Archimede - Opere UTET 1974 | AA

20 Feb, 2026

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1 Testi e traduzioni delle opere di Archimede

Edizioni, traduzioni e commenti dall’antichità al XX secolo.

Il corpus delle opere di Archimede è stato trasmesso attraverso manoscritti, edizioni critiche e traduzioni. L’edizione di riferimento moderna è l’Archimedis opera omnia curata da J. L. Heiberg per la Bibliotheca Teubneriana “Archimedis opera omnia, pubblicata da I. L. Heiberg per la Bibliotheca Scriptoriem Graccorum et Romanorum Teubncriana” - (fr:371). Una precedente edizione importante fu preparata da Giuseppe Torelli e pubblicata a Oxford nel 1792 “Sul finire del secolo xv, nel 1792, apparve a Oxford una grande edizione delle opere di Archimede, nel testo greco e in tina traduzione latina, preparata dal filologa italiano Giuseppe Torelli” - (fr:409). L’editio princeps fu stampata a Basilea nel 1544 da Tommaso Gechauff Venatorius, contenente il testo greco e una traduzione latina “Nel 1544 venne stampata a Basilea, per opera di Tommaso Gechauff Venatorius, la edifio princets delle opere di Archimede: essa contiene il testo greco di tutte le opere note a quel tempo, con traduzione latina” - (fr:398). Altre traduzioni latine furono realizzate da Guglielmo di Moerbeke nel 1260 “una parte notevole del co- dice A era stata tradotta in latino già nel 1260 dal monaco domenicano Guglielmo di Mverbeke” - (fr:389) e da Jacopo da Cremona nel 1450 “una nuova traduzione latina venne compiuta da Jacopo da Cremona, nel 1450, per ordine del papa Nicolò V” - (fr:390). Sono seguite traduzioni in lingue moderne: tedesco (A. Czwalina, K. F. Hauber), francese (F. Peyrard, Paul Ver Eecke) e italiano. La traduzione di Ver Eecke è definita fedelissima e corredata da ampi commenti “Una traduzione francese fedelissima, con ampi commenti che entrano anche în minimi particolari, è quella dovuta al bene- merito Paul Ver Eecke” - (fr:420). Un evento cruciale fu il ritrovamento nel 1906, da parte di Heiberg, di un palinsesto a Costantinopoli contenente il testo greco del Metodo, opera fino ad allora perduta “nel 1906, il grande filologo danese J. L. Heiberg … ritrovò, in un palinsesto a Costantinopoli, il manoscritto di un’opera di Archimede che era andata perduta attraverso i secoli: il Metodo” - (fr:129). Lo stesso manoscritto conteneva anche il testo greco quasi completo dei Galleggianti, opera di cui si possedeva solo la traduzione latina di Moerbeke “il mamoscrilta stesso contiene il testa greco quasi completo dei Galleggianti, opera della quale si possedeva fino al 1906 soltanto la traduzione latina di Gu- gliclmo di Moerbek” - (fr:6554). I commenti alle edizioni sono opera di studiosi come Eutocio (nelle edizioni antiche), Heiberg, Zeuthen e altri. L’ordine tradizionale di presentazione delle opere nei codici inizia con Sulla sfera e il cilindro e termina con il Metodo “si viene così a mettere in particolare evidenza, al primo posto, l’opera fondamentale Sulla sfera e il cilindro, e si mette all’ultimo posto quel Metodo, che solo all’inizio del nostro secolo è stato ritrovato” - (fr:505). Tra i temi secondari rilevanti emergono la storia della trasmissione dei testi e il confronto tra le diverse traduzioni di termini tecnici.

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2 Il metodo meccanico di Archimede e la dimostrazione geometrica

Dalla scoperta intuitiva alla prova rigorosa: il percorso archimedeo della ricerca matematica.

Le opere di Archimede, in particolare Sulla sfera e il cilindro, Sulle spirali, Quadratura della parabola e il Metodo sui teoremi meccanici ad Eratostene, mostrano una distinzione tra scoperta e dimostrazione. Archimede comunica spesso i risultati prima delle prove, come quando inviava a Conone gli enunciati senza dimostrazione, pratica proseguita con Dositeo dopo la morte di Conone “Avendo sentito che era morto Conone… decidemmo di farti giungere… uno dei teoremi di geometria che prima non era stato studiato… che prima l’abbiamo trovato per via meccanica, in seguito dimostrato per via geometrica” - (fr:5690). Il suo processo di ricerca si articola in tre fasi: un’intuizione iniziale o una scoperta per via meccanica, una verifica con tale metodo e infine una dimostrazione rigorosa, spesso con il metodo di esaustione “1) pura intuizione basata sulla ipotesi della semplicità; 2) verifica col metodo meccanico…; 3) dimostrazione rigorosa (spesso col metodo di esaustione)” - (fr:205). Archimede stesso sottolinea che il metodo meccanico non è una dimostrazione rigorosa ma uno strumento euristico: “la ricerca [compiuta] per mezzo di questo metodo non è una [vera] dimostrazione: è poi più facile, avendo già ottenuto con [questo] metodo qualche conoscenza delle cose ricercate, compiere la dimostrazione” - (fr:6722). Questo è esplicitato nel Metodo, opera diversa dalle altre perché “non fornisce dimostrazioni rigorose dei teoremi, ma offre deduzioni compiute con l’impiego della meccanica” - (fr:6714). La necessità di conoscere in anticipo il risultato per applicare il metodo di esaustione è un punto cruciale: “richiede la preventiva conoscenza di ciò che si deve dimostrare” - (fr:3344). Per esempio, per dimostrare che la superficie della sfera è quadrupla del suo circolo massimo (), Archimede doveva già sapere quel risultato “per poter poi dimostrare rigorosamente, col metodo di esaustione, l’esattezza della relazione” - (fr:127). Il metodo meccanico, basato sulla scomposizione delle figure piane in linee elementari e sull’equilibrio delle grandezze, viene applicato a problemi come l’area del segmento parabolico, uguale ai 4/3 del triangolo inscritto, e al volume della sfera. La scelta di figure ausiliarie, come un triangolo nella quadratura della parabola, è un passaggio che richiede inventiva e non è immediato. Temi secondari includono la cronologia delle opere, la relazione tra intuizione, metodo meccanico e dimostrazione geometrica, e il ruolo delle lettere introduttive per ricostruire il contesto storico e scientifico.

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3 I metodi e le opere di Archimede

Un’indagine sui procedimenti dimostrativi e le principali scoperte del matematico siracusano.

