Archimede - Opere UTET 1974 | A

20 Feb, 2026

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1 Archimede: opere, edizioni e ricezione critica

Testi, traduzioni e commenti delle opere archimedee dal Rinascimento al Novecento.

Il corpus delle opere di Archimede è giunto attraverso manoscritti, edizioni critiche e traduzioni. L’edizione critica di riferimento è quella di I. L. Heiberg per la Bibliotheca Teubneriana “Archimedis opera omnia”. Heiberg confrontò i nuovi brani scoperti con i testi già pubblicati, dichiarando di volerli utilizzare “per una prossima edizione” - (fr:6554). Un ritrovamento di grande importanza fu quello di un manoscritto contenente il testo greco quasi completo dei Galleggianti, opera della quale fino al 1906 si possedeva solo la traduzione latina di Guglielmo di Moerbeke - (fr:6554). Precedentemente, una parte notevole del codice era stata tradotta in latino già nel 1260 dallo stesso Moerbeke, versione che per i Galleggianti fu l’unico testo posseduto fino alla scoperta del manoscritto greco - (fr:389). Una nuova traduzione latina venne compiuta da Jacopo da Cremona nel 1450 per ordine di papa Nicolò V - (fr:390). Una copia di questa traduzione, con variazioni attinte a un altro codice, fu portata in Germania da Regiomontano e utilizzata per preparare l’editio princeps - (fr:390). Un’edizione precedente, tipograficamente splendida, apparve a Oxford nel 1792, preparata dal filologo Giuseppe Torelli, contenente testo greco e traduzione latina - (fr:409). L’ordine delle opere proposto da Torelli, fondato su dati obiettivi, fu abbracciato anche da Heiberg, Loria e Heath - (fr:442). Seguirono numerose traduzioni in lingue moderne: tedesche di K. F. Hauber e J. J. I. Hoffmann, francese di F. Peyrard - (fr:411). Una traduzione francese fedelissima, con ampi commenti, è quella di Paul Ver Eecke - (fr:420). E. J. Dijksterhuis fornisce un’ampia introduzione e una traduzione antologica con simboli speciali - (fr:426). Esistono anche traduzioni parziali in italiano citate da Antonio Favaro - (fr:432). Un volume in latino di Heiberg offre commenti su punti particolari, soprattutto filologici, ed è complemento alla sua edizione critica - (fr:496). La scoperta del Metodo fu accompagnata da una esatta traduzione tedesca di Heiberg e da un commento di H. G. Zeuthen - (fr:6546) (fr:6547). Un volume contiene la traduzione italiana del Metodo con vasti commenti di Enrico Rufini - (fr:428). Lo stile di Archimede non è elementare ma si rivolge a iniziati, come un matematico moderno che scrive una memoria per un’accademia scientifica - (fr:4523). La sua esposizione tralascia passaggi non facili, affidandoli tacitamente al lettore, e spesso afferma che la cosa è manifesta - (fr:20). In alcuni casi il testo di una proposizione è incompleto, forse perché il testo originale non è giunto integro o per la trascuratezza di Archimede verso le esigenze del comune lettore - (fr:4730). Dallo stile di un’opera si ricava l’impressione che sia un estratto da un’opera più completa andata perduta - (fr:2463). Archimede mostra un equilibrio tra rigore logico e applicazioni pratiche, pur espungendo queste ultime dalle sue opere classiche - (fr:75). Plutarco testimonia che Archimede considerava ignobile occuparsi di meccanica per l’uso pratico e riponeva la sua ambizione in speculazioni pure - (fr:4494). Il Metodo instaura procedimenti che gettano le basi del moderno calcolo infinitesimale - (fr:131). I matematici greci dovettero accorgersi della mancanza di rigore nelle prime considerazioni sull’infinito, messa in evidenza dai paradossi - (fr:84). Il termine per la ‘somma’ è assente nella letteratura matematica greca; il matematico greco mantiene l’individualità di ciascun addendo - (fr:6650). Galileo, in un periodo di sviluppo della matematica, rappresenta il momento della ricerca liberamente spregiudicata che precede la rigorosa dimostrazione - (fr:6665).

