassuntivo dell’intero sistema: “Ciò tutto posto, ecco lo schema che rappresenta tutto il sistema w<ι m>ι o Pvz …. +niPvz …. +Pχ .. .±mPπ…….. <×Px oPti…….. ±m∙Pa…….. +Pn .” - (fr:4345/p.600).

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21 Analisi del trattato sul goniometro a riflessione di Wollaston

Il testo analizzato presenta la teoria matematica del goniometro a riflessione di Wollaston, la sua descrizione costruttiva, le procedure di aggiustamento e l’analisi degli errori, con particolare attenzione alle condizioni per ottenere misure accurate dell’angolo tra due facce cristalline.

Il trattato espone la derivazione matematica che lega l’angolo di rotazione osservato sul circolo (W) all’angolo di inclinazione V delle due facce del cristallo. Si parte dall’equazione del piano riflettente nella prima posizione: “AX + BY -+- CZ = costante” - (fr:4714/p.647). Dopo una rotazione W del circolo, l’equazione della prima faccia diventa “A’ X+B, Y + C Z — cost.” - (fr:4716/p.648), mentre il piano della seconda faccia nella seconda posizione è identico a quello della prima faccia nella posizione iniziale: “AX +BY+ CZ—cost.” - (fr:4717/p.648). L’angolo V si ottiene dal coseno espresso in funzione di A, B, C e dell’angolo di rotazione W. La condizione fondamentale per ottenere cos V = cos W (e quindi V = W) è che C = 0, il che significa “le due faccio del Ciislallu sono parallele all* asse di rotazione dello Stromento , ossia perpendicolari al piano del circolo” - (fr:4725/p.649). Questa perpendicolarità dello spigolo rispetto al piano del circolo è indispensabile per l’uso semplice del goniometro: “Dobbiamo quindi Couchiudcrne clic 1’ Uguaglffhza di K con W Don può aver luogo senza che si abbia questa perpendicolarità delle faccio del cristallo , c per conseguenza del loro spigolo al piano del circolo” - (fr:4726/p.649).

La condizione C = 0 può essere realizzata in due modi: 1) “Supponendo z=z.’=z”” - (fr:4729/p.57), cioè quando il punto di riflessione e i due oggetti giacciono in un piano parallelo al circolo; 2) “Prendendo D-T)‘, e nello stesso tempo z’=z∕‘“ - (fr:4731/p.650), ovvero quando i due oggetti sono equidistanti dal punto di riflessione e dal piano del circolo. La prima condizione è tipica del goniometro di Malus, mentre nel goniometro di Wollaston si ricorre alla seconda. Il testo descrive un metodo semplice proposto da Kupfler per soddisfare queste ultime condizioni: ”sostituendo al secondo oggetto P,’ 1’ imagine del primo P1 riflessa sopra un piccolo specchio piano orizzontale , e che si osserva contemporaneamente a quella dello stesso oggetto formata dalla riflessione sulle faccie del cristallo” - (fr:4733/p.650). Questo espediente permette di avere due oggetti virtuali equidistanti e alla stessa quota, eliminando la quinta condizione richiesta nella semplicità originaria.

La descrizione dello strumento inizia al paragrafo 246 (fr:4739/p.651). Il circolo graduato porta le divisioni sul suo orlo cilindrico (fr:4741/p.651), con un nonio per i minuti. L’asse riposa su un cavalletto d’ottone con piede su piedestallo, reso orizzontale tramite tre viti e un livello, cosicché il circolo diventa verticale (fr:4742-4743/p.651). Un dispositivo a molla e ritegno arresta il circolo quando 0° o 180° coincidono con lo zero del nonio, emettendo uno scocco che indica il passaggio da un semicircolo all’altro (fr:4745-4746/p.651). L’asse del circolo è traforato per l’asse del portacristallo, che può ruotare indipendentemente (fr:4747/p.651). Il portacristallo è composto da due archi ortogonali (bc e df) e una verghetta fg che porta una lastretta per fissare il cristallo con cera (fr:4748-4750/p.652). La procedura di aggiustamento prevede di rendere prima una faccia parallela all’asse del circolo usando l’immagine riflessa di un telaio di finestra (fr:4753/p.652), poi di aggiustare alternativamente l’altra faccia fino a ottenere lo spigolo parallelo all’asse (fr:4754-4755/p.652). La misura avviene osservando l’immagine di un oggetto lontano riflessa prima da una faccia e poi dall’altra, facendo coincidere ciascuna con l’immagine riflessa da uno specchio (fr:4756-4757/p.653). L’angolo letto sul nonio è direttamente l’inclinazione cercata (fr:4758/p.653).

Il testo affronta poi gli errori. Per ridurre gli errori accidentali, si raccomanda di ripetere le misure e prendere la media di una serie, sfruttando la disposizione del goniometro che permette letture successive con rotazioni alternate (fr:4765/p.653-4768/p.654). Viene descritto il metodo per calcolare il valor medio quando le letture cadono in diversi semicircoli, tenendo conto dei supplementi (fr:4770/p.654-4781/p.655). La disposizione originaria del portacristallo richiedeva prove alternative sulle due facce perché l’aggiustamento della seconda alterava il parallelismo della prima, a meno che la prima faccia non fosse anche perpendicolare all’asse attorno a cui ruota l’arco df (fr:4783/p.655-4785/p.656). Per ovviare a ciò, Namnann propose una modifica: sostituire la verghetta fg con un asse of (fig. 114) che porta un ulteriore arco og e un piccolo asse pq per il cristallo (fr:4787-4789/p.656). Con questa disposizione, si può rendere la prima faccia sia parallela all’asse del circolo sia perpendicolare all’asse d, ruotando l’arco ed di un grande angolo (60° o 90°) e verificando che l’immagine di un travicello resti verticale (fr:4790-4792/p.656). Così, ruotando poi l’arco ed per aggiustare la seconda faccia, la prima rimane invariata e lo spigolo risulta parallelo all’asse senza tentativi successivi (fr:4793/p.656).

L’analisi dell’errore dovuto all’eccentricità dello spigolo (paragrafo 249) mostra che l’errore δ è uguale alla semi-differenza degli angoli α e β (fr:4801-4803/p.658), e si esprime in funzione delle distanze degli oggetti a, b e dell’eccentricità e (fr:4804/p.658). Se gli oggetti sono equidistanti (a=b), l’espressione si semplifica (fr:4806/p.660). Ne derivano tre conseguenze: 1) l’errore si annulla quando le due facce hanno uguale eccentricità; 2) diventa trascurabile quando φ' - φ è prossimo a 90°, suggerendo di non prendere oggetti troppo vicini all’orizzonte; 3) l’errore può essere ridotto diminuendo il rapporto e/a, cioè usando oggetti lontani (fr:4807/p.660-4809/p.661). Con una distanza di 10-30 metri e un’eccentricità di pochi millimetri, l’errore si riduce a meno di un minuto d’arco (fr:4810/p.661). Il testo conclude che l’aggiunta di apparecchi speciali per il centramento è inutile, poiché l’errore può anche essere compensato rovesciando la posizione del goniometro e prendendo la media (fr:4811/p.661). Infine, viene analizzato l’errore dovuto all’estensione delle facce del cristallo (paragrafo 250), introducendo una nuova geometria (fig. 116) per esprimere l’errore θ in funzione delle distanze r e r' degli elementi riflettenti dallo spigolo, delle distanze degli oggetti e degli angoli di incidenza (fr:4813/p.661-4819/p.662). Il testo non fornisce l’espressione finale, ma prepara il terreno per il calcolo dell’entità di quest’errore nelle diverse circostanze.

Il significato storico del trattato risiede nella sistematizzazione matematica del goniometro a riflessione, uno strumento fondamentale per la cristallografia geometrica dell’epoca. La discussione dettagliata delle condizioni di aggiustamento e delle fonti di errore dimostra un approccio sperimentale rigoroso, tipico della scienza ottocentesca. Il riferimento alle modifiche di Namnann e all’uso dello specchio di Kupfler testimonia l’evoluzione tecnica dello strumento. Inoltre, la descrizione della procedura di misura con oggetti lontani e la gestione degli errori sistematici attraverso la media e l’inversione dello strumento rappresentano pratiche ancora attuali nella metrologia scientifica.

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22 Resoconto del trattato scientifico sulla cristallografia: decrescimenti e formazione dei cristalli secondari

Il testo descrive la teoria dei decrescimenti delle lamine cristalline, formulata da Haüy, per spiegare la genesi delle forme secondarie a partire da un nocciolo primitivo. L’elemento centrale è il concetto di lamine decrescenti o di sovraposizione: “Indicheremo in generale in quello che segue queste lamine decrescenti che avviluppano un nocciuolo col nome di lamine, di sovraposizione.” – (fr:5014/p.687). L’applicazione di tali lamine, costituite da molecole cubiche, produce piramidi o solidi di varia forma, come illustrato per il cubo: “E facile il concepire , che le diverse serie produrranno sei piramidi quadrangolari , simili in qualche modo a scale di quattro lati , che saranno posate sulle faccie del cubo ; tre di queste piramidi sono rappresentate nella fig.” – (fr:5015/p.687) e “127, ed hanno i loro vertici in si t, r’.” – (fr:5016/p.687).

I decrescimenti possono avvenire sugli orli (spigoli del nocciolo) o sugli angoli (vertici). I primi sono trattati nelle sezioni iniziali: “I decrescimenti di cui abbiamo parlato nel numero precedente , hanno tutti per linee di partenza gli spigoli , o orli delle faccie de’ nocciuoli, e li indicheremo quindi col nome di decrescimenti sugli orli” – (fr:5063/p.692). Essi generano, per esempio, il dodecaedro pentagono della pirite di ferro: “Queste due specie di decrescimenti sono combinate insieme nell’ esempio seguente, che ci è offerto, tra le altre sostanze, dal ferro solforato, detto comunemente pirite di ferro -, esso riguarda un solido terminato da dodici faccie pentagone (fig.” – (fr:5030/p.688) e “128) quella cioè tra le forme del sistema regolare che abbiamo chiamata pentagono-dodecaedro ( n. 15^), e già rappresentata nella fig.” – (fr:5031/p.688) e “66.” – (fr:5032/p.177). La formazione prevede decrescimenti per due file in larghezza e in altezza, con un solido cuneiforme: “Allora i decrescimenti per due file in larghezza tendendo a produrre una faccia più inclinata che quella che risulta dal decrescimento per due file in altezza , -ciascuna pila di lamine decrescenti non finirà più in punta , ma diverrà un solido cuneiforme ( fig.” – (fr:5037/p.689) e “12g )” – (fr:5038/p.689).