Il testo tratta dei metodi matematici e delle opere di Archimede. Viene descritto in dettaglio il metodo di esaustione, usato per dimostrare l’uguaglianza tra grandezze. Il procedimento “si costruisce allora una successione di grandezze T₁, T₂, T₃… tali che rappresentino valori approssimati (ad esempio) per eccesso tanto di A quanto di B” - (fr:607). Si suppone per assurdo che una grandezza A sia maggiore di B e si considerano grandezze ausiliarie che siano “valori approssimati (ad esempio per difetto) tanto di A quanto di B” - (fr:6014), la cui costruzione possa “continuare indefinitamente” - (fr:6014). La condizione essenziale è che una grandezza T “possa avvicinarsi quanto si voglia ad una grandezza A” - (fr:108), principio basato sul postulato di Archimede. L’applicazione di questo metodo è mostrata in diverse opere. In Sulla sfera e il cilindro, Archimede dimostra che “la superficie della sfera è quadrupla del circolo massimo” - (fr:607) considerando rapporti di superficie. Nella Misura del cerchio, stabilisce la “famosa doppia limitazione” - (fr:2470) per il rapporto tra circonferenza e diametro, trovando il valore approssimato 22/7 e usando poligoni regolari inscritti e circoscritti. Il procedimento per passare dal rapporto del lato dell’esagono a quello del dodecagono si basa sul teorema della bisettrice “in ogni triangolo la bisettrice di un angolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati” - (fr:2476). Archimede cerca spesso di esprimere rapporti irrazionali “con numeri più piccoli che sia possibile” - (fr:194). Tra le altre opere citate vi sono Spirali, dove introduce la spirale che porta il suo nome; Conoidi e sferoidi, dove studia solidi limitati da superfici del second’ordine; Arenario, che spazia tra astronomia e aritmetica pratica; Galleggianti, il cui testo greco fu ritrovato solo all’inizio del Novecento; e il Metodo, indirizzato a Eratostene, dove le dimostrazioni sono “ispirate al massimo rigore” - (fr:6514). Viene menzionato anche il ritrovamento della sua tomba, identificata da Cicerone grazie a “una figura sferica e d’un cilindro” - (fr:370) raffigurati su una colonna. Un tema secondario è il riferimento al metodo di analisi, che “parte da una qualche proposizione complessa… e si risale a mano a mano a proposizioni via via più semplici” - (fr:49).

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4 La matematica di Archimede nel contesto greco

Tra rigore teorico e applicazioni pratiche: il metodo e lo stile del Siracusano.

La matematica greca, ereditando dall’Oriente una geometria di carattere strettamente pratico, passa a uno stadio teorico e di precisione, idealizzando gli enti geometrici “(43) - 1 Greci ereditano dall’Oriente una matematica che aveva già avuto sviluppi notevoli in aritme- tica e in algebra, ma che era ferma ad una geometria materializ- zante, di carattere strettamente pratico {regole di misura, soprat- tutto).” “(44) - Nel sendo greco la geometria passa dallo stadio pratico, che può dirsi di approssimazione, a quello teorico, che fu detto di precisione: gli enti geometrici vengono idealizzati, considerati come enti a sé stanti, distaccati da ogni traccia di materia.”. In questo sviluppo, Archimede occupa una posizione centrale, rappresentando un equilibrio caratteristico dello spirito greco: è un matematico di rigore logico e purezza di concezioni pari a Euclide, ma al tempo stesso indirizza la matematica verso le applicazioni pratiche “(75) - Sotto questo riguardo si trova in Archi- mede quell’equilibrio che è caratteristico dello spirito greco: egli è il matematico che per quanto riguarda rigore logico e purezza di concezioni non è secondo di fronte a Euclide, ma al fempo stesso indirizza la sua matematica verso le applicazioni pratiche, pur espungendo queste ultime dalle sue opere, nelle quali sî limita ai presupposti teorici delle applicazioni stesse.”. Tuttavia, quando si parla di applicazioni della matematica nelle sue opere, si tratta di matematica applicata nel senso della meccanica razionale, tenendosi lontano dalle applicazioni pratiche vere e proprie “(70) - Ma quando si parla di appli- cazioni della matematica nelle opere di Archimede, occorre rilevare cu si tratta di matematica applicata nel senso in cui può esser detta tale, ad esempio, la meccanica razionale odierna: Archimede si tiene cioè lontano dalle applicazioni pratiche vere e proprie.”. Questo atteggiamento è coerente con l’indirizzo platonico, che disprezzava le applicazioni pratiche della matematica “(4482) - Archimede terrebbe cioè conto del noto indirizzo di Platone, il quale pose in dispregio ogni applicazione pratica della inafematica, I matematici, secondo Platone, non deblono roltivare la loro scienza în mado bassa e volgare, tenendo soltanto di mira le applicazioni pratiche, ma debbono tenersi nell’ambito della più pura teoria: la matematica deve essere ùrgano che lì conduca alla contemplazione delle Idee.”. Testimonianze, come quella di Plutarco, confermano che Archimede, pur dedicandosi con spirito inventivo alle applicazioni, considerava ignobile occuparsi di meccanica e arti dirette all’uso pratico, riponendo tutta la sua ambizione in speculazioni pure “(4494) - Un confribuio ulteriore alla conoscenza dell’atteggiamento di Archimede di fronte alle applicazioni pratiche, alle quali pure si dedicò con straordinario spirito inventivo, può esser rappre- sentafo da una testimonianza di Plutarco (Vita Marcelli, 17) nella quale è detto: o Nonostante queste invenzioni gli avessero procurato fama di sovrumana sagacità, egli tuttavia non si degnò neppure di lasciare dietro di sé alcuma opera scritta su tali argo- menti, ma, considerando ignobile e sordido l’occuparsi di mec- canica e di ogni specie di arle diretta all’uso pratico e al guada- go, egli ripose tutta la sua ambizione in quelle speculazioni la 392 SULL’EQUILIBRIO DEI PIANI Bellezza c la finezza delle quali non son contaminate da alcuna mescolanza con i comuni bisogni della vita ».”. Di queste applicazioni pratiche non si trova traccia nelle sue opere classiche “(71) - Queste ultime hanno, è vero, occupato variamente il suo ingegno, conformemente a quanto la tradizione ci ha tramandato circa i suoì geniali ritrovati; ma di esse non si trova traccia nelle opere classiche, e sembra che ciò sia stato voluto da Archimede, se vogliamo prestar fede a quantu ci dice Plutarco (Vita di Marcello, 14 € 17).”. Il suo stile espositivo è per iniziati, simile a una memoria moderna per un’accademia scientifica, e non a carattere divulgativo “(4523) - Soccorre a questo punto la considerazione del carattere generale dell’esposizione dî Archimede, Questi non scrive Elementi, cioè non si rivolge a principianti, ma svolge la sua trattazione nello stile in cui un moderno matematico scrive una memoria per un’accademia scientifica: in allre parole scrive per iniziati.” “(6578) - Potrebbe dirsi che, nelle altre sue opere, Archimede usi lo stile che oggi adoprerebbe uno scienziato, il quale redigesse una memoria per la sua Accademia: stile pes iniziati, e non a carattere divulgativo.”. Procede spesso per sommi capi, tralasciando passaggi intermedi e affidandoli tacitamente alla sagacia del lettore “(20) - La sua esposizione potrebbe paragunarsi a quella di un matematico maderno che rediga una serie di memorie per iniziati, In conso- guenza, destinando le sue opere a matematici provetti, Archimede tralascia le minuzie, e assai spesso affida tacitamente al lettore molti notevoli fassaggi che si presentano tutt’altro che facili e immediati, pur se egli affermi assai spesso che la cosa è manifesta (paoeobo) © chiara (Be).” “(6577) - Più volte, nel corso del nostro commento, abbiamo fatto osservare come l’espo- sizione di Archimede proceda spesso per sommi capi, tralasciando i passaggi intermedi, che egli tacitamente affida alla sagacia del lettore, sicché assai spesso egli adopera la locuzione 4 è manife- sto» (pavepév} anche lA dove occorre lavorare non poca fer giun- gere a completare il ragionamento.”. Questo stile è opposto a quello degli Elementi di Euclide, dove non si presuppone alcuna conoscenza precedente “(3659) - Questo indirizza espositivo è quindi del tutto opposto a quella degli Zlzmenti, nei quali non si presuppone alcuna cognizione precedente nel lettore, Nessuna meraviglia, dunque, che Archi- mede non esponga, né qui né altrove, in qual modo i pmblemi di snserziune siuno stati risolti dai predecessori: anche se l’argomento esorbita dal campo degli Elementi Richiamamoa ora l’attenzione del letture sul fatto che nel Dialogo sui massimi sistemi (Giornata IL cir.”. Il rigore è una caratteristica fondamentale: nelle sue opere si trova, ad esempio, la distinzione tra casi di commensurabilità e incommensurabilità nella legge della leva, distinzione di valore teorico ma priva di significato pratico “(73) - Per mostrare (ci si sensi il bisticcia) il carattere alta mente fsorico della matematica apflicata trattata nelle opere di Archimede, ci sembra opportuno citare il caso delle proposizioni 6 e 7 del libro I di Equilibrio dei piani: esse trattano ambedue della legge di equilibrio della leva, ma mentre la prima si riferisce al caso di grandezze (pesi) tra loro commensurabili, la seconda sì riferisce al caso della incommensurabilità: distinzione INTRODUZIONE 15 che se ha un valore teorico non la evidentemente alcun signi ficato pratico.”. Il suo metodo analitico, spesso rivelato indirettamente, viene utilizzato per risolvere problemi che non sono risolubili con riga e compasso, come quelli che richiedono l’inserzione di medi proporzionali “(2038) - L’esposizione così fatta riesce assai utile per noi, sia perché troviamo in tal mula già ricostruito da Arclimede îl metodo da lui impiegata per risolvere questo problema, sia herché il procedimento può servirci come csempio per altri casi analoghi, per ì quali Archimede nom ci abbia «rivelato > la sua anali Va subilo detto che il problema în questione non viene risolto con rette è curchi, ossia con riga e compasso: una tappa essenziale della risoluzione con- siste infatti nell’inserzione di due medi: proporzionali tra due segmenti «afî: doppia inserzione alla quale (come rilevò Ippocrate di Chio nel quinto secolo a. C.} può ridursì il problema della duplicazione del cubo.”. La sua figura domina la storia della matematica e il suo nome è legato alla rinascita della scienza moderna, poiché gli anti-archimedei del Rinascimento ripercorsero le strade da lui aperte “(240) - Effettivamente i cosiddetti anti- archimedei del Rinascimento, cioè coloro che aprirono la strada alla creazione del calcolo infi- nitesimale, ripercursero inconsapevolmente le strade aperte da Archimede stesso: questi, nella sua duplice attività matematica 19, si erge quindi come figura dominante, ed il suo nome è legato alla rinascita della scienza moderna.”. Tuttavia, matematici come Keplero, Galileo, Cavalieri e Torricelli usarono metodi più spregiudicati per il calcolo di aree e volumi, giudicati sfavorevolmente dai seguaci di Archimede per la mancanza del suo rigore “(231) - Già in Keplero, e poi in Galileo, in Cavalieri, in Torricelli, abbiamo l’uso di metodì spregiudicati per il calcolo di aree e volumi: metodi che dai più stretti seguaci di Archimede furono giudicati sfavorevolmente, in quanto privi di quel magnifico rigore che il grande Siracisano aveva instaurato nelle sue opere classiche.”.