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2 Il metodo di Archimede tra scoperta e dimostrazione

Analisi e sintesi nelle opere geometriche di Archimede.

Il testo esamina il metodo scientifico di Archimede, distinguendo tra il momento della scoperta e quello della dimostrazione rigorosa. Archimede spesso giungeva ai risultati per via intuitiva o meccanica, come nel Metodo, opera che fornisce deduzioni prive di valore dimostrativo rigoroso “ma offre deduzioni compiute con l’impiego della meccanica” - (fr:6714). Questo procedimento offriva una conferma preliminare, preparando la via alla dimostrazione formale “l’applicazione del metodo offriva allora una conferma, sia pure non rigorosa, preparando poi la via al vero e proprio processo dimostrativo” - (fr:165). La fase successiva era la sintesi, un procedimento inverso che partiva da postulati per dedurre proposizioni complesse “Si può in un secondo momento passare ad un procedimento inverso di sintesi” - (fr:50). Per le dimostrazioni rigorose, Archimede utilizzava principalmente il metodo di esaustione, attribuito a Eudosso “il metodo di esaustione, cioè quel rigoroso metodo dovuto a Eudosso di Cnido” - (fr:6521). Le opere analizzate formano una sequenza logica e cronologica. Sulla sfera e il cilindro costituisce una continuazione formale degli Elementi di Euclide “questa opera di Archimede costituisce anche formalmente la continuazione degli Elementi di Euclide” - (fr:541). Essa è preceduta dalla Quadratura della parabola “Sfera e cilindro sia preceduta da Quadratura della parabola” - (fr:449). Un lemma fondamentale, noto come postulato di Archimede, viene introdotto in più opere “questo lemma (è il famoso postulato detto di Archimede… che si ritrova menzionato nella lettera introduttoria al libro Sulle spirali e come postulato quinto nell’opera Sulla sfera e il cilindro)” - (fr:5699). La sua applicazione diretta in Sulla sfera e il cilindro avviene una sola volta, nella proposizione fondamentale I, 2 “questa è l’unica applicazione che nell’opera Sulla sfera e il cilindro si fa del postulato quinto” - (fr:665). Archimede comunicava i teoremi senza dimostrazione, come a Conone, inviando le prove in un secondo tempo su richiesta, ad esempio a Dositeo “a Conone Archimede era solito inviare i suoi risultati senza darne la dimostrazione, e che Dositeo aveva sollecitato le dimostrazioni in questione” - (fr:730). Il libro II di Sulla sfera e il cilindro tratta dei segmenti sferici, fondandosi sulle proposizioni del libro I “gran parte del libro II trovi il suo fondamento nelle proposizioni 42 e 43 del libro I” - (fr:621). Le ultime due proposizioni del libro II si riferiscono a teoremi proposti da Archimede ai geometri di Alessandria “esse si riferiscono a due enunciati di teoremi che erano stati proposti da Archimede, per la dimostrazione, assieme ai problemi ai geometri di Alessandria” - (fr:626). Un tema secondario riguarda il rapporto con Euclide: Archimede cita raramente esplicitamente gli Elementi, ma ne utilizza spesso i risultati, a volte ripetendone gli enunciati per comodità del lettore senza riportarne la dimostrazione “Tutte queste proposizioni furono dimostrate dai predecessori” - (fr:831).

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3 Superfici di solidi rotondi e segmenti parabolici

Confronti tra superfici coniche, cilindriche e prismatiche con figure piane, e quadratura del segmento parabolico.