Un caso particolare è lo scalenoedro esagonale della calce carbonata, definito “metastatico” per il trasferimento degli angoli dal primitivo al secondario: “Infatti il calcolo dimostra che il dodecaedro che nasce da questa legge dee avere le due proprietà notabili , che appartengono allo scalenoedro che abbiamo chiamato metastatico di prima specie” – (fr:5051/p.690). Le proprietà sono l’uguaglianza dell’angolo ottuso della faccia con quello del nocciolo e l’inclinazione delle facce polari: “La prima di queste proprietà è che Γ angolo ottuso SEO di una qualunque delle sue faccie dee avere la stessa misura che 1’ angolo ottuso del nocciuolo , cioè nella nostra supposizione IOi0 82’ 13”; la seconda consiste in ciò che l’inclinazione tra loro delle faccie del dodecaedro, che ne fonnano gli spigoli polari, per esempio 1’ inclinazione di SIO sopra SIK, dee essere uguale a quella delle due faccie aggiaccati verso uno stesso vertice del nocciuolo , cioè nella nostra 651 supposizione approssimata , di ιo40 28’ 40’“ – (fr:5052/p.690). Questa corrispondenza, verificata sperimentalmente, conferma la legge di natura: “Ora queste due proprietà hanno realmente luogo approssimativamente in natura nel cristallo di cui si tratta , secondo la misura meccanica de’ suoi angoli , il che fa conoscere che la legge supposta è veramente la legge della natura” – (fr:5052/p.690).

I decrescimenti sugli angoli (paralleli alle diagonali) sono introdotti per spiegare forme come l’ottaedro regolare a partire dal cubo: “L’ osservazione e il calcolo mostrano che bisogna ancora ammettere decrescimenti che abbiano angoli del nocciuolo per punti di partenza , e di cui Γ azione si eserciti parallelamente alle diagonali ; li chiameremo decrescimenti sugli angoli.” – (fr:5064/p.692). Il processo è descritto per la faccia del cubo: “Ora le lamine sovrapposte sulle faccie d’ un nocciuolo cu­ bico , o d’ altra forma , possono anche decrescere successivamente per sottrazioni di queste file parallele alle diagonali , e allora le faccie prodotte in virtù de’ decrescimenti non saranno più semplicemente solcate o scanalate da strie parallele, come ne’ decrescimenti sugli orli , ma ingombre di punte , the essendo tutte a livello , e sfuggendo all’ occhio per la loro piccolezza , si offrono sotto l’aspetto d’ una superficie piana.” – (fr:5076/p.693). Per sottrazione di una fila su tutti gli angoli si ottiene l’ottaedro: “La superficie del solido secondario sarà dunque formata da 24 di questi quadrilateri , disposti tre a tre attorno a ciascuno di questi angoli ; ina nella stessa maniera che ne’decrescimene!” – (fr:5084/p.694) e “per una semplice fila su tutti gli orli, le faccie prodotte da ambe le parti di ciascun orlo si trovano sopra un medesimo piano, così anche ne’decrescimenti per una fila su tutti gli angoli , le faccie che nascono da tre parti dell’ angolo solido , per esempio O sono a livello, cosicché non ne formano che una sola ; e poiché il cubo ha otto angoli solidi, composti ciascuno da tre angoli piani, il cristallo secondario avrà otto faccie , che a cagion della regolarità del nocciuolo saranno triangoli equilateri, vale a dire che il cristallo secondario sarà un ottaedro regolare.” – (fr:5085/p.694). Se il decrescimento è più rapido (più file), si ha l’icosi-tetraedro: “Se la legge di questi decrescimenti fosse più rapida , vale a dire se vi fosse più d’ una fila sottratta, allora i tre trapezoidi slθae1 mtθri nrOx ( fìg.” – (fr:5093/p.695) e “133 ), che si formerebbero attorno ad uno stesso angolo solido , non sarebbero più sopra un solo piano -, essi s’ inclinerebbero gli uni verso gli altri , e il solido secondario avrebbe 24 faccie , che sarebbero pure trapezoidi , ma con un’ altra misura d’ angoli, e tutti in piani diversi.” – (fr:5094/p.695) e “Questa forma si presenta pure in alcuni minerali del sistema regolare , a cui Hauy assegna per forma primitiva il cubo ; essa è quella che abbiamo annoverata nel n. i56 tra le forme del sistema regolare sotto il nome di icosi-tetraedro trapezoidale , o delLoidale , o semplicemente di icosi-telraedro.” – (fr:5095/p.695).

Il testo si conclude con l’applicazione ai romboedri, mostrando come decrescimenti sugli angoli producano romboedri secondari più ottusi o più acuti, e come una legge di decrescimento per due file in altezza possa persino riprodurre il romboedro primitivo: “L’ipotesi d’ un decrescimento per due file in altezza sì trova dare il risultato particolare che il romboedro secondario c assolutamente simile al nocciuolo , cosicché questo caso ci presenta un’ imitazione della forma primitiva data da una legge di decrescimento ; cioè ci dà un romboedro simile al romboedro primitivo , ma prodotto per inversa emiediia.” – (fr:5124/p.698).

In tutta la trattazione, le figure (nn. 127–137) sono essenziali per visualizzare i meccanismi; il testo rimanda continuamente a esse per illustrare la disposizione delle lamine, gli spigoli e le facce dei solidi secondari. Il significato storico del trattato risiede nella sistematica geometrica e meccanica della cristallografia, che permette di dedurre la forma primitiva dalla morfologia esterna e di prevedere le forme secondarie attraverso leggi di decrescimento, gettando le basi per lo studio della simmetria dei cristalli.

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23 Teoria dei Decrescimenti e Forme Cristalline Secondarie

Il testo costituisce una trattazione dettagliata delle leggi di decrescimento che regolano la formazione dei cristalli secondari a partire da una forma primitiva (nocciuolo), esplorando le variazioni geometriche e le combinazioni che generano le diverse morfologie cristalline osservabili in natura.

L’analisi si apre con la descrizione dei decrescimenti sugli angoli, dove viene considerato il caso di una sottrazione di una sola fila di molecole. In questo contesto, si specifica che se dal punto medio della diagonale obliqua si innalza una linea parallela e uguale, essa “sarà applicata sull’ orlo della prima lamina di sovraposizione, poiché la distanza tra l’angolo S e quest’orlo è uguale ad una semi-diagonale obliqua di molecola” (fr:5126/p.698). Tale forma generata risulta perpendicolare all’asse, andando a costituire “le basi superiori del prisma esaedro della calce carbonata” (fr:5127/p.698). Un decrescimento più rapido produrrebbe facce inclinate, dando origine a un romboedro più ottuso e rivolto come il nocciuolo (fr:5128/p.698). Al contrario, un decrescimento in altezza genera facce che “si rigetteranno dall’ altra parte dell’ asse” (fr:5130/p.698), portando a un romboedro secondario con posizione inversa, che “apparterrà ancora ad una serie di romboedri dello stesso asse principale del primitivo” (fr:5131/p.698). Viene sottolineato che il prisma esaedro regolare e i diversi romboedri sono quelli già incontrati nella teoria geometrica, derivabili dal romboedro come forma fondamentale sussidiaria del sistema esagonale (fr:5135/p.699).

Proseguendo, vengono introdotti i decrescimenti misti, definiti come quelli in cui “i numeri di file sottratte in larghezza cd in altezza, danno rapporti di cui i due termini superano amenduc 1’ unità” (fr:5138/p.699), con esempi come due file in larghezza e tre in altezza. La teoria per questi casi si riconduce a quella dei decrescimenti per una sola fila, “purché si concepiscano molecole fittizie, di cui la larghezza, e 1’ altezza abbiano tra loro il rapporto stesso che esiste tra i numeri che esprimono le file sotti atte in queste duèMirezioni” (fr:5141/p.699). Seguono i decrescimenti intermedi, che partecipano della natura di quelli sugli orli e sugli angoli. In generale, quando un angolo solido subisce decrescimenti per far nascere una faccia, “vi sono sempre decrescimenti ausiliari, de’ quali è necessario il concorso , perchè la faccia di cui si tratta sia convenientemente prolungata” (fr:5147/p.700). Se il decrescimento principale avviene per due o più file, i decrescimenti ausiliari devono seguire leggi intermedie (fr:5148/p.700). Viene quindi descritto un caso concreto in cui, per un parallelepipedo che subisce un decrescimento per due file sull’angolo della base, le lamine applicate sulle facce adiacenti subiscono variazioni i cui orli hanno direzioni non più parallele né allo spigolo né alla diagonale, ma comprese tra l’uno e l’altra (fr:5156/p.701). Questo genera un’infinità di direzioni possibili, “secondo che si scostano più o meno dall’ uno, o dall’ altro dei loro limiti, che sono il parallelismo cogli spigoli, ed il parallelismo colle diagonali” (fr:5159/p.701). In certi cristalli, tutti e tre i decrescimenti attorno a un angolo solido sono intermedi, e “Si sceglie allora il più semplice pel principale , riguardando gli altri due come ausiliari” (fr:5163/p.701). Un esempio illustrato con figure mostra come, considerando molecole composte di ordine più elevato, le sottrazioni si possano interpretare come decrescimenti di queste ultime, con geometrie specifiche su ciascuna faccia (fr:5166/p.701-5170/p.702).