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5 Il postulato di Archimede e il suo rapporto con gli Elementi di Euclide

Un’analisi del quinto postulato archimedeo, delle sue diverse interpretazioni e della sua collocazione nell’opera Sulla sfera e il cilindro come continuazione del trattato euclideo.

Il quinto postulato di Archimede, enunciato nel libro I dell’opera Sulla sfera e il cilindro, è fondamentale per la teoria dei rapporti tra grandezze. Archimede lo formula in modo diverso dalla versione moderna: date due grandezze disuguali A e B (con A > B), esiste un multiplo n della loro differenza (A–B) che supera qualunque grandezza C omogenea con A e B: “n (A-B) > C” - (fr:636). Il postulato si riferisce esplicitamente a linee, superficie e solidi. La sua unica applicazione in Sulla sfera e il cilindro è nella proposizione I, 2, dove serve trovare un numero naturale n tale che “n (A-B) > B” - (fr:665). Esistono due principali interpretazioni del testo. Una, comune, legge “qualunque grandezza data” come una terza grandezza C distinta. L’altra, proposta da Czwalina, interpreta che il multiplo debba superare una delle due grandezze originarie, A o B, come nell’applicazione pratica: “n (A-B) > B” - (fr:663). L’interpretazione tradizionale è corroborata dall’uso del termine “limitato” nell’enunciato della Quadratura della parabola. In quell’opera, il postulato sembra riferirsi al caso generale con C diverso da A e B, poiché “dovendo un suo multiplo superare una grandezza finita C, è da escludere che C coincida con A o con B” - (fr:712). Tuttavia, Archimede potrebbe aver voluto limitare il postulato allo strettamente indispensabile, riferendosi a un multiplo della differenza poiché “solo per un tal multiplo viene, in tutt’e tre le opere, applicato il postulato” - (fr:714).

L’opera Sulla sfera e il cilindro è considerata la diretta continuazione degli Elementi di Euclide, trattando gli stessi solidi (cilindri, coni, sfere) che culminano nel libro XII euclideo. Archimede presuppone e utilizza costantemente i risultati di Euclide, inserendo cinque lemmi tratti pressoché fedelmente dal libro XII degli Elementi. Formalmente, “quest’opera di Archimede costituisce anche formalmente la continuazione degli Elementi di Euclide” - (fr:541). Archimede, all’inizio di questa opera, volle ricordare il suo predecessore: la proposizione I, 2 di Archimede corrisponde alla I, 2 di Euclide, dato che “proprio con la seconde proposizione ha inizio presso i due autori, per singolare coincidenza, l’opera vera e propria” - (fr:921). Il postulato di Archimede ha un antecedente in Euclide. Euclide enuncia una condizione analoga nella definizione IV del libro V, fondandovi la dimostrazione della X, Archimede, nel suo quinto postulato, precisa che le grandezze sono linee, superficie o solidi, mentre Euclide non fornisce questa precisazione, lasciandola implicita. Lo Stolz ritiene che il postulato sia senza dubbio di Eudosso di Cnido e verosimile che sia anche anteriore a lui. La cronologia relativa delle opere archimedee è: Quadratura della parabola precede Sulla sfera e il cilindro, che a sua volta precede Sulle spirali. Un tema secondario è la distinzione tra grandezze commensurabili e incommensurabili, una scoperta fondamentale estranea a considerazioni fisiche.

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6 Metodi geometrici di Archimede per superfici e solidi di rotazione

Confronti tra superfici curve e poliedri, figure di rotazione e loro equivalenze.