Le proposizioni esaminano relazioni di maggiore, minore o uguale tra superfici curve (di coni, cilindri) o solidi (prismi, piramidi) e figure piane (triangoli, parallelogrammi, poligoni), spesso attraverso il metodo di esaustione. Un tema centrale è la dimostrazione che un segmento parabolico è uguale ai quattro terzi del triangolo in esso inscritto con la stessa base e altezza. “Dunque il segmento parabolico ADBEC è [uguale ai] quattro terzi del triangolo ABC” - (fr:6208). La procedura tipica consiste nell’inscrivere nel segmento parabolico un triangolo e, nei segmenti residui, altri triangoli “aventi la stessa base e la stessa altezza” (fr:6107, fr:6179), un metodo definito “nel modo noto” (fr:4919, fr:5598). Si dimostra che è possibile inscrivere un poligono tale che i segmenti residui siano minori di un’area qualsiasi (fr:6105). Per le superfici curve, le dimostrazioni confrontano, ad esempio, la “superficie conica limitata dalle [generatrici] AE, EC” con somme di triangoli (fr:1186, fr:1170) o la “superficie cilindrica tagliata dalle rette AC, BD” con un parallelogrammo (fr:1224, fr:1212). Per i solidi, si confrontano superfici laterali di prismi o coni con poligoni circoscritti o inscritti in cerchi (fr:1346, fr:1344). Viene utilizzato anche il principio della leva in contesti geometrici: “Poiché dunque il triangolo FAC rimanendo dov’è fa equilibrio nel punto E [come fulcro] al segmento BAC” - (fr:6833). Un altro argomento secondario è la misura del cerchio attraverso poligoni inscritti e circoscritti (fr:2554, fr:1832).

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4 Proprietà di sfere, coni, cilindri e figure solide in geometria greca

Trattazione archimedea di equivalenze, rapporti e costruzioni geometriche.

Il testo raccoglie proposizioni che stabiliscono relazioni di equivalenza e confronto tra volumi e superfici di solidi geometrici. Le figure principali sono la sfera, il cono, il cilindro e i segmenti sferici. Si dimostra che la superficie di una sfera è quadrupla del suo cerchio massimo “la superficie di qualunque sfera è quadrupla del circolo massimo della sfera” - (fr:2020). Un cilindro circoscritto a una sfera ha superficie totale sestupla dello stesso cerchio massimo “tutta la superficie del cilindro insieme con le basi sarà sestupla del circolo massimo” - (fr:1841). Il volume di una sfera è legato a quello di un cono: “il cilindro avente per base il cerchio massimo della sfera e l’altezza uguale al diametro della sfera, è una volta e mezza la grandezza della sfera” - (fr:2020). Si afferma anche che “il volume della sfera è quadruplo di quello del cono avente per base il circolo massimo e per altezza il raggio” - (fr:6907). Vengono esaminati segmenti sferici e la loro superficie, che è uguale a un cerchio il cui raggio è uguale alla retta condotta dal vertice alla circonferenza della base “alla superficie di qualunque segmento sferico è uguale il cerchio, il raggio del quale è uguale al segmento della retta condotta dal vertice del segmento sulla circonferenza della base” - (fr:2020). Il metodo di dimostrazione ricorrente prevede l’iscrizione e la circoscrizione di figure solide, composte da tronchi di cilindri o coni, per approssimare e confrontare i solidi in esame. Si legge: “Si inscriva dunque nel segmento una figura solida, e se ne circoscriva un’altra: composte da cilindri aventi la stessa altezza, in modo che la figura circoscritta superi quella inscritta per meno di quanto il segmento di conoide supera il cono X” - (fr:3358). Vengono studiati i rapporti tra coni e cilindri, basandosi su risultati euclidei: “Coni e cilindri che abbiano altezza uguale stanno tra loro come le basi” - (fr:2974). Un tema secondario riguarda la spirale e l’approssimazione della sua area mediante settori circolari.

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5 Il metodo di esaustione e le proporzioni in geometria

Dimostrazioni per assurdo con successioni infinite, rapporti duplicati e triplicati, e approssimazioni per eccesso e per difetto.