Si passa quindi alla distinzione tra forme secondarie semplici e composte. Le prime provengono da “una legge unica di decrescimento”, mentre le seconde derivano “da molte leggi simultanee di decrescimento, od anche da una sola legge che non e giunta al suo limite , cosicché vi restano faccie parallele a quelle del nocciuolo” (fr:5174/p.702). Un esempio paradigmatico è dato dalla combinazione di due leggi, la prima che genera un ottaedro e la seconda un dodecaedro a facce pentagonali. La loro interazione produce un icosaedro con “otto triangoli equilateri , c dodici triangoli isosceli” (fr:5182/p.703). Il testo prosegue descrivendo la struttura di questo icosaedro, notando che, a parità di nocciuolo, le sue dimensioni sono maggiori di quelle che si otterrebbero con sezioni artificiali, e che il nocciuolo è “intieramente nascosto nell’ icosaedro”, eccetto i suoi angoli solidi che si confondono con i centri dei triangoli equilateri (fr:5187/p.703-5191/p.704). Un punto di rilievo storico e teorico emerge quando si afferma che, prima della conoscenza delle leggi di struttura, alcuni osservatori avevano confuso questo icosaedro e il dodecaedro da cristallizzazione con quelli regolari della geometria. Il testo chiarisce che “la teoria della struttura fìsica , non altrimenti che la teoria geometrica secondo i numeri 170 e 178 , prova che nè l’uno, nè l’altro sono possibili nella cristallizzazione” (fr:5196/p.704). Dei cinque solidi regolari, la natura produce solo il cubo, l’ottaedro e il tetraedro, fermandosi a leggi di decrescimento semplici per gli altri due (fr:5197/p.704). Il prisma esaedro regolare della calce carbonata è un altro esempio di forma composta, dove le facce laterali e le basi nascono da due leggi diverse, che possono agire in epoche differenti, determinando la posizione degli angoli e dei vertici del nocciuolo rispetto al prisma secondario (fr:5198/p.704-5204/p.705).

Infine, vengono considerate le possibilità combinatorie delle leggi di decrescimento. I decrescimenti possono avvenire simultaneamente su tutti gli orli o angoli, oppure solo su alcuni; a volte la legge varia da un orlo o angolo all’altro, specialmente quando il nocciuolo non è simmetrico (fr:5206-5208/p.705). Si sottolinea che, se il numero di file sottratte fosse molto variabile, la moltitudine di forme sarebbe infinita e la teoria quasi inapplicabile, ma “la forza che produce Ie sottrazioni pare avere un’ azione assai limitata” (fr:5212/p.706), con sottrazioni che raramente oltrepassano le sei file (fr:5213/p.706). Nonostante questa semplicità, la fecondità è tale che anche limitandosi a quattro file e trascurando i misti, il romboedro è suscettibile di “più di otto milioni di varietà di cristallizzazione” (fr:5214/p.706), sebbene nella calce carbonata, la specie più ricca, non se ne siano osservate “sinora che circa ioo varietà distinte” (fr:5214/p.706). Si osserva anche che “una stessa forma secondaria può farsi nascere da diverse strutture”, sia con nocciuoli diversi che con posizioni diverse rispetto al nocciuolo (fr:5216/p.706-5218/p.707). La trattazione si conclude estendendo la teoria alle forme primitive non parallelepipede, come l’ottaedro, analizzando la divisione meccanica in molecole integranti (fr:5224/p.707-5236/p.709), specificando che la divisione più semplice di un ottaedro regolare produce sei ottaedri parziali e otto tetraedri, e che la suddivisione successiva di questi ultimi genera ulteriori tetraedri e un ottaedro (fr:5231-5235/p.708).

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24 La Geometria della Materia Cristallina: Divisione, Molecole Integranti e Notazione nel Sistema di Haüy

La struttura dei cristalli, indagata mediante divisione meccanica, rivela una complessa architettura di poliedri, dove la scelta della molecola integrante – spesso il tetraedro – e la teoria dei decrescimenti permettono di dedurre geometricamente le forme secondarie, mentre la notazione simbolica di Haüy sistematizza queste relazioni.

Nel trattato si affronta il problema della divisione dei cristalli in forme elementari, partendo dall’osservazione che l’ottaedro non può essere ridotto a unità semplici: “In qualunque maniera si proceda per soddividcre un ottaedro, si avranno sempre cosi ottaedri, e tetraedri, senza mai poter ridurre all’ unità il risultato deila divisione” - (fr:5237/p.709). La struttura interna presenta quindi una compenetrazione di due specie di solidi: ciascun ottaedro parziale è circondato da otto tetraedri e viceversa (fr:5238/p.709). Questo conduce a un dilemma: se si adottano sezioni parallele alle facce dell’ottaedro, si è obbligati a supporre una struttura “traforata da una moltitudine di interstizi” (fr:5239/p.709). Se invece si spinge la divisione al limite, una delle due forme scompare e il cristallo risulta composto di una sola specie molecolare (fr:5240/p.709).

La scelta della forma della molecola integrante è cruciale. L’autore osserva che per tutte le sostanze cristallizzate la molecola può essere ricondotta a parallelepipedo, prisma triangolare o tetraedro. Nei casi dubbi, Haüy adotta il tetraedro, perché “tutte le forme di molecole saranno ridotte alle tre che sono le più semplici” (fr:5242/p.709). Inoltre, quando i tetraedri sono regolari, essi devono unirsi per gli spigoli per formare un corpo regolare, e “il rigettare Γ ipotesi proposta , sarebbe escludere dai risultati della cristallizzazione una forma, che per la sua grande 6;0 semplicità è naturalissimo di ammettervi” (fr:5243/p.709). Per alcune sostanze Haüy prende il tetraedro stesso come forma primitiva (fr:5244/p.710), mentre per il sistema regolare si può sempre adottare il cubo, eliminando ogni ambiguità (fr:5245/p.710). Tuttavia, “Non può dunque esservi difficoltà sulla possibilità di dedurre le diverse forme di questo sistema fisicamente le une dalle altre, sebbene vi rimanga sempre incertezza su quella tra le diverse forme ammessibili della molecola integrante , che abbia realmente luogo in natura” (fr:5246/p.710).

Il testo analizza poi la scomposizione di specifici poliedri. Il dodecaedro romboidale, diviso parallelamente alle sue facce, si risolve in 24 tetraedri a facce triangolari isosceli (fr:5247-5254/p.710). Il dodecaedro bipiramidale richiede invece divisioni non parallele alle facce, ottenendo sei tetraedri irregolari (fr:5255/p.710-5258/p.711). Per il quarzo, Haüy dapprima adottò il dodecaedro bipiramidale come primitiva, poi preferì il romboedro (fr:5260/p.711). In generale, “Le altre forme primitive fi Soddividono anche talvolta in direzioni che non sono parallele alle loro faccie” (fr:5261/p.711), come nel caso del prisma quadrangolare che può dare prismi triangolari (fr:5263/p.712).

Un risultato fondamentale collega la cristallizzazione delle sostanze con molecole tetraedriche o prismatiche a quella con parallelepipedi: le molecole sono disposte in modo che, raggruppandosi a due, quattro, sei o otto, compongono parallelepipedi (fr:5265/p.712). Così, i decrescimenti – sottrazioni di file – possono essere espressi in termini di questi parallelepipedi composti. Per esempio, nel caso del prisma esaedro con molecola prismatica triangolare, due prismi vicini formano un rombo e quindi un parallelepipedo (fr:5270-5275/p.713). Si può quindi sostituire mentalmente la disposizione triangolare con una di rombi, e i decrescimenti avvengono per file di questi parallelepipedi (fr:5276-5277/p.713).

Per l’ottaedro come forma primitiva, si mostra che aggiungendo due tetraedri su facce opposte si ottiene un romboedro (fr:5279/p.713-5282/p.5). Analogamente, il dodecaedro romboidale può essere concepito come composto di quattro romboedri (fr:5287-5290/p.714), e il dodecaedro bipiramidale può trasformarsi in un romboedro aggiungendo sei tetraedri (fr:5292/p.714-5294/p.715). In tutti questi casi, la teoria dei decrescimenti resta valida, anche se si generano interstizi vuoti (fr:5295/p.715). Haüy, per il quarzo, passò dal dodecaedro bipiramidale al romboedro come primitiva, mantenendo però i tetraedri irregolari come molecole integranti reali (fr:5296-5299/p.715).

Infine, il testo introduce la notazione simbolica di Haüy per rappresentare le leggi di decrescimento. Le lettere P, M, T indicano le facce della forma primitiva (nocciuolo), mentre le vocali A, E, I, O e le consonanti B, C, D, F, G, H marcano angoli solidi e spigoli (fr:5313/p.717-5316/p.718). I decrescimenti in larghezza sono espressi con numeri interi, quelli in altezza con frazioni (fr:5320-5322/p.718). I simboli combinati, come “Gλ MTlP1” (fr:5339/p.721), descrivono le facce secondarie risultanti da decrescimenti su spigoli e angoli, e la forma del feldispato bibinaria è data da tale segno composto (fr:5340/p.721). La notazione si adatta a forme primitive via via più simmetriche, uguagliando lettere per angoli e spigoli equivalenti (fr:5342/p.721-5348/p.722). L’autore conclude che “parlando esattamente la teoria di questa derivazione fisica delle forme dei cristalli , non lascierebbe di andare verso il suo scopo principale, arrestandosi ai parallelepipedi” (fr:5307/p.717), considerando l’ulteriore divisione in tetraedri un passo più proprio dell’osservazione che della teoria.

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25 Resoconto sui principi di determinazione delle forme secondarie cristalline

“Il triangolo pou si chiama il triangolo misuratore” (fr:5470/p.738). Il testo, tratto da un trattato di cristallografia geometrica, espone il metodo per calcolare le facce dei cristalli secondari derivanti da decrescimenti (sottrazioni di lamine molecolari) sugli orli e sugli angoli del parallelepipedo generatore. Attraverso la costruzione di triangoli misuratori e il rapporto tra file sottratte, si determinano le inclinazioni delle nuove facce e le condizioni per la loro coincidenza, culminando nell’applicazione al romboedro.