Nei testi si espongono metodi archimedei per confrontare superfici curve con insiemi di parallelogrammi o triangoli, usando postulati su superfici concave con lo stesso limite. Si studiano cilindri retti, coni, tronchi di cilindro e figure come il rombo solido, definito come l’insieme di due coni con base comune e vertici opposti. Si dimostrano relazioni di maggiore/minore tra superfici laterali di prismi inscritti o circoscritti e quelle di cilindri o coni. Un teorema afferma che un segmento cilindrico tagliato in un prisma è un sesto del prisma. Si introduce l’idea di considerare figure piane e solide come composte da infinite rette o sezioni parallele. Si menzionano conoidi, sferoidi e il confronto delle loro sezioni con ellissi. Si stabilisce l’uguaglianza di coni e cilindri quando le basi sono inversamente proporzionali alle altezze. Si descrivono costruzioni con tronchi di cilindro per approssimare segmenti di sferoidi.

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7 Metodo di esaustione per cerchi, sfere e coni

Costruzioni geometriche con poligoni inscritti e circoscritti per dimostrare rapporti di aree e volumi.

Le proposizioni descrivono un metodo per confrontare aree e superfici di figure curve, principalmente cerchi, sfere, coni e cilindri, mediante l’uso sistematico di poligoni. Il procedimento standard prevede di inscrivere e circoscrivere poligoni regolari a un cerchio o a un settore circolare dato. Un lemma fondamentale assicura che, date due grandezze disuguali E e F (E > F), è sempre possibile costruire tali poligoni in modo che il rapporto tra il poligono circoscritto (P) e quello inscritto (p) sia minore del rapporto E:F: “è possibile inscrivere nel cerchio B un poligono equilatero [] sia minore di quello tra la superficie [S] del cono e il cerchio B [P:$ < S:B]” - (fr:1333). Questo risultato, dichiarato nelle proposizioni I, 3, I, 4, I, 5 e I, 6, è applicato ripetutamente. Lo scopo è dimostrare per assurdo l’uguaglianza tra una grandezza curvilinea (come l’area di un cerchio o la superficie laterale di un cilindro) e un’altra grandezza. Si assume la disuguaglianza (ad esempio, che la superficie S del cilindro sia maggiore del cerchio B) e si usano i poligoni costruiti secondo il lemma per giungere a una contraddizione. Ad esempio, per il cilindro, si costruisce un prisma circoscritto la cui superficie laterale equivale al poligono P’ circoscritto al cerchio di base A, simile al poligono P circoscritto al cerchio B. Dalle proporzioni si deduce una relazione impossibile, dimostrando che non può essere S > B. Un ragionamento analogo esclude S < B, per cui deve essere S = B: “È dunque impossibile che sia B < S. Similmente si dimostra che non può neppure essere B > S e si conclude che è: B = S” - (fr:1291). Il metodo si estende al confronto tra superfici di coni e cerchi, e tra aree di cerchi e poligoni. Viene applicato anche a solidi di rotazione generati facendo ruotare poligoni attorno a un diametro, producendo figure delimitate da superfici coniche. In questi casi, si dimostra che il rapporto tra la figura circoscritta e quella inscritta è il duplicato o il triplicato del rapporto tra i lati dei poligoni generatori: “la figura circoscritta, più il cono avente come vertice il punto C, ha rispetto alla [figura] inscritta più il cono, rapporto triplicato di quello che il lato del poligono circoscritto ha rispetto al lato dell’inscritto” - (fr:2009). Un tema secondario è la misura del cerchio mediante poligoni inscritti, come l’affermazione che il perimetro di un poligono inscritto è minore della circonferenza.

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8 La determinazione di superfici e volumi di solidi di rotazione nella sfera

Equivalenze tra superfici coniche, tronchi di cono, segmenti sferici e cerchi.

Le proposizioni trattano relazioni di equivalenza tra superfici e volumi di figure solide generate dalla rotazione di figure piane, con particolare riferimento alla sfera. Le dimostrazioni stabiliscono che la superficie laterale di un cono è uguale a un cerchio il cui raggio è medio proporzionale tra il lato del cono e il raggio di base “la superficie laterale di un cono è equivalente ad un cerchio avente il raggio medio proporzionale tra il lato del cono e il raggio di base” - (fr:1622). Questo risultato è applicato per determinare la superficie del tronco di cono. Un principio analogo è usato per il cilindro: “la superficie del cilindro, eccetto le basi, si dimostra essere uguale al cerchio, il raggio del quale è medio proporzionale tra il lato del cilindro e il diametro della base” - (fr:1841). Per la sfera, è stabilito che la sua superficie totale è quadrupla del suo circolo massimo “la superficie di qualunque sfera è quadrupla del circolo massimo della sfera” - (fr:2020). La superficie di un segmento sferico è uguale a un cerchio il cui raggio è uguale alla retta condotta dal vertice del segmento alla circonferenza della base “alla superficie di qualunque segmento sferico è uguale il cerchio, il raggio del quale è uguale al [segmento della] retta condotta dal vertice del segmento sulla circonferenza della base” - (fr:2020). Per i volumi, la sfera è quadrupla del cono avente per base il circolo massimo e per altezza il raggio “qualunque sfera è quadrupla del cono avente la base uguale al circolo massimo della sfera e l’altezza uguale al raggio della sfera” - (fr:6835). Il cilindro circoscritto alla sfera ha volume una volta e mezzo quello della sfera “il cilindro avente per base il cerchio massimo della sfera e l’altezza uguale al diametro della sfera, è […] una volta e mezza la grandezza della sfera” - (fr:2020). Un segmento sferico è uguale a un cono con la stessa base e altezza definita da una proporzione che coinvolge il raggio della sfera e l’altezza del segmento complementare “Qualunque segmento sferico è uguale al cono avente base uguale a quella del segmento, e per altezza la retta che rispetto all’altezza del segmento ha lo stesso rapporto che il raggio della sfera e l’altezza del rimanente segmento hanno rispetto all’altezza del rimanente segmento” - (fr:2098). Le dimostrazioni procedono spesso scomponendo solidi complessi, come figure inscritte o circoscritte alla sfera formate da superfici coniche, in somme di coni o tronchi di cono di volume noto, per poi stabilire equivalenze con coni aventi basi uguali alle superfici di tali figure e altezze specifiche.

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9 Rapporti e proporzioni in geometria solida classica

Teoremi di confronto tra figure piane e solide per similitudine, rotazione e sezione.

I testi trattano relazioni proporzionali tra figure geometriche, in particolare il confronto di aree e volumi di figure simili o generate per rotazione. Le aree di figure piane simili stanno tra loro come i quadrati dei lati omologhi: “I triangoli simili stanno tra loro in rapporto duplicato dei lati omologhi” - (fr:5739). Questo principio, espresso da Euclide, si estende ai cerchi, che stanno tra loro come i quadrati dei diametri. Per i solidi, i volumi di figure simili stanno tra loro come i cubi degli elementi lineari omologhi: “le sfere stanno tra loro come i cubi dei diametri” - (fr:536). Archimede applica questi teoremi a solidi di rotazione, conoidi e sferoidi. Per le figure di rotazione generate da poligoni, “le superficie di rotazione… stanno tra loro in ragione duplicata dei lati” mentre “i dus solidi… stanno tra loro in ragione triplicata dei lati” - (fr:1737). Segmenti simili di conoidi e sferoidi hanno volumi in rapporto triplicato degli assi. Il metodo di esaustione, basato su lemma simili, è usato per dimostrare rapporti tra volumi di piramidi, coni e cilindri. Vengono anche esaminati centri di gravità di poligoni e segmenti parabolici, dove le distanze dai diametri sono proporzionali. Un tema secondario è l’applicazione di questi rapporti al moto uniforme, dove gli spazi percorsi stanno tra loro come i quadrati dei tempi.