Il metodo di esaustione è usato per dimostrare l’uguaglianza di due grandezze, procedendo per assurdo. Si suppone, ad esempio, che una grandezza A sia maggiore di B. Si costruisce allora una successione infinita di grandezze omogenee T₁, T₂, T₃,… che siano maggiori sia di A che di B, ma che si approssimino a B quanto si vuole. A un certo punto, un termine Tₙ si avvicinerà a B più di quanto non faccia A, risultando così minore di A, il che contraddice l’ipotesi iniziale “se possibile sia A maggiore di B” - (fr:98). Lo stesso schema logico si applica supponendo che una grandezza S sia maggiore di un’altra A (“si suppone, ad esempio, che se possibile sia S/A >1” - (fr:607)) o che una figura F sia maggiore di un’altra X (“Sia dapprima, se possibile, maggiore” - (fr:3255)). Le figure ausiliarie devono essere “inesauribili”, cioè la loro costruzione deve essere indefinitamente ripetibile “Dette figure devono essere inesanzibili, cioè la loro costruzione deve essere indefinitamente reciterabile” - (fr:6176). Il metodo consiste nel trovare una di queste figure che approssimi “troppo bene” la grandezza supposta maggiore, al punto da risultare maggiore della grandezza minore, contraddicendo il fatto che era un’approssimazione per difetto di entrambe “Si riesce poi a trovare una di dette figure ausiliarie che approssimi troppo bene la grandezza supposta maggiore S, tanto bene da differire da S per meno di quel che s’è supposto ne differisca X” - (fr:6177). Un caso particolare è quello in cui, dovendo dimostrare che due grandezze sono uguali, si suppone una maggiore e si trova una figura intermedia che si “infiltra” tra di esse, generando un assurdo “si trova una figura inseritta T che è maggiore del cono X, cioè che s’infiltra tra X e S, ciò che è assurdo” - (fr:3255).

Un’applicazione centrale riguarda i rapporti tra superfici e volumi di solidi di rotazione generati da poligoni simili. Per le superfici, il rapporto è duplicato di quello tra i lati omologhi dei poligoni (“le superficie F, F’ delle due figure… stanno tra loro come i quadrati dei lati L, l dei poligoni generatori” - (fr:1775)), ossia stanno come i quadrati dei lati “S : S’ = ℓ² : L²” - (fr:1737). Per i volumi, il rapporto è triplicato dello stesso rapporto tra i lati (“V : V’ = ℓ³ : L³” - (fr:1737)). Questo principio è espresso anche affermando che la superficie della figura circoscritta ha rispetto a quella inscritta un rapporto duplicato, e il volume un rapporto triplicato, del rapporto tra lati omologhi EL e AK “superficie della figura circoscritta ha rispetto alla superficie della [figura] inscritta rapporto duplicato di quello che EL ha con AK, e che la figura circoscritta ha rispetto a quella inscritta [(per quanto riguarda i volumi] rapporto triplicato dello stesso rapporto” - (fr:1737). La dimostrazione di tali rapporti si basa sull’osservazione che rettangoli costruiti su lati omologhi sono simili e stanno tra loro come i quadrati dei lati stessi “i due rettangoli… sono simili; stanno quindi tra loro come i quadrati dei lati omologhi” - (fr:1746).

Il lavoro fa ampio uso della teoria delle proporzioni. Si ricorre spesso alla permutazione dei medi (“permutando i medi” - (fr:2716)), alla composizione (“procedendo componendo” - (fr:2716)) e alla deduzione ex aequo (“deduzione ex aequo (δι’ ἴσου)” - (fr:2725)). Viene utilizzata la nozione di rapporto duplicato (o doppio), definito tramite una media proporzionale: dati segmenti e, d, si ha rapporto duplicato se e:d = d:f, dove f è il terzo proporzionale “e:d = d:f” - (fr:5737). Analogamente, per il rapporto triplicato. Per trasformare un rapporto tra grandezze in un rapporto tra quadrati, si introduce un segmento medio proporzionale “per esprimere anche il secondo membro della disuguaglianza come rapporto tra due quadrati basta considerare il segmento D medio proporzionale tra B, C: B:D = D:C” - (fr:1775). Una proporzione continuata è un insieme di proporzioni continue con rapporti tutti uguali, che può formarsi con i termini di una progressione geometrica “una proporzione continuata sia un insieme di proporzioni continue nelle quali i rapporti son tutti uguali” - (fr:5444).

Un tema secondario è il calcolo di approssimazioni, in particolare per il rapporto tra circonferenza e diametro (π). Si dimostra che la circonferenza è compresa tra (3 + 10/71) e (3 + 1/7) volte il diametro “la circonferenza del cerchio è compresa tra (3 + 10/71) e (3 + 1/7) volte il diametro” - (fr:2470). Il valore 22/7 (3 + 1/7) fornisce un’approssimazione ottima con numeri piccoli. Tali valori si ottengono approssimando il cerchio con poligoni regolari, inscritti per il difetto e circoscritti per l’eccesso “i valori approssimati per difetto vengon trovati sostituendo al cerchio poligoni regolari inscritti, quelli approssimati per eccesso ricorrendo a poligoni circoscritti” - (fr:2471). Viene anche introdotta un’approssimazione per difetto della radice quadrata di 3, ponendo 265/153 > √3 “Archimede introduce un valore approssimato per difetto della radice quadrata di 3 ponendo: 265/153 > √3” - (fr:2482).