Il procedimento si fonda sulla geometria delle lamine di sovrapposizione e sul concetto di decrescimento: la distanza tra lo spigolo del nucleo e la prima lamina è espressa da op = n·cr (fr:5464-5465/p.737), dove n è il numero di file sottratte. Il triangolo misuratore (pou) ha lati op e pu, con angolo opu noto, e permette di ricavare l’angolo pou che dà l’incidenza della faccia secondaria sul piano ABCD (fr:5466/p.737-5469/p.738). Lo stesso schema si applica per decrescimenti sugli altri orli, come sullo spigolo BC discendendo sulla faccia BCGH, dove si ha oi = n₁·cs e ih = cr (fr:5471-5472/p.738).

La condizione affinché due facce prodotte dai due lati di uno spigolo coincidano in un unico piano è la similitudine dei triangoli upo e ioh, che porta a n/n’ = cs/cr, cioè decrescimenti in ragione inversa tra altezza e larghezza (fr:5476-5480/p.738). In tal caso si può fare astrazione di uno dei decrescimenti (fr:5482/p.739). Il numero massimo di facce per decrescimenti su tutti i 12 orli è 24 (due per ogni spigolo), mentre il minimo è 12 quando i decrescimenti spaiati coincidono; l’esempio più semplice è il cubo con n=1, n₁=1, che genera un dodecaedro rombico (fr:5484/p.739-5488/p.740).

Passando ai decrescimenti sugli angoli del parallelepipedo, si considera il triangolo misuratore Ckl, con Ck = N·Ct e kl = xz (frate, 5493-5498). L’angolo kCl misura l’inclinazione della faccia sul parallelogrammo (fr:5500/p.740). Per la coincidenza delle tre facce attorno a un angolo solido, come BCD, è necessario che il piano mcr sia parallelo alla faccia prodotta, e che il decrescimento sugli angoli adiacenti sia tale che cM’ = Cr (fr:5505/p.741-5515/p.742). Se il decrescimento su BCD è per più file, gli altri due sono intermedii, determinabili dalla legge del primo (fr:5516/p.742). Il massimo numero di facce per decrescimenti su tutti gli 8 angoli è 24, il minimo 8; con un cubo e decrescimenti di una fila si ottiene un ottaedro regolare (fr:5518-5520/p.742). I decrescimenti intermedii si trattano raggruppando più molecole in una molecola unica (fr:5526/p.743-5534/p.744); per molecole cubiche i calcoli si semplificano (ad esempio nt = 12/5, us = 2, fr:5536-5539). I triangoli misuratori relativi agli angoli possono sostituire quelli degli orli, come nel caso di una piramide su base quadrata (fr:5541/p.744-5547/p.745).

La parte finale applica i principii al romboedro, indicando cinque specie di decrescimenti possibili: sugli orli superiori e inferiori, sugli angoli superiore, laterali e inferiore, con forme secondarie semplici per leggi ordinarie, e cenno a leggi intermedie e forme composte (fr:5548/p.745-5557/p.746). Il testo si configura come un contributo fondamentale alla cristallografia geometrica, fornendo gli strumenti per dedurre la morfologia dei cristalli secondari a partire dalla forma primitiva e dalle sottrazioni molecolari.

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26 Decrescimenti nei Cristalli: Dalla Teoria dei Decrescimenti alle Forme Secondarie

Il testo, tratto da un trattato scientifico di cristallografia, illustra la generazione di forme cristalline secondarie a partire da un romboedro primitivo (nocciuolo) mediante leggi di decrescimento (sottrazione di file di molecole) su orli, angoli e facce. L’analisi si basa su un rigore geometrico e matematico, utilizzando triangoli misuratori e proporzioni per determinare parametri e simboli delle forme risultanti.

I decrescimenti sugli orli superiori producono in generale dodecaedri a facce triangolari, ossia scalenoedri: “Qnesti decrescimenti daranno in generale dodecaedri a faccie triangolari, di cui tre spigoli presi alternativamente coincideranno cogli spigoli ab, af, ag ecc. del nocciuolo” - (fr:5559/p.746). Tali solidi sono indicati col simbolo Rn e appartengono alla serie degli scalenoedri. Viene introdotto il triangolo misuratore per determinare il rapporto tra i lati e quindi l’inclinazione dello spigolo secondario: “Con questo rapporto , c coll’ angolo azt , che dipende anche dalla forma cognita della molecola integrante , si potrà facilmente calcolare … 1’ inclinazione dello spigolo ani sulla faccia del nocciuolo” - (fr:5569/p.747). Lo scalenoedro è definito come forma emiedrica della bipiramide diesagonale, e quando il coefficiente n della derivazione primitiva diviene 2 si trasforma in una bipiramide esagonale normale: “lo Scalenoedro, forma emiedrica della bipiramide di-esagonale in generale … si confonde … colla bipiramide esagonale diagonale … quando il Coefliciente n della derivazione primitiva diviene =2” - (fr:5570/p.747). Un caso particolare si ha per una sola fila in larghezza (n=1), che produce un romboedro secondario, come accade nella varietà di calce carbonata chiamata equiasse: “Questo caso esiste in molti cristalli , ed in particolare nella varietà di calce carbonata che Haiiy chiama equiasse” - (fr:5578/p.748).

I decrescimenti sull’angolo superiore generano costantemente romboedri: “Questi decrescimenti daranno costantemente romboedri per forme secondarie” - (fr:5581/p.748). La quantità n indica il numero di diagonali sottratte, ma va raddoppiato per ottenere il numero di file. Per n=2 (quattro file) si ottiene un romboedro simile a quello del caso precedente ma con posizione emiedrica conforme al primitivo: “si ottiene un romboedro simile a quello, che secondo il numero precedente risulta da un decrescimento per una sola fila sugli orli superiori , ma cogli spigoli e faccie corrispondenti agli spigoli e faccie del romboedro primitivo” - (fr:5585/p.749). Quando n=½ (una sola fila), le tre facce prodotte si fondono in una singola faccia perpendicolare all’asse, corrispondente alla base del prisma esaedro: “le tre faccie prodotte da questo decrescimento , sulle tre faccie che compongono 1’ angolo solido polare, si confonderanno in una sola faccia perpendicolare all’asse , e indefinita” - (fr:5587/p.749). I decrescimenti in altezza danno romboedri di emiedria inversa, con le diagonali oblique corrispondenti agli spigoli superiori del primitivo: “si avranno cosi ancora, come già abbiamo detto al n. 260 , romboedri secondarii , ma di cui le diagonali oblique corrisponderanno agli spigoli superiori del romboedro primitivo , in vece di corrispondere alle diagonali oblique di quest’ ultimo, cioè romboedri appartenenti ad una inversa emiedria” - (fr:5590/p.750). Viene fornita una formula generale (4n’ = 1/(4n+1) …) che mette in relazione le leggi di decrescimento in larghezza e in altezza.

I decrescimenti sugli orli inferiori producono sempre scalenoedri (dodecaedri a facce triangolari scalene): “I solidi secondavi! che nascono da questa specie di decrescimento , sono sempre dodecaedri a faccie triangolari scalene , ossia Scalenoedri” - (fr:5604-5605/p.751). Il calcolo della parte di asse del cristallo secondario che eccede quella del nocciuolo è sviluppato analiticamente. Per n=2 l’asse del dodecaedro è triplo di quello del nocciuolo, proprietà generale: “1’ asse del dodecaedro è triplo di quello del nocciuolo ; questa proprietà è generale, qualunque sia il romboedro che si prende per nocciuolo” - (fr:5619/p.752). Per n=1 l’asse diviene infinito e il dodecaedro si trasforma in un prisma esaedro diagonale: “si avrà ap = … =oo , il che indica che allora 1’ asse diviene una quantità infinita, e che perciò i piani prodotti dal decrescimento sono verticali , onde il dodecaedro si cangia in un prisma esaedro indefinito” - (fr:5620/p.752). Nel caso specifico della calce carbonata con n=2 e i valori delle diagonali del romboedro primitivo approssimato, il cristallo secondario possiede le proprietà della forma metastatica di prima specie: “il cristallo secondario gode allora … delle proprietà della forma che nella parte geometrica, n. 202, abbiamo chiamata metastatica di prima specie” - (fr:5622/p.752). Tali proprietà si verificano solo approssimativamente nella varietà di Hauy detta metastatica.

I decrescimenti sugli angoli laterali danno dodecaedri appartenenti alla serie degli scalenoedri, con tre spigoli per vertice paralleli alle diagonali oblique del nocciuolo: “Le forine secondaria che provengono da questa specie di decrescimento sono in generale dodecaedri … tre degli spigoli contigui a ciascun vertice sono paralleli alle diagonali oblique che loro corrispondono nel nocciuolo” - (fr:5627/p.753). Il triangolo misuratore permette di trovare l’angolo mbn e quindi le facce. Si determina la condizione per cui il dodecaedro diviene una bipiramide esagonale diagonale quando n=3/2 (3 file in larghezza): “si cangia in una bipiramide esagonale diagonale. Si 3 trova che questo accade quando n= -” - (fr:5639-5640/p.754). Quando n=½ (una fila) si ottiene un romboedro in posizione inversa, realizzato nella calce carbonata inversa di Hauy: “si trova che questo La luogo in­ fatti per n ~ ~, il che indica un decrescimento per una sola fila di molecole. Questo risultato si realizza in una delle varietà della calce carbonata” - (fr:5641/p.754-5642/p.755). In questa varietà l’angolo piano acuto del primitivo coincide con l’incidenza minore del secondario, da cui il nome inversa.

Infine, i decrescimenti sull’angolo inferiore producono romboedri, analogamente a quelli sull’angolo superiore, sia in larghezza (facce inclinate verso l’alto) sia in altezza (facce verso il basso). Il testo presenta i dettagli geometrici e il calcolo della diagonale obliqua del romboedro secondario.