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10 La determinazione di segmenti sferici in Archimede

Problemi di costruzione, equivalenza e proporzione tra segmenti di sfera.

L’argomento tratta problemi geometrici relativi alla sfera e ai suoi segmenti, come presentati in un testo di matematica antica, verosimilmente di Archimede. Le frasi descrivono procedimenti analitici e sintetici per costruire, dividere o confrontare segmenti sferici secondo condizioni date. Un tema centrale è la costruzione di un segmento sferico che sia simile a uno dato e abbia la superficie uguale a quella di un altro segmento dato: “Dati due segmenti sferici, sia della stessa (sfera) sia non [della stessa sfera], trovare un segmento sferico che sia simile ad uno dei [segmenti] dati e che abbia la superficie uguale alla superficie dell’altro segmento” - (fr:2263). Le proposizioni illustrano metodi che coinvolgono piani di sezione, proporzioni tra linee e superfici, e l’uso di coni ausiliari. Un risultato fondamentale citato è che la superficie di un segmento sferico è uguale a quella di un cerchio il cui raggio è una specifica corda: “E il cerchio avente per raggio la EF è uguale alla superficie del segmento [sferico] DEF, e il cerchio il raggio del quale è uguale alla LM è uguale alla superficie del segmento [sferico] KLM: ciò infatti è stato dimostrato nel primo [libro]” - (fr:2289). Viene menzionato il metodo di esaustione di Eudosso. Temi secondari includono il calcolo del centro di gravità di un segmento sferico e problemi su solidi di rotazione come sferoidi e conoidi.

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11 Misura del diametro apparente del Sole e proprietà geometriche di tangenti e sezioni

Procedure geometriche per la determinazione degli angoli e confronti tra superfici di solidi.

Le frasi descrivono un metodo sperimentale e geometrico per misurare l’angolo sotteso dal Sole, ovvero il suo diametro apparente. “si dirige il regolo verso il Sole, e si pone l’occhio all’estremità del regolo: il cilindro, poi, posto tra l’occhio e il Sole, nasconde il Sole” - (fr:5339). L’apparato utilizza un cilindro su un regolo per occultare il disco solare, permettendo di dedurre che l’angolo visuale è “minore della centosessantaquattresima parte dell’angolo retto e maggiore della duecentesima parte” - (fr:5346). Il calcolo tiene conto del fatto che “gli occhi non vedono da un solo punto, ma da una certa grandezza” - (fr:5342). Un tema secondario ricorrente è lo studio delle proprietà delle superfici di solidi di rotazione (cono, cilindro, sferoide) in relazione a rette tangenti. Viene affermato, ad esempio, che “i parallelogrammi compresi dalle rette tangenti e dai lati del cilindro sono, presi insieme, maggiori della [parte di] superficie del cilindro” - (fr:1233). Le dimostrazioni impiegano spesso la costruzione di rette tangenti a cerchi o sezioni coniche, la divisione di angoli e archi in parti uguali, e il tracciato di rette parallele.

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12 Figure conoidali e sferoidali nella geometria solida di Archimede

Definizioni, proprietà delle sezioni e calcolo dei rapporti volumetrici mediante il metodo meccanico.

Le frasi trattano le proprietà geometriche e volumetriche delle figure solide di rotazione generate da sezioni coniche, definite da Archimede come conoidi e sferoidi. Vengono distinti tre tipi di conoide: il conoide rettangolo o paraboloide di rotazione, generato dalla rotazione di una parabola attorno al suo diametro; il conoide ottusangolo o iperboloide di rotazione, generato dalla rotazione di un’iperbole; e gli sferoidi o ellissoidi di rotazione, generati dalla rotazione di un’ellisse. Per ciascuna figura si forniscono le definizioni di asse, vertice e base di un segmento ottenuto sezionando la figura con un piano. “Sul conoide rettangolo si erano supposte le cose [seguenti]; Se una sezione di cono rettangolo [= parabola], restando fermo il diametro, compie un giro completo tornando nella posizione dalla quale s’è mossa, la figura compresa dalla parabola sì chiama conoide rettangolo [= paraboloide di rotazione]” - (fr:2657). “Sul conoide ottusangolo [= iperboloide di rotazione] supponiamo le cose [seguenti]: se in un piano sono una sezione di cono ottusangolo (= iperbole], un suo diametro e le rette che maggiormente si avvicinano all’iperbole [= asintoti] e restando fermo il diametro il piano nel quale sono le linee suddette compie un giro completo tornando alla posizione di partenza, gli asintoti dell’iperbole comprenderanno un cono isoscele… La figura compresa dall’iperbole si chiama conoide ottusangolo [= iperboloide di rotazione)” - (fr:2664). “Se una [qualunque] delle due figure sferoidali [= ellissoide, allungato o appiattito] viene tagliata da un piano per l’asse o parallelo all’asse, la sezione sarà una ellisse: la stessa che comprende [= genera] la figura se [il piano è condotto] per l’asse” - (fr:2991). Viene studiata la natura delle sezioni piane ottenute tagliando queste figure con piani in diverse posizioni rispetto all’asse. Un piano condotto per l’asse genera sempre la stessa sezione conica che ha prodotto la figura per rotazione. Piani paralleli all’asse generano sezioni simili a quella originaria per i conoidi e gli sferoidi. Piani non paralleli e non perpendicolari all’asse generano ellissi. “Se il conoide ottusangolo [= iperboloide di rotazione] è tagliato da un piano per l’asse o parallelo all’asse o per il vertice del cono comprendente il conoide [= cono asintotico], la sezione sarà una iperbole… se poi [il piano è condotto] parallelo all’asse [la sezione sarà] simile alla stessa” - (fr:2989). “Se un conoide rettangolo [= paraboloide di rotazione] è tagliato da un piano che non sia per l’asse, né [sia] parallelo all’asse, né perpendicolare all’asse, la sezione sarà una ellisse” - (fr:2995). “Se un conoide ottusangolo [= iperboloide di rotazione] viene tagliato da un piano che incontra tutti i lati [= generatrici] del cono comprendente il conoide [= cono asintotico] ma che non è perpendicolare all’asse, la sezione sarà una ellisse” - (fr:3029). Vengono introdotti i concetti di piano tangente e di segmento staccato da un piano parallelo al tangente, con le relative definizioni di vertice, asse e base. “E se un piano è tangente ad una figura conoidale rettangola, e se un altro piano condotto parallelamente al piano tangente taglia un segmento del conoide, si chiama base del segmento tagliato il piano [= la parte di piano] compreso dalla [curva] sezione del conoide nel piano secante, mentre si chiama vertice il punto nel quale l’altro piano tocca il conoide, e asse [si chiama] la parte di retta condotta per il vertice parallelamente all’asse del conoide, e compresa entro il segmento [del conoide]” - (fr:2658). L’argomento centrale è la determinazione del rapporto tra volumi di segmenti di queste figure e volumi di coni o cilindri di riferimento, utilizzando il metodo meccanico della leva e dell’equilibrio. Le proposizioni dimostrano che tali rapporti dipendono dai quadrati degli assi o da somme di segmenti. “Se da un conoide rettangolo vengono staccati due segmenti con piani comunque condotti, i segmenti avranno tra loro lo stesso rapporto dei quadrati dei loro assi” - (fr:3328). “Qualunque segmento di conoide ottusangolo [generato] tagliando con un piano perpendicolare all’asse, rispetto al cono avente la stessa base del segmento e altezza uguale, ha lo stesso rapporto che la somma dell’asse del segmento e del triplo della [retta] aggiunta all’asse ha rispetto alla somma dell’asse e del doppio della {retta} aggiunta all’asse” - (fr:3337). “Similmente con lo stesso metodo si vede che qualunque segmento di sferoide tagliato da un piano perpendicolare [all’asse] ha, rispetto al cono avente la stessa base del segmento e lo stesso asse, lo stesso rapporto che hanno la metà dell’asse dello sferoide più la metà dell’asse del segmento opposto rispetto all’asse del Segmento opposto” - (fr:7125). Il metodo meccanico viene applicato sistematicamente: si immagina una leva, si sospendono le figure in punti appropriati e si confrontano i momenti per dedurre uguaglianze tra volumi. “Si applica durante il suo svolgimento la proprietà della parabola rettangolo… e si immagini una leva, la DX, il [punto di] mezzo della quale [sia] il [punto] A… e si immagini un cono… e sia anche un cilindro… si conduca per la MN un piano perpendicolare alla A” - (fr:6976). “Sia una sfera, e si divida con un piano per il centro… si prolunghi la CA e si ponga AH uguale alla CA, si immagini [che] la Z7C [sia] una leva, il [punto di] mezzo della quale sia il punto A” - (fr:7036). Vengono anche trattati casi specifici per i segmenti sferici e per figure inscritte e circoscritte. “Dato un segmento di uno qualunque dei due conoidi [rettangolo o ottusangolo] staccato con un piano non perpendicolare all’asse, o [dato un segmento] di uno qualunque dei due sferoidi [allungato o appiattito] non maggiore della metà dello [intera] sferoide, similmente staccato [con un piano non perpendicolare all’asse), è possibile inscrivere nel segmento una figura solida e circoscriverne un’altra, formate da tronchi di cilindro aventi uguale altezza” - (fr:3182).