Il metodo si applica a problemi specifici, come dimostrare l’equivalenza tra la superficie laterale di un cilindro e un cerchio avente per raggio la media proporzionale tra il diametro di base e l’altezza (“D:G = G:L” - (fr:1274)), o che la superficie di una sfera è quadrupla del suo cerchio massimo. In quest’ultimo caso, Archimede non confronta direttamente le aree, ma i loro rapporti con un’area di riferimento, applicando il metodo di esaustione al rapporto S/A “dovendo dimostrare che S (superficie della sfera) è uguale ad un cerchio A… preferisce riferirsi al rapporto S/A ed applica appunto il metodo di esaustione per mostrare che: S/A = 1” - (fr:607). Un’altra applicazione riguarda la possibilità di approssimare con poligoni il perimetro di un cerchio: si possono trovare due poligoni regolari, uno inscritto e uno circoscritto, con lo stesso numero di lati, tali che il rapporto tra i loro perimetri sia vicino all’unità quanto si vuole “è possibile trovare due poligoni regolari… tali che i loro perimetri s’avvicinino l’uno all’altro quanto si voglia (il rapporto tra i due perimetri avvicina quanto si vuole all’unità)” - (fr:952).

Vengono presentate anche dimostrazioni che coinvolgono disuguaglianze e manipolazioni algebriche/geometriche. Ad esempio, per dimostrare che un segmento GH è maggiore di BH, si trasforma il problema nel verificare una disuguaglianza tra rapporti “basterà far vedere che vale la seguente disuguaglianza tra rapporti: P : (S – P) > BH : HE” - (fr:5086). La validità di una disuguaglianza può essere verificata confrontando termine a termine i membri di una proporzione “1) che i primi termini dei due membri sono uguali tra loro; 2) che il secondo termine del primo membro è minore del secondo termine del secondo membro…” - (fr:3934). Si fa uso di identità, come quella riconducibile alla proposizione II.1 di Euclide sulla somma di rettangoli “ricorrendo alla II, 1 di Euclide (riguardante somme di rettangoli aventi uguale una delle dimensioni)” - (fr:1377). In alcuni casi, le dimostrazioni si riducono alla verifica di identità aritmetiche o relazioni semplici, specialmente in casi particolari “il teorema si riduce alla verifica di due semplici relazioni aritmetiche” - (fr:3866); “il teorema si riduce alla verifica di una identità aritmetica” - (fr:3781).

Un accenno storico-teorico riguarda la possibile origine della formula per il volume della sfera (4/3 del cilindro circoscritto). Considerando un cilindro e un cono di stessa base e altezza, e la semisfera come solido intermedio, Archimede potrebbe aver pensato a un rapporto semplice come 3:2 tra cilindro e semisfera, da cui seguirebbe la formula nota “cilindro : semisfera = 3:2… L’intera sfera sarebbe allora uguale ai 4/3 del cilindro” - (fr:6627).

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6 Le proprietà delle sezioni coniche e dei solidi di rotazione in geometria antica

Definizioni, proposizioni e dimostrazioni relative a conoidi e sferoidi generati dalla rotazione di sezioni coniche.