Il significato storico del testo risiede nella sua appartenenza alla cristallografia classica, basata sulla teoria dei decrescimenti di René Just Haüy. Esso rappresenta una formalizzazione matematica completa delle forme secondarie derivanti da un romboedro, con applicazioni a minerali reali come la calce carbonata, e la denominazione di varietà (equiasse, metastatica, inversa) testimonia il lavoro di classificazione di Haüy. La trattazione mostra come variazioni nelle leggi di decrescimento (numero di file sottratte in larghezza o altezza) portino a diverse forme geometriche, con transizioni tra scalenoedri, romboedri, bipiramidi e prismi. L’uso di figure (166-171) e di calcoli basati sulle dimensioni molecolari (spigoli, diagonali) evidenzia il tentativo di fondare la morfologia cristallina su basi quantitative e geometriche, caratteristico della scienza dell’epoca.

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27 I decrescimenti sui romboedri: analisi geometrica e applicazioni alla calcite

“Il triangolo misuratore non differirà da quello che abbiamo considerato nel caso dei decrescimenti sui due orli inferiori” – (fr:5652/p.755) [Il triangolo misuratore è lo stesso impiegato per i decrescimenti sugli orli inferiori.]

Il testo, tratto da un trattato scientifico di cristallografia geometrica, sviluppa la teoria dei decrescimenti (sottrazioni di strati molecolari) a partire da un romboedro primitivo, con particolare attenzione ai decrescimenti sugli angoli inferiori, in altezza sullo stesso angolo, e ai decrescimenti intermedi. L’analisi si basa sulla costruzione di un triangolo misuratore – generato dalle dimensioni molecolari e dal numero di file sottratte – per determinare l’inclinazione delle facce secondarie e l’asse del cristallo risultante.

Per i decrescimenti in larghezza sugli angoli inferiori si ricava l’espressione di ( a_p ) (eccesso dell’asse del romboedro secondario rispetto al primitivo). Quando ( n=1 ) (una fila sottratta) le facce diventano verticali, con la differenza che qui ciò avviene per un decrescimento di due file, mentre nel caso degli orli inferiori bastava una fila. Questo caso corrisponde al prisma esaedro regolare normale della calce carbonata (fr:5656/p.756).

Passando ai decrescimenti in altezza sullo stesso angolo, si costruisce un nuovo triangolo misuratore in cui la semi-diagonale obliqua della molecola ( dh ) sta all’altezza ( eh ) come ( p : n ), dove ( n ) è il numero di strati molecolari in altezza (fr:5660/p.756). Da qui si ottiene una formula per ( a_p ) (fr:5663/p.756). L’applicazione a una varietà di calce carbonata – inizialmente scambiata per cubo – mostra che essa è in realtà un romboedro acuto con incidenza minore di circa ( 88^). La teoria esclude la forma cubica, e la misura conferma l’impossibilità (fr:5664/p.757). Si individua una legge di decrescimento con ( n = ) (4 file in larghezza, 5 in altezza), che dà un’inclinazione di ( 87^,47’,45’’ ), in accordo prossimo con l’osservazione (fr:5665–5667). Haüy chiama questa varietà calce carbonata cuboide (fr:5668/p.757).

Un risultato notevole è l’identità di forma ottenibile per decrescimenti diversi: un romboedro secondario prodotto da una legge in larghezza può essere prodotto anche da una legge in altezza, purché i parametri ( n ) (larghezza) e ( n’ ) (altezza) soddisfino la relazione ( n = ) (fr:5670/p.757). La divisione meccanica decide quale dei due decrescimenti effettivamente agisca.

I decrescimenti intermedi sono introdotti come generalizzazione dei decrescimenti ordinari su lati e angoli. Dipendono da due variabili: il rapporto ( ) (spigoli sottratti sui due lati dell’angolo) e il numero di file ( n ) (fr:5675–5677). Variando ( y ) rispetto a ( x ) si ottengono orli decrescenti che ruotano fino a diventare paralleli a uno spigolo (quando ( y=0 ), decrescimento ordinario sul lato) o alla diagonale opposta (quando ( y=x ), decrescimento ordinario sull’angolo, fr:5678–5680). I decrescimenti ordinari sono quindi i limiti di quelli intermedi.

Per un decrescimento intermedio sugli angoli laterali di un romboedro qualunque, il solido secondario è generalmente un dodecaedro a facce triangolari (scalenoedro, fr:5686–5687). La costruzione geometrica conduce a esprimere la distanza tra lamine successive (( dv )) in funzione di ( x ) e ( y ), e quindi la diagonale ( dk ) nel triangolo misuratore (fr:5706–5707). Da questi dati si può determinare l’angolo delle facce e lo spigolo del cristallo, stabilendo il simbolo nel sistema esagonale (fr:5708–5709).

Un esempio concreto è la forma di calce carbonata che Haüy chiama paradossale (fr:5711/p.761). Mediante la divisione meccanica si osserva che un taglio parte da uno spigolo corto con angolo di circa ( 45^), da cui si deduce il rapporto ( = ) (fr:5712–5719). Imponendo inoltre ( n=1 ) si ottiene un decrescimento di una sola fila di molecole doppie: due molecole su un orlo, una sull’altro (fr:5722/p.762).

L’autore discute poi la possibilità di ridurre un decrescimento intermedio a un decrescimento ordinario in altezza sugli angoli laterali, ma applicato inversamente alle facce primitive. Sebbene matematicamente equivalente, la rappresentazione come decrescimento intermedio è preferita perché le facce secondarie si estendono sulle facce primitive su cui il decrescimento viene effettivamente eseguito (fr:5723–5733).

Infine, si analizza la condizione affinché il dodecaedro ottenuto abbia tutti i triangoli isosceli (bipiramide esagonale). La condizione è ( n = ) (fr:5736/p.764). Con ( x=1, y=1/2 ) si riottiene il caso ordinario; con ( x=3, y=1 ) e ( n=7 ) si ha un decrescimento che compare in una varietà di argento antimoniato solforato (fr:5737–5738). Per il caso inverso (più spigoli sul lato superiore), l’argento antimoniato offre un esempio con ( x=3, y=2, n=1 ) (fr:5740/p.764).

Il trattato si conclude con un cenno ai decrescimenti intermedi sugli angoli al vertice, limitati al caso in cui il romboedro si riduce a un cubo, considerato come limite dei romboedri (fr:5742–5745).

Il testo rappresenta una testimonianza del rigore geometrico della cristallografia pre-moderna, in cui le forme secondarie vengono derivate da leggi di decrescimento su un nocciolo primitivo, con un continuo confronto tra calcolo teorico e osservazione sperimentale (misure angolari, sfaldatura meccanica). La nomenclatura di Haüy e le applicazioni alla calce carbonata mostrano il ruolo centrale di questo minerale nello sviluppo della teoria.

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28 Decrescimenti e forme secondarie in cristallografia: dal romboedro all’ottaedro

Le leggi geometriche di decrescimento delle lamine di sovrapposizione determinano la morfologia dei cristalli secondari a partire da un nocciuolo primitivo, con un progressivo passaggio dal parallelepipedo a forme più complesse come il dodecaedro, il prisma esaedro e l’ottaedro.

La trattazione si apre con la descrizione del decrescimento intermedio applicato al romboedro: si suppone che il numero di spigoli sottratti su un lato sia doppio rispetto all’altro, “il che particolarizza ancora il decrescimento intermedio a cui qui ci limitiamo” - (fr:5746/p.765). Quando i decrescimenti producono compiutamente il loro effetto, il solido secondario diventa un romboedro con il nocciuolo situato a sbieco (fr:5747/p.765). Viene quindi introdotto il rapporto tra le due semi-diagonali g e p’ del romboedro, espresso come “g : p’ : : 2n+3 : √(4n²+5)” - (fr:5748/p.765), dove n indica il numero delle file sottratte. Se n=3/2, si ottiene un rapporto √18 : √7 (fr:5749/p.765). Tale legge è verificata, ad esempio, in una varietà di “ferro solforato” (fr:5750/p.765). Il caso particolare in cui n=6/5 porta a “un decrescimento ordinario di due file in larghezza sopra ciascuno degli angoli del vertice” - (fr:5752/p.766).

Le forme secondarie composte derivano dalla combinazione di più forme semplici, e un esempio notevole è la varietà di “calce carbonata” che Haüy chiama “analogica” (fr:5756/p.766), la quale appartiene al “prisma esaedro regolare, per sei delle sue faccie, alla metastatica, forma dodecaedra prodotta da un decrescimento sugli orli inferiori, … e all’equiasse, che è un romboedro prodotto da una legge di decrescimento sugli orli superiori” - (fr:5757/p.766). In questi casi, le inclinazioni delle facce possono essere misurate con il goniometro a riflessione (fr:5758/p.766).

Passando al cubo come caso particolare del romboedro, il testo osserva che tutti gli angoli solidi sono simili e che “i decrescimenti che si riferiscono a questi diversi assi s’assimilano tra loro” - (fr:5762/p.767); essendo il cubo il limite a cui i romboedri si approssimano, le ricerche diventano facili dopo quanto detto in generale.

Per i parallelepipedi con lati disuguali, la simmetria del romboedro viene meno e si cadrebbe in “formole che sarebbero talvolta sì complicate, che non si potrebbe farne uso senza un lavoro penoso e molesto” - (fr:5766/p.767). Si ricorre quindi a metodi particolari, come l’uso del “triangolo misuratore” e l’esempio citato della “pietra detta amfibola … che appartiene al sistema monoclino” (fr:5767/p.767). Viene raccomandata anche una rappresentazione grafica fondata sulle proprietà della molecola integrante (fr:5769/p.768), ma si precisa che “questi metodi … non dispensano dal calcolare le inclinazioni delle faccie che ne provengono, perché queste inclinazioni sono suscettibili d’una misura molto più precisa” - (fr:5770/p.768).