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13 Metodo di esaustione per figure solide e piane

Procedure geometriche per inscrivere e circoscrivere figure a curve e solidi di rotazione.

Le frasi descrivono un metodo geometrico per approssimare aree e volumi mediante figure inscritte e circoscritte. La tecnica principale consiste nell’inscrivere e circoscrivere al segmento di una figura solida (conoide, sferoide) o a un’area piana (spirale) due figure composte rispettivamente da cilindri, tronchi di cilindro o settori circolari, aventi uguale altezza o angoli uguali. Le figure vengono costruite in modo che la differenza tra quella circoscritta e quella inscritta sia minore di una qualsiasi grandezza prefissata, come affermato in “è possibile inscrivere [nel conoide o nello sferoide] una figura solida, e circoscriverne un’altra, composta da cilindri aventi uguale altezza, in modo che la figura circoscritta superi quella inscritta per meno di qualunque grandezza solida prefissata” - (fr:3153). Questo permette di dimostrare per assurdo l’uguaglianza tra aree o volumi, mostrando che una figura non può essere né maggiore né minore di un’altra. Ad esempio, si usa per confrontare un segmento di conoide con un cono X: “si inscriva quindi una figura solida nel segmento e si circoscriva [ad esso] un’altra [figura solida]… in modo che la figura circoscritta superi la figura inscritta per meno di quanto il segmento di conoide supera il cono X” - (fr:3256). Le dimostrazioni si basano sul confronto dei rapporti tra elementi corrispondenti delle figure, come cilindri e quadrati o aree. Il metodo è applicato anche a figure piane, come l’area di una spirale, circondandola con settori circolari: “È dunque possibile, alla superficie compresa dalla spirale ABCDEH e dalla retta AH circoscrivere una figura piana, composta da settori circolari simili” - (fr:4319). Un tema secondario è il calcolo di rapporti specifici, come il rapporto triplicato tra lati di poligoni o figure solide.

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14 Proprietà di somme di quadrati e figure simili in progressioni lineari

Confronti tra somme di figure geometriche costruite su grandezze in progressione aritmetica e su grandezze costanti.

Le frasi trattano dimostrazioni geometriche che confrontano somme di aree – principalmente quadrati, rettangoli, cerchi e settori – costruite su insiemi di linee. Un insieme è costituito da linee in progressione aritmetica, dove ciascuna supera la successiva di una quantità costante uguale alla linea minore. L’altro insieme è costituito da un ugual numero di linee, tutte uguali alla linea maggiore del primo insieme. Viene stabilita una relazione generale: la somma delle figure (come quadrati o settori simili) costruite sulle linee costanti sta alla somma delle figure costruite sulle linee in progressione (eccettuata la figura sulla linea minore o maggiore) in un rapporto che è limitato. Questo rapporto è minore (o maggiore, a seconda dei casi) del rapporto che il quadrato della linea maggiore ha rispetto alla somma del rettangolo compreso tra la linea maggiore e quella minore e di un terzo del quadrato della loro differenza. “la somma dei quadrati delle linee uguali alla maggiore, rispetto alla somma dei quadrati delle linee che si superano di uguale quantità, eccettuata la minore, ha rapporto minore di quello che il quadrato della linea maggiore ha rispetto alla somma del rettangolo compreso dalla maggiore e dalla minore delle linee e della terza parte del quadrato dell’eccesso della maggiore linea sulla minore” - (fr:3854). I risultati sono applicati a diverse figure: settori di cerchio e di spirale, cilindri e aree composte. Un tema secondario è la scomposizione di aree e volumi in somme di altre figure, come la dimostrazione che un cerchio è uguale alla somma di altri cerchi tramite l’uguaglianza dei quadrati dei loro raggi. “il quadrato del raggio del cerchio L è uguale alla somma dei quadrati dei raggi dei cerchi K, H, cosicché anche il cerchio L è uguale alla somma dei cerchi K, H” - (fr:1380). Le dimostrazioni fanno frequente riferimento a proposizioni di opere come Spirali e Elementi di Euclide.

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15 Le proprietà delle proporzioni e delle progressioni nella geometria greca

Trattazioni e dimostrazioni sulle relazioni proporzionali, sulle progressioni e sulle loro applicazioni in geometria.