Le frasi trattano le proprietà geometriche di figure solide dette conoidi e sferoidi, generate dalla rotazione di sezioni coniche attorno a un diametro. Si definiscono i conoidi rettangoli (paraboloidi di rotazione), ottusangoli (iperboloidi di rotazione) e gli sferoidi (ellissoidi di rotazione). “Se una sezione di cono rettangolo [= parabola], restando fermo il diametro, compie un giro completo […] la figura compresa dalla parabola si chiama conoide rettangolo” - (fr:2657). “Se in un piano sono una sezione di cono ottusangolo […= iperbole] […] e […] il piano […] compie un giro completo […] la figura compresa dall’iperbole si chiama conoide ottusangolo” - (fr:2664). “Se una [qualunque] delle due figure sferoidali […] viene tagliata da un piano per l’asse o parallelo all’asse, la sezione sarà una ellisse” - (fr:2991). Vengono descritti gli elementi di questi solidi: vertice, asse e base. “se un altro piano condotto parallelamente al piano tangente taglia un segmento del conoide, si chiama base del segmento tagliato il piano […] compreso dalla [curva] sezione del conoide nel piano secante, mentre si chiama vertice il punto nel quale l’altro piano tocca il conoide, e asse [si chiama] la parte di retta condotta per il vertice parallelamente all’asse del conoide” - (fr:2658). Le proposizioni esaminano le sezioni ottenute tagliando questi solidi con piani in diverse posizioni (per l’asse, paralleli all’asse, perpendicolari all’asse, obliqui). “Se un conoide rettangolo è tagliato da un piano che non sia per l’asse, né [sia] parallelo all’asse, né perpendicolare all’asse, la sezione sarà una ellisse” - (fr:2995). “Se poi si taglia con un piano perpendicolare all’asse, la sezione sarà un cerchio avente il centro sull’asse” - (fr:2992). Vengono stabilite relazioni di uguaglianza e proporzionalità tra segmenti di questi solidi. “Se da un conoide rettangolo vengono staccati due segmenti con piani comunque condotti, i segmenti avranno tra loro lo stesso rapporto dei quadrati dei loro assi” - (fr:3328). Il testo include anche l’applicazione di metodi meccanici, come l’uso del concetto di leva, per dimostrare uguaglianze tra volumi. “si immagini una leva, la DX, il [punto di] mezzo della quale [sia] il [punto] A” - (fr:6976). Vengono menzionati anche coni, cilindri e prismi in relazione a queste figure. Un tema secondario è la trattazione di tronchi di cono. “se poi la sezione è una «sezione di cono acutangolo» […] la figura residua […] si chiami «tronco di cono»” - (fr:2705).

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7 Relazioni tra somme di quadrati, rettangoli e settori in proposizioni geometriche

Confronti tra somme di figure simili costruite su serie di linee.

Il testo raccoglie proposizioni che stabiliscono relazioni di disuguaglianza o uguaglianza tra somme di figure geometriche. Le figure sono costruite su serie di linee. Una serie è composta da linee che “si superano l’una rispetto all’altra di una uguale quantità” (fr:4362), dove la differenza costante è spesso uguale alla linea minore. L’altra serie è composta da linee “uguali tra loro e uguali alla maggiore” (fr:4390) della prima serie. Le figure costruite su queste linee possono essere quadrati, rettangoli, settori circolari o cilindri. Un risultato ricorrente afferma che il rapporto tra la somma delle figure costruite sulle linee uguali alla maggiore e la somma delle figure costruite sulle linee che si superano (eccettuata quella sulla minore) è minore del rapporto tra il quadrato della linea maggiore e la somma del rettangolo compreso dalla maggiore e dalla minore più un terzo del quadrato della loro differenza: “ha rapporto minore di quello che il quadrato della linea maggiore ha rispetto alla somma del rettangolo compreso dalla linea maggiore e da quella minore e della terza parte del quadrato dell’eccesso della maggiore sulla minore” (fr:3930). Questo teorema è citato come dimostrato nel libro Sulle Spirali. Un caso particolare mostra che “la somma di tutte le grandezze ciascuna delle quali è uguale alla maggiore tra quelle, sarà minore del doppio di tutte le grandezze che si superano di una uguale differenza, e maggiore del doppio di tutte le grandezze restanti, eccettuata la massima” (fr:2708). Per i quadrati, si trova che la somma dei quadrati delle linee uguali alla maggiore è minore del triplo della somma dei quadrati delle linee che si superano, e maggiore del triplo della stessa somma escluso il quadrato della maggiore: “i quadrati delle linee uguali alla maggiore, sommati con il quadrato della maggiore e con il rettangolo della minore e delle linee che si superano, saranno il triplo di tutti i quadrati delle linee che si superano” (fr:3770). Le proposizioni utilizzano anche un lemma generale sulle proporzioni: se più grandezze sono in proporzione con altre, e queste a loro volta sono in proporzione con terze grandezze, allora la somma delle prime sta alla somma delle terze come la somma delle seconde sta alla somma delle quarte (fr:2711, fr:6766). I risultati sono applicati al confronto tra volumi di cilindri inscritti e circoscritti e aree di settori circolari e figure spiraliformi.