Per le forme primitive non parallelepipede, l’analisi inizia con il dodecaedro romboidale. Questo può concepirsi formato da quattro romboedri aventi un vertice al centro del dodecaedro e l’altro all’esterno (fr:5779/p.769), ciascuno composto da sei tetraedri (fr:5780/p.769). Le proprietà fondamentali includono incidenze delle facce adiacenti di 120° (fr:5782/p.769) e il rapporto tra le semi-diagonali del rombo pari a √2 : 1 (fr:5783/p.769). Applicando un decrescimento per una semplice fila di romboedri su tutti gli spigoli del dodecaedro, si ottiene l’icosi-tetraedro (24 trapezi), struttra che Haüy attribuisce al “granato trapezoidale” (fr:5787-5788/p.770). Si presenta poi una difficoltà concettuale riguardo alla composizione delle lamine di sovrapposizione: si dimostra che il residuo di mezza molecola può essere considerato appartenente al nocciuolo, variando l’ordine di aggregazione dei triangoli sezionali (fr:5795-5803/p.771).

Il prisma esaedro regolare viene affrontato considerando come molecole integranti i prismi triangolari equilateri. Si nota che sostituendo al prisma esaedro un prisma quadrangolare (parallelepipedo) i decrescimenti sugli orli si trasformano in decrescimenti sugli angoli, ma è “molto più naturale di attenersi a questo, perché i decrescimenti che esso subisce sono in generale più semplici e più simmetrici” - (fr:5812/p.772).

Infine, l’ottaedro viene studiato come forma primitiva. Ogni ottaedro può dividersi in sei ottaedri parziali e otto tetraedri (fr:5816/p.772). Le serie ricorrenti dei numeri di tetraedri (A, B, C…) e di ottaedri (a, b, c…) vengono calcolate, ottenendo formule generali come “s= (1/3)(8ⁿ−2ⁿ)” per la somma dei tetraedri (fr:5827/p.774) e “s₁=(1/6)(8ⁿ+2∙2ⁿ)” per gli ottaedri (fr:5829/p.774). La quantità di vacuo nel cristallo viene discussa: se i tetraedri sono la materia reale, il vacuo risulta doppio del volume delle molecole; se invece lo sono gli ottaedri, il vacuo è la metà. L’autore ritiene tali supposizioni “affatto ammessibili, se si fa attenzione alla grande porosità de’ corpi in generale” - (fr:5836/p.775). La molecola sottrattiva per i decrescimenti sull’ottaedro è un romboedro di 120° e 60° (per ottaedro regolare) o un parallelepipedo (per ottaedro irregolare) (fr:5837-5838/p.775).

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29 Resoconto sul Trattato di Elasticità dei Cristalli

Il testo analizza le deformazioni elastiche di un parallelepipedo cristallino sottoposto a pressione, definendo le costanti di elasticità e le relazioni di simmetria che riducono il numero di variabili indipendenti.

Lo studio delle contrazioni lineari in un cristallo soggetto a pressione uniforme costituisce il nucleo del trattato. Vengono definite le quantità (M, N, P) come accorciamenti nelle direzioni degli assi (a, b, c) dovuti a una pressione (D) su tutte le facce. Per isolare l’effetto della pressione su ciascuna faccia, si introducono le notazioni (M_a, N_a, P_a) per l’azione sulla faccia (A) (perpendicolare all’asse (a)), e analogamente (M_b, N_b, P_b) per (B) e (M_c, N_c, P_c) per (C). In particolare, la pressione nella direzione (a) produce “un accorciamento nella direzione dell’asse (a), e nello stesso tempo si faranno allungamenti … nella direzione degli assi (b) e (c)” – (fr:5983/p.795). La relazione tra le contrazioni globali e quelle parziali è data dalle equazioni: “(M = M_a + M_b + M_c), (N N_a + N_b + N_c), (P = P_a + P_b + P_c)” – (fr:5986/p.795). L’autore spiega che “l’asse (a) per esempio dee subire contemporaneamente l’accorciamento (M_a) … e gli accorciamenti in generale negativi, ossia allungamenti … (M_b) e (M_c)” – (fr:5987/p.795), dimostrando il principio di sovrapposizione.

Quindi si introducono le nove quantità (M_a, N_a, P_a, M_b, ) (fr:5988/p.796) come “le costanti dell’elasticità … da cui dipendono i valori … delle equazioni dell’equilibrio e del moto dei corpi cristallizzati” – (fr:5989/p.796). Tuttavia, per simmetria cristallina, il loro numero si riduce a sei grazie al teorema che afferma: “L’allungamento dell’asse cristallino (b), che ha luogo quando il parallelepipedo … è compresso nella direzione dell’asse (a), è uguale all’allungamento che a prova quando … è compresso con ugual forza nella direzione di (b)” – (fr:5989/p.796). Ne derivano le uguaglianze “(M_b = N_a), (M_c = P_a), (N_c = P_b)” – (fr:5990/p.796). Così “questi sei allungamenti indiretti si riducono a tre” – (fr:5991/p.796), mentre “le altre tre quantità, cioè gli accorciamenti (M_a, N_b, P_c) prodotti direttamente … restano ciascuno senza confondersi” – (fr:5992/p.796), portando a un totale di sei costanti indipendenti.

Il testo considera poi il caso dei corpi non cristallizzati, dove “le tre quantità di cui gli assi … si accorciano … sono uguali tra loro, cioè si ha (M_a = N_b = P_c)” – (fr:5998/p.797). Inoltre, “sono uguali tra loro le quantità (Q_{a,b}, Q_{a,c}, Q_{b,c})” – (fr:5998/p.797), riducendo le costanti a due: (R) (contrazione diretta) e (S) (dilatazione trasversale). L’autore richiama il risultato di Poisson secondo cui “si avrebbe il rapporto di 4 ad 1 … cioè l’allungamento della verga, e il suo ristringimento nella direzione trasversale” – (fr:5999/p.798), specificando che “la diminuzione della sezione del filo è la metà del suo allungamento … quella della sua dimensione lineare trasversale non dee essere che il quarto” – (fr:6000/p.798). Per i cristalli, invece, “debbono le sei quantità (M_a, N_b, ) determinarsi separatamente” – (fr:6001–6002). Ciò sarebbe possibile direttamente per le tre contrazioni dirette, ma per le tre indirette “sarebbe difficile a farsi” – (fr:6003/p.798); perciò l’autore propone il metodo di Neumann, basato su osservazioni di prismi tagliati in diverse direzioni rispetto agli assi cristallini.

Infine, il trattato enuncia un principio generale: “quando un corpo di sostanza omogenea è compresso … vi sono sempre tre direzioni rettangolari tra loro in cui accadono le variazioni massima e minima” – (fr:6006/p.799), dette assi di pressione. Questa proposizione vale sia per corpi isotropi sia per cristalli. Nel caso di pressione uniforme, “essi non possono riferirsi che a qualche differenza di elasticità nelle diverse direzioni, come nei corpi cristallizzati” – (fr:6008/p.799). E per le sostanze cristalline considerate, “gli assi di pressione principali coincidono cogli assi del cristallo, ossia cogli assi d’elasticità” – (fr:6009/p.799). Tale coincidenza semplifica lo studio, poiché gli assi cristallografici sono anche quelli in cui le deformazioni si manifestano in modo puramente longitudinale e trasversale.

Il significato storico del testo risiede nella formalizzazione della teoria dell’elasticità per cristalli con simmetria ortorombica, riducendo da nove a sei il numero di costanti elastiche, e nel confronto con il caso isotropo (legge di Poisson). L’approccio anticipa sviluppi successivi della meccanica dei solidi anisotropi, e l’uso di esperimenti su prismi orientati diversamente costituisce un metodo pionieristico per la determinazione delle proprietà elastiche dei materiali cristallini.

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30 Il Dimorfismo e l’Isomorfismo nei Cristalli: Il Contributo di Mitscherlich

Una stessa sostanza può presentarsi sotto due forme cristalline essenzialmente diverse, mentre sostanze di analoga composizione atomica condividono spesso, ma non sempre, la stessa forma.

Il testo analizza le osservazioni di Mitscherlich sull’isomorfismo e il dimorfismo, basandosi su esperienze pubblicate tra il 1821 e il Viene innanzitutto stabilito che fosfati e arseniati di soda neutri, pur avendo composizione atomica analoga (con ossigeno della base rispetto all’acido come 2 a 5 e rispetto all’acqua come 1 a 12), presentano una forma cristallina identica, appartenente al sistema tetragonale, con differenze di angoli trascurabili. Si cita: “Ora la forma cristallina di questi due sali, secondo le osservazioni di Mitscherlich , è la stessa; essa appartiene al sistema tetragonale , e l’ottaedro fondamentale vi presenta differenze di dimensioni e di angoli così piccole da una di queste sostanze all’ altra, come tra i diversi cristalli di ciascuna di esse” - (fr:6483/p.872). Analoga identità si osserva tra sopra-arseniato e sopra-fosfato di barita (fr:6486/p.873), e si estende ai solfati di barita, stronziana e ossido di piombo, che cristallizzano nel sistema rombico con assi prossimi (fr:6491/p.5-6494/p.874). I carbonati anidri di calce, magnesia, ferro, manganese e zinco (fr:6495-6496/p.874) appartengono tutti al sistema esagonale emiedrico, con l’asse principale variabile di poco (per lo spato calcare √0,653, per lo spato magnesiaco √0,6602, ecc.). La differenza massima si ha tra carbonato di calce e gli altri, già notata da Wollaston (fr:6497/p.874). Queste sostanze sono dette isomorfe, o plesiomorfe quando la differenza è più notabile (fr:6498/p.875).

L’analogia si estende ai solfati di otto ossidi metallici (calce, magnesia, ferro, manganese, zinco, rame, cobalto, nichel), che si distribuiscono in tre classi a seconda della quantità d’acqua di cristallizzazione (ossigeno dell’acqua rispetto all’ossido come 1:5, 1:6, 1:7). In ciascuna classe le forme cristalline sono approssimatamente identiche (fr:6499-6502/p.875). Mitscherlich dimostra che combinando sali di classi diverse (ad esempio solfati con 5 e 7 proporzioni d’acqua) si ottengono composti con 6 proporzioni, che cristallizzano nella forma della classe intermedia (fr:6504-6506/p.876). Conferma ulteriormente l’isomorfismo combinando ciascun solfato (eccetto quello di manganese) con solfato di potassa, ottenendo sali composti di forma monoclina comune (fr:6507-6509/p.877).