Il testo tratta principalmente delle proprietà e delle manipolazioni delle proporzioni e delle progressioni, in particolare in contesto geometrico. Viene esaminata la formazione di una proporzione continuata a partire dai termini di una progressione geometrica: “una proporzione continuata sia un insieme di proporzioni continue nelle quali i rapporti son tutti uguali” - (fr:5444). Si descrive come, partendo da una progressione geometrica di ragione g, si possa formare tale proporzione. Il processo dimostrativo spesso procede per composizione, permutazione e confronto di proporzioni date, come nell’operazione per cui da a:b=c:d e a:e=c:g si deve dimostrare (a+b):(e+f) = (c+d):(g+h) - (fr:2714). Un lemma frequente è che da due proporzioni se ne può ricavare una terza, in una “composizione di rapporti (equivalente alla moltiplicazione membro a membro di due particolari proporzioni)” - (fr:5803). Viene citato ripetutamente l’uso di proposizioni euclidee (come V, 12, V, 24, VI, 4) per giustificare operazioni sulle proporzioni, ad esempio per sommare i termini corrispondenti di più proporzioni. Un tema secondario ma rilevante è l’applicazione di queste relazioni a problemi geometrici specifici, come la quadratura della parabola, dove “la somma di tutte le grandezze in progressione geometrica di ragione 1/4 più la terza parte” è calcolata - (fr:6157), o l’inserzione di medi proporzionali e aritmetici. Il metodo dimostrativo spesso si riduce alla verifica di identità o disuguaglianze aritmetiche, come quando un teorema “si riduce alla verifica di una identità aritmetica” - (fr:3781). Archimede è l’autore di riferimento principale; il testo ne commenta lo stile, notando che a volte “non fornisce la dimostrazione” di alcune relazioni, lasciandole al lettore - (fr:1827), e ne analizza il procedimento in opere come Sfera e cilindro. Vengono inoltre affrontati argomenti collegati come le proprietà dei centri di gravità, l’equilibrio delle leve e il calcolo di aree e volumi, sempre ancorati a manipolazioni proporzionali.

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16 La spirale di Archimede

Proprietà geometriche e aree delle spirali in rotazioni successive.

Le proposizioni definiscono una spirale generata da un punto che si muove con moto uniforme lungo una retta che ruota con velocità costante attorno a un estremo fisso. “Se si traccia nel piano una linea retta, ed essa, fermo restando uno dei suoi estremi, vien fatta rotare con velocità costante… e se al tempo stesso sulla linea rotante si trasporta un punto con moto uniforme cominciando dall’estremo che resta fermo, il punto descriverà nel piano una spirale” - (fr:3946). Vengono studiate le proprietà delle tangenti a questa curva: se una retta è tangente alla spirale nel suo termine finale e dal centro si conduce la perpendicolare alla posizione iniziale della retta rotante, il segmento intercettato sulla tangente è uguale alla circonferenza del cerchio corrispondente alla rotazione. “dico che la retta condotta [alla tangente] è uguale alla circonferenza del cerchio” - (fr:3540). Questo risultato viene generalizzato per tangenti in punti qualsiasi e per spirali descritte in un numero qualsiasi di rotazioni. Un tema centrale è il calcolo delle aree. L’area racchiusa dalla spirale nella prima rotazione completa e dal segmento corrispondente è un terzo dell’area del primo cerchio. “l’area compresa tra la spirale e la retta che è tornata nella posizione dalla quale si è mossa, è la terza parte del cerchio descritto” - (fr:3539). Per le rotazioni successive, le aree sono multiple dell’area della seconda rotazione: l’area della terza rotazione è doppia di quella della seconda, la quarta è tripla e così via, mentre l’area della prima rotazione è un sesto di quella della seconda. “l’area descritta nella terza rotazione è doppia dell’area descritta nella seconda rotazione… mentre l’area descritta nella prima rotazione è la sesta parte di quella descritta nella seconda rotazione” - (fr:3541). Vengono anche calcolati i rapporti tra aree di segmenti spiralici e settori circolari, espressi attraverso i raggi vettori. “l’area compresa… ha lo stesso rapporto che il raggio del cerchio minore più due terzi dell’eccesso di cui il raggio del cerchio maggiore supera il raggio del cerchio minore ha rispetto al raggio del cerchio minore più un terzo dell’eccesso suddetto” - (fr:3542). Le dimostrazioni si basano sul principio che i raggi vettori stanno tra loro come gli archi di cerchio descritti dall’estremo della retta rotante. “due raggi vettori… stanno tra loro come i rispettivi archi di circonferenza percorsi dall’estremo della retta rotante” - (fr:4114). Il testo include anche proposizioni ausiliarie sulla possibilità di condurre determinate linee da un centro a corde o tangenti di un cerchio, con rapporti specifici. “Dato un cerchio, e data nel cerchio una corda minore del diametro, è possibile condurre dal centro del cerchio alla circonferenza una retta che tagli la corda data” - (fr:3675).

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17 Il centro di gravità e l’equilibrio delle figure piane e solide

Determinazioni geometriche e meccaniche secondo il metodo di Archimede.

Il testo tratta del centro di gravità delle figure geometriche e delle condizioni di equilibrio. Viene stabilita la posizione del centro di gravità per figure composte da più grandezze, come quando i loro centri giacciono su una stessa retta e le grandezze sono disposte simmetricamente: “il centro di gravità della grandezza composta dall’insieme di tutte le grandezze sarà il punto medio della retta congiungente i centri di gravità” - (fr:4659). Si esamina il caso in cui da una grandezza si sottrae una parte: “il centro di gravità della grandezza restante è sulla retta congiungente i centri di gravità dell’intera [grandezza] e della [grandezza] sottratta” - (fr:6740). Il principio fondamentale dell’equilibrio è che “pesi uguali [sospesi] a distanze uguali si facciano equilibrio; che pesi uguali [sospesi] a distanze disuguali non si facciano equilibrio” - (fr:4563). Il metodo applicato utilizza spesso un procedimento di riempimento con sezioni (cerchi, parallelogrammi) e il trasporto di queste sezioni su una leva con fulcro in un punto fisso, per dimostrare rapporti di equilibrio tra solidi. Ad esempio, “il cilindro, restando dov’è, farà equilibrio intorno al punto A [come fulcro] allo sferoide e al cono trasportati e collocati sulla leva nel [punto] H” - (fr:6959). Questo permette di determinare rapporti tra volumi, come tra cilindro, sfera e cono. Il testo si occupa anche del centro di gravità di segmenti parabolici e di conoidi rettangoli, stabilendone la posizione lungo il diametro. Viene citato e applicato il lemma euclideo per cui, sottraendo ripetutamente da una grandezza una parte maggiore della sua metà, si ottiene una grandezza residua minore di qualsiasi grandezza assegnata.

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18 Il calcolo dei granelli di sabbia nell’universo secondo Archimede

Un trattato sulla numerazione per misurare l’incommensurabile.