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8 La spirale di Archimede: definizione, proprietà e calcolo delle aree

Studio geometrico delle proprietà di una curva generata da un moto uniforme combinato di rotazione e traslazione.

Le frasi definiscono una curva piana, chiamata spirale, generata dal moto uniforme di un punto lungo una retta che ruota uniformemente attorno a un suo estremo fisso. “Se si traccia nel piano una linea retta, ed essa, fermo restando uno dei suoi estremi, vien fatta rotare con velocità costante… e se al tempo stesso sulla linea rotante si trasporta un punto con moto uniforme cominciando dall’estremo che resta fermo, il punto descriverà nel piano una spirale” - (fr:3946). Il testo analizza proprietà tangenziali, aree e rapporti relativi a questa curva e ai cerchi ad essa associati. Vengono stabilite proposizioni sulle tangenti: in un punto della spirale, la perpendicolare condotta dal centro al raggio vettore incontra la tangente in un segmento di lunghezza pari o multipla della circonferenza di un cerchio di riferimento. “Se una linea retta è tangente ad una spirale, nella prima rotazione, nel termine della spirale stessa… il segmento di retta compreso fra la tangente e il principio della spirale sarà uguale alla circonferenza del primo cerchio” - (fr:4100). Il testo si occupa estesamente del calcolo e del confronto di aree delimitate da archi di spirale e raggi vettori. Viene dimostrato che il rapporto tra due aree specifiche è uguale al rapporto tra espressioni che coinvolgono i raggi dei cerchi corrispondenti. “l’area compresa… ha lo stesso rapporto che il raggio del cerchio minore più due terzi dell’eccesso di cui il raggio del cerchio maggiore supera il raggio del cerchio minore ha rispetto al raggio del cerchio minore più un terzo dello stesso eccesso” - (fr:3542). Viene anche determinata l’area racchiusa dalla spirale in una rotazione completa rispetto al cerchio associato. “l’area descritta nella prima rotazione è la sesta parte di quella descritta nella seconda rotazione” - (fr:3541). Sono presentati metodi per approssimare l’area di un arco di spirale minore di un giro tramite poligoni circoscritti e inscritti. “è possibile circoscrivere alla superficie una figura piana ed inscriverne un’altra… in modo che la figura circoscritta superi quella inscritta per meno di una superficie comunque data” - (fr:4262). Un tema secondario riguarda problemi geometrici ausiliari su cerchi, corde e tangenti, utilizzati come lemmi per le dimostrazioni principali. “Dato un cerchio, e data nel cerchio una corda minore del diametro, è possibile condurre dal centro del cerchio alla circonferenza una retta che tagli la corda data in modo che il segmento… abbia rapporto dato” - (fr:3675). Un ulteriore tema secondario tratta la misurazione dell’angolo sotteso dal Sole, con riferimenti a cilindri e tangenti. “l’angolo secondo il quale il Sole abbraccia il vertice… è minore della centosessantaquattresima parte dell’angolo retto e maggiore della duecentesima parte dell’angolo retto” - (fr:5346).

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9 Sull’equilibrio dei piani e la determinazione dei centri di gravità

Trattato meccanico archimedeo sulle condizioni di equilibrio e le proprietà dei centri di gravità di figure piane e solide.