L’isomorfismo delle basi stesse viene convalidato attraverso minerali come il ferro ossidulato, lo spinello e la gahnite, che cristallizzano nel sistema regolare (fr:6514/p.877-6515/p.878). Inoltre, il perossido di ferro e l’allumina mostrano forme esagonali vicine (ferro oligisto con asse √1,868, corindone con √1,7854) (fr:6516/p.878), e il solfato composto di perossido di ferro e potassa forma ottaedri analoghi all’allume (fr:6517/p.878). Viene aggiunto il perossido di manganese e l’ossido cromico (fr:6519/p.879).

Non mancano le eccezioni. L’acido nitrico, pur avendo composizione atomica simile agli acidi fosforico e arsenico, non offre identità di forme con i loro sali (fr:6487/p.873). Tra gli ossidi, la potassa e la soda, pur ritenute di analoga composizione atomica, presentano forme cristalline essenzialmente diverse nei loro sali (fr:6523-6524/p.879). Al contrario, l’ammoniaca (con gli elementi dell’acqua) risulta isomorfa con la potassa anidra: il solfato d’ammoniaca anidro è isomorfo col solfato di potassa (fr:6526-6527/p.880). Mitscherlich attribuisce ciò a un doppio atomo di ammonio (2 at. azoto, 8 idrogeno, 1 ossigeno) analogo al semplice atomo di potassio (fr:6530-6534/p.880). Questo isomorfismo si mantiene in tutte le combinazioni corrispondenti, compresi gli allumi ammoniacali (fr:6536-6539/p.881). L’anomalia è notata come ancora inspiegata (fr:6540/p.881).

Il dimorfismo viene scoperto studiando il bifosfato e il biarseniato di soda. Pur possedendo composizione analoga (ossigeno della base rispetto all’acido come 1 a 5, 4 proporzioni d’acqua), il bifosfato può cristallizzare sotto due forme diverse: una propria e una identica a quella del biarseniato (fr:6547/p.882-6549/p.883). Ciò dimostra che “una stessa sostanza, composta cioè degli stessi elementi e nelle stesse proporzioni, può presentarsi sotto due forme essenzialmente diverse” - (fr:6550/p.883). Applicando questo principio, si spiega la differenza tra i carbonati romboedrici (calce, magnesia, ecc.) e quelli rombici (barita, stronziana, ossido di piombo). Il carbonato di calce è dimorfo: si presenta in natura come spato calcare (romboedrico) e come arragonite (rombico), con assi nell’arragonite di 0,7205:1:0,6215, molto vicini a quelli dei carbonati rombici (fr:6555/p.884-6562/p.885). Il dimorfismo è infine illustrato dallo zolfo, che si trova in natura nel sistema rombico (assi 2,345:1,227:1) ma può essere ottenuto artificialmente in cristalli monoclini per raffreddamento lento dello zolfo fuso (fr:6565/p.885-6568/p.886).

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31 Resoconto sulle Osservazioni di Isomorfismo e Dimorfismo nei Cristalli (XIX secolo)

Il testo documenta le scoperte fondamentali di Mitscherlich e contemporanei sulle relazioni tra forma cristallina, composizione atomica e trasformazioni molecolari, gettando le basi per la teoria atomica e la mineralogia moderna.

Lo scritto si apre con il lavoro di Kupffer sullo zolfo, le cui relazioni tra le due forme cristalline sono definite “puramente ipotetiche” – (fr:6569/p.886) – e non spiegano la posizione delle molecole elementari. Subito dopo viene presentato il contributo centrale di Mitscherlich e Haidinger: i solfati di zinco e magnesia, noti come isomorfi nel sistema rombico, “sono suscettibili amendue di cristallizzare sotto un’ altra forma pure prossimamente identica appartenente al sistema monoclino” – (fr:6571/p.886). La trasformazione avviene innalzando la temperatura della soluzione (fr:6572/p.887), ma sorprendentemente anche nei cristalli solidi già formati: “divenivano ad un tratto opachi, e rompendoli si trovava allora la loro struttura cristallina intieramente cangiata” – (fr:6573/p.887), senza perdita d’acqua. Questo fenomeno costituisce un “nuovo esempio di dimorfismo” – (fr:6574/p.887).

Il testo evidenzia casi analoghi: i cristalli di zolfo monoclino diventano opachi dopo uno o due giorni (fr:6575/p.887); l’arragonite, riscaldata, si risolve in polvere trasformandosi in calcite (fr:6576/p.887). Viene citata la possibilità di un “moto intestino nelle parti dei corpi solidi” – (fr:6577/p.887) – per spiegare tali cambiamenti.

Brooke contribuisce con lo studio del solfato di nichel, che oltre alla forma rombica ordinaria può presentare una forma tetragonale (fr:6581/p.888). I cristalli di quest’ultima, a differenza di quelli rombici, “non provavano alcuna perdita” d’acqua all’aria (fr:6584/p.888), indicando una diversa combinazione dell’acqua. Mitscherlich nota che il solfato di nichel non assume la forma monoclina come gli altri due sali (fr:6585/p.888), lasciando aperta la possibilità del trimorfismo (fr:6586/p.888).

Una parte sostanziale è dedicata all’isomorfismo tra acidi e basi. Mitscherlich trova “forme identiche per questi sali di composizione atomica analoga” – (fr:6588/p.889) – per solfati, seleniati e cromati, confermando l’isomorfismo degli acidi solforico, selenico e cromico (fr:6595/p.890). I sali di potassa e ammoniaca (fr:6599/p.890-6602/p.891) mostrano la stessa forma rombica, con assi molto simili (fr:6601/p.891). L’estensione ai manganati e ipermanganati (fr:6604/p.891-6613/p.892) rafforza ulteriormente la teoria: l’acido manganico, con 3 atomi di ossigeno per 1 di radicale, è isomorfo con solforico, selenico e cromico (fr:6605/p.891); l’acido ipermanganico, con 7 atomi di ossigeno per 2 di metallo, lo è con l’acido iperclorico (fr:6608/p.891). Questi riscontri “sono importanti per la teoria atomica, in quanto essi confermano i rapporti tra le masse degli atomi di molti corpi elementari” – (fr:6614/p.892). L’insieme delle osservazioni porta a concludere che “i supposti rapporti tra gli atomi di questi diversi metalli, e radicali, prendendo per unità quello dell’ossigeno, in dipendenza dell’analogia dei loro diversi gradi d’ossigenazione, sono veramente conformi anche all’ analogia delle forme cristalline” – (fr:6618/p.893).

Viene poi discussa la proprietà delle sostanze isomorfe di cristallizzare insieme in qualunque proporzione (fr:6624/p.893), come già notato per la calce carbonata con carbonato di ferro (fr:6625/p.894). Ciò implica che “le molecole integranti, ossia i cristalli elementari di queste sostanze isomorfe sono prossimamente della stessa forma, ma sono anche prossimamente dello stesso volume” – (fr:6630/p.894), collegando l’isomorfismo alla distanza tra centri molecolari e alla qualità elettro-positiva o elettro-negativa (fr:6631-6632/p.894).

Il testo riporta infine numerose conferme da altri studiosi: Heeren sugli iposolfati (fr:6635-6636/p.895), Rose su apatite e fosfato/arseniato di piombo (fr:6637/p.895), Levy su tungstato e molibdato di piombo (fr:6640-6642/p.895). Johnston osserva la co-cristallizzazione di carbonato di calce con carbonato di piombo (fr:6644/p.896), dimostrando che calce e ossido di piombo sono “iso-dimorfe” – (fr:6645/p.896) – e verifica la densità calcolata del composto misto (fr:6646/p.896-6649/p.897). Wohler scopre un nuovo caso di dimorfismo nell’acido arsenioso, che oltre alla forma ottaedrica regolare può presentare una forma rombica simile all’ossido di antimonio nativo (fr:6650-6653/p.897), eliminando l’ apparente anomalia tra le due sostanze analoghe.

L’intero resoconto testimonia il processo sistematico con cui la cristallografia ottocentesca, attraverso misure precise e confronti sistematici, ha consolidato la teoria atomica e la comprensione delle relazioni tra composizione chimica, struttura molecolare e forma macroscopica dei minerali e dei composti sintetici.

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32 Isomorfismo, dimorfismo e isomerismo: una rassegna di casi cristallografico-chimici

Il testo presenta una dettagliata rassegna di fenomeni di isomorfismo e dimorfismo osservati in diverse classi di sostanze, evidenziando come composizione atomica analoga possa dare luogo a forme cristalline identiche o differenti, e come talvolta la stessa composizione chimica possa corrispondere a stati fisici diversi (isomerismo). Attraverso numerosi esempi – da ossidi e solfuri a sali e acidi – vengono discussi i sistemi cristallini, le misure degli assi e le proprietà che accompagnano i cambiamenti di forma.

32.1 Concetti chiave e casi peculiari

L’iso-dimorfismo viene introdotto con l’esempio di due ossidi: “Questi due ossidi di composizione atomica analoga sarebbero dunque non solamente isomorfi , ma anche iso-dimorfi” - (fr:6655/p.898). Il dimorfismo dell’acido arsenioso è descritto attraverso le osservazioni di Wöhler: “i cristalli suddetti osservati da Wohler nell’acido arsenioso pajono essersi formati per sublimazione ; ma non fu possibile a Wohler di riprodurli” - (fr:6656/p.898); la perdita di trasparenza è spiegata come un passaggio dalla forma ottaedrica a un aggregato di cristalli minutissimi dell’altra forma, “come ciò accade in generale alle sostanze dimorfe, quando esse passano da una forma all’altra” - (fr:6657/p.898).