Il testo espone il metodo di Archimede per calcolare un limite superiore al numero di granelli di sabbia che potrebbero riempire l’universo. Per gestire numeri estremamente grandi, viene introdotto un sistema di denominazione basato su progressioni geometriche di ragione I numeri sono organizzati in periodi e ottadi, con nomi come “primi”, “secondi”, “terzi”, che corrispondono a potenze successive di dieci. “Denominati così questi [numeri], se dei numeri son posti in proporzione continuata a partire dall’unità” - (fr:5428). Il procedimento parte da stime sul numero di granelli in un seme di papavero e sul diametro di un dito. “se si raccoglie una quantità di sabbia non maggiore di un seme di papavero, il numero [dei granelli] non sia maggiore di diecimila, e il diametro del {seme di] papavero non sia minore di un quarantesimo di dito” - (fr:5398). Applicando la regola per cui il prodotto di termini in una progressione occupa un posto dato dalla somma delle loro posizioni meno uno, Archimede calcola progressivamente il numero massimo di granelli in sfere di diametro crescente: 100 dita, uno stadio, 100 stadi, 000 stadi, fino a una miriade di stadi. “Se dunque si formasse con [granelli di] sabbia una sfera di tale grandezza quanta è la sfera avente il diametro di cento miriadi di stadi, è chiaro che il numero [dei granelli] di sabbia sarebbe minore del prodotto ottenuto moltiplicando dieci unità dei numeri «quinti» per cento miriadi” - (fr:5541). Il culmine del calcolo riguarda due modelli cosmologici. Per il cosmo tradizionale, il cui diametro è considerato minore di cento miriadi di miriadi di stadi, si dimostra che il numero di granelli è minore di “mille unità dei numeri settimi”. “Dunque è stato dimostrato che la quantità [di granelli] di sabbia avente grandezza uguale a quello che la maggior parte degli astronomi ritiene essere il cosmo, è minore di mille unità dei numeri «settimi»” - (fr:5559). Per il modello eliocentrico di Aristarco di Samo, che presuppone una sfera delle stelle fisse molto più grande, si dimostra che il numero è minore di “mille miriadi dei numeri ottavi”. “e verrà dimostrato anche che la quantità [dei granelli) di sabbia avente la grandezza di una sfera tale, quale Aristarco suppone sia la sfera delle stelle fisse è minore di mille miriadi dei numeri a ottavi” - (fr:5559). Il testo include anche un riferimento al problema dei buoi del Sole, un problema aritmetico separato. “Nelle pianure della Sicilia pascolano i buoi del Sole, divisi in quattro gruppi a seconda del colore: bianchi, neri, fulvi e screziati” - (fr:7322).

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19 Quadratura della parabola

Determinazione dell’area di un segmento parabolico mediante il metodo di esaustione e il principio della leva.

Il testo tratta della dimostrazione archimedea della quadratura della parabola, ovvero della determinazione dell’area di un segmento parabolico. Il metodo principale impiegato è quello di esaustione, che confronta l’area del segmento con quella di poligoni inscritti (e a volte circoscritti) di area nota, per dimostrare che il segmento è uguale ai quattro terzi del triangolo avente la stessa base e la stessa altezza: “dunque anche il segmento [parabolico] ADBEC è [uguale ai] quattro terzi del triangolo ABC” - (fr:6208). Una dimostrazione alternativa utilizza il principio meccanico della leva e dell’equilibrio dei pesi: “si stabilisce una doppia limitazione per un’area generica F soddisfacente a determinate condizioni di equilibrio su una leva, alla quale è sospeso in determinato modo anche un triangolo” - (fr:5850). Il procedimento di esaustione si basa sull’inscrizione di una serie di triangoli nel segmento. Si dimostra che, inscrivendo un triangolo di base uguale a quella del segmento e di uguale altezza, e poi procedendo a inscrivere triangoli nei segmenti residui, il triangolo iniziale è ottuplo di ciascuno dei triangoli inscritti nei residui: “il triangolo inscritto nell’intero segmento sarà ottuplo di ciascuno dei triangoli inscritti nei segmenti residui” - (fr:6107). Si giunge così a una doppia disuguaglianza, mostrando che l’area del segmento non può essere né maggiore né minore dei quattro terzi del triangolo, e quindi deve essere uguale ad essa. Il testo include anche il confronto tra aree di poligoni e di trapezi, definiti “maggiori” e “minori” rispetto alle corrispondenti parti del segmento parabolico, per stabilire limitazioni: “il triangolo BCD è maggiore del triplo [della somma] dei trapezi… e minore del triplo [della somma] delle [aree] prima nominate” - (fr:5985). Viene menzionata l’estensione del risultato al caso in cui la base del segmento non sia perpendicolare al diametro della parabola. Un tema secondario, trattato in alcune frasi, è il confronto tra superfici coniche o cilindriche e triangoli o parallelogrammi, utilizzato come lemma preparatorio in contesti dimostrativi simili: “la superficie conica limitata da AD, DE aumentata del segmento circolare… è maggiore del triangolo ADE” - (fr:1120).

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20 Il principio di Archimede e la stabilità dei corpi galleggianti

Trattato idrostatico sulle condizioni di equilibrio e immersione dei solidi in un fluido.

Il testo stabilisce che un solido immerso in un liquido riceve una spinta verso l’alto uguale al peso del liquido spostato: “Per il a principio di Archimede» il solido riceve une spinta verso l’alta uguale al peso del liquido spostato” - (fr:6275). Se il solido è più pesante del liquido, affonda. Se ha lo stesso peso specifico, resta in equilibrio ovunque immerso: “tutte le parti del liquido ugualmente situate sono similmente premute, per il fatto che sono di ugual peso [specifico] il solido e il liquido” - (fr:6311). Se è più leggero, galleggia. In questo caso, il peso dell’intero solido sta al peso di un ugual volume di liquido come il volume della parte immersa sta al volume totale: “Se un corpo solido più leggiero del liquido viene abbandonato nel liquido, il peso dell’intero solido sta al peso del liquido che occupa lo stesso volume (dell’intero solido) come il volume A della parle immersa (del solido) sia al volume A +B dell’intero solido” - (fr:6279). Una grandezza solida più leggera del liquido, abbandonata in esso, “si immerge in modo che un tale volume del liquido quale è quello della parte immersa, abbia lo stesso peso dell’intera grandezza solida” - (fr:6324). Un corpo più leggero immerso a forza viene respinto verso l’alto con una forza pari alla differenza tra il peso del liquido spostato e il suo peso: “I corpi solidi più leggieri del liquido, introdotti a forza nel liquido, vengono rinviati verso l’alto con una forza tale quale è la differenza di cui il peso del liquido che ha lo stesso volume della grandezza [solida] supera il peso della grandezza [solida stessa]” - (fr:6331). Il trattato analizza estesamente le condizioni di stabilità per solidi di forma geometrica specifica, come segmenti di conoide rettangolo (paraboloide) o segmenti sferici. Per questi corpi, l’equilibrio stabile si ha quando l’asse della figura è verticale. Vengono determinate condizioni precise sulle proporzioni dell’asse rispetto a un parametro e sul peso specifico affinché il corpo, se posto inclinato, non resti in quella posizione ma ritorni diritto: “Il segmento retto del conoide rettangolo, se è più leggiero del liquido ed ha l’asse maggiore [di quel che dovrebbe essere] perché avesse rispetto al parametro il rapporto che ha 15 rispetto a 4, se viene abbandonato nel liquido in modo che la sua base non tocchi il liquido, si stabilirà a verticalmente o inclinato” - (fr:6512). Se l’asse non supera una volta e mezzo il parametro, il corpo, qualunque sia il suo peso specifico, se messo inclinato non vi resta ma si dispone diritto.

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