Le proposizioni stabiliscono i principi per trovare il centro di gravità di grandezze composte e le condizioni di equilibrio su una leva. “che si ammetta che pesi uguali [sospesi] a distanze uguali si facciano equilibrio; che pesi uguali [sospesi] a distanze disuguali non si facciano equilibrio” - (fr:4563). Se due grandezze sono sospese ai punti D ed E e il fulcro è in C, l’equilibrio si ha quando i pesi sono inversamente proporzionali alle distanze CD e CE “se si abbia l’inversa proporzionalità: A:B = CD:CE” - (fr:4663). Il centro di gravità di una grandezza composta da più elementi si trova sulla retta che congiunge i centri degli elementi, con regole precise in base al numero e alla disposizione delle parti. Per un numero dispari di grandezze allineate e simmetriche, il centro della composizione coincide con il centro della grandezza centrale “il centro di gravità della grandezza composta dall’insieme di tutte le grandezze sarà il punto che è centro di gravità della grandezza di mezzo” - (fr:4658). Per un numero pari, è il punto medio del segmento che congiunge i centri delle due grandezze centrali “il centro di gravità della grandezza composta dall’insieme di tutte le grandezze sarà il punto medio della retta congiungente i centri di gravità” - (fr:4659). Se da una grandezza si sottrae una parte, il centro di gravità del resto giace sulla retta che congiunge i centri del tutto e della parte sottratta, prolungata dalla parte del tutto, e la distanza su questa retta è determinata dal rapporto tra i pesi “il centro di gravità della grandezza restante è sulla retta congiungente i centri di gravità dell’intera [grandezza] e della [grandezza] sottratta” - (fr:6740). I teoremi sono applicati a figure geometriche specifiche per determinarne i centri di gravità e le relazioni di equilibrio. Il metodo prevede spesso la scomposizione di una figura in elementi (come cerchi o rettangoli), l’applicazione del principio della leva a ciascun elemento e la ricomposizione dei risultati. “il cerchio generato nel cilindro, restando dov’è, farà equilibrio intorno al punto A [come fulcro] ad ambedue i cerchi: quello generato nella sfera e quello nel cono, trasportati e collocati sulla leva col punto H” - (fr:6897). Questo permette di trovare rapporti tra volumi di solidi, come tra un cilindro e la somma di una sfera e un cono “AH:AK = cilindro: (sfera + cono)” - (fr:6898). L’opera tratta anche dell’equilibrio di figure piane, come segmenti parabolici e trapezi “Se due segmenti [parabolici]… non hanno lo stesso centro di gravità, il centro di gravità della grandezza composta… sarà sulla retta congiungente i loro centri di gravità” - (fr:4887). Il titolo stesso chiarisce l’oggetto: “Sull’equilibrio dei piani ovvero: sui centri di gravità dei piani” - (fr:4464).

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[10.1-40-5559|6345]

10 Il calcolo dei granelli di sabbia e il principio di galleggiamento

Dalla stima della sabbia nel cosmo all’equilibrio dei corpi nei fluidi.

Il testo tratta due argomenti principali. Il primo è un calcolo matematico volto a dimostrare che il numero di granelli di sabbia necessari a riempire il cosmo è finito e quantificabile. Il procedimento, attribuito ad Archimede, parte da un’unità di misura minima, il seme di papavero, e definisce un sistema di numerazione in progressione per ordini di grandezza (“Prende poi la miriade di miriadi come unità dei numeri secondi” - (fr:5265)). Attraverso moltiplicazioni successive e il confronto con le dimensioni della Terra, del cosmo e della sfera delle stelle fisse secondo Aristarco, si giunge a stabilire che la sabbia contenuta in queste sfere è minore di determinati numeri di ordine superiore, come “mille unità dei numeri « settimi »” - (fr:5559). Il secondo argomento riguarda i principi dell’idrostatica. Vengono enunciate e dimostrate le condizioni per l’equilibrio e il moto dei solidi immersi in un fluido. Un corpo più pesante del fluido affonda, mentre uno più leggero galleggia e, se immerso a forza, è spinto verso l’alto con una forza pari alla differenza di peso (“le grandezze solide più leggiere del liquido, immerse a forza nel liquido, sono spinte verso l’alto con una forza tale quanto è il peso di cui il liquido che occupa ugual volume supera quello della grandezza” - (fr:6342)). Si analizzano casi specifici, come solidi di ugual peso specifico del fluido, che restano in quiete ovunque siano posti (“tutte le parti del liquido ugualmente situate sono similmente premute” - (fr:6311)), e si studiano le condizioni di stabilità per solidi di forma particolare, come un segmento di conoide o sferico.

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