Il minerale di Brooke (carbonato di calce e barita) solleva il problema se si tratti di un composto nuovo o di una semplice mescolanza isomorfa. Si menziona l’ipotesi di Johnston sulla trinorfia del carbonato di calce: “sarebbe triniorfo presentando la forma di un romboedro … di un prisma retto … e di un prisma obliquo” - (fr:6663/p.898). Tuttavia l’autore propende per un composto a proporzione determinata: “Ma più 859 probabilmente in questo minerale i due carbonati sono combinati in proporzione determinata , e formano cosi un nuovo composto” - (fr:6665/p.898).

32.2 Sostanze semplici e ossidi

Per i metalli nativi e il fosforo si osserva l’appartenenza al sistema regolare. Il carbonio è dimorfo (diamante e grafite), mentre l’antimonio, l’arsenico e il tellurio cristallizzano secondo l’emiedria romboedrica del sistema esagonale, con assi principali misurati: “il valore dell’asse principale … /0,4243 nell’ antimonio , po,48ι5 nell’arsenico , e ∕o,465ι nel tellurio” - (fr:6671/p.899). Lo zolfo presenta due forme (rombica e monoclina), l’iodio una forma rombica.

Tra gli ossidi anidri spicca l’iso-dimorfismo dell’acido arsenioso e dell’ossido di antimonio: “Pisomorfismo presentato sotto forme diverse… che è anzi un iso-dimorfismo, cristallizzando amen due queste sostanze sotto due forme” - (fr:6675/p.900). L’ossido di titanio è dimorfo in anatasio e rutilo, entrambi tetragonali ma con rapporti d’assi diversi: “nel rutilo il valore dell’asse principale si stima /0^40’48 … nell’ anatasio questo valore si eleva a ∕j,ιu5 , onde 1’ ossido di titanio può considerarsi come dimorfo , sebbene sotto due forme appartenenti allo stesso sistema” - (fr:6679/p.900).

32.3 Cristallizzazione dell’acqua e del ghiaccio

L’acqua ghiacciata è oggetto di indagine: “pare ora non potersi più dubitare che essa non appartenga al sistema esagonale, nella sua modificazione ernie- drica romboedrica” - (fr:6683/p.901). Vengono riportate le misure di Clarke (romboedri con angoli di 120° e 60°) e quelle di Smithson, con valori differenti dell’asse principale: “il valore dell’ asse principale … sarebbe i/o” 3^5- … secondo la quale questo valore sarebbe più grande, cioè /o, 5ι6” - (fr:6694/p.901). Si nota che i fiocchi di neve tendono a disporsi ad angoli di 120° e 60°.

32.4 Solfuri e sali

La pirite di ferro è dimorfa: “presentandosi nella pirite di ferro ordinaria sotto le forme del sistema regolare … e nella pirite detta da Haiiy ferro solforato bianco sotto quelle del sistema rombico” - (fr:6699/p.902). Per i sali si descrive l’isomorfismo tra acidi (arsenico/fosforico, solforico/selenico/cromico, ecc.) e tra basi (ossidi metallici con un atomo d’ossigeno). Tuttavia non tutti i sali analoghi sono isomorfi: “molti dei sali che sarebbero analoghi … si trovano … gli uni allo stato anidro , gli altri allo stato d’ idratazione … il che basta per variare la loro composizione finale , e quindi la loro forma” - (fr:6717/p.904). Un esempio è il sale comune, che a bassa temperatura cristallizza come idrato in tavole rombiche, passando poi alla forma cubica anidra.

32.5 Isomerismo e la scoperta del pirofosfato

Il testo introduce il concetto di isomerismo: sostanze con identica composizione chimica ma proprietà fisiche e talvolta chimiche diverse. Viene citata la scoperta di Clark del doppio stato dell’acido fosforico: “Calcinando a calor rovente il fosfato di soda ordinario , egli trovò che si cangiava in un sale diverso … chiamò piro-fosfato di soda” - (fr:6727/p.905). Stromeyer confermò che la composizione è identica e che la differenza risiede “in una diversa disposizione delle molecole nella sua costituzione” - (fr:6736/p.906). Le proprietà (precipitato giallo o bianco con nitrato d’argento, capacità di saturazione) differiscono, ma Hess e Berzelius dimostrarono infine che la capacità di saturazione è la stessa, sebbene i due acidi diano sali con differenti gradi di basicità.

32.6 Significato storico

Il testo costituisce una testimonianza della sistematica indagine ottocentesca sulle relazioni tra composizione chimica e forma cristallina, culminata nei lavori di Mitscherlich sull’isomorfismo. L’attenzione ai dettagli delle misure angolari, ai sistemi cristallini e ai casi di dimorfismo o isomerismo mostra come la cristallografia e la chimica si integrassero per comprendere la struttura della materia. La discussione su composti come il minerale di Brooke e il dibattito tra mescolanza isomorfa e composto definito riflettono le incertezze teoriche dell’epoca, superate solo con l’affermazione della teoria atomica e delle valenze.

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[24.1/1-76-6825|6898]

33 Isomerie, Polimerismo e Teorie della Composizione Molecolare nella Chimica del Primo Ottocento

Il testo esamina diverse concezioni sull’isomeria, proponendo una tassonomia basata sul diverso ordine di combinazione degli atomi o sul numero di atomi semplici nell’atomo composto, e illustra le controversie tra chimici come Dumas, Berzelius, Graham e Persoz.

Il resoconto prende le mosse dall’idea di Dumas che l’isomeria delle sostanze organiche dipenda dalla “diversa disposizione 0 ordine di combinazione delle molecole” (fr:6825/p.917). Dumas ipotizza che gli elementi (carbonio, idrogeno, azoto, ossigeno) possano riunirsi “due a due, sotto forma di composti binarii” oppure “immediatamente combinati tre a tre, o quattro a quattro” (fr:6826/p.917). Esempi di questa diversità sono l’alcool e l’etere come idrati del carburo d’idrogeno, e lo zucchero come carbonato dello stesso carburo (fr:6828/p.917). Egli estende il principio al regno inorganico, citando l’acido fosforico e para-fosforico come composti con diversa disposizione degli atomi di ossigeno e idrogeno (fr:6829/p.917-6831/p.918).

Berzelius introduce una distinzione tra “formole empiriche” (che esprimono il numero relativo di atomi) e “formole razionali” (che rappresentano l’ordine di combinazione in composti preesistenti) (fr:6832/p.918). Mitscherlich espone idee analoghe, ma si riconosce che senza dati precisi “varie maniere di concepire i composti” restano arbitrarie (fr:6833/p.918). Viene poi discussa una nota sulla disparità d’opinione riguardo agli eteri composti: alcuni li vedono come sali con carburo d’idrogeno, altri come combinazioni con l’etere ordinario e un radicale idro-carbonico detto Etilo (fr:6837/p.919).

Un punto centrale è il riconoscimento di una differenza reale nella costituzione degli atomi isomeri: “l’atomo 0 molecola integrante si mostra nell’una multiplo di quello che esso è nell’altra” (fr:6835/p.919). Tale differenza di massa può manifestarsi nella densità allo stato di vapore o nella proporzione delle combinazioni (fr:6836/p.919). Un esempio notevole è il carburo d’idrogeno: il gaz oleifico (C2H4, secondo la notazione dell’epoca) e il composto di Faraday, che ha la stessa composizione in peso ma densità doppia, quindi atomo doppio (fr:6842-6844/p.920). Vengono enumerate diverse modificazioni polimere: metilene (mezzo atomo di carbonio e uno di idrogeno), gaz oleifico (1C+2H), il composto di Faraday (2C+4H) e la cetena (8C+16H) (fr:6846-6849/p.921). Berzelius propone per questa specie di isomerismo il nome di polimerismo e chiama le sostanze polimere, distinguendole con prefissi come monatomico, diatomico, ecc. (fr:6855-6856/p.922). Un altro caso particolare è il metamorfismo, illustrato dall’acido cianurico e dall’acido cianico idrato che si trasformano l’uno nell’altro, ma si osserva che tali nomi non hanno significato essenzialmente diverso dall’isomerismo (fr:6858-6859/p.922).

Un ampio spazio è dedicato alle ricerche di Graham sugli acidi fosforici. Egli concepisce l’acido fosforico ordinario come “essenzialmente formato dall’unione dell’acido fosforico […] anidro […] con una quantità d’acqua” in rapporto 3:5 di ossigeno (fr:6866/p.923). I sali corrispondenti hanno una quantità essenziale d’acqua, con l’ossigeno della base e dell’acqua sempre in rapporto 3:5 all’ossigeno dell’acido (fr:6867/p.923). L’acido piro-fosforico ha invece un rapporto 2:5, e l’acido meta-fosforico un rapporto 1:5, senza acqua essenziale (fr:6872-6876/p.924). Graham chiama meta-fosfati i sali di quest’ultimo (fr:6877/p.924). La differenza tra queste tre modificazioni non è per Graham una vera isomeria, perché dipende dalla quantità essenziale d’acqua, ma si osserva che tale distinzione si fonda sulla “possibilità di combinazioni di diversa natura, cioè con diversa disposizione di molecole” (fr:6880-6881/p.925).

Infine, Persoz propone una teoria generale basata sulla distinzione tra “composizione molecolare” (unione di composti immediati preesistenti) e “composizione atomica” (unione immediata di atomi semplici) (fr:6888-6889/p.926). Egli rigetta l’idea esclusiva dell’unione immediata e suppone che i composti binari possano formarsi dall’unione di un composto binario preesistente con una porzione ulteriore di un elemento (fr:6888/p.926). La composizione molecolare può essere determinata dai volumi dei componenti allo stato gassoso (fr:6891/p.926). Ciò permette di spiegare l’isomorfismo tra composti di composizione atomica diversa, come il solfato di barita e l’arragonite, se si riducono i loro acidi a una composizione molecolare analoga (fr:6894-6896/p.927). L’isomerismo e il dimorfismo sono allora interpretati come casi in cui “questi corpi abbiano bensì una stessa composizione atomica, ma che essi godano d’una composizione molecolare diversa” (fr:6898/p.928).

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